WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«В.И. Малыхин ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Второе издание, переработанное и дополненное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных ...»

-- [ Страница 3 ] --

16.1. Постановка задачи об оптимальном портфеле Рассмотрим общую задачу распределения капитала, который участник рынка хочет потратить на покупку ценных бумаг, по раз­ личным видам ценных бумаг. Предваряя точные математические постановки, констатируем очевидную общую цель инвестора — вложить деньги так, чтобы сохранить свой капитал, а при возмож­ ности и нарастить его. Набор ценных бумаг, находящихся у участника рынка, называ­ ется его портфелем. Стоимость портфеля — это суммарная стои­ мость всех составляющих его бумаг. Если сегодня его стоимость есть Р, а через год она окажется равной Р\ то (Р' — Р)/Р естествен­ но назвать доходностью портфеля в процентах годовых. То есть доходность портфеля — это доходность на единицу его стоимости. Пусть Х( — доля капитала, потраченная на покупку ценных бу­ маг /-го вида. Рассуждения о долях эквивалентны тому, что весь выделенный капитал принимается за единицу. Пусть dt — доход­ ность в процентах годовых ценных бумаг /-го вида в расчете на одну денежную единицу. Найдем доходность всего портфеля dP. С одной стороны, че­ рез год капитал портфеля будет равен 1 + dp, с другой — стои мость бумаг /-го вида увеличится с х до xt + dtxh так что суммар­ ная стоимость портфеля будет ]*,• + ]хД- = 1 + ]*,•i4(16.1) Итак, задача увеличения капитала портфеля эквивалентна ана­ логичной задаче о доходности портфеля, выраженной через доход­ ности бумаг и их доли формулой (16.1). Как правило, доходность бумаг колеблется во времени, так что будем считать ее случайной величиной. Пусть /и,-, о, — средняя ожидаемая доходность и среднее квадратическое отклонение (СКО) этой случайной доходности, т.е. /и, = M[dj\ — математическое ожи­ дание доходности и г, = ^Уц, где Уц — вариация или дисперсия /й доходности. Будем называть mh rt соответственно эффективно­ стью и риском i-й ценной бумаги. Через ^обозначим ковариацию доходностей ценных бумаг /-го и у-го видов (или корреляци­ онный момент К у). Так как доходность составляющих портфель ценных бумаг слу­ чайна, то и доходность портфеля есть также случайная величина. Ма­ тематическое ожидание доходности портфеля есть M[dp] = x\M[d\] + +... + xnM[dn] = XXm*? обозначим его через тр. Дисперсия i доходности портфеля есть D[dp] = YdxixjVij. Так же, как и для и ценных бумаг, назовем тр эффективностью портфеля, а величи­ ну а Р = \D[dP] риском портфеля гР. Обычно дисперсия доходно­ сти портфеля называется его вариацией VP. Итак, эффективность и риск портфеля выражены через эф­ фективности составляющих его ценных бумаг и их совместные ковариации. I Пример 1. Портфель наполовину (по стоимости) состоит из бумаг первого вида с доходностью 14% годовых и из бумаг второго вида с доходностью 8% годовых. Какова эффективность портфеля? Р е ш е н и е. Оба термина — доходность и эффективность — специально упомянуты вместе. I О т в е т: 0,5 • 14 + 0,5 • 8 = 11% годовых. Каждый владелец портфеля ценных бумаг сталкивается с ди­ леммой: хочется иметь эффективность побольше, а риск помень ше. Однако поскольку «нельзя поймать двух зайцев сразу», необ­ ходимо сделать определенный выбор между эффективностью и риском (этот выбор в конечном счете определяется отношением ЛПР к эффективности и риску — см. дополнение к ч. II). Рассмотрим два портфеля ценных бумаг. Так как портфель оце­ нивается по двум характеристикам — эффективности и риску, то между портфелями есть отношение доминирования. Скажем, что 1й портфель с эффективностью е\ и риском г\ доминирует 2-й с е^, Г2, если е\ > е^ и г\ < г2, и хотя бы одно из этих неравенств стро­ гое. Недоминируемые портфели назовем оптимальными по Парето, такие портфели называют еще эфтА Т фективными. Конечно, инвестор должен остановить свой выбор только на эффективных портфелях. Если рассмотреть какое-нибудь множество портфелей и нанести их характеристики — риск г/> и эф­ фективность тр на плоскость риск—доходность, то типичное ~~l \ множество эффективных портфеРис. 16.1 лей выглядит, как кривая DAC на рис. 16.1. 16.2. Диверсификация портфеля Любой инвестор заинтересован в уменьшении риска портфе­ ля при поддержании его эффективности на определенном уров­ не. Какие существуют рекомендации общего характера по сни­ жению риска портфеля? Пусть в портфеле собрано N различных видов ценных бумаг. Рассмотрим дисперсию портфеля VP = ^xixj^ij. Разобьем слагаемые на две группы: VP = ^xf Vu + ^XjXjVy. В первой группе слагаемых N9 во второй — N(N — 1). Предположим для про­ стоты, что стоимость портфеля распределена равными долями по этим видам ценных бумаг, т.е. все х,- = 1/N. Тогда по фор­ мулам для дисперсии имеем VP=(l/N )^Vu+(l/N )]ГVtj,= i С i i*j = (l/N)&Vii/N) + (N-l/N)(Y

i*j Величина i (v141 a/N) может быть названа средней дисперсией ценных бумаг, входя­ щих в портфель, а величина X vij^N(N ~ *)] — их средней ковариацией. Поэтому предыдущую формулу можно выразить слова­ ми: дисперсия портфеля равна (1/7V) средней дисперсии плюс (1 — 1/7V) средней ковариации. Это и есть эффект диверсифика­ ции портфеля: с ростом числа входящих в портфель ценных бу­ маг в его дисперсии (и риске) вклад средней дисперсии (среднего риска) становится все меньше, зато все больше — вклад средней ковариации. Так что если входящие в портфель ценные бумаги мало коррелированы друг с другом, то дисперсия портфеля уменьшается с ростом числа входящих в портфель бумаг. В реальности, однако, практически все ценные бумаги, об­ ращающиеся на рынке, испытывают воздействие общеэкономи­ ческих факторов и изменяются под их воздействием. Это приво­ дит к тому, что их взаимная корреляция является вполне замет­ ной величиной. Эта взаимная корреляция обусловливает так на­ зываемый рыночный, или систематический, риск портфеля. На рис. 16.2 показано возможное поведение риска портфеля при увеличении числа ценных бумаг в нем. Конечно, в силу особенногж Tv стей работы эмитентов ценных X. бумаг каждая конкретная ценная ^^^^ бумага испытывает свои колеба. _^ ния эффективности, иногда со­ вершенно не связанные с обще| * рыночными. Эти колебания обу„.,словливают так называемый шРис. 16.2 -, л дивидуальныи, или несистемати­ ческий, риск ценной бумаги. Диверсификация портфеля может почти полностью устранить влияние на риск всего портфеля индивидуального риска отдель­ ных ценных бумаг, но она не в силах устранить рыночный риск всего портфеля. Рассмотрим более конкретно упрощенные примеры влияния корреляции разных ценных бумаг. Предположим сначала, что ценные бумаги различных видов ведут себя независимо, они некоррелированы, т.е. Vg = 0, если / Ф}. Тогда VP = Yjii Vu и ]Гх, = 1. Предположим далее, что деньги вложены равными долями, т.е. X/ = \/п для всех / = 1,..., п. Тогда тР = (^т^/п — средняя ожидаемая эффективность портфеля, и риск портфеля равен гР = \Уи In. Пусть у2 = тахУц, тогда гР < у/фг. Отсюда в ы в о д : если ценные бумаги некоррелированы, то при росте числа их видов п в портфеле риск портфеля ограни­ чен и стремится к 0 при п -> оо. I Пример 2. Предположим, инвестор имеет возможность составить порт­ фель из четырех видов некоррелированных ценных бумаг, эффектив­ ности и риски которых даны в таблице.

/ е, а, I 2 1 2 4 2 3 8 4 4 12 Рассмотрим несколько вариантов составления портфеля из этих бумаг равными долями. Напомним, что эффективность порт­ феля есть среднее арифметическое эффективностей, а риск в данном случае ^ = д/г12 +... + г„2/я (см. также пример 1 из § 12.1). A) Портфель образован только из бумаг 1-го и 2-го видов. Тогда т12 = (2 + 4)/2 = 3;

г12 = Vl 2 +2 2 /2 * 1,12. Б) Портфель образован только из бумаг 1-го, 2-го и 3-го ви­ дов. Тогда mi-з = (2 + 4 + 8)/3 = 4,67;

гх_ъ = Vl 2 +2 2 +4 2 /3 * 1,53. B) Портфель образован из бумаг всех четырех видов. Тогда т 1 _ 4 =(2 + 4 + 8 + 12)/4 = 6,5;

гх_4 =л1\2 +2 2 + 42 + б2/4 «1,89. Как видим, при составлении портфеля из все большего числа ценных бумаг риск растет весьма незначительно, а эффектив­ ность растет быстро. Однако, как указано выше, полная некоррелированность цен­ ных бумаг по существу невозможна. Рассмотрим теперь, как отражается корреляция между видами ценных бумаг на характеристиках портфеля. Корреляция не влияет на эффективность портфеля, ибо тР = 2lximi но она сказывает ся на его вариации, дисперсии или риске, ибо VP = ^xiXjViJ.

Uj Введем в рассмотрение величины ktj = ^ /(с^сгу) — в курсе тео­ рии вероятностей они называются коэффициентами корреляции. Тогда Vy = (GiXjXGjX^kjj. Для того чтобы понять влияние корре­ ляции, рассмотрим два крайних случая. Сначала случай полной прямой корреляции, когда все ktj = 1 — это значит, что при изменении /-го фактора у-й также изменяется, причем прямо пропорционально. Тогда ^ = Х Х а Л ' ° / " х ;

= Х<*л Если при этом вложить деньги равными долями, т.е. 2^ а / п Xj = 1/я, то Ур и риск портфеля ГР = X с / /п • Ес­ ли а,-> у, то и гР > у. Следовательно, при полной прямой корреляции диверсифика­ ция портфеля не дает никакого эффекта — риск портфеля равен среднему арифметическому рисков составляющих его ценных бу­ маг и не стремится к нулю при росте числа видов ценных бумаг. Положительная корреляция между эффективностями двух цен­ ных бумаг имеет место, когда курс обеих определяется одним и тем же внешним фактором, причем изменение этого фактора дей­ ствует на обе бумаги в одну и ту же сторону. Диверсификация портфеля путем покупки обеих бумаг бесполезна — риск портфеля от этого не уменьшится. Теперь рассмотрим ситуацию полной обратной корреляции, т.е. когда ktJ- = — 1, если / * / Для понимания сути дела доста­ точно рассмотреть портфель, состоящий всего из двух видов ценных бумаг (п = 2). Тогда VP = o^xf + <з\х\ - 2а1х1а2х2 = = (р\Х\ — a2x2)2 и если х2 = х^ / а 2, то Vp = 0. Таким образом, при полной обратной корреляции возможно такое распределение вложений между различными видами цен­ ных бумаг, что риск полностью отсутствует. Полная обратная корреляция довольно редкое явление и обычно она очевидна. 16.3. Портфель Марковича минимального риска Рассмотрим сначала математическую формализацию задачи формирования оптимального портфеля, которую предложил аме­ риканский экономист Г. Марковиц (Н. Markovitz) в 1952 г., за что позднее получил Нобелевскую премию. Найдем Xj, минимизирующие вариацию портфеля ^ = 2>.-*Л i, i <162> при условии, что обеспечивается заданное значение эффектив­ ности портфеля тр, т.е. 2 х * т / " тРi Поскольку Х( — доли, то в сумме они должны составлять единицу: *, =1. В такой постановке минимизация вариации равносильна ми­ нимизации риска портфеля, поэтому задача Марковица может быть сформулирована следующим образом. Найти JC/, минимизирующие риск портфеля rP=[ZxixJViJ при условии, что обеспечивается заданное значение эффектив­ ности портфеля тР, т.е. Y,ximi = тр'> i поскольку X/ — доли, то в сумме они должны составлять единицу: Решение (оптимальное) этой задачи обозначим значком «*». Если х* > О, то это означает рекомендацию вложить долю х* на­ личного капитала в ценные бумаги /-го вида. Если же х* < О, то содержательно это означает провести операцию «short sale» («ко­ роткая продажа»). Если такие операции невозможны, значит, не­ обходимо ввести ограничения х* > О. Что это за операция? Инвестор, формирующий портфель, обя­ зуется через какое-то время поставить ценные бумаги /-го вида (вместе с доходом, какой они принесли бы их владельцу за это время). За это сейчас он получает их денежный эквивалент. Эти деньги он присоединяет к своему капиталу и покупает рекомен­ дуемые оптимальным решением ценные бумаги. Так как ценные бумаги других видов (т.е. не /-го вида) более эффективны, то ин­ вестор оказывается в выигрыше! Собственно, можно обойтись и без операции «short sale», если инвестору доступны займы денеж­ ных средств по безрисковой ставке. Этот портфель минимального риска из всех портфелей задан­ ной эффективности называется портфелем Марковица минималъ ного риска. Ясно, что его риск гр есть функция его заданной эф­ фективности тр. I Пример 3. С помощью компьютера найден оптимальный портфель Марковица для трех ценных бумаг с эффективностями и рисками: (4,10);

