WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 11 |

«ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Т. И. ТРОФИМОВА КУРС ФИЗИКИ 11-е издание, стереотипное УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 Т761 Рецензент — профессор кафедры физики им. А. М. Фабриканта Московского ...»

-- [ Страница 5 ] --

Силы, действующие на участок ABC контура, образуют с направлением пе (121.6) ремещения тупые углы, поэтому совер т.е. работа по перемещению замкнуто шаемая ими работа < 0. Проводник го контура с током в магнитном поле ABC пересекает при своем движении равна произведению силы тока в кон поток сквозь тонированную повер туре на изменение магнитного потока, хность и поток пронизывающий сцепленного с контуром. Формула контур в начальном положении. Следо (121.6) остается справедливой для кон вательно, тура любой формы в произвольном маг (121.4) нитном поле.

Контрольные вопросы Как, пользуясь магнитной стрелкой, можно определить знаки полюсов источников по стоянного тока?

Чему равен и как направлен магнитный момент рамки с током?

Что называют индукцией магнитного поля? Каково направление вектора Нарисуйте и покажите, как ориентированы линии магнитной индукции поля прямого тока?

Записав закон Био — Савара — Лапласа, объясните его физический смысл.

Рассчитайте, применяя закон Био магнитное поле: 1) прямого тока;

2) в центре кругового проводника с током.

Найдите выражение для силы взаимодействия двух бесконечных прямолинейных оди наковых токов противоположного направления. Начертите рисунок с указанием сил.

Назовите единицы магнитной индукции и напряженности магнитного поля. Дайте им определения.

Определите числовое значение магнитной постоянной.

Почему движущийся заряд по своим магнитным свойствам эквивалентен элементу тока?

Чему равна и как направлена сила, действующая на отрицательный электрический за ряд, движущийся в магнитном поле?

Чему равна работа силы Лоренца при движении протона в магнитном поле? Ответ обо сновать.

• Как будет двигаться заряженная частица, влетевшая в однородное магнитное поле, к век тору под углом ?

• Когда заряженная частица движется в магнитном поле по спирали? От чего зависит шаг спирали? Ответы подтвердите выводами формул.

• Что такое ускорители заряженных частиц? Какие они бывают и чем характеризу ются?

• Почему для ускорения электронов не применяются циклотроны?

• В чем заключается принцип автофазировки? Где он используется?

• В чем заключается эффект Холла? Выведите формулу для холловской разности потен циалов.

• Какие данные о проводниках и полупроводниках можно получить на основе экспери ментального исследования эффекта Холла?

• В чем заключается теорема о циркуляции вектора магнитной индукции Применив се, рассчитайте магнитное поле прямого тока.

• Какой вывод можно сделать, сравнивая циркуляцию векторов Ё • Какая теорема доказывает вихревой характер магнитного поля? Как она формулиру ется?

• Почему магнитное поле является вихревым?

• Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции рассчитайте магнит ное поле тороида.

• Что называют потоком вектора магнитной индукции? Запишите теорему Гаусса для магнитного поля, объяснив ее физический смысл.

• Какая физическая величина выражается в веберах? Дайте определение вебера.

ЗАДАЧИ 14.1. Тонкое кольцо массой 15 г и радиусом 12 см несет заряд, равномерно распределен ный с линейной плотностью 10 нКл/м. Кольцо равномерно вращается с частотой 8 от носительно оси, перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через ее центр. Опре делите отношение магнитного момента кругового тока, создаваемого кольцом, к его момен ту импульса. [251 нКл/кг] 14.2. По проводу, согнутому в виде квадрата со стороной, равной 60 см, течет постоян ный ток 3 А. Определите индукцию магнитного поля в центре квадрата. [5,66 мкТл] 14.3. По двум бесконечно длинным прямым параллельным проводникам, расстояние между которыми равно 25 см, текут токи 20 и 30 А в противоположных направлениях. Оп ределите магнитную индукцию В в точке, удаленной на — 30 см от первого и = 40 см от второго проводника. [9,5 мкТл] 14.4. Определите магнитную индукцию на оси тонкого проволочного кольца радиусом 10 см, которому течет ток 10 А, в точке, расположенной на расстоянии 15 см от центра кольца. мкТл] 14.5. Два бесконечных прямолинейных параллельных проводника с одинаковыми тока ми, текущими в одном направлении, находится друг от друга на расстоянии R. Чтобы их раздвинуть до расстояния 3R, на каждый сантиметр длины проводника затрачивается ра бота А = 220 нДж. Определите силу тока в проводниках. [10 А] 14.6. Протон, ускоренный разностью потенциалов 0,5 кВ, влетая в однородное магнит нос поле с индукцией ОД Тл, движется по окружности. Определите радиус этой окружнос ти. см] 14.7. Определите, при какой скорости пучок заряженных частиц, проходя перпендику лярно область, в которой созданы однородные поперечные электрическое и магнитное поля с Е — 10 кВ/м и В — 0,2 Тл, не отклоняется. [50 км/с] 14.8. Циклотрон ускоряет протоны до энергии 10 МэВ. Определите радиус дуантов цик лотрона при индукции магнитного ноля 1 Тл. [>47 см] 14.9. Через сечение медной пластинки толщиной 0,1 мм пропускается ток 5 А. Пластин ка помещается в однородное магнитное ноле с индукцией 0,5 Тл, перпендикулярное ребру пластинки и направлению тока. Считая концентрацию электронов проводимости равной концентрации атомов, определите возникающую в пластине поперечную (холловскую) раз ность потенциалов. Плотность меди 8,93 г/см3. [1,85 мкВ] 14.10. По прямому бесконечно длинному проводнику течет ток 15 А. Определите, пользу ясь теоремой о циркуляции вектора магнитную индукцию В в точке, расположенной на расстоянии 15 см от проводника. [20 мкТл] 14.11. Определите, пользуясь теоремой о циркуляции вектора индукцию и напря женность магнитного поля на оси тороида без сердечника, по обмотке которого, содержа щей 300 витков, протекает ток 1 А. Внешний диаметр тороида равен 60 см, внутренний — 40 см. [0,24 мТл;

14.12. Поток магнитной индукции сквозь площадь поперечного сечения соленоида (без сердечника) Ф — 5 мкВб. Длина соленоида = 25 см. Определите магнитный момент этого соленоида. [1 А • м2] 14.13. Круглая рамка с током площадью 20 см2 закреплена параллельно магнитному полю (В = 0,2 Тл), и па неё действует вращающий момент мН • м. Рамку освободили, после поворота на 90° ее угловая скорость стала равна 20 Определите: 1) силу тока, текущего в рамке;

2) момент инерции рамки относительно ее диаметра. [1) 1,5 А;

2) 3 • кг • м2] Глава ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ Рассмотрим классические опыты § 122. Явление Фарадея, с помощью которых было об электромагнитной индукции наружено явление электромагнитной (опыты Фарадея) индукции.

В гл. 14 было показано, что электри Опыт I (рис. 181, а). Если в замкнутый на ческие токи создают вокруг себя маг гальванометр соленоид вдвигать или выдви нитное поле. Связь магнитного поля с гать постоянный магнит, то в моменты его током привела к многочисленным по вдвигания или выдвигания наблюдается от пыткам возбудить ток в контуре с по клонение стрелки гальванометра (возника мощью магнитного поля. Эта фунда ет индукционный ток);

направления откло ментальная задача была блестяще ре- нений стрелки при вдвигании и выдвигании шена в 1831 г. английским физиком магнита противоположны. Отклонение стрел ки гальванометра тем больше, чем больше М. Фарадеем, открывшим явление скорость движения магнита относительно ка электромагнитной индукции. Оно тушки. При изменении полюсов магнита па заключается в том, что в замкнутом правление отклонения стрелки изменится.

проводящем контуре при изменении Для получения индукционного тока магнит потока магнитной индукции, охватыва можно оставлять неподвижным, тогда нужно емого этим контуром, возникает элект относительно магнита передвигать соленоид.

рический ток, получивший название Опыт П. Концы одной из катушек, встав индукционного.

ленных одна в другую, присоединяются к так как была доказана возможность по лучения электрического тока с помощью магнитного поля. Этим была установле на взаимосвязь между электрическими и магнитными явлениями, что послужи ло в дальнейшем толчком для разработ ки теории электромагнитного поля.

Рис. § 123. Закон Фарадея и его вывод гальванометру, а через другую катушку про из закона сохранения энергии пускается ток. Отклонение стрелки гальвано метра наблюдается в моменты включения или выключения тока, в моменты его увеличения Обобщая результаты своих много или уменьшения, при перемещении катушек численных опытов, М. Фарадей пришел друг относительно друга (рис. 181, б). Направ к количественному закону электромаг ления отклонений стрелки гальванометра так нитной индукции. Он показал, что вся же противоположны при включении или вык кий раз, когда происходит изменение лючении тока, его увеличении или уменьше сцепленного с контуром потока магнит нии, сближении или удалении катушек.

ной индукции, в контуре возникает ин Обобщая результаты своих много- дукционный ток, что указывает на на численных опытов, Фарадей пришел к личие в цепи электродвижущей силы, выводу, что индукционный ток возни- называемой электродвижущей силой кает всегда, когда происходит измене- электромагнитной индукции. Значе ние сцепленного с контуром потока ние индукционного тока, а следователь магнитной индукции.

но, и ЭДС электромагнитной индук Например, при повороте в однород- ции определяются только скоростью ном магнитном поле замкнутого прово- изменения магнитного потока, т. е.

дящего контура в нем также возникает индукционный ток. В данном случае (123.1) индукция магнитного поля вблизи про водника остается постоянной, а меня Теперь необходимо выяснить знак ется только поток магнитной индукции В § 120 было показано, что знак магнит сквозь контур.

ного потока зависит от выбора положи Опытным путем было также уста тельной нормали к контуру. В свою оче новлено, что значение индукционного редь, положительное направление нор тока совершенно не зависит от способа мали определяется правилом правого изменения потока магнитной индукции, винта (см. § 109). Следовательно, вы а определяется лишь скоростью его из бирая положительное направление нор менения (в опытах Фарадея также до мали, можно определить как знак пото казывается, что отклонение стрелки ка магнитной индукции, так и направ гальванометра (сила тока) тем больше, ление тока и ЭДС в контуре.

чем больше скорость движения магни Если величины и t выразить в од та, или скорость изменения силы тока, ной системе единиц, то можно записать:

или скорость движения катушек).

Открытие явления электромагнит (123.2) ной индукции имело большое значение, Формула (123.2) выражает закон где R — полное сопротивление контура.

электромагнитной индукции Фара- Тогда дея.

Знак «—» показывает, что увеличе ние потока вызывает ЭДС < 0, т. е. поле индукционного тока на г д е е с т ь не что иное, как за правлено навстречу потоку;

уменьше кон Фарадея [см. (123.2)].

ние потока вызывает > О, Закон Фарадея можно сформули т. е. направления потока и поля индук- ровать таким образом: ЭДС электро ционного тока совпадают. Знак «—» в магнитной индукции в контуре числен формуле (123.2) соответствует прави- но равна и противоположна по знаку лу Ленца (1833) — общему правилу для скорости изменения магнитного пото нахождения направления индукцион- ка сквозь поверхность, ограниченную ного тока. этим контуром. Этот закон является Правило Ленца: индукционный ток универсальным: ЭДС не зависит от в контуре имеет всегда такое направле- способа изменения магнитного потока.

ние, что создаваемое им магнитное поле ЭДС электромагнитной индукции вы препятствует изменению магнитного ражается в вольтах. Действительно, потока, вызывающему этот индукцион- учитывая, что единицей магнитного ный ток. потока является вебер (Вб), получим К формуле (123.2) можно прийти с помощью закона сохранения энергии, как это впервые сделал Г. Гельмгольц1.

Рассмотрим, следуя Г. Гельмгольцу, проводник с током /, который помещен в однородное магнитное поле, перпен дикулярное плоскости контура, и мо Какова природа ЭДС электромагнит жет свободно перемещаться (см._рис.

ной индукции? Если проводник (под 179). Под действием силы Ампера на вижная перемычка контура на рис. 179) правление которой показано на рисун движется в постоянном магнитном ке, проводник перемещается на отрезок поле, то сила Лоренца, действующая на da;

. Таким образом, сила Ампера произ заряды внутри проводника, движущи водит работу [см. (121.1)] dA = еся вместе с проводником, будет на — пересеченный проводником маг правлена противоположно току, т. е. она нитный поток.

будет создавать в проводнике индукци Согласно закону сохранения энер онный ток противоположного направ гии, работа источника тока за время dt ления (за направление электрического расходуется на джоулеву тепло тока принимается движение положи ту и работу по перемещению тельных зарядов). Таким образом, воз проводника в магнитном поле буждение ЭДС индукции при движе нии контура в постоянном магнитном поле объясняется действием силы Ло ренца, возникающей при движении Г. Гельмгольц (1821 — 1894) — немецкий ес тествоиспытатель. проводника.

Согласно закону Фарадея, возник- номерно с угловой скоростью = const.

новение ЭДС электромагнитной ин- Магнитный поток, сцепленный с рам дукции возможно и в случае неподвиж- кой площадью S, в любой момент вре ного контура, находящегося в перемен- мени t, согласно (120.1), равен ном магнитном поле. Однако сила Ло ренца на неподвижные заряды не дей ствует, поэтому в данном случае ею где а — — угол поворота рамки в мо нельзя объяснить возникновение ЭДС мент времени t (начало отсчета выбра индукции. Максвелл для объяснения но так, чтобы при 0 было а 0).

индукции в неподвижных провод- При вращении рамки в ней будет никах предположил, что всякое пере- возникать переменная ЭДС индукции менное магнитное поле возбуждает в [см. (123.2)] окружающем пространстве электриче ское поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в проводнике. Циркуляция вектора изменяющаяся со временем по гармо этого ноля по любому неподвижному ническому закону. максималь контуру L проводника представляет на при = 1, т.е.

собой ЭДС электромагнитной индук (124.2) ции:

Учитывая выражение (124.1) можно записать в виде Таким образом, если в однородном магнитном поле равномерно вращает § 124. Вращение рамки ся рамка, то в ней возникает перемен в магнитном поле ная ЭДС, изменяющаяся но гармони ческому закону.

Явление электромагнитной индук Из формулы (124.2) вытекает, что ции применяется для преобразования (следовательно, и ЭДС индукции) механической энергии в энергию элек находится в прямой зависимости от ве трического тока. Для этой цели исполь личин В S. В России принята стан зуются генераторы, принцип действия которых можно рассмотреть на приме дартная частота тока ре плоской рамки, вращающейся в од поэтому возможно лишь возрастание нородном магнитном поле (рис. 182).

двух остальных величин. Для увеличе Пусть рамка вращается в однород ния применяют мощные постоянные ном магнитном поле (В = const) рав магниты или в электромагнитах про пускают значительный ток, а также внутрь электромагнита помещают сер дечники из материалов с большой маг нитной проницаемостью Если вра щать не один, а ряд витков, соединен ных последовательно, то тем самым увеличивается S. Переменное напряже Рис. ние снимается с вращающегося витка с помощью щеток, схематически изобра женных на рис. 182.

