WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«Г.А.Медведев МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФИНАНСОВОЙ ЭКОНОМИКИ Учебное пособие Часть 1 Медведев Г.А. Математические основы финансовой экономики [Электронный ресурс]: Учебное пособие: Часть 1. — Электрон. ...»

-- [ Страница 4 ] --

0 Ft для некотоДоказательство. Пусть P(t, T) = Z t0 ЕQ Z T рой эквивалентной вероятностной меры Q на (, FТ). Взяв производную Радона – Никодима = dQ dP на FТ, получим, что положительная функция удовлетворяет свойству ( ) T Т exp ru du L2(, FТ, Р). 0 Определим условное математическое ожидание t = Е[ | Ft], которое имеет левый предел и является непрерывным справа (см. Р. Липцер, А. Ширяев, 1977). Для t < s и А Ft мы имеем A Z t dQ = Z s dQ, т. е. Zt dP = Z sdP A A A и Z t E[ Ft ] dP = Z s E[ Fs ] dP, A A так как является интегрируемой, а ( Z t1 )0 t T – ограниченным. Доказательство того, что t – строго положительный процесс, является стандартным: определим момент остановки = inf{t | t = 0} Т, (х у = min (х, у)). По теореме о произвольном выборе для мартингала (t) имеем = Е[Т |F] и так как { < Т} F, {

Из = 0 на { < Т} следует, что {

A Zt t dP = Z s s dP A или A Z t dQ = Z s dQ, A 1 0 Z t1 = E Q Z s Ft, P(t, T) = Z t0 ЕQ Z T [ ] ( )1 Ft.

Следствие 5.2. При предположениях и обозначениях следствия 5.1 T T P(t, T) = Е exp ru du Ft. t t Доказательство. Процесс tP(t, T) ехр{ 0 ru du } является мартингалом по отношению к Р. Следовательно, T t P(t, T) ехр{ 0 ru du } = Е T exp ru du Ft, 0 t t T P(t, T) = (t) ехр{ 0 ru du }Е T exp ru du Ft, 0 t Выражение, стоящее за пределами символа математического ожидания, может быть неинтегрируемым, но мы получим утверждение следствия, используя монотонную последовательную аппроксимацию и положительность всех случайных величин.

Для дальнейшего заметим, что выражение T t является интегрируемым и что E [T t Ft ] = 1, как это можно показать с помощью последовательной аппроксимации. 0 1 Если принять модификацию для мартингала EQ ZT Ft, ко торая непрерывна справа и имеет предел слева почти всюду, тогда такая же регулярность имеет место для процесса (P(t, T))t < Т. Поэтому для § 2 сделаем следующее предположение. Предположение 5.6. Для почти всех траектория процесса цены t P(t, T)() имеет предел слева для t > 0 и является непрерывной справа для t < Т.

() § 2. СЛУЧАЙ, КОГДА ПРОЦЕСС МГНОВЕННОЙ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ АДАПТИРОВАН К БРОУНОВСКОМУ ДВИЖЕНИЮ Соотношение между мгновенным процессом процентной ставки и процессом цены облигации уточним здесь для случая, когда информация порождается процессом, который предполагается броуновским движением. Теорема представления положительных мартингалов относительно броуновского движения позволяет описать процесс цен облигации Рt как стохастический интеграл Ито, включающий мгновенную процентную ставку rt и лежащий в основе процесс «цены риска». Теорема Гирсанова показывает, что для нейтральной к риску вероятности слагаемое дрейфа в дифференциале dPt/Pt равно rt dt, как в детерминированном случае. Формальный результат по дифференциалам Ито, доказывающий, что коэффициент дрейфа является условным математическим ожиданием ставки доходности, обеспечивает достаточное условие единственности нейтральной к риску вероятности, а значит и для арбитражного определения цены в рамках модели для любого актива. Дополнительно предполагаем, что процесс мгновенной процентной ставки порождает ту же информацию, как и заданная фильтрация, и как существование какого-либо броуновского движения с теми же информационными свойствами. Классические результаты по представлению положительных мартингалов относительно броуновского движения позволяют описать процесс цен облигации как стохастиче ский интеграл Ито, включающий мгновенную процентную ставку и лежащий в основе «процесс цены риска». Получим предварительные результаты единственности путем доказательства того, что коэффициент дрейфа в дифференциале Ито является также условным математическим ожиданием ставки доходности при общих предположениях (а не L2 интегрируемости) на коэффициенты в дифференциале Ито. Этот факт, интересный сам по себе в математическом смысле, показывает, что процесс цены риска определяется единственным образом с помощью процессов мгновенной процентной ставки и цены облигаций. Отсюда можно установить достаточное условие для единственности нейтральной к риску вероятностной меры § 1, также как и для арбитражного определения цены любого актива. Это позволяет нам также вывести мгновенную процентную ставку из цен облигаций по инфинитезимальным временным интервалам.

Мгновенные процентные ставки и цены облигации, адаптированные к броуновскому движению Чтобы описать более детально механизм поступления информации к участникам рынка, сделаем следующие предположения существования и связи. Предположение 5.7. Стандартный броуновский процесс (Вt)t 0 задается на (, FТ, Р). То есть для всякого семейства 0 t0 t1 … tn существует последовательность Bt0, Bt1 Bt0, …, Btn Btn 1 независимых случайных величин, нормально распределенных с нулевым средним и дисперсиями t0 t1 t0 … tn tn 1. Процесс (Вt)t 0 непрерывный почти всюду. Предположение 5.8. -Алгебра Ft порождается значениями процесса Ви, 0 и t, и всеми множествами нулевой меры (Вs, s 0). Хорошо известно, что семейство (Ft)0 t Т является непрерывным справа (см. Р. Липцер и А. Ширяев). Предположение 5.9. С точностью до множеств меры нуль алгебра Ft порождается величинами (rи)и t. Последнее предположение является очень важным с точки зрения моделирования и позволяет нам описывать броуновское движение посредством информации, поступающей только от (rи)и 0, избегая так называемых инновационных процессов. Наконец сформулируем экономические предположения. Предположение 5.10. Система цен (Z t)0 t T = ( Z t0, P(t, T)) 0 t T не допускает бесплатного ланча, а выводимая система цен жизнеспособна. С этого времени и, возможно, без дальнейшего уведомления предположим, что наша модель удовлетворяет следующему предположению. Предположение 5.11. Модель одновременно удовлетворяет предположениям 5.1–5.10. При предположении 5.11 мартингальное свойство, выражаемое в теореме 5.2, приводит к заданию цен дисконтированных облигаций благодаря двум классическим результатам по представлению мартингалов относительно броуновского движения. Результат 1). Для Z L1(, FТ, Р) существует предсказуемый процесс (fs) 0 s T такой, что: а) Е[Z | Ft] = Z0 + б) Z = Z0 + в) Р 0 f s dBs ;

t ( T T f s2 ds < = 1;

T г) Е[Z2] = Z ) + E ( f s dBs ;

f s2 ds.

) Части а), б) и в) этого результата получаем путем применения к мартингалу Yt = Е [Z | Ft] теоремы 5.7 (см. Р. Липцер, А. Ширяев, 1977), где, к сожалению, предсказуемость процесса f не упоминается;

кроме того, затем следует использовать результат леммы 5.5. Часть г) этого результата в случае Z L2(, FТ, Р) является просто перефразировкой свойства изометрии стохастического интеграла. Из свойства непрерывности стохастического интеграла следует, что для получения непрерывной траектории можно выбрать мартингал (Е[Z | Ft])0 t Т. Такое же замечание относительно предсказуемости применяется к теореме 5.9 в книге Р. Липцера и А. Ширяева, формулируемой ниже как второй результат, где свойство в), доказывается простым вычислением. Результат 2). Если Z L1(, FТ, Р) является положительным почти всюду, тогда имеется предсказуемый процесс (gs) 0 s T такой, что: T 2 а) Р g s ds < = 1;

0 t 1t 2 б) Zt = Е[Z | Ft] = Z0 ехр g s dBs g s ds ;

20 0 u 1u2 в) Е exp 0 g s dB s 0 g s ds Ft = 1 для t и. Процесс цен облигации как стохастический интеграл Здесь применяются результаты предыдущего подраздела к мартингальному представлению цен дисконтируемых облигации § 1 для получения интеграла и дифференциальных представлений, относящихся к процессу «цены риска» для них. Сначала рассмотрим представление положительного мартингала t = E[dQ dP Ft ]. Утверждение 5.1. При предположениях 5.11 процесс цен облигации задается соотношением T T 1T 2 P (t, T ) = E exp ru du exp q u dBu qu du Ft, 2t t t где (qs) 0 s T является предсказуемым процессом таким, что: T 2 а) Р g s ds < = 1;

0 T T 2 g s dBs 1 g s ds = 1;

б) Е ехр 20 0 T T 1T 2 в) exp ru du exp qu dBu qu du L2(, FТ, Р). 20 0 0 Доказательство. Утверждение а) следствия 5.1 и результат 2) обеспечивают выполнение а) и б) для процесса (qs) 0 s T. Утверждение в) следствия 5.1 и формула б) результата 2) доказывают вид аналитического выражения для Р (t, Т). Применяя теперь теорему представления к мартингалу, включающему Р(t, Т), получаем следующее утверждение. Утверждение 5.2. При предположениях 5.11 процесс цен облигации (Р(t,Т)) 0 t Т является непрерывным процессом со стохастическим дифференциалом dР(t, Т) = µt Р(t, Т) dt + t Р(t, Т) dВt таким, что: а) (µt, t) 0 t Т является предсказуемым;

б) в) µt rt + t qt = 0, qt – такой же, как в утверждении 5.1. Доказательство. Следствие 5.2 (§ 1) обеспечивает равенство t T ru du t = E T exp ru du Ft, Р(t, Т) exp 0 0 левая часть которого уже непрерывна справа. Так как правая часть изменяется непрерывно (см. пункт а) результата 1), левая часть должна быть непрерывной почти всюду, и процесс (Р(t,Т)) 0 t Т будет непрерывным почти всюду. Применив результат 2), получим t t 1t Р(t, Т) exp ru du t = Р(0, Т) exp f s dBs f s2 ds, 20 0 0 где а) (ft) 0tТ является предсказуемым;

б) 0 u du T < и T µu du < почти всюду;

T f u2 du < почти всюду;

1T T в) Е exp 0 f s dBs 0 f s2 ds = 1. 2 Поэтому t t 1t 2 ru du exp qu dBu + qu du Р(t, Т) = Р(0, Т) exp 20 0 0 t 1t f s dBs f s2 ds = exp 20 t t 1t 2 2 = Р(0, Т) exp ( f u qu )dBu ( f u qu ) du + rs + qs qs f s ds, 20 0 ( ) где интегралы имеют смысл, так как поскольку справедливы неравенства 0 ( f u qu ) T du < почти всюду, T f u2 du <, T 2 qu du < и T (rs + qs + qs f s ds < почти всюду. Часть в) утверждения следует из ) 2 получаемых по формуле Ито равенств µ s = rs + qs qs f s и s = fs qs. Следующее следствие утверждения 5.2 может служить первым объяснением названия «нейтральная к риску вероятность», используемого для меры Q с плотностью T 1T 2 = exp qu dBu qu du. 20 0 Следствие 5.3. При выполнении предположений 5.11 процесс rt является функцией дрейфа Р(t, Т) относительно нейтральной к риску вероятностной мере Q. Доказательство. Теорема Гирсанова (см. Р. Липцер, А. Ширяu ~ ев, теорема 6.3) гарантирует, что процесс Bu = Bu 0 q s ds является броуновским движением при вероятностной мере Q и выражение dР может быть записано согласно в) утверждения 5.2 как ~ dР(t, Т) = (µt + t qt) Рt dt + t Рt(dВt qt dt) = rt Рt dt + t Рt dBt. Функционал (qs)0 s T может быть интерпретирован как цена за единицу риска, измеряемого разностью между доходами облигации и (локально свободным от риска) сберегательного счета.

Описание функции дрейфа в стохастических дифференциалах Рассмотрим проблему единственности. Из структуры мартингалов по отношению к (Ft)t Т следует, что встречающиеся предсказуемые процессы определяются с точностью до множеств меры нуль в пространстве [0, Т], оснащенном произведением мер т Р, т мера Лебега на [0, Т];

поэтому единственность должна пониматься с точностью до множеств т Р меры нуль. Единственность определения цены актива связана посредством результатов § 1 с единственностью нейтральной к риску меры Q, а отсюда – с единственностью процесса (qs)0 s T в утверждении 5.1. Поэтому мы исследуем проблему того, как можно идентифицировать процесс (qs)0 s T из (Zt)0 t T с помощью дифференциального выражения утверждения 5.2. Следующая теорема, достаточно формальная по характеру, расширяет известные условия, при которых коэффициент дрейфа оказывается условным математическим ожиданием ставки доходности. Теорема 5.3. Пусть (Хи)0 и T является непрерывным процессом с дифференциалом Ито dХи = иdи + kиdВи, T ( | u | + | ku |) du < почти всюду.

Тогда по мере т Р на [0, Т] и = lim lim N 1 E X (u + h ) N X u N Fu, h0 h ( ) где почти всюду n = inf{и ||Хи| n} Т. Доказательство. Из общей теории стохастических процессов следует, что условные ожидания Yи = E ( X (u +1 n ) n | Fu ) могут быть выбраны таким образом, чтобы (Yи)0 и T являлся непрерывным почти всюду. Этот факт стандартный, но из-за сложности опишем доказательство лишь в общих чертах. Процесс и X (u +1 n ) n – измеримый и имеет измеримую проекцию Yи. Последняя удовлетворяет равенству Yv = E ( X (v +1 n ) n | Fv ) почти всюду для каждого момента остановки v, следовательно, Yи = E ( X (u +1 n ) n | Fu ) почти всюду, и Т. При предположении 5.8 семейство (Ft) 0 t Т квазинепрерывно слева и, следовательно, достижимые и предсказуемые -алгебры совпадают. При заданном > 0 мы сначала выберем N так, чтобы выполнялось неравенство (2 + Т)Р[N < Т] < для момента остановки N = inf t t 2 u du > N или ku du > N T ;

0 t затем найдем h0 такое, чтобы математическое ожидание ( u + h ) N 1 Е dm s ds u [0, ] h u N было меньше для каждого h из ]0, h0[. Это дает нам доказательство теоремы в случае ограниченного процесса (Хи)0 и T. Обращаясь к общему случаю, можно применить локализацию: дифференциал остановленного процесса при N ( X u N ) d ( X u N ) = u I{u < N }du + ku I{u < N }dBu.

