WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«РАЛЬФ ВИНС Математика управления капиталом Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров Оглавление Посвящение Введение Обзор книги Некоторые распространенные ложные концепции Сценарии и ...»

-- [ Страница 5 ] --

Рисунок 7-3 Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования Рисунок 7-4 Эффективная граница с реинвестированием и без реинвестирования Пусть нашей целью будет AHPR при значении V, которое соответствует геометрическому оптимальному портфелю. В знаменателе (2.09а) мы используем среднее геометрическое геометрического оптимального портфеля. Теперь мы можем определить, сколько сделок необходимо для того, чтобы привести наш геометрический оптимальный портфель к одной сделке арифметического портфеля:

N=ln(l,031)/ln(l,01542) =0,035294/0,0153023 = 1, Таким образом, можно ожидать, что через 1,995075, или приблизительно через сделки, оптимальное GHPR достигнет соответствующего (при том же V) AHPR для одной сделки. Здесь возникает проблема, которая заключается в том, что ATWR должно отражать тот факт, что прошли две сделки. Другими словами, когда GTWR приближается к ATWR, ATWR двигается вверх, хотя и с постоянной скоростью (в отличие от GTWR, которое ускоряется). Можно решить эту проблему с помощью уравнений (7.07) и (7.08) для расчета геометрического и арифметического TWR:

Так как мы знаем, что, когда N = 1, G всегда меньше А, можно перефразировать вопрос: «При скольких N G будет равно А?» Математически это будет выглядеть таким образом:

что можно представить следующим образом:

или или N в уравнениях с (7.10а) по (7. 10г) представляет собой количество сделок, которое необходимо для того, чтобы геометрическое HPR стало равно арифметическому.

Все три уравнения эквивалентны. Решение можно получить методом итераций.

Зная для нашего геометрического оптимального портфеля GHPR= 1,01542 и соответствующее AHPR= 1,031 и решая любое уравнение с (7.10а) по (7. 10г), мы находим, что N = 83,49894. Таким образом, после того, как пройдет 83, сделки, геометрическое TWR догонит арифметическое. Полученный результат справедлив для тех TWR, которые соответствуют координате дисперсии геометрического оптимального портфеля.Так же, как и AHPR, GHPR имеет свою линию CML. Рисунок 7-5 показывает как AHPR, так и GHPR с линиями CML, рассчитанными на основе безрисковой ставки.

Рисунок 7-5 AHPR, GHPR и их линии CML Зная CML для AHPR, можно рассчитать CML для GHPR следующим образом:

CMLG = координата Е (по вертикали) линии CML для GHPR при данной координате V, соответствующей Р;

CMLA= координата Е (по вертикали) линии CML для AHPR при данной координате V, соответствующей Р;

Р = процент в касательном портфеле, рассчитанный из (7.02);

VT = координата дисперсии касательного портфеля.

Следует иметь в виду, что для данной безрисковой ставки касательный портфель и геометрический оптимальный портфель в общем случае не одинаковы. Портфели будут идентичными при выполнении следующего равенства:

(7.12) RFR=GHPROPT-1, где RFR = безрисковая ставка;

GHPROPT = среднее геометрическое HPR геометрического оптимального портфеля, т.е. координата Е портфеля на эффективной границе.

Только когда разность GHPR геометрического оптимального портфеля и единицы равна безрисковой ставке, геометрический оптимальный портфель и касательный портфель будут одинаковыми. Если RFR > GHPROPT - 1, тогда геометрический оптимальный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую дисперсию, чем касательный портфель). Если RFR < GHPROPT - 1, тогда касательный портфель будет слева (т.е. иметь меньшую дисперсию, чем геометрический оптимальный портфель). Во всех случаях касательный портфель, конечно же, никогда не будет иметь более высокое GHPR, чем геометрический оптимальный портфель.

Отметьте также, что точки касания CML к GHPR и CML к AHPR имеют одну координату SD. Мы можем использовать уравнение (7.01а) для поиска касатель ного портфеля GHPR, заменив в (7.01а) AHPR на GHPR. В результате получится следующее уравнение:

где МАХ{}= максимальное значение;

GHPR = геометрическое среднее HPR, т.е. координата Е данного портфеля на эффективной границе;

SD = стандартное отклонение HPR, т.е. координата SD данного портфеля на эффективной границе;

RFR = безрисковая ставка.

Неограниченные портфели В этом разделе мы увидим, что можно поднять прибыли выше линии GCML, если снять ограничение на сумму весов. Давайте вернемся к геометрическим оп тимальным портфелям. Если мы попробуем составить геометрический опти мальный портфель из наших четырех рыночных систем — Toxico, Incubeast, LA Garb и сберегательного счета, то с помощью уравнений с (7.0ба) по (7.06г) найдем, что он является таковым при Е, равном 0,1688965, и V, равном 0,1688965. Среднее геометрическое такого портфеля будет равно 1,094268, а состав портфеля будет иметь вид:

Toxico 18,89891% Incubeast 19,50386% LA Garb 58,58387% Сберегательный счет 0,03014% При решении уравнений с (7.06а) по (7.06г) необходимо использовать метод ите раций, т.е. выбирать тестируемое значение для Е и решать матрицу для этого Е.

Если полученное значение дисперсии больше значения Е, это означает, что тес тируемое значение Е слишком высокое и в следующей попытке следует его пони зить. Вы можете определить дисперсию портфеля, используя одно из уравнений с (6.06а) по (6.06г). Повторяйте процесс, пока не будет выполняться любое из ра венств с (7.06а) по (7.06г). Таким образом вы получите геометрический оптималь ный портфель (отметьте, что все рассмотренные портфели на эффективной гра нице AHPR или на эффективной границе GHPR определяются с учетом того, что сумма весов равна 100%, или 1,00). Вспомните уравнение (6.10), используемое в первоначальной расширенной матрице для поиска оптимальных весов портфеля, уравнение отражает тот факт, что сумма весов равна 1:

где N = количество ценных бумаг, составляющих портфель;

X. = процентный вес ценной бумаги L Уравнение также можно представить следующим образом:

Мы можем найти неограниченный оптимальный портфель, если левую часть этого уравнения приравнять к числу больше 1. Для этого добавим еще одну рыночную систему, называемую беспроцентным вкладом (non-interest-bearing cash (NIC)), в первоначальную расширенную матрицу Данная рыночная система будет иметь дневное среднее арифметическое HPR= 1,0, а стандартное отклонение, дисперсию и ковариацию дневных HPR равными 0. Коэффициенты корреляции NIC с любой другой рыночной системой всегда равны 0.

Теперь установим ограничение суммы весов на некоторое произвольное число, большее единицы. Хорошим первоначальным значением будет количество используемых рыночных систем (без NIC), умноженное на три. Так как мы имеем 4 рыночные системы (не учитывая NIC), то ограничим сумму весов 4*3=12.

Отметьте, что мы просто устанавливаем ограничение на произвольное значе ние, большее единицы. Разность между этим выбранным значением и суммой полученных весов будет весом системы NIC.

На самом деле, мы не собираемся инвестировать в NIC. Это просто дополни тельная переменная, с помощью которой мы создадим матрицу для получения неограниченных весов рыночных систем. Теперь возьмем параметры наших че тырех рыночных систем из главы 6 и добавим NIC:

Ковариации рыночных систем, включая NIC, будут следующими:

Добавив NIC, мы получим 5 рыночных систем, и обобщенная форма первона чальной расширенной матрицы будет выглядеть следующим образом:

неограниченных весов рыночных систем. Теперь возьмем параметры наших че тырех рыночных систем из главы 6 и добавим NIC:

Инвестиция Ожидаемая прибыль в виде Ожидаемое стандартное HPR отклонение прибыли Toxico 1,095 0, Incubeast Corp. 1,13 0, LA Garb 1,21 0, Сберегательный счет 1,085 Беспроцентный вклад 1,00 Ковариации рыночных систем, включая NIC, будут следующими:

Т IL S N Т 0,1 -0,0237 0,01 0 I -0,0237 0,25 0,079 0 L 0,01 0,079 0,4 0 S0 0 00 N0 0 00 Добавив NIC, мы получим 5 рыночных систем, и обобщенная форма первона чальной расширенной матрицы будет выглядеть следующим образом:

После включения NIC первоначальная расширенная матрица приобретет вид:

Отметьте, что значение на пересечении столбца ответов и второй строки, т.е. огра ничение суммы весов, равно количеству рыночных систем (не включая NIC), ум ноженному на 3. С помощью элементарных преобразований, описанных в главе 6, получим единичную матрицу. Теперь вы можете определить эффективную границу AHPR и эффективную границу GHPR для портфеля с неограниченными весами. Эффективная граница AHPR для портфеля с неограниченными весами соответствует использованию рычага (заемного капитала) без реинвестирования.

Эффективная граница GHPR соответствует использованию рычага и реин вестированию прибылей. Наша цель — найти оптимальный неограниченный геометрический портфель, который в результате даст наибольший геометрический рост. Можно использовать уравнения с (7.Оба) по (7.06г) для нахождения на эффективной границе геометрического оптимального портфеля. В нашем случае, независимо от того, какое значение мы пытаемся найти для Е (значение на пересечение столбца ответов и первой строки), мы получаем один и тот же пор тфель, состоящий только из сберегательного счета, поднятого рычагом для дос тижения желаемого значения Е. В этом случае мы получаем самое низкое V (т. е.

0) для любого Е.

Удалим из матрицы сберегательный счет и повторим процедуру. На этот раз мы рассмотрим только четыре рыночные системы (Toxico, Incubeast, LA Garb и NIC) и ограничим сумму весов числом 9. Мы должны поступить таким образом, потому что, как только в матрице появляется компонент с нулевой дисперсией и AHPR большим 1, мы получаем оптимальный портфель, состоящий из одного компонента, а для соответствия требуемому Е будет меняться только рычаг этого компонента.

Решив матрицу, мы увидим, что уравнения с (7.06а) по (7.06г) удовлетворяются при Е, равном 0,2457. Так как это геометрический оптимальный портфель, V также равно 0,2457. Получившееся среднее геометрическое равно 1,142833. Портфель будет выглядеть следующим образом:

Toxico 102,5982% Incubeast 49,00558% LA Garb 40,24979% NIC 708,14643% Возникает резонный вопрос: «Каким образом сумма весов компонентов может быть больше 100%?» Мы ответим на этот вопрос, но несколько позже.

Если NIC не является одним из компонентов геометрического оптимального портфеля, то следует поднять ограничение суммы весов S до уровня, когда NIC станет одним из компонентов геометрического оптимального портфеля.

Вспомните, что если в портфеле есть только два компонента, причем коэффициент корреляции между ними равен -1 и оба компонента имеют положительное математическое ожидание, тогда от вас потребуется финансирование бесконечного числа контрактов, поскольку такой портфель никогда не будет проигрывать.

Следует также отметить, что чем ниже коэффициенты корреляции между компонентами в портфеле, тем выше процент, требуемый для инвестирования в эти компоненты. Разность между инвестированными процентными долями и ограничением суммы весов S должна быть заполнена NIC. Если NIC отсутствует среди компонентов геометрического оптимального портфеля, значит портфель работает при ограниченном S и поэтому не может считаться неограниченным геометрическим оптимальным портфелем. Так как вы не будете в действительности инвестировать в NIC, то не имеет значения, каков его вес, пока он является частью геометрического оптимального портфеля.

Оптимальное f и оптимальные портфели Из главы 6 мы узнали, что для каждого компонента портфеля необходимо опре делить ожидаемую прибыль (в процентах) и ожидаемую дисперсию прибылей. В общем случае, ожидаемые прибыли (и дисперсии) рассчитываются на основе текущей цены акции. Затем для каждого компонента определяется его опти мальный процент (вес). Далее, для расчета суммы инвестиций в тот или иной компонент, баланс на счете умножается на вес компонента, и затем для опреде ления количества акций для покупки эта сумма в долларах делится на текущую цену одной акции.

Так в общих чертах можно описать современную стратегию создания портфеля.

Но это не совсем оптимальный вариант, и в этом состоит одна из основных идей книги. Вместо определения ожидаемой прибыли и дисперсии прибыли на основе текущей цены компонента, ожидаемая прибыль и дисперсия прибылей для каждого компонента должны определяться на основе долларового оптимального f.

Другими словами, в качестве входных данных вы должны использовать арифметическое среднее HPR и дисперсию HPR. Используемые HPR должны быть привязаны не к количеству сделок, а к фиксированным интервалам времени (дни, недели, месяцы, кварталы или годы), как в главе 1 для уравнения (1.15).

где А = сумма в долларах, выигранная или проигранная в этот день;

В = оптимальное f в долларах.

Не обязательно использовать дневные данные, можно использовать любой вре менной период, при условии, что он одинаковый для всех компонентов портфеля (тот же временной период должен использоваться для определения коэффициен тов корреляции между HPR различных компонентов). Скажем, рыночная система с оптимальным f= 2000 долларов за день заработала 100 долларов. Тогда для такой рыночной системы дневное HPR = 1,05.

