WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«Московский международный институт эконометрики, информатики, финансов и права Мастяева И.Н., Горбовцов Г.Я., Семенихина О.Н., Турундаевский В.Б. ...»

-- [ Страница 2 ] --

Z= 5. Специальные задачи линейного программирования 5.1. Задача целочисленного линейного программирования Значительная часть экономических задач, относящихся к задачам линейного программирования, требует целочисленного решения. К ним относятся задачи, у которых переменные величины означают количество единиц неделимой продукции, например, распределение производственных заданий между предприятиями, раскрой материалов, загрузка оборудования, распределение судов по линиям, самолетов по рейсам, а также задачи по производству неделимой продукции. Если единица составляет малую часть всего объема производства, то оптимальное решение находят обычным симплексным методом, округляя его до целых единиц, исходя из смысла задачи. В противном случае округление может привести к решению, далекому от оптимального целочисленного решения. Пример 4.1. В цехе предприятия решено установить дополнительное оборудование, для размещения которого выделено 19.3 м2-площади. На приобретение оборудования предприятие может израсходовать 10 тыс. У.е., при этом оно может купить оборудование двух видов. Комплект оборудования 1 вида стоит 1000 у.е., а II вида— 3000 у.е. Приобретение одного комплекта оборудования 1 вида позволяет увеличить выпуск продукции в смену на 2 ед., а одного комплекта оборудования II вида — на 3 ед. Зная, что для установки одного комплекта оборудования 1 вида требуется 2 м2 площади, а оборудования II вида — 1 м2 площади, определить такой набор дополнительного оборудования, который дает возможность максимально увеличить выпуск продукции Решение. Составим математическую модель задачи. Предположим, что предприятие приобретет х1 комплектов оборудования 1 вида и х2 комплектов оборудования II вида. Тогда переменные х1 и х2 должны удовлетворять следующим неравенствам:

2 x1 + x 2 19 / 3, x1 + 3x 2 10.

(4.1) Если предприятие приобретет указанное количество оборудования, то общее увеличение выпуска продукции составит F= 2х, +3х2. (4.2) По своему экономическому содержанию переменные х1 и х2 могут принимать лишь целые неотрицательные значения, т. е, х1,х2 — целые. х1,х2 0 (4.3) (4.4) Таким образом, задача (4.1)-(4.4) представляет собой задачу ЦЛП. Пример 4.2. Рассмотрим задачу о раскрое, из примера (1.4) Очевидно, что переменные модели Xj ( j = 1,6 ) могут принимать только целые значения и, следовательно, ЗЦЛП будет иметь вид: min f (x) = 0,4 X1 + 0,3 X2 + 0,1 X3 + 0,1 X5 + 0,2 X6 2X2 + 2 X3 + 4 X4 + X5 =150 X1 + X2 + 2 X5 =200 X1 + X3 + 2 X6 =300 Xj 0, j = 1,6, Xj - целые РЕШЕНИЕ З.Ц.Л.П. МЕТОДОМ ВЕТВЕЙ И ГРАНИЦ Задачей целочисленного линейного программирования ( ЗЦЛП ) называют следующую: Найти вектор x E n, максимизирующий линейную форму f (x) = cj xj j =1 n ( 2.5) и удовлетворяющий условиям:

a j = n ij x j = bi, i = 1, m j = 1, n (4.6) (4.7) (4.8 ) xj x1, x2,..., x p - целые ( p n) При p = n (p < n) задача (4.5)-(4.8) называется полностью (частично) целочисленной задачей линейного программирования. Для решения ЗЦЛП обычно применяются методы типа отсечений, например, метод Гомори и методы типа возврата - метод ветвей и границ. Метод ветвей и границ применим для решения как полностью, так и частично целочисленных задач. Пусть, для каждой целочисленной переменной можно указать верхнюю и нижнюю границы, в пределах которых безусловно содержатся ее оптимальные значения, то есть Vj xj Wj ;

j =1..p (4.9) При этом в систему функциональных ограничений (4.6) необходимо включить р неравенств (4.9). В начале любой S-й итерации метода ветвей и границ необходимо иметь: Основной список задач линейного программирования, каждая из которых должна быть решена в последующих итерациях ( на первой итерации список содержит одну ЗЛП - задачу 1 (4.5 - 4.7) и (4.9). 1. Нижнюю границу оптимального значения линейной формы задачи (2.5) - (2.8), (2.9) Z0(s). S = 2,3,....... На первой итерации в качестве Z0(1) можно взять значение функции f ( x ) в любой целочисленной точке x, лежащей внутри области (4.6) (4.7) и (4.9). Если такую точку указать трудно, то можно положить Z0(1) =, но это приводит к значительному увеличению числа итераций. Алгоритм S-й итерации метода ветвей и границ. Пусть в результате S итераций метода получили список из Z задач: 1,2,...,Z и имеем Z0(s). Шаг 1. Выбираем из списка ЗЛП одну задачу для решения, задачу R (1 R Z) и решаем ее. Шаг 2. Если задача R имеет решение x R ( s), то переходим к шагу 3. В противном случае - исключаем задачу R из списка и, полагая Z0(s+1)=Z0(s), возвращаемся к шагу 1. При S = 0, то есть на первой итерации, делаем вывод, что исходная задача (4.5)-(4.8) не имеет решения и процесс решения заканчивается. Шаг 3. Если f ( x R ) > Z0(s), то переходим к шагу 4. В противном случае - задачу R исключаем из списка и, полагая Z0(s+1)=Z0(s), возвращаемся к шагу 1. Шаг 4. Если не все компоненты вектора x R ( s) удовлетворяют условиям целочисленности (4.8), то переходим к шагу 5. В противном случае - задачу R из списка исключаем, план x R ( s) запоминаем и, полагая Z0(s+1)= f ( x R ( s ) ), возвращаемся к шагу 1. При S = 0 вектор x является решением и исходной задачи (4.5)-(4.8),(4.9) и процесс решения заканчивается. (1) ( s) Шаг 5. Задачу R выбрасываем из списка, включая в него две новые задачи линейного программирования - задачу (Z+1) и задачу (Z+2). Далее, полагая Z0(s+1)=Z0(s), возвращаемся к шагу 1. Процесс разбиения задачи R на две новые ЗЛП осуществляется следующим образом: Пусть x j ( s) - дробная компонента в полученном оптимальном плане x R ( s) и [ x j ( s) ] ее целая часть. Тогда задача Z+1 имеет вид:

f ( x) = c j = n j x j m ax при условиях a x ij j = n j = bi, i = 1..m V1 x1 W1...................... Vj x j [ x j ]...................... Vp x p Wp x1, x2,...., xn ( s) Задача Z+2:

f ( x) = n c j = n j x j max при условиях a x ij j = j = bi, i = 1..m V1 x1 W1...................... [ x j ] + 1 x j Wj...................... Vp x p Wp x1, x2,...., xn ( s) Процесс решения продолжаем до тех пор, пока не будут решены все задачи линейного программирования из списка. Тогда решением задачи (4.5)-(4.8) и (4.9) будет Z0(s) на последующей итерации. Пример. Решить ЗЦЛП при условиях:

7 x1 + 3x2 21 x1 + x2 ax f (x) = 2x1 + x2 m (4.11) (4.10) x1, 0 x1 3 0 x2 - целые (4.13) (4.14) (4.12) В качестве Z0(1) возьмем f ( x ) в точке x =(0,0), то есть Z0(1)=0.

Итерация 1. Имеем: 1) В списке задач линейного программирования одна задача задача 1 - (4.10)-(4.11)(4.13)(4.14) 2) Нижняя граница Z0(1)=0. Шаг 1. Выбираем задачу 1, решаем ее симплексным методом, (1) (1) получим оптимальный план x =(1,5 ;

3,5), f ( x ) = 6,5. Шаг 2. Так как задача 1 имеет конечное решение, то переходим к шагу 3. Шаг 3. Так как f ( x ) = 6,5 > Z0(1), то переходим к шагу 4. Шаг 4. Не все компоненты вектора x удовлетворяют условию целочисленности, поэтому переходим к шагу 5. Шаг 5. Задачу 1 из списка выбрасываем, включая в него две новые задачи - задачу 2 и задачу 3. Разбиение задачи 1 производим по переменной х1: задача f ( x ) = (2 x1 + x2 ) max 7 x1 + 3x2 21 x1 + x2 5 0 x1 1 0 x2 (1) (1) задача f ( x ) = (2 x1 + x2 ) max 7 x1 + 3x2 21 x1 + x2 5 2 x1 3 0 x2 Полагаем Z0 = Z0 = 0, возвращаемся к шагу 1. Итерация 2. 1) Список ЗЛП включает 2, 3. 2) Z0(2) = 0. (2) (1) Шаг 1. Выбираем из списка одну задачу - задачу 2. Решаем ее ( 2) (2) симплексным методом, ее оптимальный план x = (1,4), f ( x ) = 6. Шаг 2. Задача 2 имеет конечное решение, переходим к шагу 3. Шаг 3. Сравниваем f ( x ) > Z0(2) = 0, следовательно, переходим к шагу 4. Шаг 4. Все компоненты вектора x удовлетворяют условию целочисленности, поэтому задачу 2 из списка исключаем, план (2) (2) (3) x запоминаем и полагая Z0 = f ( x ) = 6, возвращаемся к шагу 1. Итерация 3. Шаг 1. Выбираем из списка ЗЛП задачу 3, решаем ее М-методом, ( 3) получили оптимальный план x = (2, 7 / 3). Шаг 2. Задача 3 имеет конечное решение, следовательно, переходим к шагу 3. Шаг 3. Сравниваем f ( x ) и Z0(3), так как f ( x ) = 6 переходим к шагу 4. Шаг 4. Компоненты вектора x не удовлетворяют условию целочисленности, следовательно, задачу 3 из списка выбрасываем и переходим к шагу 5. Шаг 5. Вместо задачи 3 включаем в список две задачи - 4 и 5. Разбиение задачи 3 производим по переменной х2: задача f ( x ) = (2 x1 + x2 ) max 7 x1 + 3x2 21 x1 + x2 5 2 x1 3 0 x2 ( 3) ( 3) ( 3) (2) (2) 1 > Z0(3) = 6, то задача f ( x ) = (2 x1 + x2 ) max 7 x1 + 3x2 21 x1 + x2 5 2 x1 3 3 x2 Полагая Z0(4) = Z0(3) = 6, возвращаемся к шагу 1. Итерация 4. Выбираем из списка ЗЛП задачу 5. Она не имеет решения, следовательно, выбрасываем ее из списка. Полагая Z0(5) = Z0(4), возвращаемся к шагу 1. Итерация 5. Имеем: 1) Список ЗЛП - задача 5. 2) Z0(5) = Z0(4) = 6. Шаг 1. Выбираем задачу 4. Решая ее получаем оптимальный план x = (15 / 7, 2).