Процесс превращения механической энергии в электрическую обратим. Если по рамке, помещенной в магнитное поле, пропускать ток, то в соответствии с (109.1) па нее будет действовать вра щающий момент и рамка начнет вра щаться. На этом принципе основана работа электродвигателей, предназна ченных для превращения электриче- санном маятнике сделать радиальные ской энергии в механическую.

вырезы, то вихревые токи ослабляют ся и торможение почти отсутствует.

Вихревые токи помимо торможения § 125. Вихревые токи (токи Фуко) (как правило, нежелательного эффек та) вызывают нагревание проводников.

Индукционный ток возникает не Поэтому для уменьшения потерь на только в линейных проводниках, но и в нагревание якоря генераторов и сер массивных сплошных проводниках, по- дечники трансформаторов делают не мещенных в переменное магнитное сплошными, а изготовляют из тонких поле. Эти токи оказываются замкнуты- пластин, отделенных одна от другой ми в толще проводника и поэтому на- слоями изолятора, и устанавливают их зываются вихревыми. Их также назы- так, чтобы вихревые токи были направ вают токами Фуко — по имени перво- лены поперек пластин.

го исследователя.

Джоулева теплота, выделяемая тока Токи Фуко, как и индукционные ми Фуко, используется в индукционных токи в линейных проводниках, подчи- металлургических печах. Индукционная няются правилу Ленца: их магнитное печь представляет собой тигель, поме поле направлено так, чтобы противо- щаемый внутрь катушки, в которой про действовать изменению магнитного пускается ток высокой частоты. В метал потока, индуцирующему вихревые ле возникают интенсивные вихревые токи. Например, если между полюсами токи, способные разогреть его до плав невключенного электромагнита мас- ления. Такой способ позволяет плавить сивный медный маятник совершает металлы в вакууме, в результате чего по практически незатухающие колебания лучаются сверхчистые материалы.

(рис. 183), то при включении тока он ис Вихревые токи возникают и в про пытывает сильное торможение и очень водах, по которым течет переменный быстро останавливается. Это объясня ток. Направление этих токов можно ется тем, что возникшие токи Фуко определить по правилу Ленца. На рис.

имеют такое направление, что действу 184, а показано направление вихревых ющие на них со стороны магнитного токов при возрастании первичного тока поля силы тормозят движение маятни в проводнике, а па рис. 184, б — при его ка. Этот факт используется для успоко убывании. В обоих случаях направле ения {демпфирования) подвижных ча ние вихревых токов таково, что они стей различных приборов. Если в опи противодействуют изменению первич 8 Курс где L — коэффициент пропорциональ ности, называемый индуктивностью контура.

При изменении силы тока в контуре будет изменяться также и сцепленный с ним магнитный поток;

следовательно, в контуре будет индуцироваться ЭДС.

Возникновение ЭДС индукции в про водящем контуре при изменении в нем Рис. силы тока называется самоиндукцией.

Из выражения (126.1) определяется ного тока внутри проводника и способ единица индуктивности генри (Гн):

ствуют его изменению вблизи поверх 1 Гн — индуктивность такого контура, ности. Таким образом, вследствие воз магнитный поток самоиндукции кото никновения вихревых токов быстропе рого при токе в 1 А равен 1 Вб:

ременный ток оказывается распреде ленным по сечению провода неравно 1 Гн = 1 Вб/А = 1 В • с/А.

мерно — он как бы вытесняется на по верхность проводника. Это явление по- Рассчитаем индуктивность беско нечно длинного соленоида. Согласно лучило название скин-эффекта (от англ. skin — кожа) или поверхностно- (120.4), полный магнитный поток го эффекта. Так как токи высокой ча- сквозь соленоид (потокосцепление) стоты практически текут в тонком по Подставив это выра равен верхностном слое, то провода для них жение в формулу (126.1), получим делаются полыми.

Если сплошные проводники нагре (126.2) вать токами высокой частоты, то в ре зультате скин-эффекта происходит на гревание только их поверхностного т.е. индуктивность соленоида зависит слоя. На этом основан метод поверхно- от числа N витков соленоида, его дли стной закалки металлов. Меняя часто- ны площади S и магнитной проница ту поля, он позволяет производить за- емости вещества, из которого изготов калку на любой требуемой глубине.

лен сердечник соленоида.

Можно показать, что индуктивность контура в общем случае зависит толь ко от геометрической формы контура, § 126. Индуктивность контура.

его размеров и магнитной проницаемо Самоиндукция сти той среды, в которой он находится.

В этом смысле индуктивность конту Электрический ток, текущий в зам ра — аналог электрической емкости кнутом контуре, создает вокруг себя уединенного проводника, которая так магнитное поле, индукция которого, по же зависит только от формы проводни закону Био —Савара — Лапласа [см.

ка, его размеров в диэлектрической про (110.2)], пропорциональна току. Сцеп ницаемости среды (см. § 93).

ленный с контуром магнитный поток Ф Применяя к явлению самоиндукции поэтому пропорционален току в контуре:

закон Фарадея [см. (123.2)], получим, (126.1) что ЭДС самоиндукции в цепи, т. е. направлены противополож но току, создаваемому источником. При выключении источника тока экстрато Если контур не деформируется и ки имеют такое же направление, что и магнитная проницаемость среды не из ослабевающий ток. Следовательно, на меняется (в дальнейшем будет показа личие индуктивности в цепи приводит но, что последнее условие выполняет к замедлению исчезновения или уста ся не всегда), то L — const и новления тока в цепи.

Рассмотрим процесс выключения (126.3) тока в цепи, содержащей источник тока с ЭДС резистор сопротивлением R и где знак «—» обусловлен правилом Лен- катушку индуктивностью L. Под дей ца, согласно которому наличие индук- ствием внешней ЭДС в цепи течет по тивности в контуре приводит к замед- стоянный ток лению изменения тока в нем.

Если ток со временем возрастает, то > 0 < 0, т.е. ток самоиндукции (внутренним сопротивлением источни направлен навстречу току, обусловлен ка тока пренебрегаем).

ному внешним источником, и замедля В момент времени t — 0 отключим ет его возрастание. Если ток со време источник тока. Ток в катушке индуктив нем убывает, то — < 0 и > 0, т. е. ин ностью L начнет уменьшаться, что при дукционный ток имеет такое же направ ведет к возникновению ЭДС самоиндук ление, как и убывающий ток в контуре, ции препятствующей, со и замедляет его убывание. Таким обра гласно правилу Ленца, уменьшению тока.

зом, контур, обладая определенной ин дуктивностью, приобретает электриче- В каждый момент времени ток в цепи оп скую инертность, заключающуюся в ределяется законом Ома / или том, что любое изменение тока тормо зится тем сильнее, чем больше индук (127.1) тивность контура.

Разделив в выражении (127.1) пере менные, получим, Интег § 127. Токи при размыкании рируя это уравнение по и t и замыкании цепи (от 0 до t), находим, или При всяком изменении силы тока в проводящем контуре возникает ЭДС (127.2) самоиндукции, в результате чего в кон туре появляются дополнительные токи, называемые экстратоками самоин дукции.

временем релаксации.

Экстратоки согласно Из (127.2) следует, что т есть время, правилу Ленца, всегда направлены так, в течение которого сила тока уменьша чтобы препятствовать изменениям тока ется в е раз.

Сила тока возрастает от начального зна чения /= 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению Скорость нарастания тока определяет ся тем же временем релаксации что и убывание тока. Установление тока Таким образом, в процессе отключе происходит тем быстрее, чем меньше ния источника тока сила тока убывает индуктивность цени и больше ее сопро по экспоненциальному закону (127.2) тивление.

и определяется кривой 1 на рис. 185.

Оценим значение ЭДС самоиндук Чем больше индуктивность цепи и ции возникающей при мгновенном меньше ее сопротивление, тем больше увеличении сопротивления цепи посто т и, следовательно, тем медленнее янного тока от ДО R. Предположим, уменьшается ток в цепи при ее размы что мы размыкаем контур, когда в нем кании.

течет установившийся ток..При При замыкании цепи помимо внеш ней ЭДС возникает ЭДС самоиндук- размыкании цепи ток изменяется по формуле (127.2). Подставив в нее вы ции —, препятствующая, со dt ражение для и т, получим гласно правилу Ленца, возрастанию тока. По закону Ома, IR — или ЭДС самоиндукции Введя новую переменную IR преобразуем это уравнение к виду т.е. при значительном увеличении со противления цепи ( — 1), обладаю щей большой индуктивностью, ЭДС самоиндукции может во много раз превышать ЭДС источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, со держащий индуктивность, нельзя рез (127.3) ко размыкать, так как это (возникно вение значительных ЭДС самоиндук где — установившийся ток (при ции) может привести к пробою изоля ции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивле Таким образом, в процессе включе ние вводить постепенно, то ЭДС само ния источника тока нарастание силы индукции не достигнет больших значе тока в цепи задается функцией (127.3) ний.

и определяется кривой 2 па рис. 185.

Рис. § 128. Взаимная индукция Рассмотрим два неподвижных кон тура (1 2), расположенных достаточ но близко друг от друга (рис. 186). Если в контуре 1 ток то поток, этим током (поле, дукцией. Коэффициенты пропорцио создающее этот поток, на рисунке изоб нальности называются взаим ражено сплошными линиями), пропор ной индуктивностью контуров. Рас ционален Обозначим через ту четы, подтверждаемые опытом, показы часть потока, которая пронизывает кон вают, тур 2. Тогда (128.2) (128.1) где — коэффициент пропорциональ Коэффициенты зависят от гео ности.

формы, размеров, взаим Если ток изменяется, то в ного расположения контуров и от маг ре 2 индуцируется ЭДС которая нитной проницаемости окружающей закону Фарадея [см. (123.2)] равна и контуры среды. Единица взаимной ин противоположна по знаку скорости из дуктивности та же, что и для индуктив менения магнитного потока создан ности, — генри ного током в контуре и прони Рассчитаем взаимную индуктивность зывающего второй:

двух катушек, намотанных на общий то роидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 187). Магнитная индукция поля, Аналогично, при протекании в кон создаваемого первой катушкой с чис туре 2 тока магнитный поток (его лом витков током и магнитной поле изображено на рис. 186 штриховы проницаемостью сердечника, соглас ми линиями) пронизывает первый но (119.2), где — длина тур. Если часть этого потока, про низывающего контур 1, сердечника по средней линии. Магнит ный поток сквозь один виток второй катушки Если ток изменяется, то в конту ре которая рав Тогда полный магнитный поток (по на и противоположна по знаку скорос токосцепление) сквозь вторичную об ти изменения магнитного потока мотку, содержащую витков, созданного током во втором контуре и пронизывающего первый:

Рис. Явление возникновения ЭДС в од ном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной ип щий в сердечнике трансформатора пе ременный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в Поток создается током поэто железном сердечнике и, следовательно, му, согласно (128.1), получаем почти целиком пронизывает витки вто ричной обмотки. Изменение этого по тока вызывает во вторичной обмотке появление ЭДС взаимной индукции, Если вычислить магнитный поток, а в первичной — ЭДС самоиндукции.

создаваемый катушкой 2 сквозь катуш Ток первичной обмотки определя ку 1, то для получим выражение в ется согласно закону Ома:

соответствии с формулой (128.3). Та ким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных па общий тороидальный сердечник, где — сопротивление первичной об моткн. Падение напряжения на со противлении при быстроперемен иых полях мало по сравнению с каждой из двух ЭДС, поэтому § 129. Трансформаторы (129.1) Принцип действия трансформато ЭДС взаимной индукции, возника ров — устройств, применяемых для по ющая во вторичной обмотке, вышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Впервые транс форматоры были сконструированы русским электротехником П. Н.Яблоч Сравнивая выражения (129.1) и ковым (1847—1894) и русским физи (129.2), получим, что ЭДС, возникаю ком И.Ф.Усагиным (1855-1919).

щая во вторичной обмотке, Принципиальная схема трансформато ра показана на рис. 188. Первичная и (129.3) вторичная катушки (обмотки), имею щие соответственно и витков, ук где знак « —» показывает, что ЭДС в реплены на замкнутом железном сер первичной и вторичной обмотках про дечнике. Так как концы первичной об тивоположны по фазе.

мотки присоединены к источнику пере г Отношение числа витков, пока менного напряжения с ЭДС то в пей ь зывающее, во сколько раз ЭДС во вто возникает переменный ток создаго ричной обмотке трансформатора боль ше (или меньше), чем в первичной, на Рис. зывается коэффициентом трансфор мации.

Пренебрегая потерями энергии, ко торые в современных трансформаторах не превышают 2 % и связаны в основ- ЭДС снимается с части об ном с выделением в обмотках джоуле- мотки.

вой теплоты и появлением вихревых токов, и применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощнос § 130. Энергия магнитного поля ти тока в обеих обмотках трансформа тора практически одинаковы:

Проводник, по которому протекает электрический ток, создает в окружаю щем пространстве магнитное при откуда, учитывая соотношение (129.3), чем магнитное поле появляется и исче найдем зает вместе с появлением и исчезнове нием тока.

Магнитное поле, подобно электри ческому, является носителем энергии.

т. е. токи в обмотках обратно пропорци- Естественно предположить, что энер гия магнитного равна работе, ко ональны числу витков в этих обмотках.

торая затрачивается током на создание Если —- > то имеем дело с повы шающим трансформатором, увели Рассмотрим контур индуктивнос чивающим переменную ЭДС и понижа тью L, по которому течет ток /. С дан ющим ток (применяются, например, ным контуром сцеплен магнитный по для передачи электроэнергии на боль ток [см. (126.1)] Ы, причем из шие расстояния, так как в данном слу менении тока на d/ магнитный поток чае потери па джоулеву теплоту, про изменяется на Однако для порциональные квадрату силы тока, изменения магнитного потока на вели чину (см. § 121) необходимо совер снижаются);

если <1, то имеем шить работу dA = /с1Ф — Тогда дело с понижающим трансформато работа по созданию магнитного пото ром, уменьшающим ЭДС и повышаю ка будет щим ток (применяются, например, при электросварке, так как для нее требует ся большой ток при низком напряже нии).

Мы рассматривали трансформато Следовательно, энергия магнитного ры, имеющие только две обмотки. Од ноля, связанного с контуром, нако трансформаторы, используемые в радиоустройствах, имеют 4 — 5 обмоток, (130.1) обладающих разными рабочими напря жениями. Трансформатор, состоящий из одной обмотки, называется авто- Исследование свойств переменных трансформатором. В случае повыша- магнитных в частности распро ющего автотрансформатора ЭДС под- странения электромагнитных волн, водится к части обмотки, а вторичная явилось доказательством того, что энер ЭДС снимается со всей обмотки. В по- гия магнитного поля локализована в нижающем автотрансформаторе напря- пространстве. Это соответствует пред жение сети подается па всю обмотку, а ставлениям теории поля.

Энергию магнитного поля можно рим случаи — однородное маг представить как функцию величин, ха нитное поле внутри длинного солено рактеризующих это в окружаю ида. Подставив в формулу (130.1) вы щем пространстве. Для этого рассмот ражение (126.2), получим Т а б л и а б Выражение (130.3) для объемной плотности энергии магнитного поля имеет вид, аналогичный формуле (95.8) для объемной плотности энергии элек тростатического поля, с той разницей, что электрические величины заменены в нем магнитными. Формула (130.3) (130.2) выведена для однородного поля, но она справедлива и для неоднородных по где V = — объем соленоида.

