WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |

«ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Т. И. ТРОФИМОВА КУРС ФИЗИКИ 11-е издание, стереотипное УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 Т761 Рецензент — профессор кафедры физики им. А. М. Фабриканта Московского ...»

-- [ Страница 2 ] --

За время At через сечение прохо дит объем жидкости следователь но, за 1 с через пройдет объем жид § 29. Уравнение неразрывности кости где — скорость течения жидкости в месте сечения Через се Движение жидкостей называется чение за 1 с пройдет объем жидкости течением, а совокупность частиц дви жущейся жидкости — потоком. Графи Рис. чески движение жидкостей изобража ется с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 47). Линии где — скорость течения жидко сти в месте сечения Здесь предпола гается, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (р = const), то через сечение пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение т. е.

(29.1) Следовательно, произведение скоро сти течения несжимаемой жидкости на идеальной несжимаемой жидкости дол поперечное сечение трубки тока есть жно быть равно работе А внешних сил величина постоянная для данной труб по перемещению массы т жидкости:

ки тока. Соотношение (29.1) называет уравнением неразрывности для не (30.1) сжимаемой жидкости.

где — полные энергии жидкости массой т в местах сечений соот ветственно.

§ 30. Уравнение Бернулли С другой стороны, А — это работа, и следствия из него совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечени В реальных жидкостях между от ями за рассматриваемый малый дельными слоями потока возникают промежуток времени At. Для перене силы внутреннего трения, тормозящие сения массы до жидкость дол относительное смещение слоев. Одна жна переместиться на расстояние = ко в ряде случаев ими можно пренеб = и от до — на расстояние речь. Поэтому для вывода ряда законо = мерностей пользуются физической мо Отметим, что и настолько малы, делью идеальной жидкости — вообра что всем точкам объемов, закрашенных жаемой жидкости, у которой внутрен на 49, приписывают постоянные нее трение полностью отсутствует.

значения скорости, давления и высоты.

Выделим в стационарно текущей Следовательно, несжимаемой идеальной жидкости трубку тока, ограниченную сечениями (30.2) по которой жидкость течет сле где = — (отрицательна, ва направо (рис. 49). Пусть в месте се так как направлена в сторону, противо чения скорость течения давление положную течению жидкости;

см. 49).

и высота, на которой это сечение рас Полные энергии будут скла положено, Аналогично, в месте се дываться из кинетической и потенци чения скорость течения давление альной энергий массы т жидкости:

высота сечения За малый проме жуток времени жидкость перемеща (30.3) ется от сечения сечению от к Согласно закону сохранения энер (30.4) гии, изменение полной энергии — хранения энергии применительно к ус тановившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и Величина р в формуле (30.6) назы приравнивая (30.1) и (30.2), получим вается статическим давлением (дав ление жидкости на поверхность обтека емого ею тела), величина дина мическим давлением. Как уже указы валось выше (см. § 28), величина pgh представляет собой гидростатическое Согласно уравнению неразрывности давление.

для несжимаемой жидкости (29.1), Для горизонтальной трубки тока объем, занимаемый жидкостью, остает — выражение (30.6) принимает вид ся постоянным, т.е.

(30.7) Разделив выражение (30.5) на где р + называется полным давле получим нием.

Из уравнения Бернулли (30.7) для горизонтальной трубки тока и уравне ния неразрывности (29.1) следует, что где р — плотность жидкости.

при течении жидкости по горизонталь Так как сечения выбирались произ ной трубе, имеющей различные сечения, вольно, то можем записать скорость жидкости больше в местах су жения, а статическое давление больше в более широких местах, т.е. там, где скорость меньше. Это можно продемон Выражение (30.6) выведено швей стрировать, установив вдоль трубы ряд царским физиком Д. Бернулли (1700 — манометров (рис. 50). В соответствии 1782;

опубликовано в 1738 г.) и назы с уравнением Бернулли опыт показы вается уравнением Бернулли. Уравне вает, что в манометрической трубке В, ние Бернулли — выражение закона со прикрепленной к узкой части трубы, уровень жидкости ниже, чем в маномет рических трубках А и С, прикреплен ных к широкой части трубы.

Так как динамическое давление свя зано со скоростью движения жидкости (газа), то уравнение Бернулли позволя ет измерять скорость потока жидкости.

Для этого применяется трубка Пито — Прандтля (рис. 51). Прибор состоит из двух изогнутых под прямым углом тру бок, противоположные концы которых Рис. Рис. присоединены к манометру. С помо щью одной из трубок измеряется пол ное давление (р0), с помощью другой — статическое (р). Манометром измеря ют разность давлений:

(30.8) где р0 — плотность жидкости в маномет ре. С другой стороны, согласно уравне нию Бернулли, разность полного и ста тического давлений равна динамиче скому давлению:

Рассмотрим два сечения (на уров не свободной поверхности жидкости Из формул (30.8) и (30.9) получаем в сосуде и на уровне выхода ее из от искомую скорость потока жидкости:

верстия) и запишем уравнение Бернул ли:

Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, Так как давления и в жидкости положено в основу работы водоструй на уровнях первого и второго сечений ного насоса (рис. 52). Струя воды по равны атмосферному, т.е. — то дается в трубку, открытую в атмосфе уравнение будет иметь вид ру, так что давление на выходе из труб ки равно атмосферному. В трубке име ется сужение, по которому вода течет с большей скоростью. В этом месте дав Из уравнения неразрывности (29.1) ление меньше атмосферного. Это дав следует, что где — пло ление устанавливается и в откачанном сосуде, который связан с трубкой через щади поперечных сечений сосуда и от разрыв, имеющийся в ее узкой части.

верстия. Если то слагаемым Воздух увлекается вытекающей с боль можно пренебречь. Тогда шой скоростью водой из узкого конца.

Таким образом можно откачивать воз дух из сосуда до давления 100 мм рт. ст.

Рис. (1 мм рт. ст. = 133,32 Па).

Уравнение Бернулли используется для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда. Рассмотрим цилиндричес кий сосуд с жидкостью, в боковой стен ке которого на некоторой глубине ниже уровня жидкости имеется маленькое отверстие (рис. 53).

— Направление, в котором отсчитывается расстояние между сло ями, перпендикулярно скорости течения слоев. Величина Это выражение получило название показывает, как формулы быстро меняется скорость при перехо де от слоя к слою в направлении х, пер пендикулярном направлению движе § Вязкость (внутреннее трение).

ния слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы Ламинарный и турбулентный внутреннего трения режимы течения жидкостей (31.1) Рассмотренная ранее (см. § 30) иде альная жидкость — воображаемая жид где коэффициент пропорциональнос кость, в которой отсутствуют силы ти зависящий от природы жидкости, внутреннего трения, есть физическая называется динамической вязкостью абстракция. Всем реальным жидко (или просто вязкостью).

стям и газам присуща вязкость {внут Единица вязкости — паскаль-секун реннее трение).

да (Па • с): 1 Па • с равен динамической Вязкость {внутреннее трение) — вязкости среды, в которой при ламинар это свойство реальных жидкостей ока ном течении и градиенте скорости с мо зывать сопротивление перемещению дулем, равным 1 м/с на 1 м, возникает одной части жидкости относительно сила внутреннего трения 1 Н на 1 м другой. При перемещении одних слоев поверхности касания слоев (1 = реальной жидкости относительно дру = 1 Н • с/м ).

гих возникают силы внутреннего тре Чем больше вязкость, тем сильнее ния, направленные по касательной к по жидкость отличается от идеальной, тем верхности слоев. Действие этих сил большие силы внутреннего трения в проявляется в том, что со стороны ней возникают. Вязкость зависит от движущегося быстрее, на слой, движу температуры, причем характер этой за щийся медленнее, действует ускоряю висимости для жидкостей и газов раз щая сила. Со стороны же слоя, движу личен (для жидкостей с увеличением щегося медленнее, на слой, движущий температуры уменьшается, у газов, на ся быстрее, действует тормозящая сила.

оборот, увеличивается), что указывает Сила внутреннего трения F тем на различие в них механизмов внутрен больше, чем больше рассматриваемая него трения. Особенно сильно от тем площадь поверхности слоя S (рис. 54), и зависит от того, насколько быстро ме Рис. няется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. На рисунке представлены два слоя, отстоящие друг от друга на расстоянии Ах и движу щиеся со скоростями При этом Э.Торричелли (1608— 1647) — итальянский физик и математик.

пературы зависит вязкость масел. На пример, вязкость касторового масла в интервале 18 °С падает в четыре раза. Российский физик П.Л.Капица (1894 — 1984;

Нобелевская премия 1978 г.) открыл, что при температуре 2,17 К жидкий гелий переходит в сверх текучее состояние, в котором его вяз- Рис. кость равна нулю.

стрым возрастанием скорости у стенок Существует два режима течения трубы и меньшей кривизной в цент жидкостей. Течение называется лами ральной части течения. Характер тече нарным (слоистым), если вдоль пото ния зависит от безразмерной величины, ка каждый выделенный тонкий слой называемой числом Рейнольдса :

скользит относительно соседних, не пе ремешиваясь с ними, и турбулентным (вихревым), если вдоль потока проис ходит интенсивное вихреобразование и перемешивание жидкости (газа).

где р — плотность жидкости;

— сред Ламинарное течение жидкости на няя по сечению трубы скорость жидко блюдается при небольших скоростях ее сти;

d— характерный линейный размер, движения. Внешний слой жидкости, например диаметр т р у б ы ;

— ки примыкающий к поверхности трубы, в нематическая вязкость.

которой она течет, из-за сил молекуляр При малых значениях числа Рей ного сцепления прилипает к ней и ос нольдса наблюдается лами тается неподвижным. Скорости после нарное течение, переход от ламинарно дующих слоев тем больше, чем больше го течения к турбулентному происхо их расстояние до поверхности трубы, и дит в области а при наибольшей скоростью обладает слой, Re = 2300 (для гладких труб) течение движущийся вдоль оси трубы.

турбулентное. Если число Рейнольдса При турбулентном течении частицы одинаково, то режим течения различ жидкости приобретают составляющие ных жидкостей (газов) в трубах разных скоростей, перпендикулярные течению, сечений одинаков.

поэтому они могут переходить из одного слоя в другой. Скорость частиц жидко сти быстро возрастает по мере удаления от поверхности трубы, затем изменяется § 32. Методы определения довольно незначительно. Так как части вязкости цы жидкости переходят из одного слоя в другой, то их скорости в различных сло 1. Метод Стокса. Этот метод опре ях мало отличаются. Из-за большого гра деления вязкости основан на измере диента скоростей у поверхности трубы нии скорости медленно движущихся в обычно происходит образование вихрей.

Профиль усредненной скорости при О.Рейнольдс (1842—1912) — английский турбулентном течении в трубах (рис. 55) ученый.

отличается от параболического профи Дж. Стоке (1819 —1903) — английский фи ля при ламинарном течении более бы- зик и математик.

жидкости небольших тел сферической Рис. формы.

На шарик, падающий в жидкости вертикально вниз, действуют три силы:

сила тяжести (р — плотность шарика), сила Архимеда.

линдра, уравновешивается силой дав — плотность жидкости) и сила со- ления, действующей на его основание:

противления, эмпирически установлен ная Дж. Стоксом: — ради ус шарика, v — его скорость). При рав После интегрирования, полагая, что номерном движении шарика у стенок имеет место прилипание жид кости, т. е. скорость на расстоянии R от оси равна нулю, получаем или откуда Отсюда видно, что скорости частиц жидкости распределяются по параболи ческому закону, причем вершина пара болы лежит на оси трубы (см. также Измерив скорость равномерного рис. 55). За время t из трубы вытечет движения шарика, можно определить жидкость, объем которой вязкость жидкости (газа).

2. Метод Пуазейля. Пуазейль, изу чая ламинарное течение жидкости в круглой трубе, нашел закон изменения скорости с расстоянием гот оси трубы.

В жидкости мысленно выделим цилин дрический объем радиусом г и толщи ной dr (рис. 56). Сила внутреннего тре ния [см. (31.1)], действующая на боко вую поверхность этого объема, где dS — боковая поверхность цилинд рического слоя;

знак «—» означает, что при возрастании радиуса скорость умень шается.

§ 33. Движение тел Для установившегося течения жид в жидкостях и газах кости сила внутреннего трения, дей ствующая па боковую поверхность ци Одной из важнейших задач аэро- и гидродинамики является исследование Ж. Пуазейль (1799 1868) - французский физиолог и физик. движения твердых тел в газе и жидко Рис. сти, в частности изучение тех сил, с ко- симметрична как относительно торыми среда действует на движущее- проходящей через точки А и В, так и ся тело. Эта проблема приобрела осо- относительно прямой, проходящей че бенно большое значение в связи с бур- рез точки С и D, т. е. результирующая ным развитием авиации и увеличени- сила давления на поверхность цилинд ем скорости движения морских судов. ра будет равна нулю.

На тело, движущееся в жидкости Иначе обстоит дело при движении или газе, действуют две силы (их рав- тел в вязкой (особенно при нодействующую обозначим R), одна из увеличении скорости обтекания).

которых направлена в сторону, Вследствие вязкости среды в области, противоположную движению тела прилегающей к поверхности тела, об (в сторону потока), — лобовое сопро- разуется пограничный слой частиц, тивление, а вторая перпендику- движущихся с меньшими скоростями.

лярна этому направлению — подъем- В результате тормозящего действия ная сила (рис. 57). этого слоя возникает вращение частиц и движение жидкости в пограничном Если тело симметрично и его ось слое становится вихревым. тело симметрии совпадает с направлением не имеет обтекаемой формы (нет скорости, то на него действует только плавно утончающейся хвостовой час лобовое сопротивление, подъемная же ти), то пограничный слой жидкости сила в этом случае равна нулю. Можно доказать, что в идеальной жидкости рав- отрывается от поверхности тела. За номерное движение происходит без ло- телом возникает течение жидкости бового сопротивления. Если рассмот- (газа), направленное противополож реть движение цилиндра в такой жид- но набегающему потоку. Оторвав шийся пограничный слой, следуя за кости (рис. 58), то картина линий тока этим течением, образует вихри, вра щающиеся в противоположные сторо Рис. ны (рис. 59).

Лобовое сопротивление зависит от формы и его положения относитель но потока, что учитывается безразмер ным коэффициентом сопротивления определяемым экспериментально:

Для крыла самолета требуется боль (33.1) шая подъемная сила при малом лобо вом сопротивлении [это условие вы где p — плотность среды;

v — скорость полняется при малых углах атаки а движения тела;

S — наибольшее попе (угол к потоку);

см. рис. 57].

речное сечение тела.

Крыло тем лучше удовлетворяет Составляющую можно значи этому условию, чем больше величина тельно уменьшить, подобрав тело такой формы, которая не способствует обра К = называемая качеством кры зованию завихрения.

ла.

Подъемная сила может быть опреде Большие заслуги в конструировании лена формулой, аналогичной (33.1):

требуемого профиля крыла и изучении влияния геометрической формы тела на коэффициент подъемной силы при где — безразмерный коэффициент надлежат «отцу русской авиации» Н.Е.Жуковскому (1847-1921).

подъемной силы.

