WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |
-- [ Страница 1 ] --

А.Х. Мирзаджанзаде М.М. Хасанов Р.Н. Бахтизин МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НЕФТЕГАЗОДОБЫЧИ нелинейность неравновесность неопределенность Москва Ижевск 2004 ББК 531.1 + 622.276

Интернет-магазин физика математика биология нефтегазовые технологии Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф., чл.-кор. РАН М.А. Ильгамов Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н.

Моделирование процессов нефтегазодобычи. Нелинейность, неравновес ность, неопределенность. – Москва–Ижевск: Институт компьютерных ис следований, 2004, 368 стр.

Рассмотрены проблемы моделирования, контроля и управления технологиче скими процессами, связанными с движением структурированных неоднородных жид костей со сложными (неравновесными и нелинейными) характеристиками. Показано, что при описании таких сред необходимо использовать представления теории самоор ганизации, отражающие наиболее общие свойства сложных природных объектов.

Из-за отсутствия надежных теоретических предпосылок модели сложных систем имеют, как правило, идентификационный характер. В связи с этим часть книги посвя щена рассмотрению методов и примеров решения обратных задач нефтепромысловой механики.

При управлении сложными системами часто приходится сталкиваться с недос татком информации, поэтому в книгу введена глава о методах моделирования и приня тия решений в условиях неопределенности.

Предлагаемый материал имеет междисциплинарный характер, в связи с чем первые главы содержат доступное широким массам читателей вводное изложение ос нов теории самоорганизации и теории решения обратных задач.

Книга предназначена для инженеров, научных работников, аспирантов и студен тов, интересующихся проблемами моделирования сложных технологических процес сов.

ISBN 5-93972-328- © А.Х. Мирзаджанзаде, М.М. Хасанов, Р.Н. Бахтизин, © Институт компьютерных исследований, http://rcd.ru http://ics.org.ru Содержание Введение............................................................................................................... Глава 1. Теория самоорганизации и сложные системы................................ 1.1. Фракталы............................................................................................... 1.2. Детерминированный хаос................................................................... 1.3. Репликации нелинейной динамики.................................................... 1.4. Применение фрактальных характеристик для контроля и управле ния технологическими процессами..................................................... 1.5. Управление процессами нефтегазодобычи с помощью малых физи ческих полей.......................................................................................... Библиографический список к главе 1....................................................... Глава 2. Обратные задачи нефтегазодобычи.................................................. 2.1. Методы решения обратных коэффициентных задач........................ 2.2. Регуляризация некорректно поставленных задач........................... 2.3. Выбор сложности идентифицируемой модели............................... 2.4. Нечеткие алгоритмы решения обратных задач............................... 2.5. Оценка начальных запасов газовых месторождений..................... 2.6. Регуляризация методов обработки кривых восстановления давле ния......................................................................................................... 2.7. Оценка извлекаемых запасов нефти на основе феноменологических моделей................................................................................................. 2.8. О методах идентификации модели упругого пласта...................... 2.9. Оценка добывных возможностей скважин по данным нормальной эксплуатации....................................................................................... Библиографический список к главе 2..................................................... Глава 3. Моделирование движения сложных сред...................................... 3.1. Описание нестационарных процессов в неньютоновских средах 3.2. К учету явлений запаздывания в теории фильтрации.................... 3.3. Масштабная инвариантность временных иерархий в процессах ре лаксации вязкоупругих сред.............................................................. 3.4. Моделирование нестационарной фильтрации в пластах с фрактальной структурой.................................................................... 3.5. О колебаниях расхода при фильтрации полимерных растворов.. 3.6. О фильтрационных характеристиках с учетом сорбционной спо собности............................................................................................... 3.7. Метод построения оценок решения уравнений фильтрации газиро ванной жидкости................................................................................. 3.8. Периодические и стохастические автоколебания в ротационных вискозиметрах..................................................................................... 3.9. Исследование устойчивости работы штангового насоса............... Библиографический список к главе 3..................................................... Глава 4. Процессы самоорганизации в газожидкостных системах вблизи давления насыщения........................................................................... 4.1. Исследование реологических свойств газожидкостных систем вблизи давления насыщения акустическими методами................. 4.2. Изучение свойств газожидкостных смесей в предпереходных со стояниях............................................................................................... 4.3. Процессы зародышеобразования в газоконденсатных системах.. 4.4. Стохастические колебания при течении жидкостей с зародышами газа........................................................................................................ 4.5. Исследование устойчивости фильтрации жидкостей с зародышами газа........................................................................................................ Библиографический список к главе 4..................................................... Глава 5. Моделирование и принятие решений в условиях неопределенности............................................................................... 5.1. Безэталонное измерение и идентификация с помощью порядковых статистик....................................................................... 5.2. Учет априорной информации с помощью Паде-аппроксимаций. 5.3. Метод асимптотических координат................................................. 5.4. Гиперболические законы распределения........................................ 5.5. Нечеткие алгоритмы принятия решений......................................... 5.6. Принятие решений в условиях неопределенности как игра с природой.............................................................................................. 5.7. Системный анализ процессов разработки нефтяных месторождений.................................................................................... 5.8. Синергетика принятия решений....................................................... Библиографический список к главе 5..................................................... В родстве со всем, что есть, уверясь И знаясь с будущим в быту, Нельзя не впасть к концу, как в ересь, В неслыханную простоту.

Но мы пощажены не будем, Когда ее не утаим.

Она всего нужнее людям, Но сложное понятней им.

Б.Л. Пастернак ВВЕДЕНИЕ Вечная загадка мира – его познаваемость.

А. Эйнштейн Задачи контроля и управления технологическими процессами часто приводят к необходимости моделирования движения структурированных неоднородных сред, характеризующихся сложными (неравновесными и нелинейными) реологическими свойствами. Это типично, например, для процессов нефтегазодобычи, связанных с фильтрацией и движением по трубам таких жидкостей, как парафинистые и асфальтено-смолистые неф ти, нефтеводогазовые смеси, буровые растворы, растворы полимеров и по верхностно-активных веществ.

Как правило, сведения о свойствах отдельных элементов структури рованных сред и особенностях процессов взаимодействия между ними от сутствуют или же получение их затруднительно. Поэтому для изучения кооперативных эффектов, имеющих место при движении реофизически сложных жидкостей, целесообразно использовать представления теории самоорганизации, отражающие наиболее общие свойства поведения слож ных систем. В этой связи уместно вспомнить высказывание К. Гельвеция:

«Знание некоторых принципов легко возмещает незнание некоторых фак тов».

Теория самоорганизации изучает поведение сложных систем, усло вия их устойчивости, природу неустойчивостей и эволюцию систем вдали от термодинамического равновесия. Немецкий физик Г. Хаген предложил для этой науки название синергетика (от греческого sinergia – совместное действие, сотрудничество).

Методы синергетики, представляющие собой не что иное, как мето ды нелинейной физики, дают возможность описать многие процессы, на блюдающиеся в системах, внешне не имеющих ничего общего друг с дру гом, с помощью одних и тех же математических моделей, число которых относительно невелико.

6 Введение Таким образом, синергетика предоставляет нам некоторые veritates aeternae et uniersales (вечные истины и универсалии), существование ко торых признавали схоластики.

Авторы считают, что необходимо широкое внедрение идей синерге тики в теорию и практику реофизически сложных сред. Как говорил Н. Винер, «важные исследования задерживаются из-за того, что в той или иной области неизвестны результаты, уже давно ставшие классическими в смежной области».

В книге приводятся примеры синергетического подхода в самых раз личных науках – от физики до социологии. Подчеркнем, что это – не ре зультат эклектичной «разбросанности» авторов, а желание убедить читате ля в эффективности синергетики как универсального средства для модели рования и выработки стратегии управления.

Усложнение физического содержания моделей за счет учета нели нейности, неравновесности и неоднородности, присущих реальным систе мам, приводит к выявлению новых синергетических эффектов (усиление, потеря устойчивости с возникновением колебаний, образование упорядо ченных структур и т. д.), наличие которых подтверждается специально по ставленными экспериментами и позволяет предложить новые методы кон троля и управления сложными природными системами.

Опыт, полученный нами и нашими коллегами, убедительно показал, что разумное (с привлечением здравого смысла) усложнение моделей по зволяет раскрыть дополнительные возможности в разработке новых техно логий. Однако цель, которую преследуют авторы, – не построение изо щренно сложных моделей, а выявление новых, практически полезных эф фектов. Хотя М. Фарадей и предупреждал, что «лекции, которые на самом деле учат, не могут быть популярными», авторы стремились максимально, где это возможно, упростить изложение.

Интересы авторов лежат в области нефтегазодобычи, поэтому изло жение в основном ведется на примере соответствующих задач, однако рас смотренные в монографии подходы имеют более общий характер и могут быть с успехом использованы в самых разных областях науки.

Отметим, что развитие плодотворных идей синергетики в примене нии к системам нефтегазодобычи в настоящее время привело к созданию, под руководством одного из авторов, новой отрасли науки – реотехноло гии, занимающейся вопросами поиска эффективных средств и способов добычи, транспорта и хранения нефти путем целенаправленного использо вания нелинейных и неравновесных реологических и физико-химических свойств сред, взаимодействующих с физическими полями с проявлением синергетических эффектов.

Некоторые исследователи до сих пор убеждены, что описание про цессов нефтедобычи можно проводить только на основе дифференциаль ных уравнений движения жидкостей и газов в пористых средах и трубах.

Введение Однако такой подход не позволяет выявить многие существенные свойства пласта. Как всякие большие системы, объекты нефтегазодобычи требуют использования целой иерархии моделей – от дифференциальных до инте гральных, от детерминированных до адаптивных, – способных описать не только различные уровни организации систем, но и взаимодействие между этими уровнями. В монографии показаны некоторые возможные «подсту пы» к решению этого сложнейшего клубка задач. Тем самым эта книга может оказать некоторую помощь в достойной встрече обрушившегося на нас в настоящее время «девятого вала» компьютеризации систем управле ния технологическими процессами нефтегазодобычи.

Исследования последних лет показывают, что явления в средах со сложной неупорядоченной структурой часто обнаруживают масштабную инвариантность (фрактальность) пространственных и временных свойств.

Это обстоятельство позволяет выработать некоторые общие методы моде лирования сложно построенных сред и в ряде случаев облегчает описание протекающих в них процессов.

В связи с этим мы сочли необходимым в первой главе работы под робно рассмотреть основные представления о фракталах и привести при меры использования фрактальных характеристик при анализе объектов нефтегазодобычи.

Одним из самых интересных и важных разделов синергетики являет ся теория так называемого динамического хаоса. В настоящее время изу чен целый класс систем, которые в некоторых областях фазового про странства, называемых «странными аттракторами», проявляют хаотиче ские свойства. (Напомним, что аттракторами называются участки фа зового пространства, притягивающие к себе траектории движения. Так, поскольку в бывшем СССР все пути вели в г. Москву, то этот город мож но было назвать аттрактором. Сейчас, в результате многих перестроеч ных лет, произошла бифуркация – Москва скорее напоминает странный аттрактор.) В монографии на ряде конкретных примеров показано, что проявле ние хаотического поведения имеет место и при движении реофизически сложных сред.

При анализе промысловой информации принято использовать очи щенные, сглаженные сигналы, предполагая, что хаотическая составляющая представляет собой только помеху. Однако рассмотренные примеры пока зывают, что случайные колебания, возникающие в нефтегазодобыче, часто имеют детерминированный характер. Они порождаются самой системой и поэтому могут служить источником информации о ее внутренних характе ристиках.

Количественной мерой, характеризующей состояния динамических систем нефтегазодобычи, может служить фрактальная размерность стран ного аттрактора. Нижняя оценка этой величины определяется путем вы 8 Введение числения корреляционной размерности по известной методике Паккарда– Такенса. Отметим, что процедура Паккарда–Такенса позволяет, кроме все го прочего, идентифицировать, каким является источник случайных сигна лов – детерминированным или «шумовым». Если диагностируется детер минированный хаос, то это означает, что система управляема, т. е. что не которым изменением параметров можно упорядочить ее движение.

Как показывает анализ, графики временных рядов замеров, снятых при нормальной работе объектов нефтегазодобычи, часто имеют фрак тальную структуру (наподобие береговой линии), что, по-видимому, явля ется следствием пространственно-временной фрактальности явлений, определяющих эволюцию рассматриваемых систем. Исходя из этого, пред ложено использовать фрактальные характеристики временных рядов замеров – размерность Хаусдорфа и показатель Херста – в качестве диаг ностических критериев, определяющих состояние объектов управления.

Теория самоорганизации показывает, что траектория в фазовом про странстве, описывающая эволюцию системы со сложно организованной внутренней структурой, оказывается очень чувствительной к малым воз мущениям, обладая многими точками бифуркации.

В такой ситуации резко возрастает роль малых величин и эффектов, которые, будучи задействованы вовремя, позволяют управлять процессами самоорганизации, направляя их желательным образом (как маленький «це ленаправленный» ослик, который, будучи привязан к хвосту огромного буйствующего быка, может незаметно привести его к нужному для ослика месту). Малые эффекты играют роль спускового крючка, запускающего в действие скрытые резервы систем. В этом механизме заключается причина часто наблюдаемого, но труднообъяснимого влияния малых физических полей на технологические процессы. В связи с отмеченным нами приво дится ряд примеров использования физических полей в нефтегазодобыче.

Из-за отсутствия надежных теоретических предпосылок модели сложных систем имеют, как правило, идентификационный характер. Это означает, что структура моделей и их параметры восстанавливаются (как характеристики «черного ящика») на основе анализа промышленно-экспе риментальной информации путем постановки и решения обратных задач.

Проблема заключается в том, что многие обратные задачи являются некорректно поставленными из-за неустойчивости их решений относи тельно неизбежных погрешностей замеров. Для преодоления этого затруд нения необходимо создавать регуляризующие (т. е. помехоустойчивые) ал горитмы идентификации математических моделей технологических про цессов.

Во второй главе монографии рассмотрены наиболее часто встре чающиеся типы обратных задач. Опыт практических расчетов позволил авторам найти ряд эффективных алгоритмов решения обратных задач, описание которых приводится в книге.

Введение Как показывает опыт, излишнее усложнение модели может привести к неустойчивости алгоритмов идентификации и лишить идентификацион ную модель предсказательной силы. Здесь должен быть применен извест ный принцип оккамистов: «entia praeter necessitatem non esse multiplicanda» («сущности не должны быть умножаемы сверх необходимости»). В связи с этим авторы уделяют повышенное внимание вопросам выбора оптималь ной сложности идентифицируемой модели. Эта проблема не может быть до конца формализована, поэтому для ее решения в монографии предлага ется использовать методы нечеткой логики. Вообще, некорректные задачи в последовательной постановке с неизбежностью приводят к необходимо сти использования нечеткой терминологии. Однако в существующей лите ратуре на это обстоятельство обращается мало внимания. Авторы в какой то мере восполняют этот пробел, рассматривая нечеткие алгоритмы реше ния некорректно поставленных задач. Рассмотренные в монографии мето ды решения обратных задач иллюстрируются рядом примеров.

