WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||

«А.Х. Мирзаджанзаде М.М. Хасанов Р.Н. Бахтизин МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ нелинейность неравновесность неопределенность Москва Ижевск 2004 ББК 531.1 + 622.276 ...»

-- [ Страница 5 ] --

Соотношение (5.38) можно переписать в безразмерном виде g(sг ) = (Pr ), 316 Глава где fr(sг ) µно g(sг )=, fн(sг ) µго G(1- Pr ) r(Pr ) (Pr ) = B0 (Pr ) (Pr )н(Pн), P µг(Pr ), н(Pr ) = µн(Pr ), Pr =, г(Pr ) = Pнас µго µно г(Pr ), (Pr ) = B(Pr ), = гс Bо µно, µго – вязкости нефти и газа при давлении насыщения, Пас, Bо – объ емный фактор нефти при p = pнас.

Обращая функцию g(sг ), получим из (6.39) sг = (Pr )= g-1[(Pr )].

Следовательно, в режиме стационарной фильтрации газированной жидкости насыщенность газом sг в каждой точке пласта однозначным об разом связана с давлением. Это, в свою очередь, позволяет связать значе ния фазовых проницаемостей с давлением:

fг(sг ) = fг[ (Pr )], fн(sг ) = fн[ (Pr )], и линеаризировать уравнения фильтрации путем введения функции Pr H(Pr ) = Pнас (Pr )dPr, fн[ (Pr )] где (Pr ) = н(Pr ) (Pr ).

Эта функция называется псевдодавлением или (в отечественной ли тературе) функцией Христиановича.

Показано, что уравнения фильтрации газированной жидкости могут быть получены из уравнений однофазной фильтрации путем простой заме ны давления P на псевдодавление H(P). В частности, формула Дюпюи для радиального притока жидкости к скважине примет вид [19]:

Q = K[H(PRr )- H(Pc r)], (5.40) 2 k h где K =, PRr – приведенное пластовое давле R B0µно ln + S rc PR ние PRr =, Pсr – приведенное значение забойного давления, k и h – Pнас Глава 5 проницаемость и мощность пласта, R – радиус зоны дренирования сква жины, rc – радиус скважины, S – скин-фактор (предполагается, что P = PR при r = R).

Прямое вычисление функции H(Pr ) представляет собой нелегкую задачу, основные трудности которой связаны с заданием относительных фазовых проницаемостей нефти и газа. Однако вид этой функции можно определить и без вычислений, используя только отмеченный Вогелем факт существования универсальной зависимости.

Действительно, из (5.40) следует Q H(Pcr ) = 1-. (5.41) KH(RRr ) H(PRr ) Как показал Вогель, правая часть (5.41) должна зависеть не от Pc и PR в отдельности, а только от их отношения Pc PR. Это возможно, если функция H(Pr ) представляет собой степенную функцию:

H(Pr ) = PнасH1Prm, (5.42) где H1 – некоторая постоянная.

Тогда (5.41) можно переписать в виде, подобном (5.33):

~ ~ Q = 1- Pm, (5.43) если принять m Qm = KPнасH1PRr. (5.44) Значение показателя степени m можно определить из условия ра венства производных правых частей (5.33) и (5.43) в точке Pr = 1. Легко показать, что из этого условия следует m = 1,8.

Коэффициент H1 в уравнении (5.42) связан со значением относи тельной фазовой проницаемости нефти на границе зоны разгазирования.

Действительно, из определения функции H(Pr ) как интеграла с пе ременным верхним пределом Pr следует dH fн(sг ) = Pнас (5.45) dPr Pr =1-0 (Pr )н(Pr ).

Pr = Поскольку свободный газ становится подвижным только при дости жении некоторой критической газонасыщенности sг0, то на границе разга зирования происходит скачок газонасыщенности от нуля до sг0. При этом относительная фазовая проницаемость нефти скачком уменьшается от 1 до значения fн(sг0). Поскольку (1) = 1, н(1) = 1, то из (6.45) следует dH = Pнас fн(sго).

dPr Pr =1- 318 Глава С другой стороны, дифференцирование (5.24) дает dH = PнасH1m.

dPr Pr =1- Из двух соотношений следует fH (sг0).

H1 = (5.46) m ~ ~ ~ Итак, Вогелю следовало искать зависимость Q = Q(P) не в виде по ~ ~ ~ линома Q = 1- aP - bP2 с двумя эмпирическими коэффициентами a и b, а ~ ~ в виде функции Q = 1- pm с одним неизвестным параметром m. Зависи мость, предложенная Вогелем, не соответствует физическому содержанию задачи. Следует, однако, отметить, что сами по себе эти две функции весь ма близки друг к другу (см. рис. 5.17).

~ P 0, 0, 0, 0, ~ 0 0,2 0,4 0,6 0, Q Рис. 5.17. Графики универсальных индикаторных кривых, полученных по разным формулам:

– кривая Вогеля, уравнение (5.33) – кривая, полученная по уравнению (5.43) при m =1, А теперь более внимательно проанализируем структуру композитной индикаторной кривой. Пусть PR > Pнас и r – радиус зоны разгазирования вблизи скважины. Движение в области r > r можно рассмотреть как од Глава 5 нофазную фильтрацию к «укрупненной» скважине с радиусом r и забой ным давлением Pнас, поэтому здесь применима формула Дюпюи в виде B0µн0Q R PR - Pнас = ln. (5.47) 2 k h r (Предполагается, что изменением произведения объемного фактора нефти на ее вязкость при P > Pнас можно пренебречь, считая (Pr )н(Pr ) = при Pr >1 [21].) Для области разгазирования rc < r < r по аналогии с (5.40) имеем B0µн0Q r H(1)- H(Pcr ) = ln + S. (5.48) 2 k h rc Сложив уравнения (5.47) и 5.48) и учитывая соотношение R r R ln + ln = ln, r rc rc получим Q = K(PR - Pнас)+ K[H(1)- H(Pcr )].

Принимая во внимание уравнения (5.42), (5.46) и обобщая на слу чай Pc > Pнас, имеем K(PR - Pc), Pc > Pнас, 1, Q = Q + KPнас fн(sг0) Pc, Pc < Pнас. (5.49) 1- нас 1,8 Pнас Легко видеть, что угол наклона индикаторной кривой, описываемой уравнением (5.49), скачком меняется в точке P = Pнас. Действительно, dQ = -K, dPc Pc =Pнас + dQ = -Kfн(sг0).

dPc Pc =Pнас - Этот слом индикаторной кривой связан со скачком газонасыщенно сти, который, как уже отмечалось, имеет место на границе зоны разгазиро вания.

Следовательно, предположение о гладкости индикаторной кривой, которое используется при построении композитной кривой Вогеля [18], неверно.

Отметим, что это предположение ведет к завышению прироста деби та нефти, достигаемого при снижении забойного давления от Pнас до нуля, в 1 fн(sг0) раз. Поскольку относительная фазовая проницаемость нефти в области малых газонасыщенностей меняется достаточно рез 320 Глава ко fн(sг0) 0,8, то оценка прироста дебита нефти может быть завышена на 20%–30%.

Полученные выше соотношения являются, по существу, уточнением формулы Фетковича [22], который предложил аппроксимировать функцию fн (Pr ) = н на интервале 0 < Pr < 1 (0 < P < Pнас ) линейной функцией, проходящей че рез начало координат (см. рис. 5.18, прямая 1), что, как легко видеть, также приводит к степенной зависимости H от Pr вида (5.42) с m = 2.

Согласно нашему подходу функция (Pr ) аппроксимируется зави симостью (Pr ) = fн(sг0)Prm-1, (5.50) которая может быть получена путем дифференцирования (5.42) с уче том (5.46). Кривая 2 на рис. 5.18 представляет собой график функции (5.50) при fн(sг0) = 0,8 и m = 1,8.

(Pr) Pr Рис. 5.18. Аппроксимации функции (Pr ):

1 – аппроксимация Фетковича, 2 – формула (5.50) с fн(sг0) = 0,8 и m = 1, Глава 5 Как видим, основное отличие между этими зависимостями состоит в том, что аппроксимация Фетковича не учитывает скачка функции (Pr ) в точке Pr =1. Вместо этого снижение фазовой проницаемости нефти в зоне разгазирования предлагалось учитывать путем введения в уравнения при тока псевоскина [22]. Предложенный нами подход является более естест венным.

Уравнение (5.49) можно переписать в виде Q = K(PR - Pc1), где Pc, Pc > Pнас, 1, fн(sг0) Pc Pc1 =, Pc < Pнас.

Pнас 1- 1- 1,8 Pнас Таким образом, в режиме локального разгазирования увеличение фильтрационных сопротивлений за счет выделения газа может быть учте но путем замены истинного значения забойного давления эффективным давлением Pc1. Оказывается [23], что при описании взаимодействия пласта и скважины этот прием более удобен, чем общеизвестный подход, заклю чающийся в замене газированной жидкости однородной фазой с некоторой повышенной эффективной вязкостью [24].

5.4. Гиперболические законы распределения Опыт реального применения методов математической статистики достаточно быстро убеждает в том, что информация о виде функции рас пределения совершенно необходима для получения надежных и практиче ски полезных результатов. Так, в разделе 5.1 мы показали, что значение за кона распределения случайной величины позволяет (при наличии компа ратора) восстановить недостающие замеры с помощью процедуры безэта лонных измерений. Но даже при наличии эталонов объем и качество имеющихся данных, как правило, таковы, что обоснованное определение одновременно вида функции распределения и ее параметров не предостав ляется возможным. В такой ситуации рекомендуется применять непара метрические статистики, но за отказ от знания вида закона распределения приходится платить некоторой расплывчатостью ответов, получаемых не параметрическими методами. Таким образом, вопрос о виде функции рас пределения является одной из важнейших проблем практической стати стики.

Принято считать, что универсальными законами распределения, ко торым подчиняется большинство случайных величин в природе, являются 322 Глава нормальный и логнормальный законы. Некоторое теоретическое обосно вание этому убеждению дает центральная предельная теорема, но часто нормальная функция распределения используется только в силу удобства и привычности.

Б. Мандельброт показал, что не менее универсальным законом рас пределения является гиперболический [25]. Гиперболические (степенные) законы распределения являются ближайшими «родственниками» фракта лов – с этим и связана их широкая распространенность (мы уже упоминали об этом в главе 1).

5.4.1. Формы представления и свойства гиперболических зависимостей Случайная величина X называется гиберполически распределенной, если А Р(Х х) =, 0 < x <, (5.51) х где Р(Х х) – вероятность того, что X x, A, – некоторые постоянные положительные величины.

Если случайная величина дискретна, то вместо (5.51) используется соотношение А Nr(Х х) =, (5.52) х где Nr(Х х) – общее число случаев, в которых (Х х).

Предположив, что дискретные значения X ранжированы в порядке убывания, получим Nr(Х х(r))= r, где x(r) – значения x, имеющие ранг r.

