WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«А.Х. Мирзаджанзаде М.М. Хасанов Р.Н. Бахтизин МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ нелинейность неравновесность неопределенность Москва Ижевск 2004 ББК 531.1 + 622.276 ...»

-- [ Страница 3 ] --

t = T1 - 0,43. (2.77) При практическом применении модели (2.74) параметры Q0, T, определяются из условия наилучшей аппроксимации экспериментальных данных, представленных в виде выборки {ti;

Vi}, где Vi – значение накоп ленной добычи нефти в момент времени ti, i =1, 2,..., l.

При этом промежуток времени [t1, tl] делится на два интервала: ин тервал обучения [t1, tm] и интервал экзамена [tm, tl]. Данные первого ин тервала используются для подбора значений параметров Q0, и T1 путем минимизации невязки Глава 2 m I1(Q0,,T1)= [V(ti;

Q0,,T1)-Vi]2, (2.78) m i= где V (ti;

Q0,, T1) – решение уравнения (2.74), полученное при данных значениях Q0,, T1 и начальном условии V = V1. (2.79) t =t Относительная скорость роста 0, t 0, T 0, 0, 0, 0, янв 81 янв 83 янв 85 янв 87 янв 89 янв 91 янв 93 янв 95 янв 97 янв 99 янв Время, t Рис. 2.12. Наличие максимума относительной скорости роста Затем на интервале экзамена вычисляется невязка l I2(Q0,,T1)= [V (t ;

Q0,,T1) -V ], j j (l - m) j =m+ которая определяет качество прогноза по модели (2.74). Значения Q0,, T1, минимизирующие невязку I2, используются для экстраполяции значе ний накопленной добычи нефти за пределы интервала [t1, tl ] и, в частно сти, для оценки извлекаемых запасов нефти по формуле t1 - T V =V1 + Q0 - arctg. (3.34) Последнее выражение легко получить из (2.75), приняв во внимание условие (2.79) и перейдя к пределу t, когда V V и t - T arctg.

152 Глава 2.7.2. Решение обратных задач с помощью генетических алгоритмов Решение обратной задачи по определению параметров Q0,, T1 на интервале обучения сводится к поиску минимума невязки (2.78), т. е. к за даче нелинейного программирования.

Эффективный поиск оптимальных значений Q0,, T1 может быть организован с помощью генетических алгоритмов (ГА) [37, 38].

В основе ГА лежит постепенное приближение к оптимальному ре шению, реализуемое путем создания «популяции» возможных решений и организации «эволюции» этих решений путем их попарного «скрещива ния» и «воспроизводства» потомства (новых возможных решений) со слу чайными «мутациями». Каждая особь (возможное решение) оценивается мерой ее «приспособленности» согласно тому, насколько оно удовлетво ряет критерию качества данной оптимизационной задачи. Воспроизводить «потомство» имеют возможность только наиболее «приспособленные» решения. Менее приспособленные особи «воспроизводят» потомков с меньшей вероятностью, так что те свойства, которыми они обладают, бу дут постепенно исчезать из популяции в процессе эволюции.

Скрещивание наиболее приспособленных особей приводит к тому, что исследуются наиболее перспективные участки пространства поиска.

В конечном счете, популяция будет сходиться к оптимальному решению задачи.

Наличие наследственности является преимуществом ГА по сравне нию с совершенно случайными методами поиска решений (например, ме тодом Монте-Карло), когда на новом шаге поиска никак не используется информация о результатах предыдущих проб.

Скорость определения минимума невязки I1 повышается при огра ничении области поиска оптимальных значений параметров Q0,, T1.

Заметное сужение области поиска может обеспечить условие T1 - 0.43 - t t, полученное с учетом равенства (2.77). Здесь t – момент времени, при ко тором относительная скорость отбора, определенная по данным истории разработки месторождения, принимает максимальное значение, t – по грешность оценки t.

Исходя из потенциала добывающих скважин, можно также получить достаточно надежную интервальную оценку максимальной добычи Q0 < Q0 < Q0.

Оценка величины T1 может быть получена путем аппроксимации ги перболой начального участка кривой роста накопленной добычи нефти.

Глава 2 Для крупных месторождений Западной Сибири (500 и более сква жин) был проведен анализ точности прогноза модели (2.74) и широко рас пространенных характеристик вытеснения (моделей С. Н. Назарова– Н. В. Сипачева, А. М. Пирвердяна и других).

Среднеквадратичное отклонение на интервале экзамена от фактиче ских данных приведено на рис. 2.13.

Среднеквадратичное отклонение, % Модели:

Н.В. Сипачева А.М. Пирвердяна С.Н. Назарова, Н.В. Сипачева С.Н. Капицы 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1, Обводненность, доли единицы Рис. 2.13. Зависимость среднеквадратичного отклонения прогноза добычи нефти от обводненности на интервале обучения Легко заметить, что среднеквадратичное отклонение прогноза добы чи нефти по модели (2.74) даже при малых значениях обводненности (по рядка 45% на правом конце интервала обучения) приводит к приемлемым результатам. Таким образом, эту модель можно использовать уже на ран них стадиях разработки крупных месторождений для обоснованного про гноза добычи нефти.

2.8. О методах идентификации модели упругого пласта Математическое моделирование процессов нестационарной фильт рации осложняется отсутствием надежных априорных оценок сжимаемо сти коллекторов и насыщающих их флюидов. Реальные значения коэффи циента эффективной сжимаемости пласта могут довольно сильно отли чаться от обычно принимаемых значений ( 510–4 МПа–1). Поэтому сжи маемость пластовых систем целесообразно определять опытным путем, на основе решения обратной задачи идентификации модели упругого пласта 154 Глава по промысловым данным о закачке и отборе жидкостей, а также о динами ке пластового давления. В настоящем разделе рассматриваются некоторые общие подходы к этой проблеме и обсуждаются конкретные алгоритмы расчетов.

Решение поставленной задачи весьма чувствительно (в связи с малой сжимаемостью пород и флюидов) относительно точности определения разности объемов закачанной воды и отобранной жидкости. Одним из ис точников погрешностей служит то, что расход воды измеряется со значи тельно меньшей точностью, чем добыча нефти. В случае многопластовых систем данные по отбору нефти также ненадежны, поскольку разделение продукции по пластам производится приближенно, часто чисто расчетным путем.

Следует также учесть, что на поддержание пластового давления рас ходуется не весь зарегистрированный объем закачанной воды, поскольку возможны утечки воды через литологические окна, связывающие разные пласты, а также потери воды из-за негерметичности поверхностных водо водов и обсадных колонн нагнетательных скважин. Иногда могут наблю даться и обратные перетоки из соседних пластов. Дополнительные слож ности могут быть связаны с вторжением в продуктивный пласт законтур ной воды.

При формализованном описании утечки и вторжение воды могут быть учтены введением в уравнение материального баланса некоторых до полнительных членов и поправочных коэффициентов. Поскольку априор ная информация о проявлении подобных процессов зачастую отсутствует, то задача идентификации математической модели упругого пласта должна быть поставлена в широком смысле: требуется определить не только пара метры (коэффициенты) модели, но и саму структуру модели. Последнее необходимо потому, что вид модели косвенным образом учитывает прояв ление тех или иных процессов, влияющих на баланс жидкостей.

Как уже отмечалось в разделе 2.3, при обработке экспериментальных данных качество решения задач идентификации существенно зависит от сложности моделей. Излишнее усложнение модели приводит, как правило, к повышенной неустойчивости решения обратной задачи, поэтому ниже основное внимание уделяется проблеме выбора оптимальной сложности модели упругого пласта.

Простейшее уравнение материального баланса можно записать в ви де dP b = Qз - Qн - Qв, (2.80) dt P = P0, t =t 0 где b = Vп, и Vп – коэффициент эффективной сжимаемости и поро вый объем пласта, P – среднее пластовое давление, Qз, Qн, Qв – объемы Глава 2 (в пластовых условиях, в единицу времени) закачанной воды, отобранной нефти и отобранной воды соответственно, P0 – давление в начальный мо мент времени t0.

Рассмотрим некоторые возможные модификации модели (2.80).

Учет изменения объема пласта. Активный объем пласта, учиты ваемый в уравнении материального баланса, является переменной величи ной, поскольку:

а) объем пласта, вовлеченный в разработку, растет по мере освоения месторождения в соответствии с ростом числа скважин;

б) значения пластового давления измеряются, как правило, на актив но разрабатываемых участках и, следовательно, характеризуют только эти участки.

Считая, что характерное время изменения давления намного меньше, чем характерное время увеличения «активного» объема пласта, можно предложить следующее уравнение материального баланса:

dP bf (t) = Qз - Qн - Qв, (2.81) dt где f (t) – монотонно возрастающая функция времени, стремящаяся при t к 1.

Учет потерь воды. Считая, что потери воды, вследствие негерме тичности водоводов и обсадных колонн нагнетательных скважин, пропор циональны общему расходу закачанной воды, получим уравнение dP bf (t) = kQз - Qн - Qв, (2.82) dt где k – коэффициент, определяющий долю «полезно» использованной во ды.

Учет перетоков жидкости. Полагая, что величина перетоков жид кости между пластами или же из законтурной области к залежи (и обратно) пропорциональна разности соответствующих давлений, уравнение матери ального баланса при наличии перетоков можно записать в следующем об щем виде:

dP bf (t) = Qз - Qн - Qв - п (P - Pп ) - к (P - Pк ), dt где Рп – давление в пласте, прилегающем к данному, Рк – законтурное дав ление,, – коэффициенты, определяющие интенсивность перетоков п к (в частных случаях они могут быть вместе или в отдельности быть равны ми нулю).

После некоторых упрощений получим модель dP bf (t) + P = Qз - Qн - Qв + q, (2.83) dt где P = P - P0, = +, q = Pп + Pк - P0.

п к п к 156 Глава Если учесть еще и потери закачиваемой воды, то получим dP bf (t) + P = kQз - Qн - Qв + q. (2.84) dt Уравнение (2.84) может быть упрощено, если предположить наличие связи между величинами Qз и Р:

Qз = ’н(Pн - P), где Pн – давление нагнетания, – коэффициент, определяющий приеми н стость нагнетательных скважин.

Тогда, преобразуя (2.84), получим следующее уравнение, аналогич ное (2.82):

bf (t)dP = k Qз - Qн - Qв + q, (2.85) dt где k = k +, q = Pп + Pк - Pн.

п к ’ н Динамика роста объема пласта. Анализ промысловых данных по казывает, что в начальный период разработки месторождения число сква жин растет экспоненциально, а затем темпы ввода скважин уменьшаются, поскольку вступают в силу ограничения, связанные с конечностью объема месторождения. Такая динамика типична для всех процессов роста в слож ных природных системах. Поэтому естественно предположить, что функ ция f (t), описывающая увеличение объема пласта, вовлеченного в разра ботку, подчиняется универсальному логистическому закону (см. предыду щий раздел).

df a = f (1 - f ), f = f0, (2.86) t = dt где – характерное время разбуривания месторождения.

a Уравнение (2.86) совместно с одним из уравнений (2.81)–(2.85) пред ставляет собой математическую модель упругого пласта. Предполагается, что параметры b, k,, q должны определяться по промысловым данным путем решения обратной задачи.

Отметим, что сведения, которые позволили бы априори выбрать наиболее приемлемую модель, чаще всего отсутствуют. Поэтому иденти фикация модели упругого пласта состоит из двух тесно взаимосвязанных задач:

1) определение структуры модели, т. е. выбор одного из уравнений (2.81)-(2.85) для описания динамики пластового давления;

2) оценка параметров выбранной модели.

На первый взгляд, проблема выбора модели упругого пласта может быть решена предельно просто: достаточно воспользоваться наиболее об щим соотношением (2.84) и в ходе решения обратной задачи оценить зна чения его коэффициентов. Наличие потерь или перетоков жидкости можно диагностировать по отклонению значения k от 1, а (и q) – от 0.

Глава 2 Однако, как уже отмечалось, использование излишне сложных моде лей, содержащих большое число искомых параметров, может привести к неустойчивости решений обратных задач. Поэтому необходимо использо вать методы выбора оптимальной сложности модели (раздел 2.3).

Метод структурной минимизации среднего риска. Одним из наиболее эффективных способов формализованного выбора оптимальной сложности модели является метод структурной минимизации среднего риска (СМСР).

Пусть Pi – замеры пластового давления, снятые в моменты време ни ti (i = 1, 2,..., l), Ri (а) – соответствующие значения давления, рассчи танные по одной из моделей (2.81)–(2.85), а – набор некоторых фиксиро ванных значений параметров моделей (b, k, и т. д.). При идентификации модели упругого пласта параметры а определяются из условия минималь ности отклонения расчетных значений давления от реальных, причем в ка честве меры отклонения принимается функционал эмпирического риска l I0(a)= (Pi - Ri(a))2.

l i= Качество аппроксимации экспериментальных данных в условиях ма лой выборки определяется функционалом среднего риска I(a), для которо го могут быть построены верхние оценки вида (см. раздел 2.3) l ln I(a) Im(a)= I0(a) ;

, n l где n – число искомых параметров (b, k, и т. д.).

Нечеткий подход к выбору сложности модели. Привлекая аппарат теории нечетких множеств (раздел 2.4), можно потребовать максимума критерия µ(a,n)= (µ0(I0(a))µc(n))2, где µ0(I0) и µc(n) – функции принадлежности нечетких множеств «малые значения эмпирического риска» и «малая сложность модели». Эти функ ции могут быть, например, определены в виде (2.57).

Пример 1.

В табл. 2.14 приведены показатели накопленных отборов нефти и воды, а также закачиваемой жидкости по пласту БС10 одного из месторож дений ОАО «Юганскнефтегаз».

Расчеты показали, что для этого пласта наилучшей является модель вида (2.82) с k 0,95, т. е. «полезно затрачиваемыми» для данного место рождения являются 95% закачиваемой воды.

158 Глава Таблица 2. Показатели разработки пласта Закачка, Число Пластовое давление, Дата Нефть, тыс. т Вода, тыс. т тыс. т скважин МПа 1979 3110,0 17,5 2006,1 60 21, 1980 5724,3 76,3 5691,0 121 21, 1981 9650,7 235,7 10796,9 186 21, 1982 15014,3 481,5 20794,0 293 22, 1983 21485,4 1842,9 32363,1 351 23, 1984 28099,3 4778,0 45406,8 376 23, 1985 32972,3 8396,6 59478,5 371 24, 1986 37537,4 13864,7 73977,9 428 25, 1987 41721,0 20358,1 88110,9 461 25, 1988 45368,7 26625,3 102998,9 505 25, 1989 48641,0 33188,1 116661,9 519 25, 1990 51407,8 39819,3 129283,2 500 26, 1991 53731,9 47265,9 141741,6 538 26, 1992 55430,3 55639,2 152728,9 480 26, 1993 56783,8 63742,5 159748,7 444 26, 1994 57904,7 68942,7 165541,5 444 26, 1995 59025,6 74142,9 171334,3 Идентификация параметров модели позволяет прогнозировать дина мику пластового давления при заданных годовых режимах эксплуатации месторождения. Так, было рассчитано изменение давления в контуре пла ста БС10 при годовом отборе жидкости Qж = 7585,3 тыс. т и годовой закач ке Qз = 5792,8 тыс. т воды. При таких объемах к концу 1997 г. давление должно стать равным начальному пластовому давлению 24,9 МПа (рис. 2.14).

Глава 2 P (МПа) t (год) 79 84 89 – факт;

– расчет Рис. 2.14. Динамика изменения пластового давления Пример 2.

Объем пласта БС8 значительно меньше объема рассмотренного выше пласта БС10. Поскольку небольшие по объему нефтеносные объекты под вержены значительному влиянию законтурных вод, то в качестве началь ного приближения была взята модель (2.84), учитывающая перетоки через контур нефтеносности. Расчеты оценки сложности модели по методу структурной минимизации функции среднего риска подтвердили правиль ность этого выбора.

Трехпараметрическая модель (2.84) позволяет оценить не только ко эффициент «полезно» используемой закачиваемой жидкости (для данного пласта k 0,96), но и объемы перетоков через контур нефтеносности (рис. 2.15). Как видим, на начальной стадии эксплуатации пласта до начала заводнения происходило вторжение законтурной воды, а на поздней ста дии – отток жидкости.

160 Глава Q, тыс.м t, (год) - - - - - - Рис. 2.15. Объемы перетоков 2.9. Оценка добывных возможностей скважин по данным нормальной эксплуатации Практически во всех работах, посвященных анализу разработки неф тяных месторождений, отмечается недостаточность исследований скважин и пластов. Справедливости ради, следует отметить, что наблюдаемая тен денция небезосновательна. Инженеры-нефтяники испытывают растущую неудовлетворенность дорогостоящими исследованиями, результаты кото рых зачастую оказываются неустойчивыми относительно ошибок замеров, неоднозначными (см. раздел 2.6) и потому во многом субъективными, за висящими от личности и квалификации интерпретатора. Растет также по нимание того, что, при всем желании, чисто технически невозможно охва Глава 2 тить регулярными исследованиями достаточно представительное множест во скважин.