( 5) Шаг 2. Задача 4 имеет конечное решение x = (15 / 7, 2) и f ( x ) = 6, переходим к шагу 3. Шаг 3. Так как f ( x ) > Z0(6) = 6, то переходим к шагу 4.

( 5) ( 5) ( 5) 2 Шаг 4. Компоненты плана x не целочисленные, следовательно, задачу 4 из списка выбрасываем и, полагая Z0(5) = Z0(6), переходим к шагу 5. Шаг 5. Задачу 4 выбрасываем из списка, а вместо нее включаем в него две новые ЗЛП, производя разбиение задачи 4 по переменной х1:

( 5) задача f ( x ) = (2 x1 + x2 ) max 7 x1 + 3x2 21 x1 + x2 5 3 x1 3;

x1 = 3 0 x2 задача 7 f ( x ) = (2 x1 + x2 ) max 7 x1 + 3x2 21 x1 + x2 5 2 x1 2;

x1 = 2 0 x2 Полагая Z0(6) = Z0(5), возвращаемся к шагу 1. Итерация 6. Имеем 1) Список ЗЛП включает задачи 6 и 7. 2) Z0(6) = 6. Шаг 1. Выбираем из списка задачу 6 и решая ее, находим ( 6) x = ( 2, 2). оптимальный план Так как компоненты плана x ( 6) целочисленные и f ( x ) = 6 =Z0(6), то задачу 6 из списка выбрасываем, ( 6) ( 6) а план x запоминаем. Полагая Z0(7) = Z0(6) = 6 возвращаемся к шагу 1. Итерация 7. Имеем: 1) Список ЗЛП - одна задача 7. 2) Z0(7) = 6. Шаг 1. Решаем задачу 7 и получаем оптимальный план x (7) ( 7) = (3, 0).

Шаг 2. Компоненты плана x целочисленные, и значение функции (7) (7) (7) f ( x ) = Z0 = 6. Задачу 7 из списка выбрасываем, план x запоминаем. Все задачи линейного программирования, входящие в список, решены. При этом были найдены три целочисленных оптимальных (2) ( 6) (7) ( 2) ( 6) (7) плана x, x, x, причем f ( x ) = f ( x ) = f ( x ) = 6. Решением исходной задачи является f ( x ) = 6;

x = {(3,0);

(2,2);

(1,4)}.

* * Домашнее задание №13 Решить задачу целочисленного программирования методом ветвей и границ, учитывая целочисленность переменных.

1. max( 3x1 + 3x2 ) 4 x1 + 5x2 20 x1 + 6 x2 12 0 x1 5 0 x2 3. m ax( x1 + 3 x 2 ) 3 x 1 + 4 x 2 12 3 x1 + 2 x 2 6 0 x1 4 0 x2 2 5. m ax( 3 x 1 + x 2 ) 4 x 1 + 3 x 2 18 x1 + 2 x 2 6 0 x1 5 0 x2 3 7. m ax( 2 x 1 + x 2 ) 5 x 1 + 2 x 2 30 3 x 1 + 8 x 2 48 0 x1 6 0 x2 6 9. m ax( 3 x 1 + 2 x 2 ) 2 x1 + x 2 6 4 x1 + 3 x 2 6 0 x1 3 1 x2 2 6.

2.

max( 3x1 + 2 x2 ) 3x1 + 7 x2 21 x1 + x2 4 0 x1 4 0 x2 4. m ax( 4 x 1 + x 2 ) 2 x1 3 x 2 6 4 x1 + 9 x 2 1 8 0 x1 2 0 x2 3 m ax( x 1 + 2 x 2 ) x1 + x 2 5 3 x1 + 8 x 2 24 0 x1 5 0 x2 3 8. m ax( 3 x 1 2 x 2 ) 2 x1 + 3 x 2 6 x1 2 x 2 2 0 x1 3 0 x2 3 10. m ax( x 1 + 2 x 2 ) 5 x 1 + 9 x 2 45 x 1 + 3 x 2 12 0 x1 9 0 x2 5.2. Транспортная задача линейного программирования Постановка задачи Транспортная задача является одной из наиболее распространенных задач линейного программирования и находит широкое практическое приложение. Постановка транспортной задачи. Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у m поставщиков Аi в количестве аi(i=1..m) единиц соответственно, необходимо доставить n потребителям Вj в количестве bj(j=1..n) единиц. Известна стоимость сij перевозки единицы груза от i-го поставщика к j-му потребителю. Необходимо составить план перевозок, позволяющий вывести все грузы, полностью удовлетворить потребности и имеющий минимальную стоимость. Обозначим через хij количество единиц груза, запланированных к перевозке от i-го поставщика к j-му потребителю. Так как от i-го поставщика к j-му потребителю запланировано к перевозке хij единиц груза, то стоимость перевозки составит сijxij. Стоимость всего плана выразится двойной суммой Z = c ij xij i=1 j=1 m n Систему ограничений получаем из следующих условий задачи: а) все грузы должны быть перевезены, т.е.

n x j=1 m ij = ai, i = 1..m б) все потребности должны быть удовлетворены, т.е.