Тогда, обращая (5.52), получим B x =, (5.53) (r) r где B = A1/, = 1/.

Это соотношение позволяет оценить значение случайной величины по ее рангу, т. е. оказывается еще одним примером применения порядко вых статистик (см. раздел 5.1).

Гиперболическое распределение, представленное в виде (5.51)–(5.52) называют законом Парето, в честь итальянского экономиста Вильфредо Парето, обнаружившего, что количество людей с доходом, превышающим некоторую величину x, уменьшается с ростом x гиперболически.

Дискретный закон распределения в форме (5.53) впервые ввел Джордж Ципф для описания частоты употребления в текстах слов различ Глава 5 ной величины. Й. Корчак показал, что закону (5.53) подчиняется также распределение числа озер [25].

Согласно (5.51) при х 0 Р(Х х). Но эта расходимость не существенна, поскольку реальные величины (доходы граждан, длина слов, размеры островов) всегда имеют ограничения снизу (и сверху). В этом смысле соотношения (5.51)–(5.53) имеют промежуточно-асимптотический характер.

Как уже отмечалось в главе 1, гиперболические зависимости мас штабно-инвариантны. Для уточнения этого утверждения рассмотрим ус ловное распределение g(x, x0)= P(X x X x0), определяющее вероятность того, что X x при условии X x0. Посколь ку, по правилу умножения вероятностей, P(X x) = P(X x X x0) P(X x0), то (x) g(x, x0) = (5.54) (x0), где (x) = P(X x).

Функция g(x, x0) при различных значениях x0 соответствует раз личным уровням рассмотрения исследуемой системы. Так, если речь идет о доходах, то функция g(x, x0) определяет распределение доходов среди населения, уровень жизни которого выше предела, определяемого величи ной x0.

Распределение доходов будет масштабно-инвариантным, если функ ции g(x, x0) при разных x0 подобны друг другу, т. е. если g(x, x0) зависит не от x и x0 в отдельности, а только от их безразмерной комбина ции х / х0 :

x g(x, x0) = g1.

x Подставив сюда x0 =1, имеем (x), g1(x) = (1) откуда (x) (x / x0).

= (5.55) (x0) (1) Прологарифмировав (5.55) и осуществив преобразование ln = U(z), z = ln x, получим U(z)-U(zo) = U(z - z0)-U(0), (5.65) где z0 = ln x0.

324 Глава Переходя к пределу z0 z, из (5.56) можно получить U (z) = U (0) = const, что возможно, если только функция U(z) линейна:

U(z) = a + bz или ln (x) = a + b ln x, откуда и следует (5.51) с A = ea, = -b.

Таким образом, гиперболическое распределение (и только оно) удовлетворяет условию масштабной инвариантности (5.55).

Легко видеть, что условное распределение g(x, x0) имеет вид 1, x < x g(x, x0) = Р(X x x x0)=.

x, x x x Соответствующая функция плотности распределения определяется как 0, x < x dg(x, x0) -( +1) f (x) - =. (5.57) x dx, x x x0 x В какой-то мере универсализм гиперболических распределений можно объяснить тем, что они характерны для систем, образование кото рых контролируется процессами кластеризации. А этот механизм доста точно широко распространен в природе [26]. Так, в социологии давно из вестен феномен, который можно выразить словами «успех порождает ус пех». Часто употребляемые слова становятся все более употребительными, крупные города разрастаются быстрее, часто цитируемые статьи все чаще цитируются и т. д. Все это – примеры социальной кластеризации, феноме на, которому Р. Мертон дал название «эффект Матфея», имея в виду биб лейское изречение «имущему дается».

Гиперболическая функция описывает резко неоднородное, асиммет ричное распределение. Покажем это, воспользовавшись координатами Ципфа.

Пусть (х(1), x(2),...x(N )) – ранжированная в порядке убывания выбор ка значений аддитивной величины x, распределенной по закону (5.53), N – объем выборки, (n) – сумма первых n значений х (n = 1, 2,..., N);

(r) – сумма всех значений x :

n (n) = X(r), = (N).

r = Глава 5 Введем безразмерные переменные n (n), =.

µ = (N) N Легко видеть, что величина µ представляет собой долю, «накоп ленную» в результате n реализаций, а – соответствующая доля реализа ций. Так, если говорить о доходах, то µ есть доля совокупных доходов, принадлежащих -й части населения;

если объем выборки велик, то сумму можно заменить интегралом и считать n >> 1. Тогда, в предположе нии < 1, получим n B B B = dr = (n1- -1) n1-, 1- 1- r откуда µ =1-.

График этой зависимости при = 0,85 (значение, характерное для распределения доходов) представлен на рис. 5.19 (кривая ACB ). Этот гра фик (так называемая кривая Лоренца) наглядно показывает неравномер ность распределения, описываемого гиперболическим законом: уже при малых значениях величина µ близка к единице. Так, при = 0, µ = 0,8. На примере распределения доходов это означает, что всего лишь 20% населения получают 80% доходов, в то время как остальные 80% имеют всего лишь 20% доходов. В более общем виде это правило, назы ваемое принципом Парето, формулируется так: «В больших системах 80% случаев вызываются 20% причин и наоборот». Следует отметить, что граничные значения 80% и 20% достаточно условные, поскольку при дру гих значениях это может быть 90% и 10% или 70% и 30% и т. д.

Легко видеть, что абсолютно равномерное распределение доходов описывается прямой АВ ( = 0). Чем сильнее кривая Лоренца отклоняет ся от прямой АВ, тем больше неравномерность распределения, поэтому мерой неоднородности может служить величина SАСВА L =, SАВЕ представляющая собой отношение площади криволинейной фигуры ACBA к площади треугольника ABE. Эта величина называется коэффициентом Лоренца (или Джини [27]). Поскольку SАВЕ = 0,5 и 1 SАСВА = -, 1- d - SАВЕ = 2 - 326 Глава то L =.

2 - Очевидно, что 0 < L <1.

µ B C 0, 0, 0, 0, E A 0 0,2 0,4 0,6 0, Рис. 5.19. Кривая Лоренца Следует подчеркнуть, что коэффициент Лоренца определяется по интегрированным данным, поэтому эта величина устойчива к погрешности данных, что является общим свойством всех интегральных методов (см.

раздел 2.1.3).

Ограничение < 1, принятое нами, не является обязательным. Соот ношения, подобные полученным выше, могут быть выведены и при >1, если считать выборку ограниченной (N < ). Правда, полученные при этом формулы будут несколько сложнее.

5.4.2. Закон Парето в оценке запасов углеводородов Начиная с работы Крига [28], было принято считать, что распределе ние запасов минеральных богатств, включая нефть и газ, подчиняется лог нормальному закону. Однако в 1962 г. Б. Мандельброт показал, что это Глава 5 распределение является гиперболическим [29] и в ранговом виде может быть выражено в виде A r = (5.58) V или ln r = ln A - lnV, где V – запасы природных ресурсов в месторождении, имеющем ранг r в упорядоченном (по убыванию запасов) множестве всех месторождений данного региона.

Таким образом, в двойных логарифмических координатах (ln r - lnV ) мы получаем прямую, типичный вид которой представлен на рис. 5.20. Для месторождений нефти и газа обычные значения лежат в интервале от 0,8 до 1,1 [29].

Гиперболичность распределения запасов объясняется тем, что рас положение «ловушек» нефти и газа во многом определяется рельефом, а любой природный рельеф является масштабно-инвариантным. В распреде лении запасов проявляется и кластеризация. Например, некоторые регионы мира, такие Средний Восток или Западная Сибирь, содержат непропор циональные большие запасы нефти по сравнению с другими регионами.

В то же время, распределение запасов в самих этих регионах также крайне неравномерно.

ln r ln V Рис. 5.20. Зависимость ранга месторождения от величины запасов Следует отметить, что гиперболическое распределение запасов ста новится явно видным только для хорошо разведанных регионов. Дело в том, что форма распределения разведенных запасов меняется по мере от крытия новых месторождений (см. рис. 5.21). Как правило, вначале откры 328 Глава ваются наиболее крупные месторождения, а затем – все большее число мелких месторождений. По этой причине на ранней стадии распределение разведанных запасов напоминает логнормальное (см. кривую для момента времени t0 на рис. 5.21). Со временем, по мере увеличения числа откры тий, кривая распределения все больше приближается к гиперболе. Правая ветвь кривой распределения меняется мало. Это означает, что после нако пления достаточного объема информации закон Парето может быть ис пользован для оценки объема запасов, оставшихся к какому-то моменту времени неоткрытыми. Линия AB на рис. 5.22 делит разведанные место рождения на две категории. Месторождения первой категории (справа от линии AB) хорошо разведаны, поэтому они подчиняются закону в коорди натах lnV - ln r и ложатся на прямую CA. Месторождения второй катего рии (они расположены слева от прямой AB) открыты на все, поэтому представляющие их точки отклоняются от прямой CA. Продолжив пря мую CA, мы можем оценить величину неоткрытых еще запасов (область на рис 5.22). Подчеркнем, что эта возможность неразрывно связана с мас штабной инвариантностью иерархии запасов. Только то обстоятельство, что распределение мелких месторождений подобно распределению круп ных, позволяет нам, «обучившись» на примере уже открытых месторожде ний, сделать обоснованный прогноз запасов еще неоткрытых месторожде ний. При этом закон Парето становится полезным инструментом количест венной оценки величины неразведанных запасов.

t0 + t t1 + t t0 + t t t t Размер месторождения Рис. 5.21. Распределение размеров разведанных месторождений Число открытий Глава 5 ln r D E A C ln V B Рис. 5.22. Зависимость ранга разведанных месторождений от запасов.

1 – запасы, подчиняющиеся закону Парето;

2 – запасы из категории недоразведанных;

3 – неоткрытые запасы.

Оценки запасов, полученные с помощью закона Парето, превышают прогнозные значения, которые дает применение логнормального закона, поскольку гиперболическое распределение допускает существование большого числа мелких месторождений.

Фрактальность распределения запасов нефти и газа может быть под тверждена с помощью анализа пространственного распределения «сухих» скважин и скважин, в которых был зарегистрирован приток углеводоро дов [29]. Для этого карта расположения скважин в некотором регионе де лится на квадратные ячейки с длиной стороны и подсчитывается общее число N ячеек, в которые попадает хотя бы одна продуцирующая («даю щая» нефть или газ) скважина. При уменьшении число N растет по за кону N ~, D где D – фрактальная размерность (обычно D 1,5).

Отметим, что если бы запасы были распределены равномерно, то ве личина D была бы равна в точности двум.

