WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |

«В. Н. НИКОЛАЕВСКИЙ, К. С. БАСНИЕВ, А. Т. ГОРБУНОВ, Г. А. ЗОТОВ МЕХАНИКА НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕД & п ИЗДАТЕЛЬСТВО «НЕДРА» Москва, 1970 УДК 551 • 25 : 622.275 Механика насыщенных пористых ...»

-- [ Страница 3 ] --

1 См. также Л. А. С е р г е е в, О. Л. К у з н е ц о в. О различии акустических свойств газо-водонасыщенных коллекторов. В сб. «Термические методы увеличения нефтеотдачи». М., ВНИИОЭНГ, 1967. 2 П. П. 3 о л о т а р е в, В. П. С т е п а н о в. Отражение продольных упругих волн второго рода от границы раздела между насыщенной газом и насыщенной жидкостью пористыми средами. НТС по добыче нефти, № 32, М., изд-во «Недра», 1968. В работе Джонса [301] было предпринято исследование поверхностных волн Релея в упругом пористом насыщенном полупространстве. При этом вводятся, как обычно, скалярные и векторные потенциалы смещений фаз и предполагается, что они имеют вид ц>с = = Aie-szei(-kx-0>t\ o|)f = Вi е-«ег(**-ш'>, где ось z направлена в глубину среды. Подстановка этих выражений в уравнения движения и требования нетривиальности решения (т. е. коэффициенты At, Bl не равны тождественно нулю) позволяют выразить коэффициенты затухания по глубине s, r через волновое число и параметры среды. Дальнейшая подстановка решения в граничные условия (отсутствие возмущений напряжений в скелете среды и давления в жидкости) приводит к искомому дисперсионному уравнению. Это уравнение весьма сложно, поэтому Джонс ограничивается следующим замечанием: исследуемое движение будет поверхностной волной, если коэффициенты г, s — действительные, положительные числа. Это возможно при нулевом коэффициенте вязкости, т. е. при та) ->• 0. В связи со сложностью общего дисперсионного уравнения Джонс ограничивается далее рассмотрением этого случая, когда дисперсионное уравнение сводится к алгебраическому уравнению шестого порядка и показывает наличие по крайней мере одного корня, соответствующего двум возможным поверхностным волнам Релея. В сплошной однофазной упругой среде, как известно, такая поверхностная волна одна — наличие двух волн связано с существованием деформации двух типов, переупаковки и изменения плотности фаз. Частный случай волны Релея в отсутствии эффекта сжимаемости фаз рассматривался Э. А. Бондаревым [26]. Задачу о распространении волн Лява в пористом насыщенном слое, расположенном на упругом полубесконечном основании, рассмотрел Дересевич [276]. Пусть ось z направлена по вертикали так, что плоскость z = 0 является границей раздела слоя и упругого полупространства и плоскость z = h — свободная от напряжения вторая граница слоя. Исследуются гармонические волны, характеризуемые обращением в нуль смещений обеих фаз вдоль осей х, z зависимостью смещений вдоль оси у от координат х, z и времени. Уравнения движения пористого слоя сводятся при этом к уравнению (16.5), которое может быть записано х относительно l0 (х, z), где 1у — = /0 exp (ia)t) — смещение твердой фазы: Z0 = 0, a x = i? (го) а) /у|, (16.23) a2 = S ((o)(n /vl, 1 В работе Дересевича используется модификация закона Дарси, позволяющая учитывать нарушения пуазейловского течения в порах (см. § И).

(1 — n t 0 ) A, р /„\ Pi о /„\ Pi ( I — Решение уравнения (16.23) выбирается типа /0 = / (z) ехр ( которому соответствует следующее выражение для смещения: ly = (A1 cos axz + А2 sin axz) е'< '-т, где а\ = А;

|со — у. записывается в виде 2 2 ш х) Уравнение движения упругого основания (16-24) относительно его смещения /е. Здесь К& — модуль сдвига;

р е — плотность упругого основания. Решение уравнения (16.24), соответствующее волнам Лява, берется в виде: /е = А3 ехр (a2z) • ехр (iat — iyx), a\ — к%а2 — — \-2. Для определения констант At имеют место три условия: отсутствие напряжений на свободной поверхности, непрерывность напряжений и смещений на поверхности раздела в плоскости z — О что приводит к следующему дисперсионному уравнению: Xga1h = Xea2(\-m0YW (16.25) относительно волнового числа у, где у = i — ^ г ! Si > 0, 2 ^ 0. Это соотношение совпадает с классическим частотным уравнением для волн Лява, но в него входят комплексные числа а х = Ьг — ic1, a 2 = b2 — ic 2, т. е. классический случай характеризуется условием а 2 = 0 — в пористом слое нет затухания из-за фильтрационных сил. В связи с этим оценим отношение aja^. Оказывается, что при всех изменениях частот <1, (16.26) т. е. a g ^ c t j, и соответственно можно предположить, что 2 "С SiВ связи с этим окончательное решение трансцендентного уравнения ищется при помощи разложений в ряды по величинам / | с 97) ( О )' Определенный интерес представляет задача о распространении волн в пористом насыщенном жидкостью круговом цилиндре С ?

(Гарднер [290]), Уилли, Грегори и Гарднер [327 J), боковая поверхность которого свободна от напряжений. Решение этой задачи имеется в смещениях, например: lr = l°r exp (iyz + iat), lz = l\ exp (iyz + + ia)t), где /,., lz — компоненты смещения твердой фазы по радиусу по оси z цилиндра. Функции Рг, 1% выражаются через функции Бесселя / 0 (/г,г), i = 1,2, J\ (h3r), где /г.1? h2 и hs — константы, определяемые волновым числом и скоростями распространения соответственно продольных волн I и II рода и поперечных волн. При этом условия обращения в нуль нормальной и касательной нагрузок, а также порового давления, приложенных к боковой поверхности цилиндра, определяют дисперсионное уравнение, которое при незначительном влиянии жидкости в поровом пространстве сводится к известному частотному уравнению Похгаммера [101]. Полное дисперсионное уравнение весьма сложно, в связи с чем подробно исследуются частные случаи: низкочастотные и высокочастотные волны в тонких стержнях. Отмечается наличие волн двух типов. Для низких частот выписываются выражения для скоростей распространения этих волн, а также исследуется в зависимости от параметра ro=[abH/(RP— — Q2)]1^ декремент затухания волн первого рода, причем отмечается, что при малых и больших значениях этого параметра декремент затухания обращается в нуль и достигает максимума, когда длина волны расширения второго рода примерно равна половине длины окружности цилиндра. Для относительно высоких частот (вернее для обычных частот в высокопроницаемой среде) учитывается возможность нарушения пуазейлевского течения в порах (см. § 11). Однако указанный параметр в некотором диапазоне частот также оказывается малым, хотя мала и величина отношения го/Л (где Л — длина волны). При этом выписывается выражение для скорости распространения волны, переходящее при отсутствии жидкости в формулу Релея [101]. § 17. СТРУКТУРА СИЛЬНЫХ УДАРНЫХ ВОЛН В МЯГКИХ НАСЫЩЕННЫХ СРЕДАХ Ударные волны в пористых насыщенных жидкостью средах, как в гетерогенной среде, исследовались Г. М. Ляховым [133—135], который воспользовался, как уже указывалось в § 8, предположением о равенстве фазовых скоростей и напряжений [133], т. е. он считал среду фактически однородной (но с особым уравнением состояния), а фронт ударной волны при этом представлял в виде простого разрыва. В то же время более строгий и общий подход к механике гетерогенных сред требует введения модели с различными напряжениями и скоростями. Изложенное выше исследование в акустическом приближении динамических процессов в мягких двухфазных средах показывает, что более быстрая волна характеризуется равенством давлений в фазах. Эта волна давления является наблюдаемой волной в насы щенных капельной жидкостью пористых средах и распространяется как в однофазной среде с одним неравновесным (релаксирующим) параметром. Ударные волны в релаксирующих средах характеризуются весьма размытой структурой — тонкий ударный переход, определенный обычной вязкостью и теплопроводностью, заменяется на относительно широкий релаксационный слой. Отсюда учет реальной двухфазности позволит исследовать структуру фронта ударной волны в насыщенных пористых средах. Примем предположение, что ударный фронт в мягких насыщенных средах формируется возмущениями, приносимыми звуковыми волнами I рода. При этом структура фронта ударной волны будет определяться условием равенства фазовых напряжений, и для ее изучения воспользуемся системой уравнений X. А. Рахматулина (3.26) с учетом, однако, в выражении для силы межфазового взаимодействия дополнительного члена, пропорционального квадрату относительной скорости движения фаз. Для изучения структуры фронта будем предполагать, как обычно, что в подвижной системе координат = х — Ut реализуется одномерное стационарное движение, которое может быть, вообще говоря, разрывным. В этой системе координат уравнения движения (3.26) и неразрывности (3.11), (3.19) принимает вид (17.1) (17.2) + ^ (1m)pi(u7)==Oi (17<3) ^+-^rnP2(w-U)^ Р° Pi 1 V i+ № ( p P ) (17.4) n дополняются следующими двумя уравнениями состояния фаз: ' (175) где р х, р 2 — сжимаемости фаз;

х х, х 2 — коэффициенты, вообще говоря, зависящие от энтропии фаз. Если твердая фаза составлена из частиц кварца, а жидкостью является вода, то, как известно, коэффициенты к{ можно считать постоянными при изменении давления до величин порядка 106 am. Ограничимся здесь рассмотрением ударных волн такого диапазона давлений, при котором материалы фаз практически могут считаться баротропными, X;

= const. При этом существование сильных разрывов обусловлено нелинейностью уравнений движения и уравнений состояния (17.5). В силу предположения о стационарности движения в подвижной системе координат все переменные зависят только от = х — vt (решение типа бегущей волны). Тогда уравнения (17.1), (17.3) — (17.4) сразу интегрируются и приводят к следующим соотношениям, справедливым во всей области движения: (17.7) (17.8) (17.9) Здесь введены скорости и #, w% движения фаз относительно подвижной системы координат u, = u — U, w4, = w — U, (17.10) а также использовано условие, что в область движения включено состояние покоя, где т = т0, р х = р, р 2 = р§> а также и = w = 0, т. е. и# = w# = —U. Уравнение (17.2) также несколько упрощается Заметим, что при сильных динамических возмущениях относительная скорость фаз, т. е. разность (w% — и#), может быть велика. Этот факт учтен в уравнении (17.11), где введена дополнительная сила межфазового взаимодействия, пропорциональная квадрату относительной скорости (другими словами, здесь введен двучленный закон фильтрации). Из уравнения (17.11) следует, что вдали за фронтом распространяющейся волны (т. е. при ->- оо) среда приходит в равновесное состояние (обозначим его индексом В), которое характеризуется равенством скоростей фаз: uj = w**. Подстановка этого соотношения в уравнения (17.6) —(17.8) приводит их к виду (17.12) (17.13) (17.14) Полученные выражения связывают параметры, характеризующие равновесное состояние покоя (при -> + ° ° ), с параметрами равновесного состояния В, возникающего за прошедшим фронтом ударной волны. Таким образом, алгебраические уравнения (17.12) — (17.14) можно интерпретировать как соотношения на фронте ударной волны в предположении, что на нем сразу, скачком равновесное состояние покоя (и # = w^. = —U) заменяется на равновесное движение 1 (ив = wf =^ —U). Поскольку оба состояния характеризуются равенством скоростей движения фаз, то полученные результирующие формулы для определения скачка давления рв — р0 со скоростью ударного фронта U должны совпадать с полученными в работе [133]. Прежде всего система может быть представлена в виде (17.15) (17.16). (17.17) Введем удельный объем рассматриваемой дисперсной среды F=г-Ц.

v (17.18) ' Его значение в состоянии В, если воспользоваться соотношением (17.17), можно представить в виде Г (1—m)pi+mp = F 0 (mopf vf + (1 -то„) p»if), (17.19) Формула (17.19) использована в книге Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица [119] (стр. 304) при рассмотрении задачи о затухании звука во влажном паре: V = c\Vl + c%v2, (17.19') где с\ = (1 — т0) р?/р0;

с» = т о р§/р о — начальные массовые концентрации фаз;

vlt i'2 — удельные объемы фаз. Видно, что соотношение (17.19') связывает удельный объем дисперсной среды с удельными объемами фаз в условиях равенства фазовых скоростей. В статье А. Н. Дремина и М. А. Карпухина [63] эффективная (для ударных воздействий) плотность рЭфф. двухфазной среды определялась как рЭфф. = ifVB, где VB вычислялось по формуле (17.19').

Если использовать введенную величину F, то соотношения (17.15) и (17.16) можно преобразовать к следующей, обычной для ударного скачка форме:

г о в *о у в 1 Температурная неравномерность важна в связи с проблемой определения уравнения состояния вещества при высоких давлениях и температурах (см. [63, 71], а также В. Н. Н и к о л а е в с к и й. ПМТФ, 1969, № 3). Первое из этих соотношений (17.20) можно далее записать в виде Р?

Pf Соотношение (17.22) было получено Г. М. Ляховым [133] для более общего случая трехфазной среды (водонасыщенный грунт с защемленным воздухом). Однако нужно помнить, что принимаемая при этом гипотеза о равенстве фазовых напряжений справедлива лишь при весьма малом содержании воздуха, пока суммарная сжимаемость фаз гораздо меньше сжимаемости скелета среды. Кроме того, при наличии в системе воздуха необходимо учитывать происходящие при ударном сжатии изменения температуры (см. § 9). Поэтому здесь мы ограничиваемся только случаем полностью водонасыщенного грунта.

Заметим также, что согласно соотношению (17.17) величина пористости тв может возрасти по сравнению с т0, если (Pi/p?) >• !> (рг/Рг)' ч т о Д л я слабых возмущений сводится к условию |3 2 <^ р\. Последнее, как нетрудно видеть, не выполняется для системы кварц— вода (р х = 5-Ю-6 1/ат, (32 = 5-10" 8 Пат). Перейдем теперь к рассмотрению соотношений, реализуемых на самом фронте ударной волны, например в сечении Z, = 0. Для их получения нужно применить к системе уравнений исследуемого течения законы сохранения. Однако наша система состоит из трех интегралов — суммарного момента (17.17) и баланса масс (17.18)— (17.19), — которые выполняются всюду в области движения, в том числе и на линиях разрыва, где скачком меняются параметры потока и обращаются в бесконечность производные от них по координате. Поэтому дополнительно требуется получить только соотношение на разрыве, следующее из дифференциального уравнения относительно движения фаз (17.21). Проинтегрируем уравнение (17.21) по в интервале (—h, -\-h) и устремим величину h к нулю. Тогда, учитывая, что перед фронтом ударной волны было состояние покоя (и> ( ^ +0) = —U, Р ( 2г +0) = р0), обозначая w ( = —0) = wA, p (I = —0) = рА и предполагая конечность величины силы межфазового обмена импульса, получим o+ft Г ^~ 11 - 0, (17-24) Воспользовавшись уравнением состояния для жидкости из (17.16), можно вывести (х 2 ф 1) окончательное соотношение -у {K A ) 2 -f/ 2 } _ 1 1 ) р.р 2 {(1 + Р > 2 (РА-РО))1' у (Хд дополняемое интегралами (17.12)—(17.14), которые принимают здесь следующий вид: (17.25) ( A ) т l ( A )f (17.26) (17.27) л Р 2 (PA) «4 = - ™оР2° U.

Подчеркнем, что при непрерывном изменении параметров соотношения на разрыве должны сводиться к равенствам типа w. ( = = +0) = «>,( = - 0 ).

Рассмотрим теперь частный случай слабой ударной волны, характеризуемой условиями p2x2(p — Ро) < 1, ic = " ' t + f / « f /, С и= щ —U С #.

Тогда в пренебрежении величинами второго порядка малости соотношение на скачке (17.24) принимает вид А + рА = р0, = p0.

(17.28) а соотношенпе~(17.25) записывается следующим образом: — (1 —mo) PlUvA — тйр%UwA+pA Из соотношений (17.28)—(17.29) следует - tf (1 - то) ( Р ^ А - Р°">А) = 0. Отсюда в силу U (1 — пг0) Ф О непосредственно за слабым разрывом, распространяющимся со скоростью U, реализуется «замороженное» состояние среды, характеризуемое равенством массовых скоростей фаз (17.29) Этот результат, как и следовало ожидать, совпадает с условием (см. § 8), полученным для скоростей движения частиц в акустической волне, распространяющейся с замороженной скоростью звука (ТОЙ -»- °°). Действительно, скорость U распространения слабой ударной волны, определяемая соотношениями (17.24)—(17.26), совпадает с величиной v^. Покажем это. Соотношения неразрывности можно выразить через возмущения пористости т' = т. — т0 и плотности pj = р,- — р^ ( l - m 0 ) p\uA +m'AplUт (I - m 0 ) p^U = 0, и т и (17.30) (17.31) ЛА ю ~ АР% - <Рг ^ °' т Из соотношений (17.29)—(17.31) следует система т0 \ / 1— т 0,. т0 Л г, }> (17-32) исключение из которой величины р\иА приводит непосредственно к выражению ), (17.33) поскольку pj/p^ = Р;

.{pA — Po)- С другой стороны, скорость слабой ударной волны, соответствующая равновесному состоянию В и определяемая формулой (17.22), оказывается равной t / ^ = l / ( P p 0 ). Таким образом, в слабой ударной волне стационарная структура фронта невозможна [311] — замороженное и равновесное состояния распространяются с заведомо неравными скоростями. Интенсивность размыва фронта слабой ударной волны и его трансформация в непрерывную волну давления оценивается с использованием акустических уравнений — см. соотношение (17.8). Предельное непрерывное решение построено Р. И. Нигматуллиным (см. Вестн. МГУ, серия «Математика, механика», 1969, № 4, стр. 122—126). Для возмущения пористости т'А имеем Р«» (PlPx-rtP.) (PA-P0), (17-34) т. е. в водонасыщенном кварцевом песке, где Р 2 > Рх, пористость на слабом скачке давления возрастать не может.

