WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Московская финансово-промышленная академия Т.А. Дуброва СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ Москва, 2004 УДК 519.22 ББК 22.172 Д 797 Дуброва Т.А. Статистические методы

прогнозирования в экономике./ Московская финансово-промышленная академия. - М., 2004. - 60 с.

© Дуброва Т.А., 2004 © Московская финансово-промышленная академия, 2004 2 Оглавление Введение........................................................................................................... 4 Глава 1. Классификация экономических прогнозов. Требования, предъявляемые к временным рядам, и их компонентный состав.............. 5 Глава 2. Основные показатели динамики экономических явлений.

Использование скользящих средних для сглаживания временных рядов............................................................................................................... 18 Глава 3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста.................................................................................................. Глава 4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей.......................................................................................... Глава 5. Использование адаптивных методов в экономическом............. Введение В настоящее время статистические методы прогнозирования заняли видное место в экономической практике. Широкому внедрению методов анализа и прогнозирования данных способствовало появление персональных компьютеров. Распространение статистических программных пакетов позволило сделать доступными и наглядными многие методы обработки данных.

Все шире используются статистические методы прогнозирования в деятельности плановых, аналитических, маркетинговых отделов производственных предприятий и объединений, торговых, страховых компаний, банков, правительственных учреждений.

Теперь уже не требуется проводить вручную трудоемкие расчеты, строить таблицы и графики - всю эту черновую работу выполняет компьютер. Человеку же остается исследовательская, творческая работа:

постановка задачи, выбор методов прогнозирования, оценка качества полученных моделей, интерпретация результатов. Для этого необходимо иметь определенную подготовку в области статистических методов обработки данных и прогнозирования.

В данном учебном пособии в систематизированном виде изложены статистические методы анализа одномерных временных рядов и прогнозирования. Для изучения выбраны наиболее часто применяемые в экономической практике методы. Большое внимание уделяется анализу полученных результатов.

Структура изложения соответствует логической последовательности основных этапов анализа и прогнозирования временных рядов. Последний раздел посвящен развивающемуся направлению статистических исследований - прогнозированию временных рядов с помощью адаптивных моделей.

Глава 1. Классификация экономических прогнозов. Требования, предъявляемые к временным рядам, и их компонентный состав § 1.1. Классификация экономических прогнозов В современных условиях управляющие решения должны приниматься лишь на основе тщательного анализа имеющейся информации. Например, банк или совет директоров корпорации примет решение о вложении денег в какой-то проект лишь после тщательных расчетов, связанных с прогнозами состояния рынка, с определением рентабельности вложений и с оценками возможных рисков. В противном случае могут опередить конкуренты, умеющие лучше оценивать и прогнозировать перспективы развития.

Для решения подобных задач, связанных с анализом данных при наличии случайных воздействий, предназначен мощный аппарат прикладной статистики, составной частью которого являются статистические методы прогнозирования. Эти методы позволяют выявлять закономерности на фоне случайностей, делать обоснованные прогнозы и оценивать вероятность их выполнения.

Под прогнозом понимается научно обоснованное описание возможных состояний объектов в будущем, а также альтернативных путей и сроков достижения этого состояния. Процесс разработки прогнозов называется прогнозированием (от греч. prognosis предвидение, предсказание).

Прогнозирование должно отвечать на два вопроса:

• Что вероятнее всего ожидать в будущем?

• Каким образом нужно изменить условия, чтобы достичь заданного, конечного состояния прогнозируемого объекта?

Прогнозы, отвечающие на вопросы первого типа, называются поисковыми, второго типа - нормативными. Например, ставится задача обеспечить каждую семью отдельной квартирой с улучшенной планировкой. Нормативные прогнозы продемонстрируют при каких капиталовложениях и к какому сроку возможно выполнение поставленной задачи.

В зависимости от объектов прогнозирования принято разделять прогнозы на научно-технические, экономические, социальные, военно политические и т.д. Однако такая классификация носит условный характер, т.к. между этими прогнозами, как правило, существует множество прямых и обратных связей.

Классификация экономических прогнозов показана на рисунке 1.1.

В зависимости от масштабности объекта прогнозирования экономические прогнозы могут охватывать все уровни: от микроуровня (рассматривающего прогнозы развития отдельных предприятий, производств и т.д.) до макроуровня (анализирующего экономическое развитие в масштабе страны) или - до глобального уровня (где существующие закономерности рассматриваются в мировом масштабе).

Важной характеристикой является время упреждения прогноза отрезок времени от момента, для которого имеются последние статистические данные об изучаемом объекте, до момента, к которому относится прогноз.

По времени упреждения экономические прогнозы делятся на:

• оперативные (с периодом упреждения до одного месяца), • краткосрочные (период упреждения- от одного, нескольких месяцев до года), • среднесрочные (период упреждения более 1 года, но не превышает 5 лет), • долгосрочные (с периодом упреждения более 5 лет).

Наибольший практический интерес, безусловно, представляют краткосрочные и оперативные прогнозы.

Прогнозирование экономических явлений и процессов включает в себя следующие этапы:

1. постановка задачи и сбор необходимой информации;

2. первичная обработка исходных данных;

3. определение круга возможных моделей прогнозирования;

4. оценка параметров моделей;

5. исследование качества выбранных моделей, адекватности их реальному процессу. Выбор лучшей из моделей;

6. построение прогноза;

7. содержательный анализ полученного прогноза.

Рассмотрим более подробно существующие методы и подходы для реализации каждого из намеченных этапов.

Классификация прогнозов Внешне политические, Научно- Демогра- Экономи- Прогнозы военно Социальные технические фические ческие природных политические прогнозы прогнозы прогнозы ресурсов прогнозы прогнозы По масштабности По времени По цели объекта упреждения прогнозирования прогнозирования долгосрочные поисковый глобальные прогнозы прогноз прогнозы среднесрочные нормативный макропрогнозы прогнозы прогноз межотраслевые и краткосрочные межрегиональные прогнозы прогнозы региональные оперативные прогнозы прогнозы прогнозы развития народнохозяйствен ных комплексов отраслевые прогнозы микропрогнозы Рисунок 1.1. Классификация экономических прогнозов § 1.2. Виды временных рядов. Требования, предъявляемые к исходной информации Статистическое описание развития экономических процессов во времени осуществляется с помощью временных рядов.

Временным рядом называется ряд наблюдений за значениями некоторого показателя (признака), упорядоченный в хронологической последовательности, т.е. в порядке возрастания переменной t временного параметра. Отдельные наблюдения временного ряда называются уровнями этого ряда.

Временные ряды делятся на моментные и интервальные. В моментных временных рядах уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени. Например, моментными являются временные ряды цен на определенные виды товаров, временные ряды курсов акций, уровни которых фиксируются для конкретных чисел. Примерами моментных временных рядов могут служить также ряды численности населения или стоимости основных фондов, т.к. значения уровней этих рядов определяются ежегодно на одно и то же число.

В интервальных рядах уровни характеризуют значение показателя за определенные интервалы (периоды) времени. Примерами рядов этого типа могут служить временные ряды производства продукции в натуральном или стоимостном выражении за месяц, квартал, год и т.д.

Иногда уровни ряда представляют собой не непосредственно наблюдаемые значения, а производные величины: средние или относительные. Такие ряды называются производными. Уровни таких временных рядов получаются с помощью некоторых вычислений на основе непосредственно наблюдаемых показателей. Примерами таких рядов могут служить ряды среднесуточного производства основных видов промышленной продукции или ряды индексов цен.

Уровни ряда могут принимать детерминированные или случайные значения. Примером ряда с детерминированными значениями уровней служит ряд последовательных данных о количестве дней в месяцах.

Естественно, анализу, а в дальнейшем и прогнозированию, подвергаются ряды со случайными значениями уровней. В таких рядах каждый уровень может рассматриваться как реализация случайной величины - дискретной или непрерывной.

В таблице 1.1. приведены примеры временных рядов: первый ряд является моментным;

второй ряд – интервальны. Уровни третьего временного ряда – расчетные величины, а сам временной ряд месячной динамики является производным.

Таблица 1.1.

Примеры временных рядов I) Цены акций промышленной компании на момент закрытия торгов (долл.) Дата t yt 6.9.99 1 7.9.99 2 8.9.99 3 9.9.99 4 10.9.99 5 13.9.99 6 II) Фонд заработной платы работников предприятия (тыс.

руб.) Месяц t yt Январь 1 79, Февраль 2 84, Март 3 85, Апрель 4 88, Май 5 89, Июнь 6 90, III) Среднесуточное производство продукции на предприятии (шт.) Месяц t yt Январь 1 Февраль 2 Март 3 Апрель 4 Май 5 Июнь 6 Важное значение для дальнейшего исследования процесса имеет выбор интервалов между соседними уровнями ряда. Удобнее всего иметь дело с равноотстоящими друг от друга уровнями ряда. При этом, если выбрать слишком большой интервал времени, можно упустить существенные закономерности в динамике показателя. Например, по квартальным данным невозможно судить о месячных сезонных колебаниях. Информация может также оказаться слишком "короткой" для использования некоторых методов анализа и прогнозирования динамики, предъявляющих "жесткие" требования к длине рядов. В то же время, слишком малые интервалы между наблюдениями увеличивают объем вычислений, а также могут приводить к появлению ненужных деталей в динамике процесса, засоряющих общую тенденцию.

Безусловно, вопрос о выборе интервала времени между уровнями ряда должен решаться исходя из целей каждого конкретного исследования.

Процесс прогнозирования экономических временных рядов базируется на выявлении закономерностей, объясняющих динамику процесса в прошлом, и использовании этих закономерностей для описания развития в будущем.

При этом проведение анализа развития и прогнозирования, как правило, опирается на математический аппарат, предъявляющий определенные требования к исходной информации.

Одним из важнейших условий, необходимых для правильного отражения временным рядом реального процесса развития, является сопоставимость уровней ряда. Для несопоставимых величин неправомерно проводить исследование динамики. Появление несопоставимых уровней может быть вызвано разными причинами:

изменением методики расчета показателя, изменением классификаций, терминологии и т.д. Например, уровни временного ряда, характеризующие количество малых предприятий, могут оказаться несопоставимыми из-за изменения самого понятия "малое предприятие".

Подразумевается, что это понятие должно быть одинаковым для всего исследуемого периода. Чаще всего несопоставимость встречается в стоимостных показателях, что вызвано изменением цен в анализируемом периоде.

Несопоставимость может возникнуть вследствие территориальных изменений, например, как результат изменения границ области, района, страны. Другой причиной несопоставимости являются структурные изменения, например, укрупнение нескольких ведомств путем слияния их в единое целое, или укрупнение производства за счет слияния нескольких предприятий в одно объединение.

В большинстве случаев удается устранить несопоставимость, вызванную указанными причинами, путем пересчета более ранних значений показателей с помощью формальных методов. Хотя далеко не всегда проведение такой обработки обеспечивает требуемую точность, что может привести к снижению ценности исходной информации, а, следовательно, и к затруднению дальнейшего анализа.

Для успешного изучения динамики процесса важно, чтобы информация была полной, временной ряд имел достаточную длину.

Например, при изучении сезонных колебаний на базе месячных или квартальных данных желательно иметь информацию не менее, чем за года.

Применение определенного математического аппарата также накладывает ограничение на допустимую длину временных рядов.

Например, для использования регрессионного анализа требуется иметь временные ряды, длина которых в несколько раз превосходит количество независимых переменных.

Временные ряды не должны иметь пропущенные наблюдения.

Пропуски могут объясняться как недостатками при сборе информации, так и происходившими изменениями в системе отчетности, в системе фиксирования данных. Например, изменяется круг основных видов промышленной продукции, данные о производстве которых собираются на базе срочной отчетности. Решение об исключении какого-то показателя может быть отменено через некоторое время, в связи с тем, что становится очевидной его важность для аналитических исследований. В этом случае для использования этого временного ряда в дальнейшем анализе необходимо восстановить пропущенные уровни одним из известных способов восстановления пропусков (выбор метода зависит от специфики конкретного временного ряда). Если же в систему показателей включен новый признак, учет которого не проводился ранее, то необходимо подождать, пока ряд достигнет требуемой длины или попытаться восстановить прежние значения косвенными методами (через другие показатели), если такой путь представляется возможным.

