WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Челябинский государственный университет В.Е. Неуважаев МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТУРБУЛЕНТНОГО ПЕРЕМЕШИВАНИЯ (учебное пособие для студентов старших курсов ЧГУ) Челябинск 2000 Министерство

образования и науки Российской Федерации ГОУ ВПО «Тамбовский государственный технический университет» ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА ГРАЖДАНСКО-ПРАВОВАЯ СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ Методические указания для студентов всех форм подготовки, обучающихся по специальности 030501 «Юриспруденция» Тамбов Издательство ТГТУ 2007 УДК 340.143 ББК Х.р.я73-5 В927 V = 0. На рис.7.3 нанесены решения, полученные путем интегрирования x исходной системы уравнений (5.4), (5.5) при следующих параметрах: A = 0.5;

k =1.25;

= 0.2;

2 = 0 для V0 = 0 и трех значений L0: 01;

0.45;

0.5.

.

Рис. 7.3. Выход решения на автомодельный режим в зависимости от L0 в переменных L, s, A = 0.5;

k = 1.25.

() Установление линейного закона в переменных L, s происходит довольно быстро.

4 Роль параметра 2.

Ниже будет изучено влияние постоянной 2 на свойства решения и показано, что если 2 положить 1, то роль ее несущественна, и может проявляться только при значительных перепадах начальной плотности, т.е.

при числах Атвуда, близких к 1.

Вернемся к уравнению (5.5) и усредним его с учетом того, что 2 0.

Собственно это приведет к тому, что уравнение (7.10) останется в том же виде, только вместо коэффициента k, определяемого формулой (7.11), теперь следует взять другое k, обозначим его через k :

21 22 2 ( ) % k = 0.25 + + A2 - 1 A4.

2 161 12 Очевидно, что при 2 1 роль последнего члена при малых A пренебрежимо мала. Она не существенна и при A = 1, поэтому часто полагают 2 = 0, что мы раньше в §6 и делали. Хотя в будущем при богатом экспериментальном материале этот член может потребоваться.

5 Учет несимметрии турбулентного перемешивания.

5.1 Определение несимметрии турбулентного перемешивания Эксперименты и расчеты по полной модели показывают, что турбулентное перемешивание происходит несимметрично: интенсивность перемешивания в сторону легкого вещества больше интенсивности перемешивания в сторону тяжелого.

L Рис. 7.4. Несимметрия перемешивания в зависимости от отношения плотностей L =.

L На рис. 7.4 нанесена несимметрия в зависимости от перепада L плотностей =, полученная в опытах Янгса–Рида [ ], Кучеренко– Пылаева [ ] и расчетно по k –модели [ ]. Некоторые различия между результатами могут объясняться разными способами определения фронтов перемешивания.

Если ориентироваться на результаты опытов Кучеренко–Пылаева [ ], в которых измерялся профиль плотности, а ширину перемешивания определять эффективно (интегральным способом, описанным выше (7.2)), то получим формулу L2 0. = 1+ A. (7.29) ( ) L На рис. 7.4 значения по этой формуле обозначены пунктиром. Известно [см.

§ 6], что если ширины L2 и L1 определять по объемной концентрации fi в точке 0.1, то несимметрия будет изменяться в интервале 1;

1.15.

[ ] Принятая нами формула (7.29) будет отвечать фронтам турбулентного перемешивания, определяемых по объемной концентрации 0.01 0.02.

5.2 Приближенные уравнения Будем рассматривать задачу о перемешивании двух веществ с плотностями 1 при x > 0 и 2 при x < 0 при заданном ускорении g = g t, ( ) являющимся функцией времени. Можно построить аналитическое решение, предположив, что коэффициент турбулентной диффузии D является кусочно–постоянной функцией с разрывом в точке x = 0 :

LV, если x > 0;

D = (7.30) LV, если x < 0, где V – среднее значение турбулентной скорости по области перемешивания [-L2, L1, 2 – новый эмпирический коэффициент, ] определяемый выше. В п.1 настоящего параграфа в (2.4) полагалось, что коэффициент 2 = 1. Это приводило к симметричному перемешиванию, при котором L1 = L2.

Настоящее уточнение позволяет обеспечить необходимую несимметрию перемешивания, определяемую из эксперимента (или расчетно) через число Атвуда:

0. 2 = 1+ A (7.31) ( ) При таком предположении уравнение для плотности смеси (5.4) сводится к линейному уравнению диффузии с разрывным коэффициентом, а решение для двух несжимаемых жидкостей с начальными плотностями и 2 представляется через интеграл вероятности :

= при x > 0, x = 2 при x < 0, (7.32) x = LV t.

= 0 + 1 - 0, если > 0, ( ) ( ) = 0 + 0 - 2, если < 0, () ( ) 1 + 2 - z 0 =, = e dz, 1+ (7.33) x =, если x > 0, x =, если x < 0.

2 Полученное решение (7.33) не имеет явно выраженного фронта, по которому можно было бы определить ширину области перемешивания.

Поэтому фронт турбулентного перемешивания определяется, как и раньше, эффективно. Для этого вводятся объемные концентрации: f1 и f2 (см.

(7.2)). По этим величинам предлагается интегральный способ определения ширин L* и L* :

1 f1dx f2dx L* = 2;

L* = 2. (7.34) f1 0 f2 ( ) ( ) - Используя решение (7.33), получим L1 = 21 ;

L2 = 21 2 ;

1 = ;

L = 1+ 2 L1.

() Здесь и далее значок * опущен.

Осталось получить уравнение для средней турбулентной скорости V t. Вернемся к уравнению (5.5) и осредним его по всей области ( ) перемешивания. Это дополнительное предположение упрощает получение аналитического решения и, как показывает последующий анализ, вполне оправдано.

V Ввиду того, что положено = 0, диффузионный член с x коэффициентом может быть опущен. Присутствующий в других членах уравнения (5.5) коэффициент D будем считать разрывным согласно (7.30).

Так как полагаем скорость V постоянной по всей области перемешивания, то это предположение для упрощения уравнения (5.5) вполне оправдано.

Необходимая несимметрия в перемешивании достигнута введением разрывности (7.30) в коэффициент D для уравнения диффузии (5.3). Также в уравнении (5.4) временную производную заменим согласно (5.5а).

Разрешим (5.5) на D+ = LVn, перейдем к переменной :

2 2 V V D D 1 D V 1 D ln += g + - V + V + 2 L2 D+ D+ x 2 D+ x x 3 D+ x ln D ln 2 2 + LV 3 D+ x (7.36) Как и раньше, здесь = LV t. Чтобы получить среднее значение V t проведем осреднение уравнения (7.36) по области перемешивания ( ) -L2 x L1. Имеем:

2 2 2 4 21 A0 MV d V M ( ) ( ) V M MA0V += g 1 2 1 - 2 X + ( ) ( ) p 2d L2 12 (7.37) где L M = dx = 21 1 + 2 2 (7.38) () -L 1 - 2 0.45 1 - A0 = ;

2 = 1+ A ;

A =.

( ) 1 + 1 + 2 (7.39) A0 2 2 -1 () 1 X = 2 ;

p 4 ( ) 1+ () 2 + 2 + A0 21 (1- 2 ) 22 X0 =.

При выводе (7.37) были использованы следующие приближенные вычисления:

L D 1+ а) V dx = V M ;

D+ 1+ -L L D б) g 2 dx = gA010 2 1+ 2 ;

() x D+ -L L V в) dx 0 ;

x x -L L г) V dx = 0 ;

-L д) L1 L1 21 A0 MV ( ) ln D ln D V dx = V dx X x D+ x D+ p 4 -L2 -L ;

L1 4 2 ln D A01 MV е) V dx = X0 ;

x D+ 32 1+ 2 -L () L ln 2 ln ln ж) V - 2 dx = 0.

x -L Следует также заметить, что при выводе формул д) и е) положено 21 1, а также ( ) 1 1 1 -22-42 - e ()d 4 ;

e ()d 4 ;

e d 21 ;

00 Перепишем уравнение (7.37), преобразуя его к привычному виду (7.10):

2 dV V ( ) + ky = gA0 2. (7.40) 2d Здесь коэффициент ky имеет следующее значение:

2 1+ ( ) ( ) 21 2 1 ky = 0.25 + + A0 X - A0 X p 2 4 1 1+ 2 12 () (7.41) Далее, как и раньше, согласно (7.32), вернемся к исходной переменной t, а в уравнении (7.40) от перейдем к L. Получим:

2 1 gA dV V ( ) + 4ky = ;

dL L 1 1+ () (7.42) dL = 21 1+ 2 V.

() dt Очевидно, что в предположении симметричного перемешивания 2 = 1 и уравнения (7.42) переходят в уравнения (7.12) и (7.13).

5.3 Учет дополнительного ускорения. Выбор постоянных модели Возникающее турбулентное перемешивание вызывает перемещение вещества со скоростью u :

ln u =-D.

x Усредним это соотношение по области перемешивания -L2 0 x L1, предварительно умножив обе части равенства на. Получим LV 2 1 - 2 ( ) ( ) u =- =- 1+ 2 2 A0V 1.

( ) () M Возникающее движение приводит к смещению лагранжевой границы раздела, которое изменит ускорение этой границы:

du dV g1 = g + g - 1+ 2 2 A0 1. (7.43) ( ) () dt dt Дополнительное ускорение следует учесть при вычислении генерационного члена в уравнении для кинетической энергии турбулентности (7.36). Для этого в этом уравнении ускорение g нужно, согласно (7.43), заменить на g1. Эта замена приведет к изменению в уравнении (7.42) коэффициента при dV производной :

dL 1 dV V ( ) z0 + 4ky = gA0 ;

(7.44) dL L 1 1+ () z0 =1+ 2 1+ 2 A0 2 1.

( ) () Полученное уравнение является линейной относительно функции V и поэтому интегрируется при произвольном ускорении g, зависящем от времени.

В модель входят три постоянные:, 2. Выберем их. Для этого рассмотрим случай малых чисел Атвуда A0, когда 2 1, A0 A и в коэффициентах уравнения (7.44) можно заменить:

ky k0 = 0.25 + ;

z0 1, а ускорение задать в виде кусочно–постоянной функции:

g0, если 0 t t0, g = 0, если t > t0.

При сделанных предположениях решение уравнения (7.44) получается в аналитическом виде (7.20). Для удобства прочтения перепишем (7.20):

821 1 g0At ( ), 0 t t0, 1+ 4k L1 = (7.45) B 2 t - t L10 1+, t > t0.

B0 t 2 821 1 g0t0 A ( ) L10 = ;

B0 =.

1+ 4k0 1+ 2k При интегрировании положены нулевые начальные данные:

t = 0;

V0 = L0 = 0.

Теория [14] и эксперимент [12] при A = 0 подсказывают, что степень B равна, следовательно, k0 = 1.25 или = 1. Значение 7 постоянной выбираем, следуя [7, 18, 19], из условия, что L1 = 0.06g0At2.

Постоянную 2 полагаем равной 1. Вспоминая, что 1 = 1.128, 1 = 0.89, окончательно получим: = 0.282, ( ) 2 = 1, = 1.62. С этими постоянными проводится дальнейшее исследование. Очевидно, что при 2 = 1 роль этой постоянной незначительна, поэтому ниже для простоты мы полагаем: 2 = 0.

5.4 Аналитические решения для постоянного и импульсного ускорений при произвольном числе Атвуда.

Как было показано выше, полученное уравнение (7.44) вместе с уравнением для ширины из (7.42) могут быть проинтегрированы как при постоянном, так и при импульсном ускорениях. Повторяя рассуждения пункта настоящего параграфа, получим:

2 1 2 1+ 2 1 A ( ) () dL = J1 =. (7.47) 2ds z0 + 4ky Напомним, что 2s = g0t2, а величины 2, A0, ky и z0 зависят от числа Атвуда A. Получается сложная зависимость от A, она представлена графически на рис. 7.5.

