WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Оренбургский государственный

университет» Кафедра алгебры и геометрии Е.М. МОЗАЛЕВА КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Оренбургский государственный университет» Оренбург 2004 3 ББК 22.14 я7 М 74 УДК 511.14: 512.64: 514.742.2 (07) Рецензент кандидат физико-математических наук, доцент Л.М. Невоструев М 74 Мозалева Е.М. Комплексные числа. Линейная и векторная алгебра: Методические указания и контрольные задания.- Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004.– 60 с.

Методические указания содержат основные теоретические сведения по следующим разделам: комплексные числа, линейная алгебра, векторная алгебра, также приведены иллюстративный материал и система замечаний учебно-методического характера, полезных для студентов. В конце каждой главы первого раздела помещены вопросы для самопроверки. Изложены методические указания для решения контрольных работ и система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10 вариантов. Методические указания предназначены для студентов заочного отделения инженерно-технических специальностей.

ББК 22.14 я © Мозалева Е.М., 2004 © ГОУ ОГУ, Введение Цель преподавания математики в вузе – ознакомить студентов с основами математического аппарата, необходимого для решения теоретических и практических задач;

привить студентам умение самостоятельно изучать учебную литературу по математике и ее приложениям;

развить логическое мышление и повысить общий уровень математической культуры;

выработать навыки математического исследования прикладных вопросов и умение перевести задачу на математический язык. Теоретическая часть методических указаний включает следующие разделы: комплексные числа, элементы линейной алгебры, векторная алгебра. Методические указания имеют следующую структуру. В первом разделе приводятся соответствующие теоретические сведения (определения основных понятий, формулы, теоремы, правила, методы), также содержатся иллюстративный материал и система замечаний учебно-методического характера, полезных для студентов, изучающих курс линейной алгебры. В конце каждой главы раздела помещены вопросы для самопроверки. Во втором разделе изложены методические указания для решения контрольных работ. В третий раздел входит система контрольных заданий, причем каждое задание содержит по 10 вариантов. Распределение вариантов контрольных работ и сроки их предоставления доводит до сведения лектор потока или учебная часть факультета. Контрольная работа выполняется в отдельной тетради или на листах формата А4. Титульный лист оформляется в соответствии с СТП 101-00. Решения задач необходимо приводить в той же последовательности, что и в условиях задач. При этом условие задачи должно быть полностью переписано перед ее решением. В проверенной зачтенной работе студент должен исправить отмеченные преподавателем недочеты и учесть его рекомендации. Если же работа не зачтена, то она выполняется еще раз и отдается на повторную проверку. Зачтенные контрольные работы защищаются студентом перед сдачей зачета или экзамена.

1 Основные теоретические сведения Глава 1 Комплексные числа §1 Комплексные числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме В школе рассматривают следующие числовые множества: N Z Q R. Во множестве действительных чисел не всегда выполнима операция извлечения квадратного корня (например, нельзя извлечь квадратный корень из отрицательного числа). Расширим множество R до такого множества, в котором существует значение квадратного корня из любого отрицательного числа. Для этого введем понятие комплексного числа. Определение. Комплексным числом z называется число вида z = a + bi, где a, b R, i называется мнимая единица, определяемая равенством i 2 = или i = 1. Определение. Число a называется действительной частью комплексного числа z и обозначается a = Rе z ;

число b называется мнимой частью z и обозначается b = Im z. Если a = 0, то число z = bi называется чисто мнимым, если b = 0, то z = a – действительное число, поэтому множество R является подмножеством множества всех комплексных чисел С, то есть R C. Определение. Два комплексных числа называются равными, если равны их действительные и мнимые части соответственно. Определение. Число z = a bi, отличающееся от числа z = a + bi только знаком при мнимой части, называется сопряженным комплексному числу z. Геометрически каждое комплексное число z = x + yi изображается точкой ( x;

y ) координатой плоскости ( xOy ). И наоборот. Определение. Координатная плоскость, точки которой изображают комплексные числа, комплексной плоскостью и называется обозначается C. Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости следующие комплексные числа: z1 = 2 + 3i A(2;

3) z 2 = 3 + i B( 3;

1) z3 = 4 C (4;

0) Рисунок z 4 = 3i D(0;

3) См. рисунок 1.

Так как на оси Ох откладываются действительные части комплексных чисел, поэтому ось Ох называется действительной осью, а на оси Оу – мнимые части, поэтому ось Оу называется мнимой осью. Замечание. Комплексные числа можно изображать и с помощью радиус– векторов, а именно: число z = x + yi изображается вектором OM, имеющим начало в точке O(0,0) и конец в точке M ( x, y ). Определение. Запись числа z в виде z = a + bi называется алгебраической формой комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме Арифметические действия над комплексными числами z1 = a1 + b1i и z 2 = a2 + b2i, определяются следующими равенствами: 1) (a1 + b1i ) + (a 2 + b2 i ) = (a1 + a 2 ) + (b1 + b2 ) i ;

2) (a1 + b1i ) (a 2 + b2 i ) = (a1 a 2 ) + (b1 b2 ) i ;

3) (a1 + b1i ) (a 2 + b2 i ) = (a1a 2 b1b2 ) + (a1b2 + b1a 2 ) i ;

4) (1.1) (1.2) (1.3) a1 + b1i a1a2 + b1b2 b1a2 a1b2 = + i, ( z 2 0). 2 2 2 2 a2 + b2i a2 + b2 a2 + b (1.4) Равенство (1.3) можно получить путем умножения по правилам алгебры и замены i 2 = 1. Чтобы получить равенство (1.4) нужно предварительно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряженное знаменателю, т.е. a2 b2i. (Сделать самостоятельно). Пример 2. Произвести следующие действия над комплексными числами: 1) (3 + 2i ) + ( 5 + 3i ) = (3 5) + (2 + 3)i = 2 + 5i ;

2) (3 + 2i ) ( 5 + 3i ) = (3 (5)) + (2 3)i = 8 i ;

3) (3 + 2i ) ( 5 + 3i ) = 15 + 9i 10i + 6i 2 = 21 i ;

(3 + 2i )( 5 3i ) = 15 9i 10i + 6 = 9 19i = 9 19 i. 3 + 2i 4) = 5 + 3i ( 5 + 3i )( 5 3i ) 34 34 34 ( 5)2 (3i )2 корня 5) Рассмотрим операцию извлечения квадратного комплексного числа в алгебраической форме. Обозначим a + bi = x + yi. Найдем x и y по формулам:

x=± y= a + a2 + b2 ;

из b. 2x Пример 3. Извлечь квадратный корень из комплексного числа 5 12i. 5 12i = x + yi a = 5, b = 12 5 + 25 + 144 = ± 4 = ±2, 2 12 b = = 3 x1 + y1i = 2 3i;

x1 = 2 y1 = 2 x1 4 b 12 x 2 = 2 y 2 = = = 3 x2 + y2i = 2 + 3i. 2 x2 4 x=± Таким образом, 5 12i = ±(2 3i ).

§2 Модуль и аргумент комплексного числа. комплексными числами в тригонометрической форме Действия над Рассмотрим комплексное число z = a + b i. z называется Определение. Модулем комплексного числа арифметическое значение квадратного корня из суммы квадратов действительной и мнимой части. Обозначается:

r = z = a2 + b2. Определение. Аргументом действительное число такое, что комплексного числа z (1.5) называется cos = a b, sin =. r r (1.6) Обозначается: = arg z. Выясним вопрос о том, для любого ли комплексного числа можно найти модуль и аргумент и сколькими способами. Если z = 0 = 0 + 0 i z = 0 = 0.

Если z 0, то z определяется единственным образом и представляет собой положительное действительное число. Если z = 0, то r = 0 и формулы (1.6) для аргумента теряют смысл, поэтому для числа z = 0 аргумент не определен. Для числа z 0 аргумент всегда существует и имеет бесчисленное множество значений в силу периодичности функций cos и sin, и значения аргумента отличаются на число, кратное 2, т.е. в дальнейшем обозначение = arg z будем называть главным значением аргумента, а для всех остальных значений аргумента z получим равенство: Arg z = arg z + 2k, k Z.

Выясним геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа z = a + bi. Как уже отмечалось (§1), комплексному числу z = a + bi соответствует радиус–вектор OM. Учитывая формулу (1.5) и рисунок 2 получаем, что z представляет собой длину радиус–вектора OM.

Рисунок 2 Используя формулу (1.2.2) и рисунок 2 получаем, что аргумент числа z - это угол, образованный радиус–вектором OM и положительным направлением оси Ox, отсчитанный против часовой стрелки. В качестве аргумента комплексного числа можно рассматривать и отрицательное значение угла при противоположном направлении отсчета. За аргумент выбирают то значение, которое меньше по модулю. С помощью модуля и аргумента комплексное число z = a + bi можно представить в другой форме. Из (1.2.2) следует, что a = r cos и b = r sin, тогда z = a + bi = r cos + r sin i z = r (cos + i sin ) - тригонометрическая форма комплексного числа.

Запишем число 0 в тригонометрической форме: 0 = 0(сos + i sin ). Любое число, отличное от нуля, тоже можно представить тригонометрической форме. Пример 4. Представить число z = 1 + i в тригонометрической форме. У нас а = 1, b = 1, тогда в r = a 2 + b 2 = 12 + 12 = 2. a 1 cos = = r 2 = b 1 4 sin = = r 2 z = 1 + i = 2 cos + i sin. 4 Действия над комплексными числами в тригонометрической форме В тригонометрической форме удобно производить умножение, деление комплексных чисел, возведение комплексных чисел в натуральную степень и извлечение корней натуральной степени из комплексных чисел. Рассмотрим два комплексных числа в тригонометрической форме: z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 ), z 2 = r2 (cos 2 + i sin 2 ). 1) z1 z 2 = r1 r2 (cos(1 + 2 ) + i sin (1 + 2 )), 2) z1 r1 = (cos(1 2 ) + i sin (1 2 )), ( z 2 0 ), z 2 r 3) z = r (cos + i sin ), n N, тогда z n = r n (cos n + i sin n ) - формула Муавра.

4) n + 2k + 2k z = n r cos + i sin, где k = 0,1, 2,K, n 1;

n N. n n 1 2 3 4 Вопросы для самопроверки Что называется комплексным числом? Каким равенством определяется мнимая единица? Напишите алгебраическую форму комплексного числа и дайте название каждого члена в этой форме? Как изобразить комплексное число z = i на комплексной плоскости? При каких значениях x и y комплексные числа z = x + 2 i и z = 4 + 3 yi а) равны? б) сопряжены? 6 Как определяются арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме? 7 Дайте определения модуля и аргумента комплексного числа. Каков их геометрический смысл? 8 Напишите тригонометрическую форму комплексного числа. 9 Как умножить и разделить два комплексных числа в тригонометрической форме? 10 По какой формуле находится корень n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме?

Глава 2 Элементы линейной алгебры §1 Матрицы. Операции над матрицами Рассмотрим в общем виде систему m-линейных уравнений с n-неизвестными, где коэффициенты будут записываться с двумя индексами, первый обозначает номер уравнения, второй – номер неизвестной.

