WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |

«ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Т. И. ТРОФИМОВА КУРС ФИЗИКИ 11-е издание, стереотипное УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 Т761 Рецензент — профессор кафедры физики им. А. М. Фабриканта Московского ...»

-- [ Страница 8 ] --

фотоэлементы применяются для созда Воспользовавшись связью Е — — ния солнечных батарей, непосредствен = m'V (40.5) и учитывая, что для фо но преобразующих световую энергию в тона = 0, видим, что фотон обладает электрическую. Эти батареи уже в те не только энергией (205.1), но и импуль чение многих лет работают па косми сом ческих спутниках и кораблях. КПД этих батарей составляет «10%) и, как (205.2) показывают теоретические расчеты, мо жет быть доведен до «22 %, что откры- Выражения (205.1) и (205.2) связы вает широкие перспективы их исполь- вают корпускулярные характеристики зования в качестве источников элект- фотона — импульс и энергию — с вол роэнергии для бытовых и производ- новой характеристикой света — его час ственных тотой У.

Рассмотренные виды фотоэффекта Если фотоны обладают импульсом, используются также в производстве для то свет, на тело, должен ока контроля, управления и автоматизации зывать на него давление. Согласно различных процессов, в военной техни- квантовой теории, давление света на ке для сигнализации и локации невиди- поверхность обусловлено тем, что каж мым излучением, в технике звукового дый фотон при соударении с поверхно кино, в различных системах связи и т.д. стью передает ей свой импульс.

Рассчитаем с точки квантовой свое время большую роль в утвержде теории световое давление, оказываемое нии теории Максвелла.

на поверхность тела потоком монохро- Лебедев использовал легкий подвес матического излучения (частота у), па- на топкой нити, по краям которого при дающего перпендикулярно поверхнос- креплены легкие крылышки, одни из ти. Если в единицу времени на едини- которых зачернены, а поверхности дру гих зеркальные. Для исключения кон цу площади поверхности тела падает N фотонов, то при коэффициенте отраже- векции и радиометрического эффекта ния р света от поверхности тела отра- (см. § 49) использовалась подвижная система зеркал, позволяющая направ зится фотонов, а поглотится — лять свет на обе поверхности крылы Каждый поглощенный передает шек, подвес помещался в откачанный hv поверхности импульс р = —, а баллон, крылышки подбирались очень 2hv тонкими (чтобы температура обеих по — 2р (при отраже- верхностей была одинакова). Световое нии импульс фотона изменяется па —р). давление на крылышки определялось по углу закручивания нити подвеса и Давление света на поверхность равно совпадало с теоретически рассчитан импульсу, который передают поверхно ным. В частности оказалось, что давле сти в 1 с N фотонов:

ние света на зеркальную поверхность вдвое больше, чем на зачерненную [см.

(205.3)].

Nhv есть всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, т.е. энергетическая § 206. Эффект освещенность поверхности (см. § 168), и его элементарная теория a объемная плотность энер с Наиболее полно корпускулярные излучения. Поэтому давление, про свойства света проявляются в эффекте изводимое светом при нормальном па Комптона. Американский физик А. Ком дении на поверхность, (1892-1962), исследуя в 1923 г.

рассеяние монохроматического рентге ;

205.3) новского излучения веществами с лег кими атомами (парафин, бор), обнару Формула (205.3), выведенная на ос жил, что в составе рассеянного излуче нове квантовых представлений, совпа ния наряду с излучением первоначаль дает с выражением, получаемым из ной длины волны наблюдается также электромагнитной (волновой) теории более длинноволновое излучение. Опы Максвелла (см. § 163). Таким образом, ты показали, что разность АХ = — X давление света одинаково успешно не зависит от волны X падающе объясняется как волновой, так и кван го излучения и рассеивающе товой теорией. Как уже указывалось го вещества, а определяется только уг (см. § 163), экспериментальное доказа лом рассеяния тельство существования светового дав ления на твердые тела и газы в опытах П.Н.Лебедева, сыгравших в 1 3 Куре физики где — длина волны рассеянного из- и энергией е = hv, с покоящимся сво лучения;

— комптоновская длина бодным электроном (энергия покоя волны (при рассеянии фотона на элек- — т — масса электрона). Фо троне = 2,426 пм). тон, столкнувшись с электроном, пере дает ему часть своей энергии и импуль Эффектом Комптона называется са и изменяет направление движения упругое рассеяние коротковолнового электромагнитного излучения (рентге- (рассеивается). Уменьшение энергии фотона означает увеличение длины новского и на свободных (или слабосвязанных) электронах ве- волны рассеянного излучения. При щества, сопровождающееся увеличени- каждом столкновении выполняются ем длины волны. Этот эффект не укла- законы сохранения энергии и импульса.

дывается в рамки волновой теории, со- Согласно закону сохранения энер гласно которой длина волны при рас- гии, сеянии изменяться не должна: под дей (206.2) ствием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой а согласно закону сохранения импульса, поля и поэтому излучает рассеянные (206.3) волны той же частоты.

где — энергия электрона до Объяснение эффекта Комптона да столкновения;

Е = hv — энергия нале но на основе квантовых представлений тающего фотона;

W = + — о природе света. Если считать, как это делает квантовая теория, что излучение энергия электрона после столкновения имеет корпускулярную природу, т.е. (используется релятивистская форму представляет собой поток фотонов, то ла, так как скорость электрона отдачи в эффект Комптона — результат упруго- общем случае значительна);

= hv' — го столкновения рентгеновских фото- энергия рассеянного фотона.

нов со свободными электронами веще Подставив в выражение (206.2) зна ства (для легких атомов электроны сла чения величин и представив (206.3) в бо связаны с ядрами атомов, поэтому их соответствии с рис. 294, получим можно считать свободными). В процес се этого столкновения фотон передает электрону часть своих энергии и им пульса в соответствии с законами их сохранения.

Рассмотрим упругое столкновение Решая уравнения (206.4) и (206.5) двух частиц (рис. 294) — налетающего совместно, получим фотона, обладающего импульсом р = — Поскольку Выражение (206.6) есть не что иное, Рис. 294 как полученная экспериментально Комптоном формула (206.1). Подста- при взаимодействии фотона со свобод новка в нее значений h, m и комп- ным электроном, а фотоэффект — со тоновскую длину волны электрона = связанными электронами. Можно по казать, что при столкновении фотона со свободным электроном не может про Наличие в составе рассеянного из- изойти поглощения фотона, так как это лучения несмещенной линии (излуче- находится в противоречии с законами ния первоначальной длины волны) сохранения импульса и энергии. Поэто можно объяснить следующим образом. му при взаимодействии фотонов со сво При рассмотрении механизма рассея- бодными электронами может наблю ния предполагалось, что фотон соуда- даться только их рассеяние, т. е. эффект ряется лишь со свободным Комптона.

Однако если электрон сильно связан с атомом, как это имеет место для внут ренних электронов (особенно в тяже § 207. Единство корпускулярных лых атомах), то фотон обменивается и энергией и импульсом с атомом в це электромагнитного излучения лом. Так как масса атома по сравнению с массой электрона очень велика, то ато Рассмотренные в этой главе явле му передается лишь ничтожная часть ния — излучение черного тела, фотоэф энергии фотона. Поэтому в данном слу фект, эффект Комптона — служат до чае длина волны рассеянного излу казательством квантовых (корпуску чения практически не будет отличать лярных) представлений о свете как о ся от длины волны X падающего излу потоке фотонов. С другой стороны, та чения.

кие явления, как интерференция, диф Из приведенных рассуждений сле ракция и поляризация света, убедитель дует также, что эффект не но подтверждают волновую (электро может наблюдаться в видимой области магнитную) природу света. Наконец, спектра, поскольку энергия фотона ви давление и преломление света объяс димого света сравнима с энергией свя няются как волновой, так и квантовой зи электрона с атомом, при этом даже теориями. Таким образом, электромаг внешний электрон нельзя считать сво нитное излучение обнаруживает уди бодным.

вительное единство, казалось бы, вза Эффект Комптона наблюдается не имоисключающих свойств — непре только на электронах, но и на других рывных (волны) и дискретных (фото заряженных частицах, например прото ны), которые взаимно дополняют друг нах, однако из-за большой массы про друга.

тона его отдача «просматривается» Основные уравнения (см. § 205), лишь при рассеянии фотонов очень связывающие корпускулярные свой высоких энергий.

ства электромагнитного излучения Как эффект Комптона, и фото (энергия и импульс фотона) с волно эффект на основе квантовых представ выми свойствами (частота или длина лений обусловлены взаимодействием волны):

фотонов с электронами. В первом слу чае фотон рассеивается, во втором — поглощается. Рассеяние происходит Более детальное рассмотрение опти- после применения в дифрак ческих явлений приводит к выводу, ционной решетки кристаллов].

свойства непрерывности, характерные Взаимосвязь между двойственными для электромагнитного поля световой свойствами волны, не следует противопоставлять света можно объяснить, если использо свойствам дискретности, характерным вать, как это делает квантовая оптика, для фотонов. статистический подход рассмотре Свет, обладая одновременно корпус- нию закономерностей распространения света. Например, дифракция света на кулярными и волновыми свойствами, обнаруживает определенные законо- щели состоит в том, что при прохожде мерности в их проявлении. Так, волно- нии света через щель происходит пере вые свойства света проявляются в за- распределение фотонов в пространстве.

Так как вероятность попадания фото кономерностях его распространения, интерференции, дифракции, поляриза- нов в различные точки экрана неодина кова, то и возникает дифракционная ции, а корпускулярные в процессах картина. Освещенность экрана пропор взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны, тем меньше энер- циональна вероятности попадания фо гия и импульс фотона и тем труднее об- тонов на единицу площади экрана.

наруживаются квантовые свойства све- С другой стороны, по волновой теории та (с этим связано, например, существо- освещенность пропорциональна квад рату амплитуды световой волны в той вание красной границы фотоэффекта).

же точке экрана. Следовательно, квад Наоборот, чем меньше длина волны, рат амплитуды световой волны в дан тем больше энергия и импульс фотона и тем труднее обнаруживаются волно- ной точке пространства является ме вые свойства света [например, волно- рой вероятности попадания фотонов в вые свойства (дифракция) рентгено- данную точку.

вского излучения обнаружены лишь Контрольные вопросы На фарфоровой тарелке на светлом фоне имеется темный рисунок. Почему, если ее бы стро вынуть из печи, где она нагрелась до высокой и рассматривать в тем ноте, наблюдается светлый рисунок па темном фоне?

Чем отличается серое тело от черного?

В чем заключается физический смысл универсальной функции Кирхгофа?

Как и во сколько раз изменится энергетическая светимость черного тела, если его тер модинамическая температура уменьшится вдвое?

Как сместится максимум спектральной плотности энергетической светимости чер ного тела с повышением температуры?

Нарисуйте и сопоставьте кривые Используя формулу Планка, найдите постоянную Стефана — Больцмана.

При каких условиях из формулы получаются закон смещения Вина и формула Рэлея — Джинса?

Почему фотоэлектрические измерения весьма чувствительны к природе и состоянию поверхности фотокатода?

Может ли золотая пластинка служить Как при заданной частоте света изменится фототок насыщения с уменьшением осве щенности катода?

• Как из опытов по фотоэффекту постоянная Планка?

• При одного металла другим длина волны, соответствующая красной границе, уменьшается. Что можно сказать о работе выхода этих металлов?

• Как с помощью уравнения Эйнштейна объяснить I и II законы фотоэффекта?

• Нарисуйте и объясните вольт-амперные характеристики, соответствующие двум раз личным катода при заданной частоте света и двум различным частотам при заданной освещенности.

• Чему равно отношение давлений света па зеркальную и зачерненную поверхности?

• В чем отличие характера взаимодействия фотона и электрона при фотоэффекте и эф фекте ЗАДАЧИ 26.1. Черное тело нагрели от температуры = 500 К до = 2000 К. Определите: 1) во сколько раз увеличилась его энергетическая светимость;

2) как изменилась длина вол ны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости.

[1) В 256 раз;

2) уменьшилась па 4.35 мкм] 26.2. Черное тело находится при температуре = 2900 К. При его остывании длина волны, соответствующая максимуму спектральной плотности энергетической светимости, изменилась на АХ = 9 мкм. Определите температуру до которой тело охладилось. [290 К] 26.3. Определите работу выхода А электронов из вольфрама, если красная граница фо тоэффекта для него = 275 им. [4,52 эВ | 26.4. Определите постоянную Планка, если известно, что для прекращения фотоэффек та, вызванного облучением некоторого металла светом с частотой = 2,2 • с", необходи мо приложить задерживающее напряжение — 6,6 В, а с частотой = 4,6 • 10 — задерживающее напряжение 16,5 В. [6,6 • Дж • с] 26.5. Определите в электрон-вольтах энергию фотона, при которой его масса равна мас се покоя электрона. [0,51 МэВ] 26.6. Давление монохроматического света с длиной волны 600 им на зачерненную по верхность, расположенную перпендикулярно падающему излучению, равно 0,1 Оп ределите число фотонов, падающих па поверхность площадью 10 см за 1 с. [9 • 26.7. Фотон с длиной волны 100 рассеялся под углом 180° на свободном электроне.

Определите в электрон-вольтах кинетическую энергию электрона отдачи. [580 эВ] ЧАСТЬ ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ, МОЛЕКУЛ И ТВЕРДЫХ ТЕЛ ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ вели к тому, что в начале XX в. серьез § 208. Модели атома Томсона но встал вопрос о строении атома.

и Резерфорда Первая попытка создания на осно ве накопленных экспериментальных Представление об атомах как неде данных модели атома принадлежит лимых мельчайших частицах вещества Дж. Дж. Томсону (1903). Согласно этой («атомос» — неразложимый) возникло модели, атом представляет собой непре еще в античные времена (Демокрит, рывно заряженный положительным за Эпикур, Лукреций). К началу XVIII в.

рядом шар радиусом порядка м, атомистическая теория приобретает все внутри которого около своих положе большую популярность, так как к это ний равновесия колеблются электроны;

му времени в работах А.Лавуазье, суммарный отрицательный заряд элек М.В.Ломоносова и Д.Дальтона была тронов равен положительному заряду доказана реальность существования шара, поэтому атом в целом нейтрален.

атомов. Однако в это время вопрос о Через несколько лет было доказано, что внутреннем строении атомов даже не представление о непрерывно распреде возникал, так как атомы по-прежнему ленном внутри атома положительном считались неделимыми.

заряде ошибочно.

Большую роль в развитии атомисти В развитии представлений о строе ческой теории сыграл нии атома велико значение опытов анг разработавший в 1869 г. Периодиче лийского физика Э. Резерфорда (1871 — скую систему элементов, в которой 1937) по рассеянию в веще впервые научной основе был постав стве. Альфа-частицы возникают при лен вопрос о единой природе атомов.