Уровни временных рядов могут содержать аномальные значения или “выбросы". Часто появление таких значений может быть вызвано ошибками при сборе, записи и передаче информации. Возможными источниками появления ошибочных значений являются: сдвиг запятой при перенесении информации из документа, занесение данных в другую графу и т.д.

Выявление, исключение таких значений, замена их истинными или расчетными является необходимым этапом первичной обработки данных, т.к. применение математических методов к "засоренной" информации приводит к искажению результатов анализа. Однако, аномальные значения могут отражать реальное развитие процесса, например, "скачок" курса доллара в "черный вторник". Как правило, эти значения также заменяются расчетными при построении моделей, но учитываются при расчете возможной величины отклонений фактических значений от полученных по модели.

Соответствие исходной информации всем указанным требованиям проверяется на этапе предварительного анализа временных рядов. Лишь после этого переходят к расчету и анализу основных показателей динамики развития, построению моделей прогнозирования, получению прогнозных оценок.

§ 1.3. Компоненты временных рядов. Проверка гипотезы о существовании тенденции В практике прогнозирования принято считать, что значения уровней временных рядов экономических показателей состоят из следующих компонент: тренда, сезонной, циклической и случайной составляющих.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия.

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах экономических процессов часто имеют место более или менее регулярные колебания - периодические составляющие рядов динамики.

Если период колебаний не превышает 1 года, то их называют сезонными. Чаще всего причиной их возникновения считаются природно-климатические условия. Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т.д.

При большем периоде колебания, считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить демографические, инвестиционные и другие циклы.

Если из временного ряда удалить тренд и периодические составляющие, то останется нерегулярная компонента.

Экономисты разделяют факторы, под действием которых формируется нерегулярная компонента, на 2 вида:

• факторы резкого, внезапного действия;

• текущие факторы.

Первый тип факторов (например, стихийные бедствия, эпидемии и др.), как правило, вызывает более значительные отклонения по сравнению со случайными колебаниями- иногда такие отклонения называют катастрофическими колебаниями.

Факторы второго типа вызывают случайные колебания, являющиеся результатом действия большого числа побочных причин.

Влияние каждого из текущих факторов незначительно, но ощущается их суммарное воздействие.

Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной (1.1), если в виде произведения - мультипликативной (1.2) или смешанного типа (1.3):

Yt = ut + st + vt + et (1.1), Yt = ut st vt et (1.2), Yt = ut st vt + et (1.3), где yt- уровни временного ряда;

ut -трендовая составляющая;

st- сезонная компонента;

vt - циклическая компонента;

et- случайная компонента.

Рисунок 1.2. Месячная динамика производства отдельных видов промышленной продукции в натуральном выражении Месяцы Рисунок 1.3. Месячная динамика производства электроэнергии На рисунках 1.2, 1.3 приведены примеры временных рядов, иллюстрирующие присутствие в них указанных компонент. Графики месячных временных рядов производства промышленной продукции наглядно демонстрируют устойчивые сезонные колебания при снижающемся тренде, причем на последнем участке темпы падения производства заметно снижаются.

Решение любой задачи по анализу и прогнозированию временных рядов начинается с построения графика исследуемого показателя, тем более, что современные программные средства предоставляют пользователю большие возможности для этого. Не всегда при этом четко млрд.

квт.

ч.

прослеживается присутствие тренда во временном ряду. В этих случаях прежде, чем перейти к определению тенденции и выделению тренда, нужно выяснить, существует ли вообще тенденция в исследуемом процессе.

Основные подходы к решению этой задачи основаны на статистической проверке гипотез. Критерии выявления компонент ряда основаны на проверке гипотезы о случайности ряда.

Рассмотрим наиболее часто используемые на практике критерии проверки "наличия-отсутствия" тренда: критерий серий, основанный на медиане выборки и метод Фостера - Стюарта.

Критерий серий, основанный на медиане выборки, реализуется в виде следующей последовательности шагов:

1) Из исходного ряда yt длиной n образуется ранжированный | | (вариационный) ряд y| : y1, y|,..., y|, где y1- наименьшее значение ряда t 2 n yt.

2) Определяется медиана этого вариационного ряда Me. В случае нечетного значения n (n=2m+1) Me=y|, в противном случае m+ | | Me= y + y :2.

() m m + 3) Образуется последовательность i из плюсов и минусов по следующему правилу:

+, если yt > Me, t = 1, 2,..., n = (1.4.) i < Me, t = 1, 2,..., n -, если yt Если значение yt равно медиане, то это значение пропускается.

4) Подсчитывается (n) -число серий в совокупности i, где под серией понимается последовательность подряд идущих плюсов или минусов. Один плюс или один минус тоже будет считаться серией.

Определяется max(n)- протяженность самой длинной серии.

5) Проверка гипотезы основывается на том, что при условии случайности ряда (при отсутствии систематической составляющей) протяженность самой длинной серии не должна быть слишком большой, а общее число серий - слишком маленьким. Поэтому для того, чтобы не была отвергнута гипотеза о случайности исходного ряда (об отсутствии систематической составляющей) должны выполняться следующие неравенства (для 5% уровня значимости).

n < 3,3 lgn + ( ) ( ) [] max (1.5.) ( ) () n > 2 n + 1 - 1,96 n - Если хотя бы одно из неравенств нарушается, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Квадратные скобки в правой части неравенства означают целую часть числа. Напомним, что целая часть числа A - [A] - это целое число, ближайшее к А и не превосходящее его.

Другой способ проверки гипотезы о наличии тенденции процесса основывается на методе Фостера-Стюарта. Этот метод может быть реализован в виде следующей последовательности шагов:

1) Каждый уровень ряда сравнивается со всеми предшествующими, при этом определяются значения вспомогательных характеристик mt и lt:

1, если yt > yt-1, yt-2,..., y mt = (1.6.) 0, в противном случае Таким образом, mt=1, если yt больше всех предшествующих уровней, а1t=1, если yt меньше всех предшествующих уровней.

2) Вычисляется dt=mt-lt для всех t=2n.

Очевидно, что величина dt может принимать значения 0;

1;

-1.

n 3) Находится характеристика D =.

d t t= 4) С помощью критерия Стьюдента проверяется гипотеза о том, что можно считать случайной разность D-0 (т.е. ряд можно считать случайным, не содержащим тренд).

Для этого определяется:

D t =, н аб л D где D- средняя квадратическая ошибка величины D:

n = 2 2 ln n - 0, D t t= Значения D затабулированы.

Таблица 1.2.

Значения стандартных ошибок для D для n от 10 до n n n n D D D D 10 1,964 35 2,509 60 2,713 85 2, 15 2,153 40 2,561 65 2,742 90 2, 20 2,279 45 2,606 70 2,769 95 2, 25 2,373 50 2,645 75 2,793 100 2, 30 2,447 55 2,681 80 2, Расчетное значение tнабл сравнивается с критическим значением tкр, взятым из таблицы t-распределения Стьюдента для заданного уровня значимости и числа степеней свободы k = n - 1. Если tнабл > tкр, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

Пример 1.1.

Изменения курса акций промышленной компании в течение месяца представлены в таблице:

Курс акций (дол.) t yt t yt t yt t yt 1 509 6 515 11 517 16 2 507 7 520 12 524 17 3 508 8 519 13 526 18 4 509 9 512 14 519 19 5 518 10 511 15 514 20 Проверить утверждение об отсутствии тенденции в изменении курса акций двумя способами:

а) с помощью метода Фостера - Стюарта;

б) используя критерий серии, основанный на медиане выборки.

Доверительную вероятность принять равной 0,95.

Решение:

а) Вспомогательные вычисления по методу Фостера- Стюарта представлены в таблице 1.3.

1) Если уровень yt больше всех предшествующих уровней, то в графе mt ставим 1, если yt меньше всех предшествующих уровней, то ставим 1 в графе lt;

2) Определяем dt=mt-lt для t=220;

3) D = = 3;

dt t = 4) Значение D для n=20 берем из таблицы 1.2.

D =2,279.

Значение tкр берем из таблицы t- распределения Стьюдента:

D tкр (=0,05;

К=19)=2,093;

tн = =1,316.

D tн

С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует.

Таблица 1.3.

Вспомогательные вычисления по методу Фостера-Стюарта yt m et d yt m et d t t t t t t 1 509 - - - 11 517 0 0 2 507 0 1 - 12 524 1 0 3 508 0 0 0 13 526 1 0 4 509 0 0 0 14 519 0 0 5 518 1 0 1 15 514 0 0 6 515 0 0 0 16 510 0 0 7 520 1 0 1 17 516 0 0 8 519 0 0 0 18 518 0 0 9 512 0 0 0 19 524 0 0 10 511 0 0 0 20 521 0 0 б) Проверим гипотезу об отсутствии тенденции в изменении курса акций с помощью критерия серий, основанного на медиане выборки.

Вспомогательные вычисления представлены в таблице 1.4.

Таблица 1.4.

Вспомогательные вычисления для критерия серии yt y| yt y| yt y| t t t t t t 1 509 507 - 7 520 512 + 15 514 519 2 507 508 - 8 519 514 + 16 510 520 3 508 509 - 9 512 515 - 17 516 521 4 509 509 - 10 511 516 - 18 518 524 + 5 518 510 + 11 517 517 + 19 524 524 + 6 515 511 - 12 524 518 + 20 521 526 + 13 526 518 + 14 519 519 + 1) От исходного ряда yt переходим к ранжированному y|, расположив t значения исходного ряда в порядке возрастания;

| | y10 + y 2) Т. к. n=20 (четное) медиана Me = = 516,5;

3) Значение каждого уровня исходного ряда yt сравнивается со значением медианы. Если yt >Me, то i принимает значение «+», если меньше, то»-»;

4) (20)=8- число серий;

(20)=4- протяженность самой большой серии.

max В соответствии с (1.7.) делаем проверку:

max(20) < 33 lg20 +, () [ ] 4< 20 +1-1,96 20 - 8> (20) > 2() Оба неравенства выполняются. С вероятностью 0,95 тренд во временном ряду отсутствует, что согласуется с выводом, сделанным с помощью метода Фостера-Стюарта.

Глава 2. Основные показатели динамики экономических явлений.

Использование скользящих средних для сглаживания временных рядов § 2.1. Основные показатели динамики экономических явлений Для количественной оценки динамики явлений применяются статистические показатели: абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста, причем они могут разделяться на цепные, базисные и средние.

В основе расчета этих показателей динамики лежит сравнение уровней временного ряда. Если сравнение осуществляется с одним и тем же уровнем, принятым за базу сравнения, то эти показатели называются базисными. Если сравнение осуществляется при переменной базе, и каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то вычисленные таким образом показатели называются цепными.

Абсолютный прирост у равен разности двух сравниваемых уровней.

Темп роста Т характеризует отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах.

Темп прироста К характеризует абсолютный прирост в относительных величинах. Определенный в % темп прироста показывает, на сколько процентов изменился сравниваемый уровень по отношению к уровню, принятому за базу сравнения. В таблице 2.1.

приведены выражения для вычисления базисных и цепных приростов, темпов роста, темпов прироста. При этом использованы следующие обозначения:

y1,y2,...,yt,...,yn- уровни временного ряда t=1, 2,..., n;

n- длина временного ряда;

yб -уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.

Таблица 2.1.

Основные показатели динамики Прирост Темп роста Темп прироста yt Цепной Кt=Tt-100% уt=yt-yt- Тt = 100% yt- yt Кбt = Тбt -100% Базисный yбt =yt-yб Tбt = 100% yб yn - y Средний yn К = Т -100% y = n- Т =100% n - y Для получения обобщающих показателей динамики развития определяются средние величины: средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

Описание динамики ряда с помощью среднего прироста соответствует его представлению в виде прямой, проведенной через две крайние точки. В этом случае, чтобы получить прогноз на один шаг вперед, достаточно к последнему наблюдению добавить значение среднего абсолютного прироста.

