WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |

«Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Корнилов И.А. ...»

-- [ Страница 5 ] --

Статистические модели в страховании Модель оперативного управления запасами денежных средств страховщика На практике страховая компания редко занимается только одним видом страхования. Обыкновенно в ее страховом портфеле находятся наборы договоров по различным видам страхования. Создаваемые резервы для каждой части портфеля при объединении рисков могут быть несколько уменьшены из-за распределения по времени пиков страховых выплат по различным видам страхования. Таким образом, как правило, актуарная задача оценки резервов решается в определенном направлении. Сначала определяется резерв по каждому виду страхования (обеспечивающий заданную надежность), а затем риски объединяются, и оценивается возможность сокращения суммарного резерва (суммарный резерв не превосходит суммы резервов). В данной работе предлагается оценить ситуацию с несколько иных позиций. Пусть страховщик имеет возможность создать суммарный резерв определенной величины (на все виды страхования, обслуживаемые данной компанией). Задача представляет особый интерес, если возможности страховщика несколько меньше его потребностей. Необходимо оценить, какая часть этого суммарного резерва должна быть выделена для каждого фрагмента страхового портфеля и какую надежность (вероятность неразорения) по этому виду страхования может обеспечить такой резерв. Возникает задача распределения ресурсов между несколькими объектами. Известно, что выделение определенной величины ресурса на данный объект обеспечивает некоторый фиксированный уровень надежности (резерв заданной величины для определенной части портфеля обеспечивает конкретную вероятность неразорения). Страховщик имеет определенную шкалу предпочтений (для различных видов страхования, которыми занимается его компания). На основании этой шкалы могут быть составлены весовые коэффициенты для каждого фрагмента страхового портфеля. Это позволяет построить взвешенную целевую функцию. Таким образом, возникла задача поиска условного экстремума с ограничением на сумму ресурсов, где взвешенная целевая функция учитывает не только эффективность вложения средств в каждый объект, но и важность объектов. Особенностью данной задачи является ее нелинейность, как следствие нелинейной зависимости вероятности неразорения от величины вложенных средств. Поэтому решение этой экстремальной задачи должно опираться не на идеи линейного программирования, а использовать более универсальный алгоритм. В качестве такового предлагается основанный на принципе оптимальности Р. Беллмана /13/ алгоритм динамического программирования. В результате применения указанного метода для каждого фрагмента страхового портфеля будет указана соответствующая величина страхового резерва, выделяемая на данный фрагмент, и вероятность неразорения по этому фрагменту, обеспеченная за счет выделенного резерва. Представляется, что в современных российских условиях, когда страховые компании еще не настолько сильны, чтобы создавать свои страховые резервы «по потребностям», данный подход, ориентированный на «возможности», должен представлять определенный интерес для страховых компаний. (Необходимо учесть, что страховая математика только формулирует задачу оптимизации, а решать ее приходится, как правило, численными методами. /13, 14/) Имеется и второе применение данного алгоритма (совместно с традиционным подходом). После определения страхового резерва по каждому фрагменту и объединения рисков появляется возможность несколько снизить суммарный страховой резерв (он станет меньше суммы резервов по всем фрагментам). Тогда возникает задача поиска наиболее рационального использования сэкономленного (при объединении рисков) резерва. По мере укрупнения компании и повышения ее устойчивости (возможности приближаются к потребностям) интерес страховой компании именно ко второй стороне изложенной задачи будет повышаться. С этой задачей тесно связана и другая. При планировании своей деятельности на страховом рынке каждый страховщик обязательно учитывает возможность инвестировать временно свободные средства. Это позволяет ему не только получить прибыль, но и снизить свои тарифы, повышая тем самым свою конкурентоспособность. Но инвестированные средства становятся недоступными, что создает определенные проблемы при необходимости выполнения своих обязательств, особенно, в экстренной ситуации. Поэтому возникает задача определения оптимальной величины как средств, направляемых на инвестиции, так и средств, оставляемых в банке на счете страховщика, предназначенных для выплаты страховых возмещений. Не инвестированные средства приносят меньшую прибыль, что удорожает страхование. Но при возникновении экстренной ситуации отсутствие собственных свободных средств также приносит убытки и отражается на репутации страховщика. Поиск разумного компромисса при формализации приводит к задаче стохастической динамической оптимизации, решаемой с помощью модели, разработанной автором. /13/. С актуарных позиций наиболее совершенным является страхование жизни и пенсии. Построенные на основе таблицы (и кривой) смертности коммутационные функции позволяют сформулировать аналитическое решение для целого ряда актуарных задач, в том числе и определить величину страхового резерва. Несколько сложнее обстоит дело в других видах страхования (например, имущественного или страхования ответственности), где аналитические результаты можно получить только для очень ограниченного круга задач, опирающихся на сравнительно простые распределения. (Аналогичные задачи возникают, например, в страховании от несчастных случаев и в медицинском страховании.) В этой связи особую актуальность стали приобретать в последние годы численные методы решения актуарных задач. Разработка соответствующих методов, алгоритмов и программ занимает все большее место в актуарной литературе. Предлагаемая методика базируется на предположении, что все поступления и выплаты осуществляются через банк, который использует свободные средства, находящиеся на счету страховой компании, для инвестиций в целях повышения не только доходов компании, но и надежности ее функционирования. (Отметим, что в РФ инструкция Страхнадзора жестко регламентирует порядок размещения резервов страховщика. Но, например, в Германии, страховщик предпочитает заниматься своим прямым делом, а все его расчеты (с клиентами и партнерами) проходят через определенный банк. Там же накапливаются и временно свободные средства страховой компании. И т.к. банк обслуживает не только этого страховщика, но и другие фирмы, то он накапливает значительные суммы, и может их инвестировать более профессионально, чем его клиенты, причем за очень умеренные комиссионные. Возникает целесообразность такого сотрудничества.) Предполагается, что весь резерв страховой компании условно делится на две части: оперативную и стратегическую. Первая используется для текущих выплат, вторая - для инвестиций. Возможно перераспределение средств между этими двумя составляющими. Однако, для банка проведение подобных операций по перераспределению имеет некоторую цену. Поэтому для него есть различие между плановым распределением и экстренным, которое, естественно, стоит дороже. Из-за этого и страховая компания заинтересована в том, чтобы ее оперативная составляющая не приближалась к нулевой отметке, а своевременно пополнялась, причем не только за счет поступлений взносов, но и (при необходимости) за счет стратегической составляющей. С другой стороны, нецелесообразно и чрезмерное увеличение первой составляющей, поскольку вторая «работает» более эффективно и приносит банку, а следовательно, и страховщику, больший доход. Возникает задача оперативного регулирования величины той части резерва, которая непосредственно используется для текущих выплат. В принципе, это может быть достигнуто за счет поддержания величины этого резерва в определенном, наиболее рациональном диапазоне. Процесс исследуется с помощью так называемой модели резервуара с пополнением и расходованием запаса некоторого ресурса. /5, 32, 13, 14/. Предлагаемый аппарат решения этой задачи динамической стохастической оптимизации опирается на понятия: состояния (величины резерва) и стратегии (величины привлекаемых или высвобождаемых средств), а также на вероятность перехода из состояния в состояние под действием выбранной стратегии. Очевидно, эти вероятности, зависящие от интенсивности поступления страховых премий и интенсивности выплат страховых возмещений, могут быть определены численно. Пребыванию в каждом состоянии соответствует определенная плата (недополучение прибыли от инвестирования). А возникновение потребности в экстренном привлечении средств означает обращение к банку за кредитом, что стоит еще дороже. Наконец, каждая операция по переводу средств из одной составляющей в другую также имеет некоторую цену, не зависящую от размера перевода. Это позволяет построить взвешенную функцию потерь (затрат), среднюю величину которой на определенном временном интервале необходимо минимизировать. Поскольку предполагается, что система может функционировать неопределенно долго, следует минимизировать не суммарные, а средние за этап издержки. То есть необходимо указать наиболее рациональное поведение (оптимальную стратегию) в каждом состоянии. Сформулированная задача динамической стохастической оптимизации может быть решена с помощью разработанной автором модификации метода Р.Ховарда /13/. Рекомендации, полученные при решении задачи, справедливы до момента изменения характера случайных процессов (законов распределения или величин параметров). Для повышения эффективности модели автор внес в алгоритм некоторые модификации. Используется неравномерная сетка для определения границ интервалов, задающих множество состояний системы и множества стратегий, применяемых в каждом состоянии. Это позволило работать с практически любым диапазоном величины резерва без существенного увеличения размерности задачи. /13/ Учитывая близость матрицы вероятностей (перехода из состояния в состояние под действием выбранной стратегии) к диагональной, упрощена процедура перебора возможных вариантов. Игнорирование ситуаций (переход из состояния в состояние под действием выбранной стратегии) с пренебрежимо малыми вероятностями позволил обрабатывать не весь трехмерный массив: «состояние - стратегия – состояние», а лишь незначительную часть его. Геометрически это означает, что из всего прямоугольного параллелепипеда возможных вариантов перебору подлежат лишь те, которые находятся внутри цилиндра, ось которого направлена по главной оси этого параллелепипеда. Точное решение системы линейных алгебраических уравнений по методу Гаусса заменено приближенным решением по итерационному методу Зейделя. Это позволило снизить объём вычислений, по сравнению с классической схемой, в 4-5 раз. От пользователя требуется задать распределение и параметры входного и выходного потоков и весовые коэффициенты для целевой функции. Программа сама строит множество состояний и наборы возможных стратегий. В результате решения оптимизационной задачи выдаются рекомендации о величине дополнительно привлекаемых (или высвобождаемых) ресурсов в зависимости от величины запаса. Предполагается, что данная модель может быть полезной реальным страховщикам для оценки целесообразности применения своих альтернативных инвестиционных стратегий.

14.2.

Статистическая модель страхового пула, основанная на идеях теории игр Принцип организации страхового пула состоит в том, что каждый страховщик – участник пула передает в этот пул на перестрахование некоторый объем ответственности по рискам из своего портфеля. Таким образом формируется портфель пула. Известен вклад каждого участника в этот портфель. В соответствии с этим вкладом определяется доля ответственности каждого участника в возмещении ущерба по всем договорам, переданным в пул. Эта доля определяется отношением объема ответственности, переданной данным участником, ко всему объему ответственности в портфеле пула. Следовательно, выбирая объeм передаваемой ответственности, страховщик, с одной стороны, избавляется от части своего риска, перекладывая ее на пул, т.е. на других участников этого пула. С другой стороны, он «приобретает» соответствующую долю риска, находящуюся на ответственности пула (переданной в пул другими участниками). Если объем передаваемого риска страховщик выбирает сам, (и это является его стратегией), то объем и состав принимаемого при этом риска ему неподвластен. Более того, страховщику неизвестен объем и состав портфеля страхового пула. Точнее, ему может быть известен объем и состав портфеля пула на момент передачи в пул части своей ответственности. Но он может лишь предполагать, как изменится состав и объем портфеля пула в следующий период. И соответственно, как изменится его доля в портфеле пула. Тем более, он не может контролировать этот процесс. Для участника пула возникает элемент неопределенности, который осложняется (усугубляется) тем, что каждый участник пула стремится избавиться от наиболее опасных и невыгодных договоров. Однако, пул организован на добровольных началах. Поэтому вся информация о портфеле пула (и его динамике) открыта для всех его участников. Следовательно, на основе информации за предшествующие периоды каждому страховщику – участнику пула – известно распределение общего ущерба, «генерируемого» пулом. Эту информацию можно рассматривать, как набор стратегий пула, используемых с определенными вероятностями. Распределение объема ответственности (в пуле), а также (при каждом объеме ответственности) распределение объема ущерба – позволяют (вместе) принять решение. Первая составляющая позволяет оценить свою долю в пуле, а вторая – объем принимаемого риска. Разумеется, информация периодически обновляется, что требует переоценки соответствующих распределений. Таким образом, возникает теоретико–игровая задача (неантагонистическая!), где один игрок (страховщик – участник пула) должен выбрать свою стратегию (объем передаваемой ответственности), опираясь на распределение вероятностей «применения пулом своих стратегий». Причем каждой паре выбранных стратегий соответствует определенный объем передаваемого риска (т.е. снижение ожидаемых выплат), и вместе с тем, определенный объем принимаемого риска, (т.е. повышение ожидаемых выплат). Для второй составляющей можно, по крайней мере, найти математическое ожидание этой величины. С учетом не только портфеля пула, но и своей стратегии, т.к. от нее зависит доля ответственности участника. Следовательно, необходимо выбрать свою стратегию, оптимальную в том смысле, что она минимизирует ожидаемый объем выплат (сумму оставленного на собственном удержании риска из своего портфеля и принятого из портфеля пула). Методы решения подобных задач достаточно хорошо известны (но не применительно к задачам страхования!). Например, Дж. Данциг предлагает свести теоретико– игровую задачу к задаче линейного программирования и решать последнюю с помощью эффективного программного обеспечения, реализующего этот набор методов. Автору ближе теоретико – игровые методы, опирающиеся на вероятностно – статистические алгоритмы. Впервые эти методы приведены в кн. Дж. Неймана и О. Моргенштерна. Затем эти идеи конкретизированы в кн. Карлина и др. Применительно к страховым задачам известно решение теоретической (и крайне редко встречающейся на практике) задачи, где предполагается наличие k страховщиков с портфелями, распределение общих убытков в которых – одинаково. Для этой задачи получено аналитическое решение, состоящее в том, что каждый страховщик оставляет на собственном удержании только 1/k часть своего риска (что соответствует объединению портфелей). И. Карри показал, что если убытки компаний взаимно независимы, и если каждый участник пула стремится минимизировать дисперсию убытков собственного удержания, то предлагаемое решение – оптимально. Однако, в реальных условиях подобная ситуация – нетипична, поэтому предлагается подход, свободный от приведенных ограничений. Численное решение теоретико-игровой задачи получается с помощью метода В. Брауна, модифицированного с использованием идеи «доминирующих» стратегий. По-видимому, следует признать наиболее эффективным средством решения подобных задач подход, основанный именно на вероятностно-статистических методах. Эта идея впервые была предложена Дж. Робинсон, однако, только в классическом изложении, т.е. в пространстве «чистых» стратегий. Автор обобщил эту идею на случай «смешанных» стратегий (что вполне оправдано в данной содержательной задаче и существенно расширило сферу применения метода) и внес в алгоритм модификацию, позволяющую снизить размерность задачи с помощью предварительного «доминирования» стратегий, а затем реализовал эту модификацию в виде алгоритма и программы. Видно, что этот подход может успешно использоваться в приведенной задаче о страховом пуле. Проблема – в необходимости наличия реальных данных о распределениях общего ущерба в портфелях всех участников пула. Предложенная модель может быть уточнена в виде игры N лиц (страховщиков – участников пула), причем более логичным и оправданным является безкоалиционная игра. Пул – сам является коалицией, участие в нем – добровольное. Поэтому создание коалиции внутри коалиции вряд ли целесообразно. Однако, в принципе, создание коалиций алгоритмом не запрещено. Это может потребоваться для анализа, например, регионального рынка. Приведем классическую схему и модификацию метода.

Классическая схема метода Брауна. При решении практических задач часто достаточно найти приближенное решение игровой задачи. Приемлемое решение можно получить с помощью приведенных ниже численных методов решения матричных игр. Идея метода Брауна (специфического для теории игр итерационного численного метода нахождения цены игры и оптимальных смешанных стратегий) состоит статистическом моделировании игры. Пусть рассматривается бесконечный процесс повторения игры с матрицей:

A = ij (1 i m ;

1 j n).

{} Предположим, что в k повторениях этой игры первый игрок выбирал чистые стратегии с номерами: i1, i1,..., ik, ;

а второй игрок выбирал соответственно свои стратегии с номерами: j1, j1,..., jk,. Пусть l означает число повторений чистой стратегии Ri в множестве:

i1, i1,..., ik,, и пусть R(k) – означает смешанную стратегию, в которой чистая стратегия R i входит с вероятностью l/k, тогда стратегию R(k) назовем эмпирической смешанной стратегией первого игрока, порожденной последовательностью чистых стратегий i 1, i 2,..., i k,. Аналогично определяется эмпирическая смешанная стратегия второго игрока, порожденная последовательностью его чистых стратегий j 1, j 2,..., j k,.