Контрольные вопросы Что такое давление в жидкости? Давление — величина векторная или скалярная? Како ва единица давления в СИ?

Сформулируйте и поясните законы Паскаля и Архимеда.

Что называют линией тока? трубкой тока?

Что характерно для установившегося течения жидкости?

Каков физический смысл уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости и как его вывести ?

Выведите уравнение Бернулли.

Как в потоке жидкости измерить статическое давление? динамическое давление? пол ное давление?

Что такое градиент скорости?

Каков физический смысл коэффициента динамической вязкости?

Какое течение жидкости называется ламинарным? турбулентным? Что характеризует число Рейнольдса?

Поясните (с выводом) практическое применение методов Стокса и Пуазейля.

Каковы причины возникновения лобового сопротивления тела, движущегося в жидко сти? Может ли оно быть равным нулю?

Как объяснить возникновение подъемной силы (см. рис. 57)?

ЗАДАЧИ 6.1. Полый железный шар (р = 7,87 г/см3) весит в воздухе 5 Н, а в воде (р' = 1 г/см3) — 3 Н. Пренебрегая выталкивающей силой воздуха, определите объем внутренней полости шара. [139 см3] 6.2. Бак цилиндрической формы площадью основания S= 1 м2 и объемом V= 3 м3 за полнен водой. Пренебрегая вязкостью воды, определите время t, необходимое для опусто шения бака, если на дне бака образовалось круглое отверстие площадью S1 = 10 см2.

= 13 мин ] 6.3. Сопло фонтана, дающего вертикальную струю высотой Н= 5 м, имеет форму усечен ного конуса, сужающегося вверх. Диаметр нижнего сечения — б см, верхнего — = 2 см.

Высота сопла / I =1M. Пренебрегая сопротивлением воздуха в струе и сопротивлением в сопле, определите: 1) расход воды в 1 с, подаваемой фонтаном;

2) разность Ар давления в нижнем сечении и атмосферного давления. Плотность воды р = 1 г/см3. [1) —— = 3,1 • 2) Ар = pgh + = 58,3 кПа] 6.4. На горизонтальной стоит цилиндрический сосуд, в боковой поверхно сти которого имеется отверстие. Поперечное сечение отверстия значительно меньше попе речного сечения самого сосуда. Отверстие расположено на расстоянии = см ниже уров ня воды в сосуде, который поддерживается постоянным, и па расстоянии = 25 см от дна сосуда. Пренебрегая вязкостью воды, определите, на каком расстоянии горизонтали от сосуда падает на поверхность струя, вытекающая из отверстия. [80 см] 6.5. В широком сосуде, наполненном глицерином (плотность р = 1,2 г/см3), падает с установившейся скоростью 5 см/с стеклянный шарик = 2,7 г/см3) диаметром 1 мм. Оп ределите динамическую вязкость глицерина. [16 Па • с] 6.6. В боковую поверхность цилиндрического сосуда, установленного на столе, вставлен на высоте — 5 см от его дна капилляр внутренним диаметром d — 2 мм и длиной — 1 см.

В сосуде поддерживается постоянный уровень машинного масла (плотность р = 0,9 г/см3 и динамическая вязкость 0,1 Па • с) на высоте — 80 см выше капилляра. Определите, па каком расстоянии по горизонтали от конца капилляра падает на поверхность стола струя масла, вытекающая из отверстия. [ s — =8,9 см] | 6.7. Определите наибольшую которую может приобрести свободно падающий в воздухе (р = 1,29 г/см3) стальной шарик 9 г/см3) массой га 20 г. Коэффициент принять равным 0,5. [94 см/с] Глава ЭЛЕМЕНТЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ (ЧАСТНОЙ) ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ да начала координат обеих систем со § 34. Преобразования Галилея.

впадают. Пусть в произвольный момент Механический принцип времени t расположение этих систем относительности относительно друг друга имеет вид, Рассмотрим две системы отсчета:

изображенный на рис. 60. Скорость инерциальную систему К (с координа направлена вдоль 00', радиус-вектор, тами х, у, которую условно будем проведенный из О', — считать неподвижной, и систему К' Найдем связь между координатами (с координатами х', у', движущую произвольной точки А в обеих систе ся относительно К равномерно и пря мах. Из рис. 60 видно, что молинейно со скоростью const).

Отсчет времени начнем с момента, ког (34.1) Рис. Ускорение в системе отсчета К Таким образом, ускорение точки А в системах отсчета К К', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково:

Уравнение (34.1) можно записать в (34.5) проекциях на оси координат:

Следовательно, если на точку А дру гие тела не действуют (а = 0), то, со гласно (34.5), и = 0, т.е. система К' (34.2) является инерциальной (точка движет Уравнения (34.1) и (34.2) носят на ся относительно нее равномерно и пря звание преобразований координат Га молинейно или покоится).

лилея.

Из уравнения (34.5) следует, что В частном случае, когда система К' если выполняется равенство F — та, то движется со скоростью v вдоль положи выполняется и равенство F' = то! (мас тельного направления оси х системы К са имеет одинаковое числовое значение (в начальный момент времени оси ко во всех системах отсчета). Поскольку ординат совпадают), преобразования системы К и К' были выбраны произ координат Галилея имеют вид вольно, то полученный результат озна чает, что уравнения динамики при пере ходе от одной инерциальной системы В классической механике предпола отсчета к другой формулируются оди гается, что ход времени не зависит от наково. Это утверждение и есть меха относительного движения систем от нический принцип относительности счета, т.е. к преобразованиям (34.2) (принцип относительности Гали можно добавить еще одно уравнение:

лея). Галилей первым обратил внима t=t'. (34.3) ние на то, что никакими механически ми опытами, проведенными в данной Записанные соотношения справед инерциальной системе отсчета, нельзя ливы лишь в случае классической меха установить, покоится ли она или дви ники (и с), а при скоростях, сравни жется равномерно и прямолинейно.

мых со скоростью света, преобразования Например, сидя в каюте корабля, дви Галилея заменяются более общими пре жущегося равномерно и прямолинейно, образованиями Лоренца (см. § 36).

мы не можем определить, покоится ко Продифференцировав выражение рабль или движется, не выглянув в окно.

(34.1) по времени [с учетом (34.3)], по лучим уравнение (34.4) § 35. Постулаты специальной которое представляет собой правило (частной) теории относительности сложения скоростей в классической механике.

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макро Х.Лоренц (1853—1928) — нидерландский физик-теоретик. тел, движущихся с малыми скоростями Однако в конце XIX в. выясни- Это и удалось сделать А. Эйнштейну, лось, что выводы классической механи- который пришел к выводу о том, что ки противоречат некоторым опытным мирового эфира — особой среды, кото данным, в частности при изучении дви- рая могла бы быть принята в качестве жения быстрых заряженных частиц абсолютной системы, — не существует.

оказалось, что их движение не подчи- Наличие постоянной скорости распро няется законам классической механи- странения света в вакууме находилось ки. Далее возникли затруднения при в согласии с уравнениями Максвелла.

попытках применить механику Ньюто- Таким образом, А. Эйнштейн зало на к объяснению распространения све жил основы специальной теории от та. Если источник и приемник света носительности. Эта теория представ движутся друг относительно друга рав- ляет собой современную физическую номерно и прямолинейно, то, согласно теорию пространства и времени, в ко классической механике, измеренная торой, как и в классической ньютонов скорость должна зависеть от относи- ской механике, предполагается, что вре тельной скорости их движения.

мя однородно (см. § 13), а пространство однородно (см. § 9) и изотропно (см.

Американский физик А. Майкель § 19). Специальная теория относитель сон (1852-1913) в 1881 г., а затем в ности часто называется также реляти 1887 г. совместно с Е.Морли (амери вистской теорией, а специфические канский физик, 1838—1923) пытался явления, описываемые этой теорией, — обнаружить движение Земли относи релятивистскими эффектами.

тельно эфира (эфирный ветер) — опыт Майкельсона — Морли, применяя ин- В основе специальной теории отно терферометр, названный впоследствии сительности лежат постулаты Эйнш интерферометром Майкельсона (см.

тейна, сформулированные им в 1905 г.

§ 175). Обнаружить эфирный ветер I. Принцип относительности: ни Майкельсону не удалось, как, впрочем, какие опыты (механические, электри не удалось его обнаружить и в других ческие, оптические), проведенные внут многочисленных опытах. Опыты «уп- ри данной инерциалыюй системы от рямо» показывали, что скорости света счета, не дают возможности обнару в двух движущихся относительно друг жить, покоится ли эта система или дви друга системах равны. Это противо- жется равномерно и прямолинейно;

все речило правилу сложения скоростей законы природы по отно классической механики.

шению к переходу от одной инерциаль Одновременно было показано проти- ной системы отсчета к другой.

воречие между классической теорией и II. Принцип инвариантности ско уравнениями (см. § 139) Дж. К. Макс- рости света: скорость света в вакууме велла (английский физик, 1831 —1879), не зависит от скорости движения источ лежащими в основе понимания света ника света или наблюдателя и одинакова как электромагнитной волны. во всех инерциальных системах отсчета.

Для объяснения этих и некоторых Первый постулат Эйнштейна, явля других опытных данных необходимо ясь обобщением механического прин было создать новую теорию, которая, объясняя эти факты, содержала бы нью- Инвариантные величины — величины, име тоновскую механику как предельный ющие одно и то же числовое значение во всех случай для малых скоростей системах отсчетах.

ципа относительности (принципа отно им постулатов, показал, что классичес сительности Галилея) на любые физи кие преобразования Галилея несовме ческие процессы, утверждает, таким стимы с ними и, следовательно, долж образом, что физические законы инва ны быть заменены преобразованиями, риантны по отношению к выбору инер удовлетворяющими постулатам теории циальной системы отсчета, а уравнения, относительности.

описывающие эти законы, одинаковы Для иллюстрации этого вывода рас по форме во всех инерциальных систе смотрим две инерциальные системы мах отсчета. Согласно этому постулату, отсчета: К (с координатами х, у, z) и К' все инерциальные системы отсчета со (с координатами х', у', z'), движущую вершенно равноправны, т.е. явления ся относительно К (вдоль оси х) со ско ростью v = const (рис. 61). Пусть в на оптические и др.) во всех инерциальных чальный момент времени t = t' = 0, ког системах отсчета протекают одинаково.

да начала координат и О' совпадают, Согласно второму постулату Эйнш- излучается световой импульс. Согласно тейна, скорости света — второму постулату Эйнштейна, скорость фундаментальное свойство природы, ко- света в обеих системах одна и та же и торое констатируется как опытный факт. равна с. Поэтому если за время t в сис Специальная теория относительно- теме K сигнал дойдет до некоторой точ сти потребовала отказа от привычных ки А (см. рис. 61), пройдя расстояние представлений о пространстве и време (36.1) на, принятых в классической механике, поскольку они противоречили принци- то в системе К' координата светового пу постоянства скорости света. Потеря- импульса в момент достижения точ ло смысл не только абсолютное про- ки А странство, но и абсолютное время.

(36.2) Постулаты Эйнштейна и теория, где t' — время прохождения светового построенная на их основе, установили импульса от начала координат до точ новый взгляд на мир и новые простран ственно-временные представления, та- ки А в системе К'. Вычитая (36.1) из кие, например, как относительность (36.2), получим длин и промежутков времени, относи тельность одновременности событий.

Так как х' х (система К' переме Эти и другие следствия из теории Эйн щается по отношению к системе К), то штейна находят надежное эксперимен тальное подтверждение, являясь тем самым обоснованием постулатов Эйн т. е. отсчет времени в системах К и К' штейна — обоснованием специальной различен — отсчет времени имеет от теории относительности.

носительный характер (в классической Рис. § 36. Преобразования Лоренца Анализ явлений в инерциальных си стемах отсчета, проведенный А. Эйнш тейном на основе сформулированных физике считается, что время во всех Из преобразований Лоренца вытека инерциальных системах отсчета течет ет также, что при малых скоростях (по одинаково, т.е. t = t'). сравнению со скоростью с), т.е. когда Эйнштейн показал, что в теории от- (3 1, они переходят в классические пре носительности классические преобра- образования Галилея (в этом заключает зования Галилея, описывающие пере- ся суть принципа соответствия), кото рые являются, следовательно, предель ход из одной инерциальной системы ным случаем преобразований Лоренца.

отсчета к другой:

При v > с выражения (36.3) для t, x', t' теряют физический смысл (становятся мнимыми). Это находится, в свою оче редь, в соответствии с тем, что движение со скоростью, большей скорости распро странения света в вакууме, невозможно.

Из преобразований Лоренца следу заменяются преобразованиями Лорен ет очень важный вывод о том, что как ца, удовлетворяющими постулатам расстояние, так и промежуток времени Эйнштейна (формулы представлены между двумя событиями меняются при для случая, когда К' движется относи переходе от одной инерциальной сис тельно К со скоростью v темы отсчета к другой, в то время как в Эти преобразования предложены рамках преобразований Галилея эти ве Лоренцем в 1904 г., еще до появления личины считались абсолютными, не из теории относительности, как преобра меняющимися при переходе от систе зования, относительно которых уравне мы к системе.

ния Максвелла (см. § 139) инвариантны.

Кроме того, как пространственные, Преобразования Лоренца имеют вид так и временные преобразования [см.

(36.3)] не являются независимыми, по скольку в закон преобразования коор динат входит время, а в закон преобра зования времени — пространственные координаты, т.е. устанавливается вза имосвязь пространства и времени. Та ким образом, теория Эйнштейна опери (36.3) рует не с трехмерным пространством, к которому присоединяется понятие вре мени, а рассматривает неразрывно свя занные пространственные и временные координаты, образующие четырехмер ное пространство-время.

Из сравнения приведенных уравне ний вытекает, что они симметричны и отличаются лишь знаком при v. Это § 37. Следствия очевидно, так как если скорость движе- из преобразований Лоренца ния системы К' относительно системы К равна v, то скорость движения К от- 1. Одновременность событий в раз носительно К' равна — v.

ных системах отсчета. Пусть в систе ме К в точках с координатами и в 2. Длительность событий в разных моменты времени и происходят два системах отсчета. Пусть в некоторой события. В системе К' им соответству- точке (с координатой х), покоящейся ют координаты и и моменты вре- относительно системы К, происходит мени и Если события в системе К событие, длительность которого (раз происходят в одной точке = и яв- ность показаний часов в конце и нача ляются одновременными то, ле события) т = — где индексы 1 и согласно преобразованиям Лоренца 2 соответствуют началу и концу собы (36.3), тия. Длительность этого же события в системе К' (37.1) т. е. эти события являются одновремен ными и пространственно совпадающи- причем началу и концу события, соглас ми для любой инерциальиой системы но (36.3), соответствуют отсчета.

