WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«Д.А. Новиков МЕХАНИЗМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ В ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ Настоящая работа является учебным пособием для подготовки к экзамену по курсу "Механизмы стимулирования" для аспирантов, обучающихся по ...»

-- [ Страница 2 ] --

Во-первых, выше при описании результатов исследования комбинаций, вошедших в таблицу 1, мы зачастую вводили те или иные предположения как относительно свойств целевых функций, так и относительно соотношений конкретных параметров, явно оговаривая или неявно подразумевая (будучи обоснованно уверенными [11]), что небольшие изменения этих параметров не повлияют на сделанные выводы и, в частности – на оценки сравнительной эффективности. Во-вторых, из приведенных результатов видно, что «техника» анализа различных комбинаций практически одинакова (что и является одной из основ упомянутой выше уверенности): следует вычислить действия, реализуемые используемой системой стимулирования, определить минимальные затраты на стимулирование и сравнить их с соответствующими показателями для других базовых систем стимулирования. Таким образом, с одной стороны, учет всего многообразия возможных вариантов достаточно трудоемок, с другой стороны единообразие, простота и алгоритмичность их анализа свидетельствуют о наличии единых (методологических и методических) подходов к их изучению. Поэтому, наверное, нецелесообразно исследовать все комбинации моделей, а лучше предоставить исследователю операций возможность самостоятельно реализовать в каждом конкретном случае единый подход к изучению как существующих на практике систем оплаты, так и их формальных моделей. Существенными для проведенного анализа являлись введенные выше предположения о поведении агента – в частности: используемых им принципах рационального выбора, свойствах функции затрат и т.д. Поэтому перспективным направлением дальнейших исследований представляется ослабление этих предположений, то есть расширение множества моделей и исследование возможности использования предложенного выше подхода (анализ минимальных затрат на стимулирование) в этом более широком их классе. В заключение настоящего раздела рассмотрим интерпретации базовых систем стимулирования в терминах экономики труда (функции полезности), исходя из обоснованного выше предполо жения, что кривые безразличия функции полезности u(q, t) агента убывающие и выпуклые1. Системы стимулирования K-типа. Напомним, что компенсаторной выше была названа система стимулирования, которая компенсирует затраты агента, обеспечивая ему некоторый уровень полезности (например, полезность резервной заработной платы U ). Множество допустимых вознаграждений агента при ограничении C механизма стимулирования заштриховано на рисунке 25. Если центр гарантирует агенту значение полезности, равное полезности резервной заработной платы, то компенсаторная система стимулирования K() может быть найдена из следующих соотношений (см. определение множества реализуемых действий выше): ~ (16) t: (T – t) P(C) u( K (t), t) = U, ~ (17) K() = K (T – ).

c()+U C Множество реализуемых действий U max = c -1(C-U ) Рис. 25. Множество допустимых вознаграждений Подчеркнем, что для упрощения изложения считается, что задача выбора агентом продолжительности рабочего времени имеет внутреннее решение, то есть, исключим из рассмотрения «угловое решение», при котором оптимальная для агента продолжительность свободного времени равна T (при этом стимулирование бессмысленно, так как агент отрабатывает нулевое число часов, как и в случае полного отсутствия стимулирования).

~ Из (16)-(17) следует, что график функции K (t) совпадает с кривой безразличия функции полезности, определяемой условием: = U (см. рисунок 26). Так как кривая безразличия – убывающая и выпуклая, следовательно компенсаторная система стимулирования является возрастающей и выпуклой (см. рисунок 26). Кривая безразличия, соответствующая гарантированной полезности агента U, на рисунке 26 выделена жирной линией. На рисунке 26 также изображена (жирной штрих-пунктирной линией) компенсаторная функция стимулирования K(), соответствующая данной функции полезности агента (отметим, что при > max = T – tmin = c-1(C – U ) компенсаторное вознаграждение превысит ограничение C). Итак, компенсация затрат в модели индивидуальных предпочтений означает, что агент «находится» на изокванте полезности и безразличен между всеми продолжительностями рабочего времени. Если выполнена гипотеза благожелательности, то он выберет продолжительность рабочего времени, оговоренную в контракте.

q C K() U = U U 0 tmin T/2 max = T - tmin T t, Рис. 26. Компенсаторная функция стимулирования Приведем доказательство оптимальности систем стимулирования К-типа в терминах функции полезности. Пусть центр хочет побудить агента отработать * часов. Свободное время при этом равно t* = T – *. Наличие резервной заработной платы ограничи вает множество возможных значений вознаграждения полуинтервалом АВ (см. рисунок 27).

q qC qA B C A ~ > = U t, t* T Рис. 27. Оптимальность функции стимулирования К-типа Задача синтеза оптимальной функции стимулирования сводится к поиску такого бюджетного ограничения, которое касалось бы некоторой кривой безразличия на отрезке АВ, причем желательно, чтобы величина вознаграждения в точке касания была минимальна, то есть чтобы точка касания находилась как можно ближе к точке А, а в идеале – совпадала бы с ней. Кривая безразличия, проходящая через точку А, соответствует ограничению резервной заработной платы. Если рассматривать ее саму как бюджетное ограничение, то получим, что последнему соответствует именно компенсаторная система стимулирования. При ее использовании затраты на стимулирование по реализации действия * равны qA (см. рисунок 27). Если попытаться найти оптимальную пропорциональную систему стимулирования, реализующую то же действие *, то получим, что соответствующим ей бюджетным ограничением является ~ прямая, касающаяся кривой безразличия > = U в точке С (см. рисунок 27). Через точку С проходит кривая безразличия, соответствующая строго большей полезности, чем полезность резервной заработной платы. Поэтому, хотя пропорциональная система стимулирования и реализует действие *, она реализует его с затратами на стимулирование qC, строго большими, чем минимально необходимые. Разность qC – qA показывает насколько переплачивает центр при использовании неотрицательных пропорциональных систем стимулирования по сравнению с компенсаторными. Аналогичные рассуждения можно привести, иллюстрируя их графиками (см. ниже), и относительно эффективности других базовых систем стимулирования в сравнении с компенсаторными и друг с другом. Из всех базовых систем стимулирования только компенсаторные зависят непосредственно от затрат агента. Поэтому при рассмотрении остальных базовых систем стимулирования учет полезности агента будет производиться не столь явным образом, как это делалось выше для компенсаторных. Реализуемое действие будем обозначать как и ранее t* (t* = T – *). Аналогия приводимых ниже результатов с результатами анализа пропорциональных систем ~ стимулирования следующая – функция поощрения (t ) является бюджетным ограничением, которого в точке оптимума должна «касаться» кривая безразличия агента. Системы стимулирования С-типа. Напомним, что при использовании скачкообразных систем стимулирования C() агент поощряется на фиксированную величину только в том случае, если его действие (продолжительность рабочего времени ) не меньше, чем заданный норматив x. Соот~ ветствующая функция C (t ) определяется следующим образом: агент поощряется на фиксированную величину только в том случае, если продолжительность его свободного времени t не больше, чем заданный норматив x. На рисунке 28 представлены: скачкообразная система стиму~ лирования C (t ) со скачком в точке x;

кривая безразличия = U полезности обозначена пунктиром, она совместно с ограничением механизма стимулирования C определяет минимальную продолжительность свободного времени tmin, которую центр может побудить выбрать агента;

кривая безразличия функции полезности (соответствующая максимальному при данной системе стимулирования значению полезности агента) обозначена непрерывной лини ~ ей, эта кривая безразличия характерна тем, что она касается1 C (t ) в точке А.

q C A ~ C (t ) U =U t, tmin x=t * T Рис. 28. Скачкообразная функция стимулирования Значение времени досуга, равное tmin, соответствует максимальной продолжительности рабочего времени, которое центр может побудить отработать агента, используя скачкообразные системы стимулирования, ограниченные сверху константой C (доход агента, равный C, при t = tmin обеспечивает ему минимальный уровень полезности, соответствующий резервной заработной плате). Системы стимулирования L-типа (то есть линейные – с постоянной ставкой оплаты) детально описаны выше. Остановимся более подробно на взаимосвязи сдельной и повременной оплаты. Как отмечалось выше, если результат деятельности агента, достигаемый за единицу времени (являющуюся основой отсчета при повременной оплате – минута, час, день и т.д.), постоянен и не зависит от количества уже отработанных часов, то с точки зрения теоретического анализа сдельная и повременная системы оплаты полностью эквивалентны – между ними Оптимальная продолжительность рабочего времени (то есть продолжительность, максимизирующая полезность агента при данной зарплате) в рассматриваемом случае определяется уже не «дифференциальными» условиями первого порядка (условие касания), а общим видом условий реализуемости действия (условий глобального максимума).

существует линейная связь (то есть результат деятельности y прямо пропорционально рабочему времени ). Если результат деятельности агента, достигаемый за единицу времени, зависит от количества уже отработанных часов, то между повременной и сдельной оплатой существуют различия. В работах зарубежных исследователей по экономике труда [17] обычно принимается следующий вид зависимости между результатами деятельности y и текущей продолжительностью рабочего времени (см. рисунок 29). На рисунке 30 изображен график производной сти деятельности агента (результат деятельности, достигаемый в единицу времени). Содержательно, низкая производительность в начале рабочего дня обусловлена эффектом «врабатывания» (или адаптации) – агент переключается (промежуток времени [0;

1]) на новый (по сравнению, например, с отдыхом) вид деятельности – работу. Постепенно производительность растет (промежуток времени [1;

2], достигая максимума в момент времени 2 (или в более общем случае в некотором интервале времени). Затем, после момента времени 2, начинает сказываться, например, усталость, и производительность начинает убывать.

y y3 y dy ( ) кривой y() – кривая производительноd dy ( ) d y1 0 1 2 0 1 2 3 Рис. 30. Производительность деятельности агента Рис. 29. Зависимость результата (кумулятивного) деятельности агента от времени В многочисленных исследованиях (проведенных в основном в доперестроечный период) также встречаются кривые (зависимости производительности труда от времени в течение рабочего дня1) типа приведенных на рисунке 30. Эскиз графика характерной зависимости производительности труда рабочих (с учетом перерыва на обед) от времени изображен на рисунке 31 (нулевой момент времени соответствует началу рабочего дня;

во время обеденного перерыва – на интервале [1;

2] – производительность равна нулю;

момент времени 3 соответствует окончанию рабочего дня). Содержательные интерпретации участков возрастания, постоянства и убывания производительности труда очевидны.

dy d 0 1 2 Рис. 31. Зависимость производительности труда от времени в течение рабочего дня Нелинейное изменение результата деятельности агента во времени позволяет выделить два «типа» агентов, которых следует оплачивать по-разному. Поясним последнее утверждение. Если принять, что функция затрат агента имеет вид, изображенный на рисунке 29, то при использовании центром компенсаторной системы стимулирования кривые безразличия агента могут касаться кривой бюджетного ограничения в одной из двух характерных точек – точке А, в которой кривая бюджетного ограничения вогнута (первый «тип»), или в точке В, в которой кривая бюджетного Следует отметить, что и отечественными, и зарубежными учеными исследовались зависимости производительности труда от времени не только в течение рабочего дня, но и в течение рабочей недели, месяца, года и т.д.