J1, B 0. B(lv) 0. B(ke) 0. 0. 0. 0. 0. J1(lv) 0. J1(ke) A 0. 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1. L Рис.7.5. Зависимость интенсивностей J1 = и степеней 2s затухания B от числа Атвуда A для ke и lv моделей.

Зависимость интенсивности J1 можно аппроксимировать формулой:

J1 = 0.06 1+ 0.47A A. (7.48) () Как видим, построенная зависимость заметно отличается от принятой Янгсом [ ] (7.45): в предельном случае A = 1 постоянная = 0.06 в формуле Янгса (7.45) эффективно должна быть увеличена в 1.47 раза.

Решение для импульсного ускорения получим в общем случае, когда U0t L0 0 0 и вводится безразмерный параметр =. Тогда, как и ( ) L раньше, решение для полной ширины L получится из следующей системы уравнений 2 dV V ( ) z0 + 4ky = gA0 ;

(7.49) dL L 1 1+ () dL = 21 1+ 2 V. (7.50) () dt Действие импульсного ускорения приводит к тому, что при начальной шероховатости L0 0 за малое время t0 формируются значения V1 и ( ) L01, которые в рассматриваемом случае получаются как и раньше в разделе 7.2, но теперь будут следующими:

z0 +4ky - % z0 A ( ) L10 1 L10 z V1 = U0 2 - ;

(7.51) ( ) 21 z0 + 4ky L0 L () z 2 %% % 1+ 81 1 A, если A ;

( ) 2 % 32ky1 ( ) L = % L0 4ky z0 1 A ( ) z % % + 4, если A.

2 % z0 + 4ky 1 32ky1 2 z0 + 4ky ( ) () (7.52) Здесь переписаны ранее полученные формулы раздела 7.2. Формально % % введены величины A,, чтобы уравнения (7.49) и (7.50) подогнать под вид уравнений (7.12) и (7.13):

z0 =1+ 2 1+ 2 A0 2 ( ) () 1+ () 2A % % A = ;

=.

1+ 2 z () Решение после действия импульсного ускорения будет определяться формулами (7.25), (7.26). Значения V1 и L01 следует теперь вычислять ( ) согласно (7.51), (7.52):

1-B L10 B V = V1 ;

( ) L B % (7.53) L = L10 1+ 81 V1 t - t0 ;

( )( ) L10B z B =.

z0 + 2ky Как видно из формулы (7.53) ширина области турбулентного перемешивания после действия импульсного ускорения будет расти по степенному закону со степенью B, а скорость турбулентного 1- B перемешивания будет убывать, т.к. степень < 0. Интересно B проследить изменение степени B в зависимости от числа Атвуда A. Эта зависимость изображена на рис. 7.5. Она может быть аппроксимирована простой формулой:

B = + 0.074 1+ 0.64A A.(7.54) () 5.5 Переменное ускорение.

При обработке результатов экспериментов по определению постоянных теории турбулентного перемешивания чаще всего приходится иметь дело с непостоянным ускорением. Поэтому используют хорошо измеряемую в опыте характеристику – перемещение системы s, оно связано с ускорением очевидным соотношением s = gdt dt.

zz Одна из главных постоянных характеризует интенсивность развития перемешивания во времени и определяется на основании формулы (7.47) 2 1 1+ 2 1 A ( ) () dL = (7.55) 2ds z0 + 4ky Пусть ускорение имеет вид g = g0tm, (7.56) где степень m может быть как положительной, так и отрицательной.

Значение m =-1 является особым ввиду расходимости интеграла от ускорения, поэтому будем считать m >-1. Решение при переменном ускорении построено в § 7. В общем случае оно не получается в явной форме, а представляется в виде функциональных и дифференциальных соотношений.

4ky L 4ky % 1 A ( )L gL dL, % dL z0 z V == 81V. (7.57) 21 dt Для простоты здесь рассматриваются нулевые начальные данные: при t = 0: L0 = V0 = 0.

L Основная цель исследования – получить формулу для отношения 2s при ускорении (7.56). Используя (7.56) вычислим перемещение s :

g0tm+ s = (7.58) m +1 m + b gb g В (7.57) от t перейдем к s и получим:

z0 m + L ( ) 2 % % = 81 1 A (7.59) ( ) 2s z0 m +1 + 2ky m + ( ) ( ) z При m = 0 (постоянное ускорение) сомножитель обращается в и z0 + 4ky формула (7.59) переходит в (7.55). При m > 0 интенсивность увеличивается за счет увеличения сомножителя до предельного значения. При m < 0 интенсивность уменьшается. Формально при m =- 1+ 2k сомножитель обращается в нуль. При ky = 1.25 имеем:

L m + % % = 812 1 A.

( ) 2s 3.5m + Отметим один предельный случай. Если ky = 0, то сомножитель в (7.59) не зависит от m.

6 Влияние начального размытия профиля плотности на затяжку в развитии турбулентного перемешивания Известно, что если граница раздела первоначально размыта, то это существенным образом может повлиять на развитие турбулентного перемешивания. Прежде всего непрерывность профиля плотности приводит к ограничению в значении инкремента 2 = g. Так выглядит x инкремент для коротких волн, при больших значения волнового числа k.

При разрывной плотности имеем 2 = gAk, где k. Поэтому при L L имеем неограниченный рост инкремента, в отличие от случая с размытым профилем плотности.

Экспериментально получено, что при непрерывном распределении плотности может происходить задержка в развитии турбулентного перемешивания. Получены количественные оценки такой задержки. Ниже проведено теоретическое исследование этого явления и получены аналитические формулы, устанавливающие зависимость величины задержки от параметров задачи.

Пусть Lc эффективная ширина, на которую размыта плотность у границы раздела.

Рис.7. В области заданы начальные возмущения, приводящие к развитию турбулентности. В экспериментах это частички промежуточной плотности.

В нашем рассмотрении это может быть задание некоторой начальной кинетической энергии турбулентности k L0. Оказывается, если ( ) определить время задержки как время tc, при котором ширина перемешивания сравняется с шириной размытия L = Lc, то справедлива формула Lc 1gA = exp 2 tc (7.60) L0 1+ 2k Lc ( ) Получим ее.

Уравнение (7.12) следует переписать в виде:

1gA L, если L Lc, 21 Lc dV V + 4k = dL L 1gA, если L > Lc.

Интегрирование полученного уравнения приводит к решению 1gAL, L Lc, 41 Lc 1+ 2k ( ) V = (7.61) 1+4k 1gAL 1- Lc V +, L > Lc.

c 21 1+ 4kL ( ) 1gALc Vc2 =.

41 1+ 2k ( ) Подставим эту зависимость в уравнение для ширины L (7.13) и получим:

1gA L0 exp 2 t L < Lc, 1+ 2k Lc, ( ) L = 1gA ( ) Lc + 21 1+ 4k Lc t - tc, L > Lc.

( ) Здесь при L > Lc выписано приближенное представление решения.

Обратим внимание на существенную зависимость решения от начальной затравочной шероховатости L0. Нулевому значению L отвечает тривиальное решение. Это подтверждается и в экспериментах.

Если не задавать начальных возмущений, то перемешивание не развивается.

Формула (7.60) получается, если в (7.62) положить L = Lc.

Как уже отмечалось, зависимость задержки перемешивания изучалась экспериментально. Наличие формулы (7.60) позволяет обработать эксперименты, перейдя к плоскости переменных (x,y):

Lc sc x = ln ;

y =, L0 Lc gtc где sc = – смещение системы при t = tc. Тогда результаты 1. экспериментов должны ложиться на прямую с наклоном ;

A 1. y = x +1.5.

A Результаты обработки изображены на рис. 7.6.

Рис.7. Коэффициент при x почти совпадал с экспериментальным. Заметим, что его теоретическое значение может быть уточнено за счет учета несимметрии перемешивания. Таким образом получено косвенное подтверждение правильности проведенного ранее выбора постоянных и.

Экспериментальная прямая в отличие от теоретической не проходит через начало координат (x=0, y=0). Это можно объяснить разными способами определения шероховатости в опыте и в теории. Если положить L0 = c0Lexp, то прямая пройдет через нуль при c0 = 0. §8k – модель и ее свойства Модель турбулентного перемешивания, основанная на уравнении баланса для кинетической энергии турбулентности (lv или k моделей), может с успехом применяться для численного моделирования довольно широкого класса задач [1]. Модель описывает известные лабораторные эксперименты по гравитационному перемешиванию [2], а также позволяет получать количественные оценки влияния турбулентного перемешивания при решении конкретных задач [3].

Однако обратим внимание на один недостаток k–модели – она требует вычисления эффективной ширины перемешивания. Этот недостаток проявляется при расчетах взаимодействия перемешанных областей между собой, а также при обобщении модели на многомерный случай. Он легко устраняется введением еще одного уравнения для скорости диссипации кинетической энергии турбулентного перемешивания, аналогичного уравнению для кинетической модели турбулентности. Модели такого типа называют k–моделями. Они широко применяются для описания сдвигового перемешивания, особенно в струйных течениях [5], k–модели также использовались и для описания гравитационного перемешивания [6].

Изучению свойств k–модели на автомодельных решениях посвящена работа [7].

В настоящем параграфе рассмотрена k–модель, содержащая уравнение баланса для кинетической энергии турбулентности k и уравнение скорости диссипации турбулентной энергии t. В разделе 1 приводятся уравнения модели, в разделе 2 в приближении кусочно–постоянного коэффициента диффузии получена осредненная по области перемешивания система обыкновенных дифференциальных уравнений (8.8). Эта система справедлива для закона ускорения, зависящего произвольным образом от времени. Заметим, что уравнения получены с учетом несимметриии турбулентного перемешивания. В разделе 3 система (8.8) интегрируется при кусочно–постоянном ускорении. Решение при нулевых начальных данных представляется в аналитическом виде.

Этот вид довольно громоздок, поэтому для практических приложений приводятся простые приближенные выражения, устанавливающие зависимости интенсивности и степени затухания турбулентного перемешивания от числа Атвуда. Вразделе 4 подробно исследуется случай ненулевых начальных данных.

1 Уравнение k–модели в приближении несжимаемости Полуэмпирическая модель с балансным уравнением для кинетической энергии турбулентности, в которой масштаб турбулентности l связывается с шириной области перемешивания L, обладает тем недостатком, что в момент взаимодействия нескольких областей ширина области перемешивания изменяется скачком, что в свою очередь приводит к скачку в значении коэффициента диффузии D = lv, а это вряд ли отвечает действительности. Поэтому для полной ширины приходится искать всякого рода интерполяционные зависимости.

Для сдвиговых течений со свободными границами известны модели с уравнениями для масштаба l или для коэффициента диффузии D, пропорционального l k. В этом случае турбулентность описывается двумя дополнительными уравнениями: для кинетической энергии турбулентности k и, например, для масштаба турбулентности l. Эти два уравнения дополняют газодинамические уравнения, полученные после осреднения и содержащие турбулентную вязкость и турбулентную теплопроводность. В качестве второго дополнительного уравнения часто используется уравнение переноса для скорости диссипации турбулентной кинетической энергии, обозначаемой t и связанной с масштабом l и кинетической энергией k соотношением t = k l-1. Модель такого типа называют в отличие от k–модели с одним уравнением k –моделью.

Исходные уравнения подсказаны обзорной работой П.Харши [5].

dk k 2 d + t = D2 +k D + k, (8.1) ( ) dt x x 3 dt dt t3 t t t 4 d + c 2 = c1 D2 + D + t ( ) dt k k x x 3 dt (8.2) Здесь ln L g ;

2 = g + t c Vk2 d ln k = ;

D = cµ ;

= - D, (8.3) 2 t dt t x x cµ, c1, c 2,, k – постоянные модели, c – скорость звука. В настоящем рассмотрении c =. Новая функция t определяет скорость диссипации кинетической энергии турбулентности. В k–уравнения не входит в явном виде ширина области перемешивания, и этим она выгодно отличается от k–модели, позволяя описывать перемешивание произвольного числа веществ.