В работе Я. 3. Клеймана [97] условия на сильном разрыве в многокомпонентной смеси, соответствующие уравнениям X. А. Рахматулина [186], формулировались на основе рассмотрения баланса сил и масс. При этом Я. 3. Клейман принимал, что на каждую фазу двухфазной среды действует сила, равная (1 — т) р и тр, и именно она фигурирует в уравнениях движения фаз. Это соответствует расчетной схеме Н. А. Слезкина [198] и Био [257], тогда как в уравнениях движения Я. И. Френкеля [215] (сводящихся при равенстве фазовых напряжений к уравнениям X. А. Рахматулина [186]) потенциалом действующих в жидкости сил служит само давление р. Из соотношений на разрыве Я. 3. Клеймана [97] для условий, аналогичных рассмотренным, следуют равенства массовых скоростей фаз и для сильных ударных волн. На самом же деле системе уравнений X. А. Рахматулина [186] соответствует именно равенство (17.24) и только для волн слабой интенсивности они совпадают. Для оценки ширины стационарного релаксационного слоя ударной волны необходимо решить систему интегралов (17.7)—(17.9) и нелинейного дифференциального уравнения (17.11) при начальных условиях, определяемых соотношениями на фронте ударной волны (17.24)—(17.27), при = 0. Из-за нелинейности системы приходится прибегать к численным методам, причем удобнее представить интегралы (17.17)—(17.19) также в виде дифференциальных соотношений dt, До ' d\ До ' d\ До ' d\ До ' ' где для удобства используются следующие безразмерные переменные: Р = Рг(р —Ро). Р = Pi/Pa. u = uJU, Q :== Q п" у x == Р2г*2^' M * ^ M \P)/M'fH " * '-'n = z Д о = - ( 1 - m o ) %-Qw*uu P P n o +( l m ) % m u P f,2 (p) Д w —( 1 — mo)lv2, P2(P) -m) ю), P2(P) I (l + PH lP )p» 1+X. 2 p 1— Начальные условия удобно определять следующим образом. По задаваемому значению рА из кубического уравнения 0 определяется величина Q. Здесь В = 2/x (/, + /2) - [2/4/х + 2 (/, + /2) - / 3 ], (17.36) С = (/, + / 2 ) - 2/4 (/3 + /2) -f 2/4/3, D = /|/з, 1—mo Pi Л 1— m o m0 \,, /, mo jg /-_I_|/l + v-Du-i/.,_i,. L\ I 2/^ A / f--^A/4 ^^ • •J> " • Затем по найденному значению Q определяются значения =*-(/.++)О+Г. ""--^-uA= =—=— Pi W (17 37) A Пример расчета. Оценим ширину ударной волны в водонасыщенном кварцевом песке. Для этого положим: pj/pj = 2,65, $ = 0,1, р"2 = 5-10"Б am'1. По данным работы [62J показатель у,1, измеряемый на ударной адиабате для мрамора, принимает значение х х = 7,23 до давления р = 1,5 105 am, а при более высоких давлениях х 2 = 4,1. Примем в связи с этим для материала твердой фазы Xj = 7,23. Для воды можно принять х 2 = 7,00 [109]. Расчеты были выполнены также для у.1 = х 2 = 3 (поскольку в работе [135J ранее проводились оценки соотношений на фронте ударной волны как на простом разрыве именно для таких значений параметров х 1 7 х 2 ) и для x t = 3,96;

х 2 = = 7,00. Начальные значения пористости т0 принимались равными 0,2;

0,3;

0,41. При изменениях пористости среды меняется также ее проницаемость и соотп ветственно а (т) = а0 (т/то) (1 — т)/(1 — т 0 ). Исходя из опытных данных Фатта [8], примем п = 10. Для оценки коэффициента b (инерционных потерь) воспользуемся результатами известных экспериментальных исследований отклонений от закона Дарен, проведенных И. М. Жаворонковым, М. Э. Аэровым и Н. И. Умником [8]. Указанные опытные данные - 6 Л=6(Рв) - 2 рв.ЛК / / ч ч> -0, - -0, 510 -I 5-Ю' -3 5-Ю 5W~ 5-10~г 5-Ю' J-1, а Рис. 13. Рассчитанные замороженная и равновесная ударные адиабаты и ширина фронта ударной волны (а), а также скорости частиц и пористость (б) для грунта начальной пористости: т0 = 0,2 при к1 = 3,00, к2 = 3,00. представлены причем /(Ве) = в виде функции / = / (Re) от числа Рейнольдса на рис. 3, (17.38) то (1— т о) Но ' Но У "*о(1 — то) Из графиков (рис. 3) видно, что функция / (Re) = 1 для засыпки шариков пористости т я« 0,4 и проницаемости к «=* 3 -103 д при Re ^ 0,4, а в диапазоне 1 ^ Re ^c 4 может быть приближена прямой линией /(Re) = l + 0,35Re. (17.39) Будем считать для простоты, что зависимость (17.39) справедлива при всех значениях числа Re ^ 0 (что приводит к завышению эффекта инерционных сил сопротивления для естественных пористых горных пород: к ;

=« 1 д и менее). Тогда сопоставление соотношений (17.37), (17.38) показывает, что т0 (1 — то) 150 — 0,35.

а,ч;

OJ-i 0,99 0, - Рис. 14. Распределение параметров потока по глубине фронта ударной волны:

Шву jO р 3, т и, иг -0.86•ом Ъ- * т и, и. рт -0, Характеристика грунта т0 а б в г 0,.4 (1,4 1 0,4 1 0,41 *1 7,23 7,23 7,2 3 3,9 0 7,00 7,00 7,00 7, -0,80-0,783. / иг т 10 -070 V Р -0,15 п w Характеристика грунта Ь а б а г Q 1, ~>27 1, Ш « 2 В, 37007 - Фи фи фи фи 0, 0., OJ -0.65 0,1 |?f и, Для рассматриваемых данных имеем [8] ^d Отсюда J J^o — mo)-if^8, • 10"* см.

l0-t'_ Цо т о ( 1 — т 0 ) Окончательно получаем. =2> цо см.

md-») (17.40) при V^Ps/Pg/(Ho) «* 1,4 10" ел*". Здесь также предполагается, что при деформациях пористой среды величина Ъ меняется примерно так же, как и коэффициент пропорциональности в законе Дарен, т. е. что при деформациях численный коэффициент 4170 остается неизменным. Для простоты можно также считать, что (.1 = 1 (более строгий расчет требует учета зависимости вязкости от давления). Результаты расчетов, проведенных на БЭСМ-2М, представлены на рис. 13— 14. Численное решение системы уравненви (17.35) строилось методом Адамса — Штермера с автоматическим выбором шага. Начальные данные определялись также машинным счетом как корни кубического уравнения (17.36) по формуле Кордана, а также по соотношениям (17.37). Начальные условия задавались в точке 0 = —0 и численное интегрирование проводилось до точки т о < о> определяемой условиями: | и(^т) — w ( f ^ ) |sg s0,00015. Счет контролировался сравнением получаемых значений и ( S ^ ), w (^>O0), р (1'QO), m („,) с соответствующими значениями ив, wB, рв, тв, подсчитанными независимо по формулам (17.15)—(17.17). Ширина фронта ударной волны 6 оценивалась как б = \t,oo |. На рис. 13 построены 1 графики зависимости S от величины полного перепада давления в ударной волне рв. Графики распределения давления, пористости и скоростей движения фаз по глубине фронта ударной волны (см. рис. 14, а, б, в, г) показывают, что практическое возрастание давления до величины рв и выравнивание скоростей и, (^происходит в основном на меньшем расстоянии б*, оцениваемом как б* = 0,16. Как уже указывалось, в расчете была несколько завышена роль инерционных межфазовых сил. В связи с этим были выполнены также расчеты при условии 6 = 0. Для перехода к размерным величинам нужно воспользоваться формулами:

при U = 1000 м/сек, а0 — 1 д = 10 8 си 2, ц 0 = 1 спз, р 2 = 1 г/ел 3 имеем А = = 0,1 с.ч. При скорости U = 1800 м/сек, проницаемости 3-Ю 3 д (проницаемость дроби диаметром d = 0,2 -т- 0,3 см, для которой проводилась опытная оценка коэффициента в [8]) и 7 = 1 имеем б = 5 м, 8t = 50 еж. При проницаемости 300 д соответственно б = 5 см. Существенно, что ширина фронта гораздо больше характерного микромасштаба среды (б* > d). Отметим, что во всех проведенных вариантах расчета (за исключением одного) выполнялись соотношения т0 > тА ^> тв, т. е. в волне сжатия происходило уплотнение среды. Единственным исключением явились результаты расчета структуры фронта ударной волны для т0 = 0,41, х х = 3,96, х 2 = 7,00 (т. е. при у.г > Ki) и наиболее высокого (из принятых) скачка давления рА (рис. 14). Здесь тА = 0,413425 > т 0 = 0,41.

См. также результаты расчетов, опубликованные в работе [34].

Часть II УПРУГИЙ РЕЖИМ ФИЛЬТРАЦИР1 ЖИДКОСТИ II ГАЗА Л'. С. Басниев, А. Т. Горбунов, Г. А. Зотов, В. Н. Николаевский Условные обозначения к II части а^ — коэффициент изме~ непия проницаемости;

ат — коэффициент сжимаемости пор;

Яр, — пьезокоэффициент вязкости;

а — коэффициент сжимаемости жидкости;

Ъ — параметр, характеризующий дополнительные (инерционные) фильтрационные сопротивления;

Ъ' — объемный коэффициент;

С — скорость звука;

de — эффективный диаметр зерен породы;

/l (S) — относительная проницаемость для первой фазы;

ii (S) — относительная проницаемость для второй фазы;

F — поперечное сеченпе пласта;

G — массовый дебит скважины;

Н — глубина пласта;

h — мощность пласта;

/ — символ интеграла;

10, К — функция Бесселя первого н второго рода мнимого аргумента;

К — коэффициент продуктивности скважины;

к — коэффициент проницаемости;

L — расстояние от контура питания до эксплуатационной галереи;

1 — перфорированная (вскрытая) часть пласта;

I' — коэффициент макрошероховатости;

т — пористость пласта;

п — показатель степени;

п1 — число перфорационных отверстий;

SP — функция Л. С. Лейбензона;

рй — начальное пластовое давление;

рК — давление на контуре питания;

рс — забойное давление;

Рат — атмосферное давление;

Рк (S) — капиллярное давление;

р+ — давление насыщения;

Рпр — приведенное давление;

Q — объемный дебит;

Q6 — дебит батареи скважин;

q — объемный дебит скважины (часто безразмерный);

R — радиус залежи;

R' — расстояние между возмущающей и реагирующей скважинами;

й к — радиус контура питания;

Rc — радиус скважины;

R+ — радиус линии, где давление равно давлению насыщения;

Ry — условный радиус влияния скважины;

i?6 — радиус батареи скважин;

Л Д Р — радиус дренирования скважины;

Л п р — приведенный радиус влияния скважины;

Re — параметр Рейнольдса;

R — универсальная газовая постоянная;

г — радиус окружности;

S (р) — масса газа, растворяющегося в единице объема жидкости;

S — ширина залежи;

S' — параметр, характеризующий призабойную зону («скинэффект»);

s — параметр преобразования Лапласа;

S — насыщенность порового пространства;

t — время;

t+ — время, за которое область влияния дойдет до границы пласта;

tn — время, соответствующее точке перегиба на кривой гидропрослушивания;

Т — температура;

Тпп — температура пласта;

Т с т — стандартная температура;

W — доля воды в потоке;

и, v, w — скорости движения жидкости пли скорости распространения волн;

v, и', v' — функции давления;

х, у, z — координатные оси;

" — коэффициент сверхсжпмаемостп газа;

z' — безразмерная величина;

а, — коэффициент изменения гидропроводностн;

а 0 — мера интенсивности обмена жидкостью между системами блоков и трещин;

р с — коэффициент сжимаемости среды;

(Зтв — коэффициент сжимаемости твердой фазы;

Г — газовый фактор;

Тц — суммарные напряжения;

уп — удельный вес породы;

Yr — относительный удельный вес газа (по воздуху);

7в — удельный вес воды;

8i, е 2 — комплексные параметры для характеристики трещиноватопористых сред;

8 — безразмерное время;

к — коэффициент пьезопроводности;

% — безразмерный дебит;

\ii — молекулярный вес i-го компонента;

Ин' !^п Ив — вязкости нефти, газа и воды;

1 — коэффициент, характеризующий несовершенство вскрытия пласта;

Рн> Рг> Рв — плотности нефти, газа и воды;

а — половина расстояния между скважинами в ряду;

<3ц — истинные напряжения в скелете среды;

о{- — фиктивные напряжения;

of = e-f = - ( < & + о{, + + °зз)/3 — фиктиввое давление;

т — характерное время запаздывания;

Ф — функция давления;

Q — запасы газа (объем порового пространства).

Глава IV ИСХОДНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДПОСЫЛКИ УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ § 18. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ГЛУБИННЫХ КОЛЛЕКТОРОВ. УПРУГИЙ РЕЖИМ ФИЛЬТРАЦИИ Нефтегазонасыщенные пористые горные породы расположены на большой глубине и находятся под нагрузкой вышележащей толщи осадочных пород, причем результирующее горное давление в рассматриваемой пористой среде не является простым гидростатическим — вертикальная и боковая составляющие могут существенно различаться. Ограничимся здесь рассмотрением малых возмущений напряженного состояния горной пористой породы, возникающих при отборах (нагнетании) жидкости в пласт. Фиктивные напряжения а{;

- связаны (см. § 1, 5) с переменными напряжениями а{]-, поровым давлением и суммарным напряжением Гц в пористой среде следующими соотношениями: Гц = (1-т) otj-трЬц = of/ ~ p b t j. (18.1) В состоянии покоя компоненты тензора Г/;

- являются составляющими горного давления. Если выбрана главная система координат тензора Г(-;

- (в полого залегающих пластах ось z этой системы должна быть направлена по вертикали к пласту, а оси х, у расположены в плоскости пласта;

при сложных геологических условиях расположение главных осей далеко не так определенно), то его ненулевая диагональная компонента Гг отождествляется с вертикальным, а компоненты Гд, = Г^ — с боковым горным давлением.

При быстром воздействии на пласт (например, при взрыве в горной породе) по всей толще осадочных пород, в том числе по насыщенной пористой среде распространяются ударные, а затем сейсмические волны. Во время прохождения волн меняются не только фазовые напряжения, но и суммарные. Однако возбуждающее воздействие (давление в каверне при взрыве) спадает весьма быстро (за тысячные доли секунды), а возникшие волны рассеиваются как из-за многократных отражений от границ слоев, так и вследствие присущих грунту п горным породам диссипирующих свойств. В результате снова устанавливается стационарное горное давление (в области малых возмущений равное первоначальному). При весьма медленном способе приложения нагрузки от возмущающей границы также в каждый момент времени излучаются волны, однако в течение пренебрежимо малого интервала времени в толще пород устанавливается стационарное распределение напряжений, соответствующее имеющимся граничным условиям. В данном случае возбуждающая нагрузка не исчезает (в отлпчие от условий взрыва) за характерное время выхода на установившееся состояние, а сохраняется неизменной. Такая картина наблюдается при обычном изменении режимов отбора (нагнетания) в нефтяных или газовых скважинах. Действительно, например, временный масштаб изменения забойного давления при этом составляет минуты, а характерное время окончания волновых процессов оценивается как L/c, где с ~ 10 3 м/сек — скорость звука;

L — 10 3 м — характерный масштаб окружающей толщи осадочных пород, т. е. L/c — сек. Обратим внимание на определенную аналогию с поведением грунтовых вод при воздействии различных типов. В самом деле, при взрыве заряда, заложенного ниже зеркала грунтовых вод, последнее является для распространяющихся сейсмических волн неподвижной границей. Как было показано в § 5, соответствующий процесс перераспределения порового давления описывается уравнением волн в релаксирующей среде. Однако при медленном изменении порового давления в каждый момент времени реализуется стационарное состояние, описываемое, как известно, уравнением Лапласа, процесс в целом протекает квазистационарно и контролируется изменением во времени положения внешней границы. В частности, в некоторых наиболее простых случаях для описания неустановившегося движения грунтовых вод эффективным оказывается приближенное уравнение Бусинеска, учитывающее продвижения во времени внешней границы области движения — самого зеркала грунтовых вод.

При медленных изменениях забойных давлений условия на внешних границах окружающей пористый пласт толщи горных пород остаются неизменными, а сами они также практически не смещаются. Тем не менее сами горные породы могут деформироваться, и этот эффект, по-видимому, играет определяющую роль для закона перераспределения порового давления в пористом, находящемся под внешней нагрузкой пласте.