На (k+1)-м повторении каждый из игроков выбирает свою чистую стратегию, оптимальную против эмпирической смешанной стратегии противника, определяемой частотами появления чистых стратегий в прошедших повторениях игры. Таким образом, процедура метода Брауна состоит из следующих шагов: Шаг 1: Первый игрок выбирает свою чистую стратегию: i1, например, по минимаксному критерию. Тогда: R (k) = Pi 1. Поэтому теперь второй игрок выбирает свою чистую стратегию: j1, наилучшую (1) против R (1). Тогда: Q = Q j1. Если этот выбор (или какой-либо из последующих) неоднозначен, то выбирается какая-либо из возможных чистых стратегий, обеспечивающая тот же результат, что и j1, например, с наименьшим номером. Шаг 2: Первый игрок выбирает свою чистую стратегию i2, (1) наилучшую против Q. Второй игрок выбирает свою чистую j2, стратегию: наилучшую последовательностью (i1, i2 ).

против R (2), порожденной Шаг 3: Первый игрок выбирает чистую стратегию: i 3, наилучшую (2) против Q, порожденной последовательностью (j1, j2 ). Второй игрок (3) выбирает чистую стратегию: j 3, наилучшую против R, порожденной последовательностью: (i1, i2, i3 ). Шаг l: Первый игрок выбирает чистую стратегию: il, наилучшую ( l 1) против Q, порожденной последовательностью: j1, j2,..., jl 1,.

(l) Второй игрок выбирает чистую стратегию j l, наилучшую против R, порожденной последовательностью: i1, i2,..., il,.

Таким образом, в указанную процедуру входит лишь один совершенно произвольный выбор il. Рассматриваемое на l-м шаге предполагаемое первым игроком поведение второго игрока – эквивалентно тому, что второй игрок выбирает с равной вероятностью любую из своих стратегий: j1, j2,..., jl 1,, т.к. частота появления стратегии Q j совпадает с числом js (s l 1), равных i (l 1). При таком поведении второго игрока выигрыш первого равен:

1 l 1 a ij l 1 s = 1 s он стремится максимизировать свой выигрыш, выбирая на l-м шаге чистую стратегию il. Обозначим через v1 (R) гарантированный выигрыш первого игрока при стратегии: R, а через v 2 (Q) – максимальный выигрыш, который может получить первый игрок, если второй принимает стратегию Q. Тогда, для любого l имеем: v1 (R (l) ) v v 2 (Q (l) ) где v – цена игры. Тогда:

s = l i l js = max ij s = (l 1)v 2 Q (l 1). 1 i m s = l ( ) Аналогично, второй игрок на своем l-м шаге выбирает jl так, что:

a s = l is js = min ai s j s = (l 1)v1 R (l 1) 1 i m s = l ( ) Итак, выбор стратегий в данной игре производится следующим образом. Как отмечено ранее:

1 l 1 aij s = M Ri,Q (l 1). l 1 s = Таким образом, имеем: 1 l 1 ai s j = M R(l 1),Q j. l 1 s =1 Очевидно, если: lim v1 (R (l 1) ) = lim v 2 (Q (l 1) ) ( ) ( ) (l 1) (l 1) То эта общая величина равна v, и соответствующие стратегии: иQ стремятся к оптимальным стратегиям. Это позволяет отыскать приближенную цену игры. Для этого повторяют (моделируют) (l 1) (l 1) и v2 Q. игру и на каждом шаге вычисляют пару чисел: v 1 R Т.к. v лежит между ними, то процесс заканчивается при достижении заданной точности. Доказательство сходимости итеративного процесса подобного рода приведено в кн. А.В. Кружевского «Теория игр» Киев, Вища Школа, 1977. Оценка скорости сходимости этого метода дается формулой: 1 (l) (l) v2 Q v1 R = l n+ m 2, из которой видно, что скорость сходимости невелика и падает с увеличением размерности игры: (m+n). Низкая скорость сходимости объясняется тем, что если, например, первый игрок достиг оптимальной стратегии, то он не останавливается на ней, а продолжает попытки увеличить свой выигрыш (если второй игрок к этому моменту еще не достиг своей оптимальной стратегии) и тем самым может ухудшить свое положение. В методе Брауна требуется, чтобы каждый игрок применял свои чистые стратегии, являющиеся наилучшими против эмпирической смешанной стратегии, определенной по всем предыдущим чистым стратегиям противника. Если игроки имеют ограниченную память и могут помнить не все «ходы», а лишь несколько последних, то метод Брауна может оказаться не сходящимся (происходит зацикливание). Например, если каждый игрок «помнит» только один ход, то он выбирает свою стратегию, оптимальную против последней использованной стратегии противника. Однако, отмеченное обстоятельство не снижает значения метода Брауна для решения игровых задач. Метод достаточно прост и отражает жизненную практику приобретения опыта игроками в результате повторения конфликтных ситуаций.

R (l 1) (l 1) ( ) ( ) () () Модификации метода. Для повышения эффективности метода предложен ряд модификаций, рассмотренных, например, в кн. М. Дрешера «Стратегические игры. Теория и приложения.» М., «Сов. радио», 1964. В частности, для уменьшения количества повторений можно использовать (в качестве признака окончания процесса) величину: (k) = lim v 2 (Q(l) ) max v1 (R (l) ) > 0, 1 l k 1 l k и за оценку цены игры принять значение: 1 lim v 2 (Q (l) ) max v1 (R (l) ) 1 l k 1 l k [ ] Другой полезной идеей является предложенное Дж. Робинсон сокращение множеств допустимых стратегий с помощью предварительного их доминирования. Автор данной работы реализовал метод Брауна с доминированием стратегий в виде программы и показал, что эффективность модифицированного алгоритма превышает эффективность классического варианта, по крайней мере, вдвое. Целый ряд практических задач (например, при анализе страхового пула) характеризуется наличием большого числа заведомо невыгодных стратегий. Это позволяет надеяться на существенное повышение эффективности модифицированного алгоритма при решении подобных задач. Однако, Дж. Робинсон предложила алгоритм в пространстве чистых стратегий, а смешанная стратегия была окончательным вариантом решения задачи. В рассматриваемой модели страхового пула, вследствие неопределенности, вызванной изменением во времени изначально заложенных значений параметров, возможно наличие многих смешанных стратегий, каждая из которых является оптимальной при своем наборе значений параметров. Возникает задача следующего порядка, состоящая в сравнении этих смешанных стратегий. Таким образом, следующая модификация направлена на решение этой задачи.

Модификация для задачи управления запасами. Идея предлагаемой модификации базируется на инерционности реальных систем, что допускает переход системы только в ближайшие состояния. Точнее, вероятность перехода системы из некоторого исходного состояния в другое (достаточно отдаленное) предполагается пренебрежимо малой. Это позволяет существенно снизить размерность задачи, отказавшись от полного перебора вариантов, включая заведомо бесперспективные и маловероятные. Разумеется, при программной реализации этого алгоритма следует допустить возможность итерационного изменения порогового значения вероятности. Это позволяет постепенно сужать область допустимых решений. Создается эффект работы с переменным шагом, что существенно уменьшает общий объем вычислений. Эти работы были в свое время опубликованы. Применительно к страховому пулу задача несколько меняется. Каждый страховщик, собирающийся вступить в пул, знает состав риска, принятый пулом к настоящему моменту времени, а следовательно, знает и распределение величины ущерба в пуле (если состав риска не изменится). Поэтому можно считать, что один игрок (пул) уже имеет некоторую смешанную стратегию (в отличие от набора чистых стратегий в классической схеме). Однако, распределение ущерба в пуле меняется под влиянием решений, принимаемых каждым участником. Т.е. у этого игрока появляются дополнительные стратегии, о которых другой игрок (страховщик) может только догадываться. Поэтому возникает задача оценки семейства распределений величины ущерба в пуле. Надо не только оценить вероятность определенного объема и состава ответственности в пуле, но и (на основе этого) оценить вероятность определенного ущерба в таком пуле. Кроме того, хотя каждый отдельный страховщик передает в пул наиболее опасные риски, пул, в целом, (как игрок) не заинтересован в увеличении общего объема ущерба (только для того, чтобы максимально увеличить выплаты другого игрока). Поэтому данная игра не является антагонистической. Возникает аналог игры с природой, допускающий, тем не менее, применение идей В. Брауна.

14.3.

Исследование риска в страховании методом ковариационного анализа с факторизацией качественных переменных Диапазон статистических методов, используемых в настоящее время в практике статистических исследований, которыми можно дополнить результаты ковариационного анализа в целях повышения его эффективности, достаточно широк. Системный подход к анализу экономического процесса предполагает использование комплекса взаимосвязанных методов, дополняющих результаты друг друга, а также предоставляющих новую информацию о характере и особенностях развития страхового рынка. В то же время необходимо учитывать, что применение тех или иных методов ограничено уровнем программной реализации этих методов на ПЭВМ и допустимостью затрат на исследование по трудоемкости. Формализация реальной задачи исследования зависимости тарифа в страховании от количественных (возраст) и качественных (профессия) признаков на основе предварительного содержательного анализа и учет вышеперечисленных условий и требований приводит к выводу о необходимости использования идей ковариационного анализа, а также методов множественной линейной регрессии для получения модели зависимости цены страховой услуги от признаков, входящих в исследование. В данной работе практически все эти методы модифицированы с целью повышения надежности результатов исследования. Их органическое сочетание позволяет уточнить результаты ковариационного анализа. Ковариационный анализ представляет собой метод, соединяющий идеи дисперсионного и регрессионного анализа /1/, он позволяет изучать вероятностно-статистические модели, в которых присутствуют как качественные, так и количественные признаки. Ковариационный анализ достаточно подробно освящен в /Болч Б., Хуань К. Многомерные статистические методы для экономики. М., 1979, и Афифи А., Эйзен С. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. М., 1982/. В работе приняты обозначения, используемые в /Айвазян С.А., Енюков И.С., Мешалкин Л.Д. Прикладная статистика. Исследование зависимостей. М., 1985/. В исследовании страхового рынка ковариационный анализ представляется, как совокупность методов и результатов, относящихся к математико-статистическому анализу моделей, предназначенных для исследования зависимости среднего значения некоторого количественного результирующего показателя от набора неколичественных факторов Xd и одновременно от набора количественных (регрессионных или сопутствующих) переменных X. Неколичественные факторы Xd данного исследования задают сочетания условий (качественной природы), в которых производилась фиксация каждого из наблюдений (экспериментальных значений) y и X, и описываются с помощью индикаторных переменных. Основные теоретические и прикладные разработки по ковариационному анализу относятся к линейным моделям /1/. Однако, это обстоятельство не является существенным ограничением, если предварительно преобразовать нелинейную модель в линейную, например, опираясь на идеи Бокса-Кокса /А., Е., М./. Если анализируется схема из n наблюдений со скалярным результирующим признаком y, с k возможными типами условий эксперимента и с p сопутствующими переменными x(1), x(2), …, x(p), то линейная модель ковариационного анализа задается уравнениями: y i = d1 x(i) +... + dk x(k) ) + (1 (Xdi ) x(1) + di di i ( +... + p (Xdi ) x(p) ) + i (Xdi ), i i = 1,2,..., n, где:

(j) x di - индикаторные переменные, если j-е условие выполнено;

(1) dj- коэффициенты, определяют эффект влияния j-го условия;

x i(s) - значение сопутствующей переменной x(s), при котором наблюдался результирующий признак yi(I=1,2,…n;

s=1,2,…,p);

s(Xdi) - значения соответствующих коэффициентов регрессии y по x(s), зависящие от конкретного сочетания условий эксперимента, т.е. от (1) (k) | вектора X di = (x di,..., x di ) ;

i(Xdi)- величина остаточных случайных компонент, т.е. “ошибок измерения”, имеющих нулевые средние значения. Основное содержание ковариационного анализа - в построении статистических оценок для неизвестных параметров d1,…, dk;

1,…, p и статистических критериев, предназначенных для проверки различных гипотез относительно значений этих параметров. Если в модели постулировать априори 1,=…=p0, то получится модель дисперсионного анализа;

если же из модели исключить влияние неколичественных факторов (т.е. положить d1,=…=dk 0), то получится линейная модель регрессионного анализа. В вычислениях ковариационного анализа используется разбиение ковариаций переменных Y и X точно так же, как в дисперсионном анализе используются разбиения остаточной суммы квадратов. В исследовании будет использоваться модель ковариационного анализа в матричном виде: Y=Xdd +X+ Или Y=(Xd,X)< d > +, дисперсия неизвестна (подлежит оцениванию). Предполагается, что тип условий эксперимента Xd не влияет на матрицу плана регрессионных экспериментов X, т.е. столбцы матрицы X линейно не зависят от столбцов матрицы Xd (существенное предположение). К несущественным предположениям относятся допущения о том, что матрицы X и Xd имеют полный ранг (соответственно k и p) и что отсутствуют ограничения на параметры d.

где Y - вектор-столбец (n*1)наблюдений результирующего показателя;

Xd - матрица (n*k) плана эксперимента по неколичественным факторам Xd;

d -вектор-столбец (k*1) неизвестных параметров, соответствующих неколичественным факторам (общее среднее, главные эффекты, взаимодействия и т.п.);

X - матрица (n*p) плана регрессионных (количественных) объясняющих переменных;

- вектор-столбец (p*1) параметров (неизвестных коэффициентов регрессии);

- вектор-столбец (n*1) случайных остатков модели, подчиняющийся нормальному распределению N(0,2 *In, где остаточная Для нахождения оценок d и неизвестных параметров d и применяется обычный метод наименьших квадратов (как в множественной регрессионной модели). Однако в исследовании существенно упрощен анализ за счет использования специального вида матрицы (Xd, X) и специфики модели дисперсионного анализа. С этой целью используется двухшаговый метод наименьших квадратов /1/, который применительно к модели ковариационного анализа состоит из следующих этапов: В исследуемой модели полагается 0 и находят оценки B (0) и остаточную сумму квадратов ( при условии 0 ): OCK(0) =Y’QY где Q = In - Xd(X ’d Xd)-1X ’d;

В полученном выражении Y заменяется на Y-X·, и после этого определяется такое которое минимизирует полученное выражение. Итак, { OCK () откуда OCK () = (Y X)Q(Y X);

} = 2 X QX 2 X QY = 0, =(X’QX)-1 · X’QY. Подсчитывается остаточная сумма квадратов для общей модели, равная :

OCK = min OCK () = (Y )Q(Y ) = = Y QY QY.

Для получения оценок заменяются вектором Y-X·.

d в выражении для d ( 0 ) вектор Y Проверка гипотез относительно параметров di проводится так же, как в моделях дисперсионного анализа, т.е. проверяется гипотеза об отсутствии влияния рассматриваемых неколичественных переменных на результативный показатель: Н: D1= D2=…= D1=0, но со значением OCK, подсчитанным по приведенной выше формуле, и с числом степеней свободы k, равным числу степеней свободы OCK модели дисперсионного анализа минус ранг матрицы X. Проверка гипотезы H: 0 проводится с помощью статистики 1 1 OCK, ранг( X ) QY k которая, в предположении справедливости гипотезы H, имеет F(t,k) распределение (где t –ранг (Х)). Таким образом, если окажется, что подсчитанная по этой формуле величина F превосходит значение 100 %-ной точки F (, t ;

k), Fраспределения Фишера-Снедекора, то гипотеза Н отвергается (с уровнем значимости критерия, равным ) /1/. После проверки существенности влияния на результативный признак отдельных факторов или их всевозможных комбинаций (включая все факторы вместе) в дисперсионном анализе, (а следовательно, и в ковариационном анализе), могут быть поставлены и решены еще некоторые задачи, рассмотренные в /Болч или Афифи/. Построение доверительных интервалов. Если в результате применения F- критерия гипотеза Н отвергается, то необходимо выявить, насколько параметры i отличаются друг от друга. Обычно представляют разности вида: 1 2, 1 ( 2 + 3 )/2, (1 + 2 )/2 ( 3 + 4 + 5 )/3 и т.п. Данные линейные комбинации, имеющие вид: „ i i = 0, где = 0, называют “сравнениями” или “контрастами” параметров i. Если линейная комбинация задана до получения экспериментальных Ci данных, то (1-) - доверительный интервал для Ci i - строится как:

Ci где c i2 y i* ± (t /2 (n I)) se Ji t (k) - 100 % -ная точка t - распределения Стьюдента с k степенями свободы. Однако на практике такие сравнения составляются обычно после получения экспериментальных данных, т.е. когда известны оценки i. Опираясь на них, среди всех возможных сравнений отбираются те, которые кажутся наиболее важными. В данном случае применение указанной формулы (для построения доверительного интервала) к отобранным сравнениям не оправдано и приводит к более узкому, чем должно быть, доверительному интервалу. Обычно в этих условиях отказываются от индивидуального доверительного интервала и строят множественные доверительные интервалы, которые одновременно выполняются либо для всех возможных сравнений, либо для какогонибудь выделенного подмножества сравнений. Наиболее известны три метода построения таких интервалов: S- метод Шеффе, Т- метод Тьюки и метод уменьшения уровня критерия Стьюдента /А., Е., М./. S- метод Шеффе формулируется следующем образом:

| c i ( i y i* ) |=| c i ( i* ** ) |= i =| i ci Ji c i2 1/2 J i ( i* ** ) ( ) ( J k ( k * ** ) 2 ) 1/2 i Ji k Правая часть равенства состоит из двух сомножителей, первый из которых носит не случайный характер, а второй не зависит от выбора Ci 2 2 (I 1) и не зависит от S 2. Отсюда выводится,, распределен, как Њ что величина второго сомножителя с вероятностью (1- ) будет меньше, чем [(I 1) F (I 1, n 1)] s t. Следовательно, с вероятностью не 1/ меньше (1- ), для всех сравнений одновременно выполняется неравенство:

c i2 | C i i C i y i* | J i i 1/ [(I 1)F (I 1, n I)]1/2 s e Т - метод Тьюки применяют только к сравнениям вида i j. Пусть y i * i расположены в вариационный ряд, где Z min - наименьшее из них и Z max - наибольшее. Для всех I (I - 1)/2 пар (i, j):

| y i* y j* i + j | Z max Z min = max i* min j* i j Разность в правой части этого неравенства при вероятностью (1- ) ограничена величиной q (I, n 1) - 100 %- ная точка стьюдентизированного размаха с числом Ji = J с q (I, n 1)S Њ, где 2 степеней свободы I, n-I. (Если случайные величины 1,...I, (k) независимы между собой и i N(0,1), тогда случайная величина q ik = (maxi mini )/ 2 (k) называется стьюдентизированным размахом с числом степеней свободы I, k.

