WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ ОБЩАЯ ФИЗИКА (конспект лекций) С.Е.МАЛЬХАНОВ Санкт-Петербург 2001 1 Предлагаемый читателям конспект ...»

-- [ Страница 4 ] --

1.2 О спектрах. Термы. Серии. Постулаты Бора Каждый элемент обладает характеристическим спектром (то есть присущим именно ему, обладающим характеристическими чертами). Такой спектр складывается из переходов частиц из одних состояний в другие на уровне ядер, атомов, молекул с испусканием или поглощением электромагнитного излучения совершенно определенных частот в диапазоне от радиочастот до рентгеновского и гамма (для ядер атомов) диапазона. Заметим, что наличие многих линий в спектре атома указывает на сложность атомной структуры. Спектры по их виду делят на: а. Сплошные спектры – из-за перекрытия отдельных линий. Реализуются в твердых телах. б. Линейчатые спектры – как правило накладываются на сплошные. Реализуются в газах. в. Полосатые – за счет вращения молекул. Как правило сосуществуют со сплошными спектрами и линейчатыми. Очень многие свойства атомных спектров стали известны задолго до появления атома. Экспериментальные исследования и анализ получаемых результатов послужили толчком к пониманию строения атомов. Один из наиболее известных спектров – линейчатый спектр атома водорода, так называемая серия Бальмера. 1 = 2 = 3 = 4340 4 = 4102 5 = Отметим одну решающую особенность линейчатых спектров – разности или суммы спектральных термов могут быть равны другим спектральным термам данного спектра. Спектральный терм – линия спектра, численно выраженная в длинах волн, частотах или спектроскопических волновых числах * = 1/. Пример: имеем набор спектральных волновых чисел некоторого спектра. Составим суммы и разности. *, см – 1. Пусть * Т, где Т – обозначение терма 82258,271 105290,584 23032,317 97491,282 15232,975 5331,528 102822,843 20564,576 7799, Составим суммы и разности некоторых термов Т2 – Т1 = 15233,01 = Т5, Т2 + Т8 = 102822,80 = Т3, Т6 – Т5 = 5331,60 = Т8 Как следует из процедуры, совпадение экспериментально найденных термов и результатов вычислений очень хорошее. Таким образом был открыт общий принцип, так называемый принцип Ритца. Все многообразие спектральных линий данного атома может быть получено путем парных комбинаций в виде сумм и разностей небольшого числа спектральных термов (согласно Ритцу по 5-ти термам). Можно показать, что разность термов представима в виде Ti = Tk – Tm = T0 ( k2 – n2), а так как Т = = 1/, то 1/ i = 1/ k - 1/ n = 1/0 (1/k2 – 1/n2) или 1/ = RH (1/k2 – 1/n2). Экспериментально были исследованы и аналитически выражены серии спектров для атома водорода. k = 1, n=2,3,4,… - серия Лаймана (1916г.) 1/ = RH (1 – 1/n2) – это ультрафиолетовая серия. k = 2, n = 3,4,5,… - серия Бальмера (исследована первой среди данных серий в 1885г.) 1/ = RH (1/22 – 1/n2) – это видимая серия. k = 3, n = 4,5,6,… - серия Пашена (предсказана Ритцем в 1908г.) 1/ = RH (1/32 – 1/n2) – это инфракрасная серия. k = 4, n = 5,6,7,… - серия Брэккета (1922) 1/ = RH (1/42 – 1/n2) – также инфракрасная серия. k = 5, n = 6,7,8,… - серия Пфунда (1924г.) – также инфракрасная серия. И так далее. Все последующие серии является инфракрасными. Коэффициент RH получил наименование постоянной Ридберга для атома водорода. Заметим, что полученные формулы приближенно справедливы и для водородоподобных атомов таких как литий, натрий, калий, рубидий, цезий и франций, имеющих на последней оболочке один электрон. Так как E = h = h c/ = h c Emn = h c (m* - n* ) = = h c (1/m - 1/n) = Em - En, то энергия квантов электромагнитного излучения может быть выражена через термы, то есть таблицы термов суть таблицы энергий. Вывод: наличие спектральных линий прямо указывает на то, что процессам обмена энергий внутри атомов свойственна определенная прерывистость, дискретность. Бор (Нильс Бор, датский физик, 1913) на основе изучения спектров и используя квантовую гипотезу Планка сформулировал свои постулаты. 1. Атом может существовать в определенных состояниях своего внутреннего движения – стационарных состояниях и при этом электрон в атоме находится на определенной «стационарной орбите». 2. Атом может переходить из одного стационарного состояния в другое. При переходе из состояния с большей энергией в состояние с меньшей энергий, атом испускает фотон (точнее электрон испускает фотон или, иначе, электромагнитную волну) с энергией равной: h = = E1 – E2. Обратный переход происходит при захвате атомом (а точнее электроном) фотона. Вообще говоря стационарные состояния – нонсенс ( в данном случае удобная и очень наглядная модельная интерпретация), так как движущийся с ускорением электрон должен обмениваться энергией с окружающей средой ( например, поглощать или излучать фотоны). Заметим также, что у Бора нет ответа на вопрос о том, как происходит переход электрона с орбиты на орбиту. Итак, существует совокупность значений энергий электрона в атоме (или как говорят самого атома) меняющихся дискретно, скачком.

§ 2 Опыт Франка-Герца Приведем экспериментальные факты, подтверждающие положения Бора. Имеется в виду исследование возбуждения атомов – нахождение экспериментально потенциалов ионизации атомов, энергии, необходимой для отрыва электронов от атомов. В опытах Фрака и Герца через исследуемое вещество – газ, пропускались электроны, ускоренные до различных энергий. Идея состояла в том, что если эти электроны будут возбуждать атомы при дискретных значениях своих энергий, то это и будет означать, что атомы (а точнее электроны связанные на атомах) действительно обладают стационарными состояниями. Условие эксперимента: отсутствие электронного сродства, склонности атомов к захвату электронов. Для таких исследований годны инертные газы и пары металлов. Приведем схему эксперимента. K S A µA V _ + K задерж < 0.5 В S A _ + p = 1 мм рт ст В откачанном сосуде (электронной лампе) с катода K эмитируются электроны, проходят через пространство KS и SA, где S – сетка лампы, A – анод, попадают на анод и проходят дальше по замкнутой цепи. Между SA при этом выставляется задерживающий потенциал задерж. Вольтамперная характеристика в этом случае имеет вид I, отн ед. ток насыщения I~U 3/2 U 390 4,9 9,8 14,7 U, В Если заполнить лампу парами какого-либо (парами ртути, например, как это было у Франка и Герца или аргоном). На гладкой кривой появятся провалы. Наличие провалов на вольтамперной характеристике, объясняется тем, что при энергиях, соответствующих минимумам происходит неупругое взаимодействие электронов с атомами, сопровождающееся возбуждением атомов. В этом случае электрон останавливается (в том и только в том случае, если он передает всю свою энергию атому без остатка) и ток в цепи резко падает. Заметим, что возбужденная ртуть при этом "светиться" в ультрафиолетовой области спектра = 253,7 нм. Сдвиг и наличие ширины у минимумов объясняются наличием проекций скоростей электронов (а следовательно и для энергий) на преимущественное направление от катода к аноду. Понятно, что атомы с одним электроном на внешней оболочке ионизовать (то есть оторвать у них этот электрон) легче, чем, например у инертных газов, поэтому график зависимости потенциалов ионизации имеет характерный вид. Потенциал ионизации He Ne Ar Xe Rn Li Na K Rb Cs Атомный номер (число электронов у атома) Таким образом опыт доказывает, что стационарные состояния обусловлены переходами электронов с одних орбит на другие. ( Различие потенциала ионизации и энергии возбуждения состоит в том, что в первом случае происходит полный отрыв электрона от атома, а во втором электроны внутри атома переходят на более удаленную орбиту). Тогда схематически энергетическую структуру атома можно представить в виде: E k=4 k=3 k=2 серия Бальмера (видимая) и т.д. серия Пашена (ИК) n=4 n=3 n= серия Лаймана (УФ) n=1 (основное состояние) На уровне основного состояния (n=1) электрона обладает минимальной потенциальной энергией по отношению к положительно заряженному ядру. Иногда схему представляют в виде концентрических окружностей увеличивающегося радиуса, символизирующих орбиты электрона, между которыми осуществляются электронные переходы, чтобы подчеркнуть сферическую симметрию атома. Можно резюмировать, что таким образом была получена феноменологическая теория, то есть теория логическим образом объясняющая явления, происходящие с объектами природы. В данном случае с атомами вещества, а следовательно и с веществом в целом. Квантовый характер природы – явление всеобщее, что доказывают опыты и к чему приводят логические умозаключения.