Если события в системе К простран разобщены одно (37.2) временны = то в системе К', со гласно преобразованиям Лоренца (36.3), Подставляя (37.2) в (37.1), получим или (37.3) Таким образом, в системе К' эти со- Из соотношения (37.3) вытекает, что бытия, оставаясь пространственно ра- т < т.е. длительность события, про оказываются и неодновре- исходящего в некоторой точке, наимень менными. Знак разности — опреде- шая в той системе отсче ляется знаком выражения — та, относительно которой эта точка поэтому в различных точках системы от- неподвижна. Этот результат может быть счета (при разных v) разность — еще истолкован следующим образом:

будет различной по величине и может интервал времени т', отсчитанный по отличаться по знаку. Следовательно, в часам в системе К', с точки зрения на одних системах отсчета первое событие блюдателя в системе К, продолжитель может предшествовать второму, в то нее интервала т, отсчитанного по его время как в других системах отсчета, часам. Следовательно, часы, движущи наоборот, второе событие предшеству- еся относительно инерциальной систе ет первому. Сказанное, однако, не отно- мы отсчета, идут медленнее покоящих сится к причинно-следственным собы- ся часов, т.е. ход часов замедляется в тиям, так как можно показать, что по- системе отсчета, относительно которой рядок следования причинно-следствен- часы движутся.

ных событий одинаков во всех инерци На основании относительности по альных системах отсчета.

нятий «неподвижная» и «движущаяся» системы соотношения для обра- ся вместе с ними) т 2,2 • 10 с. Сле тимы. Из (37.3) следует, что замедле- довательно, образующиеся в верхних слоях атмосферы (на высоте ние хода часов становится заметным км) и движущиеся со скоростью, лишь при скоростях, близких к скорос близкой к скорости с, должны были бы ти распространения света в вакууме.

проходить расстояния ст 6,6 м, т.е.

В связи с обнаружением релятивис не могли бы достигать земной поверх тского эффекта замедления хода часов ности, что противоречит действительно в свое время возникла проблема «пара сти. Объясняется это релятивистским докса часов» (иногда рассматривается эффектом замедления хода времени:

как «парадокс близнецов»), вызвавшая для земного наблюдателя срок жизни многочисленные дискуссии. Предста вим себе, что осуществляется космиче, а путь этих час ский полет к звезде, находящейся на рас стоянии 500 световых лет (расстояние, на которое свет от звезды до Земли до ходит за 500 лет), со скоростью, близ 3. Длина тел в разных системах от кой к скорости света — (З = 0,001).

счета. Рассмотрим стержень, располо По земным часам полет до звезды и об женный вдоль оси х' и покоящийся от ратно продлится 1000 лет, в то время носительно системы К'. Длина стерж как для системы корабля и космонавта ня в системе К' будет = — где в нем такое же путешествие займет все и — не изменяющиеся со временем t' го 1 год. Таким образом, космонавт воз координаты начала и конца стержня, а вратится на Землю в раз более индекс 0 показывает, что в системе от молодым, чем его брат-близнец, остав- счета К' стержень покоится. Определим длину этого стержня в системе К, от шийся на Земле.

носительно которой он движется со Это явление, получившее название парадокса в действитель- скоростью v. Для этого необходимо из мерить координаты его концов ности парадокса не содержит. Дело в том, что принцип относительности ут- системе в один и тот же момент вре мени t. Их разность — — и опре верждает равноправность не всяких делит длину стержня в системе К. Ис систем отсчета, а только пользуя преобразования Лоренца Неправильность рассуждения состоит (36.3), получим в том, что системы отсчета, связанные с близнецами, не эквивалентны: земная система а корабельная — неинерциальна, поэтому к ним принцип относительности неприменим.

Релятивистский эффект замедления хода часов является реаль т.е.

ным и получил экспериментальное под тверждение при изучении нестабиль (37.4) ных, самопроизвольно распадающихся элементарных частиц в опытах с зонами. Среднее время жизни покоя- Таким образом, длина стержня, из щихся тс-мезонов (по часам, движущим- меренная в системе, относительно ко торой он движется, оказывается мень ше длины, измеренной в системе, отно сительно которой стержень покоится.

Если стержень покоится в системе К, то, определяя его длину в системе К', опять-таки придем к выражению (37.4).

Из выражения (37.4) следует, что Произведя соответствующие преоб линейный размер тела, движущегося разования, релятивистский относительно инерциальной системы закон сложения скоростей специаль отсчета, уменьшается в направлении ной теории относительности:

движения в раз, т.е. так назы ваемое лоренцево сокращение длины тем больше, чем больше скорость дви жения. Из второго и третьего уравне ний преобразований Лоренца (36.3) следует, что т.е. поперечные размеры тела не зави сят от скорости его движения и одина ковы во всех инерциалъных системах от счета. Таким образом, линейные разме ры тела наибольшие в той инерциаль ной системе отсчета, относительно которой тело покоится.

Если материальная точка движется 4. Релятивистский закон сложения параллельно оси х, то скорость и отно скоростей. Рассмотрим движение ма- сительно системы К совпадает с а териальной точки в системе К', в свою скорость относительно К' — с Тог очередь движущейся относительно си- да закон сложения скоростей примет стемы К со скоростью v. Определим ско- вид рость этой же точки в системе К. Если в системе К движение точки в каждый момент времени t определяется коорди натами х, у, z, а в системе К' в момент времени t' — координатами х', у', z', то Легко убедиться в том, что если ско рости v, и' и и малы но сравнению со скоростью с, то формулы (37.5) и (37.6) переходят в закон сложения скоростей в классической механике [см. (34.4)].

Таким образом, законы релятивистской представляют собой соответственно механики в предельном случае для ма проекции на оси х, у, и у', z' вектора лых скоростей (по сравнению со скоро скорости рассматриваемой точки отно- стью распространения света в вакууме) сительно систем К и К'. Согласно пре- переходят в законы классической фи образованиям Лоренца (36.3), зики, которая, следовательно, является частным случаем механики Эйнштей- риантной по отношению к преобразо на для малых скоростей. координат.

Релятивистский закон сложения В четырехмерном пространстве Эйн скоростей подчиняется второму посту- штейна, в котором каждое событие ха лату Эйнштейна (см. § 35). Действи- рактеризуется четырьмя координатами тельно, если и' = с, то формула (37.6) {х,у, z,t), такой физической величиной является интервал между двумя собы примет вид и= = с (аналогич тиями:

но можно показать, что при и = с ско (38.1) рость и' также равна с). Этот результат свидетельствует о том, что релятивист ский закон сложения скоростей нахо дится в согласии с постулатами Эйнш расстояние между точками трех тейна.

мерного пространства, в которых эти Докажем также, что если складывае события произошли. Введя обозначение мые скорости сколь угодно близки к ско = — получим рости с, то их результирующая скорость всегда меньше или равна с. В качестве примера рассмотрим предельный случай Покажем, что интервал между дву = v= с. После подстановки в форму мя событиями одинаков во всех инер лу (37.6) получим и — с. Таким образом, циальных системах отсчета. Обозначив при сложении любых скоростей резуль и тат не может превысить скорости света с выражение (38.1) можно в вакууме. Скорость света в вакууме записать в виде есть предельная скорость, которую не возможно превысить. Скорость света в какой-либо среде, равная — (п — абсо Интервал между теми же события лютныи показатель преломления сре ми в системе К' равен ды), предельной величиной не является (подробнее см. § 189).

(38.2) § 38. Интервал между событиями Согласно преобразованиям Лоренца (36.3), Преобразования Лоренца и след ствия из них приводят к выводу об от носительности длин и промежутков времени, значение которых в различ ных системах отсчета разное. В то же время относительный характер длин и промежутков времени в теории Эйнш тейна означает относительность отдель ных компонентов какой-то реальной физической величины, не зависящей от системы отсчета, т. е. являющейся инва § 39. Основной закон релятивистской динамики Обобщая полученные результаты, материальной точки можно сделать вывод, что интервал, определяя пространственно-времен Из принципа относительности Эйн ные соотношения между событиями, штейна (см. § 35), утверждающего ин является инвариантом при переходе от вариантность всех законов природы одной инерциальной системы отсчета при переходе от одной инерциальной к другой. Инвариантность интервала системы отсчета к другой, следует ус означает, что, несмотря на относи ловие инвариантности уравнений фи тельность длин и промежутков време зических законов относительно преоб ни, течение событий носит объектив разований Лоренца. Основной закон ный характер и не зависит от системы отсчета. динамики Ньютона оказывает Теория относительности, таким об ся также инвариантным по отношению разом, сформулировала новое пред к преобразованиям Лоренца, если в нем ставление о пространстве и времени.

справа стоит производная по времени Пространственно-временные отноше от релятивистского импульса.

ния являются не абсолютными величи Основной закон релятивистской нами, как утверждалось в механике динамики материальной точки имеет Галилея — Ньютона, а относительными.

вид Следовательно, представления об абсо лютном пространстве и времени явля (39.1) ются несостоятельными. Кроме того, инвариантность интервала между дву мя событиями свидетельствует о том, что пространство и время органически или связаны между собой и образуют еди (39.2) ную форму существования материи — «пространство — время». Пространство и время не существуют вне материи и где независимо от нее.

(39.3) Дальнейшее развитие теории отно сительности {общая теория относи тельности, или теория тяготения) показало, что свойства пространства — релятивистский импульс матери времени в данной области определяют альной точки (га — масса материальной ся действующими в ней полями тяго точки).

тения. При переходе к космическим Отметим, что уравнение (39.2) масштабам геометрия пространства внешне совпадает с основным уравне времени не является евклидовой (т.е.

нием ньютоновской механики (6.7).

не зависящей от размеров области Однако физический смысл его другой:

«пространство — время»), а изменяется справа стоит производная по времени от одной области к другой в зависимо от релятивистского импульса, опреде сти от концентрации масс в этих облас ляемого формулой (39.3). Таким обра тях и их движения.

зом, уравнение (39.1) инвариантно по отношению к преобразованиям Лорен- боте на том же перемещении (см. § 12):

ца и, следовательно, удовлетворяет dT=dA. Тогда принципу относительности Эйнштей на. Следует учитывать, что ни импульс, ни сила не являются инвариантными величинами. Более того, в общем слу чае ускорение не совпадает по направ Интегрируя это выражение, получим лению с силой.

Анализ формул (39.3) и (39.1) пока зывает, что при скоростях, значитель но меньших скорости с, уравнение (39.1) переходит в основной закон [см.

Поскольку кинетическая энергия (6.5)] классической механики. Следова при v — 0 должна обращаться в нуль, то тельно, условием применимости зако постоянная интегрирования нов классической (ньютоновской) ме Следовательно, кинетическая энергия ханики является условие Зако релятивистской частицы ны классической механики получают ся как следствие теории относительнос ти для предельного случая (Ф°Р~ (40.1) мально переход осуществляется при ). Таким образом, классическая механика — это механика макротел, Выражение (40.1) при скоростях движущихся с малыми скоростями (по переходит в классическое:

сравнению со скоростью света в вакуу ме).

(40.2) § 40. Энергия в релятивистской механике правомерно пре небречь слагаемыми второго порядка Найдем кинетическую энергию ре малости).

лятивистской частицы. Элементарная Полная энергия свободной частицы, работа силы F на малом перемещении т.е. частицы, на которую не действуют равна [учли силы, основной закон релятивистской дина мики (39.2)]. Тогда (40.3) Отметим, что в полную энергию Е не входит потенциальная энергия тела во (этот результат можно проверить диф- внешнем силовом поле. Полная энер ференцированием). гия частицы в разных системах отсчета различна.

Приращение кинетической энергии материальной точки на элементарном В случае покоящейся частицы (v = 0) перемещении равно элементарной ра- из формулы (40.3) найдем, что = (40.4) Согласно формуле (40.4), масса тела и его энергия покоя связаны соотноше Величина, определяемая выражени нием = Это означает, что вся ем (40.4), называется энергией покоя.

кое изменение массы тела Am сопро Значения т и не зависят от выбора вождается изменением энергии покоя инерциалыюй системы отсчета. В энер и эти изменения пропорциональ гию покоя, как и в полную энергию ны друг другу, т. е.

(40.3), не входит энергия тела во внеш нем силовом поле. В классической ме (40.9) ханике энергия покоя не учитывает Выражение (40.9) носит название ся, считая, что при v = 0 энергия поко закона взаимосвязи массы и энергии ящегося тела равна нулю.

Как энергия Е, так и импульс р реля Чтобы охарактеризовать прочность тивистской частицы имеют различные связи и устойчивость системы каких значения в разных системах отсчета. Но 2 либо частиц (например, атомного ядра существует величина Е — = inv, как системы из протонов и нейтронов), являющаяся инвариантной (имеющей вводят понятие энергии связи. Энергия одно то же значение в разных систе связи системы равна работе, которую мах отсчета):

необходимо затратить, чтобы разло жить эту систему на составные части (например, атомное ядро — на протоны и нейтроны). Энергия связи системы (40.10) [учли формулы (39.3), (40.3) и (40.4)].

где — масса частицы в свобод Согласно формуле (40.5), получим 2 2 2 2 ном состоянии;

М— масса системы.

Е — р с = т с, откуда связь между Закон взаимосвязи массы и энергии энергией и импульсом покоя (иногда говорят просто энергии) подтвержден экспериментами о выде или лении энергии при протекании ядерных (40.6) реакций. Он широко используется для расчета энергетических эффектов при Из выражений (40.3), (40.1) и (40.4) ядерных реакциях и превращениях эле следует, что полная энергия системы ментарных частиц.

(40.7) Выводы специальной теории относи т.е. складывается из ее кинетической тельности, как, впрочем, и любые круп энергии и энергии покоя. Подставив ные открытия, потребовали пересмотра (40.7) в (40.6), получим многих установившихся и ставших при вычными представлений. Так, длина тел (40.8) и длительность событий не являются аб откуда следует, что при выра- солютными величинами, а носят отно сительный характер, масса и энергия жение (40.8) переходит в ньютоновское покоя оказались связанными друг с дру а при приобрета гом, хотя они и являются качественно ет вид различными свойствами материи.

Основной вывод теории относитель в то время как пространственные и ности сводится к тому, что простран временные промежутки между этими ство и время органически взаимосвяза событиями относительны. Следова ны и образуют единую форму суще тельно, вытекающие из преобразований ствования материи «пространство — Лоренца следствия являются выраже время». Только поэтому пространст нием объективно существующих про венно-временной интервал между дву странственно-временных соотношений мя событиями является абсолютным, движущейся материи.

Контрольные вопросы В чем физическая сущность механического принципа относительности?

В чем заключается правило сложения скоростей в классической механике?

Каковы причины возникновения специальной теории относительности?

В чем заключаются основные постулаты специальной теории относительности?

Зависит ли от скорости движения системы отсчета скорость тела? скорость света?

Запишите и прокомментируйте преобразования Лоренца. При каких условиях они пе реходят в преобразования Галилея?

Какой вывод о пространстве и времени можно сделать на основе преобразований Ло ренца?

Одновременны ли события в системе К', если в системе К они происходят в одной точке и одновременны? в системе К события разобщены, но одновременны? Обоснуйте ответ.

Какие следствия вытекают из специальной теории относительности для размеров тел и длительности событий в разных системах отсчета? Обоснуйте ответ.

При какой скорости движения релятивистское сокращение длины движущегося тела составит 25 %?

В чем состоит «парадокс близнецов» и как его разрешить?

В чем заключается релятивистский закон сложения скоростей? Как показать, что он находится в согласии с постулатами Эйнштейна?

Как определяется интервал между событиями? Докажите, что он является инвариан том при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой.

Какой вид имеет основной закон релятивистской динамики? Чем он отличается от ос новного закона ньютоновской механики?

