WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |

«М. Маскет Течение однородных жидкостей в пористой среде Перевод М. А. Геймана Москва • Ижевск 2004 УДК 622 The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media ВУ М. MUSKAT, PH. D. ...»

-- [ Страница 9 ] --

/?2. Последнее положение будет соответствовать отсутствию интерференции между двумя скважинами. Представляет интерес заметить, что если текущий дебит единичной скважины равен суммарному расходу двухскважинной системы, то радиус этой скважины должен быть Yfwd2.TuKt например, если радиус скважин в двухскважинной системе равняется 0,075 м и разрыв между скважинами 60 Му то эквивалентная или единичная скважина должна иметь радиус 2,13 м. Отсюда будет Часть II. Установившееся течение жидкостей непрактично пытаться заменить двухскважинную систему односкважинной. в) Т р и скважины, размещенные по треугольной с е т к е. Для решения задачи о трех скважинах (фиг. 192) необходимо составить четыре уравнения, аналогичные ряду уравнений (2). Легко найти, что (ре—p В данном случае интерференция возрастает (Q уменьшается) по мере того, как уменьшается интервал между скважинами. Каждая скважина обладает расходом, соответствующим эффективному внешнему контуру с радиусом jR 3 /d 3 2, no отношению к единичной скважине, Фиг. 192. Группа из трех скважин, размещенных по треугольной сетке.

Фиг. 193. Группа из четырех скважин, размещенных по квадратной сетке.

лежащей в пределах того же контура. Так как величина R3/d32 гораздо больше, чем R2/d2 (для случая d2—d3), то интерференция в трехскважинной системе, как это и следует ожидать из общих соображений, будет значительно выше интерференции в двухскважинной системе. Если суммарный расход (3QX) будет собран вместе, он будет соответствовать единичной скважине с радиусом (rwds2)1Is. г) Ч е т ы р е с к в а ж и н ы, р а з м е щ е н н ы е п о к в а д р а т н о й с е т к е. В этом случае все интервалы между скважинами больше не будут равны между собой (фиг. 193). Однако симметрия все же будет достаточной, чтобы получить равные расходы для каждой из скважин, а именно /«In Я*/1/2 rwdf Каждая скважина будет иметь эффективный внешний радиус —-_^- ? \/2di и все скважины вместе дадут расход, эквивалентный единичной скваlu жине с радиусом (]/~2rwdl). д) Ч е т ы р е с к в а ж и н ы п о к в а д р а т н о й с е т к е с о д н о й с к в а ж и н о й в ц е н т р е. Из симметрии системы (фиг. 194) ясно, что четыре внешние скважины будут иметь равные расходы, но отлич Глава VIII. Системы двух жидкостей ные от расхода центральной скважины. Поэтому шесть уравнений (5) и (6), гл. IX, п. 2, могут быть немедленно сведены к трем: 2пк (6) 2лк откуда можно свободно получить:

2пк / ч -, d w d 4 Т/2 г л АЛ w 1/2/?

Л = 4 In -^—,— In In \ t d IV, In R In 4 Y'2 r w In t d '2rw ) In In \ ^ 2 rw I Следует заметить, что в настоящем примере имеет место не только предыдущий тип явления интерференции, где наличие группы скважин просто* уменьшает расходы отдельных скважин, но существует еще и дополнительное влияние четырех внешних скважин на одну центральную. Последняя скважина теряет в дебите благодаря именно своему центральному местоположению. Потеря в дебите, представленная членом — In :

d и г 1 достигает 2 2 % при интервале между скважинами—-60 м. Группа в целом имеет эффективный радиус единичной скважины rWy который дается выражением:

In In (8) Из симметрии Фиг. 194. Группа из пяти скважин, размещенных по четыреугольной (квадратной)' сетке, и скважиной, находящейся в центре.

е) Д е в я т ь ясно, что скважин.

этой системы (фиг. 195) ( = Q 3 = Q 7 = Q9J ) Часть II. Установившееся течение жидкостей Чтобы найти эффект интерференции этих скважин, достаточно знать только отношения Q x : Q2 : Q5* С этой целью необходимо рассмотреть только три из девяти уравнений (5), гл. IX, п. 2, представленных в следующем виде:

рw — t- — V2) } (QJn 2лк Q 2 In4rwd* + Q 5 In d) \ (10) Фиг. 195. Группа из девяти скважин, размещенных по квадратной сетке.

Фиг. 196. Группа из 16 скважин, размещенных по квадратной сетке.

с решением + >"n^ + ln где (11) Отсюда, если d = 60 ж, r w = 0,075 м, то (12) Q i : Q 2 : Q s = 1,00 :0,819 :0,615. Влияние взаимной интерференции ния между скважинами видно из того, = 1,00:0,778:0,533. ж) Ш е с т н а д ц а т ь с к в а ж и н. данного случая можно написать (фиг.

Q s= ==s на абсолютное значение расстоячто при d = 15 м, ~ Qx: Q 2 : Qs — Аналогично вышеизложенному для 196):

Q == Яз = == Q5 — Qe ^^ Q9 Q == = Q14 = Q (13) Q?

Глава VIII. Системы двух жидкостей с уравнениями Pw w с= / * • -„ 2лк 2жк In 27 / 2 Гя4 + Q2 In 520 d + Q6 In 20 rf ) 1 In 2 l/"T30flf + Q2 In 60 + Q6ln (14) 2лк и решение ! In 20 rf + Q2 In 40flf ф Q 6 In К 2 г„4 ) / t In 10 20 /20 In 27)^2 In In (15) ~ In y 2 -f yln In 27 / 2 так что Q r - Q 2 : Q 6 = 1,00:0,735:0,445 : Q 2 : Q 6 = 1,00:0,692:0,362 для для — — r = = (16) w з) Б а т а р е я и з с к в а ж и н, р а с п о л о ж е н н ы х п о о к р у ж н о с т и \ Подвергнем анализу обобщение полностью симметричной расстановки двух, трех и четырех скважин, т. е. систему, где п скважин расположено по окружности с радиусом г ( < ^ R) (фиг. 197). Так как на основании симметрии все Qj равны, то уравнения (5) и (6), гл. IX, п. 2, дадут:

rw+ finQj In (17) ~2nk так что In 2лкАр/{л Rn n— t (18) In 2 sin — n о • ПГП Эта проблема была подвергнута рассмотрению также Гарднером, Коллие и Фарром (см. цит. работу).

Часть П. Установившееся течение жидкостей с суммарной эксплоатационной производительностью Q^'^nQj — 2пкЛр1ц п— системы:

\ (19) — In — п г, In 2 sin - — п где. логарифм эквивалентного радиуса будет In R минус количество» заключенное в круглые скобки. Отношение суммарной результирующей эксплоатационной производительности батареи Q ( n ) к текущему дебиту О Фиг. 197. Круговая батарея скважин, дренирующая пласт песчаника с радиусом /?.

12 34567 Ю-число скдаЖия 8 Сптарее Фиг. 198. Изменение эксплоатационной производительности круговой батареи скважин в зависимости от числа последних в батарее:

Q(n)IQ(')— (эксплоатационная производительность батареи из п скважин) / (эксплоатационная производительность единичной скважины);

(радиус батареи) /(радиус гп, индивидуальной скважины) = 200 для кривой /, = 800 для кривой //. Радиус внешнего контура — 1525 м;

rw ~ 0,075 м.

единичной скважины построено на фиг. 198 как функция п для 7-/rw==80 и г/Ги;

= 200, с /?, принятым 1525 м и r w = 0,075 м. Предельные значения 2,15 и 1,79 для Q(n)/Q(1)» п о мере того как п стремится к бесконечности, достигаются достаточно быстро с возрастанием п. Однако следует заметить, что эти асимптотические значения, соответствующие единичной скважине, имеющей диаметр г, возрастают очень медленно с ростом г. Отсюда, хотя стоимость батареи будет меньше стоимости эквивалентной единичной скважины, но ее конечная эксплоатационная производительность будет по существу ограничена так же, как и производительность единичной скважины. 4. Зависимость эксплоатационной производительности от числа скважин в группе. Из рассмотрения отдельных примеров последнего раздела видно, что по мере увеличения количества скважин в группе увеличивается также и взаимная интерференция между ними. Вследствие этого уменьшается эксплоатационная производительность каждой скважины. Совокупный эффект интерференция показан сравнением суммарной эксплоатационной производительности различных групп, рассмотренных в последнем разделе. С этой целью примем во всех случаях dlrw —800 и /? = 1525 м. Обозначив через Q ( n ) суммарную эксплоатационную производительность группы, содержащей п скважин, и через Глава VIII. Системы двух жидкостей lf QY индивидуальный текущий деэит /-ого типа скважины в группе из п скважин, получим сначала:

Q(D Q(2) Q(3;

3Q 3Q Q<9> 1 4Q< 4 4Q > 4Q _, + 4Q( 1 6 > ~~ ' затем, подставляя индивидуальные значения в QT\ будем иметь: (1) Q(1):Q(2):Q(3):Q<4>:Q(5):Q<9>:Q<16) = = 1 : 1,509:1,818: 2,361: 2,152: 2,778:3,333. Это уравнение показывает, что совокупный эффект интерференции скважин возрастает, а участие в суммарной производительности каждой скважины уменьшается с увеличением числа эксплоатационных скважин. Еще более ясно это можно видеть из величины средник дебитов на скважину в различных группах, соответствующих уравнению (1). Обозначая их через Q ( n ) = Q(/2)/n, получаем в результате:

« 1:0,755 :0,606 :0,515 :0,430 :0,309 :0,208.

(2) В свете этого резкого снижения средних расходов на скважину становится очевидным все значение интерференции и взаимодействия между скважинами. Вполне понятно, что на известном этапе буровых работ дополнительная добыча, которая получается от скважин, бурящихся в порядке уплотнения сетки, будет недостаточной для того, г чтобы окупить дополнительные расходы на бурение. 5. Распределение давления на внешнем контуре. Раньше чем расстаться с проблемой небольших групп скважин, представляется интересным подвергнуть детальному исследованию значение, а также внутренний смысл понятия „средние давления", которыми мы пользовались на протяжении всего проведенного анализа. Так, для поверхности забоя скважины небольшая величина радиусов последней по сравнению с остальными размерами системы, имеющей физическое значение, налагает немедленно условие, чго фактическое распределение давления, которое дается уравнением (1), гл. IX, п. 2, будет очень мало изменяться на поверхности забоя скважины. Поэтому средние давления pj практически эквивалентны строго постоянным давлениям. Однако для ре—среднего давления на внешнем контуре—требуется дальнейшее уточнение. Разумеется, приведенный анализ и полученные результаты следует понимать так, что жидкость, которая отбирается из скважин, поступает из внешнего источника. Таким образом, в песчанике вблизи скважин нет места истощению жидкости, как было бы в том случае, если бы скважины эксплоатировались под действием и расширением растворенных в нефти газов или же за счет расширения жидкости, возникающего вследствие ее упругого сжатия.

Часть II. Установившееся течение жидкостей Допущение о том, что внешний контур системы является круговым, совершенно несущественно и не входит в уравнение (5), гл. IX, п. 2. Однако мы его сохраним в последующем рассмотрении, так как это допущение дает удивительно простые выражения для коэфициеятов Qj в уравнении (б), гл. IX, п. 2. Тогда, возвращаясь к уравнению (1), гл. IX, п. 2, и допуская, что г — точка на внешнем контуре, имеем: Р (z)= с +-^ % Qj In (R*+\Zj\*-2R\Zj\ cos 6j), (I) как где 6j — угол между Z/ и z, заканчивающийся на контуре. Так |, уравнение (1) можно переписать в расширенном виде:

Отсюда, вычитая среднее давление ре, гл. IX, п. 2, найдем в остатке:

согласно уравнению (6), Р (Z) — Ре = -^jjf [ J ] Qj I Zj I COS 6j + Небольшое рассмотрение этого выражения показывает, что первое суммирование можно разделить на два члена, пропорциональные линейным моментам 2 Qjxj> 2 0/У/> скважин относительно начала координат и взвешенным относительно эксплоатационной производительности этих скважин. Второе суммирование пропорционально квадратичным моментам. Поэтому в первом приближении фактическое распределение давления будет постоянно на внешнем контуре, если центр тяжести скважин, взвешенный по отношению к их расходам, лежит в центре внешнего контура. Наоборот, видно, что давление будет постоянно в соответствии с этим первым приближением на любой большого радиуса окружности, начертанной вокруг центра тяжести скважины. Эти рассуждения показывают, почему в прошлых рассмотрениях мы молча приняли, что скважины размещены вблизи центра интересующей нас области и ни одна из них не лежит близко к внешнему контуру. Если скважины были бы размещены вблизи внешнего контура, то их моменты относительно центра тяжести могут быть достаточно велики, и отклонение граничного давления от своего среднего значения будет настолько большим, что заставит последнее понятие потерять свое физическое значение. Так как гипотеза „небольшой группы" скважин так же налагает условие их локализации при расстановке скважин, можно сформулировать количественное определение этого типа системы последних при условии совпадения центра разбуриваемой области и центра тяжести системы скважин совместно с ограничением порядка величины квадратичных моментов.

Глава VIII. Системы двух жидкостей 6. Небольшие группы скважин, питающиеся бесконечным линейным контуром. Математическая обработка, которую мы приводили до сих пор в отношении эксплоатационной характеристики небольших групп скважин, базировалась на допущении, что отдаленный внешний контур, с которого происходит питание системы жидкостью, представлен окружностью. Хотя это допущение было в основном сделано для удобства и не имело никакого влияния на общую характеристику явлений интерференции между скважинами различных групп, все же существует определенный класс задач, где следует принять совершенно точно в расчет некруговой характер внешнего контура. Рассмотрим систему течения, состоящую из нео-*— GL скольких артезианских скважин, пробуренных в проницаемом песчанике, 3 который питается водой из близлежаJ щей реки или канала. Вполне определенно, что эффективный внешний конФиг. 199. Линейный ряд скважин, тур системы не является окружностью. параллельный напорной линии Скорее всего он представлен бесконечным линейным источником, совпадающим с эффективным выходом песчаника в ложе канала или реки. Аналитически группа из п скважин, расположенных на расстоянии а друг от друга и лежащих параллельно и на расстоянии d от линейного источника, где давление ре (фиг. 199), дает распределение его в форме следующего выражения:

In Ш е О > где Qm—расходы индивидуальных скважин;

к — проницаемость среды;

: ^ — вязкость жидкости. Если в каждой скважине поддерживается давление pw, то расходы Qm будут определяться:

и / = 0, 1, 2,..., л=1, (2) где знак „прим" обозначает, что член /71 = / опущен. Таким образом, если п = 1, то уравнение (2) дает в результате что соответствует тому же самому значению, найденному нами дляп специального случая [уравнение (8), гл. IV, п. 7]. Для я = 2 уравнение (2) дает:

