WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 |
-- [ Страница 1 ] --

В. Б. АЛЕКСЕЕВ ТЕОРЕМА АБЕЛЯ в задачах и решениях МЦНМО, 2001 УДК 517.545, 512.54 А 47 ББК 22.144 Алексеев В. Б.

А 47 Теорема Абеля в задачах и решениях — М.: МЦНМО, 2001. — 192 с. 115 илл.

ISBN 5–900916–86–3 Из этой книги читатель узнает, как решать алгебраические уравнения 3-й и 4-й степени с одним неизвестным и почему для решения уравнений более высокой степени не существует об щих формул (в радикалах). При этом он познакомится с двумя очень важными разделами современной математики — теорией групп и теорией функций комплексного переменного. Одна из основных целей данной книги — дать возможность читателю попробовать свои силы в математике. Для этого почти весь ма териал представлен в виде определений, примеров и большого числа задач, снабженных указаниями и решениями.

Книга рассчитана на широкий круг читателей, интересую щихся серьезной математикой (начиная со школьников старших классов), и не предполагает у читателя каких-либо специальных предварительных знаний. Книга может служить также пособи ем для работы математичекского кружка.

ББК 22. © Алексеев В. Б., ISBN 5–900916–86–3 © МЦНМО, Оглавление Предисловие....................... Введение......................... Глава I. Группы..................... § 1. Примеры...................... § 2. Группы преобразований............. § 3. Группы....................... § 4. Циклические группы............... § 5. Изоморфизм.................... § 6. Подгруппы..................... § 7. Прямое произведение............... § 8. Смежные классы. Теорема Лагранжа..... § 9. Внутренние автоморфизмы........... § 10. Нормальные подгруппы............. § 11. Факторгруппы................... § 12. Коммутант..................... § 13. Гомоморфизм................... § 14. Разрешимые группы............... § 15. Подстановки.................... Глава II. Комплексные числа............. § 1. Поля и многочлены................ § 2. Поле комплексных чисел............. § 3. Единственность поля комплексных чисел... § 4. Геометрические представления комплексных чисел........................ § 5. Тригонометрическая форма комплексных чисел § 6. Непрерывность................... § 7. Непрерывные кривые............... § 8. Отображение кривых. Основная теорема ал гебры комплексных чисел............ § 9. Риманова поверхность функции w = z.... § 10. Римановы поверхности более сложных функций § 11. Функции, выражающиеся в радикалах..... § 12. Группы Галуа многозначных функций..... § 13. Группы Галуа функций, выражающихся в ра дикалах....................... § 14. Теорема Абеля................... Указания, решения, ответы............. Предметный указатель................. Предисловие В курсе средней школы подробно изучаются алгебраи ческие уравнения с одним неизвестным 1-й степени (ли нейные) и 2-й степени (квадратные). При этом оказывает ся, что для решения таких уравнений существуют общие формулы, выражающие корни уравнения через его коэф фициенты с помощью арифметических операций и ради калов. А существуют ли подобные формулы для решения алгебраических уравнений более высоких степеней, знают очень немногие. Оказывается, что для уравнений 3-й и 4-й степени такие формулы тоже существуют. Методы реше ния этих уравнений мы рассмотрим во «Введении». Если же рассмотреть общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени выше 4-й, то оказывается, что оно не разрешимо в радикалах, т. е. не существует формулы, выражающей корни такого уравнения через коэффициенты с помощью арифметических операций и радикалов. Это и есть теорема Абеля.

Одна из целей данной книги — познакомить читателя с доказательством теоремы Абеля. Мы не будем здесь по дробно рассматривать результаты, полученные несколько позже французским математиком Эваристом Галуа, кото рый рассмотрел не общие, а конкретные алгебраические уравнения с фиксированными числовыми коэффициента ми и для таких уравнений нашел условие, при котором корни уравнения можно выразить через коэффициенты с помощью арифметических операций и радикалов. Тем, кто захочет ближе познакомиться с результатами Галуа, можно рекомендовать книги Постникова М. М. «Теория Галуа» и Ван дер Вардена Б. Л. «Алгебра»*).

*) П о с т н и к о в М. М., Теория Галуа, Физматгиз, 1963.

В а н д е р В а р д е н Б. Л., Алгебра, М., Наука, 1979.

Из общих результатов Галуа можно, в частности, полу чить и теорему Абеля. Однако в этой книге мы пойдем по другому пути, который позволит читателю познакомиться с двумя очень важными разделами современной математи ки — теорией групп и теорией функций комплексного пере менного. Читатель узнает, что такое (в математике) группа, поле и какими свойствами они обладают. Узнает, что такое комплексные числа и почему именно так, а не иначе они определяются. Узнает, что такое риманова поверхность и в чем состоит «основная теорема алгебры комплексных чи сел».

Автор будет сопровождать читателя на этом пути, но даст ему широкую возможность испытать свои собствен ные силы. Для этого читателю будет предложено большое число задач. Задачи расположены непосредственно в основ ном тексте книги и являются фактически составной частью основного текста. Задачи имеют сплошную нумерацию, ко торая выделена полужирным шрифтом. Если какие-то за дачи окажутся читателю не под силу, то ему на помощь придут «Указания, решения и ответы».

Книга содержит много понятий, возможно новых для читателя. Чтобы читатель мог легче в них ориентировать ся, в конце книги приведен алфавитный список понятий с указанием страниц, на которых эти понятия определяются.

Книга написана на основе лекций, прочитанных в раз ные годы профессором Московского университета Влади миром Игоревичем Арнольдом и автором в Московской фи зико-математической школе-интернате №18 при МГУ. Ав тор благодарен В. И. Арнольду, высказавшему ряд ценных замечаний при подготовке рукописи этой книги.

В. Б. Алексеев Введение Мы начнем эту книгу с рассмотрения вопроса о том, как решаются алгебраические уравнения с одним неизвестным от 1-й до 4-й степени. Методы решения алгебраических уравнений 1-й и 2-й степени были известны еще математи кам древнего мира, методы решения алгебраических урав нений 3-й и 4-й степени были разработаны лишь в XVI веке.

Общим алгебраическим уравнением с одним неизвест ным степени n называется уравнение вида a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an = 0, в котором a0 = 0*).

При n = 1 получаем линейное уравнение a0x + a1 = 0, a0 = 0.

Это уравнение имеет, очевидно, единственное решение a x = a при любых значениях коэффициентов. При n = 2 получаем квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, a = (вместо a0, a1, a2 мы пишем здесь a, b, c, как принято в школе). Разделив обе части этого уравнения на a и положив b c p =, q =, получим приведенное квадратное уравнение a a x2 + px + q = 0. (1) *) Коэффициенты a0, a1,..., an можно пока считать произволь ными действительными числами.

После преобразований получаем p2 p2 p p x2 + px + = - q и x + = - q. (2) 4 4 2 В курсе средней школы далее рассматривается только слу p2 p чай - q 0. Если же - q < 0, то говорят, что равен 4 ство (2) не может иметь место и уравнение (1) не имеет действительных корней. Чтобы не возникало таких исклю чений, нам удобнее будет рассматривать в дальнейшем ал гебраические уравнения не в области действительных чи сел, а в более широкой области комплексных чисел.

Подробно (вместе с определением) мы будем рассматри вать комплексные числа в главе II. Пока читателю доста точно знать или принять на веру следующие утверждения о комплексных числах:

1) множество комплексных чисел является расширени ем множества действительных чисел, т. е. действительные числа содержатся среди комплексных чисел, так же как, например, целые числа содержатся среди действительных;

2) комплексные числа можно складывать, вычитать, ум ножать, делить, возводить в натуральную степень, причем все эти операции обладают всеми основными свойствами соответствующих операций для действительных чисел;

3) если z — комплексное число, не равное нулю, и n — натуральное число, то существует ровно n корней n-й сте пени из z, т. е. n комплексных чисел w таких, что wn = z.

n При z = 0 имеем 0 = 0. Если w1 и w2 — корни 2-й степени из числа z, то w2 = -w1.

Ниже мы не только будем интересоваться как действи тельными, так и комплексными корнями уравнений, но и в качестве коэффициентов этих уравнений будем рассмат ривать произвольные комплексные числа. При этом приве денные выше рассуждения о линейных и квадратных урав нениях останутся в силе, что вытекает из указанного выше свойства 2 комплексных чисел.

Продолжим рассмотрение квадратного уравнения. В об ласти комплексных чисел равенство (2) при любых значе ниях p и q равносильно равенству p p x + = ± - q, 2 где под p2/4 - q понимается какое-нибудь одно опреде ленное значение корня второй степени.

Таким образом, p p x1,2 = - ± - q. (3) 2 Переходя к a, b, c, получим -b ± b2 - 4ac x1,2 =. (4) 2a Для дальнейшего нам понадобятся два факта, относя щиеся к уравнениям 2-й степени:

1) т е о р е м а В и е т а *): комплексные числа x1 и x2 в том и только в том случае являются корнями уравнения x2 + px + q = 0, если x1 + x2 = -p, x1 · x2 = q. Действитель но, если x1 и x2 — корни уравнения x2 + px + q = 0, то вы полняется равенство (3). Отсюда x1 + x2 = -p, x1 · x2 = q.

Обратно, если x1 + x2 = -p, x1 · x2 = q то, заменяя p и q в уравнении x2 + px + q = 0 их выражениями через x1 и x2, получим x2 - (x1 + x2)x + x1x2 = (x - x1)(x - x2) = 0, и, следовательно, x1 и x2 являются корнями уравнения x2 + + px + q = 0;

2) квадратный трехчлен ax2 + bx + c является полным квадратом (т. е.

ax2 + bx + c = [ a(x - x0)] для некоторого комплексного числа x0) тогда и только то гда, когда корни уравнения ax2 + bx + c совпадают (оба они должны равняться x0). Это имеет место в том и только в том случае (см. формулу (4)), когда b2 - 4ac = 0. Выра жение b2 - 4ac называется дискриминантом квадратного трехчлена.

Рассмотрим теперь приведенное уравнение 3-й степени x3 + ax2 + bx + c = 0. (5) (Общее уравнение 3-й степени сводится к приведенному де лением на a0.) Сделаем замену x = y + d, где d мы выберем позднее. Получим (y + d)3 + a(y + d)2 + b(y + d) + c = 0.

*) Франсуа Виет (1540–1603) — французский математик.

Раскрыв все скобки и приводя подобные относительно y члены, получим уравнение y3 + (3d + a)y2 + (3d2 + 2ad + b)y + (d3 + ad2 + bd + c) = 0.

Коэффициент при y2 в этом уравнении равен 3d + a. По a a этому если мы возьмем d = -, то после замены x = y 3 мы приведем уравнение к виду y3 + py + q = 0, (6) где p и q — некоторые многочлены от a, b, c.

Пусть y0 — корень уравнения (6). Представив его в виде y0 = + (где и пока неизвестны), получим 3 + 3 ( + ) + + p( + ) + q = и 3 + + ( + )(3 + p) + q = 0. (7) Посмотрим, можно ли на и наложить дополнительное условие p = -.

В этом случае получим для и два уравнения + = y0, p = -.

По теореме Виета для любого y0 такие и действительно существуют (возможно, комплексные) и являются корнями уравнения p w2 - y0w - = 0.

Если мы возьмем такие и (пока еще неизвестные нам), то уравнение (7) приведется к виду 3 + + q = 0. (8) p Возводя обе части уравнения = - в 3-ю степень и объ единяя полученное уравнение с (8), будем иметь 3 + = -q, p 3 · = -, 3 откуда по теореме Виета и являются корнями урав нения p w2 + qw - = 0.

Таким образом, q q2 p3 q q2 p 3 = - + + и = - - +, 2 4 27 2 4 q2 p где опять под + понимается одно определеннoe зна 4 чение корня 2-й степени. Отсюда корни уравнения (6) вы ражаются формулой q q2 p3 3 q q2 p y1,2,3 = - + + + - - +, 2 4 27 2 4 причем для каждого из трех значений первого корня 3-й степени *) нужно брать соответствующее значение второго p так, чтобы выполнялось условие = -.

Полученная формула носит название формулы Кардано **). Подставив в нее вместо p и q их выражения через a, b, c a и вычитая, получим формулу для корней уравнения (5).

a1 a2 a Делая затем замену: a =, b =, c =, получим фор a0 a0 a мулу для корней общего уравнений 3-й степени.

Рассмотрим теперь приведенное уравнение 4-й степени x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0. (9) (Общее уравнение сводится к приведенному делением a на a0.) Сделав замену переменной x = y -, подобную замене, сделанной в случае уравнения 3-й степени, приве дем уравнение (9) к виду y4 + py2 + qy + r = 0, (10) где p, q и r — некоторые многочлены от a, b, c, d.

Уравнение (10) будем решать методом, который носит название метода Феррари ***). Преобразуем левую часть *) См. указанное выше свойство 3 комплексных чисел.

**) Дж. Кардано (1501–1576) — итальянский математик.

***) Л. Феррари (1522–1565) — итальянский математик, ученик Кар дано.

уравнения (10) следующим образом:

2 p p y2 + + qy + r - = 2 и 2 p p p y2 + + - 2 y2 + + - qy + - r = 0, 2 2 (11) где — произвольное число. Постараемся теперь подо брать так, чтобы многочлен 2-й степени относительно y p 2 y2 - qy + p + + - r, стоящий в квадратных скобках, стал полным квадратом.

Как было отмечено выше, для того чтобы он был полным квадратом, необходимо и достаточно, чтобы дискриминант этого многочлена равнялся нулю, т. е.

p q2 - 8 p + + - r = 0. (12) Раскрывая скобки, получим для нахождения уравнение 3-й степени, которое мы умеем решать. Если в качестве взять один из корней уравнения (12), то выражение, стоя щее в квадратных скобках в (11), будет полным квадратом.

В этом случае левая часть уравнения (11) является разно стью квадратов и поэтому может быть разложена в про изведение двух многочленов 2-й степени относительно y.

После этого остается решить два получившихся уравнения 2-й степени.

Таким образом, уравнение 4-й степени всегда может быть решено и, более того, можно, аналогично случаю 3-й степени, получить формулу, выражающую корни общего уравнения 4-й степени через коэффициенты уравнения с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения корней натуральной степени.

Долгое время математики пытались найти метод реше ния в радикалах общего уравнения 5-й степени. Однако в 1824 г. норвежский математик Нильс Генрик Абель (1802– 1829) доказал следующую теорему.

Те о р е м а А б е л я. Общее алгебраическое уравнение с одним неизвестным степени выше 4-й неразрешимо в радикалах, т. е. не существует формулы, выражающей корни общего уравнения степени выше 4-й через коэффици енты с помощью операций сложения, вычитания, умно жения, деления, возведения в натуральную степень и из влечения корней натуральной степени.

Мы сможем доказать эту теорему в конце книги. Однако для этого нам потребуются такие математические понятия, как группа, разрешимая группа, функция комплексного пе ременного, риманова поверхность и т. д. Со всеми этими и другими математическими понятиями мы и познакомим читателя в дальнейшем на страницах этой книги. Начнем мы с рассмотрения очень важного в математике понятия группы.

Г л а в а I Группы Исследование алгебраических уравнений в начале XIX века привело математиков к необходимости выделения осо бого математического понятия — понятия группы. Новое понятие оказалось настолько плодотворным, что не только проникло почти во все разделы современной математики, но и стало играть важную роль в некоторых разделах дру гих наук, например в квантовой механике и в кристал лографии. Исследования, связанные с понятием группы, выросли в отдельную ветвь современной математики — тео рию групп. Что же представляет собой понятие группы в математике? Чтобы ответить на этот вопрос, начнем с рассмотрения некоторых примеров.

§ 1. Примеры Уже в арифметике мы сталкиваемся с операциями, ко торые двум данным числам ставят в соответствие третье число. Так операция сложения паре чисел (3, 5) ставит в соответствие число 8, а паре (2, 2) число 4. Операция вы читания, если ее рассматривать на множестве всех целых чисел, также ставит в соответствие каждой паре целых чи сел определенное целое число. При этом здесь надо указать не только пару чисел, но и порядок этих чисел. Так, паре (5, 3) вычитание ставит в соответствие число 2, а паре (3, 5) число -2. Таким образом, пары (5, 3) и (3, 5) должны рассматриваться как различные.

