WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ФИЗИКИ ОБЩАЯ ФИЗИКА (конспект лекций) С.Е.МАЛЬХАНОВ Санкт-Петербург 2001 1 Предлагаемый читателям конспект ...»

-- [ Страница 2 ] --

0.65 2 x.2 x 2 x e e 0.5. 2 x x. x e 2. x x 0.2 0. e 0. 0 2 x 4 0.5 0. x 2 2 x e 2 x.2 e x 0. 0 1 x 3 График плотности распределения для скорости формируется из экспоненциального спада и квадратичной зависимости. Найдем среднюю арифметическую скорость идеального газа по формуле = v v dv = 4 (m/2kT) exp(-mv2/2kT)v2vdv. 3/ Вычислим заблаговременно интеграл 2 2 2 exp(-mv /2kT)v d(v /2) = (1/2)(2kT/m)2 e-y y dy = (1/2) (2kT/m)2 0 0 При преобразованиях использованы: mv /2kT = y, e-y y dy = 1 =4 (m/2kT)3/2(1/2) (2kT/m)2 = (8kT/m)1/2. Найдем наиболее вероятную скорость (как экстремум функции) d(v)/dv = d[4(m/2kT)3/2 v2 exp(-mv2/2kT)]/dv = = 4(m/2kT)3/2[2v exp(-mv2/2kT) + v2(-mv/kT) exp(-mv2/2kT)] =0. С этого момента v приобретает статус наиболее вероятной скорости vвер. 2 = vвер2m/kT vвер2 = 2kT/m vвер = (2kT/m)1/2. Выпишем, не вычисляя, среднеквадратичную скорость, = v v2dv = (3kT/m)1/2. Замечание: при расчетах удобнее пользоваться отношением k/m = R/M, где k - постоянная Больцмана (рассчитанная на одну частицу), m - масса одной частицы (атома, молекулы), R - газовая постоянная (рассчитанная на один моль частиц), M - масса одного моля частиц. График для энергии формируется из экспоненциального спада (без квадрата в экспоненте) и корневой зависимости от энергии 0.7 x e 0. x e x. x 0 1 x 3 Найдем наиболее вероятную энергию d(e -/kT)/d = e-/kT/2 - e -/kT/kT = 0, с этого момента приобретает статус наиболее вероятной энергии, вер 1/(2вер) = вер/kT вер= kT/2. Замечание: вер = mvвер2/2 = (m/2)(2kT/m) = kT вер. Расчет средней энергии. Имеем <> = (2 /)(kT)-3/2 e -/kT d. e - /kT 3/2 d = (сделаем замену переменной = x2) = 0 = 2 exp(-x2/kT)x4dx. 0 Получился интеграл вида In = exp(-x2) xn dx 0 О нем известно, что I0 = (/)1/2/2, In = [(n-1)/2] In-2, (рекурентное соотношение) I4 = (3/2) I2 = (3/2)(1/2) I0 = = (3/2) (1/2) [(/)1/2/2], = 1/kT. 2I4 = () (kT)5/2 <> = (2/)(kT)-3/2 2I4 = (2/)(kT)-3/2 () (kT)5/2 <> = 3kT/2.

§ 2 Распределение Больцмана Рассмотрим вторую составляющую полной энергии в каноническом распределении Гиббса, содержащую потенциальную энергию. Для нее dPq = b exp[-Wп (q) /kT] Вспомним, что Wп (q) - энергия частиц находящихся во внешнем поле, а q - обобщенная координата. Рассмотрим газ, находящийся во внешнем (гравитационном) поле. Потенциальная энергия такого, идеального, или близкого идеальному, газа есть функция только координат. Заменим обобщенную координату - на декартовы координаты dq = dxdydz = dv. Согласно частотному определению вероятности dP = dN/N, что хорошо выполняется при больших N, тогда dN = N b exp(-Wп[(x,y,z)/kT] dv Пусть dN/dv = n - концентрация молекул, Nb = n0 - некая исходная концентрация молекул, Wп U, тогда n = n0 e -U(x,y,z) / kT. Пример: молекулы в поле тяжести Земли U = mgz, z - высота над поверхностью Земли n(z) = n0 e – mgz /kT, z = 0 n = n0.

Часто распределения Максвелла-Больцмана не разъединяют, но пишут вместе dN = N0 A exp(- U - mv2/2 ) dvxdvydvz dxdydz, A = (m/2kT)3/2.

§ 3 Биномиальное распределение Существует физически важная задача. Идеальная система состоит из N спинов и находится во внешнем магнитном поле. Такая задача может быть сведена к задачам типа: чет-нечет, верх-низ, белое - черное, 0 - 1,... и т.д.

по полю против поля Ставим нашу задачу. Пусть p - вероятность для спина быть направленным вверх, тогда q - вероятность для спина быть направленным вниз. Какова вероятность P(n) того, что n штук из общего числа N спинов направлены вверх. То есть, определим вероятность конфигурации спинов, в которой n из них направлено вверх, а N - n - вниз. Запишем p...pq...q = pnqN-n - один из способов, при котором спины располагаются в актуальном порядке. Достаточно любые два спина из числа n поменять местами, то появится (реализуется) еще один способ достичь того же состояния в смысле его вероятности. Полное число таких способов равно числу сочетаний из N по n, тогда P(n) = CnN pnqN-n = [N!/n!(N-n)!] pnqN-n. Полученное выражение называют биномиальным распределением. О сочетаниях. Число сочетаний CnN из N элементов по n в каждой группе означает возможность составить группы по n элементов в каждой, не обращая внимания на порядок элементов в группах CnN = N!/n!(N-n)!. Например: C23: (1,2,3) 12,23,13 - три группы по два элемента в каждой C23 = 3!/2!1! = 3 Cnn = n!/n!0! = 1, 0!1, используют также запись (Nn) CNn Пример 1 p=q=1/2, N=4 P(n) = Cn4 (1/2) 4 n=0, P(0) = C04(1/2)4 = 4!/0!4!16 = 1/16 n=1, P(1) = C14(1/2)4 = 4!/1!3!16 = 4/16 n=2, P(2) = C24(1/2)4 = 4!/2!2!16 = 6/16 n=3, P(3) = C34(1/2)4 = 4!/3!1!16 = 4/16 n=4, P(3) = C44 (1/2)4 = 4!/4!0!16 = 1/ 0.5 0. dbinom ( n, N, p ) 0. 0 0 0 2 n Пример 2 p = 1/3, q = 2/3, N = 4 P(n) = Cn4 (1/3)n(2/3)4-n n = 0, P(0) = (4!/0!4!) 16/81 = 16/81 n = 1, P(1) = (4!/1!3!) 8/81 = 32/81 n = 2, P(2) = (4!/2!2!) 4/81 = 24/81 n = 3, P(3) = (4!/3!1!) 2/81 = 8/81 n = 4, P(4) = (4!/4!0!) 1/81 = 1/ 0.5 0. dbinom ( n, N, p ) 0. 0 n § 4 Распределение Гаусса (нормальное распределение) Биномиальное распределение сугубо дискретное и плотность вероятности в континуальном смысле для него не записать. В пределе, при N, можно показать, что оно переходит в другое распределение так называемое нормальное распределение. Итак, имеем P(n) = [N!/n!(N-n)!] pnqN-n (1) Пусть n - число, при котором вероятность P(n) принимает максимальное значение. Чтобы его найти, необходимо вычислить производную от P(n) по n и приравнять ее к нулю. Пусть, кроме того, при n >> n и при n << n - P(n) становиться пренебрежимо малой. То есть, здесь исследу ются свойства P(n) при n актуально близких к n. Вычислим логарифм от обеих частей (1) lnP = lnN! - lnn! - ln(N-n)! + nlnp + (N-n)lnq (2) n - квази непрерывны, используем условие максимума dP/dn = 0 dlnP/dn = dP/Pdn = 0. Используем одно из приближений формулы Стирлинга lnn! = nlnn - n + ()ln(2n), n>>lnn lnn! = nlnn - n. Тогда d(lnn!)/dn = d(nlnn - n)/dn lnn dln(N - n)!/dn - ln(N - n). Из (2) имеем d(lnP)/dn = - lnn + ln(N -n) + lnp - lnq = 0 (3) ln[p(N - n)/nq] = 0 p (N – n )/nq = 1, p (N - n) = nq pN = n(p + q), а так как p + q =1, а n обращает исследуемую функцию в 0, то есть n = n, то следовательно n = n = pN (4) Продолжая исследование биномиального распределения около n n и при N, разложим lnP(n) в ряд Тейлора в точке n, чтобы получить актуальное приближение lnP(n) = lnP(n) + (n - n){d[lnP(n)]/dn}n=n + + [(n - n)2/2!]{d2[lnP(n)]/dn2}n=n +...

Второе слагаемое обращается в 0 по условию экстремума, а вторую производную второго порядка в третьем слагаемом раскроем с использованием уже имеющейся в (3) первой производной d2[lnP(n)]/dn2 = d[-lnn + ln(N - n) + lnp - lnq]/dn = (-1/n) - 1/(N - n) = = - N/n(N - n) = ( n = n = Np) = - 1/pqN lnP(n) = lnP(n) - (n - n)2/2Npq P(n) = P(n) exp[-(n - n)2/2Npq], используем предельный переход и делаем замену P(n) P dP = P exp[-(n - n)2/2Npq] dn n = P exp[-(n - n)2/2Npq] пусть n принадлежит множеству целых положительных и отрицательных чисел. Воспользуемся нормировкой на единицу для вычисления коэффициента P 2 ndn = P exp[-(n - n) /2Npq]dn = (I = exp(-x2)dx) = ) = - - - 1/2 -1/2 = P(2Npq) = 1 P = (2Npq). n = (2Npq)-1/2 exp[-(n - n)2/2Npq. Можно показать путем интегрирования, что среднее значение = (без вывода, так как это достаточно очевидно) = n, при котором вероятность имеет максимум, что и было нами ранее показано (формула (4)). Точно также можно получить выражение для дисперсии методом нахождения среднего значения с помощью интегрирования (без вывода) D = = <(n - )2> = Npq n = (Npq)1/2.Если теперь перейти к обозначениям применяемым обычно в литературе по физической статистике = , n = = (Npq)1/2, получим x = [(2)-1/2/] exp[-(x - )2/22].

§ 5 Распределение Стьюдента Распределение Стьюдента описывает плотность вероятности значений средних арифметических, вычисленных по выборкам из n случайных отсчетов из нормально распределенной генеральной совокупности. Генеральная совокупность - вся совокупность измеряемых случайных величин. Выборка - совокупность части случайно отобранных из генеральной совокупности величин. Например, 50 промежутков времени по 5 секунд каждый, измеряемые грубым и точным прибором, из всех возможных получаемых значений, нормально распределенных промежутков времени выборка. Утверждается следующее: Если при нормально распределенной генеральной совокупности распределение величины t равно t = ( - mx)/(D/n), где и M x - среднее арифметическое и математическое ожидание случайной величины xi, D =2 = < (xi - )2> = [(xi - )2]/(n -1), то тогда t подчиняется распределению Стьюдента, плотность вероятности которого имеет вид: (n-1)(t) = (n/2)/{[(n-1)/2][(n-1)]1/2[1 + t2/(n-1)]-n/2}, (n) = un-1e-udu - гамма функция График представляет плотность распределения Стьюдента при n = 25 (распределение применяется для малого числа измерений n<30). 0.4 0.4 Пример: Пусть по результатам измерений необходимо провести dt ( t, n ) 0.2 зависимость y от x. Для каждого значения xi должно быть 7 2.949688.10 измерено n значений yi, где n 5 0 5 7 t 7 может оказаться меньше 30 измерений. Получится набор средних значений игреков для каждого соответствующего им значения икс. Необходимо, чтобы они были распределены в соответствии с нормальным распределением Гаусса.

y x xi x x Из графика следует, что в результате многократных измерений y(xi), образуется полоса, а усреднение дает усредненную кривую внутри этой полосы, что существенно ограничивает интерпретацию кривой y(x). Штриховой линией внутри полосы показано, что внутри этой полосы можно провести кривую произвольного вида. Повторим, что все сказанное справедливо в том случае, если игреки в зависимости от иксов будут распределены по нормальному гауссову закону. Данное распределение было опубликовано в 1908 году В. С. Россетом, который подписал свою статью псевдонимом Student.

Глава 3 Термодинамика Вместо вступления P,V,T - три параметра состояния газа, которыми можно описать состояние данной массы газа. Масса тоже является параметром, а также могут быть и другие параметры, тогда f (P,V,T) = 0 уравнение, связывающее определенный набор параметров называют уравнением состояния. Для одного моля идеального газа, а на практике для газа слабо взаимодействующих молекул, атомов или ионов, для разряженного газа и даже отчасти для газа при нормальных условиях справедливо уравнение PV/T = cst, что является экспериментальным фактом и называется уравнением состояния идеального газа cst = R = 1,01 105 22,4 10-3/273 8,3 Дж/К моль Так, для одного моля газа это уравнение пишут в виде PVµ = RT. Для произвольного количества молей, так как vµ = V/ PV = RT, где V - произвольный объем газа. Количество молей можно выразить, как известно, и другими способами, например = m/M, где m - масса газа, а M - масса одного моля газа, тогда PV = m R T/M.

§ 1 Энтропия. Понятие и свойства Мы ранее определили статистический вес как число способов, которыми может быть реализовано данное состояние. Вероятность реализации данного состояния системы (например, идеального газа) пропорциональна его статистическому весу. Пусть система представлена двумя подсистемами со статистическими весами 1 и 2, тогда число способов, которыми может быть реализовано состояние всей системы должно быть равно произведению статистических весов = 12 (1) по свойству пересечения вероятностей. Прологарифмируем (1) и умножим на постоянную Больцмана ln = ln1 + ln2 | ·k k ln = S S = S1 + S2.

Определение Энтропией называется произведение логарифма числа способов, которыми может быть реализовано данное состояние, на константу Больцмана. Тогда с одной стороны энтропия аддитивна. В этом состоит формальное удобство: энтропию можно складывать, а нет. С другой стороны энтропия обладает свойствами 1. Энтропия равновесной системы максимальна 2. Изолированная система, будучи предоставлена самой себе, переходит из менее вероятных состояний в более вероятные, что сопровождается ростом энтропии (так как увеличивается число способов...).

§ 2 Температура 2.1 Температура как параметр равновесной системы Пусть нам дана замкнутая система, находящаяся в равновесии. Разделим ее на две части Можно записать 2 S = S1 + S2, U = U1 + U2.

S - энтропия, U - внутренняя энергия, определяемая энергией всех частиц, составляющих систему. Так как энтропия является функцией внутренней энергии S = S(U), то S/U1 = (S1 + S2)/U1 = S1/U1 + (S2U2)(U2/U1) U2/U1 = (U - U1)/U1 = -1 Здесь S2(U2(U1)), а S = cst и U = cst, имеем S1/U1 = S2/U2 =... (справедливо для числа участков > 2) = cst Поскольку система была разделена на части произвольно, то можно утверждать, что S/U - есть сохраняющаяся величина (при постоянном объеме). Ее можно обозначить как (S/U)v = 1/T (U/S)v = T, где T называют температурой.

2.2 Термометрия Пусть a - некий параметр системы, меняющийся с температурой, к примеру, линейно, тогда T a или T = A·a Для того, чтобы определить значение константы A до 1954 года пользовались двумя реперными точками, а именно T1 = 100°C - точка кипения воды и T2 = 0°C - точка плавления льда, имеем T1 = Aa1, T2 = Aa2 A = T1/a1 = T2/a T T2 T1 a1 a2 a A = (T2 - T1)/(a2 - a1).

С 1954 года реперная точка - тройная точка воды: 273,16°K (считется точной по определению). Очевидно, что существует бесконечное множество эмпирических температурных шкал. Шкалы Цельсия и Кельвина являются наиболее распространенными. Один градус у них одинаковый.

°K 373,16 273,16 0 °C 100 0 -273, Примеры различных видов наиболее распространенных термометров. i. Объем газа (как правило, разряженного, приближенного к идеальному газу) T = Av V (T = 0, V 0 !?) Под абсолютным нулем температуры, мы будем понимать такую температуру, при которой прекращается движение частиц составляющих тело. Однако, по современным представлениям это не означает, что полностью прекращается обмен между частицами (в частности сохраняется так называемая нулевая энергия)) Газовые термометры - вне конкуренции по чувствительности, точности и воспроизводимости. По ним градуируют остальные термометры. ii. Жидкостные термометры (по изменению объема) Вещество Пентан Этиловый спирт Толуол Ртуть Диапазон температур °C - 200 +20 - 110 +50 - 70 +100 - 38,86 + iii. Термометры электрического сопротивления (металлы и сплавы) T = Ar R В общем случае шкала нелинейная или близкая к линейной на отдельных участках Платина Медь + 10 до + 1100 - 253(жидкий H2) до + Сверху естественной границей служит температура плавления металлов, а снизу - температура сверхпроводящего состояния. Ниже даны температуры сжижения некоторых газов.

