WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 22 |

«Практическое руководство ТРЕТЬЕ ИЗДАНИЕ НЭРЕШ К. МАЛХОТРА Технологический институт штата Джорджия вильямс WT Москва • Санкт-Петербург • Киев 2002 ББК88.5Я75 М19 УДК 681.3.07 Издательский ...»

-- [ Страница 16 ] --

R.F. Beltramini, "A Meta-Analysis of Effect Sizes in Consumer Behavior Experiments", Journal of Consumer Research, June 1985, p. 97—103. 19. Эта формула не подходит, если делают повторные измерения по зависимой переменной. См. работы Edward F. Fern, Kent В. Monroe, "Effect-Size Estimates: Issues and Problems in Interpretation", Journal of Consumer Research, September 1996, p. 89—105;

David H. Dodd, Roger F. Schultz, Jr., "Computational Procedures for Estimating Magnitude of Effect for Some Analysis of Variance Designs", Psychologists Bulletin, June 1973, p. 391—395. 20. Формулу пт приписывают У. Хейсу. См. работу W.L. Hays, Statistics for Psychologists (New York, NY: Holt, Rinehart & Winston, 1963). Современное применение см. в статье S. Ratneshwar, Shelly Chaiken, ''Comprehension's Role in Persuasion: The Case of Its Moderating Effect on the Persuasive Impact of Source Cues", Journal of Consumer Research, 1991, p, 52—62. Относительно альтернативного метода см, также статью Adam Finn, Ujwal Kayande, "Reliability Assessment and Optimisation of Marketing Measurement", Journal of Marketing Research, February 1997, p. 262-275. 21. Edward F. Fern, Kent B. Monroe, "Effect-Size Estimates: Issues and Problems in Interpretation", Journal of Consumer Research, September 1996, p. 89—105;

Jacob Cohen, Statistical Power Analysis for the Gehavioral Sciences (New York, NY: Academic Press, 1969). 22. John W. Neter, Applied Linear Statistical Models, 4th ed. (Burr Ridge, IL: Irwin, 1996);

B.J. Winer, Donald R. Brown, Kenneth M. Michels, Statistical Principles in Experimental Design, 3rd, ed. (New York, NY: McGraw-Hill, 1991). 23. Возможно объединение межгруппового и внутригруппового факторов в одной модели. См., например, работы Michael К. Mount, Marcia R. Sytsma, Joy F. Hazucha, Katherine E. Holt, •'Rater-Ratee Effects in Developmental Performance Ratings of Managers", Personnel Psychology, Spring 1997, p. 51—69;

Susan M. Broniarczyk, Joseph W. Alba, "The Importance of the Brand in Brand Extension", Journal of Marketing Research, May 1994, p. 214—228;

Aradhna Krishna, "The Effect of Deal Knowledge on Consumer Purchase Behavior", Journal of Marketing Research, February 1994, p. 76-91. 24. См. работы Thomass Novak, "MANOVAMAP: Geographical Representation of MANOVA in Marketing Research", Journal of Marketing Research, August 1995, p. 354—374;

J.H. Bray, S.E. Maxwell, Multivariate Analysis of Variance (Beverly Hills, CA: Sage Publications, 1985). Относительно применения MANOVA см. статью Sajeev Varki, "Satisfaction is Relative", Marketing Research: A Magazine of Management & Applications, Summer 1997, p. 14-19. 25. Neil R. Abramson, Robert J. Keating, Henry W. Lane, "Cross-National Cognitive Process Differences: A Comparison of Canadian, American and Japanese Managers", Management International Review, Second Quarter 1996, p. 123—147;

Ishmael Akah, "A Cross-National Analysis of the Perceived Commonality of Unethical Practices in Marketing Research", in William Lazer, Eric Shaw, Chow-How Wee (eds.), World Marketing Congress (International Conference Series), vol. IV (Boca Raton, FL: Academy of Marketing Science, 1989), p. 2—9. 26. Eric L. Einspruch, An Introductory Guide to SPSS for Windows (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1998);

Paul E. Spector, SAS Programming for Researchers and Social Scientists (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1993);

Mohamed Afzal Norat, "Software Reviews", Economic Journal: The Journal of the Royal Economic Society, May 1997, p. 857—882;

John Wass, "How Statistical Software Can be Assessed", Scientific Computing and Automation (October 1966). 27. Patricia L. Smith, Eltwood F. Oakley, "Gender-Related Differences in Ethical and Social Values of Business Students: Implications for Management", Journal of Business Ethics, January 1997, p. 37—45;

Ishmael Akaah, "Differences in Research Ethics Judgements between Male and Female Marketing Professionals", Journal of Business Ethics, August 1989, p. 375—381.

Глава 16. Дисперсионный и ковариационный анализ Г л а в а Корреляция и регрессия После изучения материала этой главы вы должны уметь...

1. Разбираться в том, что собой представляют парная корреляция, частная корреляция, частичная корреляция и показать, почему они являются основой для регрессионного анализа. 2. Объяснить природу и методы двумерного регрессионного анализа и описать общую модель, процедуры оценки параметров, нормирование коэффициента регрессии, проверки значимости, процедуру определения точности прогноза, анализ остатков и перекрестную проверку модели.

3. Объяснять природу и методы множественного регрессионного анализа и значение частных коэффициентов регрессии. 4. Описать специализированные методы, используемые в рамках множественного регрессионного анализа, особенно пошаговую регрессию, регрессию с фиктивными переменными, а также дисперсионный и ковариационный анализ с регрессией. 5. Объяснить неметрическую корреляцию и такие показатели, как коэффициенты ранговой корреляции Спирмена и Кендалла.

КРАТКИЙ ОБЗОР В главе 16 рассматривались взаимосвязи между /-критерием, дисперсионным и ковариационным анализом, а также регрессией. В этой главе вы познакомитесь с регрессионным анализом, объясняющим вариацию в доли рынка, продажах, предпочтении торговой марке и других маркетинговых результатах, получаемых при управлении такими маркетинговыми переменными, как реклама, цена, распределение и качество продукции. Однако прежде чем приступить к изучению регрессии, мы рассмотрим парную корреляцию и частный коэффициент корреляции, лежащие в основе регрессионного анализа. Разбираясь с регрессионным анализом, мы сначала обсудим самый простой его тип — двумерную регрессию, опишем процедуры оценки, нормирования коэффициентов регрессии, проверку и определение тесноты и значимости связи между переменными, а также точность прогноза и допущения, которые лежат в основе регрессионного анализа. Затем мы разберем модель множественной регрессии, уделив особое внимание интерпретации параметров, тесноте связи, проверкам значимости и анализу остатков. СКВОЗНОЙ ПРИМЕР. ВЫБОР УНИВЕРМАГ) ( Множественная регрессия В ходе реализации проекта "Выбор универмага" маркетологи использовали множественный регрессионный анализ для разработки модели, объясняющий выбор того или иного кон1 кроткого универмага, исходя из его оценки респондентами по восьми критериям. Зависимой переменной в данном случае служило предпочтение, отдаваемое каждому универмагу. В качестве независимых переменных выбраны оценки каждого магазина по следующим параметрам: качество товаров;

их разнообразие и ассортимент;

условия обмена и возврата проданных товаров;

услуги продавцов;

цены;

удобное расположения;

планировка универмага;

| условия предоставления кредита и выполнения расчетов за покупки. Анализ показал, что | Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных все факторы, рассматривавшиеся в качестве критерия выбора магазина, за исключением фактора "услуги продавцов", являются значимыми для объяснения предпочтения магазина клиентом. Коэффициенты всех переменных оказались положительными. Это означает, что чем выше оценки каждого из значимых факторов конкретного магазина, тем выше его предпочтение. Модель хорошо согласуется с фактическими данными, и на ее основе можно f хорошо прогнозировать предпочтения в выборе универмага. Ниже рассматриваются такие вопросы регрессионного анализа, как пошаговая регрессия, мул ьти колли неарность, относительная важность независимых переменных (предикторов) и перекрестная проверка. Мы опишем регрессию с фиктивными переменными и использование этой процедуры для выполнения дисперсионного и ковариационного анализа. Рассмотрим на примерах применение регрессионного анализа. ПРИМЕР. Как регрессионный анализ помог фирме Avon Компания Avon Products, Inc. одно время испытывала нехватку торговых агентов, которые служили основой ее бизнеса, предлагая продукцию компании путем личной продажи. Чтобы выявить факторы, обусловившие сложившуюся ситуацию, были разработаны компьютерные регрессионные модели. Они показали, что самой значимой переменной является уровень денежного взноса, который торговые агенты платят за продукцию компании. Руководствуясь полученными данными, компания снизила взнос. Это позволило увеличить количество сотрудников и снизить текучесть кадров [1].

