WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Г.А.Медведев МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ ЭКОНОМИКИ Учебное пособие Часть 1 Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики [Электронный ресурс]: Учебное пособие: Часть 1. — Электрон.

текст. дан. (3,5 Мб). — Мн.: Научно-методический центр “Электронная книга БГУ”, 2003. — Режим доступа:. — Электрон. версия печ. публикации, 2003. — PDF формат, версия 1.4. — Систем. требования: Adobe Acrobat 5.0 и выше.

МИНСК «Электронная книга БГУ» 2003 © Медведев Г.А., 2003 © Научно-методический центр «Электронная книга БГУ», 2003 www.elbook.bsu.by elbook@bsu.by ПРЕДИСЛОВИЕ Финансовая экономика является новым направлением, возникшим из потребностей участников финансовых рынков. Как и любое современное научное направление, финансовая экономика строится на базе, требующей хороших математических знаний, особенно в области теории вероятностей и случайных процессов. Настоящее учебное пособие подготовлено, чтобы помочь студентам освоить курсы лекций «Математические основы финансовой экономики» и «Мартингалы и ценные бумаги», обучение которым предусматривается учебным планом по специальности «Актуарная математика». Автор в течение нескольких лет читает эти курсы для студентов факультета прикладной математики и информатики Белорусского государственного университета (ФПМИ БГУ). На русском языке до сих пор практически нет учебников и других книг по стохастической финансовой математике, поэтому автор поставил перед собой цель познакомить читателей с достижениями в этой области в основном иностранных авторов. Литературные источники, по которым составлено учебное пособие, образуют основу современной математической теории финансовой экономики. Они упомянуты во введении и приведены в библиографическом списке как основная литература. В списке дополнительной литературы содержатся либо книги, в которых описан математический аппарат, позволяющий понять математические детали излагаемого в учебном пособии материала, либо статьи, в которых подробно приводятся выводы конкретных результатов, упомянутых в пособии. Автор надеется, что учебное пособие вызовет интерес не только у студентов, изучающих стохастические методы финансовой математики, но и у специалистов, которые по роду своей работы сталкиваются с анализом финансовых решений, и с благодарностью примет все замечания и предложения читателей.

Доктор физико-математических наук, профессор Г. А. Медведев.

ОСНОВНЫЕ СОКРАЩЕНИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ НППЛ ПФМ ФП ЦБ САРМ VF erf(x) Е[Х] Е[Х|Y] МХ (t) N(µ, 2) рrob[А] рrob[А|В] vаr[Х] vаr[Х|Y] Ф(х) Ф f1(x, y) – непрерывный справа и имеющий предел слева (процесс) производящая функция моментов финансовая производная – ценная бумага – модель определения цен активов, основанная на рассмотрении капитала (Capital Asset Pricing Model) – класс процессов с конечной вариацией (Finite Variation) интеграл ошибок математическое ожидание случайной величины (СВ) Х условное математическое ожидание СВ Х при фиксированном значении СВ Y ПФМ СВ Х нормальное (гауссово) распределение СВ с математическим ожиданием µ и дисперсией 2 вероятность события А условная вероятность события А при условии, что событие В произошло дисперсия СВ Х условная дисперсия СВ Х при фиксированном значении СВ Y функция стандартного нормального распределения с нулевым средним и единичной дисперсией – множество всех допустимых торговых стратегий.

f ( x, y ) 2 f ( x, y ) f ( x, y ), f2(x, y), f12(x, y) y xy x ВВЕДЕНИЕ Финансовая экономика – быстро развивающаяся отрасль рыночной экономики. Способствует этому расширение и усложнение финансовых рынков. Используемые на рынках финансовые инструменты становятся более разнообразными и порождают довольно изощренные потоки платежей. Ситуация усложняется тем, что изменение процентных ставок и доходностей на рынках стохастические, а математические модели этих изменений – случайные процессы. Поэтому основная задача участников финансовых рынков определение цен финансовых инструментов может быть решена только с привлечением вероятностных методов. При этом построение математической модели финансового рынка и анализ процессов, которые там происходят, требуют использования математических методов на достаточно строгом уровне. Настоящее учебное пособие предназначено для того, чтобы познакомить читателей с основами этих методов. Как некоторый факт, подтверждающий важность проблематики учебного пособия, отметим, что в 1997 г. американским математикам М. Шоулсу и Р. Мертону была присуждена Нобелевская премия «за разработку совершенно нового метода определения стоимости опционов», описанного в их знаменитых статьях F. Black, M. Scholes (1973) и R. Merton (1973). Результат этой разработки – формула стоимости опциона, которая в отличие от известных на то время формул, вопервых, основана только на наблюдаемых или оцениваемых рыночных показателях и, во-вторых, определяет стоимость опциона единственным образом, независимо от рыночных предпочтений инвесторов. Прежде чем конкретно обсуждать особенности этой формулы, приведем некоторые исторические замечания. Первое математическое описание стохастического процесса, теперь называемого винеровским, или процессом броуновского движения, дано Л. Башелье (Bachelier) в докладе, представленном им Парижской академии в 1900 г. Предлагая этот процесс в качестве модели колебаний цены активов, он стремился теоретически вывести стоимости различных типов опционов и сравнить их с наблюдаемыми рыночными ценами опционов. Таким образом, проблема определения стоимости опционов мотивировала самое первое исследование того, что мы теперь называем диффузионными процессами. Работа Башелье была, очевидно, неизвестна Эйнштейну и Винеру, когда они позже развивали математическую теорию броуновского движения. С современной точки зрения, и математика, и экономика Башелье были некорректны, так как не было никакого смысла в разработке теории определения стоимости в момент, когда она уже известна. Но Башелье решил ряд проблем правильно, и его работа заслуживает того, чтобы считать ее предвестником современной стохастической теории определения цен финансовых активов. Одной из основных проблем современных финансов является определение стоимости потока доходов, порождаемого инвестициями в виде покупки активов. Главным результатом в этой области оказались теоремы Ф. Модиглиани и М. Миллера (Modigliani, Miller, 1958) о том, что на равновесном рынке пакеты финансовых исков, которые, по существу, эквивалентны, должны характеризоваться одинаковой ценой. Они признавали, что в отсутствие рыночных дефицитов эти иски были просто финансовыми инструментами для предложения альтернативных способов обладания одним и тем же экономическим потоком доходов. Как следствие, совокупная стоимость исков к доходам фирмы, например, должна быть независима от типов выпущенных активов. Модиглиани и Миллер считали, что финансовые инструменты, выпускаемые фирмой, охватывают поток доходов, т. е. полный пакет исков на фирму независимо от сложности эквивалентен простому равноценному иску на поток доходов. Эта мысль стала центральной в более поздней статье Блэка и Шоулса, в которой была получена знаменитая модель определения цен опционов, зависящая только от наблюдаемых переменных. Результаты Блэка и Шоулса по определению цен опционов можно рассматривать несколькими способами как динамический аналог теории Модиглиани и Миллера. Хотя последующие исследования достигли большей общности и существенно различались по способам, смысл основного наблюдения Блэка и Шоулса остается: как в статической, так и в динамической постановке две вещи, которые можно считать эквивалентными, должны продаваться за одинаковую цену. Одновременно с работой Модиглиани и Миллера над теоремами и несколько независимо от нее значительное продвижение сделали П. Самюэльсон (Samuelson, 1965) и другие авторы в определении стоимости опционов на акции, специализированных форм финансовых исков. Они заменили обычное (или арифметическое) броуновское движение Башелье геометрическим броуновским движением. Самым простым аргументом в пользу этой замены являлось то, что цены акции не могут быть отрицательными из-за ограниченной ответственности. При использовании геометрического броуновского движения как модели изменения цены акции разные авторы получали различные способы определения стоимости в зависимости от других принимаемых предположений. Однако эти теории, развитые между 1950 и 1970 г., содержали специально подобранные к рассматриваемому случаю элементы, которые даже у их создателей оставляли чувство неудовлетворенности, так как никаких способов численного определения таких элементов разработать невозможно. Затем Блэк и Шоулс (1973) показали, что на идеализированном рынке инвесторы могут фактически дублировать поток платежей (или поток вознаграждения) опциона-колл, умело управляя портфелем, который содержит только акцию и облигацию. Так как владение этим портфелем полностью эквивалентно владению опционом-колл, рыночная стоимость составляющих его ценных бумаг в нулевой момент времени – это единственная рациональная стоимость опциона. Блэк и Шоулс предполагают, что стоимость акции следует конкретному диффузионному процессу, который является геометрическим броуновским движением, и локально во времени акция и любой опцион, проданный на нее, полностью коррелированы и, будучи соединенными с занятой или арендованной позицией по безрисковой ставке, могут быть полностью взаимозаменяемыми. Таким образом, опцион локально воспроизводится безрисковыми облигациями и акцией, и знание стоимости акции позволяет найти стоимость опциона. Наиболее серьезным фактором в этих рассуждениях и в любой модели определения стоимости финансовых производных является точное описание стохастического процесса, моделирующего поведение основного актива. Оно задается характеристиками этого процесса, которые определяют точную природу эквивалентности между пакетами исков. Теория Блэка – Шоулса определения цены опционов – вероятно, наиболее важный успех в теории финансовой экономики в последней четверти прошлого века. Она обобщена в различных направлениях путем применения разнообразных математических средств стохастического анализа и уравнений в частных производных. Блэк и Шоулс получали свои результаты с помощью интуитивных рассуждений, не привлекая строгого математического анализа. Р. Мертон (Merton, 1973) сделал это строго (см. гл. 2). При более слабых предположениях ему удалось получить более общую формулу определения стоимости опциона. Фундаментальное проникновение в развитие теории произведено Дж. Коксом и С. Россом (Cox, Ross, 1976). Они ввели понятие нейтрального к риску определения стоимости (см. § 9 гл. 2). Затем эта идея была разработана Дж. Харрисоном и Д. Крепсом (Harrison, Kreps, 1979) (см. гл. 3) и Дж. Харрисоном и С. Плиской (Harrison, Pliska, 1981) (см. гл. 4) в терминах эквивалентной мартингальной меры. Стало понятно, что отсутствие на финансовом рынке арбитража, по существу, идентично существованию эквивалентной мартингальной меры, и некоторые авторы называют этот факт фундаментальной теоремой определения цены актива. Проблема определения эквивалентной мартингальной меры в явной форме непростая. Г. Гербер и Е. Шью (Gerber, Shiu, 1993) предложили делать это с помощью проверенного временем в актуарной науке метода преобразования Эсшера при предположении, что логарифм цены лежащего в основе актива управляется стохастическим процессом со стационарными и независимыми приращениями (см. гл. 6). Преобразование Эсшера индуцирует эквивалентную вероятностную меру процесса цены акции. Нейтральный к риску параметр Эсшера (который является единственным) определяется так, чтобы цена акции, дисконтированная при безрисковой процентной ставке минус доходность дивидендов, становилась мартингалом при новой вероятностной мере. Цена финансовой производной является наибольшим значением ожидаемых дисконтированных платежей, когда математическое ожидание берется по этой эквивалентной мартингальной мере и дисконтирование вычисляется по безрисковой процентной ставке.

ГЛАВА АНАЛИЗ МОДЕЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ § 1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ В МОДЕЛЯХ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ Математические средства, которые требуются для формальных выводов, используемых при анализе неопределенности в непрерывновременной постановке, несколько специализированы и поэтому могут быть незнакомы для тех, кто не изучал стохастический анализ. Например, выборочные траектории для стохастических переменных, порождаемых процессами диффузии, будучи непрерывными, почти нигде не дифференцируемы в обычном смысле. Поэтому чтобы выразить динамику таких процессов, требуется более общий тип дифференциальных уравнений. По обобщенным стохастическим уравнениям имеется обширная математическая литература, однако выводы, хотя и изящные, часто неясные и трудные. Кроме того, эти выводы обеспечивают сравнительно небольшое проникновение в соотношения между формальными математическими предположениями и соответствующими предположениями экономики. Цель главы – ликвидировать этот пробел, используя только элементарные понятия вероятностного исчисления для получения основных теорем, требуемых для анализа в непрерывном времени, чтобы сделать явными экономические предположения, неявно вложенные в математические предположения. Последнее особенно важно, потому что способ, при помощи которого экономические предположения часто формулируются в экономической литературе, может привести к более ограниченной форме, чем на самом деле. Хотя общий подход состоит в том, чтобы поддерживать предположения настолько слабыми, насколько это возможно, все-таки иногда делаются предположения более ограничительные, чем необходимо. Обычно это делается тогда, когда желателен компромисс между потерей общности и сокращением математической сложности. Для мотивации изучения анализа в непрерывном времени начнем с краткого обзора той роли, ко торую он сыграл при разработке финансовой экономики в течение последней четверти века, так что содержанием этой главы является разъяснение существенного вклада непрерывно-временного анализа в теорию финансовой экономики. Предположения о том, что торговля происходит непрерывно во времени и что основные стохастические переменные следуют изменениям диффузионного типа с непрерывными выборочными траекториями, приводят к системе уравнений поведения для выбора меняющейся со временем структуры портфеля, которая и проще, и выгоднее получающейся из соответствующей модели торговли с дискретным временем. Кроме того, те же предположения дают основу для единой теории определения цен как финансовых активов, так и основного капитала, которая аналитически изящна и эмпирически трактуема. Конечно, непрерывная торговля, подобно любому другому непрерывному процессу переработки информации, является абстракцией реальной действительности. Однако если отрезок времени между реакциями на поступающую информацию очень короткий (или неопределенно мал), тогда модель непрерывной торговли будет приемлемой аппроксимацией модели дискретной торговли. Действительно ли отрезок времени между пересмотрами достаточно короток для непрерывного решения, чтобы обеспечить хорошую аппроксимацию? На этот вопрос следует отвечать основываясь на проведении относительного сравнения решения с другими временными шкалами. Анализ в этой главе представлен в контексте рынка ценных бумаг, когда реальный отрезок времени между наблюдаемыми сделками находится в диапазоне от долей минуты до нескольких дней. Однако непрерывный анализ может обеспечить хорошее приближение, даже если отрезок времени между пересмотрами ситуации не очень короткий. Например, при анализе продолжительного экономического роста в неоклассической модели капитала обычно пренебрегают «кратковременными» флуктуациями делового цикла и принимают экономику с полной занятостью. Кроме того, обычно считается, что воздействиями экзогенных факторов на траекторию экономики в таких моделях являются или демографические, или технологические изменения. Так как главные изменения в каждом из них вообще происходят достаточно длительно, временной отрезок между пересмотрами акционерного капитала может рассматриваться как мгновенный при применении временной шкалы изменения экзогенных факторов.

