WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 |
-- [ Страница 1 ] --

Д.А. Новиков МЕХАНИЗМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ В ОРГАНИЗАЦИОННЫХ СИСТЕМАХ Настоящая работа является учебным пособием для подготовки к экзамену по курсу "Механизмы стимулирования" для аспирантов, обучающихся по

специальности 05.13.10 – "Управление в социальных и экономических системах" (см. программу курса и задачи к экзамену на сайте СОДЕРЖАНИЕ 1. Введение....................................................................................................... 2 ЧАСТЬ 1. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ СТИМУЛИРОВАНИЕ............................ 9 2. Задача стимулирования в теории управления........................................... 9 3. Модель теории контрактов....................................................................... 29 4. Проблема стимулирования в экономике труда....................................... 39 ЧАСТЬ 2. БАЗОВЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ........................ 48 5. Формы и системы индивидуальной заработной платы и их математические модели................................................................................. 57 6. Эффективность базовых систем стимулирования.................................. 65 ЧАСТЬ 3. КОЛЛЕКТИВНОЕ СТИМУЛИРОВАНИЕ................................ 87 7. Коллективное стимулирование за индивидуальные результаты........... 87 8. Стимулирование за результаты коллективной деятельности.............. 100 9. Унифицированные системы стимулирования....................................... 106 10. «Бригадные» формы оплаты труда....................................................... 112 11. Шкалы оплаты труда............................................................................. 119 12. Ранговые системы стимулирования..................................................... 128 13. Механизмы стимулирования в матричных структурах...................... 138 14. Литература.............................................................................................. 1. ВВЕДЕНИЕ Организации и стимулирование. В соответствии с определением, данным в Философском энциклопедическом словаре, организация (организационная система) – «объединение людей, совместно реализующих некоторую программу или цель и действующих на основе определенных процедур и правил». Совокупность процедур, правил и т.д., регламентирующих взаимодействие участников организационной системы (ОС) называется механизмом ее функционирования1 [1, 12]. Важнейшей составляющей механизма функционирования является механизм управления – совокупность процедур принятия управленческих решений [1]. Условия деятельности каждого субъекта в общем случае можно условно разделить на ограничивающие и побуждающие. Ограничивающие условия деятельности обусловлены принадлежностью к государству, нации, социальной группе, организации и т.д. и могут рассматриваться как институциональные. Среди них – система законов и норм, регламентирующих деятельность, начиная от законодательной системы и заканчивая «неписанными» законами и морально-этическими нормами. Они устанавливают систему ограничений, в рамках которой может осуществляться деятельность, разрешая или поощряя то, что не противоречит этой системе ограничений. Побуждающие условия деятельности носят более персонифицированный характер и направлены на целенаправленное (то есть соответствующее целям и интересам отдельной личности, группы или коллектива, организации и т.д.) побуждение субъекта (или, опять же, группы, коллектива и т.д.) к совершению определенных действий. Каждый субъект, обладающий, в свою очередь, собственными целями и интересами, стремится к выбору действий, которые, с одной стороны, максимально соответствуют его целям и интересам, а, с другой стороны, удовлетворяют внешним и внутренним (ограничивающим) условиям деятельности.

Именно наличие механизма функционирования отличает организацию от коллектива (объединения людей, осуществляющих совместную деятельность) и группы (совокупности людей, объединенных общностью интересов).

Одной из разновидностей целенаправленных внешних побуждающих воздействий (создания условий деятельности) является стимулирование (от латинского stimulus – остроконечная палка, которой погоняли животных) – «внешнее воздействие на организм, личность или группу людей, побуждение к совершению некоторого действия» (см. Психологический словарь). Описание стимулирования включает: изучение поведения в отсутствии побуждения, анализ возможных реакций на те или иные воздействия, поиск допустимых воздействий, обеспечивающих совершение требуемых действий. Последний аспект соответствует управлению, понимаемому как воздействие на управляемую систему с целью обеспечения желательного ее поведения. При этом в социально-экономических системах характерной чертой стимулирования, как разновидности управления, является необходимость согласования интересов управляющего и управляемого субъектов. В настоящей работе стимулирование рассматривается именно с управленческой точки зрения (в том числе – при фиксированных институциональных ограничениях) и понимается в общем случае как комплексное целенаправленное внешнее воздействие на компоненты деятельности управляемой системы и процессы их формирования [11]. Следовательно, механизм стимулирования (систему стимулирования) можно определить как процедуру (правило) принятия управляющим органом решений относительно побуждения управляемых субъектов к совершению требуемых действий. Наиболее подробно изученной (и распространенной на практике) разновидностью стимулирования является материальное стимулирование – оплата труда. Поэтому, если не оговорено особо, под стимулированием будем понимать именно материальное стимулирование. Стимулирование с точки зрения различных наук. Стимулирование изучается в таких областях науки как экономика, психология, управление и др. По «масштабу» рассмотрения и применяемым методам можно выделить следующие взаимосвязанные подходы (см. ссылки в [8]):

- «макроэкономический», в котором в центре внимания находится рынок труда;

- «микроэкономический», в котором акцент делается на рассмотрении стимулирования в рамках организации (предприятия, ведомства, фирмы и т.д.), причем основой является анализ именно экономической деятельности (как индивидуальной, так и коллективной);

- «агентный», в котором центром рассмотрения является человек, группа, коллектив и т.д. с их потребностями и интересами. Рассмотрим перечисленные подходы более подробно. Для их описания удобно использовать следующую качественную модель. Выделим трех участников трудовых отношений (см. рисунок 1). Первый (управляемый) субъект – конкретный индивидуум, субъект (быть может, коллективный), например, работник, коллектив отдела и т.д., предложением которого является труд, за который он поощряется. Условно управляемого субъекта в дальнейшем будем обозначать термином «агент». Второй (управляющий) субъект – «работодатель», то есть организация, предприятие, ведомство, фирма и т.д., которых мы будем обобщенно обозначать термином «центр», является «потребителем» труда агента, преобразуя его в некоторый товар (продукты, услуги и т.д.), обладающий рыночной стоимостью. Поставляя товар на рынок, центр получает некоторый доход. И, наконец, третий объект – «рынок» (будем считать, что рынок не обладает собственными интересами) как институт обмена правами собственности (в данном случае имеются в виду товарный, фондовый и др. рынки, но не рынок труда), является «потребителем» товара центра.

ТРУД ТОВАР Агент Центр Рынок ВОЗНАГРАЖДЕНИЕ ДОХОД Рис. 1. Участники трудовых отношений Итак, агент обменивает свой труд на вознаграждение со стороны центра1, вступая тем самым во взаимоотношения с другими участниками рынка труда;

а центр «обменивает» на рынке товар, созданный с использованием труда агента, на доход (см. рисунок 1). Как отмечалось выше, в рамках настоящей работы нас интересуют вопросы стимулирования, в частности – оплаты труда. Для того чтобы ответить на вопрос, является ли то или иное вознаграждение допустимым и желательным с точки зрения агента и центра, следует определить их предпочтения. Под предпочтениями центра (агента) мы будем понимать совокупность его свойств и способностей по определению индивидуальной ценности, полезности и т.д. различных альтернатив. В первом приближении можно считать, что центр заинтересован в максимизации прибыли (то есть его система предпочтений такова, что альтернативы, соответствующие большим значениям «прибыли», более предпочтительны), а агент – в максимизации некоторой субъективной полезности, зависящей от показателей труда и величины вознаграждения (то есть система предпочтений агента такова, что она позволяет ему «сравнивать» различные комбинации труда и вознаграждения). Введя предположение о наличии предпочтений участников трудовых отношений, для корректной постановки задачи поиска величины вознаграждения агента со стороны центра осталось определить, что является целью деятельности каждого из субъектов, а что – ограничениями (внешними условиями) деятельности. Именно в этот момент возникают несколько альтернатив, соответствующих различным подходам к исследованию стимулирования. Будем считать, что каждый агент имеет свои представления о минимальной оплате, которая с его субъективной точки зрения соответствует его квалификации. В рамках «макроэкономического» подхода предполагается, что (для каждого агента) объективно существует рыночная зарплаСледует отметить, что в приводимых рассуждениях один и тот же агент свободен в выборе работодателя, а работодатель – в выборе работника, поэтому можно условно считать, что на рисунке 1 изображена одна из возможных комбинаций взаимодействия некоторых агента и центра.

та. Если зарплата, предлагаемая некоторым работодателем, не ниже рыночной, то агент соглашается работать за данную оплату. Ограничениями при этом являются экономическая эффективность (выгодность с точки зрения прибыли центра) найма данного агента и соответствие предлагаемой оплаты субъективным представлениям агента. Подобный подход, в рамках которого условно можно считать «основным» взаимодействие агента и рынка труда (см. рисунок 2а), развивается в многочисленных работах по исследованию предложения и спроса на рынке труда (см. ссылки в [8]). На рисунке 2 (а, б и в) условно обозначены связи между рассматриваемыми участниками трудовых отношений. Жирными кружками (линиями) в каждом из случаев выделены те элементы (связи), которые считаются «основными».

Центр Центр Центр Агент Рынок Агент Рынок Агент Рынок Рис. 2а. «Макроэкономический» подход Рис. 2б. «Микроэкономический» подход Рис. 2в. «Агентный» подход При «микроэкономическом» подходе «основным» является взаимодействие центра и товарного рынка (см. рисунок 2б). Другими словами, центр нанимает конкретного агента, если его труд приводит к созданию товара или услуги, реализация которых приводит к максимальной прибыли. Ограничениями при этом являются субъективные представления агента и его рыночная зарплата. Задачи определения оптимальной (эффективной) заработной платы, оптимального числа нанимаемых работников и др. рассматриваются в работах по теории фирмы, теории контрактов и др. (см. ссылки в [8]). Если в качестве «основного» рассматривается взаимодействие агента с центром (см. рисунок 2в), то есть соответствие предлагаемого центром вознаграждения предпочтениям агента, то такой подход считается агентным. Ограничениями при этом являются экономическая эффективность (с точки зрения прибыли центра) найма данного работника за данную оплату, а также рыночная зарплата данного работника. Агентный подход рассматривается в основном в работах по принятию решений, теории управления и др. (см. ссылки в [8]). Ниже в настоящей работе используется, в основном, агентный подход, а именно считается, что агент соглашается на такие условия оплаты, которые являются наилучшими с точки зрения его субъективных предпочтений. Такое решение будет допустимым, только если оно выгодно для центра (обеспечивает ему допустимую или максимально возможную в данных условиях прибыль) и не нарушает рыночного равновесия (величина вознаграждения данного агента не ниже его рыночной зарплаты). В рамках агентного подхода, в зависимости от выделяемого предмета исследования и используемых методов исследования различают следующие направления:

- «менеджмента», как совокупности систематизированных положений о наиболее эффективном управлении организацией, носящих обобщающий, эмпирический и интуитивный характер1;

- «психолого-социологическое», исследующее процессы мотивации деятельности человека или в более общем случае – деятельность групп и коллективов (см. ссылки в [8]);

- «математическое», изучающее формальные (математические, имитационные и др.) модели – аналоги реальных систем (см. ссылки в [8]). Упомянутые направления и выделенные подходы взаимосвязаны и взаимно используют результаты и методы друг друга. Однако, к сожалению, на сегодняшний день это взаимопроникновение недостаточно глубоко, и зачастую исследователи говорят на разных языках, не осознавая возможности переноса результатов из одной области исследований в другую. Более того, несмотря на то, что большинство исследователей отмечает многоаспектность стимулирования как составляющей части мотивации, то есть наличие разнообразных форм, методов и средств стимулирования, на сегодняшний день большинство работ Сюда же можно включить и управление персоналом.

явно или неявно посвящено изучению материального стимулирования – таких поощрений или наказаний субъектов, которые могут быть измерены в денежной форме. Помимо этого, многие результаты исследований стимулирования в «гуманитарных» областях науки носят интуитивный характер и не всегда достигают желательного уровня строгости и формализации. Формальные же модели стимулирования, как отмечалось выше, изучаются в теории управления. Стимулирование в теории управления. Формальные (математические, точнее – теоретико-игровые) модели стимулирования исследуются в рамках таких разделов теории управления социально-экономическими системами как: теория активных систем [1, 11], теория иерархических игр [3], теория контрактов (см. ссылки в [8]) и др. Необходимость использования моделей обусловлена сложностью, а зачастую и невозможностью проведения на социально-экономических системах натурного эксперимента. С одной стороны, применение математических моделей в ряде случаев дает возможность оценить эффективность различных механизмов управления, провести игровое и/или имитационное исследование, обучение управленческого персонала и т.д. С другой стороны, для большинства существующих теоретических результатов, полученных в упомянутых выше научных областях, характерен определенный отрыв от практики: как вводимые предположения, так и получаемые выводы не всегда сопровождаются содержательными интерпретациями или не доводятся до конструктивных прикладных алгоритмов и методик. Другими словами, наблюдается значительный разрыв между теорией и практикой: с одной стороны, специалисты-практики иногда даже не подозревают о том, что в теории управления накоплен значительный опыт анализа и синтеза формальных моделей стимулирования;

с другой стороны, специалисты-теоретики далеко не всегда доводят свои результаты до этапа практического использования, когда ими могут воспользоваться управленцы, не имеющие соответствующей математической подготовки. Существующий разрыв отрицательно сказывается на обеих областях – игнорирование последних достижений науки не позволяет достичь высокой эффективности системы управления органи зацией, а отрыв от практики приводит к изоляции содержания теоретических моделей. ЧАСТЬ 1. ИНДИВИДУАЛЬНОЕ СТИМУЛИРОВАНИЕ 2. ЗАДАЧА СТИМУЛИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ Основным аппаратом построения моделей стимулирования является теория игр – раздел прикладной математики, исследующий модели принятия решений в условиях несовпадения интересов сторон (игроков), когда каждая сторона стремится воздействовать на развитие ситуации в собственных интересах [5]. Простейшей игровой моделью является взаимодействие двух игроков – центра (principal) и подчиненного ему агента (agent). В качестве центра может выступать непосредственный руководитель агента или организация, заключившая трудовой (или какой-либо иной – страховой, подрядный и др.) договор с агентом. В качестве агента может выступать наемный работник или организация, являющаяся второй стороной по соответствующему договору. Перейдем к описанию базовой модели стимулирования, отражающей взаимодействие одного начальника и одного подчиненного. Рассмотрим организационную систему (ОС), состоящую из одного управляющего органа – центра – на верхнем уровне иерархии и одного управляемого субъекта – агента на нижнем уровне. Участники ОС, то есть центр и агент, обладают свойством активности – способностью самостоятельного выбора действий (стратегий). Механизмом функционирования ОС называется совокупность правил, законов и процедур, регламентирующих взаимодействие участников системы. Механизмом стимулирования называется правило принятия решений центром относительно стимулирования агента. Механизм стимулирования включает в себя систему стимулирования, которая в рамках моделей, рассматриваемых в настоящей работе, полностью определяется функцией стимулирования, задающей зависимость вознаграждения агента от выбираемых им действий. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении теоретико игровых моделей будем употреблять термины «механизм стимулирования», «система стимулирования» и «функция стимулирования» как синонимы. Стратегией агента является выбор действия y A, принадлежащего множеству допустимых действий A. Содержательно действием агента может быть количество отрабатываемых часов, объем произведенной продукции и т.д. Множество допустимых действий агента представляет собой набор альтернатив, из которых он производит свой выбор. Например, диапазон возможной продолжительности рабочего времени, неотрицательный и не превышающий технологические ограничения объем производства, уровень качества продукции и т.д. Стратегией центра является выбор функции стимулирования (y) M, принадлежащей допустимому множеству M и ставящей в соответствие действию агента некоторое неотрицательное вознаграждение, выплачиваемое ему центром, то есть1 : A 1+. Множество допустимых вознаграждений может ограничиваться как законодательно (например, минимальным размером оплаты труда), так и, например, соображениями экономической эффективности деятельности центра, тарифно-квалификационными требованиями к оплате труда данного агента и т.д. Выбор действия y A требует от агента затрат c(y) и приносит центру доход H(y). Функцию затрат агента c(y) и функцию дохода центра H(y) будем считать известными (проблемы их идентификации обсуждаются в [7, 8]). Интересы участников организационной системы (центра и агента) отражены их целевыми функциями, которые обозначим, соответственно2, () и f() (функциями выигрыша, полезности и т.д., в записи которых зависимость от стратегии центра будет опускаться), представляющими собой: для агента – разность между стимулированием и затратами (1) f(y) = (y) – c(y);

а для центра – разность между доходом и затратами центра на стимулирование – вознаграждением, выплачиваемым агенту:

1 Напомним, что запись «g: X Y» обозначает отображение g множества X во множество Y. 2 Напомним, что запись «g()» обозначает функцию g от некоторого аргумента.