Если вы рассчитываете оптимальное f на основе приведенных данных, то для получения дневных HPR следует использовать уравнение (2.12);

где D$ = изменение цены 1 единицы в долларах по сравнению с прошлым днем, т.е. (закрытие сегодня - закрытие вчера) * доллары за пункт;

f$ = текущее оптимальное f в долларах, рассчитанное из уравнения (2.11). Здесь текущей ценой является закрытие последнего дня.

После того как вы определите оптимальное f в долларах для 1 единицы компонен та, надо взять дневные изменения баланса на основе 1 единицы и преобразовать их в HPR с помощью уравнения (1.15). Если вы используете приведенные данные, воспользуйтесь уравнением (2.12). Когда вы комбинируете рыночные системы в портфеле, все они должны иметь одинаковый формат, т.е. если данные приведены к текущим ценам, то оптимальные f и побочные продукты также должны быть приведенными.

Вернемся к арифметическому среднему HPR. Вычитая единицу из арифмети ческого среднего, мы получим ожидаемую прибыль компонента. Дисперсия дневных (недельных, месячных и т.д.) HPR даст исходную дисперсию для матри цы. Наконец, для каждой пары рассматриваемых рыночных систем рассчитаем коэффициенты корреляции между дневными HPR.

Теперь можно сделать важное заключение. Портфели, параметры которых (ожидаемые прибыли, дисперсия ожидаемых прибылей и коэффициенты корреляции ожидаемых прибылей) выбраны на основе текущей цены компонента, не будут истинно оптимальными портфелями. Для определения истинно оптимального портфеля следует использовать входные параметры, основанные на торговле 1 единицей при оптимальном/для каждого компонента. Вы не можете быть ближе к пику кривой оптимального f, чем само оптимальное f.

Рассчитывая параметры из текущей рыночной цены компонента, вы выбираете параметры произвольно, следовательно, они не обязательно оптимальны.

Вернемся к вопросу о том, каким образом возможно инвестировать больше 100% в определенный компонент. Одно из основных утверждений этой книги со стоит в том, что вес и количество не одно и то же. Вес, который вы получаете при нахождении геометрического оптимального портфеля, должен быть отражен в оптимальных f компонентов портфеля. Для этого следует разделить оптимальное f каждого компонента на его соответствующий вес. Допустим, у нас есть следую щие оптимальные f (в долларах):

Toxico $ Incubeast $ LA Garb $ (Отметьте, что если вы приводите данные к текущей цене и, следовательно, полу чаете приведенное оптимальное f и побочные продукты, тогда ваше оптимальное f в долларах будет меняться каждый день в зависимости от цены закрытия преды дущего дня на основании уравнения [2.11].) Теперь разделим f на соответствующие веса:

Toxico $2500 / 1,025982 = $2436, Incubeast $4750 / 0,4900558 = $9692, LA Garb $5000 / 0,4024979 = $12 422, Таким образом, используя новые «отрегулированные» значения f, мы получаем гео метрический оптимальный портфель. Допустим, Toxico представляет определен ную рыночную систему. Торгуя 1 контрактом в этой рыночной системе на каждые 2436,69 долларов на счете (и поступая таким же образом с новыми отрегулирован ными значениями f других рыночных систем), мы будем торговать геометричес ким оптимальным неограниченным портфелем. Если Toxico является акцией и мы считаем 100 акций «I контрактом», то следует торговать 100 акциями Toxico на каждые 2436,99 доллара на балансе счета. Пока мы не будем учитывать залоговые средства. В следующей главе мы рассмотрим проблему требований к залоговым средствам.

«Минутку, — можете возразить вы. — Если мы изменим оптимальный порт фель посредством оптимального f, будет ли он оптимальным. Если новые значения относятся к другому портфелю, то ему соответствует другая координата прибыли, и он может не оказаться на эффективной границе».

Заметьте, мы не изменяем значения f. Мы просто сокращаем расчеты, и это выглядит так, как будто значения f изменяются. Мы создаем оптимальные порт фели, основываясь на ожидаемых прибылях и дисперсии прибылей при торговле одной единицей каждого компонента, а также на коэффициентах корреляции.

Таким образом, мы получаем оптимальные веса (оптимальный процент счета для торговли каждым компонентом). Поэтому, если рыночная система имеет оптимальное f = 2000 долларов и ее вес в оптимальном портфеле равен 0,5, мы должны использовать для этой рыночной системы 50% счета при полном оптимальном f= 2000 долларов. Это то же самое, что торговать 100% нашего счета при оптимальном f, деленном на оптимальный вес, т.е. ($2000 /0,5) = $4000.

Другими словами, торговать оптимальным f= 2000 долларов на 50% счета, по сути, то же самое, что и торговать измененным f= 4000 долларов на 100% счета.

AHPR и SD, которые вы вводите в матрицу, определяются из значений опти мального f в долларах. Если речь идет об акциях, то можно рассчитать значения AHPR, SD и оптимального f на основе одной акции или, например, 100 акций, вы сами определяете размер одной единицы.

В ситуации, когда нет рычага (например, портфель акций без заемных средств), вес и количество одно и то же. Однако в ситуации с рычагом (например, портфель фьючерсных рыночных систем), вес и количество отличаются. Идея, которая была впервые изложена в книге «Формулы управления портфелем», состоит в том, что мы пытаемся найти оптимальное количество, и оно является функцией оптимальных весов. Когда мы рассчитываем коэффициенты корреляции HPR двух рыночных систем с положительными арифметическими математическими ожиданиями, то чаще всего получаем положительные значения. Это происходит потому, что кривые баланса рыночных систем (совокупная текущая сумма дневных изменений баланса) стремятся вверх и вправо. Проблема решается следующим образом: для каждой кривой баланса надо определить линию регрессии методом наименьших квадратов (до приведения к текущим ценам, если оно применяется) и рассчитать разность кривой баланса и ее линии регрессии в каждой точке. Затем следует преобразовать уже лишенную тренда кривую баланса в простые дневные изменения баланса. После этого вы можете привести данные к текущим ценам (когда это необходимо). Далее, рассчитайте корреляцию по этим уже обработанным данным. Предложенный метод работает в том случае, если вы используете корреляцию дневных изменений баланса, а не цен. Если вы будете использовать цены, то можете получить искаженную картину, хотя очень часто цены и дневные изменения баланса взаимосвязаны (например, в системе пересечения долгосрочной скользящей средней). Метод удаления тренда следует всегда применять аккуратно. Разумеется, дневное AHPR и стандартное отклонение HPR должны всегда рассчитываться по данным, из которых не удален тренд.

Последняя проблема, которая возникает, когда вы удаляете тренд из данных, ка сается систем, в которых сделки совершаются достаточно редко. Представьте себе две торговые системы, каждая из которых инициирует одну сделку в неделю, причем в разные дни. Коэффициент корреляции между ними может быть только незначительно положительным. Однако когда мы лишаем данные тренда, то получаем очень высокую положительную корреляцию, поскольку их линии регрессии немного повышаются каждый день, хотя большую часть времени изменение баланса равно нулю. Поэтому разность будет отрицательной.

Преобладание дней с незначительной отрицательной разностью между кривой баланса и линией регрессии в обеих рыночных системах в результате дает неоправданно высокую положительную корреляцию.

Порог геометрической торговли для портфелей Теперь обратимся к проблеме нахождения порога геометрической торговли для данной комбинации оптимального портфеля. Проблема легко решается, если разделить порог геометрической торговли для каждого компонента на его вес в оптимальном портфеле так же, как мы делили оптимальные f компонентов на их соответствующие веса для получения нового значения, справедливого для компо нентов оптимального портфеля. Допустим, порог геометрической торговли для Toxico составляет 5100 долларов. Разделив данное значение на его вес в оптималь ном портфеле, т.е. на 1,025982, мы получим новый измененный порог геометри ческой торговли:

Порог =$5100/1,025982= $4970, Так как вес для Toxico больше 1, то его оптимальное f и порог геометрической торговли уменьшатся, поскольку мы делим их значения на этот вес. Если нельзя торговать дробной единицей Toxico, мы перейдем на 2 единицы, когда баланс повысится до 4970,85 доллара. Вспомните, что наше новое измененное значение f в оптимальном портфеле для Toxico равно 2436,69 доллара ($2500 / 1,025982). Так как данная сумма, умноженная на два, равна 4873,38 доллара, нам следует перейти на торговлю двумя контрактами в этой точке. Однако порог геометрической торговли, который больше чем в два раза превышает величину f в долларах, говорит о том, что не стоит переходить на торговлю 2 единицами до тех пор, пока баланс не достигнет порога геометрической торговли, равного 4970,85 доллара.

Если вы приводите данные к текущим ценам и получаете приведенное опти мальное f и его побочные продукты, включая порог геометрической торговли, тогда оптимальное f в долларах и порог геометрической торговли будут меняться ежедневно в зависимости от цены закрытия предыдущего дня на основании урав нения (2.11).

Подведение итогов Отметим важный факт: структура неограниченного портфеля (для которого сумма весов больше 1, a NIC является частью портфеля) неизменна для любого уровня Е;

единственным отличием является величина заемных средств (величина рычага).

Для портфелей, лежащих на эффективной границе, когда сумма весов ограничена, это не так. Другими словами, для любой точки на неограниченных эффективных границах (AHPR или GHPR) отношения весов различных рыночных систем всегда одинаковы.

Например, можно рассчитать отношения весов между различными рыночными системами в геометрическом оптимальном портфеле. Отношение Toxico к Incubeast составляет: 102,5982% / 49,00558% = 2,0936. Таким же образом мы можем определить отношения всех компонентов в портфеле друг к другу:

Toxico / Incubeast = 2, Toxico / LA Garb = 2, Incubeast / LA Garb = 1, Теперь вернемся к неограниченному портфелю и найдем веса для различных зна чений Е. Далее следуют веса компонентов неограниченных портфелей, которые имеют самые низкие дисперсии для данных значений Е. Заметьте, что отношения весов компонентов одинаковы:

E=0,1 Е=0, Toxico 0,4175733 1, Incubeast 0,1994545 0, LA Garb 0,1638171 0, Таким образом, мы можем утверждать, что эффективные границы портфелей с неограниченной суммой весов содержат одинаковые портфели с разным уровнем заемных средств (с разным плечом). Портфель, в котором меняется величина плеча для получения заданного уровня прибыли Е, когда снято ограничение суммы весов, будет иметь второй множитель Лагранжа, равный нулю, при сумме весов, равной 1. Теперь мы можем достаточно просто определить, каким будет наш неограниченный геометрический оптимальный портфель. Сначала найдем портфель, который имеет нулевое значение для второго множителя Лагранжа, когда сумма весов ограничена 1,00. Одним из способов поиска такого портфеля является процесс итераций. Получившийся в результате портфель поднимается (или опускается) рычагом в зависимости от выбранного Е для неограниченного портфеля. Значение Е, удовлетворяющее любому уравнению с (7.06а) по (7.06г), и будет тем значением, которое соответствует неограниченному геометрическому оптимальному портфелю. Для выбора геометрического оптимального портфеля на эффективной границе AHPR для портфелей с неограниченными весами, можно использовать первый множитель Лагранжа, который определяет положение портфеля на эффективной границе. Вспомните (см. главу 6), что одним из побочных продуктов при определении состава портфеля методом элементарных построчных преобразований является первый множитель Лагранжа. Он выражает мгновенную скорость изменения дисперсии по отношению к ожидаемой прибыли (с обратным знаком). Первый множитель Лагранжа, равный - 2, означает, что в этой точке дисперсия изменяется по отношению к ожидаемой прибыли со скоростью 2. В результате, мы получим портфель, который геометрически оптимален.

(7.06д) L1 = - 2, где L1 = первый множитель Лагранжа данного портфеля на эффективной границе AHPR для портфелей с неограниченной суммой весов1.

Теперь объединим эти концепции вместе. Портфель, который с помощью рычага перемещается вдоль эффективных границ (арифметических или геометрических) портфелей с неограниченной суммой весов, является касательным портфелем к линии CML, выходящей из RFR == 0, когда сумма весов ограничена 1,00 и NIC не используется. Итак, мы можем найти неограниченный геометрический оптимальный портфель путем поиска касательного портфеля для RFR = 0, когда сумма весов ограничена 1,00, а затем поднять рычагом полученный портфель до точки, где он становится геометрическим оптимальным. Но как определить, Таким образом, мы можем утверждать, что геометрический оптимальный портфель — это портфель, в котором второй множитель Лагранжа равен 0, когда сумма весов ограничена единицей, а в том случае, когда сумма весов не ограничена, первый множитель Лагранжа равен - 2. Такой портфель, при снятии ограничений на сумму весов, также будет иметь второй множитель Лагранжа, равный 0.

насколько повысить данный ограниченный портфель, чтобы сделать его эквивалентным неограниченному геометрическому оптимальному портфелю?