330 Глава Фрактальные представления все глубже проникают в нефтяную нау ку, революционным образом изменяя мышление ученых и инженеров. Не которое представление об этом процессе может дать динамика числа пуб ликаций с применением теории фракталов (см. рис. 5.23, построенный по данным до 1992 г., взятым из [29]). Как мы видим, начиная с 80-х годов наблюдается взрывоподобный подъем интереса к фракталам в физике и химии. Рост числа статей в науках о Земле и нефтяном деле слегка запаз дывает, но совершенно очевидно, что интерес геологов, геофизиков и неф тяных инженеров к теории фракталов будет стремительно расти по мере того, как они будут осознавать ее пользу.

1978 1980 1982 1984 1986 1988 год Рис. 5.23. Динамика числа статей и книг, в которых используется теория фракталов 1 – в физике, 2 – в химии, 3 – в нефтяном деле и науках о Земле.

5.4.3. Коэффициент охвата сеткой скважин фрактально-распределенных запасов нефти Все нефтяные залежи в той или иной степени прерывисты, т. е. со стоят из множества нефтенасыщенных песчанистых тел (линз), отделен ных друг от друга непроницаемыми породами.

Число публикаций ( в год ) Глава 5 Ясно, что в этих условиях полнота извлечения нефти тем больше, чем плотнее сетка пробуренных скважин. Для количественной оценки во влеченности запасов нефти в разработку вводят так называемый коэффи циент охвата пласта сеткой скважин Кс, определяемый как Vc Кс =, V где V0 – суммарный объем нефтенасыщенных песчанистых тел, Vc – объ ем коллекторов, вовлеченных в разработку пробуренными скважинами.

Прерывистый пласт обычно моделируют случайным образом распо ложенными песчанистыми линзами характерного размера l. Показано, что при этом коэффициент охвата сеткой Кс экспоненциально зависит от плотности сетки скважин [31, 32]:

Кс = e-aS / l2, (5.59) где S – площадь пласта, приходящаяся на одну скважину, a > 0 – посто янный коэффициент.

Однако моделирование прерывистых пластов с помощью «набора» линз одного характерного размера не позволяет адекватным образом учесть фрактальность их строения.

Как известно, геологические структуры образовались в результате бесчисленных повторений растяжений, сжатий, подъемов, опусканий, пе редвижения продуктов эрозии на протяжении миллионов лет. На примере преобразования пекаря (см. раздел 1.1) мы уже видели, что подобные про цессы всегда приводят к образованию фракталов. Поэтому прерывистость пластов фрактальна, и вместо набора линз одного размера мы имеем мас штабно-инвариантную иерархию линз различного размера, распределен ных по закону Парето.

Предположим, что для каждого уровня иерархии характерна экспо ненциальная зависимость коэффициента охвата запасов от плотности сетки скважин, подобная (5.59). Тогда коэффициент охвата сеткой скважин всего пласта будет представлять собой сумму экспонент, взятую по всем видам иерархических уровней. Перейдя от суммы к интегралу, по аналогии с раз делом 3.3 получим l max Kc = w(l)e-aS / l2 dl, l min где w(l)dl – доля общего объема коллекторов пласта, приходящаяся на линзы с размерами от l до l + dl, lmin и lmax – нижняя и верхняя грани цы изменения l.

Предполагая, что распределение линз-коллекторов определяется за коном Парето, примем A w(l) =, l 332 Глава откуда l max Kc = A1 1 exp(- aSl-2)dl. (5.60) l l min Величина 1 связана с показателем степени в (5.58).

Действительно, w(l) dl = w1(V ) dV, (5.61) где w1(V ) – плотность распределения по объему, а величины V и dV соот ветствуют l и dl.

Согласно разделам 5.4.1, 5.4.2 w1(V ) ~, где 1.

V + Для фрактальных объектов обычные соотношения между объемом и длиной (V ~ l3) принимают вид [25] DV V ~ l, где DV – дробная размерность ( DV 3 ).

DV - С учетом этого d ~ DV l dl и (5.61) можно представить в виде DV lDv-1 DV dl w(l) dl ~ dl =.

DV ( +1) DV + l l Таким образом, 1 = DV +1.

Поскольку 1, DV 3, то 1 4. Подстановкой l = zaS инте грал (5.60) сводится к типу интегралов, асимптотика которых при боль ших aS может быть получена методом Лапласа. После не очень громозд ких вычислений можно получить So S Кс, >> 1, (5.62) S S 1/ 1 -1 1/ где =, S0 = A1, e – основание натурального лога 2 ae рифма.

Таким образом, в прерывистом пласте с фрактальной структурой ко эффициент охвата сеткой уменьшается с уменьшением плотности сетки скважины не по экспоненциальной, а по более медленной степенной зави симости. Наиболее зримо различие между (5.59) и (5.62) проявляется в по ведении относительной скорости изменения коэффициента охвата 1 dКс = -.

Кс dS Легко видеть, что для экспоненциальной зависимости = сonst, в то время как для (5.62) = 0 при S.

S Глава 5 Следовательно, влияние плотности сетки скважины на коэффициент охвата велико только при малых S. При увеличении расстояния между скважинами зависимость Кс от S выполаживается. Надо сказать, что этот факт уже отмечался некоторыми исследователями. Для учета переменно сти вместо (5.59) предлагается использовать «растянутую» экспоненту c Кс = e-aS, 0 < c < 1.

Обратите внимание, что это – не что иное, как закон Кольрауша, имеющий самое прямое отношение к фрактальным структурам (см. раз дел 3.2). Из нашего рассмотрения следует, однако, что более правильным будет использовать степенную зависимость (5.62).

5.4.4. Закон Парето в нефтегазодобыче Гиперболический закон описывает не только распределение запасов, он характерен также для многих систем и процессов, связанных с добычей нефти и газа. Наиболее ярко это проявляется в асимметричности многих показателей разработки, приводящей к закономерностям, подобным прин ципу «80%–20%» Парето. Например, основная часть притока жидкости в скважину обычно поступает из пропластков, занимающих лишь малую часть всей продуктивной мощностью пласта. Анализ фонда скважин пока зывает, что обычно небольшая часть скважин (20%–30%) обеспечивает «львиную» долю общей добычи (80%–70%) месторождения. Распределе ние скважин по дебиту нефти описывается, как правило, законом Парето (см. типичный пример на рис. 5.24).

m ln m 80 40 0 15 35 55 33,4 3, Qн ln Qн а) б) Рис. 5.24. Распределение скважин по дебиту нефти а) гистограмма зависимости числа скважин m от дебита нефти Qн ;

б) зависимость ln m от ln Qн 334 Глава Выделение на основе принципа Парето основных объектов, являю щихся определяющими для данного технического процесса, позволяет правильно планировать и организовать необходимые геолого-технические мероприятия. Например, анализ бездействующего фонда скважин с ис пользованием закона Парето позволяет выделить 20%–30% скважин, опре деляющих основную долю «отложенной» добычи и подлежащих перво очередному ремонту.

Закон Парето может послужить основой для построения некоторых диагностических процедур. Так, если рассматриваемая выборка неодно родна, то в логарифмических координатах мы получим не одну, а несколь ко прямых. При этом точки, лежащие на одном отрезке, можно считать принадлежащими одной выборке. Для примера на рис. 5.25 приведена за висимость между коэффициентом нефтеотдачи и рангом месторождения в упорядоченной (по значениям ) выборке из 61 залежи Волго-Уральской нефтегазоносной провинции. Как видно из рисунка, выделяются два пря молинейных участка, что соответствует двум типам месторождений. По добные разбиения могут служить основой для дифференцированного под хода к оптимизации разработки месторождений различного типа.

-ln ln r Рис. 5.25. Зависимость логарифма коэффициента нефтеотдачи от логарифма ранга месторождения На рис. 5.26 приведены зависимости логарифма дебита нефти сква жины от логарифма ее ранга, построенные для одного из участков место рождения Саматлор, до и после обработки скважин этого участка поли мернокислотным реагентом в целях интенсификации добычи. Как видим, скважины участка подразделяются на две группы – высокодебитных и низ кодебитных скважин, – которые по-разному реагируют на проведенную обработку. Заметный положительный эффект получен только на скважи нах второй группы, поэтому при применении этой технологии интенсифи Глава 5 кации на других участках месторождения следует вначале разбить скважи ны на две группы, используя координаты Парето, и проводить обработку только на скважинах второй группы.

ln Qн ln r Рис. 5.26. Зависимость логарифма дебита Qн скважин от логарифма ранга r :

– до обработки (прямая 1);

– после обработки (прямая 2) Одной из целей оптимизации разработки нефтяных месторождений является достижение однородности режимов работы скважин и выработки запасов нефти. Поэтому построение кривых Лоренца (см. раздел 5.4.1) в координатах «доля скважин» – «доля добычи» может оказаться весьма по лезным инструментом для оценки неоднородности работы фонда скважин, а также для оценки изменения неоднородности после проведения тех или иных мероприятий. Количественные оценки могут быть получены путем вычисления значений коэффициента Лоренца (Джини).

Кривая Лоренца может быть использована также для оценки неодно родности строения пласта [33, 34]. Пусть ki, mi, hi (i = 1, 2,..., N) – прони цаемость, пористость и мощность i -го пропластка в разрезе пласта. Ран жируя пропластки в порядке убывания проницаемости, получим упорядо ченную выборку {k(i), m(i), h(i)}, с помощью которой вычислим частичные суммы n n k m (i)h(i) (i)h(i) i=1 i= µ = и v =, n = 1, 2,..., N.

N N k m (i)h(i) (i)h(i) i=1 i= В случае однофазной фильтрации величина µ имеет смысл доли фильтрационного потока, притекающей к скважине через поры, занимаю щие долю от общего объема пор, вскрытых данной скважиной.

336 Глава Для примера, на рис. 5.27 приведена кривая Лоренца, характери зующая послойную неоднородность одного из участков пласта А4-6 Ма монтовского месторождения.

µ 0, барьеры 0, высокопроницаемые 0,4 интервалы 0, 0 0,2 0,4 0,6 0, Рис. 6.27. Кривая Лоренца для неоднородного пласта 1 – Кривая Лоренца (L = 0,73);

2 – зависимость µ от для статиграфически упорядоченных данных;

– ранжированные данные;

– неранжированные данные.

Как видим, 80% притока к скважине обеспечивается всего лишь 25% общей мощности пласта, что объясняется большой неоднородностью пла ста (L = 0,73). На рис. 5.27 приведена также кривая µ = µ(v) (кривая 2), полученная для тех же данных, упорядоченных не по проницаемости, а стратиграфически (т. е. согласно глубине залегания). В работе [35] такие кривые предложено использовать для выделения так называемых «элемен тов потока» (flow units) – интервалов с более или менее однородными свойствами. Так, на кривой 2 хорошо видны высокопроницаемые интерва лы и интервалы, образованные низкопроницаемыми породами (барьеры).

Глава 5 Подобные кривые могут оказаться очень полезными при обосновании не обходимого числа слоев при создании трехмерных гидродинамических моделей.