(10,40);

(40,80);

нижняя граница доходности задана равной 15. Доли бумаг оказались равными: 46%, 28%, 26%, минимальный риск — I 25,4, доходность оказалась равной заданной — 15. 16.4. Портфель Тобина минимального риска Через несколько лет после исследования Марковица другой крупнейший американский экономист Д. Тобин (D. Tobin — также впоследствии лауреат Нобелевской премии) заметил, что если на рынке есть безрисковые бумаги (к таким можно с неко­ торой натяжкой отнести государственные ценные бумаги), то решение задачи об оптимальном портфеле сильно упрощается и приобретает замечательное новое качество. Пусть то — эффективность безрисковых бумаг (фактически это безрисковая банковская ставка, в СССР таковой можно было считать годовую процентную ставку Сбербанка по вкладам до востребования, она была 2—3%), а ^ - доля капитала, в них вложенного, тогда в рисковую часть портфеля вложена (1 — хо) часть всего капитала. Пусть тг — эффективность и К г - вариация (дисперсия) рисковой части портфеля и гг = $~г — риск этой рисковой части. Тогда эффективность всего портфеля равна тр = XQtriQ + (1 — XQ) тп вариация портфеля равна Vp = (1 — xo и риск портфеля равен гр = |1 - х0|гг (считается, что безрисковые бумаги некоррелированы с остальными). Исключая XQ, получим тр= то + гр (тг — т$)/гп т.е. эффективность портфеля линейно зависит от его риска. Рисковые виды ценных бумаг будем нуме­ ровать числами от 1 до я. Задача Марковица об оптимальном портфеле в этом случае такова:

п Y>xixjvij ->min, п ЧЩ + Y*ximi i=l =т Р' (16.3) п Изложим теперь окончательное решение этой задачи, полу­ ченное Тобиным. Пусть V — матрица ковариаций рисковых ви­ дов ценных бумаг, X = (JC/), М = (mi) — вектор-столбцы долей х капитала, вкладываемых в /-й вид рисковых ценных бумаг и ожи­ даемых эффективностей этого вида, / = 1,.., п. Пусть также / — л-мерный вектор-столбец, компоненты которого равны 1. Тогда оптимальное значение долей х7 есть г =(и X-Z—т/~1{м -щ1) <164) [М - m0I)V [М - т01) Здесь V~l — матрица, обратная к К В числителе дроби стоит число, в знаменателе, если выполнить все действия (операция транспонирования первого сомножителя в знаменателе не указана, но подразумевается), тоже получится число, причем константа, оп­ ределяемая рынком и не зависящая от инвестора, V~l(M— гщ1) — вектор-столбец размерности п. Как видим, этот вектор не зависит от эффективности портфеля тр. Таким образом, вектор долей рисковых видов ценных бумаг, пропорциональный этому вектору, также не зависит от тр. Следовательно, структура рисковой части портфеля не зависит от тр. Однако сумма компонент вектора X зависит от тр, а именно, компоненты вектора )С пропорциональ­ но увеличиваются с ростом тр, поэтому доля XQ безрисковых вложений будет при этом сокращаться. Выразим риск оптимального портфеля в зависимости от его доходности. Для этого в формулу вариации портфеля Vp = XJVX подставим оптимальный вектор X* из формулы (16.4), обозначив знаменатель формулы (16.3) через d2. Получим = [(тР - m0f/d4](M - m0l)V~l (м -m0l) = = (mp-m0)2/d2. Окончательно: Vp -{тр — mo)2/d2, или rp = (тр — mo)/d. Можно также написать выражение эффективности оптималь­ ного портфеля от его риска: тр — 1щ = drp или тр = гщ + drp Видно, что зависимости эти линейные. Будем называть полученный оптимальный портфель портфе­ лем Тобина минимального риска, т.е. портфель Тобина — это портфель Марковича при наличии на рынке безрисковых цен­ ных бумаг. 16.5. Портфель Марковича и Тобина максимальной эффективности Постановку Марковица задачи формирования оптимального портфеля (16.2) или (16.3) можно словами сформулировать так: сформировать портфель минимального риска из всех портфелей, имеющих эффективность не менее заданной. Но столь же естественна и задача формирования портфеля максимальной эффективности из всех портфелей, имеющих риск не более заданного: Найти X/, максимизирующие ожидаемую эффективность портфеля Р = X Ximi ~* maX при условии, что обеспечивается заданное значение риска портфеля, т.е. ^xixjvij = ГР '•> поскольку X/ — доли, то в сумме они должны составлять едини­ цу: >, =1. Назовем данную формализацию портфелем Марковица мак­ симальной эффективности. I Пример 4. С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4,10);

(10,40);

(40, 80) (те же ценные бумаги, что и в при­ мере 1);

верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказа­ лись равными: 6%, 34%, 60%, эффективность — 27,6, риск — 49,9 (компьютер перебирал доли ценных бумаг с шагом 0,02 — этим и I объясняется несовпадение риска с заданным). Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача формиро­ вания портфеля максимальной эффективности имеет решение, похожее на решение Тобина (см. § 16.3): Оптимальное значение долей х рисковых бумаг есть Гр Х* = ! V-l{M-m0l). (16.5) [ yj(M-m0l)V- {M-m0l) В матрично-векторной форме задача формирования портфеля максимальной эффективности при наличии на рынке безриско­ вых ценных бумаг такова: х0т0 + MX — max, > т XVX = 4, x0+IX = l (операция транспонирования подразумевается, как и прежде, см. комментарий к формуле (16.4)). Для нахождения условного максимума составим функцию Лагранжа: L = х0т0 + MX + X0{XVX - г)+Х{(х0 + IX -1). Находим частные производные L по X и по XQ И приравнива­ ем их к нулю: (dL/dX = 0 fain + А., = О, \dL/dx0=0, получаем [rf + X1QVX + kxI = 0. Выразим из второго уравнения Хх и подставим в первое, по­ лучим М— т01 = -XQVX, так что Х= (-l/X0)V"l(M — m^I). Для нахождения А,0 подставим найденное X в равенство XVX = гр, получим (~1/Х0){М -m0l)V-lV(-l/k0)V~\M -т01)=4, (так как матрица V симметрична, то транспонированная обрат­ ная к ней матрица совпадает с обратной же). Далее имеем [(-l/^o)2] {M-m0l)V-l(M-m0l)=4.

Обозначая (М -щ1)У~1(М -гщ1) через d2, получаем (-\/fk0)=rP/d и окончательно X* =(rP/d)V~l(M-m0l\ т.е. фор­ мулу (16.5). Опять видно, что структура рисковой части оптимального в этом смысле портфеля также не зависит от ограничения на ве­ личину риска. Выразим эффективность портфеля максимальной эффектив­ ности в зависимости от заданного его риска гр, т.е. найдем вели­ чину х^т + МХ\ где х$ и X* — оптимальные доли вложений. Имеем х0 = 1 -IX, подставляя это выражение и Хиз формулы (16.5), полу­ чаем *оА77о+МГ*Ц-/(г р /^^^ Щ + (ГР I d)(M - т01) Vх (м - m0l) = m0+ drP. Будем называть полу­ ченный оптимальный портфель портфелем Тобина максимально эффективности. З а м е ч а н и е 1. Обратим внимание, что структура рисковой части оптимального портфеля одна и та же в обеих постановках и не зависит от задаваемых доходности или риска портфеля. З а м е ч а н и е 2. В реальности, однако, редко кто из инве­ сторов озабочен составлением оптимальных портфелей. Обычно инвесторы создают специализированные портфели, содержащие ценные бумаги какого-нибудь определенного профиля: по отрас­ ли промышленности, государственные или какого-нибудь пенси­ онного фонда и т.п.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Проверьте доходность и риск портфелей из примеров 3, 4. 2. Из двух некоррелированных ценных бумаг с эффективностями 2 и 6 и рисками 10 и 20 с помощью компьютера состав­ лено шесть портфелей: в портфеле с номером к доля первых бумаг х = 1 — 0,2 к, доля вторых равна ( 1 - х ), т.е. портфель, состоящий только из бумаг 1-го вида, получает номер 0, а портфель, состоящий только из бумаг 2-го вида, получает номер 5. Компьютер нашел их эффективности и риски.

Эффективности Риски Портфели 2,0 10,0 0 2,8 8,9 1 3,6 10,0 2 4,4 12,6 3 5,2 16,1 4 6,0 20 Проверьте компьютерные расчеты. Затем нанесите портфели как точки на плоскость риск— эффективность и отметьте доми­ нируемые и недоминируемые портфели, т.е. оптимальные по Парето. 3. Имея безрисковые ценные бумаги с эффективностью 4 и некоррелированные рисковые с эффективностями 8 и 14 и рис­ ками 10 и 30, с помощью компьютера составили портфель Те­ бина эффективности 12. Доли бумаг получились такими: —0,51;

1,18;

0,33. Проверьте компьютерные расчеты. Как понимать от­ рицательную долю безрисковых бумаг? 4. В портфеле бумаги с доходностью 5% годовых составляют 30% по стоимости, а остальные бумаги имеют доходность 8% годовых. Какова доходность портфеля? 5. Сформировать портфель Тобина минимального риска из двух видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с эффективностью 10 и риском 5. Найти зависимость эффективно­ сти портфеля от его риска. Р е ш е н и е. Задача формирования оптимального портфеля в данной ситуации (см. формулу (16.2)): 5хх ->min, 2х0 +10*! =тР, XQ Н~ X J = 1.

Отсюда х0 = (10 - mP)/S, xj = (тР - 2)/8. Тогда тР = 2 + $х{ = 2 + 8/>/5. 6. Решить задачу формирования портфеля Тобина минималь­ ного риска при наличии безрисковых бумаг и некоррелирован­ ных остальных в общем виде. Р е ш е н и е. Используем формулу (16.4). Матрица V ковариаций рисковых видов ценных бумаг является в данном слу­ чае диагональной, обратная к ней также диагональная:

(гг ° l/af о v-' = V l/- 2 а о ы Произведя необходимые вычисления, получаем вектор долей рисковых бумаг X j=i т„-тп Щ ({Щ-ЩУ4Л (т,-т 0 ) 2 /ст? (т„-т 0 )/ст* 7. Сформировать портфель Тобина максимальной эффектив­ ности и риска не более заданного из трех видов ценных бумаг: безрисковых с эффективностью 2 и некоррелированных рисковых ожидаемой эффективности 4 и 10 и рисками 2 и 4. Каковы соот­ ношения доли бумаг в рисковой части оптимального портфеля? Р е ш е н и е. Итак, т0 = 2, М =, V= Q ^Л Ограничим риск портфеля величиной /> Воспользуемся формулой (16.4): X* ={rP/d)V-l{M-m0l). Матрицу, обратную к V, найдем методом миноров: Л/4 0 ^ V~l = Вычислим d2 ={М - molfv-^M - щ!) =,0 1/16, А/4 0 \М -m0lY[v-l(M -m0/)]=(2;

8) (о 1/ -fc.)l< Окончательно вектор долей рисковых бумаг X* =\rP/yl5){ \ 1/2 Таким образом, рисковые доли должны быть одинаковы и каж­ дая из них равна грД/20. Следовательно, xj| =1-7>/>/5.

8. Поставить обе задачи сформировать портфели Тобина: ми­ нимального риска при заданной эффективности и максимальной эффективности при заданном риске из трех видов ценных бумаг, безрисковых с эффективностью 2 и рисковых с ожидаемой эф­ фективностью 6 и 8 и рисками 4 и 9 и взаимной корреляцией 9. Ответ:

\6x\x + 18JCJX2 + 81х| - • min, 2x 2х0 + 6xj + ъх2=т, + Xj + Х2 = 1, 16*! +18x^2 + 8Ъг2 = гР, XQ o + 6х\ + 8*2 -> max, + Х\+ Х = XQ \ 9. Запишем вариацию доходности портфеля VP = Uj ^х(х^ порт так: VP=Y,xi Х х 7^/ V •/ ) и назовем величину Д = ^ х у ^ / J фельной ковариацией доходности /-й ценной бумаги. Оказывается, что в оптимальном портфеле эти ковариации пропорциональ­ ны превышению эффективности ценных бумаг над безрисковыми вложениями (подразумевается, что последние на рынке имеются). Действительно, вектор портфельных ковариации R = ЮС, где X — вектор долей рисковых вложений. В оптимальном портфеле Jt определяется формулами (16.4), (16.5), т.е. имеет вид: X* = у V~l(M - щ1\ где у — скаляр, равный (тр — гщ)/сР- или rp Подставляя X из этих выражений, получим R —Vy V~\M— m$I) = yW~l(M—moI)=y(M—moI), т.е. видно, что векторы R и (М — т$1) пропорциональны. 10. Докажите, что характеристики портфелей Тобина будут действительно равны заданным. У к а з а н и е. Используйте формулы (16.4) и (16.5).