радиоактивных превращениях;

они яв Во второй половине XIX в. экспери ляются положительно заряженными ментально было доказано, что электрон частицами с зарядом и массой, при является одной из основных составных мерно в 7300 раз большей массы элект частей любого вещества. Эти выводы, а рона. Пучки а-частиц обладают высо также экспериментальные данные при кой монохроматичностью [для данного превращения имеют практически одну А. Лавуазье (1743 — 1794) — хи и ту же скорость (порядка 10 м/с)].

мик.

Э. Резерфорд, исследуя прохождение атоме по окружности под ку в веществе (через золотую лоновской силы:

фольгу толщиной примерно 1 мкм), по казал, что основная их часть испытыва (208.1) ет незначительные отклонения, но неко торые (примерно одна из где — электрическая постоянная;

20 000) резко отклоняются от первона v — масса и скорость электрона на ор чального направления (углы отклоне бите радиусом г.

ния достигали даже 180°). как элек Уравнение (208.1) содержит два не троны не могут существенно изменить известных: v. Следовательно, суще движение столь тяжелых и быстрых ча ствует бесчисленное множество значе стиц, как а-частицы, то Резерфордом ний радиуса и соответствующих ему был сделан вывод, что значительное от значений скорости (а значит, и энер клонение а-частиц обусловлено их вза гии), удовлетворяющих этому уравне имодействием с положительным заря нию. Поэтому величины v (следова дом большой массы. Однако значитель тельно, и Е) могут меняться непрерыв ное отклонение испытывают лишь не но, т. е. может испускаться любая, а не многие а-частицы;

следовательно, лишь вполне определенная порция энергии.

некоторые из них проходят вблизи дан Тогда спектры атомов должны быть ного положительного заряда. Это, в свою сплошными. В действительности же очередь, означает, что положительный опыт показывает, что атомы имеют ли заряд атома сосредоточен в объеме, очень нейчатый спектр.

малом по сравнению с объемом атома.

Из выражения (208.1) следует, что На основании своих исследований при 10~10 м скорость движения элек о Резерфорд в г. предложил ядер тронов v м/с, а ускорение — — ную {планетарную) модель атома.

Согласно этой модели, вокруг положи- 1022 м/с2. Согласно классической элек тельного ядра, имеющего заряд Ze — тродинамике, ускоренно движущиеся порядковый номер элемента в системе электроны должны излучать электро Менделеева, е — элементарный заряд), магнитные волны и вследствие этого не размер м и массу, практи- прерывно терять энергию. В результате чески равную массе атома, в области с электроны будут приближаться к ядру линейными размерами порядка м и в конце концов упадут на него. Таким по замкнутым орбитам движутся элек- образом, атом Резерфорда оказывается троны, образуя электронную оболочку неустойчивой системой, что опять-таки атома. Так как атомы нейтральны, то за- противоречит действительности.

ряд ядра равен суммарному заряду Попытки построить модель атома в электронов, т.е. вокруг ядра должно рамках классической физики не приве вращаться Z электронов.

ли к успеху: модель Томсона была оп Для простоты предположим, что ровергнута опытами Резерфорда, ядер электрон движется вокруг ядра по кру- ная же модель оказалась неустойчивой говой орбите радиусом г. При этом ку- электродинамически и противоречила лоновская сила между опытным данным. Преодоление воз ядром и электроном сообщает электро- никших трудностей потребовало созда ну нормальное ускорение. Уравнение, ния качественно новой — квантовой — описывающее движение электрона в теории атома.

летовой области спектра находится се § 209. Линейчатый спектр рия Лаймана:

атома водорода Исследования спектров излучения разреженных газов (спектров излу чения отдельных атомов) показали, В инфракрасной области спектра что каждому газу присущ определен- были также обнаружены:

ный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий.

серия Пашена Самым изученным является спектр наиболее простого атома — атома водо рода.

Швейцарский ученый И. Бальмер (1825— 1898) подобрал эмпирическую серия Брэкета формулу, описывающую все известные серия Пфунда в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра:

где R' = м — постоянная серия Хэмфри Так как v — то формула (209.1) быть переписана для ча- Все приведенные выше серии в спек тре атома водорода могут быть описа стот:

ны одной формулой, называемой обоб щенной формулой (209.2) (209.3) где R=R'c 3.29 • 10 по стоянная Ридберга.

где имеет в каждой данной серии по Из выражений (209.1) и (209.2) вы стоянное значение, т — 1,2,3,4,5,6 (оп текает, что спектральные линии, отли ределяет серию), п принимает целочис чающиеся различными значениями п, ленные значения, начиная (оп образуют группу или серию линий, на ределяет отдельные линии этой серии).

зываемую серией Бальмера. С увели чением серии сближаются;

зна- Исследование более сложных спек тров — спектров паров щелочных метал чение п = оо определяет границу серии, лов (например, Li, Na, К) — показало, которой со стороны больших частот что они представляются набором неза примыкает сплошной спектр.

кономерно расположенных линий. Рид В дальнейшем (в начале XX в.) в удалось разделить их на три се спектре атома водорода было обнаруже рии, каждая из которых располагается но еще несколько серий. В подобно линиям бальмеровской серии.

Приведенные выше сериальные фор (1854—1919) — уче ный, в области спектроскопии. мулы подобраны эмпирически и долгое время не имели теоретического обосно где — масса электрона;

v — его ско вания, хотя и подтверждены экс рость по орбите радиуса — периментально с очень большой точно Второй постулат Бора (правило стью. Приведенный выше вид сериаль частот): при переходе электрона с од ных формул, удивительная повторяе ной стационарной орбиты на другую из мость в них целых чисел, универсаль лучается (поглощается) один фотон с ность постоянной Ридберга свидетель ствуют о глубоком физическом смысле найденных закономерностей, вскрыть hv = (210.2) который в рамках классической физи равной разности энергий соответству ки оказалось невозможным.

ющих стационарных состояний — соответственно энергии стацио нарных состояний атома до и после из § Постулаты Бора лучения (поглощения)].

При < происходит излучение Первая попытка построить каче фотона (переход атома из состояния с ственно новую — квантовую — теорию большей энергией в состояние с мень атома была предпринята в г. дат шей энергией, т. е. переход электрона с ским физиком Нильсом Бором (1885 — более удаленной от ядра орбиты на бо 1962). Он поставил перед собой цель лее близлежащую), при > — его связать в единое целое эмпирические поглощение (переход атома в состояние закономерности линейчатых спектров, с большей энергией, т. е. переход элект ядерную модель атома Резерфорда и рона на более удаленную от ядра ор квантовый характер излучения и погло биту). Набор возможных дискретных щения света. В основу своей теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (посту дов и определяет спектр лат стационарных состояний): в ато атома.

ме существуют стационарные (не изме няющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии;

эти со § Опыты Франка и Герца стояния характеризуются определенны ми дискретными значениями энергии.

Изучая методом задерживающего Стационарным состояниям атома потенциала столкновения электронов с соответствуют стационарные орбиты, атомами газов (1913), Д.Франк и по которым движутся электроны. Дви Г. Герц экспериментально доказали дис жение электронов по стационарным ор кретность значений энергии атомов.

битам не сопровождается излучением Принципиальная схема их установ электромагнитных волн.

ки приведена на 295. Вакуумная В стационарном состоянии атома трубка, заполненная парами ртути (дав электрон, двигаясь по круговой орби ление приблизительно равно 13 Па), со те, должен иметь дискретные кванто держала катод (К), две сетки ванные значения момента импульса, и анод (А). Электроны, эмиттируемые удовлетворяющие условию катодом, ускорялись разностью потен циалов, приложенной между катодом и Из опыта следует (рис. 296), что при увеличении ускоряющего потенциала вплоть до 4,86 В анодный ток возраста ет монотонно, его значение проходит через максимум В), затем резко уменьшается и возрастает вновь. Даль нейшие максимумы наблюдаются при и В.

Ближайшим к основному, невозбуж денному, состоянию атома ртути явля Рис. ется возбужденное состояние, отстоя щее от основного по шкале энергий на сеткой Между сеткой и анодом 4,86 эВ. Пока разность потенциалов приложен небольшой (примерно 0,5 В) между катодом и сеткой меньше 4,86 В, задерживающий потенциал.

электроны, встречая на своем пути ато Электроны, ускоренные в области мы ртути, испытывают с ними только попадают в область 2 между сетками, упругие соударения.

где испытывают соударения с атомами паров ртути. Электроны, которые после При 4,86 эВ энергия электрона соударений имеют достаточную энер- становится достаточной, чтобы вызвать гию для преодоления задерживающего неупругий удар, при котором электрон потенциала в области 3, достигают ано- отдает атому ртути всю кинетическую да. При неупругих соударениях элект- энергию, возбуждая переход одного из ронов с атомами ртути последние мо- электронов атома из нормального энер гут возбуждаться. Согласно боровской гетического состояния на возбужден теории, каждый из атомов ртути может ный энергетический уровень. Электро получить лишь вполне определенную ны, потерявшие свою кинетическую энергию, переходя при этом в одно из энергию, уже не смогут преодолеть тор возбужденных состояний. Поэтому мозящего поля и достигнуть анода.

если в атомах действительно существу- Этим и объясняется первое резкое па ют стационарные состояния, то элект- дение анодного тока при = 4,86 эВ.

роны, сталкиваясь с атомами ртути, При значениях энергии, кратных 4,86 эВ, должны терять энергию дискретно, оп- электроны могут испытать с атомами ределенными порциями, равными раз- ртути неупругих соударения, по ности энергий соответствующих стаци- теряв при этом полностью свою энер онарных состояний атома. гию, и не достигнув анода, т.е. должно наблюдаться резкое падение анодного тока. Это действительно наблюдается Рис. на опыте (см. рис. 296).

Таким образом, опыты Франка и Гер ца показали, что электроны при столк новении с атомами ртути передают ато мам только определенные порции энер гии, причем 4,86 эВ — наименьшая воз можная порция энергии (наименьший квант энергии), которая может быть по глощена атомом ртути в основном энер гетическом состоянии. Следовательно, получим выражение для радиуса п-и идея Бора о существовании в атомах ста стационарной орбиты:

ционарных состояний блестяще выдер (212.1) жала экспериментальную проверку.

Атомы ртути, получившие при соуда где п= 1,2,3,....

рении с электронами энергию АЕ, пере Из выражения следует, что ходят в возбужденное состояние и дол радиусы орбит растут пропорциональ жны возвратиться в основное, излучая но квадратам целых чисел.

при этом, согласно второму постулату Для атома водорода (Z = 1) радиус Бора [см. (210.2)], световой квант с час первой орбиты электрона при п = 1, на тотой у = известному значению зываемый первым воровским радиу АЕ = 4,86 эВ можно вычислить длину сом равен волны излучения: X = Таким образом, если теория верна, то атомы ртути, бомбардируемые элек тронами с энергией 4,86 эВ, должны яв ляться источником ультрафиолетового что соответствует расчетам на основа излучения с X 255 нм. Опыт действи- нии кинетической теории газов.

тельно обнаруживает одну ультрафио- Полная энергия электрона в водоро летовую линию с X 254 нм. Таким об- доподобной системе складывается из разом, опыты Франка и Герца экспери его кинетической энергии ( по ментально подтвердили не только пер тенциальной энергии в электростати вый, но и второй постулат Бора. Эти опыты имели огромное значение в раз ческом ядра ( витии атомной физики.

§ 212. Спектр атома водорода по Бору [учли, см. (208.1)].

Учитывая квантованные для радиуса Постулаты, выдвинутые Бором, по n-й стационарной орбиты значения зволили рассчитать спектр атома водо (212.1), получим, что энергия электро рода и водородоподобных систем — на может принимать только следующие систем, состоящих из ядра с Ze дозволенные дискретные значения:

одного электрона (например, ионы а также теоретически вычис лить постоянную Ридберга.

Следуя Бору, рассмотрим движение электрона в водородоподобной системе, где знак «--» означает, что электрон на ограничиваясь круговыми стационарны ходится в связанном состоянии.

ми орбитами. Решая совместно уравне Из формулы (212.3) следует, что т v2 Ze энергетические состояния атома обра нис (208.1) —-—, зуют последовательность энергетиче ских уровней, изменяющихся в зависи ное Резерфордом, и уравнение мости от значения Целое число п в выражении определяющее энер гетические уровни атома, называется главным квантовым числом. Энерге тическое состояние с п = 1 является основным (нормальным) состояни ем;

состояния с п > 1 являются воз бужденными. Энергетический уро вень, соответствующий основному стоянию атома, называется основным (нормальным) уровнем;

все остальные уровни являются возбужденными.

Придавая п различные целочислен ные значения, получим для атома водо рода 1), согласно формуле пирических формулах для атома водо возможные уровни энергии, схемати- рода (см. § 209). Это совпадение убеди чески представленные на рис. 297.

тельно доказывает правильность полу Энергия атома водорода с увеличени- ченной Бором формулы (212.3) для ем п возрастает и энергетические уров- энергетических уровней водородопо ни сближаются к границе, соответству- добной системы.

ющей значению п — ос. Атом водорода Подставляя, например, в формулу обладает, таким образом, минимальной (212.4) т = 1 п = 2,3,4,..., получим энергией = при п= 1 и мак группу линий, образующих серию Лай симальной = 0) при п = оо. Следо мана (см. § 209) и соответствующих пе вательно, значение — 0 соответству реходам электронов с возбужденных ет ионизации атома (отрыву от него уровней (?г = 2,3,4,...) на основной электрона). Согласно второму постула (т= 1). Аналогично, при подстановке ту Бора [см. (210.2)], при переходе ато т = 2,3,4,5,6 соответствующих им ма водорода (Z = 1) из стационарного значений п получим серии Бальмера, состояния п в стационарное состояние т Пашена, Брэкета, Пфунда и Хэмфри с меньшей энергией испускается квант (часть из них схематически представле на па рис. 297), описанные в § 209. Сле довательно, по теории Бора, количе ственно объяснившей спектр атома во дорода, спектральные серии соответ откуда частота излучения ствуют излучению, возникающему в результате перехода атома в данное со стояние из возбужденных состояний, расположенных выше данного.

Спектр поглощения атома водорода где R = является линейчатым, но содержит при нормальных условиях только серию Воспользовавшись при вычислении Он также объясняется теорией R современными значениями универ Бора. Так как свободные атомы водоро сальных постоянных, получим величи да обычно находятся в ну, совпадающую с экспериментальным нии (стационарное состояние с наимень значением постоянной Ридберга в эм шей энергией при п = 1), то при сообще- В теории Бора рассмотрены спект нии атомам извне определенной энергии ры атома водорода и водородоподобных могут наблюдаться лишь переходы ато- систем и вычислены частоты спект мов из основного состояния в возбуж- ральных линий, однако эта теория не денные (возникает серия Лаймана). смогла объяснить интенсивности спек тральных линий и ответить на вопрос:

Теория Бора была крупным шагом почему совершаются те или иные пере в развитии атомной физики и явилась ходы? Серьезным недостатком теории важным этапом в создании квантовой Бора была невозможность описания с механики. Однако эта теория обладает ее помощью спектра атома гелия — од внутренними противоречиями (с одной стороны, применяет законы классичес- ного из простейших атомов, непосред ственно следующего за атомом водо кой физики, а с другой — основывается рода.