Непрерывно-временной анализ в эмпирическом изучении финансовых экономических данных сравнительно молод и мало разработан. Однако он обеспечивает новые подходы к решению некоторых главных проблем в эмпирическом изучении временных рядов рыночных котировок. Стандартной практикой в прежнем анализе было то, что логарифм отношения последовательных значений цен имел нормальное распределение с однородными по времени независимыми приращениями и стационарными параметрами. Однако выборочные характеристики временных рядов оказывались часто несовместимы с характеристиками, принятыми для свойств популяции. Одно из более важных противоречий – то, что эмпирические распределения изменения цен часто слишком «островершинные» и не совместимы с нормальным распределением, т. е. экстремальные частоты наблюденных значений слишком велики, чтобы быть совместимыми с выборками из нормального распределения. Устранить эти несоответствия пытались двумя различными способами. Первый предполагал независимые приращения и предположения стационарности, но заменял предположение о нормальности более общим предположением о распределениях, устойчивых в смысле Парето – Леви (Paretо – Levy). Хотя негауссовы члены устойчивого семейства распределений часто аппроксимируют хвосты эмпирических распределений лучше, чем нормальное, эмпирическое подтверждение пока еще слабое, чтобы обосновать принятие гипотезы устойчивости Парето относительно какого-либо островершинного распределения. Кроме того, свойство бесконечности дисперсии негауссовых устойчивых распределений подразумевает, что большинство наших статистических методов, которые основаны на предположениях о конечности моментов (например, метод наименьших квадратов), бесполезны. Гипотеза устойчивости Парето также подразумевает, что даже первый момент или математическое ожидание арифметического изменения цен не существуют. Значительные теоретические и эмпирические трудности, связанные с гипотезой устойчивости Парето, побудили других авторов рассмотреть альтернативный путь процессов с конечными моментами, чьи распределения являются нестационарными. Этот подход использует непрерывно-временной анализ. Общие непрерывно-временные рамки, которые требуют, чтобы основной процесс был смесью диффузионного и пуассоновского процессов, может предоставлять широкий диапазон определенных гипотез, включая модель с «отражающими барьерами», предложенную П. Кутнером (Р. Cootner, 1964). Б. Розенберг (В. Rosenberg, 1972) показал, что гауссова модель с изменяющейся (и предсказуемой) дисперсией «объясняет» наблюдаемые характеристики «тяжелого хвоста» доходности на фондовой бирже. Дж. Розенфельд (Rosenfeld, 1980) разработал статистические методы для оценки параметров непрерывно-временных процессов, которые применены при построении тестов правдоподобия для выбора между процессом диффузии с изменяющейся дисперсией и смешанным диффузионным и пуассоновским процессом. Как показано Мертоном (Merton, 1980), если параметры являются медленно изменяющимися функциями времени, то можно использовать разные «временные шкалы» составляющих процесса непрерывного времени для идентификации и оценки этих параметров. Конечно, следует провести значительно больше исследований, прежде чем делать выводы относительно преимуществ такого подхода. Однако обширная математическая литература по распределениям этих процессов и свойствам конечности моментов делает разработку испытания гипотез значительно проще для этих процессов, чем для устойчивых процессов Парето – Леви. П. Самюэльсон (Samuelson, 1967) доказал несколько теорем относительно поведения инвесторов, не расположенных к риску, составляющих портфели и сталкивающихся с устойчивыми инвестициями, имеющими распределение Парето – Леви. Однако когда инвестиции распределены логарифмически устойчиво, никто не получил каких-либо уравнений поведения инвесторов. Конечно, это предположение о распределении делается в тех эмпирических исследованиях, в которых доходы предеполагаются распределенными логарифмически устойчиво. При отсутствии теории разрабатывать требования к рассматриваемой модели при гипотезе устойчивости, по Парето, довольно трудно. Рассматривая это как основу, обратимся к формальной разработке математических и экономических предположений о моделях непрерывного времени. Пусть h обозначает горизонт торговли, который является минимальным отрезком времени, в течение которого на рынке ценных бумаг инвесторами могут быть реализованы последовательные сделки. В межвременном анализе h – это отрезок времени между поочередными рыночными сессиями и, конечно, является элементом конкретизации структуры рынка в экономике. В то время как эта структура бу дет зависеть от компромисса между операционными расходами рынка и его экономическим эффектом, рассматриваемая временная шкала не определяется индивидуальным инвестором и одинакова для всех инвесторов в экономике. Если X(t) обозначает цену актива в момент времени t, то изменение цены актива между моментами времени t = 0 и T = nh > 0 может быть записано как X(T) – X(0) = k = [ X (k) – X(k – 1)], n (1.1) где n – число интервалов торговли между моментами времени 0 и T, а X(k) – X(k – 1) является краткой записью разности X(kh) – X[(k – 1)h], которая определяет изменение цены в течение k-го интервала торговли, k = 1,2,...,n. Предположение о непрерывной торговле подразумевает, что интервал торговли h равен инфинитезимальному приращению непрерывного времени dt, и, как обычно для дифференциального исчисления, всеми членами более высокого порядка малости, чем dt, будет пренебрегаться. Чтобы вывести экономические последствия непрерывной торговли, необходимо исследовать математические свойства временных рядов изменения цен в этой среде. Конкретно предельные свойства распределений получаются как для изменения цены по отдельному интервалу торговли, так и для изменения по фиксированному конечному промежутку времени T, поскольку продолжительность интервала торговли становится очень малой, а число интервалов торговли п в [0, T] – очень большим. В интерпретации этого предельного анализа можно представлять процесс как последовательность рыночных структур, где на каждом этапе последовательности установленная продолжительность интервала торговли уменьшается по сравнению с предыдущим этапом. Так, предельный математический анализ показывает, как распределение изменения цены данного актива в течение одного года изменится в результате изменения интервалов торговли от месячного до недельного. Неразумно предполагать, что равновесное распределение дохода от актива по определенному периоду времени (например, один год) будет инвариантным по отношению к интервалу торговли для этого актива, поскольку оптимальные функции спроса инвесторов будут зависеть от того, как часто они смогут корректировать свои портфели. Поэтому следует указать, что нигде в анализе, представленном здесь, не предполагается, что распределение X(T) – X(0) инвариантно относительно h. Определим оператор Et условного математического ожидания как оператор математического ожидания при условии знания всей существенной информации, относящейся к моменту времени t или до него. Определим случайные величины (k): (k) X(k) – X(k – 1) – Ek1{X(k) – X(k – 1)}, k = 1,..., n. (1.2) где «время k» используется как укороченная запись «времени kh». По определению, Ek1{(k)} = 0, и (k) является непредвиденным изменением цены актива между моментами k – 1 и k при фиксированной цене в момент времени k – 1. Кроме того, из свойств условного математического ожидания следует, что Ek j{(k)} = 0 для всех j = 1,..., k. n Следовательно, частные суммы Sn 1{(k)} образуют мартингал. Как будет видно, математический анализ в большой степени опирается на свойства мартингалов. Теория мартингалов раньше обычно связывалась в финансовой экономической литературе с «гипотезой эффективного рынка» (Efficient-Market Hypothesis) Е. Фамы (Fama, 1965) и П. Самюэльсона (Samuelson, 1965). Поэтому соблазнительно связать мартингальное свойство непредвиденного дохода, полученное здесь, с неявным предположением, что «цены активов определены правильно». Однако мартингальное свойство непредвиденного дохода здесь является чисто конструктивным результатом и поэтому не влечет никакого экономического предположения такого сорта. Однако мы примем два следующих экономических предположения. Предположение 1.1. Для каждого конечного интервала времени [0, T] существует число А1 > 0, независимое от числа интервалов торn говли n такое, что var(Sn) А1, где var(Sn) E0{[ 1{(k)}]2}. Предположение 1.2. Для каждого конечного интервала времени [0, T] существует число А2 <, независимое от числа интервалов торговли n такое, что var(Sn) А2. Предположение 1.1 гарантирует, что неопределенность, связанная с непредвиденными изменениями цен, не «вымывается» или исключается при переходе к непрерывной торговле, даже когда h dt, цена в конце периода в момент времени k будет неопределенной относительно момента времени k – 1. Это предположение существенно для непрерывной модели торговли, чтобы отразить такое фундаментальное свойство поведения цены на бирже.

Предположение 1.2 гарантирует, что неопределенность, связанная с непредвиденным изменением цены на конечном промежутке времени, не настолько большая, чтобы дисперсия становилась неограниченной. Оно исключает возможность того, что сам акт допуска более частой торговли стимулирует достаточную нестабильность цены, чтобы заставить предельную дисперсию X(T) – X(0) стать неограниченной, а это исключает также устойчивые распределения Парето – Леви с бесконечными дисперсиями. Пусть V(k) E0{(k)2}, k = 1, 2,..., n, обозначает дисперсию денежного дохода актива на интервале времени между моментами k – 1 и k, основанную на доступной информации от момента времени 0, и определим V maxk V(k). Предположение 1.3. Существует число А3, 1 А3 > 0, независимое от числа интервалов торговли n такое, что для всех k = l,..., n, V(k)/V A3. Предположение 1.3 тесно связано с предположением 1.1 и исключает возможность того, что вся неопределенность непредвиденного изменения цены на [0, T] сконцентрирована только в нескольких периодах торговли. Другими словами, неопределенность цен порождается во всех периодах торговли. На самом деле результаты анализа будут иметь место даже если предположение 1.3 ослаблено, чтобы допускать V(k) = 0 в некоторых из интервалов торговли при условии, что число таких интервалов имеет верхнюю границу, независимую от n. Однако так как фактически все реальные финансовые активы с сомнительной отдачей проявляют некоторую неопределенность цен даже в очень малых интервалах времени, предположение будет охватывать большинство встречающихся на практике случаев. Так, предположение 1.3 исключает лотерейные билеты с датой розыгрыша T. В этом случае цена лотерейного билета при безрисковой процентной ставке будет только повышаться до конечного момента, т. е. до розыгрыша. Тогда для каждого n V(k) = 0, k = 1, 2,..., n – 1, и V(n) = 2, где 2 – дисперсия денежного вознаграждения лотереи. Сделаем небольшой перерыв в рассуждениях, чтобы определить некоторые математические символы, которые будут использоваться далее в анализе. Пусть (h) и (h) будут функциями h. Определим символы асимптотического порядка малости О[(h)] и о[(h)] с помощью равенств (h) = О[(h)], если предел lim[(h)/(h)] ограничен при h 0, и (h) = о[(h)], если lim[(h)/(h)] = 0 при h 0. Так что, например, если (h) = ch1/2exp(h), тогда (h) = О[h] для любых значений 1/2. Чтобы увидеть это, заметим, что (h)/ h = ch1/2exp(h), и предел этого выражения при h 0 ограничен для 1/2. Кроме того, (h) = о[h] для < 1/2, поскольку предел (h)/ h при h 0 равен нулю для < 1/2. Если (h) = О[(h)] и (h) о[(h)], тогда (h) (h) при h 0, где символ означает «является асимптотически пропорциональным». В вышеприведенных примерах (h) h1/2. По существу, символы асимптотического порядка малости О[.], о[.] и используются для описания поведения функции (h) относительно функции (h) для значений h, близких к нулю. Утверждение 1.1. Если предположения 1.1, 1.2, и 1.3 выполнены, то V(k) ~ h, k = 1,..., n. То есть V(k) = О(h) и V(k) о(h), и V(k) асимптотически пропорциональна h с положительным коэффициентом пропорциональности. Доказательство. n n nn var(Sn) = E0 (k )( j ) = E0{(k )( j )}. 1 1 11 Рассмотрим один из членов двойной суммы E0{(k) (j)}. Предположим k j. Выберем k > j. Тогда E0{(k) (j)} = E0{(j) Ej {(k)}}. Но по предположению Ej {(k)} = 0, j < k. Следовательно, E0{(k) (j)} = 0 n для j < k. Отсюда var(Sn) = 1V (k ). Из предположений 1.2 и 1.3 имеn ем, что nVA3 1V (k ) A2, поэтому V(k) A2h/A3T, где 0 < A2/A3 <. Следовательно, V(k) = О(h). Из предположений 1.1 и 1.3 следует, что V(k) A1A3h/T, где A1A3 > 0. Следовательно, V(k) о(h). Доказав утверждение 1.1, обратимся к детальному анализу распределения дохода на отдельном интервале торговли. Для некоторого интервала торговли [k – 1, k] предположим, что (k) может принимать любое одно из т значений, обозначаемое j (k), j = 1,..., т, где т конечно. Всякий раз, когда не имеется никакой неоднозначности относительно периода времени k, будем обозначать j (k) просто как j. Предположим далее, что существует число М <, независимое от n, такое что j2(k) М. Хотя предположение о дискретном распределении значений (k) в конечном диапазоне явно ограничивает класс допустимых распределений, однако оно чрезвычайно упрощает формальные математические объяснения без принятия каких-либо существенных экономических ограничений. Вообще говоря, класс рассматриваемых распределений может быть расширен, чтобы включить в него непрерывные распределения с ограниченными диапазонами и «хороших» непрерывных распределений с большинство бесконечными диапазонами (например, нормальное). Однако, чтобы это сделать, потребуется достаточно продолжительный и сложный математический анализ для доказательства результатов, которые будут получены позже. Поскольку эта дополнительная математическая сложность мало добавляет в понимание экономических предположений, ограничимся дискретными распределениями. Если принять рj (k) prob{(k) = j | информация, доступная от момента времени 0}, тогда из утверждения 1.1 следует, что p j 2j = О(h).

m (1.3) Поскольку т конечно, из равенства (1.3) следует, что рj 2 = О(h), j j = 1,..., т. (1.4) Любое событие j такое, что рjj2 = о(h), будет давать асимптотически незначительный вклад в дисперсию (1.1), так как V(k) о(h). Поскольку т конечно, из этого следует, что существуют по крайней мере два события такие, что рj 2 о(h), и из равенства (1.4) для таких соj бытий рj 2 h. Кроме того, эти события определяют асимптотичеj ские характеристики распределений, когда они стремятся к пределу при переходе к непрерывному времени. Без потери общности принимается рj 2 о(h), j = 1, 2,..., т, и поэтому рj 2 h, j = 1, 2,..., т. j j Предположение 1.4. Для j = 1, 2,..., т величины pj и j являются функциями h с достаточно «хорошим поведением», чтобы существоq r вали числа qj и rj такие, что pj ~ h j и j ~ h j. Хотя предположение 1.4 – это предположение, удобное для иллюстративных целей, оно более сильное, чем необходимо. Например, если pj ~ hlog(1/h) в окрестности h = 0, тогда предположение 1.4 не будет удовлетворено. Однако полученные результаты будут справедливыми, если pj ведет себя и таким образом.

Из предположения 1.4 рj 2 ~ h j q j + 2rj. Но согласно равенству (1.4) рj 2 ~ h. Из этого следует, что значения, которые принимают qj и j rj, не могут быть произвольны, а должны удовлетворять равенствам qj + 2 rj = l, j = l, 2,..., т. (1.5) Поскольку мы интересуемся свойствами этих функций в окрестности h = 0 и h << 1, то события с большими значениями для rj будут иметь результаты, меньшие по величине, чем события с малыми значениями для rj. Аналогично такие события с большими значениями qj менее вероятны, чем события с малыми значениями для qj. Уравнение (1.5) определяет соотношение между этими двумя числами, которое должно удовлетворяться для каждого события j. По существу, уравнение (1.5) говорит о том, что «чем больше значение результата, тем меньше вероятность того, что такое событие произойдет». Поскольку рj 1 и 2 ограничено, то как qj, так и rj должны быть неотрицательj ны, и поэтому из равенства (1.5) следует, что 0 qj 1 и 0 rj 1/2, j = 1, 2,..., т. Как будет показано, исходы для rj, располагающихся на краях допустимого диапазона, определяют асимптотические свойства распределений (k). Поэтому будет полезно выделить три типа исходов: тип I исходы для rj = 1/2;

тип II исходы для 0 < rj < 1/2;

тип III исходы для rj = 0. Пусть J обозначает множество событий j таких, что исходы j имеют тип I. Из равенства (1.5) следует, что для j J qj = 0, и поэтому рj о (1). Кроме того, для всех событий j Jс (т. е. событий с исходами типа II или типа III) рj = о(1), и поскольку т конечно, сумма m p j = о(1), j Jс. Следовательно, поскольку 1 p j = 1, множество J не может быть пустым и почти вся вероятностная масса распределения (k) сосредоточена на событиях, содержащихся в J. Другими словами, для коротких интервалов торговли h фактически все наблюдения (k) будут исходами типа I, и поэтому подходящим названием для Jc могло бы быть «множество редких событий». Это предполагает естественную иерархию анализа: сначала асимптотические свойства (k) получаются для случая, когда все исходы имеют тип I;

затем свойства получаются для случая, когда исходы могут быть типа I или типа II;

