WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |

«А.Х. Мирзаджанзаде М.М. Хасанов Р.Н. Бахтизин МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ нелинейность неравновесность неопределенность Москва Ижевск 2004 ББК 531.1 + 622.276 ...»

-- [ Страница 2 ] --

Как правило, регистрируемые сигналы нестационарны, их частотные и масштабные характеристики со временем меняются, причем очень важно локализовать моменты, соответствующие изменению этих характеристик (моменты разладок), поскольку они, как правило, связаны с изменением состояния объектов управления.

Преобразование Фурье не позволяет решать задачу локализации. На пример, оно не отличает сигнал, представляющий собой сумму двух сину соид с разными частотами, от сигнала, состоящего из тех же синусоид, включающихся одна за другой [40] (см. рис. 1.21).

Рис. 1.21. Два сигнала с подобными Фурье-спектрами Частично эта трудность снимается за счет использования оконного преобразования Фурье F(, )= f (t)g(t,t - )exp(- i t)dt, где f (t) – анализируемая функция, g(t,t - ) – функция, достигающая максимума в точке t = (в центре окна) и быстро спадающая до нуля за t t пределами интервала -, +.

2 68 ГЛАВА Таким образом, величина t имеет смысл ширины окна. Результаты оконного преобразования Фурье удобно представлять на плоскости время частота (см. рис. 1.22, а). На рисунке 1.22 вертикальные линии указывают границы окон, а горизонтальные – различные значения частоты. Образо ванные этими линиями прямоугольники соответствуют гармоникам опре деленной частоты, локализованным с помощью окна с определенным центром t =. Степень корреляции анализируемого сигнала с такими ло кализованными гармониками (определяемую коэффициентами разложе ния F(, )) отображают путем закрашивания прямоугольников в различ ные цвета (чем меньше значение F(, ), тем темнее цвет).

Для сравнения, на рис. 1.22, б представлены результаты простого (не оконного) Фурье-преобразования в проекции на ту же плоскость -.

Как видим, это преобразование хорошо локализует частоту, но не позволя ет получить временное разрешение.

3 а) б) в) Рис. 1.22. Частотно-временная локализация преобразований а) – оконное преобразование Фурье;

б) – простое преобразование Фурье;

в) – вейвлет-преобразование.

ГЛАВА 1 Оконное преобразование Фурье локализует анализ, но не учитывает то обстоятельство, что реальные сигналы обычно представляют собой сумму составляющих, частота которых тем больше, чем меньше их про должительность. Вследствие этого высокочастотная информация должна быть извлечена из относительно малых интервалов времени, а низкочас тотная информация добывается на более продолжительных отрезках вре мени [40]. Иными словами, ширина окна должна уменьшаться с увеличе нием частоты, что для оконного преобразования Фурье не выполняется (см. рис. 1.22, а и сравните с рис. 1.22, в).

Конечно, при практическом применении Фурье-анализа все упомя нутые выше нюансы в той или иной мере учитывались путем проведения различных экспериментов с окнами переменной ширины. Наконец, эта (за частую интуитивная) деятельность привела, вместе с осознанием масштаб ной инвариантности природных процессов, к появлению формализованно го аппарата вейвлет-анализа.

Интегральное вейвлет-преобразование функции f (t) записывается в виде [40] W(s, )= f (t) (t)dt, s где (t) – вейвлет-функции, полученные из некоторого материнского s вейвлета (t) растяжением по горизонтали в s раз, сжатием по вертикали в s раз и сдвигом по оси времени на отрезок :

1 t (t)=.

s s s Обратное вейвлет-преобразование имеет вид [40] 1 t d w F(t)= s (s, )ds, C s - где C – нормализующий коэффициент, 2 - C = () d <, где () – Фурье-образ функции (t).

Вейвлеты представляют собой всплески, образованные несколькими осцилляциями, быстро спадающими до нуля за пределами базового интер вала. В табл. 1.2 приведены наиболее часто употребляемые вейвлеты. От метим, что первые два вейвлета комплекснозначны, и на рисунках изобра жены их вещественные и мнимые (штриховые линии) части.

70 ГЛАВА Основные признаки вейвлет-функции:

она должна быть ограничена:

(t) dt <, и иметь нулевое среднее:

(t)dt = 0.

Часто для подавления медленно меняющихся составляющих сигна ла f (t) требуют равенства нулю не только нулевого, но и нескольких пер вых моментов:

tm (t)dt = 0, m =1,2,...

Полная энергия сигнала может быть записана через амплитуды вейв лет-преобразования в виде [40] 1 d E( f )= f (t)dt = w2(s, )ds.

C s Таблица 1. Основные типы вейвлетов 0, а) Вейвлет Morle:

0, t 1 jt 4 -0, (t) = e e -4 -2 0 2 0, б) Вейвлет Paul:

0, (t) = (1- it)- -0, -4 -2 0 2 в) Вейвлет DOG:

0, 0, t d (t) = e -0, dt -4 -2 0 2 ГЛАВА 1 Таким образом, величина w2(s, ) характеризует плотность энергии в пространстве (,s).

Поскольку сжатие вейвлета приводит к увеличению частоты его ос цилляций, то разложение по вейвлетам подобно оконному преобразованию Фурье с шириной окна, уменьшающейся при увеличении частоты гармо ники (см. рис. 1.22, в). Изменчивость частотно-временного окна позволяет вейвлет-анализу одинаково хорошо выявлять и низкочастотные, и высоко частотные характеристики сигналов, т. е. «увидеть и лес, и деревья» [42].

Диагностирование с помощью вейвлетов Из сказанного выше ясно, что вейвлет-анализ колебаний («шумов»), зарегистрированных в ходе нормальной эксплуатации объектов управле ния, может стать эффективным инструментом диагностики. Преимущест вом этого метода перед анализом Фурье является адекватность изменчи вой, разномасштабной структуре реальных сигналов.

Вейвлет-представление позволяет:

- локализовать особые точки;

- проанализировать частотную и амплитудную изменчивость сигнала;

- выявить нерегулярные выбросы функции и её производных;

- вычислить фрактальные характеристики сигнала.

В качестве одной из иллюстраций возможностей метода рассмотрим вейвлет-преобразование двух модельных сигналов (см. рис. 1.21) с помо щью материнского вейвлета МНАТ.

В верхней части рис. 1.23 приведены распределения значений коэф фициентов разложения w(s, ) (по горизонтали – переменная, по верти кали – ось s в логарифмическом масштабе, светлые тона соответствуют большим значениям коэффициентов w ). Как видим, МНАТ-преобразова ние позволяет четко различить два сигнала и обнаружить момент разладки для второго сигнала.

Рис. 1.23. Результат вейвлет-преобразования (МНАТ) для модельных сигналов 72 ГЛАВА В ряде случаев вейвлет-представление можно рассматривать как формализацию приемов анализа временных рядов, разработанных ранее, исходя из других позиций. Так, существует глубокая связь между метода ми обнаружения системы состояния по изменению производной сигна ла [43] и вейвлет-анализом. Для иллюстрации этого рассмотрим МНАТ преобразование функции с особенностью – разрывом производной (рис. 1.24). Вейвлет-преобразование (верхняя часть рис. 1.24) точно указы вает на расположение особенности [41].

Эту точку можно было бы обнаружить и напрямую, путем численно го дифференцирования временного ряда. Однако, как известно, дифферен цирование экспериментальных данных является некорректной операцией из-за неустойчивости относительно ошибок замеров (см. [44], а также раз дел 2.1.3). Поэтому диагностирование по производной при наличии «шу мов» затруднительно. А вот вейвлет-преобразование, как показывают рас четы, дает устойчивые результаты даже при достаточно большой «зашум ленности» данных. Регуляризующие алгоритмы вычисления производных связаны с удалением шумов и перемасштабированием, что и делает вейв лет-преобразование. Таким образом, вейвлет-анализ обладает регуляри зующими свойствами.

Рис. 1.24. Вейвлет-преобразование функции с разрывом производной Пример диагностирования состояния оборудования с помощью вейвлет-анализа В заключение рассмотрим конкретный пример использования вейв лет-анализа для диагностирования состояния бурильного долота по изме рениям случайных колебаний давления промывочной жидкости P(t) и осевой нагрузки на долото G(t), произведенным в ходе бурения скважины.

На рис. 1.25 приведены результаты вейвлет-анализа колебаний осе вой нагрузки G(t) в начале (а) и конце (б) работы долота, которое после подъема на поверхность оказалось практически неизношенным. На рис. 1.25, а (новое долото) различаются многочисленные периодически по ГЛАВА 1 вторяющиеся детали в верхней части, что соответствует низкочастотным модам. Для рис. 1.25, б (незначительно поврежденное долото) характерно появление высокочастотных составляющих в нижней части картины.

На рис. 1.26 представлено вейвлет-преобразование колебаний G(t) в начале и конце работы долота, которое после подъема оказалось сильно изношенным.

В низкочастотной области на протяжении всего интервала масштабы деталей сохраняются, прослеживается похожая на периодическую струк тура. Когда долото изношено (рис. 1.26, б), в высокочастотной области по является большое количество мелкомасштабных деталей, что говорит о наличии хаотических колебаний долота, вызванных его повреждениями.

Расчеты показали, что для параллельной количественной оценки технического состояния долота могут быть использованы величины:

K E(G ) и X = E(PK ), X = G p H E(G ) E(PH ) где E(G) и E(P) – полная энергия колебаний давления промывочной жид кости и осевой нагрузки, верхние индексы H и K обозначают начало и конец работы одним долотом. (Отметим, что пределы интегрирования при вычислении энергии в начале и в конце долбления должны быть одинако выми.) а) б) Рис. 1.25. Масштабно-временная развертка для неизношенного долота в начале и в конце интервала бурения а) б) Рис. 1.26. Масштабно-временная развертка для изношенного долота в начале и в конце интервала бурения 74 ГЛАВА Оказалось, что для изношенных долот X 3, X 5. Эти неравен p G ства являются, наряду с рисунками вида 1.25–1.26, диагностическими кри териями, определяющими состояние бурового оборудования.

1.5. Управление процессами нефтегазодобычи с помощью малых физических полей В последние годы получены убедительные свидетельства возможно сти влияния слабых электрических и магнитных полей на технологические процессы.

Эти эффекты возможны, только если существуют некие механизмы, усиливающие влияние малых полей. По нашему мнению, такими «усили телями» являются неустойчивости, сопровождающие процессы в сложных природных системах, обладающих многими точками бифуркации.

Синергетика показала, что неустойчивость является символом наше го физического мира и что именно неустойчивость и флуктуации отвечают за поразительное многообразие и богатство окружающих нас форм и структур.

В мире нустойчивостей единая система расслаивается на две подсис темы, одна из которых называется динамической, а вторая – управляющей или информационной подсистемой [45]. Элементы управляющей подсис темы могут сильно влиять на динамику всей системы сравнительно малы ми возмущениями (сигналами).

Таким образом, эффективное управление сложными объектами мо жет быть осуществлено на пути создания иерархических систем с инфор мационным поведением. В частности, богатые возможности для этого кроются в использовании малых физических полей.

Классическим полем, на котором «царствуют» малые величины, яв ляется область фазовых переходов. Именно в точке рождения новой фазы малые физические поля могут сослужить роль «спускового крючка», ради кально влияющего на ход всего процесса. Так, весьма ощутимо влияние магнитного поля на процесс кристаллизации перенасыщенных раство ров [46]. Показано, что магнитное поле значительно увеличивает скорость кристаллизации (до двух раз), что представляет большой интерес для ин тенсификации технологических процессов получения и очистки веществ путем кристаллизации из растворов.

На что конкретно действуют слабые электромагнитные поля? Одни ми из возможных «агентов влияния» могут служить двойные электриче ские слои, формирующиеся на границах раздела фаз. Так, эксперименталь но установлено [47], что при кристаллизации воды и водных растворов, а также ряда других диэлектриков на границе фаз образуется двойной элек трический слой, состоящий из примесных ионов. Он вызывает появление ГЛАВА 1 значительной (до сотни вольт) разности потенциалов между твердой и жидкой фазами – так называемого потенциала замерзания (эффект Ворк мана–Рейнольдса). Неравномерное движение фазовых границ в процессе роста кристаллов вызывает собственное электромагнитное излучение, взаимодействующее с внешним магнитным полем. Это и может привести к обратному влиянию внешних полей на процесс кристаллизации.

Теоретические и практические исследования по электромагнитной обработке базируются на современной теории устойчивости и коагуляции дисперсных систем Дерягина–Ландау–Фервея–Овербека (теория ДЛФО), которая рассматривает агрегативную устойчивость как результат баланса вандерваальсовых сил и сил электростатического отталкивания между дисперсными частицами [48, 49]. Влияние электромагнитных полей на ха рактеристики сложных систем объясняется такими эффектами, как поляри зация двойных электрических слоев, электрофорез, структурообразование в неполярных и полярных средах и т. д. [50].

Многими исследователями отмечалась существенная роль физиче ских полей в процессах массопереноса в пористых средах [51]. Такие эф фекты тесно связаны с образованием двойного электрического слоя и элек тризацией жидкости при движении ее относительно твердой поверхности.

Источником дополнительной электризации жидкости при движении в по ристых средах является наличие в ней второй фазы (пузырьков газа, частиц песка, парафина и др.), что увеличивает число активных частиц, являю щихся центрами образования двойных электрических слоев.

В работе М. И. Давидзона [52] влияние магнитного поля на воду объясняется электрическими полями, возникающими при движении диа магнитных сред в магнитном поле. Таким образом, электрические и маг нитные эффекты взаимосвязаны друг с другом.

На физическом уровне «отклик» жидкости на электромагнитную об работку может быть изучен методами радиоспектрометрии [53]. Так, изу чение спектров ЭПР (электронного парамагнитного резонанса) показало, что электро-, магнито- и барообработка гетерогенных сред приводит к су щественному изменению концентрации парамагнитных центров, сопоста вимому с изменениями, имеющими место при термообработке этих же сред. (Напомним, что упомянутые физические поля называются малыми из-за малости энергий, связанных с ними, по сравнению с энергией тепло вого движения.) Для примера на рис. 1.27 приведен график изменения интенсивности линии поглощения J (в долях от исходной интенсивности), полученный при исследовании методом ЭПР образца нефти после обработки его элек трическим полем.

Как видим, электрообработка приводит к уменьшению J в два раза.

С течением времени эффект обработки «затухает».

76 ГЛАВА J 0, 0, 0, 0, t, 103 c Рис. 1.27. Изменение интенсивности линии поглощения нефти после обработки электрическим полем Под руководством одного из авторов на протяжении многих лет ве дутся работы по применению физических полей для повышения эффек тивности процессов нефтегазодобычи. В результате разработан ряд ресур сосберегающих технологий, позволяющих повысить производительность добывающих и приемистость нагнетательных скважин, эффективно бо роться с коррозией, парафиноотложением, управлять процессом солеотло жения и т. д. Рассмотрим некоторые конкретные примеры.

1.5.1. Влияние электромагнитных полей на движение гетерогенных сред Многочисленные эксперименты показывают, что обработка вытес няющего агента электромагнитными полями может позволить значительно увеличить полноту вытеснения нефти из пористой среды [54]. Так, на рис. 1.28 приведены зависимости коэффициента вытеснения от времени, полученные с помощью простой (кривая 1) и электрообработанной (кривая 2) воды. Опыты проводились на модели пласта, представляющей собой колонку высокого давления, наполненную смесью кварцевого песка (70%) с монтмориллонитовой глиной (30%).

Колонка насыщалась трансформаторным маслом, которое затем вытеснялось водой типа «Шаллар». Электрообработка производилась конденсатором, на обкладках которого создавалась напряженность 3000 В/м. Как видим, обработка воды приводит к существенному увеличению коэффициента вытеснения.

ГЛАВА 1, % 02 46810 t, час Рис. 1.28. Вытеснение нефти обычной и электрообработанной водой Если вязкость воды намного меньше вязкости нефти, то скорость фильтрации вытесняющей жидкости (воды) намного превосходит скорость фильтрации нефти. Это приводит к потере обратной связи между движе нием двух жидкостей и, как следствие, к неустойчивости границы раздела с образованием так называемых «вязких пальцев». На первый взгляд, дре вовидная структура вязких пальцев совершенно не упорядочена. Однако анализ экспериментальных структур, полученных в ячейках Хеле–Шоу, показывает, что они имеют фрактальную структуру. Для примера рассмот рим результаты экспериментов, в ходе которых в радикальной ячейке Хе ле–Шоу вода вытесняла трансформаторное масло. На рис. 1.29 приведены фрактальные структуры, образованные вязкими пальцами, при отношениях вязкостей масла (µ2 ) и воды (µ1), равных µ1 µ2 = 1 20 (а) и µ1 µ2 = 1 10 (б).