Глава 17 ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ ВЕДУЩЕГО ФАКТОРА ФИНАНСОВОГО РЫНКА Цель анализа финансового рынка — разработка рекоменда­ ций для инвесторов — в какие ценные бумаги вкладывать капитал и в каком количестве. Выше было рассмотрено решение задачи формирования оптимального портфеля ценных бумаг. Однако оно носит формальный характер, поскольку опирается на предполо­ жение о том, что доходности вложений в ценные бумаги являются случайными величинами с заданными вероятностными характери­ стиками. Фактически требуется знание математических ожиданий и ковариаций доходностей. Откуда взять эти величины? Как их най­ ти, учитывая имеющуюся информацию?

17.1. Прямой статистический подход В развитых странах регулярно публикуются сведения о бирже­ вом курсе ценных бумаг, прежде всего акций ведущих компаний. Таким образом, можно проанализировать последовательности, отражающие историю курсов и выплачиваемых дивидендов за достаточно длительный период. Пусть значения доходностей d образуют ряд чисел (d\9..., d„). Можно применить методы математической статистики и найти среднее d =^dj/n и оценку дисперсии или вариации V = ( 100 000 ковариаций, т.е. оценить нужно намного больше величин, чем имеем данных, в силу чего точность оценок не может быть хорошей. Поэтому прямой стати­ стический подход для получения оценок ковариаций малоприго­ ден, хотя необходим для нахождения средних (и тем самым для оценки математических ожиданий). 17.2. Влияние ведущего фактора на составляющие финансового рынка Выход был найден — это анализ зависимостей курсов и других характеристик ценных бумаг от ведущих факторов финансового рынка. Что же такое ведущий фактор? Как уже подчеркивалось, в экономической жизни все взимосвязано, но есть факторы, которые влияют сразу практически на все показатели. Например, уровень цен на ближневосточную нефть влияет на котировку акций почти всех компаний США, поскольку эта нефть покрывает более половины энергетических потребностей США. Если цена на нефть поднимется, станет дороже бензин для автомобилей, уменьшится спрос на бензин, на автомобили, на ме­ талл для их изготовления, повысятся цены на сельскохозяйственные продукты, поскольку затраты на топливо — основной компонент их себестоимости. Рассмотрим одцн из таких ведущих факторов, не определяя пока его природу. Обозначим его/и будем считать, что доходности всех ценных бумаг зависят от него. Пусть d — доходность какой-нибудь фиксированной ценной бумаги. Простейшая форма зависимости — линейная, так что примем гипотезу, что d линейно зависит от / d « a + bf. Так как обе величины d, /случайны, то равенство вряд ли может быть точным, поэтому использован знак приближенного равенства. Как найти константы а, Ы Рассмотрим эту задачу в об­ щем случае, для произвольных двух случайных величин X, Y. Попробуем подобрать линейную зависимость у = а + Ьх = = ф(х) такую, чтобы Дя, b) = M[(Y— а — ЬХ)2] было минималь­ ным. Имеем F(a, Ъ) = Щ - 2aY- 2ЬХГ+ а2 + 2аЬХ + Ь2&] = = ЩУ2] - 2aM[Y\ - 2bM[XY\ + а2 + 2abM[X\ + РЩ#). Диффе ренцируя F(a, b) частным образом по а и Ъ и приравнивая част­ ные производные 0, получим систему уравнений: + ЬМ[Х] =М[7], [аМ[Х] + ЬМ[Х2 ] = M[XY]. Решая эту систему, получим: b = KXY/Dx, a = M[Y]-M[X].KXY/DXi, значит, искомая линейная зависимость есть у = ср(х) = (M[Y\ — -mXl-Kxr/Dxi+x • KXY/DX = M[Y\ + (X- M[X\)KXY/DXf Найдем математическое ожидание случайной величины Z = = M[Y\ + (X — M[X\)KXy/Dx, являющейся функцией от случай­ ной величины X. Имеем M[Z\ = M[Y\. Значит, в частности, при найденных я, Ъ для математических ожиданий св. X, Г верно не приближенное равенство, а точное: M[Y\ = a + ЬМ[Х\. (17.1) На практике совместное распределение случайных величин (X, Y) неизвестно, известны только результаты наблюдений, т.е. выборка пар (х, у) значений (X, Y). Все рассмотренные величины заменяются их выборочными аналогами. Так, для определения я, b получим систему уравнений: а + ЬХ =У, (17.2) aX + bXz=XY, где, напомним, X = XY = E*W/ /п. Решая эту систему, получим Ъ = (XY-XY)/[(X ZK ( \ Y= Vi 2> ) х2 = 2>, -(X)2] = XY/• a = Y -XKXY/ имеет уравнение y = Y + (X-X)KXYI^х is • Через К^, s\ обозна­ чаем выборочные аналоги корреляционного момента случайной величины X, Г и дисперсии X соответственно. Кстати, как можно убедиться, для средних арифметических значений верно точное равенство Y=a + b-X. (17.3).1 9 значит, прямая линия регрессии S X Пример 1. Найти оценки параметров линейной регрессии по вы­ борке (9, 6), (10, 4), (12, 7), (5, 3). Изобразить заданные точки и прямую регрессии в прямоугольной системе координат. Решение. Находим X, Y, X2, ХГ. Получаем J = (9 + 10+12+ +5)/4 = 9, Y=5, X2=350/4, XY = 193/4. Значит, Ъ= 1/2;

а = 1/2 (см. систему (17.2). Итак, уравнение регрессии есть у = 1/2 + х/2. Изобразим указанные точки и линию регрессии в системе коорди­ нат на плоскости (рис. 17.1): Итак, в теоретическом плане линейная (приближенная) за­ висимость доходности d рассматриваемой бумаги от / выглядит так: d » a + bf, где b = VfJVg, а = md — Ъ *т/. На практике же приходится использовать соответствующие выборочные оценки и тогда получим: b = V /Vff, a •d-b.f, где Vfd=df-d-f и fd Vff =f2 - ( Я 2 (Напоминаем, что Vff, Vfd обозначают выборочные ана­ логи вариации случайной ве­ личины / и ковариации d9 f, в частности, через d обозначе­ но среднее выборочное зна­ чение доходности d и т.д. — см. пример 1.) Отметим, как и выше (см. формулу (17.1)), что для мате­ Рис. 17.1 матических ожиданий или вы­ борочных средних значений верно точное равенство, аналогичное (17.1) или (17.3). Если гипотеза о влиянии ведущего фактора на данную ценную бумагу верна, то все отклонения от прямой а + b*f вверх и вниз являются действительно случайными и если в будущем возникнет новая ситуация, новая пара величин (/", е), то соответствующая точка расположится в окрестности указанной прямой. Если ведущий фактор/выбран удачно, то его влиянием опре­ деляются почти все случайные колебания доходности d, а оста­ точные колебания е = d — (а + bf) оказываются сравнительно не­ большими и некоррелированными и друг с другом и с другими доходностями d. Обозначим через v# вариацию остаточного коле­ бания в{ и через Vy — совместную ковариацию различных оста точных величин е/9 е7. Итак, окончательно получаем: d\ = щ + b\ х X / + а И V// = 0 ПрИ / * / Если для каждой ценной бумаги аналогичная зависимость ее доходности d от ведущего фактора / найдена, то можно легко найти и все нужные величины для формирования оптимального портфеля. Действительно, имеем для эффективности /-й бумаги точное равенство Щ = щ + А//Яу,где W/ — эффективность веду­ щего фактора, для вариации /*-й ценной бумаги и совместных ковариаций имеем точные равенства: Vu=l$Vff+vu9 V^bfijVff. 17.3. Эффективность рынка как ведущий фактор В роли ведущего фактора /наиболее удобно брать среднюю до­ ходность рисковых бумаг самого финансового рынка. Это взвешен­ ная (с учетом капитала) сумма доходностей всех рисковых ценных бумаг, обращающихся на рынке. I Пример 2. На рынке обращаются рисковые ценные бумаги, доли (сре­ ди рисковых бумаг) и эффективности которых (средние годовые до­ ходности в процентах) таковы:

| Доли Эффективности 1 20 8 2 10 10 3 10 12 4 10 14 5 5 16 6 5 18 7 40 (17.4) Эффективность рынка (средняя годовая доходность рисковых бу­ маг) равна (20-8 + 10-10 + 10-12 + 10-14 + 5-16 + 5-18 + I 40 • 6)/100 = 9,3%. Определенная таким образом эффективность рынка является абстракцией. Ведь на финансовом рынке обращается огромное число ценных бумаг, среди которых много кратковременных (за год образуются и погибают тысячи корпораций, выпускающих свои ценные бумаги), есть малорисковые, относительно которых не ясно, не признать ли их безрисковыми. Выход состоит в от­ слеживании характеристик наиболее важных для рынка ценных бумаг с длительной историей. Обработка этих бумаг по специ­ альным правилам позволяет получать разнообразные индексы (см. в § 17.4 описание таких индексов), каждый из которых мо­ жет отображать эффективность рынка, как она определена вы­ ше. В дальнейшем эффективность рынка понимается как один из таких глобальных рыночных индексов. Пример 3. В таблице указаны доходности ценной бумаги d и (сред­ няя) доходность рынка / (по рисковым бумагам) на протяжении ря­ да кварталов. Найти регрессию dnaf.

d f 1 0 1 12 1 9 10 1 9 1 10 1 12 10 1 8 1 10 1 Р е ш е н и е. Находим Оценки для математического ожидания, дисперсии d,f и т.п. оценки и получим _ ю А,/=10, / = 15, Г # = Х ( / / - 1 5 ) 2 / Н > = 1>2;

/= ю ^ / = Z ( e ;

- 1 0 ) ( / - 1 5 ) / 1 0 = l,2.

1= Значит, b = Vef/Vff = (l2)/(U2) = h a = d-b-f = 10-1-15 = -5. Таким образом, уравнение линейной зависимости d от /есть: d « / - 5. Итак, предполагаем, что доходности всех ценных бумаг зависят от доходности рынка / d\ = Я/ + 6 / / + /, причем эффективности бумаги nii и рьшка #v (средние ожидаемые доходности) связаны точным равенством /и,- = а,- + /#*/: Вариация доходности /-й бумаги при этом равна Уц=Ь?Ур+уи — см. (17.4), где ^ — вариация средней рыночной доходности (средней доходности на единицу стоимости ценных бумаг рьшка). Рассмотрим в этой ситуации портфель ценных бумаг. Оказы­ вается, эффективность (рисковой части) портфеля с зафиксиро­ ванными долями бумаг также линейно зависит от эффективности рынка. В самом деле, пусть доля /-й ценной бумаги есть xh тогда эффективность портфеля ( \ U/ i i \i J (17.5) или, обозначив аР = 2^Я/ДС/, ЬР = ^х&, / i получим тР =аР + bPmf.

мо Далее, дисперсия рассматриваемого портфеля DP = ХХ*'Х/^/ жет быть разбита на две части: DP = ^\t = 5>i4/ i ~ = (bf Vff + vu) + 'Yji*fifing + Hxixjbibjvff i,j =DX+D2.

Поскольку первая часть Dx = J]x?vl7 представляет взвешенi ную сумму собственных дисперсий доходностей бумаг, входя­ щих в портфель, то эта часть может быть названа собственной дисперсией портфеля, а квадратный корень из нее, т.е.

Вторая часть D2 = Х * ' * А * / ^ = ^ХА ij Vi -Щ&ы, может быть назван собственным риском портфеля. (Y v ff должна быть на J звана рыночной дисперсией. Извлекая из нее квадратный корень, получаем рыночный риск портфеля г2 = ту | ^xfy |, где /у — риск всего рынка, т.е. квадратный корень яз дисперсии доходности рынка (средней доходности на единицу стоимости ценных бу­ маг рынка). Предположим, что капитал портфеля вложен равными доля­ ми во все ценные бумаги, тогда собственная дисперсия портфе( ля равна 2> я \/ In и убывает к нулю при п -* оо, если собст­ vi венные риски бумаг д/v^ ограничены сверху (так как слагаемых всего Л), так же ведет себя и собственный риск портфеля. Таким образом, еще раз подтверждается вывод Марковича об умень­ шении собственного риска портфеля при увеличении числа бу­ маг, входящих в него. Наоборот, рыночный риск портфеля при я-> о стремится к 7/12^6,-1/л, и если коэффициенты bt ограо ничены снизу, то этот риск к нулю вовсе не стремится (так как число слагаемых п). Задачу Марковича (см. (16.2)) о формировании портфеля за­ данной эффективности тр и минимального риска теперь можно сформулировать так: ( л2 r +x fH,xibi H hu ->min, s, i J i Ya Mi +bimf) = mP, x (17.6) и в зависимости, разрешена или нет операция «short sale» с до­ бавлением требовательности неотрицательности переменных. Как видим, получилась «почти» задача линейного программи­ рования. Отличие — в нелинейной добавке в целевой функции. 17.4. Эффективность рынка, эффективность ценной бумаги и ее «бета» Итак, предполагаем, что доходность любой ценной бумаги за­ висит от доходности рынка f. dt= щ + bf + et (повторим еще раз, что под доходностью рынка понимается средняя доходность рис­ ковых бумаг). Обычно вместо буквы 6/ используют букву р/. Этот коэффициент так и называют: «бета ценных бумаг вида / относи­ тельно рынка» или, короче, «бета /-го вклада». Эта величина опре­ деляет влияние рынка на данные ценные бумаги: если Р/ > 0, то доходность бумаг /-го вида колеблется в такт с рынком, а если р/ < 0, то поведение бумаги прямо противоположно колебаниям доходности рынка в целом. Как отмечено выше, вариация доходности Уц каждой ценной бумаги равна $tVg +vz7, т.е. состоит из двух слагаемых: «собст­ венной» вариации v#, не зависящей от рынка, и «рыночной» части вариации \SJVff, определяемой случайным поведением рынка в целом. Их отношение P,-%Vvl7 обозначается Rf и называется Rsquared. Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. Те бумаги, для которых i?-squared вели­ ко, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо. Продолжим рассмотрение примера 1. Регрессия d н а / н а й ­ дена: d « / - 5. Следовательно, случайная величина остаточных колебаний е есть d — (f— 5). Проще всего найти вариацию этог^ остатка, составив рад значений е: 10 1 0 0 0 0 0-10 01 Среднее, естественно, равно 0, и потому v = 2/10. Далее, р = А = 1, Я 2 = 1 ^ = (1,2)/(0,2) = 6. (Напоминаем, что Vff, v, и обозначают выборочные аналоги вариаций случайных величин /, е, в частности, ю ^=Ё(Л- )7Ю = 1,2).

