WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Новая философия науки А.В. Баяндин МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ Новосибирск 2003 1 РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ И ПРАВА

А.В.БАЯНДИН МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ В ЕСТЕСТВОЗНАНИИ I. МАТЕМАТИКА ПРОСТЫЕ ЧИСЛА В СТРУКТУРЕ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА ЧИСЕЛ Ответственный редактор д. филос. н. А.Л. Симанов Новосибирск 2003 2 ББК 15 Б Утверждено к печати Ученым советом Института философии и права ОИИФФ СО РАН Баяндин А.В.

Б Методологический принцип обратной связи в естествознании.

I. Математика. Простые числа в структуре натурального ряда чисел.

Новосибирск: Институт теплофизики СО РАН. 2003. 80с.

ISBN В монографии, на основе принципа обратной связи, представлены результаты анализа структуры натурального ряда чисел. Предложен и эмпирически опробован, так называемый, матричный метод анализа чисел.

Суть метода заключается в использовании двух независимых инвариантных свойств целых чисел для создания «двумерной» матрицы чисел для каждого класса чисел натурального ряда. Матричный метод исследования структуры натурального ряда, как сложной системы взаимосвязанных элементов (чисел), позволил выявить закономерности формирования классов целых чисел: четных, нечетных, простых, составных из простых сомножителей 7, составных нечетных чисел с множителями 3 и 5 и др.

Эмпирически обнаружена и теоретически доказана закономерность распределения простых чисел, обусловленная наличием взаимосвязи (обратной связи) простых и составных из простых сомножителей чисел. Принцип обратной связи, впервые выявленный в самой основе математического фундамента - натуральном ряду чисел, на самом деле носит универсальный характер и проявляет свое действие в различных областях естествознания. Характер и свойства (нелинейность функции распределения, обратная связь между числами, алгоритмический характер построения функциональной зависимости) распределения простых чисел отражают его фрактальную природу. В работе представлен метод определения простоты произвольного числа и – факторизации составных чисел, базирующийся на закономерности обратной связи чисел.

Монография адресована специалистам в области философско методологических проблем математики, теории чисел и криптографии, а также – всем, интересующимся состоянием и развитием современной науки.

ISBN © Баяндин А.В., © Ин-т философии и права СО РАН, ПРЕДИСЛОВИЕ Задача разработки эффективной диалектико-методологической методологии научного познания является особенно актуальной в современной постнеклассической науке. В процессе анализа деятельности, в ходе которой вырабатывается предметное знание, методология науки выступает как одна из форм самопознания и самосознания науки. Свою деятельность методология науки основывает на методах и принципах, объединенных в некоторую систему, которая в конечном итоге и представляет собой методологию.

Знание, превращенное в средство для добывания нового знания и есть метод исследования, анализа в науке по Гегелю. Тогда как (методологические) принципы исследования являются теоретическим выражением метода, являются регулирующей функцией в развитии самого знания.

Методологические принципы играют роль регулятора в развитии знания и очерчивают путь к некоторому его идеалу, но только в том случае, если они объединены в некоторую систему, которую можно определить как методологию1 Воздействие методологических принципов в процессе развития познания выражается в рефлексии нового знания к своим традиционным методам исследования, устоявшимся нормам и традициям.

Научное отношение к окружающему нас миру позволяет находить объяснение изучаемых явлений, «не противоречащее основным принципам научного искания», по высказыванию В.И. Вернадского. В современных исследованиях природы эти принципы получили название методологических.

Это – принципы объяснения, математизации, наблюдаемости, простоты, единства физической картины мира, симметрии, относительности, соответствия, дополнительности, гармонии, причинности историзма и др.

Существующая между отдельными методологическими принципами связь позволяет синтезировать научную систему этих принципов.

Вместе с тем, как системная организация методологических принципов, так и поиск, нахождение и обоснование новых принципов, позволяет прогрессивно развиваться как самой методологии, так и всей системе знаний.

Понятие обратной связи впервые возникло в естествознании в связи с анализом механизма управления как функциональной системы, родившейся в процессе эволюции и лежащей в основе процессов саморегуляции и саморазвития живой природы, общественных систем и их экономики, всей ноосферы, а также процессов познания. Многие авторы философской и экономической литературы, даже спустя 40 лет после становления кибернетики, продолжают игнорировать (или не понимать) значения и определяющей роли обратных связей2. Так, Философский словарь (1987, 1991г.г.) трактует управление без привлечения понятий обратной связи, адаптации и самоорганизации.

А.Л. Симанов. А. Стригачев. Методологические принципы физики: общее и особенное.Новосибирск. «НАУКА». Сиб. Отделение. 1992, с. 3.

Р.Ф. Абдеев. Философия информационной цивилизации. М. ;

ВЛАДОС, 1994, с. При анализе центральной категории диалектики – категории развития явно недостаточно внимания уделяется раскрытию ее связи с понятиями информации, организации, системности и управления. В действительности, развитие не есть просто изменения вообще, присущие всякому движению, а представляют собой изменения, связанные с процессами отражения (как всеобщего свойства материи), сопровождаемые упорядочиванием связей, накоплением информации, возникновением новых структур, их усложнением и детерминацией. Это – процесс самоорганизации, в котором важнейшее значение имеет генезис механизма управления. Основой механизма управления выступает обратная связь объекта управления с так называемым управляющим субъектом. Структура этого механизма едина для различных по характеру и области применения разделов естествознания.

Сейчас становится ясно, что для теории управления и естествознания, вообще, нелинейность должна стать неотъемлемым элементом теории.

Примеры других наук, в том числе теории управления, наглядно демонстрируют тот факт, что учет нелинейных явлений многократно обогащает теорию содержательно: нелинейный «мир» несоизмеримо богаче линейного, и именно на этом пути возникают новые явления, принципы и законы. Так, например, теория автоматического управления существенно обогатилась благодаря решению задач об абсолютной устойчивости, исследованию автоколебательных процессов, адаптивного управления.

Примеры из других наук, например физики или химии, еще более выразительны.

Конструктивный путь в нелинейный «мир» лежит в направлении систематического использования важнейшего принципа кибернетики – принципа обратной связи. Сегодня становится очевидным, что этот принцип является основой саморегуляции и развития всего живого.

В силу единства механизма управления в природе, обратная связь, как главный атрибут этого механизма выступает в качестве принципа научного исследования. Обобщенная модель управления содержит в себе элементы симметрии и асимметрии, раскрывающие системоорганизующую роль механизма управления. В асимметричных условиях существенную роль приобретают обратные связи элементов системы. Таким образом, обратная связь в процессах самоорганизации материи, механизма управления «живой и неживой» природе несет на себе нагрузку основополагающего принципа научного познания и отвечает требованиям принадлежности к классу методологических принципов познания.

В монографии представлены материалы исследования автора в области теории чисел. Новый матричный метод исследования свойств натурального ряда чисел позволил выявить обратную связь простых и составных из простых сомножителей 7 чисел. Впервые в основах математического фундамента обнаружена периодическая закономерность изменения свойств чисел, их взаимосвязь между собой посредством обратной связи. Таким образом, принцип обратной связи приобретает всеобъемлющее значение для всего естествознания, обогащая своей методологической значимостью различны по характеру области знаний.

Материалы, изложенные в монографии, неоднократно, в своем развитии были доложены в 1999 – 2002г.г. на научных философско-методологических семинарах сектора философии науки при Институте философии и права СО РАН. Автор глубоко признателен А.Л. Симанову и В.В. Корухову за научные консультации и полезные советы по некоторым вопросам монографии, а также - В.П. Горану, О.В. Шарыпову, Ю.И. Наберухину, Б.И. Пещевицкому, О.В. Трапезову, Н.В Головко за ценные советы и замечания на семинарах и за проявленный интерес к затронутой проблеме.

ВВЕДЕНИЕ Обратная связь «пронизывает» окружающую нас действительность: она служит ключевым элементом биологической эволюции и естественного отбора;

она обеспечивает регуляторный механизм в равновесных системах, в частности в природных экосистемах, и является необходимым элементом работоспособных экономических конструкций;

наконец, она составляет основу саморегулирующихся и самоподдерживающихся биосистем. Но до сих пор мы очень мало знаем о механизме обратной связи.

Действительно, идея обратной связи почти очевидна, легко воспринимается и в простых ситуациях ее применение не вызывает проблем. Как правило, механизмы формирования обратной связи ускользают от исследователя, поскольку они довольно сложны. Здесь ситуация аналогична ситуации с другими законами естествознания3. В свое время физик Ричард Фейнман сказал о законе тяготения: «Закон действует сложно, но его коренная идея проста. Это обстоятельство роднит все наши законы»4.

Механизм обратной связи чисел, представленный в данной работе, действующий на формирование распределения простых чисел в натуральном ряду чисел, может быть использован в качестве одного из методов синтеза обратных связей в различных направлениях исследования современной науки.

Процессы с обратной связью известны и используются в самой математике уже достаточно давно. Так, описание явлений природы с помощью дифференциальных уравнений, которое ввели около 300 лет назад Исаак Ньютон и Готфрид В. Лейбниц, основано на принципе обратной связи.

Динамический закон определяет положение и скорость частицы в данный момент времени через их значения в предыдущий момент. Движение частицы понимается как реализация этого закона. Несущественно, будет ли процесс дискретным, т.е. осуществляемым по шагам, либо непрерывным5.

В современной компьютерной графике и программировании широко используются процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной итерации является начальным значением для следующей. Это операции с рекурсией и итерацией.

Так, итерационный процесс даже с несложной формулой дает интересные результаты, реализующие принцип самоподобия в природе. Бенуа Б.

Мандельбротом впервые экспериментально обнаружены и теоретически доказаны основные положения нового направления в науке – фрактальной геометрии.

В настоящей работе представлен новый метод определения простоты произвольного числа и разложения составных чисел на простые множители (факторизации).

Метод основан на открытой в 1987г. закономерности распределения простых чисел в натуральном ряду чисел6, опубликованной в 1999г. Открытая С.В. Емельянов, С.К. Коровин. Новые типы обратной связи. М.: «НАУКА». Физматлит. 1997, с.319.

Feynman R.P., Hibbs A. Quantum Mechanics and Path Integral/ New York^ Mc Graw-Hill Book Company, 1965.

Х.-О. Пайтген. П.Х. Рихтер.Красота фракталов. Изд. «МИР»,1993, с.21.

А.В. Баяндин. К распределению простых чисел в натуральном ряду чисел. «НАУКА», Новосибирск,1999, СИФ РАН, ISBN 5-02-031549- автором закономерность проявляется во взаимозависимости распределения простых и составных из простых сомножителей 7 чисел, выражающейся в так называемом Законе обратной связи чисел – Законе сохранения количества чисел джойнт ряда:

q(x) + (x) = [x] (1) где: q(x)- количество составных из простых сомножителей 7 чисел, не превышающих целое х;

(x) – количество простых чисел;

[x] – целая часть произведения;

= 0,266(6) – структурная постоянная джойнт7 ряда чисел.

Существенно для вычислений уже то, что количество простых и составных чисел из простых сомножителей 7 в натуральном ряду не превышает 26,66(6)%. Поэтому, область определения простоты произвольного числа и разложения на множители сужается до 26, 66(6)% от значения конкретного числа. Например, для числа х = 7013 имеем:

х = 7013 = 0,266(6)7013= 1870,133(3) (2), где целая часть [ х] = 1870 соответствует количеству простых и составных из простых сомножителей 7 чисел в количестве чисел, равном 7013.

Знание Закона обратной связи чисел (LFN)8 позволяет не только понять сущность распределения простых чисел в натуральном ряду чисел, но и дает возможность нахождения, теоретически, всех простых чисел. Факторизация составных чисел с простыми множителями 7, определение простоты числа теперь представляет собой не наивное деление, либо алгоритмы нахождения делителей чисел Мерсенна, а - синтез составных чисел джойнт ряда по простым формулам для известного х и, соответствующего ему индекса периода повторения n. Причем, синтез составных чисел предполагает, естественно не деление, а умножение с максимальным числом операций до ~ x.

Известно, что простым называется натуральное число, которое не имеет делителей – чисел, которые делили бы его без остатка, - кроме единицы и самого числа.

Проблеме распределения простых чисел в натуральном ряду чисел уже довольно почтенный возраст, примерно в две с половиной тысячи лет. Хотя и этот срок может быть отодвинут в глубину веков, если взять во внимание некоторые второстепенные результаты истинного распределения простых чисел.

Приведу, в качестве примера, два высказывания математиков по данной проблеме за период, примерно в 15 лет. То есть, с 1988 по 2003г.г.

Простые числа при своем таком простом определении и при своей роли кирпичиков, из которых строятся все натуральные числа9, являются самими Джойнт (от англ. Joint) –совместный LFN- сокр. от англ.- «The law of a feedback of numbers» A.M. Legendre, Essai sur la theorie des Nombers. Paris. 1808? Стр. капризными и упрямыми из всех объектов, вообще изучаемых математиками10. Последовательность простых чисел подчиняется какой-то плохо различимой закономерности, и простые числа живут по собственным правилам. Их сравнивают с сорной травой, случайным образом распределенной среди натуральных чисел. Перебирая одно за другим натуральные числа, можно набрести на области, богатые простыми числами, но, по неизвестной причине, другие области оказываются совершенно пустыми. Математики веками пытались разгадать закон, по которому распределены простые числа, и всякий раз терпели поражение. Возможно, никакого закона и не существует, и распределение простых чисел случайно по самой своей природе. Дон Цагир, Первые 50 миллионов простых чисел. УМН № 6, 2000г.,2.

Саймон Сингх, Великая теорема Ферма. МЦНМО, 2000, стр. ГЛАВА ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КОЛИЧЕСТВА ЧИСЕЛ ДЖОЙНТ РЯДА В НАТУРАЛЬНОМ РЯДУ ЧИСЕЛ – КАК ПРИНЦИП ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ЧИСЕЛ В МАТЕМАТИКЕ §1. Эмпирический подход к нахождению распределения простых чисел Необходимо заметить, что эксперименту с числами, дабы понять их сущность, великие математики уделяли достаточно времени, и не напрасно.

Наиболее заметно и впечатлительно это увлечение было у Леонарда Эйлера12, уделяющего расчетам, построению таблиц чисел по их определенным свойствам значительное время, что давало ему «пищу» для вывода теорем по теории чисел. Также и Карл Фридрих Гаусс не терял драгоценного времени зря. Его короткий отдых, между занятиями и лекциями, порой был посвящен расчету количества простых чисел в очередной 1000 чисел натурального ряда чисел13. Пожалуй, теория чисел, одна из немногих областей математики, допускающая проведение эксперимента с самими числами.

Математика и физика имеют много общего: единая идеология построения, базирующаяся на детерминизме;

общая конструктивная методология. Это подтверждается тем, что основное понятие математики – натуральные числа не возможно осмыслить вне понятия физический объект. Впрочем, и наоборот, не возможно осмыслить понятие объект без понятия натурального числа. Единство гносеологии математики и физики проявляется также и в том, что фундаментальные математические константы могут определяться, как и в экспериментальной физике, путем проведения экспериментов с физическими объектами. Как, например, иррациональное число можно определить методом «иглы Бюффона», или при помощи «бильярдного» метода. С позиции постнеклассической науки становится понятно, что математические вычисления а, следовательно, и любые логические суждения, это всегда некий физический процесс на квантовом уровне. На этом основывается идея создания в недалеком будущем, так называемого, квантового компьютера. По мнению современного выдающегося российского математика В.И. Арнольда:

«Математика является экспериментальной наукой – частью теоретической физики и членом семейства естественных наук»14.

Начнем с определения признаков делимости чисел для десятичной позиционной системы счисления. Нас интересует, в данном случае, именно десятичная система, поскольку для различных позиционных систем счисления проводимые рассуждения аналогичны. Причины, по которым именно десятичная система счисления оказалась общепринятой, совсем не Неопубликованные материалы Л. Эйлера по теории чисел. Санкт-Петербург, «НАУКА», 1997г.

Д.Я. Стройк. Краткий очерк истории математики. М. «НАУКА», 1990, стр. Б. Ротгауз. Физические начала математики. http://piramyd.express.ru/disput/rotgauz/fnm.htm математического характера, а скорее всего имеют «анатомическое» происхождение15.

Позиционные системы счисления строятся по одному общему принципу.

Выбирается некоторое число p - основание системы счисления, и каждое число N представляется в виде комбинации его степеней с коэффициентами, принимающими значения от 0 до p –1, т.е. в виде:

ak· pk + ak-1 · pk-1 +… + a1· p +a0 (3).

Далее такое число записывается сокращенно в виде (akak-1…a1a0)p (4).

В этой записи, например для десятичной системы p = 10, значение каждой цифры зависит от того места, которое эта цифра занимает16.

Для множества всех натуральных чисел одним из первых встает вопрос о делимости целых чисел, выполнимости этого действия для данных двух чисел, т.е. о делимости этих чисел.

О п р е д е л е н и е. Число а делится на число b (или, что то же самое, число b делит число а), если существует такое число с, что а = bc.

Этот факт называется делимостью числа а на число b и обозначается как а b17.

Примечание: В современной математической литературе более употребительно обозначение b \ a18.

Так как деление целых чисел выполнимо не всегда, поэтому наряду с действием деления нацело рассматривают более общее действие – деление с остатком.

О п р е д е л е н и е. Разделить число a на число b (b > 0) с остатком – значит представить число а в виде a = bq + r (5), где 0 r < b.

Число q – неполное частное, а число r – остаток от деления а на b.

Очевидно, r = 0 тогда и только тогда, когда b \ a. В этом случае q равно частному от деления а на b.