(2) (y) = H(y) – (y). Обсудим структуру целевых функций. Во-первых, исходя из содержательных интерпретаций, функцию H(y) правильнее было бы назвать «прибылью», а не «доходом». Тем не менее, будем следовать установившейся в теории управления терминологии. Во-вторых, расходы на оплату труда обычно составляют незначительную часть затрат организации (например, для промышленных предприятий – от 3 до 15 процентов). Тем не менее, с точки зрения мотивации важна не относительная доля этих затрат, а абсолютный размер вознаграждения, что обосновывает целесообразность их учета в целевой функции центра наряду с доходом. В-третьих, используемое в настоящей работе представление целевой функции агента в виде (1) – «стимулирование минус затраты» – не является единственно возможным. Так, существуют модели, в которых предпочтения агента описываются разностью между его доходом и штрафами, устанавливаемыми центром [11] – так называемое представление «доход минус штрафы» (при этом штрафы, выплачиваемые агентом, суммируются с доходом центра в целевой функции последнего). Так как оба представления эквивалентны (одно сводится к другому с помощью линейного преобразования и замены переменных), то результаты исследования одного представления предпочтений участников ОС непосредственно переносятся и на другое представление. После того как введены целевые функции, отражающие предпочтения участников ОС, целесообразно обсудить различия в описании материального и нематериального стимулирования. Наличие скалярной целевой функции подразумевает существование единого эквивалента, в котором измеряются все слагаемые целевых функций (затраты агента, доход центра и, естественно, само стимулирование). В случае, когда речь идет о материальном вознаграждении агента, таким эквивалентом выступают деньги. Содержательные интерпретации дохода центра при этом очевидны (более того, практически во всех работах, содержащих описание формальных моделей стимулирования, предполагается, что и стимулирование, и доход центра «измеряются» в денежных единицах). Сложнее дело обстоит с затратами агента, поскольку не всегда можно адекватно выразить в денежных единицах, например, удовлетворенность агента работой и т.д. С экономической точки зрения затраты агента можно интерпретировать как денежный эквивалент тех усилий, которые агент должен произвести для достижения того или иного действия. В рамках такой интерпретации вполне естественной выглядит идея компенсации затрат – вознаграждение со стороны центра должно как минимум компенсировать затраты агента (см. более подробно формальное описание в настоящем разделе ниже). Если затраты агента измеряются в некоторых единицах «полезности» (учитывающей, например, физическую усталость, моральное удовлетворение от результатов труда и т.д.), отличных от денежных единиц (и несводимых к ним линейным преобразованием), то для того, чтобы иметь возможность складывать или вычитать полезности при введении целевой функции типа (1), необходимо определить полезность вознаграждения. Например, если используется материальное стимулирование, то можно ввести ~ функцию полезности u ( ( y )), которая отражала бы полезность денег для рассматриваемого агента. Целевая функция агента при ~ этом примет вид f(y) = u ( ( y )) – c(y). Также на практике распространен прием, заключающийся в «линеаризации» функции дохода центра. При этом целевые функции участников ОС (1) и (2) примут, соответственно, вид:

) ) ) ) ) ) ) f (y) = (y) – c (y), (y) = y – (y), y A, M, ) ) ) ) где () = (H -1()), c () = c(H -1()), A = H -1(A), M = H -1(M), H -1() – функция, обратная функции H() дохода центра. Введем следующие предположения, которых будем придерживаться, если не оговорено особо, в ходе дальнейшего изложения. Во-первых, будем считать, что множество возможных действий агента составляет положительную полуось. Отказу агента от участия в ОС (бездействию) соответствует нулевое действие. Во-вторых, относительно функции затрат агента предположим, что она не убывает, непрерывна, а затраты от выбора нулевого действия равны нулю (иногда дополнительно будем требовать, чтобы функция затрат была выпукла и непрерывно дифференцируема).

В третьих, допустим, что функция дохода центра непрерывна, неотрицательна, и доход центра в случае отказа агента от участия в ОС (выборе последним нулевого действия) равен нулю. Приведем содержательные интерпретации введенных предположений. Первое предположение означает, что выбор возможных действий агента выражается величинами, представляющими собой неотрицательные действительные числа, например, количество отработанных часов, объем произведенной продукции и т.д. Из второго предположения следует, что выбор больших действий требует от агента не меньших затрат. Например, затраты могут расти с ростом объема выпускаемой продукции. Кроме того, нулевое действие (отсутствие деятельности агента) не требует затрат. Третье предположение накладывает ограничения на функцию дохода центра, требуя, чтобы при выборе агентом нулевого действия (что в силу второго предположения требует от последнего нулевых затрат, то есть соответствует отсутствию взаимодействия с центром) центр не имел дохода, но и не нес убытков. Отметим, что это предположение несущественно для большинства приводимых ниже рассуждений. Рациональное поведение участника ОС заключается в максимизации выбором собственной стратегии его целевой функции с учетом всей имеющейся у него информации – так называемая гипотеза рационального поведения [5] (ГРП). Определим информированность участников ОС и порядок функционирования1. Будем считать, что на момент принятия решения (выбора стратегии) участникам ОС известны все целевые функции и все допустимые множества. Специфика теоретикоигровой задачи стимулирования заключается в том, что в ней фиксирован порядок ходов: центр обладает правом первого хода, сообщая агенту выбранную им функцию стимулирования, после Информированностью субъекта называется та информация, которой он обладает на момент принятия решений. Порядком функционирования называется последовательность получения информации и выбора стратегий участниками организационной системы.

чего при известной стратегии центра агент выбирает свое действие, максимизирующее его целевую функцию. Пример 1. В качестве примера рассмотрим упрощенную модель трудового контракта, заключаемого между работником (агентом) и некоторой организацией (центром) и являющегося, как правило, документом, в котором отражено следующее: центр обязуется обеспечить условия работы и выплатить вознаграждение, прямо или косвенно зависящее от результатов деятельности (действий) агента. Помимо этого в контракте оговариваются права и обязанности агента, в том числе – выбор каких действий он может и обязуется производить и т.д. Таким образом, стратегией центра является выбор системы стимулирования, стратегией агента – выбор действия. Условия контракта (его содержание) известны обеим сторонам. Информированность участников следующая. На момент принятия решений (о том, какую систему стимулирования центру следует установить для того или иного агента) центр имеет информацию о том, какие действия этот агент может выбирать (множество его допустимых (возможных) действий) и о предпочтениях агента (его целевой функции) на этом множестве. Помимо этого центру, естественно, известны свои собственные предпочтения и ограничения (в том числе, институциональные) на множество допустимых функций стимулирования. Агент на момент принятия решения о том, какое действие ему следует выбрать, знает свои предпочтения и множество своих возможных действий, а также выбранную центром систему стимулирования, то есть функциональную зависимость вознаграждения от действий. Порядок функционирования следующий: заключается контракт, затем агент выбирает свое действие, после чего производятся выплаты. •1 Так как значение целевой функции агента зависит как от его собственной стратегии – действия, так и от функции стимулирования, то в рамках принятой гипотезы рационального поведения агент будет выбирать действия, которые при заданной системе стимулирования максимизируют его целевую функцию. Понятно, что множество таких действий, называемое множеством реализуемых действий, зависит от используемой центром системы стиму Символом «•» здесь и далее обозначается окончание примера.

лирования. Основная идея стимулирования как раз и заключается в том, что, варьируя систему стимулирования, центр может побуждать агента выбирать те или иные действия. Так как целевая функция центра зависит от действия, выбираемого агентом, то эффективностью1 системы стимулирования является значение целевой функции центра на множестве действий агента, реализуемых данной системой стимулирования. Следовательно, задача стимулирования заключается в том, чтобы выбрать оптимальную систему стимулирования – имеющую максимальную эффективность. Приведем формальные определения. Множество действий агента, доставляющих максимум его целевой функции (и, естественно, зависящее от функции стимулирования), называется множеством решений игры или множеством действий, реализуемых данной системой стимулирования2: (3) P() = Arg max {(y) – c(y)}.

yA Зная, что агент выбирает действия из множества3 (3), центр должен найти систему стимулирования, которая максимизировала бы его собственную целевую функцию. Так как множество P() может содержать более одной точки, необходимо доопределить (с точки зрения предположений центра о поведении агента) выбор агента. Если не оговорено особо, то в ходе последующего изложения будем считать выполненной гипотезу благожелательности (ГБ), которая заключается в следующем: если агент безразличен между выбором нескольких действий (например, действий, на которых достигается глобальный максимум его целевой функции), то он выбирает из этих действий то действие, которое наиболее благоприятно для центра.

1 В экономике традиционно под «эффективностью» понимается отношение эффекта к затратам. Мы же будем следовать сложившейся в теории управления терминологии, и называть эффективностью управления значение целевой функции центра (в общем случае эффективность может определяться как некоторый функционал над ((), f(), (), y)). 2 Всюду при использовании максимумов и минимумов предполагается, что они достигаются. 3 Напомним, что запись «Arg max g(v)» обозначает множество глобальных vV максимумов функции g(v) на множестве V.

Итак, в рамках ГБ агент выбирает из множества (3) наиболее благоприятное для центра действие, следовательно, эффективность системы стимулирования M равна: (4) K() = max (y) yP ( ) где (y) определяется (2). Если отказаться от гипотезы благожелательности, то следует вместо эффективности (4) стимулирования использовать гарантированную эффективность Kg() = min (y).

yP ( ) Прямая задача синтеза оптимальной системы стимулирования заключается в выборе допустимой системы стимулирования, имеющей максимальную эффективность: (5) K() max, M или максимальную гарантированную эффективность: Kg() max.

M Система стимулирования *(), являющаяся решением задачи (5), то есть имеющая максимальную эффективность, называется оптимальной1: *() = arg max K().

M Обозначим K = K( ), * * * * g K = max Kg(). Очевидно, что M * g K K. В [11, 15] доказано, что, если целевые функции непрерывны, а допустимые множества компактны, то эффективность * K g гарантированно оптимальной системы стимулирования сколь угодно близка к эффективности K* оптимальной системы стимулирования. Обратная задача стимулирования заключается в поиске множества систем стимулирования, реализующих заданное действие, или в более общем случае – заданное множество действий A* A.

Напомним, что запись «arg max g(v)» значение аргумента, на котором достиvV гается глобальный максимум функции g(v) на множестве V Например, при A* = {y*} обратная задача может заключаться в поиске множества M(y*) систем стимулирования, реализующих это действие, то есть1 M(y*) = { M | y* P()}. Определив M(y*), центр имеет возможность найти в этом множестве «минимальную» систему стимулирования, то есть реализующую заданное действие с минимальными затратами на стимулирование, или систему стимулирования, обладающую какими-либо другими заданными свойствами, например – монотонность, линейность и т.д. Следует отметить, что введенные выше предположения согласованы в следующем смысле. Агент всегда может выбрать нулевое действие, не требующее от него затрат (второе предположение) и приносящее нулевой доход центру (третье предположение). В то же время, центр имеет возможность ничего не платить ему за выбор этого действия. Во всех содержательных интерпретациях теоретико-игровых моделей стимулирования предполагается, что у агента имеется альтернатива – сохранить статус-кво, то есть не вступать во взаимоотношения с центром (не заключать трудового контракта). Отказываясь от участия в данной ОС, агент не получает вознаграждения от центра и всегда имеет возможность выбрать нулевое действие, обеспечив себе неотрицательное (точнее – нулевое) значение целевой функции. Если вне данной ОС агент может гарантированно получить полезность U 0 (пособие по безработице или резервную полезность – reservation wage utility) в терминологии теории контрактов), то и при участии в данной ОС ему должен быть гарантирован не меньший уровень полезности. С учетом резервной полезности множество (3) реализуемых действий примет вид (6) P(, U ) = Arg max {(y) – c(y)}.

{ y A | ( y ) c ( y ) + U } Далее для простоты, если не оговорено особо, без ограничения общности будем считать резервную полезность равной нулю. Сделав маленькое отступление, обсудим более подробно модель процесса принятия решений агентом. Предположим, что Напомним, что запись {v V| g(v) 0} обозначает множество таких v, принадлежащих множеству V, на которых функция g() принимает неотрицательные значения.

