WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«РАЛЬФ ВИНС Математика управления капиталом Методы анализа риска для трейдеров и портфельных менеджеров Оглавление Посвящение Введение Обзор книги Некоторые распространенные ложные концепции Сценарии и ...»

-- [ Страница 2 ] --

Допустим, что оптимальное f в долларах для каждой из этих рыночных систем составляет 5000 долларов. Допустим, что оптимальный портфель на основе самого высокого среднего геометрического — это портфель, который размещает 50% в каждую из двух рыночных систем. Это означает, что вам следует торговать контрактом на каждые 10 000 долларов баланса для рыночной системы А, и для системы В. Однако когда есть отрицательная корреляция, можно показать, что оптимальный рост счета в действительности будет достигнут при торговле контрактом для баланса, меньшего 10 000 долларов для рыночной системы А и/или рыночной системы В. Другими словами, когда есть отрицательная корреляция, сумма процентных весов может превышать 100%. Более того, возможно, что процентные размещения в рыночные системы могут по отдельности превысить 100%.

Интересно рассмотреть случай, когда корреляция между двумя рыночными системами приближается к -1,00. В этом случае сумма для финансирования сделок по рыночным системам стремится стать бесконечно малой. Дело в том, что в таком портфеле почти не будет проигрышных дней, так как проигранная в данный день одной рыночной системой сумма возмещается суммой, выигранной другой рыночной системой в тот же день. Поэтому с помощью диверсификации возможно получить оптимальный портфель, который размещает меньшую долю f (в долларах) в данную рыночную систему, чем при торговле только в этой рыночной системе. Для этого для каждой рыночной системы вы можете разделить оптимальное f в долларах на количество рыночных систем, в которых работаете. В нашем примере, вместо того чтобы выбрать 5000 долларов в качестве оптимального f для рыночной системы А, нам следует использовать долларов (разделив 5000 долларов, оптимальное f, на 2, количество рыночных систем, в которых мы собираемся торговать), и таким же образом следует поступить с рыночной системой В. Теперь, когда мы используем данную процедуру для определения оптимального среднего геометрического портфеля, который состоит из 50% для А и 50% для В, это означает, что нам следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долларов на балансе для рыночной системы А ($2500 / 0,5) и аналогично для В. В качестве еще одной рыночной системы вы можете использовать систему беспроцентного вклада. Это активы, не приносящие дохода, с HPR = 1,00 каждый день. Допустим, в нашем предыдущем примере оптимальный рост получен при 50% для системы А и 40% для системы В.

Другими словами, следует торговать 1 контрактом на каждые 5000 долларов на балансе для рыночной системы А и 1 контрактом на каждые 6250 долларов для В ($2500 / 0,4). При использовании беспроцентного вклада в качестве другой рыночной системы это была бы одна из комбинаций (оптимальный портфель, который на 10% в деньгах). Если ваш портфель, найденный с помощью этой процедуры, не содержит систему беспроцентного вклада в качестве одной из составляющих, тогда вы должны повысить используемый фактор и разделить оптимальные f в долларах, используемые в качестве вводных данных. Возвращаясь к нашему примеру, допустим, мы использовали беспроцентный вклад и две рыночные системы, А и В. Далее предположим, что наш итоговый оптимальный портфель не содержит систему беспроцентного вклада. Пусть оптимальный портфель оказался на 60% в рыночной системе А, на 40% в рыночной системе В (возможна любая другая процентная комбинация, веса которой в сумме дают 100%) и на 0% в системе беспроцентного вклада. Если бы мы разделили наши оптимальные f в долларах на два, то этого было бы недостаточно. Мы должны разделить их на число, больше 2. Итак, мы вернемся и разделим наши оптимальные f в долларах на 3 или 4, пока не получим оптимальный портфель, который включает систему беспроцентного вклада. Конечно, в реальной жизни это не означает, что мы должны размещать какую-либо часть нашего торгового капитала в беспроцентные вклады. Беспроцентные активы стоит использовать для того, чтобы определить оптимальную сумму средств на 1 контракт в каждой рыночной системе при сравнении нескольких рыночных систем. Вы должны знать, что сумма процентных весов портфеля, при которых достигался наибольший геометрический рост в прошлом, может быть выше 100%. Этого можно достичь, разделив оптимальное f в долларах для каждой рыночной системы на некое целое число (которое обычно является числом рыночных систем), включив беспроцентный вклад (то есть рыночную систему с HPR = 1,00 каждый день) в качестве еще одной рыночной системы. Корреляции различных рыночных систем могут оказать серьезное воздействие на портфель. Важно понимать, что портфель может быть больше, чем сумма его частей (если корреляции его составляющих частей достаточно низки). Также возможно, что портфель будет меньше, чем сумма его частей (если корреляции слишком высоки). Рассмотрим снова игру с броском монеты, где вы выигрываете 2 доллара, когда выпадает лицевая сторона, и проигрываете 1 доллар, когда выпадает обратная сторона. Каждый бросок имеет математическое ожидание (арифметическое) пятьдесят центов. Оптимальное f составляет 0,25, то есть надо ставить 1 доллар на каждые 4 доллара на счете, а среднее геометрическое составляет 1,0607. Теперь рассмотрим вторую игру, где сумма, которую вы можете выиграть при броске монеты, составляет 0,90 долларов, а сумма, которую вы можете проиграть, — 1,10 долларов. Такая игра имеет отрицательное математическое ожидание -0,10 доллара, таким образом, здесь нет оптимального f и соответственно нет и среднего геометрического. Посмотрим, что произойдет, когда мы будем играть в обе игры одновременно. Если корреляция этих игр равна 1,0 (то есть мы выигрываем при выпадении лицевой стороны, а монеты всегда падают либо на лицевые стороны, либо на обратные стороны), тогда результаты были бы следующими: мы выигрываем 2,90 доллара при выпадении лицевой стороны или проигрываем 2,10 доллара при выпадении обратной. Такая игра имеет математическое ожидание 0,40 доллара, оптимальное f= 0,14 и среднее геометрическое 1,013. Очевидно, что это худший подход к торговле с положительным математическим ожиданием. Теперь допустим, что игры имеют отрицательную корреляцию. То есть, когда монета в игре с положительным математическим ожиданием выпадает на лицевую сторону, мы теряем 1,10 доллара в игре с отрицательным ожиданием, и наоборот. Таким образом, результатом двух игр будет выигрыш 0,90 доллара в одном случае и проигрыш -0,10 доллара в другом случае. Математическое ожидание все еще 0, доллара, однако оптимальное f= 0,44, что дает среднее геометрическое 1,67.

Вспомните, что среднее геометрическое является фактором роста вашего счета в среднем за одну игру.. Это означает, что в такой игре в среднем можно ожидать выигрыша в 10 раз больше, чем в уже рассмотренной одиночной игре с положительным математическим ожиданием. Однако этот результат получен с помощью игры с положительным математическим ожиданием и ее ком бинирования с игрой с отрицательным ожиданием. Причина большой разницы в результатах возникает из-за отрицательной корреляции между двумя рыночными системами. Мы рассмотрели пример, когда портфель больше, чем сумма его частей.

Важно помнить, что исторически ваш проигрыш может быть такой же большой, как и процент f (в смысле возможного уменьшения баланса). В действительности вам следует ожидать, что в будущем он будет выше, чем данное значение. Это означает, что комбинация двух рыночных систем, даже если они имеют отрицательную корреляцию, может привести к уменьшению баланса на 44%. Это больше, чем в системе с положительным математическим ожиданием, в которой оптимальное f= 0,25, и поэтому максимальный исторический проигрыш уменьшит баланс только на 25%. Мораль такова: диверсификация, если она произведена правильно, является методом, который повышает прибыли. Она не обязательно уменьшает проигрыши худшего случая, что абсолютно противоречит популярному представлению. Диверсификация смягчает многие мелкие проигрыши, но она не уменьшает проигрыши худшего случая. При оптимальном f максимальные проигрыши могут быть существенно больше, чем думают многие.

Поэтому, даже если вы хорошо диверсифицировали портфель, следует быть готовым к значительным уменьшениям баланса. Однако давайте вернемся и посмотрим на результаты, когда коэффициент корреляции между двумя играми равен 0. В такой ситуации, какими бы ни были результаты одного броска, они не влияют на результаты другого броска. Таким образом, есть четыре возможных результата:

Игра 1 Игра2 Итого Результат Сумма Результат Сумма Результат Сумма Выигрыш $2,0 Выигрыш $9,0 Выигрыш $2, Выигрыш $2,0 Проигрыш -$1,10 Выигрыш $0, Проигрыш -$1,00 Выигрыш $0,90 Проигрыш -$0, Проигрыш -$1,00 Проигрыш -$1,10 Проигрыш -$2, Математическое ожидание равно:

МО = 2,9 * 0,25 + 0,9 * 0,25 - 0,1 * 0,25 - 2,1 * 0,25 = 0,725 + 0,225 - 0,025 - 0, =0, Математическое ожидание равно 0,40 доллара. Оптимальное f в этой последова тельности составляет 0,26, или 1 ставка на каждые 8,08 доллара на балансе счета (так как наибольший проигрыш здесь равен -2,10 доллара). Таким образом, мак симальный исторический проигрыш может быть 26% (примерно такой же, что и в простой игре с положительным математическим ожиданием). Однако в этом примере происходит сглаживание уменьшении баланса. Если бы мы просто рас сматривали игру с положительным ожиданием, то третья последовательность принесла бы нам максимальный проигрыш. Так как мы комбинируем две системы, третья последовательность более ровная. Это единственный плюс. Среднее геометрическое здесь равно 1,025, то есть скорость роста в два раза меньше, чем при простой игре с положительным математическим ожиданием. Мы делаем ставки (когда могли бы сделать только 2 ставки в простой игре с положительным ожиданием), а больше не зарабатываем:

1,0607^2= 1, 1,025^4= 1, Очевидно, что при диверсификации вы должны использовать такие рыночные системы, которые имеют самую низкую корреляцию прибылей друг к другу, и же лательно отрицательную корреляцию. Вы должны понимать, что уменьшение ба ланса худшего случая едва ли будет смягчено диверсификацией, хотя вы сможете смягчать многие более слабые уменьшения баланса. Наибольшая польза диверси фикации состоит в улучшении среднего геометрического. Метод поиска оптимального портфеля путем рассмотрения чистых дневных HPR упраздняет необходимость смотреть за тем, сколько сделок в каждой рыночной системе произошло. Использование этого метода позволит вам наблюдать только за средним геометрическим независимо от частоты сделок. Таким образом, среднее геометрическое становится единственной статистической оценкой того, насколько прибыльным является портфель. Главная цель диверсификации — это получение наивысшего среднего геометрического.

Как разброс результатов затрагивает геометрический рост После того как мы признали тот факт, что, хотим мы того или нет, сознательно или нет, количество для торговли определяется по уровню баланса на счете, можно рассматривать HPR, а не денежные суммы. Таким образом, мы придадим управлению деньгами определенность и точность. Мы сможем проверить наши стратегии управления деньгами, составить правила и сделать определенные выводы. Посмотрим, как связан геометрический рост и разброс результатов (HPR).

В этой дискуссии мы для простоты будем использовать пример азартной игры.

Рассмотрим две системы: систему А, которая выигрывает 10% времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 28 к 1, и систему В, которая выигрывает 70% времени и имеет отношение выигрыш/проигрыш 1,9 к 1. Наше математическое ожидание на единицу ставки для А равно 1,9, а для В равно 0,4. Поэтому мы мо жем сказать, что для каждой единицы ставки система А выиграет, в среднем, в 4, раз больше, чем система В. Но давайте рассмотрим торговлю фиксированной долей. Мы можем найти оптимальные f, разделив математическое ожидание на отношение выигрыш/проигрыш. Это даст нам оптимальное f = 0,0678 для А и 0, для В. Средние геометрические для каждой системы при соответствующих значениях оптимальных f составят:

А= 1, В= 1, Как видите, система В, несмотря на то что ее математическое ожидание примерно в четыре раза меньше, чем системы А, приносит почти в два раза больше за ставку (доходность 8,57629% за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f), чем система А (которая приносит 4,4176755% за ставку, когда вы реинвестируете с оптимальным f).

Система % Выигрышей Выигрыш: МО f Среднее Проигрыш геометрическое А 10 28: 1 1,9 0,0678 1, В 70 1,9:1 0,4 0,4 1, Проигрыш 50% по балансу потребует 100% прибыли для возмещения;

1,044177 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 16,5, то есть для возме щения 50% проигрыша для системы А потребуется более 16 сделок. Сравним с системой В, где 1,0857629 в степени Х будет равно 2,0, когда Х приблизительно равно 9, то есть для системы В потребуется 9 сделок для возмещения 50% проигрыша.

В чем здесь дело? Не потому ли все это происходит, что система В имеет процент выигрышных сделок выше? Истинная причина, по которой В функционирует лучше А, кроется в разбросе результатов и его влиянии на функцию роста.

Большинство трейдеров ошибочно считают, что функция роста TWR задается следующим образом:

где R = процентная ставка за период (например, 7% = 0,07);

N = количество периодов.

Так как 1 + R то же, что и HPR, большинство ошибочно полагает, что функция роста1 TWR равна:

(1.18) TWR = HPR ^N Эта функция верна только тогда, когда прибыль (то есть HPR) постоянна, чего в торговле не бывает. Реальная функция роста в торговле (или любой другой среде, Многие ошибочно используют среднее арифметическое HPR в уравнении HPR ^ N. Как здесь показано, это не даст истинное TWR после N игр. Вы должны использовать геометрическое, а не арифметическое среднее HPR ^ N. Это даст истинное TWR. Если стандартное отклонение HPR равно 0, тогда арифметическое среднее HPR и геометрическое среднее HPR эквивалентны, и не имеет значения, какое из них вы используете.

где HPR не является постоянной) — это произведение всех HPR. Допустим, мы торгуем кофе, наше оптимальное f составляет 1 контракт на каждую 21 долларов на балансе счета и прошло 2 сделки, одна из которых принесла убыток 210 долларов, а другая выигрыш 210 долларов. В этом примере HPR равны 0,99 и 1,01 соответственно. Таким образом, TWR равно:

TWR = 1,01 * 0,99 = 0, Дополнительную информацию можно получить, используя оценочное среднее геометрическое (EGM):

или Теперь возведем уравнение (1.16а) или (1.166) в степень N, чтобы рассчитать TWR Оно будет близко к «мультипликативной» функции роста, действительному TWR или где N = количество периодов;

АНPR = среднее арифметическое HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR;

V = дисперсия значений HPR.

Оба уравнения (1.19) эквивалентны.

Полученная информация говорит, что найден компромисс между увеличением средней арифметической торговли (HPR) и дисперсией HPR, и становится ясна причина, по которой система (1,9:1 ;

70%) работает лучше, чем система (28:1;

10%)!

Нашей целью является максимизация коэффициента этой функции, т.е. мак симизация следующей величины:

Показатель оценочного TWR, т.е. N, сам о себе позаботится. Увеличение N не яв ляется проблемой, так как мы можем расширить количество рынков или торговать в более краткосрочных типах систем.

Расчет дисперсии и стандартного отклонения (V и SD соответственно) может оказаться трудным для большинства людей, не знакомых со статистикой. Вместо этих величин многие используют среднее абсолютное отклонение, которое мы на зовем М. Чтобы найти М, надо просто взять среднее абсолютное значение разно сти самой величины и ее среднего значения.