По нашему мнению, для решения проблем, связанных с дефицитом промысловых исследований, следует более широко использовать идеоло гию пассивных экспериментов, заключающихся в регистрации и анализе данных текущей (нормальной) эксплуатации объектов исследования. Пас сивные эксперименты, в отличие от активных, не требуют прямого вме шательства в работу объектов и принудительного изменения режимов их работы.

В области исследований пластовых систем к активным эксперимен там относятся промысловые геофизические исследования, снятие кривых восстановления давления, индикаторные исследования. На проведение та ких экспериментов и не хватает обычно ни сил, ни средств.

Пассивные эксперименты включают в себя замеры динамического уровня, дебита скважин, затрубного и устьевого давлений, давления на приеме насоса, оборудованного датчиком давления, и т. д.

Поскольку такого рода замеры не требуют остановки скважины, они могут проводиться регулярно, образуя продолжительные временные ряды и являясь источником ценнейшей информации. Необходимо отметить, что пластовые системы редко работают в стационарном режиме, всегда на блюдаются случайные колебания давлений и дебитов около их средних значений («шумы»), а также долговременные трендовые изменения. По этому пассивные эксперименты, как и активные, позволяют получить дан ные в некотором интервале режимов работы. Конечно этот интервал уже, чем в случае активных экспериментов, но это с лихвой компенсируется значительно большими объемами доступной информации. (Отметим, что на инженерном жаргоне исследование шумов называется «шумометрией».) Ниже рассмотрена задача оценки величины забойного давления по замерам их динамического уровня и затрубного давления. Для решения этой задачи разработан и апробирован алгоритм расчета гидростатическо го давления в скважине с учетом газа, выделяющегося из нефти. Показано, что этот алгоритм может быть использован также для интерпретации ре зультатов исследования скважин с ЭЦН, оборудованных датчиками давле ния на приеме и регуляторами частоты вращения двигателя.

2.9.1. Алгоритм определения забойного давления Если давление на приеме насоса больше давления насыщения (сво бодного газа нет), то забойное давление легко оценить, подсчитав вес столба нефти в затрубном пространстве и вес столба водонефтяной смеси на участке от забоя до приема насоса.

162 Глава При появлении свободного газа задача осложняется, поскольку оп ределение плотности газожидкостных смесей является нелегкой пробле мой. Рассмотрим алгоритм расчета распределения давления в скважине до приема насоса и в затрубном пространстве с учетом газа, выделяющегося из нефти при давлении ниже давления насыщения. Предлагаемый алго ритм является обобщением известных методик [41–44] и в качестве опре деляющего параметра включает скорость всплытия пузырьков газа – вели чину, которую предполагается определять из тестовых промысловых экс периментов.

Пренебрегая плотностью газа и потерями на трение, распределение давления P можно определить уравнениями dP = нв(P)(1 - )g, (2.87) dx Р = РЗ x= Н С (на участке от забоя до приема насоса) и dP = н(p)(1 - )g, (2.88) dx Р = РПР x= Н Н (в затрубном пространстве), где н(P), нв (P) – плотность нефти и водо нефтяной смеси при заданном давлении P, – истинное объемное содер жание газа;

g – ускорение свободного падения;

x – вертикальная коорди ната (ось x направлена вниз, ее начало расположено на уровне устья сква жины);

Pз – забойное давление;

Pпр – давление на приеме насоса;

Hс – глубина скважины;

Hн – глубина подвески насоса.

Плотности н(P) и нв(P) вычисляются по известным форму лам [41–44]. Содержание газа в затрубном пространстве существенно зави сит от скорости всплытия пузырьков газа п и коэффициента сепарации газа в затрубное пространство на приеме насоса kс ( kс 0,5 при отсутст вии газосепаратора и kс 0,8 при его наличии).

Оценка забойного давления по замеру динамического уровня H Д представляет собой обратную задачу, решаемую в два этапа:

- на первом этапе при известных PVT -свойствах флюидов, дебита жид кости, обводненности, затрубного давления газа, глубины скважины и глубины спуска насоса строится зависимость динамического уровня от забойного давления H = f (Pз );

Д ~ - на втором этапе по замеренному значению динамического уровня H Д путем обращения функции f (Pз ) находится оценка забойного давле ~ ~ - ния Pз = f (H ). Графически это сводится к проведению пря Д Глава 2 мой H = H и определению точки ее пересечения с графиком функ Д Д ции H = f (Pз).

Д Функция H = f (Pз ) строится численно, для чего задаются значе Д ния забойного давления max Pзi = Pзmin + (i -1)Pз - Pзmin, i =1,2,..., N, N - из некоторого интервала [Pзmin, Pзmax]. При каждом значении Pзi произво дится численное интегрирование (2.87) «снизу-вверх» с начальным усло вием P |x=Hc = Pзi.

При x = H интегрирование прекращается и определяется давление H i на приеме насоса Pпр. После этого интегрируется уравнение (2.88) с на i чальным условием P |x= H = Pпр.

H Глубина x, на которой давление P становится равным заданному значению затрубного давления Pзатр, определяет значение динамического i уровня H.

Д i Соединив точки {Pзi, H } (i =1,2,..., N) отрезками прямых, получим Д зависимость Н = f (Pз ).

Д На рис. 2.16 показаны возможные виды зависимости H от Pз. Кри Д вая вида 1 соответствует невысоким газовым факторам и небольшим деби там жидкости. В этом случае коэффициент истинного газосодержания мал.

Если на приеме насоса давление Рз выше давления насыщения Рнас, зави симость динамического уровня от забойного давления линейная. При снижении давления на приеме насоса ниже давления насыщения зависи мость Н = f (Pз ) искривляется.

Д При больших значениях газового фактора и дебита нефти график функции Н = f (Pз ) может иметь продолжительный пологий участок Д (кривая 2 на рис. 2.16). На этом участке происходит резкое снижение плот ности газонефтяной смеси в затрубном пространстве. Поэтому, несмотря на уменьшение забойного давления, уровень нефти в затрубном простран стве практически не изменяется. Этот факт может объяснить часто отме чаемую парадоксальную ситуацию, когда заглубление насоса приводит к увеличению дебита скважины, а динамический уровень H остается по Д стоянным.

Отличие кривой 2 от 1 в полной мере проявляется, если вспомнить о том, что динамический уровень определяется с некоторой погрешностью.

164 Глава ~ Фактически, мы имеем не точечный замер H, а некоторый интервал (от Д резок CD на рис. 2.16), длина которого зависит от точности измере ния H. В случае кривой 1 малые ошибки в определении динамического Д уровня ведут к столь же малым ошибкам в оценке забойного давления Pз (отрезок A B ). Но в случае кривой 2, если измеренные значения H соот Д ветствуют пологому участку, малый отрезок CD может «растянуться» до очень большого отрезка A B, соответствующего большой ошибке оценки забойного давления Pз. В этой ситуации для улучшения оценки Pз следу ет привлечь некоторую дополнительную информацию.

НД C ~ H Д D A Pз B A B Pз Pз Рис. 2.16. График зависимости динамического уровня от забойного давления В частности, для этой цели могут быть использованы замеры зави симости затрубного давления от времени, полученные при закрытии за трубной задвижки.

2.9.2. Скорость роста затрубного давления Для оценки количества газа, поступающего в затрубное пространст во, могут быть использованы кривые увеличения затрубного давления при перекрытии затрубной задвижки [45].

При проведении опытов замеряется скорость роста давления в мо dPзатр мент закрытия задвижки t = 0: F =.

dt t = Глава 2 Расчетное значение этой величины определяется следующим обра зом.

Объем газа в межтрубном пространстве VГ = A H, Д где A – площадь кольцевого сечения затрубного пространства.

Поведение газа, находящегося в межтрубном пространстве, описы вается уравнением состояния для реальных газов m PзатрVГ = z RT, M где m – масса газа, кг;

z – коэффициент сверхсжимаемости;

M – моляр ная масса газа, кг/моль;

R – универсальная газовая постоянная;

T – темпе ратура.

При мгновенном перекрытии межтрубного пространства изменение массы газа в затрубном пространстве описывается уравнением H Н dm d = Г (Pзатр)VГ + A (P)dx, (2.89) Г dt dt H Д где Г (P) – плотность газа.

Изменение массы газа вызвано его притоком в затрубное простран ство, поэтому dm = kсQГ (Pпр)Г (Pпр), (2.90) dt где QГ (Pпр) – расход свободного газа у приема насоса.

Экспериментальными исследованиями доказано, что при перекры тии затрубной задвижки динамический уровень меняется в пределах не dVГ скольких десятков метров. Таким образом, изменением, ввиду его dt малости, можно пренебречь. Считая температуру в затрубном пространст ве и коэффициент сверхсжимаемости z постоянными, получим из (2.89) и (2.90) следующую формулу для скорости роста давления в затрубном пространстве dPзатр (0) kсепQГ (Pпр)Pпр F = =. (2.91) H d t н А H + d x Д H Д Используя (2.91), одновременно с построением расчетной зависимо сти Н = f (Pз ) можно построить зависимость F = F(Pз ). Эта функция Д может быть использована для оценки забойного давления по замеру F.

Отметим, что для повышения надежности оценок следует стараться одно временно измерять и H, и F, а затем подбирать значения Pз, хорошо со Д гласующиеся с обоими замерами.

166 Глава 2.9.3. Подбор эмпирических коэффициентов Описанная выше модель содержит ряд параметров (таких как ско рость всплытия пузырьков п, коэффициент сепарации kc, например), ко торые, по существу, являются эмпирическими коэффициентами, которые могут быть уточнены из условия наилучшего удовлетворения эксперимен тальным данным.

Так, скважина может быть оборудована насосом, на приеме которого устанавливаем манометр. Если одновременно с замерами давления на ~ ~ приеме Рпр определяются значения динамического уровня H и скорость Д ~ роста давления в затрубном пространстве F при перекрытии затрубной задвижки, то параметры п и kc могут быть найдены из условия миними зации отклонения расчетных значений давления на приеме Рпр от факти ~ ческих Pпр и расчетной скорости изменения давления F от фактического ~ изменения F :

l ~ ~ I1 = [Pпр(i)- Pпр(H (i))] min, Д i= l ~ ~ I2 = [F(i)- F(H (i))] min, Д i= ~ ~ ~ ~ ~ где Pпр(i), F(i), H (i) – i -е замеры, Pпр(H (i)), F(H (i)) – расчетные Д Д Д ~ значения Pпр и F, полученные при H = H (i), l – число замеров.

Д Д Эта двухкритериальная задача может быть сведена к однокритери * Pпр альной проблеме минимизации невязки I = I1 + I2, где = – ко F* эффициент, учитывающий различие в масштабах изменения и размерно * сти Pпр и F, Pпр и F* – их характерные значения.

Приведем конкретный пример. По предложенному алгоритму нами были обработаны данные по 30 скважинам Приразломного месторождения (ОАО «Юганскнефтегаз»), оборудованным насосами с газосепараторами и датчиками давления на приеме.

Наилучшие согласования между расчетными и фактическими значе ниями давления на приеме (см. рис. 2.17) получены при kc = 0, и п = 0,25 м/с.

Найденные значения эмпирических коэффициентов могут быть ис пользованы для расчета забойного давления по динамическому уровню в скважинах, не имеющих насосов с датчиками давления.

Глава 2 Pпр, МПа ~ Pпр, МПа 0246810 Рис. 2.17. Зависимость расчетного давления на приеме насоса от фактического давления 2.9.4. Исследования скважин, оборудованных насосами с датчиками давления и регуляторами подачи Описанные выше алгоритмы могут быть использованы при интер претации данных исследования скважин с помощью ЭЦН, оборудованных датчиками давления на приеме и регуляторами скорости вращения двига теля. Определяя дебит на различных режимах работы насоса и одновре менно замеряя динамический уровень и давление на приеме, можно рас считать значения забойного давления и, тем самым, получить расчетную индикаторную кривую.

В этом случае предлагается следующий алгоритм интерпретации ре зультатов. Возможны следующие варианты.

1. УЭЦН оборудованы датчиками давлений, что позволяет замерять ~ давление на приеме Рпр. Тогда, интегрируя уравнение (2.88) по схеме «сверху-вниз» на каждом режиме, определяют давление на приеме насо са Pпр при известном затрубном давлении. Затем из сопоставления расчет ных и фактических значений Pпр корректируют эмпирические коэффици енты. Интегрируя уравнение (2.87) по схеме «сверху-вниз», на каждом ре 168 Глава жиме определяют забойное давление при известном давлении на приеме.

Зная значения Qж на каждом режиме, строят индикаторную кри вую Pз = Pз(Qж ).

2. ЭЦН не оборудованы датчиками давления. В этом случае на каж дом режиме работы ЭЦН проводят опыты по закрытию затрубной задвиж ки и определяют скорость роста давления F и динамический уровень H.

Д По значениям F и H оценивается забойное давление. Проделав эти вы Д числения для всех режимов работы ЭЦН, строят индикаторную кривую.

Библиографический список к главе 1. Турчин В. Ф., Козлов В. П., Малкевич М. С. Использование методов ма тематической статистики для решения некорректных задач // УФН. – 1970. – Т. 102, № 3.

2. Успенский А. Б. Обратные задачи математической физики – анализ и планирование экспериментов // Математические методы планирования эксперимента. – Новосибирск: Наука, 1981.

3. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функцио нального анализа. – М.: Наука, 1981.

4. Тихонов А. Н., Иванов В. К., Лаврентьев М. М. Некорректно поставлен ные задачи // Дифференциальные уравнения с частными производны ми. – М.: Наука, 1970. – 407 с.

5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1974. – 224 с.

6. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные за дачи математической физики и анализа. – М.: Наука, 1980. – 286 с.

7. Федоров В. В. Активные регрессионные эксперименты // Математиче ские методы планирования эксперимента. – Новосибирск: Наука, 1981.

8. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. – М.:

Мир, 1973. – 958 с.

9. Успенский А. Б., Федоров В. В. Вычислительные аспекты метода наи меньших квадратов при анализе и планировании регрессионных экспе риментов. – М.: Изд-во МГУ, 1975. – С. 122–140.

10. Цыпкин Я. З. Адаптация, обучение и самообучение в автоматических системах // Автоматика и телемеханика. – 1966. – № 1.

11. Петров Б. Н., Крутько П. Д. Применение теории чувствительности в задачах автоматического управления // Изв. АН СССР. Сер. Техниче ская кибернетика. – 1970. – № 2. – С. 300–305.

12. Розенвассер Е. Н., Юсупов Р. М. Чувствительность систем управления. – М.: Наука, 1981. – 464 с.

13. Живоглядов В. П., Каипов В. Х. О применении метода стохастических аппроксимаций к проблеме идентификации // Автоматика и телемеха ника. – 1966. – № 10. – С. 54–60.

14. Георгиевский В. Б. Унифицированные алгоритмы для определения фильтрационных параметров. Справочник. – Киев: Наукова думка, 1971. – 328 с.

15. Блехман И. И., Мышкис А. Д., Пановко Я. Г. Механика и прикладная математика. Логика и особенности приложения математики. – М.: Нау ка, 1983. – 328 с.

16. Вапник В. Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным. – М.: Наука, 1979. – 448 с.

170 Библиографический список к главе 17. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей / Под ред.

В. Н. Вапника. – М.: Наука, 1984. – 816 с.

18. Мацевитый Ю. М. О регуляризации загрублением и повышение точно сти при решении обратных задач // ИФЖ. – 1987. – Т. 53 – С. 302–306.

19. Мирзаджанзаде А. Х., Ковалев А. Г., Зайцев Ю. В. Особенности экс плуатации месторождений аномальных нефтей. – М.: Недра, 1972. – 200 с.

20. Вентцель Е. С. Исследование операций. Задачи, принципы, методоло гия. – М.: Наука, 1988. – 208 с.

21. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и его применение к при нятию приближенного решения. – М.: Мир, 1976. – 165 с.

22. Технология добычи природных газов / Под ред. А. Х. Мирзаджанзаде. – М.: Недра, 1987. – 414 с.

23. Закиров С. Н. и др. Теория водонапорного режима газовых месторож дений. – М.: Недра, 1976. – 240 с.

24. Бузинов С. Н., Умрихин И. Д. Гидродинамические методы исследования скважин и пластов: – М.: Недра, 1973. – 248 с.