Пары, в которых задан порядок элементов, мы будем называть упорядоченными парами.

О п р е д е л е н и е. Пусть M — некоторое множество эле ментов произвольной природы. Если каждой упорядочен ной паре элементов из M поставлен в соответствие опреде ленный элемент также из M, то говорят, что на M задана бинарная операция.

Бинарными операциями являются, например, сложение на множестве натуральных или на множестве целых чисел, вычитание на множестве целых чисел. Вычитание на мно жестве натуральных чисел бинарной операцией не являет ся, так как, например, упорядоченной паре (3, 5) вычитание не ставит в соответствие никакого натурального числа.

1. На множестве: 1) всех четных натуральных чисел, 2) всех нечетных натуральных чисел, 3) всех отрица тельных целых чисел рассмотрите операции: а) сложения, б) вычитания, в) умножения. В каких случаях получится бинарная операция? *) Рассмотрим еще несколько примеров бинарных опера ций. К этим примерам мы будем часто обращаться в даль нейшем.

П р и м е р 1. Пусть A, B и C — вершины равносторон него треугольника ABC (рис. 1). Повернем треугольник вокруг его центра O на 120 в направ лении, указанном стрелкой. Тогда вер шина A перейдет в вершину B, B в C и C в A. Таким образом, треугольник совместится со своим первоначальным положением (если не учитывать назва ния вершин), т. е. поворот на 120 во круг точки O является преобразовани Рис. ем, переводящим данный треугольник в себя. Обозначим это преобразование через a. Его можно A B C записать в виде a =, где в верхней строчке пе B C A речислены все вершины треугольника, а нижняя строчка показывает, куда каждая из них переходит. Поворот на в том же направлении вокруг точки O также является *) Часть предлагаемых в дальнейшем задач носит практический характер и служит для лучшего уяснения на примерах новых поня тий. Другие задачи являются теоретическими, и результаты их ис пользуются в дальнейшем. Поэтому если читателю не удается решить какую-либо задачу, то ему необходимо ознакомиться с ее решением по «Указаниям, решениям и ответам».

преобразованием, переводящим треугольник в себя. Обо A B C значим это преобразование через b, тогда b =.

C A B Имеется еще одно вращение, переводящее треугольник в себя, отличное от a и b, — это поворот на 0. Обозначим это A B C преобразование через e, тогда e =. Легко видеть, A B C что существует только 3 различных вращения плоскости *), переводящих равносторонний треугольник ABC в себя, а именно e, a и b.

Пусть g1 и g2 — произвольные преобразования треуголь ника. Тогда под g1 · g2 (или просто g1g2) мы будем пони мать преобразование g3, которое получится, если сначала выполнить преобразование g2 и затем пре Т а б л и ц а образование g1;

g3 мы будем называть про e a b изведением или композицией преобразова e ний g2 и g1.

a e Можно составить таблицу умножения b (табл. 1), где каждая строка, а также каждый столбец соответствует некоторо му вращению, переводящему треугольник ABC в себя. На пересечении строки, соответствующей преобразованию g1, и столбца, соответствующего преобразованию g2, мы будем ставить преобразование, равное g1 · g2. Так, например, в выделенную клетку табл. 1 мы должны поставить преоб разование a · b, которое получится, если сначала повернуть треугольник на 240, а затем еще на 120. Следовательно, a · b — поворот на 360, т. е. совпадает с e. Тот же результат мы получим, если будем рассуждать следующим образом:

преобразование b переводит вершину A в C, а преобразо вание a переводит затем вершину C в A. Таким образом, преобразование a · b переведет вершину A в A. Точно так же можно получить, что вершина B переходит в B, а C A B C переходит в C. Отсюда ab =, т. е. ab = e.

A B C 2. Заполнить полностью таблицу 1.

Любое преобразование некоторой фигуры в себя, сохра *) Имеются в виду вращения плоскости без выхода в простран ство, т. е. вращения только вокруг некоторых осей, перпендикулярных к плоскости.

няющее расстояния между всеми ее точками, называется симметрией данной фигуры. Так, рассмотренные в при мере 1 вращения равностороннего треугольника являются его симметриями.

П р и м е р 2. Кроме вращений, у равностороннего тре угольника имеется еще 3 симметрии, а именно, отражения относительно осей l1, l2 и l3 (рис. 2). Эти преобразования A B C мы обозначим соответственно c, d, f, так что c =, A C B A B C A B C d =, f =. Здесь можно по-разному по C B A B A C нимать композицию двух преобразований. Рассмотрим, на пример, композицию преобразований c · d. Можно считать, что при выполнении преобразования d ось l1 переходит в новое положение (а именно, в положение старой оси l3, и после этого преобразование c рассмат ривать как отражение относительно но вого положения оси l1 (т. е. относи тельно старой оси l3. С другой сторо ны, можно считать, что оси не связа ны жестко с фигурой и не преобразу Рис. ются вместе с ней и, следовательно, в рассматриваемом примере после выпол нения преобразования d преобразование c должно вы полняться как отражение относительно старой оси l1.

Именно так мы и будем рассматривать в дальнейшем композицию преобразований. При таком подходе ока зываются справедливыми рассуждения о вершинах фи гуры, аналогичные рассуждениям, приведенным непо средственно перед задачей 2. Такие рассуждения удоб но использовать для вычисления композиций преобразо ваний.

3. Составить таблицу умножения для всех симметрий правильного треугольника.

П р и м е р 3. Пусть e, a, b и c обозначают соответствен но вращения квадрата на 0, на 180, на 90 и на 270 в направлении, указанном стрелкой (рис. 3).

4. Составить таблицу умножения для вращений квад рата.

П р и м е р 4. Пусть d, f, g и h обозначают отражения квадрата относительно осей, указанных на рис. 4.

Рис. 3 Рис. 5. Составить таблицу умножения для всех симметрий квадрата.

П р и м е р 5. Пусть ABCD — ромб, не являющийся квад ратом.

6. Найти все симметрии данного ромба и составить для них таблицу умножения.

П р и м е р 6. Пусть ABCD — прямоугольник, не являю щийся квадратом.

7. Найти все симметрии данного прямоугольника и со ставить для них таблицу умножения.

§ 2. Группы преобразований Пусть X и Y — два множества элементов произвольной природы, и пусть каждому элементу x из X поставлен в соответствие однозначно определенный элемент y из Y. То гда говорят, что задано некоторое отображение множе ства X в множество Y ( : X Y ). Элемент y называют образом элемента x, а x — прообразом элемента y, и запи сывают (x) = y.

О п р е д е л е н и е. Отображение : X Y называют отображением множества X на множество Y, если для каждого элемента y из Y существует элемент x из X такой, что (x) = y, т. е. у каждого y из Y есть прообраз в X.

8. Пусть отображение ставит в соответствие каждому городу мира первую букву из его названия на русском язы ке (например, (Москва) = М). Будет ли отображением всех городов мира на весь русский алфавит?

О п р е д е л е н и е. Отображение : X Y называют взаимно однозначным отображением множества X на множество Y, если для каждого y из Y существует, и притом единственный, прообраз в X.

9. Рассмотрим следующие отображения множества всех целых чисел в множество неотрицательных целых чисел:

а) (n) = n2;

б) (n) = |n|;

2n, если n 0, в) (n) = 2|n| - 1, если n < 0.

Какие из этих отображений являются отображениями на, взаимно однозначными отображениями?

Пусть M — произвольное множество. Произвольное взаимно однозначное отображение множества M на себя, g : M M, мы будем для краткости называть преобразо ванием множества M.

Два преобразования g1 и g2 будут считаться равными, если g1(A) = g2(A) для любого элемента A из M. Вместо термина преобразование часто используется термин под становка. Мы будем использовать этот термин лишь в тех случаях, когда преобразование задано на конечном множе стве. Тогда подстановка может быть записана в виде A1 A2... An, Ai Ai... Ai 1 2 n где в верхней строке перечислены все элементы данного множества, а нижняя строка показывает, куда каждый их этих элементов переходит.

Так как преобразование — это взаимно однозначное отоб ражение, то для каждого преобразования g существует об ратное преобразование g-1, которое определяется следую щим образом: если g(A) = B, то g-1(B) = A. Так, в приме A B C A B C ре 1, a =, поэтому a-1 =, т. е. a-1 = b.

B C A C A B 10. Найти обратные преобразования ко всем симмет риям равностороннего треугольника (примеры 1, 2, стр.

15–17).

11. Пусть g(x) = 2x — преобразование всех действитель ных чисел. Найти обратное преобразование.

Произведение преобразований g1 и g2 определяется так:

(g1g2)(A) = g1(g2(A)) (сначала делается преобразование g2, затем g1). Если g1 и g2 — преобразования множества M, то g1g2 — также преобразование множества M.

О п р е д е л е н и е. Пусть некоторое множество преобра зований G обладает следующими свойствами: 1) если пре образования g1 и g2 содержатся в G, то и их произведе ние g3 = g1g2 содержится в G;

2) если преобразование g содержится в G, то и обратное ему преобразование g- содержится в G. Тогда такое множество преобразований G будем называть группой преобразований.

Нетрудно проверить, что множества преобразований, рассмотренные в примерах 1–6, являются группами преоб разований.

12. Доказать, что любая группа преобразований содер жит тождественное преобразование e такое, что e(A) = A для любого элемента A множества M.

13. Доказать, что eg = ge = g для любого преобразова ния g.

14. Доказать, что для любых трех преобразований g1, g и g3 имеет место равенство (g1g2)g3 = g1(g2g3) *).

§ 3. Группы При решении задач 6 и 7 мы составили таблицы умно жения для симметрий ромба и прямоугольника. При этом оказалось, что при наших обозначениях симметрий (см.

решения) эти таблицы совпадают. Для многих целей такие группы преобразований естественно считать совпадающи ми. Поэтому мы отвлечемся от природы элементов множе ства (в нашем случае преобразований) и природы бинарной операции **) (в нашем случае композиции преобразова ний) и будем рассматривать просто бинарные операции на произвольных множествах, но только такие операции, для которых выполняются основные свойства групп преобра зований. При этом произвольную бинарную операцию мы будем обычно называть умножением, и если паре (a, b) со ответствует, то будем с называть произведением a и b и *) Это равенство справедливо не только для преобразований, но и для любых трех отображений g1, g2, g3 таких, что g3 : M1 M2, g2 : M2 M3, g1 : M3 M4.

**) Определение бинарной операции см. на стр. 14.

писать ab =. В некоторых частных случаях эта операция может называться по-иному, например, композицией, сло жением и т. д.

О п р е д е л е н и е. Группой называется множество G элементов произвольной природы, на котором задана би нарная операция a · b такая, что выполняются следующие условия:

1) ассоциативность: (ab)c = a(bc) для любых элементов a, b, c из G;

2) в G существует такой элемент e, что ea = ae = a для любого элемента a из G, такой элемент e называется еди ницей группы G;

3) для любого элемента a из G существует такой элемент a-1 в G, что aa-1 = a-1a = e, такой элемент называется обратным к элементу a.

Из результатов задач 12–14 мы видим, что всякая груп па преобразований является группой (в некотором смысле верно и обратное утверждение (см. 55)). Таким образом, мы уже имеем несколько примеров групп. Все эти группы содержат конечное число элементов, такие группы назы ваются конечными группами. Число элементов в конеч ной группе называется порядком группы. Группы, содержа щие бесконечное число элементов, называются бесконечны ми группами.

Рассмотрим несколько примеров бесконечных групп.

П р и м е р 7. Рассмотрим множество всех целых чисел.

Под бинарной операцией на этом множестве будем пони мать обычное сложение. Тогда мы получим группу. Дей ствительно, роль единичного элемента в этом случае бу дет играть 0, так как 0 + n = n + 0 = n для любого це лого n. Кроме того, для каждого n существует обратный элемент -n (называемый в случае сложения противопо ложным элементом), так как n + (-n) = (-n) + n = 0.

Ассоциативность в этом случае следует из законов арифме тики. Полученная группа называется группой целых чисел по сложению.

15. Образуют ли группу по умножению: 1) все действи тельные числа, 2) все действительные числа без 0?

16. Образуют ли группу по умножению все положитель ные действительные числа?

17. Образуют ли все натуральные числа группу: а) по сложению, б) по умножению?

18. Доказать, что в любой группе существует единствен ный единичный элемент.

19. Доказать, что для любого элемента a группы суще ствует единственный обратный элемент a-1.

20. Доказать, что: 1) e-1 = e, 2) (a-1)-1 = a.

Если a и b — элементы некоторой группы, то по определе нию бинарной операции выражение a · b задает некоторый определенный элемент группы. Поэтому выражения вида (a · b) · c, a · (b · c), (a · b) · (c · d) также задают неко торые определенные элементы группы. Любые два из полученных элементов можно снова перемножить, по лучив опять определенный элемент группы, и т. д. При этом чтобы на каждом шаге можно было однозначно восстановить, какая же операция выполнялась послед ней, будем оба перемножаемых выражения заключать в скобки (выражения, состоящие из одной буквы, мож но в скобки не заключать). Всевозможные выражения, которые можно построить таким способом, назовем пра вильно построенными произведениями. Например, (a · b) · · (c · (a · c)) — правильно построенное произведение, а вы ражение (a · b) · c · (c · d) не является правильно постро енным произведением, так как не ясно, в каком порядке должны выполняться операции умножения. Рассматривая произведение a1 · a2 ·... · an нескольких действительных чисел a1, a2,..., an, мы совсем не ставим скобок, так как оказывается, что результат не зависит от порядка выполнения операций, т. е. при любой расстановке скобок, дающей правильно построенное произведение, результат, соответствующий этому произведению, будет одним и тем же. Оказывается, что это свойство выполняется в любой группе, что вытекает из результата следующей задачи.

21. Пусть бинарная операция a · b обладает свойством ассоциативности, т. е. (a · b) · c = a · (b · c) для любых эле ментов a, b, c. Доказать, что любое правильно построенное произведение, в котором слева направо идут элементы a1, a2,..., an, задает тот же элемент, что и произведение (... ((a1 · a2) · a3) ·... · an-1) · an.

Таким образом, если a1, a2,..., an — элементы некото рой группы, то все правильно построенные произведения, полученные из элементов a1, a2,..., an именно в этом по рядке разными расстановками скобок, задают один и тот же элемент, который будем обозначать a1 · a2 ·... · an (уже без указания скобок).

При умножении действительных чисел выполняется еще одно очень важное свойство, а именно: произведение a1 · a2 ·... · an не изменится, если произвольным образом переста вить сомножители. Однако в произвольной группе это свой ство может не выполняться.

О п р е д е л е н и е. Два элемента a и b группы называют ся перестановочными или коммутирующими, если ab = ba. Если все элементы группы коммутируют между собой, то такая группа называется коммутативной или абелевой.

Существуют некоммутативные группы. Такой группой является, например, группа симметрий треугольника (см.

пример 2, где ac = f, ca = d и ac = ca).

22. Выяснить, являются ли коммутативными следую щие группы (см. 2, 4–7): 1) группа вращений треугольника, 2) группа вращений квадрата, 3) группа симметрий квад рата, 4) группа симметрий ромба, 5) группа симметрий прямоугольника.

23. Доказать, что в произвольной группе:

1) (ab)-1 = b-1a-1, 2) (a1 ·... · an)-1 = a-1 ·... · a-1.

n З а м е ч а н и е. Пиджак надевают после рубашки, а сни мают раньше.

Если есть некоторое равенство a = b в произвольной группе G-1 (обозначающее, что левая и правая части задают один и тот же элемент), то из него можно по лучить новое равенство, умножив обе части исходного равенства на некоторый элемент c группы G. Однако, так как произведение в группе может зависеть от порядка сомножителей, то можно только либо обе части равен ства умножить на некоторый элемент справа: ac = bc, либо обе части умножить на некоторый элемент слева:

ca = cb.

24. Пусть a, b — произвольные элементы некоторой груп пы G. Доказать, что каждое из уравнений ax = b и ya = b имеет, и притом ровно одно, решение в данной группе.

