WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Сибирский математический журнал Сентябрь октябрь, 2003. Том 44, № 5 УДК 517.55 ВЫРАЖЕНИЕ СУПЕРПОЗИЦИИ ОБЩИХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ И. А. Антипова Аннотация: Показано, что

суперпозиция общих алгебраических функций может быть представлена в виде отношения гипергеометрических рядов.

Ключевые слова: алгебраическая функция, гипергеометрический ряд, преобра зование Меллина, суперпозиция, многомерные вычеты.

В 1921 г. Меллин [1] получил формулу для решения общего алгебраическо го уравнения ym + xm-1ym-1 + · · · + x1y - 1 = 0. (1) Для решения y(x) = y(x1,..., xm-1), которое мы будем называть общей алгеб раической функцией, он привел две формулы: представление в виде интеграла, называемого теперь интегралом Меллина Барнса [2–4], и формулу разло жения в степенной ряд с центром в точке x = 0. Указанный степенной ряд является гипергеометрическим рядом по Горну (см. [5, 6]): отношения сосед них коэффициентов ряда являются рациональными функциями от переменных суммирования ряда.

В настоящей работе обобщаются формулы Меллина для суперпозиции об щих алгебраических функций. Как отмечено в [7], суперпозицию n алгебра ических функций можно проинтерпретировать как n-ю координату решения системы n алгебраических уравнений треугольного вида, причем под тре угольностью понимается, что первое уравнение зависит только от первой неиз вестной переменной, второе от первой и второй и т. д. Имея в виду обобщение уравнения (1), такую треугольную систему запишем в виде k m y1 + xk1y1 - 1 = 0, 0

n n k1 kn mn n n yn + xk...kny1... yn - 1 = 0, n 0

© 2003 Антипова И. А.

Выражение суперпозиции общих алгебраических функций n n по k1,..., kn-1, а предполагается лишь, что суммы конечные. Таким образом, в i-м уравнении системы суммирование ведется по множеству мультииндексов i Zi вида i = mi - 1], где Zi-1 конечное множество.

+ i i + [1, i i Набор показателей k1,..., ki i, обслуживающих i-е уравнение в (2), будем кратко обозначать через ki, а соответствующий коэффициент xki i в...ki этом уравнении через xki.

n Для вычисления n-й координаты yn(x) = yn({xk1},..., {xk }) решения y(x) = (y1(x),..., yn(x)) системы (2) исследуем любую мономиальную функцию µ µn yµ(x) := y1 (x) ·... · yn (x), где µ1 > 0,..., µn > 0.

В п. 1 вычислено преобразование Меллина для yµ(x), а в п. 2 с помощью пре образования Меллина выписано интегральное представление (теорема 2) и раз ложение в ряд Тейлора для yµ(x) (теорема 3). Последняя теорема утверждает, что для ветви y(x) со свойством yi(0) = 1, i = 1,..., n, функция yµ разлагается в ряд Тейлора:

n (-1)|p| pkj yµ(x) = 1 + Cp xk.

j p1! ·... · pn!

j= |p| 1 kj j Коэффициенты Cp = Cp1 определяются по формуле...pn |pj|- n n n i i µj kj µj kj + pki + pki - |pj| + q, mj i=j+1 ki i mj q=1 mj i=j ki i mj j= где pj! = pkj !, |pj| = pkj, kj j kj j причем в случае |pj| = 1 произведение полагается равным 1.

q= Степенной ряд для yµ(x) получается вычислением обратного преобразова ния Меллина с помощью многомерных вычетов на основе метода разделяющих циклов А. К. Циха [2–4].

Из структуры коэффициентов Cp видно, что степенной ряд для yµ(x) яв ляется гипергеометрическим. Координата yn(x) может быть представлена, на пример, в виде отношения y1(x) ·... · yn-1(x) · yn(x) yn(x) =.

y1(x) ·... · yn-1(x) · yn(x) Поэтому мы получаем (теорема 4): суперпозиция yn(x) общих алгебраических функций представляется в виде отношения двух гипергеометрических рядов.

Это обстоятельство уместно сравнить с замечанием Б. Штурмфельса [8] о том, что в отличие от случая одного уравнения решения систем уравнений не всегда зависят от коэффициентов гипергеометрическим образом.

Автор благодарен рецензентам за полезные замечания.