и, наконец, свойства получаются для общего случая, когда исходы могут быть всех трех типов. § 2. ПРОЦЕССЫ С НЕПРЕРЫВНЫМИ ВЫБОРОЧНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ БЕЗ РЕДКИХ СОБЫТИЙ В этом параграфе принято, что все возможные исходы для (k), k = 1,..., n, имеют тип I, и поэтому Jc является пустым, т. е. не происходит никаких редких событий, и каждый возможный исход j, j = 1,...,т, может происходить с положительной (не инфинитезимальной) вероятностью. Определим условное математическое ожидание денежного дохода на актив за единицу времени k выражением k = Еk1{X(k) X(k 1)} /h, k = 1,..., n. (1.6) Предположение 1.5. Для каждого h принимается, что k существует для всех k = 1,..., п и что существует число <, независимое от h, такое, что |k |. Предположение 1.5 просто гарантирует, что ожидаемая доходность в единицу времени на все ценные бумаги с конечной ценой по горизонту торговли конечна независимо от того, насколько коротким является горизонт. Заметим, не предполагается, что k постоянная по времени, а практически k может быть случайной величиной относительно информации, доступной от момента времени 0 до k 1. На основании определений (1.2) и (1.6) мы можем выразить денежную отдачу на актив за интервал между моментами времени k 1 и k как X(k) X(k 1) = k h + (k), k = 1,..., n. (1.7) Как рассмотрено в § 1, важным предположением, обычно принимаемым в моделях с непрерывной торговлей, является то, что выборочные траектории курсов ценных бумаг непрерывны по времени. Дискретно-временной аналог непрерывности выборочной траектории – это то, что на коротких интервалах времени цены не могут сильно флуктуировать. Поскольку исходы типа I имеют порядок О(h1/2), не следует удивляться тому, что это предположение о непрерывности будет удовлетворяться, когда исходы других типов отсутствуют. Утверждение 1.2. Если для k = 1,..., n все возможные исходы для (k) являются исходами типа I, тогда выборочная траектория цены актива в модели с непрерывным временем будет непрерывной. Доказательство. Пусть Qk() будет вероятностью того, что X(k) X(k 1) при условии знания всей информации, доступной ко времени k 1. Необходимым и достаточным условием (условием Линдеберга) для непрерывности выборочной траектории процесса X является то, что для каждого > 0 вероятность Qk() = о(h). Определим число u равенством u = max{j}|j|/h1/2. В соответствии с гипотезой все исходы для (k) являются исходами типа I, и поэтому имеем u = О(1). Теперь для каждого числа > 0 определим функцию h+() как решение уравнения = h+ + u (h+)1/2. Поскольку и u имеют порядок О(1), то h+() > 0 для всякого > 0. Таким образом, для всякого h < h+() и каждого возможного исхода X(k) абсолютное приращение X(k) X(k1) <. Так что для каждого h, 0 h < h+(), вероятность Qk() 0 и, следовательно, lim [Qk()/h] = 0 при h 0. Хотя выборочная траектория процесса X(t) непрерывна, она почти нигде не дифференцируема (рис. 1.1). Рассмотрим изменение процесса X(t) между моментами времени k 1 и k, когда реализуется (k) = j. Это означает, что [X(k) X(k 1)]/h = k + j/h. Но j асимптотически пропорциональна h1/2 и, следовательно, [X(k) X(k 1)]/h 1/h1/2, что расходится при h 0. Таким образом, обычный анализ и стандартная теория дифференциальных уравнений не могут быть использованы для описания динамики изменений цены акций. Однако существует обобщенный анализ и соответствующая теория стохастических дифференциальных уравнений, которые могут быть использованы вместо них. Чтобы построить этот обобщенный анализ будет полезно установить определенные свойства моментов разности [X(k) X(k 1)]. Определим условную дисперсию денежного дохода от актива 2 за k единицу времени равенством 2 Еk1{2(k)}/ h, k = 1,..., n. (1.8) k 2 2 Поскольку j = О(h) для каждого исхода j, значит k = О(1). Кроме того, из предположений 1.1 и 1.3 следует, что 2 > 0 для всех k h. Так как k ограничено, то Еk 1{[X(k) X(k 1)]2} = 2 h + о(h), k = 1,..., n. k Отсюда с точностью до членов порядка малости h условные вторые центральные и нецентральные моменты разности [X(k) X(k 1)] одинаковы. Заметим, что нами не предполагалось, что 2 является k постоянной во времени, на самом же деле она может быть случайной величиной дат более ранних, чем k 1. 7 6 5 4 3 2 0 200 400 600 800 Рис. 1.1. Непрерывная во времени выборочная траектория для доходности актива с исходами типа I Рассмотрим теперь N-й безусловный абсолютный момент отклонения (k), 2 < N <. Используя то же определение величины u, какое дано в доказательстве утверждения 1.2, для k = 1,..., n имеем Е0{| (k)|N} = pj j m N p j (u ) N h N 2 u N h N / 2 = m = о(h), N > 2.

(1.9) Таким образом, все абсолютные моменты (k) более высокого порядка, чем второй, асимптотически пренебрежимо малы по сравнению с первыми двумя моментами. Аналогично Е0{|X(k) X(k 1)|N} (h + u h1/2) N = u h N /2 + о(h N /2). (1.10) Следовательно, с точностью до членов порядка малости hN/2 безусловные N-е центральные и нецентральные абсолютные моменты разности X(k) X(k 1) одинаковы. Так как соотношения порядков для моментов, полученные в представлениях (1.9) и (1.10), зависят только от {j} = О(h1/2) и ограниченности k, а не от вероятностей определенных исходов {рj}, то отсюда немедленно следует, что соотношения порядков значений ус ловных моментов будут такими же, как и для безусловных моментов. Поэтому Еk1{| (k)|N} = о(h) для N > 2 и Еk1{|X(k) X(k 1)|N} = Еk1{| (k)|N} + о(h N /2). (1.11) Определим случайную величину и(k), k = 1,..., n, равенством и(k) (k)/( 2 h)1/2 k где по построению иj j/( 2 h)1/2 = О(1), j = 1,..., т;

Еk1{и(k)} = 0;

k N 2 Еk1{и (k)} = 1;

Еk1{|и (k)| } = О(1) для N > 2. Теперь равенство (1.7) можно переписать как X(k) X(k 1) = k h + k и(k) h1/2, k = 1,..., n. (1.12) Следовательно, когда непредвиденные изменения цены актива являются исходами только типа I, динамика изменения цены может быть записана как стохастическое разностное уравнение в виде (1.12), где все явные случайные величины в правой части имеют порядок О(1) и поэтому не являются ни неограниченно малыми, ни неограниченно большими в пределе при h 0. Заметим, что в момент времени k 1 единственной случайной величиной оказывается u(k), поэтому равенство (1.12) называется условным стохастическим разностным уравнением. Вид уравнения (1.12) делает явным важное свойство, часто наблюдаемое для отдачи на актив, а именно: поскольку k, k и u(k) имеют порядок О(1), реализующаяся отдача на актив за очень короткий интервал торговли будет полностью определяться его стохастической составляющей kи(k)h1/2. Например, сомнительно найти акцию с годовыми стандартными отклонениями доходности между 15 и 20 %. Это подразумевало бы, что изменения цены порядка 1 % за операционный день нередки. Однако опыт показывает, что если ожидаемая годовая ставка дохода на акцию имеет такой же порядок, как и его годовое стандартное отклонение, скажем, 15 %, то ожидаемая ставка дохода в операционный день будет иметь порядок 0,05 %, что является незначительным по сравнению со стандартным отклонением. Конечно, этот выбор неявно сделан раньше при обсуждении моментов, когда было показано, что с точностью до порядка малости h вторые центральные и нецентральные моменты X(k) X(k 1) одинаковы. Одна ко из этого не следует, что в выборе оптимального портфеля даже при непрерывной торговле инвестору следует пренебрегать различиями между ожидаемыми отдачами акций. Значение имеют первый и второй моменты отдачи, которые, как было показано, являются величинами одинакового порядка малости О(h). Установив многие из существенных асимптотических свойств для X(k) X(k 1), получим характеристики распределений случайных величин, которые сами являются функциями цен активов. Эти характеристики распределений особенно важны для теории выбора портфелей и определения цен финансовых производных (contingentclaims pricing). Одним примером такой финансовой производной (contingent claim) служит опцион-колл (call option) на обыкновенную акцию (common-stock), который дает его владельцу право купить указанное число долей акции по определенной цене в указанную дату или до нее. Ясно, что цена опциона будет функцией цены лежащей в основе акции (underlying stock). Пусть F(t) будет случайной величиной, заданной в соответствии с правилом F(t) = f (X, t), если X(t) = X, где f является функцией из C2 с ограниченными третьими частными производными. (Предположение о том, что f имеет ограниченные третьи производные не существенно при анализе, но просто делается для аналитического удобства. Фактически все, что здесь требуется, – это то, что третьи производные ограничены в малой окрестности X(t) = X.) Следуя соглашению, установленному для X(t), используем более краткую запись F(k) для F(kh) и f [X(k), k] вместо f [X(kh), kh]. Предположим, что мы рассматриваем ситуацию в момент времени k 1, и поэтому знаем значения процесса X(k 1), k, k и {рj}, где рj определяется как условная вероятность того, что u(k) = uj, j = 1,..., т, при фиксированной информации, доступной вплоть до момента времени k 1. Обозначим через Х известное значение X(k 1). Определим числа {Хj} равенствами Хj Х + k h + k иj h1/2, j = 1,..., т. (1.13) Для каждого значения Хj можно использовать разложение Тейлора для получения соотношения f (Хj, k) = f (Х, k 1) + f1(Х, k 1)(k h + k иj h1/2) + f2(Х, k 1) h + + f11(Х, k 1)(k h + k иj h1/2)2/2 + Rj, j = 1,..., т, (1.14) где индексы обозначают частные производные по аргументу соответствующего номера, т. е. f1(Х, k 1) f ( x, t ) f ( x, t ), f2(Х, k 1), x x = X, t = ( k 1) h t x = X, t = ( k 1) h а Rj определяется выражением Rj f22(Х, k 1) h2/2 + f12(Х, k 1)(k h + k иj h1/2)h + + f111(j, j)( Хj X)3/6 + f112(j, j)( Хj X)2h/2 + + f122(j, j)( Хj X)h2/2 + f222(j, j)h3/6, где j X + j (Хj X) и j (k 1) + j для некоторых j и j таких, что 0 j 1 и 0 j 1. Поскольку все третьи частные производные функции f ограничены и иj = О(1), j = 1,..., т, то, подставляя Хj из равенств (1.13) в (1.14), для всяких j имеем |Rj| = О(h3/2) = о(h), j = 1,..., т.

Заметив, что (k h + k иj h1/2)2 = k2 иj2 h + о(h), представление (1.14) можем переписать в виде f (Хj, k) = f (Х, k 1) + f1(Х, k 1)(k h + k иj h1/2) + f2(Х, k 1) h + + f11(Х, k 1)k2 иj2 h/2+ о(h), j = 1,..., т. (1.15) Так как представление (1.15) имеет место для всякого j, мы можем приближенно описать динамику F(k) в виде условного стохастического разностного уравнения с помощью соотношения F(k) F(k 1) = { f1(Х(k 1), k 1)k + f2(Х(k 1), k 1) + + f11(Х(k 1), k 1) 2 и2(k)/2} h + k + f1(Х(k 1), k 1) k и(k) h1/2 + о(h), k = 1,..., n, (1.16) где равенство (1.16) является условным при фиксированных Х(k 1), k и k. Формальное применение оператора условного математического ожидания Еk1 к обеим сторонам равенства (1.16) приводит к такому же результату, что и строгая операция умножения обеих сторон равенства (1.15) на рj и затем суммирование по j = 1,..., т. Замечая, что производные функции f в правой части равенства (1.16) оцениваются при X(k 1) и поэтому являются нестохастическими в момент времени k 1, для k = 1,..., n имеем Еk1{F(k) F(k 1)} = { f1(Х(k 1), k 1)k + f2(Х(k 1), k 1) + + f11(Х(k 1), k 1) 2 /2} h + о(h). k (1.17) Определим µk Еk1{F(k) F(k 1)}/h, что является условным математическим ожиданием изменения F за единицу времени, и из (1.17) получим для него выражение при k = 1,..., n µk = { f1(Х(k 1), k 1)k + f2(Х(k 1), k 1) + + f11(Х(k 1), k 1) 2 /2} + о(1). k (1.18) Подобно k, µk = О(1) и с точностью до этого порядка малости полностью определяется только через X(k 1) и первые два момента изменения процесса X. Используя выражение (1.18), равенство (1.16) можно переписать в виде F(k) F(k 1) = µkh + f11(Х(k 1), k 1) 2 [ и2(k) 1] h/2 + k + f1(Х(k 1), k 1)k и(k) h1/2 + о(h). (1.19) Из равенства (1.19) следует, что с точностью до членов порядка малости h условное стохастическое разностное уравнение для разности F(k) F(k 1) имело бы почти такой же вид, что и уравнение (1.12) для X(k) X(k 1), если бы не дополнительное стохастическое слагаемое порядка О(h). Аналогичными рассуждениями, как и при обсуждении уравнения (1.12), выясняется, что реализующееся изменение F на очень коротком интервале времени полностью доминируется стохастическим слагаемым f1(Х(k 1), k 1)kи(k)h1/2. Действительно, с помощью равенства (1.19) можно записать условные моменты для F(k) F(k 1) как и Еk1{[F(k) F(k 1)]2} = {f1(Х(k 1), k 1)k}2h + о(h) (1.20) Еk1{[F(k) F(k 1)] N} = О(h N /2) = о(h), N > 2. 25 (1.21) Таким образом, соотношение порядков малости для условных моментов F(k) F(k 1) точно такое же, что и для условных моментов приращений X(k) X(k 1), и стохастическое слагаемое порядка малости О(h) делает незначительным вклад моментов F(k) F(k 1). Оказывается, что не только соотношения между порядками малости самих моментов приращений F и X одинаковые, но и смешанные моменты одновременных приращений имеют одинаковые соотношения порядков малости. Действительно, из равенств (1.12) и (1.19) имеем Еk1{[F(k) F(k 1)][ X(k) X(k 1)]} = и = {f1(Х(k 1), k 1) k}2 h + о(h) Еk1{[F(k) F(k 1)] j [ X(k) X(k 1)] N j} = = О(h N /2) = о(h), j = 1,..., N, N > 2. (1.23) (1.22) Хотя формулы (1.22) и (1.23) определяют нецентральные взаимные моменты, разность между центральными и нецентральными взаимными моментами будет иметь порядок о(h), и поэтому они взаимозаменяемы при использовании. Например, взаимная ковариация приращений F и X будет отличаться от правой части равенства (1.22) величиной µkkh2 = о(h). Наконец, мы имеем довольно сильный результат, что с точностью до членов порядка малости h одновременные приращения F и X полностью коррелированы. Таким образом, если определить k как условный коэффициент корреляции между одновременными изменениями F и X за единицу времени, то из выражений (1.20) и (1.22) получим если f1[ X (k 1), k 1] > 0;

1 + о(1), k = 1 + о(1), если f1[ X (k 1), k 1] < 0. Следовательно, даже если F является нелинейной функцией X, то их мгновенные одновременные изменения за очень короткий промежуток времени будут полностью коррелированы. Показав, что стохастическое слагаемое порядка О(h) вносит незначительный вклад в изменение F за очень короткий интервал времени, исследуем его вклад в приращение F за конечный, а необяза тельно короткий интервал времени. Определим случайную величину G(t) равенством G(k) G(k 1) F(k) F(k 1) µk h f1(Х(k 1), k 1)k и(k) h1/2, k = 1,..., n. (1.24) Таким образом, G(k) G(k 1) является величиной случайной ошибки при аппроксимации приращения F(k) F(k 1) с помощью выражения µk h + f1k и(k)h1/2. Если мы определим у(k) f11(Х(k 1), k 1) 2 [ и2(k) 1]/2, k тогда из равенства (1.19) тождество (1.24) можно переписать как G(k) G(k 1) = у(k) h + о(h), k = 1,..., n. (1.25) По построению Еk1{у(k)} = 0, поэтому Еkj{у(k)} = 0, j = 1,..., k. n Следовательно, частичные суммы 1 y (k ) образуют мартингал. Поn скольку E 0 1 y 2 (k ) k 2 < при n, из закона больших чисел для мартингалов следует, что ( ) 1 n n lim h y (k ) = T lim y (k ) 0 при n. n k =1 k =1 Из равенства (1.25) для фиксированного T ( nh) > 0 G(T) G(0) = h (1.26) k = y(k ) + о(h) = h y (k ) + o(1).

