WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ Савчук В.П. Обработка результатов измерений. Физическая лаборатория. Ч1:

Учеб. пособие для студентов вузов. — Одесса: ОНПУ, 2002. — 54 с. ил. В пособии рассмотрены вопросы практического применения статистической обработки результатов измерений, проводимых в учебной физической лаборатории. Представлено краткое теоретическое обоснование точечных и интервальных оценок измеряемой физической величины. Изложение дополнено примерами обработки конкретных данных. В приложениях приведены необходимые статистические таблицы. Пособие рассчитано на студентов технических учебных заведений.

ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ D ЧАСТЬ 1 Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь проанализировать. В физической лаборатории необходимо научиться не только измерять физические величины, но и проверять и находить связь между ними, сопоставлять результаты эксперимента с выводами теории.

Измерением с многократными наблюдениями называется измерение, при котором все отсчеты получены при фиксированных значениях физических величин, связанных с измеряемой величиной. Пример: измерение ускорения тела заданной массы при действии на него одной и той же силы при многократном повторении эксперимента.

1. ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ского объекта (системы, явления или процесса). Качественно одна и та же физическая величина может иметь различное количественное выражение. Количественная определенность физической величины, присущая конкретному материальному объекту, характеризуется ее размером. Значение физической величины представляет собой оценку размера этой величины в виде некоторого числа принятых для нее единиц. Значение физической величины выражается произведением ее числового значения на выбранную для этой величины единицу. Числовое значение это отвлеченное число. Единица физической величины физическая величина, которой условно присвоено числовое значение, равное 1. Пример: значение длины можно выразить как L = 0.202 м = 20.2 см = 202 мм. Следовательно, числовое значение физической величины с изменением размера единицы изменяется. Размер величины и ее значение при этом будут одними и теми же.

Существует два основных вида измерений: прямые и косвенные.

Физическая величина это характеристика одного из свойств физиче Прямым измерением называется измерение физической величины, при котором ее значение находят непосредственно из опытных данных. Примеры: измерение длины с помощью линейки;

измерение сопротивления омметром.

Косвенным измерением называется измерение физической величины, при котором ее значение находят на основании известной зависимости между этой величиной и величинами, значения которых получены прямыми измерениями. Пример: определение сопротивления по напряжению и току, измеренным вольтметром и амперметром, соответственно.

Различают истинное значение физической величины, идеально отражающее свойства материального объекта, и действительное значение, найденное экспериментально.

Совместными называются такие измерения, при которых одновременно измеряют две и более неоднородные величины для нахождения зависимости между ними или определения параметров этой зависимости. Пример: измерение тока при различных значениях напряжения для проверки закона Ома.

Измерение физической величины заключается в сравнении измеряемой величины с её единицей, с целью получения значения этой величины в форме, наиболее удобной для использования. Измерение производится с помощью технических средств, хранящих единицу, или воспроизводящих шкалу физической величины.

Не следует отождествлять понятие измерение с понятием наблюдение при измерении экспериментальной операцией, выполняемой в процессе Моделью объекта измерения называется абстрактный, как правило, идеализированный образ реального объекта. Примеры: материальная точка, абсолютно твердое тело, идеальный газ, однородный проводник.

измерения. Результат наблюдения это одно значение (отсчет) измеряемой величины. Результат измерения получается после математической обработки всех отсчетов.

Измерением с однократными наблюдениями называется измерение, при котором каждый отсчет получен при различных значениях физических величин, связанных с измеряемой величиной. Пример: измерение ускорения тел различной массы при действии на них фиксированной силы.

Метод измерений - это совокупность приемов сравнения измеряемой величины с её единицей. Метод измерений осуществляется в соответствии с моделью объекта измерения и доступным набором технических средств. Истинной погрешностью измерения называется отклонение результата измерения физической величины (действительного значения) от ее истинного значения. При проведении измерений, как правило, истинное значение измеряемой величины неизвестно. Результатом измерения является оценка истинного значения, которая чаще всего с ним не совпадает. Принято, независимо от того, известно или неизвестно истинное значение, погрешность характеризовать, так называемым, доверительным интервалом, в котором с определенной степенью достоверности содержится истинное значение. Середина этого интервала совмещается с оценкой истинного значения (рис. 1).

Погрешность выражается в виде абсолютной и относительной погрешности.

Абсолютная погрешность равна модулю разности между оценкой и границей интервала, т.е. полуширине доверительного интервала. Относительная погрешность равна отношению абсолютной погрешности к оценке истинного значения. Как правило, эту погрешность выражают в процентах. Величину, обратную относительной погрешности, называют точностью измерений.

• • Инструментальная погрешность погрешность средств измерений (приборов).

x x 2 x x + x x x x x 100 % x= x. 1.

x = x ± x F = 53.2 ± 0.4 Н При сравнении результатов измерения одной и той же физической величины поступают следующим образом. Если доверительные интервалы перекрываются, то говорят, что различия незначимые и результаты измерений согласуются. В противном случае различия считаются значимыми и результаты измерений не совпадают. Пример: пусть при различных методах измерений одной и той же силы получены следующие результаты: F=240±8 Н, F=250±5 Н. Различие в 10 Н в данном случае является незначимым, и результаты согласуются. Если бы оба результата были F=242±2 Н, F=249±3 Н, то различие в 7 Н было бы значимым, и результаты измерений оказались бы не совпадающими.

По влиянию на результат измерения можно выделить следующие классы погрешности: • • Систематическая погрешность погрешность, остающаяся постоянной или закономерно изменяющаяся при повторении измерений.

образом при повторении измерений. Промах (грубая ошибка) погрешность, существенно превосходящая ожидаемую при заданных условиях. По источникам погрешности различают следующие ее виды: • Методическая погрешность погрешность, обусловленная несовершенством метода измерений. • Случайная погрешность погрешность, изменяющаяся случайным нием факторов, которые не учтены в модели объекта измерения. Названные источники погрешности в общем случае могут иметь как систематическую, так и случайную составляющие погрешности, но вклад этих составляющих различен при различной организации эксперимента. Учет и исключение (или уменьшение) систематической погрешности представляют одну из самых сложных задач теории измерений. Способы решения этой задачи зависят от конкретных видов измерений, и не существует общей методики ее решения. Часто используется подход, основанный на всестороннем теоретическом анализе процедуры измерения и характеристик применяемой аппаратуры. Такой анализ может дать оценку границ систематической погрешности. При точных измерениях оценка систематической погрешности производится по результатам измерения искомой величины различными, принципиально независимыми методами с применением различной аппаратуры. Многие современные способы анализа систематической погрешности используют аппарат математической статистики (дисперсионный, регрессионный, корреляционный, спектральный анализ), теории принятия решений, теории игр и др. Более детально эти вопросы рассматриваются в специальном курсе метрологии. Случайная погрешность в большинстве случаев может быть уменьшена с помощью относительно простой статистической обработки результатов измерений. Промахи относятся к аномальным результатам измерений, которые могут быть следствием кратковременного воздействия на процесс измерения некоторого мешающего фактора, преобладающего над остальными. Промах может быть вызван ошибкой оператора, проводящего измерение, или сбоем измерительной аппаратуры. В этих случаях аномальный результат должен быть отброшен. Однако отбрасывание аномальных данных является спорным вопросом, по которому у специалистов нет единого мнения. Например, из истории физики известно, что именно аномальные результаты экспериментов привели к великим открытиям. Поэтому при научных исследованиях и в большинстве технических измерений необходимо тщательно проанализировать причину промаха, в частности, многократно повторив эксперимент. Тем не менее, в хорошо изученной ситуации, если не удается найти внешнюю причину промаха, вопрос об отбрасывании аномального отсчета должен быть решен на основе обработки всех данных эксперимента.

При измерениях в лаборатории физического практикума эксперимент организован так, что: 1. 2. 3. 4. Методической погрешностью можно пренебречь или ее значение можно оценить. Инструментальная погрешность имеет только систематическую составляющую. Дополнительная погрешность имеет только случайную составляющую. Точность показаний измерительных устройств и приборов гарантируется.

Дополнительная погрешность погрешность, обусловленная влия 2. ОБРАБОТКА ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ 2.1. Инструментальная погрешность Методика определения погрешности прибора приводится в его паспорте. Для характеристики большинства приборов часто используют понятие приведенной погрешности, равной абсолютной погрешности в процентах диапазона шкалы измерений. По приведенной погрешности приборы разделяются на классы точности. Класс точности указан на панели прибора и может принимать следующий ряд значений: 0.05;

0.1;

0.2;

0.5 прецизионные;

1.0;

1.5;

2.5;

4.0 технические приборы. Наибольшая абсолютная инструментальная погрешность ставлено в разделах 6, 7 и 8 и в литературе [3-7], применительно к практикуму по физике в литературе [8,9].