ограничения выпукла (второй «тип» – см. рисунок 32). Выделенным двум типам агентов соответствуют разные семейства кривых безразличия: агенты первого типа по сравнению с агентами второго типа выше ценят доход, а агенты второго типа – свободное время.

q A A’ В’ В 0 T t, Рис. 32. Два «типа» агентов Если цель центра заключается в том, чтобы при минимальном вознаграждении агента побуждать его к увеличении продолжительности рабочего времени, то для агентов первого типа следует использовать повременную систему (пропорциональную, в которой показателем является продолжительность рабочего дня) стимулирования, а для агентов второго типа – сдельную (компенсаторную, в которой показателем является результат деятельности) – см. горизонтальные прямые и точки А, А’ и В, В’ на рисунке 32. Системы стимулирования D-типа. Напомним, что в системах стимулирования, основанных на перераспределении дохода, вознаграждение агента пропорционально (с коэффициентом пропорциональности не зависящим от действия агента) доходу центра H(y), который зависит от действия агента, то есть D() = H(), [0;

1]. Если функция дохода центра вогнутая (что обычно предполагается как в теоретико-игровых, так и в экономических моделях), ~ то функции D() и D (t) также являются вогнутыми. На рисунке ~ 33 изображены функции стимулирования D() и D (t), а также кривая безразличия, соответствующая максимальному значению ~ полезности агента (эта кривая касается кривой D (t) в точке А).

q D() ~ D (t ) A U = U t, * T/2 t T Рис. 33. Функция стимулирования D-типа Вогнутые функции стимулирования. Пусть функция стимулирования (бюджетное ограничение) вогнутая, а кривая безразличия агента – выпуклая (см. рисунок 34). Тогда для данной системы стимулирования можно произвести линеаризацию (см. выше), то есть найти неотрицательную систему стимулирования L+C-типа, реализующую то же действие, что и исходная система стимулирования. Величина qT называется нетрудовым доходом (она равна доходу агента при нулевом рабочем времени).

q U A ~ (t ) (t) qT ~ L+C (t * ) (t) t, t* T Рис. 34. Линеаризация вогнутой функции стимулирования Итак, рассмотрено описание основных базовых систем стимулирования в терминах экономики труда. Используя полученные результаты, легко получить аналогичные описания для остальных базовых систем стимулирования. Проиллюстрируем возможность переноса на примере составных и суммарных систем стимулирования. Системы стимулирования LL-типа (составные). Напомним, что составной системой стимулирования LL-типа называется такая система стимулирования, в которой агент поощряется пропорционально действию, причем на различных участках множества возможных действий A = [0;

T] коэффициенты пропорциональности 1 и 2 различны. Так как выше было показано, что оптимальная система стимулирования должна быть возрастающей и выпуклой, то рассмотрим случай, когда 0 < 1 2 (при 1 = 2 получим подробно рассмотренную выше систему стимулирования L-типа). Условием оптимальности является равенство ставки оплаты и альтернативной стоимости одного часа досуга. Следовательно, возможны три варианта – кривая безразличия полезности агента касается бюджетной кривой, имеющей вид ломаной, либо на линейном участке с углом наклона 1 (точка А – см. рисунок 35), либо на линейном участке с углом наклона 2 (точка В – см. рисунок 36), либо на обоих участках сразу (точки А и В – см. рисунок 37) – см. также описание систем стимулирования LL-типа.

q q q В 2 A t T 0 x Рис. 36 Система стимулирования LL-типа 1 T t 0 x Рис. 37 1 T t В 2 A 1 0 x Рис. 35 Системы стимулирования L+C-типа (суммарные). Напомним, что суммарной системой стимулирования L+С-типа называется такая система стимулирования, при использовании которой агент поощряется пропорционально действию, причем, если его действие (количество отработанных часов) превышает норматив x, то ему доплачивается постоянная величина C. Как и ранее, возможны три варианта – кривая безразличия полезности агента касается бюджетной кривой, имеющей вид разрывной прямой, на линейном участке с углом наклона либо правее точки x (точка А – см. рисунок 38), либо левее этой точки (точка В – см. рисунок 39), либо, что не исключено в силу выпуклости кривых безразличия, одновременно в точке x и правее ее (точки А и В – см. рисунок 40).

q q q A 0 x Рис. 38 T t В В A x Рис. 39 T t 0 x T Рис. t Система стимулирования L+С-типа Итак, рассмотрена взаимосвязь между теоретико-игровыми моделями стимулирования и экономическими моделями предложения труда. Полученные результаты позволили не только провести содержательные аналогии, но и установить количественные соотношения между параметрами этих двух классов моделей. Для использования результатов моделирования на практике требуется уметь идентифицировать модель стимулирования, в том числе – определять предпочтения участников ОС. Так как пред почтения центра описываются его функцией дохода, а предпочтения агента – функцией затрат, то необходимо привести конструктивные алгоритмы определения этих функций. Рассмотрим сначала проблему идентификации функции затрат агента. ЧАСТЬ 3. КОЛЛЕКТИВНОЕ СТИМУЛИРОВАНИЕ 7. КОЛЛЕКТИВНОЕ СТИМУЛИРОВАНИЕ ЗА ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ В предыдущих разделах рассматривались системы индивидуального стимулирования. Дальнейшее изложение посвящено описанию моделей коллективного стимулирования, то есть стимулирования коллектива агентов. Простейшим обобщением базовой одноэлементной модели является многоэлементная ОС с независимыми (невзаимодействующими) агентами. В этом случае задача стимулирования распадается на набор одноэлементных задач. Если ввести общие для всех или ряда агентов ограничения на механизм стимулирования, то получается задача стимулирования в ОС со слабо связанными агентами, представляющая собой набор параметрических одноэлементных задач, для которого проблема поиска оптимальных значений параметров решается стандартными методами условной оптимизации. Если агенты взаимосвязаны, то есть затраты или/и стимулирование агента зависят, помимо его собственных действий, от действий других агентов, то получается «полноценная» многоэлементная модель стимулирования, описываемая ниже. Последовательность решения многоэлементных и одноэлементных задач имеет много общего. Сначала необходимо построить компенсаторную систему стимулирования, реализующую некоторое (произвольное, или допустимое при заданных ограничениях) действие – первый этап – этап анализа согласованности стимулирования. В одноэлементных ОС в рамках гипотезы благожелательности для этого достаточно проверить, что при этом максимум целевой функции агента будет достигаться, в том числе и на реализуемом действии. В многоэлементных ОС достаточно показать, что выбор соответствующего действия является равновесной стратегией в игре агентов. Если равновесий несколько, то необходимо проверить выполнение для рассматриваемого действия дополнительной гипотезы о рациональном выборе агентов. В большинстве случаев достаточным оказывается введение аксиомы единогласия (агенты не будут выбирать равновесия, доминируемые по Парето другими равновесиями), иногда центру приходится вычислять гарантированный результат по множеству равновесных стратегий агентов и т.д. Далее следует приравнять стимулирование затратам и решить стандартную оптимизационную задачу – какое из реализуемых действий следует реализовывать центру – второй этап – этап согласованного планирования – см. также второй раздел. В большинстве рассматриваемых в теории управления моделей стимулирования изучаются одноэлементные ОС, состоящие из одного управляющего органа (центра) и одного управляемого субъекта – агента. В настоящем разделе описывается предложенный в [14] метод, заключающийся в выборе системы стимулирования, реализующей оптимальный с точки зрения центра вектор действий агентов как равновесие в доминантных стратегиях1 (РДС) [5], что позволяет декомпозировать игру агентов и получить аналитическое решение задачи стимулирования. Стимулирование в ОС со слабо связанными агентами. Описанные выше результаты решения задачи стимулирования могут быть непосредственно обобщены на случай, когда имеются n 2 агентов, функции затрат которых зависят только от их собственных действий (так называемые сепарабельные затраты), стимулирование каждого агента зависит только от его собственных действий, но существуют ограничения на суммарное стимулирование агентов. Такая модель называется ОС со слабо связанными агентами и является промежуточной между системами индивидуального и коллективного стимулирования.

Напомним, что равновесием в доминантных стратегиях называется такой вектор действий агентов, что каждому агенту выгодно выбирать соответствующую компоненту этого равновесия независимо от того, какие действия выбирают другие агенты – см. формальное определение ниже.

Пусть I = {1, 2, …, n} – множество агентов, yi Ai – действие i-го агента, ci(yi) – затраты i-го агента, i(yi) – стимулирование его со стороны центра, i I, y = (y1, y2, …, yn) – вектор действий агентов, y A’ = Ai. Предположим, что центр получает доход H(y) iI от деятельности агентов. Пусть размеры индивидуальных вознаграждений агентов ограничены величинами {Ci}i I, то есть yi Ai i(yi) Ci, i I. Если фонд стимулирования (ФЗП) ограничен величиной R, то есть Сi R, то получаем (см. второй раздел), что максимальное iI множество реализуемых действий для i-го агента зависит от соответствующего ограничения механизма стимулирования: + Pi (Ci ) = [0, yi (Ci )], i I. Тогда оптимальное решение задачи стимулирования в ОС со слабо связанными агентами определяется следующим образом – максимизировать выбором индивидуальных ограничений {Ci}i I, Сi R, следуюудовлетворяющих бюджетному ограничению iI щее выражение:

( R) = { y i Pi ( C i )}iI max H ( y1,..., yn ), что является стандартной задачей условной оптимизации. Отметим, что когда ФЗП фиксирован, затраты центра на стимулирование не вычитаются из его дохода. Если ФЗП является переменной величиной, то его оптимальное значение R* может быть найдено как решение следующей задачи: R* = arg max [(R) – R].

R Пример 5. Пусть функции затрат агентов: ci(yi) = yi2 /2ri, i I, а функция дохода центра – H ( y ) = y iI i i, где {i}i I – положи тельные константы. При заданных ограничениях {Ci}i I максимальное реализуемое действие каждого агента: yi+ (Ci ) = 2riCi, i I. Задача све лась к определению оптимального набора ограничений { Ci }i I, удовлетворяющего бюджетному ограничению и максимизирующего целевую функцию центра:

i 2riCi max {C i } iI. Ci R iI Ci = ri i2 R, iI. rj 2j j I Решение этой задачи имеет вид:

Оптимальный размер ФЗП равен R* = r iI i 2 i / 2. • Стимулирование в ОС с сильно связанными агентами. Обозначим y-i = (y1, y2, …, yi-1, yi+1, …, yn) A-i = A j – j i обстановка игры для i-го агента. Интересы и предпочтения участников ОС – центра и агентов – выражены их целевыми функциями. Целевая функция центра (, y) представляет собой разность между его доходом H(y) и суммарным вознаграждением (y), выплачиваемым агентам: (y) = ( y ), где (y) – стимулироваi =1 i i n ние i-го агента, (y) = (1(y), 2(y), …, n(y)). Целевая функция i-го агента fi(i, y) представляет собой разность между стимулированием, получаемым от центра, и затратами ci(y), то есть: (1) (, y) = H(y) – i = i ( y).

n (2) fi(i, y) = i(y) – ci(y), i I. Отметим, что и индивидуальное вознаграждение, и индивидуальные затраты i-го агента по выбору действия yi в общем случае зависят от действий всех агентов (случай сильно связанных агентов с несепарабельными затратами). Примем следующий порядок функционирования ОС. Центру и агентам на момент принятия решения о выбираемых стратегиях (соответственно – функциях стимулирования и действиях) известны целевые функции и допустимые множества всех участников ОС. Центр, обладая правом первого хода, выбирает функции стимулирования и сообщает их агентам, после чего агенты при известных функциях стимулирования выбирают действия, максимизирующие их целевые функции. Относительно параметров ОС введем следующие предположения:

- множество действий каждого агента совпадает со множеством неотрицательных действительных чисел;

- функции затрат агентов непрерывны, неотрицательны и yi Ai ci(y) не убывает по yi, i I;

и y-i A-i ci(0, y-i) = 0. - функция дохода центра непрерывна по всем переменным и достигает максимума при ненулевых действиях агентов. Второе предположение означает, что независимо от действий других агентов любой агент может минимизировать свои затраты выбором нулевого действия. Остальные предположения – такие же, как и в одноэлементной модели (см. второй раздел). Так как и затраты, и стимулирование каждого агента в рассматриваемой модели зависят в общем случае от действий всех агентов, то агенты оказываются вовлеченными в игру [5], в которой выигрыш каждого зависит от действий всех. Обозначим P() – множество равновесных при системе стимулирования стратегий агентов – множество решений игры (тип равновесия пока не оговаривается;

единственно предположим, что агенты выбирают свои стратегии одновременно и независимо друг от друга, не имея возможности обмениваться дополнительной информацией и полезностью). Как и в одноэлементной ОС, рассмотренной во втором разделе, гарантированной эффективностью (далее просто «эффективностью») стимулирования является минимальное (или максимальное – в рамках гипотезы благожелательности) значение целевой функции центра на соответствующем множестве решений игры: (3) K() = min (, y).

yP ( ) Задача синтеза оптимальной функции стимулирования заключается в поиске допустимой системы стимулирования *, имеющей максимальную эффективность: (4) * = arg max K().

M Из результатов второго раздела следует, что в частном случае, когда агенты независимы (вознаграждение и затраты каждого из них зависят только от его собственных действий), то оптимальной i ) является квазикомпенса(точнее – -оптимальной, где = iI торная система стимулирования: (5) i K ( yi ) = ci ( yi* ) + i, yi = yi*, i I, yi yi* 0, где {i}i I – сколь угодно малые строго положительные константы (мотивирующие надбавки), а оптимальное действие y*, реализуемое системой стимулирования (5) как РДС, является решением следующей задачи оптимального согласованного планирования: y* = arg max {H(y) – y A c ( y ) }.

iI i i Если стимулирование каждого агента зависит от действий всех агентов (рассматриваемый в настоящем разделе случай коллективного стимулирования) и затраты не сепарабельны (то есть затраты каждого агента зависят в общем случае от действий всех агентов, что отражает взаимосвязь и взаимозависимость агентов), то определения множества равновесий Нэша1 EN() A’и РДС yd A’ имеют вид: (6) EN() = {yN A | i I yi Ai N N i(yN) – ci( y N ) i(yi, y i ) – ci(yi, y i )}, y id Ai – доминантная стратегия i-го агента, тогда и только тогда, когда Напомним, что равновесием Нэша называется такой вектор действий агентов, что каждому агенту выгодно выбирать соответствующую компоненту этого равновесия при условии, что все остальные агенты выбирают равновесные действия.

yi Ai, y-i A-i i( y id, y-i) – ci( y id, y-i) i(yi, y-i) – ci(yi, y-i). Если при заданной системе стимулирования у всех агентов имеется доминантная стратегия, то говорят, что данная система стимулирования реализует соответствующий вектор действий как РДС. Фиксируем произвольный вектор действий агентов y* A’ и рассмотрим следующую систему стимулирования: (7) i(y*, y) = ci ( yi*, y i ) + i, yi = yi*, i 0, i I. * yi yi 0, В [14] доказано, что при использовании центром системы стимулирования (7) y* – РДС. Более того, если i > 0, i I, то y* – единственное РДС. Содержательно, при использовании системы стимулирования (7) центр использует следующий принцип декомпозиции: он предлагает i-му агенту – «выбирай действие yi*, а я компенсирую тебе затраты, независимо от того какие действия выбрали остальные агенты, если же ты выберешь любое другое действие, то вознаграждение будет равно нулю». Используя такую стратегию, центр декомпозирует игру агентов. Если стимулирование каждого агента зависит только от его собственного действия, то, фиксировав для каждого агента обстановку игры, перейдем от (7) к системе индивидуального стимулирования следующим образом: фиксируем произвольный вектор действий агентов y* A’ и определим систему стимулирования:

* ci ( yi*, y i ) + i, yi = yi* (8) i(y, yi) =, i 0, i I. * yi yi 0, * Содержательно, при использовании системы стимулирования (8) центр предлагает i-му агенту – «выбирай действие yi*, а я компенсирую тебе затраты, считая, что остальные агенты также * выбрали соответствующие компоненты – y i, если же ты выберешь любое другое действие, то вознаграждение будет равно нулю». Используя такую стратегию, центр также декомпозирует игру агентов.

