WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |

«Серия учебных пособий Информатика в техническом университете !.". #$%&#'$( !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* Москва — 2000 Даны сведения по различным аспектам и видам обеспечения систем ...»

-- [ Страница 3 ] --

L$&#- %#*$1*., B4$/$*&#( основан на аппроксимации не производных, а самого решения V(z). Но поскольку оно неизвестно, то аппроксимация выполняется выражениями с неопределенными коэффициентами qi (3.34) U(z) = QТ(z), где QТ = (q1, q2,...qn)Т- вектор-строка неопре- %+,. 3.)). Примеры шаблонов для метода конечных разностей деленных коэффициентов, (z) — вектор-столбец %##"-'*)&*., (иначе опорных) функций, заданных так, что удовлетворяются граничные условия. При этом речь идет об аппроксимациях решения в пределах конечных элементов, а с учетом их малых размеров можно говорить об использовании сравнительно простых аппроксимирующих выражений U(z) (например, (z) — полиномы низких степеней). В результате подстановки U(z) в исходное дифференциальное уравнение и выполнения операций дифференцирования получаем систему невязок (3.35) (z, Q) = LU(z) - f(z) = L(QТ(z)) - f(z), из которой требуется найти вектор Q. Эту задачу (определение Q) решают одним из следующих методов: 1) /$&#- %#44#%)=';

, в котором, используя (3.35), формируют n уравнений с неизвестным вектором Q: L(QТ(zi)) - f(zi) = 0, i = 1, 2,...n, где n — число неопределенных коэффициентов;

2) /$&#- *)'/$*5>', %()-")&#(, основанный на минимизации квадратов невязок (3.35) в n точках или в среднем по рассматриваемой области;

3) /$&#- V)4$"%'*), с помощью которого минимизируются в среднем по области невязки со специально задаваемыми весовыми коэффициентами. Наибольшее распространение МКЭ получил в САПР машиностроения для анализа прочности объектов. Для этой задачи можно использовать рассмотренный подход, т.е. выполнить алгебраизацию исходного уравнения упругости (уравнения Ламе). Однако более удобным в реализации МКЭ оказался подход, основанный на вариационных принципах механики. E'Q 9 384@8://:6 :0:D+?: /.6:0+A.,742 384A04,-+. В качестве исходного положения принимают вариационный принцип Лагранжа (принцип потенциальной энергии), в соответствии с которым равновесное состояние, в которое может прийти система, характеризуется минимумом потенциальной энергии. Потенциальная энергия П определяется как разность энергии Э деформации тела и работы А массовых и приложенных поверхностных сил. В свою очередь &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! 3 Э = 0, %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M где T = (11, 22, 33, 12, 13, 23)T — вектор-строка деформаций, = (11, 22, 33, 12, 13, 23) — вектор-столбец напряжений, R — рассматриваемая область. Деформации ij можно выразить через перемещения (3.37) ij = 0,5(Wi /xj +Wj /xi), где Wi — перемещение вдоль оси,i, или в матричной форме = 0,5 SW, (3.38) где S — очевидный из (3.37) оператор дифференцирования. Деформации и напряжения связаны между собой с помощью матрицы D, характеризующей упругие свойства среды, которая представлена в табл. 3.5: = D. (3.39) Коэффициенты и µ, фигурирующие в таблице, называют постоянными Ламе, они выражают упругие свойства материала детали. M:BD+=: 3.5 Подставляя (3.39) и (3.38) в (3.36), получаем 0 0 0 0 +2µ T ST DSW dR, Э = 0,5 W 0 0 0 +2µ R R dR, T (3.36) Решением задачи должно быть поле перемеще0 ний W(X), где X = (x1, x2, x3). В соответствии с МКЭ 0 0 это решение аппроксимируется с помощью функций (3.34), которые применительно к совокупности конеч0 0 ных элементов представим в матричной форме: 0 0 U(X) = NQ, где N — матрица координатных функций, Q — вектор неопределенных коэффициентов. Заменяя W(X) на U(X), получаем Э = 0,5 где K = R +2µ 0 0 0 2µ 0 0 0 2µ 0 0 0 2µ Q R T NТ ST DSN Q dR = 0,5 QT((SN)Т DSN dR) Q = 0,5 QT K Q, R (3.40) (SN) M DSN dR — матрица жесткости.

В соответствии с принципом потенциальной энергии в состоянии равновесия имеем П/Q = Э/Q - А/Q = 0 или, дифференцируя (3.40), находим KQ = B, (3.41) где B = А/Q — вектор нагрузок. Таким образом, задача анализа прочности, согласно МКЭ, сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений (3.41). Матрица жесткости также оказывается сильно разреженной, поэтому для решения (3.41) применяют методы разреженных матриц.

+ - 0 B.F 6 9 0.. Одним из широко известных методов разреженных матриц является метод прогонки, применяемый в случае трехдиагональных матриц коэффициентов в системе алгебраических уравнений.

*-8<7-<8: 384@8:// :0:D+?: 34 E'Q 0: /+784<8490.. Основными частями программы анализа по МКЭ являются библиотеки конечных элементов, препроцессор, решатель и постпроцессор. C'24'#&$%' %#*$1*., B4$/$*&#( (КЭ) содержат модели КЭ — их матрицы жесткости. Очевидно, что модели КЭ будут различными для разных задач (анализ упругих или пластических деформаций, моделирование полей температур, электрических потенциалов и т.п.), разных форм КЭ (например, в двумерном случае — треугольные или четырехугольные элементы), разных наборов координатных функций. Исходные данные для 0"$0"#=$++#") — геометрическая модель объекта, чаще всего получаемая &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M из подсистемы конструирования. Основная функция препроцессора — представление исследуемой среды (детали) в сеточном виде, т.е. в виде множества конечных элементов. S$>)&$45 — программа, которая ассемблирует (собирает) модели отдельных КЭ в общую систему алгебраических уравнений (3.41) и решает эту систему одним из методов разреженных матриц. !#+&0"#=$++#" служит для визуализации результатов решения в удобной для пользователя форме. В машиностроительных САПР это графическая форма. Пользователь может видеть исходную (до нагружения) и деформированную формы детали, поля напряжений, температур, потенциалов и т.п. в виде цветных изображений, в которых палитра цветов или интенсивность свечения характеризуют значения фазовой переменной.

Мировыми лидерами среди программ конечно-элементного анализа являются программно-методические комплексы Nastran, Ansys, Nisa, Adina, Cosmos. Как правило, эти комплексы включают в себя ряд программ, родственных по математическому обеспечению, интерфейсам, общности некоторых используемых модулей. Эти программы различаются ориентацией на разные приложения, степенью специализации, ценой или выполняемой обслуживающей функцией. Например, в комплексе Ansys основные решающие модули позволяют выполнять анализ механической прочности, теплопроводности, динамики жидкостей и газов, акустических и электромагнитных полей. Во все варианты программ входят пре- и постпроцессоры, а также интерфейс с базой данных. Предусмотрен экспорт (импорт) данных между Ansys и ведущими комплексами геометрического моделирования и машинной графики.

3.5. E:-./:-+A.,74. 4B.,3.A.0+. :0:D+?: 0: H<07=+40:DF04-D4@+A.,74/ <8490.

E45.D+849:0+. + :0:D+? :0:D4@4916 <,-842,-9. На функционально-логическом уровне исследуют устройства, в качестве элементов которых принимают достаточно сложные узлы и блоки, считавшиеся системами на макроуровне. Поэтому необходимо упростить представление моделей этих узлов и блоков по сравнению с их представлением на макроуровне. Другими словами, вместо полных моделей узлов и блоков нужно использовать их макромодели. Вместо двух типов фазовых переменных в моделях функционально-логического уровня фигурируют переменные одного типа, называемые +'8*)4)/'. Физический смысл сигнала, т.е. его отнесение к фазовым переменным типа потока или типа потенциала, конкретизируют в каждом случае исходя из особенностей задачи. Основой моделирования аналоговых устройств на функционально-логическом уровне является использование аппарата передаточных функций. При этом модель каждого элемента представляют в виде уравнения вход-выход, т.е. в виде (3.42) Vвых = f(Vвх), где Vвых и Vвх — сигналы на выходе и входе узла соответственно. Если узел имеет более чем один вход и один выход, то в (3.42) скаляры Vвых и Vвх становятся векторами. Однако известно, что представление модели в виде (3.42) возможно только, если узел является безынерционным, т.е. в полной модели узла не фигурируют производные. Следовательно, для получения (3.42) в общем случае требуется предварительная алгебраизация полной модели. Такую алгебраизацию выполняют с помощью интегральных преобразований, например, с помощью преобразования Лапласа, переходя из временной области в пространство комплексной переменной ". Тогда в моделях типа (3.42) имеют место не оригиналы, а изображения сигналов Vвых(") и Vвх("), сами же модели реальных блоков стараются по возможности максимально упростить и представить их моделями типовых блоков (звеньев) из числа заранее разработанных библиотечных моделей. Обычно модели звеньев имеют вид Vвых(") = h(p)Vвх("), где h(p) — передаточная функция звена. В случае применения преобразования Лапласа появляются ограничения на использование нелинейных моделей, а именно: в моделях не должно быть нелинейных инерционных элементов. Другое упрощающее допущение при моделировании на функционально-логическом уровне — неучет влияния нагрузки на характеристики блоков. Действительно, подключение к выходу блока не&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M которого другого узла никак не влияет на модель блока (3.42). Собственно получение ММС из ММЭ оказывается вследствие принятых допущений значительно проще, чем на макроуровне: ММС есть совокупность ММЭ, в которых отождествлены сигналы на соединенных входах и выходах элементов. Эта ММС представляет собой систему алгебраических уравнений. Получение ММС проиллюстрируем простым примером (рис. 3.12), где показана система из трех блоков с передаточными функциями h1(p), h2(p) и h3(p). ММС имеет вид: V2 = h1(p)V1;

Vвых(p) = h2(p)V2;

V1 = Vвх(p) + h3(p)Vвых(p) или Vвых(p) =H(p)Vвх(p), где H(p) = h1(p) h2(p) / (1 - h1(p) h2(p) h3(p)) Таким образом, анализ сводится к следующим операциям: 1) заданную схему устройства представляют совокупностью звеньев и, если схема не полностью покрывается типовыми звеньями, то разрабатывают оригинальные модели;

2) формируют ММС из моделей звеньев;

3) применяют прямое преобразование Лапласа к входным сигналам;

4) решают систему уравнений ММС и находят изображения выходных сигналов;

5) с помощью обратного преобразования Лапласа возвращаются во временную область из области комплексной переменной ". E:-./:-+A.,7+. /45.D+ 5+,78.-016 <,-842,-9. Анализ дискретных устройств на функционально-логическом уровне требуется прежде всего при проектировании устройств вычислительной техники и цифровой автоматики. Здесь дополнительно к допущениям, принимаемым при анализе аналоговых устройств, используют дискретизацию сигналов, причем базовым является двузначное представление сигналов. Удобно этими двумя возможными значениями сигналов считать “истину”(иначе 1) и “ложь”(иначе 0), а сами сигналы рассматривать как булевы величины. Тогда для моделирования можно использовать аппарат математической логики. Находят применение также трех- и более значные модели. Смысл значений сигналов в многозначном моделировании и причины его применения будут пояснены ниже на некоторых примерах. Элементами цифровых устройств на функционально-логическом уровне служат элементы, выполняющие логические функции и возможно функции хранения информации. Простейшими элементами являются дизъюнктор, конъюнктор, инвертор, реализующие соответственно операции дизъюнкции (ИЛИ) y = a or b, конъюнкции (И) y = a and b, отрицания (НЕ) y = not a, где y- выходной сигнал, a и b — входные сигналы. Число входов может быть и более двух. Условные схемные обозначения простых логических элементов показаны на рис. 3.13. Математические модели устройств %+,. 3.)3. Условные обозначения логических элементов на схемах представляют собой систему математических моделей элементов, входящих в устройство, при отождествлении сигналов, относящихся к одному и тому же соединению элементов. Различают синхронные и асинхронные модели. :'*,"#**)9 модель представляет собой систему логических уравнений, в ней отсутствует такая переменная как время, синхронные модели используют для анализа установившихся состояний. Примером синхронной модели может служить следу%+, 3.)4. Схема RS-триггера %+,. 3.)2. Пример схемы из трех блоков &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M ющая система уравнений, полученная для логической схемы триггера (рис. 3.14): B = not (R and C);

Q = not (B and P);

P = not (A and Q);

A = not (S and C). K+'*,"#**.$ /#-$4' отражают не только логические функции, но и временные задержки в распространении сигналов. Асинхронная модель логического элемента имеет вид (3.43) y(t+tзд) = f(X(t)), где tзд — задержка сигнала в элементе;

f — логическая функция. Запись (3.43) означает, что выходной сигнал y принимает значение логической функции, соответствующее значениям аргументов X(t), в момент времени t+tзд. Следовательно, асинхронные модели можно использовать для анализа динамических процессов в логических схемах. Термины синхронная и асинхронная модели можно объяснить ориентированностью этих моделей на синхронные и асинхронные схемы соответственно. В синхронных схемах передача сигналов между цифровыми блоками происходит только при подаче на специальные синхровходы тактовых (синхронизирующих) импульсов. Частота тактовых импульсов выбирается такой, чтобы к моменту прихода синхроимпульса переходные процессы от предыдущих передач сигналов фактически закончились. Следовательно, в синхронных схемах расчет задержек не актуален, быстродействие устройства определяется заданием тактовой частоты. Синхронные модели можно использовать не только для выявления принципиальных ошибок в схемной реализации заданных функций. С их помощью можно обнаруживать места в схемах, опасные, с точки зрения, возникновения в них искажающих помех. Ситуации, связанные с потенциальной опасностью возникновения помех и сбоев, называют "'+%)/' +2#9. Различают статический и динамический риски сбоя. Статический риск сбоя иллюстрирует ситуация рис. 3.15, если на два входа элемента И могут приходить перепады сигналов в противоположных направлениях, как это показано на рис. 3.15,2. Если вместо идеального случая, когда оба перепада приходят в момент времени Т, перепады вследствие разброса задержек придут неодновременно, причем так, как показано на рис. 3.15,б, то на выходе эле%+,. 3.)5. Статический риск сбоя: мента появляется импульс помехи, который может иска:

- схема;

B - диаграмма сигналов зить работу всего устройства. Для устранения таких рисков сбоя нужно уметь их выявлять. С этой целью примеM:BD+=: 3.6. няют трехзначное синхронное моделирование. При этом тремя возможными знаОперация чениями сигналов являются 0, 1 и, И ИЛИ НЕ причем значение интерпретируется как неопределенность. Правила выпол01 01 01 нения логических операций И, ИЛИ, НЕ в трехзначном алфавите очевидны 0 000 01 10 из рассмотрения табл. 3.6. В ней вторая 0 1 строка отведена для значений одного аргумента, а первый столбец — для 1 111 01 значений второго аргумента, значения функций представлены ниже второй строки и правее первого столбца. При анализе рисков сбоя на каждом такте вместо однократного решения уравнений модели производят двукратное решение, поэтому можно говорить об исходных, промежуточных (после первого решения) и итоговых (после второго решения) значениях переменных. Для входных сигналов допустимы только такие последовательности исходных, промежуточных и итоговых значений: 0-0-0, 1-1-1, 0--1, 1--0. Для других переменных появление последовательности 0--0 или 1--1 означает неопределенность во время переходного процесса, т.е. возможность статического риска сбоя. &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M Для простейшей схемы (рис. 3.15,)) результаты трехзначного моделирования представлены в табл. 3.7.