I ПРИМЕР. Internet-революция в торговле Многие эксперты по розничной торговле считают, что продажа товаров через Internet pej волюционизирует розничную торговлю. Рассмотрим результаты маркетингового исследоваj ния, в рамках которого проводился корреляционный анализ предпочтений потребителей к I электронным покупкам посредством видеотекса (услуга покупки товаров на дому с помо| гдью компьютера). Для объяснения потребительских предпочтений были выбраны предла| гаемые в литературе психографическая, демографическая и информационная переменные. j Исследование проводилось в Южной Флориде, где с 1983 года функционирует компания I Viewtron, предлагающая видеотекс-услуги. Компания Viewtron, филиал корпорации Knight\ Ridder Corporation, тратит миллионы на рекламу в этой сфере услуг. Все респонденты знакоI мы с понятием компьютеризированной покупки товаров на дому. Для анализа данных маркетологи воспользовались множественной регрессией. Ее общая i модель оказалась значимой при уровне значимости, равном 0,05. Одномерная проверка с | помощью ^-критерия показала, что следующие переменные значимы при уровне значимоI сти, равном 0,05 или ниже: ценовая ориентация, пол, возраст, род деятельности, этническая 1 принадлежность и образование. Ни одна из трех информационных переменных (СМИ, уст\ ная информация, реклама) не связаны статистически значимым образом с зависимой пере\ менной, которой являлось предпочтение потребителей. Полученные результаты означают, что покупать товары через Internet предпочитают бе1 лые, женщины, среднего возраста, хорошо образованные, руководители, и ориентированные | на цену товара. Информация такого типа представляет ценность для целевого маркетинга в I сфере электронной торговли |2]. Эти примеры иллюстрируют использование регрессионного анализа для определения независимых переменных, которые обуславливают статистически значимую вариацию в исследуемой зависимой переменной;

установления структуры и формы взаимосвязи, силы взаимосвязи и определения предсказанных значений зависимой переменной. Главное в регрессионном анализе — это понять, что такое парная корреляция.

Глава 17. Корреляция и регрессия ПАРНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Часто при проведении маркетингового исследования нас интересует связь между двумя метрическими переменными, как, например, в следующих ситуациях. • Насколько сильно связан объем продаж с расходами на рекламу? • Существует ли связь между долей рынка и количеством торгового персонала? • Связано ли восприятие качества товаров потребителями с их восприятием цены? В таких ситуациях наиболее широко используемой статистикой является коэффициент парной корреляции, г (product moment correlation г), который характеризует степень тесноты связи между двумя метрическими (измеряемыми с помощью интервальной или относительной шкал) переменными, скажем, Хп Y. Этот коэффициент используют, чтобы определить, существует ли между переменными линейная зависимость. Он показывает степень, в которой вариация одной переменной X связана с вариацией другой переменной Y, т.е. меру зависимости между переменными Л" и Y. Коэффициент парной корреляции г (product moment correlation r) Статистический показатель, характеризующий степень тесноты связи между двумя метрическими переменными. Поскольку этот коэффициент первоначально предложил Карл Пирсон (Karl Pearson), его также называют коэффициентом корреляции Пирсона. Кроме того, он известен как простой коэффициент корреляции, линейный коэффициент корреляции или просто коэффициент корреляции, Имея выборку, размером п наблюдений, коэффициент парной корреляции г, для переменных Хтл Кможно вычислить по формуле:

Разделив числитель и знаменатель на (п ~ 1) получим: ±(X,-X)(Y,-Y) п л- ±(X,-X)(Y,-Y) л- п~\ = л- covv sxsr В этих уравнениях X и X обозначают выборочные средние, а Sx и Sy— соответствующие стандартные отклонения. COV^ представляет собой ковариацию (covariance) между X и Y, являясь мерой зависимости Хи Y.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных Ковариация (covariance) Систематическая взаимосвязь между двумя переменными, при которой изменение одной переменной вызывает соответствующее изменение другой переменной (COVxy). Ковариация может быть как положительной, так и отрицательной. Деление на SxSy приводит к нормированному виду, так что коэффициент корреляции г находится в пределах от минус 1 до плюс 1. Обратите внимание, что коэффициент корреляции никак не связан с единицами измерения, в которых выражены переменные. Предположим, что исследователь хочет выяснить, зависит ли отношение респондента к местожительству от длительности проживания его в этом городе. Отношение выражают в 11балльной шкале (1— не нравится город, 11 — очень нравится город), а продолжительность проживания измеряют количеством лет, которые респондент прожил в этом городе. Полученные от 12 респондентов данные приведены в табл. 17.1..„ \ Таблица 17.1 Отношение i сти проживания в нем Номер респондента Отношение к городу Длительность проживания 10 12 Влияние погодных условий 9 8 3 5 6 1 4 •:

В а 10 У Ю 8 Коэффициент корреляции можно вычислить по формуле:

— _ (10 + 12 + 12 + 4 +12 +6 + 8+ 2 +18 + 9 +17 + 2) _ п 12 - (6 + 9+8 + 3 + 10 + 4 + 5 + 2 + 11 + 9 + 10 + 2) Y= = 6,583 А — ' У, ЗЗЗ E(jr, - Jf )(^ - У) = (Ю - 9,33) (6 - 6,58) + (12 - 9,33) (9 - 6,58)+ + (12 - 9,33) (8 - 6,58) + (4 - 9,33) (3 - 6,58)+ + (12 - 9,33) (10 - 6,58) + (6 - 9,33) (4 - 6,58)+ + (8 - 9,33) (5 - 6,58) + (2 - 9,33) (2 - 6,58)+ + (18 - 9,33) (11 - 6,58) + (9-9,33) (9-6,58)+ + (17 - 9,33) (10 - 6,58) + (2 - 9,33) (2 - 6,58)+ = - 0,3886 + 6,4614 + 3,7914 + 19,0814+ + 9,1314+8,5914 + 2,1014 + 33,5714+ + 38,3214-0,7986 + 26,2314 + 33,5714= 179, Глава 17. Корреляция и регрессия Х - А: ) = (10 - 9,33)2 + (12 - 9,33)2 + (12 - 9,33)2 + (4 - 9,33)2 (, /-1 + (12 - 9,33)2 + (6 - 9,33)2 + (8 - 9,33)2 + (2 - 9,33)2 + + (18 - 9,33)2 + (9 - 9,33)2 + (17 - 9,33)2 + (2 - 9,33)2 = = 0 4 8 + 7, 1289 + 7, 1289 + 28,4089+,49 + 7,1289 + 11,0889 + 1,7689 + 53,7289+ + 75, 1689 + 0,1089 + 58,8289 + 53,7289 = 304,6668 Г -У) = ( - 6,58)2 + (9 - 6,58)2 + (8 - 6,58)2 + (3 - 6,58)2 (, 6 i-i +(10 - 6,58) + (4 - 6,58) + (5 - 6,58) + (2 - 6,58) + 2 2 2 2 + (11 - 6,58) + (9 - 6,58) + (10 - 6,58) + (2 - 6,58) = = 0,3364 + 5,8564 + 2,0164 + 12,8164+ + 1 1,6964 + 6,6564 + 2,4964 + 20,9764 + + 19,5364 + 5,8564 + 1 1,6964 + 20,9764 = 120,9168 Таким образом =0.936., ^(304,6668X120,9168) В этом примере г = 0,9361, что близко к 1. Это означает, что отношение респондента к своему городу сильно зависит от времени проживания в нем. Более того, положительный знак г указывает на прямую связь (прямопропорциональную): чем дольше респондент проживает в городе, тем больше он ему нравится, и наоборот. Так как коэффициент корреляции показывает меру, в которой вариация значений одной переменной зависит от вариации другой, то г можно выразить через разложение полной вариации (см. главу 16). Другими словами, г объяснимое изменение = -2 2 2 и полная вариация _SS, ssy _ полная вариация - вариация ошибки _ полная вариация Следовательно, г* показывает, какая доля вариации одной переменной обусловлена вариацией другой. И г, и г2 являются симметричными показателями связи между переменными. Иначе говоря, корреляция между Хм Хта же, что и корреляция между Уи X. Корреляция не зависит оттого, какая из переменных взята в качестве зависимой, а какая в качестве независимой. Коэффициент корреляции является мерой линейной зависимости, и он не предназначен для измерения силы связи в случае нелинейной зависимости. Таким образом, г = 0 просто означает отсутствие линейной зависимости между X и Y. Это не означает, что А" и У не взаимосвязаны. Между ними может существовать нелинейная зависимость, которую нельзя определить с помощью коэффициента корреляции г (рис. 17.1). Если коэффициент корреляции вычисляют не для выборки, а для всей генеральной совокупности, то он обозначается греческой буквой р (ро). Коэффициент г — это оценка р. Обратите внимание, что расчет г предполагает, что X и У— метрические переменные, кривые распределения которых имеют одинаковую форму. Если эти допущения не удовлетворяются, то значение г уменьшается и р получается недооцененным. В маркетинговых исследованиях данные, полученные с использованием относительной шкалы при небольшом числе категорий, могут не быть строго интервальными. Это приведет к снижению г и недооценке р [3].