В чем заключается закон сохранения релятивистского импульса?

Как выражается кинетическая энергия в релятивистской механике? При каком условии релятивистская формула для кинетической энергии переходит в классическую формулу?

Сформулируйте и запишите закон взаимосвязи массы и энергии. В чем его физическая сущность? Приведите примеры его экспериментального подтверждения.

ЗАДАЧИ 7.1. Определите собственную длину стержня (длину, измеренную в системе, относитель но которой стержень покоится), если в лабораторной системе (системе отсчета, связанной с измерительными приборами) его скорость v — 0,8 с, длина I = 1 м и угол между ним и на правлением движения 7.2. Собственное время жизни частицы отличается на 1,5 % от времени жизни по непод вижным часам. Определите 7.3. Тело массой 2 кг движется со скоростью 200 Мм/с в системе К', движущейся отно сительно системы К со скоростью 200 Мм/с. Определите: 1) скорость тела относительно системы К;

2) сто массу в этой системе. [1) 277 Мм/с;

2) 5,2 кг] 7.4. Воспользовавшись тем, что интервал — инвариантная величина по отношению к преобразованиям координат, определите расстояние, которое пролетел с момента рождения до распада, если время его жизни в этой системе отсчета At = 5 мкс, а собствен ное время жизни (время, отсчитанное по часам, движущимся вместе с телом) Д = 2,2 мкс.

[1,35 км ] 7.5. Определите скорость, при которой релятивистский импульс частицы превышает ее ньютоновский импульс в пять раз. [0,98 c] 7.6. Определите скорость, полученную электроном, если он прошел ускоряющую раз ность потенциалов 1,2 МэВ. [2,86 Мм/с] 7.7. Определите релятивистский импульс электрона, кинетическая энергия которого ЧАСТЬ ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ И ТЕРМОДИНАМИКИ Глава МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ щества и тепловые явления были близ § 41. Статистический ки к современным. Строгое развитие и термодинамический методы.

молекулярной теории относится к се Опытные законы идеального газа редине XIX в. и связано с работами не Статистический и термодинамиче- мецкого физика Р.Клаузиуса (1822 — ский методы исследования. Молеку- 1888), Дж. Максвелла и Л.Больцмана.

лярная физика и термодинамика — раз- Процессы, изучаемые молекулярной делы физики, в которых изучаются физикой, являются результатом сово макроскопические процессы в телах, купного действия огромного числа мо связанные с огромным числом содержа- лекул. Законы поведения огромного щихся в них атомов и молекул. Для ис- числа молекул, являясь статистически следования этих процессов применяют ми закономерностями, изучаются с по два качественно различных и взаимно мощью статистического метода.

дополняющих друг друга метода: ста- Этот метод основан на том, что свой тистический (молекулярно-кинети- ства макроскопической системы в ко ческий) и термодинамический. Пер- нечном счете определяются свойствами вый лежит в основе молекулярной фи частиц системы, особенностями их дви зики, второй — термодинамики.

жения и усредненными значениями ди намических характеристик этих частиц Молекулярная физика — раздел (скорости, энергии и т.д.) Например, физики, в котором изучаются строение и свойства вещества исходя из молеку- температура тела определяется скоро стью хаотического движения его моле лярно-кинетических представлений, кул, но так как в любой момент време основывающихся на том, что все тела состоят из молекул, находящихся в не- ни разные молекулы имеют различные скорости, то она может быть выражена прерывном хаотическом движении.

только через среднее значение скорос Идея об атомном строении вещества ти движения молекул. Нельзя говорить высказана древнегреческим философом о температуре одной молекулы. Таким Демокритом (460 — 370 до п. э.). Атомис образом, макроскопические характери тика возрождается вновь лишь в XVII в.

стики тел имеют физический смысл и развивается в работах М.В.Ломоно лишь в случае большого числа молекул.

сова, взгляды которого на строение ве Термодинамика — раздел физики, Температура — одно из основных в котором изучаются общие свойства понятий, играющих важную роль не макроскопических систем, находящих- только в термодинамике, но и в физике ся в состоянии термодинамического в целом. Температура — физическая равновесия, и процессы перехода меж- величина, характеризующая состояние ду этими состояниями. Термодинами- термодинамического равновесия мак ка не рассматривает микропроцессы, роскопической системы.

которые лежат в основе этих превраще- В соответствии с решением XI Гене ний. Этим термодинамический метод ральной конференции по мерам и весам отличается от статистического. Термо (1960) в настоящее время можно при динамика базируется на двух началах — менять только две температурные шка фундаментальных законах, установлен- лы — термодинамическую и Междуна ных в результате обобщения опыта.

родную практическую, градуированные Область применения термодинами- соответственно в Кельвинах (К) и в гра ки значительно шире, чем молекуляр- дусах Цельсия (°С). В Международ ной практической шкале температу но-кинетической теории, ибо нет таких ра замерзания и кипения воды при дав областей физики и химии, в которых нельзя было бы пользоваться термоди- лении 1,013*105 Па соответственно 0 и 100 °С (реперные точки).

намическим методом. Однако с другой стороны, термодинамический метод Термодинамическая температур несколько ограничен: термодинамика ная шкала определяется по одной ре ничего не говорит о микроскопическом перной точке, в качестве которой взята строении вещества, о механизме явле- тройная точка воды (температура, ний, а лишь устанавливает связи меж- при которой лед, вода и насыщенный ду макроскопическими свойствами ве- пар при давлении 609 Па находятся в щества. Молекулярно-кинетическая термодинамическом равновесии). Тем теория и термодинамика взаимно до- пература этой точки по термодинами полняют друг друга, образуя единое ческой шкале равна 273,16 К (точно).

целое, но отличаясь различными мето- Градус Цельсия равен кельвину. В тер дами исследования.

модинамической шкале температура за мерзания воды равна 273,15 К (при том Термодинамика имеет дело с тер же давлении, что и в Международной модинамической системой — сово практической шкале), поэтому, по оп купностью макроскопических тел, ко ределению, термодинамическая темпе торые взаимодействуют и обменивают ратура и температура по Международ ся энергией как между собой, так и с ной практической шкале связаны соот другими телами (внешней средой). Ос ношением нова термодинамического метода — оп ределение состояния термодинамичес Г= 273,15 + t кой системы. Состояние системы зада ется термодинамическими парамет- Температура Т= 0 К называется ну рами (параметрами состояния) — лем кельвин. Анализ различных про совокупностью физических величин, цессов показывает, что 0 К недостижим, характеризующих свойства термодина- хотя приближение к нему сколь угодно мической системы. Обычно в качестве близко возможно.

параметров состояния выбирают темпе- Удельный объем v — это объем еди ратуру, давление и удельный объем.

ницы массы. Когда тело однородно, т. е.

его плотность р = const, то Так как при постоянной массе удель ный объем пропорционален общему объему, то макроскопические свойства однородного тела можно характеризо вать объемом тела.

Параметры состояния системы мо Рис. 62 Рис. гут изменяться. Любое изменение в тер модинамической системе, связанное с Закон Бойля — Мариотта1: для изменением хотя бы одного из ее тер- данной массы газа при постоянной тем модинамических параметров, называет- пературе произведение давления газа ся термодинамическим процессом. на его объем есть величина постоянная:

Макроскопическая система находится (41.1) в термодинамическом равновесии, если ее состояние с течением времени не меняется (предполагается, что вне- График зависимости между пара шние условия рассматриваемой систе- метрами состояния газа при постоян мы при этом не изменяются). ной температуре называется изотер мой. Изотермы в координатах р, V пред В молекулярно-кинетической тео ставляют собой гиперболы, располо рии пользуются идеализированной мо женные на графике тем выше, чем выше делью идеального газа, согласно кото температура, при которой происходит рой считают, что:

процесс (рис. 62).

1) собственный объем молекул газа Законы Гей-Люссака2:1) объем дан пренебрежимо мал по сравнению с ной массы газа при постоянном давлении объемом сосуда;

изменяется линейно с температурой:

2) между молекулами газа отсут ствуют силы взаимодействия;

(41.2) 3) столкновения молекул газа меж ду собой и со стенками сосуда абсолют 2) давление данной массы газа при но упругие.

постоянном объеме изменяется линей Наиболее близко свойствам идеаль но с температурой:

ного газа соответствуют достаточно раз реженные газы. Модель идеального газа (41.3) можно использовать также при изучении реальных газов, так как они в условиях, В этих уравнениях t — температу близких к нормальным (например, водо ра по шкале Цельсия, р0 и Vo — давле род и гелий), а также при низких давле ние и объем при 0°С, коэффициент ниях и высоких температурах близки по - 1/273,15 К.

своим свойствам к идеальному газу. Кро Процесс, протекающий при посто ме того, внеся поправки, учитывающие янном давлении, называется изобар собственный объем молекул газа и дей ствующие молекулярные силы, можно Р. Бойль (1627 —1691) — английский ученый;

перейти к теории реальных газов.

Э. Мариотт (1620 — 1684) — французский физик.

Рассмотрим законы, описывающие Ж.Гей-Люссак (1778-1850) - француз поведение идеальных газов. ский ученый.

Рис. Закон 1 моль любого газа при одинаковых температуре и давле нии занимает одинаковый объем. При нормальных условиях этот объем равен 22,41 • По определению, 1 моль различных веществ содержит одно и то же число молекул, называемое постоянной Аво гадро:

ным. На диаграмме в координатах V, t (рис. 63) этот процесс изображается Закон Дальтона : давление смеси прямой, называемой изобарой. Процесс, идеальных газов равно сумме парциаль протекающий при постоянном объеме, ных давлений..., входящих в называется изохорным. На диаграмме в нее газов:

координатах р, t (рис. 64) он изобража ется прямой, называемой изохорой.

P = Pl + P +...+ Рп Из (41.2) и (41.3) следует, что изо Парциальное давление — давление, бары и изохоры пересекают ось темпе которое производил бы газ, входящий ратур в точке t= -— - °С, в состав газовой смеси, если бы он один а занимал объем, равный объему смеси определяемой из условия 1 + at = 0.

при той же температуре.

Если перенести начало отсчета в эту точку, то происходит переход к шкале Кельвина (см. рис. 64), откуда § 42. Уравнение Клапейрона—Менделеева Вводя в формулы и тер Как уже указывалось, состояние не модинамическую температуру, законам которой массы газа определяется тре Гей-Люссака можно придать более мя термодинамическими параметрами:

удобный вид:

давлением р, объемом V и температу рой Т. Между этими параметрами су ществует определенная связь, называ емая уравнением состояния, которое в общем виде задается выражением (41.4) где каждая из переменных является функцией двух других.

Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799 — 1864) вывел урав нение состояния идеального газа, объе А.Авогадро (1776—1856) — итальянский где индексы 1 и 2 относятся к произ физик и химик.

вольным состояниям, лежащим на од Дж.Дальтон (1766—1844) — английский ной изобаре или изохоре. химик и физик.

Русский ученый Д.И.Менделеев Рис. (1834—1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отне ся уравнение (42.3) к 1 моль газа, ис пользовав молярный объем Соглас но закону Авогадро, при одинаковых р и Т молярные объемы различных газов одинаковы, поэтому постоянная В будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обо значается R и называется молярной динив законы Бойля — Мариотта и Гей газовой постоянной. Уравнению Люссака. Пусть некоторая масса газа за нимает объем имеет давление и (42.4) находится при температуре Эта же удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно масса газа в другом произвольном со является уравнением состояния иде стоянии характеризуется параметрами ального газа, называемым также урав (рис. 65).

нением Клапейрона—Менделеева.

Переход из состояния 1 в состояние Числовое значение молярной газо осуществляется в виде двух процессов:

вой постоянной определим из форму 1) изотермического (изотерма 1—1'), лы (42.4), полагая, что 1 моль газа на 2) изохорного (изохора 1'—2).

ходится при нормальных условиях В соответствии с законами Бойля — 1,013 • 10 Па, = 273,15 К, = Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) = 22,41 * запишем:

- 8,31 • К).

(42.1) От уравнения (42.4) для 1 моль газа можно перейти к уравнению Клапейро (42.2) на—Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых задан Исключив из уравнений (42.1) и ных давлении и температуре 1 моль газа (42.2) получим занимает молярный объем V, то при m тех же условиях масса т газа займет объем, где М— молярная мас са (масса 1 моль вещества). Единица Так как состояния 1 и 2 были выб молярной массы — килограмм на моль раны произвольно, то для данной мас (кг/моль). Уравнение Клапейрона — сы газа величина • остается посто- Менделеева для массы т газа янной, т.е.

(42.5) (42.3) где — количество вещества.

Выражение (42.3) является уравне- Часто пользуются несколько иной нием Клапейрона, в котором В — газо- формой записи уравнения состояния вая постоянная, различная для разных идеального газа, вводя постоянную газов. Больцмана:

Рис. Исходя из этого уравнение состоя ния (42.4) запишем в виде жущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс где = п — концентрация молекул где — масса молекулы, v — ее (число молекул в единице объема).

скорость. За время площадки до Таким образом, из уравнения стигнут только те молекулы, которые р = пкТ (42.6) заключены в объеме цилиндра с основа следует, что давление идеального газа нием и высотой (см. рис. 66).

при данной температуре пропорцио- Число этих молекул равно нально концентрации его молекул (или концентрация молекул).

плотности газа). При одинаковых тем- Необходимо, однако, учитывать, что пературе и давлении все газы содержат реально молекулы движутся к площад в единице объема одинаковое число ке, под разными углами, имеют раз молекул. Число молекул, содержащих- личные скорости, причем скорость мо ся в 1 м газа при нормальных условиях, лекул при каждом соударении меняет называется числом Лошмидта : ся. Для упрощения расчетов хаотиче ское движение молекул заменяют дви жением вдоль трех взаимно перпенди кулярных направлений, так что в лю бой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем из § 43. Основное уравнение них половина (l/б) движется вдоль дан молекулярно-кинетической ного направления в одну сторону, по теории идеальных газов ловина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в Для вывода основного уравнения заданном направлении, о площадку молекулярно-кинетической теории будет При столкновении с рассмотрим одноатомный идеальный площадкой эти молекулы передадут ей газ. Молекулы газа движутся хаотичес импульс ки, число взаимных столкновений меж ду молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенка- Тогда давление газа, оказываемое им ми сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенку сосуда, на стенке сосуда некоторую элементар (43.1) ную площадку (рис. 66) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку.

Если газ в объеме V содержит N мо При каждом соударении молекула, дви лекул, движущихся со скоростями..., то целесообразно рассматривать И.Лошмидт (1821 — 1895) — австрийский химик и физик. среднюю квадратичную скорость (43.2) постоянная Больцмана.

характеризующую всю совокупность Отсюда найдем, что при комнатной молекул газа. Уравнение (43.1) с уче температуре молекулы кислорода име том (43.2) примет вид ют среднюю квадратичную скорость (43.3) 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При тем Выражение (43.3) называется ос- пературе жидкого гелия те же скорости новным уравнением молекулярно-ки- будут соответственно 40 и 160 м/с.

нетической теории идеальных газов.

Средняя кинетическая энергия по Точный расчет с учетом движения мо- ступательного движения одной молеку лекул по всевозможным направлениям лы идеального газа дает ту же формулу.