§ 3 Квантование по Бору 3.1 Квантование момента импульса Согласно гипотезе Планка энергия квантуется En = n = n h. Если рассматривать атом как гармонический осциллятор – систему, в которой совершается периодическое движение заряженных частиц, то его полную энергию можно выразить в виде En = p2 /2m + m(q)2/2 = n. Здесь p – импульс, q – координата, - частота. Разделим равенство на правую часть. p2 /2mn + mq2/2n = 1. В координатах p и q получили уравнение эллипса с полуосями a2 = 2n/n, b2 = 2mn p S = p dq b dq a q Отступление. Вычислим площадь эллипса как удвоенную площадь криволинейной трапеции. a a x /a + y /b = 1 y = b (1 – x /a ), S = f(x) dx = 2 [b2(1 – -a -a a a 2 2 1/2 2 2 1/2 2 2 1/2 2 –1 - x /a )] dx = 2b/a (a – x ) dx = b/a[x(a – x ) + a Sin x/a]| = -a табличный интеграл -a 2 2 2 2 2 2 2 ba (Sin – 11 + Sin – 1(-1)) = 2ba Sin – 11 = a b. Вычислим площадь эллипса в обобщенных координатах p и q. Sn = ab = 2 n. Получилось, что площадь такого эллипса квантуется, то есть прямо пропорциональна натуральному числу n. Чтобы распространить это правило на другие физические величины проведем вслед за Бором сравнение. Обобщенные координаты (поступательное движение) p: (p = m dq/dt) – обобщенный импульс q – обобщенная координата Угловые координаты (вращательное движение) M (M = rp) – момент импульса (M = mr2 = I) - угловая координата r – линейная координата p – обычный импульс (p = mr) Заметим, что площадь эллипса можно получить, если проинтегрировать по эллипсу как по замкнутому контуру (как это сделал Бор). Результат при этом будет тот же самый. Sn = p dq = 2 n. Для электрона, движущегося по эллиптической орбите, в одном из фокусов которого находится ядро атома (или по окружности), сила, с которой ядро действует на электрон, является центральной. Следовательно, для этого электрона выполняется закон сохранения момента импульса, а M = cst, тогда p dq = M d = M 2 2 M = 2 n M = n n= 1,2,3,…. То есть момент импульса квантуется. M = me v r = n v = n / me r (*) v r d me 3.2 Боровский радиус и квантование внутренней энергии Вычислим радиус, с которым электрон обращается вокруг атома, исходя из классических представлений и выражения (*). mv2/r = e2/40r2 (n/m)2m/r = e2/40 r = 40 2n2/e2m. Вычислим радиус самой маленькой орбиты n = 1 (основное состояние) r1 = 5 10 – 11 м = 0,5. Его называют Боровским радиусом и обычно при расчетах используют значение r B = 0,529. Внутренняя энергия атома водорода складывается из кинетической и потенциальной энергии электрона. Последняя берется с отрицательным знаком, ее отсчет ведется таким образом, что на бесконечности она равна 0. E вн = E кин - E пот = mv2/2 - e2/4 0 r. Преобразуем используя классические выражения для сил и Боровского радиуса с учетом его квантуемости. mv2/r = e2/40r2 mv2/2 = e2/8 0r, E вн = e2 /80 rn - e2 /4 0 rn = = - m e4 / 2 (4 0)2 2 n2 = R*H (-1/n). Пусть совершается переход из состояния с квантовым числом n в состояние с квантовым числом k E k - En = R*H (1/n2 - 1/k2) = = h = hc/ k n k>n 1/ = m e4 (1/n2 - 1/k2) / 2 (40)2 2c 3 = RH (1/n2 - 1/k2). RH = 107 м – 1 = 10 5 см – 1 называют постоянной Ридберга. Таким образом, замечательным является тот факт, что элементарная теория атома Бора приводит к той же формуле, что и экспериментально измеренные спектры. Численное значение постоянной Ридберга: R = 109678 см – 1.