1 2 3 4 L = 37,5 ± 0,5 мм L. 2.

a = K A/100, где (1) 0,1 1 2 3 4 5 K - класс точности, A - наибольшее значение шкалы прибора. Из формулы (1) следует, что относительная погрешность будет минимальной, если измеряемая величина дает отброс стрелки индикатора на всю шкалу. Поэтому для оптимального использования прибора его предел выбирают так, чтобы значение измеряемой величины попадало в конец шкалы. В метрологии [1,2], кроме формулы (1), используется и другие, более сложные определения инструментальной погрешности и связанного с ней класса точности, особенно для приборов с неравномерными шкалами. Инструментальная погрешность приборов для измерения линейных размеров указана на самом приборе в виде абсолютной погрешности или в виде цены деления. Если на приборе не указан ни класс точности, ни абсолютная погрешность, то она принимается равной половине цены наименьшего деления. Для приборов с цифровым отсчетом измеряемых величин метод вычисления погрешности приводится в паспортных данных прибора. Если эти данные отсутствуют, то в качестве абсолютной погрешности принимается значение, равное половине последнего цифрового разряда индикатора.

2 D 0 1 2 3 4 5 6 7 D = 21,70 ± 0,05 мм. 3.

H !

Инструментальную погрешность невозможно уменьшить статистической обработкой отсчетов.

0, 0 - Примеры считывания со шкал различных приборов показаны на рис. 27. Принцип устройства нониуса рассмотрен в приложении 5. 2.2. Случайная погрешность При наличии случайных погрешностей наблюдаемые значения измеряемой величины при многократных измерениях случайным образом рассеяны относительно ее истинного значения. В этом случае действительное значение находят как наиболее вероятное из серии отсчетов, а погрешность характеризуют шириной интервала, который с заданной вероятностью покрывает истинное значение. Математическое обоснование ниже приведенных положений пред H = 31,870 ± 0,005 мм 40. 4.

Наилучшей оценкой истинного значения величины X является выборочное среднее значение. 6.

" где < x >= x n = N n N, (2) x n - отсчет величины X, N - число отсчетов.

A 2, Для оценки разброса отсчетов при измерении используется выборочное среднее квадратическое отклонение отсчетов. 2, I = 3,7 ± 0,1 А " Sx = (x n = N n < x >) N.

(3).

Выборочное среднее является случайной величиной и его разброс относительно истинного значения измеряемой величины оценивается 2 выборочным средним квадратическим отклонением среднего значения. 5.

" !

S< x> = Sx. N (4) Среднее квадратическое отклонение среднего из N отсчетов µV 2, в N раз меньше среднего квадратического отклонения одного отсчета Доверительным интервалом называется интервал U = 4,8 ± 0,1 мкВ. 2, [ < x >, < x > + ], который с заданной степенью достоверности включает в себя истинное значение измеряемой величины (рис.1).

Доверительной вероятностью (надежностью) результата серии наблюдений называется вероятность, с которой доверительный интервал включает истинное значение измеряемой величины. Случайную составляющую погрешности принято выражать как полуширину доверительного интервала. Размер доверительного интервала обычно задают в виде кратного S < x > значения. Тогда. 7.

R = 2,860 ± 0,005 кОм случайная составляющая погрешности многократных измерений " x = t S < x >, Если M>N, то отсчет xk считается промахом. Связь между M и Z приведена в приложении 3.

(5) где t - безразмерный коэффициент доверия (коэффициент Стьюдента). Коэффициент доверия показывает, во сколько раз нужно увеличить среднее квадратическое отклонение среднего, чтобы при заданном числе измерений получить заданную надежность их результата. Коэффициент доверия сложным образом зависит от надежности и числа измерений, и его значение определяют по статистическим таблицам (приложение 1). При расчете случайной погрешности задаются надежностью измерений, которую (в зависимости от целей измерений и требований к ним) принимают равной 0,9;

0,95;

0,96;

0,98;

0,99;

0,997;

0,999.

# Алгоритм обработки прямых измерений формула формула !

Чем больше доверительная вероятность, тем надежнее оценка интервала и, вместе с тем, шире его границы.

Полная погрешность x прямых измерений равна квадратичной сумме ее составляющих: инструментальной a и случайной x " x = 2a + 2x, (6) 2.3. Промахи Обработку прямых измерений рекомендуется начинать с проверки отсчетов на наличие промахов. Существует много критериев выявления и отбрасывания промахов, но ни один из них не является универсальным. Выбор критерия зависит от цели измерений, но решение отбросить какие-то данные, в конечном счете, всегда субъективно. Сформулируем, так называемый, критерий Шовене [3]. Из полученного рядя, содержащего N отсчетов, выбирается аномальный отсчет xk и вычисляется модуль его отклонения от среднего значения в долях выборочного среднего квадратического отклонения:

1. Определить инструментальную погрешность. 2. Вычислить среднее значение серии измерений 3. Вычислить среднее квадратическое отклонение отсчета Если промах устранен, то перейти к 5;

иначе к 4. 4. Проверить отсчеты на наличие промаха: • отобрать аномальный отсчет;

• вычислить его относительное отклонение • определить ожидаемое число отсчетов, среди которых может быть аномальный • если это число больше числа отсчетов, то исключить аномальный отсчет и перейти к 2;

иначе перейти к 5. 5. Вычислить выборочное среднее квадратическое отклонение среднего значения 6. Определить коэффициент доверия для заданной надежности и полученного числа отсчетов 7. Вычислить случайную погрешность 8. Вычислить полную погрешность 9. После округлений результат обработки измерений записать в форме:

(2) (3) формула (7) приложение формула (4) приложение 1 формула (5) формула (6) x = ( < x > ± x ).;

= ( x < x > ) 100 %;

.

Z= xk x Sx Иногда необходимо объединить результаты нескольких серий прямых измерений одной и той же физической величины. Эту задачу можно решить следующим образом. Пусть результаты M измерений представлены в виде x =< x 1 > ± x 1, x =< x 2 > ± x 2,..., x =< x M > ± x M. Наилучшее значение.

(7) < x > и его погрешность x вычисляются по формулам: < x >= wm x m m =1 M Затем вычисляется вероятность этого отклонения, а также ожидаемое число n измерений, которые дадут отсчеты, имеющие отклонение Z не меньшее, чем испытуемый. Если получено n<0.5 (при округлении до целого n=0), то отсчет xk считается промахом. Эту процедуру можно изменить и вычислить ожидаемое число M отсчетов, среди которых будет хотя бы один аномальный.

" где wm = w m = M m, M x = wm m = 1 (8) 1 - статистический вес каждой серии измерений. (xm )2 3. ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ u = f ( x, y,...) функциональная зависимость между измеряемой величиной u и величинами x, y,..., значения которых найдены прямыми измерениями. Действительное значение < u > определяется как:

Пусть основном случайным изменением внутреннего сопротивлением источника питания, то лучше применить формулу (13).

" < u >= f (< x >, < y >,...).

(9) Соотношения (9-12) позволяют использовать два алгоритма обработки косвенных измерений. В одном из них необходимо найти аналитические выражения для частных производных, в другом - используются только численные методы. В приложении 3 приведены формулы для вычисления погрешности первым способом для некоторых часто встречающихся на практике функциональных связей.

Получим выражение для погрешности u. Если зафиксировать значения всех аргументов кроме одного, например x,то приращение функции при изменении ее аргумента имеет вид:

# Алгоритм обработки косвенных измерений " цию x u = f (< x > + x, < y >,...) f (< x >, < y >,...).

(10) Если значение x мало, то в интервале [ < x > x, < x > + x ] функ x u ( f x ) x.

u = f ( x ) можно считать линейной и (11) " Величина ностью x. Аналогично определяются составляющие погрешности u, вносимые другими аргументами. Полная погрешность u косвенных измерений u вычисляется либо с помощью квадратичного суммирования либо суммирования по модулю ее составляющих, вносимых каждым аргументом:

x u характеризует погрешность u, обусловленную погреш 1. По известной зависимости измеряемой величины от её аргументов, значения которых найдены с помощью прямых измерений, вычислить действительное значение функции 2. Вычислить составляющие погрешности как приращения функции по каждому аргументу или найти частные производные по всем аргументам и вычислить составляющие погрешности 3. Вычислить полную погрешность функции 4. После округлений результат обработки измерений записать в форме:

формула формула (9) (10) (11) (12) (13) формула формула формула u = ( x )2 + ( y )2 +...

(12) (13) u = ( < u > ± u ).;

= ( u < u > ) 100 %;

.

" u = x + y +....