) y = yn + y (2.1.), n+ где yn - фактическое значение в последней n- ой точке ряда;

) y -прогнозная оценка значения уровня в точке n+1;

n+ y- значение среднего прироста, рассчитанное для временного ряда y1,y2,...,yn.

Очевидно, что такой подход к получению прогнозного значения корректен, если характер развития близок к линейному. На такой равномерный характер развития могут указывать примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

Применение среднего темпа роста ( и среднего темпа прироста) для описания динамики ряда соответствует его представлению в виде показательной или экспоненциальной кривой, проведенной через две крайние точки. Поэтому использование этого показателя в качестве обобщающего целесообразно для тех процессов, изменение динамики которых происходит примерно с постоянным темпом роста. В этом случае прогнозное значение на i шагов вперед может быть получено по формуле:

i ) y = yn Т (2.2.), n+i ) где y - прогнозная оценка значения уровня в точке n+i;

n+i yn- фактическое значение в последней n-ой точке ряда;

Т - средний темп роста, рассчитанный для ряда y1,y2,...,yn (не в % выражении).

К недостаткам среднего прироста и среднего темпа роста следует отнести то, что они учитывают лишь конечный и начальный уровни ряда, исключают влияния промежуточных уровней. Тем не менее, эти показатели имеют весьма широкую область применения, что объясняется чрезвычайной простотой их вычисления. Они могут быть использованы как приближенные, простейшие способы прогнозирования, предшествующие более глубокому количественному и качественному анализу.

§ 2.2. Сглаживание временных рядов с помощью скользящей средней Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является сглаживание временного ряда. Суть различных приемов сглаживания сводится к замене фактических уровней временного ряда расчетными уровнями, которые подвержены колебаниям в меньшей степени. Это способствует более четкому проявлению тенденции развития. Иногда сглаживание применяют как предварительный этап перед использованием других методов выделения тенденции (например, рассматриваемых в третьей главе).

Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса, и поэтому, являются важным инструментом при фильтрации компонент временного ряда.

Алгоритм сглаживания по простой скользящей средней может быть представлен в виде следующей последовательности шагов:

1. Определяют длину интервала сглаживания g, включающего в себя g последовательных уровней ряда (g

2. Разбивают весь период наблюдений на участки, при этом интервал сглаживания как бы скользит по ряду с шагом, равным 1.

3. Рассчитывают арифметические средние из уровней ряда, образующих каждый участок.

4. Заменяют фактические значения ряда, стоящие в центре каждого участка, на соответствующие средние значения.

При этом удобно брать длину интервала сглаживания g в виде нечетного числа: g=2p+1, т.к. в этом случае полученные значения скользящей средней приходятся на средний член интервала.

Наблюдения, которые берутся для расчета среднего значения, называются активным участком сглаживания.

При нечетном значении g все уровни активного участка могут быть представлены в виде:

yt-p, yt-p+1,..., yt-1, yt, yt+1,..., yt+p-1, yt+p, а скользящая средняя определена по формуле:

t+p yi yt-p + yt-p+1 +... + yt+p-1 + yt+p ) i=t-p y = = (2.3.), t 2p +1 2p + где yi- фактическое значение i-го уровня;

) y - значение скользящей средней в момент t;

t 2p+1- длина интервала сглаживания.

Процедура сглаживания приводит к полному устранению периодических колебаний во временном ряду, если длина интервала сглаживания берется равной или кратной циклу, периоду колебаний.

Для устранения сезонных колебаний желательно было бы использовать четырех- и двенадцатичленную скользящие средние, но при этом не будет выполняться условие нечетности длины интервала сглаживания. Поэтому при четном числе уровней принято первое и последнее наблюдение на активном участке брать с половинными весами:

t+p- 1 1 yi yt-p + yt-p+1 +... + yt-1 + yt + yt+1 +... + yt+p-1 + yt+p 2 yt-p + + 2 yt+p ) i=t-p+ 2 y (2.4.) = = t 2p 2p Тогда для сглаживания сезонных колебаний при работе с временными рядами квартальной или месячной динамики можно использовать следующие скользящие средние:

1 yt-2 + yt-1 + yt + yt+1 + yt+ ) 2 y = (2.5.) t 1 yt-6 + yt-5 +... + yt +... + yt+5 + yt+ ) 2 y = (2.6.) t При использовании скользящей средней с длиной активного участка g=2p+1 первые и последние p уровней ряда сгладить нельзя, их значения теряются. Очевидно, что потеря значений последних точек является существенным недостатком, т.к. для исследователя последние "свежие" данные обладают наибольшей информационной ценностью.

Рассмотрим один из приемов, позволяющих восстановить потерянные значения временного ряда. Для этого необходимо:

1) Вычислить средний прирост на последнем активном участке yt-p, yt-p+1,..., yt,..., yt+p-1, yt+p yt+p - yt-p y =, g - где g- длина активного участка;

yt+p- значение последнего уровня на активном участке;

yt-p- значение первого уровня на активном участке;

y-средний абсолютный прирост.

2) Получить P сглаженных значений в конце временного ряда путем последовательного прибавления среднего абсолютного прироста к последнему сглаженному значению.

Аналогичную процедуру можно реализовать для оценивания первых уровней временного ряда.

Метод простой скользящей средней применим, если графическое изображение динамического ряда напоминает прямую. Когда тренд выравниваемого ряда имеет изгибы, и для исследователя желательно сохранить мелкие волны, применение простой скользящей средней нецелесообразно.

Если для процесса характерно нелинейное развитие, то простая скользящая средняя может привести к существенным искажениям. В этих случаях более надежным является использование взвешенной скользящей средней.

При сглаживании по взвешенной скользящей средней на каждом участке выравнивание осуществляется по полиномам невысоких порядков. Чаще всего используются полиномы 2-го и 3-его порядка. Так как при простой скользящей средней выравнивание на каждом активном участке производится по прямой (полиному первого порядка), то метод простой скользящей средней может рассматриваться как частный случай метода взвешенной скользящей средней. Простая скользящая средняя учитывает все уровни ряда, входящие в активный участок сглаживания, с равными весами, а взвешенная средняя приписывает каждому уровню вес, зависящий от удаления данного уровня до уровня, стоящего в середине активного участка.

Выравнивание с помощью взвешенной скользящей средней осуществляется следующим образом.

Для каждого активного участка подбирается полином вида ) y = a0 + a1t + a t +..., t параметры которого оцениваются по методу наименьших квадратов. При этом начало отсчета переносится в середину активного участка. Например, для длины интервала сглаживания g=5, индексы уровней активного участка будут следующими i:

-2, -1, 0, 1, 2.

Тогда сглаженным значением для уровня, стоящего в середине активного участка, будет значение параметра a0 подобранного полинома.

Нет необходимости каждый раз заново вычислять весовые коэффициенты при уровнях ряда, входящих в активный участок сглаживания, т.к. они будут одинаковыми для каждого активного участка. Причем при сглаживании по полиному к-ой нечетной степени весовые коэффициенты будут такими же, как при сглаживании по полиному (к-1) степени. В таблице 2.2. представлены весовые коэффициенты при сглаживании по полиному 2-го или 3-го порядка ( в зависимости от длины интервала сглаживания).

Так как веса симметричны относительно центрального уровня, то в таблице использована символическая запись: приведены веса для половины уровней активного участка;

выделен вес, относящийся к уровню, стоящему в центре участка сглаживания. Для оставшихся уровней веса не приводятся, т. к. они могут быть симметрично отражены.

Например, проиллюстрируем использование таблицы для сглаживания по параболе 2-го порядка по 5-членной взвешенной скользящей средней. Тогда центральное значение на каждом активном участке yt-2, yt-1, yt, yt+1, yt+2, будет оцениваться по формуле:

) y = (- 3yt-2 +12yt-1 +17yt +12yt+1 - 3yt+2 ) t Отметим важные свойства приведенных весов:

1) Они симметричны относительно центрального уровня.

2) Сумма весов с учетом общего множителя, вынесенного за скобки, равна единице.

3) Наличие как положительных, так и отрицательных весов, позволяет сглаженной кривой сохранять различные изгибы кривой тренда.

Существуют приемы, позволяющие с помощью дополнительных вычислений получить сглаженные значения для Р начальных и конечных уровней ряда при длине интервала сглаживания g=2p+1.

Таблица 2.2.

Весовые коэффициенты при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка Длина интервала Весовые коэффициенты Сглаживания -3,+12,+ -2, +3, +6, + -21, +14, +39, +54, + -36, +9, +44, +69, +84, + -11,0, +9, +16, +21, +24, + Глава 3. Прогнозирование развития с помощью моделей кривых роста § 3.1. Применение моделей кривых роста в экономическом прогнозировании Удобным средством описания одномерных временных рядов является их выравнивание с помощью тех или иных функций времени (кривых роста). Кривая роста позволяет получить выравненные или теоретические значения уровней динамического ряда. Это те уровни, которые наблюдались бы в случае полного совпадения динамики явления с кривой.

Процедура разработки прогноза с использованием кривых роста включает в себя следующие этапы:

1) выбор одной или нескольких кривых, форма которых соответствует характеру изменения временного ряда;

2) оценка параметров выбранных кривых;

3) проверка адекватности выбранных кривых прогнозируемому процессу и окончательный выбор кривой роста;

4) расчет точечного и интервального прогнозов.

В настоящее время в литературе описано несколько десятков кривых роста, многие из которых широко применяются для выравнивания экономических временных рядов.

Кривые роста условно могут быть разделены на три класса в зависимости от того, какой тип динамики развития они хорошо описывают.

К I типу относятся функции, используемые для описания процессов с монотонным характером развития и отсутствием пределов роста. Эти условия справедливы для многих экономических показателей, например, для большинства натуральных показателей промышленного производства.

Ко II классу относятся кривые, описывающие процесс, который имеет предел роста в исследуемом периоде. С такими процессами часто сталкиваются в демографии, при изучении потребностей в товарах и услугах (в расчете на душу населения), при исследовании эффективности использования ресурсов и т.д. Примерами показателей, для которых могут быть указаны пределы роста, являются среднедушевое потребление определенных продуктов питания, расход удобрений на единицу площади и т.п.

Функции, относящиеся ко II классу, называются кривыми насыщения. Если кривые насыщения имеют точки перегиба, то они относятся к III типу кривых роста - к S-образным кривым.

Эти кривые описывают как бы два последовательных лавинообразных процесса (когда прирост зависит от уже достигнутого уровня): один с ускорением развития, другой - с замедлением.

S-образные кривые находят применение в демографических исследованиях, в страховых расчетах, при решении задач прогнозирования научно-технического прогресса, при определении спроса на новый вид продукции.

Вопрос о выборе кривой является основным при выравнивании ряда.

Существует несколько подходов к решению этой задачи, однако, все они предполагают знакомство с основными свойствами используемых кривых роста. Поэтому остановимся на характеристике отдельных типов кривых, наиболее часто применяемых на практике.

Среди кривых роста I типа, прежде всего следует выделить класс полиномов:

yt= a0 + a1t + a2t2 +... + aptp, (3.1.) где ai(i=0,1,...,p)- параметры многочлена, t- независимая переменная (время).

Коэффициенты полиномов невысоких степеней могут иметь конкретную интерпретацию в зависимости от содержания динамического ряда. Например, их можно трактовать как скорость роста (a1), ускорение роста(a2), изменение ускорения (a3), начальный уровень ряда при t=0 (a0). Обычно в экономических исследованиях применяются полиномы не выше третьего порядка. Использовать для определения тренда полиномы высоких степеней нецелесообразно, поскольку полученные таким образом аппроксимирующие функции будут отражать случайные отклонения (что противоречит смыслу тенденции).

Полином первой степени yt=a0+a1t на графике изображается прямой и используется для описания процессов, развивающихся во времени равномерно.