§ 4 Волновое уравнение Шредингера 4.1 Электрон-волна Для наглядного толкования "таинственного" правила квантования Бора – де Бройль ( Луи де Б., французский физик 1923-1924) предложил такой способ: на орбите электрона как волнового объекта укладывается целое число волн – n, и такая электрон-волна, возвращаясь в исходную точку, будет иметь ту же фазу и амплитуду, что и первоначально. Такая орбита и является стационарной орбитой в смысле Бора. С нее электрон не излучает, а волна обязана быть стоячей. 2R / = n (*) При этом де Бройлю пришлось предположить, что все частицы (из числа элементарных) обладают волновыми свойствами (сами являются волнами), а следовательно им можно приписать длину волны. Реализуем связь длины волны с импульсом частицы через волновое число. p = E/c = h / c = h/ = k, 2R/ = k R = n. Умножим обе части равенства k R = n на k R = n p R = n M = n. Таким образом в этом месте смыкаются волновые и квантовые свойства и можно говорить о волнах-частицах. Найдем длину волны электрона в этой модели и сравним ее с Боровским радиусом. e = h/p = h / mv 2 10 – 12 м = 0,02, rB / e = 0,53 / 0,02 26. Боровский радиус в 26 раз больше, следовательно предположения вполне разумны, то есть длина волны электрона может укладываться в Боровский радиус много раз. Если говорить об экспериментальном подтверждении волновых свойств электрона, то они мало принципиально отличаются от опытов по интерференции и дифракции света, хотя с другой стороны они чрезвычайно трудоемки технически, так как потребовали высокой степени точности и изобретательности. Отметим одно: размеры регулярных препятствий должны были составлять ~ 0,02. Описание самих опытов мы опускаем. Характерные дифракционные картины для электронов экспериментально были получены К. Дж. Дэвиссоном и Дж. П. Томсоном в 1927-1928 годах. Итак электрон можно описывать волной, то есть электрон подчиняется волновому уравнению. Свободный электрон можно описать с помощью решения уравнения плоской волны. Так как данное решение содержит косинус фазы, то обобщив косинус до экспоненты можно считать интенсивность такого волнового процесса пропорциональной этой экспоненте ~ e i (kr - t). Заметим, что для обозначения электрона-волны (и других частиц) используются термины: фазовые волны, либо – волны вещества, либо – волны де Бройля. Об электрон волне можно сказать, что это специальное волновое образование, соответствующее свободному равномерному движению частицы в определенном направлении с определенным импульсом p = k. Однако, как правило, частицы не свободны, но находятся в условиях воздействия на них различных полей. Для начала разберем случай свободного электрона. 4.2 Уравнение Шредингера При конструировании волнового уравнения Шредингера (Австрия, 1926г.) воспользуемся тем, что одним из множества его решений реализуется решение вида волны де Бройля = C e i (kr - t). /x = C i kx e i (kr - t) = i kx, (kr = kxx + kyy + kzz) 2/x2 = - kx2, 2/y2 = - ky 2, 2/z2 = kz2 (2/x2 + 2/y2 + 2/z2) = - (kx2 + ky2 + kz2) 2 = - k2. p = k k = p/ 2 = - p2 / 2 (*). /t = - i, = = / /t = - i / (**), поделим почленно (*) на (**) 2 / (/t) = p2 / i 2 = (p2 / i ) /t. Так как полученное уравнение предполагает наличие корпускулярно-волнового дуализма, а кинетическая энергия свободного электрона вычисляется по формуле = p2/2m, то при замене имеем 2 = (2m /i ) /t | i ( - 2/2m)2 = i /t. В полученном выражении импульс или энергия как параметры отсутствуют. В определенном смысле оно утратило индивидуальные черты (записано не для конкретных импульса или энергии). Полученное уравнение есть уравнение Шредингера для свободной частицы. С целью учесть потенциальную энергию взаимодействия электрона с внешней средой, проанализируем размерность полученного выражения. [22/m x2] = Дж. С учетом размерности приплюсуем к полученному уравнению функцию радиус-вектора в виде потенциальной энергии ( и как оператор), определяющую классическое потенциальное силовое поле i /t = ( - 22 / 2m + U (r)). Здесь так же как и С некая обобщенная координата (подобно использованной нами ранее ), о физическом смысле которой необходимо в дальнейшем поговорить. Разделив время и координату способом (r, t) = (r) e - it.

Получим стационарное (не зависящее от времени) уравнение Шредингера i ( - i) (r) = ( - 22/2m + U(r)) (r) ( = ) (r) = ( - 2 2/2m + U (r)). Таким образом, имеем уравнение Шредингера для электрона в зависимости от времени и координат, учитывающее корпускулярно-волновой дуализм электрона и с учетом внешнего потенциального силового поля произвольного вида - 2 2/2m + U(r) = i /t. Если отбросить зависимость от времени у - функции относительно которого записано уравнение – получится стационарное уравнение Шредингера - 22/2m + U(r) =.

4.3 Конструирование уравнения Шредингера способом Энрико Ферми Заметим, что электрон (или вообще частицу с корпускулярно-волновыми свойствами) часто представляют в виде волнового пакета.

2 cos( 1.5 ).cos( 40 ) 22 модель волнового пакета Было так, что Шредингер некоторое время полагал, что никакого дуализма волн и частиц нет. Существуют только волны. Частицы же представляют собой суперпозицию этих волн. Из волн (монохроматических) всегда можно составить волновой пакет – такое волновое, что при наложении в определенный момент времени волны будут усиливать друг друга в какой-то малой области пространства. Вне этой области произойдет их практически полное гашение. Согласно теореме Фурье (1768-1730 – математики давным-давно предоставили аппарат для этого случая) если задан интервал разложения - 0, тогда в точке x = 0 и при t = 0 должна иметь место положительная интерференция всех гармоник (главный максимум). Возьмем производную от фазы по частоте и приравняем к 0, чтобы найти групповую скорость. d[2 (t – x/v)] / d = 0 t – x d(/v) / d = 0 t = x d(/v) / d 1/vгр = d(/v) / d, (t = x / vгр). Используя утверждение об эквивалентности групповой скорости волнового пакета и скорости материальной точки, имеем Wk = E – U = mv2/2 1/v = [m/2(E – U)]1/2. Приравняем выражения правых частей, представив предварительно энергию в виде E = h. d(/v) / d = [m/2(h - U)]1/2. проинтегрируем и обнулим константу интегрирования выбором начала координат /v = (v/2)1/2 2/h (h - U)1/2, v = h / [2m(h - U)] 1/2 = = / [2m( - U)]1/2. Монохроматическая волна удовлетворяет волновому уравнению. В частности, одним из его решений является решение вида = e - it = e – i E t /. Для стационарного случая после подстановки имеем 2 + 2/v2 = 0. здесь зависит только от координат. Подставим в уравнение полученное значение скорости 2 + 2m( - U) / 2 = 0.

Введем зависимость от времени умножением на экспоненту e – i t, тогда e – i t =, /t = - i t = - / i t. Произведем замену. 2 + (2m/)(- /i t) – 2mU/2 = 0 i /t = - 22 / 2m + U. Данное уравнение аналогично уравнению, полученному формальным прибавлением потенциальной энергии. Таким образом, решением данного уравнения Шредингера является комплексная функция (пси-функция) времени и координат. Забегая вперед скажем, что согласно интерпретации -функции частица не локализована точно в пространстве, но она с определенной степенью вероятности "размазана" в некоторой области пространства.

§ 5 Атом водорода Имеем уравнение Шредингера i /t = - 2 2 /2m + U (r). Используется обозначение = - 22 / 2m + U (r), где под подразумевается оператор, называемый оператором Гамильтона, тогда i /t =. Для атома водорода электрон можно рассматривать находящимся в потенциальном поле кулоновского вида U (r) = - qe2 / 40 r.

Решать уравнение Шредингера для электрона в атоме водорода целесообразно в сферических координатах, учитывая хорошее сферическое приближение для системы протон-электрон, хотя, вообще говоря, электрон в атоме водорода не обязательно имеет круговую орбиту (а с учетом релятивистских эффектов это и вовсе не обязательно). В данном случае целесообразно ограничиться приближением сферической симметрии, так как это не должно исказить общий характер решений. Кроме того приходится пренебречь наличием спина у электрона. С учетом сказанного запишем уравнение Шредингера в сферической системе координат.

5.1 Лапласиан в сферической системе координат z r z = r Cos y y = r Sin Sin x x = r Sin Cos Положение любой точки в пространстве можно задать пересечением трех плоскостей (в прямоугольной декартовой системе координат) или, вообще, трех произвольных поверхностей. Для сферических координат это: 1. Сферы с центром в начале координат 0

