WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |

«М. Маскет Течение однородных жидкостей в пористой среде Перевод М. А. Геймана Москва • Ижевск 2004 УДК 622 The Flow of Homogeneous Fluids Through Porous Media ВУ М. MUSKAT, PH. D. ...»

-- [ Страница 4 ] --

Ът, —п f + (17) 2, — COS и ~i — Так как метод решения с помощью функций Грина требует первоначального определения функции Грина применительно к геометрии изучаемой проблемы, в приложении приводятся функции Грина для некоторых двухмерных областей. Они могут явиться полезными при решении других плоских задач. 7. Течение из бесконечного линейного источника питания в скважину. Фронтальное продвижение. Метод отражений. Следующей плоской задачей, имеющей практический интерес и относящейся к течению в единичную скважину, является такая, где внешним контуром вместо окружности будет прямая линия. Эта система соответствует наиболее простому случаю наступления краеfO.c№, вой воды, где проникающая в пласт вода образует „фронтальное продвижение", замещая и оттесняя нефть в скважину, расположенную вблизи водо-неф) Угг\ тяного раздела. Она может также соответствовать течению в артезианскую скважину, пробуренную в проницаемом песчанике, который беспрестанно насы(Ordh щается водой из близлежащей реки или канала. Тогда последний будет являться линейным источником питания, в кото- Фиг. 35. Бесконечный линейный ром давление будет поддерживаться источник движения жидкости по постоянным и выше, чем давление на направлению к скважине в точке (0, d). забое скважины (фиг. 35). Можно до1 — линейный источник. пустить, что бесконечно протяженный линейный источник жидкости представлен осью х-ов и что на расстоянии d от него имеется скважина радиусом rw. Допустим на один момент, что давление вдоль линейного источника питания поддерживается на нулевом значении, а давление на забое скважины равным pw. Будет ли тогда течение жидкости направлено в скважину или из скважины и каков будет характер распределения давления? Из рассмотрения, произведенного в предыдущем разделе, становится ясным, что вследствие незначительности размеров радиуса скважины по ti Часть II. Установившееся течение жидкостей сравнению с остальными величинами размеров, рассматриваемых в практической задаче, для аналитических целей можно представить себе любую скважину с постоянным давлением pw в виде точечного источника или стока, помещенного в центре забоя скважины (с трехмерной точки зрения это будет линейный источник питания или стока, ось которого перпендикулярна к плоскости ху). Потенциал такой скважины будет иметь вид: ^ w w, (1) где rw — радиус скважины и q — произвольный коэфициент. В системе, состоящей из некоторого числа скважин, каждая из них будет участвовать в суммарном распределении давления именно этой величиной, причем радиусы г будут, разумеется, замеряться от центра забоев отдельных скважин. Справедливо, что в уравнении (1), при г = 0, т. е. соответственно центру скважины р становится неопределенным. Однако в этом нельзя усмотреть затруднений, так как интересующая нас область помещается между скважиной и внешним контуром. Допустим, что в самой скважине нет песка или иной пористой среды, т. е. основное уравнение (1), гл. IV, п. 2, неприложимо к ее внутренности. Поэтому, если последнее экстраполировать на те области, которые не подчиняются этому уравнению, решение уравнения (1), гл. IV, п. 2, не представляет собой никакого интереса. Исходя отсюда, можно к величинам, представленным уравнением (1) и отнесенным к реальным скважинам в верхней полуплоскости, где у > 0, т. е. в интересующей нас области, добавить другие аналогичные величины, относящиеся к гипотетическим скважинам в нижней полуплоскости, где V < 0. В этом случае опять принятые величины обратятся в неопределенность в центрах соответствующих скважин. Но так как поведение их в пределах интересующей нас области, где у > 0, не будет противоречиво, то приложение их в этом месте не встречает особых затруднений. Так, в частности, реальная скважина в точке (0, d) может иметь или можно допустить, что она имеет, зеркальное отражение в нижней части плоскости под осью х-ов. Кроме того, можно допустить, что это отражение является отрицательным, т. е. его потенциальная форма является отрицательной величиной членов соответствующего уравнения (1). Тогда в результате взаимодействия этих двух скважин будет иметь место следующее соотношение:

r w qla • — pw = q In - -, 'w »„.

Го (2)' где rt и г 2 будут соответственными расстояниями от центра скважины и ее отражения. Посмотрим теперь, что обозначает это выражение. Чтобы найти его значение для поверхности забоя скважины, необходимо заметить следующее. Для реальной скважины гг • rw и г 2 изменяется от 2d—rw до 2d-{-rw. Но так как rw гораздо меньше d, а согласно уравнению (2) р изменяется логарифмически с изменением г 2, вполне Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

оправдывается допущение r2 = 2d для всех случаев рассмотрения поверхности забоев скважин. Тогда уравнение (2) примет вид: ~2d IV) (3) который при соответствующем подборе величины q может принять любое допускаемое и заранее намеченное значение. Однако большую значимость имеет вывод из уравнения (2), что при г1=^г2У — р = 0 и что геометрическое место точек, где гг = г2,— есть ось х-ов. Иначе говоря, решение А;

In In rJ2d -20-!

-1,2-0.8 -GA 0,4 0,8 1,2 1,в 2, Фиг. 36. Кривые равного давления и линии тока для движения жидкости в скважину из бесконечного -линейного источника при постоянном давлении.

1 — линейный источник.

обращается в нуль на оси х-ов и имеет значение pw для поверхности забоя скважины. Таким образом, этот вывод является решением физической задачи, поставленной в начале настоящего раздела. Быть может, на практике явится более удобным установить давление на линейном источнике питания скорее /?е, чем нуль. Тогда легко заметить, что решение задачи в декартовых координатах будет: \nrJ2d "л г2 rf ИЛИ г ^ е In2d/rw ln "х« k + Pe (о) (6) (7) Отсюда кривые постоянного напора даются отношением: const = с 2, \У-й находящимися в точке 1+с 1_ С 2Л ~ (1_ С 2) и являются, очевидно, окружностями радиуса 2йсЦ\ — с 3 ) с центрами, 0, d (т^тт) L На фиг. 36 приведены несколько Часть II. Установившееся течение жидкостей кривых равного напора и линий тока. Ортогональные траектории кривых равного напора указывают макроскопические пути перемещения частиц жидкости1. Теоретические линии тока на этой фигуре — окружности с центрами в (с, 0) и радиусами V c*-\-d* легко сравнивают с аналогичными следами на фотографии (фиг. 37), полученной Козени на песчаных моделях. Полное согласие между ними можно рассматривать как строгое подтверждение обобщающего значения закона Дар • Фиг. 37. Фотография экспериментальных данных на песчаной модели, подтверждающих распределение линий тока, представленных на фиг. 36 (по Козени). си. Этот закон, выведенный первоначально на основании опытов с линейными колонками песка, распространяется и на течения, где движение жидкости может обладать компонентами, направленными более чем по одной оси декартовых координат. Суммарный расход, поступающий из линейного источника питания в скважину, определится из выражения:

= - - * - Т(^\ dx2nk{pe-pw) /*ln2d/rw 2kd{p <-p»> dx (8) 1 K o z e n y J., Wasserkraft und Wasserwirtschaft, 22, 103, 1927. Вертикальное направление потока при опытах Козени не имеет никакого отношения к линиям тока. Единственным выводом, который можно сделать из них, — это рассматривать кривые равного напора (фиг. 36), как эквипотенциальные поверхности, для которых скорее будет p — ygz, чем постоянная величина р.

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

Легко убедиться, что этот вывод можно получить также из уравнения Q кгW [Л 2л О где п — нормаль к окружности радиусом гг = rWt определяющим скважину. Интересно заметить, что согласно уравнению (8) расход в скважину, находящуюся на расстоянии d от линейного источника питания с давлением ре, является аналогичным расходу в ту же самую скважину, если она окружена круговым источником питания с радиусом 2d и давлением ре. Отсюда поток пропорционален перепаду давления ре — pw и изменяется логарифмически с изменением расстояния от скважины до источника питания. Уравнение (8) можно приложить к решению задачи подсчета производительности артезианской скважины, пробуренной вблизи реки или канала Фиг. 38. Артезианская скважина, дренирую(фиг. 38) 1. В частности, оно щая пласт песчаника который питается вопоказывает, что эта производой из реки или из канала. дительность изменяется весьма 7 — песчаник. медленно, логарифмически, с изменением расстояния скважины от источника питания водой. Более того, производительность прямо пропорциональна превышению напора жидкости в реке или канале над уровнем, который поддерживается в скважине. Возьмем в качестве численного примера (фиг. 38) перепад давления жидкости 3 м, проницаемость песчаника 1 дарси, диаметр скважины 0,15 м и расстояние от берега 30 м (допустим вертикальность скважины). Тогда:

/?и/=О,295 am;

к—\ дарси;

/ / = 1 ;

0,075 м;

d =30 м..

Согласно уравнению (8) имеем: = 0,309 CMzjceKJCM мощности песчаника. Для скважины, которая пробурена на расстоянии 60 м от берега, производительность уменьшится до величины 0,295 смг/сек[см мощности песчаника. Полученное аналитическое решение можно распространить также на подсчет влияния интерференции вследствие наличия других скважин То обстоятельство, что представленный на фиг. 38 пласт песчаника имеет уклон, не имеет никакого влияния на справедливость полученного решения. Поскольку скважина вскрыла песчаник полностью, течение в скважину будет строго двухмерным, исключая не заслуживающие внимания нарушения его, обязанные отклонению оси скважины от перпендикулярности по отношению к плоскости напластования песчаника.

Часть II. Установившееся течение жидкостей вдоль берега реки или канала. Подробности такого решения будут даны в главе IX, где будет развита общая теория многоскважинных систем. Следует упомянуть, что метод отображений является в основном способом нахождения соответствующей функции Грина для частной интересующей нас задачи. Это становится ясным из сравнения уравнения (4) с функцией Грина в гл. IV, п. 6 и уравнения (5) с функцией Грина для полубесконечной плоскости, рассматриваемой в приложении. Фактически функции Грина, перечисленные в приложении, можно свободно получить как конечные выводы соответствующего комплекса конечного или бесконечного числа отображений. Уравнение (7), которое показывает, что для функции давления p^qln -fI 9.

окружности радиусом -г~~~г 1—С 2dc и ДентРами в точке 0,d 1-е являются эквипотенциальными кривыми, позволяет точное решение 1 задачи гл. IV, п. 5 без допущения, что rw <^ге. Таким образом, можно убедиться в том, что, обозначая = —, константы се, cw, характеризующие внешний контур и скважину, определяются из следующего выражения:

а In c где nc r\ = x 2 -f Уграниц радиусом re> rw У+ будут 2c, и центры точках:

круговых находиться в о, 2с, о, W 2с W 8. Течение из конечного линейного источника питания в песчаник бесконечной величины. Метод сопряженных функций. В последнем разделе была подвергнута рассмотрению задача единичной скважины, дренирующей песчаник, в который поступает жидкость из бесконечного источника питания. Такая обстановка создается, если линейный источник питания, например, канал или река, параллелен Другой способ точного решения этой задачи заключается в применении „биполярных" координат (см. Н. Bateman „Partial Differential Equations", стр. 260, 1932).

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

контакту жидкости с песчаником на б о л ь ш е м расстоянии п о с р а в н е н и ю с остальными размерами системы, н а п р и м е р, расстоянием скважины от источника питания. Е с л и же канал и л и река пересекают в ы х о д песчаника, к а к это показано на ф и г. 3 9, то эффективным источником питания будет ш и р и н а канала и л и р е к и, которая может быть значительно меньше расстояния скважины от выхода пласта. Т о г д а источник питания следует рассматривать к а к к о н е ч н ы й и д л я н е г о должно быть н а й д е н о соответственное аналитическое р е ш е н и е. П р и разборе такого р е ш е н и я является удобным применить теорию сопряженных ф у н к ц и й, которую вкратце и о п и ш е м. Физическое значение теории сопряженных ф у н к ций заключается в о с н о в н о м н а б л ю д е н и и, что обе части аналитической ф у н к ц и и х к о м п л е к сной п е р е м е н н о й, действительная и мнимая, Z = х + /у, о п р е д е л я е м ы е выражением Фиг. 39. Выход песчаника со +/у) (1) удовлетворяют плоскому уравнению Лапласа. Тогда из уравнения (1) непосредственно вытекает, что дФ,. dW дх ~ дх,, } пересекает ложе реки или канала, которые образуют при этом линейный источник питания:

7 — выход пласта песчаника;

2 - скважины дФ ' ду дФ ду ' * ;

= '/ (г), Их ду (2) (3) (4) так что дФ дЧ* дх ду и д2Ф дх ' = 0.

Функции Ф и Ч* являются потенциальными. Более того, они образуют взаимно связанную ортогональную решетчатую систему, так как из уравнения (3) следует непосредственно, что дФ dW, дФ dW rx /еч дх дх ' ду ду (5) Если теперь допустить, что Ф является потенциалом скорости, согласно уравнения (5) гл. III, п. 3, так что:

D— 'X дФ дх у дФ ду (6) (7) получим дФ/ду ~~ дФ/дх ~~ Таким образом, направление течения жидкости в любой точке совпадает с касательной в этой точке к кривым Т(х, у) = const. Эти кривые известны под названием линий тока для жидкости, где кривые Функцию / (z) называют „аналитической" в точке г— а, если она имеет однозначно определяемую производную в а, а также в каждой точке, непосредственно примыкающей к ней.

Часть II. Установившееся течение жидкостей Ф (х, у ) = const являются эквипотенциальными линиями. Такие две функции называются сопряженными. Функции W (х, у) также известны под названием „функций тока". Отсюда видно, что, если составить уравнение вида (1) и принять ф и W соответственно за действительную и мнимую часть его, можно рассматривать Ф как потенциал скорости в физической задаче с эквипотенциальными линиями Ф= const и линиями тока W = const. Вспоминая, что для плоской горизонтальной системы потенциал скорости Ф является давлением, умноженным на величину к/ju, заключаем, что если в частном случае одна из кривых Ф = const совпадает с интересующей нас физической границей, общие значения Ф и Ч* соответствуют физической проблеме, где граничные условия обеспечиваются постоянством давления. В настоящем разделе, рассматривая физическое приложение этой теории, мы введем предположение, что конечный линейный источник питает при постоянном давлении пласт бесконечной величины. Задача о скважине, дренирующей этот песчаный пласт, будет рассмотрена в ближайшем разделе. Так, для частного случая (уравнение 1) будет допущено, что / ^ ^l (8) где с—постоянная величина и где потенциальная функция Ф заменена давлением жидкости р. Легко заметить, что, выделяя действительную и мнимую часть выражения, имеем: г х = cchp cos !P | у = csh p sin У так что,, | (9) с ch p _— (10) X Уравнения (10) показывают, что кривые равного напора р = const являются конфоФиг. 40. Кривые равного кальными эллипсами, фокусы которых надавления и линии тока относительно конечного линей- ходятся в точке х = ^ с, а полуоси имеют значения cchp и csh р. Линии тока *? = ного источника питания. = const являются конфокальными гиперболами, у которых полуоси соответственно с cos У7 и с sin Ч?, как это показано на фиг. 40. С физической стороны эти кривые можно принять дающими распределение давления и линий тока в системе, где поддерживается постоянное давление ре по эллиптическому контуру:

я:

#' 3>^ с2 cos с 2 sin 2 W = и давление pw ности:

по внутренней X конфокальной V эллиптической поверх -^ |У = - i# Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

Когда bw~0, внутренний эллипс вырождается в конечный линейный источник питания длиной 2с, определяемый из Тогда распределение давления и линий тока точно следующим выражением 1 :

определяется вполне где > _|_ у2 _|_ С ± | ^ ( Х 2 _|_ у2 + С 2)2 _ 4Х 2 С 2 " у/2 ]^ (13) знак плюс относится к р, а минус к В частности, вдоль оси х-ов, на которой лежит линейный источник питания, уравнения (12) и (13) дают:

х с;

р = ch~ х х \> с х>с;

?f = COS -1 X х< (14) Чтобы найти величину суммарного расхода Q, поступающего в песчаник из линейного источника питания, необходимо только заметить следующее свойство функции тока W, а. именно = J f*L дп ds= ±_ Г иJ дп (15) где интегралы относятся ко всей кривой, представленной элементарным отрезком ds. Отсюда разность в величине Ф между любыми двумя точками системы равняется полезной величине расхода, проходящего через любую кривую, соединяющую обе точки. Из уравнения (14) вытекает, что расход Q, выходя из источника питания, определяется выражением ~.