Для десятичной системы счисления, т.е. при p =10 в формуле (3), легче всего получить признаки делимости на числа 3, 9, 10 и 11.

Поясним сказанное на следующем примере.

Пусть десятичное целое число А представлено общим выражением (3):

А =аn10n + an-110n-1 +… +a1 (6).

С.В. Фомин. Системы счисления. М. «НАУКА», 1987, стр.8.

Там же, стр.11.

Н.Н. Воробьев. Признаки делимости. М. «НАУКА», 1988, стр.7.

Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика. М. «МИР», 1998, стр.125.

Используем сравнения19 по mod 9 для отыскания признака делимости на и на 3. Замечая, что 10 1 (mod 9), имеем:

А аn + an-1+… +a1 (mod 9) (7).

Следовательно, А кратно 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр, его изображающих, кратна 3;

оно кратно 9 тогда и только тогда, когда указанная сумма кратна 9.

Замечая, что 10 -1 (mod 11), имеем А (а1+а3+…) – (а2+а4+…) (mod 11) (8).

Следовательно, А кратно 11 тогда и только тогда, когда разность между суммою цифр, стоящих на нечетных (считая справа) местах, и суммою цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.

Таким образом, мы убедились, что для десятичной позиционной системы счисления нахождение признаков делимости на числа 3, 9 и 11 наиболее просто выполняется путем сравнения основания p = 10 системы счисления с ± 1.

Далее, легко заметить, что сумма цифр в выражении (7) представляет собой новое многозначное число B, меньшее по абсолютной величине числа А:

A B= аn + an-1+… +a1 (mod 9) (9), где A >> B.

Число B также может быть рассмотрено на предмет делимости на 9, т.е. – сравнимость по модулю mod 9:

B = bk10k+bk-110k-1+…+b1 (10), B bk+bk-1+…+b1 (mod 9) (11).

Продолжая аналогичную рекурсию, получим в конечном итоге однозначное число - цифру от 1 до 9 включительно:

A B C … Z = z1 (mod 9) (12).

Иначе можно записать следующее:

A z1 (mod 9) (13).

На основании полученного результата можно сделать следующий вывод:

«Однозначное число z1 есть конечным результатом суммирования цифр последнего из промежуточных чисел в процессе последовательной рекурсии при нахождении признака делимости на число 9, или что то же самое – сравнимости числа z1 с исходным числом А по mod 9».

В нематематической литературе число z1 называют цифровым корнем, либо инвариантом многозначного исходного числа A.

И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М. «НАУКА», 1981, стр. Далее, замечая, что:

10 0 (mod 10) (14), из (6) имеем:

A an•0 + an-1•0+…+a1= a1 (mod 10) A a1 (mod 10) (15).

Следовательно, А кратно 10 тогда и только тогда, когда само число А сравнимо с цифрой младшего разряда этого числа.

Введем обозначения:

Invi =(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) (mod 9) (16), Endj = (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) (mod 10) (17), где Invi – i –ый инвариант произвольного многозначного числа А (сравнение по (mod 9));

i =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;

Endj – j-ое окончание (цифра в младшем разряде) многозначного числа А (сравнение по (mod 10));

j = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Представим натуральный ряд чисел в виде двумерной таблицы с определяющими параметрами Invi и Endj:

- инварианты Invi соответствуют строкам таблицы;

- окончания Endj - диагоналям таблицы.

Таблица Invi;

\ Endj 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 9 1 1 10 19 28 37 46 55 64 73 82 91 100 2 2 11 20 29 38 47 56 65 74 83 92 101 3 3 12 21 30 39 48 57 66 75 84 93 102 4 4 13 22 31 40 49 58 67 76 85 94 103 5 5 14 23 32 41 50 59 68 77 86 95 104 6 6 15 24 33 42 51 60 69 78 87 96 105 7 7 16 25 34 43 52 61 70 79 88 97 106 8 8 17 26 35 44 53 62 71 80 89 98 107 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 Используя таблицы простых чисел, например 20 х< 4070, легко заметить, что окончания простых чисел принимают следующие значения:

Endj = 3, 1, 9, 7 (18).

Отмечая простые числа в приведенной выше Таблице 1 по окончаниям 3, 1, 9, 7 в диагоналях, замечаем: простые числа имеют всего только шесть инвариантов. Это:

Invi = 1, 2, 4, 5, 7, 8 (19).

И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М. «НАУКА», 1981, стр. Следует заметить, что простые числа, расположенные в натуральном ряду чисел в соответствии с характерными для них окончаниями и инвариантами образуют так называемую структурную матрицу чисел. Количество чисел в одной матрице составляет произведение:

Количество окончаний Количество инвариантов = 4 6 = 24 (20).

Период повторения свойств чисел данной матрицы составляет 90.

Соответственно, отношение количества чисел в одной матрице к периоду повторения характеризует относительное количество простых чисел в натуральном ряду чисел. Назовем это отношение структурной постоянной:

= = 0,266(6) (21).

Примечание. В Приложении 1 к Главе 1 представлены доказательства теорем о периодичности матрицы на 24 числа и обоснование закономерности обратной связи простых и составных из простых сомножителей 7чисел на основе аксиоматического метода обоснования результатов21.

§2. Джойнт ряд простых и составных чисел, теоретический подход В разделе Ш Приложения 1 приводится обоснование формирования джойнт ряда чисел на основе представления кратности числителя и знаменателя структурной постоянной. Таким образом, структурная постоянная = = 0,266(6)= 8 / 30, символизируя периодичность как самой матрицы (с периодом Т = 90n), так и первых восьми порождающих чисел (с периодом t = 30n), выполняет роль константы перевода последовательности чисел джойнт ряда в последовательность чисел натурального ряда. Другими словами, структурная постоянная дает возможность сопоставить множество чисел джойнт ряда с числами натурального ряда во взаимно однозначное соответствие.

Покажем, что и теоретическое рассмотрение уникальных свойств числа позволяет построить джойнт ряд чисел.

Простые сомножители числа 30.

Каноническое разложение числа а на сомножители представляется следующим выражением:

1 2 k a = p1 p 2...p k (22), В.А. Успенский. Что такое аксиоматический метод. Москва-Ижевск, РХД, где p1, p2, …pk – различные простые сомножители;

,,... кратности вхождения простых сомножителей в а.

1 2 k Для числа 30 имеем:

30 = 2·3·5 (23).

Функция Эйлера для числа Функция Эйлера (a) для всех целых положительных а представляет собою число чисел ряда 0, 1, 2, … а – 1, (24), взаимно простых с а.

Для а, каноническое разложение которого на простые сомножители представляется выражением (22), имеем следующие формулы для функции Эйлера22:

1 1 (a) = а1-, (25) p1 1- p2...1- pk или также:

1 2 2 k k (a) = (p1 - p1 -11 )(p2 - p 2 -1)...(p k - p k -1), (26).

В частности, будем иметь (p) = p - p-1 (27).

Для а = 30 по формуле (25) находим:

1 1 1- 1- (30) = 301- = 8, (29).

2 3 Выпишем взаимно простые числа с числом а = 30:

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29;

(30).

Заметим также, что эти восемь чисел являются простыми числами.

И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М. «НАУКА», 1981, стр. Классы чисел по модулю Для взаимно простых с числом 30 чисел наибольший общий делитель (НОД) равен 1:

(1, 30) = 1;

(7, 30) = 1;

… (29, 30) = 1 (31).

Сравним числа ряда (30) по модулю 30. Известно23, что сравнения произвольных целых чисел a и b по модулю m записывается в виде:

a b (mod m), (32).

Выражение (32) равносильно:

1) возможности представить а в виде a = b + m·n (33), где n – целое.

2) делимости a – b на m.

Выпишем сравнения по mod 30 для ряда (30):

1 1(mod 30);

7 7(mod 30);

11 11(mod 30);

13 13(mod 30);

(34) 17 17(mod 30);

19 19(mod 30);

23 23(mod 30);

29 29(mod 30).

Воспользуемся свойством равносильности 1) и представим (34) в виде a =b + mn :

1 + 30n 1(mod 30);

7 +30n 7(mod 30);

11 + 30n 11(mod 30);

13 + 30n 13(mod 30);

17 +30n 17(mod 30);

19 + 30n 19(mod 30);

23 +30n 23(mod 30);

29 +30n 29(mod 30), (35).

Таким образом, в результате операции сравнения, мы получили восемь классов чисел по модулю 30.

Указанные классы чисел удобно представить в виде следующей таблицы чисел ( до n =12):

И.М. Виноградов. Основы теории чисел. М. «НАУКА», 1981, стр. Таблица 2.

n 1+30n 7+30n 11+30n 13+30n 17+30n 19+30n 23+30n 29+30n 0 1 7 11 13 17 19 23 1 31 37 41 43 47 49 53 2 61 67 71 73 77 79 83 3 91 97 101 103 107 109 113 4 121 127 131 133 137 139 143 5 151 157 161 163 167 169 173 6 181 187 191 193 197 199 203 7 211 217 221 223 227 229 233 8 241 247 251 253 257 259 263 9 271 277 281 283 287 289 293 10 301 207 311 313 317 319 323 11 331 337 341 343 347 349 353 12 361 367 371 373 377 379 383 Иначе, можно сказать, что каждому из представленных в Таблице 2 восьми классов чисел, сравнимых по mod 30, отвечает свой остаток. Для наглядности покажем классификацию указанных чисел по их равноостаточности, Таблица 3.

Таблица 3.

n 1+30n 7+30n 11+30n 13+30n 17+30n 19+30n 23+30n 29+30n 0 0,03(3) 0,23(3) 0, 36(6) 0, 43(3) 0, 56(6) 0, 63(3) 0, 76(6) 0, 96(6) 1 1,03(3) 1,23(3) 1, 36(6) 1, 43(3) 1, 56(6) 1, 63(3) 1, 76(6) 1, 96(6) 2 2,03(3) 2,23(3) 2, 36(6) 2, 43(3) 2, 56(6) 2, 63(3) 2, 76(6) 2, 96(6) 3 3,03(3) 3,23(3) 3, 36(6) 3, 43(3) 3, 56(6) 3, 63(3) 3, 76(6) 3, 96(6) … ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

… ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

6 6,03(3) 6,23(3) 6, 36(6) 6, 43(3) 6, 56(6) 6, 63(3) 6, 76(6) 6, 96(6) 7 7,03(3) 7,23(3) 7, 36(6) 7, 43(3) 7, 56(6) 7, 63(3) 7, 76(6) 7, 96(6) … ….. ….. ….. ….. ….. ….. ….. …..

n n,03(3) n,23(3) n, 36(6) n, 43(3) n, 56(6) n, 63(3) n, 76(6) n, 96(6) Примечание. Заметим, что после нормирования по mod 30 стал очевидным факт равноостаточности по каждому классу. В то же время, очевидно, что все 8 классов чисел сравнимы по целой части чисел, т.е. стали 30n счетными и равномощными. Это, естественно, следует из n =.

Полная и приведенная система вычетов Полная система вычетов по mod 30 состоит из первых восьми простых чисел 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29;

(36), так как эти числа попарно несравнимы по mod 30.

Эти восемь простых чисел, взаимно простых с модулем 30 составляют приведенную систему вычетов по mod 30. Действительно, несравнимые и взаимно простые с модулем, эти числа принадлежат к различным классам, а так как их количество равно (30), т.е. столько же, сколько и классов указанного вида, то в каждый класс наверно попадет по одному числу.

Структурная постоянная Система чисел, состоящая из произвольного количества несравнимых по модулю m классов взаимно простых с модулем чисел, характеризуется двумя постоянными для этой системы параметрами. Вполне очевидно, что этими постоянными параметрами являются:

- модуль системы чисел, (mod m);

- функция Эйлера (m).

Назовем отношение функции Эйлера по модулю m к модулю для приведенной системы вычетов, несравнимых по (mod m), структурной постоянной для (m) классов полной системы чисел:

(m) = (37).

m В частности, для m = 30, имеем:

= 8 / 30 = 0,266(6) (38).

Свойство структурности постоянной = 0,266(6) проявляется в упорядочивании и объединении «самостоятельных» по счетности классов в структурно полную и связанную счетностью систему – единый джойнт ряд чисел.

В соответствии с определением структурной постоянной, для приведенной системы вычетов, введем новый модуль:

1 m m = = (39).

(m) Рассмотрим систему чисел для m = 30 и (30)= 8 с новым модулем Джойнт (от англ. Joint) - совместный 1 m m = = = =3,75 (40).

(m) Результаты нормирования по модулю 3,75 системы чисел из восьми классов по модулю 30 представим в таблице 4.

Таблица 4.

n an bn cn dn en fn gn hn 0 0,26(6) 1,86(6) 2,93(3) 3,46(6) 4,53(3) 5,06(6) 6,13(3) 7,73(3) 1 8, 26(6) 9, 86(6) 10, 93(3) 11, 46(6) 12, 53(3) 13, 06(6) 14, 13(3) 15, 73(3) 2 16, 26(6) 17, 86(6) 18, 93(3) 19, 46(6) 20, 53(3) 21, 06(6) 22, 13(3) 23, 73(3) 3 24, 26(6) 25, 86(6) 26, 93(3) 27, 46(6) 28, 53(3) 29, 06(6) 30, 13(3) 31, 73(3) …… … … … … … … … 6 48, 26(6) 49, 86(6) 50, 93(3) 51, 46(6) 52, 53(3) 53, 06(6) 54, 13(3) 55, 73(3) 7 56, 26(6) 57, 86(6) 58, 93(3) 59, 46(6) 60, 53(3) 61, 06(6) 62, 13(3) 63, 73(3) …… … … … … … … … Примечание: Обозначения в Таблице 4:

- (1+30n) = 0,26(6) + 8n = an;

(7+30n) = 1,86(6) + 8n =bn;

- (11+30n) = 2,93(3) + 8n = cn;

(13+30n) = 3,46(6) + 8n = dn;

- (17+30n) = 4,53(3) + 8n = en;

(19+30n) = 5,06(6) + 8n = fn;

- (23+30n) = 6,13(3) + 8n = gn;

(29+30n) = 7,73(3) + 8n = hn.

Очевидно, что классы по модулю m и по модулю m эквивалентны друг другу. То есть, эти классы чисел несравнимы между собой как по модулю m, так и по модулю m.

Существенным отличием совокупности чисел классов по модулю m является несравнимость целой части чисел каждого класса между собой.

Взамен получаем счетность всей совокупности чисел классов по модулю m.

Тривиально, что и для любых других классов взаимно простых с модулем чисел, несравнимых по модулю m, структурная постоянная структурирует, объединяет классы чисел по счетности.

Пример:

Рассмотрим классы чисел по модулю m = 6:

(6) = 6(1 – 1 / 2)(1 – 1 / 3) = 2, это числа 1 и 5. Теперь представим эти числа в виде:

1 + 6n, и 5 + 6n.

Развернем их в виде таблицы чисел:

Таблица 1пр.

n 1 + 6n 5 + 6n 0 1 1 7 2 13 3 19 4 25 Представим эти классы чисел по модулю 6:

Таблица 2пр.

n Кл. 1 Кл. 0 0, 166(6) 0, 833(3) 1 1, 166(6) 1, 833(3) 2 2, 166(6) 2, 833(3) 3 3, 166(6) 3, 833(3) 4 4, 166(6) 4, 833(3) Теперь представим их по модулю 1 m m = = = = 2, (m) и, аналогично, разместим в таблице 3пр.:

Таблица 3пр.

n Кл. 1 Кл. 0 0,333(3) 1,666(6) 1 2,333(3) 3,666(6) 2 4,333(3) 5,666(6) 3 6,333(3) 7,666(6) 4 8,333(3) 9,666(6) Вывод: Структурная постоянная i упорядочивает и делает счетными несравнимые по модулю m классы взаимно простых чисел по этому модулю.

Количество целых чисел m классов Целая часть произведения структурной постоянной i на произвольное целое число х определяет количество чисел, принадлежащих m классам по модулю m.

[ix] = (x) (41), где (x) - количество целых чисел m классов среди чисел натурального ряда х.

Таким образом, структурирование системы чисел из классов чисел, несравнимых по модулю m, преобразует исходное множество чисел (по целой части нормированных чисел) во множество чисел натурального ряда.

Появляется возможность эффективного использования, как аппарата аналитической теории чисел, так и – известных соотношений и формул для натурального ряда чисел.

Уникальность числа Рассмотрим, дополнительно, некоторые свойства числа 30.

Во-первых, каноническое разложение числа 30 состоит из первых трех простых чисел, не вошедших в джойнт ряд:

2·3·5 = 30, (42).

Во-вторых, приведенная система вычетов по модулю 30 состоит из (30) = 8 простых чисел:

1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29;

(43).

В-третьих, сумма симметрично расположенных в ряду вычетов по (mod 30), выражение (43), попарно равна этому модулю:

1 + 29 = 7 +23 = 11 + 19 = 13 + 17 = 2·3·5 = 30 (44).

Таких симметричных пар всего равно (30) / 2 = 4 (45).

Соответственно, сумма первых восьми чисел джойнт ряда равна (m) Sp = pi = m = 1+ 7 +11+13 +17 +19 + 23 + 29 = 30 = 120, (46).

2 i= Сумма джойнт ряда чисел за n- ого периода для (m) классов чисел по модулю m m (m) 2n + Sp,n = + m (m) n = m (m) (47).

2 Сумма чисел для произвольного периода джойнт ряда по модулю 2n + Sp,n =308 =120(2n + 1) (48) ГЛАВА СТРУКТУРА НАТУРАЛЬНОГО РЯДА ЧИСЕЛ §1. Джойнт ряд чисел Приведенная система вычетов, несравнимых по модулю 30, представляет собой число классов или функцию Эйлера (30) = 8.