Учитывая, что п =, получим (43.4) [использовали формулы (43.5) и (43.7)] или пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее.

(43.5) При предельно низких температурах (близких к 0 К) выражение (43.8) не где Е — суммарная кинетическая энер справедливо, т. е. средняя кинетическая гия поступательного движения всех энергия молекул не пропорциональна молекул газа.

температуре. Поэтому утверждение о Так как масса газа то урав том, что при 0 К прекращается движе нение (43.4) можно переписать в виде ние молекул газа, некорректно. В насто ящее время доказано, что даже при 0 К частицы вещества совершают так назы Для 1 моль газа т= М(М— моляр ваемые нулевые колебания.

ная масса), поэтому Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней ки нетической энергии поступательного где — молярный объем.

движения молекул идеального газа, и С другой стороны, по уравнению формула (43.8) раскрывает молекулярно Клапейрона — Менделеева, кинетическое толкование температуры.

Таким образом, § 44. Закон Максвелла откуда о распределении молекул идеального газа по скоростям (43.6) и энергиям теплового движения Так как — масса од ной молекулы, a N — постоянная Аво- Молекулы газа совершают хаотичес A гадро, то из уравнения (43.6) следует, кое движение. В результате многократ что ных соударений скорость каждой моле ти будет приходиться некоторое число кулы изменяется как по модулю, так и молекул dN(v), имеющих скорость, зак по направлению. Однако из-за хаоти люченную в этом интервале. Функция ческого движения молекул все направ f(v) определяет относительное число ления движения являются равноверо ятными, т.е. в любом направлении в (долю) молекул, скорости кото среднем движется одинаковое число рых лежат в интервале от v до v + dv, т. е.

молекул. По молекулярно-кинетичес кой теории, как бы ни изменялись ско рости молекул при столкновениях, сред няя квадратичная скорость молекул мас откуда сой в газе, находящемся в состоянии равновесия при ( Т= const), остается по стоянной и равной — Применяя методы теории вероятно Это объясняется тем, что в газе, на стей, Максвелл нашел функцию f(v) — ходящемся в состоянии равновесия, ус закон распределения молекул иде танавливается некоторое стационарное, ального газа по скоростям:

не меняющееся со временем распреде ление молекул по скоростям, которое подчиняется вполне определенному статистическому закону. Этот закон те оретически выведен Дж. Максвеллом Из (44.1) видно, что конкретный вид (1859). функции зависит от рода газа (от мас сы молекулы) и от параметра состояния При выводе закона распределения (от температуры Т).

молекул по скоростям считалось, что График функции (44.1) приведен на газ состоит из очень большого числа N рис. 67. Так как при возрастании v мно тождественных молекул, находящихся в состоянии беспорядочного теплового движения при одинаковой температу чем растет множитель v2, то функция ре. Предполагалось также, что силовые f(v), начинаясь от нуля, достигает мак поля на газ не действуют.

симума при и затем асимптотически Закон Максвелла описывается неко стремится к нулю. Кривая несиммет торой называемой фун кцией распределения молекул по ско Относительное число молекул ростям. Если разбить диапазон скоро стей молекул на малые интервалы, рав- скорости которых лежат в интервале от ные dv, то на каждый интервал скорос- v до v + dv, находится как площадь то нированной полоски на рис. 67. Смысл этого интеграла в следующем: если про суммировать все доли молекул, имею щих всевозможные значения скоростей, то получим единицу. Функция f(v) удовлетворяет условию нормировки Скорость, при которой функция рас- Рис. пределения молекул идеального газа по скоростям максимальна, называется наиболее вероятной скоростью. Зна чение наиболее вероятной скорости можно найти, продифференцировав выражение (44.1) (постоянные множи тели опускаем) по аргументу v, прирав няв результат нулю и используя усло вие для максимума выражения f(v):

Скорости, характеризующие сос тояние газа: 1) наиболее вероятная = 3) средняя квадратичная Значения v = 0 и v = ос соответству /о ют минимумам выражения (44.1), a = (см. рис. 67). Ис значение v, при котором выражение в ходя из распределения молекул по ско скобках становится равным нулю, и есть искомая наиболее вероятная ско- ростям рость (44.2) можно найти распределение молекул газа по значениям кинетической энер Из формулы (44.2) следует, что при повышении температуры максимум гии Для этого перейдем от перемен функции распределения молекул по ной v к переменной. Подставив скоростям (рис. 68) сместится вправо в (44.4) v = и (значение наиболее вероятной скорос ти становится больше). Однако пло получим щадь, ограниченная кривой, остается неизменной, поэтому при повышении температуры кривая распределения молекул по скоростям будет растяги ваться и понижаться.

где — число молекул, имеющих Средняя скорость молекулы (v) кинетическую энергию поступательно (средняя арифметическая скорость) го движения, заключенную в интерва определяется по формуле ле от до е + Таким образом, функция распреде ления молекул по энергиям теплово го движения Подставляя сюда f(v) и интегрируя, получим Средняя кинетическая энергия молекулы идеального газа высотой d/г с основанием площадью 1 м :

где р — плотность газа на высоте настолько мало, что при изменении высоты в этом пределе плотность газа т. е. получили результат, совпадающий можно считать постоянной).

с формулой (43.8).

Следовательно, (45.1) § 45. Барометрическая формула. Воспользовавшись уравнением со Распределение стояния идеального газа (т — масса газа, М молярная масса При выводе основного уравнения мо газа), находим, что лекулярно-кинетической теории газов и максвелловского распределения моле кул по скоростям предполагалось, что на молекулы газа внешние силы не действу Подставив это выражение в (45.1), ют, поэтому молекулы равномерно рас получим пределены по объему. Однако молекулы любого газа находятся в потенциальном поле тяготения Земли. Тяготение, с од ной стороны, и тепловое движение моле С изменением высоты от до дав кул — с другой, приводят к некоторому ление изменяется от •р до (см. рис.

стационарному состоянию газа, при ко- т.е.

тором давление газа с высотой убывает.

Выведем закон изменения давления с высотой, предполагая, что поле тяго тения однородно, температура постоян на и масса всех молекул одинакова.

Если атмосферное давление на высоте h равно р (рис. 69), то на высоте h + dh (45.2) оно равно (при О, так как давление с высотой убывает). Раз Выражение (45.2) называется баро ность давлений р и р + dp равна весу метрической формулой. Она позволя газа, заключенного в объеме цилиндра ет найти атмосферное давление в зави симости от высоты или, измерив давле Рис. 69 ние, найти высоту. Так как высоты обо значаются относительно уровня моря, где давление считается нормальным, то выражение (45.2) может быть записа но в виде (45.3) где р — давление на высоте h.

Прибор для определения высоты ледовательными столкновениями мо над земной поверхностью называется лекулы проходят некоторый путь ко высотомером (или альтиметром).

торый называется длиной свободного Его работа основана на использовании пробега. В общем случае длина пути формулы (45.3). Из этой формулы сле- между последовательными столкнове дует, что давление с высотой убывает ниями различна, но так как мы имеем тем быстрее, чем тяжелее газ.

дело с огромным числом хаотически Барометрическую формулу (45.3) движущихся молекул, то можно гово можно преобразовать, если воспользо- рить о средней длине свободного про ваться выражением (42.6) бега молекул Минимальное расстояние, на кото рое сближаются при столкновении цен тры двух молекул, называется эффек тивным диаметром молекулы d (рис.

70). Он зависит от скорости сталкива ющихся молекул, т.е. от температуры газа (несколько уменьшается с ростом температуры).

Так как за 1 с молекула проходит в (45.4) среднем путь, равный средней арифме тической скорости (v), и если (z) — сред где m gh — П — потенциальная энергия o нее число столкновений, испытывае молекулы в поле тяготения, т. е.

мых одной молекулой газа за 1 с, то средняя длина свободного пробега (45.5) Выражение (45.5) называется рас пределением Болъцмана для внешне го потенциального поля. Из него сле Для определения (z) представим дует, что при постоянной температуре себе молекулу в виде шарика диамет плотность газа больше там, где меньше ром d, которая движется среди других потенциальная энергия его молекул.

«застывших» молекул. Эта молекула Если частицы имеют одинаковую столкнется только с теми молекулами, массу и находятся в состоянии хаоти центры которых находятся на расстоя ческого теплового движения, то распре ниях, равных или меньших т. е. лежат деление Больцмана (45.5) справедливо внутри «ломаного» цилиндра радиусом в любом внешнем потенциальном поле, 71).

а не только в поле сил тяжести.

Среднее число столкновений за 1 с равно числу молекул в объеме «лома ного» цилиндра:

§ 46. Среднее число столкновений и средняя длина свободного пробега молекул Молекулы газа, совершая хаотиче ское движение, непрерывно сталкива ются друг с другом. Между двумя пос- Рис. 70 Рис. место, подобно пылинкам в солнечном луче. Впоследствии оказалось, что по где п — концентрация молекул;

V = добное сложное зигзагообразное дви = ((v) — средняя скорость моле жение характерно для любых частиц кулы или путь, пройденный ею за 1 с).

малых размеров мкм), взвешенных Таким образом, среднее число в газе или жидкости. Интенсивность столкновений этого движения, названного броунов ским, повышается с ростом температу ры среды, с уменьшением вязкости и Расчеты показывают, что при учете размеров частиц (независимо от их хи движения других молекул мической природы).

Причина броуновского движения долго оставалась неясной. Лишь через Тогда средняя длина свободного 80 лет после обнаружения этого эффек пробега та ему было дано объяснение: броунов ское движение взвешенных частиц вы зывается ударами молекул среды, в ко торой частицы взвешены. Так как мо т.е. обратно пропорциональна кон лекулы движутся хаотически, то броу центрации п молекул. С другой сторо новские частицы получают толчки с ны, из (42.6) следует, что при постоян разных сторон, поэтому и совершают ной температуре п пропорциональна движение столь причудливой формы.

давлению р. Следовательно, Таким образом, броуновское движение является подтверждением выводов мо лекулярно-кинетической теории о хао тическом (тепловом) движении атомов и молекул.

2. Опыт Штерна. Первое экспери § 47. Опытное обоснование ментальное определение скоростей мо молекулярно-кинетической лекул выполнено немецким физиком теории О.Штерном (1888-1970). Его опыты позволили также оценить распределе ние молекул по скоростям.

Рассмотрим некоторые явления, эк Схема установки Штерна представ спериментально подтверждающие ос лена на рис. 72. Вдоль оси внутреннего новные положения и выводы молеку цилиндра с щелью натянута платино лярно-кинетической теории.

вая проволока, покрытая слоем сереб 1. Броуновские движение. Это яв ра, которая нагревается током при от ление открыто (1827) Броуном, кото рый, наблюдая с помощью сильной лупы за взвесью цветочной пыльцы в Рис. воде, обнаружил, что частицы пыльцы оживленно и беспорядочно двигались, то вращаясь, то перемещаясь с места на Р.Броун (1773-- 1858) — шотландский бо таник.

качанном воздухе. При нагревании се- Приемник Источник ребро испаряется. Атомы серебра выле тая через щель, попадают на внутрен нюю поверхность второго цилиндра, давая изображение щели О. Если при бор привести во вращение вокруг об щей оси цилиндров, то атомы серебра осядут не против щели, а сместятся от точки О на некоторое расстояние s.

Изображение щели получается размы емник, можно выявить закон распреде тым. Исследуя толщину осажденного ления молекул по скоростям. Этот опыт слоя, можно оценить распределение также подтвердил справедливость мак молекул по скоростям, которое соответ свелловского распределения молекул ствует максвелловскому распределе по скоростям.

нию.

4. Опытное определение постоян Зная радиусы цилиндров, их угло ной Авогадро. Воспользовавшись иде вую скорость вращения, а также изме ей распределения молекул по высоте ряя s, можно вычислить скорость дви [см. формулу (45.4)], французский уче жения атомов серебра при данной тем ный Ж.Перрен (1870—1942) экспери пературе проволоки. Результаты опы ментально определил значение посто та показали, что средняя скорость ато янной Авогадро. Исследуя в микроскоп мов серебра близка к той, которая сле броуновское движение, он убедился, дует из максвелловского распределения что броуновские частицы распределя молекул по скоростям.

ются по высоте подобно молекулам газа 3. Опыт Ламмерт. Этот опыт позво в поле тяготения. Применив к ним ляет более точно определить закон рас распределение, можно пределения молекул по скоростям. Схе записать ма вакуумной установки приведена на рис. 73. Молекулярный пучок, сформи рованный источником, проходя через щель, попадает в приемник. Между ис точником и приемником помещают два диска с прорезями, закрепленных на общей оси.

При неподвижных дисках молекулы достигают приемника, проходя через прорези в обоих дисках. Если ось при вести во вращение, то приемника дос тигнут только те прошедшие прорезь в первом диске молекулы, которые зат рачивают для пробега между дисками время, равное или кратное времени обо рота диска. Другие же молекулы задер живаются вторым диском. Меняя угло- Значение NA, получаемое из работ вую скорость вращения дисков и изме- Ж. Перрена, соответствовало значени ряя число молекул, попадающих в при- ям, полученным в других опытах, что подтверждает применимость к бро пературы, равный скорости изменения уновским частицам распределения температуры на единицу длины х в на (45.4).

правлении нормали к этой площадке.

Знак «—» показывает, что при тепло проводности энергия переносится в направлении убывания температуры § 48. Явления переноса в термодинамически (поэтому знаки у PI противопо неравновесных системах ложны).

Теплопроводность X численно рав В термодинамически неравновес на плотности теплового потока при гра ных системах возникают особые нео диенте температуры, равном единице.

братимые процессы, называемые явле Можно показать, что ниями переноса, в результате которых (48.2) происходит пространственный перенос энергии, массы, импульса. К явлениям где — удельная теплоемкость газа переноса относятся теплопровод при постоянном объеме (количество ность (обусловлена переносом энер теплоты, необходимое для нагревания диффузия (обусловлена перено 1 кг газа на 1 К при постоянном объе сом массы) и внутреннее трение ме);

р — плотность газа;

— средняя (обусловлено переносом импульса). Для скорость теплового движения молекул;

простоты ограничимся одномерными — средняя длина свободного про явлениями переноса. Систему отсчета бега.

выберем так, чтобы ось х была ориен 2. Диффузия. Явление диффузии тирована в направлении переноса.

заключается в том, что происходит са 1. Теплопроводность. Если в одной мопроизвольное проникновение и пе области газа средняя кинетическая ремешивание частиц двух соприкасаю энергия молекул больше, чем в другой, щихся газов, жидкостей и даже твердых то с течением времени вследствие по тел;

диффузия сводится к обмену масс стоянных столкновений молекул про частиц этих тел, возникает и продолжа исходит процесс выравнивания сред ется, пока существует градиент плотно них кинетических энергий молекул, сти.

т.е., иными словами, выравнивание Во время становления молекуляр температур.

