WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 |

«Российская Академия Наук Институт проблем управления Д.А. Новиков МЕХАНИЗМЫ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМ Москва Фонд "Проблемы управления" 1999 УДК 62 – 50 Н 73 ...»

-- [ Страница 2 ] --

1.6. СТИМУЛИРОВАНИЕ И ОГРАНИЧЕНИЯ НА ОБЪЕМ ПЕРЕРАБАТЫВАЕМОЙ ИНФОРМАЦИИ Одним из общепризнанных объяснений факта существования иерархий является ограниченная способность элементов организационных систем (в первую очередь – человека) по получению и переработке информации. Обусловленный этим ограничением фактор во введении к настоящей работе было предложено называть информационным факто ром. В настоящем разделе рассматривается информационный фактор в задачах стимулирования, причем внимание на других факторах – экономическом, агрегирования и т.д. – не акцентируется. Любой участник активной системы находится в информационном взаимодействии (получает, перерабатывает и передает информацию) как со всеми остальными участниками АС, так и с окружающей средой. Понятно, что, если часть ресурсов (временных, финансовых и др.) расходуется на переработку информации, то на остальные виды деятельности остается меньшая часть этих ресурсов. Очевидно также, что количество перерабатываемой информации растет с ростом числа участников системы. С другой стороны, введение специализированных органов (например, дополнительных центров), отвечающих за переработку информации, и приводящее к снижению нагрузки на других участников, требует определенных затрат. Возможности этих специализированных органов по переработке информации, в свою очередь, также ограничены. Следовательно, возникает оптимизационная задача – каков должен быть "размер" организации, то есть число ее участников и структура их информационного взаимодействия. Одним из простейших способов формализации описанной выше качественно задачи является введение в целевую функцию АЭ или АС в целом (центра) показателя, который бы обеспечивал убывание целевой функции с ростом числа участников АС, с которыми ему приходится обмениваться информацией (получать заявки, информацию о состоянии, передавать управляющие воздействия и т.д.). Тогда, наряду с задачей собственно управления (синтеза механизма управления фиксированной АС), можно было бы решать задачи разбиения АЭ по подсистемам, задачи определения числа уровней иерархии, числа промежуточных центров и др., благо, что соответствующий математический аппарат уже достаточно развит в исследовании операций (задачи математического программирования, задачи о назначении и т.д.). Проблема заключается в том, что для введения в целевые функции конкретных "информационных" показателей необходимо иметь модели, которые достаточно адекватно описывали бы процессы переработки информации участниками организационной системы. Таких универсальных показателей и моделей на сегодняшний день, к сожалению, нет. Более того, проблемы описания информационного взаимодействия возникают не только в теоретико-игровых моделях функционирования иерархических систем, но и в гораздо более широком круге явлений и процессов – в человеко-машинных системах, системах связи [14,106], в процессах научения и адаптации в биологических, кибернетических и социально-экономических системах [69,76,105]. Отчасти существующее положение дел может быть оправдано чрезвычайной сложностью моделируемого объекта. Пожалуй, одними из немногих общепризнанных и широко используемых закономерностей являются: постулат, принимаемый всюду – от теории связи до биокибернетики, об ограниченности пропускной способности каналов передачи информации в живых и неживых системах [8,54,61,69,104,105,123] и закон Хика [113] (отражающий пропорциональность в определенном диапазоне между количеством информации, содержащейся в некотором сигнале, обрабатываемой человеком, и неопределенностью этого сигнала). Но даже эти две закономерности отражают скорее качественные, а не количественные стороны процессов, соответственно, переработки и передачи информации. Следует отметить, что при анализе информационного фактора иногда оказывается целесообразным разделение информации, получаемой и перерабатываемой управляющим органом, на несколько типов. В первом приближении очень условно можно классифицировать информацию по возможности автоматизации ее обработки. Поясним последнее утверждение. Если часть функций принятия решений управляющим органом может быть передана, например, компьютерным системам поддержки принятия решений [92,93], обрабатывающим значительную "количественную" составляющую информационного потока, то это позволяет уменьшить его информационную нагрузку. В этом случае иногда может оказаться возможным, например, часть центров промежуточного уровня заменить их "эмуляторами" и рассматривать метасистему как одного участника АС – "штаб" центра, который моделирует внутри себя функционирование двух верхних уровней иерархии. Однако возможности автоматизации механизма принятия решений ограничены – всегда существует некоторая часть трудно формализуемых, качественных показателей и параметров (например, психологические, социальные и др. аспекты взаимодействия подчиненных). Зачастую, именно возможности центра по обработке качественной, "человеческой" составляющей информации являются ключевыми. Поэтому при анализе влияния информационного фактора необходимо учитывать как качественную неоднородность информации, так и возможность автоматизации ее обработки. Итак, можно констатировать, с одной стороны, востребованность общих количественных результатов, отражающих ограничения на объем перерабатываемой информации в сложных системах, а с другой – вынужденную необходимость использования в конкретных моделях частных, иногда даже спорных, гипотез и зависимостей (см. обсуждение в [76]). Поэтому ниже в настоящем разделе рассматриваются несколько Поэтому ниже в настоящем разделе рассматриваются несколько достаточно частных моделей, отражающих информационные ограничения в иерархических АС и выполняющих функцию иллюстративных примеров. Рассмотрим набор из N активных элементов. Предположим, что каждый из АЭ для принятия решения (например, вычисления равновесной точки – см. раздел 1.5) должен получить некоторую информацию обо всех своих партнерах. Количество информации растет с ростом числа АЭ. Если возможности каждого АЭ по переработке информации ограничены – большая информация требует большего времени для переработки, а эффективность решения зависит от времени его принятия, то возникает задача определения оптимального числа АЭ в системе. Пример 1.6.1. Пусть в АС, состоящей из N однородных АЭ множество допустимых действий АЭij: Aij = [A-;

A+]. Обозначим = A+ – A-, тогда информация, требующаяся для идентификации допустимых действий, составляет [14,106] 25: H = ln. Учет фактора времени произведем следующим образом: зависимость текущей эффективности некоторого решения (управляющего воздействия или выбора конкретной стратегии) дисконтируется с множителем : (t) = 0 e-t, где 0 – эффективность немедленной реализации решения. Если H0 = H, [0;

1] – верхнее ограничение количества информации, перерабатываемой одним АЭ в единицу времени, то время, затрачиваемое одним АЭ на переработку информации о своих партнерах, составит: t(N) = H/H0 = N/. Пусть эффективность деятельности АС имеет постоянный доход на масштаб [22,73,118], то есть 0(N) = N. Тогда зависимость текущей эффективности от числа АЭ имеет вид: (N) = N exp ( – N / ). Максимум эффективности (оптимальный "размер" организации) достигается при N = Nmax = /. Качественный анализ выражения для Nmax позволяет придти к следующим вполне соответствующим практическому опыту выводам: оптимальное количество АЭ не зависит от коэффициента пропорциональности ;

с ростом коэффициента, отражающего степень учета будущего, оптимальный размер АС уменьшается (то есть в быстро меняющихся внешних условиях организации меньшего размера более эффективны – существенным становится эффект инерционности принятия решений, Можно надеяться, что использование неудачной, но исторически сложившейся, системы обозначений, в которой доход центра и энтропия обозначаются одним символом не приведет к путанице. Кроме того, отметим, что энтропия определена выше с точностью до мультипликативной константы [14,95].

зависящий от размера организации);

с ростом возможностей элементов АС по обработке информации оптимальный размер организации увеличивается. • Интересно отметить, что в примере 1.6.1 рассматривалось взаимодействие АЭ, находящихся на одном – низшем – уровне иерархии, причем, если применить аналогичные рассуждения к промежуточным уровням иерархии – например – к некоторому промежуточному центру, то получится следующий качественный вывод: чем выше уровень иерархии, тем меньшее количество управляемых объектов должно находиться в подчинении управляющего органа, расположенного на этом уровне. Последнее утверждение следует из того, что центрам промежуточного уровня, помимо информации о подчиненных АЭ, необходимо обрабатывать информацию от участников того же уровня. Поэтому можно предполагать, что с точки зрения информационных ограничений при однородных участниках (обладающих одинаковыми способностями к переработке информации и принятию решений) на каждом уровне иерархии должно находиться не больше промежуточных центров, чем на более низком уровне. В случае идеального агрегирования информации последнее утверждение может выполняться как тождество (число элементов в каждой из подсистем на каждом уровне иерархии может быть одинаковым), и может нарушаться, если на более высоких уровнях иерархии находятся элементы, обладающие более высокими способностями к переработке информации, чем элементы нижнего уровня (что, к счастью, иногда имеет место на практике). Следует признать, что в реальных организационных системах нередко имеет место обратное соотношение – чем выше уровень иерархии, тем больше число подчиненных у соответствующего управляющего органа. Отчасти это расхождение может быть объяснено путем разделения управляемых субъектов на непосредственно подчиненных данному органу управления и вспомогательных, обеспечивающих деятельность соответствующих подсистем. Аналогом рассмотренной в примере 1.6.1 модели является модель, в которой каждый АЭ должен потратить определенное время на коммуникацию с каждым из партнеров в условиях ограниченности общего времени их совместного функционирования. Пример 1.6.2. Предположим, что АС состоит из N АЭ, каждый из которых способен произвести в единицу времени единиц продукции. На коммуникацию с партнерами АЭ затрачивает время t(N) = (N – 1). За период времени T собственно на производство может быть затрачено время: (T – t(N)). Если целевой функцией коллектива АЭ является максимизация количества произведенной продукции, то оптимальный "размер" АС определится из условия максимизации N (T – (N – 1)), то есть: Nmax = 1/2 (T/ + 1). Анализ выражения для Nmax позволяет сделать выводы, что при постоянном времени попарного взаимодействия АЭ с ростом периода T оптимальный размер организации растет, а при постоянном периоде с ростом времени взаимодействия АЭ – уменьшается. • До сих пор мы рассматривали АС, состоящую из набора равноправных АЭ. Предположим, что имеется двухуровневая многоэлементная АС. Информационная нагрузка на центр зависит от числа управляемых АЭ и структуры их взаимодействия. Существует множество оценок нормы управляемости, степени координируемости и т.д. (см., например, [36,44,82,97,98,100 и др.]). В ряде случаев (см. пример 1.6.3) с экономической точки зрения центр заинтересован в увеличении числа подчиненных АЭ, но существуют и информационные ограничения, следовательно, опять возникает задача определения оптимального размера АС. Следует отметить, что практическое использование моделей, в которых решаются задачи синтеза структуры, должно производиться чрезвычайно осторожно, так как оптимальные решения, как правило, не устойчивы по параметрам модели. Сильная чувствительность решения по исходным данным (которые основываются, как отмечалось выше, в большинстве своем на гипотетических построениях, субъективных оценках экспертов и т.д. [91]), требуют тщательной идентификации каждой модели до ее практического использования, иначе ее прогностическая способность может быть обоснованно поставлена под сомнение (см. обсуждение в [80] и пример 1.6.3). Пример 1.6.3. Предположим, что задача стимулирования заключается в распределении между N однородными АЭ фонда заработной платы R. Если функция затрат каждого АЭ есть c(y) = y2 / 2, а доход центра пропорционален сумме действий АЭ, то при постоянном фонде заработной платы зависимость эффективности стимулирования от числа АЭ имеет вид: *(N) = 2 RN – R.

Содержательно, так как выполнено А.3'' (c'(0) = 0), то центру выгодно задействовать как можно большее число АЭ, стимулируя их за выполнение сколь угодно малых планов потому, что в окрестности действия, минимизирующего затраты (y = 0), предельные затраты каждого АЭ минимальны. Следовательно, при фиксированном фонде заработной платы (максимум *(N) по R достигается при ФЗП, пропорциональном числу АЭ в АС: R* = N/2 ) центр заинтересован в неограниченном увеличении числа АЭ, что и имело место в бывшем СССР (напомним, что мы не обязаны гарантировать АЭ даже сколь угодно малую положительную полезность). Ситуация меняется, если управляющие возможности (возможности по переработке информации) центра ограничены. В большинстве работ (см., например, [82,97]) используется следующая оценка числа связей между подчиненными АЭ, контролируемыми центром: 2N. Содержательно, эта оценка соответствует числу возможных коалиций, и, следовательно, связей между N АЭ (существенной в данном случае является не точная оценка а "этажный" характер зависимости сложности от числа АЭ). Учтем информационные ограничения, умножив *(N) на показатель 2-N, где 0, то есть: (N) = ( 2 RN – R) 2-N.

Максимум выражения (N) по N достигается при N = Nmax, где R Nmax = 1 + 1 + 2 R ln.

Полученное для оптимального числа АЭ выражение непрерывно по информационному параметру. Однако, следует помнить, что мы воспользовались оценкой *(N), полученной в предположении неограниченных возможностей центра. Поэтому на самом деле сколь угодно малая неточность определения может привести к снижению эффективности на конечную величину. • В рассмотренном примере зависимость эффективности решений центра от числа АЭ была выбрана достаточно произвольной. В следующем примере ограниченность информационных возможностей центра "выводится" из теоретико-информационных рассуждений. Пример 1.6.4. Предположим, что в двухуровневой многоэлементной активной системе за рассматриваемый период времени центр может переработать H0 единиц информации. Пусть i – точность измерения (абсолютная погрешность) состояния i-го АЭ. Тогда функция стимулирования должна иметь "зону нечувствительности", то есть АЭ не должен наказываться за неидентифицируемые центром отклонения его состояния – компоненты вектора y от плана – компоненты вектора x: i(xi,yi) = ci ( x i ), y i [ x i i ;

x i + i ]. y i [ xi i ;

xi + i ] 0, Если функция дохода центра H(y) = ci(yi) = i yi, функция затрат АЭi – 2 y i /2i, то гарантированная эффективность системы стимулирова ния, реализующей план x при наблюдении состояний АЭ с погрешностью, равна: Kg(x, ) = i (xi – i) – i ci(xi) = i ( xi – xi /2i ) – 2 i i, Обозначим = (1, 2,..., N). Если Ai = [A-i;

A+i], i = A+i – A-i, тогда количество информации, получаемое при измерении состояния АЭ равно [14]: Ii(i) = ln i – ln i. Ограниченность возможностей центра по переработке информации накладывает на совокупность ошибок измерений следующее условие:

i Ii(i) H0.

При заданном фонде суммарного стимулирования (фонде заработной платы) R задача стимулирования в рассматриваемой АC со слабо связанными АЭ имеет следующий вид:

g K ( x, ) max x,. ci ( x i ) R i I i ( i ) H 0 i При выбранном виде целевых функций задача стимулирования распадается на две несвязанные задачи – определения оптимального плана и определения оптимальной точности измерений состояний АЭ. Решение первой задачи: xi = i второй задачи: i = exp ( H 0 / N), где ~ ~ 2 R / B, где B = H0= i i. Решение i ln i – H0.

Содержательно оптимальные планы совпали с планами, оптимальными в задаче стимулирования с точными измерениями состояний АЭ (см. раздел 1.3 и другие примеры), а оптимальная точность измерений оказалась одинаковой для всех АЭ, что обусловлено одинаковым вкладом всех АЭ в целевую функцию центра. Если все АЭ одинаковы, то максимальная гарантированная эффективность стимулирования равна:

g K max (N) = 2 RN – R – N exp ( – H0 / N), g Функция K max (N) вогнута по N, следовательно, существует опти мальный при заданных ограничениях "размер" активной системы. • Рассмотренные в настоящем разделе частные модели ни в коем случае не следует рассматривать как некий полный комплекс моделей стимулирования, отражающих информационные эффекты в иерархических многоуровневых АС. Нашей целью, скорее, было, с одной стороны, максимально убедительно продемонстрировать наличие информационного фактора, а с другой – призвать специалистов по управлению социально-экономическими системами, психологии, теории информации и др. к дальнейшему теоретическому и практическому исследованию этого богатейшего класса задач.

