WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«ИНФОРМАЦИОННАЯ БЕЗОПАСНОСТЬ: КРИПТОГРАФИЯ Институт проблем информационной безопасности МГУ О. Н. ВАСИЛЕНКО ТЕОРЕТИКО-ЧИСЛОВЫЕ АЛГОРИТМЫ В КРИПТОГРАФИИ МЦНМО, 2003 УДК 511+519.719.2 Издание осуществлено ...»

-- [ Страница 3 ] --

Замечание 5.9. При помощи некоторого развития методов реше та числового поля в работе [45] получен алгоритм дискретного лога n рифмирования в конечных полях GF(pn) со сложностью Lp ;

const арифметических операций. Однако эта оценка сложности справедлива не для всех значений pn, см. [209]. Точнее, должно выполняться нера венство log p < n1/2.

§ 5.6. Частное Ферма и дискретное логарифмирование по составному модулю В данном параграфе мы описываем некоторые методы проверки раз решимости и решения задачи дискретного логарифмирования в коль цах вычетов Z mZ по составному модулю m, а также в кольцах ви / да GF(p)[x] (f(x)), где f(x) GF(p)[x] многочлен, не являющийся / — неприводимым. Ряд результатов в этом направлении был получен в ра ботах [234;

15;

14].

1 t Определение 5.10. Пусть r N, r = 2 p... p, есть разложение r 1 t напростые множители, 2 < p1 <...

0 1 t (r) = НОК( 0 (2 ), (p ),..., (p )), 1 t 10 О. Н. Василенко 146 Гл. 5. Алгоритмы дискретного логарифмирования 0 0- где функция Эйлера, 0 (1) = 0 (2) = 1, 0 (4) = 2, 0 (2 ) = — при 0 3.

Нетрудно видеть, что при a Z, (a, r) = 1, выполнено сравне ние a (r) 1 (mod r).

Определение 5.11. Пусть r Z>1, a Z, (a, r) = 1. Частное Фер ма Q(a, r) определяется соотношением a (r) - Q(a, r) (mod r) r a (r) - здесь обозначает результат деления a (r) - 1на r в кольце Z.

r Опишем некоторые свойства частного Ферма;

более подробно см. [234;

114;

80;

170].

Лемма 5.12. Пусть a, b Z, (a, r) = (b, r) = 1. Тогда Q(ab, r) = Q(a, r) + Q(b, r) (mod r).

Доказательство. Поскольку a (r) 1 + rQ(a, r) (mod r2), b (r) 1 + rQ(b, r) (mod r2), то (ab) (r) 1 + r(Q(a, r) + Q(b, r)) (mod r2).

Из этого сравнения следует утверждение леммы.

Замечание 5.13. Мы показали, что частное Ферма обладает тем же свойством, что и логарифм: оно переводит произведение в сумму.

Определение 5.14. Рассмотрим Q(r, x) как функцию на множестве x Z, (x, r) = 1. Назовем m Z, m = 0, периодом Q(r, x), если 1) m делится на все простые числа, делящие r;

2) Q(a + m, r) Q(a, r) (mod r) для всех a Z, (a, r) = 1.

r Лемма 5.15. Число R = является периодом Q(r, x).

( (r), r) r Доказательство. Поскольку R = r ·, то r | R;

следователь ( (r), r) но, первое условие в определении периодавыполнено. Далее, поскольку R 0 (mod r), то r (a + R) (r) - 1 a (r) - 1 R Q(a + R, r) (mod r) + (r)a (r)-1 · (mod r).

r r r Далее, (r)R (r)r = 0 (mod r).

r r( (r), r) Поэтому Q(a + R, r) Q(a, r) (mod r), что и требова лось дока за ть.

§ 5.6. Частное Ферма и дискретное логарифмирование по составному модулю Замечание 5.16. Если m период Q(x, r), то частное Ферма явля — ется гомоморфизмом мультипликативной группы (Z mZ) в аддитивную / группу Z rZ.

/ Рассмотрим теперь задачу дискретного логарифмирования ax b (mod m), где m период для частного Ферма Q(x, r). Из равенств — (a, m) = (b, m) = 1 следует, что (a, r) = (b, r) = 1. Поэтому в силу периодичности справедливо соотношение Q(b, r) Q(ax, r) (mod r) xQ(a, r) (mod r).

Если выполняется условие (Q(a, r), r) = 1, то x Q(b, r)Q(a, r)-1 (mod r).

Таким образом, мы найдем x (mod r);

нам же надо найти x по моду лю порядка элемента a (mod m) в (Z mZ). В некоторых случаях это / возможно;

они описаны в работе [234]. Эти случа и связа ны с та к на зываемыми -низкими числами. О -низких числах см. также [28].

Пример 5.17. m = 1600 = 2652, a = 3. Рассмотрим уравнение 3x b (mod 1600).

r2 Положим r = 80 = 245;

(r) = 4, R = = = 1600 = m. По ( (r), r) лемме 5.15 число m является периодом Q(x, r). Далее, 34 - Q(3, r) (mod 80) 1 (mod r).

Поэтому в силу периодичности Q(b, r) Q(3x, r) xQ(3, r) x (mod 80) x (mod (m)), поскольку (m) = 80. Так как порядок 3 (mod m) в (Z mZ) делит (m), / то решение уравнения 3x b (mod 1600) задается формулой b4 - x (mod 80).

Для найденного по этой формуле x следует сделать проверку, так как не для каждого b (Z mZ) уравнение 3x b (mod m) разрешимо.

/ В этом примере мы пользуемся тем, что для данных m и r выполнено условие (m) | r;

это условие выполняется далеко не всегда.

С помощью частного Ферма можно проводить подъем решения уравнения ax b (mod p ), и находить решение уравнения ax b (mod p +1).

10* 148 Гл. 5. Алгоритмы дискретного логарифмирования Теорема 5.18. Пусть p нечетное простое число, Z 2, — m = p. Пусть g Z, g (mod m) первообразный корень по моду — лю m, b Z, (b, p) = 1. Обозначим x = [log b] Z (p )Z решение / — уравнения gx b (mod m). Тогда [log b] есть единственное по мо дулю (p ) решение системы уравнений Q(g, p -1)x Q(b, p -1) (mod p -1), x = [log b]1 (mod p - 1), где [log b]1 означает решение уравнения gy b (mod p).

Следствие 5.19. Из теоремы следует, что дискретное лога рифмирование в группе (Z p Z) при p > 2 сводится к дискретно / му логарифмированию в (Z pZ).

/ Доказательство теоремы. Обозначим r = p -1. Тогда r2 p2 - R = = = p = m.

( (r), r) (p -2 (p - 1), p -1) По лемме 5.15 число m является периодом Q(x, r). Поэтому из gx b (mod m) следует, что xQ(g, r) Q(b, r) (mod r);

т. е. выполне но первое уравнение системы. Также из gx b (mod m) следует, что gx b (mod p). Это означает, что выполнено и второе уравнение.

Для доказательства единственности достаточно показать, что Q(g, p -1) 0 (mod p). Поскольку g (mod p ) является первооб разным корнем, то gp-1 1 (mod p2). Отсюда по индукции получаем, что для u = 1, 2, 3,... выполнено равенство u g(p-1)p = 1 + pu+1Au, - где Au Z, Au 0 (mod p). Положим u = - 2;

тогда число g (p ) - делится на p -1 и не делится на p. Та к ка к (p -1) = (p -1), то из ра венства - g (p ) - Q(g, p -1) (mod p -1) p - следует, что Q(g, p -1) 0 (mod p).

Теорема 5.20. Пусть m = 2, где Z 5. Пусть b Z, b не четно, 0 b (-1)k 5k (mod 2 ), где k0 = 0 при b 1 (mod 4), k0 = 1 при b 3 (mod 4), и 0 k 2 -2 - 1. Положим [log b] = k1. Тогда [log b] есть единственное § 5.6. Частное Ферма и дискретное логарифмирование по составному модулю по модулю 2 -2 решение уравнения xQ(5, 2 -2) Q(b, 2 -2) (mod 2 -2).

Следствие 5.21. Из теоремы 5.20 следует, что дискретное ло гарифмирование в группе Z 2 Z при 5 сводится к вычислению / Q(b, 2 -2)Q(5, 2 -2)-1 (mod 2 -2).

Доказательство теоремы. Положим r = 2 -2. Тогда r2 22 - R = = = 2 = m ( (r), r) (2 -4, 2 -2) 0 является периодом Q(x, r). Если b (-1)k 5k (mod 2 ), то ((-1)k0 5k1) (r) - 1 5k1 (r) - 0 Q(b, r) Q((-1)k 5k, r) (mod r), r r поскольку (r) четно в силу условия 5. Значит, Q(b, r) Q(5k, r) k1Q(5, r) (mod r).

Для доказательства единственности достаточно проверить, что Q(5, r) нечетно. Поскольку -2 - 5 (2 ) - 1 52 - Q(5, 2 -2) (mod 2 -2), 2 -2 2 - - то достаточно показать, что 52 1 (mod 2 -1) при 5;

это легко проверяется индукцией по. Теорема 5.20 доказана.

Рассмотрим теперь уравнение ax b (mod s), (a, s) = (b, s) = 1, (5.6) где s N, s > 1, s нечетно, и известно полное разложение s на про — стые множители qi:

k i s = qu, k 2. (5.7) i i= Пусть также известно полное разложение qi - 1 напростые множители:

vi ij qi - 1 = p, i = 1,..., k.(5.8) ij j= Мы будем изучать вопрос о проверке разрешимости уравнения дис кретного логарифмирования (5.6).

Обсудим сначала, как можно решать уравнение (5.6). Пусть gi — i первообразные корни по модулям qu, i = 1,..., k;

их можно найти, i 150 Гл. 5. Алгоритмы дискретного логарифмирования зная (5.8). Пусть ci при i = 1,..., k удовлетворяют сравнениям i ci gi (mod qu ), i j ci 1 (mod qu ) при j = i.

j i Тогда ci (mod s) имеют порядки (qu ) = Mi, и i (Z sZ) = c1 (mod s) M... ck (mod s) M / 1 k есть разложение (Z sZ) в прямое произведение циклических групп.

/ Пусть 1 k a cA... cA (mod s), 1 k (5.9) 1 k b cB... cB (mod s).

1 k y i Числа Ai, 0 Ai Mi -1, мы находим, решая уравнения gi a (mod qu ) i (аналогично находим Bi). Решение таких уравнений с помощью теоре z мы 5.18 сводится к решению уравнений gi a (mod qi). То есть для нахождения Ai, Bi нам нужно уметь решать задачу дискретного ло гарифмирования по простому модулю. В предыдущих параграфах мы видели, что это трудная задача, если модуль велик.

Допустим, что нам все же известны числа Ai, Bi в (5.9). Тогда из (5.6) и (5.9) следует, что Aix Bi i gi gi (mod qu ), i = 1,..., k.

i Отсюда i Aix Bi (mod (qu )), i = 1,..., k. (5.10) i Для того, чтобы система уравнений (5.10) имела решение, необходимо, чтобы числа i Di = НОД(Ai, (qu )) (5.11) i делили Bi. Если это выполняется, то из (5.10) следует, что i x (Ai Di)-1 (Bi Di) (mod (qu ) Di), i = 1,..., k. (5.12) / / / i В свою очередь, для разрешимости системы (5.12) необходимо и достаточно, чтобы при всех i = j правые части i-го и j-го уравнений j i из (5.12) были сравнимы по модулю НОД( (qu ) Di, (qu ) Dj). В этом / / i j случае мы найдем решение системы (5.12);

обозначим его 1 k x0 (mod НОК( (qu ) D1,..., (qu ) Dk)). (5.13) / / 1 k § 5.6. Частное Ферма и дискретное логарифмирование по составному модулю Лемма 5.22. Для определенных по формулам (5.11) чисел Di вы полнено равенство 1 k ord a (mod s) = НОК( (qu ) D1,..., (qu ) Dk), / / 1 k где ord a (mod s) обозначает порядок элемента a (mod s) (Z sZ) / Доказательство. Поскольку i ord a (mod s) = НОКi=1,...,k (ord(a (mod qu ))), i то достаточно доказать, что i i ord(a (mod qu )) = (qu ) Di, i = 1,..., k.

/ i i Ai i По определению чисел Ai справедливо равенство a gi (mod qu ).

i i Пусть p простое число, = p ( (qu )) 1. Если p (Ai), то — i i p (ord(a (mod qu ))) = 0 и p (Di) =. Если же = p (Ai) и 0 <, i i то очевидно, что p (ord(a (mod qu ))) = -, и p (Di) =. Во всех i случаях i i p (ord(a (mod qu ))) = p ( (qu ) Di).

/ i i Лемма 5.22 доказана.

i Замечание 5.23. Числа Di = НОД(Ai, (qu )) нетрудно найти, зная i i ord(a (mod qu )), даже если мы не знаем Ai. Это следует из до i казательства леммы 5.22. Действительно, пусть p и те же, что i в доказательстве леммы 5.22, Ei = ord(a (mod qu )). Если p Ei, i i то p | Ai, откуда p (Di) =. Если же pe Ei, где 1 e p ( (qu )), i i i то p (Ai) = p ( (qu )) - e;

поэтому p (Di) = p ( (qu )) - e. Заметим i i также, что Ei можно вычислить, зная разложение (5.8);

алгоритм нахождения порядка элемента см. в §1.5.

Замечание 5.24. Из леммы 5.22 вытекает, что (5.13) есть искомое решение уравнения (5.6) в случае, когда система уравнений (5.12) ра з решима.

Мы показали, как можно решить уравнение (5.6), зная чис ла A1,..., Ak, B1,..., Bk. Далее мы докажем две теоремы, дающие необходимые и достаточные условия для разрешимости (5.6). В этих теоремах мы не предполагаем, что Ai и Bi нам известны.

n j Лемма 5.25. Пусть q нечетное простое число, q-1= p — — j j= разложение q - 1 на простые множители. Пусть u N, a, b (Z quZ), a 1 (mod qu). Пусть также g первообразный корень / — по модулю qu. Тогда выполнены следующие утверждения.

152 Гл. 5. Алгоритмы дискретного логарифмирования 1) Если n j- j ord(a(mod qu)) = qu-1- p, где j Z 0, j j= то n q pj j ·l j= a g (mod qu), где 0 < l < (qu). При этом, если u > 1 и 0 < u - 1 или если u = 1, то q l;

если j > 0 и j < j, то pj l.

2) Сравнение ax b (mod qu) разрешимо тогда и только тогда, когда ord(b(mod qu)) делит ord(a(mod qu)).

Доказательство. Первое утверждение леммы очевидно, а второе вытекает из цикличности группы (Z quZ).

/ Вернемся к вопросу о разрешимости (5.6), используя обозначе ния (5.7), (5.8), (5.9).

Лемма 5.26. Уравнение (5.6) разрешимо тогда и только тогда, когда разрешима система сравнений i- Aix Bi (mod qu ), i (5.14) ij Aix Bi (mod p ), j = 1,..., vi, i = 1,..., k.

ij Доказательство. Сравнение ax b (mod s) выполнено тогда и только тогда, когда i i i cA x cB (mod qu ), i = 1,..., k.

i i i i Для этого необходимо и достаточно, чтобы система AixBi (mod (qu )), i i = 1,..., k, была разрешима. Очевидно, что ее разрешимость эквива лентна разрешимости (5.14).

Теорема 5.27. Пусть в формуле (5.8) pi1 = 2, i1 = 1 для i = 1,..., k.

Пусть также все простые числа qi иpij для j = 2,..., vi, i = 1,..., k, i различны. Предположим, что a 1 (mod qu ), i vi i i-1- ij- ij i ord(a (mod qu )) = qu p, i = 1,..., k, i i ij j= причем i0 < ui - 1, если ui > 1, и ij < ij для всех j = 1,..., vi, i i i = 1,..., k. Пусть также ord(b(mod qu )) | ord(a(mod qu )) для i = i i = 1,..., k. Уравнение (5.6) разрешимо тогда и только тогда, когда ui- i i bq (qi-1)/2 F (mod qu ), i = 1,..., k, i где F = 1 или F = -1.

§ 5.6. Частное Ферма и дискретное логарифмирование по составному модулю Доказательство. Мы предположили, что k 2 в (5.7). Тогда из (5.9) и п. 1 леммы 5.25 следует, что vi ij i Ai = q i p ij · Li, i = 1,..., k, j= i где Li N, (Li, (qu )) = 1. Заметим также, что если ui = 1, то i0 = 0;

i кроме того, qi Li. Пусть vi i i-1- i0 ij- ij ord(b (mod qu )) = qu p, i = 1,..., k.

i i ij j= Тогда из условия теоремы следует, что ij ij при всех j = 1,..., vi, i = 1,..., k. Из леммы 5.25 получаем, что vi ij i Bi = q p Ni, i = 1,..., k, i ij j= где Ni N. Применим лемму 5.26 и сведем разрешимость (5.6) к ра з решимости системы (5.14). Если мы рассмотрим уравнение i- Aix Bi (mod qu ) i из этой системы, то оно будет равносильно уравнению vi vi ij i0- ij i0 i-1- i p ij · Lix q p Ni (mod qu ). (5.15) i ij i j=1 j= Данное уравнение разрешимо;

при ui = 1 это очевидно, а при ui > разрешимость следует из того, что qi Li. Если мы рассмотрим урав нение ij Aix Bi (mod p ), j > 1, (5.16) ij из системы (5.14), то оно также будет разрешимо, поскольку pij (Ai) = = ij ij pij (Bi). Поскольку модули в уравнениях (5.15) и (5.16) нечетны и различны по условию теоремы, то для разрешимости (5.14) необходимо и достаточно, чтобы была разрешима подсистема урав нений Aix Bi (mod 2), i = 1,..., k. (5.17) Так как i1 = 1, то i1 = 0 для i = 1,..., k, и числа Li нечетны. По этому Ai 1 (mod 2), i = 1,..., k. Следовательно, (5.17) примет вид 154 Гл. 5. Алгоритмы дискретного логарифмирования x Bi (mod 2), i = 1,..., k. Теперь для разрешимости (5.17) необходи мо и достаточно, чтобы выполнялось условие Bi E (mod 2), i = 1,..., k, где E = 0 или E = 1. Далее, B ui- ui-1 i qi (qi-1) i i i bq (qi-1)/2 gi / (-1)B (mod qu ).

i Из последнего соотношения следует утверждение теоремы.

Теорема 5.28. Пусть q1,..., qk различные нечетные простые — числа, vi ij qi - 1 = 2 p, i = 1,..., k, ij j= где pij нечетные простые числа. Пусть числа pij при j = 2,..., vi, — i = 1,..., k, различны. Обозначим через s = q1... qk. Пусть a, b N, (a, s) = (b, s) = 1, t N, 1 t k. Предположим, что a (mod qi) имеет порядок qi - 1 для i = 1,..., t и порядок (qi - 1) 2 для / i = t + 1,..., k. Уравнение (5.6) разрешимо тогда и только тогда, когда b b b b =... =, =... = = 1, q1 q1 qt+1 qk b где символ Лежандра.

— q Доказательство. Из (5.9) и условия теоремы следует, что Ai вза имно просты с (qi) = qi - 1 для i = 1,..., t, а для i = t + 1,..., k чис ла Ai четны и взаимно просты с (qi - 1) 2. Из леммы 5.10 получаем / систему Aix Bi (mod 2), ij Aix Bi (mod p ), ij где j = 2,..., vi, i = 1,..., k. Эта система разрешима тогда и только тогда, когда разрешима подсистема Aix Bi (mod 2), i = 1,..., k.