Примем противоположное предположение, что кровля и подошва насыщенного пористого пласта идеально жесткие. Эта гипотеза ранее была сформулирована в работе Ю. П. Желтова н С. А. Христиановича [66] в задаче о нахождении напряженного состояния мягкого пласта в отсутствии разгружающего вышележащего пласта пластичных глин (деформациями зерен по сравнению с деформациями переупаковки пренебрегалось). Предположение о жесткости кровли и подошвы эквивалентно гипотезе о плоской деформации пласта (егг = 0), а поэтому изменение давления на границе пласта приведет к возбуждению плоских волн, описываемых системой уравнений (5.1) — (5.IV), (5.VII) при a t = a 2 = 0 (если температурные эффекты несущественны). Как было показано выше в §§ 5, 8, регистрируемые изменения давления в слабо сцементированных пористых средах происходят только на более быстрой волне давления, поскольку вторая волна (волна переупаковки зерен среды) быстро затухает, а при нагрузке типа «жидкий поршень», т. е. передаваемой через жидкость, изменения давления на второй волне вообще е-малые величины *. Заметим, что изучение волн в сильно сцементированных горных породах представляет самостоятельную задачу. Тем не менее можно сказать, что хотя различие в скоростях распространения волн первого и второго рода уменьшится с ростом цементации среды, однако затухание амплитуды второй волны будет существеннее, поскольку за ее фронтом твердые и жидкие частицы приобретают противоположно направленные скорости. Указанные изменения давления в пласте с мягким коллектором в условиях упругой плоской деформации будут описываться уравнением (5.29) для слабых волн в релаксирующей жидкости, которое при характерных временах Т, таких, что Х (Роо/Ро) ^ \ 1Т), переходит в телеграфное уравнение В уравнении (18.2) нельзя пренебречь первым членом по сравнению со вторым: это было бы возможно, если XJT < 1 — (рга/Ро), что, однако, противоречит условию справедливости уравнения (5.29) в целом, так как р ю ^> р 0. Если же справедлива оценка т/Г < 1, то уравнение (5.29) можно заменить уравнением распространения звука в среде с объемной вязкостью (см. § 8), которое в силу условия своей справедливости (Г > т) также не может быть сведено к уравнению теплопроводности. В то же время из накопленных данных о поведении глубинных вод и нефтенасыщенных пород известно, что процесс перераспределения порового давления примерно описывается уравнением теплопроводности. Однако более существен тот факт, что согласно уравнению (5.29) величины характерных скоростей распространения волн у о = 1 / | ^ Р р о и УОО = 1/КРР С О, а также время запаздывания т, вычисляемые по значениям физических параметров пористой среды, определяют скорости изменения порового давления неизмеримо большие, нежели наблюдаемые по скважинам и нежели скорости изменения условий работы скважин. Таким образом, полное пренебрежение деформациями окружающих пласт горных пород исключает возможность описания наблюдаемого квазистационарного перераспределения давления в пласте — согласно уравнению (5.29) изменения давления на забое скважины практически мгновенно повторялись бы во всем пласте. Сформулируем некоторые упрощающие гипотезы о характере смещений кровли и подошвы пласта, ограничиваясь рассмотрением тонкого пористого пласта, мощность которого h (по вертикали) гораздо меньше его линейных масштабов в горизонтальной плоскости. Каждый элемент пласта находится под воздействием постоянного вертикального горного давления Г т о, обусловливаемого тяжелой массой вышезалегающих горных пород. При снижении в нем порового давления под воздействием горного давления происходят деформации скелета пласта. Поскольку окружающие прочные горные породы играют при этом не только роль нагрузки, но и перекрытия, то деформации будут происходить в зоне влияния вокруг элемента со сниженным поровым давлением, а в самом элементе они будут несколько ниже, чем в отсутствие эффекта перекрытия. Другими словами, из-за этого эффекта перераспределяется дополнительная нагрузка на скелете вокруг рассматриваемой точки. Качественно видно, что с увеличением масштабов зоны снижения порового давления прогиб «балки» возрастает, а следовательно, будет соответ* ственно увеличиваться нагрузка на скелет пористого пласта в центре зоны пониженного давления. Естественно предположить, что имеется некоторая характерная длина d зоны влияния снижения порового давления в пласте, зависящая от мощности пласта h, глубины его залегания, а также от прочностных параметров пласта и окружающей толщи пород. Если пренебречь релаксационными свойствами горных пород, то можно считать d постоянной величиной, константой пласта, не зависящей от хода норового давления. Желая построить элементарную теорию нестационарных процессов в пласте, примем следующую фундаментальную гипотезу о сохранении постоянства нагрузки на элементы пласта:

oi(x, у, t) — $$Q>(x, у;

х', у';

d)p(x', у') dx' dy' = Г е т (х, у), (18.3) где Ф — некоторая функция влияния, а интегрирование распространено по всей плоскости пласта. При изотропии и однородности пласта допустимо приближенно считать функцию влияния, зависящей только от разности координат: Ф = Ф (х — х'\ у — у';

d). Зададимся гауссовским видом функции влияния:

Тогда при d -*• оо гипотеза (18.3) сводится к условию неизменности во времени фиктивного напряжения: doldt = 0. В пределе, при d -*• 0, функция Ф переходит в дельта-функцию Дикара: Ф -> б (х— — х) б (у—у'), а нелокальная формулировка (18.3) гипотезы о постоянстве горного давления переходит в обычно используемую локальную: ofz(x, у, t)-p(x, у, t) = Tao(x, у). (18.4) Уравнение типа (18.3) заменяет интеграл уравнения движения твердой фазы и оправдано в пренебрежении волновыми динамическими эффектами. Условие (18.3) однако недостаточно для полного определения задачи: необходимо также принять предположения 0 деформациях (о напряжениях) в плоскости самого пласта. По терминологии Геертсма [292] это означает задание «граничных условий», определяющих законы фильтрации в глубинных породах. Имеется возможность введения «граничных условий» трех типов: 1 — задание изменений главных суммарных напряжений;

II — задание деформаций всей среды в целом;

III — «смешанные граничные условия» — задаются изменения напряжений по некоторым из главных осей и условия деформации по остальным. Естественно, здесь под «граничными условиями» подразумеваются условия, налагаемые на состояние каждой из макроточек пористой среды (а не только по ее физическим границам). Геертсма принимает [292], что в нефтесодержащих коллекторах граничные условия постоянны и условия на границах резервуара совпадают с условиями в каждом макрообъеме. Были предложены две несколько отличающиеся друг от друга локальные гипотезы о характере суммарных деформаций и напряжений в глубинных коллекторах. а. Гипотеза о постоянстве вертикального горного давления и отсутствии смещений в плоскости пласта («граничное» условие типа III) Эта гипотеза в формуле (18.4), по-видимому, впервые была введена Джейкобом [299], который пренебрегал деформациями самых твердых частиц (что оправдано для деформаций переупаковки в мягких горных породах). Г. В. Исаков сформулировал эту гипотезу в следующей форме: «Для плоского пласта, залегающего в плоскости ху, можно принять, что в этой плоскости он деформироваться не может, т. е. ех = еу = 0, а ег = f (р), где р — давление в жидкости» [94]. В этом случае имеем <& = (1 - т 0 ) (^ + 2Х2) е + 4 & р1К(1-т0)р, e zz^-e (18.5) и для приращений напряжений аг2 = р (в силу соотношения Г22 = = afzz — р = const — для полных напряжений). Тогда (18.6) Уравнения неразрывности при этом приводят к следующему соотношению:

+ (l-m o )-g- = O.

(18.7) Из уравнения относительного движения жидкости (5.II) в пренебрежении инерционными силами (процесс протекает квазистационарно) в силу соотношения (18.7) получаем так называемое уравнение пъезопроводности dp —'.V*P, к (18.8) >п rl \В /) а или уравнение упругого режима фильтрации. Если среда «мягкая», выражение в фигурных скобках упрощается и принимает вид ^±^pL^^cv.

(18.9) б. Гипотеза о постоянстве нормальных компонент горного давления («граничное» условие типа I) Эта гипотеза была сформулирована в статье Г. И. Баренблатта и А. П. Крылова как гипотеза о постоянстве всех компонент горного давления: «Предположим, что давление на кровлю пласта остается постоянным во времени, т. е. что суммарное напряженное состояние в системе жидкость — пористая среда не меняется со временем. Пренебрегаем, далее, перераспределением касательных напряжений в пористой среде, вызываемых перераспределением давления в жидкости, т.е. будем считать, как это делается в теории консолидации грунта, что изменение давления компенсируется изменением нормальных напряя;

ений» [10]. Математически это означает, что Г^ = const, i, / = х, у, z.

Запишем соответствующее предположение в виде Г, = const;

i = 7, (18.10) понимая его как условие неизменности нормальных компонент горного давления. Условие (18.10) можно записать для возмущений исходного напряженного состояния в виде = 0, (18.11) откуда следует соотношение, определяющее объемные деформации (18.12) соответствующие изменению пластового давления на величину р. При этом реализуется гидростатическое сжатие скелета среды (при отборе жидкости р < 0). При указанных исходных предположениях должны быть удовлетворены уравнения движения для жидкости ^ + ^, ( 1 - ^ ^ - и) = 0, (18.13) и уравнение, получающееся из уравнений неразрывности фаз (5.III)—(5.IV) после исключения пористости f -™o)|—"§Г-°- (18-14) Применяя к уравнению (18.13) операцию дивергенции, получим причем в силу уравнения (18.14) уравнение фильтрации (18.15) сводится к следующему: dp/dt = xn\72p, 1 ц(1-до) / в, 1-МГ, 1-(1-т о )р 1 л: (18.16) где XJJ — коэффициент пьезопроводности, который определяется упругими константами среды.

Принятие каких-либо дополнительных предположений, кроме условий (18.10), в том числе и о касательных напряжениях, означает переопределение задачи. Так, при неодномерных деформациях горных пород необходимо учитывать, помимо уравнений (5Д)—(5.IV), (5.VII), уравнения совместности полных деформаций. Например, уравнение совместности деформаций в плоскости пласта имеет вид Согласно выражению (18.11) деформации е1г, е 2 2 равны и линейно связаны с давлением р. Если касательными напряжениями можно было бы пренебречь (е 1 2 = 0), то уравнение совместности свелось бы к уравнению Лапласа V 2 P = 0 в плоскости пласта. Отсюда уравнения совместности деформаций выполнялись бы только в стационарных течениях, когда к уравнению Лапласа сводится и уравнение пьезопроводности (18.16) для плоской фильтрации. Поэтому условие постоянства горного давления в теории упругого режима фильтрации следует формулировать только для нормальных компонент — касательные изменяются согласно (18.17);

отбор жидкости может привести к возникновению весьма существенных касательных напряжений в скелете породы.

Отношение третьего члена выражения (18.16), стоящего в квадратных скобках, к первым двум, как нетрудно показать, равно | divи 1 т 1 —ftiff(l—то 0 ).

1-т„ Пусть для частиц песчаника р х = 5• 10~e am'1, для воды |3 2 = = 4,4-Ю" 5 am'1. Для нефти в пластовых условиях, по данным [152], сжимаемость может достигать значения (32 = 8-Ю" 5 am'1. Поэтому для реально встречающихся значений пористости (m o pVPi) 5> !• Таким образом, с ростом сцементированности пористой среды (т. е. с увеличением $хК) величина А уменьшается. Если положить т0 = 0,2, то для указанных выше значений р 1 ( р 2 величина А = 0,1 соответствует значению $гК т 0,4 при насыщении среды водой и $гК = 0,3 для нефтенасыщенной среды. Это говорит о том, что при PJ/ST г=5 0,3 ~ 0,4 (и более) можно с достаточной точностью писать Jiti[±^S] (18.19) Выражение (18.19) можно получить непосредственно из системы уравнений (18.12), (18.14), условия (18.10) и уравнения движения (18.13), если пренебречь в последнем скоростью смещения твердых частиц и{ по сравнению со скоростью жидкости wt. В уравнении (18.14) величиной (1 — т0) -(deldt) по сравнению с т0 div w пренебрегать нельзя. Действительно, при т0 = 0,2, р ^ «^ 0,3 -т- 0,4 имеет место оценка 1 — т0 | div ц | 1 — piAT (1 — тор) n _ MR 9 т Величину (1 — ^ХК)1К можно интерпретировать как сжимаемость породы р п.

Таким образом, используемый обычно вывод уравнения упругого режима фильтрации [241] справедлив для сцементированных пористых сред (е ^ 0,3 -ь 0,4). Для более мягких сред уравнение пьезопроводности сохраняется, однако смещения скелета породы здесь существенны. В мягких средах х п = а0К/\х. Геертсма считает, что в пластовых условиях реализуется гипотеза I, а в экспериментах по сжатию образцов — гипотеза II [292]. В связи с этим он отмечает, что в условиях пласта сжимаемость порового пространства будет меньше: примерно равна половине сжимаемости, измеренной в лабораторных условиях (В = (1 + + v)/(3vA") = 21 К, v = 0,2). Существенно, что подходы I, II приводят к уравнению одного и того же типа — уравнению пьезопроводности. Поскольку в реальных условиях величина параметра к определяется по наблюдениям за нестационарным притоком к скважине, различия указанных локальных формулировок гипотезы о постоянстве горного давления представляют ограниченный интерес. Рассмотрим теперь уравнение сохранения энергии, которое должно выполняться при упругом режиме фильтрации [78]. Ввиду медленности этого процесса температуры фаз в каждой точке будем считать одинаковыми (Т1 = Т%=Т). Будем полагать, что К$1 ^ 0,2, отсюда divw>divw, w^>u. (18.21) Скорость жидкости w можно считать величиной малой первого порядка и пренебрегать в уравнении энергии членом, пропорциональным w2 (учитывающим кинетическую энергию жидкости). Слагаемыми вида w grad Т, w grad p пренебрегать нельзя, так как grad p и grad T, вообще говоря, могут не быть малыми величинами. Если w п div w считать величинами первого порядка малости, то ввиду условий (18.21) и и div и нужно считать по крайней мере величинами второго порядка малости. В условиях упругого режима д (Pi\_ dt \ pj / m o m ft д Р dt ' diTu--1-Plg(1-|>'o) (1—niQjK др (1822) dt (1 — o) поскольку изменения объема из-за температуры незначительны. Отсюда из уравнения неразрывности для твердой фазы dm dt • fi \ ^ ( Р \ 4- {\ ® dt \ р? / \ Л' "*" П MR 94^ ' следует, что dmldt ^ div и при $гК = 1. Выше было показано, что именно при р\.йГ =s 1 имеет смысл учитывать деформации скелета. Поэтому уравнение сохранения энергии для твердой фазы следует записывать так же, как для слабых возмущений — см. уравнение (5.V), а в рассматриваемом случае 7 \ = Т2 — Т и а = —— = т ~ —= ° Ри оно принимает вид ^ + (1-то)Х1^Т. ( 82 ) 1. (1 — то) (i-^plc^^-m^T Здесь (в отличие от § 5, часть I) через с х обозначена теплоемкость частиц твердой фазы на единицу массы. Уравнение сохранения энергии для жидкой фазы (в пренебрежении членами второго и более высокого порядка малости) будет таким же, как и для среды с абсолютно жестким скелетом Т 1 = = Т2 = Т и в пренебрежении членом порядка w2 имеем тор2с2 -^- + m0p.2c2w (grad T + z, grad p) •= moa2T ^ - + mol y2T.

(18.25) Суммируя уравнения (18.24) и (18.25), получим уравнение сохранения энергии для всей среды в целом дТ+ iWg^ (gradr+ z gradp)== "о(«2-сц) _ | l + а =^ (I —m) Xi + "io^2 " с ]• При а 2 ^> аг можно пренебречь величиной а х. Тогда уравнение (18.26) переходит в уравнение, принятое без вывода в работе Э. Б. Чекалюка [232].

Нелокальная формулировка (18.3) гипотезы о постоянстве горного давления приводит к тому, что деформации, вызываемые эффективным давлением о, развиваются неодновременно с деформациями, непосредственно связанными с изменениями гидростатического порового давления. Это открывает дополнительные возможности (по сравнению с [10]) для анализа упруго-пластических явлений в пласте. Введение зависимости функции влияния Ф от времени, по-впдпмому, позволит учесть эффекты ползучести (релаксации напряжений) окружающей толщи горных пород. На тот факт, что эффективное давление меняется только вместе с изменениями среднепластового давления (т. е. некоторого осредненного по площади пласта порового давления), указывал еще Г. В. Исаков [94], однако соответствующей математической формулировки основной гипотезы упругого режима фильтрации до самого последнего времени найдено не было. § 19. ПОРИСТОСТЬ И ПРОНИЦАЕМОСТЬ ПЛАСТА КАК ФУНКЦИЯ ПЛАСТОВОГО ДАВЛЕНИЯ Большое число измерений упругих коэффициентов проведено для мягких пористых сред — грунтов [206];

известны результаты измерений для одного из типов сцементированных горных пород [283 — 286]. Как правило, при исследованиях свойств сцементированных пористых пород измеряют коэффициенты проницаемости и пористости, а также коэффициент изменения (при нагружении) норового пространства среды. При этом нагружение производят либо при запрещении оттока жидкости, либо при поддержании неизменным порового давления (т. е. в условиях дренирования). а. Сжатие без дренирования Классические опыты с грунтом, изложенные, например, в книге Терцаги [206], показали, что при приложении к помещенному в камеру с непроницаемыми стенками образцу мягкой горной породы с помощью непроницаемого поршня давления q давление в жидкости возрастет на ту же величину q, а осадка поршня практически не наблюдается. Соответственно было введено понятие фиктивного (эффективного) давления о! = q — р, изменения которого определяют существенные деформации мягких сред. Действительно, для мягких сред рхЛГ <^ 1 и соотношение (5.VII) принимает обычный для механики грунтов вид о[, = (1 - т0) ( V 6 W + 2Я2е/;

). (19.1) Известно, что при аналогичных опытах [60, 286] со сцементированными образцами давление возрастает на величину, несколько меньшую nq. Можно было думать, что для сильно сцементированных пород справедливо иное, нежели уравнение (18.1), определение фиктивных напряжений в скелете среды, а именно: Tii = alj-np8lI, п«1, (19.2) тем более, что С. А. Христианович и Ю. П. Желтов [66] расследуют связь вида (19.3) где 6 (1 — т) — площадь контактов между зернами. Покажем, однако, что система (5.1)—(5-VII) и соотношение (18.1) не находятся в противоречии с указанными опытами. В самом деле, при одноосной деформации, которая реализуется в таких опытах (е 2 2 = е зз = 0)i и з соотношений (5.VII) следует ^ < ^ (19.4) (19.5) Уравнения неразрывностей твердой и жидкой фаз после исключения пористости приводятся к уравнению Проинтегрируем уравнение (19.6) по всему объему образца \ V ^ w V —.

d S S ^ O S.

