WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Г.А.Медведев МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ ЭКОНОМИКИ Учебное пособие Часть 1 Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики [Электронный ресурс]: Учебное пособие: Часть 1. — Электрон. ...»

-- [ Страница 2 ] --

K) = C() – K, (2.25) где W удовлетворяет уравнению (2.24) для 0 S C(). Если C() будет известной функцией, тогда после соответствующей замены переменных уравнение (2.24) с европейскими граничными условиями и дополнением (2.25) было бы задачей с полубесконеч ным граничным условием и границей, зависящей от времени. Однако C() неизвестна и должна определяться при решении. Поэтому требуется дополнительное граничное условие для того, чтобы хорошо поставить задачу. К счастью, экономика задачи достаточно богата, чтобы обеспечить это дополнительное условие. Поскольку владелец опциона не обязан исполнять свой опцион досрочно, он будет это делать только в собственных интересах (т. е. когда исполнение опциона дает больше, чем владение им). Следовательно, единственным рациональным выбором для C() является зависящая от времени функция, которая максимизирует стоимость опциона. Пусть f (S, ;

K, C ()) будет решением уравнений (2.24), (2.25) для данной функции C (). Тогда стоимость годичного американского опциона W(S, ;

K) = max f (S, ;

K, C).

{C } (2.26) Далее из структуры задачи выясняется, что оптимальная C() будет независимой от текущего уровня цены акции. При анализе этой трудной задачи Самюэльсон постулировал, что на границе было нужно дополнительное условие сшивания, т. е. W1(C(), ;

K) = 1. (2.27) Можно показать, что условие (2.27) вытекает из максимизации поведения, описываемого соотношением (2.26). Действительно, пусть функция f (x, c) будет дифференцируемой, вогнутой по второму аргументу, 0 х с. Потребуем, чтобы f (c, c) = h(c) являлась дифференцируемой функцией с. Пусть c = c* будет значением c, которое максимизирует f, т. е. f 2 ( x, c*) = 0. Рассмотрим полную производную f по c вдоль границы х = с. Тогда df dh = = f1 (c, c) + f 2 (c, c). dc dc Для с = с* f2 = 0. Следовательно, f1(c*, c*) = dh/dc. В рассматриваемом случае h = c – K и условие сшивания f1(c*, c*) = 1 доказано. Таким образом, корректным определеним цены американского опциона является уравнение (2.24) с европейскими граничными условиями плюс условия (2.25) и (2.27). Самюэльсон и Мертон показали, что для пропорциональной дивидендной стратегии, когда D(S, ) = S, > 0, всегда имеется положительная вероятность досрочного исполнения и, следовательно, арбитражное граничное условие будет обязательным для достаточно больших цен акций. Например, для D(S, ) = S решение уравнения (2.24) для европейского опциона имеет вид W = [Se (d1) – Ke r(d2)], где, d1 и d2 определены так же, как в (2.1). Для больших S имеем аппроксимацию W Se – Ke r, что меньше, чем (S – K) для больших S и > 0. Поэтому исполнение американского опциона может быть более ценным, чем владение им. Если D(S, ) = S, тогда уравнение (2.24) с математической точки зрения идентично «нелинейному» ( > ) случаю модели Самюэльсона, когда в ней = r и = r –. Самюэльсон и МакКин проанализировали этот случай очень подробно. Хотя не имеется простых явных решений для опционов с конечным сроком исполнения, они получены для бессрочных опционов в форме степенных функций, касательных к линии (S – K) при конечном значении S. Второй пример простой дивидендной стратегии – постоянная стратегия, когда D = d, d – константа. В отличие от предыдущей пропорциональной стратегии, досрочное исполнение может или не может встретиться в зависимости от значений d, r, K и. В частности, достаточным условием для того, чтобы досрочное исполнение не встретилось, является условие K > d/r. Если оно выполняется, тогда решение для цены европейского опциона будет им и для американского опциона. Для конечных решение в явной форме все-таки не получается;

а для бессрочного опциона при K > d/r его можно получить так. Сделаем замену переменных: Z /S и h(Z) exp(Z) Z W, где 2d/2 и 2r/2. Тогда после подстановки в уравнение (2.24) получим для h дифференциальное уравнение Zh + ( + 2 – Z) h 2h = 0, общее решение которого имеет вид h = c1M(2, 2 +, Z) + c2 Z ( +1) M(1,, Z) W S W(S, ;

K) S d/r S K 0 d/r K Цена акции S Рис. 2.1. Стоимость опциона в дату истечения как функция цены акции и после применения граничных условий преобразуется к виду 2d 2 r 2 2 d 2r 2d 2r W(S, ;

K) = S 1 S M 2, 2 + 2, 2, 2r r S 2 + 2 (2.28) где М является конфлюентной гипергеометрической функцией. Функция W изображена на рис. 2.1. Анализ выражения (2.28) показывает, что W проходит через начало координат, является выпуклой и имеет асимптоту (S – d/r) для больших S, т. е. достигает стоимости обыкновенной акции минус настоящая дисконтированная стоимость всех будущих дивидендов, потерянных из-за обладания опционом. Рассмотрим случай непрерывно изменяющейся цены исполнения K(), где K предполагается дифференцируемой и убывающей функцией времени, оставшегося до погашения, т. е. dK/d = dK/dt = K < 0. Цена опциона удовлетворяет уравнению (2.24) при D = 0 и подчиняется граничным условиям W(S, 0;

K(0)) = max [0, S – K(0)] и W(S, ;

K()) max [0, S – K()].

Для упрощения вида уравнения (2.24) сделаем замену переменных X S/K() и F (X, ) W [S, ;

K()]/K(). Тогда F будет удовлетворять уравнению 2X 2 F11/2 + () XF1 () F F2 = 0 (2.29) при ограничениях F (X, 0) = max [0, X – 1] и F (X, ) max [0, X – 1], где () r K / K. Заметим, что структура уравнения (2.29) идентична уравнению для цены опциона с фиксированной ценой исполнения и изменяющейся, но не стохастичной, «процентной ставкой» (). (Например, используем в анализе предыдущего параграфа вместо Р() величину exp [ 0 ( s ) ds ], не позволяя () принимать отрицательные значения для достаточно больших изменений цены исполнения.) Мы уже показали, что для 0 ( s)ds 0 досрочного исполнения опциона не будет, и ( s)ds = [r + dK ds] ds = r + ln[K()/K(0)] ценой исполнения будет только терминальная. Замечая, что формальная подстановка в выражение (2.18) вместо Р() показывает, что стоимость опциона такая же, как и стоимость опциона с фиксированной ценой исполнения K(0) и процентной ставкой r. Мы также имеем, что влечет неравенство K() K(0) exp(r), которое является общим достаточным условием для отсутствия бессрочного исполнения.

0 ( s)ds § 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ АМЕРИКАНСКИХ ОЦИОНОВ-ПУТ В качестве первого примера применения модели к опционам другого типа рассмотрим рациональное определение цены опциона-пут в предположениях § 4. Стоимость европейского опциона-пут полностью определяется сразу же, как только становится известной стоимость опциона-колл. Блэк и Шоулс дают решение для своей модели в виде формулы (2.2). Определение стоимости европейского опциона не совпадает с определением стоимости американского опциона-пут из-за положительной вероятности досрочного исполнения. Если G(S, ;

K) является рациональной ценой пута, тогда с помощью метода, использованного для вывода уравнения (2.24), при D = 0 получаем уравнение для G 2S 2 G11/2 + rSG1 rG G2 = 0 (2.30) при ограничениях на цену опциона-пут G(S, 0;

K) = max [0, K – S], G(S, ;

K) max [0, K – S], G(, ;

K) = 0. В анализе Самюэльсона и МакКина по опционам не имеется решения уравнения (2.30) в явном виде для конечного. Однако, используя их метод, можно получить решения для бессрочного опционапут (т. е. = ). Для достаточно низких цен акций будет выгодно исполнять пут. Определим С как наибольшую стоимость акции такую, что владельцу пута лучше исполнять его, чем владеть им. Для бессрочного пута уравнение (2.30) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению 2S 2 G11/2 + rSG1 rG = 0, (2.31) которое справедливо для цен акций из интервала C S. Граничными условиями для уравнения (2.31) являются равенства G(, ;

K) = 0, (2.32) G(C,, K) = K – C, (2.33) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– С должно быть выбрано так, чтобы максимизировать стоимость опциона, что следует из рассуждений предыдущего раздела о максимизации поведения. (2.34) –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Из теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что решение (2.31) содержит константы a1 и a2. Граничные условия (2.32), (2.33) и (2.34) будут определять эти константы вместе с неизвестной нижней границей цены акции С. Общим решением уравнения (2.31) является где 2r > 0.

G (S, ;

K) = a1 S + a2 S, (2.35) G K KS 0 C(2) C(1) K G(S, 2;

K) G(S, 1;

K) Цена акции S Рис. 2.2. Цена G американского опциона-пут как функция цены акции S Равенство (2.32) требует, чтобы a1 = 0, а из условия (2.33) получаем a2 = (K – C)C. Поэтому решение (2.35) как функция С имеет вид G (S, ;

K) = (K – C) (S/C). (2.36) Чтобы определить С, используем условие (2.34) и выберем такое значение С, которое максимизирует функцию (2.36), т. е. выберем С = С* таким образом, чтобы G C = 0. Разрешая это уравнение, имеем С* = K / (1+), и цена опциона-пут определяется по формуле K (1 + ) S. G (S, ;

K) = (1 + ) K (2.37) Граничное условие «сшивания» Самюэльсона G1(C*, ;

K) = 1 как альтернативное определение граничного условия (2.34) может быть проверено путем дифференцирования (2.37) по S и подстановки S = С. На рис. 2.2 показана цена американского пута как функция цены акции и времени до истечения.

§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ОПЦИОНА-КОЛЛ «DAO» В качестве второго примера применения модели к другим типам опционов рассмотрим рациональное определение цены опциона-колл нового типа, называемого «DaO» (Down-and-Outer, «упала цена – выбрасывай»). Для этого опциона используем те же обозначения, что и для стандартного опциона, но с дополнительным свойством: если цена акции падает ниже установленного уровня («нокаутной» цены), опционный контракт аннулируется, т. е. опцион становится бесполезным. Обычно «нокаутная» цена является функцией времени до истечения, возрастая при приближении даты истечения. Пусть f(S, ;

K) – стоимость европейского опциона-колл типа DaO, а В() = bKexp ( ) – «нокаутная» цена, являющаяся функцией времени до истечения. Здесь предполагается, что 0 и 0 b 1. Тогда f будет удовлетворять основному уравнению в частных производных 2S 2 f11/2 + rSf1 rf f2 = 0, (2.38) с граничными условиями f (B(), ;

K) = 0, f (S, 0;

K) = max [0, S – K]. Уместно заметить, что если бы В() = 0, тогда уравнение (2.38) было бы уравнением для стандартного европейского опциона-колл. В некоторых версиях такого опциона владелец получает положительную компенсацию R(), когда цена акции падает ниже «нокаутной» цены. Компенсация R() – возрастающая функция времени до истечения (т. е. R() > 0), но R(0) = 0. Пусть функция g (S, ) удовлетворяет уравнению (2.38) для В() S < при граничных условиях: а) g(B (), ) = R() и б) g(S, 0) = 0. Тогда функция стоимости опциона F(S, ;

K) g (S, ) + f(S, ;

K) будет удовлетворять уравнению (2.38) с ограничениями: а) F(В(), ;

K) = R() и б) F(S,0;

K) = max [0, S – K]. Поэтому F является стоимостью рассматриваемого опциона-колл с компенсационной выплатой R (), а g (S, ) – дополнительная стоимость за наличие компенсации. Сделаем замену переменных: x ln[S/B()], T 2, H(x, T) exp[ax + ] f (S, ;

K)/K, a [r 2/2] 2, r + a2 2/2.

Путем подстановки новых переменных в уравнение (2.38) приходим к уравнению для Н H11/2 – H2 = 0 (2.39) с граничными условиями H(0, T) = 0, H(x, 0) = eax max [0, bex – 1]. Решение такого уравнения является стандартной задачей определения стоимости с полубесконечными границами и решается методом разделения переменных или методом преобразования Фурье. Решая уравнение (2.39) и возвращаясь к исходным переменным, мы приходим к определению стоимости опциона DaO в виде f (S, ;

K) = [S erfc (h1) – Ke rerfc (h2)]/2 где (S/B()) [B()erfc (h3) (S/B()) Ke rerfc (h4)]/2, h1 [ln(S/K) + (r + 2/2)]/ 2 2 ;

h2 [ln(S/K) + (r 2/2)]/ 2 2 ;

h3 [2ln (B()/K) ln(S/K) + (r + 2/2)]/ 2 2 ;

h4 [2ln (B()/K) ln(S/K) + (r 2/2)]/ 2 2 ;

и 2(r )/2. Сравнивая формулы (2.40) и (2.1), обнаруживаем, что первая половина формулы (2.40) является стоимостью стандартного опционаколл и поэтому вторая половина – «дисконтированная» поправка, связанная с особенностью опциона DaO. Для лучшего понимания качественного различия между стандартным опционом-колл и опционом DaO полезно перейти к предельному бессрочному опциону, а «нокаутную» цену принять равной константе (т. е. = 0). В этом случае уравнение (2.38) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению (2.40) 2S2f/2 + rSf rf = (2.41) с граничными условиями f(bK) = 0, f(S) S, где штрих обозначает дифференцирование, а f(S) является сокращенной записью для функции f(S, ;

K). f (S) S SK f(S) 0 bK K Цена акции S Рис. 2.3. Стоимость f(S) опциона-колл DaO как функция цены акции S Решая уравнение (2.41) стандартными методами, получаем f (S) = S bK(S/bK), (2.42) где 2r/2. Вспоминая, что стоимость стандартного бессрочного опционаколл равна стоимости акции, мы можем интерпретировать bK(S/bK) как «скидку» в связи со свойствами DaO. Функции (2.40) и (2.42) однородные первой степени по (S, K), как и для стандартных опционов. Легко показать, что f(S) max [0, S – K], и, хотя это сложнее, можно показать, что f (S, ;

K) max [0, S – K]. Следовательно, опцион ценнее, когда он не исполнен, и поэтому формулы (2.40) и (2.42) корректны для определения стоимости американского опциона DaO. Из выражения (2.42) видно, что эластичность цены опциона по отношению к цене акции [Sf (S)/f (S)] больше единицы, так что он является «подъемной» ценной бумагой. Однако в отличие от цены стандартного опциона-колл, стоимость которого вычисляется по формуле (2.1), она – вогнутая функция цены акции (рис. 2.3).