5.2 Решение уравнения Шредингера в сферической системе координат Приближение сферической симметрии позволяет избавиться от зависимостей по углам и. = (r, t) () Ф () cst сф (r, t) = (r2 / r) / r2 r. Будем рассматривать также стационарный случай и опустим зависимость от времени, используя подстановку = (r) exp (- i Et/) 2m (E + qe2/ 40r) / 2 = - (r2 / r) /r2 r. Можно показать эквивалентность (r2 /r) / r2r = (r / r + r2 2 / r2) / r2 = r / r r + + r(/r) / r = 2(r) / r r2. Получим уравнение в виде d2 (r ) / r dr2 = - 2m (E + qe2/ 40r) / 2. Пере обозначим e2 = qe2 / 40, r = 2 / me2 = rБ, E = me4 / 22 = ER. Здесь rБ – Боровский радиус, ER – энергия Ридберга. После подстановки получим me2 d2 (2 / me2) / 2 d(2 / me2) = ( - 2m / 2) (me4 / 22 + + e2 m e2 / 2). Сокращение дает d2() / d2 = ( + 2/). Пусть также = f. Получим нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка. d2f / d2 = - ( + 2/) f. Проведем подстановку вида f () = e - g (): d2f/d2 = d(d(e - g ())/d) / d = e - ( d2g/d2 - 2 dg/d + 2g) d2g/d2 - 2 dg/d + (2/ + +2) g = 0. Заданный нами параметр можно выбрать произвольно. Пусть 2 = -, тогда d2g/d2 - 2 dg/d + 2g/ = 0. (*) Решение представим в виде ряда k g () = a k dg/d = k a k k-1, k=1 k=1 2 2 d g/d = k(k-1) a k k-2. k=1 Проведем подстановку в уравнение (*). Пере обозначим предварительно k k+1 в последней сумме. От такого пере обозначения сумма не измениться с большой точностью k-1 k-1 k (k+1) ak+1 - 2 k a k + 2 f k k-1 = 0 k=1 k=1 k=1 [k (k+1) a k+1 - 2 k ak + 2ak] k-1 = 0 k=1 Ряд обратиться в 0, если выражение в квадратных скобках будет равно нулю, k>1. Получим рекуррентное соотношение. ak+1 = 2 (k – 1) a k / k (k+1).

5.3 Квантовый характер решений уравнения Шредингера Выбирая a1, можно получить все члены ряда, удовлетворяющие уравнению (*), а с его помощью выписать и -решения уравнения Шредингера. При этом наиболее важно то, что решения будут удовлетворяться при дискретных значениях k. Имеем из рекуррентного соотношения = [k (k+1) ak+1 – 2 a k] / 2 k a k = - 2 = {[k (k+1) ak+1 – 2 a k] / 2 k a k}2. То есть выражается через дискретные значения k. Если брать большие значения k, то определяться значения g () при достаточно больших расстояниях электрона от ядра атома водорода (то есть протона). Пусть k>>1 ak+1 2 a k /k = k ak+1 / 2a k = - 2 = - (ak+1/2ak)2 k2. Более того, если выбрать = 1/n (то есть дискретной, раз есть дискретный характер зависимости от энергии), то при k=n ряд оборвется, так как в рекуррентном соотношении обратиться в 0 n-й член. Это означает, что мы получим заведомо конечные решения для функции f (g) = e - g () = e a k, k= - то есть для всего пространства от 0 до. Тогда, так как = 1/n - = 1/n2, n = 1,2,3,.... Следовательно и E = ER = - ER / n2 = - me4 / 22 n2. Таким образом, волновая теория Шредингера позволила воспроизвести результат Бора прямо из основного уравнения Шредингера движения электрона. Имеем далее с учетом = 1/n n = f n () / n = e - / n g n () / = e -/n n n k a k /, (g n () = a k k). k=1 k= 1. Пусть n = 1 (основное состояние) g1 = a1, 1 = a1 e -, a1 = 1 1 = e -. Если трактуется как вероятность ( в данном случае не нормированная, например, к единице), то максимальной является вероятность найти электрон ближе к протону (в самом протоне она не определена), и она экспоненциально спадает при удалении от протона. 2. Пусть n = 2 g2 = a1 + a22 = - 2/2. [a2 = 2(k/2 - 1) / k(k+1) = (k=1) = - 1/2]. 2 = ( 1 - /2) e - /2. 3. n = 3 a2 = 2 (k/3 - 1) / k (k+1) = (k=1) = - 2/3, a3 = 2 (k/3 - 1)(- 2/3) / k (k+1) = 2/27, g = a1 + a2 2 + a3 3 = 2 2 / 3 + 2 3 / 27, = (1 - 2/3 + 2 2/27) e - / 3. График зависимости n () имеет вид для трех значений n = 1,2,3 такой, что с 0.2 1.2 e 2 2. 3 2. 2.e 3 0. e 0. 0.2 0 ростом возрастает количество корней и экстремумов Напомним, что при = 1 расстояние соответствует Боровскому радиусу.

§ 6 Смысл - функции и соотношение неопределенностей 6.1 О смысле - функции Итак, электрон в атоме частица-волна. Опыты по интерференции Дэвиссона и Джермера (1927) показали, что даже при пропускании по одному электрону при достаточной экспозиции (а не только сколько-нибудь существенного пучка) через кристалл никеля возникала интерференционная (или дифракционная) картина. Это доказывает, что и отдельные частицы обладают волновыми свойствами. При прохождении соответствующей электронной волны через кристалл, она разбивается на несколько дифракционных пучков. Трудно допустить, что в каждом из пучков находится какая-то доля электрона. При этом счетчик электронов срабатывает по предположению при попадании в него целого электрона. Несостоятельность модели частицы как волнового пакета во-первых состоит в том, что он сравнительно быстро "расплывается" со временем вследствие дисперсии фазовых скоростей. Во-вторых взаимодействие двух электронов как волновых пакетов в трехмерном пространстве и вовсе трудно объяснить. Существует еще одно наблюдаемое в природе волновое образование, довольно быстро распространяющееся без изменения размеров и формы – солитоны. Приведем описание солитонов, записанное двумя разными людьми. Шотландия, 1834 год, инженер: "Я следил за движением баржи, которую быстро тянула по каналу пара лошадей, когда баржа неожиданно остановилась;

но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась. Вместо этого она собралась около носа судна в состоянии бешеного движения, затем неожиданно оставила его позади, катясь вперед с бешенной скоростью и принимая форму большого одиночного возвышения, то есть округлого, гладкого и четко выраженного водяного холма, который продолжал свой путь вдоль канала, нисколько не снижая своей скорости... после одной или двух миль погони верхом... я потерял его в изгибах канала.... С тех пор я обнаружил, что такие волны играют важную роль почти во всех случаях, когда жидкость оказывает сопротивление движению,...." Италия, 1908 год, Максим Горький: "Поднялась к небу волна высоты неизмеримой (во время землетрясения, С.М.), закрыла грудью половину неба и, качая белым хребтом, согнулась, переломилась, упала на берег и страшной тяжестью своею... смыла весь берег". Японское слово "Цунами" означает "Большая волна в гавани". Максим Горький наблюдал в данном случае цунами, которые в океане образуются как солитон и выбрасываются на берег, вызывая разрушения. Большинство цунами солитонного происхождения. Подразумевая волну-частицу, заметим, предварительно, что имея дело с решениями классического волнового уравнения мы определили интенсивность I излучения как среднее по времени от квадрата амплитуды волны (0 – амплитуда обобщенной координаты конкретно воплощается в амплитуды расстояния, напряженности электрического и магнитного полей, и т.д. и т.п.) и применяли комплексные числа как математический прием, облегчающий расчеты. Решением уравнения Шредингера, также волнового, служит величина = C exp[i (kr - t)], являющаяся комплексной. Рассматривая только его вещественную часть при анализе решения, можно потерять часть решения, поэтому необходимо быть осторожным в этом смысле. Представим опыт x датчик источник x x экран (1) (2) (3) Результат взаимодействия пуль (частиц) и волн Пусть из источника вначале стреляют пулями (1) и (2), а затем, по мере надобности источник можно заменить на источник волн (или электронов, так как экспериментально доказаны их волновые свойства). График (1) – результат поочередного открывания щелей. Он одинаков для пуль, волн и электронов. График (2) описывает поведение интенсивности на экране, если открыть обе щели. Для пуль интенсивности просто сложатся. График (3) иллюстрирует поведение результирующей интенсивности. Если открыть обе щели для волн (и электронов) получится интерференционная картина. (Заметим, забегая вперед, что суть противоречивости явления описываемого соотношениями неопределенностей Гейзенберга (о невозможности одновременно точного знания координаты и импульса объекта) скрыты именно в этом противоречии поведения волн и пуль). Для волн мы имели I1 ~ E12, I2 ~ E22, E2 = E12 + E22 + 2E1E2 Cos, = 1 + 2 + 12 Cos. тогда I ||2, действительно ||2 = | e it + |2 = | e it|2 e 2 = e 2. * = e it + e - it + = e 2. Дифракционная (так же как и интерференционная) картина для микрочастиц является проявлением статистической (вероятностной) закономерности, согласно которой частицы оказываются в тех местах пространства, где интенсивность волн де Бройля наибольшая. Так как вероятность обнаружить частицу не может быть отрицательной, то Макс Борн (1926г.) предложил модель, согласно которой волновому закону подчиняется (x,y,z,t) – амплитуда вероятности (волновая функция, - функция) и она может быть комплексной, а выражение ||2 * назвал плотностью вероятности. Тогда сама вероятность обнаружить в момент t частицу в части пространства x, x + dx;