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2,..................................... am1 x1 + am 2 x2 +... + amn xn = bm (1.7) где x1, x2,..., xn - неизвестные, a11, a12,..., amn - коэффициенты при неизвестных, b1, b2,..., bm - свободные члены. Определение. Матрицей называют таблицу чисел вида a11 a A = 21.... a m1 a12 a22.... am 2... a1n... a2 n.......... amn Числа этой таблицы называются элементами матрицы. Определение. Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов (m=n), т.е. a11 a21.... a n1 a12 a22.... an 2... a1n... a2 n.......... ann В противном случае матрица называется прямоугольной. Определение. Диагональ квадратной матрицы, состоящая из элементов a11, a22,..., ann называется главной, а другая - побочной. Определение. Порядком квадратной матрицы называют число ее строк (или столбцов). Определение. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой, а именно 0 0 K 0 0 0 K 0 О=. K K K K 0 0 K 0 Определение. Матрица, по главной диагонали у которой стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю, называется единичной, обозначается: 1 0 0 K 0 0 1 0 K 0 Е = 0 0 1 K 0. K K K K K 0 0 0 K 1 Определение. Симметрической матрицей называется квадратная матрица, у которой элементы, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу, т.е. аmn = anm. Пример 5. 2 4 3 4 1 5 - симметрическая матрица. 3 5 7 Определение. Матрица называется ступенчатой, если выполняются два условия: 1) любая ее строка имеет хотя бы один неравный нулю элемент;

2) первый, отличный от нуля элемент ее каждой строки, начиная со второй строки, расположен правее первого, отличного от нуля элемента, предыдущей строки. Пример 6. 1 2 3 5 0 1 2 4 - ступенчатая матрица. А= 0 0 1 2 0 0 0 3 Определение. Матрица АТ называется транспонированной по отношению к матрице А, если столбцы матрицы А являются строками матрицы АТ. Пример 7. а11 а12 а13 а11 а21 а31 А = а21 а22 а23 АТ = а12 а22 а32. а а 31 а32 а33 13 а23 а Определение. Две матрицы называются однотипными, если они состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов. Тип матрицы определяется упорядоченной парой (m, n ), где m - число строк, n - число столбцов. Обозначается А(m, n ) или А(m n ). Определение. Две матрицы А и В называются равными, если они однотипные и их соответствующие элементы равны. Элементарные преобразования строк (столбцов) матриц: 1. Транспозиция – перемена мест двух строк (столбцов) матрицы. 2. Умножение строки (столбца) на любое число, отличное от нуля. 3. Прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число, отличное от нуля. 4. Вычеркивание нулевых строк (столбцов). Определение. Матрицы, переходящие друг в друга в результате элементарных преобразований, называются эквивалентными. Обозначаются: А~ В. С помощью элементарных преобразований любую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Пример 8. Привести матрицу к ступенчатому виду. 3 3 1 2 1 2 3 ( 2 ) ( 3) 1 2 2 3 0 ~ 0 1 6 ( 4 ) ~ 0 1 6. 0 0 16 3 2 1 0 4 8 Операции над матрицами 1) Суммой двух однотипных матриц А (mn) и В (mn) называется матрица C = A + B, у которой элементом cij является сумма соответствующих элементов матриц А и В, т.е. сij = aij + bij, i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., n. Пример 9. 1 2 1 3 0 5 2 3 + 0 1 = 2 4. 4 1 3 0 1 1 Аналогично определяется разность двух матриц. 2) Произведением матрицы А на число (или числа на матрицу А ) называется матрица В, которая получается из матрицы А умножением всех ее элементов на число, т.е. bij = aij. Пример 10. 3 5 1 9 15 3 3 6. 3 0 1 2 = 0 3 1 1 1 3 3 Замечание. Операция умножения матриц определяется не для любых матриц А и В, а лишь для тех, которые удовлетворяют следующему условию:

число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В. 3) Произведением матрицы А типа (m n ) на матрицу B типа (n k ) называется матрица C типа (m k ), элемент сij которой равен сумме произведений элементов i -строки матрицы A на соответствующие элементы j -столбца матрицы B, т.е. сij = = ai bj, i = 1,2,..., m, j = 1,2,..., n.

n Пример 11. 1 2 0 1 1 1 0 + 2 2 1 (1) + 2 5 1 1 + 2 (1) = = 4 3 ( 2 2) 2 5 1 ( 23) 4 0 + 3 2 4 (1) + 3 5 4 1 + 3 (1) ( 23) 4 9 1 = 6 11 1. Операции сложения и умножения матриц обладают следующими свойствами: ( А + В ) + С = А + (В + С ) - ассоциативность (сочетательный закон);

1. ( А В ) С = А (В С ) А+ В = В+ А - коммутативность (переместительный закон). 2. А В В С Пример 12. 1 0 0 0, В = А= 0 0 1 0 0 0 0 0, В А = А В = 0 0 1 0, следовательно, произведение матриц свойством коммутативности не обладает. 3. ( А + В ) С = А С + В С - дистрибутивность (распределительный закон);

4. С ( А + В ) = С А + С В - дистрибутивность. Единичная матрица обладает следующим свойством: умножение квадратной матрицы любого порядка на соответствующую единичную матрицу не меняет данную матрицу, т.е. А E = E А = А. При умножении матрица Е играет роль единицы. Аналогично: А О = О А = О, матрица О при умножении играет роль нуля.

§2 Определители 2-го и 3-го порядка. Определитель n-го порядка. Свойства определителей Рассмотрим квадратную матрицу 2-го порядка:

а А = 11 а 21 а12 а (1.8) Определение. Определителем (детерминантом) 2-го порядка, соответствующим матрице (1.8), называется число, равное разности произведений элементов матрицы, стоящих на главной и побочной диагоналях, и обозначаемое символом = det A = A = a11 a21 a12 = a11 a22 a12 a21. a Числа a11, a12, a21, a22 называются элементами определителя. Пример 13. Вычислить определитель: 1 2 = 1 3 2 (2) = 7. 23 Рассмотрим квадратную матрицу 3-го порядка: a11 A = a21 a 31 a12 a22 a32 a13 a23 a (1.9) Определение. Определителем 3-го порядка, соответствующим матрице (1.9), называется число, определяемое равенством: a11 = det A = A = a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 = a11 a22 a33 + a13 a21 a32 + a12 a23 a31 a a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33. Чтобы запомнить это равенство используют правило треугольников (правило Саррюса):

••• ••• ••• ••• ••• ••• «+» «-» Пример 14. Вычислить определитель: 3 2 1 2 2 1 0 3 = 3 1 ( 2 ) + 1 (2) 0 + (2) 3 2 1 1 2 3 3 n 3.

( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) = 6 12 2 + 8 = 12. Перейдем к выяснению понятия определителя любого порядка n, где Определение. Всякой квадратной матрице n-го порядка в соответствие ставится число, называемое ее определителем n-го порядка, т.е. a11 = a21... an1 a12 a22...... a1n... a2 n.......

an 2... ann Для вычисления определителя n-го порядка введем следующие понятия. Определение. Минором элемента aij определителя называется определитель порядка n 1, полученный из данного после вычеркивания i строки и j - столбца. Обозначается: M ij. Пример 15. Найти минор элемента a23 следующего определителя: 10 21 101 3 1 5 4 M 23 = 0 1 3. 01 23 471 4 7 2 1 Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij определителя называется минор этого элемента, взятый со знаком (1) i + j. Обозначается Aij, т.е. Aij = (1) i + j M ij. Пример 16. Найти определителя из примера 15.

алгебраическое дополнение элемента a 101 A23 = (1) 2 + 3 M 23 = 0 1 3. 471 Теорема 2.2.1: Определитель n-го порядка равен сумме произведений всех элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения, т.е. a11... = ai1... an1 a12... ai 2...... a1n......... (1.10)...... ain = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 +... + ain Ain.

an 2... ann Равенство (1.10) называется разложением определителя по элементам iой строки, аналогично можно получить разложение определителя по элементам любого столбца. Пример 17. Вычислить определитель: 12 3 4 10 1 3 1 1 1 2 0 2 = 0 (разложим определитель по элементам второй строки) = 1 ( 1)2 +1 1 1 2 + 2 ( 1) 2+ 0 + 0 А22 + 1 ( 1)2 + 3 3 1 5 3 1 4 0+ 0 3 1 1 = (10 + 8 15) (5 + 24 + 4 + 30 ) + 12 0 + 2 (18 2 + 3 + 2 ) = 24. Свойства определителей 1. Определитель не изменяется при замене всех его строк соответствующими столбцами (например, для определителя 2-го порядка): а11 а21 а12 а11 = а22 а12 а21. а Замечание. Это свойство позволяет утверждать, что строки и столбцы в определителе равноправны, т.е. все утверждения справедливые для строк будут верны и для столбцов, поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать только для строк. 2. При перестановке двух строк (при транспозиции) определитель меняет знак на противоположный (например, для определителя 3-го порядка): а11 а21 а31 а12 а22 а32 а13 а33 а11 а21 а12 а32 а22 а13 а33. а а23 = а 3. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю. Пример 18. Вычислить определитель: 1 1 17 22 33 5 = 0 (у этого определителя 1-ый и 2-ой столбцы одинаковые). 4. Если некоторую строку определителя умножить на одно и тоже число с, то сам определитель умножится на это число с. Замечание. Это свойство чаще употребляется в следующей форме: если в некоторой строке определителя есть общий множитель, то его можно вынести за знак определителя. 5. Если все элементы некоторой строки определителя равны нулю, то сам определитель равен нулю. 6. Если элементы двух строк определителя пропорциональны, то он равен нулю. 7. Если каждый элемент i -ой строки определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, из которых один в i -ой строке имеет первое слагаемое, а другой – второе;

элементы, стоящие на остальных местах у всех трех определителей одни и те же (например, для определителя 3-го порядка): а11 a31 а12 a32 а13 a33 a11 a31 a12 b22 a32 a13 a33 a11 a31 a12 c22 a32 a13 c23. a b21 + c21 b22 + c b23 + c23 = b b23 + c Замечание. Это свойство справедливо, если каждый элемент i -ой строки есть сумма более чем двух слагаемых.

8. Величина определителя не изменится, если все элементы некоторой строки умножить на любое число, отличное от нуля, и прибавить к соответствующим элементам другой строки. Пример 19. Вычислить определитель: 123 4 12 2 2 2 2 2 101 2 10 0 0 = = 1 ( 1)2+1 1 4 6 = 3 1 1 0 3 1 4 6 2 1 7 1 2 0 5 1 2 1 ( 1) ( 2 ) = 1 2 ( 1) 1 1 1 4 1 1 0 3 0 6 = 2 1 5 = 2 1 ( 1)1+1 3 5 3 9 = 2 1 2 3 ( 1) = 2 ( 12) = 24. (Сравнить ответ с примером 17). 9. Сумма произведений элементов любой строки определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю. ( Пример: a11 A21 + a12 A22 +... + a1n A2 n = 0.) Замечание. Определитель матрицы, состоящей из одного элемента, равен этому элементу, т.е.