Эта подсистема имеет вид x Bi (mod 2), i = 1,..., t, Bi 0 (mod 2), i = t + 1,..., k.

§ 5.6. Частное Ферма и дискретное логарифмирование по составному модулю b Заметим, что Bi 0 (mod 2) тогда и только тогда, когда = 1.

qi Утверждение теоремы теперь очевидно.

Замечание 5.29. В теоремах 5.27 и 5.28 наибольшим общим де лителем чисел qi - 1 и qj - 1 является число 2. Это позволяет полу чить необходимые и достаточные условия для разрешимости (5.6). Если qi - 1 и qj - 1 имеют в качестве общего делителя небольшое простое число p > 2, то для проверки разрешимости (5.6) можно предложить алгоритм, аналогичный алгоритму Полига Хеллмана. Мы предлагаем — читателю описать этот алгоритм в качестве упражнения.

Зафиксируем простое число p и рассмотрим задачу дискретного ло гарифмирования ax=b в группе обратимых элементов (Z pZ[x] (F(x))) / / факторкольца Z pZ[x] (F(x)), где многочлен F(x) Z pZ[x] при / / / — водим.

Зафиксируем неприводимый многочлен f = f(x) = xn + An-1xn-1 +...

... + A0 Z pZ[x] степени n, n > 1. Приведем несколько вспомо / гательных утверждений о свойствах колец Rk = Z pZ[x] (fk (x)), / / k = 1, 2, 3,... Хорошо известно, что R1 = GF(pn) и что существует g(x) Z pZ[x], deg g(x) < n, такой, что g(x) (mod f) имеет порядок / pn - 1 (см., например, [31, гл. 2]). Зафиксируем g(x).

Лемма 5.30.

1) Найдется многочлен g1 (x) (равный либо g(x), либо g(x) + f(x)), n такой, что deg g1 (x) n и g1 (x)p -1 1 (mod f2).

2) Если h = h(x) Z pZ[x], f h, то при всех j / j j hp (pn-1) 1 (mod fp ).

3) Если j 1 pj-1 < k pj, то порядок любого обратимого по умножению элемента кольца Rn делит pj(pn - 1), и существу ет элемент такого порядка.

n Доказательство. Пусть g(x)p -1 = 1 + fl (x)t(x), где t(x) Z pZ[x], / f(x) t(x), l N. Если l = 1, то g1 (x) = g(x). Если l 2, то n n n (g(x) + f(x))p -1 = g(x)p -1 + (pn - 1)g(x)p -2f(x) +... = n = 1 - g(x)p -2f(x) + t1 (x)f2(x), где t1 (x) Z pZ[x]. Следовательно, g1 (x) = g(x) + f(x) удовлетворяет / n первому утверждению леммы при l 2. Далее, пусть h(x)p -1 = 1 + n j j + f(x)t(x). Тогда h(x)(p -1)pj = 1 + t(x)p f(x)p, что доказывает второе утверждение. Легко видеть, что элемент g1 (x) (mod fk (x)), где g1 (x) определен выше, имеет порядок pj(pn - 1) в Rk;

третье утверждение леммы теперь также очевидно.

156 Гл. 5. Алгоритмы дискретного логарифмирования Лемма 5.31. Пусть k > 1. Тогда |Rk| = pnk, |R| = pn(k-1) (pn - 1).

k Далее, при pj-1 < k pj справедливо разложение R в прямое про k изведение циклических групп n R = k,0 p -1 k,1 plk,1... k,sk plk,s, k k где lk,1 +... + lk,s = n(k - 1) иj = lk,1 lk,2... lk,s. В частности, k k при 1 < k p sk = n(k - 1) и n R = k,0 p -1 k,1 p... k,n(k-1) p.

k \ Доказательство. Элементы Rk R это многочлены вида — k f(x) · (a0 + a1x +... + an(k-1)-1xn(k-1)-1). Отсюда следует утвержде ние о |R|. Утверждение о разложении R в прямое произведение k k следует из теоремы о разложении конечной абелевой группы в прямое произведение циклических групп и леммы 5.12.

Лемма 5.32. Пусть k 2, Rk. Тогда элемент единственным образом представим в виде = a0 (x) + a1 (x)f(x) +... + ak-1 (x)fk-1 (x) (mod fk (x)), где ai(x) Z pZ[x], deg < n. При этом R тогда и только тогда, / k когда a0 (x) = 0. Далее, порядок равен степени числа p тогда и только тогда, когда a0(x) = 1.

Доказательство. Докажем только последнее утверждение леммы.

k k Достаточность следует из равенства p a0(x)p (mod fk). Необходи мость следует из леммы 5.31, так как количество элементов порядка, равного степени p, ра вно pn(k-1) как раз столько, сколько имеется — элементов, у которых a0 (x) = 1.

Лемма 5.33. Пусть 2 k p, M = n(k - 1), и 1,..., M есть сле дующий набор элементов порядка p в R :

k 1 + f(x), 1 + xf(x),..., 1 + xn-1f(x);

1 + f(x)2, 1 + xf(x)2,..., 1 + xn-1f(x)2;

.........................................

1 + f(x)k-1, 1 + xf(x)k-1,..., 1 + xk-1f(x)n-1.

n Тогда R = 0 p -1 1 p... M p есть разложение R в пря k k мое произведение (здесь 0 какой-либо элемент порядка pn - — в R).

k Доказательство. Очевидно, что при j = 1,..., M элементы j име ют порядок p. Теперь для доказательства леммы достаточно показать, § 5.6. Частное Ферма и дискретное логарифмирование по составному модулю что из равенства y y yM z z zM 00 11... M 00 11... M (mod fk), где 0 y0, z0 < pn - 1, 0 yj, zj < p, j = 1,..., M, следует, что yj = zj, j = 1,..., M. Действительно, так как j 1 (mod f(x)) при j 1, y z то 00 00 (mod f(x)). Отсюда порядок элемента 0 делит (y0 - z0)pk.

y Поэтому y0 = z0. Сократив наше равенство на 00 и редуцируя его по mod f2, получим y z 11... yn 11... zn (mod f2).

n n Но y 11... yn (1 + y1f(x)) (1 + y2xf(x))... (1 + ynxn-1f(x)) n (1 + (y1 + y2x +... + ynxn-1)f(x)) (mod f2);

z 11... zn (1 + (z1 + z2x +... + znxn-1)f(x)) (mod f2).

n Следовательно, y1 = z1,..., yn = zn и т. д.

Следующая лемма общеизвестна.

Лемма 5.34. Пусть m1, m2 N, d = (m1, m2). Тогда (pm - 1, pm - 1) = pd - 1.

Лемма 5.35. Пусть k N, k 2, h R, порядок h делит p. Рас k смотрим функцию hp - Q0 (h) = (mod fk).

fk Тогда Q0 (h) корректно определена и Q0 (h1h2) = Q0 (h1) + Q0 (h2) (mod fk).

Доказательство. По лемме 5.32 h представим в виде h 1 + a1f +... + ak-1fk-1 (mod fk), deg ai < n.

По условию hp 1 + apfp +... + ap fp(k-1) (mod fkp) 1 (mod fk).

1 k- Пусть j 1, (j - 1)p < k jp;

тогда очевидно, что a1 =... = aj-1 = 0.

Поэтому hp - 1 apfpj +... + ap fp(k-1) (mod fkp) 1 (mod fkp).

j k- Отсюда следует корректность определения Q0 (h). Далее, hp 1 + fkQ0 (h) (mod f2k).

158 Гл. 5. Алгоритмы дискретного логарифмирования Поэтому (h1h2)p 1 + fk · (Q0(h1) + Q0 (h2)) (mod f2k).

Лемма доказана.

Теорема 5.36. Пусть k 2, h1, h2 R. Если порядок h1 делит k pn - 1, то для разрешимости уравнения h1 = hy необходимо и до статочно, чтобы порядок h1 делил порядок h2.

Доказательство. Следует из леммы 5.31 и цикличности подгруппы n k,0 p -1 h1, h2.

Теорема 5.37. Пусть p 2 < k p, элементы h1, h2 группы R / k имеют порядок p. Пусть (по лемме 5.32) h1 1 + a1 (x)f(x) +... + ak-1 (x)f(x)k-1 (mod fk), h2 1 + b1 (x)f(x) +... + bk-1 (x)f(x)k-1 (mod fk), deg ai, deg bj < n. Если b1 (x) = 0 и уравнение h1 = hy разрешимо, то y1 (a1 (x)b1(x)-1)p (mod f(x)).

Доказательство. По лемме 5.35 выполнено сравнение Q0 (h1) yQ0(h2) (mod fk). Далее, так как p k, то Q0 (h1) apfp-k (mod fk), Q0 (h2) bpfp-k (mod fk).

1 Поскольку 2k - p 1, то получаем сравнение ap ybp (mod f2k-p), 1 из которого следует утверждение теоремы.

Замечание 5.38. Если заданы элементы h1, h2, имеющие порядок p, и b1(x) = 0, то, найдя y по формуле теоремы 5.37, можно затем провер кой убедиться, выполнено ли равенство h1 = hy.

Теорема 5.39. Пусть p 2 < k p. Пусть h1, h2 R, порядок h / k равен pd1, порядок h2 равен pd2, и d1|d2|pn - 1. Пусть (по лем ме 5.22) n hp -1 1 + a1 (x)f(x) +... + ak-1 (x)f(x)k-1 (mod fk), n hp -1 1 + b1 (x)f(x) +... + bk-1 (x)f(x)k-1 (mod fk), deg ai, deg bj < n и b1 (x) = 0.

1) Предположим, что найдется y0 Z pZ, для которого вы / полнено сравнение y0 (a1b-1)p (mod f(x)). Если n n hp -1 (hp -1)y, 1 то уравнение h1 = hy разрешимо.

§ 5.6. Частное Ферма и дискретное логарифмирование по составному модулю 2) Если класс вычетов (a1b-1)p (mod f(x)) не содержит эле n n мента y0 Z pZ, или он содержит y0 Z pZ, но hp -1 = (hp -1)y, / / 1 то уравнение h1 = hy неразрешимо.

Доказательство. Докажем первое утверждение. По лемме 5. u0 u1 un(k-1) v0 v1 vn(k-1) h1 k0 k1... k,n(k-1) (mod fk), h2 k0 k1... k,n(k-1) (mod fk).

u0 v0 Если d1|d2, то найдется y1, 0 y1 < pn - 1, такое, что k0 ( k0)y (mod fk). Кроме того, из условия следует, что n n p (p u0 u1 un(k-1) -1 v0 v1 vn(k-1) -1)y k0 k1... k,n(k-1) k0 k1... k,n(k-1) (mod fk).

Очевидно, что натуральное число y такое, что y y0 (mod p), y y1 (mod pn - 1), будет решением уравнения h1 = hy.

Второе утверждение теоремы доказывается аналогично теоре ме 5.37.

Рассмотрим теперь задачу дискретного логарифмирования P Qy (mod F), (P, F) = (Q, F) = 1, где P, Q, F Z pZ[x], deg F = N 2, F унитарный многочлен. Пусть / — F = F(x) = f1(x)... fs(x), s 2, где fj(x) различные унитарные неприводимые многочлены из Z pZ[x], — / deg fj = nj.

Очевидно, что P Qy (mod F) тогда и только тогда, когда P Qy (mod fj (x)), j = 1,..., s. Обозначим через j порядок Q (mod fj(x)).

Уравнение P Qy (mod fj (x)) разрешимо тогда и только тогда, когда по рядок P (mod fj (x)) делит j. В этом случае найдется yj (mod j), такое, j что P Qy (mod fj (x)). Для проверки разрешимости P Qy (mod F) те перь надо проверить разрешимость системы уравнений y yj (mod j), j = 1,..., s. Для разрешимости этой системы необходимо и достаточно, чтобы yi yj (mod ij) при всех i = j, где ij = ( i, j). Если ij невелики, то yi (mod ij) можно определить перебором из сравнений i i P / ij Q( / ij)yj (mod fi(x)), и затем убедиться в том, что yi yj (mod ij). Таким образом, мы описали алгоритм проверки разрешимости уравнения P Qy (mod F), который в некоторых случаях будет быстрым. Например, если p неве лико и числа ni попарно взаимно просты, то по лемме 5.34 все ij не превосходят p - 1, и перебор будет коротким. Заметим также, что для определения порядков элементов нам надо знать разложение чисел i pn - 1 на множители.

160 Гл. 5. Алгоритмы дискретного логарифмирования Замечание 5.40. Для произвольного приводимого многочлена F(x) Z pZ[x] также можно описать аналогичный алгоритм проверки / разрешимости в случае, когда все кратности неприводимых делителей F(x) невелики.

§ 5.7. Заключение Из более старых работ по дискретному логарифмированию читатель может обратить внимание на [130;

291;

131].

Из обзоров по дискретному логарифмированию мы можем рекомен довать [210;

176;

83;

209].

В работе [48] содержится великолепный обзор по сложности тео ретико-числовых алгоритмов, включая задачу дискретного логарифми рования.

Вопросам получения оценок сложности в задаче дискретного ло гарифмирования посвящены работы [35;

34;

223;

174;

254;

255;

147].

В частности, в работе [147] оценивается снизу порядок линейной ре куррентной последовательности uj, обладающей тем свойством, что loga j uj (mod p) для всех номеров j из некоторого промежутка.

В работе [268] содержится обзор алгоритмов дискретного логариф мирования в произвольной группе G со сложностью O(|G|1/2) группо вых операций. См. также [201].

Работа [128] посвящена параллельному вычислению дискретных логарифмов.

В работе [82] рассматриваются вопросы дискретного логарифмиро вания в произвольной конечной абелевой группе G, а также алгоритмы нахождения порядка элемента и определения структуры G. Дока за на, в частности, следующая теорема.

Теорема 5.41. Имеется алгоритм, который для заданных g, d G, d = 1, определяет, принадлежит ли d подгруппе g, и если да, то находит logg d. Если x = | g | при d g и x = logg d при d g, то алгоритм выполняет не более 6 x + log x умножений в G. Он использует таблицу из не более чем 2 x пар (h, r) G {1,..., 2 x}. Общее число обращений к таблице не превосходит 4 x.

В работе [251] получена оценка для наименьшего первообразного корня a по простому модулю p. В предположении расширенной гипо тезы Римана a = O(r4(log r + 1)4 (log p)2), § 5.7. Заключение где r число различных простых делителей p - 1.

— В различных криптографических схемах используются пары про стых чисел q и p, где p = 2q + 1. В частности, для тестирования алго ритмов дискретного логарифмирования по простому модулю p обычно используют такие пары. В этом случае первообразный корень по мо дулю p можно определить с помощью следующей теоремы, см. [42, с. 168 170].

— Теорема 5.42. Пусть p, q простые числа.

— 1) Если q = 4n + 1, p = 2q + 1, то 2 является первообразным корнем по модулю p.

2) Если q = 4n + 3, p = 2q + 1, то -2 является первообразным корнем по модулю p.

Доказательство. Для того, чтобы число a являлось первообраз ным корнем по модулю p, необходима и достаточна неразрешимость уравнений x2 a (mod p), xq a (mod p).

Пусть q = 4n + 1, тогда p = 8n + 3. В этом случае уравнение x2 2 (mod p) неразрешимо, так как = -1. Предположим, что p уравнение x4n+1 2 (mod p) разрешимо. Тогда x8n+2 4 (mod 8n + 3).

Отсюда по малой теореме Ферма получим, что 4 1 (mod p). Так как p > 3, то это невозможно.

Пусть q = 4n + 3, p = 8n + 7. Уравнение x2 -2 (mod p) нера зре шимо, поскольку -1 p- -2 = = (-1) = -1.

p p p Предположим, что уравнение x4n+3 -2 (mod p) разрешимо. То гда x8n+6 4 (mod p), и мы получаем противоречие аналогично предыдущему случаю.

11 О. Н. Василенко Глава 6. Факторизация многочленов над конечными полями § 6.1. Введение. Вероятностный алгоритм решения алгебраических уравнений в конечных полях В данной главе мы рассматриваем алгоритмы разложения на мно жители многочленов над конечными полями, а также некоторые методы решения алгебраических уравнений в конечных полях.

Пусть p простое число, p > 2, f(x) GF(p)[x], degf(x) = n 2.

— Рассмотрим вероятностный алгоритм решения уравнения f(x) = 0 в по ле GF(p).

Алгоритм решения f(x) = 0 в GF(p).

1 шаг. Вычислить g(x) = НОД(f(x), xp - x) GF(p)[x].

Заметим, что все корни f(x) в GF(p) являются корнями многочлена g(x) кратности 1, и других корней у g(x) нет. Если deg g(x) = 0, то корней у f(x) в GF(p) нет. Если deg g(x) = 1, g(x) = x - a, то a единственный — корень f(x) в поле GF(p) (без учетакратности). Если deg g(x) = p, товсе элементы GF(p) являются корнями f(x). Далее мы предполагаем, что 2 deg g(x) < p, и ищем корни g(x) в GF(p).

2 шаг. Случайным образом выбрать элемент GF(p) и вычислить p- d(x) = НОД (x + ) - 1, g(x).

3 шаг. Если d(x) = 1 или d(x) = g(x), то вернуться на шаг 2. Если deg d(x) = 1, d(x) = x - b, то b корень многочлена f(x);

мы заносим — его в список найденных корней, заменяем g(x) на g(x) (x - b) и возвра / щаемся на шаг 2. Аналогично, при deg d(x) = deg g(x) - 1 мы на ходим g(x) x - b =, за носим b в список корней, заменяем g(x) на d(x) и воз d(x) вращаемся на 2-йша г. Если2 deg d(x) < deg g(x) - 1, то мы рассмат риваем вместо g(x) два его делителя многочлены d(x) и g(x) d(x), — / § 6.1. Введение. Вероятностный алгоритм решения уравнений в конечных полях и к каждому из них мы применяем 2 и 3 шаги алгоритма, чтобы найти их корни.

Конец алгоритма.

Теорема 6.1. Если g(x) GF(p)[x], 2 deg g(x) < p и g(x) | xp - x, то при случайном выборе на 2-м шаге с вероятностью, не мень 1 шей, чем -, будет выполнено неравенство 1 deg d(x) < 2 2p < deg g(x).

Доказательство. Пусть a1, a2 GF(p), a1 = a2, g(a1) = g(a2) = 0.

Пусть = -a1, = -a2. Тогда p- (ai + ) - 1 равно 0 или -2 при i = 1, 2.

Если p-1 p- 2 (a1 + ) - 1 = (a2 + ) - 1, то ровно одно из чисел a1, a2 является корнем d(x) и поэтому 1 deg d(x) < deg g(x). Теперь предположим, что = -a1, -a2, и p-1 p- 2 (a1 + ) - 1 = (a2 + ) - p-1 p- 2 Такие являются корнями многочлена (x + a1) - (x + a2), ко p - торый имеет степень - 1. Поэтому, если мы рассмотрим все p - 1 p + GF(p), то не более чем для 2 + - 1 = элементов много 2 член d(x) может не удовлетворять неравенству 1 deg d(x) < deg g(x).

Отсюда следует утверждение теоремы.