M:BD+=: 3. Динамический риск сбоя иллюстрируют 1 0 0 схема и временные диаграммы рис. 3.16. Сбой исходные выражается в появлении вместо одного пере- промежуточные пада на выходе, что имеет место при правиль0 1 0 ном функционировании, нескольких перепа- итоговые дов. Обнаружение динамических рисков сбоя также выполняют с помощью двукратного решения уравнений модели, но при использовании пятизначного алфавита с множеством значений {0, 1,,, }, где интерпретируется как положительный перепад, — как отрицательный перепад, остальные символы имеют прежний смысл. В отсутствие сбоев последовательности значений переменных в исходном, промежуточном и итоговом состояниях могут быть такими: 0-0-0, 1-1-1, %+,. 3.)6. Динамический риск сбоя 0--1, 1--0. Последовательности 0--1 или 1--0 указывают на динамический риск сбоя. Трехзначный алфавит можно использовать и в асинхронных моделях. Пусть в модели y(t+tзд) = f(X(t)) в момент времени t1 входы X(t1) таковы, что в момент времени t1+tзд происходит переключение выходного сигнала y. Но если учитывать разброс задержек, то tзд принимает некоторое случайное значение в диапазоне [tзд min, tзд max] и, следовательно, в модели в интервале времени от t1+tзд min до t1+tзд max сигнал y должен иметь неопределенное значение Д. Именно это и достигается с помощью трехзначного асинхронного моделирования. E.-451 D4@+A.,74@4 /45.D+849:0+>. В отношении асинхронных моделей возможны два метода моделирования — пошаговый (инкрементный) и событийный. В 0#>)8#(#/ /$&#-$ время дискретизируется и вычисления по выражениям модели выполняются в дискретные моменты времени t0, t1, t2... и т.д. Шаг дискретизации ограничен сверху значением допустимой погрешности определения задержек и потому оказывается довольно малым, а время анализа значительным. Для сокращения времени анализа используют +#2.&';

*.;

/$&#-. В этом методе событием называют изменение любой переменной модели. Событийное моделирование основано на следующем правиле: #2")A$*'$ % /#-$4' 4#8'1$+%#8# B4$/$*&) 0"#'+,#-'& -%# ( &#/ +471)$, $+4' *) (,#-), B# B4$/$*&) 0"#'6#>4# +#2.&'$. В сложных логических схемах на каждом такте синхронизации обычно происходит переключение всего лишь 2-3% логических элементов и, соответственно, в событийном методе в несколько раз уменьшаются вычислительные затраты по сравнению с пошаговым моделированием. Методы анализа синхронных моделей представляют собой методы решения систем логических уравнений. К этим методам относятся метод простых итераций и метод Зейделя, которые аналогичны одноименным методам решения систем алгебраических уравнений в непрерывной математике.

Применение этих методов к моделированию логических схем удобно проиллюстрировать на примере схемы триггера (см. рис. 3.14). В табл. 3.8 представM:BD+=: 3.8 лены значения переменных модели в исR S C B Q P A ходном состоянии и после каждой итера- Итерация ции в соответствии с методом простых Предыдущее состояние 0 0 0 1 1 0 1 итераций. В исходном состоянии задают 0 1 1 1 1 0 1 начальные (возможно произвольные) зна- Исходные значения (итерация 0) чения промежуточных и выходных пере- Итерация 1 0 1 1 1* 1 0 0* менных, в данном примере это значения Итерация 2 0 1 1 1 1 1* 0 переменных B, Q, P, A, соответствующие предыдущему состоянию триггера. Но- Итерация 3 0 1 1 1 0* 1 0 вое состояние триггера должно соответИтерация 4 0 1 1 1 0 1* 0 ствовать указанным в таблице изменив Значения a B y &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M шимся значениям входных сигналов R, S и C. Вычисления заканчиваются, если на очередной итерации изменений переменных нет, что и наблюдается в данном примере на четвертой итерации.

Согласно методу простых итераций, в правые части уравнений модели на каждой итерации подставляют значения переменных, полученные на предыдущей итерации. В отличие от этого в методе Зейделя, если у некоторой переменной обновлено значение на текущей итерации, то именно его и используют в дальнейших вычислениях уже на текущей итерации. Метод Зейделя позволяет сократить число итераций, но для этого нужно предварительно упорядочить уравнения модели так, чтобы последовательность вычислений соответствовала последовательности прохождения сигналов по схеме. Такое упорядочение выполняют с помощью ранжирования. S)*@'"#()*'$ заключается в присвоении элементам и переменным модели значений рангов в соответствии со следующими правилами: 1) в схеме разрываются все контуры обратной связи, что приводит к появлению дополнительных входов схемы (псевдовходов);

2) все внешние переменные (в том числе на псевдовходах) получают ранг 0;

3) элемент и его выходные переменные получают ранг k, если у элемента все входы проранжированы и старший среди рангов входов равен k-1.

Так, если в схеме (см. рис. 3.14) разорвать имеющийся контур обратной связи в цепи переменной Q и обозначить переменную на псевдовходе Q1, то ранги переменных оказываются следующими: R, S, C, Q1 имеют ранг 0, K и I — ранг 1, S — ранг 2 и Q — ранг 3. В соответствии с этим переупорядочивают уравнения в модели триггера:

A = not (S and C). B = not (R and C);

P = not (A and Q);

Q = not (B and P).

Теперь уже на первой итерации по Зейделю получаем требуемый результат. Если разорвать контур обратной связи в цепи переменной P, то решение в данном примере будет получено после второй итерации, но это все равно заметно быстрее, чем при использовании метода простой итерации.

Для сокращения объема вычислений в синхронном моделировании возможно использование событийного подхода. По-прежнему обращение к модели элемента происходит, только если на его входах произошло событие.

Для триггера (см. рис. 3.14) применение событийности в рамках метода простых итераций приводит к сокращению объема вычислений: вместо 16-кратных обращений к моделям элементов, как это видно из табл. 3.8, происходит лишь 5кратное обращение. В табл. 3.8 звездочками помечены значения переменных, вычисляемые в событийном методе. Так, например, на итерации 0 имеют место изменения переменных S и C, поэтому на следующей итерации обращения происходят только к моделям элементов с выходами K и I.

3.6. E:-./:-+A.,74. 4B.,3.A.0+. :0:D+?: 0:,+,-./04/ <8490.

$,04901.,9.5.0+> +? -.48++ /:,,494@4 4B,D. Объектами проектирования на системном уровне являются такие сложные системы, как производственные предприятия, транспортные системы, вычислительные системы и сети, автоматизированные системы проектирования и управления и т.п. В этих приложениях анализ процессов функционирования систем связан с исследованием прохождения через систему потока 6)9(#% (иначе называемых &"$2#()*'9/' или &")*6)%&)/'). Разработчиков подобных сложных систем интересуют прежде всего такие параметры, как производительность (пропускная способность) проектируемой системы, продолжительность обслуживания (задержки) заявок в системе, эффективность используемого в системе оборудования. Заявками могут быть заказы на производство изделий, задачи, решаемые в вычислительной системе, клиенты в банках, грузы, поступающие на транспортировку и др. Очевидно, что параметры заявок, поступающих в систему, являются случайными величинами и при проектировании могут быть известны лишь их законы распределения и числовые характеристики этих распределений. Поэтому анализ функционирования на системном уровне, как правило, носит статистический характер. В качестве математического аппарата моделирования удобно принять теорию массового обслуживания, а в качестве моделей систем на этом уровне использовать +'+&$/. /)++#(#8# #2+47@'()*'9 (СМО). Типичными выходными параметрами в СМО являются числовые характеристики таких величин, как время обслуживания заявок в системе, длины очередей заявок на входах, время ожидания обслуживания в очередях, загрузка устройств системы, а также вероятность обслуживания в заданные сроки и т.п. В простейшем случае СМО представляет собой некоторое средство (устройство), называемое #2+47@'()

#2+47@'()*'9, а величину, выражающую преимущественное право на обслуживание, — 0"'#"'&$&#/. В 2$+0"'#"'&$&*., -'+='04'*), все транзакты имеют одинаковые приоритеты. Среди бесприоритетных дисциплин наиболее популярны дисциплины FIFO (первым пришел — первым обслужен), LIFO (последним пришел — первым обслужен) и со случайным выбором заявок из очередей. В 0"'#"'&$&*., -'+='04'*), для заявок каждого приоритета на входе ОА выделяется своя очередь. Заявка из очереди с низким приоритетом поступает на обслуживание, если пусты очереди с более высокими приоритетами. Различают приоритеты абсолютные, относительные и динамические. Заявка из очереди с более высоким )2+#4<&*./ 0"'#"'&$&#/, поступая на вход занятого ОА, прерывает уже начатое обслуживание заявки более низкого приоритета. В случае #&*#+'&$45*#8# 0"'#"'&$&) прерывания не происходит, более высокоприоритетная заявка ждет окончания уже начатого обслуживания. Динамические приоритеты могут изменяться во время нахождения заявки в СМО. Исследование поведения СМО, т.е. определение временных зависимостей переменных, характеризующих состояние СМО, при подаче на входы любых требуемых в соответствии с заданием на эксперимент потоков заявок, называют '/'&)='#**./ /#-$4'"#()*'$/ СМО. Имитационное моделирование проводят путем воспроизведения событий, происходящих одновременно или последовательно в модельном времени. При этом под +#2.&'$/ понимают факт изменения значения любой фазовой переменной. Подход, альтернативный имитационному моделированию, называют )*)4'&'1$+%'/ '++4$-#()*'$/ СМО. Аналитическое исследование заключается в получении формул для расчета выходных параметров СМО с последующей подстановкой значений аргументов в эти формулы в каждом отдельном эксперименте. Модели СМО, используемые при имитационном и аналитическом моделировании, называются имитационными и аналитическими соответственно. Аналитические модели удобны в использовании, поскольку для аналитического моделирования не требуются сколько-нибудь значительные затраты вычислительных ресурсов, часто без постановки специальных вычислительных экспериментов разработчик может оценить характер влияния аргументов на выходные параметры, выявить те или иные общие закономерности в поведении системы. Но, к сожалению, аналитическое исследование удается реализовать только для частных случаев сравнительно несложных СМО. Для сложных СМО аналитические модели если и удается получить, то только при принятии упрощающих допущений, ставящих под сомнение адекватность модели. Поэтому основным подходом к анализу САПР на системном уровне проектирования считают имитационное моделирование, а аналитическое исследование используют при предварительной оценке различных предлагаемых вариантов систем. Некоторые компоненты СМО характеризуются более чем одним входным и (или) выходным потоками заявок. Правила выбора одного из возможных направлений движения заявок входят в соответствующие модели компонентов. В одних случаях такие правила относятся к исходным данным (например, выбор направления по вероятности), но в некоторых случаях желательно найти оптимальное управление потоками в узлах разветвления. Тогда задача моделирования становится более сложной задачей синтеза, характерными примерами являются маршрутизация заявок или синтез расписаний и планов. &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M C0:D+-+A.,7+. /45.D+ *E$. Как отмечено выше, аналитические модели СМО удается получить при довольно серьезных допущениях. К числу типичных допущений относятся следующие. Во-первых, как правило, считают, что в СМО используются бесприоритетные дисциплины обслуживания типа FIFO. Во-вторых, времена обслуживания заявок в устройствах выбираются в соответствии с экспоненциальным законом распределения. В-третьих, в аналитических моделях СМО входные потоки заявок аппроксимируются 0"#+&$;

>'/' потоками, т.е. потоками, обладающими свойствами стационарности, ординарности (невозможности одновременного поступления двух заявок на вход СМО), отсутствия последействия. В большинстве случаев модели СМО отображают процессы с конечным множеством состояний и с отсутствием последействия. Такие процессы называют %#*$1*./' /)"%#(+%'/' =$09/'. Марковские цепи характеризуются множеством состояний S, матрицей вероятностей переходов из одного состояния в другое и начальными условиями (начальным состоянием). Удобно представлять марковскую цепь в виде графа, в котором вершины соответствуют состояниям цепи, дуги — переходам, веса дуг — вероятностям переходов (если время дискретно) или интенсивностям переходов ( если время непрерывно). Отметим, что интенсивностью перехода называют величину Vij = lim Pij(t1) / t1 при t1 0, где Pij(t1) — вероятность перехода из состояния Si в состояние Sj за время t1. Обычно принимается условие Vii = - Vij, j i что означает j= Vij = 0.

N (3.44) где N — число состояний. На рис. 3.17 приведен пример марковской цепи в виде графа с состояниями S1,...,S4, а в табл. 3.9 представлена матрица интенсивностей переходов для этого примера.

M:BD+=: 3. Состояние S1 S2 S %+,.3.)7. Пример марковской цепи S1 -V12-V13-V14 V21 0 S2 V12 -V21 0 V S3 V13 0 -V34 S4 V14 0 V34 -V S Большинство выходных параметров СМО можно определить, используя информацию о поведении СМО, т.е. информацию о состояниях СМО в установившихся (стационарных) режимах и об их изменениях в переходных процессах. Эта информация имеет вероятностную природу, что обусловливает описание поведения СМО в терминах вероятностей нахождения системы в различных состояниях. Основой такого описания, а следовательно, и многих аналитических моделей СМО являются 7")(*$*'9 O#4/#8#"#(). Уравнения Колмогорова можно получить следующим образом. Изменение вероятности Pi нахождения системы в состоянии Si за время t1 есть вероятность перехода системы в состояние Si из любых других состояний за вычетом вероятности перехода из состояния Si в другие состояния за время t1, т.е. Pi(t) = Pi(t+t1) - Pi(t) = Pji(t1)Pj(t) - Pik(t1)Pi(t), jJ kK (3.45) где Pi(t) и Pj(t) — вероятности нахождения системы в состояниях Si и Sj соответственно в момент времени t, а Pji(t1) и Pik(t1) — вероятности изменения состояний в течение времени t1;

произведение вида &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M Pji(t1)Pj(t) есть безусловная вероятность перехода из Sj в Si, равная условной вероятности перехода, умноженной на вероятность условия;

J и K — множества индексов инцидентных вершин по отношению к вершине Si по входящим и исходящим дугам на графе состояний соответственно. Разделив выражение (3.45) на t1 и перейдя к пределу при t0, получим t lim Pi(t)/t1 = (lim Pji/t1)Pj - (lim Pik/t1)Pi, j t0 k t откуда следуют уравнения Колмогорова dPi/dt = (Vji Pj ) - Pi Vik.

j k В стационарном состоянии dPi/dt = 0 и уравнения Колмогорова составляют систему алгебраических уравнений, в которой i-й узел представлен уравнением (VjiPj ) = Pi Vik.

j k (3.46) Прибавляя ViiPi к левой и правой частям уравнения (3.46) и учитывая (3.44), получаем j= (VjiPj ) = Pi Vik =0, k=1 N N N т.е.

(VjiPj ) = 0, j=1 где Pj — финальные вероятности. "8+/.8 :0:D+-+A.,742 /45.D+. Примером СМО, к которой можно применить аналитические методы исследования, является одноканальная СМО с простейшим входным потоком интенсивностью и длительностью обслуживания, подчиняющейся экспоненциальному закону обслуживания интенсивностью µ. Для этой СМО нужно получить аналитические зависимости среднего числа Nav заявок, находящихся в системе, среднюю длину Qav очереди к ОА, время ?av пребывания заявки в системе, время ?or ожидания в очереди. На рис. 3.18 представлен граф состояний рассматриваемой СМО, где Sk — состояние с k заявками в системе. Матрица интенсивностей представлена в табл. 3.10. Уравнения Колмогорова для установившегося режима имеют вид M:BD+=: 3.)0 P0 + µP1 = 0, Состояние S0 S1 S2 S3 S4... P0 - (l+µ)P1 + µP2 = 0, S0 0 0 0... - µP1 - (l+µ)P2 + P3 = 0, µP2 - (l+µ)P3 + P4 = 0, S1 0 0... --µ µ..... S2 0 0... --µ µ S3 S %+,.3.)8. Граф состояний 0 0...