Отметим, что функция стимулирования (8) зависит только от * действия i-го агента, а величина yi входит в нее как параметр. Кроме того, при использовании центром системы стимулирования (8), в отличие от (7), каждый из агентов имеет косвенную информацию обо всех компонентах того вектора действий, который хочет реализовать центр. Для того, чтобы система стимулирования (8) реализовывала вектор y* как РДС, необходимо введение дополнительных (по сравнению со случаем использования (7)) предположений относительно функций затрат агентов – см. [14]. Здесь же уместно качественно пояснить необходимость введения неотрицательных констант {i}i I в выражениях (5), (7) и (8). Если требуется реализовать некоторое действие как одно из равновесий Нэша, то эти константы могут быть выбраны равными нулю. Если требуется, чтобы равновесие было единственным (в частности, чтобы агенты не выбирали нулевые действия – иначе при вычислении гарантированного результата в (3) центр вынужден рассчитывать на выбор агентами нулевых действий), то агентам следует доплатить сколь угодно малую, но строго положительную величину за выбор именно того действия, которое предлагается центром. Более того, величины {i}i I в выражениях (5), (7) и (8) играют важную роль и с точки зрения устойчивости компенсаторной системы стимулирования по параметрам модели. Например, если функция затрат i-го агента известна с точностью до i i / 2, то компенсаторная система стимулирования (7) все равно реализует действие y*. Вектор оптимальных реализуемых действий агентов y*, фигурирующий в качестве параметра в выражении (7) или (8), определяется в результате решения следующей задачи оптимального согласованного планирования: (9) y* = arg max {H(t) – (t)}, где v(t) = c (t ), а эффективность системы стимулирования (7), iI i t A (9) равна следующей величине: K* = H(y*) – c ( y ) –.

* iI i В [14] доказано, что система стимулирования (7), (9) является оптимальной, то есть, обладает максимальной эффективностью среди всех систем стимулирования в многоэлементных ОС. Примеры. Рассмотрим несколько примеров решения задач синтеза оптимальных систем коллективного стимулирования в многоэлементных ОС. Пример 6. Решим задачу стимулирования в ОС с двумя аген( y + y3 i ) 2 тами, имеющими функции затрат: ci(y) = i, i = 1, 2, где 2ri – некоторый параметр, отражающий степень взаимозависимости агентов. Пусть функция дохода центра H(y) = y1 + y2, а фонд заработной платы ограничен величиной R. Если центр использует систему стимулирования (7), то задача стимулирования сводится к поиску оптимальных реализуемых действий:

Применяя метод множителей Лагранжа, получаем, что решение имеет вид:

* y1 = H ( y ) max y0. c1 ( y ) + c2 ( y ) R 2 R r2 + r1 *, y2 = 2 r1 + r2 2 R r1 + r2. r1 + r2 2 Подставляя равновесные действия агентов в целевую функцию центра, получаем, что оптимальный размер ФЗП равен (см. также пример 5) R* = arg max [ 2 R (r1 + r2 ) /(1 – ) – R] = R r1 + r2.• 2( 1) Пример 7 (совместное производство). Рассмотрим многоэлементную двухуровневую ОС, состоящую из центра и n агентов. Пусть целевая функция i-го агента fi(y, ri) представляет собой разность между доходом hi(y) от совместной деятельности и затратами ci(y, ri), где ri – параметр эффективности (тип) агента, то есть fi(y, ri) = hi(y) – ci(y, ri), i N. Выберем следующий вид функций дохода и затрат:

hi(y) = i Y, i N, ci(y, ri) = где Y = yi2, i N, 2(ri ± i y j ) j i y, iI i iI i = 1. Для случая, когда в знаменателе стоит знак «–», предполагается, что y j i j < ri. i Содержательно набор агентов может интерпретироваться как фирма, подразделения которой (агенты) производят однородную продукцию, реализуемую на рынке по цене. Суммарный доход Y распределяется между агентами в соответствии с фиксированными долями {i}i I. Затраты агента возрастают по его действиям, а эффективность деятельности определяется типом агента ri. Взаимодействие агентов моделируется зависимостью затрат (эффективности деятельности) каждого из них от действий всех (других) агентов. Знак «+» в знаменателе соответствует эффективному взаимодействию агентов (убыванию затрат на масштаб) – чем большие действия выбирают другие агенты, тем меньше затраты (выше эффективность деятельности) рассматриваемого агента, что на практике может соответствовать снижению удельных постоянных издержек, обмену опытом, технологиями и т.д. Знак «–» в знаменателе соответствует неэффективному взаимодействию агентов (возрастанию затрат на масштаб) – чем большие действия выбирают другие агенты, тем больше затраты (ниже эффективность деятельности) рассматриваемого агента, что на практике может соответствовать нехватке основных фондов, ограничениям на побочные показатели (например, загрязнение окружающей среды) и т.д. Коэффициенты {i 0}i I отражают степень взаимозависимости агентов. Пусть рыночная цена известна всем участникам ОС. Тогда, дифференцируя целевые функции агентов, приравнивая производные нулю и складывая получившиеся при этом выражения yi = i (ri ± i y j ), i I, j i получим следующую зависимость суммарных действий Y+ от параметра :

i i. i i 1m iI 1 ± i i Стимулированию соответствует изменение параметров {i}i I, которые могут интерпретироваться как внутренние (внутрифирменные, трансфертные и т.д.) цены. • Пример 8 (акккордная оплата труда). Рассмотрим ОС с двумя Y+() = 1 ± iI i ri агентами, имеющими функции затрат ci(yi) = yi2 / 2ri, где ri – тип i+ го агента, yi Ai = 1, i = 1, 2. Целевая функция i-го агента представляет собой разность между стимулированием i(y1, y2), получаемым от центра, и затратами, то есть: fi(y) = i(y) – ci(yi), i = 1, 2. Пусть центр использует систему стимулирования (10) i(y1, y2) = Ci, y1 + y2 x, i = 1, 2. 0, y1 + y2 < x Содержательно, центр выплачивает каждому агенту фиксированное вознаграждение при условии, что сумма их действий оказывается не меньше, чем некоторое плановое значение x > 0. Обозначим yi+ = 2riCi, i = 1, 2, Y = {(y1, y2) | yi yi+, i = 1, 2, y1 + y2 x} – множество индивидуально-рациональных действий агентов, то есть действий, при которых они не перерабатывают (обеспечивать сумму действий, большую плана x, им не имеет смысла) и каждый имеет неотрицательное значение целевой функции. Рассмотрим четыре возможных комбинации переменных (см. рисунки 41–44).

В первом случае (см. рисунок 41) множество равновесий + Нэша составляет отрезок: y2 Фиксируем EN() = [N1;

N2]. x N1 произвольное равновесие * * y* = ( y1, y 2 ) EN(). Наличие * y2 «большого» равновесия Нэша Y y1 (отрезка, содержащего контиN2 нуум точек) имеет несколько * + 0 y1 y1 x минусов с точки зрения эффективности стимулирования. Рис. 41 Поясним это утверждение Так как все точки отрезка [N1;

N2] эффективны по Парето с точки зрения агентов, то при определении эффективности системы стимулирования центр вынужден (в зависимости от своей функции полезности) либо использовать гарантированный результат (вычислять минимум по этому отрезку), либо доплачивать агентам за выбор конкретных действий из этого отрезка малую, но строго положительную, величину. Построим систему индивидуального стимулирования в соответствии с результатами, приведенными выше (см. (8) и (9)): * C, y y1 * ~*, (11) 1 (y1) = 1(y1, y 2 ) = 1 1 * 0, y1 < y y * C, y y 2 * ~* 2 (y2) = 2( y1, y2) = 2 2. * 0, y 2 < y 2 При использовании этой системы стимулирования точка * * * y = ( y1, y 2 ) оказывается единственным равновесием Нэша, то есть, переходя от системы стимулирования (10) каждого агента, зависящей от действий всех агентов, к системе стимулирования (11), зависящей только от действий данного агента, центр «декомпозирует» игру агентов, реализуя при этом единственное действие. При этом эффективность стимулирования, очевидно, не только не понижается, а может оказаться более высокой, чем при использовании исходной системы стимулирования.

y2 x + y2 * y + y y2 N N x * y N N2 * y y + y y1 * y1 + y x x Рис. 43 Рис. 42 Во втором и третьем случаях равновесием Нэша являются отрезки [N1;

N2], изображенные на рисунках 42 и 43 соответственно. И, наконец, в четвертом y2 случае (см. рисунок 44) x множество равновесий N1 + y2 Нэша состоит из точки * (0;

0) и отрезка [N1;

N2], то y2 есть N2 EN() = (0;

0) [N1;

N2], y1 причем точки интервала + * 0 y1 (N1 N2) недоминируемы по x y1 Парето другими равновеРис. 44 сиями. Пусть в условиях рассматриваемого примера функции затрат ( yi + y3 i ) 2 агентов не сепарабельны и имеют вид: ci(y) =. Опре2ri делим множество Y индивидуально-рациональных действий агентов: Y = {(y1, y2) | ci(y) Ci, i = 1, 2}. Для того чтобы не рассматривать все возможные комбинации значений параметров {r1, r2, C1, C2, x} возьмем случай, представленный на рисунке 45.

2r1C1 / x y 2r2C * y N1 N2 y * y 2r1C1 x 2r2C2 / Рис. 45. Множество равновесий Нэша [N1;

N2] в случае несепарабельных затрат В рассматриваемом случае множество равновесий Нэша включает отрезок [N1;

N2]. Система стимулирования * * c ( y *, y ), y = y1 ~* c ( y, y * ), y 2 = y 2 ~* 2 (y) = 2 1 2 (12) 1 (y) = 1 1 2 1 * * 0, y1 y1 y2 y2 0, реализует действие y* [N1;

N2] как равновесие в доминантных стратегиях. • Завершив рассмотрение моделей систем коллективного стимулирования за индивидуальные результаты деятельности агентов, перейдем к описанию моделей систем коллективного стимулирования за результаты совместной деятельности. 8. СТИМУЛИРОВАНИЕ ЗА РЕЗУЛЬТАТЫ КОЛЛЕКТИВНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В большинстве известных моделей стимулирования рассматриваются либо ОС, в которых управляющий орган – центр – наблюдает результат деятельности каждого из управляемых субъектов – агентов, находящийся в известном взаимно однозначном соответствии с выбранной последним стратегией (действием), либо ОС с неопределенностью [11, 14], в которых наблюдаемый результат деятельности агентов зависит не только от его собственных действий, но и от неопределенных и/или случайных факторов (см., например, модель теории контрактов в третьем разделе). Настоящий раздел содержит формулировку и решение задачи коллективного стимулирования в многоэлементной детерминированной ОС, в которой центр имеет агрегированную информацию о результатах деятельности агентов. Пусть в рамках модели, рассмотренной в предыдущем разделе, результат деятельности z A0 = Q(A’) ОС, состоящей из n агентов, является функцией (называемой функцией агрегирования) их действий: z = Q(y). Интересы и предпочтения участников ОС – центра и агентов – выражены их целевыми функциями. Целевая функция центра представляет собой разность между его доходом H(z) и суммарным вознаграждением (z), выплачиваемым агентам: (z) = ( z), iI i где i(z) – стимулирование i-го агента, (z) = (1(z), 2(z), …, n(z)), то есть (1) ((), z) = H(z) – ( z).

iI i Целевая функция i-го агента представляет собой разность между стимулированием, получаемым им от центра, и затратами ci(y), то есть: (2) fi(i(), y) = i(z) – ci(y), i I. Примем следующий порядок функционирования ОС. Центру и агентам на момент принятия решений о выбираемых стратегиях (соответственно – функциях стимулирования и действиях) известны целевые функции и допустимые множества всех участников ОС, а также функция агрегирования. Центр, обладая правом первого хода, выбирает функции стимулирования и сообщает их агентам, после чего агенты при известных функциях стимулирования выбирают действия, максимизирующие их целевые функции. В случае, когда индивидуальные действия агентов наблюдаемы для центра (или когда центр может однозначно восстановить их по наблюдаемому результату деятельности), последний может использовать систему стимулирования, зависящую непосредствен~ но от действий агентов: i I i (y) = i(Q(y)). Методы решения задачи стимулирования для этого случая описаны в предыдущем разделе. Поэтому рассмотрим случай, когда центр наблюдает только результат деятельности ОС, от которого зависит его доход, но не знает и не может восстановить индивидуальных действий агентов, то есть, имеет место агрегирование информации – центр имеет не всю информацию о векторе y A действий агентов, а ему известен лишь некоторый их агрегат z A0 – параметр, характеризующий результаты совместных действий агентов. Будем считать, что относительно параметров ОС выполнены предположения, введенные в предыдущем разделе, и, кроме того, предположим, что функция агрегирования однозначна и непрерывна. Как и выше, эффективностью стимулирования является минимальное (или максимальное – в рамках гипотезы благожелательности) значение целевой функции центра на соответствующем множестве решений игры: (3) K(()) = min ((), Q(y)).

yP ( ()) Задача синтеза оптимальной функции стимулирования заключается в поиске допустимой системы стимулирования *, имеющей максимальную эффективность: (4) * = arg max K(()).