Уравнения (8.1) и (8.2) часто используются в приложениях.

Подчеркнутые члены другими исследователями не всегда учитываются, хотя они получаются в результате осреднения исходных уравнения газовой динамики. Уравнение для скорости диссипации t составляется по аналогии с уравнением баланса для кинетической энергии турбулентности k, вывод которого был дан в § 4. Как будет показано ниже, роль подчеркнутых членов может быть заметной при числах Атвуда, близких к единице.

2. Приближение кусочно–постоянного коэффициента диффузии Будем рассматривать две несжимаемые жидкости, находящиеся в поле силы тяжести g. Построим приближенную модель, полагая, что в области перемешивания функции k и t являются функциями времени, а по пространственной переменной x эти функции постоянны.

Для уравнений k–модели так же, как это было сделано в §7 для k–модели, можно применить приближение кусочно–постоянного коэффициента диффузии D :

k cµ, если x > 0, t D = (8.4) c 2 k, если x < 0, µ t где 2 – коэффициент, определяемый эмпирически, согласно формуле (7.31). Энергия k и интенсивность t являются функциями только времени, получаемые в результате осреднения исходных уравнений модели (8.1) и (8.2) по области перемешивания L1. Таким образом, полагая [-L2, ] коэффициент турбулентной диффузии D разрывным, удается описать наблюдаемую в экспериментах несимметрию перемешивания и получить аналитические формулы, пригодные для обработки широкого класса прикладных задач.

Как и раньше, рассмотрим сперва уравнение для плотности смеси (2.1), которое с учетом допущения (8.4) перейдет в следующее:

=, при x > 0, x (8.5) = 2 при x < 0, x k = cµ t.

t Эти уравнения совпадают с ранее полученными (7.32). Определение эффективной ширины остается прежним [см. (7.2)]:

L1 = 21 ;

L2 = 21 2 ;

L = L1 + L2 = 21 1+ 2. (8.6) () Прежде чем провести осреднение уравнений (8.1) и (8.2) разделим их на коэффициент диффузии D +. Аналогично мы поступали в §7 для k– модели.

Перейдем к эйлеровым координатам и получим:

k t D 8 k + = g + D + D + D + x D + x x D ln D ln k ++ k - ;

D + x x 3 D + x (8.7) t c 2t2 cµc1k 8 t += g +D + kD + D + x D + x x D ln D ln t ++ t -.

D + x x 3 D + x Здесь, согласно (8.5) k = D +dt = cµ t.

t Как уже отмечалось, значок «+» в коэффициенте диффузии D + означает, что из формулы (8.4) берется только верхнее значение при x > 0.

Проведем осреднение по области, L1. Значения L1 и L2 связаны с [-L ] переменной соотношениями (8.6). Здесь следует заметить, что D отношение коэффициентов, входящее в (8.7), будет в точке x = D + иметь разрыв, а это нужно учитывать при получении осредненных формул.

Окончательный результат после осреднения получим в виде:

dk k 1 t2 P - P0 + = ;

dL2 L2 41 1+ 2 2 cµ k 21L 1+ () () dt t c 2 t3 c1P1 t - P2 + = ;

(8.8) dL2 L2 41 1+ 2 2 cµ k 21L 1+ 2 k () () dL2 2 k = 41 1+ 2 cµ ;

() dt t где 21 A ( ) P0 =-0.5 - X ;

P 6 1 2 gA ( ) P1 = ;

21 A ( ) P2 =-0.5 - X.

P 3 Теперь поясним алгоритм получения выше приведенных формул. Он во многом напоминает процедуру осреднения для k–модели. А именно, использованы следующие формулы:

L а) kdx = kM ;

где M = 21 1 + 2 2 ;

() - L L D б) gdx = g 1 2 1 - 2 = gA010 2 1+ 2 ;

( ) ( ) () D + x -L L1 L k t в) dx 0;

dx 0 ;

x x x x -L2 -L L г) k dx = 0 ;

-L L1 ( ) P ln D 21 A0 X Mk д) kdx = ;

x D + 4 -L L1 ( ) P ln D 21 A0 X Mt е) t dx =.

x D + 4 -L Возвращаясь к системе уравнений (8.7) с учетом соотношений а) – е) получим:

21 2 k d kM ( ) ( ) t + M = 1 2 1 - 2 g - A0 MX ;

( ) ( ) P d cµk 6 21 2 t ( ) d tM ( ) c 2 t + M = c1 1 g 2 1 - 2 t -A0 MX ( ) ( ) P d cµ k k 3.

Используя соотношение L = 21 1+ 2, получим (8.8).

() Если положить 2 = 1, что справедливо при числах Атвуда близких к нулю, то в системе (8.8) следует положить X = 1 и A0 = A. Такой P симметричный случай был изучен в работе [ ].

3. Свойства решений системы (8.8).

Решение при кусочно–постоянном ускорении Исследуем свойства решений системы уравнений (8.8). Заметим, что эти уравнения интегрируются в двух случаях: при постоянном ускорении g = const P1 = const, а также при отключенном ускорении () g = 0 P1 = 0. Последний случай отвечает асимптотическому режиму, ( ) на который выходит решение задачи о перемешивании слоя смеси с начальной кинетической энергией k 0, имеющего в начальный момент ( ) конечную ширину L0.

Пусть g = const. В этом случае, естественно при L = 0 принять t = k = 0. Эта точка является особой для системы уравнений (8.8).

Исследование поведения интегральных кривых, проведенное в Приложении 5, показывает, что при нулевых начальных данных решение многозначно:

существует однопараметрическое семейство интегральных кривых, удовлетворяющее нулевым начальным данным. Кроме того, помимо этого свойства, есть единственное решение, которое при постоянном ускорении обеспечивает квадратичный закон от времени. Это решение получено в Приложении 5 и имеет вид:

0.51 1+ 2 cµ c 2 - c1 P1t () () L =. (8.9) 1- 2P ( )- 0.5 + 2P ci i= Пусть g = 0, P1 = 0.Система уравнений (8.8) значительно ( ) упрощается dk k t = P0 - ;

d cµk (8.10) dt t c 2 t = P2 -.

d cµ k Эта система имеет интеграл t2 3P0 -1- 2P2 k = (8.11) cµk P0 3 - 2c () Используя его, получим решения системы уравнений (8.10).

B - B k = k 1 2B - 3P2 -1- 2P2 3 2B t = cµ k 12B (8.12) P0 3 - 2c () 1.5 - c B = 1- P2 + c 2 P0 - ( ) k1 и 1 вычисляются согласно формулам (П.5.3) и (П.5.4) в конце интервала t0, на котором ускорение постоянно:

P1 c 2 - c ()1 ;

k1 = c 2 0.5 - P0 - 0.25 + P () cµP1 c 2 - c1 t () 1 =.

0.25 - P2 + ci (P0 - 0.5) i= Получим формулу для ширины L. Решение (8.12) подставим в третье уравнение (8.8), которое может быть представлено в виде:

d k = cµ.

dt t Окончательно получим сперва выражение для, а затем для ширины L при t t0 :

B cµk1 3 - 2c 1 ()) = 1 1+ t ( - t0 ;

B 3P0 -1- 2P2 () B cµk1 3 - 2c 1 ()) (8.13) L = L10 1+ t ( - t B 3P0 -1- 2P2 () где L10 = L t = t0.

( ) Обратим внимание, что при t = t0 кинетическая энергия k принимает значение k1, а значение фиксированной функции t будет разрывным в силу того, что при ее вычислении используются разные выражения (П.5.2) при t t0 и (8.11) при t = t0. Именно:

( t2 t0 - 0 = 1 cµ ( )0.25 - P2 + c1 P0 - 0.5) k c1 - c 2 P0 -1+ 2P2 k t2 t0 + 0 = cµ.

( ) P0 3 - 2c 2 () Однако, значение t будет в точке t = t0 непрерывным в частном случае выбора постоянной c =1.5.

Таким образом, решение для полной ширины будет определяться формулой (8.9). на интервале 0,t0 постоянного ускорения и (8.13) при [ ] выключенном ускорении. Формулу (8.10) можно представить в более общем виде, пригодном в и случае медленно изменяющегося ускорения, если перейти, как и раньше в §7 для lv–модели, от времени t к gt перемещению s =.

cµ1A0 1+ 2 2 c 2 - c1 s () () L =. (8.14) 0.5 - 2P2 + c1(2P0 -1) Обратим внимание, что зависимость от числа Атвуда A проявляется через параметры A0, 2, P0, P2, которые определены выше. Позже эта зависимость будет исследована более детально.

Из формул (8.13) и (8.14) вытекают важные следствия относительно постоянных ke –модели:

1) степень затухания турбулентного перемешивания при выключенном ускорении определяется только постоянной c 2, 2)интенсивность dL турбулентного перемешивания J = зависит линейно от постоянной 2s cµ и разности c 2 - c1, входящей в степени 2. 3) степень затухания () турбулентности B и интенсивности турбулентного перемешивания J зависят от числа Атвуда A через параметры A0, P0, P2. Однако, чтобы получить окончательные формулы, следует как и в §7 уточнить решение за счет учета дополнительного ускорения.

4. Учет дополнительного ускорения Прежде чем это сделать, перейдем к частному случаю модели, когда c1 =1.5. Тогда уравнения (8.8) допускают интеграл, верный как при постоянном ускорении, так и при нулевом. Эта будет формула (8.11). Ее можно переписать, если перейти от к L :

2 18 - 22A0 X k P t2 =1 cµ 1+ 2 (8.15) () 3 2c 2 - 3 L () Значения A0 и X определены в §7 (7.39). Учтем дополнительное P ускорение, возникающее за счет перемещения u :

ln u =-D.

x Усредним эту скорость по области перемешивания [-L2 x L1, ] предварительно умножив обе части равенства на. Как и раньше в §7, учтем разрывность коэффициента D. Получим L u = D -d + D +d =-cµ1A0 2 1+ 2 ()kL M t -L2 3 2c 2 - 1A0 () - cµ2 k.

18 - 22A0 X P Здесь использовано соотношение (8.15). Дифференцируя полученную скорость по времени, получим значение дополнительного ускорения 6 - 3 A du () =-cµ 2 1+ 2 2.

()182c 22A0 XP dk dt dL Если его добавить к ускорению g в правые части системы уравнений (8.8), то окончательно получим:

1g0A0 dk k 0 + 2P3 = ;

(8.16) dL L 21 1+ () 3 2c 2 - dL () = 41 cµ 1+ 2 2 k ;

(8.17) () dt 18 - 22A0 X P 18 - 22A0 X P P3 =-P0 + ;

12 2c 2 - () 2 3 2c 2-3 2cµ1 A ( ) 0 =1+.

1 18 - 22A0 X () P Уравнение для интенсивности t исключено из рассмотрения с помощью соотношения (8.15). Таким образом, получим систему уравнений (8.16) и (8.17) в переменных k, L, t. Свойства подобных уравнений хорошо изучены в §7. В том числе и зависимость от ненулевых начальных данных.

Вернемся к решению уравнений (8.8) для ускорения, заданного ступенчатой функцией (7.17), описываемого формулами (8.13) и (8.14).

Уточним за счет дополнительного ускорения. Получим, что формула (8.13) и (8.14)перейдут соответственно в следующее:

B 21 1+ 2 cµk1 3 - 2c () ()(t - t0) ;

(8.19) L = L10 1+ L10B 3P0 -1- 2P 12cµ 1+ 2 21A0 c 2 - c1 2c 2 - () () (). (8.20) L = 0 + 2P 18 - 22A0 X P Обратим внимание, что вид решения (8.13)сохранился за исключением степени B.

Теперь B =.