Отсюда следует, что по мере т Р 1 lim E X (u + h ) N X u N Fu = u I {u < N }. h 0 h Переход к пределу N дает требуемый результат.

( ) Результаты единственности Теорема 5.3 позволяет воспользоваться средством изучения единственности коэффициентов дрейфа и дисперсии в дифференциальном уравнении процесса цены облигации Р, так же как и единственности процесса цены риска и нейтральной к риску вероятностной меры. Во-первых, она непосредственно показывает, что по мере т Р пределом (1/h)Е[Р(и + h, Т) Р(и, Т)| Fи] при h 0 является µиР(и, Т). Далее следуют два других свойства. Утверждение 5.3. В предположениях 5.11 процессы (µи)0 и T и (и)0 и T (см. утверждение 5.2) однозначно определяются процессами (rи)0 и T и (Р(и, Т))0 и T. Доказательство. Поскольку Р не обращается в нуль, (µи)0 и T регенерируется непосредственно. Так как Р(t, Т) 0 µ s P(s, T )ds t явля ется локальным мартингалом, расширение результата представления (§ 5.2) на локальные мартингалы (см. Р. Липцер, А. Ширяев) обеспечивает единственность (и)0 и T. Альтернативным доказательством является применение теоремы 5.1 к процессу Р (t, Т) ехр (Вt2), чтобы получить по формуле Ито дрейф в виде Р(t, Т) ехр ( Вt2) (µt + 2Вt2 1 2tВt). Так как по предположениям 5.8 и 5.9 Вt является регенерируемым из процесса (rи)0 и t, знание процессов (Р(и, Т))0 и T и (rи)0 и T дает возможность определить (µи)0 и T и (и)0 и T. Для процесса «цены риска» единственность вытекает из полученных ранее результатов. Следствие 5.4. При предположениях 5.11 процесс (qи)0иT (см. утверждение 5.1) единственным образом определяется двумя процессами (rи)0 и T и (Р(и, Т))0 и T на множестве S с = {(и, )| и() 0}. Доказательство. Пункт в) в утверждении 5.2, µt rt + t qt = 0, просто доказывает следствие. Начиная с этого места, зарезервируем символы µt и t для элементов дифференциала Р, т. е. dР(t, Т) = µt Р(t, Т) dt + t Р(t, Т)dВt. Так как единственность для q эквивалентна единственности для Q, предположение т Р = 0 по следствию, приведенному выше, гарантирует единственность Q. Обратное утверждение является более формальным. Теорема 5.4. Для единственности нейтральной к риску вероятностной меры Q необходимо иметь т Р ({(и, )| и() = 0}) = 0. Доказательство этой теоремы здесь опускаем. Теорема 5.4 обеспечивает достаточное условие для возможности арбитражного определения цены любого актива. Утверждение 5.4. При выполнении предположений 5.11, если т Р ({(и, )| и() = 0}) = 0, тогда для всякого элемента g из L2(, FТ, Р) может быть определена цена посредством арбитража. Эта цена (g) дается выражением T T 1 T 2 ru du exp qu dBu qu du, (g) = E g exp 20 0 0 где qи = (µи rи)/и;

dРи = µи Ри dt + и Ри dВи. Доказательство. Формула определения цены, установленная T выше, является эквивалентной равенству (g) = EQ g exp ru du и 0 единственность представляющей меры влечет, что цена каждого элемента из L2 может быть определена арбитражным способом.

Единственность представляющей меры относится к плотности «устойчивого» пространства, порождаемого М: из единственности следует, что М является компактным в L2(, FТ, Р). Для g L2(, FТ, Р) его цена в момент и, и > 0, может быть определена следующим образом. При предположении (*) и т Р (S) = 0 цена Yи элемента g в момент и должна быть такой, что система остается жизнеспособной, если добавляется стоимость Yиехр 0 rs ds. Отсюда она должна быть мартингалом при Q. Поэтому T u rs ds и1Е g exp rs ds T Fu. Yи = ехр 0 0 Если gехр 0 ru du ограничено, то T T 1T 2 rs ds exp q s dBs q s ds Fu. Yи = Е g exp 2u u u Алгоритм определения цены, данный в утверждении 5.4, сводится к следующему: «просто интегрируйте дисконтированную стоимость актива в момент Т по отношению к мере Q», что объясняет термин «нейтральная к риску вероятностная мера Q».

( u ) ( T ) Идентификация процесса мгновенной процентной ставки с помощью процесса цены облигации Сформулируем часто используемое утверждение о мгновенной процентной ставке в момент s, являющейся «пределом при h 0 внутренней нормы прибыли в момент времени s на облигацию с датой погашения s + h» и приведем его доказательство. Формально бескупонная облигация, по которой владельцу выплачивается 1 денежная единица в момент времени t < Т, должна быть элементом g ехр t ru du из L2(, FТ, Р). Согласно утверждению 5.4 (§ 2), ее цена в момент и, и < t, определяется выражением t T 1T 2 Р (и, t) = Е exp rs ds exp q s dB s q s ds Fu. 2u u u ( T ) u В момент и, и > t, цена задается просто в виде exp ru du. t Теорема 5.5. При предположениях 5.11, если т Р (S) = 0, то: 1 а) lim ln P (u, u + h ) = ru по мере т Р ;

h 0 h 1 б) если max ru L (, FТ, Q), тогда для каждого и < Т мы имеем 0 u T 1 lim ln P (u, u + h ) = ru почти всюду. h 0 h Доказательство этой теоремы опускаем из-за громоздкости. 1 Соотношение lim ln P (u, u + h ) = ru допускает интерпретаh 0 h цию rи как процесса мгновенной процентной ставки. Это также показывает, что отсутствие арбитража возможно между «краткосрочными» облигациями и сберегательными счетами. Единственность была необходима только для получения единственного выражения для стоимости Р [и, (и + h) Т]. Если Q не единственная и мы согласны вычислять цену всех этих облигаций с той же мерой, тогда может быть доказана аналогичная теорема. К сожалению, если Q не является единственной, то нет экономического смысла производить вычисления с одинаковой вероятностной мерой.

§ 3. СЛУЧАЙ, КОГДА МГНОВЕННАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА ЯВЛЯЕТСЯ ДИФФУЗИОННЫМ ПРОЦЕССОМ Предположим, что мгновенная процентная ставка следует диффузионному процессу, и сопоставим получающиеся результаты с обычным дифференциальным подходом в финансовой экономике, соблюдая математический уровень строгости при определениях и доказательствах. Основным результатом будет получение дифференциального уравнения в частных производных для цены облигаций как функции только от мгновенной процентной ставки. Для простоты доказательств, мы рассмотрим только стационарный случай. Докажем, что при условиях регулярности: а) процесс сберегательного счета квадратично интегрируемый;

б) процесс цены облигации – не более чем зависящая от времени детерминированная функция процесса мгновенной процентной ставки, если и только если то же верно для цены процесса риска;

в) при предположениях дифференцируемости детерминированная функция пункта б) удовлетворяет параболическому уравнению в частных производных, а процесс цены облигации – тоже диффузионный процесс. Из предположения диффузии следует, что процесс мгновенной процентной ставки (rt)t является марковским. Не будем использовать каноническое представление, которое становится неизбежным для более строгого анализа. Марковское свойство выражается здесь в следующем виде. Марковское свойство. Для всякой ограниченной измеримой функции g на, зависящей от rи, для t и Т при заданном t, т. е. g, измеримой относительно -алгебры (rи;

t и Т), имеет место равенство Е[g|Ft] = Е[g|rt]. Для простоты принимаем, что коэффициенты дрейфа и диффузии для drt принадлежат классу С, и, что более важно, за конечное время процесс rt никогда не достигает ни 0 ни +. Предположение 5.12. Процесс (rt)t следует стационарному диффузионному процессу drt = а(rt) dt + b(rt) dВt, где а, b являются С функциями на (0,+) и b < 0. Кроме того, для каждой стартовой точки r0 = х Р{0 < inf rt sup rt < + } = 1.

0tT 0tT Условия на а и b, гарантирующие отсутствие взрывного изменения rt, известны как условия Феллера. Известно, что для данных а и b и х > 0 имеется только одно строгое решение дифференциального уравнения предположения 5.12, такое, что r0 = х. Из единственности решения следует, что предположения 5.2, 5.3 и 5.9 вытекают из предположения 5.12. Докажем это. У нас имеется функция g: (0, + ) R из С с g = 1/6 f;

процесс Хt = g (rt) удовлетворяет уравнению dХt = (g(rt) а (rt) + g (rt) b2(rt)/2) dt + g(rt) b (rt) dВt, но так как g 0, функция g имеет обратную h, т. е. rt = h(Хt) и dХt = (Хt) dt + dВt для некоторой функции из С. Последнее уравнение показывает, что для 0 и s процесс (Ви)0 и s может быть регенерирован из процесса (Хи)0 и s, а значит, и из процесса (rи)0 и s. Разности (Ви Вt )t и s могут быть также регенерированы из (rи)t и s. Наконец, очень важное замечание для последующего использования: как бы ни определялся стохастический интеграл s t f (u, ru )dBu, эти функции зависят только от (rи)t и s. Тот факт, что b < 0, может показаться странным, поскольку обычно b интерпретируется как стандартное отклонение. Однако знак b является неважным, потому что, если заменить Вt на Вt, b изменяет свой знак. Для дальнейшего использования лучше, чтобы коэффициент диффузии цены Р (t, Т) был положительным, и так как оказывается, что последний имеет знак, противоположный к знаку b, принимаем b < 0. Тот факт, что b не обращается в нуль, является существенным при описании функционирования рынка.

Достаточные условия интегрируемости сберегательного счета Диффузионное предположение 5.12 о процессе мгновенной процентной ставки не обязательно влечет свойство интегрируемости предположения 5.4 для процесса цены облигации. Приводимая ниже теорема устанавливает достаточное условие выполнения предположения 5.4, которое имеет разумное экономическое дополнение: ограниченность коэффициента дрейфа при drt должна быть следствием экономических сил, возвращающих мгновенную процентную ставку обратно к «нормальным» значениям, если случается, что она становится достаточно высокой. В конкретных моделях даже обычно предполагается а (х) < 0 для достаточно больших х. Теорема 5.6. Если в предположении 5.12 коэффициент диффузии b(.) является ограниченным и коэффициент дрейфа а(.) ограничен сверху на бесконечности, тогда для всякого > 0 и х > 0 процесс, стартующий из х (т. е. r0 = х), удовлетворяет неравенству Е exp max ru <. 0 u T В частности, для каждого начального значения r0 мгновенной процентной ставки финальное значение сберегательного счета T exp ru du является элементом L2(, FТ, Р). 0 Доказательство. а) Для доказательства теоремы нам нужно показать, что процесс с положительными значениями Xu = exp(ru) удовлетворяет неравенству E(max 0 u T Xu2) <. б) Формула Ито позволяет записать уравнение ln X u 1 2 2 ln X u ln X u dX u = a X u dBu X u du + b + b dX u = ( X u ) X u du + ( X u ) X u dBu или для некоторых функций и из С на (0, ), где для некоторых K > 0 |(x)| < K, и для некоторых чисел x > exp(x0) функция (х) K для всех х x. Покажем, что ограниченность (х) на бесконечности компенсирует возможные большие значения Xs в 0 ( X s ) ds. в) Пусть и будет произвольным моментом времени между 0 и Т. Тогда для такого, что Xu() > x, введем последний момент времени перед и, когда выполнялось равенство Xs = x, соотношением и = e(u, ) = sup{t | t < u, Xt() x }.

u (Так как и = e(u, ) не является временем остановки, с ним надо обращаться внимательно.) Для такого получим Xu () X0() + ( X s ()) X s ()ds + K X s ()ds + 0 0 u u u + ( X s ) X s dBs (). 0 Так как e ( u, ) t ( X s ()) X s ()ds = X e(u, )() X0() ( X s ) X s dBs, 0 (t = e(u, ), ) 0 выполняются следующие неравенства: t Xu() x + K X s ( )ds + 2 max ( X s ) X s dBs (), 0 t u 0 u t 2 2 2 2 Xu () 3 x + 3K Т X s ()ds + 12 max ( X s ) X s dBs (), 0 t u 0 u последнее из которых имеет место для таких, что Xи() x. г) для любых N введем величины N inf{t | Xt > N} T, Yu X u N. Тогда из последнего неравенства пункта в) будем иметь, что 2 Yu2 = X u N 3 x 2 + 3K 2Т uN X s2 ()ds + 0 t u N max ( X s ) X s dBs t, которое показывает, что упомянутое неравенство остается справедливым, когда Х заменяется на Y. Кроме того, правая часть неравенства возрастает с увеличением и, что дает t 2 2 2 2 max Ys 3 x + 3K Т Ys ds + 12 max ( X s ) X s dBs (). s u 0 t u N 0 u д) По неравенству Дуба имеем 2 2 u t u max (Y )Y dB 4 E (Y )Y dB 4 K 2 E[Y 2 ]ds. s s s E ss s s 0 t u 0 0 0 Последнее неравенство следует из свойства изометрии и из неравенства |(x)| K. е) Таким образом, для (и) Е{ max Ys2 } получаем мажоранту s u (и) 3 x 2 + 3ТK 2 E[Ys2 ]ds + 48 K 2 E[Ys2 ] ds.

0 u u Функция (и) ограничена величиной N 2 и удовлетворяет неравенству (и) 3 x + (3ТK + 48K ) ( s) ds, 2 2 u следовательно, по неравенству Гронволла т. е. (и) 3 x 2 ехр {(3ТK 2 + 48K 2)и}, Е{ max Ys2 } 3 x 2 ехр {LТ}, s u где L не зависит от N. Переходя к пределу при N, получим неравенство из пункта а), а значит, и утверждение теоремы.