Метод уменьшения уровня критерия Стьюдента. При построении k доверительных интервалов, где k не слишком велико, обычно пользуются приведенным выше неравенством с меньшим значением уровня: = /k. В этом случае вероятность того, что будут верны одновременно все k доверительных интервалов, не менее (1- ). Поскольку описание объектов экономико-статистического исследования часто включает признаки разных типов, а статистические методы рассчитаны на обработку информации определенных видов шкал, преимущественно метрических, то возникают проблемы соизмерения признаков различной природы. Качественные - это описательные признаки, их значения выражаются не числовой, а словесной характеристикой. Выделяют три основные шкалы измерения признаков: номинальная, порядковая, интервальная. Номинальная шкала указывает градации признака исследуемого объекта - это отношение объекта к одному из классов по данному признаку. Значения количественных показателей здесь выступают в роли указателей. По данной шкале могут быть измерены количественные и качественные признаки. Для порядковой шкалы характерно упорядочение между собой градации признака асимметричным образом. Эта шкала расставляет градации признака по ступенькам, но величины различий (ступенек) она не указывает. В данном случае представляет интерес не числовое значение признака, а порядковый номер его места (ранг).

По номинальной шкале также могут быть измерены как количественные, так и качественные признаки. Наиболее высок уровень измерения по интервальной шкале. Эта шкала дает возможность не только указать ранг, но и описать в точности его отличие от других градаций - определить интервал между соответствующими градациями по шкале. В случае существования абсолютного нуля по шкале получаем еще более высокий уровень измерения - шкалу отношений. По интервальной шкале измеряются только количественные признаки. Поскольку в модели присутствуют качественные признаки, то в исследовании они учитываются следующим образом. Методика анализа, включенного в исследование страхового тарифа, основана на применении матриц корреляции, которые рассчитываются для признаков, измеряемых по интервальным шкалам. В практических исследованиях часты случаи, когда основная масса признаков регистрируется номинальными и ранговыми шкалами /А., Е., М./. В этих случаях характеру исходной информации в большей мере будут отвечать иные меры связи - меры взаимной сопряженности либо теоретико-информационные показатели связи. Очень часто в исследованиях сталкиваются именно с данной ситуацией, когда признаки программы наблюдения измеряются в различных шкалах. В итоге возникает противоречие между характером исходной информации и математическим аппаратом ее обработки, в связи с чем появляется необходимость факторизации качественных данных. В решении этой проблемы наметилось несколько направлений /1/. С одной стороны, разработаны процедуры факторного анализа непосредственно для качественных признаков, но данный подход ограничивается исследованием дихотомических (альтернативных) переменных и поэтому имеет достаточно узкое применение в практических исследованиях. Хотя всякую дискретную переменную путем незначительных преобразований можно превратить в объединение дихотомических переменных, объем информации возрастает в такой степени, что этот подход оказывается часто неприемлемым. Другое направление, используемое в данной работе, основывается на специальных приемах преобразования качественных признаков. Основная идея таких преобразований заключается в переходе от номинальной шкалы измерений к порядковой, а затем к интервальной, т.е. проводится усиление шкал /1/. Переход от качественных оценок, полученных в ходе исследования, к количественным расчетам требует преобразований. Для этого проводится отождествление различных качественных уровней признаков с ранговой шкалой, что оправдано лишь в том случае, если расстояние между соседними рангами на некоторой гипотетической интервальной шкале одинаково. Поскольку анализ базируется на данных выборочного наблюдения, всегда существует ненулевая вероятность получить непредставительную выборку, и даже в случае полного соблюдения принципов выборочного обследования - из-за случайности, разной возможности для единиц генеральной совокупности попасть в выборку (под представительностью понимают адекватность структуры выборки структуре генеральной совокупности). Идеальную представительность получают в случае полной адекватности обеих структур, что реализовать практически невозможно, поэтому принято считать представительной выборку, которая обеспечивает отклонения значений основных характеристик выборочной совокупности не более, чем на 5%, относительно параметров генеральной совокупности. Следовательно, в том случае, когда имеются данные по генеральной совокупности, фактическую репрезентативность выборки можно проверить сравнением показателей по генеральной и выборочной совокупностям, и если фактическая ошибка не превышает, например, 5%, считают, что фактически полученная выборка – представительна. Такой подход имеет некоторую условность. Однако, если учесть, что исследуемое подмножество договоров является достаточно многочисленным и случайным подмножеством из всех договоров, то можно считать малые различия результатов по этим двум множествам свидетельством адекватности построенной модели реальному исследуемому процессу. Информативность признака определяется суммой (по модулю) коэффициентов взаимной информации либо иных показателей связи (коэффициентов парной корреляции - по модулю, коэффициентов взаимной сопряженности и т.п.) данный подход лучше характеризует информативность признаков системы. Очень часто описание объектов статистического исследования включает отдельные качественные по своей природе факторы, которые не измеряются по числовой шкале и которые необходимо ввести в ковариационную модель, рассматриваемую как частный случай регрессионного анализа. Сразу в такой модели возникает серьезная проблема соизмерения признаков различной природы. Наиболее часто решение этой задачи основывается на включении в регрессионную модель фиктивных переменных. Фиктивными называют искусственные переменные, используемые в регрессионном анализе для описания качественных или трудно квантифицируемых характеристик, как правило, принимает значение 0 или 1 /1/. Качественное различие можно формализовать с помощью любой переменной, принимающей два значения, а не обязательно значения 0 или 1. Однако в эконометрической практике почти всегда используют лишь фиктивные переменные типа “0 - 1”, поскольку в этом случае интерпретация выглядит наиболее просто. Если включаемый в рассмотрение качественный признак имеет не два, а несколько значений, то иногда вводят дискретную переменную, принимающую такое же количество значений. Но таким методом пользуются крайне редко, т.к. в таком случае трудно дать содержательную интерпретацию соответствующему коэффициенту. Тогда используют несколько бинарных переменных. Типичным примером является исследование сезонных переменных. Фиктивные переменные являются весьма гибким инструментом при исследовании влияния качественных признаков. Они позволяют строить и оценивать так называемые кусочно-линейные модели, которые можно применять для исследования структурных изменений. С помощью фиктивных переменных можно исследовать влияние разных качественных признаков, а так же их взаимное влияние. Способ включения фиктивных переменных зависит от априорной информации влиянии соответствующих качественных признаков на зависимую переменную и от гипотез, которые проверяются с помощью модели. От способа включения фиктивной переменной зависит и интерпретация оценки коэффициента при ней. Чтобы повысить адекватность регрессионной модели, включающей признаки различного вида, обычно используют один из двух подходов к решению данной задачи. В первом из них для каждого вида признаков строится своя модель. На основании этих частных моделей формируется общая модель. Иногда по качественным признакам проводят группировку объектов, а по количественным признакам строят групповые модели. Решение о возможности применении этого подхода принимается в каждом конкретном случае с учетом его особенностей. Однако в этом методе не учитывается связь разнотипных признаков, что может привести к неадекватности модели. При исследовании риска в договоре страхования жизни разбиение на 0 или 1 недостаточно информативно опишет такие качественные факторы, как профессию, образ жизни, национальность (а следовательно, генетические особенности), место жительства (экологические характеристики) и т.д. Во втором подходе все признаки приводят к одному виду. Здесь различают три метода: перевод (перекодировка) качественных признаков в количественные, перевод количественных признаков в качественные, перевод качественных признаков в дихотомические. 1) Перевод качественных признаков в количественные заключается в последовательном перекодировании значений качественных признаков. Т.е., если принимающий k значений ~l x ~ j - качественный признак, ~ x ~l j, l = 1, k. То задача состоит в x j замене качественных, кодовых значений на количественные x j, l = 1, k. Их определение производится путем минимизации среднего риска модели. В частности, при построении линейной регрессии используют следующую процедуру. Устанавливают очередность перекодировки о качественных признаков. Для перекодирования очередного x j строят линейное уравнение y, качественного признака включающее все количественные и все перекодированные к этому моменту качественные признаки. Далее совокупность разбивают на группы объектов с одинаковыми значениями x этого находят числовые значения ~l j ~, l = 1, k. После 1 x= nl l j (y i = nl i yi ), l = 1, k Суммирование проводится по всем объектам l-го - класса;

nl - число l объектов l-го класса. Величина x j равна среднему значению ошибки аппроксимации в l -м классе. Линейная модель, в которую дополнительно включен признак xj ' имеет вид: y = y + x j. Данный метод по существу представляет собой последовательную подгонку моделей под значения результативного показателя исходной совокупности, что может привести к получению искаженной модели риска. 2) Перевод количественных признаков в качественные. В этом методе вначале каждый количественный признак xj переводят в x j. Для этого проводят разбиение совокупности качественный объектов по значениям xj на k групп. Значением нового качественного признака x j i-го объекта служит номер группы, в которую попал данный объект. Построение моделей в дальнейшем осуществляют на основании признаков, имеющих качественный вид. Недостатком этого способа является потеря информации при переводе количественных признаков в качественные и невозможность использования методов изучения связи количественных показателей, что также не приемлемо в исследовании риска при страховании жизни. 3) Перевод качественных признаков в дихотомические (альтернативные), принимающие два значения 0 или 1. Здесь качественный признак x j, имеющий k значений x 1 j k j ~ ~ ~ ~l j, l = 1, k, заменяется на k дихотомических признаков x,..., x, значения которых для i-го объекта:

x lji =1, если значение признака x ~ j i-го объекта равно x ~l j ;

x lji =0, если значение признака x ~ j i-го объекта на равно x ~k ~l j.

Иногда последний дихотомический признак x j исключается из анализа. Это правомерно, поскольку информация о его значениях содержится в первых k-1 дихотомических признаках. При построении моделей связи дихотомические признаки рассматривают, как количественные. Недостатком этого метода является искусственное увеличение признакового пространства, что снижает качество моделей, а также описание качественных признаков с помощью 0 или 1 не отражает полной взаимосвязи между качественными и количественными признаками в модели и не полностью отражает их влияние на результирующий при исследовании риска в страховании жизни. Проблему перевода качественных признаков в количественные для дальнейшего использования в регрессионном анализе можно решить с помощью оцифровки, т.е. присвоения числовых меток градациям неколичественных переменных. Такой же подход пригоден для преобразования количественных переменных, которые предварительно подвергаются квантированию и для анализа данных смешанной природы. Возможность оцифровки номинальных переменных в данном подходе основывается на том, что в рамках конкретной задачи каждой категории кодируемой переменной соответствует некоторая совокупность значений скрытых, не измеряемых непосредственно, но реально существующих переменных. Числовая метка, присваиваемая категории номинальной переменной при оцифровке, является некоторым обобщенным результирующим значением для совокупности значений не наблюдаемых переменных, характерных для объектов, выделяемых данной категорией кодируемой переменной. Требования, которым должны удовлетворять наборы числовых меток, получаемые в результате работы процедуры оцифровки, для дальнейшего использования в исследовании зависимости следующие: пусть x- некоторый неколичественный признак из матрицы данных X, имеющий lx градаций (категорий) значений. Пусть каждой из lx градаций присвоена числовая метка cr r = 1, l x. Поскольку корреляции между признаком x и другими признаками не зависят от преобразования сдвига и масштабирования меток, требуется выполнение условий центрирования и нормировки: n 1n 2 c r (i ) = 0 ;

n c r ( i ) = 1, i =1 i =1 где r(i) - номер градации признака x для i-го объекта. ( ) ni - частота i-й градации признака x у объектов n из X. Тогда условия нормировки записываются в виде: lx lx ) ) Pr cr = 0 ;

Pr cr2 = 1, Пусть теперь P = r = r = Выполнение модифицированных условий нормировки гарантирует от появления тривиальных наборов меток, (когда числовые метки, присваиваемые градациям признака x, одинаковы). Далее категориям неколичественных признаков приписываются числовые метки, удовлетворяющие условиям нормировки, и максимизирующие величину:

2 Q = ij 2 i< j p где i, j = 1, p p - число признаков, pi, j - коэффициенты корреляции между i-м и j-м признаками после кодировки. Теперь множество переменных x1,…,xq разбито на две группы (2 ) группу X(1) из q переменных, подлежащих оцифровке, и группу X из pq переменных, для которых сохраняются исходные значения меток. В частности, в группе X(2) могут быть переменные, измеренные и в количественной шкале. Считается, что признаки пронумерованы так, что в X(1) входят признаки x1,…,xq, а в X(2) - признаки xq+1,…,xp. Критерий Q2 представляется в виде суммы трех слагаемых :

2 Q 2 = Q12 + Q12, 2 + Q, где Q 2 X;

Q 12, 2 X (1 ) (1) - сумма квадратов коэффициентов корреляции между переменными - сумма квадратов коэффициентов корреляции между переменными (2 ) иX ;

- сумма квадратов коэффициентов корреляции между переменными. 2 Величина слагаемого Q2 не зависит от кодировки, и поэтому 2 Q X (2 ) определение оптимальных меток проводится, исходя из условия максимума критерия:

~ Q 2 = Q12 + Q12, Далее приведены формулы для вычисления оценок коэффициентов 2 Q2 корреляции, входящих в состав сумм Q1 и 1, 2.

(1) x X (1) Пусть признаки xi X и j и li - число категорий признака xi. Тогда, если выполнены условия нормировки, то:

) ij = C i F (i, j )C j где - вектор числовых меток для категорий признака xi(i) : F (i, j ) - нормированная таблица сопряженности размера l *l между ij признаками xi и xj, т.е. ) 1 F (i, j ) = N (i, j ) n Пусть теперь признак x i X признак xj (1 ) Ci ( j ),а x j X (2 ) и пусть предварительно нормирован и центрирован. Тогда:

) ij = CiPi C j ) (i ) где ) p k - частота появления k-й градации признака xi (k = 1, l i ) ;

) ) ) Pi = diag p1, K, p li i i 1j ( ), j (C ( ) ) = (c ( ),K, c ( ) ) i j li xi X x (k = 1, l i ) категорией признака i. Для каждого признака введется симметричная неотрицательно определенная матрица AI, такая, ~ Q / C i = Ai C i. чтобы удовлетворялось равенство Непосредственным дифференцированием получается:

c k - среднее значение признака (i) xi на множестве объектов с k-й (1) Ai = j N (i, j )C jCj N ( j, i ) + (x X ( ) ) q ) ) PiC j(i ) C j(i ) Pj () j i (x X ( ) ) j j = q + Вычислительная процедура данного итерационного процесса состоит в том, что числовые метки, максимизирующие величину критерия Q2, находятся по правилу: 0 0 Задаются начальные значения для C 1,..., C q ( координатам каждого вектора присваиваются натуральные числа, т.е. номера градаций). Эти метки нормируются и центрируются.

(0) Затем по формуле Ai вычисляется матрица A2 и находится (1) собственный вектор C 1 с максимальным собственным значением для уравнения:

) A (j0 )C1(1) 1 P1C1(1) = (1) Координаты этого вектора и будут новыми значениями меток C 1 для x1. (1) (0) Теперь, зная C 1, определяется матрица A2 при фиксированных (1) 0 (0) (1) значениях C 1, C 3,..., C q и находят новый вектор C 2.