/= Эффективность ценных бумаг удобно отсчитывать от эффек­ тивности безрискового вклада щ. Итак, mt = щ +fym^= = щ + р/(/И/ - А«О) + а,-, где а,- = щ + (р,- - 1)/иь. Превышение эффек­ тивности ценной бумаги над безрисковой эффективностью то называется премией за риск. Таким образом, эта премия за риск в основном линейно зависит от премии за риск, складываю­ щейся для рынка в целом, и коэффициентом является «бета» данной бумаги. Это, однако, верно, если a = 0. Такие ценные бумаги называются, справедливо оцененными». Те же бумаги, у которых a > 0, рынком недооценены, а если a < 0, то рын­ ком переоценены. В частности, в рассматриваемом примере а ценной бумаги равна a + 4(b — 1) = - 5, следовательно, эта бумага переоценена рынком (эффективность безрисковых вложений принята равной 4). Заметим, что в силу формулы (17.5) можно утверждать, что не только бумаги имеют «беты», но также и портфели, и «бета» портфеля равна взвешенной сумме «бета» бумаг, входящих в портфель. Подобным образом ар портфеля равна ар + (Рр — 1) то, т.е. выражается аналогично «бета» портфеля. Как и для бумаг, портфель называется «справедливо оцененным», недооценен­ ным, переоцененным, если соответственно ар = 0, ар > 0, ар < 0 (рис. 17.2). Прямая на рисунке называется линией ценных бумаг (Security Market Line — SML). По горизонтальной оси отложены коэффи­ циенты (3, по вертикальной — эффективности бумаг и порт­ фелей. Но эта прямая SML отражает идеальную зависи­ мость между р и эффективно­ стью бумаг и портфелей (такая зависимость постулируется как реальная в модели САРМ — см. § 18.3). Все точки, лежащие на прямой SML, соответствуют «справедливо оцененным» бу­ магам (портфелям), а те, кото­ рые лежат выше/ниже этой линии, — недооцененным/пере­ оцененным. В частности, одна из задач финансового аналитика состоит в нахождении недооцененных рынком бумаг и в рекомендации ин­ вестору приобретать их. 17.5. Другие ведущие факторы рынка Таких факторов довольно много. К наиболее известным из них относятся средние и индексы Доу Джонса (Dow Jones). Промыш­ ленный индекс Доу Джонса DJIA (Dow Jones Industrial Average) составляется по ценным бумагам 30 крупнейших индустриальных компаний. Он рассчитывается путем сложения цен включенных в него акций на момент закрытия биржи и деления полученной суммы на определенный коэффициент. В дальнейшем изложении подразумевается именно этот индекс Доу Джонса. Аналогично построены и другие индексы. Помимо показателей Доу Джонса, широко распространены: Standard&Poor's 500 index — индекс крупнейших 400 индустри­ альных + 20 транспортных + 40 коммунальных + 40 финансо­ вых компаний. The NYSE Composite index — составной индекс Нью-Йоркской биржи — по всем ценным бумагам, которые на ней котируются. Значение индекса DJIA за 15 апреля 1999 г. было равно 10 462. Что касается российских индексов, то до краха пирамиды ГКО 17 августа 1998 г. использоваиндекс «Коммерсанта» лись несколько индексов, уст— 01 02 05 12 Дата Рис. 16. роенных подобно указанным выше. Сейчас (весной 2003 г.), пожалуй, какого-то лидирую­ щего нет;

можно отметить ин­ декс РТС (Российской Торговой Системы) и фондовый индекс «Коммерсанта» — широко из­ вестной газеты. На рис. 17.3 приведена диаграмма значений индекса «Коммерсанта» за пер­ вую половину апреля 1999 г.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. По каким причинам может меняться безрисковая ставка? 2. Как подсчитать р данной ценной бумаги? 3. Почему бумаги с отрицательной р воспринимаются как необычные, экстравагантные? 4. Почему бумаги с отрицательной р хороши для диверсифи­ кации портфеля? 5. Портфель состоит наполовину по стоимости из ценной бу­ маги с р = 1,2 и из ценной бумаги с р = 0,9. Найдите р портфеля. 6. Пусть у двух бумаг р равны соответственно 1,2 и —0,8. По­ стройте портфель с р = 0 из этих двух бумаг. 7. Если р портфеля равна 0, означает ли это, что портфель безрисковый? 8. Даны значения доходности ценной бумаги (нижняя стро­ ка) и рынка (верхняя строка) на протяжении десяти кварталов:

С помощью компьютера подсчитаны характеристики ценной бумаги: а = 4,67;

Ъ — 1,83;

а = 8,00;

собственная вариация — 0,77;

рыночная — 4,03;

i?-squared = 5,26. Эффективность без­ рисковых вложений равна 4. Проверьте компьютерные расчеты.

Глава 18 ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК И ЕГО МОДЕЛИ 18.1. Соглашения о финансовом рынке На финансовом рынке его участники проводят финансовые операции с помощью финансовых инструментов. Результат большинства операций невозможно предсказать. Не­ возможно в общем предсказать и другие какие-либо характеристи­ ки операций, например доход и доходность. Но практическая ра­ бота настойчиво требует этого. Выход заключается в принятии оп­ ределенных соглашений о рынке, позволяющих привлекать для анализа хотя бы какие-то научные доводы. В основном настаивают на трех предположениях: 1. «Скрытые» параметры типа психологических мотивов не учитываются. Любой участник рынка стремится действовать так, чтобы обеспечить себе наибольший доход, а не действовать «на­ зло» своему конкуренту и тем самым непредсказуемо с объектив­ ной точки зрения. Данное предположение служит принципиаль­ ным основанием для применения научных методов анализа рынка. 2. Хотя с чисто абстрактной точки зрения состояний рынка бес­ конечно много и они полностью, со всеми деталями, не повторяют­ ся, все же довольно часто для данного сегодняшнего анализируе­ мого состояния может найтись близкое аналогичное состояние в прошлом или в другом месте. Это позволяет надеяться, что и даль­ нейшее развитие сегодняшнего состояния пойдет примерно так же, как и найденного аналогичного (с учетом изменений, происшед­ ших на рынке). Такой способ анализа называется поиском анало­ гов. Это предположение о рынке можно развить далее, допустив, что различные показатели рынка можно моделировать как слу­ чайные величины. Данное предположение открывает путь к ис­ пользованию теоретико-вероятностных методов. Нужно совер­ шенно четко сказать, что в полной мере это предположение не выполняется. Однако нужно признать, что так всегда обстоит де­ ло с применением теоретико-вероятностных, статистических за­ кономерностей на практике. 3. Об анализируемом финансовом инструменте (или о близ­ ких в некотором смысле к нему) должна быть накоплена опреде ленная информация. В настоящее время это не так сложно, как можно подумать. В базах данных, рассеянных по всему миру, на­ коплены огромные массивы разнообразной информации и толко­ во составленный запрос может принести много нужной инфор­ мации (например, о курсе доллара и других валют на мировых валютных рынках в данный момент или о поведении курсов этих валют за последние годы). Этой информации вполне может быть достаточно для статистической обработки, чтобы получить оцен­ ки интересующих нас показателей с нужной точностью. Три сформулированных предположения служат основной для исследования финансовых рынков научными методами (математи­ ческими, с помощью компьютерной техники и т.д.), построения моделей таких рынков, все более полно описывающих и отражаю­ щих реальные финансовые рынки. Этим моделям и посвящена данная глава. 18.2. Эффективный рынок Хотя гипотеза поведения цен как случайного блуждания дале­ ко не сразу была принята экономистами и финансистами (фи­ нансовыми аналитиками), по всей видимости она привела к (те­ перь уже) классической концепции эффективного рынка. Эффек­ тивность означает, что рынок ведет себя «рационально». Под этим подразумевается, что на рынке: 1) мгновенно производится коррекция цен на изменение внешних условий, цены становятся опять «справедливыми», не оставляя участникам рынка чисто спекулятивных возможностей получения прибыли только за счет разницы в ценах;

2) участники рынка однородно оценивают поступающую ин­ формацию, мгновенно корректируя свои решения;

3) участники рынка преследуют свои собственные (эгоистиче­ ские) цели, которые характеризуются некоторым объективным об­ разом;

данное предположение позволяет анализировать действия конкретного участника, опираясь на некоторые объективные его устремления. Эти предположения выражены чисто словами. Тем более уди­ вительно, что они вместе с гипотезой о случайном блуждании цен позволяют развить стройную и довольно сложную математическую теорию эффективного рынка. Один из выводов этой теории — об отсутствии на эффектив­ ном рынке арбитражных возможностей. Арбитраж — это купляпродажа активов, позволяющая извлечь прибыль из разницы цен на разных рынках. На эффективном рынке такое невозможно, ибо арбитражеры будут своими действиями устранять разницу цен на активы со схожими характеристиками. В частности, ценная бумага, «доминируемая» по своим характеристикам какой-нибудь другой, не может долго функционировать на таком рынке и должна ис­ чезнуть. Ключевое положение о поведении цен на таком рынке — что они «случайно» блуждают — приводит к тому, что наилучший прогноз цены на завтра есть сегодняшняя цена. Еще один вывод этой теории — каждый участник рынка обя­ зан диверсифицировать свой портфель и тем самым свести к ну­ лю несистематический риск. Следовательно, только систематиче­ ский риск портфеля будет оценен рынком и потому доходность портфеля должна зависеть только от такого риска. Этот вывод был сделан уже после появления упоминавшейся выше теории Марковича о строении оптимального портфеля. Математическая теория эффективного портфеля базируются на довольно сложной теории случайных процессов и здесь не из­ лагается. Весьма примечательно, что теория эффективного рынка по­ служила толчком к образованию некоторых конкретных и ранее неизвестных финансовых инструментов вроде «фондов взаимных вложений». Специфика таких фондов состоит в том, что они ин­ вестируют средства своих клиентов в акции компаний, которые давно котируются на рынке и утвердили себя в качестве весьма надежных, но не самых доходных. Дело в том, что рядовые инве­ сторы не могут быстро реагировать на изменения на рынке, как того требует теория эффективного рынка, и потому вкладывают свои средства (через фонды взаимных вложений) в ценные бумаги тех компаний, которые могут себе позволить не откликаться на всевозможные кратковременные колебания рынка. 18.3. Модель САРМ (Capital Asset Prising Model — модель ценообразования капитальных активов) Эта теория базируется на концепции равновесного рынка и является дальнейшим развитием понятия эффективного рынка в некоторых направлениях. Вспомним, что инвестор, озабоченный формированием своего портфеля ценных бумаг, ищет такие бумаги на рынке. То же делают другие. Если их совокупный спрос пре­ вышает предложение соответствующих бумаг, имеющихся на рын­ ке, то цена таких бумаг повышается, а других — падает. В конце концов рынок может прийти в равновесие, когда спрос по лю­ бой ценной бумаге в точности равен ее наличию на рынке. В кон­ цепции равновесного рынка считается также, что отсутствуют опе­ рационные издержки (по оформлению сделок) и что все участники рынка имеют равные возможности оценивания информации, ко­ торая всем одинаково доступна. Предполагается также, что на рынке имеются безрисковые ценные бумаги. Основной постулат этой модели состоит в том, что средний ожидаемый доход по активу выражается в виде линейной функ­ ции от безрисковой ставки дохода щ, ожидаемого дохода по ры­ ночному портфелю (это взвешенная доходность по всем бумагам, обращающимся на рынке) т/ и уровня систематического риска, присущего активу и выражаемого через риск всего рынка и коэф­ фициент р данного актива. В этом нет ничего удивительного: предполагается, что участники рынка достаточно грамотны и зна­ ют про эффект диверсификации, а поэтому должны эту диверсифи­ кацию обязательно осуществлять. Поэтому в портфеле оценивается только систематический риск, т.е. рыночный. Итак, ожидаемый до­ ход по активу / определяется как mt = щ + р/ {rrif—щ). В § 17.4 ука­ занная формула имеет добавок — член, называемый «альфа» данной ценной бумаги. Значит, в модели САРМ для любой бумаги а = О, т.е. все точки, изображающие ценные бумаги и портфели, лежат на ли­ нии SML — см. рис. 17.2. В § 17.4 было показано, что не только у ценных бумаг есть а, но и у портфеля, и р портфеля равна взвешен­ ной сумме р всех бумаг, входящих в портфель. В модели САРМ решается задача дисконтирования рисковых активов к текущему моменту. Выше уже отмечено, что будущие доходы рисковых активов надо дисконтировать по более высо­ кой ставке, чем безрисковая. Рассмотрим операцию с ценной бумагой: покупку ее в начале периода по цене Р и продажу в конце по цене F. Если есть теку­ щие доходы в этом периоде, например, дивиденды, если эта цен­ ная бумага — акция, то обозначим их D'. В детерминированном финансовом анализе за возможную оценку курсовой стоимости в начале периода, т.е. за цену Р принимается величина P = (Z>' + P')/(l + i), где i — процентная ставка. В детерминированном финансовом анализе роль этой про­ центной ставки играет эффективность безрискового вложения — безрисковая процентная ставка то. Вместе с тем для инвестора более точной сегодняшней оценкой будущей стоимости является величина будущего ожидаемого дохода, дисконтированная по ставке доходности, которую он прогнозирует в качестве эффек­ тивности вклада. В модели САРМ эта ставка /и,- определяется эф­ фективностью /-го вложения и равна Дисконтируя по этой ставке, получим оценку текущей стои­ мости: Р = (МЩ + M[D'])/[l + щ + Urnf -щ)1 В числителе этой формулы стоит сумма ожидаемых от акции доходов: от будущей продажи и дивидендов, а в знаменателе — единица плюс ставка доходности на рынке. При положительной коррелированности с рынком чем боль­ ше вносимый рынком риск, тем больше ставка доходности, тем меньше современная оценка будущих доходов от акции. Напро­ тив, при отрицательной коррелированности актива с рынком чем больше рыночный риск, тем больше сегодняшняя оценка буду­ щих доходов от актива. 18.4. Модель APT (Arbitrage Prising Theory — арбитражная модель ценообразования) В модели САРМ эффективность актива зависит от эффектив­ ности большого рынка и коэффициента актива, отражающего риск этого актива и взаимосвязь актива и рынка. Таким образом, в этой модели эффективность актива зависит от одного фактора — эф­ фективности «большого» рынка. Модель APT — это обобщение модели САРМ, в ней доход­ ность актива (как случайной величины) зависит от нескольких факторов — случайных величин/ь...,/„, которые попарно некоррелированы и у которых математическое ожидание и дисперсия равны 0. Кроме этих факторов, есть еще дополнительный «шумо­ вой» член (как и в теории САРМ), не некоррелированный ни с факторами/ь...,/„, ни с «шумовыми» членами других активов. Однако модель APT проигрывает модели САРМ в простоте и наглядности и поэтому модель САРМ продолжает оставаться од­ ной из самых распространенных при расчетах ценных бумаг.