Полином второй степени yt=a0+a1t+a2t2 применим в тех случаях, когда процесс развивается равноускоренно (т.е. имеется равноускоренный рост или равноускоренное снижение уровней).

Как известно, если параметр a2>0, то ветви параболы направлены вверх, если же a2<0, то вниз. Параметры a0 и a1 не влияют на форму параболы, а лишь определяют ее положение.

Полином третьей степени имеет вид yt=a0+a1t+a2t2+a3t3.

У этого полинома знак прироста ординат может изменяться один или два раза (рисунок 3.1.).

Отличительная черта полиномов - отсутствие в явном виде зависимости приростов от значений ординат (yt).

Оценки параметров в модели (3.1.) определяются методом наименьших квадратов. Как известно, суть его состоит в "отыскании" таких параметров, при которых сумма квадратов отклонений расчетных значений уровней от фактических значений была бы минимальной.

Таким образом, эти оценки находятся в результате минимизации выражения:

n ) (уt- y )2 min, (3.2) t t= где yt - фактическое значение временного ряда;

) y - расчетное значение;

t n - длина временного ряда.

Не будем останавливаться на математическом аппарате метода наименьших квадратов, подробно описанного в литературе по математической статистике.

Приведем систему нормальных уравнений, полученную в результате минимизации выражения( 3.2.):

y = a0 n + a1t + a2t2 +... +a tp t p y t = a0t + a1t2 + a2t3 +... +a t p+ t p......... (3.3.) y t p-1 = a0t p-1 + a1tp + a2t p+1+... +a t2p- t p y t p = a0t p + a1t p+1 + a2tp+2 +... +a t2p t p Система (3.3.) состоит из (p+1) уравнений, содержащих в качестве неизвестных величин (p+1) коэффициентов a0, a1,..., aр. Решение этой системы позволяет вычислить оценки искомых коэффициентов.

Системы для оценивания полиномов невысоких степеней выглядят намного проще. Например, нормальные уравнения для оценивания параметров прямой:

y = a0 n + a1t t (3.4.) y t = a0t + a1t t Решение этой системы относительно искомых параметров дает следующие выражения:

yt t - yt t yt t n a1 = ;

a0 = - a n n (t) t n Для параболы 2-го порядка получим аналогичную систему нормальных уравнений:

y = a0 n + a1t + a2t t (3.5.) y t = a0t + a1t2 + a2t t y t2 = a0t2 + a1t3 + a2t t Эта система содержит три уравнения, позволяющих найти оценки трех неизвестных коэффициентов a0, a1, a2.

Составление нормальных уравнений можно упростить, воспользовавшись тем, что величины t, t,... не зависят от конкретных уровней динамического ряда. Эти суммы являются функциями только числа членов в динамическом ряду. Для них получены следующие формулы:

t = n(n +1) ;

t2 = n(n +1)(2n +1) ;

2 ;

t3 = n2(n +1)2 t4 = n(n +1)(2n +1)(3n2 + 3n -1).

4 (Суммирование по t= 1n).

Другой подход к упрощению расчетов заключается в переносе начала координат в середину ряда динамики. Это позволяет упростить сами нормальные уравнения, а также уменьшить абсолютные значения величин, участвующих в расчете. Если до переноса начала координат t было равно1,2,3,..., то после переноса для четного числа членов ряда t=...,-5;

-3;

-1;

1;

3;

5;

...;

для нечетного числа членов ряда t=...,-3;

-2;

-1;

0;

1;

2;

3;

....

k Таким образом,, где k - нечетное число, равна 0. Такой t подход существенно упрощает систему(3.3.).

В этом случае оценки параметров соответствующих полиномов имеют вид:

y y t ;

t t Прямой a0 = ;

a1 = (3.6.) n t 2 t2 yt t nyt t yt a0 = - ;

n n n -(t2) (3.7.) t параболы t n t2 - yt yt t yt a1 = ;

a2 = 2 t n -(t2) t Для класса экспоненциальных кривых, в отличие от полиномов, характерной является зависимость приростов от величины самой функции. Эти кривые хорошо описывают процессы, имеющие "лавинообразный" характер, когда прирост зависит от достигнутого уровня функции.

Простая экспоненциальная (показательная) кривая имеет вид:

yt = a bt (3.8.) Если в>1, то кривая растет вместе с ростом t, и падает, если b<1.

Параметр a характеризует начальные условия развития, а параметр b-постоянный темп роста.

yt Действительно, темп роста равен Tt = 100%.

yt- a bt В данном случае Tt = 100% = b 100% = const.

t- ab Соответственно и темпы прироста- постоянны Kt=Tt-100%=const Можно показать, что логарифм ординаты этой функции линейно зависит от t, для этого прологарифмируем выражение (3.8.):

log yt= log a+t log b.

Пусть log a=A;

log b=B. Тогда log yt =A+tB.

Теперь для оценивания неизвестных параметров можем использовать систему нормальных уравнений для прямой (3.4.).

Иначе говоря, нормальные уравнения строятся исходя из минимизации:

) (log yt – log y )2 min t Соответственно в нормальных уравнениях вместо фактических уровней выступают их логарифмы:

= n A + B log yt t (3.9.) t) = A + B (log yt t t Найдем неизвестные параметры A и B. Зная значения A =log a и B =log b, определим значения a и b, и с помощью потенциирования получим показательную функцию, служащую для выравнивания ряда.

Такой подход к оцениванию неизвестных параметров привлекает своей универсальностью. Однако, следует иметь в виду, что полученные оценки параметров оказываются смещенными, т. к. при расчете участвуют не исходные уровни, а их логарифмы. Смещение будет тем значительнее, чем больше разность между последовательными уровнями динамического ряда. Не приводит к смещению в подобных случаях нелинейный метод наименьших квадратов.

Более сложным вариантом экспоненциальной кривой является логарифмическая парабола yt=abt ct (3.10.) Прологарифмировав выражение (3.10.), получим параболу log yt = log a+t log b+t2log c Таким образом, оценку параметров логарифмической параболы можно опять осуществить с помощью метода наименьших квадратов, используя систему нормальных уравнений для параболы (3.5.). При этом остаются в силе сделанные выше замечания о смещении полученных оценок.

Все рассмотренные типы кривых используются для описания монотонно возрастающих или убывающих процессов без "насыщения".

Когда процесс характеризуется "насыщением", его следует описывать при помощи кривой, имеющей отличную от нуля асимптоту.

Примером такой кривой может служить модифицированная экспонента:

yt=k+abt (3.11.), где y = k является горизонтальной асимптотой.

Если параметр a отрицателен, то асимптота находится выше кривой, если a положителен, то ниже. При решении экономических задач чаще всего приходится иметь дело с кривой, у которой a<0, b<1. В этом случае рост уровней происходит с замедлением и стремится к некоторому пределу.

При решении экономических задач часто можно определить значение асимптоты исходя из свойств прогнозируемого процесса (например, коэффициент использования оборудования не может превышать 1). Иногда значение асимптоты задается экспертным путем.

В этих случаях другие параметры кривой могут быть определены с помощью метода наименьших квадратов после приведения уравнения к линейному виду:

yt - k/=abt (3.12.), где k|- заданное значение асимптоты.

Прологарифмируем (3.12):

log (yt - k/) = log a + t log b Теперь оценить параметры log a и log b можно, использовав систему нормальных уравнений (3.9.).

Для оценивания параметров модифицированной экспоненты возможно применение как нелинейного метода наименьших квадратов, так и ряда других методов, в которых вычисления проще, но оценки менее эффективные.

Таким образом, модифицированная экспонента хорошо описывает процесс, на развитие которого воздействует ограничивающий фактор, причем влияние этого воздействия растет вместе с ростом достигнутого уровня.

Если воздействие ограничивающего фактора начинает сказываться только после определенного момента (точки перегиба), до которого процесс развивался по некоторому экспоненциальному закону, то для выравнивания используют S-образные кривые.

Наиболее известными из них являются кривая Гомперца и логистическая кривая, или кривая Перла-Рида.

bt Кривая Гомперца имеет вид: yt = ka.

Кривая несимметрична.

Если log a <0, кривая имеет S-образный вид, при этом асимптота, равная k, проходит выше кривой.

Если log a >0, асимптота, равная k, лежит ниже кривой, а сама кривая изменяется монотонно: при b<1 - монотонно убывает;

при b>1 - монотонно возрастает.

Для решения экономических задач наибольший интерес представляет вариант этой кривой, когда log a <0 и b<1 (рисунок 3.1.).

Уравнение логистической кривой получается путем замены в модифицированной экспоненте yt обратной величиной :

yt = k + a bt.

yt Используется и другая форма записи уравнения логистической кривой:

k yt =.

1+ be-at При t - ордината стремится к нулю, а при t - к асимптоте, равной значению параметра k. Кривая симметрична относительно точки перегиба с координатами: t= ln b: a;

yt = k : 2.

Как видно из графика, логистическая функция возрастает сначала ускоренным темпом, затем темп роста замедляется и, наконец, рост почти полностью прекращается, о чем свидетельствует тот факт, что кривая асимптотически приближается к некоторой прямой, параллельной оси абсцисс.

y y y t t t a > a > a 0 t t t 3) полином третьего 2) полином 1) полином первого порядка yt=a0+a1t+a2t второго порядка порядка yt=a0+a1t;

+a3t3 ;

yt=a0+a1t+a2t2 ;

y y y t t t a< b< k b> b< a a t t t 5) 4) экспонента модифицированная yt=abt;

экспонента yt=k+abt y yt yt t log a< k b<1 log a> k b> t t t 7) Логистическая 6) Кривая Гомперца кривая = k + a bt yt bt yt=ka Рисунок 3.1. Кривые роста С помощью этой функции хорошо описывается развитие новой отрасли (нового производства). Сначала технические методы производства еще недостаточно разработаны, издержки производства высоки и спрос на рынке на данный товар еще очень мал, поэтому производство развивается медленно. В дальнейшем, благодаря усовершенствованию технических методов изготовления, переходу к массовому производству и увеличению емкости рынка для данного товара производство растет быстрее. Затем наступает период насыщения рынка, рост производства все более замедляется, и, наконец, почти прекращается. Наступает стабилизация производства на определенном уровне. Однако выявленные закономерности развития следует обобщать с определенной осторожностью, причем для коротких периодов.

Выявленная тенденция развития производства может быть нарушена, например, вследствие технического переворота в данной отрасли или связанной с нею. Таким образом, мы рассмотрели наиболее часто используемые в экономических исследованиях виды кривых роста.

Выявленные особенности и свойства этих кривых могут существенно помочь при решении задачи выбора типа кривой.

Пример 3. В таблице 3.1. представлены данные об остатках вкладов населения в банках за 15 месяцев. Остатки вкладов указаны на начало каждого месяца.

Таблица 3.1.

Остатки вкладов населения в банках (млрд. руб.) t yt t yt t yt 1 14717 6 23342 11 2 16642 7 28317 12 3 18504 8 30624 13 4 20376 9 33408 14 5 21321 10 36505 15 Рассчитать прогноз остатков вкладов населения в банках на начало 16-го месяца, предполагая, что тенденция ряда может быть описана:

а) линейной моделью yt = a0 + a1t ;

б) параболической моделью yt = a0 + a1t + a2t ;

в) показательной моделью yt = abt Решение:

а) Для расчета коэффициентов линейного тренда воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (3.4.).

В таблице 3.2. представлены необходимые вспомогательные вычисления:

Таблица 3.2.