Много внимания уделяется построению и идентификации малопара метрических холистических (от англ. whole – «целое») моделей процессов нефтегазодобычи, позволяющих получить целостное описание систем и избежать неустойчивости решения обратных задач, связанных с излишней сложностью моделей.

Привлекается также внимание к богатым возможностям, которые может дать использование пассивных экспериментов, т. е. данных, полу ченных в результате наблюдения за нормальной эксплуатацией объектов управления. Поскольку активные эксперименты в промысловых условиях проводятся (в силу множества объективных и субъективных причин) край не редко, пассивные эксперименты оказываются, по существу, единствен ным реальным источником обновления информации. И здесь регуляри зующие помехоустойчивые алгоритмы решения обратных задач оказыва ются особенно ценными, поскольку анализ данных нормальной эксплуата ции есть, по существу, «анализ шумов».

Третья глава посвящена вопросам моделирования движения сложно построенных сред. Наиболее важными здесь, на наш взгляд, являются раз делы, в которых показано, что движение реофизически сложных сред со провождается процессами самоорганизации, которые могут привести к об разованию диссипативных структур и смене детерминированного поведе ния хаотическим. Установлены закономерности переходов, которые могут быть использованы при назначении оптимальных режимов функциониро вания систем нефтегазодобычи и создании реотехнологических способов воздействия на них.

Поведение реофизически сложных систем во многом определяется происходящими в них релаксационными процессами. В современной ме ханике релаксация описывается обычно путем введения взаимопроникаю щих сред, обменивающихся друг с другом массой или энергией (модели 10 Введение трещиновато-пористой среды, «активной» и «неактивной» насыщенности, теплопроводности в многокомпонентных средах и т. д.).

Идейно эти модели тесно связаны с описанием релаксирующих сис тем, данным де Гроотом. Согласно последнему явление релаксации в фи зической системе можно описать как перенос энергии между двумя под системами, имеющими разность температур. Эти подсистемы заполняют одно и то же пространство, и поэтому в любой точке системы существуют две температуры, не равные друг другу, и вся система не находится в со стоянии термодинамического равновесия. Так, например, в феноменологи ческой теории парамагнитной релаксации такими подсистемами являются спин-система и кристаллическая решетка. В теории акустической релакса ции вся система разделяется на внутреннюю, или вибрирующую, систему и на внешнюю, или трансляционную, подсистему. В газовом разряднике такими подсистемами являются ионы и электроны.

Релаксационные явления в реофизически сложных средах связаны с взаимодействием структурных единиц, образующих иерархию взаимопро никающих подсистем различной сложности, причем эволюция на каждом уровне организации определяется своим характерным временем релакса ции.

В монографии показано, что иерархия времен релаксации реофизи чески сложных сред масштабно-инвариантна, т. е. имеет фрактальную структуру. Это приводит к тому, что эволюция системы в целом описыва ется достаточно простыми зависимостями, имеющими универсальный ха рактер. Отмеченное обстоятельство существенно упрощает моделирование релаксационных процессов в реофизически сложных средах и эксперимен тальное определение релаксационных характеристик. Получено, что в ряде случаев самоподобность релаксационных процессов может привести к ал гебраическому закону затухания и, тем самым, к необходимости использо вания реологических моделей и уравнений состояния, содержащих дроб ные производные. Выведены уравнения движения реофизически сложных сред, учитывающие временную фрактальность процессов релаксации.

Из полученных в монографии результатов можно сделать вывод о том, что нефтяной пласт должен рассматриваться в качестве открытой, диссипативной системы, способной к самоорганизации и содержащей ог ромный источник непознанной и потому невостребованной энергии. По видимому, самоорганизующийся пласт во многих случаях в состоянии «на страиваться» на оптимальный режим функционирования.

В четвертой главе монографии рассмотрены необычайно интересные и практически важные явления, имеющие место при движении газожидко стных систем в предпереходных условиях, т. е. в области давлений, близ ких к давлению фазового перехода (чуть выше давления насыщения жид кости газом или давления конденсатообразования в газоконденсатных сис темах). В этих областях происходит аномальное изменение реологических, теплофизических и релаксационных свойств газожидкостных систем.

Введение Предполагается, что отмеченные эффекты связаны с существованием «микрозародышей» – мельчайших газовых пузырьков или капелек конден сата, кооперативное действие которых проявляется при приближении к давлению перехода. Показано, что возникновение и взаимодействие заро дышей новой фазы приводит к синергетическим эффектам, целенаправ ленное использование которых может открыть новые возможности управ ления технологическими процессами добычи и транспорта нефти и газа.

Предложены уравнения движения сред с зародышами газа, анализ которых показал возможность нарушения устойчивости стационарных режимов и возникновения периодических и стохастических автоколебаний. Приведе ны результаты экспериментов, подтверждающих эти теоретические ре зультаты.

Ситуации, с которыми сталкиваются специалисты, управляющие сложными технологическими процессами, разнообразны, а получение не обходимой дополнительной информации затруднительно или вообще не возможно. В борьбе с этими трудностями люди выработали ряд эффектив ных методов моделирования и принятия решений в условиях неопределен ности. Некоторые из этих методов, наиболее близкие интересам авторов, рассмотрены в заключительной, пятой главе книги.

Поскольку многие из приемов, используемые при принятии решений в сложных ситуациях, имеют эвристическую основу и требуют широкого использования опыта и интуиции, мы не стремились к излишней формали зации изложения, а пытались раскрыть идеи на простых примерах.

Мы не согласны с У. Моррисом, который считает, что «изучение мо делей не эквивалентно изучению моделирования», и надеемся, что некото рые общие подходы и принципы донести до читателя нам все же удалось.

Один музыкант сказал: «Симфония лежит между однотонным ревом заводской трубы и какофонией восточного базара». Если считать, что рев трубы – это доведенный до крайности порядок, а гомон базара – полный хаос, то это суждение можно отнести не только к пятой, но и к другим гла вам.

В заключение следует отметить, что мы не претендуем на безуслов ное авторство всех идей, примеров и сравнений, встречающихся в нашей книге, даже если соответствующие ссылки отсутствуют. Авторы много лет занимались рассматриваемыми проблемами, изучили сотни оригинальных работ, поэтому может оказаться, что они, сами того не замечая, владеют некоторыми чужими мыслями, как своими.

Как говорил французский моралист Ж. Лабрюйер, «за тысячелетия существования человечества многое сказано, но это не означает, что все сказанное понято». Поэтому мы считаем полезным повторить то, что, быть может, уже сказано другими.

Вспомним также Б. Паскаля, который говорил: «Пусть не корят ме ня, что я не сказал ничего нового: ново уже само расположение материала;

12 Введение игроки в мяч бьют по одному и тому же мячу, но не с одинаковой метко стью».

Эта книга является вторым, существенно переработанным изданием нашей монографии, напечатанной в издательстве «Гилем» Академии наук Республики Башкортостан (г. Уфа) в 1999 г. Добавлены новые примеры практического применения описываемых авторами методик. Часть мате риала значительно сокращена, что позволило включить совершенно новую главу о моделировании и принятии решений в условиях неопределенности.

Результаты, приведенные в данной монографии, получены нами в тесном сотрудничестве с И. М. Аметовым, И. Ш. Ахатовым, А. А. Болото вым, Г. Т. Булгаковой, А. В. Гладковым, Т. И. Зайнетдиновым, Н. Т. Кара чуриным, А. Р. Латыповым, Р. А. Майским, А. М. Мамедзаде, Г. Х. Мели ковым, Р. К. Мухаметшиным, Г. М. Панаховым, Т. Ш. Салаватовым, А. А. Сулеймановым, Б. А. Сулеймановым, А. Г. Телиным, Р. А. Хабибул линым, И. Ф. Хатмуллиным и многими другими друзьями и коллегами из АГНА (г. Баку), ВНИИнефти (г. Москва), УГНТУ, ИПТЭР, Уфимского филиала ЮганскНИПИнефти (г. Уфа). Мы глубоко благодарны им, а так же нашим близким, чья поддержка всегда помогает нам в нашем труде.

Глава ТЕОРИЯ САМООРГАНИЗАЦИИ И СЛОЖНЫЕ СИСТЕМЫ Трудно поверить, какую огромную экономию мысли может осуществить одно хорошо подобранное слово. Часто достаточно изобрести одно новое слово, и это слово становится творцом.

А. Пуанкаре Сверх всяких ожиданий, убеждение (я бы лучше сказал, мечта!) в существовании гармонии в природе находит все новые и новые подтверждения в истории физики.

Г. Вейль Теория самоорганизации – это междисциплинарная область науки, занимающаяся изучением появления и развития упорядоченных во време ни и пространстве процессов и структур [1–5]. Немецкий физик Г. Хаген (H. Haken) в начале 1970-х годов предложил для этой науки название си нергетика (от греческого synergia – совместное действие, сотрудничество).

В рамках самой теории самоорганизации пока еще не получены впе чатляющие научные результаты: основные модели синергетики были най дены и исследованы в основном до ее возникновения. Поэтому синергети ка – это скорее не отдельная наука, а термин, говорящий об общности ма тематических задач и методов исследования нелинейных явлений в разных областях науки.

Заслуга ее создателей в том, что им на основе анализа известных мо делей удалось выявить универсальные законы возникновения и развития сложных систем и сложного поведения. Наличие универсальности весьма информативно, поскольку сведения о свойствах отдельных элементов сложных систем и процессах взаимодействия между ними зачастую отсут ствуют или получение их затруднительно. В таких условиях знание о наи более общих чертах кооперативных эффектов позволяет существенно вос полнить недостаток информации.

Здесь уместно провести аналогию с таким универсальным законом, как II закон термодинамики: сколь бы сложной ни была схема предлагае мого очередным изобретателем вечного двигателя, мы можем, не разбирая ее детально, утверждать, что двигатель не будет работать.

14 ГЛАВА Развитие теории самоорганизации показало, что основные особенно сти геометрии и динамики сложных природных объектов часто удается описать с помощью достаточно простых детерминированных моделей. Об наружение детерминированной основы в совершенно случайных, на пер вый взгляд, явлениях – важнейшее достижение синергетики, позволяющее надеяться на широкую применимость ее результатов при контроле и управлении процессами в сложных системах.

Подчеркнем еще раз, что эта простота универсальна – одни и те же базовые модели описывают кооперативное поведение в системах самой различной природы. В этом проявляется самоподобность Природы – свой ство, позволяющее ей наиболее «экономными» способами построить все наблюдаемое нами разнообразие объектов и явлений. Несколько упрощая, мы можем сказать, что Природа, быть может, владеет немногими просты ми методами конструирования, но она искусно применяет их в различных сочетаниях на многих иерархических уровнях организации сложных сис тем, порождая таким образом свои самые совершенные творения.

Наиболее зримо самоподобность Природы проявляется в биологиче ской эволюции. Известно, например, что онтогенез – индивидуальное раз витие организмов – подобен (в своей шкале времени) филогенезу – разви тию групп (видов, родов), к которым эти организмы принадлежат.

Множество фактов проявления самоподобности в объектах и явле ниях неживой и живой природы было найдено Бенуа Б. Мандельбротом (B. B. Mandelbrot), который для обозначения этого свойства ввел понятие фрактала – структуры, состоящей из частей, которые в каком-то смысле подобны друг другу [6–9].

1.1. Фракталы Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов.

А. Эйнштейн Фрактальная геометрия позволяет раскрыть неожиданную простоту построения сложных природных систем и предоставляет методы их каче ственного и количественного описания. Для моделирования неупорядо ченных систем теория фракталов играет такую же роль, как генераторы случайных чисел – для моделирования случайных процессов. Так, синте тические фрактальные пейзажи, полученные средствами компьютерной графики, выглядят настолько правдоподобно, что большинство восприни мает их как естественные. Повсеместное распространение компьютеров и ГЛАВА 1 компьютерной графики позволяет использовать фрактальные представле ния для исследования геометрии сложных объектов во многих областях естественных наук.

Рассмотрим некоторые математические сведения, необходимые для введения количественных мер фрактальных свойств.

1.1.1. Идеальные фракталы Примером идеального фрактала является треугольник В. Серпинско го (W. Sierpinski), который впервые описал его в 1916 г. Этот объект может быть получен путем построения, начинающегося с равностороннего тре угольника (рис. 1.1).

k = 1 k = 2 k = Рис. 1.1. Треугольник Серпинского На первом этапе исходный треугольник делится на 4 равносторонних треугольника, средний из которых выбрасывается. С каждым из оставших ся треугольников поступают так же. На k-м этапе мы будем иметь 3k тре угольников, которые при k образуют некоторое «всюду дырявое» множество точек.

Это множество масштабно-инвариантно, поскольку увеличение в 2k любого из маленьких треугольников, полученных на k-м этапе построения, приводит к тому же самому множеству (этим свойством ковер Серпинско го напоминает куклу-матрешку).

Еще одним примером фрактального объекта является кривая Коха, названная так в честь Хельге фон Коха, описавшего ее в 1904 г. Способ по строения этой кривой ясен из рис. 1.2.

Легко уловить связь между этими структурами и примерами нигде не дифференцируемых непрерывных функций, построенных К. Вейершт рассом (K. Weierstrass) и его последователями.

Рассмотрим, например, функцию Вейерштрасса–Мандельброта, за даваемую в виде сходящегося ряда [9] n= f (x)= bn(1- cosanx), n= где 0 < b < 1, ab >1.

16 ГЛАВА k = k = k = Рис. 1.2. Кривая Коха Легко видеть, что продифференцированный ряд (ba)n sin anx n= расходится, поэтому функция не дифференцируема ни в одной точке. Гра фик этой функции представляет собой масштабно-инвариантную (т. е.

фрактальную) кривую, что можно показать аналитически.

Действительно, f (ax) = (1- (1 bn cos an+1x)= bn+1 cos an+1x)= b n=- n= 1 = (1 (x).

bk - cosak x)= f b b k = 0, Отсюда следует, что если участок кривой f (x) на отрезке a растянуть в a по оси x и в b–1 раз по оси y, то в результате получится ис ходная кривая на участке [0,1]. Поскольку коэффициенты растяжения по осям x и y не совпадают, то f (x) называют (в отличие от кривой Коха) не самоподобной, а самоаффинной.

Нигде не дифференцируемые функции многие выдающиеся матема тики считали надуманными «патологическими» структурами, не имеющи ми никакого отношения к реальности. Так, Пуанкаре в «Науке и методе» писал: «Некогда при нахождении новых функций имелась в виду какая нибудь практическая цель. Теперь функции изобретаются специально для того, чтобы обнаружить недостаточность рассуждений наших отцов, ника кого иного вывода, кроме этого, из них нельзя извлечь». Ш. Эрмит в своем письме к Т. Стилтьесу был еще более эмоционален: «Я в ужасе отворачи ГЛАВА 1 ваюсь от этой страшной чумы: функций, не имеющих производных» [10].

Оказалось, однако, что эти функции связаны с фракталами – объектами, которые, как уже отмечалось, широко распространены в природе и естест венным образом происходят из очень конкретных задач.