Все эти числа не только взаимно простые с модулем, но и простые по определению.

Эти восемь простых чисел образуют джойнт ряд с периодом Т = 30;

(m) структурной постоянной = = = 0,266(6);

суммой первых восьми m i= (m) 8 простых чисел (за один период, n = 0) pi = m = = 120.

2 i= Назовем числа приведенной системы вычетов, несравнимых по модулю 30, порождающими числами:

pi = 1;

7;

11;

13;

17;

19;

23;

29 (49) Джойнт ряд для n: от n = 0 до n = 60. Таблица 5.

(х) + q(x) = 279 + 209 = 488=[ xmax ]=[0.2666 1831] 0 7 11 13 17 19 23 29 1 37 41 43 47 49 53 59 2 67 71 73 77 79 83 89 3 97 101 103 107 109 113 119 4 127 131 133 137 139 143 149 5 157 161 163 167 169 173 179 6 187 191 193 197 199 203 209 7 217 221 223 227 229 233 239 8 247 251 253 257 259 263 269 9 277 281 283 287 289 293 299 10 307 311 313 317 319 323 329 11 337 341 343 347 349 353 359 12 367 371 373 377 379 383 389 13 397 401 403 407 409 413 419 14 427 431 433 437 439 443 449 15 457 461 463 467 469 473 479 16 487 491 493 497 499 503 509 17 517 521 523 527 529 533 539 18 547 551 553 557 559 563 569 19 577 581 583 587 589 593 599 20 607 611 613 617 619 623 629 21 637 641 643 647 649 653 659 22 667 671 673 677 679 683 689 23 697 701 703 707 709 713 719 24 727 731 733 737 739 743 749 25 757 761 763 767 769 773 779 26 787 791 793 797 799 803 809 27 817 821 823 827 829 833 839 28 847 851 853 857 859 863 869 29 877 881 883 887 889 893 899 30 907 911 913 917 919 923 929 31 937 941 943 947 949 953 959 32 967 971 973 977 979 983 989 33 997 1001 1003 1007 1009 1013 1019 34 1027 1031 1033 1037 1039 1043 1049 35 1057 1061 1063 1067 1069 1073 1079 36 1087 1091 1093 1097 1099 1103 1109 37 1117 1121 1123 1127 1129 1133 1139 38 1147 1151 1153 1157 1159 1163 1169 39 1177 1181 1183 1187 1189 1193 1199 40 1207 1211 1213 1217 1219 1223 1229 41 1237 1241 1243 1247 1249 1253 1259 42 1267 1271 1273 1277 1279 1283 1289 43 1297 1301 1303 1307 1309 1313 1319 44 1327 1331 1333 1337 1339 1343 1349 45 1357 1361 1363 1367 1369 1373 1379 46 1387 1391 1393 1397 1399 1403 1409 47 1417 1421 1423 1427 1429 1433 1439 48 1447 1451 1453 1457 1459 1463 1469 49 1477 1481 1483 1487 1489 1493 1499 50 1507 1511 1513 1517 1519 1523 1529 51 1537 1541 1543 1547 1549 1553 1559 52 1567 1571 1573 1577 1579 1583 1589 53 1597 1601 1603 1607 1609 1613 1619 54 1627 1631 1633 1637 1639 1643 1649 55 1657 1661 1663 1667 1669 1673 1679 56 1687 1691 1693 1697 1699 1703 1709 57 1717 1721 1723 1727 1729 1733 1739 58 1747 1751 1753 1757 1759 1763 1769 59 1777 1781 1783 1787 1789 1793 1799 60 1807 1811 1813 1817 1819 1823 1829 Джойнт ряд в Таблице 5 представлен в соответствии с формулой ряда:

Xn,i = pi +30n (50), где pi берутся из выражения (49).

Примечание. В приведенной таблице джойнт ряд рассчитан для pi =7;

11;

13;

17;

19;

23;

29;

31, то есть вместо единицы взято число 31. И так как единица в джойнт ряду выполняет роль нуля ( см. таблицу 4, первый столбец) в соответствующем ему натуральном ряду, то и не сказывается на последующих процедурах и вычислениях с джойнт рядом.

§2. Ряд составных нечетных чисел, кратных числам 3 и 5, в структуре натурального ряда чисел Составные нечетные, кратные числам 3 и 5, числа, содержащиеся в числе 30:

gi =3;

5;

9;

15;

21;

25;

27, (51).

Их количество равно:

m - (m) = - 8 = 7 (52).

2 Соответственно, структурная постоянная совместного ряда нечетных чисел:

m - (m) m - 2 (m) 1 (m) 2n-1 = = = - = - = 0,5 - 0,266(6) = 0,233(3) (53), m 2m 2 m или в общем виде:

2n-1 = - (54).

Сумма нечетных чисел (51):

(m) - S2n-1 = m (55), 8 - и для m =30: S2n-1 = 30 = 105, (56).

Для n – ого периода (Т = 30) общая формула нахождения суммы чисел:

(m) -1 2n + S2n-1 = m + m((m) -1)n = m( (m) -1) (57) 2 Для нечетных чисел (31) также можно построить ряд чисел по аналогии с джойнт рядом:

Yn,i = gi +30n (58).

Таблица 6.

Нечетные составные числа натурального ряда чисел n Y0 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y 0 3 5 9 15 21 25 1 33 35 39 45 51 55 2 63 65 69 75 81 85 3 93 95 95 105 111 115 4 123 125 129 135 141 145 5 153 155 159 165 171 175 6 183 185 189 195 201 215 7 213 215 219 225 231 235 8 243 245 249 255 261 265 9 273 275 279 285 291 295 10 303 305 309 315 321 325 11 333 335 339 345 351 355 12 363 365 369 375 381 385 13 393 395 399 405 411 415 14 423 425 429 435 441 445 15 453 455 459 465 471 475 16 483 485 489 495 501 505 17 513 515 519 525 531 535 18 543 545 549 555 561 565 19 573 575 579 585 591 595 Уже из приведенной таблицы видно, что нечетные числа структурно разделяются на числа с окончанием 5 и числа, с окончаниями 3, 9 и 7.

Последнее утверждение отражается и в соответствующих матрицах натурального ряда чисел:

Таблица 7.

1 9 7 5 3 1 9 7 5 1 55 2 65 3 3 21 39 57 75 93 111 129 4 5 5 6 15 33 51 69 87 105 123 141 7 25 8 35 9 9 27 45 63 81 99 117 135 Таким образом, структурная постоянная для ряда нечетных чисел может быть представлена суммой двух структурных постоянных: структурной постоянной нечетных составных чисел с окончанием 3 и нечетных составных чисел с окончанием 5.

2n-1=3 + 5 (59) Из таблицы 6 следует, что в каждом периоде в 30 чисел находится четыре числа с окончанием 3 и три числа с окончанием 5. Также, из таблицы 7 видно, что в каждой структурной матрице, с периодом следования 90 чисел, находятся 12 чисел с окончанием 3 и 9 чисел с окончанием 5. Соответственно, запишем численные выражения структурных постоянных:

4 3 = = = 0,133(3) (60), 30 3 5 = = = 0,1 (61), 30 Используя выражение для структурной постоянной джойнт ряда (54), запишем 2n-1 = - = 3 + 5 (62), откуда:

+ 3 + 5 = =0,5 (63).

§3. Ряд четных чисел, кратных числу 2, в структуре натурального ряда чисел Четные числа, содержащиеся в числе 30:

hi =2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30 (64).

Общая формула ряда четных чисел в натуральном ряду чисел:

Zn,i =hi +30n (65) Общее количество четных чисел в числе 30 равно 15, соответственно, структурная постоянная четных чисел:

15 45 2n= = = = 0,5 (66).

30 90 Для нахождения суммы четных чисел в числе 30 воспользуемся тривиальным свойством перевода четного числа в нечетное: от каждого четного числа отнимем единицу 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29;

(67).

Таким образом, полученный ряд чисел есть сумма семи нечетных составных чисел и восьми простых чисел, для которых у нас уже имеются формулы расчета сумм. Дополнительно, необходимо в суммировании чисел учитывать предварительно отнятые 15 единиц. Следовательно, общая сумма четных чисел числа 30:

m (m) -1 (m) m S2n = S2n-1 + S + = m + m + = m (m) (68) p 2 2 2 и для m =30: S2n = 308= 240.

Теперь можно подсчитать общую сумму чисел числа 30:

m m 4 (m) - Sm = S2n + S2n-1 + Sp =2(S2n-1 + Sp) + =2m (m) - =m, (69) 2 2 Подставляя значения m= 30 и (m) = 8 в (68):

Sm = 30(48 – 1)/2 =465.

Проверка:

m(m +1) 30 S30 = = = 465.

2 Если приравнять выражение (69) к известному выражению суммы n чисел:

4 (m) -1 m(m +1) m =, 2 и выразить (m), то:

mn + 2n m + (mn)= = n (70), 4 где n – целое.

В частности, для m=30 и n=1, имеем:

30 + (30) = = 8.

ГЛАВА ИЗОМОРФНЫЕ СВОЙСТВА РЯДОВ ЧЕТНЫХ И НЕЧЕТНЫХ ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА Рассмотрим изоморфные свойства выявленых математических структур – числовых рядов четных, нечетных составных (кратных 3 и 5) чисел и чисел джойнт ряда.

Изоморфизм двух математических структур – это взаимнооднозначное соответствие между совокупностями элементов первой и второй структуры, сохраняющее определенные на этих структурах операции и отношения25.

Определим для всех выявленных рядов чисел в структуре натурального ряда чисел параметр, задающий изоморфизм выделенным математическим структурам с Натуральным Рядом26.

§1. Джойнт ряд чисел Действительно, джойнт ряд в Натуральном Ряду чисел занимает «особое» место. Джойнт ряд состоит из простых (1, 7, 11… ) и составных из простых сомножителей 7 чисел с идентичными отличительными признаками и общей формулой формирования джойнт ряда (50): Xn,i = pi +30n, которые связаны между собой Законом обратной связи (1): q(x) + (x) = [x]. Первые восемь простых чисел: pi = (1;

7;

11;

13;

17;

19;

23;

29). Структурная постоянная = 0,266(6) «играет роль» изоморфной константы перевода чисел джойнт ряда в последовательность чисел изоморфного ряда. При этом целая часть чисел этого ряда «выстраивается» в последовательность чисел Натурального Ряда, то есть становится полностью эквивалентной Натуральному Ряду.

Джойнт ряд составляет 26,66(6)% всех чисел Натурального Ряда.

В таблице 8 представлены результаты нормирования джойнт ряда.

Таблица 8.

pi 1 7 11 13 17 19 23 х 0,26(6) 1,86(6) 2,93(3) 3,46(6) 4,53(3) 5,06(6) 6,13(3) 7,73(3) [x] 0 1 2 3 4 5 6 Х1,i 31 37 41 43 47 49 53 х 8,26(6) 9,86(6) 10,93(3) 11,46(6) 12,53(3) 13,06(6) 14,13(3) 15,73(3) [x] 8 9 10 11 12 13 14 Здесь: х = 0,26(6);

1,86(6);

…15,73(3)…изоморфный Натуральному Ряду джойнт ряд чисел.

В.А. Успенский. Закономерности развития современной математики. М. «НАУКА», 1987. с.106 Натуральный Ряд - с большой, или прописной, буквы – это совокупность всех натуральных чисел.

Если мы знаем что такое натуральное число и понимаем слова «совокупность всех», то мы знаем и что такое Натуральный Ряд.

§2. Ряд нечетных составных чисел (кратных 3 и 5) Назовем, для краткости, ряд нечетных составных (кратных 3 и 5), как РНС3;

5. Этот ряд содержит нечетные составные числа, кратные как числам 3k, s s 5r и X так и их комбинациям: 3k5r X. Первые семь нечетных составных n.i n.i чисел gi = (3, 5, 9, 15, 21, 25, 27) формируют РНС3;

5 по формуле: Yn,i = gi +30n.

Структурная постоянная РНС3;

5, из (54): 2n-1 = - = 0,233(3), также как и в джойнт ряде является изоморфической константой перевода последовательности чисел РНС3;

5 в эквивалентные числа изоморфного ряда.

Также, целая часть изоморфных чисел РНС3;

5 создает эквивалентный Натуральный Ряд чисел. Количество РНС3;

5 в Натуральном Ряду чисел составляет 23,333(3)% от общего количества чисел. В таблице 9 показаны результаты нормирования РНС3;

5.

Таблица 9.

gi 3 5 9 15 21 25 2n-1x 0,699(9) 1,166(6) 2,099(9) 3,499(9) 4,899(9) 5,833(3) 6,299(9) [2n-1x] 1 2 3 4 5 Yn,i 33 35 39 45 51 55 2n-1x 7,699(9) 8,166(6) 9,099(9) 10,499(9) 11,899(9) 12,833(3) 13,299(9) [2n-1x] 8 9 10 11 12 Здесь 2n-1х = 0,699(9);

1,166(6)…13,299(9) изоморфный Натуральному Ряду ряд чисел, кратных 3 и 5.

§3. Ряды нечетных составных чисел кратных, раздельно, 3 и - кратных Из общего ряда РНС3;

5 выделим ряд нечетных составных чисел, кратных и – кратных 5. Структурные постоянные для этих рядов чисел в сумме равны структурной постоянной РНС3;

5: 2n-1=3 + 5.

4 12 3 Из (60): 3 = = = 0,133(3) ;

из (61): 5 = = = 0,1.

30 90 30 В свою очередь, ряд нечетных составных чисел, кратных 5 разбивается на два ряда, с числами, кратными 3 и 5, и - кратными только 5. Это можно увидеть из таблицы 7, сравнивая инварианты: числа, кратные 3 и 5 имеют инварианты Inv3 = 3;

6;

9, а числа кратные только 5 – Inv5 = 1;

2;

4;

5;

7;

8.

Соответственно, структурные постоянные вновь выделенных рядов из ряда с 3 1 6 5 = 0,1, будут равны: 5:3= = = 0,033(3) и 5:5= = = 0,066(6). Таким 90 30 90 образом, используя данные результаты, представим изоморфные Натуральному Ряду три ряда нечетных составных чисел, кратных 3;

кратных и 5 из ряда кратного 5, соответственно, в таблице 10, 11 и 12.

Таблица 10.

gi, 3 9 21 3x 0,399(9) 1,199(9) 2,799(9) 3,599(9) [3x] 0 1 2 Yn,i,3 33 39 51 3x 4,399(9) 5,199(9) 6,799(9) 7,599(9) [3x] 4 5 6 Здесь 3х = 0,39(9);

1,19(9);

…7,59(9)… изоморфный Натуральному Ряду ряд чисел, кратных 3. Общая формула ряда: Yn,i,3 = gi,3 + 30n;

gi,3 =3;

9;

21;

27.

Этот ряд содержит нечетные составные числа, кратные как числам 3k, и s s X так и их комбинациям: 3k X.

n.i n.i Таблица 11.

gi,5: 5 5:5х 0,33(3) 1,66(6) [5:5х] 0 Y5:5 35 5:5х 2,33(3) 3,66(6) [5:5х] 2 Y5:5 65 5:5х 4,33(3) 5,66(6) [5:5х] 4 Здесь 5:5х =0,33(3);

1,66(6);

…5,66(6)… изоморфный Натуральному Ряду ряд чисел с окончанием 5 и кратных 5. Общая формула ряда: Y5:5 = gi,5:5 +30n;

gi,5:5 = 5;

25. Этот ряд содержит нечетные составные числа, кратные как s s числам 5r, и X так и их комбинациям: 5r X.

n.i n.i Таблица 12.

gi,5: 5:3х 0,499(9) [5:3х] Y5:3 5:3х 1,499(9) [5:3х] Y5:3 5:3 х 2,499(9) [5:3х] Y5:3 5:3х 3,499(9) [5:3х] Здесь 5:3х = 0,499(9);

1,499(9);

…3,499(9)…ряд, изоморфный Натуральному Ряду чисел, с окончанием 5 и кратных 3. Общая формула ряда:

Y5:3 = gi,5:3 + 30n;

gi,5:3 = 15. Этот ряд содержит нечетные составные числа, k s s k кратные как числам 3, 5r и X так и их комбинациям: 5r X ;

3 5r ;

5 n.i n.i k s k s 3 5r X ;

3 X.

5 n.i 5 n.i §4. Ряд четных чисел Для ряда четных чисел необходимо заметить, что для него имеют место все сочетания рядов нечетных чисел, с учетом комбинации с множителем 2е.

Таким образом, для четного ряда чисел, имеем:

s s k s k k s 2е;

2е X ;

2е3k;

2е3k X ;

2е3 ;

2е5r;

2е5r X ;

2е3 5r;

2е3 X.

n.i n.i 5 n.i 5 5 n.i Четные числа можно также разбить на два класса чисел, отличающихся инвариантами при периоде повторения матрицы четных чисел, равном 90:

I. Inv = (2;

4;

6), количество четных чисел = 20;

II. Inv = (1;

3;

5;

7;

9), количество четных чисел = 25.

Структурная постоянная ряда четных чисел: 2n = = 0,5.

§5. Количественное распределение классов чисел Натурального Ряда В результате матричного анализа структуры Натурального Ряда чисел мы обнаружили, во-первых: тривиальная сортировка чисел на четные и нечетные;

- во-вторых: классификация четных чисел на два класса по принадлежности к группе инвариантов;

- в третьих: группировка нечетных чисел по инвариантам и окончаниям чисел на четыре класса.

Количественное распределение всех чисел Натурального Ряда, разбитого на упомянутые выше классы чисел, неизменно для каждого периода повторения (Т = 90) матрицы чисел. Поэтому, в качестве общего распределения чисел приведем диаграмму распределения чисел различных классов за один период Т =90 и для nT, n =1, 2, 3, 4.