(1) Далее для j= 2, q набор меток C j определяется из решения обобщенной задачи нахождения собственных значений AC (0) j (1) j (1) = P j C (1) при фиксированных C 1,..., C (1)1, C (0)1,..., C 0. jj+ p j (1) (1) Вычислив все значения меток C 1,...,C p переходят к определению (1) (2) C 1 C1 при фиксированных C 2,..., C (1), и вычисления повторяются. p (2 ) Процесс останавливается, когда разница между значениями критерия (9) на соседних шагах итерации будет меньше заданной пороговой величины nop или число итераций k превзойдет заданное Imax. Таким образом, каждый из перечисленных выше способов построения моделей по разнотипным признакам обладает определенными достоинствами и недостатками при исследовании риска в страховании (как жизни, так и имущества). Перечисленные методы возможно использовать при подтверждении или отрицании влияния качественные факторов на результирующий. В таком случае, выбор того или иного метода осуществляется в каждом конкретном случае с учетом его особенностей.

Заключение Некоторые дополнительные сведения о работе актуария Цивилизованный страховой рынок (в отличие от отечественного) не скрывает тарифов. Компании пристально следят друг за другом и ни одно изменение тарифов не остается незамеченным. Актуарные принципы общеизвестны и не могут составлять коммерческую тайну. Иначе дело обстоит с пакетами прикладных программ, реализующими эти методы. Хороший пакет, обеспечивающий своему владельцу минимальное преимущество (например, позволяющий ему снизить тариф на 0.1%), является самой охраняемой тайной. Таким образом, одной из важнейших задач актуария является разработка концепций пакета, участие в процессе его создания, а затем использование пакета для решения реальных задач, и при необходимости модернизации пакета. Другим следствием такой открытости на страховом рынке является невозможность длительного сохранения монополии на новые контракты. Поэтому конкуренция требует постоянного опережения соперников в генерации новых идей. И поскольку изобрести новую подотрасль страхования чрезвычайно сложно, необходимо постоянно предлагать своим клиентам новые услуги (которые сегодня они не могут получить больше нигде!) хотя бы в виде новой комбинации договоров. И в конструировании этих новых комбинаций актуарий принимает самое активное участие. Классическим примером такой комбинации (часто используемой, например, в ФРГ) является следующая. Родители новорожденного ребенка заключают договор накопительного страхования жизни на срок до его совершеннолетия. К этому моменту молодой человек становится обладателем солидной суммы, которой достаточно для оплаты обучения (приобретения специальности). Стороны выполнили обязательства друг перед другом и могут прервать «сотрудничество», однако компания, не желая расставаться с хорошим клиентом (и его деньгами), предлагает новый договор. В результате компания оплачивает обучение клиента, продлевает его страховку, и еще становится посредником между клиентом и банком, обеспечивая ему более высокий процент, чем он мог бы получить, обратившись в банк сам. Очевидно, этот эффект возникает из-за того, что частное лицо приносит в банк небольшую сумму, и у банка нет гарантии, что он скоро не закроет свой счет, поэтому банк платит этому клиенту «осторожный» процент. Страховая компания аккумулирует большие средства и является для банка солидным и надежным партнером, поэтому на вклад компании банк платит совсем другой процент. Большую часть этой разницы компания отдает своему клиенту (по законодательству ФРГ – более 90%). Молодой страхователь окончил учебу, получил специальность, начал работать. Компания предлагает ему новый договор накопительного страхования, который должен помочь клиенту накопить сумму, достаточную для покупки (или строительства) дома (квартиры). И через несколько лет компания предлагает клиенту помощь в получении льготного кредита для строительства или покупки дома. (под залог страхового полиса). В какой-то момент на счете этого клиента в этой компании накапливается такая сумма, что он больше не платит взносов. Денег на счете достаточно для оплаты всех страховых взносов (страхование жизни, пенсии, здоровья, ответственности, имущества и т.д.). Естественно, клиенту это очень удобно и выгодно;

компании - тоже. Причина в том, что у компании об этом страхователе полное досье, он для нее абсолютно предсказуем, в отличие от нового человека с точно такими же параметрами (возраст, профессия, семейное и имущественное положение и т.д.), но которого компания не знает. Проблема нового риска достаточно подробно рассмотрена ранее. Естественно, в данном случае актуарий определяет, насколько можно снизить тариф этому конкретному страхователю с учетом его специфики. Наконец, актуарий должен при разработке подобных конструкций учитывать действующее законодательство, прежде всего - налоговое. Дело в том, что в западно-европейских странах средства, вложенные в страхование, подлежат льготному налогообложению. В частности, доход в виде банковского процента облагается налогом, а доход, полученный при накопительном страховании, либо освобождается от налога, либо налог значительно меньше. Отметим стабильность законодательства в странах с развитой рыночной экономикой. Конечно, эта законодательная норма отражает заинтересованность государства в снижении нагрузки на бюджет. И базируется на точном актуарном расчете, выполненном на государственном уровне. Актуарию страховой компании остается только сконструировать договор, максимально сберегающий деньги клиента, и проиллюстрировать все преимущества такого договора для клиента. В настоящей книге автор предпринял попытку, с одной стороны, консолидировать учебный курс по предмету «Основы актуарных расчетов», а с другой стороны,- несколько выйти за рамки этого учебного курса и поставить перед читателем некоторые вопросы (уже не учебного, а исследовательского характера). Представляется, что эта вторая составляющая может со временем по своему значению, по крайней мере, сравниться с первой. И если идеи, изложенные как в этой, так и в предыдущих книгах, найдут применение в исследовательских работах студентов, дипломников и аспирантов, автор будет считать свою цель достигнутой. По мнению автора, круг вопросов, рассмотренных в этой и предыдущих книгах, уже вышел за рамки семестрового учебного курса. Дальнейшее развитие этого направления может быть достигнуто путем разработки отдельных актуарных проблем (резервы, оценка устойчивости страховщика, работа с документами его официальной финансовой отчетности, перестрахование (особенно, страховые и перестраховочные пулы), инвестирование временно свободных средств страховщика и т.д.). Представляется, что разработка этих (и других смежных) вопросов и доведение их до уровня спецкурсов может быть востребовано в самом ближайшем будущем. Как в системе вузовского, так и послевузовского образования. автор приглашает к сотрудничеству всех Поэтому заинтересованных лиц, а также будет признателен за любые конструктивные замечания по содержанию и структуре книги.

15.

Рекомендуемая литература 1. Айвазян С.А., Мхитарян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. М., ЮНИТИ, 1998, 1024 с. 2. Большев Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М., Наука, 1983, 416 с. 3. Бурроу К. Основы страховой статистики. “Анкил”, М., 1992, 92 с. 4. Гвозденко А.А. Финансово-экономические методы страхования. М., Финансы и статистика, 1998, 180 с. 5. Гербер Х. Математика страхования жизни. Мир, М., 1995, 160 с. 6. Карри И. Прикладная статистика. Кузбассвузиздат, Кемерово, 1994, 185 с. 7. Кендалл М. Дж., Стьюарт А. Теория распределений. Наука, М., ГРФ-МЛ., 1966, 8. Корнилов И.А. Основы актуарных расчетов. МЭСИ, М., 1997, 117с. 9. Корнилов И.А. Актуарные расчеты в практике страхования. МЭСИ, М., 1998, 67с. 10. Корнилов И.А. Вероятностно-статистические исследования в страховании. М., МЭСИ, 1999, 106 с. 11. Корнилов И.А. Основы актуарных расчетов. /УПП ИДО/, М., МЭСИ, 1998, 120 с. 12. Корнилов И.А. Актуарные расчеты в имущественном страховании. /УПП ИДО/, М., МЭСИ, 1998, 104 с. 13. Корнилов И.А. Распределение ресурсов и управление запасами в страховании. М., МЭСИ, 2000, 120 с. 14. Корнилов И.А. Статистический анализ риска на региональном рынке страхования жизни. М., МЭСИ, 2000, 240 с. 15. Королькевич В.А. Страхование. НТК “Трек”, М., 1994, 16. Крамер Г. Математические методы статистики. М., Мир, 1975, 648с. 17. Медведчиков Д.А. Организационно-экономические принципы страхования космических рисков. М., Анкил, 1998, 184 с. 18. Мхитарян В. С., Аль-Кодмани А. Автотранспортное страхование. Актуарные расчеты. ММУБИИТ, М., 1994, 80 с. 19. Практикум по страховому делу. Под ред. В.И. Рябикина, М., Финстатинформ, 1998, 72 с. 20. Рейтман Л.И. Страховое дело. “ББ Н-КЦ”, М., 1992, 21. Рябикин В.И. Актуарные расчеты. Финстатинформ, М., 1996, 92 с. 22. Салин В.И., Абламская Л.В., Ковалев О.И. Математикоэкономическая методология анализа рисковых видов страхования. М., Анкил, 1997, 128 с. 23. Севастьянов Б.А. Курс теории вероятностей и математической статистики. М., Наука, 1982, 356 с. 24. Фалин Г.И., Фалин А.И. Введение в актуарную математику. ИМУ, М., 1994, 86 с. 25. Фалин Г.И. Математический анализ рисков в страховании. РЮИД., М., 1994, 130с 26. Фалин Г.И. Математические основы теории страхования жизни и пенсионных схем. МГУ им. М.В. Ломоносова, М., 1996, 27. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Мир, М., т.1-1984, 528 с., т.2-1984, 752 с. 28. Хэмптон Д.Д. Финансовое управление в страховых компаниях. ИЦ “Анкил”, М., 1995, 264 с. 29. Четыркин Е.М. Пенсионные фонды. АО “АРГО”, М., 1993, 100 с. 30. Четыркин Е. М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. ДЕЛО Лтд, М., 1995, 320 с. 31. Четыркин Е.М. Актуарные расчеты в негосударственном пенсионном страховании. М., Дело, 1999, 120 с. 32. Штрауб Э. Актуарная математика имущественного страхования. КРОКУС-Т, М., 1993, 150 с.

Приложение1. Сведения из теории вероятностей и математической статистики. 1. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. ИХ ПАРАМЕТРЫ И ХАРАКТЕРИСТИКИ. А. ЗАКОН ПУАССОНА В общем случае рассматривается произвольный промежуток времени (0;

t), где t-любое >0. Поэтому P{N(t) = n} = et (t )n n!

n И только, если t=1 (фиксирован), то P{N(1) = n} = e Взяв в качестве новой единицы времени не (0;

1), а (0;

t), можно без потери общности пользоваться результатами для более простой формулы: m (k = m ) = e P (Замена: «t» «») m! Убедимся, что это «распределение», т.е. Из разложения в ряд:

m = n!

P(k = m) = m + 3 + = e m! = 1 + + 2! 3! следует:

m = P(k = m) = e m = m =e = e e = 1 m! 0 m!

m Найдем математическое ожидание:

m m m m M(K)= m P(m)=me = 0 + me = e m =e = m! m! m! (m 1)! 0 0 1 1 1 =e m1 m1 m = e = e = e e = (m 1)! 1 (m 1)! 0 m!

Итак: М(K)= Найдем дисперсию: D(K)=M(K2)-[M(K)]2 m m M(K ) = m P(m) = m e =e m m = m! m =0 m=0 m =0 m!

2 2 2 m m 1 m ] = e m =e [(m 1) + 1] e 0 + m[ m = m! (m 1)! (m 1)! m =1 m =1 m =1 m 1 m m 1 m = e (m 1) + 1 m + = = e (m 1)! m =1 m = 0 m! m =1 (m 1)! m = 0 m! m m m = + e = = e 0 + m + e = + e m! m =1 m! m =1 (m 1)! m =0 2 + e e = + D=(+2)-()2 =, итак : D(K) =, т.е. M(K)=D(K)= Б. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ f(x) = e x, x> Убедимся, что это - «распределение», т.е. f(x)dx = f(x)dx = e 0 0 x dx = e xd( x) = d(e x ) = e x0 = e x = =e e = 10 = Найдем математическое ожидание:

M(X) = x f(x)dx = x 0 0 x 1 1 dx = (x) x d = ( x)e x d( x) = 0 0 1 1 1 1 = ( x)de x = ( x) e x0 e x d( x) =xe x de x = 0 0 = 1 1 1 x e 0 = [0 1] = Итак: M(X) = Для расчета дисперсии определим второй начальный момент:

1 2 M(X ) = x f(x)dx = x e dx = 2 (x exd(( = 0 0 2 2 2 x 1 1 1 2 x 2 x 2 x = 2 ( x) e d(x) = 2 (x) de = 2 ( x) e 0 exd(x)2 = 0 0 0 = 1 x 2 2 2 e ( 2)d(x) = 2 (x)dex = 2 1 = 2 2 0 2 1 1 Тогда дисперсия равна: D(X) = 2 = 2 D(X)=[M(X)] В. НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 1 f(x) = e 2 (x µ) 2 2 1 f(x)dx = e 2 1 = 2 = 1 (x µ) 2 dx = 1 e 2 1 (x µ ) d xµ = t2 1 e 2 dt = т.к.

e 1 t2 dt = 2 - интеграл Эйлера 1 M(x) = f(x) x dx = e 2 (x µ) 2 2 xdx xµ = t, x = µ + t, dx = dt 1 e t2 (µ + t ) dt = t2 d = µ 2 t 1 t e t µdt + 1 e t2 tdt =µ 1 e t2 dt + + e de = µ+0 = µ Итак: M(X) = µ.

Найдем дисперсию через второй начальный момент:

D(X) = M X 2 [M(X)] 2 () t 2 (x µ) 2 2 1 e M(X ) = f(x) x dx = x 2 dx = t 1 2 1 e (µ 2 + 2µ + t 2 2 )dt = e 2 (µ + t 2 dt) = 2 µ2 2µ 2 2 2 t2 e 2 dt + e tdt + e 2 t 2dt = µ 2 1 + 0 + e 2 td 2 2 2 2 2 t t t t Рассмотрим этот интеграл отдельно:

e t2 t t t2 t2 2 = td(e 2 ) = (по частям) t d == e td 2 = te t2 t t e 2 dt = 0 + e 2 dt = 2 2 Итак: M (X ) 2 =µ + 2 = µ 2 + 2 2 2 2 2 Тогда: D(X) = µ + ( µ) = Г. ЛОГАРИФМИЧЕСКИ НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (m, 2 ) Если СВ: t ~ N (0,1), то СВ: x = e t + m ~ Л.Н.Р. (m, 2 ) (lnxm) 1 2 e 2 f(x)= x 2, x>0 x<0 Можно доказать что:

122 k + km k M(X ) = e 2 2 2 + 2m (e 1) D(X) = e Проверим, что: f(x)dx = Сделаем замену:

t + m = e t +m d(t + m) = e t + m dt Тогда: dx = d e ( ) lnx m = t;

t2 lnx = t + m ;

t2 x = e t + m f(x)dx = (e t + m ) t2 e e t + m dt = 1 e dt = 1 2 = M(X) = xf(x)dx = e t + m ( ) (e t + m ) t2 + t e t2 e t + m dt = = 1 e e e dt = t m em e dt Для удобства показатель надо дополнить до «полного квадрата».

2 1 12 12 t2 2 2 2 + t = t 2t = t 2t + = (t ) + 2 2 2 2 [ ] [ ] Тогда искомый интеграл превратится :

em e 1 (t ) 2 e dt = 2 +m 2 e 2 +m e ( t ) dt = e 2 +m e ( t ) d(t ) = = e e +m 2 = e т.е M(X) = e Итак, формула начальных моментов M(Xk) справедлива для К=1. Это позволяет убедиться в её правильности для произвольного «К» методом индукции. Тогда используя 2 +m M X 2 = e () + 2m получаем выражение для D(X).

2. СВОЙСТВА ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Для двух независимых случайных величин U и V строим новую величину W = U V. Тогда M(W) = M(U V) = M(U) M(V) D(W) = D(U V) = M[(U V)2 ] [M(U V)] 2 = M[(U V)2 ] [M(U) M(V)] 2 = = M[U 2 V 2 ] [M(U) M(V)] 2 = M[U 2 ] M[V] 2 [M(U)] 2 [M(V)] 2 D(U) = M[U 2 ] [M(U)] 2, M[U 2 ] = D(U) + [M(U)] 2 M[U 2 ] M[V 2 ] = [D(U) + (M(U))2 ] [D(V) + (M(V))2 ] = D(U) D(V) + + D(U) [M(V)] 2 + D(V) [M(U)] 2 + [M(U)] 2 [M(V)] 2 D(W) = D(U) D(V) + D(U) M(V)2 + D(V) M(U)2 1, p V = A= U = (X|A) 0, q = 1 p Например, А – случайное страховое событие, Х – случайная величина ущерба (безусловного или полного), (Х|A) - случайная величина ущерба, если страховой случай произошел.

