WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«В.И. Малыхин ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА Второе издание, переработанное и дополненное Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов высших учебных ...»

-- [ Страница 2 ] --

строительные фирмы удешевляют проекты, стараясь сде­ лать их более привлекательными для инвестора;

магазины сни­ жают цены для привлечения покупателей. Поэтому всякого рода торги за приобретение прав на собственность или за преимуще­ ства при предоставлении услуг являются важным видом действий на финансовом рынке. Ниже дается описание простейших моде­ лей торгов.

8.1. Аукционные торги: два лица и два объекта. Общее описание На таких торгах для приобретения объекта, выставленного на аукцион, покупатели повышают цену не меньше, чем на некоторую величину А > 0, установленную правилами аукциона, и тот, кто пред­ ложит самую большую цену, приобретает выставленный объект. Обычно выставляется несколько объектов подряд, и участник аукциона должен рассчитать свои силы, чтобы... что? Какова его цель? То есть еще до начала аукциона участвующий должен опре­ делить цель своего участия в аукционе. Для определенности, а также для упрощения предположим, что участников аукциона всего двое. Тогда цели участника могут быть, например, такими: 1) максимизировать свой доход;

2) минимизи­ ровать доход своего конкурента (чтобы ослабить его);

3) макси­ мизировать разность своего дохода и дохода конкурента. Из этих трех целей (а их может быть и больше) самой естест­ венной представляется первая: максимизировать свой доход. Начнем, однако, с анализа действий, преследующих третью цель — максимизировать разность своего дохода и дохода конкурента. 8.2. Максимизация разности доходов Для определенности предположим, что на аукцион последова­ тельно выставлены два объекта известной стоимости V\ и V^ Два участника А и В борются за право собственности на эти объекты.

Пусть А имеет SA д.е. для участия в аукционе, а В — SB. Пусть силы Аи В примерно равны, математически это выражается так: 1/2 < (SA I SB) < 2. Выясним, как должен вести себя участник А для достижения третьей цели. Приступим к анализу аукционного процесса. Предположим, что В предложил текущую аукционную цену X Примет ли ее А? Если А не захочет платить такую цену, то В купит 1-й объект, в итоге он получит прибыль RB = V\ — X. Но израсходовав столь много на покупку 1-го объекта, он уступит 2-й объект участнику 4 если тот предложит хотя бы немного больше, чем вообще сможет предложить В. Итак, у В осталось SB — X, значит, если А предложит SB — X + А, то А приобретает 2-й объект и его доход оказывается равным RA= V2 — (SB — X + А) и разность доходов ~ RB = (V2 - SB - X + A) - (Vx - X). (8.1) Если же А не захотел уступить 1-й объект участнику В и уве­ личил цену, предложив X + А, и В уступил, то В выиграет торги за 2-й объект, предложив за него \SA — (Х+ А) + А) = (SA — X). В этом случае разность доходов RA RA - RB = (V{ - Х+ А) - [V2 - (SA - X)l (8.2) Таким образом, А должен уступить 1-й объект участнику В, если и только если разность доходов в этом случае больше, чем когда А идет на повышение и предлагает за 1-й объект Х+ А. Итак, А должен предложить за 1-й объект Х+ А, если (Ц — SB+X— - А) - (П - X) < (V{ - Х- А) - [V2 ~ (SA - X)l или 4Х< 2VX - 2V2 + SA + SB, или X< (2V{ -2V2 + SA + SB)/A. Следовательно, А будет повышать цену до значения X, опре­ деляемого равенством X = {2Vx-2V2+SA+SB)/4. (8.3) Дальше повышать цену ему нецелесообразно (не забудьте, что он преследует третью цель). Для нахождения разности меж­ ду доходами значение X можно подставить в формулу (8.2) или (8.3) — результат будет одинаков. Искомая разность между до­ ходами А и В: RA-RB={SA-SB)/2-A. (8.4) Доход А при этом равен RA = (V + V)/2 - (S + S)/4 - A.

Пример 1. Пусть А решил потратить на аукционе не более 1200 руб., а В — не более 1000. На взгляд А, 1-й предмет, выставленный на аукцион, стоит 700 руб., 2-й — 800 руб. Тогда А будет повышать цену до значения X = (2(700 - 800) + 1200 + 1000)/4 = 500 руб. Пусть 1-й предмет куплен за эту цену. Если его купил В, то его доход Яд = = 200 руб., а доход А есть RA = 800 - 500 = 300 руб., так что разность доходов равна 100 руб. Можно убедиться, что такова же разность доI ходов и в случае, когда 1-й предмет был бы куплен А.

8.3. Максимизация собственного дохода Пусть целью А является максимизация собственного дохода. Теперь А будет повышать цену и предлагать Х+ А за 1-й объект, если это позволит увеличить его аукционный доход. Значит, он поступит так, если Vl-(X + A)*V2-{SB-X + A) (8.5) или когда X<(vx-V2+SB)/2. (8.6) Если В также преследует цель максимизации своего аукци­ онного дохода, то он предложит цену X + А, когда X<{Vl-V2+SA)/2. Поэтому торги окончатся, как только аукционная цена превысит наименьшую из величин Если SB>SA, TO 1-й предмет будет куплен А. Для нахождения его дохода надо подставить X = (V\ — V2 + SA)/2 В левую часть неравенства (8.5). Получим RA = (Vl+V2-SA)/2-A. (8.7) Если же SA > SB, то 1-й предмет будет куплен В. Для нахож­ дения дохода А надо подставить X = (V\ — V2 + SB)/2 в правую часть неравенства (8.5). Получим RA = (Vi+V2-SB)/2-A. Можно доказать, что доход, полученный А при максимиза­ ции его собственного дохода, всегда больше получаемого им до­ хода в случае, когда он стремится к максимизации разности своего дохода и дохода своего конкурента В. I Пример 2. Продолжим рассмотрение примера 1. Поскольку 5^ = = 1200 > SB = 1000, то А должен купить 1-й объект и его доход по формуле (8.7) равен RA = (700 + 800 - 1000)/2 = 250 руб. Основы­ ваясь на формуле (8.5), видим, что А не должен предлагать за 1-й I объект больше, чем (700 - 800 + 1000)/2 = 450 руб. 8.4. Одновременные торги Отличие этих торгов от ранее рассмотренных — в том, что аукцион проводится одновременно по обоим объектам. Для уп­ рощения предположим, что оба участника А и В располагают од­ ной суммой S и S < V\ + V2. В случае равенства предложений победитель определяется жребием. При этом по-прежнему в ос­ новном интересуемся стратегией для А. Оптимальные цены А\, А}, которые должен предлагать А за объ­ екты 1-й и 2-й соответственно, определяются из очевидного прин­ ципа: они должны обеспечивать равные доходы. Если обозна­ чить этот доход d, то V\— A\ = d = V2 ~ А}. Кто бы ни выиграл один из объектов, за оба объекта будет заплачено S. Это позво­ ляет найти d: 2d = V\ + V2 — S, значит, d = (V\ + V2 — S)/2. Отсю да находим цены: А\ = V\ — d = (V\ — V2 + S) /2. Если какая-либо цена получается отрицательной, то она полагается равной 0 и вся сумма S предлагается за другой объект. Эта стратегия также оптимальна и для В. Если оба участника будут придерживаться этой оптимальной стратегии, то они будут назначать одинаковые цены и все будет определяться жребием — по 1-му объекту, 2-й объект достанется другому участнику. Ожи­ даемый доход каждого из участников равен при этом d. Пусть, однако, В уклонится от оптимальной стратегии и предложит за 1-й объект V\ — d + е. Тогда 1-й объект достанется ему, но за 2-й объект он сможет предложить только Vi - d — e, поэтому этот объект достанется А, который предложит Vi — d. Но в этом случае доходы участников окажутся разными: RB= d — e, RA = d > RB- Таким образом, используя оптимальную стратегию, каждый из участников может всегда получить доход не менее d и всегда может воспрепятствовать другому участнику получить до­ ход более d. I Пример 3. Пусть 1-й и 2-й аукционные объекты стбят соответст­ венно 600 и 900 руб., каждый из участников располагает суммой 1000 руб. Тогда d = 250, значит, за 1-й объект не нужно предлагать более 350 руб., а за 2-й — не более 650 руб. Доход каждого из учаI стников при оптимальной его стратегии не меньше 250 руб. 8.5. Торги, в которых число лиц велико и может быть неизвестным Такие торги уже очень близки к реальным. Обычно они прохо­ дят по следующей схеме (применяемой и в России). Правительственное учреждение приглашает все заинтересо­ ванные компании принять участие в приватизационном торге. Компании присылают закрытые конверты, в которых назначают цену приватизационному объекту. Компания, назначившая выс­ шую цену, объявляется победителем. Существуют научные реко­ мендации и по таким торгам, однако осуществление этих реко­ мендаций на практике требует большой работы по сбору сведе­ ний о конкурентах. Если не удается получить сведений об их по­ ведении на предстоящих торгах, то нужно анализировать их пове­ дение на аналогичных торгах в прошлом. Самым интересным в моделировании таких торгов является возможность для участников образовывать коалиции, проще го­ воря, сговариваться и действовать сообща всей коалицией. Ни­ же в нескольких задачах рассматривается образование коалиций.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Рассмотрим аукцион по продаже двух объектов, которые, на взгляд участника А, стоят 2000 и 3000 руб., в то время как в распоряжении А — сумма 2500, в распоряжении Б — 3000 руб. Найдите стратегию А по максимизации разности доходов и максимизации собственного дохода. 2. По данным предыдущей задачи найдите аукционную стра­ тегию А по минимизации дохода конкурента. 3. Представим себе миллиардера, имеющего трех племянни­ ков и завещающего свое наследство тому, кого они назовут боль­ шинством голосов. По-видимому, двое из племянников догово­ рятся голосовать за одного из них, чтобы наследник перечислил половину (или сколько?) наследства своему партнеру. Но третий, оставшийся в стороне, возможно, не позволит столь просто это сделать и попытается переманить одного из сообщников, обещая ему бблыную часть наследства. Получается противоречивая си­ туация и разделить наследство согласно завещанию оказывается весьма сложно. 4. (Известная задача). Два человека хотят разделить торт. Как им это сделать, чтобы никто из них не обиделся? 5. (Известная задача, продолжение предыдущей). Три разбой­ ника делят награбленную добычу. Как им это сделать, чтобы ка­ ждый верил, что разделили поровну?

6. На аукцион выставлены два предмета. Два участника рас­ полагают одинаковыми денежными суммами. Каждый из них подает закрытый конверт, в котором написано, какую сумму предлагает данный участник за каждый из этих предметов. Кто предложит за данный предмет больше, тот и становится его вла­ дельцем. Каковы стратегии участников? Рассмотрите частный случай, когда оба предмета совершен­ но одинаковы. Должны ли устроители аукциона предусмотреть возможность сговора участников? Может быть, достаточно обя­ зать участников аукциона указать в конверте такие суммы, что­ бы вместе они были не менее некоторой заданной?

Часть II ОСНОВЫ СТОХАСТИЧЕСКОЙ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ Глава 9. ИЗМЕНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Глава 10. КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Глава 11. ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ Глава 12. ОБЩИЕ МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ РИСКОВ Глава 13. МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКТИВОВ Глава 14. БЫСТРЫЙ РОСТ КАПИТАЛА Глава 15. ОПЦИОНЫ И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОПЦИОНОВ Глава 16. ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ Глава 17. ФОРМИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПОРТФЕЛЯ С ПОМОЩЬЮ ВЕДУЩЕГО ФАКТОРА ФИНАНСОВОГО РЫНКА Глава 18. ФИНАНСОВЫЙ РЫНОК И ЕГО МОДЕЛИ Д О П О Л Н Е Н И Е К ЧАСТИ II Глава 19. ТЕОРИЯ ОЖИДАЕМОЙ ПОЛЕЗНОСТИ Глава 20. ОТНОШЕНИЕ ЛПР, ИНВЕСТОРА К РИСКУ Определенность — это когда известно все необходимое для расчетов. Неопределенность (отрицание определенности) приводит к неоднозначным результатам, что и есть риск. В условиях неопреде­ ленности у финансовых операций появляется еще одна характери­ стика — рискованность. Риску посвящены гл. 10—12, да и в остальных это понятие — одно из центральных. В гл. 9 изложены некоторые изме­ нения в финансовых расчетах, проводимых в условиях неполной оп­ ределенности. В гл. 13 рассмотрена биномиальная модель це­ нообразования на финансовом рынке и некоторые ее модифи­ кации. В гл. 14 описаны стратегии ставок в игре «рулетка» для макси­ мально быстрого роста капитала. Гл. 15 посвящена опционам — про­ изводным финансовым инструментам, играющим сегодня наиболее важную роль на финансовом рынке. В гл. 16,17 изложена теория оп­ тимального портфеля, в гл. 18 коротко описаны некоторые модели финансовых рынков. Дополнение к ч. II содержит изложение теории полезности и отношения ЛПР (инвесторов) к риску. Стремление уменьшить риск и увеличить возможный доход — вот главное в действиях в условиях неопределенности. Не все случайное можно «измерить» вероятностью. Неопределенность — более широкое понятие. Неопределенность того, какой цифрой вверх ляжет игральный кубик, отличается от неопределенности то­ го, каково будет состояние российской экономики через 15 лет. Кратко говоря, уникальные единичные случайные явления связаны с неопределенностью, массовые случайные явления обязательно допускают некоторые закономерности вероятностного характера. В этой части предполагается знание читателем вузовского курса теории вероятностей и математической статистики.

Глава 9 ИЗМЕНЕНИЕ РАСЧЕТНЫХ СХЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Суть того, что изложено в этой главе, поясним на примере. Рассмотрим три схемы выплаты дивидендов: 1) в середине каждого квартала выплачиваются дивиденды в размере 100 д.е.;

2) в середине каждого квартала выплачиваются дивиденды случайного размера, в среднем 100 д.е.;

3) в каждом квартале выплачиваются в некоторый случайный день дивиденды в размере 100 д.е. Какая из этих трех схем предпочтительнее для владельца ак­ ций? Анализу аналогичных вопросов посвящена данная глава.

9.1. Плавающая ставка процента Аналогично предыдущему примеру рассмотрим три варианта начисления процентов за пользование деньгами на единичном промежутке: 1) в конце промежутка по ставке / начисляются проценты;

2) в конце промежутка начисляются проценты по случайной ставке, в среднем ставка равна / процентов;

3) проценты начисляются дважды: половина — незадолго до конца промежутка и вторая половина — на таком же временном расстоянии после окончания промежутка. Рассматриваемая задача довольно абстрактна, однако из нее последуют прозрачные и несложные выводы. П е р в ы й в а р и а н т начисления процентов — это вари­ ант детерминированного финансового анализа, т.е. анализа в ус­ ловиях определенности. Поэтому проанализируем второй и тре­ тий варианты. Достаточно ограничиться рассмотрением единич­ ной денежной суммы. В т о р о й в а р и а н т. Пустьf(x) — плотность распределе­ ния случайной ставки X, тогда начисляемые процентные деньги есть случайная величина 1(Х) = X с плотностью f(x) и математи­ ческим ожиданием М[Д = М[Х\ = /. Другими словами, детерми­ нированный эквивалент случайной ставки есть /. Т р е т и й в а р и а н т. Пусть первая порция процентных денег по ставке //2 начисляется в момент 1 — 8, а вторая, также по ставке //2, в момент 1 + г, где в — небольшое положительное число. Тогда в первый раз начисленные процентные деньги 1\ = //2, во второй раз также 1г = //2. Приведем эти суммы к моменту 1, для чего 1\ умножим на (1 + /), а Ii умножим на (1 + /)~8. Получаем эк­ вивалент суммарных процентных денег в момент 1 - (//2)(1 + if + + (f/2)(l + /Г8. Так как (1 + /)е+(1 + О^6 > 2, то получившиеся процентные деньги больше, чем /, т.е. детерминированный вариант таким обра­ зом начисляемой процентной ставки больше, чем /. Как можно представить второй и третий варианты? Пусть банк имеет много филиалов, относительно самостоятельных в части вы­ платы процентов (в какой-то мере таковым является Сбербанк). Второй вариант получается, когда все они начисляют проценты в конце промежутка, но сами проценты случайные, хотя в среднем по всему банку процентная ставка равна / (усреднение по геогра­ фическому признаку). Такой вариант назовем случайными процен­ тами. Третий вариант получается, когда в каждом филиале начис­ ляются одни и те же проценты, но день начисления случаен. Такая случайность есть начисление процентов (неслучайных) в случай­ ный момент времени (здесь усреднение по времени начисления процентов). Итак, детерминированный эквивалент случайных процентов (второй вариант) равен математическому ожиданию случайной ве­ личины начисляемых процентов. Детерминированный эквивалент случайного (во времени) начисления процентов (третий вариант) больше, чем математическое ожидание (по моменту времени) на­ числяемых процентов. Аналогичные выводы следуют по поводу различных вариантов дисконтирования к современному моменту будущих сумм. Рассмот­ рим три варианта выплаты займа (в долг взята единичная сумма), взятого на единичный промежуток времени по ставке / процентов: 1) в конце промежутка выплачивается сумма (1 + /) — де­ терминированный вариант;

2) в конце промежутка выплачивается случайная сумма, в среднем равная (1 + /);

3) сумма выплачивается дважды: половина — незадолго до конца промежутка и вторая половина — на таком же временном расстоянии после окончания промежутка. Анализ, подобный приведенному выше, показывает, что во втором варианте средняя величина дисконтированных к современ­ ному моменту выплат равна 1, т.е. второй вариант эквивалентен де­ терминированному варианту;

в третьем варианте средняя величина оказывается больше, чем 1. Итак, для кредитора предпочтительнее третий вариант. Это же верно и для случая трех вариантов вы­ платы дивидендов в начале главы — для владельца акций пред­ почтительнее третий вариант. Все это хорошо известно финансистам и может быть выраже­ но словами: если возможно, свой долг плати позже, а долги себе собирай пораньше.

