WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Мхитарян В.С. ...»

-- [ Страница 2 ] --

3.7.2. Критерий Пирсона Критерий Пирсона или критерий 2 (хи - квадрат) имеет наибольшее применение при проверке согласования теоретической и эмпирических кривых распределения. Наблюдаемое значение критерия (Y =2 ) вычисляется по следующей формуле:

H l mэi ( - mт i ) 2 =, (3.31) H mт i i= где mэi - эмпирическая частота i-го интервала (варианта);

mт i - теоретическая частота i-го интервала (варианта);

l - число интервалов (вариантов).

Как известно 2 - распределение зависит от числа степеней свободы, это число находится по формуле = l - r -1, (3.32) где r - число параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке.

По теоретическим соображениям при расчете 2 не следует H исходить из слишком малых значений mт i. Поэтому рекомендуется объединять соседние интервалы (варианты) таким образом, чтобы mTi > (5 10) для объединенных интервалов. Кроме того, объем выборки должен быть достаточно велик (n 50) и =.

mт i mэi В случае нормального закона распределения расчет теоретической кривой распределения (x) производится при условии, что статистические характеристики x;

S приравниваем числовым ( ) характеристикам нормального закона (µ;

), поэтому r = 2 и число степеней свободы = l -3.

Вероятности попадания случайной величины X в соответствующие интервалы вычисляется по интегральной теореме Лапласа pi = P a < x < bi = (t ) - (t1i ), (3.33) () [] i 2i a - x bi - x i где t1i = ;

t =.

2i S S В случае биномиального закона распределения расчет теоретической кривой распределения производится при условии, что статистическая доля (частость) приравнивается вероятности p появления интересующего нас события А, поэтому r = 1 и число степеней свободы = l -2.

Вероятность pi того, что случайная величина X принимает значение xi = m, где m = o, n, определяется по формуле Бернулли pi = P X = xi = P X = m = Cmm (1- )n -m, (3.34) ( ) ( ) n к mx i i i= где = - средняя частость проявления появления события во k n всех k выборках;

n - число испытаний в каждой выборке.

В случае закона Пуассона расчет теоретической кривой распределения производится при условии, что средняя интенсивность приравнивается математическому ожиданию M(x), поэтому r = 1 и = l 2.

Вероятность pi того, что случайная величина X принимает значение xi = m, определяется по формуле Пуассона m pi = P X = xi = P X = m = e-, (3.35) ( ) ( ) m!

к mx i i где =i=0 - средняя интенсивность.

к mi i= mi - частота появления значения хi;

i=1, 2,..., к.

При проверке гипотез о виде законов распределения могут быть использованы и другие критерии согласия: Колмогорова, Романовского, Ястремского и др.

Пример 3.5. По данным примера 1.2 рассчитать теоретические частоты в предположении нормального закона распределения;

результаты вычислений приводятся в следующей таблице.

Интервал 3,65- 3,75- 3,85-3,95 3,95-4,05 4,05-4,15 4,15-4,25 4,25-4, ы 3,75 3, mэi 1 6 11 15 9 6 mт i 2 5 11 14 11 5 На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о нормальном законе распределения.

Решение. Вычисляем наблюдаемое значение критерия 2 по H формуле (3.31). Результаты вычислений представим в виде таблицы.

2 mэi mт i Интервалы mэi ) ( - mт i mэi ) ( - mт i mт i 3,65-3,75 1 0 6 3,75-3, 3,85-3,95 11 11 0 3,95-4,05 15 14 = 0, 4,05-4,15 9 11 = 0, 4,15-4,25 6 5 = 0, 2 4,25-4, 50 50 - 2 = 0, H По таблице 2 - распределения на уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы = l -3 = 5 - 3 = 2 определим 2 = 5,991. Так как 2 = кр H 0,578 < 2 = 5,991, нулевая гипотеза H0 не отвергается, т.е.

кр производительность труда для данной совокупности подчиняется нормальному закону распределения.

Пример 3.6. Даны следующие числа рождения мальчиков у 50 матерей, родивших четыре раза:

3 1 0 2 1 2 1 3 3 2 3 2 2 1 2 1 3 2 3 0 1 1 2 2 1 0 3 0 2 2 2 3 3 2 4 3 2 1 1 2 2 3 3 2 3 Проверить на уровне 0,01 гипотезу о биноминальном законе распределения.

Решение. Всего 50 матерей родили N = kn = 504 = 200 детей.

Случайной величиной X является число мальчиков в семьях из 4 детей.

Построим вариационный ряд:

xi 0 1 2 3 mэi 4 10 18 16 2 Эмпирическими частотами mэi являются числа матерей, родивших определенное число мальчиков.

Рассчитаем среднюю частоту рождения мальчика:

mx 0 4 +110 + 218 + 316 + 4 2 i i =i=0 = = = 051.

, к n 50 4 По формуле (3.34) вычислим вероятности комбинаций рождения мальчика (и девочки) в семьях из 4 детей:

m = 0;

P0;

4 = (1- )4 = 0,494 = 0,0576 ;

m = 1;

P14 = n (1- )3 = 4 0,510,493 = 0,2401;

;

n(n -1) m = 2;

P2;

4 = 2(1- )2 = 60,513 0,492 = 0,3747 ;

m = 3;

P34 = n 3(1- ) = 4 0,513 0,49 = 0,2600 ;

;

m = 4;

P44 = 4 = 0,514 = 0,0676.

;

Итого: = 1, Pmn, m= Теоретические частоты равны mт i = kpi.

Рассчитаем наблюдаемое значение критерия 2.

H По таблице 2 - распределения на уровне значимости = 0,01 и при числе степеней свободы = l -2 = 3 - 2 = 1 определяем 2 = 6,635.

кр Так как 2 = 0,370 < 2 = 6,635, нулевая гипотеза не отвергается, H кр т.е. число мальчиков в семье из 4 детей данной совокупности подчиняется биноминальному закону распределения.

(к примеру 3.6) 2 mэi mт i xi mэi ) ( - mт i mэi ) ( - mт i mт i 0 4 3 1 = 0, 10 2 18 19 1 = 0, 3 16 13 = 0, 2 50 50 - 2 = 0, H Пример 3.7. Число рабочих, не выполнивших сменного задания в 100 выборках по 20 рабочих, приводится в таблице:

Число рабочих xi 0 1 2 3 Число выборок mi 85 11 3 1 На уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о законе Пуассона.

Решение. Определяем среднюю интенсивность числа рабочих, не выполнивших сменного задания, на одну выборку:

к mx 085 +111+ 32 +13 + 4 0 i i =i=0 = = =, к 100 mi i= По таблице e- определяем e-0,2 = 08187.

, По формуле (3.35) вычисляем вероятности:

P0 = e- = 0,8187 = 0,8187 ;

0! P1 = e- = 0,20,8187 = 0,1637 ;

1!

, P2 = 0,8187 = 0,020,8187 = 0,0164 ;

2!

023 0,, P3 = 0,8187 = 0,8187 = 0,0011.

3! Вычисляем наблюдаемое значение критерия:

2 mэi mт i xi mэi ( - mт i mэi - mт i ) () mт i 0 85 82 9 = 0, 1 11 16 = 1, 2 3 2 =, 1 100 100 - 2 = 3, H По таблице 2 - распределения на уровне значимости 0,05 и при числе степеней свободы = l -2 = 3 - 2 = 1 определяем 2 = 12,706.

кр Так как 2 (= 3,671) < 2 (= 12,706), нулевая гипотеза H0 не H кр отвергается, т.е. число рабочих, не выполнивших сменного задания, подчиняется закону Пуассона.

Таблица 3. Основные формулы, используемые при проверке гипотез о значении параметров распределений № H0 Условия Используемое Формулы для вычисления H1 Порядок определения Правила проверки пп проверки распределение наблюдаемого значения параметров критического значения критериев 1 2 3 4 5 6 7 Ф(t) 2 µ1<µ0;

µ1>µ0 (1-2)tкр x - µ t > t Н H к р t = n H отвергается известна с вероятностью µ1µ0 (1-)tкр ошибки µ=µ0 µ1<µ0;

µ1>µ x - µ0 t = n - S(t) t 2 не H = n - 1 кр известна µ1µ t = n - 1 кр µx<µy;

µx>µy (1-2)tкр t t H кр H Ф(t) 1 и известны не отвергается µX=µY µxµy (1-)tкр x - y t = H 1 + n1 n не 1 и 2 n1 n2 µx<µy;

µx>µy x - y S(t) t t = известны, H = n1 + n - 2 кр n1S1 + n2S2 n1 + n но = 1 n1 + n2 - µxµy t = n1 + n - 2 к р 2 1 - 1 < 2 U 2 H 0 H кр = n -1 кр не отвергается 2 U к р.ле в. H кр.п 1 - к р.ле в.

2 = n - H0 не отвергается 3 2 1 nS 1 = U = H При U 2 H кр.ле в.

к р.пр.

или = n - U > H к р.п р.

H0 отвергается 1 > U 2 H H кр = n -1 кр не отвергается 4 2 F F F H к р 1 = 2 S1 > S2 1 > 2 H 2 FH = не отвергается 1 = n1 -1 Fкр 2 = n - n1 n2... U 2 H max H кр ln – р - i ln i2 2 H1 >... n l l -1 кр не отвергается i= ni > UH = 1 1 5 1 = 2 = 1+ 3(-1) i i= n1 = n2 =... G... =2 2 H1 > 2 G G H max l max кр H... = n GH = l n -1 G к р не отвергается i l i= 6 p1 = p2 = n 2 U 2 H H кр... = p l UH = ( ~ ~ P H1 > Pmax ~(1- ~) i=1 p - pi)2ni l -1 кр не отвергается p p Тест 1. Что называют ошибкой первого рода:

а) Гипотеза H0 верна и ее принимают согласно критерию;

б) Гипотеза H0 верна и ее отвергают согласно критерию;

в) Гипотеза H0 не верна и ее отвергают согласно критерию;

г) Гипотеза H0 не верна и ее принимают согласно критерию;

2. Что называют мощностью критерия:

а) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в критическую область, если верна гипотеза H0;

б) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в критическую область, если верна гипотеза H1;

в) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в область принятия гипотезы, если верна гипотеза H0;

г) Вероятность, с которой статистика критерия должна попасть в область принятия гипотезы, если верна гипотеза H1;

3. Когда при проверке гипотезы H0 : µ = µ0 против H1 : µ = µ1 следует выбрать правостороннюю критическую область а) H1 : µ1 < µ0;

б) H1 : µ1 > µ0;

в) H1 : µ1 µ0, г) H1 : µ1 = µ0, 4. Пусть статистика критерия * имеет нормальное распределение. Какое n условие является исходным для расчета значения кр границы правосторонней критической области.

а) P * < к р = ;

() n б) P * > к р = ;

() n в) P * > к р = ;

() n г) P * < к р =.

() n 5. Какая статистика используется при проверке гипотезы H : 2 = 2 :

0 x -µ а) t = n ;

x - µ б) t = n -1 ;

S nS в) 2 = ;

г) F =.

x - µ 6. Для проверки какой гипотезы используется статистика n -1:

S а) H0: 1 = 2 ;

б) H0: µ = µ0 ;

в) H0: 2 = г) H0: µ1 = µ2.

7. Чему равна граница критической области при проверке на уровне значимости = 0,0344, гипотезы H0 : µ = 50, если H1: µ = 52, =3:

) 2,15;

б) 1,97;

в) 1,82;

г) 2,88.

8. Чему равна граница критической области при проверке на уровне значимости = 0,05, гипотезы H0 : µ = 50, если H1: µ1 = 52, S = 3, n =9:

) 1,78;

б) 1,86;

в) 2,15;

г) 2,88.

9. Для проверки какой гипотезы применяется критерий Кохрана а) H0: 2 = б) H0: µ1 = µ2 ;

в) H0: 1 = 2 =... = 2, е с лиn1 = n2 =... = n ;

2 ll г) H0: 1 = 2 =... = 2, е с лиn1 n2... n.

2 ll 10. Какому закону распределения должна подчиняться статистика x - µ n -1, при справедливости гипотезы H0:

S а) Нормальному;

б) Фишера-Снедекора;

в) Стьюдента;

г) Пирсона.

4. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 4.1. Задачи и проблемы корреляционного анализа Главной задачей корреляционного анализа является оценка взаимосвязи между переменными величинами на основе выборочных данных.

Различают два вида зависимостей между экономическими явлениями: функциональную и стохастическую. При функциональной зависимости имеет место однозначность отображения множества значений изучаемых величин, т.е. существует правило y=f(x) - соответствия независимой переменной х и зависимой переменной у. В экономике примером функциональной связи может служить зависимость производительности труда от объема произведенной продукции и затрат рабочего времени.

При изучении массовых явлений зависимость между наблюдаемыми величинами проявляется часто лишь в случае, когда число единиц изучаемой совокупности достаточно велико. При этом каждому фиксированному значению аргумента соответствует определенный закон распределения значений функции и, наоборот, заданному значению зависимой переменной соответствует закон распределения объясняющий переменной. Например, при изучении потребления электроэнергии у в зависимости от объема производства х каждому значению х соответствует множество значений у и наоборот. В этом случае можно констатировать наличие стохастической (корреляционной) связи между переменными.

Множественность результатов при анализе связи х и у объясняется прежде всего тем, что зависимая переменная у испытывает влияние не только фактора х, но и целого ряда других факторов, которые не учитываются. Кроме того, влияние выделенного фактора может быть не прямым, а проявляется через цепочку других факторов.

При изучении корреляционной зависимости между переменными возникают следующие задачи:

1. Измерение силы (тесноты) связи.

2. Отбор факторов, оказывающих наиболее существенное влияние на результат признак.