а) б) Рис. 1.29. «Вязкие пальцы» в ячейке Хеле–Шоу 78 ГЛАВА Мерой изрезанности этих структур может служить размерность Ха усдорфа D, которая позволяет количественно оценить степень неустойчи вости границы раздела.

Рассмотрим результаты лабораторных исследований по вытеснению нефти водными растворами полиакриламида (ПАА) с концентрация ми 0,02–0,05% с применением омагниченных растворов ПАА.

Омагничивание растворов ПАА производилось путем прокачки их со скоростью 0,3 м/с через медную трубку, вставленную в зазор сердечни ка электромагнита напряженностью 40000 А/м.

Как и следовало ожидать, при увеличении концентрации полимера устойчивость вытеснения возрастает (см. рис. 1.30).

Концентрация раствора поли- Без обработки С магнитной обработкой мера 0,02% 0,03% 0,04% 0,05% Рис. 1.30. Влияние магнитного поля на устойчивость вытеснения ГЛАВА 1 Магнитная обработка вытесняющего агента делает структуру менее изрезанной, т. е. повышает устойчивость границы раздела. Эти результаты наводят на мысль о том, что применение магнитного поля может позво лить уменьшить требуемую концентрацию полимера, т. е. может послу жить основой ресурсосберегающих технологий.

В качестве еще одного примера опишем результаты экспериментов по изучению влияния магнитного поля на гидравлические характеристики глинистых растворов.

В ходе опытов определялась пропускная способность капилляра при движении по нему 1) глинистого раствора, 2) глинистого раствора с добав ками поверхностно-активного вещества МЛ-72 и 3) глинистого раствора в постоянном магнитном поле, создаваемом электромагнитом, между полю сами которого располагался капилляр (изготовленный из немагнитного ма териала).

На рис. 1.31 приведены зависимости пропускной способности ка Q пилляра от перепада давления на его концах p (Q – расход глини p стого раствора), полученные для этих трех случаев.

Q/P, 10- м3/МПас - глинистый раствор - глинистый раствор с добавками ПАВ - магнитообработанный глинистый раствор 0 0,01 0,02 0,03 0, P, МПа Рис. 1.31. Зависимость пропускной способности капилляра от перепада давления Как видим, магнитное поле увеличивает пропускную способность капилляра. Можно предположить, что это влияние обусловлено воздейст вием магнитного поля на электрические заряды, возникающие у стенок ка 80 ГЛАВА пилляра при движении глинистого раствора. Косвенным подтверждением этого является то, что потенциал течения, измеряемый в ходе эксперимен тов, в присутствии магнитного поля оказывается значительно ниже. (Отме тим, что добавка ПАВ также уменьшает величину потенциала течения.) 1.5.2. Магнитные поля в борьбе с осложнениями С помощью магнитных полей можно оказывать влияние на выпаде ние солей. В ходе одного из экспериментов растворы солей, соответст вующие по составу пробам пластовых вод НГДУ «Правдинскнефть» ОАО «Юганскнефтегаз», обрабатывались магнитным полем, после чего изучалась динамика выпадения карбоната кальция при различных темпе ратурах термостатирования. Установлено (см. рис. 1.32), что обработка магнитным полем в 1,5 раза увеличивает скорость солеобразования.

На рис. 1.33 представлена зависимость количества выпавшей соли от напряженности магнитного поля. Как видим, с ростом напряженности маг нитного поля до 30 кА/м количество выпавшей соли достаточно сильно растет, а дальнейшее увеличение напряженности вызывает лишь незначи тельный рост солеобразования.

15 30 60 Время термостатирования, мин Рис. 1.32. Динамика выпадения карбоната кальция 1 – без магнитной обработки раствора;

2 – с магнитной обработкой Выпадение CaCO, % ГЛАВА 1 Таким образом, с помощью установок, создающих магнитное поле, можно управлять процессами солеотложения. Например, вызвав интенсив ное солеотложение с помощью магнита и отфильтровав выпавшие кри сталлы соли, можно затем транспортировать продукцию скважин без риска отложения соли на рабочих поверхностях оборудования.

В качестве еще одного примера укажем на опыт установки постоян ных магнитов в скважинах, подверженных интенсивному парафиноотло жению. В итоге удалось снизить число ремонтов скважинного оборудова ния более чем в 7 раз и полностью отказаться от химических способов борьбы с асфальтопарафинистыми отложениями.

Весьма эффективным оказалось применение магнитного поля при борьбе с гидратообразованием. Известно, что в процессе разработки неф тяных месторождений с применением газлифтного способа эксплуатации скважин, а также при эксплуатации газоконденсатных скважин одной из основных проблем является гидратообразование.

15 30 60 Напряженность магнитного поля, кА/м Рис. 1.33. Зависимость количества выпавшей соли от напряженности магнитного поля В настоящее время одним из основных методов борьбы против обра зования гидратов является добавление различных химических реагентов (чаще всего метанола). Это связано с большими затратами и отрицательно влияет на окружающую среду. Лабораторные исследования, проведенные на кафедре «Разработка и эксплуатация нефтяных месторождений» Азер байджанской нефтяной академии, показали, что образование газогидратов Выпадение CaCO, % 82 ГЛАВА может быть предотвращено путем обработки потока газа постоянным маг нитным полем. Промысловые эксперименты, проведенные на газлифтных скважинах месторождения «Бахар» НГДУ «Гум адасы», подтвердили эту возможность, позволив долгое время эксплуатировать скважины без ис пользования метанола.

Ряд других примеров ресурсосберегающих технологий нефтегазодо бычи, основанных на применении малых физических полей, приведен в работе [55].

Библиографический список к главе 1. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах.

От диссипативных структур к упорядоченности через флуктуации. – М.: Мир, 1979. – 348 с.

2. Хаген Г. Синергетика. – М.: Мир, 1980. – 300 с.

3. Синергетика: Сб. статей / Под ред. Б.Б. Кадомцева. – М.: Мир, 1984. – 248 с.

4. Рабинович М. И., Трубецков Д. И. Введение в теорию колебаний и волн. – М.: Наука, 1984. – 432 с.

5. Лоскутов А. Ю., Михайлов А. С. Введение в синергетику. – М.: Наука, 1990. – 272 с.

6. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: ИКИ, 2002. – 654 с.

7. Соколов И. М. Размерности и другие геометрические показатели в тео рии протекания // УФН. – 1986. – Т. 150, № 2. – С. 221–225.

8. Фракталы в физике / Под ред. Л. Пьетронеро, Э. Тозатти. – М.: Мир, 1988. – 672 с.

9. Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с.

10. Секей Г. Парадоксы в теории вероятностей и математической статисти ке. – М.: Мир, 1990. – 240 с.

11. Тарасенко В. В. Фрактальная логика. – М.: Прогресс-Традиция, 2002. – 160 с.

12. Хофштадтер Д. Гегель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда. – Сама ра: Бахрах-М., 2001.

13. Чайковский Ю. В. Излом творения // Химия и жизнь. – 1993. – № 7. – С. 18–22.

14. Кальоти Дж. От восприятия к мысли. – М.: Мир, 1998. – 221 с.

15. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. – М.: Мир, 1990. – 342 с.

16. Khahar D. V., Rising H., Ottino J. M. Analyses of chaotic mixing in two model systems // J. of Fluid Mechanics. – 1986. – V. 172, № 11. – P. 419–451.

17. Оттино Дж. М. Перемешивание жидкостей // В мире науки. – 1989. – № 3. – С. 34–44.

18. Голдбергер Э. Л., Ригми Д. Р., Уэст Б. Дж. Хаос и фракталы в физиоло гии человека // В мире науки. – 1990. – № 4. – С. 25–32.

19. Дьедни А. К. О разуме, машинах и метафизике // В мире науки. – 1990. – № 2. – С. 82–86.

20. Неймарк Ю. И., Ланда П. С. Стохастические и хаотические колебания. – М.: Наука, 1987. – 562 с.

21. Шустер Г. Детерминированный хаос. – М.: Мир, 1990. – 312 с.

22. Уокер Дж. Физический фейерверк. – М.: Мир, 1989. – 298 с.

Библиографический список к главе 1 23. Zak M. Two types of chaos in non-linear mechanics // Int. J. Non-Linear Mechanics. – 1985. – V. 20, № 4. – P. 297–308.

24. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. – 1983. – Т. 141. № 2. – С. 343–374.

25. Хакен Г. Принципы работы головного мозга: синергетический подход к активности мозга, поведению и когнитивной деятельности. – М.: ПЕР СЭ, 2001. – 351 с.

26. Соснин Э. А., Пойзнер Б. Н. Лазерная модель творчества (от теории до минанты к синергетике). – Томск: ТГУ, 1997. – 148 с.

27. Дойч Д. Структура реальности. – Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. – 400 с.

28. Красота и мозг. Биологические аспекты эстетики. – М.: Мир, 1995.

29. Кэмпбелл Д. Дж. Эффект Моцарта. – Минск: ООО «Попурри», 1999. – 320 с.

30. Пределы предсказуемости: Сб. статей / Ред. Ю. Кравцов. – М.: Центр ком, 1997.

31. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. – М.: УРСС, 2002. – 300 с.

32. Доброчеев О. Не многополюсный, а ячеистый // Независимая газета, 16.05.2001, С. 16.

33. Шупер В. Пружина территориального развития // Знание – сила, 2000, № 3. – С. 46–52.

34. Капица С. П. Сколько людей жило, живет и будет жить на Земле. Очерк теории роста человечества. – М.: Международная программа образова ния, 1999. – 240 с.

35. Мирзаджанзаде А. Х., Султанов Ч. А. Диакоптика процессов нефтеот дачи пластов. – Баку: Изд-во «Азербайджан», 1995. – 366 с.

36. Мирзаджанзаде А. Х., Аметов И. М., Ентов В. М., Рыжик В. М. Под земная гидродинамика: задачи и возможности // Нефтяное хозяйство, 1987, № 2. – С. 30–33.

37. Иоффе О. П., Лысенко В. Д. Выступления на научно-практической конференции / В кн. Проектирование и разработка нефтяных месторо ждений (материалы научно-практической конференции в г. Москве, ЦКР, 6–8 апреля 1999 г.). – М.: ВНИИОЭНГ, 1999. – С. 389–391.

38. Баранцев Р. Г. Что же такое асимптотические методы? / В кн. Андриа нов И. В., Маневич Л. И. Асимптотология: идеи, методы, результаты. – М.: Аслан, 1994. – 159 с.

39. Ишемгужин Е. И. Нелинейные колебания элементов буровых машин. – Уфа: Изд-во УНИ, 1988. – 65 с.

40. Астафьева Н. М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры примене ния // УФН, 1996. Т. 166, № 11. – С. 1145–1170.

41. Левкович-Маслюк Л. Дайджест вейвлет-анализа в двух формулах и 22 рисунках // «Компьютерра» 1998, № 8.

84 Библиографический список к главе 42. Lori M. Bruce, Jiang Li, Mathew Burns, Wavelets: Seeing the Forest and the Trees / http://www.ee.unlv.edu/~bruce/dipg/wavelets.html.

43. Огибалов М. П., Мирзаджанзаде А. Х., Механика физических процес сов. – М., Изд-во Моск. Ун-та – 370 с.

44. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1974. – 224 с.

45. Кадомцев Б. Б. Динамика и информация. – М.: Наука, 1997.

46. Горский Ф. К., Михлин М. Е. Влияние магнитного поля на кристаллиза цию перенасыщенных растворов. В сб. «Кристаллизация и фазовые пе реходы». – Минск, 1962. – С. 400–403.

47. Шибков А. А., Желтов М. А., Королев А. А. Собственное электромаг нитное излучение растущего льда // Природа, 200, № 9.

48. Дерягин Б. В., Ландау Л. Д. // ЖЭТФ, 1941 – С. 802.

49. Кройт Г. Р. Наука о коллоидах. – М.: ИЛ, 1955. – 538 с.

50. Шилов В. Н., Эстела-Льюпис В. Р. Поверхностные силы в тонких плен ках и дисперсных системах. – М.: Наука, 1972. – С. 115–132.

51. Сургучев М. Л., Желтов Ю. В., Симкин Э. М. Физико-химические мик ропроцессы в нефтегазоносных пластах. – М.: Недра, 1984. – 215 с.

52. Давидзон М. И. О действии магнитного поля на слабопроводящие вод ные системы // Изв. ВУЗов. Физика, 1985, № 4.

53. Салаватов Т. Ш., Гезалов Х. Б., Керимов М. К. Исследование методом ЭПР механизма барообработки неньютоновских нефтей // ДАН Азерб.

ССР, 1981, Т. 37, № 2. – С. 56–59.

54. Мамед-Заде А. М., Салаватов Т. Ш., Эйдельман Л. Р. Влияние обрабо танной магнитным полем воды на фильтрационные характеристики по ристых сред, содержащих глину // Азерб. нефт. хоз-во, 1984, № 9. – С. 19–22.

55. Мирзаджанзаде А. Х., Алиев Н. А. и др. Фрагменты разработки морских нефтегазовых месторождений. – Баку: Елм, 1997. – 408 с.

Глава ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ Правильная постановка вопроса свидетельствует о некотором знакомстве с предметом.

Ф. Бекон К прямым задачам математической физики относят задачи нахожде ния следствий заданных причин (например, определение полей при задан ных источниках).

Обратными задачами в этом понимании являются задачи отыскания неизвестных причин заданных следствий. (Например, определение харак теристик источников поля по значениям поля, измеренным в некоторых областях пространства.) Обратные задачи имеют исключительно важное значение при реше нии вопросов моделирования, контроля и управления технологическими процессами в сложных системах. В частности, это относится к процессам нефтегазодобычи, связанным с фильтрацией и движением по трубам структурированных многокомпонентных многофазных жидкостей, обла дающих сложными реологическими свойствами (нефтей с парафинистыми и асфальтено-смолистыми включениями, нефтеводогазовых смесей, буро вых растворов полимеров и поверхностно-активных веществ и т. д.).

Часто описание сложных систем затрудняется отсутствием теорети ческих предпосылок, которые позволили бы построить обоснованную ап риорную модель рассматриваемого процесса, т. е. выписать в явном виде систему моделирующих уравнений, задать значения параметров в этой системе и указать начальные и граничные условия. В таких случаях поста новка и решение обратных задач позволяет путем анализа эксперимен тальной информации выбрать адекватную модель, оценить ее параметры и определить, если это необходимо, недостающие начальные и граничные условия.

Процедуры подобного рода называются идентификацией математи ческой модели процесса, а полученные таким образом модели называются идентификационными.

В отдельных случаях структура модели может быть определена за ранее (например, выведена обычным путем из законов сохранения), и речь идет только об оценке неизвестных параметров (задача идентификации в узком смысле слова).

Наряду с повышением надежности расчетов, результаты решения обратных задач могут быть использованы в диагностических целях (на пример, для оценки эффективности воздействия на объекты управления).

Глава 2 Так, определение и сравнение параметров уравнения пьезопроводно сти по кривым восстановления давления, снятым до и после обработки скважины, позволяет оценить результативность этой обработки.

Рассмотрим более подробно постановку некоторых типов обратных задач.

Обратная коэффициентная задача Пусть изучаемый в эксперименте процесс моделируется решением задачи L [u] = g(x, ), x X Rk, (2.1) с дополнительными условиями l [u] = h(x, ), x X. (2.2) Здесь x = {x1, x2, x3,...., xk} – набор так называемых контролируемых переменных, – совокупность некоторых параметров, L [] – детер минированный дифференциальный оператор, зависящий от, Rk – евклидово пространство размерности k, X – граница множества Х.

При заданных задача (2.1)–(2.2) интерпретируется как обычная начально-краевая задача математической физики и является прямой зада чей определения «следствия» (решения) u по «причинам» – набору извест ных, g, h и заданных L и l.

Если же величины неизвестны, то возникает следующая обратная задача: оценить исходные параметры и функцию отклика u = u(x, ) для модели (2.1)–(2.2) по экспериментальным данным, если в эксперименте наблюдаются некоторые функционалы b[u] от отклика u [1, 2].

Экспериментальные данные, предоставляющие информацию для оп ределенных оценок и u = u(x, ), могут быть заданы в виде системы на блюдений yir = u(xi, ) + ir, i =1,2,...,n, (2.3) r =1,2,...,ri, где yir – результат r -го измерения u в точке xi, ir – ошибка этого изме рения.