(16) давлению у линейного исна внешнем конфо Эта точника величина питания соответствует и давлению нулевому ре=\п кальном эллипсе, имеющем полуоси ае и Ье. Уравнения (12) и (14) даются также Слихтером (U. S. Geol. Surv. 19th Ann. Rept., 295, 1897—1898). 2 Уравнение (12) показывает непосредственно,, что pt W = const есть конфокальные эллипсы, а гиперболы определяются выражением p = c h ~ 1 ^ == cos ^ г 2 внешних точек линейного источника питания (х, у).

с где гъ г 2 являются расстояниями от фокусов ( ± с, 0), Часть II. Установившееся течение жидкостей Отсюда для общего перепада давления Ар, поддерживаемого между источником питания и внешним эллипсом с меньшей полуосью Ье, значение расхода будет: 2лкЛр 2пкЛр 2с—длина линейного источника питания1. Наконец, можно заметить, что для расстояний от линейного источника питания, значительно больших по сравнению с длиной самого источника питания, давление, как это и следует ожидать, принимает логарифмическую радиальную форму. Если х 3 -f у 2 = г 2 ^ > с 2, то H~rjc или х/r. Беря верхний или нижний знаки в уравнении (13), получаем:

где - г _ « 2г С (18) где в — угол полярных координат, начало которых находится в центре источника. 9. Течение из конечного линейного источника питания в скважину. Преобразования сопряженной функции. Бесконечный ряд отображений. В предыдущем разделе было показано, что всякое уравнение вида (1), гл. IV, п. 8 дает две „сопряженных функции", одна из которых может „интерпретироваться" физически как система эквипотенциальных кривых, а другая соответствующими им линиями тока. Они найдут себе отражение в действительной физической системе, если заранее намеченное распределение давлений и расходов на ее границах будет пропорционально (аддитивной константе) тем величинам, которые создаются решеткой сопряженных функций на кривых, оконтуривающих физическую систему. Так, при рассмотрении задачи, представленной в гл. IV, п. 8, фактическое решение состоит в заключении, что один из эквипотенциалов решетки сопряженной функции, сформулированной уравнением (8), гл. IV, п. 8, ( а именно вырождающийся эллипс из уравнения (14), гл. IV, п. 8 геометрически совпадает с конечным линейным источником питания исследуемой физической системы. Аналогичные задачи могут решаться тем же путем. Однако для решения представленной задачи будет использовано несколько иное свойство сопряженных функций. Это означает: вместо того чтобы получить из них непосредственное решение уравнений Лапласа, эти функции будут использованы для преобразования независимой переменной (х, у). Здесь следует заметить, что преобразование сопряженной функции Следует заметить, что уравнения (16) и (17) выходящего с обеих сторон источника питания.

дают величину расхода, Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

оставляет уравнение Лапласа инвариантным, так что если дх + др = 0, то, очевидно, также справедливо: 2 др.

(2) Преобразование уравнения (1) можно использовать для замены геометрических границ физической системы на иные, являющиеся более подходящими при аналитических упражнениях. Так, физическая система в прямоугольной (х, у) системе координат, т. е. в плоскости z, соответствующая течению из конечного линейного источника питания в скважину, может быть представлена схематически на фиг. 41. Вследствие того, что предполагается пересечение выхода песчаника ложем реки, можно принять, что, кроме линейного источника питания, соответствующего выходу песчаного пласта в ложе реки, отсутствует расход через ось Х-ов и в песчаник. Это требование легко удовлетворяется само по себе, если использовать распределение давления согласно предыдущему разделу и добавить к нему логарифмический член, обязанный наличию скваФиг. 41. жины в точке (х 0, у0), и другой логарифми1 — плоскость z;

2 ческий член, обязанный ее положительному линейный источник —конечный' питания;

. 3 — нулевой расход. отражению в точке (х 0, — у 0 ). Однако присутствие этих двух логарифмических членов нарушит постоянство давления на линейном источнике питания. Тогда возникнет задача найти такое дополнительное распределение расхода па линейному источнику, которое скорректирует нарушение распределения давления, созданное наличием действительной скважины и ее отражением. Чем пытаться решить интегральное уравнение, к которому приводит эта задача, вернее будет преобразовать схему на плоскости г в плоскость (, rj) или „плоскость " следующим путем. Прибегая снова к соотношению комплексного переменного из гл. IV, п. 8, имеем:

(3) Отсюда следует, как и раньше, у = с sh I sin r\ И \ ' (4) с2 c h С 2 COS 2 Г) с sh — (5) с sin Часть II. Установившееся течение жидкостей Подходя аналогичным путем, что и при интерпретации уравнения (14);

гл. IV, п. 8, замечаем, что ось х-ов в плоскости z переходит в у = 0, = 0, x < — c:->:

c О^ v т] = л, 0^ < oo 0' Уо) Таким образом, верхняя полуплоскость z представляется на фиг. 42 ш виде полубесконечной полосы плоскости. Уравнением распределения давления в плоскости опять является уравнение Лапласа (2), и граничные условия внешне останутся теми же самыми, что и раньше, а именно: =zpe:

-= 0 : | = 0, г] = 0, rj = 7t (линейный источник) оси х-ов) г\^=-п (остаток (7) Хотя диференциальные уравнения и граничные условия внешне остались теми же, важно заметить, что в плоскости налагается простое условие на каждый из граничных сегментов, в то время как в плоскости z были наложены „смешанные условия" на единичный контур (у = 0), т. е. установление р на одной части его и -г— на остальной части. Отсюда действительной целью введения в решение представленной задачи, так же как и в других аналогичных преобразованиях сопряженной функции, является освобождение от смешанных граг ничных условий. Чтобы решить теперь преобразованную задачу согласно уравнений (2) и (7), необходимо расширить и применить метод отражений, уже описанный в гл. IV, п. 7. Рассматривая снова скважину в точке (| 0, т]0) как математический сток, можно получить нулевой расхода на контурах ?у=0, л, устанавливая дополнительно отражения в точке (0, — rj0) и (f, 2л— г]0). Однако первое условие создает расход, не равный нулю, при г) = л, а второе при г\ = 0. Тогда эти точки должны будут исправляться собственными отражениями и т. д. В дополнение к этому бесконечная система должна отражаться в направлении оси г\ так, чтобы создать постоянное (превращающееся в нуль) давление по оси г\ (линейного источника питания в плоскости Z).

Гораздо более простым способом решения задач со смешанными граничными значениями является объединение метода преобразований сопряженной функции со „смешанными" функциями Грина, которые сформулированы так, что имеют нулевое значение на той части контура, где давление было установлено и где производные их по нормали равняются нулю на той части контура, для которой эти производные были определены (см. М. Muskat, Physics, 6, 27, 1935, в частности, раздел В). Действительно, при таком решении, распределение давления • согласно уравнению (11) будет найдено просто, как сама функция Грина, хотя координаты (, rj) будут установлены преобразованием, отличным от уравнения 3).

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории Тогда конечный (фиг. 42): полный ряд отражений определится выражениями (8) где q представляет „напряжение" физической скважины в точке Отсюда распределение давления в результате такой системы отражений напишется:

-foo / In —oo —CO - 2пл + % )« # быть упрощены ввиду *о Зти суммы могут того, что + 0О • I QQ In [(I — hf + (па — г])Ц = In •= П +ОО —• !г) !г)2 + (па — г/)2] = Фиг. 42. Отображение на плоскости С необходи, мое для удовлетворения граничных условии, показанных на фиг. 41.

- плоскость = In sin 2 -^—4- In [ch где константа Ch 1 — cos 2лч]1 а ~ cos — /i)/fl — cos (10) константы от In П' п 2 а 2, а также другие со конечные брошены. Уравнение (9) может быть приведено к виду: Ч 2 v [ch —cos ( q — [Ch ( | - | 0 ) - cos ~cos где константа р е была добавлена, чтобы получить р ( 1 = = 0 ) » р е. * Отметка „прим* указывает, что член л = 0 опущен. I Whittaker and W a t s o n, «Modern Analysis*, 4th ed., p. 137* ^927.

Часть II. Установившееся течение жидкостей Уравнение (11) удовлетворяет второму граничному условию (7). Тогда диференциальное уравнение (2) может быть подтверждено непосредственной подстановкой. Если теперь помощью уравнений (4) и (5) (|, rj) выразить через (х, у) и подставить в (11), можно сейчас же получить распределение давления для первоначальной задачи в плоскости z. Однако, чтобы получить величину расхода в системе, следует избежать применения этой достаточно сложной подстановки. На радиусе скважины можно принять rj = r]0, | = | 0 = е <С^ 1, откуда:

2 s h | 0 ( c h 2 | 0 — cos2q0) 1 П где rw — радиус скважины, так как ds2 (плоскость z) = с2 (sh 2 f + sin 2 ^)cfs 2 (плоскость С). (13) Уравнение (12) указывает, что очень близко к центру скважины распределение давления дается выражением: = Ре + const — q In Q, где Q—расстояние от центра скважины. Тогда расход в скважину будет: Q = — -±=L, так что, возвращаясь к виде будет: уравнению (12), величина 2пк (рл — р„,) 2с sh o и /л In rw sin щ 2пк In где r (И) (15) расхода в общем (Pe-Pw) w { с — rt + ]/"(c — rlY + 4y0V Представляют интерес некоторые случаи, ограничивающие применение этой формулы. Так, если скважина находится на перпендикуляре, секущем надвое линейный источник питания, значение Q принимает вид:

2лк (ре - pw) 2пк (ре pw) | \ ^^ где 0 — угол у скважины, стянутый линейным источником. Уравнение (17) имеет аналогичную форму, которая была найдена для бесконечного источника питания [гл. IV, п.2 7, уравнение (8)], за исключеv нием отсутствия в нем множителя 1 + -™. Отсюда оно становится, как;

"и следует этого ожидать, тождественным случаю, когда скважина при Глава IV. П р о б л е м ы п л о с к о г о течения и методы теории...

ближена к конечному источнику питания (уо/с <С11) *• Однако, если скважина сильно удалена от линейного источника питания (уо/с^> 1), текущий дебит ее уменьшается, словно линейный источник эквивалентен внешнему круговому контуру питания с радиусом, обратно пропорциональным кубу угла, стянутого линией источника у скважины. Если скважина находится на одной линии с краями линейного источника питания, т. е. если х* = с2, то ^L rw Y4c2 + y% — y -^ (18) что, очевидно, имеет меньшую величину по сравнению со случаем, когда х0 = 0, так как аргумент логарифма в данном случае больше, чем в уравнении (17). Так, если уо~с, то Q2 In 7,24 yojrw Q In 4 yo/r.w Если скважина расположена от центра линейного источника питания на расстоянии, равном половине ширины источника, то уравнение (16) приводится к виду:

2к {pt-pw) который не зависит от х 0. Наконец, следует заметить, на основании уравнения (17), что поправочный множитель cosec2 - у входит в логарифмический член. Отсюда допущение бесконечного линейного источника питания (в = п) даст весьма малую ошибку при практическом исчислении Q, если вполне определенно известно, что расстояние от скважины до выхода пласта значительно больше, чем ширина реки или канала, питающего этот выход. 10. Противодавление на плотину с расширенным основанием. Забивная крепь отсутствует. При рассмотрении фильтрации воды под плотиной значительной ширины возникает весьма интересный практический вопрос, связанный с характеристикой противодавления, воздействующего на основание плотины и возникающего вследствие этой фильтрации. Эта задача имеет большую значимость при проектировании плотин и может быть решена непосредственным приложением теории потенциала, вкратце описанной в предыдущих разделах. Так как основной интерес здесь лежит в природе распределения давления на основание плотины при допущении, что оно установлено на пористом массиве без значительного углубления в него, то ширину основания плотины следует рассматривать как конечную величину, а длину плотины следует принять бесконечной. Кроме того, чтобы упростить подВ действительности, если с делается неопределенно большим, уравнение (16) приводится непосредственно к уравнению (8), гл. IV, п.. 7.

Часть II. Установившееся течение жидкостей счет противодавлений и моментов 1, глубина песчаника, залегающего под плотиной, принимается бесконечной для данного случая, а также для случаев, рассматриваемых в последующем разделе (фиг. 43).При рассмотрении задачи о фактическом расходе при фильтрации будет дано точное решение только для пласта конечной мощности (см. гл. IV, пп. 12 и 14), так как песчаник бесконечной мощности даст бесконечный расход фильтрации. Когда под основанием плотины отсутствуют сваи, характер распределения давления можно установить простой интерпретацией выводов из гл. IV, п. 8. Если мы произведем замену функций Ф и р в уравнении (10), гл. IV, п. 8, и будем рассматривать давление р как потенциал скорости Ф, можно р заметить, на основании уравнения (14), гл. IV, п. 8, что 0, 0.4 0, о о/ otz 0,3 ол as ojs oj o,s o,s Х'м Фиг. 43. Схематическое поперечное сечение водонепроницаемой плотины, установленной на пористом ложе, имеющем бесконечную мощность. Фиг. 44. Распределение давления в основании плотины без забивной крепи:

р — давление в основании плотины для единицы перепада общего давления;

х'/и> — (расстояние от пяты плотины) / (ширину основания);

/ — мощность проницаемого слоя /i, залегающего ниже основания плотины, принимается бесконечной;

// — w/h = 5,0;

кружочки — wjh = 1,0.

решения, которые даются в гл. IV, п. 8, соответствуют распределению потенциала, где по оси х-ов Ф ==ж для х < — с и Ф = 0 для х > с. Участок оси х-ов между ними соответствует линии тока!^ = 0. Кроме того, потенциал, а отсюда и распределение давления на основание даются следующим выражением:

ж cos — — + ръ X, (1) где Ар—суммарное падение давления между сторонами плотины вверх и вниз по течению. Давление, под которым находится плотина, обозначим через рг. На фиг. 44 дано графическое построение уравнения (1), показывающее, что обычное допущение линейной изменчивости не дает такой большой ошибки, но оно приводит к завышенным давлениям вблизи края плотины вверх по течению и заниженным давлениям у края ег вниз по течению. Эта разница особенно заметна, когда рассматриваются скорости, пропорциональные наклонам кривой фиг. 44. Согласно уравнению (1) Это приближение не повлечет за собой серьезных ошибок, за исключением тех случаев, когда ширина плотины велика по сравнению с мощностью песчаника или когда забивная крепь при ее наличии проникает глубже, чем на половину мощности песчаника (см. фиг. 44 и 68).