3. Обнаружение неизвестных причин связей.

4. Построение корреляционной модели и оценка ее параметров.

5. Проверка значимости параметров связи.

6. Интервальное оценивание параметров связи.

Пусть из генеральной совокупности, которую образуют “к” признаков, являющихся случайными величинами, сделана выборка объемом n, тогда выборка будет представлять собой n независимо наблюдаемых к-мерных точек (векторов):

(xi1, xi2,…,xij,…xik), где i=1n, а каждая координата xij наблюдаемой точки является вариантом соответствующего признака xj (j=1k) генеральной совокупности, изучаемой с точки зрения взаимозависимости к признаков.

В настоящее время при построении корреляционных моделей исходят из условия нормальности многомерного закона распределения генеральной совокупности. Эти условия обеспечивают линейный характер связи между изучаемыми признаками, что делает правомерным использование в качестве показателей тесноты связи: парного, частного и множественного коэффициентов корреляции.

На практике не всегда строго соблюдаются предпосылки корреляционного анализа: один из признаков оказывается величиной не случайной или признаки не имеют совместного нормального распределение. Для изучения связи между признаками в этом случае существует общий показатель зависимости признаков, который называется корреляционным отношением.

В практике статистического анализа возможны случаи, когда с помощью корреляционных моделей обнаруживают достаточно сильную “зависимость” признаков, в действительности не имеющих причинной связи друг с другом. Такие корреляции называют ложными.

4.2. Двумерная корреляционная модель Рассмотрим случай изучения корреляционной зависимости между двумя признаками Y и X. Построение двумерной корреляционной модели предполагает, что закон распределения двумерной случайной величины в генеральной совокупности является нормальным, а выборка репрезентативной.

Плотность двумерного нормального закона распределения определяется пятью параметрам:

- математическое ожидание МХ=µх Х;

- математическое ожидание МY=µy Y;

- дисперсия Х;

DX=2x - дисперсия Y;

DY=2y X - µx Y - µy - парный коэффициент = M корреляции, характеризует x y тесноту линейной связи между величинами Х и Y.

В двумерной корреляционной модели используется так же, как мера тесноты связи, 2 - коэффициент детерминации, указывающий долю дисперсии одной случайной величины, обусловленную вариацией другой.

Для получения точечных оценок параметров двумерной корреляционной модели обычно используют метод моментов, т.е. в качестве точечных оценок неизвестных начальных моментов первого и второго порядков генеральной совокупности берутся соответствующие выборочные моменты, и расчеты производят в соответствии со следующими формулами:

n - оценка для µх;

x = xi n i= n - оценка для µу;

y = yi n i= n xi - оценка для М(х2);

i= x2 = n n yi - оценка для М(у2);

i= y2 = n n - оценка для М(ху);

xy = xi yi n i= - оценка для х2;

Sx = x2 -( ) x - оценка для у2;

Sy = y2 -( ) y xy - x y r = Sx Sy - оценка для.

Полученные оценки являются состоятельными, а x и y также обладают свойствами несмещенности и эффективности. Следует отметить, что в корреляционной модели распределение выборочных средних x и y не зависит от законов распределения S2x, S2y, r.

Парный коэффициент корреляции в силу своих свойств является одним из самых распространенных способов измерения связи между случайными величинами в генеральной совокупности;

для выборочных данных используется эмпирическая мера связи r.

Коэффициент корреляции не имеет размерности и, следовательно, его можно сопоставлять для разных статистических рядов. Величина его лежит в пределах (-1 до +1). Значение =±1 свидетельствует о наличии функциональной зависимости между рассматриваемыми признаками.

Если =0, можно сделать вывод, что линейная связь между х и у отсутствует, однако это не означает, что они статистически независимы.

В этом случае не отрицается возможность существования иной формы зависимости между переменными. Положительный знак коэффициента корреляции указывает на положительную корреляцию, т.е. все данные наблюдения лежат на прямой с положительным углом наклона в плоскости ху и с увеличением х растет у. Когда х уменьшается, то у уменьшается. Отрицательный знак коэффициента свидетельствует об отрицательной корреляции. Чем ближе значение |r| к единице, тем связь теснее, приближение |r| к нулю означает ослабление линейной зависимости между переменными. При |r|=1 корреляционная связь перерождается в функциональную.

На практике при изучении зависимости между двумя случайными величинами используют поле корреляции, с помощью которого при минимальных затратах труда и времени можно установить наличие корреляционной зависимости.

Поле корреляции представляет собой диаграмму, на которой изображается совокупность значений двух признаков. Каждая точка этой диаграммы имеет координаты (xi, yi), соответствующие размерам признаков в i-м наблюдении. Три варианта распределения точек на поле корреляции показаны на рисунках 1.4.1;

1.4.2;

1.4.3. На первом из них основная масса точек укладывается в эллипсе, главная диагональ которого образует положительный угол с осью Х. Это график положительной корреляции. Второй вариант распределения соответствует отрицательной корреляции. Равномерное распределение точек в пространстве (ХУ) свидетельствует об отсутствии корреляционной зависимости.(рис. 1.4.3.) y y y r<...........

.....

..............

.......

...............

........

..............

.......

r.... r>0............

....

x x x Если наблюдаемые значения У и Х представляет собой выборку из двумерного нормального распределения, то формально можно рассматривать два уравнения регрессии:

( ) ( ) MY / X = 0 + 1x и M X / Y = 0 + 1y В двумерном корреляционном анализе, обычно строят корреляционную таблицу, поле корреляции, рассчитывают точечные оценки параметров корреляционной модели, оценивают уравнения регрессии, проверяют значимость параметров связи и для значимых параметров строят интервальные оценки, не разделяя при этом задачи корреляционного и регрессионного анализа.

Имея оценки параметров модели x, y, Sx, S2, r, можно рассчитать y оценки уравнений регрессии в соответствии с формулой для генеральной регрессии ( ) My / x)- My) = yx[x - Mx ], ( ( y где yx = - коэффициент регрессии у на х, оценка здесь x Sy / x - y = byx(x - x), где byx = r - оценка генерального коэффициента Sx регрессии ух.

Аналогичные формулы расчета справедливы для оценки уравнения регрессии х на у:

( ) Mx / y)- Mx = xy y - My) - генеральная регрессия х на у, ( ( [] x где xy = - коэффициент регрессии х на у, y x / y - x = bxy(y - y) - оценка генерального коэффициента регрессии ху.

Можно показать, что формулы My / x - M y = yx x - Mx и ( ) ( )( ) [] My / x) = 0 + 1x идентичны. Из формулы ( ( ) My / x) = yxx - yxMx + My) ( ( полагая, что ух=1, а -ухМ(ч)+М(у)= 0 запишем: My / x) = 0 + 1x ( Аналогично можно показать идентичность формул попарно:

M (x / y)- M (x)= xy[y - M (y)] и M(x/y)= 0 + 1 y;

/ x - y = byx(x - x) и = b0 + b1x;

x / y - x = bxy(y - y) и x = a0 + a1 y В двумерной модели параметрами связи являются коэффициент корреляции (или коэффициент детерминации 2) и коэффициенты регрессии ух, ху, которые обычно бывают неизвестны.

По результатам выборки рассчитывают их точечные оценки, cоответственно r, by, bx, проверяют гипотезу о значимости (существенности) параметров. В двумерной модели достаточно проверить значимость только коэффициента корреляции. Проверяется гипотеза Н0: =0. Если на уровне значимости гипотеза отвергнется, то коэффициент корреляции считается значимым и рассчитанное по выборке значение r может быть использовано в качестве его точечной оценки. Если коэффициент корреляции оказывается незначимым, то гипотеза не отвергается и на практике обычно принимают, что х и у в генеральной совокупности линейно независимым.

Доказано, что если верна гипотеза Н0: =0, то статистика r t = n - 2 имеет распределение Стьюдента с =n-2 числом степеней 1- r свободы. По таблице распределения Стьюдента были определены значения статистики tтабл(;

=n-2) для =0,001;

0,01;

0,02;

0,05 и рассчитаны соответственно границы для r (таблицы Фишера-Иейтса).

Таким образом, для проверки гипотезы Н0: =0 находят rтабл(, =n-2) и сравнивают его с rнабл, рассчитанным по выборочным данным. Если |rнабл.|rтабл, то гипотеза Н0 отвергается на уровне значимости, если |rнабл.| rтабл, то гипотеза не отвергается.

При n>100, считая распределение статистики нормированным нормальным, проверяют гипотезу Н0: =0 исходя из условия, что при справедливой гипотезе выполняется равенство P(|t| tтабл)==Ф(tтабл), т.е. если |t| tтабл, то гипотеза Н0 не отвергается.

Статистика r n - 1, если n>100, также имеет нормированный нормальный закон распределения при справедливости Н0: =0 и этим можно пользоваться для проверки значимости коэффициента корреляции.

Для двумерной корреляционной модели, если отвергается гипотеза Н0: =0, то параметры связи, ух, ху считаются значимыми и для них имеет смысл найти интервальные оценки, для чего нужно знать закон распределения выборочных оценок параметров.

Плотность вероятности выборочного коэффициента корреляции имеет сложный вид, поэтому используют специально подобранные функции от выборочного коэффициента корреляции, которые подчиняются хорошо изученным законам, например нормальному или Стьюдента.

При нахождении доверительного интервала для коэффициента корреляции чаще используют преобразование Фишера:

1 1+ r z = ln 2 1- r Эта статистика уже при n>10 распределена приблизительно 1 1+ ( ) нормально, с параметрами Mz = ln +.

( ) 2 1- 2 n - По таблице z - преобразования Фишера для выборочного коэффициента r находят соответствующее ему zr и находят интервальную оценку для M(z) из условия:

1 ( P zr - t Mz) zr + t = = Ф t ( ) n - 3 n - где t находят по таблице интегральной функции Лапласа t t 2 Ф(t) = e dt для данного =1-.

o Получив доверительный интервал: zmin M(z) zmax, с помощью таблицы z - преобразования Фишера получают интервальную оценку:

rmin rmax, где rmin и rmax выбираются с учетом того, что z - функция нечетная, а поправочным членом пренебрегают.

( ) 2 n - Для значимых коэффициентов регрессии ух и ху с надежностью =1-. Находят интервальные оценки из условия, что статистики Sx n - t = byx - yx ;

()S 1- r y Sy n - t = bxy - xy ()S 1- r x имеют распределение Стьюдента с =n-2 степенями свободы и, следовательно, из условия Р(|t|<=t)= можно рассчитать интервальные оценки Sy 1- r2 Sy 1- r byx - t yx byx + t ;

Sx n - 2 Sx n - Sx 1- r2 Sx 1- r bxy - t xy bxy + t Sy n - 2 Sy n - где t определяется по таблице Стьюдента для данного =1- и =n-2.

Пример 4.1. На основании выборочных данных о производительности труда (х) и себестоимости продукции (у), полученных с однотипных предприятий за месяц и представленных в таблице 4.1, найти: а) точную оценку коэффициента корреляции между х и у, проверить его значимость при =0,05 и найти интервальную оценку коэффициента корреляции при =0,95;

б) оценку уравнения регрессии, характеризующего зависимость себестоимости продукции от производительности труда.

Таблица 4. производительность 5 4 3 20 10 труда х себестоимость продукции 7 10 12 2 5 у Решение Составим вспомогательную таблицу 4. Таблица 4. xi yi xiyi xi2 yi 5 7 35 25 4 10 40 16 3 12 36 9 20 2 40 400 10 5 50 100 15 4 60 225 57 40 261 775 а) Выборочный парный коэффициент корреляции рассчитывается по формуле xy - xy 43,5 - 9,5 6, r = = = -, SxSy 624,, где n x = x = 1 57 = 9, i n i= n y = y = 1 40 = 6, i n i= n xy = x yi = 1 261 = 43, i n i= Sx = S2 = x2 - x = 129,17 - 90,25 = 38,92 = 6, ( ) x Sy = S2 = y2 - y = 55,17 - 44,49 = 10,68 = 3, ( ) y Для проверки значимости коэффициента корреляции сформулируем статистическую гипотезу Н0: =0. По таблице Фишера Йейтса находим rтабл (=0,05;

=n-2=4)=0,811. Сравнение rнабл =0,97 с rтабл=0,811 свидетельствует о том, что нулевая гипотеза отвергается и, следовательно, коэффициент корреляции значим.

Интервальную оценку для рассчитаем с помощью z - 1 1+ r преобразований Фишера. По таблице значений статистики z = ln 2 1- r находим zr=0,97. Из условия, что =Ф(t)=0,95, находим по таблице интегральной функции Лапласа t=1,96. Тогда интегральная оценка для MZr определяется:

1 -2,0923 -1,96 MZr -2,0925 +1, 6 -2,8925 MZ -1, r Воспользовавшись таблицей z - преобразования Фишера, перейдем от z к и найдем интегральную оценку с надежностью =0,95:

-0,994 -0, б) Для нахождения оценок уравнения регрессии себестоимости продукции от производительности труда =b0+b1x, воспользуемся формулой Sy, b1 = byx = r = -097 = -,, Sx, Тогда используя - y = b1(x - x), находим = 11,515 - 0,51x 4.3. Трехмерная корреляционная модель На примере трехмерной генеральной совокупности достаточно четко можно продемонстрировать основные задачи и особенности многомерного корреляционного анализа.