Весьма важным примером фрактальной кривой является траектория броуновской частицы. Ее фрактальность проявляется в том, что, увеличи вая разрешение микроскопа и уменьшая время между фиксациями место положениями броуновской частицы, мы вновь получим подобные друг другу блуждания. График зависимости координаты броуновской частицы от времени (винеровский процесс) является самоаффинной кривой и также нигде не дифференцируется.

Отметим, что в формальной логике также имеются аналоги матема тических «монстров» типа кривой Коха – это известные с древних времен логические парадоксы, например внутренне противоречивое высказывание «Я лгу». Ведь если содержание этого суждения истинно, то его автор лжет, но тогда и само высказывание лживо, что приводит к противоречию.

В работе [11] показано, что общей основой парадоксальных фигур (фракталов) и высказываний являются бесконечные итерации некоторых алгоритмов обработки. Так, генератор кривой Коха можно представить как машину с обратной связью, процессорный блок (блок обработки) которой производит деление отрезков на три равные части, отбрасывание средней части и построение на ее месте «крышки» (см. рис. 1.2). Результат обра ботки «затравки» – единичного отрезка – по схеме обратной связи переда ется на вход процессорного блока для получения нового «поколения» кри вых – и так до бесконечности.

В случае суждения «Я лгу» блок обработки меняет значение логиче ской переменной на противоположное («true» на «false» и наоборот). Если «затравкой» является предположение о том, что высказывание «Я лгу» ис тинно, то после обработки оно будет признано ложью и по схеме обратной связи будет отправлено на вход процессора, что порождает бесконечную цепочку значений логической переменной TFTFTF... (T ="true", F =" false"). Таким образом, парадоксы являются логическими фрактала ми, которые должны стать предметом рассмотрения новой фрактальной логики [11].

Фракталы оказываются тесно связанными и с цепными дробями, при построении которых также многократно повторяется одна и та же опе рация. Возьмем, например, дробь. Наибольшее число, не превос ходящее эту дробь, – это число 3:

103993 = 3 +.

33102 18 ГЛАВА «Перевернем» остаток:

103993 = 3 +.

Проделаем такие же операции с дробью и т. д. В результате получим цепную дробь 103993 = 3 +.

7 + 15 + 1 + Если число иррациональное, то соответствующая ей цепная дробь будет бесконечной.

Между прочим, дробь является одном из рациональных при ближений числа, а полученная из нее конечная цепная дробь представ ляет собой «начало» бесконечного разложения :

= 3 + 7 + 15 + 292 + 1 + 1 + 1 + 2 +...

Итак, любое число может быть представлено в виде = a0 +, a1 + a2 + a3 + L где a0, a1, a2,... – целые положительные числа. При использовании таких дробей в практических вычислениях важным является вопрос о том, на сколько большими могут быть коэффициенты разложения an ( n = 0, 1, 2,...)? Ведь если число an достаточно велико, то, оборвав цепную дробь на n - 1 шаге, мы получим хорошее приближение.

Р. О. Кузьмин доказал (см. брошюру В. И. Арнольда «Цепные дро би», 2001), что вероятность появления числа k среди коэффициентов разложения a0, a1, a2,... случайно взятого числа в цепную дробь равна ГЛАВА 1 1 pk = ln1+ ln 2 k(k + 2).

Если k >1, то pk, k ln т. е. распределение вероятностей является асимптотически гиперболиче ским. В дальнейшем гиперболические распределения (по выражению Б. Мандельброта, «ближайшие родственники фракталов») еще не раз встретятся в этой книге (см., например, разделы 1.3.2 и 5.4).

Согласно теореме Кузьмина наиболее часто встречается единица – чуть меньше половины случаев (p1 = 0,42). Если все числа a0, a1, a2,...

положить равными в точности единице, то получим число x =1 +, 1 + 1 + 1 + L которое, очевидно, удовлетворяет уравнению 1+ = x или x - x + 1 = 0, x 1+ откуда x = 1,618...

Это число, известное с древних времен, называется «золотым сече нием» (aurea section) и лежит в основе всех природных гармоний. Не слу чайно композиционная структура картин-шедевров мирового искусства определяется именно золотым сечением. Обращаясь к более прозаичному предмету, отметим, что почтовые открытки делают в форме прямоуголь ника, отношение сторон которого равно «золотому числу». Если от такого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник будет подобен исходному.

Если снова отрезать квадратик, снова получим прямоугольник, подобный исходному, и т. д. (опять бесконечные итерации!).

Кстати, золотое сечение тесно связано с числами Фибоначчи, т. е. с бесконечной последовательностью чисел, два первых члена которой рав ны 1, а следующие вычисляются как сумма двух предыдущих:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,....

20 ГЛАВА Легко показать, что n 1 + lim =, n-1 где n – n -е число Фибоначчи.

Связь чисел Фибоначчи с фракталами проявляется и в алгоритме их вычисления путем бесконечного повторения одной и той же операции суммирования. Числа Фибоначчи также еще появятся в этой главе (см.

раздел 1.2.1).

Интересный пример лингвистического фрактала приводит Д. Хоф штадтер [11, 12]. В переводе М. Эскиной, это – суждение «БОГ, Одоле вающий Гения», где слово «БОГ» является одновременно аббревиатурой, составленной из первых букв слов «БОГ», «Одолевающий», «Гения».

В свою очередь, таким же образом могут быть расшифрованы слова «Одо левающий» и «Гения». В итоге получится бесконечно разворачивающаяся последовательность суждений, в которых слово «БОГ» оказывается беско нечным сокращением самого себя.

1.1.2. Фрактальная размерность При рассмотрении фрактальных объектов обычные количественные характеристики (длина, площадь, масса и т. д.) оказываются непримени мыми. Так, длина кривой Коха на k-м этапе построения равна k k 1 Lk = 4k =.

3 Поскольку lim Lk =, то истинная длина этой кривой бесконечно k велика. При измерении длины с помощью линейки будет определена лишь кажущаяся длина, поскольку какие-то детали фрактальной кривой всегда окажутся меньше самого мелкого деления линейки. Ясно, что значение кажущейся длины растет с ростом разрешающей способности измеритель ного инструмента. Таким образом, длина фрактальной кривой не поддается четкому определению.

В связи с этим для количественной характеристики свойств фрактала используется размерность фрактала.

Знакомая всем размерность (мы, не вдаваясь в излишние объяснения, будем называть ее топологической размерностью) может принимать толь ко целочисленные значения: линия имеет размерность 1, плоскость – 2, пространство – 3. Топологическая размерность DT кривой Коха равна, ко нечно, единице. Но для того, чтобы оценить, как «плотно» кривая Коха за полняет плоскость, может быть введена так называемая размерность Хаус дорфа–Безиковича DH (F. Hausdorff, 1918 г. и A. S. Besicovitch).

ГЛАВА 1 Практически эта величина может быть определена путем измерения длины кривой с помощью циркуля с уменьшающимся раствором (см.

рис. 1.3).

A A A A A Рис. 1.3. Измерение длин кривых При этом длина кривой приближенно оценивается как длина лома ной A0 A1A2..., где Ai – точки «засечек», произведенных циркулем. Ясно, что L()= N(), где N() – число «засечек». В случае обычных гладких (регулярных) кривых при уменьшении длина L() стремится к конечно му пределу L0 – истинной длине кривой (см. рис. 1.4, а).

Поэтому в пределе малых L N()=. (1.1) В случае же фрактальной кривой, как уже отмечалось, lim L() = (рис. 1.4, б). Оказывается, что для таких кривых L( )~ при малых, d откуда c N( )=, (1.2) D H где показатель DH = 1 + d и называется размерностью Хаусдорфа–Безико вича.

k Так, если с помощью циркуля с раствором = измеряется дли на кривой Коха, то получится ln k ln N()= 4k = 3, откуда ln ln N() =.

22 ГЛАВА L() L а) L() б) Рис. 1.4. Различные асимптотики L() Таким образом, размерность Хаусдорфа кривой Коха равна ln DH = 1,26.

ln Этот пример показывает, что фрактальная кривая имеет дробную размерность. Собственно, термин «фрактал» обязан своим происхождени ем именно этому обстоятельству: латинское слово fractus означает «сло манный», «дробный».

Из (1.1) следует, что для регулярной кривой DH =1, т. е. размер ность Хаусдорфа совпадает с топологической размерностью DT.

То, что размерность фрактальной кривой лежит между единицей и двойкой, означает, что она занимает промежуточное положение между ли нией и плоскостью. В то время как гладкая кривая заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая за счет своей бесконечной разветвленности как бы выходит за пределы одномерного пространства.

Размерность Хаусдорфа является количественной мерой того, на сколько «плотно» фрактальное множество заполняет окружающее его евк лидово пространство.

ГЛАВА 1 Можно показать, что траектория броуновской частицы, движущейся по плоскости, имеет размерность DH = 2, т. е. она практически полностью заполняет все двумерное пространство.

Заметим, что величину N() можно также определить как число кружков диаметром, полностью покрывающих рассматриваемую кри вую. При вычислении размерности DH может быть использовано покрытие кривой не кружками, а квадратиками с уменьшающейся стороной. В том случае, когда фрактальное множество вложено в трехмерное евклидово пространство, оно покрывается сферами или кубиками.

Существует ряд других определений размерности фрактальных множеств. Так, пусть NS (r) – число в r раз уменьшенных копий фрактала, необходимых для покрытия исходного множества. Тогда DS NS (r) = r, где показатель DS называется размерностью подобия.

Например, ковер Серпинского при k = 2 (см. рис 1.1) может быть по крыт тремя треугольниками, являющимися в 2 раза уменьшенными копия ми исходного множества. Следовательно, 3 = 2DS, ln откуда DS = log2 3 = 1,58.

ln Можно показать, что в данном случае размерность подобия совпада ет с размерностью Хаусдорфа–Безиковича.

1.1.3. Реальные фракталы Фрактальная самоподобность характерна для множества реальных систем. Она проявляется в геометрии деревьев и русел рек, строении лег ких, ветвлении кровеносных сосудов, динамике сердечных биений, изме нении уровней водных поверхностей, турбулентности и т. д. Так, если рас сматривать нейроны (нервные клетки) через микроскоп с небольшим уве личением, то можно отчетливо увидеть отходящие от тела клетки асим метричные разветвленные отростки (дендриты). При несколько большем увеличении можно наблюдать еще меньшие ответвления, отходящие от крупных ветвей. При еще большем увеличении обнаруживается новый уровень структуры: ответвления от ответвлений и т. д. (Тут можно вспом нить шуточное стихотворение «Если глянуть в микроскоп – там на клопе тоже клоп» [13].) На каждом уровне масштаба структура ветвей нейрона подобна (хотя и не обязательно идентична, как в случае идеальных фракталов) структу рам, наблюдаемым как в более крупных, так и в более мелких масштабах.

24 ГЛАВА Кипящая вода представляет собой фрактальную смесь паровой и жидкой фаз, в которой пузырьки пара содержат водяные капли, а каждая из этих капель – мелкие пузырьки газа, которые, в свою очередь, содержат еще более мелкие капли воды, и т. д. [14].

Отличие реальных фракталов от идеальных заключается в том, что первые обладают характерным минимальным линейным размером (напри мер, таким как радиус атома или молекулы), в то время как идеальные фракталы имеют бесконечно тонкую структуру. На практике существует и характерный максимальный размер фрактала (так называемый радиус корреляции). Реальная среда как бы составлена из фрактальных блоков размерами и поэтому на масштабах, больших, может считаться обыч ным (евклидовым) объектом.

Образование фрактальных структур в природе происходит за счет таких механизмов, как кластерообразование при агрегации отдельных час тиц, осадкообразование, развитие неустойчивости поверхности раздела при вытеснении из пористой среды одной жидкости другой, перемешива ние жидкостей, растрескивание материалов, пробой диэлектриков и т. д.

Фрактальные размерности реальных объектов можно определить пу тем покрытия их фотографий квадратиками и нахождением связи между числом квадратов N() и длиной сторон квадратов. Соглас но (1.2) ln N( ) = ln C - DH ln. (1.3) Поэтому в координатах (ln, ln N()) должна получиться прямая линия, по угловому коэффициенту которой определяется величина DH. Ес ли точки (ln, ln N()) не лежат на одной прямой, то изучаемый объект нельзя признать фрактальным.

Следуя [13], можно утверждать, что реальные фрактальные структу ры представляют собой след хаотических процессов. Где бы в природе в результате хаотического процесса ни формировался тот или иной объект (берег моря, атмосфера, геологический разлом и т. д.), повсюду с большой вероятностью можно обнаружить фракталы (в контуре береговой линии, в форме облаков, в конфигурации скальных образований).

Повсеместная распространенность фракталов во многом объясняется тем, что они могут быть получены наложением двух простейших преобра зований – растяжения и наложения, часто встречающихся в природе. Про иллюстрируем это (не очень строгое) утверждение на примере преобразо вания подковы (рис 1.5, а–в), итерации которого приводят (рис 1.5, г, д) к образованию фрактальной структуры [15].

Аналогичные преобразования имеют место при перемешивании жидкостей, когда имеют место периодически повторяющиеся вытягивания и изгибы участков жидкостей с возвращением их в исходное положение.

Поэтому если в сосуд с краской капнуть несколько капель краски другого ГЛАВА 1 цвета и начать перемешивать, то через некоторое время капли растянутся в тонкие слои, образующие фрактальную структуру [16, 17]. Получаемая при этом картина удивительно похожа на узоры, встречающиеся иногда на поверхности камней, подобранных на берегу. Возможно, эти породы обра зовались при застывании смеси, полученной перемешиванием расплавов минералов различного цвета.

а) б) в) г) д) Рис. 1.5. Преобразование подковы Много фракталоподобных образований содержится в человеческом организме [18]. Они играют важную роль в поддержании нормального функционирования организма. Так, фракталоподобная структура артерий и вен осуществляет равномерное кровоснабжение разных участков органов, фрактальные ответвления и складки значительно увеличивают поверх ность всасывания в кишечнике, способствуют распределению, сбору раз личных веществ (в кровеносных сосудах, желчных протоках и бронхиалах) и информации (в нервной системе).

Последовательные изломы, изгибы и ветвления позволяют линейной структуре (кривой Коха, например) «почти» заполнить пространство. Точ но таким же образом линейная система артерий почти сплошь пронизывает трехмерный организм, обеспечивая его бесперебойное кровоснабжение.

Образно говоря, здесь фрактал выступает как способ организовать взаимодействие пространств различной размерности [13].

26 ГЛАВА Фрактальные структуры, благодаря своей избыточности и нерегу лярности, являются устойчивыми системами и хорошо противостоят по вреждениям. Следовательно, и в технологических системах следует ис пользовать или целенаправленно создавать фрактальные объекты в целях увеличения прочности и надежности конструкций и интенсивности про цессов.