Расчет параметров трендов № yt t ytt t2 ytt2 t4 ln yt ln ytt 1 14717 -7 -103019 49 721133 2401 9,596759 -67, 2 16642 -6 -99852 36 599112 1296 9,719685 -58, 3 18504 -5 -92520 25 462112 625 9,825742 -49, 4 20376 -4 -81504 16 326016 256 9,922113 -39, 5 21321 -3 -63963 9 191889 81 9,967448 -29, 6 23342 -2 -46684 4 93368 16 10,05801 -20, 7 28317 -1 -28317 1 28317 1 10,25122 -10, 8 30624 0 0 0 0 0 10,32954 9 33408 1 33408 1 33408 1 10,41655 10, 10 36505 2 73010 4 146020 16 10,5052 21, 11 40524 3 121572 9 364716 81 10,60965 31, 12 45416 4 181664 16 726656 256 10,72362 42, 13 50857 5 254285 25 1271425 625 10,83677 54, 14 56024 6 336144 36 2016864 1296 10,93354 65, 15 59381 7 415667 49 2909669 2401 10,99173 76, 495958 899891 280 9891193 9352 154,6876 28, В таблице 3.2. представлены необходимые вспомогательные вычисления.

В соответствии с (3.4.):

а = = 33063, а1 = = 3213, Следовательно, уравнение линейного тренда имеет вид:

) y = 33063,866 + 3213,896 t.

t Согласно этой модели оценка среднего уровня ряда при t=0 равна 33063,9 млрд. руб., а среднемесячный прирост остатков вкладов населения составляет 3213,9 млрд. руб.

Для прогнозирования на базе полученной модели на одну точку вперед необходимо в нее подставить соответствующее значение временного параметра, т. е. t=8. (Если бы оценки коэффициентов модели были получены без переноса начала координат в середину ряда, то следовало бы подставить в модель значение временного параметра t=16).

Прогноз равен:

$ у = 33063,866 + 3213, $ у = 58775 (млрд. руб ).

б) Для расчета коэффициентов параболического тренда также воспользуемся выражениями, полученными из системы нормальных уравнений после переноса начала координат в середину ряда (3.5.).

Промежуточные вычисления представлены в таблице 3.2.

а1 == 3213, 159891193 - а = = 153, 159352 - (280) а = 33063,866 - 153,517 = 30198, Следовательно, уравнение параболического тренда примет вид:

$ уt = 30198,16 + 3213,896t +153,517t Для определения прогноза показателя надо подставить в полученную модель соответствующее значение временного параметра (t=8).

Прогноз равен:

) y = 30198,16 + 3213,896 8 +153,517 ) y = 65734(млрд.руб.) в) Для определения параметров тренда, описываемого показательной функцией, воспользуемся (3.9.), (3.6.):

154, ln a == 10, 28, ln b == 0, Проведя потенцирование, получаем:

а=30106,61;

b=1, Следовательно, уравнение тренда примет вид:

) y = 30106,611,11t t Согласно этой модели среднемесячный темп роста остатков вкладов населения составлял 111%. В точке, принятой за начало отсчета (t=0), значение тренда равно 30106,61 млрд. руб. Для определения прогноза остатков вклада населения в банках на один месяц вперед подставляем в полученную модель значение t=8:

$ у = 30106,611, $ у = 69382 (млрд. руб ).

На рисунке 3.2. изображен график исходного временного ряда и выравненные значения уровней, полученные на основе трех трендовых моделей: линейной, параболической и показательной. Графический анализ свидетельствует о том, что линейную модель нельзя признать адекватной. Полученный же на ее основе прогноз будет сильно занижен.

Далека от реальности и модель, рассчитанная по показательной функции, а прогноз будет существенно завышен. Ближе всех к фактическим данным ложатся уровни, выравненные по параболической модели, хотя прогноз может быть несколько завышен. Дальнейшее исследование качества полученных моделей должно опираться на показатели, рассматриваемые в главе IV.

I II t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Рисунок 3.2(а). Фактические (I) и выравненные по параболе (II) значения уровней временного ряда.

I II III 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t Рисунок 3.2(б). Фактические (I) и выравненные (II - по прямой;

III - по показательной функции) значения уровней временного ряда y(t) млрд.

руб.

y(t) млрд.

руб.

§ 3.2. Методы выбора кривых роста Существует несколько практических подходов, облегчающих процесс выбора формы кривой роста.

Наиболее простой путь - это визуальный, опирающийся на графическое изображение временного ряда. Подбирают такую кривую роста, форма которой соответствует фактическому развитию процесса.

Если на графике исходного ряда тенденция развития недостаточно четко просматривается, то можно провести некоторые стандартные преобразования ряда (например, сглаживание), а потом подобрать функцию, отвечающую графику преобразованного ряда. В современных пакетах статистической обработки имеется богатый арсенал стандартных преобразований данных и широкие возможности для графического изображения, в том числе в различных масштабах. Все это позволяет существенно упростить для исследователя проведение данного этапа.

В статистической литературе описан метод последовательных разностей, помогающий при выборе кривых параболического типа. Этот метод применим при выполнении следующих предположений: уровни временного ряда могут быть представлены в виде суммы систематической составляющей и случайной компоненты, подчиненной нормальному закону распределения с математическим ожиданием, равным 0, и постоянной дисперсией. Метод предполагает вычисление первых, вторых и т. д. разностей уровней ряда:

yt = yt - yt - 2yt = yt - и т.д.

Расчет ведется до тех пор, пока разности не будут примерно равными. Порядок разностей принимается за степень выравнивающего полинома.

Существенную помощь при выборе кривых роста из более широкого класса функций может оказать метод характеристик прироста.

Процедура выбора кривых с использованием этого метода включает следующие шаги:

1) выравнивание ряда по скользящей средней;

2) определение средних приростов;

3) вычисление производных характеристик прироста.

Для многих видов кривых были найдены такие преобразования приростов, которые линейно изменялись относительно t или были постоянны. В связи с этим исследование рядов характеристик приростов часто оказывает существенную помощь при определении законов развития исходных временных рядов.

Данный метод является более универсальным по сравнению с методом последовательных разностей.

Однако, чаще всего на практике к выбору формы кривой подходят исходя из значений критерия, в качестве которого принимают сумму квадратов отклонений фактических значений уровня от расчетных, получаемых выравниванием. Из рассматриваемых кривых предпочтение будет отдано той, которой соответствует минимальное значение критерия, т.к. чем меньше значение критерия, тем ближе к кривой ложатся данные наблюдений.

Используя этот подход, следует иметь в виду ряд моментов. Во первых, к ряду, состоящему из m точек можно подобрать многочлен степени (m-1), проходящий через все m точек. Кроме того, существует множество многочленов более высоких степеней, также проходящих через все эти точки. Для этих многочленов значение критерия будет равно 0, однако, очевидно, что такая кривая не слишком пригодна как для выделения тенденции, так и для целей прогнозирования.

Также следует учитывать, что за счет роста сложности кривой можно увеличить точность описания тренда в прошлом, однако доверительные интервалы при прогнозировании будут существенно шире, чем у более простых кривых при одинаковом периоде упреждения, например, за счет большего числа параметров.

Таким образом, использование этого подхода должно проходить в два этапа. На первом - происходит ограничение приемлемых функций, исходя из содержательного анализа задачи. На втором - осуществляется расчет значений критерия и выбор на его основе наиболее подходящей кривой роста. Необходимость содержательного анализа изучаемого процесса развития может быть проиллюстрирована следующими примерами.

Предположим, что на ретроспективном участке ряд динамики может быть хорошо описан с помощью экспоненциальной кривой.

Однако, первая половина логистической кривой также представлена экспонентой. Поэтому принять гипотезу об экспоненциальной тенденции ряда в будущем можно только после проведения содержательного анализа, в ходе которого следует дать ответ на вопрос:

возможно ли наступление “насыщения” при данной совокупности условий. Например, процесс производства может быть ограничен материальными ресурсами или производственными мощностями.

Возможна ситуация, когда наилучшей функцией по данному критерию будет признана прямая, однако, полученное на ее основе прогнозное значение будет отрицательным. Если из экономической сути показателя вытекает невозможность отрицательных значений (например, при прогнозировании объема выпускаемой продукции), то, естественно, следует отказаться от этой функции, выбрав менее “удачную” по данному критерию, но более соответствующую содержательному смыслу показателя. Например, более подходящей в этом случае может оказаться экспоненциальная кривая (3.8.) (при значении параметра в<1).

В современных пакетах статистической обработки данных и анализа временных рядов представлен широкий спектр кривых роста, например, в пакете “Олимп”, разработанном в МЭСИ и широко используемом в учебном процессе, реализованы 16 кривых роста.

Причем, возможны несколько режимов работы, удобных для пользователя. Можно среди этих кривых выбрать отдельную функцию, и получить подробный протокол, включающий оценки параметров, характеристики остатков, прогнозы, интервальные и точечные. Можно выделить на экране несколько функций, тогда протокол будет содержать оценки параметров всех заказанных функций и значения критерия для каждой из них. В качестве критерия выбирается средняя квадратическая ошибка ) ( yt - yt ) S = n где yt - фактическое значение ряда;

) y - выравненное значение ряда;

t n - длина ряда.

Подробный протокол, а также прогнозные значения, на заданное пользователем число временных интервалов, приводятся для функции, отвечающей минимуму указанного критерия. Представляется целесообразным для пользователя на основе выше рассмотренных подходов заранее отвергнуть заведомо непригодные варианты, ограничить поле выбора.

В заключение отметим, что нет “жестких” рекомендаций для выбора кривых роста. Особенно осторожно следует подходить к решению этой задачи при использовании полученной функции для экстраполирования найденных закономерностей в будущее. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о сохранении выявленной тенденции в прогнозируемом периоде. Рассмотренные в данном разделе различные статистические приемы и методы могут помочь исследователю при осуществлении сложного выбора подходящей кривой роста.

Глава 4. Доверительные интервалы прогноза. Оценка адекватности и точности моделей § 4.1. Доверительные интервалы прогноза Заключительным этапом применения кривых роста является экстраполяция тенденции на базе выбранного уравнения. Прогнозные значения исследуемого показателя вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени t, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называют точечным, так как для каждого момента времени определяется только одно значение прогнозируемого показателя.

На практике в дополнении к точечному прогнозу желательно определить границы возможного изменения прогнозируемого показателя, задать "вилку" возможных значений прогнозируемого показателя, т.е. вычислить прогноз интервальный.

Несовпадение фактических данных с точечным прогнозом, полученным путем экстраполяции тенденции по кривым роста, может быть вызвано:

1) субъективной ошибочностью выбора вида кривой;

2) погрешностью оценивания параметров кривых;

3) погрешностью, связанной с отклонением отдельных наблюдений от тренда, характеризующего некоторый средний уровень ряда на каждый момент времени.

Погрешность, связанная со вторым и третьим источником, может быть отражена в виде доверительного интервала прогноза.

Доверительный интервал, учитывающий неопределенность, связанную с положением тренда, и возможность отклонения от этого тренда, определяется в виде:

€ yn+L ± t Sp (4.1.), где n - длина временного ряда;

L -период упреждения;

€ yn+l -точечный прогноз на момент n+L;

t- значение t-статистики Стьюдента;

Sp- средняя квадратическая ошибка прогноза.

Предположим, что тренд характеризуется прямой:

yt = a0 + a1t € Так как оценки параметров определяются по выборочной совокупности, представленной временным рядом, то они содержат погрешность. Погрешность параметра a0 приводит к вертикальному сдвигу прямой, погрешность параметра a1- к изменению угла наклона прямой относительно оси абсцисс. С учетом разброса конкретных реализаций относительно линий тренда, дисперсию S2 можно p представить в виде:

S (tl - t) y S2 = + S2 + S2 (4.2.), p y y n n (t - t) t= где S2- дисперсия отклонений фактических наблюдений от y расчетных;

tl- время упреждения, для которого делается экстраполяция;

tl = n + L ;

t- порядковый номер уровней ряда, t=1,2,..., n;

t - порядковый номер уровня, стоящего в середине ряда, t =(n+1): Тогда доверительный интервал можно представить в виде:

(tl - t) n + € yn+L ± t S + (4.3.) y n n (t - t) t= Обозначим корень в выражении (4.3.) через К. Значение К зависит только от n и L, т.е. от длины ряда и периода упреждения. Поэтому можно составить таблицы значений К или К*= tK. Тогда интервальная оценка будет иметь вид:

€ yn+L ± S K (4.4.) y Выражение, аналогичное (4.3.), можно получить для полинома второго порядка:

4 )tl tl t -(2t + ntl € yn+L ± t S 1+ + (4.5.) y 2 4 t n -(t ) t или € yn+L ± S K (4.6.) y Дисперсия отклонений фактических наблюдений от расчетных определяется выражением:

n € - yt ) (yt 2 t= S = (4.7.), y n - k где yt- фактические значения уровней ряда, € yt - расчетные значения уровней ряда, n- длина временного ряда, k - число оцениваемых параметров выравнивающей кривой.