Пусть признаки X, Y, Z образуют трехмерную нормально распределенную генеральную совокупность, которая определяется девятью параметрами:

• тремя математическими ожиданиями MX =µx MY = µy MZ = µz (4.9.) • тремя дисперсиями DX =2 DY = 2 DZ = 2 (4.10.) xz y • тремя парными коэффициентами корреляции x - µx - µy - µy z - µz y y - µx z - µz x xy = M ;

xz = M ;

yz = M x y x z y z Cледует отметить, что частные одномерные (X, Y, Z) и двумерные [(X, Y), (X,Z), (Y, Z)] распределения компонент, а так же условные распределения при фиксированных одной [(X,Y)/Z;

(X,Z)/Y;

(Y,Z)/X] и двух [X/(Y,Z);

Y/(X,Z);

z/(X,Y)] переменных являются нормальными.

Поэтому поверхности и линии регрессии являются плоскостями и прямыми соответственно.

Для изучения разнообразия связей между тремя случайными величинами рассчитывают не только парные, но частные и множественные коэффициенты корреляции (детерминации) Частные коэффициенты корреляции между двумя случайными величинами при фиксированной третьей (в силу их независимости от фиксированных переменных) характеризуют тесноту связи между этими двумя величинами при исключении из рассмотрения фиксированной третьей величины. Поэтому, если парный коэффициент корреляции между теми же двумя случайными величинами оказался больше соответствующего частного коэффициента, то можно сделать вывод о том, что третья фиксированная величина усиливает взаимосвязь между изучаемыми величинами, т.е. более высокое значение парного коэффициента обусловлено присутствием третьей величины. Более низкое значение парного коэффициента корреляции в сравнении с соответствующими частными свидетельствует об ослаблении связи между изучаемыми величинами действием фиксируемой величины.

Частный коэффициент корреляции обладает всеми свойствами парного коэффициента корреляции, т.к. он является коэффициентом корреляции условного двумерного распределения.

Для трехмерной модели можно рассчитать три частных коэффициента корреляции:

xy - xz yz xy/z = ;

1- xz 1- ( ) ( ) yz xz - xy zy xz/y = ;

(4.11.) 1- 2 1- ( ) ( ) xy zy yz - yx zx yz/x =.

1- 2 1- ( ) ( ) yx zy Множественный коэффициент корреляции в трехмерной нормальной совокупности служит мерой связи между одной случайной величиной и совместным действием двух остальных. Для трехмерной корреляционной модели можно рассчитать три множественных коэффициента корреляции:

2 + 2 - 2xyxzyz xy xz R = R = ;

x x/yz 1- yz 2 + 2 - 2yxyzxz yx yz R = R = ;

(4.12.) y y/xz 1- xz 2 + 2 - 2zxzyxy zx zy R = R =.

z z/xy 1- xy По величине множественный коэффициент корреляции заключен между нулем и единицей. Если Rx=1, то связь между величинами Х и (Y, Z) является функциональной, линейной: точки (x, y, z) расположены в плоскости регрессии Х на (Y, Z). Если Rx=0, то одномерная случайная величина Х и двумерная случайная величина (Y, Z) являются независимыми (в силу нормальности распределения). Множественный коэффициент детерминации R показывает долю дисперсии случайной x величины Х, обусловленную изменением величины (Y, Z).

Множественный коэффициент корреляции может увеличиваться при введении в модель дополнительных признаков и не увеличится при исключении некоторых признаков из модели. Наибольшему множественному коэффициенту детерминации соответствует большие частные коэффициенты детерминации. Например, если Rx2>Rz2 и Rx2>Ry2, то xz/y > zy/x 2 > xy/z zy/x При фиксировании одной случайной величины трехмерное нормальное распределение превращается в двумерное нормальное распределение, определяемое пятью параметрами. Если фиксирована случайная величина z, то двумерное нормальное распределение (X,Y/Z) характеризуется следующими параметрами:

x µx/z = µx + zx z - µz ( ) z y µy/z = µz + zy z - µz ( ) x 2 = 2 1- 2 (4.13.) ( ) x/z x zx 2 = 2 1- ( ) y/z y zy xy - xzyz xy/z = 1- 2 1- ( )( ) xz yz Зависимость между величинами Х и У при фиксированном значении случайной величины Z выражается прямыми регрессиями в плоскости Z=z:

M Y / X / Z - µy/z = yx/z X - µx/z ;

( ) ( ) (4.14.) M X / Y / Z - µx/z = xy/z Y - µy/z ( ) () Коэффициенты частной регрессии рассчитывают в соответствии с формулами:

y/z yx - yzzx yx/z = xy/z = ;

x/z 1- xzzx (4.15.) x/z xy - xzzy xy/z = xy/z =, y/z 1- yzzy причем 2 = xy/zyx/z ;

xy/z для расчета условных средних квадратических отклонений используют формулы:

y/zx = y/z 1- 2 = y/x 1- yz/x 2 ;

xy/z (4.16.) x/yz = x/z 1- 2 = x/y 1- 2.

xy/z xz/y Условное распределение при фиксировании величины (Х, У) будет одномерным Z/(X,Y), которое характеризуется условным математическим ожиданием M / X,Y = M Z / X / y = M Z / Y / x ( ) ( ) ( ) z и условной дисперсией Dz / X,Y = ( ) z/xy Плоскость регрессии Z на (Х, У) будет получена при изменении точки (Х, У):

MZ / (X,Y) - µz = zx/y X - µx + zy/x Y - µy ( ) ( ) Остаточная дисперсия относительно плоскости регрессии рассчитывается в соответствии с формулой 2 = 2 1- 2 = 2 1- ( ) ( ) z/xy z/y zx/y z/x yz/x Для оценки девяти параметров трехмерной корреляционной модели используют следующие формулы:

xy - x y x µx x = ;

2 S2 = x2 - x ;

xy rxy = ;

( ) x x n SxSy xz - x z y µy y = ;

2 S2 = y2 - y ;

xz rxz = ;

( ) y y n SxSz xz - x z z µz z = ;

2 S2 = z2 - z ;

yz ryz = ;

( ) z z n SxSz Оценки условных средних квадратических отклонений при фиксировании одной переменной, частных коэффициентов корреляции, условных средних квадратических отклонений при двух фиксированных переменных и множественных коэффициентов корреляции рассчитываются в соответствии со следующими формулами:

22 Sx/y = Sx 1- rxy ;

Sx/z = Sx 1-r ;

Sy/z = Sy 1- ryz;

xz 22 Sy/x = Sy 1- rxy ;

Sz/x = Sz 1-r ;

Sz/y = Sz 1- ryz;

xz rxy - rxz ryz rxy/z = ;

2 1- rxz 1- ryz ( )( ) rxz - rxy ryz rxz/y = ;

2 1- rxy 1- ryz ( )( ) ryz - rxy rxz ryz/x = ;

2 1- rxy 1- rxz ( )( ) 2 Sx/yz = Sx/y 1- rxz/y ;

Sy/zx = Sy/z 1- ryx/z ;

Sz/xy = Sz/x 1- ryz/x ;

S2 S2 S x/yz y/xz z/xy 2 2 rx/yz = 1- ;

ry/xz = 1- ;

rz/xy = 1 S2 S2 S x y z Для проверки значимости параметров связи трехмерной корреляционной модели формулируется нулевая гипотеза о равенстве нулю проверяемого параметра. Если на уровне значимости гипотеза отвергается, то с надежностью =1- можно утверждать, что параметр значимо отличается от нуля. Если же гипотеза принимается, то параметр связи незначим.

В трехмерном корреляционном анализе проверяется значимость только частных и множественных коэффициентов корреляции или коэффициентов детерминации. Коэффициенты регрессии одновременно равны нулю или отличны от нуля вместе с соответствующими коэффициентами корреляции (детерминации).

Проверка значимости парных коэффициентов корреляции для трехмерной модели обычно не проводится. Чтобы установить значимость частного коэффициента корреляции, необходимо на выбранном уровне значимости проверить гипотезу Н0: частн=0. В основе критерия используемого для проверки этой гипотезы, лежит статистика r частн t = n - частн 1 - r которая при справедливости нулевой гипотезы подчиняется распределению Стьюдента с числом степеней свободы =n-3. Для упрощения процедуры проверки значимости разработаны таблицы, где табулирован rтабл (, =n-3) в соответствии с перечисленными условиями.

Если |rчастн|>rтабл(, ), то частн считается значимым на уровне. В противоположном случае, когда Н0: частн=0 не отвергнется, следует считать, что между соответствующими признаками связь отсутствует, либо провести анализ на основе другой выборки.

Основу критерия оценки значимости множественного коэффициента детерминации, а также и корреляции rмн составляет статистика rмн / Fн аб.л =, 1- rмн / n - ( ) ( ) которая при справедливости нулевой гипотезы Но: R2=0 имеет распределение Фишера. По таблице распределения Фишера определяют Fтабл(;

1=2;

2=n-3) и сравнивают с Fнабл. Если Fнабл> Fтабл то гипотеза отвергается и, следовательно, R2 значимо отличается от нуля.

Осуществляя проверку значимости коэффициентов связи трехмерной корреляционной модели, следует учитывать, что если, например, Rz незначим, то коэффициенты zx/y и zy/x становятся незначимыми. Или, если zx/y незначим, то множественный коэффициент корреляции незначимо отличается от абсолютной величины парного коэффициента корреляции Rz=|zy|.

Для значимых множественных коэффициентов корреляции можно получить оценки уравнения регрессии. Для значимого Rz оценкой соответствующего уравнения регрессии будет z / x, y - z = bzx/y x - x + bxy/z y - y, ( ) ( ) ( ) Sz/y Sz/x где bzx/y = rzx/y и b = rzy/x Sx/y zy/x Sy/x частные коэффициенты регрессии.

Для значимых параметров связи имеет смысл определить границы доверительного интервала с надежностью =1-. Исходным равенством интервального оценивания частн служит P(rчастн min частн rчастн max)= Для получения более точных значений доверительного интервала в данном случае используется z-преобразование Фишера, так как 1 1+ r статистика z = ln имеет приблизительно нормальный закон 2 1- r 1 1+ распределения с параметрами M ln и D. Поэтому z z 2 1- n - первоначально определяют границы доверительного интервала для Mz исходя из равенства 1 т Zrчастн - t Mz Zr( ) + t = = Ф(t) частн n - 4 n - rчастн где Z определяется по таблице z - преобразования Фишера для рассчитанного rчастн.

t находится по таблице интегральной функции Лапласа для заданного значения.

Зная границы интервальной оценки для Mz по таблице преобразования Фишера получают доверительные границы для частн.

Для значимых частных и множественных коэффициентов детерминации существуют более предпочтительные точечные оценки, чем выборочно коэффициенты:

(n - 2)r 2 - частн - оценка для 2 ;

частн n - (n -1)rмн2 - - оценка для 2.

мн n - Интервальные оценки для коэффициента плоскости регрессии можно найти решением относительно оцениваемого коэффициента регрессии неравенства |t| t(;

=n-3), где b - Sx/y n - ( ) zx/y zx/ y t = Sz/y 1- rzx/y b - zy/x Sy/x n - () zy/x t = Sz/x 1- rzy/x - статистики, подчиняющиеся распределению Стьюдента с числом степеней свободы =n-3;

t(;

=n-3) - определяют по таблице Стьюдента.

Пример 4. С целью изучения эффективности производства продукции была отобрана группа 25 однотипных предприятий. На основании полученной выборки для трех показателей (Х - производительность труда, У - фондоотдача, Z - материалоемкость продукции) были вычислены величины:

х =6,06 у =2, Sx=0, z=24, rxy=0,9016392 rxz=-0,8770319 ryz=-0,8899999 Sy=0, Sz=3, Требуется рассчитать оценки частных и множественных коэффициентов корреляции, проверить на уровне =0,05 их значимость, для значимых частных коэффициентов корреляции рассчитать интервальные оценки с надежностью =0, Решение. Для расчета частных коэффициентов корреляции воспользуемся формулами rxy - rxzryz 0,9016392 - 0,8770319 0, rxy/z = = = 0,5526811;

2 0,203078 0, 1- rxz 1- ryz ( )( ) rxz - rxyryz rxz/y = = -0,3782736;

2 1- rxy 1- ryz ( )( ) ryz - rxyrxz ryz/x = = -0,4775473;

2 1- rxy 1- rxz ( )( ) Множественные коэффициенты корреляции можно вычислить по формулам через парные коэффициенты, например 2 rxy + rxz - 2rxyrxzryz rx/yz = = 0,9163587, или через коэффициенты 1- ryz ( ) детерминации в соответствии с формулами:

S 0, x/yz rx/yz = 1- = 1- = 0,8397136;

S2 0, x rx/yz = 0,9163588;

ry/xz = 0,9249889;

rz/xy = 0,9065585, где S2 рассчитана в соответствии с формулами (1.28).

x/yz Проверку значимости множественных коэффициентов корреляции сделаем с помощью статистики:

rx/yz / 0,8397136 Fнабл (х) = = = 57,627157;

2 0, 1- rx/yz / n - ( ) ( ) ry/xz / 0,8556046 Fнабл (у) = = = 65,1797121;

2 0, 1- ry/zz / n - ( ) ( ) rz/xy / F = 50, набл (z) = 1- rz/xy / n - ( ) ( ) Сравнивая Fнабл с Fкр(0,05;

2;

22)=3,44, найденым по таблице распределения Фишера для =0,05, 1=2;

2=n-3=22, делаем вывод, что все множественные коэффициенты корреляции rx/yz, ry/xz, rz/xy генеральной совокупности значимо отличаются от нуля.

Для проверки значимости частных коэффициентов корреляции по таблице Фишера-Иейтсa находим rкр(0,05;

25)=0,381 и rкр(0,05;

20)=0,423, тогда с помощью линейной интерполяции рассчитаем 0,423 - 0, rкр(0,05;

22)=0,381+ 25 - 22 = 0,4062.

( ) 25 - Так как наблюдаемые значения |rxy/z| и |ryz/x| больше, чем rкр(0,05;

22), то с вероятностью ошибки 0,05 гипотеза о равенстве нулю генеральных частных коэффициентов корреляции xy/z и yz/x отвергается.