Газ T °K Гелий 4, Водород Азот Воздух Кислород G Rнагрузки + V A _ R T TСверхпроводимости iv. Полупроводниковые термометры электрического сопротивления, R (их характеризует высокая чувствительность) R e -A/T, R = A0 e-A/T (германий (до < 20°K), уголь) Общая проблема термометрии - соотношение размеров образца для измерения и термометра Объект Термометр Объект Термометр Вторая проблема - различная чувствительность на разных участках диапазона (в случае полупроводников - электрической проводимости) G высокая чувствительность слабая 0 T Если R = R0 e -A/T ln(R/R0) = -A/T, следовательно, можно применить линеаризацию (R ~ 1/G, G- проводимость).

ln G 1/T Для электрических способов применяют мостовой метод измерения - мостик Уинстона.

R1 G R RT - термометр RM - магазин сопротивлений R1 и R2 - резисторы При равновесии через индикатор G ток не течет RM RT RT/RM = R2/R1, откуда можно найти неизвестное сопротивление термометра - RT. Индикация момента равновесия может осуществляться с помощью стрелки, звуком, светом и т.д.. v. Термопары (низкая теплоемкость) Спай двух металлов ETЭДС + УгольMe2 ный Me1 порошок Tx T = cst При соединении (спайке) двух металлов или специальных сплавов, содержащих существенно разное количество электронов в единице объема (то есть их концентрацию) происходит выравнивание величин зарядов у границы и возникает электродвижущая (ЭДС) сила, которая с изменением температуры также меняется, что и используется для измерения самой температуры (TЭДС). Металл или сплав Медь-константан Pt - Pt + 30% Rh Диапазон температур, °С - 200 + 350 от Tкомн до 1400- vi. Пирометры используются для измерения очень высоких температур, при которых тела раскаляются до состояния излучения видимого света. Применяется закон теплового излучения тел Стефана-Больцмана путем сравнения излучательности тел при их нагреве. Свет из отверстия на рисунке сравнивается по интенсивности со светом раскаленной спирали прибора.

Заметим в заключение, что при измерении температур, особенно очень низких, например, близких к абсолютному нулю, становиться существенной проблема нагрева измеряемого объекта теплом подводимым к термометру для приведения этого термометра в рабочее состояние. Этот пример иллюстрирует и более общую проблему - возникновение искажений, вносимых измерителем, которые в отдельных случаях атомномолекулярного уровня (известное соотношение неопределенностей Гейзенберга) могут приводить к принципиальной невозможности точных измерений. Международная практическая температурная шкала С 1968 года установлено 12 реперных точек. Опорной точкой является тройная точка воды - 273,16°K (0,01°С) № п/п Вещество Агрегатное стояние H2 H2 H2 соТемпература °K 13,81 17,042 20,28 54,361 83,798 90,188 373,15 505,1181 692,73 1235,08 1337, тройная точка кипение кипение орта- и пара- смеси 4. O2 тройная точка 5. O2 тройная точка 6. O2 кипение 7. H2O кипение 8. Sn затвердевание 9. Zn затвердевание 10. Ag затвердевание 11. Au затвердевание а также много вторичных точек.

1. 2. 3.

2.3 Термометр Фаренгейта (немецкий физик, 1686 - 1736 г) Андерс Цельсий (Celsius A. 1701 - 1744) шведский астроном и физик предложил свою шкалу в 1742 году. Изучение шкалы Фаренгейта целесообразно проводить путем сравнения со шкалой Цельсия.

°F °C 100°C 212°F 36,6°C 96°F тело чело- :100 века : 96 -17,8°C 0°F лед+соль 0°C 32°F с нашатырем 5t°F = 9t°C t°F = 1,8 t°C + 32°F °C °F -30 -25 -20 -15 -10 -5 -22 -13 -4 5 14 23 0 32 10 50 15 59 20 68 25 77 30 86 35 § 3 Давление Давление механически определяется как отношение величины силы к величине площадки, на которую действует эта сила. P = dF/dS Dr F dS Вообще говоря, в данном случае приходится часто говорить о средней силе, хотя ее довольно трудно точно определить.

Используем выражение, связывающее силу и потенциальную энергию. Отметим, что изменение потенциальной энергии U эквивалентно, а точнее говоря равно с противоположным знаком работе, а с силой связано через градиент, тогда F = -U/r P = F/S = (-U/r)/S = - (U/V)S.

Произошло такое изменение формы тела, при котором S осталось постоянной. Изменение формы тела можно представить как перестановку отдельных его частей. 1 атм = 760 мм. рт. ст. = 1,05 105 Па.

§ 4. Первый закон термодинамики Рассмотрим первый закон термодинамики как полный дифференциал энергии. Используем то обстоятельство, что внутренняя энергия есть функция энтропии и объема в общем случае U (S,V), тогда ее полный дифференциал равен dU = (U/S)dS + (U/V)dV, где (U/S)V = T, (U/V)S = - P dU = TdS - PdV dU - Внутренняя энергия системы, центр масс которой покоится TdS = Q - Теплота PdV - Механическая работа (за счет изменения объема). Определим теплоту как Q = TdS dS = Q/T, S = k ln TdS = kT d ln Обычно пишут Q = dU + A, либо в конечных приращениях Q = U + A. (*) Заметим, что соответствующее элементарному процессу приращение какой-либо физической величины f f можно рассматривать как бесконечно малое приращение в пределе только в том случае, если f ( или df ), соответствующие переходу из одного состояния (1) в другое (2) не зависит от пути (иначе говоря - способа), по которыму совершается этот переход ( как это происходит при механическом перемещении в случае консервативных сил). Это значит, что не всегда верно 2 df = f2 - f1, 1 2 2 а в нашем случае dQ Q2 - Q1 dA A2 - A1, а вот для 1 1 внутренней энергии это верно всегда 2 dU = U2 - U1. 1 В этом случае говорят, что U является функцией состояния, тогда как теплота Q и работа A не являются функциями состояния. Следовательно dU является полным дифференциалом, а Q и A - нет, и этот факт обозначают на письме как это сделано здесь круглыми буквами дельта. Мы, однако, понимая сказанное, будем писать, иногда с оговорками, и, всегда подразумевая данный факт: dQ и dA. Сформулируем первый закон термодинамики (*). Теплота, сообщаемая системе расходуется на приращение внутренней энергии этой системы и совершение системой работы над внешними телами.

§ 5 Макроскопические параметры состояния газа. Процессы Имеем термодинамические параметры газа (вообще говоря, их можно отнести и к твердым телам и к жидкостям) Объем V Масса m Энтропия Давление S P Теплота Q Работа A Хим. состав и др.

Внутренняя Плотность энергия U Концентрация Температура n T В опыте, то есть физическом или ином эксперименте, (и в обыденной жизни) мы имеем дело с объемом газа, состоящим из громадного числа частиц: атомов, молекул, ионов, электронов,... квазичастиц: дырок, вакансий, экситонов, поляронов, более сложных образований, но также микроскопических, размеры которых << всего объема газа. Когда некоторым прибором измеряют величину того или иного параметра, то эта величина суть результат усреднения от действия всех частиц, составляющих тело. Если число столкновений одной молекулы с остальными может составлять 1010 ст/с, то число столкновений между всеми молекулами при тех же условиях составляет 1020ст/с. Пример: измерение давления При быстродействии осциллографа 0,1нс = 10-10с он будет регистрировать 10-101020 = 1010 столкновений одновременно, поэтому и можно говорить, что наши приборы измеряют усредненные значения параметров. Замечание. 1c t Замечательные свойства осциллографов позволяют наблюдать формы сигналов. В нем создается так называемая развертка по времени: линейно нарастающее с заданной скоростью напряжение позволяет переместить лучик на экране с одного края на другой. По вертикали при этом подается напряжение исследуемой формы пропорциональное величине данного параметра.

P U =U t t Любая физическая величина преобразуется в эквивалентное ей электрическое напряжение и далее ее можно измерять преобразовывать и т.д..

Состояние и процесс. Предположим, что мы наблюдаем за некоторым набором параметров. Если параметры не меняются, то можно говорить о равновесном состоянии. Если некоторые из них меняются, то говорят что идет процесс (процесс изменения этих параметров). Процесс идет до тех пор, пока система не перейдет в новое равновесное состояние P1 V1 T1... P2 V2 T2...

Во время процесса меняются все параметры или хотя бы один из них.

Практически можно говорить о квази равновесных состояниях вместо равновесных, которые являются удобной идеализацией. Если один параметр меняется быстрее другого, к примеру, в 10 раз, то можно говорить о квази равновесии или о равновесии в отношение медленно меряющегося параметра в сравнении с другим. Например, вода в чайнике нагревается, а ее объем в процессе нагрева условно остается постоянным.

§ 6 Расчет работы и внутренней энергии в термодинамике Fср h S 6.1 Работа A = Fсрh, P = Fср/S A = PSh = PV. Пусть A dA dA = PdV 2 A = PdV 1 6.2 Внутренняя энергия Рассчитаем среднюю кинетическую энергию, приходящуюся на одну частицу и на одну координату. Используем каноническое распределение Гиббса.

< i > = [ exp(-i) i dpi]/ [ exp(-i) dpi]. -[exp(-i)] = i exp(-i), i = pi2/2m, = 1/kT, i-я координата. < i > ={ -[ exp(-i) dpi]/}/[ exp(-i) dpi] = - - = -ln[exp(-pi2/2m) dpi]/ = - [ln(2m/)1/2]/ = - = 1/2 = kT/2. В расчете использован интеграл вида exp(-x2) dx = - < i > = kT/2 i =1 < i > = i kT/2 - формула для произвольного числа степеней свободы частицы (например, молекулы). Теорема о равнораспределении кинетической энергии по степеням свободы: на каждую степень свободы частицы, то есть на каждую координату или ось вращения, к примеру, приходится в среднем одинаковая кинетическая энергия равная =kT/2. Найдем внутреннюю энергию произвольного количества вещества i = i kT/2 |·NA UM = i RT/2 (UM=iNA, R=kNA) | · U=iRT/ i= Z i=3+3= i = 3 +2 = 5 Y i=3+2+2=7 X Точке может соответствовать три поступательных степени свободы по числу трех декартовых координат (He, H+,...). Для двухатомных молекул в модели жесткой нерастяжимой связи между ними прибавляется еще две оси вращения - вдоль линии их соединяющей и перпендикулярно ее середине (N2, H2, O2,...). Для трех- и более молекул реализуются все три взаимно перпендикулярные оси вращения (CO2, H2O,...). В модели упругой (не жесткой) связи, кроме указанных степеней свободы, прибавляются еще колебательные степени свободы.

§ 7 Теплоемкость 7.1 Расчет теплоемкости при постоянном объеме и давлении. Закон Майера Теплоемкостью тела, C, называется отношение бесконечно малого количества теплоты, полученного этим телом к соответствующему приращению его температуры. C = Q/dT. Часто пишут, и мы будем придерживаться записи C = dQ/dT C = (dU + PdV)/dT = (dU/dT) + PdV/dT. Используем тот факт, что и внутренняя энергия представляется полным дифференциалом U (V,T) запишем dU = (U/T)V dT + (U/V)T dV C = (U/T)V + (U/V)T (dV/dT) + PdV/dT = (второе слагаемое равно нулю при T = cst) = (U/T)V + PdV/dT. 1. V = cst dV/dT = 0 CV = (U/T)V = (i RT/2)/T = i R/2, = 1 CV = (i/2)R. 2. P = cst CP = CV + PdV/dT. Используем уравнение Менделеева - Клапейрона PV = RT PdV = RdT dV/dT = R/P CP = CV +R = (i/2) R+ R = [(i + 2)/2] R. = 1 CPµ = CVµ + R. Полученное выражение называют уравнением Майера (Майер Юлиус Роберт 1814-1878). Для различных процессов можно рассчитать теплоту, внутреннюю энергию и работу. 1. T = cst – изотермический dU = 0 Q = A. 2. P = cst - изобарический Q = dU + A 3. V = cst - изохорический A = 0 Q = dU 4.Q = cst (Q = 0) - адиабатический dU = - A 5. C = cst - политропический Q/dT = cst. 7.2 Виды теплоемкости Полная теплоемкость, C, [Дж/K] C = dQ/dT теплота, которую необходимо передать телу, чтобы изменить его температуру на 1 градус. Удельная теплоемкость, Cуд, [Дж/K кг] Cуд = dQ/m dT теплоемкость, приведенная к единичной массе. Молярная теплоемкость, Cµ, [Дж/K моль] C µ = dQ/dT теплоемкость, приведенная к одному молю.

§ 8 Уравнение Пуассона для адиабатического процесса dQ = dU + dA, dQ = 0 dU = CV dT, = 1 dU = CV dT, dA = PdV CV dT + PdV = 0 |· R CV R dT + RP dV = 0, но из PV = RT PdV + V dP = R dT (исключим температуру) CV (PdV + V dP) + R PdV = 0, R=CP - CV CV PdV + CV V dP + (CP - CV ) PdV = 0 |: CV, ( = Cp/CV = cst) PdV + V dP + ( - 1)PdV=0, PdV + V dP = 0. dV/V + dP/P = 0 | lnV + lnP = cst ln (V P) = cst P V = cst, P1V1 = P2V2 =....

§ 9 Политропический процесс C = cst, C = dQ/dT dQ = C dT. dQ = dU + dA, = 1 C dT = CV dT + PdV | ·R CR dT - CV R dT = RP dV, (C - CV )R dT = RP dV, PV = RT, R dT = PdV + V dP(исключим температуру) (C - CV)(PdV + V dP) = R PdV (C - CV) PdV = (R+CV - C) PdV (используем уравнение Майера) CP = R+CV (C - CV) VdP = (Cp - C) PdV | : PV (C - CV)dP/P = (CP - C)dV/V | (C - CV)lnP = (CP - C)lnV + cst | : (C - CV) [(C- CP)/(C - CV)]lnV + lnP = cst, nlnV + lnP = cst, P V n = cst, n = (C- CP)/(C - CV).

§ 10 Применение первого начала термодинамики к тепловым процессам Первоначально термодинамика возникла как наука о превращении теплоты в работу. При этом не было надобности в исследовании микроскопической картины явлений, а исследователи опирались на так называемые основные начала термодинамики, полученные опытным путем. Мы, нендолго, будем действовать в рамках этих представлений по-своему довольно плодотворных. Рассмотрим некий объем газа, способный совершить работу (или над которым совершается работа внешними силами, что в известном смысле все равно и одинаково с точностью до знака). Построим для такой системы несколько диаграмм в координатах P-V, подразумевая, что эти замкнутые циклы многократно повторяются. Нам необходимо, чтобы за один полный цикл совершалась положительная работа.

P (1) A = PV P12 изобара V1 V2 V (2) P P2 A=0 P (2) изохора (1) V12 V P P (2) A=PV некий более сложный процесс P1 (1) V1 V2 V Рассмотрим процесс вида P P (1) P2 V (2) V2 V Работа в таком процессе вычисляется по формуле 2 A = P(V) dV 1 Однако, двигаясь туда - сюда по одному и тому же пути работы не совершить. Вспомним, что совершаемая работа равна численно площади под кривой. Следовательно, в прямом и обратном направлениях надо двигаться по двум разным кривым так, чтобы площади подграфиков (таков термин) оказались разными, например P P1 P2 V1 V2 (1) (2) V Работу можно подсчитать как изменение теплоты за один полный цикл Q1 - теплота, подведенная к системе Q2 - теплота, отведенная от системы (или отданная холодильнику - холодильником часто служит просто внешняя среда), тогда A = Q1 - Q2. Коэффициент полезного действия (КПД) такого устройства можно определить как = (Q1 - Q2)/Q1. Рассмотрим противоположный случай - холодильной машины, в которой совершается работа с целью охлаждения некоего объема. Для этого запустим цикл в обратном направлении. Q1 - теплота, поглощаемая системой из окружающей среды Q2 - теплота, отводимая от системы с помощью каких-либо Q2/(Q1- Q2) называется холодильным коэффициентом. ухищрений § 11 Цикл и теорема Карно Схема тепловой машины часто представляется в виде схемы. Карно придумал свой совершенно конкретный цикл, позволяющий переводить теплоту в работу, состоящий из двух изотерм и двух адиабат.

Нагреватель холодильник Q1 устройство Q2 для перевода теплоты в работу Вслед за Карно построим такой цикл и рассчитаем его КПД. Заметим, что адиабата всегда идет круче, чем изотерма. Идея состоит в том, чтобы вычислить теплоту, передаваемую системе на пути 1-2-3 и теплоту, отбираемую от системы на пути 3-4-1 и вычислить КПД.

P изотермы адиабаты V V V V V 2 1. Q1 = A12 = PdV = R TdV/V = RT1ln(V2/V1) 1 2. Q2 = 0 3. Q3 = -A34 = RT2ln(V3/V4) 4. Q4 = 0 Q1 = Q1 + Q2, Q2 = Q3 + Q4, = (Q1 - Q2)/Q1 = [RT1ln(V2/V1) - RT2ln(V3/V4)]/RT1ln(V2/V1). Из графика следует, что точки 1, 4 и 2, 3 находятся на одних и тех же адиабатах. T1V1-1 = T4V4-1, T2V2-1 = T3V3-1, T1 = T2, T3 = T4 (после почленного деления равенств получим равенство отношений) V1/V2 = V4/V3 и следовательно = (T1 - T2)/T1 - максимальный КПД. T1 - температура нагревателя, T2 - температура холодильника. Теорема Карно: КПД всех обратимых машин одинаков и определяется только температурами нагревателя и холодильника = (T1 - T2)/T1.

