WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

«Серия КЛАССИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТСКИЙ УЧЕБНИК основана в 2002 году по инициативе ректора МГУ им. М.В. Ломоносова академика РАН В.А. Садовничего и посвяшена 250-летию Московского университета ...»

-- [ Страница 3 ] --

В самом деле, если игрок А не будет придерживаться стратегии а выберет иную стратегию, например то вряд ли стоит рас считывать на то, что игрок В этого не заметит. Конечно, заметит и не преминет воспользоваться своим наблюдением. Ясно, что в этом случае он отдаст предпочтение стратегии А на выбор игрок В ответит, например, так: В результате отказа от стратегии выигрыш игрока А уменьшится.

Если же от оптимальной стратегии отказывается игрок В, вы бирая, например, стратегию Д., то игрок А может ответить на это 17.1. РАВНОВЕСНАЯ СИТУАЦИЯ стратегией и тем самым увеличить свой выигрыш. В случае стра тегии ответ игрока А — Тем самым ситуация оказывается равновесной.

Еще раз подчеркнем, что элементами матрицы игры являются числа, описывающие выигрыш игрока А. Более точно, выигрыш со ответствует положительному элементу платежной матрицы, а отри цательный указывает на проигрыш игрока А.

Матрица выплат игроку В получается из матрицы игры заменой каждого ее элемента на противоположный.

Рассмотрим теперь произвольную матричную игру:

(строки заданной т х n-матрицы соответствуют стратегиям игрока А, а столбцы — стратегиям игрока В) и опишем общий алгоритм, по средством которого можно определить, есть ли в этой игре ситуация равновесия или ее нет.

В теории игр предполагается, что оба игрока действуют разумно, т. е. стремятся к получению максимального выигрыша, считая, что соперник действует наилучшим (для себя) образом.

А. Действия игрока А.

1-й шаг. В каждой строке матрицы А находится минимальный элемент Полученные числа приписываются к заданной таблице в виде правого добавочного столбца:

Пояснение. Выбирая стратегию игрок А должен рассчитывать на то, что в результате разумных действий противника (игрока В) он выиграет не меньше чем ГЛАВА 17. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Специально отметим, что выбранное число является одним из элементов заданной матрицы А.

Пояснение. Действуя наиболее осторожно и рассчитывая на наи более разумное поведение противника, игрок А должен остановиться на той стратегии ДЛЯ которой число является максимальным.

Если игрок А будет придерживаться стратегии, выбранной опи санным выше способом, то при любом поведении игрока В игроку А гарантирован выигрыш, не меньший Число называется нижней ценой игры.

Принцип построения стратегии игрока А, основанный на макси мизации минимальных выигрышей, называется принципом макси мина, а выбираемая в соответствии с этим принципом стратегия максиминной стратегией игрока А.

В. Действия игрока В.

1-й шаг. В каждом столбце матрицы А ищется максимальный элемент Полученные числа приписываются к заданной таблице в виде нижней добавочной стро ки:

Пояснение. Выбирая стратегию игрок В должен рассчитывать на то, что в результате разумных действий противника (игрока А) он проиграет не больше, чем 17.1. РАВНОВЕСНАЯ СИТУАЦИЯ 2-й шаг. Среди чисел выбирается минимальное число /3 = к или подробнее:

(3 = max Выбранное число (3 также является одним из элементов заданной матрицы А.

Пояснение. Действуя наиболее осторожно и рассчитывая на наи более разумное поведение противника, игрок В должен остановиться на той стратегии для которой число является минимальным.

Если игрок В будет придерживаться стратегии, выбранной опи санным выше способом, то при любом поведении игрока А игроку В гарантирован проигрыш, не больший (3.

Число (3 называется верхней ценой игры.

Принцип построения стратегии игрока В, основанный на мини мизации максимальных потерь, называется принципом а выбираемая в соответствии с этим принципом — минимаксной стратегией игрока В.

Нижняя цена игры и верхняя цена игры всегда связаны не равенством Замечание. Реализация описанного алгоритма требует 2тп — 1 срав нений элементов матрицы А:

(п — + т — 1 = ran — сравнений для определения (т — 1)п + п — 1 = тп — сравнений для определения (3 и одно сравнение полученных чисел и Если ГЛАВА 17. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ или подробнее:

то ситуация оказывается равновесной и ни один из игро ков не заинтересован в том, чтобы се нарушить (в этом нетрудно убедиться путем рассуждений, подобных проведенным при анализе игры в примере 2).

В том случае, когда нижняя цена игры равна верхней цене игры, их общее значение называется просто ценой игры и обозначается через v.

Цена игры совпадает с элементом матрицы игры А, располо женным на пересечении г -й строки (стратегия игрока А) и столбца (стратегия игрока — минимальным в своей строке и максимальным в своем Этот элемент называют седловой точкой матрицы А или точкой равновесия, а про игру говорят, что она имеет седловую точку.

Стратегии и соответствующие седловой точке, называ ются оптимальными, а совокупность оптимальных ситуаций и цена игры — решением, матричной игры с седловой точкой.

Замечание. Седловых точек в матричной игре может быть несколь ко, но все они имеют одно и то же значение.

Матричные игры с седловой точкой важны и интересны, однако более типичным является случай, когда применение описанного ал горитма приводит к неравенству Как показывает следующий пример, в этом случае предложен ный выбор стратегий уже, вообще говоря, к равновесной ситуации не приводит и при многократном се повторении у игроков вполне могут возникнуть мотивы к нарушению рекомендаций, основанных на описанной последовательности действий игроков А и В.

Пример 3. Рассмотрим 3 х 3-игру, заданную матрицей 17.2. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ Применив предложенный алгоритм находим нижнюю = — 2 и верхнюю /3 = 2 цену игры и соответству ющие им стратегии и Нетрудно убедиться в том, что, пока игроки придерживаются этих стратегий, средний выигрыш при многократном повторении игры бу дет равен 1. Он больше нижней цены игры, но меньше верхней цены.

Однако если игроку В станет известно, что игрок А придержи вается стратегии он немедленно ответит стратегией и сведет его выигрыш к проигрышу —2. В свою очередь, на стратегию у игрока А имеется ответная стратегия А\, дающая ему выигрыш 4.

Тем самым ситуация равновесной не является.

17.2. Смешанные стратегии В случае когда нижняя цена игры и верхняя цена игры не сов падают, игрок А может обеспечить себе выигрыш, не меньший а игрок В имеет возможность не дать ему больше, чем Возникает вопрос: а как разделить между игроками разность Предыдущие построения на этот вопрос ответа не дают — тесны рамки возможных действий игроков.

Поэтому довольно ясно, что механизм, обеспечивающий получе ние каждым из игроков как можно большей доли этой разности, следует искать в определенном расширении стратегических возмож ностей, имеющихся у игроков изначально.

Оказывается, что компромиссного распределения разности — а, между игроками и уверенного получения каждым игроком своей до ли при многократном повторении игры можно достичь путем слу чайного применения ими своих первоначальных, чистых стратегий.

Такие действия, во-первых, обеспечивают наибольшую скрытность выбора страте гии (результат выбора не может стать известным противнику, пос кольку он неизвестен самому игроку), ГЛАВА 17. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ во-вторых, при разумном построении механизма случайного вы бора стратегий последние оказываются оптимальными.

Случайная величина, значениями которой являются стратегии игрока, называется его смешанной стратегией.

Тем самым задание смешанной стратегии игрока состоит в указа нии тех вероятностей, с которыми выбираются его первоначальные стратегии.

Рассмотрим произвольную га х n-игру, заданную т х п-матрицей А = Так как игрок А имеет т чистых стратегий, то его смешанная стратегия может быть описана набором m неотрицательных чисел:

Р\ 0, 0,..., О, сумма которых равна 1, Смешанная стратегия второго игрока В, имеющего п чистых стра тегий, описывается набором п неотрицательных чисел:

0, 0,..., О, сумма которых равна 1, Замечание. Каждая чистая стратегия является частным случаем смешанной стратегии: например, чистая стратегия является сме шанной стратегией, описываемой набором чисел котором Подчеркнем, что для соблюдения секретности каждый из игроков применяет свои стратегии независимо от другого игрока.

Таким образом, задав два набора:

мы оказываемся в ситуации в смешанных стратегиях.

17.2. СМЕШАННЫЕ СТРАТЕГИИ В этих условиях каждая обычная ситуация (в чистых стратегиях) по определению является случайным событием и ввиду не зависимости Р и Q реализуется с вероятностью Поскольку в этой ситуации игрок А получает выигрыш то математическое ожидание выигрыша в условиях ситуации в смешанных стратегиях {Р, Q} равно Это число и принимается за средний выигрыш игрока А в ситуации в смешанных стратегиях {P,Q}.

Стратегии называются оптимальными смешанными стратегиями игроков А и В соответственно, если выполнено следующее соотношение:

определяемая последней формулой, называется ценой игры.

Набор состоящий из оптимальных смешанных страте гий игроков А и В и цены игры, называется решением матричной игры.

Естественно, возникают два ключевых вопроса:

1) какие матричные игры имеют решение в смешанных стратеги ях?

2) как находить решение матричной игры, если оно существует?

Ответы на эти вопросы дают следующие две теоремы.

ГЛАВА 17. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Основная теорема теории матричных игр 1 (Дж. фон Нейман). Для матричной игры с любой матрицей А величины существуют и равны между собой:

Более того, существует хотя бы одна ситуация в смешанных стра тегиях Q0}, для которой выполняется соотношение Основные свойства оптимальных смешанных стратегий ТЕОРЕМА 2. Пусть — оптимальные смешанные v -- цена игры.

Оптимальная смешанная стратегия Р° игрока А смешивается только из тех чистых стратегий i =,m е. только те вероятности i = 1,2,..., могут быть отличны от нуля), для которых Аналогично, только те вероятности k — 1, 2,..., п, могут быть отличны от нуля, для которых МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИГР В этом последнем скоплении равенств, по существу, и лежат исто ки, питающие методы построения решений матричных игр.

Опишем некоторые из них.

17.3. Методы решения матричных игр Наши рассмотрения мы начнем с матричных игр, в которых число стратегий хотя бы одного из игроков равно двум.

Для построения решений 2 х п- и х 2-игр существует эффектив ный метод, основанный на простых геометрических соображениях.

Этот метод называют графическим.

17.3.1. 2 х п-игры Пусть — платежная матрица 2 х п-игры.

Согласно теореме о двойном описании игры (теорема 2), нахожде ние цены игры и оптимального значения для игрока А равносиль но решению уравнения Опишем общую схему, приводящую к искомому результату.

Максимум функции проще всего найти, построив ее график.

Для этого поступают следующим образом.

Предположим, что игрок А выбрал смешанную стратегию Р = {р, 1 — р}, а игрок В — к-ю чистую стратегию, — 1, 2,..., п. Тогда средний выигрыш игрока А в ситуации {Р, к} оказывается равным На плоскости го) уравнение (к) описывает прямую. Тем самым каждой чистой стратегии игрока В на этой плоскости соответствует своя прямая.

ГЛАВА 17. МАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Поэтому сначала на плоскости (р, последовательно и аккурат но рисуются все прямые (рис. 1). Затем для каждого значения р, О р 1, путем визуального сравнения соответствующих ему значений w на каждой из построен ных прямых определяется и отмечается наименьшее из них (рис. 2).

В результате описанной поцедуры получается ломаная, которая и является графиком функции (1) (жирная линия на рис. 3).

