WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |
-- [ Страница 1 ] --

ВЫСШЕЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Т. И. ТРОФИМОВА КУРС ФИЗИКИ 11-е издание, стереотипное УДК 53(075.8) ББК 22.3я73 Т761 Рецензент — профессор кафедры физики им. А. М. Фабриканта Московского

энергетического института (технического университета) В.A. Касьянов Трофимова Т. И.

Т761 Курс физики: учеб. пособие для вузов / Таисия Ивановна Трофимо ва. — 11-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2006. — 560 с.

ISBN 5-7695-2629-7 Учебное пособие (9-е издание, переработанное и дополненное, — 2004 г.) состоит из семи частей, в которых изложены физические основы механики, молекулярной физики и тер модинамики, электричества и магнетизма, оптики, квантовой физики атомов, молекул и твердых тел, физики атомного ядра и элементарных частиц. Рационально решен вопрос об объединении механических и электромагнитных колебаний. Установлена логическая пре емственность и связь между классической и современной физикой. Приведены контрольные вопросы и задачи для самостоятельного решения.

Для студентов инженерно-технических специальностей высших учебных заведений.

УДК 53(075.8) ББК 22.3я Оригинал-макет данного издания является собственностью Издательского центра «Академия», и его воспроизведение любым способом без согласия правообладателя запрещается © Трофимова Т. И., © Образовательно-издательский центр «Академия», ISBN 5-7695-2629-7 © Оформление. Издательский центр «Академия», ПРЕДИСЛОВИЕ Учебное пособие написано в соот тая часть посвящена элементам кванто ветствии с действующей программой вой физики атомов, молекул и твердых курса физики для инженерно-техничес тел. В седьмой части рассмотрены эле ких специальностей высших учебных менты физики атомного ядра и элемен заведений. Небольшой объем учебного тарных частиц.

пособия достигнут с помощью тщатель Изложение материала ведется без ного отбора и лаконичного изложения громоздких математических выкладок, материала.

особое внимание обращено на физиче Книга состоит из семи частей. В пер скую суть явлений и описывающих их вой части дано систематическое изложе понятий и законов, а также на преем ние физических основ классической ме ственность современной и классичес ханики, а также рассмотрены элементы кой физики. Все биографические дан специальной (частной) теории относи ные приведены по книге Ю. А. Храмо тельности. Вторая часть посвящена ос ва «Физики» (М.: Наука, 1983).

новам молекулярной физики и термо Автор выражает глубокую благо динамики. В третьей части представле дарность коллегам и читателям, чьи ны электростатика, постоянный элект доброжелательные замечания и поже рический ток и электромагнетизм. В чет лания способствовали улучшению вертой части, посвященной теории ко книги, и особую признательность про лебаний и волн, механические и элек фессору В. А. Касьянову за рецензиро тромагнитные колебания рассмотрены вание пособия и сделанные им замеча параллельно, указаны их сходства и ния.

различия и сопоставлены физические Ознакомиться с работами автора мож процессы, происходящие при соответ но в Интернете на сайте www.yandex.ru ствующих колебаниях. В пятой части «Физика. Трофимова Т. И.». Замеча изложены элементы геометрической и ния и предложения просьба направ электронной оптики, волновая оптика лять автору по электронной почте и квантовая природа излучения. Шес trofimova@miem.edu.ru.

ВВЕДЕНИЕ ПРЕДМЕТ ФИЗИКИ И ЕЕ СВЯЗЬ С ДРУГИМИ НАУКАМИ Окружающий нас мир, все сущест движения материи и их взаимных пре вующее вокруг нас и обнаруживаемое вращениях. Изучаемые физикой формы нами посредством ощущений представ движения материи (механическая, теп ляют собой материю.

ловая и др.) присутствуют во всех выс Неотъемлемым свойством материи и ших и более сложных формах движения формой ее существования является дви материи (химических, биологических и жение. Движение в широком смысле др.). Поэтому они, будучи наиболее про слова — это всевозможные изменения стыми, являются в то же время наибо материи — от простого перемещения до лее общими формами движения мате сложнейших процессов мышления.

рии. Высшие и более сложные формы Разнообразные формы движения движения материи — предмет изучения материи изучаются различными наука- других наук (химии, биологии и др.).

ми, в том числе и физикой. Предмет Теснейшая связь физики с многими физики, как, впрочем, и любой науки, отраслями естествознания, как отмечал может быть раскрыт только по мере его академик С.И.Вавилов (1891 — 1955;

детального изложения. Дать строгое российский физик и общественный де определение предмета физики доволь- ятель), привела к тому, что физика глу но сложно, потому что границы между бочайшими корнями вросла в астроно физикой и рядом смежных дисциплин мию, геологию, химию, биологию и дру условны. На данной стадии развития гие естественные науки. В результате нельзя сохранить определение физики образовался ряд новых смежных дис только как науки о природе.

циплин, таких, как астрофизика, био физика и др.

Академик А. Ф.Иоффе (1880-1960;

российский физик) определил физику Физика тесно связана и с техникой, как науку, изучающую общие свойства причем эта связь имеет двусторонний и законы движения вещества и поля. характер. Физика выросла из потребно В настоящее время общепризнано, что стей техники (развитие механики у все взаимодействия осуществляются по- древних греков, например, было вызва средством полей, например гравитацион- но запросами строительной и военной ных, электромагнитных, полей ядерных техники того времени), и техника, в сил. Поле наряду с веществом является свою очередь, определяет направление одной из форм существования материи. физических исследований (например, в Неразрывная связь поля и вещества, а свое время задача создания наиболее также различие в их свойствах будут рас- экономичных тепловых двигателей выз смотрены по мере изучения курса. вала интенсивное развитие термодина мики). С другой стороны, от развития Физика — наука о наиболее простых физики зависит технический уровень и вместе с тем наиболее общих формах производства. Физика — база для созда- на значительную роль курса физики во ния новых отраслей техники (электрон- втузе — это фундаментальная база для ная техника, ядерная техника и др.). теоретической подготовки инженера, Бурный темп развития физики, рас- без которой его успешная деятельность невозможна.

тущие связи ее с техникой указывают ЕДИНИЦЫ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН Основным методом исследования в Для построения системы единиц физике является опыт — основанное произвольно выбирают единицы для на практике чувственно-эмпирическое нескольких не зависящих друг от друга познание объективной действительно- физических величин. Эти единицы на сти, т. е. наблюдение исследуемых явле- зываются основными. Остальные же ний в точно учитываемых условиях, единицы, называемые производными, позволяющих следить за ходом явле- выводятся из физических законов, свя ний и многократно воспроизводить его зывающих их с основными единицами.

при повторении этих условий.

В научной, а также в учебной лите Для объяснения эксперименталь- ратуре обязательна к применению Си ных данных выдвигаются гипотезы. Ги- стема интернациональная (СИ), кото потеза — это научное предположение, рая строится на семи основных едини позволяющее уяснить сущность проис- цах — метр, килограмм, секунда, ампер, ходящих явлений и требующее провер- кельвин, моль, кандела — и двух допол ки на опыте и теоретического обосно- нительных — радиан и стерадиан.

вания для того, чтобы стать достовер- Метр (м) — длина пути, проходимо ной научной теорией.

го светом в вакууме за 1/299 792 458 с.

В результате обобщения экспери- Килограмм (кг) — масса, равная ментальных данных, а также накоплен- массе международного прототипа кило ного опыта людей устанавливаются грамма (платиноиридиевого цилиндра, физические законы — устойчивые по- хранящегося в Международном бюро вторяющиеся объективные закономер- мер и весов в Севре, близ Парижа).

ности, существующие в природе. Наи- Секунда (с) — время, равное более важные законы устанавливают 9 192 631 770 периодам излучения, со связь между физическими величинами.

ответствующего переходу между двумя Измерение физической величины есть сверхтонкими уровнями основного со действие, выполняемое с помощью стояния атома цезия-133.

средств измерений для нахождения зна Ампер (А) — сила неизменяющего чения физической величины в приня ся тока, который при прохождении по тых единицах.

двум параллельным прямолинейным Единицы физических величин мож- проводникам бесконечной длины и но выбрать произвольно, но тогда воз- ничтожно малого поперечного сечения, никнут трудности при их сравнении. расположенным в вакууме на расстоя Поэтому целесообразно ввести систему нии 1 м один от другого, создает меж единиц, охватывающую единицы всех ду этими проводниками силу, равную физических величин. 2 • 10-7 Н на каждый метр длины.

Кельвин (К) — 1/273,16 часть тер- частотой 540 • 1012 Гц, энергетическая модинамической температуры тройной сила света которого в этом направлении точки воды. составляет 1/683 Вт/ср.

Моль (моль) — количество веще- Радиан (рад) — угол между двумя ства системы, содержащей столько же радиусами окружности, длина дуги структурных элементов, сколько ато- между которыми равна радиусу.

мов содержится в нуклиде 12С массой Стерадиан (ср) — телесный угол с 0,012 кг. вершиной в центре сферы, вырезающий Кандела (кд) — сила света в задан- на поверхности сферы площадь, равную ном направлении источника, испуска- площади квадрата со стороной, равной ющего монохроматическое излучение радиусу сферы.

ЧАСТЬ ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ Глава ЭЛЕМЕНТЫ КИНЕМАТИКИ рованной А.Эйнштейном § 1. Модели в механике.

Для описания движения микроскопиче Система отсчета. Траектория, ских тел (отдельные атомы и элементар длина пути, вектор перемещения ные частицы) законы классической ме Механика — часть физики, которая ханики неприменимы — они заменяют изучает закономерности механическо- ся законами квантовой механики.

го движения и причины, вызывающие Уравнения релятивистской механи или изменяющие это движение. Меха- ки в пределе (для скоростей, малых по ническое движение — это изменение с сравнению со скоростью света) перехо течением времени взаимного располо- дят в уравнения классической механи жения тел или их частей. ки, уравнения квантовой механики в Развитие механики как науки начи- пределе (для масс, больших по сравне нается с III в. до н.э., когда древнегре- нию с массами атомов) также перехо дят в уравнения классической механи ческий ученый Архимед (287 — 212 до ки. Это указывает на ограниченность н.э.) сформулировал закон равновесия применимости классической механи рычага и законы равновесия плавающих тел. Основные законы механики уста- ки — механики тел больших масс (по новлены итальянским физиком и астро- сравнению с массой атомов), движу номом Г. Галилеем (1564 —1642) и окон- щихся с малыми скоростями (по срав нению со скоростью света).

чательно сформулированы английским ученым И. Ньютоном (1643 — 1727).

Механика делится на три раздела:

Механика Галилея — Ньютона назы- 1) кинематику;

2) динамику;

3) статику.

вается классической механикой. В ней Кинематика изучает движение тел, изучаются законы движения макроско- не рассматривая причины, которые это пических тел, скорости которых малы по движение обусловливают.

сравнению со скоростью света с в ваку- Динамика изучает законы движе уме. Законы движения макроскопических ния тел и причины, которые вызывают тел со скоростями, сравнимыми со ско- или изменяют это движение.

ростью с, изучаются релятивистской Статика изучает законы равнове механикой, основанной на специальной сия системы тел. Если известны зако теории относительности, сформули- ны движения тел, то из них можно ус тановить и законы равновесия. Поэто и же прямой, называемой осью му законы статики отдельно от законов вращения.

динамики физика не рассматривает.

Движение тел происходит в про В механике для описания движения странстве и во времени. Поэтому для тел в зависимости от условий конкрет описания движения материальной точ ных задач используются разные физи ки надо знать, в каких местах простран ческие модели. Простейшей моделью ства и в какие моменты времени эта является материальная точка — тело, точка находилась в том или ином поло обладающее массой, размерами которо жении.

го в данной задаче можно пренебречь.

Положение материальной точки оп Материальная точка — понятие абст ределяется по отношению к какому рактное, но его введение облегчает ре либо другому, произвольно выбранно шение практических задач. Например, му телу, называемому телом отсчета.

изучая движение планет но орбитам С ним связывается система отсче вокруг Солнца, можно принять их за та — совокупность системы координат материальные точки.

и часов. В декартовой системе коорди нат, используемой наиболее часто, по Произвольное макроскопическое ложение точки А в данный момент вре тело или систему тел можно мысленно мени по отношению к этой системе ха разбить на малые взаимодействующие рактеризуется тремя координатами х, у между собой части, каждая из которых рассматривается как материальная точ- и z или радиусом-вектором проведен ка. Тогда изучение движения произ- ным из начала системы координат в вольной системы тел сводится к изуче- данную точку (рис. 1).

нию системы материальных точек.

При движении материальной точки Под воздействием тел друг на друга ее координаты с течением времени из тела могут деформироваться, т. е. изме- меняются. В общем случае ее движение нять свою форму и размеры. Поэтому в определяется скалярными уравнениями механике вводится еще одна модель — x=x(t), y=y(t),z=z{t), (1.1) абсолютно твердое тело. Абсолютно эквивалентными векторному уравнению твердым называют тело, которое ни при каких условиях не может деформи r = r(t). (1.2) роваться и при всех условиях расстоя Уравнения (1.1) и (1.2) называются ние между двумя точками (или точнее кинематическими уравнениями дви между двумя частицами) этого тела ос жения материальной точки.

тается постоянным.

Любое движение твердого тела мож но представить как комбинацию посту пательного и вращательного движений.

Поступательное движение — это дви жение, при котором любая прямая, же стко связанная с движущимся телом, остается параллельной своему первона чальному положению. Вращательное движение — это движение, при кото ром все точки тела движутся по окруж ностям, центры которых лежат на од Рис. 1 Рис. Число независимых величин, полно- Рис.З стью определяющих положение точки в пространстве, называется числом степеней свободы. Если материальная точка свободно движется в простран стве, то, как уже было сказано, она об ляется как быстрота движения, так и ладает тремя степенями свободы (коор его направление в данный момент вре динаты х, у и z);

если она движется по мени.

некоторой поверхности, то двумя сте Пусть материальная точка движет пенями свободы, если вдоль некоторой ся по какой-либо криволинейной тра линии, то одной степенью свободы.

ектории так, что в момент времени t ей Исключая t в уравнениях (1.1) и соответствует радиус-вектор (рис. 3).

(1.2), получим уравнение траектории В течение малого промежутка времени движения материальной точки. Траек At точка пройдет путь As и получит тория — линия, описываемая в про элементарное (бесконечно малое) пере странстве движущейся точкой. В зави мещение симости от формы траектории движе Вектором средней скорости (v) ние может быть прямолинейным или называется отношение приращения криволинейным.

радиуса-вектора точки к промежутку Рассмотрим движение материальной времени At:

точки вдоль произвольной траектории (рис. 2). Отсчет времени начнем с мо (2.1) мента, когда точка находилась в положе нии А. Длина участка траектории В, Направление вектора средней скоро пройденного материальной точкой с сти совпадает с направлением При момента начала отсчета времени, назы неограниченном уменьшении At сред вается длиной пути является ска няя скорость стремится к предельному лярной функцией времени: As As(t).