Обратим внимание на то, что кривая 2 выглядит более изломанной, чем кривая 1, хотя они обе получены в результате интегрирования дан ных. Следовательно, ранжирование, используемое при построении кривой Лоренца, еще более «сглаживает» данные. В этом смысле операция ранжи рования сама по себе подобна операции интегрирования. Это и понятно, поскольку при определении ранга единичного значения нужно «просмот реть» всю выборку.

5.5. Нечеткие алгоритмы принятия решений Как правило, принятие решений при управлении процессами разра ботки нефтяных месторождений (в частности, при определении желатель ности проведения или при оценке эффективности того или иного геолого технического мероприятия) не может быть произведено с помощью одного единственного критерия (показателя эффективности). Так, при рассмотре нии вопроса об остановке высокообводненных скважин следует принять во внимание не только величину обводненности продукции, но также гидро динамические последствия, связанные с перераспределением фильтраци онных потоков воды и возможным «запечатыванием» запасов нефти. Еще один пример: анализ промысловых данных показывает, что эффективность ОПЗ скважин существенно зависит от большего числа геолого-геофизичес ких (степень неоднородности пласта по разрезу, доля наиболее продуктив ного прослоя в общей продуктивности) и промыслово-технологических (дебит нефти, обводненность продукции, темпы изменения дебитов нефти и жидкости) факторов, учет которых необходим при выборе скважин для проведения мероприятий.

Таким образом, типичной для задач контроля и управления процес сами разработки месторождений является многокритериальность – нали чие ряда показателей W1, W2,..., Wn, одни из которых желательно обратить в максимум, другие – в минимум. Существенной особенностью многокри териальных задач является невозможность нахождения решения, одновре менно удовлетворяющего всем критериям. Решение, обращающее в мак симум один какой-то показатель, как правило, не обращает ни в максимум, ни в минимум другие. В такой ситуации математический анализ позволяет решить только ограниченную задачу «выбраковки» из множества возмож ных решений заведомо неудачных, уступающих другим по всем критериям решений. В результате отбрасывания заведомо непригодных решений об разуется так называемое множество Парето – совокупность решений, ха рактерных тем, что ни для одного из них не существует доминирующего 338 Глава (лучшего по всем показателям сразу) решения. Таким образом, математи ческий анализ сужает область, в которой ищется решение, делает ее более обозримой. Окончательный же выбор в пользу того или иного варианта из множества Парето должен осуществить человек, способный взять на себя ответственность за принятое решение (такого человека принято называть ЛПР – Лицо, Принимающее Решение (см. раздел 2.4)).

Однако в тех случаях когда решение приходится принимать много кратно (при анализе режимов работы большего числа скважин, например), или же когда выбор решения передается автоматизированным системам управления, необходимо выработать некоторые формальные правила, применяемые без участия человека. Эти правила основываются на эври стических методах принятия компромиссных решений и обобщают опыт, интуицию специалистов в данной области (экспертов). Как правило, фор мализация процедур принятия решения осуществляется путем сведения многокритериальной задачи к однокритериальной, т. е. путем составления обобщенного критерия W, являющегося какой-то функцией критериев Wi.

Часто в качестве обобщенного показателя применяют взвешенную сумму частных критериев, в которую каждый из них входит с каким-то весом i, отражающим его важность:

W = Wi.

i Веса i подбираются с учетом мнения экспертов.

Еще один способ решения многокритериальных задач связан с ис пользованием теории нечетких множеств.

Пользуясь операциями пересечения, определенными в теории нечет ких множеств, обобщенный критерий W можно представить в виде W = max min[µ1(W1), µ2(W2),..., µn(Wn)], a или W = max µ1(W1) µ2(W2)... µn(Wn), a или W = max[µ1(W1)µ2(W2)... µn(Wn)]1/ n, a где a – множество возможных решений, µi(Wi ) – функция принадлежно сти нечеткого множества «оптимальное значение критерия Wi ».

Специального рассмотрения требует вопрос об оптимальном числе критериев, учитываемых при принятии решения. Очень часто, стремясь получить более точный результат, пытаются учесть как можно больше факторов, однако это может привести к противоположному эффекту – рез ко снижается надежность и достоверность выводов, поскольку, как прави ло, степень понимания явления уменьшается с увеличением числа пере менных, фигурирующих в его описании. Поэтому из всего многообразия критериев следует выделить главные, наиболее влияющие, и принимать решения только с учетом этих критериев.

Глава 5 5.5.1. Формализация процедур принятия решения при планировании геолого-технических мероприятий Оптимизация работы фонда скважин подразумевает проведение на них (по мере необходимости) широкого спектра геолого-технических ме роприятий (ГТМ), таких, например, как:

- интенсификация притока;

- контроль воды (снижение обводненности продукции);

- вывод скважины из бездействия;

- перевод скважины на другой объект эксплуатации;

- зарезка второго ствола;

- уплотняющее бурение;

- бурение скважин-дублеров;

- остановка скважины и т. д.

При подготовке решений о проведении этих ГТМ должны быть уч тены следующие критерии:

- величина остаточных запасов нефти, сосредоточенных вблизи скважины (отдельно по всем объектам разработки, через которые проходит данная скважина);

- степень послойной и зональной неоднородности пласта;

- соответствие обводненности продукции степени выработки пласта;

- характеристики работы близлежащих скважин;

- динамика продуктивности скважины;

- история обводнения продукции скважины;

- обеспеченность отбора закачкой;

- вероятность успеха планируемого ГТМ;

- экономическая эффективность ГТМ.

Комбинируя эти критерии с помощью нечетких алгоритмов, можно создать обобщенные критерии целесообразности проведения различных ГТМ.

Так, принятие положительного решения о проведении водоизоляци онных работ в добывающей скважине возможно, если выполняются сле дующие условия:

- обводненность продукции высока;

- степень выработки запасов мала;

- неоднородность пласта велика.

Формализация этого нечеткого правила может быть осуществлена в виде требования максимизации критерия W = µ1(B)µ2(Vост)µ3(L), (5.63) где µ1(B), µ2(Vост), µ3(L) – функции принадлежности нечетких термина лов «высокая обоводненность продукции B », «большие остаточные извле кающие запасы Vост » и «высокая послойная неоднородность пласта L0» соответственно.

340 Глава Функцию µ1(B) можно задать в виде 0, В < B B - B µ1(B) =, B0 B Bm, (5.64) Bm - B 1, B > Bm где B – доля воды в продукции, B0 и Bm – значения обводненности, при нимаемые экспертами безусловно малыми и безусловно большими (на пример, B0 = 0,5, Bm = 0,9 ).

Аналогично можно задать Vост, Vост Vm, µ2(Vост) = Vm 1, Vост > Vm, где Vост – остаточные извлекаемые запасы в области дренирования сква жины, Vm – значение Vост, признаваемое безусловно большим, и 0, L < L L - L0 µ3(L) =, L0 L Lm, Lm - L 1, L > Lm где L – коэффициент Лоренца, характеризующий послойную неоднород ность пласта (см. раздел 5.4.4), L0, Lm – значения L, характерные для практически однородного и очень неоднородного пласта (обычно L0 = 0,5, Lm = 0,9 ).

Вычислив значения критерия (5.63) для всех высокообводненных скважин, можно затем отранжировать их по величине W, что дает воз можность выделить наиболее перспективные скважины и включить их в график работ ремонтных бригад.

5.5.2. Карты целесообразности проведения мероприятий («алгебра карт») Аппарат теории нечетких множеств позволяет также решить задачу визуализации информации, используемой при подготовке и принятии ре шений. В своей повседневной работе нефтяники широко используют кар ты, отображающие распределение анализируемых параметров по площади месторождения (карты проницаемости, давлений, нефтенасыщенности, не однородности пласта и т. д.). При решении многокритериальных задач не обходимо построить карты по всем критериям. Совместный анализ всех этих карт (расположенных рядом) затруднителен как по чисто техниче Глава 5 ским причинам, так и потому, что рассматриваемые параметры, как прави ло, разнородны и разномасштабны. Вместо этого можно построить карту обобщенного показателя, учитывающего все критерии, и анализировать лишь одну эту карту.

Таким образом, нечеткие множества позволяют осуществить «нало жение» различных карт друг на друга. Согласно операциям объединения и пересечения нечетких множеств карты могут складываться и умножаться, то есть аппарат нечетких множеств позволяет ввести «алгебру карт».

Пакеты программ, реализующие такую «алгебру», могут с успехом использоваться при мониторинге процессов разработки, а также в проект ной работе – при анализе истории эксплуатации и подготовке расчетных вариантов.

Так, при планировании работ по применению потокоотклоняющих технологий с целью повышения нефтеотдачи пласта могут быть использо ваны карты распределения обобщенного критерия WB = µ1(B) µ2 ( ), (5.65) где µ1(B) и µ2() – функции принадлежности к нечетким множествам «высокая обводненность продукции B » и «малая выработка пласта ».

Функция µ1(B) задается выражением (5.64), а функцию µ2( ) мож но определить соотношением µ2( ) =, где = h h0, h0 и h – начальная и текущая нефтенасыщенная толщина пласта.

Карта целесообразности проведения потокоотклоняющих работ (карта WB ) получается в результате совмещения трех первичных карт об водненности, начальных и остаточных нефтенасыщенных толщин.

На рис. 5.28 приведены карты WB для двух участков Мамонтовского месторождения (ОАО «Юганскнефтегаз»), построенные перед проведени ем на этих участках работ по закачке большеобъемных гелевых систем (БГС) – оторочек полиакриламида со сшивателем – фирмой «Технология сервис».

Как видно из этого рисунка, значения обобщенного критерия WB на первом участке значительно выше, чем на втором. Неудивительно, что за качка БГС на первом участке дала великолепные результаты, в то время как применение этой потокоотклоняющей технологии на участке 2 прак тически ничего не дало. Отметим также, что большинство скважин, поло жительно отреагировавших на закачку БГС, находятся в областях со зна чениями WB > 0,6. Следует подчеркнуть, что карты WB можно использо вать не только для выбора участков воздействия, но и при подборе кон кретных нагнетательных скважин, в которые следует закачать реагент.

342 Глава а) б) Рис. 5.28. Карты целесообразности применения потокоотклоняющих технологий а) участок 1, б) участок 2.

+ - – нагнетательные скважины;

+ – обработанные нагнетательные скважины;

– добывающие скважины, положительно отреагировавшие на применение БГС;

– добывающие скважины, слабо отреагировавшие на применение БГС;

– добывающие скважины, отрицательно отреагировавшие на применение БГС;

– добывающие скважины, не входящие в область реагирования, либо длительное вре мя находящиеся в бездействующем фонде.

Критерий WB позволяет получить и некоторые количественные оценки. Так, на рис 5.29 приведена зависимость удельного технологиче QH ского эффекта = (отношения дополнительной добычи нефти QH QH к базовой добыче нефти за период существования эффекта QH ) от сред него значения WB, полученная обработкой результатов закачки БГС на не скольких участках Мамонтовского месторождения. Эта зависимость с уче том практического ограничения 1 может быть описана соотношением 0, WB < 0,2, 2µ = - 0,4, 0,2 WB 0,7, 1, WB > 0,7.