9.2. Случайные потоки платежей Такие потоки могут быть весьма разнообразны: 1) полностью детерминированный поток — моменты плате­ жей и величины платежей полностью определены;

2) частично детерминированный поток — полностью опреде­ лены моменты платежей либо величины платежей и т.д. Ограничимся рассмотрением двух примеров. Пример 1. По договору в течение 5 лет в конце каждого квартала из­ дательство переводит на счет автора случайную сумму денег (зависит от числа проданных книг). Предположим, что эта сумма равномерно распределена от 1000 до 1400 руб. Как найти современную величину этой ренты? Р е ш е н и е. Так как момент платежей точно определен, то для расчетов можно заменить поток реальных платежей потоком их мате­ матических ожиданий и использовать соответствующую формулу из детерминированного анализа. Так как переводимая сумма равномерно распределена, то ее математическое ожидание есть середина проме­ жутка распределения, т.е. 1200 руб. Для простоты пусть квартальная ставка сложных процентов / = 3%, тогда искомая современная вели­ чина равна 1200 • я(20,3) = 1200 • 14,877 = 17 852 руб. Пример 2. Предположим, что единичные платежи следуют друг за другом через случайные промежутки времени, распределенные по по­ казательному закону с параметром X > 0 (пуассоновский поток плате­ жей). Найдем современную величину такого случайного потока плате­ жей (точнее, математическое ожидание этой величины). Дисконтируем к современному моменту первый платеж. Для этого надо подсчитать интеграл:

ОО А f(1 + i)" • Xe^'dt = Jte-'(*+h,(1+'»A = Hm \^-t{ о о ^"o A\ X+I "(1+'»A = = A,/[(a. + in(i+/))]. X + ln(l + l) [j Вспомним, что параметр X в показательном законе есть обратная вели­ чина к математическому ожвданию, и получаем, что X = 1/Т, где Т — = lim А->сс h c -f(A.+ln(l+i)) среднее время между платежами, и окончательно, что математиче­ ское ожидание современной величины первого платежа равно 1/[1 + 7Мп(1 + /)]. Поскольку промежуток времени между платежами распределен оди­ наково, то математическое ожидание современной величины второго платежа равно 1/[1 + Т • 1п(1 + /)]2, третьего — 1/[1 + Т • 1п(1 + /)]3, и т.д. Сумма всех этих величин и даст искомую величину. Поскольку 1/[1 + Т'\п(1 + /)] < 1, то члены суммы есть члены бесконечно убы­ вающей геометрической прогрессии и, значит, вся сумма равна 1/[Г-1п(1 + /)]. В частности, при Т= 1 получаем l/ln(l + i). Заметим, что если бы поток был неслучайным и платежи следовали бы друг за другом че­ рез единичный промежуток времени (тогда частота платежей была бы той же самой), то современная величина такого потока была бы 1//. Так как ln(l + i) < /, то современная величина случайной ренты | больше, чем регулярной. Потоки платежей со случайным временем платежа часто встре­ чаются на практике. Например, таков поток платежей оплаты за квартиру — ведь редко кто платит за квартиру в строго опреде­ ленный день. Если бы в примере 1 издательство переводило авто­ ру деньги за каждую проданную тысячу экземпляров книги, то по­ лучился бы поток неслучайных платежей в случайные моменты времени. Еще одним важным примером случайного потока (неслучайных) платежей является поток выплат страховых сумм на случай смерти родственникам умершего. Анализом подобных потоков платежей занимается так называемая актуарная математика.

9.3. Рисковые инвестиционные процессы В замечании в конце гл. 4 указывалось, что для оценки харак­ теристик инвестиционных проектов важнейшее значение имеет ставка дисконтирования будущих доходов к современному момен­ ту. Если будущие платежи рискованны, т.е. не являются жестко определенными, то инвесторы уменьшают сегодняшнюю оценку будущих доходов. Тем самым для оценки сегодняшнего значения будущих доходов приходится применять увеличенную ставку дис­ контирования. Самое простое — расклассифицировать проекты на низкорисковые, среднерисковые и высокорисковые и приписать каждой группе некоторый добавок к обычному коэффициенту дисконтирования. Например, для низкорисковых к ставке прибав­ ляется 2%, к среднерисковым — 4%, к высокорисковым — 6%. Совершенно ясно, что «добавок» зависит от величины обычного коэффициента дисконтирования. Но сам этот коэффициент за висит от темпов инфляции, от доверия к правительству и других факторов. В некоторых моделях финансового рынка этот вопрос решается по-своему (см. § 17.3). Во всяком случае отсюда следует вывод: чтобы увеличить привлекательность выдвигаемых проектов, фирма должна забо­ титься об уменьшении этого рискованного «добавка». Для этого она должна привлекать к себе доверие потенциальных инвесто­ ров. Привлечение доверия включает своевременную выплату ди­ видендов, соблюдение прав акционеров и др. Особенно это важ­ но для фирмы, намеревающейся долго работать. Такой фирме просто необходимо быть честной, ей это выгодно.

9.4. Подсчет доходности вероятностных операций в условиях неопределенности В детерминированном анализе доходность d финансовой опе­ рации определяется из уравнения К = Щ +d) или rf= (К— Н)/Н= = К/Н— 1, где Н, К — денежные оценки соответственно начала операции (затраты, инвестиции) и конца операции (доход, нара­ щенный капитал). Вообще говоря, эти величины также могут быть неопределенны. Однако начальная оценка чаще все же точно из­ вестна. Неопределенность конечной оценки может быть двоякой: неполностью известна ее величина, но момент окончания операции известен точно;

или же известна полностью ее величина, но окон­ читься операция может в случайный момент. Подсчет доходности операции в процентах годовых в этих двух случаях производится поразному. В первом случае вместо конечной оценки используется ее математическое ожидание. Для иллюстрации подсчета доходности во втором случае рассмотрим следующий пример. I Пример 3. Начальный капитал «челнока» равен $1000. Опытные люди сказали ему, что в результате поездки за товаром и его последующей реализации капитал может с равной вероятностью возрасти в два раза, не измениться или уменьшиться в два раза (с вычетом сопутствую­ щих издержек). Найти среднюю ожидаемую доходность планируемой операции. Р е ш е н и е. Математическое ожидание конечной оценки капита­ ла равно, очевидно, (2000+1000+500)/3 = 3500/3, так что средняя I ожидаемая доходность будет (3500/3 - 1000)/1000 = 500/3000 = 17%. I Пример 4. Запас золота в месторождении известен, как и начальные инвестиции в его разработку. Фактически полная отдача месторснс| дения тоже фиксирована, следовательно, доходность (в процентах го довых) будет зависеть от длительности выработки месторождения: чем I дольше будет вырабатываться месторождение, тем меньше доходность. В случае, когда начальная оценка операции не может быть точно определена, доходность операции может быть рассчитана как мате­ матическое ожидание доходностеи вариантов операции с учетом их вероятностей1. I Пример 5. Базовый вариант операции, вероятность которого оцени­ вается в 0,9, предусматривает затраты $10 000, а прибыль — $3000, следовательно, его доходность равна 0,3;

с вероятностью 0,1 возмо­ жен и другой вариант, при котором затраты равны $20 000, а при­ быль равна $10 000. Какова средняя ожидаемая доходность опера­ ции? I Р е ш е н и е. Эта доходность равна 0,9 • 0,3 + 0,1 • 0,5 = 0,32. 9.5. Общее понятие детерминированного эквивалента финансового показателя Пусть / — какой-нибудь финансовый показатель (ставка про­ цента, доходность, срок окупаемости и т.п.), являющийся случай­ ной величиной. Предполагается, что финансовая операция, пока­ зателем которой /является, может быть повторена большое число раз (теоретически, хотя бы мысленно, неограниченное число раз). Тогда детерминированный эквивалент финансового показателя / есть такое значение его в детерминированном финансовом ана­ лизе, которое дает в среднем тот же результат, что и он сам. Часто детерминированным эквивалентом является математи­ ческое ожидание / З а м е ч а н и е. Реально ситуация с плавающими процент­ ными ставками или случайными потоками платежей еще более сложна, чем описано выше. Большинство инвесторов не соглас­ ны заменять что-то случайное его математическим ожиданием и требуют большего. Ведь всякая неопределенность связана с рис­ ком и поэтому инвесторы для рисковых операций требуют боль­ шей доходности, для дисконтирования к современному моменту будущих доходов по инвестиционному проекту они требуют при­ менять большую ставку (тем самым уменьшая значение будущих доходов) и т.д. Осуществить на практике учет этих требований инвесторов довольно сложно (см. дополнение к ч. II).

Есть и другой способ расчета доходности операции.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ (недостающие данные — по усмотрению читателя) 1. Дайте определение детерминированного эквивалента пла­ вающей процентной ставки в простейшем случае начисления про­ центов за пользование деньгами на единичном промежутке. 2. Найдите детерминированный вариант процентной ставки, если ее начисление происходит дважды: первая половина в мо­ мент 0,9;

вторая половина — в момент 1,1. 3. Найти детерминированный вариант процентной ставки, ес­ ли с вероятностью 1/3 ее начисление происходит в момент 0,9, и с вероятностью 2/3 — в момент 1,1. Р е ш е н и е. Пусть величина ставки равна /, а сумма еди­ ничная, тогда математическое ожидание наращенной суммы в момент 1 равно (1/3) • /• (1 + О0'1 + (2/3) • /• (1 + /Г 0 ' 1 = / • [Ц/3)(1 + 0,1 • / +...)+ + (2/3)(1 - 0,1 • i +...)] = /• [1 - //30 +... ], т.е. детерминированный вариант чуть меньше /. 4. Найдите детерминированный вариант процентной ставки, если момент ее начисления равномерно распределен на времен­ ном отрезке [0,9;

1,1]. 5. Проанализируйте инвестиционный проект (-1000, 600, 600), процентная ставка 8%. Окупаются ли инвестиции? Экспер­ ты признали проект среднерисковым и увеличили процент дис­ контирования будущих доходов до 13%. Окупятся ли инвестиции в этом случае? 6. В случайный момент, равномерно распределенный на от­ резке [0,1], приходит платеж 1. Найдите математическое ожида­ ние его современной величины. 7. Найдите математическое ожидание современной величины случайной ренты: платежи 1000 д.е. осуществляются раз в год: с равной вероятностью либо 1 октября, либо 1 декабря. 8. Найдите математическое ожидание современной величины слу­ чайной ренты, в которой момент годового платежа равномерно рас­ пределен в текущем году. 9. Сегодня днем цена акции равна 100 руб. За сутки цена может вырасти на 10% с вероятностью 1/3, с такой же вероятностью умень­ шится в 1,1 раза и стакойже вероятностью 1/3 остаться равной 100 руб. Найдите распределение цены акции завтра и послезавтра. 10. Осуществляется одновременно множество инвестиционных проектов («золотая лихорадка на Клондайке»). Инвестиции в каж­ дый проект равны $5000, а будущий годовой доход случаен по про ектам — равномерно распределен от 500 до 3000 долл. Какая часть проектов окупится в течение 10 лет? (Процентная ставка 8% в год.) 11. В начале года страховая компания кладет в банк 1 д.е. под i% годовых. В любой момент года возможен страховой случай, ко­ гда компании придется выплатить 1 д.е. страхового возмещения. Найдите математическое ожидание суммы на счете компании к концу года. 12. Проанализируйте инвестиционный проект, начальные ин­ вестиции в который равны 1 в момент 0, а поток будупщх доходов есть пуассоновский поток единичных платежей с плотностью 1 пла­ теж в единицу времени. Ставка процента равна /. 13. Предположим, что вкладчик срочного годового вклада может в любой момент востребовать свой вклад (в России это можно, во многих других странах нельзя). При этом банк выплачивает за действительное время вклада проценты из расчета 10% годо­ вых вместо 30% по срочному вкладу. Каков в среднем потерян­ ный процент вкладчика? Р е ш е н и е. Предполагаем, что момент отзыва вклада равно­ мерно распределен в течение года. Если вклад отзывается в момент х, то выплаченные проценты равны (1 + 0,1)*, а должны были быть равны (1 + 0,3)х. Эту разницу проинтегрируем, имея в виду единич­ ную плотность распределения момента отзыва вклада. Получим J (l,3* -1,1* )dx = 0,3 • In 1,3 - 0, Ы п Ц « 0,093, т.е. около 9,3%. о 14. Игрок в казино бросает игральный кубик и передвигает свою фишку на выпавшее число секторов и получает (или отдает) выигрыш, написанный в том секторе, куда он попал. В начальный момент его фишка стоит в секторе «Вход» (рис. 9.1), и игра заканчивается, когда фишка попадает в этот же сектор. Каков средний доход хо­ зяина казино за одну игру? Сколько бро­ сков в среднем продолжается одна игра? У к а з а н и е. Обозначим через Д/) дальнейший средний проигрыш игрока, когда его фишка стоит уже на секторе L Тогда легко видеть, что Д/) = Д О для лю­ бых секторов t, f. Это позволит найти решение задачи. Вообще же рассматриваемый случайный процесс может быть отнесен к слу­ чайным процессам с независимыми приращениями, играющими важную роль в стохастической финансовой математике.

Глава 1 0 КЛАССИЧЕСКАЯ СХЕМА ОЦЕНКИ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ Неопределенность привносит риск. Риск — одно из важнейших понятий, сопутствующих любой активной деятельности человека. Вместе с тем это одно из самых неясных, многозначных и запутан­ ных понятий. Однако несмотря на его неясность, многозначность и запутанность, во многих ситуациях суть риска очень хорошо пони­ мается и воспринимается. Эти же качества риска являются серь­ езной преградой для его количественной оценки, которая во мно­ гих случаях необходима и для развития теории, и на практике. Рассмотрим классическую схему принятия решений в услови­ ях неопределенности. В этой схеме риск появляется весьма есте­ ственно и его количественная оценка здесь весьма проста.