25 25 25 24 24 24 Неч5: 20 20 20 Неч5: Неч 12 12 12 Джойнт Чет2- 6 6 6 3 3 3 Чет1- 1Т 2Т 3Т 4Т Рис.1 Распределение чисел Натурального Ряда в одном периоде Т =90 и за 4 периода следования.

Количественно, по классам, числа Натурального Ряда распределены следующим образом:

- 3 числа, 3,33(3)% -чисел класса Y5:3 с окончанием 5 и кратных 3;

- 6 чисел, 6,66(6)% - чисел класса Y5:5 с окончанием 5 и кратных 5;

-12 чисел, 13,33(3)% -чисел класса Yn,i,3 с окончанием 3 и кратных 3;

- 21 число, 23,33(3)% - чисел класса Yn,i с окончанием 3 и 5 и кратных 3 и 5;

- 24 числа, 26,66(6)% чисел Джойнт ряда Х1,i;

- 20 чисел, 22,22(2)% чисел четных с Inv = (2;

4;

6);

- 25 чисел, 27,77(7)% чисел четных с Inv = (1;

3;

5;

7;

9).

ГЛАВА МЕТОД НАХОЖДЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ НАТУРАЛЬНОГО РЯДА ЧИСЕЛ §1. Джойнт ряд В процессе анализа числовой последовательности, удовлетворяющей характеристическим параметрам структурной матрицы и приведенной системы вычетов по модулю 30, обнаружилось, что указанным параметрам удовлетворяют не только простые числа: 7, 11, 13, 17,…, но и числа составные: 49, 77, 91, 119, 121,…. Таким образом, скрининг27 простых чисел, осуществляемый матрицей на 24 ячейки, формирует так называемый джойнт ряд простых и составных чисел. Но, что удивительно, составные числа образуются в матрице в строгой закономерности: простые числа, начиная с первого числа 7, коммутируют друг с другом, последовательно заполняя ячейки матрицы. Так, первые составные числа из простых сомножителей можно представить следующим образом:

77;

711;

713;

717;

1111;

719;

1113 и т.д.

Следовательно, структурная матрица “отслеживает” составные числа из простых сомножителей (7) и выявляет закономерность изменения относительного количества простых чисел в натуральном ряду чисел.

Таким образом, учитывая изложенное и Закон обратной связи чисел, можно сформулировать следующее заключение:

«Распределение простых чисел в натуральном ряду чисел формируется Законом обратной связи простых и составных из простых сомножителей (7) чисел и определяется закономерностью заполнения ячеек структурной матрицы составными числами по принципу закономерной коммутации простых чисел друг с другом».

Основываясь на полученных выводах, задачу поиска количества простых чисел при заданном натуральном х Х можно свести к задаче – от «противного», другими словами, к поиску количества составных чисел джойнт ряда.

Покажем, что джойнт ряд обладает свойством счетности, т.е. докажем возможность сопоставления множества указанного ряда чисел с множеством натурального ряда чисел.

Каждый период Т =90 натурального ряда чисел содержит в себе 24 числа джойнт ряда. Выпишем первые 24 числа указанного ряда:

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, (71) 67, 71, 73, 77, 79, 83, 89, 91.

Скрининг –(с англ.) - просеивание Все числа в порядке возрастания сгруппированы в три группы по 8 чисел, имеющих одинаковые окончания. Как видно, каждый столбец указанной таблицы чисел можно представить следующей рекуррентной формулой:

pi + 30n (72) где: pi = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 это восемь первых простых чисел джойнт ряда, n = 1, 2, 3.... Т.е. 8 простых чисел с периодом, равным 30.

8 Отношение же числа 8 к числу 30 тоже дает постоянную = = = 30 0,266666...

Назовем числа pi = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 – порождающими числами джойнт ряда, т.к. зная только эти восемь чисел и период Т = 30, можно по формуле (20) воссоздать весь джойнт ряд.

Счетность джойнт ряда, подтверждающая закономерность (71), определяется следующим образом. Составим произведение структурной постоянной на первые шестнадцать чисел джойнт ряда. Результаты этой операции представлены в Таблице 1.4.

Таблица 13.

pi 7 11 13 17 19 23 29 1 2 3 4 5 6 7 [ pi].866.933.466.533.066.133.733. pi Продолжение Таблицы 13.

pi 37 41 43 47 49 53 59 9 10 11 12 13 14 15 [ pi].866.933.466.533.066.133.733. pi Примечание к таблице:

1) [ pi] - целая часть произведения;

2) pi - мантисса.

Как видно из третьей строки таблицы 13, мантисса pi имеет период, равный восьми: так, мантисса.8666#, соответствующая числу семь, равна мантиссе.8666# числа тридцать семь.

Таким образом, период повторения мантиссы свидетельствует о справедливости закономерности (71), а целая часть произведения - о счетности джойнт ряда.

Обозначим мантиссу pi = ri, тогда для произведения на выражение формулы (72) запишем:

pi + 30n = pi + 8n = ni + ri + 8n (73) ( ) где ni : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8;

ri соответственно: 0,866=3,25 ;

0,933=3,5 ;

0,466=1,75 ;

0,533=2 ;

0,066=0,25 ;

0,133=0,5 ;

0,733=2,75 ;

0,266=.

Представим сумму первых восьми членов ряда простых и составных чисел как сумму восьми членов натурального рядя чисел минус ri = 15 = 4 :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8= 7 + 11+ 13 + 17 + 19 + 23 + 29 + 31- 15, i=8 i =8 i= и далее: ni = pi - ri (74) i=1 i=1 i= ( ) n n + И т.к. n =, то (74) в общем виде:

n n ( ) p = n + = (75) n n n + 2 1 Таким образом, видно, что ряд простых и составных из простых сомножителей чисел однозначно сопоставляется с рядом натуральных чисел.

Отметим, что принадлежность произвольного натурального числа к джойнт ряду теперь определяется достаточно просто:

«Если мантисса х = pi, то это число принадлежит джойнт ряду».

Подробное аналитическое исследование джойнт ряда: формулы для расчета суммы квазигармонического ряда (для 1/pi – чисел, обратных числам джойнт ряда), формула и алгоритм нахождения количества составных и простых чисел, представлено в первой книге автора28.

А.В. Баяндин. К распределению простых чисел в натуральном ряду чисел. «НАУКА», Новосибирск,1999, СИФ РАН, ISBN 5-02-031549-4, стр. 28- «Пока не достигнуто числен- ное определение неизвестных, до тех пор решение остается не- полным или бесполезным, ибо истина, которую мы хотим от- крыть, остается столь же со- крытою в глубине аналитичес- ких выражений, как и в самом физическом вопросе».

Фурье.

§2. Синтез ряда простых и составных из простых сомножителей 7 чисел Теоретические основы синтеза Теоретические результаты использования метода скрининга, метода, основанного на применении матрицы на 24 числа (характеристические параметры матрицы: 6 цифровых корней чисел и 4 окончания – цифры в младшем разряде) к натуральному ряду чисел, позволили выявить периодические закономерности для изменения количества простых чисел и чисел, составленных из простых сомножителей 7. Во-первых, указанные числа связаны друг с другом Законом обратной связи чисел:

(x) + q(x) = [x] (76) где (x) – количество простых чисел, не превышающих число X, q(x) – количество составных чисел из простых сомножителей с минимальным простым сомножителем p1 7, не превышающих некоторое заданное число X, = 0.2666(6)- структурная постоянная джойнт ряда, т.е. ряда из простых чисел и псевдопростых чисел.

Во-вторых, эти числа заполняют собой джойнт ряд, имея одинаковые характеристические параметры структурной матрицы и равный период повторения чисел джойнт ряда (Т = 30).

Периодическая закономерность изменения чисел джойнт ряда позволяет рассчитывать их значения по формулам, что значительно упрощает анализ чисел на простоту, в том числе – разложение произвольных составных чисел на простые множители. В отличие от современных методов поиска простых чисел, основанных на анализе (возможности разложения сколь угодно большого числа на простые множители и вероятностных приближениях), разработанный метод - метод синтеза ряда простых и составных чисел по простым формулам.

Одним из следствий Закона (24) является периодическая закономерность формирования джойнт ряда в виде таблицы из восьми рядов чисел. Столбцы таблицы соответствуют восьми порождающим простым числам pi = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 с периодом Т =30, а строки образуют порядковый номер периода повторения:

X - pi n = (77) T где pi - одно из первых восьми «порождающих» простых чисел, Т = 30 период повторения для каждого из восьми рядов чисел, X - заданное или искомое простое (составное) число джойнт ряда.

Джойнт ряд простых и составных чисел имеет следующий вид:

Xn,i = pi +30n (78) где pi принимает одно из восьми значений: 7;

11;

13;

17;

19;

23;

29;

31.

Структурная постоянная определяет структурное деление натурального ряда на множество составных чисел (четных и нечетных) и множество чисел джойнт ряда (26.666(6)% всех натуральных чисел). Также, она является связующим звеном среди, казалось бы, независимых восьми внутренних рядов джойнт ряда. Это свойство структурной постоянной проявляется в упорядочивании числовой последовательности джойнт ряда, нахождении «порождающего» простого числа pi и номера n периода повторения T джойнт ряда.

Принадлежность произвольного числа к джойнт ряду Способ 1.

Цифровой корень (инвариант) числа, принадлежащего джойнт ряду, принимает шесть значений:

Invj = 1, 2, 4, 5, 7, 8. (79) Окончания (цифра младшего разряда числа) чисел джойнт ряда принимают значения и имеют следующую последовательность размещений в матрице:

Endingi = 3, 1, 9, 7. (80) Пример:

1)Дано число 297437 : inv = 5, Ending = 7. Следовательно, это число принадлежит джойнт ряду.

2)Дано число 237595 : inv = 4, Ending = 5. То есть, это число не принадлежит джойнт ряду из – за несоответствия окончания числа.

3) Дано число 39873 : inv = 3, Ending = 3. Значит, это число не принадлежит джойнт ряду, т.к. значение цифрового корня не соответствует имеющимся инвариантам для этого ряда.

Способ 2.

Используя счетность джойнт ряда, определяемую его свойствами:

периодичностью и структурной постоянной = 0.26666#, всегда можно определить принадлежность произвольного числа этому ряду. Для этого достаточно умножить структурную постоянную = 0.26666# на каждый член pi джойнт ряда.

Тогда, зная всего лишь восемь периодически повторяющихся мантисс, можно определить принадлежность произвольного числа джойнт ряду.

Пример:

1) Дано число 297437, произведение 297437 = 79316.5333#, а мантисса с таким значением имеется у числа 17. Следовательно, число принадлежит к джойнт ряду.

2) Дано число 237595, произведение 237595 = 63358.6666#, что не соответствует ни одному значению приведенных в таблице 13 мантисс.

Следовательно, число 237595 не принадлежит джойнт ряду.

3) Дано число 39873, произведение 39873 = 10632.7999#, что также не соответствует значениям мантисс таблицы 13. Значит, число 39873 не принадлежит джойнт ряду.

§3. Методика расчета ряда простых и ряда составных чисел из простых сомножителей В прикладной математике и естествознании актуальным является вопрос быстрого определения простоты произвольного числа, либо разложимости его на простые множители (факторизация числа);

нахождения массивов и составления таблиц, поиск простых чисел в заданном диапазоне чисел натурального ряда и др. Все перечисленные задачи о простых числах так или иначе связаны с методом определения простоты числа, проверки этого числа на разложимость на множители и т.п. Используемые в настоящее время методы анализа, можно сказать, исчерпали себя. Хотя это, в какой-то степени является стимулом для существования современной криптографии.

Подход, изложенный в первой части настоящей статьи исключает использование современных методов анализа простых чисел. В его основу положен метод синтеза ряда простых и ряда составных чисел, базирующийся на эмпирической закономерности взаимосвязи простых и составных чисел в джойнт ряду. Новый математический «инструмент» в теории чисел - Закон динамического сохранения относительных величин количества чисел (обратной связи простых и составных чисел) дает возможность не только аналитического исследования распределения простых и составных чисел в натуральном ряду, но и - разработки процедур нахождения простых чисел, быстрого определения простоты произвольного числа.

В основу методики, как уже упоминалось выше, положен метод синтеза джойнт ряда и ряда составных чисел.

Первый этап: синтез джойнт ряда Используя формулу (50): Xn,i = pi +30n =Q(x) для восьми первых простых “порождающих” чисел pi = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, составим программу расчета значений чисел джойнт ряда. Результаты расчета значений джойнт ряда по программе на алгоритмическом языке QBASIC представлены в таблице 18. Как видно из таблицы 18., для n = 60 джойнт ряд представляет собой 8 столбцов по 60 элементов (строк) в каждом столбце. Период повторения чисел в каждом столбце равен Т = 30. Джойнт ряд содержит в себе как простые числа, так и составные (с наименьшим множителем 7).

Второй этап: синтез ряда составных чисел Как показано в настоящей статье, ряд составных чисел формируется путем коммутации (перемножения) чисел джойнт ряда. Используем возможность искусственной коммутации элементов джойнт ряда Q(х) с образованием всех возможных сочетаний. Для этого достаточно последовательно перемножить элементы двух идентичных рядов Q(х) по следующему алгоритму:

(7+30m){(7 + 30n);

(11 + 30n);

(13 +30n);

…(31 +30n)};

(81) (11+30m){(11 + 30n);

(13 +30n);

… (31 +30n);

(7 +30(n+1))};

(13+30m){(13+30n);

(17+30n);

…(7+30(n+1));

(11+30(n+1))};

......

(31+30m){(31+30n);

(7+30(n+1));

… (29+30(n+1))}, где m n, m, n = 0, 1, 2, 3, 4… В Таблице 14 представлен массив составных чисел, рассчитанных по алгоритму на основе выражения (81);

Программа 1 на языке QBASIC.

Таблица 14.

Составные числа из простых сомножителей 7 (по Программе 1).

VALUE J, I? 0, 7 11 13 17 19 23 29 31 - pi Xs =(a + 30I)(b + 30J);

217 161 133 77 49 203 119 187 341 253 407 319 143 209 247 221 403 377 169 533 299 697 731 493 527 289 323 629 817 551 703 437 589 893 779 667 851 943 1127 529 713 989 1537 1421 1363 1247 1189 1073 899 1147 1271 1333 1457 1519 1643 1829 VALUE J, I? 0, 427 371 343 287 259 413 329 517 671 583 737 649 473 539 637 611 793 767 559 923 689 1207 1241 1003 1037 799 833 1139 1387 1121 1273 1007 1159 1463 1349 1357 1541 1633 1817 1219 1403 1679 2407 2291 2233 2117 2059 1943 1769 2077 2201 2263 2387 2449 2573 2759 VALUE J, I? 0, 637 581 553 497 469 623 539 847 1001 913 1067 979 803 869 1027 1001 1183 1157 949 1313 1079 1717 1751 1513 1547 1309 1343 1649 1957 1691 1843 1577 1729 2033 1919 2047 2231 2323 2507 1909 2093 2369 3277 3161 3103 2987 2929 2813 2639 3007 3131 3193 3317 3379 3503 3689 Программа 1.

CLS INPUT "VALUE J, I";

J, I DATA 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, READ A, B, C, D, E, F, G, H CONST M =.2666666666666667# FOR L = 0 TO J STEP FOR N = 0 TO I STEP S1 = (A + 30 * N) PI = (A + 30 * L) S2 = (B + 30 * N) P2 = (B + 30 * L) S3 = (C + 30 * N) P3 = (C + 30 * L) S4 = (D + 30 * N) P4 = (D + 30 * L) S5 = (E + 30 * N) P5 = (E + 30 * L) S6 = (F + 30 * N) P6 = (F + 30 * L) S7 = (G + 30 * N) P7 = (G + 30 * L) S8 = (H + 30 * N) P8 = (H + 30 * L) S9 = (A + 30 * (N + 1)) S10= (B + 30 * (N + 1)) S11= (C + 30 * (N + 1)) S12= (D + 30 * (N + 1)) S13= (E + 30 * (N + 1)) S14= (F + 30 * (N + 1)) S15= (G + 30 * (N + 1)) Yl = PI * SI Y2 = PI * S Y3 = PI * S Y4 = PI * S Y5 = PI * S Y6 = PI * S Y7 = PI * S Y8 = PI * S Y9 = P2 * S Y10 = P2 * S Yll = P2 * S Y12 = P2 * S Y13 = P2 * S Y14 = P2 * S Y15 = P2 * S Y16 = P2 * S Y17 = P3 * S Y18 = P3 * S Y19 = P3 * S Y20 = P3 * S Y21 = P3 * S Y22 = P3 * S Y23 = P3 * S Y24 = P3 * S Y25 = P4 * S Y26 = P4 * S Y27 = P4 * S Y28 = P4 * S Y29 = P4 * S Y30 = P4 * S Y31 = P4 * S Y32 = P4 * Sll Y33 = P5 * S Y34 = P5 * S Y35 = P5 * S Y36 = P5 * S Y37 = P5 * S Y38 = P5 * S Y39 = P5 * Sll Y40 = P5 * S Y41 = P6 * S Y42 = P6 * S Y43 = P6 * S Y44 = P6 * S Y45 = P6 * S Y46 = P6 * Sll Y47 = P6 * S Y48 = P6 * S Y49 = P7 * S Y50 = P7 * S Y51 = P7 * S Y52 = P7 * S Y53 = P7 * Sll Y54 = P7 * S Y55 = P7 * S Y56 = P7 * S Y57 = P8 * S Y58 = P8 * S Y59 = P8 * S Y60 = P8 * Sll Y61 = P8 * S Y62 = P8 * S Y63 = P8 * S Y64 = P8 * S NEXT N NEXT L PRINT Y8;

Y6;

Y5;

Y2;

Yl;

Y7;

Y4;

Y PRINT Yll;

Y15;

Y13;

Y16;

Y14;

Y10;

Y12;

Y PRINT Y19;

Y18;

Y22;

Y21;

Y17;

Y24;

Y20;

Y PRINT Y31;

Y32;

Y28;

Y29;

Y25? Y26;

Y30;

Y PRINT Y39;

Y35;

Y37;

Y34;

Y36;

Y40;

Y38;

Y PRINT Y42;

Y44;

Y45;

Y48;

Y41;

Y43;

Y46;

Y PRINT Y56;

Y55;

Y54;

Y53;

Y52;

Y51;

Y50;

Y PRINT Y58;

Y59;

Y60;

Y61;

Y62;

Y63;

Y64;

Y END В Таблице 15 отражены результаты расчета индексов периодов повторения составных чисел Таблицы 14;

Программа 2 на языке QBASIC.