0 + P Получились довольно громоздкие формулы. Чтобы установить dL зависимость интенсивности турбулентного перемешивания J = и 2ds степени затухания турбулентности B как и в §7. Построим графики при фиксированных эмпирических постоянных. cµ = 2, 15 c1 =1.5, c 2 =,1 =, 1 = 0.89, 2 = 0.97.

Подчеркнем еще раз, что постоянная cµ выбрана так, чтобы интенсивность перемешивания J для ke и k моделей совпадали при малых числах Атвуда A. Тогда приходим к следующим простым апроксимационным формулам:

dL J1 = = 0.06 1+ 0.42A A ;

(8.21) () 2ds B = + 0.05A2L. (8.22) Сравнение результатов двух моделей показывает, что зависимость интенсивности перемешивания от числа Атвуда получается фактически одной и той же, степень затухания в ke модели – несколько ниже. Эту несущественную разницу трудно заметить экспериментально.

Подчеркнем основной результат, следующий из полученных аналитических формул, как для ke модели – (формулы (8.19), (8.20)), так и для k модели (формулы (7.48) и (7.54)). Интенсивность турбулентного перемешивания J1 и степень затухания турбулентности B довольно заметно зависят от числа Атвуда. Для J1 в литературе принято считать зависимость от числа Атвуда линейной. Здесь установлена нелинейность, из которой следует, что при A =1, постоянная перемешивания как бы возрастает на 42%. Также степень затухания B возрастает на 18%.

5. Влияние начальных возмущений Ограничимся частным случаем ke уравнений, когда c1 =1.5, т.е.

будем изучать поведение решения уравнений (8.16), (8.17). Сперва заметим, что подобная система уравнений уже была исследована в §7. (уравнения (7.12), (7.13), а с учетом несимметрии это система (7.44). Здесь будем исследовать систему уравнений (8.16), (8.17) при ненулевых начальных условиях t = 0;

L = L0;

k = k0.

При постоянном ускорении из (8.16) имеем решение для k 21AL k =+ 2 1+ 2 1 0 + 4P () (). (8.23) 4P 21g0A0L k0 L + 2 1+ 2 1 0 + 4P3 L () () Заметим, что при определенных начальных данных, приводящих к занулению квадратной скобки, получается сразу автомодельное решение. В других случаях будет иметь место выход на автомодельное решение, которое определяется первым слагаемым в выражении (8.23). Второе слагаемое с ростом L стремится к нулю.

Уравнение для ширины (8.17) после подстановки в него решения (8.23) примет вид:

4 1+ () 3 2c 2 - dL () = cµ d 2s 2 18 - 22A0X P 4P 21AL 21AL0 2k0 2 L0 0 + 1 1+ 2 0 + 4P3 g0 1+ 2 0 + 4P3 L () () () () (8.24) Из полученного уравнения видно, как происходит выход на автомодельное решение. Пусть начальные данные таковы, что 21AL 2k =.

g0 1+ 2 1 0 + 4P () () Тогда (8.24) можно проинтегрировать и получить L = L0 + 3 2c 2 - 3 21A () +2 1+ 2 cµ s () 18 - 22A0XP 1+ 2 0 + 4P () () (8.25) Заметим, что, как и раньше в §7 (7.28) Шероховатость входит в качестве слагаемого, если решение представить в переменных L, s. Такая зависимость имеет место только при определенных начальных данных, отвечающих автомодельному решению. Такие переменные рекомендуются для обработки экспериментальных результатов. Они позволяют на более ранней стадии выявить автомодельный характер течения.

§9. Перемешивание слоя конечной ширины Во многих экспериментах на границе раздела присутствует пленка.

Сложные мишени в проблеме ЛТС как правило имеют тонкие прослойки.

К постановке задачи с тонким слоем приводят также некоторые задачи атмосферы и океана, в которых предметом исследования является определение законов распространения начально турбулизованной примеси.

Рассмотрим закономерности поведения тонкого слоя при больших временах в присутствии поля силы тяжести. Сперва рассмотрим самый простой случай (п.1), когда тонкий слой одного вещества помещен в среду другого вещества. Задача интересна тем, что при больших временах, L когда >> 1, устанавливается линейный закон от времени. В L экспериментах определяется коэффициент этой зависимости, и Ав теории вычисляется зависимость этого коэффициента от констант модели.

В п. 1.1 в приближении кусочно–постоянного коэффициента диффузии получены аналитические формулы для k–модели.

В п. 1.2 приводятся формулы для k –модели и обсуждается сравнение с k–моделью.

В п. 1.3 рассмотрена более общая постановка о перемешивании тонкого слоя, помещенного между двумя средами разной плотности.

Анализируются все возможные ситуации. В зависимости от соотношения плотностей примеси и окружающей среды может представиться несколько характерных ситуаций. Если плотность примеси имеет промежуточное значение, то в зависимости от расположения легкой и тяжелой сред со временем будет иметь место либо интенсивное перемешивание по квадратичному закону (тяжелое вещество сверху), либо слабое 2 перемешивание со степенью (легкое вещество сверху). Примесь 7 будет растекаться примерно по одинаковому закону вверх и вниз. Если же примесь тяжелее окружающих сред, то в случае, когда тяжелая среда находится вверху, имеет место перемешивание с постоянной скоростью только в сторону тяжелого вещества. Аналогичная картина наблюдается, если примесь легче окружающих сред. Тогда перемешивание происходит в сторону легкого вещества, расположенного внизу, и также с постоянной скоростью, т.е. по линейному закону от времени.

Все эти случаи изучаются на основе полуэмпирических моделей.

Частный случай для тонкого слоя, погруженного в тяжелый, в рамках k– модели впервые был рассмотрен в работе [1]. Обобщенное рассмотрение содержится в работах автора [20, 21], где изучался тонкий слой у дна и крышки ускоряющегося сосуда, а также была рассмотрена автомодельная задача о расплывании турбулентного слоя смеси.

1. Решение в приближении кусочно–постоянного коэффициента диффузии 1.1. k–модель. Итак, слой вещества, помещенный в среду другой плотности, перемешается в любом случае, независимо от знака ускорения, так как одна из границ будет неустойчивой всегда.

На первой стадии до выхода области перемешивания на устойчивую границу решение будет автомодельным. Затем начнется вторая стадия, неавтомодельная, решение асимптотически стремится к решению третьей стадии. Оно будет автомодельным.

Если сделать предположение о постоянстве коэффициента турбулентной диффузии по пространству, то решение задачи о перемешивании слоя можно свести к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений, а случай перемешивания тонкого слоя описать аналитически [46].

Пусть слой ширины L0 0 x L0 помещен в более легкую среду b g плотности 0 (случай а) и в более тяжелую 1 (случай б). В поле силы тяжести g0 одна из границ будет всегда устойчива, на ней задаются условия непротекания, а другая неустойчива и перемешивается. Основная задача последующего изучения – определить профиль смеси, а также закон расплывания ее во времени.

Как и раньше применим приближенный подход § 7 и положим коэффициент диффузии постоянным. Для простоты ограничимся симметричным случаем, когда 2 = 1. Тогда задача сведется к решению уравнения диффузии = (9.1) x для слоя плотности 0, имеющего начальную толщину L0. Точное i решение уравнения (9.1) для случая i = 1 (случай а)) имеет вид:

1 xx F - 2L IP = 0 + 1 - 0 (9.2) c hL F I -, G J G JO 2 M H K H KQ 2 2 N где – интеграл вероятности.

b g Для замыкания уравнений необходимо определить способ вычисления ширины области перемешивания, так как из (9.2) следует, что профиль плотности не имеет фронта из–за линейности исходного уравнения диффузии. Поэтому, как и раньше, введем ширину эффективно, используя для этого безразмерный профиль плотности :

xx F I F - 2L I - G J G J - 0 H K H K 2 = =. (9.3) L L0, 0 F I b g G J H K Значение изменяется монотонно от 1 при x = L0 до 0 при x =-.

Введем новую пространственную переменную :

x - L =.

Определим фронт перемешивания из равенства d =- m (9.4) z Здесь фронт m определяется эффективно, если функцию представить прямой, соединяющей точки 0 и m.

При больших временах функцию можно приближенно заменить экспонентой:

e- (9.5) Это следует из (9.3), если воспользоваться разложением функции в окрестности нуля. Подставляя (9.5) в (9.4) получим ( ) m =- ;

Lm - L0 =-2m. (9.6) Зная зависимость ширины области перемешивания от, вернемся к уравнению баланса для кинетической энергии, предварительно заменив время t на на основании соотношения = Dt (см.(7.6)):

2 2 F I F I V vV V 1 V 1 ln 2 + = g + +- V + V G J G J 2 2L2 x x x 2 x x 3 x H K H K m (9.7) Усредним последнее уравнение по области перемешивания, проинтегрировав его по переменной x в интервале -Lm, L0 и заменив L L V dx = V m, где m = dx. При этом для плотности смеси z - Lm - Lm используем решение (9.2) или его приближенное представление в виде L L0 - 0 + 1 - 0 e.

c h 2 Опуская промежуточные выкладки (см. Приложение 7), получим дифференциальное уравнение для V :

2 2 gL0 1- e ( )(n -1);

=.

V V + 1+ = 2 2 2 m (9.8) Постоянная скорость V будет решением последнего уравнения 2gL V = 1- e- n -1. (9.9) ( ) ( ) v + Уравнение (9.8) не применимо в окрестности =0. Поэтому, чтобы удовлетворить начальным данным при = 0: V = V02, следует вернуться к полной постановке задачи. Однако это можно и не делать, т.к.

очевидно, что каким бы ни было поведение функции в окрестности нуля при больших временах, а следовательно и, функция V будет стремиться к постоянному значению, определяемому выражением (9.9). В зависимости от начальной скорости V0 это стремление будет либо сверху, либо снизу.

Возвращаясь к исходным переменным t и Lm с помощью (9.6) и (7.3), Lm получим предельный наклон, устанавливаемый, когда >> 1:

L dLm = 2V, dt или dLm 3 1- e = 22 2 n -1 (9.10) d 2sL0 v + gt где s =.

Другой случай в) может быть рассмотрен аналогичным образом. Фронт перемешивания более легкой смеси распространяется вверх от устойчивой границы, находящейся в точке x = 0. Профиль безразмерной плотности при больших временах, как и раньше, описывается формулой (9.5), а скорость перемешивания представляется формулой, подобной (9.10), только n - n -1 нужно заменить на.

n dLm 3 1- e- n - = 222 (9.11) v + n d 2sL Если эмпирические постоянные и v были уже выбраны, то имеем дополнительную проверку правильности их выбора.

1.2 k –модель. В случае k уравнений решение в приближении кусочно–постоянного коэффициента диффузии строится аналогично тому, как это проделано для k–модели в предыдущем пункте. После осреднения по всей области турбулентного перемешивания L0 получим два [-Lm, ] уравнения для k и t функций.

Lm При >> 1 решением будут соотношения:

L c k = R0 ;

1- c c1 Lm = 2cµm R0 ;

1- c gL0 0 - i R0 = 1- e-.

( ) i0m После чего, вспоминая уравнение d = cµDtdt и соотношение (9.6) получим:

dLm 2cµc 2 c1 0 - i = 1- e- 1-, c1 c i d 2sL 0 здесь, если i = 1, то 0 = 2 (тяжелое в легком);

если i = 2, то 0 = (легкое в тяжелом).

1.3 Обобщение. Выше рассмотренная задача допускает обобщение, если слой с плотностью 0 находится в окружении жидкостей разных плотностей. Тогда возможны ситуации, когда плотность смеси 0 больше плотностей окружающих сред, меньше или лежит в промежутке между ними:

0 0 0 0 0 0 a)0 > 1, 0 > 2 ;

б)0 < 1, 0 < 2 ;

в)1 > 0 > 2 ;

г)2 < 0 < Эти случаи представлены на рис.5, а, б, в, г. Замена в окружении легкого вещества на тяжелое в случаях а и б отвечает новым случаям д и е (см. рис.5, д,е). На рис. 5 извилистыми кривыми изображены границы все время неустойчивые, жирными линиями – все время устойчивые и обычными линиями – устойчивые ограниченное время 0 t t0.