18.5. Идеальный финансовый рынок Под таким рынком понимают рынок, все участники которого располагают одинаковой информацией и принимают на ее основе наилучшие, оптимальные решения. Следовательно, такой рынок должен быть эффективным. Далее каждый участник рынка стре­ мится сформировать оптимальный портфель своих ценных бумаг. Но согласно теории Тобина структура рисковой части оптимального портфеля одна и та же и не зависит от склонности инвестора к рис­ ку (в предположении существования безрисковых бумаг). Поэтому все захотят сформировать портфель, одинаковый по своей риско­ вой части. Однако структура продаваемых ценных бумаг может не быть таковой. Тогда пойдут обычные перераспределительные про­ цессы: ценные бумаги, спрос на которые больше их предложения, начнут повышаться в цене, а те, спрос на которые меньше, — по­ нижаться. В конце концов установится равновесие, при котором оптимальный портфель в своей рисковой части будет такой же, как и весь рынок в рисковой части. Следовательно, и для рьшка в це­ лом будет справедливо соотношение: rrif =т0+р^(т^ -т0), где rrif— средняя эффективность всего рынка в целом, т.е. коэффи­ циент Р/ всего рьшка равен 1. Итак, премия за риск, связанный с данной ценной бумагой, пропорциональна премии за риск рьшка в целом и коэффициентом пропорциональности является «бета» данной ценной бумаги. Видим, что на идеальном рынке выполня­ ется основной постулат модели САРМ. Итак, оптимальный портфель на идеальном конкурентном рын­ ке имеет ту же структуру рисковых бумаг, что и весь рынок. Таким образом, при формировании портфеля надо довериться рынку и сформировать структуру рисковой части портфеля аналогично ры­ ночной структуре в его рисковой части. Если, скажем, в общей стои­ мости всех рисковых бумаг на рынке акции компании IBM состав­ ляют 1,5%, то и инвестор должен вложить 1,5% своего капитала, предназначенного для рисковых ценных бумаг, в акции IBM. Но как разделить капитал на рисковую и безрисковую части, тео­ рия не может подсказать, это разделение зависит от склонности инвестора к риску. Желая увеличить эффективность своего порт­ феля, инвестор должен будет уменьшать долю безрисковых бумаг и увеличивать доли рисковых бумаг, сохраняя оптимальные про­ порции между ними. 18.6. Инвесторы на идеальном финансовом рынке Обозначим у^ — долю 'безрискового актива в портфеле к-ю инвестора. Как выше отмечалось, эта доля определяется склон­ ностью к риску (или его неприятием) данного инвестора. Сле­ довательно, (1 — уk) — доля рискового актива в портфеле к-то инвестора. Если у* = 1, то инвестор составил портфель только из без­ рисковых бумаг, если у^ < 0, то инвестор занял деньги под без­ рисковый процент и купил на эти деньги рисковых активов, так что (1 — у^) > 1. Обозначим Wk — суммарный капитал инвестора, а Yk = (1 -yk)Wk — капитал, вложенный в рисковую часть портфе­ ля. Пусть соотношение S\ : Si :...: Sn, 2^Si = * задает пропор» i ции между стоимостями различных рисковых бумаг на рынке или в рисковой части оптимального портфеля. По предположе­ нию, рисковые части всех оптимальных портфелей инвесторов устроены одинаково. Итак, Si-V^/V, (18.1) где V — суммарная стоимость всех рисковых рыночных активов на рынке;

Vt — стоимость рисковых активов /-й фирмы (отождествля­ ем акции с выпустившими их фирмами). Так как рынок разделен между инвесторами, то ^Yk = к = Х ^ = У - Одним из важных свойств идеального финансового i рынка является то, что каждый инвестор к владеет одинаковой, присущей ему долей Z^ каждой фирмы. Действительно, из фор­ мулы (18.1) вытекает, что SJVi = l/V. Отсюда доля стоимости /-й фирмы, принадлежащей инвестору к, равна Z* =(SiYk)/Vi=Yk/V = Yk/CYj), j не зависит от фирмы и одинакова для всех фирм. Эта доля рав­ на доле его участия на рынке рисковых активов. З а м е ч а н и е. Описанные модели финансовых рынков частично перекрывают друг друга, так что каких-то очень четких границ каждой модели не существует. Можно лишь выделить некоторые ключевые положения этих моделей: • эффективный рынок: рациональность действий участников, цены случайно блуждают;

в портфеле инвестора нет «домини­ руемых» ценных бумаг;

• модель САРМ: оценивается только систематический риск, до­ ходность актива линейно зависит от его систематического риска и средней рыночной доходности;

«бета» портфеля равна линейной комбинации от «бета» активов с их долями;

• модель APT, доходность актива зависит от нескольких фак­ торов;

• идеальный рынок: портфель каждого инвестора оптимален и совпадает с рыночным портфелем в своей рисковой части, каж­ дый инвестор владеет одной и той же присущей ему долей лю­ бой фирмы. Какой-либо самой лучшей, общепризнанной модели финан­ сового рынка не существует.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. В § 18.2, где говорится об эффективном рынке, упомяну­ то, что «ценная бумага, доминируемая по своим характеристи­ кам какой-нибудь другой, не может долго функционировать на таком рынке и должна исчезнуть». Как надо понимать это ут­ верждение? 2. За день индекс Доу Джонса упал на 7%. Какую часть сво­ ей суммарной стоимости потеряли акции, «бета», которых 1,2? 3. Безрисковая ставка увеличилась, другие параметры, на­ пример «бета» данной бумаги, не изменились. Поднялись или опустились эффективности ценных бумаг (в модели САРМ)? 4. В модели САРМ известны эффективности и «бета» двух ценных бумаг. Как найти безрисковую ставку и эффективность рынка? 5. В модели САРМ известны безрисковая ставка, эффектив­ ность и «бета» некоторой ценной бумаги. Нарисуйте линию SML. 6. В модели САРМ сформировать портфель максимальной эффективности, «бета» которого не более 1,1, из бумаг со сле­ дующими «бета»: 1;

1,2;

0,8. Безрисковая ставка равна 4, эффек­ тивность рынка равна 8. Операция «short sale» не разрешена. Р е ш е н и е. В указанной модели превышение эффективно­ сти портфеля над безрисковой ставкой пропорционально р портфеля. Поэтому надо составить портфель с максимально возможной р, т.е. с р = 1,1. Для этого достаточно взять любые две бумаги, р которых ле­ жат по разные стороны от 1,1;

например, вторые бумаги с р = 1,2 и третьи — с р = 0,8, и решить систему уравнений: 1,2х2 + 0Дх3 = U, Получим %2 = 3/4, хз = 1/4. Таким образом, искомый порт­ фель можно составить только из вторых и третьих бумаг. 7. На идеальном финансовом рынке 10% по стоимости со­ ставляют безрисковые бумаги и 90% — рисковые. Рисковых всего три: первые составляют 1/6 и их р = 0,8;

вторые — 1/3 и Р = 1. Найти долю и р третьих бумаг. Найти эффективности всех рисковых бумаг и среднюю доходность по всему рынку, если эффективность рынка (средняя доходность по рисковым бумагам) равна 8%, а безрисковая ставка равна 4%. Р е ш е н и е. Разумеется, доля третьих бумаг равна 1/2. Для нахождения р этих бумаг надо вспомнить, что для рыночного портфеля р = 1. Следовательно, 1/6-0,8 + 1/3-1 + 1/2-р 3 =1, откуда Рз = 1,4. Эффективность каждой ценной бумаги равна m / =m 0 +P / (m^-m 0 ) = 4 + p / (8-4) = 4 + 4p /, т.е. т\ = 7,2%;

mi = 8;

w3 = 13,6. Далее, средняя доходность по всему рынку равна 0,1 • 4 + 0,9 • 8 = 7,6%.

Дополнение к части II В этом дополнении рассмотрена теория ожидаемой полез­ ности и на ее основе охарактеризовано отношение ЛПР, ин­ вестора к риску. Теория ожидаемой полезности изложена во многих книгах на русском языке. Некоторые же вопросы об отношении к риску, например коэффициент Эрроу—Пратта неприятия риска, на русском языке излагаются впервые.

Глава 1 9 ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ Теория полезности существует в двух видах: теория предпочте­ ний индивида и отражающая ее функции полезности — это детер­ минированный вариант, и теория ожидаемой полезности — стохас­ тический вариант. Детерминированный вариант изложен в допол­ нении к ч. I (к созданию § 7.1 имели отношение экономисты). Сто­ хастический вариант излагается ниже. Может показаться стран­ ным, но основы стохастической теории полезности были заложены Д. Бернулли в 1738 г. раньше, чем детерминированной.

