WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ О КРИТЕРИЯХ ЦЕЛЕСООБРАЗНОГО ПОВЕДЕНИЯ В ИСКУССТВЕННЫХ СИСТЕМАХ В.Х. Федотов кандидат химических наук, доцент кафедры «Информационных

систем» экономического факультета Челябинского государственного университета Н.В. Новожилова, кандидат экономических наук, заведующая кафедрой «Информационные системы» экономического факультета Челябинского государственного университета, mallin Естественные системы (ЕС) в природе и обществе функционируют по законам «разумности», которые можно ис пользовать при конструировании интеллектуальных искусственных систем (ИС). На основе идей самоорганизации и эволюции ЕС исследованы нестационарные режимы и устойчивость моделей триггерных систем. Показано, что флуктуации, снижающие избыточное производство энтропии, могут приводить к неустойчивости и рождению упо рядоченных структур. Способность ИС к самоорганизации интерпретируется как целесообразное поведение.

Ключевые слова: искусственный интеллект, са П. Гленсдорф) – принцип минимума производства энт моорганизация, принцип минимума производства ропии и универсальный критерий эволюции [1,2].

энтропии, критерий эволюции, упорядоченность, И. Пригожин (1945) обобщил второй закон тер целесообразность. модинамики на открытые неравновесные системы (Нобелевская премия, 1977). Изменение энтропии стественные системы (ЕС), окружающие нас dS = deS + diS, где deS – поток внешней энтропии повсюду (флора, фауна, экосистема, соци (обмен энергией);

deS – производство энтропии Еум и др.), характеризуются весьма «разум внутри системы (диффузия, реакции). Внутреннее ным» поведением, т.е. способностью вырабатывать производство энтропии всегда неотрицательно «правильный» отклик на внешнее возмущение, обу diS 0 (второе начало термодинамики). В закрытых чаться и выживать. Основным критерием разумнос системах deS = 0, dS = diS 0 энтропия монотонно ти для ЕС, по видимому, является стабильность растёт до максимума в равновесии. В открытых си (безопасность, самосохранение, устойчивость). стемах deS 0 и dS может иметь любой знак. В ста Примем это утверждение как основную аксиому. ционарном состоянии (с.с.) dS = 0 и deS = diS 0.

Искусственные системы (ИС) более предсказуе Принцип минимума производства энтропии утвер мы и не обладают способностью к целеполаганию. ждает, что в линейных системах производство энтро Может ли ИС обладать проявлениями интеллекта пии P = diS/dt монотонно убывает dP/dt2 0 и дости и что можно считать его проявлениями? Какое каче гает минимума в с.с. Из него следует, что в открытых ство ЕС наиболее значимо с этой точки зрения? Эти линейных системах, также как и в закрытых, флук вопросы остаются важнейшими нерешенными проб туации затухают (устойчивость). Критерий эволюции лемам теории искусственного интеллекта (ИИ). обобщает принцип минимума на нелинейные сис Целью работы является исследование возможнос темы. В ходе эволюции любая система стремится ти использования эволюционных идей в качестве мо уменьшить производство энтропии dХP/dt 0, дели разумного поведения ИС. Идеи эволюции уни обусловленное внутренними силами Х, здесь версальны для физики (Л. Больцман и др.), биологии dP/dt = dХP/dt + dIP/dt. При этом не оговаривается (Ч. Дарвин) и социологии (К. Маркс). Принципы знак dIP/dt. В линейной области dХP = dIP и крите эволюции ЕС выражают фундаментальные законы рий переходит в принцип минимума. Вне линейной неравновесной термодинамики (И. Пригожин, области dP/dt может менять знак.

БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)–2009 г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ Важную роль в эволюции играет случайный некоторых компонент матрицы параметров w(E, t) фактор (флуктуации). Флуктуации отклоняют энт во времени ропию и её производство от с.с. S = S S = S+ + 2S/2 +…, P = P – P = P + 2P/2+…, где 2S/2 dw/dt g(x, w), (2) и 2P/2 = d(2S/2)/dt = XP – избыточные S и P. Ес ли избыточное производство энтропии положи где g – неизвестная вектор функция, характери тельно 2S < 0, t(2S) > 0, система устойчива. При зующая пространство Е.

t(2S) < 0 возможны неустойчивость и новая струк тура. Расширенная система (1)–(2) включает две вза Эти принципы позволяют предположить, что, имосвязанные части (детерминированную f и слу действуя в соответствии с критерием эволюции, ИС чайную g) и представляет собой модель эволюции сможет вести себя подобно ЕС – в процессе флук ЕС, происходящей под влиянием флуктуаций.

туаций терять устойчивость, демонстрировать би Еёразмерность равна сумме размерностей векторов фуркации, приобретать новый уровень сложности x и w.

и самоорганизовываться. Пусть открытая система состоит из двух неодно 1) Если избыток производства энтропии отрица родных подсистем – внешней (глобальной) и внут телен P t(2S) < 0, возможна неустойчивость. ренней (локальной). Процессы взаимодействия 2) В области неустойчивости возможны бифур объектов системы представим стадийной структу кации и переход к новым состояниям. рой (схемой) 3) Уменьшение энтропии системы S S – S0 < соответствует более упорядоченному состоянию. Ai + aij Xj = a ij Xj + A, i Стремление к цели S min (*) будем рассмат (di), i = 1,…, s;

j = 1,…, n, (3) ривать как основное проявление интеллекта в ИС.

В случае необходимости принятия решений, при где Ai и Xj – объекты глобальной и локальной под наличии нескольких альтернатив, предпочтение от систем соответственно;

даётся варианту, соответствующему лучшему значе aij = a ij 0 и di – целочисленные параме нию этого критерия. тры (балансы и кратности стадий соответ Нелинейная неравновесная термодинамика ственно);

приближённо описывается эволюционными урав s – число стадий.

нениями физико химических процессов в откры тых системах, представляющих собой систему диф Выберем в качестве базовой гипотезы закон дей ференциальных уравнений с параметрами (анало ствующих масс [3]. Тогда уравнения (1) для процес гичные уравнения встречаются в биологии и социо са (3) в избытке объектов глобальной подсистемы логии) и без учёта диффузии запишутся dx/dt f(x, w), (1) x = fj (x, w) = S(a ij – aij )(ri – r ) S(a kj – akj)rk, j i k = 1,…, 2s;

j =1,…, n;

(4) где x = x(w, t) – вектор переменных (макроскопиче ских), характеризующих состояние системы;

где xj – концентрации Xj ;

f – известная вектор функция, определяемая Е {xj | 0 xj 1, xj = 1} – пространство про базовой физической гипотезой (кинетический цесса;

закон);

r±i = w±i(xj)a > 0 – скорости стадий;

±ij w = w(E, t) – вектор вероятностных параметров w±i = k±iC±i – вероятности стадий;

(частот);

k±i и E±i – константы скоростей стадий;

Е – пространство процесса;

C±i – концентрации A±i.

t – время.

Избыточное производство энтропии XP или Вблизи с.с. x зависимость от времени практи (что эквивалентно) плотности производства чески должна исчезать x/t f(x, w) 0. Однако, энтропии X связано с кинетикой процесса со под влиянием неизбежных случайных флуктуа отношением = JkXk, где Jk – обобщенные пото ций система отклоняется от текущего состояния ки;

Xk – обобщенные силы [2]. Потоки и силы свя и начинает двигаться к новому или тому же с.с. заны со скоростью процесса, мерой удалённости Флуктуации будем задавать изменением значений от равновесия (сродством) и устойчивостью с.с.

42 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)–2009 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ Устойчивость определяется коэффициентами ха третьего или более высокого порядка нелинейно рактеристического уравнения [4] сти.

Примеры. На устойчивость двухстадийных про n + 1n–1 +…+ n = 0, цессов влияет только одна величина 1.