Анализ проведенных обработок показал также, что «коэффициент полезного действия» полимера, определяющий массу дополнительно до бытой нефти на одну тонну полимера, линейно увеличивается с увеличе нием WB :

QH = 1700 WB, M где M – масса закачанного полимера.

Глава 5 0, 0, 0 0,2 0,4 0,6 0, WB Рис. 5.29. Зависимость удельного технологического эффекта от среднего значения обобщенного критерия WB.

Эти соотношения могут быть использованы для определения необ ходимого объема закачки реагента на участках, перспективных с точки зрения закачки БГС. Расчет WB, таким образом, позволяет не только вы брать участки для проведения обработок, но и оценить их ожидаемую тех нологическую эффективность.

5.6. Принятие решений в условиях неопределенности как игра с природой Наука о разработке нефтяных месторождений является одной из немногих прикладных наук, имеющих дело с системой, которую в целом нельзя ни увидеть, ни взвесить, ни измерить, ни исследовать.

Ф. Крейг В настоящее время инженеры всех нефтедобывающих предприятий вооружены методиками расчетов и компьютерными программами, позво ляющими осуществить грамотный дизайн планируемых геолого-техничес ких мероприятий. Однако это не означает, что принятие решений в нефте газодобыче становится рутинной деятельностью, не требующей особо изощренного ума. Основные проблемы, с которыми сталкиваются инжене 344 Глава ры-нефтяники в повседневной работе, связаны с тем, что параметры пла ста, входящие в расчетные формулы, как правило, неизвестны или извест ны с очень большой погрешностью. Таким образом, часто решения прихо дится принимать в условиях неопределенности.

Ранее этому обстоятельству не уделяли должного внимания, но в на стоящее время анализу неопределенности и рисков, связанных с неопреде ленностью, придается все большее значение. С точки зрения качества имеющихся данных выделяют следующие три условия принятия решений:

- в условиях определенности, когда данные известны точно и в полном объеме;

- в условиях риска, когда случайные данные можно описать в терминах теории вероятности, а основным критерием является математическое ожидание параметра, определяющего качество решения;

- в условиях неопределенности, когда имеющиеся данные трудно или не возможно классифицировать по степени значимости и когда к случай ным величинам нельзя применить аппарат теории вероятностей, по скольку неизвестны функции распределения или другие статистические характеристики этих величин.

Приведенное уточнение терминов весьма полезно, поскольку часто в этом вопросе происходит путаница понятий. Так, иногда анализ неопреде ленности проводят методом Монте-Карло, «разыгрывая» случайные реали зации значений некоторых параметров согласно заданным функциям рас пределения вероятностей. Очевидно, что тем самым задача переводится на уровень решения в условиях риска. В реальности же, как правило, имеет место существенная неопределенность, когда функции распределения ве роятностей неизвестны и, следовательно, анализ рисков с помощью метода Монте-Карло неприменим.

В этой ситуации задачи принятия решений принято формулировать в терминах теории игр, представляя их как «игру с природой» [37, 38]. В на стоящей работе рассмотрены различные игровые критерии, которые могут служить полезным инструментом повышения эффективности решений, принимаемых при управлении процессами нефтегазодобычи в условиях неопределенности. Для большей наглядности изложение ведется на кон кретном примере, связанном с дизайном гидроразрыва пласта (ГРП).

5.6.1. Матрица выигрышей При игровом подходе анализ имеющихся возможностей производит ся с помощью так называемой матрицы выигрышей (или платежей) A, столбцы которой ( j = 1,2,…,n) соответствуют возможным состояниям Природы, а строки (i = 1, 2,…,m) – возможным действиям («стратегиям») Лица, Принимающего Решение (ЛПР). Элемент матрицы Ai j, стоящий на Глава 5 пересечении i -й строки и j -го столбца, определяет выигрыш, получаемый при реализации i -й стратегии, когда Природа находится в состоянии j.

Для примера предположим, что перед ЛПР поставлена задача опре деления оптимального количества пропанта M, необходимого для прове дения операции ГРП. Количество пропанта определяет оптимальную дли ну трещины, которую необходимо создать для получения наибольшего прироста дебита нефти [36]. Необходимая геометрия трещины существен но зависит от проницаемости пласта в окрестности скважины k, но точное значение проницаемости неизвестно, известны только пределы, в которых она может меняться (от 5 мД до 14 мД). В этой ситуации под состоянием Природы понимаются различные значения проницаемости, а под страте гиями «игрока» (ЛПР) – различные значения количества пропанта, необхо димого для проведения операции. Остальные параметры ГРП (тип закачи ваемого пропанта, виды жидкостей гидроразрыва и т. д.) в данном регионе, после отработки технологии ГРП на первых скважинах, практически не меняются.

Таблица 5.3 представляет собой матрицу выигрышей A, элементами которой являются значения NPV (Net Present Value), определяющие эф фективность гидроразрыва (в млн. долларов за 5 лет). В ходе расчетов мощность пласта принималась равной 10 м, депрессия – 9 МПа, проницае мость пропантной пачки – 260 Д, вязкость нефти – 4 сП, цена одной тонны нефти – 100 долларов, стоимость ГРП определялась по сложившимся нор мативам затрат. Скин-фактор до ГРП принимался равным нулю, а скин фактор после ГРП вычислялся по известным методикам [36].

Таблица 5. Матрица выигрышей (млн. долл.) Количество Проницаемость k, мД i пропанта k1 = 5 k2 = 6 k3 = 8 k4 = 11 k5 = M, т.

1 4500 0,34 0,42 0,51 0,62 0, 2 9000 0,37 0,47 0,59 0,73 0, 3 13500 0,39 0,51 0,65 0,82 1, 4 18000 0,40 0,53 0,69 0,87 1, 5 22500 0,40 0,54 0,71 0,91 1, 6 27000 0,39 0,54 0,72 0,94 1, 7 31500 0,37 0,53 0,72 0,95 1, 8 36000 0,34 0,52 0,72 0,96 1, 9 40500 0,32 0,50 0,71 0,96 1, 10 45000 0,29 0,48 0,70 0,96 1, 346 Глава Расчеты проводились для пяти возможных значений проницаемо стей, образующих геометрическую прогрессию j- k = k1 d, j = 1,2,…,5, j k1 = 5 мД, d = 1.3.

5.6.2. Критерии принятия решений в условиях неопределенности Если бы вероятности Pj реализации различных значений k j ( j = 1,2,…, n) были известны, то это означало бы принятие решения в ус ловиях риска. При этом оптимальное решение определялось бы из условия максимизации математического ожидания NPV n Ei = Ai j Pj (i = 1, 2,…, m).

j= Однако мы рассматриваем ситуацию, когда распределение вероятно стей Pj неизвестно, то есть случай принятия решения в условиях неопре деленности. Для анализа этой ситуации разработаны следующие критерии, отличающиеся по степени консерватизма, проявляемого ЛПР [37, 38].

Критерий Лапласа.

Этот критерий опирается на принцип недостаточного основания, ко торый гласит, что если распределение вероятностей состояний Природы неизвестно, то нет причин считать их различными. Следовательно, исполь зуется достаточно оптимистичное предположение о равенстве всех Pj :

Pj =, j = 1,2,…, n.

n При этом необходимо выбрать стратегию, обеспечивающую макси мальное значение величины n Li = Ai j (i = 1, 2,…, m), n j= представляющей собой среднее арифметическое (по данной строке) значе ние выигрыша.

Следует отметить, что принцип недостаточного обоснования, по не которым сведениям, впервые сформулировал Я. Бернулли, но, тем не ме нее, критерий носит имя Лапласа.

Максиминный критерий (критерий Вальда) Этот критерий основан на очень осторожном поведении пессими стично настроенного ЛПР и сводится к выбору наилучшей альтернативы из наихудших. В качестве оптимальной выбирается стратегия, обеспечи вающая максимум величины Wi = min Aij (i = 1, 2,…, m).

j Глава 5 Величина Wi представляет собой минимальное значение выигрыша, достигаемого при данной стратегии i.

Часто элементы матрицы Ai j представляют собой не выигрыши, а, наоборот, потери (платежи). В этом случае критерий Вальда будет стре миться минимизировать максимальные потери, то есть станет минимакс ным.

Критерий Севиджа.

Этот критерий призван несколько «смягчить» пессимизм максимин ного критерия и сводится к замене матрицы выигрышей Ai j матрицей упущенных доходов (то есть потерь) Bi j = M - Ai j, j где M – максимальный выигрыш, достигаемый при j -м состоянии При j роды:

M = max Ai j.

j i Затем к матрице Bi j применяется минимаксный критерий, то есть минимизируется величина Si = max Bi j.

j В качестве примера действия критерия Севиджа рассмотрим матрицу выигрышей $3000$ $5000 $4000.

Применение максимального критерия приводит к выбору реше ния i = 2 с максимально возможным выигрышем $5000. Легко, однако, видеть, что в данном случае разумнее было бы выбрать первое решение, поскольку даже в наихудшем случае выигрыш был бы не намного меньше ($3000), а в случае реализации второго состояния Природы выигрыш со ставил бы $19000 !

Применяя критерий Севиджа, мы бы получили M1 = $5000, M = $19000 и матрицу упущенной выгоды $2000 $ B =.

$0 $ Пользуясь минимаксным критерием, мы выбрали бы первое реше ние, что более соответствует нашим интуитивным предпочтениям.

Критерий Гурвица.

Этот критерий позволяет охватить весь спектр подходов к принятию решения – от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного – и сводится к максимизации величины Gi = Amax + (1-)Amin, i i 348 Глава где – так называемый показатель оптимизма, 0 1, Aimax и Aimin – максимальное и минимальное значения выигрыша на i -й строке матри цы Ai j Aimax = max Ai j ;

Aimin = min Ai j.

j j Если = 0, то критерий Гурвица становится консервативным и его применение эквивалентно применению обычного максиминного критерия.

Если = 1, то критерий Гурвица становится слишком оптимистичным, по скольку рассчитывает на наилучшую из наилучших альтернатив. Основы ваясь на свой опыт, ЛПР сам выбирает надлежащее значение из интер вала [0;

1]. В отсутствие какой-либо дополнительной информации наиболее разумным представляется выбор = 0,5.

5.6.3. Анализ результатов расчетов В таблице 5.4 приведены значения различных критериев, рассчитан ные по данным табл. 5.3.

Темным фоном выделены строки (решения), являющиеся оптималь ными с точки зрения того или иного критерия. Как видим, наилучшим ре шением, удовлетворяющим практически всем критериям, является дизайн ГРП с массой закаченного пропанта M = 22500 кг и полудлиной трещи ны l = 130 м. Более осторожный подход (с позиций критериев Вальда и Севиджа) приводит к значениям массы M = 13000 - 22000 кг, что, соответ ственно, приводит к меньшим значениям полудлины трещины.