лей. Выражение (130.3) справедливо Магнитное поле соленоида однород только для сред, для которых зависи но и сосредоточено внутри поэто мость т.е. оно относит му энергия [см. (130.2)] заключена в ся только к пара- и диамагнетикам (см.

объеме соленоида и распределена в нем § 132).

с постоянной объемной плотностью В табл. 6 представлена аналогия при рассмотрении электрических и магнит.(130.3) ных нолей.

Контрольные вопросы Что является причиной возникновения ЭДС индукции в замкнутом проводящем кон туре? От чего и как зависит ЭДС индукции, возникающая в контуре?

В чем заключается явление электромагнитной индукции? Проанализируйте опыты Фарадся.

Почему для обнаружения индукционного тока лучше использовать замкнутый провод ник в виде катушки, а не в виде одного витка провода?

Сформулируйте правило Ленца, проиллюстрировав его примерами.

Как направлен индукционный ток?

Всегда ли при изменении магнитной индукции в проводящем контуре в нем возникает ЭДС индукции? индукционный ток?

Возникает ли индукционный ток в проводящей рамке, поступательно движущейся в од нородном магнитном поле?

Покажите, что закон Фарадея есть следствие закона сохранения энергии.

Какова природа ЭДС электромагнитной индукции?

Выведите выражение для ЭДС индукции в плоской рамке, равномерно вращающейся в однородном магнитном поле. За счет чего се можно увеличить?

Что такое вихревые токи? Вредны они или полезны?

Почему сердечники трансформаторов не делают сплошными?

Когда ЭДС самоиндукции больше — при замыкании или размыкании цени постоянного тока?

В чем заключается физический смысл индуктивности контура? взаимной индуктивно сти двух контуров? От чего они зависят?

чем заключаются явления самоиндукции и взаимной индукции? Вычислите ЭДС ин дукции для обоих случаев.

чем заключается физический смысл времени релаксации т -4? Докажите, что т имеет размерность времени.

Запишите и проанализируйте выражения для объемной плотности энергии электроста тического и магнитного нолей. Чему равна объемная плотность энергии электромагнит ного • Напряженность магнитного поля возросла в два раза. Как изменилась объемная плот ность энергии магнитного поля?

• Приведите соотношение между токами в первичной и вторичной обмотках повышаю щего трансформатора.

ЗАДАЧИ 15.1. Кольцо из алюминиевого провода (р 2С • м) помещено в магнитное поле пер пендикулярно линиям магнитной индукции. Диаметр кольца 20 см, диаметр провода 1 мм.

Определите скорость изменения магнитного поля, если сила тока в кольце 0,5 А. [0.33 Тл/с] 15.2. В однородном магнитном иоле, индукция которого Тл, равномерно с частотой 300 вращается катушка, содержащая 200 витков, плотно прилегающих друг к другу.

Площадь поперечного сечения катушки 100 см2. Ось вращения перпендикулярна осп ка тушки и направлению магнитного поля. Определите максимальную ЭДС, индуцируемую в катушке. [31,4 В] 15.3. Определите, сколько витков проволоки, вплотную прилегающих друг к другу, ди аметром 0,3 мм с изоляцией ничтожно малой толщины надо намотать на картонный ци линдр диаметром 1 см, чтобы получить однослойную катушку с индуктивностью 1 мГп.

Определите, через сколько времени сила тока замыкания достигнет 0,98 предель ного значения, если источник тока замыкают па катушку сопротивлением 10 Ом индук тивностью 0,4 [0,16 с] 15.5. Два соленоида (индуктивность одного = 0,ЗС Гп, другого = одинако вой длины и практически равного сечения вставлены один в другой. Определите взаимную индуктивность соленоидов. [0,48 Гп] Автотрансформатор, понижающий напряжение с = 5,5 кВ до = 220 В, содер жит в первичной обмотке = 1500 витков. Сопротивление вторичной обмотки = 2 Ом.

Сопротивление внешней цепи (в сети пониженного напряжения) R = 13 Ом. Пренебрегая сопротивлением первичной обмотки, определите число витков во вторичной транс форматора.

Глава МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА янии на магнитную индукцию, необ § 131. Магнитные моменты ходимо рассмотреть действие магнит электронов и атомов ного поля на атомы и молекулы веще Рассматривая действие магнитного ства.

поля на проводники с током и на дви- Опыт показывает, что все вещества, жущиеся заряды, мы не интересовались помещенные в магнитное поле, намаг процессами, происходящими в веще- ничиваются. Рассмотрим причину это стве. Свойства среды учитывались фор- го явления с точки зрения строения ато мально с помощью магнитной прони- мов и молекул, положив в основу гипо цаемости Для того чтобы разобрать- тезу Ампера (см. § 109), согласно кото ся в магнитных свойствах сред и их вли- рой в любом теле существуют микро скопические токи, обусловленные дви жением электронов в атомах и молеку лах.

Для качественного объяснения маг нитных явлений с достаточным при ближением можно считать, что элект рон движется в атоме по круговым ор битам. Электрон, движущийся по одной называется гиромагнитным отноше из таких орбит, эквивалентен кругово нием орбитальных моментов (об му току, поэтому обладает орби щепринято писать со знаком «-», ука тальным магнитным моментом [см.

зывающим на то, что направления мо (109.2)] = модуль которого ментов противоположны). Это отно (131.1) шение, определяемое универсальными постоянными, одинаково для любой где ev — сила тока;

v — частота вра орбиты, хотя для разных орбит значе щения электрона по орбите;

S — пло ния различны. Формула (131.4) щадь орбиты.

выведена для круговой орбиты, но она Если электрон движется по часовой справедлива и для эллиптических ор стрелке (рис. 189), то ток направлен бит.

против часовой стрелки и вектор Экспериментальное определение (в соответствии с правилом правого гиромагнитного отношения проведено винта) направлен перпендикулярно в опытах Эйнштейна и де Гааза1 (1915), плоскости орбиты электрона, как ука которые наблюдали поворот свободно зано на рисунке.

подвешенного на тончайшей кварцевой С другой стороны, движущийся нити железного стержня при его намаг орбите электрон обладает механичес ничивании во внешнем магнитном поле ким моментом импульса модуль ко (по обмотке соленоида пропускался пе торого, согласно (19.1), ременный ток с частотой, равной час тоте крутильных колебаний стержня).

(131.2) При исследовании вынужденных где v — S. Вектор (его на- крутильных колебаний стержня опре правление также определяется по пра- делялось гиромагнитное отношение, вилу правого винта) называется орби которое оказалось равным —. Таким тальным механическим моментом образом, знак носителей, обусловлива электрона.

ющих молекулярные токи, совпадал со 189 следует, что направления знаком заряда электрона, а гиромагнит противоположны, поэтому, учи ное отношение оказалось в два раза тывая выражения (131.1) и (131.2), ПО большим, чем введенная ранее величи ЛУЧИМ на д [см. (131.4)]. Для объяснения это го результата, имевшего большое зна чение для дальнейшего развития физи ки, было предположено, а впоследствии где величина В. И. де Гааз (1878- 1960) - нидерландский (131.4) физик.

доказано, что кроме орбитальных мо- мс магнитных моментов (орбитальных ментов [см. (131.1) и (131.2)] электрон и спиновых), входящих в атом (моле обладает собственным механическим кулу) электронов:

моментом импульса называемым (131.6) спином.

Считалось, что спин обусловлен вра Еще раз обратим внимание на то, что щением электрона вокруг своей оси, что при рассмотрении магнитных момен привело к целому ряду противоречий.

тов электронов и атомов мы пользова В настоящее время установлено, что лись классической теорией, не учиты спин является неотъемлемым свой вая ограничений, накладываемых па ством электрона, подобно его заряду и движение электронов законами кванто массе. Спину электрона соответству вой механики. Однако это не противо ет собственный (спиновый) магнит речит полученным результатам, так как ный момент пропорциональный для дальнейшего объяснения намагни и направленный в противоположную чивания веществ существенно лишь то, сторону:

что атомы обладают магнитными мо ментами.

(131.5) Величина называется гиромагнит ным отношением спиновых момен- § 132. Диа- и парамагнетизм тов.

Проекция собственного магнитного Всякое вещество является магнети момента на направление вектора мо ком, т.е. оно способно под действием жет принимать только одно из следую магнитного поля приобретать магнит щих двух значений:

ный момент (намагничиваться). Для понимания механизма этого явления необходимо рассмотреть действие маг нитного поля на движущиеся в атоме электроны.

Ради простоты предположим, что — магнетон Бора, являющийся еди электрон в атоме движется по кру ницей магнитного момента электрона.

говой орбите. Если орбита электрона В общем случае магнитный момент ориентирована относительно вектора электрона складывается из орбитально произвольным образом, составляя с го и спинового магнитных моментов.

Магнитный момент атома, следователь Рис. но, складывается из магнитных момен тов входящих в его состав электронов и магнитного момента ядра (обуслов лен магнитными моментами входящих в ядро протонов и нейтронов). Однако магнитные моменты ядер в тысячи раз меньше магнитных моментов электро нов, поэтому ими пренебрегают. Таким образом, общий магнитный момент ато ма (молекулы) равен векторной сум ним угол (рис. 190), то можно дока- ствам. Однако наряду с диамагнетика зать, что она приходит в такое движе- ми существуют и парамагнетики — ве ние вокруг при котором вектор маг- щества, намагничивающиеся во внеш нитного момента сохраняя постоян- нем магнитном поле по направлению ным угол а, вращается вокруг вектора поля.

с некоторой угловой скоростью. Такое У парамагнитных веществ при от движение в механике называется пре- сутствии внешнего магнитного поля цессией. Прецессию вокруг вертикаль- магнитные моменты электронов не ной оси, проходящей через точку опо- компенсируют друг друга, и атомы (мо ры, совершает, например, диск волчка лекулы) парамагнетиков всегда облада при замедлении движения.

ют магнитным моментом. Однако вслед Таким образом, электронные орби- ствие теплового движения молекул их ты атома под действием внешнего маг- магнитные моменты ориентированы нитного поля совершают прецессион- беспорядочно, поэтому парамагнитные вещества магнитными свойствами не ное движение, которое эквивалентно обладают. При внесении парамагнети круговому току. Так как этот микроток индуцирован внешним магнитным по- ка во внешнее магнитное поле устанав лем, то, согласно правилу Ленца, у ато- ливается преимущественная ориента ма появляется составляющая магнит- ция магнитных моментов атомов по ного поля, направленная противопо- полю (полной ориентации препятству ет тепловое движение атомов). Таким ложно внешнему полю. Наведенные составляющие магнитных полей ато- образом, парамагнетик намагничивает мов (молекул) складываются и образу- ся, создавая собственное магнитное ют собственное магнитное поле веще- иоле, совпадающее по направлению с внешним полем и усиливающее его.

ства, ослабляющее внешнее магнитное Этот эффект называется парамаг поле. Этот эффект получил название нитным.

диамагнитного эффекта, а вещества, намагничивающиеся во внешнем маг При ослаблении внешнего магнит нитном поле против направления поля, ного поля до нуля ориентация магнит называются диамагнетиками.

ных моментов вследствие теплового В отсутствие внешнего магнитного движения нарушается и парамагнетик поля диамагнетик немагнитен, посколь- размагничивается. К парамагнетикам ку в данном случае магнитные момен- относятся редкоземельные элементы, ты электронов взаимно компенсируют- Pt, A1 и т.д. Диамагнитный эффект на блюдается и в парамагнетиках, но он ся, и суммарный магнитный момент атома [он равен векторной сумме маг- значительно слабее парамагнитного и нитных моментов (орбитальных и спи- поэтому остается незаметным.

новых) составляющих атом электро- Из рассмотрения явления парамаг нов] равен пулю. К диамагнетикам от- нетизма следует, что его объяснение носятся многие металлы (например, Bi, совпадает с объяснением ориентацион Ag, Аи, Си), большинство органических ной (диполыюй) поляризации диэлек соединений, смолы, углерод и т.д.

триков с полярными молекулами (см.

Так как диамагнитный эффект обус- § 87), только электрический момент ловлен действием внешнего магнитно- атомов в случае поляризации надо за го поля на электроны атомов вещества, менить магнитным моментом атомов в то диамагнетизм свойствен всем веще- случае намагничивания.

Подводя итог качественному рас сать, что вектор магнитной индукции смотрению диа- и парамагнетизма, еще результирующего магнитного поля в раз отметим, что атомы всех веществ магнетике равен векторной сумме маг являются носителями диамагнитных нитных индукций внешнего поля свойств.

(создаваемого намагничивающим то Если магнитный момент атомов ве ком в вакууме) и поля микротоков лик, то парамагнитные свойства преоб (создаваемого молекулярными токами):

ладают над диамагнитными и вещество (133.1) является парамагнетиком;

если магнит ный момент атомов мал, то преоблада- где Для описания поля, создаваемого ют диамагнитные свойства и вещество молекулярными токами, рассмотрим является диамагнетиком.

магнетик в виде кругового цилиндра сечения S длины /, внесенного в од нородное внешнее магнитное поле с § 133. Намагниченность.

индукцией Д. Возникающее в магнети Магнитное поле в веществе ке магнитное поле молекулярных токов будет направлено противоположно Подобно тому, как для количествен внешнему полю для диамагнетиков и ного описания поляризации диэлектри совпадать с ним по направлению для ков вводилась поляризованность (см.

парамагнетиков. Плоскости всех моле § 88), для количественного описания кулярных токов расположатся перпен намагничивания магнетиков вводят дикулярно вектору так как векторы векторную величину — намагничен их магнитных моментов ность, магнитным мо раллельны вектору (для диамагне ментом единицы объема магнетика:

тиков) и параллельны (для парамаг нетиков).

Если рассмотреть любое сечение цилиндра, перпендикулярное его оси, то во внутренних участках сечения маг где — магнитный момент маг нетика молекулярные токи соседних атомов направлены навстречу друг дру нетика, представляющий собой вектор гу и взаимно компенсируются (рис.

ную сумму магнитных моментов от 191). Некомпенсированными будут дельных молекул [см. (131.6)].

лишь молекулярные токи, выходящие Рассматривая характеристики маг на боковую поверхность цилиндра.

нитного поля (см. § 109), мы вводили вектор магнитной индукции харак- Ток, текущий по боковой поверхно сти цилиндра, подобен току в соленой теризующий результирующее магнит ное поле, создаваемое всеми макро- и Рис. микротоками, и вектор напряженнос ти Н, характеризующий магнитное поле макротоков. Следовательно, магнитное поле в веществе складывается из двух полей: внешнего поля, создаваемого током, и поля, создаваемого намагни ченным веществом. Тогда можем запи вещества. Для диамагнетиков отри де и создает внутри пего поле, магнит цательна (поле молекулярных токов ную индукцию которого противоположно внешнему), для пара числить, учитывая формулу для магнетиков — положительна (поле моле N = 1 (соленоид из одного витка):

кулярных токов совпадает с внешним).

Используя формулу (133.6), выра (133.2) жение (133.4) можно записать в виде где — сила молекулярного тока;

— (133.7) длина рассматриваемого цилиндра;

= 1 — магнитная проницаемость.

откуда С другой стороны, ток, прихо дящийся на единицу длины цилиндра, или его линейная плотность, поэтому Безразмерная величина магнитный момент этого тока = (133.8), где V — объем магнетика.