Часть II. Установившееся течение жидкостей Добавочный член в знаменателе, заключенный в квадратных скобках, очевидно, представляет собой взаимную интерференцию между двумя скважинами. Таким образом, если fl(/a = I, djrw = 400, то каждая скважина в двухскважинной системе будет иметь эксплоатационную производительность, составляющую 89,26% текущего дебита, который бы имела скважина, если бы только она одна дренировала этот песчаник. Вполне понятно, что уменьшение дебита на 10,74% еще больше возрастет, когда скважины будут расположены ближе друг к другу а — уменьшается). Для п = 3 легко найти, что АлкЛр In (5) In Si = 1 — In ( + a ' p где в— — w В данном случае, если d/a—l, d/rw = 400, легко найти снова, что Q o и Q 2 составляют 86,0%, в то время как Qi = 79,3% текущего дебита, соответствующего единичной скважине, дренирующей песчаник (уравнение 3). Q i < Q 0 = Q2» очевидно, обязано тому обстоятельству, что центральная скважина интерферирует со скважинами, расположенными по обе стороны от нее, в то время как концевые скважины интерферируют только с одной скважиной. Тем же путем легко разработать и иные значения Q для других величин п. В гл. IX, п. 8, будет приведен анализ для предельного случая, когда п принимает бесконечно большое значение. 7. Бесконечные линейные ряды скважин. Когда площадь, залегающая над песчаником, несущим жидкость, пересечена полностью по крайней мере в одном направлении, единичным или несколькими параллельными рядами скважин, которые распространяются по сравнению с расстоянием между скважинами на большие расстояния, то система может быть заменена эквивалентным комплексом бесконечных рядов скважин. Если граница песчаника отсекает фронт скважин вдоль линии симметрии, например в CD (фиг. 200), то в системе не возникнет реакции от контура на течение внутри последнего, и течение останется то же самое, как если бы ряд скважин распространялся бесконечно, без нарушения его распространения предельностью песчаника. Если Глава VIII. Системы двух жидкостей граница песчаника пересекает ряд скважин несимметрично, например в Л В, то тождественность с бесконечным рядом все же не будет сильно нарушена, так как краевой эффект, возникающий от близости к контуру, будет приурочен в основном к нарушению распределения давления у скважины, наиболее близко расположенной к контуру. Поэтому в дальнейшем анализе допустим, что мы имеем реальные бесконечные ряды расположенных на равУ ном расстоянии скважин, имеющих один D д и тот же радиус, на которых поддерживается одно и то же давление. 8. Распределение давления у бескоо а ? нечного ряда скважин. Напорная лиК ния. Для того чтобы получить основное С А представление о распределении давления для бесконечного ряда скважин, каждая скважина должна быть заменена матемаФиг. 200. тическим двухразмерным стоком. Последний будет иметь мощность, пропорциональную расходу или эксплоатационной производительности скважины. Все скважины принимаются одинаковыми и равномерно распределенными. Возвращаясь к ряду, изображенному на фиг. 200, и принимая, что он находится на расстоянии d вверх от оси Х-ов, имеем, что результирующее распределение давления, обязанное отдельным скважинам ряда, является, очевидно, алгебраической суммой отдельных распределений и потому определяется выражением:

—оо =0 —СО — In П [ ( у -оо (1) В главе IV, п. 9 уже была показана величина этой суммы или произведения с конечным выводом: 2л (у — d) 2пхЛ р (х, у) = q In ch (2) — cos а I а Это уравнение будет основным элементом в последующих решениях задач, включающих в себя бесконечные ряды скважин, именно так, как применялся до сих пор член q In r, выражающий собой долю давления единичной скважины. Поэтому интересно рассмотреть более детально это уравнение. Как это можно проверить прямой подстановкой, уравнение (2) удовлетворяет уравнению Лапласа в соответствии с требованиями распределения давления в пористой среде, несущей жидкость при установившемся состоянии, а также фактически отвечает ряду равномерно расставленных стоков. Это положение вытекает из наблюдения, что аргумент логарифма равняется нулю для ряда точек (ла, d) координат стоков — центров скважин. Более того, р (ху) симметрично относительно Часть П. Установившееся течение жидкостей оси ряда y = d и периодично относительно х с периодом а, равным интервалу между стоками. Можно получить весьма поучительную картину на основании уравнения (2), рассматривая кривые равного давления, которые определяются этим уравнением. Эти кривые выводятся из решения: Ъъх • 2я (у — d) const = с cos ch (3) а а На фиг. 201 дается построение уравнения (3) в координатах /, у = у/а для rf = 0. Из фиг. 201 видно, что на расстоянии от скважин, равном общему интервалу а, т. е. при у = ± 1, кривые равного давления для практических целей будут параллельны (так как ch Фиг. 201. Контуры равного давления относительно единичного линейного ряда скважин с одинаковым расстоянием между ними;

давление р=1п с.

Эта характерная особенность может быть показана также построением распределения давления вдоль линий, нормальных ряду скважин. На фиг. 202 приведены две крайние кривые этого типа, показывающие давление вдоль линии, нормальной к ряду скважин и проходящей через одну из скважин, а также давление вдоль линии, нормальной к ряду скважин и проходящей в середине интервала между скважинами с rf = и ^ = 1/2 Эти кривые снова показывают, что давление практически не зависит от х, если отойти, от линии ряда скважин на расстояние порядка обычного интервала между скважинами. Кроме того, фиг. 202 показывает, что на расстояниях порядка общего интервала между скважинами градиенты давления становятся постоянными, как будто ряд скважин заменен непрерывной линией стока.

Отклонения кривых равного давления [уравнение (3)] от небольших круговых контуров скважин не имеют никакого физического значения. Однако следует заметить, из чисто академического интереса, что можно получить, если только это необходимо, строгие окружности равного давления, применяя метод сопряженных функций (R. С. J. Howland, Proc. Cambridge Phil. Soc, 30, 315, 1934).

Глава VIII. Системы двух жидкостей Следующим моментом, на котором мы здесь остановимся, является точное отношение между коэфициентом расхода q и фактическим расходом Q в скважину. Для вывода этой связи заметим просто, что на очень близком расстоянии от любой рассматриваемой скважины, например, расположенной на оси у-ов, давление имеет весьма приближенно следующее значение: яг а Р / / (4) 7 "" " / S А3 f к N \ \ \ у / О V? / ni !

у/С -12 -0,8 -0Л О ОА 0,8 Ц 1В 2, Фиг. 202. Распределение давления относительно бесконечного ряда скважин с расстоянием между скважинами а> лежащего на оси х-ов;

сплошная линия — распределение давления вдоль нормали к ряду, проходящей через скважину;

пунктирная линия — распределение давления вдоль нормали к ряду, проходящей между двумя скважинами.

7 — линейный ряд скважин.

где г представляет собой расстояние от скважины, ческий расход в скважину выразится: 2nkrdp /Irfr 4лкд _ Поэтому факти (5) где мощность песчаника опять принимается за единицу. Как уже было отмечено, распределение давления, которое представлено уравнением (2), дает систему кривых равного давления, практически параллельных линии скважин на расстоянии от последней порядка общего интервала между скважинами. Однако для практических целей более удобным является применение распределения давления, которое дает строго постоянное давление на линии, параллельной ряду скважин, при установленном расстоянии от последнего. Этой линии придается физический смысл „напорной линии", которая оттесняет жидкость на линию размещения скважин. Для получения такого распределения необходимо только дать отражение данного ряда на линию, которая находится под постоянным давлением, а затем прибавить функции давления, обязанные действительному и мнимому ряду скважин. Так, если допустить, что в системе координат на фиг. 200 осью X является линия постоян Часть II. Установившееся течение жидкостей ного давления (напорная линия), то необходимо сложить давления, созданные данной линией на расстоянии d вверх от оси, и давления, созданные ее отрицательным отображением на расстоянии d ниже оси. Отсюда следует, что давление, возникающее в такой системе, можно выразить следующим: ch 2п (у — d)ja — cos 2лх{а ch 2тс (у -f d)/a — cos 2лх/а (6) to ч ч Р ч Ч % i чч о ( о.

/ > \> \ О п 0,2 ОЛ 0.8 0,8 1,0 12 1Л 1,6 1,8 у/а / V Фиг. 203. Распределение давления, нормальное к бесконечному ряду скважин, с расстоянием между скважинами а, при у = а, и напорной линией при у = 0;

сплошная линия — распределение давления вдоль нормали к ряду, проходящей через скважину;

пунктирная линия — распределение давления вдоль нормали к ряду, проходящей между двумя скважинами. 7 — ряд скважин;

2 — напорная линия.

где С постоянное давление, поддерживаемое на „напорной линии" Кривые равного давления такой системы даются выражением: ch2jr (y—d)/a — cos2nxla ch 2л (у -f d)ja — cos 2лх/а = Const » (7) особый случай которого будет, очевидно, при положении напорной линии контура в у = 0. Распределение давления вдоль линий, нормальных к рядам скважин, а одном случае проходящих через скважину, а во втором случае проходящих через середину интервала между скважинами (фиг. 203), с константами С и q, имеющими соответственно значения 10 и 1/2У и расстояние /г, равное общему интервалу а. Из рассмотрения фиг. 203 следует, что для ряда скважин, который питается от напорной линии при у = 0, давление не будет больше симметричным относительно ряда скважин. Несомненно, что напорная линия совместно с принятым рядом скважин создает местный градиент в направлении, нормальном к линии напора. Однако вне фронта скважин в системе не существует общей миграции, имеющей связь с этим градиентом, так как течение из напорной Глава VIII. Системы двух жидкостей линии для каждой единицы длины, равной интервалу между скважинами в ряду скважин, имеет значение:

о L ~т а f т (Л что является расходом на скважину в ряду. (Это вполне вероятно, если обратить внимание на то, что некоторое количество жидкости проходит через фронт скважин вдоль линий тока в площади, расположенной между скважинами, и эти линии тока, загибаясь обратно, приближаются к скважинам со стороны, противоположной направлению напора. Наконец, весьма интересно подсчитать эффективное сопротивление системы. Из уравнения (6) видно, что давление на скважинах, ограниченных небольшими окружностями, радиусом rw относительно точек (пау й) дается выражением:

Shjir -/fl (8) Так как С представляет собой давление на линии напора, то разность давлений, действующая в системе* будет С — Рш= Др* Принимая в расчет уравнение (5), получаем:

sh nrwja Так как rwja<^\ и 2d/a имеют обычно порядок 1 или несколько больше, то уравнение (9) можно написать в следующем виде: 2nkAplji ае а nnv Интересно заметить, что уравнение (10) точно соответствует расходу при строго радиальном течении между скважиной с радиусом rw и эффективным внешним концентричным круговым контуром с радиусом 2nd Как и следует ожидать, пока а/а<^0,3, то ге>а, так как высокое давление прикладывается только с одной стороны скважины и не является симметричным по сравнению с радиальным течением. Тогда эффективное сопротивление системы дается через ApjQ или 2nd 2лк °— (12) Часть П. Установившееся течение жидкостей Наконец, эффект взаимной интерференции в бесконечной сетке размещения скважин вытекает непосредственно из уравнения (10) при сравнении последнего с расходом Q o для единичной скважины [(3), гл. IX, п. 6]. Так, для

djrw^»4009 найдем, что -#--0,641.

Сравнивая этот вывод с конечными результатами, гл. IX, п. б, видно, что интерференция, возникающая от скважин, находящихся на значительном расстоянии от любой рассматриваемой, должна быть сравнительно небольшой. Только ближайшие скважины с одной и другой стороны по отношению к рассматриваемой в состоянии уменьшить эксплоатационную производительность до 79% Q o. Вполне достаточно рассмотрения единичного ряда скважин, чтобы дать общую картину характерных свойств, присущих бесконечным линейным рядам. Однако практические проблемы включают в себя обычно явления взаимодействия и интерференции между двумя и более рядами. Раньше, чем приступить к анализу более сложных систем, покажем более отчетливо физический смысл понятия „напорная линия*, которое мы считаем весьма удобным применять в последующих рассмотрениях довольно часто и которое нами уже было введено в предыдущий анализ. Если подвергнуть это понятие интерпретации в буквальном смысле этого слова, то „напорную линию" можно принять как концентрированный линейный источник жидкости, искусственно помещенный параллельно рядам рассматриваемых скважин. Как источник это понятие будет иметь весьма ограниченное практическое значение 1. Поэтому, чтобы получить физическую интерпретацию этого понятия, следует заметить, что „напорная линия" представляет собой только удобное аналитическое воспроизведение течения жидкости в целом, являющейся внешней по отношению к рядам размещения скважин и на них непосредственно воздействующую. Так, изучая взаимодействие между скважинами на большом участке месторождения или резервуаре жидкости с группой близко расположенных скважин или рядов последних, видно, что применение понятия „напорная линия" позволяет заменить сложное описание и детальное математическое исследование внутренней области нефтяного участка его аналитическим эквивалентом—распределением давления вдоль границ нефтяного участка. Чтобы найти течение из большого резервуара в систему рядов скважин, необходимо вместо резервуара представить себе среднее его давление вдоль границы последнего параллельным внешней системе скважин. Затем допустим существование „напорной линии *, которое поддерживается при среднем давлении и обеспечивает поступление жидкости в систему скважин. Как это будет рассмотрено в дальнейшем, при математической обработке проблемы бурения выброшенных скважин можно заменить несколько взаимно воздействующих друг на друга участков напорными См. гл. IX, п. 6, где „напорная линия" фактически представляет собой развитый линейный источник, например, реку или канал, где имеется выход проницаемых песчаников.

Глава VIII. Системы двух жидкостей линиями, расположенными вблизи границ последних. Этим линейным контурам придаются давления, соответствующие средним давлениям, которые наблюдаются вблизи границ рассматриваемых участков. 9. Двухлинейное расположение скважин. Эффект заслона. Для того чтобы подвергнуть математической обработке задачу о двух линейных рядах скважин, которые могут соответствовать на практике линиям скважин, выброшенным за границу участка, необходимо прибавить к уравнению (6), гл. IX, п. 8, еще один логарифмический член с другим d. Допустим для ясности, что первый ряд находится на расстоянии dx от напорной линии с давлением С, а второй ряд при у = 0 находится на расО* Q+O -О стоянии d2 от нее. Как показывает фиг. 204, примем расстояние между скважинами в пределах этих двух рядов имеющим одно и то же значер-С ние а> и допустим размещение обоих рядов так, чтобы скважины второго Фиг. 204. Схематическое изображеряда были точно позади скважин пер- ние напорной линии питающей жидкостью два ряда скважин. вого ряда. Тогда, беря уравнение (6), гл. XI, п. 8, в качестве основного элемента, соответствующего единичному ряду скважин, получим, что распределение давления в двухлинейной системе скважин выразится:

i ' ^ ch 2л (у — йг)1а — cos 2nxja • (У + d^/a — cos 2тгх/а ch 2я (у — d2)/a — cos 2nx\a ch 2n (y + d2)/a — cos 2nx\a f (i) где ATikqJft и 4nkq2l^ являются соответственно расходами на скважину в первом и втором ряду скважин. То обстоятельство, что qt и q2 не берутся равными величинами, возникает из асимметрии системы, которая вводится сделанным допущением, а именно — два ряда скважин дают свою добычу под воздействием только напорной линии при у = 0. Эта линия находится, очевидно, ближе к первому ряду скважин по сравнению со вторым. Фактически отклонение отношения q\\q% от единицы может служить мерилом эффекта заслона первого ряда скважин по отношению ко второму, что с практической точки зрения представляет собой особый интерес. Чтобы найти реальное значение отношения q\\q^ необходимо, очевидно, заранее установить давления, при которых скважины дают свою добычу в обоих этих рядах. Если только оба эти ряда скважин не разделены физической границей участка, можно допустить, что скважины работают при почти одинаковых забойных давлениях и постоянстве условий залегания песчаника. Это было уже нами заранее принято во всем настоящем анализе. Более того, явление заслона, интерференции и взаимодействия между двумя рядами скважин будет всецело зависеть от геометрической асимметрии их положений по отношению к напорной линии. Допущение различных забойных давлений скважин Часть II. Установившееся течение жидкостей в обоих рядах влечет за собой дополнительное взаимодействие, которое будет стремиться замаскировать параметры системы, зависящие от ее геометрии. Отсюда устанавливается требование, чтобы давление на скважинах в обоих рядах было совершенно точно одним и тем же. Тогда, чтобы определить отношение #i/#2» достаточно уравнять значения р при двух скважинах на оси у согласно уравнению (1) или, более точно, при двух точках (0, d1—rVf) и (0, d%—rw), где радиус скважины принимается очень малым по сравнению с й-г и d2 или расстоянием между скважинами— а. Таким образом, найдем:

sh nrw /a sh л (d2 -j- d{) /a qx sh 2^d2ja sh л {d2—d{) /а Я2 ~ sh лг^ la sh л (d2 + dx) la In —г %,рч '^ Проанализируем это уравнение, чтобы посмотреть, как изменяется дг1д2 в зависимости от некоторых входящих в него главных переменных величин. Первый случай, который мы рассмотрим, будет изменение ^/^2 в зависимости от изменения dx — расстояния от положения напорной линии питания до первого ряда скважин. С этой целью допустим, что остальные переменные остаются постоянными и что оба линейных ряда скважин разделены интервалом, равным взаимному их размещению. Принимаем отношение радиуса скважины к интервалу размещения—0,000375, что соответствует радиусу скважины 0,075 м и интервалу между скважинами — 201 м. Тогда уравнение (2) можно переписать так:

In Яг ln 0,000375 sh л sin л (1 + sin 2л, [\А V ) + т) sh n !