Понятие обратимого процесса: При обратимом процессе система в обратной последовательности может пройти через те же состояния, что и при прямом ходе (при этом во внешней среде никаких изменений не должно произойти).

§ 12 Второе и третье начала термодинамики Существует чисто технический вопрос: как лучше отобрать тепло от тела? Вообще, по каким законам происходит отбирание тепла? Что надо предпринять, чтобы отобрать тепло от нагретого тела? Формулировка Клаузиуса второго начала термодинамики. (Рудольф Юлиус Эмануэль 1822 – 1888г., ректор Боннского университета) Невозможны процессы, единственным результатом которых был бы переход тепла от тела менее нагретого к телу более нагретому.

Q менее нагретое более нагретое Здесь необходимо какое-то устройство Вспомним школьную задачку о холодильнике в изолированной комнате: холодильник охлаждается, комната нагревается, энергия же берется из электрической розетки (через которую и осуществляется связь с внешней средой). Используем формулировку второго свойства энтропии и на его основе дадим второе определение второго начала термодинамики. Второе определение изолированная система, будучи предоставлена самой себе, переходит из менее вероятных состояний в более вероятные, что сопровождается ростом энтропии (так как при этом увеличивается число способов, которыми может быть составлено данное состояние). Из этого определения следует энтропия изолированной системы может только возрастать. О третьем начале термодинамики Имеем S = k ln При T = 0 тело находится в состоянии, называемом основным: все движение “заморожено”. То есть при температуре абсолютного нуля число способов реализации этого единственного основного состояния равно 1. = 1 S = k ln 1 = 0 или lim S = 0 T0 Это и есть определение третьего начала термодинамики, сформулируем его Энтропия системы стремиться к 0 при стремлении к 0 температуры. Замечание: существует определение dS = Q/T, но так как lim (Q/T) = 0 lim S = 0 T0 T0 Некоторые сомнения: переход беспорядка в порядок Из принципа возрастания энтропии создается впечатление, что мир движется от упорядоченного состояния к не упорядоченному и характеризуется все возрастающим беспорядком. Почему - возникает вопрос? Почему возможно превращение случайной смеси молекул и атомов в высокоорганизованные макромолекулы? Минералы, нефть, газ, … растения и живые существа Ответить точно на этот вопрос мы не можем, однако и парадокса в этом нет, так как мы живем в мире не изолированных систем и справедлива следующая формула: энтропия системы может быть уменьшена, но только в том случае, если данная система взаимодействует с другими системами, так что в процессе взаимодействия в другом месте происходит компенсирующее увеличение энтропии. Уменьшить энтропию некоторой системы можно лишь с привлечением различных дополнительных систем и процессов (способы разные). Методы дело талантов и гениев, которые изобретают циклы, процессы и механизмы. Природа при этом - самый гениальный изобретатель - изобрела живые существа (каким-то образом с использованием эволюционного отбора или иным способом).

§ 13 Уравнение состояния газа в модели Ван-дер-Ваальса Для реальных газов уравнение PV = RT - не точно, при P = 103 атм - в 2 раза. Ван-дер-Ваальс учел. 1. Размеры молекул 2. Силы взаимодействия между молекулами 1. P(VM - b) = RT, = 1, b - объем, занимаемый самими молекулами. Размер атома водорода 5 10 -11 м, тогда объем составит 125 10 -33 м 3, NA = 6 10 23 ат/моль b 1,25 10 -31 6 10 23 10 -7 м 3/моль. Все другие молекулы больше и для них b по порядку величины всегда больше, например, для азота b = 3,86 10 -5 м3/моль. Константы b для разных молекул вычислены и сведены в таблицы в справочниках 2. Молекулы взаимодействуют между собой как диполи и притягиваются разноименными полюсами. Притяжение соответствует устойчивому равновесию, а отталкивание - неустойчивому. Притягиваясь, молекулы создают дополнительное давление, которое можно учесть _ + + _ (P + P)(VM - b) = RT Рассмотрим (вслед за Ван-дер-Ваальсом) два небольших объема внутри исследуемого сосуда с газом, расположенные в непосредственной близости друг от друга. Сила притяжения между ними обратно пропорциональна размерам этих объемов. Если взять объемы одинаковыми, то F 1/V2 | :S P = F/S 1/SV2 P = a/SVM2 = a/VM2, [a] = Па м6/моль2 = Нм 4/моль 2. Константы a для разных молекул вычислены и сведены в таблицы в справочниках. Например, для азота a = 0,135 Н м 4/моль 2. Уравнение Ван-дер-Ваальса для одного моля газа имеет вид: (P + a/VM2)(VM - b) = RT. Для произвольного объема газа имеем VM = V/ (P + a2/V2)(V - b) = RT.

§ 14 Процесс Джоуля - Томсона Гей-Люссак решал задачу о нахождении зависимости энергии от объема и температуры экспериментально.

U(T,V) - внутренней Воздух T Вакуум T медные сосуды Вентиль открывается, воздух переходит в откачанный сосуд, температура воздуха при этом в сосудах оказывается различной. Объяснение: Так как процесс близок к адиабатическому (по условию опыта он быстрый), то часть внутренней энергии переходит в работу и температура в первом сосуде уменьшается. Но так как общее количество внутренней энергии в обоих сосудах обязано оставаться постоянным, то со временем температуры выравниваются.

Джоуль, воспроизводя эксперимент, все устройство помещал в воду. Температура воды до и после опыта оставалась одинаковой при T = cst внутренняя энергия не зависит от объема. Опыт Джоуля - Томсона (более точный 1852-1862). Цилиндрическая трубка окружена теплоизолирующим материалом Пористая перегородка (1) P1 A1 = P1V1(U1) (2) P2 A2 = P2V2(U2) Левый поршень перемещается так, чтобы P1 и P2 оставались неизменными. Течение газа не турбулентное, а ламинарное, стационарное. Кинетической энергией газа по сравнению с изменениями внутренней энергии можно пренебречь (актуально медленное течение газа). В опыте измерялись температуры частей (1) и (2). Эти температуры установились T1 и T2 в конце всего эксперимента. Работу, совершенную по прошествии этого процесса можно вычислить по формуле A = P2V2 - P1V1. Поскольку теплоты газ не получал, то есть процесс протекал адиабатически, то U2 - U1 + A = 0 U1 - U2 = A, здесь U1 - внутренняя энергия в левой части сосуда в начальном состоянии, U2 - внутренняя энергия газа в правой части сосуда после окончания процесса и перехода во второе состояние, A - совершаемая работа. Поскольку изменение внутренней энергии равно совершаемой работе, то U1 - U2 = P2V2 - P1V1 U1 + P1V1 = U2 + P2V2 = cst Таким образом, (U + PV) в процессе Джоуля - Томсона является сохраняющейся величиной. U + PV = I, где I - получило наименование энтальпии. Следствия. Температура части (1) для всех газов уменьшается, кроме водорода, у которого температура увеличивается. Разность температур T2 - T2 = T устанавливается тем меньшей, чем лучше газ удовлетворяет свойствам идеального газа. В пределе, если бы газ был идеальным P1V1 = P2V2 U1 = U2. То есть для идеального газа процесс Джоуля - Томсона не реализуется, внутренняя энергия не зависит от изменения объема, а только температуры, что мы и имели в формуле U = CVT. Для реальных газов процесс есть! Практические примеры. i. Раздувающийся мяч ii. Прогон воздуха через узкое отверстие, например, велосипедного насоса P1 >> P2 P1 >> P Мяч и велосипедный насос холодеют при энергичном прохождении воздуха... Элементарная теория процесса Джоуля - Томсона. I= I (P, T) = cst - запишем полный дифференциал энтальпии dI(P,T) = (I/T)P dT + (I/dP)T dP = 0 тогда dT/dP = - (I/P)T / (dI /dT)P. При замене бесконечно малых на конечные приращения d отношение T/ P можно интерпретировать как изменение температуры, возникающее в процессе Джоуля - Томсона за счет изменения давления, отнесенное к этому изменению давления. В результате преобразований имеем (I/T)P = (U + PV)P/T = (U/T + PV/T)P = CP, (I/P)T = (U + PV)T/P = 0 + V + P(V/T)T. Следовательно dT/dP = - [V + P(V/P)T]/CP. Если вычислить то же самое через уравнение Ван-дер-Ваальса, то dT/dP = {[b RT/(V - b)2] - 2a/V2}/CP(P/V)T T/P. 1. T > 0 T2 > T1 - охлаждение 2. T < 0 T2 < T1 - нагревание 3. T = 0, T = Ti - инверсия, Ti - температура инверсии. Характерные примеры Для углекислоты при 100-200 атм и пропустив через вентиль, получим твердое состояние. Водород при пропускании через узкое отверстие из баллона под большим давлением может самовоспламеняться от разогрева. Резюме: 1. Исследования Гей-Люссака, Джоуля и Томсона не только позволили обнаружить зависимость U(V) для реальных газов, они привели к открытию нового явления - процесса Джоуля-Томсона. 2. Процессом Джоуля-Томсона называют стационарное течение газа через пористую перегородку (пробку). 3. Явление изменения температуры газа при таком течении называют эффектом Джоуля-Томсона.

Глава 4 Физическая кинетика аздел молекулярной физики, в котором изучаются процессы, возникающие при нарушении равновесия, носит название физической кинетики. В телах могут возникать флуктуации температуры, концентрации, скорости перемещения какой-либо части системы относительно других ее частей. Такие флуктуации приводят к нарушению равновесия. Однако, известно, что система, по закону возрастания энтропии, стремиться восстановить свое равновесное состояние (система предоставленная самой себе стремиться перейти из менее вероятных в более вероятные состояния). При восстановлении равновесия происходит образование потоков частиц (в том числе электрически заряженных частиц). Во всяком случае, такое движение связано с движением молекул, атомов, ионов и электронов. В первом приближении будем говорить об электро-нейтральных молекулах. Газ считаем разряженным так, что выполняются следующие три условия 1. Время соударения молекулы с другими молекулами много меньше времени между соударениями этой молекулы с другими молекулами. 2. Вероятность соударения трех и более молекул много меньше, чем вероятность соударения двух молекул. 3. Среднее расстояние между молекулами много больше, чем средняя длина волны Де - Бройля молекулы. Этим подчеркивается сугубо классическое приближение, а не квантово-механическое.

Р § 1 Средняя длина свободного пробега молекул Столкновения молекул - взаимодействие, в результате которого молекулы изменяют направление своего движения. (Мы не знаем и не интересуемся тем, как на самом деле происходит собственно столкновение.) Кроме того, мы все время говорим о неких средних величинах: координатах, скоростях, импульсах усредненных молекул (слишком много в нашем распоряжении молекул, чтобы говорить о каждой в отдельности). Также выполняются следующие два условия: 1. Одна молекула движется остальные - нет. 2. Не важна предыстория молекулы - нет влияния на данное столкновения всех предыдущих столкновений.

1.1 Эффективное сечение взаимодействия молекул Пусть D - минимальное расстояние, на которое сближаются центры двух молекул при столкновении. Молекулы мы будем считать сферическими, так как силовое поле точечного электрического заряда имеет сферическую симметрию S r2 r D = r1+ r Тогда D является диаметром круга, площадь которого называется эффективным сечением взаимодействия S = D2/4 =.

1.2 Средняя длина свободного пробега Средней длиной свободного пробега,, молекулы газа называется среднее расстояние, проходимое молекулой между двумя соседними столкновениями. Рассчитаем среднее число столкновений молекул. Пусть - средняя скорость движения молекулы, а - среднее время пролета молекулы между двумя соседними столкновениями, тогда = /, 1/ = = /, где - число столкновений одной молекулы за 1 секунду. Выделим в газе часть пространства между двумя соседними столкновениями молекулы d Путь, проходимый молекулой в единицу времени численно равен скорости (действительно, скорость есть путь в единицу времени). Основываясь на опыте, возьмем >> d, где d - эффективный диаметр молекулы. Объем цилиндра, охватывающего область взаимодействия равен (*) d2 (здесь берется два эффективных диаметра, м3/с). Внутри такого объема за одну секунду произойдет одно столкновение. Умножим (*) на число молекул в единичном объеме, n (концентрацию молекул, м -3 ), тогда получим nd2 - полное число столкновений одной молекулы за единицу времени со всеми молекулами, содержащимися в единичном объеме. Мы полагали при этом движущейся только нашу данную молекулу. Учет движения всех молекул приведет (без вывода) = 2 d2 n., = =/, – время пролета между соударениями. Тогда = / = 1/2 d2n. Следствие: так как P = nkT n = P/kT = kT/2 d2P T/P. § 2 Диффузия. Коэффициент диффузии При диффузии речь идет о переносе количества вещества (молекул и т.д.). Пусть дан газ, состоящий из двух сортов молекул, причем m1 = m2 = m и d1 = d2 = d. В этом случае молекулам обеих компонент можно приписать также одинаковую среднюю скорость теплового движения. Определение: Диффузией называется процесс выравнивания в смеси веществ концентраций двух или нескольких сортов веществ, обусловленный тепловым движением молекул. При этом происходит процесс выравнивания концентраций, сопровождающийся переносом массы каждой из компонент в направлении убывания ее концентрации. Экспериментально установлено (Закон Фика) N dn /dz, где N число частиц, перемещающееся за единицу времени, а dn/dz - градиент концентрации в направлении оси z. Перепишем это соотношение в виде равенства, введя при этом размерный коэффициент D - коэффициент диффузии N = - D dn/dz S ([N] = c-1, [dn/dz] = м -4, [S] = м2 [D] = [м2/с]). Здесь S - величина площадки, через которую происходит перенос молекул. Рассчитаем число молекул, пролетающих через площадку S в единицу времени на одну координату и в одну сторону: nS/6. Тогда слева направо пролетает в единицу времени N1 = n1S/6, а справа налево N2 = n2S/6. Изобразим схематично вид сбоку (посмотрим сбоку на ситуацию) z- z+ z 0 n1 n Последнее соударение молекулы, перед тем как она долетит до площадки S, произойдет на расстоянии - средней длины свободного пробега. Тогда, если выбрать начало координат на S и направить ось z слева направо концентрации частиц будут являться функциями z вида n1 = n(z-), n2 = n(z+) и число молекул перелетевших через площадку в одну сторону за единицу времени может быть вычислено в виде N = N1 -N2 = [n(z-) - n(z+)]S/6, а так как мало, то разложение в ряд Тейлора позволяет использовать приближение n(z-) - n(z +) = n(z) - dn/dz - n(z) - dn/dz = -2dn/dz N = -S dn/dz/3 = -DS dn/dz D = /3. Замечание Пусть J = N/S тогда J = -D dn/dz Здесь J - плотность потока частиц, число частиц, пролетающих через единичную площадку в единицу времени. Пусть m0 - масса одной частицы Jm0 = M - масса всего переносимого вещества. Имеем nm0 = Nm0/V = M/V = - плотность вещества. Получим соотношение M = -D d/dz. Заметим в заключение, что в данном рассмотрении по сути дела речь шла о самодиффузии - перемешивании молекул одного и того же вещества (или молекул очень сходных по объему и массе).

§ 3 Теплопроводность. Коэффициент теплопроводности Здесь речь идет о переносе потока тепла (или энергии). Пусть в газе каким-либо образом поддерживается в различных его частях различная температура. То есть имеется градиент температуры. В данном случае через единичную площадку пролетает одинаковое число молекул в обе стороны, но эти молекулы имеют разную кинетическую энергию, по известной формуле E = i kT/2. Если в газе (или иной среде) создать вдоль некоторой оси (пусть z) градиент тепла, то там возникает поток тепла, стремящийся скомпенсировать создавшееся неравновесное состояние. Этот экспериментальный факт можно отразить зависимостями вида: Q S t dT/dz, где Q - теплота или энергия (Дж), или q S dT/dz, где q=Q/t - мощность, поток тепла (Дж/с = Вт), или q dT/dz, где q=Q/t S - плотность потока (Дж/с м2 = Вт/м2). Чтобы поставить знаки равенства необходимо ввести коэффициент, размерность которого определяется из формулы, например q = - S dT/dz, [] = Вт/м К. Чтобы к этому процессу не примешивалась диффузия, необходимо сохранять неизменным число молекул пролетающих через площадку S. Тогда число молекул пролетающих за одну секунду в одну сторону равно: N = nS/6. Рассчитаем поток тепла, проходящего через площадку. Будем исходить из предположения, что каждая молекула переносит энергию равную E = i kT/2, соответствующую температуре в том месте, где произошло ее последнее соударение q = N - N = N ( - ) = (ikT1/2 - ikT2/2)nS/6.

E1 z- z+ 0 T1 T2 z E - T(z + ) = T(z) - dT/dz T(z) - dT/dz = -2dT/dz.