10.1. Определение и сущность риска Напомним, что финансовой называется операция, начальное и конечное состояния которой имеют денежную оценку и цель прове­ дения которой заключается в максимизации дохода — разности ме­ жду конечной и начальной оценками (или какого-нибудь другого подобного показателя). Почти всегда финансовые операции проводятся в условиях неоп­ ределенности и потому их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому финансовые операции рискованны: при их проведении воз­ можны как прибыль, так и убьггок (или не очень большая прибыль по сравнению с той, на что надеялись проводившие эту операцию). Проводящий операцию (принимающий решение) называется ЛПР — лицо, принимающее решение. Естественно, ЛПР заинтересо­ вано в успехе операции и является за нее ответственным (иногда только перед самим собой). Во многих случаях ЛПР — это инве­ стор, вкладывающий деньги в банк, в какую-то финансовую опе­ рацию, покупающий ценные бумаги и т.п. Определение. Операция называется рискованной, если она может иметь несколько исходов, не равноценных для ЛПР. I Пример 1. Рассмотрим три операции с одним и тем же множеством двух исходов — альтернатив А, В, которые характеризуют доходы, I получаемые ЛПР. Все три операции рискованные. Понятно, что рискованными яв­ ляются первая и вторая операции, так как в результате каждой опе„ рации возможны убытки. Но почему А О I -5 I 25 I должна быть признана рискованной тре­ тья операция, ведь она сулит только по02: | -10 | 50 | ложительные доходы ЛПР? А вот почему. Рассматривая возможные исходы третьей 03: | 15 | 20 | операции, видим, что можем получить доход в размере 20 единиц, поэтому воз­ можность получения дохода в 15 единиц рассматривается как неI удача, как риск недобрать 5 единиц дохода. Итак, понятие риска обязательно предполагает рискующего — того, к кому этот риск относится, кто озабочен результатом опера­ ции. Сам риск возникает, только если операция может окончиться исходами, не равноценными для него, несмотря на все возможные его усилия по управлению этой операцией. (О системе предпочте­ ний индивида см. § 7.1.) В последующем изложении всюду будем считать, что исходы операций отличаются доходами, получаемыми ЛПР, и этого достаточно для их различения и оценки риска опе­ рации. (И только в дополнении к ч. II в § 19.5 системе предпочте­ ний индивида, его функции полезности и отношению его к риску будет уделено много внимания.) Итак, в условиях неопределенности операция приобретает еще одну характеристику — риск. Как оценить операцию с точки зрения ее доходности и риска? На этот вопрос не так просто ответить, главным образом из-за многогранности понятия риска. Существует несколько разных способов такой оценки. Рассмот­ рим один из таких подходов.

10.2. Матрицы последствий и рисков Допустим, рассматривается вопрос о проведении финансовой операции. Неясно, чем она может закончиться. В связи с этим проводится анализ нескольких возможных решений и их послед­ ствий. Так приходим к следующей общей схеме принятия реше­ ний (в том числе финансовых) в условиях неопределенности. Предположим, что ЛПР рассматривает несколько возможных решений / = 1,..., т. Ситуация неопределенна, понятно лишь, что наличествует какой-то из вариантов j = 1,..., п. Если будет принято /-е решение, а ситуация есть у-я, то фирма, возглавляе­ мая ЛПР, получит доход qu. Матрица Q — (#/,) называется мат­ рицей последствий (возможных решений). Какое же решение нуж но принять ЛПР? В этой неопределенной ситуации могут быть высказаны лишь некоторые рекомендации предварительного ха­ рактера. Они не обязательно будут приняты ЛПР. Многое будет зависеть, например, от его склонности к риску. Но как оценить риск в данной схеме? Допустим, мы хотим оценить риск, который несет /-е решение. Нам неизвестна реальная ситуация. Но если бы мы ее знали, то выбрали бы наилучшее решение, т.е. приносящее наибольший до­ ход. Если ситуация у-я, то было бы принято решение, дающее до­ ход qj = maxqjj. Значит, принимая z'-e решение, мы рискуем полу­ чить не q}г, а только qtj9 т.е. принятие /-го решения несет риск не­ добрать Гц- qj - qtj. Матрица R = (г0 называется матрицей рисков. Пример 2. Пусть матрица последствий есть ^5 2 8 4Л 2 3 4 12 Q 8 5 3 10 14 2 8 : Составим матрицу рисков. Имеем qx = maxgn = 8, qi = 5, q$ — 8, #412. Следовательно, матрица рисков есть ^3308 6240 R= 0 0 5 2 7 16 10.3. Анализ связанной группы решений в условиях полной неопределенности Ситуация полной неопределенности характеризуется отсутст­ вием какой бы то ни было дополнительной информации (напри­ мер, о вероятностях тех или иных вариантов реальной ситуации). Какие же существуют правила-рекомендации по принятию реше­ ний в этой ситуации? Правило Вальда {правило крайнего пессимизма). Рассматривая /-е решение, будем полагать, что на самом деле ситуация складывает­ ся самая плохая, т.е. приносящая самый малый доход: Щ = min Qy • Но теперь выберем решение /о с наибольшим а{.

j Итак, правило Вальда рекомендует принять решение /Q такое, что тахяг = max ming. Так, в примере 2 имеем а\ = 2, аг = 2, яз = 3, й4 = 1. Теперь из чисел 2, 2, 3, 1 находим максимальное — 3. Значит, правило Вальда рекомендует принять 3-е решение. Правило Сэвиджа (правило минимального риска). При примен нии этого правила анализируется матрица рисков Я = (г^). Рас­ сматривая /-е решение, будем полагать, что на самом деле скла­ дывается ситуация максимального риска bt = max/;

,. Но теперь j выберем решение IQ С наименьшим bt. Итак, правило Сэвиджа ре­ комендует принять решение /о такое, что biQ = minbt = minia x 7^ m Так, в примере 2 имеем Ъ\ = 8, hi = 6, 3 = 5, Ь$ = 7. Теперь из чи­ сел 8, 6, 5, 7 находим минимальное, т.е. 5. Значит, правило Сэ­ виджа рекомендует принять 3-е решение. Правило Гурвица (взвешивающее пессимистический и оптим стический подходы к ситуации). Принимается решение /, на кото­ ром достигается максимум JA,mingr,-/r+(1-A,)max0#Л, где 0 < X < 1. Значение X выбирается из субъективных соображений. Если X при­ ближается к 1, то правило Гурвица приближается к правилу Вальда, при приближении 1 кО правило Гурвица приближается к правилу «розового оптимизма» (догадайтесь сами, что это значит). В примере 2 при X — 1/2 правило Гурвица рекомендует второе решение. 10.4. Анализ связанной группы решений в условиях частичной неопределенности Предположим, что в рассматриваемой схеме известны веро­ ятности pj того, что реальная ситуация развивается по варианту/ Именно такое положение называется частичной неопределенно­ стью. Как здесь принимать решение? Можно выбрать одно из следующих правил. Правило максимизации среднего ожидаемого дохода. Доход получаемый фирмой при реализации /-го решения, является 4in случайной величиной Qt с рядом распределения pM...UM. Ma Р\ Рп тематическое ожидание М Ш и есть средний ожидаемый доход, обозначаемый также Qt. Итак, правило рекомендует принять ре­ шение, приносящее максимальный средний ожидаемый доход.

Предположим, что в схеме примера 2 вероятности есть 1/2, 1/6, 1/6, 1/6. Тогда Q = 29/6, Q2 = 25/6, Q3 = 7, Q4= 17/6. Максимальный средний ожидаемый доход равен 7 и соответст­ вует третьему решению. Правило минимизации среднего ожидаемого риска. Риск фи мы при реализации /-го решения является случайной величиной ГГ Ri с рядом распределения —...—. Математическое ожидание \Р\\ \Рп\ M[Rj] и есть средний ожидаемый риск, обозначаемый также Rt. Правило рекомендует принять решение, влекущее минимальный средний ожидаемый риск. Вычислим средние ожидаемые риски при указанных выше вероят­ ностях. Получаем R{ = 20/6, R2 = 4, R3 = lib, R4 = 32/6. Мини­ мальный средний ожидаемый риск равен 7/6 и соответствует третьему решению. З а м е ч а н и е. Отличие частичной (вероятностной) неопреде­ ленности от полной неопределенности очень существенно. Конеч­ но, принятые по правилам Вальда, Сэвиджа, Гурвица решения ни­ кто не считает окончательными, самыми лучшими. Это только лишь первый шаг, некоторые предварительные соображения. Далее пы­ таются узнать что-то о вариантах реальной ситуации, в первую очередь о возможности того или иного варианта, о его вероятности. Но когда мы начинаем оценивать вероятность варианта, это уже предполагает повторяемость рассматриваемой схемы принятия ре­ шений: это уже было в прошлом, или это будет в будущем, или это повторяется где-то в пространстве, например, в филиалах фирмы. 10.5. Оптимальность по Парето Итак, при попытке выбрать наилучшее решение мы столкну­ лись в предыдущем параграфе с тем, что каждое решение имеет две характеристики — средний ожидаемый доход и средний ожи­ даемый риск. Теперь имеем оптимизационную двухкритериальную задачу по выбору наилучшего решения. Существует несколько способов постановки таких оптимиза­ ционных задач. Рассмотрим такую задачу в общем виде. Пусть А — некоторое множество операций, каждая операция а имеет две числовые ха­ рактеристики Е(а), г(а) (эффективность и риск, например) и разные операции обязательно различаются хотя бы одной харак теристикой. При выборе наилучшей операции желательно, что­ бы Е было больше, а г меньше. Будем говорить, что операция а доминирует операцию Ь, и обозначать а>Ъ, если Е(а) > Е{Ь) и r(a) < r(b) и хотя бы одно из этих неравенств строгое. При этом операция а называется доминирующей, а операция b — доминируемой. Ясно, что ни при каком разумном выборе наилучшей операции доминируемая операция не может быть признана таковой. Следовательно, наи­ лучшую операцию надо искать среди недоминируемых опера­ ций. Множество этих операций называется множеством Парето или множеством оптимальности по Парето. Имеет место чрезвычайно важное утверждение Утверждение. На множестве Парето каждая из характери­ стик Е, г — (однозначная) функция другой. Другими словами, если операция принадлежит множеству Парето, то по одной ее характеристике можно однозначно определить другую. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть я, Ъ — две операции из мно­ жества Парето, тогда г(а) и r(b) — числа. Предположим, что г (а) < r(b), тогда Е(а) не может быть равно Е(Ь), так как обе точ­ ки a, b принадлежат множеству Парето. Доказано, что по харак­ теристике г можно определить характеристику Е. Так же просто доказывается, что по характеристике Е можно определить ха­ рактеристику г. Продолжим анализ приве­ ту А денного в § 10.2примера. РасТ.з смотрим графическую иллюстра­ цию. Каждую операцию (реше­ ние) [R, Q) отметим как точку на плоскости — доход откладываем т1 вверх по вертикали, а риск — •2 вправо по горизонтали (рис. 10.1). •4 Получили четыре точки и проI должаем анализ примера 2. Чем R выше точка [R, Q), тем более доРис. ЮЛ ходная операция, чем точка пра­ вее, тем более она рисковая. Значит, нужно выбирать точку выше и левее. В нашем случае множество Парето состоит только из одной третьей операции. Для нахождения лучшей операции иногда применяют подхо­ дящую взвешивающую формулу, которая для операции Q с ха­ рактеристиками \R, Q] дает одно число, по которому и определя­ ют лучшую операцию. Например, пусть взвешивающая формула есть f(Q) = 2Q - R. Тогда для операций (решений) примера 2 имеем: f(Qx) = 2-29/6 - 20/6 = 6,33;

f(Q2) = 4,33;

f(Q3) = = 12,83;

/((?4) = 0,33. Видно, что третья операция — лучшая, а четвертая — худшая. Взвешивающая формула выражает отношение ЛПР к доходу и риску. Если ЛПР применяет только что рассмотренную фор­ мулу, то оно согласно на увеличение риска операции на две единицы, если доход операции увеличивается при этом не менее чем на одну единицу. Разумеется, такая формула может передать отношение ЛПР к доходу и риску лишь приблизительно. 10.6. Правило Лапласа равновозможности Такое правило применяют иногда в условиях полной неоп­ ределенности: все неизвестные вероятности pj считают равными. После этого можно выбрать какое-нибудь из двух приведенных выше правил — рекомендаций принятия решений, т.е. правило максимизации среднего ожидаемого дохода или правило мини­ мизации среднего ожидаемого риска.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. С помощью компьютера проанализирована матрица доходов, построена по ней матрица рисков и отмечены операции, оптималь­ ные по критериям Валвда, Сэвиджа и Гурвица (при X = 1/2) в усло­ виях полной неопределенности. Проверьте компьютерные расчеты. Матрица рисков Матрица доходов Вальд 0 2 0 2 0 2 0 2 4 6 1 2 6 8 2 4 12 6 14 8 84 10 Гурвиц Сэвидж 2 ^0 ^6 2 0 2 2 0 5 2 0 6 2 0 6 2. С помощью компьютера проанализирована матрица доходов, построена по ней матрица рисков и отмечены операции, оптималь­ ные по критериям максимальной эффективности и минимального риска в условиях частичной неопределенности. Проверьте компью­ терные расчеты. Матрица доходов Эффективность и риск Матрица рисков 2 4 4 0 2 6 0 1 0,5 0,2 6 6 8 2 0,2 — 18 4,8 < max 12 3,2 14 5,2 8 1,4 min -» 0,8 2,4 0,4 4,2 0 2 0 2 0,5 2 2 0 5 0,2 2 2 0 6 0,2 0 6 4 од В ероятнос остояний од 3. Рассмотрим рискованную операцию Q с исходами q\,..., qn. Построим для нее вектор R с компонентами г\,..., гт где ry = maxf^: i = 1,..., n}-qj9 и назовем этот вектор вектором рис­ ков. Если операция вероятностная, т.е. у исходов есть вероятно­ сти, то можно определить средний риск операции и т.д. 4. Для матрицы из примера 2 § 10.2 примените правило Лап­ ласа равновозможности и найдите решения, наилучшие по сред­ нему ожидаемому доходу и по среднему ожидаемому риску. 5. Элемент матрицы называется седдовой точкой в ней, если он минимален в своей строке и максимален в своем столбце. Докажите, что при наличии в матрице доходов седдовой точки критерий Вальда рекомендует решение-строку, в которой находится седловая точка. 6. Рассмотрим схему принятия решений или связанную группу операций с матрицей доходов Q. Говорят, что 1-е решение (опера­ ция) доминирует по доходам &-е решение (операцию), если qtj > qkj для любого у = 1,..., п. Доминирование решений по риску опреде­ ляется аналогично, но с заменой неравенства на противоположное. Докажите, что доминирование по доходам эквивалентно домини­ рованию по риску. Выведите отсюда, что доминируемое в рассмат­ риваемом смысле решение не может быть рекомендовано ни од­ ним из рассмотренных выше правил-критериев. Поэтому такое решение не должно рассматриваться вообще и соответствующая строка подлежит удалению из матрицы доходов. 7. Представим, что множество операций А из § 10.5 изображено на рис. 10.2. Найдите множество Парето. Докажите, что операция Т оптимальна по Парето, если по­ строенный в ней «уголок» — вто­ рой квадрант с вершиной в ней, >А* пересекается с множеством А Рис. 10.2 только по этой точке-операции. 8. Обратимся к рис. 10.2. Со­ единим две точки — операции А, В — отрезком. Каждую точку F на этом отрезке можно задать числом 0 < / < 1, так что F = /А + + (1 — J)B. Характеристики операции /'получаются так же, как линей­ ные комбинации соответствующих характеристик операций А, В. Присоединим все операции отрезка к изображенным на рис. 10.2. Докажите, что если обе операции А, В — доминируемые по Парето, то и все операции отрезка А, В тоже доминируемы. Может ли так быть, что сами операции А, В недоминируемые, а все внутренние точки отрезка А, В доминируемые?

Ю Глава 1 1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ВЕРОЯТНОСТНЫХ ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ Финансовая операция называется вероятностной, если суще­ ствует вероятность каждого ее исхода. Прибыль такой операции — разность конечной и начальной денежных ее оценок — является случайной величиной. Для такой операции удается ввести количе­ ственную оценку риска, согласующуюся с нашей интуицией.