Теорема 6.2. В условиях теоремы 6.1 обозначим через k сте 1 пень deg g(x);

тогда вероятность будет равна 1 - + O ;

p 2k- постоянная в O(·) зависит от k.

k Лемма 6.3. Пусть g(x) = (x - ai), где ai GF(p), ai различны;

i= пусть 1,..., k какой-либо фиксированный набор из ±1. Рас — смотрим, удовлетворяющие условиям a + i 0 p - 1, = i, i = 1,..., k.

p p Тогда количество таких равно N = + O( p), где постоянная 2k в O(·) зависит от k.

11* 164 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями Выведем теорему 6.2 из леммы. Пусть 0 p - 1, = -ai, i = 1,..., k. Предположим, что deg d(x) = 0. Тогда p- (ai + ) - 1 = 0, i = 1,..., k.

Следовательно, p- (ai + ) = -1, i = 1,..., k, т. е. 1 =... = k = -1. Теперь рассмотрим случай deg d(x) = k. Тогда аналогично получаем, что p- (ai + ) = 1, i = 1,..., k, откуда 1 =... = k = 1. Таким образом, среди всех значений ко личество, для которых 1 deg d(x) < k, будет по лемме равно тех p p - k - 2 + O( p). Отсюда следует утверждение теоремы 6.2.

2k Доказательство. Пусть a фиксированный квадратичный невы — чет по модулю p. Положим di = a, если i = -1, и di = 1, если i = 1.

Рассмотрим систему уравнений y d1 (x + a1) (mod p),........................

y2 dk (x + ak) (mod p), k относительно неизвестных x, y1,..., yk Z/pZ. Обозначим для крат d кости (d) =. Уравнение y2 d (mod p) имеет 1 + (d) решений.

p Поэтому число решений системы равно p- k M = (1 + (di (x + ai))) = x=0 i= p- 1 k = (d1 (x + a1))l... (dk (x + ak))l = x=0 l1,...,lk{0,1} p- = p + (gl (x)), l=(l1,...,lk);

x= l = § 6.1. Введение. Вероятностный алгоритм решения уравнений в конечных полях 1 k где gl (x) = (d1 (x + a1))l... (dk (x + ak))l. Справедливо неравенство (см. [31, теорема 5.41]) p- (gl (x)) (deg gl (x) - 1) p, x= которое следует из оценок тригонометрических сумм Вейля. Поэтому k k |M - p| (r - 1) p, r r= p- так как если deg gl(x) = 1, то (gl (x)) = 0. Поскольку x= k k! (r - 1) k! k - (r - 1) = < = k, r r! (k - r)! (r - 1)! (k - r)! r - то |M - p| k p(2k-1 - 1).

Рассмотрим, удовлетворяющие условию леммы. Тогда di ( + ai) di (di ( + ai)) = = i = p p по определению di. Поэтому каждое уравнение y2 di( + ai) (mod p) i имеет два решения, и система при x = имеет 2k решений. Следова тельно, M = 2kN + N1, где N1 некоторые решения системы, возникающие при не удовле —, + ai творяющих условию леммы. Если = -ai, i = 1,..., k, но = - i p d (ai + ) d i i при некотором i, то = (- i) = -1, и система при x = p p неразрешима. Если же = -ai при некотором i, то при x = система имеет не более чем 2k решений. Поэтому N1 k · 2k. Следовательно, |2k · N - p| |M - p| + |2kN - M| k p(2k-1 - 1) + k · 2k.

Отсюда следует утверждение леммы 6.3.

Скажем еще несколько слов о других методах нахождения корней многочленов над конечными полями. Эти методы описаны в [31, гл. 4, § 3]. Если конечное поле GF(q) велико, но его характеристика p мала, m- j то при q = pm следует вычислить многочлен S(x) = xp, и пытаться j= 166 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями находить корни f(x), вычисляя либо НОД(f(x), S(x) - c), c GF(p), либо НОД(f(x), S( jx) - c), c GF(p), где GF(q) такое, что 1,,..., m-1 образуют базис GF(q) на д GF(p) как линейного пространства. Если же и поле GF(q) велико, и его харак n теристика p велика, то при f(x) = jxj мы сначала строим многочлены i= n pk fk (x) = j xj, k = 0,..., m - 1.

j= m- Затем для многочлена F(x) = fk (x) GF(p)[x] находим разложе k= ние F(x) = G1(x)... Gr (x) в кольце GF(p)[x] на степени различных неприводимых многочленов и пытаемся найти корни f(x), вычисляя НОД(f(x), Gt (x)), t = 1,..., r.

На этом мы закончим описание методов нахождения корней про извольных многочленов над GF(q). В следующем параграфе мы будем решать квадратные уравнения в конечных полях.

§ 6.2. Решение квадратных уравнений Рассмотрим уравнение x2 a (mod p), (6.1) где p > 2, p простое число. С помощью очевидной замены переменной — к уравнению (6.1) сводится произвольное уравнение AX2 + BX + C 0 (mod p). Если a ( p), то уравнение (6.1) разрешимо тогда 0 mod a и только тогда, когда = 1, т. е.

p a(p-1)/2 1 (mod p)(6.2) p - Предположим, что p 3 (mod 4), т. е. p = 4k + 3. Тогда = 2k + 1, и из (6.2) следует, что a2k+1 1 (mod p). Отсюда a2k+2 a (mod p), и мы находим решение (6.1):

x ±ak+1 (mod p).

§ 6.2. Решение квадратных уравнений p - Предположим, что p 1 (mod 4), p = 4k + 1. Тогда = 2k, и (6.2) принимает вид s a2 t 1 (mod p), (6.3) где 2k = 2st, s 1, t нечетно. Для решения (6.1) нам нужно знать какой либо квадратичный невычет N по модулю p. Для N выполнено соотно шение N s -1 = N2k N2 t (mod p).

p Теперь будем извлекать квадратные корни. Из (6.3) следует, что s- a2 t ±1 (mod p).

s- Если a2 t +1 (mod p), то мы снова извлекаем квадратный корень, s-1 s-1 s если же a2 t -1 (mod p), то a2 t · N2 t 1 (mod p), и мы извлекаем корень из левой части этого уравнения. Продолжая этот процесс извле s чения квадратных корней и домножения на N2 t -1 (mod p), если при извлечении корня появляется -1 (mod p), мы придем к соотношению at · N2l 1 (mod p) при некотором l Z 0. Отсюда (a(t+1)/2Nl)2 a (mod p), и мы находим x ±a(t+1)/2Nl (mod p) решение (6.1).

— Замечание 6.4. С помощью случайного выбора N из множества {1, 2,..., p - 1} мы с вероятностью найдем невычет. Оценка на вели чину наименьшего квадратичного вычета по модулю p была приведена в §1.6 (при условии выполнения расширенной гипотезы Римана). Для некоторых значений p 1 (mod 4) невычет N известен заранее;

напри мер, N = 2 при p 5 (mod 8).

Несколько более эффективным для решения уравнения (6.1) в слу чае p 1 (mod 4) является алгоритм Тонелли Шэнкса. В нем мы — сохраняем обозначение p - 1 = 4k = 2s+1 · t = 2e · t;

N какой-либо из — вестный нам квадратичный невычет по модулю p. Мы считаем, что a =+1.

p Алгоритм Тонелли Шэнкса.

— 1 шаг. Вычисляем следующие значения:

y := Nt (mod p), r := e, x := a(t-1)/2 (mod p), b := ax2 (mod p), x := ax (mod p).

2 шаг. Если b 1 (mod p), то x является искомым решением (6.1), и алгоритм останавливается.

168 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями m 3 шаг. Находим наименьшее m N такое, что b2 1 (mod p). Оно удовлетворяет неравенству 1 m r - 1.

4 шаг. Вычисляем значения r-m- l := y2 (mod p), y := l2, r := m x := xl (mod p), b := by (mod p) и возвра ща емся на 2-й ша г.

Конец алгоритма.

Покажем, что алгоритм работает корректно. Мы хотим найти числа A1,..., Ae-1, равные 0 или 1, такие, что at · Nt(A ·2+A2·22+...+Ae-1·2e-1) 1 (mod p).

Числа A1,..., Ae-1 мы определяем последовательно. При первом про ходе алгоритма на 1-м ша ге b at (mod p), x a(t+1)/2 (mod p), r = e.

m m m- На 3 шаге мы находим m такое, что b2 at·2 1 (mod p), b2 = m- = at·2 -1 (mod p), и в силу (6.2), m r - 1 = e - 1. Тогда мы по лагаем A1 =... = Ae-m-1 = 0, Ae-m = 1, и получаем соотношение e-j a2 t · Nt(A ·2e-j+1+...+Aj-1·2e-1) 1 (mod p), где j = e - m + 1. Далее на 4 шаге мы вычисляем r-m-1 j-2 j- l = Nt·2 = Nt·2, y = Nt·2, r = m = e - j + 1, t+ x = a · Nt(A +...+Ae-m2e-m-1) (mod p), b = at · Nt(2A +...+Ae-m2e-m) (mod p).

Если b 1 (mod p), то очевидно, что x является решением (6.1). Если b 1 (mod p), то алгоритм продолжает работу.

Предположим, что после нескольких проходов шагов 2 4 мы на — шли числа j 2 и A1,..., Aj-1 {0;

1}, причем Aj-1 = 1 и выполнены соотношения, являющиеся предположением индукции:

e-j a2 ·tNt(A 2e-j+1+...+Aj-12e-1) 1 (mod p), t+ 2 x a Nt(A +...+Aj-12j-2) (mod p), b atNt(A ·2+...+Aj-12j-1) (mod p), j-2 j- l = Nt·2, y = Nt2, r = e - j + 1.

§ 6.2. Решение квадратных уравнений Если j = e, то мы определили все A1,..., Ae-1, и x будет ответом.

Если j < e, но b 1 (mod p), то x также будет ответом, и алгоритм закончит работу. Если же j < e и b 1 (mod p), то при следующем про ходе шагов 2 4 алгоритма мы находим очередное значение j и числа — Aj = Aj+1 =... = Aj -1 = 0, Aj = 1, для которых e-j + - a2 ·tNt(A 2e-j +...+Aj 2e-1) 1 (mod p).

При этом формулы, выражающие x, b, l, y, r через j, A1,..., Aj -1, сохраняются. Таким образом мы по индукции доказали корректность алгоритма Тонелли Шэнкса.

— Замечание 6.5. Алгоритм Тонелли Шэнкса описан в [89, гл. 1], — см. также [60, гл. 7]. Он имеет полиномиальную сложность при усло вии, что невычет N нам известен.

Замечание 6.6. В работе [244] предложен алгоритм решения (6.1) со сложностью O(|a|1/2+ (log p)9) битовых операций. Знание невыче та здесь не предполагается;

при фиксированном a Z алгоритм имеет полиномиальную сложность по переменной величине p.

Замечание 6.7. Вкниге [60, гл. 7] описан вероятностный алгоритм Чипполы для решения уравнения x2 = a в конечном поле GF(q) при не четном q, имеющий среднее время работы O(log3 q) битовых операций.

Рассмотрим теперь уравнение xN a (mod p), (6.4) где p простое число, N N, N > 2. Если (N, p - 1) = 1, то решение — этого уравнения имеет вид x aM (mod p), где NM 1 (mod p - 1).

В ра бота х [282;

49] предложены некоторые методы решения (6.4) при условии (N, p - 1) > 1;

см. также [60, гл. 7].

Если мы хотим решить уравнение x2 a (mod n), где n = pq, p, q — различные простые числа, то решение этого уравнения будет трудной задачей, при условии, что разложение n на множители нам неизвест но. На сложности решения этого уравнения основан ряд криптосистем, см. [4, гл. 3, 4].

Если n N, то для нахождения m = [ n] можно использовать сле дующий алгоритм, описанный в [89, гл. 1].

Алгоритм.

1 шаг. x := n.

2 шаг. Используя целочисленные деления и сдвиги (деление на 2), вычислить n x + x y =.

170 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями 3 шаг. Если y < x, x := y и вернуться на 2-й шаг. Иначе x будет то искомым значением [ n].

Конец алгоритма.

Покажем, что алгоритм выдает верный ответ. Если t > 0, то выпол нено неравенство n t + t n.

n Поэтому в алгоритме всегда x [ n], та к ка к из нера венства x + x n 2 n следует, что x + [2 n] 2[ n]. Пусть на 3 шаге выпол x нено неравенство y x. Мы хотим доказать, что x = [ n]. Предполо жим, что x [ n] + 1, и придем к противоречию. Действительно, n n x + - x x x 0 y - x = - x = < 0, 2 n n n поскольку x > n и < n, т. е. - x [ n] - [ n] - 1 = -1.

x x x С помощью данного алгоритма можно решать уравнения x2 = n, n N, в целых числах;

прежде чем извлекать корень из n, следует про верить, является ли n квадратичным вычетом по нескольким небольшим модулям, см. [89, гл. 1].

§ 6.3. Алгоритм Берлекэмпа Пусть p простое число, q = pm. В данном параграфе мы опишем — алгоритм Берлекэмпа (см. [7;

31, гл. 4;

63]) для разложения унитарного многочлена f(x) GF(q)[x] на множители. Пусть deg f(x) = n 2. Обо значим 1 k f(x) = f1 (x)e... fk (x)e (6.5) разложение f(x) на различные неприводимые унитарные многочлены f1 (x),..., fk (x). Сначала мы покажем, как нахождение разложения (6.5) сводится к нахождению разложения многочлена f (x) = fi (x)... fi (x), 1 i1 < i2 <...

§ 6.3. Алгоритм Берлекэмпа Если f (x) нулевой многочлен, то f(x) =g0 (xp), где g0 (y) GF(q)[y].

— Поскольку возведение в степень p является автоморфизмом по ля GF(q) и так как (A + B)p = Ap + Bp для всех A, B GF(q)[x], то f(x) = g0 (xp) = (g(x))p, и задача разложения f(x) сводится к на хожде нию разложения g(x), имеющего меньшую степень. Коэффициенты g(x) быстро вычисляются по коэффициентам f(x), если GF(q) не слишком велико и m > 1. Если же q = p (т. е. m = 1), то g(x) = g0 (x), поскольку ap = a для всех a GF(p).

Предположим теперь, что f (x) ненулевой многочлен. Тогда оче — видно, что 1 k d(x) = f1(x)v... fk(x)v, где vi =ei -1 при p ei, vi = ei при p | ei. При этом найдется vi = ei. То гда многочлен f (x) =f(x) d(x) равен произведению тех из многочленов / f1 (x),..., fk (x), для которых p ei. Если мы разложим f (x) на неприво димые множители, то затем пробными делениями найдем показатели ei i такие, что p ei. Вычислим f(x) fi (x)e. У этого многочлена произ / i : p ei водная будет нулевой. Если он отличен от константы, то мы представим его в виде g(x)p, как это описано выше, и далее будем расклады вать g(x) аналогичным образом, и т. д.

Замечание 6.8. В [89, гл. 3, алгоритм 3.4.2] описан алгоритм, кото рый находит представление унитарного многочлена f(x) Z pZ[x] в ви / де f(x) = Ai (x)i, где Ai (x) Z pZ[x], Ai не имеют кратных неприво / i димых множителей, и при i = j(Ai (x), Aj (x) = 1.

Далее мы будем считать, что в разложении (6.5) все пока за тели ei равны 1.

Теорема 6.9. Пусть h(x) GF(q)[x], 1 deg h(x) < n, и выполнено условие h(x)q h(x) (mod f(x)).

Тогда справедливо равенство f(x) = НОД(f(x), h(x) - c), (6.7) cGF(q) причем правая часть этого равенства представляет собой нетривиальное разложение f(x) на взаимно простые множители.

Доказательство. Поскольку при c1, c2 GF(q), c1 = c2, много члены h(x) - c1 и h(x) - c2 взаимно просты, то множители в правой части (6.7) взаимно просты. Поскольку deg(h(x) - c) < n, то из вы полнения равенства (6.7) следует, что это нетривиальное разложение 172 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями f(x) (т. е. (6.7) есть разложение f(x) на несколько многочленов мень шей степени). Само же равенство (6.7) следует теперь из того, что h(x)q - h(x) = (h(x) - c) 0 (mod f(x)), и из взаимной простоты cGF(q) многочленов h(x) - c при различных c GF(q).

Определение 6.10. Многочлен h(x) GF(q)[x] такой, что deg h(x) < n, h(x)q h(x) (mod f(x)), называется f-разлагающим многочленом.

Из теоремы 6.9 следует, что если мы построим какой-нибудь f-раз лагающий многочлен, то сможем с его помощью разложить f(x) на не менее чем два множителя. Опишем процедуру построения таких многочленов.

Теорема 6.11. Определим матрицу B = bij i,j=0,...,n-1 из срав нений n- xiq bijxi (mod f(x)), i = 0,..., n - 1.

j= Многочлен h(x) = a0 + a1x +... + an-1xn-1 GF(q)[x] будет удовле творять условию h(x)q h(x) (mod f(x)) тогда и только тогда, когда (a0,..., an-1)B = (a0,..., an-1), т. е. тогда и только тогда, когда вектор его коэффициентов яв ляется левым собственным вектором матрицы B с собственным значением 1.

Доказательство. Условие h(x)q h(x) (mod f(x)) равносильно ус ловию n-1 n- aixiq aixi (mod f(x)).

i=0 i= Отсюда по определению матрицы B получим равенство n-1 n-1 n- ai bijxj = aixi, i=0 j=0 i= поэтому n- bij = aj, j = 0,..., n - 1, i= что равносильно утверждению теоремы.

§ 6.3. Алгоритм Берлекэмпа Алгоритм Берлекэмпа.

На входе алгоритма задан унитарный многочлен f(x) GF(q)[x], deg f(x) = n 2, про который известно, что он не имеет кратных непри водимых множителей. На выходе разложение f(x) на неприводимые — множители.

1 шаг. Вычислить матрицу B из теоремы 6.11.

2 шаг. Найти базис пространства решений системы линейных урав нений x B1... = 0, (6.8) xn- где B1 = (B - In)T, In единичная матрица, знак (·)T означает транспо — нирование. Пусть e1 = (1, 0,..., 0), e2,..., ek найденный базис.

— Замечание 6.12. Поскольку xiq 1 (mod f(x)) при i = 0, то в мат рице B первая строка всегда имеет вид (1, 0,..., 0), и первый столбец матрицы B1 будет нулевым. Поэтому e1 = (1, 0,..., 0) будет присут ствовать в базисе пространства решений.

3 шаг. При k = 1 многочлен f(x) неприводим;

вообще, найденное значение k равно количеству неприводимых делителей f(x) в GF(q)[x].

При k > 1 на до взять e2 = (h2,0,..., h2,n-1) и построить f разлагаю — n- щий многочлен h2 (x) = h2,ixi. С его помощью, применяя теорему 6.9, i= т. е. вычисляя НОД(f(x), h2 (x) - c) при c GF(q), найти разложение f(x) = g1 (x)... gl (x), где gi (x) GF(q)[x], l 2. Если l = k, то алгоритм останавливается. Ес n- ли l < k, то мы берем e3 = (h30..., h3,n-1), строим h3 (x) = h3ixi;

вы i= числяя НОД(gi(x), h3 (x) - c) для найденных gi (x), мы получаем даль нейшее разложение f(x), и т. д. Алгоритм закончит работу, когда мы переберем все базисные векторы e2,..., ek, и для соответствующих им многочленов hi (x) вычислим наибольшие общие делители найденных множителей f(x) с hi (x) - c, c GF(q).