некоторый агент предполагает устроиться на работу на некоторое предприятие. Ему предлагается контракт {(y), y*}, в котором оговаривается зависимость () вознаграждения от результатов y его деятельности, а также то, какие конкретные результаты y* от него ожидаются. При каких условиях агент подпишет контракт, если обе стороны – и агент, и предприятие (центр) принимают решение о подписании контракта самостоятельно и добровольно? Рассмотрим сначала принципы, которыми может руководствоваться агент. Первое условие – условие согласованности стимулирования (incentive compartibility constraint), которое заключается в том, что при участии в контракте выбор именно действия y* (а не какоголибо другого допустимого действия) доставляет максимум его целевой функции (функции полезности). Другими словами, это – условие того, что система стимулирования согласована с интересами и предпочтениями агента. Второе условие – условие участия в контракте (иногда его называют условием индивидуальной рациональности – individual rationality constraint), которое заключается в том, что, заключая данный контракт, агент ожидает получить полезность, большую, чем он мог бы получить, заключив другой контракт с другой организацией (с другим центром). Представления агента о своих возможных доходах на рынке труда отражает такая величина как резервная заработная плата. Остановимся на ее рассмотрении более подробно. Пример 2. Предположим, что агент (безработный или собирающийся сменить работу) имеет свои субъективные1 представления о распределении вероятностей предлагаемой на рынке труда заработной платы (или ставки заработной платы2) [7, 17]. Обозначим плотность этого распределения p(), k* – уровень квалифика 1 Необходимо помнить, что рассматривается модель поиска работы некоторым конкретным агентом. Поведение других агентов в тех же условиях может отличаться в силу различий их индивидуальных характеристик. 2 Ставка заработной платы при повременной оплате труда соответствует вознаграждению за единицу времени (час, день, месяц и т.д.). Заработная плата в этом случае определяется произведением ставки оплаты на продолжительность отработанного времени.

ции1 данного агента. Гипотетическая кривая распределения приведена на рисунке 3. Понятно, что в среднем более высокой квалификации соответствует более высокая оплата. Если бы агент обладал полной информацией о требованиях *(k) к квалификации, предъявляемых на рынке труда для получения соответствующей заработной платы, и если бы достоверная информация о его квалификации k* была полностью доступна всем потенциальным работодателям (центрам), то он был бы, фактически, лишен выбора и соглашался бы на существующий однозначный рыночный уровень заработной платы *(k*), соответствующий его квалификации. Проблема заключается в том, что информация о рынке труда несовершенна, то есть и агент, и центр действуют в условиях неполной информированности.

p() U (k * ) E(k ) * * (k * ) Рис. 3. Резервная, ожидаемая и максимальная заработная плата Предположим, что агент имеет свои субъективные представления о минимальном уровне заработной платы U (k * ), за которую он согласен работать при данной его квалификации. Величина Квалификацию в данном случае следует понимать в широком смысле – как совокупность не только профессиональных, но и личностных качеств и навыков (например, ответственность, организаторские способности, умение работать в коллективе и др.).

U (k * ) называется резервной заработной платой. Тогда процесс поиска работы можно представить себе следующим образом: получая информацию о предлагаемых условиях работы и ее оплаты, агент соглашается с первым предложением, превышающим его резервную заработную плату (в случае смены работы в качестве резервной заработной платы может выступать, например, величина зарплаты на старом месте работы или величина пособия по безработице и т.д.). Так как агент не может получить заработную плату, превышающую *(k*) (поэтому величину *(k*) иногда называют максимальной заработной платой), то ожидаемая заработная плата будет равна следующей величине: E(k ) = * * (k * ) U (k* ) p ( ) d.

Более подробное обсуждение свойств резервной заработной платы и моделей поиска работы можно найти в [17]. • Вернемся к анализу условий взаимовыгодности заключения трудового контракта. Аналогичные (приведенным выше для агента) условия согласованности и индивидуальной рациональности можно сформулировать и для центра. Если имеется единственный агент – претендент на заключение контракта, то контракт будет выгоден для центра, если выполнены два условия. Первое условие (аналогичное условию согласованности стимулирования) отражает согласованность системы стимулирования с интересами и предпочтениями центра, то есть применение именно фигурирующей в контракте системы стимулирования должно доставлять максимум целевой функции (функции полезности) центра (по сравнению с использованием любой другой допустимой системы стимулирования) – см. (4). Второе условие для центра аналогично условию участия для агента, а именно – заключение контракта с данным агентом выгодно для центра по сравнению с сохранением статус-кво, то есть отказу от заключения контракта вообще. Например, если считать, что прибыль предприятия (значение целевой функции центра) без заключения контракта равна нулю, то при заключении контракта прибыль должна быть неотрицательна. Если претендентов на заключение контракта несколько, то центру необходимо учитывать третье условие – наиболее выгодно должно быть заключение контракта именно с данным (а не какимлибо другим) агентом или множеством агентов. Качественно обсудив условия заключения взаимовыгодного трудового контракта, вернемся к формальному анализу, то есть решению задачи стимулирования (4). Отметим, что решение данной задачи «в лоб» достаточно трудоемко. Но, к счастью, можно угадать оптимальную систему стимулирования исходя из содержательных соображений, а затем корректно обосновать ее оптимальность. Легко видеть, что в рамках введенных предположений при участии агента в рассматриваемой организационной системе ему гарантируется как минимум нулевое значение полезности. Условие неотрицательности полезности агента: (7) y P() f(y) 0 является условием индивидуальной рациональности. Следовательно, как минимум, реализуемыми будут такие действия, при выборе которых значения целевой функции агента будут неотрицательны (см. (6)): (8) P0() = {y A | (y) c(y)} P(). Предположим, что функция H() дохода центра – возрастающая и вогнутая (свойство убывающей предельной полезности), а функция c() затрат агента – выпуклая (предельные затраты увеличиваются с ростом действия). На рисунке 4 изображены графики функций: H(y) и (c(y) + U ). С точки зрения центра стимулирование не может превышать доход, получаемый им от деятельности агента (так как, отказавшись от взаимодействия с агентом, центр всегда может получить нулевую полезность). Следовательно, допустимое решение лежит ниже функции H(y). С точки зрения агента стимулирование не может быть меньше, чем сумма затрат и резервная полезность (которую агент всегда может получить, выбирая нулевое действие). Следовательно, допустимое решение лежит выше функции (c(y) + U ).

Множество действий агента и соответствующих значений вознаграждений, удовлетворяющих как для центра, так и для агента одновременно всем перечисленным выше ограничениям (согласования, индивидуальной рациональности и др.) называется «область компромисса» и заштрихована на рисунке 4. При этом реализуемыми оказываются действия агента из следующего множества: (9) S = {x A | H(x) – c(x) – U 0}. Легко видеть, что при неизменных функциях дохода и затрат с ростом величины U область компромисса вырождается.

c(y) + U H(y) A B y 0 y * U S Рис. 4. Область компромисса в задаче стимулирования Так как центр стремится минимизировать выплаты агенту, при условии, что последний выбирает требуемое действие, то оптимальная точка должна лежать на нижней границе области компромисса, то есть с точки зрения центра стимулирование в точности должно равняться сумме затрат агента и резервной полезности. Этот важный вывод получил в литературе название «принцип компенсации затрат» [7, 11, 12, 14]. В соответствии с этим принципом, для того, чтобы побудить агента выбрать определенное действие, центру достаточно, помимо резервной полезности, ком пенсировать затраты агента. Помимо компенсации затрат, центр может устанавливать также мотивирующую надбавку1 0. Следовательно, для того, чтобы агент выбрал действие x A, стимулирование со стороны центра за выбор этого действия должно быть равно (10) (x) = c(x) + U +. Легко видеть, что, если в противном случае (то есть при выборе агентом другого действия) вознаграждение равно нулю, то выполнены как условия согласованности стимулирования, так и условие индивидуальной рациональности агента. При этом стимулирование со стороны центра является минимально возможным. Следовательно, доказано, что параметрическим (с параметром x A) решением задачи стимулирования (5) является следующая система стимулирования (11) QK(x, y) = c( x) + U +, y = x 0, yx, которая называется квазикомпенсаторной (QK-типа). В случае, если на максимальную величину вознаграждения наложено ограничение С 0, которое можно рассматривать как размер фонда заработной платы (ФЗП), то из (10) следует, что область компромисса (9) имеет вид: S = {x A | H(x) – C – U 0}. Рассмотрим теперь, какое действие следует реализовывать центру, то есть каково оптимальное значение x A. Так как в силу (10)-(11) стимулирование равно затратам агента, то оптимальным реализуемым действием y* является действие, максимизирующее в области компромисса разность между доходом центра и затратами агента. Следовательно, оптимальное реализуемое действие может быть найдено из решения следующей стандартной оптимизационной задачи (12) y* = arg max {H(x) – c(x)}, xS С точки зрения формальной модели стимулирования достаточно, чтобы материальное стимулирование со стороны центра компенсировало затраты агента. Мотивирующая надбавка 0 может отражать мотивационные (психологические и др.) аспекты управления.

которая получила название задачи оптимального согласованного планирования [1, 12]. Действительно, то действие, которое центр собирается побуждать выбирать агента, может интерпретироваться как план – желательное с точки зрения центра действие агента. В силу принципа компенсации затрат план является согласованным, значит центру в силу (11) остается найти оптимальный согласованный план. Условие оптимальности в рассматриваемой модели (в предположении дифференцируемости функций дохода и затрат, а также вогнутости функции дохода центра и выпуклости функции затрат агента) имеет вид:

dH ( y * ) dc( y * ) dH ( y ) =. Величина в экономике dy dy dy называется предельной производительностью агента (MRP), а величина dc( y * ) – его предельными затратами (MC). Условие dy оптимума (MRP = MC) – определяет так называемую эффективную заработную плату. Отметим еще одну важную содержательную интерпретацию условия (11). Оптимальный план y* максимизирует разность между доходом центра и затратами агента, то есть доставляет максимум суммы целевых функций (1) и (2) участников ОС, и, следовательно, является эффективным по Парето1. Отметим, что квазикомпенсаторная система стимулирования не является единственной оптимальной системой стимулирования – легко показать, что в рамках гипотезы благожелательности ре( шением задачи (5) является любая система стимулирования (), ( удовлетворяющая следующему условию: (y*) = c(y*) + U, ( y y* (y) c(y) – см. рисунок 5, на котором приведены эскизы * * * трех оптимальных систем стимулирования – 1, 2 и 3.

Напомним, что альтернатива называется эффективной по Парето, если не существует другой альтернативы, обеспечивающей всем участникам ОС не меньшие выигрыши, и хотя бы одному участнику – строго больший выигрыш.

c(y) + U * U 0 y* * 2 * y Рис. 5. Оптимальные системы стимулирования Область компромисса является чрезвычайно важным понятием. Ее непустота отражает наличие возможности согласования интересов центра и агента в существующих условиях. Поясним последнее утверждение. В формальной модели стратегии участников ограничены соответствующими допустимыми множествами. Учет ограничений индивидуальной рациональности агента (условно можно считать, что параметр резервной зарплаты U, фигурирующий в условии участия, отражает ограничения рынка труда – см. введение) и центра (условно можно считать, что неотрицательность целевой функции центра отражает ограничения финансовой эффективности деятельности центра – затраты на стимулирование агента не должны превышать доход от результатов его деятельности), а также условий согласования, приводит к тому, что множество «рациональных» стратегий – область компромисса – оказывается достаточно узкой. Фактически, компромисс между центром и агентом заключается в дележе полезности, равной разности полезностей в точках А и В на рисунке 4. Делая первый ход (предлагая контракт), центр «забирает» эту разность себе, вынуждая агента согласиться с резервным значением полезности. Легко проверить, что в противо положной ситуации, когда первый ход делает агент, предлагая контракт центру, нулевую полезность получает центр, а агент «забирает» разность полезностей между точками А и В себе. Точки А и В на рисунке 4 являются «предельными» случаями, в которых вся «прибыль» = H(y*) – C(y*) – U достается, соответственно, либо агенту, либо центру. Значительный интерес представляют промежуточные случаи, в которых величина делится между центром и агентом в соответствии с некоторым правилом, взаимная договоренность о котором является компромиссом и достигается в результате переговоров [7, 15]. Примерами подобных правил являются: равное распределение (при котором центр и агент получают по /2), принцип равных рентабельностей: [H(y*) – (y*)] / (y*) = [(y*) – c(y*)] / c(y*), при котором размер вознаграждения является средним геометрическим между доходом центра и затратами агента, и др. Из проведенного анализа следует, что решение задачи стимулирования может быть разделено на два этапа. На первом этапе решается задача согласования – определяется множество (3) реализуемых при заданных ограничениях действий. На втором этапе решается задача оптимального согласованного планирования (12) – ищется реализуемое действие, которое наиболее предпочтительно с точки зрения центра. Подобная идеология разбиения решения задачи управления ОС на этапы используется и в теории активных систем, и в теории контрактов при решении широкого класса задач. Существенным «плюсом» квазикомпенсаторных систем стимулирования является их простота и высокая эффективность, существенным «минусом» – абсолютная неустойчивость относительно возможных возмущений параметров модели [2]. Действительно, если центр неточно знает функцию затрат агента, то сколь угодно малая неточность может приводить к значительным изменениям реализуемых действий. Вопросы адекватности моделей стимулирования, устойчивости оптимальных решений и т.д. подробно исследовались в [2, 3]. Предложенная в упомянутых работах техника анализа и методы повышения гарантированной (в рамках имеющейся у центра информации) эффективности стимулирования могут быть непосредственно использованы и для моделей, рас сматриваемых ниже, поэтому проблемы адекватности и устойчивости в настоящей работе не рассматриваются. Выше описан подход к решению задачи стимулирования, использующий анализ свойств множеств реализуемых действий: определялось множество действий, реализуемых некоторой системой стимулирования, после чего вычислялся максимум целевой функции центра по этому множеству, а затем уже выбиралась система стимулирования. При этом задача стимулирования распадается на два этапа: этап согласования и этап согласованного планирования. В явном виде эту последовательность можно выразить следующим образом: на первом этапе для каждой допустимой системы стимулирования вычисляются множества реализуемых действий, затем берется их объединение: PM = U P ( ), после M чего на втором этапе решается задача планирования – максимизации целевой функции центра на множестве PM (отметим, что с точки зрения модели компромисса PM = S). Умея решать прямую задачу стимулирования, достаточно просто найти и решение соответствующей обратной задачи. Например, выражение (9) позволяет определить минимальные ограничения на стимулирование, позволяющие реализовывать заданные действия. Взаимосвязь прямых и обратных задач стимулирования подробно обсуждались в монографии [11]. Поэтому в настоящей работе в основном ограничимся прямыми задачами стимулирования, наиболее близкими к задачам управления персоналом и т.д. Интересно подчеркнуть, что выше оптимальное решение, фактически, угадано без решения задачи «в лоб»1. Существенную помощь при этом оказала идея введения множеств реализуемых Следует признать, что для теории активных систем во многих случаях характерно именно угадывание решений (исходя из интуиции, содержательных рассуждений и т.д.), а также стремление получить аналитическое решение. Объяснения этому достаточно прозрачны: исследование формальной модели социально-экономической системы не является самоцелью специалиста по управлению – его задача заключается в том, чтобы предложить максимально адекватное действительности содержательно интерпретируемое решение задачи управления.