При колоколообразном распределении (как почти всегда бывает с распределением прибылей и убытков торговой системы) среднее абсолютное отклонение примерно равно 0,8 стандартного отклонения (в нормальном распределении оно составляет 0,7979). Поэтому мы можем сказать:

и Обозначим среднее арифметическое HPR переменной А, а среднее геометрическое HPR переменной G. Используя уравнение (1.166), мы можем выразить оценочное среднее геометрическое следующим образом:

Из этого уравнения получим:

Теперь вместо дисперсии подставим стандартное отклонение [как в (1.16а)]:

Из этого уравнения мы можем выделить каждую переменную, а также выделить ноль, чтобы получить фундаментальные соотношения между средним арифметическим, средним геометрическим и разбросом, выраженным здесь как SD ^ 2:

В этих уравнениях значение SD^2 можно записать как V или как (1,25 * М) ^2. Это подводит нас к той точке, когда мы можем описать существующие взаимосвязи.

Отметьте, что последнее из уравнений — это теорема Пифагора: сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы! Но здесь гипотенуза это А, а мы хотим максимизировать одну из ее сторон, G. При увеличении G любое повышение D («катет» дисперсии, равный SD или V^(1/2), или 1,25 * М) приведет к увеличению А. Когда D равно нулю, тогда А равно G, этим самым соответствуя ложно толкуе мой функции роста TWR = (1 + R)^ N. Действительно, когда D равно нулю, тогда А равно G в соответствии с уравнением (1.26).

Мы можем сказать, что повышение А^ 2 оказывает на G то же воздействие, что и аналогичное понижение величины (1,25 * М) ^ 2.

Чтобы понять это, рассмотрим изменение А от 1,1 до 1,2:

А SD М G А^2 SD ^ 2 = (1, 25 * М)^ 1,1 0,1 0,08 1,095445 1,21 0, 1,2 0,4899 0,39192 1,095445 1.44 0. 0,23 = 0, Когда A=l,l,ToSD=0,l. Когда А = 1,2, то, чтобы получить эквивалентное G, SD должно быть равно 0,4899, согласно уравнению (1.27). Так как М = = 0,8 * SD,ToM=0,3919. Если мы возведем в квадрат значения А и SD и рассчитаем раз ность, то получим 0,23 в соответствии с уравнением (1.29). Рассмотрим следующую таблицу:

А SD М G А^2 SD ^ 2 = (1,25 * М) ^ 1,1 0,25 0,2 1,071214 1, 21 0, 1,2 0,5408 0,4327 1,071214 1, 44 0. 0, 23 = 0, Отметьте, что в предыдущем примере, где мы начали с меньших значений разбро са (SD или М), требовалось их большее повышение, чтобы достичь того же G.

Таким образом, можно утверждать, что чем сильнее вы уменьшаете дисперсию, тем легче дается больший выигрыш. Это экспоненциальная функция, причем в пределе, при нулевой дисперсии, G равно А. Трейдер, который торгует на фиксированной долевой основе, должен максимизировать G, но не обязательно А.

При максимизации G надо понимать, что стандартное отклонение SD затрагивает G в той же степени, что и А в соответствии с теоремой Пифагора! Таким образом, когда трейдер уменьшает стандартное отклонение (SD) своих сделок, это эквивалентно повышению арифметического среднего HPR (т.е. А), и наоборот!

Фундаментальное уравнение торговли Мы можем получить гораздо больше, чем просто понимание того факта, что уменьшение размера проигрышей улучшает конечный результат. Вернемся к уравнению (1.19а):

Подставим А вместо AHPR (среднее арифметическое HPR). Далее, так как (X ^Y) ^ Z = Х ^ (Y * Z), мы можем еще больше упростить уравнение:

Это последнее уравнение мы назовем фундаментальным уравнением торговли, так как оно описывает, как различные факторы: А, SD и N — влияют на результат торговли. Очевидны несколько фактов. Во-первых, если А меньше или равно единице, тогда при любых значениях двух других переменных, SD и N, наш результат не может быть больше единицы. Если А меньше единицы, то при N, стремящемся к бесконечности, наш результат приближается к нулю. Это означает, что, если А меньше или равно 1 (математическое ожидание меньше или равно нулю, так как математическое ожидание равно А - 1), у нас нет шансов получить прибыль. Фактически, если А меньше 1, то наше разорение — это просто вопрос времени (то есть достаточно большого N).

При условии, что А больше 1, сростом N увеличивается наша прибыль. Например, система показала среднее арифметическое 1,1 и стандартное отклонение 0,25.

Таким образом:

В нашем примере, где коэффициент равен 1,1475;

1,1475 ^ (1/2) = 1,071214264.

Таким образом, каждая следующая сделка, каждое увеличение N на единицу соответствует умножению нашего конечного счета на 1,071214264. Отметьте, что это число является средним геометрическим. Каждый раз, когда осуществляется сделка и когда N увеличивается на единицу, коэффициент умножается на среднее геометрическое. В этом и состоит действительная польза диверсификации, выраженная математически фундаментальным уравнением торговли.

Диверсификация позволяет вам как бы увеличить N (т.е. количество сделок) за определенный период времени. Есть еще одна важная деталь, которую необходимо отметить при рассмотрении фундаментального уравнения торговли: хорошо, когда вы уменьшаете стандартное отклонение больше, чем арифметическое среднее HPR. Поэтому следует быстро закрывать убыточные позиции (использовать маленький stop-loss). Но уравнение также демонстрирует, что при выборе слишком жесткого стопа вы можете больше потерять. Вас выбьет с рынка из-за слишком большого количества сделок с маленьким проигрышем, которые позднее оказались бы прибыльными, поскольку А уменьшается в большей степени, чем SD. Вместе с тем, и уменьшение больших выигрышных сделок поможет вашей системе, если это уменьшает SD больше, чем уменьшает А. Во многих случаях этого можно достичь путем включения в вашу торговую программу опционов. Позиция по опционам, которая направлена против позиции базового инструмента (покупка опциона или продажа соответствующего опциона), может оказаться весьма полезной. Например, если у вас длинная позиция по какой-либо акции (или товару), покупка пут-опциона (или продажа колл-опциона) может уменьшить ваше SD по совокупной позиции в большей степени, чем уменьшить А. Если вы получаете прибыль по базовому инструменту, то будете в убытке по опциону. При этом убыток опциону лишь незначительно уменьшит общую прибыль. Таким образом, вы уменьшили как ваше SD, так и А. Если вы не получаете прибыль по базовому инструменту, вам надо увеличить А и уменьшить SD. Надо стремиться уменьшить SD в большей степени, чем уменьшить А.

Конечно, издержки на трансакции при такой стратегии довольно значительны, и они всегда должны приниматься в расчет. Чтобы воспользоваться такой стратегией, ваша программа не должна быть ориентирована на очень короткий срок. Все вышесказанное лишь подтверждает, что различные стратегии и различные торговые правила должны рассматриваться сточки зрения фундаментального уравнения торговли. Таким образом, мы можем оценить влияние этих факторов на уровень возможных убытков и понять, что именно необходимо сделать для улучшения системы.

Допустим, в долгосрочной торговой программе была использована выше упомянутая стратегия покупки пут-опциона совместно с длинной позицией по базовому инструменту, в результате мы получили большее оценочное TWR.

Ситуация, когда одновременно открыты длинная позиция по базовому инструменту и позиция по пут-опциону, эквивалентна просто длинной позиции по колл-опциону. В том случае лучше просто купить колл-опцион, так как издержки на трансакции будут существенно ниже1, чем при наличии длинной позиции по базовому инструменту и длинной позиции по пут-опциону. Продемонстрируем это на примере рынка индексов акций в 1987 году. Допустим, мы покупаем базовый инструмент — индекс ОЕХ. Система, которую мы будем использовать, является простым 20-дневным прорывом канала. Каждый день мы рассчитываем самый высокий максимум и самый низкий минимум последних 20 дней. Затем, в течение дня, если рынок повышается и касается верхней точки, мы покупаем. Если цены Здесь есть еще один плюс, который сразу может быть и не виден. Он состоит в том, что мы заранее знаем проигрыш худшего случая. Учитывая, насколько чувствительно уравнение оптимального f к наибольшему проигрышу, такая стратегия может приблизить нас к пику кривой f и показать, каким может быть наибольший проигрыш. Во-вторых, проблема проигрыша в 3 стандартных отклонениях (или больше) с более высокой вероятностью, чем подразумевает нормальное распределение, будет устранена. Именно гигантские проигрыши более 3 стандартных отклонений разоряют большинство трейдеров. Опционные стратегии могут полностью упразднить такие проигрыши.

идут вниз и касаются низшей точки, мы продаем. Если дневные открытия выше или ниже точек входа в рынок, мы входим при открытии. Такая система подразумевает постоянную торговлю на рынке:

Дата Позиция Вход P&L Полный капитал Волатильность 870106 Длинная 241,07 0 0 0, 870414 Короткая 276,54 35,47 35,47 0, 870507 Длинная 292,28 -15,74 19,73 0, 870904 Короткая 313,47 21,19 40,92 0, 871001 Длинная 320,67 -7,2 33,72 0, 871012 Короткая 302,81 -17,86 15,86 0, 871221 Длинная 242,94 59,87 75,73 0, Если определять оптимальное f no этому потоку сделок, мы найдем, что соот ветствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру) равно 1,12445.

Теперь мы возьмем те же сделки, только будем использовать модель оценки фондовых опционов Блэка-Шоулса (подробно об этом будет рассказано в главе 5), и преобразуем входные цены в теоретические цены опционов. Входные данные для ценовой модели будут следующими: историческая волатильность, рассчитанная на основе 20 дней (расчет исторической волатильности также приводится в главе 5), безрисковая ставка 6% и 260,8875 дней (это среднее число рабочих дней в году). Далее мы допустим, что покупаем опционы, когда остается ровно 0,5 года до даты их исполнения (6 месяцев), и что они «при деньгах». Дру гими словами, существуют цены исполнения, в точности соответствующие цене входа на рынок. Покупка колл-опциона, когда система в длинной позиции по ба зовому инструменту, и пут-опциона, когда система в короткой позиции по базо вому инструменту, с учетом параметров упомянутой модели оценки опционов, даст в результате следующий поток сделок:

Дата Позиция Вход P&L Полный Базовый Действие капитал инструмент 870106 Длинная 9,623 0 0 241,07 Длинный колл 870414 Фиксация 35,47 25,846 25,846 276, 870414 Длинная 15,428 0 25,846 276,54 Длинный пут 870507 Фиксация 8,792 -6,637 19,21 292, 870507 Длинная 17,116 0 19,21 292,28 Длинный колл 870904 Фиксация 21,242 4,126 23,336 313, 870904 Длинная 14,957 0 23,336 313,47 Длинный пут 871001 Фиксация 10,844 -4,113 19,223 320, 871001 Длинная 15,797 0 19,223 320,67 Длинный колл 871012 Фиксация 9,374 -6,423 12,8 302, 871012 Длинная 16,839 0 12,8 302,81 Длинный пут 871221 Фиксация 61,013 44,173 56,974 242, 871221 Длинная 23 0 56,974 242,94 Длинный колл Если рассчитать оптимальное f по этому потоку сделок, мы придем к выводу, что соответствующее среднее геометрическое (фактор роста на нашем счете за игру) равно 1,2166. Сравните его со средним геометрическим при оптимальном f для базового инструмента 1,12445. Разница огромная. Так как мы получили всего б сделок, то можно возвести каждое среднее геометрическое в 6-ую степень для определения TWR. Это даст TWR по базовому инструменту 2,02 против TWR по опционам 3,24. Преобразуем TWR в процент прибыли от нашего начального счета.

Мы получим 102% прибыли при торговле по базовому инструменту и 224% прибыли при торговле опционами. Опционы в рассмотренном случае предпочти тельнее, что подтверждается фундаментальным уравнением торговли.

Длинные позиции по опционам могут быть менее эффективными, чем длинные позиции по базовому инструменту. Чтобы не сделать здесь ошибку, торговые стратегии (а также выбор серии опционов) необходимо рассматривать с точки зрения фундаментального уравнения торговли.

Как видите, фундаментальное уравнение торговли можно использовать для улучшения торговли. Улучшения могут заключаться в изменении жесткости при казов на закрытие убыточных позиций (stop-loss приказов), в установлении целей и так далее. Эти изменения могут быть вызваны неэффективностью текущей тор говли, а также неэффективностью торговой методологии.

Надеюсь, вы теперь понимаете, что компьютер неверно используется большин ством трейдеров. Оптимизация, поиск систем и значений параметров, которые бы заработали больше всего денег на прошлых данных,— по сути пустая трата времени. Вам надо получить систему, которая будет прибыльна в будущем. С помощью грамотного управления капиталом вы сможете «выжать» максимум из системы, которая лишь минимально прибыльна. Прибыльность системы в большей степени определяется управлением капиталом, которое вы применяете к системе, чем самой системой. Вот почему вы должны строить свои системы (или торговые методы, если вы настроены против механических систем), будучи уверенными в том, что они останутся прибыльными (даже если только минимально прибыльными) в будущем. Помните, что этого нельзя достичь путем ограничения степеней свободы системы или метода. При разработке вашей системы или метода помните также о фундаментальном уравнении торговли.

Оно будет вести вас в верном направлении в отношении эффективности системы или метода. Когда оно будет использоваться вместе с принципом «неограничения степеней свободы», вы получите метод или систему и сможете применить различные техники управления деньгами. Использование этих методов управления деньгами, будь они эмпирическими, которые описываются в этой главе, или параметрическими (ими мы займемся в главе 3), определит степень прибыльности вашего метода или системы.

Глава Характеристики торговли фиксированной долей и полезные методы Мы видели, что оптимальный рост счета достигается посредством оптимального f. Это верно независимо от инструмента, используемого в торговле. Работаем ли мы на рынке фьючерсов, акций или опционов, управляем ли группой трейдеров, при оптимальном f достигается оптимальный рост, а поставленная цель — в кратчайшее время. Мы также узнали, как с эмпирической точки зрения объединить различные рыночные системы на их оптимальных уровнях f в оптимальный портфель, то есть как скомбинировать оптимальное f и теорию портфеля, используя прошлые данные для определения весов компонентов в оптимальном портфеле. Далее мы рассмотрим важные характеристики торговли фиксированной долей.

Оптимальное F для начинающих трейдеров с небольшими капиталами Каким образом при небольшом счете, который дает возможность торговать только 1 контрактом, использовать подход оптимального f? Одно из предложений заключается в том, чтобы торговать 1 контрактом, учитывая не только оптималь ное IB долларах (наибольший проигрыш / -f), но также проигрыш и маржу (залог).

Сумма средств, отведенная под первый контракт, должна быть больше суммы оптимального IB долларах или маржи плюс максимальный исторический проигрыш (на основе 1 единицы):

где А =сумма в долларах, отведенная под первый контракт;

f =оптимальное f (от 0 до 1);

Маржа =первоначальная спекулятивная маржа для данного контрак та (залоговые средства, необходимые для открытия одного контракта);

Проигрыш =максимальный исторический совокупный проигрыш;

МАХ {} = максимальное значение выражения в скобках;

ABS() = функция абсолютного значения.

При такой процедуре вы сможете пережить максимальный проигрыш и все еще иметь достаточно денег для следующей попытки. Хотя мы не можем быть уверены, что в будущем проигрыш наихудшего случая не превысит исторический проигрыш наихудшего случая, маловероятно, чтобы мы начали торговлю сразу с нового исторического проигрыша. Трейдер, использующий эту технику, каждый день должен вычитать сумму, полученную с помощью уравнения (2.01), из своего баланса. Остаток следует разделить на величину (наибольший проигрыш / -f).

Полученный ответ следует округлить в меньшую сторону и прибавить единицу, таким образом, мы получим число контрактов для торговли.