x i= ij = b j, j = 1..n Таким образом, математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид: Найти минимальное значение линейной функции Z = c ij xij i=1 j=1 m n (4.15) при ограничениях x j=1 m n ij = ai, i =1..m = b j, j =1..n (4.16) (4.17) (4.18) x i= ij xij 0, i =1..m, j =1..n В рассмотренной модели предполагается, что суммарные запасы равны суммарным потребностям, т.е.

ai = b j.

i=1 j= m n (4.19) Транспортная задача, в которой суммарные запасы и потребности совпадают, т.е выполняется условие (4.19), называется закрытой моделью;

в противном случае - открытой. Для открытой модели может быть два случая: а) Суммарные запасы превышают суммарные потребности m n a > b i i=1 j=1 m n j б) Суммарные потребности превышают суммарные запасы ai < b j i=1 j= Линейная функция одинакова в обоих случаях, изменяется только вид системы ограничений. Найти минимальное значение линейной функции Z = c ij xij i=1 j=1 m n При ограничениях x j=1 m n ij ai, i = 1..m (случай “а”) ij x i= = b j, j = 1..n, x ij x j=1 m n ij = ai, i = 1..m (случай “б”) ij x i= b j, j = 1..n, x ij Открытая модель решается приведением к закрытой модели. В случае (а), когда суммарные запасы превышают суммарные потребности, вводится фиктивный потребитель Вn+1, потребность которого b n+1 = a i b j i=1 j=1 m n В случае (б), когда суммарные потребности превышают суммарные запасы, вводится фиктивный поставщик Аm+1, запасы которого a m+1 = b j a i j=1 i=1 n m Как стоимость перевозки единицы груза до фиктивного потребителя, так и стоимость перевозки груза от фиктивного поставщика полагаются равными нулю, так как груз в обоих случаях не перевозится. Транспортная задача имеет n+m уравнений с mn неизвестными. Матрицу Х=(хij)m,n, удовлетворяющую условиям (4.16)-(4.18), называют планом перевозок транспортной задачи (хij - перевозками). Определение. План Х*, при котором целевая функция (4.15) обращается в минимум, называется оптимальным. Теорема 2.1 Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие баланса ai = b j i=1 j= m n План транспортной задачи называется опорным, если положительным перевозкам соответствует система линейно независимых векторов Pij (i=1..m, j=1..n), где Pij - векторы при переменных хij (i=1..m, j=1..n) в матрице системы ограничений (4.16)(4.17). Теорема 2.2 Существует план, содержащий не более m+n-1 положительных перевозок, при этом система векторов Pij, соответствующая таким перевозкам (хij > 0), линейно-независима. Таким образом, опорный план транспортной задачи содержит m+n1 положительных перевозок. Дадим другое определение опорного плана. Определение План транспортной задачи называется опорным, если из его основных коммуникаций невозможно составить замкнутый маршрут. МЕТОДЫ СОСТАВЛЕНИЯ ПЕРВОНАЧАЛЬНЫХ ОПОРНЫХ ПЛАНОВ Метод Северо-западного угла используют для нахождения произвольного опорного плана транспортной задачи. Схема метода: 1) Полагают верхний левый элемент матрицы Х х11=min(a1,b1). Возможны три случая: а) если a1 < b1, то х11=а1, и всю первую строку начиная со второго элемента заполняют нулями. б) если a1 > b1, то х11 = b1, а все оставшиеся элементы первого столбца заполняют нулями. в) если a1 = b1, то х11 = а1 = b1, и все оставшиеся элементы первых столбца и строки заполняют нулями. На этом один шаг метода заканчивается. 2) Пусть уже проделано k шагов, ( k µ ) -й шаг состоит в следующем. Определяют верхний левый элемент незаполненной части матрицы Х. Пусть это элемент xµ ( + µ = k + ). Тогда полагают xµ = min(a (k), b (k) ), µ Где a = a x j (k) j=1 (k) (k) µ - и b µ = b µ x iµ (k) i= - Если a < b µ, то заполняют нулями -ю строку начиная с ( µ + 1) го элемента. В противном случае заполняют нулями оставшуюся часть µ -го столбца. Метод минимального элемента позволяет построить начальный опорный план транспортной задачи и является вариантом метода северозападного угла, учитывающим специфику матрицы С=(сij)m,n. В отличие от метода северо-западного угла данный метод позволяет сразу получить достаточно экономичный план и сокращает общее количество итераций по его оптимизации.

Схема метода: элементы матрицы С нумеруют начиная от минимального в порядке возрастания, а затем в этом же порядке заполняют матрицу Х0. Пусть элементом с минимальным порядковым номером оказался элемент хij0. Тогда полагают хij0=min(ai, bj) Возможны три случая: а) если min(ai, bj) = ai, то оставшуюся часть i-й строки заполняют нулями;

б) если min(ai, bj) = bj, то оставшуюся часть j-го столбца заполняют нулями. в) если аi=bj, то оставшуюся часть строки и столбца заполняют нулями. Далее этот процесс повторяют с незаполненной частью матрицы. Пусть элементом с k-м порядковым номером оказался x (k). µ (k) (k) (k) Тогда x µ = min(a, b µ ), где a (k) = a x (g) g = 1..k - 1 j j= µ - b (k) = b µ x (u) u = 1..k - 1 µ iµ i= Возможны три случая: а) a (k) < b (k), тогда xµ = a и оставшуюся часть строки заполняют µ нулями;

( k) б) a (k) > b (k), тогда xµ = b (k) и остаток столбца µ заполняют нулями;

µ µ (k) (k) в) a = b µ, тогда оставшуюся часть строки и столбца µ заполняют нулями.