Вспомните, что касательный портфель находится на эффективной границе (арифметической или геометрической) портфелей с ограниченной суммой весов в точке с наивысшим отношением Шарпа (уравнение (7.01)). Мы просто повысим рычагом этот портфель и умножим веса каждого из его компонентов на переменную, называемую q, которую можно получить следующим образом:

(7.13) q=(E-RFR)/V, где Е = ожидаемая прибыль (арифметическая) касательного портфеля;

RFR = безрисковая ставка, по которой вы можете занять или дать взаймы;

V= дисперсия касательного портфеля.

Уравнение (7.13) является достаточно хорошим приближением реального опти мального q.

Следующий пример может проиллюстрировать роль оптимального q. Вспом ните, что наш неограниченный геометрический оптимальный портфель выглядит так:

Компонент Вес Toxico 1, Incubeast 0, LA Garb 0, Портфель имеет AHPR= 1,245694 и дисперсию 0,2456941. В оставшейся части нашего обсуждения мы будем исходить из того, что RFR = 0 (в данном случае отношение Шарпа этого портфеля, (AHPR-(1 + RFR)) / SD, равно 0,49568).

Теперь, если мы введем те же прибыли, дисперсии и коэффициенты корреляции компонентов в матрицу и рассчитаем, какой портфель находится в точке касания при RFR = 0, когда сумма весов ограничена 1,00 и при отсутствии NIC, то получим следующий портфель:

Компонент Вес Toxico 0, Incubeast 0, LA Garb 0, Этот портфель имеет AHPR = 1,128, дисперсию 0,066683 и отношение Шарпа 0,49568. Отметьте, что отношение Шарпа касательного портфеля, для которого сумма весов ограничена 1,00, при отсутствии NIC, в точности равно отношению Шарпа для нашего неограниченного геометрического оптимального портфеля.

Вычитая единицу из полученных AHPR, мы получаем арифметическую среднюю прибыль портфеля. Далее заметим: чтобы для ограниченного касательного портфеля получить прибыль, равную прибыли неограниченного геометрического оптимального портфеля, мы должны умножить веса первого на 1,9195.

0,245694/0,128=1, Теперь, если мы умножим каждый из весов ограниченного касательного портфеля, то получим портфель, идентичный неограниченному геометрическому опти мальному портфелю:

Компонент Вес * 1,9195 = Вес Toxico 0,5344908 1, Incubeast 0,2552975 0, LA Garb 0,2102117 0, Множитель 1,9195 получен в результате деления прибыли неограниченного гео метрического оптимального портфеля на прибьыь ограниченного касательного портфеля. Как правило, нам надо найти неограниченный геометрический опти мальный портфель, зная только ограниченный касательный портфель. Именно здесь и используется оптимальное q. Если мы допускаем, что RFR = 0, то можно определить оптимальное q по нашему ограниченному касательному портфелю следующим образом:

(7.13) q=(E-RFR)/V=(0,128-0)/0,066683 = 1, Несколько замечаний по поводу RFR. Когда речь идет о фьючерсных контрактах, следует приравнять RFR к нулю, так как в действительности мы не занимаем и не ссужаем средства для увеличения или уменьшения активов портфеля. С акциями ситуация иная, и RFR следует принимать во внимание.

Вы часто будете использовать AHPR и дисперсию для портфелей на основе дневных HPR компонентов. В таких случаях необходимо применять не годовую, а дневную ставку RFR. Это довольно простая задача. Сначала необходимо убедится, что годовая ставка является эффективной годовой процентной ставкой.

Процентные ставки обычно указываются в годовых процентах, но часто они представляют собой номинальную годовую процентную ставку. Если процентная ставка складывается из полугодовых, квартальных, месячных ставок и т.д., то ставка, заработанная за год, будет больше, чем просто годовая ставка (номи нальная). Когда процент суммируется, эффективная годовая процентная ставка может быть определена из номинальной процентной ставки. Полученную эф фективную годовую процентную ставку мы и будем использовать в расчетах. Для преобразования номинальной ставки в эффективную ставку следует использовать формулу:

где Е = эффективная годовая процентная ставка;

R = номинальная годовая процентная ставка;

М == число периодов сложения за год.

Предположим, номинальная годовая процентная ставка составляет 9%, и доход по ней пересчитывается каждый месяц по формуле сложного процента. Соответ ствующая эффективная процентная ставка будет равна:

(7.14) Е = (1+0,09/12)^ 12-1 = (1 + 0,0075)^12-1 ==1,0075^12- 1 = 1,093806898 = 0, Таким образом, наша эффективная годовая процентная ставка будет немногим больше 9,38%. Теперь, чтобы рассчитать HPR на основе рабочих дней, мы должны найти среднее число рабочих дней 365,2425 /7*5= 260,8875. Разделив 0, на 260,8875, мы получим дневное RFR = 0,0003595683887.

Если мы на самом деле будем привлекать средства, чтобы получить из ограни ченного касательного портфеля неограниченный геометрический оптимальный портфель, необходимо ввести значение RFR в отношение Шарпа, уравнение (7.01), и оптимальное q, уравнение (7.13).

Подведем итог. Допустим, RFR для вашего портфеля не равно 0, и необходимо найти геометрический оптимальный портфель, не рассчитывая ограниченный касательный портфель для этого RFR. Можете ли вы перейти прямо к матрице, установить сумму весов на какое-либо произвольно высокое значение, добавить NIC и найти неограниченный геометрический оптимальный портфель, когда RFR больше О? Да, если вычесть RFR из ожидаемых прибылей каждого компонента, но не из NIC (т.е. ожидаемая прибыль для NIC остается нулевой, что соответствует среднему арифметическому HPR= 1,00). Теперь, решив матрицу, мы получим неограниченный геометрический оптимальный портфель, когда RFR больше 0.

Так как эффективная граница для портфелей с неограниченной суммой весов дает один и тот же портфель с различной величиной рычага, линия CML не может пересекаться или касаться эффективной границы портфелей с неограниченной суммой весов, если же сумма весов ограничена (т.е. равна 1) — это возможно.

Мы рассмотрели несколько способов определения геометрического оптимального портфеля. Например, мы можем рассчитать его эмпирически, что было продемонстрировано в книге «Формулы управления портфелем» и повторено в первой главе этой книги. В данной главе мы узнали, как с помощью параметрического метода рассчитать портфель при любом значении безрисковой ставки.

Теперь, когда мы знаем, как определить геометрический оптимальный порт фель, рассмотрим его использование в реальной жизни. Геометрический оптимальный портфель даст нам максимально возможный геометрический рост. В следующей главе мы рассмотрим способы использования этого портфеля при заданных рисковых ограничениях.

Глава Управление риском Мы познакомились с различными методами расчета оптимального портфеля, с геометрией портфелей и взаимосвязью оптимального количества и оптимального веса. Если торговать портфелем базового инструмента на геометрическом оптимальном уровне и при этом реинвестировать прибыли, то отношение ожидаемого дохода к ожидаемому риску будет максимальным. В этой главе мы поговорим о построении геометрических оптимальных портфелей при заданном уровне риска. Речь пойдет о том, что, какими бы инструментами мы ни торговали, можно выбрать область в спектре риска и добиться максимального геометрического роста для этого уровня риска.

Размещение активов Следует иметь в виду, что оптимальный портфель, полученный с помощью пара метрического метода, будет почти таким же, как и портфель, полученный с помо щью эмпирического метода (он подробно рассматривался в главе 1).

В этом случае возможны большие проигрыши по портфелю (т.е. значительные колебания баланса), и единственная возможность избежать значительных убытков — «разбавить» портфель, т.е. добавить к геометрическому оптимальному пор тфелю какой-либо безрисковый актив. Вышеописанную процедуру мы назовем размещением активов (asset allocation). Степень риска и надежность любой инвестиции является функцией не объекта инвестиций самого по себе, а функцией размещения активов.

Даже портфели, состоящие из акций голубых фишек (blue-chip stocks), находящиеся на уровне неограниченного геометрического оптимального портфеля, могут показать значительные проигрыши. Однако этими акциями следует торговать именно на таких уровнях для максимизации отношения потенциального геометрического выигрыша к дисперсии (риску), чтобы обеспечить достижение цели за наименьшее время. С этой точки зрения торговля голубыми фишками является такой же рискованной, как и торговля контрактами на свинину, а торговля свининой не менее консервативна, чем торговля надежными акциями. То же можно сказать о портфеле фьючерсов или облигаций.

Наша цель заключается в достижении желаемого уровня потенциального геометрического выигрыша, исходя из данной дисперсии (риска), путем комбинирования безрискового актива с торгуемым инструментом, будь то портфель голубых фишек, облигаций или портфель фьючерсных торговых систем.

Когда вы торгуете портфелем с неограниченной суммой весов, используя дробное f, то находитесь на эффективной границе GHPR для портфелей с неогра ниченной суммой весов, но слева от геометрической оптимальной точки, которая удовлетворяет любому уравнению с (7.06а) по (7.06д). Таким образом, ваш потен циальный выигрыш по отношению к риску меньше, чем в геометрической опти мальной точке. Это один из способов, с помощью которого вы можете комбинировать портфель с безрисковым активом.

Другой способ размещения активов — разделение вашего счета на два под счета, активный и неактивный. Они не являются двумя реальными отдельными счетами — это условное разделение. Метод работает следующим образом.

Определите первоначальное соотношение двух подсчетов. Допустим, вы хотите создать подсчет, который соответствует f/2, т.е. первоначальное соотношение долей составит 0,5/0,5, таким образом, половина баланса вашего счета будет относиться к неактивному подсчету, а половина к активному подсчету. Допустим, вы начинаете со счета 100 000 долларов, причем 50 000 долларов относятся к неактивному счету, а 50 000 долларов к активному счету, и именно баланс активного подсчета следует использовать для определения количества контрактов для торговли. Подсчета являются гипотетической конструкцией, которая создается для того, чтобы более эффективно управлять деньгами, и в этом случае следует использовать полные оптимальные f. Каждый день из общего баланса счета следует вычитать неактивную сумму (которая остается постоянной каждый день), полученное значение будет соответствовать активному балансу, и именно по нему следует рассчитывать количество контрактов для торговли при полном f.

Теперь допустим, что оптимальное f для рыночной системы А соответствует контракту на каждые 2500 долларов на балансе счета. В первый день активный ба ланс равен 50 000 долларов, и вы можете торговать 20 контрактами. Если бы вы использовали стратегию, основанную на f/2, то в первый день задействовали это же количество контрактов ($2500/0,5), но при общем балансе счета в 100 000 дол ларов. Поэтому при стратегии, основанной на f/ 2, в этот день следует также тор говать 20 контрактами. Когда изменяется баланс, число контрактов, которыми следует торговать, тоже изменяется. Предположим, вы заработали 5000 долларов, увеличив общий баланс счета до 105 000 долларов. При стратегии половинного f вам следует торговать 21 контрактом. Однако при использовании метода разделения баланса вы должны вычесть постоянную неактивную сумму 50 долларов из общего баланса 105 000 долларов. В результате вы получите активную часть баланса в 55 000 долларов и уже на основе этого определите количество контрактов при уровне оптимального f (1 контракт на каждые 2500 долларов на счете). Таким образом, при использовании метода разделения счета вам следует торговать 22 контрактами.

Похожая ситуация возникает и при падении баланса вашего счета. Метод разделения счета уменьшает количество контрактов с большей скоростью, чем это делает стратегия половинного f. Допустим, вы потеряли 5000 долларов в первый день торговли и общий баланс счета уменьшился до 95 000 долларов. При стратегии дробного f вам следует торговать 19 контрактами ($95 000/$5000).

Однако при использовании метода разделения баланса активный счет будет равен 45 000 долларов, и вам следует торговать 18 контрактами ($45 000/$2500).

Отметьте, что при использовании метода разделения счета доля оптимального f изменяется вместе с балансом. Сначала определяется доля баланса, которая будет задействована в торговле (в нашем примере мы использовали первоначальную долю 0,5). При повышении баланса доля оптимального f повышается, приближаясь в пределе к 1, когда баланс счета стремится к бесконечности. При падении баланса доля f приближается в пределе к 0, а общий баланс счета при этом стремится к неактивной части. Тот факт, что страхование портфеля встроено в метод разделения баланса, является огромным преимуществом, и об этой особенности мы еще поговорим позже. Так как метод разделения счета использует изменяющееся дробное f, мы назовем такой подход стратегией динамического дробного f, в противоположность стратегии статического дробного f.

Стратегия статического дробного f смещает вас по линии CML влево от опти мального портфеля, если вы используете ограниченный портфель, и при любых изменениях баланса счет будет оставаться у этой точки на линии CML. Если вы используете неограниченный портфель (что является лучшим подходом), то буде те на эффективной границе для портфелей с неограниченной суммой весов (так как нет линий CML для неограниченных портфелей) слева от оптимального пор тфеля. Когда баланс счета изменяется, вы остаетесь в той же точке на неограни ченной эффективной границе. Если речь идет об использовании динамического дробного f для ограниченного или неограниченного портфеля, вы начинаете у тех же точек, но, когда баланс счета повышается, портфель сдвигается вправо вверх, а когда баланс понижается, портфель сдвигается влево вниз. Правая граница находится у пика кривой, где доля f равна 1, а левая — у точки, где доля f равна 0.