Замечание 6.13. Алгоритм останавливается, как только мы найдем разложение f(x) на k множителей, где k = n - rank B1.

Конец алгоритма.

Теорема 6.14. Алгоритм Берлекэмпа работает корректно и находит полное разложение f(x) на множители.

174 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями Доказательство. Поскольку f(x) = f1 (x)... fk (x) произведение — различных унитарных неприводимых многочленов, то по китайской теореме об остатках для любого набора c1,..., ck GF(q) существует единственный многочлен h(x) GF(q)[x] такой, что h(x) ci (mod fi (x)), i = 1,..., k, deg h(x) < n. Этот многочлен h(x) удовлетворяет условию h(x)q cq ci h(x) (mod fi(x)), i = 1,..., k, i и поэтому является f-разлагающим. Обратно, любой f-разлагающий многочлен h(x) удовлетворяет соотношению hq (x) - h(x) (h(x) - c) 0 (mod f(x)), cGF(q) откуда для каждого fi (x) на йдется c = ci такое, что h(x) ci (mod fi (x)).

Таким образом, мы получили взаимно однозначное соответствие меж ду f-разлагающими многочленами h(x) и наборами ci,..., ck GF(q).

Поскольку по теореме 6.11 вектор коэффициентов (h0,..., hn-1) мно гочлена h(x) удовлетворяет системе уравнений (6.8), то ранг матри цы B1 равен n - k, и пространство решений k-мерно. Обозначим через h1 (x),..., hk (x) f-разлагающие многочлены, векторы коэффициентов которых образуют базис пространства решений системы (6.8);

мы счи таем, что h1 (x) = 1. Пусть fi (x) и fj (x) какие-либо два неприводимых — делителя f(x), i = j. Мы хотим показать, что найдется номер u, 2 u k, и постоянная c GF(q) такая, что hu (x) c (mod fi(x)), hu (x) c (mod fj(x)).

Предположим противное, т. е. для всех u = 2,..., k при некоторых cu GF(q) выполнены сравнения hu (x) cu (mod fi (x) · fj (x)). То же верно и для u = 1, так как h1 (x) = 1 = c1. Но тогда, поскольку лю бой f-разлагающий многочлен h(x) является линейной комбинацией над GF(q) многочленов h1(x),..., hk (x), то h(x) c (mod fi (x) · fj (x)), где c GF(q), c зависит от h(x). Однако найдется f-разлагающий мно гочлен h(x) такой, что h(x) 0 (mod fi(x)), h(x) 1 (mod fj(x)).

Полученное противоречие завершает доказательство теоремы и обос нование алгоритма Берлекэмпа.

Замечание 6.15. Сложность алгоритма составляет O(n3 + qkn) арифметических операций (см. [22, с. 191]). Поэтому алгоритм будет § 6.4. Метод Кантора Цассенхауза — эффективен лишь для сравнительно небольших значений q (в частно сти, из-за перебора c GF(q) на 3 шаге алгоритма);

т. е. для небольших полей.

В последующих параграфах мы рассмотрим ряд усовершенствова ний алгоритма Берлекэмпа, а также методы факторизации в случае больших полей GF(q).

Приведем еще два результата, связанных с факторизацией много членов из GF(q)[x]. В работе [197] приведен следующий результат, позволяющий установить четность количества неприводимых делите лей f(x).

Теорема 6.16. Пусть p простое число, f(x) Z pZ, deg f(x) = — / = n < p. Пусть D дискриминант f(x), w число неприводимых — — D множителей f(x), и пусть p D. Тогда = (-1)n-w.

p Другой результат о f-разлагающих многочленах приведен в [31, тео рема 4.3].

Теорема 6.17. Пусть f(x) GF(q)[x] унитарный многочлен, — f(x) = f1(x)... fk (x) разложение f(x) на различные унитар — ные неприводимые многочлены, где k 2. Пусть deg fi (x) = ni, i = 1,..., k, N = НОК(n1,..., nk). Положим 2 N- T (x) = x + xq + xq +... + xq, и определим многочлены Ti(x) GF(q)[x]:

Ti(x) T (xi) (mod f(x)), deg Ti (x) < n, i = 1, 2,...

Тогда по крайней мере один из многочленов T1(x),..., Tn-1(x) яв ляется f-разлагающим.

§ 6.4. Метод Кантора Цассенхауза — Зафиксируем простое число p. Пусть f(x) Z pZ[x], f(x) унита рен / и не имеет кратных неприводимых множителей. Ниже мы опишем алго ритм, который для заданного d N находит произведение всех непри водимых делителей f(x), имеющих степень d. Предварительно докажем лемму.

Лемма 6.18. Пусть g(x) Z pZ[x] унитарный неприводимый / — многочлен.

d 1. Если deg g(x) = d, то g(x) делит xp - x.

d e 2. Если g(x) делит xp - x и g(x) не делит xp - x для всех e < d, то deg g(x) = d.

176 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями Доказательство. Первое утверждение следует из того, что K = = Z pZ[x] (g(x)) = GF(pd), и элемент x x (mod g(x)) K удовле / / d творяет соотношению xp = x. Для доказательства второго утвержде ния обозначим l = deg g(x), K1 = GF(pl) = Z pZ[x] (g(x)). Посколь / / l ку xp x (mod g(x)), то из условия утверждения следует, что l d.

С другой стороны, для произвольного многочлена f(x) Z pZ[x] вы / полнены соотношения d d f(x)p = f(xp ) f(x) (mod g(x)). (6.9) Поскольку K является циклической группой порядка pl - 1 и по рождается элементом f(x) (mod g(x)) для некоторого f(x) Z pZ[x], / то из (6.9) следует, что pl - 1 | pd - 1, т. е. l d. Значит, l = d, что и требовалось доказать.

Применим лемму 6.18. Рассмотрим B1(x) = НОД(f(x), xp - x).

Очевидно, B1 (x) состоит из всех неприводимых делителей f(x) первой степени. Заменим f(x) на f1 (x) = f(x) B1 (x). Тогда вычислим / B2 (x) = НОД(f1 (x), xp - x).

B2(x) состоит из всех неприводимых делителей f(x) второй степени.

Положим f2(x) = f1 (x) B2 (x). Продолжая этот процесс, мы получим, что / d Bd (x) = НОД(fd-1(x), xp - x) состоит из всех неприводимых делителей f(x), имеющих степень d;

да лее fd (x) = fd-1 (x) Bd (x), и т. д.

/ Замечание 6.19. Этот алгоритм нахождения произведений всех неприводимых делителей f(x), имеющих фиксированную степень, мож но применять до того, как мы применяем алгоритм Берлекэмпа для факторизации f(x).

Лемма 6.20. Пусть g(x) Z pZ[x], g(x) унитарен, deg g(x) = d, / причем все неприводимые делители g(x) имеют одинаковую сте пень и g(x) не имеет кратных делителей. Многочлен g(x) непри d водим тогда и только тогда, когда xp x (mod g(x)) и для любого простого q, делящего d, d q / НОД xp - x, g(x) = 1.

Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточ ность. Если g(x) приводим и имеет неприводимый делитель g1(x), l deg g1(x) = l < d, то g1 (x) | xp - x. Кроме того, по условию l | d, l = d k.

/ § 6.4. Метод Кантора Цассенхауза — Если k простое, то мы получили противоречие условию леммы. Если k = qr, где r 2, и q простое, то мы также получили противоречие, — l lr поскольку g1 (x) | xp - x | xp - x = xd/q - x.

Далее мы считаем, что f(x) Z pZ[x], f(x) бесквадратен, и все / его неприводимые делители имеют одинаковую степень d, известную нам. Сейчас мы опишем метод Кантора Цассенхауза для факториза — ции f(x) (см. [85]). В нем различаются случаи p = 2 и p > 2.

Теорема 6.21. Если p > 2, то для любого многочлена T = T (x) Z pZ[x] справедливо равенство / (pd-1) 2 (pd-1) / / f(x) = НОД(f(x), T) НОД(f(x), T + 1) НОД(f(x), T - 1).

Доказательство. Все элементы поля GF(pd) представляют собой d корни многочлена xp - x. Пусть T = T (x) Z pZ[x]. Тогда многочлен / d d d T (x)p - T (x) = T (xp ) - T (x) делится на xp - x. Из леммы 6.18 следует, d (pd-1) 2 (pd-1) / / что f(x) делит Tp - T = T (T - 1) (T + 1), причем поскольку (pd-1) 2 (pd-1) / / p > 2, то многочлены T, T - 1 и T + 1 взаимно просты.

Теорема доказана.

Замечание 6.22. Можно доказать, что для случайно выбранного многочлена T Z pZ[x] та кого, что deg T 2d - 1, наибольший общий / (pd-1) / делитель D = НОД(f(x), T - 1) нетривиален с вероятностью, близкой к 1 2, см. [89, гл. 3, § 3.4.4]. Факторизация f(x) методом / Кантора Цассенхауза как раз состоит в случайном выборе T и вы — числении D. Если deg D = 0 или deg D = deg f(x), то выбирается другой многочлен T;

иначе мы факторизуем D и f(x) D тем же способом.

/ При этом найденные делители f(x), имеющие степень d, являются по условию неприводимыми.

Теперь рассмотрим случай p = 2.

d- Теорема 6.23. Пусть p = 2, U(x) = x + x2 + x4 +...+ x2 Z 2Z[x].

/ Тогда для любого многочлена T = T (x) Z 2Z[x] справедливо ра / венство f(x) = НОД(f(x), U(T)) НОД(f(x), U(T) + 1).

Доказательство. Поскольку d- U(T) = T + T2 +... + T2, d U(T)2 = U(T2) = T2 + T4 +... + T2, то d d U(T) + U(T)2 = T2 + T = T2 - T.

Дальнейшие рассуждения аналогичны доказательству теоремы 6.21.

12 О. Н. Василенко 178 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями Как и в случае p > 2, можно доказать, что для случайно вы бранного многочлена T = T (x), deg T 2d - 1, наибольший общий делитель f(x) и U(T) будет нетривиален с вероятностью, примерно равной. Также можно выбирать T (x) среди степеней x, x3,..., x2d-1, т. е. при некотором нечетном j, 1 j 2d - 1, наибольший общий делитель (U(xj), f(x)) будет нетривиален с вероятностью, пример но равной. Докажем это. Предположим противное, т. е., что для любого нечетного j, 1 j 2d - 1, либо U(xj) 0 (mod f(x)), либо U(xj 1 (mod f(x)) (использовалась теорема 6.23). Также из теоре мы 6.23 следует, что U(T2) = U(T)2 U(T) (mod f(x)). Поэтому для всех j, 1 j 2d - 1 выполнено сравнение U(xj) 0 (mod f(x)) или сравнение U(xj) 1 (mod f(x)). Так как U(T1 + T2) = U(T1) + U(T2), то для любого многочлена H = H(x) Z 2Z[x], degH(x) 2d - 1, / выполнено сравнение U(H) 0 (mod f(x)) или U(H) 1 (mod f(x)).

Поскольку мы считаем, что deg f(x) > d (если deg f(x) = d, то f(x) неприводим), то у f(x) есть два различных неприводимых делите ля f1 (x) и f2 (x), deg f1(x) = deg f2 (x) = d. Пусть корень f2 (x) — в GF(2d). Поскольку f2 (x) неприводим, то GF(2d) = Z 2Z[ ]. Так / как deg U(x) = 2d-1, то существует GF(2d), U( ) = 0. Для неко торого P(x) Z 2Z[x], degP(x) d - 1, справедливо равенство = / = P( ). По китайской теореме об остатках построим многочлен T = T (x) Z 2Z[x] такой, что deg T (x) 2d - 1, T (x) 0 (mod f1 (x)), / T (x) P(x) (mod f2(x)). Тогда U(T) U(0) 0 (mod f1(x)), U(T) U(P(x)) 0 (mod f2(x)), так как U( ) = U(P( )) = 0. Однако это противоречит тому, что U(T) 0 (mod f(x)) или U(T) 1 (mod f(x)).

Полученное противоречие доказывает, что при некотором нечетном j, 1 j 2d - 1, наибольший общий делитель (U(xj), f(x)) будет нетри виален.

§ 6.5. Некоторые другие усовершенствования алгоритма Берлекэмпа Вернемся вновь к алгоритму Берлекэмпа, описанному в §6.3. Огра ничимся случаем простого поля Z pZ.

/ Пусть p велико. Тогда перебор значений c Z pZ и вычисление / НОД(f(x), h(x) - c) займут много времени. Мы хотим определить мно жество M Z pZ, состоящее из тех c, для которых НОД(f(x), h(x) - c) / нетривиален.

§ 6.5. Некоторые другие усовершенствования алгоритма Берлекэмпа Первый подход к нахождению множества M заключается в вы числении результанта Res(f(x), h(x) - c). Определение и свойства n результанта можно найти в [9, гл. 5]. Если f(x) = Aixi Z pZ[x], / i= m и h(x) = Bixi Z pZ[x], то Res(f(x), h(x) - c) равен определителю / i= матрицы R размера (n + m) (n + m), где An An-1... A0 0....... 0 An... A1 A0 0......................................................

0 0... An An-1....... A R = Bm Bm-1... B0 - c 0....... 0 Bm... B1 B0 - c..........................................................

0 0........... Bm... B1 B0 - c Мы видим, что Res(f(x), h(x) - c) является многочленом степени n от переменной c с коэффициентами из Z pZ. Его корни являются / в точности теми значениями c, для которых НОД(f(x), h(x) - c) нетри виален. Поэтому для определения множества M мы находим корни Res(f(x), h(x) - c), как многочлена от c, лежащие в поле Z pZ;

мы / можем находить их, например, с помощью вероятностного алгоритма, описанного в §6.1.

Другой подход к отысканию множества M был предложен Цас сенхаузом. Сохраняя введенные выше обозначения, мы предположим дополнительно, что f(x) унитарен, m < n, и что h(x)p h(x) (mod f(x)).

Тогда f(x) = НОД(f(x), h(x) - c). (6.10) cM Обозначим G(y) = (y - c) Z pZ[x].

/ cM Теорема 6.24. Многочлен f(x) делит G(h(x));

при этом G(y) — многочлен минимальной степени среди всех многочленов g(y) \ Z pZ[y] {0} таких, что f(x) делит g(h(x)).

/ Доказательство. Обозначим через I идеал кольца Z pZ[y], / состоящий из многочленов g(y) таких, что f(x) делит g(h(x)). По опре делению G(y) I. Кроме того, идеал I является главным, I = (g0 (y)) \ для некоторого g0(y) Z pZ[y] {0}. Из определения множества M / 12* 180 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями и равенства (6.10) следует, что M = M. Поскольку g0 (y) | G(y), то g0 (y) = (y - c) для некоторого подмножества M M.

cM Применим теорему 6.24 для нахождения M. Пусть |M| = k неиз — k вестное нам число. Тогда G(y) = bjyj, где bk = 1, причем число m — j= минимальное натуральное число, обладающее тем свойством, что мно гочлены 1, h(x),..., h(x)k линейно зависимы над Z pZ по модулю — / многочлена f(x). Тогда мы находим векторы коэффициентов много n-1 n- членов h(x)0 (mod f(x)) = 1 = h0jxj, h(x) (mod f(x)) = h1jxj,...

j=0 j= n-..., h(x)i (mod f(x)) = hijxj,..., и берем первый номер k, такой, j= что вектор (hk,0,..., hk,n-1) линейно выражается над Z pZ через / (h0,0,..., h0,n-1),..., (hk-1,0,..., hk-1,n-1). Это дает нам соотношение k bjh(x)j 0 (mod f(x)), bk = 1, j= k с минимальным значением k. Тогда мы пола га ем G(y) = bjyj. Мно j= жество M будет состоять из всех корней многочлена G(y);

мы находим эти корни, например, вероятностными методами из §6.1.

Еще один метод разложения унитарного многочлена f(x) из коль ца GF(q)[x], не имеющего кратных неприводимых множителей, описан в [31, гл. 4, § 2]. Он основан на приведении некоторой эффективно вычислимой с помощью алгоритма Берлекэмпа матрицы A к диаго нальному виду. Однако сам процесс диагонализации довольно сложен.

В работе [139] предложена вероятностная версия алгоритма Бер лекэмпа. С ее помощью можно разложить на множители многочлен из GF(q)[x] степени n в среднемза O((n log n + log q)n(log n)2 log log n) арифметических операций в поле GF(q). В алгоритме был использо ван метод Видемана для решения систем линейных уравнений над ко нечными полями (см. об этом гл. 11 далее). Алгоритм Калтофена — Лобо был реализован на компьютере. Многочлены небольшой степе ни (скажем, до 250) быстрее раскладывать на множители с помощью обычного алгоритма Берлекэмпа, если рассматриваемые поля не слиш ком велики. Для многочленов высокой степени алгоритм Калтофена — Лобо в ряде случаев оказался эффективным;

например, для многочле нов степени 10 001 над полем Z 127Z он работает около 102,5 часов / на компьютере Sun 4.

§ 6.6. Вероятностный алгоритм проверки неприводимости многочленов § 6.6. Вероятностный алгоритм проверки неприводимости многочленов над конечными полями Пусть p простое число, p > 2, r N, r 1, q = pr, K = GF(q).

— Пусть f = f(x) фиксированный унитарный многочлен из K[x], n = — = deg f(x) 2. В данном параграфе мы опишем вероятностный алгоритм проверки неприводимости f(x), аналогичный алгоритму Миллера Ра — бина для проверки простоты чисел (см. §1.7).

Обозначим qn - 1 = 2k · t, где t нечетно, R = K[x] (f) кольцо из qn / — элементов. Если f(x) неприводим, то R является полем, |R| = qn - 1, n k \ и для любого a R {0} выполнено равенство aq -1 = a2 t = 1. Извле кая квадратный корень, мы получим, что j либо at = 1, либо at·2 = -1 при некотором j, 0 j < k. (6.11) Для многочлена f(x) мы обозначим через S множество элементов a R, для которых выполнено условие (6.11).

Теорема 6.25. Если f(x) приводим, то 1 qn - |S| |R|.

2 Следствие 6.26. Проверяя условие (6.11) для случайно выбран ного a R, мы с высокой вероятностью обнаружим, что f(x) при водим. Если же условие (6.11) выполнено для l случайно выбранных элементов a R, то можно считать, что f(x) неприводим с ве роятностью не меньшей, чем 1 -.

2l Доказательство теоремы разбивается на два случая.

1 случ ай. Пусть существует неприводимый многочлен g=g(x) K[x] такой, что g2 | f. Зафиксируем его и обозначим через G множество f(x) G = 1 + h(x) (mod f(x)) h(x) K[x], degh(x) < deg g.

g(x) Лемма 6.27. Справедливы следующие утверждения:

1. G подгруппа в R;

— \ 2. для любого h G 1 порядок h равен p;

3. |G| = qm, где m = deg g(x).

Доказательство. Поскольку f f f 1 + h1 1 + h2 1 + (h1 + h2) (mod f), g g g 182 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями f \ то первое утверждение очевидно. Если w G 1, w = 1 +, то wp = g p f fp-2 f = 1 + h = 1 + hpf 1 (mod f). Третье утверждение леммы g gp-2 g также очевидно.