1.7. УНИФИЦИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ Рассматриваемые в предыдущих разделах задачи стимулирования заключались в определении зависимости поощрения или наказания каждого конкретного активного элемента от результатов его деятельности. Такие системы стимулирования в [22] было предложено называть индивидуальным стимулированием. В отличие от индивидуального стимулирования, центр может использовать одну и ту же для всех АЭ зависимость поощрения от результатов деятельности (выбираемые различными АЭ действия при этом, естественно, могут быть различными). Если зависимость выплат от действий и/или результатов деятельности одинакова для всех АЭ (или их части), то такую систему стимулирования назовем унифицированной. Как отмечалось во введении, привлекательность унификации управления заключается в снижении информационной нагрузки на управляющие органы (позитивное влияние информационного фактора). В то же время, использование "уравниловки" может привести к снижению эффективности управления. Поэтому исследуем более подробно преимущества и недостатки унифицированных систем стимулирования.

Рассмотрим задачу синтеза унифицированной системы стимулирования в двухуровневой АС. Целевая функция центра имеет вид: (y) = H(y) – ( yi ), а целевая функция i-го АЭ:

i = n (1.7.1) fi(yi) = (yi) – ci(yi). Пусть требуется использовать унифицированную систему стимулирования из заданного класса, например – скачкообразную систему стимулирования (С-типа и один план для всех АЭ [81]), пропорциональную систему стимулирования (L-типа с единой ставкой оплаты [81]) и т.д. Рассмотрим задачу синтеза унифицированной системы стимулирования первого рода, в которой центр назначает общий для всех АЭ план и использует унифицированную систему стимулирования С-типа. Если целевая функция центра монотонна по действиям всех активных элементов и нет ограничений на стимулирование то, очевидно, следует назначать максимальный допустимый план. Отметим следующий качественный эффект. Использование унифицированной системы стимулирования фактически сводит непрерывную задачу к дискретной – характерными точками являются правые границы множеств реализуемых действий АЭ – назначать планы, отличные от одной из этих точек, не имеет смысла и, более того, не эффективно [22,24,81]. Поясним последнее утверждение. Если при индивидуальном стимулировании в АС со слабо связанными элементами увеличение ограничения на суммарное стимулирование, условно говоря – на фонд заработной платы (ФЗП), приводит к (непрерывному) изменению эффективности стимулирования, то в АС с унифицированными системами стимулирования дело обстоит иначе. В силу отмеченной выше "дискретности" соответствующей задачи стимулирования, увеличение (в определенных пределах) ФЗП может не изменять оптимального плана и, следовательно, снижать эффективность управления. Другими словами, существует минимальная величина (пороговое значение) увеличения суммарного ФЗП, на которое система реагирует (см. алгоритм (1.7.5)-(1.7.7), а также подробное описание модели в [26]). Аналогичный эффект имеет место и в задаче второго рода, к описанию которой мы переходим. Сначала, в качестве иллюстрации, рассмотрим следующий пример. Пример 1.7.1. Пусть ставка оплаты 0 одинакова для всех активных элементов, то есть i(yi) = yi. Если функция затрат i-го АЭ: ci(yi) = i y 2, i 0, то максимум его целевой функции достигается в точке i * yi =. Если целевая функция центра равна H(y) = 2 i i yi, i 0, то i = n зависимость его полезности от ставки оплаты имеет вид: () = i = N i 2 i – 2 i =1 N N 1 2i i.

Найдем оптимальную величину ставки заработной платы, максими зирующую вогнутую функцию (): * = 1 i =1 i i =1 N i. Максимальное значе ние целевой функции центра, которое мы обозначим K1, равно K1 = 1 N i i =1 i. N i = i Оценим теперь ту выгоду или те потери, которые центр несет из-за необходимости использования унифицированной системы стимулирования. Для этого вычислим значение целевой функции центра при использовании индивидуального пропорционального стимулирования (когда для каждого АЭ устанавливается индивидуальная ставка заработной платы i). В этом случае () = i = N i i i 2 i, где = (1, 2,..., N). Максимум этой функции по 0 достигается при * = i /2, i = 1, N и не зависит i от. Содержательно последнее условие вполне соответствует рассуждениям, приводимым в теории предельной полезности: должна быть выбрана такая точка, в которой приращение дохода центра от увеличения действия каждого активного элемента в точности равно приращению затрат на стимулирование [81,138]. При использовании оптимальных индивидуальных систем стимулирования L-типа максимальное значение целевой функции центра, которое мы обозначим K2, равно K2 = 1 i = N i2 i.

Перейдем теперь к исследованию общего случая задачи синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования из заданного класса. Пусть выполнено предположение А2' и центр должен назначить унифицированную систему стимулирования QK-типа с одним "скачком": (1.7.2) (x,yi) = • Величину K = K2 – K1 можно условно назвать "ценой унификации".

u, yi = x, 0, yi x где u – некоторая неотрицательная величина, x – общий для всех АЭ план. Обозначим P(x, u) – множество тех АЭ, у которых затраты в точке x не превышают u, то есть (1.7.3) P(x,u) = {i I | ci(x) u}. Тогда действия { (1.7.2), удовлетворяют: (1.7.4) * y i }, реализуемые системой стимулирования x, i P ( x, u ) *. y i (x,u) = min yi, i P( x, u ) Суммарные затраты на стимулирование при использовании центром системы стимулирования (1.7.2), в силу (1.7.4), равны Q(x,u) = u |P(x,u)|, где |P| – число элементов множества P. Очевидно, |P(x,u)| не убывает по u и не возрастает по x. Более того, зависимость y i (x,u) не является непре * рывной. Поэтому для каждого x A существует конечное число минимальных затрат на стимулирование, при которых изменяется число АЭ, выполняющих план x: {c1(x), c2(x),..., cN(x)}. В общем случае задача стимулирования является достаточно сложной с вычислительной точки зрения, но вполне решаемой численно, оптимизационной задачей поиска пары (x,u), удовлетворяющей заданным ограничениям. Простое аналитическое ее решение можно найти для ряда рассматриваемых ниже частных случаев. Предположим, что целевая функция центра аддитивна по АЭ, то есть H(y) = H i ( yi ), i = N а активные элементы, независимо от их действий, могут быть упорядочены по затратам, то есть y A c1(y) c2(y)... cN(y). Алгоритм решения данной задачи, по аналогии с двушаговым методом решения одноэлементной базовой задачи стимулирования второго рода [19,81] состоит из трех этапов. На первом этапе для каждого k = 0, N определяются (условимся, что, если верхний индекс суммирования меньше нижнего, то вся сумма равна нулю) следующие зависимости: (1.7.5) k(x) = H i ( x) i = k + i = k + H i ( yimin ) N – k ck(x).

Содержательно, k – число АЭ, выполняющих план. В силу предположения упорядоченности АЭ по затратам, если k-му АЭ выполнять план выгодно, то это выгодно и всем АЭ, имеющим меньшие номера в упорядочении затрат. Таким образом, имеем N+1 возможную комбинацию (начиная с того, что ни один из АЭ не выполняет план, и заканчивая тем, что все они его выполняют). Качественно, введение предположения об упорядоченности АЭ по затратам уменьшает число возможных комбинаций – в общем случае при фиксированном плане число этих комбинаций порядка 2N. Более того, если упорядочение АЭ по затратам зависит от их действий, то число возможных комбинаций еще более возрастет. На втором этапе для каждого k = 0, N определяется максимум (1.7.5) по множеству допустимых планов, то есть ищется какой план следует назначить, если известно, что выполнять его будут заданное число АЭ: (1.7.6) * = max k (x). k x A На третьем шаге определяется набор АЭ (их число в случае упорядоченности затрат), выполнение плана которыми доставляет максимум целевой функции центра: (1.7.7) k* = arg max *. k k = 0, N Эффективность стимулирования при этом равна K3 = k*.

* Таким образом, в результате применения описанного алгоритма определяется число АЭ, которые выгодно стимулировать в смысле побуждения к выполнению плана (это первые k* АЭ в их упорядочении по затратам) и оптимальный план x* = arg max k * (x). Отметим, что расx A смотренный алгоритм соответствует отсутствию ограничений на унифицированную функцию стимулирования. Если присутствуют ограничения сверху на индивидуальные поощрения АЭ или на суммарный фонд стимулирования, то на втором и третьем этапах максимумы должны вычис ляться по таким планам и комбинациям АЭ, которые удовлетворяют имеющимся ограничениям. Сравнение эффективности данного унифицированного механизма с эффективностью соответствующего механизма индивидуального стимулирования позволяет придти к выводу, что "ценой унификации" является следующая разность: (1.7.8) K = max {Hi(yi) – Qi(yi)} – y A i = i i N – max max { H i ( x ) + k = 0, N x A i = k i = k + H i ( yimin ) N – k ck(x)}.

Если присутствуют дополнительные ограничения на стимулирование, то максимумы в (1.7.8) должны вычисляться по соответствующим множествам. В качестве иллюстрации возможной неэффективности унифицированных систем стимулирования QK-типа в задачах второго рода рассмотрим следующий пример. Пример 1.7.2. Пусть ci(yi) = i y i, 1 2 3, yi 0, Hi(yi) = iyi, i I, Тогда x A: 0(x) = 0;

1(x) = 1x – 1x2;

2(x) = (1+2)x – 22x2;

3(x) = (1+2+3) x – 33x2;

* * * x1 = 1/21;

x 2 = (1+2)/42;

x 3 = (1+2+3)/6 3;

2 2 2 * * * 1 = 1 /41;

2 = ( 1 + 2 ) /82;

3 = ( 1 + 2 + 3) /123. При использовании индивидуальной системы стимулирования yi * = i/2i, i I. Следовательно, эффективность индивидуального стимулирования равна: K* = i. i =1 4 i 3 Выбрав конкретные числовые значения 1 = 1, 2 = 2, 3 = 3, 1 = 2 = 3 = 1, получаем, что независимо от числа АЭ, выполняющих план, эффективность унифицированного стимулирования равна K3 = 1/4. Эффективность же индивидуального стимулирования – K* = 11/24 > 1/4. Относительные потери составляют K = * K K 3 = 5/11, то есть поряд* K ка 45%. В рассматриваемом примере унификация "обходится" примерно в половину эффекта! • Таким образом, в некоторых АС (см. задачи второго рода [81] с системами стимулирования L-типа и С-типа в примерах 1.7.1 и 1.7.2, соответственно) использование унифицированных систем стимулирования может приводить к снижению эффективности. В то же время, в некоторых АС, точнее – в задачах стимулирования L-типа в АС со слабо связанными АЭ, имеющими функции затрат типа Кобба-Дугласа, оптимальными являются именно унифицированные системы стимулирования. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример, предложенный В.Н. Бурковым. Пример 1.7.3. Пусть функции затрат АЭ имеют вид: ci(yi,ri) = 1 1- yi ri, i = 1, N, 1, а центр может использовать только пропорциональные индивидуальные системы стимулирования: i(yi) = i yi. Таким образом, целевая функция АЭ имеет вид: fi(yi) = i yi – ci(yi). Вычислим действие, выбираемое АЭ при использовании центром некоторой фиксированной системы стимулирования: (1.7.9) y i (i) = i1/(-1) ri, 1 /(-1) i ri.

* и определим минимальные затраты на стимулирование, по реализации этого действия: (1.7.10) i(i) = Пусть центр заинтересован в выполнении активными элементами плана R по суммарному выпуску с минимальными затратами на стимулирование. Тогда его цель заключается в выборе ставок оплаты {i} в результате решения следующей задачи:

N i ( i ) min { i } (1.7.11) i =1N. * y i ( i ) = R i = Решение задачи (1.7.11) имеет вид:

R (1.7.12) i = 1, N = W * i (), где W = i = N ri. Так как оптимальные ставки оплаты одинаковы для всех АЭ, то оптимальна именно унифицированная система стимулирования (отметим, что совпадение величин * i, i = 1, N, обусловлено специфи кой задачи – видом целевой функции, функций затрат АЭ и т.д.). Двойственной к задаче (1.7.11) является задача максимизации суммарного выпуска при ограниченном фонде стимулирования:

N * y i ( i ) max { i } (1.7.13) i =1 N. i ( i ) = R i = Решение задачи (1.7.13) имеет вид: (1.7.14) i = 1, N * = ( i R /( 1) ), W то есть в двойственной задаче (естественно) оптимальным решением также является использование унифицированных систем стимулирования. • Более того, унифицированные пропорциональные системы стимулирования оптимальны (в классе пропорциональных систем стимулирования) в более широком классе АС. Более конкретно, пусть функции затрат АЭ имеют вид: (1.7.15) ci(yi, ri) = ri ( yi ri ), где (.) – гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция (в примере 1.7.3 (t) = * 1 t ). Тогда получаем, что реализуемое действие определяет ся следующим образом: (1.7.16) y i (i) = ri ' -1(i), где ' -1(.) – функция, обратная производной функции (.) (ср. с (1.7.9)). Минимальные затраты на стимулирование равны (ср. с (1.7.10)): (1.7.17) i(i) = ( ' -1(i) ). Решение задачи типа (1.7.11) для рассматриваемого случая имеет вид (ср. с 1.7.14)): (1.7.18) i = 1, N * = ' i () R. W Таким образом, унифицированные пропорциональные системы стимулирования оптимальны в активных системах со слабо связанными АЭ, функции затрат которых имеют вид (1.7.15). Таким образом, во-первых, в многоуровневых активных системах использование унифицированных систем стимулирования (как и систем коллективного стимулирования – см. раздел 1.5) снижает информационную нагрузку на управляющие органы, то есть имеет место положительный информационный эффект (проявление информационного фактора). Во-вторых, иногда эти системы стимулирования оказываются оптимальными (см. пример 1.7.3). В-третьих, возможность использования общих для всех АЭ управляющих параметров оказывается важной в механизмах планирования (см. гипотезу слабого влияния и механизмы открытого управления в [17,22,24] и раздел 2.5 настоящей работы). С другой стороны, как было показано выше, переход от индивидуального к унифицированному стимулированию может приводить к потере заинтересованности в результатах деятельности и, следовательно, к потере эффективности (условно эти потери можно отнести к фактору агрегирования). Поэтому "цена унификации" (1.7.8) может быть использована как оценка для сравнения преимуществ, обусловленных информационным фактором и потерь, вызванных наличием фактора агрегирования (см. более подробно обсуждение взаимосвязи факторов в главе 4).