0 0...

µ 0...

--µ µ...

--µ...

.........

...

Используя уравнения Колмогорова, можно выразить все PW, i = 1,2,3..., через P0. Получим P1 = P0/µ = aP0, P2 = ((l+µ)P1 - P0) / µ = (1+a)P1 - aP0 = a2P0;

P3 = (1+a)P2 - aP1 = a 2P1 = a3P0 и т.д. Здесь введено обозначение ) = /µ. Отметим также, что установившийся режим возможен только при ) < 1. &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! 3 Так как Pi = 1, то i= %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M P0 = 1 - Pi = 1 - P0 (a + a2 + a3 +...) = 1 / (1 + a + a2 + a3 +...) = 1 - a.

i= Теперь нетрудно получить и остальные требуемые результаты: Nav = Pk k = P1 + 2P2 + 3P3 +... = a (1-a) (1 + 2a + 3a2 +...) = a (1-a) / (1-a)2 = a / (1-a).

k= Qav = P2 + 2P3 + 3P4 +... = (k-1)Pk = P0 a2 ( 1 + 2a + 3a2 +...) = a2 / (1-a).

k= Времена пребывания в системе и очереди находятся из соотношений: Nav = Tav, Qav = Tor которые называют формулами Литтла: Tav = a / (1-a) / = 1 / (µ - ), Tor = a2 / (1-a) / = a / (µ - ). !/+-:=+4004. /45.D+849:0+. *E$. Для представления имитационных моделей можно использовать языки программирования общего применения, однако такие представления оказываются довольно громоздкими. Поэтому обычно применяют специальные языки имитационного моделирования на системном уровне. Среди языков имитационного моделирования различают языки, ориентированные на описание событий, средств обслуживания или маршрутов движения заявок (процессов). Выбор языка моделирования определяет структуру модели и методику ее построения. Ориентация на устройства характерна для функционально-логического и более детальных иерархических уровней описания объектов. Для описания имитационных моделей на системном уровне (такие модели иногда называют +$&$(./' '/'&)='#**./' /#-$49/' — СИМ) чаще используют языки, ориентированные на события или процессы. Примерами первых могут служить языки Симскрипт, SMPL и ряд других. К числу вторых относятся языки Симула, SOL, а также популярный язык GPSS. Языки имитационного моделирования реализуются в программно-методических комплексах моделирования СМО, имеющих ту или иную степень специализации. Так, комплексы на базе языка GPSS можно использовать во многих приложениях, но есть специализированные комплексы для моделирования вычислительных сетей, систем управления предприятиями и т.п. При использовании языков, ориентированных на процессы, в составе СИМ выделяются элементарные части и ими могут быть источники входных потоков заявок, устройства, накопители и узлы. D+*'% (,#-*#8# 0#&#%) 6)9(#% представляет собой алгоритм, в соответствии с которым вычисляются моменты tk появления заявок на выходе источника. Источники могут быть зависимыми и независимыми. В зависимых источниках моменты появления заявок связаны с наступлением определенных событий, например, с приходом другой заявки на вход некоторого устройства. Типичным независимым источником является алгоритм выработки значений tk случайной величины с заданным законом распределения. Q+&"#;

+&() в имитационной модели представлены алгоритмами выработки значений интервалов (длительностей) обслуживания. Чаще всего это алгоритмы генерации значений случайных величин с заданным законом распределения. Но могут быть устройства с детерминированным временем обслуживания или временем, определяемым событиями в других частях СИМ. Модель устройства отображает также заданную дисциплину обслуживания, поскольку в модель входит алгоритм, управляющий очередями на входах устройства. G)%#0'&$4' моделируются алгоритмами определения объемов памяти, занимаемых заявками, приходящими на вход накопителя. Обычно объем памяти, занимаемый заявкой, вычисляется как зна&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M чение случайной величины, закон и (или) числовые характеристики распределения может зависеть от типа заявки. Q64. выполняют связующие, управляющие и вспомогательные функции в имитационной модели, например, для выбора направлений движения заявок в СИМ, изменения их параметров и приоритета, разделения заявок на части, их объединения и т.п. Обычно каждому типу элементарной модели, за исключением лишь некоторых узлов, в программной системе соответствует определенная процедура (подпрограмма). Тогда СИМ можно представить как алгоритм, состоящий из упорядоченных обращений к этим процедурам, отражающим поведение моделируемой системы. В процессе моделирования происходят изменения модельного времени, которое чаще всего принимается дискретным, измеряемым в тактах. Время изменяется после того, как закончена имитация очередной группы событий, относящихся к текущему моменту времени tk. Имитация сопровождается накоплением в отдельном файле статистики таких данных, как количества заявок, вышедших из системы обслуженными и необслуженными, суммарное время занятого состояния для каждого из устройств, средние длины очередей и т.п. Имитация заканчивается, когда текущее время превысит заданный отрезок времени или когда входные источники выработают заданное число заявок. После этого производят обработку накопленных в файле статистики данных, что позволяет получить значения требуемых выходных параметров. *4B1-+2012 /.-45 /45.D+849:0+>. В программах имитационного моделирования СМО преимущественно реализуется +#2.&';

*.;

/$&#- организации вычислений. Сущность событийного метода заключается в отслеживании на модели последовательности событий в том же порядке, в каком они происходили бы в реальной системе. Вычисления выполняют только для тех моментов времени и тех частей (процедур) модели, к которым относятся совершаемые события. Другими словами, обращения на очередном такте моделируемого времени осуществляются только к моделям тех элементов (устройств, накопителей), на входах которых в этом такте произошли изменения. Поскольку изменения состояний в каждом такте обычно наблюдаются лишь у малой доли ОА, событийный метод может существенно ускорить моделирование по сравнению с инкрементным методом, в котором на каждом такте анализируются состояния всех элементов модели. Рассмотрим возможную схему реализации событийного метода имитационного моделирования. Моделирование начинается с просмотра операторов генерирования заявок, т.е. с обращения к моделям источников входных потоков. Для каждого независимого источника такое обращение позволяет рассчитать момент генерации первой заявки. Этот момент вместе с именем — ссылкой на заявку — заносится в список будущих событий (СБС), а сведения о генерируемой заявке — в список заявок (СЗ). Запись в СЗ включает в себя имя заявки, значения ее параметров (атрибутов), место, занимаемое в данный момент в СИМ. В СБС события упорядочиваются по увеличению моментов наступления. Затем из СБС выбирают совокупность сведений о событиях, относящихся к наиболее раннему моменту времени. Эта совокупность переносится в список текущих событий (СТС), из которого извлекаются ссылки на события. Обращение по ссылке к СЗ позволяет установить место в СИМ заявки А, с которой связано моделируемое событие. Пусть этим местом является устройство Х. Далее программа моделирования выполняет следующие действия ( рис. 3.19): 1) изменяет параметры состояния устройства Х;

например, если заявка А освобождает Х, а очередь к Х не была пуста, то в соответствии с заданной дисциплиной обслуживания из очереди к Х выбирается заявка В и поступает на обслуживание в Х;

2) прогнозируется время наступления следующего события, связанного с заявкой %+,. 3.)9. Иллюстрация событийного моделирования В, путем обращения к модели устройства Х, &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* ГЛАВА МАТЕМАТИчЕСКОЕ ОБЕСПЕчЕНИЕ АНАЛИЗА ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ в которой рассчитывается продолжительность обслуживания заявки В;

сведения об этом будущем событии заносятся в СБС и СЗ;

3) происходит имитация движения заявки А в СИМ по маршруту, определяемому заданной программой моделирования, до тех пор, пока заявка не придет на вход некоторого ОА;

здесь либо заявка задерживается в очереди, либо путем обращения к модели этого ОА прогнозируется наступление некоторого будущего события, связанного с дальнейшей судьбой заявки А;

сведения об этом будущем событии также заносятся в СБС и СЗ;

4) в файл статистики добавляются необходимые данные. После отработки всех событий, относящихся к моменту времени tk, происходит увеличение модельного времени до значения, соответствующего ближайшему будущему событию, и рассмотренный процесс имитации повторяется. Краткое описание языка GPSS. Язык GPSS (General Purpose Simulation System), ориентированный на процессы, реализован в ряде программ имитационного моделирования. Модель (программа) на языке GPSS представляет собой последовательность операторов ( их называют блоками), отображающих события, происходящие в СМО при перемещениях транзактов. Поскольку в интерпретаторах GPSS реализуется событийный метод, и в СМО может быть одновременно много транзактов, то интерпретатор будет попеременно исполнять разные фрагменты программы, имитируя продвижения транзактов в текущий момент времени до их задержки в некоторых устройствах или очередях. Операторы GPSS имеют следующий формат: <метка> <имя оператора> <поле операндов> [<комментарий>] причем метка может занимать позиции, начиная со второй, имя оператора — с восьмой, поле операндов — с девятнадцатой, комментарий обязательно отделяется от поля операндов пробелом. Поле операндов может быть пусто, иметь один или более операндов, обозначаемых ниже при описании блоков символами А, B, C,... Операндами могут быть идентификаторы устройств, накопителей, служебные слова и стандартные числовые атрибуты (СЧА). К СЧА относятся величины, часто встречающиеся в разных задачах. Это, например, АС1 — текущее время, FN — функция, P — параметр транзакта (каждый транзакт может иметь не более L параметров, обычно L =12), K — константа, RN1 — случайная величина, равномерно распределенная в диапазоне [0, 1], S — объем занятой памяти в накопителе, F — состояние устройства, Q — текущая длина очереди и др. При этом ссылки на идентификаторы записываются в виде <СЧА>$<идентификатор> например, Q$ORD означает очередь ORD или FN$COS — ссылка на функцию COS. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся операторы, сопровождая знакомство с ними простыми примерами моделей. Источники заявок обычно описываются блоком GENERATE A,B,C,D,E где А и В служат для задания интервалов между появлениями заявок, при этом можно использовать один из следующих вариантов: 1) интервал — равномерно распределенная в диапазоне [А-В, А+В] случайная величина;

2) интервал — значение функции, указанной в В, умноженной на А;

С — задержка в выработке первого транзакта;

D — число вырабатываемых источником заявок;

Е — приоритет заявок. Если D пусто, то число вырабатываемых транзактов неограничено. Например: GENERATE 6,FN$EXP,,15 Этот оператор описывает источник, который вырабатывает 15 транзактов с интервалами, равными произведению числа 6 и значения функции EXP;

GENERATE 36,12 Здесь число транзактов неограничено, интервалы между транзактами — случайные числа в диапазоне [24, 48]. Функции, на которые имеются ссылки в операторах должны быть описаны с помощью блока следующего типа M FUNCTION A,B за которым следует строка, начинающаяся с первой позиции И.П.НОРЕНКОВ. АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ 5@!"! X0,Y0/X2,Y2/X3,Y3/..../Xn,Yn %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M Здесь метка M — идентификатор функции, A — аргумент функции, B — тип функции, Xi и Yi — координаты узловых точек функции, заданной таблично. Например: EXP FUNCTION RN0,C02 0,0/0.2,0.22/0.4,0.50/0.5,0.6/0.6,0.92/... и т.д. Это описание непрерывной (С) функции EXP, заданной таблично 12-ю узловыми точками, аргументом является случайная величина (RN1), равномерно распределенная в диапазоне [0, 1];

или DDD FUNCTION *4,D6 0,2/2,5/3,00/4,20/5,08/6,02/7,9 Дискретная (D) функция ВВВ задана 6-ю узловыми точками, аргумент — четвертый параметр транзакта, возбудивший обращение к функции ВВВ. Тразакты могут порождаться и оператором размножения SPLIT A,B,C когда в него входит некоторый транзакт. При этом создается семейство транзактов, включающее основной (вошедший в блок) транзакт и А его копий. Основной транзакт переходит в следующий по порядку блок, а его копии переходят в блок с меткой В. Для различения транзактов параметр С основного транзакта увеличивается на 1, а транзактов-копий — на 2, 3, 4,... и т.д. Обратное действие — сборка транзактов выполняется операторами ASSEMBLE A согласно которому первый из вошедших в блок транзактов выйдет из него только после того, как в этот блок придут еще А-1 транзактов того же семейства, или оператором GATHER A отличающимся от предыдущего оператора тем, что из блока выходят все А транзактов. Оператор SEIZE A описывает занятие устройства А транзактом, а оператор RELEASE A освобождение устройства А от обслуживания. Задержка в движении транзакта по СМО описывается оператором ADVANCE A,B где А и В имеют тот же смысл, что и в операторе GENERATE. + - 0 B. - 7. Обслуживание транзакта в устройстве WST продолжительностью a единиц времени, где a — равномерно распределенная в диапазоне [7,11] случайная величина, описывается следующим фрагментом программы... SEIZE WST ADVANCE 9,2 RELEASE WST... Аналогично описывается занятие транзактом памяти в накопителе ENTER A,B &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M за исключением того, что здесь помимо имени накопителя (А) указывается объем занимаемой памяти (В). Освобождение В ячеек памяти в накопителе А выполняется оператором LEAVE A,B Для накопителей в модели нужно задавать общий объем памяти, что делается в следующем описании накопителя M STORAGE A где М — имя накопителя, А — объем памяти. Если транзакт приходит на вход занятого устройства или на вход накопителя с недостаточным объемом свободной памяти, то он задерживается в очереди к этому устройству или накопителю. Слежение за состоянием устройств и очередей выполняет интерпретатор. Но если в модели требуется ссылаться на длину очереди или собирать статистику по ее длине, то нужно явное указание этой очереди в модели. Делается это с помощью операторов входа в очередь QUEUE A и выхода из очереди DEPART A согласно которым очередь А увеличивается и уменьшается на единицу соответственно. Движение транзактов выполняется в естественном порядке, изменение этого порядка производится операторами перехода. Оператор условного перехода TEST XX A,B,C В соответствии с которым переход к оператору, помеченному меткой С, происходит, если не выполняется условие А ХХ В, где ХХ О {E,NE,L,LE,G,GE}, E- равно, NE — неравно, L — меньше, LE — меньше или равно, G — больше, GE — больше или равно (XX размещается в позициях 13 и 14). + - 0 B. - 2. Приходящие пользователи ожидают обслуживания, если длина очереди не более 4, иначе от обслуживания отказываются. Соответствующий фрагмент программы... TEST LE Q$STR,K4,LBL QUEUE STR SEIZE POINT DEPART STR ADVANCE 50,06 RELEASE POINT... LBL TERMINATE 0... В примере 2 использован оператор выхода транзактов из СМО TERMINATE A согласно которому из итогового счетчика вычитается число А. С помощью итогового счетчика задается длительность моделирования. В начале исполнения программы в счетчик заносится число, указанное в операнде А оператора START A,,C Моделирование прекращается, когда содержимое счетчика будет равно или меньше нуля. Операнд С — шаг вывода статистики на печать. + - 0 B. - 3. Общая структура программы на GPSS имеет вид SIMULATE <описания, в том числе функций и накопителей > <операторы, моделирующие движение транзактов> &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! START A,,C END. Оператор безусловного перехода TRANSFER,B %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M где В — метка оператора, к которому следует переход. Используется ряд других разновидностей оператора TRANSFER. Например: TRANSFER P,B,C Переход происходит к оператору с меткой, равной сумме значения параметра В транзакта и числа С. TRANSFER FN,B,C То же, но вместо параметра транзакта слагаемым является значение функции В. TRANSFER PICK,B,C Это оператор равновероятного перехода к операторам, метки которых находятся в интервале [B,C]. Важное место в СМО занимает переход по вероятности TRANSFER E,B,C где А — вероятность перехода к оператору с меткой С, переход к оператору с меткой В будет происходить с вероятностью 1 - А. + - 0 B. - 4. Заказы, поступающие в СМО в случайные моменты времени в диапазоне [20,40], выполняет сначала бригада WGR1, затем параллельно работают бригады WGR2 и WGR3, каждая над своей частью заказа. Заданы экспоненциальные законы для времен выполнения работ бригадами WGR1, WGR2 и WGR3 с интенсивностями 0,05, 0,1 и 0,125 соответственно. Моделирование нужно выполнить на временном отрезке, соответствующем выполнению 1000 заказов. Программа: SIMULATE EXP FUNCTION RN0,C02 0,0/.2,.22//.4,.50/.5,.6/.6,.92/.7,0.2/.8,0.60/.9,2.3/.95,3/.99,4.6/.999,6.9/0,0000 GENERATE 30,00 SEIZE WGR0 ADVANCE 20,FN$EXP RELEASE WGR0 SPLIT 0,MET0 SEIZE WGR2 ADVANCE 00,FN$EXP RELEASE WGR2 TRANSFER, MET2 MET0 SEIZE WGR3 ADVANCE 8,FN$EXP RELEASE WGR3 MET2 ASSEMBLE 2 %+,. 3.20. Функция TERMINATE 0 экспоненциального закона START 0000,,0000 распределения END В этом примере использован экспоненциальный закон распределения с плотностью P(t) = exp(-T), где — интенсивность. Функция распределения экспоненциального закона F(T) = p(t)dt = 1 - exp(-T).