Исключительная эффективность функционирования человеческого мозга также может быть объяснена фрактальностью организации процес сов переработки информации. Покажем это на примере фрактальной моде ли мозга [19], представляющей собой квадрат, содержащий один прямо угольник и два квадрата вдвое меньшего размера, масштабно-инвариант ных первому квадрату (рис. 1.6).

Входной сигнал, подведенный к большому квадрату, идет к первому прямоугольнику и обрабатывается здесь за время 0. Затем результаты об работки поступают на меньшие квадраты, прямоугольники которых отсы лают их к еще меньшим квадратам, и т. д. Предположив, что для обработ ки сигнала в модулях вдвое меньшего размера требуется вдвое меньше времени, получим скейлинговый закон =.

n 2n Отсюда следует, что даже если мозг бесконечно сложен, то при 0 = на обработку сигнала всеми его уровнями потребуется всего лишь 1 T = = =1 с.

= n 2n 1 n=0 n= Вот почему человек, находясь в подчас сложнейшей ситуации, успе вает почти мгновенно обработать поступающую информацию и принять адекватное решение.

Наблюдение изображений фракталов успокаивает и вызывает чувст во облегчения и уверенности, что связано с постоянством формы фрактала при его увеличении. Точно так же действует постоянный ритм церковного богослужения или рефрен колыбельной песни.

Музыкальные произведения в основе своей также фрактальны, по скольку правила их создания аналогичны правилам, которые с помощью повторяющихся предписаний позволяют творить фрактальные образы. Та кие гениальные музыканты, как Моцарт или Бах, находят свои собствен ные правила, шестым чувством определяя тот единственный момент, когда необходимо перейти от старых правил к новым [14].

ГЛАВА 1 Рис. 1.6. Фрактальная модель мозга Отметим, что самоподобной в каком-то смысле является и история науки. Американский методолог Джеральд Холтон показал [13], что науч ная мысль из века в век ходит по одним и тем же кругам, рассматривая (на все более высоком уровне) одни и те же вечные темы: тему первичных частиц, тему происхождения сложных форм из простых, тему самопроиз вольного появления новшеств и т. д. По этому поводу С. В. Мейен отме тил: «Будь это шахматная партия, любой арбитр давно бы признал ничью ввиду повторения ходов».

Одной из таких вечных тем является и само понятие фрактальности.

Ведь еще Лейбниц в «Монадологии» писал: «Всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд» [13].

28 ГЛАВА 1.2. Детерминированный хаос Совершенно случайный рисунок – увы, также и наиболее скучный...

Непредсказуемость (случайность) желательна с точки зрения разнообразия или неожиданности, но если мы хотим, чтобы рисунок выглядел привлекательно, необходима некоторая упорядоченность.

Дж. Пирс Изучение ньютоновской динамики приучило нас к мысли о том, что если заданы силы, действующие между частицами, а также начальные по ложения и скорости частиц, то уравнения движения позволяют предсказать развитие системы с любой степенью точности для любого сколь угодно позднего момента времени. Это убеждение укрепляется удивительной точ ностью, с которой механика предсказывает движение планет, моменты солнечных затмений, рассчитывает движение космических ракет. Случай ность, наблюдаемую в реальном мире, мы обычно связываем с внешними шумами, наличием очень большого числа степеней свободы или же с кван товыми эффектами.

Настоящим потрясением для научного мира было осознание того, что неупорядоченные, непредсказуемые движения возможны в детермини рованных динамических системах, т. е. объектах, эволюция которых опи сывается некоторой системой дифференциальных или разностных уравне ний, задающих правило однозначного определения будущего, исходя из заданных начальных условий [2–5, 15, 20, 21].

Хаотическое состояние, в котором могут находиться динамические системы без источников случайных шумов, получило название детерми нированного (или динамического) хаоса.

Детерминированный хаос отличается от обычного (или шумового) хаоса, понимаемого как состояние полной дезорганизации. Хаос в динами ческих системах относится к ограниченной случайности, им можно управ лять и даже прогнозировать на короткие промежутки времени вперед.

Различие между этими двумя видами хаоса подобно различию между шумом в переполненном случайными людьми зале и шумом, создаваемым музыкантами оркестра, готовящимися к началу выступления. Достаточно одного жеста дирижера, чтобы шум в оркестровой яме затих, в то время как овладеть вниманием толпы практически невозможно.

Следует отметить, что необходимым условием возникновения хао тического движения является наличие особой нелинейности.

ГЛАВА 1 Различается детерминированный хаос в консервативных системах, в которых механическая энергия (или какой-либо ее аналог) сохраняется, и в диссипативных системах (системах с «трением»). Мы в дальнейшем будем рассматривать в основном диссипативные системы.

Выявление и анализ детерминированного хаоса оказывается весьма полезным при управлении сложными движениями в самоорганизующихся системах.

Во-первых, если в некоторой динамической системе диагностируется динамический хаос, то можно надеяться, что некоторым изменением пара метров (настройкой) можно упорядочить ее движение.

Во-вторых, переход от детерминированного к хаотическому движе нию происходит по некоторым универсальным сценариям, число которых невелико. Информация об этих сценариях может быть использована для назначения режимов работы, исключающих возникновение хаотических колебаний.

В-третьих, в современной теории нелинейных динамических систем развиты новые методы количественного анализа хаотических колебаний, которые с успехом могут быть использованы для идентификации характе ра движения и состояния объектов управления.

Возникновение хаотических движений в детерминированных систе мах возможно, если траектории движения обнаруживают сильную зависи мость от начальных условий (траектории «разбегаются»). Впервые на это при изучении неинтегрируемых движений трех тел обратил внимание А. Пуанкаре (H. Poincare, 1892 г.), который писал: «...иногда небольшая разница в первоначальном состоянии вызывает большое различие в окон чательном явлении. Небольшая погрешность в первом вызвала бы огром ную ошибку в последнем. Предсказание становится невозможным...» По добные идеи о возможности проявления хаотических движений в детерми нированных системах высказывались также Биркгофом (G. D. Birkhoff, 1935 г.).

Таким образом, детерминированный хаос проявляется в том случае, когда задача Коши для уравнений движения является некорректно постав ленной.

Напомним, что математическая задача называется корректно постав ленной, если:

1) ее решение существует;

2) оно единственно;

3) решение устойчиво относительно малых изменений исходных данных (т. е. малые изменения исходных данных ведут к малому изменению решения).

Из предыдущего ясно, что возникновение детерминированного хаоса связано с нарушением третьего условия (условия устойчивости).

30 ГЛАВА Простейшая механическая система, в которой наблюдается «разбе гание» траекторий, представляет собой бильярдный шар, ударяющийся и упруго отскакивающий от сторон эллиптического бильярдного стола (рис. 1.7).

Если начальное положение шара (1) чуть-чуть изменится (положе ние 2), то уже через несколько соударений шар будет двигаться по совер шенно другой траектории. Эта неустойчивость приводит к тому, что при сохранении энергии для столов определенной формы шар случайно блуж дает по столу, никогда не повторяя свою траекторию.

Известным литературным примером, иллюстрирующим сильную за висимость эволюции системы от начальных условий, является научно фантастический рассказ Р. Бредбери «...И грянул гром», в котором гибель бабочки, случайно раздавленной в прошлом путешественником во време ни, так влияет на ход истории, что приводит к существенному изменению настоящего.

А1 А2 D C D C B B Рис. 1.7. «Разбегание» траекторий бильярдного шара Приведем еще один простой пример, иллюстрирующий нарушение устойчивости.

Пусть последовательность задается следующей рекуррентной фор мулой xn+1 =1 - 2 | xn |, n = 0,1, 2,...

Рассмотрим поведение получаемых по этой формуле последователь ностей в зависимости от начальной точки x0 из отрезка [0,1].

Возьмем сначала в качестве х0 десятичные числа с одним знаком после запятой. Так, например, для х0 = 0,1 получим х1 = 0,8, х2 = -0,6, х3 = 0,2, х4 = -0,6, х5 = 0,2 и т. д., то есть последовательность вышла на предельный цикл из двух чисел.

ГЛАВА 1 Аналогичная картина наблюдается для всех других чисел с одним знаком после запятой, кроме х0 = 0,5. В этом случае получаем х1 = 0, х2 = -1, х3 = -1,..., т. е. последовательность сходится.

Рассмотрим теперь в качестве х0 числа с двумя знаками после запя той. Например, х0 = 0,12. В этом случае последовательность выходит на цикл, содержащий 10 чисел.

Расчеты показывают, что аналогичная картина будет наблюдаться для всех чисел, кроме 16 чисел вида 0,05 (i + 10( j -1)), i =1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9;

j =1, 2, и трех чисел вида 0,25 k, k =1, 2, 3.

Для чисел с тремя знаками после запятой имеем четыре варианта по ведения траектории предельного цикла. К предыдущим 3 вариантам до бавляется вариант, в предельном цикле которого 50 чисел.

Продолжая увеличивать число знаков после запятой в x0, можно на блюдать дальнейшее усложнение динамики системы.

Этот пример наглядно показывает, что желание считать как можно с большей «точностью» может привести не только к бесполезной потере времени, но и к потере адекватности описания за счет перехода на траек тории движения, радикально отличающиеся от истинных. Таким образом, при моделировании нелинейных систем необходимо особое внимание об ращать на определение оптимальной сложности модели (см. по этому по воду также раздел 2.3 данной книги).

1.2.1. Странный аттрактор Эволюцию динамических систем удобно представить в геометриче ской форме, используя фазовое пространство. Рассмотрим, например, дви жение маятника с трением, описываемое системой уравнений d x m = -mg -, dt l dx =, dt где x – отклонение маятника от точки равновесия, m – масса маятника, – коэффициент трения, – скорость движения маятника, l – длина маятника, g – ускорение свободного падения.

На фазовой плоскости (x,) движение маятника представляется в виде спирали, наматывающейся на точку О (0, 0) (рис. 1.8, а). Эта точка как бы «притягивает» к себе все траектории движения, из каких бы точек они не исходили. Поэтому точка равновесия О (0, 0) называется аттрактором этой динамической системы (от слова attract – притягивать).

32 ГЛАВА M x x предельный цикл а) б) Рис. 1.8. Аттракторы динамических систем Поскольку часто нас интересует только установившееся движение, то при рассмотрении диссипативных систем можно ограничиться нахож дением их аттракторов – областей фазового пространства, притягивающих траектории. Это значительно облегчает исследование динамических сис тем.

Кроме точек равновесия динамические системы могут иметь аттрак торы в виде предельных циклов – замкнутых кривых в фазовом пространст ве (см. рис. 1.8, б). Так как при движении по замкнутой кривой изобра жающая точка все время возвращается в некоторое фиксированное состоя ние, то предельный цикл соответствует периодическим колебаниям.

При изменении параметров динамической системы может меняться число аттракторов и их устойчивость. Подобные явления называются би фуркациями, а те значения параметров, при которых изменяются качест венные свойства движения, называются критическими или бифуркацион ными.

Приведем любопытный пример с натуральными числами, в котором проявляются аналоги понятий аттрактора и бифуркации. Возьмем любое натуральное двузначное число a (напр., а = 27 ). Поменяв между собой цифры этого числа, получим число а, которое назовем инверсным к a (в нашем случае а = 72). Далее поступим следующим образом. Вычислим разность этих чисел (из большего вычитаем меньшее, для нашего примера b = а - а = 72 - 27 = 45 ) и рассмотрим сумму полученного числа и ин версного к нему b + b (для нашего примера 45+54=99). Можно убедиться, что при вышеприведенной последовательности действий с любыми двузначным числом в ответе получится 99 или 0 (в случае одинаковых цифр в числе, например 44), т. е. с какого бы двузначного числа мы не начинали, в конце приходим к 0 или 99! Таким образом, эти два числа являются как бы «притягивающими числами» и исполняют роль ГЛАВА 1 бы «притягивающими числами» и исполняют роль своеобразных аттракто ров.

Посмотрим теперь, что будет происходить, если те же действия про вести с трехзначными числами. Непосредственным перебором убеждаем ся, что для трехзначных чисел количество «аттракторов» также будет рав но двум (0 для «симметричных» чисел типа 333, 121, … и 1089 для всех прочих чисел). А вот для четырехзначных чисел число «аттракторов» бу дет уже равно пяти (0,990, 9999, 10890, 10989), т. е. происходит своеобраз ная «бифуракция». Продолжая эксперименты с увеличением числа цифр (перебор осуществляется с помощью несложной компьютерной програм мы), определим соответствующее количество «аттракторов». Для нату ральных чисел с количеством цифр от 1-го до 11-ти результаты расчетов приведены в таблице:

Количество цифр в числе Количество «аттракторов» 1 2, 3 4, 5 6, 7 8, 9 10, 11 Из таблицы видна закономерность проявления «бифуркаций»: уве личение числа «аттракторов» происходит с увеличением числа цифр на два.

Числа в правой колонке таблицы удивительным образом связаны с числами Фибоначчи: 1, 1, 2, 3, 5, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …, т. е. число «ат тракторов» увеличивается по закону чисел Фибоначчи с нечетными номе рами. Обнаруженная закономерность может быть строго доказана.

Данный пример мы приводим также для того, чтобы показать, как через «простое» можно проиллюстрировать такие достаточно сложные по нятия, как аттрактор и бифуркация. Неслучайно одним из проявлений ин теллекта считают умение видеть различие в сходном и сходство в различ ном.

Рассмотрим теперь явление бифуркаций на примере динамической системы.

dx = x + y - x(x2 + y2), dt dy = -x + y - y(x2 + y2).

dt Перейдя к полярным координатам, x = r cos, y = r sin, получим & & r cos - r sin = r sin + r cos - r3 cos, 34 ГЛАВА & & r sin + r cos = r sin - r cos - r3 sin, где r = x2 + y2.

Сложив первое уравнение, умноженное на cos, со вторым уравне нием, умноженным на sin, и отняв от второго уравнения, умноженного на cos, первое уравнение, умноженное на sin, получим dr = r( - r2), dt (1.4) d -1.

= dt Из (1.4) следует, что исходная система имеет решения, соответст вующие постоянным значениям r = rc. Они могут быть найдены из усло dr вия = 0, откуда rc = r0 = 0 и rc = r1 = (при > 0 ).

dt Первое решение соответствует точке покоя О (0, 0), а второе – пре дельному циклу, представляющему собой движение по окружности с ра диусом против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью = 1.

Исследуем устойчивость этих решений.

Предположим, что система в момент времени была выведена из по ложения равновесия О (0, 0) и отклонилась от нее на малое расстояние.

Полагая r = r0 + =, получим из (1.4) с точностью до линейных по членов d =, dt откуда с учетом начального условия имеем = 0e t. (1.5) Согласно (1.5) при < 0 значение экспоненциально убывает со временем, т. е. точка О (0, 0) является устойчивой точкой равновесия (ат трактором).

При > 0 начальное малое отклонение растет по закону e t, т. е. точка равновесия теряет устойчивость.

Для исследования устойчивости предельного цикла положим r = r1 + 1, что дает d = -2 1, dt откуда 1 = 0e-2 t, т. е. 1 0 при > 0 (устойчивый предельный цикл), а при < 0 отклонение от предельного цикла со временем возрастает.