Оценки параметров, полученные с помощью случайных вели чин yir, сами являются случайными величинами. Смещенность или несмещенность, а также дисперсия оценок определяется статистическими методами на основе некоторых предположений о распределении случай ных величин ir и о виде функции отклика u(x, ).

88 Глава Мы будем считать, что параметры принадлежат евклидовому про странству размерности m:

={1,2,...,m} Rm.

Более общий случай принадлежности искомых характеристик функ циональному пространству сводится к рассматриваемому подходящей па раметризацией:

m (x) = fi (x), i i= где fi (x) – заданные базисные функции.

Дополнительные условия (2.2), а также правая часть (2.1) могут быть известны с ошибками и лишь в отдельных точках.

Пример. Обратная коэффициентная задача теплопроводности Пусть u = u(x,t) является решением краевой задачи теплопроводно сти:

L[u] ut - a(x,t) uxx = g(x,t), 0 < x < l;

0 < t < T;

u = u0(t);

u = u1(t), t 0, x=0 x=l u = u0(x), x X = {0 < x < l}.

t = Функции g, u0, u0, u1 заданы, требуется определить коэффициент теплопроводности a(x,t).

Представив a(x,t) в виде m a(x,t) = fi (x,t), i i= сведем задачу к получению оценок {i} по результатам измерений yij = u(xi,t, ) + ij.

j Интерпретация косвенных измерений Пусть объект исследования характеризуется элементами u F ;

если элемент u не доступен для прямого изучения, то изучается какое-либо его косвенное проявление g(x), x X.

Элемент g(x) функционально зависит от u:

A[u] = g(x), (2.4) где A[] – некоторый детерминированный оператор.

Глава 2 Обратная задача, связанная с интерпретацией косвенных изменений, заключается в оценке элемента u по некоторым функционалам b[g(x)] от правой части (2.4) при заданном А.

Например, могут производиться измерения в точках x1, x2,..., xn X :

yi = g(xi ) + (xi ).

Требуется найти оценку u для модели (2.4).

Оператор А в (2.4), как правило, является вполне непрерывным, так что он не может иметь непрерывного обратного оператора A-1 [3]. Это приводит к неустойчивости решения обратной задачи (2.4) относительно экспериментальных погрешностей: даже малые ошибки в измерении g мо гут привести к недопустимо большим ошибкам в определении u. Поэтому говорят, что обратная задача (2.4) некорректно поставлена [4–6].

После работ Ж. Адамара (J. Hadamar, 1923 г.) считалось, что некор ректно поставленные задачи нецелесообразно изучать, поскольку ошибки замеров неизбежны, однако насущные потребности практики все чаще приводили к необходимости их рассмотрения.

В конце концов интуитивные методы повышения устойчивости об ратных задач, выработанные поколениями инженеров и математиков прикладников, оформились в хорошо разработанную теорию построения устойчивых (регуляризующих) алгоритмов решения некорректных за дач [4–6], элементы которой будут рассмотрены чуть ниже.

Пример. Задача определения формы электрического импульса на входе кабеля u(t) по результатам записи его на выходе кабеля формулиру ется в виде t K(t - )u( )d = g(t), (2.5) где K(t) – импульсная функция кабеля.

В ходе эксперимента проводятся наблюдения y(t) = g(t) + (t), (2.6) где g(t) – сигнал на входе кабеля, (t) – ненаблюдаемая ошибка измере ния g в момент времени t.

Обратная задача определения u(t) по наблюдениям (2.6) параметри m зацией u(t) = f (t), где {f (t)} – некоторая базисная система функ = ций, может быть сведена к решению методом наименьших квадратов сис темы линейных алгебраических уравнений m = y(t ), (2.7) K = t где K = K(t - ) f ( )d.

90 Глава Следствием некорректности задачи (2.5) является плохая обуслов ленность системы (2.7), что на практике приводит к «разбалтыванию» ре шений при больших m. Первоначальный подход в этом случае состоял в том, чтобы варьировать величину m в зависимости от величины ошибки.

Затем появились более тонкие методы решения такого рода задач.

2.1. Методы решения обратных коэффициентных задач 2.1.1. Регрессионный анализ Если удается решить прямую краевую задачу (2.1–2.2) и получить явный вид функции u = u(x, ), где неизвестные присутствуют в виде параметров, то получение оценок сводится к обычной задаче регресси онного анализа [1, 7–9]. Решение прямой задачи, как правило, нелинейно зависит от, так что мы приходим к задаче поиска оценок в случае нели нейной регрессии. Примем обычные для регрессионного анализа предпо ложения о ненаблюдаемых ошибках:

E[ir ] = 0, E[ir ir] = iirri2, 1, i = i ;

где E[] – знак усреднения, i i = 0, i i.

В качестве оценок неизвестных параметров используем оценки метода наименьших квадратов:

n pi = Arg inf ( ), ( ) = [ yi - u(xi, )]2, N i= i (2.8) ri yi = yir / ri;

pi = ;

N =, r i N ri где Arginf ( ) – значение, при котором ( ) достигает минимума.

1 Множитель в дальнейшем можно опустить, заменив u и y на u и y.

Метод стохастической аппроксимации Потребовав минимизации функционала ( ) в среднем, вместо (2.8) получим оценки = Arg inf ( ), где ( ) = E[( )].

Глава 2 Непосредственное определение оценок затруднено из-за отсутст вия информации о функции распределения случайных величин yir, поэто му для оценки величин может быть использована итерационная гради ентная процедура (s) (s+1) (s) = - (s) ( ), (2.9) где =,...,.

m Здесь (s) – число, определяющее величину шага и выбираемое обычно таким, чтобы удовлетворялось условие монотонности (s+1) (s) ( ) ( ).

Можно показать [10], что если применяется алгоритм (2.9) и а) (s) =, 2(s) < ;

s=1 s= б) inf{( - )T ( )} 0 ( > 0), < ( - )T ( - ) < ;

T T в) E[ ] d(1 + ) (d > 0), (s) то последовательность сходится к при s с вероятностью, равной 1 и в среднеквадратичном смысле, т. е.

(s) P lim - = 0 =1, s (s) (s) lim E[( - )T ( - )] = 0.

s T Здесь – транспорированный вектор.

Решение обратных задач методами теории чувствительности При решении обратных коэффициентных задач путем итерационной минимизации невязки большое значение имеет вопрос выбора величины и направления каждого последующего «шага» в пространстве искомых па раметров.

92 Глава Оптимизация «маршрута» поиска может быть осуществлена с помо щью исследования чувствительности решений прямых задач относительно варьирования значений коэффициентов моделей [11, 12].

Используя аппарат теории чувствительности, коэффициенты мож но искать при помощи итерационной процедуры (s+1) (s) (s), = + (2.10) (s) определяются из условия минимизации функционала где смещения n pi (s) T (s) ( )= [u(xi, )+ h(xi, )- yi], i= i T u u u (s) h(xi, )=,,...,.

1 2 m (s) Матрица чувствительности h(xi, ) определяет «отклик» решения прямой задачи на малые изменения значений коэффициентов.

Пример.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение k m d u + u = k d tk k = с начальными условиями (k) u (0)= k, k = 0,1,..., m -1.

Необходимо оценить параметры ( j = 0,1,...,m) по замерам j yi = u(ti )+ i, i =1, 2,..., n.

Легко увидеть, что функции чувствительности u(t, ) hj(t, )= j могут быть найдены из решения задачи k m d h + h0 =1, k d tk k = k m d hj d ju + + h = 0, j =1,2,…,m, k j j d tk d t k = hl (0)= 0, l = 0,1,…,m.

Оценки коэффициентов определяются по алгоритму (2.10), где ве (s) находятся путем решения уравнений личины m (s) (s) (s) Ajl l = B, j = 0, 1, …, m, j l = Глава 2 где h (s) (s) Ajl = (ti, )hl(ti, ), h (s) j i= h (s) (s) (s) B = [yi - u(ti, )] hl(ti, ).

j i= 2.1.2. Оценивание параметров с помощью замены дифференциального уравнения конечно-разностным Мы предполагали до сих пор, что прямая начально-краевая зада ча (2.1)–(2.2) может быть решена точно. Однако это возможно далеко не всегда. В тех случаях когда точное решение задачи (2.1)–(2.2) не удается получить, для определения параметров может быть произведена замена операторов L и l их конечно-разностными аналогами.

Рассмотрим, например, задачу оценки коэффициента температуро проводности а для уравнения теплопроводности:

u(x,t) 2u(x, t) = a t x (0 x l, t 0).

Переходя к дискретной координате с шагом x и к дискретному времени с шагом t, получим уравнение [13] uk,s - uk,s-1 = (uk +1,s - 2uk,s + uk -1,s ), (2.11) t ~ ~ где = a, a - a, – методическая ошибка замены дифференци (x) ального уравнения конечно-разностным.

Требуется оценить по системе наблюдений yk,s = uk,s + k,s, где l k, uk,s = u(xk,ts ), xk = k x = 0,1,..., x ts = s t (s = 0,1,...), E[k,s ] = 0, т. е. E[ yk,s ] = uk,s, E[k,s k,s] =.

kk ss Для решения задачи перепишем (2.11) в виде uk,s = uk,s-1 + (uk +1,s - 2uk,s + uk -1,s ). (2.12) Заменим теперь в правой части (2.12) все u на результаты их наблю дений. Получим в итоге некоторую оценку для uk,s :

u = yk,s-1 + ( yk+1,s - 2yk,s + yk-1,s ).

k,s 94 Глава В качестве оценки параметра можно принять величину = Arginf F( ), F( ) = E k,s - yk,s )2, и использовать для ее оп (u k,s ределения метод стохастической аппроксимации (2.1.1).

Рассмотрим случай, когда разности yk - yk ±1 измеряются в малом числе точек xk. В этих условиях необходимая точность оценок обеспечи вается достаточно большим числом измерений по времени (s ).

Исходя из (2.9), получим следующий алгоритм определения оце (s) нок в момент st :

(s) (s-1) (s) (s-1) = - (s){ F ( )}, = (s) (s) (s) где F ( ) = + f, f – добавка, обеспечи k,s (u - yk,s ) 2 k (s) вающая несмещенность оценок.

Так, если конечные разности измеряются в одной точке, можно по ложить [13] (s) F ( ) = uk,s - yk,s + 2 (1+ 3 ).

Легко проверить, что (s) (s-1) (s-1) E[{ F ( )} ] = 0 при =n, = так что добавка 2 (1 + 3 ) действительно обеспечивает несмещенность оценки.

2.1.3. Некорректность операции дифференцирования экспериментальных функций В предыдущем разделе были рассмотрены алгоритмы решения об ратных задач, основанные на конечно-разностной аппроксимации диффе ренциальных уравнений. Этот подход следует применять с большой осто рожностью, поскольку конечно-разностная аппроксимация эквивалентна непосредственному дифференцированию экспериментальных функций, чреватому большими погрешностями [4–6].

Проиллюстрируем это обстоятельство следующим простым приме ром.

Пусть дано уравнение du + (u -1)= 0. (2.13) dt Глава 2 Требуется определить параметр по замерам yi = u(ti )+ i, произ веденным в дискретные моменты времени ti = it (i =1,2,...,l). Заменяя du yi+1 - yi производную конечно-разностной аппроксимацией, полу dt t чим из (2.13) (i+1) yi+1 - yi =, (2.14) (1- yi )t (i+1) где – оценка параметра, полученная после (i+1)-го замера.

Легко показать, что предложенный алгоритм неустойчив. Действи тельно, по формуле Тейлора, имеем u(ti+1)= u(ti )+ u (ti )t + u (ti )(t) + o(t)2, откуда yi+1 - yi i+1 - i - u (ti ) + u (ti )t.

t t Для относительной погрешности определения производной u (ti ) по лучим выражение u u 2 t = + u, (2.15) u 1 - u 1 - u t где – абсолютная ошибка величины u.

Так как в первом слагаемом правой части (2.15) величина t стоит в знаменателе, то ясно, что при малых t дифференцирование эксперимен тальных функций является неустойчивой операцией: малые погрешно сти приводят к большим ошибкам в определении u.

Процедуру вычисления u можно регуляризовать, увеличивая про межуток времени между замерами t. Однако при этом увеличивается ошибка, допускаемая при конечно-разностной аппроксимации производ ной.

2 t Минимальная ошибка, согласно (2.15), достигается при = u t u или t = 2. При таком значении t u.

u u 1 - u Рассмотрим следующий математический эксперимент. В качестве замеров yi возьмем «зашумленные» значения решения уравнения (2.13) при =1 и начальном условии u(0) = 0 :

-ti yi =1 - e + i, i 0,01, (2.16) 96 Глава и используем их для оценки величины по формуле (2.14). Считая u ~ 0,5, u = e-t ~ 0,5, получим, что оптимальное значение t в этих условиях равно 0,2. На рис. 2.1. приведены оценки величины для разных момен тов времени при t =0,02 и t =0,2 (см. рис. 2.1, а и б соответственно).

1, а) 0, t 0, б) 0, 1 t Рис. 2.1. Оценки величины для разных моментов времени при t =0,02 и t =0, Как видим, при t =0,02 проявляется неустойчивость решения об ратной задачи. Увеличение промежутка времени между замерами до t =0,2 устраняет неустойчивость при t 1, но приводит к смещению оценки на 10%. При t > 1 неустойчивость появляется за счет уменьшения величины 1–u.

Операция интегрирования, являясь обратной операции дифференци рования, в отношении воздействия на погрешности обладает также проти воположными свойствами: при интегрировании погрешности эксперимен тальных функций сглаживаются. В ряде случаев, подвергая дифференци альное уравнение различным интегральным преобразованиям, можно по лучить выражения, в которых будут отсутствовать производные экспери Глава 2 ментальных функций, что избавит от необходимости дифференцирования последних.

Так, проинтегрировав уравнение (2.13) по времени, получим u(tl ) - u(t1).

= (2.17) t l (1 - u)dt t Подставив вместо значений u(ti ) замеры yi и произведя численное интегрирование, получим оценку yl - y =. (2.18) l - yi + yi+ t 1 i= В выражении (2.17) отсутствуют производные экспериментальной функции, поэтому (2.18) дает достаточно точный результат. Так, использо вание данных математического эксперимента (2.16) при t =0,02 и l = приводит к оценке, отличающейся от истинного значения =1 не более чем на 0,3%.

2.1.4. Применение преобразования Лапласа при решении обратных задач Если алгоритм определения параметров линейной модели связан с получением точного решения прямой задачи, то целесообразно осущест вить преобразование Лапласа по следующим трем причинам.

1. Как правило, аналитическое решение модели проще получить в про странстве изображений, чем во временной области.

2. Преобразование Лапласа является интегральным преобразованием, что приводит к сглаживанию погрешностей экспериментальных функций.

3. Часто, исходя из точного решения в изображениях, удается получить асимптотики при t и t 0 решений во временной области и эф фективно использовать их при решении обратных задач.

В связи с этим методы решения обратных задач, основанные на при менении преобразования Лапласа, находят весьма широкое применение.

Эксперименты, предназначенные для определения параметров моде лей, проводятся во временной области, поэтому для того, чтобы можно было осуществить оценивание, необходимо либо решение прямой задачи преобразовать ко времени t, либо экспериментальные данные о процессе перевести в пространство изображений по Лапласу. Ниже рассматривают ся оба этих способа.

98 Глава Оценивание во временной области Если решение прямой задачи может быть переведено во временную область, то используют обычные приемы минимизации суммы квадратов отклонений (раздел 2.1.1). Для облегчения процедуры обращения рассмат риваются асимптотики s 0 (t ) или s (t 0).

Рассмотрим пример эффективного применения преобразования Лап ласа при решении обратной задачи определения коэффициента диффузии раствора поверхностного активного вещества (ПАВ) в ходе следующего эксперимента.

Вертикальная стеклянная трубка нижним концом погружена в рас твор ПАВ с постоянной концентрацией c0. В начальной момент времени в трубке находится столб чистой воды высотой h0, удерживаемый силами поверхностного натяжения. Раствор ПАВ начинает диффундировать в во де, за счет чего происходит понижение уровня воды в капилляре, причем это изменение уровня замеряется.

d Исходя из формулы c = (h0 - h) g r, где k = -, – коэффи x=h 2k dc циент поверхностного натяжения, h – высота столба жидкости, можно вы числить концентрацию в верхней части столба (величина k определяется в предварительных опытах).