k =1 k = n n n (1.27) При вычислении предела (1.27) при n (h 0) из предельного соотношения (1.26) имеем, что G(T) G(0) 0. То есть накопленная ошибка аппроксимации стремится к нулю с вероятностью единица. Следовательно, для T > 0 из определения (1.24) имеем, что при переходе к непрерывному времени (т. е. при h 0) F(T) F(0) = + n [ F (k ) F (k 1)] = µ k h + 1 k = n n k = f1[ X (k 1), k 1]k u (k )h1 (1.28) с вероятностью единица. Таким образом, при переходе к непрерывному времени стохастический член порядка О(h) в представлении (1.19) будет давать незначительный вклад в изменение F на конечном интервале времени. Естественно интерпретировать предельные суммы в равенстве (1.28) как интегралы. Для каждого k, k = 1,..., n, определим t kh. С помощью обычных рассуждений при переходе к пределу для римановских интегралов T n µ k h = µ(t )dt, lim (1.29) n k =1 0 где µ(t) предел величины µk при переходе к непрерывному времени и называется мгновенным условным математическим ожиданием изменения F за единицу времени при заданной информации, доступной до момента времени t. Конечно, из-за коэффициента h1/2 вторая сумма не будет удовлетворять обычным римановским интегральным условиям. Однако формально мы можем продолжить и определить стохастический интеграл как предельную сумму, задаваемую равенством n lim f1[ X (k 1), k 1] k u (k )h1 2 n k = T f1[ X (t ), t ](t )u (t )(dt ), где обозначение (dt)1/2 используется, чтобы отличить этот интеграл от обычного интеграла Римана в формуле (1.29). Следовательно, из представления (1.28) мы имеем, что изменение F между 0 и T может быть записано в виде F(T) F(0) = µ(t )dt + f1[ X (t ), t ](t )u (t )(dt )1 2, 0 0 T T (1.30) где равенство (1.30) выполняется с вероятностью единица. Задав это стохастическое интегральное представление для изменения F на конечном интервале времени, мы формально продолжим анализ, чтобы определить стохастический дифференциал для F: dF(t) = µ(t) dt + f1[X(t), t](t) u(t) (dt)1/2, 28 (1.31) где запись в форме дифференциала dF используется вместо обычного обозначения производной по времени dF/dt, чтобы подчеркнуть ранее полученный результат, что почти всюду выборочные траектории не дифференцируемы в обычном смысле. По аналогии с разностными уравнениями (1.12) и (1.19) равенство (1.31) может интерпретироваться как условное стохастическое дифференциальное уравнение при фиксированной информации, доступной вплоть до момента времени t, и включающей µ(t), X(t) и (t), но, конечно, не процесс u(t), который является источником случайного изменения F от F(t) к F(t + dt). При формальном вычислении предельного выражения равенства (1.19) для h dt и при пренебрежении членами порядка o(dt) кажется, что равенство (1.31) не учитывает члены порядка О(dt), а именно f11(Х(k 1), k 1) 2 [и2(k) 1]dt/2. Одk нако, как было показано, вклад этого стохастического члена порядка О(dt) в значения моментов приращения dF на интервале бесконечно малой длительности dt равен o(dt), и на конечном интервале он исчезает согласно закону больших чисел. Следовательно, с вероятностью единица распределение процесса, задаваемого уравнением (1.31), неотличимо от распределения процесса с включением дополнительного стохастического члена порядка О(dt). Хотя µ(t)dt имеет такой же порядок малости, как и стохастический член порядка О(dt), которым мы пренебрегли, им пренебрегать нельзя на инфинитезимальном интервале, поскольку он является первым моментом приращения F, имеющим тот же порядок, что и второй момент. Им нельзя пренебрегать на конечном интервале [0, T], потому что в отличие от стохастической составляющей порядка О(dt) частичные суммы µkdt не образуют мартингал, и закон больших чисел не применим. Соответствующие стохастические интегральное и дифференциальное представления для динамики X(t) могут быть записаны непосредственно из представлений (1.30) и (1.31) путем простого выбора f(X, t) = X, а именно из равенства (1.30) получим X(T) X(0) = (t )dt + (t )u (t )(dt )1 2 и 0 0 T T (1.32) (1.33) dX(t) = (t) dt + (t) u(t) (dt)1/2, где стохастическое слагаемое порядка О(dt), которым пренебрегаем, тождественно равно нулю, поскольку f11 0. В ходе проведенного анализа единственными ограничениями на распределение u(t) были следующие: a) E{u(t)} = 0;

б) E{u2 (t)} = 1;

в) u(t) = О(1) и г) распределение для u(t) дискретно. Ограничения a) и б) являются чисто конструктивными, а в) и г) можно ослабить, чтобы сделать допустимыми наиболее удобные для анализа непрерывные распределения, в том числе с неограниченной областью определения. В частности, не предполагалось, что {u(t)} были или одинаково распределены, или взаимно независимы. Однако чтобы развивать анализ далее, требуется дополнительное экономическое предположение. Предположение 1.6. Случайный процесс X(t) является процессом Маркова. Другими словами, распределение условной вероятности для будущих значений X при фиксированном его значении в момент времени t зависит только от текущего значения X, и включение дальнейшей информации, имеющейся до этой даты, не будет изменять условную вероятность. Хотя предположение 1.6 может показаться довольно ограничительным, многие процессы, которые являются формально не марковскими, могут быть преобразованы в марковские методом расширения пространства состояний, и поэтому предположение 1.6 можно ослабить, сказав, что условные вероятности Х зависят только от конечного объема прошлой информации. На основании предположения 1.6 можно написать условные плотности вероятностей для X(T) = X в момент T при фиксированном X(t) = х в виде р(x, t) p(x, t;

X, T) = prob{X(T) = X |X(t) = x}, t < T, (1.34) где аргументы X и T опускаются в связи с тем, что они будут считаться фиксированными. Для фиксированных X и T функция p[X(t), t], рассматриваемая в моменты времени до даты t, – случайная величина, которая является функцией цены актива в момент времени t. Поэтому при условии, что p – функция x и t, удобная для анализа, она будет удовлетворять всем свойствам, предварительно полученным для F(t). В частности, при переходе к непрерывной торговле dp будет удовлетворять уравнению (1.31), где µ(t) – условное математическое ожидание изменения р за единицу времени. Однако p – это плотность вероятности, и поэтому математическое ожидание ее изменения равно нулю. Вычисление предела в равенстве (1.18) при h 0 и применение условия µ(t) = 0 дает, что 0 = 2(x, t) p11(x, t)/2 + (x, t) p1(x, t) + p2(x, t), 30 (1.35) где индексы при p обозначают частные производные. Кроме того, в соответствии с марковским предположением 1.6 (t) и 2(t) являются, самое большее, функциями х(t) и t. Следовательно, мы делаем эту зависимость явной, переписывая функции соответственно как (x, t) и 2(x, t). Анализ равенства (1.35) показывает, что это линейное дифференциальное уравнение в частных производных параболического типа (оно называется обратным уравнением Колмогорова). Поэтому при выполнении граничных условий уравнение (1.35) полностью определяет переходную плотность вероятностей для цены актива. Следовательно, при переходе к непрерывной торговле достаточно знать только функции (x, t) и 2(x, t), чтобы определить распределение вероятности изменений цен активов между любыми двумя датами. Отсюда следует, что единственными характеристиками распределений {u(t)}, которые влияют на асимптотическое распределение для цены актива, являются первый и второй моменты, а по построению они постоянные во времени. То есть если бы не требования масштабирования на первые два момента, характеристики распределения {u(t)} могли бы быть выбраны практически произвольно без какоголибо влияния на асимптотическое распределение для цены актива. Следовательно, при переходе к непрерывной торговле ничто из экономического содержания не будет потеряно, если принять, что {u(t)} независимы и одинаково распределены, поэтому для оставшейся части данного параграфа мы примем такое предположение. Следует отметить, что это не означает, что такие же свойства имеют приращения X(t) или F(t). Действительно, если (t) или 2(t) является функцией X(t), тогда приращения X(t) не будут ни независимыми, ни одинаково распределенными. Определим W(t) как случайную величину, изменение которой во времени описывается стохастическим разностным уравнением, аналогичным уравнению (1.12), но с k 0 и k 1, k = 1,..., n. Другими словами, условное математическое ожидание приращения W(t) за единицу времени является нулевым, и условная дисперсия этого приращения за единицу времени равна 1. Поэтому W(T) W(0) = k = [W (k ) W (k 1)] = n = h u (k ) = T k = n 1n u (k ). n k = (1.36) Величины {u(k)} независимы и одинаково распределены с нулевым средним и единичной дисперсией. Поэтому согласно центральной предельной теореме при переходе к непрерывной торговле выраn жение 1 u (k ) n будет иметь стандартное нормальное распределе ние. Из представления (1.36) следует, что асимптотически W(T) W(0) будет нормально распределено с нулевым средним и дисперсией, равной T для всех T > 0. Действительно, решение уравнения (1.35) с 2 = 1 и = 0 имеет вид exp[ ( X x) 2 2(T t )] p(x, t;

X, T) =, 2(T t ) что является плотностью нормального распределения. Так как выбор распределения для {u(t)} может быть сделан почти произвольно и предельное распределение для W(T) W(0) является нормальным для всех конечных T, естественно и удобно предположить, что {u(t)} имеет стандартное нормальное распределение. Аналогичным способом, как было сделано при получении представления (1.33), стохастическое дифференциальное уравнение для W(t) можно выразить в форме dW(t) = u(t) (dt)1/2. (1.37) Если {u(t)} независимы и имеют стандартное нормальное распределение, процесс dW, описываемый уравнением (1.37), называется винеровским процессом или процессом броуновского движения, и мы зарезервируем обозначение dW для обозначения такого процесса повсюду в этой главе. Такой выбор распределения для {u(t)} не влияет на предельное распределение X, поэтому без потери общности мы можем переписать стохастические интегральные и дифференциальные представления для динамики X(t), т. е. уравнения (1.32) и (1.33) в виде X(T) X(0) = ( X (t ), t )dt + ( X (t ), t )dW (t ) 0 0 T T (1.38) (1.39) и dX(t) = (X(t), t) dt + (X(t), t) dW(t). Класс марковских процессов непрерывного времени, чья динамика может быть записана в форме (1.38) и (1.39), называется процессами Ито и является частным случаем более общего класса случайных процессов, называемых строго диффузионными процессами. Из представлений (1.30) и (1.31) непосредственно следует, что если динамика X(t) может быть описана процессом Ито, то динамика хорошо определенных функций X(t) также будет описываться процессом Ито. Это соотношение между динамикой X(t) и F(t) формализовано в следующей лемме. Лемма Ито. Пусть f (X, t) будет функцией из C2, определенной на R [0, ], а X(t) задается стохастическим интегралом, определенным равенством (1.38), тогда зависящая от времени случайная величина F f является стохастическим интегралом, а ее стохастический дифференциал dF = f1(X, t) dX + f2(X, t) dt + f11(X, t) (dX)2/2, причем произведение дифференциалов определено правилами умножения (dW)2 = dt, dW dt = 0 и (dt)2 = 0. Доказательство леммы Ито следует из соотношений (1.18), (1.29), (1.30) и (1.31). Лемма Ито формулирует правило дифференцирования для обобщенного стохастического исчисления и, по существу, является аналогом фундаментальной теоремы стандартного анализа вычисления производных сложных функций. Стохастические дифференциальные уравнения и лемма Ито – основные математические средства, используемые в анализе моделей экономических процессов непрерывного времени. Получением леммы Ито завершается формальный математический анализ этого раздела, и можно подвести некоторые итоги. Предположим, что экономическая структура, которую нужно проанализировать, такова, что предположения 1.11.6 выполняются, и непредвиденные изменения цены активов могут быть исходами только типа I (т. е. не появляется никаких «редких событий»). Тогда в моделях непрерывной торговли такой структуры динамика цен активов всегда может быть описана без потери общности процессами Ито. Действительно, поскольку интеграл от винеровского процесса нормально распределен, обычное предположение о динамике цен в финансовой экономической литературе: «изменение цен активов X(t + h) X(t) на коротких интервалах времени распределено приблизительно нормаль но», может быть заменено формальным предположением о том, что имеет место уравнение (1.39). Если это интерпретируется корректно, то нет никаких недостатков в принятии предположения о динамике цен таким способом. Однако возможны, по крайней мере, два заблуждения. Во-первых, принятие такого предположения подразумевает, что {u(t)} независимы и имеют одинаковое стандартное нормальное распределение. Следовательно, это может привести к убеждению, что предположение нормальности является существенным для анализа, а не просто для удобства. Например, полученная динамика непрерывной торговли будет эквивалентна динамике, при которой величины {u(t)} имеют биномиальное распределение при условии, что параметры этого распределения выбраны так, чтобы удовлетворялись равенства E{u(t)} = 0 и E{u2(t)} = 1. (Биномиальное распределение, которое удовлетворяет этим условиям, должно иметь u1 = 1 и u2 = 1 с вероятностями 1/2. Следовательно, u2(t) = 1 с вероятностью единица, и поэтому стохастический член порядка О(h), присутствующий в равенствах (1.19), (1.24)–(1.27), будет нулевым даже для конечного h.) Хотя в структурном анализе последовательности рыночных ситуаций соответствующая последовательность функций распределения для X(t + h) X(t) будет зависеть от распределения {u(t)}, предельное распределение этой последовательности не будет зависеть от него. Кроме того, независимо от распределения {u(t)} решения непрерывной торговли обеспечат равномерно допустимые приближения (с точностью о(h)) решений дискретной торговли. Поэтому предположение нормальности для {u(t)} не налагает больше никаких ограничений на процесс за пределами предположений 1.11.6. n Во-вторых, поскольку X(T) X(0) = 1[ X (k ) X (k 1)], то принятие указанного предположения может привести к предположению, что изменения цен активов на конечном интервале [0, T] будут (приблизительно) нормально распределены, что явно не вытекает из уравнения (1.39). Например, если функции (X, t) = аХ и (X, t) = bХ линейные с постоянными коэффициентами а и b, тогда можно показать, что решение X(T) уравнения (1.35) будет иметь логарифмически нормальное распределение E0{X(T)} = X(0) exp(aT) и var{log X(T)} = b2T для всех T > 0, а нормальное и логарифмически нормальное распределения принципиально различаются. Действительно, нормальное распределение для X(T) X(0) подразумевает положительную вероятность того, что X(T) может быть отрицательным, в то время как согласно логарифмически нормальному распределению X(T) никогда не может быть отрицательным. На основании этого предположением о динамике цен, менее приводящим в заблуждение, было бы такое: «Для очень коротких интервалов торговли можно исследовать изменение цен активов в течение интервала торговли как будто бы оно нормально распределено». Однако это просто повторяет условия, полученные с помощью оценок (1.11) и (1.21), т. е. для коротких интервалов торговли только первые два момента имеют значение. Существенные преимущества использования моделей непрерывного времени с динамикой цен, определяемой процессами Ито, достаточно широко продемонстрировано в финансовой экономической литературе, и поэтому здесь сделаем только несколько кратких замечаний. Например, в решении многопериодной задачи выбора портфеля оптимальные портфельные функции спроса будут зависеть только от двух первых моментов распределений отдачи активов. Это не только значительно сокращает количество информации о распределении отдачи актива, требуемой для выбора оптимального портфеля, но и гарантирует, что условия оптимизации первого уровня линейны по функциям спроса, поэтому явные решения для этих функций могут быть получены простой матричной инверсией. Анализ задач коллективной ответственности и определения цены опционов также упрощается при использовании леммы Ито, которая обеспечивает прямой метод для получения динамики и переходных вероятностей для функций цен активов. Кроме того, хотя анализ, представленный здесь, справедлив для скалярных процессов, он может быть легко перенесен на векторные процессы. Конечно, полученные здесь результаты основаны на предположении, что все изменения цен активов являются исходами типа I. Как было сказано в § 1, такой класс процессов – это только подмножество семейства процессов, которые удовлетворяют экономическим предположениям 1.1–1.6. Поэтому для завершения изучения математики мо делей непрерывной торговли мы теперь рассмотрим анализ другой составляющей этих процессов, которая учитывает возможность появления «редких событий».