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных I - Рис. 17. 1. Нелинейная зависимость, для которой г~0 Статистическую значимость связи между двумя переменными, измеренную коэффициен том корреляции г, можно легко проверить. Гипотезы имеют такой вид:

Статистику, лежащую в основе критерия для проверки гипотезы, вычисляют по формуле:

п-2 \-г которая имеет /-распределение с я — 2 степенями свободы [4]. Для коэффициента корреляции, вычисленного на основе данных, приведенных в табл. 17.1, значение/-статистики равно: I = 0. 12- 1-(0,9361) а число степеней свободы — 12 — 2 = 10. Из таблицы /-распределения (табл. 4 Статистического приложения) критическое значение t-статистики для двусторонней проверки и уровне значимости а = 0,05 равно 2,228. Следовательно, нулевую гипотезу об отсутствии связи между переменными Хи У отклоняют. Это наряду с положительным знаком коэффициента корреляции показывает, что отношение респондента к своему городу прямо пропорционально зависит от продолжительности проживания его в городе. Более того, высокое значение г показывает, что эта связь сильная. При выполнении многомерного анализа данных часто полезно изучить простую корреляцию между каждой парой переменных. Эти результаты представляют в форме корреляционной матрицы, которая показывает коэффициент корреляции между каждой парой данных. Обычно, рассматривают только самую нижнюю треугольную часть матрицы. Все элементы по диагонали равны 1,00, так как переменная коррелирует сама с собой. Верхняя треугольная часть матрицы — зеркальное отражение нижней треугольной части матрицы, поскольку г— симметричный показатель связи между переменными. Форма корреляционной матрицы для пяти переменных от Vt до К5 представлена ниже:

Глава 17. Корреляция и регрессия V, V, Vi V, V4 Vs 0, Vg V V< V 0, 0,1 0, 0,4 0,3 0,5 0,6 0,3 0, Хотя матрица простых коэффициентов корреляций позволяет уяснить суть попарных связей, иногда исследователю хочется изучить связи между двумя переменными при условии управления одной или несколькими переменными. В последнем случае следует оценивать частную корреляцию.

ЧАСТНАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ В то время как линейный коэффициент корреляции — это показатель силы связи, описывающий линейную зависимость между двумя переменными, частный коэффициент корреляции (partial correlation coefficient) — это мера зависимости между двумя переменными при фиксированных (исключенных) или скорректированных эффектах одной или нескольких переменных.

Частный коэффициент корреляции (partial correlation coefficient) Мера зависимости между двумя переменными после фиксации (исключения, корректировки) эффектов одной или нескольких переменных.

Эта статистика позволяет ответить на следующие вопросы, • Зависит ли объем продаж от расходов на рекламу, если фиксировать влияние цены (исключить эффект цены)? • Существует ли связь между долей рынка и количеством торгового персонала, если зафиксировать эффект от усилий по продвижению товара? • Связано ли восприятие качества товаров потребителями с их восприятием цены, если исключить эффект торговой марки? Предположим, что в этих ситуациях исследователь хочет вычислить силу связи между X и Y, исключив при этом эффект влияния третьей переменной Z. Поступая логично, сначала следует удалить эффект Zn3 значения переменной X. Для этого следует использовать коэффициент парной корреляции га между X и Z, и вычислить значения X, исходя из информации о Z. Затем полученное значение X вычитают из фактического значения X, получая скорректированное значение X. Аналогично корректируют значения Y, чтобы исключить эффект, и скорректированный коэффициент обозначают г^.. Статистически, поскольку простой коэффициент корреляции между двумя переменными полностью описывает линейную зависимость между ними, частный коэффициент корреляции можно вычислить, зная только эти простые коэффициенты корреляции и не используя отдельные наблюдения.

Предположим, что исследователь хочет рассчитать силу связи между отношением к городу, переменная Y, и продолжительностью проживания в нем, переменная Х„ фиксируя при этом эффект третьей переменной, а именно, погодных условий, переменная Х2. Эти данные приведены втабл. 17.1.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных Линейные коэффициенты корреляции между переменными равны: гТЖ| =0,9361, rv), =0,7334, г1]Л, =0,5495 Частный коэффициент корреляции можно вычислить по формуле: 0,9361-(0,5495)(0,7334) гм.д =. V• ДV =0,9386 1 ^1-(0,5495)'>/1-(0,7334) Результаты показывают, что исключение эффекта, связанного с погодными условиями, незначительно воздействует на зависимость между отношением к городу и продолжительностью проживания в нем. Частные коэффициенты корреляции характеризуются так называемом порядком, который указывает количество переменных, на которые необходимо внести поправку или которые следует проконтролировать (исключить). Простой коэффициент корреляции г имеет нулевой порядок, поскольку отсутствует необходимость исключать дополнительные переменные при определении силы связи между двумя переменными. Коэффициент г^г представляет собой частный коэффициент корреляции первого порядка, так как при его расчете контролируют эффект от влияния одной дополнительной переменной Z, частный коэффициент корреляции второго порядка контролирует эффект от влияния двух переменных и т.д. Коэффициенты корреляции более высокого порядка вычисляют аналогично. Частный коэффициент корреляции (я + /)-го порядка можно вычислить, поставив простые коэффициенты корреляции справа в предшествующем уравнении для коэффициентов л-го порядка. Частные коэффициенты корреляции могут оказаться полезными для выявления ложных связей (см, главу 15). Связь между А'и /является ложной, если А'связана с Z, которая в действительности является предиктором (независимой переменной) для Y. В этом случае корреляция между X и Y исчезнет, если контролировать эффект от влияния переменной Z Рассмотрим пример, в котором потребление фирменного сухого завтрака (С) положительно связано с доходом (У), и г„ = 0,28. Поскольку цена на этот товар вполне доступная, то маркетологи не ожидали, что доход окажется значимым фактором. Поэтому исследователь подозревает, что эта связь ложная. Результаты выборочного исследования также показали, что доход позитивно связан с размером семьи (Н), коэффициент корреляции равен rhi = 0,48, а размер семьи связан с потреблением сухого завтрака, коэффициент корреляции равен rch = 0,56. Эти цифры свидетельствуют, что действительным предиктором потребления сухого завтрака является не доход, а размер семьи. Чтобы проверить это утверждение, маркетологи вычислили коэффициент частной корреляции первого порядка между потреблением сухого завтрака и доходом, проконтролировав эффект размера семьи. Читатель может проверить, что коэффициент частной корреляции равен rclll = 0,02, и первоначально обнаруженная корреляция между потреблением сухого завтрака и доходом исчезла, когда мы исключили влияние размера семьи. Следовательно, корреляция между доходом и потреблением сухого завтрака ложная. Специальный случай, когда частная корреляция оказывается больше, соответствующей корреляции нулевого порядка, обусловлен эффектом экранирования (см. главу 15) [5]. Другим представляющим интерес коэффициентом корреляции является частичный коэффициент корреляции (part correlation coefficient). Он представляет корреляцию между YH X, когда линейные эффекты других независимых переменных исключены из X, но не из Y.

Частичный коэффициент корреляции (part correlation coefficient) Мера зависимости между Y и X, когда линейные эффекты других независимых переменных исключены из X (но не из Y).

Частичный коэффициент корреляции ry(3S} вычисляют по формуле: г _ » ~ Wp Г У(Х1| Г =— Глава 17. Корреляция и регрессия Частичный коэффициент зависимости отношения к городу от продолжительности проживания в нем при исключении эффекта погодных условий из переменной, обозначающей продолжительность проживания, можно вычислить следующим образом: 0,9361-(0,5495){0,7334) rvu ••*:=, Л - ^ = 0,63806 Л.-*! 0 ' Частный коэффициент корреляции считают более важным, чем частичный коэффициент корреляции. Парный коэффициент корреляции, частичный и частный предполагают, что данные измерены с помощью интервальной или относительной шкал. Если данные не соответствуют этим требованиям, то исследователь должен использовать неметрическую корреляцию. ПРИМЕР. Реклама и предпочтения покупателей Реклама играет важную роль в формировании у потребителей отношений и предпочтений к торговым маркам. Маркетологи обнаружили, что для товаров, продажа которых происходит с минимальным участием продавца, отношение покупателя к рекламе служит промежуточным звеном между распознованием торговой марки и отношением к ней. Что произойдет с влиянием этой промежуточной переменной, если товары покупают дома непосредственно через специализированную компьютерную сеть? Компания Ноте Shopping Budapest в Венгрии исследовала воздействие рекламы на покупки. Маркетологи провели опрос, в ходе которого измерили ряд показателей: отношение к товару, отношение к торговой марке, отношение к рекламе, доверие к торговой марке и т.д. Была выдвинута гипотеза, согласно которой при покупке через специализированную компьютерную сеть главным образом реклама определяет отношение к торговой марке. Чтобы установить степень связи отношения к рекламе с отношением к торговой марке и доверием к ней, следовало вычислить частный коэффициент корреляции. Для этого вычислялся частный коэффициент корреляции между отношением к торговой марке и доверием к ней с одновременным исключением влияния отношения к рекламе. Если отношение к рекламе высокозначимое, то частный коэффициент корреляции должен быть значительно меньше, чем парный коэффициент корреляции между доверием к торговой марке и отношением к ней. Исследование подтвердило данную гипотезу. Затем компания Saatchi & Saatchi разработала радиорекламу для Ноте Shopping Budapest, чтобы выработать позитивное отношение к рекламе, и это стало главным оружием в конкурентной борьбе [6].