1 Рис.

Рис. Эта ломаная как бы огибает снизу все семейство построенных прямых, и по этой причине ее принято называть нижней огибающей этого семейства.

МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИГР Верхняя точка построенной нижней огибающей определяет и цену игры — и оптимальную стратегию игрока А — Р° 1 — р0} (рис. 4).

Опробуем описанную схему решения 2 х n-игры на конкретном примере.

Пример Рассмотрим игру, заданную 2 х 6-матрицей Решение.

1-й шаг. Анализ игры на наличие седловой точки.

Нижняя цена игры равна —1, верхняя — равна 1. Седловой точки нет. Решение игры нужно искать в смешанных стратегиях.

2-й шаг. Вычисление средних выигрышей игрока А (проводится при условии, что игрок В выбирает только чистые стратегии).

Из таблицы легко получаем 3-й шаг. Построение нижней огибающей.

Строим на координатной плоскости (р, все шесть прямых, ура внения которых получены на 2-м шаге 5, масштаб по осям раз ный), и находим их нижнюю огибающую.

шаг. Отыскание цены игры и оптимальной смешанной стра тегии игрока А.

При построении нижней огибающей нетрудно определить, на пе ресечении каких двух из шести прямых лежит ее наивысшая точка.

В данном случае это прямые (4) и (5), заданные уравнениями w = р w = — р + 5(1 — р) соответственно. Решая систему уравнений = —р + 5(1 — р), ГЛАВА 18. ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ Рис. Как показывает рис. 10, и при таких ограничениях информацио нные множества могут выглядеть довольно необычно.

18.3. Позиционные игры с Позиционная игра называется игрой с полной если в каждой позиции любой ее партии игрок, делающий ход, знает, какие альтернативы были выбраны на предыдущих ходах. В графическом описании каждая вершина дерева такой игры представляет собой отдельное информационное множество.

Примерами позиционных игр с полной информацией могут слу жить крестики-нолики, шашки и шахматы.

Основная особенность позиционной игры с полной информацией состоит в том, что соответствующая ей матрица выигрышей всегда имеет седловую точку, т. е. в игре с полной информацией существуют оптимальные чистые стратегии и, значит, равновесная ситуация.

Сказанное означает, что в шахматах (крестиках-ноликах, шаш ках) уже в начальной позиции имеется способ выигрыша либо у бе лых, либо у черных, либо как та, так и другая сторона способна форсировать ничью.

18.3. ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Однако известное доказательство существования равновесной си туации неконструктивно и не дает эффективных приемов фактиче ского нахождения решения игры.

И такие способы (стратегии) в шахматах не найдены до сих пор, и даже неизвестно, какая из перечисленных возможностей имеет место на самом деле.

Иное дело с игрой крестики-нолики: стратегий в ней немного и она разобрана до самого конца — существуют оптимальные чистые стратегии, ведущие игроков к ничьей.

Рассмотрим несколько примеров.

1. Как нетрудно заметить, двухходовая игра из примера 1 явля ется игрой с полной информацией. Ее нормализация приводит к ма трице с седловой точкой (см. пример 3).

2. Выкладывание монет на стол. Два игрока поочередно кладут монеты одинаковых размеров на обыкновенный стол, всякий раз вы бирая произвольное доступное место для монеты (взаимное накры вание монет не допускается). Тот из игроков, кто положит монету, не оставляющую места для новых монет, выигрывает.

Это игра с полной информацией. Существует вполне определен ная стратегия, обеспечивающая выигрыш тому из игроков, кто на чинает игру. А именно, начинающий игру должен положить первую монету точно в центр стола и на каждый ход противника отвечать симметричным ходом. Исход игры от стратегии второго игрока не зависит.

3. Переговоры. В переговорах участвуют две стороны: А В.

В слегка идеализированном варианте это может выглядеть, напри мер, так.

Сначала сторона А высказывает одно из нескольких предложе ний, способных заинтересовать сторону В. Затем сторона ознако мившись с предложением стороны высказывает одно из несколь ких встречных предложений, способных, по ее мнению, заинтересо вать сторону А. В свою очередь, сторона ознакомившись с реак цией стороны В на сделанные предложения, высказывает ей новое предложение, внеся одну из нескольких возможных корректировок в свое первоначальное предложение с учетом мнения стороны В, и т. д.

ГЛАВА 18. ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ Если предмет переговоров сложен, то подобный обмен ходами мо жет затянуться. Однако любые переговоры непременно заканчива ются. И там, на финише, ждет функция выигрышей.

Попробуем смоделировать короткий переговорный процесс трех ходовой позиционной игрой.

Предположим, что переговоры заканчиваются через три хода, на каждом из которых соответствующая сторона имеет возможность выбора из двух альтернатив, и опишем соответствующую позицион ную игру.

1-й ход делает сторона она выбирает одно из двух возможных предложений — число х из множества двух чисел {1,2}.

2-й ход делает сторона она выбирает число у из множества двух чисел {1, 2}, зная число х, предложенное стороной А.

3-й ход делает сторона она выбирает число z из множества двух чисел {1,2}, зная о предложении стороны В на 2-м ходе и помня собственное предложение на 1-м ходе.

После этого сторона А либо получает вознаграждение (например, в виде кредита от стороны либо выплачивает стороне В штраф.

Все эти возможности описываются функцией выигрышей заданной следующей таблицей:

Графическое представление этой игры показано на рис. 11.

Ясно, что описанная позиционная игра является игрой с полной информацией.

Начнем с описания возможных стратегий В.

Поскольку игроку В выбор игрока А на 1-м ходе известен, то у игрока В те же четыре стратегии, что и в примерах 3 и 5:

[2,2].

С описанием возможных стратегий игрока А дело обстоит немного посложнее — их восемь.

Чистая стратегия игрока А в данной игре описывается упорядо ченной тройкой {х, 18.3. ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ С ПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ Здесь х (х — 1,2) — альтернатива, которую игрок А выбирает на 1-м ходе, = 1,2) — альтернатива, которую игрок А выбирает на 3-м ходе, если на 2-м ходе игрок В выбрал первую альтернативу (у = 1), и = 1, 2) — альтернатива, которую игрок А выбирает на 3-м ходе, если на 2-м ходе игрок В выбрал вторую альтернативу = 2).

Например, выбор игроком А стратегии (1, означает, что на 1-м ходе игрок А выбирает х = 1, а на 3-м — z = 2, если игрок В выбрал у = 1, и z — 1, если игрок В выбрал у = 2.

Тем самым у игрока А восемь чистых стратегий:

(1, - (1, - (1, - (1, - (2, (2, - (2, - (2, Покажем теперь, как в зависимости от применяемых стратегий определяются элементы таблицы выигрышей игрока А.

Пусть, например, игрок А выбрал стратегию - (2, а игрок В — стратегию - Тогда х 2. Из вытекает, что у = 1, а из (2, — что z = 1. Отсюда ГЛАВА 18. ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ Рассчитывая по этой же схеме все остальные элементы таблицы выигрышей, в итоге получим таблицу и соответствующую матрицу Вследствие того что рассматриваемая позиционная игра является игрой с полной информацией, полученная матрица имеет седловую точку при любой функции выигрышей. В этом легко убедиться, про извольно выбирая значения параметров с, d, /, д h.

Несколько слов в заключение.

В рассмотренных примерах основное внимание было уделено опи санию процесса нормализации позиционной игры — построению де рева игры и информационных множеств, выработке стратегий игро ков и вычислению элементов платежной матрицы.

Следующий естественный шаг — отыскание цены игры и опти мальных стратегий игроков — проводится методами, о которых рас сказывается в главе "Матричные игры".

ЗАДАНИЯ 18.4. Задания Дайте графическое представление и приведите к нормальной форме позиционную игру с функцией выигрышей a) 1-й ход делает игрок он выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}.

2-й ход делает игрок не зная о выборе игрока А на 1-м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел {1,2}.

3-й ход делает игрок он выбирает число z из множества двух чисел {1,2}, зная значение у, выбранное игроком В на 2-м ходе, но не помня собственного выбора х на 1-м ходе.

б) 1-й ход делает игрок он выбирает число х из множества двух чисел 2-й ход делает игрок зная выбор игрока А на 1-м ходе, он выбирает число у из множества двух чисел {1,2}.

3-й ход делает игрок он выбирает число z из множества двух чисел {1, 2}, не зная значения выбранного игроком В на 2-м ходе, но помня собственный выбор х на 1-м ходе.

в) 1-й ход производится случайно: игрок О выбирает число х, рав ное 1 с вероятностью 0,3 и равное 2 с вероятностью 0,7.

2-й ход делает игрок он выбирает число у из множества двух чисел {1,2}, зная результат случайного выбора на 1-м ходе.

5-Й ход делает игрок он выбирает число z из множества двух чисел {1,2}, зная выбор у игрока А на 2-м ходе, но не зная случай ного выбора х на 1-м ходе.

Глава БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Предыдущие рассмотрения касались игр двух лиц, в которых ин тересы игроков были прямо противоположны (антагонистические, или матричные, игры), а также позиционных игр, сводимых к ма тричным. Однако ситуации, в которых интересы игроков хотя и не совпадают, но уже необязательно являются противоположными, встречаются значительно чаще.

Рассмотрим, например, конфликтную ситуацию, в которой каж дый из двух участников имеет следующие возможности для выбора своей линии поведения:

игрок А — может выбрать любую из стратегий А\,..., игрок В — любую из стратегий При этом всякий раз их совместный выбор оценивается вполне оп ределенно:

если игрок А выбрал стратегию а игрок В — к-ю стратегию то в итоге выигрыш игрока А будет равен некоторому числу а выигрыш игрока В — некоторому, вообще говоря, другому числу Иными словами, всякий раз каждый из игроков получает свой приз.

Последовательно перебирая все стратегии игрока А и все страте гии игрока мы можем заполнить их выигрышами две таблицы:

ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Первая из таблиц описывает выигрыш игрока А, а вторая — вы игрыш игрока В. Обычно эти таблицы записывают в виде матриц:

\bml • • •..

Здесь A — платежная матрица игрока а В — платежная ма трица игрока В.

При выборе игроком А стратегии, а игроком В — страте гии их выигрыши находятся в матрицах выплат на пересечении строк и к-х столбцов:

в матрице А это элемент а в матрице В — элемент Таким образом, в случае, когда интересы игроков различны (но необязательно противоположны), получаются две платежные мат рицы: одна — матрица выплат игроку А, другая — матрица выплат игроку В. Поэтому совершенно естественно звучит название, которое обычно присваивается подобной игре, — биматричная.

Замечание. Рассмотренные ранее матричные игры, разумеется, можно отнести и к биматричным, где матрица выплат игроку В про тивоположна матрице выплат игроку ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Тем не менее в общем случае биматричная игра — это игра с ненулевой суммой.

Нам кажется вполне естественным время от времени сопостав лять наши рассмотрения с рассуждениями, приведенными ранее для матричных игр (особенно при попытках разрешения сходных про блем). Подобные сопоставления часто оказываются одновременно и удобными и полезными. Конечно, класс биматричных игр значите льно шире класса матричных (разнообразие новых моделируемых конфликтных ситуаций весьма заметно), а значит, неизбежно уве личиваются и трудности, встающие на пути их успешного разреше ния. Впрочем, мы надеемся, что часть этих трудностей мы сумеем преодолеть уже в настоящем издании.