3. СВЁРТКА (КОМПОЗИЦИЯ ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН) Пусть известны плотности двух CB: X и Y. Надо найти плотность CB: Z=X+Y X ~ f(x), Y ~ g(y) Z = X+Y h(z) = ? H(z) = ?

H(z) = P{Z < z} = P{X + Y < z} = P{(X < x) (Y < z x)} = f(x) g(z x)dx Z тогда: h(z) = H'(z) X ~ e ( m m!

) Y ~ e -µ ( µ n n!

) Z = X +Y Для дискретных величин интеграл заменяется суммой Например, есть две СВ, распределённые по законам Пуассона:

P(Z = k) = = = m = m m!

k P(X = m) P(Y = k m) = ) (e µ µk m (k m)!

m = k k [(e [e )] = ( + µ) m = m µ k m m! (k m)!

]=e [ ( + µ) m = ( + µ) k m µ k m m! (k m)!

= =e =e =e ( + µ) m =0 ( + µ) k ( + µ) k k ] m [ µ ( + µ) ] k m m! (k m)!

= ( + µ) ( + µ) k m =0 ( + µ) k k pmqk m m! (k m)! pmqk m m! (k m)!

= k! k!

= m = e ( + µ) ( + µ) k k!

m = k k! m! (k m)!

p q m k k m = e ( + µ) ( + µ) k k!

m = C k m k p m q k m = ( +µ )k k!

= e ( + µ ) ( + µ ) k k!

Pm ( k ) = m = e ( + µ ) ( + µ ) k k!

1 = e ( +µ ) т.е. формула Пуассона для параметра (+µ). Интенсивности потоков складываются. Для нормального закона выполняется то же условие. Свёртка двух независимых нормальных СВ образует нормальную СВ с параметрами (µx+µy), (2x+2y).

4. КОМПОЗИЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН Сначала без потери общности рассмотрим СВ, равномерно распределенное на [0,а]. Их плотность 1/а на этом отрезке и 0 вне его. -1 Итак U 1 (x) = a,0 ;

иначе 0 Рассмотрим две случайные величины Х и Y. Z=X+Y Є [0, 2а] { } f (z ) = 2a f 1 (x) f 2 (z x)dx = f 1 f 2 dx + z a 2a f a f 2 dx z 1) 0

z 2, 0 < z <, 2 - z, < z < 2 f(z) = 2 0, иначе В наших обозначениях:

a 2 x,0 < x < a U 2 ( x)a 2 (2a x), a < x < 2a 0, иначе Для произвольного “n” получим по индукции a 1 1 U n + 1 (x) = U n (x y)dy = [U n (x) U n (x a)] a0 a Эти результаты обобщаются на произвольном отрезке [a,b].

5. КОМПОЗИЦИЯ ДВУХ ОДНОМЕРНЫХ НОРМАЛЬНЫХ СВ Без потери общности нормированных нормальных СВ.

x ~ f 1 (x) = 1 e проведем x2 доказательство 1 e y2 для, y ~ f 2 (y) = z=x+y f(z) = 1 z2 e x2 1 e (z x)2 dx = 1 e x 2 + (z x)2 dx = 1 e 2 1 z z2 2 x + 2 2 dx = = 1 e 1 1 2 1 e x z 1 2 2 1 dx = 1 e z2 1 = 1 2 e 1 z2 2 Это плотность нормального закона распределения с параметрами 0 и 2. Обобщая получим: X ~ N(µ1, 1 ),Y ~ N(µ2, 2 ), то Z=X+Y 2 2 Z ~ N(µ1 + µ2 ;

1 + 2 ) Т.е. сумма независимых нормально распределенных СВ имеет нормальное распределение. В дальнейшем это положение будет обобщено и на случайных многомерных СВ. 6. КОМПОЗИЦИЯ НОРМАЛЬНЫХ ЗАКОНОВ НА ПЛОСКОСТИ Если есть две независимые величины X и Y, то для случайной величины Z=X+Y справедливо: M(Z)=M(X)+M(Y);

D(Z)=D(X)+D(Y). В многомерном случае недостаточно определить только характеристики каждого признака в отдельности. Необходимо учесть и взаимосвязь признаков. Например, для двух независимых двумерных случайных величин V1(X1,Y1) и V2(X2,Y2), каждая из которых распределена нормально, необходимо задать наборы параметров: {mx1, my1, x1, y1, px1 y1} и {mx2, my2, x2, y2, px2 y2} Теперь проанализируем V=V1+V2. Для составляющих этой новой вершины справедливо: X=X1+X2 и Y=Y1+Y2. Следовательно: m x = m x1 + m x 2 ;

m y = m y1 + m y 2 ;

2 x = 2 x1 + 2 x 2 ;

2 y = 2 y1 + 2 y 2 А взаимосвязь признаков характеризуется корреляционным моментом. K(X,Y), для которого справедливо: K xy = K x y + K x y Т.к.

11 2 xy = K xy x y, то xy x y = x 1 y1 x 1 y1 + x 2 y 2 x 2 y x 1 y 1 x 1 y 1 + x 2 y 2 x 2 y поэтому:

xy = + 2 x 2 2 y1 + 2 y 2 Эти формулы позволяют выполнить композиции нормальных законов на плоскости. Теперь можно присоединить третью СВ V3(X3,Y3) и т.д. Если использовать трехмерные нормальные СВ, то необходимо использовать матрицу R и формулы в матричном виде.

2 x ( )( ) 7. ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ. ЕЁ СВОЙСТВА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ.

Рассмотрим пример: СВ X принимает значения: 0,1,2,3,… P{x=i}=pi, P{x>i}=qi, i=0,1…. Тогда : qk=pk+1+pk+2+…, k0 с вероятностями pi, т.е.

Производящие функции для последовательностей {pi} и {qi} это: P(S)=p0+p1S+p2S2+p3S3+…. Q(S)=q0+q0S+q2S2+q3S3+… Оба ряда сходятся при S< k 1 тоже сходится при S<1 Производная p ' ( S ) = k p k S k = Если S=1, то kpk=M(X) Разумеется, интерес представляет, математическое ожидание.

в основном, КОНЕЧНОЕ Тогда: Q(1)=P' (1)=M(X), т.е. M ( X ) = j p j = q k Отсюда следует, что M[X(X-1)]= k(k-1)pk=P'' (1)=2Q' (1) И поскольку: D(X)=M(X2)-(M(X))2, то D(X)=P' ' (1)+P' (1)-(P' (1))2=Q' (1)+Q(1)-Q2(1) Это позволяет вычислять математическое ожидание и дисперсию Х, используя производящие функции P и ее производные: P’, P’’ в точке S=1.

8. КОМПОЗИЦИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН. СВЁРТКИ И ПРОИЗВОДЯЩИЕ ФУНКЦИИ.

Пусть X~f(x), Y~g(y);

Z=X+Y. Исследователя интересует: h(z)=H’(z);

где H(z) = P(Z

А. Биноминальное распределение :

Производящая функция для b(k ;

n, p) = Cnk p k q n k есть C k =0 n n k n ( ps ) k q n k = (q + ps ) n, т.е. b(k;

n;

p) – распределение суммы S n = X i независимых CB с производящими функциями: q+ps т.е. {b(k ;

n, p)}={b(k;

1,p)}n* (n-кратная свертка). В частности, из мультипликативного свойства следует: {b(k;

m;

p)}{b(k;

n;

p)}={b(k;

m+n;

p)} Очевидно, что дифференцируя производящую функцию, получим: M(Sn)=np и D(Sn)=npq Для доказательства найдем первую и вторую производные: d(q+pS)n/dS = np(q+pS)n-1;

d2((q+pS)n)/dS2 = n(n-1)p2(q+pS)n-2. Подставляя S=1 и используя выражение для M(X), D(X), получим: D = n(n-1)p2 + np – (np)2 = npq. Разумеется, для столь простого случая удобнее получить эти результаты на основе свойств математического ожидания и дисперсии суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин, но в более сложных ситуациях данный подход эффективнее традиционного. (q+pS)n(q+pS)m = (q+pS)m+n т.е. сумма двух биномиально распределенных случайных величин также подчиняется биномиальному распределению. Непосредственное доказательство этого свойства – более трудоемко!

Б. Распределение Пуассона.

Производящая функция распределения Пуассона p(k;

) = e k k!

k! Отсюда: {p(k;

)}{p(k;

µ)}={p(k;

+µ)} т.к. exp((S-1))* exp(m(S-1))= exp((+m)(S-1)) k = равна:

e (S ) k = e + S = e ( S 1) Полезно сравнить мультипликативное свойство с непосредственным выводом. Объединение двух потоков Пуассона является потоком Пуассона. Это полезное свойство активно используется в актуарных расчетах. При дифференцировании убеждаемся, что M(k)=D(k)= Например, d(exp((S-1)))/dS = exp((S-1));

d2(exp((S-1)))/dS2 = 2exp((S-1));

Подставим: S=1 и получим результат.

В. Геометрическое и отрицательное биномиальное распределение.

Геометрическое: Х: p{x=k}=qkp, k=0,1,2……;

p+q= k Тогда производящая функция : p (qs ) = k = p 1 qs d(p/(1-qS))/dS = pq/(1-qS) ;

d (p/(1-qS))/dS2 = 2pq2/(1-qS)3;

Подставив: S=1 и используя выражения для M(X), D(X), получим: M(X)=pq/(1-q)2=q/p;

D(X)= 2pq2/(1-q)3 +q/p –(q/p)2 = (q2 +pq)/p2;

Отсюда: M ( x) = q q и D( x) = 2. p p Здесь Х можно интерпретировать, как время ожидания ПЕРВОГО успеха (среди n испытаний). Для отрицательного биномиального распределения f (k ;

r ;

p) = C k p r (q) k r k=0,1,2….

P{Sr=k}=f(k;

r;

p) Число неудач, предшествующих r-му успеху. Т.е. это r-кратная свертка геометрического распределения {f(k;

r;

p)}={qkp}r* p Тогда производящая функция: (1 qs) r При r>0: M(X)=rq / p;

D(X)= rq / p Доказательство: F = (p/(1-qS))r;

dF/dS = pr*d((1-qS)-r)/dS = p-r(1-qS)–r-1(-q) = = (p/(1-qS))rrq/(1-qS) = F rq/(1-qS);

d2F/dS2 = d(dF/dS)/dS = d(F* rq/(1-qS))/dS = = dF/dS* rq/(1-qS) + F*d( rq/(1-qS))/dS = = F* rq/(1-qS)* rq/(1-qS) + F* rq/(1-qS)2(-1)(-q) = = F*( rq/(1-qS)2 + rq2/(1-qS)2) = F* rq2*(1+r)/ (1-qS)2;

Подставив: S=1 и используя выражения для M(X), D(X), получим: M(X) = pr/(1-q)rrq/(1-q) = rq/p;

D(X) = (p/(1-q))rrq2(1+r)/(1-q)2 + rq/p – (rq/p)2 = rq2(1+r)/p2 + rq/p – (rq/p)2 = = (rq2 +r2q2 + rpq – r2q2)/p2 = (rq2 + rpq) /p2 = rq/p2;

Кроме того: {f(k;

r1;

p)}{f(k;

r2;

p)}={f(k;

r1+r2;

p)} Т.е. и для этого распределения сумма двух СВ подчиняется тому же закону.

Г: Свойства свертки: gf=fg ;

(fg)h=f(gh) ;

f(g+h)=fg+fh.

Эти свойства выкладки. иногда позволяют упростить аналитические 9. ПОЛУЧЕНИЕ ТОЧЕЧНЫХ ОЦЕНОК МЕТОДОМ МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ Пусть есть случайная величина Х, относительно которой предполагается, что она распределена по некоторому закону: f(x,O), где О – вектор параметров. Значения этих параметров – неизвестны, их надо определить на основании n наблюдений СВ, т.е. Хi, I=1…n.

Для этого строится произведение f(Xi, O), которое при логарифмировании превращается в сумму ln f(Xi,O). Экстремум этой суммы находится приравниванием к нулю частных производных по каждому неизвестному параметру. Возникает система уравнений относительно неизвестных параметров. Решение этой системы указывает оценки искомых параметров, оптимальные с точки зрения метода максимального правдоподобия.

А. Оценка максимального правдоподобия в биноминальном законе. В “n” опытах событие реализовалось ”r” раз. r L = C n p r (1 p)n r r lnL = lnC n + rlnp + (n r)ln(1 p) lnL = 0 p r (n z) =0 p (1 p) r p= n Б. Оценка максимального правдоподобия в законе Пуассона.

f(xi ) = e (x i )!

xi ;

i = 1,..., n xi = n + xi 1 0 = 0 ) xi x n = 0 = ni = x ln f(xi ) = ln[e (x i )! ] = ( ) + ( xi ) ln(n ln[(xi )!

xi f(xi ) = e (x i )!

В. Нахождение оценки параметра для экспоненциального закона по методу максимального правдоподобия f(xi ) = e x i f(x ) = e = e ln f(x ) = ln + lne ln 1 = n xi = i x i n xi = nln a xi n xi i n xi = ) = ( ) x i 1 n = (x ) Г. Оценка параметров нормального закона методом максимального правдоподобия f(x) = 1 e (x µ) 2 2, 1 1 2 f(x i ) = ) e n i=1 n (x i µ) 2 2 1 e (x i µ) 2 2 n f(x i ) = n 1 e (x i µ) 2 2 =( =( 1 1 )n e 1 2 (x i µ) ln [ f(xi )] = ln[( n 1 )n e (x i µ) ] = nln = nln nln µ 1 2 (xi µ) 1 2 (xi µ)2 = = 1 2 µ (xi µ) = 1 2 [ µ ( xi 2µ xi + µ 1 n 1) ] = i = n 1 = 2 2 [0 2 xi + 2µµn = 1 [ xi µn] = xi n [ xi n µ] Приравняв к 0 получим:

µ= ) =x (x i µ) 2 2 (x i µ) 2 n 1 1 = n (xi µ)2 2 2 = n ( 2) 3 = + ) (x µ) 2 = n Приравняв к 0 получим: n 2 = (xi µ) i Д. Оценка параметров логарифмически-нормального закона методом максимального правдоподобия f ( xi ) = 1 x i (ln xi m ) 2 2 e (ln xi m ) 2 2 ;

xi > f ( xi ) = [ x i e ]= ( 1 )n i 1 [x i e 2 (ln x i m ) ] ln f ( x i ) = n ln 1 + ln x (ln x i m ) 2 = n ln n ln 2 ln x i m = 1 (ln x i m ) 2 = m = 1 2 1 [ ( 2m 2 m (ln x i m ) ln xi ) + m 2 n] = m mn ( 2 ln x i ) 2mn = 1 n ln x i = 0, ) ln x m= ni = ln x i = ( n ln ) + [ (ln x i m ) 2 ] = 1 n + (ln x i m ) 2 ( 1 2 ) = n = + (ln xi m ) 2 ( 1 ) ( 2 3 ) = 2 (ln xi m ) n = 2 = ) (ln x i m ) n Приложение 2. Практикум по курсу «Основы актуарных расчетов» 1. Решения тренировочных заданий 1. Реальная цена коттеджа 200000 у.е. 1. C = 200000, S1 = 60000, S2 = 40000. Владелец застраховал дом от пожара в S = S1 + S2 = 100000 = C*50%. компании А на 60000 у.е. и в X = 70000. Страхователь должен компании В на 40000 у.е. Произошел получить 70000*50% = 35000. Причем пожар, при котором реальный ущерб А выплатит 60% (т.е. 21000), а В – составил 70000 у.е. Какое возмещение 40% (14000). должен выплатить каждый страховщик?

2. В условиях предыдущей задачи: C = 200000, S1 = 150000, S2 = 100000, X = 200000 (полное уничтожение). Кто сколько должен заплатить? 2. S1 + S2 = 250000 > C. Но возмещение не превосходит реальную цену. Поэтому выплаты: 200000*(150000/250000) = 120000 и 200000*(100000/250000) = 80000 соответственно. 3. Риск делится в пропорции 200:300 = 2:3 поэтому и взносы распределятся соответственно: 20*(2/5)=8 и 20*(3/5)=12.

3. Страховая сумма 500 у.е. Граница покрытия 200 у.е. Страховой взнос 20 у.е. Как он распределится между цедентом и перестраховщиком (при одинаковых надбавках)?