При размещении активов с помощью метода статического f дисперсия не ме няется, так как используемая доля оптимального f постоянна, но в случае с ди намическим дробным f дисперсия — переменная величина. В этом случае, когда баланс счета увеличивается, увеличивается также и дисперсия, поскольку воз растает используемая доля оптимального f. Верхней границы дисперсия достигает при полном f, когда баланс счета приближается к бесконечности. При падении баланса счета дисперсия быстро уменьшается по мере приближения используемой доли оптимального f к нулю, когда общий баланс счета приближается к балансу неактивного подсчета, и в этом случае нижняя граница дисперсии равна нулю.

Метод динамического дробного f аналогичен методу, основанному на полном оптимальном f, когда первоначальный размер торгового счета равен активной части баланса. Итак, есть два способа размещения активов: с помощью ста тического дробного и с помощью динамического дробного f. Динамическое дробное f дает динамическую дисперсию, что является недостатком, но такой подход также обеспечивает страхование портфеля (об этом позднее). Хотя эти два метода имеют много общего, они все-таки серьезно отличаются. Какой же из них лучше? Рассмотрим систему, где дневное среднее арифметическое HPR= 1,0265.

Стандартное отклонение дневных HPR составляет 0,1211, поэтому среднее гео метрическое равно 1,019. Теперь посмотрим на результаты торговли при стати ческих дробных оптимальных 0, If и 0,2f. Для этого используем уравнения с (2.06) по (2.08):

где FRAC = используемая дробная часть оптимального f;

AHPR = среднее арифметическое HPR при оптимальном f;

SD = стандартное отклонение HPR при оптимальном f;

FAHPR = среднее арифметическое HPR при дробном f;

FSD = стандартное отклонение HPR при дробном f;

FGHPR = среднее геометрическое HPR при дробном f. Результаты будут следующими:

Полное f 0,2 f 0,1 f AHPR 1,0265 1,0053 1, SD 0,1211 0,02422 0, GHPR 1,01933 1,005 1, Теперь вспомним уравнение (2.09а) — ожидаемое время для достижения опреде ленной цели:

где N = ожидаемое количество сделок для достижения определенной цели;

Цель = цель в виде множителя первоначального счета, т.е. TWR;

1n() = функция натурального логарифма.

Сравним торговлю при статическом дробном 0,2f при среднем геометрическом 1,005 с торговлей, основанной на стратегии динамического дробного 0,2f (перво начальный активный счет составляет 20% от общего) при дневном среднем гео метрическом 1,01933. Время (так как средние геометрические имеют дневные значения, время измеряется в днях), требуемое для удвоения счета при статичес ком дробном f, можно найти с помощью уравнения (2.09а):

1n(2)/1n( 1,005) =138, Для удвоения счета при динамическом дробном f значение цели надо приравнять шести, потому что если вы располагаете 20% активньм балансом и начинаете с общего счета 100 000 долларов, то первоначально в работе будет 20 000 долларов.

Ваша задача увеличить активный баланс до 120 000 долларов. Так как неактивный баланс остается на уровне 80 000 долларов, то на общем счете в итоге должно ока заться 200 000 долларов. Таким образом, рост счета с 20 000 долларов до 120 долларов соответствует TWR = 6, поэтому для удвоения счета при динамическом дробном 0,2 f Цель должна быть равна 6.

ln(6) / 1n(1,01933) = 93, Отметьте, что для динамического дробного f необходимо 93 дня вместо 138 дней для статического дробного f. Рассмотрим торговлю при 0, If. Число дней, ожидаемое для удвоения баланса счета при статическом методе, равно:

ln(2) / 1n(1,002577) = 269, Сравните с удвоением баланса счета при динамическом дробном 0, 1 f. Вам необ ходимо достичь TWR= 11, поэтому число дней при стратегии динамического дробного f равно:

1n(11)/1n(1,01933)= 125, Для удвоения баланса счета при 0, If необходимо 269 дней при статическом вари анте и 125 дней при динамическом варианте. Чем меньше доля/, тем быстрее динамический метод «обгонит» статический метод.

Посмотрим, сколько времени потребуется, чтобы при 0,2f увеличить счет в три раза. Число дней для статического метода будет равно:

1n(3)/1n( 1,005)= 220,2704 Сравним с динамическим методом, при котором:

1n(11)/1n(1,01933)= 125,2458 дней Чтобы получить прибыль в 400% (TWR = 5) при статическом 0,2f:

ln(5) / 1n( 1,005) = 322,6902 дней при динамическом подходе:

ln(21) / 1n(1,01933) = 159,0201 дней Обратите внимание, что в этом примере при динамическом подходе для достиже ния цели 400% необходимо почти в два раза меньше времени, чем при статичес ком подходе. Однако если вы возьмете число дней, за которое увеличился баланс счета при статическом подходе (322,6902 дня), и подставите его в формулу расчета TWR для динамического метода, то получите:

TWR = 0,8 + (1,01933^ 322,6902) * 0,2 = 0,8 + 482,0659576 * 0,2 = 97, Выигрыш составит более 9600%, в то время как статический подход даст лишь 400%.

Теперь мы можем изменить уравнение (2.09а), приспособив его как к статической, так и к динамической стратегиям дробного f, для определения ожидаемого времени, необходимого для достижения цели, выраженной TWR. Для статического дробного f мы получим уравнение (2.096):

(2.096) N=ln(Цель)/ln(A), где N = ожидаемое число сделок для достижения определенной цели;

Цель = цель в виде множителя начального счета, т.е. TWR;

А = измененное среднее геометрическое, полученное из уравнения (2.08), при данном статическом дробном f;

1п() = функция натурального логарифма. Для динамического дробного f получим уравнение (2.09в):

(2.09в) N = 1п(((Цель - 1) / ACTV) + 1) / 1п(Среднее геометрическое), где N = ожидаемое число сделок для достижения определенной цели;

Цель = цель в виде множителя начального счета, т.е. TWR;

ACTV = доля активного счета;

Среднее геометрическое = исходное среднее геометрическое (оно не меняется, как в случае с уравнением (2.096));

ln() = функция натурального логарифма.

Проиллюстрируем уравнение (2.09в). Допустим, нам надо определить время, не обходимое для удвоения счета (т.е. TWR = 2), при активном счете 10% от общего счета и среднем геометрическом 1,01933.

(2.09в) N = 1n(((Цель - 1) / ACTV) + 1) / ln(Среднее геометрическое) • =1n(((2 1)/0,1)+1)/1n(1,01933) =1n((1/0,1)+1)/1n(1,01933) =ln(10+ 1)/ln(l,01933) =ln(ll)/ln(l,01933) = 2,397895273 / 0,01914554872 = 125, Таким образом, если среднее геометрическое определено на дневной основе, мы можем ожидать удвоения примерно через 125 1/4 дня. Если среднее геометричес кое основано на сделках, мы можем ожидать удвоения примерно через 125 1/ сделки.

Рисунок 8-1 Сравнение статического и динамического дробного/ Рисунок 8-1 демонстрирует отличие стратегии статического Ют стратегии дина мического дробного f. Чем больше времени проходит, тем заметнее становится разница между стратегией статического дробного f и стратегией динамического дробного f. Асимптотически, стратегия динамического дробного f позволяет вы играть бесконечно больше, чем ее статический аналог.

Если вы настроены торговать долго, лучше размещать активы с помощью метода динамического дробного f. Для этого определите долю активного подсчета (остаток будет неактивным счетом). Ежедневные изменения баланса будут касаться только активной части, неактивная часть меняться не должна. Каждый день вычитайте неактивный баланс из вашего общего баланса счета, и именно на основе активной части рассчитывайте количество для торговли, основываясь на уровнях оптимального f. Если ваша торговля успешна, активная часть со временем может значительно превысить неактивную часть, и у вас возникнет проблема высокой дисперсии и большого потенциального проигрыша, как и в случае полного оптимального f. Ниже мы рассмотрим четыре способа решения этой «проблемы». Следует отметить, что четких границ, разделяющих эти четыре метода, не существует, и можно сочетать их в зависимости от ваших потребностей.

Переразмещение: четыре метода Сначала скажем несколько слов о безрисковых активах. В данной главе под без рисковыми активами мы будем понимать или денежные средства, или близкий к деньгам эквивалент, например казначейские обязательства Безрисковым активом может быть также любой актив, который, по мнению инвестора, лишен риска, или риск настолько незначителен, что им можно пренебречь. Это могут быть долгосрочные правительственные или корпоративные облигации, или, например, купонные или дисконтные облигации. Во многих торговых программах в качестве безрискового актива используются бескупонные облигации. Разность между номинальной стоимостью облигации и ее рыночной ценой — это прибыль, которую принесет облигация за время работы системы. Если при торговле вы проиграете все деньги, облигации все равно будут погашены по номинальной стоимости. Тот же принцип может применять любой трейдер. Не обязательно использовать бескупонные дисконтные облигации, можно задействовать любой актив, приносящий доход. Безрисковый актив не должен быть просто «мертвой» наличностью, он должен быть инвестиционной программой, предназначенной приносить реальную прибыль, которую можно использовать для возмещения ваших потенциальных убытков. Как определить соотношение активного и неактивного подсчетов для первоначального размещения, а затем и для переразмещения? Первым и, возможно, самым грубым способом является метод полезности инвестора. Его можно также назвать методом безбоязненного ощущения. Если мы можем позволить себе проигрыш 50%, под активный счет следует отвести 50%. Таким же образом, если мы можем себе позволить проигрыш 10%, то следует разделить счет на активный (10%) и неактивный (90%). Одним словом, при использовании метода полезности инвестора отводите под активный баланс такую часть средств, которой вы готовы рискнуть. Возможно, в некоторый момент времени трейдер потеряет активную часть счета, необходимую для дальнейшей торговли, и, чтобы продолжить торговлю, ему необходимо будет решить, какой процент оставшихся средств на счете (на неактивном подсчете) отвести под новый активный счет. Этот новый активный счет может быть также проигран, поэтому важно помнить с самого начала, что первоначальный активный счет не определяет максимальную сумму, которую можно потерять. Следует иметь в виду, что в любой торговле, где есть вероятность неограниченного проигрыша по позиции (например, фьючерсная торговля), риску подвергается весь счет, более того, активы трейдера вне счета также подвергаются риску! Читателю не следует ошибочно полагать, что он или она не встретятся с чередой дней, когда рынок будет стоять на ценовых лимитах и не будет возможности закрыть убыточную позицию. При открытии рынка могут происходить резкие скачки цены, которые могут уничтожить весь счет, независимо от размера его «активной» части.

Если падение баланса на 25% является максимумом, который трейдер изначально может себе позволить, следует разделить счет соответствующим образом.

Допустим, трейдер начинает с 100 000-долларового счета, поэтому 25 000 долла ров будут активные и 75 000 долларов неактивные. Теперь допустим, что счет по вышается до 200 000 долларов. Трейдер все еще располагает 75 000 долларов на неактивном подсчете, но теперь активная часть повышается до 125 000 долларов.

Если при счете в 125 000 долларов торговать полным значением f, возникает опас ность проигрыша существенной части счета (или даже всего счета), если истори ческий проигрыш произойдет именно в этой точке. Если общее значение счета опустилось бы до неактивных 75 000 долларов, то проигрыш был бы больше 25%, несмотря на то что доля первоначального баланса, которую вы могли себе позво лить проиграть, составляла 25%. Счет с низким процентным содержанием активного баланса можно переразмещать чаще, чем счет с высоким процентным содержанием активного баланса. Поскольку счет с небольшим процентным содержанием активного баланса изначально имеет более низкий потенциальный проигрыш, то, переразмещая активы, неудачные соотношения активного и неактивного балансов (допуская повышение баланса) будут быстрее исправляться, чем в случае с высоким первоначальным активным балансом. Независимо от того, используете ли вы простой метод полезности инвестора или один из более сложных методов, которые вскоре будут описаны, необходимо решить, когда производить переразмещение. Вы должны заранее определить, в какой точке счета (как при росте, так и при падении) производить переразмещение. Например, вы можете сделать это, получив 100%-ую прибыль. Таким же образом вы должны заранее решить, в какой точке произвести переразмещение при убытках. Обычно в этом случае либо не остается активного баланса, либо оставшийся активный баланс настолько мал, что не позволяет вам приобрести даже 1 контракт в любой из используемых рыночных систем. Необходимо заранее решить, стоит ли продолжать торговлю по достижении этого нижнего предела, и если да, то какой процент снова выделить под активный баланс. Также вы можете привязать переразмещение к определенной дате. Эта техника может быть особенно интересна для профессионально управляемых счетов. Например, вы можете переразмещать средства каждый квартал, а если активная часть будет полностью исчерпана, то вы просто прекратите торговать до окончания квартала. В начале следующего квартала средства на счете переразмещаются, таким образом, Х% попадает в активный баланс, а 100 - Х% в неактивный баланс. Нет смысла слишком часто производить переразмещение. В идеале, вам вообще не следует производить переразмещение, позволив используемой доле оптимального f приблизиться к единице при росте баланса счета. В действительности, в некоторый момент времени вы, вероятно, проведете переразмещение, но не следует делать это слишком часто. Рассмотрим случай, когда переразмещение проводится после каждой сделки или в конце каждого дня. Так, например, происходит в случае торговли при статическом дробном f. Вспомним уравнение (2.09а) для расчета времени, необходимого для достижения определенной цели.