19.1. Простейшие лотереи Представьте, что вам предлагают купить лотерейный билет, по которому немедленно будет проведен розыгрыш. У вас равные шан­ сы выиграть сумму S = 100 долл. И остаться при своих — ничего не выиграть и не проиграть. За какую сумму вы купили бы этот билет? Если за 50 долл., то вы «объективист». Так называют тех, кто покупает билет за сумму М9 равную математическому ожиданию выигрыша — в данном случае М = 50 долл. Вообще говоря, зна­ ние теории вероятностей способствует «объективности», т.е. сре­ ди знающих теорию вероятностей гораздо больше объективистов, чем в среднем по всему разумному человечеству. Если вы согласны заплатить за билет лишь менее М9 например только 45 долл., то вы не любите рисковать. Условно будем называть не любящих рисковать «пессимистами» (они не верят в выигрыш). Если же вы согласны заплатить за билет более М, например 55 долл., то вы уверены, что вам повезет и вы выиграете 100 долл. В этом случае ваше отношение к риску положительное. Вас мож­ но назвать «оптимистом» или «любящим риск» (risk lover). Можно узнать о вашем отношении к риску, рассуждая подоб­ ным образом о продажной цене лотерейного билета. Представьте, что описанный выше лотерейный билет у вас уже есть и вам предлагают его продать. За какую сумму вы бы его продали? Если за 50 долл., то вы «объективист». Если вы согласны про­ дать билет за сумму менее М, например за 45 долл., то вы не лю­ бите рисковать и стараетесь избавиться от риска даже ценой неко­ торых потерь, эти потери есть ваша плата за избавление от риска. Если же вы согласны продать билет лишь за сумму более М, например за 55 долл., то ваше отношение к риску положительное. Вы уверены, что Вам повезет и с возможностью выиграть вы рас­ стаетесь неохотно, лишь если вам за это приплатят. Фиксируем теперь сумму 100 долл. и будем изменять вероят­ ность выигрыша р. Рассматриваемый лотерейный билет при данном значении р дает вьшгрьпп 100 долл. с вероятность р. Теперь можно нарисовать графики покупной и продажной цены такого билета для объективиста, пессимиста и оптимиста (рис. 19.1). Прямая линия — это график покупной и продаж­ ной цены В(р) лотерейного билета для объективиста, верх­ няя кривая А(р) — для оп­ тимиста и нижняя С(р) — для пессимиста. Таким образом, лотерей­ ный билет при р = 0,5 объ­ Рис. 19.1 ективист купит или продаст ровно за математическое ожидание его выигрыша, т.е. за 50 долл., оптимист — за Д0,5) (выше эта сумма была 55 долл.), пессимист — за С(0,5) (выше эта сумма была 45 долл.). Вообще-то говоря, покупная и продажная цены не обяза­ тельно должны совпадать для оптимиста и пессимиста, как изо­ бражено на рис. 19.1, но мы этим пренебрегли для упрощения. Рассмотрим плоскую фигуру, образованную ломаной ОСМ и прямой объективиста или кривой оптимиста или пессимиста. Обозначим/долю, которую занимает эта фигура в прямоуголь­ нике ОАМС. Для объективиста эта фигура есть треугольник ОСМи/= 0,5;

для пессимиста эта фигура образована ломаной ОСМ и его кривой и 0 < / < 0,5 и для оптимиста эта фигура об­ разована ломаной ОСМ и его кривой и 0,5 < / < 1. Число/оце нивает отношение ЛПР к риску. Если/= 0,5, то это объективист и его отношение к риску нейтральное, при 0 < / < 0,5 — это пессимист, он риск не любит, и чем меньше /, тем больше он не любит риск;

наконец, если 0,5 < / < 1, то это оптимист и чем ближе/к 1, тем благожелательнее его отношение к риску. Эти рассуждения выглядят безупречно. На самом деле огром­ ное большинство людей не любят рисковать и потому, по нашей терминологии, они пессимисты. Кроме того, имея достаточно много денег и терпения, оптимиста можно разорить, после чего он, воз­ можно, пересмотрргг свое отношение к риску. Сделать это можно примерно так. Пусть он покупает у вас лотерейный билет за 55 долл. Вы присоединяете к этой сумме свои 45 долл. И разыгры­ ваете билет с р = 0,5;

100 долл. попадают к нему или к вам. Потом эта операция повторяется. Таким образом, за каждый розыгрыш он проигрывает 5 долл. в среднем. Если таким образом сыграть п раз, то его средний выигрыш с большой вероятностью будет бли­ зок к 50 долл., в то время как затраты его будут в среднем на один розыгрыш равны 55 долл. Но, может быть, ему действи­ тельно повезет в нескольких первых партиях и в этом случае пе­ реубедить его будет очень трудно. Как увидим далее (§ 20.3) весьма общие и принципиальные свойства системы предпочтений ЛПР вынуждают его относиться к риску неприязненно, не принимать его. Найдем мы и способ из­ мерения этого неприятия. Так что оптимисты представляют собой лишь чистый курьез, во всех серьезных решениях риск предпочи­ тают уменьшать. 19.2. Теория ожидаемой полезности Выше рассмотрены лотереи с двумя исходами: выигрышем 100 долл. и статус-кво. Рассмотрим теперь более общие лотереи с п исходами 1,..., п. Эти исходы неравноценны в системе предпочтений ЛПР. Простой лотереей называется распределение вероятностей на множестве исходов L = (ph..., рп). Из простых лотерей можно конструировать более сложные. Возьмем к простых лотерей L\,..., Lk. Припишем каждому / = 1,..., к вероятность pt и получим составную лотерею (L\, p\\...;

Z#, Pk). Эта лотерея осуществляет­ ся так: сначала разыгрывается распределение вероятностей (р\,..., р^) с помощью подходящего случайного механизма и получа­ ем какой-то номер / из множества номеров 1,..., к. Затем разыг­ рывается уже простая лотерея Ц. Такую лотерею называют со ставной лотереей 1-го порядка. Из таких лотерей можно сконст­ руировать составную лотерею 2-го порядка и т.д. Априори ясно, что разные лотереи имеют для ЛПР разную ценность, поэтому на множестве всех лотерей возникает отноше­ ние предпочтения: запись L < L означает, что ЛПР предпочитает лотерею L лотерее L. Отношение предпочтения описано в § 7.1. Главными свойствами предпочтения являются рефлексивность, транзитивность и совершенность. Рефлексивность означает, что L< L для любой лотереи, транзитивность означает, что если Ц< Lj и 1^< 1з> то Ц< Ц, и совершенность означает, что для любых двух лотерей Z, L верно либо L < L, либо L'< L. Многие исследователи признают, что это отношение предпоч­ тения весьма зыбкое: многие пары лотерей столь близки друг к другу, что ЛПР с большим трудом может выбрать из них лучшую. Трудность выбора лучшей лотереи усугубляет также их сложная природа — ведь можно построить составные лотереи сколь угод­ но высокого порядка. В процессе исследования данного круга вопросов были найдены три аксиомы, которые значительно уп­ рощают систему предпочтений ЛПР на множестве лотерей: Аксиома сводимости. Составная лотерея 1-го порядка (Z b р\\...;

Lk, pk) эквивалентна (в системе предпочтений ЛПР) простой лотерее, в которой вероятность у-го исхода есть ^PtPij, где рц — i вероятность у-го исхода в /-й простой лотерее Ц. I Пример 1. Пусть исходов всего два. Возьмем две простые лотереи Zj = (0,1;

0,9) и Li = (0,4;

0,6). Теперь рассмотрим составную лотерею (L\, 0,3;

Li, 0,7). По аксиоме сводимости эта составная лотерея эквиI валентна простой (0,3 • О + 0,7 • 0,4;

0,3 • 0,9 + 0,7 • 0,6) = (0,31;

0,69). Д Итак, аксиома сводимости позволяет ограничиться только простыми лотереями, которые будем называть просто лотерея­ ми. Множество всех лотерей обозначим Ж Для случая п исходов это множество есть {(pi,..., рп): все pt > 0 и ] # = 1} и называется (п — 1)-мерным симплексом. Формулировки двух других аксиом — непрерывности и незави­ симости опустим, отметим только, что они довольно естественны. Если все три аксиомы принять, то можно доказать следую­ щую теорему: Теорема. Возможно каждому исходу / = 1,..., п приписать число щ такое, что для любых двух лотерей L = (р\,..., рп), L = (p[,..., p'„) будет верно L < L', если и только если Число и/, приписанное /-му исходу, называется его полезно­ стью. Число же u(L) = ^ р(щ, которое приписывается лотерее Z, называется средней ожидаемой полезностью этой лотереи. С точки зрения теории вероятностей это просто математическое ожидание лотереи. Полезности же лотерей можно вычислить по формуле мате­ матического ожидания. I Пример 2. Продолжим рассмотрение примера 1. Припишем исходу О полезность 0, а исходу 1 — полезность 100. Найдем средние ожидае­ мые полезности всех трех упомянутых лотерей: двух простых L\ — = (0,1;

0,9) и L2 = (0,4;

0,6) и одной составной (Lu 0,3;

L2, 0,7). Итак, щ = 0, щ = 100. Значит, ы(Ц) = 0,1 • 0 + 0,9-100 = 90;

и(Ц) = = 0,4 • 0 + 0,6 • 100 = 60;

поскольку по аксиоме сводимости составная лотерея эквивалентна простой (0,31;

0,69), то ее средняя ожидаемая полезность равна 0,31 • 0 + 0,69 • 100 = 69.

Пример 3. Пусть начальный капитал ЛПР составляет 4 долл., а его функция полезности денег есть и(х) = 4х (см. § 7.3). Ему предла­ гают лотерею, в которой возможны выигрыши 12 долл. с вероятно­ стью 0,5 и «выигрыш» 0 долл. также с вероятностью 0,5. Следует ли ЛПР участвовать в такой лотерее? Р е ш е н и е. Полезность 4 для ЛПР равна и(4) = V4 = 2. По­ лезность его капитала после выигрыша 12 долл. равна м(4 + 12) = 4;

после «выигрыша» 0 долл. — «(4) = 2;

средняя ожидаемая полезность равна 0,5 • 4 + 0,5 • 2 = 3, что больше первоначальной. Следова­ тельно, ему нужно участвовать в лотерее. А сколько ему можно заплатить за право участия в этой лотерее? Обозначим эту плату а. Тогда а определяется из уравнения 0,5 • (4 — — а + 12) + 0,5 • (4 — а) = 2 и элементарные подсчеты показывают, I что а = 3,75.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Найдите вероятность, что за п розыгрышей лотереи опти­ мист потеряет не менее 50 долл. (см. § 19.1). 2. Пусть функция покупной (и продажной) цены лотерейного билета, по которому выигрыш 1 с вероятностью р и статус-кво с дополнительной вероятностью есть р2. Кто перед нами — опти­ мист, объективист или пессимист? 3. Рассмотрим лотереи с двумя исходами. Возьмем две простые лотереи L\ = (0,2;

0,8) и 7 2 = (0,4;

0,6). Опишите и изобразите на плоскости все лотереи, составленные из этих двух (см. пример 1). 4. Сведите к простой составную лотерею (JL\\ 0,1;

Li\ 0,1;

Z3;

0,8), где 7, = (0,1;

0,2;

0,7) и 7 2 = (0,2;

0,6;

0,2), 7 3 = (0,3;

0,4;

0,3). 5. Рассмотрим лотереи с тремя исходами. Возьмем три про­ стые лотереи L{ = (0,1;

0,2;

0,7) и 7 2 = (0,2;

0,6;

0,2), 7 3 = (0,3;

0,4;

0,3). Опишите и изобразите в пространстве все лотереи, со­ ставленные из этих трех — см. пример 1 и задачу 3. 6. Проанализируйте пример 3 в общем случае — для произ­ вольного уровня начального богатства ЛПР, для произвольной вероятности выигрыша и т.п.

Глава ОТНОШЕНИЕ ЛПР, ИНВЕСТОРА К РИСКУ Известно, что разные люди относятся к риску по-разному: одни не любят рисковать, другие считают себя «счастливчиками», кото­ рым непременно повезет. Оказывается, существуют способы вы­ явить и даже количественно оценить отношение ЛПР к риску и тем самым лучше понять особенности принятия им решений.

20.1. Измерение неприятия риска Выше рассмотрены лотереи с конечным множеством исхо­ дов. Сейчас рассмотрим более общую ситуацию. Множество ис­ ходов есть множество всех неотрицательных денежных сумм /?+ = [0, оо). Лотерея задается распределением вероятностей на В+ с помощью функции распределения F, которую и отождествим с самой лотереей. В данной ситуации F(x) — вероятность того, что при розыгрыше лотереи ЛПР получит доход меньше х. Из тео­ рии ожидаемой полезности (см. гл. 19) следует, что можно оп­ ределить для ЛПР функцию полезности и{х), определенную на R^, после чего полезность лотереи F рассчитывается по формуле u(F) = J u(x)dF{x), а если рассматриваемое распределение непрерывно, т.е. имеет плотность распределения /, то "(F) = ]u(x)f(x)dx. Эту полезность лотереи также называют R+ средней ожидаемой полезностью лотереи. Функция и(х) — функ­ ция Бернулли, a u(F), определенная на лотереях рассматривае­ мого вида, — функция Неймана—Моргенштерна. Фактически функция Бернулли — это функция полезности денег (§ 7.3). Пример 1. Пусть функция Бернулли есть и(х) = vx, а выигрыши лотереи равномерно распределены на отрезке [0, 1]. Тогда средняя ожидаемая полезность лотереи будет J \xdx - 2/3.

I о Напомним свойства функции полезности денег и{х) — она непрерывная, возрастающая и вогнутая, а если предположить ее дифференцируемость, то ее первая производная положительная, но должна убывать, что известно как убывающая предельная по­ лезность денег (а в самой общей форме — для любой функции полезности, как 1-й закон Госсена). В дифференциальной форме убывание первой производной выражается отрицательностью 2-й производной. Но отрицательность 2-й производной — это и есть характе­ ристика вогнутости функции. На рис. 20.1 это иллюстрирова­ но выпуклостью части плос­ кости, расположенной вправо и вниз от графика функции. Напомним, что вогнутость функции / характеризуется тем, что /(0,5а + 0,5Ь)> > 0,5/(а) + 0,5 f(b) для любых а, Ъ из области определения / (см. рис. 20.1), что эквивалентно в свою очередь тому, что Рис. 20.1 fQui + (l-X)b)>Xf(a) + (l-X)f(b) для любых я, Ъ из области определения / (область определения / также должна быть выпуклой). Поскольку интеграл ju(x)dF(x) есть аналог суммы ^/^«(х,), R+ ' где р\ +... + рп= 1, то свойство вогнутости функции полезности и эквивалентно выполнению неравенства / л U(F) = ju(x)dF(x)

c + \)dx = 0,1 (JC +1) (ln(x +1) -1)| = In 40 - 1.