на квантовых постулатах).

Контрольные вопросы • Почему атома оказалась несостоятельной?

• Почему из различных серий спектральных линий атома водорода первой была изучена серия Бальмера?

• Какой смысл имеют числа обобщенной формуле Бальмера?

• Чему равна частота излучения атома водорода, соответствующая коротковолновой гра нице серии Брэкета?

• Разъясните смысл постулатов Бора. Как с их помощью линейчатый спектр атома?

• На каких участках кривой рис. 296 наблюдаются упругие и пеупругие столкновения электронов с атомами?

• Какие основные выводы можно сделать на основании опытов Франка и Герца?

• Атом водорода находится в состоянии с п — 5. Сколько линий содержит его спектр излу чения?

• Пользуясь моделью Бора, укажите спектральные линии, которые переходе атома водорода из состояний с п = 3 и п — 4.

• Нанесите шкалу длин волн три линии каждой из первых двух спектральных серий атома водорода.

• Почему спектр поглощения атома водорода содержит только серию Лаймана?

• Покажите, что формулу (212.3) можно записать в виде =, где в электрон-вольтах.

ЗАДАЧИ 27.1. Определите максимальную и минимальную энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра атома водорода (серии Лаймана). = 13,2 эВ, 10,2 эВ) 27.2. Определите длину волны, соответствующую границе серии Бальмера. [ 27.3. Используя теорию определите орбитальный магнитный момент электрона, движущегося по второй орбите атома водорода. = = 1,8 • 10~23 А • м'2] 21 Используя теорию определите изменение орбитального механического мо мента электрона при переходе его из возбужденного состояния (п = 2) в основное с испус канием фотона с длиной волны X = 1,212 • 10~7 м. [AL = = 1,05 • Дж • с] 27.5. Определите потенциал ионизации атома водорода. [13,6 В] 27.6. Основываясь на том, что ионизации атома водорода — 13,6 эВ, опреде лите второй потенциал возбуждения этого атома. [12,1 В] 27.7. Основываясь на том, что энергия ионизации атома водорода = 13,6 эВ, опреде лите в электрон-вольтах этюргию фотона, соответствующую самой длинноволновой линии серии [10,2 эВ] Глава ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ §213. Корпускулярно-волновой импульсом, сопоставляют дуализм свойств вещества процесс, длина волны которого опреде ляется по формуле де Бройля:

Французский ученый Луи де Бройль (1892 — 1987), осознавая существую- (213.2) р щую в природе симметрию и развивая представления о двойственной корпус Вскоре гипотеза де Бройля была под кулярно-волновой природе света, выд тверждена экспериментально. В 1927 г.

винул в 1923 г. гипотезу об универсаль американские физики К.Дэвиссон ности дуализ (1881-1958) и Л.Джермер (1896 — ма. Де Бройль утверждал, что не толь 1971) обнаружили, что пучок электро ко фотоны, но и электроны и любые нов, рассеивающийся от естественной другие частицы материи наряду с кор дифракционной решетки — кристалла пускулярными обладают также волно никеля, — дает отчетливую дифрак выми свойствами.

ционную картину. Дифракционные Итак, согласно де Бройлю, с каждым максимумы соответствовали формуле микрообъектом связываются, с одной Вульфа — Брэггов (182.1), брэгговская стороны, корпускулярные характерис- длина волны оказалась в точности рав тики — энергия Е и импульс ас дру- ной длине волны, вычисленной по фор гой — волновые характеристики — час- муле (213.2).

тота v длина волны X. Количествен В дальнейшем формула де Бройля ные соотношения, связывающие кор была подтверждена опытами П. С. Тар пускулярные и волновые свойства час таковского и Г. Томсона, наблюдавших тиц, такие же, как для фотонов:

дифракционную картину при прохож дении пучка быстрых электронов (энер гия кэВ) через металлическую (213.1) Е фольгу Смелость гипотезы де Бройля зак- Так как дифракционная картина ис лючалась именно в том, что соотноше- следовалась для потока электронов, то ние (213.1) постулировалось не только необходимо было доказать, что волно для фотонов, но и для других микроча- вые свойства присущи не только пото ку большой совокупности электронов, стиц (в частности, электронов). Таким но и каждому электрону в отдельности.

образом, любой частице, обладающей Это удалось экспериментально под- скоростью 1 м/с, соответствует волна твердить в 1948 г. российскому физику де Бройля с X = 6,62 • 10~31 м. Такая дли А. (1907- 1991). по- на волны лежит за пределами доступ казал, что даже в случае столь слабо- ной наблюдению области (периодичес го электронного пучка, когда каждый ких структур с периодом d м не электрон проходит через прибор неза- существует). Поэтому считается, что висимо от других (промежуток време- макроскопические тела проявляют ни между двумя электронами в раз только одну сторону — больше времени прохождения электро- корпускулярную и не проявляют вол ном прибора), возникающая при дли- новую.

тельной экспозиции дифракционная Представление о двойственной кор картина не отличается от дифракцион пускулярно-волновой природе частиц ных картин, получаемых при короткой вещества углубляется еще тем, что на экспозиции для потоков электронов, в частицы вещества переносится связь десятки миллионов раз более интенсив между полной энергией частицы и час ных. Следовательно, волновые свой тотой:

ства частиц не являются свойством их (213.3) коллектива, а присущи каждой части це в отдельности.

Это свидетельствует о том, что соот Впоследствии дифракционные яв- ношение между энергией и частотой в ления обнаружили также для нейтро- формуле имеет характер универ нов, протонов, атомных и молекуляр- сального соотношения, справедливого ных пучков. Это окончательно послу- как для фотонов, так и для любых дру жило доказательством наличия волно- гих микрочастиц. Справедливость же вых свойств микрочастиц и соотношения вытекает из согла описывать движение микрочастиц в сия с опытом тех теоретических резуль виде волнового процесса, характеризу- татов, которые получены с его помощью ющегося определенной длиной волны, в квантовой механике, атомной и ядер рассчитываемой по формуле де Брой- ной физике.

ля Открытие волновых свойств Подтвержденная экспериментально микрочастиц привело к появлению и гипотеза де Бройля о развитию новых методов исследования волновом дуализме свойств вещества структуры веществ, таких, как электро коренным образом изменила представ нография и нейтронография (см. § 182), ления о свойствах микрообъектов. Всем а также к возникновению новой отрас микрообъектам присущи как корпуску ли науки — электронной оптики (см.

лярные, так и волновые свойства;

в то § 169).

же время любую из микрочастиц нельзя считать ни частицей, ни волной в клас Экспериментальное доказательство сическом понимании. Современная наличия волновых свойств микрочас трактовка тиц привело к выводу, что перед нами дуализма может быть выражена слова универсальное явление — общее свой ми академика В. А. Фока (1898 — 1974):

ство материи. Но тогда волновые свой «Можно сказать, что для атомного ства должны быть присущи и макроско объекта существует потенциальная воз пическим телам. Почему же они не об можность проявлять себя, в зависимо наружены экспериментально? Напри сти от внешних условий, либо как вол мер, частице массой 1 г, со на, либо как частица, либо промежу- Групповая скорость фотона и = точным образом. Именно в этой по = = т.е. равна скорости тенциальной возможности различных проявлений свойств, присущих микро самого фотона.

объекту, и состоит дуализм «волна — Волны де Бройля испытывают дис частица». Всякое иное, более букваль персию (см. § 154). Действительно, под ное, понимание этого дуализма в виде ставив в выражение (214.1) — какой-нибудь модели неправильно.» формулу Е = +, увидим, (в сб.: Философские вопросы совре что скорость волп де Бройля зависит от менной физики. — М.: Изд-во АН длины волны. Это обстоятельство сыг СССР, 1959).

рало в свое время большую роль в раз витии положений квантовой механики.

После установления корпускуляр § 214. Некоторые свойства дуализма делались по волн де Бройля пытки связать корпускулярные свой ства частиц с волновыми и рассматри Рассмотрим свободно движущуюся вать частицы как «узкие» волновые па со скоростью v частицу массой Вы- кеты (см. § 155), «составленные» из числим для нее фазовую и групповую волн де Бройля. Это позволяло как бы скорости волн де Бройля. Фазовая ско- отойти от двойственности свойств час рость, согласно (154.8), тиц. Такая гипотеза соответствовала ло кализации частицы в данный момент в определенной ограниченной области пространства. Аргументом в пользу этой гипотезы и скорость распространения центра паке (Е = р — где к волно та (групповая скорость) оказалась, как X показано выше, равной скорости части вое число). Так как с > v, то фазовая цы. Однако подобное представление скорость волн де Бройля > (это частицы в виде волнового пакета (груп возможно, так как не характеризу пы волн де Бройля) оказалось несосто ет ни скорости «сигнала», ни скорости ятельным из-за сильной дисперсии перемещения энергии).

волн де Бройля, приводящей к «быст Групповая скорость, согласно рому (примерно с!) волнового пакета или даже разделению его на несколько пакетов.

dp Для частицы Е — = и § 215. Соотношение неопределенностей Согласно двойственной корпуску [учли выражения (39.3) и (40.3)]. Та- лярно-волновой природе частиц веще ким образом, групповая скорость волп ства, для описании микрочастиц ис де Бройля равна скорости частицы. пользуются то волновые, то корпуску лярные представления. Поэтому при- импульса причем неопреде писывать им все свойства частиц и все этих величин удовлетворяют свойства волн нельзя. Естественно, что условиям необходимо внести некоторые ограни чения в применении к объектам мик ромира понятий классической меха т. е. произведение неопределенностей ники.

координаты и соответствующей ей про В классической механике всякая ча- екции импульса не может быть меньше стица движется по тра- величины порядка h.

ектории, так что в любой момент вре- Из соотношения неопределенностей мени точно фиксированы ее координа- следует, что, например, если ми та и импульс. Микрочастицы из-за на- крочастица находится в с личия у них волновых свойств суще- ным значением координаты (Ах 0), ственно отличаются от классических то в этом состоянии соответствующая частиц. проекция ее импульса оказывается со Одно из основных различий заклю- вершенно неопределенной оо), чается в том, что нельзя говорить о дви- и наоборот. Таким образом, для микро частицы не существует состояний, жении микрочастицы по определенной которых ее координаты и импульс име траектории и неправомерно говорить об ли бы одновременно точные значения.

одновременных точных значениях ее Отсюда вытекает и фактическая невоз координаты и импульса. Это следует из можность одновременно с любой напе корпускулярно-волнового дуализма.

ред заданной точностью измерить коор Так, понятие «длина волны в данной динату и импульс микрообъекта.

точке» лишено физического смысла, а поскольку импульс выражается через Поясним, что неопреде длину волны [см. (213.1)], то отсюда ленностей действительно вытекает из вол следует, что микрочастица с определен новых свойств микрочастиц. Пусть поток ным импульсом имеет полностью нео- электронов проходит через узкую щель ши пределенную координату. И наоборот, риной расположенную перпендикуляр но направлению их движения (рис. 298).

если микрочастица находится в состо Так как электроны обладают волновыми янии с точным значением координаты, свойствами, то при их прохождении через то ее импульс является полностью нео щель, размер которой сравним с длиной пределенным.

волны де Бройля X электрона, наблюдает В. Гейзенберг, учитывая волновые ся дифракция. Дифракционная картина, свойства микрочастиц и связанные с волновыми свойствами ограничения в Рис. их поведении, пришел в 1927 г. к выво ду, что объект микромира невозможно одновременно с любой наперед задан ной точностью характеризовать и коор динатой, и импульсом. Согласно соот ношению неопределенностей Гейзен микрочастица (микрообъект) не может иметь одновременно и опреде ленную координату опреде ленную соответствующую проекцию наблюдаемая на экране (Э), характеризу зана с несовершенством методов изме ется главным максимумом, расположен рения или измерительных приборов, а ным симметрично оси у, и побочными мак является следствием специфики мик симумами по обе стороны от главного (их рообъектов, отражающей особенности рассматриваем, так как основная доля их объективных свойств, а именно двой интенсивности приходится на главный ственной корпускулярно-волновой при максимум).

роды.

До прохождения через щель электроны двигались вдоль оси у, поэтому составляю- Соотношение неопределенностей щая импульса = 0, так что — 0, а ко получено при одновременном исполь ордината х частицы является совершенно зовании классических характеристик неопределенной. В момент прохождения движения частицы (координаты, им электронов через щель их в на пульса) и наличия у нее волновых правлении оси определяется с точностью свойств. Так как в классической меха до ширины щели, т.е. с точностью Д х. В этот нике принимается, что измерение коор же момент вследствие дифракции электро ны отклоняются от первоначального на- динаты и импульса может быть произ правления и будут двигаться в пределах ведено с любой точностью, то соотно угла — угол, перво- шение неопределенностей является, та му дифракционному минимуму). Следова ким образом, квантовым ограничением тельно, появляется неопределенность в зна применимости классической механики к чении составляющей импульса вдоль оси х, микрообъектам.

которая, как следует из рис. 298 и формулы Соотношение неопределенностей, (213.1), равна отражая специфику физики микрочас тиц, позволяет оценить, например, в = = (215.2) л какой мере можно применять понятия Для простоты ограничимся рассмотре- классической механики к микрочасти нием только тех электронов, которые попа- цам, в частности, с какой степенью точ дают на экран в пределах главного макси ности можно говорить о траекториях мума. Из теории дифракции (см. § 179) из микрочастиц. Известно, что движение вестно, что первый минимум соответствует по траектории характеризуется в любой углу ф, удовлетворяющему условию момент времени определенными зна чениями координат и скорости. Выра зим соотношение неопределенностей где — ширина щели;

X — длина волны (215.1) виде де Бройля.

Из формул (215.2) и получим (215.4) где учтено, что для некоторой, хотя и незна Из этого выражения следует, что чем чительной, части электронов, попадающих больше масса частицы, тем меньше нео за пределы главного максимума, величина пределенности ее координаты и скоро Следовательно, получаем вы ражение сти и, следовательно, с тем большей точностью можно применять к частице понятие траектории. Так, на т.е. соотношение пример, уже для пылинки массой Невозможность одновременно точ- кг и линейными размерами м, ко но определить координату и соответ- ордината которой определена с точно ствующую проекцию импульса не свя- стью до 0,01 ее размеров (Ах - м), неопределенность скорости, (215.4), круговой орбите радиуса м его скорость v 2,3 • м/с. Таким об разом, неопределенность скорости со измерима со скоростью. Очевидно, что т. е. не будет сказываться при всех ско в данном случае нельзя говорить о дви ростях, с которыми пылинка может жении электрона в атоме по определен двигаться.

ной траектории, иными словами, для Таким образом, для макроскопичес описания движения электрона в атоме ких тел их волновые свойства не игра нельзя пользоваться законами класси ют никакой роли;

координата и ско ческой физики.

рость макротел могут быть одновремен В квантовой теории рассматривает но измерены достаточно точно. Это оз ся также соотношение неопределенно начает, что для описания движения стей для энергии и времени:

макротел с абсолютной достоверностью можно пользоваться законами класси (215.5) ческой механики.