Таким образом, для определения коэффициента диффузии необхо димо решить обратную задачу оценки величины D из переопределенной системы уравнений c c 2c + h = D, 0 < x < h(t), (2.19) t x x c = 0, (2.20) t = c c = c0, = 0, (2.21) x= x x=h(t) c = f (t), (2.22) x=h(t) где h(t) и f(t) – экспериментально определяемые функции (табл. 2.1).

Перейдя к безразмерным переменным t x h t =, x =, h = t0 h h Глава 2 c и пренебрегая членами порядка h, получим из (2.19)–(2.22) x c 2 c = D1, x c c = 0, c = c0, = 0, =0 x = x x = c = f ( )= f (t ), (2.23) x = t Dt dt где D1 =, t0 =1,8 105 с, =.

2 h0 h (t) Таблица 2. Значения экспериментально определяемых функций h(t) и f(t) t, c h 102, см c 103, % 0 1,4200 0, 75600 1,3598 0, 79200 1,3536 0, 82800 1,3464 0, 86400 1,3368 0, 90000 1,3290 0, 93100 1,3176 0, 97200 1,3086 0, 100800 1,2992 0, 104400 1,2901 0, 108000 1,2812 0, 111600 1,2736 0, 115200 1,2633 0, 162000 1,1680 0, 165000 1,1648 0, 169200 1,1560 0, 172800 1,1516 0, 176400 1,1458 0, 180000 1,1422 0, 100 Глава Далее, применяя преобразование Лапласа по переменной, получим d с s с = D1 2, dx c0 d c с =, = 0, где с(x, s) = e-s c(x, )d.

s dx x =0 x = Решение этой задачи имеет вид s c0ch (1 - x) D c =.

s sh D Используя соотношение (2.23), получим c = F(s), (2.24) s sh D где F*(s)= e-s f *( )d.

Известно, что коэффициент диффузии растворов ПАВ имеет поря м док 10-10 -10-8, поэтому мы можем воспользоваться для начального с временного интервала следующей асимптотикой:

s exp D s ch.

D1 С учетом этого из (2.24) следует равенство s exp D1 F*(s).

= s 2c Переходя в этом равенстве к оригиналам, получим 1 f (t ) Ф* = 2c 2 D или 1 f (t ) = 2 D1Ф*-1, 2c Глава 2 где Ф*(x)= e- d, x а через Ф*-1 обозначена функция, обратная к Ф*.

f (t ), Обозначая Y1 = Ф*-1 Y2 =, получим 2c Y2 = Y1, = 2 D1, т. е. в координатах (Y1,Y2) экспериментальные данные должны спрямлять ся, и угловой коэффициент этой прямой определяет коэффициент диффу зии D. Результаты обработки экспериментальных данных в координа тах (Y1,Y2) приведены на рис. 2.2, из которого видно, что в данном слу м чае = 1, т. е. D = 0,26 10-9.

с Y 0, 0, 0, 0, 0, 0,4 0, 0,1 0,2 0, Y Рис. 2.2. Изменение высоты столба жидкости h(t) в капилляре На рис. 2.3 приведено сопоставление экспериментальных точек с графиком функции h(t), полученной по формулам решения прямой задачи с определенным выше коэффициентом диффузии D.

102 Глава Оценивание в пространстве изображений Если решение прямой задачи получено в пространстве изображений и обращение его затруднительно, то удобнее провести оценивание пара метров в s-плоскости. Пусть y(t) – результаты замеров величины u, u(t, ) – решение прямой задачи, G(s) и V(s, ) – их изображения. Оцени вание параметров в пространстве изображений требует минимизации от клонения функции V(s, ) от G(s). Интеграл G(s)= e-sty(t)dt можно вы числить любым из способов численного интегрирования. В частности, мо жет быть использована формула i i + 1 1 (yi+1 - yi )(e-st - e-st ), G(s)= y0 + s ti+1 - ti s2 i= где yi = y(ti ), t0 = 0.

h, м 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0 0, 0,25 0, t Рис. 2.3. Результаты обработки экспериментальных данных в координатах (Y1, Y2 ) Отметим, что метод оценивания параметров, который дает равные веса ошибкам в s-области, не гарантирует равные веса ошибок во времен ной области. Так, если y(t) = u(t, )+ (t), то минимизация выражения Глава 2 s G(s)-V(s, ) ds s в s-области эквивалентна минимизации (t)(t) dt во временной области, W exp(- s1t)- exp(- s2t). В результате ранние мо где весовая функция W(t)= t менты времени «весят» больше, чем поздние. Вводя увеличенные веса при меньших величинах s, можно уменьшить вес, придаваемый ошибкам при малых временных.

Чтобы провести оценивание, необходимо использовать дискретные действительные значения переменной s = si (i =1,2,3,..., N). Для каждого si должны быть вычислены величины G(si ) и V (si, ), и, наконец, выраже N ние [G(si )- V(si, )]2 должно быть минимизировано по параметрам.

i= В ряде случаев вычисления могут быть значительно упрощены за счет ра сcмотрения асимптотик решения V(s, ) при s 0 или s.

Пример.

Для решения задач оперативного контроля за работой магистраль ных трубопроводов большое значение имеет вопрос определения коэффи циента гидравлического сопротивления по результатам технологических измерений, проводимых в процессе эксплуатации трубопроводов. При этом измеряются давления на входе и выходе трубопровода и расход про дукта.

Неустановившееся движение сжимаемой жидкости в трубопроводах описывается известной системой линеаризованных уравнений p ( w) - = + 2а w, x t (2.25) p ( w), - = c t x где р – давление, w – среднеобъемная скорость, – плотность жидкости, 2а – коэффициент сопротивления, с – скорость звука.

Задаются следующие начальные и граничные условия:

w = 0 ;

p = 0, t =0 t = w = 0(t);

p = f0(t).

x= x= 104 Глава Требуется определить коэффициент а по дополнительному гранич ному условию, заданному, например, в виде p = 0(t), (2.26) x=l где l – длина трубопровода.

Исключая w, для определения давления p(x,t) получим уравнение 2 p 2 p 2al p = + c t x2 t с дополнительными условиями p p = 0 ;

= 0;

t = t t= p 0w0c d 2al p = f (x);

= - +, x = t p0 d t с x = x c p f0 где x =, t = t, p =, f =, =, p0, 0, w0 – характерные l l p0 p0 0w значения соответствующих величин.

Применив преобразования Лапласа, получим, опуская черточку над безразмерными переменными, d U 2al = s2 + sU, c dx dU 0w0c 2al, U = F(s), = - s + x= dx p0 c x= где U, F, Ф – изображения функций p, f,.

Отсюда U (x,s)= F ch x - 1 sh x, (2.27) 2al 0w0c s + 2al c где = s2 + s, 1 =.

c p Если 1 – изображение функции, то из (2.26) и (2.27) получим p 1 = F ch - 1 sh.

Для упрощения рассмотрим асимптотику s 0. Ограничиваясь ли нейными по s членами, получим 0w0c 2al ~ (s)= s +, (2.28) p0 c F(s)- 1(s).

~ где (s)= (s) Глава 2 ~ Как следует из (2.28), зависимость между (s) и s изображается прямой, не проходящей через начало координат. Придав s несколько дей ствительных значений, получим из (2.28) систему, решение которой мето 0w0c дом наименьших квадратов позволяет оценить величины и 2а.

p 2.1.5. Метод детерминированных моментов Одним из эффективных методов решения обратных задач является метод детерминированных моментов [8]. Детерминированным моментом n-го порядка называется выражение M = n tn(u - u(t))d t, n = 0, 1,…, где u – предельное значение характеристики процесса u(t).

Эти моменты могут быть определены как по экспериментальной за э висимости y(t) (обозначим их через Мn ), так и по теоретической зависи мости u(t, ), получаемой из решения прямой задачи (обозначим T их Mn ( )). Приравняв соответствующие теоретические и эксперимен тальные значения моментов, получим соотношения для определения пара метров модели :

T э M ( )= M, n = 0, 1,…, N–1, n n где число соотношений N определяется количеством неизвестных пара метров модели. Кроме того, из величины моментов можно составлять ди агностические критерии адекватности выбираемой модели реальному про цессу.

Предполагается, что кривая y(t) задана на достаточно большом ин тервале [0, T] так, что y(T ) u и (u - y(t))tnd t 0, поэтому экспери T ментальные значения моментов вычисляются по приближенной формуле T э M [u - y(t)]tnd t. (2.29) n При проведении расчетов на практике интеграл (2.29) берется чис T ленно. Вычисление теоретических значений моментов Mn ( ) существенно упрощается, если прямая задача решена операционным методом. Легко ~ показать [8], что если u(s, ) – изображение функции u(t, ), то n d u ~ T M ( )= (-1)n lim - u(s, ).

n s dsn s 106 Глава Пример 1.

Определение параметров пласта по данным нестационарных иссле дований.

Рассмотрим неустановившуюся фильтрацию однофазной жидкости после остановки скважины. Как известно, этот процесс описывается урав нениями p 1 p =, 0 < r0 r R0 <, r t r r r Q0µ R0 R p(r,0)= pстац = p0 - ln = p0 - p* ln, (2.30) 2 к h r r к p(R0,t)= p0, 2 r0 h p(r0,t)= Q(t).

µ r Здесь приняты следующие обозначения: r0, R0 – радиусы скважины и контура питания;

p0 – давление на контуре питания;

Q0, Q(t) – стацио нарный и текущий расходы на забое скважины.

Дополнительное условие для решения обратной задачи по определе нию параметров пласта задано в виде кривой восстановления давления p0 - p(r0, t)= p(r0, t).

Задача (2.30) в изображениях по Лапласу имеет следующий вид:

pстац p 1 d d~ s ~ - p = -, (2.31) r r d r d r ~ p0 d p* Q(s), ~ ~ p(R0,s)=, p(r0,s)= s d r r0 Q ~ где p(r,s)= p(r,t)exp(- st)dt, ~ Q(s)= Q(t)exp(- st)dt.

Решение задачи (2.31) представляется следующим выражением:

p* Q(s) ~ p(r,s)= - r0 Q0 s s s s s s K0 R0 I0r - K0r I0 R0 pстац (2.32) +, s s s s s K0 R0 I1r + I0 R0 K1r где K0(x), K1(x), I0(x), I1(x) – функции Бесселя от мнимого аргумента.

Глава 2 Введем следующие детерминированные моменты:

M = n p(r, t)tnd t, p(r0, 0) mn = (t)tnd Q t, n = 0,1, 2,… Q0 Вычисление моментов производится по экспериментальным дан ным p(r0, t) и Q(t). С другой стороны, можно записать n d p M = lim [(-1)n ~(r0, s)] (2.33) n s0 p(r0, 0), dsn n d ~ mn = lim [(-1)nQ(s)], s0 Q dsn где ~(r0, s)= p p(r, t)exp(- st)d t.

Используя (2.32), (2.33) после ряда элементарных преобразований, получим следующие равенства:

p R0 R M0 = + m0 ln, p(r0, 0) 4 r 4 p 5 R0 R0 R M1 = + m0 + m1 ln, p(r0, 0) 8 4 r 6 4 p 23 R0 5 R0 R0 R M = + m0 2 + 2m1 + m2 ln.

p(r0, 0) 27 4 4 r 64 Используя выражения для М и М1 и формулу Дюпюи R p ln = p(r0, 0), (2.34) r можно определить параметры пласта из следующей системы:

R0 32 M1 - m = - m0, 5 M0 - m к h R0 Q0 =, (2.35) µ 8 p(r0, 0) M - m R0 к h 2 p(r0,0).

ln = r0 µ Q Следует отметить, что использование равенства (2.34) не является принципиальным, так как вместо него можно воспользоваться выражением для М.

108 Глава В качестве примера обработки рассмотрим кривую восстановления давления, представленную в табл. 2.2.

Моменты, рассчитанные по этим данным, равны:

M0 = 7,3103с, m0 = 6,6 103с, M1 = 4,1107 с2, m1 = 3,3107 с2.

Используя эти значения, из (2.35) получим параметры пласта:

R0 кh м3 R = 3,1104с, = 2910-14, ln =11,1.

µ Па с r Таблица 2. Параметры кривой восстановления давления t, с 6 103 12 103 18103 24103 30 p(r0, 0), МПа 4,84 2,03 0,90 0,38 0,15 см 793 307,2 109,3 47,3 15,2 Q(t), с Пример 2.

Рассмотрим следующий метод диагностирования реологических свойств вязкоупругопластичных нефтей по данным наблюдения их движе ния по трубам.

Реологическая модель, описывающая движение вязкоупругопла стичных сред, имеет вид + -0 = µ +, (2.36) t r t r где – напряжение сдвига, =(r, t) – скорость среды на расстоянии r от оси трубы;

0 – предельное напряжение сдвига;

µ – вязкость среды;

, – времена релаксации.

Для конкретных сред некоторые из параметров 0,, могут ока заться равными нулю.

Пусть нефть в трубе первоначально покоится. В момент времени t= перепад давления вдоль оси трубы скачкообразно увеличивается от нуля p0 - p до постоянного значения, после чего в процессе установления L стационарного режима течения производятся замеры средней по сечению Глава 2 скорости течения w = w(t). Пренебрегая сжимаемостью среды, изменение средней скорости можно описать моделью L p0 - p1 - d w R + (1+ 2 a )d w + 2 a w =, d t L d t d w w = 0, = 0, t =0 t = d t 8µ где ra =, – плотность среды, R, L – радиус и длина трубы, p0, p1 – R давления в начале и конце трубы.

Легко получить, что детерминированные моменты Mi = (w - w(t))tid t, i = 0, определяются выражениями 1+ 2a M0 = w, 2a p0 - p 1 + 2a M1 = -, 2a l 2a 2a L p0 - p1 - R где w = – предельное значение скорости течения.

2a L Для диагностирования реологических свойств воспользуемся сле дующими соотношениями:

M1 1 + 2a = -, (2.37) M0 2a 1 + 2a M0 1 + 2a =, (2.38) w 2a w L =. (2.39) L p0 - p1 - 20 2a R Анализ этих выражений показывает, что возможно выполнение сле дующих условий:

M1 M0 w L I. = = = ( = 0, = 0);

M0 w p0 - p1 - 20 L 2a R M1 M0 w L II. = = ( 0, = 0);

M0 w p0 - p1 - 20 L 2a R 110 Глава M1 M0 w L III. = = ( = 0, 0);

M0 w p0 - p1 - 20 L 2a R M1 M0 w L IV. = ( 0, 0).

M0 w p0 - p1 - 20 L 2a R Значения параметров 0 и 2 a можно определить по формуле (2.39), p0 - p измеряя и w для двух установившихся режимов течения с раз L M ными скоростями. Затем можно подсчитать значения отношений, M M, которые должны удовлетворять одному из условий I–IV. Определив, w таким образом, какие из параметров и существенные, их численные значения можно найти по формулам (2.37), (2.38).

2.1.6. Решение обратных задач методом модулирующих функций В предыдущем разделе были приведены алгоритмы определения па раметров моделей, использующие решения краевых задач, полученные в пространстве Лапласа. Применимость этих алгоритмов ограничена сле дующими причинами.

1. Использование преобразования Лапласа возможно только для линейных моделей.

2. Форма теоретического решения может быть такова, что определить па раметры оказывается затруднительным.

3. Для аппроксимации весьма сложных реальных граничных и начальных условий используется ограниченное число простых соотношений. В ря де случаев это может привести к столь большим погрешностям в опре делении параметров, что использование краевой задачи для идентифи кации модели становится невозможным.

В связи с этим ниже рассматривается метод модулирующих функ ций, позволяющий определить параметры модели без использования ре шений краевых задач [14]. По этому методу идентифицируемое дифферен циальное уравнение заменяется некоторыми интегральными аналогами, из которых составляются алгебраические уравнения относительно искомых параметров. При этом получаются выражения, в которых отсутствуют производные экспериментальных функций, чем ликвидируются трудности, связанные с непосредственным дифференцированием экспериментальных Глава 2 функций. Следует отметить, что применение метода модулирующих функ ций требует привлечения большого объема экспериментальной информа ции. Это является неизбежной платой за возможность нахождения оценок параметров без решения прямой задачи. Для примера рассмотрим задачу определения коэффициента температуропроводности а в уравнении ut - auxx = g (2.40) по результатам наблюдений yi j = u(xi, t )+ i j.

j Умножим (2.40) на функции (x)= (x - xi )2(xi - x)2 и (t)= (t - t )(t - t) такие, что j j (xi )= (xi)= 0 ;

(xi )= (xi)= 0;

(t )= (t )= 0, (2.41) j j и проинтегрируем по x и t в пределах [xi, xi] и [t,t ]. Выполнив интегри j j рование по частям, получим алгебраическое уравнение Ai i j j a = Bi i j j, (2.42) t t x x j j i i где Ai i j j = d x d t, Bi i j j = - + g ) d x d t.

u (u t x t x j i j i Как видим, производные экспериментальной функции заменены производными точно известных функций (x) и (t), дифференцирова ние которых является корректной операцией. Так как экспериментальные данные представлены в виде дискретных измерений, то вычисление инте гралов производится численно, по формулам приближенного вычисления интегралов. При этом вместо значений U(x, t) подставляются соответст вующие значения замеров y.