T1 = T(z-), T2 = T(z + ) T1 - T2 = T(z-) При разложении в ряд Тейлора использована малость длины свободного пробега по сравнению с расстоянием, на которое происходит перенос тепла. q = -(1/3)nS(ik/2)dT/dz, i k n /2 = i n k NA/2NA = (iR/2)n/NA = Cv n/NA = Cv N/VNA = Cv m/VM = cv. i - число степеней свободы, k - постоянная Больцмана, n - концентрация, M масса одного моля, m - масса, NA - число Авогадро, R - газовая постоянная, Cv молярная теплоемкость, cv = Сv/M - удельная теплоемкость, - плотность вещества. Таким образом, для мощности при переносе тепла имеем выражение q = - (cv/3) S dT/dz = cv/3. Заметим также, что данный расчет и полученные формулы справедливы для молекул сходных по размерам.

§ 4 Динамическая вязкость. Коэффициент вязкости В данном случае происходит перенос импульса молекулами за счет так называемых сил внутреннего трения. Чтобы понять суть происхождения внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя вещества некоторой толщины z z z K1 K2 m = m1 = m2 u1 u u1, u2 - скорости упорядоченного движения слоев, а K1, K2 - импульсы слоев. Запишем переносимый импульс двумя спо собами K* = - St du/dz, ([K] = кг м/с, [] = Н с/м2 = Па с) K=K*/t K =- S du/dz, ([K] = кг м/с2). Здесь - коэффициент, уравнивающий левую и правую части. Используем далее последнее выражение. Через площадку S в единицу времени из одного слоя в другой переходит число молекул N = nS/6. Переходя из одного слоя в другой, молекула либо теряет, либо приобретает импульс, а также и весь слой (через одну частицу - ближайшему окружению и далее - всему слою). Запишем величину импульса, передаваемого в единицу времени через площадку S K=Nmu=nSmu/6, K1 - K2 = K = N (mu1 - mu2) = nSm(u1 - u2)/6. Свое последнее соударение молекула претерпевает на расстоянии свободного пробега z u(z+) u(z-) K = nSm[u(z-) - u(z+)]/6 = - (1/3)nSmdu/dz. nm = Nm/V = M/V= (m - масса одной молекулы, М-масса, V - объем) K = - Sdu/3dz = /3. Приведем сравнительную таблицу явлений переноса Изменяющаяся величина (в единицу времени) Число частиц N,с-1 Энергия частиц q, Дж/с Импульс частиц K, импульс/с = кг м/с/с § 5 Перенос заряда В среде со свободными носителями заряда (электронный газ в металле или полупроводнике, ионы в газе или жидкости) приложим в направлении z слабое однородное электрическое поле E. Пусть jz - средний электрический заряд, пересекающий в единицу времени единичную площадку в направлении z. jz называют плотностью электрического тока или плотностью потока зарядов [jz] = Кл /м2с. Пусть q - заряд одной частицы, N - число частиц, пролетающих через единичную площадку в единицу времени, тогда jz = Nq. Градиент концентрации dn/dz, м-3/м температуры dT/dz, K/м скорости du/dz, м/с/м Название явления (коэффициент) Диффузия (D) Теплопроводность () Вязкость () С другой стороны jz E. Чтобы поставить знак равенства необходимо ввести коэффициент jz = q E. (1) Этот коэффициент пропорциональности q называется удельной электрической проводимостью вещества. Заметим аналогию N = nS/6 jz = Nq = q nq др (N = nqдр). (2) В выражении (2) отсутствует численный коэффициент 1/6, так как движение всего заряда упорядочено и направлено вдоль одной координаты. Скорость др в данном случае называют дрейфовой. Это скорость дрейфа зарядов в слабом электрическом поле. Запишем уравнение движения частицы согласно 2-го закона Ньютона mdv/dt = qE, после интегрирования - v = qEt/m + v0. Произведем усреднение. Тогда v0 = 0, как скорость в начальный момент времени, t = - среднему времени свободного пробега, а v заменяется на др др = qE/m. Приравняем правые части (1) и (2) и подставим туда значение дрейфовой скорости q E = q nq др = q2nqE / m. Отсюда получим значение удельной проводимости, выраженное через микроскопические параметры q = q2nq/m. Так как = /др = 1/2dэфф2nдр, то q = q2nq / m2dэфф2nдр, где n - концентрация всех частиц, обусловленных столкновениями, а nq - средняя концентрация заряженных частиц. Они могут совпадать. Глава 5 Гидродинамика §1 Понятие о гидродинамике 1.1 Модель сплошной среды одержание гидродинамики составляет изучение движения жидкостей. Все рассуждения, как правило, справедливы и для газов, хотя здесь используется другое название - аэродинамика. Субстанция рассматривается при этом как сплошная среда. Если в гидродинамике говорят о смещении некоторой частицы, то речь идет не о смещении отдельной молекулы, а о смещении целого элемента континуального объема. При этом, сколь маленький объем ни взять, в нем частичек предполагается актуально много (столько, сколько нам нужно), чем и хороша такая идеализация частичек, которые и сами в свою очередь состоят из воображаемых частичек всегда в достаточном количестве. Элемент такого объема можно рассматривать как точку, имеющую массу. Характеристиками жидкости здесь являются скорость v = v(x,y,z,t), давление P = Р(x,y,z,t), плотность = (x,y,z,t). Подчеркнем, что скорость (давление, плотность) рассматриваются в каждой данной точке пространства с координатами (x,y,z) в момент времени t и относится не к частицам жидкости, а к точкам пространства. Температуру можно считать как неизменной, так и любой удобной для данного рассмотрения. Плотность считаем неизменной вдоль всего объема жидкости и в течение всего времени движения. Иначе говоря, жидкость у нас несжимаемая. Сжи С маемостью называется способность вещества (тела) изменять свой объем под действием всестороннего давления.

клапан Сжимаемость = (V/P) - изотермическая, адиабатическая. Пользуются понятием сжимаемости в виде = - V/VP, Па-1. Для примера в таблице приведены коэффициенты сжимаемости некоторых жидкостей Вещество H2SO4 C2H5OH Hg t°C 0 20 20 P, атм 1-16 1-50 1-10, 10-6 атм-1 302,5 112 3, 1.2 Уравнение непрерывности Пусть имеем объем V0, тогда масса жидкости в нем m = dV. (1) V0 Пусть f - площадь поверхности, ограничивающей объем V0, а df - векторный элемент этой поверхности (с направлением вне (+) или во внутрь (-) ).

v df Здесь v - длина в единицу времени, тогда (2) dV0 = v df, dm = dV0 = v df, m = v df. f Здесь m - масса вытекающей из объема V0 жидкости или втекающей в него, а f - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V0. Выражение (2) характеризует массу жидкости, заключенную в данном объеме. Получим из (1) массу, меняющуюся со временем в данном объеме жидкости dm/dt = d[ dV]/dt. Тогда d[ dV]/dt + v df = 0 V0 f На основании теоремы Остроградского-Гаусса преобразуем интеграл по замкнутой поверхности в интеграл по объему 3 ( g ds = div g dV), где div g = g i /dxi, g i - компонента данного s V i =1 вектора, xi - компонента радиус вектора.) v df = div (v) dv f V0 d[ dV] /dt + div (v) dV = [/t + div (v)] dV = 0 V0 V0 V0 Так как V0 - произвольный объем, то и /t + div (v) = 0. Получено так называемое уравнение непрерывности. В данном случае оно характеризует закон сохранения вещества. Часто используют v = j - плотность потока, [j] = кг/м2с. В нашем случае плотность потока массы жидкости (а может быть: газа, частиц и т.п.). 1.3 Об уравнении Эйлера Имеем определение давления P = dF/dS продифференцируем обе части по оставшейся координате | d/dx dP/dx = dF/dV = Fед. об.. Здесь Fед.об. - сила, приходящаяся на единичный объем, учтем ее векторный характер Fед.об. = Fxi + Fyj + Fzk = (P/x) i + (P/y) j + (P/z) k = grad P. В состоянии равновесия Fед.об. = grad P. Если равновесия нет, то можно записать уравнение движения согласно второму закону Ньютона dv/dt = Fед.об. - grad P, где v - скорость единицы объема, а если учесть и силу веса жидкости, имеем: dv/dt = Fед.об. - grad P + g. Полученное выражение носит название уравнения Эйлера. 1.4 Теорема неразрывности струй Картина тока жидкости представляется полем вектора скорости. Каждая линия тока является касательной к вектору скорости в данной точке. Густота линий тока пропорциональна величине скорости. Часть жидкости, ограниченная линиями тока называется трубкой жидкости. Вектора скорости не пересекают стенок трубки тока как касательные к ним.

S v S v Определение теоремы неразрывности струй: S v = cst Произведение величины сечения, проведенного через трубку тока в произвольной ее точке на среднюю скорость жидкости в этом сечении,есть величина постоянная. Следовательно S1v1 = S2v2 =... = Sivi =...

§ 2 Уравнение Бернулли Вообще говоря, течение жидкости в трубке тока может быть произвольным. Течение жидкости называется стационарным или установившимся, если вектор скорости в каждой точке пространства текущей жидкости остается постоянным. Рассмотрим трубку со стационарным течением. Пусть трубка ограничена стенками и сечениями S1 и S2. За время t сечения переместятся на длины l1 и l2.

l S1 h l2 S2 h Здесь h1 и h2 - высоты центров масс элементов объемов трубки тока над заданным уровнем. Согласно теореме о неразрывности струй S1v1 = S2v2, S1l1/t1 = S2l2/t2, но так как t1 = t2 S1l1 = S2l2 V1 = V2. То есть элементарные объемы жидкости, образующиеся около сечений S1,S2 за один и тот же промежуток времени равны друг другу. 1. Рассчитаем кинетическую энергию элементарных объемов K1 = m1v12/2 = V1 v12/2, K2 = V2v22/2 2. Рассчитаем потенциальную энергию относительно заданного уровня W1 = m1gh1 = V1gh1, W2 = V2gh2. Для того чтобы рассчитать полное приращение энергии при переходе жидкости от объема V1 к объему V2 сложим кинетическую и потенциальную составляющие и найдем разность энергий между вторым и первым состояниями E = E2 - E1 = V2v22/2 + V2gh2 - V1v12 - V1gh2. Данное приращение энергии должно равняться совершаемой над объемом работе при его перемещении. Работа давления на боковые стенки равна 0 (здесь перемещения нет). Остается работа за счет разницы давлений на торцах. A = P1S1l1 - P2S2l2 = P1V - P2V, E = A v22/2 + gh2 - v12/2 - gh1 = P1 - P2. Произведено сокращение на элементарный объем, который в данном случае остается одинаковым. v22/2 + gh2 + P2 = v12/2 + gh1 + P1. Так как сечения выбирались произвольно, то v2/2 + gh + P = cst. (1) Это выражение будет точным при S 0. Определение В стационарно текущей жидкости в отсутствие внутреннего трения вдоль любой линии тока справедливо уравнение (1), которое называется уравнением Бернулли. Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей. Следствие. При h1 = h2 (случай горизонтальных линий тока) уравнение имеет вид v12/2 + P1 = v22/2 + P2. Тогда, если v1 > v2, то P1

§ 3 Ламинарное и турбулентное течения Рассмотрим течение жидкости по трубе. Ламинарное (слоистое): жидкость разделяется на слои, которые скользят друг относительно друга не перемешиваясь, течение стационарно. Турбулентное: жидкость энергично перемешивается во всех направлениях (Р. Осборн, английский физик 1842-1912). Рейнольдс для характеристики течения предложил следующую безразмерную величину Re = v l /, [] = Па с = кг/м с. - плотность, v - средняя по сечению трубы скорость потока, - коэффициент вязкости жидкости, l - характерный размер для трубы. Начиная с некоторого критического значения числа Re, течение из ламинарного (для данной конфигурации сечения трубы) переходит в турбулентное. Для круглого сечения это Re = 1000. Характер течения различных жидкостей или (газов) будет одинаков для одинаковых чисел Рейнольдса. Замечание. Иногда пользуются понятием кинематической вязкости = / Re = vl/, [] = м 2/с. § 4 Формула Пуазейля Рассмотрим течение жидкости по трубе круглого сечения. Пусть течение ламинарное. Будем искать зависимость скорости течения жидкости в трубе от радиуса трубы.

R r l (1) (2) Выделим в трубе с текущей жидкостью воображаемый цилиндр. Так как движение жидкости равномерное, то сумма внешних сил, приложенных к этому цилиндру должна быть равна нулю. Рассчитаем силы, действующие на цилиндр. 1. Основания цилиндра. Составим разность сил давления на основания (P1 - P2) r 2. Боковая поверхность. На боковую поверхность действуют силы внутреннего трения (вязкости). F = K/t = |dv/dr| Sбок = - 2 rl dv/dr. Знак минус означает убывание скорости с ростом r. Сложим силы и приравняем их к 0 (силы трения препятствуют перемещению, которому способствуют силы давления). (P1 - P2) r2 + 2rl dv/dr = 0 dv/dr = - (P1 - P2) r/2l. Интегрируем полученное дифференциальное уравнение. dv = - (P1 - P2)/2 l rdr, v = C - (P1 - P2) r2/4l (*) Найдем константу интегрирования C по граничному условию v = (при r=R) = 0, то есть скорость движения у стенки жидкости равна 0, тогда C = (P1 - P2)R2/4 l (1).

Подставим (1) в (*) и преобразуем. v = (1 - r2/R2)(P1 - P2)R2/4 l. То есть v r2, следовательно, v(r) - парабола. В центре трубы при r = 0 скорость максимальна vмакс = v(0) = (P1 - P2) R2/4l v( r ) = vмакс(1 - r2/R2). (2) Вычислим поток жидкости (Q) - объем жидкости, протекающей за единицу времени через поперечное сечение трубы S.

dS R r r +dr Через кольцо (как это показано на рисунке) за 1с пройдет объем жидкости равный произведению площади кольца dS на среднюю скорость движения жидкости в точках кольца (v = l /t). Замечание: в данном случае dQ - поток в единицу времени, м3/с, но если домножить его на плотность (что всегда можно сделать, так как плотность не меняется), то получим - м3 кг/с м3 = кг/с, то есть - ежесекундную массу. Итак dQ = dS v(r) = 2rdr v(r). Подставим v (r) из (2) dQ = vмакс (1 - r2/R2) 2rdr R R 22 2 4 Q = vмакс 2 (1 - r /R )rdr = 2vмакс [(r /2) - (r /4R2)] | = vмаксR2/2 = 0 0 =vмакс S/2. Подставим значение vмакс из (2) Q = (P1 - P2)SR2/8l. Полученное выражение носит название формулы Пуазейля. С учетом S = R2 можно получить выражение вида Q = (P1 - P2) S2/8l. Из формулы Пуазейля следует, что поток жидкости прямо пропорционален перепаду давления на единицу длины при прочих равных условиях Q (P1 - P2)/l. Расчет кинетической энергии потока жидкости dK = dm v2(r)/2 dm = dV, dV = dS v (r), dS = 2rdr dm = v (r) 2rdr dK = v3rdr. Используем выражение (2) и для расчета кинетической энергии останется вычислить интеграл K = (P R /4l)3 (1 - r2/R2)3 rdr ([K] = Дж/с).

Работу, совершаемую жидкостью при движении можно вычислять по формуле A = P dV. Чтобы перейти к интегрированию по радиальной координате (так как скорость зависит только от нее) произведем замену, получим dV = v 2rdr ([V] = м3/с), A = 2 P vrdr = = P2 R2/2l (1 - r2/R2)rdr. Эффект Магнуса. (М. Генрих, 1802 - 1870, немецкий физик) Здесь скорость больше, давление меньше Здесь скорость меньше, давление больше Цилиндрическое тело приводится во вращательное движение внутренними средствами. Оно находится под воздействием потока частиц слева на рисунке (ветер). Возникает сила, действующая перпендикулярно направлению потока частиц, определяемая разностью давлений.

Глава 6 Строение и свойства кристаллов § 1 Простые кристаллические структуры. Плотность кристаллов и межатомные расстояния вердые тела подразделяются на тела аморфные и кристаллические. В кристаллических телах из атомов образуется регулярный строй, неизменный во времени. Этот регулярный строй (расположение) атомов в твердых телах называют кристаллической структурой. Иногда говорят: кристаллическая решетка или просто решетка. При этом говорят о регулярном (правильном) дальнем порядке расположения атомов, тогда как у аморфных тел реальным является только ближний порядок. Следует иметь в виду, что в реальных кристаллах дальний порядок реализуется лишь в относительно небольших областях - зернах. На границах таких зерен порядок меняется. Размер зерен составляет доли миллиметра. Если оценить межатомные расстояния (постоянную решетки) как 10А, тогда как 0,1 мм = 106 А, то количество атомов в такой цепочке составит 105 штук. Мы будем идеализировать весь кристалл, считая его бесконечным (подспудно подразумевая зерна). 1.1 О простых кристаллических структурах Атомам надо упаковаться в твердом теле наиболее плотно (вследствие сил взаимодействия), иначе твердые тела распадутся, и не будут таковыми. Существуют различные виды связей атомов и молекул. Здесь мы будем априорно предполагать наличие таких связей. Перечислим наиболее часто встречающиеся кристаллические структуры: ПК - простая кубическая структура - атомы находятся в вершинах куба. ОЦК - объемно-центрированная кубическая структура - к ПК добавлен атом в геометрический центр куба. Т ГЦК - гранецентрированная кубическая структура - к ПК добавлено по атому в центр каждой грани. ГЕКС - гексагональная структура с плотной упаковкой - слои шестиугольных тетраэдров с атомами в вершинах правильных шестиугольников.