0,000375 s h 7 r ( l + — ) sh 2лйх1а sh л Для полноты рассмотрения было бы гораздо лучше выразить эффект заслона отношением величины течения в первом ряду скважин ко всей суммарной величине течения. Обозначая это отношение через S, получим значение эффекта из следующего выражения:

Q Q1+Q I + Q2/Q1' * (4) которое можно легко подсчитать, так как Q2/Qi известно из уравнения (3). Можно отметить также, что утечка во второй ряд дается величиной ( I — S). Так, например, при эффекте заслона 100% 5 = 1 и, как это следует ожидать, утечка равняется нулю. Фиг. 205 дает построение уравнения (4) как функции dja. Кривая на этой фигуре имеет две интересные точки. Первая точка показывает, что когда напорная линия весьма далеко отстоит от эксплоатационных скважин, и интервалы обоих рядов скважин от этой линии становятся Глава VIII. Системы двух жидкостей действительно равными между собой, эффект заслона падает не ниже 67%, а утечка во второй ряд достигает 3 3 %. Это обстоятельство может показаться на первый взгляд поразительным в свете того явления, что когда положение напорной линии питания далеко от скважин, то последние хотя и будут расположены одна позади другой, но практически будут казаться расположенными на одинаковом расстоянии от положения линейного контура. Отсюда они должны давать то же самое количество жидкости. Если вспомнить, что эффект заслона и утечки между двумя рядами скважин определяется только природой распределения давления относительна последних и что это обстоятельство не может заметно нарушиться изменением положения линейного контура питания, поскольку последний находится от ряда скважин на расстоянии порядка их взаимного расположе- aw ния, можно вполне ожидать \ существование эффекта засло- Opo на на значительных расстоя- 0.66 i ниях от положения линейного U 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 /,« tfi 1.*d,/a контура питания. Эти наблюдения в то же самое время Фиг. 205. Изменение эффекта заслона между поясняют остальные интерес- двумя рядами скважин в зависимости от ные особенности кривых. Так, расстояния йг напорной линии от первого ряда скважин: интерференция существует не ~ (эксплоатационная производительность на только при больших величи- скважину в первом ряду), / (эксплоатационнах (т. е. S>iJ2)dJa, но ная производительность на две скважины в обо201 м предельные значения для S их рядах);

а = и между расстояние между скважинами обоими рядами. достигаются очень быстро и доходят почти до 0,1%, когда положение линейного контура питания находится на расстоянии от первого ряда скважин на 0,4 их взаимного расположения. Это заключение опять вытекает из того положения, что поскольку линейный контур питания перемещается вне dja ~ 0,4, распределение давления в непосредственной близости к рядам скважин, вне зависимости от точного значения dja, остается почти тем же самым. Разумеется, абсолютное значение давления в любой точке зависит от dja, но эффект заслона и утечки определяются только геометрической формой кривых равного давления и линий тока относительно скважин и практически не зависят от dja для< dja > 0,5. На практике расстояние от линейного контура питания до рядов, размещения скважин обычно бывает порядка нескольких сот метров. Поэтому из приведенного рассмотрения видно, что при математической обработке остальных этапов задачи, не вводя в решение ошибки, большей 0, 1 %, можно допустить для удобства, что dja точно равняется единице. Отсюда для изучения влияния абсолютного значения расстояния а между скважинами мы должны допустить, что оба ряда скважин разделены интервалом со значением а и что положение линейного контура питания также находится на расстоянии а от скважин,, т. е. что d± = a, d2— 2a.

Часть II. Установившееся течение жидкостей Тогда уравнение (2) принимает вид:

In sh nrw I a sh sh 4я sh л sh лггу I a sh Зя In sh 2n sh я 1+ In a/2nr (5)' На фиг. 206 дано построение отношения величины эффекта заслона S, соответствующее уравнению (5). Из этой фигуры видно, что с увеличением расстояния между скважинами эффект заслона умень* шается и увеличивается утечка через первую линию. Однако величина этого изменения невелика, так как увеличение утечки на 5 % имеет место при увеличении расстояния между скважинами с 30,5 до 305 м. Этот интересный вывод показывает, что вряд ли будет практичным попытаться уменьшить в значительной степени утечку между двумя рядами скважин простым уменьшением расстояния между ними.

S \ \| 0,72 0,70 0,68 €.66 О Фиг. 206. Изменение эффекта-заслона между двумя рядами скважин в зависимости от расстояния между скважинами а;

—— "— "-' 1— " — 120 /50 /80 Z1O 240 2?0Щм} S — (эксплоатационная производительность на скважину в первом ряду) / (эксплоатационная производительность на две скважины в обоих рядах). Ряды скважин установлены на расстоянии а и 2а от напорной линии.

Следует заметить, между прочим, что это заключение относится специально к тому случаю, где не только сохраняется одно и то же забойное давление в обоих рядах скважин, но где в то же самое время ряды скважин разделены всегда постоянным интервалом внутри самих рядов. В последнем разделе настоящей главы будет подвергнута математической обработке задача расстановки выброшенных скважин. Там будет показано, что если желают изменить давления скважин в одном из рядов размещения последних по сравнению с остальными, утечке между рядами можно дать, в известных пределах, любое произвольное значение. Когда рассматриваемая задача не относится к проблеме расстановки выброшенных скважин, можно сохранить давления скважин в обоих рядах одним и тем же и все же изменять величину утечки, изменяя расстояние между рядами. Величину этого эффекта можно наблюдать, принимая следующие значения:

;

a = 201 м\ 0,075 ж, Интересно заметить, что изменения в величине Q/Q2 и л и утечки при одинаковом взаимном размещении совершенно те же самые, что и вытекающие из изменения радиуса скважины rw.

Глава VIII. Системы двух жидкостей и приводя уравнение (2) к следующей форме:

/ Ad \ h Ad\ TtAd / а 1 +In 2жАй/а Ad 1.

(6) sh 2n sh Функция заслона S для этих уравнений построена на фиг. 207. Как и следует ожидать, эффект заслона возрастает по мере того, как второй ряд скважин отдаляется от первого ряда. Величина изменения этого эффекта несколько больше, чем соответствующий эффект заслона, являющийся результатом изменения интервала 0,70 между скважинами. Поэтому до тех пор, пока давления 0,66 скважин сохраняются в обоих 00 рядах одинаковыми и ни одно >/ из расстояний, например, a, d, 0.58 / •Adfa, не становится очень мау йым, можно ожидать, что эффект заслона имеет значение 0,50 / О 0,2 04 0,6 0,8 /.О 1,2 /,4- 1,6 f,8 грубо 2/3, т. е. почти 1/3 суммарного течения в системе Фиг. 207. Изменение эффекта заслона между •будет проходить через первый двумя рядами скважин в зависимости от ряд скважин и входить во расстояния Ad между ними: производительность на вторую линию (т. е. Qj./Q2 ~ 2 ) 5—(эксплоатационнаяряду) / (эксплоатационная скважину в первом вне зависимости от точного производительность на две скважины в обоих рядах);

а = 201 м — расстояние между скважинами значения a, d или Ad. внутри рядов и расстояние первого из них от напорной линии. Как было уже отмечено, общая характеристика эффекта утечки и заслона в системе рядов размещения скважин в значительной степени определяется распределением давления в непосредственной близости к рядам размещения. Поэтому, чтобы более ясно представить себе основы рассмотренного эффекта, важно получить, по крайней мере, общую картину этого распределения. С другой стороны, мы до сих пор не в состоянии показать отдельные детали этого распределения, так как согласно уравнению (1) последнее зависит полностью от значений дг и д2 или эффекта заслона в системе. Вместе с тем мы знаем, что до тех пор, пока давления скважин в обоих рядах размещения сохраняются одними и теми же, отношение дх\д% или эффект заслона не изменяется так сильно в зависимости от изменения других констант системы. Отсюда значение S около 2/3 явится показательным примером, на котором возможно будет основывать подсчет давления. Выберем такой случай, где взаимное расположение скважин, интервал между рядами и расстояние первого ряда скважин от положения „напорной Часть II. Установившееся течение жидкостей линии питания" будут одинаковы. Примем определенно, что давленияскважин составляют половину давления на „линии питания". Тогда из фиг. 207 следует, что р = 1;

у = 0;

р = 1/2;

у= Абсолютные значения qx и q2 даются уравнением (1) с конечным результатом qx = 0,0162. На фиг. 208 приведено построение распределения давления, подсчитанное с этими константами, вдоль нормали к рядам скважин, проходящей Рi i 1 г— 1 последовательно к двум скважинам, а также вдоль нормали, проходящей через середину интервала между двумя парами скважин. Из этой фигуры видно, что обе эти кривые практически повсюду совпадают, за исключением участков, непосредственно близких 0 1,0 2,0 3,0 л к рядам скважин. Это укау - дистанция от позиции движения зывает на характерную локалинейного контура. лизацию влияния единичной п^п Фиг. 208. Распределение давления вдоль ли- Г 1 Л > Я Ж И Н Ы н я П Г Т Я Т Г К Н Ы Р РР ний, нормальных к двум параллельным ря- с к в а ж и н ы н а остальные. Feдам скважин, которые питаются одной на- зультирующее распределение порной линией. Расстояние между рядами давления быстро сливается в напорной линией берется равной расстоянию скважин, а также внутри рядов, которое кривую, которая соотмежду скважинами между первым рядом и оветствует постоянному распредну делению линии стоков, если принимается за единицу.

Давление на напорной линии равно единице;

давление в рядах скважин — i/ a единицы;

сплошные линии — распределение давления вдоль линии, проходящей через скважину;

пунктирные линии — распределение давления вдоль линии проходящей посредине, между двумя скважинами. 7 - напорная линия;

2 - первый ряд скважин;

3 — второй ряд скважин;

4 — вторая линия;

5— первая линия;

6—напорная линия. ОТОЙТИ на КОрОТКОе раССТОЯ ние от рядов скважин. Из фиг. 208 следует, что для больших расстояний за i скважин значение давлеНИЯ Приближается К 0,6 еГО нормальной величины и остается далее постоянным. Этот вывод с физической стороны соответствует условию, — если давление в области слева от скважин (на фиг. 208) равняется единице, то давление в области справа от скважин -~ 0,6. Однако в действительности справа от ряда скважин можно иметь по желанию любую отличную величину давления. Соответствующее решение, которое отвечает этим условиям, можно получить довольно легко. Вместе с тем следует заметить, что произвольный выбор давления с обеих сторон рядов скважин накладывает известные условия относительно течения жидкости в системе. Так, рассчитывая течение на скважину через линию у = const параллельно ряду скважин, например, 2к А* Q dx, Глава VIII. Системы двух жидкостей лайдем, 'что y. Это, очевидно, обозначает, что суммарное течение — (7), ко торое выходит из контура высокого давления у = 0, полностью поступает во внутреннюю область двухрядного размещения скважин, не образуя остаточного течения, проникающего в область пониженного давления на внешней стороне рядов скважин. С другой стороны, уравнение (7) показывает, что давление при y>d2 (площадь на некотором расстоянии позади второго ряда) выше давлений скважин, и из этой области нет течения в ряды скважинг. Эти конечные выводы по необходимости налагают условие и вместе с тем удовлетворяются распределением давления, показанным на фиг. 208. Таким образом, давление для у > d2 равняется приблизительно 0,6 от давления при у = 0. Отсюда, если заранее наметитьр так, чтобы для y>d2, рфО,§, то зависимости расхода, приведенные в уравнении (7), будут по необходимости нарушены. Как это будет детально показано при рассмотрении проблемы размещения выброшенных скважин, можно получить распределение давления, где рфО,Ь для y>d2, прибавлением к уравнению (1) члена ау и изменением величины а так, чтобы, например, при у = */ 2 4-#>—р имело заранее установленное произвольное значение. Это обстоятельство накладывает условие, что существует общий расход аа на скважину через систему рядов скважин. Вместе с тем, если все же желают, чтобы давления скважин сохранялись прежними, то отношения qjq2f как они даются уравнением (2), должны быть видоизменены. Отсюда вытекает, что численные свойства распределения давления (фиг. 208) являются в действительности необходимым следствием из допущения, что через ряды скважин отсутствует остаточное миграционное течение. Если же только допустить такую миграцию, то давлениям в области низкого давления можно придать любое, заранее выбранное значение. Последним интересующим нас вопросом, относящимся к системе двухрядного размещения скважин, будет являться вывод точной зависимости между суммарным расходом для пары скважин в системе и общим перепадом давления между скважинами и напорной линией питания. Принимая, что ' " и dx\a порядка единицы и что Ь получаем из уравнения (1):

Из фиг. 208 можно заметить, что вдоль линий, пересекающих середину интервала между скважинами, градиенты для у > d2 направлены в сторону от второго ряда и, таким образом, уничтожают градиенты, направленные к ряду вдоль линий, проходящих через скважины.

Часть II. Установившееся течение жидкостей Далее, согласно уравнениям (4) и (7): Q. [ 1 С (1 — L) где L — представляет собой утечку. Отсюда (8) а 2яг что, очевидно, будет выше по сравнению с соответствующим значением из уравнения (10), гл. IX, п. 8, для однорядного размещения скважин. Это вызвано наличием фактора утечки L. Поэтому эффективное сопротивление системы скважин, размещенных в два ряда, можно выразить Т п /? = 2л1п к Ъял Сравнивая это уравнение с (12), гл. IX, п. 8, для размещения в один ряд, видно, что уменьшение сопротивления, которое дает уравнение (9) для системы, представлено только последним членом, пропорциональным утечке, соответствующей второму ряду скважин. Возьмем в качестве показательного примера следующий случай:

w = 2640.