Предположим, пучок электронов Подчеркнем, что АЕ — неопределен движется вдоль оси х со скоростью v = ность энергии некоторого состояния = 10 м/с, определяемой с точностью до системы, At — промежуток времени, в 0,01 % 10 М/С). Какова ТОЧНОСТЬ течение которого оно существует. Сле определения координаты электрона?

довательно, система, имеющая среднее По формуле (215.4), время жизни At, не может быть охарак теризована определенным значением энергии;

разброс энергии АЕ = — воз растает с уменьшением среднего време ни т.е. положение электрона может быть Из выражения (215.5) следует, что определено с точностью до тысячных частота излученного фотона также дол долей миллиметра. Такая точность до АЕ статочна, чтобы можно было говорить жна иметь неопределенность Av, h о движении электронов по определен т. е. линии спектра должны характери ной траектории, иными словами, опи АЕ сывать их движение законами класси зоваться.

ческой механики.

h Применим соотношение неопреде Опыт подтверждает, что все спектраль ленностей к электрону, движущемуся в ные линии размыты;

измеряя ширину атоме водорода. Допустим, что неопре спектральной линии, можно оценить деленность координаты электрона порядок времени существования атома 10~ м (порядка размеров самого ато в возбужденном состоянии.

ма, т. е. можно считать, что электрон при надлежит данному атому). Тогда, со § 216. Волновая функция и ее статистический смысл гласно (215.4), = = Экспериментальное подтверждение = 7,28 • 10 м/с. Используя законы клас идеи де Бройля об универсальности сической физики, можно показать, что корпускулярно-волнового дуализма, при движении электрона вокруг ядра по Дифракционная картина, наблюда ограниченность применения классиче емая для микрочастиц, также характе ской механики к микрообъектам, дик ризуется неодинаковым распределени туемая соотношением неопределенно ем потоков микрочастиц, рассеянных стей, а также противоречие целого ряда или отраженных по различным направ экспериментов с применяемыми в на лениям, — в одних направлениях на чале XX в. теориями привели к новому блюдается большее число частиц, чем этапу развития квантовой теории — со в других.

зданию квантовой механики, описы Наличие максимумов в дифракци вающей законы движения и взаимодей онной картине с точки зрения волновой ствия микрочастиц с учетом их волно теории означает, что эти направления вых свойств. Ее создание и развитие соответствуют наибольшей интенсив охватывает период с 1900 г. (формули ности волн де Бройля. С другой сторо ровка Планком квантовой гипотезы;

см.

ны, интенсивность волн де Бройля ока § 200) до 20-х годов XX в.;

оно связано зывается больше там, где имеется боль прежде всего с работами австрийского шее число частиц, т.е. интенсивность физика Э.Шредингера волн де Бройля в данной точке про немецкого физика В. Гейзенберга и ан странства определяет число частиц, по глийского физика П.Дирака — павших в эту точку. Таким образом, 1984).

дифракционная картина для микроча При становлении квантовой механи стиц является проявлением статисти ки возникли принципиальные трудно ческой (вероятностной) закономерно сти, в частности проблема физической сти, согласно которой частицы попада природы волн де Бройля. Для выясне ют в те места, где интенсивность волн ния этой проблемы сравним дифрак де Бройля наибольшая.

цию световых волн и микрочастиц. Диф ракционная картина, наблюдаемая для вероятностного световых волн, характеризуется тем, подхода к описанию микрочастиц явля что в результате наложения дифраги- ется важнейшей отличительной особен рующих волн друг на друга в различ- ностью квантовой теории. Можно ли ных точках пространства происходит де Бройля истолковывать как усиление или ослабление амплитуды волны вероятности, т. е. считать, что ве колебаний. Согласно волновым пред- роятность обнаружить микрочастицу в ставлениям о природе света, интенсив- различных точках пространства меня ность дифракционной картины пропор- ется по волновому закону? Такое тол циональна квадрату амплитуды свето- кование воли де Бройля уже неверно вой волны. По представлениям фотон- хотя бы потому, что тогда вероятность ной теории, интенсивность определяет- обиаружить частицу в некоторых точ ся числом фотонов, попадающих в дан- ках пространства может быть отрица ную точку дифракционной картины.

тельна, что не имеет смысла.

Следовательно, число фотонов в дан Чтобы устранить эти трудности, не ной точке дифракционной картины за мецкий физик М.Борн (1882-1970) дается квадратом амплитуды световой в 1926 г. предположил, что по волново волны, в то время как для одного фото му закону меняется сама вероят на квадрат амплитуды определяет веро ность, а величина, названная ампли ятность попадания фотона в ту или тудой вероятности обозначаемая иную точку.

Эту величину называют так же волновой функцией (или Так как V определяется как веро кцией). Амплитуда вероятности мо- ятность, то необходимо волновую фун кцию Ф нормировать так, чтобы веро жет быть комплексной, и вероятность W пропорциональна квадрату ее мо- ятность достоверного события обраща лась в единицу, если за объем дуля:

бесконечный объем всего пространства.

(216.1) Это означает, что при данном условии частица должна находиться где-то в Ф* функция, комплексно сопряженная с Ф). Таким образом, опи- пространстве. Следовательно, условие сание состояния микрообъекта с помо- нормировки вероятностей щью волновой функции имеет стати стический, вероятностный харак (216.3) тер: квадрат модуля волновой функ ции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность на где данный интеграл вычисляется но хождения частицы в момент времени всему бесконечному пространству, т. е.

в области с координатами х + dx, у и по координатам х, у, z от -оо до у dy, z z+ dz.

Таким образом, условие говорит Итак, в квантовой механике состоя- об объективном существовании части ние микрочастиц описывается принци- цы в пространстве.

пиально по-новому — с помощью волно- Чтобы волновая функция являлась вой функции, которая является основ- объективной характеристикой состоя носителем информации об их кор- ния микрочастиц, она должна удовлет пускулярных и волновых свойствах. ворять ряду ограничительных условий.

Вероятность нахождения частицы в Функция Ф, характеризующая вероят элементе объемом dV равна ность обнаружения действия микроча стицы в элементе объема, должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероят Величина (квадрат модуля ность не может быть неоднозначной величиной) и непрерывной (вероят ность не может изменяться скачком).

Волновая функция удовлетворяет имеет смысл плотности вероятнос принципу суперпозиции: если система ти, е. определяет вероятность нахож может находиться в различных состоя дения частицы в окрестности точки с ниях, описываемых волновыми функ координатами х, z. Таким образом, циями...,..., то она также физический смысл имеет не сама Ф может находиться в состоянии Ф, опи функция, а квадрат ее модуля |Ф|2, ко сываемом линейной комбинацией этих торым задается интенсивность воли де функций:

Бройля.

Вероятность найти частицу в момент времени t в конечном объеме согласно теореме сложения вероятностей, равна где (п = 1, 2,...) — произвольные, вообще говоря, комплексные числа.

Сложение волновых функций (амплитуд вероятностей), а не вероятностей (оп- z и Так как искомое уравнение ределяемых квадратами модулей вол- должно учитывать волновые свойства новых функций) принципиально отли- частиц, то оно должно быть волновым чает квантовую теорию от классической уравнением, подобно уравнению, опи статистической теории, в которой для сывающему электромагнитные волны.

независимых событий справедлива те- Основное уравнение нерелятивист орема сложения вероятностей. ской квантовой механики сформулиро Волновая функция Ф, являясь ос- вано в 1926 г. Э.Шредингером. Урав нение Шредингера, как и все основные новной характеристикой состояния уравнения физики (например, уравне микрообъектов, позволяет в квантовой ния Ньютона в классической механике механике вычислять средние значения и уравнения Максвелла для электро физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, сред- магнитного поля), не выводится, а по стулируется. Правильность этого урав нее расстояние (г) электрона от ядра нения подтверждается согласием с опы определяют по формуле том получаемых с его помощью резуль татов, что, в свою очередь, придает ему характер закона природы. Уравнение Шредингера имеет вид где интегрирование производится, как (217.1) и в случае г д е — масса частицы;

А — § 217. Общее уравнение оператор Лапласа Шредингера.

Уравнение Шредингера — мнимая единица, y,z,t) — для стационарных состояний потенциальная функция частицы в си ловом поле, в котором она движется;

Из статистического толкования волн z,t) — искомая волновая функция де Бройля (см. § и соотношения не частицы.

определенностей Гейзенберга (см. § 215) Уравнение справедливо для следовало, что уравнением движения любой частицы (со спином, равным 0;

в квантовой механике, описывающим см. § 225), движущейся с малой (по движение микрочастиц в различных сравнению со скоростью света) скоро силовых полях, должно быть уравне стью, т. е. со скоростью v с. Оно до ние, из которого бы вытекали наблю полняется условиями, накладываемы даемые на опыте волновые свойства ми на волновую функцию: 1) волновая частиц.

функция должна быть конечной, одно Основное уравнение должно быть значной и непрерывной (см. § 216);

уравнением относительно волновой функции так как именно она, 2) производные —, —, —-, долж или, точнее, величина |Ф|, определяет дх ду вероятность пребывания частицы в мо ны быть непрерывны;

3) функция |Ф| мент времени t в объеме dV, в обла должна быть интегрируема;

это усло сти с координатами и х + dx, y+dy, вие в простейших случаях сводится к Приведенные рассуждения не долж условию нормировки ны восприниматься как вывод уравне (216.3).

ния Шредингера. Они лишь поясняют, Чтобы прийти к уравнению Шредингера, как можно прийти к этому уравнению.

рассмотрим свободно движущуюся частицу, Доказательством правильности уравне которой, согласно де Бройля, сопостав ния Шредингера является согласие с ляется Для простоты рассмот опытом тех выводов, к которым рим одномерный случай. Уравнение плоской приводит.

волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид (см. § 154) t) = A cos Уравнение (217.1) является общим или в комплексной записи t) — уравнением Шредингера. Его также Следовательно, плоская волна де Бройля называют уравнением Шредингера, имеет вид зависящим от времени. Для многих физических явлений, происходящих в (217.2) микромире, уравнение (217.1) можно упростить, исключив зависимость (учтено, что — = — ). В квантовой времени, иными словами, найти урав показатель экспоненты берут со нение Шредингера для стационарных знаком « — », поскольку физический состояний — состояний с фиксирован смысл имеет только |Ф|2, то это несуществен ными значениями энергии. Это возмож но. Тогда но, если силовое поле, в котором час тица движется, стационарно, т. е. функ ция U= z) не зависит явно от вре мени и имеет смысл потенциальной энергии.

В данном случае решение уравнения Шредингера может быть представлено в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только Используя взаимосвязь между энерги- координат, другая — только времени, причем зависимость от времени выража ей Е и импульсом = -—) и подставляя 2т = е ется множителем е" выражения (217.3), получим дифференци, так что альное уравнение (217.4) которое совпадает с уравнением для где Е — полная энергия частицы, посто случая U— О (мы рассматривали свободную янная в случае стационарного поля.

частицу).

Подставляя (217.4) в (217.1), получим Если частица движется в силовом поле, характеризуемом потенциальной энерги ей U, то полная энергия Е складывается из кинетической и потенциальной энергий.

Проводя аналогичные рассуждения и ис пользуя взаимосвязь между ('для V случая = Е -U), придем к диффе откуда после деления па общий множи ренциальному уравнению, совпадающему с тель е соответствующих преобра (217.1).

зовании придем к уравнению, опреде- принципа причинности к явлениям, ляющему функцию происходящим в микромире. При этом основываются на следующих соображе ниях. В классической механике, соглас но принципу причинности — принци Уравнение урав пу классического детерминизма, по нением Шредингера для стационар известному состоянию системы в неко ных состояний. В это уравнение в ка торый момент времени (полностью оп честве параметра входит полная энер ределяется значениями координат и гия Е частицы. В теории дифференци импульсов всех частиц системы) и си альных уравнений доказывается, что лам, приложенным к ней, можно абсо подобные уравнения имеют бесчислен лютно точно задать ее состояние в лю ное множество решений, из которых по бой последующий момент. Следова средством наложения граничных усло тельно, классическая физика основыва вий отбирают решения, имеющие фи ется на следующем понимании причин зический ности: состояние механической систе Для уравнения Шредингера такими мы в начальный момент времени с из условиями являются условия регуляр вестным законом взаимодействия час ности волновых функций: волновые тиц есть причина, а ее состояние в пос функции должны быть конечными, од момент — следствие.

нозначными и непрерывными вместе со С другой стороны, микрообъекты не своими первыми производными.

могут иметь одновременно и опреде Таким образом, реальный физичес- ленную координату, и определенную кий смысл имеют только такие реше- соответствующую проекцию импульса ния, которые выражаются регулярны- [задаются соотношением неопределен ми функциями Но регулярные реше- ностей поэтому и делается вы ния имеют место не при любых значе вод о том, что в начальный момент вре ниях параметра Е, а лишь при опреде- мени состояние системы точно не оп ленном их наборе, характерном для дан- ределяется. Если же состояние системы ной задачи. Эти значения энергии на- не определенно в начальный момент зываются собственными. Решения же, времени, то не могут быть предсказаны которые соответствуют собственным и последующие состояния, т. е. наруша значениям энергии, называются соб- ется принцип причинности.

ственными функциями. Собственные Однако никакого нарушения прин значения Е могут образовывать как не ципа причинности применительно к прерывный, так и дискретный ряд. В пер микрообъектам не наблюдается, по вом случае говорят о непрерывном, или скольку в квантовой механике понятие сплошном, спектре, во втором — о дис состояния микрообъекта приобретает кретном спектре.

совершенно иной смысл, чем в класси ческой механике. В квантовой меха нике состояние микрообъекта полнос § 218. Принцип причинности тью определяется волновой функцией квадрат модуля которой в квантовой механике у, t)\ задает плотность вероятно сти нахождения частицы в точке с ко Из соотношения неопределенностей ординатами х, у, z.

часто делают вывод о неприменимости В свою очередь, волновая функция Функция = = удовлетворяет уравнению представляет собой только координат Шредингера содержащему пер ную часть волновой функции вую производную функции Ф по време Поэтому зависящая от времени волно ни. Это же означает, что задание функ вая функция, согласно (217.4), ции (для момента времени опре деляет ее значение в последующие мо менты. Следовательно, в квантовой ме ханике начальное состояние есть (здесь Функция причина, а состояние Ф в последующий момент — следствие. Это и есть форма (219.3) представляет собой плоскую принципа причинности в квантовой монохроматическую волну де Бройля механике, т.е. задание функции пре [см. (217.2)].

допределяет ее значения для любых Из выражения (219.2) следует, что последующих моментов. Таким обра зависимость энергии от импульса зом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествую щего состояния, как того требует прин- оказывается обычной для нерелятиви цип причинности. стских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое чис ло к может принимать любые положи §219. Движение тельные значения), т. е. энергетический свободной частицы спектр свободной частицы является Свободная частица — частица, дви- непрерывным.