Анализ устойчивости на границах раздела, выполненный в §3, приводит к условию неустойчивости g > 0. В противном случае x граница устойчива и генерационный член в k и k моделях полагается равным нулю. Однако наличие отличного от нуля коэффициента диффузии D D приведет к тому, что в условиях, когда граница устойчива, ( ) образуется протекающий через нее турбулентный поток. Это будет в случае в, когда возникает движение примеси в условиях устойчивой стратификации. Эта задача изучалась в работе автора [15], где был получен закон изменения ширины области перемешивания во времени со степенью B, зависящей от постоянных и. Здесь приводится уточнение этой зависимости.

Случай г, когда обе границы неустойчивы, асимптотически выходит на известное автомодельное решение [12, 18] для двух несжимаемых жидкостей. Ширина области перемешивания примеси развивается с течением времени по квадратичному закону.

Случаи а и б приводят к постановке, когда одна граница устойчива, а другая нет. Неустойчивость одной из границ в зависимости от 0 расположения тяжелого 1 и легкого 2 веществ может иметь место ( ) ( ) только до некоторого момента t0 (в случае д и е на рис. 5). Начиная с момента t0, обе границы станут неустойчивыми, что будет эквивалентно случаю г.

Рис. 5 разные случаи начального расположения турбулизованной примеси с 0 плотностью 0 и легкой и тяжелой жидкостей с плотностями 2 и 0 0 0 0 0 соответственно: a - 2 < 1 < 0;

б - 0 < 2 < 1 ;

в - 1 > 0 > 2 ;

0 0 0 0 0 г - 2 < 0 < 1 ;

д - 2 < 1 < 0;

е - 0 < 2 < 1.

Для определенности будем полагать величины V0 и 0 в интервале 0 x L0 постоянными. Рассмотрим решения уравнений (9.8), (7.12) и (7.13). Со сформулированными выше начальными условиями при достаточно большом времени, которое можно связать с шириной области L перемешивания L. Следовательно, определим решение, когда 1.

L L Окончательно асимптотические решения при 1 будут L следующими:

1) случаи г, д, е:

V 1 AL0 4k ( ) L 81 -, k - модель, dL =, g0 21 1+ 4k L ( ) d 2s k - модель.

k –модель, 2) случаи а и б:

0 - 1 L 2., k - модель;

dL + 2 = d 2s c1 2cµc 2 0 - 1 L, k - модель.

0.9781- c c1 3) случай в:

1+ 4 A, k - модель, 1. L ~ tB, где B = + + 4 + 0.11 A () k - модель.

Здесь в случаях 1) и 3) использованы результаты §7 и §8.

2. Расплывание турбулизованного слоя смеси В этом разделе отдельно рассмотрен случай в. Изучена задача о расплывании турбулентного слоя смеси, образованного на границе двух несжимаемых сред с постоянными, но разными плотностями. Показано, что при больших временах решение стремится к автомодельному, причем степень автомодельности не может быть определена из анализа размерностей, а находится в процессе решения краевой задачи. Степень есть функция эмпирических постоянных модели. Для ряда параметров построены автомодельные решения и даны графики зависимости степени автомодельности от постоянных модели. В приближении постоянства турбулентной скорости по пространственной переменной получена формула для степени автомодельности, а решение для плотности смеси выражено через интеграл вероятности. Частный случай задачи для однородной среды рассмотрен в [1,2]. Приводимые там результаты вычислений согласуются с полученными в настоящей работе.

2.1 Постановка задачи Пространство заполнено двумя несжимаемыми жидкостями с плотностями 0 1 и 2. Граница раздела проходит по плоскости. Пусть в начальный момент времени в окрестности границы создается плоский турбулентный слой ширины L0, состоящий из смеси обоих веществ. Такое состояние может возникнуть, например, благодаря ускоренному движению границы в интервале времени t0 при соответствующем знаке ускорения, так что за время t0 генерируется зона турбулентной смеси шириной L0 и с некоторой начальной турбулентной скоростью V x,t0. В отсутствие источников ( ) турбулентности начальный слой смеси расширяется, вовлекая соседние жидкости. Турбулентная энергия, определяемая через характерную турбулентную скорость, при этом затухает, диссипируя в тепло.

Для описания возникающего турбулентного перемешивания будем применять k –модель, основанную на уравнении баланса для кинетической энергии турбулентности и описанную выше в §§ 5–7. Исходные уравнения здесь возьмем в виде (5.4) и (5.5). Для удобства уравнение (5.5) перепишем в виде:

23 2 2 V D ln V V V 5V ln ln -= - + D + - D 2t 2 x x l x x 6 t x.

(9.12) В (9.12) в отличие от (5.5) отсутствует генерационный член. Первый член в правой части порождает диссипацию турбулентной энергии и фактически определяет закон затухания турбулентности. Второй (диффузионный) член с коэффициентом вводится [4] для описания пространственного растекания турбулентности.

Для системы (9.12), (5.4) ставится следующая задача: определить решение при t > 0, если в начальный момент t = ( ) L V 0, x = V0 x, 0, x = 0 x, x, (9.13) ( ) ( ) ( ) ( ) (V0 x, 0 x – функции, характеризующие турбулентную смесь).

( ) ( ) Начало координатной оси возьмем в середине слоя (рис. 9.1).

Рис.9.1. Распределение начального состояния V0 x и 0 x в момент t = 0.

( ) ( ) Краевые условия на левом и правом фронтах перемешивания x = x2 t и ( ) x = x1 t имеют вид ( ) x = x2 t : V x2 t,t = 0, 2 x2 t,t = 2, ( ) ( ) ( ) (9.14) x = x1 t : V x1 t,t = 0, 1 x1 t,t = 1.

( ) ( ) ( ) Поставленная задача неавтомодельна, но при больших временах, когда t t0 и L L0, начальные данные забываются и решение, вообще говоря, стремится к автомодельному.

2.2.Автомодельное решение Система (9.12)–(5.4) допускает преобразование подобия:

BB- B+ %%2 B+ x = x0, V = x0, = 1. (9.15) % Здесь x0 – размерная постоянная, определяемая начальными данными (9.13);

B – пока произвольная безразмерная постоянная, показатель автомодельности;

, и – безразмерные представители ( ) ( ) длины, скорости и плотности;

– новая переменная, связанная со временем уравнением d = L. (9.16) dt В отличие от ранее введенной переменной, здесь.

Из (9.15) следует B B+ % L = x0 0.9 - 0.1, (9.17) () где 0.9 и 01 отвечают координатам, при которых безразмерная плотность n-1 = n = принимает значения 0.9 и 0.1.

n -1 Используем новые переменные для приведения (9.12), (5.4) к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Для этого (9.15) подставим в (9.12), (5.4):

B y - - = y3 + 2 y ;

(9.18) ( ) B + + + 1+ 2 y2 - - - y ( ) ( ) BBB -1 B +1 B + ( - 0.1 B +1 0. ) (9.19) Штрих означает дифференцирование по. При выводе (9.18) и (9.19) использована замена y2 =, позволившая понизить порядок первого уравнения.

Краевые условия (9.14) в безразмерных переменных (9.15) примут вид = 2 : 2 = 0, = ;

= 1 : 1 = 0, = 1. (9.20) n Решение задачи для системы (9.18), (9.19) с краевыми условиями на фронтах (9.20) весьма проблематично, тем более, что в точках (9.20) уравнения имеют особенность: коэффициент при старшей производной обращается в нуль.

Однако можно указать универсальный способ решения возникшей краевой задачи – численное интегрирование исходных уравнений в частных производных (9.12), (5.4) с начальными данными (9.13). Численно интегрировались исходные газодинамические уравнения (4.16)–(4.20), при этом несжимаемость имитировалась заданием достаточно большой начальной скорости звука. Таким образом, устанавливается факт выхода на автомодельное решение, которое одновременно и определяется. Прежде чем переходить к обсуждению результатов численного интегрирования, сделаем два замечания.

Замечание 1. Для однородной среды n = 1 уравнение (9.18) имеет тривиальное решение y = 0, а (9.19) приводится к виду 2 B - + - - = 0. (9.21) ( ) BB 2 (0.9 - 0.1) B + + Этот случай рассмотрен [1,2], где отмечено, что показатель автомодельности B должен определяться в процессе решения краевой задачи. Действительно, фронты перемешивания в этом случае расположены % симметрично 1 =-2 = 0. Задачу в новых переменных и % % =, = можно свести к краевой на интервале [0,1] с 0 % условием симметрии в точке = % = 0 (9.22) % и полностью определяемым решением в точке = B % =- 1- - 1- +L (9.23) ( ) ( ) B +1 4 B +1 ( ) ( ) % Уравнение (9.21) в переменных и будет 2 B - + - - = 0.

( ) BB % 4 0.1 B +1 % 2 + Решение находится численным интегрированием последнего уравнения.

% Выходя из точки = 1 по разложению (9.23) и интегрируя до точки % = 1, значение параметра автомодельности подбираем таким, чтобы удовлетворять условию в центре симметрии (9.22).

Замечание 2. Степень автомодельности B – функция постоянных модели, и, причем последние две постоянные входят в виде отношения. Это обстоятельство не замечено в [1,2], где коэффициенты уравнения зависят от параметров и. Замена искомого решения в [1,2] % % на новое = 2 приводит к уравнению с одним коэффициентом, () пропорциональным отношению (в [1,2] = c, = 0.25 ).

2.3. Результаты расчетов и их обсуждение.

Результаты численного интегрирования исходных уравнений в частных производных представлены на рис. 9.2–9.6.

Рис. 9. Рис.9. Рис.9. Рис. 9. Рис. 9. Решение осуществлено по программе ТУРИНБ методом [3]. В качестве начальных данных принимались значения V0 x и 0 x : V0 x = V0 – ( ) ( ) ( ) x 0 0 постоянная, 0, x = 2 + 1 - 2 + 0.5 x.

( ) () L0 L, Рассмотрена зависимость решения от начальных параметров,, n. Установлено слабое влияние значений и n на степень автомодельности B. Это следует из рис. 9.2, где при n = 1 приведена зависимость степени B от отношения, точки – результаты численного интегрирования при = 0.25, кривая – приближенная зависимость, доставляемая формулой (4.6). Численно определялось решение и при = 0.75. отличие в значении B меньше 1% и на рисунках неразличимо.

На рис. 9.3 представлены результаты расчетов при фиксированном значении коэффициента = 0.25 и n = 3;

10;

20 (точки 1–3) в () зависимости от.

Профили безразмерной скорости и плотности изображены соответственно на рис. 9.4 и 9.5. Структура решения в окрестности фронта Bi следует из разложения = i ( - +L, ) 4 B + ( ) 4 - y = Di i - +L, i = 1, 2 ( Di – постоянные). Разложение ( ) ( ) получено при ограниченных значениях 1 и 2. Фронт перемешивания отсутствует только в приближенном решении п.2.4, когда турбулентная скорость полагается не зависящей от пространственной координаты.

Разложение для функции y носит неаналитический характер. Значение = 0.25 в этом смысле критическое, для него существует разложение в виде ряда по целым степеням, а функция y в точках 1 и 2 принимает ограниченное значение.

Профиль скорости получается симметричным при n = 1, симметрия нарушается, если n > 1: максимальное значение скорости сдвигается в сторону легкого вещества с возрастанием n. Фронт перемешивания также будет более продвинутым в сторону легкого вещества. На рис. 9.6 демонстрируется выход на автомодельный режим задачи с начальными данными (9.13) при = 12.5. Первоначально неавтомодельные профили скорости и плотности также стремятся в пределе к автомодельным, изображенным на рис. 9.4и 9.5.