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

это ведет к созданию неопределенно больших скоростей у краев плотины *, указывающих на большую опасность эрозии и песчаных потоков, чем это можно получить при линейном распределении давления. Суммарная направленная вверх сила F на единицу длины плотины дается выражением:

~ I + Л] dxcA + ( +P ) \, (2) где w — ширина плотины и р2 — давление вверх по течению. Очевидно, это же значение будет существовать при допущении линейной изменчивости давления. Суммарный момент сил противодавления по отношению к пяте плотины будет:

(3) т в то время как линейное распределение мента давления даст величину мо которая всегда будет меньше истинного значения уравнения (3). Когда р 1 = =0 величина ошибки достигает 11,1%. 11 • Противодавление на плотину с забивной крепью 2. Теорема Шварца-Кристоффеля. Задачей, имеющей большое практическое значение, является определение противодавления на плотину в том случае, когда основание плотины покоится на забивной крепи из шпунтовых свай. Однако раньше чем дать вывод точного решения для этого случая, будет полезно осветить более ясно реальную аналитическую значимость преобразований гл. IV, п. 8', которые были приложены в предыдущей главе. Так, первоначальная задача состояла из нахождения распределения потенциала (удовлетворяющего уравнению Лапласа), которое предполагало бы постоянное значение его по оси х-ов для х < — с, отличное постоянное значение его для х >, и искомое значение распределения потенциала было таково для | х | < с, чтобы ось х-ов соответствовала бы линии тока, где W = const f—?— = О). Однако трудно Разумеется, с физической стороны строго бесконечные скорости никогда не могут иметь места, вследствие того что в этом случае нарушится закон Дарси (гл. II, п. 2). Однако аналитическая теория, основанная на законе Дарси, правильно характеризует тенденцию в развитии столь высоких скоростей, хотя бы даже отдельные подробности распределения давления и скорости в отдельных местах решения не отражали бы с точностью физическое течение. 2 Основные аналитические выводы этого раздела вплоть до уравнения (14), но выведенные в несколько измененной форме, включая сюда фиг. 50—53, были даны W. Weaver, «Journ. Math, and Physics», 11, 114, 1932.

Часть II. Установившееся течение жидкостей удовлетворить требованию, где оба значения Ф и его производная по нормали -^- были определены для отдельных частей одного и того же прямолинейного контура (ось х-ов) с помощью элементарных решений, ft 0 * ф=фф -с ( Фиг. 45. Отображение плотины без забивной крепи, установленной на пористом ложе, имеющем бесконечную мощность, на плоскости Z.

7 — плоскость Z.

f Фиг. 46. Отображение фиг. 45 на плоскость С / — плоскость.

выведенных непосредственно из уравнения Лапласа. По этой причине было введено преобразование комплексной переменной 1, равноценное выражению:

Для плоскости граница первоначальной системы (ось х-ов на фиг. 45) реализует свою внешность на фиг. 46 в виде полубесконечной полосы. Для такой геометрической области с установленными граничными условиями можно написать выражение распределения потенциала:

(2) Отмечая, что вдоль оси х-ов, где -1 X п. 10. Этот же метод решения можно исполь_ зовать для более сложной задачи о плотине, тоб жение ПЛ0 ?Ли, л о ° Р ? " установленной на забивной крепи из шпунтины с забивной крепью и т„,~„ттх„г с в а й„« „,,« у шириной d, установленной на о в ы > представленной на фиг.47. Ие пористом ложе бесконечной последней ясно, что контур BCDEF является мощности, на плоскости г. линией тока системы. Отсюда, если этот 7 — ПЛОСКОСТЬ 2. участок контура отображен на отрезке действительной оси вспомогательной плоскости, а участки АВ и FG на остальной части действительной оси, то задача становится внешне равноценной случаю, представленному на фиг. 45, который можно решить с помощью дальнейшего преобразования уравТа же самая процедура была применена нами в гл. IV, п. 9, хотя весь ход анализа, последовавшего за преобразованием уравнения (1), был совершенно отличен от приведенного здесь.

, получим уравнение (1), гл. IV, Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

нения вида (1). В этом и заключается новый аналитический путь, по г которому решается задача о плотине с забивной крепью. Реализацию конформного отображения можно выполнить на основе теоремы ШварцаКристоффеля, которая дает методику получения внешности любой полигональной области на верхней половине комплексной плоскости, где контур области преобразуется по отношению к действительной его оси. Действительно, преобразование уравнения (1), примененное для получения внешности плоскости г (фиг. 45) на плоскость (фиг. 46) может быть получено из этой теоремы первоначальной реализацией отображения бесконечного прямоугольника (фиг. 46) на плоскость z и последующим его инвертированием. Теорему Шварца-Кристоффеля можно сформулировать так: полигон с вершинами Zk = Xk + iyk на плоскости z = x-{-iy и внутренними углами alt а2,..., ап отображается на верхнюю полуплоскость С = + щ с точками fsafft, соответствующими вершинам z = zK при условии, что соотношение между 2 и С определяется уравнением: С -<•/• — O.R ТС (3) где сх и с2—константы, определяемые размерами и ориентировкой полигона. Если = ± оо соответствует углу полигона, то соответствующий коэфициент в произведении интегрируемой функции опускается. Правильность этой теоремы может быть легко установлена, если обратить внимание, что аргументы -^-, соответствующие уравнению (3), в действительности изменяются на величину я — а&, по мере того как пересекаются точки C = | f t. Чтобы приложить эту теорему для решения рассматриваемой задачи, необходимо учесть все углы ак полигона ABCDEFGA. Это будут, очевидно:

С = 1, соответствующее точке Е, Тогда, принимая значение = 0 — точке D, С = — 1 — точке С и =. — оо — точке А, уравнение (3) примет вид:

1+С а.

(4) Следует заметить, что задача нахождения сопряженной функции, с помощью которой осуществляется преобразование внешности одной области на контур другой, очень близка к нахождению функции Грина для данной области. В частности, можно показать» если G (х, у;

|, rj) является функцией Грина для данной области и d (х, у;

, ??) — ее сопряжение, то функция |=sf (z) = e G ~ lGl дает возможность отобразить внешность контура первоначальной области на внутренность единичного круга в плоскости С» причем точка (С, rj) совместится с началом координат плоскости С (см. Riemann-Weber's, „Differentialgleichungen der Physik", vol. 1, p. 546, 1925).

Часть II. Установившееся течение жидкостей Константы сг и с2 можно определить из условия, чтобы установленные соответствия были справедливы численно. Это означает, что =»J=-1;

b = c (5) явится условием, при котором Л—» = — о о будет, очевидно, тождественно удовлетворяться. Отсюда уравнение (4) примет вид:

Л'Ф2 8* С В1 Г реализующий конформное отображение на плоскости С, как это видно из фиг. 48, причем В' и F' имеют соответственные значения:

Фиг. 48. Отображение фиг. 47 на плоскость.

1 — плоскость |.

и (с +2 ьу а ьу Тогда задача сводится в принципе к вопросу о плотине без забивной крепи. Перемещая начало координат плоскости С так, чтобы оно легло на полпути между В' и F\ и меняя масштаб так, чтобы длина B'F' = 2, т. е. прибегая к преобразованию следующего вида:

в (ft (12— 1'== (7) г F/ / Фиг.

49. Отображение фиг. 47 на плоскости Я.

7 — плоскость Я.

получим плоскость С преобразованную ? в равноценную ей плоскость z (фиг. 45). Отображая теперь плоскость С' на плоскость А путем следующего преобразования:

— с, (8) получим полубесконечную полосу, нредставленную на фиг. 49. Тогда конечное решение для распределения потенциала определится из выражения: (9) л которое на основании уравнений (6), (7) и (8) дает значение ф как функции (х, у) в первоначальной плоскости z. Для изучения противоСледует заметить, что отрицательный > 1, а положительный для К 1.

радикал должен быть взят для Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

давления на плотину следует рассматривать только те значения Ф, для которых у = 0, | х | < с. Это налагает условие, что С и ' вещественны и что фактически | | ' | < 1. Отсюда уравнение (9) для потенциала у основания плотины примет вид:

АФ = COS (10) w 2 ' л Вводим сюда обозначения:

W / •• • Z •!

• •' -* Y* х' = х-| w Т Л:

где IV—ширина плотины;

х—расстояние от свай до пяты основания;

а—отношение ширины плотины к глубине забивки свай;

х'—расстояние, отсчитываемое по основанию, начиная от пяты плотины. Сделав соответствующие подстановки и возвращаясь к значениям давлений, можем переписать в конечном итоге уравнение (10) так: р = —!~- cos ТС Ар _ X X где знак у первого радикала берется плюс для х' >х и минус для х' < х.

Легко заметить, что при d = 0 это уравнение приводится к уравнению (1), гл. IV, п. 10, т. е. для плотины без забивной крепи. Тогда вся сила противодавления на плотину будет:

Ьг Ар COS dx' (12) где Раскрытие этих интегралов повлечет за собой применение эллиптических интегралов 3-го порядка и поэтому гораздо проще получить их решение графическим или численным путем. Только в отдельных случаях, где сваи находятся в одном из плечей основания плотины или же в ее центре, сила F может быть выражена с помощью элементарных функций. Так, если забивная крепь находится у верхнего плеча плотины (у пяты ее), то —0, /= (13) Часть II. Установившееся течение жидкостей Забивная крепь в центре основания плотины;

(14) Забивная крепь у нижнего плеча плотины (у носка плотины) = pxw+dAp (a Суммарный момент противодавления (/-О дается уравнением:

)i (15) ( 3 * - - / - - 2 * / - 4)+ (Зг-3/-2)], (16) ^""•"' -—>^ I 1 I —г—^ ;

i во 1 • !

•^ •• — •.

0, ~ | N 0. где Fo — выражение, заключенное в скобках уравнения (12). Следующим интересным выводом является определение потери давления др вокруг свай, которая дается разностью давлений между плечами основания плотины вверх и вниз по течению, считая от свайной крепи. Эта величина находится из уравнения ( И ) и дается выражением:

др л COS ef [-4-J О Фиг. 50. Распределение давления в основании плотин, имеющих забивную свайную крепь, с глубиной, равной ширине основания плотины;

x'jw = (расстояние •т пяты плотины) / (ширину основания). о Вертикальные пунктирные линии дают местоположение свай, а и х длины — потерю давления через сваи. Наклонные пунктирные линии совместно с вертикальными пунктирными участками дают распределение давления, продиктованное теорией Бляя (теория ползущей линии).

фактическое давление в подошве свай будет иметь величину:

= — cos л Ар - 1-е (18) Легче всего представить всю значимость этих выводов из графиков, отображающих уравнения (11) — (18). Так, фиг. 50 и 51 показывают распределение противодавления в основании плотины для различных положений забивной крепи и для отношений ширины плотины к глубине Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

вабивки свай от 1 до 4;

ординаты показывают долю всей потери давления, соответствующую величине (р~ рд/Лр уравнения (11). Положение свай показано на фигурах вертикальными пунктирными линиями. Длина свай согласно уравнению (17) также создает потерю давления через них. В то время как эти потери не меняются особенно заметно с изменением местоположения свай, — с увеличением а, как и следует ожидать, значение их резко падает. Суммарные силы противодавления и опрокидывающие моменты, выраженные в долях величин, которые они имели бы в случае отсутствия забивной крепи (и при ^ = 0), приводятся на фиг. 52 и 53, где они построены в зависимости от местоположения свай и для различных значений а. Интересно заметить, что забивная J 20 крепь, если только она установлена в центре основания плотины, не влияет на величину общей а. ол 0 силы противодавления. Если же крепь установлена под тем пле- Фиг. 51. Распределение давления у осночом плотины, что находится вниз вания плотин с забивной свайной крепью, или вверх по течению, это будет и м е ю ш - е й ГлУбинУ> РавнУю о а д о й ч е т в е Р т и ширины основания: соответственно увеличивать или х'[w — (расстояние от пяты плотины) / (шисилы противодавлений, рина основания). Вертикальные пунктирные линии дают местоположение свай, а их длианализ последних ны — перепад давления через сваи. Наклонсовместно с вертии их влияния на плотины бази- ные пунктирные линии участками дают раскальными пунктирными руется всецело на достаточно пределение давления, продиктованное теорией Бляя (теория ползущей линии). идеализированном представлении всей проблемы. Возможно, что наиболее серьезным приближением в этом случае является допущение о бесконечности распространения пористой среды, подстилающей плотину \ и ограниченное проникновение основания плотины в пористое вещество. Однако прежние теории основывались на еще более интуитивных допущениях. Наиболее широко распространенной теорией этого типа 2 была теория „пути фильтрации" Бляя, которая заключается в основном в допущении, что свайная крепь глубиной d добавляет к эффективной ширине основания плотины свой периметр 2d. Тогда весь перепад давления распределяется линейно по развитой ширине w + 2d. Получающееся в результате этого перепада распределение давления в осноЭто приближение приводит в результате к весьма малым перепадам давления через сваи на.безопасной стороне" плотины и к очень большим силам противодавления (фиг. 68). Однако фактические ошибки будут достаточно малы, за исключением тех случаев, когда сваи доходят на короткое расстояние до подошвы проницаемых слоев. 2 Остальные теории являются не чем иным, как допущениями и описаны Уивером.

Часть II. Установившееся течение жидкостей вании плотины для случая а = 1,4 показано на фиг. 50 и 51 наклонными пунктирными линиями. Вертикальные пунктирные линии, заключенные между последними, указывают величину перепада давления через забивную крепь. Можно заметить, что в целом ошибки, получающиеся при распределении давления, не велики. Однако перепады давления через сваи, согласно теории Бляя, не зависят от местоположения свай. Приведенная же нами теория показывает, что величина этого перепада может изменяться в два раза, по мере того как сваи перемещаются от верхнего или нижнего бьефа к центру плотины.

^ / а-2 I too щ •if" I / / I.— — — — • — — — а.= I 0, ОА 0, 0, ft О 0, 0А_ 0,6 x/w 0}в t,@ Фиг. 52. Изменение общей силы противодавления в зависимости от местоположения забивной свайной крепи под основанием плотины и выраженное в процентах от величины этой силы при отсутствии свайной крепи.

Напор жидкости со_стороны нижнего бьефа равен нулю;

xjw—(расстояние от пяты плотины) / (ширина плотины);

а=(ширина плотины) / (глубину свай).

Фиг. 53. Изменение общей величины опрокидывающего момента относительно пяты плотины в зависимости от местоположения забивной свайной крепи под основанием плотины, выраженное в процентах к значению момента, при отсутствии свайной крепи.

Напор со стороны нижнего бьефа равен нулю, x/iv — (расстояние свай от пяты плотины) / (ширину плотины);

а— (ширина плотины) / (глубину свай).