Условие детерминированной зависимости (t, Рt) от (t, rt) Исследуем возможность представления процесса цены облигации просто как детерминированной функции процесса мгновенной процентной ставки. Оказывается, это эквивалентно наличию той же самой возможности для процесса «цены риска». Предположение 5.13. Справедливы предположения 5.11 и 5.12. Теорема 5.7. При предположении 5.13 можно выписать следующее представление процесса цены облигации: T T 1T 2 Р(и, Т) = Е exp rs ds exp qs dBs qs ds Fu. 2u u u Если: а) имеет место равенство qs() = q (s, rs()) для некоторой измеримой функции q : [0, Т] Р+ Р, тогда б) существует измеримая функция h: [0, Т] Р+ Р такая, что Р(и, Т) = h(и, rи). Обратно, если б) имеет место, тогда в) существует измеримая функция q : [0, Т] Р+ Р такая, что qs() = q (s, rs()) на множестве (s, ) с s() 0. Доказательство а) б). Из представления T T T rs ds exp q (s, rs )dBs 1 q 2 (s, rs )ds Fu Р(и, Т) = Е exp 2u u u и из марковского свойства (rs)0 s Т можно получить T T 1T Р(и, Т) = Е exp rs ds exp q (s, rs )dBs q 2 (s, rs )ds ru = 2u u u = h(и, rи). Доказательство б) в). Из теоремы представления для функции дрейфа Р (см. § 2) по мере т Р имеем 1 Ри µи = lim E [P((u + ) T, T ) P(u, T ) Fu ]. 0 Так как Р((и + ) Т, Т) является r(и+)Т измеримым, марковское свойство (rи)и гарантирует, что 1 Ри µи = lim E [P((u + ) T, T ) P(u, T ) ru ], 0 которое дает Ри µи как детерминированную функцию (и, rи). Коэффициент диффузии и идентифицируется коэффициентом дрейфа в Pu e ru, равным по формуле Ито e ru Pu (µ u a bu );

так как qии + µи rи = 0, из этого следует утверждение в). Заметим, что функцию «цены риска» q можно рассматривать как функцию, отражающую поведение агента и гарантирующую жизнеспособность модели.

Процесс цены облигации как диффузия Рассмотрим связь результатов гл. 5 с подходами, использующими обычный дифференциальный подход в финансовой экономике (см., например, Vаsiеk, 1977). Путем предположения о дифференци руемости функции «цены риска», изученной в предыдущем подразделе, математически выведем уравнение в частных производных, связывающее два процесса r и Р. Теорема 5.8. Если при предположении 5.13 в выражении процесса цены облигации в утверждении 5.1 (§ 2) функция q задается в форме qи = q (и, rи) – функция q пространства С : (0, Т) (0, ) Р, тогда: а) существует функция из С h: (0, Т) (0, ) Р такая, что цена Р(и, Т) = h(и, rи);

б) функция h является решением параболического уравнения в частных производных h h 1 2 2h + (а + b q ) +b х h = 0, t x 2 x 2 где t (0, Т), х (0, );

а, b коэффициенты диффузионного процесса (rt)t;

q функция цены риска;

в) имеется только одна «нейтральная к риску» вероятностная мера Q, для которой имеет место теорема 5.2;

другими словами, множество S, определенное в § 2, имеет нулевую вероятностную меру т Р. Более точно, s() > 0 для всякой пары (s, );

г) процесс (Р(и, Т))0 и Т сам является диффузионным и, следовательно, марковским процессом. Доказательство. а), б). Для вероятностной меры Q, где T 1T 2 dQ dP = exp q (s, rs )dBs q (s, rs )ds 20 0 T (см. § 2), имеем равенство Р(и, Т) = EQ exp rs ds Fu и (rt)0 и Т u все еще является диффузионным процессом с новыми коэффициентами дрейфа и диффузии. Как и в § 2 здесь мы используем теорему Гирсанова, которая гаu ~ рантирует, что процесс B и = Ви 0 q (s, rs )ds является броуновским движением при вероятностной мере Q, и тогда имеем ~ drt = а dt + bdВt = (а + b q ) dt + b d B t. Рассмотрим уравнение в частных производных f f 1 2 f + (a + bq ) + b 2 2 xf = 0, 0 t Т, х > 0, t x 2 x с условием, что для каждого х > 0, lim f (t, x ) = 1. Так как а, b, q являются функциями t и х из С, находим единственное решение h из С, задаваемое формулой Фейнмана – Каца (см., например, Duffie 1992), как условное математическое ожидание exp t rs ds при фиксированной ставке rt = х, вычисленное по вероятностной мере, пре~ вращающей dr = (а+b q )dt + b d B в диффузионный процесс, т. е. по вероятностной мере Q. Поэтому Р идентифицируется как решение h рассматриваемого уравнения. в) Формула Ито, примененная к Р(и, Т) = h(и, rи), дает h 1 2 2 h h dи + b h dВи, dР(и, Т) = + а +b x 2 x 2 x и которое показывает, что коэффициент диффузии в dР равен b h x, отсюда условие и() 0 эквивалентно условию h(и, rи())/х 0. Докажем теперь, что h x < 0 на (0, Т) (0, ) (результат, согласующийся с интуицией), и это будет гарантировать и > 0 и единственность нейтральной к риску вероятностной меры Q. в') Сначала покажем, что h x 0. Если rsх и rsу являются двумя решениями уравнения drt = а dt + bdВt такими, что r0х = х, r0у = у и х > у, тогда результаты, вытекающие из невырожденности, показывают, что почти для всех имеет место неравенство rsх() > rsу() для всех s Т;

интегральное представление цены Р(t, Т) тогда обеспечивает, что h(t, х) < h(t, у). в") Так как функция h является убывающей по х, h x = 0 влечет, что 2 h x 2 = 0 и 3 h x 3 0;

вычисляя производные дифференциального уравнения в частных производных, имеем h h 1 2 2 h + (a + bq ) + b xh = 0, x t x 2 x t T ( T ) 2 h (a + bq ) h 2h + + (a + bq ) 2 + tx t x x h 1 (b 2 ) 2 h 1 2 3 h +b hx = 0. + x 2 t x 2 2 x 3 Для точки (t, х), в которой h x =0, получим 2 h 1 2 3h +b h = 0 xt 2 x 3 и, следовательно, 2 h xt > 0. Отсюда при h(t, x) x = 0 и достаточно малом > 0 имеем, что h(t +, x) x > 0, т. е. противоречие с результатом в'). Мы вынуждены принять, что h x < 0 и поэтому Q определяется единственным образом. г) Для любого t функция х h(t, х) может быть инвертирована, т. е. существует g(t, р) такая, что g (t, h(t, х)) = х;

теорема о неявных функциях гарантирует, что g принадлежит С, и можно записать dР(t, Т) = d h(t, rt) = µ (t, Р(t, Т)) dt + (t, Р(t, Т)) dВt, где µ и являются функциями из С. Таким образом, Р следует диффузионному процессу и поэтому является марковским процессом. Заметим, что мы могли бы получить µ и в пункте г) и путем подстановки х = g (t, р) по формуле Ито (см. начало пункта в)). Строгая монотонность h(t, х) по х уже доказывает марковский характер Р, так как она гарантирует существование функции g, которая дает с точностью до множества меры нуль: Ft = (Р (и, Т)| и t), (rt) = (Р(t, Т)) для всех t Т.

ГЛАВА ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– МАРТИНГАЛЬНЫЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЦЕН ОПЦИОНОВ С ПОМОЩЬЮ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЭСШЕРА § 1. ПОНЯТИЕ О ПРЕОБРАЗОВАНИИ ЭСШЕРА В настоящей главе при предположениях о постоянной безрисковой процентной ставке показано, как можно определять эквивалентные мартингальные меры для довольно широкого класса стохастических моделей изменений цен активов. В частности, всякое преобразование Эсшера стохастического процесса {Х(t)} приводит к эквивалентной вероятностной мере для этого процесса, а вектор параметров преобразования выбирается таким, чтобы эквивалентная вероятностная мера являлась также мартингальной мерой для дисконтированной стоимости каждого лежащего в основе актива. Цена ФП вычисляется как математическое ожидание дисконтированного платежа по эквивалентной мартингальной мере. Другими словами, после соответствующего изменения вероятностной меры цена каждой ЦБ является просто актуарной настоящей стоимостью. Преобразование Ф. Эсшера (Esscher, 1932) является проверенным временем инструментом финансовой математики. Здесь будет показано, что преобразование Эсшера является также эффективным методом для определения стоимости производных ЦБ, если логарифмы цен первичных ЦБ управляются определенными стохастическими процессами со стационарными и независимыми приращениями. Это семейство процессов включает процессы Винера и Пуассона, гамма-процесс и обратный процесс Гаусса. Преобразование Эсшера такого процесса цены акции индуцирует на процессе эквивалентную вероятностную меру, когда параметр Эсшера или вектор таких параметров определяется так, чтобы дисконтированная цена каждой первичной ЦБ являлась мартингалом при новой вероятностной мере. Тогда цена любой ФП вычисляется просто как математическое ожидание (по эквивалентной мартингальной мере) дисконтированных платежей. Прямые следствия метода преобразований Эсшера включают, среди прочего, знаменитую формулу Блэка – Шоулса для определения цены опциона, известную биномиальную формулу цены опциона, формулы для определения цены опционов по максимуму и минимуму многократных рисковых активов и др. Для плотности вероятностей f (х) пусть h будет вещественным числом таким, что существует M (h ) = Функция переменной х f (x;

h ) = e hx f (x ) M (h ) e hx f (x )dx.

является плотностью вероятностей, и ее естественно назвать преобразованием Эсшера первоначального распределения с параметром h. Преобразование Эсшера было разработано для аппроксимации распределения суммы совокупных выплат в окрестности точки х0 путем аналитических приближений рядами Эджворта к преобразованному распределению с параметром h, выбираемым так, чтобы новое среднее было равно х0. Когда преобразование Эсшера используется в задачах страхования для вычисления стоп-лосс премии, параметр h обычно находят путем определения среднего для преобразованного распределения как предела удержания. Покажем, что преобразование Эсшера можно легко распространить на некоторые классы случайных процессов, которые включают некоторые из обычно используемых для моделирования изменений цен акций. Параметр h определяется так, чтобы модифицированная вероятностная мера была эквивалентной мартингальной мерой, по отношению к которой цены активов оказываются ожидаемыми дисконтированными платежами. В качестве удачного применения метода преобразования Эсшера ниже выведена формула (6.10), которая является общим выражением для стоимости европейского опциона-колл на не выплачивающую дивиденды акцию. Как частный случай из нее получается формула Блэка – Шоулса для определения цены опциона, а также известные формулы для стоимости опциона с чистым скачком, биномиальная формула цены опциона и др. Из нее также следуют формулы для нетрадиционных моделей поведения цены акции таких, как гамма-процесс и обратный гауссовский процесс. После этого метод преобразований Эсшера распространяется на случай определения стоимости ФП на пакеты рисковых активов. Основная схема анализа здесь следующая. Предположим, что свободная от риска процентная ставка является постоянной и обозначается через r. Пусть для t 0 S1(t), S2(t),…, Sn(t) обозначают цены n не выплачивающих дивидендов акций или активов в момент t. Предположим, что вектор S1 (t ) S (t ) S (t ) ln, ln 2,..., ln n S (0 ) S 2 (0 ) S n (0 ) T управляется стохастическим процессом, который имеет независимые и стационарные приращения, непрерывным по вероятности. Пусть g будет измеримой вещественной функцией n переменных. Тогда для 0 Е*[е Sj () g (S1(), S2(),…, Sn())] = = Sj (0) Е**[g (S1(), S2(),…, Sn ())], где математическое ожидание в левой части вычисляется по нейтральному к риску преобразованию Эсшера, а математическое ожидание в правой части – по другому определенному преобразованию Эсшера. Будет показано, что многие классические формулы определения цен опционов являются прямыми следствиями этого результата. Повсюду в этой главе безрисковая процентная ставка предполагается постоянной. Также предполагаем, что рынок является безынерционным и торговля производится непрерывно. Не имеется налогов, расходов на сделки и никаких ограничений на займы или короткие продажи. Все ЦБ совершенно делимы. Из результатов предыдущих глав понятно, что в такой модели рынка ЦБ отсутствие арбитража, по существу, эквивалентно существованию эквивалентной мартингальной меры, по отношению к которой цена случайного платежа является ожидаемой дисконтированной стоимостью. Некоторые авторы называют этот результат «фундаментальной теоремой определения цены актива». В общей постановке эквивалентная мартингальная мера не единственная. Преимущество нейтрального к риску преобразования Эсшера в том, что оно обеспечивает общее, прозрачное и однозначное решение. Далее мы используем некоторые основные идеи из теории стохастических процессов. § 2. НЕЙТРАЛЬНОЕ К РИСКУ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭСШЕРА Для t 0 символ S (t) будет обозначать цену не выплачивающей дивиденды акции или ценной бумаги в момент t. Предполагаем, что имеется стохастический процесс {Х(t), t 0}, Х(0) = 0, со стационарными и независимыми приращениями такой, что S(t) = S(0) ехр{Х(t)}, t 0. (6.1) Для каждого t случайная величина Х(t), которую можно интерпретировать как непрерывно конвертируемую ставку доходности по t периодам, имеет неограниченно делимое распределение. Пусть F (х, t) = рrоb [Х(t) х] будет ее функция распределения, а М(z, t) = Е[ехр{z Х(t)}] является производящей функцией моментов (ПФМ). Путем предположения, что М(z, t) – непрерывная в точке t = 0, можно доказать, что М(z, t) = [М(z, 1)]t. (6.2) Предположим, что (6.2) имеет место. Для простоты примем, что случайная величина Х(t) имеет плотность dF (x, t ) f (x, t ) = t > 0,, dx тогда M (z, t ) = e zx f (x, t )dx.