y, y + dy;

z, z + dz равна P = ||2 dx dy dz = ||2dV. Здесь dV – элементарный объем. Так как вероятность нормируется обычно на единицу (вероятность обнаружить во всем возможном пространстве = 1), то ||2 dV = 1. (по всему пространству) Заметим, что средние значения физических величин можно определить по формулам = ||2 x dV / ||2 dV, либо = ||2 x n / ||2.

6.2 О соотношениях неопределенностей Гейзенберга Итак, зависимость от координат и времени теперь (здесь) определяется через волновую функцию (r, t) и амплитуда должна быть истолкована в понятиях вероятности. Это значит, что частицу вероятнее всего можно обнаружить там, где амплитуда волновой функции максимальна. Более точно: квадрат модуля волновой функции в данной точке является мерой вероятности обнаружить частицу (например. с помощью небольшого прибора) вблизи этой точки. Рассмотрим (r, 0). 1. Если начальная волновая функция такова, что ее амплитуда равна 0 всюду за пределами малой области, то можно утверждать что (в момент t = 0) частица находится в пределах этой области и ее положение известно довольно точно. 2. Если начальная волновая функция такова, что распространяется на большую область, в пределах которой ее амплитуда мало меняется, то частице нельзя приписать определенное положение в момент времени t = 0. Примеры вещественных частей волновых функций (в общем виде комплексных) Среди примеров есть волновой цуг, для которого и вовсе отсутствует понятие волны. Для простоты рассмотрим гармоническую волну (она также может быть вещественной частью волновой функции). p = k = h / x Согласно рисункам 1. Сколько-нибудь точно определенное положение частицы требует максимально короткого цуга волн. 2. Точно известный импульс требует достаточно протяженного цуга волн (в пределе монохроматическую волну, чтобы иметь точное значение ). Вывод: эти требования взаимно исключают друг друга, так как нельзя описать точно p = h / его приходится заменить на p ~ h/x, либо на p = h/ !!! p ~ h p x ~ h.

Такое соотношение справедливо для монохроматической волны длинной или короткой. Если рассматривать волны-пакеты, то у таких волн с такими цугами неопределенность в импульсе p больше, чем p у монохроматической волны, тогда p x h. (*) Получили соотношение неопределенностей Гейзенберга Получим второе соотношение неопределенностей p = E / c = h / c. Подставим в (*) h x /c h t 1 t 1. Как можно видеть, соотношение является принципиально-существенным применительно к миру атомов, (по сравнению с миром привычных в обычной жизни человека размеров) и устанавливает пределы, за которыми принципы классической физики становятся не приемлемыми. Это естественно: "Классическая физическая система (с классическими импульсом и координатой), описываемая классическими динамическими переменными, которые якобы могут быть известны с произвольной точностью, является, конечно же, плодом абстракции и существует лишь в нашем воображении. В реальном мире таких систем нет. Это подтверждают эксперименты в мире атомов. Описывая реальную систему классическими атомами, мы допускаем приближение, а соотношение неопределенностей показывает степень его справедливости".

Глава Атомная физика твердых тел § 1 Типы связей атомов в твердых телах Рассмотрим процессы объединения отдельных атомов в твердые тела, когда в один см3, например, объединяются несметные количества атомов. Рост кристаллов как известно возможен из растворов и расплавов веществ. Отвердевание расплава происходит при его охлаждении. При этом от расплава отбираются, откачиваются горячие молекулы. Проследим процесс объединения атомов с энергетической точки зрения. 1. Атомы разведены достаточно далеко. Они свободны Eсвоб = Ei своб. Их суммарная энергия складывается из энергии каждого атома. 2. Атомы сведены в твердое тело. Это им оказывается энергетически более выгодно и тогда Eсвяз < Eсвоб. Сравнительно не плотно упакованы атомы цезия в твердом теле n = 0,91 1022 см – 3. Довольно плотно упакованы атомы бериллия n = 24,7 1022 см – 3. Что удерживает атомы вместе ? Эти силы – электрические. Перечислим типы связей атомов в твердых телах. 1. Ионная связь (гетерополярная) – притяжение положительных и отрицательных ионов друг к другу. NaCl, Li F, K J и др. Энергию связи называют еще когезионной энергией. Таблица когезионных энергий ионных кристаллов Ec, 10 – 18 Li Дж/молекулу F Cl Br 1,68 1,38 1,32 Na 1,49 1,27 1,21 k 1,32 1,15 1,10 Rb 1,26 1,11 1,06 Cs 1, I 1, 1, 1, Рассчитаем когезионную энергию, приходящуюся на 1 моль NaCl: E = Ec NA = 1,27 10 – 18 6,02 10 23 = 750 кДж. 2. Ковалентная или атомная связь (гомеополярная) – строение решетки, при котором число атомов ближайших к рассматриваемому атому равно валентности элемента. Валентные электроны атомов обобществлены (происходит насыщение валентности). Когезионная энергия составляет 700-1200 кДж/моль. 3. Молекулярная связь (связь сцепления – слабая связь без насыщения валентности) – обусловлена силами Ван-дер-Ваальса. Почти все органические кристаллы, кристаллы из инертных газов, например Hg2, Ar, CH4. Когезионная энергия – 8 кДж/моль. 4. Металлическая связь – обобществлены 1-2 внешних электрона недостроенных оболочек. Эти электроны слабо связаны со своим элементом, обобществлены и ведут себя в кристалле подобно электронному газу. Между положительными ионами действуют силы отталкивания, а электроны уравновешивают эти силы и удерживают ионы в равновесии. Эти подвижные электроны обусловливают очень высокую электро- и теплопроводность металлов. (За метим, что сжиженные инертные газы также образуют металлическую связь и при сверхнизких температурах становятся металлоподобными. Так как они сферически высоко симметричны, то пришлось предположить при Т=0°К наличие так называемых нулевых колебаний (чтобы объяснить их способность объединяться в металлоподобную молекулу)). 5. Отметим отдельно водородную связь. Устройство атома водорода сходно с устройством атомов металлов, но имеет следующие особенности: Ионный остаток Н – голый протон размером 10 – 13 см (1 F), в 105 раз меньше любого ионного остатка Водороду не хватает одного электрона для заполнения до устойчивой двух электронной оболочки (как у Не) Первый потенциал ионизации относительно очень высок: 13,59 эВ != 2 10 – 18 Дж / атом = 1200 кДж/моль. Связь в Н2 похожа на ковалентную, но образует лишь одну ковалентную связь.