2.4. Приближенное решение Анализируя профили получаемых решений (см. рис. 9.4), видим, что турбулентная скорость в области перемешивания имеет колоколообразный вид. Поэтому можно, как и в §7, построить приближенное решение, заменив турбулентную скорость в области смеси постоянной величиной. С этой целью усредним уравнение (9.12) по области смеси:

2 dV kV 2A =-, k = 0.25 + + ;

(9.24) 2 2d 160 d = lVdt ;

(9.25) x = 0.51+ ;

(9.26) 0. 0. L = 4, 0 = 0.906. (9.27) Здесь также выписано решение для L и ;

– интеграл вероятности:

= ( ) ( ) 0.5 exp -2 d. При выводе (9.24) использовано решение для плотности (9.26). Усреднение проведено путем интегрирования по L области перемешивания x. Предварительно в (9.12) введена вместо времени t переменная, а после интегрирования по области перемешивания соответствующие интегралы заменены приближенными выражениями V M ( ) V dx, L x V V dx dx = 0, x x x x L x=0 L x x ln ln U dx U M, x x x= L x 0 1 + 2 ln A M = dx = L, =.

0. 2 x ( ) L x= x Уравнения (9.24)–(9.27) интегрируются, и решение выписывается в виде 12k L3 -1+2k L = L3t1+2k, V = t. (9.28) 80 1+ 2k ( ) Здесь L3 – постоянная, определяемая начальными данными (9.13).

Сравнивая формулы (9.28) и (9.17), находим явное выражение B =, (4.6) 1.5 + + A 802 применимое и при n = 1. Зависимость для этого случая изображена кривой на рис. 9.2. Заметим, что формулу (9.29) можно также получить, конструируя приближенное решение для системы (9.18), (9.19). Это сделано в приложении 8. Формула (9.29) вполне удовлетворительно работает и в общем случае. На рис.9.3 линией показана степень B в формуле (9.29) при n = 3. Сравнение результатов численного интегрирования с приближенной формулой (9.29), представленное на рис. 9.2 и 9.3, свидетельствует о хорошей точности приближенной формулы. Численные результаты [1, 2] согласуются с кривойрис. 9.2.

§ 10. ks и k s модели для описания турбулентного перемешивания в условиях, приводящих к сепарации Введение Помимо диффузионного подхода для описания турбулентного перемешивания существует еще подход многокомпонентной смеси с уравнениями сохранения для каждой компоненты, имеющей свою скорость.

В этом подходе вводятся неизвестные обменные члены, которые затем определяются из общих соображений. Этот подход развивается в работах [5–7]. Его достоинством является возможность описания сепарации области турбулентного перемешивания, которая может происходить при смене знака ускорения, когда неустойчивое состояние переходит в устойчивое.

Однако, как показано в [6], динамика процесса, связанная со сменой знака ускорения, передается неправильно. Многокомпонентная модель не описывает режим с выключенным ускорением.

Янгс в [6] предложил комбинированную модель. В обменные члены были введены потоки, которые обеспечили диффузионность модели. Для определения коэффициента турбулентнойдиффузии D было использовано уравнение баланса для кинетической энергии турбулентности. Такой подход позволил описать эксперименты с ускорением, изменяющем знак во времени. Естественно, что комбинированная модель приобрела положительные свойства диффузионной модели.

В работе автора [ ] в приближении несжимаемости были получены уравнения первоначальноймодели Янгса. Система из 5 уравненийсведена к двум уравнениям для плотности смеси и для масштаба длины L.Изучение свойств решений полученных уравнений позволило провести оптимальный выбор обменных членов. Предложенная модификация модели Янгса существенно улучшила согласие с результатами экспериментов по описанию турбулентного перемешивания на неустойчивой стадии.

Анализ модели Янгса подсказал, как следует модифицировать k и k модели, чтобы описать явление сепарации. Предложения по учету сепарации с помощью переносных членов делались также Г.Н.Рыковановым и позже А.В.Полионовым [ ]. Поскольку, как показали эксперименты Ю.А.Кучеренко и А.А.Пылаева, интенсивность перемешивания и сепарации значительно отличаются, постоянная сепарации почти на порядок (в семь раз) меньше постоянной перемешивания, то естественно попытаться в рамках диффузионных k и k моделей учесть эффект сепарации с помощью переносных членов.

Оказалось, что переносные члены, обслуживающие сепарацию, лучше добавлять только в устойчивых ситуациях, начиная с момента, когда турбулентная кинетическая энергия обращается в нуль.

Если имеет место неустойчивость, то диффузионная модель вполне удовлетворительно описывает все известные тестовые эксперименты, тогда как такое описание на основе переносных членов затруднено, особенно в случае выключенного ускорения. Поэтому в неустойчивом случае следует использовать только диффузионную модель без сепарационных добавок, а последние использовать только в устойчивых ситуациях.

2. Анализ экспериментальных результатов Ситуация, когда ускорение на границе раздела сменяется замедлением, является типичной в процессе сжатия оболочечных мишеней в проблеме ЛТС. Качественно это показано на рис. 1, где изображены траектория границы раздела, и ускорение на нейв зависимости от времени.

Рис. 1. Типичная картина поведения границы раздела x0 легкого 2 и тяжелого 1 вещества при смене знака ускорения g. t0, t1 – времена обращения ускорения в нуль. 0;

t0 t > t1 – неустойчивые I и III этапы, t0,t1 –устойчивый. Lmin и [ ] [ ] Lmax – минимальное и максимальное значения ширины области перемешивания.

В некоторый момент времени t0 ускорение меняет знак. Если в области x < x0 находится тяжелое вещество плотности 1, то I стадия до t t0 будет неустойчивой. На этой стадии граница раздела разрушится и начнется перемешивание. После смены знака ускорения наступит II устойчивая стадия. Как будет вести себя турбулизовавшаяся смесь? Для ответа на этот вопрос были поставлены эксперименты вначале в Алдермастоне [6], затем в Снежинске [14].

В экспериментах ампула с двумя несжимаемыми жидкостями сперва ускорялась до t = t0. В этот момент ускорение меняло знак, и затем при t = t1 снова происходила смена знака ускорения. В [14] были предприняты попытки сделать ускорение на каждом этапе по возможности постоянным.

Это обеспечивало автомодельность процесса турбулентного перемешивания на I стадии:

h1 = m Ag0t2.

В [14] показано, что и на II стадии устанавливается режим, который описывается следующей формулой:

& h1 = hmax - s 2 s - sc - sc t - tc, (10.1) ( ) где s – новая эмпирическая постоянная сепарации в отличие от & постоянной перемешивания m метится индексом “s”, hmax, sc и sc соответственно максимальное значение ширины области смеси в сторону тяжелого, координата первоначальной границы раздела и ее скорость в момент tc. Последняя формула является обобщением на случай переменного ускорения. Обработка экспериментов [14], проведенных для A = 0.5, дала s = 0.01. Постоянная сепарация оказалась в 7 раз меньше постоянной перемешивания m = 0.07.

В экспериментах на III этапе, когда ускорение снова сменило знак [14], наблюдается рост ширины области перемешивания после прохождения второй экстремальной точки, когда h1 принимает максимальное значение.

Также отметим, что в экспериментах [14] было показано, что максимальное значение ширины hmax наступает через некоторое время tc - t0 после смены знака ускорением. предлагаемые ниже ks и k s модели передают и эту особенность эксперимента.

3. Модель Янгса. Аналитические решения Анализ системы уравнений для многокомпонентной жидкости [ ] приводит в частном случае двух несжимаемых жидкостей к системе двух уравнений для плотности и для масштаба длины L :

g0L = ( - - 2 (10.2) )( ) t x 1 - 2 c ( ) 2 ) Lg0L L ( - 2 g0L + 1 + 2 - 2 =, () t 1 1 + 2 c ( - 2 c1 x ) () (10.3) Эти уравнения получены в предположении, что g0 1 - 2 > 0. В ( ) противном случае выражение под корнем должно браться по модулю, а перед корнем знак меняется на противоположный. Напомним, что знак выражения g0 1 - 2 связан со знаком инкремента и характеризует ( ) соответственно неустойчивую > 0 и устойчивую < 0 ситуации. В ( ) ( ) первом случае ширина области перемешивания возрастает и масштаб L растет, во втором случае имеет место сепарация и L убывает. Это следует из уравнения (10.3). c1 – дополнительная эмпирическая постоянная, введенная в работе [ ].

Для уравнений (10.2), (10.3) рассмотрим простейшую задачу. Будем полагать, что при t = 0 имеем две несжимаемые жидкости, граничащие в точке x0 = 0 :

= 2 при x < 0;

(10.4) = 1 при x > 0;

причем, как и раньше, 2 <. Пусть ускорение g0 со временем дважды меняет знак:

g0 > 0, 0 t t0;

g g = < 0, t0 t t1;

(10.5) g2 > 0, t1 t.

Заметим, что сформулированный пример необходим для оценки влияния сепарации. В эксперименте при таком законе ускорения ширина на первом этапе будет расти, достигнув максимального значения начнет уменьшаться, и затем снова расти.

Цель настоящего параграфа – построить точное решение при постоянном ускорении;

на основании профиля смеси получить формулу для ширины области смеси и сравнить ее с известной зависимостью h1 = m Ag0t2, (10.6) где h1 – ширина области перемешивания в сторону тяжелого вещества.

Соответственно, через h2 обозначим ширину в сторону легкого вещества.

Это позволит получить связь введенной постоянной c1 с эмпирической постоянной m.

Сделаем одно предположение, которое существенно упростит задачу.

Анализируя поведение коэффициента при втором члене в уравнении (10.3), видим, что он в зоне перемешивания меняет знак и обращается в нуль при 1 + 2 1 + 2 - =. Изменение коэффициента происходит в ( - ) 1 - 2 1 - интервале. При малом числе Атвуда есть все - 1, основания этим членом пренебречь, но мы делаем это и в общем случае для любого A. Как легко видеть, при таком допущении уравнение (10.3) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение для масштаба длины Lt и легко интегрируется. В этом разделе, если масштаб длины зависит только от времени, будем метить его индексом t внизу. Значение Lt зависит только от времени, поэтому уравнение (10.2) для плотности смеси интегрируется.

Итак, при постоянном ускорении имеем ( - 2 g ) Lt = L0 + t (10.7) 1 + 2 2c () В уравнении (10.2) перейдем к автомодельной переменной x =. (10.8) Lt После несложных преобразований получим () () ( )( ) d - 1 1 + 2 2 2 - 1 - 2 - - 2 - 1 = d 2 1 - 2 ( ). (10.9) Чтобы удовлетворить краевым условиям (10.4), достаточно приравнять нулю выражение в фигурных скобках.

Заметим, что устойчивое разрывное решение (10.4) имеет место при g0 < 0. Это следует из поведения характеристик исходного уравнения (10.3). В этом случае они будут пересекаться по оси x = 0, и первоначально заданное разрывное решение будет сохраняться во времени.

Если g0 > 0 и согласно (10.4) легкое вещество находится слева от начала координат, то разрывное решение неустойчиво. В этом случае решением будет функция 1 1 + 2 2 2 - 1 - 2 - ( - 2 - () () )( ) = 2 1 - 2 ( ) (10.10) Определим три характерные точки профиля : 1 и 2, соответствующие фронтам перемешивания, и 0 в точке = 0.

1 + 2 = 1 + 1 =- (10.11) 1 0 = = 0 = 1 + 2 + 1 + 2 + ( ) () () Если использовать (10.7) и (10.8), то получим 1 + 2 1 - 2 g0t h1 = 1Lt =.

21 1 + 2 2c Сравнение с (10.6) дает искомое выражение для c1 :

1 + 2 c1 =.

21 2m Рассмотрим решение при условии смены знака ускорения. Легко заметить, что при t t0 оно будет определяться выше полученными формулами (10.8), (10.10), (10.11). После смены знака ускорения, согласно (10.8), будем иметь g0 g Lt = A t0 + A t0 - t.