(19.7) к Так как на границах м,- = wt, то соотношение (19.7) сводится следующему:

где черта означает осреднение по объему V. Если рассматривать равновесное состояние образца, то средние величины равны локальным: р = р, Qf = б', е = еп и подстановка в соотношение (19.8) выражений (19.4)—(19.5) приводит при е 1 Х (t = 0) = 0, 6? (t = 0) = 0, р (t = 0) = 0 к соотношению (19,9) Отсюда в силу a d —р = nq, = —g имеем окончательно (19.10) Постоянные А,2, 5 можно выразить через объемный модуль (1 — — т 0 ) К и коэффициент Пуассона 3v В 1+V !

_ v 3 l-2v ~~ 2 1+v ' (19.11) Результаты подсчетов для величины п при типичных для песчаe 1 = ника значениях т0 = 0,2, v = 0,2, Р 2 = 5-10~ am', fS2 5 = 4,4-10" сведены для разных значений ех = §гК в табл. 8.

Таблица 4=3iA' г«0,1 0,1 0,2 0, 0, 0, п 1,00 1, 0,83 0, 0,70 0, 0,60 0, 0,47 0, 0,43 0, Отсюда между суммарным напряжением (горным давлением) и фиктивным реализуется связь (18.1);

наблюдаемое опытное соотношение (19.2) есть следствие указанной связи (18.1) и условий деформирования образца. б. Сжатие в условиях дренирования Если жидкость может уходить из образца, например, в резервуар, в котором поддерживается постоянное давление р0, то деформация при одноосном сжатии согласно соотношению (18.1) определится выражением CT (!-„,„) (fc + 2^) —(! —mo)PigPo Т=^ Ф, в (19.12) где введена величина Рэф = -о[1+(1-т0)$0КРо = д-(1-т0)$1Кр (19.13) эффективного давления (именно это давление вызывает такую деформацию образца, как и в сухом образце, при р0 я« 0), здесь q — полная приложенная нагрузка. Было экспериментально установлено [283—286], что изменения пористости, проницаемости и т. д. одного из типов песчаника оказываются одинаковыми при различных значениях порового давления (1 и 120 am) при переменном внешнем давлении^ = 120 -5-т-1350 am, если эффективное давление определять по формуле РэФ = ?-0,85р 0, (19.14) что, казалось бы, противоречит понятию фиктивного напряжения. Однако соотношения (19.12)—(19.13) позволяют объяснить формулу (19.14). Действительно, в табл. 8 приведены величины п1 = 1 — — (1—т о )$ г К, т0 — 0,2 для разных значений е. Видно, что значению nt = 0,85 для песчаников соответствует е <=& 0,2. Экспериментальные изучения механических свойств нефтегазоносной породы в условиях нагружения обычно преследуют одну из двух основных целей: 1) определение изменения параметров пласта при снижении (увеличении) пластового давления;

2) нахождение связи измеряемых при атмосферных условиях параметров среды (пористости, проницаемости и др.) с их значениями, соответствующими глубинным условиям (с ростом сжимающего горного давления). При проведении опыта на скелет образца производится внешнее давление обжима, равное горному для данной глубины залегания пласта. Насыщенное поровое пространство соединено с резервуаром (бомбой) постоянного давления. В первом случае давление обжима должно в процессе проведения опытов оставаться постоянным, а поровое давление жидкости («пластовое» давление) должно уменьшаться от начального до некоторой величины (до нуля). Во втором случае необходимо изменять и давление обжима и поровое давление примерно по закону, отраженному в табл. 9 (первые три строки). При составлении табл. 9 значение удельного веса породы в сред3 нем принималось равным уп = 2,5 Г!см, а пластовое давление — Таблица Глубина залегания пласта Н, м 500 Горное давление Г=упН/10, am 125,0 50 75 25 250,0 100 150 50 500 200 300 100 750 300 450 150 1000 400 600 200 Нормальное пластовое давление ро=увН/1О, am Соответствующее ему фиктивное давление 0"/ = —6/, am Пластовое давление в процессе разработки р, am Соответствующее ему фиктивное давление а/ = —е/, am соответствующим гидростатическому выходящему на поверхность земли.

давлению столба жидкости, Действительно, как правило, нефтегазовые месторождения «плавают» в водонапорных пластах, сообщающихся с поверхностными водами. Однако имеются «запечатанные» залежи, пластовое давление которых выше гидростатического. Они называются месторождениями с аномально высоким пластовым давлением [3] и их наличие объясняется схемой эксперимента «сжатие без дренирования». Если при формировании залежи в силу каких-то причин при возрастании горного давления на мягкий пористый насыщенный пласт жидкость не имела возможности оттока, то горное давление в основном уравновешивалось давлением в жидкости, которое тем самым и стало аномально большим. При этом скелет среды остался неуплотненным, что определило существенную особенность коллектора — пористая среда таких месторождений, несмотря на большую глубину залегания, мягкая (в = $гК С 1), а деформации, имеющие место при отборах жидкости, — в значительной степени необратимые.

Характеристикой напряженного состояния скелета глубинного пористого коллектора может служить фиктивное давление (см. табл. 9). Отсюда можно оценить порядок необходимых в виде эксперимента изменений разности давления обжима и порового давления, примерно моделирующих фиктивные напряжения в скелете пласта. Для получения в опытах примерно таких же деформаций (без учета необратимых эффектов), как и в пластовых условиях, необходимо добиться совпадения эффективных давлений, — см. уравнения (19.12)—(19.13) — которые зависят не только от глубины залегания и пластового давления, но и от прочностных параметров породы. Из уравнений неразрывности и обобщенного закона Гука следует связь между приращением пористости Am, объемной деформацией Ае образца и приращением порового давления Ар Am = (1 - / - М О (Д < + р г ?

(19.15) которая позволяет пересчитать связь между используемыми фициентами сжимаемости, определяемыми как ^ J^ v Др* ^тв коэф(19.16) Ар* A v L^ Др где v0 — начальный объем образца;

А г;

— изменение его полного объема;

Аг;

пор — изменение объема пор;

р„. — фиксируемая (одновременно с поровым давлением) величина приложенной нагрузки (либо само поровое давление р, либо давление обжима q, либо их разность, т. е. фиктивное давление pf). Однако необходимые для пересчета коэффициенты р х, К, как правило, неизвестны (они неявно входят совместно с третьим упругим коэффициентом скелета среды, например В, также в измеряемые р с, Р т в ). Поэтому можно при одновременном замере р с, Р г е и давления р согласно связи (19.15) найти коэффициенты р х и К, а затем, определив теоретическую связь Де и Ар* (она различна при одноосном, боковом или всестороннем сжатии), вычислить по результатам опыта третий упругий коэффициент твердой фазы. В литературе принята следующая терминология: рс — коэффициент сжимаемости среды;

р т в — коэффициент сжимаемости скелета, причем р# — pf = —9f• Иногда вводят такие коэффициенты сжимаемости пор: Рп = (1Л>„Ор) А^ПОр/Ар, = Р с /т 0, (19.18) В скелете насыщенных пористых сред существуют две системы давления (два независимых коэффициента сжимаемости, в частности Рс и Ртв) и только для узких классов пород, характеризуемых фиксированным значением параметра е = Р ^, удается найти одно эффективное давление — фиктивное для мягких пористых сред (е -С 1)> эффективное — см. уравнение (19.14) — для сцементированных песчаников (е «=;

0,2). Приборы для определения коэффициента сжимаемости породколлекторов, используемые рядом авторов, во многом аналогичны. Наиболее совершенен прибор Д. А. Антонова [2], в котором давление (прессом) на оболочку образца в камере имитирует горное давление (давление обжима). Поровое давление создается во внутренней камере и изменяется другим прессом. Результаты опытов ряда авторов по определению коэффициентов сжимаемости среды и пор, а также изменения проницаемости приведены в сводных табл. 10 и 11 и позволяют сделать следующие качественные выводы *. 1. Наблюдается общее уменьшение коэффициента сжимаемости с увеличением фиктивного давления. Поэтому параметры пористой 1 В ходе экспериментов фиксировался коэффициент р с (либо только р п = = Рс/т,)), но не приводились данные по соответствующему значению коэффициента р т в, что исключает возможность определения упругих констант исследуемых пород.

* горной породы нелинейно связаны со значительными изменениями пластового давления.

(Наличие в табл. 10 для некоторых опытов только одного фиксированного значенпя коэффициента сжимаемости соответствует форме оригинальных публикаций). Данные опытов Фэтта [285] показывают зависимость коэффициента сжимаемости пор от фиктивного давления. (Аналогичное представление результатов Фэтта приведено в работе [60]).

Качественно это явление объясняется уплотнением среды, возрастанием площади контактов зерен и коэффициентов упругих смещений твердых частиц К и В'1. 2. У песчаников с хорошо отсортированными, с хорошо окатанными зернами кварца, с небольшим (до 10%) содержанием обломочного и цементирующего материала необратимое изменение пористости отсутствовало или не превышало 2—3%. У песчаников, плохо отсортированных и плохо окатанных, со значительным (до 45%) содержанием обломочного и цементирующего материала, доломитов и известняков необратимое изменение пористости существенно (до 60% и более). 3. Пределы изменения коэффициента сжимаемости пор при сопоставимых значениях фиктивного давления для разных пород-коллекторов резко различны (см. также [60]).

Холл [297] на основании исследования 13 образцов песчаника и известняка попытался построить зависимость коэффициента сжимаемости пор от пористости. Последующие исследования [154, 155, 285] показали, что сжимаемость норового объема не может быть скоррелирована (см. также [60]) с пористостью и зависимость Холла оказалась по меньшей мере случайной (см., например, рис. 15).

3, о о 3fi °0 о о о ° о -8 ~^ сР ° о о о о о О о о 0 о о о о о 0 о о°о ',* оо о о о о о о о о о о° о 0, а 12 т°А 25т,% Рис. 15. Опытные данные коэффициента сжимаемости и пористости:

а — по данным Я. Р. Морозович [154] и Л. М. Морморштейна [155];

б — по данным Фат-га [285].

Коэффи Авторы работ Б № образца Характеристика образца проницаемости feo> мд Коэффициент пористости, "о 1 2 3 4 Карпентер и Спенсер [266] Сцементированные песчаники с глубин более 1000 м из пластов Вудбайн, Фрио, Строун и Бартслевиль М. С. Багов, В. И. Цой [5] 1 2 3 4 8 9 10 11 12а 15а 16 17 Известняк месторождения КарабулакАчалуки с глубины от 1935 до 2318 • « То же 0,027 0,009 0,002 0,045 0,001 0,0005 0,006 0,0025 0,1 0,005 0, Известияк из обнажения р. Урух 12,6 12,5 7,6 13,4 4,5 7,5 6,0 8,9 7,7 8,2 8,5 7,3 21, Л. М. Морморштейн [155] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 14 15 Песчаник с глинистокарбонатным цементом. Пермские отложения. Новгородская область, Чардахская площадь То же — 12.7 8,7 8,9 6,0 9,3 10,6 11,9 8,4 7,0 7,1 7,1 10,2 9,1 10,1 7,2 7, Таблица Коэффициент сжимаемости :реды Р.

С • ю-», am' КоэффиЦЦсН Схема опытов is ^"о я Я о, iS 5^ вея as сжимаемости пор Характер деформации Примечание am' §я 7 in Всестороннее дав- 1—2 ление изменялось в пределах от 7 до 562 am при давлении в порах, равном атмосферному 0,44-0,89 Наблюдалась незначительная остаточная деформация — — При повышении давления обжима до544 am снижение объема порового пространства составлялоот 2,82 до 3,608% Для исследования использовался прибор, аналогичный прибору Д. А. Антонова. Давление обжима было всестороннее. «Пластовое» давление изменялось от 20 до 200 am 5,81 3,80 2,44 2,50 — — — — 5,5 — — — 6, 0,62 0,61 1,07 1,37 0,72 — 0,53 0,79 0,5 — 4,6 3,0 3,2 1,9 0,14 1,4 2,3 0,81 7,1 6,5 0,93 0,68 3, Наблюдалась значительная остаточная деформация В графе 8 приводятся результаты определения коэффициента сжимаемости с ростом только всестороннего давления от 40 до 200 am при постоянном поровом давлении. В графе 9 приводятся значения коэффициента сжимаемости при изменении внутреннего давления от 200 до 20 am при постоянном внешнем давлении, равном 400 am В опытах использовалась бомба высокого давления, где всестороннее давление изменялось от 1 до 400 am 7,0 5,1 8,0 6,0 9,2 2,3 6,9 9,2 4,0 1,3 4,7 6,3 2,7 9,7 7,1 4, — — — — — — — — — — — — — — — 5,5 5,9 9,0 10 9,9 2,2 5,8 11,0 5,7 1,8 6,6 6,2 3,0 9,6 9,8 6, Сведений нет Авторы работ к ~а 1 Л) обравца Характеристика образца Коэффициент проницаемости Коэффициент пористости Л. М. Морморштейн [155] 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 2 3 Песчаник с глинистокарбонатным цементом. Пермские отложения. Новгородская область, Чардахская площадь То же — 11,1 10,0 8,3 8,1 8,8 8,0 8,5 7,1 10,4 10,1 8,3 15 24 25 Фатт [285] Пористые хорошо отсортированные песчаники То же 249 163 335 НО Д. А. Антонов [2] 1 (255) 2(270) 3(312) 4(396) 5 (718) 6 (836) 7 (872) 8(1008) 9(1021) 10(1071) 11(395) ПориПесчаники из девон- Значеских отложений место- ния про- стость ница- образцов рождения Туймазы, емости в средскв. 410, пласт Д ш не ука- нем, поскв. 513, пласт Д : зываскв. 514, пласт Д п видимоются скв. 503, пласт Д п му, соскв. 375, пласт ДГ ставляла скв. 385, пласт Д п 20% скв. 209, пласт Д п скв. 404, пласт Д ш скв. 408, пласт Д г скв. 445, пласт Д 1 Г скв. 503, пласт Д и Несцементированный песок Песчаники с плохо отсортированными зернами при наличии цементирующего и межзернистого обломочного материала от 20 до 45% Песчаники с хорошо отсортированными зернами при наличии 36 13 15 10 12 12 13 Фатт [285] 1 2 3 4 5 6 7 1 1 1 Продолжение Коэффициент сжимаемости среды табл.

Рс-ю->, ат~' при уменьшении давления в порах Схема опытов при увеличении давления обжима на образец Коэффициент сжимаемости пор ат~ Характер деформации Примечание S У В опытах использовалась бомба высокого давления, где всестороннее давление изменялось от 1 до 400 am 8,2 2,1 3,1 5,7 1,3 6,1 3,3 4,5 4,7 2,5 6,0 0,6 1,68 5,0 4, 7,4 2,1 3,7 7,0 1,5 7,6 4,5 6,4 4,5 2,5 7,2 0,4 0,7 2,0 2, Сведений нет ММ МММ Давление обжима было всестороннее и изменялось от 0 до 340 am Замеры произведены при сохранении постоянного давления внутри образца, равного атмосферному, и переменного давления на оболочку от 80 до 180 am, a также при переменном давления обжима с постоянным давлением в порах Процесс В этой серии опыобрати- тов для тех же обмый разцов намерялось еще и изменение проницаемости от давления обжима По мере увеличения давления обжима было отмечено уменьПроцесс шение коэффициента обрати- сжимаемости образмый цов II II 1IIIIII 0,96 1,11 0,86 1,26 0,32 1,05 1,01 0,92 0,86 1,04 1, 0,48 0,55 0,43 0,63 0,16 0,53 0,51 0,46 0,43 0,50 0.50 4,7 3,3—1,4 4,5—0,8 3,5-0,74 2,2-0, Всестороннее давление обжима держалось постоянным — 856 am, внутреннее давление изменялось от нуля до 680 am 17:0 4,3—1,8 6,8—1,2 3,5—0,74 2,64—0, 1,76—0,72 1,47-0,6 1,34—0,52 1,03—0,4 0,95—0,36 0,73—0, Явления обратимых деформаций автор наблюдал на мягких слабо сцемен Коэффициенты сжимаемости являются функциями давления. Значения сжпмаемостей приняты из графиков III ММ Авторы работ с 'А i № образца Характеристика образца Коэффициент проницаемости ft», мд Коэффициент пористости т„, % Фатт [285] Холл [297] цементирующего и межзернистого обломочного материала от 10 до 30%. d = 2,54 см, г = 5,08 — — 7,62 см Образцы известняка Исследои песчаника семи развано 13 образцов ных нефтяных пластов Пористость 13 образцов изменялась от 2 до 25% 17,04 7,55 8,33 9,29 10,7 6,37 12,06 9,52 11,87 23,79 21,85 23,08 17,95 19,27 18,37 18,5 12,27 6,87 12,27 7,78 9,15 6,2 9,67 10,58 8,36 3,38 5,58 1,62 11,31 2,63 2, 8 Я. Р. Морозович [154] 1(6.1) 2(5.11) 3(6.111) 4(13.111) 5(12.IVa) 6(2.IV6) 7(4.IV6) 8(3.VI) 9 (6.IX) 10 (2A-7) 11 (2 A—8a) 12 (2A—86) 13(2A—13) 14 (2A—146) 15 (2A—6) 16(2A-106) 17(3.11) 18(10.111) 19(15.111) 20(1. IV) 21 (5. IV) 22 (3.V) 23 (5.V) 24 (4.IX) 25 (8-IX) 26(9.11) 27(10.11) 28(1.111) 29(7.111) 30(8.111) 31(9.111) Песчаники и алевролиты из скважины СГ-1 То же » » » » » » Песчаники и алевролиты из скв. 2-А То же » » » Глинисто-алевритовые породы и аргиллиты из скв.2А То же » » » » » » Известняки и мергели из скв. СГ-1 То же » » » За В о И он оо ф ОН CD О *л а ош о as Ш Я я о ио в ОХ о р Г.

t l CD о о За tn р о td пыта;

сь 6oi давле ронне Й S в ох Р ^] и а &> с Анто в о ОХ и Е О О о а Е н о ш ле- | со- | % ?