Функции (x) и (t), позволяющие, благодаря свойствам (2.41), из бавиться от дифференцирования экспериментальных данных, называются модулирующими функциями. Выбирая различные интервалы [xi, xi] и [t,t ], а также различные функции (x) и (t) (удовлетворяющие ус j j ловиям (2.41)), можно получить систему уравнений вида (2.42), которая решается относительно а методом наименьших квадратов. Для того чтобы определить статистические свойства оценок а, нужно оценить воздейст вие интегральных операторов на случайные поля y(xi, t ). Можно пока j зать, что метод модулирующих функций обладает резкими сглаживающи ми свойствами [14]. Дисперсия оценки параметра по методу модулирую щих функций может быть сделана весьма малой, если привлекается доста точно большой объем экспериментальной информации.

112 Глава Рассматривая более общий случай, отметим, что для того, чтобы n u «снять» производную n-степени, нужно использовать модулирую zn щую функцию (z), удовлетворяющую условиям (n-1) ()= ()=L = ()= 0, (n-1) ( )= ( )=L = ( )= 0.

Тогда n u zn d x = (-1)n u (n) d z.

2.2. Регуляризация некорректно поставленных задач Пойди туда, не знаю куда, принеси то, не знаю что.

Одна из первых некорректно поставленных задач.

Как уже говорилось ранее, многие обратные задачи, связанные с ин терпретацией косвенных наблюдений, оказываются некорректными. Как показывают многочисленные примеры, неустойчивость всегда обусловли вается тем, что решение задачи ищется в слишком широком классе.

Устойчивость задачи можно восстановить некоторым сужением класса возможных решений за счет привлечения какой-либо дополнитель ной (априорной) информации количественного или качественного харак тера. Иными словами, некорректно поставленные задачи возникают тогда, когда мы стремимся смоделировать процесс, не обладая для этого доста точной информацией. Различные способы решения некорректных (по Адамару) задач отличаются видом используемой дополнительной инфор мации.

Итак, рассмотрим обратную задачу оценки u по системе наблюде ний yi = g(xi )+ i для модели A[u]= g(x), u F, g G, (2.43) где оператор А осуществляет непрерывное взаимно однозначное отобра жение F G.

Будем предполагать единственность решения обратной задачи (2.43), т. е. предположим, что если для некоторой функции g(x) уравнение (2.43) имеет решение u, то только одно.

Задача (2.43) становится корректной, если сузить класс возможных решений u до некоторого компакта М. Это следует из топологической тео ремы, согласно которой взаимно однозначное и непрерывное отображение Глава 2 компактного пространства М в метрическое пространство N есть гомео морфизм [4–6]. Компакт М называется классом корректности зада чи (2.43).

Задача (2.43), в постановке которой указано, что u принадлежит ком пакту М, называется корректной по Тихонову (условно корректной). Од ним из способов устойчивого решения уравнения (2.43) является миними зация функционала Au - g на множестве корректности М ( g – норма элемента g в G). Элемент u = Argin f Au - g uM называется квазирешением уравнения (2.43) [4]. Предполагается, что вме сто g эксперимент дает g такое, что g - g ;

при 0, в силу ус ловной корректности задачи, u u. Квазирешение определено так, что не обязательно g N = AM.

На рис. 2.4 изображена ситуация, когда g AM. В этом случае ква зирешение u есть решение уравнения Au =, где – проекция g на множество N. Часто множество корректности М можно задать с помо щью некоторого неотрицательного неоднородного функционала :

M ={u F (u) m}.

В этом случае естественен также альтернативный методу квазире шения подход – минимизация функционала (u) на множестве Au - g.

A AM M u g Рис. 2.4. Квазирешение некорректно поставленной задачи Обычно величина функционала (называемого стабилизирующим) характеризует гладкость решения u. Можно показать [5], что этот метод эквивалентен минимизации функционала M [u, g ]= Au - g 2 + (u) (2.44) на всем пространстве, причем положительный параметр = ( ) должен, по идее метода, определяться по невязке из условия Au - g =, где u – экстремаль функционала (2.44).

114 Глава ( ) При таких имеет место сходимость u u, если 0. Обо значим через R (g ) оператор, ставящий в соответствие элементу g эле мент u :

u = R (g ), R (g ) называется регулирующим оператором для задачи (2.43) [4–6].

При практическом применении метода параметр остается, по су ществу, неопределенным. Обычно проводят расчеты с несколькими значе ниями параметра, составляющими геометрическую прогрессию (напри мер, 10-1,10-2,10-3,…). Из полученных результатов выбирают наилуч ший – чтобы решение не было ни слишком сглаженным (слишком боль шие ), ни слишком «разболтанным» (слишком малые ).

В качестве стабилизатора можно взять, например, выражения типа к b n n[u(s)]= s pк(s) d u, (2.45) d d sк к = a где pк (s) – весовые функции, pк(s)>0.

Отметим, что регуляризующий функционал (2.44) со стабилизатором b d u 2[u]= d s d s a предложен Филлипсом (D. L. Phillips) для случая b A[u(s)]= K(x, s)u(s)d s, c x d.

a 2.3. Выбор сложности идентифицируемой модели Если в задаче меньше трех переменных, это не задача;

если больше восьми – она неразрешима.

Из сборника «Физики шутят» Успех дела зависит от упрощения и от обоснования этого упрощения.

В. Акимов Априорные сведения о структуре модели изучаемого процесса часто отсутствуют, поэтому вид модели приходится восстанавливать в ходе ре шения обратной задачи (идентификация в широком смысле этого слова).

Как показывает опыт, в условиях неустойчивости большое значение имеет Глава 2 выбор оптимальной сложности математической модели. Излишнее услож нение модели может привести к неустойчивым алгоритмам идентифика ции и, как правило, лишает идентификационные модели предсказательной силы.

В качестве простого примера рассмотрим задачу восстановления эм пирической зависимости y = F(x) по экспериментально замеренным точ кам {xi, yi}, i = 1,...,4 (рис. 2.5).

Отклонения экспериментальных точек от графика функции F(x), по казанного на рис. 2.5 пунктирной линией, объясняются неизбежными ошибками замеров.

Зависимость y = F(x) можно аппроксимировать следующими моде лями возрастающей сложности:

I) y = a x + b;

II) y = a x2 + b x + c;

III) y = a x3 + b x2 + c x + d, где коэффициенты a, b, c, d определяются методом наименьших квадратов.

Полученные таким образом зависимости для моделей I и III пред ставлены на рис. 2.5 кривыми 1 и 2 соответственно. Как видно, модель III аппроксимирует зависимость y = F(x) хуже, чем более простая модель I, особенно при попытке экстраполяции («прогноза») за интервал [x1;

x4].

y F(x) y y y y x x1 x3 x4 x Рис. 2.5. Аппроксимация функции полиномами различной сложности Для слишком сложной модели малые ошибки замеров, незаметные на интервале интерполяции, на этапе прогноза становятся «монстрами», радикально меняющими поведение кривой. По сходному поводу Я. Б. Зель 116 Глава дович писал: «Положение вещей напоминает сказку Андерсена, в которой тень, отделившись от человека, начинает жить самостоятельно, делает карьеру и, наконец, заставляет самого человека служить ей» (цитата, при веденная в [15]).

Таким образом, при выборе разумной сложности математической модели необходим всесторонний анализ, принципы которого не до конца формализуемы. Как отмечается в [15], «умение правильно выбрать мате матическую модель находится на грани науки и искусства. Оно требует не только необходимых математических и прикладных знаний и опыта, но также вкуса и чувства соразмерности».

Метод структурной минимизации среднего риска Итак, при постановке и решении задач идентификации моделей по эмпирическим данным ограниченного объема возникает проблема пра вильного соотнесения сложности идентифицируемой модели с количест вом и уровнем погрешности имеющихся данных. Эта проблема может быть решена при помощи метода структурной минимизации среднего рис ка [16, 17]. Оказывается, что если на допустимом множестве решений за дать структуру, то наряду с минимизацией эмпирического риска (невязки) внутри элементов структуры появляется дополнительная возможность ми нимизации по элементам структуры. Это позволяет найти решение, даю щее более глубокий гарантированный минимум среднего риска, чем реше ние, доставляющее минимум эмпирического риска на всем допустимом множестве решений. По существу, метод структурной минимизации сред него риска является способом формализации давно применяемого на прак тике приема регуляризации за счет огрубления модели (см. также [8]).

Рассмотрим сущность этого метода на примере классической задачи восстановления функциональной зависимости y = F(x) по эмпирическим данным, представленным в виде совокупности замеров (выборки) {xi;

yi}, где yi – результат измерения y при x = xi, i = 1, 2,..., l, l – число замеров (объем выборки). Обращаясь к вероятностной интерпретации погрешно стей в исходных данных, введем аддитивную помеху :

yi = F (xi) + i, где случайная величина имеет нулевое математическое ожидание Е[] = и конечную дисперсию D[]<. Несмотря на то, что задачи восстановле ния эмпирической зависимости не относят к некорректно поставленным, при ограниченном объеме выборки возникает проблема правильного соот несения «сложности» приближающей (пробной) функции с объемом и ка чеством (уровнем погрешности) исходных данных. Использование излиш не сложных моделей, содержащих большое число искомых параметров, Глава 2 приводит в случае малых выборок к неустойчивости, подобной неустойчи вости некорректно поставленных задач.

Предполагая, что класс функций, в котором ищется регрессия y(x), является параметрическим с параметрами a, задачу восстановления эмпи рической зависимости можно свести к минимизации функционала I(a)= (y - F(x,a)2 P(y x)dxdy), (2.46) называемого функционалом среднего риска [16, 17]. Здесь P(y|x) – плот ность вероятности реализации значения y при заданном значении x. Как правило, вид функции P(y|x) (характеризующий статистические свойства случайных ошибок) неизвестен, поэтому на практике вместо (2.46) мини мизируется так называемый функционал эмпирического риска l I0(a)= (yi - F(xi;

a))2, l i= построенный по случайной выборке {xi;

yi}.

Показано [16, 17], что для величины функционала среднего риска могут быть получены верхние оценки вида l ln I(a) Im(a)= I0(a) ;

, (2.47) h l справедливые с вероятностью 1–. Величина h называется емкостью клас са функций F(x, a) и определяет сложность идентифицируемой модели.

В частном случае, если множество функций состоит из конечного числа N элементов F1(x, a), F2(x, a),..., Fn(x, a), то h ~ ln N, а если рассматривается класс линейных по параметрам функций n F(x,a)= i(x), (2.48) a i i= где {i(x)} – некоторая ортонормированная система функций, то h = n, т. е.

емкость класса функций (сложность модели) равна в этом случае числу ис комых параметров n.

l Величина определяет относительный объем выборки. Структура h l l ln второго сомножителя в (2.47) такова, что с ростом величина ;

h h l уменьшается, стремясь к единице. Функционал эмпирического риска с l увеличением, как правило, увеличивается. Таким образом, существует h l некоторое оптимальное значение, при котором верхняя оценка среднего h риска (его гарантированное значение) достигает минимума. Это значе l ние и определяет оптимальную сложность модели.

h 118 Глава При некоторых весьма общих предположениях могут быть получены точные оценки величины [16, 17], но они оказываются малопригодными, поскольку требуют знаний о статистических свойствах случайных оши бок, а эта информация, как правило, отсутствует. Кроме того, строгие верхние оценки величины оказываются весьма завышенными и могут привести к слишком «осторожным» по отношению к увеличению сложно сти модели алгоритмам.

Поэтому на практике эти оценки используются лишь для того, чтобы l определить структуру критерия, характер его зависимости от величин h ln и. А значения констант, входящих в выражения для, задаются ис l ходя из априорных соображений или же подбираются на основе ретро спективного анализа опыта решения подобных задач.

Так, при восстановлении одномерной регрессии в классе функ ций (2.48) рекомендуется использовать критерий z, z 0, =, где [z] = (2.49), z < 0.

l nln - ln n 1 - l При проведении расчетов задаются некоторыми значениями n, при каждом n методом наименьших квадратов определяют параметры а, а за тем вычисляют I0 (а) и по формулам (2.47)–(2.49) – функционал среднего риска Im(а).

Оптимальным признается то значение n, при котором величина Im (a) минимальна.

Пример. Обработка данных вискозиметрических исследований.

При обработке данных вискозиметрических экспериментов с реофи зически сложными средами оценки реологических параметров часто ока зываются неустойчивыми относительно малых экспериментальных оши бок. Это может быть связано, в частности, с тем, что достоверные резуль таты могут быть получены лишь в ограниченной области значений скоро сти сдвига, поскольку при слишком малых и слишком больших значениях скорости сдвига в неньютоновских средах могут иметь место явления, вносящие погрешности в измерения и искажающие истинную картину те чения в рабочем зазоре ротационного прибора.

Глава 2 Качество решения задач восстановления зависимостей при ограни ченном объеме выборки зависит не только от точности аппроксимации ис ходных данных, но еще и от таких факторов, как гладкость аппроксими рующей функции, ее «сложность» и т. д. Ниже приводится алгоритм обра ботки данных реологических экспериментов, позволяющий учесть это об стоятельство и использовать априорную информацию для повышения ус тойчивости результатов в условиях малых выборок.

Пусть результаты реологических экспериментов представлены в ви & & & де выборки 1,1,, ;

…;

,l, где i – значение касательного напряже 2 2 l & ния при скорости сдвига (i =1,2,…,l), l – объем выборки. (Для примера, i см. данные вискозиметрического исследования нефти месторождения Кюрсангя, приведенные в табл. 2.3.) Предположим, что зависимость & & = ( ) описывается реологической моделью вида = f ( ;

a1,…, ak ), где f – некоторая заданная функция, содержащая неизвестные параметры a.

Таблица 2. Данные вискозиметрических исследований 3,0 5,4 9,0 26,2 27,0 48,6 81,0 145, &, 1/с 12,2 16,7 22,8 31,5 43,2 56,3 85,4 121,, 10–1 Па В соответствии с методом структурной минимизации среднего риска зададим множество моделей различной сложности (структуру). Ограни чимся рассмотрением следующих четырех уравнений.

(Модель ньютоновской жидкости;

сложность модели & I. = a n = 1, a1 = µ – вязкость) (Модель Шведова–Бингама;

& II. = a1 + a n = 2, a1 =0, a2 = µ ) 2 (Степенная модель;

n = 2) &a III. = a 3 (Модель Гершеля–Бакли;

n = 3) &a IV. = a1 + a Здесь сложность модели определяется числом искомых параметров.

Оценки значений реологических параметров в этих моделях определя & ются по исходной выборке (,i ), i = 1,2,..., l, путем минимизации i функционала эмпирического риска:

= arg inf I0(a), 120 Глава где l & I0(a)= [i - f (,a)]2.

i l i= Устойчивость решения обратной задачи обеспечивается за счет вы бора из четырех представленных соотношений модели оптимальной (в смысле минимума среднего риска) сложности.

Для практических расчетов применяется оценка I0() Im(a) =.

n[ln(l)+ 1]- ln 1 l Результаты расчетов по изложенной схеме приведены в табл. 2.4, из которой видно, что оптимальной является степенная модель III.

Таблица 2. Результаты расчетов № Сложность I0, 10–2 Па Im, 10–2, Па2 µ I 154 1200 0, n = II 26,6 1822 0, n = III 14,0 962 0, n = IV 11,1 0, n = (Отметим, что для моделирования ситуации, в которой возможно снятие & замеров только в ограниченной области изменения, «обучение» модели, т. е. определение параметров a, производится по неполным данным – шес ти экспериментальным точкам с номерами от второй до седьмой.) Для иллюстрации на рис. 2.6 приведены реологические кри & вые = ( ), соответствующие модели III (кривая 1) и II (кривая 2). Как ви дим, зависимость, восстановленная по методу структурной минимизации среднего риска, удовлетворительно аппроксимирует экспериментальные данные.