жущаяся в отсутствие внешних полей. Таким образом, свободная квантовая Так как на свободную (пусть частица описывается плоской монохро она движется вдоль оси х) силы не дей- матической волной де Бройля. Этому ствуют, то потенциальная энергия час- соответствует не зависящая от време тицы U(x) = const и ее можно принять ни плотность вероятности обнаружения равной нулю. Тогда полная энергия ча- частицы в данной точке пространства стицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероят состояний примет вид ными.

(219.1) Прямой подстановкой можно убе § 220. Частица в одномерной диться в том, что частным решением прямоугольной «потенциальной уравнения (219.1) является функция яме» с бесконечно высокими — где А = const и к = const, «стенками» с собственным значением энергии Проведем качественный анализ ре (219.2) шений уравнения Шредингера приме Рис. (220.3) где (220.4) Общее решение дифференциально нительно к частице в одномерной пря- го уравнения (220.3):

моугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Та Так как по (220.2) = 0, то В = 0.

кая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принима- Тогда ем, что частица движется вдоль оси х) (220.5) Условие (220.2) = выполняется только при где п — целые числа, т. е. необходимо, чтобы (220.6) где ширина «ямы», а энергия отсчи тывается от ее дна (рис. 299).

Из выражений (220.4) и (220.6) сле Уравнение Шредингера (217.5) для дует, стационарных состояний в случае одно мерной задачи запишется в виде т. е. стационарное уравнение Шредин гера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно По условию задачи (бесконечно вы высокими «стенками», удовлетворяет сокие «стенки»), частица не проникает ся только при собственных значени за пределы «ямы», поэтому вероятность ях зависящих от целого числа п.

ее обнаружения (а следовательно, и вол Следовательно, энергия частицы в новая функция) за пределами «ямы» «потенциальной яме» с бесконечно вы равна нулю. На границах «ямы» (при сокими «стенками» принимает лишь х— 0 и х = непрерывная волновая определенные дискретные значения, т. е.

функция также должна обращаться в квантуется.

нуль. Следовательно, граничные усло Квантованные значения энергии вия в данном случае имеют вид называются уровнями энергии, а чис ло п, определяющее энергетические = 0. (220.2) уровни частицы, называется главным В пределах «ямы» (0 х урав квантовым числом. Таким образом, нение Шредингера (220.1) сведется к микрочастица в «потенциальной яме» уравнению с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определен ном энергетическом уровне или, как говорят, частица находится в квантовом п.

Подставив в (220.5) значение к из (220.6), найдем собственные функции:

Постоянную интегрирования А най дем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде троны в металле) 10 Дж т. е. энергетические уровни В результате интегрирования полу- расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерыв А — а собственные функции ным. Если же размеры ямы соизмери будут иметь вид мы с атомными м), то для электрона Дж эВ, т.е. получаются явно дискретные зна чения энергии (линейчатый спектр).

Таким образом, применение уравне I рафики собственных функции ния Шредингера к частице в «потенци (220.8), соответствующие уровням альной яме» с бесконечно высокими энергии (220.7) при п=1,2, 3, приведе «стенками» приводит к квантованным ны на рис. 300, а. На рис. 300, б изобра значениям энергии, в то время как клас жена плотность вероятности обнаруже сическая механика на энергию этой ча ния частицы на различных расстояни стицы никаких ограничений не накла ях от «стенок» ямы, равная = дывает.

для п= 1, 2 и 3. Из рисун Кроме того, ка следует, что, например, в квантовом рассмотрение данной задачи приводит состоянии с п = 2 частица не может на к выводу, что частица «в потенциаль ходиться в середине «ямы», в то время ной яме» с бесконечно высокими «стен как одинаково часто может пребывать ками» не может иметь энергию меньше в ее левой и правой частях. Такое пове дение частицы указывает на то, что минимальной, равной [см. (220.7)].

представления о траекториях частицы Наличие отличной от нуля мини в квантовой механике несостоятельны.

мальной энергии не случайно и выте Из выражения (220.7) вытекает, что кает из соотношения неопределеннос энергетический интервал между двумя тей. Неопределенность координаты Ах соседними уровнями равен частицы в «яме» шириной Ах= Тогда, согласно соотношению неопре деленностей импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса Например, для электрона при раз Такому разбросу значений мерах ямы — 10"1 м (свободные элек V § 221. Прохождение частицы импульса соответствует кинетическая сквозь потенциальный барьер.

энергия Туннельный эффект простейший потенци альный барьер прямоугольной формы Все остальные уровни (п > 1) име (рис. для одномерного (по оси ют энергию, превышающую это мини движения частицы. Для потенциально мальное значение.

го барьера прямоугольной формы вы Из формул (220.9) и (220.7) следу сотой шириной /можем записать ет, что при больших квантовых числах т. е. соседние уровни расположены тес При данных условиях задачи клас но: тем теснее, чем больше п. Если п сическая частица, обладая энергией Е, очень велико, то можно говорить о либо беспрепятственно пройдет над ба практически непрерывной последова рьером (при Е > U), либо отразится от тельности уровней и характерная осо него (при Е < U) будет двигаться в бенность квантовых процессов — диск обратную сторону, т.е. она не может ретность — сглаживается. Этот резуль проникнуть сквозь барьер. Для микро тат является частным случаем принци частицы, даже при Е > U, имеется от па соответствия Бора (1923), соглас личная от нуля вероятность, что части но которому законы квантовой механи ца отразится от барьера и будет двигать ки должны при больших значениях ся в обратную сторону. При Е

ность, что частица окажется в области Более общая трактовка принципа х> т.е. проникнет сквозь барьер. По соответствия: всякая новая, более добные, казалось бы, парадоксальные общая теория, являющаяся развитием выводы следуют непосредственно из классической, не отвергает ее полнос решения уравнения Шредингера, опи тью, а включает в себя классическую теорию, указывая границы ее примене ния, причем в определенных предель ных случаях новая теория переходит в старую. Так, формулы кинематики и динамики специальной теории относи тельности переходят при v с в форму лы механики Ньютона. Например, хотя гипотеза да Бройля приписывает вол новые свойства всем телам, но в тех слу чаях, когда мы имеем дело с макроско пическими телами, их волновыми свой ствами можно пренебречь, т.е. приме нять классическую механику Ньютона.

Решение (221.3) содержит также сывающего движение микрочастицы волны (после умножения на временной при условиях данной задачи.

множитель), распространяющиеся в Уравнение (217.5) для обе стороны. Однако в области 3 име стационарных состояний для каждой из ется только волна, прошедшая сквозь выделенных рис. 301, а области име барьер и распространяющаяся слева ет направо. Поэтому коэффициент формуле (221.3) следует принять рав ным нулю.

В области 2 решение зависит от со (для областей отношений E>U или Е

мое число, где (221.2) (для области = значение q и 0, полу (для области 2);

чим решения уравнения Шредингера для трех областей в следующем виде:

(для области 3).

В частности, для области 1 полная волновая функция, согласно (217.4), будет иметь вид (для области 3).

В области 2 функция уже не В этом выражении первое слагаемое соответствует плоским волнам, распро представляет собой плоскую волну страняющимся в обе стороны, посколь типа (219.3), распространяющуюся в ку показатели степени экспонент не положительном направлении оси х (со- мнимые, а действительные. Можно по ответствует частице, движущейся в сто- казать, что для частного случая высо рону барьера), а второе — волну, рас- кого и широкого барьера, когда 1, пространяющуюся в противоположном направлении, т. е. отраженную от барь- Качественный характер функций ера (соответствует частице, движущей и иллюстрируется на ся от барьера налево).

рис. 301, откуда следует, что волно функция не равна нулю и внутри ба (221.7) рьера, а в области 3, если барьер не очень широк, будет опять иметь вид где — постоянный множитель, кото волн де Бройля с тем же импульсом, т. е.

рый можно приравнять единице;

U — с той же частотой, но с меньшей ампли высота потенциального барьера;

Е — тудой. Следовательно, получили, что энергия частицы;

— ширина барьера.

частица имеет отличную от нуля веро Из выражения (221.7) следует, что ятность прохождения сквозь потенци D сильно зависит от массы т частицы, альный барьер конечной ширины.

ширины / барьера и от (U — чем Таким образом, квантовая механика шире барьер, тем меньше вероятность приводит к принципиально новому спе прохождения сквозь него частицы.

цифическому квантовому явлению, по Для потенциального барьера произ лучившему название туннельного эф вольной формы (рис. 302), удовлетво фекта, в результате которого микро ряющей условиям так называемого ква объект может «пройти» сквозь потен зиклассического приближения (доста циальный барьер.

точно гладкая форма кривой), имеем Для описания туннельного эффек та используют понятие коэффициента прозрачности D потенциального барье ра, определяемого как отношение плот ности потока прошедших частиц к где U= U(x).

плотности потока падающих. Можно С классической точки зрения про показать, что хождение частицы сквозь потенциаль ный барьер при Е

Прохождение частицы сквозь об ловиями непрерывности и на гра ласть, в которую, согласно законам клас ницах барьера х 0 и х = (рис.

сической механики, она не может про никнуть, можно пояснить соотношени ем неопределенностей. Неопределен ность импульса Ар на отрезке Ах = со (221.6) ставляет Ар > —. Связанная с этим раз бросом в значениях импульса кинети Эти четыре условия дают возмож ность выразить коэффициенты и через Совместное решение уравнений для прямоугольного потенциального барьера дает (в предпо ложении, что коэффициент прозрачно сти мал по сравнению с единицей) ческая энергия может оказаться 2т достаточной для того, чтобы полная п= энергия частицы оказалась больше по тенциальной.

Основы теории туннельных перехо дов заложены в работах Л. И. Мандель штама Туннельное прохождение сквозь потен циальный барьер лежит в основе мно гих явлений физики твердого тела (на В точках с координатами полная пример, явления в контактном слое на границе двух полупроводников), атом- энергия Е равна потенциальной энер гии. Поэтому с классической точки зре ной и ядерной физики (например, распад, протекание термоядерных реак- ния частица не может выйти за преде лы области Такой выход ций).

означал бы, что ее потенциальная энер гия больше полной, что абсурдно, так как приводит к выводу, что кинетичес § 222. Линейный гармонический кая энергия отрицательна. Таким обра осциллятор зом, классический осциллятор находит в квантовой механике ся в «потенциальной яме» с координа тами х «без права выхо Линейный гармонический осцил да» из нее.

лятор — система, совершающая одно Гармонический осциллятор в кван мерное движение под действием квази товой механике — квантовый осцил упругой силы, — является моделью, ис лятор — описывается уравнением пользуемой во многих задачах класси дингера учитывающим выраже ческой и квантовой теории (см. § 142).

ние (222.1) для потенциальной энергии.

Пружинный, физический и математи Тогда стационарные состояния кванто ческий маятники — примеры класси вого осциллятора определяются урав ческих гармонических осцилляторов.

нением Шредингера вида Потенциальная энергия гармони ческого осциллятора [см. (141.5)] равна = 0, (222.2) (222.1) где Е — полная энергия осциллятора.

В теории дифференциальных урав где — собственная частота колебаний нений доказывается, что уравнение осциллятора;

т — масса частицы.

(222.2) решается только при собствен Зависимость (222.1) имеет вид пара ных значениях энергии болы (рис. 303), т.е. «потенциальная яма» в данном случае является парабо (222.3) лической.

Амплитуда малых колебаний клас сического осциллятора определяется Формула (222.3) показывает, что его полной энергией Е (см. рис. 17).

энергия квантового осциллятора может иметь лишь дискретные значения, т. е.

квантуется. Энергия ограничена сни зу отличным от нуля, как и для прямо угольной «ямы» с бесконечно высоки ми «стенками» (см. § 220), минималь ным значением энергии = Су ществование минимальной энергии — она называется энергией нулевых ко о лебаний — является типичной для кван Рис. товых систем и представляет собой пря мое следствие соотношения неопреде ленностей.

Из формулы (222.3) также следует, Наличие нулевых колебаний означа- что уровни энергии линейного гармо ет, что частица не может находиться на нического осциллятора расположены дне «потенциальной ямы» (независимо на одинаковых расстояниях друг от от формы ямы). В самом деле, «падение друга (см. рис. 303), а именно расстоя на дно ямы» связано с обращением в ние между соседними энергетическими нуль импульса частицы, а вместе с тем и уровнями равно причем минималь его неопределенности. Тогда неопреде ное значение энергии = ленность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит, в Строгое решение задачи о квантовом свою очередь, пребыванию частицы в осцилляторе приводит еще к одному «потенциальной яме».

значительному отличию от классическо Вывод о наличии энергии нулевых го рассмотрения. Квантово-механиче колебаний квантового осциллятора про- ский расчет показывает, что частицу тиворечит выводам классической тео- можно обнаружить за пределами дозво рии, согласно которой наименьшая ленной области х (см.

энергия, которую может иметь осцил- рис. 17), в то время как с классической лятор, равна нулю (соответствует поко- точки зрения она не может выйти за ящейся в положении равновесия части- пределы этой области.

це). Например, согласно выводам клас- Таким образом, имеется отличная от сической физики при Т = 0 энергия нуля вероятность обнаружить частицу колебательного движения атомов кри в той области, которая является клас сталла должна была бы обращаться в сически запрещенной. Этот результат нуль. Следовательно, должно исчезать (без его вывода) демонстрируется на и рассеяние света, обусловленное коле рис. 304, где приводится квантовая баниями атомов. Однако эксперимент плотность вероятности w обнаружения показывает, что интенсивность рассея- осциллятора для состояния п = 1. Из ния света при понижении температуры рисунка следует, что для квантового ос не равна нулю, а стремится к некоторо- циллятора действительно плотность ве му предельному значению, указываю- роятности w имеет конечные значения щему на то, что при Т 0 колебания за пределами классически дозволенной атомов в кристалле не прекращаются.

области \х\ т.е. имеется конеч Это является подтверждением наличия ная (но небольшая) вероятность обна нулевых колебаний.

ружить частицу в области за предела ми «потенциальной ямы». Существова- возможностью прохождения отличных от нуля значений w за микрочастиц сквозь потенциальный ба пределами «потенциальной ямы» объяс- (см. § Контрольные вопросы • Чему равны фазовая и групповая скорости фотона?

• В каком случае и почему при УСЛОВИЯХ —- 1 и —- 1 можно говорить о нии частицы по определенной траектории?

• Как исходя из соотношения неопределенностей объяснить наличие шири ны линий?

• Что определяет квадрат модуля волновой функции?

• квантовая механика является статистической теорией?

• В чем отличие понимания причинности в классической и квантовой механике?

• Какова наименьшая энергия частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»?

• Больше или меньше энергия частицы, находящейся в «потенциальной яме» с бесконеч но высокими «стенками», в состоянии п = 3 но сравнению с состоянием п = 1? Во сколь ко раз?

• Какими свойствами микрочастиц обусловлен туннельный эффект?

• В чем отличие поведения классической и квантовой частиц с энергией Е < U при их к прямоугольному потенциальному барьеру конечной ширины?

• Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с ростом его высо ты? с увеличением массы частицы? с увеличением полной энергии частицы?

• Как изменится коэффициент прозрачности потенциального барьера с увеличением его ширины в два раза?