Таблица 5. Результаты вычислений с использованием различных критериев Критерии Гурвица G Вальда Севиджа Лапласа L W S = 0,2 = 0,4 = 0,6 = 0, 4500 60 3 0,50 0,32 –0,05 0,39 0,47 0,55 0, 9000 85 4 0,57 0,34 –0,03 0,44 0,54 0,64 0, 13500 103 5 0,63 0,36 0,00 0,48 0,59 0,71 0, 18000 117 6 0,66 0,36 0,00 0,49 0,62 0,76 0, 22500 129 7 0,68 0,36 0,00 0,50 0,64 0,78 0, 27000 139 8 0,69 0,34 0,00 0,49 0,65 0,80 0, 31500 148 8 0,69 0,32 0,00 0,48 0,64 0,81 0, 36000 156 9 0,69 0,30 0,00 0,47 0,64 0,81 0, 40500 163 10 0,68 0,27 0,00 0,45 0,62 0,80 0, 45000 169 11 0,66 0,24 0,00 0,42 0,61 0,79 0, трещины, мм на трещины, м Средняя ширина Средняя полудли Масса пропанта, кг Глава 5 Для облегчения выбора при большом числе скважин, основываясь на методы теории нечетких множеств, можно предложить формальный кри терий выбора окончательного решения: максимизация функции принад лежности µi = µ1 (Li ) µ2(Wi ) µ3(Si ) µ4 (Gi ), (5.66) где µ1(L), µ2(W ), µ3(S), µ4(G) – функции принадлежности к нечетким множествам «большие L », «большие W », «малые S », «большие G » соот ветственно, вычисляемые по формулам µk (x) = (x), k = 1, 2, 4, µ3 (x) = 1- (x), x - xmin где (x) =, xmax и xmin – максимальное и минимальное значе xmax - xmin ния критерия x.

Так, для критерия Лапласа Lmin = 0,5, Lmax = 0,69 (см. табл. 5.4), так что L - 0, µ1 (L) =.

0, Применение нечеткого критерия (5.66) приводит (при критерии Гур вица с = 0,4 ) к заключению, что оптимальное значение массы пропанта лежит в интервале от 22000 кг до 36000 кг, что соответствует средней по лудлине трещины от 120 до 150 м при ширине около 8 мм.

Проведенный анализ позволяет, кроме всего прочего, наглядно пока зать цену, которую приходится платить за пренебрежение исследованиями скважин.

В табл. 5.5 приведены элементы матрицы Севиджа Bi j = M - Ai j, j подсчитанные для i = 5 ( M = 22500 кг). Эти величины определяют выго ду, которую мы упускаем, выбирая то или иное значение полудлины тре щины. Как видим, в наиболее худшем случае ( k = 14 мД) упущенная вы года составляет 0,1 млн. долларов, что сравнимо со стоимостью самого ГРП. Даже среднее значение упущенной выгоды (~30 тыс. долларов) кратно превышает стоимость гидродинамических исследований скважин (~10 тыс. долларов), которые, будь они проведены, позволили бы более обоснованно выбрать полудлину трещины. Эти оценки позволяют утвер ждать, что проведение тщательных гидродинамических исследований пе ред каждым ГРП позволило бы выиграть около 20 тыс. долларов на сква жину в том случае, когда ГРП проводятся массировано, (что является од ним из условий повышения эффективности этой операции). Экономиче ский эффект может оказаться очень большим. Так, если компания прово дит в год около 500 ГРП, то обязательные гидродинамические исследова ния, проводимые перед осуществлением операции, могут привести к вы игрышу около 10 млн. долларов. Для сравнения отметим, что эта сумма 350 Глава соизмерима с годовыми расходами некоторых крупных компаний на на учно-исследовательские работы.

Несмотря на некоторую условность подобных расчетов, приведен ные цифры позволяют оценить, по крайней мере, порядок потерь, связан ных с недостатком информации.

Таблица 5. Упущенная выгода при M=22500 кг (в млн. долларов) k, мД 5 мД 6 мД 8 мД 11 мД 14 мД 22500 0,006 0,000 0,008 0,038 0, Таким образом, в условиях неопределенности игровые подходы ока зываются более соответствующими содержанию задач, чем методы, осно ванные на «разыгрывании» случайных состояний природы методом Мон те-Карло. Применение последнего требует знания вероятностей распреде ления неизвестных параметров, а эта информация, зачастую, отсутствует.

Рассмотренные выше критерии принятия решений могут быть ис пользованы при анализе ситуаций самого различного масштаба: от дизайна ГТМ на отдельных скважинах до составления проектов разработки круп ных месторождений. Следует подчеркнуть, что эти методы дают намного больше, чем обычный анализ чувствительности решений относительно из менения исходных данных. Если анализ чувствительности позволяет про сто оценить пределы изменения выигрыша, то игровые методы предлагают одновременно и формальные алгоритмы выбора решений.

5.7. Системный анализ процессов разработки нефтяных месторождений Как уже неоднократно отмечалось, системы любой природы, незави симо от природы составляющих элементов и отношений между ними, под чиняются некоторым общим закономерностям [39], знание которых облег чает принятие решений в условиях неопределенности. В частности, важную информацию, необходимую для управления, предоставляют ис следования универсальных сценариев развития природных систем, количе ственных закономерностей чередования эволюционных и критических (пе реходных) периодов.

В основе многих динамических процессов лежит экспоненциальный закон, в соответствии с которым скорость изменения характеристики x пропорциональна ее текущему значению d x = k x(t), (5.66) d t где k – константа роста.

Глава 5 Для систем, развитие которых происходит при более или менее по стоянных внутренних и внешних условиях, экспоненциальная зависимость описывает весь процесс развития. Однако при постепенном изменении этих условий могут быть достигнуты критические значения параметров, при которых экспоненциальное развитие теряет устойчивость и в системе появляются колебания («флаги катастроф» [40]), присущие процессам кри зисного типа. В такие моменты начинают функционировать адаптацион ные механизмы, формирующие новые режимы экспоненциальной эволю ции с иными значениями темпа роста.

В работе [41] неустойчивости такого типа предлагается анализиро вать с помощью динамического уравнения с запаздывающим аргументом dx = kx(t - ), (5.67) dt где – характерное время запаздывания.

Поскольку с ростом системы ее инерционность возрастает, время за паздывания считается возрастающей функцией времени.

Для процессов, описываемых моделью (5.67), существуют экспонен циальные режимы развития x = x0eut, которые являются стабильными при выполнении условия [41] u < 1,29. (5.68) При постепенном увеличении времени запаздывания наступает кри тический момент, когда неравенство (5.68) перестает выполняться. Экспо ненциальная эволюция с темпом развития u становится неустойчивой, и включаются процессы самоорганизации, приводящие к уменьшению темпа роста. При этом вновь начинает выполняться неравенство (5.68), что обес печивает стабильный рост до тех пор, пока увеличение не приведет к но вым кризисным явлениям. В [41] показано, что в период перестройки темп 0, роста u уменьшается (при 10%-м «запасе прочности») до значения u =.

Таким образом, величина скачка в темпах роста, которая должна иметь место при достижении временем запаздывания критического уровня, будет составлять величину 1, 1, = = 1,43.

0, 0, На плоскости - u процесс развития по описанной схеме можно изобразить в виде ступенчатой линии, представленной на рис. 5.30.

В основном, этот сценарий развития соответствует представлениям Шмальгаузена, который считал, что процессы роста начинаются экспонен циальной фазой, которая в дальнейшем переходит в степенной закон, ха рактеризующийся убыванием константы скорости роста [42].

352 Глава Уменьшение темпов роста можно учесть в явном виде, если перейти к модели с константой роста, зависящей от времени. Аппроксимируя функцию k(t) гиперболической зависимостью, получим dx k = x(t). (5.69) dt t Решение этого уравнения с начальным условием x = x0 (5.70) t =t имеет вид ln x = k1t + ln c, (5.71) x = x0 exp[k1(t - t0 )] k при 0 < 1 ( = 1- 1, k1 =, c – постоянная интегрирования) 1 и ln x = k0 ln t + ln c, (5.72) k t x = x t при = 1.

u 1, u u = u 0, u = u Рис. 5.30. Эволюция сложных систем Глава 5 Случай = 1 замечателен тем, что задача (5.69), (5.70) инвариантна x t относительно преобразований x, t при всех значениях t0. Сле x0 t довательно, эволюция системы в этом случае самоподобна (ср. с разде лом 5.4). Зависимость (5.72) называется аллометрической и означает, что кривая x = x(t) может быть спрямлена в координатах ln t - ln x.

Развитие, происходящее в соответствии с аллометрической моделью, перекрывает существенно более длительные интервалы времени, чем раз витие по экспоненциальному закону. Однако диапазон действия алломет рической модели также ограничен, поэтому в координатах ln t - ln x кривая развития делится на ряд прямолинейных участков, переходы между кото рыми соответствуют критическим явлениям на более высоком иерархиче ском уровне системы.

Введя переменную t = ln t, уравнение (5.69) при = 1 можно пред ставить в виде dx = k0x.

dt Для описания «сломов» аллометрической кривой нужно учесть зави симость параметра k0 от времени. Считая, что развитие на всех уровнях иерархии идет подобным образом, получим dx k = x, dt t откуда ln x = k0 ln t + ln c, т. е. кривая роста должна быть линейна в координатах ln t - ln ln x.

Подставив t = ln t и повторив всю цепочку рассуждений, можно получить модель еще более высокого уровня и т. д.

Описанные выше универсальные законы роста могут быть примене ны для анализа кривых накопленной добычи нефти Vн(t) при решении за дач прогноза технологических показателей и выявления критических то чек – моментов времени, соответствующих количественному изменению состояния разработки нефтяных месторождений.

На первом этапе разработки, соответствующем росту темпа отбора нефти за счет интенсивного разбуривания, кривая добычи описывается мо делью dVн k = Vн, dt t а на заключительной стадии, характеризующейся снижением темпов отбо ра, применима модель dVн k = (Vн0 -Vн), (5.73) dt t 354 Глава где Vн0 – начальные извлекаемые запасы нефти (предел Vн при t ).

Отметим, что уравнение (5.73) по виду совпадает с кинетическим уравне нием Колмогорова, описывающем процессы кристаллизации метал лов [43].

В качестве примера рассмотрим динамику добычи нефти и воды на месторождении Фортис (компания BP). Анализ кривой накопленной добы чи нефти с использованием приведенных выше моделей показывает, что критические точки, соответствующие изменениям темпа отбора нефти и темпа обводнения, приходятся на 47, 73, 110, 163 месяцы разработки ме сторождения (см. рис. 5.31, 5.32). Отметим, что промежутки времени меж ду двумя последовательными критическими точками (T1 = 26 мес., T2 = 37 мес. и T3 = 53 мес.) образуют геометрическую прогрессию со зна менателем T2 T 1,43, T1 T что находится в соответствии с общей теорией критических уровней раз вития природных систем [41].