(k) (k) МЕТОД ПОТЕНЦИАЛОВ Для транспортной задачи (ТЗ), как и для любой ЗЛП, существует двойственная к ней задача. Исходная задача min C ij X ij i=1 j=1 mn (4.20) (4.21) (4.22) (4.23) X ij = a i j=1 m i= n i = 1, m j = 1, n j = 1, n X ij = b j X ij 0, i = 1, m, Обозначим двойственные переменные для каждого ограничения вида (4.21) через Ui (i=1,...,m) и вида (4.22)- Vj (j=1,...,n), тогда двойственная задача имеет вид n m max a i U i + b j V j i=1 j=1 U i + V j C ij, i = 1, m, j = 1, n (4.24) (4.25) Переменные задачи двойственной и транспортнoй Ui и Vj называют потенциалами. Теорема 2.3. Для оптимальности плана X=(Xij)mn, ТЗ необходимо и достаточно существования чисел (потенциалов) V1, V2,..., Vn и U1, U2,..., Um таких, что U i + V j C j для i=1,...,m, j=1,...,n, U i + V j = C j, если Xij>0. Из теоремы следует: для того чтобы опорный план был оптимальным, необходимо выполнения следующих условий: а) для каждой занятой клетки (отличного от нуля элемента матрицы Х) сумма потенциалов должна быть равна стоимости перевозки единицы груза U i + V j = C j ;

(4.26) б) для каждой незанятой клетки (Xij=0) сумма потенциалов должна быть меньше или равна стоимости перевозки единицы груза U i + V j C ij (4.27) Таким образом, для проверки плана на оптимальность необходимо сначала построить систему потенциалов. Для построения системы потенциалов используем условие U i + V j = C j, Xij>0. Систему потенциалов можно построить только для невырожденого опорного плана. Такой план содержит m+n-1 занятых клеток, поэтому для него можно составить систему из m+n-1 линейно-независимых уравнений вида (4.26) с неизвестными Ui и Vj. Уравнений на одно меньше, чем переменных, поэтому система является неопределенной и одному неизвестному (обычно Ui) придают нулевое значение. После этого остальные потенциалы определяются однозначно. Проверка выполнения оптимальности для незанятых клеток. Просматриваем строки и для каждой незанятой клетки проверяем выполнения условия (4.27), т.е. суммируем потенциалы тех строк и столбцов, на пересечении которых стоит незанятая клетка. Если для всех незанятых клеток U i + Vj C ij, то по теореме (2.3) проверяемый план является оптимальным. Если для некоторых клеток Ui+Vj>Cij, то план является не оптимальным. Тогда для каждой клетки, в которой не выполняется условие оптимальности, находим величину (Ui+Vj)-Cij>0. Выбор клетки, в которую необходимо послать перевозку. Загрузке подлежит в первую очередь клетка, которой соответствует max((Ui+Vj)-Cij). Построение цикла и определение величины перераспределения груза. Для определения количества единиц груза, подлежащих перераспределению, отмечаем знаком “+”, незанятую клетку, которую надо загрузить. Это означает, что клетка присоединяется к занятым клеткам. Занятых клеток стало m+n, поэтому появляется цикл, все вершины которого за исключением клетки, отмеченной знаком “+”, находятся в занятых клетках, причем этот цикл единственный. Отыскиваем цикл и начиная движение от клетки, отмеченной знаком “+”, поочередно проставляем знаки “-” и “+”. Затем находим 0 =min Xij, где Xij -перевозки, стоящие в вершинах цикла, отмеченной знаком “-”. Величина 0 определяет, сколько единиц груза можно перераспределить по найденному циклу. Значение 0 записываем в незанятую клетку, отмеченной знаком “+”, двигаясь по циклу, вычитаем 0 из объемов перевозок, расположенных в клетках, которые отмеченной знаком “-”, и прибавляем к объемам перевозок, находящихся в клетках, отмеченной знаком “+”. Если 0 соответствует несколько минимальных перевозок, то при вычитании оставляем в соответствующих клетках нулевые перевозки в таком количестве, чтобы во вновь полученном опорном плане занятых клеток было m+n-1. Проверка нового плана на оптимальность. Для проверки на оптимальность опорного плана можно вновь построить систему потенциалов и проверить выполнения условия оптимальности для каждой незанятой клетки. Если полученный план снова окажется оптимальным, то следует выполнить вычисления, приведенные в предыдущем пункте. Процесс повторяют до тех пор, пока все незанятые клетки не будут удовлетворять условию (4.27).