Для частного коэффициента корреляции xz/y гипотеза Н: xz/y=0 не отвергается, т.к. rxz/y=0,381 меньше rкр(0,05;

22)=0,4062. Для значимых частных коэффициентов корреляции xy/z и yz/x с надежностью =0, найдем интервальные оценки с помощью z - преобразования Фишера. По 1 1+ r таблице значений статистики z = ln находим для rxy/z=0, 2 1- r соответствующее ему zr=0,6184, тогда 1 P0,6184 - t Mzyz/x -0,523 + t = 095,, n - 4 n - где t=1,96 найдено по таблице значений интегральной функции Лапласа для Ф(t)=0,95;

1 = = 0, n - 4 следовательно, 1,1907 MZxy/ z 1, -0,9507 MZ -0, yz/x По таблице z - преобразования совершим переход к интервальным оценкам :

019 xy/z 0,, -01 yz/x 0,, На основании полученных расчетов можно сделать вывод, что существует тесная взаимосвязь каждого из исследуемых показателей эффективности работы с другими, т.е. все множественные коэффициенты детерминации значимы и превышают 0,8.

Особенно тесная связь между фондоотдачей и двумя остальными показателями. Изменение фондоотдачи в среднем на 85,6% объясняется изменением производительности труда и материалоемкости. При увеличении производительности труда на 1 тыс. руб. фондоотдача увеличивается в среднем на 0,55 руб на рубль основных производственных фондов;

при уменьшении материалоемкости на 1% фондоотдача увеличивается в среднем на 0,48 руб.

Взаимосвязь между материалоемкостью и производительностью труда не доказана (без учета фондоотдачи). Однако можно сказать, что фондоотдача усиливает связь между материалоемкостью и производительностью труда, т.к. |rxz|>|rxz/y|.

4.4. Методы оценки корреляционных моделей.

Для оценки параметров корреляционных моделей в основном используют три метода: моментов, максимального правдоподобия и наименьших квадратов.

Метод моментов был предложен К.Пирсоном. В соответствии с ним первые q моментов случайной величины Х приравниваются q выборочным моментам, полученным по экспериментальным данным.

Теоретическим обоснованием метода моментов служит закон больших чисел, согласно которому для рассматриваемого случая при большом объеме выборки выборочные моменты близки к моментам генеральной совокупности.

Для двумерной корреляционной модели согласно методу моментов неизвестное ожидание оценивается средним арифметическим (выборочным начальным моментом первого порядка), а дисперсия - выборочной дисперсией (выборочным центральным моментом второго порядка). Коэффициент корреляции оценивается выборочным коэффициентом r, который является функцией выборочных начальных моментов первого порядка самих случайных величин и их произведения.

Метод моментов дает возможность получать состоятельные оценки, т.е. надежность выводов, сделанных при его использовании, зависит от количества наблюдений. Использование метода моментов на практике приводит к сравнительно простым вычислениям.

Метод максимального правдоподобия, предложенный английским математиком Р.А.Фишером, часто приводит к более сложным вычислениям, чем метод моментов, однако оценки, получаемые с его помощью, как правило, оказываются более надежными и особенно предпочтительными в случае малого числа наблюдений.

Метод максимального правдоподобия для оценки математического ожидания предполагает использование средней арифметической, которая обладает свойствами несмещенности, состоятельности и эффективности.

Дисперсию генеральной совокупности согласно методу максимального правдоподобия рекомендуется оценивать выборочной дисперсией, которая удовлетворяют лишь условию состоятельности.

Использование исправленной дисперсии позволяет иметь оценку дисперсии, удовлетворяющую условиям несмещенности и состоятельности.

Применение метода максимального правдоподобия часто приводит к решению сложных систем уравнений, поэтому метод наименьших квадратов, использование которого связано с более простыми выкладками, имеет большое практическое применение.

Основоположниками этого метода являются Лекандр, Р.Андрейн, Гаусс.

Основная идея метода наименьших квадратов сводится к тому, чтобы в качестве оценки неизвестного параметра принимать значение, которое минимизируют сумму квадратов отклонений между оценкой и параметром для всех наблюдений.

Так как нормальный закон распределения генеральной совокупности является исходной предпосылкой построения корреляционных моделей, метод наименьших квадратов и метод максимального правдоподобия дают одинаковые результаты.

В анализе двумерной корреляционной модели обычно оценку уравнения регрессии производят с помощью метода наименьших квадратов.

4.5. Ранговая корреляция.

Для изучения взаимосвязи признаков, не поддающихся количественному измерению, используются различные показатели ранговой корреляции. В этой случае элементы совокупности располагают в определенном порядке в соответствии с некоторыми признаками (качественным и количественным), т.е. производят ранжирование. При этом каждому объекту присваивается порядковый номер, называемый рангом. Например, элементу с наименьшим значением признака присваивается ранг 1, следующему за ним элементу - ранг 2 и т.д. Элементы можно располагать также в порядке убывания значений признака. Если объекты ранжированы по двум признакам, то можно изменить силу связи между признаками, основываясь на значениях рангов.

Коэффициент ранговой корреляции Спирмэна является парным, и его использование не связано с предпосылкой нормальности распределения исходных данных d rs = 1 n n - ( ) где d - разность значений рангов, расположенных в двух рядах у одного и того же объекта.

Величина rs для двух рядов, состоящих из n рангов, зависит только от d2. Если два ряда полностью совпадают, то d2=0 и, следовательно rs=1, т.е. при полной прямой связи rs=1. При полной обратной связи, когда ранги двух рядов расположены в обратном порядке, rs=-1. При отсутствии корреляции между рангами rs=0.

Пример 4.3. При ранжировании оценок на вступительных экзаменах и средних баллов за первую экзаменационную сессию одних и тех же лиц получены следующие ранги:

Таблица 4. Ранг студент А Б В Г Д Е Ж З И К вступит. 2 5 6 1 4 10 7 8 3 экзамен экзамен. 3 6 4 1 2 7 8 10 5 сессия d -1 -1 2 0 2 3 -1 -2 -2 d2 1 1 4 0 4 9 1 4 4 6 Из данных таблицы 4.3 следует: d2=28;

rs=1- =0,83, 10 10 - ( ) что свидетельствует о достаточно высокой связи между изучаемыми признаками.

Для измерения тесноты связи между признаками, не поддающимися точной количественной оценке, используются и другие коэффициенты, например коэффициент Кэндела, конкордации, ассоциации, контингенции и др.

4.6. Нелинейная парная корреляция Для изучения связи между признаками, которая выражается нелинейной функцией, используется более общий, чем коэффициент корреляции, показатель тесноты связи - корреляционное отношение.

Нелинейная (или криволинейная) связь между двумя величинами - это такая связь, при которой равномерным изменениям одной величины соответствует неравномерные изменения другой, причем эта неравномерность имеет определенный закономерный характер.

Использование корреляционного отношения основано на разложении общей дисперсии зависимой переменной на составляющие:

дисперсию, характеризующую влияние объясняющей переменной, и дисперсию, характеризующую влияние неучтенных и случайных факторов:

S2 = S2 + Sос т y y/x где S2 - общая дисперсия зависимой переменной, т.е. дисперсия у относительно среднего значения;

S2 - дисперсия функции регрессии относительно среднего у/х значения зависимой переменной, характеризующая влияние объясняющей переменной;

S2 - дисперсия зависимой переменной у относительно функции ост регрессии, т.е. остаточная дисперсия.

Корреляционной отношение выборочных данных определяется по формуле n (yi - i) i= yx = 1- n (yi - y) i= Sос т или yx = 1- S y Влияние корреляционного отношения заключено в пределах 0 yx Если дисперсия S2y/x, обусловленная зависимостью величины у от объясняющей переменной х, равно общей дисперсии S2y (а это возможно лишь при наличие функциональной связи), то yx=1. Если же остаточная (т.е. необъясненная) дисперсия S2 равна общей дисперсии S2y, то yx=0, ост т.е. корреляционная связь отсутствует.

В предыдущей главе было отмечено, что линейный коэффициент парной корреляции является симметричной функцией относительно х и у. Следует подчеркнуть, что этим свойством не обладают корреляционное отношение, т.е. xуyx. Для линейной связи xy=yx=rxy Поэтому величину 2-r2 можно использовать для характеристики нелинейности связи между переменными.

В качестве одного из самых простых критериев оценки нелинейности связи можно использовать следующий:

n K = 2 - ryx н yx 0,67449 Если значение Кн>2,5, то корреляционную связь можно считать нелинейной.

Проверка и построение доверительных интервалов для корреляционного отношения генеральной совокупности осуществляются так же, как аналогичные процедуры для линейного коэффициента парной корреляции:

yx t = n - 2;

н 1- yx tкр находится по таблице распределения Стьюдента из условия t = n - 2 к р доверительный интервал имеет вид 1- 2 1- - t + t n - 3 n - где t находится по таблице интегральной функции Лапласа с учетом уровня доверительной вероятности.

Следует обратить внимание на то, что использование корреляционного отношения имеет смысл только для функций криволинейных, но линейных относительно параметров. Для функций, ~ нелинейных относительно параметров [типа y = f x ], корреляционное ( ) отношение не может служить точным измерителем тесноты связи.

Тест 1. В каких пределах изменяется парный коэффициент корреляции?

а) 0 xy б) -1 xy в) - xy + г) 0 xy 2. В каких пределах изменяется множественный коэффициент корреляции?

а) 0 y/xz б) -1 y/xz в) - y/xz + г) 0 y/xz 3. Если парный коэффициент корреляции по модулю больше модуля соответствующего частного (например | xy|>| xy/z|) и коэффициенты не имеют разных знаков, то это означает, что:

а) фиксируемая переменная z ослабляет корреляционную связь;

б) фиксируемая переменная усиливает связь между х и у;

в) фиксируемая переменная не связана с факторами х и у;

г) возможен любой из первых трех исходов.

4. Коэффициент детерминации между х и у характеризует:

а) долю дисперсии у, обусловленную влиянием не входящих в модель факторов;

б) долю дисперсии у, обусловленную влиянием х;

в) долю дисперсии х, обусловленную влиянием не входящих в модель факторов;

г)направление зависимости между х и у.

5. Парный коэффициент корреляции между факторами равен 1. Это означает:

а) наличие нелинейной функциональной связи;

б) отсутствие связи;

в) наличие функциональной связи;

г) отрицательную линейную связь.

6. На основании 20 наблюдений выяснено, что выборочная доля дисперсии случайной величины у, вызванной вариацией х, составит 64%.

Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции:

а) 0,64;

б) 0,36;

в) 0,8;

г) 0,8 или -0,8.

7. По данным выборочного обследования группы предприятий было установлено, что выборочная доля дисперсии прибыли у, вызванная влиянием неучтенных в модели факторов, кроме фондовооруженности х, составляет 19%. Чему равен выборочный коэффициент детерминации:

а) 0, б) -0, в) 0, г) 0, 8. По результатам выборочных наблюдений были получены выборочные коэффициенты регрессии: byx=-0,5 и bxy=-1,62. Чему равен выборочный парный коэффициент корреляции?

а) 0, б) 0, в) -0, г) 0, 9. Частный коэффициент корреляции оценивает:

а) тесноту связи между двумя переменными при фиксированном значении остальных;

б) тесноту связи между двумя переменными;

в) тесноту связи между тремя переменными;

г) свободное влияние нескольких переменных на одну.

10. Множественный коэффициент корреляции оценивает:

а) долю дисперсии одной переменной, обусловленную влиянием остальных переменных, включенных в модель;

б) степень совокупного влияния нескольких переменных на одну;

в) тесноту нелинейной связи между переменными;

г) тесноту связи между двумя переменными при фиксированном значении остальных.

5. РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ 5.1. Задачи регрессионного анализа Понятия регрессии и корреляции непосредственно связаны между собой, но при этом существует четкое различие между ними. В корреляционном анализе оценивается сила стохастической связи, в регрессионном анализе исследуются ее формы.

Под регрессионным анализом обычно понимают метод стохастического анализа зависимости случайной величины Y от переменных x (j=1, 2,..., k), рассматриваемых как неслучайные j величины, независимо от истинного закона распределения x.

j С помощью уравнения регрессии = f (x1, x2,..., xђ ), применяемого для экономического анализа, можно измерить влияние отдельных факторов на зависимую переменную, что делает анализ конкретным, существенно повышает его познавательную ценность, уравнения регрессии также применяются в прогнозных работах.

Построение уравнения регрессии предполагает решение двух основных задач.

Первая задача заключается в выборе независимых переменных, оказывающих существенное влияние на зависимую величину, а также в определении вида уравнения регрессии.

Вторая задача построения уравнения регрессии - оценивание параметров (коэффициентов) уравнения. Она решается с помощью того или иного математико-статистического метода обработки данных. В связи с тем, что оценки параметров уравнения являются выборочными характеристиками, в процессе оценивания необходимо проводить статистическую проверку существенности полученных параметров.

Выбор уравнения регрессии осуществляется в соответствии с экономической сущностью изучаемого явления. Процессы, где влияние факторов-аргументов происходит с постоянным ускорением или замедлением, описываются параболическими кривыми. Иногда в экономике для описания зависимостей используются и более сложные виды функций, например, логистические, если процесс сначала ускоренно развивается, а затем после достижения некоторого уровня затухает и приближается к некоему пределу.

Наиболее простыми видами зависимости являются линейные, или приводимые к ним.

На практике чаще встречаются следующие виды уравнений регрессии:

~ • y = 0 + 1x - двумерное линейное;

2 k ~ • y = + 1x + x +...+ x - полиномиальное;

0 2 k ~ • y = + 1 - гиперболическое;

x ~ • y = + 1x1 + x2 +...+ x - линейное многомерное;

0 2 k k 1 ~ k • y = x1 x2... x - степенное.