Условие единственности из задачи 24 можно выразить еще следующим образом: если ab1 = ab2 или b1a = b2a, то b1 = b2.

25. Пусть a · a = e для любого элемента a группы G.

Доказать, что группа G коммутативная.

Под am, где m — произвольное натуральное число и a — произвольный элемент группы G, мы будем понимать про изведение a · a ·... · a, где число сомножителей равно m.

26. Доказать, что (am)-1 = (a-1)m, где m — натуральное число.

Таким образом, (am)-1 и (a-1)m при натуральном m — это один и тот же элемент, который мы будем обозна чать a-m. Кроме того, мы положим a0 = e для любого элемента a.

27. Доказать, что am · an = am+n для любых целых чи сел m и n.

28. Доказать, что (am)n = amn для любых целых чисел m и n.

§ 4. Циклические группы Простейшими и в то же время очень важными группами являются циклические группы, которые мы сейчас и рас смотрим.

О п р е д е л е н и е. Пусть a — элемент некоторой груп пы G. Наименьшее натуральное число n такое, что an = e, называют порядком элемента a. Если такого n не суще ствует, то говорят, что a — элемент бесконечного порядка.

29. Найти порядки всех элементов в группах симметрий правильного треугольника, квадрата и ромба (см. 3, 5, 6).

30. Пусть элемент a имеет порядок n. Доказать, что:

1) элементы e, a, a2,..., an-1 все различны;

2) для любого целого m элемент am совпадает с одним из указанных выше элементов.

О п р е д е л е н и е. Если элемент a имеет порядок n и кроме элементов e, a, a2,..., an-1 в группе G больше нет элементов, то группа G называется циклической группой порядка n, порожденной элементом a, а элемент a назы вается образующим этой группы.

П р и м е р 8. Пусть на плоскости дан правильный n-угольник. Рассмотрим все вращения плоскости (без переворачивания), переводящие правильный n-угольник в себя.

31. Доказать, что эти вращения образуют циклическую группу порядка n.

32. Найти все образующие элементы в группах враще ний треугольника и квадрата (примеры 1 и 3, стр. 15 и 17).

33. Пусть элемент a имеет порядок n. Доказать, что am = e тогда и только тогда, когда m = nd, где d — произ вольное целое число.

34. Пусть a имеет простой порядок p и m — произвольное целое число. Доказать, что либо am = e, либо элемент am имеет порядок p.

35. Пусть наибольший общий делитель натуральных чи сел m и n равен d и a имеет порядок n. Доказать, что элемент am имеет порядок n/d.

36. Найти все образующие в группе вращений правиль ного 12-угольника.

37. Пусть a — элемент бесконечного порядка. Доказать, что элементы..., a-2, a-1, a0 = e, a, a2,... все различны.

О п р е д е л е н и е. Если a — элемент бесконечного поряд ка и кроме элементов..., a-2, a-1, e, a, a2,... в группе G больше нет элементов, то G называют бесконечной цикли ческой группой и a — ее образующим.

38. Доказать, что группа целых чисел по сложению (пример 7, стр. 21) является бесконечной циклической группой. Найти все ее образующие.

П р и м е р 9. Пусть n — натуральное число. Рассмотрим всевозможные остатки, которые могут получаться при де лении целых чисел на n, т. е. числа 0, 1, 2,..., n - 1. За дадим на множестве этих остатков следующую бинарную операцию. Будем складывать данные остатки как обычно, а за результат принимать остаток от деления полученного числа на n. Эту операцию будем называть сложением по модулю n. Так, по модулю 4 будет 1 + 2 = 3, а 3 + 3 = 2.

39. Составить таблицы сложения по модулю: а) 2, б) 3, в) 4.

40. Доказать, что остатки с операцией сложения по модулю n образуют группу, причем эта группа циклическая порядка n.

Рассмотрим снова произвольную циклическую группу порядка n: e, a, a2,..., an-1.

41. Доказать, что am · ar = ak, где 0 m < n, 0 r < n и 0 k < n, тогда и только тогда, когда по модулю n имеет место равенство m + r = k.

Из результата предыдущей задачи вытекает, что умно жению элементов в произвольной циклической группе по рядка n соответствует некоторым образом сложение остат ков по модулю n. Точно так же умножению элементов в бесконечной циклической группе соответствует сложение целых чисел (см. 27). Здесь мы подошли к важному поня тию в теории групп — понятию изоморфизма.

§ 5. Изоморфизм О п р е д е л е н и е. Пусть даны две группы G1 и G2, и пусть имеется взаимно однозначное отображение элемен тов группы G1 на элементы группы G2 (см. § 2), причем такое, что умножению в G1 соответствует умножение в G2, т. е. если (a) = a, (b) = b, (c) = c и ab = c в группе G1, то a b = c в группе G2. Тогда называют изоморфизмом группы G1 на группу G2, а группы, между которыми мож но установить изоморфизм, называют изоморфными. Усло вие того, что взаимно однозначное отображение является изоморфизмом, можно записать еще следующим образом:

(ab) = (a) · (b) для любых элементов a и b группы G1;

здесь произведение ab берется в группе G1, а произведение (a) · (b) в группе G2.

42. Какие из следующих групп изоморфны: 1) группа вращений квадрата, 2) группа симметрий ромба, 3) группа симметрий прямоугольника, 4) группа остатков с операци ей сложения по модулю 4?

43. Пусть : G1 G2 — изоморфизм. Доказать, что - обратное отображение : G2 G1 также изоморфизм.

44. Пусть : G1 G2 и : G2 G3 — изоморфизмы.

1 Доказать, что : G1 G3 также изоморфизм.

2 Из последних двух задач следует, что две группы, изо морфные третьей группе, изоморфны между собой.

45. Доказать, что любая циклическая группа порядка n изоморфна группе остатков при делении на n с операцией сложения по модулю n.

46. Доказать, что любая бесконечная циклическая груп па изоморфна группе целых чисел по сложению.

47. Пусть : G F — изоморфизм. Доказать, что (eG) = eF, где eG и eF — единицы групп G и F.

48. Пусть : G F — изоморфизм. Доказать, что (g-1) = [ (g)]-1 для всех элементов g группы G.

49. Пусть : G F — изоморфизм и (g) = h. Доказать, что g и h имеют равные порядки.

Если изучается сама групповая операция, а природа эле ментов, из которых составлены группы, не играет роли, то изоморфные группы можно не различать. Так, например, мы будем говорить, что существует лишь одна с точностью до изоморфизма (см. 45) циклическая группа порядка n, которую мы будем обозначать Zn, и одна с точностью до изоморфизма (см. 46) бесконечная циклическая группа, ко торую мы будем обозначать Z.

Если группа G1 изоморфна группе G2, то мы будем пи сать G1 G2.

= 50. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы, содержащие: а) 2 элемента, б) 3 элемента.

51. Привести пример двух групп с одинаковым числом элементов и неизоморфных.

52. Доказать, что группа всех действительных чисел по сложению изоморфна группе положительных действитель ных чисел по умножению.

53. Пусть a — произвольный элемент группы G. Рассмот рим отображение множества элементов группы G в себя, a определенное следующим образом: (x) = ax для любого a элемента x из G. Доказать, что является преобразова a нием множества элементов группы G ( т. е. взаимно одно значным отображением множества элементов группы G на себя).

54. Пусть для каждого элемента a группы G построено преобразование (см. задачу 53). Доказать, что множе a ство всех этих преобразований образует группу с обыч a ной операцией произведения преобразований.

55. Доказать, что группа G изоморфна построенной в предыдущей задаче группе преобразований.

§ 6. Подгруппы Рассмотрим в группе G некоторое подмножество эле ментов. Может оказаться, что само является группой относительно той же бинарной операции, которая задана на G.

В этом случае H называют подгруппой группы G. Так, например, группа вращений правильного n-угольника яв ляется подгруппой группы всех симметрий правильного n угольника.

Если a — элемент группы G, то множество всех элемен тов вида am является подгруппой группы G (эта подгруппа циклическая, мы ее рассмотрели в § 4).

56. Пусть H — подгруппа группы G. Доказать, что:

а) единичные элементы в G и совпадают;

б) если a — элемент подгруппы H, то элементы, обратные к a в G и H, совпадают.

57. Для того чтобы H было подгруппой группы G (отно сительно той же бинарной операции), необходимо и доста точно, чтобы выполнялись следующие условия: 1) если a и b содержатся в H, то элемент ab (произведение в группе G) содержится в H;

2) e (единичный элемент группы G) содер жится в H;

3) если a содержится в H, то и a-1 (в группе G) содержится в H. Доказать.

З а м е ч а н и е. Из условий 1 и 3 вытекает условие 2.

58. Найти все подгруппы в группах: 1) симметрий пра вильного треугольника, 2) симметрий квадрата.

59. Найти все подгруппы в циклических группах: а) Z5, б) Z8, в) Z15.

60. Доказать, что все подгруппы в Zn имеют вид e, ad, n -1 d d a2d,..., a, где d — делитель n и a — образующий группы Zn.

61. Доказать, что все подгруппы бесконечной цикличе ской группы имеют вид {..., a-2r, a-r, e, ar, a2r,... }, где a — образующий, a r — произвольное натуральное число.

62. Доказать, что в любой бесконечной группе бесконеч но много подгрупп.

63. Доказать, что пересечение любого числа подгрупп *) некоторой группы G также является подгруппой группы G.

П р и м е р 10. Рассмотрим правильный тетраэдр, вер шины которого обозначены буквами A, B, C и D. Если посмотреть со стороны точки D на треугольник ABC, то *) Пересечение нескольких множеств — это множество всех тех элементов, которые содержатся одновременно во всех данных множе ствах.

точки A, B, C могут идти по часовой стрелке или против (рис. 5). Соответственно этому мы будем различать две ориентации тетраэдра.

Рис. 64. Сохраняют ли ориентацию тетраэдра следующие A B C D преобразования: a = — вращение на 120 во B C A D A B C D круг высоты;

b = — вращение на 180 во D C B A круг оси, проходящей через середины ребер AD и BC, A B C D c = — отражение относительно плоскости, про A C B D ходящей через ребро AD и середину ребра BC;

преобра зование, порождающее циклическую подстановку вершин A B C D d =.

B C D A Все симметрии правильного тетраэдра, очевидно, об разуют группу, которая называется группой симметрий тетраэдра.

65. Сколько элементов в группе симметрий тетраэдра?

66. В группе симметрий тетраэдра найти подгруппы, изоморфные: а) группе симметрий треугольника, б) цик лической группе Z4.

67. Доказать, что все симметрии тетраэдра, сохраняю щие ориентацию, образуют группу. Сколько в ней элемен тов?

Группа симметрий тетраэдра, сохраняющих ориента цию, называется группой вращений тетраэдра.

68. В группе вращений тетраэдра найти подгруппы, изо морфные циклическим группам: а) Z2, б) Z3.

§ 7. Прямое произведение Из двух групп можно образовать новую группу.

О п р е д е л е н и е. Прямым произведением двух групп G и H (обозначается G H) называется множество всевоз можных упорядоченных пар (g, h), где g — произвольный элемент из G и h — произвольный элемент из H, со следу ющей бинарной операцией: (g1, h1) · (g2, h2) = (g1g2, h1h2), где произведение g1g2 берется в группе G, а h1h2 в H.

69. Доказать, что G H — группа.

70. Пусть в группе G n элементов, а в группе H k эле ментов. Сколько элементов в группе G ?

71. Доказать, что группы G H и H G изоморфны.

72. Найти подгруппы в G H, изоморфные группам G и H.

73. Пусть группы G и H коммутативные. Доказать, что группа G H также коммутативная.

74. Пусть G1 — подгруппа группы G и — подгруппа группы H. Доказать, что G1 H1 — подгруппа в G H.

75. Пусть G и H — произвольные группы. Верно ли, что любую подгруппу в группе G H можно представить в ви де G1 H1, где G1 — подгруппа группы G, а H1 — подгруппа группы H?

76. Доказать, что группа симметрий ромба изоморфна группе Z2 Z2.

77. Верны ли равенства: 1) Z2 Z3 Z6, 2) Z2 Z4 Z8?

= = 78. Доказать, что Zm Zn Zmn тогда и только тогда, = когда числа m и n взаимно просты.

§ 8. Смежные классы. Теорема Лагранжа С каждой подгруппой H группы G связано следующее разбиение элементов группы G на подмножества. Для лю бого элемента x из G рассмотрим множество всех элемен тов вида xh, где h пробегает всевозможные значения из подгруппы H. Полученное множество, обозначаемое xH, называется левым смежным классом по, порожденным элементом x.

79. Найти все левые смежные классы группы симмет рий треугольника по подгруппе: а) вращений треугольника, б) отражений относительно одной оси {e, c} (см. примеры и 2, стр. 15–17).

80. Доказать, что каждый элемент группы входит в некоторый левый смежный класс по подгруппе H.

81. Пусть элемент y входит в левый смежный класс по H, порожденный элементом x. Доказать, что левые смежные классы по H, порожденные элементами x и y, совпадают.

82. Пусть левые смежные классы по H, порожденные элементами x и y, содержат общий элемент. Доказать, что эти смежные классы совпадают.

Таким образом, левые смежные классы, порожден ные любыми двумя элементами, либо не пересекаются, либо совпадают, и мы получаем разбиение всех элемен тов группы G на непересекающиеся классы. Это разбие ние называют левым разложением группы G по под группе H.

Число элементов в подгруппе называют порядком под группы. Пусть m — порядок подгруппы H. Если h1 = h2, то xh1 = xh2, поэтому каждый левый смежный класс содер жит также m элементов. Следовательно, если m — порядок группы G и r — число левых смежных классов в разложе нии G по, то m · r = n, и нами доказана Те о р е м а 1 (теорема Лагранжа*)). Порядок подгруп пы является делителем порядка группы.

83. Доказать, что порядок любого элемента (см. стр. 24) является делителем порядка группы.

84. Доказать, что всякая группа простого порядка — циклическая и любой элемент в ней, отличный от e, явля ется образующим.

85. Группа G содержит 31 элемент. Сколько подгрупп может содержать группа G?

86. Доказать, что все группы простого порядка p изо морфны друг другу.

87. Пусть n делится на m. Построить группу порядка n, содержащую подгруппу, изоморфную данной группе G по рядка m.

88. Пусть n делится на m. Может ли в группе порядка n *) Лагранж Жозеф Луи (1736–1813) — французский математик и механик.

не быть подгруппы порядка m?

Можно построить также правые смежные классы Hx и правое разложение группы G по подгруппе. Если поря док подгруппы H равен m, то все правые смежные классы также содержат m элементов и число их равно натураль ному числу n/m, где n — порядок группы. Таким образом, число правых смежных классов совпадает с числом левых смежных классов.

З а м е ч а н и е. Для практического построения разложе ний конечной группы не надо строить смежные классы для каждого элемента, так как при этом будут получаться оди наковые классы, а надо брать элементы, еще не вошедшие в построенные уже смежные классы. Так как eH = He = = H, то сама подгруппа всегда образует как правый, так и левый смежный класс.

89. Построить левое и правое разложение группы сим метрий треугольника по подгруппе: а) вращений {e, a, b}, б) отражений относительно одной оси {e, c}.

90. Построить левое и правое разложение группы сим метрий квадрата по подгруппе: а) отражений относительно центра {e, a}, б) отражений относительно диагонали {e, d}.

91. Построить разложение группы всех целых чисел по сложению по подгруппе чисел, делящихся на 3 *).

92. Найти все (с точностью до изоморфизма) группы порядка: а) 4, б) 6, в) 8.

§ 9. Внутренние автоморфизмы Начнем с примера. Рассмотрим группу симметрий пра вильного треугольника. Если мы обозначим вершины треугольника буквами A, B, C, то каждый элемент этой группы однозначно опреде ляется подстановкой трех букв A, B, C.

Например, отражение треугольника отно сительно высоты, опущенной из верши ны A на сторону BC, записывается в виде A B C. Чтобы перемножить два эле Рис. A C B *) Мы не указываем здесь, какое разложение требуется постро ить — левое или правое, так как в коммутативной группе оба разло жения, очевидно, совпадают.