4. Объем портфеля 2000, вероятность 4. N=2000, p=0.01, q=0.99, Np=20, страхового случая 0.01. Оценить Npq=19.8, Npq =4.4, степень риска в портфеле. K=4.4/20=0.22=22%. 5. Есть два субпортфеля: N1=4000, 5. Для субпортфелей в отдельности: p1=0.002, N2=4000, p2=0.003. Оценить N1*p1=8, N1*p1*q1=7.984, степень риска в каждом субпортфеле N1* p1*q1 =2.83, и во всем портфеле. K1=2.83/8=0.35=35%. N2*p2=18, N2*p2*q2=17.946, N2 * p2 *q2 =4.24, K2=4.24/18=0.24=24%. Для всего портфеля: N1*p1 + N2*p2 = 8+18=26, D=D1+D2=7.984+17.946=25.93, 25.93 =5.09, K=5.09/26=0.20=20%. 6. Объем портфеля 3000, вероятность страхового случая 0.004, страховая сумма 1000 у.е. Какой максимальный риск может принять страховщик?

6. К=СКО/МО= N pq /Np= 11.952 /12= 3.46/12=0.29=29%. При малой p для нового риска (в целях сохранения К) max равен: X=2* K2*NpS= 2*0.292*12*1000 = 2018.4.

7. B U(0,200), p=0.05, q=0.95. 7. Вероятность предъявления M(B|A)=100, требования 0.05. При возникновении страхового случая ущерб распределен M(B2|A)=(1/3)*(1/200)*2003=104*4/3;

равномерно на (0,200). Найти D(B)=104*4/3–1002=104/3, математическое ожидание и M(I)=p=0.05, дисперсию выплаты. D(I)=pq=0.05*0.95=0.0475, M(X)=p*M(B|A)=0.05*100=5, M(X2)=p*M(B2 |A) =0.05*104/3 = 500/3, D(X)= 500/3 – 52 = 141.67, D = 11.9, K=11.9/5=2.38. 8. Объем портфеля 6000 договоров со страховой суммой 10 у.е. и 4000 договоров со страховой суммой 20 у.е. Вероятность предъявления требований об оплате одинакова и равна 0.01. Оценить вероятность разорения, если компания имеет капитал 300 у.е. 8. M(S)=6000*10*0.01+4000*20*0.01=1400, D(S)=6000*102*0.01*0.99+4000*202*0. D =147.6 01*0.99=21780, P=Pr(S>1400+300)=Pr(t>300/147.6)= Pr(t>2.03)=(1-Ф(2.03))/2= =(1-0.9576)/2=0.02=2%.

9. В условиях предыдущей задачи 9. 1=n1*p1=60, 2=n2*p2=40, найти математическое ожидание и =1+2=100, дисперсию с помощью коллективной w1=1/=0.6, w2=2/=0.4;

модели. P(x)= 0, x<10;

или P(x)=0.6, 10

или P(x)=1, x>20;

M(X)=w1*S1+w2*S2=0.6*10+0.4*20=14;

M(X)=0.6*102 + 0.4*202 = 60+160=220;

M(Y)=*M(X)=100*14=1400;

D(Y)=*M(X2)=100*220=22000. M=Np=25, D=Npq=24.875, 10. Объем портфеля 5000, вероятность 10. предъявления требования об оплате D =4.9875, 0.005, страховая сумма 100 у.е. Найти =0.01=(1-Ф(t))/2, Ф(t)=0.98, t=2.32, резерв U, обеспечивающий t=(U/S-M)/ D, вероятность неразорения не ниже 99% U/S=M+t* D =25+2.32*4.9875= при отсутствии надбавки. =25+11.571=36.571, U=36.571*100=3657.1 у.е. 11. Есть два субпортфеля с параметрами: N1=1000, p1=0.001, S1=10;

N2=4000, p2=0.0005, S2=3. Найти одинаковую относительную рисковую надбавку, обеспечивающую вероятность неразорения в портфеле не ниже 0.95.

11. =0.05=(1-Ф(t))/2, Ф(t)=0.90, t=1.645, M1=N1*p1=1, D1=N1*p1*q1=0.999, M1*S1=10, D1*S12=99.9, M2=N2*p2=2, D2=N2*p2*q2=1.999, M2*S2=6, D2*S22=17.991;

Для всего портфеля: M(X)=M1*S1+M2*S2=16, D(X)=D1*S12+D2*S22=117.891;

117.891 =10.86, d=t* D (X) =1.645*10.86=17.86;

=d/M(X)=17.86/16=1.116=111.6%. Относительная надбавка слишком велика. 12. *M(X)>h*M(Z), M(Z)=exp(-M), >h*exp(-M), M>ln(h/), M>ln(4/3)=0.29=29%. Цедент должен оставить у себя не менее 29% принятого риска.

12. Выплаты страховщика распределены экспоненциально. Относительные надбавки: у страховщика 30%, у перестраховщика 40%. Определить нижний предел уровня удержания.

13. Страховщик принял риск, для 13. Страховщик выплачивает 5 у.е., которого с практической первый перестраховщик 10 у.е., достоверностью можно считать, что второй перестраховщик 7 у.е. ущерб не превысит 30 у.е. Он установил уровень собственного удержания 5 у.е. и заключил соответствующий договор об эксцедентном перестраховании с лимитом ответственности перестраховщика 10 у.е. А затем он заключил второй договор о перестраховании риска сверх обусловленных первым договором. В результате страхового случая фактический ущерб составил 22 у.е. Как распределены выплаты?

Страховщик платит: 14. Размер ущерба не превышает 50 14. у.е. Собственное удержание цедента 10+20*20%=14 у.е., перестраховщик 10 у.е. Остальной риск передан на платит: 20*80%=16 у.е. квотное перестрахование, в котором цедент оплачивает 20% убытка. Реальный ущерб составил 30 у.е. Сколько выплатит каждая сторона? 15. В договоре перестрахования на основе эксцедента убыточности передано два риска. Цена объектов 30 у.е. и 50 у.е. Договор предусматривает оплату перестраховщиком 20 у.е. сверх 5 у.е. Убытки составили соответственно 5 и 15 у.е. Определить выплаты сторон. 15. Суммарный риск 80 у.е. Передан риск от 6-й до 25-й у.е. включительно. Реальный ущерб 20 у.е. Из них страховщик платит 5 у.е., а перестраховщик 15 у.е.

16. По данным прошлого года: 16. m/n=0.1, Ф(t)=0.98, n=1000, m=100. Найти точечную d=2.33 0.1 0.9 / 1000 =0.022, оценку вероятности и правую границу m/n+d=0.122. доверительного интервала для надежности 0.99.

t=2.33, 17. Страховщик оценил p=0.02, число 17. np=4.7, поэтому страховщик может договоров n=235. При каком числе оплатить до 4-х случаев страховых случаев собранных включительно. рисковых премий достаточно для выплаты возмещений? 18. В условиях задачи 17 страховщик 18. U=6-4.7=1.3. создает начальный резерв, чтобы обеспечить выплату 6 возмещений. Найти резерв. 19. Портфель состоит из 400 19. П=Sp=10. однородных договоров (S=1000, p=0.01). Найти единовременную рисковую премию. 20. В условиях задачи 19 найти рисковую надбавку, обеспечивающую вероятность неразорения не ниже 0.95. 20. Np=4. Npq=3.96, 3.96 =1.99, (1-Ф(t))/2=0.05, Ф(t)=0.9, t=1.645, d=1.6451.99=1.629, d/П=1.629/10=16.3%. П+d=11.63.

21. В условиях задачи 20 найти 21. f=0.2, 1-f=0.8, 11.63/0.8=14.54. брутто-премию, если нагрузка на ведение дел составляет 20% от тарифа. 22. Найти нетто-премии в субпортфелях. (N1=750, P1=0,004, S1=1000);

(N2=500, P2=0,006, S2=1000);

(=0.05). 22. n1p1=3, n2p2=3, 1 = 2 = 3, p1S1=4, p2S2=6. e = e 3 = 0.05. P(m=k)= e k / k !, k=0,1,...,6,7 P(m=k): 0.050, 0.150, 0.225, 0.225, 0.169, 0.101, 0.051, 0.022;

P(m6)=0.97>0.95. 1 + = 6 3, =1, НП1 = 2 РП 1 = 2 4 = 8 ;

НП2 = 2 Р П2 = 2 6 = 12.

23. Есть 2 субпортфеля: (N1=200, 23. n1p1=20, n1p1q1=18, 18 = 4.24, P1=0.1, S1=30);

(N2=300, P2=0,12, S1p1=3, S1p1n1=600, S2=50);

найти нетто-премии в n2p2=36, n2p2q2=31.68, 3168 = 5.63,. субпортфелях. (=0.1). S2p2=6, S2p2n2=1800, Ф(t)=1-2=0.8;

t =1.282, d1 = 1282 4.24 30 = 163.07.

. 1=163.07/600=27% ;

НП1 = 3 127 = 3.81 d 2 = 1282 5.63 50 = 360.88.

2=360.88/1800=20% ;

НП2 = 6 12 = 7.2.

24. Портфель (n=400, p=0.075, S=1000). На рынке средняя надбавка Найти капитал, 10%. обеспечивающий надежность 95%. 24. np=3, npq=2.775, 2.775 =1.666, pS=75, (1-Ф(t))/2=0.05, t=1.645, np+d=5.74, d=1.6661.645=2.74, d/np=0.91=91%, npS=3000, =0.1, 30001.1=3300, 1+ =1.1, 5.741000=5740, 5740-3300=2440=U 25.M(X)=1000.5+2000.3+3000.15+40 00.05=165 При безусловной: 1000.15+2000.05=25 При условной: 3000.15+4000.05=65.

25. Распределение ущерба: X 100 200 300 400 P 0.5 0.3 0.15 0.05 Найти рисковые премии при условной и безусловной франшизе 200.

M(X)=2*M(Xi)=220. Или непосредственно 100*0.24+200*0.25+…+600*0.4+800* 0.01=220. X=Y+Z. где Yудерживаемый риск. Распределение риска перестраховщика: Z 0 100 200 300 500 P 0.77 0.12 0.06 0.04 0.01 M(Z)=12+12+12+5=41 – искомая рисковая премия перестрахования 27. В условиях примера 26 27. Рисковая премия в основном 110, т.е. без определить, как отразится договоре перестраховочный договор на цене перестрахования нетто-премия равна основного договора, если рисковая 1101.15=126.5. После надбавка страховщика 15%, а у перестрахования рисковая премия перестраховщика 20%. делится: 69 – страховщику и 41 – перестраховщику, поэтому: 691.15+411.20=128.55 – итоговая нетто-премия (увеличилась на 2). (-2X) 28. 1

показать, 28. Производная : 2e(-2X) >0, а вторая что U(X) – обладает свойствами производная:

-4e(-2X)<0. функции полезности. 29. 3

является ли 29. Производная: 1/X >0, вторая: эта функция – функцией полезности? -1/X2 < 0. 30. Цена подобного риска 10, значения выплат по новому риску составили : 12, 14, 13, 15. Предполагается, что через 5 периодов информации будет достаточно, чтобы опираться только на новый риск. Коэффициент доверия возрастает равномерно. Найти взносы по периодам. 30. Средние значения по периодам: 12, 13, 13, 13.5. Коэффициент равен: 0.2, 0.4, 0.6, 0.8. Поэтому взносы: 1) 0.212 + 0.810 = 10.4 2) 0.413 + 0.610 = 11.2 3) 0.613 + 0.410 = 11.8 4) 0.813.5 + 0.210 = 12. 26. В портфеле два одинаковых договора с распределением ущерба: Xi 0 100 200 400 Pi 0.4 0.3 0.2 0.1 Найти рисковую премию при перестраховании суммарного ущерба более 300.

26. M(Xi)=100*0.3+200*0.2+400*0.1=110 Суммарный ущерб имеет распределение.

X 0 100 200 300 400 500 600 800 P 0.16 0.24 0.25 0.12 0.12 0.06 0.04 0.01 P(X > 300)=0.12+0.06+0.04+0.01=0.23.

2. Тест для самоподготовки.

1. Одной из задач актуария является: а) проверка правильности счетов, актов и т.д.;

б) оценка ситуации на рынке на качественном уровне;

в) количественная оценка риска финансовой деятельности. 2. Решающее правило Байеса требует: а) равенства вероятностей ошибок;

б) равенства плат за ошибки;

в) равенства сумм: взносов и возмещений. 3. Принцип эквивалентности обязательств сторон предполагает: а) равенство современных цен рисков сторон;

б) равенства сумм: взносов и возмещений;

в) равенства взносов и возмещений в каждый промежуток времени. 4. Страховщик заинтересован в том, чтобы его портфель содержал: а) большое количество одинаковых рисков;

б) малое количество одинаковых рисков;

в) малое количество различных рисков;

г) большое число различных рисков. 5. Субпортфель – это: а) определенная доля всего портфеля;

б) однородное подмножество договоров;

в) часть всего портфеля, содержащая договора одного вида страхования. 6. Для оценки вероятности страхового случая используется: а) отношение числа страховых случаев (в прошлом году) к числу заключенных договоров;

б) отношение суммы возмещений к сумме взносов;

в) отношение суммы возмещений к общему объему ответственности. 7. Актуарий обязан найти пути для обеспечения: а) максимально высокой надежности;

б) максимально высокой конкурентоспособности;

в) компромисса между высокими: надежностью конкурентоспособностью.

и 8. Увеличение рисковой надбавки: а) повышает устойчивость;

б) повышает конкурентоспособность;

в) повышает ожидаемую прибыль. 9. Создание значительного начального резерва: а) повышает устойчивость;

б) повышает конкурентоспособность;

в) повышает ожидаемую прибыль. 10. Договор о перестраховании: а) повышает устойчивость;

б) повышает конкурентоспособность;

в) повышает ожидаемую прибыль. 11. Страховщик специализируется на страховании домов в сельской местности. Условно все дома разделены на две группы. В одной – все частные дома крестьян, постоянно проживающих в этой местности, построенные 15 лет назад и более. В другой – коттеджи, построенные “новыми русскими” за последние 3 года. Каково соотношение между рисковыми ставками в двух группах: а) в первой группе больше, чем во второй;

б) во второй больше, чем в первой;

в) ставки равны. 12. Каково соотношение в пр. 11 между рисковыми премиями в группах: а) в первой группе больше, чем во второй;

б) во второй больше, чем в первой;

в) премии равны. 13. Каково соотношение в пр. 11 между рисковыми надбавками в группах (в процентах к рисковым ставкам): а) в первой группе больше, чем во второй;

б) во второй больше, чем в первой;

в) премии равны. 14. Каково соотношение в пр. 11 между нетто – ставками в группах: а) в первой группе больше, чем во второй;

б) во второй больше, чем в первой;

в) ставки равны. 15. Каково соотношение в пр. 11 между нетто – премиями в группах: а) в первой группе больше, чем во второй;

б) во второй больше, чем в первой;

в) ставки равны. 16. Каково соотношение в пр. 11 между долями нагрузки на ведение дел в брутто – ставке для этих групп: а) в первой группе больше, чем во второй;

б) во второй больше, чем в первой;

в) доли равны. 17. Что влияет на рисковую премию: а) страховая сумма и вероятность страхового случая;

б) объем страхового портфеля и вероятность неразорения;

в) страховая сумма, вероятность страхового случая, объем страхового портфеля и вероятность неразорения страховщика;

г) факторы из п. в) и еще расходы на ведение дела. 18. Что влияет на нетто-премию: а) страховая сумма и вероятность страхового случая;

б) объем страхового портфеля и вероятность неразорения;

в) страховая сумма, вероятность страхового случая, объем страхового портфеля и вероятность неразорения страховщика;

г) факторы из п. в) и еще расходы на ведение дела. 19. Что влияет на брутто-премию: а) страховая сумма и вероятность страхового случая;

б) объем страхового портфеля и вероятность неразорения;

в) страховая сумма, вероятность страхового случая, объем страхового портфеля и вероятность неразорения страховщика;

г) факторы из п. в) и еще расходы на ведение дела. 20. Эквивалентность риска определяется равенством: а) вероятностей наступления и ненаступления страхового cлучая;

б) сумм всех внесенных премий и всех произведенных выплат;

в) современных цен ожидаемых взносов и ожидаемых выплат. 21. Портфель состоит из 500 однородных договоров (S=800, p=0.1). При расчетах рисковой надбавки будет использована формула: а) Бернулли;

б) Пуассона;

в) локальная теорема Лапласа;

г) интегральная теорема Лапласа. 22. Портфель состоит из 1000 однородных договоров (S=600, p=0.001). Рисковая надбавка рассчитывается по формуле: а) Бернулли;

б) Пуассона;

в) локальная теорема Лапласа;

г) интегральная теорема Лапласа. 23. Начальный резерв (капитал) создается для: а) оплаты расходов на ведение дел;

б) снижения вероятности разорения страховщика;

в) снижения своих тарифов. 24. Портфель однороден. Рисковая надбавка пропорциональна рисковой премии? а) да;

б) нет. 25. Портфель однороден. Рисковая надбавка математическому ожиданию индивидуального иска? а) да;

б) нет. 26. Портфель однороден. Рисковая дисперсии индивидуального иска? а) да;

б) нет. надбавка пропорциональна пропорциональна 27. Портфель однороден. Рисковая надбавка пропорциональна среднему квадратическому отклонению индивидуального иска? а) да;

б) нет. 28. Портфель состоит из двух однородных субпортфелей, индивидуальные иски имеют различные математические ожидания и дисперсии. Рисковая надбавка: а) пропорциональна математическим ожиданиям;

б) пропорциональна дисперсиям;

в) пропорциональна средним квадратическим отклонениям;

г) равна линейной комбинации математического ожидания, дисперсии и СКО;

д) одинакова. 29. Портфель состоит из двух субпортфелей: (n1=750, p1=0.004, S1=1000) и (n2=500, p2=0.006, S2=1000). Рисковые надбавки: а) в первом субпортфеле больше, чем во втором;

б) во втором больше, чем в первом;

в) равны. 30. Портфель состоит из двух субпортфелей: (n1=200, p1=0.1, S1=30) и (n2=300, p2=0.12, S2=50). Рисковые надбавки: а) в первом субпортфеле больше, чем во втором;

б) во втором больше, чем в первом;

в) равны.