1. Преобразование Меллина для yµ(x) µ µn Преобразование Меллина для yµ(x) = y1 (x) ·... · yn (x) определяется ин тегралом n uki - µ µn M(u) = · · · y1 (x) ·... · yn (x) xk dx, (3) i i= ki i Rs1 Rsn + + 974 И. А. Антипова где n dx = dxki, i= ki i а si равно количеству коэффициентов в i-м уравнении системы (2), т. е. мощ ности i.

Для вычисления интеграла (3) введем замену переменных x:

r r k kr m1 mr - r r xk = k W1 ·... · Wr · Wr, kr r, r = 1,..., n, (4) где r Wr = 1 + k, r = 1,..., n.

kr r Учитывая соотношения (2), легко видеть, что mr yr = Wr.

Для вычисления якобиана n (x) ({xk1},..., {xk }) = n () ({k1},..., {k }) матрицу Якоби рассмотрим как блочную с n2 блоками r ({xk }), r, s = 1,..., n, s ({l }) у которой диагональные блоки квадратные. В клетках, стоящих на диагонали, диагональные элементы следующие:

r kr r kr r r k1 k r-1 kr r-1 kr r r xk kr - mr-1 mr - mr- m1 m1 mr r = W1 ·... · Wr-1 Wr + k W1 ·... · Wr-1 - 1 Wr.

r k mr Вне диагоналей в этих клетках стоят элементы вида r kr r k r-1 kr r r xk kr - mr- m1 mr r = k W1 ·... · Wr-1 - 1 Wr, kr = lr.

r l mr Клетки, расположенные выше диагонали, состоят из нулей ввиду треугольности системы (2). Определитель этой матрицы равен произведению определителей блоков, стоящих на диагонали. Несложные вычисления приводят к следующе му выражению для якобиана.

Лемма. Якобиан замены (4) выражается формулой n i (x) ki i = WiA 1 + ki, () mi i= ki i где n j i ki ki Ai = - 1 + - 1.

mi mi j=i+ ki i kj j Теперь сформулируем и докажем основное утверждение настоящего пунк та.

Выражение суперпозиции общих алгебраических функций Теорема 1. Преобразование Меллина M(u), определяемое интегралом (3), равно n µj i - kjuki n mj mj i=j ki i n µj i j= - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n µj i - kjuki (ukj ).

mj mj i=j+1 ki i kj j Интеграл (3) сходится при условиях n µj i Re ukj > 0 (kj j), Re - kjuki > 0, j = 1,..., n.

mj mj i=j ki i Замечание. Для случая n = 1 преобразование M(u) вычислено Мелли ном в [1].

Доказательство. Заметим, что замена переменной (4) определяет биек цию пространства R|s|. В самом деле, эта замена на каждой из плоскостей вида + p r = R|s| : k = rp, p = 1,... n + kp p представляет собой обычное растяжение, и потому она инъективна на таких плоскостях. При разных r плоскости r не пересекаются в октанте R|s|, причем + таким же свойством обладают образы этих плоскостей. Следовательно, заме на (4) инъективна, а ее сюръективность вытекает из того, что при r [0;

+)n образы плоскостей r исчерпывают весь октант R|s|.

+ В преобразовании Меллина (3) произведем замену переменной (4) и под ставим значение якобиана, найденное в лемме. В результате M(u) запишется интегралом n j kj ukj - 1 + kj k d j mj j= kj j kj j · · ·.

n j 1 i µj- (kj -mj)(ukj -1)- kj(uki -1)-mjAj mj Rs1 Rsn n i=j+ + + kj j ki i Wj j= Перепишем степень величины Wj в знаменателе подынтегрального выражения в виде n j i µj - kj - mj (ukj - 1) - kj(uki - 1) - mjAj mj kj j i=j+ ki i n µj i = - kjuki + ukj + 1.

mj mj i=j ki i kj j Тогда n M(u) = Jj, j= 976 И. А. Антипова где j kj ukj - 1 + kj k dkj j mj kj j kj j Jj =. (5) µj 1 n i - kjuki + ukj + sj mj mj i=j R+ ki i kj j Wj Для вычисления интегралов Jj воспользуемся формулой (см. [9]) :

ukj - k dkj (ukj ) p - ukj j kj j kj j kj j. (6) p = (p) 1 + kj sj R+ kj j Интеграл (6) сходится, если Re ukj > 0, Re p > 0, следовательно, интегралы (5), а поэтому и интеграл (3) будут сходиться при условиях n µj i Re(ukj ) > 0, Re - kjuki > 0, kj j, j = 1,..., n.