§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ОТЗЫВАЕМОГО ОПЦИОНА В качестве третьего примера применения модели к другим типам опционов рассмотрим рациональное определение цены отзываемого американского опциона. Хотя отзываемые опционы редко выпускаются, рассматриваемый пример является важным, поскольку анализ легко переносится на определение стоимости других типов ЦБ, таких как конвертируемые облигации, которые почти всегда выпускаются как отзываемые. Для американских опционов мы принимаем стандартные условия, за исключением того, что выпускающая компания имеет право отозвать, т. е. выкупить, опцион в любое время по фиксированной цене. Поскольку опцион американского типа, при его отзыве владелец имеет право его исполнить, а не продавать обратно компании по цене отзыва. Если такое встречается, то говорят, что произошла «вынужденная конверсия», поскольку владелец опциона «вынужден» его исполнить, если стоимость опциона превышает цену отзыва. Стоимость отзываемого опциона будет равна стоимости эквивалентного неотзываемого опциона минус некоторая «скидка». Эта скидка будет стоимостью обеспечения отзыва компанией. Можно представлять отзываемый опцион как результат двух сделок: компания продает неотзываемый опцион инвестору и одновременно приобретает у инвестора право или «вынудить» его к досрочной конверсии, или вернуть опцион по фиксированной цене. Пусть F(S, ;

K) будет стоимостью отзываемого американского опциона, Н(S, ;

K) стоимостью эквивалентного неотзываемого опциона, какой она вычисляется по формуле (2.1), С(S, ;

K) стоимостью отзыва. Тогда Н = F + С и F будут удовлетворять основному уравнению в частных производных 2S 2 F11/2 + rSF1 rF F2 = 0 (2.43) по переменной S [0, S] при следующих ограничениях: F(0, ;

K) = 0, F (S, 0;

K) = max [0, S – K], F ( S, ;

K) = max [K*, S – K], где K* является ценой колла, а S есть (пока не определенный) уровень цены акции, когда компания будет отзывать опцион. В отличие от случая «добровольной» конверсии опциона из-за неблагоприятной защищенности дивидендов, проанализированной в § 4, S выбирается не вла дельцем опциона, а компанией и, следовательно, не будет выбираться так, чтобы максимизировать стоимость опциона. Поскольку С = Н – F, а Н и F удовлетворяют уравнению (2.43), С тоже будет удовлетворять (2.43) при соблюдении граничных условий С(0, ;

K) = 0, С(S, 0;

K) = 0, С( S,;

K) = Н( S, ;

K) – mах [K*, S – K]. Поскольку S выбирает компания, мы добавляем условие максимизации по S для того, чтобы максимизировать С(S, ;

K), что делает (2.43) корректно поставленной задачей. Так как С = Н – F и Н не являются функциями S, условие максимизации С может быть переписано как условие минимизации F. В общем случае невозможно получить решение уравнения (2.43) в явной форме. Однако решение для бессрочного опциона найти можно. В этом случае мы знаем, что Н(S, ;

K) = S, и уравнение (2.43) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению 2 S 2C/2 + rSC rC = 0 (2.44) для 0 S S с ограничениями С(0) = 0, С( S ) = S mах (K*, S K), а S выбирается так, чтобы максимизировать С. Здесь С(S) является сокращенной записью функции С(S, ;

K), а штрих означает производную. Решая уравнение (2.44) и используя два первых ограничения, получаем выражение C(S) = (1 – max [K*/ S, 1 – K/ S ]) S. Хотя мы и не можем использовать какой-либо простой метод для максимизации С, очевидно, что S = K* + K, так как для S < K + Е функция С является возрастающей, а для S > K* + K убывающей. Поэтому стоимость обеспечения отзыва K C(S) = S, K + K * и поскольку F = Н – С, стоимость отзываемого бессрочного опциона K* F(S) = S. K * +K § 8. РАЗРЫВНЫЕ СТОХАСТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕН АКЦИЙ В этом параграфе исследуется структура проблем определения стоимости опционов и разрабатывается альтернативный метод их решения. Вводится несколько скачкообразных и диффузионных процессов, которые не использовались в предыдущих параграфах. Для этих процессов разработанным методом находятся явные формулы определения стоимости опционов и решения некоторых задач, включающих определение цен активов, допускающих выплаты и потенциальное банкротство. Основной результат этого параграфа состоит в рассмотрении нетрадиционных форм стохастических процессов для описания динамики цены акции и разработке подхода к проблеме определения стоимости опционов, который прямо связывает ее со структурой лежащего в основе стохастического процесса. Поэтому здесь будет полезно повторить краткое неформальное рассмотрение стохастических процессов, которые были использованы ранее. Основное предположение в модели Блэка – Шоулса заключалось в том, что стоимость акции следует логнормальному диффузионному процессу dS/S = µdt + dW, (2.45) где S – стоимость акции;

µ – функция дрейфа;

W – винеровский процесс. Уравнение (2.45) является формальным описанием следующего стохастического процесса. Пусть S будет стоимостью акции в момент времени t. Относительное изменение этой стоимости на интервале времени от t до t + dt равно dS/S = (St + dt St)/St. Согласно уравнению (2.45), это относительное изменение состоит из двух слагаемых: функции дрейфа µdt, которая определяется в момент t, и нормально распределенным стохастическим слагаемым dW. Стохастическое слагаемое не зависит от своих значений в других интервалах времени и имеет нулевое среднее и дисперсию 2dt. Попросту говоря, уравнение (2.45) показывает, что относительное изменение стоимости акции за время от t до t + dt нормально распределено со средним µdt и дисперсией 2dt. Когда dt достаточно мало, тогда St + dt не сильно отличается от St. Это признак диффузионного процесса, который представляет собой вид вязкого непрерывного случайного блуждания около функции тренда и на коротком промежутке времени не имеет особенностей. Вместе с тем диффузионные процессы – только один из двух общих классов стохастических процессов в непрерывном времени. Вторым типом стохастического процесса в непрерывном времени является разрывный (скачкообразный) процесс. Простой разрывный процесс можно описать по аналогии с (2.45) как k 1, dt dS/S = µ dt + (k 1)d = µ dt + 1 dt 0. (2.46) В уравнении (2.46) является процессом Пуассона в непрерывном времени, т. е. процессом с исходами типа III (см. гл. 1), имеет смысл интенсивности процесса и k 1 преставляет собой величину скачка. Как и (2.45), уравнение (2.46) – формальное описание стохастического процесса, который определяет относительное изменение стоимости акции на интервале времени от t до t + dt. Уравнение (2.46) говорит о том, что это относительное изменение составлено из функции дрейфа µdt и слагаемого d, которое с вероятностью dt будет скачком относительного изменения стоимости акции на k 1, возможно, случайным, и с вероятностью 1 dt будет нулевым. Допустимой интерпретацией этого является то, что dt представляет собой мгновенную вероятность получения пакета информации, которая вызовет скачкообразное изменение процесса S. В отличие от диффузионного процесса скачкообразный процесс (2.46) изменяется детерминированно до тех пор, пока не происходят дискретные скачки. Формально скачкообразный процесс имеет выборочные траектории, которые разрывны с вероятностью единица, в то время как выборочные траектории диффузионного процесса с вероятностью единица непрерывны. Кроме того, рассматриваемые скачкообразные процессы непрерывны справа почти всюду, т. е. их разрывы являются простыми скачками. Из-за разрывов стоимости локальный анализ Блэка – Шоулса для определения стоимости опционов прямо не переносится на уравнение (2.46). Хотя, предположив, что k фиксировано, можно показать, что безрисковый хедж можно было бы сфор мировать, и использовать для определения стоимости опционов скачкообразные процессы. В этом параграфе мы преследуем две цели. Во-первых, проверяем рациональность предположения о том, что стоимости акций следуют уравнениям (2.45) или (2.46), и предлагаем некоторые полезные альтернативные формы. Они позволят нам рассмотреть соотношение между выбором процесса и решениями проблем опционов, в то же время снабжая дополнительными моделями для опытной проверки. Во-вторых, используем метод, предложенный Коксом и Россом (Cox, Ross, 1976), для решения задачи определения стоимости опционов. Этот подход дает еще одно понимание структуры задачи определения стоимости опционов, и его применение позволяет решить задачу определения стоимости облигации, по которой выплачиваются купоны, с произвольной известной датой погашения и задачу определения стоимости опциона на акцию с постоянными выплатами дивидендов. При использовании нетрадиционных форм полезно строить их как скачкообразные процессы, так как многие из наших интуитивных соображений могут быть формализованы с помощью разрывных процессов, но мы используем диффузионные процессы из-за их аналитического удобства, не обращая внимания на вопрос, следует ли «реальный мир» диффузионному или разрывному процессу. Уравнение (2.46), например, описывает обычную акцию, чья стоимость дрейфует детерминированно, пока не будет получена порция новой информации. Информация прибывает с вероятностью dt, и когда это происходит, стоимость акции скачкообразно изменяется на (k 1) процентов. Диффузионный процесс (2.45) – предел такого процесса, когда информация прибывает непрерывно и имеет только инфинитезимальное влияние. Уравнение (2.46) является очень частным случаем общей формы марковских скачкообразных процессов. Если через x обозначить текущее состояние среды, тогда общий скачкообразный процесс определяется уравнением ~ ( x)dt k ( x) 1, dS = µ(x)dt + (2.47) 1 ( x)dt 0, ~ где k (x) имеет распределение, зависящее от текущего состояния среды x. Предположим, что x = S, т. е. вся информация о состоянии содержится в текущей стоимости акции S. Мы могли бы, конечно, добавить слагаемое винеровской диффузии (x)dW к уравнению (2.47), чтобы получить более общий процесс, но уравнение (2.47) уже содержит диффузию как предельный случай (см. ниже). Мотивация конкретизации (2.47) в форме (2.45) или (2.46) состоит в том, что они содержат два понятия. Во-первых, выражаются в относительных или процентных величинах и рационально конкретизируют стохастический механизм в процентах, так как доход выражается в процентах. Во-вторых, при задании процесса в терминах процентов можно естественным образом ввести предельное ограничение стоимости акции S > 0. Как уравнение (2.45), так и уравнение (2.46) удовлетворяют этому граничному условию. Возможно, эти рассуждения не очень убедительны, тем не менее представляется, что нет причин для использования только уравнений (2.45) или (2.46). Делая так, мы просмотрели бы ряд интересных и одинаково обоснованных типов процессов. Предположим, например, что в уравнении (2.47) мы задали интенсивность (S) и дрейф µ(S) пропорционально значениям S и µS, и выберем распределение k 1, независимым от стоимости. Тогда k 1, Sdt dS = µSdt + 1 Sdt 0. (2.48) При наличии дрейфа уравнение (2.48) является обобщением класса стохастических процессов, известных как процессы гибели и размножения. Локальные среднее и дисперсия процесса (2.48) даются выражениями E{dS} = [µ + E{k 1}]Sdt, V{dS} = E{(k 1)2}Sdt. (2.49) Чтобы построить чистый процесс рождения и гибели, проигнорируем дрейф в уравнении (2.48) и позволим k принимать только два значения: k+ > 1 и k < 1 соответственно с (условными) вероятностями + и : + Sdt dS = 1 Sdt + + k + 1 Sdt k 1, k 1 = Sdt k 1, (2.50) 1 Sdt 0.

Уравнение (2.50) теперь является примером простого процесса рождения и гибели популяции. Представим себе фирму, выпускающую детали (членов популяции), чей суммарный выпуск (размер популяции) равен S. Если эти детали стохастически независимы одна от другой, можно допустить, что dt представляет собой вероятность события, состоящего в том, что выпускается какая-то одна деталь. Событием с вероятностью + является «рождение» k+ 1 дополнительных деталей и с вероятностью – «гибель» 1 k деталей. Для всей фирмы (популяции) уравнение (2.50) тогда описывает локальное изменение ее состояния. Если же µ = 0, а + = 1, тогда уравнение (2.50) описывает чистый процесс рождения, и если = 1, то уравнение (2.50) описывает чистый процесс гибели. В отличие от (2.50) уравнение (2.46) описывает стохастическое изменение состояний фирмы (популяции), все члены которой совершенно зависимы, т. е. когда один изменяется, все они изменяются, и вероятность такого события dt не зависит от размера выпуска (размера популяции), хотя величина просто пропорциональна. Другое интересное различие между уравнениями (2.46) и (2.50) можно увидеть путем перехода к диффузионному пределу в уравнении (2.50). Диффузионный предел уравнения (2.46) – это относительный процесс (2.45). В конце параграфа мы покажем, что предел (2.50), при k+ 1, k 1 и является диффузией с мгновенным средним µS и дисперсией 2 S, где µ и задаются равенствами (2.49), но µ не является таким же дрейфом, что и в уравнении (2.48). Выразим результат через стохастические дифференциалы dS = µSdt + S dW. (2.51) Хотя этот тип диффузии полезно рассматривать как предельный случай экономики, в которой фирмы состоят из независимых единиц, такая интерпретация необязательна. Другие формы причинности могут привести к тому же вероятностному описанию событий. Мы можем рассмотреть этот диффузионный процесс исключительно из-за его собственных преимуществ при описании ситуации, в которой изменения состояний являются малыми и в которых дисперсия цен растет с увеличением цен на акции, но медленнее, чем в случае уравнения (2.45), так чтобы дисперсия ставки доходности уменьшалась, а не оставалась постоянной. Рассмотренный таким образом процесс может, конечно, не отвергаться на основе априорной информации, а может во многих ситуациях быть предпочтительнее, чем процесс (2.45). Следует заметить, что в отличие от (2.45) диффузионный процесс (2.51) позволяет, чтобы S = 0, т. е. банкротство встречается с вероятностью единица (даже в отсутствие выплат по акциям). Другой интересной конкретизацией уравнения (2.47) является случай, когда фирма состоит из зависимых подразделений, как в уравнении (2.46), так что интенсивность и величина приращений – константы. В таком случае + dt dS = µSdt + 1 dt 0, k + 1, k 1, (2.52) и мы совсем избавились от пропорциональности. Это является случаем, когда стоимость растет эндогенно с экспоненциальной скоростью µ, а суммарные экзогенные приращения стоимости размера k 1 встречаются с интенсивностью. Мы будем называть такой процесс абсолютным. Локальные среднее и дисперсия абсолютного процесса даются выражениями и E{dS} = {µS + [+(k + 1) + (k 1)]}dt V{dS} = [+(k + 1)2 + (k 1)2] dt (2.53) в случае, когда k является константой. Если = 0, процесс характеризует ограниченную ответственность, но если > 0, имеется положительная вероятность того, что он приводит к дефолту. Поэтому для сохранения ограниченной ответственности мы также должны конкретизировать неотрицательный нижний барьер для S. Вычислив диффузионный предел в уравнении (2.52) так же, как в (2.50), получим dS = µSdt + dW, (2.54) где µ и определяются формулами (2.53). Таким образом, этот процесс характеризовал бы такую фирму, приращения стоимости которой имеют постоянную дисперсию. Для обеспечения ограниченной ответственности установим поглощающий барьер в начале координат и будем считать (2.54) процессом, управ ляющим стоимостью акций до тех пор, пока этот уровень не будет достигнут. При этом снова в течение любого периода времени имеется положительная вероятность банкротства. Чтобы получить стохастический дифференциал (2.51) достаточно продемонстрировать, что обратное уравнение Колмогорова (см. § 9) для функции переходной вероятности Pх, у (t, ) = рrob{S = у | St = х}, > t, процесса рождения и гибели (2.50) сходится к уравнению для диффузии (2.51) при соответствующих рассуждениях предельного перехода. Обратное уравнение для (2.50) имеет вид (Pх, у /t) = хPх, у + х+Pх+х, у + хPхх, у, где х = k+ 1 и k 1 = х. Теперь, чтобы найти мгновенные среднее и дисперсию диффузионного процесса (2.51), при переходе к пределу изменяем интенсивности при х 0 таким образом, чтобы х(х)2 = 2x и х(+ )х = µx или = 2/(х)2, + = [ 2/(х)2 + µ /х]/2, = [ 2/(х)2 µ /х]/2. Переходя к пределу при х 0 в обратном уравнении, получаем обратное уравнение для диффузии (2.51): (Pх, у /t) = хPх, у + х+[Pх, у + (Pх, у/х)х + (2Pх, у/х2)(х)2/2] + + х[Pх, у (Pх, у/х)х + (2Pх, у/х2)(х)2/2] = = µ x(Pх, у/х) + 2x(2Pх, у/х2)/2. Получение абсолютного процесса (2.54) с использованием абсолютного скачка (2.52) примерно такое же, но в этом случае нам нужно слагаемое дрейфа. Для абсолютного процесса (2.52) обратное уравнение имеет вид (Pх, у /t) = хPх, у + х+Pх+х, у + хPхх, у + µx(Pх, у/х).

Используя предельный процесс + = = 2/(х)2/2, можно показать, как и выше, что обратное уравнение сходится к обратному уравнению для абсолютного процесса (2.54): (Pх, у /t) = µx(Pх, у/х) + 2x(2Pх, у/х2)/2. Производные можно взять эвристическими и только доказать поточечную сходимость, хотя это может быть строго обобщено, чтобы показать равномерную сходимость. Кроме того, необходимо добавить, что поскольку S рассматривается как стоимость, мы в уравнения (2.51) и (2.54) вводим поглощающий барьер при S = 0. Это показывает, что как в (2.51), так и в (2.54) положительное S будет стремиться к нулю с положительной вероятностью.