Отметим, что для повышения устойчивости при обработке данных реологических исследований можно использовать методы регуляризации, рассмотренные в разделе 2.2.

По методу А. Н. Тихонова, реологические параметры a определяют ся из условия минимума функционала (a)= I0(a)+ W (a), где W(a) – стабилизирующий функционал, – параметр регуляризации.

Глава 2 150, 10–1 Па 120, 90, 60, 30, 0,00 30,00 60,00 90,00 150, 120, с– & Рис. 2.6. Определение реологической модели по методу структурной минимизации среднего риска Значения параметров a = a( ), минимизирующие функционал, & существенно зависят от величины. При =0 кривая = f (, a) наибо лее близка к экспериментальным точкам. Однако это приводит к тому, что все ошибки эксперимента при обработке исходных данных сохраняются.

Увеличение приводит к «сглаживанию» этих ошибок, но ценой того, что & отклонение экспериментальных точек от кривой = f (, a) становится больше. «Оптимальное» значение определяется из условия I0(a( )), где – среднеквадратичное отклонение измерений (предполагается, что оценка величины известна).

В ходе расчетов вначале задается некоторое малое значение = 0.

Из решения систем уравнений = a определяются соответствующие значения параметров a( ). Затем опреде ляется невязка I0(a( )), которая сравнивается с величиной. Ес 122 Глава ли I (a( ))<, то придается новое значение = 1 > 0, а ес ли I0(a( ))>, то должно быть 1 < 0. Таким образом, вычисления ( ) производятся до тех пор, пока при некотором = величина I (a ) не * & станет близкой к значению. Функция = f (,a( )) принимается за реологическую модель исследуемой среды.

В качестве примера вновь рассмотрим данные вискозиметрического исследования нефти месторождения Кюрсангя, приведенные в табл. 2. (среднеквадратичное отклонение 0,4 10-1 Па). Для описания реологи ческой кривой выберем трехпараметрическую модель Гершеля–Бакли &m =0 + K.

Известно, что величина предельного напряжения сдвига, полу чаемая из опытов, часто является аппроксимационной [19]. Для учета этой априорной информации выберем стабилизирующий функционал в ви де W =0. Тем самым конструируется алгоритм обработки вискозиметри ческих данных, с большой «неохотой» признающий наличие у изучаемого вещества предельного напряжения сдвига.

В ходе расчетов минимум функционала l &m (0, K,m)= (i -0 - K ) + i l i= определяется градиентным методом (как и выше, при определении функ ционала эмпирического риска учитывались неполные данные – только шесть точек). При различных были получены значения реологических параметров, m и невязки I0, приведенные в табл. 2.5. Поскольку 1610–2 Па2, то счет прерывается при =0,3.

Поскольку значение, соответствующее =0,3, мало по сравнению со среднеквадратичным отклонением, можно считать, что предельное напряжение сдвига отсутствует. Этот вывод соответствует результату, по лученному выше методом структурной минимизации среднего риска.

Таблица 2. Результаты расчетов по методу А. Н. Тихонова 0, 10–3 Па I0, 10–2 Па m 0 1270 0,97 10, 0,1 780 0,88 13, 0,2 397 0,78 15, 0,3 220 0,73 16, 0,5 110 0,70 16, 2,0 19 0,67 17, 5,0 8 0,67 17, Глава 2 2.4. Нечеткие алгоритмы решения обратных задач Есть правила для выбора решения, но нет правила для выбора этих правил.

Из сборника «Физики шутят» Человек, имеющий одни часы, твердо знает, который час.

Человек, имеющий несколько часов, ни в чем не уверен.

Закон Сегала (Из энциклопедии афоризмов Н. Л. Векшина) Многие практически важные задачи сводятся к поиску экстремума некоторого функционала и могут быть сформулированы в следующей об щей форме.

Пусть B – некоторое подмножество топологического пространства, на котором определен функционал I(x), ограниченный снизу на непустом множестве B0 B. Требуется найти элементы x B0, для которых I(x*)= inf{I(x): x B0}. (2.50) На практике, как правило, точный функционал неизвестен, а вместо него имеются некоторые «приближенные» функционалы I, аппроксими рующие I с некоторой погрешностью : I - I.

Задача минимизации (2.50) называется корректно поставленной на множестве А допустимых приближенных функционалов, если ее решение не только существует и единственно, но и обладает свойством устойчиво * сти, т. е. при уменьшении погрешности приближенное решение x стре * мится к точному решению x* : x x* при 0, * x = arginf{I (x): x B0}.

Однако это условие часто не выполняется, поэтому актуальной явля ется проблема получения устойчивых приближенных решений некоррект но поставленных задач.

Как уже отмечалось выше, для регуляризации такого рода задач на их решения накладываются дополнительные ограничения, вытекающие из некоторых априорных соображений. Не ограничивая общности, можно считать, что эти ограничения сводятся к минимизации некоторого функ ционала (x) (стабилизатора). Поскольку минимум функционала достига ется, как правило, на элементе x**, отличном от x*, то мы имеем типич ную двухкритериальную задачу в следующей нечеткой постановке: «найти 124 Глава такие x, при которых I (x) и (x) становятся как можно меньше». Обыч но эту задачу сводят к однокритериальной, вводя модифицированный сгла живающий функционал (раздел 2.2):

M [x]= I (x)+ (x), > 0, xB0. (2.51) Величина параметра регуляризации подбирается таким образом, чтобы удовлетворялось условие (принцип невязки) I = (2.52) (не теряя общности, можно считать, что inf I = 0).

Однако при решении практических задач информация о величине «ошибки» зачастую отсутствует. К тому же, кроме условия (2.52), могут быть введены и другие, не менее разумные принципы выбора. Опыт ре шения реальных (а не модельных) задач показывает, что определение па раметра регуляризации является трудно формализуемой процедурой, имеющей субъективный характер.

Если априорная информация столь сложна, что ее формализация требует использования многих регуляризаторов i (i = 1, 2,..., n), то сгла живающий функционал должен иметь вид M [x]= I (x)+ 11 + 22 +... + nn.

В этом случае одного условия (2.52) не хватит для определения всех параметров регуляризации i.

В конечном счете, затруднения, возникающие при подборе, вызва ны тем, что сведение многокритериальных задач к однокритериальным всегда связано с соображениями субъективного характера, а существую щие ныне алгоритмы явным образом это никак не учитывают.

В то же время теория решения многокритериальных задач достаточ но хорошо развита, поэтому целесообразно рассмотреть возможные при менения ее результатов для решения некорректно поставленных задач.

Как известно, анализ многокритериальных задач не приводит к вы делению единственного решения (минимизирующего элемента), а сводит ся к построению множества Парето – совокупности решений, характери зующейся тем, что ни для одного из них не существует доминирующего (лучшего по всем критериям сразу) решения [20]. Окончательный же вы бор того или иного решения из множества Парето должен осуществить эксперт (лицо, принимающее решение), исходя из своего опыта, интуиции или привлекая какие-то другие соображения.

Однако в целях автоматизации процессов обработки эксперимен тальной информации необходимо выработать некоторые формальные пра вила решения некорректных задач, применяемые без участия человека.

В этом случае целесообразно использовать методы теории нечетких мно жеств, поскольку сама формулировка многокритериальных задач имеет нечеткий, расплывчатый характер.

Глава 2 2.4.1. Нечеткие множества Нечеткие множества – это объекты, о принадлежности к которым можно судить только с некоторой долей уверенности. Они введены Л. Заде для формализации качественного, словесного описания объектов и пресле дуемых целей [21].

Нечетким множеством А в U называется совокупность пар ви да (u,µA(u)), где u U, а µA(u) – функция u a [0;

1], называемая функци ей принадлежности нечеткого множества А. Близость функции µA(u) к является количественной мерой уверенности в том, что элемент u принад лежит множеству А. Если возможна четкая, однозначная классификация элемента u по принадлежности к А, то функция принадлежности вырожда ется в характеристическую функцию 1, u A, µA(u)= 0, u A.

Вид функции принадлежности определяется представлениями экс пертов, которые устанавливают те элементы u U, для которых µ (u) = 1 или 0 (т. е. те области, для которых возможна четкая классифи A кация), а затем задают тот или иной закон изменения функции µA от 0 до в интервале нечеткой классификации. Например, нечеткое множество А = = «малое число» можно задать функцией принадлежности µ (u)= (u;

u1;

u2;

m);

A 1, u u m u -u (u;

u1;

u2;

m)= 1 -, u1 < u < u2, (2.53) u2 -u 0, u u где u1, u2 – числа, которые признаются (в данной ситуации) безусловно ма лым и безусловно большим соответственно.

В этом выражении показатель степени m характеризует степень па дения уверенности в малости числа u при его отклонении от u1 и назнача ется экспертом. Так, если речь идет о числах, малых по сравнению с еди ницей, можно задать u1=0, u2=1, m=4. Тогда µ (0,5) 0,06, µ (0,1) 0,66, A A что достаточно хорошо согласуется с интуитивным представлением о сте пени малости чисел 0,5 и 0,1 по сравнению с единицей.

Над нечеткими множествами производятся операции, соответст вующие комбинациям нечетких терминов и целей. Рассмотрим некоторые из них.

а) Пересечением нечетких множеств A1, A2,..., An называется нечет кое множество С, соответствующее логической связке «и». Оно обознача ется C = Ak, k=1,..., n, I k 126 Глава и определяется как нечеткое множество с функцией принадлежности µc(u)= min(µ (u), µ (u),..., µ (u)). (2.54) A1 A2 An Использование операции пересечения в форме (3.54) часто приводит (как и все максиминные критерии) к слишком пессимистическим алгорит мам принятия решения. Поэтому часто оказывается целесообразным при нятие более «гибкого» определения:

µc(u)=(µ (u), µ (u),..., µ (u)).

A1 A2 An n б) Объединение нечетких множеств A1, A2,..., An соответствует ло гической связке «или» и обозначается C = Ak, k =1,..., n. Его функция U k принадлежности может быть определена как µc(u)= max(µ (u), µ (u),..., µ (u)), A1 A2 An или n µ (u) Ai i= µc(u)=, n sup Ai (u) µ u i= или t, t 1, t = n µc(u)= (u).

µ Ai 1, t >1, i= Рассмотренные нами операции над нечеткими множествами облег чают формализацию многокритериальных задач. Так, решение задачи ми нимизации критериев I1, I2,..., In может быть сведено к максимизации функции принадлежности µ = (µ1( I1), µ2(I ),..., µn(I ))n, 2 n где µi(Ii ) – функция принадлежности нечеткого множества «малые Ii », i = 1, 2,..., n.

2.4.2. Нечеткие постановки некорректных задач Рассмотрим задачу минимизации по аргументу функционала I (x), неустойчивую относительно малых погрешностей. Предположим, что для обеспечения устойчивости ее решения привлекаются некоторые до полнительные сведения априорного характера, формализованные в виде требования минимальности функционалов I1(x), I2(x),..., In(x). Таким обра зом, поиск устойчивого решения некорректной задачи сводится к решению многокритериальной задачи минимизации n+1 функционалов I, I1, I2,..., In.

Глава 2 Используя подходы теории нечетких множеств, эту задачу можно свести к определению элементов x*B, доставляющих максимум функции принад лежности µ = (µ ( I ), µ1( I1), µ2(I ),..., µn(I ))n+1, 2 n где µ ( I ) – функция принадлежности к нечеткому множеству «ма лые I».

Пример.

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений вида Ax = b, x Rn, b Rm, (2.55) где А – ненулевая действительная матрица размера m n, b 0.

Предположим, что вместо точного значения вектора b задано его приближение b такое, что b - b. Приближенное решение (2.55) оп * ределяется как такой вектор x Rn, для которого * I(x )= inf{I (x): x Rn}, где I (x)= Ax - b.

Как известно, в случае плохо обусловленных систем это решение не устойчиво относительно малых возмущений. Регуляризация задачи мо жет быть достигнута за счет привлечения некоторой априорной информа ции. Пусть, например, известно, что искомые решения не должны быть * * слишком велики, т. е. требуется минимизировать норму I1(x )= x.

Тогда устойчивое решение будет соответствовать максимуму функ ции принадлежности µ(x)= (µ (I (x))µ1( I1(x)))2, * * где µ (I )= (I ;

0;

I ;

m1);

µ1(I1)= (I1;

0;

I1 ;

m2), функция задается вы * * ражением (2.55), I и I1 – значения функционалов I и I1, признаваемые большими. Эти величины, а также показатели степени и задаются эксперт но, исходя из существа рассматриваемых задач.

Отметим, что в рамках традиционного подхода [5] устойчивое реше ние (2.53) следовало бы искать путем минимизации модифицированного сглаживающего функционала M [x]= Ax - b + x.

Сравнивая два рассмотренных выше подхода к решению некоррект но поставленных задач, можно заметить, что при использовании теории нечетких множеств субъективный момент проявляется при выборе вида функций принадлежности µ(I) и µi(Ii). Подчеркнем, что нечеткий подход обеспечивает большую гибкость и учет большего числа «нюансов» при формализации априорной информации, поскольку возможности варьиро 128 Глава вания вида функций принадлежности намного богаче, чем возможности варьирования одного параметра.

2.4.3. Нечеткий подход к выбору сложности идентифицируемой модели С общей точки зрения, метод структурной минимизации среднего риска является средством формализации нечетко поставленной задачи «увеличить точность аппроксимации эмпирических данных, используя как можно более простые модели». При этом требуется минимизировать два критерия – функционал эмпирического риска I0(а) и критерий «относи l ln тельной простоты модели» ;

, причем при определении величи h l ны неизбежно, как следует из раздела 2.3.1, привлечение субъективных соображений. И вновь, как и при построении регуляризующих алгоритмов, двухкритериальная задача сводится к однокритериальной путем введения обобщенного критерия l ln Im(a)= I0(a) ;

.

h l Легко видеть, что более естественным способом формализации зада чи выбора оптимальной сложности модели является привлечение аппарата теории нечетких множеств. Используя рассмотренные выше подходы, можно потребовать максимума критерия µ(a,n)= (µ0(I0(a,n))µc(n))0,5, (2.56) где µ0(I0) и µc(n) – функции принадлежности нечетких множеств «малые значения эмпирического риска» и «малая сложность модели». Эти функ ции могут быть, например, определены как I µ0(I0)= ;

m I 1 - tm, 0 t 1,, (t,m)= (2.57) n 0, t >1, µc(n)= ;

m 0,5l где I1 – значение функционала эмпирического риска, соответствующее некоторому начальному числу параметров n (например, n = 2), m1 и m2 – показатели степени, определяющие отношение алгоритма к уменьшению эмпирического риска и увеличению сложности модели. (Так, если m2 < 1, то уже при малых n модель считается сложной, а при m2 > 1 число пара метров может быть увеличено.) Глава 2 Пример 1.

Рассмотрим математический эксперимент, заключающийся в восста новлении функциональной зависимости y = F(x) по выборке {xi;

yi}, «при готовленной» путем вычисления yi по формуле yi = b1 + b2xi + b3xi2 + 0i, где i – случайная величина, равномерно распределенная в интерва ле [–1, 1] (вычисляется с помощью стандартных генераторов случайных чисел), 0 – уровень погрешности, i = 1, 2,..., l. При проведении расчетов принимались следующие значения параметров: b1 = b2 = b3 = 0 = 0,01, а значения xi задавались случайным образом в интервале [0,1].

Функциональная связь между y и x восстанавливалась в классе поли n номов y = xk -1 путем минимизации функционала эмпирического a k k = риска l n I0(a)= yi - xk -1.

a k l i=1 k= В табл. 2.6 приведены значения I0, функционала среднего риска Im (по выражениям (2.45) и (2.47)) и нечеткого критерия µ (по (2.56) и (2.57)), соответствующие полиномам различной сложности.

Таблица 2. Результаты математического эксперимента l=20 l= Число параметров модели I0 Im µ Im µ I 2,65 8,63 0,447 0,335 2,607 0, n= 2,32 7,57 0,419 0,328 22,5 0, n= 0,10889 0,46 0,111 0,017 0, n= 0,10269 0,57 0,124 0,016 0, n= 0,10254 0,75 0,139 0,014 0, n= Результаты математического эксперимента показывают, что при дос таточно большом числе экспериментальных точек оба метода выбора мо дели оптимальной сложности дают правильный результат (n = 3), но при малых выборках метод СМСР становится излишне грубым и выбирает бо лее простую модель, чем следует.

130 Глава Пример 2.