Что же касается общей силы противодавления, то теория Бляя дает слишком малое значение ее (до 20%), когда свайная крепь находится под плечом плотины, примыкающим к верхнему бьефу, и очень большое значение (на 8%) для местоположения свай у нижнего бьефа. Опрокидывающие моменты, рассчитанные по теории Бляя, являются заниженными (до 30%), когда сваи установлены в пределах 70% ширины основания плотины, считая от верхнего бьефа, и слегка завышенными для местоположения свай, находящихся в пределах 3 0 % ширины основания плотины, считая от нижнего бьефа. Теория Бляя является поэтому с количественной точки зрения только приблизительной. Однако следует напомнить, что лежащее в ее основе допущение о фильтрационном потоке, следующим за основанием плотины и сторонами забивной свайной крепи, является совершенно правильным. К несчастью, существование этого потока упорно отвергается при рассмотрении этого вопроса Тейлором и Эппаль 1 в их прекрасной во всем остальном экспериT a y l o r E. M. and H. L. U p p a l, Punjab Irrigation Research Institute, «Research Publ.», 2, № 3, 4, 1934. Выводы из расширенного изучения распределения давления под действительными плотинами — водосливной плотиной Пенджаб — приводятся у !'&$;

!^:У.1Л%У:'№'',''''\';

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

бающей основание плотины и забивной крепи, может явиться тогда „мертвой зоной*, хотя в действительности жидкость движется вдоль линий тока системы. Поскольку экспериментальные модели в настоящее время достаточно разработаны, чтобы показать детали движения, можно видеть, как последнее увязывается с приведенной здесь теорией. Достаточно только сравнить фиг. 55 и фиг. 57 1, на которых приведены вычисленные эквипотенциальные линии и линии тока для случая, где глубина забивной крепи равна половине ширины плотины. Все характерные особенности течения являются, очевидно, одинаковыми в обоих случаях. Постоянство нарушений крайних линий тока на мо- Ф и г ' 5 7 " Теоретическое распределение потен. циала и линии тока под плотиной с забивной & дели должно быть отнесено, с в а й н о й к р е п ь ю > установленной в ее пяте на без сомнения, за счет ко- глубине, равной половине ширины основания нечности ширины забивной плотины (по Уиверу):

КреПИ, КОНечНОСТИ г л у б и н ы 1 — напор воды;

2 — поперечное сечение плотины.

песка при забивке свай и отсутствию однородности песка. Как видно, нарушение в линиях тока распространяется только на расстояние, равное приблизительно глубине -крепи. Фактически эксперименты на моделях могут быть приняты как еще одно прямое подтверждение справедливости обобщенного закона Дарси при рассмотрении других видов течения, помимо линейного. 12. Фильтрационный расход под плотинами с удлиненной шириной основания. Отсутствие забивной крепи. Преобразование эллиптической функции 2. В последних двух разделах была приведена теория противодавлений под плотинами при допущении, что залегающий в их основании песчаник имеет мощность бесконечной величины. Как видно из дальнейшего, это допущение приводит в общем к довольно хорошему приближению в отношении распределения давления и общей величины противодавления в плотинах, а также к фильтрационному расходу бесконечной величины за исключением тех случаев, когда мощность пласта песчаника незначительна или забивная крепь близко подходит к подошве проницаемого слоя. Чтобы получить физически Эквипотенциальные линии на фиг. 57, взятые из работы Уивера, первоначально фиксировались как кривые равного напора. Однако значения их должны получаться из добавления в каждой точке к величине Ф члена ygy (для к/р— 1). Обоими экспериментальными путями: на электролитических и песчаных моделях было установлено также вполне удовлетворительное подтверждение теории (фиг. 50 и 51), а также отдельная изменчивость в рао лределении давления у основания плотины со свайной крепью у верхнего бьефа. 2 Выводы для этого раздела, а также двух последующих разделов взяты \из работы М. Muskat. Physics, 7, 116, 1936. '" Часть II. Установившееся течение жидкостей ощутимое значение расхода, необходимо принять для этого в расчет конечную мощность проницаемого слоя. Это может быть сделано тем же путем, который был описан в гл. IV, п. 11, за исключением того, что преобразования сопряженной функции [уравнения (1) и (8), гл. IV, п. 11] будут заменены преобразованием эллиптической функции. Так, прилагая теорему ШварцаКристоффеля, уравнение (3), гл. IV, п. 11, легко заметить, что плоскость z на диаграмме течения, представленной на фиг. 58, преобразуется в верхнюю полуплоскость с помощью преобразования Фиг. 58. Плотина, не имеющая забив- функции z (О» которое дается выной свайной крепи и установленная ражением ла проницаемом ложе конечной мощности, в плоскости z.

1 — плоскость г.

= 1J ? l C d 0) В ы ч и с л и в интеграл и р а з р е ш и в у р а в н е н и е ( I ) относительно С, л е г к о найти, что th z/2h th где w — ширина плотины и h — мощность Константы выбраны так, что песчаника.

(2) z = 0 -» =0;

W -> С = =Ы.

(3) Конформное отображение плоскости С с граничными значениями Плоскость ' -т -I 8' О Фиг. 60. Отображение внешности фиг. 58 на плоскости о».

7 — ПЛОСКОСТЬ ч Фиг, 59. Отображение внешности фиг. 58 на плоскости С потенциальной функции и функции тока показано на фиг. 59;

т имеет значение cxhnw/^h. Приняв теперь обратную точку зрения той, которая была выведена в гл. IV, п. 11, и построив сначала конформное отображение плоскости со = Ф -f- iW, соответствующее плоскости z, ясно, что Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

при этом мы встретимся с прямоугольной фигурой (фиг. 60) Ч Отсюда, если отобразить плоскость со на плоскость J (фиг. 59), получим зависимость между со и z через промежуточную переменную •', дающую желаемое распределение потенциала и линий тока в первоначальной системе. Прилагая снова теорему Шварца-Кристоффеля к результату этого отображения, находим:

^f где, как уже было отмечено, т—координата D' должна иметь значение cthtzw]4h, чтобы удовлетворить уравнение (3). Принимая /с* = 1//72, с2 = 0 и подбирая пределы интегрирования так, что со = 0 соответствует В\ получим уравнение (4), написанное в следующем виде:

о Если < ! l, это уравнение может быть выражено так:

= Cl f -.

^ =— = cxF (sin"ACifc*);

(6) где F — эллиптический интеграл первого порядка с „амплитудой* sin"" 1 ^ и „модулем* 7с*< 3 Замечая, что точка С / г, в которой Ф = —Ф1У !аР = 0, соответствует условию С = + 1, имеем, следовательно:

— Фг = Cl f о j „„ == ^ ("I". **) = сгК (к*), (7) где К (/с*)—полный эллиптический интеграл первого порядка с модулем к*. Так как общее падение потенциала в системе Дф составляет 2Ф 1? то уравнение (5) может быть окончательно написано так: 2К о Значение *P"i показано отрицательным как следствие отношения -г— «= (8) ^ -— •< 0 для системы координат, представленной на фиг. 58. т. 3 Предполагается, что множитель к* вошел в константу а. s Обычное обозначение к для модуля здесь заменено через к*, чтобы не смешать с условным обозначением, принятым в настоящей работе для проницаемости.

Часть II. Установившееся течение жидкостей Фильтрационный расход под плотиной дается, очевидно, величиной XF1. Последняя может быть найдена из значения со для D" в соответствии с = / п = \jk*. Так:

•У — АФ 2К ilk* 2К где К' — полный эллиптический интеграл первого порядка с модулем У 1 —/с* 2. Так как — }FX представляет собой общий расход Q под плотиной (на единицу длины 1 плотины) и АФ— величина падения общего потенциала от а верхнего бьефа к нижнему, f.O соответствующая перепаду давления Ар или разности уров0,8 ней верхнего и нижнего бье0,6 фов, т. е. действующему напору АИ, из уравнения (9) S непосредственно вытекает, что *\ \ 0. — —-' — а В 9 w/h 2/iK _ " kygK'AH 2jnK (10) Фиг. 61. Расход фильтрации под плотинами, не имеющими свайной крепи;

СЦАФ — расход на единицу падения потенциала через плотину и на единицу длины последней;

wjh — (ширина основания) / (мощность проницаемого слоя, залегающего под основанием плотины).

к* = t h На фиг. 61 дается построение фильтрационного расхода на единицу падения потенциала, т. е. QjA0= K'\2K как функции wjh, т. е. отношения ширины основания, плотины к мощности проницаемого с л о я 2. Из этого построения, как и следовало ожидать, видно, что расход или эффективная проводимость системы падает с возрастанием значений iv//z, начиная от бесконечно больших величин при нулевом значении wjh и достигая нулевого расхода, когда w/h становится бесконечно большим. Разумеется, при фактическом подсчете величины фильтрации необходимо помножить ординаты фиг. 61 на член kygAHj[i 3. Уравнение (10) W h i t t a k e r and W a t son,-p. 502, Полное рассмотрение эллиптических интегралов функций можно найти в гл. XXII этой работы. 2 Весьма подробные таблицы для /С, К' и К'/К можно найти в работе „Tafeln der Besselschen, Theta, Kugel — und andere Funktionen", 1930г., составленной К. Hyashi. 3 Можно упомянуть, что исключительцо близкое приближение к точному значению Q, которое дается уравнением (10), было получено в 1917 г. Форхгеймером (Wien,Ber., 126, 409, 1917). Он получил свое приблизительное решение построением бесконечного комплекса конформных отображений на основании плотины так, чтобы достичь нулевого значения нормального расхода при y~h. Результат бесконечного ряда отображений был просуммирован введением в него пре Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории... или его эквивалентная форма Q ЛФ К' 2К (И) были выведены здесь для специального случая фильтрации под плотиной, у которой отсутствует забивная крепь. Вместе с тем важно заметить, что этот вывод является в целом достаточно удовлетворительным для любой системы, оконтуренной двумя сегментами постоянного потенциала, последовательно сменяющимися двумя сегментами линий тока. Полная характеристика этой, системы, представляющей особый интерес в зависимости от значения Q/АФ, заключается в величине модуля к* эллиптических интегралов. Таким образом, допуская, что течеR ние, изображенное на плоскости со (Ф, Ф), согласно фиг. 62, отображено на верх Плоскошь Ф Фиг. 63. Отображение фиг. 62 на плоскость.

Фиг. 62, 7 — плоскость со.

нюю полуплоскость С так, чтобы получить конформное отображение на фиг. 63, получаем, как следствие из теоремы Шварца-Кристоффеля, что зависимость между со и дается уравнением вида г) ( С - р ) (С-?) Если теперь сделать преобразование /1 = г (12) A-CJ (13) образования комплексного переменного, эквивалентного выражению х + гу = = chя ~>, которое отображает внешность бесконечной полосы плоскоа сти (JC, у) (фиг. 58) на всю область плоскости (х, у) в целом в виде потенциальной функции, сноска на которую дана в гл. IV, п. 8. Единственная ошибка в анализе, как это дается самим Форхгеймером, заключается в том, что анализ не дает строго постоянного потенциала вдоль оси у (фиг. 58), чего требует симметрия (гл. IV, п. 16). Окончательные формулы Форхгеймера имеют следующий вид: ch Q W 1П <1 для ЛФ "" &Г 3 ch nw/8h — I ' и I W Q для ЛФ B a t em a n H., „Partial Differential Equations*, p. 302, 1932.

Часть II. Установившееся течение жидкостей и подобрать Л, В, С и D так, чтобы:

A— Cp = B—Dp;

A— Cq = Dq~ В Л— Сг = &*( — Dr)\ A—Cs=k*(Ds найдем, что со принимает следующую форму:

— (14) =

Отсюда G J о 1/(1— Я ) (I /Г Q —i г х л ) ( А:

у у(т=гж71— о где К, К' являются полными эллиптическими интегралами первого 2 порядка с соответственным модулем к* и j / l — / с *. Из этих преобразований непосредственно следует, что Ф2—0! Z10 2К (19) Индивидуальные особенности системы в плоскости г входят только в значения ру q, r, S, которые определяют собой величину /с* согласно Whittaker and Watson, уже цитированная работа, глава XXII.

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

уравнению (16). Этот вывод окажется весьма полезным при расчете фильтрационного расхода под плотинами с забивной крепью, который будет рассмотрен в последующих разделах. Следует дальше заметить, что уравнение (10) можно приложить не только к определению фильтрации под плотинами без забивной крепи, но оно дает также хорошее приближение при установлении фильтрации вокруг стыка плотины с берегом, если только сама плотина не связана намертво с водонепроницаемой горной породой. Для той части плотины, что находится выше уровня нижнего бьефа, перепад давления, принятый в уравнении (10), может быть приближен к действительному за счет усереднения действующего напора между уровнями верхнего и нижнего бьефов. Боковая фильтрация под уровнем нижнего бьефа будет соответствовать суммарному действующему напору или разности уровней с обеих сторон плотины. Основной целью анализа, произведенного в настоящем разделе, было получение вывода для фильтрационного расхода (уравнение 10). Но представляет также интерес произвести для этого простого случая сравнение распределения давления под плотиной, которое дает здесь точная теория, где принимается в расчет конечная мощность проницаемого слоя, лежащего в основании плотины, и тем случаем, который рассматривается в гл. IV, п. 10, для бесконечно распространяющегося проницаемого слоя. Для этого необходимо только заметить, что так как Ф = 0 вдоль основания плотины, то уравнение (6) дает следующее выражение:

Р Лр _ Ф ~АФ 4h ( 20) где Ф и х замеряются от центра длотины. Результирующее распределение давления для wjh = 5 приведено на фиг. 44 в виде пунктирной линии, а для w/h = 1 показано кружочками. Отсюда видно, что допущение бесконечной мощности у проницаемого слоя, залегающего в основании плотины, дает хорошее приближение для величины распределения давления (и отсюда суммарного противодавления) вдоль основания плотины, если даже оно и влечет за собой бесконечный фильтрационный расход. 13. Фильтрационный расход под плотинами с удлиненной шириной основания при наличии забивной крепи. Если плотина имеет забивную свайную крепь, проникающую на глубину d в проницаемый слой мощностью /г, то фильтрационный расход может быть рассчитан последовательным приложением преобразований двух сопряженных Функций, выведенных из теоремы Шварца-Кристоффеля. Так, плоскость z (фиг. 64) будет отображаться на верхнюю полуплоскость при соответствиях: (1) Часть II. Установившееся течение жидкостей функции:

путем преобразования Z«sCi — m!

2 ут* — In — i - у"е* — i ут —\-\ у? — (2), F п Фиг. 64. Плотина, имеющая свайную крепь на С-ГУ у глубине d и установлен*" ная на проницаемом слое с мощностью Л, в плоскости г.

1 — плоскость г.

где точки Д Е предположительно переходят в = -j-/n и знак — 1 должен быть минус для < — 1, плюс для f > - f - l и плюс мнимые значения для — 1 < ;

С < ! + 1 - Накладывая в качестве условий соответствия уравнения (1) и требование, чтобы при С — ±rnz оно переходило в линию z = x-j-iht легко установить, что 2ft -1 — жй.

с 2 = 0, т = cosec (2) (3) можно Плоскость?, А В С Тогда уравнение написать так:

Реализация конформного отображения плоскости С показана на фиг. 65 с граничными значениями Ф и Ф и крайними точками основания плотины;

F't Gf обозначим через а, Ь. Чтобы найти величину фильтрационного расхода, необходимо теперь приложить выводы последнего раздела, которые дают Q ЛФ К' 2К Фиг. 65. Отображение фиг. 64 на плоскость С (5) т (а + b) А:*2 — 2 (ab + или — У(т* - Ьг) (т* ~- а8) т (а 4- Ь) (6) Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории где nd W (6) X — расстояние забивной крепи, считая от пяты основания плотины.