А = (а11 ) det A = a11. Теорема 2.2.2: Определитель произведения двух квадратных матриц одного порядка равен произведению определителей данных матриц, т.е.

det ( A B ) = det A det B.

§3 Обратная матрица и ее существование Определение. Обратной для квадратной матрицы А называется квадратная матрица (обозначается А 1 ), которая удовлетворяет равенствам:

А А 1 = А 1 А = Е, где Е - единичная матрица. Определение. Невырожденной матрицей называется квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля. Если определитель матрицы равен нулю, то она называется вырожденной.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка: а11 a А = 21... a n а12 a...

an... а1n... a 2 n.......... a nn Определение. Матрицей, присоединенной к матрице А, называется матрица вида А11 A С = 12... A 1n А21... A22 Аn1... An 2,......... Ann...

A2 n где Aij - алгебраическое дополнение элемента aij матрицы A. Заметим, что алгебраические дополнения элементов i -строки матрицы A расположены в j -столбце матрицы C. Теорема 2.3.1: Если А - квадратная матрица n-го порядка и С – присоединенная к ней матрица, то А С = С А = Е det A, (1.11) где E – единичная матрица n-го порядка. Теорема 2.3.2: Для того чтобы существовала матрица А 1, обратная к матрице A, необходимо и достаточно, чтобы матрица A была невырожденной. Доказательство. 1) Необходимость: Дано: Существует А1. Доказать: А – невырожденная матрица. A 1, то А А 1 = Е, следовательно, Так как существует 1 1 det A A = det E. По теореме 2.2.2, получим det A det A = det E. Так как det E = 1, то получим, что det A 0, значит, A - невырожденная матрица. 2) Достаточность: Дано: А – невырожденная матрица. Доказать: Существует А1. Так как А – невырожденная матрица, то det A 0. Докажем, что 1 C является обратной к матрице А. Воспользуемся теоремой матрица det A 2.3.1, разделив равенство (1.11) на число det A, неравное нулю.

( ) Получим: 1 1 1 1 AC = C A = E или A det A C = det A C A = E, det A det A 1 следовательно, по определению обратной матрицы, матрица C является det A 1 обратной для матрицы А, т.е. A 1 = C. det A В процессе доказательства теоремы получили формулу для нахождения матрицы, обратной данной: А11 1 A12 = det A... A 1n А21 A22 Аn1... An 2.......... Ann...

A...

A2 n Теорема 2.3.3: Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица. Замечание. Для вырожденной матрицы обратной матрицы не существует. Для невырожденных матриц выполняются следующие свойства:

1 de t A 1 = 2 A 1, de tА () = A, 3 ( AB )1 = B 1 A 1.

§4 Ранг матрицы Рассмотрим матрицу A типа (m n ) : a11 a A = 21... a m a12 a 22 a1n... a 2 n.......... a mn...

...

a m Определение. Выберем в матрице A произвольно s различных строк и s различных столбцов, причем 1 < s min (m, n ), где min(m, n ) - меньшее из чисел m и n. Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют матрицу порядка s. Определитель этой матрицы называется минором порядка s матрицы А. Пример 20. 1 2 3 4 5 Дана матрица 0 4 1 2 7. 1 7 3 6 8 Взяв первую и вторую строку, третий и четвертый столбец, получим 34 3 4, и ее определитель матрицу второго порядка является минором 1 2 12 второго порядка для исходной матрицы. Аналогично можно получить и другие миноры второго порядка, а также миноры третьего порядка. Некоторые из миноров могут оказаться равными нулю. Определение. Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля. Если все миноры матрицы равны нулю, то ранг матрицы равен нулю. Обозначается ранг матрицы А следующим образом: r ( A). Из определения ранга получаем следующие утверждения: 1. Ранг матрицы выражается целым числом, заключенным между 0 и меньшим из чисел m и n, т.е. 0 r min (m, n ). 2. Ранг матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда матрица является нулевой. 3. Для квадратной матрицы n-го порядка ранг равен n тогда и только тогда, когда матрица невырожденная. Пример 21. Найти ранг матрицы: 1 0 2 0 А = 3 0 6 0. 5 0 10 0 Среди миноров первого порядка этой матрицы (ее элементов) есть отличный от нуля, следовательно, r > 0. Из элементов данной матрицы можно составить миноры второго и третьего порядков, но все они равны нулю, поэтому, r ( A) = 1. Замечание. Указанный способ нахождения ранга матрицы не всегда удобен, так как часто связан с вычислением большого числа определителей. Теорема 2.4.1: Ранг матрицы, полученной из данной элементарными преобразованиями, равен рангу данной матрицы. (То есть элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.) Эту теорему удобно использовать при вычислении ранга.

Итак, с помощью элементарных преобразований матрицу приводят к ступенчатому виду: a11 0 0... a12 a 22 a13 a А(m n )...

a1r...............

a 23... a 2 r 0......... a3r......... a mr a1n a 2n a 3n = B.... a mn Так как ее минор с главной диагональю а11, а 22,..., а mr равен произведению a11 a 22 K a mr, отличному от нуля, а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки), то по определению ранг матрицы В равен m (то есть числу ненулевых строк). Так как матрица В получена из матрицы А путём элементарных преобразований, то по теореме 2.4.1 r ( A) = m. Пример 22. Найти ранг матрицы: 3 5 3 5 1 2 3 5 ( 3) ( 5) 1 2 1 2 A = 3 1 4 2 ~ 0 7 5 17 ( 1) ~ 0 7 5 17 ~ 0 7 5 17 5 3 10 8 0 0 0 0 3 5 1 2 ~ 0 7 5 17 Отсюда следует, что r ( A) = 2.

§5 Системы m–линейных уравнений с n–неизвестными. Метод Крамера для решения систем n–линейных уравнений с n–неизвестными Рассмотрим систему m –линейных уравнений с n –неизвестными: a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2,..................................... am1 x1 + am 2 x2 +... + amn xn = bm (1.12) где x1, x2,..., xn - неизвестные, a11, a12,..., amn - коэффициенты при неизвестных, b1, b2,..., bm - свободные члены. Определение. Решением системы (1.12) называется упорядоченный набор действительных чисел (1, 2,..., n ) таких, что при подстановке их вместо неизвестных x1, x2,..., xn все уравнения системы (1.12) обращаются в верные равенства.

Определение. Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. Совместная система называется определённой, если она имеет единственное решение. Совместная система называется неопределённой, если она имеет бесчисленное множество решений. Система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной. Определение. Решить систему – это значит, выяснить совместна она или нет, и если да, то найти все её решения. Метод Крамера Рассмотрим систему n –линейных уравнений с n –неизвестными: a11 x1 + a12 x 2 +... + a1n x n = b1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2...................................... a n1 x1 + a n 2 x 2 +... + a nn x n = bn (1.13) Составим определитель из коэффициентов при неизвестных системы (1.13). Обозначим его : а11 = a21 а12 a K an K K а1n K a2 n. KK an 2 K ann и назовём его главным определителем системы (1.13). Предположим, что 0 и пусть система совместна и имеет следующее решение: (1, 2,..., n ). Обозначим через j определитель, полученный из определителя заменой j - столбца столбцом из свободных членов системы (1.13). j называется побочным определителем системы (1.13), j = 1,2,..., n. Можно доказать, что если главный определитель системы (1.13) отличен от нуля, то система (1.13) имеет единственное решение, а именно:

j = j - формулы Крамера ( j = 1,2,..., n ).

Таким образом, по формулам Крамера можно решить систему, у которой число уравнений и число неизвестных совпадают, и главный определитель не равен нулю. Если = 0, то систему нужно решать другим методом (методом Гаусса).

Пример 23. Решить в общем виде методом Крамера систему двух уравнений с двумя неизвестными: a11 x1 + a12 x 2 = b1. a 21 x1 + a 22 x 2 = b = a11 a a12 - главный определитель. a Пусть 0, тогда система имеет единственное решение.

1 = b1 b a12 a b1, 2 = 11 - побочные определители. a 22 a 21 b Формулы Крамера имеют вид:

1 x1 =. 2 x = §6 Матричная запись системы линейных уравнений. Метод Гаусса. Критерий совместности системы линейных уравнений Рассмотрим систему:

a11 x1 + a12 x 2 +... + a1n x n = b1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2..................................... a n1 x1 + a n 2 x 2 +... + a nn x n = bn (1.14) Составим матрицу из коэффициентов при неизвестных и назовем ее основной матрицей системы (1.14);

матрицу из неизвестных и матрицу из свободных членов:

а11 а12 a22 a А = 21...... a n1 an... а1n x1 b1... a2 n x2 b, X =, B = 2............. x b... ann n n Пусть det A 0.

Имеем A(n n ), X (n1), B(n1), поэтому можно найти произведение:

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn a21 x1 + a22 x2 +... + a2 n xn A X =................................... a x + a x +... + a x nn n n1 1 n 2 Элементами этой матрицы являются левые части уравнений системы (1.14), поэтому на основании определения равенства матриц, имеем A X = B (1.15) Уравнение (1.15) называется матричным уравнением. Таким образом, система (1.14) записана в виде одного матричного уравнения (1.15). Эта запись системы называется матричной. Воспользуемся обратной матрицей к матрице А для решения матричного уравнения (1.15) (она существует, так как det A 0 ). Умножив обе части равенства (1.15) слева на матрицу А 1, получим А 1 А X = A 1 B. Так как A1 A = E, E X = X, то X = A 1 B. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса) Этот метод применим к любой системе линейных уравнений. Рассмотрим систему m -линейных уравнений с n -неизвестными:

a11 x1 + a12 x2 +... + a1n xn = b1 a x + a x +... + a x = b 21 1 22 2 2n n 2...................................... am1 x1 + am 2 x2 +... + amn xn = bm Составим А - основную матрицу системы и матрицу А*, которая получается из матрицы А приписыванием столбца из свободных членов, и назовем ее расширенной матрицей системы.

a11 a12 a22 a A = 21...... a m1 am a1n a11 a12... a2 n * a21 a22, A =............ a... amn m1 am 2...

......

a1n...

... a2n... amn b1 b2... bm Суть этого метода состоит в том, что с помощью элементарных преобразований над строками, приводят расширенную матрицу системы к ступенчатому виду. Далее этой матрице будет соответствовать система уравнений ступенчатого вида, из которого решение усматривается непосредственно. Теорема Кронекера – Капелли. (Критерий совместности системы линейных уравнений): Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы системы равен рангу расширенной матрицы системы, то есть r ( A) = r A*. Следствия из теоремы Кронекера – Капелли: 1. Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных (r = n ), то система имеет единственное решение, (то есть она определенная). 2. Если ранг матрицы совместной системы меньше числа неизвестных (r < n ), то система имеет бесчисленное множество решений, (то есть она неопределенная). В случае неопределенной системы решения ищут следующим образом: выбираются главные неизвестные, число которых равно рангу, а остальные n r неизвестные считаются свободными;

далее главные неизвестные выражаются через свободные и получают множество решений, зависящих от свободных неизвестных. Это множество решений называется общим решением системы. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, будем получать бесчисленное множество решений, каждое из которых будем называть частным решением системы. Вопросы для самопроверки Что называется матрицей? Напишите единичную матрицу третьего порядка. Приведите пример симметрической матрицы того же порядка. Чем определяется тип матрицы? Как определяются основные действия над матрицами? Если матрицы А и B можно складывать, следует ли из этого, что их можно умножать? Что называется определителем второго, третьего, n-го порядков?