19.1. Примеры биматричных Примеры этого раздела описывают некоторые типические конф ликтные ситуации, приводящие к биматричным играм. Сначала мы обсудим вопросы, связанные с формализацией рассматриваемых конфликтов (построение платежных матриц), а - с реко мендациями по их разрешению.

19.1.1. Борьба за рынки Небольшая фирма (игрок намерена сбыть партию товара на од ном из двух рынков, контролируемых другой, более крупной фирмой (игрок В). Для этого фирма готова сделать на одном из рынков соответствующие приготовления (например, развернуть рекламную кампанию). Господствующая рынках фирма В может попытаться воспрепятствовать этому, приняв на одном из рынков предупреди тельные меры (разумеется, в рамках закона). Не встречая противо действия на рынке, фирма А захватывает его;

при наличии препят ствий — терпит поражение.

Будем считать для определенности, что проникновение фирмы А на первый рынок более выгодно для нее, нежели на второй. Есте ственно также считать, что и борьба за первый рынок потребует вложения больших средств. Например, победа фирмы А на первом рынке принесет ей вдвое больший выигрыш, чем победа на втором, но зато и поражение при попытке освоиться первом рынке пол ностью ее разорит, а фирму В избавит от конкурента.

19.1. ПРИМЕРЫ БИМА ТРИЧНЫХ ИГР Что же касается второго рынка, то при поражении фирмы А ее потери будут не столь разорительны, но и победа принесет не много.

Таким образом, у фирмы А две стратегии:

— выбор первого рынка, — выбор второго рынка.

Такие же стратегии и у фирмы — выбор первого рынка, — выбор второго рынка.

Для того чтобы составить платежные матрицы игроков, нужны расчетные количественные показатели, которые мы приведем здесь в условных единицах:

Посмотрим на выписанные матрицы выплат. Из сказанного выше ясно, что если оба игрока выберут один и тот же рынок, то победа останется за более сильной фирмой В.

То, что в ситуации выигрыш игрока В равен 5, а в си туации — 1, подчеркивает, что первый рынок более выго ден (удобно расположен, хорошо посещаем и т. п.), чем второй. Вы игрыш (—10) игрока А в ситуации (а точнее, проигрыш) в сопоставлении с его выигрышем (—1) в ситуации выглядит, разумеется, вполне сокрушительно. Что же касается ситуации, ко гда фирмы уделяют основное внимание разным рынкам — и то здесь фирму А ждет настоящий выигрыш, больший на более выгодном рынке. Потери, которые при этом несет фирма В, оказываются прямо противоположными.

Замечание. Ясно, что точно рассчитать выгоду и ущерб сторон в этом конфликте заранее довольно трудно. Зато в следующей конф ликтной ситуации размеры выигрышей игроков известны им со всей определенностью.

19.1.2. Дилемма узников Игроками являются два узника, находящиеся в предварительном за ключении по подозрению в совершении преступления. При отсутст вии прямых улик возможность их осуждения в большой степени за висит от того, заговорят они или будут молчать.

Если оба будут молчать, то наказанием будет лишь срок предва рительного заключения (потери каждого из узников составят (—1)).

Если сознаются, то получат срок, учитывающий признание как смяг ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ чающее обстоятельство (потери каждого из узников составят в этом случае (—6)). Если же заговорит только один из узников, а дру гой будет молчать, то в этом случае заговоривший будет выпущен на свободу (его потери равны 0), а сохраняющий молчание получит максимально возможное наказание (его потери будут равны (—9)).

Эта конфликтная ситуация приводит к биматричной игре, в кото рой каждый из игроков имеет по две стратегии — молчать (М) или говорить (Г).

Выигрыши игроков А В соответственно описываются так:

19.1.3. Семейный спор Два партнера договариваются о проведении одного из двух действий, (1) и (2), каждое из которых требует их совместного участия.

В случае осуществления первого из этих двух действий выигрыш первого (игрок А) будет вдвое выше выигрыша второго партнера (игрок В). Напротив, в случае осуществления второго из этих двух действий выигрыш игрока А будет вдвое меньше выигры ша игрока В. Если же партнеры выполнят различные действия, то выигрыш каждого из них будет равен нулю.

Эта конфликтная ситуация приводит к биматричной игре, в кото рой каждый из игроков имеет по две стратегии. Выигрыши игроков А В соответственно описываются таблицами следующего вида:

Пояснение. Понятно, что конфликтные ситуации мо гут иметь одну и ту же формализацию. В частности, рассмотренная биматричная игра часто интерпретируется как одновременный вы бор супругами совместного развлечения: посещение оперного спек такля или хоккейного матча. При этом в посещении оперного театра жена заинтересована в большей степени, чем муж, а при посещении стадиона наблюдается обратная картина. В случае же непреодоли мости разногласий, возникших при выборе, день оказывается вообще испорченным.

Отсюда и название, вынесенное в заголовок.

19.1.4. Студент - преподаватель Рассмотрим следующую ситуацию. Студент (игрок А) готовится к зачету, который принимает преподаватель (игрок В). Можно счи тать, что у студента две стратегии — подготовиться к сдаче зачета (+) и не подготовиться (—). У преподавателя также две стратегии — поставить зачет [+] и не поставить зачета [—].

В основу значений функций выигрыша игроков положим следу ющие соображения:

Количественно это можно выразить, например, так:

19.2. Смешанные стратегии В приведенных примерах (позже мы вернемся к подробному рассмо трению каждого) описаны ситуации, в которых интересы игроков не совпадают. Естественно встает вопрос о том, какие рекомендации не обходимо дать игрокам для того, чтобы моделируемая конфликтная ситуация разрешилась.

Иными словами, что мы будем понимать под решением биматри чной игры?

Попробуем ответить на этот вопрос так: вследствие того что ин тересы игроков не совпадают, нам нужно построить такое (компро миссное) решение, которое бы в том или ином, но в одинаковом смы сле удовлетворяло обоих игроков.

Иначе говоря, попробуем найти некую равновесную ситуацию, яв ное отклонение от которой уменьшает выигрыш игрока.

Подобный вопрос мы ставили и при рассмотрении матричных игр.

Напомним, что возникавшее при разработке минимаксного подхода ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ понятие равновесной ситуации приводило нас к поиску седловой точ ки, которая, как оказалось, существует далеко не всегда, конечно, если ограничиваться только чистыми стратегиями игроков А и В, т. е. стратегиями Естественно ожидать, что в более сложном случае биматричной игры дело вряд ли будет обстоять проще.

В матричных играх эта трудность была преодолена путем пере хода к смешанным стратегиям, т. е. к такому поведению игроков, при котором они чередуют (чистые) стратегии (конечно, свои собственные):

игрок А — стратегии..., игрок В — стратегии...

с определенными частотами:

игрок А — стратегии..., с частотами..., где 0,..., 0, = 1, а игрок В — стратегии..., с частотами..., и оказалось, что в смешанных стратегиях равновесная ситуация су ществует всегда.

Иными словами, любая матричная игра в смешанных стратегиях разрешима.

Поэтому, рассматривая здесь биматричные игры, разумно попро бовать сразу же перейти к смешанным стратегиям игроков. Тем са мым мы предполагаем, что каждая игра может быть повторена в неизменных обстоятельствах многократно.

В матричном случае смешивание стратегий приводило к расши рению возможности выплат в том смысле, что расчет строился на вычислении средних выигрышей игроков А В, которые определя лись по элементам платежной матрицы А и вероятностям и 19.3. 2 х 2-БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ. СИТУАЦИЯ РАВНОВЕСИЯ При смешанных стратегиях в биматричных играх также естестве нно возникают средние выигрыши игроков А вычисляемые по правилам, в которых уже нет никакой дискриминации игрока 19.3. 2 X 2-биматричные игры. Ситуация равновесия Мы предполагаем уделить основное внимание случаю, когда у каж дого из игроков имеется ровно две стратегии, т. е. случаю т п = 2.

Поэтому нам кажется уместным выписать приведенные выше фор мулы именно для такого случая.

В 2 х 2-биматричной игре платежные матрицы игроков имеют сле дующий вид:

В = I ' вероятности Р, Р2 = Р, = — а средние выигрыши вычисляются по формулам где Сформулируем основное определение.

Определение. Будем говорить, что пара чисел определяет равновесную ситуацию, если для любых р и подчи ненных условиям одновременно выполнены следующие неравенства:

(1) 25 ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Пояснение. Выписанные неравенства (1) означают следующее: си туация, определяемая смешанной стратегией является рав новесной, если отклонение от нее одного из игроков при условии, что другой сохраняет свой выбор, приводит к уменьшению выигрыша первого. Тем самым получается, что если равновесная ситуация су ществует, то отклонение от нее невыгодно самому игроку.

Но может ли быть подобная ситуация равновесия в биматричной игре?

Ответ на поставленный вопрос дает следующее утверждение.

ТЕОРЕМА (Дж. Нэш). Всякая игра имеет хотя бы одну равновесную ситуацию (точку в смешанных стра тегиях.

Заметим, что весьма похожее утверждение мы уже встречали при изучении вопроса разрешимости матричных игр.

Напомним также, что в соответствующем разделе после форму лировки аналогичного утверждения о существовании равновесной ситуации описывался и способ отыскания точки равновесия.

Та же проблема встает перед нами и здесь.

Итак, равновесная ситуация существует. Но как ее найти?

Если предполагается, что некоторая пара чисел (p*,q*) опреде ляет ситуацию равновесия, то для того, чтобы подтвердить или опро вергнуть это предположение, необходимо проверить справедливость неравенств (1) для любого р в пределах от 0 до 1 и для любого q в пределах от 0 до В общем случае число таких проверок бесконечно. И следователь но, действенный способ определения равновесной ситуации должен быть Для его обоснования сошлемся на следующий теоретический ре зультат.

ТЕОРЕМА. Выполнение неравенств равносильно выполнению неравенств (О ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Поэтому окончательно получаем ПОИСК РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ пара q) определяла равновесную ситуацию, необходимо и доста точно одновременное выполнение следующих неравенств:

где 19.4. Поиск равновесных ситуаций Геометрический смысл условий (3) рассмотрим на примерах описан ных выше биматричных игр.

19.4.1. Борьба за рынки Напомним, что ситуация, сложившаяся в этой задаче, задается пла тежными матрицами следующего вида:

ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Рассмотрим сначала левую пару неравенств (7):

19.4. ПОИСК РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ Перенесем теперь полученные результаты на чертеж.

Введем на плоскости прямоугольную систему координат (р, q) и выделим на ней единичный квадрат, соответствующий неравенствам (рис. 1).

ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ приводят к следующему результату:

Перенося его на чертеж, получим второй "зигзаг", но уже гори зонтальный (рис. 3).

Теперь остается только объединить на рис. 4.

Общая точка построенных зигзагов — точка равновесия — имеет координаты Соответствующие смешанные стратегии игроков имеют следую щий вид:

а средние выигрыши игроков таковы:

Замечание. Попробуем разбить рассмотренную биматричную игру на две матричные игры с нулевой суммой.

ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ 19.4.2. Дилемма узников Выигрыши игроков А ТА В описываются соответствующими матри цами выплат:

Единственная равновесная ситуация — (0,0). Это ситуация, в ко торой каждый из игроков выбирает вторую чистую стратегию — сознаться — и его потери составляют 6.

ПОИСК РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ В полученных результатах больше вопросов, чем ответов.