В последнем столбце табл. 2.4 представлены значения нечеткого критерия µ, построенного с целью отбора реологической модели опти мальной сложности по данным вискозиметрических исследований, приве денных в разделе 2.3.1. Как видим, оптимальной вновь признается степен ная модель Оствальда, что соответствует результату, полученному ранее с помощью метода структурной минимизации среднего риска.

2.5. Оценка начальных запасов газовых месторождений Почему бы Вам не разбавить Ваши мысли поучительными примерами?

Д. К. Максвелл (проповеднику) Для эффективной разработки газовых месторождений необходимо уже на ранней стадии разработки достоверно оценить начальные балансо вые и извлекаемые запасы месторождения.

Как известно, одним из распространенных методов подсчета запасов газа, наряду с объемным, является метод, основанный на использовании уравнения материального баланса и сводящийся к экстраполяции зависи мости приведенного давления p = p / z от накопленной добычи газа Q.

Эта зависимость в условиях проявления чисто газового режима имеет пря молинейный характер. Графической интерпретацией метода в этом случае является линейная экстраполяция p / z -зависимости до уровня p = 0. При этом отрезок, отсекаемый на оси Q, служит для оценки начальных запасов газа.

Однако прямолинейная зависимость p от Q может быть нарушена за счет проявления водонапорного режима, влияния горного давления и других осложняющих факторов. Отметим, что очень часто причины, ве дущие к отклонению p / z -зависимости от прямой, действуют с некоторым запаздыванием [22, 23].

В связи с вышеизложенным в данном разделе рассматриваются сле дующие две практически важные задачи:

- ранняя оценка запасов газа по начальным данным разработки месторо ждения (когда, в частности, не успевают проявить себя причины, нару шающие прямолинейность p / z -зависимости);

- оценка запасов газа в условиях проявления (с запаздыванием) деформи руемости горных пород.

Глава 2 2.5.1. Оценка запасов газа по начальному участку p / z -зависимости Математически задача экстраполяции p / z -зависимости сводится к определению параметров прямой p = a + bQ методом наименьших квад ратов (МНК) по значениям pi, Qi (i =1,r,...,l), полученным в ходе разра a ботки месторождения (начальные запасы оцениваются как - ). При этом b решается система алгебраических уравнений A x = U, где T l S1, x = b)T, U = l pi;

l piQi, A = (a, S1 S i=1 i= l l S1 =, S2 = Q Q2.

i i i=1 i= В связи с невозможностью точного определения средневзвешенного пластового давления (особенно в начальный период) значения коэффици ентов a и b, а следовательно и запасов, найденных из решения этой сис темы, определяются с погрешностью х, уровень которой зависит от уровня погрешности определения правой части U и обусловленности матрицы A [5]:

x µ U, где µ – обусловленность матрицы A.

Нетрудно показать, что стремление использовать как можно более p короткие начальные участки -зависимости приводит к увеличению обу z словленности µ, поэтому даже малые ошибки в определении p и Q мо гут привести к большим ошибкам в определении начальных запасов газа.

Для получения устойчивого решения можно воспользоваться регуля ризующим методом наименьших квадратов (РМНК), когда при неточно за ~ ~ данной правой части U такой, что U - U, в качестве решения выби рается вектор x, минимизирующий функционал (см. раздел 2.2) ~] ~ M [x,U = Ax -U + (x), ~ a Q где параметр определяется из условия Ax -U =, (x) = + – b стабилизирующий функционал. При этом для определения априорно зада ваемой величины Q0 можно использовать величину запасов газа, опреде 132 Глава ленную объемным методом, которая (хотя бы только в первом приближе нии) оценивается уже на этапе разведочного бурения и тем более известна на этапе опытно-промышленной эксплуатации.

Для апробации вышеизложенного подхода нами были проведены расчеты по данным о динамике приведенного средневзвешенного пласто вого давления и суммарного добытого количества газа Коробковского ме сторождения [23] (табл. 2.7).

Таблица 2. Динамика разработки Коробковского месторождения Дата определения p*, МПа Q, млрд. м 1954–1955 гг. 16,42 0, 30.03.1963 г. 15,36 0, 30.06.1963 г. 15,14 1, 30.09.1963 г. 14,86 1, 30.12.1963 г. 14,43 2, 30.03.1964 г. 14,18 3, 30.06.1964 г. 13,91 4, 30.09.1964 г. 13,69 5, 30.12.1964 г. 13,34 6, 30.03.1965 г. 12,98 7, 30.06.1965 г. 12,71 8, 30.09.1965 г. 12,36 10, 30.12.1965 г. 12,00 11, В табл. 2.8 приведены результаты модельных расчетов по исследо ванию устойчивости оценок начальных запасов газа относительно малых погрешностей в данных. В ходе этих расчетов на реальные значения при веденного давления накладывался случайный «шум» заданного уровня.

В столбцах 2, 4, 6 табл. 2.8 приведены пределы изменения оценок началь ных запасов, полученных обычным методом наименьших квадратов при различных реализациях «шумов». В столбцах 3, 5, 7 приведены аналогич Глава 2 ные оценки, полученные по алгоритму РМНК, причем в качестве априор ной величины Q0 (столбец 8) были выбраны несколько значений запасов газа, покрывающих интервал изменения начальных запасов, подсчитывав шихся неоднократно к тому времени объемным методом [23].

Таблица 2. Предельные значения начальных запасов при неточной исходной информации Уровень погрешности, % Q0, 0,5 1,0 1, Точки млрд. м МНК РМНК МНК РМНК МНК РМНК 27,4...33,8 25,5...33,1 26,0...32,7 27,1...33,7 24,9...32,8 25,3...32,3 2–5 30,5..40,2 27,3..47,9 24,7..59, 26,9...33,5 24,1...32,5 24,5...31,7 26,7...33,4 23,4...32,2 23,8...31,3 25,2...35,4 24,8...35,1 24,5...35,2 24,0...34,6 2–4 27,9..50,9 22,9..88, 23,8...34,9 23,0...34,0 22,1...33,6 22,1...33,6 24,3...38,5 21,8.. 23,3...38,0 2–..110,7 21,0...37,5 20,9...37,3 Как видим, ошибки в определении запасов по алгоритму РММК зна чительно меньше, причем на априорную информацию – значения началь ных запасов газа, определяемые объемным методом – не нужно наклады вать жестких ограничений по точности.

В табл. 2.9 приведены результаты исследования чувствительности оценок начальных запасов газа относительно изменения параметра регуля ризации при фиксированном значении априорных запасов Q0 = 70 млрд. м (утвержденных ГКЗ в 1960 г.).

Как видно, найденные оценки начальных запасов сравнительно устойчивы. Надо отметить, что получение более подробной информации в период с 1965 по 1968 годы позволило ВНИИНГП оценить запасы в 42,2 и 47,1 млрд. м3 (по объемному методу и методу падения давления соответст венно), а по отдельным данным – в 37,7 млрд. м3 [23]. Таким образом, оценки, полученные по информации о начальной стадии разработки, с дос таточной для практики точностью совпадают с приведенными выше.

134 Глава Таблица 2. Начальные запасы газа по массивной залежи Коробковского месторождения с использованием РМНК Интервал точек Параметры 2–5 2–4 2– Параметр регуляризации 5,3 4,2 2, Начальные запасы газа, 39,5 41,7 42, млрд. м 2.5.2. Оценка запасов газа в деформируемых пластах При разработке газовых месторождений с высоким пластовым давлением существенную роль играют процессы деформации пласта.

Изменения парового объема происходят под влиянием эффективного напряжения :

= ( ), где = рг - р, где pг и p – значения горного и пластового давлений соответственно.

Как показывает анализ лабораторных и промысловых исследований, процессы деформации горных пород носят неравновесный характер. По этому при деформации необходимо учесть время, необходимое для ус тановления равновесных значений при изменениях эффективного на пряжения, а также некоторое время задержки (лаг), с которым значе ния следуют за изменением пластового давления p (величина имеет смысл характерного времени перераспределения горного давления).

Тогда линейное уравнение, описывающее кинетику деформацион ных процессов, может быть выписано в виде d + = 00 - [р0 - р(t - )], (2.58) dt где – коэффициент газонасыщенности, 0, 0 и р0 – начальные зна чения соответствующих величин, – деформационный коэффициент.

Если время задержки мало, то деформация пласта проявляется уже на ранней стадии разработки месторождения. Если же время задержки дос таточно велико, то начальный участок p / z -зависимости прямолинейный (по нему можно получить предварительную оценку начальных запасов по методу, рассмотренному выше) и только на временах порядка отклоня ется от прямой.

Глава 2 Уравнение материального баланса имеет вид 00 p0 p1Q p = +, (2.59) z0 z1 z T где =, Т0 и Т1 – пластовая и нормальная атмосферная температуры, Т z – коэффициент сверхсжимаемости, z0 и z1 – его значения при пласто вых и атмосферных (нормальных) условиях, p1 – нормальное атмосферное давление.

Введя обозначения 00 p0z1 z Q = ;

=, z0 p1 p уравнения (2.58), (2.59) можно записать в виде Q - Q = P;

(0) = 0, d + = 0 - 1[ p0 - p], (2.60) dt 00z1 z1z где 0 = ;

1 ;

[ pн - p] = ( pн - p(t - ))h(t - ), Q – p1 p p начальные извлекаемые запасы газа, p* =, h(t) – функция Хевисайда, а z в уравнение (2.58) для упрощения введено p вместо p.

Пусть имеются данные по изменению приведенного пластового дав ления pi и суммарного отбора Qi в моменты времени ti, i =1,...,l.

Введем безразмерные переменные t p Q =, f1 =, y = ;

tl Ql p p0( - 0);

a1 = Q 0 p g = ;

a2 = ;

Ql Ql Ql 1 p a3 =, a4 = ;

f2 = f1( - )-1.

tl Ql Тогда (2.60) можно записать в виде a1 - y( )= [g( )+ a2]f1( );

dg a3 + g = a4 f2( );

(2.61) d g(0)= 0.

Таким образом, необходимо по значениям yi, f1i = f1(i ) оценить коэффициенты a1, a2, a3, a4,.

136 Глава Предположим, что значение задано. Значения остальных коэффи циентов будем оценивать по алгоритму, использующему теорию чувстви тельности (см. раздел 2.1.1) ai(k +1) = ai(k) + ai(k);

i =1,...,4, где ai(k) – решение системы линейных алгебраических уравнений (y, ui )= (u, ui)a, j j j = ~ y = y - y;

(u,)= d, u ~ y – решение системы (2.61) при ai = ai(k), y – экспериментальные замеры, ui – функции чувствительности: u1 =1, u2 = - f1, u3 = -3 f1, u4 = -4 f1, a 3 и 4 удовлетворяют дифференциальным уравнениям d3 dg a3 + 3 = - ;

(2.62) d d d a3 +4 = f2( );

d 3(0) = 4(0) = 0.

Система (2.62) на каждой итерации решается численно методом Рун ге–Кутта. Интегралы (u, ) также берутся численно.

Такого рода расчеты проводятся при различных значениях. Вы числения прекращаются, когда будет достигнуто удовлетворительное со гласие расчетных кривых с экспериментальными данными. При этом на чальные запасы газа оцениваются как Q = a1Ql.

Пример. Анализ p / z -зависимости месторождения Зеварды В табл. 2.10 приведена зависимость приведенного пластового давле ния месторождения Зеварды от суммарного отбора газа в период с 1979 по 1988 гг. с интервалом t = 0,5 газа.

Согласно этим данным, начальные запасы газа, полученные линей ной экстраполяцией p / z -зависимости, увеличиваются по мере извлечения газа. Появление «кажущихся» запасов связано с уменьшением темпа паде ния давления, что, в свою очередь, может быть объяснено процессами де формации коллектора под действием горного давления (многочисленные исследования показали, что внедрение законтурной воды в пласт и «под питка» газом извне – другие возможные причины замедления темпа паде ния давления – на месторождении Зеварды не наблюдаются).

Глава 2 Таблица 2. p / z -зависимость для месторождения Зеварды № Дата p/z, МПа Q, млрд куб. м.

1 06.78 42,92 0, 2 12.78 42,79 0, 3 06.79 42,74 1, 4 12.79 42,26 3, 5 06.80 42,05 5, 6 12.80 41,56 9, 7 06.81 40,96 12, 8 12.81 40,51 16, 9 06.82. 39,55 20, 10 12.82 38,78 25, 11 06.83 38,40 29, 12 12.83 37,70 34, 13 06.84 36,56 38, 14 12.84 36,00 43, 15 06.85 35,80 47, 16 12.85 35,45 51, 17 06.86 34,34 55, 18 12.86 33,80 58, 19 06.87 33,30 62, 20 12.87 32, 91 66, 21 06.88 33,21 71, 22 12.88 32,57 75, Для описания динамики падения пластового давления мы вначале использовали модель (2.61) с а3 = 0, т. е. учитывали только время задерж ки. В табл. 2.11 приведены значения времени задержки и соответствую щие этим временем значения нормированного отклонения расчетных кри вых от экспериментальных (критерия Тейла).

Как видим, наименьшее значение критерия Тейла достигается при =16t = 8 годам. При этом полученные оценки запасов газа равны 277,6 млрд м3. Отметим, что результаты расчетов устойчивы по отноше нию к небольшим изменениям : при изменении времени задержки от 13 t до 18 t значения Q меняются всего лишь от 269 до 280 млрд м3.

Прогнозная кривая падения давления (при темпах добычи 10 млрд м3 в год) приведена на рис. 2.7.

138 Глава Учет в (2.61) времени запаздывания а3 приводит практически к тем же результатам.

Таблица 2. Результаты идентификации модели Начальные запасы, млрд № Время задержки, t Критерий Тейла куб. м.

1 0 0,04127 470, 2 1 0,00481 346, 3 2 0,00747 182, 4 3 0,01004 165, 5 4 0,00815 194, 6 5 0,00648 217, 7 6 0,00576 231, 8 7 0,00499 242, 9 8 0,00446 250, 10 9 0,00397 255, 11 10 0,00356 260, 12 11 0,00329 264, 13 12 0,00312 268, 14 13 0,00303 271, 15 14 0,00297 273, 16 15 0,00288 276, 17 16 0,00284 277, 18 17 0,00300 283, 19 18 0,00340 287, 20 19 0,00387 291, 21 20 0,01445 290, 22 21 0,01128 294, Нами была также произведена обработка начального участка p / z -зависимости по линейной модели методами МНК и РМНК. Сводная информация по оценке запасов приведена в табл. 2.12.

Глава 2 42, 34, МПа 25, 17, 8, p z 0, 0,00 55,52 166,56 222,08 277, 111, млрд м Q Рис. 2.7. Прогноз падения пластового давления на месторождении Зеварды Таблица 2. Сравнение результатов различных методов идентификации Метод Запасы, млрд м Объемный метод 280, МНК (точки 1–5) 316, РМНК (точки 1–5) 279, Деформационная модель с запаздыванием 277, Таким образом, на основании оценок запасов, полученных различ ными методами, можно считать запасы месторождения Зеварды лежащими в пределах от 278 до 280 млрд м3.

2.6. Регуляризация методов обработки кривых восстановления давления Одним из методов получения ценной информации о коллекторских свойствах пласта являются гидродинамические исследования скважин.

Наиболее распространенным видом исследования является снятие кривой 140 Глава восстановления давления (КВД) на забое скважины. Суть метода заключа ется в остановке скважины, регистрации зависимости забойного давления от времени и последующем решении обратной задачи по определению фильтрационных характеристик пласта. Задача интерпретации КВД давно перешла в разряд классических, методы ее решения в различных постанов ках хорошо известны и широко используются на практике [24–27].

Однако при применении этих методов возникают методические трудности, которые обычно не замечают или замалчивают. Дело в том, что очень часто обратная задача определения фильтрационных характеристик пласта по КВД оказывается некорректно поставленной: ее решения неус тойчивы относительно ошибок, которые неизбежно содержатся в замерах.

В частности, неустойчивость проявляется в условиях малых выборок, ко гда в координатах метода удается спрямить только небольшой участок КВД. Последнее может быть связано, например, с тем, что не удается обеспечить стационарный режим работы скважин, окружающих исследуе мую, на весь период проведения исследования. Изменения режимов рабо ты скважин ближайшего окружения приводят к появлению дефектных участков КВД, которые следует исключить из анализа. Очень часто прихо дится также обрабатывать так называемые «недовосстановленные» КВД, полученные в экспериментах, прерванных по техническим причинам или же из-за желания уменьшить потери нефти вследствие простоя скважины.