Фиг. бб. Кривая зависимости расхода фильтрации под плотиной, как функция местоположения свайной крепи:

Q! ЛФ — расход на единицу падения потенциала через плотину и на единицу длины плотины;

xfw — (расстояние свайной крепи от пяты плотины) / <мощность залегающего ниже проницаемого слоя) = 1;

(глубина свай) / (мощность ниже залегающего проницаемого слоя) = 0, 5.

г— О 0. 0.2 0,3 ОЛ OJ 0.6 OJ пв Чтобы показать влияние местоположения свайной крепи на величину фильтрационного расхода, на фиг. 66 построим зависимость Q/АФ по отношению x/w, для и>//г=1 и

— —.

0, •—-— о.е i ~ ~^ — ••.• * — О OJ 0,2 OJ I ОЛ 0, О,в 0,7 0,8 О,Э d/h Ч-f Q/ ЛФ — расход на единицу падения потенциала через плотину и на единицу длины плотины;

d— глубина свай;

w — ширина основания;

/i — мощность проницаемого слоя ниже плотины.

Полученные таким путем значения дадут и в дальнейшем верхние пределы для фильтрационного расхода и будут обладать, таким образом, большим коэфициентом запаса при расчетах типов течений, встречающихся на практике. На фиг. 67 показаны изменения Q/АФ с глубиной свайной крепи djh для различной ширины основания плотины w/h и для x/w = 1/2. Как и следует ожидать, фильтрационный расход уменьшается с возрастанием глубины забивки свай и ширины Плотины. Для плотин, ширина которых значительно превосходит мощность проницаемого слоя, расход почти не зависит от глубины свай до тех пор, пока последние не достигнут непосредственной близости к подошве водопроницаемого слоя. То обстоятельство, что расход возрастает очень резко, по мере того как отношение djh падает ниже значения 1, показывает, что пока Часть II. Установившееся течение жидкостей сваи не будут укреплены намертво в водонепроницаемом слое, всегда будет существовать значительная фильтрация, имеющая место обычно в плотинах без свайной крепи, даже если последняя проникла на 9 9 % в толщу проницаемого слоя. Мы не будем здесь входить в отдельные детали распределения давления в основании плотин с забивной крепью, как это дается в выщеприведенном анализе. Однако можно получить подтверждение точности приближенной теории, которая приводится в гл. IV, п. 11, подсчетом перепада давления через свайную крепь для частного случая, когда последняя установлена в центре основания плотины. Повторяя ход анализа, приведший нас к уравнению (5), гл. IV, п. 12, легко установить, что этот перепад давления др дается выражением i Лр D Фиг. 68. Падение давления через свайную крепь, установленную в центре основания плотины:

Ср = (падение давления через крепь) / (общее падение давления через плотину);

d= глубина стояния свай;

ц = ширина ос> нования плотины;

h — мощность проницаемого слоя, залегающего ниже основания плотины. О где К' ~" т ~4/Г ' т = cosec п& (8) и J p — суммарный перепад давления через плотину. На фиг. 68 приведено построение уравнения (7) для различных значений djh. Кривая для djh = О соответствует случаю проницаемого слоя бесконечной мощности, когда уравнение (7) приводится к эквивалентному виду (17), гл. IV, п. 11, а именно:

др Лр A {wj2df п (9) То обстоятельство, что отклонения от этой предельной кривой не получают большого значения, пока djh > 0, 5, оправдывает применение более простой теории, развитой в гл. IV, п. 11 (где d/h==O), при изучении сил противодавления и опрокидывающих моментов в плотинах без забивной крепи, по крайней мере для более низких значений djh. Это приближение должно быть в любом случае безопасно с точки зрения практического конструирования плотин без забивной крепи, так как оно приводит к более высоким значениям сил противодавления и моментов, чем они в действительности имеют место. Что же касается численных значений фильтрационного расхода, который соответствует кривым на фиг. 66 и 67, а также параметрам, которые представ Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

лены в последующем разделе, следует заметить, что численное значение расхода Q дается следующим выражением: kLAp ( Q (10) где к — проницаемость водопроницаемого слоя;

/г — вязкость воды;

L — длина плотины;

Ар — перепад давления между верхним и нижним бьефом плотины. Если к выразить в дарси, L — в см, Ар— в атг ji—в сантипуазах, то Q будет выражено в смв/сек. Так, беря к = 10 дарси;

/ ^ = 1 сантипуаз, L = 3048 см, Ар=\ ат^ значение Q/ZlФ = 0,1 соответствует Q = 3048 см3/сек. В свете большой значимости величины дебита или фильтрации и того обстоятельства, что значения Q[' АФ ~ 0,1 сохраняются, согласна фиг. 67, для глубины свайной крепи, достигающей 9 9 % от мощности проницаемого слоя, становится ясным, что реальная безопасность от высоких скоростей при фильтрации и размыве может быть получена в плотинах, непосредственно не установленных на водонепроницаемом основании, закреплением намертво свай в непроницаемом спое. Если только забивная крепь не установлена таким путем, то она очень мало уменьшит величину фильтрации, за исключением тех случаев, когда ширина плотины мала по сравнению с мощностью проницаемого слоя Ч 14. Фильтрационный расход под коффердамом* Выводы последних нескольких разделов вполне достаточны, чтобы показать наиболее характерные особенности фильтрационного потока воды под стационарными сооружениями плотин. Вместе с тем Ф=Ф/ применение временных водонепроницаемых перемычек, например коффердамов, в процессе проведения гидравлических работ привлекает также прак8 тический интерес к вопросу расхода фильтрации под такими временными сооружениями для окончательного перекрытия или уменьшения количества фильтрующейся воды. Нафиг. 69 представлена схематично типовая водонеизображение перемычки, проницаемая перемычка — коффердам, Ф и Г > б 9 установленной на глубине dx ниже Перемычка установлена до глубины dx поверхности,^ с^ глубиной котловай на, равной d2, в плоскости г. в водопроницаемом слое мощностью h. 7 — ПЛОСКОСТЬ Z. Со стороны нижнего бьефа слой песБолее подробное рассмотрение некоторых практических вопросов проблемы фильтрации воды под плотинами можно найти в работах A. Casagrande, Proc. Amer. Soc. Civ. Eng., 61, 365, 1935;

см. также E. W. Lane, Proc. Amer. |Civ. Eng., 60, 929, 1934, где сведены различные наблюдения, относящиеся к 250 существующим плотинам, а также в работе L. F. Harza, на стр. 967 того же цитированного журнала, где приведены результаты измерений сил противодавления под плотинами, полученные на электролитических моделях. Сюда входит некоторое число случаев с двумя рядами шпунтовых свай, а также слоистое залегание пористого основания под плотинами.

Часть II. Установившееся течение жидкостей чаника извлечен до глубины d2. Сама перемычка представлена тонким водонепроницаемым шпунтовым рядом АВ. На стороне нижнего бьефа установлены насосы для откачки воды, просачивающейся в котлован. Знание величины ожидаемой фильтрации имеет значение не только для расчета откачивающей установки соответствующей производительности, но также для предупреждения опасностей от размывания и разрушения самой перемычки. Прилагая снова уравнение (3), гл. IV, п. 11, устанавливаем, что диаграмма плоскости г (фиг. 69) будет отображена на верхней полуплоскости С преобразованием функции, определяемой выражением:

=Cl /7i= ~У /77.

У (С4где следующие соответствия /77, (1) Плоскость % В' о С' и, ^—г~-т (2) Фиг. 70. Отображение внешности фиг. 69 на плоскость.

были предположены заранее, как это указано на фиг. 70. Эти условия последовательно дают /По О - пкг !_ у ш| —1 In (3) m In Замечая отсюда, что сг является действительной величиной, условие» при котором z = х + ih для С > tnlt после уравнивания мнимых частей обеих сторон уравнения (I) для С > ш х получается из следующего выражения Исключая с2, можно написать и щ:

окончательно три уравнения для Сц X mf- — h (ш у^Г ^ (5) Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории... Вводя сюда обозначение mv = sec а{у /п 2 = sec а2 и исключая cv в конечном итоге получаем:

sin а* sin a\ * А ч (6) h \ (7) Для особого случая, когда б/ 2 =0, т. е. отсутствует котлован со стороны нижнего бьефа перемычки, уравнение (7) получает непосредственное решение: (1) ;

m/n ^ ;

/ 0 (8) Однако в целом уравнения (7) могут быть решены без особых трудностей графическим путем. Величина фильтрационного расхода может быть теперь рассчитана с помощью уравнения (19), гл. IV, п. 12, где значение к* дается из уравнения (16), гл. IV, п. 12. Решая последнее уравнение и используя обозначения (6), находим, что АФ ~~ 2К / ~~ COs(ai-a2)/ Для частного случая, когда глубина котлована со стороны нижнего бьефа достигает глубины забивки свай, т. е. d2 = йъ полученное решение нарушается, и задачу необходимо решить прямым путем, принимая С самого начала точки б и С совмещенными. Выполняя это решение аналитическим путем, совершенно аналогичным приведенному выше, нахоаим, что для этого случая /с* определяется выражением: fc*= l 2h (-3—О.;

d3=d1=d.

(10) Значения фильтрационного расхода, которые даются уравнениями (8), (9) и (10), приведены в виде построения на фиг. 71 как функции глубины проникновения перемычки в слой песка djh для различных значений d2jdv В этом случае также следует ожидать с физической стороны общего уменьшения величины Q/^Ф с возрастанием dxfh или уменьшением djdly т. е. пока перемычка не будет установлена Форхгеймером для этого случая также было получено решение с высокой степенью приближения, но путем, сходным с тем, о котором упоминалось в сноске в гл. IV, п. 12. Его окончательные формулы таковы:

Ж" и | д 1 Л.._ я(1—dx/ft)! * I 4 In ^ L ДЛЯ h Часть II. Установившееся течение жидкостей на самую подошву проницаемого слоя, можно наолюдать заметное постоянство этого расхода. Так как физический эквивалент ординат в данном случае является тем же самым, что дается в уравнении (10), гл. IV, п. 13, значение действительного закрепления коффердама на скале очевидно вполне. Значения Q/АФ, выведенные в настоящем разделе и в некоторых предыдущих, относятся к суммарному расходу, фильтрующемуся через пласт песчаника вдоль всего бесконечного слоя ЕЛ со стороны верхнего бьефа и покидающему этот пласт вдоль всей бесконечной поверхности CD со стороны нижнего бьефа (фиг. 69). Вместе с тем конечные ограничения этих поверхностей при реальном течении не нарушают справедливости полученных аналитических выводов. Нетрудно показать, что значительная часть расхода, поступающего или покидающего пористую среду, сконцентриФиг. 71. Расход фильтрации под перемыч- рована вблизи особых точек А ками: и С. Таким образом, фильтра— расход на единицу падения потенциала через перемычку и на единицу длины перемычки;

d± — глубина перемычки;

d 2 — глубина котлована со стороны Нижнего бьефа;

h — мощность проницаемого слоя.

ция еДИНИЦУ ДЛИНЫ С ПО_^ верХНОСТИ CD ДаетСЯ СЛедуЮна щим выражением dx dx~ Беря случай, когда d2 = 0 и тг dW (H) = т. имеем, что ВС А Отсюда dx = const Ут?

= const ctg ndJ2h sech nxj2h \ -f ctg ndj2h th nxj2h 2 (12) так как реализация конформного отображения плоскости z на плоскость в данном случае является следствием приложения той же функции, что была определена уравнением (4), гл. IV, п. 13. Видно, что _ (•л быстро приближается к нулевому значению, если удалиться от перемычки на расстояние одинарной или двойной мощности проницаемого слоя. Однако полученные здесь результаты обладают с практической точки зрения достаточным коэфициентом безопасности при установлении величины фильтрационного расхода в любом случае, ибо они значительно превосходят фактические значения расхода в физических системах, где ЕЛ и CD являются в действительности конечными величинами.

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

15. Анизотропная среда. Как уже было отмечено в главе II, произведенные измерения показали, что довольно часто - проницаемость перпендикулярно плоскости напластования песчаника значительно отличается от ее величины, замеренной в плоскости, параллельной напластованию. В таких спучаях песчаник можно рассматривать как анизотропную среду с проницаемостью, зависящей от направления потока. В большинстве практических задач эта анизотропность не имеет большого значения, особенна в тех случаях, где скорости в основном приурочены к плоскостям, параллельным напластованию. Вместе с тем представляется интересным принять в расчет фактор анизотропности, когда последняя подвергается рассмотрению. Так как дальнейшая дискуссия будет ограничена только анизотропным характером среды, здесь будет достаточно сделать допущение, что проницаемость, являющаяся отличной для направлений течения вдоль различных координатных осей, во всем остальном постоянна и не зависит от системы координат. Тогда, возвращаясь к гл. III, п. 3, видно, что закон Дарси для однородного, но анизотропного песка может быть написан в следующем виде:

vx=-k^;

х [i dx y vy~-0l.*P.

y ii ду ' -kJ->!L + h.yg. Vt=a z (i) v ц dz r /* rs ' Полагая, что отдельные проницаемости кх, кУ1 kz постоянны, получаем из уравнения неразрывности "*" l z ~ " u Кх дх* Ку ду* Тогда распределение давления р (X, у, z) не будет больше устанав ливаться уравнением Лапласа, а будет даваться равенством:

Однако небольшое преобразование последнего выражения приведет его к уравнению Лапласа. Так, преобразуя систему координат в (х, у, z), определяемую х -ут' у X —у y ~vV V ду* dz* = ~ Z непосредственно получаем следующее:

^+f 0.

(4) Отсюда явствует, что влияние анизотропности на проницаемость может быть заменено эквивалентным преобразованием координат. Таким образом, чтобы найти давление в точке (х, у, z) согласно уравнению (2), необходимо только изменить контуры системы путем преобразования (3), решить уравнение Лапласа (4) для этих новых границ, а уже затем подсчитать давление в точке zlVkz).

Часть II. Установившееся течение жидкостей В гл. V, п. 5 будет рассмотрено приложение этой теории к задачам, имеющим некоторый практический интерес. Что же касается движения в первоначальной физической системе, можно заметить, что в общем линии тока не будут нормальны к эквипотенциальным линиям. Действительно, легко усмотреть, что угол между этими направлениями дается уравнением: cosl9=., VF = — ^—^ x -^~.

(5) Поэтому результативная проницаемость вдоль линий тока будет: pp|cos.0 ~vvV cos 2 0 x к KX ' cos 2 0 y Ъ y ' cos 2 0 ft z где Qx, 0y, 6Z — углы между вектором v и координатными осями (х, у, z)1. С другой стороны, эквивалент изотропной проницаемости в преобразованной системе дается для трехмерных систем выражением kykz, а для плоских систем 16. Выводы из общей теории потенциала. Теорема Грина. В предыдущих разделах настоящей главы были представлены решения некоторых задач плоского течения, имеющих практическое значение. При этом были использованы некоторые из наиболее мощных аналитических методов теории потенциала. Так как мы в первую очередь заинтересованы в физической интерпретации и значении этих задач, то нами были показаны только те методы, которые имеют непосредственное приложение к проблемам некоторого практического значения2. Однако существует ряд общих выводов, имеющих практический интерес, которые можно будет достаточно хорошо обрисовать злесь и которые не зависят от таких подробных данных, которыми характеризовались уже рассмотренные задачи. В качестве первого вывода следует упомянуть, что в целом каковы бы ни были отдельные форйы граничных контуров, течение в любой системе замкнутых поверхностей всегда пропорционально разности давлений между поверхностями, через которые движется жидкость и от которых она движется при условии, что оба ряда поверхностей имеют постоянное давление каждый. Это положение можно рассматривать как само собой очевидное следствие линейности уравнения Лапласа. Его можно вывести также, пользуясь методом функции Грина. Однако представляет собой интерес показать следуЭти результаты были также получены, но с несколько более сложными выводами в работах С. G. Vreedenburgh and О. Stevens. Int. Conf. Soil Mech. and Fondation Eng., 1936;

а также F. Schaffernak, Die Wasserwirtschaft, p. 399, 1933. 2 Возможно, что наиболее часто применяемым методом решения, который не рассматривался в предыдущих разделах, является приложение интеграла Фурье. Полное рассмотрение этого способа, хорошо иллюстрированное примерами, можно найти в работе W. E. Byerly „Fourier's Series and Spherical Harmonics", гл. IV.