Ситуации (1,1) и (0,0) означают одновременный выбор игроками первых или соответственно вторых стратегий, т. е. определенную до говоренность о совместных действиях.

Однако в данном случае есть еще одна ситуация равновесия, со стоящая в выборе игроками вполне определенных смешанных стра тегий. В ней оба игрока получают одинаковые выигрыши, правда, меньшие тех, которые давали две другие равновесные ситуации.

Какой же из этих трех ситуаций равновесия следует отдать пред почтение? Какую выбрать игрокам?

Если бы игроки договорились выбрать одновременно, скажем, пе рвую чистую стратегию, причем игрок А за получение большего вы игрыша, чем игрок В, заплатил бы ему 1/2, то выигрыш каждым полутора единиц можно было бы считать и выгодным, и справед ливым. Однако в рамках теории бескоалиционных игр такого рода дележи не рассматриваются.

Вполне ясно, что для каждым из игроков своей линии поведения (напомним, что подобная ситуация может повторяться и повторяется многократно) необходимы либо расширение возможно стей, имеющихся у игроков, либо иные, измененные критерии.

19.4.4. Студент - преподаватель Наконец, обратимся к последнему из приведенных выше примеров игр — студент - преподаватель. Впечатления у каж 19.4. ПОИСК РАВНОВЕСНЫХ СИТУАЦИЙ дого из них относительно результатов общения в матричном виде выглядят следующим образом:

Проводя необходимые вычисления:

(рис. 7).

Рис. Число точек пересечения у зигзагов (равновесных ситуаций) рав но трем.

Две из них отвечают чистым стратегиям игроков:

ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ одна — смешанной:

В данной задаче в отличие от предыдущей все довольно ясно:

наилучшим является выбор каждым из игроков первой чистой стра тегии — хорошо подготовиться к зачету и поставить зачет.

Как нетрудно заметить, тем самым в этой реализуется весьма редкая возможность, когда функции выигрыша каждого из игроков достигают своих максимумов одновременно.

Выгодность такой ситуации совершенно ясна. Ее устойчивость также вполне очевидна: любое отклонение от ситуации (1,1) одного из игроков или обоих игроков может привести разве что к уменьше нию их выигрышей.

19.5. Некоторые итоги На анализе результатов стоит остановиться чуть под робнее.

Из приведенных примеров видно, что числа С и D могут быть как положительными, так и отрицательными. Они могут, в частно сти, даже обращаться в нуль.

Рассмотрим, однако, наиболее интересный в приложениях слу чай, когда ни С ни D нулю не равны, т. е.

Тогда, как нетрудно видеть, точка равновесия определяется парой Эти формулы являются весьма примечательными: в равновесной ситуации выбор игрока А полностью определяется элементами пла тежной матрицы игрока В, 19.5. НЕКОТОРЫЕ ИТОГИ (и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы), а выбор игрока В в равновесной ситуации полностью определяется элементами платежной матрицы игрока А, (и не зависит от элементов его собственной платежной матрицы).

Иными словами, равновесная ситуация обоих игроков определя ется не столько стремлением увеличить собственный выигрыш, сколько желанием держать под контролем выигрыш другого игрока (минимизировать этот выигрыш). И если, например, заменить в би матричной игре матрицу выплат игроку а матрицу выплат игроку В оставить прежней, то игрок А никак не изменит своего "равновес ного" поведения (просто не обратит внимания на эту замену), в то время как игрок В изменит свою стратегию на новую, равновесную.

Таким образом, в биматричной (неантагонистической) игре мы вновь встречаемся с антагонизмом. Правда, теперь это уже не анта гонизм интересов (как было в антагонистической, матричной игре), а антагонизм поведения.

Отметим, что в биматричными играх (в отличие от матричных) при наличии нескольких ситуаций равновесия средний выигрыш иг рока в разных равновесных ситуациях различен (напомним, что в матричной игре выигрыш игрока один и тот же вне зависимости от количества точек равновесия).

Но если средние выигрыши разнятся, то какую равновесную си туацию следует считать оптимальной?

Наконец, еще одно, не менее интересное обстоятельство. Вспо мним, с какими трудностями мы столкнулись, пытаясь перевести эмоциональные оценки результатов общения студент - преподава тель в количественные показатели. В целом сохраняя основные со отношения, эти количественные оценки могут, конечно, изменяться как от студента к студенту, так и от преподавателя к преподавате лю. Однако если эти изменения будут не слишком значительными — элементы платежной матрицы "пошевельнутся" слегка — то слег ка "пошевельнутся" и зигзаги, не изменяя ни своей общей формы, ни взаимного расположения, а значит, число равновесных ситуаций не изменится. Впрочем, сказанное относится лишь к случаю, когда множество ситуаций равновесия конечно и состоит из нечетного чи сла точек (одной или трех).

ГЛАВА 19. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ Как принято говорить в подобных случаях, это число устойчиво относительно малых шевелений.

Конечно, в некоторых биматричных играх равновесные ситуации случаются и в чистых стратегиях (в последнем из разобранных при меров таких ситуаций даже две). И (в принципе, это совсем нетруд но) можно дать определение ситуации равновесия в чистых страте гиях. Найти ее (если она, конечно, существует) — дело довольно простое. Но, как показывают разобранные примеры, во-первых, чи стой ситуации равновесия может вовсе не быть, и, во-вторых, даже при ее наличии не исключено существование равновесных ситуаций в смешанных стратегиях. И, чтобы найти их все, неизбежно прихо дится обращаться к описанному выше подходу.

19.6. Задания и ответы Глава НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ИГРЫ Реальные конфликтные ситуации приводят к различным видам игр.

К настоящему времени общепризнанной классификации игр не сло жилось. Тем не менее легко заметить, что игры можно различать по целому ряду признаков: по количеству участвующих в них игроков, возможных стратегий, ходов, по характеру взаимоотношений между игроками, выигрышей, информационной обеспеченности игроков, по виду функций выигрышей и т. д.

В зависимости от вида игры разрабатывается и метод ее решения.

В этой главе мы приведем примеры игр, отличных от рассмотрен ных ранее. Но начнем с обсуждения (на примере биматричной игры) несколько иного подхода к вопросу устойчивости искомой ситуации.

ГЛАВА 20. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ИГРЫ вытекает, что Иными словами, в оптимальной по Парето ситуации игроки не могут совместными усилиями увеличить выигрыш одного из них, не уменьшив при этом выигрыш другого.

Отличие ситуации равновесия от ситуации, оптимальной по Па рето, состоит в следующем:

в ситуации равновесия ни один из игроков, действуя в одиночку, не может увеличить свой собственный выигрыш;

в ситуации, оптимальной по Парето, игроки, действуя совместно, не могут увеличить выигрыш хотя бы одного из них, не уменьшая выигрыша другого.

Покажем, как практически отыскиваются оптимальные по Паре то ситуации.

Обратимся к игре "Дилемма узников".

Напомним, что соответствующие платежные матрицы в этой игре имеют следующий вид:

Тем самым на единичном квадрате О р 0 q (рис. 1) возможных значений вероятностей р q заданы две функ ции:

1 Рис. 2 Рис. 20.2. НЕАНТАГОНИСТИЧЕСКИЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ИГРЫ Точки с координатами (U,V), вычисленными по приведенным формулам, на плоскости (U, V) заполняют четырехугольник с вер шинами -1), -6) и N(0, -9) (рис. 2). Граница Парето этого множества — ломаная В качестве точки утопии здесь естественно рассматривать началь ную точку 0). Идеальная точка К(—1, — точка с наиболь шими выигрышами для каждого из игроков — оказывается лучше, чем равновесная (рис. 3). Ей соответствуют чистые стратегии обоих игроков 20.2. Неантагонистические позиционные игры Мы достаточно подробно остановились на позиционных играх двух лиц, где были явно выражены интересы одного из игроков (игро ка А). Следует, однако, иметь в виду, что в одних случаях интересы игрока В могут быть полностью противоположными интересам игро ка в то время как в других вполне может оказаться, что то, что хорошо для одного игрока, необязательно плохо для другого.

Приведем два простых примера.

Пример 1. 1-й ход. Игрок А выбирает число х из множества двух чисел {1,2}.

2-й ход. Игрок В выбирает число у из множества двух чисел {1,2}, зная выбор числа х игроком А.

Функции выплат игрокам и — И соответ ственно — задаются так:

Дерево игры показано на рис. 4.

Исход игры зависит от того, каковы намерения игрока В — максимизировать свой выигрыш:

максимизировать свой относительный выигрыш:

ГЛАВА 20. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ИГРЫ Рис. Пример 2. Игра задается деревом (рис. 5).

1-й ход. Игрок А выбирает число х из множества двух чисел {1, 2}.

Если х = 1, то каждый из игроков получает свой выигрыш, рав ный 2.

Если х = 2, то игрок В получает право 2-го хода, где он и выби рает число у из множества двух чисел {1,2}.

При у = 1 выигрыш игрока А равен 1, а игрока В — 4. При у = оба игрока получают поровну — по 3.

В случае когда каждый из игроков стремится к получению мак симального выигрыша и любые виды кооперации запрещены, исход игры ясен — игрок А выбирает х = 1 и игра заканчивается. Но при х = 2 и у = 2 каждый из игроков получает по 3 (такой исход предпо чтительнее простейшего (2,2)), и, если допустить соглашение между игроками, это обстоятельство вполне может изменить исход игры.

20.3. Бесконечные игры Выше мы остановились достаточно подробно лишь на трех видах игр — матричных, позиционных и биматричных. Сделанный вы бор обусловлен тем, что уже здесь можно наглядно показать, ка 20.3. БЕСКОНЕЧНЫЕ ИГРЫ кой смысл вкладывается в термин игра и чем именно занимается теория игр, а также познакомить с относительно несложным мате матическим инструментарием, опирающимся на ключевые понятия вероятности, матрицы и координаты и позволяющим разрешать про стейшие из этих видов игр.

Вместе с тем нам не хотелось бы, чтобы у читателя сложилось впечатление, что доступными содержательному анализу могут быть только игры, описанные выше.

Существует интересный, привлекающий неослабевающее внима ние исследователей класс игр, в которых хотя бы один из игроков имеет бесконечное множество возможных стратегий, — бесконечные игры.

В этом заключительном разделе мы приведем примеры бесконеч ных игр двух лиц трех видов — непрерывной игры на единичном квадрате (непрерывными называются бесконечные игры, в которых функции выигрышей непрерывно зависят от стратегий, выбираемых игроками), дуэли (играми с выбором момента времени, или играми типа дуэли, называются игры, характеризующиеся моментом вы бора хода и вероятностями получения выигрыша в зависимости от времени, прошедшего от начала игры до момента выбора) и диффе ренциальной игры поиска (в дифференциальных играх допускается делать ходы непрерывно и связывать поведение игроков условиями, описываемыми дифференциальными уравнениями).

Мы ограничимся здесь лишь постановками задач — описанием возможностей в поведении игроков и построением функций выигры шей, хотя для каждой из приводимых игр разработаны достаточно эффективные подходы к построению их решения.

20.3.1. Борьба за рынки (игра на единичном квадрате) Одна из конкурирующих фирм (игрок А) пытается вытеснить дру гую фирму (игрок В) с одного из двух рынков сбыта. Предположим, что общая сумма средств, выделенная на это игроком А, равна 1. Ти пичной стратегией игрока А является разделение выделенной суммы на две части: х (0 х 1) для первого рынка и 1 — х для второго.

