WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Красноярский государственный технический университет В.И.Вепринцев ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЦЕПЕЙ Конспект лекций для студентов радиотехнических специальностей

дистанционной формы обучения Красноярск 2003 2 В.И.Вепринцев. Основы теории цепей.

Конспект лекций для студентов радиотехнических специальностей.Ч. 1.

КГТУ,- Красноярск. 2003 3 Лекция 1.

Введение Среди дисциплин, составляющих основу базовой подготовки специали стов, связанных с разработкой и эксплуатацией современной радиоэлектрон ной аппаратуры, важное место отводится курсу «Основы теории цепей» (ОТЦ). Содержание этой дисциплины составляют задачи анализа и синтеза электрических цепей, изучение, как с качественной, так и с количественной стороны установившихся и переходных процессов в различных радиоэлек тронных устройствах. Курс ОТЦ базируется на курсах физики и высшей ма тематики и содержит инженерные методы расчета и анализа, применимые к широкому классу современных электротехнических и радиоэлектронных це пей.

Электрическая цепь Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначен ных для прохождения электрического тока и описываемых с помощью поня тий напряжения и тока. Электрическая цепь состоит из источников (генера торов) и потребителей электромагнитной энергии - приемников или нагруз ки.

Источником называют устройство, создающее (генерирующее) токи и на пряжения. В качестве источников могут выступать устройства (аккумулято ры, гальванические элементы, термоэлементы, пьезодатчики, различные ге нераторы и т. д.), преобразующие различные виды энергии (химической, теп ловой, механической, световой, молекулярно-кинетической и др.) в электри ческую. К источникам относятся и приемные антенны, в которых не проис ходит изменение вида энергии.

Приемником называют устройство, потребляющее (запасающее) или пре образующее электрическую энергию в другие виды энергии (тепловую, ме ханическую, световую и т. д.). К нагрузкам относятся и передающие антен ны, излучающие электромагнитную энергию в пространство.

В основе теории электрических цепей лежит принцип моделирования. При этом, реальные электрических цепи заменяются некоторой идеализирован ной моделью, состоящей из взаимосвязанных идеализированных элементов.

Под элементами подразумеваются идеализированные модели различных устройств, которым приписываются определенные электрические и магнит ные свойства так, что они с заданной точностью отображают явления, проис ходящие в реальных устройствах. Таким образом, каждому элементу цепи соответствуют определенные соотношения между множеством токов и на пряжений.

В теории цепей различают активные и пассивные элементы. Активными элементами считаются источники электрической энергии: источники напря жения и источники тока. К пассивным элементам относятся сопротивления, индуктивности и ёмкости. Цепи, содержащие активные элементы, называют ся активными, состоящие только из пассивных элементов-пассивными.

Электрическому току приписывается направление, совпадающее с на правлением перемещения положительных зарядов. Количественная характе ристика - мгновенное значение тока (значение его в данный момент времени) qdq i = lim0 =, t tdt где dq - заряд, прошедший за время dt через поперечное сечение проводни ка. В системе СИ ток измеряется в амперах (А).

Для переноса элементарного заряда dq через какой-либо пассивный уча сток цепи, необходимо затратить энергию dw = u dq.

Здесь u -мгновенное значение напряжения (разности потенциалов) на за жимах пассивного участка цепи. Разность потенциалов -скалярная величина, которая определяется работой сил электрического поля при переносе еди ничного положительного заряда через заданный пассивный участок. В сис теме СИ напряжение измеряется в вольтах (В).

В общем случае ток и напряжение являются функциями времени и могут иметь разные величины и знак в различные моменты времени.

В теории цепей направление тока характеризуется знаком. Положительный или отрицательный ток имеют смысл только при сравнении направления то ка по отношению к произвольно выбранному положительному направлению, которое обычно указывается стрелкой (рис.1).

Рис. Положительное направление напряжения не связано с положительным на правлением тока. Но, выбрав положительное направление напряжения от точки а к точке б, условно считаем, что потенциал точки а выше потен циала точки б. Обычно в задачах по расчету электрических цепей считают положительное направление тока в ветви совпадающим с положительным направлением напряжения между узлами этой ветви.

Если под воздействием приложенного напряжения U через участок цепи проходит электрический заряд q, то совершаемая при этом элементарная ра бота или поступающая в приемник энергия равна:

dw = u dq = ui dt.

Энергия, определяемая данной формулой, доставляется источником и рас ходуется в приемнике, т. е. превращается в другой вид энергии, например в тепло некоторая часть её запасается в электрическом и магнитном полях эле ментов цепи.

Мгновенное значение скорости изменения энергии, поступающей в цепь, dw dq p = = u = ui, dt dt называется мгновенной мощностью.

Энергия, поступившая в приемник за промежуток времени от t1до t2, вы ражается интегралом t W = p dt.

t В системе СИ работа и энергия измеряются в джоулях (дж), мощность в ваттах (вт).

Элементы электрической цепи 1. Пассивные элементы.

а. Сопротивление Сопротивлением называется идеализированный элемент цепи, характери зующий преобразование электромагнитной энергии в любой другой вид энергии (тепловую - нагрев, механическую, излучение электромагнитной энергии и др.), т. е. обладающий только свойством необратимого рассеяния энергии. Условное обозначение сопротивления показано на рис.2.

Рис. Математическая модель, описывающая свойства сопротивления, определя ется законом Ома:

u = Ri или i = Gu.

Здесь R и G - параметры участка цепи называются соответственно со противлением и проводимостью, G =1/R. Сопротивление измеряется в омах (Ом), а проводимость - в сименсах (Сим).

Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление PR = ui = Ri2 = Gu2.

Электрическая энергия, поступившая в сопротивление и превращенная в тепло за промежуток времени от t1до t2, равна:

t2 t2 t WR = p dt = Ri dt = Gu dt.

t1t1 t Уравнение, выражающее закон Ома, определяет зависимость напряжения от тока и называется вольт-амперной характеристикой (ВАХ) сопротивле ния. Если R постоянно, то ВАХ линейна (рис.3, а). Если же R зависит от протекающего через него тока или приложенного к нему напряжения, то ВАХ становится нелинейной (рис.3, б) и соответствует нелинейному сопро тивлению.

Рис. Реальный элемент, приближающийся по своим свойствам к сопротивле нию, называется резистором.

б. Индуктивность Индуктивностью называется идеализированный элемент электрической цепи, характеризующий запасаемую в цепи энергию магнитного поля. Ус ловное обозначение индуктивности показано на рис.4.

Рис. Если рассмотреть участок цепи (рис.5, а), представляющий собой виток, охватывающий площадь S, через который проходит ток i, то виток прони зывает магнитный поток Ф = B ds.

S - поток вектора магнитной индукции B через площадь S. Магнитный по Ф ток измеряется в веберах (Вб), а магнитная индукция - в тесла.

а б Рис. Индуктивностью витка называется отношение магнитного потока к току:

B ds Ф S L = =, ii т. е. индуктивность представляет собой магнитный поток, отнесенный к еди нице связанного с ним тока. В системе СИ индуктивность измеряется в генри (Гн).

Если катушка содержит n одинаковых витков (рис.5, б), то полный маг нитный поток (потокосцепление) Ф = nФ, - поток, пронизывающий каждый из витков.

где Ф Индуктивность катушки в этом случае nФ L =.

i В общем случае зависимость потокосцепления от тока нелинейная (рис.6, а), следовательно, индуктивность также является нелинейной.

Рис. Связь между током и напряжением на индуктивности определяется на ос новании закона электромагнитной индукции, согласно которому изменение потокосцепления вызывает э.д.с. самоиндукции dФ еL =- dt численно равную и противоположную по знаку скорости изменения полного магнитного потока.

Если индуктивность не зависит от тока, то величина di uL =-еL = L dt называется напряжением (или падением напряжения) на индуктивности.

Из последнего выражения следует, что ток в индуктивности t iL(t) = uLdt, L т.е. определяется площадью, ограниченной кривой напряжения uL (рис.7).

Мгновенная мощность имеет смысл скорости изменения запасенной в маг нитном поле энергии:

di pL = uLi = Li.

dt Рис. Энергия, запасенная в магнитном поле индуктивности в произвольный момент времени t определяется по формуле tt Li WL = pLdt = Lidi =.

- Здесь учтено, что при - t 0 ток в индуктивности был равен нулю.

Если часть магнитного потока, связанного с катушкой L1, связана одно временно и с катушкой L2, то эти катушки обладают параметром М, назы ваемым взаимной индуктивностью. Взаимная индуктивность определяется как отношение потокосцепления взаимной индукции одной катушки к току в другой Ф12 Ф M = =.

i2i В первой и второй катушках наводятся э. д. с. взаимной индукции равные dФ12 di e1M =- =-M ;

dt dt dФ21 di e2M =- =-M.

dt dt Последние выражения справедливы при условии, что М не зависит от то ков, протекающих в обеих катушках.

Взаимная индуктивность измеряется также в генри (Гн).

в. Емкость Емкостью называется идеализированный элемент электрической цепи, ха рактеризующий запасаемую в цепи энергию электрического поля. Условное обозначение индуктивности показано на рис.8.

Рис. При подведении к двум электродам (рис.9, а) напряжения, на них накапли ваются равные по величине и разные по знаку заряды + q и в окружающем пространстве создается электрическое поле.

Согласно теореме Гаусса-Остроградского поток ФЕ вектора электриче ского смещения D ФЕ = Dds = q.

Емкостью между электродами называется отношение потока ФЕ вектора электрического смещения к разности потенциалов U на зажимах.

q C =.

u а б Рис. В системе СИ заряд измеряется в кулонах, напряжение в вольтах, емкость в фарадах.

Для увеличения емкости необходимо включить параллельно ряд проводя щих «обкладок», т. е. применить конденсатор (рис.9, б).

При изменении напряжения на конденсаторе в присоединенной к ней цепи создается ток проводимости, величина которого определяется скоростью из менения заряда на электродах dq duC iпр = = C.

dt dt Между электродами конденсатора лежит диэлектрик, в котором не может быть тока проводимости. Но поток ФЕ вектора электрического смещения dФЕ также изменяется. Величина = iCM называется током смещения.

dt Таким образом, ток проводимости во внешней цепи замыкается током смещения через диэлектрик конденсатора iпр = iCM = i.

Из выражения для тока следует, что ток положителен при возрастании за ряда и соответственно напряжения на обкладках конденсатора.

Напряжение на емкости t uC = idt.

C При t=0 напряжение на емкости uC (0) = idt.

C Следовательно, t uC (t) = uC (0) + idt.

C Мгновенная мощность pC имеет смысл скорости изменения запасенной в электрическом поле энергии:

duC pC = uCi = CuC.

dt Энергия, запасаемая в электрическом поле емкости в произвольный момент времени t uC t CuC WC = pCdt = CuCduC =.

- Полученная формула справедлива в случае, что при t =- напряжение на емкости uC (-) = 0.

Электрические схемы замещения физических устройств идеализированными элементами цепи Раздельное рассмотрение R, L, C как элементов, локализирующих поте ри, магнитное и электрическое поля является приближенным методом анали за цепи. На практике же потери энергии, магнитное и электрическое поля связаны и сопутствуют друг другу.

Электрическое сопротивление проводника на постоянном токе u l R = =, iS где - удельное сопротивление, l-длина, S -площадь поперечного сече ния проводника.

С увеличением частоты плотность тока внутри проводника уменьшается, а к поверхности увеличивается, а значит сопротивление растет. Это явление носит название поверхностного эффекта.

Под влиянием тока, проходящего по соседнему проводнику, также проис ходит перераспределение тока в проводнике, а следовательно, возрастание тепловых потерь. Это явление носит название эффекта близости.

Дополнительное увеличение сопротивления вызывает также излучение в пространство электромагнитной энергии на высоких частотах.

Таким образом, реальный резистор наряду с сопротивлением имеет неко торую индуктивность и емкость вследствие связанных с ним магнитного и электрического полей.

При постоянном токе напряжение на зажимах катушки индуктивности, представляющей некоторое количество витков, определяется величиной па дения напряжения на сопротивлении (рис.10, а) и ток во всех витках будет одинаковым.

При переменном токе изменяющееся магнитное поле будет наводить э.д.с.

самоиндукции тем большей величины, чем выше частота колебаний. Между витками также будет переменное электрическое поле, т.е. появится ток сме щения. При низких частотах током смещения можно пренебречь, тогда схема замещения катушки будет иметь вид, представленный на рис.10, б. На высо ких же частотах током смещения пренебречь нельзя, схема замещения со держит также и емкостную составляющую (рис.10, в).

а б в Рис. Пусть конденсатор состоит из двух параллельных пластин, разделенных диэлектриком. При постоянном напряжении и идеальном диэлектрике тока в цепи с конденсатором не будет. Если напряжение переменно, то возникает переменный ток, создающий переменное магнитное поле. Кроме того, неиде альность диэлектрика приводит к возникновению тока проводимости, приво дящего к тепловым потерям в конденсаторе тем большим, чем выше частота.

Рис. Обычно индуктивная составляющая конденсатора мала и ей можно пре небречь. Тогда схема замещения конденсатора может быть представлена па раллельным соединением емкости и сопротивления потерь диэлектрика (рис.11).

2. Активные элементы.

а. Источник э.д.с.

Идеализированным источником напряжения, или генератором э. д. с., на зывается источник энергии, напряжение, на зажимах которого не зависит от тока, через него проходящего. Условное изображение источника э. д. с. по казано на рис.12, а.

а б Рис. Упорядоченное перемещение положительных зарядов в источнике от за жима «-» к зажиму «+» возможно за счет сторонних сил. Величина рабо ты, затрачиваемой на перемещение единицы положительного заряда (+ q) от зажима «-» к зажиму «+», называется электродвижущей силой (э. д. с.) источника е.

wC е = lim, q q где wC -работа, совершаемая сторонними силами по переносу заряда q.

В цепи, подключенной к источнику э. д. с. e(t) течет ток, зависящий от параметров этой цепи и величины e(t). Если зажимы идеального источника э. д. с. замкнуть накоротко, то ток в цепи должен стремиться к бесконечности (т. е. идеальный источник э. д. с. может рассматриваться как источник бес конечной мощности). В действительности при коротком замыкании источни ка э. д. с. ток может иметь только конечное значение, определяемое падением напряжения на внутреннем сопротивлении источника (рис.12, б). Вольт - амперные характеристики идеального и реального источников э. д. с. при ведены на рис.13.

Рис. Очевидно, что чем меньше внутреннее сопротивление источника, тем больше ток короткого замыкания и больше мощность источника э. д. с.

б. Источник тока Идеализированным источником тока, или генератором тока, называется источник энергии, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах.

Условное изображение источника тока показано на рис.14, а.

При неограниченном увеличении сопротивления цепи, подключенной к идеальному источнику тока, напряжение на его зажимах и соответственно мощность, развиваемая им, также неограниченно возрастают. Источник то ка конечной мощности изображается в виде идеального источника тока с подключенным параллельно внутренним сопротивлением (рис.14, б).

а б Рис. Вольт - амперные характеристики идеального и реального источников то ка приведены на рис.15.

Рис. Очевидно, что чем больше внутреннее сопротивление источника, тем больше напряжение на разомкнутых зажимах и тем больше мощность источ ника тока.

Идеальные источники напряжения и тока являются независимыми, по скольку напряжение на их зажимах и задающий ток определяются только внутренними свойствами источников и не зависят от внешних воздействий.

Вместе с тем в радиотехнике и электронике широкое применение находят ак тивные цепи с зависимыми (управляемыми) источниками, т. е. цепи, содер жащие транзисторы, операционные усилители, электронные лампы и другие активные элементы.

в. Зависимые источники Зависимый источник напряжения представляет собой идеализированную электрическую цепь с двумя парами зажимов. К входной паре зажимов (1-1 ) подключаются управляющие либо напряжение (рис.16, а) либо ток (рис.16, б). К выходной паре зажимов (2 - 2 ) источник управляемого на пряжения. Аналогично вводится понятие зависимого источника тока, только у него к выходным зажимам подключен источник управляемого тока (рис.16, в, г).

Рис. Важно отметить, что входные зажимы источников, управляемых напря жением, разомкнуты, а у источников, управляемых током, соединены нако ротко. Различают четыре вида зависимых источников: источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН);

источник напряжения, управляемый то ком (ИНУТ);

источник тока, управляемый напряжением (ИТУН);

источник тока, управляемый током (ИТУТ).

В ИНУН (рис.16, а) входное сопротивление бесконечно велико, входной ток I1 = 0, а выходное напряжение связано с входным равенством U2 = HUU1, где HU - коэффициент передачи по напряжению. ИНУН яв ляется идеальным усилителем напряжения.

В ИНУТ (рис.16, б) входным током I1 управляет выходное напряжение U2, входная проводимость бесконечно велика: U1 = 0, U2 = HZ I1, где HZ - передаточное сопротивление.