Тогда найдем, что проводимость Q/Ap в уравнении (8) составляет 0,6094 &//* по сравнению со значением 0,5098/:/^, соответствующим уравнению (10), гл. IX, п. 8, или для L = 0 в (8). 10. Размещение скважин тремя рядами. По мере того, как в системе увеличивается число рядов скважин, выражения, показывающие различные характеристики эфу фекта заслона и утечки, становятся все более и более сложными. Вместе с тем вывод этих выражений остаето— Q ся по существу тем же самым, что и для случая размещения скважин в два ряда. Поэтому мы распрострае-С ним полученную аналитическую процедуру только на трехрядную систему, так как всякие дополнительные матеФиг. 209. Схематическое изобрариалы, которые можно получить из жение напорной линии питающей жидкостью три ряда скважин. математической обработки большого числа рядов скважин, едва ли оправдают их рассмотрение. Начнем опять с выражения для распределения давления, которое возникает вследствие наличия трехлинейных рядов, с равным интервалом а между ними, и размещенных на О- - I -О К-Г--О Глава VIII. Системы двух жидкостей расстоянии dx, d2 и d3 от оси у, давление на которой принимается, равным G (фиг. 209). Тогда можно написать: 2л (у 2лх ch cos а р(х9 y ) = 2л (У + rfi) r n s 2т*х ch — — — — — — — — LUJ ——— а а — d2) 2лх ch а У- cos а (i) d2) 2лх — - — cos — а a 2лх h C a - - — cos a 2лх cos а а Так же как и раньше, члены Ankqjp, 47ikqjft и A3ikqz\i*> представляют собой величины чистых расходов на скважину, поступающих в скважины, размещенные в три ряда. В анализе проблем одно- и двухрядного размещений было уже показано, что если только dja < 0, 5, то можно пренебречь изменением эффекта заслона в системе с изменением dh и значение этого эффекта можно принять соответственно величине его, представленного для dt/a = 1. Тогда, принимая a a a и допуская, что давления скважин в трех рядах же, можно найти эффект заслона решением = 1;

w a были одними и теми для qjqx и q3fq2. В результате получаются решения в форме детерминантов sh лЬ sh Чг shjr(2 + d)sh sh?r (64 c)sh?r(2 + 26 In sh л (2 + f с) sh лс sh 2л sh л.

sh 7 (2 -f- 6 + c) sh Г 2JT ln In sh я (& + с) sh (b + с + 1) sh 7 (2 + & -J- c) sh ло Г In In sh л (2 + b) sh лд sh я/;

sh 2л;

sh (4) sh л (2 + b) sh 7 Тй"л"(2"+ b~+c) sh где Часть П. Установившееся течение жидкостей shrc(2 + d)sh л sh n (b -f- c) sh я (2Ч-2& -f c) In sh c)sh (5) sh (2 + 6) sh sh 2л (b + с + 1) In sh л:

sh n (2 + 6 + c) sh Теперь можно перейти к детальному изучению изменения q2jq1 и с изменением: Ь — расстояния между первыми двумя рядами;

с — расстояния между вторым и третьим рядами;

Q — учитывающим влияние расстояния между скважинами а. Приведенное выше подробдое математическое решение для двухрядного размещения уже показало с общей стороны природу влияния этого изменения. Поэтому количественнное рассмотрение этосг • j < i I м "М I I l I I I I I I М' • г i —— —• ^— -*— 0, —, •— г !

0, # 1.0 1.2 f. 1,6 1,8 2, Фиг. 210. Изменение эффекта заслона в системе, состоящей из трех параллельных рядов скважин, в зависимости от расстояния ds—d2 между вторым и третьим рядами. Расстояние между первыми двумя рядами, а также между первым рядом скважин и напорной линией принимается равным интервалу между скважинами внутри рядов, « = 201 м:

5j — доля всего количества жидкости, отбираемой со всех трех рядов скважин, которая поступает в первую линию;

S2 — доля всего количества жидкости, утекающей через первый ряд скважин и поступающей во вторую линию.

Р о с а будет ограничено только изменением. эффекта заслона с изменением с — расстояния между вторым и третьим рядом. Расстояние между двумя первыми рядами d2 — 'йг принимается равным расстоянию между скважинами а и отсюда b = 1. С этой целью будет весьма удобно ввести анализ фактор эффекта засв ^ « на и ло &i «Ь2, где qx о So = так ЧТО О\ воп (6) ^ Представляет СОООЙ долю суммарного течения, которое поступает в первый ряд скважин, a S2 дает долю суммарного течения, которое проникает за первый линейный ряд и движется во второй ряд скважин;

1 — S x — утечка позади первого ряда, а 1 — 5 2 — утечка позади второго ряда, которая движется в третий ряд скважин. На фиг. 210 дается построение значений St и S2i подсчитанных из уравнений (3) — (6). Видно, что изменение эффекта заслона первого линейного ряда при разрыве между вторым и третьим рядом протекает достаточно медленно. С другой стороны, эффект заслона второго ряда изменяется достаточно резко с d2 — dx и приближается к совершенному заслону (

То обстоятельство, что эффект заслона первого ряда скважин изменяется только от значения 0,671 для двухряднпгп пячмрщрния яп OfiSI ного размещения до U,Odl (при С = 1 ) для трехрядного размещения, показывает, что добавление в систему дополсет ф И г. 211. Распределение давления вдоль линий, нормальных к трем параллельным Рядам скважин;

давление на напорной линии равно единице;

давление на скважиединицы, сплошная линия — Haxi/2 распределение давления вдоль нормали, проходящей через скважины;

пунктирная линия—распределение давления вдоль нормали, проходящей посередине между скважинами;

все расстояния между скважинами и линейными рядами принимаются равными единице.

НИ;

нительных рядов скважин внеизменения величины возможно незначительные И СООТВеТСТВеННО ЗаСЛОНа эффекта фф Не утечек.

В Значение Нетрудно показать, Ось абсцисс — у — расстояние от напорной л и 7 — напорная ЛИНИЯ;

2 — первый ряд сква_ _ В Т О р О Й р я д скважин;

4 -третий ряд жин;

5 рая линия— р — 1li 7 — первая линия — р*»1/*.

скважин;

5 — третья линия — Р —i/ a ;

б — вто что, когда скважины размеще§ —напорная линия — р = 1. ны бесконечным числом рядов, добавленных к первому ряду, верхний предел суммарной утечки будет составлять 0,378. Физиче ское основание этого вывода заключается опять же в том, что эффект заслона и утечки позади ряда скважин определяется только распределением давления в его непосредственной близости. Так как влияние распределения давления на первый ряд скважин вследствие наличия отдаленных рядов скважин невелико, всякая дополнительная утечка, вызываемая ими, будет также очень мала. Становится вполне очевидным, что любая попытка увеличить эксплоатационную производительность односторонней системы простым добавлением рядов скважин должна быть проведена с большой осторожностью. Значительный прирост дебитов Можно заметить, что кривая S2 для практических целей идентична с кривой заслона при двухрядном размещении скважин (см. фиг. 207).

Часть II. Установившееся течение жидкостей может быть достигнут только использованием более отдаленных рядов со все более и более низкими забойными давлениями. Общая картина распределения давления в трехрядной системе может быть получена из фиг. 211,' на которой приведены профили, перпендикулярные рядам скважин, по линии, проходящей через скважины, а также вдоль линии, проходящей через середину интервала между ними. Наконец, можно заметить, что отношение между суммарным расходом на тройку скважин и разностью давления, действующим в системе, дается уравнением (8), гл. IX, п. 9, за исключением того обстоятельства, что L представляет собой величину суммарной утечки. Действительно, можно свободно показать, что уравнение (8), гл. IX, п. 9, справедливо для любого количества параллельных рядов скважин, образующих прямоугольную сетку последних. 11. Размещение скважин в шахматном порядке. До сих пор мы разбирали многоскважинные системы, где ряды скважин были так размещены, что образовывали правильные прямоугольные сетки, т. е. где соответствующие скважины нескольких линейных рядов были расставлены вдоль линий, перпендикулярных к рядам. Однако на практике простая геометрия играет очень маленькую роль, а имеет значение только эффективность различной конфигурации скважин в зависимости от эффекта заслона, Р--С утечки и характеристики отнесения Фиг. 212. Схематическое изображе- заложения скважины в сторону. Поние напорной линии, питающей этому важно посмотреть, имеет ли разжидкостью два ряда скважин, комещение скважин в шахматном порядке торые смещены в рядах в шахматнекоторые преимущества по сравнению ном порядке. с обычными прямоугольными сетками размещения. Чтобы получить максимум положительного эффекта от шахматной расстановки скважин, допустим, что некоторые ряды взаимно смещены параллельно самим себе, на половину интервала размещения между скважинами (фиг. 212) и ось х представляет собой положение напорного линейного контура при давлении С. Тогда распределение давления согласно уравнению (6), гл. IX, п. 8:

ch 2л (у — йг) ch а 2л{у+й1) а cos а cos 2пх а ch 2л (у ~ d2) а а cos 2пх — а а Налагая условие, что давление скважин в двух одинаково, т. е. что ch рядах размещения (2) Глава VIII. Системы двух жидкостей найдем:

4i q In sh nrwfa ch n sh 2nd2ja ch n (rf2 sh nrj a chnid^-i-di)/a sh 2ndija ch я (d 2 — Сравнивая этот результат с уравнением (2), гл. IX, п. 9, которое мы прилагаем в случае, когда оба ряда не размещены по шахматной сетке, видно, что единственная разница между ними заключается в замене отношения / /,, (2w w w )/ отношением ( ;

2 \) /. Тогда ch nz почти sh n sh «)/tf c h для a ) / точно равняется(d яя для z ^ 1. Так как ^ ( a 4всехa практических случаев № — di)!a >-1 > т 0 уравнения (3) и уравнение (2), гл. IX, п. 9, не будут различаться особенно заметно между собой, если только (d2— d-^ja не представлено малой величиной. Это означает, что размещение скважин в рядах по шахматной сетке не будет оказывать никакого влияния на эффект заслона или утечки, характеризующий систему, если только расстояния между рядами не взяты значительно меньше интервалов в рядах между скважинами. В частности, если только оба ряда не разделены между собой расстоянием меньше 10% интервала между скважинами в рядах, то утечка в двухрядной системе, расставленной но шахматной сетке, будет превосходить соответственную величину в системе с квадратной сеткой на величину не более 1% общего значения утечки. Отсюда можно сделать заключение, что для практических целей размещение скважин в системе по шахматной сетке не имеет сколько-нибудь заметного влияния на характер заслона или утечки в многоскважинной системе. 12. Теория размещения отстоящих (внешних) скважин. Формулировка проблемы. До сих пор мы рассматривали в основном естественную утечку или характеристику эффекта заслона в многоскважинных системах, где давления всех скважин сохранялись одинаковыми и утечки создавались геометрической асимметрией давлений, действующих на границах системы. Теперь мы рассмотрим вопрос нейтрализации этой утечки, возникающей вследствие геометрической асимметрии, которая создается искусственно наложенной несоразмерностью давленийскважин в нескольких рядах последних. Это является основным вопросом, входящим в проблему размещения отстоящих скважин, который можно сформулировать следующими словами. Даются два участка' с заранее принятыми и в целом различающимися между собой средними давлениями и двумя рядами скважин, отделенными друг от друга общей границей участка. Тогда при данном давлении скважин в одном ряду следует определить, каково должно быть давление при эксплоатации во втором ряду, чтобы через контур между участками не имело места остаточное течение жидкости. Чтобы уяснить физическую основу аналитической обработки этой системы, следует дать более уточненное значение понятию „среднее давление" на участке. С физической стороны это понятие будет налагать условие получения среднеарифметической величины индивидуальных замеров давления в отдельных точках, распределенных по всему участку, и отсюда будет служить мерилом эксплоатационной производительности sh я (d2 + d)ja di)ja chid d^l chnidz + d^la j _ t Часть II. Установившееся течение жидкостей последнего. Однако с точки зрения взаимодействия данного участка (или жидкости, в нем залегающей) с примыкающими участками, а также с любой данной группой скважин эти числовые средние величины не могут иметь непосредственного- значения. Для определения трактуемого эффекта необходимо знать среднее из давлений на границе участка вблизи рассматриваемой группы скважин или соседних участков, т. е. величину среднего давления на внешних (выброшенных) контурах. Вполне понятно, что распределение давления в интервале участка участвует в определении величин контурных давлений. Однако для рассмотрения величины связи участка с внешним течением участок в целом можно заменить состоянием его граничных давлений. Следует заметить, что давления на участках в процессе их истощения будут изменяться, но эти изменения будут настолько медленны, что практически можно принять в системе условия установившегося течения. Вместе с тем, поскольку все же наблюдаются заметные изменения давления, требования к внешнему размещению скважин также могут изменяться, чтобы соответствовать новым условиям. Наконец, следует заметить, что теория, развитая в последующих разделах, приложима только к тому компоненту движения жидкости, которая возникает вследствие общей миграции в каждый участок из внешних источник о в, — напорного линейного контура при давлениях р± и р2. При этом должны быть исключены из рассмотрения компоненты, представляющие собой естественную производительность каждого участка, получающуюся под воздействием расширения содержащейся в нем жидкости вследствие ее сжимаемости или выделения и расширения растворенных в ней газов. Таким образом, остаются только скорости жидкости и градиенты давления, соответствующие системе строго несжимаемой жидкости. Распространяя дальнейшие исследования на практические случаи, можно притти к следующему заключению. Если окружить данный участок соответственно контролируемыми выброшенными скважинами, можно сделать нулевой миграцию в участок через границы последнего. 1 Вместе с тем станет равной нулю и добыча со скважин внутри участка. Однако при практической реализации такой обстановки мы встречаемся • тем обстоятельством, что, хотя для миграции в пределы участка и с были приняты весьма эффективные превентивные мероприятия, тем не менее внутри участка, пока давление на последнем не упадет до нуля, будет существовать течение жидкости со скважин. Очевидно, эта добыча получается только благодаря расширению содержащейся в пористой среде жидкости в границах участка. Отсюда следует исключить эту добычу вместе с градиентами давления, с ней связанными, из системы раньше, чем к ней будет приложена развитая в последующем разделе теория внешних (выброшенных) скважин. 13. Однорядное размещение внешних скважин. Исходя из принятого в последнем разделе положения, два участка, взаимодействие Система из четырех скважин в круговом резервуаре, которая была рассмотрена нами в гл. IX, п. 3 (случай „г"), фактически может интерпретироваться как система, где участки внутри квадрата были настолько хороша изолированы внешними четырьмя скважинами, что из внутренних скважин отсутствовала всякая добыча.

Глава VIII. Системы двух жидкостей которых охраняется двумя рядами внешних скважин, заменяются двумя линиями, параллельными размещению скважин, на которых поддерживается среднее давление участков. Допустим для ясности, что каждая из этих линий отделяется от сосеанего ряда скважин расстоянием, равным интервалу между внешними рядами скважин, который в свою очередь принимается равным расстоянию между скважинами а (фиг. 213). Тогда фактическая граница участка лежит посередине двух рядов скважин. Две линии, вдоль которых Р = РХ и Р^Р29 являются аналитическими представлениями индивидуальных участков в целом, а именно, что они лежат вне рядов своих внешних скважин. Следуя предыдущему анализу, можно написать общее выражение для распределения давления в системе: ch 2л (у — 1) — cos 2жх ch 2я (у — 2) — cos 2ях ^ (О где расстояние между скважинами а принимается за единицу. В таком виде уравнение (1) показывает, что р = р± при у = 0 и что существуют два ряда скважин при У у==1 и у = 2, с расходами Anq-Jijfx (2) и 47tkq2lfii а также в системе существует региональная миграо & оО о ция с величиной а. Остающаяся '"' 9 О*>О О» задача состоит в определении а, W qx и q2 таким образом, чтобы """ отсутствовал остаточный расход ф и г 2, 3 С х е м а в н е ш н е г о размещения через у = / 2, общую границу скважин с одним рядом внешних скваучастка;

чтобы р = pW2 при у = 2, жин.

ПОЛОЖеНИИ ВТОрОГО р я д а СКВажИН ток 2 и чтобы р = р2 при у = 3, представляющим собой внешний участок. Уравнение (1) не дает строго постоянного значения для р при у== 3. Однако из предыдущих рассмотрений было видно, что изменения р параллельно размещению скважин на расстояниях от ряда скважин порядка взаимного расстояния между скважинами настолько малы, что любая линия, параллельная ряду размещения, может быть принята совершенно точно за кривую равного давления. Чтобы определить а, следует заметить, что для любого члена в общей форме, например, / участок 7;

2 — граница участка;

3— учас i ch 2л (у — d) — cos 2лх ch 2л~(у + d) — cos 2лх расход Q дается выражением:

_ ду - Ankq :y

y>d Часть II. Установившееся течение жидкостей Отсюда непосредственно вытекает: для того чтобы не было оста3 точного расхода через общую границу участка у = / 2 > а должно иметь значение а=4га/ 2. Теперь, устанавливая требования, чтобы р (0,2-rw) = pW2;

/i(0,3)= л, (4) (3) найдем значения qx и <у2, что дает 2ft (In 2 J W V - 4ж) — t — 8л;

#2 = р 2.