() Отметим, что в рассмотренных в предыдущих разделах задачах стимулирования декомпозиция игры агентов основывалась на возможности центра поощрять агентов за выбор определенного (и наблюдаемого центром) действия. Если действия агентов не наблюдаемы, то непосредственное применение идеи декомпозиции невозможно, поэтому при решении задач стимулирования, в которых вознаграждение агентов зависит от агрегированного результата деятельности ОС, следует использовать следующий подход – найти множество действий, приводящих к заданному результату деятельности, выделить среди них подмножество, характеризуемое минимальными суммарными затратами агентов (и, следовательно, минимальными затратами центра на стимулирование при использовании компенсаторных функций стимулирования, которые оптимальны), построить систему стимулирования, реализующую это подмножество действий, а затем определить – реализация какого из результатов деятельности наиболее выгодна для центра. Перейдем к формальному описанию решения задачи стимулирования в ОС с агрегированием информации. Определим множество векторов действий агентов, приводящих к заданному результату деятельности ОС: Y(z) = {y A’ | Q(y) = z} A’, z A0. Выше показано, что в случае наблюдаемых действий агентов минимальные затраты центра на стимулирование по реализации вектора действий y A’ равны суммарным затратам агентов ci ( y ). По аналогии вычислим минимальные суммарные затра iI ты агентов по достижению результата деятельности z A0 ~ ( z ) = min ci ( y ), а также множество действий yY ( z ) iI Y (z) = Arg min * yY ( z ) c ( y), на котором этот минимум достигается.

iI i Фиксируем произвольный результат деятельности x A0 и произвольный вектор y*(x) Y*(x) Y(x). В [14] (при следующем дополнительном предположении «технического» характера: x A0, y’ Y(x), i I, yi Proji Y(x) cj(yi, y’-i) не убывает по yi, j I) доказано, что: 1) при использовании центром системы стимулирования * (5) ix (z) = вектор действий агентов y*(x) реализуется как единственное равновесие с минимальными затратами центра на стимулирование рав~ ными ( x) –, где = i ;

ci ( y * ( x)) + i, z = x, i I, 0, zx iI 2) система стимулирования (5) является -оптимальной. Итак, первый шаг решения задачи стимулирования (4) заключается в поиске минимальной системы стимулирования (5), характеризуемой затратами центра на стимулирование ( x ) и реализующей вектор действий агентов, приводящий к заданному результату деятельности x A0. Поэтому на втором шаге решения ~ задачи стимулирования найдем наиболее выгодный для центра результат деятельности ОС x* A0 как решение задачи оптимального согласованного планирования: ~ (6) x* = arg max [H(x) – ( x) ].

x A Таким образом, выражения (5)-(6) дают решение задачи синтеза оптимальной системы стимулирования результатов совместной деятельности. Исследуем, как незнание (невозможность наблюдения) центром индивидуальных действий агентов влияет на эффективность стимулирования. Пусть, как и выше, функция дохода центра зависит от результата деятельности ОС. Рассмотрим два случая. Первый – когда действия агентов наблюдаемы, и центр может основывать стимулирование как на действиях агентов, так и на результате деятельности ОС. Второй случай, когда действия агентов не наблюдаемы, и стимулирование может зависеть только от наблюдаемого результата деятельности ОС. Сравним эффективности стимулирования для этих двух случаев. При наблюдаемых действиях агентов затраты центра на стимулирование 1(y) по реализации вектора y A' действий агентов ci ( y ), а эффективность стимулирования K1 равравны 1(y) = iI на: K1 = max {H(Q(y)) – 1(y)} – см. предыдущий раздел.

yA При ненаблюдаемых действиях агентов минимальные затраты центра на стимулирование 2(z) по реализации результата деятельности z A0 определяются следующим образом (см. (5) и (6)): 2(z) = min ci ( y ), а эффективность стимулирования K2 равна:

yY ( z ) iI K2 = max {H(z) – 2(z)}.

z A В [14] доказано, что эффективности K1 и K2 равны. Данный факт, который условно можно назвать «теоремой об идеальном агрегировании в моделях стимулирования», помимо оценок сравнительной эффективности имеет чрезвычайно важное методологическое значение. Оказывается, что в случае, когда функция дохода центра зависит только от результата совместной деятельности агентов, эффективности стимулирования одинаковы как при использовании стимулирования агентов за наблюдаемые действия, так и при стимулировании за агрегированный результат деятельности, несущий меньшую информацию (отметим, что центр при этом должен знать функции затрат агентов), чем вектор действий агентов. Другими словами, наличие агрегирования информации не снижает эффективности функционирования системы. Это достаточно парадоксально, так как в [9] доказано, что наличие неопределенности и агрегирования в задачах стимулирования не повышает эффективности. В рассматриваемой модели присутствует идеальное агрегирование (см. определение и подробное обсуждение проблем агрегирования в управлении ОС в [9]), возможность осуществления которого содержательно обусловлена тем, что центру не важно, какие действия выбирают агенты, лишь бы эти действия приводили с минимальными суммарными затратами к заданному результату деятельности. При этом уменьшается информационная нагрузка на центр, а эффективность стимулирования остается такой же. Итак, качественный вывод из проведенного анализа следующий: если доход центра зависит от агрегированных показателей деятельности агентов, то целесообразно основывать стимулирование агентов на этих агрегированных показателях. Даже если индивидуальные действия агентов наблюдаются центром, то использование системы стимулирования, основывающейся на действиях агентов, не приведет к увеличению эффективности управления, а лишь увеличит информационную нагрузку на центр. Напомним, что во втором разделе был сформулирован принцип компенсации затрат. На модели с агрегированием информации этот принцип обобщается следующим образом: минимальные затраты центра на стимулирование по реализации заданного результата деятельности ОС определяются как минимум компенсируемых центром суммарных затрат агентов, при условии, что последние выбирают вектор действий, приводящий к заданному результату деятельности. Рассмотрим иллюстративный пример.

Пример 9. Пусть z = y, H(z) = z, c (y ) = iI i i i yi2 /2ri, i I (см.

также примеры 5 и 6). Вычисляем Y(z) = {y A’ | Решение задачи y iI i = z}.

c ( y ) min iI i i y A ' при условии y iI i =x имеет вид: yi* (x) = ri W x, где W = r, i I. Минимальные затраiI i ты на стимулирование по реализации результата деятельности x A0 равны (x) = x2 / 2 W. Вычисляя максимум целевой функции центра: max [H(x) – (x)], находим оптимальный план: x* = W и x оптимальную систему стимулирования:

i* (W, При этом эффективность стимулирования (значение целевой функции центра) равна K = W / 2. • Выше рассматривались системы коллективного стимулирования, в которых зависимость вознаграждения у каждого агента была индивидуальной. На практике во многих ситуациях центр вынужден использовать одинаковую для всех агентов зависимость вознаграждения от действия или результата совместной деятельности. Рассмотрим соответствующие модели. 9. УНИФИЦИРОВАННЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ До сих пор рассматривались персонифицированные системы индивидуального и коллективного стимулирования, в которых центр устанавливал для каждого агента свою зависимость вознаграждения от его действий (раздел 2), или действий других агентов 2 x ri z) = 2W 2, z = x, i I. 0, zx (раздел 7), или результатов их совместной деятельности (раздел 8). Кроме персонифицированных, существуют унифицированные системы стимулирования, в которых зависимость вознаграждения от тех или иных параметров одинакова для всех агентов. Необходимость использования унифицированного стимулирования может быть следствием институциональных ограничений, а может возникать в результате стремления центра к «демократическому» управлению, созданию для агентов равных возможностей и т.д. Так как унифицированное управление является частным случаем персонифицированного, то эффективность первого не превышает эффективности второго. Следовательно, возникает вопрос, к каким потерям в эффективности приводит использование унифицированного стимулирования, и в каких случаях потери отсутствуют? Рассмотрим две модели коллективного унифицированного стимулирования (используемая техника анализа может быть применена к любой из описанных в настоящей работе систем стимулирования) – унифицированные пропорциональные системы стимулирования и унифицированные системы коллективного стимулирования за результаты совместной деятельности. В первой модели унификация не приводит к потерям эффективности (оказывается, что именно унифицированные системы стимулирования оказываются оптимальными в классе пропорциональных), а во второй снижение эффективности значительно. Унифицированные пропорциональные системы стимулирования. Введем следующее предположение относительно функций затрат агентов (ниже это предположение будет ослаблено): (1) ci(yi, ri) = ri (yi /ri), i I, где () – гладкая монотонно возрастающая выпуклая функция, (0) = 0, (например, для функций типа Кобба-Дугласа (t) = t /, 1), ri > 0 – параметр эффективности агента. Если центр использует пропорциональные (L-типа) индивидуальные системы стимулирования: i(yi) = i yi, то целевая функция агента имеет вид: fi(yi) = i yi – ci(yi). Вычислим действие, выбираемое агентом при использовании центром некоторой фиксированной системы стимулирования: (2) yi* (i) = ri ' -1(i), где ' -1() – функция, обратная производной функции (). Минимальные суммарные затраты центра на стимулирование равны: (3) L() = i =1 n i n i ri '1 ( i ), где = (1, 2,..., n). Суммарные затраты агентов равны: (4) c() = r ( ' i = ( i )).

В рамках приведенной выше общей формулировки модели пропорционального стимулирования возможны различные постановки частных задач. Рассмотрим некоторые из них, интерпретируя действия агентов как объемы выпускаемой ими продукции. Задача 1. Пусть центр заинтересован в выполнении агентами плана R по суммарному выпуску с минимальными суммарными затратами агентов (еще раз подчеркнем необходимость различения суммарных затрат агентов и суммарных затрат центра на стимулирование). Тогда его цель заключается в выборе ставок оплаты {i}i I в результате решения следующей задачи:

c( ) min (5) n *, yi ( i ) = R i = решение которой имеет вид: (6) i* = '(R/W);

yi* = ri (R/W);

i I, * c* = W (R / W);

L = R '(R / W).

где W = ri. Так как оптимальные ставки оплаты одинаковы для i = n всех агентов, то оптимальна именно унифицированная (!) система стимулирования. Задача 2. Содержательно двойственной к задаче 1 является задача максимизации суммарного выпуска при ограничении на суммарные затраты агентов:

n * y ( ) max (7) i i. i =1 c( ) R (8) i* Решение задачи (7) имеет вид: = '( -1(R / W));

yi* = ri -1(R / W);

i I, * c* = R;

L = – 1(R / W) W '( -1(R / W)), то есть в двойственной задаче (естественно) оптимальным решением также является использование унифицированных пропорциональных систем стимулирования. Замена в задачах 1 и 2 суммарных затрат агентов на суммарные затраты на стимулирование порождает еще одну пару содержательно двойственных задач. Задача 3. Если центр заинтересован в выполнении агентами плана R по суммарному выпуску с минимальными суммарными затратами на стимулирование, то ставки оплаты определяются в результате решения следующей задачи:

L ( ) min (9) N *, yi ( i ) = R i = решение которой совпадает с (6), что представляется достаточно интересным фактом, так как суммарные затраты агентов отражают интересы управляемых субъектов, а суммарные затраты на стимулирование – интересы управляющего органа. Естественно, отмеченное совпадение является следствием сделанных предположений. Задача 4 заключается в максимизации суммарного выпуска при ограничении на суммарные затраты на стимулирование:

N * y ( ) max (10) i i. i =1 L ( ) R Из метода множителей Лагранжа получаем условие оптимальности ( – множитель Лагранжа): ' -1(i) ''(i) + i = 1, i I, из которого следует, что все ставки оплаты должны быть одинаковы и удовлетворять уравнению ' -1() = R / W.