Таким образом, ширина доверительного интервала зависит от уровня значимости, периода упреждения, среднего квадратического отклонения от тренда и степени полинома.

Чем выше степень полинома, тем шире доверительный интервал при одном и том же значении Sy, так как дисперсия уравнения тренда вычисляется как взвешенная сумма дисперсий соответствующих параметров уравнения Рисунок 4.1. Доверительные интервалы прогноза для линейного тренда Доверительные интервалы прогнозов, полученных с использованием уравнения экспоненты, определяют аналогичным образом. Отличие состоит в том, что как при вычислении параметров кривой, так и при вычислении средней квадратической ошибки используют не сами значения уровней временного ряда, а их логарифмы.

По такой же схеме могут быть определены доверительные интервалы для ряда кривых, имеющих асимптоты, в случае, если значение асимптоты известно (например, для модифицированной экспоненты).

В таблице 4.1. приведены значения K* в зависимости от длины временного ряда n и периода упреждения L для прямой и параболы.

Очевидно, что при увеличении длины рядов (n) значения K* уменьшаются, с ростом периода упреждения L значения K* увеличиваются. При этом влияние периода упреждения неодинаково для различных значений n : чем больше длина ряда, тем меньшее влияние оказывает период упреждения L.

Таблица 4.1.

Значения К* для оценки доверительных интервалов прогноза на основе линейного тренда и параболического тренда при доверительной вероятности 0,9 (7).

Линейный тренд Параболический тренд Длина Период упреждения (L) длина ряда период упреждения (L) ряда (n) 1 2 3 (n) 1 2 7 2,6380 2,8748 3,1399 7 3,948 5,755 8, 8 2,4631 2,6391 2,8361 8 3,459 4,754 6, 9 2,3422 2,4786 2,6310 9 3,144 4,124 5, 10 2,2524 2,3614 2,4827 10 2,926 3,695 4, 11 2,1827 2,2718 2,3706 11 2,763 3,384 4, 12 2,1274 2,2017 2,2836 12 2,636 3,148 3, 13 2,0837 2,1463 2,2155 13 2,536 2,965 3, 14 2,0462 2,1000 2,1590 14 2,455 2,830 3, 15 2,0153 2,0621 2,1131 15 2,386 2,701 3, 16 1,9883 2,0292 2,0735 16 2,330 2,604 2, 17 1,9654 2,0015 2,0406 17 2,280 2,521 2, 18 1,9455 1,9776 2,0124 18 2,238 2,451 2, 19 1,9280 1,9568 1,9877 19 2,201 2,391 2, 20 1,9117 1,9375 1,9654 20 2,169 2,339 2, 21 1,8975 1,9210 1,9461 21 2,139 2,293 2, 22 1,8854 1,9066 1,9294 22 2,113 2,252 2, 23 1,8738 1,8932 1,9140 23 2,090 2,217 2, 24 1,8631 1,8808 1,8998 24 2,069 2,185 2, 25 1,8538 1,8701 1,8876 25 2,049 2,156 2, § 4.2. Проверка адекватности выбранных моделей Проверка адекватности выбранных моделей реальному процессу (в частности, адекватности полученной кривой роста) строится на анализе случайной компоненты. Случайная остаточная компонента получается после выделения из исследуемого ряда систематической составляющей (тренда и периодической составляющей, если она присутствует во временном ряду). Предположим, что исходный временной ряд описывает процесс, не подверженный сезонным колебаниям, т.е. примем гипотезу об аддитивной модели ряда вида:

yt = ut + et (4.8.) Тогда ряд остатков будет получен как отклонения фактических ) уровней временного ряда (yt) от выравненных, расчетных ( y ):

t ) et = yt - y (4.9.) t ) При использовании кривых роста y вычисляют, подставляя в t уравнения выбранных кривых соответствующие последовательные значения времени.

Принято считать, что модель адекватна описываемому процессу, если значения остаточной компоненты удовлетворяют свойствам случайности, независимости, а также случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения.

При правильном выборе вида тренда отклонения от него будут носить случайный характер. Это означает, что изменение остаточной случайной величины не связано с изменением времени. Таким образом, по выборке, полученной для всех моментов времени на изучаемом интервале, проверяется гипотеза о зависимости последовательности значений et от времени, или, что то же самое, о наличии тенденции в ее изменении. Поэтому для проверки данного свойства может быть использован один из критериев, рассматриваемых в разделе I, например, критерий серий.

Если вид функции, описывающей систематическую составляющую, выбран неудачно, то последовательные значения ряда остатков могут не обладать свойствами независимости, т.к. они могут коррелировать между собой. В этом случае говорят, что имеет место автокорреляция ошибок.

В условиях автокорреляции оценки параметров модели, полученные по методу наименьших квадратов, будут обладать свойствами несмещенности и состоятельности (с этими свойствами знакомятся в курсе математической статистики). В то же время эффективность этих оценок будет снижаться, а, следовательно, доверительные интервалы будут иметь мало смысла в силу своей ненадежности.

Существует несколько приемов обнаружения автокорреляции.

Наиболее распространенным является метод, предложенный Дарбиным и Уотсоном. Критерий Дарбина-Уотсона связан с гипотезой о существовании автокорреляции первого порядка, т.е. автокорреляции между соседними остаточными членами ряда. Значение этого критерия определяется по формуле:

n - et-1) (et t= d = (4.10.) n et t= Можно показать, что величина d приближенно равна:

d2(1-r1) (4.11), где r1- коэффициент автокорреляции первого порядка (т.е. парный коэффициент корреляции между двумя рядами e1, e2,...,en-1 и e2, e3,..., en).

Из последней формулы видно, что если в значениях et имеется сильная положительная автокорреляция (r11), то величина d=0, в случае сильной отрицательной автокорреляции (r1-1) d=4. При отсутствии автокорреляции (r10) d=2.

Для этого критерия найдены критические границы, позволяющие принять или отвергнуть гипотезу об отсутствии автокорреляции.

Авторами критерия границы определены для 1, 2,5 и 5% уровней значимости.Значения критерия Дарбина-Уотсона при 5% уровне значимости приведены в таблице 4.2. В этой таблице d1 и d2- соответственно нижняя и верхняя доверительные границы критерия Дарбина-Уотсона;

k| - число переменных в модели;

n - длина временного ряда.

Таблица 4.2.

Значения критерия Дарбина-Уотсона d1 и d2 при 5% уровне значимости n K|=1 K|=2 K|= d1 d2 d1 d2 d1 d 15 1,08 1,36 0,95 1,54 0,82 1, 16 1,1 1,37 0,98 1,54 0,86 1, 17 1,13 1,38 1,02 1,54 0,9 1, 18 1,16 1,39 1,05 1,53 0,93 1, 19 1,18 1,4 1,08 1,53 0,97 1, 20 1,2 1,41 1,1 1,54 1 1, 21 1,22 1,42 1,13 1,54 1,03 1, 22 1,”4 1,43 1,15 1,54 1,05 1, 23 1,26 1,44 1,17 1,54 1,08 1, 24 1,27 1,45 1,19 1,55 1,1 1, 25 1,29 1,45 1,21 1,55 1,12 1, 26 1,3 1,46 1,22 1,55 1,14 1, 27 1,32 1,47 1,24 1,56 1,16 1, 28 1,33 1,48 1,26 1,56 1,18 1, 29 1,34 1,48 1,27 1,56 1,2 1, 30 1,35 1,49 1,28 1,57 1,21 1, 31 1,36 1,5 1,3 1,57 1,23 1, 32 1,37 1,5 1,31 1,57 1,24 1, 33 1,38 1,51 1,32 1,58 1,26 1, 34 1,49 1,51 1,33 1,58 1,27 1, 35 1,4 1,52 1,34 1,58 1,28 1, 36 1,41 1,52 1,35 1,59 1,29 1, Применение на практике критерия Дарбина-Уотсона основано на сравнении величины d, рассчитанной по формуле (4.10.), с теоретическими значениями d1 и d2, взятыми из таблицы. Отметим, что большинство программных пакетов статистической обработки данных осуществляет расчет этого критерия (например, ППП "Олимп", "Мезозавр", "Statistica" и др.).

При сравнении величины d с d1 и d2 возможны следующие варианты:

1) Если d < d1, то гипотеза о независимости случайных отклонений (отсутствие автокорреляции) отвергается;

2) Если d > d2, то гипотеза о независимости случайных отклонений не отвергается;

3) Если d1 d d2, то нет достаточных оснований для принятия решений, т.е. величина попадает в область "неопределенности".

Рассмотренные варианты относятся к случаю, когда в остатках имеется положительная автокорреляция.

Когда же расчетное значение d превышает 2, то можно говорить о том, что в et существует отрицательная автокорреляция.

Для проверки отрицательной автокорреляции с критическими значениями d1 и d2 сравнивается не сам коэффициент d, а 4-d.

Для определения доверительных интервалов модели свойство нормальности распределения остатков имеет важное значение.

Поскольку временные ряды экономических показателей, как правило, невелики (<50), то проверка распределения на нормальность может быть произведена лишь приближенно, например, на основе исследования показателей асимметрии и эксцесса.

При нормальном распределении показатели асимметрии (А) и эксцесса (Э) равны нулю. Так как мы предполагаем, что отклонения от тренда представляют собой выборку из некоторой генеральной совокупности, то можно определить выборочные характеристики асимметрии и эксцесса, а также их среднеквадратические ошибки.

n et n t = A = (4.12.) n et n t = n et n t = Э = - (4.13.) n et n t = (n - 2) = (4.14) a (n + 1)(n + 3) 24 n(n - 2)(n - 3) = (4.15.) Э (n + 1) (n + 3)(n + 5) где А - выборочная характеристика асимметрии;

Э- выборочная характеристика эксцесса;

А- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики асимметрии;

э- среднеквадратическая ошибка выборочной характеристики эксцесса.

Если одновременно выполняются следующие неравенства:

|A|<1,5А ;

|Э+ |<1,5э (4.16.), n + то гипотеза о нормальном характере распределения случайной компоненты не отвергается.

Если выполняется хотя бы одно из неравенств A 2A;

Э + 2' (4.17.), n+ то гипотеза о нормальном характере распределения отвергается.

Другие случаи требуют дополнительной проверки с помощью более мощных критериев.

Пример 4.1.

Программа выдала следующие характеристики ряда остатков:

длина ряда n=20;

коэффициент асимметрии А=0,6;

Коэффициент эксцесса Э=0,7.

На основании этих характеристик можно считать, что:

а) случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения;

б) случайная компонента не подчиняется нормальному закону распределения;

в) требуется дополнительная проверка характера распределения случайной компоненты.

Решение:

Определим:

6(n - 2) 24n(n - 2)(n - 3) A = и э = п ри n= (n +1)(n + 3) (n +1)2(n + 3)(n + 5) A = 0,473;

э = 0, Т. к. одновременно выполняются оба неравенства A < 1,5 ( 0,6 < 0,71) Џ A Э + < 1,5 ( 0,7 + 0,29 < 1,14), то Э n + можно считать, что случайная компонента подчиняется нормальному закону распределения - вариант ответа а).

§ 4.3. Характеристики точности моделей Важнейшими характеристиками качества модели, выбранной для прогнозирования, являются показатели ее точности. Они описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели.

Таким образом, чтобы судить о качестве выбранной модели, необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих как адекватность модели, так и ее точность.

О точности прогноза можно судить по величине ошибки (погрешности) прогноза.