Если — магнитный момент маг- представляет собой магнитную прони нетика объемом V, то намагниченность цаемость вещества. Подставив (133.8) магнетика в (133.7), придем к соотношению (109.3) = которое ранее посту лировалось.

(133.3) Так как абсолютное значение маг нитной восприимчивости для и Сопоставляя (133.2) и (133.3), полу парамагнетиков очень мало (порядка чим, то для них незначитель но отличается от единицы. Это просто понять, так как магнитное поле моле или в векторной форме кулярных токов значительно слабее намагничивающего поля. Таким обра зом, для диамагнетиков < 0 и < 1, Подставив выражения для в для парамагнетиков > и > 1.

(133.1), получим Закон полного тока для магнит (133.4) ного поля в веществе (теорема о цир куляции вектора В) является обобще нием закона (118.1):

(133.5) Как показывает опыт, в полях намагниченность пропорцио- где и соответственно алгебраиче нальна напряженности поля, вызываю- ские суммы макротоков (токов прово димости) и микротоков (молекулярных щего намагничивание, т.е.

токов), охватываемых произвольным = (133.6) замкнутым контуром где безразмерная величина, называ- Следовательно, циркуляция векто емая магнитной восприимчивостью ра магнитной индукции по произ § 134. Условия на границе вольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводи- раздела двух магнетиков мости и молекулярных токов, охваты ваемых контуром, умноженной на Установим связь для векторов магнитную постоянную.

Н на границе раздела двух однородных Таким образом, вектор магнетиков (магнитные проницаемос зует результирующее поле, созданное ти при отсутствии на границе как макроскопическими токами в про- тока проводимости.

водниках (токами проводимости), так Построим вблизи границы раздела и микроскопическими токами в магне магнетиков 1 2 прямой цилиндр нич тиках, поэтому линии вектора магнит- тожно малой высоты, одно основание ной индукции не имеют источников которого находится в первом магнети и являются замкнутыми.

ке, другое — во втором (рис. 192). Ос Из теории известно, что циркуляция нования A S настолько малы, что в пре намагниченности J произвольному делах каждого из них вектор одина замкнутому контуру L равна алгебраи- ков. Согласно теореме Гаусса (120.3), ческой сумме молекулярных токов, ох ватываемых этим контуром:

(нормали п основаниям цилиндра направлены противоположно). Поэтому (134.1) Тогда закон полного тока для маг- Заменив, согласно проек нитного ноля в веществе можно запи- ции вектора проекциями вектора сать также в виде умноженными на получим Вблизи границы раздела двух магне где 7, подчеркнем это еще раз, есть ал тиков 1 и 2 построим небольшой замк гебраическая сумма токов проводимо- нутый прямоугольный контур ABCDA сти.

длиной ориентировав его так, как по Выражение, стоящее в скобках в казано на рис. 193. Согласно теореме (133.9), согласно (133.5), есть не что (133.10) о циркуляции вектора 77, иное, как введенный ранее вектор напряженности магнитного поля. Итак, циркуляция вектора произвольно му замкнутому контуру L равна алгеб (токов проводимости на границе разде раической сумме токов проводимости, ла нет), откуда охватываемых этим контуром:

(133.10) Выражение (133.10) представляет собой теорему о циркуляции векто ра Н.

вещества — ферромагнетики — веще ства, обладающие спонтанной намагни (знаки интегралов по АВ и CD разные, ченностью, т.е. они намагничены даже так как пути интегрирования противо при отсутствии внешнего магнитного положны, а интегралы по участкам ВС поля. К ферромагнетикам кроме основ и DA ничтожно малы). Поэтому ного их представителя — железа (от него (134.3) и идет название «ферромагнетизм») — относятся, например, кобальт, никель, Заменив, согласно проек гадолиний, их сплавы и соединения.

ции вектора проекциями вектора Ферромагнетики помимо способно деленными на получим сти сильно намагничиваться обладают еще и другими свойствами, существен (134.4) но отличающими их от диа- и парамаг нетиков. Если для слабомагнитных ве Таким образом, при переходе через ществ зависимость от Я линейна [см.

границу раздела двух магнетиков нор (133.6) и рис. 194], то для ферромагне мальная составляющая вектора тиков эта зависимость, впервые изучен и тангенциальная составляющая векто ная в 1878 г. методом баллистического ра Я изменяются непрерывно (не гальванометра для железа русским фи претерпевают скачка), а тангенциаль зиком А.Г.Столетовым (1839—1896), ная составляющая вектора нор является довольно сложной. По мере мальная составляющая вектора Я возрастания Я намагниченность сна претерпевают скачок.

чала растет быстро, затем медленнее и, Из полученных условий (134.1)— наконец, достигается так называемое (134.4) для составляющих векторов магнитное насыщение уже не за и следует, что линии этих векторов висящее от напряженности поля.

испытывают излом (преломляются).

Подобный характер зависимости J Как и в случае диэлектриков (см. § 90), от Я можно объяснить тем, что но мере можно найти закон преломления ли увеличения намагничивающего поля ний (а значит, и линий Я):

возрастает степень ориентации молеку лярных магнитных моментов но полю.

(134.5) Однако этот процесс начнет замедлять ся, когда остается все меньше и меньше Из этой формулы следует, что, вхо- несориентированных моментов, и, на дя в магнетик с большей магнитной конец, когда все моменты будут ориен проницаемостью, линии и H удаля- тированы по полю, дальнейшее увели ются от нормали.

чение Я прекращается и наступает маг нитное насыщение.

§ 135. Ферромагнетики Рис. и их свойства Помимо рассмотренных двух классов веществ — диа- и парамагнетиков, назы ваемых слабомагнитными вещества ми, существуют еще сильномагнитные Рис. Характерная особенность ферромаг нетиков состоит также в том, что для них зависимость J от H (а следователь но, и В от Я) определяется предысто рией намагничивания ферромагнетика.

Рис.196 Это явление получило название маг нитного гистерезиса. Если намагни тить ферромагнетик до насыщения (рис. 197, точка 1), а затем начать умень шать напряженность Я намагничиваю щего поля, то, как показывает опыт, уменьшение описывается кривой 1 — 2, лежащей выше кривой 1 — 0. При Н= О J отличается от нуля, т. е. в ферромаг нетике наблюдается остаточное на магничивание Магнитная индукция В = J) [см. (133.4)] в слабых полях бы- С наличием остаточного намагниче ния связано существование постоян стро с увеличением Я вследствие воз ных магнитов. Намагничивание обра растания J, а в сильных посколь щается в нуль под действием поля ку второе слагаемое постоям но = имеющего направление, противопо В возрастает с увеличением Я но линей ложное полю, вызвавшему намагничи ному закону (рис. 195).

вание. Напряженность называется Существенная особенность ферро коэрцитивной силой.

магнетиков — не только большие зна При дальнейшем увеличении проти чения (например, для железа — 5000, воположного поля ферромагнетик пе для сплава супермаллоя — 800 000!), но ремагничивается (кривая 3 — 4), и при и зависимость от Я 196). Внача Н= достигается насыщение (точ ле растет с увеличением II, затем, до ка 4). Затем ферромагнетик можно стигая максимума, начинает умень опять размагнитить (кривая 4 — 5 — 6) шаться, стремясь в случае сильных по и вновь перемагнитить до насыщения лей к 1 поэтому при (кривая 6 — 1).

Таким образом, при действии на ферромагнетик переменного магнитно го поля намагниченность J изменяется в соответствии с кривой 1—2—3—4— 5 — 6—1, которая называется петлей гистерезиса (от греч. «запаздывание»).

Гистерезис приводит к тому, что намаг ничивание ферромагнетика не являет ся однозначной функцией Я, т.е. одно му и тому же значению Я соответству ет несколько значений J.

Различные ферромагнетики дают § 136. Природа ферромагнетизма разные гистерезисные петли. Ферро магнетики с малой (в пределах от не- Рассматривая магнитные свойства скольких тысячных до 1 — 2 А/см) ко- ферромагнетиков, мы не вскрывали фи эрцитивной силой (с узкой петлей зическую природу этого явления. Опи гистерезиса) называются мягкими, с сательная теория ферромагнетизма большой (от нескольких десятков ты- была разработана французским физи сяч ампер на сантиметр) коэрцитивной ком П. Вейссом (1865 — 1940). Последо силой (с широкой петлей гистерези- вательная количественная теория на са) — жесткими. Величины и основе квантовой механики развита определяют применимость ферро- Я. И. Френкелем и немецким физиком магнетиков для тех или иных практи- В. Гейзенбергом (1901 - 1976).

ческих целей. Так, жесткие ферромаг- Согласно представлениям Вейсса, нетики (например, углеродистые и ферромагнетики при температурах вольфрамовые стали) применяются ниже точки Кюри обладают спонтанной для изготовления постоянных магни- намагниченностью независимо от нали тов, а мягкие (например, мягкое желе- чия внешнего намагничивающего поля.

зо, сплав железа с никелем) — для из- Спонтанное намагничивание, однако, готовления сердечников трансформа- находится в кажущемся противоречии торов.

с тем, что многие ферромагнитные ма териалы даже при температурах ниже Ферромагнетики обладают еще од точки Кюри не намагничены. Для уст ной существенной особенностью: для ранения этого противоречия Вейсс ввел каждого ферромагнетика имеется опре гипотезу, согласно которой ферромаг деленная температура, называемая нетик ниже точки Кюри разбивается на точкой Кюри, при он теряет большое число малых макроскопиче свои магнитные свойства. При нагрева ских областей — доменов, самопроиз нии образца выше точки Кюри ферро вольно намагниченных до насыщения.

магнетик превращается в обычный па рамагнетик. Переход вещества из фер- При отсутствии внешнего магнитно ромагнитного состояния в парамагнит- го поля магнитные моменты отдельных ное, происходящий в точке Кюри, не доменов ориентированы хаотически и сопровождается поглощением или вы- компенсируют друг друга, поэтому ре делением теплоты, т.е. в точке Кюри зультирующий магнитный момент фер происходит фазовый переход II рода ромагнетика равен пулю и ферромагне (см. § 75).

тик не намагничен. Внешнее магнитное поле ориентирует по полю магнитные Наконец, процесс намагничивания моменты не отдельных атомов, как это ферромагнетиков сопровождается имеет место в случае парамагнетиков, изменением его линейных размеров и объема. Это явление получило на- а целых областей спонтанной намагни ченности. Поэтому с ростом Янамагни звание (открыто Д. Джоулем, 1842). Величина и знак эф- ченность./ (см. рис. 194) и магнитная фекта зависят от напряженности Я на- индукции В (см. рис. 195) уже в доволь но слабых полях растут очень быстро.

магничивающего поля, от природы ферромагнетика и ориентации кристал- Этим объясняется также увеличение ферромагнетиков до максимального лографических осей по отношению к значения в слабых полях (см. рис. 196).

Эксперименты показали, что зависи определяются спиновыми магнитными мость В от Н не является такой плав моментами электронов (прямым экспе ной, а имеет ступенчатый вид, как по риментальным указанием этого служит казано на рис. 195. Это свидетельствует опыт Эйнштейна и де Гааза, см. § 131).

о том, что внутри ферромагнетика доме Установлено также, что ферромаг ны поворачиваются по полю скачком.

нитными свойствами могут обладать При ослаблении внешнего магнит только кристаллические вещества, в ато ного поля до нуля ферромагнетики со мах которых имеются недостроенные храняют остаточное намагничивание, внутренние электронные оболочки с не так как тепловое движение не в состоя скомпенсированными спинами. В по нии быстро дезориентировать магнит добных кристаллах могут возникать ные моменты столь крупных образова силы, которые вынуждают спиновые ний, какими являются домены. Поэто магнитные моменты электронов ориен му и наблюдается явление магнитного тироваться параллельно друг что гистерезиса (рис. 197). Для того чтобы и приводит к возникновению областей ферромагнетик размагнитить, необхо спонтанного намагничивания. Эти силы, димо приложить коэрцитивную силу;

называемые обменными силами, имеют размагничиванию способствуют также квантовую природу — они обусловлены встряхивание и нагревание ферромаг волновыми свойствами электронов.

нетика. Точка Кюри оказывается той Так как ферромагнетизм наблюдает температурой, выше которой происхо ся только в кристаллах, а они обладают дит разрушение доменной структуры.

анизотропией (см. § 70), то в монокри Существование доменов в ферро- сталлах ферромагнетиков должна иметь магнетиках доказано эксперименталь- место анизотропия магнитных свойств но. Прямым экспериментальным мето- (их зависимость от направления в кри дом их наблюдения является метод по- сталле). Действительно, опыт показы рошковых фигур. На тщательно отпо- вает, что в одних направлениях в крис лированную поверхность ферромагне- талле его намагниченность при данном тика наносится водная суспензия мел- значении напряженности магнитного кого ферромагнитного порошка (на- поля наибольшая (направление легчай пример, магнетита). Частицы оседают шего намагничивания), в других — наи преимущественно в местах максималь- меньшая (направление трудного намаг ной неоднородности магнитного поля, ничивания). Из рассмотрения магнит т.е. на границах между доменами. По- ных свойств ферромагнетиков следует, этому осевший порошок очерчивает что они похожи на сегнетоэлектрики границы доменов и подобную картину (см. §91).

можно сфотографировать под микро Существуют вещества, в которых об скопом. Линейные размеры доменов менные силы вызывают антипараллелъ оказались равными см.

ную ориентацию спиновых магнитных Дальнейшее развитие теории ферро- моментов электронов. Такие тела назы магнетизма Френкелем и Гейзенбергом, ваются антиферромагнетиками. Их а также ряд экспериментальных фактов существование теоретически было пред позволили выяснить природу элемен- сказано Л.Д.Ландау. Антиферромагне тарных носителей ферромагнетизма. тиками являются некоторые соединения В настоящее время установлено, что марганца (MnO, MnF2), железа (FeO, магнитные свойства ферромагнетиков FeCl2) и многих других элементов. Для них также существует антиферромаг- Со, Ni, Cu, Mg, Zn, Cd, Fe). Они отлича нитная точка Кюри (точка Нееля1), ются заметными ферромагнитными при которой магнитное упорядочение свойствами и большим удельным элек спиновых магнитных моментов нару- трическим сопротивлением (в милли шается и антиферромагнетик превра- арды раз большим, чем у металлов).

щается в парамагнетик, претерпевая Ферриты применяются для изготовле фазовый переход II рода (см. § 75). ния постоянных магнитов, ферритовых В последнее время большое значе- антенн, сердечников радиочастотных ние приобрели полупроводниковые контуров, элементов оперативной па ферромагнетики — ферриты, химиче- мяти в вычислительной технике, для ские соединения типа Me • Fe2O3, где покрытия пленок в магнитофонах и ви Me — ион двухвалентного металла (Мп, деомагнитофонах и т.д.

Контрольные вопросы Почему орбитальные магнитный и механический моменты электрона в атоме противо положно направлены?

Что называют гиромагнитным отношением?

Из каких магнитных моментов складывается магнитный момент атома?

Можно ли провести аналогию между намагничиванием диамагнетика и поляризацией диэлектрика с пеполярпыми молекулами?

Можно ли провести аналогию между намагничиванием парамагнетика и поляризацией диэлектрика с полярными молекулами?

Что такое диамагнетики? парамагнетики? В чем различие их магнитных свойств?