31. Размер франшизы фиксирован. Взнос страхователя а) меньше при безусловной франшизе;

б) меньше при условной франшизе;

в) одинаков. 32. Размер ущерба – дискретная случайная величина (Xi,Pi). Безусловную франшизу можно выбирать: а) произвольно, от 0 до maxX;

б) любое Xi;

в) любое значение от 0 до maxX, кроме перечисленных Xi. 33. Размер ущерба – дискретная случайная величина (Xi,Pi). Условную франшизу можно выбирать: а) произвольно, от 0 до maxX;

б) любое Xi;

в) любое значение от 0 до maxX, кроме перечисленных Xi. 34. Цель перестрахования: а) повышение прибыли страховщика (цедента);

б) повышение прибыли перестраховщика;

в) повышение вероятности неразорения цедента. 35. После перестрахования математическое ожидание суммарного риска сторон (цедента и перестраховщика) по сравнению с положением до перестрахования: а) сохранилось;

б) уменьшилось;

в) возросло. 36. После перестрахования дисперсия суммарного риска сторон (цедента и перестраховщика) по сравнению с положением до перестрахования: а) сохранилась;

б) уменьшилась;

в) возросла. 37. После перестрахования среднее квадратическое отклонение суммарного риска сторон (цедента и перестраховщика) по сравнению с положением до перестрахования: а) сохранилось;

б) уменьшилось;

в) возросло. 38. В интересах клиента информировать страховщика: а) только о тех страховых случаях и ущербах, по которым будет выплачено возмещение;

б) только о тех страховых случаях и ущербах, по которым не будет выплачено возмещение;

в) обо всех страховых случаях и ущербах. 39. В перестраховочном договоре уровень собственного удержания M, страховщик платит возмещение: а) только, если ущерб меньше М;

б) только, если ущерб больше М;

в) до М возмещает ущерб полностью, а часть ущерба свыше М платит перестраховщик. 40. При составлении перестраховочного договора: а) страховщик выбирает объем передаваемого риска и размер платы за перестрахование;

б) перестраховщик выбирает объем передаваемого риска и размер платы за перестрахование;

в) страховщик выбирает объем передаваемого риска, а перестраховщик размер платы за перестрахование. 41. Рисковую надбавку определяют, опираясь на: а) рыночную ситуацию;

б) требуемую надежность;

в) характеристики риска;

г) факторы, перечисленные в п. а), б), в). 42. Знание закона распределения позволяет: а) сначала определить рисковую премию, затем надбавку, и наконец, нетто-премию;

б) сначала нетто-премию, затем рисковую премию, и наконец, надбавку;

в) сначала надбавку, затем нетто-премию, наконец, рисковую премию. 43. Знание функции полезности позволяет: а) сначала определить рисковую премию, затем надбавку, и наконец, нетто-премию;

б) сначала нетто-премию, затем рисковую премию, и наконец, надбавку;

в) сначала надбавку, затем нетто-премию, наконец, рисковую премию. 44. Функция полезности обладает свойствами: а) монотонно возрастает;

б) монотонно убывает;

в) имеет максимум;

г) имеет минимум.

45. Функция полезности обладает свойствами: а) первая производная положительна;

б) первая производная отрицательна;

в) первая производная сначала положительна, затем отрицательна;

г) первая производная сначала отрицательна, затем положительна. 46. Функция полезности обладает свойствами: а) вторая производная положительна;

б) вторая производная отрицательна;

в) вторая производная сначала положительна, затем отрицательна;

г) вторая производная сначала отрицательна, затем положительна. 47. Функция полезности обладает свойствами: а) инвариантность относительно линейного преобразования;

б) инвариантность относительно логарифмирования;

в) инвариантность относительно преобразования, заданного многочленом степени выше 2. 48. Доверительные оценки применяются при работе: а) с большими рисками;

б) с новыми рисками;

в) с взаимосвязанными рисками. 49. Два страхователя: “новый” и “старый” предлагают страховщику одинаковые риски. Как поступит страховщик? а) предоставит скидку новому, чтобы “заманить”;

б) предоставит скидку старому, как премию за долгое сотрудничество;

в) возьмет с них одинаковую плату. 50. Страховщик предоставил скидку старому клиенту. При этом он руководствовался: а) симпатиями к нему;

б) наличием большой информации об этом клиенте и его “предсказуемостью”;

в) стремлением поощрить за долгое сотрудничество. 51. Возмещение равно а) страховой сумме б) страховому ущербу в) рыночной цене объекта г) произведению ущерба на страховую сумму, деленному на цену объекта 52. Произошел страховой случай с объектом, застрахованным в двух компаниях. Общая страховая сумма равна цене объекта. Сколько заплатят страховщики? а) каждая компания платит возмещение, равное реальному ущербу, б) каждая компания платит возмещение, равное страховой сумме, в) каждая компания платит возмещение, равное рыночной цене пострадавшего объекта, 53. Произошел страховой случай с объектом, застрахованным в двух компаниях. Общая страховая сумма меньше цены объекта. Сколько заплатят страховщики? а) каждая компания платит возмещение, равное реальному ущербу, б) каждая компания платит возмещение, равное страховой сумме, в) каждая компания платит возмещение, равное рыночной цене пострадавшего объекта, г) каждая компания платит возмещение, равное части реального ущерба, пропорциональной страховой сумме в своем договоре, по отношению к цене объекта. 54. Произошел страховой случай с объектом, застрахованным в двух компаниях. Общая страховая сумма больше цены объекта. Сколько заплатят страховщики? а) каждая компания платит возмещение, равное реальному ущербу, б) каждая компания платит возмещение, равное страховой сумме, в) каждая компания платит возмещение, равное рыночной цене пострадавшего объекта, г) каждая компания платит возмещение, равное части реального ущерба, пропорциональной страховой сумме в своем договоре, по отношению к общей страховой сумме. 55. «Степень риска» с точки зрения статистики, это: а) среднее линейное отклонение риска;

б) среднее квадратическое отклонение риска;

в) коэффициент вариации риска;

г) размах риска (max-min). 56. При увеличении объема однородного портфеля степень риска: а) увеличивается;

б) уменьшается;

в) сохраняется;

г) может как увеличиваться, так и уменьшаться. 57. Начальный резерв создается для выплаты возмещений, если сумма возмещений превзойдет сумму собранных: а) рисковых премий;

б) нетто-премий;

в) брутто-премий. 58. Страхователь выбирает страховую компанию. Ему следует обратиться к страховщику: а) с большим однородным портфелем подобных рисков;

б) с большим неоднородным портфелем подобных рисков;

в) с малым однородным портфелем подобных рисков;

г) с малым неоднородным портфелем подобных рисков. 59. Как изменится ставка, если учесть, что ущерб может быть не полным, а частичным, с известным распределением? а) ставка увеличится;

б) ставка уменьшится;

в) ставка сохранится;

г) ставка может как увеличиться, так и уменьшиться. 60. Страховщик имеет определенный портфель и оценивает целесообразность принятия на страхование нового риска (субпортфеля). Можно ли (с формальных позиций) рекомендовать принять новый риск, если после этого степень риска: а) возрастет;

б) сохранится;

в) снизится. 61. Компания имеет однородный портфель договоров и оценивает целесообразность принятия одного из нескольких новых (одинаковых по объему) субпортфелей. Какой из них предпочтительнее (с точки зрения степени риска)? а) с теми же вероятностями и страховыми суммами;

б) вероятности те же, но большими суммами;

в) вероятности те же, но меньшими суммами. 62. Компания имеет однородный портфель договоров и оценивает целесообразность принятия одного из нескольких новых (одинаковых по объему) субпортфелей. Какой из них предпочтительнее (с точки зрения степени риска)? а) суммы те же, но вероятности больше;

б) суммы те же, но вероятности меньше;

в) суммы меньше и вероятности меньше;

г) суммы больше и вероятности больше. 63. Страховщик оценивает возможность принятия нового риска и исследует зависимость максимальной величины принимаемого риска от своего капитала: а) чем больше капитал, тем больший риск можно принять;

б) чем меньше капитал, тем больший риск следует принять;

в) капитал не влияет на величину принимаемого риска. 64. Показатель убыточности страховой суммы характеризует: а) рисковую ставку;

б) нетто-ставку;

в) брутто-ставку. 65. Индивидуальная модель предполагает: а) исследование риска в одном договоре, а затем распространение результатов на весь портфель;

б) исследование риска, порожденного всем портфелем. 66. Коллективная модель предполагает: а) исследование риска в одном договоре, а затем распространение результатов на весь портфель;

б) исследование риска, порожденного всем портфелем. 67. Индикатор вводится для: а) характеристики величины ущерба;

б) регистрации поступления требований об оплате;

в) оценки вероятности наступления страхового случая. 68. В моделях риска условное распределение применяется для: а) оценки числа требований об оплате;

б) оценки величины ущерба;

в) расчета величины резерва. 69. При исследовании индивидуальной модели с большим числом договоров вероятность разорения оценивается с помощью: а) формулы Бернулли;

б) нормальной аппроксимации;

в) пуассоновской аппроксимации. 70. Сложное распределение Пуассона характеризуется параметрами: а) ;

б) µ и ;

в) и р;

г) n и р.

71. Если решать одну и ту же задачу сначала с помощью индивидуальной модели, а затем с помощью коллективной модели, то: а) результаты совпадут полностью;

б) математические ожидания совпадут, а дисперсии будут различаться;

в) дисперсии совпадут, а математические ожидания будут различаться. 72. В коллективной модели для оценки математического ожидания и дисперсии применяется распределение: а) Бернулли;

б) Пуассона;

в) сложное распределение Пуассона;

г) нормальное. 73. В коллективной модели для оценки вероятности разорения применяется распределение: а) Бернулли;

б) Пуассона;

в) сложное распределение Пуассона;

г) нормальное. 74. В индивидуальной модели для оценки вероятности разорения применяется распределение: а) Бернулли;

б) Пуассона;

в) сложное распределение Пуассона;

г) нормальное. 75. При оценке устойчивости страховой компании актуария интересует состояние портфеля: а) в конце срока страхования;

б) на момент подачи отчета в СТРАХНАДЗОР;

в) в произвольный момент времени;

г) периодически (например, в конце каждого месяца). 76. В задаче о разорении предполагается, что страховые взносы поступают: а) в обусловленные договором сроки;

б) равномерно в течение года;

в) в случайные моменты времени.

77. Актуария интересует вероятность разорения компании: а) на бесконечном интервале времени;

б) на конечном интервале времени;

в) на конечном интервале времени в зависимости от начальных активов;

г) на бесконечном интервале времени в зависимости от начальных активов. 78. В актуарной задаче о разорении предполагается возможность: а) свести вероятность разорения к нулю;

б) минимизировать вероятность разорения;

в) ограничить вероятность разорения сверху;

г) оценить вероятность разорения в зависимости от резерва. 79. При исследовании зависимости вероятности разорения от резерва эта вероятность определяется, как вероятность события, состоящего в том, что: а) число требований об оплате больше среднего;

б) суммарный предъявляемый иск больше среднего;

в) суммарный предъявляемый иск больше собранных неттовзносов плюс резерв;

г) суммарный предъявляемый иск больше собранных рисковых премий плюс резерв. 80. Портфель состоит из трех различных (по объему, вероятности и страховым суммам) субпортфелей. Указать приемлемое правило формирования рисковой надбавки: а) пропорционально объему портфеля;

б) пропорционально страховой сумме;

в) пропорционально вероятности страхового случая;

г) пропорционально математическому ожиданию иска в договоре. 81. Есть три субпортфеля: А (многочисленная группа малых рисков), В (группа средних рисков средней численности), С (малочисленная группа крупных рисков). Вероятности наступления страховых случаев одинаковы. Рисковые надбавки формируются пропорционально математическому ожиданию иска в договоре. Кому это выгодно? а) клиентам из субпортфеля А;

б) клиентам из субпортфеля В;

в) клиентам из субпортфеля С. 82. В условиях п. 81 надбавки формируются на основе дисперсии. Кому это выгодно? а) клиентам из субпортфеля А;

б) клиентам из субпортфеля В;

в) клиентам из субпортфеля С.

83. В условиях п. 81 надбавки формируются на основе среднего квадратического ожидания. Кому это выгодно? а) клиентам из субпортфеля А;

б) клиентам из субпортфеля В;

в) клиентам из субпортфеля С. 84. В условиях п. 81 надбавки формируются на основе одинаковой вероятности нарушения правой границы доверительного интервала для каждого субпортфеля. Кому это выгодно? а) клиентам из субпортфеля А;

б) клиентам из субпортфеля В;

в) клиентам из субпортфеля С. 85. При факультативном договоре о перестраховании: а) предлагаются (и принимаются) отдельные риски;

б) предлагается (и принимается) весь субпортфель рисков;

в) фиксированная доля риска по каждому договору субпортфеля. 86. При облигаторном договоре о перестраховании: а) предлагаются (и принимаются) отдельные риски;

б) предлагается (и принимается) весь субпортфель рисков;

в) фиксированная доля риска по каждому договору субпортфеля. 87. При квотном договоре о перестраховании: а) предлагаются (и принимаются) отдельные риски;

б) предлагается (и принимается) весь субпортфель рисков;

в) фиксированная доля риска по каждому договору субпортфеля. 88. При эксцедентном договоре о перестраховании: а) предлагаются (и принимаются) отдельные риски;

б) предлагается (и принимается) весь субпортфель рисков;

в) фиксированная доля риска по каждому договор субпортфеля;

г) часть риска, превышающая уровень удержания. 89. Перестрахование наибольших убытков предусматривает: а) выплату определенного числа наибольших возмещений за определенный период (год);

б) выплату определенной доли всех возмещений;

в) выплату возмещений, превосходящих определенную сумму. 90. Увеличение размера удержания приводит к следующим результатам: а) повышается ожидаемая прибыль и одновременно увеличивается вероятность разорения;

б) снижается ожидаемая прибыль и одновременно снижается вероятность разорения;

в) повышается прибыль и устойчивость страховщика;

г) снижается прибыль и устойчивость страховщика.

91. Уменьшение размера удержания приводит к следующим результатам: а) повышается ожидаемая прибыль и одновременно увеличивается вероятность разорения;

б) снижается ожидаемая прибыль и одновременно снижается вероятность разорения;

в) повышается прибыль и устойчивость страховщика;

г) снижается прибыль и устойчивость страховщика. 92. Резерв премий состоит из: а) средств страховщика;

б) единовременных премий, календарном году;

в) собранных рисковых надбавок.

внесенных в предыдущем 93. Технические резервы предназначены для: а) защиты от колебаний суммы убытков в пределах нормального отклонения от среднего уровня;

б) оплаты услуг перестраховщика;

в) будущих выплат по случаям, которые уже произошли, но еще не заявлены. 94. При обсуждении проблемы определения размера удержания приведена формула (из кн. Штрауба):

2 M (Z ) U d ln w V (Z ) Дайте содержательную интерпретацию этой формулы: а) объем передаваемого риска должен обеспечивать максимальную прибыль цедента при минимальной вероятности его разорения;

б) потребность в перестраховочной защите должна соответствовать отношению пользы этой защиты к ее стоимости;

в) размер удержания определяется из условия максимальной прибыли цедента при ограничении на вероятность разорения;

г) размер удержания определяется из условия минимизации вероятности разорения при ограничении на размер ожидаемой прибыли.