Величина в (1.5), характеризующая экспоненциальную скорость расхождения (или схождения) двух исходно близких траекторий с 0 = ГЛАВА 1 и 0 > 0, называется показателем Ляпунова. Потеря устойчивости движе ния происходит в тот момент, когда показатель Ляпунова становится по ложительным. Из этого примера ясно, что показатель Ляпунова определяет чувствительность траектории к изменению начальных условий. Поэтому эта величина может быть использована в качестве количественной харак теристики, «измеряющей» детерминированный хаос.

Таким образом, при постепенном увеличении от отрицательных зна чений к положительным в точке = 0 происходит бифуркация: устойчи вая точка равновесия переходит в устойчивый предельный цикл. Эта би фуркация называется бифуркацией Хопфа (E. Hopf, 1942 г.). Соответст вующая бифуркационная диаграмма приведена на рис. 1.9.

Точка покоя и предельный цикл являются примерами инвариантных множеств – встроенных в фазовое пространство объектов, отображаю щихся сами на себя в ходе эволюции системы.

Совокупность инвариантных множеств, имеющихся в фазовом про странстве данной динамической системы, во многом определяет характер движения, поэтому эта совокупность называется фазовым портретом системы.

& x x Рис. 1.9. Бифуркация Хопфа Решающую роль в определении структуры фазового портрета играет теорема единственности решений системы обыкновенных дифференци альных уравнений, связанная с именами О. Коши (A. Cauchy, 1820–30 гг.) и Э. Пикара (E. Picard, 1891–96 гг.). Эта теорема утверждает, что при до вольно «мягких» условиях на функции fi(x) существует единственное решение задачи dxi = fi(x1, x2,..., xn), (1.6) dt xi t =0 = xi0, i =1,2,...,n, если только начальное состояние не представляет собой точку покоя.

При рассмотрении фазового пространства это означает, что пересе чение двух траекторий в точках, отличных от точки покоя, невозможно.

36 ГЛАВА Если же говорить о предсказуемости движения, то именно единственность решения задачи Коши долгое время поддерживала уверенность в невоз можности случайных движений динамических систем. Однако, как уже отмечалось, движение может стать непредсказуемым, если траектории не устойчивы относительно малого изменения начальных значений.

«Разбегание» траекторий само по себе еще не приводит к стохастич ному поведению. Необходимо еще существование некоторых статистиче ских закономерностей, наличие средних по времени величин, связанных с тем, что система вновь и вновь возвращается в состояния, близкие к ис ходным. Такие движения возможны, если в фазовом пространстве имеются незамкнутые траектории, бесконечно и беспорядочно блуждающие внутри некоторой ограниченной области. Подобные траектории образуют инвари антные множества, которые в случае диссипативных систем являются ат тракторами.

Более подробные исследования показывают, что аттракторы, на ко торых реализуются хаотические движения, имеют фрактальную структуру, т. е. характеризуются дробной размерностью. Причину этого легко понять, если процесс перепутывания траекторий представить себе как перемеши вание «фазовой жидкости».

Возьмем множество траекторий, которые в начальный момент вре мени исходят из близких точек, образующих маленький фазовый объем – каплю «фазовой» жидкости. Предположим, что эта «капля» отличается по цвету от остальной жидкости внутри рассматриваемой области фазового пространства (рис. 1. 10).

Если в этой области есть устойчивая точка покоя, то «капля» стянет ся в эту точку (см. рис. 1.10, а). При наличии аттрактора в виде предельно го цикла капля через некоторое время растянется вдоль него и «окрасит» лишь узкий поясок в его окрестности (см. рис. 1.10, б). На аттракторе хао тической системы (см. рис. 1.10, в) капля жидкости испытывает повторное влияние растяжения и изгиба, что, как мы уже убедились на примере пре образования подковы (п. 1.1.3), приводит к образованию фрактальной структуры. При этом «капля» хорошо перемешивается с неокрашенной жидкостью и образует характерные разводы, более или менее равномерно окрашивая всю притягивающую область.

За связь с непредсказуемым хаотическим движением, а также за на личие фрактальной структуры аттракторы динамических систем, демонст рирующих хаотическое движение, получили название странных аттрак торов (strange attractor). Понятие о странных аттракторах было введено Рюэлем и Таккенсом (D. Ruelle, F. Takens, 1971 г.) при обсуждении пере хода к турбулентности.

ГЛАВА 1 t = t1 > y t = t = t2 > t M x t = t = t1 > t = t2 > t а) б) z y x в) Рис. 1.10. Эволюции капли «фазовой» жидкости Хаотические движения детерминированных систем впервые обнару жил американский метеоролог Э. Н. Лоренц (E. N. Lorenz, 1963 г.), иссле довавший систему вида dx = (y - x), dt dy = rx - y - xz, (1.7) dt dz = xy - bz.

dt При = 10, b = 8/3 и r = 28 эта система имеет странный аттрактор с размерностью D = 2,05 ± 0,01, изображение которого, образованное инте гральными кривыми в фазовом пространстве, удивительно напоминает крылья бабочки с узором, похожим на разводы, получаемые при переме шивании красок.

Отметим, что система (1.7) была выведена Лоренцем при упрощен ном моделировании процессов тепловой конвекции в земной атмосфере.

Из наличия у этой системы странного аттрактора следует, что погода и 38 ГЛАВА климат в своей основе непредсказуемы, так что долгосрочный прогноз по годы невозможен. Чувствительность к начальным условиям, ведущую к хаосу в системе (1.7), Э. Лоренц назвал «эффектом бабочки», поскольку потоки воздуха в атмосфере Земли при такой чувствительности могут за висеть от взмаха крыльев бабочки. Говорят также, что полет мухи в Кем бридже может привести к изменению погоды в Индии [15].

Еще одним проявлением аналогии между перемешиванием жидко стей и детерминированным хаосом является следующий удивительный опыт, описанный в книге Дж. Уокера «Физический фейерверк» [22].

Если налить немного глицерина в промежуток между стенками двух коаксиальных цилиндрических стаканов близких диаметров (рис. 1.11), капнуть туда несколько капель краски и повернуть внутренний стакан примерно на 10 оборотов, то краска и глицерин хорошо перемешаются.

Однако если после этого вы повернете его на столько же оборотов в обрат ном направлении, то краска отделится от глицерина и ее распределение будет примерно таким же, как до вращения.

Если же краска и глицерин перемешиваются достаточно долго, то возврат к первоначальному состоянию невозможен.

Рис. 1.11. Перемешивание краски и глицерина Точно так же движение динамических систем, подверженных дина мическому хаосу, можно обратить на малых масштабах времени, когда не устойчивость не успевает себя проявить.

Так, если после нескольких соударений бильярдного шара со стен ками (см. рис. 1.7) заставить его двигаться с той же скоростью, но в обрат ном направлении, то весьма вероятно, что шар повторит свою траекторию ГЛАВА 1 и вернется в исходную точку. Если же число соударений при прямом дви жении столь велико, что шар «забывает» о своем первоначальном положе нии, то обратить движение уже не удастся, как не удастся собрать капли краски после достаточно долгого вращения стакана в описанном выше опыте.

Примеры проявления детерминированного хаоса, рассмотренные выше, связаны с расхождением траекторий по закону e t, где – показа тель Ляпунова. Для таких систем непрерывная зависимость решений от начальных условий нарушается лишь при t. В работе [23] хаос такого рода предложено называть «слабым» (weak) хаосом. Там же отмечено, что возможны хаотические движения, связанные с нарушением непрерывной зависимости решений от начальных условий за конечное (и даже сколь угодно малое) время.

Для иллюстрации этого вида неустойчивости рассмотрим уравнение Лапласа 2 u 2 u = -, t > 0, - < x < t2 x с начальными условиями u u = 0 и = 0. (1.8) t = t t = Эта задача имеет тривиальное решение u 0. Если же вместо (1.8) рассмотреть слегка отличное (возмущенное) начальное условие u = e- n cos nx, t то получим u = f (x,t) e- n cos nx sh nt.

n u Легко видеть, что 0 при n, т. е. новое начальное усло t t = вие стремится к невозмущенному, однако новое решение при сколь угодно малом времени может (за счет члена sh nt ) сколь угодно сильно отличать ся от невозмущенного решения u 0.

Хаос, связанный с неустойчивостью такого типа, называется «силь ным» (strong) и может проявиться, например, при распространении возму щений в средах, нелинейные свойства которых приводят к смене гипербо лического типа уравнений движения на эллиптический [23]. В частности, это возможно в эластичных средах, имеющих падающий участок на зави симости напряжения от растяжения.

40 ГЛАВА 1.2.2. Хаос и размерность систем Возможность проявления детерминированного хаоса в динамиче ских автономных системах вида (1.6) существенно зависит от их размерно сти. Можно показать, что в двумерном пространстве хаотические траекто рии невозможны, поскольку в нем могут существовать только такие ат тракторы, как точки равновесия, бесконечность и предельные циклы. До пустим, например, что диссипативная система имеет (рис. 1.12) два инва риантных множества – точку равновесия P и предельный цикл C [15]. (На помним, что инвариантными называются множества точек в фазовом про странстве, по которым, раз попав на них, все остальное время движется изображающая точка.) Траектория, начинающаяся внутри кривой С, остается там навсегда, так как в противном случае она пересекла бы эту кривую, что, по теореме единственности, невозможно. Той же теоремой запрещены и самопересе чения траектории движения. Тогда единственно возможными остаются движение к точке Р (см. рис. 1.12, а) или движение к предельному циклу С (см. рис. 1.12, б).

x2 x C P x1 x а) б) Рис. 1.12. Точка равновесия и предельный цикл Для трехмерных систем и систем более высокого порядка ограниче ния, накладываемые теоремой единственности, оказываются более слабы ми, поскольку траектории имеют возможность избегать друг друга, выходя из плоскости в пространство. Благодаря этой гибкости оказывается воз можным одновременное осуществление двух условий стохастичности:

а) все (или почти все) соседние траектории внутри некоторой облас ти разбегаются;

ГЛАВА 1 б) все они остаются внутри некоторого ограниченного объема фазо вого пространства.

В случае неавтономных уравнений хаос возможен и в системах вто рого порядка. Так, в некоторой области изменения параметров хаотичными могут стать колебания нелинейного осциллятора под воздействием внеш ней периодической силы, описываемые уравнением Г. Дюффинга (G. Duf fing, 1918 г.) && & (1.9) x + x + ax + bx3 = F cos t.

Заметим, что формально неавтономное уравнение второго порядка можно записать в виде системы трех автономных уравнений. Так, (1.9) может быть переписано в виде dx = y, dt dy = -y - ax - bx3 + F cos z, dt dz =.

dt Это в какой-то мере объясняет возникновение хаотических движе ний в неавтономных системах второго порядка.

То, что периодическое возмущение может привести к случайному поведению, иллюстрирует простая механическая система, представляющая собой шарик в плоском ящике с неровным дном (рис. 1.13).

Рис. 1.13. Хаотическое движение шарика в ящике с неровным дном Когда этот прибор покоится, шарик имеет два устойчивых и одно неустойчивое положения равновесия. Если же ящик совершает горизон тальные периодические движения достаточно большой амплитуды, то ша рик начинает беспорядочно перепрыгивать из одной ямы в другую. «Разбе гание» траекторий в этой системе связано с наличием неустойчивой точки равновесия на вершине среднего холмика.

42 ГЛАВА Если рассматривать уравнения с отклоняющимся аргументом, то хаотические решения могут иметь место и в случае более простых сис тем – обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка dx = f (x, x(t - )) (1.10) dt и даже алгебраических уравнений x = f (x(t), x(t - )) или xn = f (xn, xn-1), (1.11) где xn = x(n ), n = 0, 1, 2,..., > 0 – временная задержка (лаг).

Введение отклоняющегося аргумента в дифференциальные уравне ния позволяет уменьшить их размерность и тем самым избежать трудно стей при идентификации математических моделей, содержащих ненаблю даемые (т. е. не измеряемые напрямую) физические переменные (см. также раздел 3.1). Следовательно, уравнения с отклоняющимися аргументами яв ляются образами некоторых систем более высокой размерности, наподо бие двумерных теней от объемных предметов на стенах пещеры Платона.

Поэтому неудивительно, что в случае дифференциально-разностных и раз ностных уравнений хаос может проявиться и в системах, порядок которых меньше не только трех, но и двух.

Вспомним также о том, что порядок обыкновенного дифференци ального уравнения совпадает с числом начальных условий, необходимых для однозначного определения его решения. Поскольку постановка на чальной задачи для уравнения (1.10) требует задания значений x на всем интервале, содержащем бесконечно большое число точек, то порядок уравнения с отклоняющимся аргументом можно считать (по этому крите рию) бесконечно большим. Это является еще одним объяснением возмож ности возникновения хаоса в системах с запаздыванием.

В качестве примера уравнения вида (1.10), допускающего хаотиче ские решения, приведем уравнение Маки–Гласса (M. C. Mackey, L. Glass, 1977 г.) dx x(t - ) = -bx + a, n >1, (1.12) dt ) 1 + xn(t - описывающего процессы регенерации больных кровяных шариков при хронической лейкемии [20].

Примером разностного уравнения, имеющего хаотические решения, является логистическое отображение xn+1 = µ xn(1- xn ), (1.13) введенное в 1845 г. П. Ф. Ферхюльстом для описания динамики популяций в закрытой среде ( xn – относительная численность особей популяции в n-й год). Линейный член в правой части (1.13) описывает рост или рождение, ГЛАВА 1 а нелинейный член ответственен за ограничение роста, связанное с недос татком энергетических или пищевых ресурсов (величина 1 - xn пропор циональна «свободной» части жизненного пространства).

Модель (1.13) весьма полезна для иллюстрации некоторых законо мерностей перехода к хаосу, поэтому исследуем ее более подробно.

Графическое решение уравнения (1.13) может быть получено путем построения графика функции f (xn )= µ xn(1 - xn ) в координатах (xn, xn+1) (рис. 1.14).

Динамика системы (1.13) изобразится ломаной кривой 123456..., ко торая «притягивается» к точке равновесия P (рис. 1.14).

xn+ A P f(x) x 0 x1 xn x x Рис. 1.14. Логистическое отображение Отметим, что точки равновесия x определяются из решения урав нения x = f (x) µ x(1 - x).

Для функции, представленной на рис. 1.14, это уравнение имеет два решения:

x = 0 и x =1 -, µ 44 ГЛАВА т. е. кроме точки P имеется еще одна точка равновесия – начало коорди нат O. Построив ломаную траекторию, выходящую из любой близкой к O точки, можно показать, что эта точка равновесия является неустойчивой:

малейшее смещение вправо от O приводит к быстрому росту величины этого смещения.

Рассмотрим типы движений, возникающих при различных значениях параметра µ.

1. 0 < µ 1. Система имеет только одно положение равновесия x = 0, и оно устойчиво. Так, если µ = 0,5 и x0 = 0,8, то x1 = 0,08, x2 = 0,0368, x3 = 0,0177,...