Что такое намагниченность? Какая величина может служить ее аналогом в электроста тике?

Запишите и объясните соотношения между магнитными проницаемостью и восприим чивостью для парамагнетика;

для диамагнетика.

Выведите соотношение между векторами магнитной индукции, напряженности магнит ного поля и намагниченности.

Объясните физический смысл циркуляции по произвольному замкнутому контуру век торов:

Выведите и прокомментируйте условия для векторов и на границе раздела двух магнетиков.

Проанализируйте теорему о циркуляции вектора в веществе.

Получите формулу (134.5).

Объясните петлю гистерезиса ферромагнетика. Что такое магнитострикция?

Какие ферромагнетики являются магнитомягкими? магнитожесткими? Где их приме няют?

Каков механизм намагничивания ферромагнетиков?

Какую температуру для ферромагнетика называют точкой Кюри?

ЗАДАЧИ 16.1. Напряженность однородного магнитного поля в меди равна 10 А/м. Определите магнитную индукцию поля, создаваемого молекулярными токами, если диамагнитная вос приимчивость меди |х| = КГ8. [1,11 пТл] Л.Неель (род. 1904) — французский физик.

16.2. По круговому контуру радиусом 50 см, погруженному в жидкий кислород, течет ток 1,5 А. Определите намагниченность в центре этого контура, если магнитная восприим чивость жидкого кислорода 3,4 • 10~. [5,1 мЛ/м] 16.3. По обмотке соленоида индуктивностью 1 мГп, находящегося в диамагнитной среде, течет ток 2 А. Соленоид имеет длину 20 см, площадь поперечного сечения 10 см и 400 вит ков. Определите внутри соленоида: 1) магнитную индукцию;

2) намагниченность. [1)5 мТл;

2) 20 А/м] 16.4. Алюминиевый шарик радиусом 0,5 см помещен в однородное магнитное поле — = 1 Тл). Определите магнитный момент, приобретенный шариком, если магнитная воспри имчивость алюминия 2,1 * [8.75 мкА • м ] Глава ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА ДЛЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ременное магнитное поле возбуждает в § 137. Вихревое окружающем пространстве электричес электрическое поле кое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в Из закона Фарадея [см. (123.2)] контуре. Согласно представлениям следует, что любое измене Максвелла, контур, в котором появля ние сцепленного с контуром потока ется ЭДС, играет второстепенную роль, магнитной индукции приводит к воз являясь своего рода лишь «прибором», никновению электродвижущей силы обнаруживающим это поле.

индукции и вследствие этого появляет Итак, по Максвеллу, изменяющееся ся индукционный ток. Следовательно, во времени магнитное поле порождает возникновение ЭДС электромагнитной электрическое поле циркуляция ко индукции возможно и в неподвижном торого, по (123.3), контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Однако ЭДС в любой (137.1) цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторон где — проекция вектора на на ние силы — силы неэлектростатическо правление го происхождения (см. § 97). Поэтому в данном случае встает вопрос о приро- Подставив в формулу (137.1) выра де сторонних сил.

ж е н и е [ с м. (120.2)], полу Опыт показывает, что эти сторонние чим силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре. Их возникновение также нельзя объяснить силами Лоренца, так как они не дей ствуют на неподвижные заряды. Макс- Если поверхность и контур непод велл высказал гипотезу, что всякое пе- вижны, то операции дифференцирова Рис. ния и интегрирования можно поменять местами. Следовательно, (137.2) где символ частной производной под разряжающегося конденсатора имеется черкивает тот факт, что интеграл переменное электрическое поле, поэто му, согласно Максвеллу, через конден является функцией только времени.

сатор «протекают» токи смещения, при Согласно (83.3), циркуляция векто чем в тех участках, где отсутствуют про ра напряженности электростатическо водники.

го поля (обозначим его ВДОЛЬ лю Найдем количественную связь меж бого замкнутого контура равна нулю:

ду изменяющимся электрическим и вызываемым им магнитным полями.

(137.3) По Максвеллу, переменное электриче ское поле в конденсаторе в каждый мо Сравнивая выражения (137.1) и мент времени создает такое магнитное (137.3), видим, что между рассматрива- поле, как если бы между обкладками емыми полями EQ) имеется прин- конденсатора ток смеще ципиальное различие: циркуляция век- ния, равный току в подводящих прово тора в отличие от циркуляции век- дах. Тогда можно утверждать, что токи тора не равна пулю. Следовательно, проводимости (/) и смещения рав электрическое поле возбуждаемое ны:

магнитным полем, как и само магнит- Ток проводимости вблизи обкладок ное поле (см. § является вихревым. конденсатора § 138. Ток смещения (138.1) Согласно Максвеллу, если всякое переменное магнитное поле возбужда ет в окружающем пространстве вихре (поверхностная плотность заряда а на вое электрическое поле, то должно су обкладках равна электрическому сме ществовать и обратное явление: всякое щению D в конденсаторе [см.

изменение электрического поля долж Подынтегральное выражение в (138.1) но вызывать появление в окружающем можно рассматривать как частный слу пространстве вихревого магнитного по чай скалярного произведения ля. Для установления количественных отношений между изменяющимся элек когда и взаимно параллельны.

трическим полем и вызываемым им маг нитным полем Максвелл ввел в рассмот- Поэтому для общего случая можно за писать рение так называемый ток смещения.

Рассмотрим цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 198).

Между обкладками заряжающегося и Сравнивая это выражение с I= телыю, и совпадает с направ [см. (96.2)], имеем лением вектора, как это и следует из формулы (138.2).

(138.2) Подчеркнем, что из всех физических свойств, присущих току проводимости, Выражение (138.2) и было названо Мак Максвелл приписал току смещения лишь свеллом плотностью тока смещения.

одно — способность создавать в окру Рассмотрим, каково же направление жающем пространстве магнитное поле.

векторов плотностей токов проводимо Таким образом, ток смещения (в ваку сти и смещения (j При зарядке уме или веществе) создает в окружаю конденсатора (рис. 199, а) через провод щем пространстве магнитное поле (ли ник, соединяющий обкладки, ток течет нии индукции магнитных полей токов от правой обкладки к левой, поле в кон смещения при зарядке и разрядке кон денсаторе усиливается, следовательно, денсатора показаны на рис. 199 штри т. е. вектор направлен в ту ховыми линиями).

В диэлектриках ток смещения состо же сторону, что и D. Из рисунка видно, ит из двух слагаемых. Так как, соглас но (89.2), = + где - напря что направления векторов женность электростатического поля, падают.

поляризованность (см. § 88), то При разрядке конденсатора (рис.

плотность тока смещения 199, б) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от левой обкладки к правой, поле в конденсаторе ослабля ется;

следовательно, т. е. вектор где — плотность тока смеще направлен противоположно векто ния в вакууме;

— плотность тока ру Однако вектор направлен поляризации — тока, обусловленного опять так же, как и вектор упорядоченным движением электри Из разобранных примеров следует, ческих зарядов в диэлектрике (смеще что направление вектора j, а следова ние зарядов в неполярных молекулах или поворот диполей в полярных мо лекулах).

Возбуждение магнитного поля тока ми поляризации правомерно, так как токи поляризации по своей природе не отличаются от токов проводимости.

Однако то, что и другая часть плотнос ти тока смещения не связан ная с движением зарядов, а обусловлен ная только изменением электрическо го поля во времени, также возбуждает тянутую на замкнутый контур L. Тогда магнитное поле, является принципиаль обобщенная теорема о циркуляции но новым утверждением Максвелла.

вектора Н запишется в виде Даже в вакууме всякое изменение во времени электрического поля приводит к возникновению в окружающем про странстве магнитного поля.

Следует отметить, что название «ток смещения» является условным, а точ- Выражение (138.4) справедливо все нее исторически сложившимся, так как гда, свидетельством чего является пол ток смещения по своей сути — это из ное соответствие теории и опыта.

меняющееся со временем электричес кое поле. Ток смещения поэтому суще ствует не только в вакууме или диэлек § 139. Уравнения Максвелла триках, но и внутри проводников, по ко для электромагнитного поля торым проходит переменный ток. Од нако в данном случае он пренебрежимо Введение Максвеллом понятия тока мал по сравнению с током проводимос смещения привело его к завершению ти. Наличие токов смещения подтверж созданной им макроскопической тео дено экспериментально А.А.Эйхен рии электромагнитного поля, позво вальдом, изучавшим магнитное поле лившей с единой точки зрения не толь тока поляризации, который, как следу ко объяснить электрические и магнит ет из (138.3), является частью тока сме ные явления, но и предсказать новые, щения.

существование которых было впослед Максвелл ввел понятие полного ствии подтверждено.

тока, равного сумме токов проводимо В основе теории Максвелла лежат сти (а также конвекционных токов) и рассмотренные выше четыре уравне смещения. Плотность полного тока ния:

1. Электрическое поле (см. § 137) может быть как потенциальным (EQ), так и вихревым поэтому напря Введя понятия тока смещения и пол- женность суммарного поля Е -— + ного тока, Максвелл по-новому подо- Так как циркуляция вектора равна шел к рассмотрению замкнутости цепей нулю [см. (137.3)], а циркуляция век переменного тока. Полный ток в них тора определяется выражением всегда замкнут, т.е. на концах провод- (137.2), то циркуляция вектора напря ника обрывается лишь ток проводимо- женности суммарного поля сти, а в диэлектрике (вакууме) между концами проводника имеется ток сме щения, который замыкает ток проводи мости.

Максвелл обобщил о цир Это уравнение показывает, что ис куляции вектора Н [см. (133.10)], вве точниками электрического поля могут дя в ее правую часть полный ток = быть не только электрические заряды, = сквозь поверхность S, на- но и изменяющиеся во времени магнит ные ноля.

2. Обобщенная теорема о циркуля где и — соответственно электриче ции вектора Н [см. (138.4)]:

ская и магнитная постоянные;

и — соответственно диэлектрическая и маг нитная проницаемости;

— удельная проводимость вещества.

Из уравнений Максвелла вытекает, Это уравнение показывает, что маг- что источниками электрического поля могут быть либо электрические заряды, нитные поля могут возбуждаться либо движущимися зарядами (электриче- либо изменяющиеся во времени маг нитные поля, а магнитные поля могут скими токами), либо переменными возбуждаться либо движущимися элек электрическими полями.

трическими зарядами (электрическими 3. Теорема Гаусса для поля D [см.

токами), либо переменными электри (89.3)]:

ческими полями. Уравнения Максвел ла не симметричны относительно элек (139.1) трического и магнитного полей. Это связано с тем, что в природе существу Если заряд распределен внутри зам ют электрические заряды, по отсутству кнутой поверхности непрерывно с ют магнитные.

объемной плотностью р, то формула Для стационарных полей (Е — const (139.1) запишется в виде и В — const) уравнения Максвелла при мут вид 4. Теорема Гаусса для поля [см.

(120.3)]:

т.е. источниками электрического поля в данном случае являются только элек Итак, полная система уравнений трические заряды, а источниками маг Максвелла в интегральной форме.

нитного — только токи проводимости.

В данном случае электрические и маг нитные поля независимы друг от друга, что и позволяет изучать отдельно посто янные электрическое и магнитное поля.

Воспользовавшись известными из векторного анализа теоремами Стокса и Гаусса Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми и между ними существует следующая можно представить полную систему связь (изотропные несегтетоэлектри уравнений Максвелла в дифференци ческие и неферромагпитпые среды):

альной форме (характеризующих поле в каждой точке пространства):

но связаны друг с другом — они обра зуют единое электромагнитное поле.

Теория Максвелла, являясь обобще нием основных законов электрических и магнитных явлений, не только смог ла объяснить уже известные экспери Если заряды и токи распределены в ментальные факты, что также являет пространстве непрерывно, то обе фор ся важным ее следствием, но и предска мы уравнений Максвелла — интеграль зала новые явления. Одним из важных ная и дифференциальная — эквивален выводов этой теории явилось существо тны. Однако если имеются поверхнос вание магнитного поля токов смещения ти разрыва — поверхности, на которых (см. § 138), что позволило Максвеллу свойства среды или полей меняются предсказать существование электро скачкообразно, то интегральная форма магнитных волн — переменного элек уравнений является более общей.

тромагнитного ноля, распространяю Уравнения Максвелла в дифферен щегося в пространстве с конечной ско циальной форме предполагают, что все ростью.

величины в пространстве и времени В дальнейшем было доказано, что изменяются непрерывно. Чтобы дос скорость распространения свободного тичь математической эквивалентности электромагнитного поля (не связанно обеих форм уравнений Максвелла, диф го с зарядами и токами) в вакууме рав ференциальную форму дополняют гра на скорости света с = 3 * 108 м/с. Этот ничными условиями, которым должно вывод и теоретическое исследование удовлетворять электромагнитное поле свойств электромагнитных волн приве на границе раздела двух сред. Интег ли Максвелла к созданию электромаг ральная форма уравнений Максвелла нитной теории света, согласно которой содержит эти условия. Они были рас свет представляет собой также электро смотрены раньше (см. § 90, 134):

магнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немец ким физиком (1857—1894), доказавшим, что законы их возбужде (первое и последнее уравнения отвеча ния и распространения полностью опи ют случаям, когда па границе раздела сываются уравнениями Максвелла. Та нет ни свободных зарядов, ни токов ким образом, теория Максвелла была проводимости).

экспериментально подтверждена.

Уравнения Максвелла — наиболее общие уравнения для электрических и К электромагнитному полю приме магнитных полей в покоящихся средах. ним только принцип относительности Они играют в учении об электромагне- Эйнштейна, так как факт распростране тизме такую же роль, как законы Нью- ния волн в вакууме тона в механике. Из уравнений Макс- во всех системах отсчета с одинаковой велла следует, что переменное магнит- скоростью с не совместим с ное поле всегда связано с порождаемым относительности Галилея.

им электрическим полем, а переменное Согласно принципу относитель электрическое поле всегда связано с по- ности Эйнштейна, механические, оп рождаемым им магнитным, т.е. элект- тические и электромагнитные явления рическое и магнитное поля неразрыв- во всех системах отсче довательно, будут порождать не толь та протекают одинаково, т. е. описыва ко электрическое, но и магнитное поле.

ются одинаковыми уравнениями. Урав Аналогично, неподвижный относитель нения Максвелла инвариантны относи но одной инерциальной системы отсче тельно преобразований Лоренца: их вид та проводник с постоянным током, воз не меняется при переходе от одной буждая в каждой точке пространства инерциальной системы отсчета к дру постоянное магнитное поле, движется гой, хотя величины Е, В, D, H в них пре относительно других инерциальных образуются по определенным прави систем, и создаваемое им переменное лам.

магнитное поле возбуждает вихревое Из принципа относительности выте электрическое поле.

кает, что отдельное рассмотрение элек Таким образом, теория Максвелла, трического и магнитного полей имеет ее экспериментальное подтверждение, относительный смысл. Так, если элек трическое поле создается системой не- а также принцип относительности Эй подвижных зарядов, то эти заряды, яв- нштейна приводят к единой теории электрических, магнитных и оптиче ляясь неподвижными относительно ских явлений, базирующейся на пред одной инерциальной системы отсчета, движутся относительно другой и, сле- ставлении об электромагнитном поле.