Соотношения (12) применяется в том случае, когда выполняются два условия. Во-первых, погрешность аргументов обусловлена влиянием многих факторов, среди которых нет преобладающего фактора. Во-вторых, погрешности аргументов статистически не связаны. В остальных случаях используется соотношение (13). Однако правило суммирования (13) часто приводит к завышенному значению погрешности косвенных измерений. Более подробные сведения о суммирования погрешностей приведены в разделе 8. Пример. Пусть значение сопротивления на участке цепи постоянного тока определяется по результатам прямых измерений тока и напряжения на этом участке. Если погрешность измерения тока и напряжения обусловлены влиянием многих факторов (температуры, внутренних сопротивлений амперметра и вольтметра, электрических наводок, нестабильности источника питания и др.), то при суммировании погрешностей лучше использовать формулу (12). Если погрешность прямых измерений обусловлена в p является параметром функциональной зависимости y = f ( x, p ) величин x и y, которые находят в результате серии Часто измеряемая величина прямых измерений с однократными наблюдениями. В этом случае случайную составляющую погрешности косвенных измерений p определяют с помощью обработки вычисленных значений pm = F ( x m, y m ) по методике обработки прямых измерений (здесь m =1..M, где M - число однократных наблюдений величин x и y ). Погрешность косвенных измерений функции, как правило, больше погрешности прямых измерений ее аргументов. Однако в некоторых частных случаях это правило может нарушаться. Рассмотрим такой частный случай на примере измерения периода колебаний.

Пример. Пусть при прямом измерении периода колебаний с помощью секундомера получено значение T=2,0±0,2 с. Тем же секундомером период можно измерить косвенно, зафиксировав время t=200±0,2 с, за которое совершилось N=100 колебаний. Тогда период T=t/N, т.е. T=2,000±0,002 с. Говорить о том, что в данном случае полная погрешность измерения меньше инструментальной погрешности некорректно, так как речь идет об измерении разных величин, а именно: прямом измерении времени и косвенном измерении периода. Последний вид измерений непосредственно не связан с инструментальной погрешностью.

" Округление чисел.

4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ.

Незначащими цифрами числа называются нули в начале десятичных дробей, меньших 1, и нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления. Остальные цифры называются значащими. Сомнительной цифрой результата измерения называется цифра, стоящая в разряде, соответствующем старшему разряду со значащей цифрой в значении погрешности. Цифры, стоящие слева от сомнительной называются верными, а справы неверными. Примеры. Числа 586 ± 6 ;

0, 00234 ± 0, 00002 ;

1, 00 ± 0, 03 ;

2000 ± 30 содержат по три значащие цифры. При округлении числа 2 9 9 7 9 3 ± 1 до значения 3 1 0 5 допущена погрешность 2 0 7, поэтому в полученном числе сотни являются сомнительной цифрой и, следовательно, последние два нуля - незначащие.

Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то оставшиеся цифры не изменяются. Если указанная цифра больше 5, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на 1. Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра равна 5, то округление производится следующим образом: последняя цифра в округленном числе остается без изменения, если она четная, и увеличивается на 1, если она нечетная.

" Округление при вычислениях.

! " Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях - двумя. Округление погрешности и действительного значения.

При записи результатов промежуточных вычислений сохраняется одна запасная цифра цифра, стоящая справа от сомнительной. При сложении и вычитании приближенных чисел разряд сомнительной цифры результата совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр слагаемых. Результат умножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. При возведении в степень (извлечении корня) приближенного числа результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их в основании (подкоренном выражении). При логарифмировании в мантиссе сохраняется столько значащих цифр, сколько их в исходном числе. Если один из операндов точное число, то количество его цифр не влияет на округление результата операции. Если при вычислениях используются табличные данные, то все их цифры верные.

Квадратичное суммирование Если при квадратичном суммировании одно из чисел меньше другого в 3 и более раз, то им можно пренебречь. Приведем примеры округления результатов измерений.

Запись до округления Запись после округления Погрешность округляется до одной значащей цифры. Эта цифра является сомнительной т.к. значение погрешности не имеет верных цифр. Действительное значение округляется до цифры, разряд которой равен разряду значащей цифры погрешности. Последняя цифра действительного значения сомнительная, остальные цифры - верные.

При особо точных измерениях погрешность округляется до двух значащих цифр, если первая их них меньше 4-х и до одной цифры, если первая цифра больше 3-х. Иногда в качестве второй цифры оставляют 0 или 5.

Запись чисел, считанных со шкалы прибора.

В числовом значении измеряемой величины, считанном со шкалы прибора, записываются только верные цифры и сомнительная цифра, разряд которой определяется по значению инструментальной погрешности прибора.

123357±678 А/м. 123357±678 В. 237,46±0,13 мм 0,00283±0,00034 кг. 1,045±0,000003 с. 359623±307 с. 0,000000047±0,0000000098 м. 67.8910-7±49,310-8 А 589±0,69 Н. 589±0,078 Н.

123400±700 А/м. 123,4±0.7 кВ. 237,5±0,1 мм. (2,8±0,3)10-3 кг. 1,045000±0,000003 с. (359,6±0,3)103 с. 50±10 нм. 6,8±0,5 мкА. 589,0±0,7 Н. 589,00±0,08 Н.

5. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ Пример 5.1. Обработка прямых измерений. Вольтметром измерено 10 отсчетов напряжение U в электрической цепи. Вольтметр, класс точности которого K=2.5, имеет максимальное значение шкалы, равное A=200 В. Результаты измерений представлены в таблице. Обработать результаты измерений, обеспечив 98% надежность оценки напряжения. • Вычисляем инструментальную погрешность № U, В Новый ряд отсчетов напряжения ( N = 9, t 98;

9 = 2.9 ) № U, В • Вычисляем новое среднее значение 1 2 3 4 5 6 7 8 145 140 145 130 150 150 155 175 U = 150 В.

• Вычисляем среднее квадратическое отклонение SU = 12.7 В. • Вычисляем случайную составляющую погрешности S 12.7 SU = U = = 4.23 В, 9 N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 145 140 145 105 130 150 150 155 175 160 • Вычисляем отсчетов a = KA = 2.5200 = 5В.

• Для заданной доверительной вероятности = 98% и количества отсчетов N = 10 определяем коэффициент доверия U = t ;

N S U = 2.9 4.23 = 12.2 В • Вычисляем полную погрешность абсолютную t 98;

10 = 2.8 (приложение 1).

• Вычисляем среднее значение U= U n = N U = a + U = 5 2 +12.2 2 = 13 10 В, 2 n N U = 146 В.

квадратическое отклонение относительную U = среднее N U 10 = 6.6%. = 150 U SU = (U n = n < U >) 2 SU = 18.6 В.

• После округлений результат измерения напряжения записываем в виде: U = 150 ± 10 В = 7% = 98%. Пример 5.2. Объединение результатов прямых измерений. В трех различных условиях измерено сопротивление одного и того же проводника. Результаты измерений представлены в виде: R1 = 11 ± 2 Ом.

N • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет №4. Вычисляем нормированное отклонение U 4 от среднего значения R2 = 12 ± 2 Ом. R1 = 10 ± 3 Ом.

Необходимо объединить эти измерения. • Находим статистический вес (вклад) каждого измерения 1 1 w1 = = 2 = 0.25 1 Ом 2, 2 2 R z= U4 U SU = 105 146 18. = 2.17.

Согласно данным приложения 3, количество опытов, при котором полученный отсчет нельзя считать промахом, равно 17. Это число больше, чем N = 10. Следовательно, отсчет U 4 =105 В является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда.

w2 = w3 = 1 1 = 2 = 0.25 1 Ом2, 2 R2 2 1 1 = 2 = 0.11 1 Ом2. 2 R3 mv F = 2 R R = 310 30 2 = 25. Н мм • Находим новую оценку сопротивления F 2 m v 2 310 30 Н с = = = 179 104 м R v • Вычисляем составляющие погрешности от каждого аргумента R= = R1 w1 + R2 w2 + R3 w3 = w1 + w2 + w Fm = FR = Fv = 110.25 +120.25 +100.11 = 11.2 Ом. 0.25 + 0.25 + 0. F m = 8.65 6 = 51.9 Н, m F R = 25.8 5 = 129 Н, R F v = 179 1 = 179 Н. v • Находим новую оценку погрешности R = 1 w1 + w2 + w = 1 0.25 + 0.25 + 0. = 1.28 Ом • Результат совместной оценки сопротивления R = 11 ± 1 Ом. Пример 5.3. Обработка результатов косвенных измерений. Прямыми измерениями найдены значения массы m, радиуса R и линейной скорости v равномерного вращения по окружности материальной точки. Необходимо оценить значение центробежной силы F, действующей на материальную точку.