значению, которое называется мгно Вектор = — проведенный из на венной скоростью v:

чального положения движущейся точки в положение ее в данный момент време ни (приращение радиуса-вектора точки за рассматриваемый промежуток време Мгновенная скорость v, таким обра ни), называется перемещением.

зом, есть векторная величина, опреде При прямолинейном движении век ляемая первой производной радиуса тор перемещения совпадает с соответ вектора движущейся точки по времени.

ствующим участком траектории и мо Так как секущая в пределе совпадает с дуль перемещения равен пройден касательной, то вектор скорости v на ному пути As.

правлен по касательной к траектории в сторону движения (см. рис. 3). По мере уменьшения t длина пути все боль § 2. Скорость ше будет приближаться к поэтому модуль мгновенной скорости Для характеристики движения мате риальной точки вводится векторная величина — скорость, которой опреде § и его составляющие Таким образом, модуль мгновенной В случае неравномерного движения скорости равен первой производной важно знать, как быстро изменяется пути по времени:

скорость с течением времени. Физиче ской величиной, характеризующей бы (2.2) v = dt строту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

При неравномерном движении мо Рассмотрим плоское движение, т. е.

дуль мгновенной скорости с течением движение, при котором все участки тра времени изменяется. В данном случае ектории точки лежат в одной плоско пользуются скалярной величиной (v) — сти. Пусть вектор v задает скорость точ средней скоростью неравномерного ки А в момент времени t. За время At движения:

движущаяся точка перешла в положе ние и приобрела скорость, отличную - • At от v как по модулю, так и направлению и равную = v Av. Перенесем век Из рис. 3 вытекает, что > \Av\, так тор в точку А и найдем Av (рис. 4).

как As > \Ar\, и только в случае прямо Средним ускорением неравномер линейного движения ного движения в интервале от t до As \Ar\.

t + t называется векторная величина, равная отношению изменения скорос Если выражение ds = [см. фор ти интервалу времени At:

мулу (2.2)] проинтегрировать по време ни в пределах от t до t + At, то найдем длину пути, пройденного точкой за вре At (а) = мя At:

Мгновенным ускорением а (уско рением) материальной точки в момент (2.3) времени t будет предел среднего ускоре ния:

В случае равномерного движения числовое значение мгновенной скоро сти постоянно;

тогда выражение (2.3) примет вид Длина пути, пройденного точкой за промежуток времени от t до t, опре 1 деляется интегралом Таким образом, ускорение есть векторная величина, определяемая первой производной скорости по вре называется нормальной составляю мени.

щей ускорения и направлена по глав Разложим вектор на две составля ной нормали к траектории к центру ее ющие. Для этого из точки А (см. рис. 4) кривизны.

по направлению скорости v отложим Полное ускорение тела есть геомет вектор AD, по модулю равный Оче видно, что вектор CD, равный оп- рическая сумма тангенциальной и нор мальной составляющих (рис. 5):

ределяет изменение скорости за время по модулю: — v. Вторая же составляющая вектора характе ризует изменение скорости за время Итак, тангенциальная составляю направлению.

щая ускорения характеризует быстро Тангенциальная составляющая ту изменения модуля скорости (направ ускорения лена по касательной к траектории), а нормальная составляющая ускорения — быстроту изменения направления ско т.е. равна первой производной по вре- рости (направлена по главной норма мени от модуля скорости: она опреде- ли к центру кривизны траектории).

ляет быстроту изменения скорости по Составляющие и перпендикуляр модулю. ны друг другу.

Найдем вторую составляющую уско- В зависимости от тангенциальной и рения. Допустим, что точка В достаточ- нормальной составляющих ускорения движение можно классифицировать но близка к точке А, поэтому As можно следующим образом:

считать дугой окружности некоторого 1) 0, = О — прямолинейное радиуса мало отличающейся от хор равномерное движение;

ды В. Тогда из подобия треугольни 2) = а — const, = 0 — прямоли ков В и EAD с л е д у е т н о нейное равнопеременное движение.

так как В — то При таком виде движения В пределе при At 0 получим v.

Поскольку угол стре Если начальный момент времени мится к нулю, а так как треугольник = 0, а начальная скорость = то, EAD равнобедренный, то угол ADE между v и стремится к прямому.

Следовательно, при At 0 векторы Д Рис. и v оказываются взаимно перпендику лярными. Так как вектор скорости на правлен по касательной к траектории, то вектор перпендикулярный век тору скорости, направлен к центру ее кривизны. Составляющая ускорения получим Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного мо 6 Рис. мента времени t, найдем, что длина пути, пройденного точкой, в случае рав та, а его направление совпадает с на нопеременного движения правлением поступательного движения острия винта, головка которого враща ется в направлении движения точки по окружности, т. е. подчиняется правилу 3) = f(t), = 0 — прямолинейное правого винта (см. рис. 6). Векторы, движение с переменным ускорением;

направления которых связываются с направлением вращения, называются 4) — 0, = const. При = 0 ско псевдовекторами или аксиальными рость изменяется только по направле векторами. Эти векторы не имеют оп нию. Из формулы следует, что ределенных точек приложения: они радиус кривизны постоян могут откладываться из любой точки ным. Следовательно, движение по ок оси вращения.

ружности является равномерным;

Угловой скоростью называется век 5) = 0, 0 — равномерное кри торная величина, определяемая первой волинейное движение;

производной угла поворота тела по вре 6) = const, 0 — криволиней мени:

ное равнопеременное движение;

7) = f(t), 0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

Вектор направлен вдоль оси вра щения по правилу правого винта, т.е.

§ 4. Угловая скорость так же, как и вектор (рис. 7). Размер и угловое ускорение ность угловой скорости dim = а ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Рассмотрим твердое тело, которое Линейная скорость точки (см. рис. 6) вращается вокруг неподвижной оси.

Тогда отдельные точки этого тела бу дут описывать окружности разных ра диусов, центры которых лежат на оси вращения. Пусть некоторая точка дви т.е.

жется по окружности радиуса R (рис.

6). Ее положение через промежуток времени At задается углом В векторном виде формулу для ли Элементарные (бесконечно малые) нейной скорости можно написать как повороты можно рассматривать как векторное произведение:

векторы (они обозначаются Модуль вектора равен углу поворо- v = При этом модуль векторного про изведения, по определению, равен а направление совпадает с направлением поступательного движе ния правого винта при его вращении от G3 к R.

Если const, то вращение равно мерное и его можно характеризовать Рис.8 Рис. периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный жений вектор сонаправлен вектору G оборот, т. е. поворачивается на угол (рис. 8), при замедленном — противо Так как промежутку времени At = Т со- направлен ему (рис. 9).

ответствует откуда Тангенциальная составляющая ус корения и Число полных оборотов, совершае мых телом при равномерном его движе Нормальная составляющая ускорения нии по окружности в единицу времени, называется частотой вращения:

Таким образом, связь между линей ными (длина пути s, пройденного точ откуда кой по дуге окружности радиусом R, ли нейная скорость v, тангенциальное уско Угловым ускорением называется рение нормальное ускорение и векторная величина, определяемая пер- угловыми величинами (угол вой производной угловой скорости по угловая скорость угловое ускорение времени: выражается следующими формулами:

s — v = = = В случае равнопеременного движе ния точки но окружности = const) При вращении тела вокруг непод вижной оси вектор углового ускорения направлен вдоль оси вращения в сторо ну вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном дви где — начальная угловая скорость.

Контрольные вопросы • Что называется материальной точкой? Почему в механике вводят такую модель?

• Что такое система отсчета?

• Что такое вектор перемещения? Всегда ли модуль вектора перемещения равен отрезку пути, пройденному точкой?

• Какое движение называется поступательным? вращательным?

• Дайте определения векторов средней скорости и среднего ускорения, мгновенной ско рости и мгновенного ускорения. Каковы их направления?

• Что характеризует тангенциальная составляющая ускорения? нормальная составляю щая ускорения? Каковы их модули?

• Возможны ли движения, при которых отсутствует нормальное ускорение? тангенци альное ускорение? Приведите примеры.

• Что называется угловой скоростью? угловым ускорением? Как определяются их направ ления?

• Какова связь между линейными и угловыми величинами?

ЗАДАЧИ 1.1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = А + + + Ct2 + Dt3 (С = 0,1 м/с2, D = 0,03 м/с3). Определите: 1) время после начала движения, через которое ускорение о тела будет равно 2 м/с2;

2) среднее ускорение (а) тела за этот промежуток времени. [1) 10 с;

2) 1,1 м/с2] 1.2. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите угол, под которым тело брошено к горизонту, если максимальная высота подъема тела равна дальности его полета. [45°] 1.3. Колесо радиусом R 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением = 2At + (A = 2 рад/с2 рад/с5). Определите полное ускорение точек обода колеса через после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это [а = 8,5 м/с2;

N= 0,48] Нормальное ускорение точки, движущейся по окружности радиусом = 4 м, задает ся уравнением — А + Bt + Ct2 (А = 1 6 м/с3, 3 м/с4). Определите: 1) танген циальное ускорение точки;

2) путь, пройденный точкой за время = 5 с после начала дви жения;

3) полное ускорение для момента времени = 1 с. [1) 6 м/с2;

2) 85 м;

3) 6,32 м/с2] 1.5. Частота вращения колеса при равнозамедленпом движении за t = 1 мин уменьши лась от 300 до 180 мин"1. Определите: 1) угловое ускорение колеса;

2) число полных оборо тов, сделанных колесом за это время. [1) 0,21 рад/с2;

2) 240] 1.6. Диск радиусом R — 10 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угла поворота радиуса диска от времени задается уравнением А + Bt + Ct2 + Dt3 (В = = 1 рад/с, С = 1 рад/с2, D = 1 рад/с3). Определите для точек на ободе колеса к концу второй секунды после начала движения: 1) тангенциальное ускорение 2) нормальное ускорение 3) полное ускорение а. [1) 1,4 м/с2;

2) 28,9 м/с2;

3) 28,9 м/с2] Глава ДИНАМИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ И ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА § 5. Первый закон Ньютона. им в «Математических началах нату Масса. Сила ральной философии» (1687). Законы Ньютона играют исключительную роль В основе классической динамики в механике и являются обобщением ог (основной раздел механики) лежат три ромного числа опытных данных. Пра закона Ньютона, сформулированные вильность этих законов (для обширно го, но все же ограниченного круга яв- неодинаково изменяют скорость свое лений) подтверждается согласием с го движения, т. е., иными словами, при опытом получаемых с их помощью ре- обретают различные ускорения. Уско зультатов. рение зависит не только от величины Первый закон Ньютона: всякая ма- воздействия, но и от свойств самого териальная точка (тело) сохраняет со- тела (от его массы).

стояние покоя или равномерного пря- Масса тела — физическая величи молинейного движения до тех пор, пока на, являющаяся одной из основных ха воздействие со стороны других тел не рактеристик материи, определяющая ее заставит ее изменить это состояние. инерционные {инертная масса) и гра Стремление тела сохранять состояние витационные {гравитационная мас покоя или равномерного прямолиней- са) свойства. В настоящее время мож ного движения называется инертнос- но считать доказанным, что инертная и тью. Поэтому первый закон Ньютона гравитационная массы равны друг дру называют также законом инерции. гу (с точностью, не меньшей 10~ их Механическое движение относи- значения).

тельно, и его характер зависит от сис- Чтобы описывать воздействия, упо темы отсчета. Первый закон Ньютона минаемые в первом законе Ньютона, вво выполняется не во всякой системе от- дят понятие силы. Под действием сил счета, а те системы, по отношению к тела либо изменяют скорость движения, которым он выполняется, называются т. е. приобретают ускорения (динамиче инерциальными системами отсчета. ское проявление сил), либо деформиру Инерциальной системой отсчета явля- ются, т. е. изменяют свою форму и раз ется такая система отсчета, относитель- меры (статическое проявление сил).

но которой материальная точка, свобод В каждый момент времени сила ха ная от внешних воздействий, либо по рактеризуется числовым значением, коится, либо движется равномерно и направлением в пространстве и точкой прямолинейно. Первый закон Ньютона приложения. Итак, сила — это вектор утверждает существование инерциалъ ная величина, являющаяся мерой меха ных систем отсчета.

нического воздействия на тело со сто Опытным путем установлено, что роны других тел или полей, в результа инерциальной можно считать гелио- те которого тело приобретает ускорение центрическую (звездную) систему от- или изменяет свою форму и размеры.

счета (начало координат находится в центре Солнца, а оси проведены в на правлении определенных звезд). Сис- § 6. Второй закон Ньютона тема отсчета, связанная с Землей, стро го говоря, неинерциальна, однако эф Второй закон Ньютона — основной фекты, обусловленные ее неинерциаль- закон динамики поступательного дви ностью (Земля вращается вокруг соб- жения — отвечает на вопрос, как изме ственной оси и вокруг Солнца), при няется механическое движение матери решении многих задач пренебрежимо альной точки (тела) под действием при малы, и в этих случаях ее можно счи ложенных к ней сил.

тать инерциальной.

Если рассмотреть действие различ Из опыта известно, что при одина- ных сил на одно и то же тело, то оказы ковых воздействиях различные тела вается, что ускорение, приобретаемое вается импульсом {количеством дви телом, всегда пропорционально равно жения) этой материальной точки.

действующей приложенных сил:

Подставляя (6.6) в (6.5), получим а F (т = const). (6.1) При действии одной и той же силы (6.7) на тела с разными массами их ускорения оказываются различными, а именно Это выражение — более общая фор мулировка второго закона Ньютона:

(6.2) скорость изменения импульса матери альной точки равна действующей на нее Используя выражения (6.1) и (6.2) силе. Выражение (6.7) называется так и учитывая, что сила и ускорение — ве- же уравнением движения матери личины векторные, можем записать альной точки.

Если на тело действует несколько сил, то в формулах (6.4) и (6.7) под F (6.3) подразумевается их результирующая Соотношение (6.3) выражает вто- (векторная сумма сил).

рой закон Ньютона: ускорение, при- Единица силы в СИ — ньютон (Н):

обретаемое материальной точкой (те- 1 Н — сила, которая массе 1 кг сообща ет ускорение 1 м/с2 в направлении дей лом), пропорционально вызывающей его силе, совпадает с нею по направле- ствия силы:

нию и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

Второй закон Ньютона справедлив В СИ коэффициент пропорциональ только в инерциальных системах отсче ности к — 1. Тогда та. Казалось бы, первый закон Ньюто на входит во второй как его частный случай. В самом деле, в случае равен ства нулю равнодействующей сил (при или отсутствии воздействия на тело со сто роны других тел) ускорение [см. (6.3)] (6.4) также равно нулю. Однако первый за кон Ньютона рассматривается как са Учитывая, что масса материальной мостоятельный закон, так как именно точки (тела) в классической механике он утверждает существование инерци есть величина постоянная, в выраже альных систем отсчета, в которых толь нии (6.4) ее можно внести под знак про ко и выполняется уравнение (6.7).