Контрольные вопросы Что является причиной возникновения вихревого электрического поля? Чем оно отли чается от электростатического поля?

Чему равна циркуляция вихревого электрического поля?

Почему вводится понятие тока смещения? Что он собой по существу представляет?

Выведите и объясните выражение для плотности тока смещения.

Запишите, объяснив физический смысл, обобщенную теорему о циркуляции вектора напряженности магнитного поля.

Запишите полную систему уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме и объясните их физический смысл.

Почему постоянные электрические и магнитные поля можно рассматривать обособлен но друг от друга? Запишите для них уравнения Максвелла в обеих формах.

Почему уравнения Максвелла в интегральной форме являются более общими?

Какие основные выводы можно сделать па основе теории Максвелла?

ЧАСТЬ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ Глава МЕХАНИЧЕСКИЕ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ КОЛЕБАНИЯ шой вклад в развитие теории колебаний § 140. Гармонические колебания внесли Л. И. Мандельштам (1879 — и их характеристики 1944) и его ученики.

Колебаниями называются движе- Колебания называются свободны ния или процессы, которые характери- ми (или собственными), если они со зуются определенной повторяемостью вершаются за счет первоначально сооб во времени. Колебательные процессы щенной энергии при последующем от широко распространены в природе и сутствии внешних воздействий на ко технике, например качание маятника лебательную систему (систему, совер часов, переменный электрический ток шающую колебания).

и т.д. При колебательном движении Простейшим типом колебаний яв маятника изменяется координата его ляются гармонические колебания — центра масс, в случае переменного колебания, при которых колеблющая тока колеблются напряжение и ток в ся величина изменяется со временем по цепи.

закону синуса (косинуса). Рассмотре Физическая природа колебаний мо- ние гармонических колебаний важно по двум причинам: 1) колебания, встреча жет быть разной, поэтому различают колебания механические, электромаг- ющиеся в природе и технике, часто нитные и др. Однако различные коле- близки к гармоническим;

2) различные бательные процессы описываются оди- периодические процессы (процессы, наковыми характеристиками и одина- повторяющиеся через равные проме жутки времени) можно представить как ковыми уравнениями. Отсюда следует наложение гармонических колебаний.

целесообразность единого подхода к изучению колебаний различной физи- Гармонические колебания величины s ческой природы. Например, единый под- описываются уравнением типа ход к изучению механических и элект (140.1) ромагнитных колебаний применялся английским физиком Д.У.Рэлеем где А — максимальное значение колеб (1842-1919), А.Г.Столетовым, рус- лющейся величины, называемое ампли ским инженером-экспериментатором тудой колебания;

— круговая (цик П.Н.Лебедевым (1866-1912). Боль- лическая) частота.

Периодически изменяющийся аргу- Величина, обратная периоду колеба мент косинуса называется ний, фазой колебания. Она определяет сме щение колеблющейся величины от по (140.3) ложения равновесия в данный момент времени t. Величина в уравнении гар- т.е. число полных колебаний, совер монических колебаний называется на- шаемых в единицу времени, называет чальной фазой. Она определяет смеще- ся частотой колебаний. Сравнивая ние колеблющейся величины от поло- (140.2) и (140.3), получим жения равновесия в начальный момент времени (t = 0).

Значение начальной фазы определя- Единица частоты — герц (Гц): 1 Гц — частота периодического процесса, при ется выбором начала отсчета времени.

Так как косинус изменяется в пределах которой за 1 с совершается один цикл от +1 до —1, то s может принимать зна- процесса.

чения от +А до — А. Запишем первую и вторую произ водные по времени от гармонически Определенные состояния системы, совершающей гармонические колеба- колеблющейся величины s:

ния, повторяются через промежуток времени Т, называемый периодом ко лебания, за который фаза колебания получает приращение т. е.

откуда (140.2) т.е. имеем гармонические колебания с той же циклической частотой. Амплиту ды величин (140.4) и (140.5) соответ ственно равны и Фаза величи ны (140.4) отличается от фазы величи ны на, а фаза величины отличается от фазы величины (140.1) на тт. Следовательно, в моменты времени, когда приобретает наибольшие значения;

когда s достигает максималь ного отрицательного значения, то имеет наибольшее положительное зна чение (рис. 200;

начальная фаза = 0).

Из выражения (140.5) следует диф ференциальное уравнение гармони ческих колебаний Рис. Рис. (140.6) Решением этого уравнения является выражение (140.1).

Гармонические колебания изобра жаются графически методом враща ющегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, выб представляет собой гармоническое ко ранной на оси х, под углом равным лебание. Обозначение Re вещественной начальной фазе колебания, откладыва части условимся опускать и (140.8) бу ется вектор модуль которого равен дем записывать в виде амплитуде А рассматриваемого колеба ния (рис. 201). Если этот вектор приве сти во вращение с угловой скоростью В теории колебаний принимается, равной циклической частоте колеба что колеблющаяся величина s равна ний, то проекция конца вектора будет вещественной части комплексного вы перемещаться по оси и принимать зна ражения, стоящего в этом равенстве чения от —А до А, а колеблющаяся ве справа.

личина будет изменяться со временем по закону Таким об разом, гармоническое колебание мож § 141. Механические но представить проекцией на некото гармонические колебания рую произвольно выбранную ось векто ра амплитуды отложенного из про Пусть материальная точка соверша извольной точки оси под углом рав ет прямолинейные гармонические ко ным начальной фазе, и вращающегося лебания вдоль оси координат х около с угловой скоростью вокруг этой точки.

положения равновесия, принятого за В физике часто применяется другой начало координат.

метод, который отличается от метода Тогда зависимость координаты х от вращающегося вектора амплитуды лишь времени t задается уравнением, анало по форме. В этом методе колеблющую гичным уравнению (140.1), где s = х:

ся величину представляют комплекс ным числом. Согласно формуле Эйле (141.1) ра, для комплексных чисел Согласно выражениям (140.4) и (140.7) (140.5), скорость о,колеб лющейся точки соответственно равны где — мнимая единица. Поэто му уравнение гармонического колеба ния (140.1) можно записать в комплек сной форме:

(141.2) (140.8) Вещественная часть выражения (140.8) Сила F= та, действующая на колеб- Рис. лющуюся материальную точку мас т, с учетом (141.1) и равна Следовательно, сила пропорцио нальна смещению материальной точки из положения равновесия и направле на в противоположную сторону (к по ложению равновесия).

Кинетическая энергия материаль ной точки, совершающей прямолиней ные гармонические колебания, равна Из формул (141.4) и (141.6) следу ет, что П изменяются с частотой Потенциальная энергия матери т. е. с частотой, которая в два раза пре альной точки, совершающей гармони вышает частоту гармонического коле ческие колебания под действием упру бания. рис. 202 представлены графи гой силы F, равна ки зависимости х, от времени. Так 2 как (sin a) = (cos а) -, то из формул (141.3), (141.5) и (141.7) следует, что (141.5) § 142. Гармонический осциллятор. Пружинный, (141.6) физический и математический маятники Сложив (141.3) и (141.5), получим формулу для полной энергии:

Гармоническим осциллятором на зывается система, совершающая коле (141.7) бания, описываемые уравнением вида (140.6):

Полная энергия остается постоян (142.1) ной, так как при гармонических коле баниях справедлив закон сохранения Колебания гармонического осцил механической энергии, поскольку упру- лятора являются важным примером гая сила консервативна. периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и кванто вой физики. Примерами гармоническо го осциллятора являются пружинный, физический и математический маятни ки, колебательный контур (для токов и напряжений малых, что элемен ты контура можно было бы считать линейными;

см. § 146).

Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой и совершающий гар- дящей через точку О, не совпадающую монические колебания под действием с центром масс Стела (рис. 203).

упругой силы F — где к — жест- Если маятник отклонен из положе кость пружины. Уравнение движения ния равновесия на некоторый угол а, то маятника в отсутствие сил трения в соответствии с уравнением динами ки вращательного движения твердого тела в отсутствие сил трения вра щающий момент М можно записать в виде Из выражений (142.1) и (140.1) сле дует, что пружинный маятник соверша ет гармонические колебания по закону х = + с циклической час тотой где — момент инерции маятника носительно оси, проходящей через точ (142.2) ку подвеса — расстояние между ней и центром масс маятника.

и периодом Вращающий момент стремится вер нуть маятник в положение равновесия (142.3) и в этом отношении аналогичен упру гой силе. Поэтому так же, как смеще Формула (142.3) справедлива для нию и упругой силе, моменту уг упругих колебаний в пределах, в кото- ловому смещению а приписывают про рых выполняется закон Гука [см. тивоположные знаки. При малых коле т.е. когда масса пружины мала по срав- баниях маятника (малых отклонениях маятника из положения равновесия) нению с массой тела.

а. Тогда уравнение мож Потенциальная энергия пружинно но записать в виде го маятника, согласно и (142.2), 2. Физический маятник — это твер- Принимая дое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг не (142.5) подвижной оси, прохо 9 Курс физики Момент инерции математического получим уравнение маятника (142.8) идентичное с (142.1), решение которо го [см. (140.1)] известно: где / — длина маятника.

Так как математический маятник I. (142.6) можно представить как частный случай физического маятника, предположив, Из выражения (142.6) следует, что что вся его масса сосредоточена в одной при малых колебаниях физический ма точке — центре масс, то, подставив вы ятник совершает гармонические коле ражение (142.8) в формулу (142.7), по бания с циклической частотой [см.

лучим выражение для периода малых (142.5)] и периодом колебаний математического маятника (142.9) J где L = —- — приведенная длина фи- Сравнивая формулы (142.7) и (142.9), видим, что если приведенная длина L маятника.

физического маятника равна длине / Точка на продолжении прямой математического маятника, то периоды ОС, отстоящая от точки О подвеса ма колебаний этих маятников одинаковы.

ятника на расстоянии приведенной дли Следовательно, приведенная длина ны L, называется центром качаний фи физического маятника — это длина зического маятника (см. рис. 203). При такого математического маятника, пе меняя теорему Штейнера риод колебаний которого совпадает с периодом колебаний данного физичес кого маятника.

т.е. 00' всегда больше ОС. Точка под веса О маятника и центр качаний О' § 143. Свободные обладают свойством взаимозаменяе гармонические колебания мости: если точку подвеса перенести в в колебательном контуре центр качаний, то прежняя точка О под веса станет новым центром качаний, и период колебаний физического маят- Среди различных физических явле ника не изменится.

ний особое место занимают электро 3. Математический маятник — магнитные колебания, при которых это идеализированная система, состоя- электрические величины (заряды, токи) щая из материальной точки массой т, периодически изменяются и которые подвешенной на нерастяжимой невесо- сопровождаются взаимными превраще мой нити, и колеблющаяся под действи- ниями электрического и магнитного ем силы тяжести. Для возбуждения и поддержа Хорошим приближением математи- ния электромагнитных колебаний ис пользуется колебательный контур — ческого маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тон- цепь, состоящая из включенных после довательно катушки индуктивностью L, кой конденсатора емкостью С резистора сопротивлением R.

Рассмотрим последовательные ста дии колебательного процесса в идеали так как она на нагревание не расходу зированном контуре, сопротивление Т ется. Поэтому в момент t = —, когда которого пренебрежимо мало (R 0).

Для возбуждения в контуре колебаний конденсатор полностью разрядится, конденсатор предварительно заряжают, энергия электрического поля обраща сообщая его обкладкам заряды ± Q. Тог- ется в нуль, а энергия магнитного поля да в начальный момент времени t = (а следовательно, и ток) достигает наи (рис. 204, а) между обкладками конден- большего значения (рис. 204, б). С это сатора возникнет электрическое поле, го момента ток в контуре будет убывать, следовательно, начнет ослабевать маг энергия которого [см. (95.4)]. Если нитное поле катушки, и в ней будет ин замкнуть конденсатор на катушку ин- дуцироваться ток, который течет (со дуктивности, он начнет разряжаться, и гласно правилу Ленца) в том же направ в контуре потечет возрастающий со вре- лении, что и ток разрядки конденсато менем ток /. В результате энергия элек- ра. Конденсатор начнет перезаряжать трического поля будет уменьшаться, а ся, возникнет электрическое поле, стре энергия магнитного поля катушки (она мящееся ослабить ток, который в кон це концов обратится в нуль, а заряд на равна ——) — возрастать.

обкладках конденсатора достигнет мак Так как R 0, то, согласно закону симума (рис. 204, в). Далее те же про сохранения энергии, полная энергия цессы начнут протекать в обратном на правлении (рис. 204, система к мо менту времени t — Г придет в первона чальное состояние (см. рис. 204, Пос ле этого начнется повторение рассмот ренного цикла разрядки и зарядки кон денсатора.

Если бы потерь энергии не было, то в контуре совершались бы периодичес кие незатухающие колебания, т. е. пери одически изменялись (колебались) бы заряд Q на обкладках конденсатора, напряжение U на конденсаторе и сила тока /, текущего через катушку индук тивности. Следовательно, в контуре возникают электромагнитные колеба ния, причем колебания сопровождают ся превращениями электричес кого и магнитного полей.

Электромагнитные колебания в ко лебательном контуре можно сопоста вить с механическим колебаниями ма 204 ятника (рис. 204), сопровождающими ми. Тогда из (143.2) получим диффе ся взаимными превращениями потен ренциальное уравнение свободных гар циальной и кинетической энергий ма монических колебаний заряда в контуре:

ятника. В данном случае энергия Q трического поля конденсатора аналогична потенциальной энергии ма ятника, энергия магнитного поля ка Из выражений (142.1) и (140.1) вы текает, что заряд Q совершает гармони тушки ( — энергии, ческие колебания по закону сила тока в контуре — скорости движе ния маятника. Индуктивность L игра ет роль массы т, а сопротивление кон где — амплитуда колебаний заряда тура — роль силы трения, действующей конденсатора с циклической частотой на маятник.

называемой собственной часто Согласно закону Ома, для контура, той контура, т. е.

содержащего катушку индуктивнос тью L, конденсатор емкостью Си рези (143.4) стор сопротивлением R, периодом (143.5) где IR — напряжение на резисторе;

= — — напряжение на конденсато- Формула (143.5) впервые была по лучена У.Томсоном и называется фор — ЭДС самоиндукции, мулой Томсона. Сила тока в колеба возникающая в катушке при протека тельном контуре [см. (140.4)] нии в ней переменного тока — ЭДС в контуре).

Следовательно, (143.1) где амплитуда силы тока.

Напряжение на конденсаторе Разделив (143.1) на L подставив / Q — Q, получим dt алыюе уравнение колебаний заряда Q (143.7) в контуре:

амплитуда напряже где ния.

Из выражений (143.3) и (143.6) вы В данном колебательном контуре текает, что колебания тока / опережа внешние ЭДС отсутствуют, поэтому ют по фазе колебания заряда Q на —, рассматриваемые колебания представ ляют собой свободные колебания (см. т.е., когда ток достигает максимально § 140). Если сопротивление R — 0, то го значения, заряд (а также и напряже свободные электромагнитные колеба- ние [см. (143.7)] обращается в нуль, и ния в контуре являются гармонически- наоборот.