НЕМЕТРИЧЕСКАЯ КОРРЕЛЯЦИЯ Иногда маркетологу необходимо вычислить коэффициент корреляции между двумя неметрическими переменными. Вспомним, что неметрические переменные нельзя измерить с помошью интервальной или относительной шкалы и они не подчиняются закону нормального распределения. Если мы имеем дело с порядковыми и числовыми неметрическими переменными, то для изучения связи между ними можно использовать два показателя неметрической корреляции (nonmetric correlation): коэффициент ранговой корреляции Спирмена д. (Spearmen1 rho ps) и коэффициент ранговой корреляции Кендалла т (Kendall's tau т).

Коэффициент неметрической корреляци (nonmetric correlation) Показатель корреляции для двух неметрических переменных, в котором используются ранги переменных.

Для вычисления обоих коэффициентов используют ранги, а не абсолютные значения переменных, и подход, лежащий в основе их применения, совершенно одинаков. Оба коэффициента изменяются в диапазоне от—1 до+1 (см. главу 15).

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных При отсутствии связанных рангов значение коэффициента ранговой корреляции Спирмена р, значительно ближе к коэффициенту парной корреляции Пирсона р, чем коэффициента ранговой корреляции Кендалла т. В этих случаях абсолютное значение г стремится стать меньше, чем р Пирсона. С другой стороны, если данные содержат большое количество связанных рангов, то коэффициент г больше подходит для вычисления корреляции. В качестве эмпирического правила стоит запомнить, что коэффициент ранговой корреляции Кендалла целесообразно использовать, когда большинство наблюдений попадает в относительно небольшое число категорий (что приводит к большому количеству связанных рангов). И наоборот, целесообразно использовать коэффициент ранговой корреляции Спирмена, когда мы имеем относительно большое число категорий (что приводит к небольшому количеству совпадающих рангов) [7]. Парная корреляция, так же как частный и частичный коэффициенты корреляции, составляют концептуальную основу для парного и множественного регрессионного анализа.

РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ Регрессионный анализ (regression analysis) — это мощный и гибкий метод установления формы и изучения связей между метрической зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.

Регрессионный анализ (regression analysis) Статистический метод установления формы и изучения связей между метрической зависимой переменной и одной или несколькими независимыми переменными.

Регрессионный анализ используют в следующих случаях. 1. Действительно ли независимые переменные обуславливают значимую вариацию зависимой переменной;

действительно ли эти переменные взаимосвязаны? 2. В какой степени вариацию зависимой переменной можно объяснить независимыми переменными: теснота связи? 3. Определить форму связи: математическое уравнение, описывающее зависимость между зависимой и независимой переменными. 4. Предсказать значения зависимой переменной. 5. Контролировать другие независимые переменные при определении вкладов конкретной переменной. Хотя независимые переменные могут объяснять вариацию зависимой переменной, это необязательно подразумевает причинную связь. Использование в регрессионном анализе таких терминов, как зависимая или критериальная переменная и независимая переменная (предиктор) отражает наличие математической зависимости между переменными. Данная терминология не подразумевает существование причинно-следственной связи между переменными. Регрессионный анализ имеет дело с природой и степенью связи между переменными и не предполагает, что между ними существует какая-либо причинная связь. Вначале мы обсудим парную регрессию, а затем множественную.

ПАРНАЯ РЕГРЕССИЯ Парная регрессия (bivariate regression) — это метод установления математической (в форме уравнения) зависимости между одной метрической зависимой (критериальной) переменной и одной метрической независимой переменной (предиктором). Во многом этот анализ аналогичен определению простой корреляции между двумя переменными. Однако для того чтобы вывести уравнение, мы должны одну переменную представить как зависимую, а другую — как независимую. Глава 17. Корреляция и регрессия Парная регрессия (bivariate regression) Метод установления математической (в форме уравнения) зависимости между двумя метрическими перемнными: зависимой и независимой.

Примеры, приведенные ранее при изучении простой корреляции, рассмотрим с точки зрения регрессии. Можно ли вариацию в объеме продаж объяснить расходами на рекламу? Какова форма этой зависимости и можно ли ее выразить в виде уравнения, описывающего прямую линию? • Зависит ли вариация доли рынка от количества торгового персонала? • Определяется ли отношение потребителей к качеству товара их отношением к цене на этот товар? Прежде чем обсудить процедуру выполнения двумерной регрессии, определим основные статистики. • СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ С ПАРНЫМ РЕГРЕССИОННЫМ АНАЛИЗОМ Ниже приведены статистики и термины, относящиеся к парному регрессионному анализу, Модель парной регрессии. Основное уравнение регрессии имеет вид У;

= j$0 + /ЗД + elf где Y~ зависимая или критериальная переменная, X— независимая переменная, или предиктор, Р0— точка пересечения прямой регрессии с осью OY;

0;

— тангенс угла наклона прямой и е, — остаточный член (остаток), связанный с /-м наблюдением, характеризующий отклонение от 1 функции регрессии. 2 Коэффициент детерминации. Тесноту связи измеряют коэффициентом детерминации г. Он колеблется в диапазоне между 0 и 1 и указывает на долю полной вариации У, которая обусловлена вариацией X. Вычисляемое (теоретическое) значение Y. Вычисляемое значение Уравно Y, = а + Ьх, где Y, — вычисляемое значение У„ а параметры а и Ь — это вычисляемые оценки 0<,и /^соответственно. Коэффициент регрессии. Вычисляемый параметр Ъ обычно называют ненормированным коэффициентом регрессии. Диаграмма рассеяния (поле корреляции). Поле корреляции — это графическое представление точек с координатами, определяемыми значениями двух переменных (независимой и зависимой), для всех наблюдений. Стандартная ошибка уравнения регрессии, Эта статистика SEE представляет собой стандартное отклонение фактических значений Кот теоретических значений У. Стандартная ошибка коэффициента регрессии Ь. Стандартное отклонение Ь, обозначаемое SEk, называется стандартной ошибкой. Нормированный коэффициент регрессии. Также называется бета-коэффициентом, или взвешенным бета-коэффициентом. Показывает изменение У в зависимости от изменения X (угол наклона прямой уравнения регрессии) при условии, что все данные нормированы. Сумма квадратов ошибок. Значения расстояний всех точек до линии регрессии возводят в квадрат и суммируют, получая сумму квадратов ошибок, которая является показателем общей ошибки e.

В литературе этот член уравнения называют также ошибочным (ошибкой) или возмущающим членом (возмущением). — Прим. науч. ред.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных (-статистика, /-статистику с л — 2 степенями свободы можно использовать для проверки нулевой гипотезы, которая утверждает, что между X и У не существует линейной зависимости или Я„: Р, = 0, где / = %.-..

ВЫПОЛНЕНИЕ ПАРНОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Стадии, из которых состоит процедура парного регрессионного анализа, приведены на рис. 17.2.

да нормированного коэффициента р Определение тесноты и SHE зга точности предок ! проверка модели Рис. 17.2. Парный регрессионный анализ Предположим, что маркетолог хочет выяснить, зависит ли отношение к городу от длительности проживания в нем (см. табл. 17.1). При выводе уравнения такой зависимости целесообразно вначале изучить поле корреляции, Поле корреляции Это графическое изображение точек с координатами, соответствующими значениям двух переменных для всех случаев. Обычно значения зависимой переменной откладывают по вертикальной оси, в значения независимой — по горизонтальной. Поле корреляции используется при определении формы зависимости между переменными, График дает исследователю первое Глава 17. Корреляция и регрессия представление о форме данных и о возможных проблемах. На графике легко идентифицировать любую необычную комбинацию переменных. График зависимости У (отношение к городу) от ^(продолжительность проживания) дан на рис. 17.3.