11.1. Количественная оценка риска В предыдущей главе дано определение рискованной операции как имеющей по крайней мере два исхода, не равноценных в систе­ ме предпочтений ЛПР. В контексте данной главы вместо ЛПР мож­ но употреблять также термин «инвестор» или какой-либо подобный, отражающий заинтересованность в ее успехе проводящего операцию (возможно, пассивно). При исследовании риска операции встречаемся с фундамен­ тальным утверждением. Утверждение. Количественная оценка риска операции воз­ можна только при вероятностной характеристике множества ис­ ходов операции. I Пример 1. Рассмотрим две вероятностные операции:

-5 25 0,01 0,99 15 25 0,5 0, Несомненно, риск первой операции меньше риска второй операции. Что же касается того, какую операцию выберет ЛПР, это зависит от его склонности к риску (подобные вопросы подробно рассмотрены в I дополнении к ч. И). 11.2. Риск отдельной операции Так как мы хотим количественно оценить рискованность опе­ рации, а это невозможно сделать без вероятностной характери­ стики операции, то ее исходам припишем вероятности и оценим каждый исход доходом, который ЛПР получает при этом исходе. В итоге получим случайную величину Q, которую естественно на звать случайным доходом операции, или просто случайным дохо­ дом. Пока ограничимся дискретной случайной величиной (д.с.в.):

Q' Я\ Р\ q Pi Яп Уп I Г где qj — доход, a pj — вероятность этого дохода.

Операцию и представляющую ее случайную величину — слу­ чайный доход — будем отождествлять при необходимости, выби­ рая из этих двух терминов более удобный в конкретной ситуации. Теперь можно применить аппарат теории вероятностей и найти следующие характеристики операции. Средний ожидаемый доход — математическое ожидание св. Q т.е. M[Q] = q\p\ +... + qrjpm обозначается еще niQ, Q, употребля­ ется также название эффективность операции. Дисперсия операции — дисперсия св. Q, т.е. D[Q] =M[(Q — — то)2], обозначается также D0. Среднее квадратическое отклонение св. ), т.е.

1 0,01 " 25 1 0, 15 25 10,5 0, Сначала вычисляем математическое ожидание св. Q\: т\ = — 5 • 0,01 + + 25 • 0,99 = 24,7. Теперь вычислим дисперсию по формуле Dx =M[Q?]-mf. Имеем M[Q?] =25- 0,01 + 625- 0,99 = 619. Значит, Dx = 619 ~ (24,7)2 = 8,91 и окончательно гх = 2,98.

Аналогичные вычисления для второй операции дают т^ = 20;

г2 = 5. I Как и «полагала интуиция», первая операция менее рискованная. Предлагаемая количественная оценка риска вполне согласу­ ется с интуитивным пониманием риска как степени разбросан­ ности исходов операции — ведь дисперсия и среднее квадратическое отклонение (квадратный корень из дисперсии) и суть меры такой разбросанности. I Пример 3. ЛПР рассматривает две возможные игры. В одной бросают монету, и ЛПР получает 10 денежных единиц, если монета упадет «орлом» вверх, и платит 10 единиц, если она упадет «решкой» вверх. Выплаты в этой игре образуют ряд распределения слева: Монета Игральный кубик "Решка" "Орел" 10 -10 0,5 0,5 1 -20 i/б 2 -10 1/6 3 4 5 6 0 10 20 0 1/6 1/6 1/6 1/ В другой игре бросают игральный кубик и выплаты ЛПР образуют ряд распределения справа. Средний ожидаемый выигрыш в обоих случаях равен 0. Однако интуитивно разбросанность платежей во второй игре больше. Вычис­ ления дисперсии и риска подтверждают это: D, = 100-0,5 + 100-0,5 = 100;

D2 = (400 + 100)2/6 = 500/3 « 167;

П = > / A " = 10;

r2=Jfy*13. Средний ожидаемый доход операции Q, т.е. ее эффективность Шд и ее риск TQ связаны известным неравенством Чебышева: p(\Q-mQ\>e)l-r/&2. Однако известно, что это неравенство весьма грубое и на практике почти не применяется. Если доход операции есть случайная величина, распределенная по нормальному закону, то риск довольно точно указывает некоторые вероятности, связанные с эффективностью: p{\Q-mQ\<3rQ)* 0,997;

р(\ Q - mQ \ < 2rQ)« 0,95. Иногда эти оцен| ки весьма полезны. Следующие утверждения о риске являются следствиями соот­ ветствующих утверждений о дисперсии и среднем квадратическом отклонении из теории вероятностей. Утверждения. А. При увеличении масштаба операции в к раз, т.е. при увеличении всех значений случайного дохода в к раз, эф­ фективность операции увеличивается в к раз, а риск — в \к\ раз. В. При изменении всех доходов на одно и то же постоянное число эффективность операции также изменяется на это число, а риск не изменяется. C. Пусть операции Q\ и Qj некоррелированы, тогда диспер­ сия их суммы равна сумме дисперсий, поэтому риск суммарной операции равен г = у г + г22. D. В общем случае, т.е. для двух произвольных операций Q\ и Qi, риск суммарной операции равен у г,2 + г22 + 2гхг2кХ2, где к\2 — коэффициент корреляции случайных доходов операций;

заме­ тим, что \кх2\ < 1;

из этой формулы вытекает, что риск суммарной операции может быть как больше величины гх + /^ (если к\2 > 0 — при так называемой положительной корреляции доходов операций), так и меньше этой величины (если к\2 < О — при отрицательной корреляции доходов операций). Напомним, что случайные величины X, У называются некорре­ лированными, если их корреляционный момент Кху= Щ(Х— т^)х х (Y— ту)] равен 0;

корреляционный момент Кхуп коэффици­ ент корреляции kxy связаны формулой КХу = ахф о у кху\ независимые случайные величины некоррелированы. I Пример 4. Пусть операции Q\ и Qi некоррелированы, найдем риск операции Q = 0,5- Q\ + 0,5 • Qi (например, денег не хватит на I проведение обеих операций в полном объеме): 1S 25 25 1 - ;

0, 0, 0, 0, I Риски обеих операций уже найдены в примере 2: г\ = 2,98;

г2 = 5. Значит, rQ = V2,982+52/2 * (Д91 + 25)^2 * 5,82/2 = 2,91.

Другие измерители риска. По нашему мнению, среднее квадратическое отклонение является наилучшим измерителем риска отдельной операции. В гл. 10 рассмотрены классическая схема принятия решений в условиях неопределенности и оценки рис­ ка в этой схеме. Полезно познакомиться и с другими измерите­ лями риска. В большинстве случаев эти измерители — просто вероятности нежелательных событий.

11.3. Некоторые общие измерители риска Пусть известна функция распределения F случайного дохода операции Q. Зная ее, можно придать смысл следующим вопро­ сам и ответить на них. 1. Какова вероятность того, что доход операции будет менее заданного s? Можно спросить по-другому: каков риск получения дохода менее заданного? Ответ: F{s).

2. Какова вероятность того, что операция окажется неус­ пешной, т.е. ее доход будет меньше среднего ожидаемого дохода ml Ответ: Дт). 3. Какова вероятность убытков и каков их средний ожидае­ мый размер? Или каков риск убытков и их оценка? о Ответ: ДО), \xdF{x)l F(o).

—ОС 4. Каково отношение средних ожидаемых убытков к средне­ му ожидаемому доходу? Чем меньше это отношение, тем мень­ ше риск разорения, если ЛПР вложил в операцию все свои О средства. Ответ:

\xdF(x)l jxdF(x).

—ас —оо При анализе операций ЛПР желает иметь доход побольше, а риск поменьше. Такие оптимизационные задачи называют двухкритериальными. При их анализе два критерия — доход и риск — часто «свертывают» в один критерий. Так возникает, например, понятие относительного риска операции. Дело в том, что одно и т же значение среднего квадратического отклонения oQy которое измеряет риск операции, воспринимается по-разному в зависи­ мости от величины среднего ожидаемого дохода тд, поэтому величину Од/тд иногда называют относительным риском опера­ ции. Такую меру риска можно трактовать как свертку двухкритериальной задачи: тд -> max, Од ->min, т.е. максимизировать средний ожидаемый доход при одновре­ менной минимизации риска. 11.4. Риск разорения Так называется вероятность столь больших потерь, которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению. I Пример 5. Пусть случайный доход операции Q имеет следующий ряд распределения, и потери 35 или более ведут к разорению ЛПР. СлеI довательно, риск разорения в результате данной операции равен 0,8:

[ — -40 0, -35 0, 100 0, 0, 1(И Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают (в конце концов вероятность разорения отлична от нуля почти в любой сделке — из-за весьма маловеро­ ятных катастрофических событий на финансовых рынках, в мас­ штабах государства, из-за природных явлений и т.п.). I Пример 6. ЛПР имело долг в $40 000. Но оно имело рублевый вклад в 300 000 руб., который при курсе 6 руб. за доллар превышал долг. Вероятность трехкратной девальвации рубля оценивалась всего в 0,01, но она произошла. ЛПР было разорено, так как выплатить I примерно $25 000 не могло. 11.5. Показатели риска в виде отношений ЕСЛИ средства ЛПР равны С, то при превышении убытков Y над С возникает реальный риск разорения. Для предотвращения этого отношение К\ = Y/C, называемое коэффициентом риска, ограничивают специальным числом ^. Операции, для которых этот коэффициент превышает ^, считают особо рискованными. Часто учитывают также вероятность р убытков Г и тогда рассмат­ ривают коэффициент риска Ki = pY/C, который ограничивают другим числом 2 (ясно, что ^2 ^ ^i )• В финансовом менеджмен­ те чаще применяют обратные отношения С/ Y и C/(pY), которые называют коэффициентами покрытия рисков и которые ограни­ чиваются снизу числами 1/^ и 1Д 2 • Именно такой смысл имеет так называемый коэффициент Ку­ ка, равный отношению: Собственные средства Активы, взвешенные с учетом риска Коэффициент Кука используется банками и другими финан­ совыми компаниями. В роли весов при «взвешивании» высту­ пают вероятности — риски потери соответствующего актива. 11.6. Кредитный риск Так называется вероятность невозврата в срок взятого кредита. I Пример 7. Статистика запросов кредитов в банке такова: 10% — го­ сударственные органы, 30% — другие банки и остальные — физиче­ ские лица. Вероятности невозврата взятого кредита соответственно таковы: 0,01;

0,05 и 0,2. Найти вероятность невозврата очередного I запроса на кредит. Начальнику кредитного отдела доложили, что получено сообщение о невозврате кредита, но в факсовом сообщении имя клиента было плохо пропечатано. Какова вероятность, что данный кредит не воз­ вращает какой-то банк? Р е ш е н и е. Вероятность невозврата найдем по формуле полной вероятности. Пусть Н\ — запрос, поступивший от госоргана, Н2 — от банка, Щ — от физического лица и А — невозврат рассматри­ ваемого кредита. Тогда Р(А) = P(Hl)PH]A + P{H2)P^A + P{H3)P^A = 0,\.Ofi\ + + 0,3-0,05+ 0,6-0,2 = 0,136. Вторую вероятность найдем по формуле Байеса. Имеем РАН2=Р(Н2)Р1иА/Р(А) =0,015/0,136 = 15/136« 1/9. Как в реальности определяют все приведенные в этом примере данные, например, условные вероятности Рн А1 По частоте невозврата кредита для соответствующей группы клиен­ тов. Пусть физические лица взяли всего 1000 кредитов и 200 не вер­ нули. Значит, соответствующая вероятность Рц А оценивается как 0,2. Соответствующие данные — 1000 и 200 берутся из информациI онной базы данных банка.

11.7. Депозитный риск Так называется вероятность досрочного отзыва депозита. Оче­ видно, что депозитный риск нарушает нормальную работу банка, заставляя его перегруппировать свои активы по-другому, что всегда чревато потерями. Массовый отгок депозитов вполне может при­ вести к банкротству банка. В общем случае депозитный риск зависит от длины анализи­ руемого периода, динамики изъятая вкладов и многих других об­ стоятельств. I Пример 8. Пусть в банке много мелких клиентов (как в Сбербанке), и вероятность отзыва депозита для каждого из них примерно одна и та же.Тогда по интегральной формуле Муавра—Лапласа Р\кх <к<к2)~ *Ф [(к2 ~np)l^npq J-[(&! -np)l^npq J, где п — число клиентов;

р — вероятность отзыва;

q = 1 — р;

к\, к2 — границы числа отзы­ ваемых вкладов;

Ф — функция Лапласа. Таким образом, при боль­ шом числе независимых примерно одинаковых клиентов отток деI позитов можно более или менее уверенно прогнозировать.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Рассмотрите следующие высказывания и определите, что порождает риск — незнание или случайность:

а) вы не имеете данных об изменениях курса доллар—рубль в течение прошлого года;

б) вы не имеете данных о состоянии активов вашего банка;

в) вы не знаете, как скажется на деловых операциях последнее постановление правительства о...;

г) окажутся ли выгодными ваши фьючерсные контракты (это зависит от погоды в предстоящие 3 месяца);

д) вы решаете вопрос о выдаче кредита клиенту, о котором нет детальных сведений, но понятна его принадлежность к определен­ ной социальной группе;

е) известна статистика возврата кредитов предприятиями груп­ пы, к которой принадлежит данное предприятие. Что здесь порож­ дает риск невозврата? ж) при страховании автомобиля какие факторы машины и вла­ дельца имеют важность и к чему они относятся: к незнанию или к случайности? и) выдан кредит под залог жилого дома дебитора. Каковы воз­ можные последствия и чем они обусловлены? л) как стаж работы кассира связан с незнанием и случайными ошибками? 2. Для четырех операций с помощью компьютера вычислены эффективности (математические ожидания) и риски (квадрат­ ные корни из дисперсий):

Операции (0,1/3)(1,1/3)(2,1/6)(8,1/6) (2,1/6)(3,1/3)(4,1/3)(10,1/6) (0,1/5)(4,1/5)(6,1/5)(10,2/5) (2,1/5)(6,1/5)(8,1/5)(12,2/5) Математическое 2,00 4,33 6,00 8ДЮ ожидание Риск 2,77 2,62 3,79 3, Проверьте компьютерные расчеты. Нанесите операции как точки на плоскость риск—эффективность и убедитесь, что первая и третья операции — доминируемые, а вторая и четвертая — недо­ минируемые, значит, оптимальные по Парето. 3. Пусть операция имеет два различных денежных исхода а и b с вероятностями соответственно р и 1 — р. Изобразите графи­ ки зависимостей средней ожидаемой эффективности и риска операции от р. 4. Операции Q с эффективностью е и риском г и Q'c е'и г\ соот­ ветственно, некоррелированы. Рассмотрим операцию Qf—fQ + + (1 —j)Q\ Найдите ее риск как функцию/ При каком/риск ми­ нимален? Изобразите примерный график зависимости риска опе­ рации Qf от / 5. Пусть результатом операции является денежный доход, равно­ мерно распределенный от а до b, a < b. Каков риск этой операции? Ответ: \b-a\/ fiT, так как дисперсия св., равномерно распределенной на отрезке [а, Ь], равна (Ь — а)2/12. 6. Доход операции Q случаен и имеет следующий ряд рас­ пределения: Q'.