изводной:

Если на материальную точку одно временно действуют несколько сил (6.5) то ее ускорение Векторная величина = (6.6) численно равная произведению массы материальной точки на ее скорость и имеющая направление скорости, назы Рис. (7.1) где — сила, действующая на первую материальную точку со стороны вто рой;

— сила, действующая на вторую материальную точку со стороны пер вой. Эти силы приложены к разным ма Следовательно, если на материаль- териальным точкам (телам), всегда дей ную точку действует одновременно не- ствуют парами и являются силами од сколько сил, то каждая из этих сил со- ной природы.

общает материальной точке ускорение Третий закон Ньютона позволяет согласно второму закону Ньютона, как осуществить переход от динамики от будто других сил не было (принцип не- дельной материальной точки к дина зависимости действия сил). мике системы материальных точек.

Это следует из того, что и для систе Силы и ускорения можно разлагать мы материальных точек взаимодей на составляющие, использование кото ствие сводится к силам парного взаи рых приводит к существенному упро модействия между материальными щению решения задач.

точками.

Например, на рис. 10 действующая сила F = та разложена на два компо- Третий закон Ньютона, как впрочем нента: тангенциальную силу (направ- и первые два, справедлив только в инер лена по касательной к траектории) и циальных системах отсчета. Отметим нормальную силу (направлена по также, что при движении со скоростя ми, сравнимыми со скоростью света, наблюдаются отступления от этого за кона. Однако в рамках классической механики он справедлив, и утверждение о его невыполнимости имеет принци пиальное значение лишь для определе ния границ применимости механики Ньютона.

§ 8. Силы трения § 7. Третий закон Ньютона Из опыта известно, что всякое тело, Взаимодействие между материаль- движущееся по горизонтальной повер ными точками (телами) определяется хности другого тела, при отсутствии третьим законом Ньютона: всякое действия на него других сил с течени действие материальных точек (тел) ем времени замедляет свое движение и друг на друга носит характер взаимо- в конце концов останавливается. Это действия;

силы, с которыми действуют можно объяснить существованием си друг на друга материальные точки, все- лы трения, которая препятствует гда равны по модулю, противополож- скольжению соприкасающихся тел от но направлены и действуют вдоль пря- носительно друг друга. Силы трения за мой, соединяющей эти точки: висят от относительных скоростей тел, Рис. разделены прослойкой вязкой жидко сти (смазки), то трение происходит в слое смазки. В таком случае говорят о гидродинамическом трении (слой смазки достаточно толстый) и гранич ном трении (толщина смазочной про слойки составляет около 0,1 мкм и ме нее).

Силы трения определяются характе ром взаимодействия между молекула в результате их действия механическая ми вещества и являются по своей при энергия всегда превращается во внут роде электромагнитными силами. Эти реннюю энергию соприкасающихся тел, силы описываются закономерностями, т. е. в энергию теплового движения ча полученными опытным путем.

стиц.

Обсудим некоторые закономернос Различают внешнее (сухое) и внут ти внешнего трения. Это трение обус реннее (жидкое или вязкое) трение. Это ловлено шероховатостью соприкасаю деление, впрочем, имеет условный ха щихся поверхностей, а в случае очень рактер. Внешним трением называется гладких поверхностей — силами меж трение, возникающее в плоскости каса молекулярного притяжения.

ния двух соприкасающихся тел при их Рассмотрим лежащее на плоскости относительном перемещении. Если со тело (рис. 11), к которому приложена прикасающиеся тела неподвижны отно горизонтальная сила F. Тело придет в сительно друг друга, говорят о трении движение лишь тогда, когда приложен покоя, если же происходит относитель ная сила F будет больше силы трения ное перемещение этих тел, то в зависи Французские физики Г.Амонтон мости от характера их относительного (1663-1705) и Ш. Кулон (1736- 1806) движения говорят о трении скольже опытным путем установили следую ния, качения или верчения.

щий закон: сила трения скольжения Внутренним трением называется пропорциональна силе N нормального трение между частями одного и того же давления, с которой одно тело действу тела, например между различными ет на другое:

слоями жидкости или газа, скорости которых меняются от слоя к слою.

В отличие от внешнего трения здесь где / — коэффициент трения сколь отсутствует трение покоя. Если тела жения, зависящий от свойств соприка скользят относительно друг друга и сающихся поверхностей.

Найдем значение коэффициента тре Рис. ния. Если тело находится на наклонной плоскости с углом наклона а (рис. 12), то оно приходит в движение только ког да тангенциальная силы тяжести Р больше силы трения Следовательно, в предельном случае (начало скольжения тела) F = или Р sin — fN = cos а, откуда где — коэффициент трения качения, имеющий размерность = r — Таким образом, коэффициент тре радиус катящегося тела.

ния равен тангенсу угла при кото Из (8.1) следует, что сила трения ка ром начинается скольжение тела по на чения обратно пропорциональна ради клонной плоскости.

усу катящегося тела.

Для гладких поверхностей опреде ленную роль начинает играть межмоле кулярное притяжение. Для них приме няется закон трения скольжения § 9. Закон сохранения импульса.

Центр масс где — истинный коэффициент тре Для вывода закона сохранения им ния скольжения;

S — площадь контак пульса рассмотрим некоторые понятия.

та между телами;

— добавочное дав Совокупность материальных точек ление, обусловленное силами межмоле (тел), рассматриваемых как единое це кулярного притяжения, которые быст лое, называется механической систе ро уменьшаются с увеличением рассто мой.

яния между частицами.

Силы взаимодействия между мате Трение играет большую роль в при риальными точками механической си роде и технике. Благодаря трению дви стемы называются внутренними.

жется транспорт, удерживается заби Силы, с которыми на материальные тый в стену гвоздь и т.д. В некоторых точки системы действуют внешние случаях силы трения оказывают вред тела, называются внешними.

ное действие и поэтому их надо умень Механическая система тел, на кото шать. Для этого на трущиеся поверхно рую не действуют внешние силы, назы сти наносят смазку (сила трения умень вается замкнутой (или изолирован шается примерно в 10 раз), которая за ной).

полняет неровности между этими по Если мы имеем механическую сис верхностями и располагается тонким тему, состоящую из многих тел, то, со слоем между ними так, что поверхнос гласно третьему закону Ньютона, силы, ти как бы перестают касаться друг дру действующие между этими телами, бу га, а скользят относительно друг друга дут равны и противоположно направ отдельные слои жидкости. Таким обра лены, т. е. геометрическая сумма внут зом, внешнее трение твердых тел заме ренних сил равна нулю.

няется значительно меньшим внутрен Рассмотрим механическую систему, ним трением жидкости.

состоящую из п тел, масса и скорость Радикальным способом уменьшения которых соответственно равны силы трения является замена трения Пусть — скольжения трением качения (шарико равнодействующие внутренних сил, вые и роликовые подшипники и т.д.).

действующих на каждое из этих тел, а Сила трения качения определяет..., — равнодействующие вне ся по закону, установленному Куло шних ном:

Запишем второй закон Ньютона для каждого из п тел механической систе (8.1) > тр мы:

Г Закон сохранения импульса спра ведлив не только в классической физи ке, хотя он и получен как следствие за конов Ньютона. Эксперименты доказы вают, что он выполняется и для замк нутых систем микрочастиц (они подчи няются законам квантовой механики).

Этот закон носит универсальный ха рактер, т.е. закон сохранения импуль Складывая почленно эти уравнения, са — фундаментальный закон природы.

получим Отметим, что, согласно (9.1), им пульс сохраняется и для незамкнутой системы, если геометрическая сумма всех внешних сил равна нулю. Также сохраняется проекция импульса на на Так как геометрическая сумма внут правление, вдоль которого равнодей ренних сил механической системы ствующая сил равна нулю.

по третьему закону Ньютона равна Закон сохранения импульса являет нулю, то ся следствием определенного свойства симметрии пространства — его однород ности. Однородность пространства заключается в том, что при параллель ном переносе в пространстве замкнутой системы тел как целого ее физические или свойства и законы движения не изме няются, иными словами, не зависят от (9.1) выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета.

Импульс системы может быть выра жен через скорость ее центра масс. Цен Таким образом, производная по вре тром масс (или центром инерции) мени от импульса механической систе системы материальных точек называет мы равна геометрической сумме вне ся воображаемая точка С, положение шних сил, действующих на систему.

которой характеризует распределение В случае отсутствия внешних сил массы этой системы. Ее радиус-вектор (рассматриваем замкнутую систему) равен где — соответственно масса и ра диус-вектор материальной точки;

Последнее выражение и является п — число материальных точек в систе законом сохранения импульса: им пульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

Скорость центра масс ния ракеты. Если в момент времени t масса ракеты т, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса умень шится на dm и станет равной т — dm, a скорость станет равной v dv. Изме нение импульса системы за отрезок вре мени dt dp=[(m — + — где — скорость истечения газов сительно ракеты.

(9.2) Тогда т.е. импульс системы равен произведе dp = + dm нию массы системы на скорость ее цен (учли, что — малый высшего по тра масс.

Подставив выражение (9.2) в урав- рядка малости по сравнению с осталь ными). Если на систему действуют вне нение (9.1), получим шние силы, то dp = Fdt, поэтому (9.3) или т.е. центр масс системы движется как материальная точка, в которой сосредо (10.1) точена масса всей системы и на кото рую действует сила, равная геометри Второе слагаемое в правой части ческой сумме всех внешних сил, прило (10.1) называют реактивной силой женных к системе. Выражение (9.3) Если противоположен v по направ представляет собой закон движения лению, то ракета ускоряется, а если со центра масс.

впадает с v, то тормозится.

В соответствии с (9.2) из закона со Таким образом, мы получили урав хранения импульса вытекает, что центр нение движения тела переменной масс замкнутой системы либо движет массы ся прямолинейно и равномерно, либо ос (10.2) тается неподвижным.

которое впервые было выведено И. Б. Ме щерским (1859-1935).

§ 10. Уравнение движения Идея применения реактивной силы тела переменной массы для создания летательных аппаратов высказывалась в 1881 г. Н.И.Кибаль Движение некоторых тел сопровож- чичем (1854 -1881). В 1903 г. К. Э. Ци дается изменением их массы, например олковский (1857—1935) опубликовал масса ракеты уменьшается вследствие статью, где предложил теорию движе истечения газов, образующихся при ния ракеты и основы теории жидко сгорании топлива, и т. п. стного реактивного двигателя, поэтому его считают основателем отечественной Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движе- космонавтики.

Применим уравнение (10.1) к дви- стартовая масса то С= Сле жению ракеты, на которую не действу- довательно, ют внешние силы. Полагая F = 0 и считая, что скорость выбрасываемых (10.3) газов относительно ракеты постоянна (ракета движется прямолинейно), по- Это соотношение называется фор лучим мулой Циолковского. Она показывает, что: 1) чем больше конечная масса ра кеты т, тем больше должна быть стар товая масса ракеты 2) чем больше скорость истечения газов, тем боль откуда ше может быть конечная масса при дан ной стартовой массе ракеты.

Выражения (10.2) и (10.3) получе Значение постоянной интегрирова- ны для нерелятивистских движений, ния С определим из начальных усло- т. е. для случаев, когда скорости v и и вий. Если в начальный момент време- малы по сравнению со скоростью с рас ни скорость ракеты равна нулю, а ее пространения света в вакууме.

Контрольные вопросы • Какая называется Почему система отсчета, связанная с Землей, • Что такое сила? Как ее можно охарактеризовать?

• Является ли первый закон Ньютона следствием второго закона Ньютона? Почему?

• В чем заключается принцип независимости действия сил?

• Какова физическая сущность трения? В чем отличие сухого трения от жидкого? Какие виды внешнего (сухого) вы знаете?

• Что называется механической системой? Какие системы являются замкнутыми? Явля ется ли Вселенная замкнутой системой? Почему?

• В чем заключается закон сохранения импульса? В каких системах он выполняется? По чему он является фундаментальным законом природы?

• Каким свойством пространства обусловливается справедливость закона сохранения им пульса?

• Что называется центром масс системы материальных точек? Как движется центр масс замкнутой системы?

ЗАДАЧИ 2.1. По наклонной плоскости с углом наклона а к горизонту, равным 30°, скользит тело.

Определите скорость тела в конце третьей секунды от начала скольжения, если коэффици ент 0,15. [10,9 м/с] 2.2. Самолет описывает петлю Нестерова радиусом 80 м. Какова должна быть наимень шая скорость самолета, чтобы летчик не оторвался от сиденья в верхней части петли?

[28 м/с] 2.3. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизон том углы а = 30° и = 45°. Гири равной массы = = 2 кг) соединены нитью, переки нутой через блок. Считая нить и блок невесомыми, принимая коэффициенты трения гирь о наклонные плоскости равными = = /= 0,1 и пренебрегая трением в блоке, определите:

1) ускорение, с которым движутся гири;

2) силу натяжения нити. [1) 0,24 м/с ;

2) 12 Н] 2.4. На железнодорожной платформе установлена безоткатная пушка, из которой про изводится выстрел вдоль полотна под углом а = 45° к горизонту. Масса платформы с пуш кой М= 20 т, масса снаряда = 10 кг, коэффициент трения между колесами платформы и рельсами /= 0,002. Определите скорость снаряда, если после выстрела платформа откати лась на расстояние = 3 м. [ = М = 970 м/с] т cos a 2.5. На катере массой т = 5 т находится водомет, выбрасывающий — 25 кг/с воды со скоростью м/с относительно катера назад. Пренебрегая сопротивлением движению катера, определите: 1) скорость катера через 3 мин после начала движения;

2) предельно возможную скорость катера. [1) Глава РАБОТА И ЭНЕРГИЯ §11. Энергия, работа, мощность которая составляет угол с направлением перемещения, то рабо Энергия — универсальная мера раз та этой силы равна произведению про личных форм движения и взаимодей екции силы на направление переме ствия. С различными формами движе щения = а), умноженной на пе ния материи связывают различные ремещение точки приложения силы:

формы энергии: механическую, тепло A = = (11.1) вую, электромагнитную, ядерную и др.

Сила может изменяться как по мо В одних явлениях форма движения ма терии не изменяется (например, горя- дулю, так и по направлению, поэтому в общем случае формулой пользо чее тело нагревает холодное), в других — ваться нельзя. Если, однако, рассмот переходит в иную форму (например, в результате трения механическое движе- реть элементарное перемещение dr, то силу F можно считать постоянной, а ние превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энер- движение точки ее приложения — пря молинейным. Элементарной работой гия, отданная (в той или иной форме) одним телом другому телу, равна энер- силы F на перемещении dr называется скалярная величина гии, полученной последним телом.