мента группы симметрий треугольника, достаточно выполнить одну за другой соответствующие подстановки. Таким образом, мы получаем изоморфизм группы симметрий треугольника и группы подстановок трех букв A, B, C. Заметим теперь, что этот изоморфизм определен неоднозначно: он зависит от того, какую имен но вершину треугольника мы обозначили через A, какую через B и какую через C. Переобозначение вершин само может рассматриваться как подстановка трех букв A, B, C.

A B C Например, g = соответствует следующему пере B C A обозначению вершин:

старое обозначение A B C новое обозначение B C A При новом обозначении вершин каждый элемент группы симметрий треугольника получит новое обозначение в виде подстановки букв A, B, C. Например, отражение треуголь ника относительно вертикальной высоты (рис. 6) обознача ется следующим образом:

A B C старое обозначение A C B A B C новое обозначение C B A 93. Рассмотрим элемент группы симметрий треуголь ника, которому при некотором обозначении вершин со ответствовала подстановка h. Какая подстановка будет соответствовать этому же элементу группы симметрий треугольника при переобозначении вершин g?

Заметим теперь, что «переобозначение» g превращает элемент h некоторой группы преобразований в ghg- не только в рассмотренном примере группы симметрий треугольника, но и в самом общем случае. Таким образом, исследование переобозначений приводит к следующему определению.

О п р е д е л е н и е. Пусть G — группа, g — ее элемент.

Определим отображение группы G в себя формулой g (h) = ghg-1 (где h — любой элемент группы). Это отобра g жение называется внутренним автоморфизмом группы G, порожденным элементом g.

94. Докажите, что внутренний автоморфизм группы яв ляется изоморфизмом группы на себя.

95. Во что переходит отражение треугольника относи тельно его высоты при всевозможных внутренних автомор физмах группы симметрий треугольника?

96. Во что переходит вращение треугольника на при всевозможных внутренних автоморфизмах группы симметрий треугольника?

97. Какие 2 элемента группы симметрий тетраэдра можно перевести друг в друга внутренним автоморфизмом, а какие нельзя? Тот же вопрос для группы вращений тетраэдра.

98. Докажите, что порядки элементов ab и ba в любой группе равны.

Заметим, что при всяком внутреннем автоморфизме группы (как и при любом изоморфизме) каждая ее под группа переходит в подгруппу, вообще говоря, другую (например, отражения относительно одной высоты тре угольника переходят в отражения относительно другой высоты). Однако некоторые «особенно симметричные» подгруппы остаются на месте при всех внутренних авто морфизмах (например, подгруппа вращений треугольника в группе симметрий треугольника). Такие подгруппы мы сейчас и рассмотрим.

§ 10. Нормальные подгруппы О п р е д е л е н и е. Подгруппа некоторой группы называ ется нормальной подгруппой, если она переходит в себя при всех внутренних автоморфизмах группы. Иными словами, подгруппа N группы G называется нормальной подгруппой в G, если для любого элемента a из N и любого элемента g из G элемент gag-1 содержится в N.

Таким образом, подгруппа вращений является нор мальной подгруппой в группе симметрий треугольника, а подгруппа отражений относительно высоты, опущенной из вершины A на сторону BC (состоящая из двух элементов), нормальной подгруппой группы симметрий треугольника не является.

99. Докажите, что в коммутативной группе всякая под группа является нормальной подгруппой.

100. Является ли нормальной подгруппой группы сим метрий квадрата подгруппа центральных симметрий, со стоящая из элементов {e, a} (примеры 3, 4, стр. 17–18)?

Те о р е м а 2. Подгруппа N группы G является нор мальной подгруппой тогда и только тогда, когда левое и правое разложения (см. § 8) группы G по подгруппе N совпадают *).

101. Доказать сформулированную теорему.

102. Пусть n — порядок группы G, m — порядок подгруп пы H и m = n/2. Доказать, что H является нормальной подгруппой группы G.

103. Доказать, что пересечение (см. сноску на стр. 28) любого числа нормальных подгрупп некоторой группы G является нормальной подгруппой группы G.

104. Множество элементов группы G, перестановочных со всеми элементами группы, называется центром груп пы G. Доказать, что центр — подгруппа и, более того, нор мальная подгруппа группы G.

105. Пусть N1 и N2 — нормальные подгруппы соответ ственно в группах G1 и G2. Доказать, что N1 N2 — нор мальная подгруппа в группе G1 G2.

Следующий пример показывает, что нормальная под группа нормальной подгруппы группы G может не быть нормальной подгруппой самой группы G.

П р и м е р 11. Рассмотрим подгруппу группы симмет рий квадрата, состоящую из отражений относительно диагоналей и центра (см. примеры 3, 4, стр. 17–18, под группа {e, a, d, f}). Эта подгруппа содержит половину элементов группы симметрий квадрата и является поэтому нормальной подгруппой в ней (см. 102). Подгруппа {e, d}, состоящая из отражений относительно одной из диагона лей, содержит половину элементов подгруппы {e, a, d, f} и является, следовательно, нормальной подгруппой в ней.

С другой стороны, подгруппа {e, d} не является нормаль ной подгруппой всей группы симметрий квадрата, так как при внутренних автоморфизмах d переходит в отражение *) В этом случае получающееся разложение будет называться просто разложением по нормальной подгруппе.

относительно другой диагонали: bdb-1 = f.

§ 11. Факторгруппы Начнем с примера. Рассмотрим разложение группы симметрий квадрата по нормальной подгруппе, состоя щей из центральных симметрий e и a (см. примеры 3, 4, стр. 17–18). Легко получить, что разложение нашей группы на 4 смежных класса имеет вид, указанный в табл. 2.

Обозначим каждый смежный класс ка Та б л и ц а кой-нибудь буквой, например, E, A, B, C.

e b d g Если умножить любой элемент из клас a c f h са A на любой элемент из класса B, то E A B C результат оказывается в одном и том же классе C независимо от того, какие именно элементы клас сов A и B взяты. Из решения следующей задачи вытекает, что это не случайно.

106. Пусть есть разложение группы G по нормальной подгруппе N, и пусть элементы x1 и x2 лежат в одном смежном классе и элементы y1 и y2 также лежат в одном смежном классе. Доказать, что элементы x1y1 и x2y2 лежат в одном смежном классе.

Таким образом, взяв по представителю из двух смежных классов и перемножив их в определенном порядке, мы по падем в смежный класс, который не будет зависеть от того, каких именно представителей мы выбрали. Следовательно, при разложении группы по нормальной подгруппе N на множестве смежных классов можно определить бинарную операцию следующим образом: если A = xN, B = yN, то положим A · B = (xy)N. Результат задачи 105 показывает, что эта операция определена однозначно и не зависит от выбора элементов x и y, порождающих смежные классы A и B. Так, в рассмотренном выше примере A · B = C.

В задачах 107–109 речь идет о разложениях по нормаль ной подгруппе.

107. Пусть T1, T2, T3 — смежные классы. Доказать, что (T1T2)T3 = T1(T2T3).

108. Пусть нормальная подгруппа обозначена буквой E.

Доказать, что ET = T E = T для любого смежного класса.

109. Доказать, что для любого смежного класса T най -1 -1 - дется класс T такой, что T T = T T = E.

Из утверждений задач 107–109 следует, что множество смежных классов с описанной выше бинарной операцией образует группу. Эта группа называется факторгруппой группы G по нормальной подгруппе N и обозначается G/N.

Очевидно, что G/{e} G и G/G {}. Очевидно так = = же, что порядок факторгруппы равен натуральному чис лу n/m, где n — порядок группы G, а m — порядок нор мальной подгруппы N. Например, факторгруппа группы симметрий квадрата по подгруппе центральных симметрий содержит 4 элемента.

110. Выяснить, будет ли факторгруппа группы симмет рий квадрата по подгруппе центральных симметрий изо морфна группе вращений квадрата или группе симметрий ромба.

111. Найти все нормальные подгруппы и факторгруп пы *) по ним в следующих группах: а) группа симметрий треугольника, б) Z2 Z2, в) группа симметрий квадрата, г) группа кватернионов (стр. 125).

112. Описать все нормальные подгруппы и факторгруп пы по ним для групп: а) Zn, б) Z.

113. Найти все нормальные подгруппы и факторгруппы по ним в группе вращений тетраэдра.

114. В прямом произведении групп G1 G2 рассмотрим подгруппу G1 {e2}. Доказать, что это нормальная под группа и что факторгруппа по ней изоморфна группе G2.

§ 12. Коммутант Напомним, что два элемента a и b группы G называются перестановочными (или коммутирующими), если ab = ba.

Степень некоммутативности двух элементов группы можно измерять с помощью произведения aba-1b-1, которое равно единице тогда и только тогда, когда a и b перестановочны (докажите).

О п р е д е л е н и е. Элемент aba-1b-1 называют комму татором элементов a и b. Коммутантом K(G) группы G называется множество всевозможных произведений конеч ного числа коммутаторов группы G.

*) В дальнейшем найти факторгруппу означает указать какую либо группу, рассмотренную ранее, которой искомая факторгруппа изоморфна.

115. Доказать, что коммутант является подгруппой.

116. Доказать, что коммутант является нормальной под группой группы.

117. Доказать, что коммутант совпадает с единичной подгруппой {e} тогда и только тогда, когда группа комму тативна.

118. Найти коммутант в группах: а) симметрий тре угольника, б) симметрий квадрата, в) в группе кватернио нов (стр. 125).

119. Доказать, что коммутант в группе симметрий пра вильного n-угольника изоморфен группе Zn при n нечетном и группе Zn/2 при n четном.

120. Найти коммутант в группе вращений тетраэдра.

121. Доказать, что если нормальная подгруппа в груп пе вращений или в группе симметрий тетраэдра содержит хотя бы одно вращение вокруг оси, проходящей через вер шину, то она содержит всю группу вращений тетраэдра.

122. Найти коммутант в группе симметрий тетраэдра.

Рассмотрим еще 2 группы: группу вращений куба и груп пу вращений правильного октаэдра (рис. 7).

Рис. 123. Сколько элементов в каждой из этих групп? Пере числить элементы группы вращений куба.

124. Доказать, что группы вращений куба и октаэдра изоморфны.

125. Сколькими различными способами можно закра сить грани куба 6 цветами (каждую грань своим цветом), если различными считаются раскраски, которые нельзя совместить друг с другом вращением куба? Тот же вопрос для спичечного коробка.

126. Каким из известных вам групп изоморфна группа вращений спичечного коробка?

Вычисление коммутанта группы вращений куба удобно провести, вписав в куб тетраэдр, как это пока зано на рисунке (рис. 8). При этом, если соединить оставшиеся верши ны B, D, A1 и C1, то получится вто рой тетраэдр. Любое вращение куба либо переводит каждый тетраэдр в Рис. себя, либо меняет их местами.

127. Доказать, что все вращения куба, переводящие оба тетраэдра в себя, образуют: а) под группу, б) нормальную подгруппу группы вращений куба.

128. Доказать, что коммутант группы вращений куба изоморфен группе вращений тетраэдра.

Докажем теперь следующие 3 свойства коммутанта, ко торые понадобятся нам в дальнейшем.

129. Доказать, что факторгруппа произвольной груп пы G по ее коммутанту коммутативна.

130. Пусть N — нормальная подгруппа группы G и фак торгруппа G/N коммутативна. Доказать, что N содержит коммутант группы G.

131. Пусть N — нормальная подгруппа группы G и K(N) — коммутант группы N. Доказать, что K(N) яв ляется нормальной подгруппой в G (сравните с примером на стр. 35).

§ 13. Гомоморфизм Гомоморфизмом группы G в группу F называется отоб ражение : G F такое, что (ab) = (a) · (b) для лю бых элементов a и b группы G (здесь произведение ab бе рется в группе G, а произведение (a) · (b) в группе F ).

Гомоморфизм отличается от изоморфизма тем, что при го моморфизме не требуется взаимной однозначности.

П р и м е р 12. Пусть G — группа вращений куба, а Z2 — группа подстановок двух тетраэдров, вписанных в него (см. стр. 39). Каждому вращению куба соответствует опре деленная подстановка тетраэдров;

при последовательном выполнении двух вращений куба соответствующие подста новки тетраэдров перемножаются. Таким образом, отобра жение группы вращений куба на группу подстановок двух тетраэдров — гомоморфизм.

132. Пусть : G F — гомоморфизм группы G на груп пу F. Если группа G коммутативна, то и F коммутативна.

Доказать. Верно ли обратное утверждение?

133. Доказать, что при гомоморфизме группы G в группу F единица группы G переходит в единицу груп пы F.

134. Доказать, что (a-1) = [ (a)]-1 где : G F — го моморфизм, и в левой части обратный берется в группе G, а в правой части — в группе F.

135. Пусть : G F и : F H — гомоморфизмы.

1 Доказать, что : G H — гомоморфизм.

2 Важные примеры гомоморфизмов получаются с по мощью следующей конструкции «естественного гомомор физма».

Пусть N — нормальная подгруппа группы G. Рассмот рим следующее отображение группы G на факторгруп пу G/N: сопоставим каждому элементу g группы G тот смежный класс T, который содержит элемент g.

136. Доказать, что : G G/N — гомоморфизм груп пы G на группу G/N.

Отображение называют естественным гомоморфиз мом группы G на факторгруппу G/N. Мы показали, что с каждой нормальной подгруппой связан некоторый гомо морфизм. Покажем, что и, обратно, каждый гомоморфизм группы G на группу F можно рассматривать как естествен ный гомоморфизм G на факторгруппу G/N по подходящей нормальной подгруппе.

Пусть : G F — гомоморфизм, тогда множество эле ментов g таких, что (g) = eF, называется ядром гомомор физма и обозначается Ker.

137. Доказать, что Ker — подгруппа группы G.

138. Доказать, что Ker — нормальная подгруппа груп пы G.

Рассмотрим разложение группы G по ядру Ker.

139. Доказать, что g1 и g2 лежат в одном смежном клас се тогда и только тогда, когда (g1) = (g2).

Те о р е м а 3. Пусть : G F — гомоморфизм груп пы G на группу F, тогда отображение : G/ Ker F, сопоставляющее каждому смежному классу значе ние (g) на каком-нибудь (и тогда любом (см. 139)) его элементе g, является изоморфизмом.

Доказательство этой теоремы содержится в решениях следующих задач.

140. Докажите, что есть отображение на.

141. Докажите, что — взаимно однозначное отображе ние.

142. Докажите, что — изоморфизм.

Приведем пример применения доказанной теоремы.

П р и м е р 13. В задаче 110 требовалось выяснить изо морфна ли факторгруппа группы симметрий квадрата по нормальной подгруппе отражений от носительно центра группе вращений квадрата или группе симметрий ром ба. Каждому элементу группы симмет рий квадрата соответствует, некоторая подстановка осей симметрии l1, l2, l3, l4 (рис. 9). При этом диагонали l1 и l могут переходить только друг в друга, Рис. а оси l2 и l4 — также друг в друга. Мы получаем таким образом отображение группы симметрий квадрата в группу подстановок четырех элементов: l1, l2, l3 и l4.

Это отображение является гомо морфизмом на всю группу таких подстановок, что l1 и l3 перехо дят в l1 и l3, а l2 и l4 в l2 и l (проверьте). Эта группа состоит из четырех подстановок и изо морфна группе симметрий ром Рис. ба L1L2L3L4 (рис 10). Ядром по строенного гомоморфизма являются все симметрии квад рата, переводящие каждую из четырех осей симметрии в себя. Нетрудно проверить, что такими преобразованиями являются только e и центральная симметрия a. Следова тельно, по теореме 3 подгруппа отражений относительно центра {e, a} — нормальная подгруппа в группе симметрий квадрата, и соответствующая факторгруппа изоморфна группе симметрий ромба.

Подобным образом можно решить следующие задачи.

143. Доказать, что вращения тетраэдра на 180 вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер, вместе с тождественным преобразованием образуют нор мальную подгруппу в группе симметрий тетраэдра, и найти соответствующую факторгруппу.