л l II II 1 II 1 1 1 1 1 1 1 I l l l l t l l i r I I I I I I II II II I I 1 СО 1 1, при увеличении давления обжима на образец при уменьшении давления в порах _ п О 5,0, I i Г 11 1 111 1 1 1 1 I СО C O ^ O ^ ^ W ^ t O ^ t O t C h ^ W О О ь. h^ H * а -. * о СО o>Kiuio*-oiwooito^iM(»M^O(DcmЭО»00«ОСЛ>-»0000*» 0 0 со Сл 00 ь-л. О о | CD * Ss s^ со bole л Яч С;

2 а§ § | | в со С О ч CD р •S о •ill В >

статочные прованых песаннках тз к о ош р ш ий нет ] оо Е ш о "^ а О < рз * " hi Оф чены i ТЗ о ост *§ Р s ВX Яв tr р Р > -II ;

ко: важ!

Й << Е о\о ч о о\ р я^ О 0Э я Дс со Е( ^ р *** S 'ч t О ч IS а " Н В р to ч о аЯ CD О СО о C тз D Ч Р СО ВТО • о к S 11 = ;

иен!

1яка к о ох Н р го I Авторы работ образца Характеристика образца Коэффициент Проницапориемость, стости т, ho, мд доли единицы JM» П / П Фатт, Дэвис [284] 1 2 3 4 Образцы песчаника с малым содержанием цементирующего материала: d = 2,54 см, 1 = = 7,62 см 3,86 40,8 45,0 4,35 632, Фатт [285] 1 2 Образцы песчаника: = 2,54 сл», Z = 2,54 сл» d= 249 163 335 0,15 0,24 0,25 0, Лэтчи, Химсток п Юнг [308] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 И 12 13 Чистый песчаник, содержащий 38,2% остаточной воды. Загрязненный сланцевый песчаник Сильно загрязненный сланцевый песчаник Чистый песчаник, содержащий 17,5% остаточной воды Чистый песчаник То же 3,5 0,47 3,7 3,8 0,23 0,007 0,007 3,1 15,0 3,8 102 8,8 3,0 0,07 50,5 0, — 15 Чистый песчаник, содержащий 37,1% остаточной воды Чистый песчаник Чистый песчаник, содержащий 38% остаточной воды Таблица Коэффициент изменения проницаемости 1 а • 10~4, ат~ К при увеличении давления обжима на образцах при уменьшении давления в порах Схема опытов Характер деформации Примечание Образцы заключались в оболочку из медной фольги и для опытов вставлялись в камеру высокого давления, где всестороннее давление повышалось до 1020 am Образцы вставлялись в эластичный футляр, а затем в бомбу, где всестороннее давление увеличивалось до 340 am 29,0 5,4 7,0 3,4 7, Сведений нет При увеличении давления обжима до 1020 am проницаемость уменьшилась до 11—41% по отношению к проницаемости без обжима;

наибольшее уменьшение у всех образцов происходило в пределах от 1 до 200 am На этих образцах впервые исследовалось изменение пористости и проницаемости. При давлении обжима в 340 am проницаемость уменьшалась до 25%, а пористость до 5% Для приведенных 16 образцов проницаемость при уменьшении давления не измерялось 3,3 7,6 1,0 1, Сведений нет 1 4,4 4,5 5,6 5,8 7,7 8, 10,0 10, II М М М I I I IМ Всестороннее давление обжима изменялось от нуля до 350 am. Поровое давление в жидкости во время опыта держалось постоянным 2,7 7,0 7,3 13,3 45,6 111,0 19,6 5, Авторы без табличного материала упоминают о нескольких образцах, когда давление обжима увеличивалось и затем уменьшалось Для чистых песчаников первоначальная проницаемость не восстанавливалась на 4%, а в глинистых образцах необратимое снижение доходило до 60% Авторы работ а с 1 образца т Характеристика образца Коэффициент Проницапориемость стости т, h, мд доли единицы И. А. Бурлаков, Н. П. Фурсова [39] Алевролит слабокарбонатный. ЧИ АССР, площадь Зимняя Ставка, скв. IX, пласт IX, содержание глин 5,9% Алевролит песчаный, карбонатный, содержание глин 5,92%, d = 3 см, 1=3 см 0, 100, 0, М. М. Кусаков, Н. С. Гудок [115] 1 2 3 4 Мелкозернистый алевролит с песчаными зернами: d = 3 см, 1 = 2 см. Известняк перекристаллизованный Доломит Известняк крупнокристаллический Доломит крупнокристаллический 127 41 2,5 0,57 0,12 0,123 0,106 0,03 0, 6 Н. П. Лепщй, Л. С. Мончак, И. И. Писоцкий [130] Исследовано более 10 образцов Песчаники: 1 = 3 см d = 3 -г- 3, см, От 3,9 От 0,126 до 666,0 до 0, Продолжение Коэффициент изменения пр оницаемости Характер деформации Й Я «и табл.

Схема опытов Примечание 1 ли Исследования проводились на стандартной установке УИПК-1. Давлению до 600 am подвергалась только боковая поверхность образца. Давление в жидкости не указано 26, 14, Частично необратимый, га = 0,560* 6, 4. То же Точки для интерпретации приняты на приводимых в работе графиков Опыты проводились на установке УИПК-1. Давлению обжима подвергалась только боковая поверхность от нуля до 600 am Обратимый Необратимый Существенно необратимый То же Результаты приводятся графически и их трудно интерпретировать. Авторы исследовали большое количество образцов. Установили породы двух типов, характеризующие изменение проницаемости: 1) обратимое;

2) необратимое Опыты проводи- Определись на установке лить но УИПК-1. Боковое удалось давление обжима изменялось от 25 до 490 am Результаты приНекоторые образцы имели водятся графически и их трудно интеробратимые деформации, претировать другие необратимые Авторы работ я а % 1 образца Характеристика образца Коэффициент Проницапориемость стости т, h, мд доли единицы 4 Порода трещиноватая То же » Д. В. Кутовая [116] 1 2 13 48 — S А. Т. Горбунов [53] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Порода трещиноватая Трещиноватый доломит Глинистый песчаник с искусственной трещиной Мелкозернистый песчаник с искусственной трещиной То же Доломиты с естественной трещиноватостью То же » » 6,4 62,2 29,7 1000,0 39,0 8,0 14,0 12,0 0,005 8, — Я. Р. Морозовнч [154] 1 2 3 4 5 6 7 Нет данных То же » » » » » » 1590/706 1026/820 16,7/19 109/108 20/20, 24,2 16,8 16,0 17,8 22,3 7,55 18,5 21, * Здесь п — отношение коэффициента изменения проницаемости при увеличении давле Продолжение Коэффициент изменения проницаемости а к.10-«, ат~' Схема опытов S табл.

la § й соя М X g CJ Is Характер деформации Примечание S л сб S я йа а па о 7 ssg S*HQ ов Pi Я я 10 Исследования проводились на установке УИПК-1. Давление обжима изменялось от 30 до 300 am 180 140 — — Процесс, вероятно, необратимый Проницаемость снижалась практически до нуля Опыты проводились на модернизованной установке УИПК-1. Всестороннее давление обжима изменялось от 10 до 300 am при постоянном давлении в фильтрующей жидкости до 10 am 180 130 500 600 116 111 80 40 — Процесс необратимый То же Наибольшее уменьшение проницаемости происходило в диапазоне увеличения давления обжима от 10 до 100 am Процесс необратимый П— — — — — В опытах всестороннее давление изменялось от 1 до 800 am 20 10 7,6 6,2 5,5 6, — — — — — И 7, Процесс, по-видимому, необратимый Процесс обратимый То же » > > В графе 5 в числителе указаны проницаемость до опыта, а в знаменателе — после опыта ния обжима к этому же коэффициенту при уменьшении давления обжима. Приборы, используемые для исследования изменения проницаемости в зависимости от давления обжима, во многом между собой аналогичны. Из отечественных наиболее распространен прибор (установка) УИПК. Основные части этой установки — кернодержатель и устройство, позволяющее задавать постоянный расход жидкости и газа. Давление, создаваемое прессом, передается через резиновую оболочку на образец, моделируя горное давление. Изменением давления на входе и выходе из образца о/ * /о моделируется норовое («пластовое») давление. 100 Анализ исследований по оп? 80 ределению изменения проницаемости от давления обжима ~V 2~ —/ 60 позволил выявить следующие —~ _ ' ^А. — общие закономерности. 3 to 1. Экспериментальные исследования (Фатт [283, 284], 20 М. М. Кусаков, Н. С. Гудок [115] и другие [39, 130, 308]) 2Ю,9 121,8 632,8 8t7,7 1№,9 показывают значительные изР>ат менения коэффициента проницаемости от давления, причем Рис. 16. Зависимость коэффициента это изменение [283] гораздо проницаемости от давления (по данным Фатта и Дэвиса): больше, чем изменение пориft — проницаемость под давлением, kt — про- стости от давления.

Фатт [283] исследовал четыре образца песчаника с проницаемостыо от 110 до 335 мд и с пористостью от 15 до 25%. Как видно из графиков (рис. 16—18), при возрастании давления обжима от нуля до 340 am проницаемость уменьшилась до 25%, а пористость до 5%. ницаемость при нулевом давлении перегрузки. 1—5 — экспериментальные кривые (характеристики образцов не приводятся — А. Г.).

2. Исследования Д. В. Кутовой [116], А. Т. Горбунова [53] показали, что изменение проницаемости трещиноватых пород значительно больше, чем у пористых коллекторов. На некоторых образцах отмечалось вообще затухание фильтрации вследствие смыкания трещин. 3. Результаты работ [53, 115, 283, 284, 308] показывают, что при изменениях эффективного давления от 80 до 160 am проницаемость уменьшается на 6—21% и более. Отсюда видна необходимость учета эффекта изменения проницаемости при изменениях порового давления в пласте.

4. Эффект анизотропии проницаемости с ростом давления обжима уменьшается. При сжатии как горизонтальная, так и вертикальная компоненты проницаемости при давлениях обжима уменьшаются, но меньшая (как правило, вертикальная) проницаемость уменьшается быстрее, чем горизонтальная, что и приводит к уменьшению их различия. 5. Относительные проницаемости для воды и нефти существенно зависят от давления обжима на породу (см. опыты Ферреля и других [287] и Вилсона [328]). 6. Выделяются [39, 115, 283, 286] породы-коллекторы двух типов: с обратимым изменением проницаемости при увеличении и последующем уменьшении эффективного давления (песчаники с хорошо к_ т_ щ 9В — 32 90 10 О 70 ПО 210 280 р_,ат ПО 210 р, am 280 Рис. 17. Изменение коэффициента пористости от давления обжима (по Фатту): Кя кривой Проницаемость &о. мд Проницаемость тп0, % Рис. 18. Изменение коэффициента проницаемости от давления обжима (по данным Ф атта): Обозначения те же, что и на рис. 17.

отсортированными, окатанными зернами с малым содержанием 1 15 249 (до 10%) цемента и обломочных 2 163 24 материалов и с необратимым хо3 335 25 дом зависимости проницаемости от 4 НО 22 давления (песчаники с плохо отсортированными зернами со значительным содержанием обломочного и цементирующего веществ, известняки и трещиноватые доломиты).

Некоторые породы при малых эффективных давлениях деформируются обратимо, а при достижении некоторого критического состояния становятся необ р атимыми. Опыты [53, 57, 115] показали, что повторные многократные циклы нагружения и разгрузки уменьшают проницаемость и в еще большей степени — скорость изменения проницаемости с давлением.

Аналитическое представление опытных данных Графики зависимостей пористости и проницаемости от эффективного давления имеют одну и ту же форму: они представляются кривыми, выпуклыми к осям к/к0 и т / т 0. Кривые к (pf) и т (pf) с удовлетворительной степенью точности на значительных интервалах изменения эффективного давления описываются экспоненциальной зависимостью: & = й;

о ехр[а А1 (У — р!0)], т = т0 exp [am (pf — />)], (19.19) где к0, т0 — параметры при стандартном фиктивном давлении pi;

к, т — то же при текущем фиктивном давлении //;

flfe и а т — соответственно коэффициент изменения проницаемости и коэффициент сжимаемости пор в Пат;

р1 = —6^. Результаты обработки опытных данных Фатта [283, 286], Лэтчи, Химстока и Юнга [308], Д. В. Кутовой [116], а также А. Т. Горбунова [53] по экспоненциальному закону (2.19) приведены в табл. 11. Можно считать, что Вп ?» ат. Из данных табл. 10, 11 видно, что коэффициенты изменения проницаемости ak для пористых сред получились примерно порядка 10~3—10~2 ат"1, т. е. на два порядка больше, чем коэффициенты сжимаемости пор ат « « 6П. Из анализа опытных данных [53, 308] = можно сделать еще один важный вывод о том, что коэффициент изменения проницаемости ak возрастает с увеличением глинистости и трещиноватости пород. Сделаем следующее замечание. Поскольку приведенные здесь опытные данные будут использоваться ниже в предположении о выполнении гипотезы о постоянстве горного давления (18.1), то изменения пластового (порового) давления равны по величине и противоположны по знаку изменениям фиктивного давления. Были предложены иные аналитические представления закона изменения проницаемости от изменения пластового давления [7, 38, 67, 114] соответственно: Л= М 1 - а и ( р 0 - р ) ], к = ко[\-акз(Ро-р)]\ (19.20) —(19.21) к = ко[1-аы(ро-р)}*, к = ко^У"к*. (19.22)—(19.23) В формуле (19.23) коэффициент aks — безразмерный. Для фиксированной пористой среды проницаемость может быть выражена как функция пористости среды Для песчаных пород справедлива оценка (ak!am) я^ 10.

В ряде американских работ приведенные здесь результаты используются для пересчета лабораторно определенных констант — коэффициента пьезопроводности (в линейной теории упругого режима фильтрации), скоростей распространения продольных волн или же проницаемости среды — на условия больших глубин и соответствующих начальных пластовых давлений. В отличие от этого направления в предлагаемой работе исследуются эффективные изменения текущего порового давления при движении жидкости (газа), которые не могут быть учтены простым изменением значений постоянных в линейной теории, а требуют построения нелинейной теории. § 20. СВОЙСТВА ПЛАСТОВЫХ ЖИДКОСТЕЙ, ГАЗОВ И ГАЗОЖИДКОСТНЫХ СМЕСЕЙ Типичные кривые зависимости плотности р и вязкости \i пластовой нефти от давления приведены на рис. 19. При уменьшении пластового давления ниже начального наблюдается объемное расширение нефти и изменяется ее структура, вследствие чего плотность и вязкость уменьшаются. Это происходит до давления насыщения, при котором начинается выделение из нефти растворенного в ней газа, что снова приводит к увеличению плотности и вязкости нефти. Количество растворенного газа в нефти при снижении давления до давления насыщения остается постоянным, но при дальнейшем падении давления содержание газа начинает умень-Л' шаться вследствие выделения газа. Количество растворенного газа в 1 то нефти колеб- * • 0,84 лется от нескольких кубометров до нескольких их 3 - 0,82 сотен. Объемный коэффициент,, 1 dV\ V (^где 6 = — — j вслед- 2 \ 0,80 ствие указанных причин 0,78 изменяется в зависимости от р,ат давления следующим обраРис. 19. Зависимость основных парамезом. П р и снижении давления тров нефти от давления. от пластового до давления насыщения наблюдается незначительный рост объемного коэффициента, а ниже давления насыщения при дальнейшем снижении давления до атмосферного этот коэффициент уменьшается до единицы. Проблеме изменения плотности р и вязкости р, в зависимости от давления выше давления насыщения посвящено значительное число работ [22, 108, 234], из которых отметим работу Г. В. Черченко [234], где приведены следующие результаты лабораторных измерений. Вязкость пластовых нефтей изменяется в основном при изменении давления, температуры, количества и компонентного состава растворенного газа. Зависимости вязкости масел, нефтей и воды от давления допускают в значительных пределах (до 1000 о т ) и более приближение экспоненциальной связью L —«^(ро-р)]. (20.1) В более узких интервалах давлений рассматриваемая зависимость имеет почти линейный характер Ц= ИО[1-МРО-Р)] (20-2) Здесь (д,0 — вязкость при каком-то стандартном давлении р0;

йр. — коэффициент, зависящий от состава жидкостей, в Пат. Параметр а^, в литературе [234] названный пьезокоэффициентом вязкости, является основным критерием при оценке влияния давления на вязкость пластовых и разгазированных нефтей. Вязкость нефти и воды резко изменяется под влиянием температуры. В работе [234] на основе большого экспериментального материала показано, что изменение вязкости нефтей Поволжья от температуры Т наилучшим образом описывается уравнением Рамана (20.3) где А и В — константы жидкости.