Изменение механического движе = = ния тела вызывается силами, действу ющими на него со стороны других тел.

Рис. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаи модействующими телами, в механике вводится понятие работы силы.

Если тело движется прямолинейно на него действует постоянная сила F, где а — угол между векторами F и dr;

лярно перемещению) работа силы рав = — элементарный путь;

— про- на нулю.

екция вектора F на вектор (рис. 13). Единица работы — джоуль (Дж):

Работа силы на участке траектории 1 Дж — работа, совершаемая силой 1 Н от точки 1 до точки 2 равна алгебраи- на пути 1 м (1 Дж = 1 Н • м).

ческой сумме элементарных работ на Чтобы охарактеризовать скорость отдельных бесконечно малых участках совершения работы, вводят понятие пути. Эта сумма приводится к интегралу мощности:

(11.3) За время dt сила F совершает рабо Для вычисления этого интеграла ту Fdr, и мощность, развиваемая этой надо знать зависимость силы от пути s силой, в данный момент времени вдоль траектории 1 — 2. Пусть эта зави симость представлена графически (рис.

14), тогда искомая работа А определя ется на графике площадью затониро т.е. равна скалярному произведению ванной фигуры. Если, например, тело вектора силы на вектор скорости, с ко движется прямолинейно, сила F= const торой движется точка приложения этой и а = const, то получим силы;

N — величина скалярная.

Единица мощности — ватт (Вт):

1 Вт — мощность, при которой за вре мя 1 с совершается работа 1 Дж (1 Вт = = 1 Дж/с).

где s — путь, пройденный телом [см.

также формулу (11.1)].

Из формулы (11.1) следует, что при § 12. Кинетическая и потенциальная энергии работа силы положительна, в этом случае составляющая совпадает Кинетическая энергия механиче по направлению с вектором скорости ской системы — энергия механическо движения (СМ. рис. 13). Если а > —, го движения этой системы.

Сила F, действуя на покоящееся тело то работа силы отрицательна. При и вызывая его движение, совершает ра (сила направлена перпендику боту, а энергия движущегося тела возра стает на величину затраченной работы.

Таким образом, работа dA силы F НА. пути, Рис. который тело прошло за время возраста ния скорости от 0 до v, идет на увеличе ние кинетической энергии тела, т.е.

ющими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зави сит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного по ложений. Такие поля называются по тенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от Таким образом, тело массой т, дви траектории перемещения тела из одной жущееся со скоростью v, обладает ки точки в другую, то такая сила называ нетической энергией ется диссипативной;

ее примером яв ляется сила трения.

(12.1) Тела, находясь в потенциальном поле сил, обладают потенциальной Из формулы (12.1) видно, что кине энергией П. Потенциальная энергия — тическая энергия зависит только от механическая энергия системы тел, оп массы и скорости тела, т.е. кинетиче ределяемая их взаимным расположени ская энергия системы есть функция со ем и характером сил взаимодействия стояния ее механического движения.

между ними. Работа консервативных При выводе формулы предпо сил при элементарном (бесконечно ма лагалось, что движение рассматривает лом) изменении конфигурации систе ся в инерциальной системе отсчета, так мы равна приращению потенциальной как иначе нельзя было бы использовать энергии, взятому со знаком «—» (рабо законы Ньютона. В разных инерциаль та совершается за счет убыли потенци ных системах отсчета, движущихся друг альной энергии):

относительно друга, скорость тела, а = -dII. (12.2) следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким об Работа dA выражается как скаляр разом, кинетическая энергия зависит от ное произведение силы перемеще выбора системы отсчета.

ние dr (см. § и выражение (12.2) Кинетическая энергия механиче можно записать в виде ской системы равна сумме кинетиче (12.3) ских энергий тел, входящих в систему.

Так, кинетическая энергия системы из Следовательно, если известна фун п материальных точек равна кция то из формулы (12.3) мож но найти силу F по модулю и направ лению.

Согласно формуле (12.3), потенци i=\ альная энергия где — скорость материальной точ ки массой Пусть взаимодействие тел осуществ ляется посредством силовых полей (на- где С — постоянная интегрирования, пример, поля упругих сил, поля грави- т. е. потенциальная энергия определяет тационных сил), характеризующихся ся с точностью до некоторой произволь тем, что работа, совершаемая действу- ной постоянной. Это, однако, не суще ственно, так как в физические соотно- жение (12.7) вытекает непосредствен шения входит или разность потенци- но из того, что потенциальная энергия альных энергий в двух точках, или про- равна работе силы тяжести при падении изводная функции П по координатам. тела с высоты h на поверхность Земли.

Поэтому потенциальную энергию тела Так как начало отсчета выбирается в каком-то определенном положении произвольно, то потенциальная энер условно считают равной нулю (выби- гия может иметь отрицательное значе рают нулевой уровень отсчета), а потен- ние (кинетическая энергия всегда поло циальную энергию тела в других поло- жительна!). Если принять за нуль по жениях отсчитывают относительно ну- тенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциаль левого уровня.

ная энергия тела, находящегося на дне Для консервативных сил шахты (глубина h'), П Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружи ны). Сила упругости пропорциональна или в векторном виде деформации:

(12.4) где где — проекция силы упругости на (12.5) ось к — коэффициент упругости (для пружины — жесткость), а знак (Г, j, к — единичные векторы коорди- «—» указывает на то, что направ натных осей). Вектор, определяемый лена в сторону, противоположную де выражением (12.5), называется гради- формации х.

ентом скаляра П. По третьему закону Ньютона, де Для него наряду с обозначением формирующая сила равна по модулю grad П применяется также обозначение силе упругости и направлена противо VII. V («набла») означает символиче- положно ей, т. е.

ский вектор, называемый оператором или «набла»-операто Элементарная работа совершае ром:

мая силой при бесконечно малой де формации da;

, (12.6) Конкретный вид функции П зависит а полная работа от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой га, поднятого на высоту h над поверхнос тью Земли, идет на увеличение (12.7) энергии пружины. Таким образом, по где высота h отсчитывается от нулево тенциальная энергия упругодеформи го уровня, для которого = 0. Выра рованного тела -рт (1805 — 1865) — математик и физик.

Потенциальная энергия системы является функцией состояния системы.

Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия си стемы — энергия механического дви жения и взаимодействия:

Е= Т+П, Двигаясь под действием сил, мате т. е. равна сумме кинетической и потен риальные точки системы за интервал циальной энергий.

времени совершают перемещения, соответственно равные..., Умножим каждое из уравнений скаляр § 13. Закон сохранения но на соответствующее перемещение и, механической энергии учитывая, что получим Закон сохранения энергии — резуль тат обобщения многочисленных опыт ных данных. Идея этого закона принад лежит М.В.Ломоносову (1711 — 1765), изложившему закон сохранения мате рии и движения, а количественная фор мулировка закона сохранения энергии дана немецким врачом Ю.Майером (1814 — 1878) и немецким естество испытателем Г. Гельмгольцем — 1894).

Рассмотрим систему материальных точек массами движу щихся со скоростями Пусть — равнодействующие внут Первое слагаемое левой части равен ренних консервативных сил, действу ства (13.1) ющих на каждую из этих точек, a..., равнодействующие вне шних сил, которые также будем счи тать консервативными. Кроме того, будем считать, что на материальные где d T — приращение кинетической точки действуют еще и внешние некон- энергии системы.

сервативные силы;

равнодействующие Второе слагаемое этих сил, действующих на каждую из материальных точек, обозначим но элементарной работе внутренних и..., При v с массы материальных внешних консервативных сил, взятой точек постоянны и уравнения второго со знаком «-», т.е. равно элементарно закона Ньютона для этих точек следу му приращению потенциальной энер ющие:

гии системы [см. (12.2)].

Правая часть равенства (13.1) зада- бодном падении тела в поле сил тяжес ет работу внешних неконсервативных ти его скорость и пройденный путь за сил, действующих на систему. Таким висят лишь от начальной скорости и образом, имеем продолжительности свободного паде ния тела и не зависят от того, когда тело / Л / А О \ начало падать.

а(Т+П) = (13.2) Существует еще один вид систем — При переходе системы из состоя диссипативные системы, в которых ния 1 в какое-либо состояние механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энер гии. Этот процесс получил название т.е. изменение диссипации (или рассеяния) энергии.

энергии системы при переходе из одно- Строго говоря, все системы в природе го состояния в другое равно работе, со- являются диссипативными.

вершенной при этом внешними не кон В консервативных системах полная сервативными силами. Если внешние механическая энергия остается посто не консервативные силы отсутствуют, янной. Могут происходить лишь пре то из (13.2) следует, что вращения кинетической энергии в по тенциальную и обратно в эквивалент ных количествах так, что полная энер гия остается неизменной, что и демон откуда стрируется на примере свободного па Т+П = const, (13.3) дения тела (рис. без учета сопротив ления среды. Этот закон не есть просто т. е. полная механическая энергия сис закон количественного сохранения темы сохраняется постоянной. Выраже энергии, а закон сохранения и превра ние (13.3) представляет собой закон щения энергии, выражающий и каче сохранения механической энергии: в системе тел, между которыми действу- ственную сторону взаимного превраще ют только консервативные силы, пол- ния различных форм движения друг в друга. Закон сохранения и превраще ная механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем. ния энергии — фундаментальный закон Механические системы, на тела ко- природы, он справедлив как для систем торых действуют только консерватив ные силы (внутренние и внешние), на зываются консервативными систе Закон сохранения механиче ской энергии можно сформулировать так: в консервативных системах полная механическая энергия сохраняется.

Закон сохранения механической энергии связан с однородностью време ни. Однородность времени проявляет ся в том, что физические законы инва риантны относительно выбора начала отсчета времени. Например, при сво- Рис. макроскопических тел, так и для систем микротел.

В системе, в которой действуют так же неконсервативные силы, например силы трения, полная механическая энергия системы не сохраняется. Сле довательно, в этих случаях закон сохра нения механической энергии несправед фик данной зависимости П = — лив. Однако при «исчезновении» меха прямая линия, проходящая через нача нической энергии всегда возникает эк ло координат (рис. 16), угол наклона вивалентное количество энергии друго которой к оси h тем больше, чем боль го вида. Таким образом, энергия никог ше масса тела (так как = да не исчезает и не появляется вновь, Пусть полная энергия тела равна Е она лишь превращается из одного вида (ее график — прямая, параллельная в другой. В этом и заключается физичес оси На высоте обладает потен кая сущность закона сохранения и циальной энергией П, которая опреде превращения энергии — сущность не ляется отрезком вертикали, заключен материи и ее движения.

ным между точкой h на оси абсцисс и графиком Естественно, что кине тическая энергия Гзадается ординатой § 14. Графическое между графиком и горизонтальной представление энергии прямой ЕЕ. Из рис. следует, что если h — то 0 и П — е.

Во многих задачах рассматривается потенциальная энергия становится мак одномерное движение тела, потенци- симальной и равной полной энергии.

альная энергия которого является фун Из приведенного графика можно най кцией лишь одной переменной (напри ти скорость тела на высоте мер, координаты х), т.е. П П(х). Гра фик зависимости потенциальной энер гии от некоторого аргумента называет ся потенциальной кривой. Анализ по откуда кривых позволяет опреде лить характер движения тела.

Будем рассматривать только консер Зависимость потенциальной энергии вативные системы, т. е. системы, в ко торых взаимные превращения механи- упругой деформации П = от дефор ческой энергии в другие виды отсут мации х имеет вид параболы (рис. 17), ствуют. Тогда справедлив закон сохра где график заданной полной энергии нения энергии в форме (13.3). Рассмот рим графическое представление потен Рис. циальной энергии для тела в однород ном поле тяжести и для упругодефор мированного тела.

Потенциальная энергия тела массой т, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, согласно (12.7), = mgh. Гра тела Е — прямая, параллельная оси аб- чений х, при которых Е < П, а его высо сцисс х, а значения ТиП определяют- та определяется разностью — Е.

ся так же, как на рис. 16. Из рис. сле- Для того чтобы частица смогла преодо дует, что с увеличением деформации х леть потенциальный барьер, ей необхо потенциальная энергия тела возраста- димо сообщить дополнительную энер ет, а кинетическая — уменьшается. Аб- гию, равную высоте барьера или превы сцисса определяет максимально шающую ее. В области I частица с пол возможную деформацию растяжения ной энергией «запертой» тела, а — максимально возмож- в потенциальной яме совершает ную деформацию сжатия тела. Если колебания между точками с координа тами и В точке В с координатой (см. рис.

потенциальная энергия становится 18) потенциальная энергия частицы максимальной и равной полной энер- минимальна. Так как действующая на гии.

частицу сила (см. § 12) (П — Из анализа графика на рис. 17 выте кает, что при полной энергии тела, рав- функция только одной координаты), а ной Е, тело не может сместиться вправо условие минимума потенциальной энер от и влево от так как кинети гии = 0, то в точке В F = 0. При x ческая энергия не может быть отрица смещении частицы из положения тельной и, следовательно, потенциаль (и влево, и вправо) она испытывает дей ная энергия не может быть больше пол ствие возвращающей силы, поэтому по ной энергии. В таком случае говорят, ложение является положением ус что тело находится в потенциальной тойчивого равновесия. Указанные ус яме с координатами х ловия выполняются и для точки В общем случае потенциальная кри Однако эта точка соответствует вая может иметь довольно сложный положению неустойчивого равнове вид, например с несколькими чередую сия, так как при смещении частицы из щимися максимумами и минимумами положения появляется сила, стремя (рис. 18). Проанализируем эту потенци щаяся удалить ее от этого положения.

альную кривую. Если Е— заданная пол ная энергия частицы, то частица может находиться только там, где Е, т. е.

в областях I и III.

§ 15. Удар абсолютно упругих Переходить из области I в III и обрат и неупругих тел но частица не может, так как ей препят ствует потенциальный барьер Удар (или соударение) — это стол ширина которого равна интервалу зна кновение двух или более тел, при кото ром взаимодействие длится очень ко роткое время. Помимо ударов в прямом 18 П смысле этого слова (столкновения ато мов или бильярдных шаров) сюда мож но отнести и такие, как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т.д.

Силы взаимодействия между стал кивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что вне- сматривать только центральные абсо шними силами, действующими на них, лютно упругие и абсолютно неупругие можно пренебречь. Это позволяет сис- удары.

тему тел в процессе их соударения при- Абсолютно упругий удар — столк ближенно рассматривать как замкну- новение двух тел, в результате которо тую систему и применять к ней законы го в обоих взаимодействующих телах не сохранения. остается никаких деформаций и вся ки нетическая энергия, которой обладали Тела во время удара испытывают деформацию. Сущность удара заключа- тела до удара, после удара снова превра щается в кинетическую энергию (под ется в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяю- черкнем, что это идеализированный слу щихся тел на короткое время преобра- чай).