144. Доказать, что вращения куба на 180 вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней, вме сте с тождественным преобразованием образуют нормаль ную подгруппу в группе вращений куба, и найти соответ ствующую факторгруппу.

145. Пусть на плоскости дан правильный n-угольник с центром O. Пусть R — группа всех вращений плоскости вокруг точки O. Рассмотрим подгруппу Zn всех враще ний плоскости, переводящих правильный n-угольник в се бя. Доказать, что это нормальная подгруппа группы R и что R/Zn R.

= 146. Пусть N1 и N2 — нормальные подгруппы соответ ственно в группах G1 и G2. Доказать, что N1 N2 — нормальная подгруппа в G1 G2 и (G1 G2)/(N1 N2) = = (G1/N1) (G2/N2).

147. Могут ли две неизоморфные группы иметь изо морфные нормальные подгруппы и изоморфные фактор группы по ним?

148. Может ли группа иметь две изоморфные нормаль ные подгруппы, факторгруппы по которым неизоморфны?

149. Может ли группа иметь неизоморфные нормальные подгруппы, факторгруппы по которым изоморфны?

Посмотрим теперь, что происходит при гомоморфизме с подгруппами, нормальными подгруппами, коммутанта ми. Пусть : G F — гомоморфизм, и пусть в G выбрано некоторое подмножество M, тогда образом множества M при гомоморфизме (обозначается (M)) будет называть ся множество всех элементов из F, имеющих хотя бы один прообраз в. Обратно, пусть P — подмножество в F, тогда - полным прообразом P (обозначается (P )) будет назы ваться множество всех элементов из G, образы которых - попадают в P. Заметим, что знак отдельно от P не имеет смысла: для гомоморфизма, вообще говоря, не суще ствует обратного преобразования. Заметим также, что если - (M) = P, то (P ) содержит M, но не обязательно с ним совпадает (рис. 11).

150. Доказать, что образ подгруппы H группы G при Рис. гомоморфизме : G F является подгруппой в группе F.

151. Пусть H — подгруппа в F и : G F — гомомор - физм. Доказать, что () — подгруппа в G.

152. Пусть N — нормальная подгруппа группы F и :

- G F — гомоморфизм. Доказать, что (N) — нормаль ная подгруппа группы G.

153. Пусть : G F — гомоморфизм, K1 и K2 комму танты групп G и F. Доказать, что (K1) содержится в K - и K1 содержится в (K2).

154. Пусть N — нормальная подгруппа группы G и — гомоморфизм группы G на группу F. Доказать, что (N) — нормальная подгруппа группы F.

155. Пусть K1 и K2 — коммутанты групп G и F и — гомоморфизм группы G на группу F. Доказать, что - (K1) = K2. Верно ли, что K1 = (K2)?

§ 14. Разрешимые группы Существует важный класс групп, близких к коммута тивным, — так называемые разрешимые группы. Разреши мыми они называются потому, что возможность решить алгебраическое уравнение в радикалах, как мы увидим, зависит от разрешимости некоторой группы.

Пусть G — некоторая группа и K(G) — ее коммутант.

Коммутант K(G) сам является группой, и в нем также можно рассмотреть коммутант K(K(G)). В полученной группе снова можно рассмотреть коммутант и т. д. Группу ((... K(G))... )) будем для краткости обозначать Kr(G).

r Таким образом, Kr+1(G) = K(Kr(G)).

О п р е д е л е н и е. Группа G называется разрешимой, ес ли цепочка групп G, K(G), K2(G), K3(G),... заканчивает ся при некотором конечном n единичной группой, т. е. при некотором n получаем Kn(G) = {e}.

Например, любая коммутативная группа разрешима, так как если G — коммутативная группа, то уже на первом шаге по лучаем K(G) = {e} (см. 117). Также группа G разрешима, если ее ком мутант коммутативен, так как то гда K2(G) = {e}.

156. Выяснить, разрешимы или нет следующие группы: а) цикличе ская группа Zn, б) группа симмет рий треугольника, в) группа симмет Рис. рий квадрата, г) группа кватернио нов (стр. 125), д) группа вращений тетраэдра, е) группа симметрий тетраэдра, ж) группа вращений куба.

Все группы, рассмотренные в задаче 156, оказывают ся разрешимыми, поэтому естественно возникает вопрос, а бывают ли вообще неразрешимые группы. Ниже мы пока жем, что группа вращений правильного додекаэдра (рис. 12) неразрешима.

157. Сколько элементов в группе вращений додекаэдра?

Все вращения додекаэдра можно разбить на 4 класса:

1) тождественное преобразование;

2) вращения вокруг осей, проходящих через центры противоположных граней;

3) вращения вокруг осей, проходящих через противопо ложные вершины;

4) вращения вокруг осей, проходящих через середины противоположных ребер.

158. Сколько элементов содержится в каждом классе (в классы 2–4 тождественное преобразование не входит)?

159. Пусть N — произвольная нормальная подгруппа в группе вращений додеказдра и пусть в N содержится хотя бы один элемент из некоторого класса 1–4. Доказать, что тогда в N содержится весь соответствующий класс.

Таким образом, каждый из классов 1–4 либо полностью не входит, либо полностью входит в N.

160. Доказать, что в группе вращений додекаэдра не су ществует других нормальных подгрупп, кроме {e} и всей группы.

161. Пусть группа G некоммутативна и не имеет нор мальных подгрупп, отличных от {e} и G. Доказать, что группа G неразрешима.

Из задач 160 и 161 вытекает, что группа вращений доде каэдра неразрешима.

Рассмотрим еще несколько задач, результаты которых потребуются нам в дальнейшем.

162. Доказать, что всякая подгруппа разрешимой груп пы разрешима.

163. Пусть : G F — гомоморфизм группы G на груп пу F и группа G разрешима;

доказать, что и группа F разрешима.

164. Привести пример, когда группа F разрешима, а группа G неразрешима (см. предыдущую задачу).

165. Пусть группа G разрешима и N — нормальная под группа в G. Доказать, что факторгруппа G/N разрешима.

166. Доказать, что если группы N и G/N разрешимы, то и группа G разрешима.

167. Пусть группы G и F разрешимы. Доказать, что группа G F разрешима.

168. Пусть группа G разрешима. Доказать, что тогда су ществует цепочка групп, G0, G1,..., Gn такая, что: 1) G0 = G;

2) каждая группа Gi (1 1 n) является нормальной подгруппой в группе Gi-1, и все факторгруппы Gi-1/Gi коммутативны;

3) группа Gn коммутативна.

169. Пусть для группы G существует цепочка групп со свойствами, указанными в условии предыдущей задачи.

Доказать, что группа G разрешима.

Результаты задач 168 и 169 показывают, что суще ствование для группы G цепочки групп с указанными в условии задачи 168 свойствами равносильно понятию разрешимости и само может быть принято за определение разрешимости. Еще одно эквивалентное определение раз решимости можно получить, используя результаты двух следующих задач.

170. Пусть группа G разрешима. Доказать, что тогда су ществует цепочка групп G0, G1,..., Gn такая, что: 1) G0 = G;

2) каждая группа Gi (0 i n - 1) содержит некото рую коммутативную нормальную подгруппу Ni такую, что Gi/Ni Gi+1, 3) группа Gn коммутативна.

= 171. Пусть для группы G существует цепочка групп со свойствами, указанными в предыдущей задаче. Доказать, что группа G разрешима.

§ 15. Подстановки Рассмотрим сейчас более подробно подстановки (т. е.

преобразования) на множестве первых n натуральных чисел 1, 2,..., n;

эти подстановки мы будем называть подстановками n-й степени. Заметим, что подстановки на произвольном множестве с n элементами можно свести к рассматриваемым подстановкам, для чего достаточно занумеровать элементы множества натуральными числами 1, 2,..., n. Произвольную подстановку n-й степени можно 1 2... n записать в виде, где im — это образ элемента m i1 i2... in при данной подстановке. Напомним, что подстановка — взаимно однозначное отображение, поэтому все элементы в нижней строке различны.

172. Сколько существует различных подстановок n-й степени?

О п р е д е л е н и е. Группу всех подстановок n-й степе ни с обычной операцией умножения (т. е. композиции) подстановок*) называют симметрической группой степе ни n и обозначают Sn.

173. Доказать, что при n 3 группа Sn некоммутативна.

Подстановка может некоторые элементы перемещать, а некоторые оставлять на месте;

при этом может оказаться, что перемещаемые элементы перемещаются как бы по кру гу. Например, подстановка 1 2 3 4 5 6 4 2 6 3 5 1 оставляет на месте элементы 2, 5 и 7, а остальные элементы перемещаются по кругу: 1 4, 4 3, 3 6, 6 1. Подста новки такого типа называются циклическими подстановка ми или просто циклами. Для циклических подстановок мы *) Согласно нашему определению произведения преобразований (стр. 19) мы будем рассматривать произведение подстановок справа налево. Иногда произведение подстановок рассматривают слева на право. Получаемые в обоих случаях группы изоморфны.

будем использовать еще другую запись. Например, выра жение (1436) будет обозначать подстановку, переводящую 1 4, 4 3, 3 6, 6 1 и оставляющую остальные эле менты рассматриваемого множества на месте. Так, если эта подстановка 7-й степени, то она совпадает с подстановкой, рассмотренной выше.

Не всякая подстановка является циклической. Напри мер, подстановка 1 2 3 4 5 3 5 4 1 2 циклической не является, но ее можно представить как произведение двух циклов:

1 2 3 4 5 = (1 3 4) · (2 5) 3 5 4 1 2 Полученные циклы перемещают разные элементы, такие циклы называются независимыми. Легко видеть, что про изведение независимых циклов не зависит от порядка их следования. Если не различать произведения независимых циклов, отличающиеся лишь порядком следования, то бу дет верно следующее утверждение.

174. Любая подстановка единственным образом (с точ ностью до порядка сомножителей) разлагается в произве дение нескольких независимых циклов. Доказать.

Циклы вида (i, j), переставляющие только два элемента, называются транспозициями.

175. Доказать, что произвольный цикл можно раз ложить в произведение транспозиций (не обязательно независимых).

Транспозиции (1, 2), (2, 3),..., (n - 1, n) называются элементарными транспозициями.

176. Доказать, что произвольная транспозиция пред ставляется в виде произведения элементарных транспози ций.

Из результатов задач 174–176 вытекает, что произволь ная подстановка n-й степени может быть представлена как произведение элементарных транспозиций. Иными слова ми, верна следующая теорема.

Те о р е м а 4. Если некоторая подгруппа симметриче ской группы Sn содержит все элементарные транспози ции, то эта подгруппа совпадает со всей группой Sn.

Пусть числа 1, 2,..., n записаны в строку в некотором произвольном порядке. Скажем, что пара чисел i, j обра зует инверсию в этой строке, если i < j но j встречается в строке раньше, чем i. Число инверсий характеризует беспо рядок в данной строке по отношению к обычному порядку чисел 1, 2,..., n.

177. Найти число инверсий в строке 3, 2, 5, 4, 1.

В дальнейшем нас будет интересовать не само число ин версий, а только четность этого числа.

178. Доказать, что четность числа инверсий в строке меняется, если поменять местами два произвольных чис ла.

1 2... n О п р е д е л е н и е. Подстановка называется i1 i2... in четной или нечетной в зависимости от того, четное или нечетное число инверсий имеется в нижней строке. Напри 1 2... n мер, тождественная подстановка является чет 1 2... n ной подстановкой, так как число инверсий в нижней строке равно нулю.

1 2 3 4 179. Определить четность подстановки.

2 5 4 1 180. Доказать, что при умножении четной подстановки справа на произвольную транспозицию получается нечет ная подстановка и, наоборот, при умножении нечетной под становки справа на транспозицию получается четная под становка.

181. Доказать, что четная подстановка может быть раз ложена в произведение только четного числа транспозиций, а нечетная в произведение только нечетного числа транс позиций.

182. Определить четность произвольного цикла длины:

а) 3, б) 4, в) m.

183. Доказать, что при умножении двух подстановок одинаковой четности получается четная подстановка, а при умножении двух подстановок разной четности получается нечетная подстановка.

184. Доказать, что подстановки a и a-1 имеют одинако вую четность, где a — произвольная подстановка.

Из результатов задач 183, 184 вытекает, что множество всех четных подстановок образует подгруппу группы Sn.

О п р е д е л е н и е. Группа всех четных подстановок n-й степени называется знакопеременной группой степени n и обозначается An.

185. Доказать, что при n 4 группа An некоммутативна.

186. Доказать, что знакопеременная группа An являет ся нормальным делителем симметрической группы Sn, и построить разложение группы Sn по подгруппе An.

187. Определить число элементов в группе An.

188. Доказать, что группы S2, S3 и S4 разрешимы.

Докажем теперь, что знакопеременная группа A5, нераз решима. Один из способов доказательства этого состоит в следующем. Необходимо в додекаэдр так вписать 5 тетраэд ров, занумерованных числами 1, 2, 3, 4, 5, чтобы каждому вращению додекаэдра соответствовала четная подстанов ка тетраэдров, причем чтобы разным вращениям соответ ствовали разные подстановки. Этим будет установлен изо морфизм между группой вращений додеказдра и группой четных подстановок 5-й степени A5. Тогда неразрешимость группы A5 будет следовать из неразрешимости группы вра щений додекаэдра.

189. Вписать в додекаэдр 5 тетраэдров требуемым выше способом.

Другой способ доказательства неразрешимости груп пы A5 состоит в повторении идеи доказательства нераз решимости группы вращений додекаэдра. Для этого надо решить следующие задачи.

190. Доказать, что любая четная подстановка 5-й степе ни, отличная от тождественной подстановки, разлагается на независимые циклы одним из следующих трех способов:

а) (i1i2i3i4i5), б) (i1i2i3), в) (i1i2)(i3i4).

191. Пусть N — нормальная подгруппа группы A5. До казать, что если в N содержится хотя бы одна подстанов ка, определенным образом разлагающаяся на независимые циклы (см. 190), то в N содержатся все подстановки, таким же образом разлагающиеся на независимые циклы.

192. Доказать, что группа A5 не содержит нормальных подгрупп, кроме единичной подгруппы и всей группы.

Из утверждения задач 192, 161 и из того, что группа A некоммутативна, вытекает неразрешимость группы A5.

193. Доказать, что симметрическая группа Sn при n содержит подгруппу, изоморфную группе A5.

Из утверждений задач 193 и 162 получаем теорему.

Те о р е м а 5. При n 5 симметрическая группа Sn неразрешима.

Доказанная теорема, а также другие результаты первой главы потребуются нам в следующей главе для доказатель ства неразрешимости в радикалах общих алгебраических уравнений степени выше четвертой.

Тем, кто захочет изучить теорию групп более глубоко, можно рекомендовать книги:

К а р г а п о л о в М. И., М е р з л я к о в Ю. И., Основы теории групп, изд. 4-е, М., Физматлит, 1996.

В и н б е р г Э. Б., Курс алгебры, М., Факториал Пресс, 2000.

Г л а в а II Комплексные числа При изучении чисел в курсе средней школы мы постепен но расширяли рассматриваемое числовое множество. При этом основное ударение делалось на тот факт, что такие расширения позволяют нам более свободно оперировать с числами. Так, при переходе от натуральных чисел к целым становится возможным вычитать любые числа, при перехо де к рациональным числам становится возможным делить любые числа и т. д. На самом деле более важным результа том таких расширений оказывается тот факт, что свойства расширенной системы часто позволяют получать новые ре зультаты об исходной системе. Так, например, многие труд ные задачи теории чисел, касающиеся только натуральных чисел, были решены с использованием действительных и даже комплексных чисел.

Исторически комплексные числа появились, именно как средство для решения некоторых задач о действительных числах. Так, например, итальянский математик Кардано (1501–1576) при решении кубических уравнений находил правильные действительные корни, используя в промежу точных вычислениях «несуществующие» квадратные кор ни из отрицательных чисел.