• Вычисляем полную погрешность абсолютную F = Fm + FR + Fv = = 51.9 2 +129 2 +179 2 = 227 Н 0.2 кН относительную m = 310 ± 6 г R = 104 ± 5 мм v = 30 ± 1 м с m v2 F=. R F = F 0.2 = = 7% 2.7 F Рассмотрим три способа расчета погрешности косвенных измерений 1. Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по её аргументам. • Вычисляем среднее значение силы • После округления записываем результат косвенных измерений F = 7%. F = 2.7 ± 0.2 кН, 2. Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по её аргументам. • Вычисляем среднее значение силы F= mv R = 0.3130 2 = 2683 Н 2.68 кН. 0. • Находим частные производные и вычисляем их значения при средних значениях аргументов F= mv R = 0.3130 2 = 2683 Н 2.68 кН 0. v F 30 2 Н = = = 8.65 104 г R m 19 • Вычисляем приращения функции по её аргументам Fm = F (m + m, R, v) F (m, R, v) (0.31+ 0.006) 30 2 = 2683 = 51.6 Н 0.104 0.3130 2 2683 = 123 Н, 0.104 + 0.005 0.31(30 +1) 2 2683 = 182 Н. 0. • Вычисляем относительную погрешность функции по формулам приложения 2 F = m + R + 2 v = 2 + 5 + 2 3 = 13% • Вычисляем абсолютную погрешность функции Fm = F (m, R + R, v) F (m, R, v) = Fm = F (m, R, v + v) F (m, R, v) = • Вычисляем полную погрешность абсолютную F = F F = 2.68 0.13 = 0.349 Н • После округления записываем результат косвенных измерений F = 11%. F = 2.7 ± 0.3 кН, Пример 5.4. Обработка результатов косвенных измерений. В этом примере сравним трудоемкость вычисления погрешностей косвенных измерений по двум алгоритмам. Рассмотрим случая сложной функциональной зависимости измеряемой величины от аргументов. Пусть прямыми измерениями найдены значения элементов последовательного колебательного контура. Активного сопротивления R = 10 ± 1 Ом. Индуктивности L = 30.0 ± 1.5 мГ. Емкости C = 100 ± 2 мкФ. В контуре возбуждены вынужденные колебания на частоте = 1000 рад c. Амплитуда источника ЭДС = 10 В. Связь между амплитудой тока и параметрами элементов контура определяется соотношением:

F = Fm + FR + Fv = = 51.6 2 +123 2 +182 2 = 226 Н 0.2 кН относительную F 0.2 F = = = 7% 2.7 F • После округления записываем результат косвенных измерений F = 2.7 ± 0.2 кН, F = 7%. 3. Алгоритм, использующий сложение абсолютных величин погрешностей • Вычисляем среднее значение силы.

I ( R, L, C ) = 1 R 2 + L C.

F= mv R = 0.3130 2 = 2683 Н 2.68 кН 0. • Вычисляем относительные погрешности аргументов m 6 m = = = 0.019 2% 310 m Амплитуда ЭДС и частота измерены с большой точностью и могут рассматриваться как константы. 1. Алгоритм, использующий вычисление приращений измеряемой величины по её аргументам • Вычисляем среднее значение тока I( R, L, C ) = R = R = v = R 5 = 0.048 5% = 104 R v 1 = = 0.033 3% 30 v 1 + L C =.

= 0.447 А 1 10 2 + 10 3 30 10 3 3 100 10 6 • Вычисляем приращения функции I R = I ( R + R,, C ) I ( R, L, C ) = 10 1 (10+1)2 + 103 30103 3 10 10010 • Вычисляем производные функции I = R R = 0.447 = 0.0091 А = 9.1 мА 2 2 1 R + L C I L = I ( R, L + L, C ) I ( R, L, C ) = I = L = 0.025 А = 25 мА I = C 1 L C 2 2 1 R + L C = 10 + 10 (30 +1.5) 2 10 3 100 10 0. 1 L C 2 1 C R 2 + L C 2 I C = I ( R, L, C + C ) I ( R, L, C ) = = 10 1 10 + 10 3 30 10 3 3 6 10 (100 + 2) 2 0.447 = 0.0035 А = 3.5 мА • Вычисляем полную погрешность абсолютную • Вычисляем значения производных от средних значений аргументов I 10 10 3 А = = 8.9 10 3 Ом R 2 2 3 1 3 10 + 10 30 10 10 3 10 4 1 10 10 3 30 10 3 3 I А 10 10 4 = = 17.9 3 Г L 2 2 3 1 3 10 + 10 30 10 10 3 10 4 I = I R + I L + I C = 9.12 + 25 2 + 3.5 2 = 26.8 30 мА 2 2 относительную I = I 30 = 7% = 450 I • После округления записываем результат косвенных измерений F = 7%. I = 450 ± 30 мА, 2. Алгоритм, использующий вычисление производных измеряемой величины по её аргументам • Вычисляем среднее значение тока.

I = C 10 10 3 30 10 1 10 10 10 3 10 2 2 3 1 10 + 10 30 10 3 3 10 10 4 = А Ф • Вычисляем составляющие погрешности функции I R = I L = I R = 8.94 10 3 1 = 8.94 10 3 А 8.9 мА R I L = 17.9 1.5 10 3 = 26.8 10 3 А 27 мА L суммирование погрешностей тока и напряжения необходимо производить не квадратически, а по абсолютной величине. Рассмотрим порядок вычислений мощности. • Для заданной доверительной вероятности = 95% и количества отсчетов N =10 определяем коэффициент доверия 2.3 (приложение 1.) • Вычисляем среднее значение тока и напряжения № I, А U, В I I C = C = 1790 2 10 6 = 3.58 10 3 А 3.6 мА C • Вычисляем полную погрешность абсолютную 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.265 0.255 0.225 0.245 0.235 0.210 0.260 0.240 0.210 0. 6.55 6.40 5.60 6.20 5.95 5.20 6.55 6.00 5.30 5. I= I n = N n N I = 0.236 А.

I = I R + I L + I C == 8.9 2 + 27 2 + 3.6 2 = 29 30 мА относительную U= U n = N n N U = 5.92 В.

I = I 30 = = 7% 450 I • Вычисляем среднее квадратическое отклонение тока и напряжения • После округления записываем результат косвенных измерений F = 7%. I = 450 ± 30 мА, Пример 5.5. Обработка результатов косвенных измерений. В этом примере рассмотрим влияние статистической связи погрешностей аргументов на результат косвенных измерений их функции. Источник ЭДС постоянного тока с некоторым внутренним сопротивлением нагружен на согласованную по мощности активную нагрузку (нагрузка называется согласованной, если в ней выделяется максимальная мощность, в этом случае сопротивление нагрузки равно внутреннему сопротивлению источника ЭДС). Прямыми измерениями найдены N=10 значений тока I и напряжения U на нагрузке. Инструментальная погрешность измерения тока Ia=0.005 А, напряжения - Ua=0.05 В. Надежность оценок тока и напряжения должна составлять 95%. Необходимо с помощью косвенных измерений определить мощность P, потребляемую от источника. По закону Джоуля - Ленца P = I U. Известно, что основной причиной разброса измеренных значений тока и напряжения является нестабильность источника, приводящая к случайным изменениям его ЭДС и внутреннего сопротивления. Следовательно, изменения тока и напряжения на нагрузке будут статистически связанными (коррелированными), так как порождаются одной и той же причиной. В этом случае SI = (I n = N n < I >) N S I = 0.021 А.

SU = (U n = N n < U >) 2 SU = 0.51 В.

N • Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения rIU = (I n = N n < I >) (U n < U >) ( N 1) S I S U rIU = 0. Согласно данным приложения 4 при N=10 вероятность того, что ток и напряжение на нагрузке некоррелированы равна нулю. Следовательно, экспериментальные данные указывают на связь между погрешностью тока и напряжения. • Вычисляем случайную составляющую погрешности тока и напряжения S I = SI N = 0.021 = 0.0066 А, SU = SU N = 0.51 = 0.16 В, I = t 95;

10 S I = 2.3 0.066 = 0.015 А P = 1.4 ± 0.1 Вт.. P = 7% В рассмотренной задаче истинное значение мощности P = 1.44 Вт. Для сравнения рассмотрим ту же измерительную задачу, но в условиях, при которых разброс отсчетов тока и напряжения обусловлен большим числом не доминирующих факторов. В этом случае погрешности отсчетов тока и напряжения статистически не связаны. • Для заданной доверительной вероятности = 95% и количества отсчетов N =10 определяем коэффициент доверия № I, А U, В U = t 95;

10 S U = 2.3 0.16 = 0.37 В • Вычисляем полную погрешность абсолютную I = относительную I = 0.015 А U = U = 0.37 В, I 0.015 I = = = 6% 0.24 I U 0.37 U = = = 6% 5.9 U 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.290 0.285 0.285 0.275 0.190 0.245 0.220 0.275 0.230 0. 5.55 5.30 5.55 5.05 4.30 6.05 5.90 6.55 8.20 6. t 95;

10 = 2.3. Вычисляем среднее значение тока и напряжения • После округлений получаем результаты измерения тока и напряжения I = 240 ± 20 мА = 6% = 95% I = 0.251 А.

U = 5.92 В.

квадратическое U = 5.9 ± 0.4 В = 6% = 95% • Вычисляем среднее значение мощности среднее • Вычисляем отклонение тока и напряжения S I = 0.036 А, P = I U = 0.24 5.9 = 1.4 Вт.

• Вычисляем относительную погрешность измерения мощности P = I + U = 6 + 6 = 12%. • Вычисляем абсолютную погрешность измерения мощности SU = 1.08 В.