но-кинетической теории по вопросу Перенос энергии в форме теплоты диффузии возникли противоречия. Так подчиняется закону Фурье:

как молекулы движутся с огромными скоростями, диффузия должна проис (48.1) ходить очень быстро. Если же открыть в комнате сосуд с пахучим веществом, где — плотность теплового пото- то запах распространяется довольно ка — величина, определяемая энерги- медленно. Однако противоречия здесь ей, переносимой в форме теплоты в еди- нет. Молекулы при атмосферном дав ницу времени через единичную площад- лении обладают малой длиной свобод ку, перпендикулярную оси X — теп- ного пробега и, сталкиваясь с другими молекулами, в основном «стоят» на — градиент тем месте.

где — динамическая вязкость (вяз Явление диффузии для химически однородного газа подчиняется закону кость);

— градиент скорости, пока зывающий быстроту изменения скоро сти в направлении х, перпендикуляр (48.3) = -D ном направлению движения слоев;

S — da;

площадь, на которую действует сила F.

где — плотность потока массы — Взаимодействие двух слоев соглас величина, определяемая массой веще но второму закону Ньютона можно рас ства, диффундирующего в единицу вре сматривать как процесс, при котором от мени через единичную площадку, пер одного слоя к другому в единицу вре пендикулярную оси D — диффузия мени передается импульс, по модулю (коэффициент диффузии);

— гра равный действующей силе. Тогда выра жение (48.5) можно представить в виде диент плотности, равный скорости из менения плотности на единицу длины х (48.6) в направлении нормали к этой площад ке. Знак «—» показывает, что перенос где — плотность потока импуль массы происходит в направлении убы са — величина, определяемая полным вания плотности (поэтому знаки у и импульсом, переносимым в единицу dp противоположны). Диффузия D времени в положительном направлении da;

численно равна плотности потока мас- оси х через единичную площадку, пер сы при градиенте плотности, равном пендикулярную оси х;

— градиент единице. Согласно кинетической тео рии газов, (48.4) 3. Внутреннее трение (вязкость).

Механизм возникновения внутреннего трения между параллельными слоями газа (жидкости), движущимися с различ ными скоростями, заключается том, что из-за хаотического теплового движения происходит обмен молекулами между слоями, в результате чего импульс слоя, Из сопоставления формул (48.1), движущегося быстрее, уменьшается, дви (48.3) и (48.6), описывающих явления жущегося медленнее — увеличивается, переноса, следует, что закономерности что приводит к торможению слоя, дви всех явлений переноса сходны между жущегося быстрее, и ускорению слоя, собой. Эти законы были установлены движущегося медленнее.

задолго до того, как они были обосно Согласно формуле сила внут ваны и выведены из молекулярно-ки реннего трения между двумя слоями нетической теории, позволившей уста газа (жидкости) подчиняется закону новить, что внешнее сходство их мате Ньютона:

матических выражений обусловлено общностью лежащего в основе явлений dv S, (48.5) теплопроводности, диффузии и внут dx личают d), средний реннего трения молекулярного меха d), высокий > d) и сверхвысокий низма перемешивания молекул в про d) вакуум. Газ в состоянии вы цессе их хаотического движения и стол сокого вакуума ультрараз кновений друг с другом.

реженным.

Рассмотренные законы Фурье, Фика и Ньютона не вскрывают молекулярно- Вопросы создания вакуума имеют большое значение в технике, так как, кинетического смысла коэффициентов X, D и Выражения для коэффициен- например, во многих современных тов переноса выводятся на основе ки- электронных приборах используются электронные пучки, формирование ко нетической теории. Они записаны без торых возможно лишь в условиях ва вывода, так как строгое рассмотрение куума. Для получения различных сте явлений переноса довольно громоздко, а качественное — не имеет смысла. Фор- пеней разрежения применяются ваку умные насосы. В настоящее время ис (48.2), (48.4) и (48.7) связывают коэффициенты переноса и характерис- пользуются насосы, позво ляющие получить предварительное раз тики теплового движения молекул. Из этих формул вытекают простые зависи- режение (форвакуум) Па, а так же вакуумные и лабораторные мости между X, D т|:

приспособления, позволяющие дос тичь давление до 13,3 мкПа — 1,33 пПа мм рт. ст.).

Принцип работы форвакуумного т] = рД насоса представлен на рис. 74. Внутри Используя эти формулы, можно по цилиндрической полости корпуса вра найденным из опыта одним величинам щается эксцентрично ци определить другие.

линдр. Две лопасти 1 1', вставленные в разрез цилиндра и раздвигаемые пру § 49. Вакуум и методы жиной 2, разделяют пространство меж его получения. Свойства ду цилиндром и стенкой полости на две ультраразреженных газов части. Газ из откачиваемого сосуда по ступает в область 3, по мере поворачи вания цилиндра лопасть 1 отходит, про Если из сосуда откачивать газ, то по 3 увеличивается и газ засасы мере понижения давления число стол вается через трубку 4. При дальнейшем кновений молекул друг с другом умень вращении лопасть 1' отключает про шается, что приводит к увеличению их странство 3 от трубки 4 и начинает вы длины свободного пробега. При доста теснять газ через клапан 5 наружу. Весь точно большом разрежении столкнове процесс непрерывно повторяется.

ния между молекулами относительно редки, поэтому основную роль играют столкновения молекул со стенками со Рис. суда. Вакуумом называется состояние газа, при котором средняя длина сво бодного пробега (I) сравнима или боль ше характерного линейного размера d сосуда, в котором газ находится. В за висимости от соотношения (I) и d paз Для получения высокого вакуума азотом (рис. 76). При такой температу применяются диффузионные насосы ре пары ртути (масла) вымораживают (рабочее вещество — ртуть или масло), ся и давление в откачиваемом сосуде которые не способны откачивать газ из понижается приблизительно на 1— сосудов начиная с атмосферного давле- порядка. Описанные ловушки называ ния, по способны создавать добавочную ют охлаждаемыми.

разность давлений, поэтому их использу- Можно применять также неохлаж ют вместе с форвакуумными насосами.

даемые ловушки. Специальное рабочее Рассмотрим схему действия диффу- вещество (например, алюмогель) поме зионного насоса (рис. 75). В колбе на- щают в один из отростков соединитель гревается ртуть и ее пары, поднимаясь ной трубки вблизи откачиваемого по трубке 1, вырываются из сопла 2 с объекта, которое поддерживается при большой скоростью, увлекая за собой температуре 300 °С. При достижении молекулы газа из откачиваемого сосу- высокого вакуума алюмогель охлажда да (в нем создан предварительный ва- ется до комнатной температуры, при куум). Эти пары, попадая затем в «во- которой он начинает поглощать имею дяную рубашку», конденсируются и щиеся в системе пары. Преимущество стекают обратно в резервуар, а захва- этих ловушек состоит в том, что с их ченный газ выходит в пространство (че- помощью в откачиваемых объектах рез трубку 3), в котором уже создан можно поддерживать высокий вакуум форвакуум. Если применять многосту- уже после непосредственной откачки в пенчатые насосы (несколько сопл рас- течение даже нескольких суток.

положены последовательно), то реаль Остановимся на некоторых свой но при хороших уплотнениях можно с ствах ультраразреженных газов. Так их помощью получить разрежение до как в состоянии ультраразрежения мо КГ7 мм рт. ст.

лекулы практически друг с другом не Для дальнейшего понижения давле- сталкиваются, то газ в этом состоянии ния применяются так называемые «ло- не обладает внутренним трением. От вушки». Между диффузионным насо- сутствие соударений между молекула сом и откачиваемым объектом распола- ми разреженного газа отражается так гают специально изогнутое колено же на механизме теплопроводности.

(1 или 2) соединительной трубки (ло- Если при обычных давлениях перенос вушку), которую охлаждают жидким энергии молекулами производится «эс тафетой», то при ультраразрежении каждая молекула сама должна перене сти энергию от одной стенки сосуда к другой. Явление уменьшения тепло проводности вакуума при понижении давления используется на практике для создания тепловой изоляции. Напри мер, для уменьшения теплообмена меж ду телом и окружающей средой тело помещают в сосуд Дъюара1, имеющий Д.Дьюар (1842 — 1923) — английский хи мик и физик.

Рис. К насосу (49.1) Рис. 77 Рис. (49.2) стенки, между которыми нахо- т.е. в условиях высокого вакуума вы дится разреженный воздух (теплопро- равнивания давлений не происходит.

водность воздуха очень мала). Если в откачанный стеклянный бал Рассмотрим два сосуда 1 и 2, поддер- лон (рис. 78) на пружину 1 насадить живаемых соответственно при темпера- слюдяной листочек 2, одна сторона ко турах и (рис. 77) и соединенных торого зачернена, и освещать его, то воз между собой трубкой. Если длина сво- никнет разность температур между бодного пробега молекул гораздо мень- светлой и зачерненной поверхностями ше диаметра соединительной трубки листочка. Из выражения (49.2) следу «С то стационарное состояние ет, что в данном случае разным будет и газа характеризуется равенством давле- давление, т.е. молекулы от зачернен ний в обоих сосудах = Стацио- ной поверхности будут отталкиваться нарное же состояние ультраразрежен- с большей силой, чем от светлой, в ре ного газа d), находящегося в двух зультате чего листочек отклонится. Это сосудах, соединенных трубкой, возмож- явление называется радиометриче но лишь в том случае, когда встречные ским эффектом. На радиометриче потоки частиц, перемещающихся из ском эффекте основано действие радио одного сосуда в другой, одинаковы, т. е. метрического манометра.

Контрольные вопросы Почему термодинамический и статистический (молекулярно-кинетический) методы исследования макроскопических систем качественно различны и взаимно дополняют друг друга?

Что такое термодинамические параметры? Какие термодинамические параметры вам известны?

Как объяснить закон Бойля — Мариотта с точки зрения молекулярно-кинетичсской теории?

Какими законами описываются изобарные и изохорные процессы?

Каков физический смысл постоянной Авогадро? числа Лошмидта?

При некоторых значениях температуры и давления азот количеством вещества 1 моль занимает объем 20 л. Какой объем при этих же условиях займет водород количеством вещества 1 моль?

В чем заключается молекулярно-кинетическое толкование давления газа? термодина мической температуры?

В чем содержание и какова цель вывода основного уравнения ской теории газов?

Каков физический смысл распределения молекул по скоростям? по энергиям?

• Как, функцию молекул по скоростям, перейти к функции распреде ления по энергиям?

• Как определяется наиболее вероятная скорость? средняя скорость?

• Во сколько раз и как изменится средняя скорость движения молекул при переходе от кислорода к водороду?

• В чем суть распределения Больцмана?

• Зависит ли средняя длина свободного пробега молекул от температуры газа? Почему?

• Как изменится средняя длина свободного пробега молекул с увеличением давления?

• В чем сущность явлений переноса? Каковы они и при каких условиях возникают?

• Объясните физическую сущность законов Фурье, Фика, Ньютона.

• Каков механизм теплопроводности ультраразреженных газов?

ЗАДАЧИ 8.1. Начертите и объясните графики изотермического и изобарного процессов в коорди натах р V, р Т, Т V.

8.2. В сосуде при температуре Т— 20 °С и давлении р = 0,2 содержится смесь газов — кислорода массой = 16 г и азота массой — 21 г. Определите плотность смеси. [2,5 кг/м3] 8.3. Определите наиболее вероятную скорость молекул газа, плотность которого при давлении 40 кПа составляет 0,35 кг/м3. [478 м/с] 8.4. Используя закон о распределении молекул идеального газа по скоростям, найдите закон, выражающий распределение молекул по относительным скоростям — ). [f(u) = 8.5. Воспользовавшись законом распределения идеального газа по относительным ско ростям (см. задачу 8.4), определите, какая доля молекул кислорода, находящегося при тем пературе t = 0 °С, имеет скорости от 100 до ПО м/с. [0,4] 8.6. На какой высоте плотность воздуха в два раза меньше, чем его плотность на уровне моря? Считать, что температура воздуха везде одинакова и равна 273 К. [55 км] 8.7. Определите среднюю продолжительность свободного пробега молекул водорода при температуре 300 К и давлении 5 кПа. Эффективный диаметр молекул принять равным 0,28 [ 8.8. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения при некоторых условиях равны соответственно 1,42 • и 8,5 мкПа • с. Определите концентрацию молекул воздуха при этих условиях. [1,25 • Глава ОСНОВЫ ТЕРМОДИНАМИКИ § 50. Число степеней свободы ренняя энергия U — энергия хаотиче ского (теплового) движения микроча молекулы. Закон равномерного стиц системы (молекул, атомов, элект распределения энергии ронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодей по степеням свободы молекул ствия этих частиц. Из этого определе Важной характеристикой термоди- ния следует, что к внутренней энергии намической системы является ее внут- не относятся кинетическая энергия атома) лишено смысла. Таким образом, движения системы как целого и потен двухатомный газ обладает пятью степе циальная энергия системы во внешних нями свободы (i = 5).

полях.

Трехатомная (рис. 79, в) и много Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состоя- атомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свободы: три поступа ния системы, т.е. в каждом состоянии тельных и три вращательных. Есте система обладает вполне определенной ственно, что жесткой связи между ато внутренней энергией (она не зависит от того, как система пришла в данное со- мами не существует. Поэтому для ре стояние). Это означает, что при перехо- альных молекул необходимо учитывать де системы из одного состояния в дру- также степени свободы колебательно гое изменение внутренней энергии оп- го движения.

ределяется только разностью значений Независимо от общего числа степе внутренней энергии этих состояний и ней свободы молекул три степени сво не зависит от пути перехода. боды всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не В § 1 было введено понятие числа степеней свободы: это число независи- имеет преимущества перед другими, мых величин, полностью определяю- поэтому на каждую из них приходится щих положение системы в простран- в среднем одинаковая энергия, равная стве. В ряде задач молекулу одноатом- l/3 значения в (43.8):

ного газа (рис. 79, а) рассматривают как материальную точку, которой приписы вают три степени свободы поступатель ного движения. При этом энергию вра щательного движения можно не учиты- В классической статистической фи зике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии В классической механике молекула по степеням свободы молекул: для двухатомного газа в первом приближе- статистической системы, находящейся нии рассматривается как совокупность в состоянии термодинамического рав двух материальных точек, жестко свя- новесия, на каждую поступательную и занных недеформируемой связью (рис.

вращательную степени свободы прихо 79, б). Эта система кроме трех степеней дится в среднем кинетическая энергия, свободы поступательного движения име равная — а на каждую колебатель ет еще две степени свободы вращатель ного движения. Вращение вокруг тре ную степень свободы — в среднем энер тьей оси (оси, проходящей через оба гия, равная кТ.

Колебательная степень «обладает» вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и по тенциальная, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы Рис. пример совершения над системой рабо ты или сообщения ей теплоты. Так, вдвигая поршень в цилиндр, в котором где — сумма числа поступательных, находится газ, мы сжимаем этот газ, в числа вращательных и удвоенного чис результате чего его температура повы ла колебательных степеней свободы шается, т. е. тем самым изменяется (уве молекулы:

личивается) внутренняя энергия газа.

С другой стороны, температуру газа и его внутреннюю энергию можно увели В классической теории рассматрива чить за счет сообщения ему некоторого ют молекулы с жесткой связью между количества теплоты — энергии, пере атомами;

для них совпадает с числом данной системе внешними телами пу степеней свободы молекулы.

тем теплообмена (процесс обмена внут Следует отметить, что закон Больц ренними энергиями при контакте тел с мана является приближенным (полу разными температурами).