Подобным образом выглядят и стратегии игрока выделение им части у (0 у 1) своей суммы на первый рынок и 1 — у на второй.

Будем считать, что если игрок А добился превосходства на од ном из рынков (на другом превосходства автоматически добивается игрок В), то он вытесняет противника с этого рынка и получает выигрыш, пропорциональный избытку вложенных средств с коэф ГЛАВА 20. НЕКОТОРЫЕ ДРУГИЕ ИГРЫ характеризующим важность рынка (этот коэффициент равен для первого рынка и для второго). Тогда функция вы игрыша Н(х, у) игрока А определяется формулой Ясно, что функция выигрыша игрока В равна 20.3.2. Игра типа дуэли Два дуэлянта (игроки А и В) начинают сходиться в момент време ни t = 0. У каждого пистолет заряжен одной пулей. Они встретятся в момент времени t = 1 (если только ни один из них не застрелит другого раньше). Каждый из дуэлянтов может выстрелить, когда пожелает. Если при этом одному из них удастся поразить против ника, а самому остаться невредимым, то он становится победителем (его выигрыш 1) и дуэль тут же прекращается. Если оба про махнутся, дуэль закончится вничью (выигрыш каждого из игроков равен 0). Если оба выстрелят одновременно и каждый поразит про тивника, то дуэль также считается окончившейся вничью.

Если игрок А произведет выстрел в момент времени х (0 х 1), то его выстрел будет успешным с вероятностью р(х). Подобным же образом выстрел игрока В в момент времени у (0 у 1) будет успешным с вероятностью q(y). При условии х < у игрок А выиграет с вероятностью р(х), а проиграет с вероятностью (1 p(x))q(y). Его средний выигрыш при х < будет равен С другой стороны, если х > у, его средний выигрыш будет равен При х = у средний выигрыш Таким образом, функция выигрыша у) игрока А имеет вид и антагонистическая игра задана.

НЕСКОЛЬКО СЛОВ В ЗАКЛЮЧЕНИЕ В частности, если игроки стреляют без промаха, р(х) — q(y) 1, 20.3.3. Дифференциальная игра поиска Ищущий (игрок А) стремится обнаружить уклоняющегося (игрок В). Оба игрока перемещаются с постоянными скалярными скоростя ми и соответственно) по плоскости внутри некоторой поисковой области В любой момент каждый из игроков управляет своим пе ремещением, задавая направление вектора скорости. Пусть (ХА,УА) координаты игроков. Тогда имеем Игра поиска заканчивается в тот момент, когда игроки сблизятся на расстояние > О, иными словами, когда будет выполнено неравен ство В случае успешного обнаружения выигрыш игрока А считается рав ным 1.

Построение решения в этой игре существенно зависит от харак тера и степени информированности игроков.

20.4. Несколько слов в заключение Все это были примеры бескоалиционных игр, когда любые согла шения, обмен информацией, побочные платежи, совместный выбор стратегий запрещены. Другой важный класс составляют коопера тивные игры, в которых разрешены самые разнообразные формы сотрудничества (что особенно важно при наличии числа игроков, большего двух). Возможность соглашений между игроками оказыва ет существенное влияние на исход игры. Если допустить, например, в игре "Дилемма узников" совместный выбор стратегий, то исход игры может оказаться совсем иным. При наличии побочных плате жей по-иному окончится и "Семейный спор".

Глава УПРАВЛЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ 21.1. Распределение ресурсов 21.1.1. Постановка задачи распределения ресурсов Организационная система (оргсистема, организация) — это система, включающая технику и коллективы людей, интересы которых суще ственно связаны с ее функционированием. Примерами здесь могут служить семья, фирма, университет, город, страна. Каждая оргси стема состоит из элементов (которые в свою очередь тоже могут представлять собой системы).

Для нас существенными являются следующие два обстоятель ства. С одной стороны, система существует для достижения каких либо определенных целей, т. е. можно говорить об интересах системы в целом. С другой стороны, элементы системы зачастую преследуют собственные интересы, вообще говоря не совпадающие с интересами системы в целом. Все это дает основание формализовать некоторые аспекты функционирования оргсистем в терминах теории игр.

В данном разделе мы будем рассматривать простейшую двухуров невую модельную оргсистему, состоящую из Центра и некоторого числа однотипных Элементов. Управление такой системой мы рас смотрим на примере задачи распределения ресурсов. Суть этой за дачи состоит в следующем. Элементы (в дальнейшем мы будем на зывать их Потребителями) представляют Центру заявки на полу чение некоторого ресурса (для простоты рассматривается один вид ресурса). Центр на основании этих заявок распределяет имеющий ся в его распоряжении ресурс (который предполагается делимым).

21.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ Если все заявки могут быть полностью удовлетворены, то Центру, по-видимому, так и следует поступить — выделить каждому Потре бителю столько, сколько он просит.

Существенно сложнее ситуация дефицита, когда суммарный объ ем заявок превосходит имеющийся в распоряжении Центра ресурс. В этом случае задача распределения ресурса становится нетривиаль ной. Универсальных рекомендаций здесь не существует. Ниже будут рассмотрены некоторые способы, или механизмы, распределения ре сурсов, каждый из которых обладает определенными достоинствами и недостатками.

Проведем формализацию вышеописанной задачи. Имеется п Потребителей, каждый из которых сообщает Центру число = 1,2,...,п) — заявку (рис. 1), а также, быть может, еще не которую информацию (на рис. 1 обозначено пунктирной стрелкой).

Далее Центр на основании заявок Потребителей, имеющегося в его распоряжении ресурса R и дополнительной информации о Потреби телях вычисляет по некоторому правилу числа п) — объем ресурса, выделяемый Потребителю.

ГЛАВА 21. УПРАВЛЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ В случае 21.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ ГЛАВА 21. УПРАВЛЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ На это число и умножаются заявки. В итоге получаем = 5 = 4;

= 0,8 • 8 = 6,4;

= 0,8 • 12 = 9,6;

= 0,8 • 7 = 5,6;

= 0,8 • 8 = 6,4.

Ответ: — 4;

= 6,4;

= 9,6;

5,6;

= 6,4.

Достоинства механизма прямых приоритетов очевидны. Отметим два недостатка.

Во-первых, каждый Потребитель получает меньше, чем просит.

Между тем нетрудно представить себе ситуацию, когда Потребителю требуется на осуществление какого-либо проекта именно единиц ресурса, a уже не хватает.

Во-вторых, данный механизм "толкает" Потребителей к завыше нию заявок в условиях дефицита. Действительно, поскольку чем больше Потребитель просит, тем больше получает, он может, за вышая свои потребности, попытаться приблизить итоговое решение Центра к своим реальным потребностям Тем самым дефицит еще более возрастает, причем Центр даже не имеет возможности узнать реальные запросы Потребителей поскольку они сообща ют > 21.1.3. Механизм обратных приоритетов Механизм обратных приоритетов основывается на предположении, что, чем меньше требуется Потребителю ресурса, тем больше эф фективность его использования. В соответствии с этим распределе ние ресурса осуществляется по правилу где число определяется, как и в механизме прямых приоритетов, из условия Из формулы (3) видно, что, подавая очень малую либо очень большую заявку Потребитель получает малый ресурс 21.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ Рис. Найдем, какую же заявку должен подавать г-й Потребитель, чтобы получить максимальный ресурс (в условиях дефицита та кая цель Потребителя представляется вполне понятной). На рис. изображен график функции — Видно, что максимум дости гается в точке являющейся решением уравнения * Преобразуя последнее равенство, получаем Определять необязательно, поскольку в формулы для s* можно подставить сразу Ответ: = 10,7;

= 9,2;

= 13,1;

= 14,6;

= 12,5.

Замечание 1. Из-за ошибок округления сумма заявок немного отли чается от = 60.

Замечание 2. На самом деле мы рассмотрели случай, когда s* < для всех т. е. когда каждый из Потребителей вынужден, подавая заявку, занижать свою реальную потребность. Может быть и так, что для некоторых Потребителей s* Тогда эти Потребители подают заявку на ресурс = и столько же получают.

21.1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ Механизм обратных приоритетов обладает рядом достоинств. В частности, не происходит неоправданного завышения заявок, т. е.

не возникает ситуации > Кроме того, при условии разумного поведения Потребителей (т. е. при использовании каждым из них равновесной стратегии они получают столько, сколько просят.

Недостатком является то, что числа скорее всего оказываются меньше реальных потребностей Вследствие этого Центр не полу чает достоверной информации о реальном дефиците 21.1.4. Конкурсный механизм Конкурсный механизм применяется в тех случаях, когда нецелесо образно "урезать" заявки, поскольку Потребителям ресурс нужен на реализацию каких-либо конкретных проектов, на которые меньшего ресурса не хватит. В этих условиях Центр проводит конкурс заявок.

Те, кто побеждают в конкурсе, полностью получают требуемый ре сурс, а проигравшие не получают ничего.

Реализация этого происходит следующим образом. Потребители сообщают Центру свои заявки а также величины характеризу ющие эффект, который они намереваются получить. На основании этих данных Центр вычисляет для каждого Потребителя показатель эффективности:

= —, г = После этого ресурс распределяется следующим образом. Сначала рассматривается Потребитель с наибольшей эффективностью. Ему выделяется столько, сколько он просит (если у Центра хватает ре сурса). Затем берется второй по эффективности и т. д. В какой-то момент оказывается, что на удовлетворение очередной заявки остав шегося у Центра ресурса не хватает. Тогда этот потребитель, равно как и все оставшиеся, ничего не получает.

Пример 3. Имеется шесть Потребителей, подавших заявки в размере 14, 18, 10, 15, и сообщивших Центру соответственно сле дующие показатели эффекта: 36, 38, 25, 42, 28, 29. Каким должно быть распределение ресурса объемом 60 в соответствии с конкурс ным механизмом?

ГЛАВА 21. УПРАВЛЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ Решение. По условию имеем Вычислим показатели эффективности для каждого Потребителя:

Расположим эти числа в порядке убывания:

Распределение ресурса начинаем с 5-го Потребителя:

Ресурса осталось 60 — 8 = 52. Дальше в порядке убывания показа телей эффективности следует 4-й Потребитель:

Ресурса осталось Ресурса осталось Ресурса осталось 23 — 10 = 13.

Следующему, 2-му Потребителю требуется 18 единиц ресурса, а у Центра осталось лишь 15. Поэтому 2-й, а также 6-й Потребители ничего не получают:

Ответ:

Замечание. В эффективности описанного механизма могут возник нуть сомнения. Ведь Потребители могут пообещать большой эффект, получить ресурс, а затем не выполнить обещанного. Поэтому при реальном применении конкурсного механизма необходима действен ная система контроля (возможно, поэтапный контроль для проектов с длительным временем реализации).

21.1. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ РЕСУРСОВ 21.1.5. Механизм открытого управления Во всех рассмотренных выше механизмах распределения ресурсов Потребители могут добиться лучшего для себя решения Центра пу тем искажения информации. Таким образом, Центр не получает до стоверных данных о запросах Потребителей.

Возможность эффективно управлять на основании недостоверной информации представляется, вообще говоря, сомнительной. Поэто му интересны механизмы открытого управления, идея которых за ключается в создании для Потребителей стимулов к сообщению в заявке своих реальных потребностей.

Опишем один из возможных механизмов открытого управления.

Распределение ресурсов проводится в несколько этапов. На первом этапе ресурс разделяется поровну между всеми Потребителями, т. е.