• Вычисляем коэффициент корреляции тока и напряжения rIU = 0.111.

P = P P = 1.4 0.12 = 0.17 Вт.

• Результат косвенных измерений мощности P = 12%. P = 1.4 ± 0.2 Вт. При квадратическом суммировании погрешностей корреляция между отсчетами прямых измерений не учитывается. Это может привести к занижению погрешности косвенных измерений, что равноценно уменьшению надежности косвенных измерений. Иногда уменьшение погрешности может достигнуть такой величины, при которой доверительный интервал не будет покрывать истинное значение. В данном случае при квадратическом суммировании погрешностей измерения тока и напряжения получаем P = ( U I )2 + ( I U )2 =, = (5.9 0.015 )2 + (0.24 0.4 )2 = 0.13 Вт Согласно прил. 4. при данном числе измерений вероятность того, что погрешности тока и напряжения на нагрузке не связаны между собой, равна 78%. Следовательно, экспериментальные данные свидетельствуют об отсутствии связи между погрешностями тока и напряжения. • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет напряжения №9. Вычисляем нормированное отклонение U 9 от среднего значения z = 2.114. Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 14.(приложение 3). Это число больше, чем N =10. Следовательно, отсчет U 9 = 8.2 В является промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда. Новый ряд имеет N = 9 отсчетов и t 95;

9 = 2.3 • Вычисляем новое среднее значение и среднее квадратическое отклонение U = 5.67 В.

SU = 0.76 В. • Вычисляем случайную составляющую погрешности S I = 0.012 А, I = 0.028 А S U = 0.76 В, U = 0.18 В • Вычисляем полную абсолютную и относительную погрешность I = 0.03 А, U = 0.4 В, вращения тела измерялся линейкой с ценой деления 1 мм. Масса тела измерялась весами, погрешность которых 1 г. Центробежная сила mv 2. F= R Независимо, центробежная сила инерции была измерена с помощью динамометра с ценой деления 10 Н. Измерения массы, радиуса вращения, скорости тела и силы повторены 6 раз. Результаты представлены в таблице № отсчета Масса m, г U = 12% U = 7% = 95% Радиус R, мм 99 103 111 104 105 Скорость v, м/с 30.0 30.0 30.0 29.5 28.5 31. Сила F, Н • Результат прямых измерений тока и напряжения I = 0.25 ± 0.03 А = 12% 1 2 3 4 5 315 313 305 352 306 U = 5.7 ± 0.4 В = 7% = 95% • Вычисляем среднее значение мощности 2210 1940 2490 2760 P = 1.43 Вт.

• Вычисляем относительную погрешность измерения мощности при квадратичном суммировании погрешностей измерения тока и напряжения P = (U I ) + ( I U ) = (5.7 0.03 )2 + (0.25 0.4 )2 = 0.2 Вт, 2 Обработка прямых измерений массы Инструментальная погрешность a = 1г. Число отсчетов Доверительная вероятность Коэффициент доверия • Вычисляем среднее значение N =6 = 95% t95;

6 = 2. P = 1.4 ± 0.2 Вт. P = 14%.

При отсутствии корреляции между аргументами суммирование их погрешностей по абсолютной величине приведет к завышению погрешности косвенных измерений функции и к расширению доверительного интервала, т.е. к повышению надежности измерений. Такая завышенная оценка погрешности допустима. В данном случае P = I + U = 12 + 7 = 19%.

m = 317 г • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов S m = 17.5 г • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет №4. Вычисляем нормированное отклонение m 4 от среднего значения P = P P = 1.4 0.19 = 0.3 Вт. P = 1.4 ± 0.3 Вт.

P = 21%.

Пример 5.6. (комплексный). Экспериментальная проверка закона инерции. Для проверки законов инерции произведено измерение центробежной силы инерции, действующей на тело при его равномерном вращении. Тело массой m было установлено на равномерно вращающейся платформе на расстоянии R от оси вращения. Линейная скорость v тела измерялась тахометром (прибором для измерения угловой скорости), шкала которого проградуирована в единицах линейной скорости. Точность отсчета скорости составляла 0.5м/с. Радиус z= 352 317 = 1.98. 17. Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 10 (приложение 3). Это число больше, чем N = 6. Следовательно, отсчет m 4 = 352 г промахом и его нужно удалить из обрабатываемого ряда. • Вычисляем среднее значение S • R = 3.9 = 1.6 мм R = 2.6 1.6 = 4.2 мм (т.к. R > 3 a ) m = 310 г • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов S m = 4.6 г • Вычисляем случайную составляющую погрешности 4.6 Sm = = 2.0 г Новый ряд отсчетов массы N =5 t 95;

5 = 2. № m, г Вычисляем полную погрешность абсолютную R = 4.2 4 мм относительную R = 4 = 4% • После округлений результат прямого измерения массы запишем в виде: R = 104 ± 4 мм = 4% = 95% Обработка прямых измерений скорости вращения Инструментальная погрешность Число отсчетов Доверительная вероятность Коэффициент доверия • Вычисляем среднее значение 1 2 3 4 315 313 305 306 m = 2.8 2 = 5.6 г • Вычисляем полную погрешность абсолютную m = 5.6 6 г (т.к. m > 3 a ), относительную a = 0.5 м с N =6 = 95% t 95;

6 = 2. Отсчеты скорости № V, м/с 1 2 3 4 5 m = 6 = 2%. 310 Отсчеты радиуса № R, мм 1 2 3 4 5 v = 29.8 м с • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов S v = 0.82 м с • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет №5. Вычисляем нормированное отклонение v5 от среднего значения 30 30 29.5 28.5 • Результат прямого измерения массы представляем в виде: m = 310 ± 6 г = 2% = 95% Обработка прямых измерений радиуса вращения Инструментальная погрешность Число отсчетов Доверительная вероятность Коэффициент доверия • Вычисляем среднее значение a = 0.5 мм N =6 = 95% t 95;

6 = 2. 103 111 104 105 z= 28.5 29.8 0. = 1.63.

Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 5. Это число не больше количества измерений N = 6. Следовательно, отсчет R = 104 ·· • Вычисляем среднее квадратическое отклонение S R = 3.9 мм • Аномальные отсчеты отсутствуют. • Вычисляем случайную составляющую погрешности v5 = 28.5 м с нельзя считать промахом.

• Вычисляем случайную составляющую погрешности 0.82 Sv = v = 2.6 0.33 = 0.86 м с = 0.33 м с 6 • Вычисляем полную погрешность 1 = 3% 29.8 • После округлений результат прямого измерения массы представляем как абсолютную v = 0.86 2 + 0.5 2 = 1м с относительную v = v = 30 ± 1 м с = 3% = 95% Обработка косвенных измерений центробежной силы • Вычисляем среднее значение силы 0.3130 2 F= = 2683 Н 2.68 кН 0.104 • Находим относительную погрешность по формулам таблицы 2. F = 2 + 4 + 2 3 = 12% • Находим абсолютную погрешность F = 2.68 0.12 = 0.32 кН • После округлений результат косвенного измерения силы представляем в виде: F = 2.7 ± 0.3 кН = 12% = 95% Обработка прямых измерений центробежной силы Инструментальная погрешность Число отсчетов Доверительная вероятность Коэффициент доверия • Вычисляем среднее значение • Полная погрешность абсолютная F = 346 Н 0.3 кН относительная Отсчеты силы № F, Н 1 2 3 4 5 F = 346 = 14%. • После округлений результат прямого измерения массы представляем как F = 2.5 ± 0.3 кН = 14% = 95% На рис.8 видно, что доверительные интервалы прямых и косвенных измерений центробежной силы перекрываются. Следовательно, экспериментальные данные с вероятностью 95% не противоречат формуле 2210 1940 2490 2760 F= m v2 R F=2.5, a = 10 Н (0.6 ) = 95% t95;

6 = 2. F = 2465 Н.

F=2.7, N = F, • Вычисляем среднее квадратическое отклонение отсчетов S F = 327 Н. • Проверяем отсчеты на наличие промахов. Аномальным отсчетом является отсчет №3. Вычисляем нормированное отклонение v3 от среднего значения (0.6 ).8. z= 1940 2465 = 1.61.

Количество опытов, при котором данный результат нельзя считать промахом, равно 5. Это число не больше количества измерений N =6. Следовательно, отсчет v3 = 1940 Н нельзя считать промахом. • Вычисляем случайную составляющую погрешности 327 SF = = 133Н F = 2.6 133 = 346 Н 33 6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИИ НАБЛЮДЕНИЙ 6.1. Определения основных понятий Допустим, что проведено N наблюдений некоторой физической величины. Из-за случайных ошибок отдельные отсчеты x1, x 2,..., x N неодинаковы. Будем считать, что интересующее нас событие произошло, если отсчет попал в заданный интервал [ a, b).