Существует также много других структур. Остановимся подробней на структуре типа алмаза. Структура типа алмаза образуется из гранецентрированной кубической решетки. Атом в одной из вершин куба и три ближайших соседних атома такой решетки, расположенные в соседних гранях куба, сходящихся к этой вершине, образуют правильный тетраэдр. В центре этого правильного тетраэдра помещается еще один атом. Также необходимо поступить и с тетраэдрами образованными у других вершин куба.

1.2 Плотность кристаллов и межатомные расстояния Координационное число – число ближайших к данному атому соседних атомов, тогда Структура Типа алмаза Пк Оцк Гцк Гекс Координационное число 4 6 8 12 Природа устроена так, что при различных упаковках решетка в целом энергетически находится (для каждой отдельной упаковки) в своем равновесном состоянии. Чем меньше координационное число, тем больший объем приходится на один атом и тем более «рыхлой» является упаковка. Пример:

- и - железо. Координационное число 8 12 Упаковка и вид желе- Температура, °С за 300 - < 900 ОЦК - Fe ГЦК - Fe Скачек постоянной решетки Fe aFe плотности T,°C T,°C Плотность кристалла можно связать с таким микроскопическим параметром как постоянная решетки. Постоянная решетки совпадает по смыслу с расстоянием между ближайшими соседними атомами только в случае простой кубической решетки. Ограничимся в данном случае представлением о постоянной решетки, как о некоем характерном расстоянии между соседними атомами в кристалле, тогда V = a3, где V - некоторый характерный элементарный объем в кристалле. = m/V = m/a3 = nM/NАa3 m - масса атомов в данном элементарном объеме M - молярная масса (или атомная) NA - число Авогадро, M/NА – масса одного атома n - количество атомов, приходящихся на данный элементарный объем (элементарную ячейку). Более точно пишут: = nM/kNAa3 a = (n M/k NA)1/3, в нашем случае k = 1. Определим n для простой кубической ячейки. Для наглядности представим атомы в решетке согласно рисунку Для простой кубической ячейки за элементарную ячейку можно принять кубик, в вершинах которого находятся атомы. Каждый атом в вершине на 1/8 часть принадлежит кубической ячейке, тогда, поскольку всего таких атомов 8, имеем n = 1. Для ОЦК - решетки прибавится еще один атом в центре. Итого будет n = 2. Рассчитаем постоянную решетки для ОЦК решетки железа (т.е. - Fe). a3 = n M / k NA 2 56 10-3/16,0210237,88103 210-29 м 3 a 0,28710-9 м = 0,287 нм = 2,87 A. Замечено, что ГЦК - решеткой обладают благородные газы и большинство металлов. В таблице приводятся постоянные решетки для некоторых элементов Элемент - Po постоянная решетки, А ПК (единственный элемент с простой кубической решеткой при нормальных условиях) ОЦК - не плотная 2,87 упаковка ОЦК - не плотная 3,16 упаковка ГЦК - плотная упа5,26 ковка ГЦК - плотная упа5,72 ковка ГЦК - плотная упа6,20 ковка ГЕКС - плотная упа2,95 ковка ГЕКС - плотная упа2,29 ковка тип решетки Fe W Ar (T = 4,2 K) Kr (T = 58 K) Xe (58 K) Ti Be § 2 Решетка Бравэ и ячейка Вигнера -Зейтца Необходимо более строго определить элементарную ячейку в кристалле иначе называемую примитивной ячейкой. Примитивная ячейка: такой минимальный объем пространства кристалла, который при всех возможных трансляциях заполнит пространство до бесконечности a1 R a2 R - вектор трансляции, ai - базовые вектора (одновременно все три - некомпланарные). Для произвольной точки трехмерного пространства можно записать R = n1a1 + n2a2 + n3a3. (1) ni - целые числа. Первое определение решетки Бравэ: бесконечная периодическая структура, образованная дискретными точками (узлами, атомами) и имеющая абсолютно одинаковый пространственный порядок и ориентацию независимо от исходной точки. Второе определение решетки Бравэ: трехмерная решетка Бравэ образована всеми точками с радиус- векторами R вида (1). Термин “решетка Бравэ” применяется как ко множеству точек, так и ко множеству векторов, соединяющих эти точки. Иногда говорят, что решетка Бравэ понимается как множество трансляций, определяемых векторами. Теперь можно вернуться к определению примитивной (элементарной) ячейки, основываясь на том, что параллельным переносом такой примитивной ячейки может быть образована вся решетка Бравэ. Определение примитивной ячейки: объем пространства, который, будучи подвергнут всем трансляциям, образующим решетку Бравэ, заполнит все пространство, нигде не перекрываясь и нигде не оставляя пустот. Выделить примитивную ячейку не всегда легко. Это, вообще говоря, самостоятельная задача, так как существует множество разных и подчас очень сложных решеток. Ячейка Вигнера-Зейтца – одна из них: (обладает полной симметрией решетки Бравэ) Определение. Ячейка Вигнера-Зейтца - наименьший многогранник, ограниченный плоскостями, проведенными через середины прямых, соединяющих ближайшие узлы. На плоском рисунке плоскости заменены прямыми. Если в пространстве попытаться изобразить для ОЦК - решетки примитивную ячейку, то получим усеченный октаэдр. Специалисты по физике твердого тела чаще интересуются всеми указанными построениями в пространстве - обратном линейному пространству. Это связано с тем обстоятельством, что в таком обратном пространстве проще перейти к пространству энергии и импульса для микроскопических объектов типа атом, электрон, фотон, а также квазичастиц: дырка, фонон, полярон и т.п.. При этом расчеты ведутся по формулам k =2/, p = ћk =2/, = h = hc/. Здесь - длина волны, k - волновое число, p, - импульс и энергия частиц, ћ = h/2 - постоянная Планка. Замечание о терминологии: Когда говорят “элементарная” или “условная” ячейка, то при этом не подразумевается примитивная ячейка. Обратная ячейка всегда определена по отношению к конкретной прямой решетке Бравэ.

§ 3 Кристаллические системы Рассмотрим все возможные типы симметрий решеток Бравэ по отношению к поворотам и отражениям. Такие типы симметрий носят название кристаллических систем или сингоний. Каждая из них представляет собой определенную совокупность осей и плоскостей симметрии. 1. Триклинная система (наименее симметричная из всех) Гt Параллелепипед с произвольными ребрами и углами триклинная, 1 штука 2. Моноклинная система, a b c, t На боку- прямой Гm, Гm b Прямой параллелепипед с произвольными основаниями = = /2, /2, a b c, m - моноклинная, Гmb - с атомами в двух гранях (центрированными основаниями), b - базовая, 2 штуки. 3. Ортогональная система (или ромбическая) Прямоугольный параллелепипед, = = = /2, abc. Г0 - ортогональный, Г0v - объемно-центрированный, Г0b - с центрированными основаниями - базоцентрированный, Г0f - гранецентрированный. b - атомы только в гранях основаниях, f - атомы в центрах всех граней, 4 штуки. 4. Квадратная система (или тетрагональная) Прямая призма с квадратными основаниями b = ac. Гq, Гqv. q - квадратная, 2 штуки. 5 Ромбоэдрическая система (тригональная) Ромбоэдр - куб, сжатый вдоль его пространственной диагонали, Гrh, rh - ромбоэдрическая, 1 штука. 6. Гексагональная система Правильная шестигранная призма, Гh, h - гексагональная. Обязательно с атомами в центрах оснований - такова единственная реализация данной кристаллической системы, 1 штука. 7. Кубическая система Гc - Простая, Гcv - объемно-центрированная, Гcf - гране- центрированная, 3 штуки. Отметим, сколько величин необходимо указать, чтобы определить решетку Бравэ кристаллической системы. Прямые углы и равные стороны при этом не указываются.

Обозначение системы Гt Гm Гo Гq Гrh Гh Гc Итого Количество реализуемых решеток данной системы 1 2 4 2 1 1 3 Элементы,,, a, b, c, a, b, c a, b, c a, c, a a, c a Количество элементов,необходимое для однозначного определения системы 6 4 3 2 2 2 Кристаллограф Е.С.Федоров (1853 - 1919) показал, что может существовать всего: c 36 кубических q 68 тетрагональных (квадратных) h 27 гексагональных rh 25 ромбоэдрических o 59 ромбических (ортогональных) m 13 моноклинных t 2 триклинных Итого 230 Всего 230 пространственных групп, которые распределены по кристаллическим системам в соответствии с таблицей.

§ 4 Теплоемкость кристаллов Расположение частиц (атомов) в узлах кристаллической решетки отвечает минимуму их взаимной потенциальной энергии. Колебания вдоль произвольного направления можно представить как наложение колебаний вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений. При расчете теплоемкости твердых тел по модели идеального газа имеем: = ikT/2, i=3, U = NA 2 3 kT/2 = 3RT.

Число Авогадро, NA, можно использовать в случае простых химических веществ, например, металлов. Удвоение энергии (появление множителя 2) для любых твердых тел связано с тем, что колебательное движение определяется наличием как кинетической, так и потенциальной составляющих энергии, а для гармонического осциллятора их средние значения одинаковы. Тогда С = dU/dT = 3R = 8/313 = 25Дж/K моль.

C 3R T Такая модель носит название закона Дюлонга - Пти. Однако, на начальном участке закон Дюлонга - Пти не совпадает с экспериментальными результатами. Существует модель Дебая, которая более точно отражает поведение теплоемкости при низких температурах и плавно переходит в закон Дюлонга - Пти при высоких температурах, как это иллюстрируется графиком для благородных газов Cv, Дж/К моль 25 Xe Ar C ~ T3 85 T,K Формула в модели Дебая для теплоемкости при низких температурах имеет вид Cv 234 (T/ D)3nk. Здесь к - постоянная Больцмана, n - число атомов в одном моле вещества. Характерная температура D, при которой происходит переход от кубической зависимости к отсутствию зависимости теплоемкости твердых тел от температу ры, называется температурой Дебая. Для примера в таблицу сведены некоторые дебаевские температуры Кристалл Fe алмаз Cu Ag Au Zn D, K 420 1860 315 215 170 234 Tплавл, С 1530 1083 960,8 До сих пор речь здесь шла о решеточной теплоемкости. Не была учтена теплоемкость, определяемая свободными электронами (точнее говоря квазисвободными, которые могут перемещаться по кристаллу под действием электрического поля, не выходя за пределы кристалла). Эти электроны называют также электронным газом, они тоже дают свой вклад в теплоемкость. В модели статистики Ферми-Дирака эта теплоемкость рассчитывается по формуле: Сv = 2/2 (kT/F)n k. Здесь F - так называемая энергия Ферми - энергия состояний частиц и квазичастиц в кристалле. Отметим, что зависимость от температуры здесь линейная Cv ~ T, и поэтому влияние на теплоемкость кристаллов электронного газа заметно сказывается только при температурах еще более низких, чем дебаевские.

Часть 3 Электричество и магнетизм В механике нас интересовало поведение тел как единого целого или частей целого при приложении к ним сил извне. Тела в результате двигались поступательно, вращались. Частично было рассмотрено поведение тел при скоростях близких к скорости света. В молекулярной физике мы как бы заглянули внутрь тел при большом увеличении. Изучали процессы, происходящие в телах и с телами на уровне молекул. В данном разделе мы обратимся к кругу явлений, обусловленных наличием и взаимодействием частиц особого сорта. Под особым сортом подразумеваются частицы, обладающие (снабженные) так называемым электрическим зарядом. Взаимодействие таких частиц осуществляется через посредство электрических и магнитных (а, вообще говоря, электромагнитных) полей. Пока заряженная частица покоится (а мы покоимся вместе с ней), поле вокруг нее называют электрическим. Оно обладает своими специфическими свойствами. Вокруг движущейся заряженной частицы (или если наблюдатель движется относительно заряженной частицы) «возникает» еще одно поле, так называемое магнитное поле. Постараемся разобраться в круге обозначенных явлений.

Глава Электрическое поле (вакуум) § 1. Электрические заряды О б электричестве нам кое-что известно. Что можно констатировать?

Установлено экспериментально, что все заряженные частицы можно разделить на два класса таким образом, что: если частицы A и B отталкиваются, но частица A в это время притягивает частицу С, то и частица B также будет притягивать частицу C. Причина существования этого свойства в точности не известна Некоторые философы существование + и - зарядов рассматривают как противоположное проявление одного качества. Так же, например, как левое и правое.

Тело сохраняет электро-нейтральность Наша вселенная (наша жизнь) представляет собой уравновешенную (может быть не до конца, это точно не известно) смесь положительных и отрицательных зарядов. Свойства зарядов а. Закон сохранения электрических зарядов б. Закон квантования зарядов.

Сформулируем два эти свойства, которые нам нужно будет учитывать во всем дальнейшем рассмотрении. а. Суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется. б. Справедливо следующее утверждение: Минимальный (элементарный) заряд, наблюдаемый экспериментально численно равен заряду электрона e = 1,6 10-19 Кл. Наконец, последнее утверждение, которое можно констатировать, - справедлив закон Кулона для точечных зарядов F = k q1q2/r2. Определение. Сила, с которой взаимодействуют электрически заряженные тела точечного размера, прямо пропорциональна величинам зарядов этих тел, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль линии их соединяющей. Сила – вектор. Направление силы в каждом конкретном случае определяется знаками зарядов и выбором системы координат. При этом необходимо учитывать число взаимодействующих между собой заряженных тел или непрерывный характер распределения заряда. В качестве примера рассмотрим ситуацию с двумя точечными заряженными телами. Заряд 1 + e = r/r F12 r Заряд 2 + r F F12 = k|q1q2| (r/r)/r2 F12 – сила, действующая на заряд 1 со стороны заряда 2, e = r/r – орт, задающий направление оси. § 2. О единицах измерения заряда Из систем единиц измерения физических величин, которых существует много (а предложить можно бесконечно много), упомянем о:

СГС Сантиметр грамм секунда МКС метр килограмм секунда Через эти три физические величины: длину, время и массу (их называют основными единицами измерения физических величин) можно определить все механические величины, и тогда записать точные физические законы. Чтобы распространить единицы измерения на электрические и магнитные явления, необходимо ввести одну или несколько основных электромагнитных единиц, через нее определить остальные единицы и записать законы электромагнетизма.

СГС СГСЭ Электрическая СГСМ Магнитная СГСЭ Из закона Кулона получим единицу заряда СГСЭ F = k q1q2/r2 (q1 =q2 = q, k = 1) F = q2/r2. Пусть k = 1, то есть коэффициент в законе безразмерный и численно равен 1. Квадратными скобками (как это принято) в дальнейшем будем показывать размерности физических величин. [q] = [Fr2]1/2 = (дн см2)1/2 = (г см3/с2)1.2 = г1/2см3/2с-1 = 1 СГСЭ единица заряда.

1СГСЭ единица заряда называется абсолютной электростатической единицей заряда.

СГСМ Получим ее из законов Био-Савара-Лапласа и Ампера. а. Закон Био-Савара-Лапласа запишем в виде B = k1i l/r2. Этот закон позволяет рассчитать величину магнитной индукции, создаваемую постоянным током, проходящим через элемент dl провода. Здесь к1 – коэффициент, позволяющий уравнять левую и правую части формулы. б. Закон Ампера F = k2 l B i. Этот закон позволяет рассчитать величину силы, действующей на проводник длины dl с током в магнитном поле. dB из а. подставим в б., причем пусть токи и длины все равны по величине (l = r), тогда F = k1k2 l2 i2/r2 = ki2, k = k1k2 = 1 [i] = [F]1/2 = дн1/2 = 1 СГСМ -единица силы тока. Она называется абсолютной электромагнитной единицей силы тока. Через эту силу тока выражаются все остальные электромагнитные единицы (+ 3 основные единицы из механики) в том числе и единица заряда. Определение. Одной единицей СГСМ силы тока называется сила не изменяющегося тока, который течет в двух параллельных, прямолинейных проводниках бесконечной длины и ничтожно малого кругового сечения, находящихся на расстоянии 2 см один от другого в вакууме и вызывающего между этими проводниками силу в 1 дину на 1 см длины. Заметим, что поскольку [q]СГСМ = [it] = дн1/2с [qСГСЕ / qСГСМ] = дн1/2см/дн1/2с = см/с. Опустив аргументацию, утверждаем далее, что это отношение с размерностью скорости – скорость света в вакууме (или электродинамическая постоянная как ее называют более формально). Тогда qСГСМ = qСГСЭ/c F = qЭ1qЭ2/r2 = c2qM1qM2/r2. Таким образом, закон Кулона в СГСМ системе единиц запишется в виде F = c2 q1q2/r2.