PW рщ J Решая это уравнение, получаем: 4:71 — 2 In 2nrw 4л (рг — /7Ш2) — 2 (р! — р а ) In 2nr 4JT {An — 2 In w Наконец, чтобы получить точный ответ на задачу, как она была поставлена первоначально, необходимо найти давление pWl в первом ряду скважин согласно условиям, которые налагаются значениями,q± и q2. Возвращаясь к уравнению (1) и принимая у= 1 — /V, легко найти, что t = Pw%- 0,9614 (Рх—р а ), ГО для rw = 1 /2640, так что | как и Р\\ что и следует ожидать. Так как pWl положительно, существует нижний предел для который удовлетворяет уравнению (7). Так, например, если участок высокого давления имеет давление р1==102 am, а участок низкого* давления /? 2 »68,0 am, и если внешние скважины последнего участка имеют давление pW2 — 32,7 am, то pWl должно равняться нулю, чтобы избежать миграции из участка высокого давления в участок низкого давления. Если же внешние скважины участка низкого давления эксплоатируются с давлением ниже 32,7 ату то даже вакуум на внешних скважинах участка высокого давления не обеспечит полностью предупреждения миграции. С другой стороны, если внешние скважины со стороны участка низкого давления имеют pW2>32J am или если р1— /? 2 <34,0 am, pWl можно держать выше нуля и все же предупредить миграцию.

В данном случае, а также во всех последующих расчетах сделано 'допуch щсние, что для т > 1, —— тл^етл12 и sn Глава VIII. Системы двух жидкостей Наконец, если рх—р2 становится отрицательным, то положение получается обратимым, и, чтобы предупредить миграцию в участок, помимо у == О значение pwi фактически должно поддерживаться выше, чем pw%. Эти конечные выводы можно просуммировать, заменив фактор 0,9614 в уравнении (7) единицей и переписать его в следующем виде:

Pwi Pw% — Р Pi (9) Этот вывод можно сформулировать простым правилом: чтобы предупредить миграцию через границу участка, разница в давлениях между внешними рядами скважин должна быть равна и противоположна разности давлений между участками. Если невозможно создать перепад давления между внешними рядами скважин, чтобы он был равен разности давления между участками, то некоторое количество жидкости будет по необходимости переходить из участка с высоким давлением в участок с низким давлением. НаО оборот, если разность давления между внешними скважинами снижена ф и г. 2 14. Распределение давления больше, чем разность давления меж- вдоль линий, нормальных к двум параллельным рядам скважин, где их ду участками, то может существовать давления отрегулированы таким обдаже остаточная миграция в участок разом, чтобы предотвратить миграцию,v \за.о\}п\) ^ниигл иисмиiвисни it> mm илцпю высокого давления. Этому правилу можно дать физическое объяснение, переписав уравнение (9) таким образом:

Pi межД Pw2 — Pz Pw-r у рядами;

сплошная линия — распределение давления вдоль нормали > проходящей — распределение пунктирная линия через скважины давления вдоль нормали, проходящей посередине между скважинами.

Давление участка 1 —< 102 am;

давление участка 2 — 68 am. Ось абсцисс—у—расстояние от напорной линии;

1 — внешние ряды участка 2;

2 — внешние ряды участка 7;

3 — участок 2—р= 68 am;

4 — граница участка;

5 — участок / — р = 102 am.

Из этой формы уравнения (9) видно, что величины миграции жидкости из любого участка в противоположный—внешний — равны и дают отсюда нулевую миграцию. Прилагая теперь уравнение (7) к (6), видно, что текущие дебиты из внешних линейных рядов находятся в соотношении Юл Pi — Рш, ~Рг Физические основы проблемы внешнего размещения скважин мож!*д рассмотреть более ясно из распределения давления в системе, где давление было отрегулировано так, чтобы не иметь миграционного течения между двумя внешними рядами скважин. На фиг. 214 дается построение выводов для приведенного выше числового примера: давление участков—102 и 68 am;

давление скваво внешних рядах—0 и 32,7 am. Можно сравнить это построение Часть II. Установившееся течение жидкостей с фиг. 208, которая дает распределение давления в двухрядной системе, где отсутствует регулирование давления во внешних скважинах. Следует заметить, что в последнем случае давления посередине интервала между скважинами равномерно уменьшаются, переходя от первого ряда ко второму. Между тем величина давления на фиг. 214 имеет минимум между обоими рядами. Он находится выше максимума кривой давления вдоль линии, проходящей через пару скважин. На фиг. 208 показан остаточный градиент, который перемещает жидкость через первый ряд во второй. Вместе с тем на фиг. 214 видно, что эти градиенты выравниваются, и потому отсутствует остаточное течение между двумя рядами. Гораздо большее значение имеет наблюдение, что регулирование давления для внешних скважин эквивалентно снижению эффективного среднего давления участка высокого давления до значения, равного среднему давлению участка низкого давления. Только таким путем можно снять общий градиент между двумя участками, а вместе с этим и связанную с ним миграцию. В то же самое время остаточный градиент давления через границу участка сделается равным нулю. Действительно, обработки большей части общих случаев, которые даются в последующих разделах, с физической стороны представляют собой только регулирование распределения давления на участках высокого давления. Это регулирование осуществляется снижением давления на внешних рядах скважин, чтобы получить в среднем столь же низкие давления в действительности, как и на внешне расположенных участках. 14. Многорядное размещение внешних скважин. Если на одном или обоих участках существуют иные ;

я д ы скважин, параллельные фактическим линиям внешнерасположенных скважин, то приведенный анализ и выводы останутся строго / Р-Рг ' справедливыми при условии, что в « о о о в^У**о » качестве давлений участков рх и р2.•...* ж*=Ж приняты средние и х значения на л и e ••••• ^**° ° ниях, взятых на обоих участках и s wt о • « о ** f 9 о ближе всего расположенных к внеш^ ним скважинам. Фактически наиболее р„р * " "',..,„•• • удобный путь регулирования эффективного давления на участках рг и рг Фиг. 215. Схема многорядной си- будет заключаться в варьировании дастемы расстановки внешних сква- в * е н и я ю | с к в а ж и н, параллель/1\Иг1. ных линиям внешне расположенных 7 — участок 2;

2 — граница участка;

з - участок 1. скважин. Чтобы рассмотреть детально, каким образом можно осуществить подобную процедуру, мы можем допустить, что участок высокого давления имеет две линии внешних скважин вместо одной. Тогда^ обращаясь к обозначениям, принятым на фиг. 215, допустим, что давление в первом ряду внешних скважин участка высокого давления pWl;

давление в ближайшем к границе ряду pW2 и внешние скважины в примыкающем участке эксплоатируются при давлении pWb» Средние давления участков позади внешних скважин принимаются соотг Глава VIII. Системы двух жидкостей ветственно рг и р2. Прилагая к анализу те же самые методы, что былт приняты нами ранее, имеем: — Pi = — Л = <7s — 8jr —рг—\ 2щъ где 2л + х) — Ащ2 — ( — 4л: + х)— 8я:

(2) через 1Э /?! — p Заменяя, как и раньше,— х/2я = 0,9б приведем уравнение (2) к виду:

r2/?wi+ (для a\rw=- который дает следующее значение расхода на скважину в трех рядах:

5Q 2 = Pi + pWl — %Pw2 = Р2-, ) (4) В данном случае, а также на всем остальном протяжении раздела отношение к([л принимается равным 1. Отсюда отношение результативных текущих дебитов из внешне расположенных рядов скважин выразится:

Qi + Qa „ z Pi-2PWl-Pw r v Уравнение (3) не позволяет простого физического объяснения, как это дает (4), г л. IX, п. 13. Однако условия, которые налагает это уравнение, не трудно разобрать. Так, возвращаясь обратно к примеру гл. IX, п. 13, где было принято, что /7 X =1O2 am и р2 — 68,0 am, из уравнения (9), гл. IX, п. 13, было показано, что если давления внешних скважин участка низкого давления поддерживаются на уровне чиже 34,0 am1, то даже применение вакуума на внешних скважинах участка высокого давления не предохранит от миграции через границу последнего. В данном случае из уравнения (3) непосредственно вытеpw Скорее эта величина, чем 32,7 am, является предельным значением длж, если х заменяется через — 2л, как это было принято ранее.

Часть II. Установившееся течение жидкостей кает, что при данных давлениях тш участке давления внешних скважин должны удовлетворять соотношению: 2 / 4 + брш, = 5pW3 + 136. Отсюда, если даже на внешних скважинах участка низкого давления поддерживается вакуум (pWz = 0), то внешние скважины участка высокого давления могут все же предупредить миграцию только при условии, что pWl + 3pW2 — 68,0.

Это выражение можно удовлетворить не только при комбинации Pwz = 0\ /?Ш1 = 68,0 am, но даже при pW2>Pw3y т.е. при pW2 = 6,8 am и при pWl = 47,6 am. Таким образом, видно, что можно предупредить миграцию второй линией внешних скважин на участке высокого давления при помощи некоторого количества различных комбинаций с регулированием давления на внешних скважинах, если даже поддерживать вакуум на внешних скважинах участка низкого давления. При наличии более чем двух рядов внешних скважин возможности варьирования давлением последних и предупреждения миграции становятся еще больше. Действительно, приведенный анализ можно свободно распространить на случаи, где примыкающие участки имеют любое количество внешних рядов скважин. Общие выводы можно свести в единую таблицу, введя следующие обозначения: Рг—давление участка (1);

Р 2 — давление участка (2);

пг—число рядов внешних скважин на участке (1) впереди (Р 1 );

п2— число рядов внешних скважин на участке (2) впереди Р 2 ;

pik—давление скважины на участке (1) во внешнем ряду А:, замеренное от линии, где давление составляет Р х : Pik —давление скважины на участке (2) в А:-ом внешнем ряду, замеренное от линии, где давление составляет Р 2 ;

Qi—сумма текущих дебитов на скважину во внешних линиях участка (7);

Q2 — сумма текущих дебитов на скважину во внешних линиях участка (2). Тогда условия отсутствия миграции и связанные с ними текущие дебиты определятся из следующих выражений1: 1) 14=1;

Л2=1, Эти выражения основаны на точном допущении, что различные линии размещения внешних скважин расположены друг от друга на расстоянии 200 м, т. е. на расстоянии между скважинами в пределах рядов. Это составляет площадь уплотнения скважин —1 скважина на 4 гц. Вместе с тем эти выражения дают, видимо, также правильный порядок величины распределения давлений во внешних линейных рядах, если даже расстояния между рядами различны и отличаются от 200-л* интервала, вследствие медленного (логарифмического) изменения количества х> которое принимается—2л в пределах этих расстояний.

Глава VIII. Системы двух жидкостей Pi + Рп + 3p l t - 5 / 2 (/?21 + Р 2 ), QLQ2 3) 3P1-2Pll-Pl2. л - ^ / р 5 Р,-Р%1 > V 2 ~ "2 ^ 2 /7i=2;

н 2 = 2, З р 1 2 = 3/722 - р 2 1 + Р' 4) Л! = 3;

п 2 = 1, Pi + Рн + Зр 1 2 + 8/7 13 = 13 / 2 (р21 + Р 2 ), ~ Р 5) Qi л х — 3;

п2 « 2, Pi + Рп + Зр 12 + 8pi3 =1 3 / Q2 13 ЗР2-2р21-р22 Л! = 3;

' /2а = 3, 6) Pi + Рп + 3pi 2 + 8р 13 = 8р 2 3 + 3/? 13 7) Qi _ 1 Q2 17 «i = 4;

и 2 = 1, 21P 1 -13p u -5p l a -2p l 3 ~ P8-P2i nt =4;

n 2 = 2, A 21Pi-13Pii--5pi2-2pl3-pu. Q2 - 34 ' ЗРа-2ра1-р23 g- _ _ З Р 2 - 2 р а 1 _ 9) п х= 4;

^ 8P2-5p2l-2p22-p ' Va 10) n± = 4;

n 2= 4;

= Pi + Pu + 3p 1 2 + 8p 13 + 21 /?14 = 21/?24 + 8p 2 3 + 3p 22 + p21 + P 2, 21Pi-13p11-5pla-2pl3-plit 21P2-13p2l-5pi2-2p2,-p24 ' 21P2-13p2l-5paa-2p2>-p Часть II. Установившееся течение жидкостей 15. Числовой пример. Прилагая только что выведенные уравнения к проблеме внешнего размещения скважин, следует помнить, что при этом подразумевается допущение о свободе регулирования текущих дебитов, а отсюда и давлений в пределах, которые могут обеспечить эффективное размещение внешних скважин. Если добыча с участков ограничена и это ограничение построено на допущении равного отбора со скважины при ограниченном количестве скважин на участке, то проблема внешнего размещения скважин не имеет под собой никакого обоснования. Миграцию через границы участка можно предупредить разбуриванием каждого участка с одинаковой степенью уплотнения, если только одинакова „потенциальная" производительность скважин или же величина уплотнения принимается пропорциональной потенциалам скважин (давление участка, помноженное на его проницаемость) при различной величине этих потенциалов, которая не учитывается при принудительном ограничении добычи с участка. С другой стороны, становится совершенно бесполезной всякая попытка предупредить миграцию, если отсутствуют мероприятия к искусственному сокращению добычи (дрорейшен), и примыкающий участок эксплоатируется „открытой струей" (с минимально допустимым забойным давлением) на всем протяжении участка. Единственным защитным мероприятием в таком случае является разбуривание рассматриваемого участка с такой же степенью уплотнения, что на соседнем участке, и эксплоатация этих скважин в открытую, аналогично тому, как эксплоатируется соседний участок1. Чтобы проблема размещения внешних рядов скважин имела реальное значение, необходимо, очевидно, допустить заранее, что мы обладаем известной свободой в области регулирования добычи и распределения давления на рассматриваемом участке так, чтобы предупредить миграцию в сторону. Если примыкающий к данному какой-либо иной участок истощен полностью в отношении своей естественной эксплоатационной производительности, но продолжает все же помпироваться глубоким насосом, то рассматриваемый участок представляет собой простую жертву для него, так как должен обеспечить последний всей отбираемой жидкостью. Вместе с тем, когда примыкающий участок неполностью истощен и его внешние ряды скважин э ксплоатируются при установленных забойных давлениях (не все из них нулевые), можно использовать приведенные формулы для нахождения давлений для внешних линий скважин, чтобы предупредить потерю жидкости с участка высокого давления. Более того, можно наложить ограничение, чтобы суммарные текущие дебиты из каждого участка сохранялись при известном соотношении и если только это условие является неблагоприятным для участка высокого давления, то давления на внешней линии скважин могут быть так отрегулированы, чтобы предупредить миграцию через границу участка. На фиг. 216 показан частный случай проблемы, где рассматриваются четыре ряда скважин на каждом участке параллельно их общей Вполне понятно что этот „совет" исходит из капиталистических условий хищнической разработки нефтяных месторождений США (от перев.).