Рис. § 144. Сложение гармонических колебаний одного направления и одинаковой частоты. Биения Колеблющееся тело может участво вать в нескольких колебательных про цессах, тогда необходимо найти резуль тирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сло 1) - (т = 0, 1, 2,...), жим гармонические колебания одного тогда А = + т.е. амплитуда ре направления и одинаковой частоты:

зультирующего А равна сум ме амплитуд складываемых колебаний;

= 0, тогда А — — т.е. амплитуда ре зультирующего колебания равна разно воспользовавшись методом вращающе сти амплитуд складываемых колебаний.

гося вектора амплитуды (см. § 140). По Для практики особый интерес пред строим векторные диаграммы этих ко ставляет случай, когда два складывае лебаний (рис. 205). Так как векторы мых гармонических колебания одина вращаются с одинаковой угловой кового направления мало отличаются скоростью то разность фаз — по частоте. В результате сложения этих между ними остается постоянной. Оче колебаний получаются колебания с пе видно, что уравнение результирующе риодически изменяющейся амплиту го колебания будет дой. Периодические изменения ампли х = = + (144.1) туды колебания, возникающие при сло жении двух гармонических колебаний В выражении (144.1) амплитуда А с близкими частотами, называются би начальная фаза соответственно зада ениями.

ются соотношениями Пусть амплитуды складываемых ко лебаний равны А, а частоты равны и + причем Начало отсче та выберем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного на правления и одинаковой частоты, совер шает также гармоническое колебание в Складывая эти выражения и учиты том же направлении и с той же часто вая, что найдем той, что и складываемые колебания.

Амплитуда результирующего колеба ния зависит от разности фаз — складываемых колебаний.

Проанализируем выражение (144.2) Результирующее колебание (144.3) в зависимости от разности фаз можно рассматривать как гармониче ское с частотой амплитуда кото- шающихся гармонических колебаний с рого изменяется по следующему пери- различными амплитудами, различными одическому закону:

начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте (144.4) Частота изменения в два раза больше частоты изменения косинуса (144.5) (так как берется по модулю), т.е. час тота биений равна разности частот складываемых Представление периодической фун кции в виде (144.5) связывают с поня тием гармонического анализа слож Период биений ного периодического колебания, или разложения Фурье. Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами на Характер зависимости (144.3) пока зываются первой (или основной), вто зан на рис. 206, где сплошные линии рой, третьей т. д. гармониками слож дают график результирующего колеба ного периодического колебания.

ния (144.3), а огибающие их штрихо вые — график медленно меняющейся по уравнению (144.4) амплитуды.

§ 145. Сложение взаимно Определение частоты тона [звука оп перпендикулярных колебаний ределенной высоты (см. § 158)] биений между эталонным и измеряемым колеба Рассмотрим результат сложения двух ниями — наиболее широко применяемый гармонических колебаний одинаковой на практике метод сравнения измеряемой частоты происходящих во взаимно величины с эталонной. Метод биений перпендикулярных направлениях вдоль используется для настройки музыкаль осей Для простоты начало отсче ных инструментов, анализа слуха и т.д.

та выберем так, чтобы начальная фаза Любые сложные периодические ко первого колебания была равна нулю, и лебания s = f(t) можно представить в запишем виде суперпозиции одновременно совер х = (145.1) у = где а — разность фаз обоих колебаний;

А — амплитуды складываемых ко лебаний.

Уравнение траектории результиру ющего колебания находится исключе нием из выражений параметра t.

Ж. — 1830) — французский Рис. Записывая складываемые колебания в виде а) = cos COS а — sin sin а В Рис. заменяя во втором уравнении X.

на — на (рис. 207, б). Результирующее колеба получим пос А ние является гармоническим колебани ле несложных преобразований уравне ем с частотой и амплитудой, ние эллипса, оси которого ориентирова совершающимся вдоль прямой [см.

ны относительно координатных осей (145.3)], составляющей с осью х угол произвольно:

В данном случае (145.2) имеем дело с поляризованны Так как траектория результирующе ми колебаниями;

го колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллипти В данном случае уравнение примет вид чески поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его (145.4) осей зависят от амплитуд складывае мых колебаний и разности фаз а. Рас Это уравнение эллипса, оси которого смотрим некоторые частные случаи, совпадают с осями координат, а его по представляющие физический интерес:

луоси равны соответствующим амп литудам (рис. 208). Кроме того, если 1) А = В, то эллипс [см. (145.4)] вырож В данном случае эллипс вырождается в дается в окружность. Такие колебания отрезок прямой называются поляризован ными колебаниями или колебаниями, (145.3) поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаим где знак « + » соответствует нулю и но перпендикулярных колебаний раз четным значениям т (рис. 207, а), а личны, то замкнутая траектория ре знак « —» — нечетным значениям т зультирующего колебания довольно сложна. Замкнутые траектории, про черчиваемые точкой, совершающей од новременно два взаимно перпендику лярных колебания, называются фигу рами Вид этих кривых за висит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колеба Ж. Лиссажу (1822-1880) - французский 207 физик.

ний. На рис. 209 фигуры § 146. Дифференциальное Лиссажу для различных уравнение свободных затухающих частот (указаны слева) и разностей фаз колебаний (механических (указаны вверху;

разность фаз прини и электромагнитных) мается равной и его решение. Автоколебания Отношение частот складываемых колебаний равно отношению числа пе ресечений фигур Лиссажу с прямыми, Рассмотрим свободные затухаю параллельными осям координат. По щие колебания — колебания, амплиту виду фигур можно определить неизве- ды которых из-за потерь энергии реаль стную частоту по известной или опре- ной колебательной системой с течени делить отношение частот складывае- ем времени уменьшаются. Простейшим мых колебаний. Поэтому анализ фигур механизмом уменьшения энергии коле Лиссажу — широко используемый ме- баний является ее превращение в теп тод исследования соотношений частот лоту вследствие трения в механических и разности фаз складываемых колеба- системах, а также оми ний, а также формы колебаний. ческих потерь и излучения электромаг нитнои энергии в электрических коле бательных системах.

+ 0. (146.3) Закон затухания опреде Решение уравнения (146.3) зависит ляется свойствами колебательных сис от знака коэффициента перед искомой тем. Обычно рассматривают линейные величиной. Рассмотрим случай, когда системы — идеализированные реаль этот коэффициент положителен:

ные системы, в которых параметры, (146.4) определяющие физические свойства [если (из 0, то такое обозначе системы, в ходе процесса не изменяют ние мы вправе сделать]. Тогда получим ся. Линейными системами являются, уравнение типа (142.1) + 0, ре например, пружинный маятник при ма шением которого является функция лых растяжениях пружины (когда спра и= + [см. (140.1)]. Таким ведлив закон Гука), колебательный образом, решение уравнения (146.1) в контур, индуктивность, емкость и со случае малых затуханий противление которого не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения.

+ (146.5) Различные по своей природе линей где ные системы описываются идентичны ми линейными дифференциальными уравнениями, что позволяет подходить — амплитуда затухающих колеба к изучению колебаний различной фи ний;

— начальная амплитуда.

зической природы с единой точки зре Зависимость (146.5) показана па ния, а также проводить их моделирова рис. сплошной линией, а зависи ние, в том числе и на ЭВМ.

мость (146.6) — штриховыми Дифференциальное уравнение Промежуток времени т = -, в течение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде которого амплитуда затухающих коле баний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

где s — колеблющаяся величина, опи- Затухание нарушает периодичность сывающая тот или иной физический колебаний, поэтому затухающие коле процесс;

б const — коэффициент за- бания не являются периодическими и, тухания, — циклическая частота строго говоря, к ним неприменимо по свободных незатухающих колебаний нятие периода или частоты. Однако той же колебательной системы, т.е. при если затухание мало, то можно услов б — 0 (при отсутствии потерь энергии) но пользоваться понятием периода как называется собственной частотой промежутка времени между двумя пос колебательной системы.

Решение уравнения рассмот рим в виде (146.2) где После нахождения первой и второй производных выражения (146.2) и под становки их в (146.1) получим ледующими максимумами (или мини- ских (в качестве примера рассмотрим мумами) колеблющейся физической пружинный маятник) и электромагнит величины (см. рис. Тогда период ных (в качестве примера рассмотрим затухающих колебаний с учетом фор- электрический колебательный контур).

мулы (146.4) равен 1. Свободные затухающие колеба ния пружинного маятника. Для пру жинного маятника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= сила Если A(t) и + T) — амплитуды трения пропорциональна скорости, т. е.

двух последовательных колебаний, со ответствующих моментам времени, от личающимся на период, то отношение где г сопротивления;

знак «-» указывает на противополож ные направления силы трения и скоро сти.

называется декрементом При данных условиях закон движе а его логарифм ния маятника будет иметь вид (146.9) Используя формулу — логарифмическим декрементом (142.2)] и принимая, что коэффициент затухания;

— число колебаний, со затухания вершаемых за время уменьшения амп литуды в е раз. Логарифмический дек ремент затухания — постоянная вели чина для данной колебательной систе получим идентичное уравнению (146.1) мы.

дифференциальное уравнение затухаю Для характеристики колебательной щих колебаний маятника:

системы пользуются понятием доб ротности Q, которая при малых зна чениях логарифмического декремента Из выражений (146.1) и (146.5) вы текает, что колебания маятника подчи няются закону (так как затухание мало (б2 то Т принято равным [см. (146.4)].

где частота = Из формулы (146.8) следует, что Добротность пружинного маятника, добротность пропорциональна числу колебаний совершаемых системой согласно (146.8) и (146.10), за время релаксации.

Выводы, полученные для свободных 2. Свободные затухающие колеба затухающих колебаний линейных сис- ния в электрическом колебательном тем, применимы для колебаний различ- контуре. Дифференциальное уравне ной физической природы — механиче- ние свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R 0) имеет вид [см. (143.2)] Из выражений (146.1) и (146.5) выте кает, что колебания заряда совершают ся по закону Учитывая выражение (143.4) и прини мая коэффициент затухания с частотой, согласно (146.4), (146.11) (146.13) дифференциальное уравнение (143.2) меньшей собственной частоты конту можно записать в идентичном уравне- ра [см. (143.4)]. При R = 0 формула нию (146.1) виде (146.13) переходит в (143.4).

Т а б л ц а Логарифмический декремент зату- Примером автоколебательной сис хания определяется формулой (146.7), темы могут служить часы. Храповой а добротность колебательного контура механизм подталкивает маятник в такт [см. с колебаниями. Энергия, переда ваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пру (146.14) жины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых В табл. 7 произведено сопоставление инструментах и органных трубах так затухающих колебаний пружинного же возникают вследствие автоколе маятника и колебаний в электрическом баний, поддерживаемых воздушной колебательном контуре. струей.

В заключение отметим, что при уве- системами яв личении коэффициента затухания 6 пе- ляются также двигатели внутреннего риод затухающих колебаний растет и сгорания, паровые турбины, ламповые при 8 обращается в бесконечность, генераторы и т.д.

т.е. движение перестает быть периоди ческим. В этом случае колеблющаяся величина асимптотически приближает § 147. Дифференциальное ся к нулю, когда t со. Данный про уравнение вынужденных цесс будет апериодическим, а не коле колебаний (механических бательным.

и электромагнитных) Огромный интерес для техники пред и его решение ставляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого Чтобы в реальной колебательной необходимо восполнять потери энергии системе получить незатухающие коле реальной колебательной системы. Осо бания, надо компенсировать потери бенно важны и широко применимы так энергии. Такая компенсация возможна называемые автоколебания — незату с помощью какого-либо периодически хающие колебания, поддерживаемые в действующего фактора изменяю системе за счет посто щего по гармоническому закону:

янного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний опре деляются самой системой.

Автоколебания принципиально от- Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя личаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без последу- вынуждающая сила ющих внешних воздействий, а также от (147.1) вынужденных колебаний (см. § 147), происходящих под действием периоди- С учетом (147.1) закон движения ческой силы. Автоколебательная систе для пружинного маятника запи ма сама управляет внешними воздей шется в виде ствиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в Используя (142.2) и (146.10), при такт с ее колебаниями).

дем к уравнению пой форме (см. § 140). Заменим правую часть уравнения (147.5) на комплекс ную величину Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль иг (147.6) рает подводимая к контуру внешняя Частное решение этого уравнения бу периодически изменяющаяся по гармо дем искать в виде ническому закону ЭДС или напряжение (147.3) Подставляя выражение для s его про изводных = — ) в Тогда уравнение (143.2) с уравнение (147.6), получим (147.3) можно записать в виде + + = (147.7) Так как это равенство должно быть справедливым для всех моментов вре Используя (143.4) и (146.11), при мени, то время t из него должно исклю дем к уравнению чаться. Отсюда следует, что т| = со. Учи тывая это, из уравнения (147.7) найдем величину и умножим ее числитель и знаменатель на — Колебания, возникающие под дей ствием внешней периодически изменя _ ющейся силы или внешней периодиче ски изменяющейся ЭДС, называются вынужденными меха ническими и вынужденными элект 0 •), ромагнитными колебаниями.

Уравнения (147.2) и (147.4) можно Это комплексное число удобно пред свести к линейному неоднородному ставить в экспоненциальной форме:

дифференциальному уравнению где (147.8) применяя впоследствии его решение для вынужденных колебаний конкрет ной физической природы в случае (147.9) механических колебаний равно —, в U Следовательно, решение уравнения случае — ).

(147.6) в комплексной форме примет Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения (146.5) одно родного уравнения (146.1) частного Его вещественная часть, являющая решения неоднородного уравнения.

Частное решение найдем в комплекс- ся решением уравнения (147.5), равна (147.10) где задаются соответственно фор мулами (147.8) и (147.9).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения (147.5) име ет вид Дифференцируя a) t, найдем силу тока в контуре при установившихся колебаниях:

(147.11) Решение уравнения (147.5) равно сумме общего решения однородного уравнения где [см. (146.5)] и частного решения Слагаемое (147.12) играет существен ную роль только в начальной стадии процесса (при установлении колеба ний) до тех пор, пока амплитуда вынуж Выражение (147.14) может быть за денных колебаний не достигнет значе писано в виде ния, определяемого равенством (147.8).

Графически вынужденные колебания представлены рис. Следователь но, в установившемся режиме вынуж где — сдвиг по фазе между денные колебания происходят с часто током и приложенным напряжением той и являются гармоническими;

ам [см. (147.3)].

плитуда и фаза колебаний, определяе В соответствии с выражением мые выражениями (147.8) и (147.9), (147.13) также зависят от Запишем формулы (147.10), (147.8) и (147.9) для электромагнитных коле баний, учитывая, что [см.

Рис. Из формулы (147.16) вытекает, что ток отстает по фазе от напряжения > 0), если > ——, и опережает на Установление пряжение колебаний Формулы (147.15) PI (147.16) мож- или близкой собственной частоте коле но также получить с помощью вектор- бательной системы, называется резо нансом (соответственно механи ной диаграммы (см. § 149).

ческим или электрическим). При б значение практически со впадает с собственной частотой коле § 148. Амплитуда и фаза бательной системы. Подставляя (148.1) вынужденных колебаний в формулу (147.8), получим (механических и электромагнитных).

(148.2) Резонанс Рассмотрим зависимость амплиту- На рис. 212 приведены ды А вынужденных колебаний от час- амплитуды вынужденных колебаний от тоты Механические и электромаг- частоты при различных значениях 8. Из нитные колебания будем рассматривать (148.1) и (148.2) вытекает, что чем одновременно, называя колеблющуюся меньше 8, тем выше и правее лежит мак величину либо смещением (х) колеблю- симум данной кривой. Если со 0, то щегося тела из положения равновесия, все кривые [см. также (147.8)] достига либо зарядом (Q) конденсатора.