0 k Линейной с точки зрения регрессионного анализа называется - модель, линейная относительно неизвестных параметров j.

Будем рассматривать модель, зависящую линейно как от параметров j так и от переменных x.

j Так как теория линейных моделей разработана наиболее полно, то на практике степенные уравнения регрессии часто преобразуют к линейному путем логарифмирования:

~ lg y = lg + 1 lg x1 + lg x2 +...+ lg x.

0 2 k k ~ С помощью подстановок lg x = u ;

lg~ = z и lg = 0/ приходят к y j j получению линейного уравнения регрессии:

~ / Z = + 1u1 + u2 +...+ uk.

0 2 k j Путем подстановок = u и x = u гиперболическое и полиномиальное j x уравнения так же могут быть преобразованы в линейные.

Предполагается, что случайная величина Y имеет нормальный ~ закон распределения с условным математическим ожиданиемY, являющимся функцией аргументов x (j=1, 2,..., k), и постоянной, не j зависящей от аргументов дисперсии 2.

В общем виде линейная связь регрессионного анализа может быть представлена в следующем виде:

n ~ Y = (x1, x2,..., x ) +, j j k j= где:

• j - некоторая функция переменных x1, x2,..., xk ;

• - случайная величина с нулевым математическим ожиданием M()=0 и дисперсией D()=2;

• j - коэффициенты уравнения регрессии.

Оценка неизвестных параметров j (j = 1, 2, 3,..., k) по результатам выборки объемом n является основной задачей регрессионного анализа.

Для оценки неизвестных параметров уравнение регрессии чаще всего используют метод наименьших квадратов, который позволяет получить несмещенные оценки. В случае линейной модели bj будут несмещенными оценками с минимальной дисперсией параметров j:

= b0 + b1x1 + b2x2 +... + bk xk.

5.2. Исходные предпосылки регрессионного анализа и свойства оценок Применение методов наименьших квадратов для нахождения оценок параметров простой множественной регрессии предполагает выполнение некоторых предпосылок, касающихся прежде всего случайной переменной в уравнении y=x+, учитывающей ошибки измерения и ошибки спецификации. Эти предпосылки не определяются объемом выборки и числом включенных в анализ переменных.

1. Полагаем, что при заданных значениях переменных на переменную Y не оказывают влияния никакие другие систематически действующие факторы и случайности, учитываемые с помощью, т.е.

M()=0. Отсюда следует, что средний уровень переменной Y определяется только функцией = x и возмущающая переменная не коррелирует со значениями регрессии.

2. Дисперсия случайной переменной должна быть для всех i 2 одинакова и постоянна: M ( ) =. Это свойство переменной i называется гомоскедастичностью и означает, что неучтенные факторы и модели оказывают одинаковое влияние.

3. Значение случайной переменной попарно не коррелированны, т.е.

M(ii-l)=0 (для l0). В случае, когда исходные данные представляют собой временные ряды, выполнение этой предпосылки свидетельствуют об отсутствии автокорреляции возмущающей переменной. Обобщая вторую и третью предпосылки, можно записать:

2 0. 0.

M(T ) = 2E =....

0 0. 4. Число наблюдений должно превышать число параметров.

Согласно этой предпосылке, между объясняющими переменными не должно быть линейной зависимости, т.е. предполагается отсутствие мультиколлинеарности.

5. Объясняющие переменные не должны коррелировать с возмущающей переменной, т.е. M(x)=0. Отсюда следует, что переменные xj (j=1, 2,..., k) объясняют переменную y, а переменная y не объясняет переменные xj (j=1, 2,..., k).

6. Возмущающая переменная распределена нормально, не оказывает никакого существенного влияния на переменную y и представляет собой суммарный эффект от большого числа незначительных некоррелированных влияющих факторов.

Одновременно эта предпосылка означает, что зависимая переменная y или переменные y и xj (j=1, 2,..., k) распределены нормально. Оценки параметров регрессии являются функциями от наблюдаемых значений и зависят также от применяемых методов оценки. Метод наименьших квадратов - один из наиболее распространенных. Исходя из того, что статистическая оценка в отличие от оцениваемых параметров является случайной величиной c определенным распределением вероятностей, считают, что распределение этой случайной величины зависит от закона распределения возмущающей переменной.

Метод наименьших квадратов (МНК) дает хорошее приближение оценок bj к истинным значениям параметров j.

5.3. Двумерная линейная регрессионная модель.

Рассмотрим простейшую двумерную модель регрессионного анализа:

~ y = M (y / x = x) = 0 + 1x. (5.1) Выражение (5.1) называется функцией регрессии y на x.

Определению подлежат параметры уравнения регрессии 0 и 1, называемые коэффициентами регрессии, а также - остаточная ос т дисперсия.

Остаточной дисперсией называется та часть вариации зависимой переменной, которую нельзя объяснить воздействием объясняющей переменной. Именно поэтому остаточная дисперсия может быть использована для оценки качества модели, точности подбора функции, полноты набора объясняющих переменных.

Для нахождения оценок параметров уравнения регрессии чаще всего используется метод наименьших квадратов. Обозначим оценки параметров уравнения регрессии 0 и 1 как b0 и b1. В соответствии с методом наименьших квадратов оценки b0 и b1 можно получить из условия минимизации суммы квадратов ошибок оценивания, т.е. суммой квадратов отклонений фактических значений зависимой переменной от расчетных ее значений, полученных на основе уравнения регрессии n n Q = (yi - i)2 = (yi - b0 - b1x)2 min, (5.2) i=1 i= где i = b0 + b1xi.

Значения i называются расчетными;

они представляют собой значения зависимой переменной при заданном значении объясняющей переменной и в предположении, что последняя является единственной причиной изменения y, а ошибка оценки равна нулю. Разброс фактических значений i вокруг yi обусловлен воздействием множества случайных факторов. Разность ( yi - i ) называется остатком и дает количественную оценку значения ошибки, т.е. показывает воздействие возмущающей переменной.

Для того, чтобы найти минимум функции (5.2), сначала рассчитывают частные производные первого порядка, затем каждую из них приравнивают к нулю и решают полученную систему уравнений.

На основе изложенного выведем теперь оценки коэффициентов регрессии:

n Q = -2 - b0 - b1xi );

(y b0 i=1 i n n 2( yi - nb0 - b1 i ) = 0, x i=1 i= откуда n n nb0 + b1 i = yi x i=1 i= n Q = -2 (yi - b0 - b1xi);

x b1 i=1 i n n n 2( yi - b0 i - b1 i2) = 0, x x x i i=1 i=1 i= откуда n n n b0 i + b1 i2 = yi.

x x x i i=1 i=1 i= Итак, получили систему двух линейных уравнений, которая называется системой нормальных уравнений:

n n nb0 + b1 i = yi x i=1 i= (5.3) n n n b0 i + b1 i = i yi x x x i=1 i=1 i= Решим систему относительно b0 и b1.

n n n n x yi - 1x y xy - x y (x - x)(yi - y) i i i i n i=1 i=1 i=1 i= b1 = = = (5.4) 2 n n S x (x - x) i xi n i= 2 i= x - n i n i= n n y x i i i= b0 = - b1 i=1 = y - b1x. (5.5) n n Оценку остаточной дисперсии можно получить, используя формулу n (y - i ) i i= ост = (5.6) n - Следует отметить, что оценки b0 и b1 коэффициентов регрессии и 1, полученных по методу наименьших квадратов, обладает минимальной дисперсией среди всех возможных в классе линейных оценок.

Свободный член b0 определяет точку пересечения линии регрессии с осью ординат (рис 5.1). Поскольку b0 является средним значением y в точке x=0, экономическая интерпретация его вряд ли возможна. Поэтому на практике обычно больший интерес вызывает коэффициент регрессии b1.

y ^ y=b +b x 0 b b 0 x Рис. 5.1. Регрессионная прямая и ее параметры Коэффициент регрессии b1 характеризует наклон прямой, описываемой уравнением, к оси абсцисс. Если обозначить угол, образуемый этой прямой и осью ox как, то b1=tg. Коэффициент регрессии b1 показывает среднюю величину изменения зависимой переменной y при изменении объясняющей переменной x на единицу собственного изменения. Знак при b1 указывает направление этого изменения. Если коэффициент регрессии имеет отрицательный знак, то это говорит об отрицательной регрессии, при которой увеличение значений объясняющей переменной ведет к убыванию значения y. Если коэффициент регрессии имеет положительный знак, то это говорит о положительной регрессии, означающей, что при увеличении значений объясняющей переменной увеличиваются и значения зависимой переменной.

Коэффициент b0 имеет размерность зависимой переменной.

Размерность коэффициента регрессии b1 представляет собой отношение размерности зависимой переменной к размерности объясняющей переменной.

После того, как модель построена, то есть найдены ее параметры, необходимо проверить ее адекватность исходным данным, а также полученную точность.

При соблюдении всех предпосылок регрессионного анализа можно проверить значимость уравнения регрессии, для чего следует проверить нулевую гипотезу H0 : 1=0. В основе проверки лежит идея дисперсионного анализа, состоящая в разложении дисперсии на составляющие. В регрессионном анализе общая сумма Qобщ квадратов отклонений зависимой переменной разлагается на сумму квадратов QR отклонений, обусловленных регрессией, которая характеризует воздействие объясняющей переменной, и сумму квадратов Qост отклонений относительно плоскости регрессии, характеризующую воздействие неучтенных в модели или случайных факторов. При этом n Qобщ=QR + +Qост, где Qобщ = - y )2.

(y i i= Разложим Qобщ на составляющие, прибавив и вычтя предварительно i :

n n Qобщ = i - y)2 = [(i - y) + (yi - i)] = (y i=1 i= n n n = ( - y)2 + (y - i)2 + 2( - y)(yi - i) i i i i=1 i=1 i= Покажем, что последнее слагаемое равно 0. Для этого учтем (5.2) и (5.5) запишем:

(уi - y) = (b0 + b1xi ) - (b0 + b1x) = b1(xi - x) и (yi - i) = yi - b0 - b1xi = yi - (y - b1x) - b1xi = (yi - y) - b1(xi - x) Тогда получим с учетом (5.4) n n n 2 - i)(i - y) = 2b1 i - x)(yi - y) - 2b1 i - x)2 = (y (x (x i i=1 i=1 i= Откуда:

n n QR = (i - y)2 = b12 (xi - x)2 (5.7) i=1 i= n Qост = (yi - i)2 (5.8) i= Понятно, что чем меньше Qост, т.е. меньше воздействие неучтенных в модели или случайных факторов, тем точнее соответствует модель фактическим данным.

Для проверки гипотезы используется F-критерий, основанный на статистике QR Fн =, (5.9) Qос т n - который имеет распределение Фишера-Снедекора с числом степеней свободы 1=1 и 2=n-2.

Задавшись уровнем значимости и соответствующим числом степеней свободы (используя таблицу F-распределения Фишера Снедекора), находим Fкр, удовлетворяющее условию P(Fн>Fкр).

Если Fн>Fкр, нулевая гипотеза отвергается и уравнение регрессии считается значимым. При Fн Fкр оснований для отклонения гипотезы нет.

Если уравнение регрессии значимо, то представляет интерес определение с надежностью интервальных оценок параметров, 1, ~ y :

n ост xi b 0 + t n i=1 ;

(5.10) n (xi - x) i= ост b 1 ± t n ;

(5.11) (xi - x) i= 1 (x0 - x) ~ y (b0 + b1x0) ± tост +. (5.12) n n (x - x) i i= Доверительную оценку с надежностью для интервала предсказания в точке x=x0 определяют по формуле (здесь х0хi, где i=1,2,...,n):

1 (x0 - x) ~ yn+1 (b0 + b1x0) ± tост + +1, (5.13) n n (x - x) i i= где t определяют по таблице t-распределения Стьюдента при =1- и =n-2.

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности построенной модели является коэффициент детерминации r2, определяемый как:

QR R r2 = =. (5.14) Qобщ общ n - Отношение (5.14) показывает, какая часть общей дисперсии зависимой переменной y обусловлена вариацией объясняющей 2 переменной x. Чем больше доля дисперсии R в общей дисперсии общ, тем лучше выбранная функция аппроксимирует фактические данные.

При этом выбранная функция тем лучше определена, чем меньше величина общ, т.е. чем меньше эмпирические значения отклоняются от расчетной линии регрессии.

Величина коэффициента детерминации находится в интервале r2 1. Если r2=0, то это означает, что вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели факторов. В этом случае линия регрессии будет параллельна оси абсцисс: yi = y - и никакой причинно-следственной связи не будет наблюдаться.

Если r2=1, то все фактические значения yi лежат на линии регрессии, т.е. yi = i. В этом случае говорят о строгой линейной функциональной связи между зависимой и объясняющей переменными.

При расчете коэффициента детерминации удобно пользоваться видоизмененной формулой n n n n iyi -x y x i i i=1 i=1 i= r = (5.15) n n n n n n n 2 n x - x x y - y y i i i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 i= Легко заметить, что r2 является квадратом выборочного коэффициента корреляции r. Величина 1-r2 характеризует долю общей дисперсии зависимой переменной, объясненную воздействием неучтенных в модели и случайных факторов.

Поясним это на примере. Для проведения экономического анализа было случайным образом отобрано 71 предприятие хлебопекарной промышленности. Следует оценить зависимость между x - долей активной части в стоимости основных промышленно-производственных фондов, %;

y - выработкой товарной продукции на одного работающего, тыс. руб.

По исходным данным определим вспомогательные величины:

xi=1911,9;

yi=1037,5;

xiyi=29296,89;

xi2=58317,27;

yi2=16391,56.