0 T Из рис. 3.20 ясно, что поскольку искомыми являются значения b случайной величины ?, то, задавая значение a, как равномерно распределенной в диапазоне [0,1] случайной величины, по формуле &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M = (1/) ln(1/(1-)) (3.47) находим искомое значение. Именно в соответствии с (3.47) в операторах ADVANCE (см. пример 4) множителями были значения 1/. Приведем еще несколько операторов языка GPSS. Оператор изменения параметров транзактов ASSIGN A,B где А — номер параметра транзакта, В — присваиваемое ему значение. В операторе ASSIGN A+,B параметр А увеличивается на значение В, а в операторе ASSIGN A-,B уменьшается. Расширение возможностей управления движением транзактов достигается благодаря таким операторам, как LOGIC_X A который при Х = S устанавливает переключатель А в единичное состояние, а при X= R сбрасывает его в нулевое состояние;

GATE_XX A,B который при XX = LR и А = 1 или при ХХ = LS и А = 0 передает транзакт оператору с меткой В (или задерживает его в блоке GATE, если поле В пусто), а при других сочетаниях XX и А — направляет к следующему оператору. Вычислительный оператор M VARIABLE A присваивает переменной с номером М значение арифметического выражения А, например в операторе 3 VARIABLE K206-S$MEM2 переменной номер 3 присваивается разность числа 216 и объема занятой памяти в накопителе MEM2. Оператор синхронизации, имеющий, например, вид LBL MATCH NUMB задерживает приходящий в него транзакт до тех пор, пока в некоторой другой части модели в сопряженный оператор NUMB MATCH LBL не войдет транзакт того же семейства.

*.-+ ".-8+. :$&' !$&"' — аппарат для моделирования динамических дискретных систем (преимущественно асинхронных параллельных процессов). Сеть Петри определяется как четверка , где % и M — конечные множества позиций и переходов, I и $ — множества входных и выходных функций. Другими словами, сеть Петри представляет собой двудольный ориентированный граф, в котором 0#6'='9/ соответствуют вершины, изображаемые кружками, а 0$"$,#-)/ — вершины, изображаемые утолщенными черточками;

функциям I соответствуют дуги, направленные от позиций к переходам, а функциям $ — от переходов к позициям. Как и в системах массового обслуживания, в сетях Петри вводятся объекты двух типов: динамические — изображаются /$&%)/' (/)"%$")/') внутри позиций и статические — им соответствуют вершины сети Петри. Распределение маркеров по позициям называют /)"%'"#(%#;

. Маркеры могут перемещаться в сети. Каждое изменение маркировки называют +#2.&'$/, причем каждое событие связано с определенным переходом. Считается, что события происходят мгновенно и разновременно при выполнении некоторых условий. &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M Каждому условию в сети Петри соответствует определенная позиция. Совершению события соответствует +")2)&.()*'$ (возбуждение или запуск) перехода, при котором маркеры из входных позиций этого перехода перемещаются в выходные позиции. Последовательность событий образует моделируемый процесс. Правила срабатывания переходов (рис. 3.21), конкретизируют следующим образом: переход срабатывает, если для каждой из его входных позиций выполняется условие NiX Ki, где Ni — число маркеров в i-й входной позиции, Ki — число дуг, идущих от i-й позиции к переходу;

при срабатывании перехода число маркеров в i-й входной позиции уменьшается на Ki, а в j-й выходной позиции увеличивается на Mj, где Mj — число дуг, %+,.3.2). Фрагмент сети Петри связывающих переход с j-й позицией. На рис. 3.21 показан пример распределения маркеров по позициям перед срабатыванием, эту маркировку записывают в виде (2,2,3,1). После срабатывания перехода маркировка становится иной: (1,0,1,4). Можно вводить ряд дополнительных правил и условий в алгоритмы моделирования, получая ту или иную разновидность сетей Петри. Так, прежде всего полезно ввести модельное время, чтобы моделировать не только последовательность событий, но и их привязку ко времени. Это осуществляется приданием переходам веса — продолжительности (задержки) срабатывания, которую можно определять, используя задаваемый при этом алгоритм. Полученную модель называют ("$/$**#;

+$&5< !$&"'. Если задержки являются случайными величинами, то сеть называют +&#,)+&'1$+%#;

. В стохастических сетях возможно введение вероятностей срабатывания возбужденных переходов. Так, на рис. 3.22 представлен фрагмент сети Петри, иллюстрирующий конфликтную ситуацию — маркер в позиции p может запустить либо переход t1, либо переход t2. В стохастической сети предусматривается вероятностный выбор срабатывающего перехода в таких ситуациях. %+,.3.22. Конфликтная ситуация Если задержки определяются как функции некоторых аргументов, которыми могут быть количества маркеров в каких-либо позициях, состояния некоторых переходов и т.п., то сеть называют E7*%='#*)45*#;

. Во многих задачах динамические объекты могут быть нескольких типов, и для каждого типа нужно вводить свои алгоритмы поведения в сети. В этом случае каждый маркер должен иметь хотя бы один параметр, обозначающий тип маркера. Такой параметр обычно называют цветом;

цвет можно использовать как аргумент в функциональных сетях. Сеть Петри при этом называют =($&*#;

. Среди других разновидностей сетей Петри следует упомянуть '*8'2'&#"*.$ сети, характеризующиеся тем, что в них возможны запрещающие (ингибиторные) дуги. Наличие маркера во входной позиции, связанной с переходом ингибиторной дугой, означает запрещение срабатывания перехода. Введенные понятия поясним на следующих примерах.

+ - 0 B. - 7. Требуется описать с помощью сети Петри работу группы пользователей на единственной рабочей станции WS при заданных характеристиках потока запросов на пользование WS и характеристиках поступающих задач. Сеть Петри представлена на рис. 3.23. Здесь переходы связаны со следующими событиями: t1 — поступление запроса на использование WS, t2 — занятие станции, t3 — освобождение станции, t4 — выход обслуженной заявки;

позиция "4 используется для отображения состояния WS: если в "4 имеется метка, то WS свободна и пришедшая заявка вызывает срабатывание перехода t2;

пока эта заявка не будет обслужена, метки в "4 не будет, следовательно, пришедшие в позицию "1 запросы вынуждены ожидать сра%+,. 3.23. Сеть Петри для примера 1 батывания перехода t3. + - 0 B. - 2. Требуется описать с помощью сети Петри процессы возникновения и устранения неисправностей в некоторой технической системе, состоящей из L однотипных блоков;

в запасе имеется один исправный блок;

известны статистические данные об интенсивностях возникновения отказов и длительностях таких операций, как поиск неисправ &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M ностей, замена и ремонт отказавшего блока. На рис. 3.24 представлена соответствующая сеть Петри. Отметим, что при числе меток в позиции, равном L, можно в ней не ставить L точек, а записать в позиции значение L. В нашем примере значение L в позиции "2 соответствует числу имеющихся в системе блоков. Переходы отображают следующие события: t1 — отказ блока, t2 — поиск неисправного блока, t3 — его замена, t4 — окончание ремонта. Очевидно, что при непустой позиции "2 переход t1 срабатывает, но с задержкой, равной вычисленному случайному значению моделируемого отрезка времени меж%+,. 3.24. Сеть Петри для примера 2 ду отказами. После выхода маркера из t1 он попадает через "1 в t2, если имеется метка в позиции "6, это означает, что обслуживающая систему бригада специалистов свободна и может приступить к поиску возникшей неисправности. В переходе t2 метка задерживается на время, равное случайному значению длительности поиска неисправности. Далее маркер оказывается в "3 и, если имеется запасной блок (маркер в "4), то запускается переход t3, из которого маркеры выйдут в "2, "5 и в "6 через отрезок времени, требуемый для замены блока. После этого в t4 имитируется восстановление неисправного блока. Рассматриваемая модель описывает функционирование системы в условиях, когда отказы могут возникать и в рабочем, и в неисправном состояниях системы. Поэтому не исключены ситуации, при которых более чем один маркер окажется в позиции "1.

C0:D+?,.-.2 ".-8+. Анализ сложных систем на базе сетей Петри можно выполнять посредством имитационного моделирования СМО, представленных моделями сетей Петри. При этом задают входные потоки заявок и определяют соответствующую реакцию системы. Выходные параметры СМО рассчитывают путем обработки накопленного при моделировании статистического материала. Возможен и другой подход к использованию сетей Петри для анализа объектов, исследуемых на системном уровне. Он не связан с имитацией процессов и основан на исследовании таких свойств сетей Петри, как ограниченность, безопасность, сохраняемость, достижимость, живость. U8")*'1$**#+&5 (или O-#8")*'1$**#+&5) имеет место, если число меток в любой позиции сети не может превысить значения O. При проектировании автоматизированных систем определение O позволяет обоснованно выбирать емкости накопителей. Возможность неограниченного роста числа меток свидетельствует об опасности неограниченного роста длин очередей. C$6#0)+*#+&5 — частный случай ограниченности, а именно это 1-ограниченность. Если для некоторой позиции установлено, что она безопасна, то ее можно представлять одним триггером. :#,")*9$/#+&5 характеризуется постоянством загрузки ресурсов, т.е.

AiNi = const, где Ni — число маркеров в i-й позиции, Ai — весовой коэффициент. N#+&'@'/#+&5 Mk Mj характеризуется возможностью достижения маркировки Mj из состояния сети, характеризуемого маркировкой Mk. Y'(#+&5 сети Петри определяется возможностью срабатывания любого перехода при функционировании моделируемого объекта. Отсутствие живости означает либо избыточность аппаратуры в проектируемой системе, либо свидетельствует о возможности возникновения зацикливаний, тупиков, блокировок. В основе исследования перечисленных свойств сетей Петри лежит )*)4'6 -#+&'@'/#+&'. Один из методов анализа достижимости любой маркировки из состояния Eо — построение графа достижимости. Начальная вершина графа отображает Eо, а остальные вершины соответствуют маркировкам. Дуга из Ei в Ej означает событие Mi Mj и соответствует срабатыванию перехода t. В сложных сетях граф может содержать чрезмерно большое число вершин и дуг. Однако при построении графа можно не отображать все вершины, так как многие из них являются дублями (действительно, от маркировки Mk всегда порождается один и тот же подграф вне зависимости от того. из какого состояния система пришла в Ek). Тупики обнаруживаются по отсутствию разрешенных перехо&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M дов из какой-либо вершины, т.е. по наличию листьев — терминальных вершин. Неограниченный рост числа маркеров в какой-либо позиции свидетельствует о нарушениях ограниченности. Приведем примеры анализа достижимости.

+ - 0 B. - 7. Сеть Петри и граф достижимых разметок представлены на рис. 3.25. На рисунке вершины графа изображены в виде маркировок, дуги помечены срабатывающими переходами. Живость сети очевидна, так как срабатывают все переходы, тупики отсутствуют.

%+,. 3.25. Сеть Петри и ее граф достижимости для примера 1 + - 0 B. - 2. Сеть Петри и граф достижимых разметок представлены на рис. 3.26. Сеть, моделирующая двухпроцессорную вычислительную систему с общей памятью, является живой, все разметки достижимы.

%+,. 3.26. Сеть Петри и ее граф достижимости для примера 3.7. E:-./:-+A.,74. 4B.,3.A.0+. 345,+,-./ /:I+0042 @8:H+7+ + @.4/.-8+A.,74@4 /45.D+849:0+> '4/340.0-1 /:-./:-+A.,74@4 4B.,3.A.0+>. Подсистемы машинной графики и геометрического моделирования (МГиГМ) занимают центральное место в машиностроительных САПР-К. Конструирование изделий в них, как правило, проводится в интерактивном режиме при оперировании геометрическими моделями, т.е. математическими объектами, отображающими форму деталей, состав сборочных узлов и возможно некоторые дополнительные параметры (масса, момент инерции, цвета поверхности и т.п.). В подсистемах МГиГМ типичный маршрут обработки данных включает в себя получение проектного решения в прикладной программе, его представление в виде геометрической модели (геометрическое моделирование), подготовку проектного решения к визуализации, собственно визуализацию в аппаратуре рабочей станции и при необходимости корректировку решения в интерактивном режиме. Две последние операции реализуются на базе аппаратных средств машинной графики. Когда говорят о математическом обеспечении МГиГМ, имеют в виду прежде всего модели, методы и алгоритмы для геометрического моделирования и подготовки к визуализации. При этом часто именно математическое обеспечение подготовки к визуализации называют математическим обеспечением машинной графики. Различают математическое обеспечение двумерного (2D) и трехмерного (3D) моделирования. Основные применения 2D графики — подготовка чертежной документации в машиностроительных САПР, топологическое проектирование печатных плат и кристаллов БИС в САПР электронной про&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M мышленности. В развитых машиностроительных САПР используют как 2D, так и 3D моделирование для синтеза конструкций, представления траекторий рабочих органов станков при обработке заготовок, генерации сетки конечных элементов при анализе прочности и т.п. В 3D моделировании различают модели каркасные (проволочные), поверхностные, объемные (твердотельные). O)"%)+*)9 /#-$45 представляет форму детали в виде конечного множества линий, лежащих на поверхностях детали. Для каждой линии известны координаты концевых точек и указана их инцидентность ребрам или поверхностям. Оперировать каркасной моделью на дальнейших операциях маршрутов проектирования неудобно, и поэтому каркасные модели в настоящее время используют редко. !#($",*#+&*)9 /#-$45 отображает форму детали с помощью задания ограничивающих ее поверхностей, например, в виде совокупности данных о гранях, ребрах и вершинах. Особое место занимают модели деталей с поверхностями сложной формы, так называемыми +%7450&7"*./' 0#($",*#+&9/'. К таким деталям относятся корпуса многих транспортных средств (например, судов, автомобилей), детали, обтекаемые потоками жидкостей и газов (лопатки турбин, крылья самолетов), и др. U23$/*.$ /#-$4' отличаются тем, что в них в явной форме содержатся сведения о принадлежности элементов внутреннему или внешнему по отношению к детали пространству. В настоящее время применяют следующие подходы к построению геометрических моделей. 1. Задание граничных элементов — граней, ребер, вершин. 2. O'*$/)&'1$+%';