1.8. СТИМУЛИРОВАНИЕ КАК ПЕРЕРАСПРЕДЕЛЕНИЕ ДОХОДОВ На практике широко распространено вознаграждение экономических агентов в зависимости от показателей финансовой деятельности организации, в которой они работают. Например, выплата бонусов, льготная продажа акций компании-работодателя, вознаграждения по итогам деятельности за отчетный период и т.д. В этом случае задача стимулирования может рассматриваться как задача перераспределения доходов, точнее – распределения дохода центра между ним и активными элементами. Качественно, использование таких систем поощрения позволяет координировать интересы организации в целом и ее членов. Подобные эффекты могут достигаться, когда целевая функция АС (центра, выражающего интересы системы в целом) монотонна по значениям целевых функций активных элементов (см., например, [26]), или когда целевая функция АЭ монотонно зависит от значения функции дохода центра. Рассмотрим последний случай более подробно, а именно предположим, что стимулирование в двухуровневой АС заключается в распределении между АЭ части дохода всей системы, то есть дохода центра от деятель ности АЭ (более корректно, будем считать, что каждый АЭ получает в качестве вознаграждения часть своего "вклада" в доход центра). Пусть в одноэлементной активной системе функция стимулирования представляет собой определенную долю дохода центра: (1.8.1) (y) = H(y), где [0,1]. Целевые функции центра и АЭ имеют соответственно вид: (1.8.2) (y) = (1 – ) H(y) (1.8.3) f(y) = H(y) – c(y). Систему стимулирования вида (1.8.1) назовем системой стимулирования D-типа. Из литературы известны три потенциальных претендента на использование в задачах стимулирования второго рода: скачкообразные системы стимулирования (С-типа, точнее QK-типа), пропорциональные системы стимулирования (линейные – L-типа) и системы стимулирования, основанные на доходе центра (D-типа) [81]. Возникает закономерный вопрос – как соотносятся эффективности этих систем стимулирования, то есть какую из них следует использовать на практике, если не наложено дополнительных ограничений (на максимальный размер индивидуального поощрения, суммарный ФЗП и т.д.). Перейдем к сравнению эффективностей, которые обозначим, соответственно, KQK, KL и KD. Напомним, что система QK-типа оптимальна [22,81], то есть имеет максимальную эффективность среди допустимых систем стимулирования;

кроме того, в работе [81] доказано, что KQK KL. Пусть выполнено А3'', а целевая функция центра вогнута и дифференцируема, тогда эффективности соответствующих систем стимулирования в одноэлементных АС задаются следующими выражениями (символ " ' " обозначает производную): (1.8.4) KQK = max {H(y) – c(y)};

y A (1.8.5) KL = (1.8.6) KD = max {H(c' -1()) – c' -1()};

max {(1 – ) H(y*())}, 0 где c' -1() – функция, обратная производной функции затрат АЭ, а y*() удовлетворяет следующему уравнению: (1.8.7) H'(y*) = c'(y*). В многоэлементных системах задача синтеза оптимальной системы стимулирования D-типа формулируется полностью аналогично. Отметим, что решение задачи перераспределения доходов в многоэлементной АС тривиально в случае аддитивности и монотонности функции дохода центра (по "вкладам" АЭ) и упорядоченности затрат АЭ (см. раздел 1.7). В этом случае задача решается в два этапа. На первом этапе для фиксированной доли дохода центра, используемого на стимулирование, ищется оптимальное его распределение между АЭ: (1.8.8) i = 0, i j, j =, где j = arg max ci' -1().

k =1, N Такой вид оптимального распределения стимулирования между АЭ обусловлен именно аддитивностью дохода центра и упорядоченностью затрат АЭ: центру оказывается выгодным весь ресурс выделить одному АЭ, который, условно говоря, наиболее эффективно его использует. На втором этапе ищется оптимальная величина : (1.8.9) * = arg max (1 – ) max ci' -1().

[ 0 ;

1] k =1, N Пример 1.8.1. Пусть функция затрат i-го АЭ равна ci(yi) = i N 2 yi, а целевая функция центра равна H(y) = i yi. Предположим, что центр i = имеет возможность использовать индивидуальные системы стимулирования QK-типа или L-, или D-типа. Эффективности стимулирования, вычисленные в примере 1.7.1, равны: KL = 1 i = N i i, KQK = 1 i = N i i.

Очевидно, что KQK / KL = 2, то есть система стимулирования QKтипа имеет в два раза большую эффективность, чем пропорциональная система стимулирования. Вычисляя y*(i) = i KD(, {i}) = i 2 i, получаем, что:

1 (1 – ) i i = N i i, i 0, i i = N =.

При фиксированном максимум KD(,, {i}) по {i} достигается при i = 0, i j, j =, где j = arg max { k =1, N i2 i }.

Максимум по достигается при = 1/2, то есть в случае, когда половина дохода, полученного центром от деятельности каждого АЭ остается у центра, а половина выплачивается в качестве вознаграждения j-му активному элементу. Отметим, что такое простое правило определение доли дохода, выплачиваемой в виде поощрения, справедливо только в рамках введенных предположений (аддитивность и линейность дохода центра, квадратичность затрат АЭ и т.д.). Таким образом, KD = 1 max { k =1, N i2 i }. Следовательно, в рассмотрен ном примере KD < KQK, то есть оптимальна индивидуальная система стимулирования QK-типа, причем, если АЭ однородны, то: KQK / KD = 2N, KL / KD = 2 N. • В общем случае при принятии решения о выборе конкретной системы стимулирования следует вычислить и сравнить величины KD, KQK и KL, задаваемые (1.8.4)-(1.8.6). Если в трехуровневой АС отсутствует экономический фактор, то задача стимулирования, сформулированная как задача перераспределения доходов, сводится к соответствующей задаче в двухуровневой активной системе, так как промежуточные центры в этом случае выступают в роли координирующих органов, не имеющих собственных интересов и перераспределяющих ресурс внутри подсистем. Если экономический фактор присутствует и распределяемый между участниками АС доход определяется как сумма их доходов, то, в силу замкнутости такой системы стимулирования, даже при отсутствии условия индивидуальной рациональности, любое перераспределение дохода приведет к невозрастанию значения целевой функции хотя бы одного участника. Таким образом, с одной стороны, при использовании в многоуровневых АС систем стимулирования, основанных на перераспределении доходов, присутствуют как организационный фактор, так и фактор агрегирования. С другой стороны, следует подчеркнуть чрезвычайную неэффективность систем стимулирования D-типа, имеющую следующее качественное объяснение. Реализуемым называется действие, максимизирующее целевую функцию активного элемента. При использовании центром оптимальной системы стимулирования QK-типа, которая разрывна, условия реализуемости имеют вид системы неравенств (см. [81], а также разделы 1.1-1.3). Если функции затрат удовлетворяют А.3'', то при использовании систем стимулирования L-типа или D-типа условия реализуемости некоторого действия имеют "дифференциальный" вид (точка максимума определяется вычислением производных и их анализом). Оставаясь в фиксированном классе (линейных или каких либо других) функций мы вынуждены сравнивать предельные полезности центра и активных элементов, что приводит к увеличению затрат на стимулирование и, следовательно [81], к снижению эффективности стимулирования. Содержательно, ограничиваясь параметрическими классами систем стимулирования (пропорциональными, основанными на перераспределении дохода и др.), центр сужает множество возможных механизмов стимулирования, тем самым заведомо обрекая себя на потери в эффективности управления. Поэтому использовать параметрическое стимулирование следует гибко, то есть, не фиксируя априори некоторые параметры (ставки заработной платы, нормативы распределения дохода и т.д.), а, по крайней мере, настраивая их всякий раз для каждого АЭ и каждой подсистемы с учетом индивидуальной специфики последних.

1.9. НАДЕЖНОСТЬ МЕХАНИЗМОВ УПРАВЛЕНИЯ МНОГОУРОВНЕВЫМИ АКТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ Выше неоднократно подчеркивалось, что основанием для выделения тех или иных факторов, характерных для многоуровневых АС, является их влияние на эффективность управления. Наряду с эффективностью, важной характеристикой функционирования любой системы является ее надежность (см. определение ниже). Высокая (по сравнению с неиерархическими структурами) надежность и адаптивность поведения иерархических структур неоднократно обсуждалась в литературе по управлению [66,71,72 и др.]. Поэтому настоящий раздел посвящен определению понятия надежности механизма управления и изучению ее свойств в двухуровневых и многоуровневых организационных системах. При этом надежность рассматривается с точки зрения, принятой в настоящей работе, то есть выясняется – чем определяется надежность механизма управления, является ли надежность одним из факторов, влияющих на эффективность, или она является следствием других факторов, следует ли ее выделять в качестве отдельного фактора, и т.д. Для того чтобы понять роль надежности как характеристики функционирования некоторой системы (неважно – одноуровневой, двухуровневой, или имеющей большее число уровней иерархии), необходимо вспомнить определение эффективности функционирования (эффективности управления). Предположим, что имеется некоторая детерминированная система – активная или пассивная. Выделим в этой системе управляющий орган и управляемый объект. Критерием такого разделения является возможность управляющего органа целенаправленно влиять на состояние управляемого объекта посредством выбора управляющих воздействий. Обозначим y A – состояние управляемого объекта, P() – 84 множество состояний этого объекта, зависящее от управляющего воздей множество состояний этого объекта, зависящее от управляющего воздействия M, принадлежащего допустимому множеству M (при использовании управления управляемый объект оказывается в одной из точек множества P()). Введем на множестве AM скалярный (для простоты) функционал K(y,): A M 1, который назовем критерием эффективности функционирования системы. Критерий эффективности сопоставляет каждому значению пары "состояние – управление" некоторое число, причем считается, что вид функционала K(.,.) таков, что чем больше это число, тем "лучше" (естественно, с чьей-то фиксированной точки зрения – см. ниже). Величину (1.9.1) K() = max K(y, ) yP ( ) назовем эффективностью управления M (эффективностью механизма управления), а величину Kg() = min K(y,) – гарантированной эффекyP ( ) тивностью управления. Задача управления (точнее – задача синтеза оптимального управляющего воздействия) заключается в выборе такого M, на котором бы достигался максимум (1.9.1), то есть оптимальным считается управление, имеющее максимальную эффективность. Обозначим решение задачи управления (1.9.2) * = arg max K() = arg max { max K(y, )}.

M M yP ( ) Отметим, что до сих пор при определении эффективности управления мы не делали различий между активными и пассивными системами. Обсудим теперь специфику каждого из этих классов систем. Каждая система – активная или пассивная – может рассматриваться как черный ящик, для которого известна реакция P() (выход – состояние системы) на входное воздействие (вход – начальное состояние и управление). В пассивной системе (не содержащей ни одного управляемого объекта, который обладал бы свойством активности, то есть – способностью к целенаправленному поведению), например – в динамической системе, задаваемой уравнением x = f(x, ), множество P() определяется функ& цией f(x, ). В активной системе P() является множеством решений игры управляемых активных элементов, то есть, например, в одноэлементной активной системе P() = Arg max f(y, ), где f(.,.) – целевая функция активноy A го элемента. В пассивной системе критерий эффективности K() отражает цель управления, определяемую создателем системы управления. В активных системах предполагается, что критерий эффективности отражает интересы активного субъекта – управляющего органа. Схожесть источников возникновения критериев эффективности в обоих типах систем является объяснением отождествления интересов центра и интересов активной системы в целом, а также отождествления интересов оперирующей стороны (центра) и интересов исследователя операций. Таким образом, с точки зрения формального определения эффективности управления активная и пассивная системы, практически, неразличимы. Содержательные различия заключаются в том, что в активной системе критерий эффективности и множество управляемых состояний элементов зависят, соответственно, от предпочтений центра и предпочтений активных элементов, в то время как в пассивной системе описание системы или ее модели подразумевает явное задание этих характеристик. Кратко рассмотрев основные подходы к определению эффективности управления, перейдем к определению понятия надежности механизма управления социально-экономической системой. В энциклопедическом словаре приведено следующее определение надежности технических систем. "Надежность – комплексное свойство технического объекта;

состоит в его способности выполнять заданные функции, сохраняя свои характеристики в установленных пределах" [СЭС, М.: Советская энциклопедия, 1988. С. 855]. Аналогичное определение может быть сформулировано и для социально-экономических систем [25]. Надежностью механизма управления организационной системой будем называть его свойство, состоящее в способности обеспечивать принадлежность основных параметров системы некоторой (заданной, допустимой и т.д.) области в процессе ее функционирования. Таким образом, определение надежности подразумевает задание совокупности параметров ее функционирования (действий, состояний, результатов деятельности и т.д., которые считаются "основными") и фиксацию некоторой области значений этих параметров, которая считается допусти мой26. Двойственным к надежности является понятие риска – вероятности нарушения основными параметрами системы границ заданной области. В то же время, риск может рассматриваться как мера (числовая характеристика) надежности. Отметим, что о надежности имеет смысл говорить только в том случае, когда результаты деятельности системы (ее основные параметры) зависят от случайных или неопределенных факторов. Поясним последнее утверждение. Приведенное выше в настоящем разделе определение эффективности управления вводилось для детерминированных систем, то есть таких систем, деятельность которых не зависит (реально или в рамках некоторой модели) от неизвестных факторов. При этом возможно полное отождествление допустимой (с точки зрения надежности) и желательной (с точки зрения критерия эффективности) областей значений основных параметров функционирования системы. Иными словами, для детерминированных систем определения надежности и эффективности совпадают – условно можно считать, что определение эффективности для этого класса систем автоматически включает определение надежности, то есть максимизация эффективности эквивалентна максимизации надежности. Сложнее дело обстоит с недетерминированными системами, к рассмотрению которых мы и переходим. Предположим, что управляющему органу известна модель поведения управляемого объекта с точностью до некоторого параметра, относительно которого известно, что он заведомо принадлежит множеству. Этот неизвестный параметр будем называть состоянием природы. Содержательно, неопределенный (с точки зрения управляющего органа) параметр может быть внешним по отношению к системе и отражать влияние на нее окружающей среды (при этом значения состояния природы могут быть известны управляемому объекту – симметричная инфорЕсли подойти к определению надежности механизма управления с более общей точки зрения, то есть учесть, что мы имеем дело не с реальными организационными системами, а с их формальными моделями, то следует признать, что определение надежности должно включать "надежность" модели как аналога некоторой реальной системы. Если модель не адекватна моделируемой системе, то надежность механизма, абсолютно надежного в рамках модели, может оказаться чрезвычайно низкой при его практическом использовании. Однако, так как исследование адекватности моделей и задач их идентификации выходит за рамки настоящей работы (см. подробное обсуждение этих вопросов в [80]), при дальнейшем изложении мы ограничимся приведенным выше определением надежности.

мированность, или неизвестны – асимметричная информированность [81]), или быть внутренним и отражать неполную информированность управляющего органа об управляемом объекте. Таким образом, состояние системы зависит от управления и неопределенного параметра, то есть P = P(, ). Следовательно, критерий эффективности функционирования K также должен зависеть от неопределенного параметра: K(y,, ): A M 1, и эффективность управления, в свою очередь, должна зависеть от этого параметра (ср. с (1.9.1)): (1.9.3) K(, ) = max K(y,, ).

yP (, ) Величина (1.9.3) может рассматриваться как косвенная оценка надежности механизма управления. Действительно, критерий сравнения надежностей различных механизмов управления может быть сформулирован следующим образом27: механизм 1 M обладает большей надежностью, чем механизм 2 M (обозначим 1 f 2), если (1.9.4) K(1, ) K(2, ). Функционал (1.9.3) (точнее – отношение " f ", определяемое (1.9.4)), зависящий от двух переменных – управления и состояния природы, одновременно учитывает обе основных характеристики функционирования системы – соответственно, эффективность и надежность. Если существует такое допустимое управление ' M, которое является максимальным по отношению " f " на множестве M, то есть при любом состоянии природы имеет эффективность, большую, чем любое другое управление ( M ' f ), то можно считать, что задача максимизации эффективности эквивалентна задаче максимизации надежности. При этом управление ' условно можно назвать идеальным (абсолютно оптимальным или доминантным – по аналогии с доминантными стратегиями в теории игр – см. раздел 1.5) – независимо от условий функционирования оно обеспечивает максимальную эффективность, то есть гарантированно является максимально надежным. Однако в большинстве случаев идеального управления не существует. Для существования идеального управления необходима "полнота" отношения " f " в смысле (1.9.4). Понятно, что в общем случае (и в большинстве случаев, наблюдаемых на практике) может иметь место: 1 2 M, 1 2 : K(1,1) K(2,1), K(2,2) > K(1,2).