2. 1< µ 3. При µ = 1 происходит бифуркация, в результате которой точ ка равновесия x = 0 теряет устойчивость и появляется новый аттрак тор x2 =1-. Так, если µ = 2 (x2 = 0,5) и x0 = 0,1, то x1 = 0,18, µ x2 = 0,2952, x3 = 0,4161, x4 = 0,4859, x5 = 0,4996,...

3. 3 < µ 1 + 6 3,45. При µ = µ1 = 3 точка равновесия x2 становится неустойчивой и вместо нее появляется устойчивый предельный цикл, со ответствующий колебаниям с периодом 2 (рис. 1.15, а).

4. 1 + 6 < µ µ = 3,5699. При µ = µ2 =1 + 6 двукратный цикл сменя ется четырехкратным (см. рис. 1.15, б), который, в свою очередь, при µ = µ3 3,54 сменяется циклом периода 8, и т. д.

Таким образом, за счет последовательного удвоения периода, дви жение постепенно усложняется до тех пор, пока при значе нии µ 3,56994 не произойдет переход к хаосу (см. рис. 1.15, в). Вели чина µ является точкой сгущения последовательности бифуркационных значений µ1, µ2,..., µn,..., причем, начиная с некоторого n, выполняет ся асимптотический закон Фейгенбаума [24] c µn = µ -, (1.14) n где = 4,66920 – число Фейгенбаума.

Закон (1.14) имеет универсальный характер, поскольку он проявля ется во многих численных и физических экспериментах в системах самой различной природы. Можно утверждать, что переход к хаосу путем после довательного удвоения периода движения, подчиняющийся закону (1.14), является одним из универсальных сценариев возникновения случайных движений в детерминированных системах. Другие возможные пути пере хода к хаосу широко обсуждаются в специальной литературе [4, 5, 15, 20, 21].

ГЛАВА 1 xn n а) xn n б) xn n в) Рис. 1.15. Усложнение движения по логистическому закону 1.3. Репликации нелинейной динамики Согласно Г. Хакену [2, 25] синергетику следует рассматривать как наиболее разработанную теорию самоорганизации, которая может быть применена к широкому кругу разнообразных явлений в сложных системах самой различной природы. В этом качестве синергетика уже стала социо 46 ГЛАВА культурным феноменом, оказавшим мощное влияние на все науки, изу чающие сложные природные объекты. Всем им свойственна эмержент ность (от англ. emerge – «появляться»), т. е. наличие интегративных свойств, не выводимых из известных свойств элементов и способов их со единения. Взаимодействие микроскопических элементов приводит к появ лению на макроскопическом уровне качественно новых свойств и особен ностей. Цель синергетики состоит в том, чтобы соединить эти два уровня – микро- и макроскопический. Она показала, что в большинстве случаев но вые структуры создаются не некоей организующей рукой, а самими систе мами.

Под влиянием внешних потоков энергии и вещества структурные модули, составляющие сложные системы, взаимодействуют друг с другом нелинейным образом, хаотично «пробуя» различные формы коллективного поведения.

По мере возрастания интенсивности внешних потоков система под ходит к точке выбора (бифуркации), после которой начинает преобладать некоторый выделенный тип кооперативного поведения.

Синергетика предложила также способы «сжатия» огромного коли чества информации, которую необходимо было бы обработать при описа нии системы как совокупности ее отдельных частей. Такое «сжатие» воз можно, поскольку изменения системы в макроскопических масштабах управляются параметрами порядка, число которых невелико (принцип подчинения). В определенном смысле параметры порядка действуют как кукловоды, заставляющие кукол плясать [25].

Известным физическим примером, иллюстрирующим этот принцип, является кювета с жидкостью, подогреваемой снизу. Параметром порядка здесь является разность температур между нижней и верхней поверхно стями жидкости. Как показывают опыты, когда разность температур пре вышает некоторое критическое значение, внезапно становится видимым макроскопическое конвективное движение жидкости, порождающее ячеи стую структуру наподобие пчелиных сот (ячейки Бенара, см. рис. 1.16).

Здесь изменением одного параметра удается организовать управление движением огромного количества молекул, подверженных хаотическому тепловому движению.

Примером аналогичной бифуркации в коллективном поведении со общества людей является появление единого ритма в аплодисментах зри телей по окончании всем понравившегося концерта: эти аплодисменты пе реходят в единодушные ритмические хлопки, когда управляющий пара метр системы (энтузиазм аудитории) превосходит некоторый порог [14].

Следует, однако, отметить, что в последнем примере управляющий параметр не задается извне (как температура подогрева жидкости в кюве те), а вырабатывается самой системой. В системах живой природы (в отли чие от физических систем) управляющие параметры в определенном ГЛАВА 1 смысле можно рассматривать как переменные. Но, по сравнению с дейст виями, которые они вызывают, они меняются более «медленно».

Рис. 1.16. Вид сверху на подогреваемую снизу жидкость при конвекции Бенара Синергетика предоставляет возможность построения моста между естественными науками и науками о человеке. В частности, она дает неко торое представление о том, как поток неупорядоченных сигналов, воспри нимаемых органами чувств, преобразуется в упорядоченные сигналы [14].

В работе [26] построена синергетическая модель социокультурной эволюции, позволяющая провести плодотворные аналогии между динами кой фотонов в лазере и взаимодействием информационных «квантов» или мемов (от англ. memory – «память») в человеческом сообществе. По Р. До кинзу, в основе эволюции культуры лежит репликатор (от replicare – «от ражать», «копировать») – самовоспроизводящаяся единица информации, культурный образец [26]. Репликатор создает свои более или менее точные копии (реплики, мемы), которые сами могут быть репликаторами, мути руют и конкурируют с другими репликаторами. Культурная эволюция, со гласно этой модели, представляет собой цепь переходов к новому стилю мышления (новому порядку) через хаос в моменты бифуркаций, когда по беждают наиболее активные мемы. Аналогично этому, когда плотность фотонов в лазере становится выше критической, между усиливающимися волнами света возникает конкуренция, и, в конце концов, одна волна по беждает все остальные – возникает когерентное излучение.

Двигателями культурной эволюции являются изобретатели новых репликаторов. Архетип таких генераторов идей составляет бессознатель ная противоположность устоявшемуся мнению, тому, что человек настой чиво утверждает в своем сознании, уступая сложившимся нормам.

К. Г. Юнг называет такого культурного героя трикстером (от trick – «трюк») [26].

48 ГЛАВА Типичным примером такого процесса самоорганизации обществен ного сознания является история становления самой синергетики, видимой нам как история структурирования мышления новым репликатором, несу щим идею самоорганизации (самоорганизация теории самоорганиза ции [26];

трикстерами синергетики справедливо считать Г. Хакена и Б. Мандельброта). Эта идея, зародившись в физике (нелинейной динами ке), проникает в самые различные области науки. В каком-то смысле в этом проявляется «историческая тенденция физики проглотить предметы, которые до этого казались никоим образом с ней не связанными» [27].

Следует подчеркнуть, что синергетику не следует рассматривать как оче редной рецидив механистизма («физикализма» [25]). Она признает, что, кроме законов физики, существуют еще и другие, дополнительные законы, связанные с возникновением новых качеств сложных систем.

В. В. Тарасенко отмечает [11], что введение фрактальной концепции шло не по пути изменения или введения новой, неевклидовой аксиомати ки, а по пути создания устойчивых практик узнавания фрактала в фено менах математики и природы. По существу, Мандельброт разрушил евк лидианскую исследовательскую программу. Он и представление о фракта ле вводил фрактально: вначале он ввел «затравку» – сам термин «фрак тал», – а затем запустил интерсубъективный механизм самоорганизации научного понятия путем развития ассоциаций между термином «фрактал» и объектами природы [11].

Отметим, что трикстер – далеко не идеальный герой, он часто ассо циируется с плутом и обманщиком, способным изменять свой облик, лю бящим коварные розыгрыши и злые выходки. Подобно Меркурию, его природа двойственна – наполовину животное, наполовину божествен ное [26]. Может быть, в этом причина того, что на ранних этапах развития теории новые идеи часто используются без должного критического анали за, имеющиеся данные «подгоняются» под модную теорию. Не миновала чаша сия и синергетику. Тем не менее в конкурентной борьбе идей репли кации синергетики уверенно побеждают, насыщая науки о сложных при родных системах новыми постановками задач и предоставляя новые мето ды анализа и управления. Ниже приведены некоторые примеры примене ния синергетических подходов в различных областях человеческой дея тельности и, в частности, в нефтяной науке.

1.3.1. Хаос и порядок Хаос и порядок образуют диалектическую пару категорий, неотде лимых друг от друга. Как уже отмечалось, в сложных системах, управляе мых малым числом параметров порядка, возможно возникновение струк тур с хаотичной динамикой. Такой вид хаоса является детерминирован ГЛАВА 1 ным, и синергетика позволяет обнаружить детерминированную основу, порядок в этих случайных колебаниях. Но одновременно, согласно И. При гожину, и хаос лежит в основе порядка, поскольку эволюция сложных систем есть цепь бифуркаций, в окрестностях которых возникает хаос, по могающий сменить старый порядок на новый. Таким образом, хаос несет и конструктивное начало.

(Конечно, переходный хаос может привести и к негативным резуль татам. Так, 15 июля 1977 г. Нью-Йорк внезапно погрузился в темноту.

Причиной катастрофы был переход энергетической системы города из равновесного состояния в хаотическое, вызванный дисбалансом выработки и потребления электроэнергии. Неожиданно из энергетической системы города выпал крупный потребитель. Системы автоматики и диспетчерской службы не успели отключить эквивалентную этому потребителю, по суще ству, работающую на него генерирующую станцию. Образовался разрыв между генерацией энергии и ее потреблением, и в результате энергетиче ская система перешла из состояния равновесия в хаотическое.) Отметим, что понятие красоты также оказывается неразрывно свя занным с диалектической парой «порядок – хаос».

Истинно красивым является что-то неожиданное, новое (хаос), вне запно прерывающее установившееся, привычное (порядок). Чтобы под черкнуть новизну, должна существовать привычная основа [28]. Так, во время хоровода повторяющиеся движения танцоров, вставших в круг, вре мя от времени прерываются неожиданными элементами, придающими танцу красоту и притягательность.

Идея хаоса как парадоксальной, изменчивой основы видимого по рядка вещей была близка русской классической литературе. Набоков пи сал: «Мир Гоголя сродни таким концепциям в современной физике, как «вселенная-гармошка» или «вселенная-взрыв»;

он не похож на спокойно вращавшиеся подобно часовому механизму миры прошлого века. В лите ратурном стиле есть своя новизна, как и в пространстве, но не многим из русских читателей хочется нырнуть стремглав в гоголевский магический хаос».

Ди Культер, директор Института педагогических исследований в Бо улдере, считает, что слушание джазовой музыки стимулирует творческую работу и помогает решать вопросы, которые не поддаются простым реше ниям [29]. Джаз врывается в хаос и из хаоса создает порядок. Культер счи тает, что музыка Майлза Дэвиса, Джона Колтрейна и авангардного компо зитора Джона Кейджа способна завести слушателя в область тета-созна ния – область высокотворческих волн мозга, которые связаны с художест венным и духовным прозрением.

В то же время музыка Моцарта стимулирует генерацию мозгом бета волн обычного сознания (но очень качественных). И наоборот, рок, рэп и другие музыкальные жанры, которые основаны на ритмах и являются ин 50 ГЛАВА тенсивным отражением понятия времени, хороши для развития способно стей детей. «Некоторые из наших районов являются зонами войны, – счи тает Культер. – Для того чтобы выжить в таких условиях, подросткам нуж но развивать достоинство и самосознание. Эта музыка помогает им сфокусироваться. Она заостряет их способность к самоорганизации».

Несмотря на то, что у джаза общие корни с роком и рэпом, он не яв ляется средством выживания. Он не управляется ритмами и не является расслабляющим. «В некотором смысле джаз представляет собой идеальное состояние, – говорит Культер. – Он заставляет обращать внимание на то, на что нужно ответить, не будучи уверенным в том, что последует дальше.

Наша жизнь напоминает джаз. Если мы хотим прожить ее достойно, нас должен привлекать джаз своей непредсказуемостью». Эта музыка, утвер ждает Ди Культер, чрезвычайно тонкая. «Вам нужно почувствовать ритм, для того чтобы чувствовать все извивы джаза. Сложность заложенных в джаз мыслей просто поражает меня. Чувство времени, юмор, внимание, уважение и качество слушания, заложенные в джазе, просто потрясают».

В одном из недавних интервью Уинтон Марсалис, виртуозный тру бач и блестящий дирижер джазового ансамбля в Нью-Йорке, сказал: «Ис полнение джаза показывает, как нивелировать различия, даже тогда, когда они представляют собой противоположности. Вот почему детям обяза тельно нужно слушать джаз. Джаз учит вас, как вести диалог, обеспечивает цельность. Возможно, наше внутреннее устройство должно быть построе но по Моцарту, но для того чтобы познавать мир, чтобы знать, как вести себя в аэропорту, совершать покупки в крупном супермаркете, «шарить» по интернету, чтобы функционировать социально в этом мире, нам нужно понимать джаз. Джаз помогает выйти из этого мира и вернуться к нему, оркеструя все жизненные фазы таким образом, чтобы не было нервного срыва».

1.3.2. Пределы прогноза Синергетическое представление эволюции сложных систем как цепи бифуркаций, в окрестности которых проявляется сильная неустойчивость (траектории «разбегаются»), привело к установлению факта существова ния горизонта прогноза, т. е. конечного интервала времени, в пределах которого возможен динамический прогноз [30]. Так, по некоторым оцен кам, горизонт прогноза в метеорологии составляет около одного месяца.

Вызывает сожаление тот факт, что нефтяная наука (по крайней мере в России) не уделяет достойного внимания изучению возможностей про гноза в своей области. Так, при защите проектов разработки нефтяных ме сторождений принято обсуждать так называемые «госплановские» фор мы – подробные таблицы с прогнозом добычи нефти, числа работающих и ГЛАВА 1 бездействующих скважин, темпов бурения и других технологических по казателей, – составленные на десятки лет вперед. В то же время объектив ное сравнение проектных показателей с фактическими показывает, что предел динамического прогноза в нефтяной промышленности не намного превышает один год. При обсуждении прогнозных значений коэффициента извлечения нефти – доли общих запасов нефти, которая может быть добы та за весь период разработки месторождения – идут жаркие дискуссии о величине третьего (!) знака после запятой, когда исходные данные извест ны с погрешностью в среднем от 30 до 50%.

Невозможность долговременного прогноза связана также с тем [31], что спектр распределения энергии E по частотам f в сложных системах часто имеет степенной вид E ~, (1.15) f где ~ 1.

Сигналы с распределением вида (1.15) называются фликкер-шумом (от англ. flicker – «мерцание»). Спектр (1.15) принадлежит к широко рас пространенному классу гиперболических зависимостей, встречающихся в рекордно большом числе наук, от сейсмологии и метеорологии до эконо мики и лингвистики.