В настоящем разделе обращается внимание на то, что обязательным этапом обработки КВД является проверка полученных результатов на ус тойчивость. Предложены регуляризирующие (повышающие устойчивость) алгоритмы интерпретации КВД, основанные на известных методах реше ния некорректно поставленных задач.

2.6.1. Неустойчивость результатов интерпретации КВД На рис. 2.8 приведена кривая восстановления давления снятия, на скв. 1139 Приобского нефтяного месторождения (ОАО «Юганскнефте газ»).

По методике МДХ (Миллер, Дэйс, Хатчинсон) при достаточно боль ших временах динамика забойного давления P(t) описывается уравнением [24–26] P(t)= a lnt + b, где t – время с момента остановки скважины, P(t) – изменение забойно го давления, P(t)= P(t)-P0, Q0 2. a =, b = a ln 2, 4 rC Глава 2 P, МПа 22, 22, 22, 22, 22, 22, 22, t, час 10 20 30 40 50 60 70 Рис. 2.8. Кривая восстановления давления (скв. 1139 Приобского месторождения) P0 и Q0 – забойное давление и дебит (приведенный к пластовым услови ям) скважины до остановки, – коэффициент пьезопроводности, k =, µ m – сжимаемость пластовой системы, rC – приведенный радиус скважи ны, учитывающий ее несовершенство, – коэффициент гидропроводно сти, k h =, µ k, m и h – проницаемость, пористость и мощность пласта, µ – вязкость жидкости.

Пусть – некоторое характерное значение коэффициента гидро проводности. Переходя к безразмерным переменным P 2,25 rC P =, t = t, rC =, P r r Q где P =, =, r0 – истинный (геометрический) радиус 4 h скважины, получим P = a lnt + b (2.63) и a =, b = a (ln + 2 S). (2.64) Здесь S – скин-фактор, определяемый через приведенный радиус:

r S = ln = -ln rC.

rC 142 Глава В дальнейшем мы будем для простоты опускать черточку над без размерными величинами.

Согласно (2.63) в полулогарифмических координатах lnt - P гра фик КВД представляет собой прямую линию, тангенс угла наклона кото рой определяет величину a, а отрезок, отсекаемый прямой на оси P, – величину b. На практике, в координатах lnt - P спрямляется только не который участок КВД, через который и проводится прямая. Величины a и b определяются методом наименьших квадратов (МНК) путем миними зации отклонения прямой (2.63) от точек спрямляемого участка (невязки).

n I(a,b)= (a x + b - y ), (2.65) j j n j = где y = P(t ), x = lnt, P(t ) – значение P, измеренное в момент j j j j j времени t, j =1,2,…,n, n – объем выборки (число экспериментальных j точек на спрямляемом участке).

Формулы, по которым вычисляются a и b, имеют вид x2 y - x x y x y - x y a =, b =, (2.66) Dx Dx где Dx – дисперсия величины x, Dx = x2 - x, а угловые скобки озна n чают усреднение: c = c.

i n i= Обращая уравнение (2.64), при заданных значениях и h опреде ляют фильтрационные характеристики пласта и скин-фактор:

=, a b S = 0.5 + ln a.

a На рис. 2.9 приведен график рассматриваемой нами КВД (рис. 2.8) в размерных координатах lnt - P. Прямая 1 на этом рисунке проведена ме тодом наименьших квадратов через спрямляемый участок AB. Определив параметры a и b этой прямой, можно, казалось бы, оценить фильтрацион ные характеристики пласта и считать задачу решенной.

Однако даже из рисунка видно, что полученные при этом результаты будут очень неустойчивыми, поскольку прямую приходится проводить че рез широкое «облако» точек малой протяженности. Указанное на рисунке положение прямой 1 есть всего лишь случайный результат, полученный при данной случайной реализованной выборке данных. Если бы была сня та еще одна КВД, экспериментальные точки из-за ошибок замеров могли бы расположиться иначе, и это привело бы к совершенно другой прямой.

Глава 2 P, МПа AB 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4, ln t Рис. 2.9. Результаты численного эксперимента по наложению «шума» Для того чтобы смоделировать эту ситуацию нами, был проведен ма тематический эксперимент, в ходе которого исходная выборка заме ров {P(ti )} заменялась на выборки, полученные путем наложения на пря мую 1 случайных «шумов». При этом методом Монте-Карло моделирова лись равномерно распределенные ошибки величиной порядка 1%.

На рис. 2.9 прямыми 2 и 3 ограничена область, в которой лежат пря мые, полученные по таким модельным выборкам. Как видим, малые ошиб ки в определении P приводят к значительным ошибкам в определении фильтрационных параметров пласта (например, разброс значений со ставляет 200%).

Если обратиться к расчетным формулам (2.66), то становится ясно, что отмеченная неустойчивость вызвана малостью знаменателя Dx, т. е.

малостью длины спрямляемого участка. Малые ошибки, содержащиеся в числителях уравнений (2.66), возрастают за счет деления на величину Dx, близкую к нулю. Иными словами, желание провести прямую через «обла ко» точек приводит к плохо обусловленной системе уравнений.

2.6.2. Регуляризирующий метод обработки КВД Итак, задача интерпретации КВД по методу МДХ является некор ректно поставленной. Для повышения устойчивости ее решения необхо димо привлечь методы регуляризации некорректных задач, заключающие ся в том, что на искомые параметры накладываются дополнительные огра ничения, вытекающие из некоторых априорных соображений.

144 Глава При обработке КВД в качестве такой априорной информации могут выступать оценки величины коэффициента гидропроводности, полученные предварительно другими методами. Например, коэффициент гидропровод ности можно рассчитать, оценив среднюю проницаемость пласта по дан ным геофизических исследований и отборам керна. Полезную информа цию могут дать также данные нормальной эксплуатации скважины (гидро проводность можно оценить по формуле Дюпюи, зная дебит и задавшись некоторыми примерными значениями депрессии и скин-фактора).

Пусть 0 – предварительная (размерная) оценка коэффициента гид ропроводности, полученная одним из перечисленных выше методов. Эта информация может быть формализована в виде требования минимизации функционала (a)= (a - a0)2, (2.67) где a0 = (величина a в (3.52) уже безразмерна).

Таким образом, задача становится двухкритериальной – требуется найти такие значения a и b, при которых функционалы (2.65) и (2.67) ста новятся как можно меньше. Переходя к однокритериальной постановке, сведем эту проблему, согласно разделу 2.2, к минимизации регуляризи рующего функционала M (a,b)= I(a,b)+ (a), где – параметр регуляризации ( > 0).

Ясно, что чем больше значение, тем более устойчивым является решение.

~ ~ Легко показать, что значения a = a и b = b, доставляющие M (a,b) минимум, определяются соотношениями x y + a0 - x y ~ a = ;

(2.68) Dx + ( x2 +) y - x ( x y + a0) ~ b =.

Dx + Как видим, в знаменателях дробей появилось положительное чис ло, что устраняет деление на малое число Dx и делает задачу устойчи вой.

Как уже отмечалось в разделе 2.5, описанный алгоритм устойчивой оценки параметров можно назвать регуляризирующим методом наимень ших квадратов (РМНК).

Величина определяется из принципа невязки ~ ~ I (a,b) DP, ~ ~ где I (a,b) – значение невязки (2.65), полученное при данном значе нии, DP – дисперсия ошибок измерения давления.

Глава 2 Для определения значения параметра регуляризации может быть предложен и другой подход. Задаваясь различными возрастающими значе ниями, при каждом из них проводят описанный выше математический эксперимент, рассматривая разные выборки замеров {P(ti )}, «приготов ленные» методом Монте-Карло, и оценивая соответствующий разброс ис комых параметров. За оптимальное значение принимается значение, при котором относительная ошибка определения a и b достигает заданной ве личины. Такой алгоритм определения параметра может быть назван принципом Монте-Карло.

Пример расчетов Изложенная методика была использована при интерпретации рас смотренной выше КВД.

Привлекая данные ГИС и информацию о вязкости нефти, мы полу чили априорную оценку гидропроводности 0 = 3,80 м3/Пас. Дебит сква жины в пластовых условиях до ее остановки был равен Q0 = 70 м3/с. Мощ ность пласта составляет h = 8,2 м, сжимаемость пластовой системы =12 10-4 МПа–1. При обезразмеривании исходных данных мы положи ли = 0. В табл. 2.13 приведены результаты применения РМНК к обра ботке КВД при различных значениях.

В четвертом и пятом столбцах этой таблицы приведены относитель ные ошибки определения величин и S. Здесь и – среднеквадра S тичные отклонения от средних для оценок и S, полученные в числен ных экспериментах по наложению 1%-го «шума» на исходные замеры.

В шестом столбце приведена величина I - I =, I характеризующая относительное увеличение невязки I при увеличении параметра регуляризации. Здесь I0 – невязка, полученная по МНК, т. е.

при = 0.

Таблица 2. Обработка КВД регуляризирующим методом s, %, % S, % S 0 13 11 260 245 0,001 8,2 7,8 132 150 0, 0,01 5,1 8,7 94 90 0, 0,1 6,3 6,2 34 47 0, 0,5 3,93 3,45 2,6 3 1 3,8 3,3 0,8 1 146 Глава Оптимальным признается значение = 0,50, при котором относи тельная ошибка определения и S порядка 3%. При этом значении = 3,93 ( =13,0 м3/Пас) и S = 3,45.

Сравнивая значения при = 0,50 и = 0 видим, что учет априор ной информации не приводит к заметному увеличению невязки.

На рис. 2.10 показан разброс положений прямой a lnt + b, вызван ный наложением «шумов» на исходные данные, при применении РМНК с = 0,50. Наглядно видно, что устойчивость решения обратной задачи значительно повысилась.

Таким образом, интерпретация КВД не должна быть ограничена простым расчетом фильтрационных параметров по готовым формулам.

Необходимо исследовать полученные результаты на устойчивость, для че го рекомендуется провести численные эксперименты по наложению на ис ходные данные «шумов», моделирующих случайные ошибки измерений.

Если численный эксперимент покажет, что при данном качестве исходной информации результаты расчетов неустойчивы, необходимо использовать регуляризирующие (повышающие устойчивость) алгоритмы, заключаю щиеся в привлечении априорной информации о пределах, в которых могут лежать искомые параметры.

P, МПа AB 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4, ln t Рис. 2.10. Результаты численного эксперимента по наложению «шума» с регуляризацией 2.7. Оценка извлекаемых запасов нефти на основе феноменологических моделей Как правило, нефтяные месторождения России эксплуатируются с применением заводнения. В настоящее время существует множество мето Глава 2 дов оценки начальных извлекаемых запасов (НИЗ) для таких месторожде ний по характеристикам вытеснения – зависимостям накопленного отбора нефти от накопленного отбора жидкости, представленным в той или иной форме [28–34].

Как и любые задачи долгосрочного прогноза, экстраполяция промы словых данных этими моделями очень чувствительна к малым погрешно стям, содержащимся в исходной информации. Поэтому большое значение имеет обоснованный выбор вида уравнений, аппроксимирующих динами ку накопленной добычи нефти.

Для устойчивой оценки НИЗ могут быть использованы эволюцион ные модели, основанные на универсальном законе роста сложных природ ных систем – логистическом уравнении [35]. В рамках этого подхода ус тойчивость долгосрочного прогноза обеспечивается за счет привлечения априорной информации об универсальных законах развития. Здесь легко прослеживается аналогия с некорректно поставленными задачами, регуля ризация которых также производится с помощью априорной информации.

Многочисленные примеры из разных областей наук показывают, что эволюции сложных систем присуще свойство самоподобия. В связи с этим в настоящем разделе рассмотрены возможности применения в задачах про гноза добычи нефти модели С. П. Капицы [36], описывающей самоподоб ный (автомодельный) рост.

Обычная практика применения прогнозных моделей подразумевает их «обучение», т. е. подбор «наилучших» параметров моделей из условия минимального отклонения расчетных кривых от экспериментальных точек.

При этом широко используется метод выравнивания – переход к некото рым специальным координатам, в которых характеристики вытеснения линеаризуются относительно искомых параметров. Однако это преобразо вание приводит к появлению систематических ошибок (ошибок модели), существенно ухудшающих качество долгосрочного прогноза. Поэтому ни же «обучение» модели предлагается проводить в пространстве исходных переменных, что приводит к необходимости решения задач нелинейной регрессии. В связи с этим рассматривается эффективный метод численного поиска параметров нелинейных моделей, базирующийся на идеях генети ческих алгоритмов [37, 38].

Апробация предложенного способа оценки извлекаемых запасов (за ключающегося в прогнозе динамики добычи нефти по модели С. П. Капи цы, параметры которой определяются с помощью генетического алгорит ма) показала, что он обладает рядом преимуществ по сравнению с тради ционно применяемыми методами.

148 Глава 2.7.1. Эволюционные модели роста накопленной добычи нефти В работе [35] динамику накопленной добычи нефти предлагается описать с помощью моделей, основанных на универсальном логистиче ском законе:

dV V = V - (2.68) 1 V, d t где V – накопленная добыча нефти, t – время, V – начальные извлекае, мые запасы нефти V = lim V – постоянная скорости роста.

t Согласно (2.68) на начальном этапе развития нефтяного месторож дения наблюдается экспоненциальный рост добычи нефти, а относитель ная скорость отбора нефти 1 dV = V dt монотонно уменьшается, поскольку d dV = - < dt V dt Q (отметим, что если единицей измерения времени является год, то =, V где Q – годовая добыча нефти).

Однако экспоненциальный рост и экспоненциальная асимптотика логистической кривой не удовлетворяют весьма существенному условию эволюции сложных природных систем – условию самоподобия (автомо дельности) развития. Последнее может быть выражено в виде требования постоянства относительной скорости роста [36] dV (t - T1) = = const, (2.69) V dt где T1 – некоторое опорное значение времени (точка автомодельности).

Условию (2.69) удовлетворяет гиперболический рост по закону C V =, (2.70) (T1 - t) где C – постоянная интегрирования.

Легко видеть, что функция (2.70) удовлетворяет дифференциальным уравнениям dV = C1V (2.71) dt и dV C =, (2.72) dt (T1 - t) + + где C1 = C-1, =, C2 = C.

Глава 2 В математической физике решения вида (2.70) известны как режимы с обострением и подробно изучены в исследованиях динамики и взрывного поведения нелинейных систем [39]. В момент времени T1, согласно (2.70) и (2.72), значение накопленной добычи нефти становится бесконечно боль шим, поэтому степенное решение (2.72) верно только как промежуточно асимптотическое [40].

Для устранения особенности в точке t = T1 С. П. Капица предложил добавить в знаменатель правой части уравнения (2.72) регуляризующее + слагаемое :

dV C =. (2.73) + dt (T1 - t) +1 + В работе [36] показано, что уравнение (2.73) при =1 хорошо опи T1 - t сывает динамику численности народонаселения Земли. При >> уравнение (2.73) сводится к модели (2.72), описывающей автомодельную эволюцию.

Положив =1 и C2 = Q0, получим следующее уравнение, описы вающее динамику накопленной добычи нефти:

dV Q =. (2.74) dt (T1 - t)2 + dV При t = T1 = Q0, поэтому постоянная Q0 имеет смысл макси d t мального значения годового отбора нефти.

Решение (2.74) имеет вид t - T V = C3 + Q0 arctg, (2.75) где C3 – постоянная интегрирования.

T1 - t Считая, что V 0 при >>1, можно положить C3 = Q0. При этом V = Q0 arcctg z, (2.76) T1 - t где z =.

Согласно (2.75) и (2.76) в момент t = T1 происходит «перестройка» системы: гиперболический рост накопленной добычи сменяется ростом с насыщением (см. рис. 2.11, где приведена безразмерная накопленная до V быча нефти, V = Q0 ).

V 150 Глава Легко видеть, что величина имеет смысл характерного времени «перестройки».

Модель (2.74) радикально отличается от логистической модели не монотонным характером изменения. Действительно, из (2.74) и (2.75) можно получить d 1 - 2z arcctg z =.

dt [(z2 + 1)arcctg z] Накопленная нефть, V 1, Интервал экзамена 0, Интервал обучения Обводненность 62% 0, Ошибка извлекаемых запасов ±5% 0, 0, 62 66 70 74 78 80 82 86 90 94 98 02 t1 T1 tm tl Время, t Рис. 2.11. График накопленной добычи нефти Усть-Балыкского месторождения, пласт БС2+ - фактические данные;

- модель С. П. Капицы d Легко показать, что z = z 0,43 при = 0, т. е. функция имеет dt максимум (см. рис. 2.12) в момент времени [36]:

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.