I о I 2, 4, J 6, I 11,25 13, I 15, Длительность проживания Рис. 17.3. Поле корреляции: отношение к городу в зависимости от продолжительности проживания в нем Из рисунка видно, что точки располагаются полосой от нижнего левого угла в верхний правый. На графике можно увидеть форму зависимости: с ростом одной переменной другая переменная также увеличивается. Из рисунка видно, что зависимость между У и X носит линейный характер и поэтому может быть описана уравнением прямой линии. Как следует "подогнать" к этим точкам прямую линию, чтобы она наилучшим образом описывала данные? Самый распространенный метод для расчета уравнения линейной регрессии по данным на диаграмме рассеяния — это метод наименьших квадратов (least-squares procedure). Метод наименьших квадратов (least-squares procedure) Метод, используемый для расчета параметров уравнения линейной регрессии, когда на основе поля корреляции минимизируются расстояния по вертикали всех точек поля от графика регрессии. Методом наименьших квадратов определяют наиболее подходящую прямую регрессии, минимизируя расстояния по вертикали всех точек поля корреляции от этой прямой. Наиболее подходящая прямая называется линией регрессии. Если точка поля не лежит на линии регрессии, то расстояние по вертикали от нее до линии называется ошибкой е. (рис. 17.4) Расстояния от всех точек до линии регрессии возводят в квадрат и суммируют, получая сумму квадратов ошибок, и это число показывает суммарную ошибку ^ef. Для определения наиболее подходящей линии с помощью метода наименьших квадратов минимизируют суммы квадратов ошибок. Если значения Котложить по вертикальной оси, а значения X— по горизонтальной, как показано на рис. 17.4, то полученная аппроксимированная линия называется регрессией У по X, так как расстояния по вертикали минимизированы. Поле корреляции показывает, можно ли зависимость У по X выразить прямой линией и, следовательно, подходит ли к этим данным парная регрессионная модель.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных х^ чл' I X : YJ I " V i " Y l " Y l " V.

Puc. 17.4. Парная регрессия Модель парной регрессии В модели парной регрессии форма прямой линии выражается уравнением: где Y— зависимая, или критериальная переменная, X— независимая переменная, или предиктор, Д, — отрезок прямой, отсекаемый на оси OY, Д — угловой коэффициент (тангенс угла наклона). Эта модель исходит из того, что У полностью определяется X. При известных значениях Д, и Д, можно предсказать значение Y. Однако в маркетинговом исследовании немного связей между переменными четко детерминированы. Поэтому, чтобы учесть вероятностную природу связи, в регрессионное уравнение вводят ошибочный член. Базовое уравнение регрессии принимает вид: где е,~ член уравнения, характеризующий ошибку 1-го наблюдения [8]. Оценка регрессионных параметров Д, и 0/ относительна проста.

Определение параметров уравнения регрессии В большинстве случаев Д, и ft, неизвестны, и их определяют (оценивают), исходя из имеющихся выборочных наблюдений с помощью следующего уравнения:

Y, = а + их, где Y, — теоретическое значение Y,,аак Ь — вычисленные значения Д, и /3,, соответственно, Константу Ь обычно называют ненормированным коэффициентом регрессии. Он выражает угол наклона линии регрессии и показывает ожидаемое изменение Г при изменении А" на единицу. Формулы для вычисления а и Ь просты [9]. Угловой коэффициент Ь можно вычислить через ковариацию между А" и Y(COV^) и дисперсию X по формуле: COV^ _ О = -- "- -- Глава 17. Корреляция и регрессия Отрезок, отсекаемый на оси OY — а, можно вычислить по формуле: а=-ЬХ Для данных табл. 17.1 оценки параметров будут такими:

+ (8)(5) + (2)(2) + (18)(11) + (9)(9) + (17)(10) + (2)(2) = ;

=i 2 2 2 2 3 2 + 8 + 2 + 18 + 9 + 17 + 2 = 1 350 Вспомнив, изложенную ранее формулу вычисления среднего в простой корреляции, получим: ~Х =9,333 _ Y =6,583 При заданном п = 12, вычислим Ь по формуле;

917-(12)(9.333)(«83) 1350-(12)(9,333) *;

= Ю2 + 122 + 122 + 42 + 122+ 6:+ a = F-? = 6,583~(0,5897)(9,333) = 1,0793 Обратите внимание, что эти коэффициенты вычислены из исходных (не преобразованных) данных. Если данные нормированы, то вычисление нормированных коэффициентов не вызовет затруднений.

Нормированный коэффициент регрессии Нормирование (standartization) представляет собой процедуру, посредством которой исходные данные преобразуют в новые переменные со значением средней, равным нулю, и дисперсией, равной 1 (глава 14). После нормирования данных, отрезок, отсекаемый на оси OY, принимает значение 0. Нормированный коэффициент регрессии обозначают как "бета"коэффициент или взвешенный "бета "-коэффициент. В этом случае угловой коэффициент регрессии YnoX, обозначаемый йч„ тот же, что и угловой коэффициент регрессии А" по Y, обозначаемый Byv Более того, каждый из этих коэффициентов регрессии равен простому (линейному) коэффициенту корреляции между Хи Y;

°ух= *V = ' гзу Существует простая связь между нормированным и ненормированным коэффициентами регрессии:

Для регрессии, показатели которой представлены в табл. 17.2, значение "бета" -коэффициента оценивается как 0,9361.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных Таблица 17.2. Парная регрессия Коэффициент корреляции Я Коэффициент детерминации R2 Скорректированный И2 Стандартная ошибка Степени свободы Регрессия Остаток I 10 0,93608 0,87624 0,86387 1,22329 Дисперсионный анализ Сумма квадратов 105,95222 14,96444 Переменные в уравнении Переменная Продолжительность 0,58972 (Константа) 1,07932 5ЕЬ 0,07008 0,74335 Бета, р 0,93608 Т 8,414 1, Средний квадрат 105,95222 1, F = 70,80266 Значимость F равна 0,000 Значимость Т 0,0000 0, Поскольку параметры определены, можно проверить их значимость.

Проверка значимости Статистическую значимость линейной связи между А" и У можно проверить, исследовав гипотезы: JSfcft-O Я,: А* О Нулевая гипотеза предполагает, что между Хи. Уне существует линейной зависимости. Альтернативная гипотеза утверждает, что между X и К существует зависимость, либо положительная, либо отрицательная. Обычно проводят двустороннюю проверку. Можно использовать /статистику с п — 2 степенями свободы, где Ъ ~SEb SEh обозначает стандартное отклонение Ь, и этот показатель называют стандартной ошибкой коэффициента регрессии b [10]. (-распределение обсуждалось в главе 15. Используя компьютерную программу (например SPSS) и данные табл. 17.1, регрессия отношения к городу от длительности проживания в нем даст результаты, представленные в табл. 17.2. Величина отрезка а, отсекаемого на оси OY, равна 1,0793, угловой коэффициент (наклон кривой) b равен 0,5897. Следовательно, вычисленное (теоретическое) уравнение регрессии иметь вид Отношение ( Y ) = 1,0793 + 0,5897 (длительность проживания) Стандартная ошибка, или стандартное отклонение b определено как 0,07008, и значение /статистики равно: / = 0,5897/0,0701 = 8,414 с п - 2 = 10 степенями свободы. Из табл. 4 Статистического приложения видно, что критическое значение ^-статистики с 10 степенями свободы и уровнем значимости а = 0,05 равно 2,228 для двусторонней проверки. Поскольку вычисленное значение /-статистики больше критического значения, то нулевую гипотезу отклоняют. Следовательно, между отношением к городу и длительностью проживания в нем существует статистически значимая линейная зависимость. Положительный знак углового коэффициента указывает на то, что эта связь положительная (прямо пропорциональная). Другими словами, чем дольше человек живет в городе, тем лучше он к нему относится.

Глава 17. Корреляция и регрессия Теснота и значимость связи Соответствующий статистический вывод включает определение тесноты и значимости 2 связи между Yvi X. Тесноту связи измеряют коэффициентом детерминации г. В парной регрес2 2 сии i представляет собой квадрат линейного коэффициента корреляции. Коэффициент г изменяется от 0 до 1. Он показывает долю от полной вариации Y, которая обусловлена вариацией переменной ЛГ, Разложение полной вариации переменной Y аналогично разложению полной вариации в дисперсионном анализе (глава 16). Как показано на рис. 17.5, полная вариация SSy раскладывается на вариацию, которую можно объяснить, исходя из линии регрессии SSpeipecctta, и вариацию ошибки или остаточную вариацию, SSouai6KU или SSa 'встатвчная' 1./Остаточная вариация, У SSres 1 Объяснимая вариация, J S rg.