§ 2 Дифракция рентгеновских лучей По Брэггам У.Г. и У.Л. (1913г.) – кристаллы дают характерную картину рентгеновского излучения: для некоторых длин волн и направлений падения лучей наблюдаются интенсивные максимумы рассеянного излучения. Представим себе кристалл, состоящим из симметрично расположенных образований (атомов) • d • • • • • • • • • • • • • d Sin • • • • • • • • • • Подсчет разности хода для двух разных лучей, отраженных от смежных плоскостей дает 2 d Sin, тогда условие максимума интерференции запишется в виде 2d Sin = n. Это равенство называется формулой Вульфа - Брэггов. По Лауэ кристалл состоит из тождественных объектов (атомов, групп атомов), размещенных в узлах решетки и каждый объект может рассеивать падающее на него излучение. Надо искать точки, в которых ощутим результат интерференции. Для удобства описания кристаллических структур были введены понятия прямой и обратной решетки, решетки Бравэ. Можно также говорить о примитивной решетке – ячейке Вигнера-Зейтца. Эти понятия справедливы как в обычном трехмерном пространстве, так и в пространстве обратном линейному трехмерному. Элементарную ячейку Вигнера-Зейтца для обратной решетки называют зоной Бриллюэна. Пусть G – вектор трансляции обратной решетки G = k1b1 + k2b2 + k3b3. Согласно Лауэ расчеты интерференции максимумов производятся в к – пространстве (пространстве волновых векторов) k d Cos = d n • d k • k k d Cos = - d n Для конструктивной интерференции (образования максимума) необходимо, чтобы изменение волнового вектора K = k - k было равно одному из векторов обратной решетки. Разность хода двух лучей, смещенных друг относительно друга на постоянную решетки, равна d Cos + d Cos = d (n - n). n, n - орты волновых векторов k, k. Тогда условие конструктивной интерференции в прямом пространстве имеет вид d(n-n) = m. Умножая обе части равенства на 2 / получаем аналогичное условие для волновых векторов dK = d (k - k) = m 2, а так как узлы решетки смещены в кристалле на вектор трансляции, то следовательно d = R и R(k - k) = 2m exp [i (k - k)R] = 1. Так как длина волны после рассеяния предполагается не меняющейся, то модули волновых векторов равны k = k = k • K • k k K/2 = k Cos = k Sin K = 2 k Sin d 2k Sin = 2m 2d Sin = m. Получился тот же результат, что и у Брэггов.

§ 3 Образование энергетических зон в твердых телах Итак, ионные остатки в твердых телах образуют периодическую решетку, потенциал (потенциальная функция, потенциальная энергия электрона) в которой меняется в зависимости от расстояния периодически U(r) = U (r + R). Период решетки (характерный период) составляет размер порядка 10 – 8 см. U(r) e • • R • r Тогда уравнение Шредингера для электрона в стационарном случае имеет вид -2 2/ 2m + U (r) = E. По теореме Блоха (без доказательства) решением такого уравнения является решение вида nk (r) = U n k (r) e i kr. Экспонента отражает факт присутствия в решении плоской волны, а коэффициентом при экспоненте служит функция с периодичностью решетки Бравэ U n k (r) = U n k (r + R). Вернемся к уравнению Шредингера для свободного электрона и возьмем от него одно измерение - 2 2 / 2m x2 = E (r). Проверим дифференцированием решение вида = exp (i k x) / V - 2 (i k)2/ 2m = E 2k2 / 2m = p2 / 2m. В твердом теле для электронов Блоха, то есть квази свободных электронов, перемещающихся внутри твердого тела после соответствующей подстановки можно получить похожее выражение E = 2 k2/ 2m = p2 / 2m. р называют квазиимпульсом. Вид зависимости E (k) как для свободного так и для "блоховского" электрона по виду одинаковый – парабола. Свободный электрон-волна обладает определенным волновым числом. Для него разрешены все энергии непрерывного спектра, причем график характеризует собственно электрон E k Однако в твердом теле на электрон накладывается периодическое поле, составляющих твердое тело атомов. Этот факт приводит к изменению вида зависимости E(k). В точках k = K зависимость для энергии должна быть параболической. E K/ K k В точках пересечения парабол (например при k=K/2 как это показано для одномерного случая на рисунке) возникает так называемое вырождение (два одинаковых значения энергии для одного и того же значения k ). Можно показать, что это вырождение можно снять, но при этом, но при этом в данной точке возникает расщепление и обе кривые имеют наклон равный нулю (касательной к ним обеим является горизонталь. При учете всех брэгговских плоскостей в кристалле получается целая совокупность кривых (искаженных частей парабол) E E k -3K/2 -K -K/2 K/2 K 3K/ Представленные рассуждения хотя и чрезвычайно "грубы", но, однако, ясно иллюстрируют факт появления в твердых телах зон запрещенных энергий для электронов, которые однозначно следуют из экспериментов с твердыми телами. Заметим, что при наличии в кристалле различного рода несовершенств (например, инородных примесей или смещений собственных атомов) внутри запрещенных зон могут образовываться локальные уровни энергий для электронов или их дискретные наборы, что учитывается и широко используется при производстве оптоэлектронной техники.

Глава Некоторые сведения по физике атомного ядра § 1 Радиоактивность. Закон радиоактивного распада 1.1 Виды радиоактивности Самопроизвольное изменение состава атомного ядра, происходящее за время существенно большее характерного ядерного времени 10 -22 секунды (время, в течение которого -частица пролетает диаметр ядра) называют радиоактивностью. Различают 1. 2. 3. 4. - распад - распад Спонтанное деление атомных ядер Протонный распад и др....

Элементарных частиц известно более 200 штук. Остановимся более подробно на первых трех видах радиоактивности - распад - самопроизвольный процесс испускания -частиц, в результате которого массовое число ядра уменьшается на единицу, а зарядовое на две единицы заряда. A = N + Z. A – массовое число, N – число нейтронов в ядре, Z – число протонов в ядре. Схема реакции Z 4 A X 42He + Z – 2A – 4X.

He – дважды ионизованный атом гелия. Пример U 90230Th + 24He.

Известно более двухсот -распадающихся ядер. В данной реакции участвуют изотопы (элементы постоянного заряда, но с разными массовыми числами) элементов 238U и 232Th. -частицы, вылетающие при распаде из ядер имеют энергии в узких пределах 4 – 9 МэВ для тяжелых ядер (наш пример). - распад – самопроизвольный процесс, в котором нестабильное ядро превращается в ядро изобар (A – cst) – меняет заряд в результате превращения нейтрона в протон или наоборот протона в нейтрон). Различают i. Электронный - распад – ядро испускает электрон Z A X-Z+1AX. Позитронный + распад – ядро испускает позитрон X+Z-1AX.

ii.

Z A iii.