9 Теперь надо найти с из уравнения 1п(с +1) = In 40 - 1. Окончательно получаем c(F) = 4 0 / e - l « 13,76. Вычислим теперь ^xdF(x).

R+ Для рассматриваемого равномерного распределения математическое ожидание jx dF(x) = (9 + 19)/2 = 14. Как и должно быть, 13,75 < 14.

Следующая теорема, приводимая без доказательства, подво­ дит итог изложенному в этом параграфе. Теорема. Вогнутость функции полезности ЛПР и на множест­ ве денежных сумм [0,оо) равносильна тому, что c(F)< jxdF(x) для любой лотереи F, и любое из этих двух равносильных усло­ вий свидетельствует о неприятии риска ЛПР.

20.2. Некоторые известные конкретные функции полезности денег Известно несколько таких функций. Рассмотрим две наибо­ лее типичные. Квадратичная функция полезности (рис. 20.2) U(x) = ax-bx2, где а, Ъ > 0. (20.2) Эта функция известна еще как функция полезности Нейма­ на—Моргенштерна. Она широко используется в теории финан­ сов, в частности, в теории ценных бумаг. Конечно, как функция полезности, она должна рассматриваться только на отрезке [0, а/2Ь], где она вогнутая. Широкое ее использование объясня­ ется теоремой Неймана—Моргенштерна о том, что при опреде­ ленных естественных допущениях экономическое поведение на­ правлено на максимизацию ожидаемого значения полезности функции U.

UA Z = a/lb а/Ъ х Рис. 20. Рис. 20. Логарифмическая функция полезности (рис. 20.3) (20.3) U(x) = logfl х, где а > 0. Эта функция вогнута на всей своей области определения. Впервые она была рассмотрена Бернулли в 1738 г. 20.3. Коэффициент Эрроу—Пратта неприятия риска Отношение ЛПР к риску очень важно для анализа принятия им различных решений и, как видно из теоремы, сформулирован­ ной в § 20.1, все дело в строении его функции полезности денег и(х) — функции Бернулли. Поэтому эту функцию тщательно изу­ чали и сделаны даже попытки измерить степень неприятия риска в конкретных точках области определения функции Бернулли. Коэффициентом Эрроу—Пратта неприятия риска в точке х ддя ЛПР с функцией Бернулли и называется число гэ(х) = -и\х)/и'(х). Так как для функции полезности 1-я производная положи­ тельна, а 2-я — отрицательна, то гэ(х) > 0 во всякой точке х. Это и есть обещанное в конце § 19.1 утверждение о неприятии риска ЛПР. Пример 3. Найти коэффициент Эрроу—Пратта неприятия риска для функции Бернулли и(х) = 1 - е_шг, а > О. Имеем и(х) = ае_ш:, и"(х) = -а 2 е _ах, значит, гэ(х) = а. Поясним происхождение коэффициента Эрроу—Пратта. Вы­ ше была сформулирована теорема о том, что степень неприятия риска определяется вогнутостью функции полезности. Математи­ чески степень вогнутости определяется величиной 2-й производ­ ной. Однако одной 2-й производной недостаточно: если функцию полезности увеличить, например, в 2 раза, то система предпочте­ ний ЛПР не изменится, но 2-я производная тоже возрастет в 2 раза, хотя неприятие риска, очевидно, не изменилось. Для уст­ ранения этого вместо 2-й производной применяется отношение ее к 1-й производной. Еще одно объяснение строения коэффициента Эрроу—Прат­ та. Фиксируем какую-нибудь вероятность р и предложим ЛПР сыграть в игру: с вероятностью р он получит сумму х и с веро­ ятностью 1 — р — сумму у. Конечно, в некоторые такие игры ЛПР откажется играть (например, если обе величины х, у отри­ цательны). Обозначим множество игр (х, у), в которые ЛПР со­ глашается играть при уровне его богатства w, через A(w) и назо­ вем это множество множеством игр, приемлемых для него. Если ЛПР не склонен к риску, то это множество выпукло. Граница этого множества состоит из «пограничных» игр (х, у), таких, что р - u(w + х) + (1 - р) • u(w + у) = u(w). Эта граница задает график функции у(х) (рис. 20.4). Найдем производную этой функции в т. 0: р • u'{w) + (1 - р) • u\w) • /(0) = 0. Итак, уЩ = -Р/(1-р). Можно использовать множе­ ство приемлемых игр A(w) для оценки склонности ЛПР к риску. Пусть оценивается склонность к риску двух ЛПР — А и В. Найдем Рис. 20.4 их множества приемлемых игр A(w) и B(w). Если A(w) с B(w) при любом и>, то можно сказать, что В бо­ лее склонен к риску, чем А. Теперь оценим эти множества ло­ кально в некоторой окрестности 0. Ясно, что чем больше кривизна кривой у(х), тем меньше множество приемлемых игр, тем больше ЛПР не любит риск. Но кривизна кривой оценивается 2-й производной. Найдем 2-ю производную у\0): 2 р • u\w) + (1 - р) • u\w). (/(О)) +(l-p)- u\w) • / ( 0 ) = 0. Используя найденное выше значение /(0), получим окончательно y"(b) = (p/(\-p)2)[-u\w)/u'(w)]. Видно, что значение 2-й производной пропорционально ко­ эффициенту Эрроу—Пратта. 20.4. Коллективные решения и разделение риска Как сравнить ЛПР по их отношению к риску? Этот вопрос уже частично рассмотрен в предыдущих параграфах. Здесь рас­ смотрим разделение риска и ответственности между двумя ЛПР. Рассмотрим частный случай процедуры исследования систе­ мы предпочтения ЛПР, описанной в предыдущем параграфе. Предложим ЛПР сыграть в игру, в которой он с равными шансами получит сумму х или заплатит сумму у. Обозначим множество игр (х, у), в которые ЛПР соглашается играть, через А. Граница этого множества состоит из «пограничных» игр и явля­ ется графиком некоторой функции g(x). Если ЛПР не склонен к риску, то множество А выпукло, функция g вогнута. Эти моменты уже привычны и на них не останавливаемся (рис. 20.5). Итак, равновероятная лотерея (х, у) приемлема для ЛПР, только если у < g(x). Специально отметим, что функция g(x) несомненно ха­ рактеризует отношение ЛПР к риску — чем более вогнута эта функция, тем больше неприРис. 20.5 ятие риска ЛПР. Пусть теперь два ЛПР пы­ таются совместно разыграть лотерею (х, у) указанного вида. При этом они согласны внести совместно сумму у при проигрыше и разделить на двоих выигрыш х. Как найти множество лотерей, приемлемых для них? Может ли, в частности, найтись лотерея, приемлемая ддя обоих совместно, но неприемлемая для каждого в отдельности? На рис. 20.6 график функции g\ ддя первого ЛПР показан сплошной линией, ^ Для второго — пунктирной. Можно попробовать разделить выигрыш и проигрыш про­ порционально. Скажем, первый берет долю d = 3/4, а долю d = = 1/4 берет на себя второй. Тогда в лотерее (1000, 500) доля пер­ вого была бы (750, 375), а второго — (250, 125). Из рис. 20.6 видно, что такая лотерея приемлема для второго, а для первого неприем­ лема. И вообще видно, что пропорциональное разделение лотерей не подходит для первого — ведь все такие лотереи лежат на диаго­ нали, а она не пересекается с множеством А приемлемых для пер­ вого ЛПР лотерей. С другой стороны, почему обязателен про­ порциональный подход к разделению лотерей? Мало ли как могут договориться два ЛПР. Например, они могут разделить лотерею (1000, 500) так: первый - (500, 175), второй - (500, 325). Из рис. 20.6 видно, что это приемлемо для обоих ЛПР. Пусть g\, g2 — функции, указанные выше для обоих ЛПР. Найдем функцию g для «коллектива» двух ЛПР. Рассмотрим лотерею (я, Ь). Она приемлема для коллек­ тива, если и только если найдутся xh х2, у и Уг такие, что х{ + х2 = а, ух + у2 = Ъ и л < g(x{), у2

250 500 x 0 б) g2(x)

в) g"2(x)>g"{(x). 20.5. Учет отношения ЛПР к риску Введем в рассмотрение функцию Щг, т), с помощью которой ЛПР оценивает операцию с риском г и эффективностью т (напом­ ним, что эффективность — это средняя ожидаемая доходность опе­ рации). Такая функция относится к классу функций полезности, так и будем ее называть. Любая линия уровня функции U дает опера­ ции, равноприемлемые для ЛПР, поэтому они называются еще кри­ выми безразличия. В зависимости от отношения ЛПР к риску такие функции могут быть трех видов (на рис. 20.7 изображены кривые безразличия).

т • т • т А а б в Рис. 20.7 Рис. 20.7, а соответствует неприятию риска — двигаясь по кривой безразличия, ЛПР компенсирует увеличение риска все большим уве­ личением дохода;

рис. 20.7, б — нейтральному, или лучше сказать, безразличному отношению к риску;

рис. 20.7, в — благожелательно­ му отношению к риску, когда ЛПР считает, что ему непременно повезет и предпочитает более рисковые операции. Наиболее естест­ венным представляется поведение ЛПР с неприятием риска. Типич­ ная функция такого ЛПР есть, например, Щг,т) = т-2г, т.е. когда ЛПР готов поступиться увеличением риска на единицу, если при этом эффективность увеличится на 2 единицы. Продолжим теперь решение задач об оптимальном портфеле, изложенных в гл. 16, 17, с учетом отношения ЛПР к риску посред­ ством его функции полезности: среди всех портфелей найти порт­ фель, наиболее полезный для данного ЛПР, т.е. максимизирую­ щий его функцию полезности. Конечно, такой портфель надо ис кать среди портфелей, оптимальных по Парето, или эффективных. Обозначим множество таких портфелей Я, тогда надо решить задачу: U(P) -> max Ре P. (20.4) Естественной функцией полезности является такая, которая возрастает с увеличением эффективности портфеля и уменьше­ нием его риска. Поэтому можно ограничиться лишь портфеля­ ми, оптимальными по Марковичу, т.е. имеющими минималь­ ный риск при данной эффективности или максимальную эф­ фективность при данном риске. Если на рынке есть безрисковые бумаги, то задача (20.4) сильно упрощается. В самом деле, для оптимальных портфелей Тобина за­ висимость эффективности от риска линейная — тр = щ + d' rp (см. § 16.7). Подставляя эту линейную зависимость в функцию по­ лезности, сведем задачу (20.4) к максимизации функции одной переменной. Итак, при наличии безрисковых бумаг есть две возможности учесть отношение ЛПР к риску: выбором доли XQ безрисковых бу­ маг и с помощью функции полезности.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Пусть функция полезности ЛПР есть и(х) = 1п(1 + х), уровень его капитала w. Ему предлагают лотерею, в которой выигрыш х и проигрыш х имеют вероятность соответственно р и 1 — р. Найдите х, при котором такая лотерея ему безразлична. Каков ответ при/? = 0,5? 2. Пусть функция Бернулли индивидуума есть и(х), уровень его богатства w. Рассмотрим лотерею, которая с вероятностью р дает выигрыш С и е вероятностью (1 — р) — выигрыш В. Найдите про­ дажную и покупную цену этой лотереи в общем виде. Решите эту задачу при конкретных данных: и(х) = yfx, w = 10, С = 10, В = 5. 3. Пусть функция полезности индивидуума есть и(х) = 4х. При уровне богатства 16 найти вероятностную премию за риск в лоте­ рее, которая с вероятностью 1/2 дает выигрыш 4 и проигрыш 4. Р е ш е н и е. Эта вероятностная премия е за риск удовлетво­ ряет уравнению и{х) = (1/2 + ё) и(х + 4) + (1 /2 - ё) и(х - 4), т.е. 16 = (1/2 + е) • д/(16 + 4) + (1/2 -е) • ^/(16-4). Решая это уравнение на­ ходим е = 0,04.