25. Кульпин Л. Г., Мясников Ю. А. Гидродинамические методы исследова ния нефтегазоводоносных пластов.: – М.: Недра, 1974. – 200 с.

26. Bourdarot G. Well Testing: Interpretation Methods. – Paris: Editions Tech nip, 1998.

27. Вахитов Г. Г., Мирзаджанзаде А. Х., Аметов И. М. и др. Методическое руководство по диагностированию свойств пласта по данным гидроди намических исследований. – М.: ВНИИнефть, 1983. – 46 с.

28. Камбаров Г. С., Алмамедов Д. Г., Махмудова Т. Ю. К определению на чального извлекаемого запаса нефтяного месторождения // Азербай джанское нефтяное хозяйство. – 1974. – № 3. – С. 22–23.

29. Пирвердян А. М., Никитин П. И., Листенгартен Л. Б. К вопросу о про гнозе добычи нефти и попутной воды при разработке слоисто-неодно родных коллекторов // АНХ. – 1970. – № 11. – С. 19–22.

30. Назаров С. Н., Сипачев Н. В. Методика прогнозирования технологиче ских показателей поздней стадии разработки нефтяных залежей // Изв.

вузов. Сер. Нефть и газ. – 1972. – № 10. – С. 41–45.

31. Казаков А. А. Прогнозирование показателей разработки месторождений по характеристикам вытеснения нефти водой. // РНТС Нефтепромысло вое дело. – М.: ВНИИОЭНГ. – 1976. – С. 5–7.

32. Максимов М. И. Метод подсчета извлекаемых запасов нефти в конеч ной стадии эксплуатации нефтяных пластов в условии вытеснения неф ти водой // Геология нефти. – 1959. – № 3. – С. 42–48.

33. Сазонов Б. Ф. Совершенствование технологии разработки нефтяных месторождений при водонапорном режиме. – М.: Недра, 1973. – 423 с.

34. Методическое руководство по определению начальных извлекаемых запасов нефти в залежах, находящихся в поздней стадии разработки Библиографический список к главе 2 (при водонапорном режиме) (РД 39-9-1069-84). – М.: ВНИИнефть, 1984.

35. Мирзаджанзаде А. Х., Султанов Ч. А. Диакоптика процессов нефтеот дачи пластов. – Баку: Изд-во «Азербайджан», 1995. – 366 с.

36. Капица С. П. Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. Очерк теории роста человечества. – М.: Международная программа образова ния, 1999 – 240 с.

37. David Beaslcy, David R. Bull, Ralph R. Martin. An overview of Genetic Al gorithms. Part 1, Fundamentals.

38. Батищев Д. И. Генетические алгоритмы решения многоэкстремальных задач / под ред. Я. Е. Львовича, Воронеж, 1995.

39. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П.

Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. – М.: Наука, 1987.

40. Баренблатт Г. И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимпто тика. – М., 1985.

41. Brill J. P., Mukherjee H. Multifase flow in wells. – Richardson, Texas, 1999.

42. Разработка и эксплуатация нефтяных и газовых месторождений / Под ред. И. М. Муравьева. – М.: Недра, 1970. – 446 с.

43. Сборник задач по технологии и технике нефтедобычи / Мищенко И. Т., Сахаров В. А., Грон В. Г., Богомольный Г. И. – М.: Недра, 1984. – 272 с.

44. Справочная книга по добыче нефти / Под ред. Ш. К. Гиматудинова. – М.: Недра, 1974. – 704 с.

45. Podio A. L., Tarrillion M. I., Roberts E. T. Laboratory work improves calculations // Oil and Gas. – Aug. 15, 1980. – P. 137–146.

Глава МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СЛОЖНЫХ СРЕД Классическая наука была связана с уверенностью во всемогуществе познания и с детерминизмом;

она обещала человеку власть над миром. Похоже, что уверенность в возможности этой власти постепенно исчезает. Мы идем от мира уверенности к миру сомнений. Любопытно, что этот переход имеет свои положительные стороны.

Наука становится все более всеобъемлющей, способной к постижению мира во всей его сложности.

И. Пригожин 3.1. Описание нестационарных процессов в неньютоновских средах Согласно представлениям структурно-кинетической теории [1–5] процессы разрушения и восстановления структуры в неньютоновских сре дах можно схематично представить как прямую и обратную химические реакции.

Пусть N0 – число структурных связей в единице объема материала до начала разрушения структуры, N(t) и N1(t) – число разрушенных и не N(t) разрушенных связей соответственно, s(t)= N0(t) и s1(t)=1- s(t) – доли (или концентрации) этих связей.

Ясно, что чем больше концентрация неразрушенных связей, тем больше связей может распасться в единицу времени. В то же время увели чение концентрации разрушенных связей приводит к возрастанию интен сивности их восстановления (поскольку увеличивается вероятность встре чи разорванных «концов» пространственной сетки). Поэтому по мере тик & сотропного разрушения структуры при =const скорость разрушения свя зей уменьшается, а скорость восстановления связей растет. В конце концов скорости образования и разрушения структуры станут равными друг другу и наступит динамическое равновесие, характеризующееся некоторым ста & & ционарным значением = ( ) ( и – напряжение и скорость сдвига).

ГЛАВА 3 Последовательное развитие этих представлений с использованием подходов, разработанных в теории химических реакций, приводит к кине тическим уравнениям вида ds & = f (s, ), (3.1) dt моделирующим нестационарные процессы в неньютоновских средах. Эф фективная вязкость материалов µa считается некоторой функцией вели чины s, требующей специального задания: µa = µa(s).

Простейшее линейное уравнение вида (3.1) можно записать по ана логии с кинетическим уравнением первого порядка:

ds & & = k1( )s1 - k2( )s, (3.2) dt & & где k1 = k1( ) и k2 = k2( ) – константы скоростей «реакций» разрушения и & восстановления связей, в общем случае зависящие от скорости сдвига.

Зависимость µa = µa(s) в линейном приближении может быть задана соотношением µa = µ0 - (µ0 - µ)s. (3.3) Согласно (3.3) при s = 0 (неразрушенная структура) µ = µ0, а при s = 1 (полностью разрушенная структура) µa = µ.

Из (3.2) и (3.3) легко получить уравнение dµa & & ( ) + µa = µS ( ), (3.4) dt 1 k & & где ( ) =, µS ( ) = µ0 - µ, µ = µ0 - µ.

k1 + k2 k1 + k Решение (3.4) с начальным условием µa (0) = µ0 имеет & (при = const) вид t µa = µS + (µ0 - µS )exp-.

t Согласно этому соотношению, µa µS при. Следовательно, & функция µS ( ) определяет равновесное (стационарное) значение вязкости, & соответствующее данному значению. Поскольку уже при t & e-t / 0, то величина ( ) имеет смысл характерного времени установле ния равновесия.

Обобщением (3.2) является нелинейное кинетическое уравнение, предложенное Денни и Бродки (D. A. Denny, R. S. Brodkey, 1962 г.) [1]:

ds = k1(1- s)n - k2sm, (3.5) dt 174 ГЛАВА где n и m – постоянные, аналогичные стехиометрическим коэффициен там, используемым в химической кинетике.

В теории Денни и Бродки принимается, что k2 = const, а константа скорости разрушения является возрастающей функцией скорости сдвига:

p & k1 = k0.

Предполагается также, что эффективная вязкость определяется соот ношением (3.3).

При достаточно продолжительном деформировании с постоянной & скоростью сдвига устанавливается равновесное состояние, определяемое ds условием = 0, которое можно, используя (3.3) и (3.5), переписать в виде dt n m µa - µ µ0 - µa p & k0 = k2. (3.6) µ µ Соотношение в неявном виде определяет равновесную зависимость & кажущейся вязкости от скорости сдвига µa = µa( ). Существенным недос татком подобных теорий является наличие большого числа констант, не поддающихся теоретической оценке, поэтому они вряд ли могут быть ис пользованы для непосредственного описания экспериментальных данных.

Модели такого рода предназначены, скорее, для выявления качественных особенностей нестационарных процессов в реологически сложных средах.

Рассмотрим некоторые возможные пути уточнения кинетических моделей неньютоновских сред.

Как известно, скорость диссипации механической энергии в единице & объема жидкости равна W = µa. Естественно предположить, что часть этой энергии тратится на разрушение структурных связей, поэтому кон станту скорости разрушения k1 можно считать функцией величины W. Это позволяет уточнить вид зависимости k1от скорости сдвига:

& k1 = k1(µa(s) ).

Повреждения пространственной «сетки» могут служить центрами, в окрестностях которых процессы деструкции резко ускоряются («где тонко, там и рвется»), поэтому константу скорости разрушения структуры можно считать возрастающей функцией концентрации разрушенных связей s.

Приведенные выше соображения можно учесть, например, в сле дующем кинетическом уравнении:

ds & = -k2s + k0µa(s) s(1- s), (3.7) dt где k0 – некоторая постоянная.

Эффективная вязкость сильнее всего меняется также на начальной стадии разрушения структуры, поэтому линейная связь (3.3) качественно ГЛАВА 3 неверна. Вместо нее целесообразно использовать экспоненциальные зави симости вида s µa(s)= µ + (µ0 - µ)exp-. (3.8) s Здесь величина s0 определяет область, в которой эффективная вяз кость меняется наиболее значительно (рис. 3.1).

µa µ µ s s Рис. 3.1. Зависимость эффективной вязкости от концентрации разрушенных связей Для описания нестационарных процессов в реопектических средах (характеризующихся образованием структурных связей под действием де формаций) может быть предложено кинетическое уравнение dq & & = k2q - k1qm, (3.9) dt где q – концентрация структурных связей, образовавшихся в результате сдвиговых деформаций, k1 и k2 – константы скоростей разрушения и вос становления связей, m – порядок «реакции» разрушения структуры.

& Согласно (3.9) при малых имеет место структурообразование, ин & тенсивность которого пропорциональна скорости сдвига. С увеличением второй член в правой части (3.9) начинает превышать первый, т. е. процес сы разрушения структуры превалируют над процессами структурообразо вания. Это вполне согласуется с тем, что реопектические эффекты на прак тике наблюдаются лишь при достаточно малых скоростях сдвига. Из (3.9) следует, что скорость структурообразования пропорциональна концентра ции структурных связей. Это связано с предположением о том, что уже существующие связи служат центрами, ускоряющими образование новых, 176 ГЛАВА аналогично тому, как зародыши ускоряют зарождение новой фазы. По скольку увеличение концентрации образовавшихся при сдвиге связей должно привести к увеличению скорости деструкции по сравнению со ско ростью структурообразования, константа m в (3.9) должна удовлетворять условию m >1.

Считая, что состояние неньютоновской среды можно характеризо вать всего лишь одной переменной – концентрацией связей – мы тем са мым неявно считаем все структурные связи одинаковыми. Это, конечно, не так, поскольку реофизически сложные среды состоят из структурных еди ниц различного масштаба (молекул, их ассоциатов, макромолекул, класте ров, ассоциатов кластеров и т. д.), образующих некоторую иерархически построенную систему. Реологическое поведение структурных единиц и теснота связи между ними на каждом уровне этой иерархии различны. По этому эффективную вязкость среды следует считать функцией многих пе ременных µa = µa(s1, s2,…, sn), где si – концентрация разрушенных свя зей, существовавших между структурными единицами i-го уровня (i =1,2,...,n ). Соответственно вместо кинетического уравнения (3.1) следу ет рассмотреть системы вида dsi & = fi(, s1, s2,…, sn), i = 1,…, n. (3.10) dt При построении таких моделей делаются более или менее правдопо добные рассуждения об основных структурных единицах и схеме «реак ций» с их участием (см., например, [5, 6]). Однако практическая ценность подобных теорий весьма мала, поскольку «внутренние» переменные si яв ляются ненаблюдаемыми – в настоящее время еще не разработаны методы экспериментального определения этих величин. Отметим, что в случае од ной переменной s модель (3.1) может быть, в принципе, переписана отно сительно наблюдаемой величины µa (см., например, уравнение 3.4).

Система (3.10) содержит большое число теоретически не определяе мых параметров, подбором которых можно объяснить любые эксперимен тальные данные, поэтому проверка ее адекватности невозможна. Более то го, одним и тем же экспериментальным данным могут удовлетворять раз личные наборы параметров. Все это лишает модели вида (3.10) предсказа тельной силы.

Приведем анекдот, прекрасно описывающий ситуацию с подобными теориями, в которых параметры «подгоняют» под экспериментальные ре зультаты [7].

Офицер северян во время гражданской войны в США видит на две рях амбаров множество от руки нарисованных мишеней, в середине каж дой из которых – след пули, попавшей точно в «яблочко». «Кто это тут уп ражнялся? Неплохой стрелок», – говорит он. «Да это Билли Джонс бало вался с кольтом. Но если честно, то он совсем не умеет стрелять». «Как же ГЛАВА 3 так?» «Так он сначала стреляет, а уже потом рисует круги вокруг пробои ны».

Иными словами, сложность модели (3.10) не соответствует объему доступной теоретической и экспериментальной информации. Приемлемым выходом в этой ситуации может стать использование дифференциально разностных моделей (т. е. дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом) вида ds(t)= f ( (t), s(t), s(t -)).

& (3.11) dt Возможность замены системы (3.10) одним уравнением (3.11) физи чески можно объяснить тем, что цепочка «реакций» разрушения крупных структурных единиц на более мелкие (или восстановления крупных струк турных единиц из мелких) приводит к некоторому запаздыванию в процес сах структурообразования. Наличие отклоняющегося аргумента в моде ли (3.11) позволяет в какой-то мере учесть это запаздывание, не выписывая в явном виде кинетические уравнения для всех иерархических уровней.

Для примера рассмотрим систему dx = y, dt dy -x.

= dt Исключив переменную y, получим дифференциальное уравнение второго порядка x + x = 0, имеющее частное решение x = C sin t. Легко проверить, что эта функция является одновременно и решением уравнения dx = -xt -.

dt Таким образом, дифференциально-разностное уравнение первого по рядка с отклоняющимся аргументом в каком-то смысле аппроксимирует систему дифференциальных уравнений.

3.2. К учету явлений запаздывания в теории фильтрации При решении задач нестационарной фильтрации через пористые сре ды обычно за основу принимается закон Дарси. Этим самым предполагает ся, что равновесное состояние между градиентом давления и скоростью дос тигается мгновенно. На самом же деле оно достигается с некоторым запо зданием, которое обусловлено:

а) инерцией скорости и запаздыванием его значения от значения гра диента давления;

178 ГЛАВА б) релаксацией давления и запаздыванием значения градиента давле ния от значения скорости;

в) сложностью структуры пористой среды и запаздыванием установ ления равновесного состояния в его микропорах;

г) запаздыванием переупаковки частиц, изменения пористости и про ницаемости и т. п.

Выявление эффектов, связанных с явлениями запаздывания, может оказаться полезным для изучения фильтрации неньютоновских нефтей, растворов полимеров, смесей, эмульсий и пр.

Чтобы учесть запаздывание скорости или давления р, эти величи & & ны обычно [8] заменяют на + и p + p p, где точка означает полную производную по времени. В линейном приближении вместо закона Дарси будем иметь уравнение k p p, + = - + p (3.12) t µ x x t аналогичное реологическому уравнению жидкости Фрелиха и Сакка [9], где и p – время релаксации скорости и давления соответственно.

Уравнение (3.12) при p=0 есть известное обобщение закона Дарси с учетом инерционных членов. Обстоятельный его вывод, опирается на предположение, что вязкие силы трения можно считать объемными. Нам представляется целесообразным писать инерционный член по аналогии, а время определять экспериментально.

При =0 уравнение (3.12) дает фильтрационный аналог жидкости Максвелла, а p есть время релаксации давления. Физический смысл его состоит в том, что если в заданной точке остановить фильтрационное тече ние, то градиент давления примет нулевое значение не сразу, а постепенно:

p t ~ a exp-. (3.13) x p При учете явлений запаздывания граничные условия для давления при нестационарной фильтрации следует определять из (3.12). Например, если начать закачку в галерею с переменной скоростью = at, то градиент давления G на входе найдется из решения задачи k & a(t + ) = - (G + pG), G(0)= 0. (3.14) µ Время релаксации давления для маловязких чистых жидкостей имеет порядок 10–10 с. Оно зависит от размеров молекул, возрастая при переходе от низших гомологов к высшим. У полимеров, обладающих очень длин ными молекулами, время релаксации огромно. Релаксационные процессы перегруппировки цепных молекул под действием внешних сил протекают чрезвычайно медленно, не заканчиваясь иногда в течение многих суток и ГЛАВА 3 даже месяцев [10]. При фильтрации в неоднородной пористой среде следу ет ожидать наличия множества одновременно идущих процессов с весьма различными временами релаксации, соответствующими молекулярным взаимодействием различных масштабов и неоднородностям геометрии пор.