Прояснить ситуацию поможет пример. Допустим, у нас есть система, где оптимальное f= 0,4, наибольший исторический проигрыш равен -3000 долларов, максимальный совокупный проигрыш был -6000 долларов, а залог равен долларов. Используя уравнение (2.01), мы получим:

А = МАХ {(-$3000 / 0,4), ($2500 + ABS(-$6000))} = MAX {($7500), ($2500 + $6000)} = МАХ {$7500, $8500} == $ Таким образом, нам следует отвести 8500 долларов под первый контракт. Теперь допустим, что на нашем счете 22 500 долларов. Поэтому мы вычтем сумму под первый контракт из баланса: $22 500 - $8500 = $14 000 Затем разделим эту сумму на оптимальное f в долларах: $14 000/$7500 =1,867 Округлим полученный результат в меньшую сторону до ближайшего целого числа: INT (1,867)=1 Затем добавим 1 к полученному результату (1 контракт уже обеспечен 8500 долларами, которые мы вычли из баланса):1+1=2 Таким образом, мы будем торговать контрактами. Если бы мы торговали на уровне оптимального f ($7500 на контракт), то торговали бы 3 контрактами (22 500 / 7500). Как видите, этот метод можно использовать независимо от того, насколько велик баланс счета (однако чем больше баланс, тем ближе будут результаты). Более того, чем больше баланс, тем менее вероятно, что вы в конце концов получите проигрыш, после которого сможете торговать только 1 контрактом. Трейдерам с небольшими счетами или тем, кто только начинает торговать, следует использовать этот подход.

Порог геометрической торговли Существует еще один хороший подход для трейдеров, которые только начинают торговать, правда, если вы не используете только что упомянутый метод. При таком подходе используется еще один побочный продукт оптимального f — порог геометрической торговли. Мы уже знаем такие побочные продукты оптимального f, как TWR, среднее геометрическое и т.д.;

они были получены из оптимального f и дают нам информацию о системе. Порог геометрической торговли — это еще один из таких побочных расчетов. По существу, порог геометрической торговли говорит нам, в какой точке следует переключиться на торговлю фиксированной долей, предполагая, что мы начинаем торговать фиксированным количеством контрактов. Вспомните пример с броском монеты, где мы выигрываем 2 доллара, если монета падает на лицевую сторону, и проигрываем 1 доллар, если она падает на обратную сторону. Мы знаем, что оптимальное f= 0,25, т.е. 1 ставка на каждые 4 доллара баланса счета. Если мы торгуем на основе постоянного количества контрактов, то в среднем выигрываем 0,50 долларов за игру. Однако если мы начнем торговать фиксированной долей счета, то можем ожидать выигрыша в 0,2428 доллара на единицу за одну игру (при геометрической средней торговле).

Допустим, мы начинаем с первоначального счета в 4 доллара и поэтому делаем ставку за одну игру. В конце концов, когда счет увеличивается до 8 долларов, сле дует делать 2 ставки за одну игру. Однако 2 ставки, умноженные на геометрическую среднюю торговлю 0,2428 доллара, дадут в итоге 0,4856 доллара.

Не лучше ли придерживаться 1 ставки при уровне баланса 8 долларов, так как нашим ожиданием за одну игру все еще будет 0,50 доллара? Ответ — «да».

Причина в том, что оптимальное f рассчитывается на основе контрактов, которые бесконечно делимы, чего в реальной торговле не бывает.

Мы можем найти точку, где следует перейти к торговле двумя контрактами, основываясь на формуле порога геометрической торговли Т:

Т = ААТ / GAT * Наибольший убыток / -f, где Т = порог геометрической торговли;

ААТ = средняя арифметическая сделка;

GAT = средняя геометрическая сделка;

f= оптимальное f (от 0 до 1). Для нашего примера с броском монеты (2 к I):

Т=0,50 / 0,2428*-1 / -0,25 =8, Поэтому следует переходить на торговлю двумя контрактами, когда счет увели чится до 8,24 доллара, а не до 8,00 долларов. Рисунок 2-1 иллюстрирует порог гео метрической торговли для игры с 50% шансов выигрыша 2 долларов и 50% шан сов проигрыша 1 доллара. Отметьте, что дно кривой порога геометрической торговли соответствует оптимальному f. Порог геометрической торговли является оптимальным уровнем баланса для перехода от торговли одной единицей к торговле двумя единицами. Поэтому если вы используете оптимальное f, то сможете перейти к геометрической торговле при минимальном уровне баланса счета. Теперь возникает вопрос: «Можем ли мы использовать подобный подход, чтобы узнать, когда переходить от 2 к 3 контрактам?», а также: «Почему в самом начале размер единицы не может быть 100 контрактов, если вы начинаете с достаточно большого счета, а не такого, который позволяет торговать лишь одним контрактом?» Разумеется, можно использовать этот метод при работе с размером единицы, большим 1. Однако это корректно в том случае, если вы не уменьшите размер единицы до перехода к геометрическому способу торговли. Дело в том, что до того, как вы перейдете на геометрическую торговлю, вы должны будете торговать постоянным размером единицы.

Допустим, вы начинаете со счета в 400 единиц в игре с броском монеты 2 к 1. Оп тимальное f в долларах предполагает торговлю 1 контрактом (1 ставка) на каждые 4 доллара на счете. Поэтому начинайте торговать 100 контрактами (сделав ставок) в первой сделке. Ваш порог геометрической торговли равен 8,24 доллара, и поэтому следует торговать 101 контрактом на уровне баланса 404,24 доллара. Вы можете преобразовать порог геометрической торговли, который соответствует переходу с 1 контракта к 2 следующим образом:

Рисунок 2-1 Порог геометрической торговли для броска монеты 2 к Преобразованное Т = EQ + Т - (Наибольший проигрыш / -f), где EQ = начальный уровень баланса счета;

Т = порог геометрической торговли для перехода с одного контракта к двум;

f= оптимальное f (от 0 до 1).

Преобразованное Т = 400 + 8,24 - (-1 / -0,25) = 400 + 8,24 - 4 = 404, Таким образом, вы перейдете к торговле 101 контрактом (101 ставке), только когда баланс счета достигнет 404,24 доллара. Допустим, вы торгуете постоянным количеством контрактов, пока баланс счета не достигнет 404,24 доллара, где вы начнете применять геометрический подход. Пока баланс счета не достигнет 404, доллара, вы будете торговать 100 контрактами в последующих сделках независимо от суммы счета. Если после того, как вы пересечете порог геометрической торговли (то есть после того, как баланс счета достигнет 404,24 доллара), вы понесете убыток и баланс упадет ниже 404,24 доллара, вы вернетесь снова к торговле на основе 100 контрактов и будете так торговать до тех пор, пока снова не пересечете геометрический порог. Невозможность уменьшения количества контрактов при уменьшении счета, когда вы находитесь ниже геометрического порога, является недостатком при использовании этой процедуры, когда контрактов больше 2. Если вы торгуете только 1 контрактом, геометрический порог является реальным методом для определения того, на каком уровне баланса начать торговать 2 контрактами (так как вы не можете торговать менее чем контрактом при понижении баланса). Однако этот метод не работает, когда речь идет о переходе от 2 контрактов к 3, так как метод базируется на том, что вы начинаете торговлю с постоянного количества контрактов. То есть, если вы торгуете 2 контрактами, метод не будет работать (за исключением случая, когда вы откажетесь от возможности понизить количество контрактов до одного при падении уровня баланса). Таким образом, начиная торговлю со 100 контрактов, вы не можете перейти к торговле меньшим числом контрактов. Если вы не будете уменьшать количество контрактов, которыми в настоящее время торгуете, при понижении баланса, то порог геометрической торговли или его преобразованная версия из уравнения (2.03) будет уровнем баланса, достаточным для добавления следующего контракта. Проблема этой операции (не уменьшать при понижении) состоит в том, что вы заработаете меньше (TWR будет меньше) в асимптотическом смысле. Вы не выиграете столько, сколько бы выиграли при торговле полным оптимальным f. Более того, ваши проигрыши будут больше, и риск банкротства увеличится. Поэтому порог геометрической торговли будет эффективен, если вы начнете с наименьшего размера ставки (1 контракт) и повысите его до 2. Оптимально, если средняя арифметическая сделка более чем в два раза превышает среднюю геометрическую сделку. Предложенный метод следует использовать, когда вы не можете торговать дробными единицами.

Один комбинированный денежный счет по сравнению с отдельными денежными счетами Прежде чем мы обсудим параметрические методы, необходимо рассмотреть не которые очень важные вопросы в отношении торговли фиксированной долей. Во первых, при одновременной торговле более чем в одной рыночной системе вы получите лучшие результаты в асимптотическом смысле, если будете использо вать только один комбинированный денежный счет. Рассчитывать количество контрактов для торговли следует не для каждого отдельно взятого денежного сче та, а для этого единого комбинированного счета.

По этой причине необходимо ежедневно «соединять» подсчета при изменении их балансов. Сравним две похожие системы: систему А и систему Б. Обе системы имеют 50% шанс выигрыша и обе имеют отношение выигрыша 2:1. Поэтому оптимальное f диктует, чтобы мы ставили 1 доллар на каждые 4 доллара баланса.

Первый пример описывает ситуацию, когда эти две системы имеют положитель ную корреляцию. Мы начинаем со 100 долларов и разбиваем их на 2 подсчета по 50 долларов каждый. После регистрации сделки для этой системы изменится только столбец «Полный капитал», так как каждая система имеет свой собствен ный отдельный счет. Размер денежного счета каждой системы используется для определения ставки для последующей игры:

Таблица I Сделка Система А P&L Полный капитал Сделка Система Б P&L Полный капитал 50,00 50, 2 25,00 75,00 2 25,00 75, -1 -18,75 56,25 -1 -18,75 56, 2 28,13 84,38 2 28,13 84, -1 -21,09 63,28 -1 -21,09 63, 2 31,64 94,92 2 31,64 94, -1 -23,73 71,19 -1 -23,73 71, -50.00 -50. Чистая прибыль 21,19140 21, Итоговая чистая прибыль по двум счета = $42, Теперь мы рассмотрим комбинированный счет в 100 единиц. Вместо того чтобы ставить 1 доллар на каждые 4 доллара на комбинированном счете для каждой сис темы, мы будем ставить 1 доллар на каждые 8 долларов комбинированного счета.

Каждая сделка для любой системы затрагивает комбинированный счет, и именно комбинированный счет используется для определения размера ставки для после дующей игры (Таблица II).

Отметьте, что в случае комбинированного счета и в случае отдельных счетов прибыль одна и та же: $42,38. Мы рассматривали положительную корреляцию между двумя системами. Теперь рассмотрим случай с отрицательной корреляцией между теми же системами, для двух отдельных денежных счетов (Таблица III):

Таблица II Система А Сделка P&L Система Б Сделка P&L Комбинированный счет 100, 2 25,00 2 25,00 150, -1 -18,75 -1 -18,75 112, 2 28,13 2 28,13 168, -1 -21,09 -1 -21,09 126, 2 31,64 2 31,64 189, -1 -23,73 -1 -23,73 142, -100. Итоговая чистая прибыль по комбинированному счету= $42, Таблица Ш Сделка Система А P&L Полный Сделка Система Б P&L Полный капитал капитал 50,00 50, 2 25,00 75,00 -1 -12,50 37, -1 -18,75 56,25 2 18,75 56, 2 28,13 84,38 -1 -14,06 42, -1 -21,09 63,28 2 21,09 63, 2 31,64 94,92 -1 -15,82 47, -1 -23,73 71,19 2 23,73 71, -50.00 -50. Чистая прибыль 21,19140 21, Итоговая чистая прибыль по двум счетам = $42, Как видите, при работе с отдельными денежными счетами обе системы выигры вают ту же сумму независимо от корреляции. Однако при комбинированном счете:

Таблица IV Система А Сделка P&L Система Б Сделка P&L Комбинированный счет 100, 2 25,00 -1 -12,50 112, -1 -14,06 2 28,12 126, 2 31,64 -1 -15,82 142, -1 -17,80 2 35,59 160, 2 40,05 -1 -20,02 180, -1 -22,53 2 45,00 202, -100. Итоговая чистая прибыль по комбинированному счету= $102, При использовании комбинированного счета результаты гораздо лучше. Таким образом, торговать фиксированной долей следует на основе одного комбиниро ванного счета.

Рассматривайте каждую игру как бесконечно повторяющуюся Следующая аксиома, касающаяся торговли фиксированной долей, относится к максимизации текущего события, как будто оно должно быть осуществлено бес конечное количество раз в будущем. Мы определили, что для процесса независи мых испытаний вы должны всегда использовать оптимальное и постоянное f, но при наличии зависимости оптимальное f уже не будет постоянной величиной.

Допустим, в нашей системе существует зависимость, в соответствии с которой подобное порождает подобное, а доверительная граница достаточно высока. Для наглядности мы будем использовать уже знакомую нам игру 2:1. Система показывает, что если последняя игра выигрышная, то следующая игра имеет 55% шанс выигрыша. Если последняя игра проигрышная, то следующая игра имеет 45% шанс проигрыша. Таким образом, если последняя игра была выигрышная, то исходя из формулы Келли, уравнение (1.10) для поиска оптимального f (так как результаты игры имеют бернуллиево распределение), получим:

(1.10) f =((2+1)* 0,55-1)/2 =(3*0,55- 1)/2=0,65/2=0, После проигрышной игры наше оптимальное f равно:

f =((2+1)* 0,45-1)/2 =(3*0,45-1) /2 =0,35/2 =0, Разделив наибольший проигрыш системы (т.е. -1) на отрицательные оптимальные f, мы получим 1 ставку на каждые 3,076923077 единицы на счете после выигрыша и 1 ставку на каждые 5,714285714 единицы на счете после проигрыша. Таким образом мы максимизируем рост в долгосрочной перспективе.

Отметьте, что в этом примере ставки как после выигрышей, так и после проигрышей все еще имеют положительное математическое ожидание. Что произойдет, если после проигрыша вероятность выигрыша будет равна 0,3? В таком случае математическое ожидание имеет отрицательное значение и оп тимального f не существует, таким образом, вам не следует использовать эту игру:

(1.03) М0=(0,3*2)+(0,7*-1) =0,6-0,7 =-0, В этом случае следует использовать оптимальное количество только после выиг рыша и не торговать после проигрыша. Если зависимость действительно суще ствует, вы должны изолировать сделки рыночной системы, основанные на зави симости, и обращаться с изолированными сделками как с отдельными рыночными системами. Принцип, состоящий в том, что асимптотический рост максимизируется, когда каждая игра осуществляется бесконечное количество раз в будущем, также применим к нескольким одновременным играм (или торговле портфелем).

Рассмотрим две системы ставок, А и Б. Обе имеют отношение выигрыша к проигрышу 2:1, и обе выигрывают 50% времени. Допустим, что коэффициент корреляции между двумя системами равен 0. Оптимальные f для обеих систем (при раздельной, а не одновременной торговле) составляют 0,25 (т.е. одна ставка на каждые 4 единицы на балансе). Оптимальные f при одновременной торговле в обеих системах составляют 0,23 (т.е. 1 ставка на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета). В случае, когда система Б торгует только две трети времени, неко торые трейдеры разорятся, если обе системы не будут торговать одновременно.

Первая последовательность показана при начальном комбинированном счете в 1000 единиц, и для каждой системы оптимальное f соответствует 1 ставке на каж дые 4,347826087 единицы:

А Б Комбинированный счет 1 000, -1 - 230,00 770, 2 354,20 -1 -177,10 947, -1 -217,83 2 435,67 1 164, 2 535,87 1 700, -1 -391,18 -1 -391,18 918, 2 422,48 2 422,48 1 763, Рассмотрим теперь ситуацию, когда А торгует отдельно от Б. В этом случае мы де лаем 1 ставку на каждые 4 единицы на комбинированном счете для системы А (так как это оптимальное f для одной игры). В игре с одновременными ставками мы все равно ставим 1 единицу на каждые 4,347826087 единицы на балансе счета как для А, так и для Б. Отметьте, что независимо от того, отдельная это ставка или од новременная ставка по А и Б, мы применяем то оптимальное f, которое увеличи вает доход при бесконечном повторении ставок.