Если дословно следовать введенному выше определению надежности, то критерий эффективности типа (1.9.3) легко можно ввести таким образом, чтобы он отражал "принадлежность основных параметров заданной области".

Содержательно, в различных условиях оптимальными могут оказываться различные управления. Отсутствие идеального управления делает задачу синтеза оптимального управления, обладающего максимальной надежностью "нерешаемой" в общем виде. Поясним это утверждение. Зависимость эффективности управления (1.9.3) от состояния природы превращает задачу синтеза оптимального управления в двухкритериальную. В то же время известно, что универсальных (как с точки зрения математики [45,87 и др.], так и с точки зрения психологии принятия решений [46,54,60,92 и др.]) методов решения многокритериальных задач не существует (единственная общепризнанная рекомендация – выделение множества решений, эффективных по Парето). Если по аналогии с (1.9.2) максимизировать критерий (1.9.3) на множестве допустимых управлений, то получим параметрическое управление: (1.9.5) *() = arg max K(, ) = arg max { max K(y,, )}.

M M yP (, ) Если на момент принятия решения управляющим органом (или, в случае асимметричной информированности, после наблюдения состояния управляемого объекта) конкретное значение состояния природы становится ему известно, то возможно использование параметрических решений вида (1.9.5) – например, механизмов гибкого планирования и др. [24]. При этом эффективность управления равна эффективности управления в условиях полной информированности (см. доказательство этого факта в [77]). Если же реализация состояния природы остается неизвестной управляющему органу, то использование механизмов с параметрическим управлением невозможно. Поэтому в большинстве работ по теоретикоигровому моделированию организаций используется следующий подход. Предположим, что управляющий орган производит переход от критерия K(,), определяемого (1.9.3) и зависящего от состояния природы, к детерминированному критерию K() с помощью некоторой процедуры "" устранения неопределенности [22,81]: K(, ) K(), после чего решает детерминированную задачу синтеза оптимального управления (1.9.2). Возможность использования той или иной процедуры устранения неопределенности определяется имеющейся информацией. Иными словами в рамках рассматриваемых формальных моделей поведения считается, что субъект (создатель системы управления, центр, активный элемент и т.д.) может принимать решения (то есть выбирать стратегии, максимизирующие некоторый функционал – критерий, отражающий его предпочтения и интересы) только в условиях полной информированно сти. Полная информированность в данном случае означает зависимость оптимизируемого критерия только от, во-первых, фиксированных значений (существенных внутренних и внешних параметров, стратегий остальных участников системы и т.д.), и, во-вторых, от единственной "свободной" переменной – стратегии самого лица, принимающего решение. С одной стороны, приведенное положение используется во всех моделях теории игр – производя выбор своей стратегии, игрок, так или иначе, вынужден делать предположения о поведении других игроков (см. обсуждение различных концепций равновесия в разделе 1.5 и в [22,108 и др.]). С другой стороны, предположение о принятии решений в условиях полной информированности вполне согласовано с психологическим принципом детерминистского представления, в соответствии с которым при моделировании принятия решений индивидуумом допускается, что его представления о действительности не содержат случайных переменных и неопределенных факторов, то есть последствия принимаемых решений зависят от строго определенных правил [54,76 и др.]. Следует признать, что в действительности при оценке ситуации и принятии решений любой субъект использует множество критериев. Вводимое в формальных моделях предположение о полной информированности (единственности и скалярности оптимизируемого критерия) обусловлено отсутствием, за исключением небольшого числа очень частных случаев (см. [46,54,56,60,61,69 и др.]), общих и адекватных моделей принятия решений в условиях неопределенности. Изучение процессов принятия индивидуальных и коллективных решений, а также разработка адекватно описывающих их математических моделей, является актуальнейшей задачей, которая привлекает (и, по-видимому, будет привлекать в течение еще очень долгого времени) внимание математиков, психологов и представителей других отраслей науки. Существует множество процедур устранения неопределенности (достаточно полное перечисление можно найти в [31,81,92] и другой литературе по моделям принятия решений в условиях неопределенности). Приведем три наиболее часто используемые из них. "Субъективный" критерий эффективности. Управляющий орган подставляет в критерий эффективности (1.9.3) свою субъективную (или полученную от экспертов) оценку $ состояния природы. Субъективное решение определяется:

$ (1.9.6) *( ) = arg max K(, $ ).

M Критерий гарантированной эффективности соответствует наиболее пессимистическим расчетам управляющего органа – оптимальное гарантированное решение максимизирует эффективность при наихудшем состоянии природы: (1.9.7) *g = arg max min K(, ).

M Критерий ожидаемой эффективности может быть использован, если управляющий орган имеет в своем распоряжении распределение p() вероятностей состояния природы (это распределение может отражать как его субъективные представления, так и быть полученным в результате обработки статистических данных, например – результатов наблюдений за управляемым объектом и окружающей средой): (1.9.8) *p = arg max M K(, ) p() d.

Очевидно, что если существует идеальное управление (эффективность которого максимальна при любом состоянии природы), то оно является оптимальным по всем трем приведенным выше частным критериям. С другой стороны, для решения, оптимального по одному из частных критериев, в общем случае может найтись такое состояние природы, при котором некоторое другое решение будет иметь строго большую эффективность. Использование процедур устранения неопределенности не является единственно возможным способом перехода от многокритериальной задачи управления к однокритериальной. Альтернативой является подход, заключающийся в выборе значения одного из критериев в качестве ограничения (такой прием широко используется при решении различных многокритериальных задач [45,87] и иногда называется методом ограничений). При использовании метода ограничений задача управления формулируется либо как задача поиска допустимого управления (или их множества), максимизирующего эффективность и обладающего надежностью не ниже заданной, либо как задача поиска допустимого управления (или их множества), максимизирующего надежность и обладающего эффективностью не ниже заданной. Таким образом, в рамках формальных моделей на сегодняшний день не существует универсального критерия, позволяющего объединить задачу максимизации эффективности и задачу максимизации надежности. В то же время, принцип детерминистского представления требует однокритериальности (детерминированности) задачи принятия решения управляющим органом. Следовательно, с одной стороны, эффективность механизма управления (которая, в том числе, может являться сверткой нескольких частных критериев) и надежность механизма управления являются рядоположенными его характеристиками. С другой стороны, при формулировке и решении задачи синтеза оптимального управления, являющейся задачей принятия решений, может использоваться только один критерий, поэтому, основным в рамках данного исследования предлагается считать все-таки "критерий эффективности" в широком смысле, явно (в виде ограничений, или в виде процедур устранения неопределенности и т.д.) или неявно включающий в себя как собственно критерий эффективности, так и некоторые показатели надежности. Следовательно, в определенном выше смысле надежность механизма управления является "вторичной" по отношению к достаточно широко трактуемой его эффективности. Так как эффективность и надежность являются "равноправными" характеристиками механизма управления, то возможен альтернативный подход – определить критерий надежности таким (достаточно общим) способом, чтобы он учитывал и включал в себя показатели эффективности, и постулировать, что эффективность механизма управления является "вторичной" по отношению к достаточно широко трактуемой его надежности. Оба двойственных подхода имеют право на существование. При использовании каждого из них любое описание (модель) каждой конкретной организационной системы должно удовлетворять требованию учета в оптимизируемом критерии как показателей эффективности, так и показателей надежности. Поэтому, в соответствии с принятым в настоящей работе единым методологическим подходом, для того чтобы удовлетворить принципу детерминистского представления (и скалярности предпочтений), примем, то есть условно будем считать, что первичной является "эффективность" управления, естественно, отражающая все существенные показатели надежности. Если считать, что показатели надежности включены в критерий эффективности, то целесообразно выделить "фактор надежности", проявлением которого является влияние надежностных характеристик на эффективность управления. Так как в предыдущих разделах настоящей главы уже был введен ряд факторов, влияющих на эффективность управления, в частности – в многоуровневых системах (факторы: агрегирования, экономический и др.), то необходимо исследовать как эти факторы соотносятся с фактором надежности, то есть изучить причинно-следственные связи между ними. Для этого рассмотрим два случая. Первый – частный (статический) – случай, когда механизм управления выбирается однократно на основе имеющейся информации и не учитывает возможные изменения информированности в процессе функционирования системы. Второй – общий (динамический) – случай, когда механизм управления включает в себя возможные реакции на изменение условий функционирования, информированности участников и т.д. Во втором случае поведение управляющего органа адаптивно, то есть оперативно отражает изменения в информации об управляемом объекте и окружающей среде. Наряду с надежностью отдельных элементов, ключевой характеристикой любой системы, определяющей ее надежность, является избыточность – как элементного состава, так и функций, связей и т.д. Поэтому анализ надежности статических (неадаптивных) многоуровневых систем достаточно прост. Действительно, в статике возможность повышения надежности за счет изменения централизации АС обусловлена либо увеличением надежности элементов, либо увеличением избыточности [24,25]. Следует отметить, что повышение надежности посредством увеличения избыточности требует определенных затрат и связано с такими факторами как: экономический – изменение ресурсов управления, информационный – изменение информационной нагрузки на участников системы, организационный – изменение структуры подчиненности и т.д., влияние которых может привести к изменению эффективности управления. Следовательно, возникает оптимизационная задача – определения рационального компромисса между изменениями надежности и эффективности (см. [24,25 и др.]). Например, объединение невзаимодействующих АЭ в систему (см. раздел 1.5), введение распределенных процедур принятия решений (отметим, что в большинстве современных сложных технических систем используются именно распределенные управления) и т.д. в ряде случаев приводят к увеличению избыточности и повышению надежности. При этом изменение надежности, приводящее, в свою очередь, к изменению эффективности, вызвано проявлениями других факторов: для упомянутых примеров, соответственно – организационного, экономического и др. Если система функционирует в течение нескольких интервалов времени и механизм управления учитывает изменения результатов и условий функционирования на каждом из интервалов, то есть если поведение системы адаптивно, то необходим более тонкий анализ взаимообусловленности фактора надежности и других факторов, определяющих эффективность управления многоуровневой активной системой. Следует при знать, что относительно полное изучение надежности механизмов управления адаптивными многоуровневыми системами выходит за рамки настоящей работы и требует проведения отдельного исследования. Поэтому ограничимся рассмотрением частных случаев. Пример 1.9.1. Пусть, как и в примере 1.6.3, имеется однородная двухуровневая АС с N АЭ, функции затрат которых: c(y) = y2/2. Если задача центра заключается в выполнении суммарного планового задания R с минимальными затратами на стимулирование, то, очевидно, ему следует побуждать АЭ к выбору действий: y* = R / N. Минимальные затраты на стимулирование при этом равны: (1.9.9) (R, N) = R2 / 2 N. Под надежностью в данном примере можно понимать свойство механизма стимулирования (оптимальной является квазикомпенсаторная система индивидуального стимулирования, компенсирующая затраты АЭ по достижению заданного результата * y i – см. раздел 1.3;

отметим также, что при этом значения целевых функций всех АЭ тождественно равны нулю) обеспечивать выполнение суммарного планового задания, то есть допустимая область имеет вид: {y* A | yi i = N * = R}.

Пусть имеется трехуровневая АС, состоящая из n однородных подсистем. Минимальные затраты на стимулирование по реализации плана Rj = R' в j-ой подсистеме, состоящей из nj = m однородных АЭ, равны (см. (1.9.9)): (1.9.10) j(Rj, nj) = (R')2 / 2 m. Возникает вопрос – выгодно ли объединение однородных подсистем в одну систему и совместное выполнение ими суммарного планового задания. Элементарный расчет (сравнение (1.9.9) и (1.9.10)) показывает, что в рассматриваемом примере объединение подсистем не изменяет суммарных затрат на стимулирование. Отметим, что этот результат получен для одинаковых подсистем и активных элементов, поэтому в случае неоднородных подсистем не исключено, что объединение их возможностей окажется взаимовыгодным. Предположим теперь, что в одной из подсистем (j-ой) отказали (по тем или иным причинам вышли из состава системы) k активных элементов. Если механизм управления фиксирован, то это приведет к увеличению затрат на стимулирование оставшихся (m – k) АЭ j-ой подсистемы со стороны j-го центра на следующую величину: (k) = R '2 2 k m ( mk ).

Если информация об отказавших элементах поступила до начала реализации плановых заданий, то j-ый центр имеет возможность предложить, например, (j – 1)-му центру передать последнему часть R' 0 своего планового задания, оплатив его реализацию. Обозначим передаваемую оплату q 0 и запишем условия взаимовыгодности такого перераспределения: (1.9.11) (R'+R', m) – q (R', m), (1.9.12) (R'-R', m-k) + q (R', m-k). Одним из решений системы неравенств (1.9.11)-(1.9.12) является: (1.9.13) R' = 2 kR ' + ( R ' ) 2 4R2 0, q = 2 m k ( 2 m k ) 0.

Неотрицательность решений (1.9.13) свидетельствует об их допустимости. Таким образом, наличие децентрализованной структуры управления (в частности, большого числа АЭ и подсистем) в рассматриваемом примере адаптивной АС позволяет сократить затраты на стимулирование по реализации планового задания. Несмотря на отказы, суммарное задание выполнено (свойство надежности), причем адаптивность позволила сократить затраты на стимулирование и, следовательно, повысить эффективность управления. • Рассмотренный пример является иллюстрацией гибкости механизмов управления в многоуровневых системах. Действительно, в динамике децентрализация допускает параллельное функционирование, то есть возможность локализованной (ограниченной небольшим числом затрагиваемых участников) реакции каждой подсистемы на соответствующее внешнее возмущение. Возможность относительно независимого принятия решений в подсистемах имеет ряд преимуществ. Во-первых, за счет параллелизма сокращается время принятия решений (и, в то же время, возникает необходимость учета времени на согласование отдельных решений). Вовторых, изменения в одной конкретной подсистеме иногда в меньшей степени, чем в централизованных системах, затрагивают остальные подсистемы. В-третьих, снижается информационная нагрузка – управляющие органы более высоких уровней иерархии задействуются только в том случае, если ресурсы (информационные и др.) того уровня, на который непосредственно воздействует возмущение, оказываются недостаточными для адекватной реакции на это возмущение. Таким образом, в рамках используемого в настоящей работе подхода представляется целесообразным выделение фактора надежности, проявления которого влияют на эффективность управления. Однако, как пока зывает проведенный анализ, фактор надежности является вторичным (не в смысле важности, а по причинно-следственным отношениям) по отношению к факторам: агрегирования, экономическому, неопределенности, организационному и информационному. Другими словами, первичными (то есть – причинами) являются именно перечисленные факторы, отражающие специфику многоуровневых АС. Первичные факторы влияют на вторичные (в том числе – влияют на фактор надежности), которые, в свою очередь, опосредует влияние первичных факторов на эффективность управления.