действий. Альтернативным подходом является анализ минимальных затрат на стимулирование1. Минимальными затратами (центра) на стимулирование по реализации действия y PM в классе допустимых систем стимулирования M называется следующая величина: (13) min ( y ) = min {(y) | y P()}, M то есть минимальное допустимое вознаграждение, которое побудит агента выбрать заданное действие. Для тех действий, которые не могут быть реализованы в классе M, положим минимальные затраты на стимулирование равными бесконечности: (14) min ( y ) =+, y A \ PM. Если одно и то же действие может быть реализовано несколькими системами стимулирования, то, очевидно, что в рамках утилитарной модели большей эффективностью обладает та из них, которая характеризуется меньшими затратами на стимулирование. Другими словами, оптимальным является класс систем стимулирования, реализующий любое действие агента с минимальными затратами центра на стимулирование. Например, в рамках введенных предположений принцип компенсации затрат можно сформулировать следующим образом: y PM min ( y ) = с(y) + U. Как следует из сказанного выше, в рамках введенных предположений квазикомпенсаторная система стимулирования (11) является оптимальным решением базовой задачи стимулирования. Казалось бы, что можно еще «вытянуть» из этой задачи? Все дело в том, что считалось, что квазикомпенсаторная система является допустимой. Однако, на практике это не всегда так – центр может быть жестко ограничен некоторым фиксированным классом систем стимулирования, причем эти ограничения могут быть как экзогенными – например, определяться правовыми нормами, регулирующими оплату труда, так и эндогенными – по тем или иным причинам центр может быть склонен к использованию, например, сдельной или повременной оплаты, а не к простой компенсации Следует сделать следующее терминологическое замечание. Понятие «затраты» характеризуют затраты агента по выбору того или иного действия, понятие же «затраты на стимулирование» характеризуют затраты центра на стимулирование по реализации того или иного действия.

затрат. Следовательно, необходимо оценить сравнительную эффективность различных систем стимулирования. Приводимое ниже описание систем стимулирования выполнено в рамках следующего общего подхода: для фиксированного класса систем стимулирования определяются минимальные затраты на стимулирование, затем сравниваются затраты на стимулирование для различных классов. Априори можно сказать, что так как «идеалом» являются «абсолютно оптимальные» квазикомпенсаторные системы стимулирования, то эффективность любой системы стимулирования будет не выше (а затраты на стимулирование, соответственно, не ниже), чем квазикомпенсаторной. Однако, важно не только качественное соотношение эффективностей, так как ключевым является вопрос именно о количественных потерях в эффективности (приросте в минимальных суммарных затратах на стимулирование) – только зная величину этих потерь управляющий орган может принимать решение о целесообразности использования конкретной системы стимулирования. Основным инструментом оценки потерь в эффективности являются приведенные выше результаты о соотношении эффективности и минимальных затрат на стимулирование, поэтому достаточным оказывается вычисление разности или отношения показателей эффективности или соответствующих затрат на стимулирование. Закончив вводную часть, в которой с точки зрения теории активных систем и теории иерархических игр обсуждается инструментарий для дальнейшего исследования, перейдем к описанию задачи стимулирования с точки зрения теории контрактов. 3. МОДЕЛЬ ТЕОРИИ КОНТРАКТОВ Теория контрактов – раздел теории управления социальноэкономическими системами, изучающий теоретико-игровые модели взаимодействия управляющего органа – центра – и управляемого субъекта – агента, функционирующих в условиях внешней (возникающей извне по отношению к рассматриваемой ОС) вероятностной неопределенности [11, 19]. Учет неопределенности в моделях теории контрактов производится следующим образом: результат деятельности агента z A0 является случайной величиной, значение которой зависит как от действий агента y A, так и от внешнего неопределенного параметра – состояния природы, отражающее внешние условия деятельности агента. Информированность участников ОС следующая: на момент принятия решений и центр, и агент знают распределение вероятностей состояния природы p(), или условное распределение результата деятельности p(z, y). Действия агента не наблюдаются центром, которому становится известным лишь результат деятельности. Агент может либо знать состояние природы на момент выбора своего действия (случай асимметричной информированности), либо знать только его распределение (случай симметричной информированности, более соответствующий моделям стимулирования и поэтому в основном рассматриваемый ниже). Стратегией центра является выбор функции () от результата деятельности агента, которая в зависимости от содержательных трактовок модели может интерпретироваться как функция стимулирования (трудовые контракты), величина страхового возмещения (страховые контракты), величина задолженности или выплат (долговые контракты) и т.д. Стратегией агента является выбор действия при известной стратегии центра. Под контрактом, как и в предыдущем разделе, понимается совокупность стратегий центра и агента. При этом различают как явные контракты, то есть зафиксированные с юридической точки зрения (большинство страховых и долговых контрактов являются явными), так и неявные, то есть не заключаемые формально или подразумеваемые (в ряде случаев трудовые контракты являются неявными). Так как результат деятельности агента, значение которого определяет полезности участников ОС, зависит от неопределенных параметров, то будем считать, что при принятии решений они усредняют свои полезности по известному распределению вероятностей и выбирают стратегии, максимизирующие ожидаемую полезность. Оптимальным является контракт, который наиболее выгоден для центра (максимизирует его целевую функцию), при условии, что агенту взаимодействие с центром также выгодно. Последнее означает, что с точки зрения агента, как и в рассмотренной в раз деле 2 модели, одновременно должны выполняться два условия – условие участия и условие индивидуальной рациональности. Исторически первые работы по теории контрактов (см. ссылки в [8]) появились в начале 70-х годов как попытка объяснения в результате анализа теоретико-игровых моделей наблюдаемого противоречия между результатами макроэкономических теорий и фактическими данными по безработице и инфляции в развитых странах. Одно из «противоречий» заключалось в следующем. Существуют три «типа» заработной платы: рыночная заработная плата («средняя» резервная полезность, на которую может рассчитывать данный агент), эффективная заработная плата (та заработная плата, которая максимизирует эффективность деятельности агента с точки зрения предприятия1) и фактическая заработная плата (та зарплата, которую получает агент). Статистические данные свидетельствовали, что фактическая зарплата не равна эффективной заработной плате (этот и подобные выводы делались исходя из анализа данных по уровню безработицы и уровню инфляции). В первых моделях по теории контрактов рассматривались задачи определения оптимального числа нанимаемых агентов при учете только ограничения участия и фиксированных стратегиях центра, затем появились работы, посвященные методам решения задач управления (задач синтеза оптимальных контрактов), сформулированных с учетом и условия участия, и условия согласованности, затем акцент сместился на изучение более сложных моделей, описывающих многоэлементные и динамические модели, возможность перезаключения контрактов и т.д. С точки зрения эффектов страхования (перераспределения риска) интересен следующий сделанный в теории контрактов вывод: различие между эффективной и фактической зарплатой качественно может быть объяснено тем, что нейтральный к риску центр страхует несклонных к риску агентов от изменений величины заработной платы в зависимости от состояния природы: стабильность заработной платы обеспечивается за счет того, что в В большинстве случаев эффективная заработная плата определяется из условия равенства предельного продукта, производимого агентом, и предельных затрат этого агента благоприятных1 ситуациях величина вознаграждения меньше эффективной заработной платы, зато в неблагоприятных ситуациях она выше той, которая могла бы быть без учета перераспределения риска2. Приведем пример, иллюстрирующий это утверждение. Пример 3. Пусть у агента имеются два допустимых действия: A = {y1;

y2}, A0 = {z1;

z2}, P = p 1 p, < p 1. Содержа1 p p тельно, результат деятельности агента в большинстве случаев (так как p > ) «совпадает» с соответствующим действием. Обозначим затраты агента по выбору первого и второго действия c1 и c2 соответственно, c2 c1;

ожидаемый доход центра (стимулирование) от выбора первого и второго действия – H1 и H2 (1 и 2) соответственно;

целевую функцию центра, представляющую собой разность между доходом и стимулированием –, целевую функцию агента, представляющую собой разность между стимулированием и затратами – f. Задача центра заключается в назначении системы стимулирования, которая максимизировала бы ожидаемое значение его целевой функции3 E при условии, что выбираемое агентом действие максимизирует ожидаемое значение Ef его собственной целевой функции. Допустим, что агент нейтрален к риску (то есть его функция полезности, отражающая отношение к риску, линейна), и рассмотрим какую систему стимулирования центр должен использовать, чтобы побудить агента выбрать действие y1. В предположении равенства нулю резервной полезности задача поиска минимальной системы стимулирования, реализующей действие y1, имеет вид 1 На деятельность предприятий и, следовательно, на величину заработной платы, оказывают влияние как внешние макропараметры (сезонные колебания, периоды экономического спада и подъема, мировые цены и т.д.), так и такие параметры как состояние здоровья работника и др. 2 Быть может, именно важностью этого вывода обусловлено то, что в работах по теории контрактов рассматриваются практически только модели с внешней вероятностной неопределенностью (в детерминированном случае, или в случае неопределенности при нейтральном к риску агенте, эффекты страхования, естественно, пропадают и фактическая заработная плата равна эффективной). 3 Символ «E» обозначает оператор математического ожидания.

(первое ограничение является ограничением согласованности стимулирования, второе – ограничением индивидуальной рациональности агента): (15) p 1 + (1 – p) 2 min 1 0, 2 (16) p 1 + (1 – p) 2 – c1 p 2 + (1 – p) 1 – c2 (17) p 1 + (1 – p) 2 – c1 0. Задача (15)-(17) является задачей линейного программирования. Множество значений стимулирования, удовлетворяющих условиям (16) и (17), заштриховано на рисунке 6, его подмножество, на котором достигается минимум выражения (15), выделено жирной линией (линия уровня функции (15), отмеченная на рисунке 6 пунктирной линией, имеет тот же наклон, что и отрезок1 А1B1). Для определенности в качестве решения выберем из отрезка B1C1 точку С1, характеризуемую следующими значениями: (18) 1 = [p c1 – (1 – p) c2] / (2p – 1), (19) 2 = [p c2 – (1 – p) c1] / (2p – 1).

2 A1 с1 /(1-p) C1 (c2 - с1)/(2p-1) B1 0 с1 /p Рис. 6. Реализация центром действия y1 при нейтральном к риску агенте Отметим, что наличие множества решений при нейтральных к риску центре и агенте является характерной чертой задач теории контрактов. В то же время, введение строго вогнутой функции полезности агента (отражающей его несклонность к риску) приводит к единственности решения.

Легко проверить, что ожидаемые затраты центра на стимулирование E(y1) по реализации действия y1 равны c1, то есть (20) E(y1) = с1. Предположим теперь, что центр хочет реализовать действие y2. Решая задачу, аналогичную (15)-(17), получаем (см. точку С2 на рисунке 7): (21) 1 = [p c1 – (1 – p) c2] / (2p – 1), (22) 2 = [p c2 – (1 – p) c1] / (2p – 1), (23) E(y2) = с2. На втором шаге центр выбирает, какое из допустимых действий ему выгоднее реализовать, то есть какое действие максимизирует разность между доходом и ожидаемыми затратами центра на стимулирование по его реализации. Таким образом, ожидаемое значение целевой функции центра при заключении оптимального контракта равно * = max {H1 – c1, H2 – c2}.

2 A2 с2 /p C2 (c2 - с1)/(2p-1) B2 0 с2 /(1-p) Рис. 7. Реализация центром действия y2 при нейтральном к риску агенте Исследуем теперь эффекты страхования в рассматриваемой модели. Пусть агент не склонен к риску, то есть оценивает неопределенные величины в соответствии со строго возрастающей строго вогнутой функцией полезности u(). Так как от случайной величи ны – результата деятельности агента – зависит его вознаграждение (значение функции стимулирования), то предположим, что целевая функция агента имеет вид: (24) f((), z, y) = u((z)) – c(y). Обозначим1 v1 = u(1), v2 = u(2), u-1() – функция, обратная к функции полезности агента, и предположим, что функция полезности неотрицательна и в нуле равна нулю. Пусть центр заинтересован в побуждении агента к выбору действия y1. Задача стимулирования в рассматриваемой модели примет вид (первое ограничение является ограничением согласованности стимулирования, второе – ограничением индивидуальной рациональности агента): (25) p u-1(v1) + (1 – p) u-1(v2) min v1 0, v 2 (26) p v1 + (1 – p) v2 – c1 p v2 + (1 – p) v1 – c2 (27) p v1 + (1 – p) v2 – c1 0. Заметим, что линейные неравенства (26)-(27) совпадают с неравенствами (16)-(17) с точностью до переобозначения переменных. На рисунке 8 заштрихована область допустимых значений переменных v1 и v2. Линия уровня функции (25) (которая является выпуклой в силу вогнутости функции полезности агента) обозначена пунктиром. В случае строго вогнутой функции полезности агента (при этом, очевидно, целевая функция (25) строго выпукла) внутреннее решение задачи условной оптимизации (25)-(27) единственно и имеет следующий вид (в качестве примера возьмем функцию полезности u(t) = ln(1 + t), где и – положительные константы): (28) v1 = c1 + (c1 – c2) (1 – p) / (2p – 1), (29) v2 = c1 + (c2 – c1) p / (2p – 1). Легко проверить, что в рассматриваемом случае при использовании системы стимулирования (28)-(29) ожидаемая полезность агента от выплат со стороны центра равна затратам агента по выбору первого действия, то есть (30) Ev = c1.

1 Подобная замена переменных, позволяющая линеаризовать систему ограничений, используется в двушаговом методе решения задачи теории контрактов.

v2 A1 с1 /(1-p) C1 (c2 - с1)/(2p-1) v B1 0 с1 /p Рис. 8. Реализация центром действия y1 Аналогично можно показать, что, если центр побуждает агента выбирать второе действие, то ожидаемая полезность агента от выплат со стороны центра в точности равна затратам агента по выбору второго действия. Из (28)-(29) видно, что в случае несклонного к риску агента, побуждая его выбрать первое действие, центр «недоплачивает» в случае реализации первого результата деятельности (v1 c1) и «переплачивает» в случае реализации второго результата деятельности (v2 c2), причем при предельном переходе к детерминированному случаю1 (чему соответствует p 1) имеет место: v1 c1, v2 c2.