§ 9. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ ДЛЯ РАЗРЫВНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ Структуру обоснования хеджирования, используемую для получения формул определения стоимости опционов, можно проиллюстрировать в довольно общей постановке. Первым шагом является выбор конкретного стохастического процесса, управляющего изменением цен лежащего в основе актива, скажем, акции с ценой S. Предположим, что можно записать случайное изменение S в дифференциальном виде как dS = µS dt + S dxS. (2.55) Как и в примере § 8, µS и S выбираются как функции текущего состояния среды, которая для простоты предполагается определяемой только переменными S и t. Считается, что (непредвиденное) стохастическое слагаемое dxS является или приращением винеровской диффузии dW, или единичной пуассоновской переменной d. Если dxS – пуассоновское слагаемое, тогда интерпретируем S в уравнении (2.55) как заданную величину случайного скачка. Следующий шаг в наших рассуждениях – задание финансового инструмента, стоимость которого зависит от S, скажем, опциона на акцию, и предположим, что существует достаточно регулярная функция цены P(S, t), являющейся стоимостью опциона в момент времени t при условии, что цена акции в момент t равна S. Введение такой функции позволяет нам (при условии, что µS, S и P – функции с достаточно хорошим поведением в математическом смысле) получить дифференциал изменения стоимости опциона в виде dP = µР dt + Р dxS. Функции µР и Р теперь зависят от неизвестной функции P и известных значений S и t. Если dxS следует единичному процессу Пуассона, тогда Р может рассматриваться как случайная функция, значения которой зависят от функции P и величины скачка S, но не обязательно пропорциональны S. Экономические рассуждения, которые приводят к формуле для определения цены опциона, основаны на наличии третьего актива, зарабатывающего деньги согласно безрисковой мгновенной процентной ставке r, которую будем принимать постоянной ставкой для свободного взятия или дачи кредитов индивидуальными лицами. Мы также предположим, что акция S может быть продана на короткий срок продавцом, получающим выручку, и что нет никаких расходов на сделки и налоги. Наиболее важным предположением является то, что деятельность агентов не может влиять на r или какие-либо цены. При этих предположениях легко показать, что все безрисковые активы должны зарабатывать согласно безрисковой процентной ставке r, чтобы предотвратить арбитраж. Задачу о стоимости опциона при случайных скачках можно решить на более чем одно значение, как в процессе (2.50) рождения и гибели, где + и не равны нулю. Однако для того, чтобы сделать это, требуется введение дополнительных акций для обеспечения аргументов хеджирования, как это сделали Кокс и Росс (Cox, Ross, 1976), или использовать арбитражные рассуждения для получения приближенной формулы, как в работе Мертона (Merton, 1990). Чтобы избежать каждой из этих возможностей, в дальнейшем предположим, что если dxS является процессом Пуассона, то скачки величиной S (и Р) – неслучайные функции. Из этого следует, что имеется хеджирующий портфель из акции S и ее опциона P такой, что SS (dxS /S) + РР (dxS /P) = 0, или S (S /S) + Р (Р /P) = 0, 91 (2.56) где S и Р – портфельные веса соответственно для акции и опционов. Такой хеджирующий портфель является безрисковым и должен иметь ставку доходности S (µS /S) + Р (µР /P) = (S + Р) r (2.57) при безрисковой процентной ставке. Из равенств (2.56) и (2.57) получаем основное уравнение определения стоимости опционов: (µР rP)/Р = (µS rS)/S. (2.58) Таким образом, уравнение определения стоимости сводится к известному утверждению, что премия риска на единицу риска должна быть одинаковой для акции и ее опциона. С математической точки зрения уравнение (2.58) является дифференциально-разностным, и можно надеяться, что применение доступных математических методов позволит решить его и уравнение для стоимости опциона. Например, при логнормальной диффузии Блэка – Шоулса (2.45) уравнение определения стоимости (2.58) принимает вид 2S 2РSS/2 + r SРS r Р = Рt.

P(S, T) = max {S K, 0}, (2.59) Используя граничное условие для европейского опциона-колл где K является ценой исполнения, Блэк и Шоулс смогли преобразовать (2.59) к уравнению теплопроводности и решить его в явном виде. Однако Кокс и Росс (Cox, Ross, 1976) для решения уравнения определения стоимости сформулировали систематический подход, который использует экономическую структуру задачи и обеспечивает дальнейшее проникновение в структуру проблем определения стоимости опционов в общем случае. Тот факт, что аргументы хеджирования можно использовать для получения (2.58), и предположение о том, что существует единственная функция P(S, t), означает, что при заданных S и t стоимость опциона P не зависит непосредственно от структуры предпочтений инвестора. Предпочтения инвестора и требуемые условия используются в задаче определения стоимости только при получении значений равновесных параметров. Предпочтения не играют никакой роли до тех пор, пока определяют одинаковые значе ния соответствующих параметров, и будут идентично определять стоимости опционов. В случае модели Блэка – Шоулса, например, уравнение (2.59) не зависит от µ, и единственно уместными параметрами для задачи определения цены являются r и. Чтобы решить уравнение (2.58), нам понадобится только найти равновесное решение для P в некоторой среде, где предпочтения заданы и согласованы с конкретными значениями параметров. Удобным выбором предпочтений для многих задач (хотя можно предусмотреть проблемы, где другая структура предпочтений может быть более подходящей) является нейтральность к риску. В такой равновесной среде требуется, чтобы ожидаемые доходы на акцию и опцион получались согласно одинаковой безрисковой ставке. Тогда для акции S E T S t = е r (Т t). (2.60) St Аналогично, если мы рассматриваем общий европейский опцион с граничным значением P(S, T) = h (S), тогда условное математическое ожидание в момент t P( S T, T ) 1 S t = Е{h(SТ)| St} = еr (Т t) E P P P(S, t) = е r (Т t)E{h(SТ)| St} = е r (Т t) h( ST )dF ( ST, T St, t ), (2.61) или где F (ST, Т | St, t) является распределением вероятности цены акции ST в момент Т при условии, что цена акции была равна St в момент t < Т. Уравнения (2.60) и (2.61) обеспечивают решение задачи определения стоимости опционов. Уравнение (2.60) используется для того, чтобы удовлетворять любым конкретным требованиям к набору параметров, которые предусматриваются уравнением хеджирования. Блэк и Шоулс впервые нашли уравнение (2.59) путем подстановки µ = r в формулу Спренкла (см. § 2) для стоимости опциона. Мертон также заметил, что подстановка = = r в модель Самюэльсона дает решение Блэка – Шоулса. Из уравнения (2.61) видно, что зная функцию распределения процесса цены акции, можно определить и стоимость опциона. Обратное обычно также имеет место. В дальнейшем функции или вели чины будем называть терминальными, если они характеризуют значения процесса в дату погашения, исполнения или истечения. В случае европейских опционов-колл, например, общая формула определения цены опциона (2.61) для произвольных цен исполнения K подразумевает знание всех правых квазимоментов терминального распределения цены акции при условии, что уравнение (2.60) удовлетворяется. Однако это эквивалентно знанию самого распределения. Можно описать формальное доказательство этого утверждения. Нам только нужно показать, что квазимоменты определяют распределение. Предположим, что два распределения F и G имеют одинаковые квазимоменты или эквивалентно одинаковые стоимости опционов для всех цен исполнения K. Семейство функций fE(S) = max{S K, 0} порождает решетку K (замкнутую относительно добавления и умножения на константу) на компактных множествах на линии, которая содержит постоянные функции и отдельные точки. Решетчатая структура является ближайшей и для K' > K, fE(S) f E (S) = K' K, S K', т. е. постоянная. По теореме Стоуна – Вейерштрасса на компактном множестве решетка K уплотняется непрерывными функциями, и так как F и G согласованы на K, из леммы Релли – Брэя следует, что они согласованы на всех непрерывных функциях. Другими словами, задача определения стоимости опциона реально эквивалентна задаче определения распределения цены акции S, изменение которой управляется постулированным процессом (2.55). Это устанавливает важную связь между задачей определения стоимости опционов и основами стохастических процессов. Хорошо известно, что переходные функции распределения вероятностей F(ST, Т |St, t) удовлетворяют двум центральным уравнениям: прямому (или Фоккера – Планка) и обратному уравнениям Колмогорова. Обратные уравнения описывают способ, с помощью которого F(ST, Т | St, t) изменяется с текущим временем t. Например, обратное уравнение для диффузионного процесса (2.45) задается выражением 2S 2 FSS/2 + µ SF S + Ft = 0, (2.62) где S t = S и F(ST, Т | St, t) должны удовлетворять уравнению (2.62) для всех значений (ST, Т ). В среде, нейтральной к риску, из равенства (2.60) дрейф на акцию µ = r. Предположим теперь, что мы рассматриваем обратное уравне ние (2.62) с µ = r. Преобразовывая это уравнение путем подстановки (2.61), получим (2.59), уравнение Блэка – Шоулса для определения стоимости опциона. В общем случае, если равенство (2.60) может быть удовлетворено, уравнение для определения стоимости опциона (2.58) является преобразованием (2.61) обратного уравнения Колмогорова для переходной функции вероятности F. Формальное значение этих наблюдений заключается в том, что мы можем решить задачу определения стоимости опциона только в тех случаях, если знаем терминальное распределение вероятностей стоимости акции. В дальнейшем этот метод иллюстрируется путем применения его к задачам определения стоимости опционов для стохастических процессов, введенных выше. В частности, можно получить важный новый результат, определение стоимости опционов на акции, выплачивающие дивиденды, путем применения этого метода к процессу с квадратным корнем (2.51).

§ 10. ЗАДАЧИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ Альтернативный скачкообразный процесс Рассмотрим задачу определения стоимости опционов для некоторого скачкообразного процесса, изученного в § 8. Как и в § 9, общий вид уравнения (2.47) ограничим случаем единственного значения k(S, t) после скачка. Наша задача – определить стоимость опциона-колл на акцию S с датой истечения T, в которую владелец опциона получает max{ST K, 0}. Предположим, что по акции не выплачивается никаких дивидендов, так что никогда не будет оптимальным исполнять американский опцион-колл перед датой истечения T, и поэтому его стоимость будет определяться как стоимость европейского опциона-колл (см. § 3). Чтобы решить эту задачу приспособим аргументы хеджирования к скачкообразному случаю. Локальный доход на акцию задается уравнением (2.47) и опцион следует процессу с абсолютной зависимостью P( S + k 1) P ( S, t ), Sdt dP = 1 Sdt Pt dt + µPS dt, где – произвольная функция. Путем формирования хеджирующего портфеля из акции и опциона соответственно с весами S и Р, выбранными так, чтобы P ( S + k 1, t ) P ( S, t ) k 1 S + P = 0, P( S, t ) S (2.63) хеджирующая позиция будет безрисковой. Отсюда следует, что если r является (мгновенной) безрисковой процентной ставкой, тогда P + µPS µ S + P t = (S + Р)r, P S (2.64) т. е. хедж должен быть эквивалентен безрисковой краткосрочной облигации, чтобы предотвратить арбитражные возможности. Объединяя равенства (2.63) и (2.64), получаем, что P(S, t) должна удовлетворять версии дифференциально-разностного уравнения (2.58): µ rS r ( S + k 1) µ µPS + P( S + k 1, t ) + P = Pt, 1 k 1 k (2.65) где µ и k – функции S и t. Важной особенностью уравнения (2.65) и, следовательно, вытекающих из него формул для опционов является то, что они независимы от выбора, интенсивности процесса. Эта характерная черта формул определения стоимости опционов для скачкообразных процессов была впервые показана для процесса (2.46), и с помощью аргументов хеджирования легко увидеть, что интенсивность вообще не играет никакой роли в определении стоимости, так как хеджирующая позиция зависит только от величины скачка. Действительно, после подстановки µ(S, t) = µS и k(S, t) = S(k l) + 1 уравнение (2.65) становится соотношением определения цены опциона для процесса (2.46). Теперь можно использовать уравнение (2.65) для изучения разнообразных скачкообразных процессов. Пример 2.1. Рассмотрим сначала процесс чистого рождения без дрейфа: k 1, Sdt dS = 1 Sdt 0. 96 (2.66) В этом случае уравнение (2.65) превращается в следующее r(k 1)1S[P(S + (k 1), t) P(S, t)] rP(S, t) = Pt (S, t) (2.67) с P(S, Т) = max {S K, 0}. Чтобы решить уравнение (2.67), воспользуемся методом, описанным в § 9. [В качестве проверки нетрудно установить, что (2.67) является преобразованным обратным уравнением для процесса (2.66).] В нейтральной к риску среде ожидаемые доходности, как на акцию, так и на опцион должны быть равны безрисковой ставке, и равенство (2.60) принимает вид S E T = e (k1)(T1) = e r (T1), S0 (2.68) или (k 1) = r, где мы применили известный результат из теории процессов рождения. Чтобы получить ожидаемый доход на опцион, нужно использовать функцию распределения для SТ, которая является просто распределением для масштабированного процесса чистого рождения. Отсюда следует, что P E T P 1 = P E[max {SТ K, 0}] = ST 1 1 = (ST K ) kS 1 e r (T t ) P ST K t 1 k ( ) S t ( k 1) (1 e r (T t ) ( S T S t ) ( k 1) ), и используя равенство (2.68) и требуемое равенство для безрисковой доходности, получаем P(S, t) = S S + 1, e r (T t ) B j ;

j [K ( k 1) + 2 ] k Ke r (T t ) S B j ;

, e r (T t ), j [K ( k 1) +1] k (2.69) где [у] – наибольшее целое число, не превышающее y, y 1 х уx B(у;

x, q) = x 1 q (1 q), 97 y 1 ( y ) x 1 = ( x)( y x + 1) обозначает отрицательное биномиальное распределение. Этот пример иллюстрирует, как использовать равенство (2.60) в ходе решения. По обоснованию хеджирования интенсивность не влияет на определение стоимости опциона. На нейтральном к риску рынке = r/(k 1), что позволяет нам исключить из формулы определения стоимости опциона (2.69). Важно представлять, что это не влечет того, что можно решить задачу определения стоимости только тогда, когда удовлетворяется равенство (2.68). Наоборот, для заданных r и k решение не зависит от, и для любого решение будет идентичным решению, когда равенство (2.68) имеет место. Этот пример также обнаруживает важную особенность решения задачи определения стоимости вообще и для скачкообразных процессов в частности. В точках, где формула (2.69) и последующие решения недифференцируемы, они не могут, конечно, удовлетворять дифференциальным уравнениям вида (2.67). Парадокс разрешается путем уместной модификации (2.67). В точках недифференцируемости Pt, например, в общем случае не охватывает истинную временную компоненту изменения, или градиент, в стоимости опциона. При обосновании хеджирования будет использоваться этот временной градиент, и результатом будет некоторое обобщение дифференциальных уравнений. Полученные решения всюду корректны для этих обобщенных уравнений. Вместе с тем, к сожалению, никакого общего решения уравнения (2.65) пока не существует, и метод нахождения решения для нейтральной к риску среды не может обойти эту трудность. Поэтому непосредственные обобщения результатов, которые здесь делаются, имеют особую ценность. Пример 2.2. Предположим, мы попытаемся распространить наши результаты по определению стоимости опционов на случай чисто разрывного процесса (2.66), в котором добавлена пропорциональная функции дрейфа µS, как в уравнении (2.48). Это является важным расширением, поскольку с помощью метода, использованного при рассмотрении уравнений (2.51)–(2.54), процесс (2.48), подобно процессу рождения и гибели, может быть сделан сходящимся к диффузии (2.51) с квадратным корнем. Чтобы применить наш метод для получения решения дифференциального уравнения определения стоимости (2.65) в рассматриваемом случае, нам требуется знать распределение ST/St при вычисле нии квазимомента E{max{ST K, 0}}, который дает стоимость опциона. К сожалению, добавление детерминированной функции дрейфа сильно усложняет эту проблему. Причина в том, что процесс неоднородный во времени в том смысле, что вероятность скачка в следующий момент зависит не только от числа предыдущих скачков, но и от того, когда они происходили, т. е. от их временных свойств. Вместе с тем, не входя в нежелательные детали, можно показать, что при задании процесса уравнением (2.48) функция плотности ST имеет вид рrob{ST (x, x + dx)} = (k 1) ( µ )[ S t + n( k 1) x ] = e µ n = 0 An где Ап {(x1,..., xп) | n n i 1 St x j xi 2 dxij, j =1 i =1 n (2.70) xi = St i = хе µ (Т 1), (k 1) x1... xп (k 1) е µ (Т 1)}. Теперь можем использовать формулы (2.61) и (2.70) для определения стоимости опциона, но уже не сможем получить решение в замкнутой форме, так как интегралы в формуле (2.70) не вычисляются в явном виде, однако выражение (2.70) можно аппроксимировать для получения численных результатов. Пример 2.3. В качестве заключительного примера для скачкообразных процессов, который иллюстрирует опасности применения метода решения, рассмотрим задачу определения стоимости опционов для абсолютного процесса (2.52) без дрейфа. Чтобы избежать задачи об ограниченной ответственности и допустить хеджирование одной акции, пусть + = 1, что соответствует скачкам чистого роста. Просто разрешая (2.60) и используя тот факт, что число скачков в интервале [t, T] имеет пуассоновское распределение, получаем выражение S (k 1) E T = (Т t) = e r (T t), St St которое позволяет найти при опущенном параметре как функции St текущую стоимость акции. Однако это искажает первоначально введенный абсолютный процесс с, не зависящей от текущей стоимости акции. Другими словами, принятый процесс не согласуется с нейтральным к риску рынком. Несмотря на это, мы все еще можем определить стоимость опциона на такой процесс, замечая, что дифференциальное уравнение хеджирования задается уравнением (2.67) так же, как для чистого процесса рождения. Так как параметр интенсивности не играет никакой роли при определении стоимости, это будет другим случаем, нежели (2.68). Тогда решение этой задачи будет таким же, что и для процесса рождения (2.69) без дрейфа, и может быть найдено из уравнения (2.70) с дрейфом. Даже если абсолютный процесс не согласован с нейтральным к риску рынком, дифференциальное уравнение определения стоимости является таким же, как для процесса рождения, который согласован с нейтральностью к риску, что позволит нам оценить абсолютный процесс, какой бы ни была задана структура рыночных предпочтений и других активов, которые будут поддерживать его в равновесии. Эта несогласованность с нейтральностью к риску не применяется к абсолютному процессу с симметричными двухточечными скачками и пропорциональным дрейфом, но рассмотрение подобного случая двухточечных скачков не может быть сделано в контексте хеджирования единственной акции. Теперь обратимся к задачам об опционах для диффузионных пределов, введенных в § 9.