А) Для нелинейного кубического процесса:

где p = det(–fip/xiq);

1) Х2 = Х1, p, q = 1,…, n (сумма по i1 <…< ip);

2) Х1 + 2Х2 = 3Х2 получим P1 = 1, P2 = 1. Значит det – определитель. 1 и избыток энтропии может быть отрицательным, возможна неустойчивость и критические явления.

Выразим p через балансовые коэффициенты Этот процесс (простейший «триггер») допускает и скорости стадий [5] множественность стационарных состояний (м.с.с.) и исследован нами в [6–7].

p=(xi1...xip) 1rk1...rkpdet(akp,ip–a kp,ip) det(akp,ip), (5) В) Для трехстадийных процессов имеют значе ние знаки 1 и 2. Для нелинейного процесса:

где p = 1,..., n;

1) Х3 = Х1, i1,..., ip = 1,..., n;

2) Х1 = Х2, k1,...,kp = 1,..., 2s (первая сумма по i1 <...< ip, 3) Х2 + 2Х3 = 3Х3, получим P1 = P2 = 1, P3 = 1, а вторая по k1 <...< kp). P12 = P23 = 1, P13 = 1, поэтому возможны смена знака 1 (за счёт P3) и 2 (за счёт P13). Возможны Для одномаршрутных процессов ri – r = dir, s = n и неустойчивость, и м.с.с. При одновременном вы i и выражение упрощается полнении условий 1 > 0, 2 > 0 возможны автоко лебания, что показано нами в работе [8].

p =rp–lr...r kl(xi1...xip) 1Pi1...ipk1...kl, (5) Флуктуации (2) повышают размерность системы k на число независимых частот (m), соответственно здесь первая сумма берется по l = 0,…, p, вторая – увеличивают число коэффициентов p, привносят по k1 <...< kl, а третья – по i1 <...< ip;

множители в них дополнительные слагаемые p и увеличива Pi1...ipk1...kl det(akp,ip–a kp,ip)det([akp,ip–a kp,ip][akp,ipdkp]), ют вероятность возникновения неустойчивости причём второй определитель построен из двух час тей – сверху первая, снизу – вторая. Если все p p + p = det(–hip/yiq), Pi1...ipk1...kl > 0, то соответствующее p > 0. Если один p, q = 1,2,…, n + m, (5) из Pi1...ipk1...kl < 0 при некоторых значениях индексов, то в некоторой области параметров возможно нали где h f g;

чие с.с., в котором p < 0 (для этого достаточно, на y x w;

пример, чтобы xi1 1,..., xip 1;

r,..., r >> r >> 1). p = 0(p = n + 1,…, n + m);

k1 kl Соотношения (5) упрощают анализ упорядочен 1 = –g/wi, …, n+m = det(–hip/yiq).

ности. Если все 1, 2,…, n > 0, то с.с. единственно и устойчиво, а избыток энтропии положителен. Ес Исследуем влияние флуктуаций на простейший ли один из коэффициентов отрицателен p < 0, то «триггер» (схема А), в котором возможны неустой возможны любые эволюционные явления – отри чивость и м.с.с. Запишем эту схему в символике от цательный избыток энтропии, неустойчивость, би крытых неоднородных систем (3) фуркации и новые упорядоченные структуры.

Действительно, из (5) следует, что 1) А1 + Z = X, 2) X + 2Z = 3Z + А. (6) 1 = rxi1 1Pi1 + r xi1 1Pi1k1 = k = rxi1 1(ak1,i1–a k1,i1)ak1 dk1 + Уравнения (1)–(2) при избытке компонент гло,i + r xi1 1(ak1,i1–a )2. бальной подсистемы А1, А = Const >> X запишутся k1 k1,i1 Следовательно, если процесс включает только dz/dt = -(w2+w 2)z3 + w2z2 – (w1 + w 1)z + w 1 = линейные, квадратичные или неавтокаталитичес = f(z, w±i), (6a) кие стадии любой нелинейности, то всегда 1 >0 dw1/dt = g(z, w2,w 1,w 2,…), (6b) и с.с. единственно и устойчиво. Неустойчивость возможна только при (ak1,i1–a k1,i1)ak1,i1dk1 что где z = 1 – x [0,1] – независимая переменная (без возможно при наличии автокаталитической стадии размерная концентрация Z);

БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)–2009 г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ x [0,1] – зависимая переменная (безразмер ная концентрация X);

w±i > 0.