mj mj i=j ki i Воспользовавшись формулой (6), получим ukj - k dkj j kj j Jj = µj 1 n i - kjuki + ukj + sj mj mj i=j R+ ki i kj j Wj j kj ukj - kj k dkj j mj kj j kj j + µj 1 n i - kjuki + ukj + sj mj mj i=j R+ ki i kj j Wj n µj i (ukj ) - kjuki + mj mj i=j kj j ki i = n µj i - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n µj i (ukj ) (ulj + 1) - kjuki mj mj i=j ki i kj j j lj kj=lj + n mj µj i lj j - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n µj i - kjuki mj mj i=j ki i = (ukj ) n µj i kj j - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n j kj µj i - kjuki + ukj mj mj i=j ki i mj kj j Выражение суперпозиции общих алгебраических функций n µj i - kjuki mj mj i=j ki i = (ukj ) n µj i kj j - kjuki + ukj + mj mj i=j ki i kj j n µj i, - kjuki mj mj i=j+1 ki i откуда вытекает утверждение теоремы.

2. Интегральная формула и ряд Тейлора для yµ(x) Следуя Меллину [1], приведем интегральную формулу для µ µn yµ = y1 (x) ·... · yn (x) (µ1 > 0,..., µn > 0), где y(x) = (y1(x),..., yn(x)) решение системы (2). А именно, формула обра щения для преобразования Меллина приводит к следующему утверждению.

Теорема 2. Мономиальная функция yµ(x) решения системы (2) представ ляется следующим интегралом Меллина Барнса:

n µj i - kjuki n mj mj 1 i=j ki i n (2i)|s| µj i j= - kjuki + ukj + +iR|s| mj mj i=j ki i kj j n µj i kj - kjuki (ukj )(xkj )-u du, (7) mj mj i=j+1 ki i kj j n где |s| = s1 + · · · + sn, du = dukj. Вектор R|s| выбирается из j= kj j многогранника n µj i u R|s| : ukj > 0, kj j, - kjuki > 0, j = 1,..., n.

mj mj i=j ki i Для вычисления интеграла (7) воспользуемся теорией многомерных выче тов. Результат вычисления интеграла через сумму вычетов и даст нам ряд Тейлора для yµ(x).

Теорема 3. Для любого µ Rn функция yµ(x) разлагается в некоторой + окрестности начала координат x = 0 в ряд Тейлора (гипергеометрический ряд) n kj yµ(x) = 1 + Cp (xkj )p, (8) j= |p| 1 kj j где коэффициенты Cp определяются по формуле n n (-1)|p| µj i Cp = + kjpki p1! ·... · pn! mj mj i=j+1 ki i j= 978 И. А. Антипова |pj|- n µj i + kjpki - |pj| + q, (9) mj mj i=j ki i q= pj! = pkj !, |pj| = pkj, kj j kj j в случае |pj| = 1 произведение полагается равным 1.

q= Доказательство. Нам потребуется один из фактов многомерной теории вычетов, а именно принцип разделяющих циклов [2–4]. Адаптация этого прин ципа к нашему случаю касается вычисления интегралов от мероморфных диф ференциальных форм вида ( Ak, u + ak) m k 1 m = (uj) P (u)x-u ·... · x-u du, 1 m ( Bl, u + bl) j= l где ak, bl R, Ak, Bl Rm, P (u) полином. Обозначим I = (1,..., 1) Zm.

Утверждение [2, с. 235;

3]. Если I+ Ak = Bl и вектор = (1,..., m) Rm таков, что ни одно из полупространств Ak, u + ak 0 не пересекает октант {u Cm : Re u1 < 1,..., Re um < m}, то справедливо равенство = resu(p), (10) (2i)m +iRm pNm где resu(p) это вычет в точке пересечения u(p) = (-p1,..., -pm) гиперплос костей u1 = -p1,..., um = -pm, являющихся полюсами для (u1),..., (um).

Ряд из вычетов сходится в некоторой окрестности точки x = 0.