Определим оценки параметров, уравнения регрессии, для чего воспользуемся формулами 5.4 и 5. 412,632 - 26,298 14,613 19, b1 = -= 0,199;

96,243 96, b0 = 14,613 - 0,199 26,928 = 9, Таким образом, получим =9,254+0,199x.

Проверим значимость полученного уравнения, для чего определим QR и Qост по формулам (5.7) и (5.8).

QR = 269,29;

Qост = 964,03.

269, Тогда FH == 19, 964,03: Найдем Fкр из условия =0,05;

1=1;

2=69 по таблице Фишера - Снедекора. Fкр = 4.

Уравнение оказывается статически значимым (нулевая гипотеза отвергается).

В результате статистического моделирования получено уравнение регрессии = 9,254 + 0,199x зависимости выработки товарной продукции на одного работающего от доли активной части основных промышленно-производственных фондов.

Коэффициент регрессии b1 = 0,199 показывает, что при изменении доли активной части фондов на 1% выработка товарной продукции на одного работающего увеличивается на 0,199 тыс. руб., или на рублей. Коэффициент детерминации r2 =0,4682 =0,291, т.е. 21,9% вариации зависимой переменной объясняется вариацией доли активной части фондов, а 78,1% вариации вызвано воздействием неучтенных в модели и случайных факторов. Поэтому очевидно, что для характеристики выработки товарной продукции данная модель малопригодна.

Для сравнительного анализа влияния разных факторов и устранения различий в единицах их измерения используется коэффициент эластичности x 26, Э = b1 = 0199 = 0,367.

, y 14, Он означает, что при изменении (увеличении) доли активной части фондов на 1% выработка товарной продукции увеличивается на 0,367%.

Для устранения различий в степени колеблемости переменных в экономическом анализе используются -коэффициенты:

bS, 1 x С T = = 0199 = 047.

,, S, y Величина С T коэффициента свидетельствует о том, что при увеличении доли активной части фондов на одно среднеквадратическое отклонение выработка товарной продукции увеличится примерно на 0, среднеквадратического отклонения.

Таким образом, в результате экономической интерпретации выясняется, что модель недостаточно адекватно отражает исследуемый процесс, поэтому требуется дополнительный содержательный анализ по выявлению факторов, оказывающих существенное влияние на производительность труда.

Тест ~ 1. Уравнение регрессии имеет вид y = 51-1,7x. На сколько единиц своего, измерения в среднем изменится y при увеличении x на 1 единицу своего измерения:

а) Увеличится на 1,7;

б) Не изменится;

в) Уменьшится на 1,7;

г) Увеличится на 3,4.

QR 2. Статистика имеет распределение:

Qос т n - а) Фишера-Снедекора;

б) Фишера-Йейтса;

в) Стьюдента;

г) Пирсона.

3. Несмещенная оценка остаточной дисперсии в двумерной регрессионной модели рассчитывается по формуле:

а) ост = Qост ;

n - б) ост = Qост ;

n - в) ост = Qост ;

n г) ост = Qост.

n - 4. При интервальной оценке коэффициентов регрессии t определяется по таблице:

а) Нормального распределения;

б) Распределения Стьюдента;

в) Распределения Фишера-Снедекора;

г) Z-преобразования Фишера.

5. Согласно методу наименьших квадратов в качестве оценок параметров 0 и 1 следует использовать такие значения b1 и b2, которые минимизируют сумму квадратов отклонений:

а) фактических значений зависимой переменной от ее среднего значения;

б) фактических значений объясняемой переменной от ее среднего значения;

в) расчетных значений зависимой переменной от ее среднего значения;

г) фактических значений зависимой переменной от ее расчетных значения.

6. Какой коэффициент указывает в среднем процент изменения результативного показателя y при увеличении аргумента x на 1 процент:

а) Бета-коэффициент;

б) коэффициент эластичности;

в) коэффициент детерминации;

г) коэффициент регрессии.

7. Линейное относительно аргумента уравнение регрессии имеет вид:

~ а) y = + 1x + x ;

0 ~ б) y = + 1x ;

~ в) y = + 1 ;

x ~ г) y = x1.

8. При проверке гипотезы H0 : 1=0 оказалось, что Fнабл > Fкр.

Справедливо следующее утверждение:

а) 1=0;

б) 10;

в) 10 с вероятностью ошибки ;

г) 1=0 с вероятностью ошибки.

9. Оценку b1 коэффициента 1 находят по формуле:

xy - x y а) b1 = ;

S x y - x y б) b1 = ;

S y xy - x y в) b1 = ;

S x xy - x y г) b1 =.

S y 10. Какая из следующих формул справедлива?

n а) (yi - i)2 = 0 ;

i= n б) yi - y = 0 ;

( ) i= n в) i - y = 0 ;

i= n г) (yi - i) = 0.

i= Выводы Математическая статистика - это наука, занимающаяся анализом результатов наблюдений или опытов и построением оптимальных математико-статистических моделей массовых повторяющихся явлений, изменчивость которых обусловлена рядом неуправляемых факторов.

Методы математической статистики расширяют возможности научного прогнозирования и принятия решений в задачах, где параметры модели не могут быть известны или контролируемы с достаточной точностью. Ее методы универсальны и в настоящее время широко используются в экономике, технике, социологии, демографии, медицине и других отраслях народного хозяйства при анализе явлений, обладающих тем свойством, что хотя результат отдельного опыта не может быть однозначно определен, но значения результатов наблюдения обладают свойством статистической устойчивости.

Задачи математической статистики практически сводятся к обоснованному суждению об объективных свойствах генеральной совокупности по результатам случайной выборки из нее. Причем выборка называется случайной, когда каждый элемент генеральной совокупности имеет одинаковую вероятность быть отобранным.

Необходимость выборочного обследования при решении практических задач может быть связана со следующими причинами:

• генеральная совокупность настолько многочисленна, что проведение обследования всех элементов совокупности (сплошное обследование) слишком трудоемко. С такой ситуацией приходится встречаться при контроле продукции крупносерийного и массового производства;

• при бесконечной генеральной совокупности, когда даже весьма большое множество наблюдений не исчерпывает всей совокупности;

• в процессе проведения испытания происходит разрушение испытуемых образцов (например, испытание на определение срока службы изделия, предела прочности и т.д.);

• встречаются обстоятельства, когда мы располагаем результатами испытания всей совокупности, реально существующей на данный момент, но рассматриваем их как выборку из гипотетической генеральной сверхсовокупности. Так поступают в тех случаях, когда хотят выявить общую закономерность, по отношению к которой имеющаяся совокупность представляется лишь частным случаем.

Например, на протяжении ряда лет установлено, что доля мальчиков среди новорожденных составляла 0,513 общего числа родившихся в стране. Это данные сплошного обследования. Но если нас интересует общая закономерность соотношения полов среди новорожденных и мы хотим распространить полученные результаты на последующие годы, то эти данные следует рассматривать как выборку из некоторой бесконечной сверхсовокупности.

Перед экономистом, инженером, организатором производства ежедневно возникают вопросы, связанные с расчетом экономической эффективности различных мероприятий.

В связи с этим квалифицированному специалисту необходимо не только иметь правильные качественные представления об основных направлениях развития экономики, но и уметь учитывать сложное взаимосвязанное многообразие факторов, оказывающих заметное воздействие на производительность труда, объем производства, расход сырья и других видов ресурсов. Сложность состоит в том, что на строго детерминированные /определенные/ процессы и явления, определяющие развитие производства, накладываются случайные влияния.

Следовательно, нельзя проводить ответственные экономические и технологические исследования без учета действия случайных факторов, без знания основ теории вероятностей и математической статистики - дисциплин, занимающихся нахождением численных закономерностей массовых случайных явлений.

Теория вероятностей с помощью специфических средств математического анализа раскрывает переход от случайного в единичных явлениях к объективной закономерности в массе таких явлений. Правила, выясняющие этот переход, составляют математическое содержание закона больших чисел. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные явления, позволяет предвидеть, как эти явления будут развиваться. Таким образом, теория вероятностей - это математическая дисциплина, изучающая случайные явления и выясняющая закономерности, которым подчинены случайные явления при массовом их повторении.

Более широкому внедрению методов математической статистики в социально-экономических исследованиях способствует успешное развитие электронно-вычислительной техники. ПЭВМ дают возможность решать сложные социально-экономические задачи в режиме диалога экономиста-исследователя и машины.