Таким образом, мы доказали следующий результат: в организационных системах со слабо связанными агентами, функции затрат которых имеют вид (1), унифицированные системы стимулирования оптимальны на множестве пропорциональных систем стимулирования. Отметим, что выше установлено, что унифицированные пропорциональные системы стимулирования оптимальны на множестве пропорциональных систем стимулирования в ОС со слабо связанными агентами, имеющими функции затрат вида (1). Поэтому исследуем их сравнительную эффективность на множестве всевозможных (не только пропорциональных) систем стимулирования. Как было показано выше (в разделах 2 и 7) для этого достаточно сравнить минимальные затраты на стимулирование, например, в задаче 2, с затратами на стимулирование в случае использования центром оптимальных квазикомпенсаторных систем стимулирования (которые равны QK(y*) = n r ( y / r ) ).

i =1 i i i n Решая задачу выбора вектора y* A', минимизирующего QK(y*) при условии y i = * i * = R, получаем, что QK = W (R / W).

* Подставляя из выражения (6) UL = R '(R / W), вычислим отношение минимальных затрат на стимулирование: * * (11) UL / QK = R / W '(R / W) / (R / W).

* * Из выпуклости функции () следует, что UL / QK 1. Более того, можно показать, что при R / W > 0 и строго выпуклых функциях затрат отношение (11) строго больше единицы. Так как суммарные затраты на стимулирование при использовании унифицированных пропорциональных систем стимулирования выше, чем при использовании «абсолютно оптимальных» компенсаторных систем стимулирования, следовательно, первые не оптимальны в классе всевозможных систем стимулирования. Полученный для многоэлементных организационных систем результат вполне согласован со сделанным выше выводом, что в одноэлементных системах эффективность пропорционального стимулирования не выше, чем компенсаторного. Унифицированные системы стимулирования результатов совместной деятельности. В восьмом разделе исследовались персонифицированные системы стимулирования агентов за результаты их совместной деятельности. Рассмотрим, что произойдет, если в этой модели потребовать, чтобы система стимулирования была унифицированной. Рассмотрим класс унифицированных систем стимулирования за результаты совместной деятельности (см. также восьмой раздел), то есть систем стимулирования, в которых центр использует для всех агентов одну и ту же зависимость индивидуального вознаграждения от результата деятельности z A0. Введем следующую функцию: (12) c(y) = max {ci(y)}.

iI На первом шаге вычислим минимальные затраты центра на стимулирование U(z) по реализации результата деятельности z A0 унифицированной системой стимулирования: (z) = min c(y). Множество векторов действий, минимизирующих U yY ( z ) затраты на стимулирование по реализации результата деятельности z A0, имеет вид: Y*(z) = Arg min c(y).

yY ( z ) По аналогии с тем, как это делалось в восьмом разделе, можно показать, что унифицированная система стимулирования (ср. с (5)): (13) ix(z) = где y*(x) – произвольный элемент множества Y*(x), реализует результат деятельности x A0 с минимальными в классе унифицированных систем стимулирования затратами на стимулирование. На втором шаге решения задачи синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования найдем наиболее выгодный * для центра результат деятельности ОС xU как решение задачи оптимального согласованного планирования:

c( y* ( x)) + / n, z = x, i I, 0, zx * (14) xU = arg max [H(z) – n U(z)]. z A Выражения (13)-(14) дают решение задачи синтеза оптимальной унифицированной системы стимулирования агентов за результаты их совместной деятельности. Легко видеть, что эффективность унифицированного стимулирования (13)-(14) не выше, чем эффективность персонифицированного стимулирования (5)-(6). Пример 10. Пусть в условиях примера 6 центр должен использовать унифицированную систему стимулирования. Определим c(y) = y 2 /2 rj, где j = arg min {ri}. Тогда минимальные затраты на j iI стимулирование равны U(z) = z2/ 2 n rj. Оптимальный план * xU = n rj дает значение эффективности n rj / 2, которая меньше эффективности r / iI i персонифицированного стимулирования (см. пример 6), а равенство имеет место в случае одинаковых агентов. • 10. «БРИГАДНЫЕ» ФОРМЫ ОПЛАТЫ ТРУДА Настоящий раздел посвящен описанию моделей коллективного стимулирования, а именно – «бригадных» форм оплаты труда1, в рамках которых вознаграждение агента – члена бригады – определяется коэффициентом его трудового участия (КТУ) и зависит от его действия в сравнении с действиями других агентов (в частном случае – при фиксированном премиальном фонде, в общем случае – когда премиальный фонд определяется агрегированным результатом деятельности всей бригады в целом). Процедура определения КТУ может быть различной [16], а именно, возможно:

Термин «бригадные формы оплаты труда» является устойчивым словосочетанием, возникшим еще в бывшем СССР. Тем не менее, системы оплаты труда, основывающиеся на оценке индивидуального вклада в результат деятельности коллектива (с этой точки зрения бригадные формы оплаты труда близки к механизмам стимулирования за результаты коллективной деятельности, рассмотренным выше), широко используются до сих пор.

- формирование КТУ пропорционально тарифному разряду (квалификации) работника;

- формирование КТУ пропорционально коэффициенту трудового вклада (КТВ) работника;

При формировании КТУ пропорционально тарифным разрядам имеется в виду следующее. Считается, что тарифный разряд характеризует деятельность каждого работника – агента. При этом полагается, что, чем больше тарифный разряд, тем выше квалификация агента. Поэтому тарифный разряд, отражая эффективность работы каждого агента, может быть использован для оценки его деятельности. При формировании КТВ учитывается фактический вклад каждого агента в зависимости от индивидуальной производительности труда и качества работы в общую работу всего трудового коллектива. Итак, в трудовом коллективе руководство имеет свои цели и формирует условия функционирования, чтобы достичь этих целей. Соответственно, агенты тоже имеют свои цели и, выбирая соответствующие действия, стремятся их достичь. Предполагается, что по результатам своей деятельности коллектив получает премиальный фонд R, который распределяется между агентами полностью в зависимости от выбранной системы стимулирования. Будем считать, что i-ый агент характеризуется показателем ri, отражающим его квалификацию (эффективность деятельности), то есть индивидуальные затраты i-го агента ci = ci(yi, ri) монотонно убывают с ростом квалификации ri, i I. Коллектив, в котором квалификация всех агентов одинаковая, будем называть однородным, в противном случае – неоднородным. Эффективность системы стимулирования будем оценивать суммой действий агентов: yi. (y) = iI Процедуры, основанные на КТУ. Рассмотрим сначала случай использования КТУ. Фонд R распределяется между агентами на основе коэффициентов трудового участия {i}i I, jI j =1.

Таким образом, премия i-го элемента определяется выражением i = i R. Целевые функции агентов имеют вид: (1) fi(yi) = i – ci(yi, ri), i I. Достаточно распространенная из-за своей простоты процедура определения КТУ основывается только на учете показателя квалификации i-го агента, то есть i = r jI ri. Подставляя в (1), получим, j что использование КТУ, основанных на квалификации агентов и не зависящих от их реальных действий, не оказывает никакого воздействия на агентов, то есть не побуждает их выбирать, например, большие действия. Поэтому перейдем к рассмотрению КТВ. Процедуры, основанные на КТВ. Естественный и простейший способ определения КТВ агента – пропорционально действию последнего, то есть (2) i = yi, i I. yj j I Пусть функции затрат агентов линейны: ci(yi, ri) = yi / ri. Тогда из (1) и (2) получаем следующее выражение для целевой функции i-го агента, зависящей уже от действий всех агентов: (3) fi(y) = R yi – yi / ri, i I. yj jI Следовательно, исследуемую ситуацию можно рассматривать как игру n лиц с функциями выигрыша вида (3). Однородный коллектив. Рассмотрим сначала случай однородного коллектива. Равновесные по Нэшу действия агентов имеют вид: (4) yi* = Rr (n 1), i I, n что приводит к следующему значению эффективности:

(5) K1(R, r, n) = Rr (n 1). n Из (4) видно, что чем больше премиальный фонд, тем большие действия выбирают агенты. Из (5) следует, что эффективность линейно растет при увеличении как премиального фонда (то есть, не существует оптимального размера премиального фонда, максимизирующего эффект K1 / R его использования), так и квалификации агентов. Если действия агентов ограничены сверху, то существует оптимальный размер премиального фонда, который при известном ограничении может быть вычислен из выражения (4). Кроме того, легко показать (см. подробности в [16]), что разбиение однородного коллектива на более мелкие коллективы и соответствующее дробление премиального фонда не приводит к росту эффективности его использования. Также можно показать, что при постоянном размере фонда сокращение однородного коллектива приводит к уменьшению эффективности и увеличению действий, выбираемых агентами. Рассмотрим следующую задачу: возможно ли повысить суммарный показатель эффективности однородного коллектива, не увеличивая фонд премирования R, но по-другому формируя КТВ агентов? Для этого рассмотрим следующую процедуру формирования КТВ, которая более чувствительна к различию агентов, чем (2):

yi n, i I, 1. (6) i = n 1 yj j I Тогда равновесные по Нэшу действия агентов имеют вид: (7) yi* = Rr (n 1), i I, n что превышает (4) Ограничение 1 пользование процедуры (6) формирования КТВ позволяет увеличить эффективность по сравнению с процедурой (2) на 1 / (n – 1) процентов. Например, если коллектив состоит из 11 человек, показатель эффективности можно увеличить максимум на 10%.

n позволяет констатировать, что исn Неоднородный коллектив. Из (2) и (3) следует, что в неоднородном коллективе ситуации равновесия Нэша соответствуют следующие действия агентов и эффективность1: (8) y = * i 1 / r j I j (n 1) / ri R(n 1), i I, ( 1 / rj ) j I (9) K2(R, r, n) = r y j I * j = R(n 1). 1 / rj j I Предположим, что коллектив состоит агентов двух типов – m агентов-лидеров, имеющих эффективность r+, и (n – m) «рядовых» агентов, элементов, имеющих эффективность r-, причем r+ > r-. 1 / ri = m / r+ + (n – m) / r-. Тогда iI Используя выражение (8), найдем действия, выбираемые в равновесии лидерами: (10) y+ = 1 R(n 1) (n 1) [1 – + ], + r m / r + ( n m) / r m / r + ( n m) / r + + и рядовыми агентами: (11) y- = 1 R(n 1) (n 1) [1 – ]. + m / r + ( n m) / r r m / r + ( n m) / r R(n 1). m / r + ( n m) / r + Используя выражение (9), найдем значение эффективности (12) K2(R, m, n) = Из выражений (8), (10), (11) видно, что появление в коллективе лидеров (более квалифицированных агентов) вынуждает рядовых (менее квалифицированных) выбирать меньшие действия. Понятно, что это влечет за собой уменьшение значений их целевых функций.

Отметим, что в случае однородных агентов (8) переходит в (4), а (9) – в (5).

Из (11) получаем, что, если количество лидеров в коллективе 1/ r таково, что m, то рядовым агентам вообще не вы1/ r 1/ r + годно увеличивать выбираемые ими действия. Однако при m = 1, то есть, если в коллективе есть только один лидер, то рядовым агентам всегда выгодно увеличивать действия. В то же время легко показать [16], что появление в коллективе лидеров приводит к повышению эффективности всего коллектива, несмотря на выбор меньших действий рядовыми элементами. Исследуем, возможно ли дальнейшее увеличение показателей эффективности работ в коллективе в рамках того же премиального фонда R. Для этого разобьем неоднородный коллектив на два однородных подколлектива. Пусть первый состоит из m лидеров, а второй состоит из (n – m) рядовых агентов. Соответственно разобьем премиальный фонд R всего коллектива, именно: R = R+ + R-. Тогда в равновесии Нэша эффективность первого подколлектива равна Соответственно, общий показатель эффективности всего коллектива из n агентов равен R + r + (m 1) R r (n m 1), а второго –. m nm Выше отмечалось, что разбиение однородного коллектива на несколько подколлективов не приводит к увеличению суммарного показателя эффективности. Для неоднородного коллектива это не всегда так. Например, из сравнения (12) и (13) следует, что, если в коллективе имеется половина лидеров, эффективность деятельности которых в два раза выше эффективности рядовых агентов, то выделение лидеров в отдельный подколлектив повысит суммарную эффективность только если в исходном коллективе было не более шести агентов. В противном случае возможно снижение суммарной эффективности в результате разбиения неоднородного коллектива на два однородных подколлектива, даже при оптимальном распределении премиального фонда между подколлективами.