Пусть h – вещественное число, для которого существует ПФМ М(h, t). Из равенства (6.2) следует, что если М(h, t) существует для одного положительного числа t, то она существует для всех положительных t. Теперь введем преобразование Эсшера с параметром h для процесса {Х(t)}. Оно также является процессом со стационарными и независимыми приращениями, а новая плотность вероятностей процесса Х(t), t > 0, равна f (x, t ;

h ) = e hx f (x, t ) hy e f ( y, t )dy e hx f (x, t ). = M (h, t ) (6.3) Это означает, что модифицированное распределение Х(t) является преобразованием Эсшера от первоначального распределения. Соответствующая ПФМ M (z, t;

h ) = e zx f (x, t ;

h ) dx = M (z + h, t ). M (h, t ) (6.4) Из равенства (6.2) имеем М(z, t;

h) = [М(z, 1;

h)]t. (6.5) Преобразование Эсшера скалярной случайной величины – хорошо известное понятие в литературе по теории риска. Здесь мы рассматриваем преобразование Эсшера случайного процесса. Другими словами, вероятностная мера процесса модифицируется. Поскольку экспоненциальная функция положительная, модифицированная вероятностная мера будет эквивалентной по отношению к первоначальной вероятностной мере;

т. е. обе вероятностные меры имеют одни и те же множества меры нуль. Мы хотим гарантировать, чтобы цены акций в модели были внутренне состоятельными. Поэтому ищем h = h* такое, чтобы процесс дисконтированной цены акции {S(t)ехр(rt), t 0} являлся мартингалом по отношению к вероятностной мере, соответствующей значению параметра h*. В частности, S(0) = Е*[S(t) ехр (rt)] = Е*[S(t)] ехр (rt), где r обозначает постоянную безрисковую процентную ставку. Из равенства (6.1) видно, что параметр h* является решением уравнения 1 = Е*[eX(t)] ехр (rt), или ехр (rt) = М(1, t;

h*). (6.6) Из равенства (6.5) видим, что решение не зависит от t, и мы можем положить t = 1: ехр(rt) = М(1, 1;

h*), (6.7) или r = ln [М(1, 1;

h*)]. (6.8) Можно показать, что параметр h* является единственным. Доказательство этого будет приведено позже для более общего случая. Назовем преобразование Эсшера с параметром h* нейтральным к риску преобразованием Эсшера, а соответствующую эквивалентную мартингальную меру – нейтральной к риску мерой Эсшера. Заметим, что хотя нейтральная к риску мера Эсшера единственная, эквивалентные мартингальные меры могут быть и другими. Чтобы определить стоимость производной ценной бумаги (чьи будущие платежи зависят от эволюции цены акции), вычислим ожидаемую дисконтированную стоимость подразумеваемых платежей;

ожидание берется по нейтральной к риску мере Эсшера. Рассмотрим европейский опцион-колл на акцию с ценой исполнения K и датой исполнения, > 0. Стоимость опциона в момент времени 0 равна Е* [(S() K)+ ехр (rt)], где х+ = х, если х > 0, и х+ = 0, если х 0. Если определить k = ln[K /S(0)], выражение (6.9) приобретает вид e r r k (6.9) [ S (0 )e x K ] f (x, ;

h *)dx = =e S (0) e x f ( x, ;

h*) dx e r K [1 F (k, ;

h*)].

k Из соотношений (6.3), (6.4) и (6.6) следует, что e x f (x, ;

h *) = f (x, ) exp{( h * + 1) x} M (h * +1, ) f (x, ;

h * +1) = = M (h*, ) M (h*, ) = М(1, ;

h*) f (х, ;

h* + 1) = е r f (х, ;

h* + 1).

Таким образом, стоимость европейского опциона-колл с ценой исполнения K и датой исполнения равна S(0)[1 F(k, ;

h* + 1)] е r K[1 F (k, ;

h*)]. (6.10) В дальнейшем эту общую формулу будем применять неоднократно. Будет показано, что формула (6.10) содержит, среди других, как частный случай знаменитую формулу Блэка – Шоулса для определения цены опционов. В общем случае, когда функция распределения F (х, t) не обязательно дифференцируема, можно определить преобразование Эсшера через интегралы Стильтьеса, т. е. заменить равенство (6.3) на dF (x, t;

h ) = e hx dF (x, t ) hy e dF ( y, t ) e hx dF (x, t ). = M (h, t ) (6.11) (В своей статье Ф. Эсшер (Esscher, 1932) не предполагал, что функция распределения суммы индивидуальных выплат является дифференцируемой.) После такой замены формула (6.10) остается справедливой. То, что условие отсутствия арбитража тесно связано с существованием эквивалентной мартингальной меры, было доказано ранее в главах 3 и 4. Эти результаты реализуют идею нейтрального к риску определения стоимости, использовавшуюся во второй части гл. 2. Более детально эти вопросы рассмотрены в книге Д. Даффи (Duffie, 1992). В модели дискретного времени отсутствие арбитражных возможностей эквивалентно существованию эквивалентной мартингальной меры. В более общей постановке характеризация более тонкая, и для строгости следовало бы заменить термин «эквивалентная» на «по существу эквивалентная». Заметим, что формулу определения цены опциона (6.10) можно написать как S(0) рrоb [S() > K;

h* + 1] е r K рrоb [S () > K;

h*]. где первая вероятность оценивается по мере преобразования Эсшера с параметром h* + 1, в то время как вторая вероятность вычисляется по отношению к нейтральному к риску преобразованию Эсшера. Обобщение этого результата дается в § 4. Чтобы построить стохастический процесс {Х(t), t 0} со стационарными и независимыми приращениями, Х(0) = 0 и ПФМ М(z, t) = [М(z, 1)]t, можно применить следующую теорему: для заданной производящей функции моментов (z) безгранично делимого распределения имеется единственный стохастический процесс {W(t)} со стационарными и независимыми приращениями, W(0) = 0, такой, что E[e zW (t ) ] = [( z )]t.

Нормальное распределение, распределение Пуассона, гаммараспределение и обратное распределение Гаусса являются четырьмя примерами безгранично делимых распределений. Далее рассмотрим моделирование такими процессами изменений цен акций.

§ 3. ФОРМУЛЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЦЕН ОПЦИОНОВ Результаты § 2 применим для получения формул для стоимости европейского опциона в трех классических моделях изменения цены акций. Эти три формулы общеизвестны и их можно найти в учебниках по финансовой математике. Затем рассмотрим две нетрадиционных модели с изменением цены акций в непрерывном времени. Аналогично чисто скачкообразной модели здесь предполагается, что S (t) = S (0) е Х(t) = S (0) е Y(t) – сt, где с является константой. Случайный процесс {Y(t)} в первой модели является гаммапроцессом, а во второй модели – обратным гауссовским процессом. Эти два случайных процесса использовались в моделях совокупных страховых выплат. Напомним, что в чисто скачкообразной модели все скачки имеют одну и ту же величину. Однако в рассмотренных моделях этого не предполагается.

Логарифм цены акции как винеровский процесс Сделаем классическое предположение, что цены акций распределены логарифмически нормально. Стохастический процесс {Х(t)} бу дет процессом Винера со средним значением за единицу времени равным µ и дисперсией за единицу времени 2. Пусть N(х;

µ, 2) обозначает нормальную функцию распределения со средним µ и дисперсией 2. Тогда F (х, t) = N(х;

µt, 2t) и М(z, t) = ехр{(µ z + 2z2/2)t}. Из представления (6.4) следует, что М(z, t;

h) = ехр{[(µ + h2) z + 2z2/2]t}. Значит, преобразование Эсшера (с параметром h) винеровского процесса является опять винеровским процессом с модифицированным средним за единицу времени (µ + h2) и прежней дисперсией за единицу времени 2. Таким образом, F(х, t;

h) = N(х;

(µ + h2)t, 2t). Из уравнения (6.8) получаем r = (µ + h*2) + 2/2. Следовательно, преобразованный процесс имеет среднее за единицу времени µ* = µ + h*2 = r (2/2). Теперь из формулы (6.10) следует, что стоимость европейского опциона-колл равна S(0)[1 N(k;

(µ* + 2), 2)] е r K [1 N (k;

µ*, 2)] = = S(0)[1 N(k;

(r + 2/2), 2)] е r K [1 N (k;

(r 2/2), 2)]. Через функцию стандартного нормального распределения Ф этот результат можно выразить как 2 k + r + 2 2 r e K k + r 2, S (0 ) ( ) ( ) (6.12) что является классической формулой Блэка – Шоулса для определения цены опциона. Заметим, что µ в формуле (6.12) не появилось. Логарифм цены акции как сдвинутый процесс Пуассона В качестве следующей рассмотрим так называемую чисто скачкообразную модель. Определение цены опционов на акции с таким стохастическим поведением было рассмотрено в гл. 2;

однако там не получена формула для цены опциона. Эта формула обычно получается как предельный случай биномиальной формулы определения цены опциона, которую выведем позже. Здесь же предположим, что Х(t) = kN(t) сt, где {N(t)} – процесс Пуассона с параметром, а k и с – положительные константы. Пусть j (x;

) = e j! 0 j x является пуассоновским распределением с параметром. Тогда функция распределения Х(t) x + ct F(х, t) = ;

t. k Е [е z N (t)] = ехр{t (е z 1)}, М(z, t) = Е[е z (N (t) - с t)] = ехр{( (е zk 1) сz) t}, откуда получаем М(z, t;

h) = ехр{(е hk(е zk 1) сz) t}. Следовательно, преобразование Эсшера с параметром h сдвинутого процесса Пуассона – снова сдвинутый процесс Пуассона с модифицированным параметром Пуассона е hk. Формула (6.8) является условием того, что r = е h* k (еk 1) с. Так как имеем Таким образом, стоимость ФП определяется согласно модифицированному пуассоновскому параметру * = е h* k = (r + c ) e k 1. Например, цена европейского опциона-колл согласно формуле (6.10) имеет вид k + c k + c S (0) 1 ;

* e k Ke r 1 ;

*. (6.13) k k Формулу (6.13) можно найти в учебниках, однако использование преобразования Эсшера значительно упрощает ее вывод. Заметим, что пуассоновский параметр в выражении (6.13) не присутствует.

( ) Логарифм цены акции как случайное блуждание Очень популярной моделью для определения цены опциона является биномиальная модель, которая является моделью дискретного времени. Хотя в этой главе рассматриваются модели непрерывного времени, ввиду важности биномиальной модели можно отклониться от него и получить биномиальную формулу определения цены опциона для дискретного времени методом преобразования Эсшера. Предположим, что цена акции S (t) = S (0) е Х(t), t = 0, 1, 2,…, является стохастическим процессом с дискретным временем. Пусть Х1, Х2,… – последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин. Определим Х(0) = 0 и для t = 1, 2,…, Х(t) = Х1 + Х2 + … + Хt. Пусть обозначает множество точек, в которых Хj имеет положительную вероятность. Предположим, что множество конечное и состоит более чем из одной точки;

пусть а будет его наименьшим элементом, а b – наибольшим. Чтобы избежать арбитража, положим а < r < b. Предположим, что {S(t)} является мультипликативным биномиальным процессом, то есть, что состоит только из двух элементов: = {а, b}. Предположим, что Пусть рrоb {Xj = b} = p и рrоb {Xj = а} = 1 p. B (x;

n, ) = n j (1 ) n j 0 j x j обозначает биномиальную функцию распределения с параметрами n и. Тогда функцией распределения случайной величины Х(t) является t x at F(х, t) = prob X j x = B ;

t, p. j 1 ba = Так как М(z, t) = Е[е zХ(t)] = [(1 р) е аz + р е bz] t, имеем М(z, t;

h) = М(z + h, t) / М(h, t) = {[1 (h)] е аz + (h) е bz}t, где pebh (h ) =. (1 p ) e ah + pebh Формула (6.7) является условием того, что е r = [1 (h*)] е а + (h*) е b, из которого следует, что er ea (h *) = b a. e e Согласно формуле (6.10) стоимость европейского опциона-колл с ценой исполнения K и датой исполнения равна k a k a S (0) 1 B ;

, (h * +1) Ke r 1 B ;

, (h *), ba ba где (h * +1) = eb = (h*) eb r. a b [1 (h*)]e + (h*) e Заметим, что при определении цены опциона нет необходимости знать вероятность р, так как она заменяется (h*).

Логарифм цены акции как сдвинутый гамма-процесс Предположим, что Х(t) = Y(t) сt, где {Y(t)} является гамма-процессом с параметрами и, а положительная константа с будет третьим параметром. Пусть G(х;

, ) обозначает гамма-распределение с параметром формы и параметром масштаба x 1 y G (х;

, ) = y e dy, х 0. ( ) 0 Тогда и F (х, t) = G (х + сt;

t, ) ctz М(z, t) = e, z Следовательно, h ctz М(z, t;

h) = e, hz t t (6.14) z <.

z < h, которое показывает, что преобразованный процесс принадлежит к тому же самому типу с параметром, замененным на h. Формула (6.7) означает, что h * c e = e. h * r Определим * = h*. Тогда из (6.14) следует, что * = 1 (1 e (c + r ) ). (6.15) Согласно формулам (6.10) и (6.14), стоимость европейского опциона-колл равна S (0)[1 G (k + с;

, * 1)] Kе r [1 G (k + с;

, *)]. (6.16) Заметим, что параметр масштаба в выражениях (6.15) и (6.16) не появляется.