зуется в энергию упругой деформации.

Для абсолютно упругого удара вы Во время удара имеет место перерасп- полняются закон сохранения импуль ределение энергии между соударяющи- са и закон сохранения кинетической мися телами. Наблюдения показывают, энергии.

что относительная скорость тел после Обозначим скорости шаров массами удара не достигает своего прежнего зна до удара через и после уда чения. Это объясняется тем, что нет ра — через и (рис. 19). В случае идеально упругих тел и идеально глад- прямого центрального удара векторы ких поверхностей. Отношение нор- скоростей шаров до и после удара ле мальных составляющих относительной жат на прямой линии, соединяющей их скорости тел после и до удара называ- центры. Проекции векторов скорости ется коэффициентом восстановле- на эту линию равны модулям скорос ния е:

тей. Их направления учтем знаками:

положительное значение припишем движению вправо, отрицательное — движению влево.

Если для сталкивающихся тел е О, При указанных допущениях законы то такие тела называются абсолютно сохранения имеют вид неупругими, если = 1 — абсолютно упругими. На практике для всех тел О < < 1 (например, для стальных ша ров 0,56, для шаров из слоновой ко сти 0,89, для свинца 0). Однако в некоторых случаях можно с боль- Произведя соответствующие преоб шой степенью точности рассматривать разования в выражениях (15.1) и (15.2), либо как абсолютно упругие, либо как получаем абсолютно неупругие.

Прямая, проходящая через точку соприкосновения тел и нормальная к поверхности их соприкосновения, на зывается линией удара. Удар называ ется центральным, если тела до удара движутся вдоль прямой, проходящей через их центры масс. Мы будем рас (15.3) (15.4) откуда (15.5) в) < Направление движения первого шара при ударе изменяется — Решая уравнения (15.3) и (15.5), на шар обратно. Второй шар ходим движется в ту же сторону, в которую двигался первый шар до удара, но с скоростыо, т. е. < 22);

г) m2 (например, столкнове ние шара со стеной). Из уравнений (15.8) и (15.9) следует, что Разберем несколько примеров.

1. При — О 2. При — выражения (15.6) и (15.7) будут иметь вид (15.8) т.е. шары равной массы «обменивают ся» скоростями.

(15.9) Абсолютно неупругий удар — стол кновение двух тел, в результате которого Проанализируем выражения (15.8) тела объединяются, двигаясь дальше как и (15.9) для двух шаров различных единое целое. Продемонстрировать аб масс:

солютно неупругий удар можно с помо а) = Если второй шар до уда щью шаров из пластилина (глины), дви ра висел неподвижно = 0) (рис. 20), жущихся навстречу друг другу (рис. 23).

то после удара остановится первый шар Если массы шаров и их ско = 0), а второй будет двигаться с той рости до удара и то, используя за же скоростью и в том же направлении, в котором двигался первый шар до уда- кон сохранения импульса, можно запи сать б) > Первый шар продолжа ет двигаться в том же направлении, как где v — скорость движения шаров пос и до удара, но с меньшей скоростью ле удара. Тогда < Скорость второго шара после удара больше, чем скорость первого (15.10) после удара (рис.

Если шары движутся навстречу друг другу, то они вместе будут продолжать двигаться в ту сторону, в которую дви гался шар, обладающий большим им пульсом. В частном случае, если массы шаров равны (т1 — m2), то Если ударяемое тело было первона чально неподвижно = 0), то Выясним, как изменяется кинети ческая энергия шаров при центральном абсолютно неупругом ударе. Так как в процессе соударения шаров между Когда (масса неподвижно ними действуют силы, зависящие не от го тела очень большая), то v и по самих деформаций, а от их скоростей, чти вся кинетическая энергия тела при то мы дело с силами, подобны ударе переходит в другие формы энер ми силам трения, поэтому закон сохра гии. Поэтому, например, для получения нения механической энергии не должен деформации наковальня соблюдаться. Вследствие деформации должна быть массивнее молотка. На происходит «потеря» кинетической оборот, при забивании гвоздей в стену энергии, перешедшей в тепловую или масса молотка должна быть гораздо другие формы энергии. Эту «потерю» большей тогда v прак можно определить по разности кинети тически вся энергия затрачивается на ческой энергии тел до и после удара:

возможно большее перемещение гвоз дя, а не на остаточную деформацию стены.

Абсолютно неупругий удар — при Используя (15.10), получаем мер того, как происходит «потеря» ме ханической энергии под действием дис сипативных сил.

Контрольные вопросы В чем различие между понятиями энергии и работы?

Как найти работу неременной силы?

Какую работу совершает равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равномер но движущемуся по окружности?

Что такое мощность? Выведите ее формулу.

Дайте определения и выведите формулы для известных видов механической энергии.

Какова связь между силой и потенциальной энергией?

Чем обусловлено изменение потенциальной энергии?

Необходимо ли условие замкнутости системы для выполнения закона сохранения ме ханической энергии?

В чем заключается закон сохранения механической энергии? Для каких систем он вы полняется?

В чем сущность закона сохранения и превращения энергии? Почему он яв ляется фундаментальным законом природы?

Что такое потенциальная яма? потенциальный барьер?

Какие заключения о характере движения тел можно сделать из анализа потенциальных кривых?

Как охарактеризовать положения устойчивого и неустойчивого равновесия?

Чем отличается абсолютно упругий удар от абсолютно неупругого?

Как определить скорости тел после центрального абсолютно упругого удара? Следствием каких законов являются эти выражения?

2 Курс финики ЗАДАЧИ 3.1. Определите: 1) работу поднятия груза по наклонной плоскости;

2) среднюю и 3) мак симальную мощности подъемного устройства, если масса груза 10 кг, длина наклонной плоскости 2 м, угол наклона к горизонту 45°, коэффициент трения 0,1 и время подъема 2 с.

[1) 173 Дж;

2) 86 Вт;

3) 173 Вт] 3.2. С башни высотой 35 м горизонтально камень массой 0,3 кг. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите: 1) скорость, с которой брошен камень, если через 1 с после начала его кинетическая энергия составила 60 Дж;

2) потенциальную энер гию камня через 1 с после начала движения. [1) 17,4 м/с;

2) Дж] 3.3. Пренебрегая трением, определите наименьшую высоту, с которой должна скаты ваться тележка с человеком по желобу, переходящему в петлю радиусом 10 м, чтобы она сделала полную петлю и не выпала из желоба. [25 м] 3.4. Пуля массой т = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью v = 500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной — 1 м и массой М= 5 кг и застревает в нем. Определите угол отклонения маятника.

3.5. Зависимость потенциальной энергии частицы в центральном силовом поле от рас А В стояния до центра поля задается выражением = —, где А В — положительные постоянные. Определите значение соответствующее равновесному положению частицы.

Является ли это положение положением устойчивого равновесия? — ] 3.6. При центральном абсолютно упругом ударе движущееся тело массой ударяется о покоящееся тело массой в результате чего скорость первого тела уменьшается в п = = 1,5 раза. Определите: 1) отношение 2) кинетическую энергию второго тела, если первоначальная кинетическая энергия тела = 1000 Дж. [1) 5;

2) 555 Дж] 3.7. Тело массой = 4 кг движется со скоростью = 3 м/с ударяется о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупругим, определите количество теп лоты, выделившееся при ударе. [9 Дж] Глава МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА § 16. Момент инерции чек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси:

При изучении вращения твердых тел пользуются понятием момента инер ции. Момент инерции тела — мера инертности твердых тел при вращатель- Суммирование производится по всем элементарным массам на кото ном движении. Его роль такая же, что и рые разбивается тело (рис. 24).

массы при поступательном движении.

Моментом инерции системы (тела) В случае непрерывного распределе относительно данной оси называется ния масс эта сумма сводится к интегралу физическая величина, равная сумме произведений масс п материальных то Рис. Рис. Момент инерции каждого полого где интегрирование производится по цилиндра = (так как то всему объему тела. Величина в этом считаем, что расстояние всех точек ци случае есть функция положения точки линдра от оси равно где dm — масса с координатами х, у, z. Момент инер всего элементарного цилиндра;

его ции — величина аддитивная: момент объем dr. Если р — плотность мате инерции тела относительно некоторой риала, то dm d оси равен сумме моментов инерции ча Тогда момент инерции сплошного ци стей тела относительно той же оси.

линдра В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного ци линдра высотой h и радиусом R отно сительно его геометрической оси (рис.

25). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бес- но так как — объем цилиндра, то конечно малой толщины dr с внутрен- его масса = а момент инер ним радиусом и внешним + dr. ции Таблица но твердое тело, то угловая скорость J = вращения этих объемов одинакова:

Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции от Кинетическую энергию вращающе носительно любой другой параллель гося тела найдем как сумму кинетиче ной оси определяется теоремой Штей ских энергий его элементарных объемов:

момент инерции тела J относи тельно произвольной оси равен момен ту его инерции относительно парал лельной оси, проходящей через центр масс С тела, сложенному с произведе нием массы на квадрат расстоя или ния а между осями:

Используя выражение (17.1), полу (16.1) чим В заключение приведем значения моментов инерции (табл. 1) для неко торых тел (тела считаются однородны ми, т — масса тела).

где — момент инерции тела относи тельно z.

Таким образом, кинетическая энер § 17. Кинетическая энергия гия вращающегося тела вращения (17.2) Рассмотрим абсолютно твердое тело (см. § 1), вращающееся около неподвиж ной оси z, проходящей через него. Мыс- Из сравнения формулы (17.2) с вы ленно разобьем это тело на маленькие ражением (12.1) для кинетической объемы с элементарными массами энергии тела, движущегося поступа находящиеся расстоянии тельно ( Т = ), следует, что, как..., от оси. При вращении твер уже указывалось (см. § 16), момент дого тела относительно неподвижной инерции — мера инертности тела при оси отдельные его элементарные объе мы массами опишут окружности раз- вращательном движении. Формула личных радиусов и будут иметь раз- (17.2) справедлива для тела, вращаю щегося вокруг неподвижной оси.

личные линейные скорости 26).

Но так как мы рассматриваем абсолют- В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, Рис. энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения:

Рис. где — масса катящегося тела;

— скорость центра масс тела;

момент инерции тела относительно оси, прохо через его центр масс;

-- угло вая скорость тела.

§ 18. Момент силы. Уравнение Моментом силы относительно динамики вращательного неподвижной оси z называется скаляр движения твердого тела пая величина равная проекции на эту ось вектора Л/момента силы, опре Для характеристики вращательного деленного относительно произвольной эффекта силы при действии ее на твер- точки О данной оси z (рис. 28). Значе дое тело вводят понятие момента силы.

ние момента не зависит от выбора Различают моменты силы относитель- положения точки О на оси z.

но неподвижной точки и относительно Если ось z совпадает с направлени неподвижной оси.

ем вектора М, то момент силы представ Моментом силы относительно ляется в виде вектора, совпадающего с неподвижной точки О называется фи- осью:

зическая величина М, определяемая век торным произведением радиуса-векто ра г, проведенного из точки О в точку Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 29). Пусть сила F Л приложения силы, на силу 27):

приложена в точке В, находящейся от оси z на расстоянии а — угол между где М— псевдовектор, его направление направлением силы и радиусом-векто совпадает с направлением поступатель- ром Так как тело абсолютно твердое, ного движения правого винта при его то работа этой силы равна работе, за вращении от к F. траченной на поворот всего тела. При Модуль момента силы повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения В проходит (18.1) путь — работа равна произве где а — угол между = / — дению проекции силы на направление кратчайшее расстояние между линией смещения на величину смещения:

действия силы и точкой О — плечо (18.2) силы.

Учитывая (18.1), можем записать где — момент силы относительно оси z. Таким образом, ра бота при вращении тела равна произве дению момента действующей силы на угол поворота.

Работа при вращении тела идет на Рис. 27 Рис.28 увеличение его кинетической энергии:

Рис. (18.3) материальной точки (рис. 30);

L — псев Уравнение (18.3) представляет со довектор (см. § 4), его направление со бой уравнение динамики вращатель впадает с направлением поступательно ного движения твердого тела отно го движения правого винта при его вра сительно неподвижной оси.

щении от Можно показать, что если ось z со Модуль вектора момента импульса впадает с главной осью инерции (см.

§ 20), проходящей через центр масс, то имеет место векторное равенство где а — угол между векторами и — (18.4) плечо вектора р относительно точки О.

Моментом импульса относи где J — главный момент инерции тела тельно неподвижной оси z называет (момент инерции относительно глав ся скалярная величина равная про ной екции на эту ось вектора момента им пульса, определенного относительно произвольной точки О данной оси.

§ 19. Момент импульса Момент импульса не зависит от по и закон его сохранения ложения точки О на оси z.

При вращении абсолютно твердого При сравнении законов вращатель тела вокруг неподвижной оси z каждая ного и поступательного движений про отдельная точка тела движется по ок сматривается аналогия между ними, ружности постоянного радиуса с неко только во вращательном движении вме торой скоростью Скорость и им сто силы «выступает» ее момент, а роль пульс перпендикулярны этому ради массы «выполняет» момент инерции.

усу, т. е. радиус является плечом вектора Какая же величина будет аналогом им Поэтому можем записать, что мо пульса тела? Ею является момент им мент импульса отдельной частицы равен пульса тела относительно оси.

(19.1) Моментом импульса (количества движения) материальной точки А от и направлен по оси в сторону, опреде носительно неподвижной точки О ляемую правилом правого винта.

называется физическая величина, опре Момент импульса твердого тела деляемая векторным произведением:

относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:

= = где — радиус-вектор, проведенный из точки в точку р = — импульс Используя формулу (17.1) тельно оси равна моменту сил относи тельно той же оси.

получим Можно показать, что имеет место векторное равенство (19.3) т.е.

(19.2) В замкнутой системе момент вне Таким образом, момент импульса шних сил М = 0 и — — откуда твердого тела относительно оси равен dt произведению момента инерции тела L = const. (19.4) относительно той же оси на угловую скорость.

Выражение (19.4) представляет со Продифференцируем уравнение бой закон сохранения момента им (19.2) по времени:

пульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяет ся с течением времени.

Закон сохранения момента импуль т.е.

са — фундаментальный закон природы.

Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, е.

Это выражение — еще одна форма с инвариантностью физических зако уравнения динамики вращательного нов относительно выбора направления движения твердого тела относитель- осей координат системы отсчета (отно но неподвижной оси: производная мо- сительно поворота замкнутой системы мента импульса твердого тела относи- в пространстве на любой угол).

вается. Однако существуют такие оси вращения тел, которые не изменяют своей ориентации в пространстве без действия на нее внешних сил. Эти оси называются свободными осями (или осями свободного вращения).