Таблица Вязкость нефтей (в епз) при температуре в "С 20 35 50 65 Месторождение, горизонт, пласт, скважина Давление Р, am Мухановское, угленосный пласт I, скв. 300 200 150 100 300 200 150 100 300 200 150 100 300 200 150 100 300 200 5,05 4,52 4,28 4,07 5,76 5,04 4,67 4,38 2,21 1,93 1,80 1,67 1,41 1,28 1,21 1,18 4.68 4,15 3,91 3, 3,70 3,34 3,18 3,01 3,84 3,50 3,35 3,20 1,63 1,46 1,37 1,28 1,17 1,07 1,02 0,94 3,38 3,05 2,87 2, 2,82 2,55 2,39 2,25 2,90 2,65 2, 2,19 1,96 1,87 1,74 2,30 2,06 1, 1,74 1,56 1,46 1,36 1,82 1,61 1,53 1,42 0,86 0,76 0,71 0,61 0,80 0,73 0,71 0,60 1,50 1,41 1,32 1,25 3,60 3,20 3,10 2, Покровское, угленосный, пласт Ба, скв. НО Зольненское, угленосный, пласт Б 2, скв. 1,28 1,15 1,09 1,01 0,95 0,87 0,84 0,81 2,50 2,25 2,11 1, 1,04 0,93 0,87 0,83 0,87 0,77 0,77 0,70 1,96 1,75 1,64 1,54 4,75 4,20 3,90 3, Зольненское, пашийские слои, 1 горизонт, Красный Яр, угленосный, пласт В2, скв. Султангулово, турнейский ярус, скв. 200 150 20,78 17,78 16,20 14, 10,36 8,95 8,25 7, 6,7 5,85 5,45 5, Экспериментальные данные могут быть приближены (табл. 12, 43) экспоненциальной зависимостью -а^т(Т0-ТЦ.

Пьезокоэффициент а -10"" (в am-1) при температуре в °С 20 35 50 65 (20.4) Таблица Пьезокоэффициент а ^. 1 0 - 2 (в град-') при давлении в am 300 200 150 Месторождение, горизонт, пласт Мухановское, угленосный, пласт I Покровское, угленосный, пласт Бг Зольненское, угленосный, пласт Бг.. Зольненское, пашийские слои, I горизонт Красный Яр, угленосный, пласт Бг Султангулово, ярус....

1,1 1,4 1,4 1,0 4,2 1, 1,0 0,9 1,2 0,9 1,1 1, 1,1 1,0 1, 1,1 1, 1, 1,2 1, 1,9 1,2 1,8 1, 1,9 2,1 1,7 1,1 2,0 3, 1,9 2,0 1,7 1,1 2,0 3, 1,7 1,7 1,7 1,3 1,9 3, 0,83 1, турнейский 1,1 1, 1,2 1, 0, 2,0 3, 1, Экспериментальные зависимости плотности от давления также удовлетворительно приближаются следующими формулами: Р = Ро I 1 — а?(Ро — Р)Ь Р = Р 0 е х р [ — а9(р0 — р)], (20.5) где ар — коэффициент сжимаемости жидкости при постоянной температуре Т. Значение коэффициента сжимаемости ар для нефтей разных месторождений колеблется в довольно широких пределах от 10" 5 до 3 1 10" am". Первая формула из (20.5) пригодна для относительно малых интервалов изменений давления р, а вторая — при значительных его изменениях. Экспериментальные зависимости плотности от температуры также имеют вид Р = Ро 11 - агт (То - Т) j, р = р о е х р [ -арт (То - Т)\, (20.6) где а?т — коэффициент изобарического расширения при постоянном давлении р. Формулы (20.5) и (20.6) существенны для пересчета плотности жидкости от атмосферных до пластовых условий. Коэффициенты а9 и а?т в определенных пределах изменения давления и температуры практически постоянны и находятся экспериментально. Предположение об идеальности природных газов оправдано в расчетах добычи газа на месторождениях с небольшими пластовыми давлениями (90—60 am) и отборами газа при депрессиях порядка 1—5 am. В настоящее время в практике все чаще встречаются месторождения с высокими пластовыми давлениями (200—350 am), которые иногда эксплуатируются (например, Шебелинское газовое месторождение) с очень большими депрессиями, доходящими до 140 am. В этих условиях необходимо учитывать зависимости вязкости газа 2,2 ц и коэффициента сверхсжимаемости газа z от давления. /' 2,0 На основании большого количества исследований по вязкости природных газов были составлены 1,8 корреляционные графики вязкости природного газа [95]. 1,6 Присутствие сероводорода, азота и углекислого газа приводит к увеличению вязкости газовых / /у смесей. /*2 Вязкость газовых смесей можно / также вычислить по следующей 1 формуле:

А /л 0, 'Л 0. 0, 0,4 1,0 р* Рис. 20. Характерные завпсимостп вязкости газа от давления для газоконденсатных месторождений Краснодарского края.

S (20.7) где ц с м — вязкость смеси;

[it — вязкость t-й компоненты;

ХГ — молярная доля -й компоненты в смеси;

Mt — молекулярный вес i-й компоненты. Таким образом, по формуле можно рассчитать вязкость природного газа, если известен его компонентный состав. С изменением приведенного давления р п р от 1 до 6 (т. е. примерно от 500 до 250 am) вязкость газов изменяется почти в 2 раза при Т п р = = 1,6. При других значениях Тпр эти изменения еще больше. Характерные зависимости вязкости газа от давления для газоконденсатных месторождений Краснодарского края приведены на рис. 20, где изображены зависимости ц/|л0 = / {/>*) —отношения вязкости газа (j, при давлении р к вязкости газа при атмосферном давлении — от безразмерного отношения р* = р/р0 по данным В. Н. Петрова (р0 — начальное пластовое давление). Экспериментальные данные зависимости вязкости газа от давления (рис. 20) показывают, что они также описываются (при Т = = const) зависимостями (20.1). Зависимость коэффициента сверхсжимаемости z природных газов от приведенных давления и температуры показана на рис. 21. График на рис. 21 построен Брауном [22] по данным Бумера, Джонсона, Месторождения: 1 — Сердюковское;

2 — Кансвскос;

3 — Майкопское;

4 — Ленинградское;

S — Старо-Минское;

6 — Кущевское.

12, 13, Рис. 21. Зависимость коэффициента сверхсжимаемости природных газов приведенных давлений и температур: а — до давления 700 ат\ б — при давлении от 700 ДО 1400 о т.

от Рис. 22. Зависимость коэффициента сверхсжнмаемости для чистого от давления п температуры: а — до давления 700 am;

б — при давлении от 700 Д 1400 am. О метана Сейджа, Леси и других для природного газа с относительным (по воздуху) удельным весом у = 0,63—0,65. Исследования Н. А. Тривус и др. [210] по экспериментальной проверке графика Брауна показали его применимость с точностью ± 4 % для природных газов с содержанием метана более 90% по объему, причем коэффициент сверхсжимаемости выше, чем по графику Брауна, и ближе к значениям коэффициента сверхсжимаемости для чистого метана, которые р,ат Рис. 23. Характерные зависимости коэффициента сверхсжимаемостп по газоконденсатным месторождениям Краснодарского края: 1 — Майкопское;

2—-Сердюковское;

3 — Челбасское;

4— Верезанское;

5 — Крыловское;

6 — Каневское;

7 — Ленинградское;

8 — Старо-Минское;

9 — Кущевское.

показаны на рис. 22. На рис. 23 приводятся характерные графики зависимости коэффициента сверхсжимаемости от давления по газоконденсатным месторождениям Краснодарского края. Как видно из графиков рис. 22, значения z при изменении рп? от 1 до 6 (т. е. от 500 до 250 am) отклоняются от z = 1 на 18% (для Тпр = 1,6). При других значениях Тпр указанные отклонения будут еще большими. Как и при рассмотрении коэффициента вязкости, при малых и больших изменениях давления можно принять следующие зависимости коэффициента сверхсжимаемости от давления _ 1 ~~ z0 dz dp' z (20.8) — p)}, -zoexp[—a,(po 1 uZ Представляет значительный интерес рассмотреть зависимость произведения \i*z от давления. Замечено, что в диапазоне практически встречающихся температур ТПГ) = 1,4 -г- 2,0 зависимость \i*z Стн-С5 от рпр можно представить в виде 0,022 >пр-р2п), (20.9) где о и г)? — коэффициенты, завиcf=0,75 — сящие от температуры. Значения ст 0,77 — 0,020 и г|з при различных величинах 0,80 Тпр приведены в табл. 14.

0, 0,83 0,85 0,87 „ 0,01В OfiW фо,б 0,85 \\ 0J33 -, 0,80^ 0,012 0,77^ WO f I л /W # Особые свойства присущи газу, находящемуся в химическом jj.,cnj. 0,025 0,020 f У 200 р, am 200р,агп Рис. 25. Зависимость вязкости смеси метан — и-гексан от давления: 1 — с учетом изменения состава газовой фазы;

2,3,4 — отклонения от кривой 1 при давлениях выше давления начала конденсации. Таблица 14 т пр 1,4 1.5 1,6 1,8 2,0 0,954 0,980 1,000 1,02 1,05 0,0442 0,0327 0,026 0,0183 0, Рис. 24. Зависимость произведения вязкости (х и коэффициента сжимаемости z смеси метан — м-пентан от давления при различных фазовых концентрациях метана в газовой фазе.

равновесии с жидкой фазой. Эти свойства становятся определяющими при фильтрации газоконденсатной смеси. В самом деле, выше отмечалась существенная связь физических параметров углеводородных газов от их компонентного состава (см. также рис. 24, где эта связь показана на зависимости вязкости газа от давления). Известно также, что условия химического равновесия таких систем, как «газ — жидкий конденсат», тоже изменяются с изменением давления. Поэтому при снижении давления в газоконденсатных смесях ниже давления начала конденсации (но выше конца ретроградного испарения) вязкость газовой фазы, ее сжимаемость изменяются вследствие общей зависимости вязкости газа неизменного состава от давления, а также изменения компонентного состава газовой фазы (рис. 25). Результирующей будет новая, еще более сильная связь параметров газа с давлением. При этом вязкость уменьшается с падением давления до давления максимальной конденсации, поскольку на этом участке в жидкую фазу переходят тяжелые компоненты, газовая фаза облегчается, но при дальнейшем снижении давления начинается обратное испарение, газовая фаза обогащается и вязкость ее растет. График на рис. 24 иллюстрирует соответствующий перелом зависимости вязкости газа от давления в точках начала конденсации. Подчеркнем, что этот эффект вполне аналогичен изменению хода кривой «вязкость — давление» газированной ЖИДКОСТИ при давлении насыщения.

Глава V ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРОЦЕССА ФИЛЬТРАЦИИ § 21. ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ВЫВОД УРАВНЕНИЯ УПРУГОГО РЕЖИМА ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА Элементарный вывод уравнения упругого режима фильтрации связан не только с введением гипотез о постоянстве горного давления, но и с пренебрежением анализа деформации. Поэтому различные типы локальной формулировки (18.4) гипотезы о постоянстве горного давления становятся эквивалентными, параметры пласта т = т (Ы, р) и к = к (а1, р) оказываются функциями одного давления то = = т (р), к = к (р). При этом необходимо либо определить фигурирующие в этих связях коэффициенты по натурным исследованиям пласта, либо находить их в лабораторных опытах, моделирующих пластовые условия. Большие снижения (увеличения) пластового давления происходят при одновременном уменьшении (увеличении) проницаемости пласта, в условиях нелинейной зависимости пористости пласта и параметров насыщающей пласт жидкости от давления (см. § 19). Поэтому часто возникает необходимость соответствующего обобщения линейного уравнения пьезопроводности (18.8). Ограничимся анализом обратных эффектов, будем рассматривать движения жидкости и газа в глубинных пластах в условиях нелинейно-упругого режима фильтрации. Уравнение движения жидкости будет иметь вид %r-±m{Wi-Ui). (21.1) Поскольку изменение порового давления и фиктивного направления — величины одного порядка, в слабо сцементированных средах (е <С 1) деформации переупаковки будут гораздо больше деформации ^ гидростатического расширения зерен. Тогда в уравнениях неразрывности можно пренебречь изменениями плотностей фаз <1-'») + -йГ(1-»»)«, = 0, ^ - + ^ 7 ^ = 0.

(21.2) Суммирование этих уравнений приводит к соотношению div и = = — divm (w — и), подстановка в которое связи (21.1) приводит к уравнению dxi ц axi дх;

• ^l.zaj В условиях нелинейных, но малых деформаций первое из уравнений (21.2) может быть представлено в виде дт... де де,. -*• и уравнение (21.2) принимает свой окончательный вид дт _ д к др ~дГ-~дх^ (1 dxt •, „.„ ^1-а> В сцементированных средах деформации переупаковки твердых частиц будут по своей величине сближаться с деформациями изменения объема частиц. Однако при этом можно пренебрегать скоростью перемещения твердых частиц (по сравнению со скоростью жидкости) всюду, кроме уравнений неразрывности (см. § 18). Тогда из уравнения движения (21.1) и уравнения неразрывности для жидкости (21.2) следует дт2 д кр2 _^Р_ dt — dxi ^ Г dxt • ( п, /ч ^1Л> Как видно, уравнение (21.4) отличается от (21.3) только тем, что в нем учитывается изменение плотности жидкости с давлением. Формальное внесение этого эффекта в уравнение (21.3) также возможно, и оно мало повлияет на решения, поскольку в слабо сцементированных средах в условиях постоянства горного давления зависимость пористости от порового давления будет преобладать. В связи с этим предположим, как это и делается обычно в неявном виде, что для любой степени сцементированности глубинных насыщенных коллекторов справедливо уравнение (21.4). Измеренные лабораторным путем функции т = т (р), к = к (р), р 2 = р 2 (р) дополняют уравнение (21.4) при условии, что в лаборатории моделировались пластовые условия деформирования образца. В рассматриваемом случае деформации должны происходить из-за снижения порового давления при неизменных обжимающих образец нагрузках (см. § 19);

это условие вызвано принятой здесь локальной формулировкой гипотезы о постоянстве горного давления, а также не требующей анализа нелинейных связей деформаций и напряжений (а также деформаций и пористости) элементарного вывода. Фильтрация капельной жидкости при относительно небольшом перепаде давлений [7,8]. Уравнение (21.4) дополняется при этом линейными соотношениями (18.20), (19.2), (1-9.5) и принимает вид. PI.5) -ат к) 1 дк.

+ Оценки показывают (см.§ 19),чтоЛх ^ 10~4 am"1, Л 2 **=* Ю~8 am 2. Поскольку рассматриваются такие фильтрационные потоки, в которых максимальное значение разности (р — р0) имеет порядок нескольких сотен атмосфер, то величиной Л 2 (р — р о )/ л 1 можно по сравнению с единицей пренебречь. Поэтому можно считать, что соответствующий процесс фильтрации в сжимаемых пористых средах будет описываться следующим нелинейным параболическим уравнением (21.6) где к = —. — обычный коэффициент пьезопроводности [241]. В то же время, судя по имеющимся экспериментальным данным (см. § 19), а = (10~3 ч- 10~4) am*1, a поэтому величина а (р —р0) может (например, в трещиноватых или глинистых коллекторах) достигать 0,1, а иногда и больших значений. В этих случаях следует пользоваться уравнением (21.5). Для изотермической фильтрации в аналогичных условиях реального газа, уравнение состояния которого р = p/zRT, уравнение (21.4) принимает вид + др т др / Р о ' ~~\ к др кд д (г др г д) др } р,' кп Параметр В = (1 -т- 3)-10~4 am"1. Поэтому для встречающихся на практике величин р коэффициент Вр будет настолько мал (по сравнению с единицей), что им можно пренебречь. Тогда уравнение (21.7) упрощается g ^ -g-} (21-8) В недеформируемой пористой среде изотермическая фильтрация идеального газа, как это следует из уравнения (21.8), будет описываться нелинейным уравнением «И. С. Лейбензона [131]:

др X д2р ~дГ~Т dXidxt ^-> УУ Аналогичные выкладки показывают, что политропическая фильтрация идеального газа (эффективное уравнение состояния (р/рп) = = const — показатель политропы) описывается уравнением i dt = * ^1, I+ v dxt dxt V= JL.

n ( 21.ю> x ' При фильтрации в условиях больших перепадов давлений линейные соотношения (19.20), (20.2), (20.5) следует заменить на экспоненциальные (19.19), (20.1), (20.5). Тогда для капельных жидкостей уравнение (21.4) принимает вид dt (21.11).