Глава VIII. Системы двух жидкостей границе. Примем, что давление резервуара или эффективное давление участка (/) позади внешних рядов составляет ~ 20 am, а участка (2) около 40 am. Разумеется, эти величины несколько меньше по сравнению с давлениями на крайних оконечностях обоих участков вследствие общей миграции из этих участков в соответственные внешние линии скважин у их общей границы. Допустим также, что на основании некоторого соглашения об ограничении добычи с участка (2) с него разрешается получать такую же величину отбора, что и с участка (7). Кроме того, для получения этой разрешенной добычи давления внешних скважин на участке (2) поддерживаются на уровне 10 ат> за исключением линейного ряда перед границей участка, на которой поддерживается вакуум (р24 = 0). Вопрос --t5O заключается в следующем: можно ли отре- * * P2f гулировать давления во внешних рядах •скважи н участка (/) так, чтобы отбирать добычу не больше соседа, и все же предупредить потерю нефти через границу участка, а также, каковы будут при этом 7~"» давления участка (/). Чтобы получить искомый ответ, необходимо приложить формулы случая (10) последнего раздела со следую0„г13ОО) 3 щими параметрами *:

а о Q l=l;

Р 1 = =40;

Р 2 = 20;

р 1 4 = 0 = /?21=10.

~ И* -ei/u Из формулы [случай (10)] следует, что т е для условия Qx/02— 1> - * когда две группы внешних скважин дают один и тот же текущий дебит, имеем:

Фиг. 216. Схематический проект расстановки внешних скважин, где на каждом участке размещено четыре ряда.

7 _ участок 2;

3—граница участка;

3 — участок /.

21 Р±— 13/?21 — 5р22 — 2р23 —р 2 4 ==21 Рг — 13/7И - 5р12 — 2ри-ри.

При принятых обозначениях это выражение приводится к виду:

Подставляя те же самые данные в первую из формул случая (10), получаем, что условие отсутствия миграции принимает вид:

Так как все давления должны быть положительны, но вместе с тем не превосходить 4 0 a w, легко найти, что единственными значениями Piv Pi2> Pi3i которые могут удовлетворять этим требованиям и полученным уравнениям, будут:

Принимается заранее ри=0 в свете общих преимуществ участка (2) по созданию миграции из участка (7).

Часть П. Установившееся течение жидкостей Тогда, если первая линия внешних скважин закрыта, вторая линия эксплоатируется при 20 am, а третья и четвертая линии эксплоатируются под вакуумом, миграция нефти из участка (/) в примыкающий к нему участок будет предупреждена. Вместе с тем следует отметить, что если распределение давления во внешних линиях участка (2) значительно отличается от той величины, что была избрана нами заранее, т. е. если линейные ряды, за исключением одного из них, непосредственно примыкающего к границе участка, эксплоатируются при неодинаковых давлениях,—в таком случае будет невозможно избежать миграции, а также отрицательных давлений или же давлений выше 40 am на участке (1). С другой стороны, следует заметить, что распределение давления на участке (2) фактически обязано нелогичному требованию, чтобы участок (/) отбирал добычу не больше соседа, если даже давление резервуара в нем будет в два раза выше. Если это ограничение будет снято и участку (1) будет позволено эксплоатироваться с двойным отбором, по сравнению с соседом, можно будет предупредить миграцию, если даже распределение давления на участке (2) будет значительно изменяться. Так, устанавливая х и Р 2 = 20;

/7 2 1 = 13,3;

/>22 = уравнения (случай 10) дадут = 473,3, что можно удовлетворить, например, рядом давлений: /? п = 33,3;

/ ? 1 2 = 6, 8 ;

р 1 3 = 3,2 или / 7 П = 31,65;

р12= 11,8;

/ ? 1 3 = 1,4.

В дополнение к фиксированным отношениям текущих дебитов из внешних рядов в оба >частка необходимо иметь в целом заранее установленные абсолютные значения суммарных текущих дебитов из рядов внешних скважин. Это обстоятельство еще более ограничит возможность внешнего размещения скважин в целях полного предупреждения миграции. Общее количество поставленных ограничений —три: отсутствие миграции, установленное отношение текущих дебитов всех внешних рядов и установленные абсолютные значения суммарной эксплоатационной производительности. Отсюда комплекс из четырех внешне размещенных рядов скважин должен обеспечить, повидимому, в целом среди бесконечных алгебраических возможностей небольшой диапазон распределения давления во внешних рядах, которые не потребуют отрицательных давлений на скважинах, или давлений, более высоких по сравнению с давлением участка.

Это распределение приведет к р1г « ±6,6 am для рх% = 0, если Глава VIII. Системы двух жидкостей 16. Проблема водной репрессии (флюдинг). Одна из наиболее интересных областей приложения теории течения инертных жидкостей через песчаники заключается в методе искусственной добычи нефти, известном под названием „водная репрессия" (флюдинг). Этот способ применяется с известным успехом в нефтяном месторождении Брадфорд, Пенсильвания, и заключается в процессе вытеснения нефти, остающейся в песчанике, после того, как становятся неэкономичными обычные методы добычи последней с помощью нагнетания воды, вводимой в песчаник х извне искусственным путем. Техника процесса нагнетания воды в пласт включает в себя некоторые свои особенности, но физическая обстановка соответствует полностью сетке размещения нагнетательных водяных скважин, которые выбираются из числа заброшенных нефтяных скважин или специально пробуренных для целей нагнетания воды, а также из наличия эксплоатационных нефтяных скважин. Вода, поступая в песчаник при высоком давлении (благодаря весу столба воды в скважине или дополнительного приложенного давления), стремится двигаться по направлению к нефтяным скважинам, на которых поддерживается более низкое давление вследствие того, что они большей частью откачиваются глубокими насосами. Нефть, остающуюся в песчанике, благодаря истощению первоначально растворенного в ней газа можно рассматривать в действительности инертной („мертвой"), обладающей очень небольшой тенденцией, или совершенно ей не обладающей, к перемещению по направлению к эксплоатационным скважинам. Нагнетательная вода находится под высоким давлением и при своем движении от инжекционных скважин вытесняет нефть из пор песчаника и гонит ее по направлению^ к эксплоатационным скважинам. Нужно иметь в виду, что вода не отмывает полностью песчаник от нефти, и сама нефть не движется сплошным валом впереди воды с резкой поверхностью раздела. Однако этими усложнениями можно пренебречь ввиду того, что они мало влияют на справедливость заключений, которые получаются из приближенной теории. Более серьезная трудность заключается в необходимости пренебречь разницей вязкости Между нагнетаемой водой и замещаемой нефтью. Отсюда вся проблема водной репрессии в свете этой разности вязКостеЙ принадлежит к классу двухжидкостных систем, которые рассматривались в главе VIII. Вместе с тем в этой главе было показано, что если только системы не очень просты геометрически, математическая обработка двухжидкостных систем крайне затруднительна, за исключением, быть может, использования графического метода. В действительности будет казаться бесполезным начинать аналитическое рассмотрение многоскважиниых систем, если только не допустить вязкость обоих жидкостей одинаковой и дать обработку эквивалентной однородной системы аналогично гл. VIII, п. 5. С другой стороны, приложение этого метода к проблеме водной репрессии было отложено нами ранее до настоящей главы вследствие того, что приводимая здесь математическая обработка скорее Рассмотрение развития применения метода водной репрессии и состояние этого вопроса в настоящее время было приведено в серии очерков (С. R. Fettke, Oil and Gas Journ.;

см. особенно стр. 32;

19 августа 1937 г., а также стр. 48, 26 августа 1937 г:).

Часть II. Установившееся течение жидкостей акцентирует динамическую сторону бесконечной сетки размещения скважин, чем двухжидкостного характера задачи. Практические вопросы, которые входят в проблему водной репрессии, ограничиваются не только анализом и пониманием механизма водной репрессии данной сетки размещения нагнетательных и эксплоатационных скважин, но также и рассмотрением относительных преимуществ различных сеток размещения нагнетательных и эксплоатационных скважин. Чтобы получить ответ на все эти вопросы, является удобным подвергнуть математической обработке совершенно независимо различные этапы проблемы, например, поведение поверхности раздела вода— нефть;

распределение потенциала, сопротивление сетки скважин и коэфициент полезного действия водной репрессии. 17. Процесс образования поверхности раздела вода—нефть. Эксперименты на электролитических моделях. Если пренебречь разницей в вязкости между нагнетаемой водой и замещаемой нефтью, то для прослеживания прогрессирующего движения воды, по мере того как она покидает инжекционные скважины и перемещается по направлению к эксплоатационным скважинам, гоня перед собой нефть, можно применить метод, развитый в гл. VIII, п. 5. Это потребует не только точного вывода уравнений для эквипотенциальных линий (Ф = const) и линий тока Ф= const системы, но еще более трудоемкого получения формулировки [рФ] 2, выраженного через Ф и Ф. После того как будут получены все данные, производство выкладок даже для таких простых случаев, как движение линейного или эллиптического контуров, будет весьма затруднительным *. К счастью, можно совершенно избежать этой вычислительной работы использованием очень простых электролитических моделей 2 процесса водной репрессии при различных сетках размещения скважин. В основании этих моделей лежит наблюдение, что так как скорость иона в электролитической системе пропорциональна градиенту потенциала, аналогично тому, как скорость частицы жидкости в пористой среде пропорциональна градиенту давления, то пути ионов в электролитических системах должны быть эквивалентны путям частиц жидкости в пористой среде с той же самой геометрией и с тождественными граничными условиями. Электролитическая модель состоит в основном из электролита, содержащего ион-индикатор, например, фенолфталеин, заключенный в соответствующей пористой среде, чтобы предупредить образование излишних скоростей, имеющих место при обычной диффузии. С этой целью с успехом применяется фильтровальная бумага, пропитанная электролитом. Отрицательный электрод представляет собой источник жидкости при соответствующем течении, положительный электрод изображает эксплоатационную скважину. Продвижение ионов ОН от отрицательного к положительному электроду соответствует продвижению водяного фронта в задаче водной репрессии. Перемещение ионов ОН указывается фенолфталеином, который бесцветен в кислой среде Э о случай рассматривал М. Маскет, Physics, 5, 250, 1934. тт Wyckoff R. D., B o t s e t H. G. and M u s k a t M., Trans. A. I. M. E. Pet. Dev. Tech., 103, 219,1933;

см. также R. D. Wyckoff and H. G. Botsset, Physics. 5, 205, 1934. Для изучения деталей техники моделирования см. гл. IV, п. 17.

2 Часть П. Установившееся течение жидкостей жидкости достигают продуктивной скважины, дается кривой / = 2/3. Фиг. 218 является фотографией сложной системы, которая показывает последовательные этапы перемещения поверхности раздела, а также конечный этап, нд котором течение впервые достигает эксплоатационной скважины. Тот факт, что на модели течение гораздо Уже, чем при исчислении (фиг. 176), можно легко объяснить тем, что в модели боковые границы нельзя поместить достаточно далеко от центровой линии скважин, чтобы смоделировать в этом направлении полностью бесконечную плоскость. Продемонстрировав таким образом, что указанная модель в состоянии давать не только общую картину продвижения заводнения, но дает также количественную характеристику затопленной площади на любом этапе продвижения контура, с ошибкой порядка нескольких процентов, вполне возможно перейти к моделированию более сложных систем, для которых весьма трудно получить аналитические выводы.

18. Эксперименты на модели с линейным контуром заводнения » Вследствие того, что многие практические задачи включают проблему продвижения краевой воды, которое можно в пределах вполне разумного расстояния от краевых скважин рассматривать линейным контуром заводнения, рассмотрим сначала приложение электролитомоделирования именно к этим задачам. В качестве практического примера рассмотрим ряд краевых скважин, работающих параллельно контуру краевой воды, совместно со. вторым рядом, расположенным внутри зксплоатационных скважин. Внизу фиг» 219 показано принятое расположение последних. Пунктир представляет собой элементарный участок фронта, взятый из бесконечного ряда аналогичных секций. Модель показывает, что перемещающийся фронт воды остается по существу параллельным первоначальному ряду без серьезного нарушения или языкообразования, пока заводнение не достигает первого ряда скважин в пределах расстояния порядка половины интервала между скважинами. После этого фронт продвигается довольно резким серповидным очертанием в первый ряд скважин. Очертание водного фронта перед тем, как заводнение настигает скважины, показано четвертой фотографией на фиг. 219. После того как будет достигнут этот пункт, краевые скважины эксплоатируются с нормальным отбором, что практически повлечет за собой, разумеется, добычу нефти и воды. Поток воды будет перемещаться дальше, как это показывает фото, пока не будет достигнут второй ряд скважин. В этом пункте эксперименты на модели были прекращены. Интересно отметить наличие нейтральных зон, соединяющих скважины переднего ряда с внутри расположенными соседними. Эти нейтральные зоны показаны обращенными полумесяцами позади первой линии скважин. Если вторая линия внешних, последовательно расположенных скважин будет заменена аналогичной линией размещения, но с шахматной расстановкой скважин, то заводнение даст результаты, показанные на фиг. 220. Хотя конечное продвижение контура отличается Фотографии моделей, которые приведены в настоящем разделе, а также в последующих разделах, взяты из работы Вайкова, Ботсета и Маскета.

У \S /V i *"* Часть II. Установившееся течение жидкостей избежать, применяя другие, очень простые эксперименты на модели с листовым проводником. В главе III было отмечено, что течение вязкой жидкости в пористой среде совершенно аналогично электрическому току в металлической проводящей системе той же самой геометрии1. Так как скорость жидкости в пористой среде пропорциональна градиенту давления, то плотность тока в металлической проводящей системе пропорциональна напряжению или градиенту потенциала. Отсюда следует, что для эквивалентных геометрических форм не только будет одинаковым сопротивление в соответствующих едиг •w\MA/yw\AA ницах, но и распределение в них поАМЛЛЛАЛЛЛЛ, тенциала будет тождественным. з j j_[a ф и г > 234 приведено экспериментальное устройство для двухразмерной проводящей модели, где М представляет собой модель и является просто тонким металлическим листом постоянной толщины, вырезанным в форме элемента сетки скважин или ее сегменл 00, л Фиг. 234. Схема электрического тока для изучения распределения т а > Д л я интересующего нас частного потенциала при двухмерных тече- случая заводнения или течения. Небольниях с помощью моделей из лис- шие электроды W1 и W 2 соответствуют тового проводника. нагнетательным и эксплоатационным скважинам. Делитель потенциала rlf r2f присоединенный через гальванометр G к испытуемому электроду Рг позволяет уравновешивание нулевым методом падения потенциала еъ по отношению к ег и е 4 по отношению к е2. При нажатии на рубильник К батарея сообщает мгновенные токи системе. При условиях нулевого отклонения гальванометра:

отсчет по шкале г± для фиксированного значения г х -Ь ?% пропорционален падению потенциала между электродом W2 и точкой в Р. Если, в частности, г 1 + г 2 = 1 0 0 ом, то значение гг дает процент суммарного падения потенциала в системе между Wx и W2i которое имеет место между Р и Ц/2. Сохраняя значение г1 фиксированным и передвигая Р так, чтобы поддержать нулевое отклонение в G, и замыкая К, можно проследить эквипотенциальную кривую. Меняя также гг и повторяя процесс, можно закартировать всю систему эквипотенциальных линий, т. е. распределение потенциала. При определении экспериментальным путем распределения потенциала следует обратить внимание на некоторые предосторожности при эксперименте, а именно для получения эквивалентных радиусов необходимо иметь регулирование в системе несколькими электродами. В симметричных системах это может быть проверено на точках симметрии в распределении потенциала, положения которых весьма чувствительны к радиусам электродов и которые, очевидно, будут смещаться от их со См. гл. IV, п. 17.