0 A(l-p) P \l-p Найдите эффективность и риск операции как функцию р. При каком р эффективность максимальна и чему равно это мак­ симальное значение? Найдите ответы на эти вопросы и для рис­ ка операции. 7. Пусть даны две некоррелированные операции 0\ и 02, эф­ фективности и риски которых (в смысле среднего квадратического отклонения) равны соответственно (г ь е\) и (r2, е2). Изобразите на плоскости эти операции и (примерно) множество L всевоз­ можных их линейных комбинаций (учтите утверждение из § 11.2). Есть ли в L операция, риск которой меньше минимального из рис­ ков гь Г2? Найдите множество Парето для операций из L (опять учтите указанное утверждение). Рассмотрите также частные слу­ чаи: а) когда г\ = г2 и б) когда е\ = е2. Р е ш е н и е этой задачи поучительно. Найдем решение только для случая, когда г ь < г2и е\ < е2 (рис. 11.1). Рассмотрим операцию Of = fO\ + (1 — f)02. Тогда ее эффективность равна ef = fex + ( 1 - f)e2 и ее риск /у yf2r\ + (l ~ /)2/22 • Найдем произ­ ~ водную от tf no tf по правилу дифференцирования параметриче­ ски зависящих аргумента и функции. Имеем def/drf = = Щ/df) : (drf/df) = {ex -e2):2[n2f-r?(l-f)]/^f2+rl{l-fY [ V n V W ( l - / ) 2 ] ( * i -e^l^f-rl^мая производная: отрицательна при l> f > г2 /(/j2 + г22), не существует при / = г2 /[ц + /"22), положительна при 0 < / < г2 /[г2 + г2). Это значит, что искомое множест­ во L операций примерно изображает­ ся кривой, как показано на рис. 11.1. В частности, множество Парето будет = /)]. Видно, что иско­ Рис. 11. частью SQj этой кривой. Интересно также, что операция Q\ пере­ стает быть оптимальной по Парето. 8. Случайные доходы двух взаимосвязанных операций имеют таблицу распределения:

- 0 о 0,2 0,1 0, 0, од Найти эффективность и риск суммарной операции. Р е ш е н и е. Ряд распределения суммарного дохода Q таков:

-1 0 1 2 0 0, 0, 0, 0, Следовательно, эффективность суммарной операции равна 1,6, а риск суммарной операции равен 1,5. 9. Предположим, что ЛПР доступна безрисковая операция Т с эффективностью е$. Пусть О — какая-нибудь другая операция с эффективностью е > е 0 и риском г. Рассмотрите операцию Sf =fO + (1 — j)Tw выразите ее риск через ее эффективность. Р е ш е н и е. Эффективность этой операции равна ef = =fe + (1 — f)eo, а риск равен /у = [f\r (см. утверждение из § 11.2). Имеем / = (е/— е$)/(е — ео) и, подставляя это выражение, полу­ чаем rf = r\ef- e0\/(e - е0) = (r/(e-eo))\ef-ed. Продолжим исследование. На рис. 11.2 показаны эффек­ тивность и риск операций /О + + (1 —У)Гпри различных/ Об­ ратите внимание, что в принци­ пе возможно достижение любой Рис. 11.2 эффективности и любого рис­ ка. Далее конкретизируем на примере. Пусть операция О — это вкладывание некоторой суммы S на 3 месяца на выращивание ранней клубники, эффективность — 20% и некоторый риск (см. точку О на рис. 11.2), операция Т — сдача этой суммы в Сбербанк на те же 3 месяца под 5% (см. точ­ ку 7). Тогда операция 0\ представляет собой два действия: операция 0\ - сумма S/2 вкладывается в выращивание клубники, сумма S/2 вкладывается в банк;

сумма 2S вкладывается в выращивание клубники, для чего в банке берется ссуда в размере S под 5%;

операция Оз - У кого-то еще, кто выращивает клубнику, берется взаймы на 3 месяца сумма S с обещанием возвратить и ее, и «клубнич­ ный» доход с нее через 3 месяца и вся сумма 2S вкладывается в банк под 5%. Наверное, последняя операция нецелесообразна. Да, повто­ рять систематически ее, наверное, нецелесообразно. Ну, а если ЛПР имеет конфиденциальную информацию о предстоящих сильных заморозках? 10. Рассмотрим задачу 3 из гл. 10. В ней для операции Q с исходами qh..., qn был определен вектор R с компонентами /"ь..., гт где г/ = max{q{. i = 1,.., п} — qj. Назван этот вектор век­ тором рисков. Пусть операция Q вероятностная, т.е. у исходов есть вероятности. Докажите, что риск операции Q (в смысле среднего квадратического отклонения — СКО) равен СКО век­ тора рисков R.

операция 0 Глава 1 ОБЩИЕ МЕТОДЫ УМЕНЬШЕНИЯ РИСКОВ Как правило, риск стараются уменьшить. Для этого существу­ ет немало методов. Большая группа таких методов связана с под­ бором других операций, таких, чтобы суммарная операция имела меньший риск.

12.1. Диверсификация Напомним, что дисперсия суммы некоррелированных случай­ ных величин равна сумме дисперсий. Из этого вытекает следую­ щее утверждение, лежащее в основе метода диверсификации. Утверждение 1. Пусть 0\,..., 0п — некоррелированные опе­ рации с эффективностями е\,..,, еп и рисками г\,..., гп. Тогда опе­ рация «среднее арифметическое» О = (0\ +... + Оп)/п имеет эф­ фективность е = (в[ +... + еп)/п и риск г = у {г? +... + гя2) In. Доказательство этого утверждения — простое упражнение на свойства математического ожидания и дисперсии. Следствие 1. Пусть операции некоррелированы и а < etvib < <г/ < с для всех / = 1,..., я. Тогда эффективность операции «среднее арифметическое» не меньше а (т.е. наименьшей из эффективностей операций), а риск удовлетворяет неравенству bljn

Предложение 2. Предположим, что среди операций есть веду­ щая, с которой все остальные находятся в положительной корре­ ляционной связи. Тогда риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа суммируемых операций. Действительно, для простоты примем более сильное предположе­ ние, именно, что все операции Oh i = 1,..., /1, просто копируют операцию 0\ в каких-то масштабах, т.е. Ot = kft\ и все коэффициен­ ты пропорциональности к, положительны. Тоща операция «среднее арифметическое» О = (Off-...+ Оп) / п есть просто операция 0\ в масштабе П# / Л и риск этой операции г = гхИ V я • ПОЭТО­ МУ ) V/=i ) му, если операции примерно одинаковы по масштабности, т.е. к,- 1, то и г*г{\ 2^kt/n V*'=i ) *r{.

Мы видим, что риск операции «среднее арифметическое» не уменьшается при увеличении числа операций. Пример 1. Предположим, ЛПР имеет возможность составить опера­ цию из четырех некоррелированных операций, эффективности и риски которых даны в таблице:

й 1 3 2 5 3 8 4 10 Рассмотрим несколько вариантов составления операций из этих операций с равными весами. 1. Операция составлена только из 1-й и 2-й операций. Тогда е{2 = (3 + 5)/2 = 4;

г12 = л / 2 2 + 4 2 Д « 2,24. 2. Операция составлена только из 1-й, 2-й и 3-й операций. Тогда е123 = (3 + 5 + 8)/3 = 5,3;

гт = 7 г 2 + 4 2 + 6 2 / з * 2,49. 3. Операция составлена из всех четырех операций. Тогда e ^ = (3 + 5 + 8+10)/4 = 6^;

/\-4= V 2 2 + 4 2 + 6 2 + 12 2 /4«3,54. Видно, что при составлении операции из все большего числа операций риск растет весьма незначительно, оставаясь близко к нижней границе рисков составляющих операций, а эффективность каждый раз равна среднему арифметическому составляющих эффекгивностей. Принцип диверсификации применяется не только для усред­ нения операций, проводимых одновременно, но в разных местах (усреднение в пространстве), но и проводимых последовательно во времени, например, при повторении одной операции во времени (усреднение во времени). Например, вполне разумной является стратегия покупки акций какой-нибудь стабильно работающей компании 20-го января каждого года. Неизбежные колебания кур­ са акций этой компании благодаря этой процедуре усредняются и в этом проявляется эффект диверсификации. Теоретически эффект диверсификации только положителен — эффективность усредняется, а риск уменьшается. Однако усилия по проведению большого числа операций, по отслеживанию их результатов могут, конечно, свести на нет все плюсы от дивер­ сификации. 12.2. Хеджирование В эффекте диверсификации ЛПР составляло новую опера­ цию из нескольких, имеющихся в его распоряжении. При хед­ жировании (от англ. hedge — изгородь) ЛПР подбирает или даже специально конструирует новые операции, чтобы, проводя их совместно с основной, уменьшить риск. I Пример 2. По контракту российская фирма через полгода должна получить крупный платеж от украинской компании. Платеж равен 100 000 гривен (примерно 600 тыс. руб.) и будет произведен именно в гривнах. У российской фирмы есть опасения, что за эти полгода курс гривны упадет по отношению к российскому рублю. Фирма хочет подстраховаться от такого падения и заключает форвардный контракт с одним из украинских банков на продажу тому 100 000 гри­ вен по курсу 6 руб. за гривну. Таким образом, что бы ни произош­ ло за это время с курсом рубль—гривна, российская фирма не го| несет из-за этого убытков. В этом и заключается суть хеджирования. При диверсификации наибольшую ценность представляли независимые (или некоррели­ рованные) операции. При хеджировании подбираются операции, же­ стко связанные с основной, но, так сказать, другого знака, говоря более точно, отрицательно коррелированные с основной операцией. Действительно, пусть 0\ — основная операция, ее риск г\\ 02 — некоторая дополнительная операция, ее риск г2;

О — oneрация-сумма, тогда дисперсия этой операции D = гх + л + 2кХ2гхг2 + г2,где к — коэффициент корреляции эффективностей основной и дополнительной операций. Эта дисперсия мо­ жет быть меньше дисперсии основной операции, только если этот коэффициент корреляции отрицателен (точнее: должно быть 2кпГ\Г2 +г 2 2 <0, т.е. кп <-г 2 /(2г 1 )). Пример 3. Пусть ЛПР решает проводить операцию О].

-10 0, 0, - 0, - 5 - 20 -5 0, 0, 0, Ему советуют провести одновременно операцию S, жестко связанную с О. В сущности обе операции надо изобразить с од­ ним и тем же множеством исходов. Обозначим суммарную операцию через О, эта операция есть сумма операций 0\ и S. Вычислим характеристики опера­ ций: М[Ох] = 5, D[Ox\ = 225, гх = 15;

M[S\ = 0, D[S\ = 25;

ЩО] = 5, D[0] = 100, г = 10. Средняя ожидаемая эффективность операции осталась неизменной, а риск уменьшился из-за сильной отрица­ тельной коррелированности дополнительной операции S по отно­ шению к основной операции. Конечно, на практике не так легко подобрать дополнитель­ ную операцию, отрицательно коррелированную с основной, да еще с нулевой эффективностью. Обычно допускается небольшая отрицательная эффективность дополнительной операции и из-за этого эффективность суммарной операции становится меньше, чем у основной. Насколько допускается уменьшение эффектив­ ности на единицу уменьшения риска, зависит от отношения ЛПР к риску (см. дополнение к ч. II). Универсальным инструментом хеджирования являются опцио­ ны (см. гл. 14). 12.3. Страхование Можно рассматривать страхование как один из видов хеджи­ рования. Поясним некоторые термины. Страхователь (или застрахованный) — тот, кто страхуется. Страховщик — тот, кто страхует. Страховая сумма — сумма денежных средств, на которую за­ страховано имущество, жизнь, здоровье страхователя. Эта сумма выплачивается страховщиком страхователю при наступлении стра­ хового случая. Выплата страховой суммы называется страховым возмещением. Страховой платеж выплачивается страхователем страховщику. Обозначим страховую сумму w, страховой платеж s, вероят­ ность страхового случая р. Предположим, что застрахованное имущество оценивается в ь По правилам страхования w < ь Таким образом, можно предложить следующую схему:

Операции Страхования нет Операция страхования Итоговая операция (страхование есть) \-р 0 —s —s р —z w—s w— s — z Вероятности Найдем характеристики операции без страхования и итоговой операции. Из теории страхования известно, что при нулевой рен­ табельности страховщика можно считать, что s = pw. Получаем:

Характеристики операций Страхования нет Операция страхования Итоговая операция т М] = -pz, Dx = р{\ - p)z2, r\ = z^p(\ - p) M = -s (l - p) + p (w - s - z) = p [w - z)- s = -pz, D = S2{\- p)+(w - s - zf p (pzf.

Предположим далее, что w = z, т.е. страховое возмещение рав­ но оценке застрахованного имущества, тогда D — 0. Таким образом, страхование представляется выгоднейшим ме­ роприятием с точки зрения уменьшения риска, если бы не страхо­ вой платеж. Иногда страховой платеж составляет заметную часть страховой суммы и представляет собой солидную сумму.

12.4. Качественное управление рисками Риск — столь сложное понятие, что весьма часто невозможна его количественная оценка. Поэтому широко развиты методы управле­ ния риском качественного характера, без количественной оценки. К таким относятся многие банковские риски. Наиболее важные из них — это кредитный риск и риски неликвидности и неплатеже­ способности. 1. Кредитный риск и способы его уменьшения. При выдаче кре дита (или ссуды) всегда есть опасение, что клиент не вернет кре­ дит. Предотвращение невозврата, уменьшение риска невозврата кредитов — это важнейшая задача кредитного отдела банка. Какие же существуют способы уменьшения риска невозврата кредита? • Отдел должен постоянно систематизировать и обобщать ин­ формацию по выданным кредитам и их возвращению. Ин­ формация по выданным кредитам должна быть систематизи­ рована по величине выданных кредитов, должна быть по­ строена классификация клиентов, которые взяли кредит (фи­ зические лица, госорганы, предприятия, другие банки и т.п.);

• отдел (банк в целом) должен вести так называемую кредитную историю своих клиентов, в том числе и потенциальных (т.е. когда, где, какие кредиты брал и как их возвращал клиент). Пока у нас в стране большинство клиентов не имеет своей кре­ дитной истории. Кроме того, обычно оценивается возможность возврата клиентом кредита с помощью анализа его баланса — если это банк;

планов и технического уровня производства, перспектив развития — если это предприятие;

и т.п.;

• есть различные способы обеспечения кредита, например, клиент отдает что-то в залог и если не возвращает кредит, то банк становится собственником залога;

• в банке должна быть четкая инструкция по выдаче кредита (кому какой кредит можно выдать и на какой срок);

• должны быть установлены четкие полномочия по выдаче кре­ дита. Скажем, рядовой сотрудник отдела может выдать кредит не более $1000, кредиты до $10 000 может выдать начальник отдела, свыше $10 000, но не более $100 000, может выдать вице-президент по финансам и кредиты свыше $100 000 вы­ дает только совет директоров (читайте роман А Хейли «Ме­ нялы»);

• для выдачи особо больших и опасных кредитов объединяются несколько банков и сообща выдают этот кредит;

• существуют страховые компании, которые страхуют невозврат кредита (но есть точка зрения, что невозврат кредита не под­ лежит страхованию — это риск самого банка);

• существуют внешние ограничения по выдаче кредитов (напри­ мер, установленные Центральным банком);

скажем, не разреша­ ется выдавать очень крупный кредит одному клиенту;

и т.д. 2. Риски неликвидности, неплатежеспособности и способы уменьшения. Говорят, что средства банка достаточно ликвидны, ес­ ли банк способен быстро и без особых для себя потерь обеспечить выплату своим клиентам денежных средств, которые они доверили банку на кратковременной основе. Риск неликвидности — это и есть риск не справиться с этим. Впрочем, этот риск лишь для краткости назван так, полное его название — риск несбалансирован­ ности баланса в части ликвидности. Все активы банка по их ликвидности делятся на три группы: 1) первоклассные ликвидные средства (кассовая наличность, средства банка на корреспондентском счете в Центробанке, госу­ дарственные ценные бумаги, векселя крупных надежных компа­ ний);

2) ликвидные средства (ожидаемые краткосрочные платежи банку, некоторые виды ценных бумаг, некоторые материальные активы, которые могут быть быстро и без больших потерь прода­ ны, и т.п.);

3) неликвидные средства (просроченные кредиты и не­ надежные долги, многие материальные активы банка, прежде всего здания и сооружения). При анализе риска неликвидности учитываются в первую очередь первоклассные ликвидные средства. Говорят, что банк платежеспособен, если способен расплатить­ ся со всеми своими клиентами, но, возможно, для этого придется про­ вести какие-нибудь крупные и длительные операции, вплоть до продажи оборудования, зданий, принадлежащих банку, и т.д. Риск неплатежеспособности возникает, когда неясно, сумеет ли банк расплатиться. Платежеспособность банка зависит от очень многих факторов. Центральный банк устанавливает ряд условий, которые банки должны выполнять для поддержания своей платежеспособности. Самые важные из них: ограничение обязательств банка;

рефинан­ сирование банков Центральным банком;

резервирование части средств банка на корреспондентском счете в Центральном банке. Риск неликвидности ведет к возможным излишним потерям банка: чтобы расплатиться с клиентом, банку, возможно, придет­ ся одолжить деньги у других банков по более высокой процент­ ной ставке, чем в обычных условиях. Риск неплатежеспособности вполне может привести к банкротству банка. И ликвидность и платежеспособность банка рассчитываются по специальным методикам, которые утверждаются Централь­ ным банком. Он же утверждает специальные нормативы по лик­ видности и платежеспособности, которые банки должны выпол­ нять. В нынешних условиях, имея хорошую вычислительную технику, банк ежедневно может рассчитывать эти нормативы и корректировать свои действия. 12.5. Форвардная и фьючерсная торговля Уменьшить риск позволяют и форвардные контракты. Такие контракты обязательны для исполнения обеими сторонами в бу­ дущем по ценам, зафиксированным в момент заключения кон­ тракта. Например, 1 января фермер заключает форвардный кон­ тракт с мельником на поставку тому пшеницы в августе по опре­ деленной цене. В январе невозможно предсказать, каков будет урожай пшеницы и какова будет реальная цена пшеницы в авгу­ сте. Если она будет выше, чем в контракте, — прогадает фермер, а мельник выгадает;