Столь большая распространенность объясняется тем, что зависи мость (1.15) тесно связана с фрактальностью, являясь масштабно-инвари антной [6].

Гиперболический спектр распределения означает, что медленные процессы в сложных системах имеют большую интенсивность. В качестве аналогии, еще раз иллюстрирующей универсальность этого распределения, приведем пример стареющего человека: в молодости он движется широ кими шагами (частота шагов мала) и брызжет энергией, а в старости мелко семенит (большая частота шагов), теряя остатки сил.

Тот факт, что значительная часть энергии связана с очень медлен ными процессами, и ограничивает возможности долгосрочного прогноза.

Сколь долго бы мы ни накапливали информацию о процессах, идущих в системе, всегда найдутся явления, которые начинают проявляться поз же [31].

В истории различных стран также наблюдается связь между масшта бом («энергией») социальных движений и характерными временами разви тия [32]. Вот почему Россию, с ее огромными размерами и большими вре менами эволюционных циклов, всегда преследуют крупные потрясения, да и сама она берется за решение только «великих» задач.

Еще одна причина трудностей прогноза заключается в том, что, как уже отмечалось ранее, управляющие параметры сложных систем являются 52 ГЛАВА их внутренними переменными. Это может привести к эффекту Эдипа (К. Поппер, 1943 г.), состоящему в том, что предсказание (прогноз) может влиять на прогнозируемое событие [30]. Классическим примером эффекта Эдипа является влияние предсказаний Маркса и Энгельса на историческое развитие капиталистического мира [33]. Будем надеяться, что популярные сейчас мрачные прогнозы относительно вымирания населения России, по лученные путем экстраполяции существующих тенденций, подтолкнут правительство (и население!) к энергичным мерам, которые сделают про гнозируемое невозможным.

Вот еще один пример своеобразной связи будущего с настоящим:

начиная некоторое дело, мы часто мысленно видим его результат, ради ко торого все и делается. Без этого будущего нет настоящего. В этом смысле жизнь любого человека зависит от жизни его ребенка не в меньшей, а ино гда в гораздо большей степени, чем от жизни его родителей.

Эффект Эдипа необходимо принимать во внимание при прогнозе цен на нефть в ходе технико-экономического обоснования крупных инвести ционных проектов в нефтяной промышленности.

Еще более ограничивает предсказательную силу наук, связанных с человеческой деятельностью, парадокс Хайека [33]. Фридрих фон Хайек, нобелевский лауреат по экономике, показал, что проявления законов эко номики или социологии зависят от общественного сознания и традиций, сложившихся в обществе. Очевидно, что это существенно затрудняет фор мулировку объективных законов экономики. Получается, что экономика как наука есть, а законов у нее нет. Хайек исследовал огромную область, находящуюся между инстинктом и разумом, – область традиций – и выяс нил, что традиции лежат в основе многих поступков и общественных дви жений. На языке синергетики можно сказать, что традиции являются влия тельными параметрами порядка в человеческом обществе. Необходимо отметить, что традиции не являются результатом сознательного творчест ва. Они возникают естественным путем самоорганизации.

Парадоксом Хайека, в частности, объясняются трудности, возни кающие при попытках модернизации нефтяной промышленности России.

Может оказаться, что внедрение современных технологий будет более эф фективным, если оно будет производиться с учетом традиций, менталитета имеющегося технического персонала.

Итак, долгосрочный прогноз в сложных системах невозможен. Для таких систем первостепенной задачей науки является не точный расчет эволюции, а установление общих принципов, идей, запретов, сценариев, качественной картины явлений [31]. Мы вряд ли сможем предсказать пути развития, но мы можем определить спектр возможных путей и на этой ос нове принять обоснованные управленческие решения.

ГЛАВА 1 1.3.3. Холистический подход к описанию сложных систем Холистический (от англ. whole – «целый») подход подразумевает гло бальное описание и необходим в случае сложных систем, когда традицион ные редукционистские методы не позволяют выполнить обозримый анализ тенденций из-за чрезмерно большого числа значимых переменных.

Возможность холистического описания связана со «сжатием» ин формации за счет введения параметров порядка. Как правило, холистиче ские модели представляют собой «медленные» уравнения, связывающие друг с другом эти параметры.

Примером холистического взгляда на мир является картина «Гранат и ангел» Сальвадора Дали (см. рис. 1.17). Здесь изображены все этапы раз вития граната: от зернышка к веточке, цветку и плоду. Симптоматично то, что в христианстве гранат является символом бессмертия души и воскре сения.

Переход от редукционизма к холистическому описанию означает пе реход от детерминистских моделей к феноменологическим. Покажем не обходимость такого перехода на примере моделей, описывающих эволю цию объектов нефтедобычи.

В настоящее время при математическом моделировании процессов разработки нефтяных месторождений превалирует дедуктивный подход, заключающийся в расчете фильтрационных течений в реальном пласте на основе численного решения уравнений движения жидкостей и газов в по ристой среде.

Господствует убеждение в том, что к описанию месторождения в це лом можно перейти, только поняв и описав в деталях частные механизмы и уравнения. Это – методология механистического редукционизма, лежащая в основе мышления большинства современных исследователей и основан ная на успехах классической механики, основатели которой рекомендова ли «гипотез не измышлять» (И. Ньютон) и выводить все результаты, исхо дя из единых законов движения.

Однако обширный опыт моделирования сложных природных объек тов, накопленный в различных областях науки, показывает, что дедуктив ный подход, несмотря на свою привлекательность, может иметь только ог раниченное применение [30, 31, 34, 35, 36].

Детерминированные модели (а модели дедуктивного уровня принято называть именно так) полезны как инструмент для проведения математи ческих экспериментов, целью которых является выработка стратегии (идеологии) управления. Расчеты с использованием дедуктивных моделей, реализованных в виде стандартных пакетов программ (ECLIPSE, MORE и т. д.), весьма продуктивны, поскольку заменяют собой дорогостоящие натурные эксперименты, но они не могут быть использованы для реально го мониторинга или же для прогноза реальной динамики развития.

54 ГЛАВА Рис. 1.17. Сальвадор Дали: «Гранат и ангел» ГЛАВА 1 Это так же верно, как и то, что нельзя надеяться описать человече ское мышление, решая квантово-химические уравнения движения моле кул, из которых состоит мозг.

И дело здесь не только в том, что дедуктивные модели оказываются избыточно сложными. Основная проблема связана с утратой целостности описания при попытках построения детерминированных моделей [36].

Так, предположим, что в нашем распоряжении имеется симулятор, идеально точно описывающий все особенности фильтрации многофазных многокомпонентных жидкостей в сложно построенных неоднородных пла стах. Но даже с помощью этого инструмента реальную добычу нефти не возможно будет предсказать точно, поскольку, например, динамика буре ния скважин (от которой, в основном, и зависят темпы отбора нефти) де дуктивным образом не может быть определена. Она обычно вводится в программу «руками» и может оказаться сколь угодно далекой от реализо ванной впоследствии динамики бурения, определяемой инвестором с уче том его финансовых возможностей и потребностей рынка в нефти. Невоз можно также заранее спрогнозировать динамику аварий, влияние сезонных ограничений и пресловутого «человеческого фактора».

Наряду с этими ограничениями, носящими внешний характер, име ются и внутренние трудности детерминированных моделей – отсутствие достоверной информации о детальном геологическом строении пласта и большие погрешности в промысловых данных. Так, точность геолого геофизических материалов настолько низка [37], что трехмерные геологи ческие и (особенно) гидродинамические модели, построенные с помощью сейсмических данных и определения проницаемости по ГИС, не более чем фикция (погрешность определения проницаемости по ГИС – 100%). В этих условиях интегральные одно- или двумерные модели более точны, чем трехмерные, поскольку ошибки при интегрировании взаимно погашаются.

Итак, дедуктивное описание месторождения может быть получено только за счет пренебрежения погрешностями данных и разрыва большого числа связей, соединяющих пласт с внешним окружением (другими объек тами разработки, насосным и поверхностным оборудованием, системами управления и принятия решений).

Поэтому применение дедуктивных (детерминированных) моделей и приводит к потере целостности. Вследствие этого управление процессами разработки крупных месторождений на основе детерминированных моде лей затруднено – часто прямое вмешательство, основанное на знании част ных факторов, не приводит в случае сложных систем к запланированному перед началом вмешательства результату [34, 36].

Задачи реального управления (мониторинга) процессами разработки нефтяных месторождений требуют привлечения иного подхода, когда сра зу ищутся законы, описывающие систему в целом. Такого рода модели на зываются феноменологическими [34], и они оказываются весьма плодо 56 ГЛАВА творными, когда детальная, микроскопическая картина явлений слишком сложна. В качестве примера отметим, что типично феноменологической наукой является термодинамика, в которой законы, обусловленные микро скопическим движением молекул, выводятся из опыта и сразу представ ляются в виде соотношений между макроскопическими параметрами (та кими как давление и температура).

При использовании феноменологических моделей история нефтяно го месторождения становится историей именно всего месторождения, а не историей отдельных скважин, пластов и объектов разработки. Нефтяное месторождение рассматривается как сложная иерархически устроенная система, «погруженная» во внешнюю среду (систему управления, сеть трубопроводов и элементов поверхностного обустройства и т. д.) и чутко реагирующая на сигналы, поступающие от последней.

Следуя [38], можно сказать, что с помощью феноменологии целост ность пробивается через детерминизм, как трава сквозь асфальт.

Великолепный пример холистического описания тенденций мирово го развития приведен О. Доброчеевым в работе [32]. В ней отмечается, что на наших глазах происходит переход к качественно новому состоянию ми рового устройства, характеризующемуся глобализацией финансовых и по литических структур. По мнению автора, взаимодействие отдельных чело веческих сообществ (племен, народностей, государств) в процессе хаоти ческого расширения и конкуренции в какой-то момент приведет к само произвольному возникновению самоподобных социально-экономических образований, аналогично тому, как в нагреваемой снизу жидкости само произвольно возникают ячейки Бенара. Параметром порядка в данном случае является отношение характерной длины коммуникационных взаи модействий (корреляционной длины) к диаметру земного шара. В конце 20-го века развитие Интернета и мирового финансового рынка привело к бифуркационному состоянию, после прохождения которого, как считает автор статьи, существующий полярный мир превратится в ячеистый (см.

рис. 1.18, на котором грядущее устройство мира специально представлено в виде, напоминающем ячейки Бенара, рис. 1.16).

О. Доброчеев приводит также оценку времени, необходимого для полного оформления этой картины мира. Наблюдаемые сегодня процессы политической структуризации – распад такой сверхкрупной системы, как СССР и консолидация мелких государств Западной Европы – позволяют предположить, что будущие ячейки будут иметь размеры США или Китая (около 10 млн. км2). Из исследований Н. Кондратьева известно, что харак терное время циклов экономического и политического развития в структу рах такого размера составляет около 50 лет. Для окончательного оформле ния «ячеистого» мира потребуется несколько таких циклов, т. е. порядка 100 лет.

ГЛАВА 1 Рис. 1.18. Будущая сотовая модель мира Интересно оценить зависимость периода циклов развития от разме ров государства. Считая, что процессы переноса в экономической геогра фии имеют диффузионный характер, можно по аналогии с характерным временем диффузии написать:

L T ~, D где T – продолжительность циклов развития, L – характерный размер страны, D – показатель связи типа коэффициента диффузии.

Таким образом, продолжительность цикла пропорциональна площа ди государства. Поскольку площадь России составляет около 17 млн. км2, то длительность циклов для нее должна составить 50 1,7 = 85 лет. Эта оценка хорошо коррелирует с циклами в 80 лет, характеризующими Рос сию последних столетий (1825 – 1905 – 1985).

Приведенный пример, кроме всего прочего, обращает внимание на то, что процессы самоорганизации могут существенно зависеть от про странственных ограничений.

Во многих случаях форма важнее, чем содержание, и граница важнее того, что она ограничивает [33]. С этим эффектом связан феномен малых стран. Экономогеограф Б. Н. Зимин показал, что малые страны обладают повышенной экономической и социальной эффективностью по сравнению с большими странами (пример: Швейцария, Скандинавские страны). Кри тическую численность населения малой страны можно оценить исходя из того, что эффект малой страны – это эффект пирамиды прямого воспри ятия: большинство жителей страны знакомо друг с другом либо лично, ли бо через своих представителей [33].

Будем считать, что государственная «пирамида» малых стран имеет 7 уровней: высшее руководство – парламент – регионы – округи – посел 58 ГЛАВА ки – кварталы – дома. Предположим также, что среднее число людей, вос принимающих друг друга «напрямую», равно 10 и каждый «обитатель» j -го уровня государственной пирамиды представляет 10 человек низшего, ( j + 1)-го уровня. Легко подсчитать, что на таком «дереве» могут «распо ложиться» только 107 =10 млн. чел. Таким образом, малая страна не мо жет иметь более 10–12 млн. человек населения.

Эффект границ (размеров) следует учесть при организации нефтедо бывающего хозяйства. Может оказаться, что размер цехов (или других са мостоятельных подразделений) будет влиять на эффективность разработки не менее, а даже более, чем выбор системы разработки.

1.4. Применение фрактальных характеристик для контроля и управления технологическими процессами Анализ промышленной и экспериментальной информации показыва ет, что случайные колебания, возникающие в технических системах, часто имеют детерминированный характер. Они порождаются самой системой и поэтому могут служить важным источником информации о ее внутренних характеристиках. В частности, о состоянии объекта управления можно су дить по оценкам размерности странного аттрактора, полученным извест ными методами теории динамических систем [20, 21, 25, 31].

Еще одно возможное применение фрактальных характеристик в тех нической диагностике связано с тем, что графики временных рядов заме ров, снятых при нормальной работе объектов управления, часто имеют фрактальную структуру (наподобие береговых линий), что, по-видимому, является следствием пространственно-временной фрактальности явлений, определяющих эволюцию рассматриваемых систем. Исходя из этого мож но предложить использовать фрактальные характеристики временных ря дов замеров – размерность Хаусдорфа и показатель Херста [6, 9] в качестве диагностических критериев, определяющих состояние объектов управле ния. В настоящем разделе приведены конкретные примеры технологиче ских ситуаций, в которых применение фрактальных характеристик позво ляет получить практически важную информацию по данным нормальной эксплуатации, т. е. без проведения активного эксперимента.

1.4.1. Корреляционная размерность В нелинейной динамике применяются методы регистрации детерми нированных хаотических колебаний и их количественного анализа, осно ванные на применении таких мер, как фрактальные размерности, энтропия ГЛАВА 1 Колмогорова, показатели Ляпунова [1, 4, 5, 20, 21, 25, 31]. Широко приме няемой мерой упорядоченности движения является корреляционная раз мерность, которая является нижней оценкой хаусдорфовой размерности странного аттрактора и определяется через корреляционный интеграл N 1 r r C()= lim ( (1.16) h - I xi - x I), j N N i, j = где h(z) – функция Хевисайда:

1, z 0, h(z)= 0, z < 0, r xi – вектор, описывающий положение изображающей точки в фазовом пространстве в момент времени ti = t0 + i, i =1...N, – некоторый задан ный промежуток времени, N – объем выборки.