Следовательно, данному индивидууму при таком уровне его бо­ гатства безразлична лотерея, которая дает выигрыш 4 с вероятно­ стью 0,54 и проигрыш 4 с вероятностью 0,46. 4. Пусть ЛПР приглашает сыграть в две лотереи:

X, 1/ ° 4 _ _ -у^— тх - 2, А - 4;

9 1 1/8 Х2: ~^fW т2=2, Z2 = 7. > Справа от табличек написаны средний ожидаемый выигрыш и дисперсия обеих лотерей. Если отвлечься от самого ЛПР, то определенно лотерея Х\ явно лучше — средний ожидаемый выиг­ рыш тот же, а риск меньше. Однако если функция полезности ЛПР, например, есть u{z) = Jz] то средняя ожидаемая полезность лотереи Х\ равна 1, т.е. (1/2- иф) + 1/2- и(4) = 0 + 1/2- 2 = 1), а лотереи Х2 равна 10/8. Это обстоятельство способно повлиять на выбор лотереи данным ЛПР. На самом деле, и это всем прекрасно известно, окончательное решение, принимаемое ЛПР, зависит от его вкусов, симпатий, настроения и т.п. 5. Пусть функция полезности инвестора есть f(P) = m- Гг. Заданы характеристики двух ценных бумаг: эффективности и их риски равны 4, 8;

6, 30;

совместная вариация доходностей равна 20. С помощью компьютера перебрали с шагом h = 0,2 долю х[1] = 1 — А • А 1-й бумаги в портфеле и определили харак­ : теристики портфелей с такими долями бумаг (х[2\ при этом равно 1 — х[1]). Таким образом, нулевой портфель состоит толь­ ко из бумаг 1-го вида, а 5-й — из бумаг 2-го вида. Эффективность Риск портфеля Полезность портфеля Номер портфеля 4,0 8,0 1,2 4,4 9,1 1,4 4,8 13,3 5,2 5,6 18,3 24,2 0,9 07 6,0 30,0 0, _У_ Проверьте компьютерные расчеты, убедитесь, что 1-й порт­ фель имеет наибольшую полезность. 6. Пусть оценка ЛПР полезности портфеля Р есть и{Р) = т — г2, где /w, r — эффективность и риск портфеля. Портфель составля­ ется из двух некоррелированных ценных бумаг с эффективностями и рисками соответственно (2, 4), (4, 8). Найдите самый полез­ ный портфель. Найдите эффективность и риск этого портфеля. УКАЗАНИЯ И ОТВЕТЫ К ВОПРОСАМ И ЗАДАЧАМ Глава 1. 6. 2. 1653. 3. Пусть а — инфляция за год, тогда инфляция за квартал х находится из уравнения (1 + х)4 = 1 + а. 4, 851, 926, 1000, 1080, 1166,.... 5. 11. 7. 4,76 (простые проценты). 4,1 (сложп п ные). 10. 18,7. 11. ( 1 + / ). 12. S-Y\(l Глава + ik). 13. Плательщику.

2. 721, 835. 3. 9. 4. 1636. 5. 20518. 6. 6002. 7. 3443. 9. 773. 10. 8. 11. 648. 12. При 10% — второй, при 5% — первый. 13. Увеличение на год. 14. 3000. 16. Да, например, для годовой ренты длительно­ стью 1 год. 18. На первое место надо поставить максимальный пла­ теж, затем — максимальный из оставшихся и т.д. 19. R(l + fy/i ми­ нимальна при t = 0;

максимума нет. 20. При / > 1,01 (1,01 — это 101% годовых!) предпочтительнее увеличение платежа, при / < 1,01 — уменьшение ставки процента. 21. Да.

1050 2214 3535 Современную величину такой ренты А можно найти из уравнения Л(1,05) + (1,05Л + 1000)1,05 + [(1,05Л + 1000)1,05 + 1000] 1,08 + + {[(1,054 + 1000)1,05 + 1000]1,08 + 1000}1,1 = 4535. 25. н/ц(-1). 26. От­ вет автору неизвестен. 27. Да. 28. 1/1п ц.

Глава 1. ДЛЯ заемщиков. 7. Да. 8. В конце 1-го года — 1025;

2-го — 975,..., в конце 8-го - 675. 9. 3480. 10. 7950. 11. 0,242,..., 242.

Глава 1. Не дана ставка процента, пусть она равна 6%. Рассмотрим под­ робно 1-й ЦИКЛ: расходы в конце 1-го года, доходы в конце 2-го года,..., в конце 10-го года. Современная величина этих платежей равна (10 000 • я(9,6) - 30 000)/1,06 = 35 858. Современная величи­ на всех платежей по проекту равна 35 858/(1 - 1,0610) = 81 126. Это и есть NPV проекта. 6. Брать большие суммы и «проедать». 8. 349. 9. Арендовать. 10. NPV = 777, q = 38%.

Глава 3. 14. 4. 17. 6. K(t) = ДО)- еа'. 7. 411. 2,27. 8. Купить доллары и хранить их.... 9. Нести рубли в банк.

Глава 1. Во всех трех случаях лучше уменьшение ставки процента. 2. 160;

5. 3. 74,7;

7,4. 5. 188,2. 6. 200;

6,7. 7. 10 295. 8. Доходность абсолют­ ная 0,4316;

в процентах годовых 319. 9. Доходность абсолютная 0,392;

в процентах годовых 276.

Глава 3. Каждому по 0,5. 4. 29,23. 5. и(хьх2) = yj2x{ + 5х2.

Глава 4. Пусть один — разрезает торт, а второй — берет понравившийся ему кусок первым. 5. Пусть один из разбойников отбирает в отдель­ ную кучку треть всей добычи, по его мнению;

если из оставшихся разбойников никто эту кучку не берет, то ее должен взять тот, кто отбирал часть добычи в эту кучку, и т.д.

Глава 1. */2[(1 + z)0'1 + (1 + i)" /. 4. J /(1 + i)'5dt. 5. Her. 6. //((1 + /)ln(l + /)).

0, 7. Примем платеж пока равным 1, первый платеж может быть с равной вероятностью 1,10 и 1,12;

математическое ожидание его со­ временной величины равно 1/2((1 + 0~9//12)+1/2((1 + /)~11//12), обозначим его а\\ второй платеж с вероятностью 1/2 последует через 1 год после первого, с вероятностью 1/4 через 11 месяцев и с вероятностью 1/4 через 14 месяцев, поэтому математическое ожидание его величины, дисконтированной к моменту первого платежа равно l/2((l + /)"i)+l/4((l + /)~ll/12)+ l/4((l + /)~14/12);

обозначим его через а2, тогда математическое ожидание современной величины второго платежа есть а{а2, аналогично, математическое ожидание современ­ но ной величины третьего платежа есть а\, а |, и т.д., так что матема­ тическое ожидание современной величины рассматриваемой ренты равно lOOOtf! / (1 — а2). 8. Задача аналогична предыдущей:

ах = //((1 + /)1п(1 + /)) (см. задачу 6);

а2 = J (1 + /)' • f(t) dt, где график о плотности /таков:

9. 90,9 1/3 Завтра 100 1110 1/3 1/3 89,6 1/9 Послезавтра: 90,9 100 ПО 2/9 3/9 2/9 121 1/ 10. Находим по таблице коэффициент приведения я(10,7) = 6,71;

далее находим х из уравнения: 6,71 • х = 5000;

х = 745. Значит, ис­ комая часть проектов равна (3000 - 745)/2500 = 90%. 11. (l + i)-i: :((l + /)ln(l + /)) (см. задачу 6). 12. Современная величина всех пла­ тежей равна 1/1п(1 + /) (см. пример 2). 14. Средний доход хозяина с каждого захода в казино равна сумме всех платежей, взятой с мину­ сом, т.е. 5.

Глава 4. Третья операция — лучшая по обоим критериям. 8. Может.

Глава 1. а) незнание;

б) незнание;

в) незнание;

г) случайность;

д) случай­ ность;

ё) случайность;

л) при увеличении стажа уменьшаются и незна­ ние, и случайные ошибки.

f=r'2/(r2+r>2) 6. е = рА (1 - р\ f = 1/2, е* = А/4;

г = А{\ - p)Jp(l-p), при р = 1/4.

Глава r*= Зу/ЗА/16;

2. См. пример 2. 3. См. пример 2. 4. Мало что можно сделать в этой ситуации. Если у российского ученого есть в Мексике друзья, то они могут купить автомобиль как бы на его'«будущие деньги», а потом отдать ему доллары по сегодняшнему курсу.

Глава 1. а) 1/2, 1/4, 1/2;

б) 0, 0;

в) 1/2, 0, 1/4. 4. 1 0 2 0 12 12 / / 1 4 3/4 / 3 1 18 3 8 / / 0 12 / 6.16,1;

1/32;

5/32;

15/32;

1 - (1/2)*, 10,5;

11. 9. 1/2 - ф((1 - 0,078л)/(0,557л)), где Ф — функция Лапласа;

при п = 12 эта вероятность равна 0,46. 10. M[Sn] = S0(M[eh]n), где h распределены как А. 11. Так как IILS* =\nS + h, то ln(S) распределено нормально с математическим ожи­ данием InS + nM[h] и дисперсией nD[h], далее нужно воспользо­ ваться формулами из п. 13.3. 12. При п > 105 — S N (п, 2п), так что Р (S > S) = 1/2 - Ф(п/2п).

Глава 1. s = 4,5. 3. M[Kn/K0] = ena+nd/2 : D[Kn/K0] = e2na+nd -(end -1).

Глава 1. Тот, у которого цена исполнения меньше. 2. Тот, у которого цена исполнения больше. 3. 2п, где п — число периодов (см. § 13.1).

Глава 4. 7,1%.

Глава 1. Безрисковая ставка в США — учетная ставка Федеральной Резерв­ ной системы. Такая ставка фактически определяет цену кредитных денег: чем она меньше, тем они дешевле обходятся заемщикам. Поэто­ му снижение такой ставки вызывает оживление деловой активности, повышение — уменьшение деловой активности, что предохраняет эко­ номику от «перегрева». 2. Вообще-то а и р важнейших бумаг регулярно публикуются в специализированных печатных изданиях, самостоя тельно считать эти параметры трудно. 3. Потому что их поведение противоположно поведению рынка в целом: на рынке котировки важнейших бумаг идут вверх, а котировки этих бумаг падают, и на­ оборот. 4. Такие бумаги используются для уменьшения риска бумаг, положительно коррелированных с рынком в целом. 5. 1,05. 6. (0,4;

0,6). 7. Нет.

Глава 2. 8,4%. 3. Зависит от р, при (3 > 1 уменьшается, при Р < 1 увеличи­ вается. 4. mo = mr— (nt2 — щ)/(&2 ~ Pi)- 5. ~ Глава 1. 1/2 + ф ((Я - 10)/10л/й), где Ф — функция Лапласа. 2. Песси­ мист,/= 1/3. 3. Отрезок L\Lq.

ч, 4. (0,27;

0,40;

0,33). 5. Треугольник, координаты вершин которого лотереи.

Глава 1. 0. 2. Покупная цена х определяется из уравнения: pu(w — х + Q + + (1 - p)u(w - х + В) = u(w). 3. Продажная цена у определяется из уравнения: pu(w+ Q + (1 — р)и(w + В) = u(w + y). 5. 155. б. (0,95;

0,05);

3,9;

1,93.

УКАЗАТЕЛЬ ФИНАНСОВЫХ ТЕРМИНОВ Акция § 6.1 Банковский депозитный сертификат § 6.8 Безрисковая процентная ставка § 5.1 Ведущий фактор § 17.2 Вексель, учет векселя § 1.5 Внутренняя норма доходности инвестиционного проекта § 4.2 ГКО — замечание 3 в § 6.9 Диверсификация § 12.1 Дисконт § 1.5 Дисконтирование § 1.4, § 1.6 Математическое § 1.6 Доходность абсолютная § 5.1 реальная § 5.1 эффективная § 5.1 в процентах годовых § 5.1 текущая и полная § 5.2 мгновенная § 5.5 Заем, кредит, ссуда гл. 3 Инвестиционный проект (процесс) § 4.1 Инфляция § 1.9 Ипотечная ссуда § 3.10 Контракт форвардный § 6.9 фьючерсный § 6.9 Коэффициент наращения ренты § 2.2 приведения ренты § 2.2 Кредит потребительский § 3.8 Ликвидность — замечание 2 в § 6.9 Множитель мультиплицирующий § 1.4 дисконтный § 1.5 дисконтирующий § 1.4 Облигация § 6.1 Опцион § 6.1 Парето оптимальность § 10.5 Портфель оптимальный § 16.1 в смысле Марковица § 16.3, 16.4, 16.5 в смысле Тобина § 16.4, 16.5 Поток платежей § 2. Проценты простые и сложные (наращение) § 1.1, 1.2 Проценты простые и сложные (удержание) § 1.5 Рента § 2.2 вечная § 2.5 Срок окупаемости инвестиционного проекта § 4.2 Чистый приведенный доход инвестиционного проекта § 4.2 Риск §9.3, 10.1, 11.1 Средний ожидаемый доход § 10.4 Средний ожидаемый риск § 10.4 Ставка процента номинальная § 1.7 эффективная § 5.6 эквивалентная § 5.6 плавающая § 9.1 Фундаментальный и технический анализ цен § 13.4 Хеджирование § 12.2 Эрроу—Пратта коэффициент неприятия риска § 20. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Вэриан Х.Р. Микроэкономика. — М.: ЮНИТИ, 1998. 2. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложе­ ния. — М.: Приор, 1998. 3. Кутуков В.Б. Основы финансовой и страховой математи­ ки. - М.: Дело, 1998. 4. Мелкумов Я.С. Теоретическое и практическое пособие по финансовым вычислениям. — М.: Инфра-М, 1996. 5. Первозванский А.Т., Первозванская Т.Н. Финансовый ры­ нок: расчет и риск. — М.: Инфра-М, 1994. 6. Уотшем Т. Дж., Паррамоу Л. Количественные методы в финансах: Пер. с англ. — М. ЮНИТИ, 1998. 7. Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих рас­ четов. — М.: Дело, 1995. 8. Черчмен X, Акоф Р., Арноф Л. Введение в исследование операций. — М.: Наука, 1968. 9. Ширяев АН. Основы стохастической финансовой матема­ тики. Т. 1, 2. — М.: Фазис, 1998. 10. Малыхин В.И. Оптимальные портфели и пакеты ценных бумаг. - М.: ГУУ, 2002.

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.