Отметим, что все модели с неопределенностью должны удовлетворять принципу соответствия: при «стремлении» неопределенности к «нулю» (то есть при предельном переходе к соответствующей детерминированной системе) все результаты и оценки должны стремиться к соответствующим результатам и оценкам, полученным для детерминированного случая. Например, выражения (28)-(29) при p = 1 переходят в решения, оптимальные в детерминированном случае.

v v B ua() un() D c1 v1 A 0 C E F 1 Ea En Рис. 9. Эффект страхования при реализация центром действия y Графически эффект страхования в рассматриваемой модели для случая реализации первого действия отражен на рисунке 9, на котором изображены линейная (определенная с точностью до аддитивной константы) функция полезности агента un() и его строго вогнутая функция полезности ua(). Так как отрезок AB лежит выше и/или левее отрезка CD, а ожидаемая полезность агента в обоих случаях равна c1, то при несклонности агента к риску ожидаемые выплаты Ea меньше, чем ожидаемые выплаты En, соответствующие нейтральному к риску агенту (см. точки E и F на рисунке 9). • Завершив рассмотрение примера, иллюстрирующего эффекты страхования в моделях теории контрактов, перейдем к описанию задачи синтеза оптимального трудового контракта в терминах теории контрактов. Пусть целевая функция несклонного к риску агента f((), y, z) представляет собой разность между полезностью u((z)) от стимулирования (z), получаемого от центра и зависящего от результата деятельности агента, и детерминированными затратами c(y), то есть (31) f((), y, z) = u((z)) – c(y).

Целевая функция нейтрального к риску центра ((), y, z) представляет собой разность между детерминированным доходом H(y) и стимулированием: (32) ((), y, z) = H(y) – (z). Задача синтеза оптимального контракта, описываемого кортежем (*(), y*), заключается в поиске такой зависимости *() вознаграждения агента от результатов его деятельности, которая максимизировала бы ожидаемое значение целевой функции центра при условии, что агент в рамках заключенного страхового контракта выбирает действие y*, максимизирующее ожидаемое значение его собственной целевой функции, то есть: (33) E((), z, y*) max, () (34) y = arg max Ef((), z, y).

y A * Для решения задачи (33)-(34) в случае конечных множеств допустимых действий агента и допустимых результатов его деятельности возможно использовать двушаговый метод1, заключающееся в следующем. На первом шаге для фиксированного действия агента ищется минимальная (в смысле ожидаемых затрат центра на стимулирование) система стимулирования, реализующая это действие. На втором шаге ищется оптимальное реализуемое действие агента. Недостатком данного метода является, во-первых, возможность его использования только для дискретных задач, во-вторых, высокая вычислительная сложность (если возможны k действий агента, то необходимо решать k задач выпуклого программирования), в-третьих, отсутствие возможности анализа зависимости оптимального контракта от параметров модели. Завершив рассмотрение основных подходов к задаче стимулирования, используемых в теории управления, перейдем к обсуждению этой задачи с точки зрения экономики труда.

Если и центр, и агент нейтральны к риску, то решение задачи (33)-(34) неоднозначно, что качественно объясняется бессмысленностью перераспределения риска между субъектами, одинаково к нему относящимися.

4. ПРОБЛЕМА СТИМУЛИРОВАНИЯ В ЭКОНОМИКЕ ТРУДА Экономика труда – раздел экономической теории, изучающий функционирование рынка в сфере труда, то есть поведение работодателей и работников в ответ на действие общих факторов: заработной платы, цен, условий труда и т.д. В контексте исследования задач стимулирования нас будет интересовать индивидуальное поведение на рынке труда (точнее, те его составляющие, которые определяются действующими на этом рынке механизмами и системами стимулирования), то есть принципы принятия решений агентом, являющимся субъектом рынка труда. Поэтому в настоящем разделе описывается модель взаимодействия агента и центра (соответственно, работника и предприятия), то есть в основном рассматривается эффективная, а не рыночная заработная плата. Прерогативой агента – стороны, предлагающей рабочую силу на рынке труда, является, в частности, определение (совместно с работодателем) продолжительности рабочего времени, понимаемой в широком смысле – и как продолжительность рабочего дня, и как возможную работу в течение неполного рабочего дня и т.д. Для простоты будем считать, что единственной альтернативой рабочему времени является время, затрачиваемое на досуг, поэтому предложение труда эквивалентно спросу на досуг [17]. Опять же для упрощения изложения, пока не будет оговорено особо, будем считать, что совокупный доход пропорционален количеству отработанных часов, то есть, предположим, что на рынке труда используются только пропорциональные (повременные) системы стимулирования, в которых ставка оплаты постоянна и не зависит от суммарного количества отработанных часов. Проанализируем поведение агента на рынке труда, то есть, исследуем его предпочтения в дилемме «труд – досуг», в рамках которой характеристикой предложения труда является желаемая продолжительность рабочего времени. Анализ будем проводить, последовательно усложняя описание модели поведения – от каче ственного вербального обсуждения к графическому анализу и, наконец, к формальной математической модели1. В экономике труда считается, что индивидуальное поведение на рынке рабочей силы определяется двумя эффектами – дохода и замещения [17]. Опишем модель принятия агентом решения относительно продолжительности рабочего времени. Пусть полезность агента u(q, t) зависит от его дохода q 1 и продолжительности ежедневного свободного времени (времени досуга) t [0;

T], где свободное и рабочее время [0;

T] связаны условием2 t + = T. В некоторых работах зарубежных авторов полезность определяется на множестве пар «время досуга агента количество товаров и услуг, которые он может приобрести». Понятно, что если цены на товары и услуги фиксированы, то такое представление эквивалентно введенному выше. Предположим, что функция полезности u(q, t) непрерывно дифференцируема, частично строго монотонна и имеет убывающие и выпуклые кривые безразличия. Если у агента отсутствуют нетрудовые доходы (non-wage income), то его доход равен заработной плате и однозначно определяется продолжительностью рабочего времени, то есть q(t) = (). Функция полезности u() ставит в соответствие каждой альтернативе – паре (q, t) – действительное число, интерпретируемое как полезность этой альтернативы. Считается, что чем выше полезность альтернативы, тем «лучше» она с точки зрения данного агента. Предположим, что u() – монотонная непрерывная функция своих переменных, то есть как увеличение дохода при фиксиро Все выводы, получаемые в рамках качественного анализа, остаются в силе и при графическом анализе. То же самое соотношение справедливо для графического и формального анализа. При этом чем более «формализованное» описание используется исследователем, тем более детальные и конструктивные (в рамках модели) выводы он может сделать. 2 Обычно в экономике труда считается, что продолжительность рабочего дня не может превышать T = 16 часов (как минимум 8 часов в сутки человек должен тратить на сон, прием пищи и т.д.), то есть рабочее время [0;

T]. Если t – свободное время (время, которое тратится на досуг), то выполнено: + t = T.

ванном времени досуга, так и увеличение времени досуга при фиксированном доходе, приводят к увеличению полезности1. Некоторому фиксированному значению полезности может соответствовать целое множество альтернатив, имеющих эту полезность: {(q, t) | u(q, t) = }. Если изобразить это множество в координатах (t, q), то получим кривую безразличия (изокванту), которую также обозначим. Кривые безразличия функции полезности агента в рассматриваемой модели обладают следующими свойствами: 1. Если 1 и 2 – две кривые безразличия, и 2 > 1, то кривая 2 расположена выше и правее кривой 1 (см. рисунок 10)2.

q T 1 A 2 > t T t * Рис. 10. Кривые безразличия и бюджетное ограничение 2. Кривые безразличия не имеют общих точек. 3. Кривая безразличия строго монотонно убывает. Это ее свойство имеет следующую содержательную интерпретацию: при фиксированном уровне полезности нельзя одновременно увеличить и доход, и время досуга.

В качестве модельных и теоретических зависимостей функции полезности от дохода и рабочего времени в литературе использовались следующие: u = qa tb, u = [a ( + ) + U ]b[T – ( + c)]d, где a, b, c, d,, U – константы. Это утверждение – графическая иллюстрация доминирования по Парето любой альтернативой, имеющей полезность 2, любой альтернативы, имеющей строго меньшую полезность 1.

4. Кривая безразличия является выпуклой. Это менее очевидное, но признаваемое почти всеми исследователями, свойство качественно отражает представление о том, что агент больше ценит то, чего ему сильнее не хватает (любая комбинация дохода и свободного времени более ценна, чем каждая из компонент по отдельности). Действительно, в соответствии с первым законом Госсена каждая следующая единица потребляемого блага имеет для потребителя меньшую ценность, чем его предшествующая единица. Этот закон касается только тех благ или ресурсов, каждая следующая единица которых, будучи вовлеченной в процесс потребления, делает этот ресурс менее редким. К такому типу ресурсов относятся и доход, и свободное время. 5. Кривые безразличия в совокупности «покрывают» всю плоскость (t, q). В том числе, каждая внутренняя точка первого квадранта этой координатной плоскости принадлежит одной и только одной кривой безразличия (см. второе их свойство). Если ставка оплаты, которая выше обозначена, постоянна и нетрудовые доходы (non-wage income) отсутствуют, то графически зависимость суммарного дохода от часов досуга можно изобразить прямой из точки1 (T;

0) (если число отработанных часов = T – t равно нулю, то, очевидно, равен нулю и доход) в точку (0;

T) (отработав T часов, агент получит доход T). Эта прямая отражает так называемое бюджетное ограничение. Так как ставка оплаты является альтернативной стоимостью часа досуга, то условием оптимума (максимума полезности) является касание прямой бюджетного ограничения кривой безразличия [17]. На рисунке 10 кривая безразличия 1 касается прямой бюджетного ограничения в точке А. То есть в рамках введенных предположений в равновесии для агента альтернативные издержки одного часа досуга равны ставке заработной платы (и наоборот) – Если агент имеет нетрудовые доходы в размере qT, то прямая бюджетного ограничения будет проходить через точку (T;

qT ). Сделанные выводы не относятся к самозанятым (self-employed) работникам, чьи доходы, хотя и являются трудовыми, но в решающей степени определяются не продолжительностью рабочего времени, а стратегией действий в качестве производителей товаров и услуг.

тому дополнительному заработку, который мог бы быть получен при работе в течение этого часа. Изменение ставки оплаты (угла наклона бюджетного ограничения) приводит к изменению точки оптимума – точки касания. Сдвиг точки касания влево соответствует уменьшению времени досуга (проявление эффекта замещения), сдвиг вправо – росту времени досуга (проявление эффекта дохода). То, в какую сторону сдвинется точка касания, в каждом конкретном случае зависит от предпочтений агента, отражаемых его функцией полезности, то есть от свойств кривых безразличия. Никаких как более общих выводов, так и конкретных закономерностей индивидуального поведения на рынке труда, установить в рамках рассматриваемой модели невозможно – действительно, у каждого человека в общем случае имеется своя система предпочтений и, используя очень общие предположения о свойствах функции полезности, введенные выше, невозможно предсказать его поведение в каждом конкретном случае1. Обсудим последнее утверждение более подробно. Ряд исследователей констатирует, что «теория не в состоянии показать (или предсказать) какой из эффектов – замещения или дохода – возобладает при изменении ставки заработной платы» [17, С. 222]. Более того, ряд экспериментальных данных, полученных зарубежными авторами (см. ссылки в [8]), свидетельствует, что у мужчин (в большинстве исследований – американских) и эффект дохода, и эффект замещения невелики (в смысле эластичности) и, возможно, даже равны нулю. Женщины (опять же, в большинстве случаев – американские) более чувствительны к изменениям ставки заработной платы и у них эффект замещения превалирует над эффектом дохода. Однако это влияет, в основном, не на изменение продолжительности рабочего времени, а на принятие решения об участии в трудовой деятельности. Нет необходимости подчеркивать, что даже качественные выводы, сделанные на основании анализа статистических данных, полученных для американского рынка труда, скорее всего, неприменимы в российских условиях.

Естественно, применяя используемую технику анализа к конкретной функции полезности, можно определить для данного агента желательную продолжительность рабочего времени.

Таким образом, графический анализ предпочтений позволяет из условия оптимума по заданным функции полезности (точнее – семейству кривых безразличия) и ставке заработной платы (точнее – бюджетному ограничению) определить желательную продолжительность рабочего времени (точнее – времени досуга). Перечисленные качественные свойства кривых безразличия и условие оптимума очевидны. В то же время, они позволяют не только находить решение дилеммы «труд/досуг», но и исследовать (по крайней мере, на качественном уровне) дилемму «труд/досуг/работа дома» и другие эффекты, в том числе – влияние компенсационных выплат (социальные программы, компенсации временной потери трудоспособности и т.д.) на предложение труда [17 и др.]. Перейдем к формальному анализу модели индивидуального поведения на рынке труда. Если уравнение u(q, t) = разрешимо относительно q, то можно получить уравнение кривой безразличия: q = v(, t). Обозначая ut = u ( q, t ) u ( q, t ), uq =, получаем выражение для производq t ной кривой безразличия: (35) Если – постоянная ставка оплаты, то прямая бюджетного ограничения имеет вид: (36) q(t) = = (T – t). Агент решает задачу выбора такого значения t* времени досуга (и, соответственно, рабочего времени * = T – t*), которое максимизировало бы его полезность: (37) t* Arg max u(q(t), t), t[ 0;

T ] dq = – ut / u q. dt где q(t) определяется выражением (36). Необходимое условие оптимальности – равенство нулю производной по t выражения u(q(t), t):

uq dq + ut = 0. dt Подставляя (36), запишем условие оптимума следующим образом: (38) ut = u q. Воспользовавшись (35), получаем, что необходимое условие оптимальности графически можно интерпретировать как условие касания кривой безразличия прямой бюджетного ограничения (см. рисунок 10). Отметим, что (38) является условием оптимума при «внутренних» решениях задачи (37). Если максимум в выражении (37) достигается при t = T (граничное решение), то говорят, что имеет место «угловое решение» [17]. Содержательно, «угловое решение» соответствует оптимальности для рассматриваемого агента решению «не работать вообще», так как любой час своего досуга (в том числе и шестнадцатый) он ценит выше предлагаемой ставки оплаты. На рисунке 11 изображено «угловое решение», то есть при ставке резервной заработной платы и величине «нетрудовых доходов» qT (доходов агента, не зависящих от количества отрабатываемых часов, например – рента, пособия и т.д.) кривая безразличия касается прямой бюджетного ограничения в точке А (t* = T – см. рисунок 11) или правее. Возможно и другое «угловое решение» – «не отдыхать вообще».

q A qT t t*=T Рис. 11. «Угловое решение» Итак, рассмотрены условия оптимальности при использовании центром пропорциональных систем оплаты. Та же идеология используется для исследования условий оптимальности при использовании центром произвольных (не только пропорциональных) систем оплаты. Рассмотрим пример, иллюстрирующий применение описанного метода определения оптимального времени досуга. Пример 4. Пусть функция полезности имеет вид: u(q, t) = q t, где – некоторая положительная константа1. Кривой безразличия в данном случае является гипербола: q(t) = получаем: (39) t* = 1. Из условия (38) t.