А Б Комбинированный счет 1 000, -1 - 250,00 750, 2 345,20 -1 -172,50 922, -1 -212,17 2 424,35 1 134, 2 567,34 1 702, -1 -391,46 -1 -391,46 919, 2 422,78 2 422,78 1 764, Как видите, с помощью этого метода мы получаем небольшой выигрыш, и чем больше сделок проходит, тем больше этот выигрыш. Тот же принцип применяется к торговле портфелем, где не все компоненты портфеля находятся на рынке в определенный момент времени. Вам следует торговать на оптимальных уровнях для комбинации компонентов (или одного компонента), чтобы получить в итоге оптимальный рост, как будто этой комбинацией компонентов (или одним компонентом) придется торговать бесконечное количество раз в будущем.

Потеря эффективности при одновременных ставках или торговле портфелем Давайте вернемся к нашей игре с броском монеты 2:1. Допустим, мы собираемся одновременно сыграть в две игры: А и Б, — и существует нулевая корреляция между результатами этих двух игр. Оптимальные f для такого случая соответству ют ставке в 1 единицу на каждые 4,347826 единицы на балансе счета, когда игры проводятся одновременно. Отметьте, что при начальном счете в 100 единиц мы заканчиваем с результатом в 156,86 единицы:

Таблица V Система А Сделка P&L Система Б Сделка P&L Счет Оптимальное f соответствует 1 единице на 100, каждые 4,347826 единицы на счете:

-1 -23,00 -1 -23,00 54, 2 24,84 -1 -12,42 66, -1 -15,28 2 30,55 81, 2 37,58 2 37,58 156, Теперь давайте рассмотрим систему В. Она будет такой же, как система А и Б, только мы будем играть в эту игру без одновременного ведения другой игры. Мы сыграем 8 раз, но не 2 игры по 4 раза, как в прошлом примере. Теперь наше оптимальное f - это ставка 1 единицы на каждые 4 единицы на балансе счета. Мы, как и прежде, имеем те же 8 сделок, но лучший конечный результат (Таблица VI).

Мы получили лучший конечный результат не потому, что оптимальные f немного отличаются (оба значения f находятся на соответствующих оптимальных уровнях), а потому, что есть небольшая потеря эффективности при одновременных ставках.

Неэффективность является результатом невозможности изменения структуры вашего счета (т.е. рекапитализации) после каждой отдельной ставки, как в игре только по одной рыночной системе. В случае с двумя одновременными ставками вы можете рекапитализировать счет только 3 раза, в то время как в слу чае с 8 отдельными ставками вы рекапитализируете счет 7 раз. Отсюда возникает потеря эффективности при одновременных ставках (или при торговле портфелем рыночных систем).

Система В Счет Сделка P&L 100, -1 -25 2 37, 5 112, -1 -28, 13 84, 2 42, 19 126, 2 63, 28 189, 2 94, 92 284, -1 -71, 19 213, -1 -53, 39 160, Оптимальное f соответствует единице на каждые 4 единице на счете Мы рассмотрели случай, когда одновременные ставки не были коррелирова-ны.

Давайте посмотрим, что произойдет при положительной корреляции (+1,00):

Таблица VII Система А Система Б Сделка P&L Сделка P&L Счет 100, -1 -12,50 -1 -12,50 75, 2 18,75 2 18,75 112, -1 -14,06 -1 -14,06 84, 2 21,09 2 21,09 126, Оптимальное f соответствует единице на каждые 8 единице на счете Отметьте, что после 4 одновременных игр при корреляции между рыночными системами +1,00 мы увеличили первоначальный счет 100 единиц до 126,56. Это соответствует TWR = 1,2656, или среднему геометрическому (даже если это ком бинированные игры) 1,2656 ^ (1/4) =1,06066. Теперь вернемся к случаю с одной ставкой. Обратите внимание, что после 4 игр мы получим 126,56 при начальном счете в 100 единиц. Таким образом, среднее геометрическое равно 1,06066. Это говорит о том, что скорость роста такая же, как и при торговле с оптимальными долями на абсолютно коррелированных рынках. Как только коэффициент корреляции опускается ниже +1,00, скорость роста повышается. Таким образом, мы можем утверждать, что при комбинировании рыночных систем ваша скорость роста никогда не будет меньше, чем в случае одиночной ставки по каждой системе, независимо от того, насколько высоки корреляции, при условии, что добавляемая рыночная система имеет положительное арифметическое математическое ожидание. Вспомним первый пример из этого раздела, когда рыночные системы имели нулевой коэффициент корреляции. Эта рыночная система увеличила счет 100 единиц до 156,86 после 4 игр при среднем геометрическом (156,86/ / 100) ^ (1/4) = 1,119. Теперь давайте рассмотрим случай, когда коэффициент корреляции равен -1,00. Так как при таком сценарии никогда не бывает проигрышной игры, оптимальная сумма ставки является бесконечно большой суммой (другими словами, следует ставить 1 единицу на бесконечно малую сумму баланса счета). Для примера мы сделаем 1 ставку на каждые единицы на счете и посмотрим на полученные результаты:

Таблица VIII Система АСистема Б Сделка P&L Сделка P&L Счет Оптимальное f соответствует 1 единице на каждые 0,00 на балансе (показана 1 единица на каждые 4):

100, -1 -12,50 2 25,00 112, 2 28,13 -1 -14,06 126, -1 -15,82 2 31,64 142, 2 35,60 -1 -17,80 160, Из этого раздела можно сделать два вывода. Первый состоит в том, что при од новременных ставках или торговле портфелем существует небольшая потеря эффективности, вызванная невозможностью рекапитализировать счет после каждой отдельной игры. Второй заключается в том, что комбинирование ры ночных систем, при условии, что они имеют положительные математические ожидания (даже если они положительно коррелированы), никогда не уменьшит ваш общий рост за определенный период времени. Однако когда вы продолжаете добавлять все больше и больше рыночных систем, эффективность уменьшается.

Если у вас есть, скажем, 10 рыночных систем, и все они одновременно несут убытки, совокупный убыток может уничтожить весь счет, так как вы не сможете уменьшить размер каждого проигрыша, как в случае последовательных сделок.

Таким образом, при добавлении новой рыночной системы в портфель польза будет только в двух случаях: когда рыночная система имеет коэффициент корреляции меньше 1 и положительное математическое ожидание или же когда система имеет отрицательное ожидание, но достаточно низкую корреляцию с другими составляющими портфеля, чтобы компенсировать отрицательное ожидание.

Каждая добавленная рыночная система вносит постепенно уменьшающийся вклад в среднее геометрическое. То есть каждая новая рыночная система улучшает среднее геометрическое все в меньшей и меньшей степени. Более того, когда вы добавляете новую рыночную систему, теряется общая эффективность из-за одновременных, а не последовательных результатов. В некоторой точке добавление еще одной рыночной системы принесет больше вреда, чем пользы.

Время, необходимое для достижения определенной цели, и проблема дробного f Допустим, мы знаем среднее арифметическое HPR и среднее геометрическое HPR для данной системы. Мы можем определить стандартное отклонение HPR из формулы для расчета оценочного среднего геометрического:

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

SD = стандартное отклонение значений HPR.

Поэтому мы можем рассчитать стандартное отклонение SD следующим образом:

Возвращаясь к нашей игре с броском монеты 2:1, где математическое ожидание 0,50 долларов и оптимальное f- ставка в 1 доллар на каждые 4 доллара на счете, мы получим среднее геометрическое 1,06066. Для определения среднего ариф метического HPR можно использовать уравнение (2.05):

где AHPR = среднее арифметическое HPR;

МО = арифметическое математическое ожидание в единицах;

f$= наибольший проигрыш/-f f = оптимальное f (от 0 до 1).

Таким образом, среднее арифметическое HPR равно:

AHPR =1+(0,5/(-1/-0,25)) =1+(0,5/4) =1+0,125 =1, Теперь, так как у нас есть AHPR и EGM, мы можем использовать уравнение (2.04) для определения оценочного стандартного отклонения HPR:

=1,125 ^2- 1,06066 ^ = 1,265625-1,124999636 =0, Таким образом, SD ^ 2, то есть дисперсия HPR, равна 0,140625364. Извлекая квад ратный корень из этой суммы, мы получаем стандартное отклонение HPR =0,140625364 ^(1/2) =0,3750004853. Следует отметить, что это оценочное стандартное отклонение, так как при его расчете используется оценочное среднее геометрическое. Это не совсем точный расчет, но вполне приемлемый для наших целей. Предположим, мы хотим преобразовать значения для стандартного отклонения (или дисперсии), арифметического и среднего геометрического HPR, чтобы отражать торговлю не оптимальным f, а некоторой его частью. Эти преобразования даны далее:

(2.07) FSD = SD * FRAC (2.08) FGHPR= (FAHPR ^ 2 - FSD ^ 2) А^(1/2), где FRAC = используемая дробная часть оптимального f;

АН PR= среднее арифметическое HPR при оптимальном f;

SD = стандартное отклонение HPR при оптимальном f;

FAHPR== среднее арифметическое HPR при дробном f;

FSD = стандартное отклонение HPR при дробном f;

FGHPR = среднее геометрическое HPR при дробном f.

Например, мы хотим посмотреть, какие значения приняли бы FAHPR, FGHPR и FSD в игре с броском монеты 2:1 при половине оптимального f (FRAC = 0,5). Мы знаем, что AHPR= 1,125 и SD = 0,3750004853. Таким образом:

=(1,125- 1)*0,5+ 1 =0,125* 0,5 + 1 = 0,0625 + 1 = 1, (2.07) FSD = SD * FRAC =0,3750004853*0,5 = 0, ^ ^ ^ = (1,0625 2 - 0,1875002427 ^2) (1/2) = (1,12890625 - 0,03515634101) (1/2) =1,093749909 ^ (1/2) = 1, Для оптимального f= 0,25 (1 ставка на каждые 4 доллара на счете) мы получаем значения 1,125, 1,06066 и 0,3750004853 для среднего арифметического, среднего геометрического и стандартного отклонения HPR соответственно. При дробном (0,5) f =0,125 (1 ставка на каждые 8 долларов на счете) мы получаем значения 1,0625, 1,04582499 и 0,1875002427 для среднего арифметического, среднего гео метрического и стандартного отклонения HPR соответственно. Посмотрим, что происходит, когда мы используем стратегию дробного f. Мы уже знаем, что при дробном f заработаем меньше, чем при оптимальном f. Более того, мы определили, что проигрыши и дисперсии прибылей будут меньше при дробном f. Что произойдет со временем, необходимым для достижения определенной цели?

Мы можем определить только ожидаемое количество сделок, необходимое для достижения определенной цели. Это не то же самое, что ожидаемое время, требуемое для достижения определенной цели, но, так как наши измерения производятся в сделках, мы будем считать время и количество сделок синонимами.

(2.09) N = 1п(Цель) / 1n(Среднее геометрическое), где N = ожидаемое количество сделок для достижения цели;

Цель = цель в виде множителя первоначального счета, т.е. TWR;

1n() = функция натурального логарифма.

Вернемся к нашему примеру с броском монеты 2:1. При оптимальном f среднее геометрическое равно 1,06066, а при половине f оно составляет 1,04582499. Теперь давайте рассчитаем ожидаемое количество сделок, необходимое для удвоения на шего счета (Цель = 2). При полном f:

N=ln(2)/ln( 1,06066) =0,6931471/0,05889134 =11, Таким образом, в игре с броском монеты 2:1 при полном f следует ожидать 11,76993 сделок для удвоения нашего счета. При половине f получаем:

N=ln(2)/ln( 1,04582499) =0,6931471/0,04480602 = 15, Таким образом, при половине f мы ожидаем, что потребуется 15,46996 сделок для удвоения счета. Другими словами, чтобы достичь цели при торговле на уровне f/ /2, от нас понадобится на 31,44% сделок больше. Ну что же, это звучит не так уж плохо. Проявляя терпение для достижения поставленной цели, мы потратим времени на 31,44% больше, но сократим худший проигрыш и дисперсию наполовину. Согласитесь, половина — это довольно много. Чем меньшую часть оптимального f вы будете использовать, тем более гладкую кривую счета получите, и тем меньшее время вы будете в проигрыше. Теперь посмотрим на эту ситуацию с другой стороны. Допустим, вы открываете два счета: один для торговли с полным f и один для торговли с половиной f. После 12 игр ваш счет с полным f увеличится в 2,02728259 в 12 раза. После 12 сделок (с половиной f) он вырастет в 1,712017427 (1,04582499 ^ 12) раза. С половиной f первоначальный ^ счет увеличится в 2,048067384 (1,04582499 16) раза при 16 сделках. Поэтому, торгуя на одну треть дольше, вы достигнете той же цели, что и при полном оптимальном f, но при активности, меньшей наполовину. Однако к 16 сделке счет ^ с полным f будет в 2,565777865 (1,06066 16) раза больше вашего первоначального счета. Полное f продолжает увеличивать счет. К 100 сделке ваш счет с половиной f увеличится в 88,28796546 раз, но полное f увеличит его в 361,093016 раз!

Единственный минус торговли с дробным f— это большее время, необходимое для достижения определенной цели. Все дело во времени. Мы можем вложить деньги в казначейские обязательства и достичь-таки заданной цели через определенное время с минимальными промежуточными падениями баланса и дисперсией! Время — это суть проблемы.

Сравнение торговых систем Мы увидели, что две торговые системы можно сравнивать на основе их средних геометрических при соответствующих оптимальных f. Далее, мы можем сравнивать системы, основываясь на том, насколько высокими являются их оптимальные f, поскольку более высокие оптимальные f соответствуют более рискованным системам. Это связано с тем, что исторический проигрыш может понизить счет, по крайней мере, на процент f. Поэтому существуют две основные величины для сравнения систем: среднее геометрическое при оптимальном f, где более высокое среднее геометрическое предпочтительнее, и само оптимальное f, где более низкое оптимальное f лучше. Таким образом, вместо одной величины для измерения эффективности системы мы получаем две;

эффективность должна измеряться в двухмерном пространстве, где одна ось является средним геометрическим, а другая — значением f. Чем выше среднее геометрическое при оптимальном f, тем лучше система. Также чем ниже оптимальное f, тем лучше система.

Среднее геометрическое ничего не скажет нам о проигрыше. Высокое среднее геометрическое не означает, что проигрыш системы большой (или, наоборот, не значительный). Среднее геометрическое имеет отношение только к прибыли.

Оптимальное f является мерой минимального ожидаемого исторического проиг рыша как процентное понижение баланса. Более высокое оптимальное f не гово рит о более высоком (или низком) доходе. Мы можем также использовать эти по ложения для сравнения определенной системы при дробном значении f с другой системой при полном значении оптимального f. При рассмотрении систем вам следует учитывать, насколько высоки средние геометрические и каковы оптимальные f. Например, у нас есть система А, которая имеет среднее геометрическое 1,05 и оптимальное f= 0,8. Также у нас есть система В, которая имеет среднее геометрическое 1,025 и оптимальное f=0,4. Система А при половине уровня f будет иметь то же минимальное историческое падение баланса худшего случая (проигрыш) в 40%, как и система В при полном f, но среднее гео метрическое системы А при половине f вce равно будет выше, чем среднее геометрическое системы В при полном значении f. Поэтому система А лучше системы В. «Минутку, — можете возразить вы, — разве не является самым важным то обстоятельство, что среднее геометрическое больше 1, и системе необходимо быть только минимально прибыльной, чтобы (посредством грамотного управления деньгами) заработать желаемую сумму!» Так оно и есть.