\ Лемма 6.28. Если w G 1, то wS S =.

Доказательство. По лемме 6.27 порядок w равен p, поэто n n n му wq -1 = 1. Если a S, то aq -1 = 1, откуда (aw)q -1 = 1. Значит, aw S, что и требова лось дока за ть.

Лемма 6.29. Пусть a, b, G, a = b. Тогда aS bS =.

Доказательство. aS bS = тогда и только тогда, когда S a-1bS =, а последнее равенство верно по лемме 6.28.

Лемма 6.30. Справедливо неравенство |S| |R| qm, / где m = deg g.

m Доказательство. Обозначим через w1 = 1, w2,..., wq все эле m менты G R. Тогда множества w1S,..., wq S содержатся в R и не пересекаются по лемме 6.29. Поэтому |R| qm|S|, что и тре бовалось доказать.

Из леммы 6.30 следует утверждение теоремы 6.25 в рассматривае мом нами случае.

2 случ ай. Пусть многочлен f бесквадратен, т. е. f = f1... fl, где fi — различные неприводимые многочлены из K[x], и l 2.

i Обозначим di = deg fi, Ri = K[x] (fi) = GF(qd ), i = 1,..., l. По ки / тайской теореме об остатках, R изоморфно R1... Rl;

для элемента a R мы будем обозначать ai a (mod fi) Ri, i = 1,..., l. Еслиm N, то am 1 в R тогда и только тогда, когда am = 1 в Ri, i = 1,..., l. По i этому l l i #{a R | am = 1} = #{a Ri | am = 1} = НОД(m, qd - 1), i=1 i= i так как R циклические группы порядка qd - 1. Также — i l #{a R | am = -1} = #{a Ri | am = -1} = i= l = (#{a Ri | a2m = 1}-#{a Ri | am = 1}) = i= l i i = (НОД(2m, qd - 1) - НОД(m, qd - 1)).

i= § 6.6. Вероятностный алгоритм проверки неприводимости многочленов Поэтому S = S1 S2, где l i S1 = {a R | at = 1}, |S1| = НОД(t, qd - 1), i= k-j S2 = {a R | at·2 = -1 при некотором j, 1 j k}, k l i i |S2| = (НОД(t2k-j+1, qd - 1) - НОД(t2k-j, qd - 1)).

j=1 i= Пусть i i qd - 1 = 2c bi, i = 1,..., l, где bi нечетные числа. Очевидно, что при e Z — i i НОД(2et, 2c bi) = 2min(e,c ) НОД(t, bi), 2e НОД(t, bi) при e < ci, i i НОД(2e+1t, 2c bi) - НОД(2et, 2c bi) = 0при e ci.

Поэтому при c = min(c1,..., cl) и при v = min(c, k) выполнено равен ство v-1 l |S2| = 2j НОД(t, bi).

j=0 i= Следовательно, l v-1 l 2vl - |S|=|S1|+|S2|= НОД(t,bi) 1+ 2lj = НОД(t,bi) 1+.

2l - i=1 j=0 i= Далее, i i НОД(qn - 1, qd - 1) = 2min(k,c ) НОД(t, bi), откуда l l НОД(qn - 1, qdi - 1) НОД(t, bi) = 2min(k,ci) i=1 i= l l |R| i i (qd - 1) 2min(k,c ) =.

l 2min(k,ci) i= i=1 i= Следовательно, |R| 2vl - 1 |R| 2vl - |S| 1 + 1 +.

l 2l - 1 2l - 1 2vl 2min(k,ci) i= 184 Гл. 6. Факторизация многочленов над конечными полями Нетрудно видеть, что справедливо неравенство 2vl - 1 1 + 2vl, 2l - 1 2l- поскольку v 1. Так как по условию теоремы l 2, то |S| |R| 2. Тео / рема 6.25 доказана.

Замечание 6.31. В ряде случаев для проверки неприводимости мно гочленов над конечным простым полем эффективен следующий ме тод (см. [101]). Пусть p простое число, f(x) Z pZ[x], degf(x) = n.

— / Многочлен f(x) неприводим тогда и только тогда, когда для любого k, 1 k n 2, выполнено равенство / k НОД(f(x), xp - x) = 1. (6.12) Действительно, если f(x) приводим, то у него найдется неприводимый делитель g(x), deg g(x) = k n 2. Все корни g(x) лежа т в GF(pk), сле / k довательно, являются корнями xp - x. Поэтому для k = deg g(x) усло вие (6.12) не будет выполнено. Если же f(x) неприводим, то его корни k не будут являться корнями xp - x при k < n. Алгоритм проверки непри водимости f(x) заключается в проверке условия (6.12) для всех k n 2.

/ § 6.7. Заключение В книге [31, гл. 4, заключение] содержится превосходный обзор методов факторизации многочленов над конечными полями. Там же в виде обзора описаны различные методы реализации арифметики в ко нечных полях, арифметики многочленов над конечными полями и ме тоды решения уравнений в конечных полях.

В гл. 3 книги [89] описан ряд алгоритмов для реализации полиноми альной арифметики над конечными полями и над кольцом целых чисел, а также алгоритмы факторизации многочленов.

Ряд полезных сведений о факторизации многочленов над конечны ми полями и решении алгебраических уравнений в GF(q) можно найти в книге [60, гл. 7]. Там же описан детерминированный метод нахожде ния неприводимого многочлена над конечным полем, имеющий в пред положении расширенной гипотезы Римана полиномиальную сложность, и метод решения кубических уравнений в GF(q) за O(log4 q) бито вых операций (также в предположении расширенной гипотезы Римана).

В этой книге содержится и отличный обзор результатов о факторизации многочленов и решении алгебраических уравнений в конечных полях.

§ 6.7. Заключение В работе [272] была разработана новая алгоритмическая техни ка применительно к алгоритму Кантора Цассенхауза. С ее помощью — многочлен из GF(q)[x], равный произведению различных неприводимых многочленов одинаковой степени, может быть разложен на неприводи мые множители в среднем за O(n(w+1)/2+o(1) + n1+o(1) log q) операций в GF(q);

здесь w показатель в оценке сложности умно — жения квадратных матриц. В работе [142] был получен аналогичный результат: для любого, 0 1 существует вероятностный алгоритм факторизации многочлена степени n из GF(q)[x], делающий в среднем O(n(w+1)/2+(1- )(w-1)/2 + n1+ +o(1) log q) арифметических операций в GF(q).

Из вероятностных алгоритмов факторизации многочленов отметим также алгоритмы Бен-Ора, см. [62].

Новый подход к факторизации многочленов над конечными полями был разработан Нидеррайтером, см. [206;

122;

207]. С точки зрения сложности этот метод близок к оригинальному алгоритму Берлекэмпа.

В работе [253] предложен эффективный алгоритм факторизации многочленов в GF(q)[x] со сложностью O(n2,5 + n1+o(1) log q) операций в GF(q), требующий памяти для O(n3/2) элементов GF(q). Оказалось, что на практике этот алгоритм при большом q является в ряде случаев более эффективным, чем все предыдущие методы.

В ра бота х [250;

252] предложен ряд алгоритмов для нахождения неприводимых многочленов над конечными полями. Работа [249] по священа вопросам сложности алгоритмов факторизации многочленов над конечными полями.

Работа [141] посвящена разложению многочленов над большими алгебраическими расширениями конечных полей.

В работе [137] приведен обзор алгоритмов факторизации много членов.

Для решения систем алгебраических уравнений применяется ли бо алгоритм Лазара, либо методы, использующие базисы Грёбнера;

см. об этом [157;

172;

100;

156;

155;

81;

125].

Отметим здесь также работу [168]. Она посвящена эффективно му нахождению изоморфизма между двумя представлениями конечного поля и имеет важные приложения как к задаче дискретного логарифми рования, так и к вопросам факторизации многочленов над конечными полями.

Глава 7. Приведенные базисы решеток и их приложения § 7.1. Введение. Решетки и базисы Пусть Rn n-мерное евклидово пространство со скалярным произ — ведением (·, ·). Пусть b1,..., bn Rn линейно независимые вектора.

— Решеткой в Rn называется множество =(b1,..., bn) = Zb1... Zbn = {x1b1 +... + xnbn | x1,..., xn Z};

векторы b1,..., bn называются базисом решетки. Определителем решетки называется величина d(), d() = (det (bi, bj) i,j=1,...,n)1/2.

Базис решетки можно выбирать разными способами;

однако по скольку один базис выражается через другой с помощью целочисленной матрицы с определителем ±1, d() является инвариантом решетки.

Имеет место неравенство Адамара:

n d() |bi|, i= где |b| евклидова норма вектора b Rn. Если e1,..., en ортонор — — n мированный базис Rn, и bi = bijej, i = 1,..., n, то j= d() = | det bij i,j=1,...,n|.

Замечание 7.1. Превосходным введением в геометрию чисел яв ляется книга Касселса [24]. В ней можно на йти описа ние ра зличных свойств решеток и их приложений.

Решетка является дискретным множеством, т. е. в любом огра ниченном множестве пространства Rn содержится лишь конечное число точек решетки.

Напомним процесс ортогонализации Грама Шмидта. Пусть — b1,..., bn линейно независимые векторы в Rn. Пусть векторы — § 7.1. Введение. Решетки и базисы b,..., b определяются соотношениями 1 n i- b = b1, b = bi - ijb, i = 2,..., n, 1 i j j= где ij = (bi, b) (b, b), 1 j < i.

/ j j j Тогда векторы b,..., b попарно ортогональны.

1 n При применении решеток в различных теоретико-числовых алго ритмах важную роль играют базисы, состоящие из достаточно коротких векторов. Ниже мы рассмотрим различные виды таких базисов.

Фиксируем решетку в Rn и рассмотрим множество G, состо ящее из всех ее базисов. Рассмотрим на G следующее отношение упорядоченности: при {a1,..., an}, {b1,..., bn}G {a1,..., an} < {b1,..., bn}, если существует номер j такой, что при всех i < j справедливо равенство |ai| = |bi|, но |aj| < |bj|.

Определение 7.2. Минимальный элемент G по отношению < на зывается приведенным по Минковскому базисом решетки.

Поскольку норма на решетке принимает дискретное множество зна чений, то приведенный по Минковскому базис существует. Однако он может быть не единственен. Например, в решетке Zn любая переста новка единичных векторов e1,..., en образует приведенный по Мин ковскому базис.

Рассмотрим теперь другое отношение упорядоченности yj (т. е. у меньшего вектора первая отличная координата больше). Очевидно, что любые два вектора из Rn сравнимы по отноше нию

Определение 7.3. Минимальный элемент множества G по отно шению

Замечание 7.4. Легко видеть, что вполне приведенный базис су ществует и единственен. В [217, гл. 3] приведен алгоритм нахождения вполне приведенного базиса решетки.

188 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения Приведенные по Минковскому и вполне приведенные базисы ре шеток имеют важные приложения в вычислительной алгебраической теории чисел, см. [217, гл. 3, 5]. В теоретико-числовых алгоритмах ча сто используются базисы, приведенные по Ленстре Ленстре Ловасу — — (LLL-приведенные базисы), о которых мы расскажем в следующих па раграфах.

§ 7.2. LLL-приведенный базис и его свойства Определение 7.5. Базис b1,..., bn решетки Rn называется LLL-приведенным, если для векторов b,..., b и коэффициентов ij, 1 n полученных с помощью процесса ортогонализации Грама Шмидта — (см. §7.1), выполнены неравенства:

| ij|, 1 j < i n,(7.1) |b + ii-1b |2 |b |2.(7.2) i i-1 i- Замечание 7.6. LLL-приведенные базисы впервые были введены в работе [160]. Условие (7.2) означает, что вектор b + ii-1b, ра в i i- ный проекции вектора bi на Lоб (b1,..., bi-2), не является очень ма леньким по сравнению с проекцией вектора bi на Lоб (b1,..., bi-2).

Опишем ряд важных свойств LLL-приведенных базисов.

Теорема 7.7. Пусть b1,..., bn LLL-приведенный базис ре — шетки Rn. Тогда:

1. |bj|2 2i-1|b|2 при всех i, j, 1 j < i n;

i n 2. d() |bi| 2n(n-1)/4d();

i= 3. |b1| 2(n-1)/4d()1/n.

Доказательство. Поскольку векторы b ортогональны, то i |b + ii-1b |2 = |b|2 + 2 |b |2.

i i-1 i ii-1 i- Так как 2 1 4, то из неравенства (7.2) следует, что / ii- |b|2 |b |2.

i i- Отсюда следует неравенство |b| 2i-j|b|2,(7.3) j i § 7.2. LLL-приведенный базис и его свойства выполняющееся при всех i j. В силу ортогональности b, получим i |bi|2 = |b|2 + 2 |b|2 |b|2 1 + 2i-j = i ij j i i

i i Поэтому |bj|2 2j-1|b|2 2j-1 · 2i-j|b|2, что доказывает первое j i утверждение теоремы.

Первое неравенство во втором утверждении теоремы есть неравен ство Адамара. Второе неравенство выполняется, поскольку n n n(n-1) n i- i= 2 |bi| 2 |b| = 2 · d().

i i=1 i= Здесь мы воспользовались тем (обозначая через [b1,..., bn] матри цу, в i-й строке которой стоят координаты вектора bi), что выполнены равенства det[b1,..., bn] = det[b b] = d() =,..., 1 n 1/2 1/2 n det[b det i j =,..., b] · [b,..., b]T = (b, b) = |b|.

1 n 1 n i i= Наконец, из неравенства |b1|2 2i-1|b|2, i = 1,..., n, i следует, что n |b1|2n 2n(n-1)/2 |b|2 = 2n(n-1)/2d()2, i i= что доказывает последнее утверждение теоремы.

Теорема 7.8. Пусть b1,..., bn LLL-приведенный базис ре — \ шетки. Тогда для любого вектора x 0 справедливо нера венство |b1|2 2n-1|x|2.

Замечание 7.9. Утверждение теоремы 7.8 означает, что вектор b является одним из самых коротких векторов решетки.

n \ Доказательство. Пусть x = ribi 0, где ri Z. Предста n i= вим x в виде x = rb, где r R. Если i0 максимальный номер, — i i i i= 190 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения для которого ri = 0, то очевидно, что r = ri. Поэтому (учитывая i0 ортогональность b) получим неравенства i n 1 |x|2 = (r)2|b|2 r2 |b |2 |b |2 |b1|2 |b1|2, i i i0 i0 i 2i0-1 2n- i= откуда следует утверждение теоремы.

Теорема 7.10. Пусть b1,..., bn LLL-приведенный базис ре — шетки, x1,..., xt линейно независимые векторы решетки.

— Тогда при всех j t выполнены неравенства |bj|2 2n-1 max(|x1|2,..., |xt|2).

Доказательство. Разложим xi по базису:

n xi = rijbj, rij Z, i = 1,..., t.

j= Обозначим для каждого i, 1 i t, через j(i) наибольший номер j такой, что rij = 0. Тогда, аналогично доказательству теоремы 7.8, выполнены неравенства |xi|2 |b |2, i = 1,..., t.

j(i) Не ограничивая общности рассуждений, можно считать, что j(1) j(2)... j(t). Тогда j(i) i, i = 1,..., t, так как если найдется номер i такой, что j(i) < i, то x1,..., xi Lоб (b1,..., bj(i)), что проти воречит линейной независимости x1,..., xi. По теореме 7.7 имеем |bi|2 2j(i)-1|b |2 2n-1|xi|2;

j(i) последнее неравенство следует из определения j(i).

§ 7.3. Алгоритм построения LLL-приведенного базиса решетки В этом параграфе мы опишем построение LLL-приведенного базиса решетки Rn. Мы сохраняем обозначения §7.2.

Алгоритм построения LLL-приведенного базиса.

В начале работы алгоритма задан b1,..., bn какой-то базис ре — шетки. Вконце ра ботыb1,..., bn LLL-приведенный базис.

— Проводится индукция по k {1, 2,..., n + 1}. В начале k = 2;

ко гда k = n + 1, алгоритм заканчивает работу и выдает LLL-приведенный базис.

§ 7.3. Алгоритм построения LLL-приведенного базиса решетки Для каждого k символом ()k мы будем обозначать совокупность неравенств | ij|,1 j i < k, ()k |b + ii-1b |2 3 |b |2, 1 < i < k.

i i-1 i- Если k = 2, то условия ()2 выполнены, поскольку для i получится пу стое множество значений 1 < i < 2. Если k = n + 1, то ()n+1 означает, что базис приведенный (по определению).

Предположим, что для некоторого k, 1< k < n + 1, выполнены нера венства ()k. Мы хотим обеспечить выполнение ()k+1. Для начала обеспечим выполнение неравенства | k,k-1|.(7.4) Если (7.4) уже выполнено, то двигаемся дальше. В противном случае находим r ближайшее целое к k,k-1, и за меняем bk на — k- bk - rbk-1 = b + ( kj - r k-1,j)b + ( k,k-1 - r)b.

k j k- j= Тогда коэффициент k,k-1 заменится на k,k-1 - r, что обеспечит выполнение (7.4). Коэффициенты k,j заменятся на kj - r k-1,j, j = 1,..., k - 2. Все остальные коэффициенты ij и векторы b при i < k i и при i > k, а также вектор b не изменятся. Действительно, b есть k i проекция bi на Lоб (b1,..., bi-1);

при за мене bk на bk - rbk-1 данные линейные оболочки не изменяются, значит, не изменяются и все b.

i Далее, поскольку ij = (bi, b) (b, b), то, при i = k, ij не меняются / j j i в силу того, что bi не изменился и все b также не изменились.

j Продолжим обеспечение условий ()k+1 в предположении, что (7.4) выполнено.

1 случ ай. Пусть k 2 и выполнено неравенство |b + k,k-1b |2 < |b |2.(7.5) k k-1 k- Тогда мы меняем местами вектора bk и bk-1. При этом изменят ся векторы b и b и коэффициенты k,k-1, k-1,j, k,j, i,k-1, i,k, k-1 k где j < k - 1 или i > k. Остальные bi, b и ij не изменятся по тем же i причинам, что и ранее, т. е. потому, что Lоб (b1,..., bi) при i = k, k - остается той же самой, и векторы b при i = k, k - 1 не изменятся.

i 192 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения Что произошло при замене местами bk и bk-1? Вектор b + k + k,k-1b ранее был равен проекции bk на Lоб (b1,..., bk-2), k- а теперь он равен проекции нового вектора bk-1 на Lоб (b1,..., bk-2).

Далее, b был равен проекции bk-1 на Lоб (b1,..., bk-2), а теперь k- это есть проекция нового вектора bk на Lоб (b1,..., bi). Из нера вен ства (7.5) следует, что при на шей замене значение |b |2 уменьшилось k- более чем в 3 4 ра за.

/ Сделав эту замену местами bk и bk-1, мыза меняемk на k - 1иока зываемся в условиях ()k-1.

2 случ ай. Пусть либо k = 1, либо |b + k,k-1b | |b |2.(7.6) k k-1 k- Если k = 1, то присваиваем k значение 2 и продолжаем процесс, т. е. обеспечиваем выполнение ()2.