Альтернативные диффузионные процессы Сначала нужно получить дифференциальное уравнение, которому должна следовать стоимость опциона для всех диффузионных процессов, а затем конкретизировать его для наших двух случаев. Это делается так же, как и в § 8 для диффузионного процесса (2.45). Здесь мы будем рассматривать конкретную акцию или фирму, которая делает платежи. Платежи могут быть также введены в задачи со скачкообразными процессами, но это может очень усложнить решение. Предположим, цена акции следует уравнению dS = µ(S, t)dt + (S, t)dW, где µ(S, t) и 2(S, t) являются соответственно мгновенными средним значением и дисперсией диффузионного процесса. Применив лемму Ито, можно написать уравнение для цены опциона dP = [Pt + µ(S, t)PS + 2(S, t) PSS/2]dt + PS (S, t) dW. Предположим, на каждую единицу акции выплачиваются дивиденды непрерывным потоком b(S, t). Рассмотрим портфель, в котором содержится единица опциона, некоторая доля S акции и некоторая сумма, занятая или данная взаймы, так что совокупная инвестиция равна нулю. Если мы выберем S равной PS, тогда портфель не будет иметь стохастической составляющей, и чтобы предотвратить арбитраж его локальное среднее должно быть равно нулю. Это означает, что в каждый момент времени три источника изменений в портфеле: детерминированная часть изменения цены акции и опциона, безрисковая доходность на данную (или взятую) в займы сумму и полученные платежи (или платежи, сделанные при возмещении в случае коротких продаж) – должны точно соответствовать один другому. Из этого следует, что составляющая чисто детерминированного изменения цены равна Pt + 2(S, t)PSS/2, доход на облигацию равен rSPS rP и возмещение, требуемое для выплат дивидендов на акцию, которыми владеют в связи с короткой продажей, равно b(S, t)PS. Объединение этих трех слагаемых дает дифференциальное уравнение типа (2.58): 2(S, t)PSS/2 + [rS b(S, t)] PS rP = Pt. (2.71) Тогда при диффузионном процессе стохастические предположения входят в уравнение определения стоимости только через коэффициент в слагаемом со второй производной, как и следовало ожидать, на основе проведенных ранее рассуждений о соотношении между уравнением определения стоимости и обратным уравнением Колмогорова для рассматриваемого процесса. Также можно заметить, что платежи не влияют на удобство выбора нейтральных к риску предпочтений инвесторов, так как нейтральность к риску просто потребовала бы, чтобы мгновенное среднее полного дохода на акцию было равным rS, поэтому требуемое изменение средней цены было бы равным µ(S, t) = rS b(S, t). В последующем рассмотрим только функции платежей вида b (S, t) = aS + с, так как они будут обеспечивать удовлетворительное представление для большинства задач. Мы исследуем также только европейские опционы, хотя для многих стратегий с постоянными дивидендами эквивалентные американские опционы имели бы те же стоимости, поскольку преждевременное исполнение никогда бы не было оптимальным. Пример 2.4. Сначала рассмотрим случай (2.51), когда дисперсия пропорциональна цене акции. Согласно (2.64) уравнение определения стоимости принимает вид 2S PSS/2 + [(r a)S c]PS rP = Pt. (2.72) Эту задачу можно решать прямыми стандартными аналитическими методами, но легче применить метод решения, использованный выше, если терминальная плотность (в нейтральной к риску постановке) уже известна. К счастью, именно этот случай был приведен при изучении предельного диффузионного случая в работе У. Феллера по процессам рождения и гибели. Условная плотность вероятностей цены ST при фиксированной St для ST > 0 дается выражением 2( r a ) f(ST, T;

St, t) = 2 ( r a )(T t ) e ( ) St e ( r a )(T t ) ST (1+ 2 c / 2 ) / 2(r a )( S t e ( r a )(T t ) + ST ) ехр 2 ( r a )(T t ) (e 1) 4(r a) S S e ( r a )(T t ) Tt I1+ 2c / 2 2 ( r a )(T t ) (e 1), (2.73) где Iq(.) является модифицированной функцией Бесселя первого рода порядка q. Трудно ответить на математический вопрос, можно ли решить стохастическое дифференциальное уравнение для нетривиального стохастического процесса, когда коэффициенты не имеют ограниченных производных. Однако в этом случае уравнение (2.51) было фактически получено из стохастического процесса, задаваемого уравнением (2.73), и никакой такой проблемы не возникает. В более общем случае, если нам задается сам процесс, любое увеличивающее его преобразование (подобное функции P) будет само хорошо определенным процессом с мгновенным средним [µ (S, t)PS + Pt + 2(S, t) PSS/2] и мгновенной дисперсией (PS(S, t))2, если он принадлежит C2, и будет получаться, даже если он не принадлежит C2. Этот подход позволяет нам обходить процессы Ито и дополнительные условия регулярности, которые они могут потребовать. Интегрирование (2.73) по интервалу ST > 0 приводит к вероятности меньше единицы. Остаток до единицы является вероятностью того, что St = 0 для некоторого t T;

в этом случае S будет «поглощена» нулем. Применяя рассматриваемый способ, мы возьмем математическое ожидание max(ST K, 0) и дисконтируем его ко времени t, как в выражении (2.61), чтобы получить формулу определения стоимости P(S, t) = Se a(T t) n = (n + 1)e y y n + 2c / G (n + 2, K ) ( n + 2 + 2c / 2 ) Kе где = а r (T t) n = e y y n+1+ 2c / G (n + 1, K ) ( n + 2 + 2c / 2 ),, (2.74) 2( r a ) (e 2 ( r a )(T t ) 1) у = Sе (r а) (T t), x G(m, x) = [(m)] e z z m1dz является дополнением к стандартной функции гамма-распределения. Стоимость опциона при S = 0 определяется описанием процесса, и никаких дополнительных ограничений делать не нужно. Для процесса с поглощающей границей в нуле мы будем иметь P(0, t) = 0. Пример 2.5. Теперь обратимся к уравнению (2.54), где дисперсия не зависит от цены, тогда уравнение (2.71) принимает вид 2PSS/2 + (r а)SPS rP = Рt. Как и в случае (2.72), за эту задачу можно браться прямо, например, путем преобразования к уравнению теплопроводности. Однако снова легче и поучительней использовать знание терминального распределения акции. Изучая уравнение, заметим, что оно аналогично обратному уравнению процесса Орнштейна – Уленбека, физические основы которого лежат в изучении частиц броуновского движения при наличии упругой силы. Это дает некоторый экономический смысл при ограниченной ответственности для цены, которая, достигая нуля, может становиться положительной. Поэтому хотелось бы использовать процесс Орнштейна – Уленбека с поглощающей границей в нуле для процесса с квадратным корнем. Выше мы рассматривали задачи только для с = 0, т. e. только при пропорциональных платежах, так как в другом случае соответствующая плотность является неизвестной (и преобразование к уравнению теплопроводности приводит к еще нерешенной задаче с границей, зависящей от времени). В рассматриваемом случае условная плотность ST при заданной St для ST > 0 имеет вид [ S St e ( r a )(T t ) ]2 f(ST, T;

St, t) = (2Z)1/2 exp T 2Z [ ST + St e ( r a )(T t ) ]2, exp 2Z 2 2( r a )(T t ) 1. Z = 2(r a) e ( ) Применение представления (2.61) дает следующую формулу определения стоимости P(S, t) = (Se а (T t) Ke r (T t))Ф(у1) + + (Se а (T t) + Ke r (T t))Ф(у2) + v[n(у1) n(y2)], (2.75) где Ф(.) обозначает стандартную нормальную функцию распределения;

n(.) является стандартной нормальной плотностью и e 2a (T t ) e 2r (T t ) v = 2( r a ), Se a (T t ) Ke r (T t ) y1 =, v Se a (T t ) Ke r (T t ) y2 =. v Сравнительная статистика, связанная с изменениями параметров в формулах (2.74) и (2.75), является громоздкой, но в большой степени интуитивной, и мы перейдем к следующему этапу. Применение к другим ценным бумагам Хотя выше мы обращали основное внимание на опционы, тот же метод может быть применен к широкому кругу финансовых инструментов. Удобным подходом для определения стоимости обычных ЦБ является предположение о том, что полная стоимость фирмы V следует заданному стохастическому процессу, а затем рассмотрение индивидуальных ЦБ как функций стоимости фирмы и времени. Стоимость индивидуальных ЦБ любой фирмы, полная стоимость которой следует диффузионному процессу, например, должна удовлетворять уравнению такого же вида, как и (2.71). Вместе с тем в отличие от опционов по большинству обычных ЦБ F выплачиваются платежи b'(V, t) и уравнение (2.71) должно быть модифицировано, чтобы включить этот доход: 2(V, t) FVV/2 + [rV b(V, t)] FV rF + b'(V, t) = Ft. (2.76) Ценные бумаги данной фирмы могут отличаться терминальными условиями и получаемыми платежами. В качестве конкретного примера рассмотрим фирму, выпустившую одну акцию и одну облигацию. Облигация имеет терминальную стоимость min(B, V), где B – стоимость облигации при погашении, и по ней выплачивается постоянная сумма с'. Акция имеет терминальное условие max(V B, 0), и по ней выплачиваются дивиденды aV + c", где с' + c" = с, что является полной постоянной долей платежей. Для логнормального процесса (2.45) Мертоном (Merton, 1974) исследована задача определения стоимости чисто дисконтируемых фондов фирмы, которая не делает никаких платежей (a = с = 0), а Ингерсоллом (Ingersoll, 1975) рассмотрена модель с пропорциональными платежами (с = 0). Чтобы определить стоимость таких ЦБ, полезно представлять полную стоимость любой ценной бумаги как стоимость актива, по которому не получаются никакие платежи, т. е. по нему выплачивается только его терминальный доход, плюс стоимость платежей, которые по нему потенциально будут получены. В обозначениях уравнения (2.76) эти две составляющих будут соответственно: 1) решением уравнения (2.76) без неоднородного слагаемого b'(V, t), но с соответствующими терминальными условиями для ЦБ, и 2) решением уравнения (2.76) в общем случае с нулевыми терминальными условиями [F(V, T) = 0]. Если мы ограничимся платежами вида aV + c, тогда в дальнейшем сможем расчленить решение 2) на стоимость пропорцио нальных и стоимость постоянных платежей. Легко видеть, что сумма этих решений является полной стоимостью ЦБ. При применении рассматриваемого метода решение 1) для любой ЦБ просто дается соотношениями (2.60) и (2.61). Имея решение 1) для всех ЦБ, с помощью результатов Модиглиани – Миллера мы сможем найти стоимость всего потока платежей aV + c путем вычитания суммы этих решений из V. Если полученные платежи от каждой ЦБ j можно записать как долю полных выплат kj(aV + c) ( k j = 1), тогда из (2.76) с очевидностью следует, что стоимость 2) для каждой ЦБ j будет в kj раз больше стоимости полных платежей по всем ЦБ. Мы можем тогда получить полное решение, не решая отдельно 2). Этот метод можно использовать, например, если a = 0, что соответствовало бы случаю, когда по акции выплачиваются постоянные дивиденды, или с = 0, т. е. облигация была бы чисто дисконтируемой облигацией. Вместе с тем в общем случае по ЦБ фирмы выплачиваются различные доли постоянных платежей c и пропорциональных платежей aV, и необходимо иметь прямое решение 2), чтобы определить стоимость таких ЦБ. Однако нам потребовалось бы отдельно определять стоимость полной пропорциональной составляющей и полной постоянной составляющей, так как с помощью уравнения (2.76) стоимость платежей по индивидуальным ЦБ может быть записана как линейная комбинация этих двух слагаемых. Чтобы решить задачу 2) с помощью этого метода, заметим, что стоимость потока платежей в каждый момент времени в нейтральной к риску среде должна быть равна ее ожидаемой стоимости, дисконтированной к текущему времени. Полная стоимость потока тогда может быть получена обычным способом путем интегрирования по всем моментам времени потока. На этот раз, так как мы установили хеджирование уравнением (2.76), решение будет корректным в общем случае, а не только в нейтральной к риску среде. В каждый момент времени ожидаемая стоимость постоянного потока, скажем, в момент q, будет в c раз больше вероятности того, что платеж будет получен. При стоимости фирмы, заданной на текущий момент времени t < q, она будет условной вероятностью того, что фирма не обанкротится в момент времени q. Получим эту вероятность, заменяя T на q в терминальной плотности стоимости фирмы и затем интегрируя эту плотность по Vq > 0. Для нашего процесса (2.51) эта вероятность может быть получена из формулы (2.73) как e y y n +1+ 2c / = 1 G[1 + 2c /2, y], 2 n =0 [ n + 2 + 2c / ] где в выражении для y T заменяется на q и S – на V. Тогда стоимость всего потока будет определяться интегрированием по q от t до T, что дает результат T t ce r ( q t ) [1 G (1 + 2c / 2, Ve ( r a )( q t ) )]dq.

Если мы нашли решение 1) для всех ЦБ и решение 2) для постоянной составляющей, то сможем определить стоимость пропорциональной компоненты простым вычитанием их из V. Вместе с тем полезно знать непосредственно стоимость пропорциональной части потока платежей. Ожидаемая стоимость потока aVq в каждый момент времени q снова может быть получена с помощью плотности и затем дисконтирована обратно к текущему времени. С другой стороны, дисконтированную ожидаемую стоимость можно получить непосредственно в каждом из наших случаев из формул (2.74) и (2.75) путем замены S на V и T на q, и заданием цены исполнения E = 0. Тогда можно найти полную стоимость пропорциональной составляющей потока в момент времени t путем интегрирования по q от t до T. Для случая с дисперсией, пропорциональной стоимости, решение для пропорционального платежа имеет вид T t aVe a(q t ) (n + 1)e y y n + 2c / n = 0 ( n + 2 + 2c / 2 ) dq, (2.77) где снова в выражении для y величина S заменяется на V, а T – на q. Если с = 0, сумма в скобках равна единице и (2.77) сводится к простому выражению:

T t aVe a ( q t ) dq = V [1 e a (T t ) ].

(2.78) Применив анализ к абсолютной диффузии (2.54), когда с = 0, найдем, что выражение (2.78) также является решением в этом случае. На самом деле, анализ уравнения (2.76) показывает, что когда делаются только пропорциональные платежи, формула (2.78) определяет соответствующую стоимость потока платежей для любого диффузионного процесса. Однако при постоянных платежах определение стои мости при пропорциональной составляющей будет зависеть от того, какой процесс рассматривается. Итак, тип стохастического процесса, описывающего изменение цены акции, крайне важен при определении стоимости опционов. В настоящее время основным средством в литературе по определению цены опционов является логарифмически нормальный диффузионный процесс. В этой главе были введены также несколько отличающиеся скачкообразные и диффузионные процессы и даны решения для предельных диффузионных случаев и для типов скачкообразных процессов с одной ступенькой. Представленные явные решения потенциально имеют эмпирическое применение, и сравнительное изучение их дало бы дополнительное проникновение в структуру проблемы определения стоимости ЦБ. Вместе с тем, помимо существенной ценности изучения нетрадиционных допустимых процессов, ряд важных проблем, включая платежи и банкротство, которые остаются нерешаемыми в аналитической форме для логнормальных процессов, удается разрешить для некоторых других процессов. При получении результатов повсюду в главе использовался экономически интерпретируемый подход при решении проблем опционов, который имеет интуитивную привлекательность и может способствовать решению других задач в этой области.