() 1 2 3 4 5 7 Дайте определения минора и алгебраического дополнения элемента определителя. 8 Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы? 9 Как изменится определитель третьего порядка, если его строки переставить следующим образом: первую– на место второй, вторую– на место третьей, третью – на место первой? 10 Запишите формулу для нахождения обратной матрицы к невырожденной матрице 3-го порядка. 11 Как проверить правильность нахождения обратной матрицы? 12 Может ли ранг матрицы быть равным нулю? меньше нуля? равным 2,5? 13 Дайте определение решения системы линейных уравнений. 14 Какую систему можно решать методом Крамера? Запишите формулы Крамера. 15 Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса. 16 Опишите матричный метод решения системы линейных уравнений. 17 Сформулируйте теорему Кронекера – Капелли. 18 Может ли множество решений системы линейных уравнений состоять ровно из одного решения? из двух решений? из 17-ти решений?

Глава 3 Векторная алгебра §1 Понятие вектора. Основные понятия. Линейные операции над векторами и их свойства Определение. Вектором называется направленный отрезок (т.е. отрезок, одна из граничных точек которого принята за начало, а другая – за конец). Вектор с началом в точке A и концом в точке B обозначается АВ или одной буквой a, b и т.д. Определение. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором (или нуль - вектором). Определение. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых ( || - значок коллинеарности).

Рисунок На рисунке 3 AB ||CD, AB || MN, CD || MN, AB AM. Среди коллинеарных векторов выделяют сонаправленные и противоположно направленные. Определение. Коллинеарные векторы AB и CD называются сонаправленными, если лучи [ AB ) и [CD ) сонаправлены или один из них содержит в себе другой. В противном случае векторы называются противоположно направленными. Если AB и CD сонаправлены, то пишут AB CD. Если они противоположно направлены, то пишут AB CD. На рисунке 3 AB MN, AB CD, CD MN. Принято нуль – вектор считать коллинеарным с любым другим. Каждый вектор характеризуется своим направлением и длиной (модулем или абсолютной величиной). Определение. Длиной вектора AB называется длина отрезка AB и обозначается AB. Определение. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается e. Принято длину нулевого вектора считать равной нулю. Определение. Если векторы имеют одинаковую длину и противоположно направлены, то они называются противоположными векторами. Вектор, противоположный вектору a, обозначается ( a ). Определение. Два вектора называются равными, если они имеют одинаковую длину и сонаправлены. Все нулевые векторы принято считать равными. Определение. Три вектора называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Линейные операции над векторами Определение. Суммой двух векторов a и b называется вектор a + b, который направлен из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b отложен из конца вектора a. Для геометрического представления суммы векторов используют правила «треугольника» и «параллелограмма», проиллюстрированные на рисунках 4 и 5 соответственно.

Рисунок 4 Рисунок 5 Аналогично определяется сумма трех и более векторов. Суммой конечного числа векторов будет вектор, направленный из начала первого в конец последнего вектора, при условии, что каждый последующий вектор отложен из конца предыдущего (правило «многоугольника»). Свойства операции сложения векторов 1) a + b = b + a (коммутативность), 2) (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность), 3) a + o = a, 4) a + ( a ) = o. Определение. Разностью двух векторов a и b называется такой вектор x = a b, который в сумме с вектором b дает вектор a, т.е. a b = x, если b + x = a. Чтобы построить разность a b двух векторов a и b, нужно отложить их из одной точки и вектор разности будет направлен из конца второго вектора (вычитаемого) в конец первого вектора (уменьшаемого) (рис. 6).

Рисунок 6 Рисунок 7 Отметим, что a b = a + ( b ), то есть разность a b равна сумме двух векторов a и ( b ), где ( b ) - вектор, противоположный вектору b (рис. 7). Определение. Произведением a 0 на число 0 называется вектор b = a и удовлетворяющий условиям: 1. b = a, 2. b a, если > 0, b a, если < 0. Очевидно, что b = 0, если = 0 или a = 0. Из определения следует, что в результате умножения вектора на действительное число получается вектор, коллинеарный с данным, то есть a a. Свойства умножения вектора на число 1. (a ) = ( )a (, R ), 2. 1 a = a, 3. ( + )a = a + a (, R ), 4. (a + b ) = a + b ( R ). Теорема 3.1.1: Для любых двух коллинеарных векторов a и b, где a 0, существует единственное число такое, что b = a.

Из теоремы следует, что b = a - необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов a и b.

§2 Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Свойства линейно зависимой системы векторов Пусть даны векторы a1, a2,..., an и действительные числа 1, 2,..., n. Рассмотрим вектор a = 1a1 + 2 a2 +... + n an, который называется линейной комбинацией векторов a1, a2,..., an ;

действительные числа 1, 2,..., n называются коэффициентами линейной комбинации. Очевидно, что, выбирая другую совокупность чисел 1, 2,..., n, получим другую линейную комбинацию тех же самых векторов: b = 1a1 + 2 a2 +... + n an. То есть, можно построить бесчисленное множество линейных комбинаций одной и той же системы векторов. Определение. Система векторов a1, a2,..., an называется линейно зависимой, если существуют действительные числа 1, 2,..., n, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что линейная комбинация векторов a1, a2,..., an с этими числами равна нулевому вектору, то есть:

1a1 + 2 a2 +... + n an = 0.

(1.16) Если соотношение (1.16) выполняется только при условии 1 = 2 =... = n = 0, то система векторов называется линейно независимой. Свойства линейно зависимой системы векторов 1. Если один из векторов системы нуль-вектор, то вся система векторов линейно зависима. 2. Если один из векторов системы является линейной комбинацией остальных векторов, то вся система векторов линейно зависима (справедливо и обратное утверждение). 3. Если часть системы векторов линейно зависима, то вся система векторов линейно зависима. 4. Система векторов, состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой. 5. Система векторов, состоящая из двух векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны. Замечание. Любые два неколлинеарных между собой вектора образуют линейно независимую систему векторов. 6. Система векторов, состоящая из трех векторов, линейно зависима тогда и только тогда, когда они компланарны.

7. Любые четыре вектора в трехмерном пространстве всегда линейно зависимы. Вывод: система векторов, содержащая более чем три вектора в трехмерном пространстве, всегда линейно зависима.

§3 Базис системы векторов. Координаты вектора относительно базиса. Ортонормированный базис Пусть задана некоторая система векторов S. Число векторов в системе может быть конечным или бесконечным. Определение. Подсистема S системы S называется максимально линейно независимой подсистемой, если она удовлетворяет двум условиям: 1. S - линейно независима;

2. при добавлении к системе S любого вектора системы S она становится линейно зависимой. Определение. Базисом системы векторов S называется любая максимально линейно независимая подсистема системы S. Базисом на плоскости назовем два неколлинеарных вектора этой плоскости, взятых в определенном порядке. Обозначается {e1, e2 }. Базисом в пространстве назовем три некомпланарных вектора, взятых в определенном порядке. Обозначается {e1, e2, e3 }. В трехмерном пространстве существует бесконечное множество базисов. Рассмотрим в трехмерном пространстве некоторый базис {e1, e2, e3 } и любой вектор a. Если вектор a представлен в виде линейной комбинации векторов e1, e2, e3, то есть a = xe1 + ye2 + ze3, то говорят, что вектор a разложен по векторам базиса, а действительные числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Определение. Координатами вектора a в базисе {e1, e2, e3 } называются коэффициенты разложения вектора по векторам базиса и обозначают: a {x, y, z}{e1, e2, e3 }. Некоторые свойства координат векторов 1. Координаты суммы (разности) двух векторов, заданных своими координатами в некотором базисе, равны сумме (разности) соответствующих координат этих векторов, то есть, если a {a1, a2, a3 }{e, e, e } и b {b1, b2, b3 }{e 1 2 3 1, e 2, e }, то a ± b = {a1 ± b1, a2 ± b2, a3 ± b3 }{e 1, e 2, e3 }.

2. Координаты произведения вектора на действительное число равны произведению этого числа на соответствующие координаты вектора в некотором базисе, а именно, если a {a1, a2, a3 }{e, e, e }, то 1 2 b = a = {a1, a2, a3 }{e 1, e2, e }.

3. Условие коллинеарности координатами в некотором базисе. Пусть относительно базиса или в координатной форме: b1 = a1 b2 = a2 или b = a 3 двух векторов, заданных своими b {b1, b2, b3 } и a b, тогда по необходимому и достаточному условию b = a {e1, e2, e3} даны векторы a {a1, a2, a3 }, a1 a2 a3 условие коллинеарности двух векторов в координатной = = b1 b2 b3 форме.

отложим их от произвольной точки пространства (a = OA, b = OB ) (рис. 8):

Рассмотрим в пространстве два несонаправленных вектора a, b и Рисунок 8 Определение. Углом между векторами a и b, если особо не оговорено, будем называть угол AOB, величина которого не превышает (рис. 8). Обозначается: (a ;

b ) = AOB. Принято угол между сонаправленными векторами считать равным нулю, тогда для любых a и b : 0 (a;

b ). Определение. Два вектора a и b, называются ортогональными, если угол между ними равен 90o и обозначаются a b.

Принято нулевой вектор считать ортогональным с любым другим вектором. Определение. Базис {e1, e2, e3 } трехмерного пространства называется ортонормированным, если выполняются два условия: 1. все векторы этого базиса единичные, 2. векторы базиса попарно ортогональны, то есть e1 e2, e2 e3, e1 e3.

Пусть относительно ортонормированного базиса {i ;

j;

k } в пространстве произвольный вектор a имеет координаты Обозначается {i ;

j;

k }.

{a1;

a2 ;

a3 }, тогда справедлива теорема 3.3.1. Теорема 3.3.1: Длина вектора, заданного своими координатами в ортонормированном базисе, равна квадратному корню из суммы квадратов его координат, то есть 2 2 2 a = a1 + a2 + a3.

Аналогично сказанному выше будет и на плоскости.

§4 Аффинная и прямоугольная декартова системы координат. Простейшие задачи Пусть в пространстве даны точка O и базис {e1, e2, e3 }. Определение. Совокупность точки O и базиса {e1, e2, e3 } называется аффинной системой координат в пространстве (или аффинным репером), и обозначается R (O;

e1, e2, e3 ) или Oxyz (рис. 9). Точка O называется началом координат. Ось, проходящая через точку O и имеющая направление вектора e1, называется осью Ox или осью абсцисс. Ось, проходящая через точку O и имеющая направление вектора e2, называется осью Oy или осью ординат. Ось, проходящая через точку O и имеющая направление вектора e3, называется осью Oz Рисунок 9 или осью аппликат. Оси Ox, Oy, Oz называются осями координат. Плоскости, проходящие через две оси координат, называются координатными плоскостями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами. Пусть в пространстве задан аффинный репер R (O;

e1, e2, e3 ) и любая точка M. Рассмотрим OM - радиус-вектор точки M и пусть OM = xe1 + ye2 + ze3.