0, и эффект замещения:

= Const Из выражения (39) следует, что имеют место и эффект дохода:

t (, ) * * t (, ) = Const 0.

Существуют два способа определения оптимального времени досуга. Первый заключается в использовании условия (38):

dq =. Проверяя, что оптимально внутреннее решение dt (u(0) = u(T) = 0), получаем: t* = T/2. Второй способ заключается в «лобовом» решении задачи максимизации полезности (см. (37)): t* = arg max u(q(t), t) = arg max { t (T – t) } = T / 2.

t[ 0 ;

T ] t[ 0 ;

T ] Интересно отметить, что при рассматриваемой функции полезности оптимальное решение t* равно восьми часам и не зависит от ставки оплаты. В то же время, максимальное значение полезности u* = T2 / 4 возрастает с ростом ставки оплаты. • Напомним, что до сих пор рассматривались модели индивидуального поведения на рынке труда в предположении, что за кажВ приводимых в настоящей работе примерах фигурируют постоянные коэффициенты. Необходимость их введения обусловлена соображениями согласования размерностей. Так, в рассматриваемом примере коэффициент имеет размерность «единица полезности / (рубль час)».

дый отработанный час агент получает одинаковую оплату (ставка оплаты считалась постоянной). Откажемся от этого предположения, то есть расширим класс допустимых систем стимулирования (любая система стимулирования может рассматриваться как пропорциональная с переменной ставкой оплаты). Действием агента будем считать продолжительность рабочего времени, которая однозначно определяет продолжительность свободного времени: t = T –, то есть y =, A = [0;

T]. Предположим, что центр использует некоторую (не обязательно пропорциональную) систему стимулирования (). Определим функцию ~ «оплаты свободного времени» (t) = (T – t). Отметим, что, если () – возрастающая (убывающая, выпуклая, вогнутая) функция, то ~ (t) – убывающая (соответственно, возрастающая, выпуклая, вогнутая) функция. Введем зависимость дохода от свободного времени: ~ q(t) = (t) = (T – t). Определяя наиболее предпочтительное (с точки зрения значения своей функции полезности u(q, t)) значение продолжительности рабочего времени, агент решает следующую задачу: (40) u(q, t) = u((T – t), t) max.

t[0;

T ] Предполагая существование внутреннего решения t* (0;

T), получаем необходимое условие оптимальности: ut' ~ (41) ' = – ' (t) = ' (T – t) = ' (). uq Левая часть выражения (41) с точностью до знака совпадает с производной кривой безразличия функции полезности, следовательно, в точке оптимума графики кривой безразличия полезности u() и функции стимулирования () должны иметь общую касательную. Содержательно это утверждение означает, что предельный доход должен быть равен предельному стимулированию ( dq(t * ) d ( ) = ), то есть в точке оптимума альтернативная d = T t * dt стоимость единицы свободного времени по абсолютной величине равна скорости изменения вознаграждения (см. также условия оптимальности для базовых систем стимулирования). Второй важный (и достаточно очевидный) вывод, который следует из анализа выражения (41), заключается в том, что в точке оптимума * = T – t* производная функции стимулирования () должна быть положительна (так как положительны обе производные функции полезности, фигурирующие в левой части (41);

действительно, выше предполагалось, что полезность агента возрастает как с ростом дохода, так и с увеличением продолжительности свободного времени). Более того, так как «рабочим» оказывается участок функции стимулирования с положительной производной, то в рамках рассматриваемой модели для любой функции стимулирования найдется монотонная (неубывающая) функция стимулирования, побуждающая агента выбрать то же действие. Следовательно, справедливо следующее утверждение: при решении задач синтеза оптимальных функций стимулирования достаточно (без потери эффективности) ограничиться классом неубывающих функций стимулирования. Это утверждение вполне согласовано со здравым смыслом и практическим опытом – большим значениям действий (отработанному времени и т.д.) должно соответствовать большее вознаграждение. ЧАСТЬ 2. БАЗОВЫЕ СИСТЕМЫ СТИМУЛИРОВАНИЯ 5. ОПИСАНИЕ БАЗОВЫХ СИСТЕМ СТИМУЛИРОВАНИЯ Перечислим базовые системы стимулирования. Скачкообразные системы стимулирования (С-типа) характеризуются тем, что агент получает постоянное вознаграждение (равное заранее установленному значению C), при условии, что выбранное им действие не меньше заданного, и нулевое вознаграждение, при выборе меньших действий (см. рисунок 12): (1) С(x,y) = C, y x. 0, y < x Параметр x X называется планом – желательным с точки зрения центра состоянием (действием, результатом деятельности и т.д.) агента. Системы стимулирования С-типа могут интерпретироваться как аккордные, соответствующие фиксированному вознаграждению при заданном результате (например, объеме работ не ниже оговоренного заранее, времени и т.д. – см. ниже более подробно). Другая содержательная интерпретация соответствует случаю, когда действием агента является количество отработанных часов, то есть, вознаграждение соответствует, например, фиксированному окладу без каких либо надбавок и оценки качества деятельности.

С(x,y) C y 0 x Рис. 12. Скачкообразная система стимулирования Величины, соответствующие системам стимулирования Стипа, будем индексировать «С», например MC – множество скачкообразных систем стимулирования и т.д. Отметим, что большинство базовых систем стимулирования являются параметрическими, например, класс MC M определяется заданием, помимо (1), множества допустимых планов X (относительно которого обычно предполагают, что оно совпадает с множеством допустимых действий агента: X = A, или с множеством действий PM, реализуемых при заданных ограничениях механизма стимулирования). Квазискачкообразные системы стимулирования (QC-типа) отличаются от скачкообразных тем, что вознаграждение выплачивается агенту только при точном выполнении плана (см. рисунок 13):

C, y = x (2) QС(x,y) =. 0, y x Следует отметить, что системы стимулирования QC-типа1 являются достаточно экзотическими (особенно в условиях неопределенности непонятно, что понимать под точным выполнением плана) и редко используются на практике.

QC(x, y) C.

y x Рис. 13. Квазискачкообразная система стимулирования Множество квазискачкообразных систем стимулирования обозначим MQC. Если на абсолютную величину вознаграждения агента не наложено никаких ограничений, то необходимо доопределить, что понимать под величиной C в (1) и (2), то есть амплитуда «скачка», также как и план, может являться переменной величиной, каковой и будем ее считать в системах стимулирования С-типа и QС-типа. Компенсаторная система стимулирования (К-типа) характеризуется тем, что агенту компенсируют затраты при условии, что его действия лежат в определенном диапазоне, задаваемым, например, ограничениями на абсолютную величину индивидуального вознаграждения: (3) K(x,y) = c( y ), y x, y>x 0, Символ «Q» и приставка «квази-» обозначает квази-систему стимулирования, вознаграждение совпадает с вознаграждением в исходной системе стимулирования в случае выполнения агентом плана (y = x) и равно нулю в остальных случаях (y x).

где x c -1(C), c –1() – функция, обратная функции затрат агента, то есть центр может компенсировать агенту затраты при y x и не оплачивать выбор больших действий (см. рисунок 14).

K(x, y) c(y) c(x) y 0 x Рис. 14. Компенсаторная система стимулирования Множество компенсаторных систем стимулирования обозначим MK. Квазикомпенсаторные системы стимулирования (QK-типа) отличаются от компенсаторных тем, что вознаграждение выплачивается агенту только при точном выполнении плана (см. рисунок 15): c( y ), y = x (4) QK(x,y) =. 0, y x Множество квазикомпенсаторных систем стимулирования обозначим MQK. Этот класс систем стимулирования относительно подробно описан выше во втором разделе.

QK(x, y) c(x) c(y).

y x Рис. 15. Квазикомпенсаторная система стимулирования Пропорциональные системы стимулирования (L-типа). На практике широко распространены системы оплаты труда, основанные на использовании постоянных ставок оплаты: повременная оплата подразумевает существование ставки оплаты единицы рабочего времени (как правило, часа или дня), сдельная оплата – существование ставки оплаты за единицу продукции и т.д. Объединяет эти системы оплаты то, что вознаграждение агента прямо пропорционально его действию (количеству отработанных часов, объему выпущенной продукции и т.д.), а ставка оплаты 0 является коэффициентом пропорциональности (см. рисунок 16): (5) L(y) = y.

c(y) L(y) y Рис. 16. Пропорциональная система стимулирования В более общем случае возможно, что часть вознаграждения агента выплачивается ему независимо от его действий, то есть пропорциональная система может иметь вид L(y) = 0 + y. Множество пропорциональных систем стимулирования обозначим ML. Системы стимулирования, основанные на перераспределении дохода (D-типа) используют следующую идею [7, 9]. Так как центр выражает интересы системы в целом, то можно условно идентифицировать его доход и доход от деятельности всей организационной системы. Поэтому возможно основывать стимулирование агента на величине дохода центра – положить вознаграждение агента равным определенной (например, постоянной) доле дохода центра1: (6) D(y) = H(y), где [0;

1]. На сегодняшний день формальные модели с переменной долей (y), к сожалению, не исследованы. Множество систем стимулирования, основанных на перераспределении дохода, обозначим MD. По аналогии с тем, как это делалось для скачкообразных и компенсаторных систем стимулирования, можно ввести квазилинейные системы стимулирования (QL-типа), при использовании которых агент получает вознаграждение, пропорциональное плану, в случае его выполнения, и нулевое вознаграждение во всех остальных случаях. Аналогично определяются системы стимулирования QD-типа. Еще раз отметим, что системы стимулирования C, L и D-типа являются параметрическими:

- для определения скачкообразной системы стимулирования достаточно задать пару (x, C);

- для определения пропорциональной системы стимулирования достаточно задать ставку оплаты ;

- для определения системы стимулирования, основанной на перераспределении дохода, достаточно задать норматив. Степенные системы стимулирования представляют собой достаточно искусственную конструкцию, когда вознаграждение агента пропорционально его затратам в определенной степени: (7) B(y) = c(y), где (0;

1). Использование степенных систем стимулирования оказывается эффективным в многоэлементных ОС с неопределенностью [12, 14]. В настоящей работе рассматривать их подробно мы не будем. Перечисленные выше системы стимулирования являются простейшими, представляя собой элементы «конструктора», используя которые можно построить другие более сложные системы стимулирования. Для возможности такого «конструирования» необхоСледует отметить, что согласно действующему законодательству доходы по акциям и другие доходы от участия работников в собственности предприятия не относятся к фонду заработной платы.

димо определить операции над системами стимулирования. Для одноэлементных ОС достаточно ограничиться операциями следующих трех типов. Первый тип операции – переход к соответствующей квазисистеме стимулирования описан выше – вознаграждение считается равным нулю всюду, за исключением действия, совпадающего с планом. В детерминированных организационных системах «обнуление» стимулирования во всех точках, кроме плана, в рамках гипотезы благожелательности практически не изменяет свойств системы стимулирования, поэтому в ходе дальнейшего изложения не будем акцентировать внимание на различии некоторой системы стимулирования и системы стимулирования, получающейся из исходной применением операции первого типа. Второй тип операции – разбиение множества возможных действий на несколько подмножеств и использование различных базовых систем стимулирования на различных подмножествах. Получающиеся в результате применения операции второго типа системы стимулирования будем называть составными и обозначать последовательной записью обозначений ее компонент. Например, центр может фиксировать планы x1 и x2 (x1 x2) и использовать систему стимулирования С-типа со скачком в точке x1 при действиях агента, меньших x2, и пропорциональную систему стимулирования при действиях агента, превышающих план x2 (содержательные интерпретации очевидны). Эскиз получающейся при этом системы стимулирования CL-типа приведен на рисунке 17.

CL(x1, x2, y) C C L y 0 x1 x Рис. 17. Система стимулирования CL-типа (составная) Понятно, что к одной и той же системе стимулирования можно применять операцию второго типа несколько раз. Возможно также применение операции второго типа к результатам ее предшествующего применения и т.д. Например, применяя операцию второго типа к системе стимулирования CL-типа, изображенной на рисунке 17, то есть добавляя условие, что система стимулирования является скачкообразной при y x3 x2, получим систему стимулирования CLC-типа. Применяя к ней, в свою очередь, например, операцию первого типа, получим систему стимулирования QCLCтипа и т.д. Третий тип операции – алгебраическое суммирование двух систем стимулирования (что допустимо, так как стимулирование входит в целевые функции участников системы аддитивно). Результат применения операции третьего типа будем называть суммарной системой стимулирования и обозначать «суммой» исходных систем стимулирования. Эскиз системы стимулирования C+Lтипа, получающейся в результате применения операции третьего типа к системам стимулирования C-типа и L-типа, изображен на рисунке 18.

C+L(x, y) C L 0 x C y Рис. 18. Система стимулирования C+L-типа (суммарная) Операцию третьего типа также можно применять последовательно к результатам предшествующих ее применений, получая, например, системы стимулирования C+L+K-типа и т.д. Возможно также ее комбинированное применение с операциями первого и второго типа. Получающиеся в результате последовательного применения конечное число раз1 операций первого, второго или третьего типа к системам C-типа, или K-типа, или L-типа или D-типа (которые называются основными [7]), а также к результатам предшествующих их применений, называются производными от исходных. Базовыми системами стимулирования назовем системы стимулирования C-типа, K-типа, L-типа и D-типа, а также все производные от них системы стимулирования. Итак, базовые системы стимулирования, полученные в результате применения только операций второго типа, названы составными. Базовые системы стимулирования, полученные в результате применения только операций третьего типа, названы суммарными. Основные, составные и суммарные системы стимулирования будем считать простыми базовыми. Суммарные составные системы стимулирования назовем сложными базовыми системами стимулирования. Число различных суммарных систем стимулирования определяется элементарно. Имеются следующие варианты: MC+C, MC+K, MC+L, MC+D, MK+L, MK+D, ML+D (класс MK+K эквивалентен классу MK, а класс ML+L эквивалентен классу ML), MC+K+L, MC+K+D, MC+L+D, MK+L+D, MC+K+L+D. Учитывая, что классы MA1+A2 и MA2+A1, где2 A1, A2 {C, K, L, D}, эквивалентны, получаем всего двенадцать3 классов суммарных систем стимулирования. Сложнее дело обстоит с составными системами стимулирования – их число зависит от числа точек разбиений множества допустимых действий агента. Поэтому ограничимся составными Несмотря на то, что число исходных систем стимулирования конечно (равно четырем – C, K, L и D), применение к ним конечное число раз операций первого, второго или третьего типа порождает бесконечное множество систем стимулирования, хотя бы потому, что в операциях второго типа используются операции, зависящие от непрерывных параметров (планов и т.д.). 2 Условимся, что система стимулирования А-типа является обозначением произвольной базовой системы стимулирования. 3 Понятно, что можно рассматривать суммарные системы стимулирования, состоящие из трех и более «слагаемых», однако такие сложные системы стимулирования на практике встречаются редко, поэтому рассматривать их подробно не будем.