§ 3. ПРОЦЕССЫ С «РЕДКИМИ СОБЫТИЯМИ» И НЕПРЕРЫВНЫМИ ВЫБОРОЧНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ Предположим, что исходы (k), k = 1,..., n, могут быть или типа I, или типа II, но не типа III. Таким образом, мы учитываем возможность редких событий с исходами типа II, хотя, как показано в § 1, фактически все наблюдения (k) будут исходами типа I. Структура анализа, представленного здесь, по существу, такая же, как и в предыдущем параграфе. Действительно, основным заключением этого анализа будет то, что при переходе к непрерывной торговле, свойства распределений доходов от активов являются неразличимыми от свойств, полученных в § 2. Другими словами, «редкие события» с исходами типа II «не имеют значения». Чтобы показать это, мы начнем с доказательства того, что при переходе к непрерывной торговле предельные выборочные траектории для цен активов непрерывны по времени. Для каждого временного периода k определим r min rj, когда основной член j имеет порядок h j, j = 1,..., т. Поскольку все исходы являются исходами или типа I, или типа II, r > 0, и |j | = О(hr), j = 1,..., т. Утверждение 1.3. Если все возможные исходы для (k), k = 1,..., n, являются исходами типа I или типа II, то выборочные траектории цен активов в непрерывном времени будут непрерывными. Доказательство. Пусть Qk() будет условной вероятностью того, что |X(k) X(k 1)| при знании всей информации, имеющейся до момента времени k 1. Как и в доказательстве утверждения 1.2, необходимым и достаточным условием для непрерывности выборочной траектории X является выполнение равенства Qk() = о(h) для каждого > 0. Определим u max {j} |j | h r. По определению r, имеем u = О(1). Для каждого числа > 0 введем функцию h+() как решение уравнения = h+ + u ( h+) r, где в соответствии с предположением 1.5 = О(1). Поскольку r > 0, а и u имеют порядок О(1), существует решение h+() > 0 для каждого > 0. Поэтому при h < h+() и любом возможном исходе X(k) имеет место |X(k) X(k 1)| <. Следова r тельно, для каждого h, 0 h < h+(), справедливы равенства Qk () 0 и lim [Qk () /h] = 0 при h 0. Установив непрерывность выборочной траектории, покажем, что свойства моментов приращения X(k) X(k 1) такие же, как и свойства моментов, полученные в § 2. Из предположения 1.5 следует, что Ek1{X(k) X(k 1)} асимптотически пропорционально h, и поэтому таким же является E0{X(k) X(k 1)}. Отсюда из утверждения 1.1 и уравнения (1.5) безусловная дисперсия X(k) X(k 1) асимптотически пропорциональна h. Поскольку r > 0, то N-й безусловный абсолютный момент (k) для 2 < N < может быть записан в форме E0{| (k)| } = N pj j m N = m ( N 2) r j +1 = О(h(N2)r+1) = o(h), N > 2, = O h j =1 (1.40) где второе равенство следует из уравнения (1.5). Таким образом, все абсолютные моменты (k) порядка выше, чем второй, асимптотически незначительны по сравнению с первыми двумя моментами. Кроме того, в соответствии с предположением 1.5 те же соотношения порядков получаются как для центральных, так и для нецентральных моментов приращения X(k) X(k 1). При условии, что соотношения порядков между безусловными и условными вероятностями остаются теми же, условные моменты приращений X(k) X(k 1) имеют такие же свойства порядков, как и безусловные моменты, а именно: Ek1{[X(k) X(k 1)]2} = 2 h + o(h), k = 1,..., n, k венством (1.8), и 2 > 0 и О(1). k Тогда Ek1{[X(k) X(k 1)]N} = o(h) для N > 2. (1.41) где 2 условная дисперсия за единицу времени, определенная раk (1.42) Следовательно, соотношения между моментами [X(k) X(k 1)] в рассматриваемом случае идентичны с соотношениями, полученными в § 2, где были возможны исходы только типа I. Чтобы завершить анализ, исследуем характеристики распределений случайных величин, которые являются функциями цен активов. Пусть F(t) будет случайной величиной, заданной в соответствии с правилом F(t) = f(X), если X(t) = X. Заметим, что в отличие от параллельного анализа в § 2 явная зависимость f от t опускается. Это сделано исключительно для того, чтобы оставить и систему обозначений, и анализ относительно простыми. Однако включение явной зависимости от времени не изменяет ни метода получения результатов, ни самих результатов. Определим K как наименьшее целое число такое, что Kr 1. Поскольку r > 0, K конечно. Если f является функцией из C2 с ограниченной производной (K + 1)-го порядка, тогда из теоремы Тейлора, равенств (1.41) и (1.42) имеем, что Ek1{F(k) F(k 1)} = = { f (1)[X(k 1)]k + f (2)[X(k 1)] 2 /2}h + o(h) k (1.43) где f (i)[.] обозначает i-ю производную f. Заметим, что равенство (1.43) идентично соответствующему уравнению (1.17) в § 2, когда f не является явной функцией времени. Кроме того, можно непосредственно показать, что условные моменты разности F(k) F(k 1) здесь такие же по форме, какие были получены в представлениях (1.20) и (1.21) § 2, а именно: и Ek 1{[F(k) F(k 1)]2} = { f (1)[X(k 1)] k}2 h + o(h) Ek 1{[F(k) F(k 1)]N} = o(h) для N > 2. (1.44) (1.45) Следовательно, соотношения порядков малости для условных моментов F(k) F(k 1) такие же, как и для условных моментов приращений X(k) X(k 1). Поэтому непредвиденная составляющая изменения величины F в течение короткого интервала времени будет доминироваться членом {f (1)[X(k 1)](k)} таким же способом, которым он доминировал изменения F в § 2. Изучив изменение F в течение короткого интервала времени, исследуем стохастические свойства изменения величины F по конечному, а не обязательно по короткому интервалу времени. Для каждого k, k = 1,..., n, определим случайные величины {yj (k)} равенствами yj (k) f (j)[X(k 1)] {[X(k) X(k 1)] j – Ek 1{[X(k) X(k 1)] j}}/ j!, j = 2,..., K.

Далее определим случайную величину G(t): G(k) G(k 1) F(k) F(k 1) Ek1{F(k) F(k 1)} f (1)[X(k 1)](k), k = 1,..., n, что может быть переписано с помощью теоремы Тейлора как G(k) G(k 1) = где RK+1 определяется равенством RK+1 f (K+1)[X(k 1) + (1 )X(k)] {[X(k) X(k 1)] K+1 Ek1{[X(k) X(k 1)] K+1}}/ (K+1)! для некоторого, 0 1. Но f (K+1) ограничена и [kh + (k)] K+1 = O(h r (K+1)) для каждого возможного исхода (k). Отсюда, поскольку rK > 1, остаток имеет следующий порядок малости RK+1 = o(h). Поэтому (1.46) можно переписать как G(k) G(k 1) = y j (k ) + RK+1, j = K (1.46) y j (k ) + o(h), j = K k = 1,..., n.

(1.47) Безусловная дисперсия G(k) G(k 1) с помощью равенства (1.47) может быть записана в виде K K G(k 1)} = E 0 yi (k ) y j (k ) + o(h) var{G(k) 2 i=2 j = M i M j E0 |{[ X(k) X(k 1)] j Ek1{[ X(k) X(k 1)] j}} (1.48) K K {[ X(k) X(k 1)] i Ek1{[X(k) X(k 1)] i}}| /i!j! + o(h), где Мi – наименьшая верхняя граница |f (i)|, i = 2,..., K. Поэтому из представлений (1.40) и (1.48) имеем, что при r > 0 var{G(k) G(k 1)} = O(h 2r + 1) + o(h) = o(h). 39 (1.49) Для конечного интервала времени [0, T] G(Т) G(0) = Двойная сумма k =1 n [G (k ) G(k 1)] = K n k =1 j = y j (k ) n K + o(1).

k =1 j =2 y j (k ) n образует мартингал, и поэтому безусловная дисперсия G(Т) G(0) может быть записана в виде var{G(Т) G(0)} = k = var {G(k) G(k 1)} + o(1).

(1.50) Однако из равенств (1.49) и (1.50) следует, что var{G(Т) G(0)} = O(h 2r) + o(1) = o(1), (1.51) и поэтому при переходе к непрерывной торговле, когда h 0, дисперсия G(Т) G(0) стремится к нулю для каждого конечного интервала времени [0, T]. Следовательно, для T > 0 из соотношений (1.43)–(1.45) и (1.51) имеем, что в пределе, когда h 0, F(T) F(0) = = µk h + 1 n [ F(k) F(k 1)] = n k = f (1) [ X (k 1)](k ) n (1.52) с вероятностью единица, где µk условное математическое ожидание приращения F за единицу времени, определенное равенством (1.18). Способом, подобным анализу, проведенному в § 2, можно формально выразить предельную сумму в представлении (1.52) как сумму двух интегралов: F(T) F(0) = µ(t )dt + f (1) [ X (t )](t ), 0 0 T T (1.53) где равенство (1.53) имеет место с вероятностью единица. Как и в соотношении (1.31), стохастический дифференциал для F можно формально определить равенством dF(t) = µ (t)dt + f (1)[X(t)] (t). Кроме того, если марковское предположение (предположение 1.6) имеет место, то предельные переходные вероятности для X удовлетворяют уравнению (1.35). Наконец, хотя условие [(t)]2 = О(h) не имеет места с вероятностью единица, формальные правила дифференцирования, обеспечиваемые леммой Ито, все еще применимы. Следовательно, при переходе к непрерывной торговле процессы с исходами типа I и типа II неотличимы от процессов с исходами только типа I.

§ 4. ПРОЦЕССЫ С «РЕДКИМИ СОБЫТИЯМИ» И РАЗРЫВНЫМИ ВЫБОРОЧНЫМИ ТРАЕКТОРИЯМИ Проанализируем общий случай, когда исходы для (k), k = 1,..., n, могут быть или типа I, или типа II, или типа III. Как было справедливо для процессов, рассмотренных в § 3, и здесь фактически все наблюдения (k) будут исходами типа I. Однако в отличие от результатов, полученных в § 3, возможность редких событий с исходами типа III «имеет значение». Хотя исходы типа III с их вероятностями, пропорциональными h, «очень редкие» по сравнению с другими допустимыми исходами, величины этих исходов наибольшие. Действительно, поскольку такие исходы имеют порядок О(1), следовательно, значения X могут иметь нелокальные изменения, даже на бесконечно малом интервале времени, и поэтому результирующая выборочная траектория X будет разрывной. Анализ, демонстрирующий это и другие важные свойства, можно упростить, пренебрегая исходами типа II, и в свете результатов, достигнутых в § 3, это упрощение может быть сделано без потери общности. Утверждение 1.4. Если для k = 1,..., n по крайней мере один возможный исход для (k) является исходом типа III, то выборочная траектория в непрерывном времени для цены актива не будет непрерывной. Доказательство. Пусть Qk() будет условной вероятностью того, что |X(k) X(k 1)| при знании всей информации до момента времени k 1. Как и в доказательствах утверждений 1.2 и 1.3, необходимым и достаточным условием для непрерывности выборочной траектории X является выполнение равенства Qk() = о(h) для каждого > 0. Для каждого k будем считать, что случай j обозначает исход типа III для (k), при этом (k) = j и j = О(1);

в случае необходимости этого можно достичь путем перенумерования. Если pj является условной вероятностью того, что событие j произошло до момента времени k 1, тогда согласно равенству (1.5) вероятность pj можно записать как jh, где j = О(1). Выберем число такое, что 0 < < 1. Определим h+ равенствами h+ =, если kj 0, и h+ = ( 1)j /k, если kj < 0. Заметим, что h+ > 0 независимо от h. Определим + |j|. По определению + > 0 независимо от величины h. Поэтому для всех h таких, что 0 < h h+, если (k) = j, справедливо неравенство |X(k) X(k 1)| > +. Так что для всех h, 0 < h h+, и любого значения такого, что 0 < +, выполняется неравенство |X(k) X(k 1)| >, если (k) = j, и поэтому Qk() jh = О(h), поскольку j = О(1). Следовательно, выборочная траектория не является непрерывной. Типичная выборочная траектория будет содержать главным образом локальные или непрерывные изменения с нечастыми нелокальными изменениями, или «разрывами», соответствующими относительно редким исходам типа III (рис. 1.2). Разрывы, характерные для этой выборочной траектории, существенным образом влияют на свойства моментов X(k) X(k 1). Подобно процессам, рассмотренным в § 2 и 3, первые и вторые безусловные моменты X(k) X(k 1) асимптотически пропорциональны h. Однако в отличие от процессов тех разделов N-е безусловные абсолютные моменты, 2 < N <, также асимптотически пропорциональны h. То есть поскольку rj = 0, для всех исходов типа III E0{|(k)| } = N pj j j = m N m ( N 2) r j +1 = O(h), N > 2, = O h j 1 = где второе равенство следует из уравнения (1.5). Следовательно, все абсолютные моменты приращения X(k) X(k 1) имеют одинаковый порядок малости, и тогда ни одним из моментов нельзя пренебрегать даже при переходе к непрерывной торговле. Однако вклад исходов (k) типа I в моменты порядка более высокого, чем второй, будут незначительными. Чтобы показать это, а также получить другие результаты, полезно формально разделить исходы (k) на компоненты по типу I и типу III.

7 6 5 4 3 2 0 200 400 600 800 Рис. 1.2. Выборочная траектория непрерывного времени для цены актива с исходами типа I и типа III. Моменты времени, в которые реализуется исход типа III: k1 = 42;

k2 = 198;

k3 = 275;

k4 = 629;

k5 = Определим условную случайную величину u(k) с помощью равенства u(k) (k)/h1/2 при условии, что (k) является исходом типа I. Аналогично определим условную случайную величину y(k) равенством y(k) (k) при условии, что (k) – исход типа III. Если (k)h обозначает условную вероятность в момент времени k 1 того, что (k) имеет исход типа III, тогда для момента времени k 1 мы можем переписать (k) так: (k) = u(k) h1/2 с вероятностью 1 (k)h, (k) = y(k) с вероятностью (k)h, и по построению все величины u(k), y(k) и (k) имеют порядок О(1). Если E ky1 обозначает условное математическое ожидание в мо u мент времени k 1 по функции распределения для y(k) и E k 1 обозначает соответствующее условное математическое ожидание по распределению для u(k), тогда определим и y (k) E ky1 {y(k)} = Ek1{(k) | исход типа III} u u (k) h1/2 h1/2 E k 1 {u (k)} = Ek1{(k) | исход типа I}.

Поскольку Ek1{(k)} = 0, непосредственно из свойств условного математического ожидания следует, что (k ) y (k )h1 2 u (k) = = y h1/2 + o(h), 1 (k )h где явная зависимость u, y и от k опускается всякий раз, когда не возникает неоднозначности относительно момента времени. Пусть 2 является условной дисперсией (k) за единицу времеk ни, тогда Ek 1{ 2(k)} = 2 h, и из этого следует, что k 1 h является условной дисперсией u(k) и 2 условная дисперсия y(k). y 2 u = 2 2 k y = 2 2 + O(h), k y где 2 u 2 Заметим, что 2, u и 2 имеют порядок О(1). Далее из этого k y следует, что для N > Ek1{ N (k)} = (k) E ky1 {y N (k)}h + о(h). Таким образом, хотя исходы как типа I, так и типа III делают существенный вклад в среднее и дисперсию (k), вклад исходов типа I в моменты (k) более высокого порядка асимптотически незначителен. Завершим анализ рассмотрением характеристик распределений случайных величин, которые являются функциями цен активов. Как и в § 2, предположим, что F(t) является случайной величиной, задаваемой правилом F(t) = f(X, t), если X(t) = X, где f является функцией из C2 с ограниченными третьими частными производными. Для заданного исхода y(k) = y мы имеем по теореме Тейлора, что f [X (k 1) + k h + y, k] = f [X (k 1) + y, k 1] + f1 [X (k 1) + + y, k 1] k h + f2 [X (k 1) + y, k 1] h + о(h), (1.54) где, как и в § 2, нижние индексы у f обозначают частные производные. Аналогично для заданного исхода u(k) = u f [X (k 1) + kh + uh1/2, k] = f [X (k 1), k 1] + + f1 [X (k 1), k 1] (kh + uh1/2) + f2 [X (k 1), k 1] h + + f11 [X (k 1), k 1] u2 h/2 + о(h). 44 (1.55) По свойствам условного математического ожидания из этого следует, что Ek 1{F(k) F(k 1)} = (k)h E ky1 {F(k) F(k 1)} + u + [1 (k)h] E k 1 {F(k) F(k 1)}.

(1.56) Используя разложения (1.54) и (1.55) в равенстве (1.56) и опуская явное представление членов, которые имеют порядок малости о(h), представление можно переписать (1.56) как Ek 1{F(k) F(k 1)} = 2 = ( f11 [X (k 1), k 1] u /2 + f1 [X (k 1), k 1] (k y ) + + f2 [X (k 1), k 1] + E ky1 { f [X (k 1) + y, k 1] f [X (k 1), k 1]}) h + о(h). (1.57) Если способом, аналогичным использованному при получении равенства (1.18), определить условное математическое ожидание изменения F за единицу времени как µk Еk1{F(k) F(k 1)}/h, тогда посредством деления представления (1.57) на h и вычисления предела при h 0 можно записать мгновенное математическое ожидание изменения F за единицу времени µ(t) как 2 µ(t) = f11 [X (t), t] u /2 + f1 [X (t), t] [(t) (t) y (t)] + + f2 [X (t), t] + (t) E ky1 { f [X (t) + y, t] f [X (t), t]}.