Таблица 15.

Номера периодов повторения составных чисел, по Программе 2.

X - pi s N =.

VALUE J, I? 0, 7 11 13 17 19 23 29 31 - pi n 7 5 4 2 1 6 3 6 11 8 13 10 4 6 8 7 13 12 5 17 9 23 24 16 17 9 10 20 27 18 23 14 19 29 25 22 28 31 37 17 23 32 51 47 45 41 39 35 29 38 42 44 48 50 54 60 VALUE J, I? 0, 14 12 11 9 8 13 10 17 22 19 24 21 15 17 21 20 26 25 18 30 22 40 41 33 34 26 27 37 46 37 42 33 38 48 44 45 51 54 60 40 46 55 80 76 74 70 68 64 58 69 73 75 79 81 85 91 VALUE J, I? 0, 21 19 18 16 15 20 17 28 33 30 35 32 26 28 34 33 39 38 31 43 35 57 58 50 51 43 44 54 65 56 61 52 57 67 63 68 74 77 83 63 69 78 109 105 103 99 97 93 87 100 104 106 110 112 116 122 CLS INPUT "VALUE J, I";

J, I DATA 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, READ A, B, C, D, E, F, G, H CONST M =.2666666666666667# FOR L = 0 TO J STEP 1 FOR N = 0 TO I STEP S1 = (A + 30 * N) PI = (A + 30 * L) S2 = (B + 30 * N) P2 = (B + 30 * L) S3 = (C + 30 * N) P3 = (C + 30 * L) S4 = (D + 30 * N) P4 = (D + 30 * L) S5 = (E + 30 * N) P5 = (E + 30 * L) S6 = (F + 30 * N) P6 = (F + 30 * L) S7 = (G + 30 * N) P7 = (G + 30 * L) S8 = (H + 30 * N) P8 = (H + 30 * L) S9 = (A + 30 * (N + 1)) S10= (B + 30 * (N + 1)) S11= (C + 30 * (N + 1)) S12= (D + 30 * (N + 1)) S13= (E + 30 * (N + 1)) S14= (F + 30 * (N + 1)) S15= (G + 30 * (N + 1)) Yl = PI * SI Y2 = PI * S Y3 = PI * S Y4 = PI * S Y5 = PI * S Y6 = PI * S Y7 = PI * S Y8 = PI * S Y9 = P2 * S Y10 = P2 * S Yll = P2 * S Y12 = P2 * S Y13 = P2 * S Y14 = P2 * S Y15 = P2 * S Y16 = P2 * S Y17 = P3 * S Y18 = P3 * S Y19 = P3 * S Y20 = P3 * S Y21 = P3 * S Y22 = P3 * S Y23 = P3 * S Y24 = P3 * S Y25 = P4 * S Y26 = P4 * S Y27 = P4 * S Y28 = P4 * S Y29 = P4 * S Y30 = P4 * S Y31 = P4 * S Y32 = P4 * Sll Y33 = P5 * S Y34 = P5 * S Y35 = P5 * S Y36 = P5 * S Y37 = P5 * S Y38 = P5 * S Y39 = P5 * Sll Y40 = P5 * S Y41 = P6 * S Y42 = P6 * S Y43 = P6 * S Y44 = P6 * S Y45 = P6 * S Y46 = P6 * Sll Y47 = P6 * S Y48 = P6 * S Y49 = P7 * S Y50 = P7 * S Y51 = P7 * S Y52 = P7 * S Y53 = P7 * Sll Y54 = P7 * S Y55 = P7 * S Y56 = P7 * S Y57 = P8 * S Y58 = P8 * S Y59 = P8 * S Y60 = P8 * Sll Y61 = P8 * S Y62 = P8 * S Y63 = P8 * S Y64 = P8 * S XI = (Yl - 19) / X2 = (Y2 - 17) / X3 = (Y3 - 31) / X4 = (Y4 - 29) / X5 = (Y5 - 13) / X6 = (Y6 - 11) / X7 = (Y7 - 23) / X8 = (Y8 - 7) / X9 = (Y9 - 31) / X10 = (Y10 - 23) / Xll = (Yll - 7) / X12 = (Y12 - 29) / X13 = (Y13 - 13) / X14 = (Y14 - 19) / X15 = (Y15 - 11) / X16 = (Y16 - 17) / X17 = (Y17 - 19) / X18 = (Y18 - 11) / X19 = (Y19 - 7) / X20 = (Y20 - 29) / X21 = (Y21 - 17) / X22 = (Y22 - 13) / X23 = (Y23 - 31) / X24 = (Y24 - 23) / X25 = (Y25 - 19) / X26 = (Y26 - 23) / X27 = (Y27 - 31) / X28 = (Y28 - 13) / X29 = (Y29 - 17) / X30 = (Y30 - 29) / X31 = (Y31 - 7) / X32 = (Y32 - 11) / X33 = (Y33 - 31) / X34 =(Y34 - 17) / X35 =(Y35 - 11) / X36 =(Y36 - 19) / X37 =(Y37 - 13) / X38 =(Y38 - 29) / X39 =(Y39 - 7) / X40 =(Y40 - 23) / X41 =(Y41 - 19) / X42 =(Y42 - 7) / X43 =(Y43 - 23) / X44 =(Y44 - 11) / X45 =(Y45 - 13) / X46 =(Y46 - 29) / X47 =(Y47 - 31) / X48 =(Y48 - 17) / X49 =(Y49 - 31) / X50 =(Y50 - 29) / X51 =(Y51 - 23) / X52 =(Y52 - 19) / X53 =(Y53 - 17) / X54 =(Y54 - 13) / X55 =(Y55 - 11) / X56 =(Y56 - 7) / X57 =(Y57 - 31) / X58 =(Y58 - 7) / X59 =(Y59 - 11) / X60 =(Y60 - 13) / X61 =(Y61 - 17) / X62 =(Y62 - 19) / X63 =(Y63 - 23) / X64 =(Y64 - 29) / NEXT N NEXT L PRINT ( 7);

(11);

(13);

(17);

(19);

(23);

(29);

(31) PRINT X8;

X6;

X5;

X2;

X1;

X7;

X4;

X3;

PRINT X11;

X15;

X13;

X16;

X14;

X10;

X12;

X9;

PRINT X19;

X18;

X22;

X21;

X17;

X24;

X20;

X23;

PRINT X31;

X32;

X28;

X29;

X25;

X26;

X30;

X27;

PRINT X39;

X35;

X37;

X34;

X36;

X40;

X38;

X33;

PRINT X42;

X44;

X45;

X48;

X41;

X43;

X46;

X47;

PRINT X56;

X55;

X54;

X53;

X52;

X51;

X50;

X49;

PRINT X58;

X59;

X60;

X61;

X62;

X63;

X64;

X57;

END В основу принципа исключения составных чисел из джойнт ряда положена подмеченная закономерность распределения всех составных чисел по их окончаниям (цифре младшего разряда числа: 3, 1, 9, 7) и значениям порождающих чисел pi = 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

Закономерность распределения составных чисел по их окончаниям и порождающим числам представлена в Таблице 16 и – 17.

Обозначения Y(ij) составных чисел соответствуют их обозначениям в Программе 1 настоящего метода.

Таблица 16.

Y1;

9;

19 Y9;

1;

31 Y17;

9;

19 Y25;

9;

19 Y33;

1;

31 Y41;

9;

19 Y49;

1;

31 Y57;

1;

Y2;

7;

17 Y10;

3;

23 Y18;

1;

11 Y26;

3;

23 Y34;

7;

17 Y42;

7;

7 Y50;

9;

29 Y58;

7;

Y3;

1;

31 Y11;

7;

7 Y19;

7;

7 Y27;

1;

31 Y35;

1;

11 Y43;

3;

23 Y51;

3;

23 Y59;

1;

Y4;

9;

29 Y12;

9;

29 Y20;

9;

29 Y28;

3;

13 Y36;

9;

19 Y44;

1;

11 Y52;

9;

19 Y60;

3;

Y5;

3;

13 Y13;

3;

13 Y21;

7;

17 Y29;

7;

17 Y37;

3;

13 Y45;

3;

13 Y53;

7;

17 Y61;

7;

Y6;

1;

11 Y14;

9;

19 Y22;

3;

13 Y30;

9;

29 Y38;

9;

29 Y46;

9;

29 Y54;

3;

13 Y62;

9;

Y7;

3;

23 Y15;

1;

11 Y23;

1;

31 Y31;

7;

7 Y39;

7;

7 Y47;

1;

31 Y55;

1;

11 Y63;

3;

Y8;

7;

7 Y16;

7;

17 Y24;

3;

23 Y32;

1;

11 Y40;

3;

23 Y48;

7;

17 Y56;

7;

7 Y64;

9;

Таблица 17.

7 11 13 17 19 23 29 Y8 Y6 Y5 Y2 Y1 Y7 Y4 Y Y11 Y15 Y13 Y16 Y14 Y10 Y12 Y Y19 Y18 Y22 Y21 Y17 Y24 Y20 Y Y31 Y32 Y28 Y29 Y25 Y26 Y30 Y Y39 Y35 Y37 Y34 Y36 Y40 Y38 Y Y42 Y44 Y45 Y48 Y41 Y43 Y46 Y Y56 Y55 Y54 Y53 Y52 Y51 Y50 Y Y58 Y59 Y60 Y61 Y62 Y63 Y64 Y Необходимо отметить, что в соответствии с выражением (81) для расчета составных чисел, для любого сочетания значений m, n рассчитывается матрица (8 8) чисел, ровно на 64 числа. Поэтому символы Y(ij) значений составных чисел распределяются в Таблице 17 по восемь чисел в столбцах порождающих чисел 7;

11;

13;

17;

19;

23;

29;

31 с соответствующими окончаниями чисел в этих столбцах 7;

1;

3;

7;

9;

3;

9;

1.

Простые числа при данном способе получения массива составных чисел остаются в джойнт ряду после исключения синтезированных составных чисел из этого ряда, см. Таблицу 20.

Примечание: Все расчеты проводились для n = 60.

В качестве подтверждения Закона обратной связи простых и составных из простых сомножителей 7 чисел на рис. 2 представлен (x) q(x) график по рассчитанным значениям для и до значений х x x 109.

0, Прост 0, Сост 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, Рис.2. Рассчитанные нормированные значения (x) q(x) количества простых и составных чисел в Натуральном Ряду x x чисел.

§4. Комментарии к таблицам расчетных данных по простым и составным числам В качестве подтверждения Динамического закона сохранения относительных величин – Закона обратной связи чисел и его следствия - джойнт ряда, сравним Таблицу 21 с известными первыми 279 простыми числами, и - джойнт ряд, образованный только простыми числами, Таблица 22. Как видно из Таблицы 22., незаполненные числами пустые места и есть составные числа с наименьшим множителем 7.

Для большей наглядности, иллюстрации содержания Закона обратной связи чисел:

(x) + q(x) = x (82) в таблицах 18., 19. и 20. приведены результаты расчета количества чисел, соответственно: джойнт ряда;

джойнт ряда без простых чисел и джойнт ряда без составных чисел. При этом, количество чисел Таблицы 19 и Таблицы 20 равно количеству чисел Таблицы 18 и, соответственно, совмещая Таблицу 19 и Таблицу 20 – получаем Таблицу 18.

+ E Джойнт ряд для n: от n = 0 до n = 60. Таблица 18.

(х) + q(x) = 279 + 209 = 488= xmax=0.2666 0 7 11 13 17 19 23 29 1 37 41 43 47 49 53 59 2 67 71 73 77 79 83 89 3 97 101 103 107 109 113 119 4 127 131 133 137 139 143 149 5 157 161 163 167 169 173 179 6 187 191 193 197 199 203 209 7 217 221 223 227 229 233 239 8 247 251 253 257 259 263 269 9 277 281 283 287 289 293 299 10 307 311 313 317 319 323 329 11 337 341 343 347 349 353 359 12 367 371 373 377 379 383 389 13 397 401 403 407 409 413 419 14 427 431 433 437 439 443 449 15 457 461 463 467 469 473 479 16 487 491 493 497 499 503 509 17 517 521 523 527 529 533 539 18 547 551 553 557 559 563 569 19 577 581 583 587 589 593 599 20 607 611 613 617 619 623 629 21 637 641 643 647 649 653 659 22 667 671 673 677 679 683 689 23 697 701 703 707 709 713 719 24 727 731 733 737 739 743 749 25 757 761 763 767 769 773 779 26 787 791 793 797 799 803 809 27 817 821 823 827 829 833 839 28 847 851 853 857 859 863 869 29 877 881 883 887 889 893 899 30 907 911 913 917 919 923 929 31 937 941 943 947 949 953 959 32 967 971 973 977 979 983 989 33 997 1001 1003 1007 1009 1013 1019 34 1027 1031 1033 1037 1039 1043 1049 35 1057 1061 1063 1067 1069 1073 1079 36 1087 1091 1093 1097 1099 1103 1109 37 1117 1121 1123 1127 1129 1133 1139 38 1147 1151 1153 1157 1159 1163 1169 39 1177 1181 1183 1187 1189 1193 1199 40 1207 1211 1213 1217 1219 1223 1229 41 1237 1241 1243 1247 1249 1253 1259 42 1267 1271 1273 1277 1279 1283 1289 43 1297 1301 1303 1307 1309 1313 1319 44 1327 1331 1333 1337 1339 1343 1349 45 1357 1361 1363 1367 1369 1373 1379 46 1387 1391 1393 1397 1399 1403 1409 47 1417 1421 1423 1427 1429 1433 1439 48 1447 1451 1453 1457 1459 1463 1469 49 1477 1481 1483 1487 1489 1493 1499 50 1507 1511 1513 1517 1519 1523 1529 51 1537 1541 1543 1547 1549 1553 1559 52 1567 1571 1573 1577 1579 1583 1589 53 1597 1601 1603 1607 1609 1613 1619 54 1627 1631 1633 1637 1639 1643 1649 55 1657 1661 1663 1667 1669 1673 1679 56 1687 1691 1693 1697 1699 1703 1709 57 1717 1721 1723 1727 1729 1733 1739 58 1747 1751 1753 1757 1759 1763 1769 59 1777 1781 1783 1787 1789 1793 1799 60 1807 1811 1813 1817 1819 1823 1829 Составные числа(Джойнт ряд без простых чисел) Таблица 19.

q(x) = 0) 7 11 13 17 19 23 29 31 “ порождающие числа” 1) 2) 77 3) 119 4) 133 5) 161 6) 187 203 7) 217 8) 247 253 9) 287 289 299 10) 319 323 11) 341 343 12) 371 377 13) 403 407 14) 427 437 15) 469 473 16) 493 497 17) 517 527 529 533 18) 551 553 19) 581 583 20) 611 623 21) 637 22) 667 671 679 23) 697 703 707 713 24) 731 737 25) 763 767 779 26) 791 793 799 27) 817 833 28) 847 851 869 29) 889 893 899 30) 913 917 923 31) 943 949 959 32) 973 979 33) 1001 1003 34) 1027 1037 35) 1057 1067 1073 1079 36) 1099 37) 1121 1127 1133 1139 38) 1147 1157 1159 39) 1177 1183 1189 40) 1207 1211 41) 1241 1243 1247 1253 42) 1267 1271 43) 1309 44) 1331 1333 1337 1339 1343 1349 45) 1357 1363 1369 46) 1387 1391 1393 1397 1403 47) 1417 1421 48) 1457 1463 49) 1477 50) 1507 1513 1517 1519 51) 1537 1541 1547 52) 1573 1577 1589 53) 54) 1631 1633 1639 1643 1649 55) 1661 1673 1679 56) 1687 1691 1703 57) 1717 1727 1729 58) 1751 1757 1763 1769 59) 1781 1793 60) 1807 1813 1817 1819 Простые числа (Джойнт ряд без составных чисел) Таблица 20.

(х) = 0) 7 11 13 17 19 23 29 1) 37 41 43 47 53 59 2) 67 71 73 79 83 3) 97 101 103 107 109 4) 127 131 137 139 149 5) 157 163 167 173 179 6) 191 193 197 199 7) 223 227 229 233 239 8) 251 257 263 269 9) 277 281 283 10) 307 311 313 317 11) 337 347 349 353 12) 367 373 379 383 13) 397 401 409 419 14) 431 433 439 443 15) 457 461 463 467 16) 487 491 499 503 17) 521 523 18) 547 557 563 569 19) 577 587 593 599 20) 607 613 617 619 21) 641 643 647 653 659 22) 673 677 683 23) 701 709 24) 727 733 739 743 25) 757 761 769 26) 787 797 809 27) 821 823 827 829 28) 853 857 859 29) 877 881 883 30) 907 911 919 31) 937 941 947 32) 967 971 977 983 33) 997 1009 1013 1019 34) 1031 1033 1039 1049 35) 1061 1063 36) 1087 1091 1093 1097 1103 37) 1117 1123 38) 1151 1153 1163 39) 1181 1187 1193 40) 1213 1217 1223 1229 41) 1237 1249 42) 1277 1279 1283 1289 43) 1297 1301 1303 1307 1319 44) 45) 1361 1367 1373 46) 1399 47) 1423 1427 1429 1433 48) 1447 1451 1453 1459 49) 1481 1483 1487 1489 1493 50) 1511 1523 51) 1543 1549 1553 52) 1567 1571 1579 53) 1597 1601 1607 1609 1613 1619 54) 1627 55) 1657 1663 1667 56) 1693 1697 1699 57) 1721 1723 1733 58) 1747 1753 59) 1777 1783 1787 1789 60) 1811 1823 Первые известные 279 простых чисел Таблица 21.