Логарифм цены акции как сдвинутый обратный гауссовский процесс Предположим, что Х(t) = Y(t) сt, но {Y(t)} теперь является обратным гауссовским процессом с параметрами а и b. Пусть J(х;

а, b) обозначает функцию распределения обратного гауссовского процесса a J(х;

а, b) = + 2bx + e 2 a 2x b a 2bx, х > 0, 2x где Ф является стандартной нормальной функцией распределения;

F (х, t) = J (х + сt;

аt, b). (Подробное описание обратного гауссовского распределения имеется в книге H. Panjer, G. Willmot, 1992). Так как ПФМ обратного гауссовского распределения равна имеем Поэтому ea( b b z ), z < b, М(z, t) = e at ( М(z, t;

h) = e at ( b b z ctz ), z < b., z < b h, b h b h z ctz ) откуда видно, что преобразованный процесс снова принадлежит к типу исходного с заменой параметра b на b h. Формула (6.8) приводит к условию r = a b h * b h * 1 c. Записывая b* = b h*, мы имеем ( ) b * b * 1 = c+r, a (6.17) что может рассматриваться как уравнение относительно b*. Из формулы (6.10) следует, что стоимость европейского опциона-колл с ценой исполнения K и датой истечения равна S(0)[1 J(k + с;

а, b* 1)] Kеr [1 J(k + с;

а, b*)]. (6.18) Заметим, что параметр b не присутствует в выражениях (6.17) и (6.18). § 4. ОПЦИОНЫ НА НЕСКОЛЬКО РИСКОВЫХ АКТИВОВ Обобщим метод преобразования Эсшера для определения цены финансовых производных совокупности рисковых активов или объединения (пула) активов. В финансовой литературе эта тематика считается важной. Очевидным применением таких результатов являются портфели страхования или конструирование стратегий хеджирования для защиты портфелей активов от потерь. Другие применения: определение стоимости обязательств, включающих одну или более иностранных валют;

определение цены опционов на фьючерсы облигаций;

пенсионные фонды с пособиями, связанными с несколькими альтернативами. Двумя альтернативами являются обычно совокупность последней (или средней) зарплаты и накопленные взносы. Конструкция такого пособия предусматривает для плановых участников выбор максимального из двух случайных сумм пособий. Пусть S1(t), S2(t),…, Sn(t) обозначают цены акций или активов в момент времени t для t 0, не предусматривающих дивиденды. Запишем Хj (t) = ln[Sj (t)/Sj (0)], j = 1, 2,…, n, и Х(t) = (Х1(t), Х2(t),…, Хn(t))Т. Пусть Rn обозначает множество векторов-столбцов с n вещественными компонентами. Пусть F (х, t) = рrоb {Х(t) х}, х Rn, является функцией распределения случайного вектора Х(t), а М(z, t) = Е[ехр{zТХ(t)}], z Rn, ее ПФМ. Предположим, что {Х(t)}t 0 – случайный процесс с независимыми и стационарными приращениями и что М(z, t) = [М(z, 1)] t, t 0. Для простоты также предположим, что случайный вектор Х(t) имеет плотность вероятностей n F (x, t ) f (x, t ) =, t 0. x1... xn Тогда модифицированная плотность вероятностей процесса Х(t) после преобразования Эсшера с параметром h имеет вид e h x f (x, t ) f (x, t ;

h ) =, M (h, t ) T а соответствующая ПФМ М(z, t;

h) = М(z + h, t)/ М(h, t). Преобразование Эсшера (с вектором параметров h) процесса Х(t) является снова процессом со стационарными и независимыми приращениями и М(z, t;

h) = [М(z, 1;

h)] t, t 0. (6.19) В общем случае, когда плотность вероятностей f (х, t) может не существовать, определим преобразование Эсшера в терминах интегралов Стильтьеса, как мы сделали в представлении (6.11). Вектор параметров преобразования h = h* определим так, чтобы для j = 1, 2,…, n процесс (e rt S j (t ))t 0 был мартингалом по отношению к модифицированной вероятностной мере. В частности, S j (0) = E[e rt S j (t );

h*], t 0, j = 1, 2, …, n. (6.20) (Заметим, что эти условия не зависят от t.) Стоимость ФП вычисляется как математическое ожидание по модифицированной вероятностной мере от дисконтированной стоимости ее платежей. Определим 1j = (0, 0, …, 0, 1, 0, …, 0)Т Rn, где 1 в этом векторе-столбце 1j стоит на j-м месте. Формулы (6.20) с учетом (6.19) преобразуются к виду e r t = М(1j, t;

h*) = [М(1j, 1;

h*)] t, t 0, j = 1, 2,…, n.

Основной результат этого параграфа следующий. Теорема 6.1. Пусть g является вещественной измеримой функцией n переменных. Тогда для каждого положительного t E[e rt S j (t ) g (S1 (t ),..., S n (t ) );

h*] = = S j (0) E[ g (S1 (t ),..., S n (t ) );

h * +1 j ]. (6.21) Доказательство. Оно следует такой же схеме рассуждений, которая использовалась при получении формулы (6.10) для европейского опциона-колл. Математическое ожидание в левой части равенства (6.21) получается путем интегрирования e rt S j (0)e j g S1 (0) e x1,..., S n (0) e x n f (x, t ;

h *) x ( ) по х по всему Rn. Так как e xj f (x, t ;

h *) = exp[(h * +1 j ) T x] f (x, t ) M (h*, t ) = = M (h * + 1 j, t ) M (h*, t ) f (x, t;

h * + 1 j ) = = М(1j, t;

h*) f (х, t;

h* + 1j) = e rt f (x, t ;

h * + 1 j ), откуда и следует результат. Имеется другой способ доказательства теоремы. Для векторного параметра k = (k1, …, kn)Т запишем S(t)k = S1 (t )k1... S n (t )k n. Тогда E[ S (t ) g (S (t ) );

h] = k E[ S (t ) k g (S (t ) )e h E[e h X (t ) T T X (t ) ] ] = = E[ S (t ) k g (S (t ) )S (t ) h ] E[ S (t ) k + h ] E[ g (S (t ) )S (t ) k + h ] = = h h k +h E[ S (t ) ] E[ S (t ) ] E[ S (t ) ] = Е[S(t)k;

h] Е[g (S(t));

k + h]. Теперь теорема следует из этой формулы факторизации (при h = h* и k = 1j) и равенства (6.20). Одним из первых результатов, обобщающих формулу Блэка – Шоулса для определения цены финансовых производных на более чем один рисковый актив является результат У. Маргрейба (Margrabe, 1978). В предположении, что цены активов – это геометрические броуновские движения, им получена явная формула для стоимости опциона для обмена одного рискового актива на другой в конце фиксированного периода. Другими словами, определена стоимость в момент времени 0 контракта, по которому в момент времени выплачиваются платежи, стоимость которых равна [S1() S2()] +. Следствие 6.1. Стоимость в момент времени 0 опциона для обмена S2() на S1() в момент времени равна S1(0) рrоb { S1() > S2();

h* + 11} S2(0) рrоb { S1() > S2();

h* + 12}. Доказательство. Стоимость опциона в момент 0 равна Е( e r [S1() S2()]+;

h*). Пусть I(А) обозначает индикаторную функцию случайного события А. Тогда [S1() S2()] + = [S1() S2()] I [S1() > S2()] = = S1() I [S1() > S2()] S2() I [S1() > S2()]. Таким образом, по теореме 6.1 Е( e r [S1() S2()] +;

h*) = = Е( e r S1()I [S1() > S2()];

h*) Е( e r S2()I [S1() > S2()];

h*) = = S1(0)Е (I [S1() > S2()];

h* + 11) S2(0)Е (I [S1() > S2()];

h* + 12). Так как Е(I [А]) = рrоb (А), следствие доказано. В § 5 рассмотрим предположение о геометрическом броуновском движении и покажем, что формула Маргрейба немедленно следует из следствия 6.1. Теперь дадим другой способ получения формулы (6.10) для европейского опциона-колл. Следствие 6.2. Формула (6.10) имеет место. Доказательство. Рассмотрим случай n = 2 при S1(t) = S(t) и S2(t) = K e r (t ). Тогда Е*( e r [ S() K]+) = Е ( e r [S1() S2()]+;

h*) = = S1(0) рrоb ([S1() > S2()];

h* + 11) – S2(0) рrоb ([S1() > S2()];

h* + 12) = = S (0) рrоb ([S () > K];

h* + 1) e r K рrоb ([S () > K];

h*) = = S (0){1 рrоb ( [S() K];

h* + 1)} e r K{1 рrоb ([S () K];

h*)}, что и является формулой (6.10). Результат Маргрейба был обобщен Р. Шталцем (Stulz, 1982), где также предполагалось, что цены активов являются геометрическими броуновскими движениями. Путем сложных вычислений Шталц получил формулы для определения стоимости опционов на максимум и минимум двух рисковых активов;

т. е., он нашел стоимость в момент времени 0 контракта с платежом в момент времени, равным (mах[S1(), S2()] K)+, и стоимость в момент 0 контракта с выплатой в момент времени (min[S1(), S2()] K)+. Эти две формулы Шталца были обобщены на случай n рисковых активов Г. Джонсоном (Johnson, 1987). На самом деле, можно спросить: сколько следует заплатить в момент времени 0, чтобы получить наибольшую из стоимостей двух активов в момент времени ? Наибольшую из стоимостей трех активов? Наибольшую из стоимостей k активов? В более общем случае, какова стоимость европейского опциона-колл на наибольшую из стоимостей k активов в момент с ценой исполнения K? Заметим снова, упомянутые авторы предполагали, что цены активов являются геометрическими броуновскими движениями. Для фиксированного времени, > 0, обозначим через S множество, состоящее из случайных величин {Sj ();

j = 1, 2,…, n}. Пусть S[k] обозначает случайную величину, являющуюся по своему значе нию k-й сверху из множества S. Таким образом, S[1] и S[n] обозначают соответственно максимум и минимум из S. Следствие 6.3. Предположим, что Х(t) имеет непрерывное распределение. Тогда опцион для получения актива с k-й сверху стоимостью в момент имеет стоимость в момент времени 0 равную S j (0) рrоb {Sj() имеет ранг j = n k в S ;

h* + 1j}.

(6.22) Доказательство. Стоимость опциона в момент времени 0 равна Е( e r S[k];

h*). Так как Х(t) имеет непрерывное распределение, имеем равенство S[k] = S j ()I{Sj () имеет ранг j = n k в S}.

Теперь формула (6.22) следует из теоремы. Следствие 6.4. Предположим, что Х(t) имеет непрерывное распределение. Тогда европейский опцион-колл на актив с k-й сверху стоимостью и ценой исполнения K в момент имеет стоимость в момент времени 0 равную S j () рrоb {Sj() > K j = n и Sj () имеет ранг k в S;

h* + 1j} e r K рrоb {S[k] > K;

h*}. Доказательство следствия 6.4 является, по существу, комбинацией доказательств следствий 6.2 и 6.3. Заметим, что когда K = 0, следствие 6.4 превращается в следствие 6.3. Имеется, очевидно, и много других применений теоремы 6.1. Например, в статье М. Шерриса (Sherris, 1992) анализировался «опцион налога на прирост капитала», платежи по которому в момент времени равны (S () mах[С(), K])+, где S (t) обозначает цену рискового актива в момент времени t и С(t) обозначает стоимость индекса в момент времени t. Результат Шерриса следует из формулы (S mах[С, K])+ = S I (S > С и S > K) [СI (S > С > K) + KI (S > K > С)]. В заключение покажем, что американский опцион-колл на максимум из n акций, не выплачивающих дивиденды, лучше не исполнять до их даты погашения. Следовательно, стоимость американского опциона определяется следствием 6.4 при k = 1. Доказательство достигается посредством двойного применения неравенства Иенсена: Е[ e rt (mах{Sj (t)} K)+;

h*] (Е [ e rt mах{Sj (t)};

h*] e rt K)+ (mах Е [ e rt {Sj (t)};

h*] e rt K)+ = = (mах {Sj (0)} e rt K)+ (mах {Sj (0)} K)+. Для t > 0 и r > 0 последнее неравенство является строгим, если в текущий момент опцион в деньгах, то есть если mах {Sj (0)} > K.

§ 5. ЛОГАРИФМЫ ЦЕН АКЦИЙ КАК МНОГОМЕРНЫЙ ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС В финансовой литературе обычно предполагается, что цены лежащих в основе активов порождаются геометрическими броуновскими движениями. Другими словами, предполагается, что {Х(t)} является n-мерным винеровским процессом. Теперь покажем, что многие результаты по опционам и финансовым производным, имеющиеся в литературе, непосредственно следуют из теоремы 6.1 (§ 4) и ее следствий. Пусть µ = (µ1, µ2,…, µn)Т и V = (ij) обозначают соответственно вектор средних и ковариационную матрицу {Х (1)}. Предполагается, что V невырожденная. Для t > 0 плотность вероятностей {Х(t)} f (x, t ) = (2) n tV exp[( x tµ) T (2tV ) 1 ( x tµ)], х Rn.