Если положить exp [p* (p — p0)] = ф, у = a/p\ то из уравнения (21.11) получим дуд^1 Л ^ (21Л2), dt dxt dx-i a Таким образом, неустановившаяся фильтрация капельной жидкости в деформируемом пласте описывается уравнением (21.12), вполне аналогичным уравнению (21.10) политропической фильтрации газа в недеформируемом пласте. При значении у = 1,0 уравнение (21.10) переходит в обычноеуравнение теплопроводности. Этот частный случай соответствует теории фильтрации сверхсжимаемой жидкости [140], предлагавшейся ранее для описания нестационарных процессов в напорных пластах. Фильтрация реального газа в деформируемом пласте при экспоненциальных соотношениях описывается, как это следует из уравнения (21.4), следующим уравнением:

где или [ ] (21.13) (.1.14) P==a m — az\ a = ak—a2 — a^ Обобщая указанные частные случаи, введем в уравнение (21.4) вместо давления новую переменную функцию Л. С. Лейбензона (Р)Р(Р) d (21Л5) Тогда получим -/. (р) 1 ^.= dt х *5_, dxi dxi ' (21,16) v ' (Р) 1 dp п == ? ~р~др~' т пп= 1 dm ' ' ~т~'~др~ Уравнение (21.16) можно назвать обобщенным дифференциальным уравнением нелинейно-упругой фильтрации однородной жидкости. В табл. 15 приведены значения и и 3° для различных случаев фильтрации жидкости и газа. Т а б л и ц а Характеристика свойства коллектора Значение функции в уравнении (21.16) Эффективное уравнение фильтрации 1 Линейные связи Капельные жидкости Экспоненциальные связи [1+«(р-Ро)1 т 0 Л! а 5ф др ко д + а(Р-Ро)]^ ко ^2ф сс - _.Lе(а~|3)(р~Ро) п 1" —л ф == sxp [8 {р ~~Ро)] Политропическая фильтраИдеаль- ция (п — поканый газ затель политропы) Недеформи- Изотермичеруемый ский процесс пласт 1+ Р ^ др* 1 fe0 5 2 p v + 1 at i + v m o ^ o a ^ 5p Л t 0 32p2 2т 0 ц 0 (?х Реальный газ, деформируемый пласт f (P) 2 (Р) A 1 a.-P k a*?

т (р) ц(р) Перейдем теперь к рассмотрению уравнений фильтрации смесей жидкостей и газов в деформируемых пористых глубинных пластах. Пусть пористая среда насыщена двухфазной жидкостью — смесью двух взаимонерастворимых жидкостей, на поверхности раздела между которыми действуют капиллярные силы. В силу этого давле ние в первой фазе рг отличается от р2 — давления во второй фазе на некоторую величину pk (S) = рг—р2, называемую капиллярным давлением, функцию объемной насыщенности S норового пространства первой фазой. Горное давление Г,;

- в пористом коллекторе будет уравновешиваться напряжениями в скелете среды и давлениями р1 и р а по предположению следующим образом: r, y = ( l - m ) a w - i » P 6 1 / f V = PlS + pt(l-S). (21.17) Здесь a,-y- — истинные напряжения в скелете среды;

Р — некоторое эффективное давление при двухфазном насыщении порового пространства. Введем фиктивные напряжения af;

-;

= aftl-P6ir (21.18) Ограничимся изучением постоянных нормальных компонент тензора суммарных напряжений: Г/;

- = const, i = j (см. § 18). Вследствие постоянства суммарных напряжений (горного давления) изменения фиктивных напряжений равны изменениям давления Р. Тогда в предположении о выполнении экспоненциальных связей (19.19) имеем к (Р) =? к ( А ) ехр (-aK(l-S) т (Р) = т ( Л ) ехр (-am(l-S) pK (S)) = к (pt) exp (aKpK (S) S), pk (S)) = т(р2) ехр (атРк (S)S). (21.19) Будем считать также, что плотность и вязкость жидкости, равнокак и коэффициент сжимаемости и вязкости газа, зависят от давления согласно экспоненциальному закону. Для простоты будем предполагать, что относительные проницаемости ft (S) при деформации порового пространства меняются несущественно (введение соответствующей поправки — см. § 19, — как легко видеть, не меняет хода последующего анализа). Тогда обобщенный закон Дарси можно записать в следующем виде:

Л ^i" ( l ( *-'*\ (s) (21.20) -a^, p \ (S) = U (S) e-"k ' s) "*, a, = ak + a? a (p _ о^г_ p^ ^ a s s _— grad e * - '~ \ (21.21), (5) = / 2 (5) e A " ft ( ), a 2 = a, + a f 2 - e ^.

Здесь и ниже к0, р°, fx°, т0 — значения параметров при р = р0. Кроме того, имеют место следующие соотношения: тр1 = /пор?ф1 (S) ехр [р\ (р1 — р0)], фх (S) = ехр \-ат (1 - 5 ) р к (5)], Рх = «т + вц. (21.22) Таким образом, для учета двухфазности насыщения порового пространства глубинного деформируемого коллектора нужно ввести •функции Fx (S), F2 (S), ф (S), ф 2 (5), первые из которых являются •обобщением фазовых проницаемостей. Если теперь подставить выражения (21.20) — (21.23) в уравнения неразрывности для каждой из жидких фаз \-S) +div(pw) = 0, (21.24) то получим систему нелинейных уравнений, описывающих движения •двухфазной капельной жидкости при упругокапиллярном режиме в деформируемой пористой среде -^- C % (S) е 3 '(Pl~Po)) = D\ div (F1 (S) grad e"1 (Pl ~ Po) ), -^- ((l — S) ф2 (5) e'9'(p2~Po)) = Z f div (F 2 (5) grad e " 2 ^ " ^ ), > p x = p.2-\- pK (S), Df = k° ( ц ^ я Л ^ ) " 1.

Могут существовать потоки двухфазной капельной жидкости, в котором одна •из фаз вследствие ее малой насыщенности неподвижна (например, поток нефти в пласте с таким малым количеством пластовой воды, что в скважины вода не поступает;

в этом случае о ее наличии удается судить только путем анализа -отобранных образцов горной породы — так называемая погребенная вода). При этом расход одной из фаз равен нулю и будет выполняться условие сохранения массы этой фазы в элементарном макрообъеме, т. е.

(21.25) где А (ж) — функция, определяемая исходным распределением второй фазы в пористой среде. Соотношение (21.26) связывает насыщенность S с давлением рг, что, вообще говоря, позволяет исключить, например, давление р1 из уравнения 4- (5ф1 ( 5 ) e P l (p'-"°)) = Dldiw (F2 IS) grade" 1 C'-P»>). (21.27) at Если теперь пренебречь капиллярным давлением, а также положить P t = Р 2, то ф х (S) = ф 2 (S) = 1, а уравнение (21.27) переходит в следующее: 7 =у, "=е3(р-'Ч (21.28) которое при /j я« const сводится к нелинейному уравнению упругого режима фильтрации однородной жидкости. Уравнения фильтрации газожидкостной смеси (газ предполагается не растворимым в жидкости) имеют вид -^ {5 Ф 1 (S) Ple ?i С'-Р"'} = D\ div {Fx (S) P l grad e " <'•-*•>}, (21.29) JL { ( 1 - 5 ) fa (S) ep« (Р'-Р»Ц = D% div {/2 (5) grad e"2 «P»-*)}, где ai = aA. — a r — o^;

Pi = a m — a z. Рассмотрим течения смеси с постоянным расходом газа, при которых div {Fi (S) P l e a « ( p ' - p o ) grad P l } = 0.

(21.30> Если расход газа равен нулю (выполняется условие остаточной газонасыщенности), то либо давление в газе рх постоянно (что позволяет, как и при фильтрации смеси капельных жидкостей, сделать вывод о потенциальности установившихся течений), либо относительная газопроницаемость равна нулю — / (S) = 0. Неустановившееся движение жидкости при неподвижном газе будет описываться уравнением JL \tt—S)

e P. (Po-P)\ g r a d e «. (Р-Ро)| _ Уравнение (21.34) еще больше упрощается, если считать жидкость несжимаемой, а газ идеальным (т. е. Р 2 = р х ). Наконец, уравнение нестационарной фильтрации в недеформируемой пористой среде с защемленными пузырьками идеального газа (например, в заводненных газосодержащих пластах) будет иметь вид div Л |ф grad p # j (2135) Таким образом, возмущение давления в такой среде распространяется так же, как при упругом режиме фильтрации со следующими характеристиками:

Если защемленной оказалась жидкость, то распределение давления в газе будет описываться уравнением -^ {5 Ф 1 (S) р^' (1-5) <"'-"•)} =h\ (5) exp {p2 div {Fi (S) Pl grade" <•*'-"•>} (p2-po))=A(x).

(21.37) ф Если считать пласт и жидкость несжимаемыми, а газ идеальным, то уравнение (21-37) упростится (21.38) Где 5 = 1 -А (х).

Отсюда видно, что при этих условиях капиллярные силы будут влиять на фильтрацию газа, а присутствие жидкости проявляется в уменьшении пористости и проницаемости по следующему закону: m=m0S = m0{i-A(x)};

k = koh (S) = kof [1-A (*)}. (21.39) Течение взаиморастворимых газожидкостных смесей характеризуется тем, что в процессе движения изменяется компонентный состав фаз. Если течение достаточно медленно, то можно предположить наличие локального термодинамического равновесия газовой и жидкой фаз. Тогда для замыкания получающейся системы уравнений можно воспользоваться условиями равенства химических потенциалов фаз (см. примечание на стр. 35). Если для рассматриваемого пласта существенны нелокальные эффекты, то необходимо использовать вместо условия (18.4) нелокальную формулировку (18.3) гипотезы о постоянстве компонент горного давления. Представим в этом случае пористость т в виде линейной функции т = т0 { 1 + а (р —р0) — Ъ (of — af0) } отf клонений порового давления р и эффективного давления o в скелете горной породы от их стационарных значений р0 и of. Подстановка указанной связи в уравнение неразрывности для жидкости (21.2) при обычном пренебрежении скоростью смещения твердых частиц приводит при линейно-упругой фильтрации однородной жидкости к следующему уравнению:

(2140) Здесь введены также распределенные источники и стоки G (xit t), иммитирующие работу скважин, а' = — б' = — (а[, + о[г + о,{)/3. Если подставить в нелокальное условие (18.3) выбранный экспоненциальный вид функции влияния, то получим [170] (пользуясь элементарностью рассмотрения) условие, связывающее эффективное и норовое давления, в виде оо a (xt, t) + J L ^ exp ( - ^ -oo { ИЛИ. oo f (Xi 1=1, ~Jd*\ P (*''• ') d * i d ^ = Г fo) ( 2 L 4 1 > J Z /=1,' \ J P (*t. at / Для построения ряда решений системы уравнений (21.40), (21.42) удобно воспользоваться интегральным преобразованием Фурье [207], например, Р=/ *=-ГН — oo Р (Xit X ;

t]eiixt+ir * ""dXidXii • • • Тогда система уравнений в частных производных (21.40) и интегральная связь (21.42) перейдут в систему обыкновенных дифференциальных уравнений где F&, T]) = e x p { Если Р о = Lp (г,-, < = 0), то общее решение системы (21.43) имеет вид Р = Р о (Б, г,) е ^ ' ^'> А + / X (Б, Л. х) 4 е - ( ^ ^ о -^- = 1 —ш(1—/").

(21.44) При рассмотрении осесимметричных течений условие (21.41) следует преобразовать. Для этого нужно записать условие (21.41) в полярной системе координат (г, ф), а затем воспользоваться условием независимости локальных приращений о1 (г, t), p (г, t) от полярного угла ф, что характерно для течений с осевой симметрией. Воспользовавшись известным равенством получим со ij(^)(!^±Pi) 0, (21.45) где / 0 — функция Бесселя мнимого аргумента. Для построения конкретных решений в этом случае следует пользоваться интегральным преобразованием Ханкеля (см. § 24).

§ 22. ФИЛЬТРАЦИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ТРЕЩИНОВАТО-ПОРИСТЫХ СРЕДАХ Часто в горных породах, помимо первичных (межгранулярных), относительно мелких пор, имеются гораздо более крупные вторичные поры, представленные отдельными или же соединенными между •собой трещинами и кавернами {более позднего механического или химического происхождения). Эти породы математически моделируются средой с двойной пористостью [81, у которой отдельно взятые первичные поры составляют сплошное пространство с пористостью тг и проницаемостью кг, и аналогично вторичные поры — взаимопроникающие с первым пространство пористости т а и проницаемости к2. Кроме того, допускается переток жидкости из одной •системы пор в другую. Систему вторичных пор допустимо рассматривать как сплошную среду, если только их характерный микромасштаб (средняя длина трещин, диаметр каверны) гораздо меньше масштаба рассматриваемых областей движения [17, 18]. Для описания процесса фильтрации капельной жидкости в средах с двойной пористостью (в предположении о взаимонезависимости деформирования систем первичных и вторичных пор) было предложено [171 воспользоваться системой уравнений ^ ^ Р2), (22Л) (22.2), здесь рг и р2, р и е 2 р, егк ж к — давления, эффективные сжимаемости в элементарном микрообъеме, проницаемости систем соответ1 ственно первичных и вторичных пор;

х = /с/ц-р;

т = 1ф/а0;

\х — вязкость жидкости;

а 0 — мера интенсивности обмена жидкостью между системами трещин и блоков. Эта система эквивалентна ранее предлагавшейся Л. И. Рубинштейном [193] системе уравнений распространения тепла в гетерогенной сплошной среде. Для скоростей движения (фильтрации) жидкостей по каждой отдельной системе пор здесь использованы соотношения закона Дарси W * = ~I T grad ft' * W = ~J grad p *> ( 3) а для интенсивности перетока жидкости q формула ? =^P(P2-Pi). (22.4) Элементарный анализ силового взаимодействия систем первичных и вторичных пор показывает [7], что под внешним воздействием вначале деформируется система вторичных пор, причем истинное напряжение этой системы играет роль внешней нагрузки для системы первичных пор. Учет этого обстоятельства приводит [8] к несимметричной системе уравнений в отличие от (22.1)—(22.2). Более строгое рассмотрение требует развития теории деформирования сплошной среды с двойной пористостью. Среды с двойной пористостью характеризуются, как правило, гораздо большей проницаемостью системы вторичных пор, т. е. условием г1 < 1. Следует различать трещиноватые пористые среды, С в которых s a « 1 — вторичные поры представлены системой трещин с пренебрежимо малым (по сравнению с первичными порами) суммарным объемом порового пространства, и кавернозно-трещиноватые 1 пористые среды, в которых е 2 ^ 1 — вторичные и первичные поры содержат объемы жидкости одного порядка. В работах [17, 18] при рассмотрении фильтрации в трещиноватых пористых средах (е1 <^ 1, е 2 <^ 1) рекомендуется пренебрегать в системе (22.1)—(22.2) членами, умножаемыми на величины e l t e 2, т. е. пользоваться упрощенной системой: *VV2 = ^, к ^р,-И^.

= (22.5) или же уравнением относительно давления р2 в трещинах 2 (22.6) Покажем, что система (22.5) эквивалентна системе (22.1)—(22.2), если характерные изменения давления в блоках и трещинах являются величинами одного порядка, т. е. если рг = Ррг, р 2 = Ррг, pL —. р 2 «й 1. Введем линейный масштаб L и масштаб времени Т области, где изменяются давления в среде на характерную величину Р. Тогда система уравнения (22.1)—(22.2) запишется в безразмерных переменных рх, р2, xL, t в виде (22.7) В просто кавернозных пористых средах вторичные поры взаимоизолнрованы. 2 Здесь по сравнению с [11, 17, 18] индексы 1, 2 обмепялись местами как и в работе [324], теперь индекс 1 соответствует системе первичных пор (блоков), индекс 2 — вторичных (трещин).

Отсюда видно, что членами с коэффициентами e l t е 2 можно пренебречь, если - L ~ 1, - 1 ^ 1, т. в. Ь~1ЛЙ, (22.8) причем первая оценка следует из первого из уравнений (22.7), а вторая из второго. Рассмотрим теперь случай, когда изменения давления р2 в трещинах гораздо больше изменений давления рг в блоках, т. е. когда р2 = Ppz, Pi — sPpi, с <^ 1, рх ~ р 2 ~ 1. Пусть эти изменения давлений происходят в области масштабов L o, T o. Тогда система уравнений (22.1)—(22.2) представляется в виде (22.9) и показывает, что при этом можно полагать гг = 0, но нельзя пренебрегать членом, в коэффициент которого входит множитель е 2. Если считать, что е 0 я» е2, то из уравнений (22.9) следует оценка масштабов Т о, L o области рг ^ е 2 р 2 :

- ^ ~ е 2 ;

1 ° ~ е 2 ;

т. е. L o ~ / ^. (22.10) При этом уравнения (22.1)—(22.2) могут быть сведены к следующей разделяющейся системе: (22.11) fc --.,, n.

UO I я, —' Наконец, если изменения давления р1 в блоках гораздо больше изменений давления в трещинах (рг — ^ p j, р 2 ~ еРр 2, р х — р 2 "-^ — 1, Е<С 1). то аналогично получаем систему безразмерных уравнений и при E ^ C J соответствующую оценку масштабов L*, Т^: i^._J_.