если цена будет ниже — выиграет фермер, а в проигрыще окажется мельник. Фьючерсные контракты — это также форвардные, но они стандартизованы, обезличены и ими торгуют на биржах. Но почему такие контракты уменьшают риск? Дело в том, что снижение риска здесь происходит не только напрямую, но и кос­ венным образом: несомненно, что форвардные контракты делают рынок более предсказуемым, более стабильным, а значит, менее рискованным. Форвардные контракты напоминают постройку далеко впереди маяков, к которым идут участники рынка. Вообще верно чрезвычайно общее утверждение — все, что дела­ ется открыто, с прицелом, прогнозом на будущее, с ясными постав­ ленными целями, понятными всем, и т.п. — все это увеличивает предсказуемость, стабильность экономики, уменьшает риск. Верно и обратное — все, что делается тайно, без объявления целей, не­ предсказуемо — все это уменьшает стабильность рынка и увеличи­ вает рискованность операций на таком рынке. Чрезвычайно важным примером здесь является ипотечное кре­ дитование (см. § 3.10). Напомним, что это долгосрочная ссудная операция под небольшие проценты под залог недвижимости заем­ щика, причем договоры об ипотечной ссуде действуют в неизмен­ ном виде десятки лет. В такой стране, как США, тысячи фирм за­ нимаются таким кредитованием. Они представляют мощную силу, противостоящую любой нестабильности в стране, а также инфля­ ции, которые могут значительно уменьшить их нормальную работу, а то и привести к разорению. Капитализм извлек хороший урок из Великой депрессии 1929—1938 гг. В 1934 г. из-за несравнимости финансовых отчетов и по ряду других причин Конгресс США создал специальную ко­ миссию по биржам и ценным бумагам. Одна из целей работы этой комиссии — обеспечить точность финансовой информации в отче­ тах фирм, объективное отражение экономических действий, что уменьшает риск. В заключение обобщим пример 2: хеджирование в валютных сделках. Валютная сделка называется тот, если она осуществляет­ ся по сиюмоментной цене и окончательный расчет должен быть произведен не позднее второго рабочего дня после дня совершения сделки. Форвардный валютный контракт — это сделка, опреде­ ляющая сумму валюты, которая должна быть обменена на другую валюту в определенный день в будущем по курсу, который записан в контракте. Форвардные операции служат для хеджирования воз­ никающего валютного риска. Например, российский импортер ку пил товар в Германии. Счет был выписан в немецких марках и должен быть оплачен через 90 дней. Для устранения риска повы­ шения курса немецкой марки за этот период импортер осуществ­ ляет форвардную покупку немецких марок. Третий вид валютных сделок — это операция своп, которая представляет собой сочетание покупки валюты на условиях спот и ее одновременной форвардной продажи. Операция спог весьма распространена. Когда речь идет о простой форвардной операции, то используют термин аутрайт.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Имеет ли смысл диверсификация с безрисковыми опера­ циями? Ответ: относительный, поскольку при диверсификации данной операции с характеристиками г, е с безрисковой операцией эффективности е$ пропорционально уменьшаются и риск, и над­ бавка за риск, т.е. разница е — ец. Смысл диверсификации — в га­ шении колебаний доходности за счет некоррелированности или попарной отрицательной коррелированности составляющих слу­ чайных доходов. 2. Немецкий банк разместил в английском банке свободные средства на три месяца. Как захеджировать возникший риск воз­ можного падения курса фунта стерлингов относительно немец­ кой марки? 3. Российская фирма взяла полугодовой кредит в немецком банке. Как захеджировать возникший риск падения курса рубля относительно немецкой марки? 4. Российский ученый поехал работать в Мексику на три ме­ сяца. Оплата его труда была предусмотрена в мексиканских пе­ со. В период его работы в Мексике вся страна жила в ожидании девальвации мексиканского песо. Какие меры мог бы предпри­ нять российский ученый для уменьшения своих потерь из-за девальвации песо?

Глава МОДЕЛИ ЦЕНООБРАЗОВАНИЯ АКТИВОВ Никто не отказался бы узнать завтрашние цены. Среди практи­ ков-финансистов бытует мнение, что цены следуют некоторым рит­ мам, циклам, трендам. В наши дни, с развитием компьютерной техни­ ки и компьютерных сетей, связывающих весь мир в единое целое, по­ ведение цен можно увидеть на экране компьютера в реальном вре­ мени. Так называемый технический анализ утверждает, что отдель­ ные части графиков цен повторяются, и по начальному участку такой характерной фигуры можно понять, как график пойдет мзлее. В этом и заключается возможность предсказания поведения цены. С целью получения ответа на вопрос, предсказуемо ли движе­ ние цен, было проведено множество исследований. Они принесли неожиданный и парадоксальный результат: скорее всего цены из­ меняются совершенно случайно, примерно так же, как изменяются скорости молекул газа в их хаотическом броуновском движении. Окончательно этот вопрос не решен и, по-видимому, не будет ре­ шен никогда, так как снова и снова будут появляться удачливые фи­ нансисты, уверенные, что они могут предугадывать будущее пове­ дение цен. В данной главе изложены три модели ценообразования активов. В этих моделях цена актива случайно меняется с течением времени. Первые две модели весьма простые — колебания цены имеют всего лишь два значения, из-за чего эти модели называются биномиальны­ ми. На основе этих моделей построены более сложные, имеющие уже практическое значение и используемые в реальных финансовых расчетах (см. гл. 14, посвященную ценообразованию опционов).

13.1. Простейшая биномиальная модель В этой модели S — цена актива без каких-либо специальных ограничений типа цены облигации с погашением (в момент пога­ шения цена равна номиналу облигации), например, это цена ак­ ции. Пусть единица временного промежутка есть день. Тогда цена актива к концу /1-го дня будет Sn = SQ + хх +... + хт где SQ — цена в начале наблюдения, xh i = 1,..., п — независимые и одинаково рас­ пределенные случайные величины, принимающие значения — 1, +1 с вероятностью 1/2. Поведение возможной цены актива изо­ бразим на рис. 13.1.

На рисунке изображено так называемое биномиальное дерево. Поведение цены можно представить как случайное движение по этому дереву слева направо. Найдем математическое ожида­ ние и дасперсию случайной вели­ чины S„. Имеем M[sn] = M[s0]+ t,M[Xi] = S09 так как математическое ожидание каждой св. JC/ равно 0. Далее в силу независимости св. xt дисперсия их суммы равна сумме их дисперсий. Но дисперсия каждой св. xt рав­ на 1, следовательно, D[Sn] = п. Обозначим х\ +... + хп через Рис. 13.1 Хп. Найдем ряд распределения Хп. Вероятность того, что из п св. xt к приняли значение +1, а остальные (п — к) приняли значение —1, равна С*(1/2)Р. Следовательно, Р(Хп = 2к- п) = C*(l/2)w. Ряды распределения Х\, Xi, X$ показаны на рис. 13.2. X,:

1 - - - - |l/ 1/ Х2 1/ 1/ 1/ *г- 1/ 3/8 3/ 1/8 | Рис. 13.2 При п > 10 уже можно воспользоваться центральной предель­ ной теоремой, гласящей, что сумма большого числа независимых и одинаково распределенных слагаемых приближенно распреде­ лена по нормальному закону. Итак, при п > 10 Хп е N\p,yfnJ и, значит, Да < S w -6b< (3) «Ф(р/л/л)-Ф(а/4п), где Ф — функция Лапласа. Отсюда следует, что при п > 10 Р(\ Sn-S0\< 3v«) = 0,9973. В частности, при п = 16 имеем Р (\Sn — SQ\ < 12) = 0,9973, т.е. за 16 дней цена изменится не более чем на 12 единиц (предполагает­ ся, что SQ значительно превосходит 12). В этой самой простой биномиальной модели цены не могут расти систематически, как, например, растет цена бескупонной облигации при приближении момента ее гашения. Ясно также, что математическое ожидание доходности актива равно 0. Поэтому и безрисковая ставка должна быть равна 0 (многочисленные наблю­ дения убеждают, что математическое ожидание доходности любого рискового актива не может быть меньше безрисковой ставки). Все эти соображения делают данную модель пригодной лишь для не­ которых поясняющих иллюстративных расчетов (см. § 14.4). 13.2. Биномиальная модель Кокса—Росса—Рубинштейна В этой модели есть два вида активов: банковский счет вели­ чиной В с постоянной процентной ставкой г, такой, что его ве­ личина к концу л-го временного промежутка Вп = (1+ г) Вп-\ = = (1 + г)п Во, и актив ценой S со случайной ставкой наращения fi> причем все ставки — независимые и одинаково распределен­ ные св., принимающие два значения — а, Ъ, причем а < Ь с ве­ роятностью 1/2, т.е. процентная ставка — плавающая (такие ставки рассмотрены в § 9.1). Следовательно, цена актива в моп мент п равна S0 • Y[{l + //)• В частном случае, когда Ь = Х-1, а = 1/Х-1, где Х>1, имеем S =№п-\> если/„=6;

п [ХГ15лЧ,если/11 = а. Если ввести случайную переменную еп = ±1 с вероятностью 1/2, то Sn=S0№+'"+*".. soA3-| * Очевидно, что в данном ^у^ случае цена актива S «блужда^^-<С^ ет» по множеству {So kk: ^^s^.^.T^^ к =..., -2, - 1, 0, 1, %...} - см. ' ^, ^^>* г. Докажем, что цена актива растет в сред­ нем по этой ставке. Найдем математическое ожидание цены в п-й п момент времени: Sn = SQ • ]~J(l + /J). Так как св. (1 +), / = 1,..., п, независимы, то математическое ожидание их произведения рав­ но произведению их математических ожиданий, значит, M ^ J = ^ o - n M ( i + / ;

) = ^ o - [ i + ( ^ + * ) / 2 ] w. (13.D Аналог формулы (13.1) верен, даже если ставки/ являются не постоянными, а меняются с изменением номера п. 13.3. Общая экспоненциальная биномиальная модель В ходе исследований поведения цен было выяснено, что «случайно блуждают» не сами цены, а их логарифмы, т.е. Sn=S0eH% где Нп = h\ +...+ hn и эти св. А независимы и «примерно одинаковы»., Отсюда можно заключить по центральной предельной теореме, что величины Нп при п > 10 распределены приближенно по нор­ мальному закону. Параметры этого закона: математическое ожи­ дание и дисперсия вполне определяются математическими ожида­ ниями св. А/ и их дисперсиями. Заменим «дискретное» время «не­ прерывным». Тогда, в частности, получится, что для любого мо­ мента / и любого Т > t натуральный логарифм отношения цен S(t + T)/S(t) распределен по нормальному закону. Когда натуральный логарифм случайной величины распреде­ лен по нормальному закону, то распределение самой св. называ­ ется логнормалъным. Примерный график плотности логнормального распределения показан на рис. 13.4. Можно доказать, что если In 7 распределен нормально с пара­ метрами д, а, то М[У] = ев + а ' / 2 и D\y] = е2а + G2 (е° 2 -1 Итак, в общей биномиальной модели отношение цен через лю­ бой временной промежуток рас­ пределено логнормально. Заме­ тим, что S(t + T)/S(t) — в сущ­ ности средняя доходность на промежутке времени, понимае­ мая как коэффициент или мно­ житель наращения (это один из возможных вариантов понятия доходности — см. § 5.1). Сле­ довательно, средняя доходность (таким образом понимаемая) на любом временном промежутке распределена логнормально. Однако убедительного соответствия этих предположений прак­ тике не наблюдается. 13.4. Фундаментальный и технический анализ цен Фундаментальный анализ состоит в изучении и ан&яизе обще­ экономических (главным образом долгосрочных) тенденций на рынке, установлении факторов и скрытых взаимосвязей, влияю­ щих на развитие рынка. При фундаментальном анализе исполь­ зуются разнообразные статистические данные, опубликованные в печати или имеющиеся в электронном виде. Широко применя­ ются различные экономико-математические методы и модели. В большинстве случаев фундаментальный анализ является скорее качественным, чем количественным. Он позволяет лишь выявить начала определенных тенденций и их направленность. Как правило, для более определенных выводов необходимы до­ полнительные исследования. Технический анализ проводится с целью сиюминутного анализа рынка и улавливания краткосрочных аспектов поведения его. Технический анализ состоит в построении диаграмм, изучении только что заключенных контрактов и т.п. Прежде всего он на­ правлен на изучение динамики цен на конкретный актив с целью предугадывания движения цены в ближайший период. Для этого на графиках поведения цен отыскивают повторяющиеся харак­ терные фигуры («голова и плечи», «двойной верх» и т.п.) и дейст­ вуют в предположении движения цены по этой фигуре.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. В простейшей биномиальной модели из § 13.1 определите: а) какова вероятность того, что цена станет меньше первоначальной за 1 день;

за 2 дня;

за 3 дня;

б) останется неизменной в течение 2 дней;

3 дней;

в) станет такой же через 1 день;

через 2 дня;

через 3 дня. 2. Докажите, что в простейшей биномиальной модели из § 13.1 цена «не помнит» своего прошлого, т.е. ее случайное поведение есть мар­ ковский процесс. Графически это отображается так: в биномиаль­ ном дереве вырастающее из любого «сучка» дальнейшее дерево изо­ морфно первичному биномиальному дереву. 3. Владелец магазина гордится тем, что цены у него стабильны в течение недели. Он говорит: «В понедельник я цены назначаю по обстоятельствам. Но затем, если не происходит ничего из ряда вы­ дающегося, я стараюсь их не менять». Формальное описание: если за предыдущие п дней было к изменений цены, то вероятность того, что на следующий день цена не изменится, равна (п — к)/(п +1). Убедитесь, что такие цены «помнят» свое прошлое.

4. В простейшей биномиальной модели из § 13.1 определим св. Сп = max(0, Sn — SQ). Составьте ряды распределения для св. С\, С2, Сз. З а м е ч а н и е. Подобные св. играют важную роль в теории ценообразования опционов (см. гл. 14). 5. По простейшей биномиальной модели из § 13.1 некий наблю­ датель наблюдает цены через день. Как для него выглядит множест­ во возможных цен? 6. Нарисуйте дерево возможных цен актива в биномиальной модели Кокса—Росса—Рубинштейна (КРР) при а = О, Ъ = 0,1, SQ = 10 до п ~ 5. Какова наибольшая возможная цена актива в этой модели? Какова вероятность, что к п = 5 цена окажется 10, не больше 11, не больше 12? Найдите вероятность того, что в п-й мо­ мент цена будет больше первоначальной. Найдите математическое ожидание цены актива в моменты п = 1, 2. 7. Рассмотрите аналог простейшей биномиальной модели из § 13.1, в которой вероятности повышения и понижения цены не равны 1/2. 8. То же, что в п. 7, относительно модели КРР. 9. Пусть в модели КРР а = —0,1;

Ъ = 0,3. Найдите вероят­ ность того, что при достаточно больших п (>10) Sn > SQ (SQ счи­ тать достаточно большим). 10. Как выглядит формула (13.1) в общей экспоненциальной модели с «дискретным» временем? 11. Предположим, что логарифм отношения цен через еди­ ничный промежуток времени распределен по нормальному зако­ ну с параметрами а и а и поведение цены на непересекающихся временных промежутках независимо. Найдите распределение ло­ гарифма отношения цен через п единичных промежутков време­ ни. Считая начальную цену SQ фиксированной, найдите матема­ тическое ожидание и дисперсию цены Sn. 12. Пусть начальная цена актива SQ = 100 и за единицу вре­ мени цена возрастает на 3 или убывает на 1 с вероятностью 1/2. Найдите вероятность того, что при п > 10 цена Sn > SQ. 13. Простейшая триномиальная модель отличается от про­ стейшей биномиальной модели тем, что в ней цена актива к концу л-го дня есть Sn = SQ + x\ +... + хт где SQ — цена в нача­ ле наблюдения, a xh / = 1,..., п, — независимые и одинаково распределенные св., принимающие значения — 1, 0, +1 с веро­ ятностью 1/3. Поведение возможной цены актива можно изо­ бразить на рис. 13.5.