МКСА (МКС + А – Ампер) Основной электромагнитной единицей в МКСА является сила тока в 1А (А – ампер). Определение 1 ампер – сила не изменяющегося тока, который течет в двух прямолинейных параллельных проводниках бесконечной длины и ничтожно малого сечения на расстоянии 1 м один от другого в вакууме и вызывает между этими проводниками силу взаимодействия равную 2 10-7 Н на каждый метр длины.

1м 1м 1А F = 2 10 Н 1м - Можно показать (из законов Ампера и Био-Савара-Лапласа) для прямых проводов, что F = k i1i2 l2/r2. То есть согласно определению 2 10-7 Н = k 1A2 1м2/ 1м2. k выбирают (полагают) равным: k = µ0/2 µ0 = 4 10-7 Н/A2. Из закона Ампера, уже имея 1A, получим B = F/ i l Н/Aм, По определению Н/A м = Тл (Тесла), тогда Ф = BS Тл м2. По определению Тл м2 = Вб (Вебер), тогда Ф = L i L = Ф/i Вб/А. По определению Вб/А = Гн (Генри), тогда размерность µ0 преобразуется следующим образом [µ0] = Н м/А2м = Тл м2/А м = Вб/А м = Гн/м. µ0 называют магнитной постоянной. µ0 = 4 10-7 Гн/м. Зная [i] = 1A, получим единицу заряда q = i t A c. По определению, А с = Кл (Кулон). Обратимся к закону Кулона F = k q1q2/r2. Если взять q1 = q2 = 1 Кл, то k оказывается не безразмерным и не равным 1, его выбирают (полагают) равным к = 1/40 F = 1/40 (q2/r2). О размерности 0: [0] = [q2/Fr2] = Кл2/Н м2 = Кл2/Дж м = Кл/В м = Ф/м. О численном значении 0: Из опыта косвенно следует, что два точечных электрических заряда по одному Кулону каждый, расположенные на расстоянии 1м друг от друга в вакууме взаимодействуют между собой с силой равной 9 109 Н. Тогда 9 109 = 1 Кл2/40 1 м2 0 = 1/49109 = 8,85 10-12 Ф/м. 0 называют электрической постоянной. Она также как и µ0 появилась в МКСА системе единиц. Далее делаем следующее утверждение. Система МКСА совпадает с СИ (SI) – международной системой единиц измерения! SI – System International of Units. Расчет размерности и численного значения выражения (0µ0)-1/2 дает: [(0µ0)-1/2] = м/с, (0µ0)-1/2 = 3 108 м/с. Заметим, что с = 3 108 м/с – скорость света в вакууме. Она же называется электродинамической (или электромагнитной) постоянной.

§ 3. О получении электрических зарядов. Гальванические элементы 3.1 Элемент Вольты (1800г.) Элемент Вольты представляет собой сосуд, наполненный водным раствором серной кислоты с погруженными в нее медными и цинковыми электродами Cu Менее отрицательный H2SO4 водный раствор Zn Более отрицательный Кислота в водном растворе диссоциирует H2SO4 2H+ + SO4- -. Металлы взаимодействуют с анионом SO4- -, причем выходят в раствор и образуют соли Zn SO4 и Cu SO4. Zn (!) эффективнее уходит со своего электрода, чем медь, и заряжает цинковый электрод более отрицательно, чем медь - медный. В этом случае медный электрод можно считать эффективно положительно заряженным по сравнению с медным.

3.2 Элемент Даниэля-Якоби Элемент Даниэля - Якоби отличается от элемента Вольты тем, что электроды у него погружаются не в кислоту, а в растворы солей CuSO4 - (Cu), ZnSO4 – (Zn).

Cu + Zn Пористая перегородка ZnSO CuSO Пористая перегородка предохраняет растворы от быстрого перемешивания. Растворы при этом выбираются так называемой нормальной концентрации - 1 моль/литр. При таком выборе образующийся в системе потенциал электрода будет зависеть только от типа металла (Cu, Zn, …). Этот потенциал характеризует способность металла посылать ионы в раствор и называется нормальным абсолютным потенциалом. Как происходит образование зарядов на электродах в элементе ДаниэляЯкоби? Zn: катионы цинка, как и у Вольты, уходя с электрода, заряжают его отрицательно. Cu: здесь, наоборот, катионы меди идут из раствора и оседают на электроде, заряжая его положительно. Такой эффект достигается при нормальной концентрации растворов, так как при этом равновесие сдвигается в данную сторону. Тогда, в идеале будет Zn = - 0,76 В Cu = + 0,34 В = 1,10 В.

§ 4 Электризация как разделение зарядов В любом гальваническом элементе имеется два электрода, один положительный, другой отрицательный. Опыт показывает, что возникновение заряда какого-то знака на объекте ВСЕГДА сопровождается появлением заряда противоположного знака, равного ему количественно (по модулю) в другом месте. Определение. Всякий процесс электрического заряжения тел есть процесс разделения зарядов. Пример. Рассчитаем заряд «свободных» электронов в одном кубическом сантиметре серебра – Ag47102. Серебро одновалентно. Число атомов серебра в 1 см3 n = 5,86 1022. Q = 5,86 1022 1,6 10-19 = 9,4 103 Кл. Чтобы узнать заряд всех электронов, содержащихся в 1 см3 серебра нужно умножить полученное число на полное число электронов в его атоме. Qполн. = 9,4 103 47 = 4,4 105 Кл. Кроме электронов известны положительно заряженные элементарные частицы – протоны, которые могут существовать самостоятельно (не распадаясь неопределенно-долгое время) вне атома. Величина заряда протонов равна численно величине заряда электронов, а масса в 1836 раз больше массы электрона (напомним, что говорить о зарядах безотносительно материальных тел не имеет смысла), существуют и другие элементарные частицы имеющие электрический заряд. Следовательно, положительные заряды также как и отрицательные можно прибавлять и отнимать от вещественных объектов.

§ 5 Опыты с электронами 5.1. Об определении элементарного заряда в опыте Милликена (1997-1913гг) В электрический конденсатор (между его пластин) впрыскиваются частички масла. Частички масла освещаются ультрафиолетовым светом (или рентгеном) и таким образом заряжаются положительно (с них уходят отрицательно заряженные электроны). К конденсатору прикладывается электрическое напряжение величиной в несколько тысяч вольт, и он помещается в вакуум, чтобы не учитывать действующую на частицы архимедову силу.

+, d V =0 _ V = cst В данном опыте уравновешивается сила веса и электрическая сила, действующая на заряженные масляные капельки. Из этого равенства находится величина заряда. F = qE = q/d mg = q/d. Затем ту же замеченную капельку перезаряжают облучением и опять уравновешивают, меняя величину поля. Эта процедура повторяется много-много раз. Получается набор зарядов q1, q2, q3,…q i, …q j, … Если предполагать, что существует минимальный далее неделимый заряд, то есть q i = e n i, то для набора опытов можно составить произведения en1, en2, en3, …, en i, …, en j, …. Здесь n - число элементарных зарядов, составляющих заряд частички. Далее составляются всевозможные пары разностей q i – q j. Среди этих разностей отыскивается, получающаяся многократно минимальная доля, которая оказалась в опыте Милликена примерно одинаковой с некоторым разбросом. Из разностей находится среднее значение, которое и принимается за элементарный заряд – заряд электрона. Милликен получил величину E = 4,774 10-10 СГСЭ ед. заряда. Современное значение (по книге: Дуков В.М. «Электрон», 1946 г) e = 4.803 10-10 СГСЭ ед. заряда. Другое современное значение, которое приводится в задачниках по физике в системе единиц «SI» e = 1, 60217733(49) 10-19 Кл.

5.2 Обнаружение движения электронов по инерции в опыте Толмэна и Стюарта (1916г.) Катушка с проводом приводится во вращение, а затем резко тормозится. L = 500 м, v = 300 м/с, L - длина проволоки, v – линейная скорость вращения. Опыты показали, что при торможении катушки в цепи ее проволоки возникает кратковременный ток. В этих опытах определялся так называемый удельный заряд электрона – отношение заряда электрона к его массе, e/m. Величина удельного заряда совпала с результатами, полученными в других опытах.

5.3 Приведение диска в движение с использованием электронного тока Ртуть Ртуть ( Hg200 ) B Сила F направлена на нас v Если приложить перпендикулярно плоскости металлического диска магнитное поле и пропустить электрический ток, так как показано на рисунке (между центром диска и его краями), то диск начинает вращаться. Причиной тому служит сила Лоренца, заворачивающая электроны по правилу векторного произведения. F = q (vB) Свободные электроны при своем движении увлекают за собой и металлический диск, рассеиваясь на оболочках и ядрах атомов, составляющих решетку металла, из которого изготовлен диск.

§ 6 Напряженность электрического поля При исследовании взаимодействия электрических зарядов, привлекает к себе внимание, прежде всего тот факт, что взаимная сила в законе Кулона действует между заряженными телами на расстоянии. Как это можно объяснить? Остается допустить наличие некоей материальной субстанции между заряженными телами, с помощью которой передается электрическое взаимодействие. Будем полагать, что вокруг зарядов существуют поля, называемые электрическими и перейдем к оценкам (и расчетам) их количественных характеристик. Пробным зарядом будем называть заряженное тело с размерами много меньшими расстояний, на которых изучается действие зарядов. Другими взаимодействиями пренебрегаем.

+Q q1 - F1, q2 - F2, … Если в данную точку в окрестности исследуемых зарядов помещать пробные заряды разной величины, то оказывается, что F1/q1 = F2/q2 = … = cst = E. Здесь E служит силовой характеристикой электрического поля в каждой его точке и называется напряженностью электрического поля. [E] = Нм/Кл м = Дж/Кл м = Кл В/Кл м = В/м. Рассмотрим частный случай: напряженность поля точечного заряда F = q1q2e/40r2. Пусть q1 пробный заряд, тогда E = F/q1 = q2/40r2. Опустим значок 2, обозначив, таким образом, произвольный характер выбираемой точки и зададим направление силы, имеем E = qe/40r2 = qr/40r3. Запишем принцип суперпозиции E = Ei. Суммарная напряженность электрического поля в данной точке равна сумме напряженностей, создаваемых разными заряженными телами в данной точке.

§ 7 Постановка задачи о расчете электрических полей Основной задачей электростатики является расчет электрического поля, то есть нахождение величины и направления электрического поля во всех точках пространства вокруг заряженных тел.

Q Тело несет заряд Q. Заряд распределен по телу произвольно (в общем случае неточечным способом). Линейно протяженное тело Пусть - линейная плотность заряда. В общем случае = (r, t), но в данном нашем случае зависит только от координат (то есть, радиус-вектора) и не зависит от времени. z L dl, dq y x = dq/dl dq = dl [] = Кл/м q = (r) dl(r), = cst q = dl = L = q/L L L Тело, протяженное по плоскости Пусть - поверхностная плотность заряда = dq/ds, dq = ds [] = Кл/м 2 z ds, dq r x y q = ds, = cst q = ds = s = q/s s s Тело, протяженное в пространстве Здесь - объемная плотность заряда = dq/dV, dq = dV [] = Кл/м3 z r x dV dq, y q = dV, = cst q = dV = V V V Если, или есть функции координат, то можно говорить о малых частях ds, dl, dV, как о точечных заряженных телах. В таких случаях, при расчете напряженности электрического поля можно воспользоваться формулой точечного заряда. Проследим такую процедуру на примере заряда, распределенного по объему.

Пусть имеем заряженное объемное тело Z z A Y l dV + dq x e x y dE A(x, y, z) = dq(x,y,z) e/40 l2(x,y,z) = (x,y,z)dVe/(40l2(x,y,z)) EA = dVe/(40l2). V Пример линейно заряженного тела – отрезок прямой. Здесь также заряд распределен неточечным образом. Пусть точка, в которой ищется напряженность электрического поля, находится на продолжении прямой. Прямую целесообразно совместить с какой-нибудь из осей, например, x. Начало координат удобно поместить в искомую точку.

x q, x dx, dq x A O dEA = dq/40x2 = dx/(40x2). x = dx/(40x2) x1 = (x) – здесь необходим конкретный вид зависимости = cst(x), тогда x2 x2 2 EA = (/40) dx/x = (/40)(-1/x)| = (/40)(1/x1 – 1/x2). x1 x2 Трудности, которые возникают при решении задач об определении E, иногда можно уменьшить, введя понятие потенциала (как некую математическую процедуру).

§ 8 Потенциал электрического поля 8.1. Об электрическом потенциале Напряженность является силовой характеристикой электрического поля. Можно ввести характеристику поля не силовую, а по отношению к той энергии, которая расходуется при перемещении заряда в электрическом поле. Оценим, какая работа необходима для того, чтобы перенести заряд из бесконечности (из места, где электрического поля нет) в данную точку поля. Первое определение, неформальное + ++ + + Если перемещать заряды разной величины и составить отношения расходуемых энергий к величинам зарядов, то отношения W1/q1 = W2/q2 = … = будут оставаться постоянными. Такая сохраняющаяся величина называется электрическим потенциалом и имеет размерность: [] = В (Вольт). Второе определение, формальное Вычислим работу по перемещению заряда в электрическом поле вдоль одной координаты из бесконечности в данную точку. Учтем, что работа и потенциальная энергия равны друг другу с точностью до знака. x x dW = - dA = - Fdx, F = qE W = - F dx = - q E dx. Представим напряженность электрического поля в виде полного дифференциала некоторой произвольной скалярной функции. E = -d/dx, тогда x x x W = q d dx/dx = q d = q | = q(x) + q() = [() = 0] = q W = q = W/q. В итоге мы получили то же определение потенциала, как и в первом определении. Запишем связь напряженности и потенциала для трехмерного пространства в декартовых координатах. Ey = -d/dy, z = - d/dz E = Ex i + Ey j + Ez k = - (i d/dx + j d/dy + k d/dz) = - (i d /dx + j d /dy + k d /dz) =-. Здесь символ набла - означает математическую операцию над скалярной функцией и является математическим оператором вида = - ( i d /dx + j d /dy + k d /dz).

8.2 Потенциальный характер электрического поля Заметим, что энергия, затрачиваемая на перенос заряда в электрическом поле, не зависит от формы пути переносимого заряда, так как электрическое поле – поле консервативных сил. Заметим также здесь, что по определению U = 1 - 2, а = 2 - 1, тогда (2) q q (1) 1 q q = W/q, W = q = cst. В обычной бытовой розетке (дома) разность потенциалов составляет 220 В. О циркуляции вектора напряженности электрического поля Интеграл вида E dl, ( E dl = E dl Cos E^dl) L называется циркуляцией вектора E по замкнутому контуру L. Такой интеграл можно вычислять как определенный интеграл в декартовой системе координат. Если учесть потенциальный характер электрического поля, то циркуляция напряженности электрического поля по замкнутому контуру равна 0.

E dl = 0 L E dl L Q Иначе 2 1 E dl + E dl = 0. 2 Можно также записать следующее E dl = q F dl = q dA = 0, L L L откуда следует, что с точностью до постоянной работа при перемещении заряда по замкнутому контуру равна нулю. Здесь F dl = Fx dlx + Fy dly + Fz dlz. Если контур L не замкнутый E dl dl L dl Во всех скалярных произведениях dl имеет направление касательной в данной точке траектории, а E может быть направлено произвольно по отношению к dl. Выбор обхода контура всегда возможен в двух встречных направлениях. Потенциал поля точечного заряда. Имеем для точечного заряда E = q/40 r2 (пусть r = x), = - E(x) dx = - q/40 dx/x2 = q/40x + ( = 0). Второй вариант: определенный интеграл x x = - E(x) dx = - q/40 dx/x2 = q (1/x – 1/)/40 Итак, для точечного заряда имеем расчетную формулу потенциала = q/40r.

Теперь, как итог всему сказанному, рассмотрим задачу о расчете поля с применением скалярного потенциала.

r dV, dq A dA = dq/40r = (dq = dV) = dV/40 = (1/40) dV/r. Привязку удобнее осуществлять к одной системе координат, тогда z r2 r1 y x A r = r2 – r Здесь r = r2 – r1 - расстояние от элемента заряженного тела до искомой точки A, в которой вычисляется потенциал электрического поля. Далее можно найти E, вычисляя /x, /y, /z и подставляя вычисленные значения в E =. Такой расчет, хотя и более длителен, но проще прямого расчета E, так как предполагает простую систему одномерных уравнений.