. l t ~ i, т. е. L..~V^ (22.13) Из системы (22.1)—(22.2) следует, что в области L*, Т„. справедлива следующая упрощенная также разделяющая система уравнений:

, 1v (22.14) ^ x x dt Таким образом, в трещиновато-пористых средах в весьма малые интервалы времени Т о = те 2 < т фильтрация происходит согласно С уравнениям (22.11) — давление р2 в трещинах в области пласта L o — L — l/хт перераспределяется согласно уравнению пьезопроводности (со стоком в блоки) при эффективном коэффициенте пьезопроводности х 0 = — ^> х. При описании этого начального быстрого изменения давления в системе вторичных пор можно пренебречь проницаемостью блоков. Дальнейшие (при Т ~ т) изменения давлений ри р2 в той же области L — У х т описываются системой уравнений (22.5) — по среде будет распространяться волна давления с запаздыванием т (см. ниже) при коэффициенте х, определяемым сжимаемостью блоков и проницаемостью трещин [17]. Поскольку эта вторая волна распространяется в области L, Т, где давление р 2 в трещинах уже возмущено, то начальное условие для уравнения (22.6) относительно р 2 изменится (по сравнению с начальным условием для системы (22.1)— (22.2) — например, с физически ясным условием покоя р х = р 2 = = р0) и определится как асимптотическое (при t —• оо) решение > системы (22.11). Факт как бы мгновенного изменения давления р а при использовании системы (22.5) отмечался в работе [74], а позднее — в [11]. В это же характерное время (Т — т) в узкой зоне пласта L* ~ — У BiXT < L около возмущающей границы будет существенно C меняться давление p j в блоках согласно уравнениям (22.14), тогда как изменения давления р2 в трещинах здесь менее существенны. Эффективный коэффициент пьезопроводности в системе (22.14): х* = = хе х — определяется пористостью и проницаемостью блоков. Для области L, Т этот процесс происходит как бы только на границе и можно приближенно считать его одномерным, происходящим вдоль оси х, направленной по нормали к границе. Если проинтегрировать второе уравнение (22.14) по х, то получим е2/с Г а Р 1 - ] с о _ apt, pi (,,, где pi — среднее по области L* давление в блоках.

При рассмотрении системы уравнений (22.5) в области L, Т проницаемостью е2к пренебрегается. Этому соответствует условие х„. = = 0 — уравнение (22.15) упрощается M dt ' t L = Q.

"• (22.16) Интегрирование уравнения (22.16) при начальном условии Pi (* = 0) = Ро и конечном р\ (t -> оо) = р0 дает для промежуточного момента времени t соотношение pt = P0 + (p0-P0)exv(-t/T), (22.17) которое можно рассматривать как эффективное граничное условие для давления р1 в блоках, вычисляемого для области L, Т по системе (22.5) или же по уравнению р! = 0, L = -^— ит-^-v 2 —XV2> (22.18) совпадающему, как отмечалось [11], с уравнением (22.6) относительно давления р 2 в трещинах. Таким образом, различие хода изменения давлений р1 и р2 в области L, Т заключается в различии граничных и начальных условий.

Соотношение (22.17) можно получить из закона сохранения для системы (22.5), как это было выполнено для математически аналогичных задач в работах [25, 157]— см. также [74], и формально — из уравнения (22.18) — см. [18] и исправление [11]. Однако эффективное уравнение для давления р 2 имеет тот же вид, что и (22.18), а потому исследование одного уравнения Lp = 0 недостаточно для нахождения правильного ответа — система (22.5) не эквивалентна в отдельности уравнению (22.18) или (22.6). В самом деле, как показано в работе [18], применение закона сохранения к уравнению Lp = 0 (на данном этапе не будем уточнять, относительно какого давления составлено это уравнение), т. е. интегрирование его по области — f e ^ z ^ s j u, 0 =gc =g: T приводит к равенству h Т x=+h дх x=-h dt = O, (22.19) которое в обычном предположении об ограниченности функции р (х, f) при h -* О, непрерывности функций во времени и о произвольном выборе интервала Т сводится к уравнению относительно величины скачка нормальной производной у границы. Если провести ту же операцию интегрирования, предварительно умножив уравнение Lp = 0 на х, то аналогично получится уравнение относительно величины разрыва самого давления: х — [р] + [р] = 0. 208 (22.21) Если теперь формально проинтегрировать [18] уравнения (22.20) и (22.21), то результатом будут соотношения, определяющие интенсивность затухания первоначально возникшего разрыва [р0] и [др/дп]0 во времени:

Чтобы решить вопрос, для какого именно давления (рх или р2) справедливы соотношения (22.22), необходимо исследовать на разрыве связь давлений Р! И р 2, дополняющую уравнение (22.6) или (22.18). В самом деле, применяя ту же операцию интегрирования к первому из уравнений (22.5), получим [^]-0.

(22.23) Поэтому уравнение (22.20) относительно давления р 2 в трещинах вырождается — оба его слагаемых в отдельности тождественно равны нулю, т. е. скачки производной от давления в трещинах как при обычных процессах теплопроводности размываются мгновенно. Умножая предварительно это уравнение на х, получим Ы = 0, (22.23а) т. е. скачки самого давления в трещинах также мгновенно размываются. В то же время уравнение д как нетрудно видеть, именно в силу (22.23)—(22.23а) приводит к соотношениям (22.22) для давления в блоках pL. Из возможных физически оправданных постановок краевых задач предпочтение, по-видимому, надо отдать построению решений для давления р2 в трещинах при учете их сжимаемости е 2 р =f^ 0. * Действительно, именно градиент давления рг определяет внешний приток жидкости в среду, а сохранение сжимаемости е 2 Р =^= О позволяет не менять физически понятных начальных условий на асимптотику решений второго из уравнений (22.11). Более того, именно эта эффективная система уравнений iP?

_vn (22.24) описывает при конечных значениях параметра е 2 фильтрацию однородной капельной жидкости в кавернозно-трещиноватых пористых средах. Фильтрация газа в трещиновато-пористых средах рассматривалась в работе [68], где для идеального газа интенсивность перетока между системами вторичных и первичных пор задавалась в виде линейной формулы относительно перепада квадратов давления p\-p\), (22.25) а движение в каждой из систем происходило по обычным законам изотермической фильтрации газа. Тогда эффективная система уравнений, согласно [68], имеет вид (22.26) Соответственно для кавернозных трещиновато-пористых система (22.26) должна быть модифицирована к виду Л ^1.

П сред 2_ —-\ PPT^^-f—4VP2 {МЛ) Попытка построения системы уравнений, описывающей фильтрацию газа в трещиновато-пористых коллекторах, была предпринята 1 Гуднайтом, Фаттом и Клыковым. Однако вместо формулы (22.25) ими задавался физически неоправданный линейный относительно перепада самих давлений закон: q «*/>!—р2- В статье [12] соотношение (22.25) было обобщено на случай реального газа (p)dp. (22.28) П 2|„ Л д Рг _ nrl n i (9997) Там же имеются предложения по поводу построения системы уравнений фильтрации многофазной жидкости в трещиноватых пористых средах [12]. Уравнения фильтрации однородной жидкости в средах с двойной пористостью при учете нелинейно-упругих эффектов выписывались впервые в книге [8]. Если принять предположение об экспоненциальных связях проницаемости и пористости обеих систем пор с соответствующим давлением к, = ко,е-аы ("»-"<), т, = mofi^ni (*•""<> и аналогичное предположение относительно плотности и вязкости жидкости, то для интенсивности перетока q можно предположить [53] формулу _ А (р) 1 г -«1 (Po-Pi) _-«i (Po-Pi)l zoo 9Q где а х = akl + а? — а^. Выражение (22.29) учитывает тот факт, что сопротивление потоку оказывает система пор (блоков). Введем обозначения 1 R. G. G о о d k n i g h t, W. А. К 1 i к о f f, J. H. F a t t. Non-steady Slate Fluid Flow and Diffusion in Porous Media Containing Dead — End Pore Volume. J. of Phys Chem, vol 64, No. 9, September, 1960.

тогда уравнения фильтрации будут иметь вид 1 — dt х (22.30) Yl п=a 2 e,=t= В дальнейшем будем считать, что А (р) = const. Пренебрегая проницаемостью блоков по сравнению с проницаемостью трещин (что оправдано вдали от возмущающих границ), получим систему dt.

nx 1 2 — — («i — "2) = (22.31) y^dt i Э. А. А в а к я н, А. Т. Г о р б у н о в, В. Н. Н и к о л а е в с к и й. Нелинейно-упругий режим фильтрации жидкости в трещиновато-пористых пластах. В кн. «Теория и практика добычи нефти». Ежегодник, М., изд-во «Недра», 1968.

Глава VI ОСНОВНЫЕ МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ РЕШЕНИЯ § 23. СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ Стационарная фильтрация жидкости или газа описывается — см. уравнение (21.16) — уравнением Лапласа относительно соответствующей (см. табл. 15) функции Лейбензона: V2<^ = 0. (23.1) До самого последнего времени при изучении стационарных течений, как правило, пользовались предположением о независимости параметров пласта, а также жидкости и газа от давления. Однако отмеченные выше упругие свойства среды, а также жидкости и реального газа сказываются на характере установившейся фильтрации. Решая уравнение (23.1) для плоско-радиальной стационарной фильтрации, получим r _2nkapoh In (Л,/гс) 1п(Дк/гс) Р» Ро где !Р0 = & (р0);

р0 — некоторое стандартное (например, начальное давление отсчета);

h — мощность пласта;

Rk, rc — внешняя п внутренняя круговые границы области движения (Rk — контур питания;

гс — радиус скважины), pk = p (Rk) — текущее пластовое давление;

рс = р (гс) — давление на забое скважины;

G — массовый расход (дебит скважины);

А;

о, ;

доРо — значения параметров при р = = РоФункцию & можно вычислить при задании аналитического вида зависимостей к (р), \i (p), p (р). Экспоненциальной зависимости параметров пласта и капельной жидкости от давления соответствует связь Р = (к/а ехр ( — а Л ) При этом формула (23.2) принимает вид Ь —о о1п(Дк/гс) W-6> Здесь предполагается, что текущее пластовое давление р^ отличается от начального pQ. Если же в качестве давления отсчета брать само текущее давление, то выражение (23.3) упрощается _ 2nk0p0h I— e~" (Ро ~ Рс) **~ ио о1п(Д к /г с ) ' r,„о /ч ^°-^ При стационарной фильтрации жидкости при плоско-параллельном движении (приток к галерее) дебит жидкости определяется по формуле j ± (235) где — длина пласта (расстояние между галереями);

F — поперечное сечение пласта. Соответственно при р0 — рК получаем Формулы (23.3)—(23.6) соответствуют процессу стационарной фильтрации упругой жидкости в упругой (деформируемой) пористой или трещиноватой среде. Когда на проницаемость пласта, а также на плотность и вязкость жидкости не влияет давление (т. е. когда а = 0), из этих зависимостей получаются обычные формулы стационарного дебита скважины. Для этого достаточно раскрыть получающиеся в этих формулах неопределенности по правилу Лопиталя, что сразу приведет к известным линейным формулам Дюпюи и Дарси. Рассмотрим теперь распределение давления в пласте при фильтрации в нем жидкости в условиях плоско-радиальной и плоскопараллельного движений, которое описывается следующими формулами: In г/г, _ е-'( р о - р к>-е- я ( р °- р ) х е-С'-^-е-0*^ т гс е -'(Р'-Рк)е-"(Р'-Рс) ;

L 'е-«(Р'-Рк)е-*(Р'-Рс) ' ( ' где р — давление на расстоянии г от оси скважины или на расстоянии х от начала галереи. Случай а = 0 соответствует обычной линейной формуле Дюпюи. При задании функции Лейбензона в виде 3* = [1 — а (р0 — р)п (1/па) для осесимметричного движения имеем Q _ 2Kk0p0h (.to [ 1 — а (ро — Рк)]" — [! — « ( Р о — Рс)]" ап1п(Д к /г с ) (93 8) и для плоско-параллельного движения Г _ c fc »Po [1 —«(Ро —Рк)]" — [! —« (Ро—Рс)] я U /оо п\ ~* (хо Ш. * ^д-У> Из зависимостей (23.8)—(23.9) при п = 2 получаются формулы, соответствующие линейным соотношениям (см. табл. 15) параметров пласта и свойств жидкости от давления [7]. При п — 3 из зависимостей (23.8)—(23.9) имеем формулу, предложенную Д. Н. Кузьмичевым [114], при п = 4 — формулу, предложенную Ю. П. Желтовым [67]. При стационарных течениях реальных газов в упругих (деформируемых) средах следует учитывать зависимости свойств пласта (проницаемости) от давления, а также реальных свойств газа (вязкость и коэффициент сжимаемости) от давления. В предположении об экспоненциальном характере зависимостей параметров пласта и свойств газа от давления формула для стационарного объемного дебита газовой скважины при осесимметричном движении будет а2 In (RK/rc) (23.10) Стационарный объемный дебит газовой скважины в предположении о линейной зависимости параметров пласта и газа от давления (т. е. п = 2) соответственно будет равен v (Рк —Рс) (xozo In (Д к /г с ) Исследуем влияние параметра а на стационарный плоско-радиальный поток по формуле (23.11). Введем следующие обозначения: In Дк Рс Рк при этом формулу (23.11) можно записать так: Q* = (1 _ pi) [3 (1 + рщ) + арк (2р\ - р, — 1)]. (23.12) Сравним теперь значения безразмерного дебита Q* при различных значениях р* и безразмерного параметра ар к (табл. 16).

Таблица Р.=РС/РК 0,9 0,7 0,5 0,3 0, 1,0 2,0 0,57 0,29 0, 1,53 0,81 0, 2,25 1,25 0, 2.73 1,61 0, 2,97 1,89 0, Как видно из табл. 16, влияние реальных свойств пласта и газа на величину дебита Q* довольно значительно.

Рассмотрим задачу о стационарном потоке газированной жидкости в сжимаемом пласте. На первый взгляд может показаться, что учитывать сжимаемость пласта в этом случае не следует, так как сжимаемость газа на несколько порядков превосходит сжимаемость пористой среды. На самом деле, как это будет показано ниже, во многих случаях такой учет необходим, поскольку при сжатии пласта изменяется его проницаемость. Установившееся движение газированной жидкости описывается решениями системы уравнений, неразрывности для жидкости и газа при учете двухкомпонептного состава только жидкости (23.13) =0. (23-14) здесь а (р) — масса газа, растворяющегося в единице объема жидкости при повышении давления на 1 am;

р — плотность жидкости. Первый член в квадратных скобках в уравнении (23.14) определяет массовую скорость газа, находящегося в свободном состоянии, а второй член — массовую скорость газа, растворенного в жидкости. При давлении р, равном или большем некоторого давления насыщения р+, весь газ в поровом пространстве оказывается растворенным в жидкости, т. е. при р ^ р+ имеют место следующие ->соотношения: 5 = 1 ;

fi(S, р) = 1;

/ 2 (5, р) = 0, ш» = 0. Положим, что при р За р+ имеет место равенство: а (р) = а (р+)/р. Это значит, что при любых давлениях выше р+ количество газа, растворенного в жидкости, остается постоянным. Уравнение (23.13) можно записать также следующим образом:

• Воспользуемся теперь методом С. А. Христиановича [220], а именно, преобразуем уравнение (23.15) Это означает, что величина (Р) | Р h{S, | "•" р р "•" р h (S, р) |х2 (р) постоянная вдоль линии тока. Если на какой-нибудь замкнутой кривой, ограничивающей рассматриваемую область пласта, величина р не изменяется (например, р = р + ), то Г = = const в данной области. Внутри этой области соотношение Г = const является уравнением, связывающим между собой насыщенность S и давление р. Тогда уравнение для движения жидкости можно записать следующим образом:

Г== Z-!iS^EAe'(p-p+)MS(P), p)gradp, (23.17) где ay = a j прир > р + иа у - = а г при р << р+. Различные значения параметра a справа и слева от точки отражают тот факт, что свойства жидкости (скорость изменения вязкости и плотности) резко изменяются с началом выделения газа (см. § 20). Соотношение (23.17) можно представить в виде <#),, (р) = j е"' - " (р +) Л (5 (р), р) dp. (23.18) Подставляя соотношение (23.18) в уравнение неразрывности, получим что функция 3" удовлетворяет уравнению Лапласа во всей области пласта (при Р> Р+, Р = Р+). Легко выписать формулу для величины притока массы жидкости к скважине где Q — дебит скважины;

рс, р0 — давление соответственно на стенке скважины (г — Я с ) и на контуре питания (г = Л к ). Формулы установившегося радиального притока однородной жидкости Gx к линии разгазирования R+ и газированной жидкости G2 к стенке скважины Яс имеют вид 1— G х _ Но a In (RK/R+) ' а ln{R+/rc) у + с/ ' ч ' Вследствие неразрывности потока Gx — G2 = G. Приравняв соотношения (23.20) и воспользовавшись правилом производных пропорций, имеем л (л \\ „—<* (Ро—р+)\ в / l s _1 O-rri- h i Ф р~^Э1/1+« \*г + Ф\ ^с' s, (23.21) где ft0 и к+ = к0 ехр {—afc (р о — р+) }—проницаемости давлениях соответственно р 0 и р +.

пласта при пластовых Исследуем установившиеся движения капельной двухфазной жидкости, при которых капиллярными силами из-за высоких значений градиентов фазовых давлений можно пренебречь, т. е. =-^ ^ ^ PiZ2 = Отсюда h (S) е - <"""«> grad p, (23.22) /. (5) в», (Р-Р.) grad p.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.