(1.58) Заметим, что в частном случае, когда (t) = 0 и не имеется никаких исходов типа III, выражение для µ (t) в (1.58) сводится к соответствующей предельной форме (1.18). Подобным способом условные моменты изменения F более высоких порядков могут быть записаны как Еk1{[F(k) F(k 1)]2} = E ky1 { f [X (k 1) + y(k), k 1] 2 f [X (k 1), k 1]}2 h + f12 [X (k 1), k 1] u h + о(h) и для N > 2 Еk1{[F(k) F(k 1)] N} = E ky1 {f [X (k 1) + y(k), k 1] f [X (k 1), k 1]} N h + о(h). Как и в случае моментов X(k) X(k 1), все моменты приращений F(k) F(k 1) имеют такие же порядки малости, и только исходы типа III дают существенный вклад в моменты порядков более высоких, чем второй. Следовательно, при переходе к непрерывной торговле единственными характеристиками u(k), которые имеют значение, являются первые два момента. Если теперь снова принять предположение 1.6 о том, что случайный процесс X(t) является марковским, то (k) = [X (k 1), k 1];

2 2 k = k[X(k 1), k 1];

u = u [X(k 1), k 1];

gk (y), условная плотность распределения вероятностей для y(k), может быть записана как g [y(k);

X(k 1), k 1]. Как и в § 2, согласно соотношению (1.34) определим условную плотность вероятности p(x, t) для X(T) = X в момент времени T при условии, что X(t) = x. Для фиксированных X и T плотность p[X(t), t] – случайная величина, которая является функцией цены актива в момент времени t. Следовательно, при переходе к непрерывной торговле мгновенное математическое ожидание изменения p за единицу времени удовлетворяет равенству (1.58). Однако поскольку p является плотностью вероятности, математическое ожидание ее изменения равно нулю. Подставив условие µ (t) = 0 в равенство (1.58), получим, что p должно удовлетворять уравнению 2 0 = u p11(x, t)/2 + ( y ) p1(x, t) + p2(x, t) + + [ p ( x + y, t ) p ( x, t )] g ( y;

x, t )dy, (1.59) т. е. линейному дифференциально-разностному уравнению в частных производных для переходных вероятностей p (x, t). 2 Следовательно, знания функций u,, и g достаточно, чтобы определить распределение вероятностей изменения X между любыми двумя датами. Кроме того, с помощью уравнения (1.59) можно показать, что асимптотическое распределение для X(t) идентично асимптотическому распределению случайного процесса, управляемого линейной суперпозицией диффузионного процесса с непрерывной выборочной траекторией и процесса Пуассона. То есть пусть Q(t + h) Q(t) – случайная величина с распределением Пуассона с характеристическим параметром [X(t), t]h. Определим формально дифференциал dQ(t) как предел разности Q(t + h) Q(t) при h dt. Тогда из свойств плотности распределения Пуассона следует, что dQ(t) = 0 с вероятностью 1 [X(t), t] dt + о(dt);

dQ(t) = 1 с вероятностью [X(t), t] dt + о(dt);

dQ(t) = N с вероятностью о(dt), N 2. Определим случайный процесс X1(t) как решение уравнения dX1(t) = y (t)dQ(t), где случайная величина y(t) порядка малости О(1) имеет плотность вероятностей g[y(t);

X(t), t]. Тогда dX1 является примером процесса Пуассона. Заметим, что мгновенное математическое ожидание изменения dX1 равно y (t)dt. Определим второй случайный процесс X2(t) с помощью уравнения dX2(t) = 'dt + ' dW, где dW винеровский процесс, определенный уравнением (1.37) в § 2. Из уравнения (1.39) следует, что dX2 является диффузионным процессом с непрерывной выборочной траекторией. Если функция ' выбрана такой, что ' [X(t), t] [X(t), t] y (t), а ' u[X(t), t], то согласно уравнению (1.59) предельный процесс изменения X, dX(t) будет идентичен процессу, задаваемому суммой dX1(t) + dX2(t). Следовательно, без потери общности, всегда можно описывать динамику непрерывной торговли X(t) стохастическим дифференциальным уравнением dX(t) = { [X(t), t] [X(t), t] y (t)} dt + + [X(t), t] dW(t) + y(t)dQ(t), (1.60) где мгновенное математическое ожидание изменения X за единицу времени;

2 мгновенная дисперсия изменения X, условная по изменению исходов типа I;

dt – вероятность того, что изменение X за время dt является исходом типа III;

y(t) случайная величина исхода при изменении X, условная по изменению, являющемуся исходом типа III. Как было показано в § 2, стохастическое дифференциальное уравнение (1.60) фактически определяется стохастическим интегра лом X(T) X(0) = 0 dX (t ). Конечно, если 0 и происходят только T исходы типа I, тогда уравнение (1.60) сводится к виду (1.39). Аналогично можно показать, что представление F в виде стохастического дифференциала может быть написано как dF(t) = { 2f11[X (t), t]/2 + ( y )f1[X (t), t] + f2[X (t), t]}dt + + f1[X (t), t] dW(t) + { f [X(t) + y (t), t] f [X(t), t]} dQ(t). (1.61) Таким образом, если динамика X(t) может быть описана суперпозицией процесса диффузии и процесса Пуассона, тогда динамика «хороших» функций от X(t) может быть описана таким же образом. Следовательно, равенство (1.61) обеспечивает правило преобразования, соответствующее лемме Ито для чистых диффузионных процессов. Итак, если экономическая структура, которую требуется проанализировать, такая, что предположения 1.1–1.5 выполняются, тогда в моделях непрерывной торговли динамика цен активов, всегда может быть описана без потери общности «смесью» диффузионных процессов с непрерывными выборочными траекториями и процессами Пуассона. Диффузионная составляющая процесса описывает частые локальные изменения в ценах и в действительности достаточна в структурах, где фазовые переменные не могут изменяться «радикально» за короткий период времени. Пуассоновская составляющая процесса используется, чтобы охватить те редкие события, когда фазовые переменные имеют нелокальные изменения и «скачки» цен активов. Хотя введение скачкообразной составляющей существенно осложняет выкладки по сравнению со случаем чисто диффузионного процесса, анализ для общей модели непрерывной торговли все-таки намного проще, чем для ее аналога дискретной торговли. Как продемонстрировано в уравнении (1.59), переходные вероятности полностью определяются только четырьмя функциями –,, и g. Это упрощает структурный анализ, и делает выполнимым тестирование таких структур модели опытным путем. Поскольку для заданной величины изменения каждая из составляющих имеет различный «масштаб времени», эксперименты можно планировать так, что все эти различные функции могут быть идентифицированы. Например, используя данные временного ряда с очень короткими интервалами времени между наблюдениями, можно идентифицировать любые «нелокальные» изменения наблюдаемых цен как «скачки» и, следовательно, вычислить оценку. Аналогично квадраты локальных изменений наблюдаемых цен могут быть использованы для оценки 2. Наконец, имея оценки и 2, можно использовать изменения цен в течение достаточно продолжительного временного периода для оценки и y.

ГЛАВА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– МОДЕЛЬ БЛЭКА – ШОУЛСА И ЕЕ МОДИФИКАЦИИ § 1. ФИНАНСОВЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Производной ценной бумаги (финансовой производной, derivative security, contingent claim) называется ЦБ, стоимость которой зависит от стоимости других, лежащих в основе активов. В последние годы производные ЦБ приобретают постоянно растущую важность в финансовой области. Для того чтобы проиллюстрировать постоянно растущую активность на финансовом рынке, приведем несколько цифр. Крупнейшей биржей, торгующей финансовыми инструментами, является биржа Чикагского управления торговли (СВОТ, США). На ней в 1976 г. заключено около 129 тыс. финансовых контрактов и около 19 млн контрактов на сельскохозяйственную и металлургическую продукцию. Через 14 лет, в 1990 г., эти цифры изменились следующим образом: свыше 114 млн финансовых контрактов и около 40 млн контрактов на сельскохозяйственную и металлургическую продукцию. Таким образом, число финансовых контрактов увеличилось почти в 1000 раз, а число контрактов на товарную продукцию только в 2 раза. Что касается финансовых производных, то рост контрактов в этой сфере еще значительнее. История широкого распространения финансовых производных (ФП) началась с составления в одном из чикагских отелей схемы переводного векселя, который решительно изменил международные финансовые рынки. Переводной вексель был первым в мире фьючерсным контрактом (фьючерсом, futures), который начал продаваться на чикагской бирже СВОТ в октябре 1975 г. Менее чем через два года после этого, в августе 1977 г., был запущен фьючерсный контракт на облигации Казначейства США и до конца года продано свыше 22 тыс. таких фьючерсов. В 1990 г. заключено уже 76 млн фьючерсных контрактов. За один только день 9 июня 1989 г. было заключено 704 400 контрактов на общую номинальную стоимость 70 440 млн долл. Все эти цифры являются показателями активности только на одной бирже СВОТ. В апреле 1983 г. СВОТ создал Чикагскую биржу торговли опционами (СВОЕ) с единственной целью торговать опционами на ограниченное число акций Нью-Йоркской фондовой биржи. В 1990 г. на СВОЕ было продано уже более 28 млн опционных контрактов, что составило по объему продаж около 25 % общего объема СВОТ. Эти цифры говорят о том, что созданные финансовые инструменты привлекательны для широкого круга участников финансовых рынков, число которых резко увеличилось. Рассмотрим более детально структуру основных финансовых производных.

Опционы Торговля опционами (option) на акции, как было сказано выше, впервые организована на бирже в 1973 г. Лежащими в основе этих ФП активами являются акции, индексы акций, иностранная валюта, долговые инструменты, товары и фьючерсные контракты. Имеются два основных типа опционов. Опционы-колл (call option) дают право владельцу купить лежащий в основе актив в определенную дату по определенной цене. Опционы-пут (put option) дают право владельцу продать лежащий в основе актив в определенную дату по определенной цене. Контрактная цена называется ценой исполнения (exercise price, strike price);

контрактная дата – датой истечения (expiration date), датой исполнения (exercise date) или погашения (maturity). Американские опционы (American option) могут быть исполнены в любое время до даты истечения, а европейские опционы (European option) – только в саму дату истечения. (Заметим, что термины «американские» и «европейские» относятся не к месту заключения контракта или расположению биржи, а определяют тип опциона.) Большинство опционов, которыми торгуют на биржах, – американские. Однако европейские опционы обычно легче анализировать, чем американские, и некоторые свойства американского опциона часто выводятся из свойств его европейского аналога. Следует подчеркнуть, что опцион дает владельцу право сделать что-то. Владелец не обязан использовать это право. Этот факт отличает опционы от форвардов и фьючерсов, когда владелец обязывается купить или продать лежащий в основе актив. Заметим также, что в то время как при оформлении форвардного или фьючерсного контракта не требуется никаких расходов, чтобы приобрести опционный контракт, инвестор должен заплатить. Существуют две стороны в каждом опционном контракте. С одной стороны имеется инвестор, который занял длинную позицию (т. е. купил опцион), а с другой – инвестор, который занял короткую позицию (т. е. продал или написал (has written) опцион). Продавец опциона получает деньги сразу, но имеет потенциальные обязательства позже. Его прибыль или потери являются обратными по отношению к тем, которые имеет покупатель опциона. Часто позиции европейского опциона полезно характеризовать через выплаты инвестору при погашении. При этом начальная стоимость опциона не учитывается при расчетах. Если K является ценой исполнения, а ST – окончательной ценой лежащего в основе актива, в европейском опционе-колл длинная позиция будет выплачивать сумму max (ST – K, 0). Это отражает тот факт, что опцион будет исполнен, если ST > K, и не будет исполнен, если ST K. Держателю короткой позиции в европейском опционе-колл выплачивается сумма, равная max (ST – K, 0) = min (K – ST, 0). Выплата держателю длинной позиции в европейском опционе-пут равна max (K – ST, 0).

Другие финансовые производные В последние годы банки и другие финансовые учреждения были очень изобретательны в создании нестандартных ФП для удовлетворения нужд клиентов. В одних случаях финансовые учреждения продают ФП непосредственно своим клиентам. В других случаях ФП добавляются к выпускам облигаций или акций, чтобы сделать эти выпуски более привлекательными для инвесторов. Некоторые из ЦБ являются просто комбинациями более простых контрактов, таких как форварды или опционы, а другие – более сложными. Возможности для конструирования новых интересных финансовых производных неограничены. Этими проблемами занимается специальный раздел финансового анализа – финансовая инженерия. Рекомбинируя существующие рисковые финансовые инструменты, финансовый инженер улучшает конкурентную способность контрактов и приспосабливает их к нуждам конкретных инвесторов.

§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕН ОПЦИОНОВ. МОДЕЛЬ БЛЭКА – ШОУЛСА.

В своей знаменитой работе Ф. Блэк и М. Шоулс (Black, Scholes, 1973), отмеченной в 1997 г. Нобелевской премией, получили дифференциальное уравнение для цен финансовых производных, зависящих от цены акции, не выплачивающей дивидендов. Основной смысл рас суждений, которые использовали авторы, в том, что составляется безрисковый портфель, содержащий позиции в двух финансовых контрактах: финансовой производной и акции. Затем доход портфеля приравнивается к доходу, получаемому от такой же по величине инвестиции при безрисковой ставке. В модели Блэка – Шоулса портфель остается безрисковым только в течение короткого периода времени. Тем не менее можно доказать, что доход в течение этого короткого временного периода должен быть безрисковой процентной ставкой, если арбитражные возможности отсутствуют. Такой безрисковый портфель можно создать, если и цена акции, и цена финансовой производной подвергаются единственному одному и тому же источнику неопределенности. Это означает, что в течение любого короткого периода времени неопределенности как в цене акции, так и в цене финансовой производной полностью коррелированы. Когда такой портфель из финансовой производной и акции составлен, прибыль (или потери) акции компенсируется потерями (или прибылью) финансовой производной так, что полная стоимость портфеля в конце короткого периода времени достоверно известна. Перечислим предположения, которые лежат в основе анализа. 1. Торговля активами производится в непрерывном времени. 2. Безрисковая процентная ставка r является постоянной и одинаковой для всех сроков погашения. 3. Цена актива S изменяется во времени случайно, образуя случайный процесс, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению dS = µ S dt + S dW(t), где µ и являются постоянными. 4. Не имеется никаких безрисковых арбитражных возможностей. 5. Разрешается короткая продажа активов с использованием выручки в полном объеме, т. е. активы и их финансовые производные свободно продаются и покупаются без ограничений. 6. Не имеется каких-либо расходов на совершение сделок и налоги. Могут продаваться (покупаться) какие угодно доли всех активов. 7. В течение срока действия финансовых производных никакие дивиденды не выплачиваются. При этих предположениях удается доказать, что стоимость финансовой производной будет зависеть только от цены актива S, времени t и от параметров, которые считаются известными константами. Тогда, поскольку цена актива S – случайный процесс, цена финансовой производной f (S, t) сама является случайным процессом, который удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению, определяемому по формуле Ито:

2 f µS + f + 1 f 2 S 2 dt + f SdW (t ). df = S t 2 S 2 S Разностная версия стохастических уравнений для цен S и f имеет вид S = µ t + SW(t), 2 f µS + f + 1 f 2 S 2 t + f SW (t ), f = S S t 2 S где S и f – изменения цен S и f через короткий временной интервал t. Напомним, что по предположению, неопределенности в ценах акции и финансовой производной (ФП) порождаются одним и тем же источником случайных возмущений. Формально это означает, что стандартный винеровский процесс W(t) в уравнениях для цен S и f является одним и тем же и (W(t))2 = t. Из этого следует, что, составляя портфель из акции и ФП, можно исключить из его стоимости источник неопределенности в виде приращений винеровского процесса. Такой портфель состоит из следующих ЦБ: 1 короткая позиция в контракте ФП и f S длинных позиций в контракте акции. По определению стоимость такого портфеля V = – f + (f S ) S. Поэтому изменение стоимости V через интервал времени t V = f + (f S ) S. Подставив сюда приращения f и S в явном виде, получим следующее выражение для изменения стоимости портфеля: f 1 2 f 2 2 V = t 2 S 2 S t. Поскольку это выражение не включает случайных приращений, то в течение времени t такой портфель должен быть эквивалентен некоторому безрисковому портфелю. Согласно принятым предположениям, такой портфель в течение времени t должен приносить такой же доход, как и краткосрочный актив той же стоимости с безрисковой процентной ставкой. В противном случае был бы возможен арбитраж, т. е. безрисковое получение прибыли. Из этого следует, что для того, чтобы таких возможностей получения безрисковой прибыли не было, изменение стоимости портфеля за короткий промежуток времени t должно быть равно процентам краткосрочного безрискового актива такой же стоимости, т. е. V = rVt, где r является безрисковой процентной ставкой. Подставляя явные выражения для V и V и сокращая обе части равенства на t, получаем знаменитое дифференциальное уравнение Блэка – Шоулса для цены финансовой производной: 2 f f 1 2 2 f + rS + S = rf. t S 2 S 2 Рассмотрим опцион-колл европейского типа с ценой исполнения K и датой исполнения Т на лежащий в основе актив стоимостью S. Как было определено выше, владелец этого опциона в дату Т имеет право купить одну лежащую в основе контракта акцию по цене K у продавца опциона. Владелец опциона никоим образом не обязан покупать эту акцию. Право купить одну лежащую в основе контракта акцию по цене K распространяется только на дату Т. Отсюда следует, что опцион имеет смысл исполнять только тогда, когда его стоимость будет неотрицательной, т. е. в дату Т стоимость опциона будет равна f (Т) = max{S (Т) K, 0}. Это равенство следует рассматривать, как граничное условие при решении уравнения Блэка – Шоулса в случае европейского опциона-колл. Таким образом, разнообразие финансовых производных задает разнообразие граничных условий и, следовательно, формул для определения цен этих финансовых производных. Заметим также, что уравнение Блэка – Шоулса определяет безрисковый портфель только локально, т. е. на очень короткий интервал времени (t, t + dt). Поэтому для того чтобы портфель был безрисковым в течение интервала времени (t, Т), необходимо в каждый момент этого интервала модифицировать портфель так, чтобы он содержал f S длинных позиций на лежащий в основе актив, т. е. число этих позиций должно постоянно модифицироваться, иначе говоря, зависеть от времени. Теперь получим знаменитую формулу Блэка – Шоулса определения стоимости европейского опциона-колл. Для этого необходимо решить уравнение при граничном условии f (Т) = max{S (Т) K, 0}. Использовав методы решения уравнений в частных производных, получим f (t) = S (t) Ф(d1) Kеr (Т t)Ф(d2), (2.1) где Ф(d) – функция стандартного нормального распределения, а d1 и d2 определяются следующими формулами: ln[S (t ) K ] + (r + 2 2)(T t ) d1 =, T t d2 = ln[S (t ) K ] + (r 2 2)(T t ) = d1 T t. T t Стоимость европейского опциона-пут находим аналогично. В этом случае нам нужно решить уравнение Блэка – Шоулса при несколько другом граничном условии f (Т) = max{K S (Т), 0}. В этом случае получим f (t) = Kеr (Т t)Ф(d2) S(t) Ф(d1), (2.2) где используемые в этой формуле обозначения имеют тот же смысл, что и в формуле (2.1). Таким образом, разработанная Блэком и Шоулсом модель особенно привлекательна тем, что она базируется на общей равновесной постановке задачи и ее конечная формула является функцией «наблюдаемых» переменных. Несомненная особенность формулы (2.1) в том, что она не зависит от ряда параметров. Цена опциона не зависит от ожидаемой доходности на обыкновенную акцию, предпочтений инвесторов или средней массы активов. Это важный результат, поскольку ожидаемая доходность не наблюдается непосредственно, а оценки по прошлым данным обычно неточные из-за нестационарности. Это также подразумевает, что попытки использовать цену опциона ожидаемой доходности акции или рисковых предпочтений инвесторов приводят к ошибкам. Цена опциона зависит от процентной ставки («наблюдаемой») и полной дисперсии доходности на обыкновенную акцию, которая часто является стабильным параметром и, следовательно, может быть точно оценена из временных рядов данных. В большинстве предшествующих работ получали подобные формулы. Однако они были незавершенными, так как включали один или более произвольных параметров. В качестве примера приведем формулу Спренкла для стоимости опциона, которую можно записать так: kS Ф(b1) – k*KФ(b2), ln kS / K + 0,5 2 (T t ) ln kS / K 0,5 2 (T t ) b1 =, b2 =. (T t ) (T t ) В этом выражении используются те же обозначения, что и в формуле (2.1), а константы k и k* являются неизвестными параметрами. К. Спренкл определяет k как отношение ожидаемого значения цены акции в момент погашения опциона к текущей цене акции, а k* – как дисконтирующий множитель, который зависит от «риска акции». Он пытался оценить значения k и k* эмпирически, но это оказалось невозможным. Другая модель, модель Самюэльсона и Мертона (1969), хотя и является очень простой (три актива и один инвестор), но полной. Она основана на общей равновесной формулировке и приводит к формуле f ( S, ;

K ) = e r KS ( ZS K )dQ( Z ;

), (2.3) где Q – функция распределения вероятностей случайной величины Z с математическим ожиданием er, = Т t. Формулы (2.1) и (2.3) будут одинаковыми только в частном случае, когда dQ является логнормальной плотностью с дисперсией lnZ, равной 2. Это встречается только, если: 1) объективные доходы на акцию логнормально распределены;

2) функции полезности инвесторов равномерно эластичны (iso-elastic);

3) предложения как опционов, так и облигаций находятся на начальном уровне. Однако Q является отрегулированным риском распределением, зависящим как от рисковых предпочтений, так и от совокупных предложений, в то время как распределение в формуле (2.1) – реальное распределение доходностей на обыкновенную акцию. По мнению Блэка и Шоулса, Самюэльсон и Мертон не получили формулу (2.1) потому, что они не рассматривали других активов.

Вывод формулы (2.1) является интуитивным. Вместе с тем эта формула – очень важный результат, и такой важный результат требует строгого вывода. В таком случае строгий вывод требуется не только для удовлетворения «чистоты», но и для проникновения в суть необходимых условий для получения формулы. Блэк и Шоулс рассматривали только конечные граничные условия, поэтому их анализ строго применим к европейским опционам, хотя можно показать, что стоимость европейского опциона часто совпадает со стоимостью американского. Далее рассмотрим строгий анализ модели Блэка – Шоулса, предложенный Мертоном (1973) и считающийся специалистами в области финансовой экономики основным (в 1997 г. Нобелевская премия по экономике была присуждена и Мертону за этот вывод). Отметим также, что анализ Мертона проводится при несколько отличающихся предположениях, которые можно считать более общими по сравнению с теми, которые использовали Блэк и Шоулс.

§ 3. МОДЕЛЬ БЛЭКА – ШОУЛСА: ВЫВОД МЕРТОНА Сначала рассмотрим случай европейского опциона, когда не делается никаких платежей по обыкновенной акции в течение действия контракта. Хотя анализ, представленный здесь, основан на предположениях и технических средствах, отличающихся от использованных Блэком и Шоулсом, идея постановки задачи и результаты дают ту же формулу при совпадении предположений. Предположения Мертона следующие. 1. Рынок «невязкий» (frictionless): нет никаких издержек на совершение сделок или дифференцированные налоги. Торговля осуществляется непрерывно, без ограничений допускаются займы и короткие продажи. Ставки займов и ссуд одинаковы. Предположения неограниченного заимствования и коротких продаж могут быть ослаблены и полученные результаты будут справедливыми при разделении портфелей на два: один содержит обыкновенную акцию, а другой – опцион плюс длинную позицию в облигациях. 2. Динамика цены акции: мгновенный доход на обыкновенную акцию описывается стохастическим дифференциальным уравнением dS = dt + dW, S 58 (2.4) где – мгновенная ожидаемая доходность на обыкновенную акцию, 2 – мгновенная дисперсия доходности;

W – стандартный винеровский процесс. Функция дрейфа может быть стохастической переменной наиболее общего типа, включая зависимость от уровня цены акции или доходностей других активов. Поэтому не делается никаких предположений относительно того, что dS S – процесс с независимыми приращениями или стационарный, хотя dW им является. Однако – нестохастическая и, более того, известная функция времени. 3. Динамика цены облигации: Р() определяется как и в предыдущих разделах, и динамика ее доходности описывается уравнением dP = µ()dt + ()dq(t;

), P (2.5) где µ – мгновенная ожидаемая доходность, 2 – мгновенная дисперсия и q(t;

) является стандартным винеровским процессом для срока погашения. Допускается возможность влияния временной структуры, но не предполагается, что dq для одного срока погашения полностью коррелировано с dq для другого срока погашения, т. е. dq(t;

) dq(t;

Т) = Т dt, где Т может быть меньше 1 для Т. Однако предполагается, что не имеется сериальной корреляции между (непредвидимыми) доходностями на любой из активов, т. е. для любых s t dq(s;

) dq(t;

Т) = 0, dq(s;

) dW(t) = 0, что согласуется с гипотезами Фамы Самюэльсона для общего эффективного рынка. Функция дрейфа µ() может быть, например, стохастической изза зависимости от уровня цен облигаций и различной для разных сроков погашения. Из-за того, что Р() является ценой дисконтируемого займа без какого-либо риска дефолта, равенство Р(0) = 1 достоверно, а () будет детерминированно зависеть от и (0) = 0. Однако, с другой стороны, предполагается нестахостической и независимой от уровня цен Р. В частном случае, когда процентная ставка является нестохастической и постоянной в течение времени 0, µ = r, Р() = е r. Следует заметить, предполагается только, что непредвиденные доходности на облигации не являются сериально коррелированными. Так как цены облигаций будут равны их выкупной цене при погашении, полные доходности в течение времени не могут быть некоррелированы. Нельзя никак получить это конкретизацией уравнения (2.5), хотя подразумевается, что дисперсия непредвиденных доходностей должна быть функцией времени до погашения. В качестве примера предположим, что цены облигаций для всех сроков погашения являются функциями только текущей (или будущей) краткосрочной процентной ставки. Далее предположим, что краткосрочная ставка r следует винеровскому процессу с (возможным) дрейфом, т. е. dr = аdt + gdW, где а и g – константы. Хотя этот процесс нереалистичен, поскольку подразумевает положительную вероятность отрицательных процентных ставок, он может быть взят для иллюстративных целей. Предположим, что все облигации оцениваются так, чтобы дать ожидаемую доходность на следующем периоде равную r (т. е. в форме гипотезы ожидания): a g 2 3 dP P (;

r ) = exp r 2 + = rdt + gdW., P 2 6 По построению dW не является сериально-коррелированным и в обозначениях (2.5) () = g. 4. Предпочтения инвестора и ожидания: не нужно никаких предположений о предпочтениях инвестора, кроме того, что в теории определения рациональной цены опциона необходимо, чтобы цена опциона определялась так, чтобы не было доминирующих ценных бумаг. (А доминирует над В, если в некоторую известную дату в будущем доходность А будет превышать доходность В для некоторого возможного состояния среды и будет такой же, как доходность В во всех других состояниях среды.) Все инвесторы согласны со значениями и и с характеристиками распределений dW, dq. Не предполагается, что они согласны со значениями и µ. Это предположение гораздо более приемлемо, чем обычное предположение об однородном математическом ожидании. Наиболее разумно ожидать, что инвесторы могут иметь очень разные оценки текущей (или будущей) ожидаемой доходности, вызванные различными уровнями доступной им информации, техники анализа и т. д. Однако большинство аналитиков оценки дисперсий и ковариаций вычисляет путем использования данных о предыдущих ценах. Так как у всех есть доступ к одному и тому же массиву данных о ценах, то разумно предположить, что их оценки дисперсий и ковариаций будут одинаковыми. На основе предыдущего анализа разумно предположить, что цена опциона является функцией цены акции, цены безрисковой облигации и срока до истечения контракта. Если обозначить функцию цены опциона через H(S, P, ;

K), тогда при заданных предположениях о распределении S и P по формуле Ито можем вывести, что изменение цены опциона во времени удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению dH = H1dS + H2dP + H3d + + [H11(dS)2 + H22(dP)2 + 2H12(dS dP)]/2, (2.6) где нижними индексами для краткости обозначены частные производные по первым двум переменным и (dS)2 2S 2dt, (dР)2 2Р 2dt, d = dt, (dS dP) SPdt, а является мгновенным коэффициентом корреляции между (непредвиденными) доходностями на акцию и облигацию. Используя уравнения (2.4) и (2.5) и преобразовывая получающееся выражение, уравнение (2.6) можно переписать в форме dH = Hdt + HdW + Hdq, где мгновенная ожидаемая доходность на опцион = [ 2S 2 H11/2 + SPH12 + 2Р 2H22/2 + S H1 + µ PH2 H3] /H, SH1/H и РH2/H. Следуя формулировке Блэка – Шоулса, рассмотрим портфель, содержащий обыкновенную акцию, опцион и безрисковые облигации со сроком до погашения, равным сроку истечения опциона, полагая, что совокупная инвестиция в портфель равна нулю. Это достигается путем использования процесса коротких продаж и займов для финансирования длинной позиции. Пусть V1 будет (мгновенным) количеством денег портфеля, инвестированных в обыкновенную акцию, V2 – количество денег, инвестированных в опцион, и V3 – количество денег, инвестированных в облигацию. Тогда условие нулевой совокупной инвестиции можно записать как V1 + V2 + V3 = 0. Если dY является мгновенной денежной доходностью портфеля, можно показать, что 61 (2.7) dY = V dS dH dP + V2 + V3 = [V1 ( µ) + V2 ( µ)]dt + S H P + [V1 + V2 ]dW + [V2 (V1 + V2 )]dq, (2.8) где V3 = (V1 + V2) в принципе можно исключить. Предположим, что стратегия Vj = Vj* может быть такой, что коэффициенты при dW и dq в уравнении (2.8) будут всегда равны нулю. Тогда долларовая доходность портфеля dY* будет нестохастической. Так как портфель предполагает нулевую инвестицию, он должен быть таким, чтобы избегать арбитражной доходности, и ожидаемая доходность на портфель при этой стратегии равна нулю. Термин арбитраж используется в том смысле, что предположения о распределении и другие предположения известны и выполняются достоверно. Более слабая форма говорит: если доходность портфеля нулевая, то или опцион или обыкновенная акция была бы доминирующей ценной бумагой. Два портфельных условия и условие равновесия приводят к линейной системе трех уравнений относительно двух переменных:

V1 * ( µ) + V2 * ( µ) = 0, V1 * + V2 * = 0, V1 * + V2 * ( ) = 0.