системами стимулирования, включающими не более двух комбинаций. Учитывая, что комбинация компенсаторной системы стимулирования с собой эквивалентна исходной, получаем пятнадцать пар: MCC, MCK, MCL, MCD, MKC, MKL, MKD, MLL, MLC, MLK, MLD, MDD, MDC, MDK, MDL, то есть пятнадцать классов составных систем стимулирования. Суммируя четыре основных, двенадцать суммарных и пятнадцать составных (двойных), получаем 31 простую базовую систему стимулирования. Таким образом, перечислив скачкообразные, компенсаторные, пропорциональные и основанные на перераспределении дохода системы стимулирования и определив три операции над ними, мы получили возможность генерировать значительное число различных систем стимулирования. Следует вспомнить, что в настоящей работе рассматриваются модели стимулирования в организационных системах, поэтому необходимо изучить, насколько полно введенные базовые системы стимулирования охватывают используемые на практике формы индивидуальной заработной платы. 5. ФОРМЫ И СИСТЕМЫ ИНДИВИДУАЛЬНОЙ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ Системой оплаты труда называется способ определения размеров вознаграждения в зависимости от затрат, результатов труда и т.д. Те или иные конкретные системы оплаты труда выделяются в рамках более общих форм оплаты труда. Поэтому рассмотрим сначала формы заработной платы, а затем для каждой из форм перечислим основные системы оплаты. Различают следующие формы индивидуальной заработной платы (см. ссылки в [8]):

- тарифная, при использовании которой индивидуальное вознаграждение агента не связано явным образом с количественными показателями его деятельности, а определяется ее содержанием, квалификационными требованиями и прочими нормативами1. Для оплаты труда руководителей и специалистов может использоваться окладно-премиальная система оплаты, в которой индивидуальное вознаграждение складывается из оклада (тарифная система) и премии, определяющейся по результатам деятельности организации, подразделения и т.д. Разновидностью тарифной формы оплаты также являются так называемые плавающие оклады, при использовании которых показатели тарифной системы на каждый период рассчитываются с учетом результатов деятельности в предыдущих периодах. - повременная, при использовании которой индивидуальное вознаграждение зависит от отработанного времени с учетом квалификации и качества труда;

- сдельная, при использовании которой индивидуальное вознаграждение зависит от количества произведенной продукции;

- участие в доходе (участие в прибылях, выплаты бонуса), например – приобретение акций компании;

- премии – дополнительное по сравнению с заработной платой вознаграждение, выплачиваемое в определенных случаях. Отдельной формой заработной платы, стимулирующей продажи и не рассматриваемой подробно в настоящей работе, являются комиссионные2. Отметим, что перечисленные выше формы не являются однородными. Так, например, разделение повременной и сдельной заработной платы основывается на мере труда (то есть, способе измерения количества труда) – соответственно – времени и количестве произведенной продукции. Обе эти формы являются регу1 Так как тарифная форма заработной платы связана с показателями индивидуальной деятельности косвенным образом (хотя величина показателей тарифной системы и является существенным мотивирующим фактором, в том числе – в соревновательных системах), то не будем рассматривать подробно ее формальные модели, ограничившись замечанием, что достаточно адекватной ее моделью является система стимулирования С-типа. 2 Комиссионные в ряде случаев с формальной точки зрения могут рассматриваться как разновидность такой формы оплаты как участие в доходе. В тех ситуациях, когда произведенной продукцией выступают услуги, комиссионная оплата труда сотрудников является разновидностью сдельной оплаты.

лярными (выплачиваемыми в рамках действующего трудового контракта) и зависящими явным и известным работнику образом от показателей его деятельности. При продаже работникам акций компании (форма участия в доходе) вознаграждение не зависит столь явным образом от результатов именно индивидуальной деятельности;

премии (как правило) не являются регулярной формой заработной платы и т.д. Повременная форма заработной платы может реализовываться в виде следующих систем оплаты1:

- простая повременная;

- повременно-премиальная. Сдельная форма заработной платы (иногда ее называют поштучной) может реализовываться в виде следующих систем оплаты:

- прямая сдельная;

- сдельно-премиальная;

- сдельно-прогрессивная;

- косвенно-сдельная;

- аккордная. Связь между повременной и сдельной формами оплаты может быть установлена следующим образом. Если в сдельной оплате фиксированы нормы времени на выполнение определенных заданий, то ее можно рассматривать как повременную. При этом на практике, если работник справляется со своим заданием (с выполнением требований не только количества, но и качества) быстрее отведенного времени, то ему может оплачиваться все время по норме, независимо от фактически затраченного времени (см. ниже). Рассмотрим перечисленные выше системы оплаты более подробно. Простая повременная система оплаты2 соответствует использованию фиксированных (постоянных, то есть не зависящих В ходе дальнейшего изложения для того, чтобы различать, если это необходимо, реальные «системы оплаты» и их модели, для последних будем использовать термин «системы стимулирования». 2 Повременная форма заработной платы используется для 70-80% американских рабочих, и для 60-70% рабочих в Западной Европе. В России по разным оценкам повременная форма оплаты используется примерно для 20-30% рабочих.

от каких-либо показателей деятельности агента) ставок оплаты за единицу времени. Если под действием агента понимать отработанное время, то данной системе оплаты соответствует система стимулирования L-типа. При использовании повременно-премиальной системы опла1 ты к сумме заработка по тарифу (при условии выполнения и/или перевыполнения нормативов, например – плана x) добавляется премия (обозначим ее ставку ), измеренная, например, в процентах к тарифной ставке. Данной системе оплаты соответствует система стимулирования LL-типа (см. рисунок 19). Прямая сдельная система оплаты (см. также простую повременную систему оплаты) характеризуется прямо пропорциональной зависимостью величины вознаграждения от объема выпуска (количества произведенной продукции) по единым твердым сдельным расценкам (ставкам), не зависящим от объема выпуска и т.д. Если под действием агента понимать количество произведенной продукции, то данной системе оплаты соответствует система стимулирования L-типа.

(y) 1 0 x y Рис. 19. Повременно-премиальная система оплаты (норматив - x;

2 = (1+)1 или 2 = 1+) При использовании сдельно-премиальной системы оплаты, помимо базового тарифа, выплачивается премия, например, за Отметим, что во многих случаях термин «гибкие системы оплаты» применяется для обозначения систем оплаты, более сложных, чем простая повременная и/или простая сдельная.

перевыполнение нормативов и т.д. (см. рисунок 20). Следует отметить, что в литературе сдельно-премиальная и сдельнопрогрессивная системы оплаты не всегда разделяются достаточно четко, поэтому можно в общем случае считать, что при перевыполнении нормативов используется повышенный тариф или ставка оплаты. Данной системе оплаты соответствует система стимулирования L+С-типа или в более общем случае, приведенном на рисунке 2.9 (1 2), система стимулирования LL+С-типа.

(y) 1x+C 1x 1 0 x y Рис. 20. Сдельно-премиальная система оплаты (норматив - x) Сдельно-прогрессивная система оплаты, в рамках которой выработка сверх установленной нормы оплачивается по повышенным расценкам, с точки зрения формального анализа полностью аналогична повременно-премиальной системе оплаты (с точностью до конкретизации меры труда – см. выше), и ей соответствует система стимулирования LL-типа. Косвенно-сдельная система оплаты используется, например, для оплаты труда вспомогательных рабочих. При этом размер их заработка может составлять определенный процент от заработка основных (обслуживаемых ими) рабочих. Данной системе оплаты соответствует система стимулирования, основанная на перераспределении дохода – D-типа. При использовании аккордной системы оплаты совокупный индивидуальный заработок выплачивается за фиксированные стадии работы или за выполнение полного комплекса работ. Данной системе оплаты соответствует система стимулирования С-типа (см. выше). Разновидностью аккордной системы оплаты является так называемые аккордно-премиальные системы оплаты, в которых дополнительная премия выплачивается за качество работ, сокращение сроков и т.д. Участие в доходе (прибыли) как форма индивидуальной заработной платы (см. выше) в точности совпадает с системой стимулирования D-типа. Специфическая форма заработной платы, стимулирующая продажи, то есть – комиссионные, может с одной стороны рассматриваться либо как система стимулирования, основанная на перераспределении дохода (или прибыли) от продаж (системы стимулирования D-типа), либо как пропорциональная система стимулирования (если доход от продажи единицы товара задан, то фиксирование комиссионных означает установление прямо пропорциональной зависимости между величиной поощрения и числом проданных товаров, которое играет в данном случае роль действия агента). Если вознаграждение определяется как фиксированный процент от прибыли, то при трактовке действия агента как величины прибыли, участие в прибыли является прямой сдельной системой оплаты (пропорциональная система стимулирования). Такой подход охватывает следующие используемые на практике комиссионные формы: фиксированная денежная сумма за каждую проданную единицу продукции, фиксированный процент от маржи по контракту, фиксированный процент от объема реализации, фиксированный процент от базовой зарплаты при выполнении плана по реализации. В заключение настоящего раздела обсудим такую форму индивидуальной заработной платы как премия. Будем различать премии, предусмотренные системой оплаты труда в организации (и относимые на себестоимость), то есть «регулярные», и премии поощрительного характера – единовременные (выплачиваемые организацией за счет собственных средств), которые не являются обязательными (например, премии к юбилейным датам и т.д.). Поощрительные премии не зависят явным образом от индивидуальных показателей деятельности за учетный период и поэтому рассматриваться нами не будут. Зачастую премии основываются на основании результатов долгосрочных достижений работника.

Учитываемые при этом диапазоны времени в зарубежной практике ограничиваются, как правило, тремя – пятью годами. Различают регулярные премии следующих двух видов (отличающиеся показателями и условиями премирования). В первом случае абсолютная величина премии, например, при выполнении и/или перевыполнении плановых заданий, оговорена заранее, чему соответствует система стимулирования A+C-типа, где A – некоторая базовая система стимулирования. В том числе величина премии может быть пропорциональна базовому окладу (без учеты премиальных, прогрессивных и других надбавок). Во втором случае абсолютная величина премии определяется как заранее установленный процент от заработка за учетный период. Такие сложные системы премирования используются достаточно редко. Для их формального описания следовало бы ввести дополнительную (четвертую) операцию над базовыми системами стимулирования – «изменения масштаба» на определенных подмножествах множества допустимых действий агента. Теоретикоигровой анализ таких («сильно разрывных») систем стимулирования достаточно трудоемок. Важную роль, помимо основной заработной платы, также играет дополнительная заработная плата в форме различных доплат (в том числе – доплаты за совмещение, сверхурочную работу и т.д.), надбавок (за квалификацию, выслугу лет, стаж работы в данной организации и т.д.) и единовременных вознаграждений. В отличие от премий, например, надбавки включаются в состав заработной платы регулярно. Основная и дополнительная заработные платы совместно могут рассматриваться как некоторая единая суммарная система стимулирования. Выше перечислены основные формы и системы заработной платы, рассматриваемые в отечественной литературе по стимулированию и оплате труда. Системы заработной платы, используемые за рубежом, естественно, несколько отличаются от них, однако не столь сильно. Так, например, выделяются (см. ссылки в [8]) следующие компоненты вознаграждения работника: базовая заработная плата (одинаковая для некоторой группы работников, например, данной квалификации, должности и т.д.);

индивидуальная компонента вознаграждения работника (определяемая его личным вкладом);

компонента, общая для подразделения;

участие в дохо дах компании в целом;

одноразовые премии и т.д. Определение базовой заработной платы является задачей тарификации, носящей, условно говоря, скорее экономический, чем управленческий характер. Рассматриваемые в настоящей работе системы стимулирования соответствуют системам заработной платы, явным образом зависящим от результатов деятельности агента и/или коллектива (соответственно – три компоненты: индивидуальная, общая для подразделения, то есть «коллективная», и зависящая от результатов деятельности организации в целом). Модели коллективных форм и систем заработной платы (в том числе – вознаграждения по итогам работы подразделения, организации и участие в прибыли, то есть перераспределение доходов, и др.) рассматриваются в [8]. Как и системы оплаты, используемые в России, так и такие системы оплаты, используемые за рубежом, как: система двух ставок, система контролируемой дневной выработки, надбавки за квалификацию, плата за знание и компетенцию, системы Тейлора, Скэнлона, Роуэна, Барта, Гантта, Меррика, «эмпирические» системы и др. (см. подробности в [7, 8, 18 и др.]), также могут быть формально описаны соответствующей базовой системой стимулирования. Таким образом, краткий обзор основных используемых на практике систем оплаты труда позволяет сделать вывод, что подавляющее большинство из них охватывается множеством введенных выше моделей базовых систем стимулирования. При этом можно утверждать, что такие формы индивидуальной заработной платы как: повременная, сдельная, участие в доходе, премиальная (и соответствующие им системы оплаты: простая повременная, повременно-премиальная, прямая сдельная, сдельно-премиальная, сдельно-прогрессивная, косвенно-сдельная и аккордная и др.) могут быть относительно адекватно описаны следующим множеством систем стимулирования (см. их определения выше): L, LL, L+C или LL+C, D, C. Установив в первом приближении качественную взаимосвязь теоретических моделей систем стимулирования с формами индивидуальной заработной платы, перейдем к изучению сравнительной эффективности тех или иных простых базовых систем стимулирования в одноэлементных ОС.

6. ЭФФЕКТИВНОСТЬ БАЗОВЫХ СИСТЕМ СТИМУЛИРОВАНИЯ Рассмотрим перечисленные выше базовые системы стимулирования, акцентируя в основном внимание на их эффективности (то есть на минимальных затратах центра на стимулирование по реализации тех или иных действий агента – см. второй раздел). Параллельно с теоретическим исследованием будем рассматривать иллюстративный пример – модель стимулирования в одноэлементной детерминированной ОС, в которой функция дохода центра равна1: H(y) = b y, b > 0, а функция затрат агента выпукла и равна: c(y) = a y2, a > 0. Так как выше было доказано, что компенсаторные (и квазикомпенсаторные) системы стимулирования оптимальны, то есть обладают максимальной эффективностью, то необходимо сравнить эффективность других базовых систем стимулирования с эффективностью квазикомпенсаторных. Скачкообразные системы стимулирования (С-типа). Как отмечалось выше, если не наложено ограничений на абсолютную величину индивидуального вознаграждения, то при исследовании скачкообразных систем стимулирования амплитуду скачка C (то есть величину вознаграждения в случае выполнения плана) следует считать переменной величиной, устанавливаемой центром, наряду с планом. Множество действий, реализуемых системами стимулироваU = 0, имеет вид ния С-типа при условии P(C) = {y A | c(y) С } = [0;

y+(С)], где c(y+) = С. Минимальные затраты на стимулирование равны: minC(y) = C, y P(C). Следовательно, y P(C) выполнено Во многих случаях возможно произвести замену переменных, идентифицируя действие агента и доход центра (с точностью до мультипликативной константы), то есть «линеаризовать» функцию дохода центра, что иногда упрощает выкладки и численные расчеты. В то же время, такую замену следует производить с известной долей осторожности, пересчитывая и интерпретируя единицы измерения затрат и стимулирования, а также следя за выполнением введенных предположений. 2 Напомним, что величина (A, B) обозначает разность эффективностей классов систем стимулирования A и B.