Одним из важнейших качественных показателей состояния разра ботки нефтяных месторождений является степень упорядоченности фильт рационных потоков. Для количественной оценки этого показателя могут быть использованы различные характеристики, позволяющие определить неравномерность распределения добычи нефти, газа и воды по добываю щим и закачку воды по нагнетательным скважинам. В частности, весьма информативным показателем является коэффициент Лоренца (Джини), ко торый в каждый данный момент времени вычисляется путем ранжирова ния (в порядке убывания) скважин по значениям дебитов нефти (газа) или воды или жидкости и построения зависимости накопленной доли суммар ной добычи n q i i= µ = Q от относительного числа скважин n =, n = 1, 2,..., N, N qi – дебит i -й скважины (i =1, 2,..., N ), Q – суммарный дебит всех сква жин, N Q =, q i i= N – общее число скважин, участвующих в анализе.

Объем, млн. бар.

дебит нефти дебит воды 0 50 200 Время, мес. T1 T2 100 T3 Рис. 5.31. Динамика отборов нефти и воды на месторождении Фортис Глава Обводненность, % 0 50 T1 T2 100 T3 Время, мес. Рис. 5.32. Динамика обводненности продукции месторождения Фортис Глава Глава 5 Определив площадь S под кривой µ = µ( ), коэффициент Лоренца– Джини можно определить по формуле (см. раздел 5.4) S - 0, L = = 2S -1.

0, Анализируя динамику изменения коэффициента L, можно получить представление о гидродинамическом состоянии пласта и наметить меро приятия, призванные упорядочить фильтрационные потоки и повысить полноту извлечения нефти.

Для примера на рис. 5.33 приведена зависимость коэффициента Ло ренца–Джини от времени, построенная по данным разработки месторож дения Магнус. Как видим, с августа 1987 г. по июль 1994 г. месторождение разрабатывалось достаточно равномерно, о чем свидетельствуют низкие значения коэффициента Лоренца–Джини по нефти ( L 0,3). Этот период характеризуется примерно равными уровнями отбора и закачки жидкости (показатель компенсации близок к единице). Однако после июля 1994 г.

интенсивность закачки была повышена, что немедленно сказалось на не равномерности отбора нефти (см. рис. 5.33). Повышенные значения коэф фициента Лоренца–Джини до августа 1987 г. объясняются неустойчиво стями, свойственными ранней стадии становления системы поддержания пластового давления (неустойчивой компенсацией). Из этого анализа сле дует вывод о том, что наиболее оптимальным режимом разработки этого месторождения является поддержание закачки воды на уровне отбора жидкости (сбалансированное заводнение).

Степень упорядоченности фильтрационных потоков можно характе ризовать также значениями энтропии. Для этого в каждый данный момент времени строится гистограмма распределения дебитов нефти (или газа, во ды, жидкости), т. е. определяется доля ni pi = N скважин, имеющих дебиты в интервале (qi, qi + q), где qi = q0 + iq, qm - q q =, m q – длина частичного интервала, m – общее число частичных интервалов, на которые делится весь диапазон изменения дебита, q0 и qm – минималь ное и максимальное значения дебита, ni – число скважин, имеющих дебит в интервале (qi, qi + q), i = 1, 2,..., m -1, N – общее число скважин.

Энтропия вычисляется по известной формуле теории информа ции [45] m- Э = - pi ln pi.

i= L 1, по воде 0, 0, 0, по нефти 0, 02.82 11.84 08.87 05.90 01.93 10.95 07. Рис. 5.33. Динамика значений коэффициента Лоренца (Джини) по дебитам нефти и воды месторождения Магнус Глава Глава 5 Возвращаясь к рассмотренному выше месторождению Магнус, отме тим, что, как показывают расчеты, на участке сбалансированного заводне ния энтропия принимает наименьшее значение.

Вообще, энтропия оказывается весьма полезным инструментом ди намического анализа процессов разработки и находит все большее приме нение в мониторинге нефтяных и газовых месторождений [44].

5.8. Синергетика принятия решений Информация, относительно которой нужно принять решение, прак тически никогда не бывает полной. Пользуясь математической терминоло гией, можно было бы сказать, что проблема принятия решения некоррект но поставлена. В этом разделе мы, следуя книге Г. Хакена [46], кратко рас скажем о том, как процессы принятия решений могут быть описаны на языке синергетики.

Как человек восполняет недостаток информации? В основном, путем использования сходства между данной ситуацией и аналогичными ситуа циями, с которыми он встречался в прошлом (то есть методом аналогий, об этом мы уже говорили ранее). Показательны в этом смысле случаи, когда люди оказываются на грани жизни и смерти. Многие свидетельствуют, что в такие мгновения человек вспоминает (в обратной последовательности) всю свою жизнь. Таким образом, мозг лихорадочно ищет в жизненном опыте схожие моменты, чтобы в считанные секунды найти единственно верное решение. Помогает ему в этом то, что, согласно исследованиям профессора Я. Мияситы, человек никогда ничего не забывает. Вся воспри нятая им информация хранится в височных долях серого вещества мозга, и обычные проблемы с памятью – это всего лишь трудности «считывания» информации.

В работах Г. Хакена с сотрудниками показано, что процесс поиска аналогов при принятии решений можно описать нелинейными уравнения ми, схожими с известными каноническими уравнениями синергетики, ха рактеризующимися множеством особых точек и сложной динамикой.

Известным механическим аналогом, используемым при наглядном представлении нелинейной динамики, является движение шарика по кри волинейной поверхности. Используя этот подход, мы можем идентифици ровать принятые решения найденные аналоги с дном долин, а процесс по иска решений – с нахождением шарика на склоне холма (см. рис. 5.34).

Интересную ситуацию моделируют на этом рисунке точки C и D – два близлежащих минимума. Если шарик подвержен влиянию малых спонтан ных возмущений, то он будет бесконечно долго колебаться между C и D.

Эти осцилляции между двумя или более решениями («муки выбора») всем знакомы и увековечены в парадоксе «Буриданов осел». Подобные осцил 360 Глава ляции между двумя решениями возникают и при разглядывании неодно значных картин. Так, на известной картине мы сначала видим портрет Эйнштейна, а потом – трех купающихся девушек, потом опять портрет Эйнштейна и т. д. Все видели и другие подобные изображения – куб Нек кера или картины «Юная красавица или дряхлая старуха?», «Ваза или два профиля?» (см. рис. 5.35) и др.

B CD A Рис. 5.34. Механическая модель динамики принятия решения A – принятие решения;

B – поиск решения;

C и D – осцилляции между двумя решениями Рис. 5.35. Ваза или два профиля?

В общих чертах процесс узнавания аналогов можно описать сле дующим образом [46]. В памяти человека хранится информация о множе стве различных жизненных ситуаций и оптимальных алгоритмов действия в этих ситуациях (информационные паттерны). После того как жизнь «предъявила» человеку новую ситуацию, в его мозге начинается конку Глава 5 рентная борьба между паттернами, в результате которой побеждает один из паттернов, наиболее близкий к анализируемой действительности. Здесь уместно вновь привести аналогию с лазером (см. раздел 1.3), в котором волна одной частоты побеждает все остальные. Самое общее представле ние о математических моделях, описывающих динамику распознавания, можно дать на следующем примере.

В задаче об определении оптимальной длины трещины ГРП (см. раз дел 5.6) неопределенным является распределение вероятностей p различ j ных значений проницаемости k ( j = 1,2,…, n). Расчеты показывают, что j решение этой задачи существенно зависит от того, к какому из следующих четырех видов (паттернов) относится реальное распределение:

1) вероятности p растут с ростом k ;

j j 2) вероятности p уменьшаются с ростом k ;

j j 3) вероятности p имеют экстремум внутри интервала изменения k ;

j 4) вероятности p не зависят от проницаемости (равномерное распределе j ние).

Если паттерн зафиксирован, то даже значительные изменения рас пределения вероятностей (не выводящие за пределы паттерна) не могут сильно повлиять на выбор оптимальной стратегии.

Для простоты будем считать, что проницаемость может принимать только три значения (n = 3). Тогда возможные виды распределения веро ятностей (возможные состояния Природы) грубо можно представить в ви де следующих четырех векторов:

1 1 5 5 1 1 2 5 2 1 1 P1 = ;

;

, P2 = ;

;

, P3 = ;

;

, P4 = ;

;

, 3 3 9 3 9 9 3 9 9 3 координаты которых представляют собой вероятности реализации трех значений проницаемости. Поскольку P4 = (P1 + P2), то только первые три паттерна являются линейно независимыми. Поэтому паттерн P4 в дальнейшем мы не будем рассматривать.

Еще раз отметим, что нас не должна смущать некоторая кажущаяся произвольность выбора конкретного вида векторов Pk, поскольку прини маемые решения достаточно устойчивы относительно сдвигов и поворо тов P, не выводящих их за пределы определенных выше паттернов.

При отсутствии дополнительной информации мы не можем отдать предпочтение ни одному из паттернов Pk (k = 1, 2,3), поэтому решение принимается игровыми методами (см. предыдущий раздел). Но ситуация начинает изменяться после того, как на данном месторождении начинают ся работы по гидроразрыву пласта. Анализ результатов уже сделанных 362 Глава ГРП позволяет апостериори оценить проницаемость пласта в окрестности скважин, подвергшихся гидроразрыву. Таким образом, мы получаем неко торое представление о том, какое распределение проницаемости характер но для данного месторождения в действительности. Сравнивая это пред ставление с исходными паттернами, мы можем определить, какой из них наиболее соответствует появившимся данным. В дальнейшем дизайн ГРП производится в соответствии с выбранным паттерном, если, конечно, но вые данные не заставят нас изменить представление о распределении веро ятностей.

В книге Г. Хакена [46] процессы, протекающие в человеческом мозге при «распознавании» паттерна, предложено описать динамическими моде лями вида d Q(t)= f (Q(t), P), Q(0) = Q0, (5.74) dt где Q(t) = {q1(t);

q2(t);

q3(t)}, q (t) – оценка вероятности реализации зна j чения проницаемости k ( j = 1, 2,3), изменяющаяся в ходе решения, j Q0 = {q1(0);

q2(0);

q3(0)} – вектор начальных значений q, определяемый j по результатам первых ГРП.

В соответствии с (5.74) вектор Q «проявляется» со временем, как фотография, преобразуясь из Q0 в один из (наиболее близких) векторов паттернов Pk.