(2.9) Нетривиальное решение системы (2.9) существует, если и только если µ ==. µ (2.10) Согласно нашим предположениям,,,, µ и являются экзогенными параметрами модели (по отношению к цене опциона), а, и должны определяться так, чтобы избежать доминирования любой из трех ЦБ. Если соотношение (2.10) имеет место, тогда / = 1 /, что согласно определению и уравнению (2.7) подразумевает, что SH 1 PH 2 = 1, или H = SH1 + PH2. H H (2.11) Хотя по теореме Эйлера это не является достаточным условием, равенство (2.11) – необходимое условие, чтобы Н была однородной функцией первой степени относительно (S, Р). Второе равенство (2.10) записывается как µ = ( µ) /, которое согласно определению и в уравнении (2.7) приводит к выражению 2S 2H11/2 + SPH12 + 2Р 2H22/2 + + SH1 + µPH2 H3 µH = SH1( µ), что путем перестановки слагаемых можно записать как соотношение 2S 2H11/2 + SPH12 + 2Р 2H22/2 + + µSH1 + µPH2 H3 µH = 0. (2.12) Используя равенство (2.11) в соотношении (2.12), последнее можно переписать как уравнение [ 2S 2H11 + 2SPH12 + 2Р2H22]/2 H3 = 0, (2.13) которое является линейным уравнением в частных производных параболического типа второго порядка. Если Н – стоимость европейского опциона, тогда Н должно удовлетворять уравнению (2.13) при следующих граничных условиях: H(0, P, ;

K) = 0, H(S, 1, 0;

K) = mах [0, S K], (2.14) (2.15) так как по предположению Р(0) = 1. Определим переменную х S/KР(), которая является ценой на долю акционерного капитала в единицах исполнения платежа в фиксированную дату в будущем (в дату истечения опциона). Переменная х является вполне определенной ценой при 0, и из уравнений (2.4), (2.5) и формулы Ито динамика переменной х описывается стохастическим дифференциальным уравнением dx = [ µ + 2 ]dt + dW + dq. x Из этого уравнения ожидаемая доходность на х будет функцией S, Р и так далее через и µ, а мгновенная дисперсия V 2() доходности инвестиции х будет равна 2 + 2 2 и будет зависеть только от. Мотивируя возможной однородностью свойств Н, попробуем ввести переменную h(х, ;

K) = H(S, Р, ;

K) / KР, где h предполагается независимой от Р и является ценой опциона, измеряемой в тех же единицах, что и х. Подстановка (h, х) вместо (Н, S) в равенства (2.13) – (2.15) приводит к дифференциальному уравнению в частных производных для h V 2х2 h11/2 h2 = 0 (2.16) с граничными условиями h (0, ;

K) = 0 и h (х, 0;

K) = mах [0, х 1]. Из уравнения (2.16) и его граничных условий следует, что h является функцией только х и, так как V2 – функция только. Отсюда вытекает принятое свойство однородности Н. Далее, поскольку h не зависит от K, то Н действительно однородная функция первой степени относительно [S, KР()]. Рассмотрим новую временную переменную Т = мы определим функцию у (х, Т) h (х, ) и подставим ее в (2.16), тогда она должна удовлетворять уравнению х2 у11/2 у2 = 0 (2.17) 0 V ( s )ds. Если с граничными условиями у (0, Т) = 0 и у (х, 0) = mах [0, х 1]. Предположим, что мы установили цену опциона в ее «полной функциональной форме» Н(S, Р, ;

K, 2, 2, ). Тогда у = Н(х, 1, Т;

1, 1, 0, 0) и является ценой опциона за Т лет до его истечения с ценой исполнения, равной одной денежной единице на акцию с единичной мгновенной дисперсией доходности, когда рыночная процентная ставка равна нулю в течение действия контракта. Как только мы решим уравнение (2.17) для цены этого «стандартного» опциона, то путем замены переменных получим цену любого европейского опциона:

S H(S, P, ;

K) = KР() y, V 2 ( s)ds. KP( ) (2.18) Отсюда для эмпирического применения нужно вычислить только таблицы цен «стандартных» опционов как функции двух переменных, цены акции и времени до истечения, чтобы вычислять цены опционов в общем случае. Чтобы решить уравнение (2.17), преобразуем его к стандартной форме заменой переменных Z = ln х + Т/2 и (Z, Т) у (х, Т)/х, а затем, подставив результат в уравнение (2.17), получим 0 = 11/2 2 (2.19) с граничными условиями: | (Z, Т)| 1 и (Z, 0) = mах [0, 1 е Z]. Уравнение (2.19) является стандартной задачей со свободными границами, которая решается методом разделения переменных или с помощью преобразований Фурье. Его решение имеет вид у(х, Т) = х(Z, Т) = [х еrfс(h1) еrfс(h2)] / 2, 2 2 h e t dt h (2.20) где еrfс(h) – обозначение дополнения к известной специальной функции ошибок еrf(h): еrfс(h) = 1 еrf(h) = = 1 Ф( h 2 );

h1 = [ln х + Т/2] / 2T, а h2 = [ln х Т/2] / 2T. Равенство (2.20) совпадает с уравнением (2.1) при r = 0, 2 = 1 и K = 1. Поэтому (2.18) будет идентично равенству (2.1), являющемуся формулой Блэка – Шоулса в частном случае нестохастической и постоянной процентной ставки (т. е. = 0, µ = r, Р = е r и Т = 2 ). Уравнение (2.17) точно соответствует уравнению Самюэльсона для цены опциона в его «линейной» модели, когда цена акции логнормально распределена с параметрами = = 0 и 2 = 1. Отсюда процедура, определяемая формулой (2.20), может быть использована вместе с выражением (2.18) для проведения вычислений по формуле Самюэльсона, если вместо Р() в выражение (2.18) подставить е. Так как в его теории – математическое ожидание доходности на рисковый актив, следует ожидать, что е < Р(). Это неравенство влечет, что прогнозируемые стоимости опционов в теории Самюэльсона будут выше, чем прогнозируемые цены теории Блэка – Шоулса или рассматриваемой здесь модели, что вытекает из следующей теоремы. Теорема 2.1. Для данной цены акции цена опциона является невозрастающей функцией Р() и, следовательно, неубывающей функцией -летней процентной ставки. Доказательство. Первое следует непосредственно из утверждения, так как рост по Р эквивалентен росту по K, что никогда не увеличивает стоимости опциона. Формально Н есть выпуклая функция S, проходящая через начало координат. Откуда Н – SН1 0. Но из равенства (2.11) Н – SН1 = РН2, поэтому Р 0 и Н2 0. Наконец, по определению Р() является убывающей функцией -летней процентной ставки. Поскольку мы применили к уравнению (2.13) только граничные условия на конце траектории, то цена опциона получена для европейского опциона. Точные граничные условия для американского опциона включали бы неравенство арбитражной границы H(S, Р, ;

K) mах [0, S K]. Так как предполагается, что никаких дивидендов не выплачивается и изменения цены исполнения не происходит в течение времени действия контракта, естественно, что если формулировка нашей задачи лежит в рамках рациональной теории, тогда цена опциона будет удовлетворять более строгому неравенству H mах [0, S KР()], которое однородно по S и KР(), и американский опцион будет иметь ту же стоимость, что и его европейский эквивалент. Можно показать, что решения уравнений в виде (2.1) и (2.20) всегда будут иметь значения такого же порядка, что и mах [0, S K];

Самюэльсон и Мертон доказали это при более общих условиях. Следовательно, для формальной проверки здесь нет необходимости. Прямым результатом одинаковых стоимостей европейского и американского опционов будет следующее. Теорема 2.2. Цена опциона является неубывающей функцией дисперсии доходности акции. Доказательство. Согласно выражению (2.18), изменение цены Н относительно дисперсии будет пропорционально у2. Но у является ценой американского опциона и, следовательно, должна быть неубывающей функцией времени до истечения, т. е. у2 0. Фактически теорема 2.2 – частный случай более общего утверждения: цена опциона, определяемая рационально, является неубывающей функцией рискованности связанной с ним обыкновенной акции. Однако в общем случае увеличение дисперсии не обязательно ведет к увеличению риска, но в данном случае справедливо, что дисперсия – обоснованная мера риска для этой модели. Для того чтобы доказать, что дисперсия – состоятельная мера риска в модели Блэка – Шоулса, используем эквивалентное альтерна тивное определение (Ротшильд и Стиглиц) большей рискованности: Х является более рискованным, чем Y, если при Е[Х] = Е[Y] для любой вогнутой функции полезности U имеет место ЕU(Х) ЕU(Y). Так как формула Блэка – Шоулса (2.1) для цены опциона не зависит от ожидаемой доходности на акцию и доходность акции предполагается логнормально распределенной, другие ценные бумаги различаются единственным параметром 2. Поэтому без потери общности можно принимать, что = 0, и доказать результат посредством того, что для всякой вогнутой функции U математическое ожидание ЕU(Z) является убывающей функцией, а Z – логнормальная случайная величина с Е(Z) = 1 и дисперсией ln(Z), равной 2.

2 2 2 dZ EU ( Z ) = U ( Z ) exp ln Z + 2 2 Z = 22 0 = x2 2 1 + U expx exp dx ;

2 2 2 ln Z + ). (после замены переменной х ( x ) 2 EU ( Z ) 1 + U = exp ( x )dx = 2 2 = 1 + U (e y + ) ye y2 U (e y + 2 2 ) dy Cov, y. Однако U(у) является убывающей функцией у из-за вогнутости функции U. Следовательно, по теореме Харди сov[U, у] < 0. Поэтому EU < 0 для всех вогнутых функций U. Мы получили формулу (2.1) для определения цены опциона строго при предположениях более слабых, чем постулировали Блэк и Шоулс, и распространили анализ на случай возможности стохастических процентных ставок.

Поскольку Блэк и Шоулс предполагали постоянными процентные ставки при формировании своих позиций хеджирования, было неясно, нужно ли занимать или ссужать деньги на длинные или короткие сроки погашения. Вывод, представленный здесь, ясно демонстрирует, что корректным сроком погашения при хеджировании является тот, который совпадает с датой погашения опциона. Термин «корректный» используется здесь в том смысле, что если цена облигации Р() остается фиксированной, в то время как цена активов с другими сроками погашения изменяется, цена -летнего опциона будет оставаться неизменной. Модель определения цен активов, основанная на рассмотрении капитала (САРМ, Capital Asset Pricing Model), является достаточной для получения формулы Блэка – Шоулса. В то время как предположения этого параграфа необходимы для межвременного использования САРМ, они не достаточны. Например, мы не предполагали, что процентные ставки являются нестохастическими, что динамика цен – стационарна и что инвесторы имеют однородные ожидания. Все это требуется для САРМ. Далее, рассматривая только свойства трех ЦБ, мы не предполагали, что рынок капитала находится в насыщенном общем равновесии. Так как окончательная формула не зависит от или µ, она будет справедлива, даже если наблюдаемые цены акций или облигаций оказываются переходными неравновесными ценами. Основой для вывода является то, что доходность любой одной ЦБ во времени может быть полностью воспроизводимой с помощью непрерывно модифицируемого портфеля комбинаций из двух других. Полный анализ потребовал бы, чтобы цены всех трех активов определялись одновременно, что в общем случае потребовало бы проверки цен всех других активов, знание предпочтений и т. п. Однако из-за «полной взаимозаменяемости» активов и допустимости необходимых предположений влияние рыночного предложения может быть незначительным, и мы можем применить анализ «частичного равновесия», приводящий к формуле для цены опциона как функции цен акции и облигации. Эта «полная взаимозаменяемость» обыкновенной акции, займа и опциона или опциона и ссуды для обыкновенной акции объясняет, почему формула не зависит от ожидаемой доходности на обыкновенную акцию или предпочтений инвесторов. Ожидаемая доходность на обыкновенную акцию и предпочтения инвесторов будут влиять на то, сколько капитала инвестировать (на длинной или короткой позиции) в данную компанию. Решение, занимать ли позицию путем приобретения опциона или путем увеличения подъемной силы акции, зависит только от их относительных цен и расходов на займы. С точки зрения модели Блэка – Шоулса аргумент подобен межвременной теореме Модиглиани – Миллера. Причина, по которой предположения Блэка – Шоулса из САРМ приводят к корректной формуле, состоит в том, что поскольку модель равновесная, она обязательно должна приводить к прибыли с применением полностью коррелированных ценных бумаг, о чем явно говорит условие (2.10). Предположения, приведенные в этом параграфе, необходимы для того, чтобы имели место формулы (2.18) и (2.20). Предположение о непрерывной торговле необходимо для установления полной корреляции между нелинейными функциями, которая требуется для образования состава портфеля «полного хеджирования». Модель Самюэльсона и Мертона является непосредственным контрпримером для проверки законности формулы торговли через дискретные интервалы. Предположение о процессе Ито для динамики доходности активов было необходимо, чтобы применить формулу Ито. Дальнейшее ограничение, что и нестохастические и независимые от уровней цен, требуется для того, чтобы изменение цены опциона вызывалось только изменениями цен акции или облигации. Это необходимо для установления полного хеджирования и свойства однородности (2.11). Очевидно, если инвесторы не соглашаются на величину V2(), то другие стоимости тех же опционов их могли бы устроить. Требование Блэка и Шоулса, чтобы выражения (2.1) и (2.18) были бы единственными формулами, согласованными с рынком капитала, является несколько сильным. Неверно, что если рыночные цены опционов различны, тогда гарантируется арбитражная прибыль. Если предположения рациональной теории определения цен опционов выполняются с достоверностью, тогда формула Блэка Шоулса является просто формулой, с которой согласны все инвесторы, и никто не смог бы доказать, что они заблуждаются. Таким образом, модель Блэка – Шоулса может быть получена на основе более слабых предположений, чем это было сделано в их первоначальной постановке. Главные преимущества такой модификации: 1) вывод основан на относительно слабом условии отсутствия доминирования;

2) конечная формула является функцией наблюдаемых переменных;

3) модель естественным образом распространяется на случай определения рациональной цены любых типов опционов. Модель можно применять при эмпирических исследованиях рынка опционов.

При некоторых предположениях модель может быть использована для определения цен различных элементов структуры капитала фирм. По существу, при условиях, когда справедлива теорема Модиглиани – Миллера, полную стоимость фирмы можно рассматривать как основной актив (заменяя им обыкновенную акцию в формулировке модели), а отдельные ценные бумаги внутри структуры капитала фирмы (например, долг, конвертируемые облигации, обыкновенные акции и т. д.) – как опционы или случайные иски на капитал фирмы, и определять их цены соответствующим образом. Например, можно получить систематическим образом рисковую структуру процентных ставок как функцию отношения задолженности к собственному капиталу (debt-equity), рисковый класс фирмы, безрисковые (через дефолт) долговые ставки. Используя описанный здесь метод, можно разработать теорию временной структуры процентных ставок. Подход может быть применен и к теории спекулятивных рынков.

§ 4. РАСПОСТРАНЕНИЕ МОДЕЛИ БЛЭКА – ШОУЛСА НА СЛУЧАЙ ВЫПЛАТЫ ДИВИДЕНДОВ И ИЗМЕНЕНИЯ ЦЕНЫ ИСПОЛНЕНИЯ Для того чтобы анализировать влияние дивидендов на незащищенный опцион, полезно предположить, что процентная ставка r является постоянной и известной. При этих предположениях = 0, µ = r и Р() = еr. Условие (2.10) упрощается к виду r = ( r)/. (2.21) Пусть D(S, ) будет дивидендом на долю акционерного капитала за единицу времени, когда цена акции равна S и срок до истечения опциона равен. Если является мгновенной полной ожидаемой доходностью, как она определяется формулой (2.4), то мгновенная ожидаемая доходность от повышения цены равна [ D(S, )/S]. Поскольку P() больше не является стохастической, мы ее опустим, и будем записывать функцию цены опциона как W(S, ;

K). Как мы уже делали в уравнениях (2.6) и (2.7), используем формулу Ито для вывода стохастического дифференциального уравнения для цены опциона: dW = W1 (dS – D(S, ) dt) + W2 dt + W11 (dS)2/2 = = [2 S 2 W11/2 + ( S – D) W1 – W2] dt + S W1dw/2. 70 (2.22) Поскольку владелец опциона не различает частей дивидендного дохода, он считает, что часть ожидаемого денежного дохода на обыкновенную акцию обязана повышению цены. Из уравнения (2.22) и определения и имеем W = 2S 2W11/2 + (S – D) W1 – W2, W = SW1. (2.23) Применив равенство (2.21) в (2.23), получим уравнение в частных производных для цены опциона 2 S 2 W11/2 + (r S – D) W1 – W2 r W = 0 (2.24) с граничными условиями W(0, ;

K) = 0, W(S, 0;

K) = max [0, S – K] для европейского опциона и дополнительное арбитражное граничное условие для американского опциона: W(S, ;

K) max [0, S – K]. Уравнение (2.24) не будет иметь простого решения даже для европейского опциона и относительно простого функционального выражения для D. При определении стоимости американского опциона в случае отсутствия дивидендов (D = 0) арбитражное граничное неравенство не используется явно для получения решения, поскольку было показано, что цена европейского опциона нигде не нарушает неравенство, и цены европейского и американского опционов будут равны. Для многих дивидендных стратегий решение для цены европейского опциона будет нарушать неравенство, и для таких стратегий вероятность досрочного исполнения американского опциона будет положительной. Чтобы получить корректное значение стоимости американского опциона из уравнения (2.24), нужно рассмотреть граничное неравенство явно и преобразовать его в удобную для решения форму. Если существует положительная вероятность досрочного исполнения, тогда для любого существует уровень цены акции C() такой, что для всех S > C() исполнение опциона приводило бы к большей выгоде, чем обладание им. Так как стоимость исполняемого опциона всегда равна (S – K), дополнительное граничное условие для уравнения (2.24) W(C(), ;

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.