/$&#-, согласно которому задают двумерный контур и траекторию его перемещения;

след от перемещения контура принимают в качестве поверхности детали. 3. !#6'='#**.;

0#-,#-, в соответствии с которым рассматриваемое пространство разбивают на ячейки (позиции) и деталь задают указанием ячеек, принадлежащих детали;

очевидна громоздкость этого подхода. 4. Представление сложной детали в виде совокупностей 2)6#(., B4$/$*&#( E#"/. (БЭФ) и выполняемых над ними теоретико-множественных операций. К БЭФ относятся заранее разработанные модели простых тел, это, в первую очередь, модели параллелепипеда, цилиндра, сферы, призмы. Типичными теоретико-множественными операциями являются объединение, пересечение, разность. Например, модель плиты с отверстием в ней может быть получена вычитанием цилиндра из параллелепипеда. Метод на основе БЭФ часто называют /$&#-#/ %#*+&"7%&'(*#;

8$#/$&"''. Это основной способ конструирования сборочных узлов в современных САПР-К. В памяти ЭВМ рассмотренные модели обычно хранятся в векторной форме, т.е. в виде координат совокупности точек, задающих элементы модели. Выполнение операций конструирования также выполняется над моделями в векторной форме. Наиболее компактна модель в виде совокупности связанных БЭФ, которая преимущественно и используется для хранения и обработки информации об изделиях в системах конструктивной геометрии. Однако для визуализации в современных рабочих станциях в связи с использованием в них растровых дисплеев необходима ")+&$"'6)='9 — преобразование модели в растровую форму. Обратную операцию перехода к векторной форме, которая характеризуется меньшими затратами памяти, называют ($%&#"'6)='$;

. В частности, векторизация должна выполняться по отношению к данным, получаемым сканированием изображений в устройствах автоматического ввода. K.4/.-8+A.,7+. /45.D+. Важной составной частью геометрических моделей является описание поверхностей. Если поверхности детали — плоские грани, то модель может быть выражена достаточно просто определенной информацией о гранях, ребрах, вершинах детали. При этом обычно используется метод конструктивной геометрии. Представление с помощью плоских граней имеет место и в случае более сложных поверхностей, если эти поверхности аппроксимировать множествами плоских участков — полигональными сетками. Тогда можно поверхностную модель задать одной из следующих форм: 1) модель есть список граней, каждая грань представлена упорядоченным списком вершин (циклом вершин);

эта форма характеризуется значительной избыточностью, так как каждая вершина по&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M вторяется в нескольких списках. 2) модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вершины и грани. Однако аппроксимация полигональными сетками при больших размерах ячеек сетки дает заметные искажения формы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффективной по вычислительным затратам. Поэтому более популярны описания неплоских поверхностей кубическими уравнениями в форме Безье или I-сплайнов. Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав их применение для описания геометрических объектов первого уровня — пространственных кривых.

+ - 0 B.F 6 9 0.. Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровней называют соответственно точки, кривые, поверхности.

В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубические кривые x(t) = axt3 + bxt2 + cxt + dx, (3.48) y(t) = ayt3 + byt2 + cyt + dy, 3 + b t2 + c t + d, z(t) = azt z z z где 1 і t і 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т.е. аппроксимируемую кривую разбивают на сегменты и каждый сегмент аппроксимируют уравнениями (3.48). Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выбором четырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырех условий сопряжения сегментов. В случае кривых Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые точки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае I-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т.е. первой и второй производных) в двух концевых точках, что обеспечивает высокую степень “гладкости” кривой, хотя прохождение аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применение полиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления “волнистости”. В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых, подстановкой в (3.48) значений t=0 и t=1 и координат заданных концевых точек P1 и %4 соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производных dx/dt = 3axt2 + 2bx + cx, dy/dt = 3ayt2 + 2byt + cy, dz/dt = 3azt2 + 2bzt + cz, тех же значений t=0 и t=1 и координат точек %2 и %3, задающих направления касательных векторов (рис. 3.27). В результате для формы Безье получаем x(t) = TТMGx, y(t) = TТMGy, (3.49) ТMG, z(t) = T z где TТ = ( t3, t2, t, 1) — вектор-строка, матрица M представлена в табл. 3.11, Gx — вектор координат S,i точек P1, %2, %3 и %4, аналогично Gy, Gz — векторы координат Syi, Szi тех же точек. В случае I-сплайнов аппроксимируемая кривая делится на n участков, выделяемых последовательными точками P0, P1, P2,…Pn. Участок между парой соседних точек Pi и Pi+1 аппроксимируется I-сплайном, построенным с использованием четырех точек Pi-1, Pi, Pi+1, Pi+2. I-сплайн на -1/6 участке [Pi, Pi+1] может быть представлен выражениями, аналогич1/2 ными (3.49), x(t) = TТMGx, y(t) = TТMGy, z(t) = TТMGz, &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* %+,. 3.27.Кривая Безье M:BD+=: 3.)) -1 3 -3 3 -6 3 -3 3 0 1 0 0 M:BD+=: 3.) 1/2 -1 0 2/ -1/2 1/2 1/2 1/ 1/6 0 0 -1/2 1/ 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M для которых матрица E имеет иной вид и представлена в табл. 3.12, а векторы Gx, Gy, Gz содержат соответствующие координаты точек Pi-1, Pi, Pi+1, Pi+2.

Покажем, что в точках сопряжения для первой и второй производных аппроксимирующего выражения выполняются условия непрерывности, что требуется по определению I-сплайна. Обозначим участок аппроксимирующего В-сплайна, соответствующий участку [Pi, Pi+1] исходной кривой, через [Qi, Qi+1]. Тогда для этого участка и координаты, в точке сопряжения Qi+1 имеем t=1 и dx(t)/dt|t=1 = [3t2,2t,1,0]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = [3,2,1,0]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = (xi+2-xi) / 2;

d2x(t)/dt2|t=1 = [6t,2,0,0]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = [6,2,0,0]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = xi-2 xi+1+ xi+2. Для участка [Qi+1, Qi+2] в той же точке Qi+1 имеем t=0 и dx(t)/dt|t=0 = [0,0,1,0]*M*[xi, xi+1,xi+2, xi+3]T = (xi+2-xi) / 2, d2x(t)/dt2|t=0 = [0,2,0,0]*M*[ xi,,xi+1,xi+2, xi+3]T = xi-2 xi+1+ xi+2, т.е. равенство производных в точке сопряжения на соседних участках подтверждает непрерывность касательного вектора и кривизны. Естественно, что значение xq координаты x точки Qi+1 аппроксимирующей кривой на участке [Qi, Qi+1] xq = [1,1,1,1]*M*[xi-1,xi,xi+1,xi+2]T = (xi+4 xi+1+xi+2) / 6 равно значению xq, подсчитанному для той же точки на участке [Qi+1, Qi+2], но значения координат узловых точек xq и xi+1 аппроксимирующей и аппроксимируемой кривых не совпадают.

Аналогично можно получить выражения для форм Безье и I-сплайнов применительно к поверхностям с учетом того, что вместо (3.48) используются кубические зависимости от двух переменных. E.-451 + :D@48+-/1 /:I+0042 @8:H+7+ (345@4-497+ 7 9+?<:D+?:=++). К методам машинной графики относят методы преобразования графических объектов, представления (развертки) линий в растровой форме, выделения окна, удаления скрытых линий, проецирования, закраски изображений. !"$#2")6#()*'9 8")E'1$+%', #23$%&#( выполняются с помощью операций переноса, масштабирования, поворота. Перенос точки из положения % в новое положение * можно выполнять по формулам типа Cxi = Pxi +,i, где,i — приращение по координате xi. Однако удобнее операции преобразования представлять в единой матричной форме C = P M, (3.50) где M — преобразующая матрица. При этом точки C и P в двумерном случае изображают векторамистроками 13, в которых кроме значений двух координат, называемых при таком представлении однородными, дополнительно указывают масштабный множитель W. Тогда перенос для случая 2D можно выразить в виде (3.50), где M есть табл. 3.13, а W = 1. Для операций масштабирования и поворота матрицы M представлены в табл. 3.14 и 3.15 соответственно, где mx, my — масштабные множители, — угол поворота.

M:BD+=: 3.)3 M:BD+=: 3.)4 M:BD+=: 3.) 1 0, 0 1, 0 0 mx 0 0 my 0 0 cos -sin sin cos 0 0 Удобство (3.50) объясняется тем, что любую комбинацию элементарных преобразований можно описать формулой (3.50). Например, выражение для сдвига с одновременным поворотом имеет вид * = % Mсд Mпов = % M, где M = Mсд Mпов,,Mсд — матрица сдвига, Mпов — матрица поворота. !"$-+&)(4$*'$ 8")E'1$+%', B4$/$*&#( ( ")+&"#(#;

E#"/$ требуется для отображения этих элементов на битовую карту растровой видеосистемы. Пусть требуется развернуть отрезок AB прямой y = ax+b, причем 1 a 0. Введем обозначения: C = (xa, ya), ( = (xb, yb);

за величину дискрета (пик&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M села) примем единицу. В алгоритме развертки номера строк и столбцов карты, на пересечении которых должны находиться точки отрезка, определяются следующим образом: 1) x := xb - xa;

y := yb - ya;

x := xa;

y := y);

2) d = 2 y - x;

3) если d 0, то {y := y+1;

d := d + 2(y-x)};

иначе d := d + 2 y;

4) x := x + 1;

5) переход к пункту 3, пока не достигнута точка (. Этот же алгоритм с небольшими модификациями используется и при других значениях коэффициента a. Экономичность этого алгоритма обусловливается отсутствием длинных арифметических операций типа умножения. I.-$4$*'$ #%*) требуется при определении той части сцены, которая должна быть выведена на экран дисплея. Пусть окно ограничено линиями x = x1, x = x2, y = y1, y = y2 (рис. 3.28). Поочередно для каждого многоугольника проверяется расположение его вершин и ребер относительно границ окна. Так, для многоугольника ABCD (см. рис. 3.28) при отсечении по границе x = x2 просматривается множество вершин в порядке обхода по часовой стрелке. Возможны четыре ситуации для двух последовательных вершин P и R: 1) если xp > x2 и xR > x2, то обе вершины и инцидентное им ребро нахо%+,. 3.28. Выделение окна дятся вне окна и исключаются из дальнейшего анализа;

2) если xp x2 и xR x2, то обе вершины и инцидентное им ребро остаются для дальнейшего анализа;

3) если xp x2 и xR > x2, то вершина % остается в списке вершин, а вершина R заменяется новой вершиной с координатами x = x2, y = yp + (yR-yp)(x2-xP)/(xR-xP);

в нашем примере такой новой вершиной будет &;

4) если xp > x2 и xR x2, то вершина % заменяется новой вершиной с координатами x = x2, y = yR + (yP-yR)(x2-xR)/(xP-xR), а вершина R остается в списке вершин;

в нашем примере новой вершиной будет F. После окончания просмотра применительно ко всем границам в окне оказываются оставшиеся в списке вершины. Применяя эти правила в нашем примере, получаем сначала многоугольник AEFD, а после отсечения по верхней границе y = y2 — многоугольник AGFD (см. рис.3.28). Однако правильный результат несколько иной, а именно многоугольник AGHFD. Этот правильный результат получается при двойном обходе вершин сначала по часовой стрелке, затем против с включением в список новых вершин, появляющихся при каждом обходе. Применяют ряд алгоритмов 7-)4$*'9 +%".&., 4'*';

. Один из наиболее просто реализуемых алгоритмов — алгоритм z-буфера, где z-буфер — область памяти, число ячеек в которой равно числу пикселов в окне вывода. Предполагается, что ось z направлена по нормали к видовой поверхности и наблюдатель расположен в точке z = 0. В начале исполнения алгоритма все пикселы соответствуют максимальному значению z, т.е. максимальному удалению от наблюдателя, что приводит к помещению во все ячейки z-буфера значений пикселов фона картины (чертежа). Далее поочередно для всех точек граней рассчитываются значения координаты z. Среди точек, относящихся к одному и тому же пикселу (одной и той же ячейке z-буфера S), выбирается точка с наименьшим значением z и ее код (т.е. цвет и яркость) помещается в S. В итоге z-буфер будет содержать пикселы наиболее близких к наблюдателю граней. K48#"'&/. 0#+&"#$*'9 0"#$%=';

преобразуют трехмерные изображения в двумерные. В случае построения центральной проекции каждая точка трехмерного изображения отображается на картинную поверхность путем пересчета координат x и y (рис. 3.29). Так, координату xa’ точки C’ вычисля&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! 3 ют по очевидной формуле xa’ = xa d/z, %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M аналогично рассчитывается координата ya’ точки C’. В параллельных проекциях d и координаты x и y точек A’ и A совпадают. Поэтому построение параллельных проекций сводится к выделению окна, при необходимости к повороту изображения и возможно к удалению скрытых линий. Z)%")+%) /)&#(., 0#($",*#+&$;

основана на законе Ламберта, согласно которому яркость отраженного от поверхности света пропорциональна cosa, где %+,. 3.29. Построение a — угол между нормалью к поверхности и направлением луча падающего све- центральной проекции точки А та. В алгоритме Гуро яркость внутренних точек определяется линейной интерполяцией яркости в вершинах многоугольника. При этом сначала проводится интерполяция в точках ребер, а затем по строкам горизонтальной развертки. Более реалистичными получаются изображения в алгоритме Фонга, основанном на линейной интерполяции векторов нормалей к поверхности. "84@8://04-/.-45+A.,7+. 74/3D.7,1 @.4/.-8+A.,74@4 /45.D+849:0+> + /:I+0042 @8:H+7+. Мировыми лидерами в этой области программного обеспечения САПР считаются Pro/Engineer, Unigraphics, EUCLID, CADDS5, CATIA, I-DEAS и ряд других. Отметим, что по своим функциональным возможностям эти комплексы приблизительно равноценны, новые достижения, появившиеся в одном из них, в скором времени реализуются в новых версиях других комплексов. Поэтому для первого знакомства достаточно рассмотреть характеристики одного из комплексов. Ниже приведены краткие сведения по комплексу Pro/Engineer. Комплекс насчитывает несколько десятков программ (модулей), которые разделены на группы программ конструкторского проектирования механических объектов, промышленного дизайна, функционального моделирования, технологического проектирования, обмена данными. Базовые модули конструкторского проектирования предназначены для твердотельного и поверхностного моделирования, синтеза конструкций из базовых элементов формы, поддерживают параметризацию и ассоциативность, проекционное черчение, выполняют разработку чертежей с простановкой размеров и допусков. Пользователь может пополнять библиотеку БЭФ оригинальными моделями. Синтез трехмерных моделей сложной формы возможен вытягиванием плоского контура по нормали к его плоскости, его протягиванием вдоль произвольной пространственной кривой, вращением контура вокруг заданной оси, натягиванием между несколькими заданными сечениями. Синтез сборок выполняется вызовом или ссылкой на библиотечные элементы, их модификацией, разработкой новых деталей. Детали сборки можно нужным образом ориентировать в пространстве. Далее следует ввести ассоциативные (сопрягающие) связи. Дополнительные модули конструкторского проектирования имеют более конкретную, но узкую специализацию. Примерами таких модулей могут служить модули конструирования панелей из композитных материалов, разработки штампов и литейных пресс-форм, трубопроводных систем, сварных конструкций, разводки электрических кабелей и жгутов. Модули функционального моделирования используются как препроцессоры и постпроцессоры для программ конечно-элементного анализа (нанесение сетки конечных элементов, визуализация результатов анализа), для анализа теплового состояния конструкций, для оценки виброустойчивости и др. Основные модули технологического проектирования служат для моделирования технологических процессов фрезерной, токарной, электроэрозионной обработки и для разработки постпроцессоров для систем управления оборудованием с ЧПУ. Среди модулей обмена данными важно наличие взаимосвязей по стандарту STEP, что открывает возможности импорта/экспорта данных с различными CAE/CAD/CAM системами, поддерживающими этот стандарт.