(8) (C;

K) = C – c(y) 0. При использовании квазискачкообразных систем стимулирования оценка (8) также остается в силе. Таким образом, скачкообразные системы стимулирования имеют эффективность, не превышающую эффективность компенсаторных, и совпадающую с последней при реализации действий, лежащих на границе множества реализуемых действий, определяемой ограничениями механизма стимулирования. Другими словами, скачкообразные системы стимулирования оптимальны, если выполнены следующие условия: x = y*, C = c(y*) + U +, * где y определяется выражением (12) – см. также выражение (11). График целевой функции агента при использовании центром системы стимулирования C(x, y) (при некотором x P(C)) приведен на рисунке 21 (отметим, что для наглядности в рисунках настоящего раздела функция затрат агента изображается с обратным знаком).

C–c(x) x y f(y) -c(y) Рис. 21. Целевая функция агента при использовании центром системы стимулирования С-типа Если ограничение C фиксировано, то при монотонной функции дохода центра оптимальным является реализация максимального действия y+(C), при этом minC(y+(C)) = minQK(y+(C)). В рассматриваемом примере y* = y+(С) = C / a, если b / aС 1. Компенсаторные системы стимулирования (K-типа). При использовании компенсаторных (или квазикомпенсаторных) систем стимулирования минимальные затраты на стимулирование равны затратам агента.

Итак: minK(y) = c(y), y P(C). Очевидно, (K;

K) = 0. В рассматриваемом примере: y* = arg max {b y – a y2} = b/2a, то есть y KQK = (y ) = b /4a;

если же ФЗП ограничен, то: * + + KQK = max {(y ), (y (C)}, где (y (C) = b C / a – C, причем, если максимум целевой функции центра достигается в точке y+(C) (используется весь «размах» функции стимулирования), то оптимальными являются также и скачкообразные системы стимулирования с ограничением C. График целевой функции агента при использовании центром системы стимулирования K(x, y) (при некотором x P(C)) приведен на рисунке 22.

* 0 -c(y) x y f(y) Рис. 22. Целевая функция агента при использовании центром системы стимулирования K-типа Пропорциональные системы стимулирования (L-типа). При использовании пропорциональных (линейных) или квазилинейных систем стимулирования и непрерывно дифференцируемой монотонной выпуклой функции затрат агента выбираемое им действие определяется следующим выражением: y* = c 1 (), где c 1 () – функция, обратная производной функции затрат агента.

При этом величина (9) (L, K) = minL(y*) – minK(y*) = y* c'(y*) – c(y*) всегда (при любых 0, и, следовательно, при любых y* 0) неотрицательна. В рассматриваемом примере minL(y*) = 2(y*)2, то есть y* A' minL(y*) / minK(y*) = 2.

Таким образом, при выпуклых функциях затрат агента эффективность пропорциональных систем стимулирования не выше, чем компенсаторных. График целевой функции агента при использовании центром пропорциональной системы стимулирования приведен на рисунке 23.

y y 0 y* -c(y) Рис. 23. Целевая функция агента при использовании центром системы стимулирования L-типа Неэффективность пропорциональных систем стимулирования вида L(y) = y обусловлена требованием неотрицательности вознаграждений. Если допустить, что вознаграждение может быть ( отрицательным: L ( y ) = 0 + y, где 0 0, то при выпуклых функциях затрат агента эффективность предложенной пропорцио( нальной системы стимулирования L () может быть равна эффективности оптимальной (компенсаторной) системы стимулирования. Для обоснования этого утверждения достаточно воспользоваться следующими соотношениями (см. рисунок 24): y*() = c’ –1(), 0() = c(c’ –1()) – c’ –1(). Оптимальное значение * ставки оплаты при этом выбирается из условия максимума целевой функции центра: ( * = arg max [H(y*()) – L ( y* ( )) ].

f(y) c(y) ( L () y* 0 f(y) y Рис. 24. Целевая функция агента при использовании ( центром системы стимулирования L () В рассматриваемом примере * = b, 0 = – b2 / 2 a, y* = b / 2 a. Системы стимулирования, основанные на перераспределении дохода (D-типа). В работах [7, 9] при достаточно общих предположениях показано, что использование систем стимулирования, полностью основанных на перераспределении дохода, неэффективно (в сравнении с компенсаторными системами стимулирования). Другими словами, y* A величина (10) (D, K) = minD(y*) – minQK(y*) всегда неотрицательна. В рассматриваемом примере, так как функция дохода центра линейна по действию агента, то перераспределение дохода эквивалентно использованию пропорциональных систем стимулирования – при этом ставка оплаты = b, то есть: minD(y*) = minL(y*) = 2(y*)2, (y*) = 2ay*/b, следовательно, y* b/2a. Эффективность системы стимулирования D-типа может быть и в точности такой же, как и эффективность «абсолютно оптимальной» квазикомпенсаторной системы стимулирования. Для этого достаточно, например, «однотипности» функции затрат агента и функции дохода центра. Следует признать, что содержательные интерпретации такого совпадения затруднительны.

Если в рассматриваемом примере H(y) = b y2, где b > a, то при = a / b выполнено KD = KQK (правда, если a > b, то системами стимулирования D-типа нельзя реализовать никаких действий, кроме нулевого). Системы стимулирования LL-типа. При использовании центром систем стимулирования LL-типа целевая функция агента имеет вид: yx y c( y ), (11) f(y) = 1, 2 y + (1 2 ) x c( y ), y x где x – величина действия, при превышении которого увеличивается ставка оплаты.

* * Обозначим y1 = c 1 (1), y 2 = c 1 (2). Отметим, что в рамках введенных в разделе 1.1 предположений эти точки существуют * * * и единственны, кроме того всегда выполнено: y1 y 2, x y 2 Возможны следующие случаи: * * * * 1. y1 x y 2, f( y1 ) f( y 2 ) (в рассматриваемом примере этому соответствует выполнение 1 + 2 4 a x), тогда агент выбе* рет действие y1, то есть второй «кусок» (со ставкой 2) функции стимулирования «не работает», при этом система стимулирования эквивалентна пропорциональной;

* * * * 2. y1 x y 2, f( y1 ) f( y1 ) (в рассматриваемом примере этому соответствует выполнение 1 + 2 4 a x), тогда агент выбе* рет действие y 2, то есть первый «кусок» (со ставкой 1) функции стимулирования «не работает», но при этом система стимулирования не эквивалентна пропорциональной (см. оценку минимальных затрат на стимулирование ниже);

* * 3. y1 y 2 x, то есть получаем, практически, первый случай. * * * * 4. x y1 y 2, f( y1 ) f( y 2 ), то есть получаем, практически, второй случай. Итак, интерес представляют (из-за отличия от систем L-типа) второй и четвертый из описанных выше случаев. Очевидно, * * minLL( y 2 ) minL( y 2 ). Для рассматриваемого примера имеет место: * * (12) minL( y 2 ) – minLL( y 2 ) = (2`– 1) x. Из выражения (12) видно, что эффективность системы стиму* лирования LL-типа возрастает с ростом параметра x y 2. Если отсутствуют ограничения на ставки оплаты, то получаем, что при * 1 = 0 при «стремлении» x к y 2 система стимулирования LL-типа «стремится» к системе стимулирования С-типа со скачком в точке x. Содержательно, с точки зрения центра максимально эффективной является неоплата (оплата с нулевой ставкой) действий, меньших плана, и компенсация затрат при точном выполнении (и/или перевыполнении плана) или пропорциональная оплата со ставкой, равной предельным затратам агента в точке плана. Качественно, более высокую по сравнению с системами стимулирования L-типа эффективность систем LL-типа с последовательно возрастающими ставками оплаты можно объяснить тем, что последние «ближе» («точнее аппроксимируют») к выпуклой функции затрат агента. Кусочно-линейные системы стимулирования LLL-типа, LLLL-типа и т.д. с последовательно возрастающими ставками оплаты будут еще точнее аппроксимировать возрастающую выпуклую функцию затрат агента и, следовательно, будут иметь еще более высокую эффективность, приближаясь (по мере увеличения числа составляющих) к эффективности компенсаторной системы стимулирования. Системы стимулирования СС-типа и С+С-типа, очевидно, эквивалентны (имеют ту же эффективность и те же минимальные затраты на стимулирование) базовым скачкообразным системам стимулирования (с одним скачком), поэтому подробно рассматривать их не будем. Системы стимулирования L+C-типа и LL+С-типа. Пусть производная функции затрат в нуле равна нулю. Обо* * значим y1 = c 1 (1), y 2 = c 1 (2) (см. также системы стимулирования LL-типа). Система стимулирования LL+C-типа в зависи мости от соотношения параметров может реализовывать одно трех * * из действий: y1, x или y 2, где x – точка скачка. По аналогии с исследованием систем LL-типа, для этого класса систем стимулирования можно показать, что их эффективность не ниже, чем эффективность систем L-типа и, естественно, не выше, чем систем K-типа и C-типа. Системы стимулирования C+D-типа. Содержательно, при использовании систем стимулирования C+D-типа индивидуальное вознаграждение агента складывается из оклада (выплачиваемого при условии выполнения, например, должностных обязанностей – тарифная система оплаты труда) и компоненты, зависящей от результатов деятельности всей организационной системы, точнее говоря – дохода центра, выражающего интересы системы в целом. c Обозначим ~ (, y) = c(y) – H(y). Тогда целевая функция агента1 может быть записана в виде: c (13) f(, y) = (y) – ~ (, y). Итак, произведя замену переменных (затрат), получаем параметрическую (параметр – ) задачу синтеза оптимальной скачкообразной системы стимулирования в ОС с целевой функцией агента, определяемой (13), методы решения которой детально исследованы (см. [7, 9, 11, 12]). Таким образом, задача поиска оптимальной системы стимулирования C+D-типа решается в два этапа. На первом этапе для фиксированного ищется оптимальная система стимулирования С-типа. На втором этапе ищется оптимальное значение параметра [0;

1]. Системы стимулирования K+A-типа и C+A-типа2. Относительно суммарных систем стимулирования следует сделать следующее общее замечание. Пусть A и B – классы компонент (слагаемых) некоторой суммарной системы стимулирования из класса A+B. Условие реализуемости действия y* A' имеет вид: y A' A+B(y*) – c(y*) A+B(y) – c(y).

Отметим, что функция ~ (, y) может не удовлетворять тем предположениc ям, которым удовлетворяет функция затрат c(y). 2 Напомним, что «А» обозначает произвольную базовую систему стимулирования.

При этом минимальные затраты на стимулирование по реализации действия y* равны (14) min(A+B)(y*) = A(y*) + B(y*). Свойство аддитивности минимальных затрат на стимулирование, отражаемое выражением (14), позволяет сделать важный вывод о свойстве суммарных систем стимулирования, в которых одной из компонент является компенсаторная или оптимальная (см. выше) скачкообразная системы стимулирования. Так как одна из компонент (оптимальная С-типа или К-типа) системы стимулирования C+A-типа или K+A-типа компенсирует затраты агента по выбору некоторого действия, то компонента А является «лишней» с точки зрения реализуемости этого действия, играя роль дополнительной мотивации. Из вышесказанного и (14) следует, что справедлива следующая оценка: y* A (15) (K+A, K) = (C+A, C) = A(y*). Выражение (15) дает возможность легко оценить «экономические» потери от использования систем стимулирования C+A-типа или K+A-типа по сравнению с системами стимулирования С-типа или К-типа. Содержательно (15) означает, что агент выбирает действие, при котором достигается максимум «дополнительного» (с учетом полностью компенсированных его затрат) вознаграждения A(y). Поэтому анализ систем стимулирования C+A-типа или K+A-типа вырождается и заключается в поиске системы стимулирования А, которая будет: 1) иметь максимум в точке, которую хочет реализовать центр;

2) обладать достаточным мотивирующим эффектом;

3) иметь в точке максимума минимальное значение (с учетом второго пункта). Итак, рассмотрены основные свойства базовых систем стимулирования: скачкообразных, компенсаторных, пропорциональных и основанных на перераспределении дохода, а также ряда производных от них систем стимулирования. Сводка полученных выше оценок их сравнительной эффективности (оценок затрат на стимулирование при любых допустимых действиях агента) приведена в таблице 1. Знак «» («»), стоящий на пересечении некоторой строки и столбца таблицы 1, означает, что в рамках введенных предположе ний при использовании класса систем стимулирования, соответствующих строке, эффективность всегда не меньше (не больше) а, следовательно, минимальные затраты на стимулирование не больше (не меньше), чем при использовании класса систем стимулирования, соответствующих столбцу. Знак «?» означает, что соотношение затрат на стимулирование зависит от конкретного случая – параметров организационной системы, то есть свойств целевых функций и допустимых множеств и т.д. – и требует дополнительного исследования в каждом из этих конкретных случаев. Таблица 1 Сравнительная эффективность базовых систем стимулирования С K L D LL LL+C = = ? ? ? ? ? ? ? ? ? С K L D LL LL+C C+D C+D ? ? ?

Выше были выделены четыре основных, двенадцать суммарных и пятнадцать составных (двойных), то есть всего 31 простая базовая система стимулирования. Подробно исследованы некоторые (K, C, L, D, LL, L+С и др.) из базовых систем стимулирования, отражающих наиболее часто используемые на практике системы индивидуальной заработной платы. Полное исследование сравнительной эффективности всех базовых систем стимулирование подразумевает, как минимум, попарное сравнение соответствующих минимальных затрат на стимулирование, результатами которого могла бы стать таблица типа таблицы 1, имеющая 31 31 = 961 ячейку. Заполнение такой таблицы является трудоемкой, но, в принципе, реализуемой задачей. В то же время, такое детальное исследование всех возможных комбинаций представляется нецелесообразным по следующим причинам.

Pages:     || 2 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.