Со временем комплексные числа занимали все более важное положение в математике и ее приложениях. В первую очередь они глубоко проникли в теорию алгеб раических уравнений, так как в области комплексных чисел изучение таких уравнений оказалось намного бо лее удобным. Например, любое алгебраическое уравнение степени n (n 1) с действительными или комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень (см. ниже «основную теорему алгебры комплексных чисел», стр. 80), — в то же время не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет хотя бы один действительный корень.

После того как появилась интерпретация комплексных чисел с помощью точек плоскости и векторов на плоско сти, стало возможным применять к изучению комплекс ных чисел геометрические понятия, такие, например, как непрерывность и геометрическое преобразование. Связь комплексных чисел с векторами позволила сводить к комплексным числам и уравнениям для них многие задачи механики, особенно гидро- и аэродинамики, а также теории электричества, теории теплоты и т. д.

К настоящему времени изучение комплексных чисел раз вилось в большой и важный раздел современной математи ки — теорию функций комплексного переменного.

Довольно глубокое знакомство с комплексными числами и функциями комплексного переменного и предстоит чита телю в этой главе.

§ 1. Поля и многочлены Действительные числа можно складывать и умножать, при этом возможны и обратные операции — вычитание и деление. В суммах можно произвольным образом перестав лять слагаемые, произвольным образом расставлять скоб ки. Так же можно поступать с сомножителями в произведе ниях. Все эти свойства, а также связь между сложением и умножением можно кратко выразить следующим образом.

Действительные числа обладают следующими 3 свой ствами:

1. Образуют коммутативную группу (см. главу I, § 3) по сложению (единичный элемент этой группы обозначается через 0 и называется нулем).

2. Если отбросить 0, то оставшиеся числа образуют ком мутативную группу по умножению.

3. Сложение и умножение связаны законом дистрибутив ности: для любых чисел a, b, c a(b + c) = ab + ac.

Наличие этих 3 свойств очень важно, так как они позволяют упрощать арифметические и алгебраические выражения, решать многие уравнения и т. д. Действи тельные числа — не единственное множество, обладающее этими тремя свойствами. Для выделения всех таких мно жеств в математике введено специальное понятие.

О п р е д е л е н и е. Если на некотором множестве опре делены две бинарные операции (сложение и умножение), обладающие выписанными выше тремя свойствами, то та кое множество называется полем.

194. Выяснить, являются ли полями следующиеподмно жества действительных чисел с обычными операциями сло жения и умножения: а) все натуральные числа;

б) все це лые числа;

в) все рациональные числа;

г) все числа вида r1 + r2 2, где r1 и r2 — произвольные рациональные чис ла.

195. Доказать, что в любом поле a · 0 = 0 · a = 0 для любого элемента a.

196. Доказать, что в любом поле: 1) (-a) · b = a · (-b) = = -(a · b), 2) (-a) · (-b) = ab для любых элементов a и b.

197. Пусть a, b — элементы произвольного поля и a · b = = 0. Доказать, что либо a = 0, либо b = 0.

П р и м е р 14. Пусть на множестве {0, 1,..., n - 1} кро ме операции сложения по модулю n (см. пример 9, стр. 25), задано еще умножение по модулю n, при котором в каче стве результата при умножении двух чисел берется остаток от деления их обычного произведения на n.

198. Построить таблицы умножения по модулю 2, 3 и 4.

199. Доказать, что остатки с операциями сложения и умножения по модулю n образуют поле тогда и только тогда, когда n — простое число.

О п р е д е л е н и е. Разностью элементов b и a в произ вольном поле (обозначается b - a) называется элемент, яв ляющийся решением уравнения x + a = b (или a + x = b).

Частным от деления элемента b на a при a = 0 (обознача ется b/a) называется элемент, являющийся решением урав нения ya = b (или ay = b).

Из результата задачи 24 и того, что в поле сложение и умножение коммутативны, вытекает, что элементы b - a b и (при a = 0) определяются в любом поле однозначно.

a Так как поле является группой по сложению, а без ну ля и по умножению, то равенство x + a = b равносильно равенству x = b + (-a), а равенство ya = b при a = 0 равно сильно равенству y = ba-1. Таким образом, b - a = b + (-a) и b/a = ba-1.

Читатель легко может доказать, что операции сложения, вычитания, умножения и деления в любом поле обладают всеми основными свойствами этих операций в поле действи тельных чисел. В частности, в любом поле обе части лю бого равенства можно умножить или разделить на любой элемент, отличный от нуля;

любой член можно перенести из одной части равенства в другую с противоположным знаком и т. д. Для примера рассмотрим одно из свойств, связывающих вычитание и умножение.

200. Доказать, что в любом поле (a - b)c = ac - bc для любых элементов a, b, c.

Если K — некоторое поле, то можно, так же как для поля действительных чисел, рассматривать многочлены с коэф фициентами из поля K или, другими словами, многочлены над полем K.

О п р е д е л е н и е. Многочленом степени n (n — нату ральное число) от одной переменной x над полем K называется любое выражение вида a0xn + a1xn +... + an-1x + an, (1.1) где a0, a1,..., an — элементы поля K, причем a0 = 0. Ес ли a — элемент поля K, то выражение a также считается многочленом над полем K, причем если a = 0, то это мно гочлен нулевой степени, если же a = 0, то степень такого многочлена считается неопределенной.

Элементы a0, a1,..., an называются коэффициентами многочлена (1.1), a0 — старшим коэффициентом.

Два многочлена от переменной x считаются равными в том и только в том случае, если все их соответствующие коэффициенты попарно равны.

Пусть P (x) = a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an.

Если в правую часть этого равенства вместо x подставить некоторый элемент a поля K и произвести указанные вы числения, понимая операции сложения и умножения как операции в поле K, то в результате получится некоторый элемент b поля K. В этом случае записывают P (a) = b.

Если P (a) = 0, где 0 — нулевой элемент поля K, то говорят, что a — корень уравнения P (x) = 0;

в этом случае говорят также, что a — корень многочлена P (x).

Многочлены над произвольным полем K можно склады вать, вычитать и умножать.

Суммой многочленов P (x) и Q(x) называется много член R(x), в котором коэффициент при xk (k = 0, 1, 2,... ) равен сумме (в поле K) коэффициентов при xk в много членах P () и Q(x). Так же определяется разность двух многочленов. Очевидно, что степень суммы или разности двух многочленов не больше, чем максимальная из степе ней данных многочленов.

Чтобы вычислить произведение многочленов P (x) и Q(x), нужно каждое слагаемое axk многочлена P (x) умно жить на каждое слагаемое bxl многочлена Q(x) по пра вилу: axk · bxl = abxk+l где ab — произведение в поле K, а k + l — обычная сумма натуральных чисел. После этого все полученные выражения надо сложить, приводя по добные члены, т. е. собирая все слагаемые, содержащие одну и ту же степень r переменной x, и заменяя сумму d1xr + d2xr +... + dsxr выражением (d1 + d2 +... + ds)xr.

Если P (x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... + an, Q(x) = b0xm + b1xm-1 + b2xm-2 +... + bm, то P (x) · Q(x) = a0b0xn+m + (a0b1 + a1b0)xn+m-1+ + (a0b2 + a1b1 + a2b0)xn+m-2 +... + anbm*).

Так как a0 = 0 и b0 = 0, то и a0b0 = 0 (см. 197), поэтому степень многочлена P (x) · Q(x) равна n + m, т. е. степень произведения двух многочленов (отличных от 0) равна сум ме степеней данных многочленов.

Учитывая, что операции сложения и умножения эле ментов в поле K обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности, нетрудно получить, что введенные нами операции сложения и умножения *) Коэффициент при xn+m-k в произведении P (x) · Q(x) равен a0bk + a1bk-1+... +ak-1b1 + akb0, причем здесь надо положить ai = при i > n и bj = 0 при j > m.

многочленов над полем K также обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности.

Если P (x) + Q(x) = R1(x), P (x) - Q(x) = R2(x), P (x) · Q(x) = R3(x) и a — произвольный элемент поля K, то легко получить, что P (a) + Q(a) = R1(a), P (a) - Q(a) = R2(a), P (a) · Q(a) = R3(a).

Многочлены над произвольным полем K можно делить друг на друга с остатком. Разделить многочлен P (x) на многочлен Q(x) с остатком — это значит найти многочле ны S(x) (частное) и R() (остаток) такие, что P (x) = S(x) · Q(x) + R(x), причем степень многочлена R(x) должна быть меньше, чем степень многочлена Q(x), либо должно быть R(x) = 0.

Пусть P (x) и Q(x) — произвольные многочлены над по лем K и Q(x) = 0. Покажем, что можно поделить много член P (x) на многочлен Q(x) с остатком.

Пусть P (x) = a0xn + a1xn-1 +... + an, Q(x) = b0xm + b1xm-1 +... + bm.

Если n < m, то положим S(x) = 0 и R(x) = P (x) и получаем требуемые частное и остаток. Если n m, то рассмотрим многочлен a P (x) - xn-mQ(x) = R1(x).

b Многочлен R1(x) не содержит члена с xn, поэтому его сте пень не более чем n - 1 или R1(x) = 0. Если R1(x) = c0xk + c1xk-1 +... + ck и k m, то рассмотрим многочлен c R1(x) - xk-mQ(x) = R2(x) b и т. д. Так как степень получающегося многочлена строго меньше, чем степень предыдущего многочлена, то этот про цесс должен окончиться, т. е. на некотором шаге получим d Rs-1(x) - xl-mQ(x) = Rs(x), b и степень многочлена Rs(x) будет меньше, чем степень мно гочлена Q(x) или Rs(x) = 0. Тогда получим a P (x) = xn-mQ(x) + R1(x) = b a0 c = xn-mQ(x) + xk-mQ(x) + R2(x) =... = b0 b a0 c = xn-mQ(x) + xk-mQ(x) +... + b0 b d + xl-mQ(x) + Rs(x) = b a0 c0 d = xn-m + xk-m +... + xl-m · Q(x) + Rs(x).

b0 b0 b Таким образом, выражение, стоящее в скобках, является частным от деления многочлена () на Q(x) и Rs(x) — остат ком. Описанный здесь процесс деления многочлена на мно гочлен представляет собой процесс деления столбиком.

Следующая задача показывает, что если () и Q(x) — два многочлена и Q(x) = 0, то каким бы способом мы не дели ли () на Q(x) с остатком, частное и остаток определяются однозначно.

201. Пусть P (x) = S1(x) · Q(x) + R1(x), P (x) = S2(x) · Q(x) + R2(x), причем степени многочленов R1(x) и R2() меньше, чем сте пень многочлена Q(x) (может быть R1(x) = 0 или R2(x) = 0). Доказать, что S1(x) = S2(x), R1(x) = R2(x).

§ 2. Поле комплексных чисел Из решения задачи 194 вытекает, что существуют поля, более узкие, чем поле действительных чисел, например, поле рациональных чисел. Мы же сейчас построим поле более широкое, чем поле действительных чисел, а именно, поле комплексных чисел.

Рассмотрим всевозможные упорядоченные пары дей ствительных чисел, т. е. пары вида (a, b), где a и b — произвольные действительные числа. Будем считать, что (a, b) = (c, d) тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

На множестве всех таких пар определим две бинарные операции — сложение и умножение — следующим образом:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d), (2.1) (a, b) · (c, d) = (ac - bd, ad + bc) (2.2) (здесь в скобках в правых частях равенств обычные опера ции над действительными числами). Например, получаем ( 2, 3) + ( 2, -1) = (2 2, 2), (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0).

О п р е д е л е н и е. Множество всевозможных упорядо ченных пар действительных чисел с операциями сложения и умножения, определенными согласно (2.1) и (2.2), назы вается множеством комплексных чисел.

Из этого определения видно, что в комплексных чис лах нет ничего «сверхестественного»: комплексные числа — это вполне реально существующие пары действительных чисел. Однако может возникнуть вопрос: правомерно ли называть такие объекты числами? Этот вопрос мы обсудим в конце данного параграфа. Другой вопрос, который может возникнуть у читателя, — почему именно так, а не иначе определяются операции сложения и умножения комплекс ных чисел (особенно странной выглядит операция умноже ния)? На этот вопрос мы ответим в § 3.

Выясним, какими хорошими свойствами обладает опре деленное выше множество комплексных чисел.

202. Доказать, что комплексные числа образуют по сло жению коммутативную группу. Какое комплексное число является единичным элементом (нулем) этой группы?

В дальнейшем комплексные числа будет удобно обозна чать одной буквой, например z (или w).

203. Доказать, что операция умножения комплексных чисел коммутативна и ассоциативна, т. е. z1 · z2 = z2 · z1 и (z1 · z2) · z3 = z1 · (z2 · z3) для любых комплексных чисел z1, z2, z3.

Легко проверить, что (a, b) · (1, 0) = (1, 0) · (a, b) = (a, b) для любого комплексного числа (a, b). Таким образом, комплексное число (1, 0) является единичным элементом в множестве комплексных чисел относительно умножения.

204. Пусть z — произвольное комплексное число и z = = (0, 0). Доказать, что существует комплексное число z- такое, что z · z-1 = z-1 · z = (1, 0).

Результаты задач 203 и 204 показывают, что комплекс ные числа образуют относительно операции умножения коммутативную группу.

205. Доказать, что для операций сложения и умножения комплексных чисел выполняется закон дистрибутивности, т. е. (z1 + z2) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3 для любых комплексных чисел z1, z2, z3.

Из результатов задач 202–205 вытекает, что комплексные числа с операциями сложения и умножения, определенны ми согласно (2.1) и (2.2), образуют поле. Это и есть поле комплексных чисел.

Для комплексных чисел вида (a, 0), где a— произвольное действительное число, формулы (2.1) и (2.2) дают (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) · (b, 0) = (a · b, 0).

Таким образом, если сопоставить каждому комплексному числу вида (a, 0) действительное число a, то операциям над числами вида (a, 0) будут соответствовать обычные опе рации над действительными числами. Поэтому мы просто отождествим комплексное число (a, 0) и действительное число a*) и будем говорить, что поле комплексных чисел содержит в себе поле действительных чисел.

Комплексное число (0, 1) не является действительным (при нашем отождествлении), и мы обозначим его через i, т. е. i = (0, 1). Так как поле комплексных чисел содержит все действительные числа и число i, то оно содержит так же числа вида b · i и a + b · i, где a и b — произвольные действительные числа и операции сложения и умножения понимаются как операции над комплексными числами.

206. Пусть (a, b) — комплексное число. Доказать, что (a, b) = a + b · i.

n *) Точно так же, например, рациональное число отождествля ется с целым числом n.

Из результата задачи 206, очевидно, получаем, что a + bi = c + di тогда и только тогда, когда a = c и b = d.

Таким образом, любое комплексное число можно, и при чем единственным образом, представить в виде a + bi, где a и b — действительные числа. Если z = a + bi, то, следуя ис торическим традициям, принято a называть действитель ной частью комплексного числа z, bi — мнимой частью, b — коэффициентом при мнимой части.

Представление комплексного числа z в виде z = a + bi называют алгебраической формой комплексного числа z.

Для комплексных чисел в алгебраической форме фор мулы (2.1) и (2.2) перепишутся следующим образом:

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (2.3) (a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i. (2.4) 207. Решить уравнение (найти формулу разности) (a + bi) + (x + yi) = (c + di).

208. Решить уравнение (найти формулу частного) (a + bi) · (x + yi) = (c + di), где a + bi = 0.

Легко проверить, что i · i = (0, 1) · (0, 1) = (-1, 0) = -1.

т. е. i2 = 1. Таким образом, в поле комплексных чисел извле каются квадратные корни и из некоторых отрицательных действительных чисел.

209. Вычислить: а) i3, б) i4, в) in.

210. Найти все комплексные числа z = x + yi такие, что:

а) z2 = 1, б) z2 = -1, в) z2 = a2, г) z2 = -a2 (a — некоторое действительное число).

О п р е д е л е н и е. Комплексное число a - bi называется сопряженным комплексному числу z = a + bi и обознача ется z. Легко проверить, что z + z = 2a, z · z = a2 + b2.

211. Пусть z1 и z2 — произвольные комплексные числа.

Доказать, что: a) z1 + z2 = z1 + z2, б) z1 - z2 = z1 - z2, в) z1 · z2 = z1 · z2, г) z1/z2 = z1/z2.