&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* !)!@&'! +($*,#)KH (*L*)&M P38:L0.0+> + 94384,1 5D>,:/4740-84D> 1. Дайте определение области адекватности математической модели. 2. Представьте схему рис. 3.30 в виде графа, постройте покрывающее дерево, запишите матрицу контуров и сечений E. 3. Запишите компонентные и топологические уравнения для эквивалентной схемы рис. 3.30. 4. Составьте эквивалентную схему для гидромехани%+,.3.30. Эквивалентная схема ческой системы (цилиндра с поршнем), представленную на рис. 3.31, где F — сила, действующая на поршень. 5. Напишите выражения для проводимостей ветвей схемы (см. рис. 3.30) в случае использования неявного метода Эйлера для интегрирования системы дифференциальных уравнений. 6. Сформулируйте математическую модель по модифицирован- %+,.3.3). Гидромеханическая система ному методу узловых потенциалов для схемы рис. 3.30. 7. Что понимают под постоянной времени физической системы? 8. Выполните несколько шагов интегрирования для дифференциального уравнения dx/dt = 10 - 2x явным и неявным методами Эйлера с начальным условием x0 = 0 и с шагом h = 2, нарушающим условие (3.27). Сделайте заключение об устойчивости или неустойчивости вычислений. 9. Каким образом обеспечивается сходимость итераций при решении СНАУ? 10. На чем основаны алгоритмы автоматического выбора шага интегрирования при решении систем дифференциальных уравнений? 11. Что такое “вторичные ненулевые элементы” в методах разреженных матриц? 12. В чем заключается различие способов интерпретации и компиляции при реализации метода разреженных матриц? 13. Что понимают под областью работоспособности? %+,.3.32. Функция для 14. Найдите координатные функции для одномерной задачи при линейной аппрокконечно-элементной симации функции f(x) (рис. 3.32, на котором показаны конечные элементы длиной L). аппроксимации 15. Найдите передаточную функцию для схемы рис. 3.33. 16. Постройте таблицы логических функций И и ИЛИ для пятизначного алфавита. 17. Поясните сущность событийного метода моделирования. 18. Приведите вывод уравнений Колмогорова для систем массового обслуживания. 19. Постройте граф состояний для системы массового обслуживания, состоящей из двух идентичных обслуживающих аппаратов (ОА) с интенсивностью обслу- %+,.3.33. Дифференцирующая цепь живания µ каждый и включенных параллельно при общем входном потоке с интенсивностью поступления заявок. Если свободны оба ОА, пришедшая заявка занимает первый ОА. Если очередь равна 2, то приходящие заявки покидают систему без обслуживания. 20. Опишите на языке GPSS модель системы, состоящей из трех станков и обрабатывающей детали типов K и I. Заданы интенсивности поступления деталей этих типов и интенсивности обработки их на каждом станке. Маршруты деталей типа K включают станки 1 и 2, деталей типа I — станки 1 и 3. 21. Как и в предыдущем примере на входе системы имеются потоки деталей типов K и I, но система представляет собой сборочную линию, на выходе которой каждое изделие состоит из n деталей типа K и m деталей типа I. Требуется разработать модель системы и представить ее на языке GPSS. 22. Запишите на языке GPSS модель системы, представленной на рис. 3.24 в виде сети Петри. 23. Что такое “параметрическая модель”и “ассоциативное моделирование”? 24. Представьте матрицу преобразования, включающего сжатие плоского изображения в k раз и его перемещение вдоль оси x на величину D. 25. В чем заключаются отличия геометрических моделей Безье и В-сплайнов?

&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %6=.B6=0F.1<3. 3E.1;

.F.90. 109=.C6 ;

-3.<=9?G -.J.90D 4.). "4,-:0497: ?:5:A 3:8:/.-8+A.,74@4,+0-.?:

E.,-4 384=.5<8,+0-.?: 9 384.7-+849:0++. Сущность проектирования заключается в принятии проектных решений, обеспечивающих выполнение будущим объектом предъявляемых к нему требований. Синтез проектных решений — основа проектирования;

от успешного выполнения процедуры синтеза в определяющей мере зависят потребительские свойства будущей продукции. Конечно, анализ — необходимая составная часть проектирования, служащая для верификации принимаемых проектных решений. Именно анализ позволяет получить необходимую информацию для целенаправленного выполнения процедур синтеза в итерационном процессе проектирования. Поэтому синтез и анализ неразрывно связаны. Как отмечено в гл. 1, синтез подразделяют на параметрический и структурный. Проектирование начинается со +&"7%&7"*#8# +'*&$6), при котором генерируется принципиальное решение. Таким решением может быть облик будущего летательного аппарата, или физический принцип действия датчика, или одна из типовых конструкций двигателя, или функциональная схема микропроцессора. Но эти конструкции и схемы выбирают в параметрическом виде, т.е. без указания числовых значений параметров элементов. Поэтому прежде чем приступить к верификации проектного решения, нужно задать или рассчитать значения этих параметров, т.е. выполнить 0)")/$&"'1$+%';

+'*&$6. Примерами результатов параметрического синтеза могут служить геометрические размеры деталей в механическом узле или в оптическом приборе, параметры электрорадиоэлементов в электронной схеме, параметры режимов резания в технологической операции и т.п. В случае если по результатам анализа проектное решение признается неокончательным, то начинается процесс последовательных приближений к приемлемому варианту проекта. Во многих приложениях для улучшения проекта удобнее варьировать значения параметров элементов, т.е. использовать параметрический синтез на базе многовариантного анализа. При этом задача параметрического синтеза может быть сформулирована как задача определения значений параметров элементов, наилучших с позиций удовлетворения требований технического задания при неизменной структуре проектируемого объекта. Тогда параметрический синтез называют параметрической оптимизацией или просто #0&'/'6)='$;

. Если параметрический синтез не приводит к успеху, то повторяют процедуры структурного синтеза, т.е. на очередных итерациях корректируют или перевыбирают структуру объекта. '8+-.8++ 43-+/:DF04,-+. В САПР процедуры параметрического синтеза выполняются либо человеком в процессе многовариантного анализа (в интерактивном режиме), либо реализуются на базе формальных методов оптимизации (в автоматическом режиме). В последнем случае находят применение несколько постановок задач оптимизации. Наиболее распространенной является детерминированная постановка: заданы условия работоспособности на выходные параметры Y и нужно найти номинальные значения проектных параметров N, к которым относятся параметры всех или части элементов проектируемого объекта. Назовем эту задачу оптимизации базовой. В частном случае, когда требования к выходным параметрам заданы нечетко, к числу рассчитываемых величин могут быть отнесены также нормы выходных параметров, фигурирующие в их условиях работоспособности. Если проектируются изделия для дальнейшего серийного производства, то важное значение приобретает такой показатель, как процент выпуска годных изделий в процессе производства. Очевидно, что успешное выполнение условий работоспособности в номинальном режиме не гарантирует их выполнения при учете производственных погрешностей, задаваемых допусками параметров элементов. Поэтому =$45< #0&'/'6)='' +&)*#('&+9 /)%+'/'6)='9 0"#=$*&) (.,#-) 8#-*.,, а к результатам решения задачи оптимизации относятся не только номинальные значения проектных параметров, но и их допуски. Базовая задача оптимизации ставится как задача математического программирования: extr F(X), XDx (4.1) Dx = {X| (X) > 0, (X) = 0}, &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M где F(X) — целевая функция, X — вектор управляемых (проектных) параметров, (X) и (X) — функции-ограничения, Dx — допустимая область в пространстве управляемых параметров. Запись (4.1) интерпретируется как задача поиска экстремума целевой функции путем варьирования управляемых параметров в пределах допустимой области. Таким образом, для выполнения расчета номинальных значений параметров необходимо, вопервых, сформулировать задачу в виде (4.1), во-вторых, решить задачу поиска экстремума F(X). Сложность постановки оптимизационных проектных задач обусловлена наличием у проектируемых объектов нескольких выходных параметров, которые могут быть критериями оптимальности, но в задаче (4.1) целевая функция должна быть одна. Другими словами, проектные задачи являются многокритериальными, и возникает проблема сведения многокритериальной задачи к однокритериальной. Применяют несколько способов выбора критерия оптимальности. В 1)+&*#/ %"'&$"'' среди выходных параметров один выбирают в качестве целевой функции, а условия работоспособности остальных выходных параметров относят к ограничениям задачи (4.1). Эта постановка вполне приемлема, если действительно можно выделить один наиболее критичный выходной параметр. Но в большинстве случаев сказывается недостаток частного критерия (рис. 4.1). На этом рисунке представлено двумерное пространство выходных параметров y1 и y2, для которых заданы условия работоспособности y1 < T1 и y2 < T2. Кривая C( является границей достижимых значений выходных параметров. Это ограничение объективное и связано с существующими физическими и технологическими условиями производства, называемыми условиями реализуемости. Область, в пределах которой выполняются все условия реализуемости и работоспособности, называют #24)+&5< ")2#&#+0#+#2*#+&'. Множество точек пространства выходных парамет%+,. 4.). Области Парето и ров, из которых невозможно перемещение, приводящее к улучшеработоспособности нию всех выходных параметров, называют областью компромиссов, или #24)+&5< !)"$&#. Участок кривой C( (см. рис. 4.1) относится к области Парето. Если в качестве целевой функции в ситуации рис. 4.1. выбрать параметр y1, то результатом оптимизации будут параметры N, соответствующие точке (. Но это граница области работоспособности и, следовательно, при нестабильности внутренних и внешних параметров велика вероятность выхода за пределы области работоспособности. Конечно, результаты можно улучшить, если применять так называемый метод уступок, при котором в качестве ограничения принимают условие работоспособности со скорректированной нормой в виде y2 < T2 +, где — уступка. Но возникает проблема выбора значений уступок, т.е. результаты оптимизации будут иметь субъективный характер. Очевидно, что ситуация не изменится, если целевой функцией будет выбран параметр y2, — оптимизация приведет в точку C. K--'&'(*.;

%"'&$"';

объединяет (свертывает) все выходные параметры (частные критерии) в одну целевую функцию, представляющую собой взвешенную сумму частных критериев F(X) = j yj (X), j=W m (4.2) где j — весовой коэффициент, m — число выходных параметров. Функция (4.2) подлежит минимизации, при этом если условие работоспособности имеет вид yj > Tj, то j < 0. Недостатки аддитивного критерия — субъективный подход к выбору весовых коэффициентов и неучет требований ТЗ. Действительно в (4.2) не входят нормы выходных параметров. Аналогичные недостатки присущи и /745&'04'%)&'(*#/7 %"'&$"'<, целевая функция которого имеет вид F(X) = yjj (X).

j=W m (4.3) &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M Нетрудно видеть, что если прологарифмировать (4.3), то мультипликативный критерий превращается в аддитивный. Более предпочтительным является /)%+'/'**.;

%"'&$"';

, в качестве целевой функции которого принимают выходной параметр, наиболее неблагополучный с позиций выполнения условий работоспособности. Для оценки степени выполнения условия работоспособности j-го выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра Sj и этот запас можно рассматривать как нормированный j-й выходной параметр. Например (здесь и далее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятся неравенствами в форме yj < Tj ): Sj = ( Tj - yj ) / Tj или Sj = ( Tj - y ном j ) / j, где y ном j — номинальное значение, а j — некоторая характеристика рассеяния j-го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. Тогда целевая функция в максиминном критерии есть F(X) = min Zj (X).

j[1:m] Здесь запись [1: m] означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до m. Задача (4.1) при максиминном критерии конкретизируется следующим образом: F(X) = max min Zj (X), XDx j[1:m] (4.4) где допустимая область Dx определяется только прямыми ограничениями на управляемые параметры xi: xi min < xi < xi max. W:5:A+ 43-+/+?:=++,

+ - 0 B.F 6 9 0.. Нормирование проводят таким образом, что допусковая область приобретает форму гиперкуба, получающегося после нормирования.

Очевидно, что решение задачи центрирования позволяет не только оптимизировать номинальные значения проектных параметров, но и их допуски, если последние относятся к управляемым параметрам.

&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M 4.2. $B?48 /.-4549 43-+/+?:=++ 'D:,,+H+7:=+> /.-4549 /:-./:-+A.,74@4 384@8://+849:0+>. В САПР основными методами оптимизации являются поисковые методы. Поисковые методы основаны на пошаговом изменении управляемых параметров Xk+1 = Xk + Xk, (4.5) где в большинстве методов приращение Xk вектора управляемых параметров вычисляется по формуле Xk = hg(Xk). (4.6) Здесь Xk — значение вектора управляемых параметров на k-м шаге, h — шаг, а g(Xk) — направление поиска. Следовательно,. если выполняются условия сходимости, то реализуется пошаговое (итерационное) приближение к экстремуму. Методы оптимизации классифицируют по ряду признаков. В зависимости от числа управляемых параметров различают методы #-*#/$"*#;

и /*#8#/$"*#;

оптимизации, в первых из них управляемый параметр единственный, во вторых размер вектора X не менее двух. Реальные задачи в САПР многомерны, методы одномерной оптимизации играют вспомогательную роль на отдельных этапах многомерного поиска. Различают методы 7+4#(*#;

и 2$67+4#(*#;

оптимизации по наличию или отсутствию ограничений. Для реальных задач характерно наличие ограничений, однако методы безусловной оптимизации также представляют интерес, поскольку задачи условной оптимизации с помощью специальных методов могут быть сведены к задачам без ограничений. В зависимости от числа экстремумов различают задачи одно- и многоэкстремальные. Если метод ориентирован на определение какого-либо локального экстремума, то такой метод относится к 4#%)45*./ /$&#-)/. Если же результатом является глобальный экстремум, то метод называют /$&#-#/ 84#2)45*#8# 0#'+%). Удовлетворительные по вычислительной эффективности методы глобального поиска для общего случая отсутствуют и потому на практике в САПР используют методы поиска локальных экстремумов. Наконец, в зависимости от того, используются при поиске производные целевой функции по управляемым параметрам или нет, различают методы нескольких порядков. Если производные не используются, то имеет место метод *74$(#8# 0#"9-%), если используются первые или вторые производные, то соответственно метод 0$"(#8# или (&#"#8# 0#"9-%). Методы первого порядка называют также градиентными, поскольку вектор первых производных F(X) по N есть градиент целевой функции grad (F(X)) = (F/x1, F/x2,...F/xn). Конкретные методы определяются следующими факторами: 1) способом вычисления направления поиска g(Xk) в формуле (4.6);

2) способом выбора шага h;