ют одного и того же, отличного от нуля, Из формулы (147.8) следует, что предельного значения которое амплитуда А смещения (заряда) имеет зывают статическим отклонением.

максимум. Чтобы резонан В случае механических колебаний сную частоту — частоту, при ко торой амплитуда А смещения (заряда) — в случае электромагнитных — достигает максимума, — нужно найти максимум функции (147.8), или, что то Если —> 0, то все кривые асимп же самое, минимум подкоренного вы тотически стремятся к нулю. Приведен ражения. Продифференцировав подко ная совокупность кривых называется ренное выражение и приравняв его резонансными кривыми.

нулю, получим условие, определяющее Это равенство выполняется О, у которых только лишь по ложительное значение имеет физиче ский смысл. Следовательно, резонанс ная частота Явление резкого возрастания амп литуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы (частоты вынуждающего пере менного напряжения) к частоте, равной Рис. максимальна при = и равна т.е. чем больше коэффициент затуха ния б, тем ниже максимум резонансной кривой. Используя формулы (142.2), (146.10) и (143.4), (146.11), получим, что амплитуда скорости при механиче ском резонансе равна а амплитуда тока при электрическом резонансе Рис. Из формулы (148.2) вытекает, что при малом затухании резо нансная амплитуда смещения (заряда) Из выражения tg = следует, что если затухание в системе отсутствует (8 = 0), то только в этом случае колебания и вынуждаю где — добротность колебательной щая сила (приложенное переменное на системы [см. (146.8)];

пряжение) имеют одинаковые фазы;

во ное выше статическое отклонение.

всех других случаях 0.

Отсюда следует, что добротность Зависимость от при разных ко характеризует резонансные свойства эффициентах 8 графически представле колебательной системы: чем больше Q, на на рис. из которого следует, что больше при изменении изменяется и сдвиг На рис. резонанс фаз Из формулы (147.9) вытекает, ные кривые для амплитуды скорости что при — 0 0, а при = не (тока). Амплитуда скорости (тока) зависимо от значения коэффициента затухания Ф = —, т.е. сила (напряже ние) опережает по фазе колебания на —.

При дальнейшем увеличении сдвиг фаз возрастает и при е.

фаза колебаний почти противополож на фазе внешней силы (переменного на пряжения). Семейство кривых, изобра женных на рис. 214, называется фазо Рис.214 выми резонансными кривыми.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Например, при конструировании машин и различ ного рода сооружений необходимо, что бы собственная частота их колебаний совпадала с возможных внешних воздействий, в противном случае возникнут вибрации, которые могут вызвать серьезные разрушения.

С другой стороны, наличие резонанса Рис. позволяет обнаружить даже очень сла Переменный ток, текущий через бые колебания, если их частота совпа резистор сопротивлением R (L О, дает с частотой собственных колебаний 0) (рис. 215, При выполнении прибора. Так, радиотехника, приклад условия квазистационарности ток через ная акустика, электротехника исполь резистор определяется законом Ома:

зуют явление резонанса.

§ 149. Переменный ток где амплитуда силы тока вынужденные элек Для наглядного изображения соот тромагнитные колебания (см. § 147) ношений между переменными токами можно рассматривать как протекание в и напряжениями воспользуемся цепи, содержащей резистор, катушку дом векторных диаграмм. рис.

индуктивности и конденсатор перемен дана векторная диаграмма амплитуд ного тока. Переменный ток можно ных значений тока и напряжения считать квазистационарным, е. для на резисторе (сдвиг фаз между и него мгновенные силы тока во равен нулю).

всех сечениях цепи практически одина 2. Переменный ток, текущий через ковы, так как их изменения происходят достаточно медленно, а электромагнит- катушку индуктивностью L (R 0, 0) (рис. 216, а). Если в цепи прило ные возмущения распространяются по цепи со скоростью, равной скорости жено переменное напряжение то света. в ней потечет переменный ток, в резуль тате чего возникнет самоиндук Для мгновенных значений квазиста ции [см. (126.3)] —L—. Тогда за ционарных токов выполняются закон Ома и вытекающие из пего правила кон Ома [см. (100.3)] для рассматрива Кирхгофа, которые будут использова емого участка цепи имеет вид ны применительно к переменным то кам (эти законы уже использовались при рассмотрении электромагнитных колебаний).

откуда Рассмотрим последовательно про цессы, происходящие участке цепи, содержащем резистор, катушку индук тивности и конденсатор, к концам ко торого приложено переменное напря жение где — амплитуда напряжения.

Рис. Так как внешнее напряжение приложе но к катушке индуктивности, то (149.3) есть падение напряжения на катушке.

Из уравнения (149.2) следует, что L —> 0) 217, Если переменное напряжение (149.1) приложено к кон денсатору, то он все время перезаряжа ется, и в цепи течет переменный ток.

После интегрирования, учитывая, что Так как все внешнее напряжение при постоянная интегрирования равна нулю ложено к конденсатору, а сопротивле (так как отсутствует постоянная состав нием подводящих проводов можно пре ляющая тока), получим небречь, тока где = Величина (149.7) (149.5) называется реактивным индуктив ным сопротивлением (или индуктив Величина ным сопротивлением). Из выражения (149.5) вытекает, что для постоянного тока — 0) катушка индуктивности не имеет сопротивления. Подстановка зна называется реактивным емкостным чения = в выражение (149.2) сопротивлением (или емкостным со с учетом (149.3) приводит к следующе противлением). Для постоянного тока му значению падения напряжения на 0) = т. е. постоянный ток че катушке индуктивности:

рез конденсатор течь не может. Паде ние напряжения на конденсаторе (149.6) Сравнение выражений (149.4) и (149.8) (149.6) приводит к выводу, что падение напряжения опережает по фазе ток /, Сравнение выражений (149.7) и приводит к выводу, что падение через катушку, на —, что и по- напряжения отстает по фазе от те казано на векторной диаграмме (рис.

кущего через конденсатор тока 1 на —.

Это показано на векторной диаграмме 3. Переменный ток, текущий через (рис. б).

конденсатор емкостью С 0, 4. Цепь переменного тока, содер жащая последовательно включенные резистор, катушку индуктивности и конденсатор. На рис. 218, а представ лен участок цепи, содержащий резистор сопротивлением R, катушку индуктив ностью L конденсатор емкостью С, к концам которого приложено пере менное напряжение (149.1). В цепи возникнет переменный ток, который вызовет на всех элементах цепи соот ветствующие падения напряжения На рис. 218,6 представлена вектор ная диаграмма амплитуд падений на пряжений на резисторе ( катушке где и определяются соответственно ( конденсаторе ( формулами (149.9) и (149.10). Величина Амплитуда приложенного на пряжения должна быть равна вектор ной сумме амплитуд этих падений на пряжений. Как видно из рис. 218, б, угол определяет разность фаз между (149.12) напряжением и силой тока. Из рисун ка следует, что [см. также формулу называется полным сопротивлением (147.16)] цепи, а величина (149.9) — реактивным сопротивлением.

Из прямоугольного треугольника полу- Рассмотрим частный случай, когда в цепи отсутствует конденсатор. В дан ном случае падения напряжений и в сумме равны приложенному на откуда амплитуда силы тока имеет зна пряжению U. Векторная диаграмма для чение данного случая представлена на рис.

219, из которого следует, что =.(149.13) совпадающее с (147.15).

Рис. Следовательно, если напряжение в цепи изменяется по закону U = — то в цепи течет ток / (149.11) Выражения (149.9) и (149.10) совпа ния на активном сопротивлении равно внешнему напряжению, приложенному дают с (149.13), если в них —— = 0, т.е.

к цепи ( = а падения напряже С= оо. Следовательно, отсутствие кон ний на конденсаторе ( катушке ин денсатора в цепи означает, что С= оо, а дуктивности ( одинаковы по ам не 0. Данный вывод можно тракто плитуде и противоположны по фазе.

вать следующим образом: сближая об Это явление называется резонансом кладки конденсатора до их полного со напряжений (последовательным ре прикосновения, получим цепь, в кото зонансом), а частота (150.2) —резо рой конденсатор отсутствует [расстоя нансной частотой. Векторная диаг ние между обкладками стремится к рамма для резонанса напряжений при нулю, а емкость — к бесконечности;

см.

ведена 220, а зависимость амп (94.3)].

литуды силы тока от уже была дана на рис. 213.

В случае резонанса напряжений § 150. Резонанс напряжений Если в цепи переменного тока, со Подставив в эту формулу значения ре держащей последовательно включен зонансной частоты и амплитуды напря ные конденсатор, катушку индуктивно жений на катушке индуктивности и сти и резистор (см. рис. 218), конденсаторе, получим (150.1) то сдвиг фаз между током и напряже нием (149.9) обращается в нуль 0), т.е. изменения тока и напряжения про исходят синфазно. Условию (150.1) где Q— добротность контура, определя удовлетворяет частота емая выражением (146.14).

Так как добротность обычных коле (150.2) бательных контуров больше единицы, то напряжение как на катушке индуктив В данном случае полное сопротивление ности, так и на конденсаторе превыша цепи Z (149.12) становится минималь- ет напряжение, приложенное к цепи. По ным, равным активному сопротивле- этому явление резонанса напряжений нию R цепи, и ток в цепи определяется используется в технике для усиления ко этим сопротивлением, принимая мак- лебания напряжения какой-либо опре симальные (возможные при данном деленной частоты. Например, в случае значения. При этом падение резонанса на конденсаторе можно по лучить напряжение с амплитудой данном случае — добротность кон тура, которая может быть значительно больше Это усиление напряжения возможно только для узкого интервала частот вблизи резонансной частоты контура, что позволяет выделить из многих сигналов одно колебание опре- Рис. деленной частоты, т.е. на радиоприем нике настроиться на нужную длину Явление резонанса напряжений не обходимо при расчете изоля ции электрических линий, содержащих конденсаторы и катушки индуктивно сти, так как иначе может наблюдаться Начальная фаза этого тока [см.

их пробой.

(149.9)] § 151. Резонанс токов Рассмотрим цепь переменного тока, Из сравнения выражений и содержащую параллельно включенные (151.2) вытекает, что разность фаз то конденсатор емкостью катушку ин ков в ветвях и равна — дуктивностью L Для просто т.е. токи в ветвях противоположны по ты активное сопротивле фазе. Амплитуда силы тока во внешней ние обеих ветвей настолько мало, что цепи им можно пренебречь. Если приложен ное напряжение изменяется по закону U — [см. (149.1)], то, согласно формуле в ветви течет ток и = 0. Явление резкого уменьшения амплитуда которого определяется из амплитуды силы тока во внешней выражения (149.10) при условии R = питающей параллельно включенные и L = 0:

конденсатор и катушку индуктивности, при приближении частоты приложен ного напряжения к резонансной часто те называется резонансом токов Начальная фаза этого тока по фор (параллельным резонансом). В дан муле (149.9) определяется равенством ном случае для резонансной частоты получили такое же значение, как и при (151.1) резонансе напряжений (см. § 150).

Амплитуда силы тока оказалась равна нулю потому, что активным со Аналогично, сила тока в ветви противлением контура пренебрегли.

Если учесть сопротивление R, то раз ность фаз — не будет равна по этому при резонансе токов амплитуда амплитуда которого определяется из силы тока будет отлична от нуля, но (149.10) при условии R = 0 и С = примет наименьшее возможное значе (условие отсутствия емкости в цепи, см.

ние. Таким образом, при резонансе то § 149):

ков во внешней цепи токи ком а ее среднее значение за период ко пенсируются и сила тока / в подводя лебания. Учитывая, что щих проводах достигает минимально го значения, обусловленного только током через резистор. При резонансе (152.1) токов силы токов и могут значи тельно превышать силу тока Из векторной диаграммы (см. рис.

Рассмотренный контур оказывает следует, что = По большое сопротивление переменному этому току с частотой, близкой к резонансной.

Поэтому это свойство резонанса токов используется в резонансных усилите лях, позволяющих выделять одно опре деленное колебание из сигнала слож- Такую же мощность развивает постоян ной формы.

ный / Резонанс токов используется также Величины в индукционных печах, где нагревание металлов производится вихревыми то ками (см. § 125). В них емкость конден сатора, включенного параллельно на называются соответственно действую гревательной катушке, подбирается так, чтобы при частоте генератора получил- щими (или эффективными) значени ся резонанс токов, в результате чего ями тока и напряжения. Все ампер сила тока через нагревательную катуш- метры и вольтметры градуируются по ку будет гораздо больше, чем сила тока действующим значениям тока и напря в подводящих проводах. жения.

Учитывая действующие значения тока и напряжения, выражение средней мощности (152.1) можно записать в § 152. Мощность, выделяемая виде в цепи переменного тока (152.2) Мгновенное значение мощности пе где множитель называется коэф ременного тока равно произведению фициентом мощности.

мгновенных напряжения и Формула (152.2) показывает, что силы тока:

мощность, выделяемая в цепи перемен ного тока, в общем случае зависит не только от силы тока и напряжения, но где U(t) = I(t) = — ф) и от сдвига фаз между ними. Если в [см. выражения (149.1) и Рас цепи реактивное сопротивление отсут крыв cos — ф), получим ствует, то 1 и Р = UI. Если цепь содержит только реактивное сопротив ление (R = 0), то — 0 и средняя мощность равна нулю, какими бы боль Практический интерес представля- шими ни были ток и напряжение. Если имеет значения, существенно мень ет не мгновенное значение мощности, ше единицы, то для передачи заданной стоимость линий электропередачи. По мощности при данном напряжении ге- этому на практике всегда стремятся нератора нужно увеличивать силу тока увеличить наименьшее допус /, что приведет либо к выделению джо- тимое значение которого для промыш улевой теплоты, либо потребует увели- ленных установок составляет пример чения сечения проводов, что повысит но 0,85.

Контрольные вопросы • Что такое свободные колебания? колебания? периодические процессы?

• Почему возможен единый подход при изучении колебаний различной физической при роды?

• Дайте определения амплитуды, фазы, периода, частоты, циклической частоты колеба ния.

• В чем заключается идея метода вращающегося вектора амплитуды?

• Выведите формулы для скорости и ускорения гармонически колеблющейся точки как функции времени.

• От чего зависят амплитуда и начальная фаза гармонических механических колебаний?

• Выведите и прокомментируйте формулы для кинетической, потенциальной и полной энергии при гармонических колебаниях.

• Чему равно отношение полной энергии гармонического колебания к максимальному значению возвращающей силы, вызывающей это колебание?

• Как можно сравнить между собой массы тела, измеряя частоты колебаний при подве шивании этих масс к пружине?

• Что называется гармоническим осциллятором? пружинным маятником? физическим?

математическим ?

• Выведите формулы для периодов колебаний пружинного, физического и математиче ского маятников.

• Что такое приведенная длина физического маятника?

• Какие процессы происходят при свободных гармонических колебаниях в колебатель ном контуре? Чем определяется их период?

• Запишите и проанализируйте дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний в контуре.

• Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикуляр ных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Как получается окружность?

прямая?

• Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых коле баний?

Pages:     | 1 |   ...   | 3 | 4 || 6 | 7 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.