Вероятность P события попадания случайной величины в некоторый интервал [ a, b) называется предел, к которому стремится отношение числа m наступления этого события к числу N всех наблюдений, если число наблюдений стремится к бесконечности:

P(a < b) = lim N m N.

Серию из N отсчетов измеряемой величины можно наглядно представить, построив гистограмму диаграмму, которая показывает, как часто встречаются те или иные отсчеты. Гистограмму строят следующим образом. Весь диапазон наблюдаемых значений разбивают на K равных f (x) интервалов (интервалов длиной классификации) Hk x и подсчитывают, сколько отсчетов попало в каждый интервал. По оси абсцисс отклаk дывают границы интервалов, а по оси ординат - относительx ную частоту попадания отсчеx тов в интервалы, деленную на Рис. 9. Гистограмма его длину, т.е. величину В теории вероятностей математическая характеристика случайных величин основывается на понятии распределение вероятности F ( x ), которое является функцией числового аргумента x и определяет вероятность того, что значение некоторой случайной величины лежит в интервале [, x ) :

Hk = F ( x ) = P( < x ). F ( ) = 0;

F ( ) = 1;

F (a ) F (b) ‰› a b. р Распределение что [ a, b) вероятностей позволяет найти вероятность того, отсчетов, попавших в k-й интервал. На интервалах, как на основаниях строят прямоугольники высотой H k (рис.1). При N площадь каждого прямоугольника будет стремиться к вероятности попадания отсчета в соответствующий интервал классификации. Если одновременно устремить длину интервала к нулю ( x 0, но так, что в любой бесконечно малый интервал попадает бесконечно много отсчетов), то гистограмма превратится в график плотности вероятности. Плотность вероятности характеризуется набором параметров моментов распределения, два из которых в теории погрешностей имеют главное значение.

mk, где mk число N x P(a < b) = F (b) F (a ). В частности, вероятность того, что значение непрерывной случайной величины принадлежит бесконечно малому интервалу [ x, x + dx ) можно выразить как Математическое ожидание µ это число, в окрестности которого концентрируются значения случайной величины:

P( x < x + dx ) = f ( x )dx. dF ( x ) Функция f ( x ) = называется плотностью вероятности. dx Основное свойство плотности вероятности состоит в том, что + µ= xf ( x )dx.

значений случайной величины вокруг ее математического ожидания:

Дисперсия 2 это число, которое характеризует степень рассеяния f ( x)dx = 1.

отклонением.

= Величина называется средним (стандартным) квадратическим ( x µ) f ( x )dx.

6.2. Нормальное распределение В основе теории погрешностей лежат три предположения, подтвержденные опытом: 1. Отклонения наблюдаеДисперсия мых значений от истинно2 2 2 1 < 3 < 3 го значения принимают непрерывный ряд. 2. Погрешности, имеющие одинаковые абсолютные значения, но разные знаки встречаются одинаково часто. 3. Чем больше значение погрешности, тем реже оно встречается. Из этих предположений математическое следует, что распреx µ ожидание деление вероятности отРис. 10. Плотность вероятности счетов измеряемой величинормального распределения ны подчиняется, так называемому, нормальному распределению (закону распределения Гаусса), плотность вероятности которого f(x) Если имеет нормальное распределение f ( x µ, ) (математическое b детерминированные f ( x aµ + b,a ).

ожиданием µ и дисперсия ), то = a + b, ( a и величины) имеет нормальное распределение (рис.11) Если f(x) 2 1 и 2 нормально рас пределены с плотностями вероятности 2 12 + f ( x µ 1, 1 ), f ( x µ 2, 2 ), то = 1 + 2 имеет нор мальное распределение с плотностью (рис.12) µ µ µ1 + µ f ( x µ 1 + µ 2, 12 + 22 ).

x Связь плотности распределения и распределения вероятности показана на рис.13., а его вид на рис.14.

Рис. 12. Изменение плотности вероятности при сложении нормально распределенных случайных величин (a2 ) a2 < (a1 ) a1 > f(x) f ( x) = 1 e, µ = const, = const.

f(x) ( x µ ) F ( x0 ) = P (x x0 ) µ это математическое 2 ожидание, а дисµ a2 µ + b2 a1 µ + b Можно показать, что x x Рис. 13. Связь распределения с его плотностью x Рис. 11. Изменение плотности вероятности при линейном преобразовании нормально распределенной случайной величины персия. Вид плотности распределения для различных значений дисперсии показан на рис.10. Приведем без доказательства важные свойства нормального распределения.

F(x) x Рис. 14. Нормальное распределение F(x0) x 7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЗАКОНА ГУАССА 7.1. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Пусть истинное значение измеряемой величины - X, а x1, x 2,..., x N - ряд её отсчетов. Пусть наблюдаемые значения имеют нормальное распределение с математическим ожиданием µ, совпадающим с истинным значением, и некоторой дисперсией При фиксированном аргументе можно найти из уравнения:

X значение, дающее максимум L, L = 0, Тогда или 2. Вероятность того, что все отсчеты попадут в бесконеч но малый интервал [ x, x + ) по теореме умножения вероятностей рав2 N N + (x n = N n X) = 0.

на произведению вероятностей того, что каждый отсчет попадет в этот интервал:

= (x n = N n X) N.

P( X, ) = [ f ( x n ) ] = n = P, тем с большей вероятность наблюдаемые значения групP с аргументами X, пируются вокруг истинного значения. Функция N Чем больше называется правдоподобием эксперимента. Найдем, при какой связи X, с отсчетами x1, x 2,..., x N правдоподобие максимально. При исследовании функции на экстремум удобно использовать не саму функцию, а ее логарифм.

( 1 ) N 2 exp ( x n X ) (2 ) N Следовательно, максимально правдоподобная оценка стандартного квадратического отклонения равна выборочному среднему квадратическому отклонению отсчетов от истинного значения. Так как в процессе измерений истинное значение неизвестно, то полученная формула не пригодна для расчета погрешности. Выразим через < x > :

(x n = N n X) N + 2( < x > X ) = N (x n =1 n N n < x > + < x > X) N < x >) + (< x > X ).

= (x n = N n < x >) N + L = ln( P N ) = ( N / 2) ln(2 ) N ln( ) ( x n X ) n = N (x n = (2 ).

N При фиксированном значении L = 0, X максимум L достигается при т.е.

N В этом выражении второе слагаемое равно нулю. Рассмотрим третье слагаемое:

(x n = N n X ) = 0.

Из последнего уравнения находим (< x > X ) = X= x n = N (x n X ) n1 = = = 2 N n N =< x >.

(x n = N n X) Следовательно, выборочное среднее значение есть максимально прав доподобная оценка истинного значения измеряемой величины.

Второе слагаемое полученного выражения равно нулю при N, т.к. отклонения наблюдаемых значений от истинного встречаются с разными знаками одинаково часто. Следовательно N + (x n X )(x m X ).

n =1 m = N N N lim ( xn X ) n = N N = lim (x n =1 N N n < x >) N ( N 1).

Величина Sx = (x n = n < x >) < x >1 < x > 2 + 12 22. < x >= 1 1 + 12 22 < x> < x> 12 + 22 Дисперсия этой оценки = < x > 1 < x > 2 2 N называется выборочным средним квадратическим отклонением оди ночного наблюдения, которое в пределе дает максимально правдоподобную оценку стандартного квадратического отклонения:

или = lim S x.

При конечном значении N S x. Выборочное среднее является суммой N нормально распределенных случайных величин, имеющих одинаковую дисперсию. Оно представляет случайную величину с дисперсией в N раз меньшей, чем дисперсия слагаемых. Поэтому выборочное среднее квадратическое отклонение среднего N 2 = (1 12 + 1 22 ).

7.3. Доверительный интервал для математического ожидания Как было показано, наилучшей оценкой математического ожидания µ является выборочное среднее значение < x >, которое представляет собой случайную нормально распределенную величину с плотностью вероятности S в N раз меньше чем S x т.е. S = Sx N.

f ( x µ, N ). Доверительным интервалом для µ называется интервал [ µ x, µ + x ], в который с вероятностью Доверительная вероятность µ + x F ( x ) = P ( x µ x ) = 7.2. Взвешенное среднее значение Если получены две независимые точечные оценки < x > 1 и < x > 2 одного и того же истинного значения (математического ожидания) с разными дисперсиями 1 и, 2 то наилучшую оценку < x > общего математического ожидания можно найти с помощью принципа максимального правдоподобия:

2 12 L Наилучшую оценку находим из уравнения = 0, т.е. X (< x >1 X ) + (< x > 2 X ) = 0 2 12 Тогда L = ln(2 ) ln 1 ln () () (< x > X) (< x > 2 X).