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 809 811 821 823 827 829 839 853 857 859 863 877 881 883 887 907 919 929 937 941 947 953 967 971 977 983 991 997 1009 1013 1021 1031 1033 1039 1049 1051 1061 1063 1069 1087 1091 1093 1103 1109 1117 1123 1129 1151 1153 1163 1171 1181 1187 1193 1213 1217 1223 1229 1231 1237 1249 1259 1277 1279 1283 1289 1297 1301 1303 1307 1319 1321 1327 1361 1367 1373 1381 1399 1423 1427 1429 1433 1439 1447 1451 1453 1459 1471 1481 1483 1489 1493 1499 1511 1523 1531 1543 1549 1553 1559 1567 1571 1583 1597 1601 1607 1609 1613 1619 1621 1627 1637 1657 1663 1669 1693 1697 1699 1709 1721 1723 1733 1741 1747 1753 1759 1783 1787 1789 1801 1811 1823 Известные 279 простых чисел, упорядоченных в джойнт ряд без составных чисел. Таблица 22.

0) 7 11 13 17 19 23 29 1) 37 41 43 47 53 59 2) 67 71 73 79 83 3) 97 101 103 107 109 4) 127 131 137 139 149 5) 157 163 167 173 179 6) 191 193 197 199 7) 223 227 229 233 239 8) 251 257 263 269 9) 277 281 283 10) 307 311 313 317 11) 337 347 349 353 12) 367 373 379 383 13) 397 401 409 419 14) 431 433 439 443 15) 457 461 463 467 16) 487 491 499 503 17) 521 523 18) 547 557 563 569 19) 577 587 593 599 20) 607 613 617 619 21) 641 643 647 653 659 22) 673 677 683 23) 701 709 24) 727 733 739 743 25) 757 761 769 26) 787 797 809 27) 821 823 827 829 28) 853 857 859 29) 877 881 883 30) 907 911 919 31) 937 941 947 32) 967 971 977 983 33) 997 1009 1013 1019 34) 1031 1033 1039 1049 35) 1061 1063 36) 1087 1091 1093 1097 1103 37) 1117 1123 38) 1151 1153 1163 39) 1181 1187 1193 40) 1213 1217 1223 1229 41) 1237 1249 42) 1277 1279 1283 1289 43) 1297 1301 1303 1307 1319 44) 45) 1361 1367 1373 46) 1399 47) 1423 1427 1429 1433 48) 1447 1451 1453 1459 49) 1481 1483 1487 1489 1493 50) 1511 1523 51) 1543 1549 1553 52) 1567 1571 1579 53) 1597 1601 1607 1609 1613 1619 54) 1627 55) 1657 1663 1667 56) 1693 1697 1699 57) 1721 1723 1733 58) 1747 1753 59) 1777 1783 1787 1789 60) 1811 1823 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Как видно из изложенного материала, принцип обратной связи имеет и в математике довольно прочные «корни». Хочется верить, что предложенный в монографии механизм возникновения и действия обратной связи чисел найдет свое применение и в других областях современного естествознания.

Нужно признать, что представленный материал – это лишь основы, первые шаги в понимании действия законов сохранения и, соответственно, закона обратной связи, в фундаменте математики – натуральном ряду чисел.

Мы так часто говорим о единстве и борьбе противоположностей, что это понятие стало тривиальным, само собой разумеющимся и не требующим исследования. Может быть, поэтому этот фундаментальный закон природы так мало исследован и углублен и, что характерно, почти совершенно не математизирован. А между тем он достоин самого пристального изучения и развития – ведь это один из основных, наиболее общих законов мироздания29. В законах сохранения, принципе обратной связи как раз и обнаруживаются черты фундаментального закона.

Выявление и понимание действия принципа обратной связи в естествознании является, на наш взгляд, одним из необходимых условий интеграции знаний постнеклассической науки.

Н. Васютинский. Золотая пропорция. М.: «Молодая гвардия». 1990, стр. Приложение СВОЙСТВА ДЖОЙНТ РЯДА ЧИСЕЛ I. Свойства простых и составных из простых сомножителей чисел Для ряда натуральных чисел рассмотрим их некоторые свойства, определяющие принадлежность чисел к той или иной группе, классу.

«Условимся под неопределяемым в математике первичным понятием “натуральное число” понимать абстрактную количественную меру дискретной совокупности материи. Данное определение поможет нам в дальнейшем прийти к пониманию кардинального отличия простых чисел от составных.» Целью настоящей работы является математическое доказательство справедливости эмпирического закона обратной связи простых и составных чисел с простыми множителями 7[1]30.

Определение 1. В десятичной системе счисления всякое многозначное число натурального ряда чисел имеет в младшем разряде числа одну из десяти цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Определение 2. Всякое многозначное число сводимо к однозначному числу путем последовательного сложения цифр всех разрядов числа друг с другом.

Обозначение 1. Цифру младшего разряда многозначного числа в десятичной системе счисления назовем окончанием числа и обозначим:

Endingj(x), или в сокращении, как: Endj(x).

Обозначение 2. Однозначное число по “Определению 2” назовем цифровым инвариантом многозначного числа и обозначим: Invi(x).

Определение 3. В десятичной системе счисления всякое число натурального ряда чисел, за исключением нуля, имеет один из девяти инвариантов: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Простым называется число, которое делится только на само себя и на единицу. Будем рассматривать ряд простых чисел, первым членом которого является число семь в силу свойств этого ряда, обсуждаемых ниже по тексту. Также, в соответствии со сказанным, рассмотрим составные числа из простых сомножителей, наименьшим из которых является число семь.

Аксиома 1. Все простые числа 7 имеют одно из четырех окончаний:

3, 1, 9, 7.

Аксиома 2. Все простые числа 7 имеют один из шести инвариантов:

1, 2, 4, 5, 7, 8.

Лемма 1. Период повторения одинакового окончания для чисел в десятичной системе счисления равен 10:

А.В. Баяндин. К распределению простых чисел в натуральном ряду чисел. Новосибирск,1999, «НАУКА», ISBN 5-02-031549-4.

x - End j = k, (1) где:k = 1, 2, 3….целые числа.

Лемма 2. Период повторения одинакового инварианта в десятичной системе счисления равен 9:

x - Invi = n, (2) где: n=1, 2, 3…. целые числа.

Лемма 3. Инвариант произвольного числа х от суммирования его с девяткой или числом, кратным ему, остается неизменным:

Invi(х +9n) = const (3) Лемма 4. Окончание произвольного числа х от суммирования его с десяткой или числом, кратным ему, остается неизменным:

Endj(x + 10k) =const (4) Теорема 1. Если в десятичной системе счисления период повторения одинакового инварианта равен 9, а - одинакового окончания равен 10, то числа, имеющие постоянные как инвариант, так и окончание, образуют периодический ряд с периодом, равным 90.

Доказательство.

Обозначим период повторения для одного из шести инвариантов через ТInv(i), а период повторения для одного из четырех окончаний через ТEnd(j).

Тогда для произвольного простого числа х запишем тождество:

x + TInv(i) = x + ТEnd(j). (5) Из (3) следует, что:

TInv(i) = ТEnd(j) (6), Следовательно, период повторения для произвольного числа х с неизменным инвариантом и окончанием должен быть одинаковым как по инварианту, так и по окончанию.

Используя предложения Леммы 1 и Леммы 2 и свойство инвариантов и окончаний чисел десятичной системы счисления (Лемма 3 и 4), перепишем выражение (5) в следующем виде:

x +9n = x + 10k (7) В тождестве (7) равенство левой и правой частей выражения достигается при:

k = (8), n что соответствует минимальным значениям: k =9 и n =10.

Соответственно, период повторения для произвольного числа х с неизменным инвариантом и окончанием составит по формуле (6):

TInv(i) = 9n =ТEnd(j)=10k = 90 (9), что и требовалось доказать.

Теорема 2. Все составные числа из простых сомножителей 7 имеют инварианты и окончания, идентичные инвариантам и окончаниям простых чисел 7.

Доказательство.

Используя предложения Леммы 1 и 2 запишем произведение двух произвольных простых чисел как по инвариантам, так и по окончаниям:

xпр.i xпр.j = (9n + Invi)(9m + Invj) =(10k +Endi)(10l +Endj) (10) Рассмотрим левую и правую части выражения (10)отдельно, перемножая сомножители.

Для инвариантов:

9m9n + 9mInvi + 9nInvj + InviInvj (11) Для окончаний:

10k10l + 10kEndi + 10lEndj + EndiEndj (12) Из анализа (11) и (12) следует, что первые три слагаемых в каждом выражении не влияют на значение соответственно инварианта и окончания. В первом случае – девятка и кратные ей значения (Лемма 3), во втором – десятка и кратные ей значения (Лемма 4).

Четвертые слагаемые как в (11) так и в (12) в своих комбинаторных сочетаниях по значениям инвариантов и окончаний, соответственно, не изменяют их количества и не добавляют новых значений:

а)Invi Invj(1,2,4,5,7,8);

(2,4,8,1,5,7);

(4,8,7,2,1,5);

(5,1,2,7,4);

(7,5,1,8,4,2) ;

(8,7,5,4,2,1).

б) EndiEndj(3,1,9,7);

(9,3,7,1);

(7,9,1,3);

(1,7,3,9).

Количество сомножителей из простых чисел (xпр.1 xпр.2 xпр3 …..

xпр.n), также не добавляет дополнительных значений, как инвариантов, так и окончаний, т.к. любые два сочетания простых сомножителей дают те же инварианты и окончания чисел. Тогда, на основании Аксиом 1 и 2, доказанной Теоремы 1 следует, что инварианты и окончания составных чисел из простых сомножителей 7 в точности соответствуют инвариантам и окончаниям простых чисел 7. Другими словами, только коммутации простых чисел 7 (различные комбинаторные сочетания – перемножения сомножителей из простых чисел) дают в результате то же поле инвариантов и окончаний, что и у самих простых чисел. Что и требовалось доказать.

II. Закономерность изменения количества простых и составных из простых сомножителей 7 чисел – обратная связь чисел Можно утверждать, что Аксиомы 1 и 2 совместны. Как известно [2]31, только для совместных аксиом можно построить модель, в которой аксиомы содержатся вместе и характеризуют разные свойства этой модели. В качестве модели указанных аксиом выступает матрица на 6 4 =24 числа с периодом повторения, равным Т=90 чисел, в соответствии с доказанными теоремами.

0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180 189 1 1 19 37 73 91 109 127 163 181 2 2 11 29 47 83 101 119 137 173 3 4 13 31 49 67 103 121 139 157 5 5 23 41 59 77 113 131 149 167 7 7 43 61 79 97 133 151 169 8 17 53 71 89 107 143 161 179 Рис. 1. Периодическая матрица на 24 числа простых и составных из простых сомножителей чисел 7.

В соответствии с теоремой логики:

«Если система аксиом совместна, то она непротиворечива».

Соответственно, Аксиомы 1 и 2 непротиворечивы. А так как эти аксиомы не выводятся друг из друга, то можно утверждать, что они и независимы [2]32.

Матрица на 24 числа включает в себя не только простые числа, но и числа составные из простых сомножителей 7. Так, уже в первой матрице имеем 2 составных числа, а именно: 49 и 77;

во второй матрице – 8: 91, 119, 121, 133, 143,161, 169 и 187. На рис.1 составные числа отмечены символом.

Вследствие доказанной выше синхронной периодичности всех чисел матрицы, а именно с периодом Т = 90, периодична и сама матрица на 24 числа, с периодом повторения равным Т = 90.

В.А. Успенский. Что такое аксиоматический метод? М. Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, стр. Там же. Стр 27- Следовательно, эта матрица чисел периодически, с Т = 90 чисел, заполняет весь натуральный ряд чисел. А в каждой матрице содержится ровно 24 числа как простых, так и составных из простых сомножителей 7 чисел.

Последнее утверждение можно записать следующим образом:

Q(x) = = 0.2666#= (13), x где: – структурная постоянная.

Где Q(x) – сумма простых и составных из простых сомножителей чисел.

Представим сумму Q(x) в виде:

Q(x) = (x) +q(x) (14), Где (x) и q(x) – количество простых и составных из простых сомножителей 7 чисел.

Тогда из (13) получим:

(x) +q(x) = [х] (15), где: [х] - целая часть рационального числа.

Таким образом, мы доказали, что количественные функции (x) и q(x) зависят друг от друга и находятся в тесной взаимосвязи. Более того, можно утверждать, что количество простых чисел, характер их распределения в натуральном ряду чисел определяется необходимо и достаточно формированием количества составных чисел из простых сомножителей 7.

Назовем выявленную закономерность (15) законом обратной связи простых и составных из простых сомножителей 7 чисел – законом сохранения их суммарного количества.

III. Счетность ряда простых и составных из простых сомножителей 7 чисел Покажем, что счетность указанного в названии раздела ряда проявляется как свойство его периодичности.

Сократим числитель и знаменатель выражения (13) для структурной постоянной на 3:

Q(x) 24 = = 0.2666#= = (16).

x 90 8 Заметим, что дробь, в отличие от дроби, уже характеризует 30 периодичность восьми первых простых чисел с периодом Т = 30. То есть, в каждой матрице из 24 чисел с периодом Т = 90 находятся восемь «троек» чисел, «порождаемых» первыми восемью простыми числами:

pi : 7;

11;

13;

17;

19;

23;

29;

31 (17) с периодом Т =30.

Назовем ряд Q(x), включающий в себя как простые, так и составные из простых сомножителей 7 числа, джойнт рядом, от английского joint –совместный.

Для каждого из восьми pi, в соответствии со сказанным выше об их периодичности, можно записать следующую рекуррентную формулу:

pi,n = pi + 30n (18), где: n - номер периода повторения Т =30.

Представим джойнт ряд, рассчитанный по формуле (18) в виде таблицы 1 и таблицы 2:

Таблица 1.

-4 -107 -97 - -3 -79 -77 -71 -67 -61 - -2 -53 -49 -47 -43 -41 -37 -31 - -1 -23 -19 -17 -13 -11 -7 -1 n=0 7 11 13 17 19 23 29 1 37 41 43 47 49 53 59 2 67 71 73 77 79 83 89 3 97 101 103 107 109 113 119 4 127 131 133 137 139 143 149 5 157 161 163 167 169 173 179 6 187 191 193 197 199 203 209 7 217 221 223 227 229 233 239 8 247 251 253 257 259 263 269 9 277 281 283 287 289 293 299 10 307 311 313 317 319 323 329 11 337 341 343 347 349 353 359 12 367 371 373 377 379 383 389 13 397 401 403 407 409 413 419 14 427 431 437 439 15 457 Примечание: В таблице 1 значения pi: 7;

11;

13;

17;

19;

23;

29;

31, а в таблице 2 - pi: 1;

7;

11;

13;

17;

19;

23;

29.

Таблица 2.

-4 -119 -113 -109 -107 -103 -101 -97 - -3 -89 -83 -79 -77 -73 -71 -67 - -2 -59 -53 -49 -47 -43 -41 -37 - -1 -29 -23 -19 -17 -13 -11 -7 - n=0 1 7 11 13 17 19 23 1 31 37 41 43 47 49 53 2 61 67 71 73 77 79 83 3 91 97 101 103 107 109 113 4 121 127 131 133 137 139 143 5 151 157 161 163 167 169 173 6 181 187 191 193 197 199 203 7 211 217 221 223 227 229 233 8 241 247 251 253 257 259 263 9 271 277 281 283 287 289 293 10 301 307 311 313 317 319 323 11 331 337 341 343 347 349 353 12 361 367 371 373 377 379 383 13 391 397 401 403 407 409 413 14 421 427 431 433 437 439 443 15 451 457 461 463 467 469 473 Как видно из приведенных таблиц, включение в джойнт ряд единицы, вместо числа 31, дает более симметричное расположение троек чисел с одинаковыми окончаниями в таблице. Также, складывая попарно крайние порождающие числа (1+29=7+23=11+19=13+17=30) мы обнаруживаем симметрию в инвариантности их суммы. Так, сумма первых восьми порождающих чисел равна 120, второй группы – 360, третьей – 600, в соответствии с периодом повторения Т=30 и количеством чисел в одном периоде, равным 8 (30 8 = 240).

Таким образом, из таблиц видно, что в каждой матрице из 24 чисел находится по две пары троек чисел с одинаковыми окончаниями: 1, 7, 3, 9. При этом, инварианты распределены по парам троек с одинаковыми окончаниями как 1, 4, 7 и 2, 5, 8 для каждой матрицы из 24 чисел (см.

таблицу 3 как структуру таблицы 2 для одной матрицы на 24 числа).