Скорость, с которой вы зарабатываете деньги, является функцией среднего геометрического на уровне используемого f. Ожидаемая дисперсия зависит от того, насколько большое f вы используете. Вы, безусловно, должны иметь систему с оптимальным f и со средним геометрическим, большим 1 (то есть с положительным математическим ожиданием). С такой системой вы можете заработать практически любую сумму через соответствующее количество сделок.

Скорость роста (количество сделок, необходимое для достижения определенной цели) зависит от среднего геометрического при используемом значении f.

Дисперсия на пути к этой цели также является функцией используемого значения f. Хотя важность среднего геометрического и применяемого f вторична по срав нению с тем фактом, что вы должны иметь положительное математическое ожи дание, эти величины действительно полезны при сравнении двух систем или ме тодов, которые имеют положительное математическое ожидание и равную уве ренность в их работе в будущем.

Слишком большая чувствительность к величине наибольшего проигрыша Недостаток подхода, основанного на оптимальном f, заключается в том, что f слишком зависит от величины наибольшего проигрыша, что является серьезной проблемой для многих трейдеров, и они доказывают, что количество контрактов, которые вы открываете сегодня, не должно быть функцией одной неудачной сделки в прошлом.

Для устранения этой сверхчувствительности к наибольшему проигрышу были разработаны разнообразные алгоритмы. Многие из этих алгоритмов заключаются в изменении наибольшего проигрыша в большую или меньшую сторону, чтобы сделать наибольший проигрыш функцией текущей волатильности рынка. Эта связь, как утверждают некоторые, квадратичная, то есть абсолютное значение наибольшего проигрыша, по всей видимости, увеличивается с большей скоростью, чем волатильность. Волатильность чаще всего определяется как средний дневной диапазон цен за последние несколько недель или как среднее абсолютное дневное изменение за последние несколько недель. Однако об этой зависимости нельзя говорить с полной уверенностью. То, что волатильность сегодня составляет X, не означает, что наш наибольший проигрыш будет Х ^ Y. Можно говорить лишь о том, что он обычно где-то около Х ^ Y. Если бы мы могли заранее определить сегодняшний наибольший проигрыш, то, безусловно, могли бы лучше использовать методы управления деньгами1. Это тот самый случай, когда мы должны рассмотреть сценарий худшего случая и отталкиваться от него. Проблема состоит в том, что мы не знаем точно, каким будет сегодня наибольший Именно в этом случае использование опционов в торговой стратегии столь полезно. Покупка пут или колл-опциона в обратном направлении от позиции по базовому инструменту для ограничения проигрыша либо торговля опционами вместо базового инструмента дадут вам заранее известный максимальный проигрыш, что очень пригодится в управлении деньгами, особенно при оптимальном f. Более того, если вы знаете заранее, каким будет ваш максимальный проигрыш (например, при дневной торговле), тогда вы всегда сможете точно определить величину f в долларах для каждой сделки как следующую дробь: риск в долларах на единицу/оптимальное f. Например, дневной трейдер знает, что его оптимальное f =0,4. Его стоп (stop-loss) сегодня на основе 1 единицы равен 900 долларам. Поэтому оптимально торговать единицей на каждые 2250 долларов ($900 / 0,4) на балансе счета.

проигрыш. Алгоритмы, которые могут спрогнозировать это, не очень эффективны, так как они часто дают ошибочные результаты.

Предположим, в течение торгового дня произошло событие, вызвавшее на рынке шок, и до этого шока волатильность была достаточно низкой. Затем рынок находился не на вашей стороне несколько следующих дней. Или, допустим, на следующий день рынок открылся с огромным разрывом не в вашу пользу. Эти события так же стары, как сама торговля товарами и акциями. Они могут произойти и происходят, и о них не всегда предупреждает заранее повышающаяся волатильность. Таким образом, лучше не «сокращать» ваш наибольший исторический проигрыш для отражения текущего рынка с низкой волатильностью.

Более того, есть реальная возможность испытать в будущем проигрыш больший, чем наибольший исторический проигрыш. Наибольший проигрыш, который вы получили в прошлом, может оказаться наибольшим проигрышем, который вы испытаете сегодня, и не зависеть от текущей волатильности1. Проблема состоит в том, что с эмпирической точки зрения f, оптимальное в прошлом, является функцией наибольшего проигрыша в прошлом. С этим ничего не поделаешь.

Однако мы увидим, когда перейдем к параметрическим методам, что можно предусмотреть больший проигрыш в будущем. При этом мы будем готовы к появлению почти неизбежного большого проигрыша. Вместо подгонки наибольшего проигрыша к текущей ситуации на рынке, чтобы эмпирическое оптимальное f отражало нынешнюю ситуацию, лучше изучить параметрические методы. Следующий метод является возможным решением данной проблемы и может применяться вне зависимости от того, рассчитываем мы оптимальное f эмпирически или параметрически.

Приведение оптимального f к текущим ценам Оптимальное f даст наибольший геометрический рост при большом количестве сделок. Это математический факт. Рассмотрим гипотетический поток сделок:

Из этого потока сделок мы найдем, что оптимальное f= 0,17 (ставка 1 единицы на каждые 29,41 доллара на балансе). Такой подход при данном потоке даст нам наи больший рост счета.

Представьте себе, что этот поток выражает прибыли и убытки при торговле одной акцией. Оптимально следует покупать одну акцию на каждые 29,41 доллара на балансе счета, несмотря на текущую цену акции. Предположим, что текущая цена акции равна 100 долларам. Более того, допустим, что при первых двух сделках акция стоила 20 долларов, а при двух последних сделках — 50 долларов.

Для наших первых двух сделок, которые произошли при цене акции в 20 долларов, выигрыш в 2 доллара соответствует выигрышу в 10%, а проигрыш 3 долларов соответствует проигрышу в 15%. Для двух последних сделок при цене акции долларов выигрыш 10 долларов соответствует выигрышу в 20%, а проигрыш в долларов соответствует проигрышу в 10%.

Разумный подход требует, чтобы мы использовали наибольший проигрыш, по крайней мере, такой же величины, как и в прошлом. С течением времени мы получаем все большее количество данных и большие периоды проигрышей. Например, если бросить монету 100 раз, она может раз подряд выпасть на обратную сторону. Если бросить ее 1000 раз, то, вероятно, можно получить еще больший период, когда монета выпадет обратной стороной. Тот же принцип работает и в торговле. Мы не только должны ожидать более длинные полосы проигрышных сделок в будущем, следует также ожидать большую проигрышную сделку наихудшего случая.

Формулы преобразования необработанных торговых P&L в процент выигрыша и проигрыша для длинных и коротких позиций следующие:

(2. 10а) P&L% = Цена выхода / Цена входа — 1 (для длинных) (2.106), P&L% = Цена входа / Цена выхода - 1 (для коротких), или мы можем использовать следующую формулу для преобразования как длин ных, так и коротких:

(2.10в) P&L% = P&L в пунктах / Цена входа Таким образом, для наших 4 гипотетических сделок мы получим следующий поток процентных выигрышей и проигрышей (с точки зрения длинных позиций):

Мы назовем этот новый поток преобразованных P&L приведенными данными, так как при торговле они приводятся к цене базового инструмента.

Чтобы учесть комиссионные и проскальзывание, вы должны уменьшить цену выхода в уравнении (2.10а) на сумму комиссионных и проскальзывания. Таким же образом вам следует увеличить цену выхода в (2.106). Если вы используете (2.10в), то должны вычесть сумму комиссионных и проскальзывания (в пунктах) из числителя (P&L в пунктах). Затем мы определим оптимальное f по этим процентным выигрышам и проигрышам. Оптимальное f будет равно 0,09.

Преобразуем это оптимальное f= 0,09 в денежный эквивалент, основываясь на текущей цене акции, с помощью формулы:

(2.11) f$ = Наибольший процентный проигрыш * Текущая цена * ($ за пункт/ -f) Таким образом, так как наш наибольший процентный проигрыш был -0,15, теку щая цена равна 100 долларам за акцию, а количество долларов на пункт равно (так как мы имеем дело с покупкой только 1 акции), можно определить f$ следую щим образом:

f$ =-0,15*100*1/-0,09 =-15/-0,09 = 166, Следует покупать 1 акцию на каждые 166,67 долларов баланса счета. Если бы мы выбрали 100 акций в качестве единицы, единственной переменной, затронутой этим изменением, было бы количество долларов за полный пункт, которое стало бы равно 100. В результате, f$ было бы 16 666,67 доллара баланса на каждые акций.

Теперь допустим, что цена акции упала до 3 долларов. Наше уравнение для f$ будет таким же, но текущая станет равна 3. Таким образом, сумма для финансиро вания 1 акции изменится:

f$=-0,15*3* 1/-0,09 = -0,45 / -0,09= Теперь следует покупать 1 акцию на каждые 5 долларов баланса счета.

Отметьте, что оптимальное f не изменяется с текущей ценой акции. Оно оста ется на уровне 0,09. Однако f$ меняется постоянно, так как меняется цена акции.

Это не означает, что вы должны обязательно изменить позицию, которую уже открыли в этот день, но если бы вы так поступили, то это пошло бы на пользу тор говле. Например, если вы открываете длинную позицию по какой-либо акции и ее цена падает, количество денег, которое вам следует разместить под 1 единицу ( акций в этом случае), также уменьшится (если оптимальное f получено из приведенньк данных). Если ваше оптимальное f получено из необработанных данных, то количество денег, необходимое для 1 единицы, не уменьшится. В обоих случаях ваш дневной баланс понижается. Использование приведенного оптимального f делает более вероятным, что ежедневное изменение размера позиции пойдет вам на пользу Использование приведенных данных для оптимального f неизбежно влечет за собой изменение побочных продуктов1. Мы знаем, что и оптимальное f, и среднее геометрическое (и отсюда TWR) изменятся.

Средняя арифметическая сделка также изменится, потому что все сделки в прошлом должны быть пересчитаны, как если бы они происходили при текущей цене. Таким образом, в нашем предполагаемом потоке результатов по 1 акции (+2,-3,+10и-5) мы получим среднюю сделку, равную 1 доллару. Когда мы используем процентные выигрыши и проигрыши (+0,1;

-0,15;

+0,2 и -0,1), то получаем среднюю сделку (в процентах) +0,5. При цене 100 долларов за акцию мы получим среднюю сделку 100 * 0,05, или 5 долларов за сделку. При цене 3 доллара за акцию средняя сделка становится равной 0,15 доллара (3 * 0,05).

Средняя геометрическая сделка также изменится. Вспомните уравнение (1.14) для средней геометрической сделки:

(1.14) GAT = G * (Наибольший проигрыш /-f), где G = (среднее геометрическое) -1;

f=оптимальная фиксированная доля. (Разумеется, наш наибольший проигрыш всегда является отрицательным числом.) Это уравнение эквивалентно следующему:

GAT = (среднее геометрическое - 1) * f$ Мы получили новое среднее геометрическое на основе приведенных данных.

Переменная f$, которая была постоянной, когда прошлые данные не приводились, теперь изменится, так как она является функцией текущей цены. Таким образом, наша средняя геометрическая сделка меняется, когда меняется цена базового инструмента.

Порог геометрической торговли также должен измениться. Вспомните урав нение (2.02) для порога геометрической торговли:

где Т = порог геометрической торговли;

ААТ = средняя арифметическая сделка;

GAT =средняя геометрическая сделка;

f= оптимальное f (от 0 до 1). Это уравнение также можно переписать следующим образом:

Т = ААТ/GAT* f$ Наконец, при сведении в единый портфель нескольких рыночных систем мы дол жны рассчитать ежедневные HPR. Это также функция f$:

Уравнения риска разорения, хотя они напрямую и не упомянуты в этой книге, должны также изменяться при использовании приведенных данных. Вообще в качестве вводных данных для уравнений риска разорения используют необработанные данные P&L. Однако когда вы используете приведенные данные, новый поток процентных выигрышей и проигрышей должен умножаться на текущую цену базового инструмента, и далее надо использовать именно этот получившийся поток. Таким образом, при текущей цене инструмента 100 долларов поток процентных выигрышей и проигрышей 0,1;

-0,15;

0,2;

-0,1 преобразуется в поток 10;

-15;

20;

-10.

Этот новый поток и следует использовать для уравнений риска разорения.

(2.12) Дневное HPR = D$ / f$ + 1, где D$ = долларовое изменение цены 1 единицы по сравнению с прошлым днем, т. е. (закрытие сегодня - закрытие вчера) * (доллары за пункт);

f$= текущее оптимальное f в долларах, рассчитанное из уравнения (2.11).

Здесь текущей ценой является закрытие последнего дня.

Предположим, некая акция сегодня вечером закрылась на уровне 99 долларов. На прошлой сессии ее цена была 102 доллара. Наибольший процентный проигрыш равен -15. Если f= 0,09, тогда f$ равно:

f$ =-0,15*102*1/-0,09 =-15,3/-0,09 = Так как мы имеем дело только с одной акцией, цена одного пункта составляет доллар. Мы можем теперь определить сегодняшнее дневное HPR из уравнения (2.12):

(2.12) Дневное HPR = (99 -102) * 1 / 170 + 1 =-3/170+ = -0,01764705882 + 1 = 0, Теперь вернемся к началу нашей дискуссии. При потоке торговых P&L опти мальное f позволит получить наибольший геометрический рост (при условии, что арифметическое математическое ожидание положительное)'. Мы используем по ток торговых P&L в качестве образца распределения возможных результатов в следующей сделке. Если привести к текущей цене поток прошлых прибылей и убытков, то мы сможем получить более правдоподобное распределение потенци альных прибылей и убытков для следующей сделки. Таким образом, нам следует рассчитывать оптимальное f из этого измененного распределения прибылей и убытков. Это не означает, что, используя оптимальное f, рассчитанное на основе приведенных данных, мы выиграем больше. Как видно из следующего примера, все выглядит несколько иначе:

P&L Процент Цена f$ базового инструмента Количество Полный капитал акций При f= 0,09 (торговля приведенным методом): $ +2 0,1 20 $33,33 300 $ -3 -0,15 20 $33,33 318 $ +10 0,2 50 $83,33 115,752 $10803, -5 -0,1 50 $83,33 129,642 $10155, P&L Процент Цена f$ базового инструмента Количество Полный капитал акций При f= 0,17 (торговля неприведенным методом): $ +2 0,1 20 $29,41 340,02 $10680, -3 -0,15 20 $29,41 363,14 $9 590, +10 0,2 50 $29,41 326,1 $12851, -5 -0,1 50 $29,41 436,98 $10666, Однако если бы все сделки были рассчитаны на основе текущей цены (скажем, долларов за акцию), приведенное оптимальное f позволило бы выиграть больше, чем необработанное оптимальное f.

Что лучше использовать? Следует ли нам определять оптимальное f (и его по бочные продукты) на основе приведенных данных или лучше действовать обыч ным способом? Это больше вопрос ваших предпочтений. Все зависит от того, что более важно в инструменте, которым вы торгуете: процентные изменения или аб солютные изменения. Будет ли движение в 2 доллара по акции в 20 долларов то же, что и движение в 10 долларов по акции в 100 долларов? Посмотрим, например, на торги по доллару и немецкой марке. Будет ли движение в 0,30 пункта при 0,4500 то же, что и движение в 0,40 пункта при 0,6000? На мой взгляд, лучше использовать приведенные данные. С этим, однако, можно поспорить. Например, если акция с 20 долларов выросла до 100 долларов, и мы хотим определить оптимальное f, нам, возможно, потребуется использовать только текущие данные.