Рис. 17.5 Разложение полной вариации в парной регрессии SSy — где Тесноту связи вычислим следующим образом;

2_регресси SS,. — Чтобы проиллюстрировать определение г2, рассмотрим снова влияние продолжительности проживания в городе на отношение к нему. Из ранее сделанных вычислений коэффициента парной корреляции видно, что Теоретическое значение У;

можно определить на основании уравнения регрессии Отношение (Y.) = 1,0793 + 0,5897 (длительность проживания) Для первого наблюдения в табл. 17.1 это значение равно Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных (Yt)= 1,0793 + 0,5897 x 10 = 6,9763 Для каждого последующего наблюдения теоретические значения будут следующими (в порядке расположения): 8,1557;

8,1557;

3,4381;

8,1557;

4,6175;

5,7969;

2,2587;

11,6939;

6,3866;

11,1042;

2,2587. Следовательно, Юреп*»- 5Х^ ~^) 2 = 2= <' 6 - 6,5833) + (8,1557 - 6,5833).

(8,1557 - 6,5833) + (3,4381 - 6,5833) 2 2 + (8,1557 - 6,5833) + (4,6175 - 6,5833) 2 2 + (5,7969 - 6,5833) + (2,2587 - 6,5833) 2 2 + (11,6939 - 6,5833) + (6,6866 - 6,5833) 2 2 + (11,1042 - 6,5833) + (2,2587 - 6,5833) = 0,1544 + 2,4724 + 2,4724 + 9,8922 + 2,4724 + 3,8643 + 0,6184+18,7021+21,1182 + 0,0387 + 20,4385 + 18,7021 = 105,9522 ^ктаточная = ( ' -^У = (6 - 6,9763) + (9 - 8,1557) + (8 - 8,1557) I=L 2 : 2 + (3 - 3,4381) + (8 - 8,1557) + (4-4,б175) 3 2 г + (5 - 5,7969) + (2 - 2,2587) + (11-11,6939) 2 2 г + (9 - 6,3866) + (10 - 11.1042) + (2 - 2,2587) = 14,9644 Видно, что SSy = SS^p,,^ + 55'к.тввм,,р|вя. Кроме того, SSрегрессии IV-Л-'^А.^.-, n 105 Г = Г : 2 SS, = 120, = и.й/О onz Другой равноценной проверкой значимости линейной зависимости между X и Y (значимости Ь) является проверка значимости коэффициента детерминации. В этом случае гипотезы имеют следующий вид:

Соответствующей статистикой, лежащей в основе критерия, является /-"-статистика:

SS /in -2) которая подчиняется F-распределению с 1 и п - 2 степенями свободы, /-"-критерий представляет собой обобщенную форму /-критерия (см. главу 15). Если случайная переменная подчиняется /-распределению с п-степенями свободы, то значения t2 подчиняются F-распределению с 1 и л-степенями свободы. Следовательно, /-"-критерий для проверки значимости коэффициента детерминации эквивалентен проверке следующих гипотез:

или /4: /з=0 Я,:р/0 Из табл. 17.2 видно, что 105 шз. =(105.9522 + 14,9644) это равно ранее рассчитанному значению. Вычисленное значение /-"-статистики равно: F. - ^ ^ _ = 70,8027 (105,9522 + 14,9644) с 1 и 10 степенями свободы, Вычисленное значение /•'-статистики превышает критическое значение, равное 4,96 (определено по табл. 5 Статистического приложения). Следовательно, зави Глава 17. Корреляция и регрессия симость статистически значима при уровне значимости а = 0,05, подтверждая результаты проверки с помощью /-критерия. Если зависимость между Хи У статистически значима, то имеет смысл вычислить значения Y, исходя из значений А", и оценить точность предсказания.

Точность предсказания Чтобы оценить точность предсказанных (теоретических) значений У, полезно вычислить стандартную ошибку оценки уравнения регрессии SEE. Эта статистика представляет собой стандартное отклонение фактических значений У от предсказанных значений У :

*ь rt-2 или, в более общем виде, при наличии k независимых переменных Г?^ SEE можно интерпретировать как вид среднего значения остатка или среднюю ошибку предсказания Y, исходя из уравнения регрессии [11]. Могут иметь место два случая предсказания. Исследователь хочет предсказать среднее значение /для всех вариантов с заданным значением X, скажем Х0, или значение У для одного случая. В обеих ситуациях предсказанное значение одно и то же, обозначаемое У и равное Y=a+bX Однако стандартная ошибка для этих ситуаций разная, хотя в обеих ситуациях она является функцией SEE. Для больших выборок стандартная ошибка предсказания среднего значения У равна SEEI-fn, а ошибка предсказания отдельного значения Уравна SEE. Следовательно, построение доверительных интервалов (см. главу 12) для предсказанных значений варьирует в зависимости от того, необходимо ли предсказать единственное значение наблюдения или среднее значение. Для данных табл. 17.2 SEE вычисляют по формуле SEE= Г ' =1,22329 \(12-2) Последние две стадии выполнения парного регрессионного анализа, а именно, анализ остаточного члена и модель перекрестной проверки, мы рассмотрим ниже, а сейчас вернемся к предпосылкам, лежащим в основе регрессионной модели.

/14^ Предпосылки регрессионного анализа Регрессионная модель при оценке параметров и проверке значимости (рис. 17.4) исходит из ряда допущений. 1. Ошибочный член уравнения регрессии (остаточный компонент) подчиняется закону нормального распределения. Для каждого определенного значения X распределение У нормальное [12]. 2. Средние значения всех этих нормальных распределений У, при заданном X, лежат на прямой линии с угловым коэффициентом Ь. 3. Среднее значение ошибочного члена равно 0. 4. Дисперсия ошибочного члена постоянна. Эта дисперсия не зависит от значений, принятых X. 5. Между ошибочными членами автокорреляция отсутствует. Другими словами, значения ошибочных величин независимы между собой.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных То. в какой степени модель должна соответствовать этим допущениям, можно понять из анализа остаточных членов, который рассматривается в разделе, посвященном множественной регрессии [13].

МНОЖЕСТВЕННАЯ РЕГРЕССИЯ Множественная регрессия (multiple regression) включает одну зависимую переменную и две или больше независимых.

Множественная регрессия (multiple regression) Статистический метод, с помощью которого можно вывести математическую зависимость между двумя или больше независимыми переменными и зависимой переменной, выраженной с помощью интервальной или относительной шкалы.

Вопросы, аналогичные тем, для ответа на которые маркетологи используют парную регрессию, также можно решить с помощью множественной регрессии. Только в этом случае исследователи имеют дело с дополнительными независимыми переменными. • Можно ли вариацию объема продаж объяснить с точки зрения расходов на рекламу, цен и уровня каналов распределения? • Может ли вариация доли рынка зависеть от количества торгового персонала, расходов на рекламу и бюджета на продвижение товара? • Определяется ли восприятие потребителей качества товара их восприятием цены, имиджа торговой марки и характеристик товара? С помощью множественной регрессии можно ответить на следующие дополнительные вопросы. • Какую долю вариации объема продаж можно объяснить расходами на рекламу, ценами и уровнем каналов распределения? • Чему равен вклад расходов на рекламу в объяснении вариации объема продаж при контролируемых переменных — уровнях цен и распределения? • Какие объемы продаж можно ожидать, исходя из данных уровней расходов на рекламу, цен или уровня распределения? ПРИМЕР. Всемирные торговые марки — местная реклама Европейцы хорошо относятся к товарам из других стран, но когда дело доходит до рекламы, они предпочитают местную рекламу. Опрос, проведенный компанией Yankelovich and Partners и ее филиалами, показывает, что в Европе самой любимой рекламой потребительских товаров является реклама местных торговых марок, несмотря даже на то, что сами потребители предпочитают покупать зарубежные фирменные товары. Респонденты во Франции, Германии и Великобритании назвали Coca-Cola в качестве наиболее часто покупаемого безалкогольного напитка. Однако самой любимой коммерческой рекламой французы назвали рекламу известной местной марки — воды Perrier. Аналогично, в Германии любимой рекламой оказалась реклама немецкого безалкогольного пива Clausthaler. Однако в Великобритании наиболее предпочитаемым безалкогольным напитком оказалась Coca-Cola, и наиболее предпочитаемой рекламой также оказалась реклама Coca-Cola. В свете этих фактов встал важный вопрос — способствует ли реклама товара его покупке? Увеличивает ли реклама вероятность покупки товара или она просто поддерживает определенный уровень признания товара? В этой ситуации можно построить регрессионную модель, в которой 1 зависимая переменная представляет собой вероятность покупки товара, а независимыми переменными являются оценки отношения к товару и оценки рекламы. Чтобы оценить I любой значимый вклад в вариацию покупки товара, следует построить отдельные модели с Глава 17. Корреляция и регрессия наличием и без наличия переменной — реклама, Чтобы выявить любой значимый вклад обоих переменных— характеристик товара и рекламы, можно также выполнить отдельные проверки с помощью /-критерия. Результаты укажут, в какой степени реклама влияет на принятие решения о покупке товара [14]. Общая форма модели множественной регрессии (multiple regression model) имеет вид:

Г Модель множественной регрессии (multiple regression model) Уравнение, используемое дли объяснения результатов множественного регрессионного анализа.