Пример 4.3. Решить ТЗ:

54 6 1 10 2 23 3 150 150 250 3 1 1 50 200 300 100 600 Решение. Условие баланса выполнено. Следовательно, имеем ТЗ закрытого типа. Предварительный этап: Находим исходный опорный план X° методом «минимального элемента ». Таблица 4. 5 1504 1 150 5 1 10 2 50- 5 3 150 250 50 3 50 1 100 100+ 4 1000 150+ 6 2 2 -2 3 1 200 Число занятых клеток равно 6 и совпадает с рангом матрицы ограничений ТЗ: r = m + n - 1 = 2+4-1 = 6. Итерация 1. Для проверки полученного опорного плана на оптимальность находим систему потенциалов для занятых клеток ( хij >0). Для этого, например, полагаем U1= 0 ( записываем U1= 0 слева в табл. 4.2). Таблица 4. Vj Ui U1 = 0 U2 = -4 U3 = -1 V1 = 5 5 5 V2= 4 100+ 4 0 50150 10 3 V3 = 6 100- 6 150+ 2 5 250 3 V4 = 2 2 -2 50 50 3 1 200 150- 1 41 150 1 Далее, исходя из занятых клеток (1, 2) и (1, 3), находим V2= = 4 - 0 = 4, V3= 6 - 0 = 6 (записываем сверху в таблице ). На основе базисной клетки (2, 3) получаем U2=2 - 6 =-4, затем V1= 1-(-4) = 5;

U3 =3 - 4= -1;

V4=2. Далее вычисляем сумму потенциалов для каждой из свободных клеток и записываем их в верхнем левом углу. Так как для клеток (3,1) и (3,3) критерий оптимальности ( условие B) не выполняется: U3+ V1 = 4 > 2, U3+ V3 = 5 > 3, то полученный опорный план не оптимальный. Так как 31= U3+ V1- Cij = 2 = 33, то в любую из клеток, например, в (3,1), проставляем некоторое число 1. Для того, чтобы не нарушился баланс в 3-ей строке, вычитаем 1 из величины перевозки, стоящей в клетке ( 3, 2), прибавляем к Х12= 100, вычитаем от Х13, прибавляем к Х23 и вычитаем от Х21, т.е. составляем цикл : (3,1)->(3,2)->(1,2)->(1,3)->(2,3)->(2,1)->(3,1). Знаки + и - в клетках чередуются. Заметим, что движение от одой клетки к другой происходит только по занятым, кроме первой, в которую 1 проставляется. Если 1 взять больше, то получаем отрицательную величину в плане перевозок, а если меньше, то нарушается опорность плана. Новый опорный план приведен в таблице 4.3 Таблица 4. 5 0 -4 100 -3 50+ 2 1 3 5 5 1 150 0 4 4 50 10 200+ 3 2 3 500 6 6 0 1 1 4 Максимальное значение 1 равно наименьшему уменьшаемому : 1= 50.

Итерация 2. Проверяем полученный план Х(1) на оптимальность. Находим систему потенциалов. Они записаны в таблице слева и сверху, вычисляем сумму потенциалов для свободных клеток (записаны в левом верхнем углу клетки ). Так как U1+ V4 = 4 > 3, то план Х(1) не является оптимальным. Для построения нового опорного плана проставляем величину 2 в клетку (1,4) и составляем цикл: (1,4)->(3,4)>(3,1)->(2,1)->(2,3)->(1,3)->(1,4). Определяем значение 2 =50, при этом две клетки (1,3) и (3, 4) обращаются в нулевые. Следовательно, план Х(2) будет вырожденным. Для дальнейшего решения необходимо оставить нуль в одной из клеток и считать ее за базисную. Целесообразнее нуль оставить в клетке с меньшей стоимостью перевозок, т.е. в клетке (3,4). Новый опорный план приведен в таблице 4.4 Таблица 4. Vj U 0 -3 50 -2 100 2 2 3 3 i 4 4 5 150 1 1 10 250 3 0 1 2 0 4 4 5 5 6 50 1 3 Итерация 3. Число занятых клеток равно 6. Находим значения потенциалов и их сумму для свободных клеток. Критерий оптимальности выполняется: Ui+ Vj Cij для Хij= 0;

i=1,m;

j=1,n;

поэтому полученный план является оптимальным:

... 150... 50 X = 50... 250... и f(x*)= 1500. 100......... * Пример 4.4 Решить задачу:

734 578 382 30 70 60 80 60 Решение. Объем ресурсов: 80+60+60=200 превышает общие потребности : 30+70+60=160 на 40 ед., следовательно, ТЗ является задачей открытого типа. Вводим дополнительный (балансовый пункт ) потребления с объемом потребностей b 4 = 40 и полагаем c14 = c 24 = c 34 = 0. В результате получаем ТЗ закрытого типа. Предварительный этап. Находим исходный опорный план x ( 0) методом ‘‘минимального элемента’’ (см. таблицу 4.5).

Таблица 4.5 vj 0 -2 -2 7 7 105 20+ 5 3 1 60 8 2 0 1 70 7 2 8 400 3 3 4 12 4 2 2 0 ui Данный план является вырожденным, поэтому ставим ‘‘0’’ перевозку в клетку с минимальным значением c ij, но так, чтобы не образовалось замкнутого маршрута (цикла). В нашем примере c14 = c 34 = 0, но занять клетку (1,4) нельзя, так как образуется цикл: (1,4) (2,4) (2,1) (1,1) (1,4) Поэтому ставим ‘‘0’’ в клетку (3,4) Итерация 1. Проверяем план x ( 0) на оптимальность. Положив u 1 = 0 находим потенциалы (см. таблицу). Далее находи сумму 129 (4.5) потенциалов для свободных клеток (они записаны в левом верхнем углу клетки). Так как u1 + v 4 = 2 > 0 u 3 + v1 = 5 > 8 то полученный опорный план x 0 не оптимальный. Для клеток (1,4) и (3,1) оценки одинаковы 14 = 2 0 = 2 и 31 = 5 3 = 2, поэтому выбираем любую, например, (1,4). Проставляем в эту клетку 1 и составляем цикл (4.4.1), чередуя знаки ‘‘+’’ и ’’-‘‘;