Сделки, которые происходили при цене в 20 долларов за акцию, относятся к рынку, значительно отличающемуся от существующего в настоящий момент.

Лучше не использовать данные, когда базовый инструмент был на совершенно другом ценовом уровне, так как состояние рынка могло существенно измениться В этом смысле оптимальное f на основе необработанных данных и оптимальное f, получаемое из приведенных данных, будут почти идентичны, когда все сделки происходят при ценах, близких к текущей цене базового инструмента.

Если действительно большое значение имеет то обстоятельство, приводите вы данные или нет, значит вы используете слишком много исторических данных. На самом деле, нет большой разницы, используете ли вы приведенные или необработанные данные, если нет вышеописанной проблемы, поэтому следует пользоваться приведенными данными. Это не означает, что оптимальное f, рас считанное из приведенных данных, было оптимальным в прошлом. Оно могло таковым и не быть. Оптимальное f, рассчитанное из необработанных данных, могло быть оптимальным в прошлом. Однако оптимальное f, рассчитанное из приведенных данных, имеет больше смысла, так как приведенные данные явля ются более справедливым представлением распределения возможных результатов по следующей сделке.

Уравнения с (2. 10а) по (2. 10в) дают разные ответы в зависимости от того, какая была открыта позиция: длинная или короткая. Например, если акция куплена за 80, а продана за 100, выигрыш составит 25%. Однако если акция продана по 100, а закрыта по 80, то выигрыш составит только 20%. В обоих случаях позицию открыли по 80 и закрыли по 100. Таким образом, последовательность — хронология трансакций — должна приниматься во внимание. Так как хронология трансакций затрагивает распределение процентных выигрышей и проигрышей, мы допускаем, что будущая хронология скорее всего будет подобна прошлой.

Конечно, мы можем игнорировать хронологию сделок (используя 2.10в для длинных позиций и цену выхода в знаменателе 2.10в для коротких позиций), но это означало бы уменьшение информации в исторических данных. Более того, риск торговли является функцией хронологии торговли, и этот факт мы были бы вынуждены игнорировать.

Усреднение цены при покупке и продажа акций Это старая, мало используемая техника управления деньгами, которая является идеальным инструментом для работы в ситуациях, когда у вас мало информации.

Рассмотрим пример: Джо Пуцивакян каждую неделю заливает в свою машину бензина на 20 долларов, независимо от цены бензина в эту неделю. Он всегда заправляется на 20 долларов и каждую неделю использует только 20 долларов.

Когда цена бензина выше, это вынуждает его быть более экономным при вождении.

Джо Пуцивакян покупает больше бензина, когда он дешевле, и меньше, когда он дороже. Поэтому всю свою жизнь он платит за галлон бензина цену ниже средней. Другими словами, если вы усредните стоимость галлона бензина за все недели, когда Джо водил автомобиль, среднее значение будет выше, чем платил Джо.

У Джо есть двоюродный брат, Сесил Пуцивакян. Когда ему нужен бензин, он просто наполняет бак и сетует на высокую цену. В результате, Сесил использует постоянное количество топлива каждую неделю и поэтому платит среднюю цену всю свою автомобильную жизнь.

Предположим, вы ищите долгосрочную инвестиционную программу. В итоге вы решаете вложить деньги во взаимный фонд, чтобы обеспечить себе достойную старость. Вы полагаете, что, когда уйдете на пенсию, акции взаимного фонда будут стоить намного дороже, чем сегодня, то есть, в асимптотическом смысле, инвестиции во взаимный фонд принесут деньги (с другой стороны, в асимптотическом смысле, и молния дважды ударит в одно и то же место). Однако вы не знаете, какова будет стоимость этих вложений в следующем месяце или в следующем году. У вас нет информации о краткосрочной тенденции цен акций взаимного фонда.

Чтобы решить эту проблему, вы можете усреднить цену покупки акций взаим ного фонда. Скажем, вы хотите купить акции взаимного фонда на определенную сумму в течение двух лет. Для инвестирования у вас есть 36 000 долларов.

Поэтому каждый месяц в течение следующих 24 месяцев из этих 36 000 долларов вы будете инвестировать в фонд по 1500 долларов. Таким образом, вы вложите деньги в фонд ниже средней цены. Под «средней» имеется в виду средняя цена за 24 месяца, в течение которых вы инвестируете. Это не обязательно означает, что вы получите цену, которая меньше, чем в случае разовой инвестиции 36 долларов, и не гарантирует, что в конце этих 24 месяцев вы получите прибыль на вложенные 36 000 долларов. Сумма, которую вы инвестировали в акции фонда, к этому времени может быть меньше 36 000 долларов. Все вышесказанное означает только то, что если вы войдете в какой-то произвольной точке в течение месяцев с 36 000 долларов, то сможете купить меньше акций фонда и, следовательно, заплатите более высокую цену, чем при усреднении.

Похожим образом следует поступать, когда вы собираетесь выйти из взаимного фонда, только теперь это относится к усреднению цены продаж акций, а не к усреднению цены покупки. Скажем, вы уходите на пенсию с 1000 акций этого взаимного фонда. Вы не знаете, пришло время выходить из фонда или нет, поэтому решаете продавать акции в течение 2 лет (24 месяца), чтобы усреднить цену выхода. Вот как следует действовать. Возьмите общее количество акций (1000) и разделите их на количество периодов, за которое хотите выйти ( месяца). Так как 1000 / 24 = 41,67, то последующие 24 месяца вы будете продавать 41,67 акций каждый месяц. Таким образом, вы продадите свои акции по более высокой цене, чем средняя цена за эти 24 месяца. Конечно, нет гарантии, что вы продадите их по более высокой цене, чем сегодняшняя, и совсем необязательно, что вы продадите акции по более высокой цене, чем через 24 месяца. Вы получите более высокую цену, чем средняя цена за период времени, когда вы усредняетесь.

Это вам гарантировано. Те же принципы можно применять к торговому счету. В противоположность «одному решительному шагу» в какой-то точке в течение выбранного отрезка времени входите на рынок по лучшей «средней цене». При отсутствии информации о том, каким будет краткосрочное изменение баланса на счете, вам лучше усредняться. Не полагайтесь только на свою выдержку и интуицию, используйте методы измерения зависимости ежемесячных изменений баланса торговой программы (см. главу 1). Попытайтесь понять, есть ли зависимость в ежемесячных изменениях баланса. Если зависимость существует при достаточно высоком доверительном уровне, чтобы вы могли полностью войти в благоприятной точке, тогда так и делайте. Однако если нет достаточно высокой уверенности относительно зависимости в ежемесячных изменениях баланса, тогда усредняйтесь. Таким образом, у вас будет преимущество в асимптотическом смысле. То же верно в случае снятия денег со счета. Аналогично усреднению при покупке (неважно, торгуете вы акциями или товарами) следует принять решение о дате начала усреднения, а также о том, насколько долгий период времени необходим для усреднения. В тот день, когда вы собираетесь начать усреднение, разделите баланс счета на 100. Это даст вам стоимость «I акции». Теперь разделите 100 на количество периодов, по прошествии которых вы закончите усреднение. Скажем, вы хотите снять все деньги со счета в течение следующих недель. Разделив 100 на 20, вы получите 5. Поэтому вы будете снимать со своего счета 5 «акций» в неделю. Умножьте величину, которую вы вычислили как «акцию», на 5, чтобы знать, сколько денег снять с торгового счета в эту неделю.

Теперь вы должны отслеживать, сколько «акций» у вас осталось. Так как вы взяли 5 долей на прошлой неделе, у вас осталось 95. Когда подойдет время для второго снятия, разделите баланс на вашем счете на 95 и умножьте на 5. Это даст вам стоимость 5 «акций», которые вы «переведете в наличные» на этой неделе.

Следуйте этой стратегии, пока у вас не закончатся «акции». Таким образом, средняя цена продажи будет лучше, чем цена в произвольной точке в течение этих 20 недель.

Этот принцип усреднения настолько прост, что остается только поражаться, почему мало кто ему следует. Я всегда использую этот принцип в торговле, однако не встречал никого, кто следовал бы моему примеру. Причина проста. Эта доста точно эффективная концепция требует дисциплины и времени для проработки, и при этом точно те же составляющие необходимы для использования концепции оптимального f. Посоветуйтесь с Джо Пуцивакяном. Понять концепции и поверить в них — только полдела. Самое важное — следовать им.

Законы арксинуса и случайное блуждание Давайте поговорим о проигрышах, но сначала скажем несколько слов о первом и втором законах арксинуса. Эти принципы относятся к случайному блужданию.

Поток торговых P&L в некоторых случаях может быть неслучайным, хотя обычно большинство потоков торговых прибылей и убытков почти случайны, что можно подтвердить серийным тестом и коэффициентом линейной корреляции. Законы арксинуса предполагают, что вы заранее знаете сумму, которую можно выиграть или проиграть, и допускают, что сумма, которую можно выиграть, равна сумме, которую можно проиграть, и эта сумма постоянна. В нашей дискуссии мы допустим, что сумма, которую вы можете выиграть или проиграть, — это 1 доллар за каждую игру. Законы арксинуса также допускают, что у вас есть 50% шанс выигрыша и 50% шанс проигрыша. Таким образом, законы арксинуса предполагают игру, где математическое ожидание составляет 0. Эти предположения относятся к играм, которые значительно проще, чем торговля.

Однако первый и второй законы арксинуса в точности относятся к только что описанной игре. Конечно, напрямую они не применимы к реальной торговле, но для наглядности мы не будем различать игру и торговлю. Представим себе действительно случайную последовательность, такую, как бросок монеты1, где мы Хотя эмпирические тесты показывают, что бросок монеты не является истинно случайной последовательностью из-за некоторого несовершенства используемой монеты, мы будем считать, что монета идеальная с точным шансом 0,5 выпадения на лицевую или обратную сторону.

получаем 1 единицу, когда выигрываем, и теряем 1 единицу, когда проигрываем.

Если бы мы строили кривую баланса за Х число бросков, то наносили бы точки с координатами (X, Y), где Х представляет собой номер броска, а Y — наш общий выигрыш или проигрыш после этого броска.

Введем понятие положительной области, когда кривая баланса находится выше оси Х или на оси X, если предыдущая точка была выше X. Таким же образом мы определим отрицательную область, когда кривая баланса находится ниже оси Х или на оси X, если предыдущая точка была ниже X. Логично предположить, что общее количество точек в положительной области будет примерно равно общему количеству точек в отрицательной области. На самом деле это не так. Если бро сить монету N раз, то вероятность (Prob) осуществления К событий в положи тельной области составит:

Символ ~ означает, что обе части стремятся к равенству в пределе. В этом случае, так как или К, или (N - К) стремятся к бесконечности, обе части уравнения будут стремиться к равенству.

Таким образом, если бросить монету 10 раз (N = 10), мы получим следующие вероятности нахождения в положительной области:

К Вероятность о 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 0, 10 0, Можно ожидать попадания в положительную область 5-ти из 10-ти бросков, но это наименее вероятный результат!

Наиболее вероятным результатом будет нахождение в положительной области при всех бросках или ни при одном!

Этот принцип формально описывается в первом законе арксинуса, который гласит:

Для фиксированного А (0 < А < 1), когда N стремится к бесконечности, время, проведенное в положительной области (т.е., когда К / N < А), будет определяться следующим образом:

Отметьте, что в уравнении (2.13) ни К, ни (N — К) не могут быть равными 0. Мы можем вычислить вероятности, соответствующие К = 0 и К = N, если вычтем сумму вероятностей от К = до К = N — 1 из единицы. Разделив полученное значение на 2, мы получим вероятность при К = 0 и К = N.

N = количество бросков;

К = количество бросков в положительной области.

Даже при N = 20 вы получите очень хорошее приближение для вероятности.

Уравнение (2.14), то есть первый закон арксинуса, говорит нам, что с ве роятностью 0,1 кривая баланса счета проведет 99,4% времени в одной области (положительной или отрицательной). С вероятностью 0,2 кривая баланса будет находиться в той же области 97,6% времени. С вероятностью 0,5 кривая баланса счета проведет в одной области более 85,35% времени. Настолько упряма кривая баланса простой монетки!

Существует также второй закон арксинуса, который основан на уравнении (2.14) и дает те же вероятности, что и первый закон арксинуса, но применяется к другому случаю, максимуму или минимуму кривой баланса. Второй закон аркси нуса гласит, что максимальная (или минимальная) точка кривой баланса вероятнее всего будет при начальном или конечном бросках, чем в середине игры. Рас пределение будет таким же, как и в случае со временем, проведенным в одной об ласти!

Если вы бросаете монету N раз, вероятность достижения максимума (или минимума) в точке К на кривой баланса также описывается уравнением (2.13):

Таким образом, если бросить монету 10 раз (N = 10), мы получим следующие ве роятности максимума (или минимума) при К бросках:

к Вероятность о 0, 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, 5 0, 6 0, 7 0, 8 0, 9 0, 10 0, Второй закон арксинуса говорит о том, что максимум (или минимум) вероятнее всего будет рядом с крайними точками кривой баланса.

Время, проведенное в проигрыше Вспомните первоначальные предположения в законах арксинуса. Законы арксину са допускают 50% шанс выигрыша и 50% шанс проигрыша. Более того, они допус кают, что вы выигрываете или проигрываете одинаковые суммы, а поток сделок случаен. Торговля является значительно более сложной игрой. Таким образом, в чистом виде законы арксинуса не применимы к торговле. Законы арксинуса верны при нулевом арифметическом математическом ожидании. Таким образом, согласно первому закону, мы можем интерпретировать процент времени, проведенного с любой стороны нулевой линии, как процент времени с любой стороны арифметического математического ожидания. Так же обстоит дело и со вторым законом, где вместо того, чтобы искать абсолютный максимум и минимум, мы поищем максимум выше математического ожидания и минимум ниже его.

Минимум ниже математического ожидания может быть больше, чем максимум выше него, если минимум был позднее, и арифметическое математическое ожидание было повышающейся линией (как в торговле), а не горизонтальной линией на нулевом уровне. Таким образом, мы можем считать, что общая идея законов арксинуса применима к торговле. Однако вместо горизонтальной линии на нулевом уровне следует начертить линию, направленную вверх со скоростью арифметической средней торговли (если торговля ведется постоянным количеством контрактов). Если мы используем торговлю фиксированной долей, то линия будет направлена вверх, становясь более крутой со скоростью среднего геометрического. Мы можем ин терпретировать первый закон арксинуса следующим образом: наша система будет находиться с одной стороны линии математического ожидания большее число сделок, чем с другой стороны этой линии. В отношении второго закона арксинуса можно сказать, что максимальные отклонения от линии математического ожида ния (выше или ниже ее) будут чаще встречаться рядом с начальной или конечной точкой кривой баланса и реже в середине. Отметим еще одну характеристику, которая очень важна при торговле с оптимальным f. Эта характеристика касается времени, которое вы проводите между двумя пиками баланса. Если вы торгуете на уровне оптимального f (в одной рыночной системе или портфелем рыночных систем), период самого длительного проигрыша1 (не обязательно наибольшего) может составить от 35 до 55% времени, на протяжении которого ведется торговля.

Это справедливо независимо от того, какой временной период вы рассматриваете!

(Время здесь измеряется в сделках).

Это правило не жесткое. Скорее, это возможное проявление сути законов арк синуса в реальной жизни.

Данный принцип справедлив независимо от того, насколько длинный или короткий период времени вы рассматриваете. Мы можем находиться в проигрыше приблизительно от 35 до 55% времени за весь период работы торговой про граммы! Это верно независимо от того, используем мы одну рыночную систему или портфель. Поэтому надо быть готовыми к периодам проигрыша 35-55% вре мени торговой программы, тогда мы сможем психологически подготовиться к торговле в эти периоды.