II. МЕХАНИЗМЫ ПЛАНИРОВАНИЯ МНОГОУРОВНЕВЫХ АКТИВНЫХ СИСТЕМАХ В Во второй главе рассматриваются механизмы планирования в многоуровневых активных системах: формулируется задача планирования (раздел 2.1), обсуждаются задачи идеального агрегирования и произвольной децентрализации в механизмах планирования (раздел 2.2), доказывается произвольная децентрализуемость анонимных механизмов планирования (раздел 2.3), механизмов экспертизы (раздел 2.4), механизмов открытого управления с внутренними ценами (раздел 2.5), ряда механизмов страхования (раздел 2.6). Некоторые приводимые ниже результаты является новыми не только для многоуровневых, но и для базовых – двухуровневых – активных систем: существование эквивалентных линейных механизмов экспертизы, -оптимальность механизмов открытого управления B-типа и др. В отличие от механизмов стимулирования, при исследовании механизмов планирования в настоящей главе мы будем предполагать, что центры промежуточного уровня не обладают собственными интересами и выполняют пассивную роль передатчиков информации. Поэтому в изучаемых ниже задачах планирования иногда отсутствует ряд факторов, характерных для задач стимулирования: экономический, организационный и др. Основной акцент будет сделан на анализе проявлений фактора агрегирования, то есть на проблеме оптимального (идеального) агрегирования и произвольной децентрализации (см. ниже). Естественно, в общем случае все участники системы (в том числе – управляющие органы всех уровней) обладают свойством активности, то есть имеют собственные интересы и преследуют собственные цели. Для механизмов планирования, при изучении которых значительное внимание уделяется их манипулируемости (достоверности сообщаемой информации), это означает, что центры промежуточных уровней также могут искажать информацию. Теоретико-игровые задачи манипулируемости со стороны управляющих органов (всех уровней), с одной стороны, на сегодняшний день практически не исследованы, а с другой стороны – чрезвычайно трудоемки. Поэтому в настоящей главе мы ограничимся частным случаем "пассивных" центров промежуточного уровня, отнеся анализ общего случая к перспективным направлениям будущих исследований.

2.1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ПЛАНИРОВАНИЯ Рассмотрим двухуровневую многоэлементную активную систему, структура которой приведена на рисунке 4 (см. выше). Стратегией каждого из активных элементов является сообщение центру некоторой информации sijij, i = 1, n j, j = 1, n. Центр на основании сообщенной ему информации назначает АЭ планы xij = gij(s), где gij – процедура (механизм) планирования, s ' = ij – вектор сообщений всех АЭ. Функi, j ция предпочтения АЭ: ij(xij,rij): 2 1 зависит от назначенного центром плана и некоторого параметра (связь между функциями предпочтения и целевыми функциями описана в [22,24,81]). На момент принятия решений каждому АЭ известны: процедура планирования, значение его собственного параметра (идеальной точки, точки пика), целевые функции и допустимые множества всех АЭ. Центру известны зависимости ij(.,.) и множества возможных сообщений АЭ. Последовательность функционирования следующая: центр выбирает процедуру планирования и сообщает ее АЭ, активные элементы при известной процедуре планирования сообщают центру информацию, на основании которой и формируются планы. Введем следующее предположение, которое будем считать выполненным на протяжении настоящей главы. А.7. Функции предпочтения АЭ однопиковые [24,81] с точками пика {rij}, то есть функции предпочтения непрерывны, строго монотонно возрастают до единственной точки максимума rij и строго монотонно убывают после нее. Предположение А.7 означает, что предпочтения активного элемента на множестве допустимых планов таковы, что существует единственное наилучшее для него значение плана (точка пика, идеальная точка его предпочтений), степень же предпочтительности остальных планов монотонно убывает по мере удаления от идеальной точки. Будем считать, что АЭ ведут себя некооперативно, выбирая доминантные или равновесные по Нэшу стратегии. Пусть s* – вектор равновесных стратегий. Очевидно s* = s*(r), где r – вектор точек пика. Соответствующим механизму g(.): ' N прямым механизмом планирования h(.): N N называется механизм h(r) = g(s*(r)), ставящий в соответствие вектору точек пика активных элементов вектор планов. Если в соответствующем прямом механизме сообщение достоверной информации является равновесной стратегией, то такой механизм называется эквивалентным прямым (неманипулируемым) механизмом. Результаты исследования механизмов планирования (их эффективности, манипулируемости и т.д.) в двухуровневых АС приведены в [15,17,22 и др.]. Перейдем к рассмотрению механизмов планирования в трехуровневой активной системе, структура которой приведена на рисунке 1 (см. выше). Обозначим: sij ij – сообщение i-го АЭ j-ой подсистемы соответствующему центру промежуточного уровня, i =..., 1, n j, j = 1, n ;

sj = (s1j, s2j, sn jj ) j = ij i = nj – вектор сообщений активных элементов j-ой подсистемы;

s = (s1, s2,..., sn) ' = ij i, j – вектор сообщений всех АЭ системы;

S j = Qj(sj) j – сообщение Цj центру, зависящее от полученных первым сообщений АЭ соответствующей подсистемы, Qj: j j – процедура агрегирования информации;

S = (S1, S2,..., Sn) – вектор сообщений подсистем;

s = n j.

J = План Xj, назначаемый центром j-ой подсистеме, определяется процедурой планирования (S), : n, то есть Xj = j(S), j = 1, n. План xij, назначаемый j-ым центром АЭij, определяется в соответствии с процедурой планирования j(sj,Xj) вектором сообщений активных элементов этой подсистемы и ее планом, то есть xij = ij(sj, Xj), i = 1, n j, j = 1, n.

Примем следующую последовательность функционирования: центр сообщает подсистемам процедуру (.), затем промежуточные центры сообщают АЭ процедуры (.,.), после чего АЭ одновременно и независимо сообщают информацию промежуточным центрам, а те, в свою очередь, сообщают центру агрегированную информацию. Будем считать, что на момент принятия решений участники трехуровневой АС обладают следующей информацией: функции предпочтения АЭ (с точностью до параметров) и допустимые множества известны всем участникам АС, АЭ известно точное значение параметра его собственной функции предпочтения, а также все процедуры планирования. Промежуточным центрам известна процедура планирования, выбранная центром, центру верхнего уровня становятся известны агрегированные сообщения и неизвестны сообщения АЭ в подсистемах. Таким образом, мы описали механизм планирования, то есть модель трехуровневой активной системы с сообщением информации. Если бы требовалось решить задачу синтеза оптимальной процедуры планирования, то следовало бы ввести целевые функции центров и промежуточных центров, определить эффективность как значение целевой функции на множестве решений игры АЭ (стратегией АЭ при этом в общем случае является выбор как действий, так и сообщений [22]), а затем максимизировать построенный критерий выбором процедуры планирования. Отметим, что такая последовательность является общей и используется в большинстве моделей теории активных систем [21,22,24,81 и др.]. В настоящей главе мы не будем решать задачу синтеза в явном виде, ограничившись сравнением эффективностей управления (планирования) в двухуровневой и многоуровневой (точнее – трехуровневой) активных системах. Поясним последнее положение более подробно. Пусть дана трехуровневая АС с некоторым механизмом планирования. Определим для данного механизма эквивалентный механизм планирования в соответствующей двухуровневой активной системе: (2.1.1) gij(s) = ij(sj, Xj) = ij(sj, j(S)) = ij (sj, j(Q1(s1), Q2(s2),..., Qn(sn))). Таким образом, для любого механизма планирования в трехуровневой АС существует двухуровневая АС с тем же набором АЭ и механизм планирования в ней, которые приводят к тому же назначению планов и, следовательно, к тем же равновесным сообщениям. Значит можно утверждать, что для любого механизма планирования в трехуровневой АС существует эквивалентный (не меньшей эффективности) механизм планирования в соответствующей двухуровневой АС. Приведенное утверждение вовсе не означает, что на практике всегда возможно без какоголибо ущерба для эффективности управления перейти, например, от трехуровневой к соответствующей двухуровневой системе (стремление к сокращению промежуточных уровней управления было и остается чрезвычайно популярным лозунгом "борцов" с бюрократией) – возможность такого перехода следует тщательно взвешивать, в том числе – необходимо учитывать и другие факторы – организационный, информационный и др. (см. главу 1 настоящей работы). Рассмотрим теперь обратную задачу. Пусть имеется двухуровневая АС с некоторым механизмом планирования. Вопрос заключается в том, существует ли трехуровневая АС (с тем же составом АЭ – такую АС выше предложено называть соответствующей) и механизм планирования в ней, такие, чтобы равновесные сообщения и назначаемые планы в этих АС были одинаковы. Эту задачу будем в дальнейшем называть задачей идеального агрегирования в механизмах планирования (напомним, что выше было предложено процесс введения в заданной двухуровневой АС промежуточных уровней управления называть децентрализацией АС или децентрализацией механизма управления) Если на класс возможных трехуровневых АС не наложено никаких ограничений, то ответ на поставленный вопрос, очевидно, положителен: взяв n = N и выбрав в качестве функций агрегирования тождественное преобразование (такую трехуровневую АС выше предложено называть тривиальной), получим механизм, удовлетворяющий (2.1.1). Содержательно, в этом случае число промежуточных центров равно числу АЭ и агрегирование отсутствует – вся информация без "искажений" передается от АЭ центру. Сложнее дело обстоит в случае, когда класс допустимых трехуровневых АС ограничен, например, может быть фиксирован состав подсистем и процедура планирования для подсистем, или могут быть фиксированы функции агрегирования и т.д. Понятно, что в общем случае не для всякой двухуровневой АС (не для всяких ограничений) можно сконструировать эквивалентную в смысле (2.1.1) трехуровневую активную систему. Из качественного анализа, проведенного выше, следует достаточно очевидный вывод: без учета информационного и других факторов введение дополнительных уровней планирования – управления – не увеличивает эффективности управления системой, точнее – заданным набором АЭ. Следовательно, возникает вопрос: в каких случаях введение промежуточных уровней управления не снижает эффективности. Ответу на этот вопрос посвящены нижеследующие разделы данной главы.

2.2. ЗАДАЧИ ИДЕАЛЬНОГО АГРЕГИРОВАНИЯ И ПРОИЗВОЛЬНОЙ ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИИ В МЕХАНИЗМАХ ПЛАНИРОВАНИЯ В соответствии с (2.1.1) для любого механизма планирования в трехуровневой АС можно построить эквивалентный механизм планирования в двухуровневой АС с тем же составом активных элементов. Пусть имеется двухуровневая АС с механизмом планирования gij(s). Обозначим = {ij} – класс процедур планирования в подсистемах, = {j} – класс процедур планирования в метасистеме, Q = {Qj} – класс процедур агрегирования, = {,, Q} – класс механизмов планирования в трехуровневой АС. Будем говорить, что механизм планирования gij(s) в двухуровневой АС допускает идеальное агрегирование в классе, если для некоторой нетривиальной соответствующей (с тем же множеством АЭ и центром) трехуровневой АС существует механизм планирования ляемый (см. также (2.1.1)): (2.2.1) ij (s) = ij (sj, j(Q1(s1), Q2(s2),..., Qn(sn))), который принадлежит и удовлетворяет:

~ ij (s), опреде ~ низм планирования ij(s), определяемый (2.2.1), который принадлежит и удовлетворяет (2.2.2). Содержательно, при идеальном агрегировании существует хотя бы одна соответствующая нетривиальная трехуровневая АС (хотя бы одно разбиение АЭ на подсистемы) с эквивалентным механизмом планирования. Если же допустима произвольная децентрализация, то число таких АС 2n, то есть АЭ могут быть распределены по подсистемам произвольным образом и для каждого из разбиений найдется эквивалентный механизм планирования. Очевидно, что любой механизм, допускающий при некоторых ограничениях произвольную децентрализацию, допускает при тех же ограничениях и идеальное агрегирование (но не наоборот). Более того, можно утверждать, что, если механизм планирования в двухуровневой АС обладает некоторой эффективностью, и/или неманипулируем и допускает идеальное агрегирование, то эквивалентный механизм планирования в соответствующей трехуровневой АС обладает в точности той же эффективностью и/или неманипулируем (оба свойства непосредственно следуют из (2.2.2) и определений эффективности и неманипулируемости [22,24]). К сожалению, общих необходимых и/или достаточных условий идеального агрегирования и произвольной децентрализации для механизмов планирования на сегодняшний день не существует – этот класс задач, с одной стороны, чрезвычайно трудоемок (даже такого сильного требования как существование РДС оказывается недостаточно для идеального агрегирования – см. пример ниже), а с другой стороны – практически не исследован. Поэтому целесообразным представляется изучение на первом этапе некоторого множества конкретных механизмов планирования, (2.2.2) s ' ij (s) = gij(s). Будем говорить, что механизм планирования gij(s) в двухуровневой АС допускает произвольную децентрализацию в классе, если для любой соответствующей нетривиальной трехуровневой АС существует меха ~ ~ результаты исследования которых, быть может, облегчат в будущем решение общей задачи. Поэтому последующие разделы настоящей главы содержат конструктивные доказательства произвольной децентрализуемости ряда широко распространенных на практике механизмов планирования.

2.3. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ РЕСУРСА Напомним постановку задачи распределения ресурса в двухуровневой активной системе [16,17,111]. Пусть в распоряжении центра имеется ресурс в количестве R. Стандартная постановка задачи распределения ресурса подразумевает нахождение такого его распределения между АЭ, которое максимизировало бы некоторый критерий эффективности – например, суммарную эффективность использования ресурса активными элементами. Если эффективность использования ресурса конкретным АЭ не известна центру, то он вынужден использовать сообщения АЭ, например, о требуемых количествах ресурса. Понятно, что, если имеется дефицит ресурса, то возникает проблема манипулируемости – АЭ могут сообщать центру недостоверную информацию, стремясь получить оптимальное для себя количество ресурса. Перейдем к описанию формальной модели. Пусть АЭ сообщают центру информацию sij ij = [0;

Dij] 1 – заявки на ресурс, i = 1, n j, j = 1, n. Центр на основании сообщенной ему информации назначает АЭ планы (выделяет ресурс) xij = gij(s,R), где gij – процедура распределения ресурса (планирования). Содержательно, точки пика rij 1 (точки максимума целевых функций АЭ) соответствуют оптимальному для них количеству ресурса. В дальнейшем мы будем предполагать выполненной гипотезу дефицитности:

rij i, j > R. Относи тельно процедуры распределения ресурса будем предполагать, что gij(s,R) – непрерывны, строго монотонно возрастают по sij и R и строго монотонно убывают по skl, k i, l j;

весь ресурс распределяется полностью:

xij i, j = R;

ресурс делим в произвольных пропорциях, причем любой АЭ может отказаться от ресурса вообще [17,24]: s-ij -ij = k i, j l kl gij(0, s-ij, R) = 0.