( ) 2c1 2c g Очевидно, разрыв восстановится при tcc = -. Здесь, как и в 1+ t g1 [6], использовано одно и то же значение постоянной c1 независимо от знака ускорения, хотя, как показано выше, этоне так.

4. Модификация модели Янгса Для того, чтобы оценить свойства полученного решения, необходимо обратиться к результатам экспериментов Кучеренко–Пылаева [9] и Янгса– Рида [6]. Лучше всего сравнивать профили для смеси. Выберем две характеристики профиля: значение плотности смеси в точке начального h положения границы x = 0 и меру несимметрии. Совокупный анализ ( ) h экспериментальных профилей вместе с теоретическим изучением приводит к выводу [2]: если ширины области перемешивания h1 и h2 определять эффективно, отходя от фронта перемешивания внутрь области h перемешивания, то несимметрия изменяется в ограниченных пределах.

h Несимметрия решения предыдущего пункта значительно отклоняется h2 L2 от допустимой: = = - = n. Это видно из рис. 7.4. Так для h1 L1 h2 h n = 3 в экспериментах = 1.19 1.27, в теории по Янгсу = 1.73.

[] h1 h Плотность 0 в модели Янгса согласно (10.11) есть ( ) lim 0 = 0.331, тогда как из [6] и [9] следует, что в опытах.

( ) lim 0 = 0.451. Таким образом, профиль с симметричным ( ) перемешиванием в обе стороны будет меньше отклоняться от экспериментального, т.к. тогда lim 0 = 0.51.

( ) Модель с такими свойствами легко получается, если в формуле (10.2) 1 + плотность заменить ее средним значением. Уравнение для ширины L берется в форме (10.3). Уравнение для плотности смеси примет вид 2g0L = ( - - 2. (10.13) )( ) t t 1 - 2 1 + 2 c ( )() Если, как и раньше, пренебречь переносным членом в (10.3) (второй член в левой части), то решение получим в виде линейной функции от :

1 + 2 1 - =+. (10.14) 1 + Очевидно, 1 =-2 = 1 и 0 =. Постоянная c1 связана с m равенством c1 =.

m 5. Учет сепарации в k –модели на основании уравнения переноса (ks – модель) Выше было показано, что диффузионные k и k модели вполне удовлетворительно описывают широкий класс задач с переменным ускорением, в том числе задачи с выключенным ускорением и с тонким слоем. Сепарация может быть описана путем введения переносных членов по схеме предыдущего пункта, однако подключение ее требует особого исследования.

Для написания исходных уравнений модели используем уравнение (10.13). Запишем его вместе с диффузионным членом:

2 g L = D ± s ( - - 2, )( ) t x x ( - 2 1 + )() (10.16) где D = 0LV ;

если g > 0, то берется знак “+”, если g < 0, то берется знак “–“.

Здесь учтены оба процесса: диффузии и переноса. Переносной член играет основную роль в определении решения. Это уравнение при некоторых ограничениях сводится к известному обобщенному уравнению Бюргерса [13], свойства решений которого хорошо изучены. Переносной член с коэффициентом s является главным в определении интенсивности турбулентного перемешивания, диффузионный член становится добавкой, размывающей основное решение. Причем в нашем случае это размытие происходит на фронтах перемешивания.

Поэтому наиболее естественный способ учета сепарации раздельный.

На неустойчивой стадии g > 0 следует применять только x диффузионную модель = 0, на устойчивой g < 0 – только (s ) x сепарационную D = 0. Как осуществлять переход с одних уравнений на ( ) другие?

Для этого нужно привлечь уравнение баланса кинетической энергии турбулентности (5.5). Отметим, что теперь генерационный член Dg следует учитывать при любом знаке.

x Переход к сепарационной модели D = 0, s 0 увяжем со () значением турбулентной скорости. После смены неустойчивой стадии на устойчивую скорость V начнет падать, стремясь к нулю. Сепарация, как показывают эксперименты, наступает не сразу после смены знака ускорения, а через некоторый промежуток времени. Этот промежуток определяется из уравнения (5.5), когда скорость на устойчивой стадии обратится в нуль. Конечно, обращение турбулентной скорости в нуль скорее всего является недостатком модели. Поэтому в п.6 рассматривается случай, когда эта скорость принимает некоторое постоянное значение.

Точные количественные соотношения будут получены после осреднения уравнения (5.5).

Осредненное уравнение для V и уравнение для ширины удобно записать в следующем виде: (7.12) и (7.13) 2 1, dV V ( ) (10.17) + 4k = gA dL L dL, (10.18) = 81mV dt где m =.

Полученная система уравнений (10.17), (10.18) интегрируется при любом законе ускорения g. Рассмотрим ступенчатое ускорение согласно (10.5). Для простоты будем полагать в начальный момент нулевые начальные данные V 0 = 0, L 0 = 0. (10.19) ( ) ( ) Тогда из (10.17) и (10.18) следует решение I этапа. Мы продолжаем его во второй этап до тех пор, пока скорость V не обратится в нуль. Этим самым определится переходное время tc, при котором происходит смена моделей.

Решение уравнений (10.17) и (10.18) при условии (10.19) и (10.5) есть 1 g0AL ( ), 0 t t0, 21 1+ 4k ( ) V = 1+4k 1 g1AL ( ) L V + 1-, t0 t tc, 21 1+ 4k L ( ) 2 8m1 1 g0At ( ), 0 t t0, L = 1+ 4k L0 L Lc, t0 t tc.

Зависимость ширины от времени на интервале t0 t tc определится после интегрирования уравнения (10.18). Значение ширины Lc вычисляется как решение уравнения 4k Lc L0 g -= -. (10.20) L0 Lc g При значении ширины L2 скорость V обращается в нуль:

V Lc = 0, (10.21) ( ) поэтому согласно (10.18) при t = tc ширина достигает своего максимального значения.

Lc tc Заметим, что экспериментально измеренные отношения и дают L0 t возможность дополнительного контроля правильности выбора степени 4k, которая на I этапе при A = 0 есть 5.

Время tc получается интегрированием (10.18):

Lc 1 tc = t0 + dL.

81m L0 V Подынтегральную функцию на интервале L0 L Lc можно приближенно заменить следующей:

21 1+ 4k - L 1 ( ) Lc -.

V 1 g1AL0 L - L ( ) Тогда интеграл легко берется, и для tc имеем 2 1+ 4k 1 ( ) tc = t0 + - Lc ( - L0.

) 4m 1 g1AL ( ) Время tc служит для переключения на сепарационное уравнение -2g1L =- s 1 + 2 - 2. (10.22) () t 1 x ( - 2 1 + )() Начальными данными для этого уравнения будет распределение плотности из (7.4) на момент t = tc :

1 + 2 1 - 2 2x x,tc =+.

( ) Lc Уравнение для ширины определится из характеристического уравнения d L =- s -2g1A 1 (10.23) ( ) dt при условии t = tc, L = Lc.

Очевидно, что на втором этапе при t tc ширина после интегрирования (10.23) примет вид L = Lc - s -2g1A 1 t - tc. (10.24) ( )( ) Последнее уравнение дает выражение для следующей критической точки, когда L = 0 :

Lc tcc = tc +.

s -2g1A ( ) В нашем случае при t = t1, если ускорение снова меняет знак, наступит неустойчивая стадия, на которой будут действовать уравнения диффузионной модели (10.17) и (10.18) при условии, что V t1 = 0;

L1 = L t1 = Lc - s -2g1A 1 t1 - tc, ( ) ( ) ( )( ) где ширина L1 заведомо не равна нулю.

Решением на этом этапе будет 1 g2A 1 + 2 1 - 2 2x ( ) =+ ( ) L, L = L1 + 41 1+ 4k t - t.

6. Учет сепарации в k –модели на основании уравнения (10.16) Построенная теория п.5 базируется на переключении диффузионной модели на сепарационную, причем момент переключения определяется по обращению в нуль кинетической энергии области турбулентного перемешивания. В таком приближении полная сепарация наступит через конечный промежуток времени.

Однако от этого, видимо, неестественного свойства можно легко избавиться, если в рамках рассматриваемых моделей предположить, что переключение определяется по некоторому ненулевому значению кинетической энергии области турбулентного перемешивания. Для этого следует определить это значение, например, как часть N от кинетической энергии в момент переключения ускорения:

Vc2 = NV02, N 1, и это значение может быть подсказано экспериментом.

Если дальнейшее поведение кинетической энергии области турбулентного перемешивания предположить известным и постоянным, то естественно на сепарационном этапе, в отличие от проведенного выше рассмотрения, учесть диффузионный член (уравнение (10.16)), где D = 0LVc, т. е. турбулентная скорость на всем интервале сепарации полагается постоянной.

Такая постановка приводит к тому, что на сепарационном этапе полного разделения смеси не происходит, а при t устанавливается некоторый асимптотический профиль плотности, определяемый уравнением s -2g1L = ( - - 2.

)() x sLVc 1 - 2 1 + ()() При этом эффективная ширина L установившегося профиля будет связана с параметрами задачи следующим образом:

20 1 N ( ) () g L = L0.

31s g Очевидно, при N = 0 получается рассмотренное в п.5 решение.

Выбор параметра N остается свободным. На этапе сепарации уравнение для кинетической энергии турбулентности нуждается в уточнении.

Заключение Проведен анализ модели турбулентного перемешивания Янгса, основанной на использовании системы уравнений многокомпонентной многоскоростной жидкости.

Показано, что в случае несжимаемых жидкостей уравнения модели могут быть сведены к квазилинейному уравнению переноса, свойства которого хорошо изучены. Проанализирована несимметрия перемешивания и установлено, что при больших числах Атвуда она существенно отличается от экспериментальной. Сделано предложение по совершенствованию модели.

Изучена сепарация в условиях применения диффузионных k и k моделей. Задача сведена к известному уравнению Бюргерса. Показано, что сепарационную добавку следует учитывать только на устойчивом этапе действия ускорения, причем не сразу, а с некоторой затяжкой, определяемой из решения уравнения для кинетической энергии турбулентности.

Проанализированы опыты с сепарацией Янгса и Кучеренко–Пылаева.

В результате анализа определена постоянная сепарации s :

d h =- s A, s = 0. & d 2 s - sc - 2sc t - tc ( ) ( ) (10.25) На основании построенных точных решений возникают следующие вопросы и предложения:

1) Справедлива ли зависимость (10.25) для произвольного числа Атвуда?

Здесь постоянная s вычислена при значении A = 0.5.

2) Какое решение установится на устойчивом этапе при достаточно большом времени? Для этого в опытах Кучеренко–Пылаева следует продолжить интервал действия устойчивого этапа по сравнению с неустойчивым более чем в 2 раза.

3) Проверить вывод теории об автомодельном характере плотности: в безразмерных переменных он остается одним и тем же на всех этапах. В зависимости от знака ускорения профиль плотности самоподобно «расширяется» либо «сужается».

ПРИЛОЖЕНИЕ Рекомендации для самостоятельного изучения:

1. Условия на ударной волне и контактном разрыве.

2. Уравнения газовой динамики в Эйлеровых координатах.

3. Одномерный случай: независимые переменные x и t.

4. Разрывные решения. Понятия об ударной волне и контактном разрыве.

Задача о поршне.

5. Литература: А.А. Самарский, Ю.П.Попов, Разрывные схемы газовой динамики. Глава 1.

6. Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко, Системы квазилинейных уравнений и их применения к газовой динамике. Глава 2. § 4.

Условия на ударной волне Уравнения:

+ U = 0 - закон сохранения массы, ( ) t x u P + U + = 0 - закон сохранения импульса, ( ) t x x s s + u = 0, или t x UU P - = 0 - закон сохранения энергии.

+ + 2 + t (П.1.1) Здесь – плотность, U– скорость, Р – давление, – внутренняя энергия, =,T ;

P = P,T – уравнения состояния для идеального газа.