чен на основе классических представ Таким образом, можно говорить о лений о характере движения молекул) двух формах передачи энергии от одних и пересмотрен в квантовой статистике.

тел к другим: работе и теплоте. Энер Так как в идеальном газе взаимная гия механического движения может потенциальная энергия молекул равна превращаться в энергию теплового дви нулю (молекулы между собой не взаи жения, и наоборот. При этих превраще модействуют), то внутренняя энергия, ниях соблюдается закон сохранения и отнесенная к 1 моль газа, будет равна превращения энергии;

применительно сумме кинетических энергий моле к термодинамическим процессам этим кул:

законом и является первое начало тер модинамики, установленное в резуль тате обобщения многовековых опыт ных данных.

Внутренняя энергия для произволь Допустим, что некоторая система ной массы т газа (газ, заключенный в цилиндр под пор шнем), обладая внутренней энергией получила некоторое количество тепло ты Q и, перейдя в новое состояние, ха где М — молярная масса;

v = • — ко рактеризующееся внутренней энергией личество вещества.

совершила работу А над внешней средой, т. е. против внешних сил. Коли чество теплоты считается положитель § 51. Первое начало ным, когда оно подводится к системе, а работа — положительной, когда систе термодинамики ма совершает ее против внешних сил.

В соответствии с законом сохранения Рассмотрим термодинамическую энергии при любом способе перехода систему, для которой механическая системы из первого состояния во вто энергия постоянна, а изменяется лишь рое изменение внутренней энергии ее внутренняя энергия. Внутренняя AU= будет одинаковым и рав энергия системы может изменяться в результате различных процессов, на- ным разности между количеством теп лоты Q, полученным системой, и рабо § 52. Работа газа той А, совершенной системой против при изменении его объема внешних сил:

Для рассмотрения конкретных про AU = Q- А, цессов найдем в общем виде внешнюю работу, совершаемую газом при изме (51.1) нении его объема. Рассмотрим, напри мер, газ, находящийся под поршнем в Уравнение (51.1) выражает первое цилиндрическом сосуде (рис. 80). Если начало термодинамики: теплота, со газ, расширяясь, передвигает поршень общаемая системе, расходуется на из на бесконечно малое расстояние dl, то менение ее внутренней энергии и на со производит над ним работу вершение ею работы против внешних сил.

Выражение (51.1) для элементарно где S — площадь поршня;

Sdl — dV — го процесса можно записать в виде изменение объема системы.

Таким образом, или в более корректной форме (52.1) (51.2) Полную работу А, совершаемую га зом при изменении его объема от до где Q — бесконечно малое количество найдем интегрированием формулы теплоты;

U— бесконечно малое изме (52.1):

нение внутренней энергии системы;

ЬА — элементарная работа. В этом вы ражении U является полным диффе (52.2) ренциалом, а ЬА и Q таковыми не яв ляются. В дальнейшем будем использо вать запись первого начала термодина- Результат интегрирования опреде ляется характером зависимости между мики в форме (51.2).

давлением и объемом газа. Найденное Из формулы (51.1) следует, что в СИ для работы выражение (52.2) справед количество теплоты выражается в тех ливо при любых изменениях объема же единицах, что работа и энергия, т. е.

твердых, жидких и газообразных тел.

в джоулях (Дж).

Произведенную при том или ином Если система периодически воз процессе работу можно изобразить гра вращается в первоначальное состояние, фически с помощью кривой в коорди то изменение ее внутренней энергии натах р, V. Пусть изменение давления AU=0. Тогда, согласно первому нача лу термодинамики, т. е. вечный двигатель первого рода — периодически действующий двигатель, который совершал бы большую работу, чем сообщенная ему извне энергия, не возможен (одна из формулировок пер вого начала термодинамики).

Рис. 80 Рис. газа при его расширении изображается где У = — количество вещества.

кривой на рис. 81. При увеличении Единица молярной теплоемкости — объема на газом рабо джоуль на моль-келъвин [ДжДмоль • К)].

та равна pdV, т.е. определяется площа Удельная теплоемкость с связана с мо дью полоски с основанием тониро лярной соотношением ванной на рисунке. Поэтому полная ра бота, совершаемая газом при расшире (53.2) нии от объема до объема опреде где М — молярная масса вещества.

ляется площадью, ограниченной осью Различают теплоемкости при по абсцисс, кривой р = прямыми стоянном объеме и постоянном давле и нии, если в процессе нагревания веще Графически можно изображать толь ства его объем или давление поддержи равновесные процессы — процессы, вается состоящие из последовательности рав Запишем выражение первого нача новесных состояний. Они протекают ла термодинамики для 1 моль так, что изменение термодинамических газа с учетом формул (52.1) и (53.1):

параметров за конечный промежуток времени бесконечно мало. Все реальные (53.3) процессы неравновесны (они протекают Если газ нагревается при постоян с конечной скоростью), но в ряде слу ном объеме, то работа внешних сил рав чаев неравновесностыо реальных про на нулю [см. (52.1)] и сообщаемая газу цессов можно пренебречь (чем медлен извне теплота идет только на увеличе нее протекает процесс, тем он ближе к ние его внутренней энергии:

равновесному). В дальнейшем рассмат риваемые процессы будем считать рав (53.4) новесными.

т. е. молярная теплоемкость газа при по стоянном объеме Су равна изменению § 53. Теплоемкость внутренней энергии 1 моль газа при по вышении его температуры на 1 К. Соглас Удельная теплоемкость вещест ва — величина, равная количеству теп- но формуле (50.1), = -RdT, тогда лоты, необходимому для нагревания 1 кг вещества на 1 К:

(53.5) с Если газ нагревается при постоян ном давлении, то выражение (53.3) Единицей удельной теплоемкости можно записать в виде является джоуль па килограмм-кель вин Молярная теплоемкость — вели чина, равная количеству теплоты, необ ходимому для нагревания 1 моль веще Учитывая, что не зависит от ства на 1 К:

вида процесса (внутренняя энергия идеального газа не зависит ни от р, ни (53.1) от V, а определяется лишь температу рой Т) и всегда равна [см. (53.4)], и пературы. Молекула двухатомного газа дифференцируя уравнение Клапейро- обладает тремя поступательными, дву на— Менделеева pV = RT [см. (42.4)] мя вращательными и одной колебатель m по Т (р = const), получаем ной степенями свободы.

По закону равномерного распреде (53.6) ления энергии по степеням свободы Выражение (53.6) называется урав- (см. § 50), для комнатных температур нением Майера;

оно показывает, что = Из качественной экспери всегда больше на величину моляр ментальной зависимости молярной ной газовой постоянной. Это объясня- теплоемкости водорода (рис. 82) ется тем, что при нагревании газа при следует, что зависит от температу постоянном давлении требуется еще ры: при низкой температуре К) дополнительное количество теплоты на = при комнатной — = совершение работы расширения газа, (вместо расчетных очень так как постоянство давления обеспе- высокой — Су = Это можно объяс чивается увеличением объема газа. Ис- нить, предположив, что при низких тем пользовав (53.5), выражение (53.6) пературах наблюдается только поступа можно записать в виде тельное движение молекул, при ком натных — добавляется их вращение, а при высоких — к этим двум видам дви (53.7) жения добавляются еще колебания мо лекул.

При рассмотрении термодинамиче ских процессов важно знать характер- Расхождение теории и эксперимен ное для каждого газа отношение та нетрудно объяснить. Дело в том, что при вычислении теплоемкости надо учитывать квантование энергии враще (53.8) ния и колебаний молекул (возможны не любые вращательные и колебатель Из формул (53.5) и (53.7) следует, ные энергии, а лишь определенный дис что молярные теплоемкости определя кретный ряд значений энергий). Если ются лишь числом степеней свободы и энергия теплового движения недоста не зависят от температуры. Это утвер точна, например, для возбуждения ко ждение молекулярно-кинетической те лебаний, то эти колебания не вносят ории справедливо в довольно широком своего вклада в теплоемкость (соответ интервале температур лишь для одно ствующая степень свободы «заморажи атомных газов. Уже у двухатомных га вается» — к ней неприменим закон рав зов число степеней свободы, проявля нораспределения энергии). Этим ющееся в теплоемкости, зависит от тем объясняется, что теплоемкость 1 моль двухатомного газа — водорода — при комнатной температуре равна сто Аналогично можно объяснить уменьшение теплоемкости при низкой температуре («замораживаются» вра щательные степени свободы) и увели чение при высокой («возбуждаются» колебательные степени свободы).

Изобарный процесс (р = const). Гра § 54. Применение первого фик зависимости между параметрами начала термодинамики состояния идеального газа при р = const к изопроцессам называется изобарой. Изобара в коор динатах р, V изображается прямой, па Среди равновесных процессов, про раллельной оси V. При изобарном про исходящих с термодинамическими си цессе работа газа [см. (52.2)] при уве стемами, выделяются изопроцессы, личении объема от до V равна при которых один из основных пара метров состояния сохраняется постоян ным.

(54.2) Изохорный процесс ( V = const).

График зависимости между параметра и определяется площадью тонирован ми состояния идеального газа при V — ного прямоугольника (рис. 84). Если = const называется изохорой. Изохора в координатах р, V изображается пря- использовать уравнение Клапейрона — Менделеева (42.5) для выбранных нами мой, параллельной оси ординат (рис. 83), где процесс 1 — 2 есть изохорное нагре- двух состояний, то вание, 4 — изохорное охлаждение.

При изохорном процессе газ не совер шает работы над внешними телами, т. е.

откуда Как уже указывалось в § 53, из пер вого начала термодинамики Q = + ЬА) для изохорного процесса следу- Тогда выражение (54.2) для работы ет, что вся теплота, сообщаемая газу, изобарного расширения примет вид идет на увеличение его внутренней энер гии:

(54.3) Из этого выражения вытекает физи Согласно формуле (53.4), ческий смысл молярной газовой посто янной R: если — = 1 К, то для 1 моль газа R = А, т.е. R численно рав Тогда для произвольной массы газа на работе изобарного расширения 1 моль получим идеального газа при нагревании его на 1К.

(54.1) В изобарном процессе при сообще нии газу массой т количества теплоты его внутренняя энергия возрастает на величину [согласно формуле (53.4)] Рис. Рис. При этом газ совершит работу, опреде количество теплоты, эквивалентное ляемую выражением (54.3).

внешней работе расширения.

Изотермический процесс ( Т= const).

Как уже указывалось в § 41, изотерми ческий процесс описывается законом § 55. Адиабатный процесс.

— Мариотта:

Политропный процесс pV= const.

Адиабатным называется процесс, График зависимости между пара при котором отсутствует теплообмен метрами состояния идеального газа при между системой и окружающей средой Т = const называется изотермой. Изо Q = 0). К адиабатным процессам мож терма в координатах р, V представляет но отнести все быстропротекающие собой гиперболу (см. рис. 62), располо процессы. Адиабатным процессом, на женную на диаграмме тем выше, чем пример, можно считать процесс распро выше температура, при которой проис странения звука в среде, так как ско ходит процесс.

рость распространения звуковой волны Исходя из выражений (52.2) и (42.5), настолько велика, что обмен энергией найдем работу изотермического расши- между волной и средой произойти не рения газа: успевает. Адиабатные процессы приме няются в двигателях внутреннего сго рания (расширение и сжатие горючей смеси в цилиндрах), в холодильных ус тановках и т.д. Из первого начала тер модинамики для адиа батного процесса следует, что (55.1) Так как при Т = const внутренняя т. е. внешняя работа совершается за счет энергия идеального газа не изменяется:

изменения внутренней энергии сис темы.

Используя выражения (52.1) и (53.4), для произвольной массы газа перепи то из первого начала термодинамики следует, что для изо- шем уравнение (55.1) в виде термического процесса (55.2) Продифференцировав уравнение т.е. все количество теплоты, сообщае состояния для идеального газа р V = мое газу, расходуется на совершение им получим работы против внешних сил:

(55.3) Исключим из (55.2) и (55.3) темпе Следовательно, для того чтобы при ратуру Т:

расширении газа температура не пони жалась, к газу в течение изотермиче ского процесса необходимо подводить Разделив переменные и учитывая, Рис. С что —— = [см. (53.8)], найдем Су Интегрируя это уравнение в преде лах от ДО и соответственно от до а затем потенцируя, придем к выра жению График зависимости между пара метрами состояния идеального газа при =.0 называется адиабатой. Адиаба Так как состояния 1 и 2 выбраны та в координатах р, V изображается ги произвольно, то можно записать перболой (рис. 85). На рисунке видно, что адиабата (р = const) более кру (55.4) та, чем изотерма = const). Это Полученное выражение есть урав объясняется тем, что при адиабатном нение адиабатного процесса, называ сжатии увеличение давления газа обус емое также уравнением Пуассона.

ловлено не только уменьшением его Для перехода к переменным Т, V или объема, как при изотермическом сжа р, Т исключим из (55.4) с помощью тии, но и повышением температуры.

уравнения Клапейрона — Менделеева Вычислим работу, совершаемую га pV — - RT соответственно давление зом в адиабатном процессе. Запишем уравнение (55.1) в виде или объем:

(55.5) (55.6) Если газ адиабатно расширяется от Выражения (55.4) — (55.6) представ объема до температура ляют собой уравнения адиабатного про уменьшается от до и работа рас цесса. В этих уравнениях безразмерная ширения идеального газа величина [см. (53.8) и (53.2)] (55.8) (55.7) Применяя те же приемы, что и при называется показателем адиабаты выводе формулы (55.5), выражение (или коэффициентом Пуассона). Для (55.8) для работы при адиабатном рас одноатомных газов (Ne, и др.), дос ширении можно преобразовать к виду таточно хорошо удовлетворяющих ус ловию идеальности, г = 3, = 1,67. Для двухатомных газов и др.) 5, = 1,4. Значения вычисленные по формуле (55.7), хорошо подтверждают _ ся экспериментом.

~ М Работа, совершаемая газом при § 56. Обратимые адиабатном расширении 1 — 2 (опре и необратимые процессы.

деляется тонированной площадью на Круговой процесс (цикл) рис. 85), меньше, чем при изотерми ческом расширении. Это объясняется Термодинамический процесс назы тем, что при адиабатном расширении вается обратимым, если он может про происходит охлаждение газа, тогда исходить как в прямом, так и в обрат как при изотермическом температура ном направлении, причем если такой поддерживается постоянной за счет процесс происходит сначала в прямом, притока извне эквивалентного коли- а затем в обратном направлении и сис чества теплоты.

тема возвращается в исходное состоя Рассмотренные изохорный, изобар- ние, то в окружающей среде и в этой си стеме не происходит никаких измене ный, изотермический и адиабатный ний. Всякий процесс, не удовлетворя процессы имеют общую — они происходят при постоянной тепло- ющий этим условиям, будет необрати емкости. В первых двух процессах теп- мым.

лоемкости соответственно равны Любой обратимый процесс являет в изотермическом процессе (d 0) равновесным. Обратимость равновес теплоемкость равна ±оо, в адиабатном ного процесса, происходящего в систе ме, следует из того, что ее любое про теплоемкость равна нулю. Про межуточное состояние есть состояние цесс, в котором теплоемкость остается термодинамического равновесия;

для постоянной, называется политроп него «безразлично», идет процесс в пря ным.