получим 1 = 10. Новый опорный план представлен в таблице (4.6). Таблица 4.6 vj 0 0 0 7 5 7 70 305 3 3 3 7 8 60 2 8 30+ 2 00 3 3 2 2 4 10 0 0 uj Итерация 2.Находим систему потенциалов (см. слева и сверху табл. 4.6 ). Сумма потенциалов для небазисных клеток записана в левом верхнем углу. Критерий оптимальности не выполняется для клетки (3,1): 31 = 5 3 = 2 > 0. Проставим в эту клетку 2 и составим замкнутую цепочку, в результате получаем 2 = 0.Опорный план x ( 2 ) представлен в таблице 4.7. Итерация 3. Найдя систему потенциалов, оптимальности плана x ( 2 ) (см. таблицу 4.7). убеждаемся в Таблица 4.7 ui vj 5 0 0 -2 5 7 70 53 30 31 0 8 60 2 3 3 7 4 4 4 4 10 8 30 -2 0 0 0 издержки составляют 480 и x = (0, 70, 0, 30, 0, 0, 0, 0, 60). Так как четвертый потребитель фиктивный, то 10 ед. груза останутся у первого поставщика, 30 ед. - у второго.

* Транспортные Пример 4.5 Методом потенциалов решить следующую ТЗ:

6 12 5 250 6 4 100 1 6 3 150 4 5 50 80 320 Прочерк между пунктами A 2 и B 2, A 3 и B 4 означает, что перевозки между указанными пунктами запрещены. Решение. Проверяем условие баланса: 80+320+150=550=250+100+150 +50. Для решения задачи полагаем, что стоимости перевозки единицы груза по запрещенным маршрутам равны достаточно большому числу М>0. Далее эта М-задача решается обычным методом потенциалов, но потенциалы будут зависеть от коэффициента М. Если оптимальный план М -задачи содержит положительные перевозки по запрещенным маршрутам, то исходная ТЗ неразрешима (множество ее планов пусто). В противном случае получаем решение исходной ТЗ. Предварительный этап. Составляем методом ‘‘минимального элемента’’ исходный опорный план x 0 - таблица 4.8 Итерация 1. Вычисляем потенциалы и проверяем план на оптимальность ( см. таблицу 4.8) Таблица 4.8 ui 0 M-2 2 8 250 5 2080+ 4 70M vj 10-M 2 6 1 7-M 5 50 M В клетке (2,3) имеем u 2 + v 3 = M 2 + 1 > 6, т.е. план x ( 0) не является оптимальным. Проставляем в эту клетку 1 и составляем замкнутый маршрут. Получаем 1 = 20. Опорный план x 1 приведен в таблице 4.9 Итерация 2. Проверяем план x 1 на оптимальность: Так как для всех свободных клеток: u i + v j c ij, то план x 1 - оптимальный и не содержит положительных перевозок по запрещенным маршрутам. Таблица 4.9. ui vj v1 = v2 = v3 = 1 v4 = u1 = 8 M 6 20 50 3 u2 = 5 u3 = 250 5 100 50 M Минимальные транспортные расходы составляют 3000. 5.3. Решение ЗЦЛП и ТЗ с помощью MS EXCEL В пункте 3.6. мы рассмотрели решение основной ЗЛП. Для решения ЗЦЛП в Excel нужно просто ввести дополнительные ограничения целочисленности нужных переменных. Что же касается транспортной задачи, то в Excel не предусмотрено никаких специальных методов её решения, а используется обычный симплексный метод. Всё, что необходимо сделать – это грамотно составить шаблон ввода числовой информации, поскольку ТЗ зачастую имеют большую размерность. Советуем обратиться к поставляемому фирмой Microsoft файлу SolvSamp.xls, который обычно расположен в папке Solver. Данный файл содержит примеры (samples) решения задач оптимизации с помощью надстройки Поиск решения, включая и транспортную задачу. Домашнее задание№ 14 1.Составить оптимальное распределение специалистов четырех профилей, имеющихся в количествах 60, 30, 45, 25 между пятью видами работ, потребности в специалистах для каждого вида работ соответственно равны 20, 40, 25, 45, 30, а матрица 7 4 C = 5 6 5 0 6 4 2 8 0 5 0 6 9 7 4 3 8 характеризует эффективность использования специалиста на данной работе. 2. Выпуск продукции на трех заводах составляет 500, 700 и 600, причем затраты на производство единицы равны 9, 8 и 2 соответственно. Потребности четырех потребителей на эту продукцию составляют 350, 200, 450 и 100. Матрица С транспортных расходов на доставку единицы продукции с i - го завода j - му потребителю:

3 4 6 1 C = 5 1 2 3 4 5 8 Определить оптимальный план прикрепления потребителей к заводам при условии минимизации суммарных затрат на производство и транспортировку. Ответ: 13600;

(100, 300, 0, 0, 0, 500, 200, 0, 300, 0, 0, 300). 2.Строительный песок добывается в трех карьерах с производительностью за день 46, 34 и 40 т. И затратами на добычу одной тонны 1, 2 и 3 руб. Соответственно ;