В ИТУН (рис.16, в) выходной ток I2 управляется входным напряжением U1, причем I1 = 0 и ток I2 связан с U1 равенством I2 = HYU1, где HY - передаточная проводимость.

В ИТУТ (рис.16, г) управляющим током является I1, а управляемым I2.

U1 = 0, I2 = HI1, где Hi - коэффициент передачи по току. ИТУТ явля i ется идеальным усилителем тока.

Лекция 2.

Основные понятия, относящиеся к схеме электрической цепи Схемой электрической цепи называется графически изображенная модель ее (рис.17), составленная из идеализированных пассивных (R, L, C) и актив ных (e, i) элементов. Основными понятиями, характеризующими геометри ческую конфигурацию цепи, являются ветвь, узел, контур.

Ветвь- участок цепи, образованный последовательно соединенными эле ментами. Последовательным соединением элементов цепи называется такое соединение, при котором через них проходит один и тот же ток.

Узел- точка соединения трех и более ветвей.

Контур- любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям.

Параллельным соединением элементов называется такое соединение, при котором на них действует одно напряжение.

Источники э. д. с. включаются последовательно с ветвью цепи, источники тока - параллельно, потому что: при включении источника э. д. с. параллель но ветви на ней известно напряжение, а при последовательном включении источника тока становится известен ток в ветви. Ветвь с заранее известными токами и напряжениями можно из анализа исключить.

Рис. Ветви: ас - С1 R1 e1, аd - L1 R3 e2, ab- R2, bd - R4, dg - L3 и т. д.

Узлы: а, b, c, d, g.

Контуры: 1) a-b-c-a, 2) a-b-d-g-a, 3) b-d-g-c-b и т. д.

При исследовании процессов в сложных цепях существенное значение имеет геометрическая структура (топология), характеризуемая совокупно стью узлов и ветвей, независимо от конкретных особенностей элементов. В связи с этим наряду с понятием схемы цепи вводится понятие топологиче ского графа или просто графа (как бы скелета схемы).

Граф цепи - графическое представление ее геометрической структуры, со стоящее из ветвей - линий (ребер) и узлов (вершин). Обычно источники энергии на графе не указываются;

источники э. д. с. заменяются коротко замкнутыми линиями, а источники тока - разрывами. Граф цепи, изображен ной на рис.17, приведен на рис.18, а.

а б в Рис. Если на графе указывают направления токов, то граф называют направлен ным (рис.18, б). Если граф не может быть изображен без пересечения ветвей, то он называется не планарным (рис.18, в).

Очень важным понятием является так называемое дерево графа- любая система из минимального числа ветвей графа, соединяющая все узлы без об разования контуров. Протекание тока по ветвям дерева исключается.

Рис. Таким образом, все ветви графа разбиваются на ветви дерева и не вошед шие в дерево - ветви связи (главные ветви или хорды). На рис.19 изображе ны возможные варианты построения дерева графа для схемы (рис.17).

Сплошные линии - ветви дерева, пунктирные - ветви связи.

Поскольку первая ветвь дерева соединяет два узла, а каждая последующая ветвь добавляет по одному узлу, то число ветвей дерева nВД = nY -1.

Число ветвей, не вошедших в дерево (ветвей связи) nBC = nB - nВД = nB - nY +1, где nB - число ветвей графа, nY - число узлов.

Основные законы электрических цепей Основными законами электрических цепей, позволяющими описывать любые режимы их работы, являются закон Ома и законы Кирхгофа.

1. Закон Ома. Если сопротивление проводника R не зависит от величины и направления, протекающего тока (сопротивление является линейным), то падение напряжения на нем пропорционально току i и сопротивлению R U = R i.

2. Закон Джоуля- Ленца. Если образующие цепь проводники неподвижны, а ток постоянен, то работа сторонних сил целиком расходуется на нагревание проводников WR = U i t, соответствующее ей количество теплоты в калориях QR = 0,24 U i t.

3. Первый закон Кирхгофа. Алгебраическая сумма токов в ветвях, связан ных общим узлом электрической цепи (рис.20), равна нулю.

Рис. (Сумма токов приходящих к узлу, равна сумме токов, уходящих от узла).

Уходящие токи будем считать отрицательными, приходящие - положительными.

n -i1 + i2 - i3 + i4 - i5 = 0 или i = 0, k k = где k - номер ветви, связанной с данным узлом.

Первый закон Кирхгофа вытекает из того, что в узле не могут накапли ваться и расходоваться заряды.

Первый закон Кирхгофа применим также к любому контуру или замкнутой поверхности, охватывающей часть электрической цепи, поскольку ни в ка ком элементе, ни в каком режиме заряды одного знака накапливаться не мо гут.

4. Второй закон Кирхгофа. В любом контуре электрической цепи алгеб раическая сумма падений напряжения на элементах равна алгебраической сумме э. д. с., действующих в этом контуре:

nm U = e.

kp k =1 p= Второй закон Кирхгофа устанавливает баланс напряжений в контурах электрической цепи и вытекает из закона сохранения энергии. Действитель но, если умножить обе части последнего уравнения на dq, то в левой части получим элементарную работу переноса заряда dq вдоль пассивных элемен тов цепи, а в правой - работу сил стороннего поля.

Рис. Напряжения и э. д. с. в последнем уравнении берут со знаком (+), если их направление совпадает с направлением обхода контура (выбранным произ вольно), и со знаком (-), если не совпадает. Например, для цепи (рис.21) U1 -U2 -U3 +U4 = e1 - e2 - e3.

Если предположить, что все пассивные элементы представляют собой со противления, то уравнение можно переписать, воспользовавшись законом Ома:

nm Ri = e.

k k p k =1 p= В общем случае, когда контур содержит сопротивления, индуктивности и емкости и питание осуществляется источниками переменного напряжения, уравнение второго закона Кирхгофа имеет вид nm (Ri + Lk dik + Ck dt) = e.

k k k p i dt k =1 p= Лекция 3.

Основные методы расчета линейных электрических цепей 1. Применение законов Кирхгофа для расчета сложных цепей.

В общем случае искомые токи и напряжения в ветвях сложной цепи могут быть найдены в результате совместного решения системы уравнений, выра жающих первый и второй законы Кирхгофа для заданной электрической це пи.

Пусть в схеме, содержащей p ветвей и q узлов, заданы величины эле ментов ветвей, э. д. с. и токи источников. Необходимо найти токи во всех ветвях цепи.

По первому закону Кирхгофа записываются q-1 независимое уравнение.

Уравнение для q-го узла является следствием предыдущих, в качестве по следнего - опорного целесообразно выбрать узел, в котором сходится мак симальное число ветвей.

По второму закону Кирхгофа записывается p-q+1 независимых уравне ний для независимых контуров (отличающихся один от другого хотя бы од ной ветвью).

Таким образом, для расчета электрической цепи с помощью законов Кирхгофа необходимо составить столько уравнений, сколько в цепи ветвей.

При выборе независимых контуров удобно использовать граф цепи (гра фическое представление геометрической структуры, состоящее из ветвей линий (ребер) и узлов (вершин)).

Пример 1. Дана электрическая цепь (рис.22) с известными параметрами:

Рис. Построим дерево графа - систему из минимального количества ветвей, соединяющих все узлы графа без образования замкнутых контуров (рис.23).

Рис. Подключение к дереву графа каждой из хорд-главных ветвей (пунктирные линии на рис.23) создает по одному независимому контуру.

Выберем произвольно направления токов в ветвях (рис.22), тогда для уз лов и для контуров (при обходе по часовой стрелке):

- I1 - I2 - I2 - IИ1 - IИ 2 - IИ 3 = 0 для узла а;

I2 + IИ 2 - I4 - I5 = 0 для узла b;

I1 + IИ1 + I5 - I6 = 0 для узла c;

E1 - E2 = R1I1 - R5I5 - R2I2 для контура I;

E2 - E3 = R2I2 + R4I4 - R3I3 для контура II;

0 = RI5 - RI4 + RI6 для контура III.

5 4 Решая систему уравнений, найдем искомые токи, а зная сопротивления ветвей, можно найти напряжения между узлами. Если ток в ветви получился со знаком (-), то направление его в действительности противоположно вы бранному направлению.

2. Метод контурных токов Для сокращения количества уравнений в расчетах токов в цепи часто ис пользуется метод контурных токов, являющийся модификацией метода Кирхгофа. При расчете токов этим методом вводят понятие контурного то ка, как тока в главной ветви независимого контура. Уравнения составляются по второму закону Кирхгофа для независимых контуров, т.е. получается сис тема уравнений с меньшим числом переменных, что является преимущест вом метода контурных токов. Для схемы (рис.24) имеем:

Рис. E1 - E2 = (R1 + R5 + R2)I11 - R2I22 - R5I33 для контура I;

E - E3 = -R2I11 + (R4 + R2 + R3)I22 - R4I33 для контура II;

0 =-RI11 - RI22 + (R6 + R4 + R5)I33 для контура III.

5 Определив контурные токи из полученной системы уравнений, найдем токи в ветвях I1 = I11, I2 = I22 - I11, I3 = -I22, I4 = I22 - I33, I5 = I33 - I11, I6 = I33.

Следует отметить, что при одинаковом направлении контурных токов в системе уравнений суммы сопротивлений, принадлежащих каждому контуру - собственное сопротивление контуров, входят со знаком плюс, а общие со противления двух контуров входят со знаком минус.

В общем случае для n- контурной схемы получается n уравнений:

E11 = R11I11 + R12I22 +... + R1nInn ;

E = R21I11 + R22I22 +... + R2nInn ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Enn = Rn1I11 + Rn2I22 +... + RnnInn.

R11, R22,... Rnn - собственное сопротивление контуров.

Rik,... Rki - общие сопротивления i - го и k- го контуров.

E11, E22,... Enn - контурные э. д. с., алгебраическая сумма э. д. с. в каждом контуре.

Согласно теореме Крамера решение для любого контурного тока может быть найдено как n Ikk = E ik, ii i= где - определитель системы R11 R12... R1n R21 R22... R2n =, - - - - - - - - - - Rn1 Rn2... Rnn ik - алгебраическое дополнение элемента Rik, полученное из определите ля вычеркиванием k- го столбца и i - ой строки и умножением полу ченного определителя на (-1)(i+k ).

В развернутом виде:

I11 = [E1111 + E2221 +... + Ennn1], I22 = [E1112 + E2222 +... + Ennn2], ------------------- Inn = [E111n + E222n +... + Ennnn].

Токи в ветвях находятся как алгебраическая сумма соответствующих кон турных токов.

3. Метод наложения Ток в любой k- ой ветви сложной электрической цепи можно найти, со ставив уравнения по методу контурных токов, выбрав контуры так, чтобы k- ая ветвь входила только в один контур. Тогда ток в k- ой ветви будет равен контурному току, определенному выше:

n Ikk = E ik =E11 1k + E22 2k +... + Enn nk.

ii i= Каждое слагаемое в правой части представляет собой ток, вызванный в 1k k- ой ветви соответствующей контурной э. д. с. Например, E11 - со ставляющая тока k- ой ветви, вызванная контурной э. д. с. E11. Каждая же из контурных э. д. с. есть алгебраическая сумма э. д. с. ветвей, входящих в соответствующий контур.

Таким образом, ток в k- ой ветви, создаваемый несколькими источниками э. д. с., включенными в разных участках схемы, равен алгебраической сумме токов, вызываемых каждой из э. д. с. в отдельности. Это и есть принцип су перпозиции или наложения.

Этот принцип нашел применение в методе, получившем название метода наложения. При расчете токов в ветвях цепи поступают следующим образом:

поочередно рассчитывают токи, возникающие от действия каждой э. д. с., мысленно удаляя остальные э. д. с. из схемы, но оставляя в схеме внутрен ние сопротивления источников. Ток в ветвях находят как алгебраическую сумму частичных токов от каждого источника.

Если в цепи заданы источники тока и э. д. с., то ток в любой ветви нахо дится также как сумма токов от действия тех и других источников.

Принцип суперпозиции справедлив только для линейных цепей и называ ется принципом независимости действия, так как базируется на предположе нии, что каждое слагаемое сложного воздействия на линейную цепь вызыва ет свой отклик независимо от того, действуют ли в системе другие слагае мые.

4. Метод узловых напряжений Метод узловых напряжений является наиболее общим и широко применя ется для расчета электрических цепей, в частности в различных программах автоматизированного проектирования электронных схем.

Ток в любой ветви сложной цепи можно найти, определив разность потен циалов между узлами. Метод расчета, основанный на определении напряже ний между узлами сложной цепи, называют методом узловых напряжений (узловых потенциалов).

Число неизвестных в этом методе определяется числом уравнений, кото рые необходимо составить по первому закону Кирхгофа, т. е. метод узловых напряжений также есть модификация метода Кирхгофа. Данный метод имеет преимущества по сравнению с методом контурных токов, когда количество узлов меньше числа независимых контуров сложной цепи.

Приняв потенциал одного из узлов (базисного или опорного) равным нулю, получим некоторые напряжения остальных узлов относительно базисного, называемые узловыми напряжениями.

Определим токи во всех ветвях цепи (рис.25), приведенной в примере 1.

Рис. Для узлов a, b и с составим уравнения по первому закону Кирхгофа.

-I1 - I2 - I3 - I1 - I2 - I3 = 0 для узла а;

I2 - I5 - I4 + I2 = 0 для узла b;

I1 + I1 + I5 - I6 = 0 для узла c.

I1, I2, I3 -токи источников тока.

Токи, протекающие через сопротивления Ua -Uc Ua -Ub Ua Ub I1 =, I2 =, I3 =, I4 =, R1 R2 R3 R Ub -Uc Uc I5 =, I6 =.

R5 R Подставив эти значения в последнюю систему уравнений, получим:

-I1 - I2 - I3 - g1(Ua -Uc) - g2(Ua -Ub) - g3Ua = 0;

I2 - g5(Ub -Uc) - g4Ub + g2(Ua -Ub) = 0;

I1 + g1(Ua -Uc) + g5(Ub -Uc) - g6Uc = 0;

где gk = 1/ Rk.

(g1 + g2 + g3)Ua - g2Ub - g1Uc = -I1 - I2 - I3;

- g2Ua + (g2 + g4 + g5)Ub - g5Uc = I2;

- gUa - g5Ub + (g1 + g5 + g6)Uc = I1.

Величины, представляющие собой сумму проводимостей ветвей, сходя щихся в данном узле, называются собственной проводимостью узла, вели чина, равная проводимости ветви между узлами, входящая со знаком минус в систему уравнений, называется общей проводимостью между узлами.

Решив данную систему уравнений, получим узловые напряжения и далее по закону Ома определим токи в ветвях.

В общем случае для сложной цепи, содержащей q узлов:

I11 = g11U1 + g12U2 +... + g1,q-1Uq-1 ;

I22 = g21U1 + g22U2 +... + g2,q-1Uq-1 ;

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Iq-1,q-1 = gq-1,1U1 + gq-1,2U2 +... + gq-1,q-1Uq-1.

Здесь I11, I22,..., Iq-1,q-1 -алгебраическая сумма токов источников связанных с узлами, gii -собственная проводимость i-го узла, gik -общая проводимость между i -м и k -м узлами, входящая со знаком (-) при вы бранном направлении узловых напряжений к базисному узлу.

Решив систему уравнений с помощью определителей, получим:

q- Uk = I ik, ii i= где - определитель системы g11 g12... g1,q- g21 g22... g2,q- =, - - - - - - - - - - - - gq-1,1 gq-1,2... gq-1,q- ik - алгебраическое дополнение элемента gik, полученное из определите ля вычеркиванием k- го столбца и i - ой строки и умножением полу ченного определителя на (-1)(i+k ).

В развернутом виде:

U1 = [I1111 + I2221 +... + Iq-1,q-1q-1,1], U2 = [I1112 + I2222 +... + Iq-1,q-1q-1,2], --------------------- Uq-1 = [I111n + I222n +... + Iq-1,q-1q-1,q-1].

Из последних уравнений следует, что узловые напряжения определяются алгебраической суммой частных узловых напряжений, обусловленных дей ствием каждого источника тока, т. е. как и в методе контурных токов, эти уравнения отражают принцип наложения, характерный для линейных элек трических цепей.

Изложенные правила составления узловых уравнений справедливы и для цепей с зависимыми источниками тока, т. е. ИТУН и ИТУТ. В уравнениях появляются дополнительные слагаемые, обусловленные взаимной проводи мостью между узлами через зависимые источники.

5. Метод эквивалентного генератора Метод эквивалентного генератора используется в случае, когда необходи мо найти ток, напряжение или мощность в одной ветви. По отношению к рассматриваемой ветви всю остальную часть цепи независимо от ее структу ры можно рассматривать как двухполюсник (рис.26). Двухполюсник называ ют активным, если он содержит источники электрической энергии, и пассив ным - в противном случае.