сформулировать иначе. Пусть задана доверительная вероятность, с которой доверительный интервал шириной 2x покрывает неизвестное математическое ожидание µ. В этом случае границы доверительного интервала являются случайными. Для их определения необходимо из функции распределения ис попадает µ. Вероятность называют доверительной вероятностью. По заданному значению всегда можно рассчитать 2x доверительного ширину µ интервала, если известны значеx ния µ и (рис.15). 2x При обработке результатов измерений значения µ и Доверительный Рис. 15. неизвестны, а могут быть вычисинтервал лены лишь их оценки < x > и S< x >. Поэтому задачу построения доверительного интервала необходимо Плотность вероятности f (x) µ x f (x µ, N )dx ключить неизвестный параметр µ. Используем линейное преобразование:

8. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ 8.1. Нормальное распределение результатов измерений некоррелированных величин.

ожиданием и единичной дисперсией. Тогда < x > µ N. Случайная случайной величины < x >, где < x > = < x> величина распределена по нормальному закону с нулевым математическим = = вательно, и x / < x > x / < x > f (t 0,1 )dt.

, следо Пусть u = f (x, y ) функциональная зависимость между измеряемой величиной u и величинами x, y, значения которых найдены прямыми измерениями. Пусть величины x, y распределены по нормальному закону, имеют математические ожидания 2 2 ax, a y и дисперсии x, y и статистически не Во многих случаях обработки результатов измерений дисперсия связаны между собой. Разложим функцию сти точки f (x, y ) в ряд Тейлора в окрестно < x > так же неизвестны. Поэтому при обработке используют их < x > µ оценки S x, S< x > и =. В результате случайная величина буS < x> дет распределена не по нормальному закону, а по, так называемому, закону Стьюдента с плотностью распределения ax, a y : ax, a y. Полученное выражение f ( x, y ) f (a x, a y ) + ( f x ) ( x a x ) + ( f y ) ( y a y ), частные производные вычисляются в точке представляет собой сумму трех слагаемых. Первое из них детерминированная величина. Два других произведение детерминированной величины на разность случайной нормально распределенной величины и детерминированной. Согласно свойствам нормального распределения результат косвенных измерений u будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием f ( x 0,1, N ), зависящей от числа N измерений величины x. В этом случае доверительная вероятность и ширина доверительного интервала связаны соотношением = x / S < x > Решение последнего уравнения относительно x представляют в виде: где функцию от доверительной вероятности и числа измерений x / S < x > f (t 0,1, N )dt.

< u >= f (a x, a y ) и дисперсией 2 2 u2 = ( f x )2 x +( f y )2 y.

пределением. В этом случае коэффициент доверия можно определить по таблицам распределения Гаусса.

t (, N ) называют коэффициентом доверия (коэффициентом Стьюдента). Значения t (, N ) в зависимости от и N приведены в приложении 1. При N (практически при N > 20 ) распределение Стьюдента совпадает с нормальным рас x = t (, N ) S< x >, Следовательно, при нормальном законе распределения аргументов косвенно измеряемой функции справедливо правило квадратичного суммирования погрешностей u = ( x )2 + ( y )2 +....

8.2. Произвольное распределение результатов измерений. Теперь не будем предполагать, что ошибки измерений аргументов нормально распределены и статистически не связаны. Однако будем считать попрежнему, что оценкой истинного значения является среднее арифметическое, а мерой погрешности их дисперсия. Тогда из разложения функции f x, y в ряд Тейлора находим, как и ранее, ( ) < u >=< f ( x, y ) >= f ( a x, a y ).

Дисперсия ПРИЛОЖЕНИЕ 1.

u2 = 1 (( f x ) ( x a x ) + ( f y ) ( y a y ) ) = N n = N 2 2 Коэффициент доверия (Стьюдента) Число изм. N 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 >20 Надежность 0.5 1 0.82 0.77 0.74 0.73 0.72 0.71 0.71 0.70 0.69 0.67 0.9 6.3 2.9 2.4 2.1 2.0 1.9 1.9 1.9 1.8 1.7 1.6 0.95 12.7 4.3 3.2 2.8 2.6 2.4 2.4 2.3 2.3 2.1 2.0 0.98 31.8 7.0 4.5 3.7 3.4 3.1 3.0 2.9 2.8 2.5 2.5 0.99 63.7 9.9 5.8 4.6 4.0 3.7 3.5 3.4 3.2 2.8 2.8 0.999 636.6 31.6 12.9 8.6 6.9 6.0 5.4 5.0 4.8 3.8 3. 1N 1N 2 = ( f x ) (x a x ) + ( f y ) (y a y ) + N n =1 N n=1 1N (x a x ) (y a y ). N n =1 Учитывая определение дисперсии аргументов x, y, получаем + 2 ( f x ) ( f y ) 2 2 u2 = ( f x )2 x + ( f y )2 y + 2 ( f x ) ( f y ) xy, где величина xy = 1N (x a x ) (y a y ). N n= называется ковариацией (корреляционным моментом) и характеризует степень статистической связи аргументов x, y. Если статистическая связь отсутствует, т.е. погрешности величины зависимы (не коррелированны), то ПРИЛОЖЕНИЕ 2.

x, y не xy = 0 и Формулы погрешностей косвенных измерений Функциональная Абсолютная Относительная связь погрешность погрешность u= x+y u = x + y u = x + y u = y x + x y u = u u u = u u u = u u u = u x u = x u = cos( x ) x u = sin( x ) x u = x cos 2 ( x ) u = x sin2 ( x ) 2 2 u2 = ( f x )2 x +( f y )2 y, u = ( x + y ) ( x + y ) u = ( x + y ) ( x y ) u = x + y u = x + y u = n x u =x n u = x u =x u u = ctg ( x ) x u = tg ( x ) x u = 2 x sin( 2 x ) u = 2 x sin( 2 x ) т.е. по-прежнему справедливо правило квадратического суммирования погрешностей как и в случае нормального распределения. Если такая зависимость погрешностей имеет место, то с учетом неравенства Шварца 2 u xy x y, получаем 2 2 x u= u= u= u= xy xy xy xn ( f x ) + ( f y ) + 2 ( f x ) ( f y ) x y = = ( f x ) x + ( f y ) y [ ] 2 y, Следовательно, при наличии корреляции между погрешностями аргументов погрешности суммируются по модулю, а не квадратично, т.е.

u = x + y +....

Это выражение дает верхний предел для погрешностей с произвольным законом распределения как при наличии, так и при отсутствии их статистической связи.

u=n x u = ex u = ln( x ) u = sin( x ) u = cos( x ) u = tg ( x ) u = ctg( x ) ПРИЛОЖЕНИЕ ПРИЛОЖЕНИЕ 4 Вероятность того, что результаты N измерений двух некоррелированных случайных величин дадут коэффициент корреляции больше граничного (r>r0) Число изм.

Отбор промахов по критерию Шовене Z 1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14 1.16 1.18 1.20 1.22 1.24 1.26 1.28 1.30 1.32 1.34 1.36 1.38 M 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 Z 1.40 1.42 1.44 1.46 1.48 1.50 1.52 1.54 1.56 1.58 1.60 1.62 1.64 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 1.76 1.78 M 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 6 6 7 Z 1.80 1.82 1.84 1.86 1.88 1.90 1.92 1.94 1.96 1.98 2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12 2.14 2.16 2.18 M 7 7 8 8 8 9 9 10 10 10 11 12 12 13 13 14 15 16 16 17 Z 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30 2.32 2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46 2.48 2.50 2.52 2.54 2.56 2.58 M 18 19 20 21 22 23 25 26 27 29 30 32 34 36 38 40 43 45 48 51 Z 2.60 2.62 2.64 2.66 2.68 2.70 2.72 2.74 2.76 2.78 2.80 2.82 2.84 2.86 2.88 2.90 2.92 2.94 2.96 2.98 M 54 57 60 64 68 72 77 81 87 92 98 104 111 118 126 134 143 152 163 Граничное значение r0 коэффициента корреляции r 0.1 94 90 87 85 83 81 80 78 77 76 75 73 72 71 70 69 68 67 63 60 57 54 49 0.2 87 80 75 70 67 63 61 58 56 53 51 49 47 46 44 43 41 40 34 29 25 22 16 0.3 81 70 62 56 51 47 43 40 37 34 32 30 28 26 24 23 21 20 15 11 8 6 3 0.4 74 60 50 43 37 33 29 25 22 20 18 16 14 12 11 10 9 8 5 3 2 1 0 0.5 67 50 39 31 25 21 17 14 12 10 8 7 6 5 4 3 3 2 1 1 0 0 0 0.6 59 40 28 21 15 12 9 7 5 4 3 2 2 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0.7 51 30 19 12 8 5 4 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.8 41 20 10 6 3 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.9 29 10 4 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.99 9 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 N 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 30 35 40 Z= x x Sx - относительное отклонение случайной величины x от её среднего значения в единицах среднеквадратического отклонения, Z не может считаться промахом.

M - число ожидаемых измерений, начиная с которого отклонение ПРИЛОЖЕНИЕ 5.