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

ющее доказательство этого положения, основанное несколько на ином* принципе теории потенциала. С этой целью мы используем гидродинамическую аналогию хорошо известной теоремы обратной взаимности Грина, которая формулируется в теории электричества так: если полные заряды Е19 Е2 и т. д. на отдельных проводниках системы создают потенциалы Vly V2 и т. д., а заряды Ей Е'2 и т. д. создают потенциалы V'ly V'2 и т. д., то:

В гл. I I I, п. 6 уже было показано, что путем непосредственного^ распространения аналогий заряды Е и постоянные потенциалы V для ряда проводников соответствуют гидродинамически полным расходам Q и постоянным потенциалам Ф. Поэтому возможно приложить теорему Грина к течению жидкости в пористой среде, сформулировав ее следующим путем: Если постоянные потенциалы

которое позволяет написать уравнение (2) в следующем виде:

192 или Часть II. Установившееся течение жидкостей Фг-Ф2 откуда = Ф'х-Ф'г в •••— const > (5) (4) == const/1Ф, что явилось положением, требующим доказательства, ибо константа зависит только от геометрии системы и, очевидно, прямо пропорциональна проницаемости /с. Отсюда следует дополнительно вполне естественный вывод, что если потенциалы обратимы, то и расходы обратимы, сохраняя, однако, то же самое численное значение, что и ранее. Наконец, можно заметить, что полученный результат, решенный методом функции Грина, сохраняет свое значение даже для отдельных расходов Q. Следующий вывод, представляющий некоторый интерес, относится к общему случаю плоского течения в скважину, который вне зависимости от контура области, дренируемой скважиной, выражается следующим уравнением:

где zip —перепад давления между внешним контуром (предположительно с постоянным давлением) и скважиной радиуса rw\ с — константа, зависящая от формы внешнего контура. Следует заметить, что, несмотря на форму внешнего контура, р (х, у ) может быть выражено следующим выражением:

p = q0(x, у) + const, (7) где Ф (х, у) QS In /" — для небольших значений г (замеренных от центра скважины). Полагая теперь In с = Ф(г в ), (8) где Ф (ге) представляет собой постоянное значение Ф на внешнем контуре, прилагая граничные условия, чтобы определить д, и рассчитывая обычным способом величину Q, находим в результате уравнение (6). Интересно заметить, что константа с в отдельных примерах соответствует вполне обоснованному эффективному среднему расстоянию внешнего контура от скважины. Так, в частном случае: 1) Круговой контур радиуса ге, концентричный со скважиной, С==ге 2) Круговой скважины контур радиуса ге г | — (52 С== ~~Т, е [см. уравнение (Ю)» гл. IV, п. 2J;

с центром на расстоянии Ь о т [см. уравнение (Ю)» гл. IV, п. 6 ] ;

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории... 3) Линейный источник питания на расстоянии d от скважины C — 2d [см. уравнение (8), гл. IV, п. 7];

4) прямоугольный контур со сторонами 2а, 2Ь и скважиной в центре Вывод последнего случая (4) можно получить без всякого труда, применяя функцию Грина для прямоугольного участка, как это дается в приложениях. Стедуег заметить, что во всех случаях значения с соответствуют величинам, которые можно рассматризать как средние „эффективные" радиусы фактических внешних контуров. Отсюда можно вполне обоснованно обобщить и сделать логическое заключение, что для всех практических целей необходимо рассчитывать Q по уравнению (6), а для определения величины с сделать расчет соответственного среднего расстояния внешнего контура от скважины. В главе IV, п. 6 была применена „теорема Гаусса о среднем", которая, будучи выражена через давление р, может быть сформулирована таким образом: давление в любой точке равняется среднему давлению по любому кругу, который не включает в себя каких-нибудь источников питания или стоков, и центр которого находится в искомой точке. Для доказательства этой весьма полезной теоремы снова можно использовать метод ряда Фурье 1. Так, из гл. IV, п. 5 ясно, что распределение давления в пределах окружности радиуса ге, не содержащей источников питания или стоков относительно интересующей нас точки, может быть выраже о следующим:

о аП1 Ьп так подобраны, что р принимает заранее намеченные значения на внешнем контуре г = ге. Отсюда удовлетворяется следующее выражение:

оо р = 2 rn (an sin п6 + Ьп cos пв), со (9) Ре (0)== 2 е i " и Г a Sin П ° + п COS пО).

Ь (10) Если р остается конечным внутри круга, то коэфициенты сл', dn соответственного уравнения (1), гл. IV, п. 5 должны быть приравнены нулю. Из уравнения (10) непосредственно следует, что среднее значение ре® дается: (11) что является аналитическим выражением вышеуказанной теоремы. Следующий общий вывоа из теории потенциала указывает, что для любой проблемы течения, плоского по отношению к декартовой системе Этот результат получается непосредственно, если в интеграле Пуассона принять < = 0 [уравнение (17), гл. IV, п. б]. Часть II. Установившееся течение жидкостей координат, можно взаимно заменить эквипотенциальные линии на линии тока и все же иметь систему, удовлетворяющую уравнению Лапласа. В гл. IV, п. 8 было показано, что функция тока W не только удовлетворяет уравнению Лапласа, но более того, кривые W = const нормальны к эквипотенциальным кривым Ф = const. Отсюда становится ясным, что можно обменять роли W и Ф, рассматривая первую как функцию потенциала, а последнюю как функцию тока. Таким образом, любой комплекс эквипотенциальных линий и линий тока для данной физической задачи можно интерпретировать как решение другой физической задачи, где эквипотенциальные линии и линии тока обменялись ролями, и граничные условия были изменены соответствующим путем. Взаимозаменяемость эквипотенциальных линий и линий тока может быть показана на специальном примере из задачи радиального течения в полукруговой системе, где эквипотенциальные линии даются окружностями:

ф= — л= (12) iу X д -^- = ^_0== const.

а линии тока = -^Ltg Я Q Q (13) являются, замечаем, очевидно, радиусами. Приложив полученные результаты, что если заменить линию тока 6 = 0 эквипотенциальной линией Ф = 0, а линию тока в = л эквипотенциальной линией 0=Q, то новые линии тока будут окружностями:

(14) как это показано на фиг. 73. Это соответствует течению между двумя смежными полубесконечными линейными источниками питания и стоками. Давление в источниках питания должно быть выше давления стоФиг. 73. Результат замены месков на величину (к/[л— I) Q. тами эквипотенциальных линий и линий тока при радиальном Последняя теорема из теории потентечении. циала, имеющая практический интерес, относится к вопросу установления известной симметрии в распределении потенциала для течения, чья геометрия обладает определенной симметрией. Для целей настоящей работы эта теорема может быть сформулирована следующим путем. Если течение имеет плоскость симметрии и все контуры с высоким потенциалом при одном и том же постоянном потенциале находятся по одну сторону плоскости, а все контуры с низким потенциалом при одном и том же постоянном потенциале симметрично расположены по другую сторону плоскости, то распределение потенциала внутри системы В этом случае Q относится к расходу через единицу мощности в полукруговую поверхность стока r = rw.

w Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

будет также симметрично по отношению к геометрической системе линий тока и эквипотенциальных линий на обеих сторонах плоскости. Нумерация эквипотенциальных линий будет иметь тот же самый численный порядок при возрастающей последовательности, идя от плоскости симметрии к границам с высоким потенциалом, а также при убывающей последовательности, идя к границам с низким потенциалом. В частности, плоскость симметрии будет иметь потенциал, равный среди еалгебраическому потенциалу на контурах. Простое доказательство этой почти очевидной теоремы может быть построено следующим путем. Допустим, что контуры с высоким и низким потенциалом х и So имеют потенциал 1 и 0. Распределение последнего обозначим через Ф (х, у, г). Тогда распределешие потенциала Ф' — 1 — Ф будет соответствовать, очевидно, тождественному состоянию течения, но с обращенными скоростями. Так как условия Ф' можно получить вращением потока на 180° относительно соответственной оси в плоскости симметрии, то при этих условиях вследствие геометрической симметрии системы нумерация потенциалов, начиная с 1 при So, будет тождественной нумерации в первоначальной системе, начиная с I при «Si- Отсюда, если Рг, Ро — точки, симметричные по отношению к плоскости симметрии на сторонах 5 Х и SQ, т. е. Ф(Р1) =Ф ' ( Р 0 ) = 1 _ Ф ( Р 0 ), ТО Ф(Р1)+Ф(РО)=1По мере того как Рг и Ро приближаются и достигают симметрии, становится ясным, что Р 1 = Р 0 = Р 1. Отсюда (16) плоскости Тогда уравнение (16) можно переписать в таком виде: Ф(Р1)-Ф(Р) = Ф(Р)-Ф(Р0), (18) что совместно с уравнением (17) является аналитическим экЕшвалентом формулировки доказанной теоремы. Следует заметить, что эта теорема является основой д л я выводов, которые даются в заключении к настоящей главе (п. 18) по отношению к распределению давления и сил противодавления в плотинах с двумя рядами шпунтовых свай, установленных симметрично по отношению к вертикальной плоскости, проходящей через центровую линию основания плотины. 17. Приближенные и неаналитические методы решения задач плоского течения. В предыдущих разделах было показано, что можно идеализировать, не вводя серьезных ошибок, различные проблемы течения жидкости в пористой среде, тщательное рассмотрение которых в настоящей главе привело к тому, что они стали доступны точной аналитической формулировке. Однако на этом основании нельзя надеяться, что для всех возникающих практических задач в этой области можно найти решения в аналитической форме.

Часть II. Установившееся течение жидкостей Поэтому для полноты обзора мы вкратце упомянем о некоторых возможных способах подхода к проблеме, когда нельзя найти строгого аналитического решения. Наш основной интерес заключается здесь скорее в раскрытии физической сущности проблем течения, чем в аналитической теории уравнения Лапласа. Мы не претендуем на полноту раскрытия возможных методов решения его и ограничимся в большинстве случаев простым их определением. Наиболее интересным из этих методов, с аналитической точки зрения, явяяется, возможно, совершенство техники вывода ряда аналитических функций, которые в пределе приближаются индивидуально или в соответственных комбинациях к потенциальной функции, удовлетворяющей предначертанным граничным условиям. Среди различных видов этих функций имеются удовле воряющие в отдельности граничным условиям, но не удовлетворяющие диференциальному уравнению (метод Пуанкаре), а также такие, что являются в отдельности решением уравнения Лапласа, но не удовлетворяют граничным условиям (метод среднего арифметического Ньюмена). Эти методы являются весьма мощным орудием при изучении формальной теории решений уравнения Лапласа, но непригодны, в частности, для обработки специфических задач. Читатель можег найги полное обозрение этих методов в работе „Encyclopadie der Mathematischen Wissenschaften", т. II, ч. Ill, 1, стр. 177—377, а также в „Potemial Theory " О. D. КеЬ log, гл. XI, 1929 г. Значительно более практический путь решения базируется на выводе из вариационного исчисления 1, гласящем, что проблема решения уравнения Лапласа дФ * дх ф •д г 2 = 0 ' ду (1) для удовлетворения заранее установленных граничных условий на контурах определенной области эквивалентна нахождению функции Ф, удовлетворяющей этим граничным условиям и имеющей такое значение, чтобы привести интеграл к минимуму. Хотя задача приведения интеграла / к минимуму обычно преобразуется обратно в решение (1), непосредственная попытка получения приближенного минимума во многих случаях будет являться более Riemann-Webers, уже цитированная работа, главы V и XX;

также Соиrant-Hilbert, „Methoden der Mathematischen Physik", 1924, главы IV и VI;

есть русский перевод. 2 Это выражение содержит, очевидно, весьма интересное следствие, а именно: фактическое распределение давлений и скоростей в пористой среде, несущей жидкость в условиях ламинарного течения, должно быть таковым, чтобы создать минимум общей макроскопической кинетической энергии жидкости по сравнению со всеми остальными способами распределения, согласующимися с заранее принятыми граничными условиями. Другим следствием является то обстоятельство, что движение жидкости должно быть таковым, чтобы общая величина произведенной работы трения была минимальной, так как интегральное выражение / пропорционально величине последней в каждой точке (х, у).

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

легкой процедурой. Среди различных схем минимизации / следует упомянуть о схемах Ритца г и Трефтца 2, которые являются аналогами приведенных выше формальных аналитических методов. В них мы встречаемся с соответственными рядами функций, которые удовлетворяют граничным условиям, но не уравнению Лапласа, и обратно. Практическое содержание метода Ритца состоит в основном из построения функции Ф;

п ф (*> у)=е (*> у) + СтФт (*> У)» (3) где g(x, у) является любой диференцируемой функцией, удовлетворяющей граничным условиям, в то время как Фт является последовательностью функций, обращающихся в нуль на контуре. Значение g может быть принято равным нулю, если каждое из Фт удовлетворяет граничным условиям. Выбираем постоянные коэфициенты ст таким путем, что, когда Ф будет подставлено в уравнение (2), / будет иметь минимум. Согласно элементарным правилам исчисления выбор ст приводит к системе уравнений линейных относительно ст:

4" "^- = /J ^ Cj J j (ФтхФ/х + ФтуФ]У) dxdy=0;

m = 1,2... п, (4) где индексы (х, у) показывают на диференцирование по х и у, или же, применяя теорему Грина 3, получаем окончательно:

j J / Ф т 2 ф 1 й х й у " —f f0™V2gdXdy> т = 1,2... п.(5) Точность результативной функции Ф будет, очевидно, зависеть от выбора функций Фт и числа элементов п, принятого в суммировании. Успешность применения этой методики будет зависеть вполне определенно от выбора Ф т, так как для получения их численных значений следует разрешить интегральные уравнения (4) и (5). Таким образом, если можно выбрать Фт так, что их производные по х и у образуют ортогональные ряды, становится ясным, что уравнения (4) сведутся к п отдельным уравнениям по единичным коэфициентам ст. Иначе их следует рассматривать как ряд совместных уравнений. Однако в любом случае можно показать, что хотя бы конечная сумма отобранных Фт представляла фактически строгое решение, значение интеграла из уравнения (2) с любым конечным рядом, например, согласно уравнению (3), будет больше по сравнению с его минимальным значением, даваемым точным решением. Путь решения, который дает Трефтц, отличается от схемы Ритца только природой функций Ф т. Здесь Фт выбраны первоначально как потенциальные функции. Отсюда все они удовлетворяют 1 2 R i t z W., J. rein. u. angew. Math., 135, 1, 1909. T r e f f t z E., „Intern. Cong. Applied Mech.", стр. 131, Цюрих, 1926. E. В. W i l s o n, „Advanced Calculus", p. 349, 1912.