Электронный захват или так называемый К-захват – ядро поглощает электроны оболочки своего атома (обычно у тяжелых ядер К-слоя, отсюда – К-захват). Заметим, что распады – явление даже не внутриядерное, а между нуклонное. Примеры:

3 3 1 H 2 He (электронный распад трития), 12 лет + 11 11 6 С 5 B (позитронный распад), 20,4 мин К-захват Be 37Li 53,6 дней.

Изотопы – Z = cst, изобары – A = cst, изотоны – N = cst. Итак, при - распаде ядро превращается в соседний с ним изобар. Z меняется на ± 1.

A Z X ± e = Z ± 1AX.

Здесь же упомянем и о -излучении ядер. Ядро может быть возбуждено. При этом говорят о более или менее высоких или низких энергетических состояниях ядер. При этом A,Z,N = cst. Спонтанное деление ядер (распад ядер). Рассмотрим пример 92 U длинная и разветвленная цепочка превращений 82207Pb.

A = 237 – 207 = 28 ед. массы, Z = 92 – 82 = 10 ед. заряда. Всего в такой цепочке участвуют 13 промежуточных радиоактивных ядер. Часто такие ряды заканчиваются на 82207,206,208Pb, но не обязательно. Времена распадов бывают самые разные от 5 10 – 3 с (с, мин, час, дни, годы) до 7 10 5 лет в данном примере. Вообще, если время жизни ядра больше 10 – 12 с, то о нем принято говорить как о стабильном ядре, а если меньше, то – не стабильном. U 7 10 лет Pa Ac 227 Th Fr Ra Rn Pb Bi Tl Pb - At 5 10 3 c Th Po Po О единицах радиоактивного распада. Естественной единицей радиационной активности является 1 распад в секунду = 1 Бк (Беккерель) – принята в системе единиц СИ. 1 Ки (Кюри) = 3,7 10 10 Бк, 1 Рд (Резерфорд) = 106 Бк.

1.2 Основной закон радиоактивного распада Пусть N – произвольное число радиоактивных ядер (не путать с числом нейтронов). Оно со временем по мере распада ядер уменьшается. Если начать отсчет времени в момент t, то в этот момент исходное количество ядер равно N t N N - N t, N<

t + t Получили, что убыль радиоактивных ядер, - N, пропорциональна исходному их числу и промежутку времени, в течение которого наблюдается излучение. Вводим коэффициент с целью уравнять обе части полученного выражения и используем предельный переход dN = - N dt | lnN = - t + lnN0 N = N 0 e - t. N – число ядер, не распавшихся к данному моменту времени, t, - постоянная распада [] = с – 1. Характерное время распада можно получить, например, так. Пусть N = N0 / e e – 1 = e - t t = 1 / =. - характерное время распада, время, за которое распадается 1/е – ая часть исходного количества ядер. Также пользуются понятием периода полураспада. Получим его. N = N0/2 2 – 1 = e - t t = T = ln 2 /. Т – время, за которое распадается половина всех радиоактивных ядер.

§ 2 Энергия связи ядер Энергия связи ядра есть та минимальная работа, которую надо произвести, чтобы полностью расщепить ядро на составляющие его нуклоны. Так энергия связи одного протона с одним нейтроном в ядре рассчитывается следующим образом Eсв p = Eсв (Z,A) – Eсв (Z – 1, A – 1) Eсв. n = Eсв. (Z,A) – Eсв. (Z, A – 1). То есть энергия связи нуклона равна энергии связи ядра с нуклоном минус энергия связи ядра без этого нуклона. Энергию связи ядра можно записать в виде Eсв. (Z,A) = Z M p + N M n – M (Z,A) суммарная энергия свободных нуклонов (*) энергия ядра с нуклонами Здесь M E = mc2 – полная энергия частицы, энергия массы покоя ее, включая (или исключая) энергию связи в зависимости от того свободна частица или связана в ядре. Массы частиц измеряются экспериментально спектрографическим методом. Определим понятие дефекта массы ядра, яд.(Z,A) как разность между собственно массой рассматриваемого ядра Мяд. (обычно выражаемой в единицах массы) и соответствующим массовым числом, А. (Массовое число определено как сумма масс отдельных частиц, составляющих ядро – целое число) яд. (Z, А) = М яд. (Z, А) – А яд., М яд. = яд. + А то есть М яд. > А (1) М р = р + 1, М р = р + 1. (2,3) Найдем связь между энергией связи ядра м дефектом массы. Подставим (1,2 и 3) в (*) Eсв. яд = Z (p + 1) + N (n + 1) – (яд. + A) = (**) = Z p + Z + N n + N - яд. – A = Z p + N n - яд. = нукл. - яд. Здесь p, n, нукл., яд. – дефекты масс протона, нейтрона, нуклонов, ядра. Наличие энергии связи (а также дефекта масс) – факт природы. К нему надо относиться также, как к энергии, выделяющейся при сгорании горючих веществ. Во всех случаях происходит выделение (освобождение) имеющейся (как-то накопленной) в них внутренней энергии в виде энергии различных связей. Надо уметь эту энергию высвободить. В одних случаях достаточно поднести горящую спичку.... Пример. Расчет энергии связи ядра атома трона и -частицы (ядра атома гелия) М р = 938,2796 МэВ = 1,00722764 а.е.м. М n = 939,5731 МэВ = 1,008655 а.е.м. М = 4,001506 а.е.м. Их массовые числа равны A p = 1, A n = 1, A He = 4 а.е.м.. Энергию связи находим по формуле для дефекта массы (**). Округлим числа до предпоследнего отличающегося разряда. p = 1,0073 – 1 = 0,0073, n = 1,0087, = 0,0015 а.е.м. E св. He = (2 0,0073 + 2 0,0087) – 0,0015 = 0,0305 а.е.м.

2 Не. Запишем массы протона, ней 1,66 10 – 27 кг 1 а.е.м. = 931,4 МэВ 10 3 МэВ E св.He 30 МэВ.

Энергия связи связь крепче энергия освобождается Fe связь крепче связь слабее энергия освобождается связь слабее легкие средние тяжелые ядра Массовое число Рисунок иллюстрирует высвобождение энергии связи за счет избытка дефекта масс при синтезе (объединении) легких ядер и при распаде тяжелых ядер. Запишем формулу массы атома (согласно таблице Менделеева) М ат. = М яд. + Z mе + ЕКин / с2. Последнее слагаемое – кинетическая энергия частиц, составляющих атом, всегда слишком мало - им можно пренебречь. m е – масса электрона. Энергия, соответствующая дефекту массы (разностью между суммой масс составляющих атом частиц и массой исходного атома) - с2 и есть полная энергия связи атома. Силы взаимодействия электронов с ядром приводят к мизерному дефекту масс, что обусловлено слабым электромагнитным взаимодействием. Ядерные же силы (в ядре атома) приводят к значительному дефекту масс. В таблице представлены энергии связи ядер атомов, приведенные к их массовым числам (на один нуклон) 4 7 12 39 56 138 ядро Ba 92235 U 94239Pu 2 He 3 Li 6C 19 K 26 Fe 56 атома Eсв. /A, 7.07 МэВ 5.61 7.68 8.56 8.79 8.39 7.59 7. О размерах ядер. Если считать ядро сферическим, то R ~ A 1/3, R = r0 A 1/3, r0 = (1,2 - 1.5) 10 – 13 см. RH = (1.2 – 1.5) F, RU = 1.5 238 1/3 = 9 F.