• Чему равна разность энергий между четвертым и вторым энергетическими уровнями квантового осциллятора?

• Может ли частица находиться па дне «потенциальной ямы»? Определяется ли это фор мой • Зависит ли распределение энергетических уровней от формы «потенциальной ямы»?

Ответ проиллюстрировать.

• В чем отличие и классического описания гармонического ос циллятора? В выводах этих описаний?

ЗАДАЧИ 28.1. Свободная частица движется со скоростью Докажите, что выполняется соотно шение = с.

28.2. Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 1 % от ее числового значения, опреде лите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для элект рона понятие траектории? [Ах = 33 им;

нет] 28.3. некоторой частицы имеет вид = — е где расстояние этой час тицы от силового центра, а — постоянная. Определите среднее расстояние частицы от силового = 28.4. Запишите уравнение для стационарных состояний электрона, нахо дящегося в атоме водорода.

28.5. Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шири ной /с бесконечно высокими «стенками». Определите вероятность элект рона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном (п = 2).

Поясните физический смысл полученного изобразив графически плотность вероятности обнаружения электрона в данном состоянии. 0,195] 28.6. Прямоугольный потенциальный барьер имеет ширину 0,1 им. в элект рон-вольтах разность энергий U — Е, при которой вероятность прохождения электрона сквозь барьер составит 0,99. [0,1 мэВ] Глава ЭЛЕМЕНТЫ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ АТОМОВ И МОЛЕКУЛ § 223. Атом водорода в квантовой механике Решение задачи об энергетических где т — масса электрона;

Е — полная уровнях электрона для атома водорода энергия электрона в атоме.

(а также систем:

Так как поле, в котором движется иона гелия двукратно ионизован- электрон, является центрально-сим ного лития и др.) сводится к зада- метричным, то для решения уравнения че о движении электрона в (223.2) обычно используют сфериче ском поле ядра.

скую систему координат: вда Потенциальная энергия взаимодей- ваясь в математическое решение этой ствия электрона с ядром, обладающим задачи, ограничимся рассмотрением зарядом Ze (для атома водорода Z 1), важнейших результатов, которые из него следуют, пояснив их физический (223.1) Энергия. В теории дифференци альных уравнений доказывается, что где — расстояние между электроном и ядром.

Графически функция U(r) изображе Рис. на жирной кривой на рис. 305. с уменьшением приближении электрона к ядру) неограниченно убы вает.

Состояние электрона в атоме водо рода описывается волновой функци ей удовлетворяющей стационарному уравнению Шредингера учиты вающему значение (223.1):

уравнения типа (223.2) имеют решения, энергии, являясь следствием те удовлетворяющие требованиям одно ории, вытекают непосредственно из ре значности, конечности и непрерывнос шения уравнения Шредингера.

ти волновой функции только при 2. Квантовые числа. В квантовой собственных значениях энергии механике доказывается, что уравнению Шредингера (223.2) удовлетворяют собственные функции (г, оп ределяемые тремя квантовыми числа ми: главным п, орбитальным и магнит т.е. для дискретного набора отрица ным тельных значений энергии.

Главное квантовое число п, соглас Таким образом, как и в случае «по но (223.3), определяет энергетические тенциальной ямы» с бесконечно высо уровни электрона в атоме и может при кими «стенками» (см. § 220) и гармо нимать любые целочисленные значе нического осциллятора (см. § 222), ре ния, начиная с единицы:

шение уравнения Шредингера для ато ма водорода приводит к появлению дискретных энергетических уровней.

Из решения уравнения Шредингера Возможные значения... по вытекает, что момент импульса (меха казаны на рис. 305 в виде горизонталь нический орбитальный момент) элект ных прямых.

рона квантуется, е. не может быть про Самый нижний уровень отвеча извольным, а принимает дискретные ющий минимальной возможной энер значения, определяемые по формуле гии, — основной, все остальные > п = — возбужденные (см. § (223.4) При Е < 0 движение электрона явля где — орбитальное квантовое чис ется связанным — он находится внут ло, которое при заданном п принимает ри гиперболической «потенциальной значения ямы». Из рисунка следует, что по мере роста главного квантового числа п энер..., (п- 1), (223.5) гетические уровни располагаются тес т.е. всего п значений, и определяет мо нее и при п = оо = 0. При Е > 0 дви мент импульса электрона в атоме.

жение электрона является свободным;

Из решения уравнений Шрединге область непрерывного спектра Е > ра следует также, что вектор момента (заштрихована на рис. 305) соответ импульса электрона может иметь лишь ствует ионизованному атому. Энергия такие ориентации в пространстве, при ионизации атома водорода равна которых его проекция на направле ние z внешнего магнитного поля при нимает квантованные значения, крат ные Выражение (223.3) совпадает с фор = (223.6) мулой (212.3), полученной Бором для где ~ магнитное квантовое число, энергии атома водорода. Однако если которое при заданном может прини Бору пришлось вводить дополнитель мать значения ные гипотезы (постулаты), то в кванто вой механике значения = (223.7) т.е. всего + 1 значений. Таким обра- и условий однозначности, зом, магнитное квантовое число оп- непрерывности и конечности, налагае ределяет проекцию момента импульса мых па волновую функцию Кроме электрона на заданное направление, того, так как при движении электрона причем вектор момента импульса элек- в атоме существенны волновые свой трона в атоме может иметь в простран- ства электрона, то квантовая механика стве + 1 вообще отказывается от классического Наличие квантового числа т, долж- представления об электронных орби но привести в магнитном поле к рас- тах. Согласно механике, каж щеплению уровня с главным кванто- дому энергетическому состоянию соот вым числом п на + 1 Со- ветствует волновая функция, квадрат модуля которой определяет вероят ответственно в спектре атома должно наблюдаться расщепление спектраль- ность обнаружения электрона в едини ных линий. Действительно, расщепле- це объема.

ние энергетических уровней в магнит Вероятность обнаружения электро ном поле было обнаружено в 1896 г.

на в различных частях атома неодина голландским физиком кова. Электрон при своем движении как (1865— 1945) и получило название эф бы «размазан» по всему объему, обра фекта Расщепление зуя электронное облако, плотность (гу энергии во внешнем электрическом стота) которого характеризует вероят поле, тоже доказанное ность нахождения электрона в различ но, называется эффектом ных точках объема атома. Квантовые числа п и характеризуют размер Хотя энергия электрона (223.3) и форму электронного облака, а зависит только от главного квантового числа п, но каждому собственному зна- вое число ~ ориентацию электрон чению (кроме соответствует не- ного облака в пространстве.

сколько собственных функций от- В атомной физике, аналогии со личающихся значениями /и Следо- спектроскопией, состояние электрона, вательно, атом водорода может иметь характеризующееся квантовыми числа одно и то же значение энергии, находясь ми 0, называют s-состоянием (элек в нескольких различных состояниях.

трон в этом состоянии называют s-элек — — Так как при данном п орбитальное = 3 — /-состоянием и квантовое число может изменяться от О до п — 1 [см. (223.5)], а каждому зна- т. д. Значение главного квантового чис ла указывается перед условным обозна чению соответствует 2/+ 1 различных значений (223.7), то число различ- чением орбитального квантового чис ных состояний, соответствующих дан- ла. Например, электроны в состояниях ному п, равно с п 2 и 0 и 1 обозначаются соответ ственно символами 2s 2р.

На рис. 306 для примера приведено (223.8) распределение электронной плотности (формы электронного облака) для состо Квантовые числа и их значения яв яний атома водорода при п= 1 п = 2, ляются следствием решений уравнений определяемое Как видно из ри сунка, оно зависит от п, Так, при 0 электронная плотность отлична от И. Штарк (1874 — 1957) — физик.

В оптических спектрах указанные нуля в центре и не зависит от направ правила отбора в основном выполняют ления (сферически-симметрична), а ся. Однако в принципе могут наблю для остальных состояний в центре рав даться и слабые «запрещенные» линии, на нулю и зависит от направления.

например возникающие при переходах 3. Спектр. Квантовые числа /, п с 2. Появление этих линий объяс позволяют более полно описать спектр няется тем, что строгая теория, запрещая испускания (поглощения) атома водо дипольные переходы, разрешает перехо рода, полученный в теории Бора (см.

ды, соответствующие излучению более рис. 297).

сложных систем зарядов, например В квантовой механике вводятся пра квадруполей. Вероятность же квадру вила отбора, ограничивающие число переходов (переходы с 2) возможных переходов электронов в во много раз меньше вероятности ди атоме, связанных с испусканием и по польиых переходов, поэтому «запре глощением света. Теоретически доказа щенные» линии и являются слабыми.

но и экспериментально подтверждено, что для излучения электро- Учитывая число возможных состо на, движущегося в центрально-симмет- яний, соответствующих данному п, и ричном поле ядра, могут осуществлять- правило отбора (223.9), рассмотрим спектральные линии атома водорода ся только такие переходы, для которых:

1) изменение орбитального кванто- (рис. 307). Серии Лаймана соответству ют переходы вого числа Д удовлетворяет условию пр s...);

(223.9) Бальмера — 2) изменение магнитного квантово го числа удовлетворяет условию (n = 3, 4,...);

и т. д.

Переход электрона из основного со- нормировки вероятностей с уче стояния в возбужденное обусловлен том (224.1), увеличением энергии атома и может происходить только при сообщении атому энергии извне, например за счет поглощения атомом фотона. Так как После интегрирования получим поглощающий атом находится обычно в основном состоянии, то спектр атома (224.2) водорода должен состоять из линий, соответствующих переходам Подставив выражение (224.2) в фор (п= 3,...), что находится в полном мулу (224.1), определим нормирован согласии с опытом.

ную волновую функцию, отвечающую «-состоянию электрона в атоме водо рода:

§ 224. электрона в атоме водорода (224.3) электрона в атоме во дорода является сферически-симмет- Вероятность обнаружить электрон в ричным. Волновая функция электро- элементе объема [см. (216.2)] равна на в этом состоянии определяется толь ко расстоянием электрона от ядра, т. е.

Подставив в эту формулу волновую в индексе соот функцию (224.3), получим плотность ветственно указывают, что п — = 0 и — 0. Уравнению Шредингера для вероятности электрона в атоме водоро да удовлетворяет функция вида = (224.1) Вычислим те расстояния от ядра, на которых электрон может быть обна где, как можно показать, ружен с наибольшей вероятностью.

величина, совпадающая с первым оо Исследуя выражение — па максимум, ровским радиусом а [см. (212.2)] для атома водорода;

С — некоторая посто получим, что = а. Следовательно, янная, определяемая из условия норми электрон может быть обнаружен с наи ровки вероятностей (216.3).

большей вероятностью на расстояниях, Благодаря сферической симметрии равных боровскому радиусу, т. е. имеет вероятность обнаружения ся равная и наибольшая вероятность электрона на расстоянии одинакова обнаружения электрона во всех точках, по всем направлениям. Поэтому эле расположенных на сферах радиуса а с мент объема dV, отвечающий одинако центром в ядре атома.

вой плотности вероятности, обычно Казалось бы, квантово-механиче представляют в виде объема сферичес расчет дает полное согласие с тео кого слоя радиусом и толщиной dr:

рией Бора. Однако, согласно квантовой dV = Тогда, согласно условию механике, плотность вероятности лишь Для объяснения тонкой структуры Рис. спектральных линий, а также ряда дру гих трудностей в атомной физике аме риканские физики Д. (1900 — 1974) и С. Гаудсмит - 1979) пред положили, что электрон обладает соб ственным неуничтожимым механиче ским моментом импульса, не связан ным с движением электрона в простран стве, — спином § 131).

при = а достигает максимума, остава ясь отличной от нуля во всем простран- Спин электрона (и всех других мик стве (рис. 308). Таким образом, в основ- рочастиц) — квантовая величина, у нее ном состоянии атома водорода наибо- нет классического аналога;

это внутрен лее вероятным расстоянием от электро- нее неотъемлемое свойство электрона, на до ядра является расстояние, равное подобное его заряду и массе.

боровскому радиусу. В этом заключа- Если электрону приписывается соб ется смысл бо- ственный механический момент им ровского радиуса.

пульса (спин) то ему соответствует собственный магнитный момент Согласно общим выводам квантовой § 225. Спин электрона.

механики, спин квантуется по закону Спиновое квантовое число и В.Герлах, проводя пря где s — спиновое квантовое число.

мые измерения магнитных моментов По аналогии с орбитальным момен (см. § 131), обнаружили в 1922 г., что узкий пучок атомов водорода, заведо- том импульса, спина кван мо находящихся в в не- туется так, что вектор может прини однородном магнитном поле расщепля- мать 2 s + 1 Так как в опы ется на два пучка. В этом состоянии мо- тах Штерна и Герлаха наблюдались только две ориентации, то 2s + 1 2, мент импульса электрона равен нулю [см. (223.4)]. Магнитный момент ато- откуда s Проекция спина на на ма, связанный с орбитальным движени- правление внешнего магнитного поля, ем электрона, пропорционален механи- являясь квантованной величиной, оп ределяется выражением, аналогичным ческому моменту [см. поэтому он равен нулю и магнитное поле не дол- (223.6):

жно оказывать влияния на движение атомов водорода в основном состоянии, т.е. расщепления быть не должно. Од где — магнитное спиновое кванто нако в дальнейшем при применении вое число;

оно может иметь только два спектральных приборов с большой раз значения: = решающей способностью было доказа Таким образом, опытные данные но, что спектральные атома во привели к необходимости характеризо дорода обнаруживают тонкую структу вать электроны (и микрочастицы вооб ру (являются дублетами) даже в отсут ще) добавочной внутренней степенью ствие магнитного поля.

свободы. Поэтому для полного описа ния состояния электрона в атоме необ- В квантовой механике положение ходимо наряду с главным иное. Из соотношения неопределенно и магнитным квантовыми числами за- стей вытекает, что для микрочастиц во давать еще магнитное спиновое кван- обще неприменимо понятие траекто товое число. рии;

состояние микрочастицы описыва ется волновой функцией, позволяющей вычислять лишь вероятность на § 226. Принцип неразличимости хождения микрочастицы в окрестнос тях той или иной точки пространства.

тождественных частиц.

Если же волновые функции двух тож Фермионы и бозоны дественных частиц в пространстве пе рекрываются, то разговор о том, какая Если перейти от рассмотрения дви частица находится в данной области, жения одной микрочастицы (одного электрона) к сис- вообще лишен смысла: можно лишь го темам, то проявляются особые свой- ворить о вероятности нахождения в ства, не имеющие аналога в классиче- данной области одной из тождествен ных частиц.

ской физике. Пусть ческая система состоит из одинаковых образом, в квантовой механи частиц, например электронов. Все элек- ке тождественные частицы полностью троны имеют одинаковые физические теряют свою индивидуальность и ста свойства — массу, электрический заряд, новятся неразличимыми. Следует под спин и другие внутренние характерис- черкнуть, что принцип неразличимос тики (например, числа).

ти тождественных частиц не является кие частицы называют тождествен- просто следствием вероятностной ин ными.