§ 11. ПРОЦЕСС ЦЕНЫ АКТИВА С ПРОИЗВОЛЬНОЙ НИЖНЕЙ ОТРАЖАЮЩЕЙ ГРАНИЦЕЙ Обычно чтобы получить аналитические результаты в стохастических задачах определения стоимости ФП предполагают, что процесс цены St лежащего в основе финансового актива изменяется согласно геометрическому броуновскому движению, как это было принято в статье Блэка Шоулса (см. (2.4)): dSt = µ St dt + St dWt. Процесс St – нестационарный, так как его дисперсия (при > 0) и математическое ожидание (при µ > 0) неограниченно возрастают. Кроме того, уровень St = 0 является поглощающей границей для этого процесса, так как, попадая на него, процесс остается нулевым в течение всего последующего времени. Кокс и Росс предложили использовать другой процесс (2.51): dS = µSdt + S dW, который также имеет поглощающую границу St = 0, хотя дисперсия этого процесса увеличивается со временем не так быстро, как у геометрического броуновского движения. Эти процессы не годятся при решении задач стационарно действующего рынка ЦБ. Поэтому вместо таких процессов для описания изменения цены лежащего в основе финансового актива А. Терпугов (2001) предлагает использовать процесс возвращающийся к среднему с квадратным корнем (mean reverting square root process), введенный в практику финансового анализа в известной статье Кокса, Ингерсолла и Росса (1985) при описании процесса безрисковой процентной ставки (поэтому назовем его условно моделью СIR) dSt = ( St) dt + S t dWt. (2.79) Для такого процесса существует стационарный режим с конечным математическим ожиданием и дисперсией, а уровень St = 0 является отражающей границей для него, так как, попадая на этот уровень, процесс с вероятностью единица начинает увеличиваться. Однако более естественно полагать, что нижней границей изменения цены лежащего в основе финансового актива может быть не нуль, а некоторое значение, существенно отличающееся от нуля. Поэтому можно также рассмотреть более общий процесс, называемый моделью МС (см. Медведев, 1999), который с практической точки зрения удобно представить в виде (предложено Н. Илиевой, 2000) dSt = k ( St)dt + 2kD St + x dW(t), + x (2.80) где St х, а константы имеют следующий смысл: х параметр, определяющий нижнюю отражающую границу (она равна х) процесса St;

= Е{S} (для стационарного, т. е. установившегося, режима);

D = vаr{S} (для стационарного, т. е. установившегося, режима);

k > 0 коэффициент, определяющий скорость перехода к стационарному режиму. Отличие этой модели от модели (2.79) легко увидеть, если переобозначить k =, = k, = 2kD ( + x). Форма такого представления удобнее, потому что в уравнение входят параметры и константы, имеющие ясный физический смысл.

Заметим, что описанное в статье Илиевой (2000) использование этой модели при статистическом анализе доходностей ЦБ Казначейства США для долгосрочных (от 10 до 30 лет) облигаций дало следующий результат: при средней доходности около 7 % уровень отражающей границы был около 2 %. Отсюда видно, что если финансовая производная основывается на доходности облигаций, то имеет смысл при определении ее стоимости использовать модель МС. Подробный сравнительный анализ вероятностных свойств моделей СIR и МС содержится в другой статье Илиевой (2000). Введем следующие обозначения: V(S, ) – стоимость ФП в момент t, если наблюдаемое значение цены лежащего в основе финансового актива St = S, а срок до его погашения = T – t. T – дата погашения лежащего в основе финансового актива. V(S, ) = 0 для всех S 0. Y(S, q) = зование Лапласа от функции стоимости V(S, ) по переменной. Согласно свойствам функции стоимости V(S, ) считаем, что Y(S, q) = 0, Y ( S, q ) S = 0 и 2Y ( S, q ) S 2 = 0 для всех S 0. Z(р, ) = z(р, q) = V0(S) = V(S, 0), x x 0 V (S, )e q d – преобра V ( S, ) e p ( S + x) dS = e px 0 V ( S, ) e pS dS, Y ( S, q )e p(S + x) dS = e px Y ( S, q)e pS dS, p(S + x) z 0 ( p) = V0 ( S )e x dS = e px V0 (S )e pS dS.

Таким образом, функция V(S, ) стоимости ФП может быть найдена как обратное преобразование Лапласа функции Z(р, ) по переменной р. Используя обычный прием, можно получить следующие результаты для случая, когда при отсутствии арбитража цена лежащего в основе финансового актива изменяется согласно модели (2.80). Пусть ФП является портфелем, состоящим частично из банковского счета и частично из указанного финансового актива. Тогда в отсутствие арбитража, стоимость такой ФП определяется уравнением в частных производных с краевым условием, которое определяет его стоимость в дату погашения V(S, 0) = V0(S): V dV 2 d 2V + rS + S + x) 2 = rV ( S, ). ( dS 2 dS Здесь и далее для краткости 2kD ( + x) обозначено 2. При этом уравнение для функции Y(S, q) с учетом того, что V ( S, ) q e d = qY (S, q) V0 ( S ), имеет вид 0 2 d 2Y dY (q + r )Y ( S, q) + V0 ( S ) = 0. ( S + x) 2 + rS dS 2 dS С учетом того, что Y(S, q) = 0 и Y ( S, q ) S = 0 для всех S 0, а также Y ( S, q) p ( S + x ) Y ( S, q) pS e dS = e px e dS = S S x = pz ( p, q ) Y (0, q) = pz ( p, q ), x 2Y ( S, q ) S e p ( S + x ) dS = p 2 z ( p, q), x S Y ( S, q ) p ( S + x ) z ( p, q) e dS = (1 + px) z ( p, q) p, S p e p ( S + x ) dS = p 2 z ( p, q) (2 + px) pz ( p, q), p x S 2Y ( S, q ) S уравнение для функции z(р, q) получается в виде 2 rp + p 2 dz + (q + 2r + p 2 + rpx) z ( p, q) = z0 ( p). (2.81) dp Симметричная форма однородного уравнения (2.81) имеет вид dz q + 2r + p 2 + rpx = dp, z rp + 2 p 2 2 что можно записать как dz q + 2r dp 2rx q dp = 2. z r p r p + 2r 2 Отсюда получаем решение однородного уравнения в форме q + 2r 2r 2rx q ln z = ln p 2 ln p + 2 + ln C. r r Если для краткости положить а = 2r 2 = r ( + x) (kD ), это выражение можно записать в виде z=C ( p + a) ax + q p 2+ q r r.

Наконец, считая константу С зависимой от р и подставляя выражение для z в таком в виде в неоднородное уравнение (2.81), получим дифференциальное уравнение для определения функции С(р) в форме dC a p1+ q r z 0 ( p) =. dp r ( p + a)1ax + q r a t1+ q r z0 (t ) dt. Отсюда непосредственно получаем С(р) = r 0 (t + a)1 ax + q r p Таким образом, решение уравнения (2.81) имеет вид a( p + a) ax ( p + a)t z(р, q) = p (t + a ) rp 2 p qr (t + a)1ax tz 0 (t )dt, где а = 2r 2 = r ( + x) (kD ). Теперь вспомним, что z(р, q) это преобразование Лапласа от Y(S, q) по S, которое в свою очередь является преобразованием Лапласа от V(S, ) по. Переменная q в выражении для z(р, q) встречается только в показателе подынтегрального выражения. Заметим, что преобразование Лапласа от показательной функции сq является дельтафункцией, т. е. равна ( + lnc). Поэтому обратное преобразование Лапласа от функции z(р, q) по q имеет вид Z(р, ) = a( p + a) ax rp r ln ( p + a)t (t + a)1ax. p 1 p(t + a ) tz0 (t )dt (2.82) При замене переменной интегрирования с t на и = пределы интегрирования становятся от 0 до +, t = и поэтому dt = apre ur ( p + a)du [ p(e ur 1) + ae ur ]2. Так что 1 p (t + a ) ln r t ( p + a) ap p (e ur 1) + ae ur Z(р,) = a( p + a) ax a1+ ax p 2 r ( p + a) ax eurax ap = ( u ) [ p(eur 1) + aeur ]2+ ax z0 p(eur 1) + aeur 2 rp 0 du.

Далее, согласно свойствам дельта-функции при положительном сроке погашения > 0, интеграл в равенстве (2.82) легко вычисляется, а обратное преобразование Лапласа функции z(р, q) по переменной q принимает вид Z(р, ) = e rax a p(e r 1) + ae r 2+ ax ap z0 p(e r 1) + ae r. (2.83) Из трех сомножителей в (2.83) два первых зависят от х, что отражает влияние свойств модели (2.80). Естественно, что при х = 0 различия между моделями (2.79) и (2.80) исчезают и исчезает отличие (2.83) от результата Терпугова. Значения параметра х, имеющие практический смысл (т. е. обеспечивающие неотрицательность для цены St), лежат в интервале (, 0). Заметим также, что уровень St = х является отражающей границей (см. Илиева, 2000) только тогда, когда выполняется дополнительное условие ( + х)2 > D. При х = 0 оно выполняется, если стандартное отклонение цены актива будет меньше среднего ее значения (что на практике обычно всегда выполняется). Поэтому существует некоторая «ниша» для применения модели (2.80) при определении цен финансовых производных, когда D < x < 0. Поскольку функции платежей для фьючерсов и опционов-колл имеют соответственно вид V0(S) = S K и V0(S) = max{0, S K}, где K цена исполнения контракта, для преобразований Лапласа этих функций имеем соответственно равенства 1 K 1 z 0 ( p) = 2 e px и z 0 ( p) = 2 e p ( K + x ). p p p Подставляя эти функции в (2.83), получаем в случае фьючерсов ZФ(р, ) = e B 1 A ax Ke r A ax +1 AB 2 e p + A, (2.84) p + A p p + A p где обозначено А = ae r (e r 1), ВФ = ax (e r 1), и в случае опционов-колл ZОК(р, ) = e B 1 A e p2 p + A ax AB p+ A, (2.85) где ВОК = a ( x + K ) (e r 1). Для получения обратного преобразования функций ZФ(р,) и ZОК(р, ) можно воспользоваться следующими известными формулами для обратных преобразований (Бейтмен и Эрдейли, 1969): Если f(S) g ( p), то f ( S + A) e pA g ( p ), 1 pn g ( p )... f (t )(dt ) dt1 dt 2...

n 0 0 0 0 S S S t1 t n 1 f (t n )dt n, 1 ( S ), 1 1, p 1 p S, exp 1 p S 1 p1+v S exp p v I1 2 S, ( ) I v 2 S, v > 1.

( ) Используя эти соотношения, из формулы (2.84) можно получить стоимость фьючерса в виде 1 AS t B t V ( S, ) = e B A ( ax 1) / (1 + AS AKe r t ) I ax (2 B t )dt. Стоимость опциона-колл для ах > 0 получается с помощью функции (2.85) в виде 1 AS t B t V ( S, ) = e B A0 ( ax 1) / ( AS t ) I ax 1 (2 B t )dt.

ГЛАВА –––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– МАРТИНГАЛЫ И АРБИТРАЖ НА РЫНКАХ ЦЕННЫХ БУМАГ § 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ В главе излагаются некоторые основополагающие проблемы, которые возникают в связи с арбитражной теорией определения цен финансовых производных (ФП). В этой теории, начало которой было положено Ф. Блэком и М. Шоулсом (Black, Scholes, 1973) и Р. Мертоном (Merton, 1973), принимается заданной динамика цен некоторых ценных бумаг (securities) типа акций (stocks) и облигаций (bonds). На их основе с помощью арбитражных рассуждений предлагается определять цены других зависимых выплат (contingent claims), т. е. ФП типа опционов (options) на акции. Это неявно предполагает, что существует единственная цена за конкретную ФП, которая вместе с заданными ценами на ценные бумаги (ЦБ) исключает возможность получения арбитражной прибыли. В главе содержится достаточно общая теория определения цен ФП по этому способу. Вначале (см. § 2) рассматривается общая теория арбитража в стохастической экономике с двумя датами, за которые принимаются t = 0 и t = T. Задается вероятностное пространство (, F, P), где элементы представляют собой состояния среды. Исходная вероятностная мера P при необходимости может интерпретироваться как множество субъективных оценок вероятностей относительно состояний среды. Считается, что имеется только одно потребление товаров, и рыночные агенты заинтересованы в определенном детерминированном потреблении в дату t = 0 и заявляют случайное потребление в дату t = T. Таким образом, мы будем рассматривать в основном пары потребления вида (r, x) R X, где R множество вещественных чисел и X пространство случайных величин на (, F). Здесь пара (r, x) представляет собой r единиц потребления в дату t = 0 и x() единиц потребления в дату T в состоянии. Рыночные агенты определяются своими предпочтениями в R X, которые интерпретируются как предпочтения среди векторов чистой торговли (net trade vectors). Более явно предпочтения агентов задаются полным и транзитивным бинарным отношением ! на R X, которое считается выпуклым, непрерывным и строго возрастающим в смысле, который будет уточнен. Система цен (price system) для такой экономики определяется как пара (M, ), где М подпространство X и линейный функционал на М. Интерпретацией является то, что агенты могут купить любую пару потребления (r, m) R М по цене r + (m) (в единицах потребления на дату t = 0). Задавая М как подпространство и как линейный функционал, принимаем отсутствие вязкости рынка (frictionless market), т. е. отсутствие каких-либо операционных затрат (transaction costs) и ограничений на короткие продажи (short sales). Система цен (М, ) считается жизнеспособной (viable), если существует агент (представленный отношением предпочтения ! ) и пара потребления (r*, m*) R М, удовлетворяющие условиям r* + (m*) 0 и (r*, m*) ! (r, m) для всех (r, m) R М таких, что r + (m) 0. (3.1) Так как (r, m) вектор чистой торговли, условие r + (m) 0 является ограничением бюджета агента. Таким образом, соотношение (3.1) есть необходимое и достаточное условие для того, чтобы система цен (M, ) была жизнеспособной как модель экономического равновесия (model of an economic equilibrium). Эквивалентное условие установлено в теореме 3.1. Система цен (M, ) будет жизнеспособной, если и только если существует непрерывное и строго положительное расширение на все X. При заданной жизнеспособной системе цен (M, ) и ФП x X какую цену потребления в дату t = 0 можно было бы назначить для x? Если x продается за цену p, агенты могли бы купить любую ФП вида т + x по цене (m) + p (для т М и вещественной ). Поэтому естественно говорить, что цена p для ФП x совместима (is consistent) с (M, ), если эта расширенная система цен жизнеспособна. Говорят, что цена ФП x определяется через арбитраж (priced by arbitrage), если имеется единственная цена за x, которая совместима с (M, ): в этом случае такая совместимая единственная цена называется арбитражной стоимостью (arbitrage value) x. Как следствие теоремы 3.1, цена x будет определяться через арбитраж, если и только если она имеет одинаковую стоимость при всяком непрерывном и строго положительном линейном расширении на все X, в таком случае эта общая стоимость является арбитражной стоимостью ФП. В § 3 эти общие концепции применяются к моделям многопериодного рынка ЦБ. При заданных (, F, P) и T модель рынка ценных бумаг (securities market model) состоит из множества торговых дат (trading dates) T [0, T], информационной структуры (information structure), представленной увеличивающимся семейством под-алгебр, и векторного стохастического процесса Z = {Z (t);