212. Пусть P (z) = a0z2 + a1zn-1 +... + an-1z + an, z — комплексное число и все ai, — действительные числа.

Доказать, что P (z) = P (z).

Переход к комплексным числам является очередным ша гом в последовательности: натуральные числа — целые чис ла — рациональные числа — действительные числа — ком плексные числа. У читателя может сложиться мнение, что до действительных чисел это на самом деле числа, а ком плексные числа — это уже не числа, а объекты более слож ной природы. Конечно, терминология может быть приня та любая, однако в действительности комплексные числа вполне заслуживают, чтобы их называли числами.

Первое возражение против этого может состоять в том, что это не числа, а пары чисел. Вспомним, однако, что подобным же образом вводятся рациональные числа Рациональное число — это класс равных дробей, а дро би — это пары целых чисел, записываемых в виде m/n (где n = 0);

при этом действия над рациональными чис лами — это просто действия над парами целых чисел.

Поэтому первое возражение оказывается несостоятельным.

Другое возражение может состоять в том, что числа — это то, чем можно что-то измерять. Если понимать под этим, что числа — это то, чем можно измерять все, что угодно, то тогда надо запретить, например, отрицатель ные числа, так как не бывает отрезков длиной -3 см, а поезд не может ехать -4 дня. Если же считать, что числа — это то, чем можно (или удобно) измерять хоть что нибудь, то тогда комплексные числа оказываются ничем не хуже других чисел — ими очень удобно описывать, например, ток, напряжение и сопротивление в электри ческих цепях переменного тока и это широко использует ся в электротехнике*). Комплексные числа также очень полезны, а порой и незаменимы в гидро- и аэромехани ке*).

Таким образом, переход от действительных чисел к ком плексным является таким же естественным, как, например, *) См., например, «Теоретические основы электротехники», под общей редакцией Поливанова К. М., т. 1., Линейные электрические цепи с сосредоточенными постоянными, «Энергия», 1972.

*) М а р к у ш е в и ч А. И., Краткий курс теории аналитических функций, М., Наука, 1979.

переход от целых чисел к рациональным.

§ 3. Единственность поля комплексных чисел Перейдем теперь к рассмотрению вопроса о том, почему именно так, а не иначе определялись комплексные числа.

Ответ на этот вопрос таков: мы хотели, чтобы получилось поле, являющееся расширением поля действительных чи сел. А нельзя ли построить другое поле, также являющееся расширением поля действительных чисел? На этот вопрос мы и ответим в этом параграфе.

О п р е д е л е н и е. Изоморфным отображением (или просто изоморфизмом) одного поля на другое называется взаимно однозначное отображение, которое является изоморфизмом одновременно и относительно сложения и относительно умножения, т. е. (a + b) = (a) + (b) и (ab) = (a) (b). Поля, между которыми можно установить изоморфизм, называются изоморфными.

Если изучаются только сами операции сложения и умно жения в поле, то у изоморфных полей все свойства оказы ваются одинаковыми. Поэтому, так же как в случае групп, изоморфные поля можно не различать.

Как мы видели в предыдущем параграфе, в поле ком плексных чисел есть элемент i такой, что i2 = -1. Следую щая задача показывает, что добавление такого элемента к полю действительных чисел с необходимостью приводит к полю комплексных чисел.

213. Пусть M — некоторое поле, содержащее в себе поле действительных чисел и некоторый элемент i0, такой, что i2 = -1. Доказать, что M содержит некоторое поле M, изоморфное полю комплексных чисел.

Будем говорить, что некоторое поле является мини мальным полем с данными свойствами, если оно обладает этими свойствами и не содержит в себе других полей с теми же свойствами.

В этом случае результат задачи 213 можно сформули ровать так: минимальным полем, содержащим поле дей ствительных чисел и элемент i0 такой, что i2 = -1, явля ется поле комплексных чисел. Этот результат доказыва ет в некотором смысле единственность поля комплексных чисел. Однако имеет место существенно более сильный ре зультат. А именно, откажемся от требования, чтобы поле M содержало элемент i0 такой, что i2 = -1, и поставим задачу найти все поля, являющиеся минимальными расширени ями поля действительных чисел. Оказывается, что таких расширений всего два (с точностью до изоморфизма), одно из них — поле комплексных чисел. Покажем это.

Пусть поле M содержит поле действительных чисел, т. е. M содержит все действительные числа и операции над ними в поле M совпадают с обычными операциями над действительными числами. Пусть, кроме того, поле M содержит элемент j, отличный от всех действительных чисел. Тогда для любых действительных чисел a1, a2,...

..., an в M содержится элемент, равный jn + a1jn-1 + a2jn-2 +... + an. (3.1) Будем называть n степенью выражения (3.1).

Может быть 2 случая:

а) некоторое выражение вида (3.1) при n 1 задает эле мент, равный 0;

б) никакое выражение вида (3.1) при n 1 не равно 0.

Предположим сначала, что имеет место случай а).

О п р е д е л е н и е. Многочлен с коэффициентами из неко торого поля K называется приводимым над полем K, если он может быть представлен как произведение двух многочленов меньшей степени с коэффициентами из K.

В противном случае он называется неприводимым над полем K*).

Например, многочлены x3 - 1 и x2 - x - 1 приводимы над полем действительных чисел, так как x3 - 1 = (x - 1) 1 + 5 1 - (x2 + x + 1) и x2 - x - 1 = x - x -, а 2 многочлены x2 + 1 и x2 + x + 1 неприводимы над полем действительных чисел. Очевидно, что многочлены первой степени над любым полем являются неприводимыми.

214. Выберем среди выражений вида (3.1), равных 0, выражение наименьшей степени n (n 1). Пусть это будет выражение jn + a1jn-1 + a2jn-2 +... + an = 0.

*) Многочлены, неприводимые над полем K, являются аналогом простых чисел в множестве натуральных чисел.

Доказать, что многочлен xn + a1xn-1 + a2xn-2 +... + an неприводим над полем действительных чисел.

В дальнейшем мы покажем (см. 272), что любой мно гочлен с действительными коэффициентами степени выше второй приводим над полем действительных чисел. Поэто му n в задаче 214 должно быть не больше 2. А так как n = 1 (иначе мы получили бы, что j + a = 0 и j равно действительному числу -a), то n = 2.

Таким образом, в случае а) (см. стр. 63) для некоторых действительных чисел p и q в поле M должно выполняться равенство j2 + pj + q = причем многочлен x2 + px + q должен быть неприводим над полем действительных чисел.

215. Доказать, что в случае а) (стр. 63) поле M содержит элемент i0 такой, что i2 = -1.

Из результатов задач 215 и 213 вытекает, что в случае а) поле M содержит поле M, изоморфное полю комплексных чисел. Следовательно, если поле M — минимальное расши рение поля действительных чисел, то поле M должно сов падать с M. Таким образом, в случае а) любое минималь ное поле, являющееся расширением поля действительных чисел, совпадает (т. е. изоморфно) с полем комплексных чисел. Итак, в случае а) имеется единственное (с точностью до изоморфизма) поле, являющееся минимальным расши рением поля действительных чисел, а именно, поле ком плексных чисел.

216. Найти все поля, являющиеся минимальными рас ширениями поля действительных чисел в случае б) (см.

стр. 63).

§ 4. Геометрические представления комплексных чисел Введем на плоскости прямоугольную систему коорди нат XOY и поставим в соответствие каждому комплекс ному числу a + bi точку плоскости с координатами (a, b).

Получим взаимно однозначное соответствие между всеми комплексными числами и всеми точками плоскости. Это дает нам первое геометрическое представление комплекс ных чисел.

217. Какие комплексные числа соответствуют точкам, указанным на рис. 13?

218. Пусть комплексные числа изображаются точками плоскости. Каков геометрический смысл преобразования, если для любого комплексного числа z: а) (z) = -z, б) (z) = 2z, в) (z) = z (z — сопряженное z).

Пусть A(xA, yA) и B(xB, yB) — две точки плоскости (рис. 14). Отрезок AB с указанным на нем направлением от A к B называют вектором AB. Координаты вектора по определению вычисляются следующим образом:

x = xB - xA, y = yB - yA.

AB AB Два вектора считаются равными, если они параллельны, одинаково направлены и равны по длине.

Рис. 13 Рис. 219. Доказать, что два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты.

Множество равных векторов рассматривают обычно как один и тот же вектор, характеризуемый лишь своими коор динатами, — так называемый свободный вектор. Поставив в соответствие каждому комплексному числу a + bi сво бодный вектор с координатами (a, b), мы получим второе геометрическое представление комплексных чисел.

220. Пусть комплексным числам z1, z2 и z3 соответству ют свободные векторы u, v и w. Доказать, что z1 + z2 = z тогда и только тогда, когда u + v = w, где сумма векторов вычисляется по правилу параллелограмма.

221. Доказать следующую взаимосвязь между двумя геометрическими представлениями комплексных чисел:

если zA, zB, z — комплексные числа, соответствующие AB точкам A, B и вектору AB, то z = zB - zA.

AB Из определения равных векторов получаем, что равные векторы имеют равную длину. Эта длина принимается так же за длину свободного вектора, соответствующего данно му множеству равных векторов.

О п р е д е л е н и е. Модулем комплексного числа z (обо значается |z|) называется длина соответствующего ему сво бодного вектора*).

222. Пусть z = a + bi. Доказать, что |z|2 = a2 + b2 = z · z, где z — число, сопряженное z.

223. Доказать неравенства:

а) |z1 + z2| |z1| + |z2|, |z1| б) |z1 - z2| - |z2|, где z1, z2 — произвольные комплексные числа. В каких слу чаях имеет место равенство?

224. Докажите с помощью комплексных чисел, что в произвольном параллелограмме сумма квадратов длин диагоналей равна сумме квадратов длин всех сторон.

§ 5. Тригонометрическая форма комплексных чисел Напомним, что углом между лучами OA и OB назы вается угол, на который надо повернуть луч OA вокруг точки против часовой стрел ки, чтобы получить луч OB (ес ли вращение происходит по ча совой стрелке, то углу приписы вается знак «минус»). При этом угол определяется не однозначно, *) Для действительных чисел (как частного случая комплексных чисел) введенное здесь понятие модуля совпадает с понятием аб солютной величины. В самом деле, действительному числу a + 0i Рис. соответствует вектор с координатами (a, 0), параллельный оси x, и длина его равна |a| — абсолютной величине числа a.

а с точностью до слагаемого 2k, где k — любое целое число.

О п р е д е л е н и е. Пусть точ ка O — начало координат, и пусть вектор OA с координатами (a, b) соответствует комплексному числу z = a + bi (рис. 15).

Аргументом комплексного числа z (обозначается Arg z) называется угол между положительным направлением оси OX и лучом OA (рис. 15) (если z = 0, то Arg z не определен).

Так как для данного числа z = 0 указанный угол опреде ляется неоднозначно, то под записью Arg z мы будем пони мать многозначную функцию, принимающую для каждого z = 0 бесконечное множество значений, разность которых кратна 2.

Запись Arg z = будет означать, что одно из значений аргумента равно.

Пусть z = a + bi = 0 и |z| = r. Вектор OA с координатами (a, b) соответствует комплексному числу a + bi, и поэтому его длина равна r. Пусть, кроме того, Arg z =. Тогда по определению тригонометрических функций (см. рис. 15) cos = a/r, sin = b/r.

Отсюда z = a + bi = r · cos + i · r · sin = r(cos + i sin ), где r = |z|, = Arg z и мы получаем тригонометрическое представление комплексного числа z.

Например, если z = -1+ 3 i, то |z| = 1+3 = 2 (см. 222) 1 3 и cos = -, sin =. Можно взять =, тогда 2 2 2 z = -1 + 3 i = 2 cos + i sin.

3 225. Представить в тригонометрической форме следую щие комплексные числа: а) 1 + i, б) - 3 - i в) 3i, г) -5, д) 1 + 2i.

226. Пусть z1 = r1(cos + i sin ) и z2 = r2(cos + 1 1 + i sin ). Доказать, что z1 · z2 = r1r2(cos( + ) + i sin( + )), 1 2 1 z1 r = (cos( - ) + i sin( - )) (z2 = 0).

1 z2 r2 1 Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, аргументы складываются, при де лении модули делятся, аргументы вычитаются.

227. Доказать формулу Муавра*):

[r(cos + i sin )]n = rn(cos n + i sin n ) для любого натурального числа n.

(1 - 3 i) 228. Вычислить.

229. Пусть z = r(cos + i sin ) — фиксированное ком плексное число и n — натуральное число. Найти все ком плексные числа w, удовлетворяющие равенству wn = z. (5.1) n О п р е д е л е н и е. Запись z (корень степени n из z) мы будем понимать как многозначную функцию, ставящую в соответствие каждому комплексному числу z = 0 все n n решений уравнения (5.1). При z = 0 будет 0 = 0.

230. Найти все значения корней:

3 4 а) -1, б) 8, в) cos 100 + i sin 100, г) 1 + i.

Для дальнейшего удобно ввести следующее обозначение:

2 = cos + i sin.

n n n n 231. Доказать, что все значения 1 — это 1,,, n n n-......,.

n n З а м е ч а н и е. Так как = 1, то множество элементов n 2 n- 1,,,..., является циклической группой относи n n n тельно умножения.

n 232. Пусть z1 — одно из значений z0. Найти все значе n ния z0.

В дальнейшем мы будем в основном использовать пред ставление комплексных чисел точками плоскости, т. е. ком плексному числу z = a + bi будем ставить в соответствие точку с координатами (a, b). При этом вместо «точка, со ответствующая комплексному числу z» мы будем говорить просто «точка z».

233. Пусть комплексные числа изображаются точками плоскости. Каков геометрический смысл выражений: а) |z|, z б) Arg z, в) |z1 - z2|, г) Arg ?

z *) Муавр (1667–1754) — английский математик.

234. Найти геометрическое место точек z, удовлетворя ющих следующим условиям (z0, z1, z2 — фиксированные комплексные числа, R — фиксированное действительное число):

а) |z| = 1, б) |z| = R, в) |z - z0| = R, г) |z - z0| R, д) |z - z1| = |z - z2|, e) Arg z =, ж) Arg z =, з) Arg z =.

n 235. Как располагаются на плоскости все значения z, где z — фиксированное комплексное число?

§ 6. Непрерывность В дальнейшем важную роль для нас будет играть поня тие непрерывности и, в частности, понятие непрерывной кривой. Если читатель не знает строгого определения этих понятий, то он, по-видимому, все же интуитивно понимает, что такое непрерывная кривая, а также непрерывная функция действительного переменного (на интуитивном уровне можно сказать, что это такая функция, у кото рой график — непрерывная кривая). Однако если функ ция действительного переменного является достаточно x3 - 2x сложной например, f(x) =, то установить, x2 - sin x + непрерывна ли она, используя лишь интуитивное понятие непрерывности, довольно тяжело. Поэтому мы дадим строгое определение непрерывности и с помощью него докажем несколько основных исходных утверждений о непрерывных функциях. При этом мы дадим опреде ление непрерывности как для функций действительно го аргумента, так и для функций комплексного аргу мента.

Если мы рассмотрим график некоторой функции дей ствительного аргумента, то этот график в некоторых точ ках может быть непрерывным, а в некоторых точках мо жет иметь разрывы. Поэтому естественно ввести сначала определение не вообще непрерывности функции, а непре рывности функции в данной точке.

Если мы попытаемся более точно определить наше ин туитивное представление о непрерывности функции f(x) в данной точке x0, то получим, что непрерывность озна чает следующее: при малых изменениях аргумента вблизи точки x0 функция тоже изменяется мало относительно зна чения f(x0). Причем можно добиться сколь угодно малого изменения функции, выбирая достаточно малый интервал изменения аргумента. Более строго это можно сформули ровать следующим образом.

О п р е д е л е н и е. Пусть f(z) функция, действительного или комплексного аргумента z. Говорят, что функция f(z) непрерывна в точке z0, ecли для любого действительного числа > 0 можно подобрать такое действительное чис ло > 0 (зависящее от z0 и от ), что для всех чисел z, удовлетворяющих условию |z - z0| <, будет выполняться неравенство |f(z) - f(z0)| < *).