3) способом определения окончания поиска. Определяющим фактором является первый из перечисленных в этом списке, он подробно описан ниже. Шаг может быть или постоянным, или выбираться исходя из одномерной оптимизации — поиска минимума целевой функции в выбранном направлении g(Xk). В последнем случае шаг будем называть оптимальным. Окончание поиска обычно осуществляют по правилу: если на протяжении r подряд идущих шагов траектория поиска остается в малой -окрестности текущей точки поиска Xk, то поиск следует прекратить, следовательно, условие окончания поиска имеет вид |Xk - Xk-r| <. E.-451 4504/.8042 43-+/+?:=++. К методам одномерной оптимизации относятся методы дихотомического деления, золотого сечения, чисел Фибоначчи, полиномиальной аппроксимации и ряд их модификаций. Пусть задан отрезок [A,B], на котором имеется один минимум (в общем случае нечетное число &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M минимумов). Согласно /$&#-7 -',#&#/'1$+%#8# -$4$*'9 (рис. 4.3,а) отрезок делят пополам и в точках, отстоящих от центра : отрезка на величину допустимой погрешности q, рассчитывают значения целевой функции F(C+q) и F(C-q). Если окажется, что F(C+q) > F(C-q), то минимум находит%+,. 4.3. Одномерная минимизация: ся на отрезке [A,C], если F(C+q) < F(C-q), а - дихотомическое деление;

б - золотое сечение то минимум — на [C,B], если F(C+q) = F(C-q) — на [C-q,C+q]. Таким образом, на следующем шаге вместо отрезка [A,B] нужно исследовать суженный отрезок [A,C], [C,B] или [C-q,C+q]. Шаги повторяются, пока длина отрезка не уменьшится до величины погрешности q. Таким образом, требуется не более N шагов, где N — ближайшее к log((B-A)/q) целое значение, но на каждом шаге целевую функцию следует вычислять дважды. По /$&#-7 6#4## +$1$*'9 (рис. 4.3,б) внутри отрезка [A,B] выделяют две промежуточные точки :1 и D1 на расстоянии s = aL от его конечных точек, где L = B-A — длина отрезка. Затем вычисляют значения целевой функции F(x) в точках :1 и D1. Если F(C1) < F(D1), то минимум находится на отрезке [A,D1], если F(C1) > F(D1)), то — на отрезке [C1,B], если F(C1) = F(D1) — на отрезке [ C1, D1]. Следовательно, вместо отрезка [A,B] теперь можно рассматривать отрезок [A,D1], [C1,B] или [C1, D1], т.е. длина отрезка уменьшилась не менее чем в L/(L-aL) = 1/(1-a) раз. Если подобрать значение ) так, что в полученном отрезке меньшей длины одна из промежуточных точек совпадет с промежуточной точкой от предыдущего шага, т.е. в случае выбора отрезка [A,D1] точка D2 совпадет с точкой C1, а в случае выбора отрезка [C1,B] точка C2 — с точкой D1, то это позволит сократить число вычислений целевой функции на всех шагах (кроме первого) в 2 раза. Условие получения такого значения ) формулируется следующим образом (1-2a)L k = aL k-1, откуда с учетом того, что Lk/Lk-1= 1/(1-a), имеем ) = 0,382. Это значение и называют 6#4#&./ +$1$*'$/. Таким образом, требуется не более N шагов и N+1 вычисление целевой функции, где N можно рассчитать, используя соотношение (B-A)/E = (1-a)N при заданной погрешности [ определения экстремума. Согласно /$&#-7 1'+$4 H'2#*)11', используют числа Фибоначчи Ri, последовательность которых образуется по правилу Ri+2 = Ri+1 + Ri при R0 = R1 = 1, т.е. ряд чисел Фибоначчи имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144.... Метод аналогичен методу золотого сечения с тем отличием, что коэффициент ) равен отношению Ri-2 /Ri, начальное значение i определяется из условия, что Ri должно быть наименьшим числом Фибоначчи, превышающим величину (B-A)/E, где [ — заданная допустимая погрешность определения экстремума. Так, если (I-K)/[ = 100, то начальное значение i = 12, поскольку R1= 144, и ) = 55/144 = 0,3819, на следующем шаге будет a = 34/89 = 0,3820 и т.д. По /$&#-7 0#4'*#/')45*#;

)00"#%+'/)='' при аппроксимации F(x) квадратичным полиномом (4.7) P(x) = a0 + a1x + a2x2 выбирают промежуточную точку : и в точках K, I, : вычисляют значения целевой функции. Далее решают систему из трех алгебраических уравнений, полученных подстановкой в (4.7) значений K,I,: вместо, и вычисленных значений функции вместо S(,). В результате становятся известными значения коэффициентов )k в (4.7) и, исходя из условия dP(x)/dx = 0, определяют экстремальную точку F полинома. Например, если точка : выбрана в середине отрезка [A,B], то F = C + (C-A)(F(A)-F(B)) / (2(F(A)-2F(C)+F(B))). E.-451 B.?<,D49042 43-+/+?:=++. Среди методов нулевого порядка в САПР находят применение методы Розенброка, конфигураций (Хука-Дживса), деформируемого многогранника (НелдераМида), случайного поиска. К методам с использованием производных относятся методы наискорейшего спуска, сопряженных градиентов, переменной метрики. L$&#- S#6$*2"#%) является улучшенным вариантом покоординатного спуска. Метод покоординатного спуска характеризуется выбором направлений поиска поочередно вдоль &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M всех n координатных осей, шаг рассчитывается на основе одномерной оптимизации, критерий окончания поиска |Xk Xk n| <, где — заданная точность определения локального экстремума, n — размерность пространства управляемых параметров. Траектория покоординатного спуска для примера двумерного пространства управляемых параметров показана на рис. 4.4, где Xk — точки на траектории поиска, xi — управляемые параметры. Целевая функция представлена своими линиями равного уровня, около каждой линии записано соответствующее ей значение F(X). Очевидно, что Q есть точка минимума. При использовании метода покоординатного спуска ве- %+,. 4.4. Траектория покоординатного спуска лика вероятность “застревания” поиска на дне оврага вдали от точки экстремума. На рис. 4.5 видно, что после попадания в точку C, расположенную на дне оврага, дальнейшие шаги возможны лишь в направлениях )) или bb, но они приводят к ухудшению целевой функции. Следовательно, поиск прекращается в точке C.

+ - 0 B.F 6 9 0.. U(")8#/ называют часть пространства управляемых параметров, в которой наблюдаются слабые изменения производных целевой функции по одним направлениям и значительные изменения с переменой знака — по некоторым другим направлениям. Знак производной меняется в точках, принадлежащих дну оврага.

В то же время при благоприятной ориентации дна оврага, а %+,. 4.5. "Застревание" покоординатного спуска на дне оврага именно при положении одной из координатных осей, близком к параллельности с дном оврага, поиск оказывается весьма быстрым. Эта ситуация показана на рис. 4.6. Метод Розенброка заключается в таком повороте координатных осей, чтобы одна из них оказалась квазипараллельной дну оврага. Такой поворот осуществляют на основе данных, полученных после серии из n шагов покоординатного спуска. Положение новых осей si может быть получено линейным преобразованием прежних осей xi: ось s1 совпадает по направлению с вектором Xk+n - Xk;

остальные оси выбирают из условия ортогональности к N1 и друг к другу. %+,. 4.6. Траектория покоординатного Другой удачной модификацией покоординатного спуска яв- спуска при благоприятной ориентации ляется /$&#- %#*E'87")=';

. В соответствии с этим методом внакоординатных осей чале выполняют обычную серию из n шагов покоординатного спуска, затем делают дополнительный шаг в направлении вектора Xk - Xk-n, как показано на рис. 4.7, где дополнительный шаг выполняют в направлении вектора X3- X1, что и приводит в точку X4. Поиск экстремума /$&#-#/ -$E#"/'"7$/#8# /*#8#8")**'%) основан на построении многогранника с (n + 1) вершинами на каждом шаге поиска, где n — размерность пространства управляемых параметров. В начале поиска эти вершины выбирают произвольно, на последующих шагах выбор подчинен правилам метода. Эти правила поясняются рис. 4.8 на примере двумерной за%+,. 4.7. Иллюстрация метода конфигураций дачи оптимизации. Выбраны вершины исходного треугольника: X1, X2, X3. Новая вершина X4 находится на луче, проведенном из худшей вершины X1 (из вершины с наибольшим значением целевой функции) через центр тяжести SM многогранника, причем рекомендуется X4 выбирать на расстоянии d от SM, равном |SM-X1|. Новая вершина X4 заменяет худшую вер&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M шину X1. Если оказывается, что X4 имеет лучшее значение целевой функции среди вершин многогранника, то расстояние d увеличивают. На рисунке именно эта ситуация имеет место и увеличение d дает точку X5. В новом многограннике с вершинами X2, X3, X5 худшей является вершина X2, аналогично получают вершину X6, затем вершину X7 и т.д. Если новая вершина окажется худшей, то в многограннике нужно сохранить лучшую вершину, а длины всех ребер уменьшить, например вдвое (стягивание многогранника к лучшей вершине). Поиск прекращается при выполнении условия уменьшения размеров много%+,. 4.8. Иллюстрация метода деформируемого гранника до некоторого предела. многогранника :471);

*.$ /$&#-. поиска характеризуются тем, что направления поиска g выбирают случайным образом. Особенностью /$&#-) *)'+%#"$;

>$8# +07+%) является выполнение шагов поиска в градиентном направлении Xk+1 = Xk + h grad F(X) / |grad F(X)|, шаг h выбирается оптимальным с помощью одномерной оптимизации. При использовании метода наискорейшего спуска, как и большинства других методов, эффективность поиска существенно снижается в овражных ситуациях. Траектория поиска приобретает зигзагообразный вид с медленным продвижением вдоль дна оврага в сторону экстремума. Чтобы повысить эффективность градиентных методов, используют несколько приемов. Один из приемов, использованный в /$&#-$ +#0"9@$**., 8")-'$*&#( (называемом также методом Флетчера-Ривса), основан на понятии сопряженности векторов. Векторы C и ( называют Q-сопряженными, если ATQB = 0, где Q — положительно определенная квадратная матрица того же порядка, что и размер N векторов C и ( (частный случай сопряженности — ортогональность векторов, когда Q является единичной матрицей порядка N), AT -вектор-строка, B — вектор-столбец. Особенность сопряженных направлений для Q = K, где K — матрица Гессе, при в задачах с квадратичной целевой функцией F(X) заключается в следующем: одномерная минимизация F(X) последовательно по N сопряженным направлениям позволяет найти экстремальную точку не более, чем за N шагов.

+ - 0 B.F 6 9 0.. L)&"'=$;

V$++$ называют матрицу вторых частных производных целевой функции по управляемым параметрам.

Основанием для использования поиска по K-сопряженным направлениям является то, что для функций F(X) общего вида может быть применена квадратичная аппроксимация, что на практике выливается в выполнение поиска более, чем за N шагов.

+ - 0 B. -. Поиск экстремума выполняют в соответствии с формулой Xi = Xi-1 + hSi. Si+1 = - gradF(Xi) + wiSi, где wi — коэффициент. Кроме того, учитывают условие сопряженности (4.8) (4.9) (4.10) (4.11) (4.12) +($*,#&($"!)&* Направление Si+1 поиска на очередном шаге связано с направлением поиска Si на предыдущем шаге соотношением Si+1 ТKSi = и линейную аппроксимацию gradF(X) в окрестностях точки Ni grad F(Xi+1) = grad F(Xi) + K(Xi+1 - Xi). Si Тgrad F(Xi) = 0, &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* Поскольку шаг h рассчитывается исходя из условия одномерной оптимизации, то, во-первых, справедливо соотношение 5@!"! во-вторых, имеем %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M Xi = Xi-1 + hwi-1 Si-1 - h grad F(Xi-1), откуда получаем F/h = (F(X)/X)(X/h) = grad F(Xi) grad F(Xi-1) = 0. |grad F(Xk)| <.

(4.13) Алгоритм поиска сводится к применению формулы (4.9), пока не будет выполнено условие окончания вычислений Чтобы определить коэффициент wi решают систему уравнений (4.8)-(4.13) путем подстановки в (4.10) величин Si+1 из (4.9) и Si из (4.8) Si+1TKSi = (wi Si - grad F(Xi))T K(Xi — Xi-1) / h = = (wi Si - grad F(Xi))T KK -1 (grad F(Xi) - grad F(Xi-1)) / h = 0;

или (wi Si - grad F(Xi))T (grad F(Xi) - grad F(Xi-1)) = 0, откуда wi SiT (grad F(Xi) - grad F(Xi-1)) - grad F(Xi)T grad F(Xi) + grad F(Xi)T grad F(Xi-1) = и с учетом (4.12) и (4.13) wi SiT grad F(Xi-1) + grad F(Xi)T grad F(Xi) = 0.

Следовательно, wi = grad F(Xi)T grad F(Xi) / SiT grad F(Xi-1) (4.14) На первом шаге поиска выбирают S1 = — grad F(X0) и находят точку N1. На втором шаге по формуле (4.14) рассчитывают w1, по формулам (4.9) и (4.8) определяют S2 и N2 и т.д.

L$&#- 0$"$/$**#;

/$&"'%' (иначе метод Девидона-Флетчера-Пауэлла) можно рассматривать как результат усовершенствования метода второго порядка — метода Ньютона. L$&#- G5<&#*) основан на использовании необходимых условий безусловного экстремума целевой функции F(X) (4.15) grad F(X) = 0. Выражение (4.15) представляет собой систему алгебраических уравнений, для решения которой можно применить известный численный метод, называемый методом Ньютона. Корень системы (4.15) есть стационарная точка, т.е. возможное решение экстремальной задачи. Метод Ньютона является итерационным, он основан на линеаризации (4.15) в окрестности текущей точки поиска Nk grad F(X) = grad F(Xk) + K(X-X k) = 0. (4.16) Выражение (4.16) — это система линейных алгебраических уравнений. Ее корень есть очередное приближение Nk+1 к решению Xk+1 = Xk - K-1(Xk) grad F(Xk). Если процесс сходится, то решение достигается за малое число итераций, окончанием которых служит выполнение условия |Xk+1 - Xk| <. Главный недостаток метода — высокая трудоемкость вычисления и обращения матрицы K, к тому же ее вычисление численным дифференцированием сопровождается заметными погрешностями, что снижает скорость сходимости. В методе переменной метрики вместо трудно вычисляемой обратной матрицы Гессе используют некоторую более легко вычисляемую матрицу N, т.е. Xk+1 = Xk + N grad F(Xk).

Введем обозначения:

dgk= grad F(Xk) - grad F(Xk-1);

dXk= Xk - Xk-1;

E — единичная матрица. Начальное значение матрицы N0 = E. Матрицу N корректируют на каждом шаге, т.е.

&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! 4 Nk+1= Nk + Ak TBk, где %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M Ak = dXk dXk T / (dXTdgk), Bk= Nk dgk dgkT NkT / (dgkTNk dgk).

Поэтому i=0 i=0 Можно показать, что Ai стремится к K-1, (i — к E при k n, где n — размерность пространства управляемых параметров. Спустя n шагов, нужно снова начинать с Nn+1 = E.