песок доставляется на четыре строительные площадки, потребность которых составляет 40, 35, 30, 45 т. Транспортные расходы на перевозку одной тонны песка заданы матрицей:

4 3 2 5 C = 1 1 6 4 3 5 9 Недостающее количество песка - 30 т. В день можно обеспечить двумя путями : увеличением производительности а) 1 - го карьера, что повлечет дополнительные затраты в 3 руб. На добычу 1 т.;

б) 2 - го с дополнительными затратами в 2 руб. / т. Определить оптимальный план закрепления строительных площадок за карьерами и оптимальный вариант расширения поставок песка. Ответ: 511;

a) 900, б) производительность второго карьера. 764 выгоднее увеличить 4.Имеется три сорта бумаги в количествах 10, 8 и 5 т., которую необходимо использовать на издание четырех книг тиражом в 8000, 6000, 15000 и 10000 экз. Расход бумаги на одну книгу составляет 0,6;

0,8;

0,4 и 0,5 кг,а себестоимость ( в коп. ) печатания книги при использовании i - го сорта бумаги задается матрицей :

24 16 32 25 C = 18 24 24 20 30 24 16 20 Определить оптимальное распределение бумажных ресурсов. Ответ: 3016 руб.;

остается 5,2 и 0,8 т. Первого и второго сортов бумаги. 5. Четыре ремонтные мастерские могут за год отремонтировать соответственно 700, 500, 450 и 550 машин при себестоимости ремонта одной машины в 500, 700, 650 и 600 рублей. Планируется годовая потребность в ремонте пяти автобаз: 350, 350, 300, 300 и 200 машин. Избыточные мощности 1-й и 2-й мастерских могут быть использованы для обслуживания других видов работ. Дана матрица 40 10 C = 70 50 20 80 30 10 60 30 30 40 10 40 50 50 20 30 10 характеризующая транспортные расходы на доставку машины с iй автобазы в i-ю ремонтную мастерскую. Определить минимальную годовую потребность в кредитах на выполнение указанного объема ремонтных работ по всем автобазам. Составить программу ремонтных работ, имеющую минимальную стоимость. 6. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице, при дополнительных условиях: из А1 в В2 и из А3 в В5 перевозки не могут быть осуществлены, а из А2 в В4 будет завезено 60 единиц груза. Пункты Отправления А1 А2 А3 Потребности Пункты назначения В2 В3 В4 2 3 1 3 4 5 2 1 9 80 160 90 Запасы В5 4 2 3 50 180 220 100 В1 1 6 8 7. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице, при дополнительных условиях: из А2 в В4 и из А3 в В1 перевозки не могут быть осуществлены, а из А4 в В2 будет завезено 40 единиц груза. Пункты Отправления А1 А2 А3 Потребности Пункты назначения В2 В3 В4 В5 2 3 1 4 3 4 5 2 2 1 9 3 80 140 90 50 Запасы 160 220 В1 1 6 8 8. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице, при дополнительных условиях: из А3 в В2 и из А4 в В5 перевозки не могут быть осуществлены, а из А1в В3 будет завезено 35 единиц груза. Пункты Отправления А1 А2 А3 Потребности Пункты назначения В2 В3 В4 В5 2 3 1 4 3 4 5 2 2 1 9 3 80 160 90 50 Запасы 160 220 В1 1 6 8 9. Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в таблице, при дополнительных условиях: из А1в В2 и из А2 в В5 перевозки не могут быть осуществлены, а из А2 в В4 будет завезено 45 единиц груза. Пункты Отправления А1 А2 А3 Потребнсти Пункты назначения В2 В3 В4 2 3 1 3 4 5 2 1 9 80 160 90 Запасы В5 4 2 3 50 180 230 В1 1 6 8 10.Найти решение транспортной задачи, исходные данные которой приведены в табл., при дополнительных условиях: из А1 и В1 и из А2 и В5 перевозки не могут быть осуществлены, а из А2 и В1 будет завезено 60 единиц груза. Пункты А1 А2 А3 Потребности отправления Пункты назначения В1 В2 В3 В4 В5 1 2 3 1 4 6 3 4 5 2 8 2 1 9 3 120 80 160 90 50 Запасы 180 220 100 6. Литература Основная литература 1. "Математические методы исследования операций" Учебное пособие. М.: МЭСИ, 2000 2. Алферова З.В. и др. "Линейная алгебра", М.:МЭСИ, 2000. 3. "Исследование операций в экономике". Под редакцией Н.Ш.Кремера. М., Юнити, 1997. 4. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике. М.: Бек, 1998. 5. Солодовников А.С. и др. "Математика в экономике" Часть 1. М.:ФиС, 1999. 6. Курицкий Б.Я. "Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0. СПб, BHV, 1997. 7. Мастяева И.Н. “Методы оптимизации”. М.:МЭСИ, 1990. Дополнительная литература. 8. Таха Х. “Введение в исследование операций”. М.:”Мир”, 1985. 9. Эддоус М., Стэнсфилд Р. "Методы принятия решений". М.: Юнити, 1997. 10. Мастяева И.Н., Горбовцов Г.Я., Семенихина О.Н., Турундаевский В.Б "Прикладная математика”. М.:МЭСИ, 2000. 11. Васильков Ю.В., Василькова Н.Н. Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании. М.: Финансы и статистика, 1999.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.