мом или обратном направлении.

Исходя из первого начала термоди намики при условии постоянства теп- Реальные процессы сопровождают ся диссипацией энергии (из-за трения, лоемкости const), можно вывести теплопроводности и т.д.), которая нами уравнение политропы:

не обсуждается. Обратимые процес (55.9) сы — это идеализация реальных процес сов. Их рассмотрение важно по двум где п — — показатель политро причинам: 1) многие процессы в при роде и технике близки к обратимым;

пы. График зависимости между пара 2) для обратимых процессов термичес метрами состояния идеального газа кий коэффициент полезного действия при С= const называется политропой.

максимален, что позволяет указать пути Политропа в координатах р, V— гипер повышения КПД реальных тепловых бола, занимающая промежуточное по двигателей.

ложение между изотермой и адиаба Круговым процессом (или циклом) той.

называется процесс, при котором сис Очевидно, что при С = 0, п — из тема, пройдя через ряд состояний, воз (55.9) получается уравнение адиабаты;

вращается в исходное. На диаграмме при оо, п — 1 — уравнение изотер p—V равновесный круговой процесс мы;

при — уравнение изо изображается замкнутой кривой (рис.

бары, при С= Су, п = ±оо — уравнение 86). Цикл, совершаемый идеальным га изохоры. Таким образом, все рассмот зом, можно разбить на процессы расши ренные процессы являются частными рения (1 — 2) сжатия (2— 1) газа.

случаями процесса.

где Q — количество теплоты, получен ное системой;

Q — количество тепло ты, отданное системой.

Поэтому термический коэффици ент полезного действия для кругово Рис. го процесса Работа расширения (определяется площадью фигуры положи тельна (dV > 0), работа сжатия (опре деляется площадью фигуры отрицательна (dV < 0). Следовательно, § 57. Энтропия, работа, совершаемая газом за цикл, опре деляется площадью, охватываемой зам- ее статистическое толкование кнутой кривой. Если за цикл совершает и связь с термодинамической ся положительная работа вероятностью (цикл протекает по часовой стрелке), то он называется прямым (рис. 86, а), если Понятие энтропии введено в 1865 г.

за цикл совершается отрицательная ра Р. Клаузиусом. Для выяснения физи бота. (цикл протекает ческого содержания этого понятия рас против часовой стрелки), то он называ сматривают отношение теплоты Q, по ется обратным (рис. 86, б).

лученной телом в изотермическом про Прямой цикл используется в теп- цессе, к температуре Т теплоотдающе ловых двигателях — периодически го тела, называемое приведенным ко действующих двигателях, совершаю- личеством теплоты.

щих работу за счет полученной извне Приведенное количество теплоты, теплоты. Обратный цикл используется сообщаемое телу на бесконечно малом в холодильных машинах — периоди участке процесса, равно. Строгий чески действующих установках, в кото теоретический анализ показывает, что рых за счет работы внешних сил тепло приведенное количество теплоты, сооб та переносится к телу с более высокой щаемое телу в любом обратимом круго температурой.

вом процессе, равно В результате кругового процесса си стема возвращается в исходное состоя (57.1) ние и, следовательно, полное изменение внутренней энергии газа равно нулю.

Поэтому первое начало термодинами- Из равенства нулю интеграла (57.1), ки (51.1) для кругового процесса взятого но замкнутому контуру, следу ет, что подынтегральное выражение (56.1) — есть полный дифференциал неко т. е. работа, совершаемая за цикл, равна торой функции, которая определяется количеству полученной извне теплоты.

только состоянием системы и не зави Однако в результате кругового процес сит от пути, каким система пришла в это са система может теплоту как получать, так и отдавать, поэтому состояние. Таким образом, определяется энтропия, не играет роли, (57.2) так как физический смысл имеет не сама энтропия, а разность энтропий.

Функция состояния, дифференциалом Исходя из выражения (57.6), найдем которой является, называется эн изменение энтропии в процессах иде тропией и обозначается S.

Из формулы (57.1) следует, что для обратимых процессов изменение энтро пии (57.3) В термодинамике доказывается, что энтропия системы, совершающей нео братимый цикл, возрастает:

или (57.4) Выражения (57.3) и (57.4) относят ся только к замкнутым системам, если же система обменивается теплотой с внешней средой, то ее энтропия может т. е. изменение энтропии идеаль вести себя любым образом. Соотноше ного газа при переходе его из состоя ния (57.3) и (57.4) можно представить ния 1 в состояние 2 не зависит от вида в виде неравенства Клаузиуса процесса перехода 1 2.

Так как для адиабатного процесса (57.5) 0, то AS = 0 и, следовательно, т.е. энтропия замкнутой системы мо- S = const, т. е. адиабатный обратимый жет либо возрастать (в случае необра- процесс протекает при постоянной эн тимых процессов), либо оставаться по- тропии. Поэтому его часто называют стоянной (в случае обратимых процес- изоэнтропийным процессом. Из фор сов). мулы (57.7) следует, что при изотерми Если система совершает равновес- ческом процессе ( = ный переход из состояния 1 в состоя ние 2, то, согласно (57.2), изменение эн тропии при изохорном процессе ( V = V ) 1 (57.6) Энтропия обладает свойством адди тивности: энтропия системы равна где подынтегральное выражение и пре сумме энтропий тел, входящих в систе делы интегрирования определяются че му. Свойством аддитивности обладают рез величины, характеризующие иссле также внутренняя энергия, масса, объем дуемый процесс. Энтропия определяет (температура и давление таким свой ся с точностью до аддитивной посто ством не обладают).

янной. Значение постоянной, с которой Более глубокий смысл энтропии ме идут в направлении увеличения чис вскрывают в статистической физике:

ла микросостояний, иными словами, от энтропия связывается с термодинами менее вероятных состояний к более ве ческой вероятностью состояния системы.

роятным — до тех пор, пока вероятность Термодинамическая вероятность W состояния не станет максимальной.

состояния системы — это число спосо Сопоставляя выражения (57.5) и бов, которыми может быть реализова (57.8), видим, что энтропия и термоди но данное состояние макроскопической намическая вероятность состояний системы, или число микросостояний, замкнутой системы могут либо возрас осуществляющих данное макросостоя тать (в случае необратимых процессов), ние [по определению,, т. е. термо либо оставаться постоянными (в случае динамическая вероятность не есть ве обратимых процессов).

роятность в математическом смысле Отметим, однако, что эти утвержде (последняя 1!)].

ния имеют место для систем, состоящих Согласно Больцману (1872), энтро- из очень большого числа частиц, но пия системы и термодинамическая ве- могут нарушаться в системах с малым роятность связаны между собой следу- числом частиц. Для «малых» систем ющим образом: могут наблюдаться флуктуации, т.е.

энтропия и термодинамическая вероят (57.8) ность состояний замкнутой системы на определенном отрезке времени могут где к — постоянная Больцмана.

убывать, а не возрастать, или оставать Таким образом, энтропия определя ся постоянными.

ется логарифмом числа микросостоя ний, с помощью которых может быть реализовано данное макросостояние.

Следовательно, энтропия может рас- § 58. Второе начало сматриваться как мера вероятности со термодинамики стояния термодинамической системы.

Формула Больцмана (57.8) позволяет Первое начало термодинамики, вы дать энтропии следующее статисти- ражая закон сохранения и превращения ческое толкование: энтропия является энергии, не позволяет установить на мерой неупорядоченности системы.

правление протекания термодинами В самом деле, чем больше число мик- ческих процессов. Кроме того, можно росостояний, реализующих данное мак- представить процессы, не противореча росостояние, тем больше энтропия.

щие первому началу, в которых энергия В состоянии равновесия — наиболее ве- сохраняется, а в природе они не проис роятного состояния системы — число ходят. Появление второго начала тер микросостояний максимально, при модинамики связано с необходимостью этом максимальна и энтропия.

дать ответ на вопрос, какие процессы в природе возможны, а какие нет. Второе Так как реальные процессы необра начало термодинамики определяет на тимы, то можно утверждать, что все правление протекания термодинами процессы в замкнутой системе ведут к ческих процессов.

увеличению ее энтропии — принцип возрастания энтропии. При статисти- Используя понятие энтропии и не ческом толковании энтропии это озна- равенство Клаузиуса (см. § 57), второе чает, что процессы в замкнутой систе- начало термодинамики можно сфор лоты от менее нагретого тела к более мулировать как закон возрастания энтропии замкнутой системы при нео- нагретому.

Можно довольно просто доказать братимых процессах: любой необрати мый процесс в замкнутой системе про- (предоставим это читателю) эквивален тность формулировок Кельвина и Кла исходит так, что энтропия системы узиуса. Кроме того, показано, что если при этом возрастает.

Можно дать более краткую форму- в замкнутой системе провести вообра лировку второго начала термодинами- жаемый процесс, противоречащий вто ки: в процессах, происходящих в замкну- рому началу термодинамики в форму лировке Клаузиуса, то он сопровожда той системе, энтропия не убывает.

Здесь существенно, что речь идет о зам- ется уменьшением энтропии. Это же кнутых системах, так как в незамкну- доказывает эквивалентность формули ровки Клаузиуса (а следовательно, и тых системах энтропия может вести себя любым образом (убывать, возрас- Кельвина) и статистической формули ровки, согласно которой энтропия зам тать, оставаться постоянной). Кроме кнутой системы не может убывать.

того, отметим еще раз, что энтропия остается постоянной в замкнутой сис В середине XIX в. возникла проблема так теме только при обратимых процессах.

называемой тепловой смерти Вселенной.

При необратимых процессах в замкну Рассматривая Вселенную как замкнутую той системе энтропия всегда возра систему и применяя к ней второе начало тер стает.

модинамики, Клаузиус свел сто содержание к утверждению, что энтропия РЗселешюй Формула Больцмана (57.8) позволя должна достигнуть своего максимума. Это ет объяснить постулируемое вторым означает, что со временем все формы дви началом термодинамики возрастание жения должны перейти в тепловую. Пере энтропии в замкнутой системе при нео ход же теплоты от горячих тел к холодным братимых процессах: возрастание энт приведет к тому, что температура всех тел ропии означает переход системы из ме во Вселенной сравняется, т. с. наступит пол нее вероятных в более вероятные состо ное тепловое равновесие и все процессы во яния. Таким образом, формула Больц- Вселенной прекратятся — наступит тепло вая смерть Вселенной. Ошибочность выво мана позволяет дать статистическое да о тепловой смерти заключается в том, что толкование второго начала термодина бессмысленно применять второе начало тер мики. Оно, являясь статистическим за модинамики к незамкнутым системам, на коном, описывает закономерности ха пример к такой безграничной и бесконечно отического движения большого числа развивающейся системе, как Вселенная.

частиц, составляющих замкнутую сис Первое и второе начала термодина тему.

мики дополняются третьим началом Укажем еще две формулировки вто термодинамики, или теоремой Нерн рого начала термодинамики:

— Планка: энтропия всех тел в со 1) по Кельвину: невозможен круго стоянии равновесия стремится к нулю вой прогресс, единственным результа по мере приближения температуры к том которого является превращение нулю кельвин:

теплоты, полученной от нагревателя, в эквивалентную ей работу;

2) по Клаузиусу: невозможен круго вой процесс, единственным результа В.Ф.Г.Нернст (1864-1941) - немецкий том которого является передача теп- физик и химик.

Поскольку энтропия определяется с точностью до аддитивной постоянной, то эту постоянную удобно взять равной нулю. Отметим, однако, что это произ вольное допущение, так как энтропия по своей сущности всегда определяет Рис. Рис. ся с точностью до аддитивной постоян ной. Из теоремы Нернста — Планка сле источник теплоты. Однако, согласно дует, что теплоемкости при О К Карно, для работы теплового двигате равны нулю.

ля необходимо не менее двух источни ков теплоты с различными температу рами, иначе это противоречило бы вто § 59. Тепловые двигатели рому началу термодинамики.

и холодильные машины.

Двигатель второго рода, будь он возмо Цикл Карно и его КПД жен, был бы практически вечным. Охлаж для идеального газа дение, например, воды океанов на 1° дало бы огромную энергию. Масса воды в Мировом Из формулировки второго начала океане составляет примерно 10 т, при ох термодинамики по Кельвину следует, лаждении которой на 1° выделилось бы при что вечный двигатель второго рода — мерно 10 Дж теплоты, что эквивалентно полному сжиганию 10 т угля. Железнодо периодически действующий двигатель, рожный состав, нагруженный таким коли совершающий работу за счет охлажде чеством угля, растянулся бы на расстояние ния одного источника теплоты, — не- 10 км, что приблизительно совпадает с раз возможен. Для иллюстрации этого по мерами Солнечной системы!

ложения рассмотрим работу теплового двигателя (исторически второе начало Процесс, обратный происходящему термодинамики и возникло из анализа в тепловом двигателе, используется в работы тепловых двигателей). холодильной машине, принцип дей ствия которой представлен на рис. 88.

Принцип действия теплового двига теля приведен на рис. 87. От термоста- Системой за цикл от термостата с бо та с более высокой температурой на- лее низкой температурой отбирает зываемого нагревателем, за цикл отби- ся количество теплоты и отдается за рается количество теплоты а термо- цикл термостату с более высокой тем пературой количество теплоты стату с более низкой температурой Для кругового процесса, согласно (56.1), называемому холодильником, за цикл А, но, по условию, Q = — < О, передается количество теплоты при поэтому А < 0 и — или = этом совершается работа А = — + А, т.е. количество теплоты Чтобы термический коэффициент отданное системой источнику теплоты полезного действия теплового двигате при более высокой температуре ля (56.2) был равен 1, необходимо вы больше количества теплоты полу полнение условия = 0, т. е. тепловой ченного от источника теплоты при бо двигатель должен был бы иметь один лее низкой температуре на величи Термодинамическая система, которая мо жет обмениваться теплотой с телами без изме- Н. Л. С. Карно (1796-1832) - французский нения температуры. физик и инженер.

ну работы, совершенной над системой. поэтому, согласно (54.4), количество Следовательно, без совершения работы теплоты полученное газом от нагре нельзя отбирать теплоту от менее на- вателя, равно работе расширения гретого тела и отдавать ее более нагре- совершаемой газом при переходе из со тому. Это утверждение есть не что стояния 1 в состояние 2:

иное, как второе начало термодинами ки в формулировке Клаузиуса.

(59.1) Однако второе начало термодинами ки не следует представлять так, что оно При адиабатном расширении 2— совсем запрещает переход теплоты от теплообмен с окружающей средой от менее нагретого тела к более нагрето сутствует и работа расширения со му. Ведь именно такой переход осуще вершается за счет изменения внутрен ствляется в холодильной машине. Но ней энергии [см. (55.1) и (55.8)]:

при этом надо помнить, что внешние силы совершают работу над системой, т. е. этот переход не является единствен ным результатом процесса.

Количество теплоты отданное га Из всех периодически действующих зом холодильнику при изотермическом тепловых машин, имеющих одинако сжатии, равно работе сжатия вые температуры нагревателей и холодильников ( наибольшим КПД обладают обратимые машины;

Pages:     | 1 || 3 | 4 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.