Определение. Координатами точки M относительно аффинного репера R (O;

e1, e2, e3 ) называются координаты радиус-вектора этой точки относительно базиса {e1, e2, e3 } и пишут M ( x;

y;

z )R. Простейшие задачи 1. Нахождение координат вектора, заданного координатами начала и Пусть в пространстве заданы аффинный репер R (O;

e1, e2, e3 ) и точки A( x1 ;

y1 ;

z1 )R, B( x2 ;

y2 ;

z 2 )R. Найдем координаты вектора AB относительно базиса {e1, e2, e3 }. Чтобы получить координаты вектора, нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты начала, то есть конца.

AB = {x2 x1;

y2 y1;

z2 z1}{e, e 2, e }.

2. Деление отрезка в заданном отношении. Определение. Точка M, принадлежащая прямой M 1M 2, делит отрезок M 1M 2 в отношении ( 1), если выполняется векторное равенство: M 1M = MM 2 (рис.10).

Рисунок 10 Если > 0, то M1M MM 2 и говорят, что точка M делит отрезок M 1M 2 внутренним образом в отношении. Если < 0, то M1M MM 2 и точка M лежит вне отрезка M 1M 2, но на прямой M 1M 2, тогда говорят, что точка M делит отрезок M 1M 2 внешним образом в отношении. Пусть относительно аффинного репера R (O;

e1, e2, e3 ) даны точки M 1 ( x1;

y1;

z1 )R, M 2 ( x2 ;

y2 ;

z2 )R. Найдем координаты точки M, которая делит отрезок M 1M 2 в отношении. Обозначим M ( x;

y;

z )R, тогда x + x 2 x= 1 1+ y1 + y 2 - формулы для нахождения координат точки, делящей y = 1+ отрезок в отношении. z1 + z 2 z = 1 + В частности, при = 1 (то есть точка M - середина отрезка M 1M 2 ), имеем:

x1 + x2 x = 2 y1 + y2 - формулы для нахождения координат середины отрезка. y = 2 z +z z= 1 2 Определение. Совокупность точки O и ортонормированного базиса {i ;

j;

k } называется прямоугольной декартовой системой координат (или ортонормированном репером) в пространстве. Обозначается R (O;

i, j, k ) (рис. 11).

Рисунок 11 Очевидно, что прямоугольная декартова система координат является частным случаем аффинной системы координат, поэтому рассмотренные выше определения и простейшие задачи справедливы и в прямоугольной декартовой системе координат. Дополнительно решается задача нахождения расстояния между двумя точками, заданными своими координатами. 3. Нахождение расстояния между двумя точками. Пусть относительно R (O;

i, j, k ) заданы точки A( x1;

y1;

z1 )R и B( x2 ;

y2 ;

z2 )R. Найдем расстояние от точки A до точки B.

( A;

B ) = (x2 x1 )2 + ( y2 y1 )2 + (z2 z1 )2.

Замечание. Обозначим через,, углы между вектором a {x;

y;

z}{i, j, k } и осями координат прямоугольной декартовой системы координат, тогда cos = x y z, cos =, cos = ;

a a a cos, cos, cos - называются направляющими косинусами вектора a. Аналогично определяются все понятия и формулы этого параграфа на плоскости.

§5 Скалярное произведение двух векторов и его свойства Определение. Скалярным произведением двух ненулевых векторов a и b называется число, обозначенное a b и равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними, то есть a b = a b cos(a, b ).

Заметим, что a b > 0, если cos (a, b ) > 0, то есть 0 (a, b ) < ;

2 a b < 0, если cos (a, b ) < 0, то есть < (a, b ) ;

2 a b = 0, если либо a = 0, либо b = 0, либо cos(a, b ) = 0, то есть a b. Таким образом, скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ортогональны, то есть a 0, b 0 : a b = 0 a b.

Теорема 3.5.1: Скалярное произведение двух векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе, равно сумме произведений соответствующих координат, а именно:

если a = {a1;

a2 ;

a3}{i, j, k } и b = {b1;

b2 ;

b3 }{i, j, k }, то a b = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Свойства скалярного произведения векторов 1. a b = b a (коммутативность);

2. a b = (a b ), ( R ) ;

3. (a + b ) c = a c + b c (дистрибутивность).

4. Скалярный квадрат вектора есть неотрицательное число, причем, скалярный квадрат вектора равен нулю тогда и только тогда, когда этот вектор нулевой, то есть a a = a2 0 и a2 = 0 a = 0.

Из свойства 4 следует, что a 2 = a a cos 0 = a a 2 = a или a = a 2.

Таким образом, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Найдем угол между ненулевыми векторами a и b. Пусть a = {a1;

a2 ;

a3}{i, j, k } и b = {b1;

b2 ;

b3 }{i, j, k }. Так как a b = a b cos, то cos = a1b1 + a2b2 + a3b3 a b или cos =. 2 2 2 2 2 a b a1 + a2 + a3 b12 + b2 + b §6 Векторное произведение двух векторов и его свойства Определение. Аффинный репер R (O;

e1, e2, e3 ) называется правым, если из конца вектора e3 поворот от вектора e1 к вектору e2 в плоскости этих векторов на меньший угол виден против часовой стрелки. В противном случае репер называется левым (рис. 12).

Рисунок 12 Аналогично определяется правый (левый) ортонормированный репер. Заметим, что если векторы e1, e2, e3 образуют правый (левый) репер, то, поменяв местами два вектора, получим левый (правый) репер. При круговой перестановке векторов получаем реперы одинаковой ориентации, то есть векторы e1, e2, e3 ;

e3, e1, e2 ;

e2, e3, e1 имеют одинаковую ориентацию.

Определение. Векторным произведением двух неколлинеарных векторов a и b называется вектор, обозначаемый [a, b ] или a b и удовлетворяющий трем условиям: 1. [a, b ] = a b sin (a, b ), 2. [a, b ] a, [a, b ] b, 3. a, b, [a, b ] - одинаковой ориентации с векторами i, j, k, образующих правый репер R(O;

i, j, k ) (рис. 13).

Рисунок 13 Определение. Векторным произведением двух коллинеарных векторов называется нуль-вектор.

Свойства векторного произведения векторов 1.Векторное произведение двух неколлинеарных антикоммутативно, то есть векторов [a, b ] = [b, a ].

2.Числовой множитель произведения, то есть можно выносить за знак векторного [a, b ] = [a, b ] ( R ) или [a, b ] = [a, b ] ( R ).

3.Векторное произведение векторов дистрибутивно, то есть [a + b, c ] = [a, c ] + [b, c ].

4.Векторный квадрат вектора равен нуль-вектору, то есть [a, a ] = 0.

5.Свойство выражает геометрический смысл модуля векторного произведения двух неколлинеарных векторов. Рассмотрим два неколлинеарных вектора a, b и отложим их от произвольной точки O (рис. 14).

Рисунок 14 Построим параллелограмм на этих векторах как на сторонах. Найдем площадь параллелограмма OACB :

SOACB = OA OB sin AOB = a b sin (a, b ) = [a, b ].

Таким образом, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах, то есть S пар = [a, b ].

иb заданы своими координатами в Если векторы a ортонормированном базисе a = {a1;

a2 ;

a3}{i, j, k }, b = {b1;

b2 ;

b3 }{i, j, k }, то их векторное произведение вычисляется по формуле:

[a, b ] = a b i j a2 b a a3 или [a, b ] = 2 b2 b k a3 a3 ;

b3 b a1 a1 a2 ;

. b1 b1 b §7 Смешанное произведение трех векторов и его свойства Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b, c называется число, обозначенное (a, b, c ) и равное скалярному произведению вектора a на векторное произведение векторов b и c, то есть (a, b, c ) = a [b, c ].

Теорема 3.7.1: Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны. Пусть относительно ортонормированного базиса {i, j, k } векторы a, b, c имеют координаты a = {a1;

a2 ;

a3 }, b = {b1;

b2 ;

b3 }, c = {c1;

c2 ;

c3 }. Смешанное произведение трех векторов, заданных своими координатами в ортонормированном базисе, равно определителю третьего порядка, составленному из их координат, то есть (a, b, c ) = b c a1 a2 b2 c a3 b3. c Тогда условие компланарности трех векторов в координатной форме имеет вид: a1 a2 a (a, b, c ) компланарны b c b2 c b3 = 0. c Свойства смешанного произведения векторов 1. Смешанное произведение векторов не изменяется при круговой перестановке векторов-сомножителей, то есть (a, b, c ) = (c, a, b ) = (b, c, a ).

2. Смешанное произведение меняет знак на противоположный, если поменять местами любые два сомножителя, то есть (a, b, c ) = (b, a, c ).

3. Числовой множитель произведения, то есть можно выносить за знак смешанного (a, b, c ) = (a, b, c ), ( R ).

4. Смешанное произведение векторов дистрибутивно, то есть (a + b, c, d ) = (a, c, d ) + (b, c, d ).

5. Свойство выражает геометрический смысл модуля смешанного произведения трех некомпланарных векторов, а именно: модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, отложенных от одной точки, как на ребрах, то есть (a, b, c ) = Vпар да.

, 1 1 Vпризмы = Vпар да = (a, b, c ) 2 1 1 Vтетраэдра = Vпар да = (a, b, c ). 6 6 Замечание. Можно доказать, что a [b, c ] = [a, b ] c, то есть можно переставлять знаки скалярного и векторного произведения местами.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Вопросы для самопроверки Что называется вектором? Какие векторы называются коллинеарными? Какие два вектора называются равными? Назовите правила сложения векторов. Является ли вектор a = a1 a 2 линейной комбинацией системы векторов a1, a 2, a3 ? Дайте определение линейно зависимой системы векторов. Верно ли утверждение: любые пять векторов в трехмерном пространстве линейно зависимы? Что является базисом на плоскости;

в пространстве? Что называется координатами вектора в базисе {e1, e2, e3 } ? Как сложить, вычесть два вектора, заданных своими координатами в некотором базисе? Как умножить вектор на число? Напишите необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов. Как оно записывается в координатной форме? Какой базис в пространстве называется ортонормированным? Дайте определение аффинной системы координат, прямоугольной декартовой системы координат. Как найти координаты вектора по координатам точек его начала и конца? Запишите формулы для нахождения координат точки, делящей отрезок в отношении. Как найти скалярное произведение двух векторов по их координатам в ортонормированном базисе? Напишите формулу для определения угла между двумя векторами. Может ли угол между векторами равняться: 0 o ;

45o ;

180 o ;

270 o ? Дайте определение векторного произведения двух неколлинеарных векторов. Перечислите основные свойства векторного произведения. Чему равно смешанное произведение трех векторов, если известны их координаты в ортонормированном базисе? Сформулируйте условие компланарности трех векторов. Как найти объем тетраэдра, построенного на трех векторах как на ребрах?