При обычных предположениях теории упругого режима [11, 12] со отношение (3.12) приводит к уравнению нестационарной фильтрации вида 2 2 p p p p k, = + = + p t µ(mж + c), t2 x2 x2 t идентичному полученному в теории трещиновато-пористых сред.

Здесь m и k – пористость и проницаемость среды, µ – вязкость жид кости, ж и c – сжимаемость жидкости и пористой среды.

Механизм обмена жидкостью между блоками и трещинами объясня ет возникновение релаксации давления. Вместе с тем релаксация давления в пористой среде может быть обусловлена не только этой причиной. Мно гие результаты, полученные при изучении фильтрации в трещиновато пористых средах, могут быть интерпретированы более широко – для сред со сложной геометрией пор или составных (песок + глина +...) пористых сред, характеризующихся микронеоднородностью.

Если рассматривать задачу о восстановлении давления в полубеско нечном линейном пласте с начальным распределением давления p(x,0)= ax, то, взяв граничное условие (2.14) при х = 0, для определения давления можно получить формулу r p + p + 2a I0 d p(0,t) = t - exp-.

2p 2p p Из этой формулы, в частности, следует, что для малых времен 4 t p(0,t) at, 3 pv т. е. вместо крутого (пропорционального t ) роста давления, характерного для классической модели, происходит весьма медленный (пропорциональ ный t t ) его рост. Для больших значений времен имеет место асимптоти ческая формула 1- p + 32 + 4p + 3..., p p(0,t)~ 2a t / - 4t 32t т. е. поведение давления будет почти таким же, как и при р = = 0.

В работе [13] приводятся кривые восстановления давления (КВД) для составных пористых сред, полученные на линейных лабораторных моде лях. Эти кривые имеют ярко выраженный линейный начальный участок, 180 ГЛАВА тогда как классическая теория дает зависимость типа t. Линейный харак тер на начальном участке хорошо объясняется, если принять р при = 0, причем для коротких моделей не пьезопроводность, а время ре лаксации определяет процесс [14].

3.3. Масштабная инвариантность временных иерархий в процессах релаксации вязкоупругих сред Многие практически и теоретически важные задачи приводят к не обходимости моделирования процессов релаксации в реофизически слож ных средах. Такие среды встречаются при производстве самых разнооб разных материалов (резины, пластмасс, тканей, красок, смазок, пищевых продуктов и др.) [9, 15–19]. Исключительно большое значение они имеют также в процессах, связанных с добычей нефти [19–21]. Интерес к ним обусловлен огромным разнообразием новых эффектов, могущих возник нуть в релаксирующих материалах. Изучение их реологии способствует лучшему пониманию и усовершенствованию технологических процессов, рациональной разработке новых высокоэффективных технологий и про дуктов.

Релаксационные явления в реофизически сложных средах связаны с медленным развитием процессов перегруппировки структурных единиц различного масштаба. (Так, в случае полимеров таковыми являются гибкие молекулы, их отдельные сегменты или же пачки, образованные этими мо лекулами.) Эти процессы приводят к запаздыванию изменений деформа ции от изменения напряжения (гистерезис, упругое последействие, релак сация напряжения и т. д.) и могут быть описаны с помощью моделей упру гих тел с внутренним трением и вязких тел, обладающих упругостью.

Механические модели вязкоупругих тел полезны для понимания качест венных особенностей явлений релаксации, но их применение к количест венному описанию реальных материалов требует построения очень слож ных систем, состоящих из большого числа различных пружин и вязких элементов (что связано с наличием иерархии структурных единиц различ ного масштаба, приводящей к иерархии широко распределенных времен релаксации). Ясно, что сложные модели не могут оказаться эффективны ми – слишком велики трудности, связанные с определением многочислен ных релаксационных параметров по экспериментальным данным, а также с решением задач моделирования движения сред с широким спектром вре мен релаксации.

Ниже показано, что отмеченные затруднения могут быть преодолены за счет конкретизaции структуры временных иерархий, определяющих ре лаксацию в реофизически сложных средах. Проведен анализ эксперимен ГЛАВА 3 тальных данных, который показывает, что распределение времен релакса ции в этих средах может оказаться масштабно-инвариантным, т. е. иметь фрактальную структуру. Показано, что наличие временной фрактальности позволяет облегчить описание процессов релаксации, приводя на больших временах к универсальным релаксационным функциям достаточно просто го вида [22, 23]. Показано также, что в ряде случаев возможно использова ние реологических моделей, содержащих производные дробного порядка.

3.3.1. Релаксация напряжения в вязкоупругих средах Многоуровневые процессы релаксации в вязкоупругих средах опи сываются моделью обобщенного тела Максвелла с функцией релаксации t (t)= exp- G i, i i= где i – характерное время релаксации на i -м уровне организации струк туры;

Gi – коэффициент, определяющий «вклад» i -го уровня в общий процесс релаксации.

Мастабно-инвариантное распределение релаксационных параметров проявляется в скейлинговых законах вида G Gn = = G0 exp(- nl), l = ln l1;

(3.15) n l n n = 0m1 = 0 exp(nm), m = ln m1, (3.16) или вместо (3.16) n = 0nv. (3.17) Таким образом, при наличии временной масштабной инвариантно сти ln Gn должен линейно уменьшаться с увеличением n.

Существование такой зависимости подтверждается данными рабо ты [18], в которой приведены значения Gn и n для нескольких иерархи ческих уровней образцов монодисперсного и полидисперсного полистиро лов. По этим данным линейной является и зависимость от номера уровня логарифма времени релаксации, что может быть проявлением зако на (3.16).

Выбрав скейлинговые законы (3.15) и (3.16) и преобразовав сумму в функции релаксации в интеграл, получим t (t) = G0 (- xl)exp - exp(- xm)dx.

exp 182 ГЛАВА Для определения асимптотики этого интеграла на больших временах сделаем замену переменной z = exp(- xm) и по методу Лапласа получим -l / m G0 l t (t), (3.18) m m Г(x) – гамма-функция.

Если же времена релаксации задаются законом (3.17), то, как легко показать, верна асимптотика 1/( +1) -( +1) t, = 0l- 1+ 1.

(t) ~ exp- (3.19) Таким образом, масштабная инвариантность процессов релаксации существенно упрощает их описание и позволяет использовать достаточно простые универсальные функции релаксации вида (3.18) и (3.19).

Отметим, что функция релаксации вида (3.18) с показателем степени, равным –1/2, может быть получена в рамках молекулярной теории вязко упругости Рауса и Бикки [18]. Однако эта теория не в состоянии объяснить часто наблюдаемое на практике отклонение значения показателя степени от указанной величины и, тем более, происхождение функций релаксации вида (3.19).

Масштабная инвариантность распределения релаксационных пара метров может послужить для объяснения принципа температурно-времен ной суперпозиции [18], который выражается связью (k(T )t) = k1(T )0(t), (3.20) где (t) и 0(t) – функции релаксации при температурах T и T0, T0 – не которая характеристическая температура, k, k1 – коэффициенты, завися щие от температуры ( k(T0)= k1(T0)=1).

Действительно, если считать, что скейлинговые показатели l, m не зависят от температуры, то из (3.18) получим (3.20) при 0(T) G0(T) k(T)= 0(T0), k1(T)= G0(T0).

В качестве примера нами была рассмотрена кривая релаксации на пряжения в образце монодисперсного полистирола, приведенная в [18].

Расчеты показали, что эта кривая релаксации напряжения вполне удовле творительно описывается законом (3.19) при = 0,50.

v + 3.3.2. Реологические модели в дробных производных Рассмотрим теперь вязкоупругое тело, представляемое множеством последовательно соединенных тел Кельвина–Фойхта. Тогда связь между ГЛАВА 3 скоростью деформации и напряжением определяется соотношени ем [15, 16] t (t) 1 t, (3.21) D (t)= + (t -)d(), (t)= exp- µ µn n n где (t) – величина сдвига, µ – вязкости элементов, – времена релакса d ции, D =.

d t Как и выше, предположим наличие масштабной инвариантности распределения релаксационных параметров:

µn = µ0 exp(l n), n = 0 exp(n m).

Тогда (см. 3.18) (t) Lt-, L = (1) (3.22) µ0m и (3.21) можно переписать в виде - D (t)= µ (t)+D- D(t);

(3.23) = 1 – 1, 1 = l /m, = L ();

t - D- f (t) (t ()d ()0 -) f ( D- f (t) – дробная производная порядка –).

µn Принимая Gn = G0 exp(–l n) и учитывая, что n =, получим Gn - n = µ0G0 exp((l + l)n), откуда 0 < 1 < 1, 0 < < 1.

Таким образом, наличие временной масштабной инвариантности приводит к необходимости использования реологических моделей в дроб ных производных. Отметим, что подобные модели вводились (исходя из других соображений) и ранее (см., например, [16, 17, 24]). Полученный на ми результат имеет также связи с работами [23, 25], в которых показано, что временная самоподобность процессов приводит к уравнениям в дроб ных производных. Подчеркнем, что реологический закон с дробными про изводными получен нами для модели, включающей всего лишь различные пружины и вязкие элементы, в отличие от работы [17], в которой постули руется существование самостоятельного типа деформации – высокоэла стичной деформации, которая не может быть сведена к сумме упругости и вязкого трения.

184 ГЛАВА 3.3.3. Процессы релаксации при объемной деформации Рассмотрим теперь процессы релаксации при объемной деформации.

В ряде экспериментов [26, 27] было замечено, что если сосуд заполнить структурированной жидкостью (например, нефтью с асфальтено-смолис тыми примесями), а затем создать в сосуде избыточное давление и герме тически закрыть его, то давление в сосуде медленно падает до некоторого стационарного значения. Релаксационные процессы такого рода связаны с перегруппировкой макромолекул и кластеров, образованных ими. При бы стром сжатии такая система претерпевает мгновенную упругую деформа цию, величина которой определяется коэффициентом объемной упругости среды в начальном состоянии. Затем происходит медленная перегруппи ровка структурных единиц различной сложности, что за счет уплотнения среды приводит к некоторому уменьшению ее объема и, как следствие, к некоторому уменьшению давления.

Процесс релаксации давления можно описать обобщенной моделью Максвелла, если изменение давления p считать аналогичным напряже нию, относительное изменение плотности – аналогом деформации ( 0 – начальная плотность среды) и положить Gi = (i = 0, 1, 2,...), где i 0 – равновесная (при t ) сжимаемость среды, i – мгновенная сжи маемость вязкоупругих структурных единиц.

Записав баланс сил для модели обобщенного тела Максвелла, полу чим = G0 +, µ & i i (3.24) i= & i + =, i i µi где – смещение i -го вязкого элемента, i = – время релаксации i -го i Gi звена.

Переходя к величинам p и, из (3.24) легко получить t 0mp(t)= (t)- (t - ) ()d, 1 t, m – мгновенная сжимаемость среды, оп где (t) m exp- ii i i= ределяемая соотношением 1 =.

m i=0 i ГЛАВА 3 Отсюда, вновь приняв скейлинговые законы вида (3.15), (3.16), полу чим, аналогично (3.23), 0mp = - D-. (3.25) Таким образом, уравнение состояния вязкоупругих сред также может содержать дробные производные (отметим, что степени производных в (3.23) и (3.25) могут различаться, хотя мы сохраняем для них одно и то же обозначение).

В качестве примера рассмотрим данные следующего опыта, прове денного Г. М. Панаховым. Термостатируемый контейнер высокого давле ния заполнялся структурированной нефтью, содержащей примеси в виде парафинов и смол. После заполнения контейнер тщательно вакуумировали, а затем производили мгновенное повышение давления путем быстрого на гнетания в контейнер небольшой порции нефти из бомбы PVT. После это го контейнер закрывался и производилась регистрация падения давления во времени. Результаты одного из таких опытов, в ходе которого давление в закрытом контейнере упало от 5 МПа до 4,64 МПа, приведены ниже.

0 1,5 3 6 15 30 t 10-2, c p, MПа 5,00 4,91 4,85 4,78 4,72 4,68 4, Предположим, что релаксация давления в контейнере описывается уравнением (3.25). Для идентификации этой модели воспользуемся опера ционным методом [28, 29].

Поскольку плотность нефти в процессе релаксации давления не ме няется, то, осуществив преобразование Лапласа, получим из (3.25) ln(1- su)= ln - ln s, (3.26) 1 где u = (- (0).

exp st)p(t)dt, p(0) = p(0)0 0m Таким образом, если объемная релаксация действительно описывает ся моделью (3.25), то кривая изменения давления должна спрямиться в ко ординатах Y = ln(1- su), ln s. Для проверки этого факта мы задавались раз личными значениями s из интервала [5/T;

20 /T] (Т – время снятия экспе риментальной кривой;

в нашем случае T = 6000 с) и вычисляли изображе ние функции p(t) по формуле p(0) 1 p(ti+1)- p(ti) i i+ U (s) = + (e-st - e-st ).

s s2 i ti+1 - ti Результаты проведенных вычислений свидетельствуют, что кривая релаксации действительно спрямляется в указанных координатах. По углу наклона прямой было найдено = 0,78.

186 ГЛАВА Полученные нами результаты могут быть использованы для вывода уравнений движения релаксирующих сред. Прежде всего, рассмотрим движение структурированной релаксирующей жидкости в трубе радиуса R.

Реологическое уравнение среды запишем в виде (ср. с (3.23)) - = +D-, (3.27) r µ t где (r, t) – составляющая скорости вдоль оси трубы.

Осредняя (3.27) по сечению трубы, в рамках квазистационарного приближения [30] можно получить следующее уравнение движения:

w p p 8µ 0 + 2aw = - +D- D, 2a =, (3.28) t x x 0R p где w – средняя по сечению скорость, – градиент давления вдоль оси x трубы.

Уравнение неразрывности w = - t x при учете (3.25) можно записать в виде p = -0c0(1- D- ) w, c0 = (m0), (3.29) t x где c0 – «мгновенная» скорость звука в среде.

Исключая из (3.28) и (3.29) скорость, получим уравнение движения релаксирующей жидкости в виде p (D + 2a)p = c0(1- D- )(1+D- D) x2. (3.30) Уравнения фильтрации, как известно, можно получить, пренебрегая w 1 k в (3.28) инерционным членом и полагая =, где теперь w – ско t 2a µ рость фильтрации, k – проницаемость пористой среды. Следуя известной методике (например, [11]), в этом случае получим следующий ана лог (3.30):

k Dp = (1- D- )(1+D- D) div(grad p), =, m где – коэффициент пьезопроводности, m – пористость, – сжимае мость пласта.

ГЛАВА 3 3.3.4. Примеры неэкспоненциальных законов Универсальные законы релаксации вида (3.18) или (3.19) применимы для описания многих процессов нефтегазодобычи. Рассмотрим некоторые примеры.

КВД в трещиновато-пористых пластах По методике П. Полларда, кривая восстановления давления (КВД) в остановленной скважине, эксплуатирующей трещиновато-пористый пласт, описывается суммой трех экспонент t p(t)= p - Aj exp-, j j= где p(t) – изменение давления, p – предельное значение давления p, Aj и – величины, определяющие вклад и характерное время фильтра j ционных процессов в загрязненной призабойной зоне ( j = 1), трещи нах ( j = 2) и поровых блоках ( j = 3), p = Aj.

j= В реальности система трещин и блоков имеет фрактальную структу ру, поэтому для описания релаксационных процессов, связанных с ними, следует использовать неэкспоненциальный закон Кольрауша. Таким обра зом, вместо формулы Полларда можно предложить модель вида 2 t t t.

p(t)= p - A1 exp- - A2 exp- - A3 exp - 1 2 Кинетика влияния техногенных факторов на проницаемость пористой среды Известно, что закачка сточных вод, содержащих механические при меси, а также остаточные «следы» нефтепродуктов и химреагентов приво дят к существенному ухудшению коллекторских характеристик призабой ной зоны пласта. Таковы же последствия биозаражения пласта бактериями, привнесенными извне, а также образования труднорастворимых солей в результате нагнетания вод, несовместимых с пластами.

Простейшая математическая модель, описывающая уменьшение про ницаемости при фильтрации жидкости с примесями, имеет вид ds = q - s, dt 188 ГЛАВА где s – массовое содержание в единице объема пор частиц примеси, осев ших на поверхности пор скелета пористой среды, q – скорость увеличения содержания загрязняющих частиц за счет закачки свежих порций жидкости с примесями, – коэффициент, определяющий скорость выноса загряз няющих частиц потоком жидкости (предполагается, что скорость выноса пропорциональна содержанию осевших частиц).

Аппроксимируя в первом приближении зависимость проницаемости пористой среды от степени ее загрязненности линейной функцией, примем k = k0 - s, где k0 – проницаемость незагрязненной пористой среды.