Нониусы Нониусом называется специальная шкала, дополняющая масштаб обычной шкалы и позволяющая повысить точность измерений в 10-20 раз. Нониусы бывают линейные (например, штангенциркуль) и круговые (например, микрометр). Ниже рассмотрим принцип построения линейного нониуса, который представляет собой небольшую линейку, скользящую вдоль основной шкалы. Интервал b одного деления нониуса меньше k интервалов деления a основной шкалы на величину = k a b. Если принять = a N, где N целое, то длина N делений нониуса равна длине ЛИТЕРАТУРА 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. Брянский Л.Н., Дойников А.С. Краткий справочник метролога. М.: Издательство стандартов, 1991. Кушнир Ф.В., Савенко В.Г. Электрорадиоизмерения. Л.: Энергия, 1975. Тейлор Дж. Введение в теорию ошибок. М.: Мир, 1985. Сквайрс Дж. Практическая физика. М.: Мир, 1971. Худсон Д. Статистика для физиков. М.: Мир, 1970. Кунце Х.-И. Методы физических измерений. М.: Мир, 1989. Тойберт П. Оценка точности результатов измерений. М.: Энергоатомиздат, 1988. Каленко С.Г., Соломахо Г.И. Практикум по физике. Механика. М.: Высш. шк., 1990. 9.

N k 1 делений основной шкалы, т.е. N b = (N k 1) a. Пусть длина D измеряемого предмета такая, что m a < D < (m + 1) a (см. рисунок). Если n ое деление нониуса совпадает с некоторым делением основной шкаn лы, то длина предмета D = m a + n = m + a. Следовательно, миN нимальное отличие длины предмета от целого числа делений основной шкалы, которое можно измерить по нониусу, равно и составляет N ю долю цены деления основной шкалы. Значение указывается как цена деления на измерительном приборе.

# # !

Кортнев А.В., Рублев Ю.В., Куценко А.Н. Практикум по физике. М.: Высш. шк., 1965.

n k a = n n b b m m + 0 1 2 3 4 5 =a N a n D = m a + ± D = 21,70 ± 0,05 мм КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ. Задание 1. Даны отсчеты значений постоянного тока I и активного сопротивления R, через которое протекает этот ток, снятые со шкал приборов известного класса точности. Получить результаты прямых измерений тока и сопротивления. Обеспечить надежность результатов измерений. 2. С помощью косвенных измерений найти значение мощности, рассеянной на сопротивлении и оценить его погрешность. 3. Задано предполагаемое теоретическое значение мощности P0Т. Сделать вывод о согласии результатов измерений мощности и ее теоретического значения. 4. Ранее получено экспериментальное значение мощности P0Э. Сделать вывод о согласии результатов данных косвенных измерений мощности и её предыдущего экспериментального значения. 5. Объединить результаты измерения мощности в данном опыте с результатом её предыдущего измерения P0Э.

Вариант 1 P0Т, P0Э, мВт мВт 450 450 ±80 95 I, мА R, Ом Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4 Вариант 5 P0Т, P0Э, P0Т, P0Э, P0Т, P0Э, P0Т, P0Э, Вт Вт Вт Вт мВт мВт мВт мВт 450 430 450 460 450 420 1.8 1.7 ±40 ±50 ±50 ±0.3 Надежность результатов измерений % 90 90 95 98 I, R, I, R, I, R, I, R, А Ом А Ом мА Ом мкА кОм Вариант 6 P0Т, P0Э, мВт мВт 1.8 1.6 ±0.3 98 I, мкА R, кОм Задание 2.

1. Даны результаты прямых измерений некоторых физических величин и уравнение их связи с другой физической величиной. 2. Найти значение этой величины и оценить его погрешность. Погрешность косвенных измерений определить двумя способами: 1) с помощью вычисления частных производных измеряемой величины по ее аргументам;

2) с помощью вычисления конечных приращений.

Вариант 1 Вариант Вариант a = (2.3 ± 0.2 ) м с t = ( 2.31 ± 0.05 ) c a t2 S= Вариант = (25 ± 1) I = (120 ± 10 )Вт м o R1 R = (23 ± 5 ) Ом R1 R 2 R1 + R Вариант = (12 ± 3) Ом I = I 0 cos R= Вариант L C = ( 10 ± 1 ) мГ = ( 100 ± 20 ) пФ 1 L C Вариант m = ( 12 ± 3 ) кг = ( 52.31 ± 0.05 ) Гц R = ( 201 ± 5 ) мм F = m (2 ) R F = ( 12 ± 3 ) кН v = ( 2.31 ± 0.05 ) м с R = ( 201 ± 5 ) мм m= F R v = 145 140 145 105 130 150 150 155 175 Амперметра 21.5 21.5 21.5 21.0 18.5 20.0 19.0 21.0 19.5 19. Омметра 14.1 14.4 15.7 14.7 15.1 16.5 14.2 15.0 16.3 16. Амперметра 1.55 1.65 2.05 1.90 1.80 2.55 2.10 2.05 2.00 1. Омметра 14.5 14.2 14.8 16.2 15.2 15.6 15.9 15.0 15.3 15. Амперметра 2.05 4 1.90 2.50 1.95 1.80 2.10 1.95 1.80 1. Омметра 150 150 155 155 155 140 130 165 105 Амперметра 20.0 22.5 19.5 17.0 17.5 18.0 19.0 20.0 19.0 19. Омметра 313 305 310 201 273 274 290 268 232 Амперметра 21.5 20.0 18.5 18.5 18.5 20.5 19.5 22.0 18.0 20. Омметра 311 342 284 313 337 256 331 275 311 Амперметра 18.0 12.0 17.0 20.0 20.5 22.5 18.5 19.5 21.0 20. Омметра Вариант Вариант V1 = (50 ± 1)л T = (301 ± 5)К Дж R = 8.3144 моль К p2 V1 V = (23 ± 5) Ом = (8.1 ± 0.1) 10- 3 м3 = (9.7 ± 0.1) 10- 3 м3 = p2 (V1 V2 ) Вариант L = ( 10 ± 1 ) мГ C = ( 100 ± 20 ) пФ U = ( 1.2 ± 0.5 ) В I =U C L V2 = (10 ± 1)л = 1.4 ± 0. p A = R T ln(V2 V2 ) Вариант Вариант m = ( 34. ± 8 ) кг = ( 32.31 ± 0.05 ) с F = m ( 2 ) R 2 L = ( 10 ± 1 ) мГ C = ( 100 ± 20 ) пФ = 1 LC R1 = ( 2.3 ± 0.2 ) МОм R 2 = ( 1.2 ± 0.3 ) М R= R1 R 2.5 200, мА 1 100, Ом 0.5 20, А 1 5, Ом 0.5 20, А Класс точности 1 2.5 Предел шкалы 5, 200, Ом мА R = ( 0.201 ± 0.005 ) м 1 100, Ом 0.5 400, мкА 1 50, кОм 0.5 400, А 1 50, кОм (R1 + R2 ) CОДЕРЖАНИЕ Вариант 13 Вариант 14 Вариант Стр.

ВИДЫ ИЗМЕРЕНИЙ. КЛАССИФИКАЦИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ………………………. 3 2. ОБРАБОТКА ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ………………………… 7 2.1. Инструментальная погрешность……………………………………. 7 2.2. Случайная погрешность……………………………………………… 7 2.3. Промахи………………………………………………………………. 11 3. ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ…………………… 13 4. ПРАВИЛА ОКРУГЛЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННЫХ ЧИСЕЛ……. 15 5. ПРИМЕРЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ….. 17 5.1. Обработка прямых измерений………………………………………. 17 5.2. Объединение результатов прямых измерений………………………18 5.3. Обработка результатов косвенных измерений……………………... 19 5.4. Обработка результатов косвенных измерений (сравнение методов расчета)………………………………………... 22 5.5. Обработка результатов косвенных измерений (анализ статистической связи погрешностей)……………………... 25 5. 6. Экспериментальная проверка закона инерции…………………….. 29 6. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СВОЙСТВА СЕРИИ НАБЛЮДЕНИЙ….35 6.1. Определения основных понятий…………………………………….. 35 6.2. Нормальное распределение………………………………………….. 37 7. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЯ НА ОСНОВЕ ЗАКОНА ГУАССА………………………………… 39 7.1. Точечные оценки математического ожидания и дисперсии………. 39 7.2. Взвешенное среднее значение………………………………………. 41 7.3. Доверительный интервал для математического ожидания…………42 8. РАСЧЕТ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЯХ……………………………………………………… 44 8.1. Нормальное распределение результатов измерений некоррелированных величин………………………………………... 44 8.2. Произвольное распределение результатов измерений……………...44 9. ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Коэффициент доверия (Стьюдента)………… 46 10. ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Формулы погрешностей косвенных измерений……………………………………... 46 11. ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Отбор промахов по критерию Шовене …….. 47 12. ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Вероятность коэффициентов корреляции……48 13. ПРИЛОЖЕНИЕ 5. Нониусы………………………………………. 49 14. ЛИТЕРАТУРА………………………………………………………. 50 15. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ……………………………………... 51 1.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.