Если выполнено условие (7.6) и k > 1, то обеспечиваем выполнение неравенств | kj|, 1 j < k - 1(7.7) (для j = k - 1 (7.7) уже выполнено в силу (7.4)). Пусть l наибольший — номер, для которого | kl| >. Тогда l k - 2. Возьмем r ближай — шее целое к kl и за меним bk на bk - rbl. При этом kj заменятся — на kl - r. Все остальные ij и все векторы b останутся при этом i неизменными. Мы продолжаем этот процесс, уменьшая l, пока не до стигнем значения l = 1. В этом случае мы обеспечим выполнение усло вий ()k+1.

Если мы достигли выполнения условий ()n+1, то алгоритм останав ливается, поскольку b1,..., bn образуют приведенный базис;

в против ном случае мы продолжаем процесс, т. е. увеличиваем значение k.

Конец алгоритма.

Докажем, что алгоритм заканчивает работу. Обозначим через di = det (bj, bl) 1 j,l i, i = 1,..., n.

Очевидно, что di = det (bj · bl T) = (det bj 1 j i)2 = i = (det b 1 j i)2 = det( b · b T) = |b|2.

j j l j j= § 7.3. Алгоритм построения LLL-приведенного базиса решетки Поскольку 2 случай срабатывает за конечное число операций и увеличивает значение k на единицу, то нам нужно доказать, что 1 случай встретится лишь конечное число раз. Заметим, что при прохождении 1 случая при некотором значении k величина dk-1 умень шается более чем в 3 4 раза, поскольку так уменьшается значе / ние |b |2.

k- Однако величины di ограничены снизу некоторой положительной постоянной, зависящей только от решетки. Точнее, если обозначить через m() квадрат длины кратчайшего ненулевого вектора, то вы полнены неравенства (i-1)/ m() d1/i, i = 1,..., n i (см. [24, гл. 2]). Поэтому для каждого значения k 1случа йможет встре титься лишь конечное число раз. Это означает, что алгоритм закончит работу.

Теорема 7.11 (см. [160]). Если решетка в Zn с базисом — b1,..., bn, причем |bi| B, i = 1,..., n, где B R, B 2, то алгоритм построения LLL-приведенного ба зиса делает O(n4 log B) арифметических операций. При этом це лые числа, встречающиеся в ходе работы алгоритма, имеют дво ичную длину O(n log B) битов.

Замечание 7.12. В книге [89, гл. 2] приведена блок-схема алго ритма построения LLL-приведенного базиса, удобная для практической реализации.

Замечание 7.13. В работе [149] рассмотрена возможность измене ния значения постоянной c = 3 4 в условии Ловаса / |b + i,i-1b |2 |b |2.

i i-1 i- При этом значение c меняется в ходе работы алгоритма приведения от + до 0,99.

Замечание 7.14. Многочисленные усовершенствования алгорит ма построения LLL-приведенного базиса содержатся в работе [239].

В следующем параграфе мы опишем некоторые из них.

13 О. Н. Василенко 194 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения § 7.4. Алгоритм Шнорра Ойхнера — и целочисленный LLL-алгоритм В этом параграфе мы вкратце изложим некоторые модификации ал горитма построения LLL-приведенного базиса. Эти модификации опи саны в работах [239;

102;

240;

216] и в книге [89].

Мы будем обозначать через Bi следующие величины:

Bi = (b, b), i = 1,..., n.

i i Одна из модификаций LLL-алгоритма была предложена Шнорром и Ойхнером. Она называется LLL-алгоритмом с глубокой вставкой.

Для этой модификации теоретическая оценка сложности хуже, чем для исходного LLL-алгоритма, однако на практике с ее помощью зачастую можно получать более короткие вектора решетки, что немаловажно для практических приложений.

Идея LLL-алгоритма с глубокой вставкой заключается в следу ющем. Пусть k > i;

вставим вектор bk между bi-1 и bi в процессе построения приведенного базиса. Поскольку k-1 i- bk = b + kjb = b + v + kjb, k j k j j=1 j= k- где v = kjb, то после вставки bk между bi и bi-1 новое значение j j=i вектора b будет равно b :

i i,new k- b = b + v = b + kjb.

i,new k k j j=i Новое значение квадрата длины вектора b равно Bi,new:

i k-1 k-1 k- Bi,new = b + kjb, b + kjb4 = Bk + 2 Bj.

k j k j kj j=i j=i j=i Если новое значение Bi,new меньше старого например, Bi,new Bi, то такая замена местами уместна;

если i = k - 1, то такая замена равносильна одному из шагов LLL-алгоритма. Однако если i = k - 1, то приходится перевычислять больше значений коэффициентов ij, чем в исходном LLL-алгоритме;

это увеличивает время работы алгоритма § 7.4. Алгоритм Шнорра Ойхнера и целочисленный LLL-алгоритм — Шнорра Ойхнера. Блок-схему LLL-алгоритма с глубокой вставкой — можно на йти в [89, гл. 2, алгоритм 2.6.4].

Другая модификация LLL-алгоритма называется целочисленным LLL-алгоритмом. Она была предложена Де Вегером. Эта модифи кация применима в случае, когда матрица Грама G = (bi, bj) i,j=1,...,n базиса b1,..., bn решетки является целочисленной (это имеет ме сто, например, в случае, когда сама решетка содержится в Zn). Тогда справедлива следующая теорема, описывающая некоторые арифмети ческие свойства решетки.

Теорема 7.15. Пусть (как и в §7.3) d0 = 1, di = = det (bj, bl) j,l=1,...,i, i = 1,..., n. Если матрица Грама решет ки является целочисленной, то для всех номеров i, 1 i n, и всех j < i выполнены следующие утверждения:

1. di-1Bi Z, di ij Z;

2. для всех m, j < m i, di · ik mkBk Z.

1 k j Доказательство. В§7.3 мы видели, что i i di = |b|2 = Bj.

j j=1 j= Поэтому di = di-1Bi Z. Пусть j < i. Рассмотрим вектор j i- v = bi - ikb = b + ikb.(7.8) k i k k=1 k=j+ Очевидно, что (v, b) = 0 при k = 1,..., j. Поскольку Lоб (b1,..., bk) = k = Lоб (b,..., b), то 1 k (v, bk) = 0, k = 1,..., j (7.9) и j v = bi - xkbk (7.10) k= при некоторых x1,..., xk R. Из (7.8) и (7.9) получаем систему линей ных уравнений (bi, b1) (b1, b1)... (b1, bj) x.........................

... =.

(bi, bj) (bj, b1)... (bj, bj) xj 13* 196 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения mk Решая эту систему по правилу Крамера, получим, что xk =, dj k = 1,..., j, где mk Z. Поскольку j j xkbk = ikb, k k=1 k= то xj = ij, откуда следует первое утверждение теоремы.

Докажем второе утверждение. Для вектора v, определенного в фор муле (7.8), справедливо равенство j djv = djbi - djxkbk, k= причем по доказанному выше dixk Z. Это означает, что djv, откуда (djv, bm) Z для всех m = 1,..., n. Тогда j dj bi - ikb, bm Z, m = 1,..., n.

k k= Поэтому j dj ikb, bm Z, m = 1,..., n.

k k= m- Пусть j < m i. Тогда bm = b + mlb и m l l= j j m- dj ikb, bm = dj ikb, b + mlb = k k m l k=1 k=1 l= j = dj · ik mkBk Z, k= что и требова лось дока за ть.

Следствие 7.16. В условиях теоремы положим дополнительно ij = dj ij Z при i < j, ii = di.

При фиксированных i, j, таких, что j i, рассмотрим последова тельность dkuk-1 - ik jk u0 = (bi, bj), uk =, k = 1,..., j - 1.

dk- Тогда uk Z, uj-1 = ij.

§ 7.4. Алгоритм Шнорра Ойхнера и целочисленный LLL-алгоритм — Доказательство. Покажем, что k il jl uk = dk (bi, bj) -. (7.11) dldl- l= При k = 0 это очевидно. Пусть для m < k формула (7.11) верна.

Тогда k- il jl dkuk-1 dk ik jk uk = - · = dk (bi, bj) - - ik jk, dk-1 dk-1 dk dldl-1 dkdk- l= что доказывает (7.11) для k. Из (7.11) следует, что k uk = dk (bi, bj) - il jlBl, (7.12) l= поскольку il jl dl = il jl = Bl il jl.

dldl-1 dl- Из теоремы и (7.12) следует, что uk Z. Равенство uj-1 = ij также следует из (7.12), поскольку j- uj-1 = dj-1 (bi, bj) - il jlBl = l= j-1 j- i- = dj-1 b + itb, b + jsb - il jlBl = i t j s t=1 s=1 l= j-1 j- = dj-1 ijBj + is jsBs - il jlBl = dj-1 ij Bj = dj ij = ij.

s=1 l= Следствие доказано.

Целочисленный LLL-алгоритм устроен следующим образом. Он ра ботает не с векторами b1,..., bn, а с целочисленной матрицей Грама G.

Выход алгоритма целочисленная матрица H, выражающая координа — ты LLL-приведенного базиса через координаты исходного базиса ре шетки. При этом с помощью теоремы и следствия из нее все вы числения проводятся только с целыми числами. Блок-схему алгоритма можно на йти в [89, гл. 2, алгоритм 2.6.7].

Последней модификацией LLL-алгоритма, о которой мы упо мянем в данном параграфе, является MLLL-алгоритм Поста. Этот 198 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения алгоритм работает с векторами b1,..., bn Rn, образующими мно жество =Zb1 +... + Zbn Rn, причем линейная независимость b1,..., bn не предполагается. MLLL-алгоритм вычисляет ранг Z-мо дуля и находит его LLL-приведенный базис. Блок-схему алгоритма также можно найти в [89, гл. 2, алгоритм 2.6.8].

§ 7.5. Некоторые приложения LLL-алгоритма Одним из возможных приложений LLL-алгоритма является нахо ждение ядра и образа линейного отображения евклидова простран ства, задаваемого целочисленной матрицей. Соответствующие алгорит мы описаны в [89, § 2.7]. В данном параграфе мы опишем другие при ложения LLL-алгоритма: нахождение целочисленной линейной зави симости для заданных действительных чисел и нахождение коротких векторов в решетках.

Пусть z1,..., zn фиксированные действительные числа, z1 = 0.

— Мы хотим найти целочисленную линейную зависимость x1z1 +... + xnzn = 0, x1,..., xn Z, (7.13) где не все xi равны 0. Выберем достаточно большое натуральное чис ло N и рассмотрим квадратичную форму Q(a1,..., an) = Q(a) = a2 +... + a2 + N(z1a1 +... + znan)2. (7.14) 2 n Поскольку Q(a) положительно определенная квадратичная фор — ма, она задает скалярное произведение на Rn. Идея нахождения x1,..., xn, удовлетворяющих (7.13), заключается в следующем: если вектор (a1,..., an) Zn является коротким относительно нормы, инду цированной квадратичной формой Q(a), то величина z1a1 +... + znan будет небольшой, небольшими будут и коэффициенты aj при j > 1.

Поэтому если z1,..., zn линейно зависимы, то мы скорее всего найдем решение (7.13).

Мы начинаем со стандартного базиса решетки Rn, состо ящего из векторов bi = ( i1,..., in), i = 1,..., n, где ij символ — Кронекера. С помощью LLL-алгоритма из §7.3 (или его модифи каций из §7.4) мы находим LLL-приведенный базис (скалярное произведение в Rn задается квадратичной формой Q(a) из (7.14)).

Когда LLL-приведенный базис будет построен, один из его коротких векторов, возможно, даст решение (7.13), как это было объяснено выше.

§ 7.5. Некоторые приложения LLL-алгоритма Лемма 7.17. Если b1,..., bn стандартный базис Zn, то в про — цессе ортогонализации Грама Шмидта выполняются равен — ства i1 = zi z1, i = 2,..., n;

/ ij = 0, 2 j < i n;

zi b = bi - b1, i = 2,..., n.

i z Далее, если Bi = |b|2 длины векторов b в нашей метрике, за — i i даваемой Q(a), то B1 = Nz2, Bi = 1 при i = 2,..., n.

Доказательство. Пусть [u, v] скалярное произведение на Rn, — индуцируемое Q(a). Тогда по определению [u, v] = (Q(u + v) - Q(u) - Q(v)).

Теперь легко видеть, что векторы b = b1 = (1, 0,..., 0), zi zi b = bi - b1 = -, 0,..., 1,..., 0, i = 2,..., n, i z1 z являются ортогональными. В самом деле, при i, j 2, i = j, Q(b + b) - Q(b) - Q(b) = i j i j = 1 + 1 + N((-zi - zj) + zi + zj)2 - (1 + N(-zi + zi)2) - (1 + N(-zj + zj)2) = и, при j 2, Q(b + bj) - Q(b) - Q(b) = 1 1 j = 1 + N((z1 - zj) + zj)2 - Nz2 - (1 + N(-zi + zi)2) = 0.

Утверждение леммы о значениях Bi также очевидно.

Прежде чем описывать алгоритм нахождения линейной зависи мости, скажем несколько слов о выборе натурального параметра N в формуле (7.14). Число N выбирается эвристически;

можно попробо вать несколько различных значений Вкниге [89, гл. 2] рекомендуется 1 1 N.

выбирать N из промежутка ;

, если все значения zi не слишком удалены от 1 (скажем, лежат в интервале (10-6;

106)) и известны нам с точностью. Число также должно быть достаточно малым: если мы 200 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения предполагаем, что решения xi в (7.13) не превосходят X, то можно взять равным X-3n/2. Число всегда следует выбирать меньшим X-n (здесь, однако, значение X нам неизвестно и также определяется эвристически).

Алгоритм нахождения линейной зависимости (эвристический).

На входе алгоритма заданы z1,..., zn R, не все равные нулю, и па раметр N N. На выходе малая по абсолютной величине линейная ком бинация x1z1 +... + xnzn с небольшими коэффициентами xi Z, невсе ми равными нулю.

1 шаг. Для стандартного базиса b1,..., bn решетки Zn по лем ме 7.17 находим ортогональный базис b,..., b и коэффициенты ij.

1 n 2 шаг. Теперь к базису b1,..., bn (и соответствующему ему ортого нальному базису b,..., b и коэффициентам ij) применяем LLL-ал 1 n горитм из §7.3;

скалярное произведение в Rn задается квадратичной формой (7.14). В результате будет построен LLL-приведенный базис решетки Zn.

3 шаг. Берем короткие векторы из найденного LLL-приведенного базиса;

их координаты x - 1,..., xn, возможно, являются решения ми (7.13), что устанавливается проверкой.

Конец алгоритма.

Замечание 7.18. Вместо стандартного LLL-алгоритма можно ис пользовать LLL-алгоритм с глубокой вставкой, описанный в §7.4, по скольку он зачастую выдает более короткие векторы.

Теперь опишем алгоритм для нахождения всех достаточно корот ких векторов решетки. Точнее, пусть =Zb1 +... + Zbn решетка — в Rn, C положительная постоянная;

требуется найти все векторы — b такие, что |b|2 C. (7.15) Эта задача является трудной;

описываемый ниже алгоритм в некоторых случаях может иметь сложность, экспоненциально зависящую от раз мерности пространства n.

Если b, то b = x1b1 +... + xnbn при некоторых x1,..., xn Z.

Тогда неравенство (7.15) примет вид |Q(x)| = |Q(x1,..., xn)| C, где n Q(x1,..., xn) = (x1b1 +... + xnbn, x1b1 +... + xnbn) = (bj, bj)xixj i,j= § 7.5. Некоторые приложения LLL-алгоритма положительно определенная квадратичная форма. Ее мы приводим — к более удобному виду n n Q(x) = qii xi + qijxj, qii > 0. (7.16) i=1 j=i+ Для этого запишем Q(x) в виде n Q(x) = aijxixj, где aij = (bi, bj), aij = aji.

i,j= Число a11 = (b1, b1) положительно. Тогда n n n Q(x) = a11x2 + 2 a1jx1xj + aijxixj = j=2 i=2 j= n n a1j a1j = a11 x2 + 2 x1xj + xj + a11 a j=2 j= n n n a1j + aijxixj - xj = a i=2 j=2 j= n a1j = a11 x1 + xj + Q1 (x2,..., xn), a j= где n n n aij Q1 (x2,..., xn) = aijxixj - xj a j=2 j=2 j= также является положительно определенной квадратичной формой, по скольку при очевидной замене переменных справедливо равенство Q(x1,..., xn) = a11y2 + Q1(y2,..., yn).

Далее аналогично поступаем с Q1 (x2,..., xn) и в конечном итоге приво дим Q(x) к виду (7.16). Представление (7.16) на зыва ется разложением Холецкого для квадратичной формы Q(x).

Алгоритм нахождения коротких векторов решетки.

На входе алгоритма заданы положительно определенная квадратич ная форма Q(x) = Q(x1,..., xn) вида (7.16) и положительная постоян ная C. На выходе получаются все векторы x Zn такие, что Q(x) C (из каждой пары ±x выдается только один вектор).

202 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения 1 шаг. i := n, := C, Vi := 0.

Ti 2 шаг. z := Ti qii, Li := [z - Vi], xi := -z - Vi -1.

/ 3 шаг. xi := xi + 1. Если xi > Li, то i := i + 1 и вернуться на 3-й ша г.

Иначе при i > 1 присвоить i Ti-1 := Ti - qii (xi + Vi)2, i := i - 1, Vi := qijxj j=i+ и вернуться на 2-й ша г.

4 шаг. Если (x1,..., xn) = (0,..., 0), то алгоритм заканчивает ра боту. Иначе выдается очередной вектор x = (x1,..., xn), значение Q(x) = C - T1 + q11 (x1 + V1)2 и мы возвра ща емся на 3 ша г.

Конец алгоритма.

Покажем, что алгоритм работает корректно. По сути, в этом алго ритме мы описали перебор значений x1,..., xn. В начале i = n, Tn = C, Vn = 0, z = C qnn, Ln = C qnn, xn = - C qnn -1. Это минималь / / / ное возможное значение xn Z, для которого вектор x = (x1,..., xn) может удовлетворять неравенству Q(x) C. Действительно, для век тора x = (x1,..., xn) и неравенства Q(x) C в силу (7.16) следует, з что qnnx2 C, |xn| n +C/qnn, откуда xn Ln (это проверкаокончания перебора) и xn - C qnn. Затем на 3 шаге мы присвоим вели / чине Tn-1 значение c - qn,n-1x2, Vn-1 значение qn-1,nxn и вернемся — n на 2 шаг. Здесь мы аналогично выберем минимально возможное (при уже имеющемся значении xn) значение xn-1. Оно будет удовлетворять неравенству qn-1,n-1 (xn-1 + Vn-1)2 Tn-1, откуда Tn- |xn-1 + Vn-1| = z.

qn-1,n- Поэтому xn-1 -z - Vn-1, и также xn-1 z - Vn-1, откуда xn-1 Ln-1. Из этого следует, что если на 3 шаге xn-1 > Ln-1, то мы вышли за пределы диапазона из менения xn-1 (при данном xn), и тогда мы перейдем к следующему значению xn. Далее, аналогично, при заданных xn и xn-1, мы пере бираем xn-2 и так далее. Перебор закончится, когда (возрастающая) переменная xn достигнет значения 0 и все остальные (возрастающие) § 7.6. Алгоритм Фергюсона Форкейда — переменные при xn = 0 также достигнут значения 0. Тогда, действи тельно, из каждой пары ±x, удовлетворяющей неравенству Q(x) C, мы найдем ровно один вектор. Заметим также, что на шаге 3 очередное значение Ti-1 := Ti - qii(xi + Vi)2 удовлетворяет неравенству Ti-1 0, поскольку из неравенства xi Li и нера венства xi -z - Vi следует, что |xi + Vi| Ti qii = z.