Выразив s через k, получим dk + k = k, dt где – характерное время загрязнения, =, k – предельное значение q проницаемости, k = k0 -.

Как правило, k << k0, поэтому можно положить k = 0, что после интегрирования дает t k = k0e.

Согласно этой модели уменьшение проницаемости вследствие загря нения пористой среды должно описываться простой экспоненциальной за висимостью. Однако эксперименты показывают, что это справедливо толь ко для пористых сред, представленных хорошо отсортированным кварце вым песком узких фракций. Экспериментальные данные, полученные в на сыпных пористых средах из песка широких фракций, уже не подчиняются экспоненциальной зависимости. Промысловые исследования также приво дят к кривым падения приемистости нагнетательных скважин, отличным от экспоненты.

Отмеченные факты можно объяснить многомасштабностью размеров поровых каналов. Пусть (r)dr – объемное содержание поровых каналов масштаба r, k0(r) и (r) – проницаемость и характерное время загрязне ния для этих каналов. Тогда суммарная проницаемость пористой среды выражается интегралом t (r)dr, k = 1(r)e где 1(r)= k0(r) (r).

ГЛАВА 3 Как и все неупорядоченные природные системы, реальные пористые среды характеризуются масштабно-инвариантным (фрактальным) распре делением пор по размерам. Поэтому можно предположить, что 1(r) и (r) удовлетворяют зависимостям 1 r =0 exp r ;

(r)=0r.

( ) ( ) При этих предположениях асимптотика интеграла легко определяет ся по методу Лапласа и приводит к «растянутому» экспоненциальному за кону (закону Кольрауша) k = k0 exp(- t ), где =.

+ Для примера на рис. 3.2 приведена зависимость проницаемости керна пласта БС10 Мамонтовского месторождения от объема прокаченной через него жидкости при фильтрации поочередно с водой 5 оторочек водонефтя ной эмульсии, содержащей 0,5% железной окалины. Суммарный объем эмульсии составляет 10% объема пор Vпор, начальная проницаемость кер на равна 0,134 мкм2.

0, Опыт 0, Модель 0, 0, 0, 0,0 2,0 6,0 7, 4,0 5, Объем прокаченной жидкости, Vпор Рис. 3.2. Динамика уменьшения проницаемости Проницаемость, мкм 190 ГЛАВА Расчеты показали, что экспериментальная зависимость хорошо опи сывается выведенной нами формулой, если принять = 0,57, = 0,32, t = Vпор. Обратная задача определения коэффициентов и решалась методами теории чувствительности (см. раздел 2.1.1).

Динамика набухания глин В настоящее время в нефтяной промышленности находят широкое применение технологии, основанные на взаимодействии химических реа гентов с монтмориллонитовыми глинами. В частности, полимерглинистые суспензии используются для изоляции промытых зон пласта и увеличения нефтеотдачи. Кроме того, применение химреагентов позволяет за счет их взаимодействия с глинистым цементом значительно изменять проницае мость и пористость глиносодержащих коллекторов.

Для количественной оценки влияния минерализации воды и закачки реагентов на набухание глин проводятся лабораторные исследования (на пример, с помощью прибора Жигача–Ярова) зависимости коэффициента набухания от времени.

При обработке данных этих исследований необходим выбор модели, адекватным образом описывающей динамику набухания. Учитывая фрак тальную иерархичность строения глин, для обработки кривых набухания можно предложить многоэкспоненциальную зависимость вида N t k = k - Ai exp- i, i= где k – коэффициент набухания;

k – асимптотическое (при t ) зна чение k ;

i – характерное время набухания структурных единиц i -го уровня, Ai – «вклад» этого уровня в общий процесс набухания.

Для определения величин Ai и i воспользуемся X-методом А. То больского [8], первоначально предназначавшимся для оценки времени ре лаксации напряжения сдвига полимеров.

Суть этого метода заключается в том, что кривая k(t) перестраивает ся в координатах (t, ln(k - k)). При этом в перестроенной кривой выделя ется прямолинейный участок (соответствующий большим временам), ко торый описывается зависимостью t ln(k - k) = ln AN -, N по которой оцениваются значения AN и N (нумерация уровней ведется в порядке возрастания времени релаксации;

через N мы обозначили номер высшего наблюдаемого в данной шкале времени уровня организации).

ГЛАВА 3 Затем строят график ln(k - k - AN ) от t и, повторяя те же операции, оценивают величины (AN -1,N -1), (AN -2,N -2) и т. д.

Для иллюстрации на рис. 3.3 показаны типичная кривая набухания и результаты ее обработки по одно- и многоэкспоненциальной зависимо стям. Как видим, последняя модель весьма хорошо описывает кривые на бухания глин. В табл. 3.1 приведены значения Ai, i, полученные при об работке кривых набухания глины в различных растворах.

0, 0, 0, 0, 0, 0, 500 300 0 100 200 Время, с одноэкспоненциальная зависимость эксперимент многоэкспоненциальная зависимость Рис. 3.3. Корреляция между экспериментальными и расчетными данными о кинетике набухания бентонитовой глины На рис. 3.4 приведены зависимости ln i от номера уровня i. Как ви дим, эти зависимости могут быть описаны линейным уравнением ln i = a + bi, откуда i = 0mi, где 0 = ea, m = eb.

Таблица 3. Результаты обработки кривых набухания бентонита Раствор i Ai i, с ln i 0,167 17,2 2, N– 0,372 211 5, Пластовая вода (Мамонтовское ме- N– сторождение, пласт Б11) 0,194 5800 8, N– 0,063 585645 13, N Степень набухания k 192 ГЛАВА 0,128 29,0 3, N– 0,324 362 5, N– Водопроводная вода 1,087 8484 9, N– 0,485 443820 13, N 0,147 13,7 2, N– 0,198 298 5, N– 0,618 4267 8, Полиглицерин 0,5% N– 0,818 98720 11, N– 0,094 2158346 14, N Отсюда следует, что иерархия времен {i} масштабно-инвариантна (т. е. фрактальна), поскольку, как легко видеть, i+ = m = const.

i ln i N–4 N–3 N–2 N–1 N i Рис. 3.4. Зависимость логарифма характерного времени набухания от номера уровня – пластовая вода;

– водопроводная вода;

– полиглицерин 0,5% 3.4. Моделирование нестационарной фильтрации в пластах с фрактальной структурой Традиционно пласт с ухудшенной проницаемостью описывается при помощи модели, состоящей из двух различных пространственно одно ГЛАВА 3 родных зон: «загрязненной» призабойной зоны и расположенной за ней зоны с большей проницаемостью. В ряде случаев эта несколько схематич ная модель может быть уточнена за счет принятия некоторых дополни тельных предположений о структуре пласта с ухудшенной проницаемо стью. В условиях, когда какие-либо теоретические или экспериментальные исследования структуры «загрязненного» пласта отсутствуют, полезную информацию могут дать некоторые положения теории организации слож ных систем. Так, можно ожидать, что зоны пласта с ухудшенной прони цаемостью обладают, как и многие другие системы с неупорядоченной структурой, фрактальными свойствами (см. главу 1). Для примера на рис. 3.5 схематически изображен загрязненный пласт в рамках зонально неоднородной (а) и фрактальной (б) моделей.

а) б) Рис. 3.5. Модели неоднородного пласта Подчеркнем, что речь здесь идет о пористых средах с крупномас штабной фрактальной структурой. Этот термин введен нами для того, что бы подчеркнуть отличие последних от мелкомасштабных фрактальных структур теории протекания [22, 31, 32] и подразумевает выполнение нера венства >> l, где l – характерный масштаб изменения градиента давления, – длина корреляции. (Реальная система с фрактальными свойствами на масштабах, больших, является однородной. Грубо говоря, ее можно представить себе как состоящую из фрактальных блоков размерами.) Причины, которые приводят к образованию крупномасштабных фрактальных структур в изначально однородной пористой среде, весьма разнообразны. Практически все механизмы необратимого роста, рассмат риваемые в литературе [22, 32], могут проявить себя в процессах нефтега зодобычи. Так, известно, что фракталы могут образовываться вязкими 194 ГЛАВА пальцами, возникающими при вытеснении из пористой среды одной жид кости другой. Поэтому можно ожидать, что крупномасштабные фракталь ные структуры возникают при закачке в пласт воды, газа и других агентов, поддерживающих пластовое давление, а также при вскрытии пласта за счет проникновения фильтратов буровых и цементных растворов. Достаточно общими механизмами образования фрактальных структур являются агре гация, ограниченная диффузией, и осаждение. Отсюда следует, что фрак тальные структуры в пористой среде могут образоваться при ее загрязне нии – в ходе заиливания призабойной зоны, отложения твердых углеводо родов, выпадения конденсата и т. д.

3.4.1. Уравнение нестационарной фильтрации на фракталах Выведем, следуя [33], уравнение нестационарной радиальной фильтрации в средах с крупномасштабной фрактальной структурой. Пусть M (r,t)dr – масса флюида в кольцевом элементе пласта единичной мощно сти, образованном цилиндрическими поверхностями радиусов r и r + dr :

M (r,t)dr = N(r)M0(r,t)dr, (3.31) где N(r)dr – число узлов фрактала в кольцевом элементе N(r) = CDrD-1, (3.32) D – размерность фрактала, M0(r,t) – масса флюида в одном узле фрактала.

Закон сохранения массы флюида можно записать в виде M (r,t) G(r,t), = - (3.33) t r где G(r,t) – массовый расход флюида через цилиндрическую поверхность радиуса r.

Связь между расходом флюида и градиентом давления принимается в виде K(r) G(r,t)= - N(r) p, (3.34) µ r где и µ – плотность и вязкость жидкости, p – давление.

Величину K(r) естественно назвать проводимостью фрактала, отне сенной к одному его узлу. Выражение (3.34) следует рассматривать как со отношение, определяющее величину K(r) аналогично тому, как закон Дарси в форме k p = - µ r определяет проницаемость пористой среды k.

ГЛАВА 3 Проводимость фрактальных структур подчиняется степенному зако ну K K(r)=, (3.35) r где – показатель, описывающий аномальность проводимости, имеющую место из-за весьма специфического способа комбинирования проводящих узлов во фрактальную решетку.

С учетом сжимаемости флюида M0 p = V00, (3.36) t t где 0 – сжимаемость жидкости, V0 – объем узла фрактала.

Из уравнений (3.31)–(3.36) в линейном приближении получим урав нение пьезопроводности на фрактале p p = r, (3.37) t r r r K где =, = D -1, = D -1-.

µV Уравнение (3.37) аналогично уравнению пьезопроводности в евкли довом пространстве размерности d :

p p = rd -1. (3.38) t rd -1 r r Однако величины и в (3.37) могут быть дробными и отличают ся ( 0) друг от друга.

3.4.2. Обработка кривых восстановления давления в пластах с фрактальной структурой Как уже отмечалось, крупномасштабные фрактальные структуры мо гут образоваться при вытеснении из пористой среды нефти водой. Поэтому уравнение (3.37) может быть использовано для интерпретации данных гидродинамического исследования скважин, нагнетающих воду в нефте носные пласты, а также добывающих скважин, в продукции которых со держится большое количество воды (в этих случаях подвижностью нефти можно пренебречь и рассматривать однофазную фильтрацию во фракталь ной среде).

Наличие фрактальных структур может быть связано также с загряз нением прискважинных зон пласта (см. выше). Очистка этих зон, сводя щаяся к разрушению фрактальных структур, требует значительных затрат времени и средств. Поэтому для уменьшения вероятности проведения очи 196 ГЛАВА сток «вхолостую» необходимо разработать способы диагностирования на личия крупномасштабных фракталов в окрестностях скважины и методы определения их характеристик. Покажем, что эта задача может быть реше на путем использования данных гидродинамического исследования пла стов.

Прежде всего, рассмотрим исследования на установившихся режи p мах фильтрации. Из (3.37) при =0 легко получить Q0 = K0(pk - pc), t (1- ) (1- ) – коэффициент продуктивности скважины, где K0 = 1- 1- 1 rk - rc rk K1CD =, Q0 – дебит жидкости в стационарном режиме, rc, rk – радиусы µ скважины и некоторого контура, на котором поддерживается постоянное давление pk, pc – давление на забое скважины. Поскольку и при отсутст вии фракталов связь между Q0 и pk - pc линейна, то исследование на ус тановившихся режимах фильтрации не позволяют выявить наличие фрак талов.

Эта задача может быть решена путем обработки кривых восстанов ления давления (КВД) в остановленных скважинах. Рассмотрим, например, операционный метод обработки КВД (см. [34] и раздел 2.1.4). Пусть в ходе исследований замеряются дебит жидкости Q(t) и давление на забое сква жины pc(t):

p(rc,t) rc = Q(t), (3.39) r p(rc,t)= pc(t) при условиях p(r,0)= p0(r), p(rk,t)= pk = const. (3.40) Здесь p0(r) – распределение давления, соответствующее стационар ному режиму фильтрации до остановки скважины. Осуществив преобразо вание Лапласа u(r, s)= p1(r,t)e-stdt, получим 1 s (r ur) - u = 0, (3.41) r r - rc ur(rc, s) = F(s), (3.42) где p1 = p(r,t)- p0(r), ГЛАВА 3 F(s) = (Q0 - Q(t))e-stdt, p Q0 = rc – стационарный дебит до остановки скважины.

r Решение (3.41) имеет вид u = Z [C1I (Z)+ C2K (Z)], где I, K – модифицированные функции Бесселя, D s v = 1-, Z = r, =1+.

2 + Определив постоянные интегрирования С1 и С2 из условий (3.40), (3.42), получим 1 F(s) rc [I (Zk )K (Zc)- I (Zc)K (Zk )] u(rc, s)= Zc [I -1(Zc)K (Zk )+ I (Zk )K1- (Zc)], (3.43) где Zc и Zk – значения Z при r = rc и r = rk.

При s << rk 1 Z I (Z), K (Z) (v) (v +1) 2 2 Z и (3.43) принимает вид (3.44) (s) K0 + As, где u(rc, s), A = (2 + )1-2 (1- v).

(s)= F(s) (v) Таким образом, кривая восстановления давления при наличии фрак тальных структур должна спрямиться в координатах sv. По положе (s), нию этой прямой можно определить коэффициент продуктивности K0 и величину A, характеризующую нестационарную фильтрацию в пластах с крупномасштабными фрактальными структурами. Величина v находится путем подбора. Однако возможно и ее независимое определение путем ис пользования инвариантных решений уравнения (3.37). Так, в [33] приведе но автомодельное решение типа точечного источника 1 r2+ p = exp-.

t1-v (2 + )2t 198 ГЛАВА Из этого решения следует, что падение давления в скважине после мгновенной закачки некоторой порции жидкости происходит по зако ну pc. Спрямляя кривую падения давления в координатах ln p–ln t, t1-v можно по углу наклона прямой определить величину v.

rc Поскольку <<1, то существуют такие s, для которых rk << s <<. Взяв такие значения s, вместо (3.44) имеем rk2 rc (s) s-v A или 1 ln (s)= ln + vln. (3.45) A s В случае плоскорадиальной фильтрации в евклидовом пространстве, описываемой уравнением (3.38), вместо (3.39) имеем 2 k h p(rc,t) rc = Q(t), µ r где k – проницаемость, h – толщина пласта.

Вместо (3.44) при этом получается соотношение [34, 35] (s)= b + f ln, s где 1, µ f =, b = f ln.

4 k h rc Таким образом, в случае фильтрации на фрактале кривая изменения давления спрямляется в координатах ln,ln, а в случае s плоскорадиальной фильтрации в евклидовом пространстве – в координатах 1 ln,. Тот факт, что КВД спрямляется в координатах ln,ln, s s может свидетельствовать о необходимости проведения мероприятий, на правленных на разрушение фрактальной структуры. Поэтому при выборе скважин, подлежащих воздействию, целесообразно учесть также результа ты обработки кривых изменения давления по изложенной выше методике.

Для примера на рис. 3.6 и 3.7 представлены КВД, снятые в скважи не № 151 Манчаровского нефтяного месторождения (НГДУ «Чекмагуш нефть»), соответственно, до и после проведения термогазохимического ГЛАВА 3 воздействия. Как видно, до воздействия диагностируется наличие крупно масштабной фрактальной структуры. После воздействия (которое оказа лось успешным) КВД спрямляется в координатах ln,, что, по s видимому, свидетельствует о разрушении фрактала.

Отметим, что нестационарная фильтрация в неоднородном пласте, проницаемость которого изменяется по степенному закону вида (3.35), формально также может быть описана уравнением (3.37) при D = d = 2.