Различают два варианта метода эквивалентного генератора: метод эквива лентного источника напряжения и метод эквивалентного источника тока.

Метод эквивалентного источника напряжения. Этот метод основан на теореме Тевенена, согласно которой ток в любой ветви линейной электри ческой цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подклю чена данная ветвь, заменить эквивалентным источником напряжения с э.

д. с., равной напряжению холостого хода на зажимах разомкнутой ветви, и внутренним сопротивлением, равным входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны разомкнутой ветви.

Пусть в некоторой сложной цепи требуется найти ток в одной из ее ветвей.

Такую цепь можно представить в виде активного двухполюсника и подклю ченной к нему интересующей нас ветвью (рис.26, а).

Режим цепи не будет нарушен, если последовательно с сопротивлением R включить два одинаковых источника э. д. с. ЕЭ1 и ЕЭ2, имеющих встречные полярности (рис.26, б) и величину, равную напряжению холостого хода, ко торое появится на зажимах двухполюсника, если разомкнуть заданную ветвь.

Согласно методу наложения будем считать искомый ток состоящим из двух составляющих: I = I1 + I2 (рис.26, в). Ток I1 вызван действием всех источников активного двухполюсника и источником ЕЭ1. Очевидно, что I1= 0, т. е. в этом случае в цепи реализован режим холостого хода.

Рис. Ток I2 (рис.26, г) вызванный действием оставшегося источника ЕЭ2 при отсутствии всех остальных источников в цепи (короткое замыкание источни ков э. д. с. и разрыв источников тока активного двухполюсника), представля ет собой искомый ток EЭ2 UXX I2 = I = =.

Ri + R Ri + R Ri - внутреннее сопротивление эквивалентного источника напряжения, рав ное входному сопротивлению пассивного двухполюсника со стороны ра зомкнутой ветви. Из последней формулы следует, что активный двухполюс ник может быть заменен последовательной схемой эквивалентного генерато ра (рис.26, д).

Если сопротивление нагрузки (рис.26, г) замкнуть накоротко, то между за жимами генератора будет проходить ток EЭ IКЗ =.

Ri Отсюда следует, что внутреннее сопротивление эквивалентного генератора находится как отношение напряжения холостого хода к току короткого за мыкания UXX Ri =.

IКЗ Наряду с заменой активного двухполюсника эквивалентным генератором напряжения, возможна также и замена его эквивалентным источником тока.

Условием эквивалентности источника э. д. с. и источника тока является один и тот же ток и напряжение, вызываемые ими на одной и той же нагрузке (рис.27).

а б Рис. Напряжение эквивалентного генератора (рис.27, а) EЭ = RIi + U или U = EЭ - RiI.

Напряжение на нагрузке в схеме с генератором тока (рис.27, б) U = RI = RiIi = Ri(IЭ - I ) = RiIЭ - RiI.

Таким образом, EЭ - RiI = RiIЭ - RiI или EЭ = RiIЭ.

Ток эквивалентного источника тока EЭ IЭ =, Ri т. е. равен току, возникающему в цепи в режиме короткого замыкания данной ветви.

Метод эквивалентного источника тока. В основе метода лежит теорема Нортона, согласно которой ток в любой ветви линейной электрической цепи не изменится, если активный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменить эквивалентным источником тока с задающим током, рав ным току короткого замыкания этой ветви, и внутренней проводимостью, равной входной проводимости со стороны разомкнутой ветви.

При переходе от эквивалентного генератора напряжения к эквивалентному источнику тока выше было получено EЭ IЭ = = IКЗ = GiU, XX Ri где Gi = 1/ Ri - внутренняя проводимостью эквивалентного источника то ка.

После нахождения IКЗ и Ri искомый ток в нагрузке можно найти по формуле U RRi 1 Ri I = = IКЗ = IКЗ.

RR + Ri RR + Ri Лекция 4.

Линейные электрические цепи при гармоническом воздействии 1. Гармонические колебания Колебательный процесс называется гармоническим, если мгновенное зна чение напряжения или тока изменяется во времени по закону u = Um cos(t + ) или u = Um sin(t + ).

Гармоническое колебание является периодической функцией времени. На (рис.28) отмечены амплитуда Um (максимальное значение) колебания и его период Т = 1/f, где f - частота колебания.

Величина = t + ) называется текущей фазой колебания и представляет собой некоторый угол, величина которого зависит от времени. Постоянная величина называется начальной фазой, определяющей величину смещения гармонической функ ции относительно начала координат.

Рис. Величина пропорциональна частоте f;

она носит название угловой частоты и равна = 2 f =.

T Угловая частота является скоростью изменения текущей фазы, т. е.

d =, dt и измеряется в радианах в секунду (рад/сек).

При t=0 значение функции определяется величиной начальной фазы u(0) = Um cos.

Среднее и действующее (эффективное) значения гармонической функции Среднее значение периодической функции за период Т определяется по формуле t FCP = f (t)dt.

T В случае гармонического колебания среднее значение за период равно вы соте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ог раниченной функцией f(t) и осью абсцисс и равна нулю, так как площадь по ложительной полуволны компенсируется площадью отрицательной полувол ны. Поэтому под средним значением гармонической функции понимают среднее значение за полпериода.

Для гармонического напряжения u = Um cost T 4 T 2Um UCP = Um costdt = sint = Um 0,637Um.

T TT T Действующее (среднеквадратичное) значение периодической функции вы числяется по формуле T F = [ f (t)]2dt.

T Из этой формулы следует, что величина F представляет собой среднее значение функции [ f (t)]2 за период Т, т. е. равна высоте прямоугольника с основанием Т, площадь которого равна площади, ограниченной функцией [ f (t)]2 и осью абсцисс за один период.

При токе i = Im cost TT 11 Im T Im I = m [i(t)] dt = I cos2 tdt = (1+ cos 2t)dt =.

TT 2T 00 Количество теплоты, выделенное гармоническим током за время, равное периоду колебаний TTT T W = Pdt = uidt =Ri dt =RIm 2.

Выделенная за это же время постоянным током теплота W = RIconstT.

Из условия равенства количества теплоты, выделяемой гармоническим и T Im постоянным токами ( RIm = RIconstT ) получим I = Iconst =, т. е.

действующее значение периодического тока равно по величине такому по стоянному току, который, проходя через неизменное сопротивление R за пе риод времени Т выделяет то же количество тепла, что и данный ток i.

Лекция 5.

Метод комплексных амплитуд Представление гармонических функций с помощью комплексных величин При гармоническом воздействии на линейную цепь все токи и напряжения имеют форму гармонических колебаний, поэтому задача расчета цепи сво дится к нахождению амплитуд и начальных фаз этих колебаний. В связи с этим был разработан метод комплексных амплитуд, основанный на пред ставлении гармонических функций в виде проекций вращающихся векторов, которые выражаются аналитически в комплексной форме. Метод удобно со четает аналитические расчеты с геометрическими представлениями.

Гармонические колебания согласно методу комплексных амплитуд мо & гут быть представлены как проекции вектора Um на комплексной плоскости вращающегося против часовой стрелки с угловой частотой (рис.29) на оси координат.

Проекция вектора на вещественную ось представляет собой мгновенное значение, выражаемое косинусоидальной функцией U (t) = Um cos(t + ), а на мнимую ось - синусоидальной функцией U (t) = Um sin(t + ).

Символический вектор на комплексной плоскости математически может быть представлен в трех формах:

Рис. && & j = - алгебраической Um = ReUm + j ImUm, где ;

j && & показательной, Um =|Um | e где, Um -модуль;

- аргумент;

&& & тригонометрической Um =|Um | cos + j |Um | sin.

&&& Модуль вектора Um |= (ReUm)2 + (ImUm)2, & ImUm аргумент = arctg.

& ReUm & В случае гармонического колебания аргумент комплексного числа Um является функцией времени = t +.

Поэтому число, символизирующее вращающийся вектор, выражается: в j jt && показательной форме U (t) = |Um | e e ;

в тригонометрической форме && & U (t) =|Um | cos(t + ) + j |Um | sin(t + ).

Кроме рассмотренного выше, возможен и несколько иной способ представ ления гармонических колебаний в виде двух вращающихся навстречу векто ров (рис.30).

Рис. На основании формулы Эйлера j(t + ) e + e- j(t + ) u(t) = Um cos(t + ) = Um или * & Um jt U m u(t) = e + e- jt, * j & где Um = Ume, а U = Ume- j - комплексно сопряженное число.

m j(t + ) e - e- j(t+ ) u(t) = Um sin(t + ) = Um 2 j или * & 1 Um jt U m u(t) = ( e - e- jt ).

j Вращение векторов в отрицательном направлении (по ходу часовой стрел ки (рис.30)) связано с понятием отрицательной частоты, что, конечно, лише но физического смысла, однако позволяет упростить решение многих задачах радиотехники и электроники.

Таким образом, при рассмотрении напряжений и токов в цепи при гармо ническом воздействии может быть построена векторная диаграмма, пред ставляющая собой совокупность радиус-векторов, отображающих комплекс ные амплитуды колебаний и вращающихся на комплексной плоскости про тив часовой стрелки с угловой скоростью.

Рис. Поскольку взаимное расположение векторов на диаграмме не изменяется, то удобно рассматривать комплексные амплитуды напряжений и токов в мо мент времени t = 0.

На рис.31 приведено схематическое изображение цепи переменного тока.

Генератор гармонических колебаний питает пассивный двухполюсник, состоящий из сопротивлений, индуктивностей и емкостей.

& Отношение комплексных амплитуд напряжения U и тока I& на входе двухполюсника называется его комплексным входным сопротивлением:

& U & ZBX =.

I& Величина, обратная комплексному сопротивлению называется его ком плексной проводимостью:

1 I& & YBX ==.

&& ZBX U Учитывая, что jU ji & Um = Ume и I& = Ime m получаем Um j(U -i ) & ZBX = e, Im Um Отношение - полное входное сопротивление (модуль);

Im U -i - сдвиг фаз между напряжением и током.

Как всякое комплексное число, комплексное сопротивление и ком плексная проводимость могут быть представлены в показательной, алгеб раической и тригонометрической формах:

j && ZBX =| ZBX | e, & ZBX = RBX + jX, BX RBX - вещественная, активная составляющая;

X - мнимая, реактивная составляющая комплексного сопротивления;

BX && & ZBX =| ZBX | cos + j | ZBX | sin.

Очевидно, X BX & | ZBX | = R2BX + X, = arctg.

BX RBX Гармонический ток в элементах электрической цепи 1. Гармонический ток в сопротивлении Если пассивный двухполюсник представляет собой активное сопротивле ние R, то на основании закона Ома & U Um jU ji I& =, I& = Ime = e, R R Um т. е. амплитуда тока Im =, R а разность фаз между током и напряжени ем =U -i. Рис. На векторной диаграмме (рис.32) напряжение и ток совпадают по фазе;

& ZBX = RBX = R, X = 0, BX проводимость YBX = 1/ R.

Если к сопротивлению подведено напряжение u(t) = Um cos(t +U ), то через него потечет ток Um i = cos(t +U ).

R Мгновенная мощность, поступающая в сопротивление PR = ui = UmIm cos2(t + ) = UI[1+ cos 2(t + )], т. е. PR изменяется с удвоенной частотой (рис.33).

Рис. Среднее значение мощности за период TT 11 UmIm PA = [1+ cos 2(t + )]dt = UI = RI.

R Pdt = TT Среднее значение расходуемой мощности называют активной мощностью.

Um Im (U = и I = - действующие значения напряжения и тока).

2 2. Гармонический ток в индуктивности Если пассивный двухполюсник представляет собой индуктивность, то di UL = L.

dt Используя метод комплексных амплитуд, получим ji jt d(Ime e ) ji jtjt jU & UL = L = jLIme e = Ume e.

dt j(i + ) j ji & ULm = jLIme = LIme, ( j = e = cos + jsin ).

Отсюда следует, что амплитуда напряжения ULm = LIm = X Im, L где X = L- индуктивное сопротивление, обратная величина L bL = называется индуктивной проводимостью.

L Угол сдвига фаз между напряжением и током, т.е.

=U -i = - ток отстает по фазе от напряжения на (рис.34).

2 Очевидно, что входное сопротивление индуктивности - чисто мнимая величина:

ji & U Ime & ZBX = = jL = jL = ji I& Ime j = L e = jX, L линейно изменяющаяся с частотой.

Рис. Пусть через индуктивность протекает ток i(t) = Im cos(t + ).

Тогда напряжение на индуктивности di uL = L = -LIm sin(t + ) = Um cos(t + + ).

dt Мгновенная мощность, поступающая в индуктивность, будет равна:

PL = ui = -UmIm sin(t + )cos(t + ) = UmIm =- 2sin(t + )cos(t + ) =-UI sin 2(t + ).

Рис. Энергия магнитного поля индуктивности 2 Li2 LIm LI WL = =cos2(t + ) = [1+ cos 2(t + )], 22 т. е. также как и мгновенная мощность колеблется с удвоенной частотой (рис.35) и происходит непрерывный обмен энергии между источником и ин дуктивностью, причем средняя мощность, поступающая в индуктивность равна нулю.

3. Гармонический ток в емкости При подключении к источнику гармонического напряжения емкости в цепи потечет ток dU iC = C.

dt Используя метод комплексных амплитуд, получаем jU jt d(Ume e ) jU jtjt ji I& = C = CUme j e = Ime e, C dt j(U + ) ji jU I& = Ime = jCUme = CUme.

Отсюда следует, что амплитуда тока в емкости Um Im = CUm = bCUm =, XC где bC = C - проводимость емкости, XC = - емкостное сопротив C ление.

Сдвиг фаз между напряжением и током =U -i = -, т.е. ток опережает напряжение на / 2 (рис.36).

Следует отметить, что входное со противление емкости является чисто мни мой отрицательной величиной:

jU & U Ume & ZBX = == = jU I& jC jCUme - j Рис.36 =- j = e, зависящей от C C частоты источника (XC =- ).

щC Мгновенная мощность, поступающая в емкость PС = ui = UmImсos(t + )cos(t + + ) = =-UI sin 2(t + ).

Энергия электрического поля емкости CU CUm CU WC ==cos2(t + ) =[1+ cos2(t + )].

22 Как и в индуктивности, мгновенная мощность и энергия в емкости колеб лются с удвоенной частотой, причем средняя мощность, поступающая в ем кость, равна нулю.

Лекция 6.

Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме Согласно первому закону Кирхгофа сумма мгновенных значений токов в узле равна нулю. Представляя мгновенные значения токов как вещественные части комплексных функций jtjt jt i1(t) = Re(I& e ), i2(t) = Re(I& e ),..., in(t) = Re(I& e ), m1 m2 mn получим n jt Re(I& e ) = 0.

mk k = Так как сумма вещественных частей комплексных функций равна вещест венной части суммы функций, то n jt Re( I& e ) = 0.

mk k = Это выражение справедливо для любого момента времени, в том числе и для t = 0. Поэтому n = I& 0.

mk k = Таким образом, сумма комплексных амплитуд токов в узле равна нулю.

Второй закон Кирхгофа гласит, что сумма мгновенных значений напряже ний на пассивных элементах контура равна сумме э. д. с., действующих в контуре.

Для электрической цепи (рис.37) Рис. di e(t) = Ri + L + idt.

dt C jt jt & & Пусть E = Eme, тогда ток может быть представлен в виде I& = I& e, m & где Em и I& - комплексные амплитуды источника э. д. с. и тока в контуре.

m Тогда последнее уравнение может быть представлено в виде:

d jt jt jt jt & Re(Eme ) = R Re(I& e ) + L Re(I& e ) + m m m Re(I& e )dt.

dt C Заменив операции над действительными частями комплексных функций операциями над самими комплексными функциями с последующим выделе нием действительных частей от полученного результата, имеем:

d jt jt jt jt & Re(Eme ) = Re(RI& e + L I& e + m m m I& e dt).

dt C После операций дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения получим:

jt jt jt jt & Re(Eme ) = Re(RI& e + jLI& e + I& e ).

m m jCm jt Проведя деление обеих частей уравнения на e, получим алгебраическое комплексное уравнение:

& Em = RI& + jLI& + I&, m m m jC из которого следует, что комплексная амплитуда э. д. с. источника равна сумме комплексных амплитуд падений напряжения на элементах & & & & Em = URm + ULm + UCm.

Алгебраическое комплексное уравнение может быть представлено и в дру гой форме:

& & Em = (R + jL + )I& = ZI&, m m jC & где Z - комплексное сопротивление цепи.

Последнее уравнение представляет собой закон Ома для комплексных ам плитуд.