Таблица 3.

pi 1 7 11 13 17 19 23 End. 1 7 1 3 7 9 3 Inv. 1 Inv. 1 2 4 1 5 Inv. 4 1 5 7 2 4 8 Inv. 7 4 8 5 7 Inv. 7 Из таблицы видно, что числа в матрице распределены также симметрично в соответствии с Леммой 3 и 4. Суммы окончаний крайних в ряду первых восьми порождающих чисел (аналогично и у их производных чисел, в силу периодичности Т=30) равна 10:

1+9=7+3=1+9=3+7=10. Также, сумма инвариантов крайних производных чисел в триадах матрицы равна 9:

1+8=4+5=7+2=1+8=4+5=7+2=2+7=5+4=8+1=1+8=4+5=7+2=9.

На примере первой (неполной) матрицы покажем отмеченную закономерность непосредственно в сумме самих чисел:

1+89=31+59=61+29=37+53=67+23=97+(-7)=11+79=41+49=71+19=( 17)+107=13+77=43+47=90. Таким образом, суммируя все элементы первой матрицы, получим: 90 12 = 1080.

Необходимо также отметить, что сумма первых восьми порождающих чисел равна 120:

1+7+11+13+17+19+23+29=(1+29)+(7+23)+(11+19)+(13+17)=30+30+30+ =304=120.

И так как период для каждого из восьми порождающих чисел составляет Т=30, то для каждых следующих восьми чисел в джойнт ряде их сумма будет увеличиваться на 308=240 единиц. Следовательно, во второй восьмерке чисел их сумма составит 120+240=360. Последний результат легко проверить суммированием чисел:

(31+59)+(37+53)+(41+49)+(43+47)=904=360.

Для наглядности представим первую матрицу с ее элементами:

Таблица 4.

-9 9 27 63 1 -17 1 19 37 73 2 -7 11 29 47 83 4 -13 13 31 49 67 5 23 41 59 7 -11 7 43 61 79 8 -1 17 53 71 89 Свойства симметрии структурной диагональной периодической матрицы в символических представлениях ее элементов.

Обозначим элементы матрицы на 6 4 =24 элемента (числа) символом aij и рассмотрим свойства элементов матрицы.

a11 a13 a15 a a22 a24 a26 a a44 a46 a48 a a55 a57 a59 a a77 a79 a711 a a88 a810 a812 a Рис.2. Структурная матрица простых и составных из простых сомножителей ( 7) чисел.

Для периода повторения T = x/n = 90 матрицы, при n = 1, 2, 3, …, сумма каждых пар диагональных (полярных) элементов матрицы составляет:

a11 + a814 = a17 + a88 = a13 + a812 = a15 + a810 = a22 + a713 = a28 + a77 = = a24 + a711 = a26 + a79 = a44 + a511= a410 + a55 = a46 + a59 = a48 + a57 = = T (2n – 1) = 90(2n – 1), при n = 1, 2, 3, ….

При этом, сумма пар инвариантов диагональных элементов равна 9: 1 +8;

2 + 7;

4 + 5, а сумма окончаний чисел равна 10: 3 + 7;

1 + 9.

Обнаружив и проанализировав симметрию матрицы, обусловленную ее периодичностью, вернемся к главному вопросу этого параграфа, а именно к счетности джойнт ряда.

24 Структурная постоянная = = = 0,266(6)…символизируя 90 периодичность как самой матрицы, так и первых восьми порождающих чисел, выполняет роль константы перевода последовательности чисел джойнт ряда в последовательность чисел натурального ряда. Другими словами, структурная постоянная дает возможность сопоставить множество чисел джойнт ряда с числами натурального ряда во взаимно однозначное соответствие.

Выразим произведение структурной постоянной на член джойнт ряда следующей формулой:

pi,n= ai,n + mi (19), где: pi,n-член (число) джойнт ряда;

ai,n = [pi,n ] - целая часть произведения pi,n;

mi – дробная часть произведения {pi,n}, мантисса.

Приведем результаты расчета чисел джойнт ряда по формуле (18) с учетом формулы перевода (19) в следующей таблице:

Таблица 5.

pi,n 1 7 11 13 17 19 23 pi,n 0.266 1.866 2.933 3.466 4.533 5.066 6.133 7. pi,n 31 37 41 43 47 49 53 pi,n 8.266 9.866 10.933 11.466 12.533 13.066 14.133 15. pi,n 61 67 71 73 77 79 83 pi,n 16.266 17.866 18.933 19.466 20.533 21.066 22.133 23. pi,n 91 97 101 103 107 109 113 pi,n 24.266 25.866 26.933 27.466 28.533 29.066 30.133 31. pi,n 121 127 131 133 137 139 143 pi,n 32.266 33.866 34.933 35.466 36.533 37.066 38.133 39. Из данных таблицы 5 видно, что джойнт ряд преобразовался в натуральный ряд чисел (целая часть), а мантисса mi периодически повторяется с периодом, равным Т =8. Последнее утверждение, для наглядности представим в следующей таблице:

Таблица 6.

pi,n 1 7 11 13 17 19 23 ai,n 0 1 2 3 4 5 6 mi 0.266 0.866 0.933 0.466 0.533 0.066 0.133 0. pi,n 31 37 41 43 47 49 53 ai,n 8 9 10 11 12 13 14 mi 0.266 0.866 0.933 0.466 0.533 0.066 0.133 0. Сумма мантисс за один период, т.е. для восьми первых чисел ряда, равна 4:

= 4 (20).

mi Естественно, что за k периодов, общая сумма мантисс составит:

k = k4 (21).

mi В одном периоде k содержится ровно восемь чисел. Поэтому, чтобы сопоставить сумму натурального ряда чисел и сумму джойнт ряда, «нормированного» структурной постоянной, необходимо учитывать сумму мантисс за k периодов из восьми чисел, содержащихся в рассматриваемом заданном числе.

В общем случае, когда произвольное число n не делится на число 8 без остатка, сумма «нормированного» джойнт ряда находится по следующей формуле:

n n i=8 - n(n +1) n 4 8 SJ = + + (22), mi i= где квадратными скобками […] обозначена целая часть числа.

В частном случае деления числа n на число 8 без остатка, формула (22) упрощается:

n(n +1) n n(n + 2) SJ = + = (23).

2 2 В качестве примера приведем расчет сумм «нормированного» джойнт ряда для произвольных значений n :

1. n = 237, Число нечетное, т.е. не делится на 8 без остатка, значит, используем формулу (22).

n n i=8 - n(n +1) n 4 8 SJ = + + = 237(237+1)/2 + 294 + = mi mi i=1 = 28203 + 116 + 0,866 +0,933 + 0,466 + 0,533 + 0,066 = 28321, Примечание: Отсчет индекса i для берется для мантиссы от mi первого числа джойнт ряда, т.е. от числа 1 =[7].

Сумма чисел «ненормированного» джойнт ряда:

SNJ = 28321,866/0,2666 = 106207.

2. n = 738, Число четное, но делится на число 8 с остатком, следовательно используем снова формулу (22):

n n i=8 - n(n +1) n 4 8 SJ = + + = 738(738+1)/2 + 924 + = mi mi i=1 = 272691 + 368 + 0,866 + 0,933 = 273060, Сумма «ненормированного» джойнт ряда:

SNJ = 273060,8/0,2666 = 1023978 – число целое, значит наши вычисления правильны.

IV. Формулы для расчета инвариантов чисел вида pi,n = pi + 30n, формирующих джойнт ряд Джойнт ряд, образованный порождающими числами 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 с периодом Т = 30n, по каждому из перечисленных чисел имеет периодическое изменение инвариантов. Последнее можно проиллюстрировать графиком, рис. Invi 1;

11;

рис.3 Инварианты порождающих чисел 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 в зависимости от периодов повторения чисел.

Введем новую функцию L(x), такую что:

0,если _ х = 90n, _ n = 0,1,2....

L(x) = 1,если _ x = 30 + 90n 2,если _ x = 60 + 90n Тогда, F(x) = 1 + 3L(x) для чисел 1+x и 19 + x;

F(x) = 2 +3L(x) для чисел 11 + x и 29 + x.

Введем функцию G(x) такую, что:

0,если _ x = 60 + 90n, G(x) = 1,если _ x = 90n, 2,если _ x = 30 + 90n.

Тогда, F(x) = 1 + 3G(x) для чисел 13 + x, F(x) = 2 +3G(x) для чисел 23 + x.

Введем функцию H(x), такую что:

0,если _ x = 30 + 90n, H(x) = 1,если _ x = 60 + 90n, 2,если _ x = 90n._ Тогда, F(x) = 1 + 3H(x) для чисел 7 + x, F(x) = 2 +3H(x) для чисел 17 + x.

Представленные формулы позволяют легко рассчитать инвариант произвольного многозначного числа джойнт ряда, вместо суммирования цифр, обозначающих это число, причем неоднократного суммирования.

Литература 1. А.В. Баяндин. К распределению простых чисел в натуральном ряду чисел. Новосибирск,1999, «НАУКА», ISBN 5-02-031549-4.

2. В.А. Успенский. Что такое аксиоматический метод? М. Ижевск. НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, ISBN 5-7029-0337-4.

Приложение ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТОТЫ ПРОИЗВОЛЬНОГО ЦЕЛОГО ЧИСЛА И ФАКТОРИЗАЦИЯ ЧИСЕЛ (МЕТОДИКА) Из [1] следует, что джойнт ряд составляет 26,666#% от всего количества натурального ряда чисел, что существенно облегчает поставленную задачу определения простоты произвольных чисел натурального ряда. Все простые числа и составные числа из простых сомножителей 7 образуют джойнт ряд.

Определить, простое данное число или составное, это, во-первых:

- выявить принадлежность данного числа джойнт ряду;

во-вторых, если данное число принадлежит джойнт ряду:

- найти порождающее число и период повторения указанного числа;

в-третьих:

- для найденных периода повторения и значения порождающего числа определить целые значения индексов периодов повторения сомножителей составного числа, в противном случае (если индексы дробные) указанное число является простым.

То есть методика, как и метод нахождения массива простых чисел основана на отсеивании составных чисел (в методе – отсеивание составных чисел из джойнт ряда;

в методике – отсеивание составных чисел из конкретного периода и значения порождающего числа), значения которых рассчитываются по простым формулам. Необходимо заметить, что каждому конкретному периоду повторения и значению порождающего числа джойнт ряда соответствует одно единственное число, которое может быть простым, либо составным.

МЕТОДИКА 1. Принадлежность произвольного числа Х джойнт ряду:

Х =Х0.2666# (1), И в соответствии с Таблицей 13 (Глава 2, §1) находим одно из восьми порождающих чисел pi: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. По формуле (77) (Глава 4, §2) определяем период повторения n для указанного числа:

X - pi n = (2) T Где, Т = 30 –период повторения для каждого из восьми порождающих чисел.

2. Определение целочисленных индексов периодов повторения составных чисел по найденному периоду повторения и значению порождающего числа Составные числа джойнт ряда описываются формулой:

Xs = (a + 30l) (b +30m) (3) Где a и b – порождающие числа pi, а индексы l и m - индексы периодов повторения.

В Главе 4 представлены таблицы составных чисел, рассчитанных на ЭВМ по программе на Бейсике по представленной обобщенной формуле для конкретных значений порождающих чисел и индексов периодов повторения сомножителей.

Как видно из этих таблиц, составные числа обладают свойством периодичности как самих чисел (Т =30), так и периодов повторения n по каждому ряду порождающих чисел.

В качестве примера приведем рассчитанные значения периодов повторения для порождающего числа 7.

Таблица 1.

l=0, m=0, 1, 2, 3….

n(l,m) n(0,0)= n(0,1) n(0,2) n(0,3) n(0,4) (a+30l)(b+30m) (7+30l)(31+30m) 7 14 21 28 (11+30l)(17+30m) 6 17 28 39 (13+30l)(19+30m) 8 21 34 47 (17+30l)(41+30m) 23 40 57 74 (19+30l)(43+30m) 27 46 65 84 (23+30l)(29+30m) 22 45 68 91 (29+30l)(53+30m) 51 80 109 138 (31+30l)(37+30m) 38 69 100 131 Продолжение 1, Таблицы 1.

l=1, m=1, 2, 3….

n(l,m) n(1,1) n(1,2) n(1,3) n(1,4) (a+30l)(b+30m) 37(61+30m) 75 112 149 41(47+30m) 64 105 146 43(49+30m) 70 113 156 47(71+30m) 111 158 205 49(73+30m) 119 168 217 53(59+30m) 104 157 210 59(83+30m) 163 222 281 61(67+30m) 136 197 258 Продолжение 2, Таблицы 1.

l=2, m=2, 3, 4, 5….

n(l,m) n(2,2) n(2,3) (a+30l)(b+30m) 67(91+30m) 203 71(77+30m) 182 73(79+30m) 192 77(101+30m) 259 79(103+30m) 271 83(89+30m) 246 89(113+30m) 335 91(97+30m) 294 Как легко заметить из Таблицы 1 периоды повторения составных чисел строго регулярны в своей периодичности, что можно представить следующей рекуррентной формулой:

n(l,m) = n(0,0) + am +(b +30m) l (4) Формула (4) логически вытекает из формулы (3). Покажем это:

Xs = (a + 30l) (b +30m) = ab +a30m + (b+30m) 30l, (3a) Xs = n(l,m) 30 + pi =30 n(0,0) +30am + 30 (b +30m) l + pi (4b) Сравнивая слагаемые выражений (3а) и (4b) находим:

ab - pi ab = 30n(0,0) + pi, откуда n(0,0) = (5).

Следовательно, n(0,0) есть значение номера периода повторения для составных чисел джойнт ряда по порождающему числу pi при индексах периодов повторения сомножителей составных чисел l=m=0.

Из (5) видно, как формируется n(l,m) при изменении индексов l и m:

a(b + 30m) - pi n(0,0) + am =, (6), b(a + 30l) - pi n(0,0) +bl =, (7).

Обозначим n(0,0) = и выразим индекс номера периода m из (4):

n(l, m) - - b l m=, l m ;

(8).

a + 30 l Таким образом, по вычисленному периоду повторения n и значению порождающего числа pi по формуле (8) можно определить целочисленное значение m для составного числа, соответствующего заданному значению периода n. В противном случае, когда вычисленное значение m дробное для фиксированного значения l, число, соответствующее найденному периоду n и порождающему числу pi, является простым числом.

Примечание:

Формула (4) может быть получена из сравнения чисел джойнт ряда (pi+30 n) и составных чисел вида (a+30l)(b+30m). В результате получаем:

ab - pi n(l,m) = + am +bl + 30lm, что точно соответствует формуле (4).

3. Справочные данные для значений a, b и для каждого из восьми порождающих чисел pi I. Порождающее число 7.

Таблица I.

a b n(0,0)= 11 17 7 31 13 19 23 29 17 41 19 43 29 53 31 37 II. Порождающее число 11.

Таблица II.

a b n(0,0)= 7 23 13 17 11 31 19 29 17 43 23 37 29 49 31 41 III. Порождающее число 13.

Таблица III.

a b n(0,0)= 7 19 11 23 13 31 17 29 19 37 23 41 29 47 31 43 IV. Порождающее число 17.

Таблица IV.

a b n(0,0)= 7 11 13 29 19 23 17 31 11 37 23 49 29 43 31 47 V. Порождающее число 19.

Таблица V.

a b n(0,0)= 7 7 13 13 17 17 11 29 23 23 19 31 29 41 31 49 VI. Порождающее число 23.

Таблица VI.

a b n(0,0)= 11 13 7 29 17 19 23 31 13 41 19 47 29 37 31 53 VII. Порождающее число 29.

Таблица VII.

a b n(0,0)= 7 17 11 19 13 23 29 31 17 37 19 41 23 43 31 59 VIII. Порождающее число 31.

Таблица VIII.

a b n(0,0)= 7 13 11 11 19 19 17 23 29 29 31 31 13 37 23 47 Из приведенных таблиц следует, что восемь порождающих чисел pi дают шестьдесят четыре сочетания pipk для составных чисел: по восемь сочетаний на каждое порождающее число. При этом, каждое сочетание pipk формирует составные числа по формуле (3):

Xs = (a + 30l) (b +30m) и, соответствующие им номера периодов повторения в джойнт ряду по формуле (4):

n(l,m) = n(0,0) + am +(b +30m) l.

Примечание:

1.Необходимо отметить, что шестьдесят четыре (64) сочетания для составных чисел являются аналогом восьми (8) порождающих чисел джойнт ряда. Если восемь порождающих чисел формируют джойнт ряд, вследствие периодичности (Т=30) его заполнения, то – шестьдесят четыре сочетания этих чисел создают весь массив составных чисел джойнт ряда. Таким образом, зная алгоритм формирования джойнт ряда и алгоритм построения всех составных чисел этого ряда мы находим все простые числа путем исключения всех составных чисел из джойнт ряда.

2. Числа pk : 37, 41, 43, 47, 49, 53, 59 дополняют сомножители b порождающих чисел при формировании восьми сочетаний по каждому порождающему числу.

4. Определение максимального и минимального значений индексов l и m периодов повторения сомножителей составных чисел Полагая в формуле (8) l=0 найдем значение m:

n(l, m) - n(0,0) mmax = (9), a где: a –одно из порождающих чисел pi первого сомножителя (a+30l) составного числа Xs.

Минимальное значение индекса m находится из (8) при l = m:

mmin = {-(a + b) + (a + b)2 + (n - ) }, (10), где: =0.2666# - структурная постоянная;

ab - pi = n(0,0)= a и b - значения сомножителей составного числа в соответствии с Таблицами I - VIII;

pi – порождающие числа: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

Формирование минимального и максимального значений индексов m наглядно видно из графика распределения составных чисел по заданному n(l,m).

(a +30 l) lmax3=mmin lmax2=mmin lmax1=mmin mmin1 mmin2 mmin3 mmax1 mmax2 (b+30 m) рис.1.