3. Итоговый тест для аудиторной контрольной работы 1. В чем выражается эквивалентность обязательств сторон? 2. Какой математический принцип обеспечивает эквивалентность обязательств сторон? 3. Какая характеристика вычисляется на основе эквивалентности обязательств? 4. Чем отличаются: рисковая премия, нетто – премия, брутто – премия? 5. Какова роль рисковой надбавки? 6. Какова роль нагрузки? 7. Какова роль начального резерва? 8. В чем цель перестрахования? 9. Охарактеризуйте структуру риска страховщика и пути его покрытия. 10. В чем состоит предпринимательский риск в страховом бизнесе? 11. Как понимается однородность страхового портфеля и для чего она исследуется? 12. Каким образом влияет объем портфеля на устойчивость страховщика? 13. Что понимается под устойчивостью страховщика? 14. Портфель состоит из нескольких однородных договоров. Какой математический аппарат используется для оценки суммарного ущерба? 15. Что такое – франшиза и для чего она предназначается? 16. О каких убытках страхователь должен информировать страховщика при наличии франшизы и почему? 17. Что такое – квотное перестрахование? 18. Что такое – эксцедентное перестрахование? 19. Что такое – уровень удержания и на что он влияет? 20. Каково соотношение между рисковыми надбавками у страховщика и перестраховщика и почему? 21. Что происходит с риском при заключении договора об эксцедентном перестраховании? 22. Как влияет договор об эксцедентном перестраховании на цену договора страхователя со страховщиком? 23.Что понимается под разорением страховщика в актуарных расчетах? 24. Сформулируйте принципы актуарной оценки вероятности разорения. 25. Использование распределения Пуассона в актуарных расчетах. 26. Оценка параметра распределения Пуассона методом максимального правдоподобия. 27. Использование экспоненциального распределения в актуарных расчетах. 28. Оценка параметра экспоненциального распределения методом максимального правдоподобия. 29. Использование нормального закона в актуарных расчетах. 30. Оценка параметров нормального закона методом максимального правдоподобия. 31.Почему в имущественном страховании практикуются, в основном, краткосрочные договора? 32.Франшиза – это атрибут имущественного страхования или страхования жизни или страхования дополнительной пенсии? 33.Почему в имущественном страховании возникает проблема определения величины реального ущерба? 34.Почему в имущественном страховании возникает проблема оценки закона распределения величины реального ущерба? 35.В чем состоит проблема работы с новым риском? 36.Почему в имущественном страховании повышается роль дисперсии риска (по сравнению со страхованием жизни)? 37.Как определить размер ожидаемой прибыли? 38.Как актуарно определяется разорение страховщика? 39.Какой математико-статистический аппарат используется для определения вероятности разорения страховщика? 40.Как влияет капитал страховщика на вероятность его разорения? 41.Как влияет перестрахование на вероятность разорения цедента? 42.Сформулируйте принцип нахождения оптимального уровня удержания в эксцедентном перестраховании. 43.За счет чего повышается устойчивость цедента при квотном перестраховании? 44.Что такое степень риска и какова ее роль в актуарных расчетах? 45.Как используется степень риска для оценки целесообразности принятия нового риска? 46.Как используется степень риска для оценки целесообразности объединения субпортфелей? 47.Как используется степень риска для оценки “границы безопасности” – максимально возможной величины принимаемого риска? 48.Как используется степень риска для оценки целесообразности заключения договора о перестраховании? 49.В чем состоит проблема образования коалиций отдельных субпортфелей внутри одного портфеля? 50.Какие меры должен принять страховщик во избежание создания коалиций? 51.На каких принципах основано оценивание распределения величины суммарного ущерба в портфеле? 52.На основании чего страховщик определяет, какую часть риска должен перекрывать собственный резерв, а какую следует перестраховать? 53.В чем различие между облигаторным и факультативным перестрахованием (с актуарных позиций)? 54.Сформулируйте идею индивидуальных моделей риска. 55.Сформулируйте идею коллективных моделей риска. 56.Сложное распределение Пуассона и его применение. 57.Принципы построения функции полезности. 58.Применение функции полезности в страховании. 59.Идея доверительных оценок в страховании 60.Основные подходы в построении оценок для вероятности разорения.

4. Возможные задачи для аудиторной контрольной работы, зачета, экзамена 1) Автомобиль ценой S=С=10000 застрахован от угона (полная стоимость с вероятностью p1=0.03) и от аварии, которая может произойти с вероятностью p2=0.05;

в этом случае ущерб распределен равномерно. Определить единовременные премии при раздельном и комбинированном страховании. При раздельном страховании найти надбавки на безопасность, считая их равными СКО, при условии, что компания имеет портфель из n=2500 подобных договоров. Нагрузка составляет 10% от тарифа. 2) В условиях задачи 1: С=S=15000, p1=0.04, p2=0.03, n=1600. 3) В условиях задачи 1: С=S=20000, p1=0.02, p2=0.04, n=900. 4) Дом ценой 50000=S=С застрахован от полного разрушения при землетрясении (с вероятностью p1=0.02) и от пожара (с вероятностью p2=0.05), при котором ущерб распределен равномерно. Найти единовременные премии при раздельном и комбинированном страховании. Определить надбавки на безопасность при раздельном страховании, приняв их равными СКО, при условии, что компания имеет n=900 таких договоров. Нагрузка составляет 12% от тарифа. 5) Решить задачу 4 при: С=S=70000, p1=0.03, p2=0.07, n=400. 6) Решить задачу 4 при: С=S=80000, p1=0.04, p2=0.08, n=625. 7) Корабль ценой 1 млн. застрахован от потопления (полный ущерб с вероятностью p1=0.01) и от аварии с вероятностью p2=0.05, тогда ущерб распределен равномерно в пределах (0%, 50%) цены корабля. Найти единовременные премии при раздельном и комбинированном страховании и надбавки при раздельном страховании, считая их равными СКО, при условии, что число договоров n=100. Нагрузка равна 15% тарифа. 8) Решить задачу 7 при: С=S=2, p1=0.02, p2=0.04, (0%, 60%), n=150. 9) Решить задачу 7 при: С=S=3, p1=0.015, p2=0.06, (0%, 40%), n=200.

10) Автомобиль ценой С=12000 застрахован от аварии с вероятностью p=0.05;

ущерб распределен равномерно. Найти единовременную рисковую премию и проанализировать изменение этой премии при наличии условной и безусловной франшизы L=1000, 2000, 3000. 11) Решить задачу 10 при: С=15000, p=0.04, L=2000, 3000, 4000. 12) Решить задачу 10 при: С=18000, p=0.06, L=1500, 2500, 3500. 13) Есть n=1000 однородных договоров страхования автомобилей от угона (С=S=10000, p=0.02). Найти единовременную рисковую премию и надбавку на безопасность, считая ее равной СКО. Найти квартальную премию при равномерном и экспоненциальном распределении вероятности страхового случая в течение года. 14) Решить задачу 13 при: С=S=12000, n=500, p=0.03. 15) Решить задачу 13 при: С=S=15000, n=800, p=0.04. 16) Компания имеет 2 крупных риска: С1=S1=1млн., С2=S2=2 млн., P1=0.04, p2=0.03. Ущерб, если случай произойдет, распределен равномерно. Компания передает на перестрахование суммарный ущерб по этим двум рискам с уровнем собственного удержания M=0.5 млн. Считая надбавку на безопасность равной d1=10% у страховщика и d2=15% у перестраховщика (после вычета комиссионных), показать, как этот договор о перестраховании отразится на цене основного договора для страхователя. 17) Решить задачу 16 для: С1=S1=2, С2=S2=3, p1=0.05, p2=0.06, M=1, d1=12%, d2=18%. 18) Решить задачу 16 для: C1=S1=3, С2=S2=5, p1=0.03, p2=0.02, M=2, d1=11%, d2=16%. 19) Дом ценой C=70000 застрахован от пожара с вероятностью случая p=0.05 и равномерным распределением величины ущерба (0%, 50%) цены. Найти единовременную рисковую премию (S=C) и проанализировать изменение премии при наличии условной и безусловной франшизы L=5000, 10000, 15000. 20) Решить задачу 19 для: C=80000, p=0.04, (0%, 60%), L=10000, 15000, 20000. 21) Решить задачу 19 для: C=100000, p=0.03, (0%, 40%), L=5000, 7000, 10000. 22) Есть n=1000 однородных договоров с вероятностями p=0.01 (L=10) и страховыми суммами в 1 е.с.с. Надбавка у страховщика d1=10%, а у перестраховщика d2=15% (после вычета комиссионных) от рисковой премии. Найдено: SUM Pr(m = k, k=0,...,9)=0.458. Дальнейшие значения Pr(m = k) при k=10,...21 равны: 0.125, 0.114, 0.095, 0.073, 0.052, 0.035, 0.022, 0.013, 0.007, 0.004, 0.002, 0.001. Банковская ставка i=20% в год. Определить политику компании (резерв и уровень собственного удержания, объем передаваемого риска), если компания обязана обеспечить надежность P=0.99. 23) Решить задачу 22 при: d1=12%, d2=18%, i=25%, P=97%.

24) В задаче 22 изменения: n=2000, p=0.01, L=20, SUM Pr(m = k, k=0,..,20)=0.559, при k=21...35 Pr(m = k): 0.085, 0.077, 0.067, 0.056, 0.044, 0.034, 0.025, 0.018, 0.012, 0.008, 0.005, 0.003, 0.002, 0.001, 0.001. i=25%, P=95%, d1=10%, d2=15%. 25) В задаче 24 изменения: d1=12%, d2=17%, i=20%, P=0.98. 26) В задаче 22 изменения: n=1000, p=0.011, L=11, при k=0,...,11: SUM Pr(...)=0.579, а при k=12,...,23 Pr(m = k): 0.109, 0.092, 0.073, 0.053, 0.037, 0.024, 0.014, 0.008, 0.005, 0.002, 0.001, 0.001. i=20%, P=0.98, d1=10%, d2=15%. 27) В задаче 26 изменения: d1=12%, d2=17%, i=25%, P=0.99. 28) Потенциальный страхователь имеет капитал А=1000 и использует функцию полезности U=x^0.8 для оценки своего выбора. Ущерб распределен равномерно на (0, 300). Кроме отказа от страхования возможны следующие договоры: полная защита, защита с безусловной франшизой L=50, защита с условной франшизой 50, полная компенсация ущерба до К=200 и возмещение 50% ущерба сверх этого значения. При условии конкурентоспособности различных вариантов с точки зрения, основанной на функции полезности, какой может быть цена каждого договора? 29) В задаче 28 : A=2000, U=x^0.6, (0,500), L=100, K=400. 30) В задаче 28 : A=1500, U=x^0.7, (0,400), L=100, K=300. 31) Коттедж приобретен за 200 тыс. у.е. Через два года владелец решил его застраховать (как строение) от пожара. Страховщик оценил объект в 180 тыс. у.е. Стороны договорились о страховой сумме 150 тыс. у.е. и заключили договор на 1 год. Через полгода дом сгорел. Эксперт оценил то, что осталось от дома (стены, перекрытия и т.д.), в 60 тыс. у.е. Какую компенсацию получит страхователь? 32) Владелец автомобиля ценой 6 тыс. у.е. застраховал его от угона: в компании А на 4 тыс., а в компании В – на 5 тыс. За период действия договора автомобиль был угнан. Какую компенсацию получит страхователь от каждой компании? 33) Владелец катера ценой 3000 застраховал его на условиях полного возмещения. Страховщик оценил вероятность страхового случая в 0.01. Владелец яхты ценой 10000 тоже застраховал ее на тех же условиях. Вероятность страхового случая 0.005. Сравнить рисковые премии и прокомментировать результаты. 34) При возникновении страхового случая (р = 0.05) величина ущерба распределена дискретно: X 200 500 800 1000 P 0.3 0.4 0.2 0.1 Найти математическое ожидание и дисперсию величины ущерба для страхователя и для страховщика, если ущерб компенсируется полностью. 35) В условиях задачи 34 найти характеристики ущерба страховщика при страховой сумме 700, если договор предусматривает:

а) пропорциональное возмещение;

б) возмещение – по правилу первого риска. 36) В условиях задачи 34 объявлена франшиза 300: а) условная;

б) безусловная. 37) Автомобиль ценой 5000 у.е. застрахован от аварии, вероятность которой 0.01. Величина ущерба распределена равномерно, ущерб компенсируется полностью. Найти характеристики ущерба страховщика. 38) В условиях задачи 37 объявлена страховая сумма 3000 с ответственностью: а) пропорциональной, б) по правилу первого риска. 39) В условиях задачи 37 объявлена франшиза 1000: а) условная;

б) безусловная. 40) В договоре огневого страхования коттеджа ценой 200 тыс. У.е. оценить «экономию» страхователя на размере рисковой премии, если он заключит «комбинированный» договор, по сравнению с общей ценой четырех отдельных договоров. Договор предусматривает страхование от следующих случаев:

- от пожара, вероятность 0.004;

- от удара молнии (р = 0.002);

- от взрыва (р = 0.003);

- от падения пилотируемого летательного аппарата (р = 0.001). 41) При страховании ответственности владельца автомобиля все клиенты разбиты на 5 классов. Вероятности отнесения водителя к каждому из них соответственно равны: 0.2, 0.3, 0.3, 0.1, 0.1, а возможность совершить аварию оценена соответственно: 0.05, 0.04, 0.03, 0.02, 0.01. Как изменятся вероятности отнесения клиента к прежнему классу, если он в течении срока действия договора совершил аварию? 42) В условиях задачи 41 оценить ситуацию, если аварии не было. 43) На страховом рынке данный риск страхуют две компании. Портфель одной из них содержит 400 одинаковых договоров. У другой в портфеле 900 договоров. Какую рисковую премию и какую неттопремию назначит каждый страховщик, если страховая сумма 1000, вероятность страхового случая 0.01, имущество уничтожается полностью и, соответственно, ущерб полностью компенсируется. Страховщики обязаны обеспечить 95% надежность, не имея начального капитала и не прибегая к перестрахованию. 44) В условиях задачи 43 проанализировать изменение рисковой надбавки для объема портфеля: 100, 200, … 900, 1000. 45) В договоре на 1 год единовременная рисковая премия равна 100 у.е. Найти квартальную рисковую премию, если вероятность возникновения страхового случая распределена равномерно, а в течение 1 года случай может наступить с вероятностью 0.12. Процентная ставка равна 24% в год с ежемесячным начислением процентов. 46) В условиях задачи 45 найти ежемесячную рисковую премию. 47) Портфель содержит 800 договоров, в каждом из которых страховая сумма равна 5000 у.е., а вероятность страхового случая 0.01. По условиям конкуренции рисковая надбавка не может превышать 25%. Страховщик обязан обеспечить надежность 99%. Какой начальный капитал ему нужен? 48) В условиях задачи 47 страховщик не имеет своих средств и должен заключить договор о перестраховании. У перестраховщика рисковая надбавка равна 30%. Найти размер передаваемого риска. 49) В портфеле 3 однородных договора, предусматривающих либо полную компенсацию 10 тыс. у.е. с вероятностью 0.1, либо частичную компенсацию 1 тыс. у.е. с вероятностью 0.2. Найти рисковую премию. Проанализировать зависимость надежности от размера рисковой надбавки. 50) Есть портфель n=500, p=0.01;

S=10 е.с.с. – выплачивается полностью при наступлении страхового случая, надбавка составляет 20%. Найти надежность, обеспеченную нетто-премией. 51) В условиях задачи 50 найти надбавку, обеспечивающую надежность 90%. 52) Вероятность страхового случая 0.05. Ущерб распределен равномерно от 0 до цены застрахованного объекта 1000. В договоре предусмотрена безусловная франшиза 200. Найти рисковую премию. 53) В условиях задачи 52 – франшиза – условная. Найти неттопремию, если надбавка равна СКО. 54) У страховщика два одинаковых договора с вероятностью страхового случая 0.05 и с распределением ущерба: 4000 5000 10000 X 2000 P 0.4 0.3 0.2 0.1 Составить закон распределения суммарного ущерба в портфеле и найти нетто премию, если надбавка равна СКО. 55) В условиях задачи 54, если у страховщика надбавка равна 20%, а у перестраховщика 30%, оценить целесообразность эксцедентного перестрахования суммарного ущерба (>10000). 56) В условиях задачи 55 сравнить позиции перестраховщика, если он знает обо всех убытках цедента, и если он знает лишь о тех, в компенсации по которым он участвует. 57) Портфель цедента содержит 20000 договоров с вероятностью страхового случая 0.02. Страховые суммы различны (есть 4 субпортфеля): N1 = 10000, S1 = 1 млн., N2 = 6000, S2 = 2 млн., N3 = 3000, S3 = 5 млн., N4 = 1000, S4 = 10 млн. Относительная надбавка для всех одинакова и равна 20%. А у перестраховщика 30%. Оценить целесообразность перестрахования только самых крупных рисков (S4 = 10 млн.). 58) В условиях задачи 57 найти оптимальный (для цедента) уровень собственного удержания.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.