Nk+1 = E + Ai — Bi.

k k #.4B645+/1. <,D49+> T7,-8./

и при этом соблюдались ограничения задачи, а также выполнялось условие grad F(Q) + ui grad i (Q) + i=W m j=W (4.17) aj j (Q) = 0, L (4.18) где m — число ограничений типа неравенств, L — то же равенств, коэффициенты aj > 0. За приведенной абстрактной формулировкой условий скрывается достаточно просто понимаемый геометрический смысл. Действительно, рассмотрим сначала случай с ограничениями только типа неравенств. Если максимум находится внутри допустимой области R, то, выбирая все ui = 0, добиваемся выполнения (4.17);

если же точка максимума Q лежит на границе области R, то, как видно из левой части рис. 4.9, эту точку всегда соответствующим подбором неотрицательных ui можно поместить внутрь оболочки, натянутой на градиенты целевой функции F(X) и функций-ограничений i(X). Наоборот, если точка не является экстремальной, то (4.17) нельзя выполнить при любом выборе положительных коэффициентов ui (см. правую часть рис. 4.9, где рассматриваемая точка N лежит вне выпуклой оболочки, натянутой на градиенты). Учет ограничений типа равенств очевиден, если добавляется последняя из указанных в %+,. 4.9. К пояснению условий Куна-Таккера (4.18) сумма. E.-451 34+,7: <,D49016 T7,-8./

i=W (4.20) Ф(N,)/ = (X) = 0. Система (4.20) содержит n+L алгебраических уравнений, где n — размерность пространства управляемых параметров, ее решение дает искомые координаты экстремальной точки и значения множителей Лагранжа. Однако при численном решении (4.20), что имеет место при использовании алгоритмических моделей, возникают те же трудности, что и в методе Ньютона. Поэтому в САПР основными методами решения ЗМП являются методы штрафных функций и проекции градиента. Основная идея /$&#-#( >&")E*., E7*%=';

— преобразование задачи условной оптимизации в задачу безусловной оптимизации путем формирования новой целевой функции Ф(N) введением в исходную целевую функцию F(X) специальным образом выбранной функции штрафа S(X): Ф(N) = F(X) + rS(X), где r — множитель, значения которого можно изменять в процессе оптимизации. Среди методов штрафных функций различают методы внутренней и внешней точки. Согласно методам внутренней точки ( иначе называемым методами 2)"5$"*., E7*%=';

) исходную для поиска точку можно выбирать только внутри допустимой области, а для методов внешней точки как внутри, так и вне допустимой области (важно лишь, чтобы в ней функции целевая и ограничений были бы определены). Ситуация появления барьера у целевой функции Ф(,) и соотношение между условным в точке x2 и безусловным в точке x1 минимумами F(,) в простейшем одномерном случае иллюстрируется рис. 4.10. Примеры штрафных функций: 1) для метода внутренней точки при ограничениях i(X)> Ф(N,)/N = F(X)/N + i i (X)/X = 0;

L S(X) = (1/ i(X)), i=W m где m — число ограничений типа неравенств;

2) для метода внешней точки при таких же ограничениях S(X) = (min{0, i(X)})2 — i=W m %+,. 4.)0. Пояснение метода штрафных функций здесь штраф сводится к включению в Ф(N) суммы квадратов активных (т.е. нарушенных) ограничений;

3) в случае ограничений типа равенств i(X) = 0 S(X) = (i(X))2.

i=W L Чем больше коэффициент r, тем точнее решение задачи, однако при больших r может ухудшаться ее обусловленность. Поэтому в начале поиска обычно выбирают умеренные значения r, увеличивая их в окрестностях экстремума. Основной вариант /$&#-) 0"#$%='' 8")-'$*&) ориентирован на задачи математического программирования c ограничениями типа равенств. Поиск при выполнении ограничений осуществляется в подпространстве (n-m) измерений, где n — число управляемых параметров, m — число ограничений, при этом движение осуществляется в направлении проекции градиента целевой функции F(X) на гиперплоскость, касательную к гиперповерхности ограничений (точнее к гиперповерхности пересечения гиперповерхностей ограничений). Поиск минимума начинают со спуска из исходной точки на гиперповерхность ограничений. Далее выполняют шаг в указанном выше направлении (шаг вдоль гиперповерхности ограничений). Поскольку этот шаг может привести к заметному нарушению ограничений, вновь повторяют спуск на ги&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M перповерхность ограничений и т.д. Другими словами, поиск заключается в выполнении пар шагов, каждая пара включает спуск на гиперповерхность ограничений и движение вдоль гиперповерхности ограничений. Идею метода легко пояснить для случая поиска в двумерном пространстве при одном ограничении (X) = 0. На рис. 4.11 это ограничение представлено жирной линией, а целевая функция — совокупностью более тонких линий равного уровня. Спуск обычно осуществляют по нормали к гиперповерхности ограничений (в данном случае к линии ограничения). Условие окончания поиска основано на сопоставлении значений це%+,. 4.)). Траектория поиска в соответствии с методом левой функции в двух последовательных точках, проекции градиента: Q - условный экстремум;

0, ), 2, 3 получаемых после спуска на гиперповерхность точки на траектории поиска ограничений. Рассмотрим вопрос, касающийся получения аналитических выражений для направлений спуска и движения вдоль гиперповерхности ограничений. :07+%. Необходимо из текущей точки поиска ( попасть в точку C, являющуюся ближайшей к ( точкой на гиперповерхности ограничений, т.е. решить задачу min |B-A| при условии (X)=0, которое после линеаризации в окрестностях точки ( имеет вид (B) + (grad (B))T(A-B) = 0. Используя метод множителей Лагранжа, обозначая C-(=U и учитывая, что минимизация расстояния равнозначна минимизации скалярного произведения U на U, запишем Ф(C) = UTU + ((B)+(grad (B)) TU);

Ф/C = 2U + (grad (B)) = 0;

(4.21) (4.22) Ф/= (B) + (grad (B))TU = 0. Тогда из (4.21) получаем выражение U = - 0,5 (grad (B)), подставляя его в (4.22), имеем (B) - 0,5 (grad (B))T grad (B)= 0;

откуда = (0,5(grad (B))T grad (B))-1(B). и окончательно, подставляя в (4.21), находим U = - grad (B)(grad (B))T grad (B))-1 (B). N('@$*'$ (-#45 8'0$"0#($",*#+&' #8")*'1$*';

. Шаг в гиперплоскости D, касательной к гиперповерхности ограничений, следует сделать в направлении вектора S, на котором целевая функция уменьшается в наибольшей мере при заданном шаге h. Уменьшение целевой функции при переходе из точки C в новую точку * подсчитывают, используя формулу линеаризации F(X) в окрестностях точки C: F(C) - F(A) = h(grad F(A))TS, где grad F(A)TS — приращение F(X), которое нужно минимизировать, варьируя направления S (4.23) min F(C) = min ((grad F(A))TS), где вариация S осуществляется в пределах гиперплоскости D;

grad(A) и S — ортогональные векто&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M ры. Следовательно, минимизацию (4.23) необходимо выполнять при ограничениях (grad (A))TS = 0, STS = 1. Последнее ограничение говорит о том, что при поиске направления движения, вектор S должен лишь указывать это направление, т.е. его длина несущественна (пусть S — единичный вектор). Для решения (4.23) используем метод множителей Лагранжа Ф(S,,q) = (grad F(A))TS + (grad (A))TS + q(STS-1), где и q — множители Лагранжа;

Ф/S = grad F(A) + grad (A) + qS = 0;

(4.24) Ф/ = (grad (A))TS = 0;

(4.25) (4.26) Ф/q = STS-1 = 0. Из (4.24) следует, что S = -(grad F(A) + grad (A) )/q;

подставляя S в (4.25), получаем (grad (A))T grad F(A) + (grad (A))T grad (A) = 0, откуда = - [(grad (A))T grad (A)] -1 (grad (A))T grad F(A), S = = - {gradF(A)-grad(A)[(grad(A))Tgrad(A)]-1(grad(A))TgradF(A)} / q = (4.27) = - {E - grad (A)[(grad (A))T grad (A)]-1 (grad (A)) T}grad F(A) / q. Таким образом, матрица % = E - grad (A)[(grad (A))T grad (A)]-1 grad (A))T представляет собой проектирующую матрицу, а вектор S, рассчитанный по (4.27), — проекцию градиента gradF(A) на гиперповерхность ограничений. Частным случаем применения метода проекции градиента являются задачи оптимизации с максиминным критерием. Действительно, для поиска экстремума функции минимума max min Zj (X), X j где Zj — нормированная величина j-го выходного параметра yj, удобно применять метод проекции градиента. В качестве ограничений задачи в исходной постановке фигурируют только прямые ограничения,max i > xi > xmin i. Здесь,maxi и xmini— граничные значения допустимого диапазона варьирования параметра,i. В процессе поиска, если минимальной является функция Zq(X) и траектория поиска пересекает гребень Zq(X) - Zk(X) = 0, (4.28) то поиск продолжается в направлении проекции градиента функции Zq(X) на гиперповерхность гребня (4.28).

4.3. "4,-:0497: ?:5:A,-8<7-<804@4,+0-.?:

"84=.5<81,+0-.?: 384.7-016 8.I.0+2. Принятие проектных решений охватывает широкий круг задач и процедур — от выбора вариантов в конечных и обозримых множествах до задач творческого характера, не имеющих формальных способов решения. Соответственно в САПР применяют как средства формального синтеза проектных решений, выполняемого в автоматическом режиме, так и вспомогательные средства, способствующие выполнению синтеза проектных решений в интерактивном режиме. К вспомогательным средствам относятся базы типовых проектных решений, системы обучения проектированию, программно-методические комплексы верификации проектных решений, унифицированные языки описания ТЗ и результатов проектирования. &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M Задачи синтеза структур проектируемых объектов относятся к наиболее трудно формализуемым. Существует ряд общих подходов к постановке этих задач, однако практическая реализация большинства из них неочевидна. Поэтому имеются лишь “островки” автоматического выполнения процедур синтеза среди “моря” проблем, ждущих автоматизации. Именно по этой причине структурный синтез, как правило, выполняют в интерактивном режиме при решающей роли инженера-разработчика, а ЭВМ играет вспомогательную роль: предоставление необходимых справочных данных, фиксация и оценка промежуточных и окончательных результатов. Однако в ряде приложений имеются и примеры успешной автоматизации структурного синтеза в ряде приложений;

среди них заслуживают упоминания в первую очередь задачи конструкторского проектирования печатных плат и кристаллов БИС, логического синтеза комбинационных схем цифровой автоматики и вычислительной техники, синтеза технологических процессов и управляющих программ для механообработки в машиностроении и некоторые другие. Структурный синтез заключается в преобразовании описаний проектируемого объекта: исходное описание содержит информацию о требованиях к свойствам объекта, об условиях его функционирования, ограничениях на элементный состав и т.п., а результирующее описание должно содержать сведения о +&"7%&7"$, т.е. о составе элементов и способах их соединения и взаимодействия. Постановки и методы решения задач структурного синтеза в связи с трудностями формализации не достигли степени обобщения и детализации, свойственной математическому обеспечению процедур анализа. Достигнутая степень обобщения выражается в установлении типичной последовательности действий и используемых видов описаний при их преобразованиях в САПР. Исходное описание, как правило, представляет собой ТЗ на проектирование, по нему составляют описание на некотором формальном языке, являющемся входным языком используемых подсистем САПР. Затем выполняют преобразования описаний, и получаемое итоговое для данного этапа описание документируют — представляют в виде твердой копии или файла в соответствующем формате для передачи на следующий этап. Важное значение для развития подсистем синтеза в САПР имеют разработка и унификация языков представления описаний (спецификаций). Каждый язык, поддерживая выбранную методику принятия решений, формирует у пользователей САПР — разработчиков технических объектов определенный стиль мышления;

особенности языков непосредственно влияют на особенности правил преобразования спецификаций. Примерами унифицированных языков описания проектных решений являются язык VHDL для радиоэлектроники, он сочетает в себе средства для функциональных, поведенческих и структурных описаний, или язык Express — универсальный язык спецификаций для представления и обмена информацией в компьютерных средах. W:5:A: 38+0>-+> 8.I.0+2. Имеется ряд подходов для обобщенного описания задач принятия проектных решений в процессе структурного синтеза. Z)-)17 0"'*9&'9 "$>$*';

(ЗПР) формулируют следующим образом: ЗПР = , где C — множество альтернатив проектного решения, ' = (K1, K2,...,Km) — множество критериев (выходных параметров), по которым оценивается соответствие альтернативы поставленным целям;

Мод: C' — модель, позволяющая для каждой альтернативы рассчитать вектор критериев, П — решающее правило для выбора наиболее подходящей альтернативы в многокритериальной ситуации. В свою очередь, каждой альтернативе конкретного приложения можно поставить в соответствие значения упорядоченного множества (набора) атрибутов N = , характеризующих свойства альтернативы. При этом xi может быть величиной типа real, integer, boolean, string (в последнем случае величину называют 0"$-/$&*#;

или 4'*8('+&'1$+%#;

). Множество N называют 6)0'+5< (в теории баз данных), E"$;

/#/ (в искусственном интеллекте) или,"#/#+#/#;

(в генетических алгоритмах). Модель Мод называют структурно-критериальной, если среди xi имеются параметры, характеризующие структуру моделируемого объекта. Основными проблемами в ЗПР являются: — компактное представление множества вариантов (альтернатив);

&.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M — построение модели синтезируемого устройства, в том числе выбор степени абстрагирования для оценки значений критериев;

— формулировка предпочтений в многокритериальных ситуациях (т.е. преобразование векторного критерия ' в скалярную целевую функцию);

— установление порядка (предпочтений) между альтернативами в отсутствие количественной оценки целевой функции (что обычно является следствием неколичественного характера всех или части критериев);

— выбор метода поиска оптимального варианта (сокращение перебора вариантов). Присущая проектным задачам неопределенность и нечеткость исходных данных, а иногда и моделей, диктуют использование специальных методов количественной формулировки исходных неколичественных данных и отношений. Эти специальные методы либо относятся к области построения измерительных шкал, либо являются предметом теории нечетких множеств. Измерительные шкалы могут быть: 1) абсолютными: 2) номинальными (классификационными), значения шкалы представляют классы эквивалентности, примером может служить шкала цветов;

такие шкалы соответствуют величинам неколичественного характера;

3) порядковыми, если между объектами K и I установлено одно из следующих отношений: простого порядка, гласящее, что если K лучше B, то B хуже A, и соблюдается транзитивность;

или слабого порядка, т.е. либо A не хуже B, либо A не лучше B;

или частичного порядка. Для формирования целевой функции F(X) производится оцифровка порядковой шкалы, т.е. при минимизации, если A предпочтительнее B, то F(N))

4) интервальными, отражающими количественные отношения интервалов: шкала единственна с точностью до линейных преобразований, т.е. y=ax+b, a>0, -

"#**., +$&$;

. Если же математическая модель X K остается неизвестной, то стараются использовать подход на базе +'+&$/ '+%7++&($**#8# '*&$44$%&) (B%+0$"&*., +'+&$/). Возможности практического решения задач -'+%"$&*#8# /)&$/)&'1$+%#8# 0"#8")//'"#()*'9 (ДМП) изучаются в теории сложности задач выбора, где показано, что задачи даже умеренного размера, относящиеся к классу NP-полных задач, в общем случае удается решать только приближенно. Поэтому большинство практических задач структурного синтеза решают с помощью приближенных (эвристических) методов. Это методы, использующие специфические особенности того или иного класса задач и не гарантирующие получения оптимального решения. Часто они приводят к результатам, близким к оптимальным, при приемлемых затратах вычислительных ресурсов. Если все управляемые параметры альтернатив, обозначаемые в виде множества N, являются количественными оценками, то используют 0"'24'@$**.$ /$&#-. оптимизации. Если в N входят также параметры неколичественного характера и пространство N неметризуемо, то перспективными являются B(#4<='#**.$ /$&#-. вычислений, среди которых наиболее развиты 8$*$&'1$+%'$ /$&#-.. Наконец, в отсутствие обоснованных моделей Мод их создают, основываясь на экспертных знаниях в виде некоторой системы искусственного интеллекта. &.+.)$(*),$". !"#$%!#&'&($"!))$* +($*,#&($"!)&* 5@!"! %!#*%!#&F*:,$* $I*:+*F*)&* :&)#*'! +($*,#)KH (*L*)&M "8.5,-:9D.0+. /04L.,-9: :DF-.80:-+9. Решению проблем упорядочения и описания множества альтернатив и связей между ними в конкретных приложениях посвящена специальная область знания, которую по аналогии с наукой описания множеств животных и растений в биологии можно назвать +'+&$/)&'%#;

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 6 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.