Давайте вернемся к нашей уже знакомой системе с активной частью 0,2, со средним геометрическим 1,01933 и сравним ее с системой со статическим дробным 0,2f, где среднее геометрическое равно 1,005. Если мы начнем со счета 100 000 долларов и решим произвести переразмещение на уровне 110 долларов, то число дней (так как в этом случае средние геометрические определяются на дневной основе) при статическом дробном 0,2f будет равно:

1n(1,1)/1n( 1,005)= 19, Сравним с использованием 20 000 долларов из общего баланса 100 000 долларов при полном 1для повышения общего счета до 110 000 долларов, что аналогично увеличению счета 20 000 долларов в 1,5 раза:

1n(1,5)/1n(1,01933)= 21, При низких целях стратегия статического дробного тдает результаты быстрее, чем стратегия динамического дробного f. С течением времени динамическая стратегия обгоняет статическую. Рисунок 8-1 показывает соотношение между статическими и динамическими дробными f. Частое переразмещение хуже стратегии статического дробного f, но если вы собираетесь торговать долго, при размещении активов лучше всего использовать подход динамического дробного f. Следует переразмещать средства между активным и неактивным подсчетами как можно реже. Оптимально задать соотношение между подсчетами один раз, в начале торговли. Вообще, динамическое дробное f даст вам преимущество перед статическим аналогом тем быстрее, чем ниже доля первоначального активного счета. Другими словами, портфель с первоначальным активным балансом 0, опередит свой статический аналог быстрее, чем портфель с первоначальным ак тивным балансом 0,2. При первоначальном активном балансе в 100% (1,0) ди намическое f никогда не обгонит статическое дробное f (они будут расти с одинаковой скоростью). Скорость, с которой динамическое дробное f опережает статическое, также зависит от среднего геометрического портфеля: чем выше среднее геометрическое, тем скорее динамическое f опередит статическое f. При среднем геометрическом 1,0 динамическое f никогда не обгонит статическое f.

Второй метод определения первоначального соотношения активного и неактивного счетов и переразмещения называется методом планирования сценария. В этом случае первоначальное размещение является функцией ре зультатов различных сценариев и их вероятностей осуществления. Расчет можно повторять через определенные интервалы времени. Данная техника является уже знакомым нам методом планирования сценария, описанным в главе 4.

Рассмотрим три сценария, которые, как мы полагаем, могут произойти в течение следующего квартала:

Сценарий Вероятность Результат Проигрыш 50% - 100% Нет выигрыша 25% 0% Хороший рост 25% +300% Столбец результатов относится к результатам по активному балансу счета. Таким образом, существует 50% вероятность полной потери активного счета, 25% веро ятность того, что активный баланс останется тем же, и 25% вероятность того, что прибыль по активному счету составит 300%. В реальной торговле, разумеется, следует использовать не три сценария, а намного больше, но для наглядности мы ограничимся этим минимумом. Рассмотрим три сценария, вероятности их осуществления и результаты в процентных пунктах. Результаты должны отражать ваше мнение относительно исхода каждого сценария при полном оптимальном f.

В данном случае оптимально использовать 0,1 If. He путайте полученное оптимальное f с оптимальными f компонентов портфеля. Здесь оптимальное f относится к планированию сценария, и, таким образом, в асимптотическом смысле для активного счета лучше использовать 11%, а для неактивного счета 89%. В начале следующего квартала следует повторить эту процедуру. Так как переразмещение в данном квартале является функцией размещения прошлого квартала, то лучше всего использовать соответствующее значение оптимального f, так как при этом достигается наибольший геометрический рост (при условии, что ваши входные данные — сценарии, их вероятности и соответ ствующие результаты — точны). Предложенный метод планирования сценария для размещения активов эффективен тогда, когда необходимо принять решение, исходя из прогнозов нескольких консультантов. В нашем примере вместо выбора трех сценариев вы можете учесть мнения трех консультантов. Столбец вероятностей выражает ваше доверие к каждому консультанту. Первый сценарий, с вероятностью 50% проигрыша всего активного счета, — это мнение «медвежьего» консультанта, и такому прогнозу вы считаете нужным придать вес вдвое больший, чем прогнозам двух других консультантов. Вспомним метод усреднения цены при продаже акций (см. главу 2). Мы можем использовать этот подход для переразмещения. Таким образом, мы получим метод, который систематически снимает прибыли и выводит нас из убыточной программы.

В соответствии с этой программой следует регулярно (каждый месяц, квартал или любой другой период времени) снимать часть денег с общего счета (активный счет + неактивный счет). Помните, что периоды должны быть достаточно долгими, чтобы получить выигрыш, хотя бы небольшой, от динамического дробного f.

Значение N, удовлетворяющее уравнению (8.01), — это минимальная длина периода, при которой динамическое дробное f дает нам преимущество:

где FG = среднее геометрическое при дробном f, полученное из уравнения (2.08);

N = длина периода (G и FG рассчитаны на основе 1 единицы периода);

G = среднее геометрическое при оптимальном f;

FRAC = доля активного счета.

Если мы используем 20-процентный активный счет (т.е. FRAC = 0,2), тогда FG рассчитывается на основе 0,2f. Таким образом, когда среднее геометрическое при полном оптимальном f составляет 1,01933, а при 0,2fFG = 1,005, мы получим не равенство:

Для оптимального f мы рассчитаем среднее геометрическое G, а для дробного f— среднее геометрическое FG. Расчеты ведутся на дневной основе. Теперь по смотрим, является ли один квартал достаточной длиной периода. Так как в квар тале примерно 63 торговых дня, посмотрим, достаточно ли будет N = 63, чтобы воспользоваться преимуществом динамического дробного f. Для этого проверим, выполняется ли неравенство (8.01) при N = 63:

1,005 ^ 63 <= 1,01933 ^ 63 * 0,2 + 1 - 0, 1,369184237 <= 3,340663933 * 0,2 + 1 - 0, 1,369184237 <= 0,6681327866 +1-0, 1,369184237 <= 1,6681327866 - 0, 1,369184237 <= 1, Неравенство соблюдается, так как левая его часть меньше правой. Таким образом, если при данных значениях переразмещать активы на ежеквартальной основе, лучше использовать динамическое дробное f.

Что следует делать, если баланс растет? В начале каждого периода рассчиты вайте общее значение счета и переводите определенное количество средств с активного на неактивный баланс. Таким образом будет происходить переразме щение. Рассмотрим 100 000-долларовый счет, где 20 000 долларов — активная сумма, причем усреднение происходит на ежеквартальной основе, а ежеквар тальный процент переводимых средств составляет 2%. Допустим, в начале квартала счет все еще равен 100 000 долларов, из которых 20 000 долларов со ставляют активный баланс. Следует перевести 2% общего баланса счета из активного на неактивный баланс. Таким образом, счет в 100 000 долларов будет состоять теперь из 18 000 долларов для активного баланса и 82 000 долларов для неактивного баланса.

Следует стремиться к тому, чтобы торговая программа опережала периоди ческие снятия со счета. Допустим, в нашем последнем примере счет, равный 100000 долларов, к концу квартала повышается до 110000 долларов. Теперь, когда мы перейдем к переразмещению на основе 2%, то снимем 2200 долларов с активного счета ($30 000) и переведем их на неактивный счет ($80 000). Таким образом, мы получим 27 800 долларов на активном счете и 82 200 долларов на неактивном счете. Так как активный баланс после переразмещения больше, чем в начале предыдущего периода, мы можем сказать, что программа опережает переразмещение.

С другой стороны, если программа проигрывает деньги, то предложенный ме тод со временем переведет весь баланс счета в неактивный баланс, и, в конце кон цов, вы автоматически прекратите использовать убыточную программу.

Естественно, возникают два вопроса. Первый: «Какую сумму следует снимать со счета, чтобы программа автоматически прекратила работу (т.е. активный баланс стал бы равен нулю), если баланс счета не растет в течение N снятий с активного счета?» Ответ можно получить из уравнения:

(8.02) Р = 1 - неактивный ^ (1 / N), где Р = доля общего баланса счета, которая периодически переводится с активного на неактивный баланс;

неактивный = неактивная доля баланса счета;

N = число периодов, через которое программа прекратит работу, если баланс не будет расти.

Таким образом, если раз в квартал переводить часть средств с активного на не активный баланс (причем первоначальный неактивный баланс составляет 80% от общего) и мы хотим, чтобы программа прекратила работать через 2,5 года ( кварталов, т.е. N = 10), то квартальная доля может быть найдена следующим образом:

Р= 1-0,8^(1/10) =1-0,8 ^0,1 = 1 - 0,9779327685=0, Мы видим, что каждый квартал следует переводить 2,20672315% общего баланса с активного на неактивный счет.

Второй вопрос звучит так: «Если мы снимаем определенный процент средств со счета, сколько должно пройти времени, чтобы активный баланс стал равен О?» Другими словами, если мы снимаем Р% каждый период (в нашем случае период равен кварталу) и баланс счета не растет, через сколько периодов N активный баланс обнулится? Ответ можно получить из уравнения:

(8.03) N = 1n(неактивный) / 1n(1 - Р), где Р = доля общего баланса счета, которая периодически переводится с активного на неактивный баланс;

неактивный = неактивная доля баланса счета;

N = число периодов, через которое программа прекратит работу, если баланс не будет расти.

Допустим, первоначальный неактивный баланс составляет 80% от общего баланса, и вы ежеквартально снимаете 2,20672315%. Число периодов (в нашем случае кварталов), необходимое для прекращения работы программы (при условии, что баланс не растет), равно:

N = ln(0,8) / ln(l - 0,0220672315) = ln(0,8) / ln(0,9779327685) =-0,223143/-0, =10, т.е. программа прекратит работу через 10 периодов.

Усреднение при продаже акций выведет нас из портфеля по цене выше средней, а усреднение при покупке позволит нам приобрести портфель по цене ниже средней.

Многие же поступают как раз наоборот: входят на рынок и выходят с рынка по ценам ниже средних. Как правило, трейдеры после открытия торгового счета сразу переводят на него все деньги и начинают торговать. Когда трейдер хочет добавить средства, то почти всегда вносит их одной суммой, а не равными долями в течение определенного времени.

В большинстве случаев, трейдер, который живет за счет доходов от торговли, периодически снимает деньги со счета для покрытия расходов независимо от того, какой процент счета это составляет. Данный подход неправильный. Предположим, расходы трейдера постоянны каждый месяц и он снимает со счета определенную сумму, которая составляет больший процент средств, когда баланс счета понижается, и меньший процент, когда баланс счета повышается, т.е. трейдер постепенно выходит из портфеля (или его части) по цене ниже средней.

Разумнее снимать каждый месяц сумму, представляющую собой постоянный процент общего баланса счета (активный плюс неактивный). Полученные средства следует размещать на дополнительном счету до востребования и уже с этого дополнительного счета каждый месяц снимать фиксированную сумму «на жизнь». Если бы трейдер обошел предлагаемый дополнительный счет и снимал постоянную сумму непосредственно с торгового счета, то идеи усреднения работали бы против него.

Из главы 2 мы узнали, что при торговле на уровне оптимального f время, про веденное в проигрыше, может составить от 35% до 55% рассматриваемого перио да. Многие трейдеры к этому не готовы, большинство из них, естественно, хотели бы видеть более гладкую кривую баланса. Принцип «35-55%» справедлив как для полного оптимального f, так и для динамического дробного f, но он не работает в случае статического дробного f.

Создание буферного счета до востребования позволяет торговать математи чески оптимальным способом (при динамическом оптимальном f), кроме того, такой подход позволяет осуществлять переразмещение методом усреднения, когда деньги переводятся на буферный счет, и регулярно снимать определенную сумму со счета. Разумеется, сумма, которую мы периодически будем снимать с буферного счета, должна быть меньше, чем наименьшая сумма, переведенная с торгового счета на буферный. Например, если мы используем счет 500 долларов и снимаем 1% в месяц, начиная с 20%-ого активного счета, тогда наименьшее снятие с торгового счета должно быть 0,01 * 500 000 * (1 - 0,2) = 0, * 500 000 * 0,8 = 4000 долларов. Таким образом, сумма, которую мы будем снимать с буферного счета, должна быть меньше 4000 долларов. Отметим, что в качестве буферного счета может использоваться неактивный счет.