Можно показать, что М(z, t) = ехр{t(zТµ + zТVz/2)}, z Rn. Таким образом, для h Rn имеет место равенство М(z, t;

h) = М(z + h, t) / М(h, t) = ехр{t(zТ(µ + Vh) + zТVz/2)}, z Rn, которое показывает, что преобразование Эсшера с параметром h nмерного винеровского процесса является опять n-мерным винеровским процессом с модифицированным вектором средних за единицу времени µ + Vh и прежней ковариационной матрицей на единицу времени V. Из уравнения (6.5) следует, что для j = 1, 2,…, n r = 1jТ(µ + Vh*) + 1jТV 1j/2, откуда мы получаем µ + Vh* = (r 11/2, r 22/2, …, r nn/2)Т. (6.23) Следовательно, вектор средних за единицу времени модифицированного процесса с параметром h* + 1j µ + V(h* + 1j) = = (r + 1j 11/2, r + 2j 22/2, …, r + nj nn/2)Т. (6.24) Заметим, что правые части равенств (6.23) и (6.24) не содержат какихлибо элементов вектора µ. Чтобы получить основной результат статьи Маргрейба (1978), вычислим математическое ожидание Е( e r [S1() S2()]+;

h*), которое по следствию 6.1 равно S1(0) рrоb { S1() > S2();

h* + 11} S2(0) рrоb { S1() > S2();

h* + 12} = = S1(0) рrоb { Y < ;

h* + 11} S2(0) рrоb { Y < ;

h* + 12}, где Y = Х2() Х1() и = ln[S1(0)/S2(0)]. Случайная величина Y является нормальной по отношению к любому преобразованию Эсшера: Е(Y;

h* + 11) = [(r + 21 22/2) (r + 11 11/2)] = и = ( 11/2 + 21 22/2) Е(Y;

h* + 12) = [(r + 22 22/2) (r + 12 11/2)] = = ( 11/2 + 12 + 22/2). Дисперсия Y не зависит от вектора параметров;

она равна ( 11 2 12 + 22). Введя для краткости v2 = 11 2 12 + (дисперсию за единицу времени процесса {Х2() Х1()}), получим Е(Y;

h* + 11) = v2/2, Е(Y;

h* + 12) = v2/2, vаr(Y) = v2. Таким образом, стоимость (в момент времени 0) опциона на обмен S2() на S1() в момент времени равна v2 2 + v 2 2 S1 (0) v S 2 (0) v, (6.25) которая и является формулой Маргрейба. Немного удивительно, что формула (6.25) не зависит от безрисковой процентной ставки r. Заметим также, что при S2 (t) = Ke r (t ) формула (6.25) превращается в формулу Блэка – Шоулса (6.12). Теперь подсчитаем стоимость (в момент времени 0) опциона для получения большего из S1() и S2() в момент времени. Из равенства mах [S1(), S2()] = S2() + [S1() S2()]+ получаем стоимость опциона в виде S2 (0) + e r Е ([S1() S2()]+;

h*), что с учетом выражения (6.25) равно v 2 2 + v2 2 S1 (0) v + S 2 (0) 1 v = 2 + v2 2 + S 2 (0) + v 2 = = S1 (0) v v ln[S1 (0) S 2 (0)] + v 2 2 + = S1 (0) v ln[S 2 (0) S1 (0)] + v 2 2. + S 2 (0) v (6.26) Этот результат можно также получить с помощью применения следствия 6.3 при n = 2. Снова примечательно, что выражение (6.26) не зависит от r. Аналогичным образом из следствия 6.4 также можно получить результаты Шталца для цены европейского опциона-колл на минимум из двух рисковых активов с известными ценой и датой исполнения и Джонсона для цены европейских опционов на максимум и минимум из n рисковых активов с известной ценой исполнения.

§ 6. ЦЕНЫ АКТИВОВ, ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ Определение цены американских опционов с конечной датой истечения является исследованной проблемой в области финансовой экономики. Основную трудность составляет определение оптимальной границы исполнения. Здесь начнем изучать проблему определения цены американского опциона без даты истечения и теоремы опционного выбора остановки с помощью метода преобразований Эсшера. Эта проблема решаема, поскольку оптимальная граница исполнения бессрочного американского опциона не изменяется по отношению к временной переменной. Мы получим простую, но достаточно общую формулу для цены бессрочного американского опциона-пут на акцию, уменьшение которой не происходит скачкообразно. Аналогично получаем формулу для цены бессрочного американского опциона-колл на акцию, увеличение которой не происходит скачкообразно. В последнем параграфе главы мы представим семейство стохастических процессов для моделирования таких изменений цены акции. Это семейство включает винеровский процесс, гамма-процесс и обратный гауссовский процесс, а также комбинацию таких процессов. В классических предположениях о том, что цена акции является геометрическим броуновским движением, проанализируем общий бессрочный американский зависимый платеж и получим формулы для бессрочного опциона и русского опциона. Мартингальный подход избегает использования дифференциальных уравнений. Мы также объясним соотношение между условиями гладкого склеивания Самюэльсона и условием оптимальности первого порядка.

Нейтральное к риску преобразование Эсшера Для t 0 символ S(t) обозначает цену не выплачивающей дивиденды акции или ценной бумаги в момент t. Предположим, что имеется стохастический процесс {Х(t), t 0}, Х(0) = 0, со стационарными и независимыми приращениями такой, что S (t) = S(0) ехр {Х(t)}, t 0.

Для каждого t случайная величина Х(t), которую можно интерпретировать как непрерывно конвертируемую ставку доходности по t периодам, имеет неограниченно делимое распределение. Пусть ее функция распределения а ее ПФМ F(х, t) = рrоb [Х(t) х], М(z, t) = Е [ехр{zХ(t)}] Путем предположения, что М(z, t) является непрерывной в точке t = 0, можно доказать, что М(z, t) = [М(z, 1)]t. Преобразование Эсшера случайной величины – уже установившееся понятие, а здесь рассмотрим преобразование Эсшера случайного процесса, которое удовлетворяет равенству (6.2). Преобразование Эсшера с параметром h случайного процесса {Х(t), t 0} снова является процессом со стационарными и независимыми приращениями;

модифицированное распределение Х(t) теперь приобретает вид F ( x, t;

h) = prob [X (t ) x;

h] = e e x hy dF ( y, t ) dF ( y, t ) hy x 1 hy = e dF ( y, t ). M (h, t ) M (z, t ;

h ) = M (z + h, t ). M (h, t ) Из (6.2) следует, что M (z + h, t ) t М(z, t;

h) = = [М(z, 1;

h)]. M (h, t ) t Поскольку экспоненциальная функция положительная, модифицированная вероятностная мера является эквивалентной по отношению к первоначальной вероятностной мере, т. е. обе вероятностные меры имеют одни и те же множества меры нуль. Соответствующий параметр h = h* определяется согласно принципу нейтрального к риску определения стоимости (см. гл. 2) или, используя терминологию гл. 3 и гл. 4, мы ищем h = h*, чтобы получить эквивалентную мартингальную меру. Предположим, что безрисковая процентная ставка является постоянной и обозначается символом r, а также, что рынок является невязким и торговля непрерывная. Не имеется налогов, издержек на сделки и ограничений на займы или короткие продажи. Все ценные бумаги совершенно делимы. Далее предположим, что акция выплачивает непрерывный поток дивидендов с нормой, пропорциональной ее цене, т. е. имеется неотрицательная константа такая, что дивиденд, выплачиваемый между моментами времени t и t + dt, равен S (t) dt. Ищем параметр h = h* так, чтобы процесс {S(t) ехр{(r ) t}, t 0} являлся мартингалом по отношению к вероятностной мере, соответствующей h*. В частности, S(0) = Е [S(t) ехр{ (r ) t};

h*];

отсюда по формулам (6.1) и (6.2) или ехр{(r ) t} = Е [ехр{Х(t)};

h*] = [М(1, 1;

h*) ] t, ln [М(1, 1;

h*)] = (r ). (6.28) (6.27) Назовем преобразование Эсшера с параметром h* нейтральным к риску преобразованием Эсшера, а соответствующую эквивалентную мартингальную меру нейтральной к риску мерой Эсшера. Цена финансовой производной, чьи платежи зависят от {S(t)} называется дисконтированной ожидаемой стоимостью, где математическое ожидание вычисляется по нейтральной к риску мере Эсшера. При некоторых условиях регулярности уравнение (6.28) имеет единственное решение. Чтобы показать это, рассмотрим функцию G(h) = ln [М(1, 1;

h)] = ln [М(1 + h, 1)] ln [М(h, 1)].

Формула d E[X (1);

h] = var[X (1);

h] dh показывает, что Е [Х(1);

h] – возрастающая функция h. Отсюда d g (h ) = E[X (1);

1 + h] E [X (1);

h] dh является положительной, показывая, что g (h) – возрастающая функция. Это и обеспечивает единственность решения уравнения (6.28), которым является g(h) = r. Чтобы рассмотреть проблему существование решения, обозначим через М + и т соответственно правую и левую конечные точки интервала возможных значений величины Х(1). Предположим, что т + < r < М +, или т < r < М, поскольку в противном случае был бы возможен арбитраж. Пусть (а, b) обозначает интервал значений h, для которого существует g(h). При некоторых условиях регулярности lim g (h ) = m, h a lim g (h ) = M, hb и в этом случае уравнение (6.27) имеет решение. Следует заметить, что хотя нейтральная к риску мера Эсшера является единственной, могут быть и другие эквивалентные мартингальные меры (например, в работе F. Delbaen, J. Haezendonck (1989) изучаются эквивалентные меры составных пуассоновских процессов). Цена финансовой производной принимается как математическое ожидание ее дисконтированных выплат по нейтральной к риску мере Эсшера. Например, рассмотрим европейский опцион-колл на акцию с ценой исполнения K и датой истечения t, t > 0. Пусть I(.) обозначает индикаторную функцию и k = ln[K/S(0)]. Цена опциона в момент e rt Е [(S(t) K)I(S (t) > K) ;

h*] = = e rt Е [S(t)I(S (t) > K);

h*] e rt KЕ [I (S (t) > K);

h*].

(6.29) Математическое ожидание во втором слагаемом правой части равенства (6.29) равно рrоb [S (t) > K;

h*] = 1 F (k, t;

h*). Чтобы оценить математическое ожидание в первом слагаемом правой части (6.29), заметим, что для каждой измеримой функции g(.) E [ g ( S (t ));

h] = E[ g ( S (t ))e hX (t ) ] E[ g ( S (t )) S (t ) h ] =. E[e hX (t ) ] E[ S (t ) h ] Используя эту формулу, можно доказать следующий результат. Лемма 6.1. Пусть h и k являются двумя вещественными числами. Предположим, что преобразования Эсшера с параметрами h и h + k существуют. Тогда для каждой измеримой функции (.) Е [S (t)k (S(t));

h] = Е [S (t)k;

h] Е [ (S(t));

h + k]. Применяя лемму при k = 1, (х) = I (х > K) и h = h* и представление (6.27), получим Е[S(t) I(S(t) > K) ;

h*] = Е[S(t) ;

h*] Е[I(S(t) > K) ;

h*+ 1] = = S(0) e ( r )t рrоb [S(t) > K ;

h* + 1]. Таким образом, цена европейского опциона-колл равна S(0) e t [1 F (k, t;

h* + 1)] e rt K [1 F(k, t;

h*)]. (6.30) Если {Х(t)} является винеровским процессом с дисперсией за единицу времени 2, тогда согласно формуле (6.30) S (0) e t k + (r 2 2) t k + (r + 2 2) t r, (6.31) e K t t где Ф обозначает функцию стандартного нормального распределения. При = 0 этот результат становится классической формулой Блэка – Шоулса (6.12) для определения цены опциона. Формула (6.31) впервые другим способом была получена С. Смитом (1976). Теперь предположим, что акция выплачивает дивиденды с постоянной пропорциональной нормой. Если все дивиденды реинвестируются в акции, тогда каждая доля акции в момент времени 0 вырастает до et долей в момент времени t. Это дает следующую интерпретацию для формулы (6.27): S (0) = Е [ехр{rt} S (t) ехр {t};

h*].

С другой стороны, можно также рассмотреть ситуацию, когда никакие дивиденды не реинвестируются в акции. Тогда придем к интуитивной формуле: t S (0) = E e ru S (u )du + e rt S (0) ;

h *. 0 (6.32) Чтобы доказать справедливость представления (6.32), изменим порядок вычисления математического ожидания и интегрирования в правой части и используем формулу Е [S (и) ехр {и};

h*] = S (0) ехр {и}. Таким образом, t ru правая часть = S (0) e S (u )du + e t = S (0) = левая часть. 0 Формулу (6.30) можно использовать для определения цены опциона обмена валюты, когда S (t) обозначает текущий обменный курс в момент времени t, r – местную процентную ставку, а иностранную процентную ставку. В этом контексте выражение (6.31) известно как формула Гармана – Колхагена (Garman – Kohlhagen formula).

§ 7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНЫ БЕССРОЧНОГО АМЕРИКАНСКОГО ОПЦИОНА При помощи применения теоремы опционного выбора мы получим формулы для определения цен бессрочных американских опционов-пут на акции. Сделаем предположения относительно цен акций и дивидендов, которые были введены в § 6. При определении цены бессрочного американского опциона-пут дополнительно предположим, что убывание цены акции не происходит скачкообразно. Аналогично, когда определяется цена бессрочного американского опциона-колл, предположим, что возрастание цены акции не происходит скачкообразно. При этих предположениях, принимаемых для удобства, могут быть получены достаточно простые формулы. Сначала рассмотрим бессрочный американский опцион-пут с ценой исполнения K. Временно предположим, что K < S(0), чтобы исключалось немедленное исполнение опциона. Владелец опциона ис полняет его в соответствии с некоторой стратегией в момент остановки Т. Тогда в момент Т получим (K S (Т))+, где х+ = mах {х, 0}. Таким образом, стоимость опциона в момент 0, ассоциированная со стратегией равна Е [(K S (Т))+ ехр{rТ};

h*]. Чтобы максимизировать это выражение, можно ограничиться стационарными стратегиями вида ТL = inf {t | S(t) L}, L K. Опцион исполняется в первый же момент времени, когда цена акции становится равной или меньше уровня L, если это происходит. Цена опциона является максимальным значением Е [ехр{rТL} (K S (ТL))+;

h*]. (6.33) В предположении, что процесс цены {S (t), t 0} не может уменьшаться скачкообразно, цена акции в момент, когда опцион исполняется, равна L, т. е. L = S(ТL) = S(0) ехр{Х(ТL)}. (6.34) Для простоты обозначим текущую цену акции S (0) через S, а выражение (6.33) – через V(S, L). Так как L K V (S, L) = (K L) Е [ехр{rТL};

h*]. (6.35) Математическое ожидание в равенстве (6.35) является преобразованием Лапласа в точке ТL и может быть вычислено с помощью следующих классических рассуждений. Рассмотрим стохастический процесс {ехр [rt + Х(t)], t 0}. Для t ТL он является ограниченным мартингалом по отношению к нейтральной к риску мере Эсшера, если коэффициент – отрицательное решение уравнения Е [ехр{rt + Х(t)};

h*] = 1 или М(, 1;

h*) = ехр{r}. (6.36) Уравнение (6.36) имеет два вещественных корня: один является отрицательным, а другой – больше единицы. Чтобы увидеть это, рассмотрим функцию () = М(, 1;

h*) = Е [ехр{Х(1)};

h*]. Так как () = Е [Х(1)2 ехр{Х(1)};

h*], функция () является выпуклой. Следовательно, уравнение (6.36) () = ехр{r} имеет не более двух решений. Заметим, что (0) = 1 < ехр{r}, и из представления (6.28) следует, что (1) = ехр{r } < ехр{r}. Предположим, что рrоb {Х(1) < 0} > 0 и рrоb {Х(1) > 0} > 0, откуда следует, что () + для и для +. Таким образом, уравнение (6.36) имеет два корня: 0 < 0 и 1 > 1. По теореме опционного выбора (optional sampling theorem) мы имеем Е [ехр{rТL + 0 Х(ТL)};

h*] = 1, которое согласно соотношению (6.34) превращается в равенство Е [ехр{rТL};

h*] = (L/S) 0. (6.37) Применение равенства (6.37) к выражению (6.35) дает для S L и K > L, V(S, L) = (K L) (L/S) 0. (6.38) Для данной текущей цены акции S ищем максимальное значение стоимости (6.38), варьируя границу исполнения опциона L. Пусть VL обозначает частную производную V по L. Тогда решение уравнения VL(S, L) = 0 даст оптимальную границу исполнения опциона ~ L = L = 0K / (1 0). Таким образом, максимальное значение ~ V(S, L ) = K K 0 1 0 S (1 0 ).