П р и м е р 15. Докажем, что функция комплексного аргумента f(z) = 2z непрерывна в любой точке z0. Пусть за даны точка z0 и произвольное действительное число > 0.

Нужно подобрать такое действительное число > 0, чтобы для всех чисел z, удовлетворяющих условию |z - z0| < выполнялось неравенство |f(z) - f(z0)| = |2z - 2z0| <.

Нетрудно видеть, что можно выбрать = /2 (независимо от точки z0). Действительно, тогда из условия |z - z0| < будет вытекать:

|2z - 2z0| = |2(z - z0)| = (см. 226) = |2| · |z - z0| < 2 =, т. е. |2z - 2z0| <. Таким образом, функция f(z) = 2z непре рывна в любой точке z0. В частности, она непрерывна при всех действительных значениях аргумента z. Поэтому, ес ли мы ограничимся только действительными значениями аргумента, то получим, что функция действительного ар гумента f(x) = 2x непрерывна при всех действительных значениях x.

236. Пусть a — фиксированное комплексное (или, в частности, действительное) число. Доказать, что функция комплексного (или действительного) аргумента f(z) a непрерывна при всех значениях аргумента.

237. Доказать, что функция комплексного аргумента f(z) = z и функция действительного аргумента f(x) = непрерывны при всех значениях аргумента.

238. Доказать, что функция комплексного аргумента f(z) = z2 непрерывна при всех значениях аргумента z.

*) Геометрический смысл неравенств |z - z0| < и |f(z) - f(z0)| < < см. в задачах 233 в) и 234 г).

О п р е д е л е н и е. Пусть f(z) и g(z) — две функции комплексного (или действительного) аргумента. Функ ция комплексного (или действительного) аргумента h(z) называется суммой функций f(z) и g(z), если в каждой точке z0 выполняется равенство h(z0) = f(z0) + g(z0). При этом, если значение f(z0) или g(z0) не определено, то значе ние h(z0) также не определено. Точно так же определяются разность, произведение и частное двух функций.

239. Пусть функции комплексного или действительного аргумента f(z) и g(z) непрерывны в точке z0. Доказать, что в точке z0 непрерывны функции: a) h(z) = f(z) + g(z), б) h(z) = f(z) - g(z), в) h(z) = f(z) · g(z).

Из результата задачи 239 в) получаем, в частности, что если функция f(z) непрерывна в точке z0 и n — натуральное число, то функция [f(z)]n также непрерывна в точке z0.

240. Пусть функции комплексного или действительного аргумента f(z) и g(z) непрерывны в точке z0 и g(z0) = 0.

Доказать, что в точке z0 непрерывны функции: а) h(z) = f(z) =, б) h(z) =.

g(z) g(z) О п р е д е л е н и е. Пусть f(z) и g(z) — две функции ком плексного или действительного аргумента. Функция h(z) называется суперпозицией функций f(z) и g(z), если в каж дой точке z0 выполняется равенство h(z0) = f(g(z0)). При этом, если g(z0) не определено или функция f(z) в точ ке g(z0) не определена, то и h(z0) не определено.

241. Пусть f(z) и g(z) — функции комплексного или дей ствительного аргумента. Пусть g(z0) = z1 и пусть функ ция g(z) непрерывна в точке z0, а функция f(z) непрерывна в точке z1. Доказать, что функция h(z) = f(g(z)) непрерыв на в точке z0.

Из результатов задач 239–241 вытекает, в частности, что если из нескольких функций комплексного (илидействительного) аргумента, непрерывных при всех значениях аргумента, построено некоторое выражение с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и суперпозиции, то полученное выражение будет задавать функцию, непрерывную всюду, где ни один из знаменателей не обращается в 0.

Например, учитывая результаты задач 236 и 237, полу чаем, что функции f(z) = zn, f(z) = azn и вообще f(z) = a0zn + a1zn-1 +... + an являются непрерывными функциями аргумента z при любых комплексных числах a, a0, a1,..., an.

242. Доказать, что функции действительного аргумента f(x) = sin x и f(x) = cos x непрерывны при всех значениях аргумента x.

243. Рассмотрим при всех действительных значениях n x 0 функцию f(x) = x, где n — некоторое натуральное n число и x берется неотрицательным. Доказать, что эта функция непрерывна при всех x > 0.

При изучении непрерывности приходится сталкиваться с некоторыми утверждениями, которые интуитивно кажутся совершенно очевидными, но строгое доказательство кото рых сопряжено с большими техническими трудностями и требует более строгого, чем это делается в школе, опре деления действительных чисел, а также изучения основ теории множеств и топологии. Примером такого утвержде ния может служить следующее утверждение: если функция действительного аргумента f(x) непрерывна на некотором отрезке и принимает на этом отрезке только целочислен ные значения, то она принимает на всем отрезке одно и то же значение. Действительно, интуитивно кажется оче видным, что при движении точки x по отрезку значение функции f(x) должно изменяться непрерывно и не может «перескочить» из одного целочисленного значения в дру гое. Однако доказать это утверждение строго довольно тя жело.

В дальнейшем изложении мы будем больше ориентиро ваться на интуицию читателя и примем несколько «ин туитивно ясных» утверждений, связанных с непрерывно стью, без доказательства. В частности, без доказательства мы примем утверждение, сформулированное выше в каче стве примера. Строгое доказательство этого утверждения в популярном изложении можно найти, например, в книге:

С т и н р о д Н. и Ч и н н У., Первые понятия топологии, «Мир», 1967. См. также Б о р и с о в и ч Ю. Г. и др., Введе ние в топологию, М., Физматлит, 1995.

§ 7. Непрерывные кривые Пусть параметр t принимает действительные значения на отрезке 0 t 1, и пусть каждому такому значению t поставлено в соответствие некоторое комплексное число z(t) = x(t) + iy(t).

Плоскость, на которой изображаются значения z, мы бу дем в дальнейшем называть просто «плоскость z». Если функции x(t) и y(t) непрерывны при 0 t 1, то при из менении t от 0 до 1 точка z(t) будет описывать некото рую непрерывную кривую на плоскости z. При этом мы будем рассматривать эту кривую с направлением, принимая точку z0 = z(0) за начальную, а точ ку z1 = z(1) за конечную. Функ цию z(t) мы будем называть па раметрическим уравнением этой кривой.

П р и м е р 16. Пусть z(t) = t + it2. Тогда x(t) = t и y(t) = t2. По- этому y(t) = x2(t) при любом t, т. е.

Рис. точка z(t) при любом t лежит на параболе =. При изменении t от 0 до 1 x(t) также меня ется от 0 до 1 и точка z(t) пробегает дугу параболы y = x от точки z0 = 0 до точки z1 = 1 + i (рис. 7).

244. Построить на плоскости z кривые, задаваемые следующими параметрическими уравнениями: a) z(t) = 2t;

б) z(t) = it;

в) z(t) = it2;

г) z(t) = t - it;

д) z(t) = t2 + it;

e) z(t) = R(cos 2 t + i sin 2 t);

ж) z(t) = R(cos 4 t + i sin 4 t);

з) z(t) = R(cos t + i sin t);

cos 2 t + i sin 2 t при 0 t 1/2, и) z(t) = 4t - 3 при 1/2 < t 1.

245. Написать какое-нибудь параметрическое уравнение отрезка, соединяющего точки z0 = a0 + b0i и z1 = a1 + b1i.

З а м е ч а н и е. В последующих задачах параметриче ские уравнения имеют индексы. Эти индексы указывают лишь на номер кривой, но рассматриваются данные кривые на одной и той же плоскости z.

246. С помощью каких геометрических преобразований из кривой C1 с уравнением z1(t) получается кривая C2 с уравнением z2(t), если:

a) z2(t) = z1(t) + z0 (z0 — фиксированное комплексное число);

б) z2(t) = a · z1(t), где a — действительное положительное число;

в) z2(t) = z0 · z1(t), где |z0| = 1;

г) z2(t) = z0 · z1(t), где z0 — произвольное комплексное число?

247. Пусть z1(t) — параметрическое уравнение кривой C.

Какая кривая описывается уравнением z2(t), если z2(t) = z1(1 - t)?

248. Пусть z1(t) и z2(t) — параметрические уравнения кривых C1 и C2, и пусть z1(t) = z2(0). Какая кривая описывается уравнением z3(t), если z1(2t) при 0 t, z3(t) = z2(2t - 1) при < t 1?

249. Пусть z(t) = cos t + i sin t (рис. 7). Найти все зна чения Arg z(t) в зависимости от t.

250. Пусть z(t) = cos t + i sin t. Как нужно выбрать од но из значений Arg z(t) при каждом t, чтобы выбранные значения изменялись непрерывно при изменении t от 0 до 1, при условии, что Arg z(0) выбран равным: а) 0, б) 2, в) -4, г) 2 k (k — фиксированное це лое число).

Следующее утверждение интуитив Рис. но кажется достаточно очевидным, и мы приведем его без доказательства.

Те о р е м а 6. Пусть непрерывная кривая C с парамет рическим уравнением z(t) не проходит через начало коор динат ( т. е. z(t) = 0 при 0 t 1), и пусть аргумент на чальной точки кривой C (т. е. Arg z(0))выбран равным.

Тогда можно так выбрать одно из значений аргумента для всех точек кривой C, чтобы при движении точки по кривой ее аргумент изменялся непрерывно, начиная со значения.

Другими словами, можно при каждом t выбрать (t) — одно из значений Arg z(t) так, чтобы функция (t) была непрерывна при 0 t 1 и чтобы (0) = *).

251. Пусть (t) и (t) — две функции, описывающие непрерывное изменение Arg z(t) вдоль кривой C. Доказать, что (t) - (t) = 2 k, где k — некоторое фиксированное целое число, не зависящее от t.

252. Доказать, что если выбрано некоторое значение (0) =, то функция (t), описывающая непрерывное из менение Arg z(t) вдоль кривой C, определяется однозначно.

253. Пусть функция (t) описывает непрерывное изме нение Arg z(t). Доказать, что функция (t) = (t) - (0) однозначно определяется функцией z(t) и не зависит от выбора (0).

Из утверждения задачи 253 вытекает, в частности, при t = 1, что для данной непрерывной кривой C, не прохо дящей через точку z = 0, величина (1) - (0) однозначно определяется условием непрерывного изменения (t).

О п р е д е л е н и е. Величину (1) - (0) будем называть изменением аргумента вдоль кривой C.

254. Чему равно изменение аргумента вдоль кривых со следующими параметрическими уравнениями:

a) z(t) = cos t + i sin t, б) z(t) = cos 2 t + i sin 2 t, в) z(t) = cos 4 t + i sin 4 t, r) z(t) = (1 - t) + it?

255. Чему равно изменение аргумента вдоль кривых, изображенных на рис. 18?

Если непрерывная кривая C замкнута, т. е. z(1) = z(0), то величина (1) - (0) имеет вид 2 k, где k — целое число.

О п р е д е л е н и е. Если для непрерывной замкнутой кривой C, не проходящей через точку z = 0, изменение аргумента равно 2 k, то будем говорить, что кривая C обходит k раз вокруг точки z = 0.

256. Сколько раз обходят вокруг точки z = 0 следующие кривые:

*) В книге: С т и н р о д Н., Ч и н н У., Первые понятия топо логии, «Мир», 1967, §§ 20–23, строго и доступно определяется угол, заметаемый данной кривой. Используя это понятие, легко получить утверждение теоремы 6: достаточно положить (t) = (t) + (t), 0 где (t) — угол, заметаемый частью данной кривой от z(0) до z(t).

Рис. а) z(t) = 2 cos 2 t + 2i sin 2 t (рис. 19), 1 б) z(t) = cos 4 t - i sin 4 t (рис. 20), 2 в) кривая на рис. 21, г) кривая на рис. 22?

Рис. 19 Рис. 257. Доказать, что число обходов непрерывной замкну той кривой вокруг точки z = 0 не зависит от выбора на чальной точки, а зависит только от направления кривой.

258. Пусть кривая C с уравнением z1(t) обходит k раз вокруг точки z = 0. Сколько раз обходит вокруг точки z = кривая с уравнением z2(t), если: a) z2(t) = 2 · z1(t);

б) z2(t) = = -z1(t);

в) z2(t) = z0 · z1(t), где z0 = 0;

г) z2(t) = z1(t), где z — число сопряженное z?

О п р е д е л е н и е. Пусть замкнутая непрерывная кри вая C с уравнением z1(t) не проходит через точку z = z0.

Тогда будем говорить, что кривая C обходит k раз вокруг точки z0, если кривая с уравнением z2(t) = z1(t) - z обходит k раз вокруг точки z = 0 (рис. 23).

Рис. 21 Рис. Рис. Таким образом, для определения числа обходов кривой вокруг точки z = z0 нужно следить за вращением вектора z1(t) - z0, который можно рассматривать как вектор, со единяющий точки z0 и z1(t) (см. 221).

259. Сколько раз обходят вокруг точки z = 1 кривые, описанные в задаче 256?

260. Пусть z1(t) и z2(t) — уравнения кривых C1 и C2, не проходящих через точку z = 0. Пусть изменения аргумента вдоль этих кривых равны соответственно и. Чему рав 1 но изменение аргумента вдоль кривой C с уравнением z(t), z1(t) если: a) z(t) = z1(t) · z2(t), б) z(t) = ?

z2(t) § 8. Отображение кривых. Основная теорема алгебры комплексных чисел Пусть даны две плоскости комплексных чисел — плос кость z и плоскость w, и пусть задана функция w = f(z), ко торая каждому значению z ставит в соответствие однознач но определенное значение w. Если на плоскости z имеется непрерывная кривая C с уравнением z(t), топосредством функции w = f(z) каждая точка этой кривой отображает ся в некоторую точку плоскости w. Если при этом функ ция f(z) непрерывна, то на плоскости w мы также полу чим непрерывную кривую с уравнением w0(t) = f(z(t)). Эту кривую мы будем обозначать f(C).

261. Что представляет собой кривая f(C), если w = = f(z) = z2, и кривая C:

а) четверть окружности:

t t z(t) = R cos + i sin, 2 б) полуокружность: z(t) = R(cos t + i sin t), в) окружность: z(t) = R(cos 2 t + i sin 2 t)?

262. Пусть изменение аргумента вдоль кривой C рав но. Чему равно изменение аргумента вдоль кривой f(C), если: а) f(z) = z2, б) f(z) = z3, в) f(z) = zn, где n — произ вольное натуральное число?

263. Пусть кривая C обходит k раз вокруг точки z = z0.

Сколько раз обходит вокруг точки w = 0 кривая f(C), если f(z) = (z - z0)n?

264. Пусть кривая C обходит вокруг точек z = 0, z = 1, z = i, z = -i соответственно k1, k2, k3, k4 раз. Сколько раз обходит вокруг точки w = 0 кривая f(C), если: а) f(z) = = z2 - z, б) f(z) = z2 + 1, в) f(z) = (z2 + iz)4, г) f(z) = = z3 - z2 + z - 1?

Рассмотрим уравнение a0zn + a1zn-1 +... + an-1z + an = 0, где все ai — произвольные комплексные числа, n 1 и a0 = 0. Наша ближайшая цель — показать, что это уравне ние имеет хотя бы один комплексный корень. Если an = 0, то уравнение имеет корень z = 0. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что an = 0.

Обозначим наибольшее из чисел |a0|, |a1|,..., |an| че рез A. Так как a0 = 0, то A > 0. Выберем положитель ные действительные числа R1 и R2, причем R1 выберем настолько малым, чтобы выполнялись два неравенства:

|an| R1 1 и R1 <, а R2 настолько большим, чтобы 10An 10An выполнялись два неравенства: R1 1 и R2 >.

|a0| 265. Пусть |z| = R1. Доказать, что |an| |a0zn +... + an-1z| <.

266. Пусть |z| = R2. Доказать, что a1 an |a0| +... + <.

z zn Кривую с уравнением z(t) = R(cos 2 t + i sin 2 t) (т. е.

Pages:     || 2 | 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.