R/n каждому. Если заявки каких-либо Потребителей оказались не больше чем R/n, то они полностью удовлетворяются. Тем самым число Потребителей уменьшается до уменьшается и ресурс Цен тра — до На втором этапе ресурс разделяется поровну между оставшимися Потребителями и т. д.

На каком-то этапе оказывается, что, разделив ресурс поровну ме жду оставшимися Потребителями, не удается удовлетворить ни од ной заявки. Тогда все эти Потребители получают поровну.

Пример Восемь Потребителей подали Центру свои заявки.

Они таковы: 12, 3, б, 1, 5, 7, 10, 2. Центр обладает ресурсом R = 40.

Требуется распределить этот ресурс в соответствии с вышеописан ным механизмом.

Решение. В данном случае на первом этапе получается следующее 5):

ГЛАВА 21. УПРАВЛЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ Можно удовлетворить заявки третьего и шестого Потребителей:

Обе оставшиеся заявки превышают 8, поэтому первый и седьмой По требители получают по 8 единиц ресурса:

Описанный механизм является механизмом открытого управле ния. Действительно, в конечном счете все Потребители делятся на приоритетных (которые получили столько, сколько просили) и неприоритетных (к последним в приведенном примере относятся первый и восьмой Потребители). Приоритетные получают столько, сколько просят, поэтому им не имеет смысла искажать свои реаль ные потребности. Неприоритетные же, как нетрудно видеть, не мо гут увеличить выделенный им ресурс ни повышая, ни понижая свою заявку.

Таким образом, при распределении ресурсов в соответствии с опи санным механизмом Центр получает достоверную информацию о ре альных запросах Потребителей.

21.2. Открытое управление и опрос Если требуется определить объем финансирования крупного проек та, то часто прибегают к проведению экспертного опроса. Мы рас смотрим следующую процедуру опроса. Каждому из п экспертов предлагается сообщить число s из отрезка после чего на осно вании экспертных оценок определяется итоговое решение х. Задача состоит как раз в том, чтобы определить число х, исходя из задан ных (i = п).

21.2. ОТКРЫТОЕ УПРАВЛЕНИЕ И ЭКСПЕРТНЫЙ ОПРОС На первый взгляд кажется, что наилучшее решение здесь — взять в качестве итогового решения среднее арифметическое мнений экс пертов Однако у такого решения есть существенный недостаток.

Дело состоит в следующем. У каждого эксперта есть мнение относительно объема финансирования. И если эксперт каким-либо образом заинтересован в том, чтобы итоговая оценка х совпала с его мнением то он может попытаться добиться этого совпадения, сообщая оценку Пример 5. Пусть три эксперта имеют следующие мнения:

Если каждый из них сообщит свое мнение без искажений, то при принятии решения по способу (4) результат будет таким:

Однако третий эксперт может (имея представление о мнениях остальных двух экспертов) сообщить оценку = 100. Тогда итого вый результат как раз совпадет с его истинным мнением Замечание. В теории коллективного принятия решений такой спо соб действий называется манипулированием. В свою очередь, если механизм коллективного принятия решений допускает манипулиро вание с чьей-либо стороны, то он называется манипулируемым. Рас смотренный только что пример показал, что механизм (4) являет ся манипулируемым: искажая свои истинные предпочтения, можно приблизить итоговое коллективное решение к собственному истин ному предпочтению.

Пример манипулирования со стороны избирателей можно было наблюдать в первом туре президентских выборов в России в 1996 г.

Определенное число избирателей, считавших лучшей кандидатурой Явлинского, голосовали за Ельцина (с целью предотвратить победу Зюганова).

ГЛАВА 21. УПРАВЛЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ Вернемся к экспертному опросу. Говоря более строго, г-й эксперт решает задачу т. е. пытается минимизировать разность между итоговым решением х и своим истинным мнением путем надлежащего выбора сообща емой оценки Опишем механизм выработки решения являющийся механиз мом открытого управления (т. е. неманипулируемым механизмом).

Напомним, что эксперты сообщают свои оценки Будем считать, не ограничивая общности, что оценки экспертов рас положены по неубыванию:

(этого всегда можно добиться перенумерацией экспертов).

Вычисляются п вспомогательных чисел (эти числа делят отрезок D] на п равных частей). После этого для каждого берется меньшее из двух чисел и И наконец, из всех этих минимумов выбирается наибольший, кото рый и является итоговым решением:

Можно доказать, что описанный механизм является механизмом открытого управления.

Пример 6. Пусть 6 экспертов сообщили следующие оценки из промежутка [30, 90]: 65, 90, 45, 80, 75, 90. Определить итоговое реше ние в соответствии с описанным механизмом.

Решение. Выпишем числа (здесь 21.3. ЗАДАНИЯ И ОТВЕТЫ Дальнейшее удобно изобразить в виде таблицы, в первой строке ко торой записаны упорядоченные по неубыванию оценки экспертов:

Si 45 65 75 80 90 90 70 60 50 : 45 65 70 60 50 В качастве итогового решения берется максимальное число в послед ней строке:

70.

Замечание. Во всех предыдущих рассуждениях квалификация экс пертов предполагается одинаковой. Можно в случае необходимо сти вводить коэффициенты, позволяющие учитывать мнение раз ных экспертов различным образом — принципиально это ничего не меняет, лишь несколько усложняется вычисление итогового резуль тата X*.

21.3. Задания и ответы 1. Восемь Потребителей подали Центру заявки в размере 9, 18, 15, 14, 10, 13, 7, 14. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс соста вляет 70. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

Ответ: 6,3;

12,6;

10,5;

9,8;

7;

9,1;

4,9;

9,8.

2. Распределение ресурса производится в соответствии с механиз мом обратных приоритетов. Приоритеты четырех Потребителей определяются числами 26, 18, 24, 20. Какими являются равновесные стратегии (заявки) Потребителей, если имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 50?

Ответ: 13,6;

11,3;

13,1;

11,9.

3. Распределение ресурса осуществляется в соответствии с кон курсным механизмом. Пять Потребителей сообщили Центру свои заявки: 5, 8, 6, 9, 8 и показатели эффекта: 12, 21, 18, 23, 23 соот ветственно. Как должен быть распределен между Потребителями ресурс объемом 25?

Ответ: 0;

8;

6;

0;

8.

ГЛАВА 21. УПРАВЛЕНИЕ ОРГАНИЗАЦИОННЫМИ СИСТЕМАМИ 4. Восемь Потребителей подали Центру заявки 13, 10, 16, 19, 9, 12, 14, 11. Центр располагает ресурсом объемом 100. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом откры того управления?

13;

10;

15,5;

15,5;

9;

12;

14;

11.

5. Восьми экспертам было предложено сообщить оценку объема финансирования из промежутка [0, 80]. Эксперты сообщили следую щие оценки: 45, 10, 35, 80, 65, 35, 60, 55. Определите итоговое решение при помощи механизма открытого управления.

Ответ: 45.

Глава ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Модель — это представление объекта, системы или идеи в некоторой форме, отличной от самой целостности.

Р.Шеннон 22.1. Коротко о типах Не ставя перед собой задачи дать сколько-нибудь полную классифи кацию существующих моделей, коротко опишем некоторые их типы.

22.1.1. Физические модели Так называют увеличенное или уменьшенное описание объекта или системы. Отличительная характеристика физической модели состо ит в том, что в некотором смысле она выглядит как моделируемая целостность.

Наиболее известным примером физической модели является ко пия конструируемого самолета, выполненная с полным соблюдени ем пропорций, скажем 1 : 50. На одном из этапов разработки са молета новой конструкции возникает необходимость проверить его основные аэродинамические параметры. С этой целью подготовлен ную копию продувают в специальной (аэродинамической) трубе, а полученные показания затем тщательно исследуют. Выгодность та кого подхода совершенно очевидна. И потому все ведущие самолето строительные компании используют физические модели подобного рода при разработке каждого нового летательного аппарата.

Часто в аэродинамическую трубу помещают уменьшенные копии многоэтажных зданий, имитируя при этом розу ветров, характерную для той местности, где предполагается их строительство. Пользуют ся физическими моделями и в кораблестроении.

ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 22.1.2. Аналоговые модели Так называют модели, представляющие исследуемый объект анало гом, который ведет себя как реальный объект, но не выглядит как таковой.

Приведем два достаточно характерных примера.

Пример 1. График, иллюстрирующий соотношения между за траченными усилиями и результатами, является аналоговой моде лью. График на рис. 1 показывает, как количество времени, отведен ное студентом на подготовку к экзамену, влияет на его результат.

Рис. Пример 2. Предположим, что нужно найти наиболее экономич ный способ для регулярных известных поставок товаров в три го рода, построив для этого только один склад. Основное требование:

место для склада должно быть таким, чтобы полные транспортные расходы были наименьшими (считается, что стоимость каждой пе ревозки равна произведению расстояния от склада до пункта на значения на общий вес перевозимых товаров и измеряется в тонна километрах).

Наклеим карту местности на лист фанеры. Затем в месте нахо ждения каждого города пропилим отверстия, пропустим через них нити и привяжем к ним грузики, пропорциональные запро сам товаров в этот город (рис. 2). Свяжем свободные концы нитей в один узел и отпустим. Под действием силы тяжести система придет 22.1. КОРОТКО О ТИПАХ МОДЕЛЕЙ в состояние равновесия. То место на листе фанеры, которое при этом займет узел, и будет соответствовать оптимальному расположению склада (рис. 3).

Замечание. Стоимость дорог, которые придется построить заново, мы для простоты рассуждений в расчет не принимаем.

22.1.3. Математические модели Так называют модели, использующие для описания свойств и харак теристик объекта или события математические символы и методы.

Если некоторую проблему удается перенести на язык формул, то она сильно упрощается. Математический подход прост еще и потому, что он подчиняется вполне определенным жестким правилам, кото рые нельзя отменить указом или иным способом. Сложность нашей жизни как раз и состоит в том, что многое, что в ней случается, нередко свободно от пут условностей.

Математика имеет дело с упрощенным описанием явлений. По существу, любая формула (или совокупность формул) представля ет собой определенный этап в построении математической модели.

Опыт показывает, что построить модель (написать уравнение) до вольно легко. Трудно в этой модельной и, следовательно, упрощен ной форме суметь передать суть изучаемого явления.

Для нахождения приемлемого или оптимального решения зада чи полезно знать, в чем она состоит. Как ни просто и прозрачно данное утверждение, чересчур многие <... > игнорируют оче видное (Р. Шеннон).

ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В предыдущих главах мы рассмотрели достаточное число разно образных математических моделей, детерминированных, стохасти ческих и игровых. В этой главе мы приведем примеры динамических моделей, на основании которых можно делать прогнозы на будущее и по-новому заглядывать в прошлое.

Итак, мы рассматриваем модели, в которые входят изменяющиеся во времени величины, уделяя основное внимание простейшим из них.

Дело в том, что сами модельные уравнения (модели) строятся на основе простых и зачастую почти очевидных соображений. Именно анализ предлагаемых уравнений позволяет как-то оценить степень их адекватности описываемым ими обстоятельствам.

22.2. Модель народонаселения Интересно, что построить математическую модель часто совсем трудно. Нередко для этого используются самые простые и легкообъ яснимые предположения.

Опишем, как это можно сделать, на одном почти реальном при мере.