В работах [16,17] доказано, что для любого механизма из рассматриваемого класса механизмов распределения ресурса существует эквивалентный прямой механизм, то есть неманипулируемый механизм, в котором все АЭ сообщают оценки точек пика и получают в равновесии то же количество ресурса, что и в исходном механизме. Перейдем к рассмотрению механизмов распределения ресурса в трехуровневых АС. Пусть АЭ сообщают промежуточным центрам свои заявки sij ij = [0,Dij] 1, затем каждый из промежуточных центров сообщает центру сумму поступивших к нему заявок S j = Qj(sj) = sij, i = nj после чего происходит распределение ресурса R между подсистемами: Xj = j(S,R), и, наконец, ресурс распределяется между АЭ внутри каждой из подсистем: xij = ij(sj,Xj)..Относительно (n+1) процедуры распределения ресурса {(.),.j} будем считать, что они удовлетворяют тем же предположениям, что и описанные выше механизмы распределения ресурса в двухуровневых АС. Таким образом, характерной особенностью механизмов распределения ресурса в многоуровневых АС, как подкласса механизмов планирования, является то, что агрегированием информации в подсистемах является суммирование заявок АЭ. Для механизмов распределения ресурса можно переформулировать общее утверждение, приведенное в разделе 2.1: для любого механизма распределения ресурса в трехуровневой АС существует эквивалентный механизм распределения ресурса в соответствующей двухуровневой АС. Обратное, естественно, в общем случае не верно. Приведем иллюстрирующий это утверждение пример. Пример 2.3.1. Рассмотрим механизм обратных приоритетов [17] в двухуровневой АС: xij(s) = где ij(sij) – функция приоритета АЭij, убывающая по его заявке, а определяется из балансового ограничения: min [sij, ij(sij)] = R.

i, j s ij, sij R i, j, min[, ( )], s ij sij R ij s ij i, j Возьмем функции приоритета вида ij(sij) = Aij / sij (содержательно, Aij – эффект, sij – затраты, ij(sij) – эффективность) и обозначим s*ij = Aij i, j R. Известно, что s*ij является гарантирующей стратегией и Aij АЭij всегда может получить любое меньшее количество ресурса, поэтому доминантной стратегией АЭij является sijd = min {rij, s*ij} [17,21,24]. Активные элементы, получающие в равновесии абсолютно оптимальное для себя количество ресурса, называются "диктаторами" или приоритетными [17,24]. Элементы, получившие ресурс в количестве, меньшем оптимального, называются проигравшими или неприоритетными. Пусть имеются N = 4 активных элемента со следующими параметрами: A1 = 1, A2 = 9, A3 = 4, A4 = 16, r1 = R/5, r2 = R/5, r3 = 3R/10, r4 = R/2. Вычисляем: s1* = R/10, s2* = 3R/10, s3* = R/5, s4* = 2R/5 и находим количество ресурса, получаемого АЭ в равновесии: x1* = 4R/35, x2* = R/5, x3* = 8R/35, x 4* = 16R/35. Видно, что приоритетным является второй АЭ, остальные АЭ получили строго меньшее, чем желаемое, количество ресурса. Рассмотрим теперь трехуровневую АС, в которой в первую подсистему входят первый и второй АЭ, а во вторую – третий и четвертый, причем на всех уровнях используется механизм обратных приоритетов. Будем рассматривать подсистемы как один АЭ, параметры которого определяются по параметрам АЭ следующим образом: Sj = sij, rj = rij, Aj = { Aij }2.

i =1 i =1 i = Содержательные интерпретации такого представления очевидны. Использование механизма обратных приоритетов при распределении ресурса между подсистемами приводит к: X1* = 2R/5, X2* = 3R/5. Распределяя ресурс в подсистемах, опять же, в соответствии с принципом обратных приоритетов, получаем: x1* = R/5, x2* = R/5, x3* = R/5, x4* = 2R/5. Итак, равновесное распределение отличается от имевшего место в двухуровневой АС, причем значение функции предпочтения первого АЭ достигло абсолютного максимума "за счет" уменьшения количества ресурса, получаемого третьим и четвертым АЭ. Попробуем перегруппировать АЭ – в первую подсистему включим первый и четвертый АЭ, а во вторую подсистему – второй и третий. Получаем: X1* = R/2, X2* = R/2. Распределяя ресурс в подсистемах в соответствии с принципом обратных приоритетов, получаем: x1* = R/10, x2* = R/5, x3* = 3R/10, x 4* = 2R/5. Во всех трех рассмотренных случаях второй АЭ получал оптимальное для себя количество ресурса. В третьем случае максимум получил третий АЭ "за счет" первого. С точки зрения четвертого АЭ децентрализация не улучшает его положение. В рассматриваемом примере децентрализации мы фиксировали функции агрегирования, выбрав, в частности, Aj = { i =1 2 Aij }. Попробу ем для фиксированных принципов обратных приоритетов, используемых в подсистемах, сконструировать механизм обратных приоритетов в метасистеме, то есть найти приоритеты подсистем A1, A2, такие, чтобы при некотором фиксированном разбиении АЭ на подсистемы трехуровневый механизм был эквивалентен исходному двухуровневому. Пусть первая подсистема включает первый и второй АЭ, вторая – третий и четвертый. Тогда из определения равновесных заявок получаем, что A1 и A2 должны одновременно удовлетворять двум равенствам:

3 A1 R= R, 10 A1 + A 3 A2 R = R, 5 A1 + A что, очевидно, невозможно. Другими словами, для данного разбиение АЭ на подсистемы не существует функции агрегирования приоритетов, такой, чтобы при использовании на всех уровнях механизмов обратных приоритетов при условии, что потребности АЭ и их заявки суммируются по подсистемам, равновесное распределение ресурса было таким же, что и в децентрализуемой АС. Следовательно, механизмы обратных приоритетов не допускают произвольную децентрализацию (так как указано разбиение, при котором эквивалентного механизма обратных приоритетов не существует). Однако, механизмы обратных приоритетов допускают идеальное агрегирование. Для того, чтобы доказать это утверждение предъявим разбиение АЭ на подсистемы и механизм обратных приоритетов, эквивалентный исходному (для данного разбиения). Алгоритм определения разбиения, допускающего идеальное агрегирование (существование в соответствующей трехуровневой АС механизма, эквивалентного механизму в двухуровневой АС) достаточно прост: в при фиксированных идеальных точках в одну и ту же подсистему не должны входить одновременно приоритетные и неприоритетные АЭ. Отметим, что на сегодняшний день приведенный принцип децентрализа ции справедлив (то есть формально обоснован) только лишь для класса механизмов обратных приоритетов. Для рассматриваемого примера приоритетным является второй АЭ. Поэтому осуществим разбиение на подсистемы следующим образом: в первую подсистему включим единственный приоритетный АЭ, а во вторую – все остальные (неприоритетные – первый, третий и четвертый). Легко подсчитать, что в этом случае, агрегируя заявки и приоритеты описанным выше способом, получаем распределение ресурса: X1* = R/5, X2* = 4R/5 по подсистемам, и следующее распределение ресурса внутри подсистем :x1* = 4R/35, x2* = R/5, x3* = 8R/35, x4* = 16R/35, которое совпадает с распределением ресурса в децентрализуемой двухуровневой активной системе. Отметим, что возможность разбиения АЭ на подсистемы, включающие только приоритетные и только неприоритетные АЭ подразумевает знание их истинных идеальных точек. Следовательно, прямой механизм (то есть такой механизм, в котором АЭ сообщают непосредственно свои идеальные точки) децентрализации должен включать в себя зависимость разбиения АЭ на подсистемы от их сообщений (см. также раздел 2.4). Вопросы манипулируемости и эффективности механизмов обратных приоритетов (см. результаты исследования этих их свойств для двухуровневых АС в [17,24]) при описанной децентрализации остаются открытыми. • Следует обратить особое внимание на тот факт, что в децентрализованной АС равновесное распределение ресурса зависит от способа разбиения АЭ по подсистемам. Следовательно, с точки зрения эффективности управления центру целесообразно решать также задачу синтеза структуры – какие АЭ следует включать в те или иные подсистемы. В качестве гипотезы можно выдвинуть предположение, что децентрализация, совместно с целенаправленным выбором структуры АС, может оказаться достаточно эффективной для конкурсных механизмов [17,21]. Таким образом, механизмы обратных приоритетов не допускают произвольной децентрализации в классе механизмов обратных приоритетов (когда и в подсистемах, и в метасистеме используются механизмы обратных приоритетов). Быть может, усложнение иерархии окажется выгодным, если на разных уровнях (в подсистемах и в метасистеме) используются различные принципы распределения ресурса. В общем случае эта задача требует дальнейших исследований. Следовательно, задача произвольной децентрализации имеет место и в механизмах распределения ресурса. Как было показано выше, широко распространенный класс механизмов обратных приоритетов не децентрализуем (но допускает идеальное агрегирование). Обширным классом механизмов распределения ресурса, в котором идеальное агрегирование возможно, являются анонимные механизмы. Напомним, что анонимным механизмом называется механизм, симметричный относительно перестановок АЭ [16,73,126], то есть такой механизм, в котором любая перестановка АЭ не изменяет назначаемых планов. Для механизмов распределения ресурса это означает, что в анонимном механизме множества возможных сообщений АЭ одинаковы: ij = [0;

D], а процедура планирования симметрична по заявкам АЭ. Следует отметить, что анонимность механизма вовсе не подразумевает идентичности активных элементов. Сами АЭ могут различаться сколь угодно сильно – единственным (и достаточно демократическим) требованием, предъявляемым к анонимному механизму планирования, является симметричность процедуры планирования. Интуитивно понятно, что так как в анонимных механизмах АЭ "равноправны", то, скорее всего, их можно группировать (по подсистемам в процессе децентрализации) произвольным образом. Сформулируем корректно это качественное предположение, приведя в явном виде алгоритм децентрализации любой анонимной процедуры планирования. Теорема 2.3.1. Любой анонимный механизм распределения ресурса допускает произвольную децентрализацию. Для того, чтобы доказать утверждение теоремы, докажем ряд простых лемм. Лемма 2.3.2. Любой анонимный механизм распределения ресурса в двухуровневой активной системе эквивалентен механизму пропорционального распределения: (2.3.1) xij(s) = sij R. sij i, j Справедливость леммы 2.3.1 следует из того факта, что все анонимные механизмы эквивалентны (в [16] доказано, что любой анонимный механизм эквивалентен механизму последовательного распределения ресурса [126]), а механизм пропорционального распределения (2.3.1) является анонимным [16,17,137]. Лемма 2.3.3. Для любого механизма пропорционального распределения ресурса в трехуровневой АС существует эквивалентный механизм пропорционального распределения в двухуровневой АС, и наоборот. Справедливость утверждения леммы 2.3.3 следует из следующей цепочки равенств: если Xj(S) = Sj S j j = n R, где Sj = i sij, то (2.3.2) xij(s) = sij sij i = nj Xj(S) = sij nj i = Sj n sij S j j = R= sij R. sij i, j Качественно, в механизме пропорционального распределения существенным оказывается его "аддитивность", что совместно с аддитивностью агрегирования приводит к выполнению (2.3.2). Отметим, что равенства типа (2.3.2) имеют место в АС с любым числом уровней иерархии и любым разбиением АЭ на подсистемы. Следующее рассуждение доказывает справедливость теоремы 2.3.1. Пусть имеется некоторый анонимный механизм распределения ресурса в двухуровневой АС. По лемме 2.3.2 он эквивалентен механизму пропорционального распределения (2.3.1), для которого по лемме 2.3.3 можно построить АС с любым числом уровней иерархии и эквивалентным в силу (2.3.2) пропорциональным механизмом. В обратную сторону, для любого анонимного механизма в многоуровневой АС можно построить эквивалентный анонимный механизм в двухуровневой АС, что доказывает справедливость утверждения теоремы. • Результат теоремы 2.3.1 имеет чрезвычайно важное методологическое, теоретическое и практическое значение. Он выделяет класс механизмов распределения ресурса в многоуровневых активных системах не только допускающих идеальное агрегирование, но и обладающих рядом свойств инвариантности, которые могут быть использованы при решении других задач управления – определения информационной нагрузки, синтеза структуры и др. Кроме того, механизм пропорционального распределения, используемый при доказательстве теоремы 2.3.1, помимо своей простоты, обладает многими привлекательными свойствами – в том числе, он оптимален (имеет максимальную эффективность) в достаточно широком классе АС – см. [16,17] и раздел 2.5. В то же время, следует признать, что, несмотря на то, что класс анонимных механизмов достаточно широк, задача идеального агрегирования для произвольных механизмов распределения ресурса требует дальнейших исследований. Рассматриваемый в следующем разделе класс механизмов планирования свидетельствует, что произвольную децентрализацию допускают не только анонимные механизмы.

2.4. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ ЭКСПЕРТИЗЫ Под механизмом экспертизы в двухуровневой АС понимается следующая модель [17,25]. Имеются N АЭ – экспертов, каждый из которых имеет собственные представления rij [d;

D] 1 (идеальные точки, точки пика функций предпочтения АЭ) об оцениваемой скалярной величине и сообщает центру информацию sij [d;

D] о своих представлениях. Итоговое мнение x[d;

D] определяется в соответствии с процедурой планирования (s), то есть x = (s). Относительно процедуры планирования (принятия коллективного решения) будем предполагать, что она непрерывна, строго монотонно возрастает по всем переменным и удовлетворяет условию единогласия: t[d;

D] (t, t,..., t) = t. Без потери общности можно положить d = 0, D = 1. Если предположить, что каждый из экспертов заинтересован в том, чтобы результат экспертизы – коллективное решение – был максимально близок к его истинному мнению, то в общем случае он может сообщать недостоверную информацию, искренне стремясь повлиять на результат в требуемую с его точки зрения сторону. Следовательно, возникает проблема манипулируемости механизма экспертизы. В работе [17] доказано, что для любого механизма экспертизы, удовлетворяющего введенным выше предположениям, существует эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм, причем итоговое мнение в равновесии определяется совокупностью истинных мнений экспертов r = {rij} и числами w() = {wi()} N, определяемыми слеi = дующим образом: если собственные представления всех экспертов различны и упорядочены в порядке возрастания, то (2.4.1) wk() = ( 0,0,...,0, k 123 1,1,...1 ), k = 0, N. 13 N k При этом равновесное итоговое мнение (коллективное решение) x* определяется [17,24]: (2.4.2) x*(r,w()) = max min (wk-1, rk).

k =1, N Понятно, что последовательность w() зависит от упорядочения идеальных точек экспертов. В общем случае существует 2N разбиений вида (2.4.1)28, однако так как (2.4.2) является соответствующим механизму прямым механизмом, все дальнейшие рассуждения мы будем проводить для некоторого фиксированного упорядочения (см. также результаты децентрализации механизмов обратных приоритетов, описанные в разделе 2.3). Определим линейный механизм: (2.4.3) L(s) = где k 0, N k = k sk, = 1. Последовательность w() для линейного механизма N k = k имеет вид29: (2.4.4) wk(L) = 1 – i, k = 1, N, w0(L) = 1.

i = k Рассмотрим механизм экспертизы в трехуровневой активной системе, который определяется (n+1) двухуровневыми механизмами: (S) и {j(sj)}, причем Sj = j(sj), то есть в качестве функций агрегирования выступают сами процедуры принятия коллективных решений в подсистемах. Теорема 2.4.1. Любой механизм экспертизы в многоуровневой активной системе допускает произвольную децентрализацию. Для того, чтобы доказать утверждение теоремы, докажем справедливость для любого упорядочения идеальных точек экспертов ряда простых лемм. Лемма 2.4.2. Для любого механизма экспертизы в двухуровневой АС существует эквивалентный линейный механизм экспертизы. Эквивалентным данному механизмом планирования называется такой механизм, в котором при любых идеальных точках АЭ равновесные планы совпадают с равновесными планами в исходном механизме. Пусть имеется некоторый механизм экспертизы (.) в двухуровневой АС. Вычислим для него в соответствии с (2.4.1) последовательность w(), соот Следует отметить, что, если механизм экспертизы является анонимным, то разбиение (2.4.1) единственно и не зависит от упорядочений истинных мнений экспертов. 29 Очевидно, у любого анонимного механизма последовательность w() разбивает [0;

1] на N равных частей, в частности – у анонимного линейного механизма экспертизы i = 1/N.