терпретации волновой функции, а вво Необычные свойства системы оди- дится в квантовую механику как новый наковых тождественных частиц прояв- принцип, который, как уже указывалось, является фундаментальным.

ляются в фундаментальном принципе квантовой механики — принципе не- Принимая во внимание физический различимости тождественных час- смысл величины принцип неразли согласно которому невозможно чимости тождественных частиц можно экспериментально различить тожде- записать в виде ственные частицы.

В классической механике даже оди наковые частицы можно различить по где — соответственно совокуп положению в пространстве и импуль ность пространственных и спиновых сам. Если частицы в какой-то момент координат первой и второй частиц. Из времени пронумеровать, то в следую выражения (226.1) вытекает, что воз щие моменты можно просле можны два случая:

дить за траекторией любой из них.

Классические частицы, таким образом, у т.е. принцип неразличимости тожде классическая механика систем из оди ственных частиц ведет определенному наковых частиц принципиально не от свойству симметрии волновой функции.

личается от классической механики Если при перемене частиц местами вол систем из различных частиц.

новая функция не меняет знака, то она § 227. Принцип Паули.

называется если меня ет — антисимметричной. Распределение электронов Изменение знака волновой функции в атоме по состояниям не означает изменения состояния, так как физический смысл имеет лишь Если частицы имеют квадрат модуля волновой функции. В одинаковые квантовые числа, то их вол квантовой механике доказывается, что новая функция симметрична относи характер симметрии волновой функции тельно перестановки частиц. Отсюда не меняется со временем. Это же явля следует, что два одинаковых фермиона, ется доказательством входящих в одну систему, не могут на симметрии или антисимметрии — при ходиться в одинаковых состояниях, так знак данного типа микрочастиц.

как для волновая функция Установлено, что симметрия ан должна быть антисимметричной. Обоб тисимметрия волновых функций опре щая опытные данные, В. Паули сформу деляется спином частиц. В зависимос лировал принцип, согласно которому ти от характера симметрии все элемен системы фермионов встречаются в тарные частицы и построенные из них природе только состояниях, описыва системы (атомы, молекулы) делятся па емых антисимметричными волновыми два класса. Частицы с полуцелым спи функциями ном (например, электроны, протоны, формулировка принципа Паули).

нейтроны) описываются антисиммет Из этого положения вытекает более ричными волновыми функциями простая формулировка принципа Пау чиняются статистике Ферми ли, которая и была введена им в кван рака] эти частицы называются ферми товую теорию (1925) еще до утвержде онами.

ния квантовой механики: в системе оди Частицы с или целочислен наковых любые два из них не ным спином (например, фо могут одновременно находиться одном тоны) описываются симметричными том же состоянии. Отметим, что чис волновыми функциями ло однотипных бозонов, находящихся статистике Бозе эти в одном и том же состоянии, лими частицы называются бозонами. Слож тируется.

ные частицы (например, атомные ядра), Напомним, что состояние электро составленные из нечетного числа фер на в атоме однозначно определяется мионов, фермионами (сум набором четырех квантовых чисел:

марный спин — а из чет главного п = 1, 2, 3,...), ного — бозонами (суммарный спин це орбитального лый).

магнитного Зависимость характера симметрии волновых функций системы тожде магнитного спинового ственных частиц от спина частиц тео ретически обоснована швейцарским физиком В.Паули (1900-1958), что Распределение электронов в атоме явилось еще одним доказательством подчиняется принципу Паули, кото того, что спин является фундамен- рый может быть использован в его про тальной характеристикой микрочас- стейшей формулировке: в одном и том тиц.

атоме не может быть более одного Главное квантовое число п 1 2 3 4 Символ оболочки К L N О м Максимальное число 2 8 18 32 электронов в оболочке Орбитальное квантовое 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 0 1 2 3 Символ 3 s 3d Ad 5s 4/ 5/ Максимальное число 2 2 2 10 2 10 14 2 10 14 электронов в электрона с одинаковым набором четы- от 0 до п — 1, число равно рех квантовых чисел п, т.е. порядковому номеру п оболочки. Коли чество электронов в гюдоболочке опре /, = 0 или деляется магнитным и магнитным спи новым квантовыми числами: макси где — число электронов, мальное число электронов в подоболоч находящихся в квантовом состоянии, ке с данным /равно 2(2/ + 1). Обозна описываемом набором четырех кванто чения оболочек, а также распределение вых чисел: п, /, электронов по оболочкам и подоболоч Таким образом, принцип Паули ут кам в табл.

верждает, что два электрона, связанные в одном и том же атоме, различаются значениями по крайней мере одного § 228. Периодическая система квантового числа.

элементов Менделеева Согласно формуле (223.8), данному п соответствует п различных состояний, Принцип Паули лежит в основе си отличающихся значениями / и Кван стематики заполнения электронных со товое число может принимать лишь стояний в атомах и позволяет объяс два значения Поэтому макси нить Периодическую систему эле мальное число электронов, находящих ментов Д.И.Менделеева (1869) — ся в состояниях, определяемых данным фундаментальный закон природы, яв главным квантовым числом, равно ляющийся основой современной хи мии, атомной и ядерной физики.

Д.И.Менделеев ввел понятие по рядкового номера Z химического эле мента, равного числу протонов в ядре и Совокупность электронов в электронном атоме, имеющих одно и то соответственно равного общему числу же главное квантовое число п, называ- электронов в электронной оболочке атома. Расположив химические элемен ют электронной оболочкой. В каждой из оболочек электроны распределяют- ты по мере возрастания порядковых но меров, он получил периодичность в из ся по соответствующим менении химических свойств элемен данному Поскольку орбитальное тов. Однако для известных в то время квантовое число принимает значения 64 химических элементов некоторые атомах. Поэтому для объяснения табли клетки таблицы оказались незаполнен- цы будем считать, что каждый последу ными, так как соответствующие им эле- ющий элемент образован из предыду менты (например, Ga, Se, Ge) тогда еще щего к ядру одного про не были известны. Д. Менделеев, та- тона и соответственно прибавлением ким образом, не только правильно рас- одного электрона в электронной обо положил известные элементы, но и лочке атома. Взаимодействием электро предсказал существование новых, еще нов пренебрегаем, внося, где это необ не открытых элементов и их основные ходимо, соответствующие поправки.

свойства. Кроме того, ему удалось уточ- Рассмотрим атомы химических элемен нить атомные веса некоторых элемен- тов, находящиеся в основном состоя тов. Например, атомные веса и U, нии.

вычисленные на основе таблицы Мен Единственный электрон атома водо делеева, оказались правильными, а по рода находится в состоянии харак лученные ранее экспериментально — теризуемом квантовыми числами п — 1, ошибочными.

= 0, — О и — (ориентация его спина произвольна). Оба электро Так как химические и некоторые физические свойства элементов опреде- на атома Не находятся в состоянии ляются внешними (валентными) элек- но с антипараллелыюй ориентацией спина. Электронная конфигурация для тронами в атомах, то периодичность атома Не записывается как (два свойств химических элементов должна На атоме Не заканчива быть связана с определенной периодич ется заполнение что соот ностью в расположении электронов в ветствует завершению I периода Пери- ется при незаполненной М-оболочке.

одической системы элементов Менде- Это означает, что в результате взаимо леева (табл. 12). действия электронов состояние п = 4, Третий электрон атома Li (Z= 3), со- / = 0 имеет меньшую энергию, чем со гласно принципу Паули, уже не может стояние п = 3, 2. Спектроскопичес разместиться в целиком заполненной кие и химические свойства 20) и занимает наинизшее энер- показывают, что его 20-й электрон также гетическое состояние с в = 2 находится в 45-состоянии TV-оболочки.

ка), т. е. Электронная кон- В последующих элементах происхо фигурация для атома Li: 2 s. Атомом дит заполнение М-оболочки [от Sc Li начинается II период Периодической 21) до Zn (Z= 30)]. Далее TV-обо системы элементов. Четвертым элект- лочка заполняется до (Z = 36), у роном Be (Z = 4) заканчивается запол- которого опять-таки, как и в случае Ne нение подоболочки У следующих и s- и наружной обо шести элементов от В (Z = 5) до Ne лочки заполнены целиком. Криптоном 10) идет заполнение подоболочки заканчивается IV период Периодиче (табл. 12). II период Периодической ской системы. Подобные рассуждения системы заканчивается — инер- применимы и к остальным элементам тным газом, для которого таблицы Менделеева, однако эти дан 2р целиком заполнена.

ные можно найти в справочниках. От метим лишь, что и начальные элемен Одиннадцатый электрон Na (Z= 11) ты последующих периодов Rb, Cs, Fr яв размещается в М-оболочке (п = 3), за ляются щелочными металлами, а их нимая наинизшее состояние Элект последний электрон находится в s-co ронная конфигурация имеет вид Кроме того, атомы инертных (как и газов Ne, Rn) занимают трон Li) является электро в таблице особое положение — в каж ном, поэтому оптические свойства Na дом из них 5- и наружной подобны свойствам Li. С Z = 12 идет оболочки целиком заполнены и ими за последовательное заполнение М-обо вершаются очередные периоды Перио лочки. А 18) оказывается подоб дической системы.

ным Не и Ne: в его наружной оболочке все s- и заполнены. яв- Каждую из двух групп элементов — ляется химически инертным и завер- лантаниды [от лантана 57) до лю шает III период Периодической сис- теция (Z = 71)] и актиниды [от акти темы.

ния (Z= 89) до лоуренсия 103)] — приходится помещать в одну клетку Девятнадцатый К 19) должен был бы занять в М- таблицы, так как химические свойства элементов в пределах этих групп очень оболочке. Однако и в оптическом, и в близки. Это объясняется тем, что для химическом отношениях атом К схож с атомами Li и Na, которые имеют вне- лантанидов заполнение подоболочки 4/, шний электрон в s-состоя- которая может содержать 14 электро нов, начинается лишь после того, как Поэтому 19-й валентный электрон К должен также находиться в s-состоя- целиком заполнятся подоболочки 5s, Ър нии, но это может быть s-состоя- 6 s. Поэтому для этих элементов вне шняя Р-оболочка (6s2) оказывается ние новой оболочки (TV-оболочки), т. е.

заполнение TV-оболочки для К начина- одинаковой. Аналогично, одинаковой для актинидов является Таким образом, открытая Менделе евым периодичность в химических свойствах элементов по вторяемостью в структуре внешних оболочек у атомов родственных эле ментов. Так, инертные газы имеют оди наковые внешние оболочки из 8 элект ронов (заполненные s во внешней оболочке щелочных метал лов (Li, Na, К, Rb, Cs, Fr) имеется лишь туру (рис. 309) и зависит как от энер один 5-электрои;

во внешней гии электронов, так и от материала ано щелочно-земельных металлов (Be, Mg, да. Спектр представляет собой наложе Sr, Ra) имеется два ние сплошного спектра, ограниченного на;

галоиды (F, I, At) имеют вне- со стороны коротких длин волн неко шние оболочки, в которых недостает торой границей называемой гра одного электрона до оболочки ю- ницей сплошного спектра, линейча го газа, и т.д. того спектра — совокупности отдель ных линий, появляющихся на фоне сплошного спектра.

Исследования показали, что харак § 229. Рентгеновские спектры тер сплошного спектра не зависит от Большую роль в выяснении строе- материала анода, а определяется толь ко бомбардирующих анод ния атома, а именно электронов по оболочкам, сыграло из- электронов. Детальное исследование свойств этого излучения показало, что лучение, открытое в 1895 г. немецким оно испускается бомбардирующими физиком В. Рентгеном (1845 — 1923) и анод электронами в результате их тор названное рентгеновским.

Самым распространенным источни- можения при взаимодействии с атома ми мишени. Сплошной рентгеновский ком рентгеновского излучения являет спектр поэтому называют тормозным ся рентгеновская трубка, в которой сильно ускоренные электрическим по- спектром. Этот вывод находится в со с классической теорией излуче лем электроны бомбардируют анод (ме таллическая мишень из тяжелых метал- ния, так как при торможении движу щихся зарядов должно действительно лов, например W или Pt), испытывая возникать излучение со сплошным на нем резкое торможение. При этом спектром.

возникает рентгеновское излучение, представляющее собой электромагнит Из классической теории, однако, не ное излучение с длиной волны пример вытекает существование коротковол но м. Волновая природа рен новой границы сплошного спектра. Из тгеновского излучения доказана опыта опытов следует, что чем больше кине ми по его дифракции (см. § тическая энергия электронов, Исследование спектрального соста- ющих тормозное рентгеновское излуче ва рентгеновского излучения показыва- ние, тем меньше Это обстоятель ет, что его спектр имеет сложную струк- ство, а также наличие самой границы объясняются квантовой теорией. Оче лючается в том, что атомы каждого хи видно, что предельная энергия кванта мического элемента, независимо от соответствует такому случаю торможе того, ли они в свободном ния, при котором вся кинетическая стоянии или входят в химическое со энергия электрона переходит в энергию единение, обладают определенным, кванта, т. е.

присущим только данному элементу линейчатым спектром характеристи ческого излучения. Так, если анод со где — частота, соответствующая стоит из нескольких элементов, то и ха границе сплошного спектра;

U — раз- рактеристическое рентгеновское излу ность потенциалов, за счет которой чение представляет собой наложение электрону сообщается энергия спектров этих элементов.

Отсюда граничная длина волны Рассмотрение структуры и особен ностей характеристических рентгено вских спектров приводит к выводу, что их возникновение связано с процесса ми, происходящими во внутренних, за что полностью соответствует экспери строенных электронных оболочках ментальным данным. Измеряя границу атомов, которые имеют сходное строе рентгеновского сплошного спектра, по ние.

формуле (229.1) можно определить эк Разберем механизм возникновения спериментальное значение постоянной Планка h, которое наиболее точно со- рентгеновских серий, который схемати чески показан на рис. 310. Предполо впадает с современными данными.

жим, что под влиянием внешнего элек При достаточно большой энергии трона или высокоэнергетического фо бомбардирующих анод электронов на тона вырывается один из двух электро фоне сплошного спектра появляются нов атома. Тогда на его ме отдельные резкие линии — линейчатый спектр, определяемый материалом ано- сто может перейти электрон с более уда да и называемый характеристичес- ленных от ядра оболочек L,M,N,.... Та ким рентгеновским (излу- кие переходы сопровождаются испуска нием рентгеновских квантов и чением).

По сравнению с оптическими спек трами характеристические рентгено вские спектры элементов совершенно однотипны и состоят из нескольких се рий, обозначаемых К, L, M, О. Каж дая серия, в свою очередь, содержит небольшой набор отдельных линий, обозначаемых в порядке убывания дли ны волны индексами а, (3,...

...,...).

При переходе от легких элементов к тяжелым структура характеристическо го спектра не изменяется, лишь весь спектр смещается в сторону коротких волн. Особенность этих спектров зак Рис. Закон Мозли (229.2) подобен обоб новением спектральных линий (L К), (М К), К) щенной формуле Бальмера (209.3) для атома водорода.