Ошибка прогноза- величина, характеризующая расхождение между фактическим и прогнозным значением показателя.

Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле:

) t = y -yt (4.18.), t ) где y - прогнозное значение показателя, t yt- фактическое значение.

Эта характеристика имеет ту же размерность, что и прогнозируемый показатель и зависит от масштаба измерения уровней временного ряда.

На практике широко используется относительная ошибка прогноза, выраженная в процентах относительно фактического значения показателя:

) yt - yt = 100 (4.19.) t yt Также используются средние ошибки по модулю (абсолютные и относительные):

n ) yt - yt ) n yt 1 - yt t = = ;

= 100 (4.20.), n n yt t= где n- число уровней временного ряда, для которых определялось прогнозное значение.

Из (4.18.), (4.19.) видно, что если абсолютная и относительная ошибка больше 0, то это свидетельствует о "завышенной" прогнозной оценке, если- меньше 0, то прогноз был занижен.

Очевидно, что все указанные характеристики могут быть вычислены после того, как период упреждения уже окончился, и имеются фактические данные о прогнозируемом показателе или при рассмотрении показателя на ретроспективном участке.

В последнем случае имеющаяся информация делится на две части:

по первой - оцениваются параметры модели, а данные второй части рассматриваются в качестве фактических. Ошибки прогнозов, полученные ретроспективно (на втором участке) характеризуют точность применяемой модели.

На практике при проведении сравнительной оценки моделей могут использоваться такие характеристики качества как дисперсия (S2) или среднеквадратическая ошибка прогноза (S):

n ) - yt ) (yt t= S2 = ;

S = S2 (4.21.).

n Чем меньше значения этих характеристик, тем выше точность модели.

О точности модели нельзя судить по одному значению ошибки прогноза. Например, если прогнозная оценка месячного уровня производства в июне совпала с фактическим значением, то это не является достаточным доказательством высокой точности модели. Надо учитывать, что единичный хороший прогноз может быть получен и по плохой модели, и наоборот.

Следовательно, о качестве применяемых моделей можно судить лишь по совокупности сопоставлений прогнозных значений с фактическими.

Простой мерой качества прогнозов может стать µ-относительное число случаев, когда фактическое значение охватывалось интервальным прогнозом:

p µ = (4.22.), p+ q где р- число прогнозов, подтвержденных фактическими данными;

q- число прогнозов, не подтвержденных фактическими данными.

Когда все прогнозы подтверждаются, q=0 и µ=1.

Если же все прогнозы не подтвердились, то р=0 и µ=0.

Отметим, что сопоставление коэффициентов µ для разных моделей может иметь смысл при условии, что доверительные вероятности приняты одинаковыми.

Глава 5. Использование адаптивных методов в экономическом § 5.1. Сущность адаптивных методов В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования и прогнозирования одномерных временных рядов являются адаптивные методы.

При обработке временных рядов, как правило, наиболее ценной является информация последнего периода, т.к. необходимо знать, как будет развиваться тенденция, существующая в данный момент, а не тенденция, сложившаяся в среднем на всем рассматриваемом периоде.

Адаптивные методы позволяют учесть различную информационную ценность уровней временного ряда, степень "устаревания" данных.

Прогнозирование методом экстраполяции на основе кривых роста в какой-то мере тоже содержит элемент адаптации, поскольку с получением "свежих" фактических данных параметры кривых пересчитываются заново. Поступление новых данных может привести и к замене выбранной ранее кривой на другую модель. Однако степень адаптации в данном случае весьма незначительна, кроме того, она падает с ростом длины временного ряда, т.к. при этом уменьшается "весомость" каждой новой точки. В адаптивных методах различную ценность уровней в зависимости от их "возраста" можно учесть с помощью системы весов, придаваемых этим уровням.

Оценивание коэффициентов адаптивной модели обычно осуществляется на основе рекуррентного метода, который формально отличается от метода наименьших квадратов, метода максимального правдоподобия и других методов тем, что не требует повторения всего объема вычислений при появлении новых данных.

Важнейшим достоинством адаптивных методов является построение самокорректирующихся моделей, способных учитывать результат прогноза, сделанного на предыдущем шаге. Пусть модель находится в некотором состоянии, для которого определены текущие значения ее коэффициентов. На основе этой модели делается прогноз.

При поступлении фактического значения оценивается ошибка прогноза (разница между этим значением и полученным по модели). Ошибка прогнозирования через обратную связь поступает в модель и учитывается в ней в соответствии с принятой процедурой перехода от одного состояния в другое. В результате вырабатываются "компенсирующие" изменения, состоящие в корректировании параметров с целью большего согласования поведения модели с динамикой ряда. Затем рассчитывается прогнозная оценка на следующий момент времени, и весь процесс повторяется вновь.

Таким образом, адаптация осуществляется итеративно с получением каждой новой фактической точки ряда. Модель постоянно "впитывает" новую информацию, приспосабливается к ней и поэтому отражает тенденцию развития, существующую в данный момент. На рисунке приведена общая схема построения адаптивных моделей прогнозирования.

Скорость(быстроту) реакции модели на изменения в динамике процесса характеризует так называемый параметр адаптации. Параметр адаптации должен быть выбран таким образом, чтобы обеспечивалось адекватное отображение тенденции при одновременной фильтрации случайных отклонений. Значение параметра адаптации может быть определено на основе эмпирических данных, выведено аналитическим способом или получено на основе метода проб.

В качестве критерия оптимальности при выборе параметра адаптации обычно принимают критерий минимума среднего квадрата ошибок прогнозирования.

На основе рассмотренных особенностей дадим определение группы методов прогнозирования, объединенных общим названием "адаптивные".

Адаптивными называются методы прогнозирования, позволяющие строить самокорректирующиеся (самонастраивающиеся) экономико - математические модели, которые способны оперативно реагировать на изменение условий путем учета результата прогноза, сделанного на предыдущем шаге, и учета различной информационной ценности уровней ряда. Благодаря указанным свойствам адаптивные методы особенно удачно используются при краткосрочном прогнозировании (при прогнозировании на один или на несколько шагов вперед).

1 Получение начальных коэффициентов модели Модификация модели с учетом ошибки прогнозирования 3 Прогнозирование на один шаг вперед, т.е. получение оценки y (t) Вычисление ошибки прогноза e =y(t+1)- y (t) 4 t+1 5 Проверка: закончен ли нет период обучения модели да Использование полученной модели для прогнозирования на шагов вперед Рисунок 5.1. Схема построения адаптивных моделей прогнозирования Обозначения:

y(t)- фактические уровни временного ряда;

€ y (t)- прогноз, сделанный в момент t на единиц времени (шагов) вперед;

et+1- ошибка прогноза, полученная как разница между фактическим и прогнозным значением показателя в точке (t+1).

Рассмотрим наиболее простые, из многочисленного класса адаптивных методов, - методы, использующие процедуру экспоненциального сглаживания.

§ 5.2. Экспоненциальное сглаживание Для экспоненциального сглаживания ряда используется рекуррентная формула St = yt + St-1 (5.1.), где St- значение экспоненциальной средней в момент t;

- параметр сглаживания, =сonst, 0<<1;

= 1-.

Если последовательно использовать соотношение (5.1.), то экспоненциальную среднюю St можно выразить через предшествующие значения уровней временного ряда. При n n i St = yt -i (5.2.) i= Таким образом, величина St оказывается взвешенной суммой всех членов ряда. Причем веса отдельных уровней ряда убывают по мере их удаления в прошлое соответственно экспоненциальной функции (в зависимости от "возраста" наблюдений). Именно поэтому величина названа экспоненциальной средней.

Например, пусть =0,3. Тогда вес текущего наблюдения yt будет равен =0,3, вес предыдущего уровня yt-1 будет соответствовать =0,30,7=0,21;

для уровня yt-2 вес составит 2=0,147;

для yt-3 вес 3=0,1029 и т.д.

Предположим, что модель временного ряда имеет вид:

yt=a1+et.

Английский математик Р. Браун показал, что математические ожидания ряда и экспоненциальной средней совпадут, но в то же время дисперсия экспоненциальной средней D[St] меньше дисперсии временного ряда (2) D St = 2 (5.3.) 2 - Из (5.3.) видно, что при высоком значении дисперсия экспоненциальной средней незначительно отличается от дисперсии ряда. С уменьшением дисперсия экспоненциальной средней сокращается, возрастает ее отличие от дисперсии ряда. Тем самым, экспоненциальная средняя начинает играть роль «фильтра», поглощающего колебания временного ряда.

Таким образом, с одной стороны, следует увеличивать вес более свежих наблюдений, что может быть достигнуто повышением (согласно(5.2.)), с другой стороны, для сглаживания случайных отклонений величину нужно уменьшить. Эти два требования находятся в противоречии. Поиск компромиссного значения параметра сглаживания составляет задачу оптимизации модели.

Иногда поиск этого значения параметра осуществляется путем перебора. В этом случае в качестве оптимального выбирается то значение, при котором получена наименьшая дисперсия ошибки.

Например, при построении этих моделей с помощью пакета "Мезозавр" в меню предусмотрена ветвь "оптимизация", реализующая поиск значения по этой схеме.

При использовании экспоненциальной средней для краткосрочного прогнозирования предполагается, что модель ряда имеет вид:

yt = a1,t + et, где a1,t - варьирующий во времени средний уровень ряда, et- случайные неавтокоррелированные отклонения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией 2.

Прогнозная модель определяется равенством:

€ € y (t) = a1,t, € где y (t)- прогноз, сделанный в момент t на единиц времени (шагов) вперед;

- оценка (знак ^ над величиной означает оценку).

1,t 1,t Единственный параметр модели определяется 1,t экспоненциальной средней:

= St 1,t 1,0=St Выражение (5.1.) можно представить по-другому, перегруппировав члены:

St = St-1 + (yt - St-1) (5.4.) Величину (yt - St-1) можно рассматривать как погрешность прогноза. Тогда новый прогноз St получается в результате корректировки предыдущего прогноза с учетом его ошибки. В этом и состоит адаптация модели.

Экспоненциальное сглаживание является примером простейшей самообучающейся модели. Вычисления чрезвычайно просты, выполняются итеративно, причем массив прошлой информации уменьшен до единственного значения St-1.

§ 5.3. Адаптивные полиномиальные модели Понятие экспоненциальной средней можно обобщить в случае экспоненциальных средних более высоких порядков.

Выравнивание p-го порядка:

St( p) = St( p-1) + St( p) (5.5.) - является простым экспоненциальным сглаживанием, примененным к результатам сглаживания (р-1)-го порядка.

Если предполагается, что тренд некоторого процесса может быть описан полиномом степени n, то коэффициенты предсказывающего полинома могут быть вычислены через экспоненциальные средние соответствующих порядков.

В случае, когда исследуемый процесс, состоящий из детерминированной и случайной компоненты, описывается полиномом n-го порядка, прогноз на шагов вперед осуществляется по формуле:

1 2 1 n € € € € € y (t) = a1 + a2 + a3 +... + an+1 (5.6.), 2 n!

) ) ) где а1,а2,....аn+1 - оценки параметров.

Фундаментальная теорема метода экспоненциального сглаживания и прогнозирования, впервые доказанная Р. Брауном и Р.

Майером, говорит о том, что (n+1) неизвестных коэффициентов полинома n-го порядка 1, 2, … n+1 могут быть оценены с помощью линейных комбинаций экспоненциальных средних S(i), где i=1n+1.

t Следовательно, задача сводится к вычислению экспоненциальных средних, порядок которых изменяется от 1 до n+1, а затем через их линейные комбинации - к определению коэффициентов полинома.

На практике обычно используются полиномы не выше второго порядка. Например, при использовании полинома первого порядка адаптивная модель временного ряда имеет вид:

yt = a1,t + a2,t + et (5.7.), где a1,t - значение текущего t-го уровня;

a2,t - значение текущего прироста.

В таблице (5.1.) приведены формулы, необходимые для расчета по этим моделям.