R + r + (m 1) R r (n m 1) (13) K3(R, m, n) = +. m nm Индивидуальное и коллективное стимулирование. В заключение настоящего раздела сравним эффективности индивидуального и коллективного стимулирования для ряда практически важных частных случаев (см. также [16]). Пусть функции затрат агентов линейны: ci(yi, ri) = yi / ri, i I, и пусть существует одинаковое для всех агентов ограничение ymax на максимальную величину выбираемого действия: Ai = [0;

ymax], i I. Перенумеруем агентов в порядке убывания эффективностей деятельности: (14) r1 r2 … rn. * Предположим, что ограничение ymax таково, что действие y1, определяемое (8) при i = 1, является допустимым. Тогда допустимыми являются и действия всех остальных агентов при использовании системы коллективного стимулирования (2), основанной на r КТВ. Эффективность коллективного стимулирования K2(R, r, n) при этом определяется выражением (9). Вычислим эффективность индивидуального стимулирования, при котором центр может стимулировать агентов независимо за индивидуальные результаты деятельности при условии, что сумма вознаграждений не превышает фонд R. Для этого воспользуемся принципом компенсации затрат (см. второй раздел) и результатами решения задачи стимулирования слабо связанных агентов (см. седьмой раздел). Получим, что при использовании центром квазикомпенсаторных систем стимулирования оптимальной является компенсация затрат первым в упорядочении (14) k агентам (или (k + 1) агенту – в зависимости от соотношения параметров), где (15) k = min {j I | ymax 1 / ri R, ymax 1 / ri > R}.

i =1 i = j j + Содержательно выражение (15) означает, что центру следует в первую очередь задействовать агентов, эффективность деятельности которых максимальна. Другими словами, отличное от нуля стимулирование получат первые k или (k + 1) агентов, а остальным следует назначить нулевое вознаграждение (их использование нецелесообразно). Таким образом, эффективность индивидуального стимулирования равна (16) K4(R, r, n) = k ymax + rk+1 (R – ymax r 1 / r ).

i =1 i k Выражения (9) и (16) позволяют проводить сравнительный анализ эффективностей коллективного и индивидуального стимулирования. Как правило, индивидуальное стимулирование оказывается более эффективным (см. также разделы 8 и 9). Например, в случае однородных коллективов справедлива следующая оценка: K4(R, r, n) / K1(R, r, n) n / (n – 1) 1. Близкими к бригадным формам оплаты труда являются так называемые ранговые системы стимулирования, в которых для коллективного стимулирования используются процедуры соревнования, установления системы нормативов и т.д. Этот класс коллективных систем стимулирования рассматривается в разделе 12, а в следующем разделе анализируются системы стимулирования, учитывающие динамику процесса деятельности агентов. 11. ШКАЛЫ ОПЛАТЫ ТРУДА В настоящем разделе рассматриваются модели оплаты труда, отражающие временной аспект взаимодействия центра и агентов, то есть учитывающие динамику процесса выполнения работ агентом [2, 13]. При расчетах центра с агентами – работодателя с работниками, заказчика – с исполнителями работ по договору, а также во многих других реальных ситуациях, размер оплаты, получаемой агентом, зависит от процента завершения работ. В качестве «процента завершения», в частности, могут выступать показатели освоенного объема [6]. Предположим, что сумма договора, или стоимость работы или пакета работ согласована центром и агентом и равна C ( напомним, что в скачкообразных системах стимулирования, которые могут интерпретироваться как аккордная форма оплаты труда, величина C являлась ФЗП). Шкалой оплаты труда называется кумулятивная зависимость размера вознаграждения (доли от стоимости договора), выплаченного центром агенту, от процента завершения.

Обозначим через [0;

1] процент завершения, через [0;

1] – процент от суммы C, выплаченный агенту. Тогда шкалой оплаты труда будет зависимость (). Эта зависимость обладает следующими свойствами (содержательные интерпретации которых очевидны):

- функция () – неубывающая и непрерывная справа;

- (0) = 0;

- (1) = 1. Если ввести зависимость () размера вознаграждения, получаемого агентом (а не уже полученного за весь выполненный текущий объем работ) от процента завершения, то, очевидно, что этот размер вознаграждения с точностью до мультипликативной константы (стоимости договора C) совпадает со скоростью изменения уже полученных агентом сумм, то есть, если () – кусочнодифференцируемая1 функция, то2 (1) () = C d ( ), [0;

1]. d Верно и обратное соотношение: (2) () = 1 C ( w)dw.

Из выражений (1) и (2) следует, что на участках возрастания () функция () является «выпуклой», на участках убывания () функция () является «вогнутой», а в точке максимума () функция () имеет «перегиб». Кроме того, очевидно, выполняется «условие нормировки»: (3) ( w)dw = C.

Перечислим некоторые типовые шкалы оплаты труда.

Условимся считать, что значение производной в точке скачка равна -функции Дирака, умноженной на амплитуду скачка. 2 Интуитивно можно интерпретировать () как интегральную функцию некоторого вероятностного распределения, а () – как соответствующую ей плотность распределения (если последняя существует).

Во-первых, это – равномерная оплата, при которой вознаграждение агента за каждую единицу процента завершения одинаково (см. рисунок 46). Отметим, что именно равномерной оплате соответствуют все статические модели стимулирования. Во-вторых, это – аккордная оплата, при которой вся сумма договора C выплачивается только в момент полного завершения работ (см. рисунок 47). В-третьих, это -процентная предоплата ( [0;

1]), при которой сумма C выплачивается в момент начала работ, а сумма (1 – ) C – в момент полного завершения работ (см. рисунок 48). Возможны и другие варианты – любой определенной на отрезке [0;

1] измеримой функции соответствует некоторая шкала оплаты труда. Например, на рисунке 49 приведена так называемая квартильная оплата, при которой за четверть объема работ выплачивается четверть стоимости договора. На рисунках 50-52 приведены, соответственно, варианты выпуклых шкал, вогнутых шкал и шкал с перегибом.

() 1 () 0 1 0 Рис. 46. Равномерная шкала () () (-1)С 0 1 0 Рис. 47. Аккордная оплата () 1 (-1)(1-)С ()С 0 1 0 1 () Рис. 48. -процентная предоплата () 1 3/ () (-i/4)С/4, i= 1,4 1/2 1/4 0 1/4 1/2 3/4 1 0 1/4 1/2 3/4 Рис. 49. Квартильная оплата () 1 () 0 1 0 Рис. 50. Выпуклая шкала () () 0 1 0 Рис. 51. Вогнутая шкала () () 0 0 Рис. 52. Шкала с перегибом Введем действие y(t) агента в момент времени t 0, характеризующее объем работ, выполняемый им в единицу времени в момент времени t 0. Функцию y() назовем траекторией. Очевидно, что время T = T(y()) завершения работы можно определить как минимальное время, такое, что T ( y ( )) (4) y( )d = 1.

При заданной траектории y() можно определить зависимость процента завершения от времени:

(5) (t, y()) = y( )d.

t Из (5) следует, что (0) = 0, (T(y()) = 1. Имея шкалу () и зная зависимость (5) процента завершения от времени, можно найти зависимость от траектории и времени величины процента завершения: (6) (t, y()) = ((t, y())) и зависимость от траектории и времени размера вознаграждения, получаемого агентом: (7) (t, y()) = C d ( (t, y ()). d Отметим, что в каждый «момент» агент чувствует себя тем уверенней, чем большая доля вознаграждения ему уже выплачена. При этом невыплаченная часть вознаграждения может рассматриваться как характеристика риска с точки зрения агента. Введем функции дохода центра H(t, ) и затрат агента c(t, y), а также показатели дисконтирования 0 и, отражающие степень учета будущего, соответственно, центром и агентом. Теперь имеется все необходимое для того, чтобы сформулировать теоретико-игровую задачу управления. Стратегией центра является выбор стоимости работ C 0 и шкалы оплаты труда () из множества функций, удовлетворяющих введенным выше требованиям. Он выбирает ее и сообщает агенту, стратегией которого является выбор траектории y(), принадлежащей множеству положительнозначных кусочнонепрерывных функций. Агент выбирает траекторию, которая в соответствии с выражениями (4)-(7) определяет продолжительность работ, динамику процента завершения и выплат. Целью центра является максимизация дисконтированной разности между доходом и выплатами агенту:

T ( y ( )) (8) [ H (, (, y())) (, y())] e d max, ( ), C при условии, что агент (при известных ему стоимости работ и шкале) выбирает траекторию, максимизирующую дисконтирован ную разность между вознаграждением, получаемым от центра, и своими затратами:

T ( y ( )) (9) [ (, y()) c(, y())] e d max, y ( ) Задачу (8)-(9) назовем задачей выбора шкалы оплаты труда. Приведем решение этой задачи для различных частных случаев (на сегодняшний день общих методов решения задачи (8)-(9) не известно). Начнем с простейшего случая, соответствующего, статической задаче стимулирования, то есть будем считать, что объем работ y 0, выполняемый агентом в единицу времени, постоянен, функции дохода H(y) и затрат c(y) не зависят от времени, дисконтирование отсутствует. Соответствующую задачу назовем квазидинамической. Если центр использует шкалу (), то из (1)-(7) следует, что: T(y) = 1 / y, (t, y) = y t, (t, y) = (y t), (t, y) = C ’(y t). Следовательно, задача (8)-(9) выбора шкалы оплаты труда в рассматриваемом (квазидинамическом) случае примет вид:

C 0 (10), C c( y ) / y max H ( y ) / y C max y при ограничениях участия, которое отражают выгодность взаимодействия центра и агента (не вступая во взаимодействие друг с другом, и центр, и агент могут получить нулевую полезность): (11) Обратим внимание на то, что выражения (10) и (11) не зависят от шкалы (). Поэтому решение задачи (10)-(11) тривиально. Обозначим (12) ymin = arg min c(y) / y.

y H ( y) / y C 0. C c( y ) / y Тогда, если (13) H(ymin) c(ymin), то (14) C* = c(ymin) / ymin, иначе центру и агенту взаимодействовать невыгодно1. В [2] доказано, что в квазидинамической задаче поиска шкалы оплаты труда при выполнении условия участия (13) оптимальное решение (12), (14) не зависит от шкалы и функции дохода центра. Содержательно это утверждение означает, что в квазидинамическом случае все шкалы оплаты труда эквивалентны, поэтому рассмотрим более общий случай. Введем «техническое» предположение (которое имеет прозрачные содержательные интерпретации). А именно, предположим, что функция затрат непрерывна и lim c(x) / x =.

x В [2] доказано, что если функции дохода и затрат не зависят от времени и дисконтирование отсутствует, то для любой траектории y() агента найдется постоянное его действие xy(), обеспечивающее ему ту же полезность. Действительно, в рассматриваемых условиях целевая функция агента примет вид:

T ( y ( )) [С ' ( y( )d ) c( y (t ))]dt, t следовательно, в силу непрерывности функции затрат, найдется xy() 0, такой что:

T ( y ( )) (15) c(xy()) / xy() = c( y (t ))dt.

Условие (15) позволяет вычислить постоянное действие агента xy(), обеспечивающее ему (при произвольной шкале!) ту же полезность, что и траектория y(). Из приведенных рассуждений следует, что при любой фиксированной сумме договора и выполнении условия участия (13) агент выберет действие (12). Значит, следствием является тот факт, что в рамках введенных предположений при решении задачи выбора шкалы оплаты труда можно ограничиться классом постоянных траекторий (то есть классом квазидинамических задач).

В рамках введенных предположений для существования ymin 0, удовлетворяющего (13), достаточно, чтобы функция затрат была выпуклой и имела в нуле строго положительную производную.

Таким образом, если функции дохода и затрат не зависят от времени и дисконтирование отсутствует, то все шкалы оплаты труда эквивалентны. Очевидно, различие эффективностей шкал проявится, если ввести дисконтирование и зависимость от времени доходов и затрат. Исследование подобных моделей (то есть общей постановки задачи (8)-(9)), в том числе, с учетом риска, представляется перспективным направлением дальнейших исследований. 12. РАНГОВЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ Во многих моделях стимулирования вознаграждение агентов зависит от абсолютных значений их действий и/или результата деятельности (см. выше). В то же время, на практике достаточно распространены ранговые системы стимулирования (РСС), в которых величина вознаграждения агента определяется либо принадлежностью показателя его деятельности некоторому наперед заданному множеству – так называемые нормативные РСС, либо местом, занимаемым агентом в упорядочении показателей деятельности всех агентов – так называемые соревновательные РСС [8, 14]. Преимуществом ранговых систем стимулирования является в основном то, что при их использовании центру иногда не обязательно знать достоверно значения всех действий, выбранных агентами, а достаточна информация о диапазонах, которым они принадлежат, или об упорядочении действий. Однако возникает вопрос: так как РСС являются подклассом систем стимулирования, то в каких случаях использование РСС не приводит к потерям эффективности управления (стимулирования), а если приводит, то какова величина этих потерь? Приведем основные результаты, следуя [14]. Нормативные РСС (НРСС) характеризуются наличием процедур присвоения рангов агентам в зависимости от показателей их деятельности (выбираемых действий и т.д.). Введем следующие предположения, которые будем считать выполненными на протяжении настоящего раздела.