Собираетесь ли вы управлять чьим-то счетом, отдать деньги в управление или торговать со своего собственного счета, вы должны помнить о законах арксинуса и знать, что может произойти с кривой баланса, а также помнить правило 35-55%.

Таким образом, вы будете готовы к тому, что может произойти в будущем. Мы достаточно подробно изучили эмпирические подходы. Кроме того, мы обсудили многие характеристики торговли фиксированной долей и узнали некоторые полез Под самым длительным проигрышем здесь подразумевается измеряемое в сделках время между моментом достижения пика баланса и моментом, когда этот пик снова достигнут или превзойден.

ные методы, которые будут использоваться в дальнейшем. Мы увидели, что при торговле на оптимальных уровнях следует ожидать не только значительных падений баланса счета, но и длительного периода времени, необходимого для того, чтобы снова заработать проигранные деньги. В следующей главе мы поговорим о параметрических подходах.

Глава Параметрическое оптимальное f при нормальном распределении Теперь, когда мы закончили рассмотрение эмпирических методов, а также характеристик торговли фиксированной долей, мы изучим параметрические методы. Эти методы отличаются от эмпирических тем, что в них не используется прошлая история в качестве данных, с которыми придется работать. Мы просто наблюдаем за прошлой историей для создания математического описания распределения исторических данных. Это математи ческое описание основывается на том, что произошло в прошлом, а также на том, что, как мы ожидаем, произойдет в будущем. В параметрических методах мы имеем дело с этими математическими описаниями, а не с самой прошлой историей. Математические описания, используемые в параметрических методах, называются распределениями вероятности. Чтобы использовать параметрические методы, мы должны сначала изучить распределения вероятности. Затем мы перейдем к изучению очень важного типа распределения, нормального распределения. Мы узнаем, как найти оптимальное/и его побочные продукты при нормальном распределении.

Основы распределений вероятности Представьте себе, что вы находитесь на ипподроме и ведете запись мест, на которых лошади финишируют в забегах. Вы записываете, какая лошадь пришла первой, какая второй и так далее для каждого забега. Учитываются только первые десять мест. Если лошадь пришла после десятой, то вы запишете ее на десятое место. Через несколько дней вы соберете достаточное количество информации и увидите распределение финишных мест для каждой лошади. Теперь вы можете взять полученные данные и нанести на график. По горизонтальной оси будут отмечаться места, на которых лошадь финишировала, слева на оси будет наихудшее место (десятое), а справа наилучшее (первое). На вертикальной оси мы будем отмечать, сколько раз беговая лошадь финишировала в позиции, отмеченной на горизонтальной оси. Вы увидите, что построенная кривая будет иметь колоколообразную форму.

При таком сценарии есть десять возможных финишных мест для каждого за бега. Мы будем говорить, что в этом распределении — десять ячеек (bins). Посмот рим, что произойдет, если вместо десяти мы будем использовать пять ячеек. Пер вая ячейка будет для первого и второго места, вторая ячейка для третьего и четвер того места и так далее. Как это отразится на результатах?

Использование меньшего количества ячеек при том же наборе данных в резуль тате дало бы распределение вероятности с тем же профилем, что и при большом количестве ячеек. То есть графически они бы выглядели примерно одинаково. Од нако использование меньшего количества ячеек уменьшает информационное со держание распределения, и наоборот, использование большего количества ячеек повышает информационное содержание распределения. Если вместо финишных позиций лошадей в каждом забеге мы будем записывать время, за которое пробежала лошадь, округленное до ближайшей секунды, то получим не десять ячеек, а больше, и, таким образом, информационное содержание распределения увеличится.

Если бы мы записали точное время финиша, а не округленное до секунд, то могли бы построить непрерывное распределение. При непрерывном распределении нет ячеек. Представьте непрерывное распределение как серию бесконечно малых ячеек (см. рисунок 3-1). Непрерывное распределение отличается от дискретного, которое является ячеистым распределением. Хотя создание ячеек уменьшает информационное содержание распределения, в реальной жизни это единственно возможный подход для обработки ячеистых данных, поэтому на практике приходится жертвовать частью информации, сохраняя при этом профиль распределения. И наконец, вы должны понимать, что можно взять непрерывное распределение и сделать его дискретным путем создания ячеек, но невозможно дискретное распределение переделать в непрерывное.

Когда мы имеем дело с торговыми прибылями и убытками, то чаще всего рас сматриваем непрерывное распределение. Сделка может иметь множество исходов (хотя мы можем округлить цены до ближайшего цента). Для того чтобы работать с таким распределением, потребуется разбить данные на ячейки, например шириной 100 долларов. Такое распределение имело бы отдельную ячейку для сделок, прибыли которых оказались ниже 99,99 доллара, другую ячейку для сделок от до 199,99 доллара и так далее. При таком подходе будет определенная потеря информации, но профиль распределения торговых прибылей и убытков не изменится.

Рисунок 3-1 Непрерывное распределение является серией бесконечно малых ячеек.

Величины, описывающие распределения Многие из вас наверняка знакомы со средним, или, если говорить точнее, средним арифметическим (arithmetic mean). Это просто сумма значений, соответствующих точкам распределения, деленная на количество точек данных:

где А = среднее арифметическое;

X. = значение, соответствующее точке i;

N = общее число точек данных в распределении.

Среднее арифметическое является самым распространенным из набора величин, оценивающих расположение (location) или центральную тенденцию (central tendency) тела данных распределения. Однако вы должны знать, что среднее арифметическое является не единственным доступным измерением центральной тенденции, и зачастую не самым лучшим. Среднее арифметическое обычно оказывается плохим выбором, когда распределение имеет широкие хвосты (tails1 ).

Если при исследовании распределения с очень широкими хвостами вы случайным образом будете выбирать точки данных для расчета среднего, то, проделав это несколько раз подряд, увидите, что средние арифметические, полученные таким способом, заметно отличаются друг от друга. Еще одной важной величиной, определяющей расположение распределения, является медиана (median). Медиана описывает среднее значение, когда данные расположены по порядку в соответствии с их величиной. Медиана делит распределение вероятности на две половины таким образом, что площадь под кривой одной половины равна площади под кривой другой половины. В некоторых случаях медиана лучше задает центральную тенденцию, чем среднее арифметическое. В отличие от среднего арифметического медиана не искажается крайними случайными значениями. Более того, медиану можно рассчитать даже для распределения, в котором все значения выше заданной ячейки попадают в определенную ячейку.

Примером такого распределения является рассмотренный выше забег лошадей.

Любое финишное место после десятого записывается в десятое место. Медиана широко используется в Бюро Переписи США. Третьей величиной, определяющей центральную тенденцию, является мода (mode) — наиболее часто повторяющееся событие (или значение данных). Мода — это пик кривой распределения. В некоторых распределениях нет моды, а иногда есть более чем одна мода. Как и медиана, мода в некоторых случаях может лучше всего описывать центральную тенденцию. Мода никак не зависит от крайних случайных значений, и ее можно рассчитать быстрее, чем среднее арифметическое или медиану. Мы увидели, что медиана делит распределение на две равные части. Таким же образом распределение можно разделить тремя квартилями (quartiles), чтобы получить четыре области равного размера или вероятности, или девятью децилями (deciles), чтобы получить десять областей равного размера или вероятности, или перцентилями (percentiles) (чтобы получить 100 областей равного размера или вероятности), 50-й перцентиль является медианой и вместе с 25-м и 75-м перцен тилями дает нам квартили. И наконец, еще один термин, с которым вы должны познакомиться, — это квантиль (quantile). Квантиль — это некоторое число N-1, которое делит общее поле данных на N равных частей. Теперь вернемся к среднему. Мы обсудили среднее арифметическое, которое измеряет центральную тенденцию распределения. Есть и другие виды средних, они реже встречаются, но в определенных случаях также могут оказаться предпочтительнее. Одно из них — это среднее геометрическое (geometric mean), расчет которого дан в первой главе.

Среднее геометрическое является корнем степени N из произведения значений, соответствующих точкам распределения.

Область больших отклонении. — Прим. ред где G = среднее геометрическое;

Х = значение, соответствующее точке i;

N = общее число точек данных в распределении.

Среднее геометрическое не может быть рассчитано, если хотя бы одна из пере менных меньше или равна нулю.

Мы знаем, что арифметическое математическое ожидание является средним арифметическим результатом каждой игры (на основе 1 единицы) минус размер ставки. Таким же образом можно сказать, что геометрическое математическое ожидание является средним геометрическим результатом каждой игры (на основе 1 единицы) минус размер ставки.

Еще одним видом среднего является среднее гармоническое (harmonic mean).

Это обратное значение от среднего обратных значений точек данных.

где Н = среднее гармоническое;

Х = значение, соответствующее точке i;

N = общее число точек данных в распределении.

Последней величиной, определяющей центральную тенденцию, является среднее квадратическое (quadratic mean), или среднеквадратический корень (root mean square).

где R = среднеквадратический корень;

Х = значение, соответствующее точке i;

N = общее число точек данных в распределении.

Вы должны знать, что среднее арифметическое (А) всегда больше или равно сред нему геометрическому (G), а среднее геометрическое всегда больше или равно среднему гармоническому (Н):

G = среднее геометрическое;

А = среднее арифметическое.

Моменты распределения Центральное значение, или расположение распределения, — первое, что надо знать о группе данных. Следующая величина, которая представляет интерес, — это изменчивость данных, или «ширина» относительно центрального значения.

Мы назовем значение центральной тенденции первым моментом распределения.

Изменчивость точек данных относительно центральной тенденции называется вторым моментом распределения. Следовательно, второй момент измеряет раз брос распределения относительно первого момента.

Как и в случае с центральной тенденцией, существует много способов измере ния разброса. Далее мы рассмотрим семь из них, начиная с наименее распростра ненных вариантов и заканчивая самыми распространенными.

Широта (range) распределения — это просто разность между самым высоким и самым низким значением распределения. Таким же образом широта перцентиля 10-90 является разностью между 90-й и 10-й точками. Эти первые две величины измеряют разброс по крайним точкам. Остальные пять измеряют отклонение от центральной тенденции (т.е. измеряют половину разброса).

Семи-интерквартильная широта (sem-interquartile range), или квартальное отклонение (quartile deviation), равна половине расстояния между первым и третьим квартилями (25-й и 75-й перцентили). В отличие от широты перцентиля 10-90, здесь широта делится на два.

Полуширина (half-width) является наиболее распространенным способом изме рения разброса. Сначала надо найти высоту распределения в его пике (моде), затем найти точку в середине высоты и провести через нее горизонтальную линию перпендикулярно вертикальной линии. Горизонтальная линия пересечет кривую распределения в одной точке слева и в одной точке справа. Расстояние между эти ми двумя точками называется полушириной.

Среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation), или просто среднее отклонение, является средним арифметическим абсолютных значений разности значения каждой точки и среднего арифметического значений всех точек. Другими словами (что и следует из названия), это среднее расстояние, на которое значение точки данных удалено от среднего. В математических терминах:

где М = среднее абсолютное отклонение;

N = общее число точек данных;

X. = значение, соответствующее точке i;

А = среднее арифметическое значений точек данных;

ABS() = функция абсолютного значения.

Уравнение (3.06) дает нам совокупное среднее абсолютное отклонение. Вам сле дует знать, что можно рассчитать среднее абсолютное отклонение по выборке. Для расчета среднего абсолютного отклонения выборки замените 1 / N в уравнении (3.06) на 1 / (N - 1). Используйте эту версию, когда расчеты ведутся не по всей совокупности данных, а по некоторой выборке.

Самыми распространенными величинами для измерения разброса являются дисперсия и стандартное отклонение. Как и в случае со средним абсолютным от клонением, их можно рассчитать для всей совокупности и для выборки. Далее показана версия для всей совокупности данных, которую можно легко переделать в выборочную версию, заменив l/NHal/(N-l). Дисперсия (variance) чем-то напоминает среднее абсолютное отклонение, но при расчете дисперсии каждая разность значения точки данных и среднего значения возводится в квадрат. В результате, нам не надо брать абсолютное значение каждой разности, так как мы автоматически получаем положительный результат, независимо от того, была эта разность отрицательной или положительной. Кроме того, так как в квадрат возводится каждая из этих величин, крайние выпадающие значения оказывают большее влияние на дисперсию, а не на среднее абсолютное отклонение. В математических терминах:

где V = дисперсия;

N = общее число точек данных;

X. = значение, соответствующее точке i;

А = среднее арифметическое значений точек данных.

Стандартное отклонение (standard deviation) тесно связано с дисперсией (и, следовательно, со средним абсолютным отклонением). Стандартное отклонение является квадратным корнем дисперсии.

Третий момент распределения называется асимметрией (skewness), и он опи сывает асимметричность распределения относительно среднего значения (рисунок 3-2). В то время как первые два момента распределения имеют размерные ве личины (то есть те же единицы измерения, что и измеряемые параметры), асим метрия определяется таким способом, что получается безразмерной. Это просто число, которое описывает форму распределения.

Положительное значение асимметрии означает, что хвосты больше с положи тельной стороны распределения, и наоборот. Совершенно симметричное распре деление имеет нулевую асимметрию.

Рисунок 3-2 Асимметрия Рисунок 3-3 Асимметричное распределение В симметричном распределении среднее, медиана и мода имеют одинаковое значе ние. Однако когда распределение имеет ненулевое значение асимметрии, оно может принять вид, показанный на рисунке 3-3. Для асимметричного распределения (любого распределения с ненулевой асимметрией) верно равенство:

(3.08) Среднее - Мода = 3 * (Среднее - Медиана) Есть много способов для расчета асимметрии, и они часто дают различные ответы.

Ниже мы рассмотрим несколько вариантов:

(3.09) S == (Среднее - Мода) / Стандартное отклонение (3.10) S = (3 * (Среднее - Медиана)) / Стандартное отклонение Уравнения (3.09) и (3.10) дают нам первый и второй коэффициенты асимметрии Пирсона. Асимметрия также часто определяется следующим образом:

где S = асимметрия;

N = общее число точек данных;

Х = значение, соответствующее точке i;

А = среднее арифметическое значений точек данных;

D = стандартное отклонение значений точек данных.

И наконец, четвертый момент распределения, эксцесс (kurtosis) (см. рисунок 3-4), измеряет, насколько у распределения плоская или острая форма (по сравнению с нормальным распределением). Как и асимметрия, это безразмерная величина.

Кривая, менее остроконечная, чем нормальная, имеет эксцесс отрицательный, а кривая, более остроконечная, чем нормальная, имеет эксцесс положительный.

Когда пик кривой такой же, как и у кривой нормального распределения, эксцесс равен нулю, и мы будем говорить, что это распределение с нормальным эксцессом.

Как и предыдущие моменты, эксцесс имеет несколько способов расчета. Наиболее распространенными являются:

где К = эксцесс;

Q == семи-интерквартильная широта;

Р = широта перцентиля 10-90.

(3.13) К = (1 / N ( (((X - Аi) / D)^ 4))) - 3, где К = эксцесс;

N = общее число точек данных;

Х = значение, соответствующее точке i;

А = среднее арифметическое значений точек данных;

D = стандартное отклонение значений точек данных.

Рисунок 3-4 Эксцесс Наконец, необходимо отметить, что «теория», связанная с моментами распределе ния, намного серьезнее, чем то, что представлено здесь. Для более глубокого пони мания вам следует просмотреть книги по статистике, упомянутые в списке реко мендованной литературы. Для наших задач изложенного выше вполне достаточно.

До настоящего момента рассматривалось распределение данных в общем виде.

Теперь мы изучим нормальное распределение.