Можно доказать, что в любом теле существуют три взаимно перпендику лярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить сво бодными осями (они называются глав ными осями инерции тела). Например, главные оси инерции однородного пря моугольного параллелепипеда прохо дят через центры противоположных граней (рис. 32).

Продемонстрировать закон сохране- Для однородного цилиндра одной из ния момента импульса можно с помо- главных осей инерции является его гео щью скамьи Жуковского. Пусть чело- метрическая ось, а в качестве остальных век, сидящий на скамье, которая без осей могут быть две любые взаимно трения вращается вокруг вертикальной перпендикулярные оси, проведенные оси, и держащий на вытянутых руках через центр масс в плоскости, перпен гантели (рис. 31), во враще- дикулярной геометрической оси ци ние с угловой скоростью Если чело- линдра. Главными осями инерции шара век прижмет гантели к себе, то момент являются любые три взаимно перпен инерции системы уменьшится. По- дикулярные оси, проходящие через скольку момент внешних сил равен центр масс.

нулю, момент импульса системы сохра Для устойчивости вращения боль няется и угловая скорость вращения шое значение имеет, какая именно из возрастает. Аналогично, гимнаст во вре свободных осей служит осью вращения мя прыжка через голову поджимает к тела. Так, вращение вокруг главных туловищу руки и ноги, чтобы умень осей с наибольшим и наименьшим мо шить свой момент инерции и увеличить ментами инерции оказывается устойчи тем самым угловую скорость вым, а вращение около оси со средним Сопоставим основные величины и уравнения, определяющие вращение тела вокруг неподвижной оси и его по ступательное движение (табл. 2).

§ 20. Свободные оси. Гироскоп Для того чтобы сохранить положе ние оси вращения твердого тела с тече нием времени неизменным, использу ют подшипники, в которых она удержи Рис. Рис. моментом — неустойчивым. Так, если подбросить тело, имеющее форму па раллелепипеда, приведя его одновре менно во вращение, то оно, падая, бу дет устойчиво вращаться вокруг осей и 2 (см. рис. 32).

Если, например, палочку подвесить за один конец нити, а другой конец, зак репленный к шпинделю центробежной машины, привести в быстрое вращение, то палочка будет вращаться в горизон тальной плоскости около вертикальной оси, перпендикулярной оси палочки и проходящей через ее середину (рис. 33).

Так как трение в подшипниках ма Это и есть ось свободного вращения ло, то, пока гироскоп неподвижен, его (момент инерции при этом положении оси можно придать любое направление.

палочки максимальный). Если теперь Если начать гироскоп быстро вращать палочку, вращающуюся вокруг свобод- (например, с помощью намотанной на ной оси, освободить от внешних связей ось веревочки) и поворачивать его под (аккуратно снять верхний конец нити ставку, то ось гироскопа сохраняет свое с крючка шпинделя), то положение оси положение в пространстве неизменной.

вращения в пространстве в течение не- Это можно объяснить с помощью ос которого времени сохраняется.

новного закона динамики вращательно го движения.

Свойство свободных осей сохранять свое положение в пространстве широ- Для свободно вращающегося гирос ко применяется в технике. Наиболее копа сила тяжести не может изменить интересны в этом плане гироскопы — ориентацию его свободной оси, так как массивные однородные тела, вращаю- эта сила приложена к центру масс щиеся с большой угловой скоростью (центр вращения Ссовпадает с центром около своей оси симметрии, являющей- масс), а момент силы тяжести относи ся свободной осью. тельно закрепленного центра масс ра вен пулю. Моментом сил трения мы Рассмотрим одну из разновидностей также пренебрегаем. Поэтому если мо гироскопов — гироскоп на кардановом подвесе (рис. 34). Дискообразное тело —- мент внешних сил относительно его гироскоп — закреплено на оси А А, ко- закрепленного центра масс равен нулю, торая может вращаться вокруг перпен- то, как следует из уравнения (19.4), L = const, т.е. момент импульса гирос дикулярной ей оси ВВ, которая, в свою копа сохраняет свою величину и на очередь, может поворачиваться вокруг вертикальной оси DD. Все три оси пе- правление в пространстве. Следова ресекаются в одной точке С, являющей- тельно, вместе с ним сохраняет свое ся центром масс гироскопа и остающей- положение в пространстве и ось гирос копа.

ся неподвижной, а ось гироскопа может принять любое направление в про- Чтобы ось гироскопа изменила свое странстве. Силами трения в подшипни- направление в пространстве, необходи ках всех трех осей и моментом импуль- мо, согласно (19.3), отличие от нуля са колец пренебрегаем.

момента внешних сил. Если момент Рис. следует прикладывать силы в течение длительного времени.

Если ось гироскопа закреплена под шипниками, то вследствие гироскопи ческого эффекта возникают так назы ваемые гироскопические силы, дей ствующие на опоры, в которых враща ется ось гироскопа. Их действие необ ходимо учитывать при конструирова нии устройств, содержащих быстровра щающиеся массивные составные части.

Гироскопические силы имеют смысл только во вращающейся системе отсче та и являются частным случаем корио лисовой силы инерции (см. § 27).

внешних сил, приложенных к вращаю Гироскопы применяются в различ щемуся гироскопу, относительно его ных гироскопических навигационных центра масс отличен от нуля, то наблю приборах (гирокомпас, гирогоризонт и дается явление, получившее название т. д.). Другое важное применение гирос гироскопического эффекта. Оно со копов — поддержание заданного на стоит в том, что под действием пары сил правления движения транспортных F, приложенной к оси вращающегося средств, например судна (авторулевой) гироскопа, ось гироскопа (рис. 35) и самолета (автопилот) и т. д. При вся поворачивается вокруг прямой а ком отклонении от курса вследствие ка не вокруг прямой как это казалось ких-то воздействий (волны, порыва бы естественным на первый взгляд ( ветра и т.д.) положение оси гироскопа лежат в плоскости чертежа, а в пространстве сохраняется. Следова силы F перпендикулярны ей).

тельно, ось гироскопа вместе с рамами Гироскопический эффект объясня карданова подвеса поворачивается от ется следующим образом. Момент М носительно движущегося устройства.

пары сил F направлен вдоль прямой Поворот рам карданова подвеса с помо За время dt момент импульса L щью определенных приспособлений получит приращение dL — включает рули управления, которые = (направление совпадает с на возвращают движение к заданному правлением М) и станет равным L' = курсу.

= L + Направление вектора L' со впадает с новым направлением оси вра- Впервые гироскоп применен фран щения гироскопа. Таким образом, ось цузским физиком Ж.Фуко (1819 — вращения гироскопа повернется вокруг 1868) для доказательства вращения прямой Если время действия Земли.

силы мало, то, хотя момент сил М и ве лик, изменение момента импульса dL гироскопа будет также весьма малым.

§ 21. Деформации твердого тела Поэтому кратковременное действие сил практически не приводит к измене Рассматривая механику твердого нию ориентации оси вращения гирос тела, мы пользовались понятием абсо копа в пространстве. Для ее изменения лютно твердого тела. Однако в приро Рис. де абсолютно твердых тел нет, так как все реальные тела под действием сил из меняют свою форму и размеры, т.е. де формируются.

Деформация называется упругой, если после прекращения действия вне шних сил тело принимает первоначаль ные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после пре кращения действия внешних сил, назы ваются пластическими (или оста- ной к поверхности — тангенциаль ным.

точными). Деформации реального тела всегда пластические, так как они Количественной мерой, характери зующей степень деформации, испыты после прекращения действия внешних ваемой телом, является его относи сил никогда полностью не исчезают.

Однако если остаточные деформации тельная деформация. Так, относи малы, то ими можно пренебречь и рас- тельное изменение длины стержня (продольная деформация) сматривать упругие деформации, что мы и будем делать.

(21.2) В теории упругости доказывается, что все виды деформаций (растяжение или сжатие, сдвиг, изгиб, кручение) относительное поперечное растяжение могут быть сведены к одновременно (сжатие) происходящим деформациям растяже ния или сжатия и сдвига.

Рассмотрим однородный стержень длиной и площадью поперечного се- где d — диаметр стержня.

чения S (рис. 36), к концам которого Деформации и всегда имеют раз приложены направленные вдоль его ные знаки (при растяжении А/ положи оси силы и = — F), в ре- тельно, a отрицательно, при сжатии зультате чего длина стержня меняется отрицательно, а положительно).

на величину А/. Естественно, что при Из опыта вытекает взаимосвязь е и растяжении положительно, а при сжатии отрицательно.

где — положительный коэффициент, При деформации тела возникают зависящий от свойств материала и на силы упругости. Физическая величина, зываемый коэффициентом Пуассона1.

определяемая модулем силы упругос Английский физик Р.Гук (1635 — ти, действующей на единицу площади 1703) экспериментально установил, что поперечного сечения тела, называется для малых деформаций относительное напряжением:

удлинение е и напряжение а пропорци ональны друг другу:

(21.1) (21.3) Если сила направлена по нормали к поверхности, напряжение называет С.Пуассон (1781 — 1840) — французский ся нормальным, если же по касатель- ученый.

где Е — коэффициент пропорциональ Рис. ности, называемый модулем Юнга1.

Из выражения (21.3) видно, что мо дуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлине ние, равное единице.

Из формул (21.2), (21.3) и (21.1) вытекает, что ется заметная остаточная деформация или 0,2 %), называется пределом теку чести — точка С на кривой. В об ласти CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т.е. тело как где к — коэффициент упругости.

бы «течет». Эта область называется об Выражение (21.4) также определя ластью текучести (или областью ет закон Гука, согласно которому удли пластических деформаций).

нение стержня при упругой деформа Материалы, для которых область ции пропорционально действующей на текучести значительна, называются стержень силе.

вязкими, для которых же она практи Деформации твердых тел подчиня чески отсутствует — хрупкими. При ются закону Гука до известного преде дальнейшем растяжении (за точку D) ла. Связь между деформацией и напря происходит разрушение тела. Макси жением представляется в виде диаграм мальное напряжение, возникающее в мы напряжений, качественный ход ко теле до разрушения, называется преде торой мы рассмотрим для металличес лом прочности кого образца (рис. 37). Из рисунка вид но, что линейная зависимость ус- Диаграмма напряжений для реальных твердых тел зависит от различных фак тановленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так называе- торов. Одно и то же твердое тело может при кратковременном действии сил про мого предела пропорциональности являть себя как хрупкое, а при длитель (ст,,). При дальнейшем увеличении ных, но слабых силах является текучим.

пряжения деформация еще упругая (хотя зависимость ст(е) уже нелинейна) Вычислим потенциальную энергию и до предела упругости остаточ- упругорастянутого (сжатого) стержня, ные деформации не возникают. которая равна работе, совершаемой вне шними силами при деформации:

За пределом упругости в теле возни кают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в пер воначальное состояние после прекра щения действия силы, изобразится не где х — абсолютное удлинение стерж кривой ВО, а параллельной ня, изменяющееся в процессе деформа Напряжение, при котором ции от 0 до Л/. Согласно закону Гука (21.4), поэтому Т. — — ученый.

Рис. т. е. потенциальная энергия упругорас тянутого стержня пропорциональна квадрату деформации Деформацию сдвига проще всего осуществить, если взять брусок, име ющий форму прямоугольного парал лелепипеда, и приложить к нему силу (рис. 38), касательную к его поверх ности (нижняя часть бруска закрепле- где As — абсолютный сдвиг параллель на неподвижно). Относительная де- ных слоев тела относительно друг дру формация сдвига определяется из фор- га;

h — расстояние между слоями (для мулы малых углов Контрольные вопросы Что такое момент инерции тела?

Какова роль момента инерции во движении?

Выведите формулу для момента инерции обруча.

Сформулируйте и поясните теорему Штейнера.

Какова формула для кинетической энергии тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, и как ее вывести?

Что называется силы относительно неподвижной точки? относительно не подвижной оси? Как определяется направление момента силы?

Выведите и сформулируйте уравнение динамики вращательного движения твердого тела.

Что такое момент импульса материальной точки? твердого тела? Как определяется на правление вектора момента импульса?

В чем заключается физическая сущность закона сохранения момента импульса? В ка ких системах он выполняется? Приведите примеры.

Каким свойством симметрии пространства обусловливается справедливость закона со хранения момента импульса? Сопоставьте основные уравнения динамики поступатель ного и вращательного движений, прокомментировав их аналогию.

Что такое оси (главные оси инерции)? Какие из них являются устойчивыми?

Что такое гироскоп? Каковы его основные свойства?

Сформулируйте закон Гука. Когда он справедлив?

Дайте объяснение диаграммы напряжений такое пределы пропорциональнос ти, упругости и прочности?

Каков физический смысл модуля Юнга?

ЗАДАЧИ 4.1. С одного уровня наклонной плоскости одновременно начинают скатываться без скольжения сплошные цилиндр и шар одинаковых масс и одинаковых радиусов. Опреде лите: 1) отношение скоростей цилиндра и шара на данном уровне;

2) отношение скоростей в данный момент времени. [1) 14/15;

2) 4.2. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F= 100 Н. При вращении диска па него действует момент сил трения М= = 2 Н • м. Определите массу т диска, если известно, что его угловое ускорение Е ПОСТОЯННО и равно 12 рад/с2. [32 кг] 4.3. Через неподвижный блок в виде однородного сплошного цилиндра массой т = 1 кг перекинута невесомая нить, к концам которой прикреплены тела массами = 1 кг и — — 2 кг. Пренебрегая трением в оси блока, определите: 1) ускорение грузов;

2) отношения сил натяжения нити. [1) 2,8 м/с2;

2) 1,11] 4.4. Скорость вращения колеса, момент инерции которого 2 м2, вращающегося при торможении равнозамедленно, за время t = 1 мин уменьшилась от = 300 до = = 180 мин"1. Определите: 1) угловое ускорение г колеса;

2) момент М силы торможения;

3) работу силы торможения. [1) 0,21 рад/с2;

2) 0,42 Н • м;

3) 630 Дж] 4.5. Человек массой т — 80 кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой М= 100 кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой п1 = 10 мин"1, переходит к ее центру. Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определите, с какой частотой будет тогда вращаться плат форма. [26 мин-1] 4.6. Определите относительное удлинение алюминиевого стержня, если при его растя жении затрачена работа 62,1 Дж. Длина стержня 2 м, площадь поперечного сечения 1 мм2, модуль Юнга для алюминия Е = 69 ГПа. = 0,03 ] Глава ТЯГОТЕНИЕ. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ § 22. Законы Кеплера. Закон звание птолемеевой геоцентрической всемирного тяготения системы мира.

В начале XVI в. польским астроно Еще в глубокой древности было за мом Н.Коперником (1473 — 1543) обо мечено, что в отличие от звезд, которые снована гелиоцентрическая система неизменно сохраняют свое взаимное (см. § 5), согласно которой движения расположение в пространстве в течение небесных тел объясняются движением столетий, планеты описывают среди Земли (а также других планет) вокруг звезд сложнейшие траектории. Для Солнца и суточным вращением Земли.