Во-первых, будем считать, что множества возможных действий агентов одинаковы и составляют множество A неотрицательных действительных чисел. Во-вторых, предположим, что функции затрат агентов монотонны и затраты от выбора нулевого действия равны нулю. Пусть = {1, 2,... m} – множество возможных рангов, где m – размерность НРСС, {qj}, j = 1, m – совокупность m неотрицательных чисел, соответствующих вознаграждениям за «попадание» в различные ранги;

i: Ai, i = 1, n – процедуры классификации. Тогда НРСС называется кортеж {m,, {i}, {qj}}. Известно, что для любой системы стимулирования существует НРСС не меньшей эффективности. Основная идея обоснования этого утверждения заключается в том, что для любой системы стимулирования и для любого агента всегда можно подобрать индивидуальную процедуру классификации его действий так, чтобы он при использовании НРСС выбирал то же действие, что и при использовании исходной системы стимулирования. Однако на практике использование для каждого агента собственной процедуры классификации нецелесообразно, а зачастую и невозможно. Поэтому рассмотрим случай, когда процедура классификации одинакова для всех агентов – так называемая унифицированная НРСС (УНРСС) – см. также обсуждение проблем унификации систем стимулирования в девятом разделе. Унифицированные нормативные ранговые системы стимулирования. При использовании УНРСС агенты, выбравшие одинаковые действия, получают одинаковые вознаграждения. Введем вектор Y = (Y1, Y2,..., Ym), такой, что 0 Y1 Y2... Ym < +, который определяет некоторое разбиение множества A. Унифицированная НРСС задается кортежем {m, {Yj}, {qj}}, причем вознаграждение i-го агента i определяется следующим образом: i(yi) = j = m qj I(yi [Yj, Yj+1)), где I(.) – функ ция-индикатор, Y0 = 0, q0 = 0. Унифицированная НРСС называется прогрессивной, если вознаграждения возрастают с ростом дейст вий: q0 q1 q2... qm. Эскиз графика прогрессивной УНРСС приведен на рисунке 53.

qm q2 q y Y1 Y2 Y3 Ym Рис. 53. Пример прогрессивной УНРСС Так как УНРСС кусочно-постоянна, то в силу монотонности функций затрат очевидно, что агенты будут выбирать действия с минимальными затратами на соответствующих отрезках. Иначе говоря, условно можно считать, что при фиксированной системе стимулирования множество допустимых действий равно Y = {Y1, Y2,..., Ym}, причем, так как ci(0) = 0, то q0 = 0. Действие yi*, выбираемое i-ым агентом, определяется парой векторов (Y, q), то есть имеет место yi* (Y, q) = Y k i, где (1) ki = arg max {qk – ci(Yk)}, i I.

k = 0, m * * * Обозначим y*(Y, q) = ( y1 (Y, q), y 2 (Y, q),..., y n (Y, q)). Задача синтеза оптимальной УНРСС заключается в выборе размерности УНРСС m и векторов q и Y, удовлетворяющих заданным ограничениям, которые максимизировали бы целевую функцию центра: (2) (y*(Y, q)) max. Y,q Фиксируем некоторый вектор действий y* A' = An, который мы хотели бы реализовать с помощью УНРСС. Из того, что при использовании УНРСС агенты выбирают действия только из множества Y, следует, что минимальная размерность системы стимулирования должна быть равна числу попарно различных компонент вектора действий, который требуется реализовать. Следовательно, использование УНРСС размерности, большей, чем n, нецелесообразно. Поэтому ограничимся системами стимулирования, размерность которых в точности равна числу агентов, то есть положим m = n. Для фиксированного вектора действий y* A' положим Yi = yi*, i I, и обозначим cij = ci(Yj), i, j I. Из определения реализуемого действия (см. (1)) следует, что для того, чтобы УНРСС реализовывала вектор y* A' (то есть, побуждала агентов выбирать соответствующие действия) необходимо и достаточно выполнения следующей системы неравенств: (3) qi – cii qj – cij, i I, j = 0, n. Обозначим суммарные затраты на стимулирование по реализации действия y* УНРСС (4) УНРСС(y*) = q (y ), * i =1 i n где q(y*) удовлетворяет (3). Задача синтеза оптимальной (минимальной) УНРСС заключается в минимизации (4) при условии (3). Предположим, что агентов можно упорядочить в порядке ' ' убывания затрат и предельных затрат ( y A c1 (y) c2 (y)... ' cn (y)), и фиксируем некоторый вектор y* A', удовлетворяющий следующему условию: * * * (5) y1 y 2... y n, то есть чем выше затраты агента, тем меньшие действия он выбирает. Введенным предположениям удовлетворяют, например, такие распространенные в экономико-математическом моделировании функции затрат агентов, как: ci(yi) = ki c(yi), ci(yi) = ki c(yi/ki), где c() – монотонная дифференцируемая функция, а коэффициенты (отражающие эффективность деятельности агентов) упорядочены: k1 k2... kn (частными случаями являются линейные функции затрат, функции затрат типа Кобба-Дугласа и др.). В [14] доказано, что:

1) унифицированными нормативными ранговыми системами стимулирования реализуемы такие и только такие действия, которые удовлетворяют (5);

2) оптимальная УНРСС является прогрессивной;

3) для определения оптимальных размеров вознаграждений может быть использована следующая рекуррентная процедура: q1 = c11, qi = cii + max {qj – cij}, i = 2, n ;

j

Соревновательные системы стимулирования. Рассмотрим кратко известные свойства соревновательных ранговых систем стимулирования (СРСС), в которых центр задает число классов и число мест в каждом из классов, а также величины поощрений агентов, попавших в тот или иной класс. То есть в СРСС индивидуальное поощрение агента не зависит непосредственно от абсолютной величины выбранного им действия, а определяется тем местом, которое он занял в упорядочении показателей деятельности всех агентов. В [14] доказано, что: 1) необходимым и достаточным условием реализуемости вектора действий агентов y* A в классе СРСС является выполнение (5);

2) данный вектор реализуем следующей системой стимулирования, обеспечивающей минимальность затрат центра на стимулирование: (11) qi(y*) = j = i {cj-1( y * ) – cj-1( y *1 )}, i = 1,n. j j Выражение (11) позволяет исследовать свойства СРСС – вычислять оптимальные размеры вознаграждений, строить оптимальные процедуры классификаций, сравнивать эффективность СРСС с эффективностью компенсаторных систем стимулирования и с эффективностью УНРСС и т.д. Свойства ранговых систем стимулирования. Одним из типовых решений [2] является использование ранговых систем стимулирования, в которых либо множество возможных результатов деятельности разбивается на равные отрезки («расстояния» между нормативами одинаковы), либо на равные отрезки разбивается множество вознаграждений («расстояния» между размерами вознаграждений за выполнение нормативов одинаковы). Поэтому исследуем последовательно эти два случая для нормативных и соревновательных РСС. Кроме того, зачастую на практике предполагается, что существуют нормативы затрат, не зависящие от объемов работ, что в рамках рассматриваемой модели стимулирования приводит к предположению о линейности функций затрат агентов. Пусть множество A = [0;

A+] 1 разбито на n равных отрезков [Yi, Yi+1], i = 0, n 1, Y0 = 0, Yn = A+, то есть Yi = i A+ / n, i I. Тогда из выражения (6) получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению [2]:

(12) q1 = с1(A+/n), qi = qi-1 + [ci(i A+/n) – ci((i – 1) A+/n)], i = 2, n. В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i I, получаем: (13) q1 = k1 A+/n, i = qi – qi-1 = ki A+ / n, i = 2, n. Таким образом, справедлив следующий вывод: если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат агентов УНРСС является прогрессивной и вогнутой функцией (см. также свойства шкал оплаты труда в разделе 11). Возникает предположение – может быть всегда УНРСС являются монотонными и вогнутыми (или монотонными и вогнутыми). На самом деле, оптимальные УНРСС всегда являются монотонными, однако никаких однозначных суждений относительно выпуклости/вогнутости сделать нельзя – в зависимости от функций затрат и соотношения типов агентов УНРСС может быть вогнутой, линейной, выпуклой или ни вогнутой, ни выпуклой. Приведем иллюстративный пример. Пример 11. Пусть агенты имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (12) следует, что i = (A+)2(2 i – 1) / 2 n2 ri, i I. Получаем, что «вторая производная» равна ( A + ) 2 (2i 1)ri 1 (2i 3)ri i – i-1 =, i = 2, n. 2n 2 ri 1ri Учитывая, что ri > ri-1, i = 2, n, имеем, что при ri2i 1 ri-1, i = 2, n, УНРСС является прогрессивной и вы1 < ri < 2i 3 2i 1 пуклой, при ri > ri-1, i = 2, n – вогнутой, а при ri = 2i 1 ri-1, 2i 3 2i 3 i = 2, n – линейной. Следовательно, имея распределение агентов по типам, можно для каждого класса функций их затрат предсказывать, какими свойствами должна обладать оптимальная УНРСС. Например, если последовательность типов агентов с квадратичными функциями затрат типа Кобба-Дугласа является монотонно возрастающей и лежит в области I на рисунке 54, то соответствующая опти мальная УНРСС является выпуклой, если – в области II, то вогнутой, на границе этих областей – линейной, а если пересекает границу, то ни выпуклой, ни вогнутой. • ri II 3r1 I r1 i 1 … Рис. 54. Выпуклость, линейность и вогнутость оптимальных УНРСС Перейдем к исследованию УНРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = i q1, i I. Из выражения (6) получаем, что (14) Y1 = c11 (q1), Yi = ci1 (q1 + ci(Yi-1)), i = 2, n, где c-1() – функция, обратная к функции затрат. Для линейных функций затрат агентов имеем: Yi = q1 i I. Из условия Yn = A+ окончательно получаем: q1 = A+/ (15) Yi = [A+ 1 / k j =1 n j =1 j i j,, 1 / k 1 / k j = i j ]/ 1 / k j = n j, i I.

Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормативов: (16) i = Yi – Yi-1 = q1 / ki = A+ / [ki 1 / k j ], i = 2, n.

jI Можно показать [2], что в УНРСС при линейных функциях затрат агентов и равномерных вознаграждениях (прямо пропор циональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности агента. Аналогично тому, как это делалось для УНРСС, исследуем СРСС с равномерными нормативами. Пусть множество A = [0;

A+] 1 разбито на (n – 1) равный отрезок [Yi, Yi+1], i = 1, n 1, Y1 = 0, Yn = A+, то есть Yi = (i – 1) A+ / (n – 1), i I. Тогда из выражения (11) получаем, что размеры вознаграждений должны удовлетворять следующему соотношению: (17) q1 = 0, qi = qi-1 + [ci-1((i – 1) A+/ (n – 1)) – – ci-1((i – 2) A+/ (n – 1))], i = 2, n. В частности, для линейных функций затрат ci(yi) = ki yi, i I, получаем: (18) q1 = 0, i = qi – qi-1 = ki-1 A+ / (n–1), i = 2, n. Можно показать [2], что, если используется равномерное разбиение множества A, то при линейных функциях затрат агентов СРСС является прогрессивной и вогнутой функцией. Пример 12. Пусть агенты имеют квадратичные функции затрат типа Кобба-Дугласа. Тогда из (17) следует, что i = (A+)2(2 i – 3) / 2 (n–1)2 ri-1, i = 2, n. Получаем, что «вторая производная» равна +2 i+1 – i = ( A ) 2 (2i 1)ri 1 ( 2i 3) ri, i = 1, n 1. 2(n 1) ri 1ri В рассматриваемом примере можно по аналогии с тем, как это делалось в примере 11, построить области возрастающих последовательностей типов агентов, при которых УНРСС является выпуклой, вогнутой, линейной или ни выпуклой, ни вогнутой. • Перейдем к исследованию СРСС, в которых равномерны вознаграждения, то есть qi = (i – 1) q2, i = 2, n. Из выражения (11) получаем, что (19) Y1 = 0, Yi = ci1 (q2 + ci-1(Yi-1)), i = 2, n. 1 Для линейных функций затрат агентов имеем: Yi = q 1 / k j = i j, i = 2, n. Из условия Yn = A+ окончательно полу чаем: q2 = A+/ 1 / k j =2 i n j (отметим, что в СРСС основные показате ли не зависят от эффективности деятельности победителя конкурса – агента, имеющего минимальные затраты), (20) Yi = [A+ вов (21) i = Yi – Yi-1 = q2 / ki-1 = A+ / [ki- 1 / k j ] / j = 1 / k j = n j, i I.

Введем в рассмотрение показатель «равномерности» нормати 1 / k j = n j ], i = 2, n.