Прежде чем перейти к четвертому методу размещения активов, скажем еще несколько слов об особенностях переразмещения. При торговле оптимальной фиксированной долей, когда баланс увеличивается, увеличивается и количество контрактов, при падении баланса количество контрактов уменьшается. Такой подход позволяет добиться максимального геометрического роста.

Зачем переразмещать?

Переразмещение, как может показаться, противоречит нашим устремлениям, поскольку оно приводит к уменьшению баланса после выигрыша и к увеличению баланса активной части после периода проигрыша по счету. Переразмещение является компромиссом между теорией и практикой, а рассматриваемые методы позволяют нам использовать этот компромисс максимально эффективно.

В идеале вообще не следует проводить переразмещение. Ваш небольшой счет в 000 долларов может вырасти до 10 миллионов долларов без переразмещения, и вы вполне могли бы пересидеть проигрыш, который понизил бы счет 10 миллионов до 50 000 долларов перед новым скачком до 20 миллионов долларов. Если бы активный баланс уменьшился до 1 доллара, вы все еще смогли бы торговать дроб ным контрактом («микроконтрактом»). В теории все это возможно, но на практике следует производить переразмещение по достижении некоторой точки вверху или внизу баланса. При переразмещении вы как бы начинаете торговать заново (но с другим уровнем баланса). В дальнейшем, благодаря динамическому дробному f, в промежутках между переразмещениями торговля сама будет «двигать» дробное f.

Страхование портфеля — четвертый метод переразмещения Предположим, вы управляете фондом акций. Рисунок 8-2 демонстрирует типич ную стратегию страхования портфеля, также известную как динамическое хеджи рование. Пусть текущая стоимость портфеля равна 100 долларам за акцию. Стан дартный портфель, он изображен прямой линией, в точности следует за рынком акций. Застрахованный портфель изображен пунктирной линией. Отметьте, что пунктирная линия проходит ниже прямой линии, когда портфель находится на уровне или выше своей первоначальной стоимости (100). Величина, на которую пунктирная линия ниже прямой линии, отражает стоимость страхования портфеля.

Когда стоимость портфеля уменьшается, страхование портфеля ограничивает падение на некотором уровне (в данном случае 100) за вычетом расходов на осу ществление стратегии.

Страхование портфеля соответствует покупке пут-опциона по портфелю.

Допустим, фонд, которым вы управляете, состоит только из 1 акции стоимостью 100 долларов. Покупка пут-опциона на эту акцию с ценой исполнения долларов при цене опциона 10 долларов соответствует пунктирной линии на рисунке 8-2. Худшее, что может произойти в данном случае с портфелем (1 акция и 1 пут-опцион), состоит в том, что по истечении опциона вы продадите акцию за 100 долларов, но потеряете 10 долларов (стоимость этого опциона). Таким образом, минимальная стоимость портфеля будет 90 долларов, независимо от того, насколько упадет базовая акция. При росте вы понесете некоторые убытки из-за того, что стоимость портфеля уменьшится на стоимость опциона.

Если сопоставить рисунок 8-2 с фундаментальным уравнением торговли и оце ночным TWR из уравнения (1.19в), становится ясно, что в асимптотическом смыс ле застрахованный портфель лучше незастрахованного. Другими словами, если вы умны настолько, насколько глупа ваша худшая ошибка, то, застраховав портфель, вы ограничите последствия такой ошибки.

Обратите внимание, что длинная позиция по колл-опциону дает тот же ре зультат, что и длинная позиция по базовому инструменту совместно с длинной позицией по пут-опциону с той же ценой исполнения и датой истечения, что и у колл-опциона. Когда мы говорим о том же результате, имеются в виду эквивален тные соотношения риск/выигрыш разных портфелей. Таким образом, пунктирная линия на рисунке 8-2 может также представлять длинную позицию по колл опциону с ценой исполнения 100.

Посмотрим, как работает динамическое хеджирование при страховании портфеля. Допустим, вы, как управляющий фондом, приобретаете 100 акций по цене 100 долларов за акцию. Давайте смоделируем колл-опцион по этой акции.

Сначала определим минимальный ценовой уровень рассматриваемой акции.

Например, установим его на 100. Далее определим дату истечения этого гипотетического опциона. Пусть дата истечения будет последним днем текущего квартала.

Теперь рассчитаем дельту колл-опциона при цене исполнения 100 и выбранной дате истечения. Вы можете использовать уравнение (5.05) для поиска дельты фондового колл-опциона (можно использовать дельту для любой модели опцио нов, мы же будем использовать модель фондовых опционов Блэка-Шоулса). До пустим, дельта равна 0,5, т. е. в данный актив следует инвестировать 50% счета.

Таким образом, вам следует купить только 50 акций, а не 100 акций, которые вы бы купили, если бы не страховали портфель. Если цена акции будет расти, то же будет происходить с дельтой и количеством акций. Верхняя граница дельты равна единице, что соответствует инвестированию 100% средств. Если цена акции будет понижаться, то же будет происходить с дельтой и размером позиции по акциям.

Нижняя граница дельты равна 0 (при этом дельта пут-опциона равна -1), и в этой точке следует полностью закрыть позицию по акциям.

Рисунок 8-2 Страхование портфеля На практике портфельные менеджеры используют неагрессивные методы ди намического хеджирования, что предполагает отсутствие торговли самими ценными бумагами портфеля. Стоимость портфеля зависит от текущей дельты и модели и регулируется с помощью фьючерсов, а иногда пут-опционов. Плюсом использования фьючерсов является низкая стоимость трансакций. Короткая продажа фьючерсов против портфеля эквивалентна продаже части портфеля. При падении портфеля продается больше фьючерсных контрактов, когда же стоимость портфеля растет, эти короткие позиции закрываются. Потери по портфелю, когда приходится закрывать короткие фьючерсные позиции при росте цен на акции, являются издержками по страхованию портфеля и эквивалентны стоимости гипотетических смоделированных опционов. Преимущество динамического хеджирования состоит в том, что оно позволяет с самого начала точно рассчитать издержки. Менеджерам, применяющим такую стратегию, это позволяет сохранить весь портфель ценных бумаг, в то время как размещение активов регулируется посредством фьючерсов и/или опционов. Предложенный неагрессивный метод, основанный на использовании фьючерсов и/или опционов, позволяет разделить размещение активов и активное управление портфелем. При страховании вы должны постоянно регулировать портфель с учетом текущей дельты, т. е. с определенной периодичностью, например, каждый день вы должны вводить в модель ценообразования опционов текущую стоимость портфеля, время до даты истечения, уровень процентной ставки и волатильность портфеля для определения дельты моделируемого пут-опциона. Если к дельте, которая может принимать значения 0 и -1 прибавить единицу, то вы получите соответствующую дельту колл-опциона, которая будет коэффициентом хеджирования, т.е. долей вашего счета, которую следует инвестировать в фонд. Допустим, коэффициент хеджирования в настоящий момент составляет 0,46. Размер фонда, которым вы управляете, эквивалентен 50 фьючерсным контрактам S&P. Так как вы хотите инвестировать только 46% средств, вам надо изъять остальные 54%, т.е. контрактов. Поэтому при текущей стоимости фонда, при данных уровнях процентной ставки и волатильности фонд должен иметь короткие позиции по контрактам S&P одновременно с длинной позицией по акциям. Так как необходимо постоянно перерассчитывать дельту и регулировать портфель, метод называется стратегией динамического хеджирования. Одна из проблем, связанная с использованием фьючерсов, состоит в том, что рынок фьючерсов в точности не следует за рынком спот. Кроме того, портфель. против которого вы продаете фьючерсы, может в точности не следовать за индексом рынка спот, лежащего в основе рынка фьючерсов. Подобные ошибки могут добавляться к расходам по страхованию портфеля. Более того, когда ваш моделируемый опцион подходит очень близко к дате истечения, а стоимость портфеля приближается к цене исполнения, гамма моделируемого опциона астрономически возрастает. Гамма — это мгновенная скорость изменения дельты, т.е. коэффициента хеджирования.

Другими словами, гамма является дельтой дельты. Если дельта изменяется очень быстро (т. е. моделируемый опцион имеет высокую гамму), страхование портфеля становится крайне обременительным. Существует множество путей обхода этой проблемы, и некоторые из них довольно сложны. Один из самых простых способов заключается в том, чтобы совместно использовать фьючерсы и опционы для изменения как дельты, так и гаммы моделируемого опциона. Большое значение гаммы, как правило, создает проблемы только тогда, когда подходит дата истечения, а стоимость портфеля и цена исполнения моделируемого опциона сближаются. Существует интересная связь между оптимальным f и страхованием портфеля. Можно сказать, что при открытии позиции вы инвестируете f процентов средств. Рассмотрим азартную игру, где оптимальное f=0,5, наибольший проигрыш равен -1 и вы располагаете 10 000 долларов. В таком случае следует ставить 1 доллар на каждые 2 доллара на счете, так как, разделив - (наибольший проигрыш) на -0,5 (отрицательное оптимальное f), мы получим 2.

Разделив 10000 долларов на 2, мы получим 5000 долларов, поэтому следует ставить 5000 долларов, что соответствует доле f, т.е. 50% ваших денежных средств. Если умножить 10 000 долларов на f= 0,5, мы получим тот же результат, 5000 долларов, т.е. вам следует задействовать f процентов имеющихся денежных средств. Аналогично, если ваш наибольший проигрыш равен 250 долларам, а все остальное остается без изменений, то следует ставить 1 доллар на каждые долларов вашего счета (так как -$250 / -0,5 = $500). Разделив 10 000 долларов на 500 долларов, мы найдем, что ставка равна 20 долларам. Так как максимальный проигрыш по одной ставке составляет 250 долларов, вы, таким образом, рискуете долей счета f, т.е. 50%, или 5000 долларов ($250 * 20). Мы можем сказать, что f равно доле вашего счета, которая подвержена риску, или f равно коэффициенту хеджирования. Так как f применимо только к активной части портфеля, при стратегии динамического дробного f коэффициент хеджирования портфеля равен:

(8.04а) H=f*A/E, где Н = коэффициент хеджирования портфеля;

f= оптимальное Г(от 0 до 1);

А = активная часть средств счета;

Е = общий баланс счета.

Уравнение (8.04а) дает нам коэффициент хеджирования для портфеля при страте гии динамического дробного f. Страхование портфеля также работает при стати ческом дробном f, только коэффициент А/Е становится равным единице, а опти мальное f умножается на соответствующий коэффициент. Таким образом, при стратегии статического дробного f коэффициент хеджирования равен:

(8.046) H=f*FRAC, где Н = коэффициент хеджирования портфеля;

f = оптимальное f (от 0 до 1);

FRAC = используемая доля оптимального f.

Как правило, счет используется для работы в нескольких рыночных системах. В этом случае переменная f в уравнении (8.04а) или (8.046) должна рассчитываться следующим образом:

где f = f (от 0 до 1), используемое в уравнении (8.04а) или (8.046);

N = общее число рыночных систем в портфеле;

W. = вес компонента i в портфеле (из единичной матрицы);

f i = фактор f (от 0 до 1) компонента i в портфеле.

Можно сказать, что при торговле на основе динамического дробного f мы прово дим страхование портфеля. При этом минимально допустимый уровень стоимости портфеля равен: первоначальный неактивный баланс плюс стоимость проведения страхования. Далее для простоты будем считать, что нижняя граница счета равна первоначальному неактивному балансу.

Обратите внимание, что уравнения (8.04а) и (8.046) позволяют получить дельту моделируемого колл-опциона. Разделение счета на неактивный и активный подсчета (для использования стратегии динамического дробного f) эквивалентно покупке пут-опциона, цена исполнения которого больше текущей стоимости базового актива, а дата истечения наступает не скоро. Мы можем также сказать, что торговля с использованием стратегии динамического дробного f аналогична покупке колл-опциона, цена исполнения которого меньше текущей стоимости базового актива. Данное свойство страхования портфеля справедливо для любой стратегии динамического дробного f, независимо от того, используем мы усреднение по акциям, планирование сценария или полезность инвестора.

Можно использовать страхование портфеля в качестве метода переразмещения.

Сначала следует определить значение минимального ценового уровня, затем для выбранной модели опциона вы должны определить дату истечения, уровень волатильности и другие входные параметры, которые позволят рассчитать дельту.

После того как будет найдена дельта, вы можете определить величину активного баланса. Так как дельта для счета (переменная Н в уравнении (8.04а)) равна дельте моделируемого колл-опциона, мы можем заменить Н в уравнении (8.04а) на D:

D=f*A/E или (8.06) D / f= А / Е, если D < f (в противном случае А / Е = 1), где D = коэффициент хеджирования моделируемого опциона;

f = f (от 0 до 1) из уравнения (8.05);

А = активная часть средств счета;

Е = общий баланс счета.