I) При отсутствии флуктуаций (w1 = Const) эво люция системы описывается одним уравнением (6a). В одномерных системах устойчивые упорядо ченные структуры не возникают.

Стационарные режимы определяются решения ми кубического уравнения f = 0. Анализ показал, что существует до трёх различных с.с. При w 1 = и D w22 – 4w1(w2 + w 2) > 0 имеется одно граничное и два внутренних с.с.:

причем второе (среднее) неустойчиво. При w 1 > все с.с. являются внутренними (критерий м.с.с. дан в [6–7]). Например, м.с.с. реализуется при w1 = 19, w 1 = 1, w2 = 125100/1089 115, w 2 = 4100/121 341. Гра ницы области м.с.с.

w1 = [w1min, w1max] [18,93, 23,85], w2 = [w2min, w2max] [80, 10000], w 1 = [w 1min, w 1max] [0, 2,85].

Вне этой области с.с. единственно и устойчиво (рис.1).

При w 1 w 1min (рис.1а) и w1 < w1max имеется од Рис.1. Триггер без флуктуаций.

но граничное и два внутренних с.с. z(1) = 0, z(2) 0,2;

Стационарный портрет z(w1) z(3) 0,6, причём второе (среднее) неустойчиво. При при w2 = 115, w = 341:

- w 1 > w1max реализуется только граничное с.с. При a) w = 0;

b) w = 1;

c) w = 2, -1 -1 - w 1 [w 1min, w 1max] (рис.1в) существует три с.с.:

z(1) = 0,1, z(2) 0,122, z(3) = 0,55, причём второе с.с.

(среднее) неустойчиво. Если w1 < w1min реализуется упорядоченные структуры (автоколебания). Рас только с.с. с большим значением (третье), напри смотрим несколько случаев.

мер, при w1 = 18, z(3) 0,57. Если w1 > w1min реали зуется только с.с. с меньшим значением (первое), Случай 1. Флуктуации не зависят от макроско например, при w1 = 25, z(3) 0,05. При w 1>w 1max пических переменных:

(рис.1c) м.с.с. исчезает и при любых w1 существует только одно устойчивое внутреннее с.с. dw1/dt = g(w1). (6b) Нестационарное поведение зависит от началь ных условий z(0) = z0, w1(0) = w10. В области неус В этом уравнении переменные разделяются, и ре тойчивости система движется к ближайшему устой шение запишется t = g 1(w1)dw1. В частности при g(w1) чивому с.с. монотонно или в режиме затухающих = w1 решение имеет вид экспоненты w1 = w10 exp(t), колебаний. где – константа. Отклик на затухающие периоди II) При наличии флуктуаций (w1 Const) эволю ческие флуктуации g(w1) показан на рис.2.

ция описывается двумя уравнениями (6a)–(6b). Отклик на незатухающие периодические флук В двумерных системах уже могут возникать новые туации показан на рис.3.

44 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)–2009 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ Из приведённых рисунков видно, что отклик си стемы «повторяет» характер флуктуаций. С услож нением флуктуаций осцилляции становятся более хаотичными, но такое поведение вполне ожидаемо.

Периодические незатухающие флуктуации, завися щие только от времени, транслируют свои парамет ры на другие компоненты системы. Порождаемые автоколебания не являются самопроизвольными.

Они не обусловлены внутренними механизмами и неустойчивостью.