В общем случае второй закон Кирхгофа в комплексной форме можно запи сать в виде:

nn & & = Z I& E, k k k k =1 k = & где Zk и I& - комплексное сопротивление и комплексная амплитуда тока в k & k-ой ветви, Ek - комплексная амплитуда э. д. с. k-ой ветви.

Построим векторную диаграмму напряжений для последовательной RLC цепи (рис.38).

а б Рис. Изображенные на рис.38 напряжения на элементах равны:

& & & UR = RI&, UL = jLI&, UC = I& = - j I&.

jC C 11 X При L > X = L - > 0, = arctg > o, C C R сопротивление цепи имеет индуктивный характер и ток в цепи отстает от входного напряжения на угол, зависящий от соотношения сопротивле ний индуктивности, емкости и резистора (рис.38, а).

11 X При L < X = L - < 0, = arctg < o, C C R сопротивление цепи имеет емкостный характер, и ток в цепи опережает входное напряжение на угол ( рис.38, б).

Векторы, представляющие действующие в цепи э. д. с. и напряжения на элементах, образуют на векторной диаграмме замкнутую фигуру (треуголь ник напряжений (рис.39, а)).

а б в Рис. Треугольник сопротивлений представляет собой геометрическую интер претацию выражения комплексного сопротивления при Х >0 (рис.39, б) и X <0 (рис.39, в).

В соответствии с первым законом Кирхгофа для цепи с параллельным со единением R, L, C (рис.40) имеем:

&& U U & & & I& = I& + I& + I& = + + jCU = YU.

R L C R jL Рис. & Ток в сопротивлении I& совпадает по фазе с напряжением U ;

R ток в индуктивности I& отстает напряжения на ;

L ток в емкости I& опережает напряжение на.

C Выражение & Y = g - j( -C) = g - jb L представляет собой комплексную проводимость цепи;

g = 1/ R - активная и b -реактивная составляющие проводимости цепи.

Уравнение & & I& = YU выражает закон Ома в комплексной форме.

Построим векторную диаграмму токов для параллельной RLC-цепи (рис.41).

а б Рис. При L < цепь имеет индуктивный характер проводимости и пол C & ный ток I& отстает от входного напряжения U по фазе (рис.41, а).

При L > цепь имеет емкостный характер проводимости и полный C & ток I& опережает входное напряжение U по фазе (рис.41, б).

а б в Рис. Активная составляющая тока I& = I&, реактивная составляющая A R I& = I& + I& и суммарный ток I& образуют треугольник токов (рис.42, а).

P L C Если стороны треугольника токов поделить на входное напряжение, то по лучатся стороны треугольника проводимостей;

для случая L < C (рис.42, б) и (рис.42, в) для случая L >.

C Лекция 7.

Мощность в цепи гармонического тока Пусть имеем участок цепи R, X (рис.43), находящийся под воздействием гармонического напряжения.

Рис. При напряжении на участке цепи u = Umcost ( = 0) в цепи течет ток i = Im cos(t - ).

Мгновенная мощность, поступающая в цепь UmIm P = ui = UmImcost cos(t -) = [cos + cos(2t -)] UmIm состоит из двух составляющих: постоянной величины cos и гар UmIm монической cos(2t -), колеблющейся с удвоенной частотой.

На рис.44 приведены временные диаграммы напряжения, тока и мгновен ной мощности.

Рис. Сравнивая кривую мгновенной мощности, изображенную на рис.44 с ана логичными кривыми, полученными для цепей с реактивными элементами (рис.35), можно увидеть, что в отличие от рис.35, площадь, ограниченная по ложительными ординатами кривой, превышает площадь отрицательных уча стков. Это свидетельствует о том, что энергия частично расходуется в актив ном сопротивлении R, подобно тому, что наблюдается в цепи с сопротивле нием (рис.33). Однако одновременно некоторое количество энергии перио дически то накапливается в магнитном или электрическом полях реактивного сопротивления X, то возвращается к генератору.

Выражение для мгновенной мощности может быть также представлено в иной форме:

P = ui = UmImcost[cost cos + sint sin] = UmIm UmIm cos(1+ cos 2t) + sin sin 2t.

Очевидно, что первое слагаемое является мгновенной скоростью расходо вания энергии в цепи, т. е. мощностью потребляемой активным сопротивле нием.

Второе слагаемое представляет собой мгновенную скорость запасания энергии в магнитном или электрическом поле цепи.

Среднее значение мощности за период, равное активной мощности T 1 UmIm PA = cos = UI cos.

uidt = T В отличие от цепи, содержащей только активное сопротивление, где PA = UI = RI, теперь PA < UI.

Таким образом, активная мощность равна произведению действующих значений напряжения и тока умноженному на cos, который носит назва ние коэффициента мощности. Чем ближе угол к нулю, ближе cos к единице и тем большая активная мощность будет передаваться от источника к нагрузке при заданном напряжении.

Мгновенная скорость запасания энергии - реактивная мощность имеет аб солютное значение UmIm Q = sin = UI sin.

Знак Q свидетельствует о характере запасаемой энергии. Если Q > 0, то энергия запасается в магнитном поле;

если же Q < 0, энергия накапливает ся в электрическом поле цепи.

В отличие от чисто реактивной цепи, для которой UmIm Q == UI, в смешанной цепи UmIm Q <.

X I Поскольку sin = = X, то Z U Im X Q == I X.

Реактивная мощность измеряется в воль - амперах реактивных (ВАР).

Реактивная мощность, подводимая к индуктивности:

LIm QL = UI sin = LI = = WL max, где WL max -максимальное значение энергии магнитного поля, запасаемой в индуктивности.

Реактивная мощность, подводимая к емкости:

CUm QC = UI sin(- ) =-CU =- =-WC max, где WC max -максимальное значение энергии электрического поля, запасае мой емкостью.

В цепи, содержащей индуктивность и емкость реактивная мощность равна Q = (WL max -WC max ).

Величина, равная произведению действующих значений напряжения и то ка на зажимах цепи S = UI, называется полной мощностью и измеряется в воль - амперах (ВА).

Поскольку PA = UI cos = S cos, Q = UI sin = S sin, то, очевидно S2 = PA + Q2 ;

Q tg =.

PA Энергетический расчет цепи гармонического тока может быть проведен и методом комплексных амплитуд, если воспользоваться следующим приемом.

& Пусть через некоторое комплексное сопротивление Z под действием ком jU & плексной амплитуды напряжения Um = Ume протекает ток с ком ji плексной амплитудой I& = Ime.

m Найдем произведение из комплексной амплитуды напряжения jU & Um = Ume и комплексного числа, сопряженного с комплексной ампли * тудой тока Im = Ime- ji.

Разделив полученное произведение на два, имеем UmIm j(U - ji ) UmIm j UmIm UmIm & S == cos + j sin.

e e = 22 2 Таким образом, вещественная часть полученного произведения равна ак тивной мощности PA, а мнимая часть реактивной мощности Q.

На комплексной плоскости соотношение между мощностями может быть представлено в виде треугольника мощностей (рис.45), подобного треуголь нику сопротивлений.

Рис. Если комплексно-сопряженное напряжение умножить на на комплексный ток и поделить полученное произведение на два, то получим:

* Um I& UmIm j(i -U ) UmIm j UmIm UmIm m == cos - j sin.

ee- = 22 2 2 * Um I& m = PA - jQ.

Отсюда следует, что активная и реактивная мощности могут быть записа ны в виде:

* * * * 1 & & PA = (Um Im+Um I& ), Q = (Um Im -Um I& ).

m m 4 4 j Для комплексов действующих значений напряжения и тока * * * * 1 & & PA = (UI +UI&), Q = (U I -U I&).

2 2 j Условие передачи максимума средней мощности от генератора к нагрузке.

Коэффициент полезного действия Пусть источник э. д. с. (рис.46) с внутренним сопротивлением & & Zi = Ri + jXi подключен к сопротивлению нагрузки ZH = RH + jX.

H Рис. Амплитуда тока в цепи Em Im =.

(Ri + RH )2 + (Xi + X ) H Средняя мощность, потребляемая нагрузкой 11 RH Em PA = RH Im =.

22 (Ri + RH )2 + (Xi + XH ) Отсюда видно, что первым условием получения максимума PA является равенство X =-Xi.

H В этом случае мощность, выделяемая в сопротивлении нагрузки 1 RH Em PA max =.

2(Ri + RH ) Дифференцируя по RH и приравнивая производную к нулю, получим второе условие, при выполнении которого активная мощность достигает наибольшего возможного (максимум максиморум) значения:

2 dPA max 1 Em(Ri + RH )2 - 2(Ri + RH )RH Em == 0.

dRH 2(Ri + RH ) Отсюда Ri = RH.

При этом условии активная мощность в нагрузке Em Em PA m m = =.

8Ri 8RH Таким образом, условия получения наибольшей мощности в нагрузке мо гут быть выражены одной формулой RH + jX = Ri - jXi.

H Если это условие выполняется, то считается, что генератор и нагрузка со гласованы.

На рис.47 показана зависимость PA max от отношения RH / Ri.

Рис. Поскольку ток в цепи протекает как через нагрузку, так и через внутреннее сопротивление генератора, то часть мощности генератора расходуется на его внутреннем сопротивлении и эту мощность можно считать бесполезно поте рянной.

Коэффициент полезного действия равен PA =, Pi + PA где Pi - мощность, расходуемая внутри генератора.

Учитывая, что 1 2 PA = RH Im и Pi = RIm, i 2 получим RH ==.

Ri + RH 1+ Ri RH График зависимости коэффициента полезного действия от отношения RH / Ri приведен на рис.47.

В режиме согласованной нагрузки ( Ri = RH ) полезная мощность макси мальна, коэффициент полезного действия равен лишь 50%, т. е. внутри гене ратора расходуется такая же мощность, какая выделяется в нагрузке, а отда ваемая генератором мощность вдвое превосходит полезную. При RH > Ri полезная мощность падает с ростом RH, в то время как коэффициент полез ного действия продолжает расти, приближаясь к единице.

В тех случаях, когда получение высокого коэффициента полезного дейст вия является решающим, следует выбирать режим цепи при RH > Ri.

В радиотехнических цепях при преобразовании маломощных сигналов ча ще всего стоит задача получения возможно большей полезной мощности;

в этом случае следует добиваться режима согласования Ri = RH.

Лекция 8.

Избирательные (резонансные) цепи Одной из основных задач радиотехники является осуществление частот ной избирательности (селективности) радиотехнических устройств.

В общем случае в любой приемной антенне возбуждается одновременно множество э. д. с. различных частот, излучаемых передающими станциями, а также источниками промышленных и атмосферных помех.

Радиоприемное устройство должно на фоне всех сигналов выделить один нужный сигнал (рис.48).

Рис. На рис.48, а изображена шкала частот, на которой прямоугольниками обозначены области частот с центральными частотами, отведенными для ра боты каждого источника сигнала. Амплитуды колебаний всех источников будем считать одинаковыми.

Для выделения одного из сигналов приемное устройство должно иметь частотную характеристику вида (рис.48, б). Приемное устройство пропускает только частоты, лежащие внутри полосыfПр. Если, например, полоса час тот fПр совпадает с f3, приемное устройство выбирает из всех воздей ствующих на нее колебаний лишь колебания третьего источника. При иде альной характеристике (рис.48, б) воздействие всех остальных источников не вызывает никаких откликов.

Для того, чтобы иметь возможность настраиваться на различные сигналы необходимо передвигать полосу fПр вдоль шкалы частот.

Реализовать цепи, имеющие частотную характеристику прямоугольной формы (рис.48, б), практически не представляется возможным, удается лишь в известной степени (рис.48, в) приблизиться к подобному виду характери стики, используя для этого избирательные (резонансные) цепи.

Последовательный колебательный контур. Резонанс напряжений Последовательным колебательным контуром называется цепь, состав ленная из последовательно соединенных индуктивности, ёмкости и актив ного сопротивления, характеризующего потери в реактивных элементах (рис.49).

При воздействии гармонической jt & & э. д. с. E = Eme & E ток в контуре I& =, & Z где & Рис. 49 Z = R + jL + = R + jX, jC X & &j & Z =| Z | e, | Z |= R2 + X, = arctg, X = L -.

R C Активную составляющую входного сопротивления R можно приближен но считать не зависящей от частоты генератора. Реактивная составляющая X = L - является функцией частоты и в зависимости от величины C L, C, и изменяется по величине и знаку (рис.50).

Рис. В зависимости от соотношения величин индуктивного и емкостного со противлений возможны три случая:

а) L >, X > 0, реактивная составляющая имеет индуктивный C характер, ток в контуре отстает от входного напряжения (рис.51, а).

а б в Рис. б) L <, X < 0, реактивная составляющая имеет емкостный ха C рактер, ток в контуре опережает входное напряжение (рис.51, б).

в) 0L =, X = 0, напряжение и ток в контуре совпадают по фазе 0C (рис.51, в), этот режим цепи называется резонансом напряжений.

При заданных L и С резонанс наступает на частоте 0 =, LC которая называется резонансной частотой колебательного контура.

Входное сопротивление контура в этом случае & E ZВХр = Zр = R, ток в цепи I& =.

p R Напряжения на реактивных элементах 1 0LE 1 E UL = UC = 0LIP = IP, UL =, UC =, PP P P 0C R 0C R UL UC 1 L PP == 0L = ==, IP IP 0C C где - характеристическое или волновое сопротивление контура.

Поскольку >> R, то ULP = UCP >> E, отсюда и происходит на звание резонанс напряжений.

UL UC PP Величина == = Q- добротность контура, EE R 1 R d = = - затухание.

Q Энергетические соотношения в колебательном контуре Пусть колебательный контур работает на резонансной частоте = 0, тогда UL = UC.

P P Если в контуре протекает ток iP = ImP cos0t, то напряжение на кон денсаторе отстает от тока на и равно UC = UCm sin0t.

PP Мгновенное значение энергии магнитного и электрического полей, связан ных с индуктивностью и емкостью контура:

2 LiP LImP WL = = cos2 0t, CUC CUCm PP WC == sin2 0t.

Временные диаграммы тока, напряжения на конденсаторе и мгновенных значений WL и WC приведены на рис.52.

Рис. Поскольку UCm UCm CUCm LImP LL P PP == =, 2 2 0L 2L2 LC то WL max = WC max, т. е. максимально запасаемые в электрическом и маг нитном полях количества энергии равны между собой.

Таким образом, при резонансе происходит непрерывное перераспределе ние энергии магнитного и электрического полей с частотой 20, причем суммарная энергия остается неизменной:

LImP LImP CUCm P WL + WC = (cos2 0t + sin2 0t) = =.

22 Энергия, первоначально внесенная в контур при подключении его к источ нику, совершает колебания в режиме резонанса между L и C без участия в этом процессе источника, поэтому контур называется колебательным.

Наряду с периодическим обменом энергии между L и C в цепи происходят потери энергии в активном сопротивлении R.

Так как входное сопротивление контура при резонансе ZВХр = Zр = R активное, то в энергетическом смысле генератор поставляет активную мощ ность, расходуемую активном сопротивлении R.

Если бы контур не имел потерь (R = 0), то генератор в стационарном ре жиме оказался бы ненужным, колебания происходили бы в контуре за счет первоначально внесенной энергии.

Выше было введено понятие добротности контура L ImP 0LWL WL max Q = = = 0 2 = 0 max = 2, R R 2 PA PAT R ImP 1 где T0 = =.

f0 Таким образом, добротность контура определяется отношением макси мальной энергии, запасаемой в реактивных элементах к энергии WR,T = PAT0, расходуемой в сопротивлении R за период T0.

Частотные характеристики последовательного колебательного контура При неизменных E, L, C, R зависимость тока от частоты EE I () ==.

R2 + (L - )2 (L - ) C C R 1+ R Безразмерное отношение I() 1 E n() ==, где IP = IP R X 1+ ( ) R выражает закон изменения амплитуды тока в контуре при изменении частоты (АЧХ) для всех возможных соотношений между X и R и называется пре дельной нормированной частотной характеристикой контура.

а б Рис. X () = arctg - фазочастотная характеристика контура.

R X X приведены на рис.53.

Графики функций n и R R Часто при построении частотных характеристик пользуются нормирован ными аргументами, например относительной частотой /o. Тогда, для различных соотношений между R и, получим два семейства кривых (рис.54):

n( ) == = 1 0L (L - )2 1+ [ ( - )] C R 0 0LC 1+ R 1 =, ( ) = arctg[Q( - )].

0 1+ Q2( - ) а б Рис. На рис.55 представлены кривые частотной зависимости напряжения на сопротивлении контура и фазочастотная характеристика при неизменном характеристическом сопротив лении (L=20 мГн, С=10 нФ, Е=1 В).

Рис. Напряжения на реактивных элементах:

E UL() = LI() = Ln()IP = Ln(), R 11 1 E UC () = I() = n()IP = n().