Глава VIII. Системы двух жидкостей ответственных положений, если электроды не будут иметь равные радиусы, В дополнение к этому следует избегать влияния температуры на электроды вследствие высоких плотностей тока. Это явление устраняется в значительной степени, сохраняя рубильник К выключенным и отсюда ток нулевым, за исключением тех мгновенных испытаний, когда необходимо прочесть показания гальванометра. Применение воздушного охлаждения с наддувом на электродах вполне достаточно для снятия остаточного теплового эффекта. В качестве последнего пункта экспериментальной процедуры можно указать на определение электрическим путем линий тока, а также кривых равного давления соответствующей задачи течения, не изменяя существенно моделей. Как было показано в гл. IV, существует взаимная обратная связь между эквипотенциальными линиями и линиями тока в любой двухразмерной задаче потенциала. Если рассматривать, что значения потенциала, установленные на В В контурах данной системы, заменены равными значениями плотностей расхода, то эквипотенциальные линии первоначальной системы становятся линиями тока в новой задаче, а первоначальные линии тока становятся новыми эквипотенциальными линиями. Так, для элемента пяти- д с скважинной сетки, где скважины размещены по углам иг Л, В (фиг. 235), ясно, что небольшие круговые дуги, * замыкающие собой скважины, являются эквипотенциальными кривыми и контуры АСВ и ADB являются предельными линиями тока системы. Отсюда согласно закону взаимности, если отрезать углы при А и В вдоль круговых дуг и прикрепить 1 вдоль бывших линий тока АСВ и ADB полоски высокопроводящего металла, то дуги у А ж В станут ограничивающими линиями тока, а граничными эквипотенциальными линиями станут бывшие линии тока АСВ и ADB. Определив таким образом эквипотенциальные линии в новой системе, мы получим линии тока для первоначальной задачи. На фиг. 236 приведено распределение давления при водной репрессии для квадранта одного элемента пятискважинного размещения, развитие заводнения на котором показано на фиг. 225. Допустим, что инжекционная скважина в правом верхнем углу работает при давлении на 100 единиц выше по сравнению со скважиной в нижнем левом углу, так что значения, которые даются для линий равного давления, представляют собой проценты суммарного перепада давления через систему мнжекция—отдача, вне зависимости от абсолютных значений давлений. Резко подчеркнутое постоянство радиального характера распределения давления относительно двух скважин дает вполне естественное объяснение радиальному характеру продвижения водной репрессии, показанной на фиг. 225. Кроме того, распространение в ширину линий равного давления, а отсюда низкие градиенты вблизи свободных от скважин углов квадранта показывают, почему запаздывает наступление воды вдоль краев модели. В это же время диагональная область продолжает Следует заметить, что проводимость этих полосок должна быть достаточно велика, чтобы убедиться в незначительности перепада в них потенциала* когда ток переходит из контура высокого потенциала в низкий.

Часть II. Установившееся течение жидкостей образовывать квадратообразную конфигурацию, как на четвертой и пятой фотографии фиг. 225, и, наконец, обращается в острый серп, как только фронт воды входит в область высоких градиентов у продуктивной скважины. На фиг. 237 показаны результаты аналогичного анализа и сравнение с соответствующим продвижением водной репрессии. Фиг. 230 получена на основании сделанного распределения давления на участках семискважинного размещения при заводнении. Наиболее удивительной особенностью этой фигуры является концентрация градиента высокого давления относительно центральной скважины, взятой в качестве эксплоатационной. Видно, что 50%-ная кривая равного давления в пяти Фиг. 236. Распределение потенциала и линий тока в квадранте элемента пятискважинного размещения скважин при водной репрессии, полученное из экспериментов на моделях с листовым проводником.

Фиг. 237. Распределение давления и линий тока на участке элемента семискважинного размещения скважин при водной репрессии, полученное из экспериментов на моделях с листовым проводником.

скважинном квадранте находится на середине между нагнетательной и эксплоатационной скважинами, а в данном случае она находится на расстоянии от центральной скважины только 1/9 всего интервала „нагнетание—отдача". Вполне понятной причиной является то обстоятельство, что благодаря наличию в семискважинном размещении в два раза большего количества периферийных скважин по сравнению с центральными, плотности расхода у центральных скважин в два раза выше по сравнению с периферийными скважинами. Разница между градиентами у центральной и периферийной скважины объясняет также причину очень острого серпа на фиг. 230, где эксплоатационная скважина является центральной, а также отстающие и более широкие языки на фиг. 228, где водная репрессия направлена в сторону периферийной скважины. На фиг. 238 показано иное симметричное распределение, соответствующее водной репрессии по принципу движения линейного контура. Очень низкие градиенты вдоль углов модели и последующее медленное продвижение водной репрессии в направлении боковых границ довольно ясно показывают, что заводнение концентрируется вдоль цент Глава VIII. Системы двух жидкостей ровых линий, как это видно из фиг. 223. При этом остается почти половина (43%) всей сетки скважин незатопленной, когда вода впервые достигает вдоль линии центров эксплоатационной скважины. Контрастом фиг. 238 является распределение давления при сетке размещения скважин с шахматной расстановкой и движении линейного контура (фиг. 239). Видно, что распределение относительно нижней скважины весьма похоже на конфигурацию при последовательном движении линейного контура в 8072 86 64водной репрессии. Однако смещение верхнего ряда скважин естественно влечет за собой предварительное расширение фронта водной репрессии, когда вода выходит из инжекционной сква Зв 3634-32200303333?

Фиг. 238. Распределение давления и линий тока на элементе размещения скважин при водной репрессии при прямой напорной линии, полученное из экспериментов на моделях с листовым проводником. Фиг. 239. Распределение давления и линий тока на элементе размещения скважин при водной репрессии с шахматной расстановкой нагнетательных скеажин, полученное из экспериментов на моделях с листовым проводником.

жины и делится на два языка, симметрично движущихся к эксплоатационным скважинам (фиг. 221). Аналогичным путем можно заранее предсказать по крайней мере общие черты любой системы водной репрессии, если только в ней закартировано и построено распределение давления. Наконец, следует заметить, что электромодели с листовыми проводниками можно использовать очень удобно для определения сопротивления сетки скважин, а также деталей распределения потенциала. Дляэтого необходимо сначала замерить удельное сопротивление материала, из которого сделана модель, а затем абсолютное значение сопротивления модели мостиком Уитстона или нуль-потенциометром. Величина абсолютного сопротивления, деленная на удельное сопротивление металла, из которого изготовлена модель, даст эквивалент сопротивления сетки размещения скважин Часть II. Установившееся течение жидкостей водной репрессии для единицы проницаемости среды и единицы вязкости жидкости. 22. Аналитические расчеты проводимости сеток скважин при водной репрессии. Общий метод. Рассмотренные в последнем разделе модели с листовыми проводниками дают возможность получить точные замеры сопротивления сеток скважин при водной репрессии. Вместе с тем эти модели страдают недостатком, а именно они дают конечные результаты, соответствующие только данным размерам принятой модели. Поэтому для изучения изменчивости в величине проводимости сеток скважин при водной репрессии, в зависимости от расстояния межау скважинами в сетках, необходимо построить новую модель, соответствующую каждому ряду интересующих нас размеров. Однако при аналитической обработке можно сохранить полностью размеры системы в виде параметров, которые нуждаются в уточнении только на конечных численных выкладках. Допустим, что водная репрессия, так же как и при экспериментах на моделях, производится на бесконечной сетке инжекционных и эксплоатационных скважин. Как было показано в гл. IX, п. 8, каждый бесконечный ряд скважин одинакового знака, параллельный оси х, можно представить себе его участием в распределении давления полной сетки скважин из следующего выражения: p — q In ch ~ ( y — b)— cos—-(х — с), [уравнение (2), гл* IX, п. 8], (1) где а—расстояние между скважинами;

Ь — расстояние от оси х;

с — расстояние от оси у до ближайшей скважины справа, q — коэфициент суммарного расхода Q? поступающего через каждую скважину в пласт песчаника, на единицу мощности последнего, согласно отношению = - ^ - ^, [уравнение (5), гл. IX, п. 8 ]. (2) Тогда распределение давления, соответствующее полной сетке скважин, получается непосредственно из суммирования членов, обязанных их индивидуальным рядам, каждый с соответственными значениями q, buc. Вместе с тем бесконечная сетка скважин будет состоять из бесконечного числа рядов инжекционных и эксплоатационных скважин. Отсюда суммирование членов, обязанных их отдельным рядам, должно быть сделано со всей тщательностью, чтобы избежать расхождения ряда. Физический смысл правильного суммирования заключается в том, что бесконечный ряд линий инжекциоиных и эксплоатационных скважин прибавляется в форме пар рядов, симметричных относительно оси х, а также константы, добавляемой к члену, выражающему давление каждой пары и такой величины, чтобы результирующая сумма была сходящейся. Когда будет найдено выражение для распределения давления в сетке скважин, разница в давлении между представительницами инжекционных и эксплоатационных скважин даст чистую разность давления, действующую в системе. Разделив это выражение на Q, получим в результате „проводимость" сетки или текущий дебит на единицу разности давления, элемент сетки и для единицы мощности песчаника, а также Глава VIII. Системы двух жидкостей для &//г=1. Обрабатывая последовательно различные сетки скважин при водной репрессии *, продемонстрируем этот метод на ряде имеющих практический интерес задач. 23. Проводимость при прямолинейном заводнении. На фиг. 240 приведена геометрическая схема при прямолинейном заводнении. Кружками показаны инжекционные скважины, У а точками—эксплоатационные скважины. • * • •• Вследствие симметрии системы вся сетка сква0 о о о о жин может быть определена элементом, который дается пунктирным прямоугольником. • в • • •. С другой стороны, для аналитического восо* с о 1 произведения системы необходимо отметить 1 только, что члены уравнений, например, о 'О о о (1), гл. IX, п. 22, должны выбираться со знаком -f q : b = 2nd, с = 0, и — q;

Ь = т • « = 2 ( п + l)tf, с =0. Складывая эти члены и добавляя констан- Фиг. 240. Размещение скваты согласно указаниям последнего раздела, жин при водной репрессии получаем результирующее распределение да- для прямой напорной линии. вления в следующей форме:

i 1 1 L.

оо cos—W ^У(—l)m X u / jmsm \ 4 Teh xln Xin a cos ' 2л (у -f- md) 2nx Чтобы найти разницу давления, которое, дается уравнением (1) и существует между скважинами в нагнетательных и эксплоатационных рядах, достаточно, очевидно, выбрать эксплоатационную скважину в начале координат, а нагнетательную скважину расположить непосредственно над ней по оси у. Устанавливая тогда первоначально х = 0, получим значение для р:

со l) m ln а Anrndla а (2) У нагнетательной скважины можно принять y=*rWy где rw — радиус скважины. Величину его можно считать очень малой по сравнению с d или а. Отсюда оо J -.

(3) Эти конечные выводы были получены М. Маскетом и Р. Д. Байковым в цитированной выше статье.

Часть II. Установившееся течение жидкостей и 16 sh nrja оо На нагнетательной скважине у= ±rw />(0, 16 sh%d sh 2ndla Тогда разность остаточного давления Ap = 2q\n ch J w' t sh * sh2nmd/a Так как для практических случаев величина dja будет не меньше 1/4, все члены ряда, за исключением первого, могут быть опущены с ошибкой порядка только 0, 1 %. Тогда выражение для Ар можно переписать в следующем виде:

Как было уже отмечено, расход на скважину дается уравнением Отсюда величина, обратная сопротивлению системы, или ее действительная проводимость, получается из выражения:

2л st^ndja sh Zndja (7) In Для dja ^ 1 можно применить с высокой степенью точности упро щенную формулу: Q '2л nd о, о и 21n2sh Вследствие допущения, что Л//м имеет то же самое значение в затопленной зоне и в зоне, куда вода еще не достигла, абсолютные значения проводимости среды при водной репрессии, выведенные в настоящем и последующих разделах, могут отличаться весьма заметно от значений, которые наблюдаются в реальных размещениях скважин при водной репрессии. Вместе с тем относительные значения, полученные сравнением различных типов размещения или различных расстояний между скважинами в последних, на основании теоретических умозаключений должны между собой сближаться. Кроме того, с помощью небольшого промыслового эксперимента можно развить подходящий процесс усереднения для нахождения величины /с///, на основании которого можно вполне удовлетворительно предсказать абсолютные проводимости системы.

Глава VIII. Системы двух жидкостей Интересно заметить, что уравнение (8) соответствует значению fQ/p для положения напорной линии между непрерывной линией источников и стоков с фактическим разрывом между ними d + -- In - ^ -. Второй член представляет собой, очевидно, увеличение эффективного расстояния между линиями источников и стоков вследствие того, что течение должно выйти и вступить в систему из несвязанных между собой индивидуальных скважин, а не распределиться равномерно вдоль линий источников и стоков. На фиг. 241 дано построение уравнений (7) или (8) как функций а/а, на кривой / ajrw = 2640, что соответствует радиусу скважины 0,075 м и расстоянию между инжекционной и эксплоатационной скважинами — 201 м\ на кривой // djrw= = 2640, что соответствует расстоянию 201 м между 1 инжекционным и эксплоата, IM J 0,30 — — -~,. —— ционным рядами. Следует — заметить, что [лСЦкАр, или °'2°0 0,4 0,8 f,2 t,6 2,0 2,4 2,8 3,2 $8 d/a действительная проводимость, уменьшается доста- Фиг. 241. Изменение проводимости водной точно медленно с увеличе- репрессии при последовательном продвижении нием интервала между ря- линейного контура в зависимости от а/а дами. Вполне понятно, что (расстояние между рядами нагнетательных и это явление всецело обязано эксплоатационных скважин) / (расстояние между скважинами внутри рядов): тому обстоятельству, что О/AD —текущий дебит на скважину и на единицу основная часть всего сопро- п%е^ада дарения в песчаникес ^Ти^То^оГм мостью и единичной мощностью;

1 - а.принято 2Ш м тивления системы ведет свое и фронтальное продвижение последователь»ьш, / / i ™1 начало от радиального тече- а принято 201 м и фронтальное P ° ^ ^ следовательным;

Ш - а принимается 201 м и фрон ния относительно отдельных тальное продвижение шахматным» скважин в нагнетательных и эксплоатационных рядах.. Поэтому увеличение интервала между последними влияет на относительно небольшую часть сопротивления, которое связано с линейным течением между рядами. Так, даже при rf/a = 4 Д е й е ™ и т е л ь ная проводимость системы все же составляет половину величины соответствующей при условии, что скважины непрерывно Расставлены на линиях нагнетательных и эксплоатационных скважин (рЩКпрn eH H H = Ж и в и т е л ь н а я проводимость при прямолинейном заводнении приведена на Фиг 243 построением относительно d (кривая / ), которая ГтветставуеФТ случаю, где "интервал между -гнетательными скважи равняется интервалу между нагнетательной и эксплоатационной скважи нами (d = а). 24. Проводимость среды с пятью скважинами при водной ре» прессии. Для проведения аналитической процедуры удобно выбрать оси координат в' пятискважинном размещении так, чтобы они проходили через диагонали обычного пятискважинного элемента или квадрата, указанного на фиг. 242. Здесь центральная скважина принята эксплоатационной скважиной (с положительным коэфициентом расхода). Югда Часть II. Установившееся течение жидкостей штискважинное размещение может быть представлено следующим рядом групп скважин:

+ q:(2nd, 2md);

[(2n+l)d, (2m+l)d], -q:[(2nd, (2m+\)d];

[(2n+\)d, 2md], где п показывает положение скважины в ряду, параллельном оси х, а т указывает на расстояние этого ряда от оси х. Построим сетку размещения скважин так же, как и в предыдущем случае (гл. IX, п. 23), беря совместно парные ряды, симметрично расположенные относительно оси х. Затем, группируя нагнетательные и эксплоатационные ряды со скважинами, расположенными непосредственно одна над другой, можно написать результирующее распределение давления:

Фиг. 242. Пятискважинное размеch nyld — cos nxjd щение скважин при водной ре— /Tin прессии. ch n cos nxjd —— md) я (у _ md) t оо ch — COS + COS-7d m -Ч —l) In [ J2mn 1 oo —md) ch —^— X ях~\ Г, я (y + md) cos -г\ ch vv // ' ' лх cos -r d I ( Как и в предыдущем рассмотрении, уравнение (1) налагает условие существования разности давления между нагнетательными и эксплоатационными скважинами, которое дается следующим выражением:

Ар = р (0, d ± rw) — р (0, rw) = cth nrJ2d a 2q 1П cth я/2 + +^ ^ 2 in in sh»3t/ sh я sh лг /2d + sh oo 2 oo сЪ*лт/2 ch n (m — l)/2 ch n (m + l)/2 th%/2 th Зя/ oo j — l)mlncth Ltl (2) где ch nTw\2d принято равным единице.