/ Дальнейшее усовершенствование данного алгоритма было предло жено Финке и Постом. В нем после нахождения разложения Холецкого для квадратичной формы Q(x) = xTAx, что равносильно представле нию A в виде A = RTR для некоторой верхнетреугольной матрицы R, применяется LLL-алгоритм к строкам матрицы R-1. В результате мы сможем существенно уменьшить перебор значений xi в алгоритме;

на практике это значительно ускоряет его работу. Дальнейшие детали см. в [121] и [89, гл. 2].

Замечание 7.19. Неизвестно, является ли задача нахождения крат чайшего вектора решетки NP-полной. NP-полнота этой задачи дока зана для нормирований | · | и | · |1 пространства Rn, см. [48].

§ 7.6. Алгоритм Фергюсона Форкейда — В данном параграфе мы опишем алгоритм Фергюсона Форкейда, — см. [117], а также см. [116;

119;

120;

118;

76]. Этот алгоритм предна значен для нахождения целочисленной линейной зависимости заданного конечного набора действительных чисел. Один алгоритм для решения этой задачи мы уже описали выше в §7.5.

Введем некоторые обозначения. Фиксируем n N, n 2. Для ве n щественной матрицы A = aij размера n n положим |A| = a2.

ij i,j= Очевидно, что |A + B| |A| + |B|, |AB| |A| · |B|.

Фиксируем вектор x = (x1,..., xn) Rn. Вектор m Zn, m = 0, мы будем называть соотношением, если xmT = 0. (7.17) Мы будем считать, что все координаты вектора x отличны от нуля, поскольку в противном случае поиск соотношения (7.17) тривиален.

Также обозначим через P матрицу размера n n:

P = xxT · In - xTx, (7.18) где Il обозначает единичную матрицу размера l l, l = 1, 2, 3,... Тогда 204 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения xP = xxT (xIn - x) = 0. Далее, если y Rn, yP = 0, то y(x, x) - (y, x)x = 0, (y, x) откуда yi = xi ·. Следовательно, rank P = n - 1.

(x, x) Рассмотрим матрицу H размера n (n - 1), столбцы которой со ставляют базис (Lоб (x)). Очевидно, rank H = n - 1, xH = 0. Да лее мы покажем, как вычислить матрицу H. Обозначим через vi i-ю строку матрицы H, i = 1,..., n;

vi Rn-1. Положим H0 = 0 Rn-1, v...

Hi =, i = 1,..., n. (7.19) vi При i 1 Hi матрицы размера i (n - 1), Hn = H.

— Также положим G0 = 1 и рассмотрим i i матрицы (v1, v1)... (v1, vi) T.

Gi =..................... = Hi Hi, (7.20) (vi, v1)... (vi, vi) i = 1,..., n. Так как все координаты вектора x отличны от нуля, то мат рицы Gi обратимы при 1 i < n. Действительно, поскольку xH = 0, то x1v1 +... + xnvn = 0. Следовательно, vn линейно выражается через v1,..., vn-1, и та к ка к rank H = n - 1, то v1,..., vn-1 линейно незави симы. Значит, Gi матрицы Грама для v1,..., vi и поэтому являются — невырожденными при i < n. Положим T Pi = Hi G-1Hi, i = 0, 1,..., n, (7.21) i Pi матрицы размера (n - 1) (n - 1). Также обозначим — Qi = In-1 - Pi, (7.22) и рассмотрим числа C(k, j) = vkPjQj-1vT, 1 j k n. (7.23) j Для всех остальных номеров j, k положим C(k, j) = 0. Получаем массив значений C(H), определяемый матрицей H.

Следующий алгоритм является вспомогательным. Он переводит па ру x, H в пару xA-1, AH для некоторой матрицы A, вычисляемой в ходе его работы.

Алгоритм 1.

Шаг 0. Если существует координата xi = 0, то алгоритм заканчивает работу.

§ 7.6. Алгоритм Фергюсона Форкейда — Шаг 1. Пусть T = Tkj нижняя треугольная матрица размера — n n, на диагонали которой стоят единицы, а при 1 j < k n эле мент Tkj равен ближайшему целому к числу C(k, j) TkiC(i, j) - +.

C(j, j) C(j, j) j

Шаг 2. Пусть номер i, 1 i < n, такой, что 2iC(i, i) = max 2jC(j, j).

1 i

Шаг 3. Положить A = ET.

Конец алгоритма.

Заметим, что матрица A, построенная на 3 шаге, является целочис ленной и невырожденной.

Матрица H, определенная выше, может быть найдена следующим способом. Если мы рассмотрим матрицу 1... 0 x................

X = 0... 1 xn-1, 0... 0 xn то PX = (H0T). Действительно, последний столбец PX равен PxT = 0, как показано выше, поскольку P = PT. Далее, в силу невырожденно сти матрицы X имеем rank H = rank PX = rank P = n - 1. Так как xP = 0, то xPX = 0, следовательно, матрица H искомая.

— Положим A0 = In, x(0) = x, H(0) = H и определим последователь ность x(k), H(k), Ak, k = 1, 2,... (7.24) Если для некоторого k 1 мы уже построили x(k-1), H(k-1) и вектор x(k-1) не имеет нулевых координат, то применим к паре x(k-1), H(k-1) алгоритм 1. На 3-м шаге им будет построена матрица A = Ak. Тогда мы полагаем x(k) = x(k-1)A-1, H(k) = AkH(k-1) (фактически, это есть выход k алгоритма 1). Если обозначить Rk = A-1... A-1, (7.25) 1 k 206 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения то x(k) = xRk, H(k) = R-1H. (7.26) k Предположим дополнительно, что вектор x удовлетворяет условиям xxT = 1, 0 < x1 <...

Теорема 7.20. Пусть вектор x нормализован и имеет соот ношение m нормы M. Тогда при некотором k, удовлетворяющем неравенству k < 2n+1n log(3n3M2), (7.28) один из столбцов матрицы Rk является соотношением.

Прежде, чем приступить к доказательству теоремы, докажем ряд вспомогательных утверждений. Пусть по-прежнему Hj, Gj, Pj, Qj задаются формулами (7.19), (7.20), (7.21), (7.22), rank Hj = j при 1 j n - 1, rank H = n - 1, vj строки H, матрицы Gj обратимы — при j n - 1. Если V = Lоб (v1,..., vn), (7.29) то dim V = n - 1.

Лемма 7.21. Для всех j, k, 1 j, k n, справедливы следующие утверждения:

T 1) Pj = Pj, QT = Qj, PjPj = Pj, QjQj = Qj, PjQj = 0, и если v Rn, j vPj = 0 (vQj = 0), то vPjvT > 0 (vQjvT > 0);

2) PjPk =Pmin(j,k), QjQk =Qmax(j,k), PjQk =Pj -Pmin(j,k) =Qk -Qmax(j,k);

3) При j k VPj VPk, VQj VQk, vj = vjPk, PjQk = 0;

4) QkPj = PjQk;

5) In-1 = (Qj-1 - Qj) = PjQj-1 есть ортогональ 1 j n-1 1 j n- ные разложения единичной матрицы In-1;

6) rank PjQj-1 = 1, vjQj-1 = 0 при 1 j n - 1.

T Доказательство. Та к ка к GT = Gj, то очевидно, что Pj = Pj, от j T T T T куда QT = Qj. Далее, PjPj = Hj (HjHj )-1HjHj (HjHj )-1Hj = Pj;

тогда j из (7.22) следует, что QjQj = Qj. Поэтому PjQj = Pj - Pj = 0. Нако 2 T нец, из vPj = 0 следует, что vPjvT = vPj vT = vPjPj vT > 0;

аналогично, из vQj = 0 следует vQjvT > 0. Таким образом, первое утверждение леммы доказано.

§ 7.6. Алгоритм Фергюсона Форкейда — n Далее, поскольку V = Rvj, то j= k VPk = Rvj. (7.30) j= Действительно, v...

Pk = (vT... vT)G-1, 1 k k vk откуда при l k получаем v...

vlPk = ((vl, v1)... (vl, vk))G-1 = vl.

k vk Апри l > k имеем v1 k...

vlPk = ((vl, v1)... (vl, vk))G-1 Rvj.

k vk j= Из формулы (7.30) следует, что при j k VPj VPk, vj = vjPk. (7.31) Так как In-1 = Pj + Qj, то V = VPj + VQj. Это разложение явля ется ортогональным, поскольку PjQj = 0. Действительно, (uPj, wQj) = = (uPjQT, w) = 0. Поэтому из включения VPj VPk при j k следует, j что VQj VQk. Из этого также следует, что при j k имеем PjQk = 0, та к ка к если PjQk = 0, то найдется вектор u такой, что w = uPjQk = 0.

Отсюда 0 < (w, w) = (uPjQk, uPjQk) = (uPjQk, uPj). Но uPjQk VQk, uPj VPj, и по доказанному VPj ортогонально VQk. Таким образом, доказано третье утверждение леммы.

Из определения G0 и H0 следует, что P0 = 0 нулевая матрица, — T Q0 = In-1. Также Pn-1 = Hn-1GT Hn-1 = In-1, поскольку матри n- T ца Hn-1 квадратная, и Gn-1 = Hn-1Hn-1. Следовательно, Qn-1 = 0.

— Поэтому n- In-1 = (Qj-1 - Qj). (7.32) j= Докажем, что PjPk =Pmin(j,k). Пусть j k. ТогдаPjPk = (In-1 -Qj)Pk = = Pk - QjPk = Pk, так как (QjPk)T = QjPk = 0 по доказанному нами 208 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения третьему утверждению леммы. Аналогично доказываются остальные равенства второго пункта леммы.

Четвертое утверждение леммы следует теперь из равенств T QkPj = QTPj = (PjQk)T = (Pj - Pmin(j,k))T = Pj - Pmin(j,k) = PjQk.

k n- Равенство In-1 = PjQj-1 следует из доказанной формулы (7.32) j= и ра венства Qj-1 - Qj = PjQj-1.

Докажем ортогональность разложений в пятом утверждении леммы.

При i = j имеем (Qj-1 - Qj)(Qi-1 - Qi) = Qj-1Qi-1 - QjQj-1 - Qj-1Qi + QjQi = Mij.

Если i < j, то Mij = Qj-1 - Qj - Qj-1 + Qj = 0, аналогично рассматри вается случай i > j. Пятое утверждение леммы доказано.

Наконец, докажем шестое утверждение леммы. Выполнены нера венства rank PjQj-1 1, поскольку для вектора v V имеем j j vPjQj-1 = lvl Qj-1 = lvl (In-1 - Pj-1) = jvj(In-1 - Pj-1).

l=1 l= То есть PjQj-1 переводит (n - 1)-мерное пространство V в не более n- чем одномерное. Но так как матрица In-1 = PjQj-1 имеет ранг n - 1, j= то ранг каждого слагаемого равен 1 и vjQj-1 = 0 при j = 1,..., n - 1.

Следствие 7.22. C(j, j) = vjPjQj-1vT > 0.

j Лемма 7.23. Пусть B вещественная матрица размера n n;

— обозначим Bj матрицы размера j j, образованные первыми j строками и столбцами матрицы B, j = 1,..., n. Пусть det Bj = 0, Hj = BjHj, j = 1,..., n, и матрицы Pj, Qj получены с помощью формул (7.21) и (7.22) с заменой Hj на Hj. Тогда Pj = Pj, Qj = Qj.

Доказательство. По определению T T T T Pj = Hj (HjHj )-1Hj = Hj BT (BjHjHj BT)-1BjHj = j j T T = Hj BT (BT)-1 (HjHj )-1B-1BjHj = Pj.

j j j Равенство Qj = Qj теперь очевидно.

В этом параграфе для действительного числа мы будем обозначать через [[ ]] ближайшее целое к число и {{ }} = - [[ ]];

при = + n, n Z, будем для определенности считать, что [[ ]] = n.

§ 7.6. Алгоритм Фергюсона Форкейда — Из доказательства леммы 7.21 следует, что справедливы равенства k vk = vkIn-1 = akiviPiQi-1 (7.33) i= при некоторых aki R, k = 1,..., n. Действительно, поскольку viPi = vi i- и viQi-1 = vi - viPi-1 = vi + ijvj, то такие числа aki можно най j= ти. При этом, очевидно, akk = 1, k = 1,..., n. Рассмотрим числа C(k, j) = vkPjQj-1vT из (7.23). Тогда j C(k, j) akj =, 1 j < k n. (7.34) C(j, j) Действительно, по (7.23) и лемме 7.21 имеем T C(k, i) = vkQT Pi vT = (vk, viPiQi-1) = i-1 i = aki (viPiQi-1, viPiQi-1) = akiC(i, i), что доказывает (7.34).

Теперь определим последовательность Dk,j:

Dk,k-1 = [[ak,k-1]], k = 2,..., n, (7.35) и для очередной пары чисел k, j, где k n, k - 1 > j 1, положим Dk,j = akj - Dk,iaij. (7.36) j

Положим H = BH. (7.39) Строки матрицы H составляют вектора vk, vk = vk - Dk,jvj. (7.40) 1 j

k vk = akjvjPjQj-1, akj R. (7.41) j= Лемма 7.24. При 1 j < k n справедливы неравенства |akj| 1 2.

/ Доказательство. Пусть j < k. Тогда по (7.40) и лемме 7.21, п. имеем vkPjQj-1 = vkPjQj-1 = vkPjQj-1 - Dk,iviPjQj-1 = 1 i

l

j j i

vjPjQj-1vT j j i

Зафиксируем i, 1 i < n. Пусть Tin матрица перестановки i и i + — строк матрицы H (Tin матрица размера n n). Положим — v...

vi+ H = TinH = vi...

vn и обозначим Hi, Pj, Qj матрицы, получающиеся по формулам (7.19), — (7.21) и (7.22), где H и Hi заменены на H и Hi. Тогда матрица Hi удо влетворяет равенству Hi- Hi =.

vi+ Строки Hn обозначим v, j = 1,..., n. Пусть Tij матрица размера j j, — j образованная первыми j строками и столбцами матрицы Tin. Если j = i, то матрица Tij обратима, и вычисление, проведенное в доказательстве леммы 7.23, верно для Bj = Tij. Следовательно, Pj = Pj, Qj = Qj, 1 j n - 1, j = i. (7.44) Отсюда получим ортогональное разложение n-1 i-1 n- In-1 = PjQj-1 = PjQj-1 + PiQi-1 + Pi+1Qi + PjQj-1.

j=1 j=1 j=i+ Далее мы обозначаем символом u, w угол между векторами u и w, отсчитываемый от первого вектора ко второму и по модулю не превос ходящий.

Лемма 7.25. Пусть 1 i < n, = vi+1Qi-1, viQi-1. Тогда T iQi-1T = vi+1QivT csc2, v Qiv = viQi-1vT sin2.

i+ i i+1 i+1 i Доказательство. Если v = u + cw, где uwT = 0, то (vwT)2 = c2 (wwT)2, c2wwT = vvT · cos2 v, w, uuT = vvT · sin2 v, w.

14* 212 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения Кроме того, = i+1Qi-1, v Qi-1 = viQi-1, vi+1Qi-1 = -. Поло i жим u = v Qi = i+1Pi+1Qi = viQi, v = i+1Qi-1 = viQi-1, i+ w = v PiQi-1 = iQi-1 = vi+1Qi-1.

i Из леммы 7.21 следует, что uwT = 0. Отсюда, поскольку w, v =, следует второе утверждение леммы, при v = u + cw для некоторого c.

Но по лемме 7.21 имеем PiQi-1 = Qi-1 - Qi, v - u = v (Qi-1 - Qi) = v PiQi-1 = ciQi-1 = cw i+1 i+ при некотором c R.

Для доказательства первого утверждения леммы положим u = vi+1Qi = vi+1Pi+1Qi, v = vi+1Qi-1 = v Qi-1 = v PiQi-1, i i w = viQi-1 = viPiQi-1 = 0.

Снова uwT = 0. Так как Qi-1 - Qi = PiQi-1, то vi+1 (Qi-1 - Qi) = vi+1PiQi-1 = cviPiQi-1 = cw при некотором c R. Поскольку v, w =, из наших рассуждений сле дует первое утверждение леммы.

Лемма 7.26. Если найдется номер i, 1 i < nтакой, что ai+1,i = = {{ai+1,i}} и при этом viQi-1vT > 2vi+1QivT, i i+ то 3viQi-1vT > 4vi+1Qi-1vT.

i i+ Доказательство. Поскольку Qi-1 - Qi = PiQi-1, то vi+1Qi-1 = vi+1Qi + ai+1,iviQi-1, причем слагаемые в правой части этого равенства являются ортого нальными векторами. Отсюда vi+1Qi-1vT = vi+1QivT + a2 viQi-1vT.

i+1 i+1 i+1,i i Тогда, пользуясь условием леммы, получим 4vi+1Qi-1vT < 2viQi-1vT + viQi-1vT, i+1 i i поскольку 4a2 1.

i+1,i § 7.6. Алгоритм Фергюсона Форкейда — Теперь приведем некоторые оценки, связанные с величиной n- L(H) = (2n - 2j + 1)vjQj-1vT. (7.45) j j= Мы будем обозначать символом (A) сумму диагональных элементов квадратной матрицы A.

Лемма 7.27. Пусть матрица B и числа akj определены форму лами (7.33) и (7.38). Тогда n-1 n 1) (HHT) = 1 + a2 vjQj-1vT;

kj j j=1 k=j+ 2) если для всех k, j, k = j, выполнено равенство akj = {{akj}}, то (HHT) < L(H);

3) для матрицы H = BH выполнено равенство L(H) = L(H).

Доказательство. Нетрудно видеть, что справедливо равенство k vkvT = a2 vjQj-1vT. Тогда k kj j j= n n k n-1 n (HHT) = vkvT = a2 vjQj-1vT = 1 + a2 vjQj-1vT k kj j kj j k=1 k=1 j=1 j=1 k=j+ (мы воспользовались тем, что akk =1, Qn-1 =0). Далее, если akj ={{akj}} n n - j при k = j, то 1 + a2 1 +. Из этого следует второе утвер kj k=j+ ждение леммы. Наконец, при H = BH из доказательства леммы 7. следует, что vjQj-1vT = vjPjQj-1vT = vjPjQj-1vT = vjQj-1vT, j j j j откуда вытекает третье утверждение леммы.

Лемма 7.28. Пусть номер i, 1 i n - 1, такой, что 2iviQi-1vT 2jvjQj-1vT i j для всех j = 1,..., n - 1. Тогда L(H) 2nnviQi-1vT.

i Доказательство. Поскольку vjQj-1vT 2i-jviQi-1vT, j i 214 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения то n- 2n - 2j + L(H) 2iviQi-1vT 2i+1nviQi-1vT, i i 2j j= так как i n - 1 и n 2.

Лемма 7.29. Пусть i то же, что в лемме 7.28;

рассмотрим — матрицу перестановок Tin и матрицу H = TinH. Пусть ai,i+1 = = {{ai,i+1}}. Тогда L(H) 1 - L(H).