Самой линией Смысл постоянной экранирования рии является линия Частоты линий заключается в том, что на электрон, со возрастают в ряду по- вершающий переход, соответствующий скольку энергия, высвобождаемая при некоторой линии, действует не весь за переходе электрона на с ряд ядра а заряд ослаблен более удаленных оболочек, увеличива- ный экранирующим действием других ется.

электронов. Например, для Наоборот, интенсивности линий в а = 1, и закон Мозли запишется в виде ряду убывают, так как вероятность переходов электронов с на больше, чем с более удаленных оболочек М и N.

сопровождается обязательно другими сериями, так как при испуска- § 230. Молекулы: химические нии ее линий появляются вакансии в связи, понятие об энергетических оболочках L, М,..., которые будут за уровнях полняться электронами, находящими ся на более высоких уровнях.

Молекула — наименьшая частица Аналогично возникают и другие се- вещества, состоящая из одинаковых рии, наблюдаемые, впрочем, только для или различных атомов, соединенных тяжелых элементов. Рассмотренные между собой химическими связями, и линии характеристического излучения являющаяся носителем его основных могут иметь тонкую структуру, по- химических и физических свойств. Хи скольку уровни, определяемые глав- мические связи обусловлены взаимо ным квантовым числом, расщепляют- действием внешних, валентных элект ся согласно значениям орбитального и ронов атомов. Наиболее часто в моле магнитного квантовых чисел. кулах встречается два типа связи: ион ная (см. § 71).

Исследуя рентгеновские спектры элементов, английский физик Г. Мозли Ионная связь (например, в молеку (1887-1915) установил в г. соот- лах осуществляется элект ношение, называемое законом Мозли: ростатическим взаимодействием ато мов при переходе электрона одного атома к другому, т.е. при образовании (229.2) = положительного и отрицательного где v — частота, соответствующая дан Ковалентная связь (например, в ной линии характеристического рент молекулах СО) осуществляется геновского излучения;

R — постоянная при обобществлении валентных элект Ридберга;

— постоянная экранирова ронов двумя соседними атомами (спи ния;

т = 1, 2, 3,...

ны валентных электронов должны быть новскую серию), п принимает целочис антипараллельны).

ленные значения, начиная с + 1 (оп ределяет отдельную линию соответ- Ковалентная связь объясняется на основе принципа неразличимости тож ствующей серии).

Явственных частиц (см. § 226), напри Отношения =, мер электронов в молекуле водорода.

где — масса электрона;

М — величина, Неразличимость частиц приводит к имеющая порядок массы ядер атомов специфическому взаимодействию меж ду ними, называемому обменным вза- в молекуле, — Поэтому имодействием. Это чисто квантовый Доказано, что эффект, не имеющий классического эВ, объяснения, его можно себе предста вить так, что электрон каждого из ато Каждая из входящих в выражение мов молекулы водорода проводит неко (230.1) энергий квантуется (ей соответ торое время у ядра другого атома и, сле ствует набор дискретных уровней энер довательно, осуществляется связь обо гии) и определяется квантовыми чис их атомов, образующих молекулу. При лами. При переходе из одного энерге сближении двух водородных атомов до тического состояния в другое поглоща расстояний порядка боровского радиу ется или испускается энергия hv.

са возникает их взаимное притяжение При таких переходах одновременно из и образуется устойчивая молекула во меняются энергия движения электро дорода.

нов, энергии колебаний и вращения ядер.

Молекула является квантовой сис Из теории и эксперимента следует, темой;

она описывается уравнением что расстояние между вращательными Шредингера, учитывающим движение уровнями энергии гораздо мень электронов в молекуле, колебания ато мов молекулы, вращение молекулы.

Решение этого уравнения — очень слож ная задача, которая обычно разбивает ся на две: для электронов и ядер.

Энергия изолированной молекулы (230.1) где — энергия движения электронов относительно ядер;

— энергия ко лебаний ядер (в результате которых периодически изменяется относитель ное положение ядер);

— энергия вращения ядер (в результате которых периодически изменяется ориентация молекулы в пространстве).

В формуле (230.1) не учтены энер гия поступательного движения центра масс молекулы и энергия ядер атомов в молекуле. Первая из них не квантует ся, поэтому ее изменения не могут при вести к возникновению молекулярно го спектра, а вторую можно не учиты Электронные уровни вать, если рассматривать сверхтон кую структуру спектральных линий.

ше расстояния между колебательными понентов, в результате чего возникают уровнями которое, в свою оче электронно-колебательные ко редь, меньше расстояния между элект- лебательно-вращательные спек ронными уровнями На рис.

тры. Поэтому спектр молекул доволь схематически представлены но энергии двухатомной молекулы (для Типичные молекулярные спект примера рассмотрены только два элек- ры — полосатые, представляют собой тронных уровня — показаны жирными совокупность более или менее узких по лос в ультрафиолетовой, видимой и ин Как будет показано в § 231, структу- фракрасной областях. Применяя спек ра энергетических уровней молекул тральные приборы высокой разрешаю определяет их спектр излучения, возни- щей способности, можно видеть, что кающий при квантовых переходах меж- полосы представляют собой настолько тесно расположенные линии, что они с ду соответствующими энергетическими трудом разрешаются.

уровнями.

Структура молекулярных спектров различна для разных молекул и с уве § 231. Молекулярные спектры. личением числа атомов в молекуле ус ложняется (наблюдаются лишь сплош Комбинационное рассеяние света ные широкие полосы). Колебательны ми и вращательными спектрами обла Строение молекул и свойства их энергетических уровней проявляются в дают только многоатомные молекулы, а двухатомные их не имеют. Это объяс молекулярных спектрах — спектрах излучения (поглощения), возникаю- няется тем, что двухатомные молекулы не имеют дипольиых моментов (при ко щих при квантовых переходах между уровнями энергии молекул. Спектр из- лебательных и вращательных перехо лучения определяется струк- дах отсутствует изменение диполыюго турой ее энергетических уровней и со- момента, что является необходимым ответствующими правилами отбора условием отличия от нуля вероятнос (например, изменение квантовых чи- ти перехода).

сел, соответствующих как колебатель В 1928 г. академики Г.

ному, так и вращательному движению, (1890-1957) и Л.И.Мандельштам, а должно быть равно ±1).

также индийские физики (р. 1911) од Итак, при разных типах переходов между уровнями возникают различные новременно открыли явление комби национного рассеяния света. Если на типы молекулярных спектров. Частоты спектральных линий, испускаемых мо- вещество (газ, жидкость, прозрачный лекулами, могут соответствовать пере- кристалл) падает строго монохромати ческий свет, то в спектре рассеянного ходам с одного электронного уровня на другой (электронные спектры) или с света помимо несмещенной спектраль одного колебательного (вращательно- ной линии обнаруживаются новые ли нии, частоты которых представляют го) уровня на другой [колебательные собой суммы или разности частоты v (вращательные) спектры]. Кроме падающего света и частот собствен того, возможны и переходы с одними значениями па уровни, име- ных колебаний (или вращений) моле ющие другие значения всех трех ком- кул рассеивающей среды.

Линии в спектре комбинационного ми колебательными или вращательны рассеяния с частотами у — меньши- ми уровнями, в результате чего и воз ми частоты v падающего света, называ- никает ряд симметрично расположен ются стоксовыми (или красными) ных спутников. Число спутников, та спутниками, линии с частотами v + ким образом, определяется энергети большими v, — антистоксовыми (или ческим спектром молекул, т. е. зависит фиолетовыми) спутниками. только от природы рассеивающего ве щества. Так как число возбужденных Анализ спектров комбинационного рассеяния приводит к вы- молекул гораздо меньше, чем число не водам: 1) линии спутников располага- возбужденных, то интенсивность анти стоксовых спутников меньше, чем сто ются симметрично по обе стороны от несмещенной линии;

2) частоты не за- ксовых. С повышением температуры висят от частоты падающего на веще- число возбужденных молекул растет, в ство света, а определяются только рас- результате чего возрастает и интенсив сеивающим веществом, т.е. характери- ность антистоксовых спутников.

зуют его состав структуру;

3) число Молекулярные спектры (в том чис спутников определяется рассеивающим ле и спектры комбинационного рассея веществом;

4) интенсивность антисток- ния света) применяются для исследо совых спутников меньше интенсивно вания строения и свойств молекул, ис сти стоксовых и с повышением темпе- пользуются в молекулярном спектраль ратуры рассеивающего вещества увели- ном анализе, лазерной спектроскопии, чивается, в то время как интенсивность квантовой электронике и т. д.

стоксовых спутников практически от температуры не зависит.

Объяснение закономерностей ком- § 232. Поглощение. Спонтанное бинационного рассеяния света дает и вынужденное излучения квантовая теория. Согласно этой тео рии, рассеяние света есть процесс, в ко- Как отмечалось выше, атомы могут тором один фотон поглощается и один находиться лишь в квантовых состоя фотон испускается молекулой. Если ниях с дискретными значениями энер энергии фотонов одинаковы, то в рас- гии.... Ради простоты рас сеянном свете наблюдается несмещен- смотрим только два из этих состояний ная линия. Однако возможны процес- и 2) с энергиями и Если атом сы рассеяния, при которых энергии по- находится в 1, глощенного и испущенного фотонов под действием внешнего излучения неодинаковы. Различие энергии фото- может осуществиться вынужденный нов связано с переходом молекулы из переход в возбужденное состояние нормального состояния в возбужденное (рис. 312, а), приводящий к поглоще (испущенный фотон будет иметь мень- нию излучения. Вероятность подобных шую частоту — возникает стоксов спут- переходов пропорциональна плотности ник), либо из возбужденного излучения, вызывающего эти переходы.

в нормальное (испущенный фотон бу Атом, находясь в возбужденном со дет иметь большую частоту — возника стоянии 2, может через некоторый про ет антистоксов спутник).

межуток времени спонтанно, без каких Рассеяние света сопровождается пе- либо внешних воздействий, перейти в реходами молекулы между различны- состояние с низшей энергией (в нашем ванным) излучением. Таким образом, в процесс вынужденного излучения вовлечены два фотона: первичный фо тон, вызывающий испускание излуче ния возбужденным атомом, и вторич ный фотон, испущенный атомом. Суще ственно, что вторичные фотоны нео тличимы от являясь точной Рис. их копией.

случае в основное), отдавая избыточ- В статистической физике известен ную энергию в виде электромагнитно- принцип детального со го излучения (испуская фотон с энер- гласно которому при термодинамичес гией hv = - Процесс испуска- ком равновесии каждому процессу ния фотона возбужденным атомом можно сопоставить обратный процесс, (возбужденной микросистемой) без причем скорости их протекания одина каких-либо внешних воздействий назы- ковы. А. Эйнштейн применил этот прин вается спонтанным (или самопроиз- цип и закон сохранения энергии при вольным) излучением (рис. 312, б). рассмотрении излучения и поглощения Чем больше вероятность спонтанных электромагнитных волн в случае чер переходов, тем меньше среднее время ного тела. Из условия, что при равно жизни атома в возбужденном состоя- весии полная вероятность испускания нии. Так как спонтанные переходы вза- (спонтанного и вынужденного) фото имно не связаны, то спонтанное излу- нов равна вероятности поглощения чение некогерентно. фотонов той же частоты, Эйнштейн получил выведенную ранее Планком В 1916 г. А.Эйнштейн для объясне формулу (200.3).

ния наблюдавшегося на опыте термоди намического равновесия между веще- Эйнштейн и Дирак показали, что ством и испускаемым и поглощаемым вынужденное излучение (вторичные им излучением постулировал, что по- фотоны) тождественно вынуждающе мимо поглощения и спонтанного излу- му излучению (первичным фотонам):

чения должен существовать третий, ка- оно имеет такие же частоту, фазу, по чественно иной тип взаимодействия. ляризацию и направление распростра Если на атом, находящийся в воз- нения, как и вынуждающее излучение.

Следовательно, вынужденное излуче бужденном состоянии 2, действует внешнее излучение с частотой, удовлет- ние строго когерентно с вынуждающим воряющей условию hv = - то воз- излучением, т.е. испущенный фотон никает вынужденный {индуцирован- неотличим от фотона, падающего на атом.

ный) переход в основное состояние с излучением фотона той же энергии Испущенные фотоны, двигаясь в hv = — (рис. 312, в). При подоб- одном направлении и встречая другие ном переходе происходит излучение возбужденные атомы, стимулируют атомом фотона дополнительно тому дальнейшие индуцированные перехо фотону, под действием которого про ды, и число фотонов растет лавинооб изошел переход. Возникающее в ре- разно. Однако наряду с вынужденным зультате таких переходов излучение на- излучением возможен и конкурирую зывается вынужденным (индуциро- щий процесс — поглощение. Поэтому в 1939 г. российский физик В. А.Фабри для усиления падающего излучения кант, экспериментально обнаружив вы необходимо, чтобы число актов вынуж нужденное излучение паров ртути, воз денного излучения фотонов (оно про бужденных при электрическом разря порционально заселенности возбуж де. Открытие явления усиления элек денных состояний) превышало число тромагнитных волн и изобретенный актов поглощения фотонов (оно про способ их усиления (В.А.Фабрикант, порционально основных Ф.А.Бугаева;

1951) легли в основу квантовой электроники, В системе атомов, находящейся в положения которой позволили впос термодинамическом равновесии, по ледствии осуществить квантовые уси глощение падающего излучения будет лители и квантовые генераторы света.

преобладать над вынужденным, т. е. па дающее излучение при прохождении через вещество будет ослабляться.

Чтобы среда усиливала падающее § 233. Оптические квантовые нее излучение, необходимо создать не генераторы (лазеры) равновесное состояние системы, при котором число атомов в возбужденных Практически инверсное состояние состояниях было бы больше, чем их среды осуществлено в принципиально число в основном состоянии. Такие со источниках излучения — оптиче стояния называются состояниями с ских квантовых генераторах, или ла Процесс со- зерах (от первых букв английского на здания неравновесного состояния ве- звания Light Amplification by Stimulated щества (перевод системы в состояние с Emission of Radiation — усиление света инверсией населенностей) называется с помощью вынужденного излучения).

накачкой. Накачку можно осуществить Лазеры генерируют в видимой, инфра оптическими, электрическими и други- красной и ближней ультрафиолетовой ми способами.

областях (в оптическом диапазоне).

В средах с инверсными состояния- Идея качественно нового принципа ми вынужденное излучение может пре- усиления и генерации электромагнит высить поглощение, вследствие чего ных волн, примененная мазерах (гене падающий пучок света при прохожде- раторы и усилители, работающие в сан нии через эти среды будет усиливаться тиметровом диапазоне радиоволн) и ла (эти среды называются активными). зерах, принадлежит российским ученым В данном случае явление протекает так, Н.Г.Басову (1922-2001) и А.М.Про как если бы в законе Бугера хорову (1916 — 2002) и американскому [см. (187.1)] коэффициент поглоще- физику Ч.Таунсу (р. 1915), удостоен ния а, зависящий, в свою очередь, от ным Нобелевской премии 1964 г.

Pages:     | 1 |   ...   | 6 | 7 || 9 | 10 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.