Из выражения (21) следует справедливость следующего утверждения: в СРСС при линейных функциях затрат агентов и равномерных вознаграждениях (прямо пропорциональных номеру норматива) оптимальные приросты нормативов увеличиваются с ростом эффективности деятельности агента. Применение используемой в настоящем разделе техники анализа ранговых систем стимулирования дает возможность изучать свойства оптимальных УНРСС и СРСС для различных (конкретных) функций затрат и распределений типов агентов. 13. МЕХАНИЗМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ В МАТРИЧНЫХ СТРУКТУРАХ Во многих реальных системах один и тот же агент оказывается подчинен одновременно нескольким центрам, находящимся либо на одном, либо на различных уровнях иерархии. Первый случай называется распределенным контролем, второй – межуровневым взаимодействием. Межуровневое взаимодействие. Анализ моделей межуровневого взаимодействия [9] свидетельствует, что двойное подчинение агента управляющим органам, находящимся на различных уровнях иерархии, оказывается неэффективным. Косвенным подтверждение этой неэффективности является известный управленческий принцип «вассал моего вассала – не мой вассал». Поэтому с нормативной точки зрения каждый агент должен быть подчинен только своему непосредственному «начальнику» – управляющему органу, находящемуся на следующем (и только на следующем) более высоком уровне иерархии. Возникает закономерный вопрос: почему в реальных организационных системах наблюдаются эффекты межуровневого взаимодействия? Дескриптивное (без учета нормативной структуры взаимодействия участников и институциональных ограничений) объяснение таково. Обычно предполагается, что потери эффективности могут возникать только из-за факторов агрегирования, декомпозиции задач управления и недостаточной информированности центра об агентах [9]. Если же присутствуют, в частности, информационные ограничения на промежуточном уровне – например, количество информации, которое должен переработать управляющий орган некоторой подсистемы, превосходит его возможности – то часть функций управления (быть может, в агрегированном виде) вынужденно передается на более высокий уровень. Проще говоря, основной причиной наблюдаемого на практике межуровневого взаимодействия, как правило, является некомпетентность (в объективном смысле этого слова) промежуточного центра. Поэтому, с одной стороны, при решении задач синтеза организационной, функциональной, информационной и других структур ОС априори следует допускать возможность межуровневого взаимодействия, стремясь, тем не менее, избежать его, насколько это возможно. С другой стороны, наличие межуровневого взаимодействия в реальной ОС косвенно свидетельствует о неоптимальности ее функционирования и должно послужить руководителю сигналом о необходимости пересмотра структуры, а иногда и состава, системы. В то же время, двойное подчинение агентов центрам одного и того же уровня зачастую неизбежно. Примером являются матричные структуры управления [4, 9, 10, 15], для которых распределенный контроль является характерной чертой. Распределенный контроль. Специфической чертой матричных структур управления (МСУ), характерных для проектноориентированных организаций, является подчиненность одного и того же агента одновременно нескольким центрам одного уровня иерархии, функции которых могут быть различными (координирующая, обеспечивающая, контролирующая и т.д.). Например, на иерархическую организационную структуру накладывается «горизонтальная» структура проектов (см. рисунок 55).

Высшее руководство Проекты Функциональная структура Инженерное управление Менеджер Менеджер проекта проекта Сотрудники Сотрудники Руководство НИОКР Рис. 55. Пример матричной структуры управления В МСУ центры, осуществляющие управление агентом, оказываются вовлеченными в «игру», равновесие в которой имеет достаточно сложную структуру. В частности можно выделить два устойчивых режима взаимодействия центров – режим сотрудничества и режим конкуренции. В режиме сотрудничества центры действуют совместно, что позволяет добиваться требуемых результатов деятельности управляемого агента с использованием минимального количества ресурсов. В режиме конкуренции, который возникает, если цели центров различаются достаточно сильно, ресурсы расходуются неэффективно. Приведем простейшую модель матричной структуры управления (достаточно полное представление о современном состоянии исследований этого класса задач управления можно получить из [4, 15]).

Пусть ОС состоит из одного агента и k центров. Стратегией агента является выбор действия y A, что требует от него затрат c(y). Каждый центр получает от деятельности агента доход, описываемый функцией Hi(y), и выплачивает агенту стимулирование i(y), i K = {1, 2, …, k} – множеству центров. Таким образом, целевая функция i-го центра имеет вид (1) i(i(), y) = Hi(y) – i(y), i K, а целевая функция агента: (2) f({i()}, y) = i ( y) – c(y).

iI Порядок функционирования следующий: центры одновременно и независимо (кооперативные модели взаимодействия центров в системах с распределенным контролем рассматриваются в [4]) выбирают функции стимулирования и сообщают их агенту, который затем выбирает свое действие. Ограничимся рассмотрением множества Парето-эффективных равновесий Нэша игры центров, в которых, как показано в [15], их стратегии имеют вид (3) i(x, y) = Содержательно, центры договариваются о том, что будут побуждать агента выбирать действие x A – план – и осуществлять совместное стимулирование. Такой режим взаимодействия центров называется режимом сотрудничества. Из условий оптимальности по Парето следует, что сумма вознаграждений, получаемых агентом от центров в случае выполнения плана, равна его затратам (обобщение принципа компенсации затрат на системы с распределенным контролем), то есть: (4) i = c(x).

iK i, y = x, i K. 0, y x Условие выгодности сотрудничества для каждого из центров можно сформулировать следующим образом: в режиме сотрудничества каждый центр должен получить полезность не меньшую, чем он мог бы получить, осуществляя стимулирование агента в одиночку (компенсируя последнему затраты по выбору наиболее выгодного для данного центра действия). Полезность i-го центра от «самостоятельного» взаимодействия с агентом в силу результатов второго раздела равна (5) Wi = max [Hi(y) – c(y)], i K.

y A Обозначим = (1, 2, …, k), (6) S = {x A | k : Hi(x) – i Wi, i K, + iK i = c(x)} – множество таких действий агента, для реализации которых сотрудничество выгодно для центров. Множество пар x S и соответствующих векторов называется областью компромисса: (7) = {x A, k | Hi(x) – i Wi, i K, i = c(x)}. + iK Режим сотрудничества по определению имеет место, если область компромисса не пуста:. В режиме сотрудничества агент получает нулевую полезность. Обозначим H i ( y ) – c(y)]. (8) W0 = max [ y A iK Легко показать, что область компромисса не пуста тогда и только тогда, когда (9) W0 Wi.

iK Таким образом, критерием реализуемости режима сотрудничества является условие (9). Содержательно оно означает, что, действуя совместно, центры могут получить большую суммарную полезность, чем действуя в одиночку. Разность W0 – Wi может iK интерпретироваться как мера согласованности интересов центров и характеристика эмерджентности ОС. Если условие (9) не выполнено и =, то имеет место режим конкуренции центров, характеризуемый так называемым аукционным решением. Упорядочим (перенумеруем) центров в порядке убывания величин {Wi}: W1 W2 … Wk. Победителем будет первый центр, который предложит АЭ, помимо компенсации затрат, полезность, на сколь угодно малую величину превышающую W2. Обсудим качественно полученные результаты. Одним из недостатков МСУ является то, что при недостаточном разделении полномочий между менеджерами проектов и руководителями функциональных подразделений возможен конфликт между ними, когда и менеджеры проектов, и функциональные руководители (иначе говоря, центры промежуточного уровня иерархии) стремятся «перетянуть» на себя находящихся под их общим контролем агентов. При этом, очевидно, ОС теряет в эффективности функционирования, так как на такое перетягивание, «перекупку» агентов могут уходить весьма существенные средства. Сотрудничество центров промежуточного уровня – совместное назначение планов и использование согласованной системы стимулирования агентов (3) – позволяют избежать подобного конфликта и неэффективности. Переход от режима конкуренции к режиму сотрудничества требует согласования интересов центров, что может осуществляться управляющими органами более высоких уровней иерархии методами стимулирования. Приведем одну из возможных моделей. Выше были исследованы случаи, когда в матричной структуре управления центрам промежуточного уровня иерархии (например, менеджерам проектов) выгодно сотрудничать: объединяться в одну коалицию и совместно выбирать план агента. В такой ситуации всех центров можно рассматривать как одного игрока, максимизирующего целевую функцию H i ( y ) c( y ). (10) ФK (.) = iK Хорошо это или плохо с точки зрения высшего руководства (ВР – см. рисунок 55), представляющего интересы организации в целом? Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить интересы ВР и методы его воздействия на функционирование системы. С точки зрения ВР управляемым объектом является совокупность центров промежуточного уровня и агента. Центры характеризуются функциями доходов Hi(y), i K, а агент – функцией своих затрат c(y). Предположим, что интересы центра зависят только от результата деятельности системы, то есть от реализовавшихся в результате выбранного агентом действия, значений доходов и затрат. Тогда целевую функцию ВР можно записать в виде F () = F ( H1 (),..., H k (), c()).

Логично также предположить, что цели ВР заключаются в увеличении, насколько это возможно, дохода каждого из проектов (представляемых агентами) и в уменьшении затрат по реализации этих проектов. Таким образом, целевая функция ВР возрастает по переменным H1, H2, …, Hk и убывает по затратам c агента. В простейшем случае целевая функция ВР представляет собой линейную свертку с неотрицательными весами i всех подцелей в единый критерий: (11) F ( y ) = i H i ( y ) 0c( y ).

iK Сравнивая данное выражение с формулой (10) для целевой функции коалиции центров, видим, что если коэффициенты i различны, то в системе наблюдается рассогласование интересов ВР и центров промежуточного уровня (менеджеров проектов). Те, стремясь максимизировать свою целевую функцию, реализуют «не то» действие агента, которое необходимо ВР. Следовательно, ВР должно воздействовать каким-то образом на центры промежуточного уровня с тем, чтобы приблизить реализуемое действие y к требуемому – доставляющему максимум критерию эффективности (11). Одним из методов воздействия ВР на функционирование системы является внутрифирменное «налогообложение», когда устанавливаются ставки {i} отчислений в пользу ВР с доходов центров промежуточного уровня {Hi()} и/или ставки i отчислений с прибылей {Hi() – i()}. Как будет показано ниже, для полного согласования интересов ВР и центров промежуточного уровня достаточно единой ставки [0;

max] налога с прибыли. С учетом единой ставки налога с прибыли и дифференцированной ставки «подоходного налога», целевые функции ВР и коалиции из всех центров среднего звена можно записать соответственно как (12) F ( y ) = [ i i H i ( y ) 0c( y )], iK (13) Ф( y ) = (1 )[ (1 ) H ( y) c( y)].

iK i i Для согласования интересов ВР и центров промежуточного уровня достаточно, чтобы их целевые функции ВР достигали максимума в одной точке. Из (12), (13) следует, что это условие выполнено при i i / 0 = 1 i, то есть при ставках подоходного налога i = 1. ВР заинтересовано в увеличении своей 1 + i / 0 доли прибыли, поэтому = max. При такой системе налогообло жения достигается полное согласование интересов ВР и менеджеров проектов (центров промежуточного уровня). Так, например, если i = 1, i K, то ставка подоходного налога должна быть равна 50%. Итак, в многоуровневых системах для обеспечения эффективного функционирования системы в целом каждый более высокий уровень иерархии должен осуществлять согласование своих интересов и интересов всех нижележащих агентов, в том числе – путем выбора соответствующей системы стимулирования. Таким образом, для нормальной работы МСУ от высшего руководства требуется использование управляющих воздействий, позволяющих центрам промежуточного уровня вырабатывать совместную политику и назначать согласованные планы агентам.

14. ЛИТЕРАТУРА (работы, отмеченные звездочкой, можно найти в электронной библиотеке на сайте www.mtas.ru) 1 *Бурков В.Н., Новиков Д.А. Теория активных систем: состояние и перспективы. М.: СИНТЕГ, 1999. – 128 с. 2 *Васильев Д.К., Заложнев А.Ю., Новиков Д.А., Цветков А.В. Типовые решения в управлении проектами. М.: ИПУ РАН, 2003. – 74 с. 3 Гермейер Ю.Б. Игры с непротивоположными интересами. М.: Наука, 1976. – 327 с. 4 *Губко М.В. Управление организационными системами с коалиционным взаимодействием участников. М.: ИПУ РАН, 2003. – 140 с. 5 *Губко М.В., Новиков Д.А. Теория игр в управлении организационными системами. М.: Синтег, 2002. – 139 с. 6 *Колосова Е.В., Новиков Д.А., Цветков А.В. Методика освоенного объема в оперативном управлении проектам. М.: Апостроф, 2001. – 154 с. 7 *Кочиева Т.Б., Новиков Д.А. Базовые системы стимулирования. М.: Апостроф, 2000. – 108 с. 8 Новиков Д.А. Стимулирование в организационных системах. М.: Синтег, 2003. –312 с. 9 *Новиков Д.А. Механизмы функционирования многоуровневых организационных систем. М.: Фонд «Проблемы управления», 1999. – 150 с. 10 *Новиков Д.А. Сетевые структуры и организационные системы. М.: ИПУ РАН, 2003. – 102 с. 11 Новиков Д.А. Стимулирование в социально-экономических системах (базовые математические модели). М.: ИПУ РАН, 1998. – 216 с. 12 *Новиков Д.А., Петраков С.Н. Курс теории активных систем. М.: Синтег, 1999. – 108 с. 13 *Новиков Д.А., Смирнов И.М., Шохина Т.Е. Механизмы управления динамическими активными системами. М.: ИПУ РАН, 2002. – 124 с.

*Новиков Д.А., Цветков А.В. Механизмы стимулирования в многоэлементных организационных системах. М.: Апостроф, 2000. – 184 с. 15 *Новиков Д.А., Цветков А.В. Механизмы функционирования организационных систем с распределенным контролем. М.: ИПУ РАН, 2001. – 118 с. 16 *Щепкин А.В. Механизмы внутрифирменного управления. М.: ИПУ РАН, 2001. – 80 с. 17 Эренберг Р.Дж., Смит Р.С. Современная экономика труда. Теория и государственная политика. М.: Изд-во МГУ, 1996.–800 с. 18 Armstrong M. Reward management. London, 2000. – 804 p. 19 Mas-Collel A., Whinston M.D., Green J.R. Microeconomic theory. N.Y.: Oxford Univ. Press, 1995. – 981 p.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.