2 Методические указания к выполнению контрольной работы Задание 1 1.1 Используя тригонометрическую 3i произвести указанные действия: 3. 2 + 2 3i форму комплексного числа, Решение Представим числа z1 = 3i и z 2 = 2 + 2 3i в тригонометрической форме. a1 = 0, b1 = 3, a = 2, b = 2 3, r1 = 2 a + b = 0 + ( 3) = 3, 2 3. 1 = b1 3 2 = = 1 sin 1 = r1 3 z1 = r1 (cos 1 + i sin 1 ) cos 1 = a1 0 = =0 r1 3 3 3 + i sin z1 = 3 cos 2 2 z Найдем частное 1. z2.

r2 = 2 2 + 2 3 cos 2 = ( )2 = 4, 21 = 42 2 =. 3 23 3 sin 2 = = 4 2 z 2 = 4 cos + i sin. 3 3 3 + i sin 3 cos z1 7 7 2 3 3 2 3 3 + i sin = cos + i sin = cos = z2 6 6 4 2 3 2 3 4 4 cos + i sin 3 3 Далее, применяя формулу n.

+ 2k + 2k r (cos + i sin ) = n r cos + i sin, где k = 0,1, 2,..., n 1, n n получим 3i 3 7 7 3 = 3 cos + i sin = 4 6 6 2 + 2 3i 7 7 + 2k + 2k 3. + i sin 6 cos 6 3 3 4 Полагая k = 0,1, 2, получим три различных значения искомого корня:

k = 0 : z0 = 3 k = 1 : z1 = 3 3 7 7 + i sin cos 4 18 18 ;

3 19 19 + i sin ;

cos 4 18 18 3 31 31 k = 2 : z 2 = 3 cos + i sin. 4 18 1.2 Решить уравнение: x 2 (1 + 2i ) x + 1 + 7i = 0.

a = 1, b = (1 + 2i ), c = 1 + 7i.

Решение D = (1 + 2i )2 4(1 + 7i ) = 1 + 4i + 4i 2 4 28i = 7 24i 1 + 2i ± 7 24i. 2 Извлечем квадратный корень из комплексного числа 7 24i по формулам: x1, 2 = a + bi = x + yi;

x = ± У нас a = 7, b = 24.

x=± 7+ a ± a2 + b2 b, y=. 2 2x = ±3;

2 b 24 x1 = 3;

y1 = = = 4, x1 + y1i = 3 4i;

2 x1 6 x 2 = 3;

y 2 = b 24 = = 4, x 2 + y 2 i = 3 + 4i. 2 x2 ( 7 )2 + ( 24 ) Итак, 7 24i = ± (3 4i ), тогда 1 + 2i ± (3 4i ) x1, 2 =, 2 1 + 2i + 3 4i 1 + 2i (3 4i ) x1 = = 2 i;

x 2 = = 1 + 3i. 2 Можно сделать проверку по теореме Виета: c b (самостоятельно). x1 + x 2 = и x1 x 2 = a a Ответ: x1 = 2 i, x 2 = 1 + 3i.

Даны две матрицы 3 1 A = 3 5 4 Задание 2 A и B. Найти: A B;

B A. 0 1 0 2 1, B = 1 8 5 3 5 0 2 Решение Определим тип матриц: A(33), B(33). Число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B, поэтому произведение A B существует, и получим матрицу типа (3 3), а именно 3 1 0 1 0 2 A B = 3 5 1 1 8 5 = 4 7 5 3 0 2 3 ( 1) + ( 1) 1 + 0 3 3 0 + ( 1) ( 8) + 0 0 3 2 + ( 1) 5 + 0 2 3 0 + 5 ( 8) + 1 0 3 2 + 5 5 + 1 2 = = 3 ( 1) + 5 1 + 1 3 4 ( 1) + ( 7 ) 1 + 5 3 4 0 + ( 7 ) ( 8) + 5 0 4 2 + ( 7 ) 5 + 5 2 8 1 4 = 5 40 33. 4 56 17 Так как произведение матриц свойством коммутативности не обладает, то A B B A. Число столбцов матрицы B равно числу строк матрицы A, поэтому B A существует, и получим матрицу типа (3 3), а именно 1 0 2 3 1 0 B A = 1 8 5 3 5 1 = 3 0 2 4 7 5 1 3 + 0 3 + 2 4 1 ( 1) + 0 5 + 2 ( 7 ) 1 0 + 0 1 + 2 5 = 1 3 + ( 8) 3 + 5 4 1 ( 1) + ( 8) 5 + 5 ( 7 ) 1 0 + ( 8) 1 + 5 5 = 33 + 03 + 2 4 3 ( 1) + 0 5 + 2 ( 7 ) 3 0 + 0 1 + 2 5 5 13 10 = 1 76 17. 17 17 10 8 1 4 5 13 10 Ответ: A B = 5 40 33 ;

B A = 1 76 17. 4 17 17 10 56 17 Задание 3 Вычислить определитель. 1 2 4 1 2 3 0 6 = 2 2 1 4 3 1 2 1 Решение Удобнее всего вычислять определитель 4-го порядка разложением по элементам строки или столбца, содержащим наибольшее количество нулей. Преобразуем определитель, используя свойство 8 §2 гл.2. Сделаем нулевыми все элементы определителя, стоящие в третьем столбце (кроме элемента, который стоит на пересечении с третьей строкой). Для этого умножим элементы третьей строки на минус 4 и сложим с элементами первой строки, и на 2 и сложим с элементами четвертой строки, получим: 1 2 4 9 6 0 15 1 2 30 6 2 3 0 6. = = 2 2 1 4 2 2 1 4 ( 4 ) 2 7 3 0 7 3 1 2 1 Воспользуемся теоремой 2.2.1 и разложим по элементам третьего столбца, получим: 9 6 15 9 6 15 = 1 A33 = 1 ( 1)3+3 2 3 6=2 3 6.

7 3 7 7 3 7 Воспользуемся свойством 4 §2 гл.2 и вынесем общий множитель 3 из первой строки, получим: 3 2 5 = 3 2 3 6. 7 3 7 Вычислим определитель 3-го порядка, например, по правилу треугольников. = 3 ( 3 3 7 + ( 5) 2 ( 3) + 2 6 7 ( 5) 3 7 ( 3) 6 ( 3) 2 2 7 ) = = 3 ( 63 + 30 + 84 + 105 54 28 ) = 3 74 = 222. Ответ: = 222.

Задание 4 Исследовать систему на совместность и решить ее: а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера;

в) с помощью обратной матрицы.

2 x + 3 y z = 8 x 2 y + z = 1 x y + 2 z = Решение Исследуем систему на совместность по теореме Кронекера-Капелли. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками: 8 1 ( 2 ) ( 1) 2 3 1 1 2 1 * A = 1 2 1 1 2 3 1 8 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 6 1 2 ( 7 ) 0 1 0 7 3 0 7 3 0 1 1 6 2 1 1 1 2 1 2. 0 1 0 0 10 20 r ( A) = 3 (числу ненулевых строк ), r A* = 3.

Так как r ( A) = r A* = 3, следовательно, система совместна. Количество неизвестных n = 3 = r, следовательно, система определенна, то есть имеет единственное решение.

() () а) метод Гаусса В процессе исследования системы на совместность мы привели расширенную матрицу A* к ступенчатому виду. Этой матрице будет соответствовать система уравнений ступенчатого вида, равносильная исходной, а именно: x 2 y + z =1 y + z = 2. 10 z = 20 Из последнего уравнения z = 2 ;

подставив это значение во второе уравнение, находим y = 0 ;

подставляя найденные значения в первое уравнение, получим x = 3. x = 3 Итак, решение системы имеет вид: y = 0. z = б) по формулам Крамера Запишем формулы Крамера: x j =, j = 1,2,..., n, где - главный определитель системы, j - побочный определитель системы, получающий из j определителя заменой j - столбца на столбец свободных членов системы. Найдем главный определитель системы, который состоит из коэффициентов при неизвестных. Вычислим его по правилу треугольников. 2 3 1 = 1 2 1 = 2 ( 2 ) 2 + 1 ( 1) ( 1) + 3 1 1 ( 1) ( 2 ) 1 2 1 ( 1) 1 1 1 3 2 = 10. Так как 0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Запишем и вычислим побочные определители системы: 8 3 1 2 8 3 1 1 = 1 2 1 =9 1 0= 1 1 2 15 5 0 (разложим 1 по элементам третьего столбца) 91 91 = ( 1) ( 1)1+ 3 = 5 = 5 (9 3) = 30 15 5 31 (определитель вычислен по свойствам 8, 4 §2 гл.2 и теореме 2.2.1). 2 8 1 2 6 3 6 3 2 = 1 1 1 =1 0 0 = 1 ( 1)2 +1 =0 2 1 1 1 2 1 2 ( 1) (определитель второго порядка имеет две пропорциональные строки). 23 8 2 5 10 5 10 12 3 = 1 2 1 = 1 1 2 = 1 ( 1)3+1 = 5 = 5 (2 + 2 ) = 20. 1 2 1 2 1 1 1 1 0 Получим решение системы:

30 x= 1 = =3 10 2 0 = =0. y = 10 3 20 z = = 10 = Запишем систему в матричном виде: A X = B X = A 1 B. Найдем матрицу A 1, обратную к матрице A, по формуле A11 A21 A31 1 A 1 = A12 A22 A32, где Aij - алгебраическое дополнение элемента det A A13 A23 A33 aij матрицы A. Так как det A = = 10 0, то матрица A - невырожденная и для нее существует A 1. Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы A по формуле: Aij = ( 1)i + j M ij. Имеем:

A11 = ( 1)1+1 A12 = ( 1)1+ 2 A13 = ( 1)1+ 3 2 1 3 1 3 1 = 5, A31 = ( 1)3+1 = 3, A21 = ( 1)2 +1 = 1, 1 2 1 2 2 1 11 12 = 1, A22 = ( 1)2 + 2 = 1, A23 = ( 1)2 + 3 2 1 1 2 2 3 = 5, = 5, A32 = ( 1)3+ 2 A33 = ( 1)3+ 3 2 1 1 2 1 3 = 3, = 7.

в) с помощью обратной матрицы Рассмотрим основную матрицу A из коэффициентов при неизвестных системы, матрицу X из неизвестных и матрицу B из свободных членов: 8 x 2 3 1 A = 1 2 1, X = y, B = 1. 1 z 1 1 1 1 1 1 1 Тогда обратная матрица имеет вид: 3 5 1 1 1 A = 1 5 3. 10 5 7 1 Можно сделать проверку: A A 1 = A 1 A = E (самостоятельно). Находим решение данной системы уравнений: 3 5 1 8 x 1 1 X = y = A B = 1 5 3 1 = 10 z 5 7 1 1 3 8 + ( 5) 1 + 1 ( 1) 30 3 x = 3 1 1 = 1 8 + 5 1 + ( 3) ( 1) = 0 = 0 y = 0 10 10 1 8 + 5 1 + ( 7 ) ( 1) 20 2 z = 2. Ответ: (3;

0;

2).