Оно является ценой бессрочного американского опциона-пут при ус~ ~ ловии, что S L. Для S < L опцион исполняется немедленно и цена его составляет K S. Следовательно, цена опциона равна K K 0 ~ 0 S (1 ), если S L, 1 0 0 ~ если S < L. K S, 267 (6.39) Может показаться удивительным, что r и явно не содержатся в формуле (6.39). Однако они были использованы при определении 0. Теперь рассмотрим определение цены бессрочного американского опциона-колл с ценой исполнения K и временно предположим, что K > S. Для М K определим и ТМ = inf {t | S(t) М} W (S, М) = Е [ехр{ТМ}(S (ТМ) K)+;

h*]. (6.40) В предположении, что процесс цены акции {S (t), t 0} не изменяется скачкообразно вверх, цена акции будет равна М в момент, когда исполняется опцион, т. е. S (t) = М. Так как М K, формула (6.40) превращается в следующую: W(S, М) = (М K)Е [ехр{rТМ};

h*]. (6.41) Математическое ожидание в формуле (6.41) вычисляется тем же самым способом, как и выше, исключая тот факт, что теперь используется 1, положительный корень уравнения (6.36), чтобы быть уверенными в том, что (ехр{rt + 1Х(t)}) является ограниченным мартингалом (по отношению к нейтральной к риску мере Эсшера) для t ТМ. Окончательная формула имеет вид Е [ехр{rТМ};

h*] = (S/М) 1. Для заданной текущей цены S максимальное значение достигается при поэтому W(S, М) = (М K)(S/М) 1 ~ М = M = 1K / ( 1 1), ~ W(S, M ) = 1 K S (1 1). 1 1 K1 (6.42) Это дает цену бессрочного американского опциона-колл при условии, ~ ~ что S M. Для S > M опцион исполняется немедленно и цена равна просто S K. Таким образом, цена опциона определяется выражением K S ( 1) 1 ~ 1 K, если S M, 1 1 1 ~ если S > M. S K, (6.43) Когда доходность дивидендов стремится к нулю, корень 1 ~ стремится к 1, граница оптимального исполнения M стремится к, а цена бессрочного американского опциона-колл стремится к S, текущей цене акции. Эти предельные результаты можно проверить прямым вычислением: для = 0, 1 = 1 формула (6.42) сводится к следующей W(S, М) = (1 K / М) S, М K. Так как эта функция строго возрастает от М, ее наибольшее значение не достигается при конечных значениях М и максимальным значением (стоимостью опциона) является S. Таким образом, если = 0, бессрочный американский опцион-колл никогда не будет исполняться, но несмотря на это, он будет иметь положительную стоимость. Чтобы избежать этой аномалии, можно модифицировать выплату опционаколл следующим образом Тогда [( S(ТМ) K)+], 0 < < 1. W(S, М) = (М K) (S/М), ~ которая принимает максимальное значение при M = K / (1 ).

Условие гладкого склеивания Каждая из формул (6.39) и (6.43) как функция текущей цены акции S имеет непрерывную первую производную, поскольку ~~ ~~ ~ V( L, L ) = K L, VS ( L, L ) = 1 (6.44) и ~~ ~~ ~ W( M, M ) = M K, WS ( M, M ) = 1. (6.45) Формулы (6.44) и (6.45) являются частными случаями так называемого условия качественного контакта (high contact condition) Самюэльсона;

в литературе о задачах оптимальной остановки используется термин условие гладкого склеивания (smooth pasting condition), или принцип гладкой аппроксимации (principle of smooth fit), который приписывается Колмогорову. Р. Мертон (1973) получил условие гладкого склеивания как необходимое условие оптимальности первого порядка. При некоторых слабых условиях обратное также имеет место – решение оптимальной задачи остановки, удовлетворяющее условию гладкого склеивания, является на самом деле оптимальным решением задачи. Легко проверить, что условие (6.44) определяет оптимальную границу исполнения ~ L, в то время как условие (6.45) определяет оптимальную границу ис~ полнения M. Теперь получим формулу, объясняющую, как соотносятся условие гладкого склеивания (6.44) и оптимальность V(S,.). Пусть (S, L) = Е [ехр{rТL};

h*]. Из равенства (6.37) или просто из интерпретации следует, что для 0 < х < S L, (S, L) = (S, L + х) (L + х, L). (6.46) Дифференцируя равенство (6.46) по х и подставляя х = 0, получаем Теперь пусть 0 = L(S, L) + (S, L) S(L, L). (х) = (K х)+ (6.47) (6.48) обозначает функцию платежа. Тогда формула (6.35) приобретает вид V(S, L) = (L) (S, L). Дифференцирование (6.49) по L и применение (6.47) дают VL (S, L) = L (L) (S, L) + (L) L (S, L) = L (L) (S, L) – (L) (S, L) S (L, L) = (S, L) {L (L) VS (L, L)}. (6.50) (6.49) Формула (6.50) может также быть получена с помощью равенства (6.38). Так как (S, L) является положительной, VL (S, L) = 0, если и только если VS (L, L) = L (L). (6.51) Выражение (6.50) явно показывает, что граница оптимального ~ исполнения L не зависит от текущей цены акции S. Заметим, что равенства (6.49), (6.50) и (6.51) имеют место и для функций платежей (.) более общих, чем функция (6.48). Аналогично можно получить формулу где WМ (S, М) = µ (S, М) {М (М) WS (М, М)}, µ (S, М) = Е [ехр{rТМ};

h*].

(6.52) § 8. ЛОГАРИФМ ЦЕНЫ АКЦИИ КАК ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС Случайный процесс со стационарными и независимыми приращениями и выборочными траекториями, которые не могут скачкообразно увеличиваться и уменьшаться (т. е. непрерывны), является винеровским процессом. Предположим, что {Х(t), t 0} – винеровский процесс;

тогда S(t) становится классической моделью геометрического броуновского движения для изменений цены акции (см. Samuelson, 1965). Пусть µ и 2 обозначают соответственно среднее и дисперсию процесса Х (t) за единицу времени. В терминах стохастических дифференциальных уравнений предположением является dS (t ) 2 dt + dW (t ), t 0, = µ + S (t ) 2 где {W(t), t 0} обозначает стандартный винеровский процесс. Так как М(z, t) = ехр{(µ z + 2z2/2) t}, из равенства (6.4) следует, что ln [М(z, t;

h)] = [(µ + h2) z + 2z2] t. Это показывает, что преобразованный процесс имеет модифицированное среднее за единицу времени µ + h2 и прежнюю дисперсию за единицу времени 2. Из представления (6.28) мы получаем (µ + h*2) + 2/2 = r. Таким образом, для определения стоимости ФП используем винеровский процесс со средним за единицу времени µ + h*2 = r 2/2. Из равенства (6.36) получаем или (r 2/2) + 2 2/2 = r, 2 2 + (2r 2 2) 2r = 0. (6.53) Корнями этого квадратного уравнения являются = и = 2r 2 ( ) (2r 2 ) + 8 r 22 2 (6.54) 2r 2 2 + ( ) (2r 2 ) + 8 r.

22 2 (6.55) Формула (6.55) получена Х. МакКином (1965), который изучал определение цен опционов, хотя, конечно, он не решал задачу в терминах меры, нейтральной к риску. При нулевой доходности дивидендов ( = 0) формула (6.54) превращается в равенство 0 = 2r / 2, которое впервые получено Мертоном (1973) методом МакКина, как стоимость бессрочного американского опциона-пут. В финансовой анализе формулы для определения цены бессрочных американских опционов выводятся следующим образом. Пусть D обозначает стоимость ФП. Из рассуждений по хеджированию, впервые данных Блэком и Шоулсом (1973), следует, что D удовлетворяет уравнению в частных производных 2S 2DSS/2 + (r ) S DS r D + Dt = 0 (6.56) при наличии соответствующих краевых условий. В случае бессрочного опциона Dt = 0 и уравнение (6.56) становится однородным линейным обыкновенным дифференциальным уравнением второго порядка по S 2S 2DSS/2 + (r ) S DS r D = 0. (6.57) Функция D = S является решением (6.57), если показатель удовлетворяет квадратичному уравнению 2 ( 1)/2 + (r ) r = 0, которое является тем же, что и уравнение (6.53). Тогда общее решение уравнения (6.57) имеет вид D = c0 S 0 + c1S 1, 272 (6.58) где с0 и с1 не зависят от S. Здесь мы используем мартингальный подход и избегаем дифференциальных уравнений. Дополнительная интерпретация решения (6.58) дается ниже (см. формулу (6.64)).

Бессрочные зависимые платежи Рассмотрим определение цены бессрочных зависимых исков с Uобразными функциями платежей, такими как (х) = а1(K1 х)+ + а2(х K2)+. Для а1 = а2 = 1 зависимый платеж называется бессрочным американским стрэнглом, если K1 < K2, и бессрочным американским стрэддлом, если K1 = K2. Предположение о процессе {Х(t), t 0} остается прежним, т. е. он остается винеровским процессом. Пусть S = S (0) обозначает текущую цену акции. Рассмотрим стратегии исполнения, связанные со временами остановки вида ТL, М = inf {t | S(t) = L или S (t) = М}, где 0 L S М. Стоимость зависимого платежа, соответствующего такой стратегии V(S, L, М) = Е [ (S (ТL, М)) ехр{rТL, М};

h*]. Пусть и Тогда (S, L, М) = Е [I(S (ТL, М) = L) ехр{rТL, М};

h*] µ (S, L, М) = Е [I(S (ТL, М) = М) ехр{rТL, М};

h*]. V (S, L, М) = (L) (S, L, М) + (М) µ (S, L, М). (6.59) Процесс {ехр(rt + Х(t))} является ограниченным мартингалом (по отношению к мере, нейтральной к риску) для t ТL, М, когда = 0 или = 1 (корни уравнения (6.53)). Применение теоремы опционного выбора к этим двум мартингалам дает соответственно уравнения и (S, L, М) (L/S) 0 + µ (S, L, М) (L/S) 0 = 1 (S, L, М) (L/S) 1 + µ (S, L, М) (М/S) 1 = 1, решая которые, мы получаем M 1 S 0 M 0 S 1 S 1 L 0 S 0 L1 (S, L, М) = и µ (S, L, М) =. M 1 L 0 M 0 L1 M 1 L 0 M 0 L1 Заметим, что lim (S, L, M )= (S/L) 0 = (L/S) 0, M которое подтверждает равенство (6.37), и lim µ(S, L, M )= (S/М) 1, L которое подтверждает формулу (6.42). Оставшейся задачей является оптимизация платежа V(S, L, М), рассматриваемой как функция границ исполнения L и М. Условиями ~~ оптимальности первого порядка являются равенства VL (S, L, M ) = 0 ~~ и VМ (S, L, M ) = 0. Эти условия не зависят от S (пока S находится между L и М). Сначала этот факт кажется удивительным, но он следует немедленно из формул и VL(S, L, М) = (S, L, М) {L (L) VS (L, L, М)} VМ (S, L, М) = µ (S, L, М) {М (М) VS (М, L, М)}, (6.60) (6.61) которые обобщают соответственно формулы (6.50) и (6.52). Таким образом, условия первого порядка приобретают вид ~~~ ~ VS ( L, L, M ) = L ( L ) (6.62) и ~~~ ~ VS ( M, L, M ) = М ( M ), (6.63) что является условиями гладкого склеивания. Оптимальные границы ~ ~ исполнения L и M определяются путем совместного решения ~ ~ уравнений (6.62) и (6.63). Для L S M цена бессрочного зависимого платежа ~~ ~ ~~ ~ ~~ V(S, L, M ) = ( L ) (S, L, M ) + ( M ) µ (S, L, M ) = = S ( S ) ~ L 0 ~ M 0 ~ ~ 1 L1 L ~ 1 ~ M M ( ). ( ) (6.64) Чтобы вывести уравнение (6.60), рассмотрим равенства и (S, L, М) = (S, L + х, М) (L + х, L, М) µ (S, L, М) = µ (S, L + х, М) + (S, L + х, М) µ (L + х, L, М), где 0 < х < S L. Дифференцирование этих выражений по х и подстановка х = 0 дает соответственно и 0 = L (S, L, М) + (S, L, М) S (L, L, М) 0 = µL (S, L, М) + (S, L, М) µS (L, L, М). L (6.65) (6.66) Дифференцируя равенство (6.59) по (6.65) и (6.66), получаем и применяя соотношения VL (S, L, М) = L (L) (S, L, М) + (L) L (S, L, М) + (М) µL (S, L, М) = = (S, L, М) {L (L) (L) S (L, L, М) (М) µS (L, L, М)} = = (S, L, М) {L (L) VS (L, L, М)}, что совпадает с уравнением (6.60). Вывод уравнения (6.61) аналогичен. Для общих функций платежей может быть несколько непересекающихся оптимальных интервалов неисполнения.