§ 9 Закон Гаусса Рассмотрим произвольную систему неточечных электрических зарядов, а точнее говоря заряженных тел с произвольно распределенными на них зарядами. Окружим эти тела замкнутой поверхностью так, чтобы все эти тела оказались внутри нее. Пусть эта поверхность – сфера, удаленная от заряженных тел далеко так, что заряды можно считать точками по отношению к точкам сферы, приведя, таким образом, задачу к сферически симметричной задаче. S qi q1 n q2 q3 q4, … r dS q e n e E n Определим поток вектора напряженности электрического поля dФЕ через площадку dS как произведение dФE = EdS ФE = EdS S E = Ee, dS = dS n, q = qi, q = dV. Рассчитаем поток вектора напряженности электрического поля через заданную воображаемую поверхность. Вначале запишем подынтегральное выражение для потока E dS = q e dS n/40r2. Для сферы en = ФE = EdS = qdS/40r2 = (q/40r2) dS = q/0. S S Закон Гаусса записывается в виде E dS = q/0. S Здесь слева стоит поток вектора через замкнутую поверхность, а справа заряд, ограниченный этой поверхностью, поделенный на электрическую постоянную (что означает, что закон записан в системе единиц SI). Замечание. Для среды с диэлектрической проницаемостью отличной от единицы формула измениться тем, что электрическую постоянную необходимо помножить на диэлектрическую проницаемость,. Выводы: Справедлива формула E dS = q/0 S Если внутри замкнутой поверхности S зарядов нет, то E dS = 0 E = 0 S Закон Гаусса позволяет в случаях хорошей симметрии (например, сферической и осевой) сравнительно легко рассчитывать напряженность электрического поля вокруг заряженных тел в пространстве вокруг симметричных заряженных тел. Пример: расчет электрического поля вокруг бесконечной равномерно заряженной плоскости. Дано: Бесконечная плоскость равномерно заряженная с поверхностной плотностью заряда. Найти: Напряженность электрического поля В точках пространства вокруг плоскости. n E n S E n Пересечем плоскость цилиндром с боковой поверхностью перпендикулярной данной плоскости. Заряд, оказавшийся внутри цилиндрической поверхности, ограниченной боковой поверхностью и торцами, и, таким образом, замкнутой, равен Q = S. Для вычисления интеграла по замкнутой поверхности необходимо представить его в виде суммы трех интегралов по боковой поверхности и двум торцам = + + S бок. торец1 торец2 Вследствие симметрии напряженность электрического поля, создаваемая заряженной плоскостью направлена перпендикулярно к плоскости во всех точках пространства (плоскость заряжена равномерно и бесконечно протяженна). Раз так, то интеграл по боковой поверхности от скалярного произведения EdS равен 0 (вследствие взаимной перпендикулярности E и dS). Остаются интегралы по торцам, их два. В точках торцов E = cst, и E n = E, тогда поток, проходящий через торцы равен E n dS = E dS = 2ES. 2S 2S Приравняем поток согласно закону Гаусса заряду с учетом электрической постоянной 2E S = S/0 E = /20. Попутно рассудим об электрическом поле между двумя бесконечными, одинаково - равномерно, но разноименно заряженными пластинами (аппроксимация плоского конденсатора с размерами пластин много больше расстояния между ними) 2E E + E k = 2E = /0.

§ 10 Формулы Остроградского-Гаусса, Стокса и уравнения Максвелла для E в вакууме 10.1 От формулы Остроградского- Гаусса к уравнению Максвелла Пусть имеем поле векторов a, тогда dФa = a dS, Фa = a dS S Фa называется потоком вектора a через площадку S. Здесь вектор dS направлен по орту нормали n к площадке dS, то есть dS n dS Определим для вектора a оператор div a = ax/x + ay/y + az/z. Заметим, что a = (i/x + j/y + k/z)(axi + ayj + azk) = div a. Без вывода запишем соотношение, называемое формулой ОстроградскогоГаусса a dS = div a dV. S V Здесь объем V ограничивается замкнутой поверхностью S. Для вектора напряженности электрического поля формула перепишется в виде E dS = div E dV. S V Используем полученную формулу для записи закона Гаусса. Предварительно отметим следующее n Q = qi = dV. i=1 V Имеем div E dV = (1/0) dV V V (div E - /0) dV = 0 V Так как объем выбирался произвольно, как объем, ограниченный произвольной поверхностью, то div E = /0. Получили одно из уравнений Максвелла. Оно связывает электрическое поле с электрическими зарядами. Его генезис: Закон Кулона – закон Гаусса – уравнение Максвелла. 10.2 От циркуляции вектора E по контуру, через формулу Стокса к следующему уравнению Максвелла Для напряженности электрического поля имеем E dl = 0 L Согласно формуле Стокса подобный интеграл по замкнутому контуру можно преобразовать в интеграл по поверхности, опирающейся на этот контур dS n S dS L dl el dl = dl el Для произвольного вектора a будет (без вывода): a dl = rot a dS L S Здесь направление dl определяется направлением орта e, совпадающего по направлению с касательной в данной точке контура L. (Единственное, что необходимо выбрать – это направление обхода контура по или против часовой стрелки, что должно быть согласовано и с направлением орта n). Для нашей задачи формула запишется в виде E dl = rot E dS. Оператор rot E можно представить как векторное произведение rot E = E = i j k /x /y /z Ex Ey Ez = i (Ez/y - Ey/z) + + j (Ex/z - Ez/x) + k (Ey/x - Ex/y). Проще запомнить последовательность совокупности производных для ротора по мнемоническому правилу /x j /z i Таким образом, для напряженности электрического поля имеем rot E dS = 0, S а так как поверхность S выбиралась произвольно, вследствие произвольности выбора контура, на которую эта поверхность опирается, то и rot E = 0. k /y Заметим, что по определению E = -, из чего следует, что rot () = 0, то есть ротор от градиента произвольной скалярной функции в данном случае равен нулю, (этот факт проверяется подстановкой), что в нашем случае и означает поле консервативных сил. Выводы: К настоящему моменту имеем два уравнения Максвелла для электрического поля в вакууме. div E = /0 rot E = 0.

§ 11 Метод зеркальных изображений Метод зеркальных изображений относится к способам расчета (точнее получения) картины электрического поля. Суть метода состоит в следующем. Если в электрическом поле заменить эквипотенциальную поверхность проводником той же формы, с потенциалом на нем равном потенциалу рассматриваемой потенциальной поверхности, то электрическое поле такого проводника не изменится по сравнению с исходным. Отметим последовательность процедур. Имеем эквипотенциальную поверхность в электрическом поле Имеем проводник той же формы Помещаем проводник на место потенциальной поверхности. Пример1 Поместим заряженную металлическую сферу на место воображаемой эквипотенциальной поверхности сферической симметрии + Пример 2 (иллюстрация ответа на вопрос «Почему зеркальных?») Имеем положительный точечный заряд и заряженную плоскость. Если за плоскостью на таком же расстоянии по нормали поместить отрицательный заряд, то картина поля в точности будет эквивалентна той, что напоминает зеркальное отражение в плоскости исходного точечного заряда и всей картины его поля ++ -- Резюмировать ситуацию проще цитатой из курса лекций по физике американского автора Р. П. Фейнмана: «В книгах можно найти длинные перечни решений задач электростатики для гиперболических поверхностей и других сложных штук. Вас могло бы удивить, как это удалось рассчитать поля близ поверхностей столь ужасной формы, но они были рассчитаны задом наперед! Кто-то решил простую задачу с фиксированными зарядами, а затем обнаружил, что появляются некоторые эквипотенциальные поверхности новой формы, ну, и написал работу, что поля снаружи проводника такой формы могут быть изображены так-то и так-то.».

Глава Проводники в электрическом поле § 1 Проводник во внешнем электрическом поле Будем представлять себе проводником тело (как правило металл, но не обязательно: это может быть жидкий электролит или ионизованный газ) имеющее на каждую структурную единицу (атом или молекулу) один или несколько свободных носителей электрического заряда. Электроны и ионы, способные проводить электрический ток и, вообще принимать участие в явлениях проводимости называются электронами и ионами проводимости. Так, например, щелочные металлы (Li, K, Na, Rb, Cs) можно представлять себе в виде регулярно расположенных ионных остовов, погруженных в более или менее однородную электронную жидкость. Металлы переходных групп и ближайшие к ним характеризуются большими энергиями связи электронов. В таблице приведены числа электронов, n, приходящихся на 1см3 для некоторых элементов n, 1022 см-3 4,7 2,65 1,4 1,15 0,91 8,47 Элемент Li Na K Rb Cs Cu 5, 5, 13, Ag Au Fe Zn В 1897 году Джозеф Джон Томсон (не путать с лордом Кельвином Томсоном Уильямом и другими Томсонами) при исследовании катодных лучей предположил и доказал существование электронов (не путать также с сыном лорда Кельвина – Томсоном Джорджем Паджетом, который занимался дифракцией электронов на кристаллах и электронными микроскопами).

В 1900 году Друдэ разработал свою теорию электро- и теплопроводности – он рассматривал электроны в металле как электронный газ и применил к нему кинетическую теорию газов. Основные положения теории Друдэ. Приближение независимых электронов. В промежутках между столкновениями не учитывается ни электрон электронное взаимодействие, ни электрон ионное взаимодействие для квазисвободных электронов в металлах. Столкновения рассматриваются как мгновенные события – внезапное изменение скорости частиц, причинами которого пренебрегают.

Вероятность испытать столкновение для частиц пропорциональна отношению dt/, где - усредненное время свободного пробега электронов (константа для данного металла), dt – время собственно столкновения. Выведем электроны в металле каким-либо способом из состояния равновесия. Возврат к равновесию происходит благодаря взаимодействию (столкновению) электронов между собой и со структурой, причем скорости электронов сразу же после столкновений не связаны с их скоростями до столкновений и направлены случайным образом (величина средней скорости при этом соответствует равновесной температуре тела). Популярность модели Друдэ определялась очень хорошим согласием его положений с экспериментальными результатами. Поскольку в проводниках есть заряженные частицы, которые могут двигаться свободно (квазисвободно, например, электроны внутри куска металла), то при внесении такого проводника в электрическое поле на эти частицы начинает действовать сила, и они приходят в движение. Положительные частицы движутся в направлении вектора E, отрицательные – в противоположную сторону. В результате такого движения произойдет так называемое разделение зарядов. Наступит состояние равновесия, при котором внутри проводника образуется внутреннее поле, направленное навстречу внешнему и равное ему по величине.

E _ _ _ _ Eвнутреннее _ _ _ + + + + + + + Внутреннее поле = внешнему внутри проводника поле равно нулю. Заметим также, что в состоянии равновесия силовые линии напряженности должны быть нормальным к поверхности тела, касательных составляющих у них быть не может вследствие равновесия. Иначе об этом можно сказать так: линии напряженности электрического поля должны быть перпендикулярны эквипотенциальной поверхности, которой является в данном случае поверхность самого проводника. Аналитически это можно выразить так: E = -, Ex = -/x, Ex = 0 /x = 0 = cst. Поверхность проводника является поверхностью одинакового потенциала. Заряды при этом находятся в тонком приповерхностном слое толщиной в среднем 1 – 2 атома. Мы можем прийти к выводу. Внутри любой металлической решетки (сетки) отсутствует электрическое поле.

Такое устройство называют клеткой Фарадея. Внутри такой клетки можно, например, проводить точные опыты с зарядами.

§ 2 Электрическая емкость Рассмотрим два заряженных проводника произвольной формы. Одним из них может служить Земля. + + + + + + + _ _ _ E _ _ _ _ Если подзарядить один из проводников, то на другом как говорят, индуцируется дополнительный заряд противоположного знака и возрастает разность потенциалов между проводниками. Отношение же величины заряда к разности потенциалов (или электрическому напряжению) для двух данных проводников будет оставаться постоянным. Так получается сохраняющаяся величина для двух данных проводников Q1/U1 = Q2/U2 = … = C Q = CU. Здесь. С - постоянная, характеризующая способность проводников аккумулировать (накапливать) заряд. С зависит от формы, качества и размеров проводника, а также качества среды (в электрическом отношении) между проводниками. Причем C со средой/ С ваккума = Очевидно, что вак = 1, а вот воздуха = 1,000594. [C] = [Q/U] = Кл/В = Ф (Фарада), то есть изменение заряда на 1 Кл, приводящее к изменению разности потенциалов в 1 В произойдет при наличии емкости между проводниками в 1 Ф.

§ 3 Электростатический генератор Ван-де-Граафа Первый электростатический генератор (ускоритель) электронов на энергию 80 КэВ (кило электрон вольт) был построен в 1929 году Ван-де-Граафом. Вначале рассмотрим схематично способ получения значительного количества заряда. Здесь используется то обстоятельство, что заряды всегда распределяются по внешней поверхности проводника. Для получения заряда очень большой величины (что создаст высокое напряжение между разделенными зарядами) используется следующая схема. К полому шару прикасаются с внутренней стороны малым шаром на изоляторе, после того как его подзаряжают от элемента. Процедуру повторяют до тех пор, пока пе реносимая доля не станет равна утечке через изолятор полого шара. Полый шар с отверстием Переносчик зарядов Элемент ++ + + Изоляторы Приведем схему ускорителя Ван-де-Граафа. 1 + + _ 4 - U+ 3 1 - высоковольтный электрод – шар. Такая форма оптимальна, она дает равномерное распределение заряда. Радиус шара обычно составляет несколько метров. Шар радиусом r = 5 м уже считается большим. Чем меньше радиус кривизны заряженного тела, тем большая напряженность электрического поля (больше густота линий напряженности) около этих точек тела максимальная кривизна минимальная кривизна плоскость острие (иглы) Оценим максимально достижимую разность потенциалов исходя из радиуса сферы. Напряжение пробоя воздуха составляет 3 106 В/м = 3 В/мкм, и сильно зависит от влажности, давления, наличия в воздухе частичек и т.д.. Тогда E = /r = E r = 3 106 5 = 15 106 В = 15 МВ. Практически же удается реализовать для данных параметров макс = 34 МВ. Система при этом заполняется сухим газом под высоким давлением (частица не успевает разбежаться и ионизовать другие). – опорный валик (с обеих сторон транспортера) – гребенчатый электрод, используемый для подачи на ленту транспортера зарядов от источника. Точно такой же электрод в верхней части транспортера (не показан на рисунке) передает заряд на внутреннюю поверхность сферы после чего заряды равномерно распределяются по внешней поверхности сферы. – Опорная колонна – Транспортер зарядов. Передача заряда осуществляется посредством коронного разряда (путем подбора соответствующего напряжения). При движении ленты транспортера совершается работа по преодолению сил электрического поля. Скорость движения ленты 20 – 40 м/с (сравним: пешеход – 6 км/час = 1,6 м/с, велосипедист – 20 км/час = 5 м/с, автомобиль – 60 км/час = 15 м/с). Когда заряд накопиться генератор использую как ускоритель для разгона заряженных частиц, например, электронов.

Глава 3 Диэлектрики в электрическом поле §1 Поляризация диэлектриков Диэлектрики – это вещества, у которых свободных носителей заряда нет !! Так в идеале. На самом деле, если в металлах свободных носителей заряда 1022 см-3, то в диэлектриках, вследствие несовершенства кристаллической структуры (разорванные связи, инородные атомы и пр.) количество свободных носителей оценивается от 102 до 107 см-3. Такое количество относительно ничтожно мало. Будем считать для определенности, что все электроны в диэлектриках не свободны, но связаны с атомами и молекулами. Представим себе мысленный опыт: имеем слегка подзаряженный электрометр, поднесем к нему незаряженный диэлектрик +++++++++++++ ++++++++++++ Мы увидим, что показания электрометра уменьшатся. Если убрать диэлектрик, то показания электрометра вернуться к исходному положению. Если бы вместо диэлектрика был проводник, то мы объяснили бы это поведение тем, что на проводнике возник индуцированный заряд и изменил (уменьшил, скомпенсировал) поле электрометра. Если с диэлектриком рассуждать также, то надо также предполагать возникновение индуцированного заряда. Представим себе другой мысленный эксперимент.

_ + + Стеклянная палочка на нитке в поле заряженного шара поворачивается вдоль линий напряженности электрического поля. Этот опыт также свидетельствует в пользу возникновения индуцированного заряда. Однако, диэлектрики электрического тока не проводят, так как свободных носителей заряда в них практически нет. Для объяснения этих опытов привлечем явление, которое называется поляризацией диэлектриков и наличие в диэлектриках так называемых поляризационных зарядов, которые могут поворачиваться в электрическом поле, сохраняя неизменным центр масс. Терминология, таким образом, используется следующая. Металлы – индуцированные заряды, Диэлектрики – поляризационные заряды. Отметим следующую разницу, которая восходит к эксперименту. Металл + _ + _ + можно разрезать не вынося из поля и разделить заряды. Диэлектрик + _ + _ + _ Разрезать можно – разделить заряды нельзя. Тогда, принимаем следующую модель (версию). Диэлектрики состоят из молекул, представляющих собой диполи.

+ + без поля в поле Замечание. Молекулы как диполи проявляют себя в двух видах Неполярные: в отсутствие электрического поля центры масс и геометрические центры зарядов совпадают (симметричные молекулы). К ним относятся H2, O2, N2, и т.д., как правило это газы - упругие диполи. Полярные: в отсутствие электрического поля центры масс и центры зарядов сдвинуты друг относительно друга - жесткие диполи.

Однако и те и другие молекулы (сферические в поле вытягиваются и также становятся полярными) в электрическом поле поворачиваются, чтобы расположиться по полю, а центры их масс остаются при этом на месте.