ветствующую упорядочению идеальных точек. По данной последовательности w() вычислим N чисел {k}: (2.4.5) k = wk-1 – wk, k = 1, N, которые однозначно определяют некоторый линейный механизм экспертизы. У исходного механизма экспертизы и у построенного линейного механизма в силу (2.4.4) одна и та же последовательность {wk}. Значит, из (2.4.2) следует, что для любых идеальных точек АЭ {rij} в обоих механизмах коллективные решения одинаковы. • Отметим конструктивный характер доказательства леммы 2.4.2, которое содержит алгоритм (2.4.5) построения эквивалентного линейного механизма экспертизы. Лемма 2.4.3. а) любой механизм вида (2.4.3), являющийся механизмом экспертизы, удовлетворяет k > 0, k = 1, N ;

б) для любого механизма экспертизы все элементы последовательности w(), определяемой (2.4.1), различны. Справедливость утверждения леммы 2.4.3 следует из того, что, согласно введенным выше предположениям процедура планирования в механизме экспертизы должна быть непрерывна и строго монотонна по всем переменным. • Лемма 2.4.4. Для любого линейного механизма экспертизы в двухуровневой АС существует эквивалентный линейный механизм экспертизы в трехуровневой АС и наоборот (то есть линейный механизм экспертизы допускает произвольную децентрализацию). Пусть имеется линейный механизм экспертизы в трехуровневой АС. Тогда: (2.4.6) Xj = i = nj ij sij.

Коллективное решение x = n j Xj = j = j =1 i = n nj j ij sij, то есть:

(2.4.7) x = j =1 i = n nj ij sij, где ij = j ij. Выражение (2.4.7) определяет эквивалентный линейный механизм экспертизы в двухуровневой АС. Пусть теперь имеется линейный механизм экспертизы в двухуровневой АС, задаваемый числами {ij}. Разобьем экспертов на группы таким образом, чтобы в каждой подсистеме оказался хотя бы один эксперт, мнение которого учитывается с ненулевым весом, то есть разбиение на подсистемы должно удовлетворять: j = 1, n i = nj ij > 0. Такое разбие ние в силу леммы 2.4.3 и (2.4.5) всегда возможно (более того, введенному условию удовлетворяет любое разбиение). Вычислим (2.4.8) j = i = nj ij, ij = ij / j.

Выражение (2.4.8) определяет линейный механизм экспертизы в трехуровневой АС, эквивалентный исходному линейному механизму (легко проверить, что если условие нормировки выполнено в исходном механизме, то оно выполнено и для (2.4.8)). • Если при определении механизма экспертизы отказаться от требований непрерывности и строгой монотонности процедуры планирования, то результаты леммы 2.4.4 и теоремы 2.4.1 останутся в силе при условии, что j = 1, n j > 0 (при этом результат леммы 2.4.3 не требуется). Объединяя результаты лемм 2.4.2 – 2.4.4, получаем результат теоремы 2.4.1. Действительно, для любого механизма экспертизы в двухуровневой АС в силу леммы 2.4.2 существует эквивалентный линейный механизм экспертизы, для которого в силу леммы 2.4.4, в свою очередь, существует эквивалентный линейный механизм экспертизы в трехуровневой АС. • Отметим, во-первых, что доказательство теоремы 2.4.1 содержит алгоритм построения эквивалентного механизма. Во-вторых, напомним, что приведенные рассуждения следует отнести скорее к соответствующим прямым механизмам экспертизы, так как эквивалентный линейный механизм экспертизы строился с использованием последовательности w(), которая зависит от упорядочений идеальных точек экспертов. В-третьих, при переходе от двухуровневой к трехуровневой АС распределение АЭ между подсистемами может быть произвольным, что дает возможность, как и в анонимных механизмах распределения ресурса, решать задачи разбиения АЭ на подсистемы, то есть задачи распределения экспертов по группам. И, наконец, в-четвертых, следствием теоремы 2.4.1 и результатов, приведенных в [16,17,20,22], является вывод о том, что в многоуров невой АС для любого механизма экспертизы существует эквивалентный прямой (неманипулируемый) механизм. Пример 2.4.1. Пусть имеются четыре эксперта, упорядоченных в порядке возрастания идеальных точек, и следующая (нелинейная) процедура принятия коллективного решения в двухуровневой АС: (2.4.9) x = (s) = 1 si2.

i = В соответствии с (2.4.1) ищем последовательность w(): w0 = 1, w1 = 3 /2, w2 = 2 /2, w3 = 1/2, w4 = 0. По известной последовательности w() ищем по формуле (2.4.5) "веса" эквивалентного линейного механизма: 1 = (2- 3 )/2, 2 = ( 3 - 2 )/2, 3 = ( 2 -1)/2, 4 = 1/2. Рассмотрим теперь трехуровневую АС, в которой в первую подсистему входят первый и второй эксперт, а во вторую – третий и четвертый. В соответствии с (2.4.8) находим: 1 = (2 2 )/2, 2 = 2 /2, 11 = (23 )/(2- 2 ), 21 = ( 3 - 2 )/(2- 2 ), 12 = ( 2 -1)/ 2, 22 = 2 /2.

Итак, в трехуровневой АС эквивалентным исходному будет набор линейных механизмов с весами: {1, 2} – в метасистеме, {11, 21} – в первой подсистеме, {12, 22} – во второй подсистеме. • 2.5. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ ОТКРЫТОГО УПРАВЛЕНИЯ С ВНУТРЕННИМИ ЦЕНАМИ Классическим примером модели АС, в которой возможно идеальное агрегирование, ставшей, в частности поэтому, чрезвычайно популярной в экономико-математическом моделировании [10,15 и др.], является АС, в которой АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа. В настоящем разделе приводится краткое описание механизмов открытого управления [15,22,24] сначала для двухуровневой АС, затем результаты обобщаются на случай трехуровневых систем. Пусть в двухуровневой АС функция затрат i-го АЭ: ci(yi, ri) = 1 1- yi ri, 1, ri > 0. Предположим, что задача центра заклю чается в побуждении коллектива АЭ выбрать набор действий, сумма которых равна заданной величине R (содержательные интерпретации см. ниже). Пусть центр устанавливает цену, тогда целевая функция i-го АЭ равна разности между доходом yi и затратами: (2.5.1) fi(yi,ri) = yi – ci(yi,ri). Решая задачу минимизации суммарных затрат активных элементов выбором ({xi}, ) при условии xi = Arg max fi(yi, ri) и ограничении yi Ai i xi = R, получаем:

(2.5.2) xi(R,r) = где W = i W r i R, (R, r) = (R / W)-1, ri, r = (r1, r2,..., rN).

Решение (2.5.2) минимизирует суммарные затраты АЭ при заданном ограничении на сумму действий АЭ, то есть обеспечивает достижение АЭ кооперативного (Парето оптимального) равновесия (см. раздел 1.5). Рассматриваемая формальная модель имеет множество содержательных интерпретаций. В том числе: распределение объемов работ в коллективе ( – ставка оплаты) [81], распределение ресурса с ценой за ресурс [17], распределение заказов в объединении ( – внутрифирменная цена) [7], компенсационные механизмы в оперативном управлении проектами и промышленным производством ( – ставка оплаты за сокращение времени операций) [25] и др. Общим является наличие единой для всех АЭ цены. Решение (2.5.2) было получено в предположении, что центру известны коэффициенты {ri} функций затрат АЭ. Если эти коэффициенты ему неизвестны и сообщаются элементами, то возникает задача манипулируемости [20,22,24] используемого механизма планирования. Уникальностью рассматриваемой модели является то, что для нее существует эквивалентный прямой механизм, то есть механизм открытого управления (неманипулируемый), в котором при определенных условиях (см. ниже и [15,17]) сообщение достоверной информации является доминантной стратегией каждого активного элемента. Обоснуем последнее утверждение. Для этого предположим, что АЭ сообщают центру оценки {si} параметров функций затрат, а центр использует следующий механизм планирования (механизм открытого управления – выбора планов и цены): (2.5.3) xi(s,) = R, i (2.5.4) xi(s,) = arg max {(s) yi – ci(yi,si)}.

yi Ai Содержательно, центр подставляет в целевые функции АЭ сообщенные ими оценки (принимая их за истинные) и назначает АЭ наиболее выгодные для них при этих оценках планы (условие (2.5.4) называется условием совершенного согласования (УСС)). Параметр выбирается таким образом, чтобы планы xi(s,) удовлетворяли балансовому ограничению (2.5.3). Решение задачи (2.5.3)-(2.5.4) (механизм внутренних цен) имеет вид: (2.5.5) xi(R,s) = где V = i V si R, (R,s) = (R / V)-1, si, s = (s1, s2,..., sN). Отметим чрезвычайно важную для даль нейшего анализа схожесть выражений (2.5.5) и (2.5.2). Если выполнена гипотеза слабого влияния (ГСВ – при достаточно большом числе АЭ влияние сообщения конкретного АЭ на общее управление (R,s) мало [15,22,20,28,75]), то, подставляя (2.5.5) в (2.5.1), находим, что при любых сообщениях остальных АЭ максимум целевой функции i-го АЭ по его сообщению достигается при si = ri, то есть при ГСВ сообщение достоверной информации является доминантной стратегией каждого активного элемента [15,17]. Отметим, что в ряде частных случаев выполнения гипотезы слабого влияния не требуется Так, например, в механизмах внутрифирменного управления, если в целевой функции подразделения ее прибыль нормируется на сумму прибылей всех подразделений, то цена (R,s), входящая и в числитель, и в знаменатель, сокращается [7]. Другим примером "борьбы" с требованием слабого влияния является использование обобщенных оценок [15] и др. Механизм внутренних цен (2.5.5) достаточно уникален. Во-первых, он является неманипулируемым механизмом (механизмом открытого управления), имеющим ту же эффективность, что и механизм (2.5.2) в условиях полной информированности. Во-вторых, он минимизирует суммарные затраты АЭ на выполнение общего планового задания. И, наконец, в-третьих, он допускает произвольную децентрализацию. Докажем последнее утверждение конструктивно, указав процедуры планирования и агрегирования в соответствующей трехуровневой активной системе. Предположим сначала, что имеет место случай полной информированности. Обозначим цены в метасистеме и подсистемах, соответственно: (2.5.6) = (R / W)-1, j = (Xj / Wj)-1, где W = rij, Wj = r ij, Xj – плановое задание j-ой подсистемы. Пусть i, j i планы подсистемам и внутри подсистем назначаются в соответствии со следующей процедурой: (2.5.7) Xj = Wj r ij R, xij = Xj. W Wj Из (2.5.6)-(2.5.7) следует, во-первых, что цены в подсистемах и в метасистеме одинаковы: j = 1, n j =, а, во-вторых, что план каждого АЭ совпадает с планом, назначаемым ему в соответствующей двухуровневой АС, то есть: (2.5.8) xij = rij R, W что совпадает с (2.5.2). Следовательно каждая подсистема может рассматриваться как один элемент, действием которого является сумма действий входящих в нее АЭ, имеющий функцию затрат типа Кобба-Дугласа с параметром, равным сумме параметров соответствующих АЭ: (2.5.9) Yj = y ij, cj(Yj) = i Yj Wj1-.

Итак, промежуточный центр имеет целевую функцию: (2.5.10) j(Yj,Wj) = Yj – где (2.5.11) Wj = 1 Yj Wj1-, rij, Yj = yij, i i а целевая функция центра верхнего уровня равна: (2.5.12) (Y,W) = Y – где (2.5.13) Y = 1 1- YW, y ij, W = rij.

i, j i, j Анализ выражений (2.5.1), (2.5.10) и (2.5.12) свидетельствует, что механизм (2.5.2) допускает идеальное агрегирование в виде (2.5.6), (2.5.7), причем процедуры агрегирования задаются (2.5.11) и (2.5.13). Более того, во-первых, так как (2.5.8) совпадает с (2.5.2), то в случае неполной информированности для построенного механизма планирова ния в трехуровневой АС существует эквивалентный неманипулируемый механизм (механизм открытого управления). Во-вторых, так как при переходе от двухуровневой АС к соответствующей трехуровневой не оговаривалось разбиение АЭ на подсистемы, то рассматриваемый механизм допускает не только идеальное агрегирование, но и произвольную децентрализацию. Таким образом, мы доказали следующую теорему. Теорема 2.5.1. Если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то механизм открытого управления с внутренними ценами допускает произвольную децентрализацию. Следствие. Результат теоремы 2.5.1 может быть усилен, то есть обобщен на случай, когда функции затрат активных элементов имеют вид ci(yi,ri) = ri ( yi ri ), где (.) – гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция (см. также раздел 1.7). При этом цена за ресурс определяется следующим выражением: (R, s) = '(R/V) (ср. с (2.5.5)), а оптимальные планы – по-прежнему выражением (2.5.5). Отметим, что возможность идеального агрегирования в рассматриваемой модели обусловлена видом функций затрат АЭ и процедур планирования. Для произвольных функций затрат АЭ полученные результаты в общем случае не имеют места. Следует также напомнить, что неманипулируемость построенных механизмов планирования обоснована для случая, когда справедлива гипотеза слабого влияния. Понятно, что с ростом числа АЭ условия для выполнения ГСВ не ухудшаются. Поэтому, так как агрегирование идеально, то можно утверждать, что объединение подсистем в рамках метасистемы (расширение элементного состава АС) в рассматриваемой модели не приведет к снижению эффективности управления и, быть может, снизит привлекательность манипулирования информацией со стороны АЭ. Последний вывод представляется достаточно важным, так как неманипулируемость механизмов планирования (оптимальность механизмов открытого управления) во многих случаях требует выполнения ГСВ (см. унифицированные пропорциональные системы стимулирования в разделе 1.7, а также [17,22,24,28,109 и др.]). В заключение настоящего раздела исследуем эффективность рассматриваемого выше механизма открытого управления с внутренними ценами. До сих пор мы считали, что целевая функция центра определяется доходом от выполненных работ суммарным объемом R (при постоянном объеме доход постоянен) и суммарными затратами АЭ по выполнению этих работ. Механизмы (2.5.2), (2.5.5) и (2.5.7) минимизируют суммарные затраты активных элементов при условии, что центр назначает единую для всех АЭ цену. Если центр имеет собственные интересы, заключающиеся наряду с выполнением заданного объема работ в минимизации суммарных выплат активным элементам, то механизм с внутренними ценами может рассматриваться не только как механизм планирования, но и как механизм стимулирования L-типа, в котором вознаграждение АЭ пропорционально его действию. Коэффициент пропорциональности при этом является ценой – например – ставкой зарплаты (см. [81] и содержательные интерпретации выше). Известно, что при монотонных непрерывных функциях затрат пропорциональные системы стимулирования (L-типа) не эффективны. В частности, если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то оптимальные квазикомпенсаторные механизмы стимулирования (QK-типа) имеют строго большую эффективность, чем пропорциональные (см. [22,24,81] и первую главу настоящей работы). Проиллюстрируем это утверждение. Минимальные затраты на стимулирование (x) по реализации вектора действий x A системой стимулирования QK-типа (см. (1.3.4)) равны QK(x) = ci ( xi ). При использовании системы стимулирования L-типа i =1 N i = N эти затраты определяются следующим образом: L(x) = xi*, где xi* удовлетворяет (2.5.2). Отношение (2.5.14) L(x) / QK(x) = 1 не зависит от вектора действий и показывает во сколько раз центр "переплачивает" АЭ, используя единую внутреннюю цену, по сравнению с минимально необходимыми для реализации заданного вектора действий затратами на стимулирование. Следовательно, хотелось бы найти механизм управления (стимулирования, планирования), для которого, как и для механизма с внутренней ценой, существовал бы эквивалентный механизм открытого управления (обеспечивающий неманипулируемость в случае неполной информированности центра о моделях АЭ), но который имел бы большую – желательно такую же или "почти" такую же, как и у оптимального квазикомпенсаторного механизма стимулирования – эффективность. Такой механизм существует. Пусть центр использует в условиях полной информированности следующий механизм управления (назовем его B-типа): (2.5.15) i(yi,ri) = 1- yi ri, 1, тогда целевая функция АЭ имеет вид (ср. с (2.5.1)): (2.5.16) fi(yi,ri) = i(yi,ri) – ci(yi,ri). Теорема 2.5.2.30 Если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа и = -, где > 0, то: а) механизм (2.5.15) -оптимален, где (2.5.17) / (-);

б) в рамках ГСВ для механизма (2.5.15) существует эквивалентный механизм открытого управления. Решая задачу условной оптимизации, получаем: (2.5.18) = ( R r ), xi* = i R. W W Следовательно, (2.5.19) B(x) / QK(x) = 0 1.