2n+1n Доказательство. Всилу (7.44) и леммы 7.25 имеем T L(H) - L(H) = (2n - 2i + 1) (viQi-1vT - v Qi-1v ) + i i i T + (2n - 2i - 1) (vi+1QivT - v Qiv ) = i+ i+1 i+ T = (2n - 2i + 1) (viQi-1vT - v Qi-1v ) + i i i T + (2n - 2i - 1) (iQi-1v sin2 - viQi-1vT sin2 ) = i i = (2n - 2i + 1 - (2n - 2i - 1) sin2 )(viQi-1vT - vi+1QivT ).

i i+ Тогда L(H) - L(H) 2(viQi-1vT - vi+1QivT ). По выбору i выполнено i i+ условие леммы 7.26, откуда, используя лемму 7.28, получим L(H) L(H) - L(H) 2(viQi-1vT 4).

/ i 2n+1n Лемма доказана.

Лемма 7.30. Имеет место неравенство L(H) < (xxT)2n2.

Доказательство. Поскольку In-1 = Pi-1 + Qi-1 есть ортогональ ное разложение матрицы In-1, и та к ка к vjPj-1vT 0, то j vjvT = vjPj-1vT + vjQj-1vT vjQj-1vT 0.

j j j j Из определения матрицы P следует, что vjvT = (xxT)2 - x2 (xxT + x2) (xxT)2, j j n при j = 1,..., n - 1. Поэтому n- L(H) (2n - 2j + 1)vjvT (xxT)2 (n2 - 1), j j= что и требова лось дока за ть.

§ 7.6. Алгоритм Фергюсона Форкейда — \ Лемма 7.31. Пусть вектор m Zn 0 является соотношением.

Тогда для любой невырожденной целочисленной матрицы A раз мера n n выполнены неравенства:

0 < (xxT)2 (mmT)|AP|2, (xnxxT) 0 < (mmT)|AH|2.

(xxT + x2 (n - 1)) n Доказательство. Поскольку 1 |AmT|, то 0 xxT |AxxTmT| = |APmT| |AP| · |m|.

Далее, P = (H0T)X-1, откуда |AP|2 |AH|2|X-1|2, причем |X-1|2 = = n - 1 + xxT x2. Из этого следует второе утверждение леммы.

/ n Докажем теорему 7.20. Поскольку xxT = 1, 0 < x1 <...

матрица n k x n PX = [H0T]. Справедливо неравенство |X-1| 2n - 1. Тогда по леммам 7.27 и 7.31 получим, что |AH|2 L(AH), 1 < 3n(mmT)L(AH). (7.46) Положим n =. По лемме 7. 2n+1n L(R-1H) (1 - n)kL(H).

k Тогда по лемме 7. L(AH) = L(R-1H) < (1 - n)k (xxT)2n2 = (1 - n)kn2.

k Из (7.46) теперь следует, что 1 < 3n3 (mmT)(1- n)k.

Так как для любого t, 0 < t < 1, выполнено неравенство e-t > 1 - t, то n 1 < 3n3 (mmT)e-k.

log(3n3 (mmT)) Поэтому k < = 2n+1n log(3n3M2). Теорема 7.20 доказана.

n Алгоритм 2 (нахождение соотношения).

На входе алгоритма задан нормализованный вектор x Rn. Ал горитм 2 состоит в нахождении с помощью алгоритма 1 последо вательности x(k), H(k), Ak из (7.24) и Rk = A-1... A-1, k = 1, 2,...

1 k 216 Гл. 7. Приведенные базисы решеток и их приложения Если существует ненулевой вектор m Zn нормы M, удовлетворя ющий (7.17), то при некотором k, удовлетворяющем (7.28), один из столбцов Rk даст нам соотношение.

Конец алгоритма.

Замечание 7.32. Лагариас и Хастад показали, что алгоритм 2 де лает O(2n2 log M + 20n3) арифметических операций с действительными числами.

§ 7.7. Заключение В данной главе мы описали некоторые виды приведенных бази сов решеток. Основное внимание было уделено LLL-приведенному ба зису, алгоритму его построения и различным его приложениям. Од но из основных приложений LLL-приведенного базиса будет описано в следующей гла ве это алгоритм разложения на неприводимые мно — жители многочленов с рациональными коэффициентами, имеющий по линомиальную сложность от длины входа.

Заметим, что приложения LLL-алгоритма в линейной алгебре, опи санные в данной главе, не всегда являются достаточно эффективными.

Это видно и на примере алгоритма нахождения целочисленной линей ной зависимости действительных чисел из §7.5, и на примере алгоритма нахождения коротких векторов решеток из того же параграфа.

Нахождение целочисленной линейной зависимости для заданного набора действительных чисел имеет важные приложения в криптогра фии. В §7.5 и §7.6 мы описали два алгоритма для решения этой задачи.

Еще один алгоритм можно найти в [129].

Глава 8. Факторизация многочленов над полем рациональных чисел с полиномиальной сложностью § 8.1. Введение В данной главе мы рассматриваем алгоритмы разложения на непри водимые множители многочленов из Z[x]. Центральное место в ней займет описание LLL-алгоритма факторизации многочленов, предло женного А. Ленстрой, Х. Ленстрой и Л. Ловасом в работе [160]. Этот алгоритм имеет полиномиальную сложность от длины входа. Мы также приводим и другие алгоритмы факторизации, эффективные на практике.

Мы будем называть многочлен f(x) Z[x] примитивным, еслина и больший общий делитель всех его коэффициентов равен 1.

Разложение на неприводимые множители многочленов в коль це Q[x] сводится к разложению на неприводимые многочлены в коль це Z[x] с помощью леммы Гаусса. Пусть мы хотим разложить f0 (x) Q[x] на неприводимые множители в Q[x]. Домножив f0 (x) на общий знаменатель коэффициентов и вынося наибольший общий делитель получившихся целочисленных коэффициентов, мы сводим нашу задачу факторизации к задаче факторизации примитивного мно гочлена f(x) Q[x] на неприводимые многочлены в Q[x].

Лемма Гаусса. Если f(x), g(x), h(x) Z[x], deg g(x) 1, deg h(x) 1, g(x) иh(x) примитивные, f(x) = g(x) · h(x), то f(x) также прими — тивен.

l m n Доказательство. Пусть g(x) = bixi, h(x) = cjxj, f(x) = akxk.

i=0 j=0 k= Тогда ak = bicj, 0 k n.(8.1) i+j=k, 0 i l, 0 j m Предположим, что f(x) не примитивен. Тогда найдется простое число p, делящее все ak, k = 0,..., n. В силу примитивности g(x) на йдется но мер i0, такой, что p | bi при всех i > i0, p bi. Аналогично, найдется 218 Гл. 8. Факторизация многочленов над полем рациональных чисел номер j0, такой, что p | cj при всех j > j0, p cj. Пусть k0 = i0 + j0. Ното гда в силу (8.1) число p не делит ak = bi cj + bicj, 0 0 i+j=i0+j0, либо i>i0, либо j>j поскольку первое слагаемое в правой части этого равенства не делится на p, а второе делится.

— Лемма 8.2. Пусть f(x) Z[x], f(x) примитивен и неприводим в Z[x]. Тогда f(x) неприводим и в Q[x].

Доказательство. Предположим, что f(x) = g(x) · h(x), где g(x), h(x) Q[x], deg g(x) 1, deg h(x) 1. Тогда, вынося общие знамена тели коэффициентов g(x) и h(x) и затем вынося наибольшие общие делители получившихся целочисленных коэффициентов, мы можем представить наше разложение в виде A f(x) = g1 (x)h1 (x), B где A Z, B N, (A, B) = 1, g1 (x), h1 (x) Z[x], g1 (x) и h1 (x) прими — тивные. Отсюда Bf(x) = Ag1 (x)h1 (x). (8.2) Поскольку из этого равенства следует, что B делит все коэффициен ты многочлена Ag1 (x)h1 (x), в силу примитивности g1 (x)h1 (x) (лемма Гаусса) и равенства (A, B) = 1 получа ем, что B = 1. Но тогда из (8.2) следует, что f(x) приводим в Z[x], что противоречит условию леммы.

Итак, мы свели задачу факторизации многочлена f0 Q[x] к за да че факторизации примитивного многочлена f(x) Z[x] на неприводимые множители в кольце Z[x]. Обозначим через n f(x) = a xi, n = deg f(x) 2, (8.3) i i= где a Z, i = 0,..., n - 1, a N, числа 0,..., a взаимно просты i n n в совокупности. Эти обозначения и условия мы будем использовать в §8.2 8.5.

— m Нормой многочлена h(x) = hixi Q[x] мы будем называть вели i= m чину |h| = h2 евклидову длину вектора коэффициентов много — i i= члена.

§ 8.2. LLL-алгоритм факторизации: разложение по простому модулю Мы также будем переходить от многочленов из кольца Z[x] к многочленам из кольца Z lZ[x], где l какое-либо натуральное / — m число;

для многочлена h(x) = hixiZ[x] мы будем обозначать через m i= h(x) (mod l) многочлен hi (mod l)xi Z lZ[x]. Соответственно, за / i= пись h(x) (mod l) | g(x) (mod l) означает делимость в Z lZ[x].

/ Также напомним, что кольцо многочленов Z[x] является фактори альным (см., например, [27, гл. 9]).

§ 8.2. LLL-алгоритм факторизации: разложение по простому модулю Пусть примитивный многочлен f(x) тот же, что в формуле (8.3) из §8.1. Предположим, что задано простое число p, натуральное чис ло k и многочлен h(x) Z[x], обладающие следующими свойствами:

А) старший коэффициент h(x) ра вен 1;

Б) h(x) (mod pk) делит f(x) (mod pk) в кольце Z pkZ[x];

/ В) h(x) (mod p) неприводим в Z pZ[x];

/ Г) (h(x) (mod p))2 f(x) (mod p) в Z pZ[x].

/ Лемма 8.3. Существует единственный примитивный непри водимый многочлен h0 (x) Z[x] такой, что h0 (x) делит f(x) в Z[x], h(x) (mod p) | h0 (x) (mod p). При этом для многочленов g(x) Z[x], делящих f(x) в Z[x], эквивалентны следующие условия:

1) h(x) (mod p) | g(x) (mod p);

2) h(x) (mod pk) | g(x) (mod pk);

3) h0 (x) делит g(x) в Z[x].

Доказательство. Из свойства Б) следует, что h(x) (mod p) де лит f(x) (mod p) в Z pZ[x]. Если мы разложим f(x) на неприводимые / множители в Z[x] (они также будут примитивными в силу примитивно сти f(x)), то один из них, взятый по модулюp, делится на h(x) (mod p).

В силу свойства Г) такой неприводимый делитель f(x) будет единстве нен;

его и обозначим через h0 (x).

Теперь докажем эквивалентность условий 1) 3). Очевидно, что — из третьего условия следует первое, и что из второго условия также следует первое.

Покажем, что из первого условия следует второе.

Пусть h(x) (mod p) | g(x) (mod p). Тогда в силу свойства Г) f(x) h(x) (mod p) (mod p).

g(x) 220 Гл. 8. Факторизация многочленов над полем рациональных чисел Поскольку Z pZ является полем и h(x) (mod p) неприводим, / f(x) h(x) (mod p) и (mod p) взаимно просты в Z pZ[x]. Следо / g(x) вательно, найдутся многочлены (x), (x) Z[x] такие, что f(x) (x) (mod p)h(x) (mod p) + (x) (mod p) (mod p) = 1, g(x) или, эквивалентно, f(x) (x)h(x) + (x) = 1 - p (x) g(x) для некоторого (x) Z[x]. Умножая это равенство на (1 + p (x) +...

... + pk-1 (x)k-1)g(x), получим, что 1 (x)h(x) + 1 (x)f(x) = (1 - pk (x)k)g(x), где 1(x), 1 (x) Z[x]. Отсюда 1 (x) (mod pk)h(x) (mod pk)+ 1(x) (mod pk)f(x) (mod pk)=g(x) (mod pk), и в силу Б) получаем, что h(x) (mod pk)|g(x) (mod pk).

Теперь докажем, что из первого условия следует третье. Из свой f(x) f(x) ства Г) вытекает, что h(x) (mod p) (mod p). Поэтому h0(x) g(x) g(x) в Z[x]. Поскольку h0 (x) неприводим, h0 (x) | g(x).

В следующих параграфах мы подходящим образом выберем p, k и h(x) так, чтобы выполнялись свойства А) Г). Это приведет нас в ко — нечном счете к нахождению разложения f(x) на множители в Z[x].

§ 8.3. LLL-алгоритм факторизации:

использование решеток Мы предполагаем, что f(x), p, k и h(x) Z[x] те же, что и в §8.2, — и выполняются свойства А) Г). Обозначим l = deg h(x). Тогда l n — в силе свойств А), Б) и примитивности f(x);

равенство l = n будет по лемме 8.3 означать, что f(x) неприводим.

Фиксируем натуральный параметр m, m l.

Рассмотрим множество L = P(x) Z[x] deg P m, h(x) (mod pk) | P(x) (mod pk), и отображение m 0 : L Zm+1, 0 zjxj = (a0, a1,..., am).

i= § 8.3. LLL-алгоритм факторизации: использование решеток Очевидно, что L =0(L) Zm+1 является аддитивной подгруппой Zm+1.

Мы далее покажем, что L на самом деле является решеткой в Zm+1, т. е., состоит из всех целочисленных линейных комбинаций некоторых m + 1 линейно независимых векторов.

Заметим, что |P(x)| = |0(P(x))|, где слева стоит рассматриваемая нами норма многочленов (см. §8.1), а справа евклидова норма век — торов в Rm+1.

Образующими L над Z являются следующие векторы:

(0,..., 0, pk, 0,..., 0) =0(pk · xi), i = 0, 1,..., l - 1, (8.4) и 0 (h(x)xi-l), i = l,..., m.(8.5) Действительно, если P(x) L, то P(x) (mod pk) = h(x) (mod pk) · Q(x) (mod pk) для некоторого Q(x) Z[x]. Отсюда P(x) = h(x)Q(x) + pk · T (x) при некотором T (x) Z[x], и можно считать, что deg T (x) < deg h(x) = l, так как h(x) унитарен. Но тогда, если Q(x) = 0, то deg Q(x) = deg P(x) - deg h(x) m - l. Кроме того, все многочлены указанного вида P(x) = h(x)Q(x) + pkT (x) Z[x], имеющие степень не выше m, со держатся в L. Теперь очевидно, что векторы (8.4) и (8.5) обра зуют L.

Их линейная независимость над Z и на д Q также очевидна: матрица, строки которой образуют векторы (8.4) и (8.5), является треугольной, и на ее диагонали стоят числа pk (l раз) и единицы (m - l + 1 ра з).

Поэтому L является решеткой, и ее определитель (см. §7.1) ра вен d(L) = pkl.(8.6) Лемма 8.4. Пусть многочлен h0 (x) из утверждения лем — мы 8.3. Пусть b(x) L, причем выполнено неравенство pkl > |f(x)|m · |b(x)|n.

Тогда h0 (x) делит b(x) в Z[x].

Доказательство. Пусть b(x) = 0 (иначе утверждение тривиально).

Пусть g(x) = НОД(f(x), b(x)) наибольший общий делитель в Z[x].

— По лемме 8.3 достаточно доказать, что h(x) (mod p)|g(x) (mod p). Если мы предположим, что h(x) (mod p) g(x) (mod p), то в силу свойства В) из §8.2 будет выполнено равенство 3 (x)h(x) + 3 (x)g(x) = 1 - p 3 (x)(8.7) при некоторых 3(x), 3 (x), 3 (x) Z[x]. Обозначим m1 = deg b(x), 222 Гл. 8. Факторизация многочленов над полем рациональных чисел m2 = deg g(x). Тогда m m1 m2 0. Рассмотрим множество M = { f + b |, Z[x], deg < m1 - m, deg < n - m2}, где f = f(x), b = b(x). Степень многочленов из M не превосходит n + m1 - m2 - 1.

Докажем, что если f + b M и deg( f + b) < m2, то = = 0.

Действительно, так как g(x) = g| f + b, deg g = m2, то f + b = 0, f b f b f = -. Но НОД, = 1;

поэтому в Z[x]. Так как deg < g g g g g < n - m2 = deg f - deg g, то = 0;

тогда и = 0.

Рассмотрим отображение 1-2m : M Zn+m, n+m 1-m2- aixi = (am, am +1,..., an+m ).

2 2 1-m2- i= По доказанному выше является вложением и гомоморфизмом адди тивных групп. Также по доказанному векторы (xif(x)), i = 0, 1,..., m1 - m2 - 1, (8.8) (xjb(x)), j = 0, 1,..., n - m2 - 1, (8.9) являются линейно независимыми над Z и порождают (M). Значит, 1-2m (M) является решеткой в Zn+m. По неравенству Адамара и усло вию леммы определитель d((M)) решетки (M) удовлетворяет нера венству 1-m d((M)) |f(x)|m |b(x)|n-m |f|m|b|n < pkl.

Покажем теперь, что выполняется и обратное неравенство;

полу ченное противоречие будет доказывать утверждение нашей леммы.

Докажем включение множеств { (x) M | deg (x) < m2 + l}pk · Z[x]. (8.10) (x) Пусть (x) M, deg (x) < m2 + l. Тогда Z[x]. Умножим равен g(x) (x) k- ство (8.7) на и на 1 + p 3 (x) +... + pk-1 3 (x). Получим, что g(x) (x) 4(x)h(x) + 4(x) (x) - pkZ[x]. (8.11) g(x) Поскольку (x) M, b(x) L, то h(x) (mod pk) делит (x) (mod pk).

Тогда из (8.11) следует, что (x) h(x) (mod pk) | (mod pk).

g(x) § 8.3. LLL-алгоритм факторизации: использование решеток (x) Но deg < m2 + l - m2 = l = deg h(x) = deg(h(x) (mod pk)). Значит, g(x) (x) pkZ[x], откуда следует (8.10).

g(x) Хорошо известно, что в любой решетке, содержащейся в ZN, мож но выбрать треугольный базис (см. [24, гл. 1]). Выберем такой базис 1-2m в (M) Zn+m. Обозначим его элементы через bi = (bi1,..., bii, 0,..., 0), где bij Z, bii = 0, i = 1,..., n + m1 - 2m2. При этом d((M)) = n+m1-2m = |bii|. Прообразы -1 (bi) векторов bi являются многочле i= нами из M степени i + m2 - 1, i = 1,..., n + m1 - 2m2. Из форму лы (8.10) следует тогда, что bii 0 (mod pk) для i = 1,..., l. Поэтому d((M)) pkl.

Лемма 8.5. Пусть h0 (x) неприводимый делитель f(x) такой, — что h(x) (mod p) | h0 (x) (mod p). Пусть b1,..., bm+1 приведенный — базис решетки L =0(L), и пусть выполнено неравенство pkl > 2mn/2(n + 1)n/2en |f|n+m. (8.12) Степень многочлена h0 (x) не превосходит m тогда и только то гда, когда 1/n pkl |b1| <. (8.13) |f|m Доказательство. Из (8.13) следует, что |b1|n|f|m < pkl, т. е. выпол нены условия леммы 8.4 для многочлена b(x) =0 (b1) L. По опреде лению L выполнено неравенство deg b(x) m. Из леммы 8.4 следует, что h0 (x) | b(x), поэтому deg h0 (x) m.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.