§ 2 Модель расчета электрического поля диполя Диполь в данной модели – система, состоящая из двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов (+q, -q), расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, для которых ведется расчет поля диполя (напомним, что расчет электрических полей – основная задача курса электростатики). Привяжем декартову систему координат к диполю согласно рисунку Z r >> d P(x,y,z) r+ +q d/2 d d/2 X -q Y r r_ Z z-d/2 r+ + z + d/2 _ y z r r_ z В условиях задачи потенциал искомой точки можно найти по формуле для точечного заряда (r) = |q|/40 r(±), r2 = x2 + y2 + z2, r_2 = y2 + (z + d/2)2, r+2 = y2 + (z - d/2)2. Для +q: z = d/2 r+2 = x2 + y2 + (z – d/2)2 Для –q: z = - d/2 r_2 = x2 + y2 + (z – d/2)2. + = q/4[(z – d/2)2 + x2 + y2]1/2, _ = - q/4[(z + d/2)2 +x2 + y2]1/2. Поскольку d относительно мало, то (z ± d/2)2 = z2 ± z d + d2/4 z2 ± z d, r±2 = x2 + y2 + z2 ± z d = r2 ± z d = r2(1 ± z d/r2)2. P = + + _ = (q/40)[(r2 – z d)-1/2 - (r2 + z d)-1/2] = = (q/40r)[(1 – z d/r2)-1/2 – (1 + z d/r2)-1/2]. Разложим (1 ± z d/r2)-1/2 в ряд вида (1 ± x)-m = 1 ± m x ± … x << 1. (1 ± z d/r2)-1/2 = 1 ± z d/2r2 ± …. P = (q/40r)[1 + z d/2r2 – 1 + z d/2r2] = q z d/40r r2. z/r = Cos, p = q d P = p Cos / 40r2. z P(x,y,z) z d r y d – вектор, имеющий направление от отрицательного заряда к положительному, а по величине равный расстоянию между зарядами. Во-первых имеем: Диполь ~ 1/r2 Точечный заряд - ~ 1/r. Во-вторых. p = q d P = p r Cos/40r3 = p r /40r3. Для отыскания вектора напряженности электрического поля, необходимо рассчитать его компоненты по x, y и z. Воспользуемся выражениями = p z/ 40r3 и E = - = - (i/x + j/y + k/z), Ez = (-p/40 ) (z/r3)/z = (-p/40)(1/r3 – 3z2/r5), Ey = (-p/40)(z/r3)/y = 3zy/r5, Ex = (-p/40)(z/r3)/x = 3zx/r5. Замечание. Здесь, например (z/r3)/x = [z (x2 + y2 + z2)- 3/2]/x = z (- 3x)/ (x2 + y2 + z2) 5/2 = -3xz/r5. Тогда весь вектор E можно записать в виде E = (p/40)[3zxi/r5 + 3zyj/r5 + (1/r3 – 3z2/r5)k] Ex Ey Ez.

Таким образом, электрическое поле диполя рассчитано в данной модели с указанными допущениями.

§ 3 Поляризованность Итак, у нас есть понятие электрического дипольного момента p = q d.

Поскольку диэлектрик можно представить себе состоящим из диполей, то через понятие диполя можно охарактеризовать и диэлектрик в целом. Количественной характеристикой поляризации диэлектрика в целом служит физическая величина – поляризованность. Поляризованность – электрический дипольный момент единицы объема диэлектрика, он равен векторной сумме электрических дипольных моментов, pi, деленной на величину самого объема V P = (1/V) pi. Частный случай. Если pi - все одинаковы, то есть q и d - одинаковы, то тогда и P – поляризованность одинакова во всем диэлектрике. Такие диэлектрики называют однородными в смысле поляризации. О размерностях. [pi] = Кл м, [P] = Кл/м2. Таблица поляризованности некоторых элементов Элемент Поляризованность, отн. ед. H 0.66 He 0.21 Li 12 Ne 0.4 Na 27 Ar 1.6 K Оболочки щелочных металлов легко деформируются в электрическом поле изза слабой связи валентных электронов с ядром, а благородные газы более жесткие в этом смысле, отсюда – количественные отличия в поляризованности. H Cl H O p Cl p H H H2O Иногда применяют термин поляризуемость подчеркивая этим способность диэлектриков к поляризации в электрическом поле.

§ 4 Вектор электрической индукции В системе единиц «СИ» произведение 0E называется электрическим смещением вакуума и обозначается D0 = 0 E, [D] = Ф В/м м = Кл/м2. Если обобщить это понятие на случай произвольной среды, а не только вакуума, то D = 0E + P, где D – вектор электрической индукции, или иначе - электрическое смещение. Эта физическая величина содержит в себе информацию о реакции среды на приложение электрического поля (далее в данном разделе предполагается, что к диэлектрику приложено электрическое поле и исследуется вопрос о том, какое поле образуется внутри диэлектрика). В диэлектрике суммируется действие внешнего и внутреннего полей (точнее говоря происходит отклик диэлектрика своими внутренними ресурсами на приложенное внешнее поле), результирующее поле терминологически называется электрическим смещением. Если диэлектрик изотропный, то есть у него во всех направлениях поляризация одинакова (существуют и анизотропные диэлектрики), то для него по всему объему диэлектрика можно записать следующее выражение P = 0 E, которое справедливо в не слишком сильных полях. Здесь - скалярная величина, называемая диэлектрической восприимчивостью и D = 0E + 0 E = (1 + )0E = 0E, = 1 +. Если диэлектрик анизотропный, то возникнут составляющие электрического смещения Dx, Dy, Dz, зависящие от каждой компоненты Ex, Ey, Ez, приложенного извне электрического поля. D = {Dx, Dy, Dz}. Dx = xx 0Ex + xy 0Ey + xz 0Ez Dy = yx 0Ex + yy 0Ey + yz 0Ez Dz = zx 0Ex + zy 0Ey + zz 0Ez. D0x D0y Doz (E) lm (параметр двойного индекса). В данном случае диэлектрическая проницаемость – тензор второго ранга (напомним, что вектор – тензор первого ранга, скаляр – нулевого). Компоненты тензора второго ранга запишем в виде таблицы 11 12 13 lm = 21 22 23 31 32 33 D i = 0 ik E k k k, i = (1,2,3 или x,y,z). В записи дважды встречающийся индекс означает суммирование по нему Dm = 0 i k El. Резюме. В анизотропных диэлектриках D и E не коллинеарные вектора. Емкость плоского конденсатора. Рассмотрим конденсатор, прибор, способный накапливать электрический заряд. 1 2 U = 1 - 2 S C0, q 2 = 0 0 d d x U, x 1, y 2, z Пусть конденсатор – плоский, причем d<< S. d – расстояние между пластинами, S – площадь пластин, - поверхностная плотность зарядов, с которой равномерно заряжены пластины конденсатора (напомним, что = / 0). Найдем разность потенциалов U. U = 1 - 2 = E dx = / 0 dx = d/ 0, = q/S U = qd/S0, C0 = q/U = 0/d. Теперь проведем мысленный эксперимент – заполним пространство между пластинами диэлектриком и будем заряжать их до такого же заряда q как и без диэлектрика. Измерим разность потенциалов. Мы выясним, что разность потенциалов другой по сравнению с конденсатором без диэлектрика. Поскольку q остается неизменной (по нашему произволу) тогда Q = C1U1 = C0U C1/C0 = U/U1 = E /E1 =. Здесь есть та самая относительная диэлектрическая проницаемость (относительно вакуума), которая была введена нами ранее. В данном представлении измеряется экспериментально как отношение напряжений. В таблицу сведены сильно отличающиеся диэлектрические проницаемости разных веществ. вещество вакуум воздух стекло вода Титанат бария Ba Ti O2 6000- 1. 5- Таким образом емкость конденсатора в произвольном случае равна C = C1 = C0 = 0 S/d. Замечание: поведение Ba Ti O2 с температурой ~ в 10 раз К Т°С Вещества с таким температурным поведением называют сегнетоэлектриками. Они представляются состоящими из доменов – частей с одинаково направленными диполями (дипольными моментами). Слева от максимума происходит перестройка доменов – объединение мелких в один большой домен с одинаково направленными дипольными моментами.

Справа от максимума происходит разрушение всей доменной структуры по закону ~ 1/T, который называется законом Кюри – Вейсса. Максимальное значение приблизительно соответствует температуре, называемой температурой Кюри - К. При обратном ходе температуры проходит все стадии прямого пути с характерными для подобных процессов гистерезисными явлениями. В итоге возвращается к исходному состоянию.

§ 5 Энергия электрического поля В начале коснемся энергии, совершаемой при перемещении точечных электрических зарядов. При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают определенную работу А.

Системе электрических зарядов можно приписать энергию взаимодействия, за счет убыли которой совершается работа. A = - W, = - A/q = W/q, - A = - q = W, - W = -(W2 – W1) = A21 = = - A12/ Часто работа против сил поля считается положительной, а работа самого поля – отрицательной. Пусть заряд q1 создающий поле точечный, тогда = q1/40r, W = q = q1 q / 40r. Рассмотрим систему большого числа точечных зарядов.

q1 r q Энергия взаимодействия между 1 и 2 зарядами равна W12 = q1q2/40r12. Среду вокруг зарядов предполагаем эквивалентной вакууму с диэлектрической проницаемостью близкой к единице. Энергия взаимодействия между i и j зарядами запишется W ij = qiqj/40rij. Если найти энергию взаимодействия между каждой парой зарядов и сложить их все, получим W = (1/2) qiqj/40rij = qi j/2 по всем парам Коэффициент появляется от того, что каждая пара зарядов в такой сумме просчитана дважды. Представим, что число зарядов возрастает до непрерывного их распределения (так, что становиться возможен континуальный подход). qi dqi, dqi = i dVi, d = dqi/40r, = dV/40r (по j – ым объемам) Если для нахождения потенциалов интегрирование ведется по объемам, содержащим заряды с индексом j, то для самих зарядов интегрирование остается вести по объемам содержащим заряды i. dW = (1/2) dqi dj,, W = (1/2) dqi dj = (1/2) idVijdVj/40r. (i, j) (i, j) Интегрирование как по i, так и по j в конечном итоге проводится по одному и тому же объему как суммирование в пределе по каждому элементарному объему всего объема в целом. В итоге получим равенство W = (1/2) dV V Это равенство можно истолковать так: потенциальная энергия заряда величины q = dV равна произведению величины этого заряда на потенциал, создаваемый другими зарядами в той же точке. Вообще говоря, только что была вычислена энергия внутри объема WV. Можно также говорить и об энергии на поверхности Ws = dS S W = WV + WS. Заметим, что энергия поверхности как правило много меньше энергии объема. Справедливы также формулы объемной и поверхностной плотности энергии, например w= dW/dV = /2.

Выразим энергию электрического поля через его напряженность. В конденсаторе U = E d, E = /0 = q/S0 q = S 0 E = S 0 U/d. W = Uq/2 =( ) E d S 0 = (S d = V) = 0 V E2 w = W/V = 0E2/2. Для произвольного объема В общем случае, если энергия распределена по объему неравномерно, имеем W = dW/dV, dW = w dV W = w dV = 0E2 dV/2. V V В проводнике Поверхность проводника эквипотенциальна, то есть потенциалы точек поверхности проводника все одинаковы. W = qi j/2 = /2 qi = Q/2.

Глава Постоянный электрический ток § 1 Сила и плотность электрического тока Электрическим током называют упорядоченное движение электрических зарядов (электрически заряженных частиц). Для получения электрического тока необходимо выполнение двух условий одновременно. 1. Наличие свободных электрических зарядов 2. Эти заряды должны находиться в электрическом поле Как осуществить эти условия ? Возможность приложения электрического поля как правило сводится к проблеме хороших электрических контактов. Свободные электрические заряды есть, например, в металлах, электролитах, ионизованном газе, других твердых и иных телах. Силу электрического тока определим как изменение электрического заряда со временем. Если за равные промежутки времени заряд изменяется на одинаковую величину, то i = q/t, [i] = Кл/с = А. А если же нет i= dq/dt, q = i(t) dt. Возможен и другой подход. Прежде, чем охарактеризовать движение зарядов силой тока, введем понятие плотности тока. Плотность электрического тока равна (численно) величине заряда, проходящего в единицу времени через единичную площадку, расположенную перпендикулярно линиям тока j = q/St.

В среде с движущимися упорядоченно зарядами рассмотрим параллелепипед, составленный из линий тока S = n S, v = l/t S S n l Длина такого параллелепипеда l численно равна скорости в единицу времени (скорость – единичная длина или иначе говоря длина в единицу времени). Тогда число частиц, которые пройдут через площадку S за единицу времени равняется числу частиц, заключенному внутри этого параллелепипеда, а полное же число частиц равно N = n S v t (v t = l). n – концентрация частиц (число частиц единичного объема). Полный заряд внутри параллелепипеда равен q = qe N = qe n S v t. Отсюда можно найти плотность тока, направление которого совпадает с направлением скорости частиц j = q/St = qe n v, j = qe n v. Заметим, что так как J = i/S, i = q/t j = di /dS, i = j dS. S Интегрирование проводится по всей поверхности, через которую протекает электрический ток.

§ 2 Закон Ома Ом экспериментально установил закон. Сила тока, текущего по однородному металлическому проводнику прямо пропорциональна разности потенциалов, приложенной к концам этого проводника. Интегральная форма записи закона Ома. + 1 i _ = 2 - 1, U = 1 - 2, i ~ U, i = GU = U/R, [G] = Сименс, [R] = Ом. Дифференциальная форма записи закона Ома. Рассмотрим отрезок проводника (кусок проволоки). Выразим сопротивление этого куска проволоки через его размеры, считая его электрически однородным.

S l R l/S, R = l/S = (1/) l/S, [] = Ом м, [] = (Ом м)-1. - удельное сопротивление, - удельная электрическая проводимость. Приведем сводку удельных сопротивлений металлов и одного сплава при 20°С. Элемент Медь Железо Серебро Константан (сплав, Cu - 58.8%, Ni – 40%, Mn – 1.2%) 17 98 16, 10-9 Ом м Проведем преобразования R = l/S = U/i i/S = U/l j/ = E j = E. В векторной форме j= E. Здесь j, и E характеризуют электрическое состояние среды в каждой данной точке являясь функциями координат и времени.

§ 3 Подвижность носителей заряда Введем новую физическую величину, характеризующую поведение заряженных частиц при их движении в электрически активной среде. j = env, j = E env = E, = env/E = enµ. µ = v/E, [µ] = м2/В с. µ - скорость заряженной частицы приведенная к единичной напряженности электрического поля называется подвижностью. v называют дрейфовой скоростью (vдр) или скоростью дрейфа заряженной частицы (электрона) или квазичастицы (дырка) в электрическом поле. (Заметим, что наличие падения напряжения (разности потенциалов) означает, что для вектора напряженности электрического поля существует отличная от нуля ее составляющая E вдоль проводника. En E E µ для данного проводника в одних и тех же условиях является постоянной величиной. Механически движение под действием электрического поля заряженной частицы можно трактовать, например, как скатывание шарика под уклон на наклонной плоскости с шероховатостями, препятствующими скатыванию.

_ + Уклон эквивалентен напряженности электрического поля (электрическому напряжению, разности потенциалов), а шероховатости – электронным оболочкам атомов, их ядрам, носителям заряда, а также несовершенствами среды, по которой течет ток.

§ 4 Закон Ома для замкнутой цепи Ранее мы упоминали об элементах Вольты и Даниэля-Якоби. Существуют и другие элементы и источники напряжения (тока). В электротехнике элементы обозначают символами. e _ + r + e _ R R В элементе заряды разделены. Если замкнуть цепь на внешнюю нагрузку, которой служит резистор R, то при переносе заряда по электрической цепи будет совершена работа.

E = A/q A = e q. e – электрическое напряжение, для которого исторически сложилось название электродвижущая сила – ЭДС. A = e i t (q i t). Рассмотрим участок цепи. Для него работа численно равная теплу Джоуля Ленца рассчитывается по формуле Q = AR = U q = U i t. U = i R AR = i2R t. Для замкнутой цепи с источником ЭДС необходимо учесть внутреннее сопротивление самого источника согласно эквивалентной схеме на рисунке. Составим баланс энергий. A = Qr + AR A – полная энергия высвобождаемая при химической реакции в элементе A = e i t. Qr – тепло, которым обменивается электролит и электроды со средой, оставаясь при этом в тепловом равновесии со средой Qr = Ur q = r i2 t. AR – работа тока на внешней нагрузке (утюг, компьютер, город и т.д.) AR = UR q = R i2 t. Подставив в уравнение баланса соответствующие выражения получим e i t = r i2 t + R i2 t i = e/(R + r). Последнее полученное выражение называется законом Ома для замкнутой цепи. Внутреннее сопротивление включает сопротивление электролита и электродов. Током короткого замыкания называют ток, текущий по цепи при замкнутой накоротко внешней нагрузке R = 0 iк.з. = e/r. Замечание. Определим понятие источника тока и источника напряжения. Источник напряжения.

UR r<> R i = cst UR В данном случае сопротивление нагрузки много меньше внутреннего сопротивления. Изменение нагрузочного сопротивления слабо влияет на ток в цепи – отсюда и название: источник тока.

§ 5 Электрические цепи Последовательное соединение резисторов U1, R1 i U U2, R эквивалентная …. схема …. i R ….

U = U1 + U2 + …, U = i R i R = i R1 + i R2 + … = i Ri R = Ri. При последовательном соединении двух и более резисторов их общее сопротивление равно сумме их отдельных сопротивлений.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.