( ) ( ) cp P = cp - cv T;

= cvT;

= ;

( ) cv cp и cv – постоянные. s –энтропия s = s,T. Для идеального газа ( ) R P S = ln ;

R = cp - cv.(П.1.2) - В (П.1.2) опущена произвольная постоянная, с точностью до которой определяется энтропия каждой частицы газа.

Ударная волна – разрыв, перемещающийся со скоростью D по массе вещества. Все величинына фронте УВтерпят разрыв.

Условия на разрыве – условия Гюгонио:

1) условие сохранения массы:

1 U1 - D = 0 U0 - D ( ) ( ) 2) условие сохранения импульса:

1 U1 - D + P1 = 0 U0 - D + P ( ) ( ) 3) условие сохранения энергии:

U1 U ) P0 ( - D ) P1 ( - D 1 U1 - D 1 + + = 0 U ( ) ( - D 0 + + ) 1 2 0 ПРИЛОЖЕНИЕ Вывод дисперсионного уравнения (3.6) В § 3 после подстановки (3.5) в (3.6) получена система шести уравнений относительно шести неизвестных функций UI x1, i = 123, x1, P x1, s x1 :

,, b g b g b g b g F I i + ik3U3 + ik2U2 + U1 = 0,(П.2.1) H K x 1 P iU1 =- - g0,(П.2.2) x P iU2 =-ik2,(П.2.3) P iU3 =-ik3,(П.2.4) s is =-U1,(П.2.5) x F I =+ s + P.(П.2.6) G J H K s P Ps С учетом введенных ранее обозначений 1 P 1 ln g0 =- ;

c0 = ;

a0 = ;

x1 x P s 0 =-g0 g0 + c0a0.

c h из (П.2.5) и (П.2.6) следует:

1 0 P = U1 +.(П.2.7) 2 i g0c0 c При выводе (П.2.7) использовано равенство s P =+ x1 s x1 P x Ps или s g0 = a0 + = -.

2 s x1 c0 g0c P Из (П.2.1), (П.2.3), (П.2.4) следует:

P F I i - ik12 + U1 = 0 (П.2.8) H K x В (П.2.8) подставим из (П.2.7) и получим F 1 k12 I F I - iP + U1 + U1 = 0.(П.2.9) G J H K c2 c H K x1 g0c Последнее уравнение преобразуется в (П.2.10):

F 1 k12 I U1 g - iP + - U1 = 0 (П.2.10) G J c2 H K x1 c Уравнение (П.2.10) продифференцируем по x1 и получим (П.2.11):

F I F 1 k12 P g0 U I F I - i = U1 -. (П.2.11) G J G J H K G J c2 2 x c0 x H K x1 x H K Подставим из (П.2.7) в (П.2.2) и получим:

F I 0 P g i + U1 =- - P (П.2.12) G J 2 H ic0 K x1 c P Наконец, находим из (П.2.10) и (П.2.11) P и и подставляем в x (П.2.12). Темсамымполучаемуравнение (3.6).

ПРИЛОЖЕНИЕ Покажем, что искомое решение должно выходить из точки (6.4) и входить в точку (6.5). Для этого нужно установить, что y1 = y 1 = 1.

b g Рассмотрим все допустимые значения y1: y1 = 0;

y1 = ;

y1 > 0 и конечно.

4) y1 = 0. Система уравнений (6.2)–(6.3) в окрестности точки 1,0, b g примет вид 3 1 y F I = 1 - y2, y =-.

G J H K 2 3 Можно показать, что среди решений, выходящих из точки 1,0,0 нет b g искомого, удовлетворяющего очевидным условиям > 0, y > 0.

Действительно, разделив одно уравнение на другое, получим d 3y2 - =.

dy y Видно, что среди кривых, лежащих в квадранте > 0, y > 0, нет решения, проходящего через начало координат.

5) y1 =. В этом случае уравнения (6.2)–(6.3) эквивалентны урезанной системе 2 1 U F I F I 1 + y2 + 1- y2 y2 = G J G J | H K H K 3 | (П.3.1) V I 2 F 2 y F I | -G J 1 + = y2 + G J H K 3 H y K | W Безразмерная комбинация y2 в точке = 1 равна нулю.

Действительно, если вернуться к исходным величинам, то y2 D, x т.е. выражение y2 есть поток смеси и поэтому на фронте перемешивания равно нулю.

Система (П.3.1) после сделанного замечания заметно упрощается:

2 3 y =- y2, y =.

3 Поделив одно уравнение на другое и проинтегрировав, получим:

dy y - =-, y = c.

d 6) y1 > 0. y1 – постоянная. Урезанная система примет вид F I 2 2 2 y F I 2 1 +, y1 + =- y1, -G J = 1 G J H K 3 3 H y1 K откуда неминуемо следует, что 2 y1 = 1, 1 =- 1.

b g 3 Аналогично исследуется другая точка и показывает, что 2 y2 = 2, 2 =- 2.

b g 3 ПРИЛОЖЕНИЕ 4.

Усреднение уравнения (9.7) по области -Lm x L0.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (9.7) в указанных пределах. Предварительно оценим ряд интегралов:

L0 L 2 a) V dx = V m, где m = x.

z z - Lm - Lm Lm При больших временах >> 1:

L F 1 - 0 L F IJ m 0 + Lm 1 Lm, G JI G H K H 2 2 K L g 1 - 0 L c h в) g dx = 1- e- ;

c h z x - Lm L0 V c) dx 0 ;

z x x - Lm 2 L0 1 c - h ln V F I d ) V dx ;

G J z H K x 1 - Lm L Le e) dx 1 - 0 0.

c h z - Lm Пренебрегая членами более высокого порядка малости, получим уравнение:

Vm g 1 - 0 L0 1- e c h c h c h vV m + =.

2 2L m Если в это уравнение подставить вместо массы m ее значение 1 Lm, а вместо ширины Lm 2m, то получим уравнение (9.8).

Приложение Исследование поведения интегральных кривых системы уравнений (8.8) в окрестности точки L = k = t = 0.

В уравнении (8.8) перейдем от L к. Получим:

dk k t2 P - P0 + = ;

d cµk ;

(П.5.1) d t c 2t3 c1P1 t - P2 + =.

d cµk3 k а) Пусть в окрестности нуля t2 k P < P0 +.

cµk Тогда систему уравнений (П.5.1) можно заменить следующей dk k P = P0 + d.

dt t t P = P2 + c k Полученные уравнения имеют семейство интегральных кривых, выходящее из нуля.

2P k = 1- 2P0 ;

(П.5.2) c 1 0.5-P0 +P ( ) t = const б) пусть в окрестности нуля t2 k P > P0 +.

2 cµk Тогда от (П.5.1) перейдем к урезанной системе уравнений.

dk t =- ;

d cµk dt c 2 t =-.

d cµ k Решения полученной системы уравнений приводят к отрицательным значениям k, поэтому не рассматриваются.

в) Наконец, остается случай, когда имеет место равенство, т.е.

t2 k = c0P0, cµk где c0 – постоянная. Найдем ее. Из первого уравнения системы (П.5.1) следует kk k P =-c0P0 + P0 +.

Решением, выходящим из нуля, будет 2P k =.

1- 2P0 1- c ( ) Из второго уравнения системы (П.5.1) получаем выражение для c 0.25 - P2 + c1 P0 - 0. () c0 =.

P0 c1 - c () Таким образом, в случае «в» получается единственное нетривиальное решение, имеющее вид P1 c 2 - c () k = c 2 0/5 - P0 - 0.25 + P () 0.25 - P2 + c1 P0 - 0. 2 () t2 = cµ c 2 - c1 P () 0.25 - P2 + c 2 P0 - 0. () (П.5.3) К этому следует добавить, что помимо решения (П.5.3), будет также существовать бесчисленное множество решений, имеющих разложение (П.5.2).Естественно, возникает вопрос о выборе нужного решения.

Квадратичный закон развития ширины области перемешивания от времени получится, если принять единственное решение (П.5.3). В этом случае получим 0.25cµ c1 - c 2 P1t () = 0.5 + c1 2P0 -1 - 2P2 0.5 + c1 2P0 -1 - 2P ( ) ( ) (П.5.4) Другой класс решений, определяемый формулами (П.5.2) также существует. Это однопараметрическое семейство интегральных кривых, выходящих из нулевой точки = 0;

k = 0;

t = 0, приводит к некоторому степенному закону L t2c -1.

Здесь степень вычислена для малых чисел Атвуда. И, вообще говоря, не ясно, какое решение следует выбрать.

Приложение Исследование поведения интегральных кривых в окрестности особой точки = 0 ;

k = t = 0 системы уравнений (8.8).

t а) Пусть 0. Тогда урезанная система имеет вид k k P = ;

t Pc = ;

k а ее решениембудет P c t = const k ;

k = -0.

( ) Из точки = 0 ;

k = t = 0 выходит однопараметрическое семейство интегральных кривых.

t б) пусть. Тогда систему (П.5.1) приближенно можно заменить k следующей:

k t =- ;

cµk t c =- ;

cµ k c Ее решение t = const k противоречит нашему предположению «б».

t в) пусть const. В этом случае из нуля выходит единственное k решение Pcµ c 2 - ( ) t = k ;

0 c 2 - ( ) P1 c 2 - c k = ( -0.

) c 0 2 - Таким образом, поведение интегральных кривых в окрестности изучаемой точки на плоскости k,t будет иметь вид, изображенный на ( ) рис.2. Действительно, это следует из уравнения:

- t2 + P1 0k cµ dk k =, dt - c 0 t2 + Pc1 0k cµ которое получается из (8.8), (П.5.1), если первое уравнение разделить на второе и отбросить в окрестности =0 члены более высокого порядка малости.

Приложение 7.

Усреднение уравнения (9.7) по области -Lm x L0.

Проинтегрируем левую и правую части уравнения (9.7) в указанных пределах. Предварительно оценим ряд интегралов:

L0 L 2 a) V dx = V m, где m = x.

z z - Lm - Lm Lm При больших временах >> 1:

L 0 1 - 2 L m 2 + Lm 2 Lm, L g 1 - 0 L c h в) g dx = 1- e- ;

c h z x - Lm L0 V c) dx 0 ;

z x x - Lm 2 L0 1 c - h ln V F I d ) V dx ;

G J z H K x 1 - Lm L Le e) dx 1 - 0 0.

c h z - Lm Пренебрегая членами более высокого порядка малости, получим уравнение:

0 g 1 - 2 L0 1- e d Vm () ( ) ( ) vV m + =.

2d L m Если в это уравнение подставить вместо массы m ее значение 2 Lm, а вместо ширины Lm 2m, то получим уравнение (9.8).

Приложение 8.

Построим приближенное решение системы (9.18), (9.19). Для этого в (9.18) пренебрежем членом, а функцию заменим постоянной 0, которую определим путем приближенного интегрирования уравнения (2.5).

В результате B - y = y3 + 2 y ;

(П8.1) B +1 ( ) 1-1.5B 1+ B 0 =.(П8.2) ( ) y + 2 4 0. Последнее соотношение получено следующим образом. Уравнение (9.19) умножено на и от обеих частей его взят интеграл по области [-0.1, 0.1, при этом использованы приближенные равенства ] 0. BB + 1+ 2 y2 d - 0.10, ( ) B +1 B + -0. 0. B 2 y2 + y2 d 2 y4 0 00.1.

( ) B + -0. Дифференциальное уравнение (П8.1) для функции y есть уравнение Бернулли. Оно интегрируется, и решение представляется в виде 0. 1 1+ B B0. = + 0.

0. y2 0 2B ( ) 2 B +1 ( ) () Удовлетворяя граничным условиям (9.20), имеем 0.5 - n y0 = 2n n +1, 2 1+ B 0 =. (П8.3) ( ) ( ) n Из условия 0.1 = 0.1 находим ( ) 0 n - ( ) 0.1 =.(П8.4) 0. n Из (П8.2)–(П8.4) можно определить показатель автомодельности B.

Выражение для него тождественно совпадает с формулой (9.29).




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.