Однако неоднородность, как правило, связана с загрязнением призабойной зоны, поэтому проницаемость пласта увеличивается с удалением от сква жины. В этом случае < 0 и v =1- < 0, так что прямая в координа 2 - тах ln,ln должна быть направлена вниз.

s ln 10- МПа с м 4,6 8, 4,2 8, 3,8 8, 3,4 8, 3,0 7, 7,8 8,0 8, 7, ln s Рис. 3.6. КВД, снятая в скважине № Манчаровского нефтяного месторождения (НГДУ «Чекмагушнефть») до воздействия ТХГВ:

1 – зависимость от ln ;

s 2 – зависимость ln от ln s 200 ГЛАВА 10-3 ln МПас м 7, 7, 7, 7,6 8,0 8, ln s Рис. 3.7. КВД, снятая в скважине № Манчаровского нефтяного месторождения (НГДУ «Чекмагушнефть») после воздействия ТХГВ:

1 1 – зависимость от ln, 2 – зависимость ln от ln s s 3.5. О колебаниях расхода при фильтрации полимерных растворов Нелинейные эффекты при фильтрации неньютоновских сред могут привести к потере устойчивости стационарного режима фильтрации [36– 39]. Подобные явления наблюдались нами в ряде лабораторных экспери ментов, в которых изучалась фильтрация растворов полиакриламида (ПАА) через колонку, набитую кварцевым песком. Проницаемость порис той среды по воздуху составляла 3,110-12 м2. В ходе экспериментов дав ления на входе и выходе колонки поддерживались постоянными и в тече ние достаточно долгого времени замерялся расход фильтрующейся жидко сти. Опыты показали, что при малых перепадах давления устанавливается стационарное значение расхода. Но при достижении некоторого критиче ского перепада давления p (зависящего от концентрации ПАА в раство ре) стационарные режимы фильтрации теряют устойчивость, наблюдаются незатухающие колебания расхода Q(t). Для примера на рис. 3.8 представ ГЛАВА 3 лена зависимость расхода раствора ПАА концентрации 0,075% от времени при p = 0,6 МПа.

Q 10-5, м3/с 0, 0, 0, 6 12182430t 10-2, с Рис. 3.8. Зависимость расхода раствора ПАА от времени Колебания расхода имеют нерегулярный характер. Степень нерегу лярности (хаотичности) можно оценить по размерности Хаусдорфа для графика Q = Q(t). Величина D определяется (см. главу 1) в процессе изме рения длины l кривой Q = Q(t) с помощью циркуля с раствором. В ходе измерения начинают с исходной точки P0. Описав окружность радиусом с центром в P0, отмечают точку первого выхода кривой из круга P1. Вто рая точка P2 получается при перенесении центра окружности в точку P и т. д. Если обозначить через l() длину возникающей ломаной ли нии P0P1P2..., приближенно описывающей кривую, то длина кривой бу дет l = liml().

Как показывают непосредственные изменения, l() ~ для экспе риментальных кривых Q = Q(t) при не слишком малых. Следовательно, графики функций Q = Q(t) можно считать фрактальными кривыми с раз мерностью D = +1. Естественно предположить, что чем больше размер ность экспериментальной кривой, тем менее упорядочен процесс, отобра жением которого является эта кривая. Нужно отметить тот факт, что после установления хаотического режима фильтрации дальнейшее увеличение перепада давления приводит не к увеличению, а к уменьшению размерно сти Хаусдорфа кривых Q = Q(t), что свидетельствует о более упорядочен ном протекании процесса фильтрации при больших значениях величи ны p.

202 ГЛАВА Рассмотрим модель, позволяющую объяснить возникновение коле баний расхода при фильтрации полимерных растворов. Для простоты вос пользуемся идентификационным подходом, согласно которому исследуе мая система рассматривается как передаточное звено, на вход которого по дается сигнал постоянной величины – перепад давления p, а на выходе наблюдается изменение скорости фильтрации во времени (t). Соглас но § 3.2 нестационарные процессы фильтрации можно в рамках этого под хода описать сосредоточенной моделью вида d(t) p +(t) = c, (3.46) dt L где – время пьезопроводности, L – длина колонки.

Вследствие проявления полимерными растворами неньютоновских свойств коэффициент с зависит от скорости фильтрации. Поскольку струк турные преобразования в полимерных системах характеризуются явления ми запаздывания, то эту зависимость можно представить в виде c = c((t1 - T )), где T – время запаздывания (см. § 3.1).

t =t Конкретизируем вид функции c(). Для этого отметим, что в ста ционарном режиме из (3.46) следует = c()p. При малых скоростях L фильтрации полимерных растворов проявляется наличие начального гра p диента, поэтому функция c() должна удовлетворяют усло L p вию lim =.

0 c() L Следуя [26], предположим, что при быстром движении клубки поли меров затвердевают в наиболее узких местах пор. Это приводит к умень шению коэффициента фильтрации при больших значениях. Для опреде ленности представим функцию c() с отмеченными выше свойствами в виде [40] L c() =, N > 1. (3.47) p0 1+ M N t T Переходя к безразмерным переменным t, =,, p N 0 = M, B =, получим из (3.46), (3.47) p d(t) B(t - ) +(t)=. (3.48) N dt 1+ (t - ) ГЛАВА 3 Как показывает анализ [40, 41], уравнение (3.48) имеет точку равно весия = 0, которая при B >1 (т. е. при p > p0 ) теряет устойчивость.

При этом система переходит в новое положение равновесия =1 = (B -1)1/ N. Дальнейшее увеличение параметра В приводит к тому, что в критической точке B = B0 стационарный режим фильтрации со ско ростью = 1 также становится неустойчивым. В системе возникают пе риодические и стохастические колебания. Значение B0 может быть полу N чено методом D-разбиений [41] и равно B0 =, где величина N -1+ sec определяется из уравнения = - ctg, < <.

Приведем некоторые количественные оценки. Время пьезопроводно L сти имеет порядок, где – коэффициент пьезопроводности. Эту ве личину определяли по кривым восстановления давления, снятым предва рительно на колонке. Было получено ~ 0,5 -1 мин. Время запаздывания Т зависит от концентрации полимера и меняется от 5–10 мин до 1–2 ч [26].

Для полимерных растворов, использованных в наших экспериментах, можно принять Т ~ 5 мин. Считая, что ~ 1 мин, получаем оценку 5.

N Легко подсчитать, что при таком значении B0. Для получения N - 2, оценок величины N у нас нет необходимых данных, но тот факт, что поте ря устойчивости стационарной фильтрации полимерных растворов наблю далась экспериментально, является косвенным свидетельством того, что величина N достаточно велика (при = 5, по крайней мере, N > 2,1).

Выбор функции c() в виде (3.47) предполагает, что при увеличении скорости фильтрации величина с стремится к нулю. Более общим является случай, когда коэффициент фильтрации при больших стремится к неко торому асимптотическому значению, отличному от нуля. Поэтому нами проведены расчеты с функцией c() вида G exp(- ) + N c() =, A + G для которой lim c()= > 0.

A В этом выражении была использована экспонента, а не степенная функция вида для того, чтобы проверить устойчивость полученных N 1+ результатов относительно смены способа параметризации функции c().

204 ГЛАВА Расчеты показали, что эффекты возникновения периодических и сто хастических автоколебаний имеют место и в этом случае. Приведем здесь результаты, полученные при А = 10, G = 2, N = 5, = 5. Вначале увеличе ние параметра В ведет через цепь бифуркаций удвоения периода в точках B1 1,20;

B2 1,46 ;

B3 1,60;

… к установлению хаотического режима.

Дальнейшее увеличение В приводит к тому, что движение в системе упо рядочивается. Возникают предельные циклы, периоды которых по мере роста В последовательно уменьшаются вдвое, т. е. возникают обратные бифуркации Фейгенбаума [42]. Наконец, при некотором достаточно боль шом значении B вновь устанавливается стационарное состояние.

Обратный переход от хаоса к стационарному состоянию, обнаружен ный при исследовании предложенной модели, может послужить объясне нием тому факту, что увеличение перепада давления приводит к уменьше нию нерегулярности зависимостей Q = Q(t).

Таким образом, нами показано, что колебания расхода при фильтра ции полимерных растворов можно объяснить тремя причинами: наличием начального градиента давления, эффектом «запирания» потока клубками полимерных молекул и существованием некоторого времени запаздывания в процессах структурных преобразований в полимерных системах. Качест венные выводы, сделанные из анализа предложенной модели, находятся в соответствии с экспериментально полученными результатами.

Данные результаты могут найти широкое применение при разработ ке стратегии управления закачкой растворов полимеров в нефтеносные пласты. Они позволяют, в частности, назначить режимы закачки, исклю чающие возникновение хаотических колебаний.

3.6. О фильтрационных характеристиках с учетом сорбционной способности Стационарное движение газа в пористых средах может быть описано различными законами фильтрации: линейным (законом Дарси), двучлен ным, с начальным градиентом давления. При экспериментальном опреде лении вида закона фильтрации обычно используют данные стационарных исследований, изменяя значения перепада давления и дожидаясь установ ления стационарных значений расходов, соответствующих данным пере падам давления. Время, необходимое для установления стационарного ре жима фильтрации, определяют из гидродинамических соображений. Одна ко в определенных условиях стабилизация фильтрационного потока может происходить в течение длительного времени, многократно превышающего гидродинамическое время. В частности, к «затягиванию» процесса уста новления стационарной фильтрации могут привести медленные сорбцион ГЛАВА 3 ные процессы. Это необходимо учитывать при обработке эксперименталь ных данных [43].

Влияние сорбированного газа на фильтрационные характеристики может быть весьма ощутимым. Дело в том, что при проведении исследова ний по определению фильтрационных свойств за время исследований че рез модель проходит объем газа, составляющий незначительную часть от объема газа, заключенного в порах, причем с увеличением размеров моде ли эта величина уменьшается. Так, например, простой расчет показывает, что время, необходимое для фильтрации через модель одного порового объема газа при проницаемости ~10–15 м2, длине модели L ~ 10 м, перепаде давления P ~ 0,1 МПа и давлении в модели Р ~ 1 МПа, имеет величину порядка суток и более. Поэтому массообмен между сорбированным и сво бодным газом может ощутимо влиять на характеристику фильтрационного протока.

Сорбция (соответственно десорбция) газа происходит весьма мед ленно. Оценки показывают, что характерные времена этих процессов для лабораторных экспериментов составляют не менее 104 с. Следует, однако, учитывать наличие как поверхностной, так и объемной сорбции, т. е. диф фузию молекул газа внутрь зерен породы. Известно, что среднее время трехмерной диффузии значительно больше, чем двухмерной при одинако вых геометрических размерах (например, диффузия в шаре и круге одного радиуса). Поэтому стабилизация сорбционного, а следовательно, и гидро динамического режима происходит в течение времени, значительно пре вышающего реальные времена наблюдений при проведении эксперимен тов. Исходя из этого, ниже рассматривается модель фильтрации газа с уче том кинетики сорбции в изотермических условиях.

Система уравнений линейной фильтрации газа с учетом сорбционно го обмена имеет обычный вид:

k m = -div + f, = - grad P, (3.49) t µ где m – пористость, – плотность, – скорость фильтрации, k – прони цаемость, µ – вязкость, Р – давление, f – член, характеризующий сорбци онный массообмен.

Процесс сорбции газа породой можно рассматривать как двухэтап ный – осаждение молекул на поверхности и диффузия внутрь блока зерен породы. Поскольку диффузионный процесс, как более медленный, являет ся лимитирующим этапом, можно рассматривать сорбцию газа как диффу зию внутрь зерен породы, а кинетику поверхностной сорбции учитывать в граничных условиях.

Для расчета диффузии молекул газа в твердом теле необходимо вы брать определенную модель. В дальнейшем будет использоваться одно мерное уравнение диффузии (нетрудно показать, что при использовании 206 ГЛАВА других расчетных моделей, например цилиндрической или сферической диффузии, получаемые формулы будут иметь аналогичную структуру).

Обозначим через l размер области диффузии, через С – массу сорбирован ного газа в единице объема скелета породы. Уравнение диффузии C C = D, 0 < x < l (3.50) t x необходимо дополнить начальным и граничными условиями. В качестве начального условия примем C(0, x) = C1. (3.51) В сечении х = 0 имеем естественное условие C (t, 0) = 0. (3.52) x В сечении х = l происходит попадание молекул газа на поверхность блока породы. Пусть а(Р) – изотерма сорбции. Тогда, учитывая кинетиче ский характер сорбционного процесса, условие при х = l можно записать в виде C C - a(P) = -, (3.53) t T x=l где Т – параметр размерности времени.

Для определения массообмена между свободным и сорбированным газом необходимо определить величину C(l,t) q = -D. (3.54) x Нетрудно заметить, что величины f и q связаны соотношением f = s(1- m)q, (3.55) где s – удельная поверхность пористой среды.

Таким образом, уравнения (3.49)–(3.55) составляют полную замкну тую систему фильтрации газа с учетом сорбции.

Применим для решения задачи (3.50)–(3.53) преобразование Лапласа с параметром. Опуская промежуточные выкладки, получим выражение для изображения потока q :

(D)1/ 2 C q = - th l a -, (3.56) 1+t D где a – изображение функции a[P(t)].

Из (3.56) следует, что поток q(t) можно представить в виде свертки t q(t) = - F(t - )[a(P( ))- C1]d, (3.57) t где F(t) – ядро, конкретное выражение для которого приводится ниже.

ГЛАВА 3 Далее рассматривается одномерная фильтрация. Используя (3.49), (3.50) и (3.57), получаем уравнение фильтрации газа с учетом сорбции (газ принимается идеальным):

P k P (1- m)sP = P + q(t).

t mµ y y m Примем, что изотерма сорбции линейна, т. е. а(Р) = аР. Учиты вая (3.57) и проводя обычную линеаризацию, вместо последнего уравнения получаем t P2 P = - b F(t - )[P2(, y) - P12]d ;

(3.58) t y2 t kPcp 2(1- m)saP = ;

b =, mµ m где Р1 – начальное давление;

Рср – среднее давление.

Проанализируем на основе уравнения (3.58) особенности фильтра ции газа в сорбируемых средах. Вначале упростим уравнение (3.58). Из вестно, что коэффициент диффузии молекул газа в твердом теле имеет ве личину порядка 10-9 10-8с. Поэтому характерное время диффузионного процесса может значительно превышать гидродинамическое время. Так, например, для блоков размером 10–2 см это время составляет порядка не скольких суток, что значительно превышает обычные времена традицион ных лабораторных исследований на кернах. Для блоков разме ром 10-1 100 см времена диффузии соизмеримы с периодом эксплуатации залежи. Исходя из приведенных оценок, в уравнении (3.58) можно пренеб речь членом в левой части, в результате чего получается t P - = F(t - )[P2(, y) - P12]d, = b, (3.59) y2 t - где F(t) – оригинал функции ( D)1/ 2(1+ T )-1thl D-1.

Очевидно, что решения уравнения (3.59) описывают квазистацио нарные фильтрационные течения, когда медленные изменения характери стик потока определяются процессами диффузии.

Рассмотрим одномерную фильтрацию газа через образец длиной L при заданном перепаде давления. Для этого необходимо решить уравне ние (3.59) при условиях P2(0, y) = P12;

P2(t, L) = P12(t);

P2(t,0) = P22(t);

P1(0) = P1.

Применим для решения задачи (3.58), (3.59) преобразование Лапласа, обозначив u = P2:

d u = F u = u;

u(L) = P12;

u(0) = P22.

dy 208 ГЛАВА Решая сформулированную задачу для объемного расхода газа, полу чаем k P12 - P22 L2 D Q 1+ thl. (3.60) 2µP0 L 1+T D Переходя к оригиналам, для больших значений t будем иметь t k 2L2 D Q(t) P2(t) + R(t - )P2( )d, (3.61) 2µP0L 3l t t D t exp- - exp T l где P2 = P12(t) - P22(t);

R(t).

D 4l T l Если T << = T1, т. е. диффузия является лимитирующей стадией D процесса, то (3.61) упрощается:

t k 2L2 D t Q(t) = P2 + exp- P2( )d. (3.62) 2µP2L 3l t T Сравним соотношения (3.61) и (3.62) при постоянном значении раз ности квадратов давления P2. В соотношении (3.62) дебит Q(t) монотон k 2L2D k но уменьшается от Q(0) = 1+ P2 до Q() = P2.

2µP0L 3l 2µP0L С учетом кинетики сорбции, т. е. при Т 0, при постоянном P2 де бит Q(t) меняется от Q(0) до Q() немонотонно, проходя через максимум при - D 1 DT t1 = - ln.

4l T 4l При D = 0 из (3.62) получаем линейную связь между P2 и Q. От метим, что эта связь остается линейной, несмотря на зависимость от вре мени, поскольку полученное решение справедливо при временах, значи тельно превышающих гидродинамическое время установления режима L течения, равное.