Вычислим интеграл (7) как сумму вычетов по всем точкам u(p):

uk1 = -pk1 0 < k1 < m1, 1 uk2 2 = -pk2 2 0 < k2 < m2, k2 1k.........

n n n n n uk...kn = -pk...kn 0 < kn < mn.

1 В этих точках одновременно имеют полюсы все (ukj ), j = 1,..., n.

Обозначим через подынтегральное выражение (7). Так как в точке u(p) полярность формы обеспечивается только множителями (ukj ), вычет resu(p) равен произведению вычетов в точках ukj = -pkj гамма-функций (ukj ) и зна чения весового (голоморфного) множителя в точке u(p):

(-1)|p| resu(p) = p1! ·... · pn!

n n µj 1 µj i i + kjpki + kjpki n mj mj mj mj i=j i=j+ ki i ki i kj.

(xkj )p n µj i j= kj j + kjpki - pkj + mj mj i=j ki i kj j Выражение суперпозиции общих алгебраических функций Согласно (10) имеем µ µn y1 (x) ·... · yn (x) = resu(p). (11) |p| При |p| = 0 и |p| = 1 в сумме (11) получаются слагаемые вида 1 n µ1 k1 µn kn n 1 - + xk1 - · · · - + xk.

m1 m1 mn mn 1 n 0

Имеем n n µj 1 µj i i + kjpki + kjpki mj mj mj mj i=j i=j+ ki i ki i n n µj 1 µj i i + kjpki - pkj + kjpki - pkj mj mj mj mj i=j i=j ki i kj j ki i kj j n n µj 1 µj i i + kjpki - |pj| + kjpki mj mj mj mj i=j i=j+ ki i |pj| ki i = n µj i + kjpki - |pj| mj mj i=j ki i |pj|- n n µj 1 µj i i = + kjpki + kjpki - |pj| + q.

mj mj i=j+1 ki i mj mj i=j ki i q= Отсюда вытекает формула (9) для коэффициентов ряда (8). Теорема дока зана.

Из структуры коэффициентов Cp видно, что степенной ряд для yµ(x) яв ляется гипергеометрическим. Координата yn(x) может быть представлена, на пример, в виде отношения y1(x) ·... · yn-1(x) · yn(x) yn(x) =.

y1(x) ·... · yn-1(x) · yn(x) Поэтому справедлива Теорема 4. Суперпозиция yn(x) общих алгебраических функций пред ставляется в виде отношения двух гипергеометрических рядов.

ЛИТЕРАТУРА 1. Mellin H. J. Resolution de l’equation algebrique generale a l’aide de la fonction // C. R. Acad.

Sci. 1921. V. 172. P. 658–661.

.

2. Passare M., Tsikh A., Zhdanov O. A multidimensional Jordan residue lemma with an appli cation to Mellin–Barnes integrals // Aspects Math. 1994. V. E 26. P. 233–241.

.

3. Жданов О. Н., Цих А. К. Исследование кратных интегралов Меллина Барнса с помо щью многомерных вычетов // Сиб. мат. журн. 1998. Т. 39, № 2. С. 282–298.

.

4. Семушева А. Ю., Цих А. К. Продолжение исследований Меллина о решении алгебраи ческих уравнений // Комплексный анализ и дифференциальные операторы: Сб. науч.

тр. Красноярск: КрасГУ, 2000. С. 134–146.

.

980 И. А. Антипова 5. Sadykov T. M. On the Horn system of partial differential equations and series of hypergeo metric type // Math. Scand. 2002. V. 91. P. 127–149.

.

6. Гельфанд И. М., Граев М. И., Ретах В. С. Общие гипергеометрические системы уравне ний и ряды гипергеометрического типа // Успехи мат. наук. 1992. Т. 47, № 4. С. 3–82.

7. Арнольд В. И. Топологические инварианты алгебраических функций. II // Функцио нальный анализ и его прил. 1970. Т. 4, № 4. С. 1–9.

.

8. Sturmfels B. Solving algebraic equations in terms of A -hypergeometric series // Discrete Math. 2000. V. 15, N 1–3. P. 171–181.

.

9. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.:

Физматгиз, 1963.

Статья поступила 1 марта 2002 г.

Антипова Ирина Августовна Красноярский гос. технический университет, кафедра прикладной математики, ул. Киренского, 26, Красноярск antipov@akadem.ru




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.