Так как отношение А/Е равно доле активного счета, можно сказать, что отношение активного баланса к общему балансу равно отношению дельты колл-опциона к f из уравнения (8.05). Заметьте, если D > f, тогда предполагается, что вы размещаете больше 100% баланса счета в активный баланс. Так как это невозможно, для активного баланса существует верхняя граница — 100%. Вы можете использовать уравнение (5.05) для поиска дельты колл-опциона на акции или уравнение (5.08) для поиска дельты колл-опциона на фьючерсы.

Проблема использования страхования портфеля в качестве метода переразме щения состоит в том, что переразмещение уменьшает эффективность стратегии динамического дробного f, которая асимптотически способна дать большую при быль, чем стратегия статического дробного f. Таким образом, страхование порт феля как стратегия переразмещения на основе динамического дробного f является не самым лучшим подходом Теперь рассмотрим реальный пример страхования портфеля. Вспомним геометрический оптимальный портфель Toxico, Incubeast и LA Garb, который достигается при V= 0,2457. Преобразуем дисперсию портфеля в значение волатильности для модели ценообразования опционов. Волатильность задается годовым стандартным отклонением. Уравнение (8.07) показывает зависимость между дисперсией портфеля и оценочной волатильностью для опциона по портфелю:

(8.07) OV=V'0.5)*ACTV*YEARDAYS^0.5, где OV = волатильность для опциона по портфелю;

V = дисперсия портфеля;

ACTV = текущая активная часть баланса счета;

YEARDAYS = число рыночных дней в году.

Если мы исходим из того, что в году 251 рыночный день и доля активного баланса равна 100% (1,00), то:

OV= (0,2457 ^ 0,5) * 1 * 251 ^ 0,5 = 0,4956813493 * 15,84297952 = 7, Полученное значение соответствует волатильности свыше 785%! Поскольку речь идет о торговле на уровне оптимального f при 100% активном балансе, значение волатильности настолько велико. Так как мы собираемся использовать страхование портфеля в качестве метода переразмещения, то ACTV= 1,00.

Уравнение (5.05) позволяет рассчитать дельту колл-опциона:

(5.05) Дельта колл-опциона = N(H) Значение Н для (5.05) найдем из уравнения (5.03):

где U = цена базового инструмента;

Е = цена исполнения опциона;

Т = доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, выраженная десятичной дробью;

V = годовая волатильность в процентах;

R = безрисковая ставка;

1n() = функция натурального логарифма;

N() = кумулятивная нормальная функция распределения вероятностей, задаваемая уравнением (3.21).

Отметьте, что мы используем модель ценообразования фондовых опционов. Для волатильности будем использовать значение OV. Если безрисковая ставка R = 6% и доля года, оставшаяся до истечения срока, Т = 0,25, то из (5.03) получим:

Полученное значение подставим в уравнение (5.05). Теперь для расчета дельты колл-опциона решим уравнение (3.21):

Подставим значения Y и N'(1,967087528) в уравнение (3.21) для получения дельты колл-опциона, в соответствии с уравнением (5.05):

Таким образом, когда цена портфеля равна 100, цена исполнения 100, доля года, оставшаяся до истечения срока исполнения, составляет 0,25, безрисковая ставка равна 6%, а волатильность портфеля 785,3069464%, дельта нашего гипотетическо го колл-опциона равна 0,9754135259. Сумма весов геометрического оптимального портфеля, состоящего из Toxico, Incubeast и LA Garb, найденная из уравнения (8.05), составляет 1,9185357. Таким образом, принимая во внимание уравнение (8.06), при страховании портфеля мы можем переразмещать до 50,84156244% (0,9754135359/ /1,9185357). Во сколько обходится страхование? Все зависит от волатильности в течение срока действия смоделированного опциона. Например, если за время действия смоделированного опциона баланс на счете не колеблется (волатильность равна 0), цена смоделированного опциона, т.е. стоимость страхования, равна нулю. В этом заключается большое преимущество страхования портфеля по сравнению с реальной покупкой пут-опциона (если этот пут-опцион по портфелю существует). Мы платим теоретическую цену опциона, исходя из той волатильности, которой реально подвержен портфель, а не той, которая существовала на рынке до открытия позиции, как бывает при покупке пут-оп циона. Кроме того, реальная покупка пут-опциона (опять же, если пут-опцион по нашему портфелю существует) влечет за собой расходы, связанные со спредом покупки/продажи. При моделировании опциона таких расходов не возникает.

Необходимые залоговые средства Мы видели, что при добавлении рыночной системы портфель улучшается, если коэффициент линейной корреляции изменений дневного баланса между этой рыночной системой и другой рыночной системой в портфеле меньше +1, поскольку в этом случае повышается среднее геометрическое дневных HPR.

Таким образом, логично использовать как можно больше рыночных систем.

Естественно, на каком-то этапе может возникнуть проблема с залоговыми средствами. Проблема, связанная с нехваткой залоговых средств, может возникнуть даже в том случае, если вы используете только одну рыночную систему. Как правило, оптимальное долларовое f меньше первоначальных залоговых требований для данного рынка. Если же доля f очень высока (неважно, используете вы стратегию статического или динамического дробного f), вы можете столкнуться с требованием довнесения залога (margin call), в противном случае позиция будет принудительно закрыта. Если вы используете портфель рыночных систем, требование дополнительного внесения залога становится еще более вероятным. В неограниченном портфеле сумма весов часто значительно больше 1. Когда вы используете только одну рыночную систему, вес де-факто равен единице. Если сумма весов рыночных систем равна, например, трем, тогда вероятность требования внесения залога в три раза выше, чем в случае торговли только на одном рынке. Оптимальный портфель следует создавать с учетом минимально необходимых залоговых средств для компонентов портфеля. Это достаточно легко сделать: надо определить, какую долю f вы можете использовать в качестве верхней границы U;

ее можно найти с помощью уравнения (8.08):

где U = верхняя граница дробного f, при которой можно торговать опти мальным портфелем без риска получения требования довнесения залога;

f$= оптимальное долларовое f для рыночной системы i;

margin $ = первоначальный залог для рыночной системы i;

N = общее число рыночных систем в портфеле.

Если U больше единицы, то приравняйте U к единице. Например, у нас есть пор тфель из трех рыночных систем со следующими оптимальными долларовыми f и первоначальными минимальными залоговыми требованиями (примечание: f$ яв ляются оптимальными долларовыми f для каждой рыночной системы портфеля, они представляют собой оптимальные f рыночных систем, деленные на соответ ствующие веса в портфеле):

Рыночная система f$ Первоначальный залог А $2500 $ В $2000 $ С $3000 $ Суммы $7500 $ В соответствии с уравнением (8.08) мы возьмем сумму всех f$ (7500 долларов) и разделим ее на сумму первоначальных залоговых требований (6000 долларов), умноженную на число рынков N:

U = $7500 / ($6000 * 3) =7500/18000 =0, Таким образом, доля f не должна превышать 41,67% (если мы применяем стра тегию динамического дробного f), т. е. следует производить переразмещение, когда отношение активного баланса к общему балансу больше или равно 0,4167.

Если вы все-таки применяете стратегию статического дробного f (несмотря на все ее недостатки), тогда максимальное значение используемой доли должно быть равно 0,4167. Такой подход сместит вас по геометрической эффективной границе портфелей с неограниченной суммой весов влево от оптимального портфеля, но вы будете настолько близко к нему, насколько только возможно, чтобы не столкнуться при этом с требованием довнесения залога. Для примера рассмотрим счет в 100 000 долларов. Если доля f равна 0,4167, то для каждой рыночной системы получим:

Рыночная система f$ /0,4167= Новое И А $2500 $ В $2000 $ С $3000 $ При счете в 100 000 долларов мы будем торговать 16 контрактами рыночной сис темы А (100 000/6000), 20 контрактами рыночной системы В (100 000/4800) и контрактами рыночной системы С (100 000/7200). Итоговое требование к залогу для такого портфеля равно:

16 * $2000 = $32 000 20 * 2000 = 40 000 13 * 2000 = 26 Первоначальное требование залога $98 Отметьте, что с помощью формулы (8.08) вы получите максимально допустимую долю f (без риска сразу же столкнуться с требованием довнесения залога), при этом отношения рыночных систем друг к другу останутся без изменений.

Следовательно, уравнение (8.08) задает разбавленный неограниченный опти мальный портфель, в котором отсутствует риск получения требования довнесения залога. Заметьте, если торговать на основе стратегии дробного f, значение, полу ченное из уравнения (8.08), является максимальной долей f, которую вы можете использовать (без риска сразу же столкнуться с требованием довнесения залога).

Вернемся к нашему счету в 100 000 долларов. Предположим, когда вы открыли счет, на нем было 70 000 долларов. Далее, из этих первоначальных 70 долларов вы отвели 58 330 долларов под неактивный счет. Таким образом, вы начали торговлю с отношения между неактивным и активным балансом приблизительно 83 к 17 и далее торговали активной частью при полных значениях оптимального f. Теперь, когда счет равен 100 000 долларов, а неактивный баланс — 58 330 долларам, активный счет составляет 41 670 долларов, т.е. 0,4167 от общего баланса. Полученное значение задает максимальную долю, которую вы можете использовать (максимальное отношение активного баланса к общему балансу), без риска столкнуться с требованием довнесения залога. Вспомните, что вы торгуете полным f, т.е. 16 контрактами рыночной системы А (41 670/2500), контрактами рыночной системы В (41 670/2000) и 13 контрактами рыночной системы С (41 670/3000). Итоговое требование залога для такого портфеля составляет:

16 * $2000 = $32 000 20 * 2000 = 40 000 13 * 2000 = 26000 Первоначальное требование залога $98 Как мы уже знаем (см. главу 2), добавление рыночных систем увеличивает среднее геометрическое по портфелю в целом. Однако возникает проблема:

каждая следующая рыночная система вносит все меньший и меньший вклад в среднее геометрическое и все больше ухудшает его, понижая эффективность из-за одновременных, а не последовательных результатов. Поэтому не следует торговать слишком большим числом рыночных систем. Более того, реальное применение теоретически оптимальных портфелей осложняется из-за залоговых требований. Другими словами, вам лучше торговать 3 рыночными системами при полном оптимальном f, чем 300 рыночными системами при значительно пониженных уровнях, согласно уравнению (8.08). Скорее всего вы придете к выводу, что оптимальное число рыночных систем для торговли должно быть невелико. Особенно это обстоятельство важно, когда у вас много ордеров к исполнению и увеличивается вероятность ошибок. Если одна или несколько рыночных систем в портфеле имеют оптимальные веса больше единицы, может возникнуть еще одна проблема. Рассмотрим рыночную систему с оптимальным f=0,8 и наибольшим проигрышем, составляющим 4000 долларов. Для этой рыночной системы f$ = 5000 долларов. Давайте предположим, что оптимальный вес данного компонента в портфеле равен 1,25, поэтому вы будете торговать одной единицей компонента на каждые 4000 долларов ($5000/1,25) баланса счета. Как только компонент столкнется с наибольшим проигрышем, весь активный баланс на счете будет обнулен, если прибылей в других рыночных системах не хватит для сохранения активного баланса. Рассмотренная проблема наиболее актуальна для систем, которые редко генерируют сделки. Если бы у нас были две рыночные системы с отрицательной корреляцией и положительным ожиданием, необходимо было бы открывать бесконечное количество контрактов на рынке. Когда один из компонентов проигрывает, другой выигрывает равную или большую сумму. Таким образом, мы получаем прибыль в каждой игре, однако только в том случае, когда рыночные системы ведут игру одновременно. Рассматриваемая же торговля аналогична гипотетической ситуации, когда один из компонентов в игре не активен, но используется другая рыночная система с бесконечным числом контрактов. Проигрыш может быть катастрофическим. Проблему можно решить следующим образом: разделите единицу на наибольший вес компонента портфеля и используйте полученное значение в качестве верхней границы активного баланса, если оно меньше, чем значение, найденное из уравнения (8.08). В таком случае, если в будущем произойдет проигрыш той же величины, что и наибольший проигрыш (на основе которого рассчитано f), мы не потеряем все деньги.

Например, наибольший вес компонента в нашем портфеле составляет 1,25. Если значение из уравнения (8.08) будет больше 1 / 1,25 = 0,8, следует использовать 0, в качестве верхней границы для доли активного баланса. Если первоначальная доля активного баланса небольшая, вышеописанная проблема может и не возникнуть, однако более агрессивному трейдеру следует всегда принимать ее во внимание. Альтернативное решение состоит в введении дополнительных ограничений в матрице портфеля (например, для каждой рыночной системы можно ограничить максимальные веса единицей и ввести дополнительные ограничения по залоговым средствам). Подобные дополнительные ограничения линейного программирования могут помочь агрессивному трейдеру. но решить такую матрицу будет достаточно сложно. Для заинтересованных читателей делаю ссылку на Чилдресса.