Мера близости вектора Q к паттернам Pk характеризуется парамет рами порядка k (t), определяемыми как коэффициенты разложения.

n Q(t) = (t)Pk. (5.75) k k = Пусть Pk+ – сопряженные векторы, определяемые соотношениями ортогональности (Pi+ Pk)= i k, 1, i = k, где i k = а круглые скобки обозначают скалярное произведение 0, i k, векторов. Умножив (5.74) на Pl+ и образуя скалярное произведение, полу чим l = Pl+ Q, l = 1, 2,…, n. (5.76) Согласно [46] уравнение (5.74) имеет вид n n n n d Q = k Pk - B (6.77) i2 (k Pk )- C Q i2, k dt k =1 ik k =1 i=, B, C 0.

k Глава 5 Структура этого уравнения сформирована по аналогии с известными уравнениями синергетики. Первый член в правой части описывает «при тяжение» Q к паттернам Pk. Это притяжение тем больше, чем боль ше k – «сходство» между Q и Pk. Величина называется параметром k внимания – она определяет, насколько человек помнит о паттерне Pk. Па раметр внимания позволяет учесть эффекты гистерезиса, имеющие k место в процессах принятия решений: человек даже при изменившихся об стоятельствах часто делает то, что делал в последний раз. Это происходит потому, что на новые обстоятельства человек не сразу обращает внимание, для них параметр мал. Введение параметра внимания позволяет также смоделировать поэтапное принятие решений [46]. Сосредотачивая внима ние на каком-то паттерне, человек делает выбор. Если это решение оказы вается неудачным, он полагает равным нулю параметр внимания, соответ ствующий сорвавшейся попытке. Затем он предпринимает новую попытку, сосредотачивает внимание на новом решении и т. д. В результате таких проб и ошибок в человеческом сознании вырабатывается целая иерархия параметров внимания, которые при анализе новой ситуации он последова тельно, один за другим, испытывает, начиная с наибольших.

Второй член в правой части (5.77) описывает конкуренцию паттер нов. Третий член создает ограничения на рост параметров внимания и, та ким образом, учитывает эффекты торможения, ведущие к тому, что все процессы роста в биологических системах идут с насыщением. Подста вив (5.75) в (5.77) и скалярно умножив это уравнение на Pl+, получим с учетом (5.76) n n d l = - B i2 l. (5.78) 2 - C i l dt il i= l (0) = Pl+ Q0.

Вернемся к примеру о распределении вероятностей различных зна чений проницаемости. Используя известные алгоритмы линейной алгебры, легко вычислить векторы, сопряженные векторам Pk :

1 P1+ = ;

-1;

;

8 19 P2+ = ;

-1;

;

8 3 P3+ = ;

3;

-.

- 2 364 Глава Предположим, что после проведения ГРП на первых 7 скважинах анализ их результатов показал, что в трех случаях проницаемость была минимальной, в двух – средней и в двух – максимальной. Следовательно, 3 2 Q0 = ;

;

, 7 7 откуда (0)= P+ Q0 = {0,43;

0,77;

- 0,21}. (5.79) Численное интегрирование (5.78) с начальным условием (5.79) при = 1 и для B и C из довольно широкого диапазона значений приво k дит к решению = {0;

1;

0}.

Таким образом, выбирается паттерн P2. Распределение вероятности, даваемое этим паттерном, и используется для расчета оптимальной длины трещины ГРП. Отметим, что при этом уровень задачи меняется: от игро вых методов в условиях неопределенности мы переходим к принятию ре шений в условиях риска.

В заключение отметим, что мы не случайно завершаем пятую главу именно этим разделом. Читателю могло показаться, что глава о принятии решений в условиях неопределенности «выпадает» из общей канвы книги.

Последний раздел позволяет нам выявить ее единство, «замкнуть» изложе ние, вновь вернувшись к синергетике.

Библиографический список к главе 1. Ефимов А. Н. Порядковые статистики – их свойства и приложения. – М.: Знание, 1980. – 64 с.

2. Введение в теорию порядковых статистик. – М.: Статистика, 1970.

3. Кендалл М. Дж. Ранговые корреляции. – М.: Статистика, 1975.

4. Мирзаджанзаде А. Х. Принятие решений в газодобыче. – М.: ЦП НТО НГП им. акад. И. М. Губкина, 1987. – 49 с.

5. Методическое руководство по определению технологических показате лей нефтегазоконденсатодобычи на основе косвенной информации. – Баку: АзИНЕФТЕХИМ, 1987. – 24 с.

6. Большев Л. Н., Смирнов Н. В. Таблицы математической статистики. – М.: Наука, 1983.

7. Balan B., Mohaghegh S., Ameri S. State-Of-The-Art in Permeability Determination From Well Log Data: Part 1 – A Comparative Study, Model Development. – SPE Paper 30978, 1995.

8. Андрианов И. В., Маневич Л. И. Асимптология: идеи, методы, результа ты. – М.: АЛАН, 1994. – 159 с.

9. Кристенсен Р. Введение в механику композитов. – М.: Мир, 1982.

10. Щуров В. И. Технология и техника добычи нефти. – М.: Недра, 1983. – 510 с.

11. Reynolds A. C., Chen J. C., Raghavan R. Pseodoskin Factor Caused by Partial Penetration. – SPE Paper 121178.

12. Касов А. С., Вашуркин А. И., Свищев М. Ф. Фильтрационные характери стики пород – коллекторов месторождений Западной Сибири // Обз.

инф. ВНИИОЭНГ, сер. «Нефтепромысловое дело», 1981. – 36 с.

13. Черемисин Н. А., Сонич В. П., Батурин Ю. Е., Дроздов В. А. Условия формирования остаточной нефтенасыщенности в полимиктовых кол лекторах при заводнении // Нефт. хоз-во, 1997, № 9. – С. 40–45.

14. Черемисин Н. А., Сонич В. П., Батурин Ю. Е. Методика обоснования остаточной нефтенасыщенности при водонапорном режиме эксплуата ции пластов // Нефт. хоз-во, 1997, № 9. – С. 58–61.

15. Багдасаров В. Г. Теория, расчет и практика эргазлифта. – М.: Ленин град: Гостоптехиздат, 1947. – 371 с.

16. Дильман В. В., Полянин А. В. Методы модельных уравнений и анало гий. – М.: Химия, 1988. – 304 с.

17. Vogel J. V. Inflow Performance Relationships for Solution Gas Drive Wells // JPT, Jan., 1968.

18. Beggs H. D. Production Optimization. – Tulsa: OGCI Publ., 2000.

19. Muskat M. Physical Principles of Oil Productions. – McGraw-Hill, New York, 1949.

20. Щелкачев В. Н., Лапук Б. Б. Подземная гидравлика. – Ижевск: РХД, 2001. – 736 с.

366 Библиографический список к главе 21. Ahmed T. H. Reservoir Engineering Handbook. – Gulf Professional Pub lishing, 2001.

22. Fetkovich M. J. The Isochronal Testing of Oil Wells // SPE Paper 4529, 1973.

23. Хасанов М. М., Мукминов И. Р., Бачин С. И. К расчету притока жидко сти к скважинам, работающим в условиях локального разгазирования // Нефтепромысловое дело, 2000, № 8–9. – С. 2–9.

24. Справочное руководство по проектированию разработки и эксплуата ции нефтяных месторождений. Проектирование разработки / Ш. К. Ги матудинов, Ю. П. Борисов, М. Д. Розенберг и др. – М.: Недра, 1983. – 463 с.

25. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Инст. компьют.

исс., 2002. – 656 с.

26. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

27. Kendall M., Stuart A. The Advanced Theory of Statistics. Vol. 1:

Distribution Theory. – New York, Mac Millian Publishing Co, 1997.

28. Krige D. G. A Statistical Approach to Some Basic Mine Valuation Problems on the Witwafersrand // South Africa, v. 52, 1951. – P. 119–139.

29. Fractals in Petroleum Geology and Earth Processes / Edited by Ch. C. Barton and P. R. La Pointe – New York: Plenum Press, 1995.

30. Drew L. J., Schuenemeyer J. H., Bawiek W. J. Estimation of the future rates of oil and gas discoveries in the Western Gulf of Mexico // U.S. Geological Survey Professional Paper 1252, 1982.

31. Щелкачев В. Н. Влияние на нефтеотдачу плотности сетки скважин и их размещения // Нефтяное хозяйство, 1974, № 6. С. 26–30.

32. Мухарский Э. Д., Лысенко В. Д. Проектирование разработки нефтяных месторождений платформенного типа. – М.: Недра, 1972. – 238 с.

33. Forrest F. Craig Jr. The Reservoir Engneering Aspects of Woterflooding. – New York, 1993.

34. Jensen J. L., Corbett P. W. M., Lake L. W., Gaggin D. J. Statistics for Petro leum Engineers and Geoscientists. – Amsterdam: Elsevier, 2000.

35. Gunter G. W., Finneran J. M., Hartmanu D. J., Miller J. P. Early Determina tion of Reservoir Flow Units Using an Integrated Petrophysical Method // SPE Paper 38679, 1997.

36. Economides M. J., Hill A. D., Ehlig-Economides Ch. Petroleum Production Systems. – Prentice Hall PTR: New Gersey. 1994.

37. Методическое руководство по применению игровых методов при про ектировании разработки нефтяных месторождений (РД-39-080-91). – М.: ВНИИнефть, 1990. – 46 с.

38. Taxa X. A. Введение в исследование операций. – М.: Изд. дом «Вильямс», 2001. – 912 с.

39. Bertalanffy L. von. General System Theory: Foundations, Development, Applications. – New York.: Braziller, 1968.

Библиографический список к главе 5 40. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. – М.: Мир, 1984.

41. Жирмунский А. В., Кузьмин В. И. Критические уровни в развитии при родных систем. – Л.: Наука, 1990. – 223 с.

42. Шмальгаузен И. И. Рост и дифференцировка / Избр. труды. – Киев:

Наукова думка, 1984.

43. Колмогоров А. Н. К статистической теории кристаллизации металлов // Изв. АН СССР, 1937, № 5. – С. 355–359.

44. Мирзаджанзаде А. Х., Алиев Н. А., Юсифзаде Х. Б. и др. Фрагменты разработки морских нефтегазовых месторождений. – Баку: Изд-во «Елм», 1997. – 408 с.

45. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. – М.: ИЛ, 1963. – 829 с.

46. Хакен. Г. Принципы работы головного мозга. – М.: ПЕР СЭ, 2001. – 351 с.

Мирзаджанзаде Азат Халилович Хасанов Марс Магнавиевич Бахтизин Рамиль Назифович МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ НЕЛИНЕЙНОСТЬ, НЕРАВНОВЕСНОСТЬ, НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ Дизайнер М. В. Ботя Технический редактор А. В. Широбоков Компьютерная верстка С.В. Высоцкий Корректор З.Ю. Соболева Подписано в печать 20.02.04. Формат 60 84 1/16.

Усл.печ.л. 21,39. Уч.изд.л. 21,76. Гарнитура Times.

Бумага офсетная №1. Печать офсетная. Заказ №184.

АНО «Институт компьютерных исследований» 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1.

Лицензия на издательскую деятельность ЛУ № 084 от 03.04.00.

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.