Глава VIII. Системы двух жидкостей Так как представленный ряд составляет менее 0, 1 % его можно свободно опустить. Тогда останется: АР всего Ар, = -Aq{ In sh \ -b 0,1674).

(3) S Отсюда, заменив sh его аргументом, получим: V кЛр г.,.

-—0, (4) QJS 0, •—-» — ш —_ * * ——.

— — 1и Принимая снова rw = 0,4 = = 0,075 м, дадим построение,,,,,,,,, л, U/i уравнения (4) с Q/л/кАр по » so Ш Ш гго зоо *зво420 480 540. отношению к d (фиг. 243), &„„ олъ т л ^ v /J.. ^ ^ и г. 246. Изменение проводимости сеток кривая идет почти совершенно размещения водной репрессии в зависимости кривая У У. Ьидно, что эта от расстояния d между нагнетательными и параллельно, но выше (на эксплоатационными скважинами: 4—6%) КрИВОЙ ПРОВОДИМОСТИ QI Лр — текущий дебит на элемент сетки и на II 11 •^^^ для прямолинейного заводненичной проницаемостью и единичной мощностью;

/ — нормальный процесс водной пония. Общее изменение /btQ/kAp следовательным продвижением репрессии сконлинейного по отношению к d весьма по- тура (d = a);

II — пятискважинная водная репрессия;

///— семискважинная водная репрессия» хоже на изменение расхода Ось абсцисс — d — расстояние между нагнетапри радиальном течении в за- тельными и эксплоатационными скважинами (л<). висимости от изменения радиуса скважины или внешней границы системы. Так, проводимость при удвоении интервала между рядами от d = 3 0 5 м до 6? = 610 м уменьшается н любом случае только около 9 %. Для строго радиального течения в единичную скважину эта же величина уменьшения проводимости составит соответственно 8, 3 %. 25. Проводимость среды с семью скважинами при водной репрессии. Следуя процедуре, которая была применена нами для пятискважинного размещения, разобьем семискважинY ное размещение при производстве аналитической обработки на следующие группы скважин (фиг. 244):

единицу перепада давления в песчанике с еди + 2q:(na, 3md);

*-х — q :[na, (3/77+ Фиг. 244. Семискважинное размещение скважин при водной репрессии.

имеют те же обозначения, что и при ' ^ пятискважинном размещении. Присутствие коэфициента 2 для первой группы скважин объясняется тем, что в семискважинном размещении имеется только половина центральных (эксплоатационных) по сравнению с количеством перифепит Часть II. Установившееся течение жидкостей рийных (нагнетательных) скважин. Из геометрии шестиугольника ясно, что a = ]/r3d. Суммируя участие различных групп скважин в распределении давления, найдем, что р = 2q In I ch — oo cos I+ 2m _L oo г ch 2n <у-ЗяШ) _ C Q S _ 2 ^ "I Г c h (y — Smd) 2лх | r — cos a c « „12 Jtm nmdja JI 2* (у + 3mrf) _ cps J^ oo, J J [ch Wy-^3md) _ a a _2^ е a1 I | a a 4ж*(3т+ i)/a (i) a a_J _ _ >, _j n V oo ш, Г 2я (у—2d—3md) 2nx 1 Г, 2л (у + 2d + 3md) 2лх 1 4 ch — cos ch — cos ZJ 0 oo a (3m -|- 2)/a Л 4яй (Зт 4- 2)1 a a in 0 oo L h 2,(y-d/2-3mg) ' cos « « Л I to(y + d/8 + 3imO a JI а ' (Зт cos j«l aJ V q 4 fch Jd 2n » - 5 d / 2 - S m J l + cos g ^ l [ch (Зт+5/2)/а Подсчитывая опять разность давления между нагнетательными и эксплоатационными скважинами и выделяя все члены, где т = 0, можно выразить Ар следующим выражением:

= Р (04±r\,)-p (0/ w ) = 2q In sh s chsh (3m + a (3/тг— 1)лс?

(2) a cU (3/72+ a a Глава VIII. Системы двух жидкостей „U2(3m ;

a + а S V 2)nd 7 11 ch (3m ~ V2) a ( (2) /)^ l a Бесконечный ряд можно теперь просуммировать следующим образом. Беря первый ряд, найдем, что:

sh -^ — sh jrd A < In / a sh a a \ Х OO OO sh Пп •4sh — wl a Sfl a a Приближения, которые, повидимому, влекут за собой пренебрежимо малые ошибки вследствие того, что Ззгй О —— создадут условия, при которых замена sh — о.

через -^ и отбрасыпо вание членов, например, — ^ — - г sh nd T, дадут очень маленькую ошибку —-— сравнению с оставшимися членами. Суммируя аналогичным путем остальные ряды, можем сгруппировать их всех в член:

3nd а —4qe a nd sh 2 ~«, 3nd sh 12 + e nd a —e a -2e a —в 4я a Ьпй а Часть II. Установившееся течение жидкостей числовая величина которого составит — 0,0029 q. Подсчитывая теперь значение членов первой части Ар, найдем, что Ар можно переписать в таком виде: Ар = 2q (—3 In sh —^ + 0,0790 j. (3) Замечая теперь, что расход на эксплоатационную скважину составляет 87tkql/u>, и опять заменяя sh своим аргументом, получим действительную проводимость системы из следующего выражения:

Р.

(4) Принимая rw = 0,075 м, получим построение уравнения (4) на фиг. 243 в виде кривой ///. Из кривой видно, что она почти параллельна кривым / и //. Отсюда проводимость семискважинной системы выше на 32% по сравнению с пятискважинным размещением и на 3 9 % выше по сравнению с прямолинейным заводнением. Вполне понятно, что это сравнение относится к трем системам водной репрессии с тем же самым расстоянием между нагнетательными и эксплоатационными скважинами, и не учитывает разности в величине уплотнения числа скважин на единицу площади для любой из трех сеток размещения. Легко убедиться в том, что степень уплотнения скважин для всех трех случаев размещения при водной репрессии будет: линейное размещение — 1 скв. на da единиц площади;

пятискважинное размещение—1 скв. на d2 единиц площади;

семискважинное размещение — 1 скв. на 0,866 d2 единиц площади. Отсюда если d = a, то при прямолинейном заводнении, как это было принято на кривой / построения фиг. 243, водная репрессия имеет ту же степень уплотнения на 1 га, что и пятискважинное размещение. В то же самое время при семискважинном размещении водная репрессия имеет степень уплотнения на 15% выше на единицу площади. Чтобы выравнять степень уплотнения\ необходимо принять расстояние между нагнетательной и эксплоатационной скважинами при семискважинном размещении (tf7) в 1,075 раза больше по сравнению в пятискважинной системой. Это означает, что если расстояние между нагнетательной и эксплоатационной скважинами при пятискважинном размещении составляет 152,5 м9 при семискважинном размещении, чтобы иметь то же самое количество скважин на единицу площади в системе водной репрессии, расстояние должно увеличиться до 163,8 М. Влияние этого снижения до величины, равной степени уплотнения на единицу площади, весьма невелико и все же сохраняет проводимость среды при семискважинном размещении на элемент сетки последней, соответственно около 31 и 3 8 % выше значения проводимости среды при пятискважинном размещении и прямолинейном заводнении.

26. Проводимость при шахматном размещении скважин. Если повернуть фиг. 242 на 45°, можно заметить, что пятискважинная сетка фактически является шахматным размещением скважин с d/a = 1 / 2.

Глава VIII. Системы двух жидкостей Поэтому разница около 3 % между сопротивлением среды при пятискважинном размещении скважин и сопротивлением среды при линейном размещении (d/a = 1/2), (фиг. 241), а также гораздо большая разница (130%) в величине к. п. д. между этими системами водной репрессии всецело связана, как это будет показано дальше, с шахматной расстановкой скважин. Является интересным подвергнуть математической обработке общий случай шахматной расстановки скважин (d/a^1!^) или же „смещенной пятискважинной сетки" и посмотреть, дает ли последняя какие-либо преимущества по сравнению с обычными, более симметричными размещениями скважин при водной репрессии. Для этого выберем координатную • —6 о ось так, чтобы она проходила через две соседние нагнетательные и эксплоатационные скважины. Однако такие оси не позволяют ъметь периодического воспроизведения ко- ф и п 245. Шахматное разординат, если только величина 4d2ja2 не мещение скважин при водной репрессии. представляет собой целого числа. Поэтому для общих значений dja необходимо начертить оси координат аналогично нормальным последовательным рядам, нагнетания, т. е. согласно фиг. 245. Следуя процедуре, которая была, принята в предыдущих разделах, можем написать распределение давления в системе так:

2лу а 2пх cos — а ch cos ch GO In 2л (у — 2md) а 2л (у —2md — d) а 2л (у + 2md) а + 2лх cos а (1) оо Л 41 cos — | q >in [• + c o2лх] | Г c h su a 2лх1 cos — a Разность давления скважинами будет:

между нагнетательными и эксплоатационными 2q\n,.лй 4 ch — а „4 2 sh —*L sh a,. Злй 3 ch — а 2лd — sh — a a sh 3 U a 2mлd a a ^2(m-\-\)лd sh —> a ' (2) Часть II. Установившееся течение жидкостей для которого ряд является незначительной величиной, если только Тогда проводимость системы будет:

t*Q 1п sh 2 ch 4 2я а nd ch3^ а а 2nd And sh 4 sh а а которое приводится к уравнению (8), гл. IX, п. 23, для последовательных рядов при dja^l. Действительно, на фиг. 241 построение уравнения (3) для а = 201 м дает кривую ///, которая сливается полностью с соответствующей кривой для последовательной сетки размещения (кривая /) при dja > 1 линейного контура питания. Отсюда следует, что, исключая размещение, где dja

Глава VIII. Системы двух жидкостей системе), которая затопляется к тому моменту, когда нагнетаемая жидкость впервые достигает эксплоатационной скважины. Разделив эту площадь на площадь элементарной единицы сетки размещения скважин при водной репрессии (которая содержит только одну инжекционную скважину), получаем непосредственно часть затопленной сетки размещения скважин, а отсюда к. п. д. водной репрессии. 28. Коэфициент полезного действия при водной репрессии с последовательным питанием от линейного контура. Приложим сначала этот метод к последовательному питанию скважин от линейного контура. Ясно, что линии тока с наивысшей средней скоростью являются центровыми линиями между нагнетательными и эксплоатационными скважинами, одна из которых будет ось у на фиг. 240. Так как скорость вдоль оси у является градиентом давления, то из уравнения (2), гл. IX, п. 23, следует, что п — _ -i (?R\ r ( у ~ f ff*\dy)x=Q~ ~ \ d ) i h af/л сш а Я оо +Cth где / — пористость песчаника. Тогда время, необходимое нагнетаемой жидкости для достижения эксплоатационной скважины (помещенной в начале координат), будет:

d fJL f d l Заменяя переменную с помощью подстановки а' можно получить уравнение (2) в следующем виде:

(3) Пренебрежение членами ряда, за исключением первого, может привести к ошибкам в величине /, которые не имеют практического зна* Для точности пределы уравнения (2) должны составлять rw и d — rw.

Вместе с тем при у = 0,&>jL~QO» и ошибка при определении t, опуская rWf составляет только f(*r^,/2kq. Этой величиной можно совершенно пренебречь, так как она прибавляет к реальной площади водной репрессии площади обеих скважин в каждой единице сетки размещения.

Часть П. Установившееся течение жидкостей чения, помимо тех случаев, когда dja значительно меньше / 2. Для 1 dla^> l2 уравнение (3) можно переписать в следующем виде:

ch*^lncl4 -sh^ln %Ar W» d i \Ar Так как заводненная площадь к этому времени составит на элемент сетки размещения Ankqtjffi от всей площади 2da, то соответствующая ей относительная величина заводнения будет: А ( ch 12 п wd а 2 >* а ^ - 0,6932sh ^).

(5) На фиг. 246 дается построение уравнения (5) в виде кривой /. Из кривой видно, что к. п. д. водной репрессии значительно возрастает (уменьшается стремление к обходному движению) с уменьшением расстояния а между — -— — ===== 0,8 а—— скважинами одного и того же профиля (эксплоатационная — эксплоатационная, нагнетатель/ 0,4 ная —нагнетательная) или же / увеличением дистанции d меж0,2 О 0,4 О t,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3.2 3,8 d/a ду скважинами разного профиля (нагнетание — эксплоатаФиг. 246. Изменение эффективности водной репрессии при фронтальном заводнении ция). в зависимости от dja — (расстояние между Вместе с тем этот эффект рядами нагнетательных и эксплоатационных уменьшается с возрастанием скважин) / (расстояние между скважинами dja. Действительно, для dja^ внутри рядов);

Q/A — (площадь элемента сетки размещения, затопленная ко времени, 1,5 уравнение (5) можно прикогда вода впервые достигнет эксплоатационвести к форме:

=5= -II I " " е ных скважин) / (первоначальная площадь элемента сетки размещения);

J — водная репрессии при фронтальном заводнении;

// - шахматное размещение нагнетательных скважин.

Q l=l_0,441/(d/a), (6) которая показывает гиперболический рост к. п. д. с большими значениями dja. Можно заметить, что для d/a = l уравнение (5) дает ф/Л = 0,57. Эта величина полностью согласуется со значением, найденным ранее с помощью электролитической модели, ния. Для пятискважинной системы можно выбрать снова за ось у ли 29. Коэфициент полезного действия пятискважинного размеще Глава VIII. Системы двух жидкостей *шю тока наивысшей средней скорости. Фактическое значение скорости лается выражением: vу - — " / со n l) m|' L ь я —mrf) CO niy — md) C J 2ch 2л;

= 2яА:<7, ""• _j OH i (1) и интегрируяг для членов с m = 3 и w = ch Подставляя это выражение в (2), гл. IX, найдем:

п. 28, t Так как затопленная площадь составит Ankqtjjfj,, а площадь каждого элемента сетки размещения 2fi?2? то относительная величина заводнения будет:

^ =0,7226.

(3) Эта величина к. п. д. находится в полном согласии с ранее найденным значением его на электролитической модели (гл. IX, п. 19). 30. Коэфициент полезного действия семискважинного размещения при водной репрессии. В данном случае осью у (фиг. 244) опять берется линия тока наивысшей средней скорости. Скорость вдоль линии тока на основании уравнения (1), гл. IX, п. 25, будет: //* \dyjx = о я (у -zmd), h CO Ankq a n (y 4- 3md) 1, a J ajfi S О со со th я th a л (у + d + 3md)'\ a a n{y — d — 3md) о a//* oo a oo a J, о -~-^—3md) th /_ а +th ж ( у + -тг- +3md) a Часть II. Установившееся течение жидкостей со 2лкд У о af/л 1, a a +th -1 1 w + ch nd a ~^.* 2nd a bnd w—ch a w — ch, 4nd a w + ch a t iv + ch (i) a после того, как будут опущены все члены для т > 0, и после подстановки w = c h -j-. Подставляя это выражение в (2), гл. IX, п. 28, и интегрируя его„ найдем:

Pages:     | 1 |   ...   | 7 | 8 || 10 | 11 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.