Ротация рынков Профессиональные трейдеры, как правило, отслеживают большое количество рынков, выбирая те, которые, по их мнению, являются в настоящий момент наи более подходящими для данных систем. Например, некоторые трейдеры отсле живают волатильность по всем фьючерсным рынкам и торгуют только на тех, где волатильность превышает некоторое значение. Иногда имеет смысл торговать на нескольких рынках, иногда вообще прекратить торговлю. Рынки постоянно из меняются, что создает дополнительные проблемы для портфельных менеджеров.

Каким образом можно реагировать на эти изменения, сохраняя ваш портфель оптимальным? Ответ, на самом деле, довольно прост: каждый раз, когда рынок добавляется в портфель или удаляется из него, необходимо рассчитывать новый неограниченный геометрический оптимальный портфель (алгоритм расчета показан в этой главе). Также необходимо принимать во внимание любые изменения размеров существующих позиций и учитывать новые добавленные или удаленные рыночные системы. Таким образом, следует использовать портфель, в котором компоненты постоянно меняются. Целью портфельного менеджера в этом случае будет создание неограниченного геометрического оптимального портфеля и поддержка постоянной величины неактивного баланса. Именно такой подход будет оптимальным в асимптотическом смысле. Если вы используете подобную технику, может возникнуть еще одна проблема. Возьмем два высоко коррелированных рынка, например золото и серебро. Теперь представьте, что ваша система торгует так редко, что сделок на двух рынках в один и тот же день не происходит. Когда вы будете определять коэффициенты корреляции дневных изменений баланса, может оказаться, что коэффициент корреляции между золотом и серебром близок к нулю. Однако если в будущем вы будете торговать на обоих рынках одновременно, они, скорее всего, будут иметь высокую положительную корреляцию. Для решения вышеописанной проблемы следует корректировать коэффициенты корреляции, причем их следует изменять в большую, а не меньшую сторону Допустим, вы получили коэффициент корреляции между облигациями и соевыми бобами, равный нулю, но чувствуете, что он должен быть ниже (например - 0,25). Не следует уменьшать коэффициенты корреляции, так как более низкие значения приводят к увеличению размера позиции. Одним словом, если уж ошибаться в коэффициентах корреляции, то в большую сторону Ошибка, связанная с увеличением коэффициентов корреляции, сместит портфель влево от пика кривой f, в то время как уменьшение сместит его вправо. Некоторые трейдеры в своих рыночных системах используют фильтры, благодаря которым в определенный момент сделки совершаются только на одном рынке. Если фильтр работает и понижает проигрыш на основе одной единицы, тогда f (оптимальное для отфильтрованных сделок) для всей серии сделок до фильтрования будет выше (a f$ ниже). Если трейдер использует оптимальное f, полученное по неотфильтрованным сделкам, для отфильтрованных сделок, он окажется на уровне дробного f по отфильтрованным сериям и, следовательно, не сможет получить геометрический оптимальный портфель. С другой стороны, если трейдер применяет оптимальное f по отфильтрованным сериям, он может получить геометрический оптимальный портфель, но столкнуться с проблемой больших проигрышей при оптимальном f.

С точки зрения управления капиталом фильтры не всегда эффективны. Фильт ры работают (уменьшают проигрыш на основе одной единицы) только потому, что они позволяют трейдеру находиться на уровне дробного оптимального f.

Можно утверждать, что фильтры дают преимущество, если ответ из фунда ментального уравнения торговли по отфильтрованным сделкам с использованием оптимального f, полученного по всем сделкам, больше значения, полученного по всем сделкам с использованием того же оптимального f;

при этом следует иметь в виду, что отфильтрованных сделок меньше (N меньше), чем неотфильтрованных.

Резюме Торговля фиксированной долей счета дает наибольшую отдачу в асимптотическом смысле, т.е. максимизирует отношение потенциальной прибыли к потенциальному убытку Когда известно значение оптимального f, можно преобразовать дневные изменения баланса на основе одной единицы в HPR, определить арифметическое среднее HPR и стандартное отклонение полученных HPR, а также рассчитать коэффициенты корреляции HPR между любыми двумя рыночными системами.

Далее мы должны использовать эти параметры для определения оптимальных весов оптимального портфеля (когда используется рычаг (leverage), вес и количество не одно и то же). Затем значения f следует разделить на соответствую щие веса. В результате, мы получаем новые значения f, которые позволяют до биться наибольшего геометрического роста, принимая во внимание веса и взаим ные корреляции рыночных систем. Наибольший геометрический рост достигается при использовании весов, сумма которых не ограничена, причем разность среднего арифметического HPR и стандартного отклонения HPR, возведенного в квадрат, должна быть равна единице [Уравнение (7.06в)]. Вместо «разбавления» (которое сдвигает нас влево на неограниченной эффективной границе), как в случае стратегии статического дробного f, можно использовать портфель при полном f, задей-ствуя только часть средств счета. Такой метод называется стратегией динамического дробного f. Оставшаяся часть средств (неактивный баланс) в торговле не используется. Так как торговля активной частью происходит на оптимальных уровнях f, активный баланс может довольно сильно колебаться. В результате, при некотором значении баланса или в некоторый момент времени, вы, вероятно, захотите (возможно, просто под воздействием эмоций) переразместить средства между активной и неактивной частями. Мы рассмотрели четыре метода переразмещения, хотя, конечно же, могут использоваться и другие методы, возможно, более подходящие для вас:

1. Полезность инвестора.

2. Планирование сценариев.

3. Усреднение.

4. Страхование портфеля.

Четвертый метод, страхование портфеля, или динамическое хеджирование, при сущ любой стратегии динамического дробного f, но его можно также использовать и как метод переразмещения.

При торговле неограниченным геометрическим оптимальным портфелем можно столкнуться с требованием довнесения залога. Подобную проблему можно решить, задав верхний предел отношения используемого активного баланса к общему балансу счета.

Несколько слов о торговле акциями Методы, описанные в этой книге, могут использоваться не только фьючерсными трейдерами, но и трейдерами, работающими на любом рынке. Даже тем, кто тор гует голубыми фишками, принципы, рассмотренные в этой книге, будут весьма полезны. Мы знаем, что для портфеля голубых фишек существует оптимальный рычаг, когда отношение потенциальных выигрышей к потенциальным проигры шам максимально, правда, при этом падения баланса могут быть довольно значи тельными, поэтому портфель необходимо разбавлять, используя стратегию дина мического дробного f. Для того чтобы использовать методы, описанные в этой книге, в торговле акциями, мы будем считать, что акция является фьючерсной рыночной системой. Предположим, текущая цена Toxico равна 40 долларам.

Следовательно, стоимость 100 акций Toxico составляет 4000 долларов. Лот из акций можно считать 1 контрактом рыночной системы Toxico. Таким образом, если работать с наличным счетом, то в уравнении (8.08) следует заменить переменную залогi $ на цену 100 акций Toxico (в нашем случае 4000 долларов).

Далее, мы можем определить верхнюю границу доли f. Помните, что мы моделируем ситуацию с рычагом, но на самом деле не занимаем и не ссужаем денежные средства, поэтому в любых формулах, где есть RFR (например, отношение Шарпа), следует использовать RFR = 0. Если в случае с Toxico используется маржевой счет и первоначальный залог составляет 50%, то в уравнении (8.08) залог$ = $2000. Традиционно управляющие фондами акций использовали портфели, в которых сумма весов ограничена единицей. Состав портфеля выбирался таким образом, чтобы при данном уровне арифметической прибыли дисперсия была минимальной. Получившийся в результате портфель задавался весами или долями торгового счета для каждого компонента портфеля.

Сняв ограничение по сумме весов и выбрав геометрически оптимальный пор тфель, мы получим оптимальный портфель с рычагом. Здесь веса и количества от личаются. Разделим оптимальное количество для финансирования одной единицы каждого компонента на его соответствующий вес и получим оптимальный рычаг для каждого компонента портфеля. Теперь разбавим портфель, включив в него безрисковый актив. Можно разбавить портфель до точки, где рычаг как бы исчезает, т.е. рычаг применяется к активной части портфеля, но активный баланс портфеля в действительности использует беспроцентные деньги из неактивной части баланса. Таким образом мы получим портфель, в котором регулируются по зиции при изменении баланса счета, что позволяет получить наибольший геомет рический рост. Предложенный метод максимизирует отношение потенциального геометрического роста к потенциальному проигрышу и допускает заранее извест ный максимальный проигрыш. Для управления портфелем ценных бумаг опи санный метод является наилучшим. Наиболее распространенный в настоящее время метод выведения эффективной границы в действительности не позволяет получить эффективную границу и, тем более, геометрический оптимальный портфель (геометрический оптимальный портфель всегда находится на эффективной границе), который можно найти только с помощью оптимального f.

Кроме того, традиционный метод позволяет получить портфель на основе статического f, а не динамического f, которое в асимптотическом смысле предпочтительнее.

Заключительный комментарий В настоящее время исследования, подобные изложенным в этой книге, представ ляют большой интерес. С середины 1950-х годов постоянно появляются новые концепции. Много замечательных идей, основанных на модели Е — V, пришло к нам из академического сообщества. Среди предложенных концепций есть, на пример, модель Е — S, где риск измеряется не дисперсией, а полудисперсией.

Полудисперсия — это дисперсия некоторого уровня прибыли, который может быть ожидаемой прибылью, нулевой прибылью или любым другим фиксирован ным уровнем прибыли. Когда заданный уровень прибьши равен ожидаемой при были и распределение прибылей симметрично (без асимметрии), эффективная граница Е — S совпадает с эффективной границей Е — V.

Существуют модели портфелей, использующие вместо дисперсии прибылей другие способы выражения риска, а также более высокие моменты распределения прибылей. Большой интерес в этом отношении представляют методы сто хастического доминирования, которые учитывают все распределения прибылей и могут считаться предельным случаем многомерного анализа портфеля, когда число используемых моментов стремится к бесконечности. Подобный подход может быть особенно полезен в том случае, когда дисперсия прибылей бесконечна или не определена.

И снова повторюсь — я не академик — это ни хвастовство, ни извинение, я та кой же академик, как чревовещатель или телевизионный проповедник. Академи кам необходима модель для объяснения того, как работают рынки, мне же не так важно, как они работают. Многие представители академического сообщества ут верждают, что гипотеза об эффективной границе неверна, так как не существует понятия «рациональный инвестор». Сторонники такого подхода утверждают, что люди не ведут себя рационально, поэтому традиционные модели портфелей, такие как теория Е — V (и ее варианты) и модель оценки доходности финансовых акти вов, являются неудовлетворительными моделями работы рынков. Я согласен, что инвесторы не всегда ведут себя рационально, но это не означает, что нам следует вести себя подобным образом. Нельзя утверждать, что мы не можем получить выгоду из рационального поведения. Когда дисперсия прибылей конечна, мы можем получить преимущество, находясь на эффективной границе.

В последнее время традиционные модели портфелей подвергаются серьезной критике, поскольку считается, что ценовые изменения лучше всего описываются распределением Парето с бесконечной (или неопределенной) дисперсией. Однако многие исследования доказывают, что рынки в последние годы стали ближе к нормальному распределению (т.е. к ограниченной дисперсии и независимости результатов), на чем и основаны критикуемые модели портфелей. В моделях портфелей используется распределение прибылей, а не распределение изменений цен. Несмотря на то что распределение прибылей является трансформированным распределением изменений цены (в результате закрытия проигрышных сделок и максимально долгого удержания выигрышных позиций), эти распределения, как правило, отличаются. Распределение прибылей не обязательно относится к классу распределений Парето, поэтому в главе 4 мы моделировали распределение P&L с помощью регулируемого распределения. Более того, существуют производные инструменты, например, опционы, которые имеют ограниченную полудисперсию или дисперсию. Например вертикальный опционный спред в дебете гарантирует ограниченную дисперсию прибылей. Я не пытаюсь оспаривать разумную критику современных моделей портфелей. Модели следует использовать при условии, что мы осознаем их недостатки. Разумеется, необходимы более совершенные модели портфелей. Я не заявляю, что современные модели адекватны, а говорю лишь о том, что входные данные для моделей портфелей, нынешних или будущих, должны основываться на торговле одной единицей на оптимальном уровне — или на том уровне, который, как мы полагаем, будет оптимальным. Например, если мы применяем теорию Е — V (модель Марковица), входными данными являются ожидаемая прибыль, дисперсия прибылей и корреляции прибылей между рыночными системами. Входные данные должны определяться на основе торговли одной единицей по каждой рыночной системе на уровне оптимального f. Модели портфелей, отличные от Е — V, могут потребовать других входных параметров, но и их для каждой рыночной системы все равно следует рассчитывать на основе торговли одной единицей на уровне оптимального f. Модели портфелей являются лишь одной составляющей управления капиталом, и эта книга не может ответить на все вопросы. Кроме того, постоянно появляются новые, усовершенствованные модели. Скорее всего, мы никогда не получим абсолютно совершенной модели, но это только будет стимулировать дальнейшие поиски.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.