Представим себе следующую картину. XVIII в. Цент ральная Европа, Приход в глубинке. Церковь. Прихожане — жите ли окрестных деревень. Приходский священник замечает, что храм стал тесноват для богослужений: возросло число прихожан. Свя щенник размышляет: если число прихожан будет увеличиваться и в будущем, то придется строить новую церковь, для чего понадобятся средства, и немалые.

Священик понимает, что срок, за который должен быть построен храм, и его размеры во многом зависят от того, как именно будет изменяться число окрестных жителей. И он решает попытаться рас считать Попробуем и мы изложить возможный ход его рассуждений, поль зуясь современными обозначениями и языком.

Обозначим через количество прихожан к концу n-го года. Их численность через год, т. е. к концу (п + 1)-го года, естественно обо значить через Тогда изменение численности за этот год можно описать разностью Оно происходит по двум естественным причинам — люди рождают ся и умирают (для простоты будем считать, что вирус миграций эту 22.2. МОДЕЛЬ НАРОДОНАСЕЛЕНИЯ местность тогда еще не поразил). Определить число родившихся и число умерших за год по приходским книгам особого труда не соста вляет. Подсчитывая число родившихся и умерших в разные годы, священник решает сопоставить полученные числа и с общим числом прихожан за эти годы и замечает, что отношения. ) • !

год от года различаются весьма мало. То же касается и отношений ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Тогда интересующая формула примет вид — (1) Модель построена.

Попробуем теперь разобраться с тем, что же получилось, т. е. про анализировать построенную модель.

Возможны три случая:

1) > ft > — больше, чем умирает) и численность прихожан растет год от года, 2) 1 = = 0 — умирает столько же, сколько рождается) и численность прихожан год от года остается неизменной, 3) < ~ < 0 - умирает больше, чем рождается) и численность прихожан неуклонно снижается.

Так как побудительным мотивом для построения модели было желание узнать, как быстро будет расти число прихожан, начнем с рассмотрения случая 1.

Случай 1. численность прихожан растет. Но как, насколько быстро?

Здесь самое время кратко вспомнить поучительную историю (пе чальную притчу) о безвестном изобретателе шахмат.

Говорят, что игра очень понравилась богатому и всесильному ма гарадже, который тут же решил наградить изобретателя и щедро предложил выбрать вознаграждение ему самому. Тот, как рассказы вают, смахнув фигуры с шахматной доски, положил на 1-ю клетку одно пшеничное зернышко, 2-ю два зернышка, на 3-ю — че тыре зернышка, 4-ю - восемь зернышек (рис. 4) и предложил магарадже, чтобы он отдал распоряжение слугам выкладывать зер на пшеницы другие клетки шахматной доски по предложенному 22.2. МОДЕЛЬ НАРОДОНАСЕЛЕНИЯ Магараджу эта простая просьба почти обидела, и он согласился выполнить ее далеко не сразу. Но изобретатель настаивал. Мага раджа приказал. И слуги тут же кинулись исполнять это "легкое" задание. Нужно ли говорить, что выполнить распоряжение магара джи им не удалось. Дело в том, что общее количество зерен пшеницы на шахматной доске должно было быть равным что намного превышает выращиваемое сейчас во всем мире за год.

Закончим притчу совсем коротко: магараджа оказался в непри вычном для себя положении — он прилюдно дал обещание и не смог его выполнить. Виновного, впрочем, тут же и нашли. Возможно, именно поэтому история и не сохранила имени изобретателя шахмат.

Попробуем, однако, изобразить на графике, как быстро растет число зерен в каждой следующей клетке, для большей наглядности соединяя соседние точки (рис. 5).

Правило, предложенное изобретателем шахмат, является частным случаем формулы (1) при — и, так же как и она, описывает закон, следуя которому мы получаем последователь ность чисел, образующих геометрическую прогрессию.

ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ При любом > картинка, иллюстрирующая изменение име ет похожий вид — будет расти экспоненциально.

В 1820 г. в Лондоне Т. Р. Мальтусом была опубликована работа "Principles of political economy considered with a view to their practical application" (в русском переводе — "Опыт о законе народонаселе ния..." Т. СПб., 1868), в которой, в частности, говорилось о том, что в силу биологических особенностей людей население имеет тенденцию размножаться по закону геометрической прогрессии:

= 7 > 1, в то время как средства существования могут увеличиваться лишь по закону арифметической прогрессии:

= Уп + d, d > 0.

Такое различие в скорости изменения величин, непосредственно связанных с проблемами выживаемости популяции (рис. 6), не мо гло остаться незамеченным и вызвало довольно жесткую критику и сильно политизированную полемику в соответствующих кругах.

Попробуем извлечь из самого факта критики полезный для нас вывод об адекватности построенной модели (1).

Разумеется, при попытке упрощенного описания ситуации неко торыми обстоятельствами приходится пренебрегать, считая их несу щественными. Однако единого взгляда на то, что именно существен но, а что не очень, по-видимому, нет. Можно, например, не обращать внимания на то, что начался дождик. Но согласитесь, что одно де ло пробежать под накрапывающим дождем сотню метров, и совсем другое — часовая прогулка под таким дождем без зонта.

Нечто аналогичное мы наблюдаем и здесь: при расчете на года вперед формула (1) работает достаточно хорошо, но долгосрочный прогноз, основанный на ней, оказывается ошибочным.

Важный вывод. Предлагая построенную или выбранную вами модель, вы непременно должны указать пределы, в которых ею мож но пользоваться, и предупредить о том, что нарушение этих ограни чений может привести (и, скорее всего, приведет) к серьезным ошиб кам. Коротко говоря, у каждой модели есть свой ресурс.

Покупая блузку или рубашку, мы привыкли к наличию меток, на которых указаны максимально допустимая температура глажения, дозволенные виды стирки и т. п. Это, конечно, ни в коей мере не означает, что вам запрещается, взяв докрасна раскаленный утюг, пройтись им раз-другой по ткани. Такое вы сделать можете. Но вот захотите ли вы носить блузку или рубашку после такого глажения?

22.2. МОДЕЛЬ НАРОДОНАСЕЛЕНИЯ Случай 2. Численность населения не изменяется (рис. 7).

Случай 3. Население вымирает (рис. 8).

Мы умышленно весьма подробно остановились на описании моде ли народонаселения, во-первых, потому, что она является одной из первых моделей подобного рода, и, во-вторых, чтобы на ее приме ре показать, через какие основные этапы проходит решение задачи построения математической модели.

Замечание 1. Очень часто, описывая эту модель народонаселения, привлекают ее дифференциальный вариант:

(здесь х = x(t) — зависящая от времени численность популяции, х' — производная по времени, 5 — постоянная величина).

Замечание 2. При больших значениях х конкурентная борьба за средства существования приводит к уменьшению и эта жесткая модель должна быть заменена более мягкой моделью:

в которой коэффициент 5 зависит от численности населения. В про стейшем случае эта зависимость описывается так:

где а b — постоянные числа, а соответствующее уравнение прини мает ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И мы приходим к более сложной, так называемой логистической модели, которая описывает динамику популяции уже достаточно хо рошо. Анализ логистической кривой (рис. 9) весьма поучителен, и его проведение может быть любопытно читателю.

Логистическая модель хорошо описывает и другие процессы, на пример эффективность рекламы.

22.3. Модель мобилизации Под термином политическая, или социальная, мобилизация пони мается вовлечение людей в партию или в число ее сторонников, в какое-либо общественное движение и т. п.

Вследствие того что текущий уровень мобилизации тесно связан с прошлым ее уровнем, а будущая мобилизация зависит от сегодняш них успехов пропагандистской кампании, ясно, что при построении соответствующей модели необходимо учитывать временной фактор.

Иными словами, нужно понимать, что искомая модель должна быть динамической.

Постановка задачи Отразить логику изменения уровня мобилизации в данном регионе между двумя соседними моментами времени, скажем за месяц (за год, неделю, день и т. п.).

Построение модели Примем за единицу ту часть населения, для которой мобилизация данного типа имеет смысл. Пусть — доля мобилизованного на селения в момент времени = Тогда доля немобилизованного населения будет равна 1 — (рис. 10).

22.3. МОДЕЛЬ МОБИЛИЗАЦИИ Рис. За месяц уровень мобилизации может измениться по двум основ ным причинам:

1) часть населения удалось привлечь дополнительно;

ясно, что эта величина тем больше, чем выше доля еще несагитированного населения на момент = n, и поэтому можно считать ее равной (здесь > О — коэффициент агитируемости, постоянный для дан ного региона);

2) часть населения убыла (по разным причинам);

ясно, что это уменьшает долю сагитированного населения тем больше, чем выше была эта доля на момент n, и поэтому потери, связанные с выбытием, можно считать равными (здесь > 0 — постоянный коэффициент выбытия).

Подчеркнем, что числовые параметры и отражают пропорци ональное изменение интересов, взглядов и намерений соответствую щих частей населения рассматриваемого региона.

Таким образом, изменение уровня мобилизации за единицу вре мени = равно разности между долей населения, привлеченного дополни тельно, и долей выбывшего сагитированного населения:

- - Это и есть уравнение процесса мобилизации. Модель мобилизации построена.

2S ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Последнее соотношение легко преобразуется к следующему виду:

где Замечание. Вспомогательный параметр не может быть больше вследствие того, что исходные параметры положительны.

Полученное уравнение (2) называется линейным разностным уравнением с постоянными коэффициентами.

С уравнениями подобного рода читатель, несомненно, уже не раз сталкивался, правда, по большей части в простейших вариантах.

Один из них (при описывает правило, по которому ка ждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдущего путем сложения с некоторым постоянным числом:

т. е. прогрессию.

Второй (при = 0) описывает правило, по которому каждый член последовательности, начиная со второго, получается из предыдуще го путем умножения на некоторое постоянное число:

т. е. геометрическую прогрессию.

Предположим, что начальная доля привлеченного населения известна. Тогда уравнение (2) легко решается (для определенности считаем, что 1). Имеем:

Применение модели Попробуем проанализировать возможности этой (построенной на основании простейших соображений) модели.

Начнем со случая < 1.

Для этого перепишем последнее соотношение в виде 22.3. МОДЕЛЬ МОБИЛИЗАЦИИ и, следовательно, подчинена условию О < М* < 1.

Для придания полученной формуле большей наглядности вновь воспользуемся методом координат.

На рис. 11 показаны области возможных значений вспомогатель ного параметра на рис. 12 — исходных параметров и а на рис. 13-15 — соответствующие им наборы значений при раз ных п, и М* (для удобства восприятия соседние точки (п, и (п+ соединены прямолинейными отрезками).

Случай < ~1 проиллюстрирован на рис. 16.

Конечно, на этих рисунках представлена качественная картина.

Но ничто не мешает взять вполне конкретные значения величин и и подробно рассчитать соответствующую ситуацию.

ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МОДЕЛЬ ГОНКИ ВООРУЖЕНИЙ Интересно отметить, что построенная модель, несмотря на про стоту подходов и рассуждений, довольно хорошо отражает реальные процессы. Так, предложенная модель мобилизации использовалась для изучении динамики числа голосов, поданных за демократиче скую партию в Лейк Кантри (США) в 1920-1968 гг., и оказалось, что она достаточно хорошо описывает качественные характеристи ки процесса мобилизации.