Этот график изображает так называемое триномиальное де­ рево. Поведение цены можно представить как случайное движе­ ние по этому дереву слева направо.

Рис. 13.5 Исследуйте простейшую триномиальную модель подобно тому, как это сделано в отношении простейшей биномиаль­ ной модели в § 13.2.

Глава 1 4 БЫСТРЫЙ РОСТ КАПИТАЛА Рассмспривается рост капитала при заключении контрактов, дающих случайный доход. Если заключить мало контрактов, то и капитал будет расти медленно, если много, — то можно и разориться при неудаче.

14.1. Постановка задачи о росте капитала Рассмотрим ценную бумагу, которая за некоторый временной период дает какой-то случайный (с.) доход. Это текущий доход. Основную стоимость бумаги будем считать постоянной. Пусть уча­ стник рынка имеет капитал К Предположим, он желает в начале каждого указанного временного периода покупать сколько-то эк­ земпляров указанной ценной бумаги, скажем, т, так что величина (в.) т/К остается постоянной от периода к периоду, хотя обе величи­ ны т, К могут меняться. Обозначим отношение т/К через s, так что т = sK. Хорошим теоретическим примером является покупка одного и того же опциона в каком-то числе экземпляров — так как обычно премия—цена покупки опциона много меньше возможного выиг­ рыша, и потому иногда этой премией—ценой опциона прене­ брегают (об опционах см. следующую главу). Но в конце концов, деньги, необходимые для покупки нуж­ ного числа экземпляров ценной бумаги, можно занять. Приращение капитала за период есть АК = т^ = sKt,, так что в конце периода — начале следующего капитал будет равен К + АК = К(1 + 5$. Следовательно, в конце 1-го периода капитал будет КХ=К{\ +,Х), в конце 2-го периода будет JTO + j^Xl + Jfeh в конце я-го периода капитал будет равен * л = *(1+ *$,))...(1 + « я Ь ще К — капитал в начале 1-го периода, ^,...Д л — значения текущих доходов рассматриваемой ценной бумага за соответст­ вующие периоды.

Отношение Кп1К есть скорость роста за все п периодов, а ^ Кп1К естественно назвать скоростью роста в среднем за период или просто средней скоростью роста. Спрашивается, каким должно быть s, чтобы эта средняя скорость была максимальной? Имеем \пКп =ЫК +...+ 1п(1+.?„). Будем считать, что св. ^,,...Д /;

одинаково распределены (как св. О и независимы в совокупности (хопя достаточно было бы лишь их некоррелированости), п тогда св. Wn=Y* ^(l + &я) имеет математическое ожидание ап = па, ще а = Л/[1п(1 + sty] и дисперсию dn = nd9 вде d = D[ln(l + s^]. Теперь имеем 1п(АГл/АГ) = ^ л, или KJK -eWn. Средняя скорость роста $Кп/К = е^ я / л. Рассмотрим св. G(s) = Wn/n. Из вышеуказанного следует, что G(s) имеет математическое ожидание а и дисперсию (см. выше). Поэтому при больших п это будет приближенно постоянная величина а. Из всего этого вытекает, что для исследования максимизации средней скорости роста, равной e G(5), можно ограничиться исследованием св. G(s\ по­ следнее же можно заменить исследованием максимизации математического ожидания этой св. Имеем M[G(s)] = M[W„/n] =A#[hi(l+ *)].

14.2. Рост капитала при постоянной доле контрактов Обозначим Af[ln(l + 5^)] через О, то разорение неиз­ бежно. Среднее число периодов до разорения равно \/р. Д о к а з а т е л ь с т в о. Вероятность разорения за один период есть р9 тоща ( 1 - р)р есть вероятность не разориться за 1-й пе­ риод и разориться за 2-й и т.д. В результате получим, что веро ятность разорения р + (1 - р)р + (1 - р)2р +... = 1, — следовательно, разорение неизбежно. Число периодов до разорения, включая последний, есть св., распределенная по закону геометрической прогрессии, ее среднее значение есть \1р. Пусть Ъ = М{с : Р& <с)> 0)}. Предложение 2. Если Р(^ = 6)>0 и -lis >b или если Р(^ = Ь) = 0 и -lis > Ъ, то при таком s неизбежно разорение. Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку Д, < -1/5) > 0 при данном s, то можно сослаться на предложение 1. С л е д cm ей е 1. Если Р( < с) > 0 для всякого с, то любая стратегия с постоянным s ведет к разорению. Рассмотрим случай дискретной (д.) св. \, пусть ее возможные значения есть щ с вероятностями pt. Имеем: ф) = ]Г Л ln(l + ats\ <р'(л) = X */А /С1 + */*)> Ф*С*) = " Z ^ 2 ^ / ^ 1 + а /' у ) 2 • Отметим, что ср'(0) = ^ а д - = -^И • Условие максимума для дискретного случая: 2 а д / ( 1 + ^ ) = 0. (14.1) Предложение 3 (следствие из предложения 2). Если отрицательных возможных значений св. нет, то нет и опасности разорения;

если же есть отрицательные возможные значения, то при любом постоянном s, большем, чем / = шД-1/д,- : аг < 0}, если наименьшего возможного отрицательного значения нет, или не меньшем, чем r = - l / m i n ^, если такое наименьшее возможное значение есть, вероятность разорения равна 1. Средняя дли­ тельность до разорения равна \/р (о величине р см. ранее, в доказательстве предложения I). Если разорения не допускать, то для нахождения s* полезно следующее предложение. Предложение 4: А) если М[] < 0, то s* = 0 ;

Б) пусть М[] > 0 тогда 0 < s* < t. Действительно, на промежутке [0, /) (о t см. в предложении 3) Ф имеет обе первые производные, и если M[Q < 0, то, очевидно, 5* = 0;

если же М[] > 0, то, поскольку lim <р'0) = - ° °, q>' имеет s->t- нуль на промежутке [0, t). (Напомним, что ср'(0) = М[Z].) З а м е ч а н и е 1. Между любыми двумя положительными числами -Vai9 -1/ду находится нуль первой производной, и этот нуль есть точка максимума функции <р, однако исследование соответ­ ствующей ситуации сильно осложняется необходимостью заме­ нить вышеуказанные рассуждения о росте капитала в силу опас­ ности разорения за один период (об этом уже упоминалось выше, см. также далее — п. 5). В случае непрерывной (н.) с в. § пусть ее плотность вероят­ ности есть/(х), тогда условие максимума:

\xf{x)dxl(\ + sx) = 0.

- (14.2) функция В случае произвольной с в. пусть ее распределения есть Дх), тогда условие максимума:

[х dF(x) /(1 + sx) = 0.

- (14.3) Мы опустим исследование, связанное с возможностью обраще­ ния 1 + я в нуль. Пример 1. А) есть д.с.в., принимающая значения 2, - 1 с равной вероятностью. Условие максимума (14.1) есть 2-(l/2)/(l+2s)-b(l/2)/(l-s)=0, откуда получаем s* = 1 / 4. Итак, если капитал участника равен 400 д.е., то он приобретет 100 экземпляров рассматриваемой ценной бумаги (если у него хватит этой суммы, чтобы их купить, — это предполагается!). Но это только в начале 1-го периода Б) (формулы Келли — см. о них в [1]). Рассмотрим игру, в которой выигрыш а с вероятностью р и проигрыш а с дополнительной вероятностью. Чему здесь должно быть равно s ? Условие максимума (14.1) дает s =(2p-T)/a. Это так называемая первая формула Келаи. Далее рассмотрим игру, в которой выигрыш Ъ с вероятностью р и проигрыш а с дополнительной вероятностью. Чему здесь должно быть равно s ? Условие максимума (14.1) дает s = {bp-a{\-p))l{ab). Это так I называемая вторая формула Келли. В), есть н.с.в., равномерно распределенная на промежутке [-1, 2].

Условие максимума есть \xdx/(3(l + sx))=0. Выкладки приводят к - трансцендентному уравнению (1 + 2s)(l - s) = e. На промежутке [О, 1] это уравнение имеет одно решение, приблизительно s = 0,72. З а м е ч а н и е 2. Легко видеть, что в данной ситуации важны не значения с в., а произведение s%. Это видно и по формулам (14.1)—(14.3).

14.3. Безгранично делимые и бесплатные рулетки и ценные бумаги Кроме ценных бумаг, рассмотрим игру в рулетку с безгра­ нично делимой ставкой. Кратко повторим постановку задачи в этом случае. Участие в игре бесплатное. При ставке 1 выигрыш есть с в.. Можно сра­ зу поставить ставку s, тогда выигрыш будет s%. Собственно говоря, в п. 14.1 было подробно изложено, как вести себя оптимально в данном случае — с постоянным s. Вместо того чтобы участвовать в рискованных играх, особенно если выигрыш невелик, участник может положить деньги в банк и они будут нарастать со скоростью банковского процента а. По­ этому он должен решить, что ему выгоднее: участвовать в выше­ указанной бесплатной лотерее или положить деньги в банк и довольствоваться банковским процентом. Относительное приращение капитала равно: а — если деньги положены в банк, s^ — если участвовать в лотерее. Следовательно, если M[sZ] > а, то надо участвовать в лотерее, иначе надо класть деньги в банк. Тем самым отсекаются не очень выгодные лотереи. В реальности ценные бумаги, конечно, не являются безгра­ нично делимыми, т.е. нельзя рассматривать и оперировать про­ извольными долями этих бумаг. Учет этого приводит к пробле­ мам целочисленности, которые вовсе не являются чисто техни­ ческими (но здесь мы от них уклонимся). Однако нельзя укло­ ниться от проблем, связанных с их стоимостью. Предположим, что для их закупки участник рынка занимает деньги под банковский процент а. Если в начале периода он имеет капитал К, а бумага стоит С и ее приходится покупать под указан­ ный процент, то при каком-то s для оправданности операции долж­ но быть KsZ,- sKaC> О,, т.е. М[%\ > аС. Необходимость учета этого требования опять-таки отсекает не слишком выгодные лотереи. 14.4. Еще одна стратегия управления капиталом Как было указано выше, иногда s невозможно выбрать, чтобы избежать опасности разорения. Однако в такой ситуации можно попробовать использовать другую стратегию. Рассмотрим следующую стратегию управления капиталом (в основных чертах своих реально используемую участниками фи­ нансового рынка). Участник рынка рискует не всем капиталом, а некоторой постоянной по величине суммой Г, а все дополнительные доходы кладет в банк. Если он случайно указанную сумму «проиграет», то он не отчаивается, берет из накопленных в банке к этому моменту денег нужную сумму и продолжает с ней «играть». Итак, пусть вначале у участника есть сумма В в банке, бан­ ковский процент равен а. Участник, кроме того, играет в бес­ платную лотерею % с каким-то s и суммой-ставкой Т. Тогда в конце я-го периода его капитал составит сумму Г и в банке у него будет наращенная сумма В(\ + а)п + sT^(l + а)п~1^ (учитывается нарастап ние по сложным процентам сумм, ранее положенных в банк). К сожалению, сумма независимых св. (1 + а)"~% не удовлетворяет условиям центральной предельной теоремы, тем не менее, кое-что сказать можно. Предложение 5. Вероятность разорения в 1-м же периоде равна Pfe<-B(l + a)/(sTJ). Таким образом, если inf {с: Р(, < с) > 0} = -оо, то разорение возможно при этой стратегии при любой сумме В. Однако разоре­ ние не является неизбежным. Итак, с такой стратегией можно не разориться. Плохо дру­ гое. Будем считать сумму Т— 1, или, что то же самое, пусть BIT = V. Тогда после п периодов у участника в банке будет сумма V(l + а)п + ^ ( 1 + v)n~%t. Если средней скоростью роста капи/=i п и тала за период считать «М *1(1 + а) % /= то несложные вычис ления показывают, что эта скорость асимптотически стремится к (1 + а). Значит, не следует играть в лотерею, а надо положить деньги в банк!

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Пусть с равной вероятностью выигрыш равен 1 и —0,1. Каково s* для максимально быстрого роста капитала? 2. Докажите, что если возможные выигрыши неотрицательные и есть хотя бы один положительный, то s надо брать как можно больше (теоретически бесконечно большим, но на практике величина s будет ограничена. Из-за каких обстоятельств?). 3. Докажите, что если св. нормально распределена, то любая стратегия с постоянным s ведет к разорению. У к а з а н и е. См. следствие 1. 4. При стратегии постоянного s отношение Кп/К0 распре­ делено логнормально (см. п. 14.1). Воспользовавшись формула­ ми из п. 13.3 найдите математическое ожидание и дисперсию этого отношения. 5. Пусть с положительных выигрышей платится постоянный налог. Как это повлияет на выбор s ? 6. В п. 14.4 указано, что стратегия риска постоянной суммой может не привести к разорению. Приведите соответствующий пример. Вот такой п р и м е р. Пусть \ принимает значения: —1, —2,..., -к,... с вероятностями соответственно 4"1, 4~2,..., 4~к9.... и с оставшейся вероятностью 11/15 принимает значение 15/11. Тогда математическое ожидание, будет более 10. Пусть В/Т = — V— \, а = 0,1. Пусть s = 1. Тогда вероятность разорения за 1-й период равна р = Р(>< -V(\ + а)) = Р{Ъ, < -1,1) = 1/15. Следовательно, вероятность неразорения за 1-й период равна (1 — р) = 14/15. При этом К увеличится за этот 1-й период в среднем не менее чем на 10, так что вероятность разориться на следующем периоде рх будет меньше, чем р / 2, и т.д. В итоге вероятность разорения будет меньше, чем р + (1 - р)рх + + (1 - /?)(1 -Р\)Р2+ — > гДе Рк < 2~к- Ясно, что эта сумма меньше 1.

Глава опционы И ЦЕНООБРАЗОВАНИЕ ОПЦИОНОВ Опционы являются производными ценными бумагами, произ­ водным финансовым инструментом. Организованная торговля ими началась только в 1973 г. В данной главе рассматриваются ис­ пользование опционов для уменьшения риска финансовых опе­ раций, а также определение цены на них.