Рассмотрим влияние диффузии на зависимость Q = Q(P2). Не трудно показать, что сорбция газа породой оказывает существенное влия ние на фильтрационные характеристики. С этой целью проведем следую ГЛАВА 3 щий иллюстративный расчет. Перепишем (3.62) в безразмерных перемен ных, приведя его к виду t y(t) = x(t) + a (3.63) exp- x( )d, t T 2µL P2 P2 2L2D y(t) = Q(t), x(t) = ;

a =.

k 3l P Положим a =1, что является реальным значением. Пусть x(t) изме няется ступенчато через интервал времени Т2 = 0,1Т1. Поскольку течение квазистационарное, примем, что период времени T2 также значительно превышает гидродинамическое время установления режима. При этом в течение времени наблюдения на одном режиме расход Q(t) меняется не более чем на 7–8%, что находится в пределах погрешности обычных экс периментов на керне. Таким образом, формально традиционная методика экспериментальных исследований выполняется. Тем не менее вид зависи мости Q - P2 определяется в данном случае последовательностью изме нения перепада давления. На рис. 3.9 представлены расчетные зависимо сти, полученные при увеличении (кривая 1) и уменьшении (кривая 2) пере пада давления. В первом случае полученная зависимость характерна для двучленного закона фильтрации.

q 1 2 3 4 P Рис. 3.9. Расчетные зависимости q от P2 :

1 – при увеличении перепада давления, 2 – при уменьшении перепада давления 210 ГЛАВА x На рис. 3.10 эта зависимость перестроена в координатах - y, как y это обычно делается для проверки справедливости двучленного закона.

Вторая зависимость на рис. 3.9 соответствует закону фильтрации с началь ным градиентом давления. При немонотонном изменении депрессии зави симость может иметь различный вид (например, S-образная кривая). Кроме того, если по полученным данным определить коэффициент продуктивно сти (проницаемости) керна, это значение будет кратно отличаться от ис тинного.

Более сложная ситуация возникает, когда фильтрация газа происхо дит в неоднородной среде. Пусть, например, в составе пористой среды имеются низкопроницаемые включения, в частности глинистые. Известно, что движение газа через глину начинается при создании определенного критического начального градиента давления. В этом случае газ, сорбиро ванный породой в низкопроницаемых зонах, при снижении давления вы деляется не сразу, а после достижения определенного перепада давления между низко- и высокопроницаемой частями и, наоборот, – при повыше нии давления. При этом фильтрация газа происходит по высокопроницае мой части. Таким образом, рассматриваются две равномерно перемещен ные среды с различными параметрами. В соответствии с этим в первом уравнении системы (3.49) поток f представляется в виде двух слагаемых:

f = f1 + f2, где f1 – поток десорбируемого газа из высокопроницаемой среды, f2 – то же из низкопроницаемой.

P q 1, 0, 0, 0, 0, 1 2 3 4 q Рис. 3.10. Расчетные зависимости q от P Величина потока f1 подсчитывается по формулам (3.55) и (3.57).

При определении потока f2 следует учесть наличие критического перепа ГЛАВА 3 да давления P0 между низко- и высокопроницаемыми частями пористой среды. Это можно сделать, представив поток f2 в виде (см. (3.57)):

а) при снижении давления - (1- m)s t F2(t - )[a2P( ) + P0) - C1,2)]d f2 = s(1- m)q2 = (3.64) при P1 - P > P0, 0 при 0 < P1 - P < P0, б) при повышении давления - (1- m)s t F2(t - )[a2(P( ) - P0) - C1,2)]d f2 = (3.65) при P - P1 > P0, 0 при 0 < P - P1 < P0.

Функция F2 совпадает с определенной выше функцией F с точно стью до значений параметров. Повторяя вывод уравнения (3.62), легко по лучим выражение для расхода Q(t) в данном случае:

k 21L2D1 t t Q(t)= P2(t)+ exp- 2( )d + 2µP0L t 3l1 0 T1 P (3.66) - t 22L2D2 t t + exp- - (P2( ) - )d, 3l2 0 T2 T где индексы 1 и 2 относятся, соответственно, к высоко- и низкопроницае мым частям пористой среды.

Последнее слагаемое в правой части (3.66) обращается в ноль при P2 <. Как следует из (3.66), при достижении определенного пере пада давления на зависимости Q(t) = Q[P2(t)] будет наблюдаться излом, что подтверждается результатами экспериментальных исследований.

Рассматриваемая модель допускает обобщение на случай полидис персной пористой среды, состоящей к тому же из разнородного материала.

В этом случае каждый компонент пористой среды обладает своими физи ко-химическими и геометрическими параметрами:

- li, Di, Ti, T1,i. С уче том этого соотношение (3.61) примет вид t n k Q(t) = P2(t) + Hi (t - )P2( )d, (3.67) 2µP0L t i= 212 ГЛАВА где Di t exp- - exp Ti 4li 2L Di Hi(t)=.

3li Di 4li Ti Пусть осуществляется режим с P2 = const. Тогда вместо (3.67) по лучается n k Q(t) = P2 1+ i (t), (3.68) 2 P0L i= - Di 1 t 4li.

Di - где i (t) = exp- - exp 4li Ti Ti Ti 2 Di 4li i (t) – функция, имеющая один максимум или один минимум - 2 Di Di Ti при ti = - ln. Поскольку все ti различны, как сле 4li Ti 4li дует из (3.68), расход Q(t) при большом n будет представляться в виде суммы случайных колебаний и постоянной величины. При этом в случае достаточно большого времени наблюдения, когда i (t) 0, будет иметь место стабилизация расхода.

Проведенные расчеты показывают, что при фильтрации газа в сор бируемых средах использование обычных методик определения законов фильтрации по исследованиям зависимостей Q = Q(p) требует учета су щественной нестационарности процесса. Необходимо проводить исследо вания в течение весьма длительного времени. Более того, характерное вре мя переходного процесса в пористой среде, как это отмечалось выше, мо жет быть соизмеримо со временем разработки газовой залежи. В этих ус ловиях само понятие закона фильтрации газа как стационарной зависимо сти между вектором скорости фильтрации и градиентом давления теряет смысл. Поэтому фильтрационные характеристики необходимо определять одновременно с сорбционными.

3.7. Метод построения оценок решения уравнений фильтрации газированной жидкости Точные решения нелинейных уравнений стационарной фильтрации газированной жидкости найдены в [44–46]. В [47] при некоторых допуще ГЛАВА 3 ниях система уравнений газированной жидкости сведена к уравнению теп лопроводности. Приближенный метод расчета неустановившегося течения газированной жидкости дан в [48], где истинная картина течения заменена расчетной схемой последовательной смены стационарных состояний. Эта же задача решена методом осреднения в [49].

В данном разделе при определенных условиях, наложенных на иско мые функции, строятся оценки решений уравнений нестационарной фильтрации газированной жидкости в одномерном пласте. Полученные оценки могут быть использованы как приближенные решения с известной погрешностью или для проверки точности различных приближенных ме тодов.

Отметим, что применению теорем сравнения к оценке решений уравнений нелинейной фильтрации посвящены работы [50–52]. Методы построения оценок решения различных задач теплопроводности даны в [53, 54].

1. Получим сначала вспомогательные соотношения. Пусть в облас ти D{0 < x < l;

t > 0} с границей задано уравнение u u k(x, t) =. (3.69) x x t Пусть функция u(x, t) является решением первой краевой задачи для уравнения (3.69) в области D. Предположим, что выполняются условия k k u u 0, 0, 0, 0. (3.70) x t x t По теореме сравнения с учетом (3.70) получаем, что функция u(x, t) ограничена снизу функцией u1(x, t), которая совпадает с u(x, t) на грани це области D и удовлетворяет уравнению 2u u k1 =, k1(x;

t) k1.

x2 t Для построения верхней оценки функции u(x, t) введем x x y = k(x, t).

При этом уравнение (3.69) перейдет в x 2u u u 1 k =k -k d x, t y2 t y 0 k а область D преобразуется в область D{0 < y < y(t);

t > 0} с границей, l dx где y(t) = k(x,t).

214 ГЛАВА Рассмотрим функцию u2(x, t), являющуюся решением задачи 2u2 u = k1, t y u2(0,t)= u(0,t), u2(y,0)= u(y,0), u2(y2, t)= u(l, t) в области D2{0 < y < y2;

t > 0}, где k1y2 = l, k1 k(x, t).

u Отсюда, в силу условия 0, получаем u2(y2, t) u(y2, t).

x Отсюда с учетом (3.70) по теореме сравнения получаем, что в облас ти D2{0 < y < y2;

t > 0} имеет место соотношение u2(y, t) u(y, t).

Подчеркнем, что построение верхней и нижней оценок решения уравнения (3.69) не зависело от свойств функции k(x,t), требовалось лишь знание границ изменения коэффициентов и выполнение условий (3.70).

2. Для одномерного случая уравнения нестационарной фильтрации газированной жидкости граничные и начальные условия имеют вид [46] P ( ) P = a1 ( P + P),. (3.71) н PF x k ( ) x = a2 t x t x P(0,t)= Pc, P(l, t)= Pk > Pc, (l, t)= 1, (3.72) P(x, 0)= Pk, (x, 0)= 1.

- Здесь a1 = m µ1k, a2 = mµ2k-1, m – пористость, k – абсолютная проницаемость, µ1,, µ2 – вязкость газа и нефти (принимаются постоянны ми), = с s-1 -1 c = 1P-1 (газ считается идеальным), s – коэффициент растворимости газа в нефти (принимается постоянным), 2 – плотность газа при давлении P, F( ) = k1( )+ sµ1(cµ2 )-1k2( );

k1(), k2() – фазовые проницаемости, соответственно, для газа и нефти, – насыщенность по рового пространства нефтью, Pc – давление на галерее скважин, Pk – дав ление на контуре питания, 1 – начальное значение нефтенасыщенности.

Учитывая условия (3.72), сделаем физически очевидные предполо жения о монотонном поведении искомых функций P P 0, 0, 0, 0. (3.73) t x t x Обозначим (0, )=. Тогда, как следует из (3.72), (3.73), при 0 < x < l, t > 0 имеем 1. (3.74) Оценим неизвестную величину. Для этого найдем стационарное решение системы (3.71).

ГЛАВА 3 Введем функции P P H1(x) = k2( )dP, H2(x) = PF( )dP, Pc Pc 2 d H1 d H = = 0.

dx2 dx Отсюда получаем k2( )= const.

PF( ) Тогда величину можно определить из соотношения k2( ) Pck2(1).

= (3.75) F( ) pk F(1) Перейдем к построению оценок решений системы (3.71). Исключив из системы (3.71) величину, получим t P a1P P P PF( ) k ( ) - = a1(1+ ). (3.76) x x a2 x x t Рассмотрим случай > 0.

По теореме сравнения имеем P (x, t) P(x, t) P (x, t), (3.77) где функции P (x, t), P (x, t) являются, соответственно, решениями урав нений a1 Pk P P P F( ) - k2( ) = a1(1+ ) ;

(3.78) x a2 x t a1 Pk P P P F( ) - k2( ) = a1(1+ ) (3.79) x a2 x t и удовлетворяют условиям (3.72).

Представим уравнения (3.78), (3.79) в виде ' F( ) a1 Pkk2( ) (P )n+2 a1(1+ ) (P )n+ - =, (3.80) x (P )n a2(P )n+1 x (P )n+1 t F( ) a1 Pkk2( ) (P )n+2 a1(1+ ) (P )n+ - =. (3.81) x n (P) a2(P)n+1 x (P)n+1 t Величина постоянной n 0 в (3.80), (3.81) выбирается из усло Pk вия n( +1) (1+ n). Далее предположим, что справедливы неравенст Pc ва 216 ГЛАВА a1 Pk k1( )+ k2( )> 0, a2 1+1- Pc (3.82) d a1 Pk k ( )+ k2( ) 0.

d a2 1+1- Pc Очевидно, что неравенства (3.82) выполняются при не слишком ма лых, так как a1a21 ~ 10-2, ~ 1. Условия (3.82) вместе с (3.73) позволя ют применить к уравнениям (3.80), (3.81) результаты п. 1.

Получаем, что функция P1(x, t), которая является в D нижней оцен кой для P(x, t):

P (x, t) P(x, t) P (x, t), удовлетворяет уравнению 2(P1n+2)= (P1n+2), A t x (3.83) F( ) - a1a21PchPk-hk2( ) A1 = Pkn+1Pc-n max, < a1(1+ ) 2 и условиям (3.72).

Функция P2(y, t), являющаяся верхней оценкой для функции P(y, t) в области D2{0 < y < l2;

t > 0} P2(y, t) P (y, t) P(y, t), удовлетворяет уравнению - l 2(P2n+2)= A2 (P2n+2), a1Pcn y = Pcn F( )- k2( ) dx, t y2 a2Pkn a1Pcn A2 = a1Pc-2n-1 max (1+ )F( )- k2( ), a2Pkn 2 a1Pcn l2Pc-n max ( )- k2( ) = l F a2Pkn 2 и условиям (3.71).

Решения соответствующих задач имеют вид 2 1 m2A1t m x sin, (3.84) P1n+2(x,t) = Pcn+2 +(Pkn+2 - Pcn+2) x + exp l m l2 l m= 2 1 m2t m y sin. (3.85) P2n+2(y,t) = Pcn+2 +(Pkn+2 - Pcn+2) y + exp m A2l2 l l m= Для определения расхода жидкости или газа при x = 0 необходимо P(0, t) оценить величину.

x ГЛАВА 3 Учитывая условия (3.70), (3.82), (3.83), из (3.84), (3.85) получаем P1(0, t) P(0, t) a1 Pcn Pcn max ( )- k2( ) P2(0, t).

F x x 1 y a2Pkn Используя (3.84), (3.85), окончательно находим m2A1t (Pkn+2 - Pcn+2)l-1Pc-n-1 1+ 2 exp l m= (3.86) P(0, t) m2t, B(Pkn+2 - Pcn+2)l-1Pc-n-1 1+ 2 exp x A2l m= a1Pcn a1Pcn B min ( )- k2( ) = max ( )- k2( ).

F F 1 a2Pkn a2Pkn 2 Рассмотрим теперь случай, когда < 0. Аналогично предыдущему имеем P (x, t) P(x, t) P (x, t), где функции P (x, t) и P (x, t) являются, соответственно, решениями уравнений a1 Pc a1(1+ ) (P ) )- k2( ) (P)2 -, F( x a2P x P t a1 Pk a1(1+ ) (P ) F( )- k2( ) (P)2 = x P x P t и удовлетворяют условиям (3.72). При этом предполагается, что 1+ > 0.

Условия (3.70) в данном случае выполняются, что легко проверяется непо средственно.

Повторяя те же рассуждения, что и в случае > 0, приходим к сле дующим результатам.

Нижняя и верхняя функции для P2(x, t) имеют вид 2 1 m2B1t m x sin, P12(x,t) = Pc2 +(Pk2 - Pc2) x + exp l m l2 l m= 2 - m2t sin m y, P22(y, t) = Pc2 +(Pk2 + Pc2) y + exp m l B2l l m= - x a1 Pk a1Pk y = ( )- k2( ) dx, l2 = max ( )- k2( ) l, F F a2Pc a2Pc 2 - B1 = Pk max a1 (1+ )-1[F( )- a1a2-1k2( )], B2 = a1Pc-1 max [(1+ )(F( )- a1a2-1Pk Pc-1k2( ))].

218 ГЛАВА P(0,t) получаем оценки Для величины x Pk2 - Pc2 m2B1t P(0, t) Pk2 - Pc 1+ 2 exp -, 2l Pc m=1 l2 x 2l Pc (3.87) max [F( )- a1a21Pk Pc-1k2( )] m2t.

1+ 2 exp - min [F( )- a1a21Pk Pc-1k2( )] B2l m= В качестве примера рассмотрим случай µ1 = 0.05µ2, s = c, 1 = 0,96.

Для фазовых проницаемостей примем k1 = (1- )3(1+ 3 ), k2( ) =.

При Pk = 1,1 Pc величина насыщенности изменяется в преде лах 0,94 < < 0,96. Максимальная погрешность оценок (3.86) составля ет 3%. При Pk = 1,2 Pc, соответственно, имеем 0,94 < < 0,96, погрешность равна 6%.

Следует отметить, что если известны значения функции (x, t) при x = 0, то легко получить оценки более точные, чем (3.86), (3.87).