Случай 2. В более общем случае флуктуации за висят и от макроскопических переменных (сильная обратная связь). Пусть g(z,w1) – линейная функция, тогда (6b) можно записать в виде dw1/dt = z + aw1 – b g(z,w1), (6b) где a, b > 0 – константы.

Рис.2. Отклик z(t) на периодические флуктуации Запишем уравнения стационарности f = g = 0 па w1 = w10(1 + bsin(1 + t)/(1 + t) при w10 = 19: раметрически (w 1, w 2, a, b и z – параметры) а) затухающие (a = 1,5;

b = 0,9;

g = 1);

b) растущие (a = 1, b = 0,1;

g = 0,005) – w1=(b–z)/a, w2=((b–z)/a–w + w 2 z3)/ (z2 (1–z)). (7) переход к «нижнему» с.с. z(1) = 0, Условие положительности w1, w2 запишется b > max{z, z + a(w 1(1–z) – w 2 z2)/z). (8) Вычислим коэффициенты характеристического уравнения 2 + 1 + 2 = 0 расширенной системы (6a)–(6b) с помощью соотношений (5):

1 = 1 + 1 =–(f/z + g/w1), 1 =–f/z =3(w2 + w 2)z2–2w2z +(w1 + w 1), 1 = g/w1 = a, 2 = f/zg/w1–g/zf/w1, g/w1 = -z, g/z = 1.

Если 1 < 0, 2 > 0 то c.с. неустойчиво и един ственно. Для этого необходимо 0 0) [8].

а) регулярные w1 = w10(2+bsin(1 + t)), Для наличия фокуса необходимо ( = 1,5, b = 0,5);

b) нерегулярные p/(3z2)–2z < w 2 < p/(3z2) +2z, (10) w1 = w10(1 + bsin(1 + t)/(1 + mod(t/10,1), ( = 1, b = 0,1) где p -3w2z2 +2w2z–(w1 + w 1 ).

БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)–2009 г. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ Соотношения (7)–(10) выражают необходимые условия возникновения незатухающих колебаний из осциллирующей неустойчивости в системе (6a)–(6b) под влиянием флуктуаций. Если они не выполняются, то новые структуры не возникают.

Если они выполняются, то при определённых зна чениях свободных параметров существуют автоко лебания.

Пример. Условия (7)–(10) и требование един ственности выполняются, например, при a = 0,07, b = 0,43, z10 = 0,1, w10 =3 и 1 = 0,857;

1 = 0,01;

2 = 4,191;

2 =1 (c 1). При этом имеется един ственное с.с. типа неустойчивый «фокус» с коорди натами z = 0,37;

w1 = 0,857 и возникают автоко лебания. Стационарная скорость r = 0,311 (c 1), период T 2/ 10 (с). Эволюция нестационар ных режимов при изменении параметра w 2 показа на на рис. 4.

Как видно, упорядоченная структура возникает при уменьшении w 2 до минимума и существует в интервале w 2 [0, 1,7]. При обратном движении, т.е. с ростом w 2 автоколебания сохраняются в более широком диапазоне w 2 [0, 3,5], затем затухают и переходят в монотонный режим. Аналогичная эволюция упорядоченности наблюдается и при из менении w 1. Если условия (7)–(10) не выполняют ся, то при w 1 [0,3, 2] существует устойчивый узел, при w 1 [0,08, 0,2] – устойчивый фокус. При Рис.4. Триггер с флуктуациями z(t):

w 1 [0,01, 0,07] выполняются условия (7)–(10) а) узел (1 = 1,349, 2=0,271, D = 0,736) совместно с условием единственности и вновь при w [7,25];

- возникают автоколебания. При обратном движе b) устойчивый фокус (1= 0,045, 2=0,362, нии автоколебания переходят в затухающие, затем D = -1,446) при w [1,8, 6];