Процедура прогнозирования временных рядов по методу экспоненциального сглаживания сравнительно проста и состоит из следующих этапов:

1. Выбирается вид модели экспоненциального сглаживания, задается значение параметра сглаживания. При выборе порядка адаптивной полиномиальной модели могут использоваться различные подходы, например, графический анализ, метод изменения разностей и др..

2. Определяются начальные условия. Например, для полиномиальной модели первого порядка необходимо определить 1,0;

2,0.

Чаще всего в качестве этих оценок берут коэффициенты соответствующих полиномов, полученные методом наименьших квадратов. Начальные условия для модели нулевого порядка обычно получают усреднением нескольких первых уравнений ряда. Зная эти оценки, с помощью указанных в таблице формул находят начальные значения экспоненциальных средних.

3. Производится расчет значений соответствующих экспоненциальных средних.

4. Находятся оценки коэффициентов модели.

5. Осуществляется прогноз на одну точку вперед, находится отклонение фактического значения временного ряда от прогнозируемого. Шаги с 3 по 5 данной процедуры повторяются для всех tn, где n- длина ряда.

6. Окончательная прогнозная модель формируется на последнем шаге в момент t=n. Прогноз получается на базе выражения (5.6.) путем подстановки в него последних значений коэффициентов и времени упреждения.

К положительным особенностям рассмотренных моделей следует отнести то, что при поступлении новой, свежей информации расчеты повторять не придется. Достаточно принять в качестве начальных условий последние значения функций сглаживания S(i) и продолжить t вычисления.

Таблица 5.1.

Основные формулы для прогнозирования по адаптивным полиномиальным моделям Степень Начальные Экспонен- Оценка Модель модели условия циальные коэффициентов прогноза средние S(1) = yt + S(1) $ $ n=0 y (t) = a1,t $ t t-1 $ S(1) = a1,0 a1,t = S(1) 0 t St(1) = yt + S(1) € € € (t) t - n= € a1,t = 2S(1) - S(2) y = a1,t + a2,t ( t t € € S01) = a1,0 - a2,0 St(2) = S(1) + S(2) t t - €2,t a = (S(1) - S(2)) t t ( € € S02) = a1,0 - a2, € (2 -)a St(1) = yt + S(1) a1,t = 3(St(1) - St(2))+ St(3) ( t -1 y (t) = a1,t + € € n= € € S01) = a1,0 - a2,0 + €3, St(2) = S(1) + S(2) a2,t = t t -1 € - 5)St(1) [( 2 (3- 2)a St(3) = S(2) + S(3) € € ( + a2,t + a3,t t t - € € S02) = a1,0 - a2,0 + €3, - 2(5 - 4)St(2) + (4 - 3)St(3)] € 3 3(4 - 3)a a3,t = [St(1) - 2St(2) + St(3)] ( € € S03) = a1,0 - a2,0 + €3, § 5.4. Адаптивные модели сезонных явлений Многие экономические временные ряды содержат периодические сезонные колебания. Такие ряды могут быть описаны моделями двух типов- моделями с мультипликативными (5.8.) и с аддитивными коэффициентами сезонности (5.9.):

yt = a1,t ft + et (5.8.) yt = a1,t + gt + et (5.9.), где а1,t - характеристика тенденции развития, gt,gt-1,...,gt-е+1- аддитивные коэффициенты сезонности, ft,ft-1,...,fr-e+1- мультипликативные коэффициенты сезонности, е- количество фаз в полном сезонном цикле (для ежемесячных наблюдений е=12, для квартальных -е = 4), et- случайная компонента с нулевым математическим ожиданием.

Очевидно, что можно составить множество адаптивных сезонных моделей, перебирая различные комбинации типов тенденций в сочетании с сезонными эффектами аддитивного и мультипликативного вида. Выбор той или иной модели будет продиктован характером динамики исследуемого процесса. В качестве примера рассмотрим модель Уинтерса с линейным характером тенденции и мультипликативным сезонным эффектом. Эта модель является объединением двухпараметрической модели линейного роста Хольта и сезонной модели Уинтерса, поэтому ее чаще всего называют моделью Хольта-Уинтерса.

Прогноз по модели Хольта-Уинтерса на шагов вперед определяется выражением:

€ € € y (t) = (a1,t + a2,t ) f€t-e+ (5.10.) Обновление коэффициентов осуществляется следующим образом:

yt € € € a1,t = 1 + (1-1)(a1,t-1 + a2,t-1) f€t-e yt f€t = 2 + (1-2 ) f€t-e (5.11.) € a1,t € € € € a2,t = 3 (a1,t - a1,t -1) + (1-3 )a2,t- 0 < 1,2,3 < € Из (5.11.) видно, что a1,t является взвешенной суммой текущей yt оценки, полученной путем очищения от сезонных колебаний € ft-е € фактических данных yt и предыдущей оценки a1,t-1. В качестве коэффициента сезонности ft берется его наиболее поздняя оценка, € сделанная для аналогичной фазы цикла (ft-е ).

$ Затем величина a1,t, полученная по первому уравнению, используется для определения новой оценки коэффициента сезонности $ по второму уравнению. Оценки a2,t модифицируются по процедуре, аналогичной экспоненциальному сглаживанию.

Оптимальные значения для 1,2,3 Уинтерс предлагает находить экспериментальным путем, задавая сетку значений этих параметров.

Критерием сравнения при этом выступает стандартное отклонение ошибки.

Адаптивные сезонные модели являются важной составной частью современных пакетов прикладных программ, ориентированных на решение задач прогнозирования.

Пример 5. Рассчитать экспоненциальную среднюю для временного ряда курса акций фирмы IBM. В качестве начального значения экспоненциальной средней взять среднее значение из 5 первых уровней ряда. Расчеты провести для двух различных значений параметров адаптации :

а) =0,1;

б) =0,5.

Сравнить графически исходный временной ряд и ряды экспоненциальных средних, полученные при =0,1 и =0,5. Указать, какой ряд носит более гладкий характер Таблица 5.2.

Курс акций фирмы IBM (долл.) t yt t yt t yt 1 510 11 494 21 2 497 12 499 22 3 504 13 502 23 4 510 14 509 24 5 509 15 525 25 6 503 16 512 26 7 500 17 510 27 8 500 18 506 28 9 500 19 515 29 10 495 20 522 30 Решение:

1. Определим S0 = () y = 1 510 + 497 + 504 + 510 + 509 = t 5 t = Найдем значения экспоненциальной средней при =0,1.

St=xt+(1-)St-1. =0,1- по условию;

S1=x1+(1-)S0;

S1=0,1510+0,9506=506,4;

S2=x2+(1-)S1;

S2=0,1497+0,9506,4=505,46;

S3=x3+(1-)S2;

S3=0,1504+0,9505,46=505,31 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице 5.3.

=0,5- по условию.

S1=x1+(1-)S0;

S1=0,5510+0,5506=508;

S2=x2+(1-)S1;

S2=0,5497+0,5508=502,5 и т.д.

Результаты расчетов представлены в таблице:

Таблица 5.3.

Экспоненциальные средние t Экспоненциальная средняя t Экспоненциальная средняя =0,1 =0,5 =0,1 =0, 1 506,4 508 16 505,7 513, 2 505,5 502,5 17 506,1 511, 3 505,3 503,2 18 506,1 508, 4 505,8 506,6 19 507,0 511, 5 506,1 507,8 20 508,5 6 505,8 505,4 21 509,9 7 505,2 502,7 22 511,6 523, 8 504,7 501,4 23 512,8 523, 9 504,2 500,7 24 514,3 525, 10 503,4 497,8 25 515,8 527, 11 502,4 495,9 26 518,0 532, 12 502,0 497,5 27 520,1 525, 13 502,0 499,7 28 522,2 538, 14 502,7 504,4 29 524,3 540, 15 505,0 514,7 30 525,9 540, Рисунок 5.2.. Экспоненциальное сглаживание временного ряда курса акций: А - фактические данные;

В - экспоненциальная средняя при альфа=0,1;

С - экспоненциальная средняя при альфа=0, При =0,1 экспоненциальная средняя носит более гладкий характер, т. к. в этом случае в наибольшей степени поглощаются случайные колебания временного ряда.

Выводы Статистические методы все шире проникают в экономическую практику. С развитием компьютеров, распространением пакетов прикладных программ эти методы вышли за стены учебных и научно- исследовательских институтов. Они стали важным инструментом в деятельности аналитических, плановых, маркетинговых отделов различных фирм и предприятий.

При прогнозировании часто исходят из того, что уровни временных рядов экономических показателей, состоят из четырех компонент: тренда, сезонной, циклической и случайной составляющих.

В зависимости от способа сочетания этих компонент модели временных рядов делятся на аддитивные, мультипликативные или модели смешанного типа.

Обобщенными показателями динамики развития экономических процессов являются средний прирост, средний темп роста и прироста.

При выполнении ряда предпосылок эти показатели могут быть использованы в приближенных, простейших способах прогнозирования, предшествующих более глубокому количественному и качественному анализу.

Распространенным приемом при выявлении тенденции развития является выравнивание временных рядов, в частности, с помощью скользящих средних. Скользящие средние позволяют сгладить как случайные, так и периодические колебания, выявить имеющуюся тенденцию в развитии процесса.

Выравнивание временных рядов может осуществляться с помощью тех или иных функций времени- кривых роста. Применение кривых роста должно базироваться на предположении о неизменности, сохранении тенденции как на всем периоде наблюдений, так и в прогнозируемом периоде.

Прогнозные значения по выбранной кривой роста вычисляют путем подстановки в уравнение кривой значений времени, соответствующих периоду упреждения. Полученный таким образом прогноз называется точечным. В дополнении к точечному прогнозу желательно задать диапазон возможных значений прогнозируемого показателя, т. е. вычислить прогноз интервальный (определить доверительный интервал). Доверительный интервал учитывает неопределенность, связанную с положением тренда (погрешность оценивания параметров кривой), и возможность отклонения от этого тренда.

Для того, чтобы обоснованно судить о качестве полученной модели необходимо проверить адекватность этой модели реальному процессу и проанализировать характеристики ее точности. Проверка адекватности строится на анализе случайной компоненты и базируется на использовании ряда статистических критериев. Показатели точности описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели. Все характеристики точности могут быть вычислены после того, как период упреждения уже окончился, или при рассмотрении показателя на ретроспективном участке.

Одно из перспективных направлений развития краткосрочного прогнозирования связано с адаптивными методами. Эти методы позволяют строить самокорректирующиеся модели, способные оперативно реагировать на изменение условий. Адаптивные методы учитывают различную информационную ценность уровней ряда, “старение” информации. Все это делает эффективным их применение для прогнозирования неустойчивых рядов с изменяющейся тенденцией.

В заключении отметим, что не может быть чисто формальных подходов к выбору методов и моделей прогнозирования. Успешное применение статистических методов прогнозирования на практике возможно лишь при сочетании знаний в области самих методов с глубоким знанием объекта исследования, с содержательным экономическим анализом.

Список рекомендуемой литературы 1. Кендэл М. Временные ряды. М., “Финансы и статистика”, 1981.

2. Кильдишев Г. С., Френкель А. А. Анализ временных рядов и прогнозирование. М., “Статистика”, 1973.

3. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования. М., “Статистика”, 1979.

4. Половников В. А. Анализ и прогнозирование транспортной работы морского флота. М., “Транспорт”, 1983.

5. Скучалина Л. Н., Крутова Т. А. Организация и ведение базы данных временных рядов. Система показателей, методы определиня, оценки прогнозирования информационных процессов. ГКС РФ, М., 1995.

6. Статистическое моделирование и прогнозирование. Учебное пособие. (Под ред. А. Г. Гранберга). М., “Финансы и статистика”, 1990.

7. Четыркин Е. Н. Статистические методы прогнозирования. М., “Статистика”, 1975.

8. Френкель А. А. Прогнозирование производительности труда:

методы и модели. М., “Экономика”, 1989.

9. Экономико-математические методы и прикладные модели. (Под ред. В.В. Федосеева). М., «Юнити», 1999.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.