3.8. Периодические и стохастические автоколебания в ротационных вискозиметрах Опыт реологии тиксотропных сред показывает, что в ряде случаев экспериментальное определение их реологических параметров затрудняет ся невозможностью поддержания стационарных режимов течения. Так, при постоянном числе оборотов двигателя вискозиметра величина измеряемого касательного напряжения может меняться во времени достаточно сложным образом. Качественное описание этого эффекта приведено в [55]. Анало гичные осложнения возможны и в случае капиллярного вискозиметра, что, в частности, подтверждается опытами по исследованию колебательных режимов истечения полимерных растворов из капилляра [56]. Это явление в научной литературе получило название эластичной турбулентности.

Для его объяснения привлекалась гипотеза проскальзывания жидкости у стенок вискозиметра или капилляра [57–59]. Высказывалось также предпо ложение о том, что причиной возникновения эластичной турбулентности являются происходящие в процессе течения структурные перестройки [60].

Рассмотрим математическую модель, описывающую движение тик сотропной жидкости в зазоре между цилиндрами ротационного вискози метра. Считая толщину зазора малой по сравнению с радиусами цилинд ров, примем плоскую схему течения, согласно которой исследуемая жид ГЛАВА 3 кость находится между двумя параллельными пластинами, отстоящими друг от друга на расстоянии h.

Нижняя бесконечно протяженная пластина неподвижна, а верхняя – подвижная – обладает достаточно большой площадью, чтобы можно было бы пренебречь краевыми эффектами. Верхняя пластина приводится в по ступательное движение с помощью пружины, один конец которой прикре плен к пластине, а другой движется с постоянной скоростью 0.

Сдвиговое течение жидкости между пластинами описывается урав нением = µ, 0 < y < h, (3.88) t y y где,, µ – соответственно скорость, плотность и вязкость жидкости, y – расстояние от нижней пластины.

Уравнение движения верхней пластины имеет вид d x m - Qµ + fx = 0, (3.89) y dt y=h где x – абсолютное удлинение пружины, f – коэффициент ее жесткости, m, Q – масса и площадь верхней пластины.

Система уравнений (3.88), (3.89) замыкается с помощью граничных условий вида dx (0, t)= 0, (h,t)= 0 -. (3.90) dt Вязкость тиксотропной жидкости зависит от степени ее структури рованности. В качестве количественной характеристики степени структу рированности жидкости будем использовать концентрацию разрушенных в процессе течения связей s. Зависимость вязкости жидкости от концентра ции s примем в виде exp(-s )- exp(-s )µ + 1- exp(-s )µ, (3.91) µ(s)= 1- exp(-s ) 1- exp(-s ) где, – некоторые положительные постоянные.

В соответствии с этой параметризацией при s = 0 вязкость жидкости максимальна и равна µ0. По мере разрушения связей (с увеличением s ) вязкость уменьшается по нелинейно-экспоненциальному закону, достигая своего минимального значения µ при s = s.

Для описания процессов разрушения–восстановления связей между структурными элементами среды при сдвиговом течении введем следую щее кинетическое уравнение:

s & = -{s - s[1- exp(-sµ(s) )]}, (3.92) t & где и – положительные постоянные, = y – скорость сдвига.

220 ГЛАВА В соответствии с (3.92) равновесные значения концентрации разру шенных связей определяются уравнением & s = s[1- exp(- sµ(s) )].

& Легко видеть, что с увеличением ненулевой корень этого уравне ния увеличивается, приближаясь к своему максимальному значению s.

Разложение правой части уравнения (3.92) в ряд &2 & s[1- exp(- sµ(s) )] ssµ(s) показывает, что при малых значениях скорости сдвига скорость разруше ния связей прямо пропорциональна интенсивности вязкой диссипации энергии в потоке.

Система уравнений (3.88)–(3.92) после введения безразмерных пере менных y x s ) V =, = t, =, X =, S =, (s)= µ(s)1- exp(-s 0 h 0 µ0 - µ приобретает вид V, = v(S) V (3.93) 1- exp(-s );

= h µ0 - µ d X - v(S) V + FX = 0 (3.94) d = dX V(0, )= 0, V(1, )= 1-, (3.95) d (S)= p + exp(- S ), (3.96) S = -S + A1- exp- GSv(S) V, (3.97) Q µ0 - µ f =, mh [1- exp(- A )], F = m µ - µ0 exp(- A ), A = S, p = µ0 - µ 0 µ0 - µ G = h2 1- exp(- A ).

ГЛАВА 3 Приведенная постановка задачи может быть упрощена с учетом ма лости параметра (т. е. фактически малости массы жидкости в зазоре).

V Пренебрегая в (3.93) членом, получим v(S) V = const.

Решение этого уравнения неединственно. Оно может быть сконст руировано как совокупность пространственных структур – «доменов», представляющих собой области с различными значениями концентра V ции Si и скорости сдвига (концентрация и скорость сдвига внутри i каждого «домена» не зависят от ) [3, 61]. При этом граничное усло вие (3.95) выполняется, если N N dX V Hi = 1, Hi =1-, d i i=1 i= где N – число «доменов», Hi – толщина i-го домена.

Тогда система уравнений в частных производных (3.93)–(3.97) сво дится к нелинейной динамической системе вида dX 1 d X d - B + FX = 0, B =, N Hi dt (Si) i= dSi - GSiB, = -Si + A 1- exp d v(Si ) (Si)= p + exp(- Si ).

Исследование этой системы было проведено нами численно при сле дующих значениях параметров: N = 2, = 25, F =17, A = 4, p = 0,1, Hi = H2 = 0,5, =10. Рассматривалось влияние величины безразмерной & скорости сдвига E = G на характер движения системы.

Результаты расчетов суммированы на рис. 3.11, где показана зависи & мость безразмерного касательного напряжения T от E.

Эта зависимость характеризует положения равновесия рассматри ваемой динамической ситемы, к которым, в случае устойчивости, решение стремится с течением времени. На рисунке эти устойчивые ветви отмечены & жирными линиями. При малых значениях скорости сдвига ( E < 0,95) структурные связи в жидкости не разрушаются. Имеет место простое сдви говое течение жидкости с большой вязкостью, в которой не происходит 222 ГЛАВА разрушения поля течения на доменные структуры. Если в начальный мо мент времени по каким-либо причинам часть структурных связей наруше на, т. е. Si(0) 0, то эти разрушенные связи со временем полностью вос станавливаются.

Т 0, 0, 0,00 0,82 1, & E & Рис. 3.11. Зависимость Т от E & С увеличением скорости сдвига ( E > 0,95) происходит разделение поля течения на «доменные» структуры с разрушением части связей вбли зи подвижной стенки. При этом нулевое состояние Si = 0 теряет устойчи вость с рождением нового положения равновесия Si 0, которое, в свою & очередь, при дальнейшем увеличении E теряет устойчивость с образова нием предельного цикла. Размах колебаний величины касательного напряжения (Tmax и Tmin ) показан на рис. 3.11 пунктирными линиями.

Средние по времени значения Т при этих колебаниях изображены тонкой сплошной линией.

& При дальнейшем увеличении скорости сдвига E имеет место про цесс последовательного удвоения периода автоколебаний, приводящий к & & хаосу при E = E = 1,517. Наблюдающиеся при этом стохастические коле бания величины касательного напряжения показаны на рис. 3.12.

Анализ соответствующего этому аттрактору отображения Лоренца (связи между последовательными экстремумами напряжения, рис. 3.13) показывает, что в исследуемой системе переход к хаосу реализуется по ГЛАВА 3 классическому сценарию Фейгенбаума. Об этом свидетельствует также то, & что значения параметра En, при которых происходит удвоение периода, подчиняются закону Фейгенбаума:

C Gn - G =, n где в данном случае С = 6,54.

Т 0, 0, 0, 0, 7,2 21,6 28, 0,0 14, Рис. 3.12. Хаотические колебания касательного напряжения S1(n+1) 1, 1, 1, 1,13 1,45 1, S1(n) Рис. 3.13. Одномерное отображение 224 ГЛАВА Для существования стохастического поведения необходимо выпол нение условия размешивания, что обеспечивается экспоненциальным раз беганием траекторий в каждой точке аттрактора (см. главу 1). Характер этого разбегания можно оценить, исследуя энтропию Колмогорова, кото рая определяется выражением [40, 62] 1 R( ) K = ln R(0), где R(0) и R() – расстояния между двумя точками в фазовом пространстве, соответственно, в начальный момент времени и через промежуток време ни, равный.

K 0, K=0, 0,44 19,33 38,22 57, Рис. 3.14. Энтропия Колмогорова Зависимость энтропии Колмогорова от показана на рис. 3.14. Для стохастического процесса при величина энтропии должна быть больше нуля. Из рис 3.14 видно, что со временем величина энтропии Кол могорова выходит на положительный стационарный уровень K = 0,057.

& При дальнейшем увеличении скорости сдвига ( E > 1,67) имеет место обратный каскад бифуркаций Фейгенбаума, который при значе нии E = 1,87 приводит к исчезновению автоколебаний с образованием ус тойчивого равновесия. Это равновесие характеризуется высокой степенью разрушения структурных связей ближнего к подвижной стенке «домена».

& С увеличением E число этих разрушенных связей возрастает, асимптоти чески стремясь к своему максимальному значению.

ГЛАВА 3 Для подтверждения полученных результатов рассмотрим результаты вискозиметрических экспериментов, проведенных С. А. Коневым с рас плавом парафина (нонодекан). Оказалось, что при температурах, близких к температуре кристаллизации парафина, значения касательного напряже ния испытывают незатухающие колебания, график которых представлен на рис. 3.15. Для этой кривой нами были вычислены корреляционная раз мерность (см. главу 1) и энтропия Колмогорова. Результаты расчетов корреляционной размерности приведены на рис. 3.16, из которого видно, что наблюдаемые хаотические колебания являются детерминированными, причем число динамических переменных, необходимых для описания рас сматриваемого процесса, равно 4. Отметим, что вышеприведенные чис ленные результаты были получены нами при анализе динамической систе мы, которая также имеет четвертый порядок.

0 21,1 63,3 84, 42, t, с Рис. 3.15. Замеры касательного напряжения Оценка снизу для энтропии Колмогорова вычислялась по форму ле [62] Cn(r) K = lim lim ln r n Cn(0) и оказалась равной K = 0,1, что по порядку совпадает со значением, соот ветствующим модельной системе. Здесь Cn(r) – корреляционный интеграл (см. раздел 1.4).

Полученные нами результаты позволяют по-новому взглянуть на эффект эластичной турбулентностии и могут быть полезными при разра ботке нетрадиционных методов обработки данных реометрических экспе риментов.

226 ГЛАВА ln с -1, 3, -3, 1, m 1 ln -5, -1,67 -0,70 -0, 1, Рис. 3.16. Вычисление корреляционной зависимости 3.9. Исследование устойчивости работы штангового насоса При откачке маловязких жидкостей штанговым глубинным насосом возникают колебания колонны штанг, приводящие к резкому увеличению инерционных нагрузок на штангу и возникновению пульсаций давления в скважине.

Для исследования этих эффектов были проведены промысловые ис пытания [63], в ходе которых осуществлялась запись давления P(t) при работе штангового насоса в скважине № 116 НГДУ «Аксаковнефть» (рис. 3.17).

Запись производилась с помощью дистанционных тензометрических датчиков давления, электронного потенциометра Н-135 и дублирующего его шлейфового осциллографа. Жидкость перекачивалась по замкнутому циклу: насос – НКТ – затрубное пространство – насос. Рабочими жидко стями были пластовая вода (вязкость µ 1,0 мПас), дегазированная нефть с вязкостью µ 0,05 Пас и эмульсия с водосодержанием 64,5%, эффек тивная вязкость которой в рабочей зоне градиента сдвига составля ла µ 0,54 Пас.

Из рис. 3.17 видно, что откачка воды сопровождается хаотическим изменением давления жидкости в НКТ. С увеличением вязкости жидкости пульсации давления уменьшаются. Откачка эмульсии происходит без пульсаций давления, что свидетельствует о полном затухании вибрации штанг под действием вязкого трения.

ГЛАВА 3 P(t) PСТ t а) PСТ t б) PСТ t в) Рис. 3.17. Пульсации давления в скважине:

а) – µ 1,0 мПас;

б) – µ 50 мПас;

в) – µ 540 мПас Степень нерегулярности (хаотичности) изменения давления P в тру бах можно оценить по размерности Хаусдорфа D для графика зависимо сти P = P(t) (см. раздел 3.5 и главу 1). Для кривых a) и б) на рис. 3.17 по лучены значения D = 1,31 и D = 1,15 соответственно. Аппроксимируя зави симость D от логарифма µ прямой линией, получим (рис. 3.18), что при D = 1 величина µ 0,58 Пас. Эта величина соответствует вязкости эмульсии в НКТ, для которой получена кривая в) (третья точка на рис. 3.18).

Более глубокий анализ может быть произведен с помощью вычисле ния корреляционной размерности (см. раздел 1.4).

На рис. 3.19 приведена зависимость корреляционного интегра ла lnC() от ln, полученная для кривой а) из рис. 3.17 при m = 2. На рис. 3.20 приведена зависимость vm = vm(m) для этой же кривой. Вид этой кривой (рост с насыщением) свидетельствует о том, что случайные пульса ции давления имеют детерминированную основу.

228 ГЛАВА D 1, 1, 100 101 102, мПа с µ Рис. 3.18. Зависимость размерности Хаусдорфа от вязкости жидкости в НКТ 8, 8, 8, 7, ln C() 7, 0,8 1,2 1,7 2,1 2,5 3, ln Рис. 3.19. Зависимость lnC от ln при m = ГЛАВА 3 Область применения размерностных характеристик не ограничивает ся определением того, каким является источник случайных сигналов – шу мовым или детерминированным. Более ценным является использование размерностей D и v для диагностирования режимов работы насоса (утеч ки, заклинивания, рост динамических составляющих нагрузок на колонну и т. д.).

m 0 5 10 15 m Рис. 3.20. Зависимость vm от m Поскольку предельное значение корреляционной размерно сти v 3,6, то минимальное число динамических переменных, необходи мое для моделирования работы штангового насоса, равно [3, 6]+1 = 4.

Следовательно, сосредоточенная динамическая модель ШГН должна представлять собой систему из четырех уравнений. Из физических сооб ражений ясно, что эти уравнения должны учесть инерцию и упругость ко лонны штанг, а также инерцию и сжимаемость жидкости.

Уравнение колебания штанг можно записать в виде d M = Fc + Fтр + K( - x) - fпл()(Pтр - Pпр ) - Gшт, (3.98) dt где x – перемещение плунжера;

– перемещение точки подвеса колонны штанг;

M – масса колонны штанг;

230 ГЛАВА Efшт K = ;

L E – модуль упругости металла штанг;

fшт – площадь сечения штанг;

fпл – площадь сечения плунжера насоса;

Pтр – давление жидкости над плунжером;

Pпр – давление на приеме;

Gшт – вес штанг в жидкости;

1, 0, () = 0, < 0;

где – мгновенная скорость штанг;

Fc – сила полусухого трения штанг о трубы;

Fтр – сила гидродинамического трения.

При выводе (3.98) мы пренебрегли силой сопротивления в клапанах насоса и трением в плунжерной паре насоса ввиду их относительной мало сти.

Согласно [64] силу полусухого трения Fc можно представить в виде Fс = -Cшт[fпл()(Pтр - Pпр ) + Gшт] sign, (3.99) где Cшт – коэффициент трения;

– средний угол искривления ствола скважины, рад.;

+1, > 0, sign = -1, < 0.

Поскольку коэффициент трения покоя больше коэффициента трения скольжения, величина Cшт зависит от скорости штанг. Эту зависимость можно аппроксимировать гладкой функцией вида - Cшт = KП 1- K [1- exp, (3.100) y где величина KП имеет смысл коэффициента трения покоя, а KУ опреде ляет долю, на которую уменьшается коэффициент трения при скорости штанг, в кратное число раз превышающей некоторое характерное значение скорости 0.

Гидродинамическое трение штанг с учетом движения жидкости схе матично можно представить в виде FТР = -( - u), где u – средняя скорость движения жидкости;

– коэффициент трения, зависящий от вязкости нефти и глубины подвески насоса.

Движение жидкости в НКТ опишем следующим уравнением:

du m = ( - u) -Cu +(Pтр - Pвых)fтр - Gж, (3.101) dt где m – масса жидкости;

Gж – вес столба жидкости в НКТ;

с – коэффи циент, определяющий трение на стенке труб ( = с );

fтр – площадь се чения труб;

Pвых – давление в верхнем сечении НКТ.

ГЛАВА 3 Для того чтобы система уравнений (3.98)–(3.101) была замкнутой, запишем дополнительные уравнения сохранения массы для столба жидко сти в подъемнике. Пренебрегая упругостью труб, получим dP W0 = fпл () - fтрu, (3.102) dt где W0 – объем жидкости в НКТ;

– сжимаемость жидкости.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.