5. Анализ формулы (4) Используя формулу для расчета номера периода повторения произвольного составного числа, а именно:

ab - pi + am +bl + 30lm, n(l,m) = представляет интерес нахождение всех составных чисел для данного периода. Как известно, в каждом периоде повторения находится всего восемь чисел, из которых необходимо определить количество и местоположение составных чисел.

6. Алгоритм и программа расчета простоты произвольного числа, разложения составных чисел на сомножители Необходимое и достаточное условие определения простоты произвольного числа джойнт ряда и разложение составных чисел на сомножители, это расчет значений индексов m по формуле (8) с ограничением mmin по формуле (10) для значений a, b и из Таблиц I – VIII. Программы расчета составлены для каждого порождающего числа pi: 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

Алгоритм расчета значений индексов m, l для соответствующих значений a, b, по каждому из восьми порождающих чисел представлен на рис. 2.

Начало Начало Ввод коэффициентов Описание переменных a, b, для n – периодов каждого pi =7,11,13,17,19,23,29, повторения из Таблиц I – VIII.

Вычисление mmin при l = m mmax при l = Вычисление m, l при l m, от mmin до mmax mi - целое Нет Да Печать: Печать:

mi, li, a, b Prime Number Рис.2 Алгоритм расчета составных чисел и нахождения простых.

Необходимо отметить, что приведенный выше алгоритм последовательно рассчитывает значения индексов l и m для каждого из восьми сочетаний a и b (см. Таблицы I – VIII, раздела 3) и, соответственно, по каждому порождающему числу. По каждому сочетанию индекс l пробегает значения от 0 до lmax = mmin. Значение mmin меньше или не превышает значения ~ x. Это утверждение непосредственно следует из анализа формулы (3) при l = m. Для mmin = - (a + b) + (a + b)2 + 4(X - ab), при Х>>(a+b)2>ab>(a+b) имеем:

2 x x mmin = для одного сочетания a и b. Соответственно, для восьми 2 30 8 X сочетаний: mmin = X.

По программе, составленной на основе приведенного алгоритма, рассчитаны как простые, так и составные числа. Используемые программные средства (язык программирования QBASIC) и возможности ЭВМ (Pentium 1000MГц) позволяют определять простые числа и производить факторизацию составных чисел в соответствии с точностью задания чисел в ЭВМ. Для больших чисел необходимо использовать известные алгоритмы перевода многозначных чисел в массивы.

Ниже приведены примеры расчета, выполненные по Программе “PRIME” для IBM на языке QBASIC.

Программа “PRIME” CLS INPUT "VALUE N17";

N DATA 7,11, READ A, B, V K = ((SQR((A + B)^ 2 + 120 * (N - V))) - (A + B)) / J = FIX(K) FOR L = 0 TO J STEP M = (N - V - B * L) / (A + 30 * L) P = CDBL(M) H = P - INT(P) IF H = 0 THEN PRINT P;

L;

A;

B NEXT L DATA 11,37, READ A, B, V K = ((SQR((A + B)^ 2 + 120 * (N - V))) - (A + B)) / J = FIX(K) FOR L = 0 TO J STEP M = (N - V - B * L) / (A + 30 * L) P = CDBL(M) H = P - INT(P) IF H = 0 THEN PRINT P;

L;

A;

B NEXT L DATA 13,29, READ A, B, V K = ((SQR((A + B)^ 2 + 120 * (N - V))) - (A + B)) / J = FIX(K) FOR L = 0 TO J STEP M = (N - V - B * L) / (A + 30 * L) P = CDBL(M) H = P - INT(P) IF H = 0 THEN PRINT P;

L;

A;

B NEXT L DATA 23,49, READ A, B, V K = ((SQR((A + B)^ 2 + 120 * (N - V))) - (A + B)) / J = FIX(K) FOR L = 0 TO J STEP M = (N - V - B * L) / (A + 30 * L) P = CDBL(M) H = P - INT(P) IF H = 0 THEN PRINT P;

L;

A;

B NEXT L DATA 17,31, READ A, B, V K = ((SQR((A + B)^ 2 + 120 * (N - V))) - (A + B)) / J = FIX(K) FOR L = 0 TO J STEP M = (N - V - B * L) / (A + 30 * L) P = CDBL(M) H = P - INT(P) IF H = 0 THEN PRINT P;

L;

A;

B NEXT L DATA 19,23, READ A, B, V K = ((SQR((A + B)^ 2 + 120 * (N - V))) - (A + B)) / J = FIX(K) FOR L = 0 TO J STEP M = (N - V - B * L) / (A + 30 * L) P = CDBL(M) H = P - INT(P) IF H = 0 THEN PRINT P;

L;

A;

B NEXT L DATA 29,43, READ A, B, V K = ((SQR((A + B)^ 2 + 120 * (N - V))) - (A + B)) / J = FIX(K) FOR L = 0 TO J STEP M = (N - V - B * L) / (A + 30 * L) P = CDBL(M) H = P - INT(P) IF H = 0 THEN PRINT P;

L;

A;

B NEXT L DATA 31,47, READ A, B, V K = ((SQR((A -I- B)^ 2 + 120 * (N - V))) - (A + B) ) / J = FIX(K) FOR L = 0 TO J STEP M = (N - V - B * L) / (A + 30 * L) P = CDBL(M) H = P - INT(P) IF H = 0 THEN PRINT P;

L;

A;

B NEXT L END Пример № 1:

VALUE N7? 222, Xs = (29 + 301) (53 +302) = 59113 = 6667 =22230 + 2 1 29 VALUE N11? 222, Xs = (7+300) (23+3031) = 7953 = 6671 =22230+ 31 0 7 VALUE N13? 222, Xprime = 22230 + 13 = Prime Number VALUE N17? 222, Xs = (11+300) (37+3019) = 11607 = 6677 = 22230+ 19 0 11 VALUE N19? 222, Xprime = 22230 +19 = Prime Number VALUE N23? 222, Xs = (11+30 1) (13+305) = 41163 = 6683 =22230+ 5 1 11 VALUE N29? 222, Xprime = 22230+29 = Prime Number VALUE N31? 222, Xprime = 22230+31 = Prime Number Таблица 1.

pi 7 11 13 17 19 23 29 n 222 6667 6671 6673 6677 6679 6683 6689 59 113 7953 Prime 11607 Prime 41163 Prime Prime Пример № 2:

VALUE N7? 559 13 7 4194 1 23 700 10 17 VALUE N11? 1005 7 11 17102 0 13 13077 0 17 VALUE N13? 5422 1 11 VALUE N17? 11701 0 19 VALUE N19? 3767 1 29 VALUE N23? 31761 0 7 VALUE N29? Prime Number VALUE N31? 586 12 19 Таблица 2.

pi 7 11 13 17 19 23 29 n 222333 6669997 6670001 6670003 6670007 6670009 6670013 6670019 Prime Пример № 3:

VALUE N7? 258604 1 13 VALUE N11? 1010908 0 11 855384 0 13 43952 8 13 483477 0 23 77761 4 23 3380 109 19 37189 9 29 VALUE N13? 716 517 7 42280 8 23 188473 1 29 VALUE N17? 1588571 0 7 8507 43 17 226938 1 19 2134 173 19 1214 304 29 VALUE N19? 801 461 29 VALUE N23? 654117 0 17 3919 94 17 1607 230 17 VALUE N29? 1423 260 11 152328 2 13 103924 3 17 VALUE N31? 1588571 0 7 12206 30 11 1743 212 17 Пример № 4:

VALUE N7? 8015 3 7 7698 3 11 326 79 11 VALUE N11? 40923 0 19 VALUE N13? 18964 1 11 611 42 11 25081 0 31 VALUE N17? 111079 0 7 59811 0 13 8543 2 31 VALUE N19? 33806 0 23 45738 0 17 1987 12 31 VALUE N23? Prime Number VALUE N29? 437 59 7 VALUE N31? 111079 0 7 Пример № 5:

VALUE N7? 267 13 19 VALUE N11? Prime Number VALUE N13? Prime Number VALUE N17? 1503 2 13 VALUE N19? 15684 0 7 188 19 11 1322 2 23 VALUE N23? 8444 0 13 VALUE N29? 350 10 13 6457 0 17 176 20 19 VALUE N31? Prime Number pi 7 11 13 17 19 23 29 n 109789 3293677 3293681 3293683 3293687 3293689 3293693 3293699 Prime Prime Prime 7. Примеры расчета значений индексов m для составных и простых чисел, выполненные вручную (без помощи ЭBM) 7.1. Пусть дано число Х = 21067.

Определим, простое это число или составное.

Во-первых, определим принадлежность этого числа к джойнт ряду:

X =0.2666#21067=5617.8666# и в соответствии с Таблицей 13 (Глава 4, §1) находим, что это число принадлежит джойнт ряду и порождающее число равно 7.

Во-вторых, по формуле (77) (Глава 4, §2) найдем период повторения:

21067 - n = = В третьих, по формуле (9) и Таблице I. найдем mmax для всех восьми значений a:

а mmax i 11 6 63, 7 7 99, 13 8 53, 23 22 29, 17 23 39, 19 27 35, 29 51 22, 31 38 21, Как видно из приведенной таблицы результатов, все значения m – дробные, следовательно периоду n=702 они не могут соответствовать.

Другими словами, при максимальных индексах m не обнаружено составное число с периодом n=702 и pi = 7.

Расчет mmin при l=m дает значение m от 4 до 5.

Вычисление значений m (от 3 до 5 итераций по каждому порождающему числу) дает только дробные значения m. Следовательно, число 21067 – простое.

Литература 1. А.В. Баяндин. К распределению простых чисел в натуральном ряду чисел. Новосибирск, «НАУКА», 1999г., ISBN 5-02-03154904.

Приложение ФРАКТАЛЬНАЯ ПРИРОДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ВВЕДЕНИЕ Одним из самых перспективных и быстро развивающихся направлений современной постнеклассической науки является исследование в области нелинейных явлений природы, техники и математики. Постановка задачи о нелинейности связана с именами Рэлея, Д’Аламбера, Пуанкаре, которые исследовали математическую модель струны и другие модели при помощи дифференциальных уравнений, так как только представление о нелинейности позволяет описывать нестационарные процессы. В начале 30-ых годов XX столетия потребности физики, особенно нелинейной теории колебаний, вызвали целый ряд математических идей и разработок. Существенный вклад в развитие математического аппарата нелинейной физики в эти годы в нашей стране принадлежит Л.И.Мандельштаму и его ученику А.А.Андронову, продуктивно использовавшему математические идеи Анри Пуанкаре.

Л.И.Мандельштам первым обратил внимание на необходимость выработки в физике нового «нелинейного мышления». До его работ существовали лишь отдельные частные подходы к анализу отдельных нелинейностей в различных физических задачах. Роль Л.И.Мандельштама состоит в том, что он отчетливо понял всеобщность нелинейных явлений, сумел увидеть, что возможности линейной теории принципиально ограничены, что за ее пределами лежит огромный круг явлений, требующих разработки новых нелинейных методов анализа. К настоящему времени сформировалось новое научное направление, под общим названием синергетика34, изучающее законы самоорганизации сложных нелинейных диссипативных систем. И хотя этим исследованиям вот уже почти 30 лет, если датировать рождение синергетики 1972 годом, когда этот неологизм был введен Г. Хакеном, до сих пор вопрос «Что такое синергетика?» не имеет однозначного ответа.

Вот несколько типичных ответов на поставленный вопрос.

Басов Н.Г. Квантовая электроника и философия // Философия и современное естествознание.

М., 1982. Вып. 1, стр. 171- синергетика – (от греч. «син» -со-, совместно и «эргос» - действие) Во-первых, буквальный. Речь идет о явлениях, которые возникают от совместного действия нескольких разных факторов, в то время, как каждый фактор в отдельности к этому явлению не приводит.

Во-вторых, синергетику часто определяют как науку о самоорганизации. Что означает самопроизвольное усложнение формы, или, в общем случае, структуры системы при медленном и плавном изменении ее параметров (ячейки Бенара, спирали Жаботинского). И.Р.

Пригожиным был предложен новый термин – диссипативные структуры, для обозначения самопроизвольно возникающих образований. Одной из революционных новаций этого автора явилось перенесение им в термодинамику важнейших кибернетических понятий о многоуровневой системе, о саморегуляции по принципу обратной связи, об автоколебаниях и др. И в третьих, синергетику можно определить как науку о неожиданных явлениях в условиях динамического хаоса. Причиной «неожиданного», как правило, оказывается неустойчивость.

Синергетика включает в себя такие разделы, как нелинейная динамика, хаос, фракталы, катастрофы, бифуркации, волны, солитоны, полевые эффекты и т.д. Популярность синергетики объясняется еще и тем, что она становится языком междисциплинарного общения, на котором могут понять друг друга математики, физики, химики и др., несмотря на то, что каждый понимает синергетические модели по своему. В настоящее время делается попытка осмысления синергетики как пространства межличностной «встречи» и диалога, сближения естественнонаучного и гуманитарного знания, науки, религии, Запада и Востока, как способа моделирования устойчивого развития, как нового подхода к лечению болезней и т.д.36 Наиболее полное, с нашей точки зрения, определение этой науки: «Синергетика представляет собой современную теорию эволюции больших, сверхсложных, открытых, термодинамически неравновесных, нелинейных динамических систем, обладающих обратной связью и существующих квазистационарно лишь в условиях постоянного обмена веществом, энергией и информацией с внешней средой. К таким системам относятся: Вселенная, саморазвивающаяся природа, человеческое общество как ее (жизни) высшая форма и продукт создаваемой им самим (человечеством) материальной и духовной культуры. В этом списке находятся и бесконечно разнообразные подсистемы названных систем». Заметим, что открытость систем означает их включенность в системы более высокого уровня сложности на правах автономных элементов и подсистем37.

В новой науке причудливо переплетаются понятия, идеи и методы, как естественнонаучных дисциплин, так и гуманитарных, в особенности, философии. Взгляды, вырабатываемые современной наукой при решении Абачиев С.К. Концепции современного естествознания. Ч. II., Балашиха, 1998г., стр. Синергетическая парадигма. (Многообразие поисков и подходов). М., Прогресс-Традиция, 2000г., стр. Там же, стр. многих задач, иногда оказываются созвучными размышлениям ученых и философов, живших много веков назад, в частности близкими к мыслям и воззрениям, характерным для философских течений Древнего Востока.

Зачастую совпадает не только общий подход, но и конкретные детали.

Возникает вопрос: почему синергетика, опирающаяся на достижения современной науки, на диалектико-материалистическое мировоззрение, приходит к выводам, сделанным тысячелетия назад?

Первая причина - общность предмета анализа. Изучаются сложные самоорганизующиеся системы, причем акцент делается на внутренние свойства как на источник саморазвития.

Вторая причина - новое отношение к проблеме целого и части. Для философских школ Древней Греции характерно предположение, что часть всегда проще целого, что, изучив каждую из частей, можно понять свойства целого. И естествознание " вплоть до последних десятилетий " этот подход вполне устраивал. Однако сначала общественные науки, а потом и точные пришли к выводу о необходимости целостного, системного анализа многих объектов.

Синергетика, как правило, имеет дело с процессами, где целое обладает свойствами, которых нет ни у одной из частей. Целое в таких системах отражает свойства частей, но и части отражают свойства целого. Здесь нельзя утверждать, что целое сложнее части, оно совсем другое.

Третье. Имея дело со сложными, жизненно важными для нас объектами (например, экологическими системами), приходится действовать предельно осторожно. Успех здесь возможен только в том случае, если мы знаем внутренние свойства системы. Отсюда стратегия - действие, сообразуемое с законами природы, разумная соразмерность с естественным ритмом, с постоянно меняющимися условиями38.

1. Фракталы и геометрия реального мира Фазовые портреты хаотических систем оказываются не только сложными, но и необычными с точки зрения геометрии. Поэтому их в 60 х гг. прошлого века назвали странными аттракторами, и это название прижилось в синергетике. В 70-х годах ХХ века Бенуа Мандельброт показал, что общего имеют странные аттракторы с рядом геометрических фигур, которые давно известны математикам и воспринимались ими как вызов канонам классической математики. Это – их фрактальность39. год можно считать началом переворота, кторый геометрия фракталов производит не только в математике и в физике, но и во всем естествознании. Даже в обществоведении, где лингвисты открыли общие фрактальные закономерности в строении самых разных языков. Таких С. Курдюмов, Г. Малинецкий "Парадоксы хаоса", "Знание - сила", 1993 год, № fractus – латин., - дробный, изрезанный темпов общенаучной экспансии, пожалуй, не знает история концептуальных инноваций в науке40.

2. Свойства фракталов Б. Мандельброт предложил сначала определение фрактала в таком виде: «Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа которого строго больше его топологической размерности». Затем он предложил заменить его следующим: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Однако строгого и общепринятого определения фрактала не существует и на сегодняшний день.

Роль фракталов в машинной графике сейчас достаточно велика. Они часто используются, когда требуется с помощью нескольких коэффициентов задать линии и поверхности очень сложной формы.

Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: горы, облака, турбулентные течения, ветви и листья деревьев, кровеносные сосуды, что далеко не соответствует простым геометрическим фигурам.

3. Классификация фракталов Общепринятая классификация фракталов выделяет:

1) Геометрические фракталы;

в двухмерном случае их получают с помощью некоторой ломаной кривой (генератор). Бесконечное повторение замены каждого отрезка ломаной кривой генератором в соответствующем масштабе приводит к построению геометрического фрактала.

2) Алгебраические фракталы;

получают их с помощью нелинейных процессов в n – мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Интерпретируя нелинейный итерационный процесс, как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией этих систем:

фазовый портрет, установившийся процесс, аттрактор и т.д.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.