C C C R Графики частотной зависимости напряжений UL и UC для контура с па раметрами L=20 мГн, С=10 нФ, Е=1 В при различных активных сопро тивлениях приведены на рис.56.

Рис. Из приведенных графиков следует, что при малых добротностях (больших сопротивлениях потерь) максимумы напряжений на индуктивности и емко сти сдвинуты по отношению к резонансной частоте (частоте, на которой UL = UC = QE) на некоторую величину, определяемую резонансной часто той и добротностью контура. Исследуя выражения напряжений на индуктив ности и емкости на экстремум, получим следующие формулы для частот:

1 f fC max = f0 1- и fL max =.

2Q 1 2Q При больших добротностях можно считать, что максимумы напряжений на индуктивности и емкости совпадают с резонансной частотой.

Рис. На рис.57 приведены графики зависимости тока, напряжений на индук тивности и емкости, а также индуктивного и емкостного сопротивлений от частоты для контура с параметрами L=20 мГн, С=10 нФ, R=800 Ом.

Из графиков следует, что при отходе от резонансной частоты влево ток вблизи резонанса изменяется медленно, а сопротивление емкости растет зна чительно быстрее, следовательно, напряжение на емкости, равное произведе нию тока на сопротивление становится больше чем UC = QE.

P При дальнейшем уменьшении частоты ток уменьшается быстрее, чем уве личивается сопротивление конденсатора, и напряжение на емкости начинает уменьшаться, стремясь к напряжению источника э. д. с.

При отходе от резонансной частоты вправо сопротивление индуктивности растет быстрее, чем уменьшается ток, и напряжение на индуктивности сна чала увеличивается, становясь больше UL = QE, а затем уменьшается до P величины напряжения источника э.д. с.

Очевидно, что чем меньше добротность контура, тем дальше отстоят мак симумы напряжений на L и C от резонансной частоты.

В радиотехнике часто приходится иметь дело с малыми расстройками сиг нала от резонансной частоты контура 0. Тогда 0 X Q -= =, 0 R где -обобщенная расстройка.

Действительно, 0 2 - 0 ( + 0)( -0) ( + 0) - = = = 2, 0 0 00 = - 0 - абсолютная расстройка, при << 1 ( ) 2 = Q и n( ) =, ( ) = arctg.

1+ Графики этих функций с большой точностью совпадают с графика X X в полосе частот около резонансной частоты.

ми n и R R Входные частотные характеристики последовательного контура Комплексное входное сопротивление контура 1 & ZВХ = R + jX = R + jL - = R = 1+ j - CR = R 1+ j.

[ ] Зависимость модуля комплексного входного сопротивления от частоты на зывается входной амплитудно-частотной характеристикой, а зависимость фазы от частоты - входной фазочастотной характеристикой контура.

Входная АЧХ ZВХ = R 1+ (рис.58).

Входная ФЧХ = arctg. В области малых расстроек ZВХ R 1+ 2Q.

Рис. Полоса пропускания последовательного контура Полосой пропускания контура называют интервал частот, на границах которого амплитуда тока снижается до уровня от резонансного значе ния (рис.59).

Рис. n( ) == = ±1, откуда 1+ В 0 Н Q -= 1, Q - =-1, 0 В 0 Н 2 dd dd В = 0 + 1+, Н = 0 - + 1+, 24 1 где d =, 2 = В - Н = 0d =.

Q Q На границах полосы пропускания = ±1 и ±1 =±450, т.е. в пре ( ) делах полосы пропускания ФЧХ изменяется от - 45o на = H до +45o на = B.

Передаточные функции последовательного контура Комплексная передаточная функция по напряжению при выходном напря жении на ёмкости (рис.60, а) а б Рис. - jQ & & UC E 1 1 & KC = = = =.

& & & E Z jC E 0 1+ j jCR 1+ jQ 0 - Q Передаточная АЧХ KC == n Q.

1+ Передаточная ФЧХ C =- - arctg.

Аналогично, комплексная передаточная функция по напряжению при выход ном напряжении на индуктивности (рис.60, б) jQ && UL E 1 jL & KL = = jL = =, & & & E Z E 0 1+ j R 1+ jQ 0 - Q АЧХ KL == n Q, 1+ ФЧХ L = - arctg.

- j & При резонансе KCP = Qe, KCP = Q, C = -, j & KLP = Qe, KLP = Q, L =.

Графики передаточных АЧХ и ФЧХ приведены на рис.61.

Из последних соотношений следует, что максимумы KC и KL не совпадают с резонансной частотой, а сдвинуты по оси частот.

KCm a x получается на частоте C max = 0 1-, 2Q KL - получается на частоте m a x L max =.

1 2Q При Q >> 1 0 и KLm a x = KCm a x = Q.

2Q а б Рис. Влияние сопротивления генератора и нагрузки на избирательность последовательного колебательного контура Избирательность-способность контура разделять колебания близких час тот определяется крутизной резонансной кривой контура.

При подключении контура к реальному источнику э. д. с. (рис.62) эквива лентная добротность QЭ =< Q =, R + Ri R следовательно, увеличение внутреннего сопротивления генератора ведет к расширению полосы пропускания контура (рис.63).

Рис. Если к выходным зажимам контура подключить резистор Rн, то в этом резисторе будет рассеиваться энергия, вследствие чего добротность цепи окажется меньше добротности ненагруженного контура.

Для определения QH нагруженного контура заменим параллельное со единение Rн и С эквивалентным последовательным на частоте = (рис.64).

Рис. а б Рис. Условие эквивалентности цепей (рис.64, а, б).

RH RH jC && ZRH C || = ZRBH C = = = 1+ j0RHC RH + jC RH RH0C =- j, = при >> RH 1+ 0RHC 1+ 0RHC ()2 ()2 0C RH RH 2 1 ZRH C || =- j = - j = RBH - j, RBH =.

RH 0C RH RH Ri Добротность нагруженного контура QН == < Q, R + RВН R + RН а полоса пропускания нагруженного контура становится шире полосы нена груженного контура и его избирательность ухудшается.

Лекция 9.

Параллельный колебательный контур Параллельным колебательным контуром называется цепь (рис.65), со ставленная из катушки индуктивности и конденсатора, подключенных па раллельно выходным зажимам источника.

Если на входных зажимах дей ствует источник с Ri = 0, то & & E = UK и согласно первому зако ну Кирхгофа I& = I& + I&, L C & E где I& =, L RL + jL & E Рис. 65 I& =.

C RC jC На практике контуры составлены из индуктивностей и конденсаторов имеющих большие добротности, т. е. RL << L и RC <<.

C В зависимости от соотношения X = L и XC = можно наблю L C дать три режима работы контура.

При L > ток в индуктивной ветви C && EE I& =.

L RL + jL jL Этот ток отстает от напряжения на контуре на угол L L = arctg, RL поскольку RL << L.

Ток в емкостной ветви & E & I& = jCE.

C RC jC Ток I& опережает напряжение на контуре на угол C C = arctg -, RCC поскольку RC <<.

C Очевидно, что ток IC > IL. Ток I& в неразветвленной части цепи опере жает напряжение на контуре на угол, т. е. реактивная составляющая входного сопротивления имеет емкостный характер.

Векторная диаграмма токов и напряжения на контуре для этого режима приведена на рис.66, а.

а б в Рис. При L <, IC < IL. Ток I& в неразветвленной части цепи C (рис.66, б) отстает от напряжения на контуре на угол, т. е. реактивная со ставляющая входного сопротивления имеет индуктивный характер.

При 0L =, IC IL. Ток I& в неразветвленной части цепи 0C (рис.66, в) совпадает по фазе с напряжением на контуре, т. е. реактивная со ставляющая входного сопротивления равна нулю. Режим цепи, при котором реактивная составляющая входной проводимости равна нулю, называется ре зонансом токов.

Резонансная частота с учетом RL и RC находится из условия равенства нулю реактивной составляющей входной проводимости & YBХ =+ = g - jb, RL + jL RC +1/ jC L 1/C где b =-.

RL + L RC + 1/C ( ) () b = 0 при 0, определяемой из условия RC RL 0L + 1/0C -1/0C + 0L = 0, () ( ) откуда L /C ( ) - RL 11 2 - RL 0 = =.

L /C 2 - RC LC ( ) - RC LC При равенстве активных сопротивлений ветвей RL = RC или при RL <<, RC <<, что выполняется практически во всем интересующем нас диапазоне частот, 0 0 =, т.е. условия резонанса токов сов LC падают с условиями резонанса напряжений в последовательном контуре, со ставленном из тех же элементов L и C.

На резонансной частоте UK IL IC = IK.

PP В случае идеального контура ( RL = RC = 0) токи IL = IC в ветвях P P равны по величине и противоположны по фазе, следовательно, ток в нераз ветвленной цепи равен нулю. Контур не потребляет энергию от генератора и происходит периодическое колебание энергии между электрическим и маг нитным полями конденсатора и индуктивности за счет первоначально вне сенной энергии при подключении генератора.

Входные частотные характеристики параллельного колебательного контура Комплексное входное сопротивление контура RL + jL RC +1/ jC ()() & ZBХ =, RL + RC + j L -1/C () при RL << L и RC <<, C L / C 2 & ZВХ ==, = & R + j L -1/C ZВХ.ПОСЛ R 1+ j () () & ZВХ.ПОСЛ = RL + RC + j L -1/C - входное сопротивление последо ( ) вательного контура, составленного из тех же элементов.

На резонансной частоте ZВХ р = RЭ = = Q, R при Q =100-200 и с =100-1000 Ом, ZВХ р = RЭ = 10 - 200 кОм.

Разделив вещественную и мнимую часть комплексного входного сопро тивления, получим:

RЭ RЭ RЭ & ZВХ ==- j = RВХ - jX.

ВХ 1+ j 1+ 1+ Модуль входного сопротивления RЭ ZВХ =.

1+ Амплитудно-частотная харак теристика ZВХ == n ( ) RЭ 1+ имеет такой же вид, как и резо нансная кривая последовательно го контура;

ФЧХ представляет собой зеркальное отображение Рис. 67 ФЧХ последовательного контура.

Графики частотных зависимостей ZВХ / RЭ, RBХ / RЭ, X / RЭ ВХ представлены на рис.67.

X имеет максимум при ВХ RЭ 1+ - RЭ ( ) dX BХ = = 0, d 1+ () Рис.68 откуда 1+ - 2 = 0, =±1 или = 2Q = ±1 и =±.

0 m 2Q ФЧХ = arctg - приведена на рис. 68.

( ) При питании контура от источника тока (источника с бесконечным внут ренним сопротивлением) напряжение на контуре & IRЭ & & & UK = I&ZВХ =, UK max = I&RЭ, 1+ j & ZBX UK == = n( ), UK max RЭ 1+ UK т. е. график функции = n( ) имеет вид предельной резонансной UK max кривой, зависящей от соотношений и R, как в последовательном колеба тельном контуре.

Передаточные функции параллельного колебательного конту ра Комплексные передаточные функции контура по току & & I& UK / jL ZBХ L & KIL = = = (при RL << L ).

& & I& UK / ZBХ jL & ZBX 0RЭ АЧХ KIL = = n = Qn, ( )0 2 ( ) L 0RЭ R что аналогично АЧХ последовательного контура при выходном напряжении на емкости.

& & I& UK /(- jXC ) ZBХ C & KIC = = = - (при RC << 1/C ).

& & I& UK / ZBХ jXC АЧХ KIC = Q n, ( ) что совпадает с выражением для передаточной функции по напряжению по следовательного контура, когда напряжение снимается с индуктивности.

IKp При = 0 n 0 = 1, ILp = ICp = IKp, KIL = KIC = = Q, ( ) I т.е. ток в контуре в Q раз больше тока в неразветвленной части цепи, поэто му явление резонанса называется резонансом токов.

Частотная зависимость токов в ветвях параллельного контура Выше было показано, что токи в ветвях параллельного контура определя ются & E & I&, I& jCE.

L C jL При малых добротностях (Q = 1-3) максимумы токов в ветвях сдвинуты по отношению к резонансной частоте на величину тем большую, чем меньше добротность контура (рис.69).

Рис. Действительно, при отходе от резонансной частоты влево напряжение на контуре вначале изменяется медленно, а индуктивное сопротивление падает достаточно быстро, следовательно, ток в индуктивной ветви, равный отно шению напряжения на контуре к сопротивлению индуктивности, увеличива ется.

Аналогично, при отходе от резонансной частоты вправо напря жение на контуре вначале изменяется медленно, а емкостное со противление падает достаточно быстро, следовательно, ток в емко стной ветви, равный отношению напряжения на контуре к сопро тивлению конденсатора, также увеличивается.

При достаточно большой расстройке напряжение на контуре уменьшается быстрее, чем убывают сопротивления индуктивности и емкости, и токи в ветвях уменьшаются, стремясь к величине тока, потребляемого от генератора.

Влияние внутреннего сопротивления генератора и нагрузки на избирательность параллельного контура Сопротивление нагрузки RH, включенное параллельно контуру, вызыва ет дополнительные потери, уменьшает добротность и увеличивает полосу пропускания контура Q QH === < Q, R + RBH 2 1+ RЭ R + RH RH где RBH = - внесенное сопротивление, сопротивление нагрузки, пере RH считанное в последовательное сопротивление в контуре.

Таким же образом оказывает влияние на избирательность контура внут реннее сопротивление источника сигнала. Заменив в схеме (рис.65) источник э. д. с. эквивалентным источником тока, получим цепь, в которой параллель но контуру подключено внутреннее сопротивление Ri, оказывающее такое же влияние, как и сопротивление нагрузки. Эквивалентная добротность кон тура Q QЭ == < Q.

2 1+ RЭ R + Ri Ri С уменьшением внутреннего сопротивления генератора эквивалентная доб ротность уменьшается, а полоса пропускания увеличивается.

Если контур питается от иде ального источника тока Ri =, то QЭ = Q ( ) и характер частотных зависи мостей напряжения на контуре и тока в неразветвленной части цепи показан на рис.70.

Рис. При питании контура от идеального источника ЭДС Ri = 0 напряжение на кон ( ) туре не зависит от частоты, а ток имеет минимум на резо нансной частоте E IP = (рис.71).

RЭ Рис. Рис. В реальных условиях, при произвольном внутреннем сопротивлении ге нератора частотно-зависимыми функциями являются как напряжение на контуре, так и ток в неразветвленной части цепи (рис.72) Лекция 10.

Сложные схемы параллельных контуров Получение высокой избирательности требует как можно меньшего влия ния внутреннего сопротивления источника сигнала на колебательный контур.

Кроме того, максимальная мощность передается от генератора к нагрузке при Ri = RH. Поскольку параллельный колебательный контур является на грузкой генератора, внутреннее сопротивление Ri которого не регулируется в широких пределах, то для согласования контура с генератором необходимо изменить его параметры так, чтобы изменилось входное сопротивление Rэ при неизменной резонансной частоте и полосе пропускания. Это условие вы полняется в сложных контурах II и III вида с неполным включением индук тивности и ёмкости рис.73.

а б Рис. В общем случае соотношения между L1 и L2 ;

C1 и C2 можно изменять.

Для получения резонанса токов необходимо, как и в контуре первого ви да, чтобы X1 =-X2. Для контура II вида (рис.73, а) 0L1 =-0L2 - (при R1 << X1 и R2 << X2 ).

0C 1 1 0 L1 + L2 - = 0 или 0 = ( f0 = ), () 0C LC где L = L1 + L2.

L Обозначим p = - коэффициент включения, тогда L X1 = 0L1 = p0L, 0L =.

Входное сопротивление контура при резонансе X12 p ZBX P = Rэ =P = = p2Rэ max R = R1 + R2.

( ) RR Кроме резонанса токов, в контуре II вида возможен и резонанс напряже ний в ветви LC;

1 1 X2 = 02L2 -= 0, 02 = > 0 ( f02 = ).

02C LC При частоте = 02 сопротивление второй ветви резко падает до вели чины R2.

Поскольку L2 = L - L1 = L 1- p, то ( ) 1 02 ==, 1- p L 1- p C () т.е. чем меньше коэффициент включения, тем ближе 02 к 0.

Модуль входного сопротивления контура при небольших расстройках Rэ ZBX = p2 max.

1+ Если контур питается от идеального источника тока, то напряжение на нем изменяется с частотой также как и ZBX.

На рис.74, а приведена зависимость напряжения от частоты на реальном контуре с параметрами L1 = L2 = 25мГн, C = 7,5нФ, R = 40Oм при подключении его к источнику Е = 1В с внутренним сопротивлением Ri = 10кОм.

Контур II вида не только выделяет сигналы с частотой, близкой к 0, но и более сильно, чем контур I вида, подавляет сигналы, близкие по частоте к 02.