объяснения петлеобразного движения Теория и наблюдения Коперника вос планет древнегреческий ученый К. Пто принимались как занимательная фан лемей (II в. н.э.), считая Землю распо тазия.

ложенной в центре Вселенной, предпо К началу XVII столетия большин ложил, что каждая из планет движется ство ученых, однако, убедилось в спра по малому кругу (эпициклу), центр ко ведливости гелиоцентрической систе торого равномерно движется по боль мы мира. И. Кеплер (немецкий ученый, шому кругу, в центре которого находит 1571 — 1630), обработав и уточнив ре ся Земля. Эта концепция получила на зультаты многочисленных наблюдений датского астронома Т. Браге (1546 — тыми элементами, а затем геометриче 1601), эмпирически установил законы ски их сложить (проинтегрировать), движения планет:

что является довольно сложной мате 1. Каждая планета движется по эл- матической задачей.

липсу, в одном из фокусов которого на- Впервые экспериментальное доказа ходится Солнце.

тельство закона всемирного тяготения 2. Радиус-вектор планеты за равные для земных тел, а также числовое опре промежутки времени описывает одина- деление гравитационной постоянной G ковые площади.

проведено английским физиком Г. Ка 3. Квадраты периодов обращения вендишем (1731-1810).

планет вокруг Солнца относятся как Принципиальная схема опыта Ка кубы больших полуосей их орбит. вендиша, применившего крутильные Впоследствии И.Ньютон, изучая весы, представлена на рис. 39. Легкое движение небесных тел, на основании коромысло А с двумя одинаковыми законов Кеплера и основных законов шариками массой т = 729 г подвешено динамики установил закон всемирно- на упругой нити В. На коромысле С го тяготения: между любыми двумя укреплены на той же высоте массивные материальными точками действует шары массой М = 158 кг. Поворачивая сила взаимного притяжения, прямо коромысло С вокруг вертикальной оси, пропорциональная произведению масс можно изменять расстояние между ша этих точек и и обратно пропор- рами с массами т и М. Под действием циональная квадрату расстояния меж- пары сил, приложенных к шарикам т ду ними (r2): со стороны шаров М, коромысло А по ворачивается в горизонтальной плоско сти, закручивая нить В до тех пор, пока (22.1) момент сил упругости не уравновесит момент сил тяготения. Зная упругие Эта сила называется гравитацион свойства нити, по измеренному углу ной (или силой всемирного тяготе поворота можно найти возникающие ния). Силы тяготения всегда являются силы притяжения, а так как массы ша силами притяжения и направлены вдоль ров известны, то и вычислить значе прямой, проходящей через взаимодей ние G.

ствующие тела. Коэффициент пропор циональности G называется гравита- Значение G— фундаментальная фи ционной постоянной.

зическая постоянная, принимаемая Закон всемирного тяготения спра- равной 6,6720 • Н • т.е. два ведлив лишь для тел, которые можно точечных тела массой по 1 кг каждое, считать материальными точками, т.е. находящиеся на расстоянии 1 м друг для таких тел, размеры которых малы от друга, притягиваются с силой по сравнению с расстоянием между ними. Для вычисления силы взаимо Рис. действия между протяженными (не то чечными) телами их следует «разбить» на элементарные массы, чтобы их мож но было считать материальными точка ми, подсчитать по формуле (22.1) силы притяжения между всеми попарно взя • 10 H. Очень малая величина где М — масса Земли;

R — расстояние что сила гравитационно- между телом и центром Земли.

го взаимодействия может быть значи- Эта формула дана для случая, когда тельной только в случае больших масс. тело находится на поверхности Земли.

Если тело расположено на высоте h от поверхности Земли, R — радиус o § 23. Сила тяжести и вес. Земли, тогда Невесомость Вблизи поверхности Земли все тела падают с одинаковым ускорением, ко т. е. сила тяжести с удалением от поверх торое получило название ускорения ности Земли уменьшается.

свободного падения д. Таким образом, Весом тела называют силу, с кото в системе отсчета, связанной с Землей, рой тело действует на опору (или под на всякое тело массой т действует вес) вследствие гравитационного при сила тяжения к Земле. Вес тела проявляет Р = тд, ся только в том случае, если тело дви жется с ускорением, отличным от д, т. е.

называемая силой тяжести.

когда на тело кроме силы тяжести дей Согласно фундаментальному физи ствуют другие силы. Состояние тела, ческому закону — обобщенному зако при котором оно движется только под ну Галилея, все тела в одном и том же действием силы тяжести, называется поле тяготения падают с одинаковым состоянием невесомости.

ускорением. Следовательно, в данном Таким образом, сила тяжести дей месте Земли ускорение свободного па ствует всегда, а вес проявляется толь дения одинаково для всех тел. Оно из ко в том случае, когда на тело кроме силы меняется вблизи Земли с 2 тяжести действуют еще другие силы, в пределах от 9,780 м/с на эк 2 вследствие чего тело движется с уско ваторе до 9,832 м/с на полюсах. Это рением отличным от Если тело дви обусловлено суточным вращением Зем жется в ноле тяготения Земли с уско ли вокруг своей оси, с одной стороны, рением а д, то к этому телу приложе и сплюснутостью Земли — с другой (эк на дополнительная сила N, удовлетво ваториальный и полярный радиусы ряющая условию Земли равны соответственно 6378 и 6357 км). Так как различие значений д невелико, то ускорение свободного па Тогда вес тела дения, которое используется при реше нии практических задач, принимается равным 9,81 м/с.

т.е. если тело покоится или движется Если пренебречь суточным враще прямолинейно и равномерно, то = нием Земли вокруг своей оси, то сила — тд. Если тело свободно движет тяжести и сила гравитационного тяго ся в поле тяготения по любой траекто тения равны между собой:

рии и в любом направлении, то а = g и р' = т. е. тело будет невесомым. На пример, невесомыми являются тела, на Рис. ходящиеся в космических кораблях, свободно движущихся в космосе.

§ 24. Поле тяготения и его напряженность Для графического изображения си Закон тяготения Ньютона (22.1) оп лового поля используются силовые ли ределяет зависимость силы тяготения нии (линии напряженности). Силовые от масс взаимодействующих тел и рас линии выбираются так, что вектор на стояния между ними, но не показыва пряженности поля направлен по каса ет, как осуществляется это взаимодей тельной к силовой линии.

ствие. Тяготение принадлежит к особой группе взаимодействий. Силы тяготе ния не зависят от того, в какой среде § 25. Работа в поле тяготения.

находятся взаимодействующие тела.

Тяготение существует и в вакууме.

Потенциал поля тяготения Гравитационное взаимодействие между телами осуществляется с помо Определим работу, совершаемую щью поля тяготения, или гравитаци силами поля тяготения при перемеще онного поля. Это поле порождается те нии в нем материальной точки мас лами и является формой существова сой т. Вычислим, например, какую ния материи. Основное свойство поля надо совершить работу для удаления тяготения заключается в том, что на тела массой m от Земли. На расстоянии всякое тело массой т, внесенное в это R (рис. 41) на данное тело действует поле, действует сила тяготения, т.е.

сила (24.1) Вектор д не зависит от т называ ется напряженностью поля тяготения.

где М— масса Земли.

Напряженность поля тяготения оп При перемещении этого тела на рас ределяется силой, действующей со сто стояние совершается работа роны поля на материальную точку еди ничной массы, и совпадает по направ лению с действующей силой. Напря- (25.1) женность есть силовая характеристи ка поля тяготения.

Знак «—» появляется потому, что Поле тяготения называется одно- сила и перемещение в данном случае родным, если его напряженность во противоположны по направлению (см.

всех точках одинакова, и централь рис. 41).

ным, во всех точках тюля векторы напряженности направлены вдоль пря Рис. мых, которые пересекаются в одной точке неподвижной по отношению к какой-либо инерциалыюй системе отсчета (рис. 40).

Если тело перемещать с расстояния тенциалом. Потенциал поля тяготе до то работа ния ф — скалярная величина, опреде ляемая потенциальной энергией тела единичной массы в данной точке поля или работой по перемещению единич ной массы из данной точки поля в бес конечность. Таким образом, потенциал (25.2) поля тяготения, создаваемого телом массой Из формулы (25.2) вытекает, что работа в поле тяготения не зависит от (25.4) траектории перемещения, а определя ется лишь начальным и конечным по где R — расстояние от этого тела до рас ложениями тела, т.е. силы тяготения сматриваемой точки.

действительно консервативны, а поле Из формулы (25.4) вытекает, что гео тяготения является потенциальным метрическое место точек с одинаковым (см. § 12).

потенциалом образует сферическую по Согласно формуле (12.2), работа, верхность (R = const). Поверхности, совершаемая консервативными силами, для которых потенциал постоянен, на равна изменению потенциальной энер зываются эквипотенциальными.

гии системы, взятому со знаком « —», Рассмотрим взаимосвязь между по т.е.

тенциалом поля тяготения PI его напряженностью (д). Из выражений (25.1) и (25.4) следует, что элементар Из формулы (25.2) получим ная работа совершаемая силами поля при малом перемещении тела мас сой т, Так как в формулы входит только разность потенциальных энергий в двух С другой стороны, состояниях, то для удобства принимают элементарное перемещение). Учитывая потенциальную энергию при (24. 1), равной нулю Тогда (25.3) запишется в виде П =. Так как первая точка была выбрана произ вольно, то Величина характеризует изме нение потенциала на единицу длины в направлении перемещения в поле тяго тения. Можно показать, что Величина (25.5) является энергетической характерис тикой поля тяготения и называется по- диент скаляра [см. (12.5)]. Знак «—» в формуле (25.5) показывает, что век тор напряженности д направлен в сто рону убывания потенциала.

Если спутник движется вблизи по В качестве частного примера, исхо верхности Земли, то (радиус дя из представлений теории тяготения, рассмотрим потенциальную энергию Земли) и д — [см. (25.6)], поэтому тела, находящегося на высоте h относи у поверхности Земли тельно Земли:

Первой космической скорости недо статочно для того чтобы тело могло где R — радиус Земли.

выйти из сферы земного притяжения.

o Так как Необходимая для этого скорость назы вается второй космической. Второй космической (или параболической) скоростью называют ту наимень шую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть при тяжение Земли и превратиться в спут ник Солнца, т. е. чтобы его орбита в поле тяготения Земли стала параболической.

Таким образом, мы вывели форму Для того чтобы тело (при отсутствии лу, совпадающую с (12.7), которая по сопротивления среды) могло преодо стулировалась раньше.

леть земное притяжение и уйти в кос мическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совершаемой против сил § 26. Космические скорости тяготения:

Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им опре деленные начальные скорости, называ емые космическими.

Первой космической (или круго вой) скоростью называют такую ми Третьей космической скоростью нимальную скорость, которую надо со называют скорость, которую необходи общить телу, чтобы оно могло двигать мо сообщить телу на Земле, чтобы оно ся вокруг Земли по круговой орбите, покинуло пределы Солнечной системы, т.е. превратиться в искусственный преодолев притяжение Солнца. Третья спутник Земли. На спутник, движу космическая скорость = 16,7 км/с.

щийся по круговой орбите радиусом г, Сообщение телам таких больших на действует сила тяготения Земли, сооб чальных скоростей является сложной щающая ему нормальное ускорение —.

технической задачей. Ее первое теоре По второму закону Ньютона, тическое осмысление начато К. Э. Ци олковским, им была выведена уже рас- Так как F = та (а — ускорение тела в смотренная нами формула (10.3), по- инерциальной системе отсчета), то зволяющая рассчитывать скорость ра кет.

Впервые космические скорости бы Силы инерции обусловлены уско ли достигнуты в СССР: первая — при ренным движением системы отсчета запуске первого искусственного спут относительно измеряемой системы, по ника Земли в 1957 г., вторая — при за этому в общем случае нужно учитывать пуске ракеты в 1959 г. После историче следующие случаи проявления этих ского полета Ю.А.Гагарина в 1961 г.

сил: 1) силы инерции при ускоренном начинается бурное развитие космонав поступательном движении системы от тики.

счета;

2) силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета;

3) силы инерции, дей ствующие на тело, движущееся во вра § 27. Неинерциальные системы щающейся системе отсчета.

отсчета. Силы инерции Рассмотрим эти случаи.

Как уже отмечалось (см. § 5, 6), за 1. Силы инерции при ускоренном посту коны Ньютона выполняются только в пательном движении системы отсчета.

инерциальных системах отсчета. Сис- Пусть на тележке к штативу на нити подве темы отсчета, движущиеся относи- шен шарик массой т (рис. 42). Пока тележ тельно инерциальной системы с уско- ка покоится или движется равномерно и прямолинейно, нить, удерживающая шарик, рением, называются неинерциалъны занимает вертикальное положение и сила ми. В неинерциальных системах зако тяжести Р уравновешивается силой реакции ны Ньютона, вообще говоря, уже не нити справедливы. Однако законы динами Если тележку привести в поступатель ки можно применять и для них, если ное движение с ускорением то нить нач кроме сил, обусловленных воздействи нет отклоняться от вертикали назад до та ем тел друг на друга, ввести в рассмот- кого угла а, пока результирующая сила = рение силы особого рода — так называ- — Р + не обеспечит ускорение шарика, равное Таким образом, результирующая емые силы инерции.

сила направлена в сторону ускорения те Если учесть силы инерции, то вто лежки для установившегося движения рой закон Ньютона будет справедлив шарика (шарик теперь движется вместе с те для любой системы отсчета: произведе лежкой с ускорением равна F= = ние массы тела на ускорение в рассмат — откуда риваемой системе отсчета равно сумме всех сил, действующих на данное тело (включая и силы инерции). Силы инер ции при этом должны быть такими, т. е. угол отклонения нити от вертикали тем чтобы вместе с силами F, обусловлен больше, чем больше ускорение тележки.