Нормальное распределение Часто нормальное распределение называют распределением Гаусса, или Муавра, в честь тех, кто, как считается, открыл его — Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) и, веком ранее, что не так достоверно, Авраам де Муавр (1667-1754). Нормальное распределение считается наиболее ценным распределением, благодаря тому, что точно моделирует многие явления. Давайте рассмотрим приспособление, более известное как доска Галтона (рисунок 3-5). Это вертикально установленная доска в форме равнобедренного треугольника. В доске расположены колышки, один в верхнем ряду, два во втором, и так далее. Каждый последующий ряд имеет на один колышек больше. Колышки в сечении треугольные, так что, когда падает шарик, у него есть вероятность 50/50 пойти вправо или влево. В основании доски находится серия желобов для подсчета попаданий каждого броска.

Рисунок 3-5 Доска Галтона Шарики, падающие через доску Галтона и достигающие желобов, начинают фор мировать нормальное распределение. Чем «глубже» доска (то есть чем больше ря дов она имеет) и чем больше шариков бросается, тем ближе конечный результат будет напоминать нормальное распределение.

Нормальное распределение интересно еще и потому, что оно является пре дельной формой многих других типов распределений. Например, если Х распре делено биномиально, а N стремится к бесконечности, то Х стремится к нор мальному распределению. Более того, нормальное распределение также является предельной формой многих других ценных распределений вероятности, таких как Пуассона, Стьюдента (или t-распределения). Другими словами, когда количество данных (N), используемое в этих распределениях, увеличивается, они все более напоминают нормальное распределение.

Центральная предельная теорема Одно из наиболее важных применений нормального распределения относится к распределению средних значений. Средние значения выборок заданного размера, взятые таким образом, что каждый элемент выборки отобран независимо от других, дадут распределение, которое близко к нормальному Это чрезвычайно важный факт, так как он означает, что вы можете получить параметры действи тельно случайного процесса из средних значений, рассчитанных на основе выбо рочных данных.

Рисунок 3-6 Экспоненциальное распределение и нормальное распределение Таким образом, мы можем сформулировать, что если N случайных выборок извлекаются из совокупности всех данных, тогда суммы (или средние значения) выборок будут приблизительно нормально распределяться независимо от распределения совокупности, из которой взяты эти выборки. Близость к нормальному распределению увеличивается, когда N (число выборок) возрастает.

В качестве примера рассмотрим распределение чисел от 1 до 100. Это равномерное распределение, где все элементы (в данном случае числа) встречаются только раз. Например, число 82 встречается один раз, так же как и 19, и так далее. Возьмем выборку из пяти элементов и среднее значение этих пяти элементов (мы можем также взять их сумму). Теперь поместим полученные пять элементов обратно, возьмем другую выборку и рассчитаем среднее. Если мы будем продолжать этот процесс дальше, то увидим, что полученные средние нормально распределяются, даже если совокупность, из которой они взяты, распределена равномерно.

Все вышесказанное верно независимо от того, как распределена совокупность данных! Центральная предельная теорема позволяет нам обращаться с распреде лением средних значений выборок, как с нормальным, без необходимости знать распределение совокупности. Это чрезвычайно удобный факт для многих областей исследований. Если совокупность нормально распределена, то распределение средних значений выборок будет точно (а не приблизительно) нормальным. Кроме того, скорость, с которой распределение средних значений выборок приближается к нормальному при повышении N, зависит от того, насколько близко совокупность находится к нормальному распределению. Общее практическое правило следующее: если совокупность имеет унимодальное (одновершинное) распре деление (любой тип распределения, где есть концентрация частоты вокруг одной моды и уменьшение частот с любой стороны моды, например, выпуклость) или равномерно распределяется, то можно использовать N = 20 (это считается доста точным) и N = 10 (это считается достаточным с большой вероятностью). Однако если совокупность распределена экспоненциально (рисунок 3-6), тогда может потребоваться и N = 100.

Центральная предельная теорема, этот поразительно простой и красивый факт, подтверждает важность нормального распределения.

Работа с нормальным распределением При использовании нормального распределения часто требуется найти долю площади под кривой распределения в данной точке на кривой. На математическом языке это называется интегралом функции, задающей кривую. Таким же образом функция, которая задает кривую, является производной площади под кривой. Если у нас есть функция N(X), которая представляет процент площади под кривой в точке X, мы можем говорить, что производная этой функции N'(X) является функцией самой кривой в точке X.

Мы начнем с формулы самой кривой N' (X). Данная функция выглядит следу ющим образом:

где U = среднее значение данных;

S =стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных;

ЕХР () = экспоненциальная функция.

Эта формула даст нам значение для оси Y, или высоту кривой, при любом данном значении X.

Часто мы будем говорить о точке на кривой, ссылаясь на ее координату X, и бу дем смотреть, на сколько стандартных отклонений она удалена от среднего. Таким образом, точка данных, которая удалена на одно стандартное отклонение от среднего, считается смещенной на одну стандартную единицу (standard units) от среднего.

Рисунок 3- 7 Функция плотности нормального распределения вероятности Более того, часто имеет смысл из всех точек данных вычесть среднее. При этом центр распределения сместится в начало координат. В этом случае точка данных, которая смещена на одно стандартное отклонение вправо от среднего, имеет зна чение 1 на оси X.

Если мы вычтем среднее из точек данных, а затем разделим полученные значе ния на стандартное отклонение точек данных, то преобразуем распределение в нормированное нормальное (standardized normal). Это нормальное распределение со средним, равным 0, и дисперсией, равной 1. Теперь N'(Z) даст нам значение на оси Y (высота кривой) для любого значения Z:

U = среднее значение данных;

S = стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

Уравнение (3.16) дает нам число стандартных единиц, которым соответствует точка данных;

другими словами, число стандартных отклонений, на которое точка данных смещена от среднего. Когда уравнение (3.16) равно 1, оно называется стандартным нормальным отклонением (standard normal deviate) от среднего значения. Стандартное отклонение, или стандартная единица, иногда называется сигмой (sigma). Таким образом, когда говорят о событии, которое было «событием пяти сигма», то речь идет о событии, вероятность которого находится за предела ми пяти стандартных отклонений.

Рисунок 3-7 показывает нормальную кривую, заданную предедущим уравне нием. Отметьте, что высота стандартной нормальной кривой составляет 0,39894, поскольку из уравнения (3.15а) мы получаем:

Отметьте, что кривая непрерывна (в ней нет «разрывов»), когда она переходит из отрицательной области слева в положительную область справа. Отметьте также, что кривая симметрична: сторона справа от пика является зеркальным отражением стороны слева. Предположим, у нас есть группа данных, где среднее равно 11, а стандартное отклонение равно 20. Чтобы увидеть, где точка данных будет отображена на кривой, рассчитаем ее в стандартных единицах. Предположим, что рассматриваемая точка данных имеет значение -9. Чтобы рассчитать число стандартных единиц, мы сначала должны вычесть среднее из этой точки данных:

9- 11 =- Затем надо разделить полученный результат на стандартное отклонение:

-20/20=- Теперь мы можем сказать, что, когда точка данных равна -9, среднее равно 11, а стандартное отклонение составляет 20, число стандартных единиц равно -1. Други ми словами, мы находимся на одно стандартное отклонение от пика кривой, и, так как это значение отрицательно, оно находится слева от пика. Чтобы увидеть, где это будет на самой кривой (то есть насколько высока кривая при одном стандартном отклонении слева от центра, или чему равно значение кривой на оси Y для значения -1 на оси X), надо подставить полученное значение в уравнение (3.15а):

Таким образом, высота кривой при Х=-1 составляет 0,2419705705. Функция N'(Z) также часто выражается как:

и ATN() = функция арктангенса;

U = среднее значение данных;

S = стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

Не искушенные в статистике люди часто находят концепцию стандартного отклонения (или квадрата ее величины, дисперсии) трудной для представления.

Среднее абсолютное отклонение (mean absolute deviation), которое можно преобразовать в стандартное отклонение, гораздо проще для понимания. Среднее абсолютное отклонение полностью отвечает своему названию: среднее данных вычитается из каждой точки данных, затем абсолютные значения каждой из этих разностей суммируются, и данная сумма делится на число точек данных. В результате у вас получается среднее расстояние каждой точки данных до среднего значения. Преобразование среднего абсолютного отклонения в стандартное отклонение, и наоборот, представлены далее:

где М = среднее абсолютное отклонение;

S = стандартное отклонение.

Можно сказать, что при нормальном распределении среднее абсолютное откло нение равно стандартному отклонению, умноженному на 0,7979.

(3.18) S = М * 1 / 0, =М* 1,253314137, где S = стандартное отклонение;

М = среднее абсолютное отклонение.

Мы можем также сказать, что при нормальном распределении стандартное отклонение равно среднему абсолютному отклонению, умноженному на 1,2533.

Так как дисперсия всегда является стандартным отклонением в квадрате (а стандартное отклонение является квадратным корнем дисперсии), мы можем задать преобразование между дисперсией и средним абсолютным отклонением.

(3.19) М = V ^ (1/2) * ((2 / 3,1415926536)^ (1/2)) = V ^ (1/2)* 0,7978845609, где М = среднее абсолютное отклонение;

V = дисперсия.

(3.20) V = (М * 1,253314137)^ 2, где V =дисперсия;

М = среднее абсолютное отклонение.

Так как стандартное отклонение в стандартной нормальной кривой равно 1, мы можем сказать, что среднее абсолютное отклонение в стандартной нормальной кривой равно 0,7979. Более того, в колоколообразной кривой, подобной нормальной, семи-интер-квартильная широта равна приблизительно 2/ стандартного отклонения, и поэтому стандартное отклонение примерно в 1,5 раза больше семи-интерквартильной широты. Это справедливо для большинства колоколообразных распределений, а не только для нормальных, как и в случае с преобразованием среднего абсолютного отклонения в стандартное отклонение.

Нормальные вероятности Теперь мы знаем, как преобразовывать наши необработанные данные в стан дартные единицы и как построить кривую N'(Z) (т.е. как найти высоту кривой, или координату Y, для данной стандартной единицы), а также N'(X) (из уравнения (3.14), т.е. саму кривую без первоначального преобразования в стандартные единицы). Для практического использования нормального распределения вероятности нам надо знать вероятность определенного результата. Это определяется не высотой кривой, а площадью под кривой. Эта площадь задается интегралом функции N'(Z), которую мы до настоящего момента изучали. Теперь мы займемся N(Z), интегралом N'(Z), чтобы найти площадь под кривой (т.е.

вероятности)1.

где Y=1/(1+2316419*ABS(Z)) и ABSQ = функция абсолютного значения;

ЕХР() = экспоненциальная функция.

При расчете вероятности мы всегда будем преобразовывать данные в стандартные единицы. То есть вместо функции N(X) мы будем использовать функцию N(Z), где:

(3.16) Z=(X-U)/S, где U = среднее значение данных;

S = стандартное отклонение данных;

Х = наблюдаемая точка данных.

Теперь обратимся к уравнению (3.21). Допустим, нам надо знать, какова вероят ность события, не превышающего +2 стандартных единицы (Z = +2).

Y= 1/(1 +2316419*ABS(+2)) =1/1,4632838 =0, (3.15a) N'(Z) = 0,398942 * ЕХР(-(+2^2/2)) = 0,398942 *ЕХР (-2)=0,398942*0,1353353=0, Заметьте, мы можем найти высоту кривой при +2 стандартных единицах.

Подставляя полученные значения вместо Y и N'(Z) в уравнение (3.21), мы можем получить вероятность события, не превышающего +2 стандартных единицы:

N(Z) = 1 - N'(Z) * ((1,330274429 * Y^ 5) - (1,821255978 * Y^4) + (1,781477937 * Y^ 3) - (0,356563782 * Y ^ 2) + (0,31938153 * Y)) = 1-0,05399093525* ((1,330274429* 0,68339443311^5) - (1,821255978 * 0,68339443311 ^ 4 + 1,781477937 * 0,68339443311^ 3) - (0,356563782 * 0,68339443311 ^2) + 0,31938153 * 0,68339443311)) = 1 - 0,05399093525 * (1,330274429 * 0,1490587) - (1,821255978 * 0,2181151 + (1,781477937 * 0,3191643) - (0,356563782 * 0,467028 + 0,31938153 - 0,68339443311)) 1- 0,05399093525 * (0,198288977 - 0,3972434298 + 0,5685841587 -0,16652527+0,2182635596) = 1 - 0,05399093525 * 0,4213679955 = 1 - 0,02275005216= 0, На самом деле, интеграл плотности нормального распределения вероятности нельзя pассчитать точно, но его можно с большой степенью точности получить с помощью уравнения (3.21).

Таким образом, можно ожидать, что 97,72% результатов в нормально распреде ленном случайном процессе не попадают за +2 стандартные единицы. Это изоб ражено на рисунке 3-8.

Чтобы узнать, какова вероятность события, равного или превышающего за данное число стандартных единиц (в нашем случае +2), надо просто изменить уравнение (3.21) и не использовать условие «Если Z < 0, то N(Z) = 1 - N(Z)».

Поэтому вторая с конца строка в последнем расчете изменится с = 1 - 0,02275005216 на 0, Таким образом, с вероятностью 2,275% событие в нормально распределенном случайном процессе будет равно или превышать +2 стандартные единицы. Это показано на рисунке 3-9.

Рисунок 3-8 Уравнение (3.21) для вероятности Z=+ Рисунок 3-9 Устранение оговорки «Если Z < 0, то N(Z) = 1 - N(Z)» в уравнении (3.21) До сих пор мы рассматривали площади под кривой 1-хвостых распределений вероятности. То есть до настоящего момента мы отвечали на вопрос: «Какова вероятность события, которое меньше (больше) заданного количества стандартных единиц от среднего?» Предположим, теперь нам надо ответить на такой вопрос:

«Какова вероятность события, которое находится в интервале между определенным количеством стандартных единиц от среднего?» Другими словами, мы хотим знать, как подсчитать 2-хвостые вероятности. Посмотрим на рисунок 3 10. Он представляет вероятности события в интервале двух стандартных единиц от среднего. В отличие от рисунка 3-8 этот расчет вероятности не включает крайнюю область левого хвоста, область меньше -2 стандартных единиц. Для расчета вероятности нахождения в диапазоне Z стандартных единиц от среднего вы должны сначала рассчитать 1-хвостую вероятность абсолютного значения Z с помощью уравнения (3.21), а затем полученное значение подставить в уравнение (3.22), которое дает 2-хвостые вероятности (то есть вероятности нахождения в диапазоне ABS(Z) стандартных единиц от среднего):

(3.22) 2-хвостая вероятность =1-((1- N(ABS(Z))) * 2) Если мы рассматриваем вероятности наступления события в диапазоне 2 стандар тных отклонений (Z = 2), то из уравнения (3.21) найдем, что N(2) = 0,9772499478 и можно использовать полученное значение для уравнения (3.22):

2-хвостая вероятность =1-((1- 0,9772499478) * 2) =1-(0,02275005216*2) = 1 0,04550010432 = 0, Таким образом, из этого уравнения следует, что при нормально распределенном случайном процессе вероятность события, попадающего в интервал 2 стандартных единиц от среднего, составляет примерно 95,45%.

Как и в случае с уравнением (3.21), можно убрать первую единицу в уравнении (3.22), чтобы получить (1 - N(ABS(Z))) * 2, что представляет вероятности события вне ABS(Z) стандартных единиц от среднего. Это отображено на рисунке 3-11. Для нашего примера, где Z = 2, вероятность события при нормально распределенном случайном процессе вне 2 стандартных единиц составляет:

2-хвостая вероятность (вне) = (1 - 0,9772499478) * 2 =0,02275005216* =0, Наконец, мы рассмотрим случай, когда надо найти вероятности (площадь под кривой N'(Z)) для двух различных значений Z.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.