Часть П. Установившееся течение жидкостей уравнению (1), но не удовлетворяют граничным условиям. Беря тогда ряд п У) (6) и устанавливая как эквивалент уравнения (2) жение требование, чтобы выра (?) имело значение минимума, где Ф является истинным решением при значениях границ g(s), легко установить, что ст получаются из линейных уравнений: (8) В этом случае точность % будет зависеть снова от выбора Фт и числа членов в ряду. Однако в противоположность методу Ритца величина / в уравнении (2), используя значение % из (6), для данного случая будет всегда меньше истинного минимального значения / при правильном решении, если только последнее не было выражено как конечная сумма Фт. Отличный метод вывода решения уравнения Лапласа, соответствующий вполне определенной физической проблеме течения, заключается з графическом интегрировании уравнения. При этом способе решение последнего представляется геометрической сетью эквипотенциальных линий и линий тока, соответствующих физической задаче. Эта сеть получается в результате следования определенным правилам и при повторении дает последовательно более близкое приближение к форме сети, определяемой точным решением. Отдельные детали этого метода могут быть самого разнообразного порядка. Они могут базироваться на принципе соответственного преобразования первоначально произвольной сети, которая показывала бы режим на контурах, соответствующий заранее принятым граничным условиям, или же на принципе дальнейшего развития элементов сети, первоначально выбранных так, чтобы удовлетворить полностью или частично граничным условиям внутри интересующей области, согласно правилам, соответствующим диференциальному уравнению, которое необходимо решить. Главной особенностью совершенно иной схемы является графическое построение функций Грина для рассматриваемой области и последующий подсчет конечного значения потенциала графическим или численным интегрированием согласно уравнению (1), гл. IV, п. б. Подробное описание этих методов с полной библиографией можно найти в работе „Numerische und graphische Integration", С. Runge und Fr. A. Willels „Encyklopadie der Mathematischen Wissenschaften", II, 3, 1, ст,\ 164—171.. Примеры распределения потенциала дня проблем течения, полученные этим путем, показаны на фиг. 74 и 75. Указанные виды графического интегрирования уравнения Лапласа непосредственно дадут только сети эквипотенциальных линий и линий Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

тока. Фактический же расход в системе может быть установлен следующим путем: предполагая, что общее падение потенциала в системе ДФ от поверхности поступления потока до поверхности стока было разделено на п равных частей (л — 1) эквипотенциальными линиями, лежащими между контурами, замечаем, что падение между каждой из них будет ДФ/п. Если разрыв между двумя из этих эквипотенциальных линий в данной точке будет S, то расход на единицу длины вдоль эквипотенциальной поверхности будет ДФ/ns. Допуская теперь, что линии тока были построены так, что они образуют квадратную сеть с эквипотенциальными линиями, получим величину расхода между двумя такими линиями тока ДФ/п. Отсюда в конечном итоге, если квадратная Фиг. 74. Эквипотенциальные линии и линии тока под плотиною со свайной крепью, полученные графическим интегрированием (по Терцаги).

Фиг. 75. Эквипотенциальные линии и линии тока под плотиною с основанием, имеющим неправильную геометрическую форму, полученные графическим интегрированием:

т — число единиц расхода;

п— число эквивалентных единиц потен-v циала;

Н — общий напор жидкости (по Терцаги).

сеть содержит (т — 1) линий тока между ограничивающими линии тока контурами, получим величину общего расхода в системе из следующего выражения:

=^ф.

Для того чтобы найти фактический расход в системе, необходимо подсчитать число квадратов на отрезке, ограниченном двумя линиями тока, а также на отрезке, ограниченном двумя эквипотенциальными линиями, взять их отношение, а затем приложить уравнение (9). Результат такого подсчета приведен на фиг. 75, причем было найдено, что тип имеют значения 5 и 28,8. Другой способ решения уравнения Лапласа заключается в численном интегрировании. В этом случае было также предложено значительное количество схем. Однако все оня дают искомое решение в форме численных значений потенциала или функции давления на заранее принятой сетке точек, покрывающих интересующую нас область. Единственный численный способ, который необходимо рассмотреть здесь для применения в практических целях, заключается в том, что диференциальное уравнение в частных производных сначала заменяется Часть II. Установившееся течение жидкостей соответствующим разностным уравнением, и математическая обработка 1 прилагается к последнему уравнению. Уравнение в частных разностях строится с помощью применения (для двух переменных) соответствий: дх '•—--+Ф(х+д,у)-2Ф(х,у) + Ф(х-д,у) для квадратной ячейки со стороной д. Принимая S в качестве единицы длины, получим разностное выражение, соответствующее уравнению Лапласа, в следующем виде:

Ф(х,у-1)-4Ф(х>у)==0, (П) где х и у являются независимыми координатами точек решетчатой ячейки. Чтобы решить это уравнение прямым путем, необходимо выписать его последовательно для каждой точки (х, у) в пределах контура, определяющего интересующую нас область. В уравнения, где (х, у ) непосредственно примыкают к контуру и содержат по крайней мере одно граничное значение Ф, подставляется заранее принятое граничное значение. Таким образом, будет получен ряд линейных неоднородных уравнений, выраженный через неизвестные значения Ф во внутренних точках решетки, численно равный количеству этих точек. В результате решения этих уравнений обычным алгебраическим путем получается решение уравнения (11). Повидимому, для практических целей такое непосредственное решение будет утомительным и трудоемким. Поэтому были разработаны приближенные методы получения желаемых результатов, даже не прибегая к обработке уравнения (11) как точного алгебраического выражения. Наиболее удобным путем нахождения таких решений является методика усереднения, предложенная Либманом2. В этом случае уравнение (11) переписывается в следующем виде:

(12) Следует упомянуть также о возможности решать численным путем задачи о потенциале математической обработкой интегрального уравнения, эквивалентного диференциальному уравнению в частных производных Лапласа (Келлог, стр. 286) и вариационного приближенного метода Ритца (см. также гл. IV, Bull. 92 of the National Research Council on „Numerical Integration of Differential Equations", 1933). 2 L i e b m a n n H., Munch. Sitzgs. Ber., p. 385, 1918.

Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

из которого видно, что значение Ф в любой точке является средней арифметической величиной четырех непосредственно примыкающих соседних точек. Теперь можно показать, что беря для величины Ф заранее принятые значения на контурах, а внутри последних любое произвольное распределение значений его, и повторно прилагая уравнение (12), чтобы получить улучшенные значения потенциала на внутренних точках, можно получить такое распределение потенциала, что дальнейшее приложение уравнения (12) уже больше не изменит его. Это предельное распределение будет, очевидно, представлять решение разностного уравнения (11) с заранее принятыми граничными условиями. Вольфом 1 была опубликован! подробная техника выполнения этих последовательных приближений, производимая систематическим путем на основе многократного приложения уравнения (12), а также доказательство сходимости этого метода. Оставляя в стороне неизбежную при этом приближенность, вследствие практической необходимости нарушения процедуры усереднения после конечного числа операций, а отсюда раньше, чем будет достигнуто фактически предельное решение разностного уравнения 2, следует заметить, что, приближенность в только что рассмотренном численном способе присуща последнему благодаря замене диференциального уравнения в частных производных уравнением в частных разностях. Вполне ясно, что ошибки, вводимые таким путем, будут уменьшаться с уменьшением размера ячейки или увеличением числа внутренних точек, для которых подсчитывает ся величина потенциала. Размер принятой ячейки при действительном вычислении будет, очевидно, определяться точностью, которую желательно получить при конечных результатах. Последним неаналитическим методом получения решений специальных проблем течения, имеющим большое практическое значение, является применение экспериментальных моделей течения 3. Особый интерес представляют эксперименты с электрическими моделями, основанные на тождестве движения электрических токов в электропроводящей системе и ламинарного течения однородной жидкости в пористой среде, как это уже было охарактеризовано в гл I I I, п. 6. Эквипотенциальные линии и линии движения тока в электрической системе соответствуют эквипотенциальным линиям и линиям тока течения для пористой среды, а величина единицы удельного сопротивления электрической модели соответствует обратной величине расхода для единицы вязкости жидкости, единицы проницаемости среды и единицы полной разности потенциала. Возможно также, что наиболее гибким типом модели является электрическая модель, в которой пористая среда замещена электролитом, а распределение потенциала представлено зондами.

WolT F., Zeits. Angew. Math, i nd Mech., 6, 118, 1926. Можно заметить также, что несколько отличный вид развития процесса усереднения приводит к процедуре, которая принципиально обеспечивает метод получения точного решении разностного уравнения конечным числом операций, L. F. Richardson, Trans. Roy. Soc, London, A-210, 307, 1910. 3 Эксперименты с песчаными моделями, применяемые многими исследователями, не рассматриваются здесь, так как они представляют собой воспроизведение в малом масштабе фактических типов течений.

Часть II. Установившееся течение жидкостей При этом следует применять переменный ток, чтобы избежать эффекта поляризации на электродах, представляющих собой границы питания и стока системы. С помощью электролитической модели могут изучаться обе системы—плоского и пространственного течения. В частности, плоское течение изучается этим путем гораздо свободнее благодаря представляющейся возможности зондирования внутреннего состояния системы, даже если она не обладает заметными характерными чертами симметрии. Распределение потенциала и линий тока в пространственном течении, содержащем непроницаемую перемычку, может быть свободно установлено на электролитической модели, если заменить перемычку геометрически сходным телом—непроводником. Электролитическая модель, которая дает графическое представление о действительном движении частичек жидкости для плоских систем, состоит из электролита, в котором движение ионов становится видимым благодаря наличию индикатора, меняющего цвет последнего, по мере того как ионы движутся от приемных электродов. Этот метод применялся с успехом к задаче о водяной репрессии и более подробно рассматривается в гл. IX, п. 17. Обычная проводящая модель, на которой можно изучать пространственные системы течения, обладающие такой симметрией, что наиболее важные свойства их воспроизводятся на плоскости, составленной из линий тока, например, на радиальной плоскости в системе, обладающей осевой симметрией, может быть построена из любого однородного вещества с высоким сопротивлением, например, из графита. Контуры течения для большей части поставленных задач могут быть проверены опытно с помощью металлических электродов — контуры постоянного потенциала — или с помощью изолированных поверхностных элементов, соответствующих границам, образуемым линиями тока. Примеры применения таких моделей приведены в гл. VIII, п. 12, в связи с анализом устранения водяных конусов в несовершенных нефтяных скважинах глинистыми линзами. Когда представленная система двухмерная, можно с успехом применить плоские модели из токопроводящей пластины. Общие принципы их применения и интерпретации остаются те же, что и в остальных электрических моделях. Непроницаемые перемычки, например, линзы песчаника, проверяю1 ся опытным путем, вырезыванием из токопроводящей пластины фигуры, геометрически похожей на форму изучаемого барьера. Некоторые примеры распределения потенциала на этом типе модели приводятся в гл. IX, п. 21 для различных установок водной репрессии нефтяных пластов. Особенно удобным свойством электрических моделей для плоских систем является то обстоятельство, что их можно применять для непосредственного получения эквипотенциальных линий и линий тока системы. Благодаря взаимной ортогональности этих кривых они могут быть взаимно заменены местами и все же отображать возможное течение (гл. IV, п. 16). Отсюда, нанося эквипотенциальные линии на модели, у которой пограничные линии тока соответствуют граничным поверхностям постоянного потенциала первоначальной системы, и поверхности постоянного потенциала соответствуют поверхностным элементам линий тока, можно получить непосредственно линии тока первоначального течения. Этим путем можно избежать достаточно неточной процедуры Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

нахождения линий тока вычерчиванием нормальных траекторий к экви1 потенциальным линиям. Следует заметить, что при движении жидкостей в пористой среде не существует прямой электрической аналогии с гравитационным эффектом. Поэтому необходимо в задачах, куда входят вертикальные скорости, например, фильтрация под плотинами, соорудить модель скорее на базе аналогии между электрическим потенциалом и потенциалом скорости жидкости, чем на базе аналогии между электрическим потенциалом и давлением жидкости. С другой стороны, системы, куда входят свободные поверхности,—поверхности линий тока, на которых давление постоянно, нельзя рассматривать просто, так как свободные поверхности, которые автоматически развиваются в реальных системах гравитационного течения, не появятся в электрической модели, которая будет повсюду перерезаться линиями протекающего электрического тока. В подобных случаях необходимо разрезать модель таким образом, чтобы она действительно была ограничена кривой той же самой формы, что и свободная поверхность в физическом течении. Однако это может ^быть сделано только опытным путем, так как форма свободной поверхности вообще сначала неизвестна и ее определение является фактически одной из искомых величин при решении задач гравитационного течения. Критерий для правильного определения формы свободной поверхности заключается в том, что потенциал вдоль ее должен изменяться линейно -с изменением вертикального превышения свободной поверхности над горизонтальной плоскостью;

физически это обозначает, что давление, как это требуется определением последней, постоянно на свободной поверхности. Опытная настройка формы элемента ограничивающей поверхности аналогичным путем описана в гл. VIII, п. 10 для случая пространственной модели, примененной для изучения задачи образования водяных конусов. В дополнение к опытной настройке контура в электрической модели так, чтобы он соответствовал свобоа ой поверхности,, необходимо также в проблемах гравитационного течения, например, при определении величины фильтрации под плотинами, принять во внимание граничные элементы неизвестной длины, составляющие „поверхности фильтрации". Прикрепляя к модели полоски проводника по длине рассматриваемого сегмента и пропуская через эту полоску ток, чтобы создать вдоль нее линейное изменение потенциала, можно удовлетворить условию постоянства давления вдоль таких поверхностных сегментов. Длина этой полоски подбирается так, чтобы дать соединение со свободной поверхностью, которая должна заканчиваться у кровли поверхности фильтрации. Фактическое приложение этого типа модели к задаче фильтрации через плотины будет представлено в гл. VI, п. 6. Последний пункт, о котором следует упомянуть в связи с экспериментами на моделях, связан с масштабами моделей и их цифровыми Можно обратить также внимание на очень интересное приложение электрических моделей, недавно разработанные К. N. Е. Bradfie-d, S. G. Hooker and R. V. Soutnwell (Proc. Roy. Soc, 159A, 315, 1937). Эти авторы показывают, как можно прилагать электрические модели к преобразованию конформных и сопряженных функций в плоских системах потенциала. Это делает возможным решение задач с такой геометрией, где теорему Шварца-Кристоффеля ее обобщение нельзя применять дальше с практическим результатом.