Задание 5 Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе, если a = { ;

0;

1}, b = { ;

2;

0}, c = {0;

3;

1}, d = {2;

7;

5}. 1 1 Решение Докажем, что векторы a, b, c образуют базис. Вычислим определитель, составленный из координат этих векторов. 101 1 2 0 = 2 + 3 = 1 0 векторы a, b, c - линейно независимы, значит, они 031 образуют базис. Найдем координаты вектора d в базисе {a, b, c }. Разложим вектор d по векторам базиса {a, b, c }, получим: d = xa + yb + zc (*). Найдем коэффициенты разложения, то есть x, y, z, а они, в свою очередь, будут являться координатами вектора d в этом базисе (по определению). Для этого разложим все векторы по векторам ортонормированного базиса {i, j, k }: d = 2i + 7 j + 5k, a = i + k, b = i 2 j, c = 3 j + k. Далее, подставим все разложения в равенство (*), имеем: 2i + 7 j + 5k = x(i + k ) + y (i 2 j ) + z (3 j + k ) или Таким образом, r ( A) = r A* = 3, следовательно, система совместна и n = 3 = r, значит, она имеет единственное решение. Полученной расширенной матрице соответствует система уравнений:

2i + 7 j + 5k = ( x + y )i + ( 2 y + 3z ) j + ( x + z )k. Соберем коэффициенты при векторах i, j, k уравнений с тремя неизвестными: x + y = 2 2 y + 3 z = 7. x + z = 5 Решим систему методом Гаусса. 2 ( 1) 1 1 0 2 1 1 0 A* = 0 2 3 7 7 0 2 3 1 0 1 0 1 1 5 3 2 1 1 0 3 0 1 1 0 0 1 1.

и получим систему трех 1 1 0 0 1 1 0 2 2 3 ( 2) () x + y = 2 x = 4 y + z = 3 y = 2. z = 1 z =1 Подставим x, y, z в равенство (*), получим:

d = 4a 2b + c d = {4;

2;

1} в базисе a, b, c. Ответ: d = {4;

2;

1}.

{ } Задание 6 Коллинеарны ли векторы c1 и c 2, построенные по векторам a и b, если a = {2;

0;

5}, b = { ;

3;

4}, c1 = 2a 5b, c 2 = 3b 5a. 1 Решение Найдем координаты векторов c1 и c 2, используя свойства координат векторов (см. §3 гл.3). c1 = 2a 5b = 2 {2;

0;

5} 5 { ;

3;

4} = {4;

0;

10} + { 5;

15;

20} = { 1;

15;

30}. 1 c 2 = 3b 5a = 3 { ;

3;

4} 5 {2;

0;

5} = {3;

9;

12} + { 10;

0;

25} = { 7;

9;

37}. 1 То есть c1 = { 1;

15;

30} и c 2 = { 7;

9;

37}. Далее воспользуемся условием коллинеарности векторов в координатной форме, а именно: если координаты векторов пропорциональны, то векторы коллинеарны. 1 15 30 1 5 30 Так как или, то координаты 7 9 37 7 3 37 непропорциональны, следовательно, векторы c1 и c 2 неколлинеарны. Ответ: c1 c 2 Задание 7 между векторами Найти косинус угла A( 2;

4;

6 ), B(0;

2;

4 ), C ( 6;

8;

10 ).

AB и AC, если Решение Косинус угла между векторами AB и AC вычисляется по формуле: AB AC cos = cos AB, AC =, AB AC ( ) где AB AC - скалярное произведение векторов и AB, AC - длины векторов AB и AC. Найдем координаты векторов AB и AC : AB = {0 ( 2 );

2 4;

4 ( 6 )} = {2;

2;

2}, AC = { 6 ( 2 );

8 4;

10 ( 6 )} = { 4;

4;

4}.

Найдем скалярное произведение векторов как сумму произведений соответствующих координат, то есть AB AC = 2 ( 4 ) + ( 2 ) 4 + 2 ( 4 ) = 24. Найдем длины векторов как квадратный корень из суммы квадратов их координат, то есть AB = 2 2 + ( 2)2 + 2 2 = 12 = 2 3;

AC = cos = 24 24 = = 1. 24 2 34 ( 4)2 + 4 2 + ( 4) = 48 = 4 3.

Тогда косинус угла равен Ответ: cos = 1.

Задание 8 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах a и 2 b, если a = 2 p + 3q, b = p 2q ;

p = 2, q = 1, ( p, q ) =. 3 Решение Воспользуемся геометрическим смыслом модуля векторного произведения двух векторов (см. свойство 5 §6 гл.3), а именно: площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, равна модулю их векторного произведения: S пар = [a, b ].

Применим свойства 3, 4, 1 §6 гл.3 и вычислим векторное произведение векторов a и b. [a, b ] = [2 p + 3q, p 2q ] = 2[ p, p ] 4[ p, q ] + 3[q, p ] 6[q, q ] = 0 4[ p, q ] 3[ p, q ] 0 = 7[ p, q ]. Вычислим модуль векторного произведения векторов a и b, используя первое условие из определения векторного произведения, а именно: [a, b ] = a b sin (a, b ).

Тогда, S пар = [a, b ] = 7 [ p, q ] = 7 [ p, q ] = 7 p q sin ( p, q ) = 7 2 1 sin = 7 3. 2 3 = 14 = 3 Ответ: S пар = 7 3 (кв. ед.). Задание 9 Компланарны ли векторы a = { 3;

3;

3}, b = { 4;

7;

6} и c {3;

0;

1}? Решение Если векторы заданы своими координатами a = {a1 ;

a 2 ;

a3 }, b = {b1 ;

b2 ;

b3 } и c = {c1, c 2, c3 }, то условие компланарности векторов a, b, c имеет вид (см.§7 гл.3): a1 a 2 a3 a, b, c - компланарны (a, b, c ) = 0 b1 b2 b3 = 0. c1 c2 c3 (Если определитель не равен нулю, то векторы некомпланарны.) Вычислим смешанное произведение векторов: 3 3 3 633 (a, b, c ) = 4 7 6 = 14 7 6 = 1 ( 1)3+3 6 3 = (42 42) = 0, 14 7 3 0 1 0 0 тогда векторы a, b и c - компланарны. Ответ: a, b, c - компланарны.

Задание 10 Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A4 и его на грань высоту, опущенную из вершины A4 A1 A2 A3, если A1 (1;

3;

0), A2 (4;

1;

2 ), A3 (3;

0;

1), A4 ( 4;

3;

5). Решение Сделаем чертеж:

В соответствии с геометрическим смыслом модуля смешанного произведения векторов (см. свойство 5 §7 гл.3), имеем: 1 1 Vтет = Vпар да = A1 A2, A1 A3, A1 A4 6 6 Найдем координаты векторов A1 A2, A1 A3, A1 A4. A1 A2 = {4 1;

1 3;

2 0} = {3;

4;

2}, A1 A3 = {3 1;

0 3;

1 0} = {2;

3;

1}, A1 A4 = { 4 1;

3 3;

5 0} = { 5;

0;

5}.

( ).

Найдем смешанное произведение векторов A1 A2, A1 A3, A1 A4.

( A1 A2, Vтет = A1 A3, A1 A4 ) = 4 2 3 1 = 45 + 20 30 + 40 = 15. 0 1 15 5 15 = = (куб. ед.). 6 62 С другой стороны, 1 Vтет = S A1 A2 A3 A4 H A4 H = 3Vтет. S A1 A2 A Согласно геометрическому смыслу модуля векторного произведения векторов, имеем S A1 A2 A3 = 1 A1 A2, A1 A3 2 Если векторы [ ].

a заданы своими координатами a a3 a3 a1 a1 a 2 a = {a1 ;

a 2 ;

a3 }, b = {b1 ;

b2 ;

b3 }, то [a, b ] = 2 ;

;

. b2 b3 b3 b1 b1 b2 Вычисляем координаты векторного произведения:

b и [A1 A2, A1 A3 ] = 4 [A1 A2, A1 A3 ] = Тогда, S A1 A2 A3 = и его модуль:

2 2 3 3 4 ;

;

= {2;

1;

1} 1 1 2 2 2 2 + 12 + ( 1)2 = 6.

1 6 6=. 2 2 Находим высоту A4 H :

5 15 5 6 (ед.) A4 H = 2 = = 2 6 6 2 Ответ: Vтет = 5 56 (куб. ед.), A4 H = (ед.). 2 3 Задания для контрольных работ Задание 1 1.1 Используя тригонометрическую форму комплексного числа, произвести указанные действия: 1 2 3 (1 3i )1 2 (1 + i )1 2 ;

( 3 i )1 3 (1 i )1 3 ;

10 (1 + i )5 (1 i )8 ( 3 + i ) ;

( 3 + i )1 3 (1 i )1 3 ;

3 1 6 2 2 i ( 1 i )1 2 ;

i i ( )1 3 ;

3 1 8 2 2 i ( 1 i )1 3 ;

(i 1)41 ;

3 1 5 2 + 2 i ( i ) ;

2 2 i 9 2 10 (3i )1 3 2 + 2 3i ( )1 3.

2 x 2 (2 + 2i ) x + (5 + 14i ) = 0;

3 x 2 + (1 + 2i ) x + 2i = 0;

4 x 2 (2 + i ) x + ( 1 + 7i ) = 0;

1.2 Решить уравнение: 1 x 2 (3 2i ) x + (5 5i ) = 0;

6 x 2 (2 + 2i ) x + (3 2i ) = 0;

8 x 2 (4 + i ) x + (5 i ) = 0;

7 x 2 + (2 3i ) x (5 + 5i ) = 0;

5 x 2 (3 i ) x + (2 + 3i ) = 0;

9 x 2 (1 + 2i ) x + (1 5i) = 0;

10 x 2 + (2 + i ) x + ( 1 + 7i ) = 0.