t T}, который определяет цены конечного множества торгуемых ценных бумаг для каждой даты t T и каждого состояния. Предположим, что одна из этих ЦБ является безрисковой облигацией и что ставка доходности облигации равна нулю. (Это не влечет за собой какойлибо значительной потери общности, как показано ниже в § 7.) Далее будет рассмотрено, как агенты могут использовать торгуемые ценные бумаги, чтобы изменять потребление между нулевой датой и T. Мы потребуем (несколько произвольно), чтобы агенты пользовались только «простыми торговыми стратегиями» (simple trading strategies). Ключевое ограничение – это то, что агент может изменять содержание своего портфеля ЦБ только в конечном числе N предварительно определенных торговых дат, хотя N может быть произвольно большим (если T неограниченно). Простая торговая стратегия называется самофинансирующей (self-financing), если стоимость любой покупки ЦБ после нулевой даты точно равна доходу, произведенному одновременной продажей некоторых других ценных бумаг, и если любая продажа аналогично согласована с некоторой покупкой. Поскольку эти торговые стратегии не получают и не производят финансирования между нулевой датой и T, они представляют средства, доступные агентам, для изменения потребления между нулевой датой и T, а также порождают пространство М неявно торгуемых ФП и цен на эти ФП, к которым могут применяться результаты из § 2. Таким образом, модель рынка ЦБ жизнеспособна, если соответствующая система цен (M, ) жизнеспособна, и цена ФП определяется через арбитраж из жизнеспособной модели рынка ценных бумаг, если ее цена определяется из соответствующей (M, ), и т. д. Для вышеописанной модели рынка ЦБ эквивалентная мартингальная мера (equivalent martingale measure) является вероятностной мерой Q на (, F), имеющей три свойства. Первое формальное. Второе это то, что P и Q эквивалентные, когда Q(B) > 0, если и толь ко если P(B) > 0. Третье свойство заключается в том, что процесс цен Z становится (векторным) мартингалом, когда P заменяется на Q. Таким образом, переход от P к Q представляет собой перераспределение вероятностной массы, которое заставляет каждую ЦБ зарабатывать (в среднем) по безрисковой нулевой ставке без изменения множества событий, имеющих положительную вероятность. Пусть (M, ) будет системой цен, соответствующей заданной модели рынка ЦБ. Теорема 3.2 устанавливает взаимно однозначное соответствие между эквивалентной мартингальной мерой Q и теми непрерывными и строго положительными линейными функционалами, которые расширяют на все X. Это соответствие задается соотношениями (х) = E*(x) для x X и Q(B) = (1B) для B F, где E* оператор математического ожидания по мере Q. Объединяя это с более ранними результатами, приходим к следующему. Модель рынка ЦБ жизнеспособна, если и только если существует, по крайней мере, одна эквивалентная мартингальная мера для нее. Для жизнеспособной модели рынка ЦБ цена ФП x определяется через арбитраж, если и только если x имеет одинаковое математическое ожидание по каждой эквивалентной мартингальной мере. В таком случае арбитражная стоимость x является общим математическим ожиданием. Чтобы проиллюстрировать эти рассуждения, применим их в § 4 к случаю, когда и T будут конечны. В § 5 будет рассмотрен гораздо более сложный случай, когда T = [0, T] и Z – векторный диффузионный процесс. При умеренных предположениях регулярности (теорема 3.3) существует единственная эквивалентная мартингальная мера. Таким образом, модель жизнеспособна и цена каждой ФП (в зависимости от прошлого развития цены произвольным способом) определяется через арбитраж. Преобразование к эквивалентной мартингальной мере выполняется просто обнулением дрейфа первоначальной модели. Таким образом, все арбитражные стоимости, в принципе, могут быть вычислены. На теорию, развитую в § 3, сильно влияет принятое ограничение классом простых торговых стратегий. Это ограничение сделано по техническим причинам и не может быть полностью оправдано экономическими соображениями. В § 6 обсудим различные альтернативные подходы, которые могли бы быть приняты, и проиллюстрируем ло вушки, которых следует избегать, если моделировать непосредственно непрерывную торговлю (или, иначе, расширять класс торговых стратегий, допустимых для агентов). Обобщения изложенной теории обсуждаются в § 7, где указывается, как применять рассмотренные результаты, когда не имеется безрисковой ЦБ с нулевой процентной ставкой, ФП могут оплачиваться в многократные и/или изменяющиеся даты и желательно определить цену опциона (такого как американский пут), когда владелец имеет некоторый свободный выбор относительно времени и/или размера выплаты. Обсуждается также технический вопрос относительно топологии, в которой предпочтения агентов предполагаются непрерывными.

§ 2. ЖИЗНЕСПОСОБНОСТЬ И АРБИТРАЖ Как сказано в § 1, вероятностное пространство (, F, P) и две даты (t = 0 и t = T) являются заданными. В качестве пространства ФП X, погашаемых в дату T, возьмем пространство F-измеримых интегрируемых в квадрате случайных величин, т. е. X = L2(, F, P). Это ограничение об интегрируемости в квадрате ФП сделано для наглядности и математической простоты. Оно не является необходимым для большинства выводов, обобщение которых рассмотрено в § 7. Агенты характеризуются своими предпочтениями в пространстве чистых сделок R X. Такие предпочтения представлены математически полными и транзитивными бинарными отношениями ! на R X. (Обычным способом ! ! обозначается строгое предпочтение, определенное из !.) Предпочтения агентов в этой экономике принимаются, чтобы удовлетворить три требования. Во-первых, они выпуклы. –––––––––––––––––––––––––––––– Для всех (r, x) R X, множество {(r', x') R X : (r', x') ! (r, x)} является выпуклым. –––––––––––––––––––––––––––––– (3.2) Во-вторых, они непрерывны в следующем смысле. Пусть будет топологией произведения на R X, полученной из евклидовой топологии на R и топологии с L2 нормой на X.

–––––––––––––––––––––––––––––– Для всех (r, x) R X множества {(r', x') R X: (r', x') ! (r, x)} и {(r', x') R X: (r, x) ! (r', x')} являются замкнутыми. –––––––––––––––––––––––––––––– (3.3) В-третьих, они строго возрастают в следующем смысле. Пусть X+ будет множеством ФП x, для которых P(x 0) = 1 и P(x > 0) > 0. –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Для всех (r, x) R X, r' (0, ) и x' X+ (r + r', x) ! ! (r, x) и (r, x + x') ! ! (r, x). –––––––––––––––––––––––––––––––––––––– (3.4) Другими словами, если мы начинаем с чистой торговли (r, x) и добавляем к этому или положительную сумму потребления в нулевой момент времени, или ФП x X+, которая не уменьшает потребление в момент времени T, но может увеличивать его, тогда результирующий вектор чистых сделок является строго предпочтительным по отношению к исходному. Множество полных и транзитивных бинарных отношений ! на R X, которые удовлетворяют условиям (3.2), (3.3) и (3.4), обозначается через A. Таким образом, А представляет класс потенциальных агентов. Для того чтобы проиллюстрировать роль вероятностной меры P в разрабатываемой теории, рассмотрим следующий частный случай. Предположим, что существует вероятностная мера Q на (, F) и функция u: R R R такая, что ! задается соотношением (r, x) ! (r', x'), если u (r, x()) Q(d) u (r, x()) Q(d). (Это предполагает, что u и Q достаточно хорошо ведут себя, поэтому все интегралы приведенного вида существуют и конечны.) Для того чтобы ! принадлежало А, достаточно, чтобы u была вогнутой, строго возрастающей и возрастала по абсолютной величине, но не сильнее, чем, как квадрат, чтобы Q и P имели одинаковые пустые множества и чтобы производная dQ/dP была ограниченной. Этот пример показывает, что мера P выполняет три функции: определяет пространство X ФП, определяет требование непрерывности для предпочтений ! A, и через свои пустые множества она формулирует требование, чтобы ! A строго увеличивалось. Система цен – это подпространство М из X и линейный функционал на М. Интерпретацией является то, что в этой экономике агенты способны покупать и продавать какие-либо ФП по стоимости потребления в нулевую дату. Рынки, в которых так можно сделать, являются невязкими (frictionless). Это означает, что там нет никаких операционных затрат и никаких ограничений на короткие продажи. Таким образом, М представляет собой подпространство торгуемых ФП (которое будет меньше, чем X, если рынки неполные) и задает цены для ФП т М в единицах потребления в нулевую дату. При заданной системе цен (М, ) действительно ли эта система жизнеспособна как модель экономического равновесия для агентов из класса A? Формально говоря, система цен (М, ) является жизнеспособной, если существуют какие-либо ! А и (r*, т*) R М, удовлетворяющие условиям r* + (m*) 0 и (r*, m*) ! (r, m) для всех (r, m) R M таких, что r + (m) 0. (3.5) Это соответствует тому, что имеется некоторый агент из класса А, который, выбирая наилучшие чистые сделки, ограниченные его бюджетом r + (m) 0, способен найти оптимальную торговлю. Необходимость этого условия очевидна. Оно также достаточно в следующем смысле. При заданном агенте ! А и (r*, т*) R М, удовлетворяющем (3.5), определим отношение ! ' на R X: (r, x) ! ' (r', x'), если (r + r*, x + m*) ! (r' + r*, x' + m*). Тогда ! ' A, и агент с предпочтением ! ' слабо предпочитает (0, 0) каждой чистой сделке (r, m) R М, такой что r + (m) 0. Таким образом, (M, ) является системой цен равновесия для экономики, населенной агентами из класса А. В экономике, где все агенты имеют предпочтение ! ', при ценах каждый агент удовлетворен, оставаясь в своей точке вклада. Следующая теорема характеризует жизнеспособные системы цен в терминах непрерывных (по топологии, порожденной нормой в L2) линейных функционалов на Х. Такой линейный функционал называется строго положительным, если (х) > 0 для всех х Х+. Пусть обозначает множество всех непрерывных и строго положительных линейных функционалов на Х. Теорема 3.1. Система цен (М, ) является жизнеспособной, если и только если существует расширение на все Х, которые принадлежат. (В дальнейшем будем использовать символику | М для обозначения условия, что берется из М, и поэтому условие теоремы может быть перефразировано следующим образом: существует такой, что | М =.) Доказательство. Предположим, система цен (М, ) является такой, что существует, удовлетворяющий условию | М =. Тогда определим на R Х отношение ! в виде (r, х) ! (r, х), если r + (х) r + (х). Легко видеть, что таким образом определенное отношение ! принадлежит А и что это ! и выбор (r*, т*) = (0, 0) удовлетворяют условию (3.5). Следовательно, (М, ) жизнеспособна. Предположим, что (М, ) является жизнеспособной. Пусть ! А и (r*, т*) будут такими, что условие (3.5) имеет место. Предыдущее обсуждение показывает, что без потери общности можно принять равенство (r*, т*) = (0, 0). Определим множества: G = {(r, х) R Х: (r, х) ! ! (0, 0)} Н = {(r, т) R М: r + (т) 0}. Множества G и Н являются непересекающимися ввиду условия (3.5), выпуклыми (G – поскольку предпочтения выпуклые) и G – открытое, поскольку предпочтения непрерывные. Таким образом, существует нетривиальный непрерывный линейный функционал на R М такой, что (r, х) 0 для (r, х) G и (r, х) 0 для (r, х) Н. Это одна из версий теоремы об отделимости гиперплоскости. Мы утверждаем, что (1, 0) > 0. Чтобы увидеть это, заметим, что имеется некоторое (r, х) такое, что (r, х) > 0, поскольку является нетривиальным. Так как ! А, имеем (1, 0) ! ! (0, 0). Таким образом, ввиду непрерывности ! существует достаточно малое > 0 такое, что (1 r, х ) ! ! (0, 0). Поэтому (1 r, х ) = (1, 0) (r, х) 0 и (1, 0) (r, х) > 0. Нормируем так, чтобы (1, 0) = 1, и запишем (r, х) = r + (х), где является непрерывным линейным функционалом на Х. Мы утверждаем, что функционал строго положителен. Действительно, для ФП х X+ имеем (0, x) ! ! (0, 0). Таким образом, существует > 0 такое, что (, x) ! ! (0, 0). Отсюда следует, что (x) 0 или (x) > 0. Мы утверждаем, что | М =. Для ФП т М заметим, что как ( (m), m), так и ( (m), m) принадлежат H. Значит, справедливы равенства 0 = ( (m), m) = (m) (m), или (m) = (m), что и завершает доказательство. Эта эквивалентная характеризация жизнеспособности имеет частичное равновесие общее равновесие, благоприятное к ней. Представим экономику, где рынки существуют для всех исков x X, одна часть этой экономики является рынком, где иски т М могут быть куплены или проданы по ценам. Тогда эти цены должны быть частью общей равновесной системы цен для всего X. И поскольку агенты принадлежат классу A, эти общие равновесные цены должны быть непрерывными и строго положительными. Предположим, что задана жизнеспособная система цен (М, ). За какие цены могли бы быть проданы другие ФП, т. е. ФП x М? Если бы ФП x продавалась по цене p, рыночные агенты могли бы купить любую ФП т + х sраn(М {x}) по цене (m) + р. Обозначая символом М' расширение sраn(М {x}) и символом ' расширенный линейный функционал '(т + х) = (m) + р, естественно говорить, что цена p для x совместима с системой цен (М, ), если (М', ') жизнеспособна. Непосредственно из теоремы 3.1 имеем следующее следствие. Следствие 3.1. Если система цен (М, ) жизнеспособна, тогда для всех x X существует цена, которая совместима с системой (М, ). Кроме того, для жизнеспособной (М, ) множество цен для x, совместимых с (М, ), является множеством { (x): и | М = }. Когда имеется единственная цена за иск x, совместимая с (М, ), мы говорим, что цена x определяется арбитражем (determined by arbitrage) из (М, ), и эта единственная цена иска x называется арбитражной стоимостью (arbitrage value) ФП x, определяемой из (М, ). Следствие 3.2. Если система цен (М, ) жизнеспособна, тогда цена иска x X определяется арбитражем (is determined by arbitrage), если и только если множество { (x): и | М = } является одноэлементным множеством (singleton), и в таком случае этот единственный элемент – арбитражная стоимость ФП x. " Для заданной жизнеспособной системы цен (М, ) пусть M будет множеством всех ФП, чьи цены определяются арбитражем. Пусть " " (x) обозначает арбитражную стоимость иска x M. Если X конечномерное (что будет иметь место, если конечно), можно показать, " что M = М. Если X бесконечномерное (что будет обычно иметь место, " если неограниченное), из следствия 3.2 следует, что M содержит, по крайней мере, замыкание (closure) М, и оно может содержать также другие иски. Поскольку здесь мы в первую очередь интересуемся многопериодными рынками ЦБ, то далее не будем развивать общие концепции жизнеспособности и арбитража, считая их разработанными.

§ 3. МОДЕЛИ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ Как заявлено ранее, дополнительными первичными объектами, требуемыми для нашей модели рынка ЦБ, являются множество дат торговли, информационная структура и процесс цен. Даты торговли составляют множество T [0, Т] и 0, T T. Интерпретируем T как семейство моментов времени, в которые можно торговать определенными (пока еще не указанными) ценными бумагами. Термины дискретное время и непрерывное время относятся к случаям, когда соответственно T является конечным и T = [0, Т]. Информационная структура дается увеличивающимся семейством под--алгебр. Для удобства предположим, что семейство F0 есть тривиальная -алгебра {, } и что FТ = F. Интерпретируем Ft как класс всех событий B таких, о которых агенты способны сказать во время t, находится ли истинное состояние среды в B. Другими словами, Ft представляет информацию, доступную во время t. Процесс цен является (K + 1)-мерным стохастическим процессом Z = {Z(t);

t T}, который адаптирован к {Ft}. Компоненты Z(t) обозначаются Zk (t) для k = 0, 1,..., K. Интерпретируем K + 1 как число ЦБ, которыми торгуют на этом рынке, а Zk (t, ) как цену ЦБ типа k в момент времени t, если среда находится в состоянии. Предположение, что Z адаптировано к {Ft}, просто означает, что среди информации, доступной в момент времени t, имеются цены для всех ЦБ, которыми торгуют. Мы пока считаем, что эти ЦБ не производят никакого дохода типа дивидендов, и также предполагаем, что Z0 (t, ) = 1 для всех t и. Последнее предположение означает, что нулевая ЦБ является безрисковым активом (облигацией) с нулевой процентной ставкой. Это кажется очень ограничительным, однако это не так (см. § 7). Наконец примем, что E(Zk2(t)) < для всех t T и k = 1,..., K. В дальнейшем совокупность, составленную из вероятностного пространства (, F, P), множества торговых дат T, информационной структуры {Ft} и процесса цен Z, назовем моделью рынка ценных бумаг (securities market model). В качестве конкретного примера зафиксируем некоторое T > 0, установим T = [0, Т] и вероятностное пространство (, F, P), на котором определено стандартное (с нулевым дрейфом и единичной дисперсией) броуновское движение {W(t);

0 t T}. Пусть Ft будет алгеброй, порождаемой {W(и);