Бессрочный опцион “down-and-out” Рассмотрим определение цены бессрочного американского опциона-колл «down-and-out» с ценой исполнения K. Опционный контракт становится нулевым и неисполняемым, если цена акции уменьшается до нокаутной цены (knock-out price) L, L < K. Когда это встречается, дается скидка или возмещение суммой R. Для М K из равенства (6.59) следует, что стоимость стратегии для исполнения опционаколл, когда цена опциона впервые увеличивается до М, равна V(S, L, М) = R (S, L, М) + (М K) µ (S, L, М), L S М. (6.67) Заметим, что нижняя граница исполнения L фиксирована и задачей является максимизация V как функции верхней границы исполнения М. Теперь рассмотрим частный случай, когда акция не выплачивает дивидендов (следовательно, 1 = 1 и 0 = 2r/2). Покажем, что максимальное значение (6.67) получается при М и что V(S, L, ) = S + (R L) (L/S) 0 = S + (R L) (L/S) 2 r.

Этот результат можно также найти у Р. Мертона (1973). Для доказательства этой формулы мы сначала заметим, что величина (S, L, М) является возрастающей функцией М и, следовательно, первое слагаемое правой части равенства (6.67) ограничено величиной R (S, L, ) = R (L/S) 0. Второе слагаемое правой части равенства (6.67) можно оценить следующим образом SL 0 S 0 L = (М K) µ (S, L, М) = (М K) ML 0 M 0 L = M L(L M ) 0 = M K [S L(L S ) ] < S L (L/S) 2r = M lim (M K ) µ (S, L, M ).

§ 9. РУССКИЙ ОПЦИОН Пусть М является числом таким, что М S. Пусть также М(t) = mах [М, mах {S(и) | 0 и t}], что можно интерпретировать как максимум цены акции за время t. Заметим, что пара {S(t), М(t);

t 0} является однородным марковским процессом. Термин «русский опцион» предложен Л. Шеппом и А. Ширяевым (Shepp, Shiryaev, 1993) для описания бессрочного американского опциона, платеж которого равен М(t), если он исполняется в момент времени t, t 0. То есть владелец русского опциона имеет привилегию получить максимум цены акции за время до того момента, в который он решил исполнить опцион. Цена опциона в момент времени 0 является наибольшим значением по всем моментам остановки Т 0 величины Е [М(Т ) ехр { rТ};

h*]. ~ Л. Шепп и А. Ширяев показали, что имеется число k, которое ~ зависит только от r, и, такое, что если S(0) > k М, оптимальной стратегией – это исполнение опциона в первый же момент времени t, ~ когда S(t) > k М(t). ~ Покажем, как можно определить k очень понятным образом. Пусть k является числом 0 < k < 1. Для текущей цены акции S = S(0) при kМ S рассмотрим стратегию исполнения опциона в момент остановки Тk = inf {t | S(t) = k М (t)}. Стоимость этой стратегии обозначим R(S, М;

k). Заметим, что R(S, М;

k) = М R(S /М, 1;

k). Отсюда и из определений и µ следует, что R(S, М;

k) = М (S, kМ, М) + R(М, М;

k) µ (S, kМ, М) = = М [ (S, kМ, М) + R(1, 1;

k) µ (S, kМ, М)]. Подставляя явные значения и µ, R(S, М;

k) = М [ (S/М, k, 1) + R(1, 1;

k) µ (S/М, k, 1)] = = M k 0 k 1 S 0 S 1 + M M 0 S 1 1 S 0 + R(1, 1;

k ) k k, M M (6.68) где R(1, 1;

k) определяется с помощью условия на границе при S = М. Условие исполнения русского опциона может быть получено путем следующих эвристических рассуждений. Если текущая цена акции S очень близка к М, можно быть уверенным «почти наверняка», что цена акции достигнет уровня М (и, следовательно, что максимум будет увеличиваться) до того, как опцион будет исполнен. Таким образом, если S близко к М, функция R (S, М;

k) не зависит от точного значения М и его производная по М RМ (М, М;

k) = 0. Отсюда и из (6.68) мы получаем условие [((1 0 ) (1 1 )) + R(1, 1;

k )(k 0 (1 1 ) k 1 (1 0 ))] k 0 k 1 277 = 0, что дает R (1, 1;

k ) = k (1 0 ) k (1 1 ) 1.

Подставим это выражение в формулу (6.68) и получим после упрощений следующий результат:

(1 0 )(S M ) (1 1 )(S M ) R (S, M ;

k ) = M k (1 0 ) k (1 1 ) 1 1.

Теперь ясно, что оптимальное значение k является значением, которое минимизирует знаменатель, производная которого равна (1 0 )1k 1 + (1 1)0 k.

Следовательно, оптимальное значение ~ (1 1 ) k = 0 (1 ) 0 1 и цена русского опциона равна ~ ~ R S, M ;

k, если k M S M, ~ если S k M. M, 1 (1 0 ), (6.69) ( ) (6.70) Формулы (6.69) и (6.70) являются эквивалентными формулам, полученным Л. Шеппом и А. Ширяевым.

§ 10. КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫЕ ВЫБОРОЧНЫЕ ТРАЕКТОРИИ Предположим, что выборочные траектории {S (t)} или, что эквивалентно, {Х(t)} не имеют скачков вниз (это предположение было использовано при получении цены (6.39)). Тогда имеет место следующая декомпозиция: X(t) = Y(t) + v2W(t) ct, t 0. (6.71) Здесь {Y(t)} является или составным пуассоновским процессом с положительными приращениями или пределом такого процесса;

{W(t)} – стандартный винеровский процесс с нулевым средним и единичной дисперсией за единицу времени;

последнее слагаемое ct представляет собой систематический дрейф. Производящая функция семиинвариантов случайной величины X(t) имеет вид ln[M(z, t)] = t (e zx 1)[dQ( x)] + v 2 z 2 / 2 cz, 0 (6.72) где Q (х) – неотрицательная и невозрастающая функция с Q() = 0. Заметим, что для всякого положительного числа интеграл (e zx 1)[dQ ( x)], как функция от z, является производящей функцией семиинвариантов составного распределения Пуассона с пуассоновским параметром () = Q() и распределением величины скачка Р (х;

) = Q ( ) Q ( x ), х. Q ( ) Для простоты обозначений предположим, что Q (х) = q (x) dx для некоторой неотрицательной функции q(x). Пусть µ и 2 обозначают соответственно среднее и дисперсию {Х(t)} за единицу времени. Тогда µt = Е[Х(t)] = xq( x)dx c t, (6.73) 0 2 t = var[Х(t)] = x q( x)dx + v 2 t (6.74) и Е [(Х(t) µt)3] = x 3 q( x)dx t. (6.75) Вообще для п 3 п-й семиинвариант случайной величины Х(t) равен n x q( x)dx t. 0 Из формул (6.4) и (6.72) следует, что ln[M(z, t;

h)] = ln[M(z + h, t)] ln[M(h, t)] = zx = t (e 1)e hx q( x)dx + v 2 z 2 / 2 (c v 2 h) z. 0 (6.76) Таким образом, преобразование Эсшера с параметром h процесса, определяемого соотношением (6.71), имеет такой же вид со следующими модификациями: q(x) ehx q(x), (6.77) v2 v2 (остается прежним), c c v2 h. Кроме того, из (6.76) следует, что (6.28) и (6.36) можно записать соответственно как (e x 1)e h* x v2 q ( x)dx + v h* = c + и (e x 1)e h* x v 22 (c v 2 h*) =. q( x)dx + (6.78) Частный случай Для модели, определяемой соотношениями (6.1) и (6.71), теперь предположим, что v = 0, т. е. S (t) = S (0) ехр{Y(t) ct}, и что q (x) = ах 1e bx, x > 0, где а > 0, > 1 и b > 0 являются параметрами. В соответствии с модификацией (6.77) для h < b преобразование Эсшера такого процесса является членом этого же семейства с параметром b, замененным на b(h) = b h. ПФМ случайной величины Y(t) имеет вид exp t (e zx 1)q( x)dx = exp at (e zx 1) x 1e bx dx = 0 0 b at если = 0,, b z = exp a() b 1t, если 0. b b z Таким образом, для = 0 процесс {Y(t)}t 0 является гаммапроцессом;

для > 0 он является составным процессом Пуассона с пуассоновским параметром (а,, b) = аГ() b и гаммаплотностью вероятностей величины скачков b 1 bx р (х;

, b) = x e, х > 0. ( ) Для 1 < < 0 наиболее известным случаем является =, если {Y(t)}t 0 – обратный гауссов процесс с плотностью вероятностей случайной величины Y(t) вида at x3 2 ( bx at ) 2, х > 0. exp x c + a, Для b* = b(h*) = b h* получаем уравнения b* =e b * 1 если = 0, (6.79) и c + 1 1 =, если 0. a ( ) b* (b * 1) Решением уравнения (6.79) является b* = 1 1 e ( c + ) / a (6.80), (6.81) что при = 0 превращается в формулу (6.15). В общем случае вид уравнения (6.79) не позволяет получить решение для b* в явной форме. Однако если = 1 (величины скачков распределены экспоненциально), решение имеет вид 1 4a. b* = 1 + 1 + c+ 2 (6.82) Случай = рассмотрен выше в § 3. Для каждого фиксированного можно определить параметры а, b и с методом моментов. Таким образом, можно считать известными µ, и третий центральный момент Х(1), который удобно записать как 3 ( является коэффициентом асимметрии). Эти три момента можно записать с помощью формул (6.73) (6.75) в форме следующих равенств a( + 1) µ = xq( x)dx c = c, 2 = +1 b 0 = x q( x)dx = a( + 2), b + и x q ( x)dx = a( + 3). b + Из этих равенств получим b = ( + 2)/ (при определении стоимости финансовой производной это b нужно заменить на b*) а= и с= ( + 2) + 2 ( + 2) + 2 +2 µ. +1 (6.83) (6.84) Формулы для отрицательных корней уравнения (6.78) При предположениях v = 0 и q(x) = ах 1e bx, x > 0, уравнение (6.78) превращается в следующее: a (e x 1)e h* x x 1e bx dx c = или (e x 1) x 1e b* x dx = + c. a (6.85) Явное выражение интеграла в левой части равенства (6.85) можно получить с помощью ПФМ случайной величины Y(t). Если = 0, то равенство (6.85) приобретает форму b* =e b * c + a.

(6.86) Подстановка b*, полученного из формулы (6.86), в выражение (6.81) приводит к равенству ec/a + [e /a e (c)/a] = e /a. С помощью формул (6.83) и (6.84) получаем c µ 1 2 =. = и a 2 2 a4 Если 0 и > 1, то уравнение (6.85) приобретает вид + c 1 1 =, a ( ) (b * ) b * (6.87) где b* определяется из уравнения (6.80). Уравнение (6.87) упростится при = 1 к виду 1 1 + c =, (6.88) b * b * a что является квадратным уравнением относительно, а b* определяется из (6.82), 3 27 µ. а= 3 и с= 2 2 В случае отсутствия дивидендов ( = 0) положительный корень уравнения (6.88) равен 1 = 1, а отрицательный корень выражается в виде 0 = b*/с.

ЛИТЕРАТУРА Основная Artzner P., Delbaen F. Term Structure of Interest Rates: The Martingale Approach // Advances in Applied Mathematics. 1989. Vol. 10. P. 95–129. Black F., Scholes M., The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. 1973. Vol. 81. P. 637– 654. Cox J. C., Ross S. A. The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes // Journal of Financial Economics. 1976. Vol. 3. Р. 145–166. Gerber H. U., Shiu E.S. Option Pricing by Esscher Transforms // Transactions of Society of Actuaries. 1994. Vol. XLVI. P. 99–191. Gerber H. U., Shiu E.S. Martingale Approach to Pricing Perpetual American Options // ASTIN Bulletin. 1994. Vol. 24. No. 2. P. 195–220. Harrison J. M., Kreps D. M. Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets // Journal of Economic Theory. 1979. Vоl. 20. P. 381408. Harrison J. M., Pliska S. R. Martingales and Stochastic Integrals in the Theory of Continuous Trading // Stochastic Processes and Applications. 1981. Vol. 11. P. 215–260. Merton R. Theory of Rational Option Pricing // Bell Journal of Economics and Management Science. 1973. Vol. 4. P. 141–183. Merton R. Continuous-Time Finance. Oxford: Blackwell, 1990.

Дополнительная Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований: В 2 т. М.: Наука, 1969. Т. 1. Гирсанов И. В. О преобразовании одного класса случайных процессов с помощью абсолютно непрерывной замены меры // Теория вероятностей и ее применения. 1960. Т. 5. № 3. С. 314–330. Гихман И. И., Скороход А. В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наук. думка. 1972. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука. 1974. Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н. Теория мартингалов. М.: Наука. 1986. Медведев Г. А. Математические модели финансовых рисков: В 2 ч. Ч. 1: Риски изза неопределенности процентных ставок. Мн.: БГУ, 1999. Терпугов А. Ф. Математика рынка ценных бумаг. Томск: Изд-во ТГПУ, 2000. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: В 2 т. М.: Мир, 1967. Т. 2. Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. М.: Инфра-М, 1997. Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.

Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики: В 2 т. Т. 1: Факты. Модели. Т. 2: Теория. М.: Фазис, 1998. Cox J., Ingersoll J., Ross S. A theory of the Term Structure of Interest Rates // Econometrica. 1985. Vol. 53. No. 2. P. 385407. Duffie D. Dynamic Asset Pricing. Princeton: Princeton University Press, 1992. Fama E. F. Portfolio Analysis in a Stable Paretian Market // Management Science. 1965. Vol. 311. No. 2. P. 409–419. Ilieva N. G. The Comparative Analysis of the Term Structure Models of the Affine Yield Class // Proceedings of 10-th Intern. AFIR Symposium. Troms. 2000. P. 367–393. Ilieva N. G. On Some Yield Interest Rate Models of the Affine Class Term Structures // EURO Working Group on Financial Modelling. 26-th Meeting. Trondheim. 2000. P. 1–19. Modigliani F., Miller M. The Cost of Capital, Corporation Finance, and the Theory of Investment // American Economic Review. 1958. Vol. 48 (June). P. 261–297. Panjer H., Willmot G. Insurance Risk Models. Schaumburg: Society of Actuaries, 1992. Samuelson P. A. Rational Theory of warrant Pricing // Industrial Management Review. 1965. Vol. 6. P. 13–31.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.