Таблица Нормальный закон распределения З н а ч е н и я ф у н к ц и и Ф(t) = P (|T| tтабл) Целые и де- С о т ы е д о л и t сятичные 0 1 2 3 4 5 6 7 8 доли t 0,0 0,0000 0,0080 0,0160 0,0239 0,0319 0,0399 0,0478 0,0558 0,0638 0, 0,1 0797 0876 0955 1034 1113 1192 1271 1350 1428 0,2 1585 1663 1741 1819 1897 1974 2051 2128 2205 0,3 2358 2434 2510 2586 2661 2737 2812 2886 2960 0,4 3108 3182 3255 3328 3401 3473 3545 3616 3688 0,5 3829 3899 3969 4039 4108 4177 4245 4313 4381 0,6 4515 4581 4647 4713 4778 4843 4907 4971 5035 0,7 5161 5223 5285 5346 5407 5467 5527 5587 5646 0,8 5763 5821 5878 5935 5991 6047 6102 6157 6211 0,9 6319 6372 6424 6476 6528 6579 6629 6679 6729 1,0 0,6827 0,6875 0,6923 0,6970 0,7017 0,7063 0,7109 0,7154 0,7199 0, 1,1 7287 7330 7373 7415 7457 7499 7540 7580 7620 1,2 7699 7737 7775 7813 7850 7887 7923 7959 7994 1,3 8064 8098 8132 8165 8198 8230 8262 8293 8324 1,4 8385 8415 8444 8473 8501 8529 8557 8584 8611 1,5 8664 8690 8715 8740 8764 8789 8812 8836 8859 1,6 8904 8926 8948 8969 8990 9011 9031 9051 9070 1,7 9109 9127 9146 9164 9181 9199 9216 9233 9249 1,8 9281 9297 9312 9327 9342 9357 9371 9385 9399 1,9 9426 9439 9451 9464 9476 9488 9500 9512 9523 Окончание табл. Целые и С о т ы е д о л и t де- сятичные 0 1 2 3 4 5 6 7 8 доли t 2,0 0,9545 0,9556 0,9566 0,9576 0,9586 0,9596 0,9606 0,9616 0,9625 0, 2,1 9643 9651 9660 9668 9676 9684 9692 9700 9707 2,2 9722 9729 9736 9743 9749 9756 9762 9768 9774 2,3 9786 9791 9797 9802 9807 9812 9817 9822 9827 2,4 9836 9841 9845 9849 9853 9857 9861 9865 9869 2,5 9876 9879 9883 9886 9889 9892 9895 9898 9901 2,6 9907 9910 9912 9915 9917 9920 9922 9924 9926 2,7 9931 9933 9935 9937 9939 9940 9942 9944 9946 2,8 9949 9951 9952 9953 9955 9956 9958 9959 9960 2,9 9963 9964 9965 9966 9967 9968 9969 9970 9971 3,0 0,9973 0,9974 0,9975 0,9976 0,9976 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0, 3,1 9981 9981 9982 9983 9983 9984 9984 9985 9985 3,5 9995 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9996 9997 3,6 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9998 9998 3,7 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 9998 3,8 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 3,9 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 4,0 0,999936 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 9999 4,5 0,999994 - - - - - - - - 5,0 - - - - - - - - 0, Таблица Р а с п р е д е л е н и е С т ь ю д е н т а (t-распределение) В е р о я т н о с т ь = St (t) = P (|T| > tтабл) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0, 1 0,158 0,325 0,510 0,727 1,000 1,376 1,963 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 636, 2 0,142 0,289 0,445 0,617 0,816 1,061 1,386 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 31, 3 0,137 0,277 0,424 0,584 0,765 0,978 1,250 1,638 2,353 3,182 4,541 5,841 12, 4 0,134 0,271 0,414 0,569 0,741 0,941 1,190 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 8, 5 0,132 0,267 0,408 0,559 0,727 0,920 1,156 1,476 2,015 2,571 3,365 4,043 6, 6 0,131 0,265 0,404 0,553 0,718 0,906 1,134 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 5, 7 0,130 0,263 0,402 0,549 0,711 0,896 1,119 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 5, 8 0,130 0,262 0,399 0,546 0,706 0,889 1,108 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 5, 9 0,129 0,261 0,398 0,543 0,703 0,883 1,100 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 4, 10 0,129 0,260 0,327 0,542 0,700 0,879 1,093 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 4, 11 0,129 0,260 0,396 0,540 0,697 0,876 1,088 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 4, 12 0,128 0,259 0,395 0,539 0,695 0,873 1,083 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 4, 13 0,128 0,259 0,394 0,538 0,694 0,870 1,079 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 4, 14 0,128 0,258 0,393 0,537 0,692 0,868 1,076 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 4, 15 0,128 0,258 0,393 0,536 0,691 0,866 1,074 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 4, 16 0,128 0,258 0,392 0,535 0,690 0,865 1,071 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 4, 17 0,128 0,257 0,392 0,534 0,689 0,863 1,069 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 3, 18 0,127 0,257 0,392 0,534 0,688 0,862 1,067 1,330 1,734 1,101 2,552 2,878 3, 19 0,127 0,257 0,391 0,533 0,688 0,861 1,066 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 3, 20 0,127 0,257 0,391 0,533 0,687 0,860 1,064 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 3, Окончание табл. В е р о я т н о с т ь = St (t) = P (|T| > tтабл) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0,05 0,02 0,01 0, 21 0,127 0,257 0,391 0,532 0,686 0,859 1,063 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 3, 22 0,127 0,256 0,390 0,532 0,686 0,858 1,061 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 3, 23 0,127 0,256 0,390 0,532 0,685 0,868 1,060 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 3, 24 0,127 0,256 0,390 0,531 0,685 0,857 1,059 1,318 1,711 2,064 2,402 2,797 3, 25 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 3, 26 0,127 0,256 0,390 0,531 0,684 0,856 1,058 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 3, 27 0,127 0,256 0,389 0,531 0,684 0,855 1,057 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 3, 28 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,855 1,056 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 3, 29 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 3, 30 0,127 0,256 0,389 0,530 0,683 0,854 1,055 1,310 1,697 2,042 2,457 2,750 3, 40 0,126 0,255 0,388 0,529 0,681 0,851 1,050 1,303 1,684 2,021 2,423 2,704 3, 60 0,126 0,254 0,387 0,527 0,679 0,848 1,046 1,296 1,671 2,000 2,390 2,660 3, 120 0,126 0,254 0,386 0,526 0,677 0,845 1,041 1,289 1,658 1,980 2,358 2,617 3, 0,126 0,253 0,385 0,524 0,674 0,842 1,036 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 3, Таблица Р а с п р е д е л е н и е П и р с о н а (2-распределение) Значения 2 для вероятностей Р (2 > 2 ) табл табл В е р о я т н о с т ь 0,999 0,995 0,99 0,98 0,975 0,95 0,90 0,80 0,75 0,70 0, 1 0,05157 0,04393 0,03157 0,03628 0,03982 0,00393 0,0158 0,0642 0,102 0,148 0, 2 0,00200 0,0100 0,0201 0,0404 0,0506 0,103 0,211 0,446 0,575 0,713 1, 3 0,0243 0,0717 0,115 0,185 0,216 0,352 0,584 1,005 1,213 1,424 2, 4 0,0908 0,207 0,297 0,429 0,484 0,711 1,064 1,649 1,923 2,195 3, 5 0,210 0,412 0,554 0,752 0,831 1,145 1,610 2,343 2,675 3,000 4, 6 0,381 0,676 0,872 1,134 1,237 1,635 2,204 3,070 3,455 3,828 5, 7 0,598 0,989 1,239 1,564 1,690 2,167 2,833 3,822 4,255 4,671 6, 8 0,857 1,344 1,646 2,032 2,180 2,733 3,490 4,594 5,071 5,527 7, 9 1,152 1,735 2,088 2,532 2,700 3,325 4,168 5,380 5,899 6,393 8, 10 1,479 2,156 2,558 3,059 3,247 3,240 4,865 6,179 6,737 7,267 9, 11 1,834 2,603 3,053 3,609 3,816 4,575 5,578 6,989 7,584 8,148 10, 12 2,214 3,074 3,571 4,178 4,404 5,226 6,304 7,807 8,438 9,034 11, 13 2,617 3,565 4,107 4,765 5,009 5,892 7,042 8,634 9,299 9,926 12, 14 3,041 4,075 4,660 5,368 5,629 6,571 7,790 9,467 10,165 10,821 13, 15 3,483 4,601 5,229 5,985 6,262 7,261 8,547 10,307 11,036 11,721 14, 16 3,942 5,142 5,812 6,614 6,908 7,962 9,312 11,152 11,912 12,624 15, 17 4,416 5,697 6,408 7,255 7,564 8,672 10,085 12,002 12,892 13,531 16, 18 4,905 6,265 7,015 7,906 8,231 9,390 10,865 12,857 13,675 14,440 17, 19 5,407 6,844 7,633 8,567 8,907 10,117 11,651 13,716 14,562 15,352 18, 20 5,921 7,434 8,260 9,237 9,591 10,871 12,443 14,578 15,452 16,266 19, 21 6,447 8,034 8,897 9,915 10,283 11,591 13,240 15,445 16,344 17,182 20, 22 6,983 8,643 9,542 10,600 10,982 12,338 14,041 16,314 17,240 18,101 21, 23 7,529 9,260 10,196 11,293 11,688 13,091 14,848 17,187 18,137 19,021 22, 24 8,035 9,886 10,856 11,992 12,401 13,848 15,659 18,062 19,037 19,943 23, 25 8,649 10,520 11,524 12,697 13,120 14,611 16,173 18,940 19,939 20,887 24, 26 9,222 11,160 12,198 13,409 13,844 15,379 17,292 19,820 20,843 21,792 25, 27 9,803 11,808 12,879 14,125 14,573 16,151 18,114 20,703 21,749 22,719 26, 28 10,391 12,461 13,565 14,847 15,308 16,928 18,937 21,588 22,657 23,617 27, 29 10,986 13,121 14,256 15,574 16,047 17,708 19,768 22,475 23,567 24,577 28, 30 11,588 13,787 14,953 16,306 16,791 18,493 20,599 23,364 24,478 25,508 29, Окончание табл. Вероятность 0,30 0,25 0,20 0,10 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 0, 1 1,074 1,323 1,642 2,706 3,841 5,024 5,412 6,635 7,879 10, 2 2,408 2,773 3,219 4,605 5,991 7,378 7,824 9,210 10,597 13, 3 3,665 4,108 4,642 6,251 7,815 9,348 9,837 11,345 12,838 16, 4 4,878 5,385 5,989 7,779 9,488 11,143 11,668 13,277 14,860 18, 5 6,064 6,626 7,289 9,236 11,070 12,839 13,388 15,086 16,750 20, 6 7,231 7,841 8,558 10,645 12,592 14,449 15,033 16,812 18,548 22, 7 8,383 9,037 9,803 12,017 14,067 16,013 16,622 18,475 20,278 24, 8 9,524 10,219 11,030 13,362 15,507 17,535 18,168 20,090 21,955 26, 9 10,656 11,389 12,242 14,684 16,919 19,023 19,679 21,666 23,589 27, 10 11,781 12,549 13,412 15,987 18,307 20,483 21,161 23,209 25,188 29, 11 12,899 13,701 14,631 17,275 19,675 21,920 22,618 24,725 26,757 31, 12 14,011 14,845 15,812 18,549 21,026 23,337 24,054 26,217 28,300 32, 13 15,119 15,984 16,985 19,812 22,362 24,736 25,472 27,688 29,819 34, 14 16,222 17,117 18,151 21,064 23,685 26,119 26,873 29,141 31,319 36, 15 17,322 18,245 19,311 22,307 24,996 27,488 28,259 30,578 32,801 37, 16 18,418 19,369 20,465 23,542 26,296 28,845 29,633 32,000 34,267 39, 17 19,511 20,489 21,615 24,769 27,587 30,191 30,995 33,409 35,718 40, 18 20,601 21,605 22,760 25,989 28,869 31,526 32,346 34,805 37,156 42, 19 21,689 22,718 23,900 27,204 30,144 32,852 33,687 36,191 38,582 43, 20 22,775 23,828 25,038 28,412 31,410 34,170 35,020 37,566 39,997 45, 21 23,858 24,935 26,171 29,615 32,671 35,479 36,343 38,932 41,401 46, 22 24,939 26,039 27,301 30,813 33,924 36,781 37,659 40,289 42,796 48, 23 26,018 27,141 28,429 32,007 35,172 38,076 38,968 41,638 44,181 49, 24 27,096 28,241 29,553 33,196 36,415 39,364 40,270 42,980 45,558 51, 25 28,172 29,339 30,675 34,382 37,652 40,046 41,566 44,314 46,928 52, 26 29,246 30,434 31,795 35,563 38,885 41,923 42,856 45,642 48,290 54, 27 30,319 31,528 32,912 36,741 40,113 43,194 44,140 46,963 49,645 55, 28 31,391 32,620 34,027 37,916 41,337 44,461 45,419 48,278 50,993 56, 29 32,461 33,711 35,139 39,087 42,557 45,722 46,693 49,588 52,336 58, 30 33,530 34,800 36,250 40,256 43,773 46,979 47,962 50,892 53,672 59, Таблица Р а с п р е д е л е н и е Ф и ш е р а - С н е д е к о р а (F-распределение) Значения Fтабл, удовлетворяющие условию P (F > Fтабл). Первое значение соответствует вероятности 0,05, второе - вероятности 0,01 и третье - вероятности 0,001, где 1 - число степеней свободы числителя, а 2 - число степеней свободы знаменателя.