Величина C( ) определяет относительное число пар точек, расстоя ние между которыми не больше. При малых корреляционный инте v грал C()~, поэтому размерность можно определить по наклону зави симости ln C от ln, полученной расчетом C() по (1.16) при различных значениях для достаточно больших N (конкретные рекомендации по проведению соответствующих вычислений приведены там же). Часто ока r зывается, что измеряемой является лишь одна из координат вектора x(t).

В этом случае размерность странного аттрактора может быть восстановле на с помощью процедуры Паккарда–Такенса [20, 21], описание которой приводится ниже.

Пусть xi – реализация одной из координат фазового пространства системы x(t): xi = x(ti ), i =1, 2,..., N. Введем в рассмотрение новое фазо вое пространство (пространство вложения) размерности m, точки которого r (m) определяются векторами Yj ={x, x..., x }, сконструированными j j +1 j +m- из последовательных значений величины x ( j =1, 2,..., n = N - m + 1). При изменении t мы получим в этом пространстве траекторию, воспроизводя щую некоторое множество, корреляционную размерность которого vm можно вычислить через корреляционный интеграл (m) (m) n Cm() = lim h - Y - Y j k n n2 j,k = r по наклону зависимости lmCm от ln. Изменяя размерность векторов Y проанализируем зависимость vm от m. Очевидно, что при малых m раз мерность vm с ростом m должна увеличиваться. Однако если регистрируе мый случайный сигнал есть проявление детерминированного хаоса, то при 60 ГЛАВА некотором m = m0 величина vm перестает расти. Достигнутое при этом значение vm принимается за размерность v странного аттрактора исход ной системы и называется размерностью реализации. Если же рост vm продолжается без насыщения, то это свидетельствует о том, что наблю даемый сигнал шумовой (т. е. невоспроизводим с помощью алгоритма).

Таким образом, обычный шумовой случайный процесс можно рас сматривать как движение системы на аттракторе бесконечной размерно сти. Конечная размерность v означает, что данный сигнал можно воссоз дать с помощью динамической системы. При решении задач управления технологическими процессами важно отличать детерминированный хаос от обычных «шумов» или помех. Дело в том, что наличие внутреннего по рядка в детерминированном хаосе позволяет, в принципе, управлять им, в то время как шумовой хаос неуправляем.

Показано, что минимальное число динамических переменных, необ ходимое для описания наблюдаемого движения, равно []+ 1, где [] – це лая часть. Эта оценка может быть использована, в частности, для реше ния одной из самых сложных задач, возникающих при идентификации мо дели рассматриваемого процесса, – задачи определения ее сложности.

При реконструкции динамического аттрактора по замерам одной пе ременной возникает вопрос: какой размерности должно быть вложенное пространство, чтобы отобразить все топологические особенности исходно го аттрактора? Ф. Такенсом доказано, что для почти любых наблюдаемой реализации x(t) и времени задержки аттрактор вложенного пространства размерности m будет иметь те же свойства (ту же размерность), что и ис ходный, если только m m0 = 2D + 1, где D – хаусдорфова размерность странного аттрактора [20].

Величина корреляционной размерности является мерой упорядочен ности движения и в качестве таковой может служить диагностическим критерием, определяющим состояние объектов управления.

Пример. Диагностирование состояния породоразрушающего инструмента В процессе бурения возникает задача оценки степени износа долота с целью своевременной его замены. Косвенная оценка состояния буриль ного инструмента по изменению механической скорости проходки не все гда надежна, поскольку уменьшение скорости проходки может быть связа но с изменением свойств разбуриваемых пород, а не с износом долота.

Оказалось, что для этой цели могут быть использованы значения корреля ционной размерности, характеризующие пульсации давления промывоч ГЛАВА 1 ной жидкости. Для примера на рис. 1.19 приведены зависимо сти vm = vm(m), полученные для неизношенного (кривая 1) и изношенного (кривая 2) долота по данным, снятым на станции АГКС 4 при турбинном бурении в Альметьевском УБР. Вид этих зависимостей (рост с насыщени ем) свидетельствует о том, что зарегистрированные колебания давления промывочной жидкости имеют детерминированную основу.

Рассмотрим математическую модель, которая позволяет выявить не которые возможные причины возникновения динамического хаоса в про цессе бурения. В рамках расчетной схемы, представленной в [39], уравне ние продольных колебаний вала турбобура можно записать в виде && & Mx + f x + F(x)= Asin t, где М – масса вала, f – коэффициент вязкого трения, x – продольное сме щение вала от равновесного состояния, F(x) – упругая восстанавливающая сила, определяемая жесткостью резины подпятников и корпуса шпинделя, Asin t – периодические возмущения со стороны забоя, возникающие при вращении шарошек.

m 1 3 5 7 9 11 13 15 17 m Рис. 1.19. Зависимость vm от размерности m Аппроксимируя упругую силу F(x) гладкой кривой, можно поло жить F(x)= kx + bx3, что приводит к уравнению && & Mx + fx + kx + bx3 = Asin t, (1.17) представляющему собой уравнение Дюффинга.

Как известно [20], при достаточно большой амплитуде возмущаю щей силы и при частотах, принадлежащих интервалу неоднозначности ам плитудно-частотной характеристики, уравнение (1.17) допускает сущест вование хаотических колебаний.

62 ГЛАВА Следовательно, возникновение детерминированного хаоса можно объяснить нелинейными колебаниями вала турбобура под действием пе риодических возмущений, испытываемых долотом на забое.

Как правило, значение корреляционной размерности по мере износа долота растет (см. рис. 1.19). Следовательно, величину можно использо вать в качестве критерия, определяющего степень износа породоразру шающего инструмента.

Из вида модельного уравнения (1.17) ясно, что изменение корреля ционной размерности может быть вызвано изменением амплитуды или частоты возмущающей силы. Следовательно, на величину могут влиять поломка или неравномерное изнашивание зубьев долота (поскольку эти причины приводят к возникновению колебаний с частотой, меньшей, чем частота колебаний от зубчатости долота, и с амплитудой, превышающей амплитуду последних). Увеличение амплитуды вынуждающей силы может быть также вызвано износом опор качения шарошек. Своевременное диаг ностирование этого вида износа по величине может позволить избежать заклинивания шарошек и, тем самым, предотвратить возможную аварию.

Предложенный критерий дополняет другие методы косвенной оцен ки состояния бурильного инструмента (по изменению скорости проходки, по результатам спектрального анализа пульсаций давления и т. д.) и, при меняясь с ними, может повысить успешность принимаемых технологиче ских решений.

1.4.2. Фрактальные характеристики графиков временных рядов замеров Для повышения надежности диагностирования, наряду с корреляци онной размерностью, следует использовать и другие диагностические кри терии. Как показывает анализ экспериментальных данных, в качестве та ковых могут быть использованы фрактальные характеристики временных рядов замеров.

Часто графики временных рядов замеров оказываются фрактальны ми (т. е. состоят из частей, которые в каком-то смысле подобны целому).

В количественном смысле такие кривые характеризуются размерностью Хаусдорфа D, которая может быть определена путем покрытия кривой прямоугольниками с уменьшающимися сторонами a b (раздел 1.1).

Подсчитав число N() прямоугольников, необходимых для покрытия кри вой, рассматривают зависимость N() от. Для фрактальных кривых при C малых асимптотически N()= или ln N = lnC - Dln.

D ГЛАВА 1 Размерность Хаусдорфа можно определить по углу наклона зависи мости ln N от ln. Следует отметить, что соотношение сторон прямоуголь ников покрытия a:b определяется нетривиальным образом с учетом соот ношения временных масштабов и масштабов изменения измеряемых вели чин.

Еще одной величиной, характеризующей фрактальные свойства вре менных рядов, является показатель Херста [6, 9].

Вновь выделим из исходной выборки x1, x2,..., xN массивы данных (xk, xk+1, …, xk+m–1), содержащих m последовательных замеров ( k =1,..., N– –m+1). Определим по каждому из этих массивов размах Rk = Emax – Emin, где l l Emax = max (xk + j -1 - M ), Emin = min (xk + j -1 - M).

k 1l m 1l m j =1 j = Здесь Mk – среднее по выделенному массиву значение x.

l M = xk + j -1.

k m j = Рассмотрим приведенное значение размаха, осредненного по всем массивам объема m:

m R 1 Rk =, Sk = (xk + j - M ), -1 k S r Sk m m k j = где r – число массивов объема m, Sk – стандартное отклонение.

Показано, что для временных рядов многих природных процессов R величина растет с увеличением m по степенному закону S m R = C mH, S m показатель которого H называется показателем Херста и определяется по углу наклона прямой R ln = lnC + H ln m.

S m Показано, что для хаотических сигналов при отсутствии долговре менной статистической корреляции Н = 0,5. При наличии же некоторого запаздывания, «памяти», показатель Н увеличивается, причем для боль шинства природных процессов Н 0,7...0,8.

Для самоаффинных кривых величины Н и D связаны друг с дру гом [9]:

H = 2–D.

64 ГЛАВА При подсчете H и D по реальным кривым это равенство выполняется только приближенно. Оно может быть использовано для проверки досто верности оценок фрактальных характеристик. Так, если в результате рас четов получены значения D = 1,6 и H = 0,8, то можно предположить, что при вычислениях допущена ошибка: 1,6 > 2 - 0,8 =1,2.

Одним из преимуществ описанного выше R/S-анализа является то, что он приводит к робастной мере статистики временных рядов, поскольку даже очень сильно негауссовые случайные процессы с независимыми зна чениями характеризуются одним и тем же значением H = 0,5 [6, 9].

Пример. Диагностирование режима работы газлифтной скважины В газлифтной скважине подъем нефти осуществляется пузырьками газа, закачиваемого в нижнем конце подъемных труб. Проблема заключа ется в том, что зависимость дебита жидкости Q от расхода газа V имеет не монотонный вид: излишнее увеличение V приводит (за счет проскальзыва ния газа) к снижению к.п.д. газлифта и уменьшению дебита добываемой жидкости. Почти все известные методы нахождения оптимального значе ния расхода газа основаны на анализе так называемых регулировочных кривых: экспериментально определяемых зависимостей Q = Q(V). Такой подход требует исследования газлифтных скважин на нескольких режимах работы, различающихся темпами закачки газа, что связано с перерасходом рабочего агента (газа), а также (в случае высокодебитных скважин) со зна чительными потерями добычи нефти. Положение осложняется тем обстоя тельством, что такие исследования нужно производить достаточно часто, поскольку условия работы газлифтных скважин все время меняются.

Анализ лабораторных и промысловых экспериментов показывает, что временные ряды замеров дебита жидкости Q(t), снятые при работе на неэффективной (нисходящей) ветви регулировочной кривой Q = Q(V), об ладают фрактальными характеристиками, существенно отличающимися от фрактальных характеристик временных рядов замеров, снятых на эффек тивной (восходящей) ветви. Это связано, по всей видимости, с потерей ус тойчивости стационарного режима работы газлифта, имеющей место при излишнем увеличении расхода закачиваемого газа [35]. В области неус тойчивости возникают автоколебания, амплитуда которых значительно превышает амплитуду обычного «шума», наблюдающегося при работе в оптимальном режиме (в качестве примера рассмотрим рис. 1.20, на кото ром представлены замеры дебита жидкости, полученные на скв. 929 ме сторождения Котур-Тапе).

ГЛАВА 1 м3/сут Qж 10 20 30 40 ч.

t Рис. 1.20. Замеры дебита жидкости 1 – эффективная ветвь регулировочной кривой, 2 – неэффективная (нисходящая) ветвь.

В табл. 1.1 приведены значения показателя Херста, вычисленные по временным рядам замеров дебита жидкости, снятых на нескольких газ лифтных скважинах этого же месторождения при работе в двух различных режимах. Как видим, при переходе на неэффективную ветвь значение H уменьшается. Обращает на себя внимание тот факт, что работа в опти мальном режиме характеризуется значениями H, принадлежащими облас ти 0,7

Таблица 1. Значения показателя Херста H № скважины эффективная ветвь неэффективная ветвь 620 0,73 0, 929 0,71 0, 716 0,76 0, 1320 0,75 0, Таким образом, показатель Херста может быть использован для ди агностирования режима работы газлифтной скважины по данным нор 66 ГЛАВА мальной эксплуатации (т. е. при работе на одном фиксированном режиме закачки газа). Это позволяет избежать затрат, связанных с проведением ак тивных экспериментов по экспериментальному определению зависимо сти Q = Q(V) (см. выше). При первом взгляде на рис. 1.20 может показать ся, что в качестве диагностического признака можно использовать и более привычные статистические характеристики (относительное квадратичное отклонение, например). Однако анализ показывает, что величина показате ля Херста является более информативным признаком. Кроме того, мы предполагаем, что фрактальные характеристики будут не заменять собой другие более известные признаки, а использоваться наряду с ними для повышения надежности принимаемых с их помощью решений.

1.4.3. Вейвлет-анализ в задачах диагностирования Соображения о фрактальном характере природных объектов позво ляют объяснить повышенное внимание к сравнительно новому методу об работки временных рядов замеров – вейвлет-анализу [40–42]. Этот метод заключается в разложении исходного сигнала по базисным функциям, по лученным из некоторого прототипа (mother wavelet) путем сжатий, растя жений и сдвигов по времени. Английский термин «wavelet» означает «ма ленькая волна» или «всплеск». Этим названием подчеркивается то обстоя тельство, что вейвлеты быстро спадают до нуля за пределами некоторого конечного интервала в отличие, например, от бесконечно осциллирующих синусоид, по которым сигнал раскладывается в рамках традиционного анализа Фурье. Компактность вейвлетов позволяет осуществить локальный анализ сигналов и проследить изменчивость их частотно-масштабных ха рактеристик.

Поэтому основные приложения вейвлет-анализа заключаются в ло кализации особых точек (точек разладки) и проведении частотно-времен ного анализа сигналов. Из описания способа построения вейвлетов ясно, что они должны быть идеальным инструментом для раскрытия масштабно инвариантных (фрактальных) свойств временных рядов. Если добавить, что вейвлет-анализ хорошо приспособлен к анализу нестационарных сиг налов, то станет ясно, что он может стать мощной альтернативой преобра зованию Фурье.

Вейвлет-анализ нашел широкое применение при диагностировании состояний объектов управления, поскольку его использование позволяет адекватным образом исследовать масшабно-инвариантную динамику сложных технических систем. Преимуществом вейвлет-анализа также яв ляется возможность локальной оценки разномасштабных частотных харак теристик временных рядов, что особенно ценно при решении задач распо знавания разладок.

ГЛАВА 1 Ниже описана методология вейвлет-анализа и приведены примеры его использования в задачах диагностики.

Вейвлет-преобразование Многие трудности, возникающие при анализе процессов с помощью преобразования Фурье, связаны с тем, что «архитектура» реальных сигна лов не может быть адекватным образом описана с помощью бесконечных гармоник.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.