22.4. Модель гонки Рассмотрим конфликтную ситуацию, в которой могут оказаться две соседние страны, для определенности названные странами X и Обозначим через x = x(t) расходы на вооружение страны X и че рез y = y(t) расходы на вооружение страны Y в момент времени Предположение Страна X вооружается, опасаясь потенциальной угрозы войны со стороны страны Y, которая в свою очередь, зная о росте затрат на вооружение страны X, также увеличивает свои расходы на воору жение. Каждая страна изменяет скорость роста (или сокращения) вооружений пропорционально уровню затрат другой. В простейшем случае это можно описать так:

где и — положительные постоянные.

Однако написанные уравнения имеют очевидный недостаток — уровень вооружения ничем не лимитируется. Поэтому правые части этих уравнений нуждаются в естественной корректировке.

Предположение Чем больше текущий уровень расходов страны на оборону, тем мень ше скорость его роста. Это позволяет внести в предыдущую систему следующие изменения:

ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ же если эта страна не угрожает существованию данной. Обозначим соответствующие претензии через а и Ь (а и b — положительные по стоянные). В случае если постоянные а и Ь отрицательны, их можно назвать коэффициентами доброй воли.

Основываясь на всех трех предположениях, в результате получа ем следующую систему уравнений:

Модель гонки вооружений построена.

Решением полученной системы являются функции и y(t), определяемые для данных начальных условий 0 и 0 (на чального состояния гонки вооружений).

Проанализируем полученную систему, предполагая, что уровни затрат обеих стран на вооружение не зависят от времени (являются стационарными). Это означает, что МОДЕЛЬ ГОНКИ ВООРУЖЕНИЙ Прямая, заданная уравнением (а), разбивает плоскость, и началь ная точка лежит в положительной полуплоскости. В рассма триваемом случае то же справедливо и для прямой, заданной урав нением (б) (рис. 19).

Тем самым первая четверть (а нас интересует только она, так как всегда х 0 и у 0) разбивается на четыре области, которые удобно обозначить так:

Пусть начальное состояние находится в области I. Тогда выполнены неравенства (а) : + 15 > О, (б) :

- + 12 > 0, из которых следует, что скорости и у' в этой точке положительны:

х' > 0, у' > О и, значит, обе величины (х и у) должны возрастать (рис. 20).

Таким образом, с течением времени в области I решение приходит в точку равновесия.

Подобным же образом анализируя возможные расположения на чального состояния в областях II, III и IV, получим в итоге, что стабильное состояние (баланс сил) достигается независимо от на чальных уровней вооружения стран X и Y. Отличие состоит лишь в том, что если переход к стационарному состоянию из области I со провождается одновременным увеличением уровней вооруженности, ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ то из области III — их одновременным снижением;

для областей II и IV иная ситуация — одна из сторон наращивает свое вооружение, в то время как другая разоружается.

Возможны и другие случаи (рис. 21).

Интересно отметить, что возможности построенной модели про верялись на реальной ситуации — гонке вооружений перед первой мировой войной. Проведенные исследования показали, что, несмо тря на свою простоту, эта модель достаточно достоверно описывает положение дел в Европе в 1909-1913 гг.

22.5. МОДЕЛЬ ХИЩНИК - ЖЕРТВА В завершение этого раздела процитируем высказывание Т. Саати об этой модели: "Модель представляется гораздо более убедитель ной, если вместо вооружений провести на ней изучение проблем угрозы, поскольку люди реагируют на абсолютный уровень враж дебности, проявляемый по отношению к ним другими, и испытывают чувство тревоги в степени, пропорциональной уровню враждебности, которую они испытывают сами".

22.5. Модель хищник - жертва Выше рассказывалось о беспрепятственном размножении популя ции. Однако в реальных обстоятельствах популяция сосуществует с другими популяциями, находясь с ними в самых разных взаимо отношениях.

Здесь мы коротко рассмотрим антагонистическую пару хищник жертва (это может быть и пара рысь - заяц и пара божья коровка тля) и попытаемся проследить, как может изменяться со временем численность обеих взаимодействующих сторон.

Популяция жертвы может существовать сама по себе, в то время как популяция хищника — только за счет жертвы.

Обозначим численность популяции жертвы через х, а численность популяции хищника через у.

В отсутствие хищника жертва размножается согласно уравнению х' = ах, а > О, а хищник в отсутствие жертвы вымирает по закону = Хищник съедает тем больше жертвы, чем ее больше и чем более многочислен он сам. Поэтому при наличии хищника численность жертвы меняется по закону Съеденное количество жертвы способствует размножению хищника, что можно записать так:

ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Таким образом, мы получаем систему уравнений х' ахах- уху, х' == — уху, = -ру + дху, причем х 0, Модель хищник - жертва построена.

Как и в предыдущей модели, наибольший интерес для нас пред ставляет точка равновесия (х*,у*), где х* и у* — отличное от нуля решение системы уравнений Г ах — = О, + 5ху = О, = бх) = 0.

Эта система получается из условия стабильности численности обеих популяций х' у' = 0.

Координаты точки равновесия — она является точкой пересече ния прямых (рис. 22).

Начало координат 0) лежит в положительной полуплоскости относительно горизонтальной прямой, задаваемой уравнением (3), а относительно вертикальной прямой, задаваемой уравнением (4), — в отрицательной полуплоскости (рис. 23).

Тем самым первая четверть (а нас интересует только она, так как х > 0 и у > 0) разбивается на четыре области, которые удобно обозначить так:

-(+,-).

22.5. МОДЕЛЬ ХИЩНИК - ЖЕРТВА Пусть начальное состояние находится в области IV. То гда выполнены неравенства - > 0, + < О, из которых следует, что скорости а;

' и у' в этой точке должны быть разных знаков, х' > 0, у' < О, и, значит, величина х должна возрастать, а величина у убывать.

Подобным же образом анализируя поведение х и у в областях II, III и IV, получим в итоге картину, изображенную на рис. 24.

Тем самым начальное состояние Q приводит к периодическому колебанию численности как жертвы, так и хищника, так что по про шествии какого-то времени система вновь возвращается в состояние Q 25).

ГЛАВА 22. ДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Как показывают наблюдения, несмотря на свою простоту, пред ложенная модель качественно верно отражает колебательный ха рактер численности в системе хищник жертва (рис. 26).

Божья коровка Тля Рис. Рис.. Реальные наблюдения. Вмешиваться в действия непонятных нам законов природы иногда довольно опасно — применение инсектици дов (если только они не уничтожают насекомых практически пол ностью) в конечном счете приводит к увеличению популяции тех насекомых, численность которых находится под контролем других насекомых-хищников.

Случайно попавшая в Америку тля поставила под угрозу все про изводство цитрусовых. Вскоре туда же был завезен ее естественный враг — божья коровка, которая немедленно принялась за дело и сильно сократила популяцию тли. Чтобы ускорить процесс уничто жения, фермеры применили ДДТ, в результате количество тли увеличилось, что, глядя на рис. 27, нетрудно предугадать.

22.6. Заключение Построение модели опирается значительное упрощение изучае мой ситуации, и, следовательно, к получаемым на ее основе выво дам нужно относиться достаточно осторожно -- модель может не все. Вместе с тем даже весьма грубая на вид идеализация нередко позволяет глубже вникнуть в суть проблемы. Пробуя как-то влиять на параметры модели (выбирать их, управлять ими), мы получаем возможность подвергнуть исследуемое явление качественному ана лизу и сделать выводы общего характера.

Глава О ТОМ, ЧТО НЕ ВОШЛО В ЭТУ КНИГУ Предмет данной книги — применение количественных методов в управлении — не имеет четко очерченных границ. Возникают новые практические задачи, для их решения разрабатываются адекватные методы. Развитие компьютерных технологий также играет важную роль в изменении облика науки управления.

В рамках одной книги трудно осветить даже и некоторые усто явшиеся разделы. С целью как-то заполнить вынужденные пробелы мы кратко обозначим разделы, которые вполне могли бы быть вклю чены как в книгу, так и в учебный курс.

Среди детерминированных методов отметим задачи так называе мого МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ, когда требуется максимизировать (либо минимизировать) заданную целевую функ цию при некоторых заданных ограничениях. Частными случаями являются рассмотренные в этой книге задача линейного програм мирования и детерминированные модели управления запасами.

В зависимости от вида ограничений и целевой функции выде ляют задачи линейного, квадратичного, выпуклого программирова ния и др. Решение задач математического программирования обычно требует применения довольно сложного математического аппарата.

Несколько особняком стоит задача ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАМ МИРОВАНИЯ, основные идеи которого доступно изложены в кн.:

Венгпцелъ Е. С. Исследование операций — задачи, принципы, мето дология. М.: Наука, 1980.

Принятие решений при помощи приоритетов и иерархий подроб но описывается в кн.: Саати Т. Принятие решений. Метод анализа иерархий. М.: Радио и связь, 1993.

Из стохастических методов отметим весьма широко применяемую ТЕОРИЮ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (в зарубежной литературе ГЛАВА 23. О ТОМ, ЧТО НЕ ВОШЛО В ЭТУ КНИГУ обычно называемую ТЕОРИЕЙ ОЧЕРЕДЕЙ, queue theory). Ситуации, допускающие применение теории массового обслуживания, разно образны: покупатели в магазине, пациенты в приемной врача, ав томобили у автозаправочной станции, телефонные звонки на АТС и т. п. См.: Вентцелъ Е. С. Указ. соч.;

Тернер Д. Вероятность, ста тистика, исследование операций. М.: Статистика, 1976.

ТЕОРИЯ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ исходит из того, что уже в процес се построения модели необходимо учитывать опыт и предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР). В связи с этим весьма важ ными являются понятия субъективной вероятности и полезности.

О теории принятия решений можно прочитать в кн.: Исследование операций: В 2 т. / Под ред. Дж. Моудера, С. Элмаграби. М.: Мир, 1988;

Райфа Г. Анализ решений. М.: Наука, 1977.

ИМИТАЦИОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ универсальный метод ис следования систем, функционирование которых зависит от тех или иных случайных факторов (в частности, от реализации случайных величин). Имитационная модель последовательно, шаг за шагом вос производит процесс функционирования системы. Исследователь при этом имеет возможность наблюдать, какие значения принимают те или иные значимые параметры. Об имитационном моделировании см.: Е. С. Указ. соч.;

Исследование операций. Указ. соч.;

Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997.

Из многочисленных СТАТИСТИЧЕСКИХ методов обработки инфор мации в данной книге затронуты лишь некоторые. Более подробный обзор можно найти в кн.: Тюрин Ю. И., Макаров А. А. Анализ дан ных на компьютере / Под ред. В. Э. Фигурнова. М.: Инфра-М, Фи нансы и статистика, 1995 (ее второе издание носит название "Стати стический анализ данных на компьютере").

Управлению организационными системами посвящена кн.: Бур ков В. Н., Ириков В. А. Модели и методы управления организаци онными системами. М.: Наука, 1994.

ПРИЛОЖЕНИЕ Таблица Значения функции Критические значения Учебное Евгений Викторович Шикин, Александр Гедеванович Чхартишвили МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ В УПРАВЛЕНИИ Гл. редактор редакцией Художники Шувалова Компьютерная подготовка оригинал-макета Панкратьев Технический редактор Зотова Корректор В.Ф.

Художественное оформление серии выполнено Издательством Московского университета и по заказу Московского Санитарно-эпидемиологическое заключение № от 09.02.2004 г.

Подписано печать Формат Бумага офсетная. Гарнитура Печать офсетная. Усл. л. Тираж Заказ Изд. 496/9.

Издательство "Дело" 119571. пр-т Вернадского. Коммерческий 433-2510, магазин:

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.