ными воздействием тел друг на друга, Относительно системы отсчета, связан они сообщали телу ускорение каким ной с ускоренно движущейся тележкой, оно обладает в неинерциальных систе- шарик покоится, что возможно, если сила F мах отсчета, т. е. уравновешивается равной и противополож но направленной ей силой которая яв (27.1) ляется не чем иным, как силой инерции, так окружности радиусом 7?. (расстояние от цен Рис. тра вращающегося шарика до оси враще ния). Следовательно, на пего действует сила, равная F= направленная пер пендикулярно оси вращения диска. Она яв ляется равнодействующей силы тяжести Р и силы натяжения нити F Р + Ког да движение шарика установится, то откуда как на шарик никакие другие силы не дей ствуют. Таким образом, т.е. углы отклонения нитей маятников бу (27.2) дут тем больше, чем больше расстояние R Проявление сил инерции при поступа от центра шарика до оси вращения диска и тельном движении наблюдается в повсе чем больше угловая скорость вращения дневных явлениях. Например, когда поезд Относительно системы связан набирает скорость, то пассажир, сидящий по ной с вращающимся диском, покоит ходу поезда, под действием силы инерции ся, что возможно, если сила уравновеши прижимается к спинке сиденья. Наоборот, вается равной и противоположно направ при торможении поезда сила инерции на ленной ей силой которая является не чем правлена в противоположную сторону и иным, как силой инерции, так как па шарик пассажир удаляется от спинки сиденья. Осо никакие другие силы не действуют. Сила бенно эти силы заметны при внезапном тор называемая центробежной силой инерции, можении поезда. Силы инерции проявляют направлена по горизонтали от оси вращения ся в перегрузках, которые возникают при диска и равна запуске и торможении космических кораб (27.3) 2. Силы инерции, действующие на тело, Действию центробежных сил инерции покоящееся во вращающейся системе от подвергаются, например, пассажиры в дви счета. Пусть диск равномерно вращается с жущемся транспорте на поворотах, летчи угловой скоростью const) вокруг вер ки при выполнении фигур высшего пилота тикальной оси, проходящей через его центр.

жа;

центробежные силы инерции использу На диске, на разных расстояниях от оси вра ются во всех центробежных механизмах:

щения, установлены маятники (на нитях насосах, сепараторах и т. д., где они достига подвешены шарики массой га). При враще ют огромных значений. При проектирова нии маятников вместе с диском шарики от нии быстро вращающихся деталей машин клоняются от вертикали на некоторый угол (роторов, винтов самолетов и т.д.) принима (рис. 43).

ются специальные меры для уравновешива В инерциальной системе отсчета, связан ния центробежных сил инерции.

ной, например, с помещением, где установ Из формулы (27.3) вытекает, что центро лен диск, шарик равномерно вращается по бежная сила инерции, действующая на тела во вращающихся системах отсчета в направ лении радиуса от оси вращения, зависит от угловой скорости вращения системы отсче та и радиуса R, но не зависит от скорости тел относительно вращающихся систем отсчета.

Следовательно, центробежная сила инерции действует во вращающихся системах отсче та на все тела, удаленные от оси вращения па Рис. 43 конечное расстояние, независимо от того, по Рис. Рис. коятся ли они в этой системе (как мы пред полагали до сих пор) или движутся относи тельно нее с какой-то скоростью.

Сила Кориолиса действует только на 3. Силы инерции, действующие на тело, тела, движущиеся относительно вращаю движущееся во вращающейся системе от щейся системы отсчета, например относи счета. Пусть шарик массой га движется с тельно Земли. Поэтому действием этих сил постоянной скоростью v' вдоль радиуса рав объясняется ряд наблюдаемых на Земле яв номерно вращающегося диска = const, лений. Так, если тело движется в Северном из = const, v' JL из). ЕСЛИ ДИСК не вращается, полушарии на север (рис. 45), то действу то шарик, направленный вдоль радиуса, дви ющая на него сила Кориолиса, как это сле жется по радиальной прямой и попадает в дует из выражения (27.4), будет направле точку А, если же диск привести во враще на вправо по отношению к направлению ние в направлении, указанном стрелкой, то движения, т. е. тело несколько отклонится шарик катится кривой ОВ (рис. 44, а), на восток. Если тело движется на юг, то причем его скорость v' относительно диска сила Кориолиса также действует вправо, изменяет свое направление. Это возможно если смотреть по направлению движения, лишь тогда, если на шарик действует сила, т.е. тело отклонится на запад. Поэтому в перпендикулярная скорости Северном полушарии наблюдается более Для того чтобы заставить шарик катить сильное подмывание правых берегов рек;

ся по вращающемуся диску вдоль радиуса, правые рельсы железнодорожных путей по используем жестко укрепленный вдоль ра движению изнашиваются быстрее, чем ле диуса диска стержень, на котором шарик вые, и т.д. Аналогично можно показать, что движется без трения равномерно и прямо в Южном полушарии сила Кориолиса, дей линейно со скоростью v' (рис. 44, б). При от ствующая на движущиеся тела, будет на клонении шарика действует на правлена влево по отношению к направле него с некоторой силой F. Относительно нию движения.

диска (вращающейся системы отсчета) ша Благодаря силе Кориолиса падающие на рик движется равномерно и поверхность Земли тела отклоняются к во что можно объяснить тем, что сила F урав стоку (на широте 60° это отклонение долж к шарику си но составлять 1 см при падении с высоты лой инерции перпендикулярной скоро 100 м). С силой Кориолиса связано поведе сти v'. Эта сила называется ние маятника Фуко, явившееся в свое вре силой инерции.

мя одним из доказательств вращения Зем Можно показать, что сила Кориолиса ли. Если бы этой силы не было, то плоскость колебаний качающегося вблизи поверхнос (27.4) ти Земли маятника оставалась бы неизмен Вектор перпендикулярен векторам ной (относительно Земли). Действие же сил скорости v' тела и угловой скорости враще Кориолиса приводит к вращению плоскости ния системы отсчета в соответствии с пра колебаний вокруг вертикального направле вилом правого винта.

ния.

Раскрывая содержание в форму Г.Кориолис (1792— 1843) — французский физик и инженер. ле (27.1), получим основной закон ди намики для неинерциальных систем осуществляются посредством силовых по лей, то силы инерции рассматриваются как отсчета:

воздействия, которым подвергаются тела со стороны каких-то реальных силовых полей, и тогда их можно считать «реальными».

где силы инерции задаются формулами Независимо от того, рассматриваются ли (27.2)-(27.4).

силы инерции в качестве «фиктивных» или Обратим еще раз внимание на то, что «реальных», многие явления, о которых упо силы инерции вызываются не взаимо миналось в настоящем параграфе, объясня действием тел, а ускоренным движени ются с помощью сил инерции.

ем системы отсчета. Поэтому они не Силы инерции, действующие на тела в подчиняются третьему закону Ньюто- иеинерциалыюй системе отсчета, пропорци ональны их массам и при прочих равных на, так как если на какое-либо тело дей условиях сообщают этим телам одинаковые ствует сила инерции, то не существует ускорения. Поэтому в «поле сил инерции» противодействующей силы, приложен эти тела движутся совершенно одинаково, ной к данному телу. Два основных по если только одинаковы начальные условия.

ложения механики, согласно которым Тем же свойством обладают тела, находящи ускорение всегда вызывается силой, а еся под действием сил поля тяготения.

сила всегда обусловлена взаимодей При некоторых условиях силы инерции ствием между телами, в системах отсче- и силы тяготения невозможно различить.

та, движущихся с ускорением, одновре- Например, движение тел в равноускорен ном лифте происходит точно так же, как и в менно не выполняются.

неподвижном лифте, висящем в однород Для любого из тел, находящихся в ном поле тяжести. Никакой эксперимент, неинерциалыюй системе отсчета, силы выполненный внутри лифта, не может от инерции являются внешними, следова делить однородное поле тяготения от одно тельно, здесь нет замкнутых систем. Это родного поля сил инерции.

означает, что в неинерциальных систе Аналогия между силами тяготения мах отсчета не выполняются законы и силами инерции лежит в основе прин сохранения импульса, энергии и момен ципа эквивалентности гравитационных та импульса. Таким образом, силы инер сил и сил инерции (принципа эквива ции действуют только в неинерциаль лентности Эйнштейна): все физичес ных системах. В инерциальных систе кие явления в поле тяготения происхо мах отсчета таких сил не существует.

дят совершенно так же, как и в соответ Возникает вопрос о «реальности» или ствующем поле сил инерции, если на «фиктивности» сил инерции. В ньютонов пряженности обоих полей в соответ ской механике, согласно которой сила есть ствующих точках пространства совпа результат взаимодействия тел, на силы дают, а прочие начальные условия для инерции можно смотреть как на «фиктив рассматриваемых тел одинаковы. Этот ные», «исчезающие» в инерциальных систе принцип является основой общей тео мах отсчета. Однако возможна и другая их рии относительности.

интерпретация. Так как взаимодействия тел Контрольные вопросы Как определяется гравитационная постоянная и каков ее физический смысл?

На какой высоте над планетой ускорение свободного падения вдвое меньше, чем на ее поверхности?

Что такое вес тела?

В чем отличие веса тела от силы тяжести?

Как объяснить возникновение невесомости при свободном падении?

Что такое напряженность поля тяготения?

Какое поле тяготения называется однородным? центральным?

Какие величины вводятся для характеристики поля тяготения и какова связь между ними?

Покажите, что силы тяготения консервативны.

Чему равно максимальное значение потенциальной энергии системы из двух тел, нахо дящихся в поле тяготения?

Какие траектории движения имеют спутники, получившие первую и вторую космиче ские скорости?

Как вычисляются первая и вторая космические скорости?

Когда и почему необходимо рассматривать силы инерции?

Что такое силы инерции? Чем они отличаются от сил, действующих в инерциальных системах отсчета?

Как направлены центробежная сила инерции и сила Кориолиса? Когда они проявля ются?

В Северном полушарии производится выстрел вдоль па север. Как скажется на движении снаряда суточное вращение Земли?

Сформулируйте и поясните принцип эквивалентности Эйнштейна.

ЗАДАЧИ 5.1. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала, соприкасаясь друг с другом, притягиваются. Определите, как изменится сила притяжения, если массу шаров увеличить в 4 раза. [Возрастет в 6,35 раза] 5.2. Плотность вещества некоторой шарообразной планеты составляет 3 г/см3. Каким должен быть период обращения планеты вокруг собственной оси, чтобы на экваторе тела были невесомыми?

5.3. Определите, в какой точке (считая от Земли) на прямой, соединяющей центры Зем ли и Луны, напряженность поля тяготения равна нулю. Расстояние между центрами Земли и Луны равно R, масса Земли в 31 раз больше массы Луны.

5.4. Два одинаковых однородных шара из одинакового материала соприкасаются друг с другом. Определите, как изменится потенциальная энергия их гравитационного взаимо действия, если массу шаров увеличить в четыре раза. [Возрастет в 14,6 раза] 5.5. Два спутника одинаковой массы движутся вокруг Земли по круговым орбитам ра диусами и Определите: 1) отношение полных энергий спутников 2) отноше ние их моментов импульса 5.6. Вагон катится вдоль горизонтального участка дороги. Сила трения составляет 20 % от веса вагона. К потолку вагона на нити подвешен шарик массой 10 г. Определите:

1) силу, действующую на нить;

2) угол отклонения нити от вертикали. [1) 0,1 Н;

2)11°35'] 5.7. Тело массой 1,5 кг, падая свободно в 5 с, попадает на Землю в точку с географической широтой = 45°. Учитывая вращение Земли, нарисуйте и определите все силы, действующие на тело в момент его падения на Землю. [1) 14,7 Н;

2) 35,7 Н;

3) мН] Глава ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ ЖИДКОСТЕЙ странства. Плотность же газов от дав § 28. Давление жидкости и газа ления зависит существенно. Сжимае мостью жидкости и газа во многих за Молекулы газа, совершая беспоря дачах можно пренебречь и пользовать дочное, хаотическое движение, не свя ся единым понятием несжимаемой заны или весьма слабо связаны силами жидкости — жидкости, плотность ко взаимодействия, поэтому они движут торой всюду одинакова и не изменяет ся свободно и в результате соударений ся со временем.

стремятся разлететься во все стороны, Если в покоящуюся жидкость поме заполняя весь предоставленный им объем, т. е. объем газа определяется объе- стить тонкую пластинку, то части жид кости, находящиеся по разные стороны мом того сосуда, который газ занимает.

от нее, будут действовать на каждый ее Жидкость же, имея определенный элемент AS с силами AF, которые не объем, принимает форму того сосуда, в зависимо от того, как пластинка ориен который она заключена. Но в жидко тирована, будут равны по модулю и на стях в отличие от газов среднее рассто правлены перпендикулярно площадке яние между молекулами остается прак AS, так как наличие касательных сил тически постоянным, поэтому жид привело бы частицы жидкости в движе кость обладает практически неизмен ние (рис. 46).

ным объемом.

Свойства жидкостей и газов во мно- Физическая величина, определяе гом отличаются, однако в ряде механи- мая нормальной силой, действующей со ческих явлений их поведение определя- стороны жидкости на единицу площа ется одинаковыми параметрами и иден- ди, называется давлением р жидкости:

тичными уравнениями. Поэтому гид роаэромеханика — раздел механики, изучающий равновесие и движение Единица давления — паскаль (Па):

жидкостей и газов, их взаимодействие 1 Па равен давлению, создаваемому си между собой и обтекаемыми ими твер лой 1 Н, равномерно распределенной по дыми телами, — использует единый нормальной к ней поверхности площа подход изучению жидкостей и газов.

2 дью 1 м (1 Па = 1 Н/м ).

В механике с большой степенью точ Давление при равновесии жидко ности жидкости и газы рассматривают стей (газов) подчиняется закону Пас ся как сплошные непрерывно распре каля : давление на поверхности жидко деленные в занятой ими части про сти, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.

Рассмотрим, как влияет вес жидко сти на распределение давления внутри Б.Паскаль (1623—1662) — французский ученый.

покоящейся несжимаемой жидкости. Рис. При равновесии жидкости давление по горизонтали всегда одинаково, иначе не было бы равновесия. Поэтому свобод ная поверхность покоящейся жидкости всегда горизонтальна вдали от стенок сосуда. Если жидкость несжимаема, то тока проводятся так, чтобы густота их, ее плотность не зависит от давления.

характеризуемая отношением числа Тогда при поперечном сечении S стол линий к площади перпендикулярной ба жидкости, его высоте h и плотности р им площадки, через которую они про вес Р = а давление на нижнее ос ходят, была больше там, где больше ско нование рость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Таким (28.1) образом, по картине линий тока можно судить о направлении и модуле скоро сти в разных точках пространства, т. е.

т.е. давление изменяется с можно определить состояние движения высотой. Давление pgh гид жидкости. Линии тока в жидкости мож ростатическим давлением.

но «проявить», например, подмешав в Согласно формуле (28.1), сила дав нее какие-либо заметные взвешенные ления на нижние слои жидкости будет частицы.

больше, чем на верхние, поэтому на Часть жидкости, ограниченную ли тело, погруженное в жидкость, действу ниями тока, называют трубкой тока.

ет сила, определяемая законом Архи Течение жидкости устано меда: на тело, погруженное в жидкость вившимся (или стационарным), если (газ), действует со стороны этой жид форма и расположение линий тока, а кости направленная вверх выталкива также значения скоростей в каждой ее ющая сила, равная весу вытесненной точке со временем не изменяются.

телом жидкости (газа):

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения и перпендикулярные направлению ско где р — плотность жидкости;

V— объем рости (рис. 48).

погруженного в жидкость тела.

Pages:     || 2 | 3 | 4 | 5 |   ...   | 11 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.