Часть II. Установившееся течение жидкостей значениями. Хотя предварительно необходимо определить абсолютные размеры модели для удобства и для получения желаемой точности, однако раньше всего совершенно необходимо геометрическое подобие модели и первоначального течения потока, особенно если результаты, Полученные на модели, будут приложены к физической проблеме течения. Только в этом случае распределение потенциала и линий тока на модели будет эквивалентно соответствующим параметрам действительного течения. Что же касается сопротивления модели или дебита жидкости, важно заметить при выборе единицы удельного сопротивления, что полное сопротивление системы обратно пропорционально одному какому-нибудь размеру ее. Все же остальные размеры входят в систему в зависимости от величины своего отношения к приняв тому размеру. Отсюда, чтобы получить эмпирические обобщения из экспериментов на моделях, необходимо изучить сопротивление, как функцию отношений различных размеров модели к фиксированному размеру или же попытаться выразить произведение величины сопротивления и выбранного размера в зависимости от отношений остальных размеров к выбранному. 18. Заключение. Встречающиеся в природе* водоносные и нефтеносные песчаники обладают часто значительным постоянством мощности на большом протяжении. Проблема движения жидкости в таких песчаниках включает поэтому анализ плоских задач теории потенциала. Это физическое приближение представляет особенный интерес для тех случаев, когда скважины, пробуренные с целью дренирования залегающих горизонтально песчаников постоянной мощности, вскрыли последние полностью. Тогда можно вполне безопасно пренебречь вертикальной изменчивостью в распределении потенциала. В последующей главе будет показано, что если скважина вскрыла не полностью пласт песчаника, то задача принимает пространственный характер, который нельзя удовлетворить приближением, основанным на двухмерных упрощениях» В свете ограничения течения плоскостями, параллельными горизонту, в плоских задачах сила тяжести фактически исчезает из уравнений. Отсюда при изучении горизонтальных плоских систем можно принять давление жидкости р, помноженнсе на отношение проницаемости к вязкости жидкости k/fi, как эквивалент потенциала скорости. На этом основании был произведен подробный анализ нескольких физических задач течения, подчиняющихся уравнению:

"+-]ф — 0 t CM - Уравнение (1), гл. IV, п. 1], где х и у являются декартовыми координатами для горизонтальной плоскости. Каждая задача выбиралась так, чтобы показать условия течения, имеющего практический интерес, и в то же самое время привести один из общих методов анализа, который применяется в теории плоского потенциала. В большинстве этих задач рассматриваемая система состоит из скважины небольшого радиуса, которая дренирует песчаник или через которую происходит питание последнего жидкостью. Различие между этими отдельными задачами заключается в условиях, которые налагаются на границы области, окружающей скважину, форму контура Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

этой области и изотропность песчаника по отношению к его проницаемости. Анализ этих отдельных задач приводит к следующим общим выводам. Каждая скважина в пласте песчаника, в котором перемещается в единицу времени и через единицу его мощности количество жидкости Q, 1 вносит в распределение давления в системе член, определяемый выражением: \ъг [см. уравнение (11), гл. IV, п. 2], где к — проницаемость песчаника;

(г — вязкость жидкости;

г — радиус, замеренный от центра скважины. Окончательное распределение давления в системе слагается из величин указанного типа, связанных с наличием индивидуальных скважин в системе, и других членов, находящихся в точной зависимости от границ области питания и принятых граничных условий. На основании приложения теории рядов Фурье (см. гл. IV, п. 3) было установлено, что течение в скважину радиусом rw в центре кругового контура радиусом Ге может быть подсчитано из уравнения: :—е—.—— [см. уравнение (12), гл. IV, п. 5], \i in Te\rw где ре, pw являются соответственно средними значениями давлений, которые поддерживаются на внешнем круговом контуре и на забое скважины. Идя обратным путем, можно установить среднее значение давления ре на окружности радиусом ге, замыкающей скважину, если известно давление pw на данной скважине, имеющей текущий дебит Q, из соотношения: ре Qf In re/rw ^ j_p w [ см# уравнение (13), гл. IV, п. 5].

— Если известно давление в некоторой точке (х, у), то среднее давление по кругу, у которою данная точка является центром и который не содержит в себе скважин или иных источников и стоков жидкости, должно равняться этому давлению в центре [см. уравнение (11), гл. IV, п. 16]. С другой стороны, если внешний контур области не представляет окружности или не концентричен боковой поверхности скважины, то расходы жидкостей в скважину или из нее определяются приложением функции Грина или методом конформных отображений. На основании общих соображений расход может быть выражен уравнением: У Р а в н е н и е (6)> г л IV > п Ар—перепад давления, существующий между скважиной радиусом ?п>и внешним контуром, а с—константа, зависящая от формы внешнего Значение Q во всех этих уравнениях относится к расходу через единицу Мощности песчаника.

Часть II. Установившееся течение жидкостей контура, к значению которой можно приблизиться выбором соответствующего среднего расстояния скважины до контура. Так, если внешний контур представлен окружностью, но скважина расположена вне центра его даже на такую значительную величину, как половина радиуса кругового контура, то ошибка в величине расхода, которая получится, если принять с равным этому радиусу, будет менее 5 % (см. гл. IV, п. 16 и фиг. 34). Вследствие логарифмической зависимости дебита Q от длин, характеризующих размеры системы, даже приблизительный подсчет последних приводит в результате к весьма точным значениям для проектирования дебита Q. Если система содержит более одного источника или стока и если ряды источников и стоков имеют каждый постоянное давление, то приложение теоремы Грина или общих соображений, которые обеспечивают применение теории функции Грина, показывает, что суммарный расход в системе прямо пропорционален перепаду давления между рядом источников и рядом стоков и проницаемости среды, в которой они расположены [см. уравнение (5), гл. IV, п. 16]. Если эффективный внешний контур, обеспечивающий питание скважины жидкостью, не является даже приблизительно круговым, то практической задачей является такой случай, когда внешний контур представлен бесконечным линейным источником питания. Аналитическая идеализация бесконечного линейного источника питания и единичной скважины соответствует наиболее простой задаче перемещения краевой воды, когда вода движется поступательно, образуя фронтальное продвижение и вытесняя нефть в скважину, расположенную вблизи водонефтяного раздела. Мы встречаемся с подобным явлением, рассматривая движение воды в артезианскую скважину, вскрывшую пласт песчаника, выходы которого открыты в канале или ложе реки и параллельны их берегам (см. фиг. 38). Решение этой задачи методом конформных отображений показывает, что текущий дебит скважины является таким же, какой можно получить из скважины, окруженной концентрическим круговым контуром питания при симметричном радиальном течении и при радиусе контура, равном двойному расстоянию скважины от линейного источника питания [уравнение (8), гл. IV, п. 7 ]. Если ложе реки или канала пересекает выход песчаника (см. фиг. 39), то источник питания жидкостью нельзя рассматривать больше как бесконечную линию, а вместо этого ее следует принимать кэк конечную линию питания. Такую систему можно подвергнуть рассмотрению методом сопряженных функций (гл. IV, п. 8), что приводит к системе конфокальных эллипсов для эквипотенциальных линий и софокусных гипербол для линий тока (см. фиг. 40). Разумеется, течение в скважину, вскрывшую пласт песчаника, получающего питание водой из такого конечного линейного источника, будет меньше по сравнению с тем случаем, когда источник питания будет иметь бесконечную длину. Это различие между ними становится незначительным, если скважина расположена очень близко к конечному линейному источнику питания. При решении этой задачи методом преобразования сопряжеьной функции установлено, что на любом заданном расстоянии от источника питания текущий дебит будет наибольшим, если скважина расположена на перпендикуляре, рассекающем пополам линейный источник, и будет уменьшаться по мере Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

того, как скважина перемещается по направлению к концам линейного источника и еще дальше. Следующим типом плоской задачи является случай, когда течение осуществляется скорее в вертикальной, чем в горизонтальной плоскости. Такие явления возникают, когда течение обладает постоянной динамической характеристикой, простирающейся на значительные расстояния в горизонтальном направлении, например, при фильтрации под плотинами, длина которых велика по сравнению с их толщиной. Так как сила тяжести эквивалентна постоянному вертикальному градиенту давления, то для таких задач соответственной динамической переменной;

явится потенциал скорости 1 Ф = —- (р — ygy) в противоположность к давлению р для горизонтальных плоских систем. Кроме того, линии» тока в системе, когда течение вертикально, будут скорее ортогональны по отношению к кривым постоянного потенциала скорости, чем к кривым равного напора. Однако с аналитической стороны эти задачи все же требуют решения плоского уравнения Лапласа [(3), гл. IV, п. 1]. Особенно интересные примеры этого типа плоских задач относятся к фильтрации под. плотинами, длина которых велика по сравнению с шириной их оснований. Эти задачи включают в себя вопросы противодавления и опрокидывающих моментов у основания плотины, а также численного значения фильтрации. В большинстве практических случаев для решения первого вопроса достаточно принять мощность проницаемого слоя, залегающегов основании плотины, бесконечной и этим путем упростить анализ. Если в основании плотины отсутствует забивная шпунтовая крепь, аналитическая задача становится эквивалентной случаю горизонтального течения из конечного линейного источника питания в пласт песчаника бесконечных размеров, при замене местами эквипотенциальных линий и линий тока в последней системе, и последующим поворотом: горизонтальной плоскости в вертикальную. Давление в основании плотины распределяется по арккосинусу (см. фиг. 44), показывая, таким образом, большие градиенты со стороны пяты и носка основания плотины в противоположность обычно принимаемому линейному распределению давления. Однако суммарная опрокидывающая сила является той же самой, что при допущении линейного распределения давления, а именно равна среднему алгебраическому значению давления в пяте и носке основания плотины, помноженному на ширину последней. С другой стороны, суммарный опрокидывающий момент всегда превышает величину, подсчитанную исходя из линейного закона распределения давления, и достигает завышения на 1 1 % для давлений, имеющих нулевое значение в носке основания плотины. В том случае, если под основанием плотины имеется один ряд забивной шпунтовой крепи, задача может быть решена аналитическим путем, переведя геометрию системы в вид, тождественный плотине без забивной крепи. Это преобразование производится на основе теоремы Шварца Кристоффеля, которая дает формулу для отображения внешности любого многоуголь вниз.

Здесь принимается, что у представляет вертикальную ось, направленную Часть П. Установившееся течение жидкостей 'ника на комплексную полуплоскость и где контур полигона преобразуется в действительную ось комплексной плоскости (гл. IV, п. 11). Анализ показывает, что и в этом случае также существуют градиенты высоких давлений у пяты и носка основания плотины. Следующим характерным вопросом, имеющим практический интерес, является падение давления через забивную крепь. Это падение давления уменьшается достаточно быстро, по мере того как увеличивается отношение ширины плотины к глубине забивки свай, но оно может достичь значительной величины при небольшом значении этого отношения. Когда глубина свай так же велика, как ширина плотины, и свайная крепь находится у пяты или носка ее основания, падение давления через свайную забивную крепь может достигать 72,8% от величины всего падения давления, имеющего место на протяжении всего основания плотины от пяты до ее носка (см. фиг. 50). Когда забивная крепь находится в центре основания плотины, то соответственное падение давления между напором верхнего и нижнего бьефов вдоль основания плотины составит 70,5% всего перепада давления через плотину. Для больших отношений ширины плотины к глубине свай величина этого снижения достаточно высока, но все же это незначительное уменьшение процента является противоположностью тому выводу, что дает теория Бляя. В последней теории свайная крепь успешно заменяется дополнительной эквивалентной шириной основания, равной периметру свай, и падение давления вдоль всей растянутой „ползущей линии" принимается линейным. Падение давления, обязанное наличию свай в упомянутой теории, пропорционально только глубине забивки свай, но не зависит от их местоположения. Непосредственным выводом из высоких перепадов давления через свайную крепь является то обстоятельство, что градиенты на всей остальной части основания плотины будут по необходимости малыми, уменьшая, таким образом, опасность разрушения основания плотины размывом песка вследствие высоких скоростей движения жидкости. Что же касается суммарной величины сил противодавления для плотин со шпунтовыми сваями, теория указывает, что, за исключением тех случаев, когда сваи установлены непосредственно под центром плотины, заоивная крепь может внести существенные изменения в величину этих сил. Так, для свай, глубина которых равна ширине плогины, сила противодавления уменьшается на 59% в том случае, если сваи находятся в пяте основания плотины, и увеличивается на ту же величину, если сваи установлены в носке плотины. Разумеется, этот эффект падает по мере того, как увеличивается отношение ширины плотины к глубине забивной крепи. В этом случае теория Бляя дает опять только приблизительные результаты. Значения суммарной силы противодавления, рассчитанные по этой теории, получаются ниже на 20% для свайной крепи у верхнего бьефа и выше на 6% у нижнего бьефа. Однако влияние установки шпунтовых свай на величину суммарного опрокидывающего момента (относительно пяты плотины) не является симметричным относительно центра расположения крепи. Последняя уменьшает величину опрокидывающего момента, будучи установлена на расстоянии 6 2 % ширины плотины от ее пяты, и увеличивает величину момента, будучи установлена на расстоянии 3 8 % от ее ширины, считая Глава IV. Проблемы плоского течения и методы теории...

от носка плотины. Величина этих колебаний довольно значительна, особенно для небольших отношений ширины плотины к глубине свай. Если это отношение составляет единицу, то сваи, установленные в пяте основания, уменьшают величину суммарного опрокидывающего момента на 4 6 % по сравнению с плотиной без свай. Если же сваи установлены в носке плотины, то опрокидывающий момент будет соответствовать 202,3% величины последнего для плотины без свай. В этом случае заключения теории „ползущей линии" (Бляя) также отличаются от выводов правильной теории, ибо они дают слишком низкие значения опрокидывающего момента для свайной крепи, установленной на расстоянии 7 0 % от пяты основания плотины, и слегка завышенные значения для местоположения свай в пределах 3 0 % от носка плотины. Теория „ползущей линии" со стороны1 количественных заключений является фактически неправильной. Вместе с тем линия ползучести жидкости, образованная основанием плотины и периметром свайной крепи, представляет собой ограничивающую линию тока жидкости. Действительно, если основание плотины всегда будет направлено вниз выпуклой стороной, эта ограничивающая линия является линией тока максимальной скорости. Однако для плотин со свайной крепью линиями тока максимальной скорости являются те, что следуют более короткими путями, пересекающими песчаник между низшими точками, достигаемыми сваями, и идущими непосредственно к носку плотины. Аналитическая теория, развитая в настоящей главе, относилась своей количественной стороной только к плотинам с одним рядом свай. Влияние дополнительных шпунтовых рядов можно свободно вывести на основании более простых задач. Так, если представлены два ряда свай равной длины — один ряд в пяте основания плотины, а другой—в носке ее, или же они расположены симметрично по отношению к основанию плотины, то распределение давления под плотиной будет обладать симметрией относительно вертикальной плоскости, проходящей через центровую линию основания плотины (гл. IV, п. 16). В частности, эта центровая линия будет являться эквипотенциальной линией, величина которой будет равна среднеарифметическому потенциалу верхнего и нижнего бьефа. Разность потенциала между этой линией и двумя точками, симметрично расположенными относительно нее, будет одна и та же. Соответственно этому перепад Давления у обеих свайных крепей будет одним и тем же. Кроме того, суммарная величина силы противодавления остается неизменной при наличии двух таких симметрично расположенных рядов свай. Абсолютная величина перепада давления через свайные крепи будет меньше по сравнению с тем случаем, когда под плотиной существует только один ряд с вай. Разумеется, результирующий перепад будет больше, чем для Численное решение задачи о плотине с аналогичной забивкой крепи у пяты и носка плотины, основанное на уючненном методе Форхгеймера и заключающееся в дополнительном введении рядов Фурье к потенциалам, предложенным Форхгеймером, было дано в работе R. Hoffmann, Die Wasserwirtschaft, 1, 108, 1934. В этой работе можно также найти описание экспериментов с песчаной моделью, которые удивительным образом подкрепляют распределение линий тока и потенциала, подсчитанное теоретическим путем.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 | 6 |   ...   | 12 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.