На рис.74, б представлена ФЧХ, соответствующая данной амплитудно частотной характеристике.

Рис. Действительно, на частотах 0 < < 0 входное сопротивление кон тура имеет индуктивный характер, поскольку на частоте ниже резонансной в параллельном контуре сопротивление левой ветви (рис.73, а) меньше сопро тивления правой ветви, имеющей ёмкостной характер. На частотах 0 < < 02 входное сопротивление определяется ёмкостным сопротив лением правой ветви, поскольку последовательный контур LC на < 02 имеет входное сопротивление ёмкостного характера. На частотах > 0 сопротивления ветвей X1 и X2 имеют индуктивный характер и ФЧХ стремится к 90o при. Следует отметить, что в колебательном контуре с потерями ФЧХ нигде не достигает значения ±90o.

В контуре III вида (рис.73, б) X1 = -X2 при 0L -= - ( R1 << X1 и R2 << X2).

0C1 0C2, 1 CC Откуда 0 =, где C =.

C1 + C LC C Обозначив = p - коэффициент включения, C получим 11 Rэ == = p2 = p2Q.

R R 0C () C R p Как и в контуре II вида, в контуре III вида возможен резонанс напряжений в первой ветви, когда X1 = 1 1 < 0 ( f01 = ).

L -= 0, 01 = 01C1 LC АЧХ и ФЧХ для контура с параметрами L = 50мГн, C1 = C2 = 15нФ, R = 40Oм при подключении его к источнику Е = 1В с внутренним сопротивлением Ri = 10кОм представлены на рис.75.

Рис. Следует отметить, что для передачи максимальной мощности от генера тора к контуру следует выбрать коэффициент включения RR Ri i pOPT == Ri = Rэ = pOPT.

2 Rэ max R Лекция 11.

Колебательные системы. Связанные контуры Рассмотренные ранее одиночные колебательные контуры обладают недос таточно высокой избирательностью ввиду невысокой крутизны скатов резо нансной кривой, что препятствует четкому разделению сигналов по частоте.

Для повышения избирательности применяют сложные колебательные систе мы из нескольких контуров связанных между собой различным способом.

Чаще всего применяют системы из двух связанных контуров.

Виды связи В зависимости от того, как осуществляется связь между контурами через общий магнитный поток или общее электрическое поле различают магнитную (индуктивную) (рис.76, а, б) или электрическую (рис.76, в, г) связь. Применяют также и комбинированную индуктивно-ёмкостную связь (рис.77, а).

Кроме того связь подразделяют на внешнюю, когда элементы связи не входят в состав контуров и внутреннюю, когда элементы связи являются об щими для двух контуров.

а) трансформаторная б) автотрансформаторная (внешняя магнитная) (внутренняя магнитная) в) внутренняя ёмкостная г) внешняя ёмкостная Рис. При рассмотрении стационарного режима любую из двухконтурных цепей можно представить в виде обобщенной схемы (рис.77, б).

а б Рис. & & В общем случае Z1 и Z2 имеют L1, C1, R1 и L2, C2, R2, входящие & только в первый или во второй контуры, Z12 имеет L12, C12, R12 - общие для двух контуров.

Результирующие величины L, C, R, получаемые при обходе данного контура при разомкнутом втором: L11, C11, R11 и L22, C22, R22.

Следовательно, & Z11 = R11 + jL11 +, jC & Z22 = R22 + jL22 +.

jC Общее сопротивление & Z12 = R12 + jL12 +.

jC Очевидно, что & & & & & & Z11 = Z1 + Z12, Z22 = Z2 + Z12.

Коэффициент связи Для количественной оценки взаимного влияния контуров применяется по нятие коэффициента связи. Рассмотрим, например, случай трансформатор ной связи (рис.76, а). Пусть при разомкнутом втором контуре в первом про текает ток I&. Тогда отношение э. д. с., индуктированной в катушке L22, к полному напряжению на индуктивности L & E2 jMI& M k1 == =, & UL jL11I& L где k1 имеет смысл коэффициента трансформации и является величиной, ха рактеризующей степень связи первого контура со вторым.

Если генератор включить со стороны второго контура, а первый контур ра зомкнуть, то M k2 =.

L При одновременном протекании токов в обоих контурах имеется взаимное влияние между ними тем большее, чем больше произведение k1k2.

Коэффициент связи между контурами определяют k = k1k2.

Для трансформаторной связи M k =.

L11L В общем случае коэффициент связи k определяется как отношение сопро тивления связи к среднему геометрическому сопротивлений того же рода обоих контуров. Для рассмотренной выше трансформаторной связи X12 M M k ===.

L11L22 L11L22 L11L Для автотрансформаторной связи (рис.76, б) X12 L12 L k ===.

L11L22 L11L22 L11L Для внутренней ёмкостной связи (рис.76, в) C11C C12 C k == =, C 1 1 1 C11 C22 C11 C CC12 CC 1 где C11 =, C22 =.

C1 + C12 C2 + C При изменении ёмкости C12 от 0 до коэффициент связи изменяется от k = 1 до k = 0.

При C12 = 0 система вырождается в один контур, при C12 0 и контуры оказываются не связанными.

C Если связь между контурами осуществляется через чисто реактивное со противление и контуры настроены на одну частоту, совпадающую с частотой генератора, то индуктивное и ёмкостное сопротивления каждого контура приблизительно равны характеристическому сопротивлению и коэффициент связи может быть определен по формуле X k =, где 1 и 2- характеристические (волновые) сопротивления первого и второго контуров.

Соотношения между токами в связанных контурах Для обобщенной схемы связанных контуров (рис.77, б) можно составить систему уравнений методом контурных токов & & & E = Z11I& Z12I&, 1 & & + 0 =-Z12I& Z22I&.

1 Решив систему относительно токов в контурах, получим &EE & & & Z12 Z I& = I&, I& =, I& =, &Z Z12 2 Z12 & Z22 1 1 && &Z11 & Z11 &Z & Z & Z && & && EZ12 Z11 EZ I& = =.

&& Z12 & Z22 & Z12 & Z22 & Z &Z22 Z11 &Z & & Z22 Z Из выражения для тока в первом контуре следует, что влияние второго контура на первый можно оценить с помощью некоторого «вносимого» со & противления, добавляемого к собственному сопротивлению Z11, & & Z12 E & т.е. Z1BH =-, тогда I& =.

& & & Z22 Z11 + Z1BH Таким же образом влияние первого контура на второй можно оценить с помощью вносимого сопротивления & Z & Z2BH =-.

& Z Чаще всего сопротивление связи чисто реактивное X & & & Z12 =± jX12, тогда Z12 = -X12 и Z1BH =.

& Z & При Z22 = R2 + jX 22 X12 X12 X & Z1BH == R2 - j X22, 2 2 2 R2 + jX22 R2 + X22 R2 + X & Z1BH = R1BH + jX1BH.

Аналогично, из первого контура во второй вносится сопротивление X12 X & Z2BH == = R2BH + jX2BH, & Z11 R1 + jX 2 X12 X где R2BH = R1, X2BH =- jX11.

& & Z11 Z Следует отметить, что независимо от вида связи и настройки контуров действительная часть вносимого сопротивления всегда положительна. Это следует из физического эффекта поглощения энергии, поступающей из пер вого контура во второй.

Реактивная составляющая вносимого сопротивления может быть как по ложительной, так и отрицательной в зависимости от настройки контуров;

X22 = L22 -, C при > 02 X22 > 0 и X1BH < 0, при < 02 X22 < 0, X1BH > (02 - резонансная частота второго контура).

Это значит, что при индуктивной расстройке второго контура в первый вносится ёмкостное сопротивление, а при ёмкостной наоборот- индуктивное.

При резонансе второго контура X = 02 X22 = 0, X1BH = 0, а R1BH =, R т. е. чем меньше сопротивление потерь второго контура, тем больше вноси мое сопротивление и большее влияние оказывает второй контур на режим ра боты первого контура.

& & Следует также отметить, что фазы Z1BH и Z2BH равны соответственно и & & противоположны по знаку фазам Z22 и Z X1BH X22 X2BH X =-, =-.

R1BH R2 R2BH R Векторные диаграммы связанных контуров Векторные диаграммы токов и напряжений в связанных контурах рассмот рим на примере схемы с трансформаторной связью (рис.78, а). Схема заме щения первого контура содержит кроме собственных элементов еще и вно симые активное R1BH и реактивное X1BH сопротивления (рис.78, б).

Для построения векторных диаграмм удобно воспользоваться системой уравнений связанных контуров:

& & & E = Z11I& Z12I&, 1 & & + 0 =-Z12I& Z22I&.

1 С учетом вносимых сопротивлений эти уравнения можно представить в виде:

E = (R11 + jL11 + )I& - jMI&, & jC11 & 0 =- jMI& (R22 + jL22 + 1 )Z22I&.

+ 1 jC Здесь R11 = R1 + R1BH и R22 = R2 + R2BH.

а б Рис. Предположим, что контуры работают на частоте выше резонансной, т. е.

их реактивное сопротивление имеет индуктивный характер. Тогда напряже ния на индуктивностях по величине больше напряжений на емкостях.

Выбрав произвольно направление тока I&, откладываем напряжение на сопротивлении R22, совпадающее по направлению с током I& (рис.79). На пряжение на индуктивности L22 опережает, а на емкости C22 отстает от тока I& на. Согласно второму уравнению сумма напряжений на элементах второго контура равна напряжению на сопротивлении связи jMI&.

Ток I& отстает от напряжения jMI& на.

1 Рис. Аналогично строим векторную диаграмму для первого контура.

Лекция 12.

Настройка связанных контуров Под настройкой системы связанных контуров понимается подбор значе ний параметров контуров, включая и коэффициент связи между контурами, таким образом, чтобы обеспечить получение максимальной мощности или максимального к. п. д. передачи энергии, или нужной полосы пропускания при заданной частоте и ЭДС источника сигнала.

Для выяснения условий настройки необходимо исследовать зависимость тока второго контура от настройки каждого контура и величины коэффициен та связи.

&& EE I& ==.

& & Z11 + Z1BH R1 + R1BH + j(X11 + X1BH ) Амплитуды токов в контурах E I1 =, X12 X (R1 + R2)2 + (X11 &Z22 X22) & Z X E I2 =.

22 2 X12 X12 R2 + X (R1 + R2)2 + (X11 &Z22 X22) & Z В зависимости от того, параметры какого контура изменяются при на стройке, различают несколько способов настройки.

Первый частный резонанс. Ток во втором контуре имеет максимум, ко гда максимален ток в первом контуре, таким образом, настроив первый кон тур так, чтобы X X11 - X22 = 0, & Z получим X E E I1max =, I2max =.

2 & X12 X R1 + R2 R1 + R2 Z 2 & & Z22 Z Таким образом, для получения первого частного резонанса необходимо при неизменных параметрах второго контура и сопротивления связи изменять параметры первого контура.

Очевидно, что I2max не является наибольшим при данных параметрах контуров и ЭДС источника сигнала. Для достижения наибольшего значения тока во втором контуре необходимо подобрать еще оптимальную связь между контурами.

Первый сложный резонанс. При настроенном в резонанс первом контуре оптимальное сопротивление связи можно найти, приравняв к нулю первую производную выражения для второго тока по X12.

X12 X & E(R1 Z22 + R2 - &Z22 R2) & Z dI2max == d X12 X & (R1 + R2)2 Z & Z Отсюда X & R1 Z22 - R2 = & Z и оптимальное сопротивление связи R & X12opt = Z22.

R Токи в контурах при этом сопротивлении связи E E I2mm =, I1max( X12opt ) =.

2R 2 RR Второй частный резонанс. В этом случае при неизменных параметрах первого контура и неизменной связи настраивается второй контур так, чтобы X X22 - X11 = 0, & Z тогда X E I2 =, 22 X12 X12 R12 + X (R2 + R1)2 + (X22 &Z11 X11) & Z X E I2max =.

& X R2 + R1 Z & Z Второй сложный резонанс. Если после настройки на второй частный резо нанс подобрать оптимальное сопротивление связи, то можно получить & Z E E I2mm =, I1max( X12opt ) = 2R2 & 2 RR2 Z при R & X12opt = Z11.

R Полный резонанс. В этом случае каждый из контуров отдельно настраи вается в резонанс на частоту генератора. Для этого при настройке одного кон тура другой размыкается. Практически вместо размыкания контуров доста точно ослабить связь между контурами настолько, чтобы вносимыми сопро тивлениями из одного контура в другой можно было бы пренебречь. После раздельной настройки каждого контура подбирается оптимальная связь.

& & X22 = X11 = 0, Z11 = R1, Z22 = R2.

X12 E X E I2max = =, X12 R1 R1R2 + X R2 + R R dI2max E(R1R2 + X12 - 2X12) == 0, d X12 (R1R2 + X12) E E откуда X = RR2, I2mm =, I1max( X12opt ) =.

12opt 2R 2 RR Значения токов в контурах в этом режиме не отличаются от полученных при настройке в сложный резонанс. Сопротивление связи, при котором ток во втором контуре достигает максимально возможного значения, получается много меньше, чем при сложном резонансе и составляет единицы Ом.

Коэффициент связи, при котором система настроена в полный резонанс, называется оптимальным X12 RR kopt === d1d2, 12 12 QQ 1 где Q1 =, Q2 = - добротности контуров.

d1 d Так как добротность контуров, используемых в радиотехнике, имеет вели чину примерно 100-300, коэффициенты связи обычно составляют единицы или доли процентов.

Энергетические соотношения в двухконтурной системе Рассматривая второй контур как нагрузочный, содержащий полезное со противление R2, можно ввести понятие коэффициента полезного действия двухконтурной системы P =, P1 + P где P1 -мощность, расходуемая в сопротивлении R1, P2 -мощность, расходуемая в сопротивлении R2, P1 + P2 -мощность, отдаваемая генератором.

2 I12 I2m I1m X12 I P1 = R1 m, P2 = R2 = R1BH = R2 m.

2 22 Z При настройке второго контура в резонанс X Z22P = R2, R1BH = и R P2 R1BH X12 == = =.

P1 + P2 R1 + R1BH R1R2 + X12 1+ R R1BH Таким образом, для получения высокого необходимо увеличивать R1BH, т. е. снижать R1 и подбирать достаточно сильную связь (это применя R ется на выходе передатчиков, когда вторым контуром является антенна с =0,8-0,9).

RR При полном резонансе X12 = RR2 и == 0,5, RR2 + RR 1 т. е. для получения максимального коэффициента полезного дейст вия полный и сложный резонансы не пригодны.

Если поставить задачу передачи максимальной мощности во второй кон & тур при заданных E и R1 то, очевидно, P2max будет при условии согласо вания R1 = R1BH, т. е. при =0,5. Для получения P2max необходимо ис пользовать полный и сложный резонансы.

Лекция 13.

Резонансные кривые связанных контуров Основной интерес представляет поведение амплитуд токов в контурах вблизи резонансных частот системы. Для простоты полагаем, что резонанс ные частоты контуров равны между собой:

01 = 02 = 0 = =.

L11C11 L22C Полные сопротивления контуров X & Z11 = R1 + jX11 = R1(1+ j ), R X & Z22 = R2 + jX22 = R2(1+ j ).

R На частотах близких к резонансной частоте X 0 2( - 0) << 1, = = Q( - ) Q и 0 R 0 & Z11 = R1 + jX11 R1(1+ j1), & Z22 = R2 + jX22 R2(1+ j2), где 1, 2 -обобщенная расстройка первого и второго контуров.

Ток в первом контуре && EE I& == = X12 X & Z11 + R1(1+ j1) + & Z22 R2(1+ j2) & ER2(1+ j2) =.

X R1 1- 12 + + j(1 + 2) RR Ток во втором контуре X ± j &E & RR E ± jX I& = ==.

X12 & X Z RR2 1- 12 + & Z11 + + j(1 + 2) & Z22 R1R На частотах, близких к резонансной частоте X12 X12 == k2Q1Q2.

RR2 12 RR 1 Кроме того, выше было получено E E = 2I2mm, = 2I1max( X12 ).

opt R RR Таким образом, подставив последние выражения в формулы для токов, по лучим уравнения нормированных резонансных кривых первого и второго контуров 2 1+ I& & n1 == e- j(12 -2 ), I1max( X12 ) (1- 2 + k2Q1Q2)2 + (1 + 2) opt - j(12 ± ) 2k Q1Q I& & n2 == e, I2mm (1- 2 + k2Q1Q2)2 + (1 + 2) где 1 + 12 = arctg, 2 = arctg2, ± -фаза X12, 1-2 + k2Q1Q2 + -соответствует емкостной связи, - -магнитной связи.