0 и t}, и примем F = FT. Определим Z0(t) 1 и Z1(t, ) = exp{W(t, ) + µt} для постоянных > 0 и µ. Такую модель назовем моделью цен Блэка Шоулса, полагая, что соответственно Z0 и Z1 процесс цены облигации и процесс цены акции. (Модель Блэка Шоулса (1973) определяем, беря безрисковую процентную ставку равной нулю, но это отличие от обычной модели, как будет показано позже, является тривиальным.) Какие сделки агент может заключать между потреблением в нулевой момент времени и в момент времени T, торгуя первичными ЦБ, цены которых задаются процессом Z? Чтобы ответить на этот вопрос, далее нужно определить в нашей модели торговые стратегии, которыми может пользоваться агент. Мы могли бы, например, позволять агентам торговать только в дискретные моменты времени, или только в непрерывном времени с некоторой нормой или допустить оба эти механизма. В этой главе предполагается, что агенты могут использовать только простые торговые стратегии. Формально говоря, простая стратегия – это (K+1)-мерный процесс = {(t);

t T}, который удовлетворяет трем условиям. Во-первых, (t) измерим относительно Ft для каждого t T. Во-вторых, произведение k (t) Zk (t) является элементом пространства цен ФП X для каждого t T и k = 0, 1,..., K. В-третьих, существуют конечное целое число N и последовательность дат 0 = t0 < … < tN = T такая, что tn T и процесс (t, ) постоянен на интервале tn1 t < tn для каждого состояния (n = 1,..., N). Интерпретируем такой процесс как динамическое правило для владения K + 1 ЦБ с компонентами k (t, ), представляющими (относительные) количества ЦБ k, которыми владеют во время t в состоянии. Первое условие на состоит в том, что портфель, которым владеют во время t, может зависеть от состояния только через информацию, доступную в это время. Второе условие является техническим по характеру и гарантирует, что количества различных ЦБ, купленных и проданных в торговые даты tn, не изменяются так же хаотично, как функции. Это понадобится в последующем, чтобы вычислять некоторые условные математические ожидания. Третье требование для простой стратегии говорит о том, что агент может торговать только в конечном числе дат (хотя это конечное число может быть сколь угодно большим) и что торговые даты должны быть определены заранее. Это дает довольно ограничительное представление способностей агентов в случае непрерывного времени, и мы не будем делать никакой попытки обосновать ограничение экономически. Но должна быть проявлена большая осторожность (см. § 6), если класс допустимых торговых стратегий в модели непрерывного времени предполагается широким. Пусть будет простой стратегией с торговыми датами t0, t1,…, tN. Векторное произведение (t)Z(t) представляет собой стоимость портфеля в дату t (случайная переменная). Стоимость перед торговой датой tn равна (tn1) Z(tn), и стоимость после торговой даты tn станет (tn) Z(tn). Назовем самофинансирующей (self-financing) простой стратегией, если (tn1) Z(tn) = (tn) Z(tn) для n = 1,..., N. Неявным в нашей терминологии является предположение о невязкой торговле. Самофинансирующие простые стратегии не получают и не производят финансирования между нулевой датой и T. Таким образом, они представляют собой способы, с помощью которых потребление может изменяться между нулевой датой и T. Самофинансирующая простая стратегия будет называться простым бесплатным ланчем (simple free lunch), если при (0) Z(0) 0 имеем (Т) Z(T) X+. Такая ситуация, если она существует, аналогична тому, что имеется возможность делать арбитражную прибыль (ar bitrage profits). Это позволяет агенту увеличивать (или, по крайней мере, не уменьшать) потребление в нулевую дату, но увеличивать (с положительной вероятностью) потребление в дату T. Простые бесплатные ланчи, таким образом, не согласуются с экономическим равновесием для агентов из нашего класса A. Иск (ФП) x Х считается рыночным (marketed) в нулевую дату, если существует самофинансирующая простая стратегия такая, что (Т)Z(T) = x почти наверное. В этом случае мы говорим, что порождает (generates) x и что (0) Z(0) является (неявной) ценой x. Снова возможна непосредственная интерпретация. При расходах (0)Z(0) единиц потребления в нулевую дату, агент может купить портфель (0). Тогда в даты t1,…, tN он может без каких-либо расходов изменять его структуру в соответствии со стратегией. В момент времени Т он владеет портфелем, который стоит (T, ) Z(T, ) = х () единиц потребления в дату Т в состоянии. Когда цены рыночных ФП вполне определены, мы должны гарантировать, что если две самофинансирующие простые стратегии и порождают ФП x, то (0) Z(0) = (0) Z(0). Это не обязательно верно вообще, но, очевидно, будет иметь место, если простые бесплатные ланчи не существуют. Предполагая, что это имеет место, будем считать М множеством рыночных ФП, и пусть отображение М R дает цены ФП т М. Если не имеется простых бесплатных ланчей, то линейный функционал на множестве М, которое является подпространством X. Для модели рынка ЦБ, которая не допускает простых бесплатных ланчей, назовем (М, ) системой цен, соответствующей модели. Мы говорим, что модель рынка рынка ЦБ жизнеспособна (viable), если она не допускает простых бесплатных ланчей и если соответствующая (М, ) жизнеспособна. При заданной жизнеспособной модели рынка ЦБ говорят, что цена ФП x определяется через арбитраж из модели и что арбитражная стоимость x равна p, если эти утверждения вытекают из соответствующей системы цен (М, ). Мы оп"" ределяем M и так же, как в § 2. Для заданной модели рынка ЦБ мы хотели бы знать, является ли "" она жизнеспособной, и если так, идентифицировать M и. Поэтому, учитывая, что наша модель не допускает простых бесплатных ланчей, мы стремимся идентифицировать линейные функционалы такие, чтобы | М = для соответствующей системы цен (М, ). Разработаем вероятностную характеризацию таких функционалов, которая позволяет изложить арбитражные вопросы в чисто вероятностных терминах. Как будет видно позже в нашем исследовании диффузионных моделей, для решения рассматриваемых задач может быть использован мощный и хорошо развитый раздел математической теории. Эквивалентная мартингальная мера (equivalent martingale measure) является вероятностной мерой Q на (, F), которая имеет следующие три свойства. Во-первых, P и Q эквивалентны в вероятностном смысле, когда P(B) = 0, если и только если Q (B) = 0 для В F. (Кратко, множества нулевой меры (null sets) P и Q совпадают.) Вовторых, производная Радона Никодима = dQ/dP удовлетворяет неравенству E(2) <, или L2(, F, P). Наконец, процесс Z является мартингалом по полям (fields) {Ft} относительно Q. Обозначая через Е*(.) оператор математического ожидания, связанного с Q, мы имеем E*(Zk (u)|Ft) = Zk (t) для всех k = 0, 1,..., K и и, t Т при t < и. Полезность этой несколько сложной для понимания концепции устанавливается следующим результатом. Теорема 3.2. Предположим, что модель цены актива не допускает простых бесплатных ланчей. Тогда имеется взаимно однозначное соответствие между эквивалентными мартингальными мерами Q и линейными функционалами такими, что | М =. Это соответствие задается равенствами Q(B) = (1В) и (х) = Е*(х). (3.6) Если исходная модель цен допускает простые бесплатные ланчи, тогда не может существовать какой-либо эквивалентной мартингальной меры. (Это будет установлено как часть следствия 3.3.) В этих обстоятельствах также не вполне определено. Таким образом, в предположении теоремы 3.2 в некотором смысле нет необходимости. В доказательстве, которое приводится ниже, следует обратить внимание, что строгая положительность соответствует эквивалентности P и Q, непрерывность соответствует Е(2) < и свойство расширения | М = – мартингальному свойству Q. Доказательство. Напомним, что линейный функционал на множестве X непрерывен, если и только если (х) = E(x) для всякого L2(, F, P). Это является содержанием теоремы представления Рица для пространств L2. Во-первых, пусть Q будет эквивалентной мартингальной мерой. Обозначим = dQ/dP и определим через Q с помощью равенств (3.6). Поскольку L2(, F, P), функцуионал непрерывен. Так как P и Q эквивалентны, строго положительна. Таким образом, строго положителен, и мы имеем. Остается показать, что | М =. Возьмем т М, и пусть будет простой стратегией самофинансирования, которая порождает т. Пусть 0 = t0 < t1 < … < tN = T будут датами, в которые может изменяться стоимость. Тогда для l n N E*( (tn) Z (tn)| Ftn 1 ) = E*( (tn1) Z (tn)| Ftn 1 ) = = (tn1) E*(Z (tn)| Ftn 1 ) = (tn1) Z (tn1) первое равенство имеет место, поскольку является самофинансирующей, а последнее равенство справедливо, так как Z мартингал относительно Q. Повторение этой операции для n = 1, 2,…, N дает равенство E*( (T) Z (T)) = (0) Z (0), которое в связи с тем, что т = (T)Z(T) и (т) = (0)Z(0), превращается в равенства E*(m) = (т) = (m). Обратно, пусть будет таким, что | М =. Определим Q через с помощью условия (3.1). Если P(B) = 0, тогда 1В идентифицируется как 0 в X, так что вероятность Q(B) = (1В) = 0. Если P(B) > 0, тогда 1В X+ и 0 < (1В) = P*(B). Таким образом, P и Q эквивалентны. Так как непрерывен, (х) = E( x) для всякого L2(, F, P). Таким образом, Q(B) = E(1В) и мера Q является -аддитивной мерой, а dQ/dP = квадратично интегрируемой функцией. Поскольку 1 M и (1) = 1, то из этого следует условие нормировки Q() = 1 и, следовательно, Q – вероятностная мера. Остается показать, что процесс {Zk (t), Ft;

t T} является мартингалом по мере Q для каждого k. Когда k = 0, это очевидно. Зафиксируем k > 0, t и и T такие, чтобы t u, и В Ft. Рассмотрим простую самофинансирующую торговую стратегию, определенную равенствами 1 для s [t, u ) и B, k ( s, ) = 0 в других случаях. для s [t, u ) и B, Z k (t, ) 0 ( s, ) = Z k (u, ) Z k (t, ) для s [u, T ) и B, 0 в других случаях. j (s, ) = 0 для всех j 0, k. Стратегия выглядит более сложной, чем на самом деле, и представляет стратегию покупки одной акции k в момент времени t при событии В и продажи ее в момент времени и, используя нулевой актив без расходов на сделки (включая первоначальную покупку, если t = 0). Эта торговая стратегия дает в дату Т портфель стоимостью (T) Z (T) = [Zk (и) Zk (t)] 1В, так что ФП является рыночной и имеет нулевую цену. Из | М = следует, что ([Zk(и) Zk(t)] 1В) = 0. В терминах математического ожидания E*(.) это означает, что E*([Zk (и) Zk (t)] 1В) = 0 или E*(Zk (и) 1В) = E*(Zk (t) 1В), и справедливо для всех В Ft. Таким образом, Zk (t) является вариантом E*(Zk (и)| Ft), что завершает доказательство. Из такого соответствия и из наших предыдущих результатов, получим следующее утверждение – отправную точку для анализа в примерах. Следствие 3.3 а) Модель рынка ЦБ жизнеспособна, если и только если существует по крайней мере одна эквивалентная мартингальная мера. б) Предположим, что модель рынка ЦБ является жизнеспособной. Пусть Р обозначает (непустое) множество эквивалентных " мартингальных мер. Тогда х M, если и только если E*(х) постоян" ное по всем Q Р, и этой константой является (х). в) Модель рынка ЦБ жизнеспособна и цена каждой ФП х Х определяется арбитражным способом, если и только если существует единственная эквивалентная мартингальная мера. Доказательство. В пункте а) нам нужно показать, что если существует эквивалентная мартингальная мера Q, тогда не существует никакого простого бесплатного ланча. Предположим, что – самофинансирующая стратегия с (Т)Z(T) X+. Так как Q эквивалентна по отношению к Р, то Q((Т)Z(T) 0) = 1 и Q((Т)Z(T) > 0) > 0. Таким образом, Е*[(Т)Z(T)] > 0. Рассуждения, использованные при доказательстве теоремы 3.2, дают равенство (0)Z(0) = Е*[(Т)Z(T)]. Значит, (0)Z(0) > 0, если (Т)Z(T) X+, и не существует никакого простого бесплатного ланча. Отсюда а) и б) прямо следуют из предыдущих результатов, а в) – прямое следствие а) и б).

§ 4. КОНЕЧНАЯ МОДЕЛЬ Чтобы проиллюстрировать наши результаты, сначала рассмотрим модели, в которых как, так и Т являются конечными. В таких моделях пространство Х состоит из всех F-измеримых функций R. Модель жизнеспособна, если и только если не существует простых бесплатных ланчей, и цена ФП определяется с помощью арбитража, если и только если он является рыночным. (Доказательства этих утверждений достаточно простые и здесь не приводятся.) Рассмотрим числовой пример, приведенный в табл. 3.1. Имеется девять состояний среды, обозначаемых 1, 2,..., 9, и датами торговли являются T = {0, 1, 2}. Примем, что F1 является полем, порожденным разбиением пространства на три ячейки В1 = {1, 2, 3}, В2 = {4, 5, 6} и В3 = {7, 8, 9}, а F2 = F – полем, порожденным полным разбиением пространства. Другими словами, инвесторы знают в момент времени t = 1, какое из событий Bj произошло, и они знают в момент времени t = 2 состояние среды. Имеются три ЦБ. Конечно, Z0(t) 1. Цены Z1(t) и Z2(t) даются в табл. 3.1 парой чисел так, что Z1(t) является верхним числом и Z2(t) располагается под ним. Таким образом, Z1(0, 1) = 10, Z1(1, 1) = 11 и Z1(2, 1) = 14. Мы не будем конкретизировать исходную вероятностную меру P на полностью, приняв только, что Р(i) > 0 для всех i. (Конкретизация вероятностей не важна для наших целей.) Нам требуется узнать, жизнеспособна ли эта модель, и, если так, цены каких ФП определяются через арбитраж. Для конкретности определим ФП равенством х = {2 Z1(2) + Z2(2) [14 + 2 min min (Z1(t), Z2(t))]}+.

0t Эта ФП предоставляет право покупать в дату исполнения t = 2, две акции типа 1 плюс одна акция типа 2 по цене 14 плюс удвоенная самая низкая цена, достигнутая любой из рисковых ЦБ в любую из трех торговых дат. В табл. 3.1 стоимость ФП х(i) показана для каждого состояния среды i. Мы выбрали этот довольно элементарный пример, чтобы подчеркнуть, что стоимость ФП может зависеть от всей истории цен лежащих в основе ЦБ. Заметим, например, что цены ФП в состояниях 2 и 5 в дату исполнения одинаковы, но х дает различные выплаты в этих двух состояниях.

Таблица 3.1 Конечный пример Даты торговли 0 Динамика изменения цен и состояний 10 10 1 3 11 10 1 4 10 13 0 1 Цены активов Вероятность перехода 1 Цены активов Вероятность 1 перехода 4 2 Цены 14 активов 9 Состояние 1 5 х(i) 1 Р*(i) 1 3 11 9 1 5 10 13 1 1 11 20 10 8 0 11 1 4 14 9 5 1 1 2 10 9 0 1 1 5 12 10 4 1 1 3 8 11 1 5 7 15 1 1 3 5 7 10 0 1 2 4 5 6 7 8 Теперь определим множество Р всех эквивалентных мартингальных мер. Во-первых, если Q Р, тогда Е*[Z1(1)] = 10 и Е*[Z2(1)] = 10. Если принять обозначения р для вероятности Q(В1) и q для вероятности Q(В2), тогда получим, что 11р + 11q + 8(1 р q) = 10 и 9р + 10q + 11(1 р q) = 10, что дает значения р = q = 1/3. Эти значения выписаны в табл. 3.1 в соответствующих ячейках. Далее нужно, чтобы Е*[Z1(2) | В1] = 11 и Е*[Z2(2)| В1] = 9. Производя вычисления так же, как это делалось выше, находим следующие численные значения для вероятностей Q(1 | В1) = 1/4, Q(2 | В1) = 3/20 и Q(3 | В1) = 3/5. Условные вероятности записаны в соответствующих строках табл. 3.1 вместе с соответствующими условными вероятностями различных финальных состояний при фикированных состояни ях В2 и В3, которые вычисляются аналогично. Так как каждая из этих разветвленных вероятностей единственная, то имеется и единственная эквивалентная мартингальная мера Q, которая записана в последнем столбце табл. 3.1. Это влечет жизнеспособность модели, при которой цены всех ФП определяются через арбитраж, и, в частности, арбитражная цена х равна 9 " (х) = Е*(х) = x(i )Q(i ) = 1,2333.

i = Наш пример иллюстрирует общие принципы для конечных моделей. Предположим, что в каждую торговую дату t имеется не более чем K + 1 векторов цен, которые могут давать результат в следующую торговую дату при информации, доступной к моменту времени t. Если модель жизнеспособна, тогда цены всех ФП определяются через арбитраж (за исключением некоторых вырожденных случаев) и их арбитражные стоимости можно вычислить с помощью простой рекуррентной процедуры. Этот факт легко доказать непосредственно с помощью известных рассуждений.