1 2 3 4 5 6 8 12 24 t 1 161,4 199,5 215,7 224,6 230,2 234,0 238,9 243,9 249,0 253,3 12, 4052 4999 5403 5625 5764 5859 5981 6106 6234 6366 63, 406523 500016 536700 562527 576449 585953 598149 610598 623432 636535 636, 2 18,51 19,00 19,16 19,25 19,30 19,33 19,37 19,41 19,45 19,50 4, 98,49 99,01 00,17 99,25 99,30 99,33 99,36 99,42 99,46 99,50 9, 998,46 999,00 999,20 999,20 999,20 999,20 999,40 999,60 999,40 999,40 31, 3 10,13 9,55 9,28 9,12 9,01 8,94 8,84 8,74 8,64 8,53 3, 34,12 30,81 29,46 28,71 28,24 27,91 27,49 27,05 26,60 26,12 5, 67,47 148,51 141,10 137,10 134,60 132,90 130,60 128,30 125,90 123,50 12, 4 7,71 6,94 6,59 6,39 6,26 6,16 6,04 5,91 5,77 5,63 2, 21,20 18,00 16,69 15,98 15,52 15,21 14,80 14,37 13,93 13,46 4, 74,13 61,24 56,18 53,43 51,71 50,52 49,00 47,41 45,77 44,05 8, 5 6,61 5,79 5,41 5,19 5,05 4,95 4,82 4,68 4,53 4,36 2, 16,26 13,27 12,06 11,39 10,97 10,67 10,27 9,89 9,47 9,02 4, 47,04 36,61 33,20 31,09 20,75 28,83 27,64 26,42 25,14 23,78 6, 6 5,99 5,14 4,76 4,53 4,39 4,28 4,15 4,00 3,84 3,67 2, 13,74 10,92 9,78 9,15 8,75 8,47 8,10 7,72 7,31 6,88 3, 35,51 26,99 23,70 21,90 20,81 20,03 19,03 17,99 16,89 15,75 5, 7 5,59 4,74 4,35 4,12 3,97 3,87 3,73 3,57 3,41 3,23 2, 12,25 9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,84 6,47 6,07 5,65 3, 29,22 21,69 18,77 17,19 16,21 15,52 14,63 13,71 12,73 11,70 5, Продолжение табл. 2 3 4 5 6 8 12 24 t 2 1 8 5,32 4,46 4,07 3,84 3,69 3,58 3,44 3,28 3,12 2,99 2, 11,26 8,65 7,59 7,10 6,63 6,37 6,03 5,67 5,28 4,86 3, 25,42 18,49 15,83 14,39 13,49 12,86 12,04 11,19 10,30 9,35 5, 9 5,12 4,26 3,86 3,63 3,48 3,37 3,23 3,07 2,90 2,71 2, 10,56 8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,47 5,11 4,73 4,31 3, 22,86 16,39 13,90 12,56 11,71 11,13 10,37 9,57 8,72 7,81 4, 10 4,96 4,10 3,71 3,48 3,33 3,22 3,07 2,91 2,74 2,54 2, 10,04 7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,06 4,71 4,33 3,91 3, 21,04 14,91 12,55 11,28 10,48 9,92 9,20 8,45 7,64 6,77 4, 11 4,84 3,98 3,59 3,36 3,20 3,09 2,95 2,79 2,61 2,40 2, 9,65 7,20 6,22 5,67 5,32 5,07 4,74 4,40 4,02 3,60 3, 19,69 13,81 11,56 10,35 9,58 9,05 8,35 7,62 6,85 6,00 4, 12 4,75 3,88 3,49 3,26 3,11 3,00 2,85 2,69 2,50 2,30 2, 9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,50 4,16 3,78 3,36 3, 18,64 12,98 10,81 9,63 8,89 8,38 7,71 7,00 6,25 5,42 4, 13 4,67 3,80 3,41 3,18 3,02 2,92 2,77 2,60 2,42 2,21 2, 9,07 6,70 5,74 5,20 4,86 4,62 4,30 3,96 3,59 3,16 3, 17,81 12,31 10,21 9,07 8,35 7,86 7,21 6,52 5,78 4,97 4, 14 4,60 3,74 3,34 3,11 2,96 2,85 2,70 2,53 2,35 2,13 2, 8,86 6,51 5,56 5,03 4,69 4,46 4,14 3,80 3,43 3,00 2, 17,14 11,78 9,73 8,62 7,92 7,44 6,80 6,13 5,41 4,60 4, 15 4,45 3,68 3,29 3,06 2,90 2,79 2,64 2,48 2,29 2,07 2, 8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,00 3,67 3,29 2,87 2, 16,59 11,34 9,34 8,25 7,57 7,09 6,47 5,81 5,10 4,31 4, 16 4,41 3,63 3,24 3,01 2,85 2,74 2,59 2,42 2,24 2,01 2, 8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 3,89 3,55 3,18 2,75 2, 16,12 10,97 9,01 7,94 7,27 6,80 6,20 5,55 4,85 4,06 4, Продолжение табл. 1 2 3 4 5 6 8 12 24 t 17 4,45 3,59 3,20 2,96 2,81 2,70 2,55 2,38 2,19 1,96 2, 8,40 6,11 5,18 4,67 4,34 4,10 3,79 3,45 3,08 2,65 2, 15,72 10,66 8,73 7,68 7,02 6,56 5,96 5,32 4,63 3,85 3, 18 4,41 3,55 3,16 2,93 2,77 2,66 2,51 2,34 2,15 1,92 2, 8,28 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,71 3,37 3,01 2,57 2, 15,38 10,39 8,49 7,46 6,81 6,35 5,76 5,13 4,45 3,67 3, 19 4,38 3,52 3,13 2,90 2,74 2,63 2,48 2,31 2,11 1,88 2, 8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,63 3,30 2,92 2,49 2, 15,08 10,16 8,28 7,26 6,61 6,18 5,59 4,97 4,29 3,52 3, 20 4,35 3,49 3,10 2,87 2,71 2,60 2,45 2,28 2,08 1,84 2, 8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,56 3,23 2,86 2,42 2, 14,82 9,95 8,10 7,10 6,46 6,02 5,44 4,82 4,15 3,38 3, 21 4,32 3,47 3,07 2,84 2,68 2,57 2,42 2,25 2,05 1,82 2, 8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,51 3,17 2,80 2,36 2, 14,62 9,77 7,94 6,95 6,32 5,88 5,31 4,70 4,03 3,26 3, 22 4,30 3,44 3,05 2,82 2,66 2,55 2,40 2,23 2,03 1,78 2, 7,94 5,72 4,82 4,31 3,99 3,75 3,45 3,12 2,75 2,30 2, 14,38 9,61 7,80 6,81 6,19 5,76 5,19 4,58 3,92 3,15 3, 23 4,28 3,42 3,03 2,80 2,64 2,53 2,38 2,20 2,00 1,76 2, 7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,41 3,07 2,70 2,26 2, 14,19 9,46 7,67 6,70 6,08 5,56 5,09 4,48 3,82 3,05 3, 24 4,26 3,40 3,01 2,78 2,62 2,51 2,36 2,18 1,98 1,73 2, 7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,36 3,03 2,66 2,21 2, 14,03 9,34 7,55 6,59 5,98 5,55 4,99 4,39 3,74 2,97 3, Окончание табл. 1 2 3 4 5 6 8 12 24 t 25 4,24 3,38 2,99 2,76 2,60 2,49 2,34 2,16 1,96 1,71 2, 7,77 5,57 4,68 4,18 3,86 3,63 3,32 2,99 2,62 2,17 2, 13,88 9,22 7,45 6,49 5,89 5,46 4,91 4,31 3,66 2,89 3, 26 4,22 3,37 2,98 2,74 2,59 2,47 2,32 2,15 1,95 1,69 2, 7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,29 2,96 2,58 2,13 2, 13,74 9,12 7,36 6,41 5,80 5,38 4,83 4,24 3,59 2,82 3, 27 4,21 3,35 2,96 2,73 2,57 2,46 2,30 2,13 1,93 1,67 2, 7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,26 2,93 2,55 2,10 2, 13,61 9,02 7,27 6,33 5,73 5,31 4,76 4,17 3,52 2,76 3, 28 4,19 3,34 2,95 2,71 2,56 2,44 2,29 2,12 1,91 1,65 2, 7,64 5,54 4,57 4,07 3,75 3,53 3,23 2,90 2,52 2,06 2, 13,50 8,93 7,18 6,25 5,66 5,24 4,69 4,11 3,46 2,70 3, 29 4,18 3,33 2,93 2,70 2,54 2,43 2,28 2,10 1,90 1,64 2, 7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,20 2,87 2,49 2,03 2, 13,39 8,85 7,12 6,19 5,59 5,18 4,65 4,05 3,41 2,64 3, 30 4,17 3,32 2,92 2,69 2,53 2,42 2,27 2,09 1,89 1,62 2, 7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,17 2,84 2,47 2,01 2, 13,29 8,77 7,05 6,12 5,53 5,12 4,58 4,00 3,36 2,59 3, 60 4,00 3,15 2,76 2,52 2,37 2,25 2,10 1,92 1,70 1,39 2, 7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,82 2,50 2,12 1,60 2, 11,97 7,76 6,17 5,31 4,76 4,37 3,87 3,31 2,76 1,90 3, 3,84 2,99 2,60 2,37 2,21 2,09 1,94 1,75 1,52 1,03 1, 6,64 4,60 3,78 3,32 3,02 2,80 2,51 2,18 1,79 1,04 2, 10,83 6,91 5,42 4,62 4,10 3,74 3,27 2,74 2,13 1,05 3, Таблица Т а б л и ц а Ф и ш е р а - И е й т с а Значения rкр, найденные для уровня значимости и чисел степеней свободы = n - 2 в случае парной корреляции и = n - l - 2, где l - число исключенных величин в случае частной корреляции Двусторонние границы Двусторонние границы 0,05 0,02 0,01 0,001 0,05 0,02 0,01 0, 1 0,997 1,000 1,000 1,000 16 0,468 0,543 0,590 0, 2 0,950 0,980 0,990 0,999 17 0,456 0,529 0,575 0, 3 0,878 0,934 0,959 0,991 18 0,444 0,516 0,561 0, 4 0,811 0,882 0,917 0,974 19 0,433 0,503 0,549 0, 5 0,754 0,833 0,875 0,951 20 0,423 0,492 0,537 0, 6 0,707 0,789 0,834 0,925 25 0,381 0,445 0,487 0, 7 0,666 0,750 0,798 0,898 30 0,349 0,409 0,449 0, 8 0,632 0,715 0,765 0,872 35 0,325 0,381 0,418 0, 9 0,602 0,685 0,735 0,847 40 0,304 0,358 0,393 0, 10 0,576 0,658 0,708 0,823 45 0,288 0,338 0,372 0, 11 0,553 0,634 0,684 0,801 50 0,273 0,322 0,354 0, 12 0,532 0,612 0,661 0,780 60 0,250 0,295 0,325 0, 13 0,514 0,592 0,641 0,760 70 0,232 0,274 0,302 0, 14 0,497 0,574 0,623 0,742 80 0,217 0,257 0,283 0, 15 0,482 0,558 0,606 0,725 90 0,205 0,242 0,267 0, 100 0,195 0,230 0,254 0, 0,025 0,01 0,005 0,0005 0,025 0,01 0,005 0, Односторонние границы Односторонние границы Таблица Т а б л и ц а Z-п р е о б р а з о в а н и я Ф и ш е р а Z = { ln (1 + r) - ln (1 - r)} r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,0 0,0000 0,0101 0,0200 0,0300 0,0400 0,0501 0,0601 0,0701 0,0802 0, 1 0,1003 0,1104 0,1206 0,1308 0,1409 0,1511 0,1614 0,1717 0,1820 0, 2 0,2027 0,2132 0,2237 0,2342 0,2448 0,2554 0,2661 0,2769 0,2877 0, 3 0,3095 0,3205 0,3316 0,3428 0,3541 0,3654 0,3767 0,3884 0,4001 0, 4 0,4236 0,4356 0,4477 0,4599 0,4722 0,4847 0,4973 0,5101 0,5230 0, 5 0,5493 0,5627 0,5764 0,5901 0,6042 0,6184 0,6328 0,6475 0,6625 0, 6 0,6932 0,7089 0,7250 0,7414 0,7582 0,7753 0,7928 0,8107 0,8291 0, 7 0,8673 0,8872 0,9077 0,9287 0,9505 0,9730 0,9962 1,0203 1,0454 1, 8 1,0986 1,1270 1,1568 1,1881 1,2212 1,2562 1,2933 1,3331 1,3758 1, 9 1,4722 1,5275 1,5890 1,6584 1,7381 1,8318 1,9459 2,0923 2,2976 2, 0,99 2,6466 996 2,7587 2,8257 2,9031 2,9945 3,1063 3,2504 3,4534 3, Таблица t Значение плотности f(t) = e значение для нормированного нормального закона распределения f(-t) = f(t) Целые и де- Сотые доли t сятые доли t 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0,0 0,3989 0,3989 0,3989 0,3988 0,3986 0,3984 0,3982 0,3980 0,3977 0, 0,1 3970 3965 3961 3956 3951 3945 3939 3932 3925 0,2 3910 3902 3894 3885 3876 3867 3857 3847 3836 0,3 3814 3802 3790 3778 3765 3752 3739 3726 3712 0,4 3683 3668 3653 3637 3621 3605 3589 3572 3555 0,5 3525 3503 3485 3467 3448 3429 3410 3391 3372 0,6 3332 3312 3292 3271 3251 3230 3209 3187 3166 0,7 3123 3101 3079 3-56 3034 3011 2989 2966 2943 0,8 2897 2874 2850 2827 2803 2780 2756 2732 2709 0,9 2661 2631 2613 2589 2565 2541 2516 2492 2468 1,0 0,2420 0,2396 0,2371 0,2347 0,2323 0,2299 0,2275 0,2251 0,2227 0, 1,1 2179 2155 2131 2107 2083 2059 2036 3012 1989 1,2 1942 1919 1895 1872 1849 1826 1804 1781 1758 1,3 1714 1691 1669 1647 1626 1604 1582 1561 1539 1,4 1497 1476 1456 1435 1415 1394 1374 1354 1334 1,5 1295 1276 1257 1238 1219 1200 1182 1163 1145 1,6 1109 1092 1074 1057 1040 1023 1006 0989 0973 1,7 0940 0925 0909 0893 0878 0863 0848 0833 0818 1,8 0790 0775 0762 0748 0734 0721 0707 0694 0681 1,9 0656 0644 0632 0620 0608 0596 0584 0573 0562 Окончание табл. Целые и Сотые доли t де- сятые доли 0 1 2 3 4 5 6 7 8 t 2,0 0,0540 0,0529 0,0519 0,0508 0,0498 0,0488 0,478 0,0568 0,0459 0, 2,1 0440 0431 0422 0413 0404 0396 0387 0379 0371 2,2 0355 0347 0339 0332 0325 0317 0310 0303 0297 2,3 0283 0277 0270 0264 0258 0252 0246 0241 0235 2,4 0224 0219 0213 0208 0203 0198 0194 0189 0184 2,5 0175 0171 0167 0163 0158 0154 0151 0147 0143 2,6 0136 0132 0129 0126 0122 0119 0116 0113 0110 2,7 0104 0101 0099 0096 0093 0091 0088 0086 0084 2,8 0079 0077 0075 0073 0071 0069 0067 0065 0063 2,9 0060 0058 0056 0055 0053 0051 0050 0048 0047 3,0 0,0044 0,0043 0,0042 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036 0,0035 0, 3,1 0033 0032 0031 0030 0029 0028 0027 0026 0025 3,2 0024 0023 0022 0022 0021 0020 0020 0019 0018 3,3 0017 0017 0016 0016 0015 0015 0014 0014 0013 3,4 0012 0012 0012 0011 0011 0010 0010 0010 0009 3,5 0009 0008 0008 0008 0008 0007 0007 0007 0007 3,6 0006 0006 0006 0005 0005 0005 0005 0005 0005 3,7 0004 0004 0004 0004 0004 0004 0003 0003 0003 3,8 0003 0003 0003 0003 0003 0002 0002 0002 0002 3,9 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0002 0001 4,0 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0,0001 0, Таблица m Значение функции Пуассона Р(Х = m) = e- m!

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1, m 0 0,9048 0,8187 0,7408 0,6703 0,6065 0,5488 0,4966 0,4493 0,4066 0, 1 0,0905 0,1637 0,2223 0,2681 0,3033 0,3293 0,3476 0,3595 0,3659 0, 2 0,0045 0,0164 0,0333 0,0536 0,0758 0,0988 0,1216 0,1438 0,1547 0, 3 0,0002 0,0011 0,0033 0,0072 0,0126 0,0198 0,0284 0,0383 0,0494 0, 4 0,0000 0,0001 0,0003 0,0007 0,0016 0,0030 0,0050 0,0077 0,0111 0, 5 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0,0007 0,0012 0,0020 0, 6 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0002 0,0003 0, 7 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0, 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0 10, m 0 0,1353 0,0498 0,0183 0,0067 0,0025 0,0009 0,0003 0,0001 0, 1 0,2707 0,1494 0,0733 0,0337 0,0149 0,0064 0,0027 0,0011 0, 2 0.2707 0,2240 0,1465 0,0842 0,0446 0,0223 0,0107 0,0050 0, 3 0,1805 0,2240 0,1954 0,1404 0,892 0,0521 -,0286 0,0150 0, 4 0,0902 0,1681 0,1954 0,1755 0,1339 0,0912 0,0572 0,0337 0, 5 0,0361 0,1008 0,1563 0,1755 0,1606 0,1277 0,0916 0,0607 0, 6 0,0120 0,0504 0,1042 0,1462 0,1606 0,1490 0,1221 0,0911 0, 7 0,0034 0,0216 0,0595 0,1045 0,1377 0,1490 0,1396 0,1171 0, 8 0,0009 0,0081 0,0298 0,0653 0,1033 0,1304 0,1396 0,1318 0, 9 0,0002 0,0027 0,0132 0,363 0,0689 0,1014 0,1241 0,1318 0, 10 0,0000 0,0008 0,0053 0,0181 0,0413 0,0710 0,0993 0,1186 0, 11 0,0000 0,0002 0,0019 0,0082 0,0225 0,0452 0,0722 0,970 0, 12 0,0000 0,0001 0,0006 0,0034 0,0113 0,0264 0,0481 0,728 0, 13 0,0000 0,0000 0,0002 0,0013 0,0052 0,0142 0,0296 0,0504 0, 14 0,0000 0,0000 0,0001 0,0005 0,0022 0,0071 0,0169 0,0324 0, 15 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0033 0,0090 0,0194 0, 16 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0003 0,0015 0,0045 0,0109 0, 17 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0006 0,0021 0,0058 0, 18 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0002 0,0009 0,0029 0, 19 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0004 0,0014 0, Таблица G - распределение Пяти- и однопроцентное пределы для отношения G наибольшей выборочной дисперсии к сумме L выборочных дисперсий, полученных из L независимых выборок объемом n.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.