2 Для одинаковых контуров, использующихся в полосовых фильтрах при емников, Q1 = Q2 = Q, 1 = 2 =, 2 1+ 2kQ n1 =, n2 = - 2 2 2 (1- + k2Q2)2 + 4 (1- + k2Q2)2 + -амплитудно-частотные характеристики первого и второго контуров, 2 1 = arctg - arctg, 2 = arctg ± - 2 1- + k2Q2 1- + k2Q2 -фазочастотные характеристики первого и второго контуров.

На рис.80 приведены АЧХ и ФЧХ второго контура в функции обобщен ной расстройки при пяти различных значениях произведения kQ. (kQ харак теризует степень связи контуров и называется параметром или фактором связи).

а б Рис. Из графиков амплитудно-частотной характеристики (рис.80, а) видно, что при факторе связи kQ < 1 кривые имеют одногорбый характер с максиму мом на резонансной частоте ( = 0, = 0 ). При kQ = 1 кривая АЧХ является предельной одногорбой кривой, коэффициент связи kKP = 1/ Q на зывается критическим. При факторе связи kQ > 1 кривые имеют два мак симума на частотах ниже и выше резонансной частоты контуров и минимум на резонансной частоте. Частоты максимумов (частоты связи) можно опреде лить из условия равенства нулю производной АЧХ по обобщенной расстой dn ке = 0.

d 1 = k2Q2 -1, 11 =- k2Q2 -1, откуда 11 1 = 0(1- k2 - ), 11 = 0(1+ k2 - ).

2 Q2 2 Q Фазо-частотная характеристика (рис.80, б), построенная для соответст вующих факторов связи, должна быть поднята по оси ординат на /2 при ёмкостной связи и опущена также на /2 при индуктивной связи.

Частотные характеристики первого контура (рис.81) изменяются более резко при изменении обобщенной расстройки, чем характеристики второго контура. Это объясняется наличием в выражении для резонансной кривой в числителе множителя, зависящего от величины расстройки (в аналогичном выражении для второго контура числитель от частоты не зависит).

а б Рис. Таким образом, образование седловины на АЧХ первого контура полу чается при меньших факторах связи, чем во втором контуре (рис.81, а). Фазо частотная характеристика (рис.81, б) при факторах связи больше единицы трижды переходит через нуль, что соответствует резонансной частоте ( = 0) и частотам связи.

Если два связанных контура имеют одинаковые резонансные частоты, но разные добротности (Q1 > Q2 что характерно для выходных каскадов пе редатчиков, нагруженных на сопротивление нагрузки), то условием образова ния седловины на кривой тока второго контура является d1 + d k > kKP =, 1 где d1 = и d2 = -затухание контуров.

Q1 Q При этом, частоты связи тем больше отличаются от резонансной частоты, чем больше коэффициент связи отличается от критического 0 1 =, 11 =.

2 1+ k2 - kKP 1- k2 - kKP Полоса пропускания связанных контуров Полосой пропускания системы связанных контуров называют полосу частот, в пределах которой ток во втором контуре не падает ниже от наибольшего его значения при заданных параметрах контуров и коэффициен те связи. Так как резонансные кривые тока второго контура зависят от фак тора связи kQ, то следует рассмотреть три случая: kQ < 1, kQ = 1 и kQ > 1.

1. Связь слабая kQ <1. Если контуры одинаковы Q1 = Q2 = Q и 01 = 02 = 0, то в этом случае кривая тока второго контура является од ногорбой и имеет максимум на резонансной частоте 2kQ n2(0) =.

1+ k2Q Обобщенная расстройка на границах полосы пропускания определяется из выражения n2(0) 2kQ 2kQ ==, 2 22(1+ k2Q2) (1-0 + k2Q2)2 + откуда получается 0 = k2Q2 -1+ 2(1+ k4Q4).

При kQ << 1 0 = -1+ 2 0,41 0,64, 0 2CB = = 0,64 2, т. е. полоса пропускания 2CB свя Q занных контуров составляет 0,64 от полосы пропускания 2 одиночного контура.

2. При критической связи kQ = 0 = 1-1+ 2(1+1) = 2, т. е. 2CB = 2 2.

3. При сильной связи kQ > 1 обобщенную расстройку на границах поло сы пропускания следует определять из общего выражения 12kQ =, 2 (1- 0 + k2Q2)2 + откуда получается 0 = k2Q2 + 2kQ -1.

Очевидно, что с ростом фактора связи увеличивается и обобщенная рас стройка. Можно показать, что при kQ > 2,41 на резонансной частоте воз никает впадина на частотной характеристике ниже уровня от максиму ма и условия для полосы пропускания перестают выполняться. Появляется две полосы пропускания, разделенные по частоте тем дальше, чем больше фактор связи превышает величину 2,41.

В предельном случае kQ = 2,41, 2CB = 3,1 2, т. е. полоса пропускания в 3,1 раза шире полосы одиночного контура.

На рис.82 приведена зависимость полосы пропускания связанных контуров от фактора связи kQ.

Рис. Таким образом, при слабой связи (kQ << 1) полоса пропускания свя занных контуров составляет примерно 0,64 от полосы одиночного контура.

С увеличением фактора связи полоса пропускания возрастает (при kQ = полоса пропускания системы равна 1,41 от полосы одиночного контура).

Дальнейшее увеличение kQ приводит к появлению двугорбой кривой тока второго контура, при kQ = 2,41 впадина на резонансной частоте становится равной от максимума тока и полоса пропускания достигает максималь ной ширины равной 3,1 от полосы одиночного контура. При kQ > 2,41 по лоса пропускания разрывается на две части, так как впадина в точке, соответ ствующей = 0, становится ниже, чем определяется условием полосы про пускания.

Коэффициент передачи связанных контуров Часто на практике необходимо знать, как зависит напряжение на реактив ных элементах второго контура при изменении частоты источника сигнала.

Для этой цели вводится комплексный коэффициент передачи по напряжению & U & K =, & E & где U2 = I&, если напряжение снимается с емкости и jC & U2 = I& jL2, если напряжение снимается с индуктивности.

Амплитуда тока второго контура 2kQ E I2 = n2 I2mm =, 2 2R (1- + k2Q2)2 + тогда модуль комплексного коэффициента передачи, если напря жение снимается с емкости I C2 2kQ E & K ==.

2 E 2R C2E (1- + k2Q2)2 + При малых расстройках = Q, RC следовательно, kQ & K = Q.

2 (1- + k2Q2)2 + Таким образом, коэффициент передачи по напряжению имеет характер частотной зависимости аналогичный зависимости тока второго контура. Если фактор связи kQ < 1, то кривая коэффициента передачи одногорбая, если kQ > 1, то двугорбая. При критической связи (kQ = 1) на резонансной час тоте |K|=Q/2, т. е. чем больше добротность контуров системы, тем больше напряжение на выходе.

Очевидно, что кривые зависимости фазы комплексного коэффициента пе редачи от частоты совпадают с кривыми ФЧХ второго контура, если их опустить на /2 при съёме напряжения с ёмкости (напряжение на ёмкости отстает от тока на /2) и поднять на /2 при съёме напряжения с индуктив ности (напряжение на индуктивности опережает ток на /2).

Рис. Рис. Следует отметить, что хотя у одинаковых контуров (рис.83) при kQ > амплитуды токов на частотах связи одинаковы (рис.84, а), амплитуды напря жений на индуктивности и емкости (рис.84, б, в) различны, поскольку UC 2 = I2, UL2 = I2L2, 1 < 11.

C Лекция 14.

Основы теории четырехполюсников Определение четырехполюсника Для передачи информации с помощью электромагнитной энер гии (волн, сигналов в электрических схемах) применяются различ ные устройства (рис.85), имеющие два входных (первичных) зажи ма и два выходных (вторичных). К входным зажимам подключает ся источник электрической энергии, к выходным присоединяется нагрузка. Такие устройства называются четырехполюсниками.

Четырехполюсниками являются фильтры, трансформаторы, уси лители, каскады радиопередатчиков и радиоприемников, линии связи и т. д.

Рис. Классификация четырехполюсников Четырехполюсники бывают активные и пассивные. В активном четы рехполюснике есть источники энергии, в пассивном - источников энергии нет. Примерами активных четырехполюсников являются усилители, каскады радиопередатчиков и радиоприемников и др. Примером пассивного четырех полюсника может служить кабельная или воздушная линия связи, электриче ский фильтр и др.

Четырехполюсники делятся на линейные и нелинейные. Четырехполюсник является линейным, если напряжение и ток на его выходных зажимах линей но зависят от напряжения и тока на входных зажимах. Примерами линейных четырехполюсников являются линии связи, фильтры, примерами нелинейно го -выпрямитель, детектор, преобразователь частоты в радиоприемнике.

Четырехполюсники могут быть симметричными и несимметричными.

Четырехполюсник симметричен, если перемена местами входных и выход ных зажимов не изменяет токов и напряжений в цепи, с которой четырехпо люсник соединен. В противном случае четырехполюсник несимметричен.

Четырехполюсники бывают автономными и неавтономными. На зажимах автономного четырехполюсника остается напряжение, обусловленное нали чием внутренних источников, т. е. такой четырехполюсник обязательно явля ется активным. В противном случае четырехполюсник пассивен.

Различают также обратимые и необратимые четырехполюсники. В обра тимых четырехполюсниках отношение напряжения на входе к току на выхо де (передаточное сопротивление) не зависит от того, какая пара зажимов яв ляется входной, а какая выходной. В противном случае четырехполюсник необратим.

Системы уравнений четырехполюсника Основной задачей теории четырехполюсников является ус тановление соотношений между напряжениями на входе и вы ходе и токами, протекающими через входные и выходные за жимы. Вариант с токами I&, I& (рис.85) называют прямой пере 1 дачей, а I&, I& -обратной. Очевидно, что I& = -I&, I& = - I&.

1 2 11 2 Две из четырех величин, определяющих режим четырехполюс ника можно рассматривать как заданные воздействия, две остав шиеся как отклики на эти воздействия. Таким образом, соотноше ния между токами и напряжениями на входе и выходе четырехпо люсника могут быть записаны в виде шести систем уравнений.

1. Токи на входе и выходе выражаются в зависимости от напряжений на входных и выходных зажимах:

& & & & = I& Y11U1 + Y12U2, & & & & I& = Y21U1 + Y22U2.

& & & & Коэффициенты Y11, Y12, Y21, Y22 называются Y -параметрами и явля ются комплексными проводимостями.

Действительно, I& & Y11 = -комплексная входная проводимость при коротком & U1 U2 = & замыкании выходных зажимов.

I& & Y22 = -комплексная входная проводимость со стороны за & U2 U1 = & жимов (2-2) при коротком замыкании входных зажимов.

I& & Y12 = -комплексная передаточная (взаимная) проводимость & U2 U1 = & при коротком замыкании входных зажимов.

I& & Y21 = -комплексная передаточная (взаимная) проводимость & U1 U2 = & при коротком замыкании выходных зажимов.

& & В случае обратимого четырехполюсника Y12 = Y21. Если четырехполюс & & ник симметричен, то Y11 = Y22 и его свойства определяются только двумя & & параметрами (например, Y11, Y12 ).

2. Напряжения на входе и выходе выражаются в зависимости от токов, протекающих через входные и выходные зажимы:

& & & + U = Z11I& Z12I&, 1 1 & & & + U2 = Z21I& Z22I&.

1 & U & Z11 = -входное сопротивление со стороны зажимов (1-1) I& I& = при разомкнутых выходных зажимах.

& U & Z12 = -передаточное (взаимное) сопротивление при I& I& = разомкнутых зажимах (1-1).

& U & Z21 = -передаточное (взаимное) сопротивление при I& I& = разомкнутых зажимах (2-2).

& U & Z22 = -входное сопротивление со стороны зажимов (2 I& I& = 2) при разомкнутых зажимах (1-1).

& & В случае обратимого четырехполюсника Z12 = Z21. Если четырехпо & & люсник симметричен, то Z22 = Z11 и его свойства определяются только & & двумя параметрами (например, Z11, Z12 ).

3. В случае, когда четырехполюсник выполняет роль промежуточного зве на между источником сигнала и сопротивлением нагрузки, заданными явля & ются напряжение и ток на выходе (U2, I& ), а искомыми величины, характе & ризующие режим на входе четырехполюсника (U1, I& ). Связь между вход ными и выходными напряжениями и токами устанавливает система парамет ров прямой передачи:

& & & & U = A11U2 + A12I&, 1 && & = I& A21U2 + A22I&.

1 1 & U & A11 = -отношение напряжений в режиме холостого хода на выхо & U2 I& = де.

I& & A21 = -величина, обратная передаточному сопротивлению в ре & U2 I& = жиме холостого хода на выходе.

& U & A12 = -величина, обратная передаточной проводимости в режиме I& & U2 = короткого замыкания на выходе.

I& & A22 = -отношение токов в режиме короткого замыкания на вы I& & U2 = ходе.

& & Найдем связь между A и Y -параметрами. Из второго уравнения систе & мы Y -параметров следует & & & & = I& Y11U1 + Y12U2, & & & & I& = Y21U1 + Y22U2.

& Y22 & & & & & & - I& = I& = Y21U1 + Y22U2, U1 =- U2 - I&.

2 && Y21 Y21 Подставив последнее выражение в первое уравнение системы & Y -параметров, получим:

&& & & & & Y11Y22 - Y12Y21 & Y &Y22 & 1 & & I& = Y11(- U2 - I& ) + Y12U2 = - U2 - I&.

&& & & Y21 Y21 2 Y21 Y21 И окончательно, & Y22 & & U =- U2 - I&, && Y21 Y21 & & & & & I& Y11Y22 - Y12Y21 U2 - Y11 I&.

& = && Y21 Y21 Следовательно, & & & & & & Y Y22 & 1 Y11Y22 - Y12Y & & A11 =-, A12 =-, A21 = -= -, & & && Y21 Y21 Y21 Y & Y & A22 =-, & Y & & & & & & где Y = Y11Y22 - Y12Y21-определитель, составленный из Y -параметров.

& Определитель, составленный из A-параметров, равен:

& Y & & & & & A = A11A22 - A12A21 =.

& Y & & Для обратимого четырехполюсника Y12 = Y21 и & & & & & A = A11A22 - A12A21 = 1.

4. Для анализа передачи сигнала от зажимов (2-2) к зажимам (1-1) ис пользуется система уравнений обратной передачи:

& & & & U = B11U1 + B12I&, 2 & & & = I& B21U1 + B22I&.

2 & Значения B-параметров определяются также из опытов холостого хода & входной цепи ( I& = 0) и короткого замыкания (U1 = 0).

5. Когда заданными являются комплексные амплитуды тока на входе I& и & & напряжения на выходе U2, искомые величины U1 и I& могут быть найде & ны из системы уравнений в H -параметрах:

& & & & + U = H11I& H12U2, 1 & & & =+ I& H21I& H22U2.

2 & Значения каждого из H -параметров определяются из опытов короткого & замыкания на выходе (U2 = 0) и холостого хода первичной цепи ( I& = 0).

& 6. В том случае, когда задаются величины U1 и I&, ток на входе I& и 2 & & напряжение на выходе U2 определяются из уравнений в G -параметрах:

& & & = I& G11U1 + G12I&, 1 && && U2 = G21U1 + G22I&.

& Входящие в эту систему уравнений G -параметры могут быть найдены из опытов холостого хода выходной цепи ( I& = 0) & и короткого замыкания на входе (U1 = 0).

Поскольку все шесть систем параметров описывают один четы рехполюсник, то они связаны между собой формулами пересчета, приведенными в справочных таблицах.

Входное сопротивление четырехполюсника Влияние четырехполюсника на режим цепи, с которой он соеди нен, оценивается входными сопротивлениями (рис.86):

& & U1 &&U & ZBX 1 = и ZBX 2 = ZBЫХ =.

I& I& 1 На эти входные сопротивления оказывается нагруженным источ ник при передачи сигнала слева направо (рис.86, а) и справа налево (рис.86, б).

Входные сопротивления могут быть выражены через любую сис тему параметров четырехполюсника. Удобнее всего это сделать, & воспользовавшись системой A-параметров.

В этом случае &&& & && & U1 A11U2 + A12I& A11ZH + A12 & & & ZBX 1 = = = &&& & & &, где ZH = U2 / I&.

I& A21U2 + A22I& A21ZH + A 1 1 Рис. В случае перемены направления передачи сигнала (рис.86, б) воспользуемся следующим приемом. Если в системе уравнений в & A-параметрах заменить токи I& на - I& и I& на - I& и решить 1 1 2 & уравнения относительно U2 и I&, то получим уравнения в системе & & B-параметров, выраженные через A-коэффициенты. Тогда &&&& && & U2 A22U1 + A12I& A22Z1 + A & ZBX 2 = = =, &&&& & & I& A21U1 + A11I& A21Z1 + A 2 1 & & так как Z1 = U1 / I&.