Пункт а) теоремы доказан. Докажем неманипулируемость механизма (2.5.15). Если центр использует механизм открытого управления (см. (2.5.3), (2.5.4)), то: (2.5.20) xi(R,s) = V si R, (R,s) = (R / V).

Подставляя (2.5.20) в (2.5.15) убеждаемся, что в рамках ГСВ сообщение достоверной информации – доминантная стратегия каждого АЭ. • По аналогии с доказательством теоремы 2.5.1 (ср. (2.5.15), (2.5.20) и (2.5.5), (2.5.7)) можно доказать, что механизм B-типа допускает произвольную децентрализацию. Таким образом, справедливо следующее утверждение. Теорема 2.5.3. Если АЭ имеют функции затрат типа Кобба-Дугласа, то механизм управления B-типа допускает произвольную децентрализацию. Следствием теоремы 2.5.2 и теоремы 2.5.3 является вывод о том, что механизмы B-типа при управлении многоуровневыми АС -оптимальны в условиях неполной информированности и для них существуют эквивалентные прямые (неманипулируемые) механизмы.

Теорема 2.5.2 сформулирована и доказана В.Н.Бурковым.

2.6. ДЕЦЕНТРАЛИЗАЦИЯ МЕХАНИЗМОВ СТРАХОВАНИЯ Материал данного раздела иллюстрирует возможность децентрализации не только механизмов с сообщением информации, но и некоторых прикладных механизмов управления, таких как механизмы страхования и перестрахования. Рассмотрим следующую модель механизма страхования. Пусть имеется страховщик – центр и N страхователей – активных элементов. В отсутствии страхового случая i-ый АЭ получает доход zi 0. Если наступает общий для всех АЭ страховой случай, то доход каждого из АЭ равен нулю. Обозначим p[0;

1] – вероятность наступления страхового случая, ui(zi) – функцию полезности i-го АЭ, относительно которой будем предполагать, что она является непрерывной вогнутой функцией, значение которой в нуле равно нулю. Содержательно, тот факт, что страховой случай является общим для группы АЭ соответствует ситуации, в которой некоторое неблагоприятное событие (например, природная или техногенная катастрофа, изменение политической обстановки и т.д.) затрагивает интересы одновременно всех страхователей. Понятно, что такое представление является достаточно частным, и в общем случае существует множество потенциально неблагоприятных ситуаций, каждая из которых может влиять на условия функционирования различных групп страхователей. Таким образом, ожидаемый доход АЭ в отсутствии страхования равен: Ezi = (1 – p) zi (E – знак математического ожидания). Ожидаемая полезность АЭ в отсутствии страхования равна: (2.6.1) Eui(zi) = (1 – p) ui(zi). Неотрицательная (в силу вогнутости функции полезности АЭ) величина ui = ui(Ezi) – Eui(zi) называется премией за риск [25,90,131] (см. рис. 5). Обозначим ri – страховой взнос, выплачиваемый активным элементом центру, hi – страховое возмещение, выплачиваемое центром элементу при наступлении страхового случая, то есть рассматриваемый механизм может интерпретироваться как система предельного страхового обеспечения [90].

Полезность u(Ez) Eu(z) u u(z) Доход 0 Ez z Рис. 5. Функция полезности страхователя Ожидаемый доход АЭ при страховании равен (символ "~" соответствует величинам в случае страхования) E ~ i = (1 – p) zi+ p hi – ri, а ожиz даемая полезность: (2.6.2) Eui( ~ i) = p ui(hi – ri) + (1 – p) ui(zi – ri). z Заключение страхового контракта выгодно для АЭ, если его ожидаемая полезность в случае страхования не ниже, чем при его отсутствии, то есть: z (2.6.3) Eui( ~ i) Eui(zi). Если страховщик (центр) нейтрален к риску, то есть имеет линейную функцию полезности U(.), то его ожидаемая полезность равна N (2.6.4) EU(z) = [ri – p hi], i =1 где z = (z1, z2,..., zN). Допустимым называется такой страховой контракт, определяемый кортежем ({ri};

{hi}), заключение которого выгодно как центру, так и всем активным элементам [25]. Множество допустимых страховых контрактов определяется совместно условиями (2.6.3) и EU(z) 0. Выражение (2.6.4) и введенные условия допустимости соответствуют ситуации, в которой без заключения страхового контракта страховщик имеет нулевую полезность. Если ожидаемая полезность страховщика без заключения страхового контракта равна U0, то условия допустимости контракта для центра примут вид: EU(z) U0.

Пусть и страховой взнос, и страховое возмещение пропорциональны доходу АЭ, причем коэффициенты пропорциональности одинаковы для всех страхователей: (2.6.5) ri = zi, hi = zi,, [0;

1]. Тогда страховой контракт однозначно определяется {, }. Подставляя (2.6.5) в (2.6.4), из условия EU(z) 0, то есть (2.6.6) ( – p ) Z 0, где Z = i = N zi получаем, что p. Подставляя (2.6.5) в (2.6.3) и иссле дуя зависимость ожидаемых полезностей АЭ от, получаем, что независимо от номера АЭ, при [0;

p] ожидаемая полезность страхователя в случае заключения страхового контракта не ниже, чем в отсутствии страхования. Таким образом, доказана справедливость следующего утверждения. Лемма 2.6.1. Достаточным условием допустимости страхового контракта является следующая система неравенств: (2.6.7) 0 p, (2.6.8) 0 / p. Приведем ряд содержательных интерпретаций. Взаимовыгодность страхования для обеих сторон (страхователя и страховщика) обусловлена различиями в их восприятии риска [25,27,131]. Нейтральный к риску страховщик безразличен между гарантированным получением некоторого дохода и участием в лотерее с тем же ожидаемым доходом, в то время как несклонный к риску страхователь предпочтет гарантированно получить величину дохода, меньшую его математического ожидания. Перераспределение риска (максимальная величина перераспределяемой ожидаемой полезности ограничена для АЭ сверху премией за риск) при этом оказывается выгодным всем участникам. Понятно также, что перераспределение риска (ожидаемого дохода) между нейтральными к риску агентами не имеет смысла – точнее между ними возможно любое перераспределение дохода, не изменяющее ожидаемых полезностей, которые при линейной функции полезности совпадают с суммарными (ожидаемыми) доходами. Поэтому, если в многоуровневой АС и центр, и центры промежуточного уровня являются нейтральными к риску, то между ними допустимо любое перераспределение риска, в том числе – любое разбиение АЭ на подсистемы. Результат теоремы 2.6.1 формализует приведенные качественные рассуждения.

Теорема 2.6.1. Если страховщик нейтрален к риску то любой механизм страхования, удовлетворяющий (2.6.2)-(2.6.4)-(2.6.5)-(2.6.7), допускает произвольную децентрализацию. Доказательство теоремы 2.6.1 тривиально. Идея заключается в следующем: так как все страховщики нейтральны к риску, а механизм, удовлетворяющий введенным предположениям, в силу леммы 2.6.1 является допустимым (в том числе – выгодным для всех страхователей), то введение любого числа страховщиков и подчинение им любых страхователей не нарушает условия выгодности контракта для страховщиков (см. (2.6.6)). Более подробно, обозначим Zj = i = nj zij, где zij – доход i-го АЭ j-ой подсистемы. Условие (2.6.7) выгодности страхового контракта для произвольного АЭ включает только параметры и самого контракта и не зависит от того, с каким из страховщиков заключен контракт. Условие выгодности контракта для j-го страховщика (промежуточного центра) имеет вид: (2.6.9) ( – p ) Zj 0 и выполняется всегда, когда выполнено (6). Отметим, что из (2.6.5), (2.6.6) и (2.6.9) следует, что EU = i = N EUj, то есть в трехуровневой АС сумма ожидаемых полезностей нейтральных к риску центров промежуточного уровня равна ожидаемой полезности нейтрального к риску центра в децентрализуемой двухуровневой АС. Покажем, что любые контракты в рамках метасистемы (страховые контракты между нейтральными к риску промежуточными центрами и нейтральным к риску центром), уравнивающие ожидаемые доходы, то есть контракты перестрахования [27,90], являются допустимыми, то есть взаимовыгодными для участников метасистемы. Пусть hj – страховой взнос j-го центра центру;

rj – страховое возмещение, выплачиваемое центром j-му центру при наступлении страхового случая;

Uj0 – ожидаемая полезность j-го центра без заключения контракта с центром. Тогда ожидаемая полезность j-го центра при заключении контракта перестрахования равна: (2.6.10) EUj = Uj0 – rj + p hj, а ожидаемая полезность центра в этом случае равна:

(2.6.11) EU = n [p hj – rj].

j = Очевидно, что, например, условие баланса ожидаемых выплат между участниками подсистемы: (2.6.12) j = 1, n rj =p hj является достаточным условием допустимости контракта в подсистеме. Теорема доказана. • Таким образом, в рассматриваемой модели в случае нейтральных к риску страховщиков любой взаимовыгодный механизм страхования допускает произвольную децентрализацию. Качественно, выявленное свойство является следствием линейности функций полезности страховщиков и перестрахователя (центра). Легко показать, что свойство децентрализуемости имеет место и для склонного к риску страховщика (что, правда, представляется достаточно экзотическим случаем). Сложнее дело обстоит когда страховщик, как и страхователи, несклонен к риску. Поэтому исследуем эту ситуацию более подробно. Пусть имеется один страховщик – центр – и N страхователей АЭ. Пусть функция полезности центра U(.) – непрерывная и вогнутая, то есть центр не склонен к риску (в предельном случае – нейтрален31). Ожидаемая полезность страховщика: (2.6.13) EU(z) = (1-p) U( ri) + p U( [ri-hi]) = i =1 i =1 N N = (1-p) U(Z) + p U((-)Z). Условие выгодности страхового контракта для центра имеет вид: EU(z)0, то есть предполагается, что отказавшись от заключения контракта страховщик имеет нулевую полезность. Следующий результат устанавливает взаимосвязь между условиями допустимости контракта и множеством страхователей при условии, что и страхователи, и страховщик в общем случае не склонны к риску. Лемма 2.6.3. Если при некотором наборе страхователей страховой контракт с параметрами {;

} является допустимым в смысле леммы 2.6.1, то контракт с теми же параметрами является допустимым и при любом множестве страхователей, включающем исходное.

Нейтральность к риску (линейность функции полезности) является частным – "предельным" – случаем несклонности к риску, которой соответствуют вогнутые функции полезности [25,131].

При фиксированных параметрах страхового контракта ожидаемая полезность страховщика (2.6.13) является неубывающей функцией Z (что легко проверить, вычислив производную и воспользовавшись вогнутостью функции полезности и условием (2.6.8)). Добавление к исходному множеству страхователей новых активных элементов не уменьшает величину их суммарного дохода. Поэтому расширение множества страхователей не может сделать контракт невыгодным для страховщика. Из леммы 2.6.1 следует, что условия (2.6.7)-(2.6.8) обеспечивают выгодность контракта для страхователей, независимо от их номера (конкретной функции полезности, дохода и т.д.). Лемма доказана. • Установленная в лемме 2.6.2 монотонность ожидаемой полезности по суммарному доходу страхователей, или другими словами – по их числу, может рассматриваться как одно из формальных объяснений общепризнанному факту – страхование выгодно (для страховщика) при большом числе страхователей. В качестве отступления, отметим, во-первых, что рассмотрена достаточно частная модель механизма страхования. Например, при различных условиях наступления страхового случая у различных страхователей "пространство событий" будет несравненно больше. Во-вторых, приведенное выше определение допустимого контракта использует условия, сформулированные лишь для ожидаемых полезностей, в то время как в большинстве моделей страхования учитывается также вероятность разорения страховщика. В-третьих, в рассматриваемой модели страхование играет, скорее, роль стимулирования (см. модели страховых контрактов в рамках задач стимулирования в [58] и механизмы страхования с сообщением информации в [25,27]). Тем не менее, рассмотренная модель является достаточно хорошей иллюстрацией перераспределения риска и других явлений, свойственных механизмам страхования32. Результат леммы 2.6.2 позволяет сделать ряд выводов о возможности децентрализации механизма страхования в случае несклонного к риску страховщика. Выше было установлено, что существует минимальное значение суммарного дохода АЭ подсистемы, при котором заключение контракта еще выгодно для несклонного к риску страховщика. Предположим, что при заданном наборе страхователей ожидаемая полезность Вывод о стабилизации страхового портфеля с ростом числа страхователей обычно делается в результате анализа именно вероятности разорения (грубо говоря – из неравенства Чебышева, то есть из оценок дисперсий распределений) [90]. Выше удалось привести обоснование этого свойства с точки зрения ожидаемых значений, то есть – первых моментов распределений.

центра (2.6.13) неотрицательна. Тогда допустимой является такая децентрализация механизма страхования – добавление такого набора страховщиков (центров промежуточного уровня), при котором все контракты в подсистемах и в метасистеме (с учетом перестрахования) будут допустимыми. Детальный анализ условий допустимости для этого случая является достаточно громоздким и в настоящей работе не приводится.

III. МЕЖУРОВНЕВОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ В первой и второй главах рассматривались, соответственно, механизмы стимулирования и планирования в трехуровневых активных системах, структура подчиненности в которых имела вид дерева, то есть каждый АЭ был подчинен одному и только одному центру промежуточного уровня, а каждый центр промежуточного уровня был подчинен единственному центру. Как правило, говоря об иерархии, неявно имеют в виду именно древовидную структуру. Понятно, что в реальных многоуровневых организационных системах может иметь место более сложная структура подчиненности, в частности конкретный АЭ может быть непосредственно подчинен как некоторому центру промежуточного уровня, так и центру верхнего уровня, или одновременно нескольким центрам промежуточного уровня и т.д. Поэтому в настоящей главе рассматриваются эффекты, связанные с "нарушениями иерархичности", то есть межуровневое взаимодействие участников АС. Одним из возможных "нарушений иерархии" является наличие двойного межуровневого подчинения, когда один АЭ или промежуточный центр подчинен одновременно двум или более управляющим органам, находящимся на различных уровнях иерархии. Пример структуры подчиненности, соответствующий этому случаю, приведен на рисунке 6 (АЭ2j подчинен одновременно центру и j-му промежуточному центру). Рассмотрим ряд конкретных моделей. Пусть в трехуровневой АС, описанной в разделе 1.2, центр имеет полную информацию о моделях несвязанных активных элементов (агрегирование информации отсутствует). Предположим, что центр верхнего уровня, имея в своем распоряжении ФЗП c 0, может некоторую его часть c, [0;

Pages:     | 1 || 3 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.