15.1. Опционы Опцион на покупку (call-option) дает право его владельцу (дер­ жателю опциона) купить актив по установленной в этом документе цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Цена эта называется ценой исполнения. Владелец опциона может отказаться от указанной по­ купки актива без всяких штрафов. Аналогично опцион на продажу (put-option) дает право его вла­ дельцу продать актив по установленной в этом документе цене не позже определенной даты (американский опцион) или на момент такой даты (европейский опцион). Далее рассматриваются только европейские опционы. Тот, кто выписал опцион, т.е. его продавец, несет определен­ ное обязательство во все время действия опциона. В частности, если он выписал опцион на покупку, то несет обязательство обес­ печить поставку актива по цене исполнения в момент исполнения опциона, а если он выписал опцион на продажу, то должен купить актив по цене исполнения в момент исполнения опциона. Наоборот, держатель опциона никаких обязательств не несет, но он покупает опцион и платит выписавшему опцион некоторую сумму, называемую премией или просто стоимостью опциона. Рассмотрим более подробно европейский опцион на покупку. Когда наступает дата исполнения опциона, то держатель опциона сравнивает рыночную цену на актив S и цену исполнения R, т.е. указанную в опционе. Если S > R, то он реализует свое право по­ купки актива по цене R, покупает актив по этой цене (и может немедленно же его продать и получить прибыль S— R). Но как фактически реализуется его право купить актив по более низкой цене, чем рыночная? Это право ему обеспечивает продавец оп­ циона, поставляя физический актив или доплачивая разницу S — R держателю опциона (эти обязательства обеспечиваются специальным биржевым механизмом — клиринговой палатой, см. § 6.9). Держатель опциона оказывается в выигрыше и тем больше, чем больше разница S - R. Но если рыночная цена не превышает цену исполнения, то держателю опциона незачем покупать актив. В этом случае он в проигрыше, так как за опцион он заплатил премию и она пропала зря. Следовательно, опцион на покупку покупают тогда и те, кто надеется на повышение рыночной цены актива к дате исполне­ ния опциона. Аналогично обстоит дело и с опционом на продажу. В зависимости от соотношения между ценой актива в момент продажи опциона S и ценой исполнения R, указанной в нем, оп­ ционы называются опционами с выигрышем, с нулевым выигры­ шем и с проигрышем. Для опционов колл (на покупку) это озна­ чает, что S > R, S = R и S < R Торговля опционами — дело довольно сложное и происходит на биржах. Сегодня в мире опционов ежедневно продают и поку­ пают миллионы штук. Дело, однако, редко доходит до поставки физических активов. Обычно проигравшая сторона оплачивает свой проигрыш деньгами. Как сказано выше, американский опцион можно предъявить к исполнению в любой момент не позже определенной даты. По­ этому держатель такого опциона все время в напряжении: а вдруг сейчас и есть этот самый выгодный момент и дальше может быть только хуже. Из-за этой возможности выбора наивыгоднейшего момента американский опцион должен быть дороже;

это подтвер­ ждают и теория, и практика. 15.2. Определение стоимости опциона на момент исполнения При организованной торговле опционами они обезличены и становятся совершенно обычными ценными бумагами на предъя­ вителя. Опцион может быть куплен или продан в любой момент до даты его исполнения. Определим его цену непосредственно перед исполнением (всякого рода издержками на оформление сделки и т.п. пренебрежем). Итак, пусть рыночная цена актива 5, цена исполнения R, а С — стоимость опциона на покупку. Ясно, что С = S — R, если S > R и С = 0, если S < R. Это можно записать так: С = max{0, S — R}. Аналогично в случае опциона на продажу его СТОИМОСТЬ С = max{0, R - S}. Теперь отметим еще одно различие в позициях продавца и по­ купателя опциона. Купивший опцион сразу же несет убытки в раз­ мере цены опциона, который он купил. Но на этом все его убытки кончились. В будущем он может только получить доход, причем в случае опциона на покупку теоретически неограниченный — ведь его возможный доход — это разница между рыночной ценой актива в момент исполнения опциона и ценой исполнения. Наоборот, продавший опцион сразу же получил доход в размере стоимости опциона, который он продал. Но на этом все его доходы кончились. Впереди его ждут только возможные убытки, причем в случае оп­ циона на покупку теоретически неограниченные — эти возможные убытки есть разница между рыночной ценой актива в момент ис­ полнения опциона и ценой исполнения. 15.3. Ценообразование опционов на основе биномиальной модели Идея оценки опциона состоит в создании безрискового порт­ феля путем покупки актива и продажи (выписки) нескольких оп­ ционов на покупку этого же актива. Последующий анализ этого портфеля позволяет определить стоимость опциона. Допустим, поведение цены актива описывается биномиальной однопериодной моделью. Итак, пусть цена актива S = 60 д.е., такова же и цена испол­ нения опциона на покупку. Срок действия опциона европейского типа — один месяц. Предположим, что к концу месяца с вероят­ ностью 1/2 цена актива либо поднимается на 15 д.е., либо опус­ тится на столько же. В первом случае опцион непосредственно перед исполнением будет стоить 15 д.е., во втором случае не бу­ дет стоить ничего. Поэтому в первом случае продавец опциона должен заплатить держателю опциона 15 д.е., во втором случае он не должен ничего платить. Так как размах колебаний цен актива равен 30 д.е. и ровно в два раза превосходит колебания стоимости опциона перед исполнением, то для создания безрискового порт­ феля продавец опционов должен выписать 2 опциона на покупку. Проверим, что портфель из актива и этих двух опционов дей­ ствительно безрисковый. В самом деле, в рамках рассматривае­ мой модели к концу месяца цена актива будет либо 75 д.е., либо 45 д.е. В первом случае владелец портфеля вынужден будет доп­ латить держателям опционов 30 д.е., во втором случае — ничего. В обоих случаях к концу месяца портфель будет стоить 45 д.е. независимо от цены актива. Это и означает его безрисковость.

Теперь перейдем непосредственно к определению цены опцио­ на. Пусть банковская безрисковая ставка равна 10%. Так как порт­ фель безрисковый, то его современную стоимость найдем, дискон­ тируя его стоимость в конце месяца по безрисковой ставке. Итак, его современная стоимость равна 45/(1 + 0,1) = 41 д.е. Но сейчас актив стоит 60 д.е., поэтому два опциона вместе стоят 60 — 41 = = 19 д.е. Следовательно, один опцион стоит 9,5 д.е. За такую цену оба опциона и должны быть проданы. Интересно детально проследить за состоянием (богатством) продавца опционов. Сначала у него был только актив стоимостью 60 д.е. Потом он выписал и продал два опциона, каждый по 9,5 д.е. Теперь у него денег 19 д.е. за проданные опционы, актив стоимостью 60 д.е. и обязательства по обеспечению двух опцио­ нов, цена этих обязательств 19 д.е. и они образуют его пассив. Актив и этот пассив вместе образуют безрисковый портфель стои­ мостью 41 д.е. К концу месяца 19 д.е. возрастут по безрисковой ставке до 19-(1 +0,1) = 21 д.е., стоимость безрискового портфеля возрастет по безрисковой ставке до 41 • (1 + 0,1) = 45 д.е. Всего у продавца опционов будет 21 + 45 = 66 д.е. — в точности как ес­ ли бы его актив был безрисковым и его стоимость возросла бы по безрисковой ставке до 60 • (1 + 0,1) = 66! Умелое хеджирова­ ние полностью оградило от риска. 15.4. Другой подход к ценообразованию опционов Как было показано выше, при биномиальной модели (см. § 13.1) цена актива к концу п-то промежутка есть биномиально распреде­ ленная величина, которую можно представить в виде Sn = S0 + + х{ +... + хп, где случайные величины xt•, / = 1,..., п — независимые одинаково распределенные случайные величины принимающие два значения: 1, —1, с вероятностями 1/2 каждое. Пусть цена ис­ полнения опциона равна *SQ, т.е. равна рыночной цене актива в настоящий момент 0. При этом предполагается, что SQ > п. Доход держателя опциона при исполнении опциона есть Сп = max {0, Sn — So} = max {0, x\ +... + xn}. Ограничимся, как и в предыдущем параграфе, только одним периодом, тогда С = max {0, х\}. Понятно, что С — случайная величина. Так как торговля оп­ ционами носит массовый характер, то при определении их цены можно использовать средние числа. В частности, средний ожи­ даемый доход держателя опциона от одного опциона на покупку есть математическое ожидание случайной величины С\9 которое можно определить как математическое ожидание случайной вели­ чины max{0, х\}, т.е. Сх = M[max{0, JCI>]. Докажем, что это и есть «справедливая« цена опциона. При этом для упрощения примем, что безрисковая ставка равна 0. «Справед­ ливость» цены означает, что продавец опциона сумеет обеспечить исполнение опциона и не более, т.е. никакой прибыли на выписке опциона он не заработает. Далее опустим индекс у С\ и х\. Докажем, что С = 1/2. Проще всего найти С, мысленно произведя над случайной величиной х большое число опытов, скажем, 100. При этом в 50 опытах х при­ мет значение 1 и потому A/[max{0, х}] = 1/2. Теперь покажем, как продавец опциона может распорядиться этой суммой, чтобы обеспечить исполнение опциона. Он берет в банке заем величиной SQ/2 — 1/2, добавляет к этой сумме выру­ ченную за продажу опциона 1/2 д.е. и на сумму SQ/2 покупает по­ ловину единицы актива. Итак, сейчас у него имеется единица ак­ тива и портфель, состоящий из долга банку, актива стоимостью iSo/2 и еще обязательства обеспечить исполнение опциона. Убе­ димся, что этот портфель безрисковый стоимостью 0. В самом деле, если к моменту исполнения опциона цена актива увеличится на 1 д.е., то стоимость актива в портфеле увеличится до 1/2 • («So + 1), из этой суммы 1 д.е. пойдет держателю опциона, а ос­ тальное, т.е. 6о/2 — 1/2, — на погашение займа у банка. Если же це­ на актива упадет на 1 д.е., то держателю опциона ничего не надо платить, а актив портфеля будет продан за 1/2 • ( 5 - 1) — это в точ­ *Ь ности долг банку. Докажем далее, что опцион не может стоить меньше, чем С, в данном случае не может стоить меньше, чем 1/2, ибо если он меньше 1/2, то это не позволит продавцу опциона обеспечить исполнение опциона, что означало бы крах всей опционной торговли. В самом деле, если бы опцион стоил меньше и при этом продавец как-то умудрялся обеспечивать исполнение опционов, то покупатель опцио­ на имел бы строго положительный доход. Это позволило бы ему сго­ вориться с продавцом опциона и они вместе построили бы «денеж­ ную машину»: продавец без конца выписывал бы опционы, поку­ патель их покупал, а этот строго положительный доход они бы де­ лили, т.е. производили бы деньги из ничего. Но это невозможно. В заключение остановимся на стоимости опциона в конце не одного расчетного периода, а многопериодного промежутка. Тогда Сп = Щтах{0, х\ +... + хп}] (цена исполнения по-прежнему равна цене на момент продажи опциона). При п > 10, согласно Центральной Предельной Теореме, сумма х\ +... + хп распределена приближенно по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно 0, дис­ персия равна п. Следовательно, искомое математическое ожида­ ние М[{0, х\ +... + хп}] равно j l / > & • е-*2/2" • dx/2 = ^фк. о Итак, для многопериодного расчетного промежутка стоимость опциона на покупку равна C = Jn/(2n). 15.5. Создание с помощью опционов безрисковых портфелей Пример создания такого портфеля приведен в § 15.4. При этом были использованы опционы на покупку, которые выписал владе­ лец актива. Создать безрисковый портфель можно и с помощью опционов на продажу. Рассмотрим аналогичный пример. Пусть цена актива S равна 60 д.е., такова же и цена исполнения опциона на продажу. Срок действия опциона европейского типа один месяц. Предположим, что к концу месяца с вероятностью 1/2 цена актива либо поднимется на 15 д.е., либо опустится на столько же. В первом случае опцион непосредственно перед исполнением будет стоить 15 д.е., во втором — не будет стоить ничего. Поэтому в первом случае продавец опциона должен заплатить держателю опциона 15 д.е., во втором случае он не должен платить ничего. Так как размах колебаний цен актива равен 30 д.е. и ровно в два раза превосходит колебания стоимости опциона перед исполнени­ ем, то для создания безрискового портфеля держатель актива дол­ жен купить 2 опциона на продажу. Проверим, что портфель из ак­ тива и этих двух опционов действительно безрисковый. В самом деле, в рамках рассматриваемой модели к концу ме­ сяца цена актива будет либо 75 д.е., либо 45 д.е. В первом случае владелец портфеля ничего не будет делать с купленными им оп­ ционами на продажу, во втором случае продавец опционов выпла­ тит ему по 15 д.е. за опцион. В обоих случаях к концу месяца порт­ фель будет стоить 75 д.е. независимо от цены актива. Это и озна­ чает его безрисковость. 136 (15.1) Теперь перейдем непосредственно к определению цены оп­ циона. Пусть банковская безрисковая ставка равна 10%. Так как портфель безрисковый, то его современную стоимость найдем, дисконтируя его стоимость в конце месяца по безрисковой став­ ке. Итак, его современная стоимость равна 75/(1 + 0,1) = 68,2 д.е. Но сейчас актив стоит 60 д.е. и поэтому два опциона вместе стоят 68,2 — 60 = 8,2 д.е. Следовательно, один опцион стоит 4,1 д.е. За такую цену оба опциона и должны быть куплены. Проследим детально, как в § 15.4, за капиталом покупателя оп­ ционов. Сначала у него был только актив стоимостью 60 д.е. По­ том он купил два опциона, каждый по 4,1 д.е. Теперь у него денег: —8,2 д.е. — долг за купленные опционы, актив стоимостью 60 д.е. и два опциона, являющиеся фактически тоже активами, цена этих активов 8,2 д.е. Прежний актив и эти два опциона вместе обра­ зуют безрисковый портфель стоимостью 68,2 д.е. К концу месяца —8,2 д.е. уменьшатся по безрисковой ставке до —8,2 • (1 + 0,1) = = — д.е., стоимость безрискового портфеля возрастает по безриско­ 9 вой ставке до 75 д.е., всего у покупателя будет 75 — 9 = 66 д.е. — в точности как если бы его актив был безрисковым и его стои­ мость возросла бы по безрисковой ставке до 60 • (1 + 0,1) = 66 д.е.! Умелое хеджирование, как и в § 15.4, полностью оградило поку­ пателя от риска. С помощью опциона на покупку можно застраховаться от из­ лишне высокого повышения цены на интересующий актив и обес­ печить его приобретение по сегодняшней цене. Это делается сле­ дующим образом. Купим опцион на покупку этого актива по цене исполнения Е и одновременно денежную сумму величиной Е* (1 + Ь)~т, вложим в банк по безрисковой ставке Ь. К моменту исполнения опциона, т.е. через время Т, эта сумма возрастет до Е. Если цена актива к этому моменту не превысит Е, то купим актив;

иначе купим актив с по­ мощью имеющегося у нас опциона на покупку. Между стоимостями опционов на покупку и на продажу есть связь, известная как теорема паритета опционов. Пусть С, Р — стоимости соответственно опциона на покупку и опциона на продажу и S, Е — цена актива в момент продажипокупки опционов и соответственно цена исполнения. Тогда P=C+E-(l + b)-TS, (15.2) где Ъ — безрисковая ставка, Т — время опциона. Для доказательства этой формулы проведем два мысленных эксперимента.

1. Приобретем актив по цене S и опцион на продажу с ценой исполнения Е и стоимостью Р, затратив всего S + Р. Если цена актива в момент исполнения опциона превысит Д то актив со­ храним, в противном случае актив продадим по цене Е. 2. Купим опцион на покупку этого актива с ценой исполне­ ния Е и стоимостью С и одновременно вложим по безрисковой ставке Ь денежную сумму величиной Е* (1 + Ь)~т, всего затратим С + Е*(1 + Ь)~т;

к моменту исполнения опциона, т.е. через время Т, эта сумма возрастет по безрисковой ставке до Е. Если цена актива к этому моменту не превысит Д то купим актив;

иначе ку­ пим актив с помощью имеющегося у нас опциона на покупку. В рамках рассматриваемой модели оба эксперимента дают в конце один результат: если цена актива к моменту исполнения опциона превысит Е, то будем иметь актив, иначе — денежную сумму Е. Следовательно, и в начале этих экспериментов наш ка­ питал должен быть одинаковым, т.е. должно быть S + Р = С + + Е' (1 + Ь)~т, откуда и следует формула (15.2). Если цена ис­ полнения опционов совпадает с сегодняшней рыночной ценой актива, то опцион на покупку дороже опциона на продажу. В заключение отметим, что различным расчетам, связанным с опционами, посвящено огромное число научных работ. Нача­ ло этому положили работы Ф. Блэка и М. Шоулса в 1973 г. и Р.С. Мертона (в то же время), посвященные ценообразованию опционов. Эти работы без преувеличения совершили револю­ цию в финансовых расчетах.

ВОПРОСЫ И ЗАДАЧИ 1. Рассмотрите два опциона на покупку, во всем одинако­ вых, но с разными ценами исполнения. Какой опцион дороже? 2. Ответьте на тот же вопрос относительно стоимости опцио­ нов на продажу. 3. В однопериодной биномиальной модели для создания без­ рискового портфеля надо продать 2 опциона. Сколько опционов надо продать ддя той же цели в многопериодной биномиальной модели? 4. Проведите подробный вывод формулы (15.1).

Глава ОПТИМАЛЬНЫЙ ПОРТФЕЛЬ ЦЕННЫХ БУМАГ На финансовом рынке обращается, как правило, множество ценных бумаг: государственные ценные бумаги, муниципальные облигации, корпоративные акции и т.п. Если у участника рынка есть свободные деньги, то их можно отнести в банк и получать проценты или купить на них ценные бумаги и получать дополни­ тельный доход. Но в какой банк отнести? Какие ценные бумаги ку­ пить? Малорисковые ценные бумаги, как правило, и малодоход­ ны, высокодоходные, как правило, более рисковые. Экономиче­ ская наука может дать некоторые рекомендации для решения этого вопроса. Итак, инвестор ищет на финансовом рынке активы, способные удовлетворить его пожелания относительно доходности и риско­ ванности. Это — его спрос на рынке.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.