- в монотонный режим. В данном случае осцилляции с) неустойчивый фокус (1 = -0,172, возникают спонтанно и являются самоорганизую 2 = 0,377, D = -1,479) щейся структурой. и автоколебания при w [0, 1,7] - Исследуем зависимость 1 от свободных пара метров, вычислив частные производные Таким образом, на примере модели естественно го процесса в открытой неоднородной системе по 1/w 1 = 1, казано, что принудительное «смещение» системы 1/w 2 = 3z2 > 0, в сторону минимизации избытка производства энт 1/z = 6(w2 + w 2 )z – 2w2, ропии Smin может привести к рождению само 1/a = –1, организующейся структуры и появлению качест 1/b = 0. венно нового, более высокоорганизованного состояния. Применительно к ИС это можно интер Значит при уменьшении параметров w 1, w 2 зна претировать как проявление целесообразности, чение 1 уменьшается. В области автоколебаний разумности, интеллекта.

w 1 [0,01, 0,07] и w 2 [0, 1,7] минимальны. При Дополнительно можно использовать любые це этом значение 1 [-0,175, 0] отрицательно и ми ли, специфичные для конкретной предметной обла нимально, что соответствует отрицательному из сти и субъективные интуитивные соображения, ос быточному производству энтропии. нованные на «здравом смысле» и опыте. Основная трудность остается в том, чтобы найти адекватную 46 БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)–2009 г.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКИ меру целесообразности в искусственных системах. 2) Мерой силы тяготения также является произ Здесь возможен следующий эвристический подход. ведение F = m1m2r 2.

Между формальной записью многих законов при 3) В теории информации энтропия используется роды существует аналогия, которую можно выраз в качестве меры упорядоченности системы и опре ить простым эвристическим правилом – «интен деляется как сумма H = -pi log pi, (i = 1,…, n), где сивность» процесса пропорциональна некоторой pi – вероятность состояния;

число возможных функции от «весов» его участников. Вид функции состояний (pi = 1);

n – число состояний [9]. В ло «интенсивности» может быть различным (произве гарифмической метрике ln(xiai) = ai lnxi, т.е. сум дение, сумма и др.) и зависит от системы коорди ма и произведение одинаково информативны с точ нат, меры, метрики и т.д. Эту закономерность мож ностью до метрики.

но назвать принципом взвешенной пропорцио Критерий эволюции универсален и справедлив нальности. для широкого класса моделей природы и общества.

Построенные на его основе решения могут быть ис Примеры. 1) В законе действующих масс [3] ско пользованы при разработке интеллектуальных ком рость взаимодействия nА + mВ пропорциональна понентов информационных систем, способных са произведению концентраций r = w[A]n[B]m, где: w – мостоятельно принимать целесообразные решения вероятность;

[A], [B] – концентрации А и В;

n, m – на различных уровнях управления.

число объектов А и В.

Литература 1. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. – М.: Мир, 1973.

2. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. – М.: Мир, 1979.

3. Киперман С.Л. Введение в кинетику гетерогенных каталитических процессов. ? М.: Наука, 1964.

4. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. – М.: Наука, 1981.

5. Алексеев Б.В., Федотов В.Х., Кольцов Н.И. Стехиометрические условия неустойчивости каталитических реакций // ДАН СССР, 1989, т. 306, №4, с. 884 888.

6. Алексеев Б.В., Кольцов Н.И. Множественность стационарных состояний каталитической реакции // Известия ВУЗов. Хим. и хим. Технол., № 12, 1983, 26, с.1437 1440.

7. Федотов В.Х., Кольцов Н.И., Алексеев Б.В. Критерий множественности стационарных состояний одномаршрутных каталитических реакций // ДАН СССР, 1988, т. 302, № 1, с.126 131.

8. Федотов В.Х., Алексеев Б.В., Кольцов Н.И. Трехстадийные осцилляторы в гетерогенном катализе // Известия ВУЗов. № 5, 1985, 28, 66 68.

9. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963.

БИЗНЕС-ИНФОРМАТИКА №1(07)–2009 г.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.