§ 5. СЛУЧАЙ ДИФФУЗИОННОГО ПРОЦЕССА Рассмотрим частный случай, когда Т = [0, Т] и Z – векторный диффузионный процесс. Для компактности обозначений сначала зададим K-мерный диффузионный процесс Y = {Y(t);

0 t Т}, а затем сконструируем процесс цен Z, используя обозначения Zk (t) = Yk (t) для k = 1,…, K и Z0(t) 1. Примем, что на исходном базовом вероятностном пространстве (, F, P) уже определено K-мерное стандартное броуновское движение W = {W(t);

0 t Т}. Процессы составляющих W1(t),…, WK(t) являются независимыми одномерными броуновскими движениями с нулевым дрейфом и единичной дисперсией и Wk (0) = 0, k = 1,…, K. Обозначим Ft = F{W(s);

0 s t} для 0 t Т. Напомним, что мы приняли F = FT. Пусть (х, t): RK [0, Т] RKK, µ(х, t): RK [0, Т] RK будут заданными функциями, непрерывными по х и t. Мы предполагаем, что (K K)-матрица (х, t) невырожденная для каждого x и t, так что имеется единственная функция (х, t), удовлетворяющая равенству (х, t)(х, t) + µ(х, t) = 0 для x RK,,t [0, Т]. Здесь (х, t) и µ(х, t) следует считать вектор-столбцами. Пусть Y будет процессом, адаптированным к {Ft} и удовлетворяющим стохастическому интегральному уравнению Ито Yk (t) = Yk (0) + kj (Y ( s), s)dW j ( s) + µ k (Y ( s), s)ds j =1 0 K t t (3.7) для k = 1,..., K и 0 t Т, где Y(0) постоянный K-вектор. (Сведения об основных определениях, касающихся интегралов Ито и стохастических интегральных уравнений, содержатся в книге И. Гихмана и А. Скорохода, 1972). Обычным способом мы выражаем равенство (3.7) более компактно как Y(t) = Y(0) + (Y ( s), s )dW ( s ) + µ(Y ( s), s)ds.

0 0 t t Теперь определим процесс цен Z через Y, как объяснялось выше. Наконец, предположим существование единственного непрерывного K-мерного процесса Y* = {Y*(t);

0 t Т}, который (с точностью до эквивалентности) удовлетворяет интегральному соотношению Y*(t) = Y(0) + (Y * ( s ), s )dW, 0 t Т.

0 t (3.8) Это требует кроме простой непрерывности и некоторой регулярности для функции (х, t) (см. И. Гихман, А. Скороход (1972), где устанавлены достаточные условия). Определим (K + 1)-мерный процесс Z*, полагая Zk* (t) = Yk* (t) для k = 1,…, K и Z0* (t) 1. Прежде чем представить основной результат главы, сформулируем предварительное утверждение, которое очень важно для последующих интерпретаций. Для этого утверждения пусть C [0, T] будет пространством непрерывных функций [0, Т] RK, обеспечивающих топологию однородной сходимости. Когда мы говорим что f : C[0, T] R является измеримым функционалом, то подразумеваем измеримость по борелевскому -полю из C[0, T].

Утверждение 3.1. Для 0 t T, борелевское -поле Ft порождается процессом {Z(s);

0 s t}. Поэтому цена каждой ФП x имеет вид x = f (Z), где f (.) некоторый измеримый функционал f : C[0, T] R. Доказательство. Оно будет дано позже в этом параграфе. Утверждение 3.1 показывает, что если разрешить инвесторам формировать портфели, основанные на информационной структуре {Ft}, они будут получать доступ только к прошлой и настоящей информации о ценах в каждый момент времени t. Вместе с тем цена каждой ФП может быть выражена как функция цен, заданных на интервале [0, T], если F = FT. Основной результат главы следующий. Для вектора-столбца мы примем обозначение 2 = 12 + … + K2. Теорема 3.3. Множество Р эквивалентных мартингальных мер является непустым, если и только если:

T а) (Y (t ), t )dt < почти наверное;

T T (Y (t ), t )dW (t ) 1 2 (Y (t ), t )dt ;

б) Е( ) <, где = ехр 20 в) Y* – мартингал на {Ft}. В таком случае имеется единственная Q Р, ее производной Радона Никодима является dР*/dР = и распределение Z на (, F, P*) совпадает с распределением Z* на (, F, P). Хорошо известным достаточным условием для пункта в) является неравенство KK T E {ij (Y * (t ), t )}2 dt <. i =1 j =1 0 Следствие 3.4. Модель финансового рынка ЦБ жизнеспособна, если и только если выполняются условия а) в). В этом случае цена каждой ФП х Х определяется арбитражным путем с арбитражной " ценой (x) =Е [f (Z*)] = Е* [f (Z)], где х = f (Z), как и в утверждении 3.1. Доказательство утверждения 3.1. Для справедливости первого предложения мы должны показать, что Ft равна -полю Gt, порождаемому процессом {Y(s);

0 s t}. Пусть V (t) = Y(t) Y(0) µ(Y ( s), s)ds = (Y ( s), s)dW ( s ) 0 0 t t для 0 t Т. Заметим, что V адаптирован к {Gt}. Зафиксируем t > 0 и определим для целых N WN (t) = 2N 1 n= {(Y (tn ), tn )}1 [V (tn+1) V (tn)] где tn = nt / 2N. (Напомним, что предполагается невырожденной.) Очевидно, что WN (t) является Gt-измеримым. Используя непрерывность µ и, легко показать, что WN (t) W(t) почти всюду при N, так что W(t) будет Gt-измеримым. Таким образом, Ft Gt. Вначале было принято, что Y адаптировано к {Ft}, так что Gt Ft, и первое предложение доказано. Второе предложение (касающееся измеримости) стандартное и не будет доказываться. Доказательство теоремы 3.3. Через Ф обозначим множество K-мерных процессов = {(t);

0 t T} таких, что k (t, ) совместно измерим в t и для каждой составляющей k = 1,..., K, процесс адаптирован к броуновским полям {Ft}, и Элементы будут называться неупреждающими функциями (nonanticipating functions). Стохастический интеграл ( s) dB ( s) определяется для интегрируемого Ф. Пусть Q будет эквивалентной мартингальной мерой с dQ = dP. Поэтому случайная величина строго положительна и квадратично интегрируема по определению, а процесс {(t);

0 t Т}, определяемый равенством (t) = E ( |Ft), является строго положительным мартингалом по броуновским полям {Ft}, с (T) = и E( (t)) = E() = 1 для всех t. Кроме того, используя неравенство Иенсена, легко показать, что (t) квадратично интегрируем для каждого t. Поэтому любой такой мартингал может быть представлен в виде (t) = 1 + ( s)dW ( s ), 0 t T, 0 t T (t )dt < почти наверное.

(3.9) где Ф также удовлетворяет неравенству тим, что согласно представлению (3.9) (.) почти наверное непрерывен, и из этого следует, что выборочная траектория (., ) процесса отделена от нуля для почти всякого. Определим K-мерную непредсказуемую функцию равенством k (t) = k (t) /(t) для k = 1,…, K. Тогда из леммы Ито и (3.9) следует, что t 1t 2 ln((t)) = ( s) dW ( s) ( s)ds, 0 t T. 20 0 В частности, имеем T 1T 2 = ехр ( s) dW ( s) ( s) ds. 20 0 (3.10) T E ( 2 (t ))dt <. Заме При преобразованиях мы не использовали тот факт, что Q является (в соответствии с предположением) эквивалентной мартингальной мерой. Это позволяет показать, что любая строго положительная и квадратично интегрируемая случайная величина может быть представлена в форме (3.10). Получив такое представление для производной Радона Никодима, можно использовать мощную теорему Гирсанова (1960), чтобы показать, что непредсказуемая функция (t) в представлении (3.10) фактически должна иметь структуру (Y(t), t). Пусть W*(t) = W(t) ( s ) ds, 0 t T.

0 t По теореме Гирсанова процесс W* является K-мерным стандартным броуновским движением на (, F, Q), где dQ = dP, а процесс Y удовлетворяет на (, F, Q) стохастическому дифференциальному уравнению Y(t) = Y(0) + (Y ( s), s)dW * ( s ) + µ * ( s)ds, 0 0 t t (3.11) где µ*(t) = µ(Y(t), t) + (Y(t), t) (t). Предположим пока, что (x, t) ограниченная функция. Тогда стохастический интеграл в правой части равенства (3.11) мартингал должна быть мартингалом, и это верно, если и только если µ*(t) 0 для почти каждого t. Целесообразно заметить, что в этих рассуждениях мы используем предположение о том, что Q является эквивалентной мартингальной мерой. В случае общей того же заключения можно достичь, используя останавливающиеся процессы и тот факт, что элементы (.,.) ограничены на ограниченных множествах. Пусть b > 0 будет достаточно большим и пусть будет первым моментом времени t таким, что Yk (t) = ± b для некоторого k, с = T, если никакое такое t не существует. Если Y мартингал на (, F, Q), то остановленный процесс Y(t) – тоже мартингал, и из этого можно заключить, что µ*(t) 0 для 0 t. Но Т почти наверное, когда b, так что из этого следует, что µ*(t) 0 для всех t. Детали этих рассуждений могут быть достаточно просто восстановлены. Наконец, заметим, что µ*(t) = 0, если и только если (t) = (Y(t), t) почти всюду. Таким образом, мы установили, что может быть производной Радона Никодима эквивалентной мартингальной меры Q, если только удовлетворяет представлению (3.10) с (t) = (Y(t), t) для всех t, что эквивалентно требованию =. Таким образом, P непустое, если только хорошо определена и квадратично интегрируема. Это означает, что условия a) и б) теоремы 3.3 необходимы для того, чтобы Р было непустым. Предположим теперь, что условия a) и б) имеют место. Хорошо известно, что это влечет E () = 1 (см. И. Гихман, А. Скороход, 1972), так что действительно является производной Радона Никодима. При dQ = dP рассуждаем точно также, чтобы установить, что на вероятностном пространстве (, F, Q) Y(t) = Y(0) + (Y ( s), s ) dW * ( s ), 0 t T.

0 t на (, F, Q). Так как по предположению Y является мартингалом на (, F, Q), абсолютно непрерывная составляющая µ * ( s) ds также (3.12) Так как по предположению Y* – единственное решение уравнения (3.8) на (, F, P), мы заключаем, что Y – единственное решение уравнения (3.12) на (, F, Q) и что его распределение совпадает с распределением Y* на (, F, P). Таким образом, при заданных a) и б) не обходимым и достаточным условием для того, чтобы Q была эквивалентной мартингальной мерой, является в). Это заключает доказательство теоремы 3.3. Следствие 3.4 вытекает из теоремы 3.2 и ее следствия. И. Гирсанов (1960) использует коэффициент диффузии в более широком смысле, чем обычно, позволяя функциям параметров и µ зависеть как от прошлых, так и от настоящих значений векторного процесса Y. Теорема 3.3 может быть достаточно легко распространена на этот более широкий класс процессов, но тогда, чтобы строго сформулировать результат, понадобится вводить весьма много обозначений из теории меры для уточнения смысла значений параметров, зависящих от всего процесса Y непредсказуемым образом. Кроме того, труднее установить требования непрерывности для, но доказательство почти не нуждается в каком-либо изменении.

§ 6. ДРУГИЕ ТОРГОВЫЕ СТРАТЕГИИ Здесь мы не приводим экономическое обоснование и поэтому ограничиваемся простыми торговыми стратегиями, но можем дать некоторые комментарии относительно того, какие последствия можно ожидать, если ослабить это ограничение. Когда допускается более широкий класс торговых стратегий, необходимо сформулировать определение стратегии самофинансирования в рамках этого более широкого класса. При таком допущении анализ в § 3 до введения эквивалентных мартингальных мер вообще бы не изменился. Поинтересуемся, существуют ли бесплатные ланчи и, если нет, определим множество рыночных ФП (обозначаемое через М ) и ассоциированные с ними функционалы цен (обозначаемые ). Модель рынка ЦБ жизнеспособна, если и только если существует некоторый функционал такой, что | М =, и принятая модель является жизнеспособной. Цена ФП x определяется арбитражем, если и только если функционал (x) постоянен на множестве { : | М = }. Однако больше не может выполняться взаимно однозначное соответствие между этим множеством функционалов и эквивалентными мартингальными мерами. Принимая отсутствие бесплатных ланчей при более широком классе допустимых торговых стратегий, имеем М М и | М =. Поэтому любой функционал такой, что | М =, удовлетворяет | М = и дает эквивалентную мартингальную меру (посредством обычного соответствия). Но может оказаться, что эквивалентная мартингальная мера приводит к такому, что | М. Таким образом, цена ФП может быть определена с помощью арбитража, если эта ФП имеет постоянное математическое ожидание при всех эквивалентных мартингальных мерах, и ее арбитражная стоимость будет этой константой, но обратное не обязательно будет справедливым. Конечно, если выполняется условие | М = для всех таких, что | М =, (3.13) тогда обратное имеет место. Условие (3.13) означает, что взаимно однозначное соответствие между эквивалентными мартингальными мерами и { : |М = } (нерегулярно) выполняется. Рассмотрим, например, модель Блэка Шоулса. Расширим множество допустимых торговых стратегий, позволяя моментам времени t1, t2,..., tN1 быть моментами остановки относительно {Ft}. Можно показать, что это расширение не вызывает появления бесплатных ланчей и что условие (3.13) выполняется. Таким образом, с расширенным классом торговых стратегий модель Блэка Шоулса жизнеспособна и цены всех ФП определяются с помощью арбитража. Чтобы увидеть, как понятия могут перепутываться, когда множество допустимых стратегий торговли расширяется, снова рассмотрим модель Блэка Шоулса, и теперь предположим, что общее количество сделок N допускается устанавливать зависимым (случайным). С формальной точки зрения имеются неслучайные моменты времени 0 = t0 < t1 < t2 <... < tN Т и целочисленная случайная величина N такая, что (.) изменяет значения только в моменты времени t1, t2,..., tN. Чтобы торговые стратегии не предваряли будущее, мы добавим требование, чтобы {N n} Ftn для всех n. Назовем такие торговые стратегии почти простыми. Затем определим почти простые стратегии самофинансирования и почти простые бесплатные ланчи очевидным способом. Кульминационный момент состоит в том, что почти простые бесплатные ланчи существуют. Фактически существуют почти простые самофинансирующие торговые стратегии такие, что почти наверное (0) Z (0) = 0 и (T) Z (T) 1. (3.14) Значит, что если агенты могут использовать почти простые торговые стратегии, модель Блэка Шоулса оказывается бессмысленной моделью экономического равновесия. Стоит отметить, что это не обусловлено каким-то особенным свойством броуновского движения. То же утверждение справедливо для модели скачкообразных процессов, рассмотренных в гл. 2. Стратегия торговли, для которой выполняются соотношения (3.14), не очень сложная. Она равносильна известной стратегии дублирования, в соответствии с которой надеются победить в рулетке: ставь на красный цвет и продолжай удваивать свои ставки, пока не появится красный. Чтобы реализовать эту стратегию, нужно иметь возможность делать ставки счетное число раз, в то время как в любом конкретном состоянии имеется возможность делать только конечное число ставок. Если возьмем tn = Т T/2N, это даст нам возможность делать счетное число ставок. Чтобы реализовать такую стратегию, нужно иметь возможность придерживаться дублирования. Необходимо только иметь конечную сумму в любом конкретном состоянии, но эта сумма не может быть ограниченной по. В модели Блэка Шоулса рынка без затрат на сделки короткие продажи облигаций дают необходимые фонды. В статьях Блэка – Шоулса (1973) и Мертона (1973) (см. гл. 2) по определению цен опционов для диффузионных моделей инвесторам разрешается торговать непрерывно. Эта непрерывная торговля смоделирована с помощью интегралов Ито. Для всякого (t) – портфеля инвестора в момент времени t там принимается, что (t) является гладкой функцией t и вектора текущих цен финансовых активов Z(t). Так как Z – процесс Ито, то же верно и для (t), и из этого следует, что типичная торговая стратегия (t) имеет неограниченную вариацию на каждом конечном интервале. Пользуясь такой стратегией, агент не только может выполнять бесконечное число сделок (или торгует непрерывно), но также и покупать и продавать неограниченные количества акций и облигаций в каждом временном интервале. Если процесс стоимости портфеля имеет вид V (t) = (t)Z(t), как и прежде, то определение интеграла Ито предполагает, что самофинансирующие торговые стратегии следует находить в соответствии с ограничением V(t) = V(0) + (u )dZ (u ), 0 t T.

0 t Это ограничение неявно содержится в первоначальном исследовании Блэка и Шоулса (1973) и явно демонстрируется в статье Мертона (1977). Существуют ли бесплатные ланчи при таком определении? Если нет, является ли модель рынка ЦБ жизнеспособной для некоторого разумного класса агентов?

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.