§ 3 Получение ядерной энергии 3.1 Деление ядер Все началось с нейтронов. В 1938 году О. Ган и Ф. Штрассман обнаружили, что при облучении урана нейтронами образуются элементы из середины периодической системы Ba и La барий и лантан). Было предположено (О.Фриш и Лизе Мейтнер), что захватившее нейтрон ядро урана разделилось на два осколка деления. Таблица: выбор горючего для реактора № п/п ПриИскусстЭнерговыделе- Деление тепродные венные ние при захвате ловыми нейэлеэлементы нейтрона, МэВ тронами менты 231 1. Pa5,4 Да протактиний 232 2. Th-торий 5,1 Нет 3. 4. 5. 6. 7.

238 235 U-уран 6,6 6, Да Да Да Нет, только быстрыми Да U Npнептуний U 239 5,0 4, Pu 6, Рассмотрим реакцию 92 U + 01n 14055Cs + 3794Rb + 2 01n.

Нейтроны, образующиеся в результате реакции можно было бы включить в реакцию дальше, но они быстрые. Вероятность же деления 235U растет с уменьшением кинетической энергии нейтронов. В термодинамическом равновесии со средой они должны иметь энергию среды. E среды = 3kT/2 = 0,04 эВ, а на самом деле для нейтронов - 0,020,03 эВ. Вычислим температуру нейтронов. Быстрого: E = 1 МэВ, T = 2E/3k = 8 10 9 K. Медленного: E = 0,02 эВ, T ~ 2 10 2 K. Как замедлять нейтроны до 0,02 эВ ? Необходимо присутствие вещества, сталкиваясь с атомами которого нейтроны теряли бы свою энергию в результате упругого взаимодействия, но не захватывались бы ими. Идеален в этом смысле водород, как элемент почти идентичный по массе с нейтроном, но водород поглощает нейтроны и образует дейтерий 12Н. Тяжелый элемент при соударении с нейтроном останется на месте, практически не изменив своего импульса, нейтрон же упруго отскочит от него не изменив величины скорости. При взаимодействии с элементами средней тяжести необходимо несколько соударений, что потребует определенного времени для замедления нейтронов 3.2 Работа ядерного реактора Схема нейтронного цикла ii.

i. U iii.

утечка быстрых нейтронов U f p замедлитель iiii. p - практическое число нейтронов деления (не все из них вызовут деление, расчетное число обозначают - ), - коэффициент размножения на быстрых нейтронах 1,1 ( в смеси всегда присутствует 238U ), p – вероятность того, что нейтрон избежит поглощения в замедлителе в процессе замедления, f – вероятность того, что нейтрон избежит поглощения после окончания цикла замедления, но до начала следующего цикла, куда посылаются нейтроны вновь. p и f зависят от свойств материалов реактора. Если пренебречь утечками нейтронов (утечкам препятствует большой размер реактора), то коэффициент размножения (стационарный, установившийся через бесконечное время) равен k = pf. Если для определенности начинать с одного нейтрона, то при k 1 установится самоподдерживающаяся реакция. Если k < 1 – реакция затухнет. В случае же, если k = 1, то говорят о критическом реакторе, при k > 1 – о надкритическом. Коэффициент размножения k показывает каково отношение общего числа нейтронов в конце цикла к породившему их начальному числу нейтронов. Критичность нужно регулировать. Замедлители C 18(1) (2) Be Cd B Fe Pb H2O D2O Среднее число 114 19 35 86 столкновений до замедления широко применяемые замедлители поглотители Чрезвычайно важен вопрос о скорости замедления. Пока будем замедлять – реакция затухнет. На быстрых нейтронах время цикла составляет 10 – 7 секунд. Расчеты показывают, что если за 10 секунд число нейтронов увеличивается в е раз (эти нейтроны мгновенные), то k при этом меняется от 1 до 1,00000001 (на одну стомиллионную долю единицы). Такая точность регулирования коэффициента размножения k невозможна практически. То есть кажется, что вообще нельзя создать безопасный реактор. Ситуацию спасает то, что существуют так называемые запаздывающие нейтроны. В процессе деления урана образуется целая цепочка распадов, протяженная во времени. Следовательно, можно ввести запаздывающий коэффициент размножения. Запаздывающие нейтроны испускаются в циклах в течение промежутка времени в среднем 0,1 секунды, а период полураспада осколков составляет в среднем 9 секунд (то есть эти 9 секунд распределяются между многими циклами). За время одного акта деления выделяется энергия 200 МэВ = 3,2 10 – 11 Дж, тогда мощности в 1 МВт соответствует 10 6 / 3,2 10 – 11 = 3 10 15 распадов в секунду. замедлители ядерное горючее тепловыделяющие элементы (ТВЭЛЫ) отражатели регулировочные стержни каналы охлаждения Схема активной зоны реактора Контур АКТИВНАЯ с теплообменником ЗОНА РЕАКТОРА насос теплообменник ТУРБИНА Энергия, выделяемая в активной зоне снимается теплоносителем водой или щелочными металлами (температура плавления натрия составляет 98 °С). В России впервые реактор с паровой турбиной был создан Курчатовым в 1954 году.

3.3 Термоядерные реакции Термоядерные реакции реализуются при объединении (синтезе) легких ядер в более тяжелые и более устойчивые. При таком синтезе в области действия реакции развивается температура 10 8 К. Пример 1 d + 13H 24He + 01n.

Часть полученной при синтезе энергии уносят нейтроны и ее нельзя использовать. Чтобы заставить легкие ядра проникнуть друг в друга (слиться друг с другом), то есть для их объединения необходимы высокие температуры. Требуются первоначально большие затраты энергии, так как ядра имеют положительный заряд, сконцентрированный в небольшой области пространства. Приведем два метода 1. Удержание и разогрев плазмы. Плазма при этом сжимается магнитным полем на оси тороида 2. Взрывной нагрев плазмы с применением большого количества лазерных пучков В качестве реагентов годятся, например, дейтерий и тритий, у которых зарядовые числа минимальны (+1). Главнейшее преимущество синтеза по сравнению с делением – отсутствие радиоактивных остатков. Пример: при распаде урана образуются не используемые далее радиоактивные элементы 38 43 55 89 Sr – 4,6% - 53 дня Tc – 6,2% - 106 лет Cs – 6,2% - 33 года.

Однако, управляемый термоядерный синтез пока не нашел своего практического применения. Энергия же на один нуклон при синтезе примерно такая же как и при распаде. 3.4 Природный ядерный реактор в Окло В дельте древней реки (государство Габон в Африке, близ города Франсвилля на реке Огове) образовался осадочный слой богатого ураном песчаника толщиной 4-10 метров и шириной 600-900 метров. Урановая жила растрескалась в нее проникли грунтовые воды. В руде со средним содержанием урана 0,5% были обнаружены шесть глинистых линз размерами 10-20 метров при толщине 1 метр и с концентрацией урана 20-40 % и более. Роль замедлителя выполняют грунтовые воды. Предположено, что образование такого природного ядерного реактора произошло 0,6-0,8 лет тому назад. Возможно, что в далекие времена там произошел и ядерный взрыв. Общее количество вырабатываемой энергии оценивается таким же какое вырабатывает ЛАЭС за 2,3 года. реакция тлеет при температуре 300-600 °С. Вода проникает в трещины – идет реакция, вода испаряется под действием температуры – реакция прекращается. Многое остается неясным.

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.