Выражения для входных сопротивлений могут быть представле ны и в иной форме. Действительно, & A12 & + ZH & & && && A11 A11 Z2K + ZH Z1K + Z & && & ZBX 1 == Z1X && и ZBX 2 = Z2 X &&, & & A21 A22 & Z2 X + ZH Z1X + Z + ZH & A & & A11 & A & где Z1X =, Z1K = -входные сопротивления в режиме хо & & A21 A & A & лостого хода и короткого замыкания на выходе, Z2 X =, & A & A & Z2K = - входные сопротивления в режиме холостого хода и & A короткого замыкания на входе.

Таким образом, четырехполюсник трансформирует сопротивле ние нагрузки в новое сопротивление, зависящее как от величины нагрузки, так и от параметров четырехполюсника.

Лекция 15.

Характеристические (вторичные) параметры четырехполюс ника Наряду с рассмотренными выше первичными параметрами (ко эффициентами в системах уравнений) четырехполюсника, при ре шении многих задач пользуются характеристическими (вторич ными) параметрами четырехполюсника. К ним относятся: характе ристические сопротивления, постоянная передачи (мера передачи) и коэффициент трансформации.

& Известно, что генератор с внутренним сопротивлением Zi отда & & & ет максимальную мощность в нагрузку ZH при условии Zi = ZH.

Если между генератором и нагрузкой находится четырехполюсник, то для передачи максимальной мощности от генератора в четырех полюсник необходимо согласовать входное сопротивление четы & рехполюсника ZBX 1 с внутренним сопротивлением генератора, т. е.

& & выполнить условие Zi = ZBX 1, а для передачи максимальной мощ ности от четырехполюсника в нагрузку - согласовать выходное со противление четырехполюсника с сопротивлением нагрузки, т. е.

&& выполнить условие ZBX 2 = ZH. Режим работы четырехполюсника, & & && когда Zi = ZBX 1 и ZBX 2 = ZH, называется режимом согласованного включения.

Оказывается, для любого четырехполюсника существует такая пара сопротивлений, для которой выполняется условие:

&& && & & A11ZH + A12 & & A22Z1 + A12 & & ZBX 1 == Zi, ZBX 2 == ZH.

&& && & & A21ZH + A22 A21Z1 + A Эти сопротивления называются характеристическими сопро & & тивлениями четырехполюсника и обозначаются Z1C и Z2C.

&& & && & Учитывая, что ZBX 1 = Zi = Z1C и ZBX 2 = ZH = Z2C, получим && && & & A11Z2C + A12 & A22Z1C + A & Z1C =, Z2C =.

& & & & & & A21Z2C + A22 A21Z1C + A Решив совместно эти уравнения, найдем & & & & A11A12 & A22A & Z1C = & &, Z2C = & &.

A21A22 A21A Поскольку & & & & A11 & A12 & A22 & A12 & = Z1X, = Z1K, = Z2 X, = Z2K, & & & & A21 A22 A21 A то характеристические сопротивления можно выразить через пара метры холостого хода и короткого замыкания:

&& & && & Z1C = Z1X Z1K, Z2C = Z2 X Z2K.

Если четырехполюсник согласован с нагрузкой, т. е.

& & & U2 & A22A & ZH = = Z2C =, & & I& A21A & то уравнения в системе A -параметров принимают следующий вид:

& & & A12A21A & & & & U1 = U2(A11 + ), U && && & A U = A11U2 + A12 Z2C, & & & & I& A21Z2CI& A22I&. A12A21A && & & & =+ 1 2 1 I = I& (A22 + ).

& A Из последней системы уравнений можно получить U1 A & & & & & & = A11A22 + A12A21, & & U A & I& A11& & & & = A11A22 + A12A21.

& I& A Величина & & A11 Z1C == nT & & A22 Z2C называется коэффициентом трансформации четырехполюсника.

Входное сопротивление согласованного четырехполюсника && & & ZBX 1 = Z1C = nT Z2C = nT ZH, т. е. согласованный четырехполюсник трансформирует сопротив ление нагрузки в nT раз.

Таким образом, &I& 1 U & & & & & = nT 1 = A11A22 + A12A21 = eg, &I& nT U & где g -характеристическая постоянная передачи (мера передачи) четырехполюсника.

& & && Если четырехполюсник симметричен A11 = A22, Z1C = Z2C, nT = 1, то &I& U11 & & & & & g = ln = ln = ln( A11A22 + A12A21 ), &I& U т. е. постоянная передачи определяется только первичными пара метрами четырехполюсника.

& Выразим первичные A-параметры через характеристические па & & & раметры Z1C, Z2C, g.

Согласно полученному выше & & & & & eg = A11A22 + A12A21, & e- g =.

& & & & A11A22 + A12A Умножив числитель и знаменатель последнего выражения на & & & & & & & & & A11A22 - A12A21 и учитывая, что A = A11A22 - A12A21 = 1, по лучим & & & & & e- g = A11A22 - A12A21.

Таким образом, && && eg + e- g eg - e- g & & & & & & = A11A22 = chg и = A12A21 = shg, 2 & & где chg - гиперболический косинус, shg - гиперболический си нус.

Далее находим & & & A12 Z1C A & & Z1C Z2C = и =.

& & & A21 Z2C A В итоге получаем систему уравнений, связывающих первичные параметры с вторичными параметрами:

& Z1C & & A11 = chg, & & A11 Z1C & Z2C =, & & A22 Z2C & A = Z2C chg, & & & A12 & & & = Z1C Z2C, Z1C из которой следует & A & & & & A12 = Z1CZ2C shg, & & & A12A21 = sh2g, & & & & A22 = ch2g, & A21 = shg.

A & & Z1CZ2C Подставляя найденные коэффициенты в систему уравнений для & A-параметров, получим систему уравнений четырехполюсника в гиперболических функциях:

& Z1C & & & && U1 = (U2chg + Z2CI& shg), & Z2C && Z2C U2 & & & (I& chg + shg).

I = &Z2C & Z1C && Если четырехполюсник симметричен Z1C = Z2C, то & & & && U1 = U2chg + Z2CI& shg, & U2 & & = 1 I& I& chg + Z2C shg.

& & & & & При согласованной нагрузке ZH = Z2C, Z2CI& = U2, & && chg + shg = eg, система уравнений принимает вид:

& Z1C & & & U1 = U2eg, & Z2C & Z2C & &I& eg.

I = & Z1C Постоянная передачи в общем случае величина комплексная & g = a + jb.

Характеристические сопротивления также величины комплексные j1C j2C && && Z1C = Z1C e, Z2C = Z2C e.

Амплитуды или действующие значения напряжений и токов на входе и выходе четырехполюсника связаны через характеристиче ские сопротивления и постоянную передачи следующими выраже ниями:

& Z1C & jU 2 j 2 (1C -2C ) jb U1 e jU & = U2 ea e e e, & Z2C & Z2C jI 1 jI 2 j 2 (2C -1C ) jb I& e = I& ea e e e.

& Z1C Таким образом, вещественная часть постоянной передачи а ха рактеризует изменение амплитуды или действующего значения то ка и напряжения при прохождении сигнала через четырехполюс ник. Мнимая составляющая b характеризует фазовый сдвиг между входным и выходным напряжениями или токами, 1 U1 -U 2 = (1C -2C ) + jb, I1 - I 2 = (2C -1C ) + jb.

2 Для симметричного четырехполюсника && U1 e jU = U2 eae jU e jb, jI 1 jI 2 jb I& e = I& eae e.

b- коэффициент фазы измеряется в радианах или градусах и ра вен b = U1 - U 2 = I1 - I 2.

Коэффициент а -собственное затухание определяется как &I& U a = ln = ln (непер).

&I& U Затуханию а = 1 неп соответствует уменьшение амплитуды или действующего значения напряжения или тока в е = 2,718 раза.

В радиотехнике часто легче измерить мощность сигнала на входе и выходе, кроме того, при расчетах предпочтительнее применять не натуральные, а десятичные логарифмы. Поэтому затухание изме ряют в белах:

UI1 S a(бел) = lg = lg.

U2I2 S S1 U12 I12 U1 I Поскольку = =, a(бел) = 2lg = 2lg.

2 S2 U2 I2 U2 I Единица бел достаточно велика поэтому пользуются 0,1 бел называемой децибел.

U1 I1 S a(дб ) = 20lg = 20lg = 10lg, U2 I2 S 1 дб 0,115 неп;

1 неп 8,7 дб.

Рабочее и вносимое затухание четырехполюсника Рассмотренное выше собственное затухание четырехполюсника является мерой передачи сигнала с входа на выход без учета влия ния источника сигнала и реальной нагрузки.

В общем случае четырехполюсник включен между источником с & & внутренним сопротивлением Zi и нагрузкой ZH (рис.87).

Рис. Для оценки влияния условий согласования четырехполюсника с генератором и нагрузкой на передачу сигнала вводится рабочее затухание четырехполюсника, которое определяется как 1 S aP = ln, 2 S где S0 -максимальная полная мощность, которую генератор отда ет в нагрузку, согласованную с его внутренним сопротивлением, S2 -полная мощность, выделяемая в нагрузке, подключенной к вы ходу четырехполюсника.

Максимальная полная мощность выделяется на сопротивлении, равном внутреннему сопротивлению генератора:

&& EE & & S0 = ZiI&2 = Zi =.

&& 2Zi 4Zi Полная мощность, выделяемая в нагрузке:

& U & S2 = U2I& =.

& ZH Рабочее затухание в этом случае & & & & 1 E2 ZH E 1 ZH aP = ln = ln & & &+ ln &.

2 4Zi U2 2U2 2 Zi Задающее напряжение генератора && && & & & & & & E = U1 + ZiI& = A11U2 + A12I& + Zi(A21U2 + A22I& ).

1 2 & U Учитывая, что I& =, получим & ZH & & & & EA12 & & Zi A & = A11 + + Zi A21 + &ZH.

& & U2 ZH Заменив в последнем выражении А -параметры на характеристи ческие & Z1C & & & & & & & & A11 = chg, A12 = Z1CZ2C shg, A21 = shg, & & & Z2C Z1CZ2C & Z2C & & A22 = chg & Z1C и подставив полученное выражение в формулу для рабочего зату хания, после некоторых преобразований имеем:

& & & & Zi + Z1C ZH + Z2C & aP = a + ln + ln + ln 1- p1p2e-2g, & & & & 2 ZZ1C 2 ZH Z2C i & & & & Zi - Z1C ZH - Z2C где p1 =, p2 = - коэффициенты отражения на & & & & Zi + Z1C ZH + Z2C входе и выходе четырехполюсника соответственно.

Таким образом, рабочее затухание содержит четыре составляю щих. Первая составляющая -собственное затухание четырехпо люсника а. Вторая составляющая характеризует степень рассогла сования генератора с входом четырехполюсника, третья -степень рассогласования выхода четырехполюсника с нагрузкой. Четвертая составляющая появляется лишь тогда, когда не согласованы и вход, и выход, т. е. когда оба коэффициента отражения не равны нулю.

На практике эта составляющая обычно мала, и ей можно пренеб речь.

Следует отметить, что при согласовании входа четырехполюсни & & ка с генератором (Zi = Z1C ), вторая составляющая равна нулю.

Если еще обеспечить согласование четырехполюсника с нагрузкой & & (ZH = Z2C ), то третья и четвертая составляющие также обращают ся в нули, и рабочее затухание равно собственному затуханию че тырехполюсника.

Вместо рабочего затухания нередко применяется другой пара метр - вносимое затухание. В этом случае полная мощность, по ступающая в нагрузку, сравнивается с полной мощностью, которую генератор отдавал бы в нагрузку при их прямом соединении, т. е.

вносимое затухание 1 S aBH = ln, 2 S & & E2ZH где S12 =- полная мощность, которую генератор от & & (Zi + ZH ) давал бы в нагрузку при их прямом соединении.

Вносимое затухание можно связать с рабочим затуханием 1 S12S0 1 S0 1 S0 1 S aBH = ln = ln - ln = aP - ln.

2 S2S0 2 S2 2 S12 2 S Можно показать, что & & 1 S0 Zi + ZH ln = ln.

& & 2 S 2 ZiZH Поэтому вносимое затухание определяется:

& & Zi + ZH aBH = aP - ln, & & 2 ZiZH т. е. из рабочего затухания исключается затухание, вызванное несо гласованностью генератора с нагрузкой.

Если aP = 0, полные мощности на входе и выходе четырехпо люсника равны. Если aP < 0, четырехполюсник является усилите лем сигнала.

Передаточные функции четырехполюсника Передаточной функцией нагруженного четырехполюсника назы вается отношение комплексных амплитуд или комплексных дейст вующих значений отклика к комплексным амплитудам или ком плексным действующим значениям воздействия.

Если входное воздействие представляет собой напряжение гене ратора, а откликом четырехполюсника на это воздействие - напряжение или ток на выходе, то комплексные передаточные функции имеют вид:

& U2 I& & & KU = и Y21 =, & & E E & где KU - комплексный коэффициент передачи по напряжению, & Y21- комплексная передаточная проводимость.

Если входное воздействие представляет собой ток на входе четы рехполюсника, а откликом четырехполюсника на это воздействие - напряжение или ток на выходе, то в этом случае комплексные пе редаточные функции:

& I& U & & KI = и Z21 =, I& I& 1 & KI - комплексный коэффициент передачи по току, & Z21- комплексное передаточное сопротивление.

Передаточные функции четырехполюсника могут быть выраже ны через первичные параметры и сопротивление нагрузки. Напри мер, && & U2 U2 ZH & KU = = = &&& & && &.

E A11U2 + A12I& A11ZH + A & В режиме холостого хода (ZH = ) & KUXX =.

& A & & При согласованном включении (ZH = Z2C ) симметричного четы рехполюсника & & A22A & & & A21A Z2C & & KUC == = = e- g & & & & & & & & & A11Z2C + A12 & A22A12 & A11A22 + A12A A11 & & + A A21A.

Последняя формула устанавливает связь между передаточной функцией по напряжению и постоянной передачи симметричного согласованного на выходе четырехполюсника.

Аналогичным образом можно получить остальные передаточные функции в различных режимах работы. Например, I&I& & KI = = =.

&&& & & & I& A21U2 + A22I& A21ZH + A 1 В режиме короткого замыкания на выходе & KIКЗ =.

& A & & Если четырехполюсник симметричен ( A11 = A22 ), то коэффици ент передачи по напряжению в режиме холостого хода на выходе равен коэффициенту передачи по току в режиме короткого замыка ния также на выходе.

Лекция 16.

Эквивалентные схемы пассивных линейных четырехполюсников Для анализа прохождения сигнала через четырехполюсник в об & щем случае необходимо знать его первичные, например, A -пара & & & метры (или характеристические параметры g, Z1C, Z2C ). В том случае, когда внутреннее устройство четырехполюсника неизвест но, параметры можно определить экспериментально из опытов хо лостого хода и короткого замыкания. Если же схема четырехпо люсника известна, то параметры его могут быть рассчитаны по за данным значениям сопротивлений элементов, его составляющих.

& & & Пусть известны сопротивления Za, Zb, Zc Т-образного четы рехполюсника (рис.88, в). Найдем выражения для первичных & A -параметров в зависимости от этих сопротивлений.

Рис. В системе уравнений & & & & U = A11U2 + A12I&, 1 && & = I& A21U2 + A22I&, 1 1 && & U1 U1 Za & I&I& & A11 == = 1+, A21 == & &=, & & &Zc &I& Zc Zc U2 I& U1 & U2 I& =0 = 2 Zc & & Za + Zc && & & U1 U1 ZaZb & & & A12 == = Za + Zb +, & & & & U1 ZbZc I&Zc & U2 = & & ZbZc & & & Zb + Zc Zb & (Za + ) & & Zb + Zc & I&I& Zb & A22 == = 1+.

& & & ZbZc I&Zc 2 & U2 = I& & & & Zb + Zc Zb Характеристические параметры Т-образного четырехполюсника:

& & & & A11A12 Za + Zc & & & & & & & Z1C == (ZaZb + ZcZb + ZaZc), & & & & A21A22 Zb + Zc & & & & A22A12 Zb + Zc & & & & & & & Z2C == (ZaZb + ZcZb + ZaZc), & & & & A21A11 Za + Zc & & & & (Za + Zc)(Zb + Zc) & & & g = Arch A11A22 = Arch.

& Zc & & Для симметричного Т-образного четырехполюсника (Za = Zb, & & A11 = A22 ):

& & (Za + Zc) &&& & && & Z1C = Z2C = ZT = Za(Za + 2Zc), g = Arch.

& Zc Расчетные формулы для Г-образных схем могут быть получены из формул для Т-образного четырехполюсника, если принять & & Zb = 0 (соответствует рис.88, а), или Za = 0 (для схемы рис.88, б).

Применяя подобную методику, можно получить расчетные фор мулы и для П-образного четырехполюсника.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.