Задание 2 Даны две матрицы A и B. Найти: A B и B A. 2 1 3 2 1 2 В = 3 5 4 ;

А = 8 7 6, 3 4 1 2 2 1 8 5 3 5 6 2 A = 2 4 3, B = 3 1 0 3 1 1 4 5 3 0 2 1 1 3 6 А = 2 1 1, В = 2 4 6 ;

1 0 1 1 2 3 6 1 11 3 0 1 А = 9 2 5, В = 0 2 7 ;

0 3 7 1 3 2 3 1 2 5 А = 1 0 2, 1 2 1 2 3 2 6 А = 1 3 1, 4 1 3 6 7 3 7 А = 3 1 0, 2 2 1 4 2 3 8 А = 3 1 4, 1 2 2 1 7 3 9 А = 4 9 4, 0 3 2 2 6 1 10 А = 1 3 2, 0 1 1 Вычислить определитель: 1 3 1 2 2 6 0 4 2 1 3 0 1 2 0 6 2 5 ;

06 4 3 5 1 0 1 3 3 9 0 ;

2 1 3 206 72 1 1 1 0 ;

40 2 5 1 0 1 2 В = 2 1 1 ;

3 7 1 3 2 1 В = 3 1 2 ;

5 3 0 5 2 0 В = 4 1 2 ;

4 3 7 3 3 1 В = 0 6 2 ;

1 9 2 6 5 2 В = 1 9 5 ;

4 5 2 4 3 2 В = 4 0 5. 3 2 3 Задание 3 35 3 24 1 1 2 2 5 1 2 3 4 1 0 2 0 ;

1 2 0 5 3 5 0 ;

0 2 3 1 3 2 1 2 0 3412 ;

2 1 0 1 1 2 3 3 2 1 1 4 5 1 2 0 4 0 1 4 2 1 0 2 23 ;

10 3 3 11 13 ;

2 2 4 4 1 1 5 0 2 2 3 ;

34 1 2 41 1 1 8 2 3 3 2 0 4. 10 5 3 7 1 Задание 4 Исследовать систему на совместность и решить ее: а) методом Гаусса;

б) по формулам Крамера;

в) с помощью обратной матрицы. 2 х + 3 у 3z = 9 4 х + у 3z = 9 1 x y + 2z = 3 ;

6 x + y z = 2 ;

3 x + 5 y 4 z = 15 8 x + 3 y 6 z = 12 2x y + 2z = 3 2 x + y + 2 z = 4 ;

4 x + y + 4 z = 3 3 х у + z = 12 3 x + 2 y + 4 z = 6 ;

5 x + y + 2 z = 3 2 х у + 3 z = 4 4 x + 3 y z = 11 ;

x 2 y + 2 z = 7 8 х + 3 у 6 z = 4 5 x+ yz =2 ;

4 x + y 3z = 5 3х 2 у 5 z = 5 7 2 x + 3 y 4 z = 12 ;

x 2 y + 3 z = 1 2 х у + 2 z = 0 8 4 x + y + 4 z = 6 ;

x + y + 2z = 4 2 х у 3 z = 9 9 x + 5 y + z = 20 ;

3 x + 4 y + 2 z = 15 2 х у 3z = 0 10 3 x + 4 y + 2 z = 1. x + 5 y + z = Задание 5 Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисе. 1 a = {0, 1, 2}, b = {, 0, 1}, 1 c = { 1, 2, 4}, d = { 2, 4, 7};

2 a = {, 3, 0}, 1 b = {2, 1, 1}, c = {0, 1, 2}, d = {6, 12, 1};

3 a = {4, 1, 1}, 4 a = {5, 1, 0}, 5 a = { 1, 2, 1}, 6 a = {, 1, 4}, 1 7 a = {, 2, 0}, 1 8 a = {, 1, 0}, 1 9 a = {2, 0, 1}, 10 a = {0, 1, 3}, b = {2, 0, 3}, b = {2, 1, 3}, b = {2, 0, 3}, b = {0, 3, 2}, b = { 1, 1, 3}, b = {0, 1, 2}, b = {, 1, 0}, 1 b = {, 2, 1}, c = { 1, 2, 1}, c = {, 0, 1}, 1 c = {, 1, 1}, 1 c = {2, 1, 1}, c = {, 0, 4}, 1 c = {, 0, 3}, 1 c = {4, 1, 2}, c = {2, 0, 1}, d = { 9, 5, 5};

d = {, 2, 7};

13 d = { 1, 7, 4};

d = {6, 5, 14};

d = {6, 1, 7};

d = {2, 1, 11};

d = {8, 0, 5};

d = {3, 1, 8}.

Задание 6 Коллинеарны ли векторы с1 и с2, построенные по векторам а и b ? 1 a = {, 2, 3}, 1 b = {3, 0, 1}, c1 = 2a + 4b, c2 = 3b a;

2 a = {, 2, 5}, 1 b = {3, 1, 0}, c1 = 4a 2b, c2 = b 2 a;

3 a = { 1, 4, 2}, b = {3, 2, 6}, c1 = 2a b, c2 = 3b 6a;

4 a = {0, 3, 2}, b = {, 2, 1}, 1 c1 = 5a 2b, c2 = 3a + 5b;

5 a = {7, 9, 2}, b = {5, 4, 3}, c1 = 4a b, c2 = 4b a;

6 a = {5, 0, 2}, b = {6, 4, 3}, c1 = 5a 3b, c2 = 6b 10 a;

7 a = {3, 7, 0}, b = {4, 6, 1}, c1 = 3a + 2b, c2 = 5а 7b;

8 a = {2, 1, 4}, b = {3, 7, 6}, c1 = 2a 3b, c2 = 3а 2b;

9 a = {5, 1, 2}, b = {6, 0, 7}, c1 = 3a 2b, c2 = 4b 6a;

10 a = {4, 2, 9}, b = {0, 1, 3}, c1 = 4b 3а, c2 = 4a 3b.

Задание 7 Найти косинус угла между векторами AB и АС, если: 1 A(1;

2;

3), B(0;

1;

2 ), C (3;

4;

5);

2 A(0;

3;

6 ), B ( 12;

3;

3), C ( 9;

3;

6 );

3 A(3;

3;

1), B (5;

5;

2 ), C (4;

1;

1);

4 A( 4;

2;

0 ), B ( 1;

2;

4 ), C (3;

2;

1);

5 A( 3;

7;

5), B (0;

1;

2 ), C (2;

3;

0 );

6 A(0;

1;

2 ), B(3;

1;

2 ), C (4;

1;

1);

7 A(3;

3;

1), B(1;

5;

2 ), C (4;

1;

1);

8 A( 1;

2;

1), B( 4;

2;

5), C ( 8;

2;

2 );

9 A(6;

2;

3), B(6;

3;

2 ), C (7;

3;

3);

10 A(2;

8;

1), B(4;

6;

0 ), C ( 2;

5;

1). Задание 8 Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а и b.

1 a = p + 2q, 2 a = 3 p 2q, 3 a = p 2q, 4 a = p + 3q, 5 a = 4 p + q, 6 a = p + 4q, 7 a = 4 p q, 8 a = 3 p q, 9 a = 2 p 3q, 10 a = 5 p + q, b = 3 p q;

b = p + 5q;

p = 1, p = 4, q = 2, ( p, q ) = ;

1 q=, q = 3, q = 3, q = 2, q = 2, q = 4, q = 4, q = 1, q = 2, b = 2 p + q;

b = p 2q;

b = p q;

b = 2 p q;

b = p + 2q;

b = p + 2q;

b = 3 p + q;

b = p 3q;

p = 2, p = 2, p = 7, p = 7, p = 5, p = 3, p = 4, p = 1, 6 ( p, q ) = 5 ;

6 ( p, q ) = 3 ;

( p, q ) = ;

3 4 ( p, q ) = ;

( p, q ) = ;

( p, q ) = ;

( p, q ) = ;

( p, q ) = ;

3 ( p, q ) =.

Задание 9 Компланарны ли векторы a, b и с ? b = { 1, 0, 1}, c = {2, 2, 2};

1 a = {2, 3, 1}, b = {2, 3, 4}, c = {3, 1, 1};

2 a = {3, 2, 1}, 1 b = { 1, 1, 1}, c = {, 1, 1};

1 3 a = {, 5, 2}, 1 b = {3, 2, 1}, c = {2, 3, 4};

4 a = {, 1, 3}, b = {, 2, 1}, 1 c = {, 1, 1};

1 5 a = {3, 3, 1}, b = { 2, 1, 0}, c = {5, 2, 1};

6 a = {3, 1, 1}, b = {, 2, 1}, 1 c = {2, 2, 2};

7 a = {4, 3, 1}, b = {6, 7, 4}, c = {2, 0, 1};

8 a = {4, 3, 1}, b = {, 3, 7}, 1 c = {, 2, 3};

1 9 a = {3, 2, 1}, b = { 2, 0, 1}, c = {2, 2, 1}. 10 a = {3, 7, 2}, Задание 10 Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A4 и его высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1 A2 A3, если: A2 (2, 2, 1), A3 ( 1, 0, 1), A4 ( 4, 6, 3);

1 A1 (1, 3, 6), A2 (2, 3, 0), A3 ( 10, 5, 8), A4 ( 5, 2, 4);

2 A1 ( 4, 2, 6), 3 4 5 6 7 8 9 A1 ( 1, 5, 2), A1 (2, 1, 2), A1 ( 2, 0, 4), A1 (1, 2, 0), A1 (2, 1, 2), A1 (1, 1, 2), A1 (2, 3, 1), A1 ( 1, 2, 3), A2 ( 6, 0, 3), A2 (1, 2, 1), A2 ( 1, 7, 1), A2 (3, 0, 3), A2 (1, 2, 1), A2 ( 1, 1, 3), A2 (4, 1, 2), A2 (4, 1, 0), A3 (3, 6, 3), A3 (5, 0, 6), A3 (4, 8, 4), A3 (5, 2, 6), A3 (3, 2, 1), A3 (2, 2, 4), A3 (6, 3, 7 ), A3 (2, 1, 2), A4 ( 10, 6, 7 );

A4 ( 10, 9, 7 );

A4 (1, 4, 6);

A4 (8, 4, 9);

A4 ( 4, 2, 5);

A4 ( 1, 0, 2);

A4 (7, 5, 3);

A4 (3, 4, 5).

Список использованных источников 1 Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры: Учебник для вузов / Д.В. Беклемишев. – 10-е изд., испр. – М.: Физматлит, 2003. – 304 с. 2 Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1984. – 256 с. 3 Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1980. – 392 с. 4 Гусак А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра: Справочное пособие к решению задач / А.А. Гусак. – Изд. 3-е, стереотип. – Минск: ТетраСистемс, 2003. – 288 с. 5 Гусак А.А. Высшая математика. В 2-х т. Т. 1.: Учебник для студентов вузов. – 4-е изд., стереотип. – Минск: ТетраСистемс, 2003. – 544 с. 6 Зимина О.В., Кириллов А.И., Сальникова Т.А. Высшая математика. – 2-е изд., испр. – М.: Физико-математическая литература, 2001. – 368 с. (Решебник). 7 Ильин В.А. Аналитическая геометрия: Учебное пособие для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 6-е изд., стер. – М.: Физматлит, 2003. – 240 с. – (Курс высшей математики и математической физики). 8 Ильин В.А. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. – 5-е изд., стер. – М.: Физматлит, - 2002. – 320 с. – (Курс высшей математики и математической физики / Под ред. А.Н. Тихонова, В.А. Ильина, А.Г. Свешникова;

Вып. 4). 9 Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия: Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 392 с. (Сер. Математика в техническом университете;

Вып. III). 10 Канатников А.Н., Крищенко А.П. Линейная алгебра: Учебник для вузов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. – 336 с. (Сер. Математика в техническом университете;

Вып. IV). 11 Кострикин А.И. Сборник задач по алгебре. М.: Факториал, 1995. – 454 с. 12 Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968. – 432 с. 13 Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. – М.: Рольф, 2001. – 576 с. 14 Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии: Учеб. пособие для инж.-техн. спец. вузов / Апатенок Р.Ф., Маркина А.М., Попова Н.В., Хейнман В.Б.;

Под ред. Воднева В.Т. – 2-е изд., перераб. и доп. – Минск: Высшая школа, 1986. – 272 с.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.