Модель оценивают следующим уравнением:

У = a+b,X,+b2X2+b3X3+...btXt Как и раньше, коэффициент а представляет собой отрезок, отсекаемый на оси OY, но коэффициенты Ь являются теперь частными коэффициентами регрессии. Здесь мы используем на основании метода наименьших квадратов критерий, который оценивает параметры таким образом, чтобы минимизировать суммарную ошибку SSKai_. Этот процесс также максимизирует корреляцию между фактическими значениями Y и предсказанными значениями У. Все предпосылки, которые используются в парной регрессии, применимы и для множественной регрессии. Мы дадим определения нескольким статистикам, а затем опишем процедуру выполнения множественного регрессионного анализа [15].

СТАТИСТИКИ, СВЯЗАННЫЕ СО МНОЖЕСТВЕННОЙ РЕГРЕССИЕЙ Большинство статистик и статистических терминов, описанных при рассмотрении парной регрессии, также применимы и во множественной регрессии. Дополнительно используют следующие статистики. Скорректированный коэффициент множественной детерминации R2. Коэффициент множественной детерминации R2 корректируют с учетом числа независимых переменных и размера выборки, чтобы снизить влияние зависимости коэффициента детерминации от количества переменных. После введения нескольких первых переменных дополнительные независимые переменные не так сильно влияют на коэффициент детерминации. Коэффициент множественной детерминации R2. Тесноту связи между переменными при множественной регрессии измеряют, возводя в квадрат коэффициент множественной корреляции. /'-критерий. Используется для проверки нулевой гипотезы о том, что коэффициент множественной детерминации в совокупности R'cot. равен нулю. Это эквивалентно проверке нулевой гипотезы Нй: (Зд = fi, = fl2 =/?,... = /3t = 0. Статистика, лежащая в основе критерия для проверки гипотезы, подчиняется /''-распределению с k и (п — k — 1) степенями свободы. Частный F-критерий. Значимость частного коэффициента регрессии Д переменной Х-, можно проверить, используя приростную /^статистику. Она основана на приращении в объясняемой сумме квадратов, полученном добавлением независимой переменной Х{ в уравнение регрессии после исключения всех других независимых переменных. Частный коэффициент регрессии. Частный коэффициент регрессии А, обозначает изменение в предсказанном значении Y при изменении X, на единицу, когда другие независимые переменные от Х2до Xk остаются неизменными.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных ВЫПОЛНЕНИЕ МНОЖЕСТВЕННОГО РЕГРЕССИОННОГО АНАЛИЗА Стадии, входящие в процедуру выполнения множественного регрессионного анализа, аналогичны рассмотренным для двумерного регрессионного анализа. При обсуждении мы обратим особое внимание на частные коэффициенты регрессии, тесноту связи, проверку значимости и анализ остаточных членов.

Частные коэффициенты регрессии Чтобы понять значение частного коэффициента регрессии, расмотрим случай с двумя независимыми переменными:

Y = а+Ь,Х2+Ь2Х Во-первых, отметим, что величина частного коэффициента регрессии независимой переменной, в основном, отличается от коэффициента двумерной регрессии той же переменной. Другими словами, частный коэффициент регрессии Ь, отличается от коэффициента регрессии Ь, полученного при установлении зависимости Утолько от переменной X,. Это происходит потому, что X, и Х2 обычно взаимосвязаны. В парной регрессии Х2 не принимают во внимание, и любое изменение вариации в Y, за которую совместно отвечают X, и Х2, относят на счет X,. Однако в случае нескольких независимых переменных это несправедливо. Интерпретация частного коэффициента регрессии Ь, заключается в том, что он представляет ожидаемое изменение величины У, когда А^ изменяется на единицу, а,^ остается постоянной, т.е. управляемой (контролируемой) переменной. В отличие от этого, Ь2 представляет ожидаемое изменение Упри изменении Хг на единицу, когда X, остается постоянной. Поэтому названия Ь,нЬ2 — частные коэффициенты регрессии, соответствуют действительности. Кроме того, результаты совместного влиняия X, и Х2 на У суммируются. Иначе говоря, если каждую из переменных X, и Х2 изменить на единицу, то ожидаемое изменение значения Убудет равно (Ь, + 6,). Логически, зависимость между коэффициентом парной регрессии и частным коэффициентом регрессии можно проиллюстрировать следующим образом. Предположим, что мы исключили эффект от влияния Х2изХ,. Это можно сделать, установив регрессию X, по X? Иначе говоря, можно воспользоваться уравнением Х{ = а + ЬХ2 и вычислить остаточный член Хг = (X, — Х1). Тогда частный коэффициент регрессии Ь, станет равным коэффициенту парной регрессии Ь, полученному из уравнения Y = а + ЬХГ. Таким образом, частный коэффициент регрессии Ь, равен коэффициенту парной регрессии Ь между переменной Уи остаточным значением переменной Х„ не учитывая эффекта от влияния переменной X,. Частный коэффициент регрессии Ь2 интерпретируем аналогично. Распространение этого примера на случай с k переменными не вызывает затруднений. Частный коэффициент регрессии Ь, представляет ожидаемое изменение У, когда X, изменяется на единицу, а переменные от Х2 до Xk остаются неизменными. Это можно интерпретировать как коэффициент парной регрессии А для регрессии переменной У от остаточных значений переменной X, при исключенных эффектах переменных отХ 2 цоХ^. "Бета"-коэффициенты являются частными коэффициентами регрессии, полученными после того, как перед оценкой уравнения регрессии, все переменные (У, Х}, Х2,... Xk,} нормированы с получением их среднего значения, равного нулю, и дисперсии, равной 1. Связь между нормированным и ненормированным коэффициентами та же, что и рассмотренная ранее;

К"I — Глава 17. Корреляция и регрессия Отрезок, отсекаемый на оси OY, и частный коэффициент регрессии определяют решением системы уравнений, выведенной дифференцированием и приравниванием к нулю частных производных. Поскольку эти коэффициенты можно вычислить с помощью разных компьютерных программ, мы не будем вдаваться в детали. Однако стоит отметить, что уравнения нельзя решить, если размер выборки л меньше или равен числу независимых переменных k;

или одна независимая переменная тесно связана с другой. Предположим, что при объяснении зависимости отношения к городу от длительности проживания в нем, мы сейчас введем вторую переменную— погодные условия. Данные, полученные от 12 респондентов и касающиеся отношения к городу, длительности проживания в нем и погодных условий, приведены в табл. 17.1. Результаты множественного регрессионного анализа даны в табл. 17.3. Значение частного коэффициента регрессии для переменной X, (длительность проживания), равное 0,4811, теперь отличается от значения, полученного в анализе парной регрессии. Соответствующий "бета"-коэфициент равен 0,7636. Частный коэффициент регрессии для переменной Х2 (погодные условия) равен 0,2887 с "бета"-коэффициентом, равным, 0,3138. Теоретическое уравнение регрессии имеет вид: (Y ) = 0,33732 + 0,48108 X, + 0,28865 Х2 или отношение к городу = 0,33732 + 0,48108 (длительность проживания) + 0,28865 (погодные условия) Коэффициент множественной корреляции Коэффициент детерминации Вг Скорректированный R2 Стандартная ошибка уравнения регрессии Дисперсионный анализ Степени свободы Регрессия Остаток Переменные в уравнении Переменная b Su 0,97210 0,94498 0,93276 0,65974 Сумма квадратов 114,26425 6,65241 Средний квадрат 57,13213 0, 2 F = 77,29364 Значимость F = 0, Бега, р Т Значимость Т Погодные условия 0,28865 Длительность (Константа) 0,48108 0, 0,08608 0,05895 0, 0,31382 0, 3,353 8,160 0, 0,0085 0,0000 0, Это уравнение можно использовать для разных целей, включая предсказание отношения к городу при заданных длительности проживания в нем и отношения респондента к погодным условиям региона.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных Теснота связи Степень тесноты связи определим, используя соответствующие показатели связи между переменными. Полную вариацию можно разложить (как и для парной регрессии) следующим образом:

где Тесноту связи измеряют, возводя в квадрат коэффициент множественной корреляции, по2 лучая коэффициент множественной детерминации R Коэффициент множественной корреляции R можно рассматривать как линейный коэффициент корреляции г между Y и Y. Следует сделать несколько замечаний относительно 2 определения R*. Коэффициент множественной детерминации R не может быть меньше, чем 2 самое высокое значение г любой отдельной независимой переменной с зависимой перемен2 ной. Значение R больше, когда корреляция между независимыми переменными слабее. Ес2 ли независимые переменные статистически независимы (не коррелированы), то значение R представляет собой сумму коэффициентов парной детерминации каждой независимой пе2 ременной с зависимой переменной. Значение R не может уменьшаться при добавлении независимых переменных в уравнение регрессии. Однако снижение влияния зависимости коэффициента детерминации от количества переменных устанавливается таким образом, что после введения нескольких первых переменных дополнительные независимые переменные не вносят такой большой вклад в значение коэффициента детерминации [16]. Поэтому R2 корректируют с учетом числа независимых переменных и размера выборки, используя следующую формулу: *(!-**) Скорректированный R = R -- s - n-k-l Для данных регрессии, приведенных в табл. 17.3, значение R2 равно "4.2643 (114,2643 + 6,6524) Это значение выше, чем значение г1, равное 0,8762, полученное для парной регрессии. Значение г2 парной регрессии представляет собой квадрат простого коэффициента корреляции между отношением к городу и длительностью проживания в нем. Значение R2, полученное в множественной регрессии, также выше, чем квадрат простого коэффициента корреляции между отношением к городу и отношением к погодным условиям (которое определено как 0,5379), Скорректированный коэффициент детерминации Допределен следующим образом: 0,9450-2(1,0-0,9450) Скорректированный R~ = - * - - = 0,932 12-2-1 Обратите внимание, что значение скорректированного коэффициента детерминации R2 близко к значению обычного коэффициента детерминации R2\\ их значение больше, чем у коэффициента детерминации г для парной регрессии. Это означает, что добавление второй неза Глава 17. Корреляция и регрессия висимой переменной — погодные условия, вносит определенный вклад в вариацию переменной — отношение к городу.

Проверка значимости Проверка значимости включает проверку значимости общего уравнения регрессии и конкретных частных коэффициентов регрессии. Нулевая гипотеза для проверки общего уравнения гласит, что коэффициент множественной детерминации для генеральной совокупности Л''„„шут равен нулю: Это эквивалентно следующей нулевой гипотезе Общую проверку можно выполнить, используя F9? /t J.J _ / Л р= Е = R2lk ~ (\~R ]/(n~k-\Y которая имеет /-распределение с k и (п — k — 1) степенями свободы [17]. Результаты проверки даны в табл. 17.3 f = 114.2643/2 6,6524/9 которая является значимой при а = 0,05. Если общую нулевую гипотезу отклоняют, то один или несколько частных коэффициентов регрессии в совокупности имеют значение, отличное от нуля. Чтобы определить, какие из конкретных коэффициентов Д отличны от нуля, выполним дополнительные проверки. Проверку значимости Д выполним тем же способом, что и в случае парной регрессии, т.е. используя tстатистику. Значимость частного коэффициента для переменной — погодные условия — можно выполнить с помощью уравнения, = * = 0.2887 = э з ;

з SE,, 0, которое подчиняется /-распределению с (п — k — 1) степенями свободы. Этот коэффициент статистически значим при уровне значимости а = 0,05. Значимость коэффициента для переменной — длительность проживания, проверяют аналогичным образом и находят, что он статистически значимый. Следовательно, обе переменные: погодные условия и длительность проживания, имеют значение при объяснении отношения респондента к своему городу. Ряд компьютерных программ позволяют проводить расчет Т7- критерия, что зачастую называется вычислением частного /^критерия. Такой расчет включает разложение суммы квадратов общей регрессии 55^ на компоненты, соответствующие каждой независимой переменной. В обычном подходе эту процедуру осуществляют при допущении, что каждую независимую переменную добавляют в уравнение регрессии после включения в него всех других независимых переменных. Приращение к объясняемой сумме квадратов, получаемое после добавления независимой переменной Х„ представляет собой компонент вариации, присущий этой переменной и обозначаемый.5^ [18]. Значимость частного коэффициента регрессии для этой переменной PL проверяют, используя F-статистику приращения:

которая имеет /"-распределение с 1 и (п — k — 1) степенями свободы. В то время как высокое значение R2 и значимые частные коэффициенты регрессии достаточно удобны, эффективность регрессионной модели должны быть оценена анализом остатков.

Часть III, Сбор, подготовка и анализ данных Анализ остатков Остаток, остаточный член (residual) — это разность между наблюдаемым значением Y, и теоретическим значением, предсказанным регрессионным уравнением У,. Остаток, остаточный член (residual) Разность между наблюдаемым значением YI и теоретическим значением, предсказанным регрессионным уравнением Y t. Значения остаточных членов используют при вычислении некоторых статистик, связанных с регрессией. В дополнение к этому диаграммы рассеяния остатков, которые показывают их значения в зависимости от предсказанных значений Y,, времени или предикторов дают полезную информацию для анализа правильности сделанных допущений [19]. Допущение нормальности распределения ошибочного члена проанализируем, построив гистограмму остатков. Визуальный осмотр покажет, является ли распределение нормальным. Дополнительное доказательство получим, определив процент остатков, попадающих в область ± 1 SE или ± 2 SE. Эти проценты можно сравнить с ожидаемыми для нормального распределения (68% и 95% соответственно). Более формальную оценку можно получить, применив одновыборочный критерий Колмогорова—Смирнова. Предположение о постоянном значении дисперсии ошибочного члена проанализируем, нанеся на график значения остатков в зависимости от вычисленных значений независимой переменной Y,. Если точки нанесены на график неупорядоченно, то дисперсия ошибочного члена — величина постоянна. На рис. 17.6 показана форма расположения остаточных членов, дисперсия которых зависит от значений Y t.

Вычисленное значение Y Рис. 17.6. График расположения остаточных членов, показывающий, что их дисперсия — величина непостоянная График зависимости значений остатков от времени или последовательности наблюдений прольет некоторый свет на допущение, что ошибочные члены не коррелированны. Если это предположение справедливо, то форма рсположения остаточных членов носит случайный характер. График, подобный приведенному на рис. 17.7, показывает линейную зависимость значений остатков от времени. Более формальную процедуру проверки корреляции между ошибочными членами даст критерий Дарбина — Уотсона [20]. Графическое изображение зависимости значений остаточных членов от независимых переменных предоставляет доказательство того, насколько подходит теоретическая модель регрессии. График должен показывать случайную форму расположения остаточных членов. Значения Глава 17. Корреляция и регрессия остатков должны располагаться случайным образом относительно одинаково вокруг нуля. Они не должны смешаться ни в положительную, ни в отрицательную стороны. Для того чтобы понять, следует ли в уравнение регрессии вводить дополнительные независимые переменные, можно построить регрессию остатков от предполагаемых переменных. Если какая-либо переменная объясняет значительную долю остаточной вариации, то, вероятно, ее следует включить в уравнение регрессии. При введении переменных в уравнение регрессии необходимо руководствоваться целью исследования. Таким образом, анализ остатков позволяет глубже понять как соответствие лежащим в основе регрессионной модели допущениям, так и соответствие регрессионной модели. На рис. 17.8 изображен график, который показывает, что лежащие в основе регрессионной модели предположения удовлетворяются и линейная модель соответствует фактическим данным.

Время Рис. 17.7. График расположения остаточных членов, показывающий линейную зависимость между их значениями и временем Если проверка остатков выявит, что лежащие в основе регрессионной модели допущения не выполняются, то исследователь может преобразовать переменные таким образом, чтобы эти предположения выполнялись. Такие преобразования, как логарифмирование, извлечение квадратного корня или вычисление обратных величин, могут стабилизировать дисперсию, сделать распределение нормальным и зависимость линейной. В дальнейшем мы проиллюстрируем применение множественной регрессии на примере. ПРИМЕР. "Нет" дополнительным расходам на рекламу Широко распространено мнение, что цены на журналы зависят от рекламы, помещаемой на их страницах. Маркетологи провели исследование, посвященное изучению того, каким образом наличие рекламы влияет на цену журнала. Чтобы изучить зависимость между ценой журнала и такими переменными, как объем журнала (стр.), тираж, процент распространения через газетные киоски, расходы на продвижение, процент цветных страниц и доходы от рекламы в расчете на один экземпляр, маркетологи применили множественный регрессионный анализ: РРС = Ь0 + Ь,(объемжурнала) + Ь2(тираж) + Ь3(% распр. через газ. киоски) + Ь4 (расходы на продвижение) + Ь5 (% цветн.) + й(доход от рекламы) где РРС — цена одного экземпляра (в долл.) объем журнала — количество страниц в номере (в среднем) тираж — логарифм среднего оплаченного тиража (в 000) % распр. через газетные киоски — % распространения через газетные киоски Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных расходы на продвижение — расходы на продвижение журнала % цветн. — % цветных страниц доход от рекламы — доход от рекламы в расчете на один экземпляр (в долл.) Результаты регрессионного анализа, в котором зависимой переменной служила цена журнала в расчете на один экземпляр, представлены в табл. 1. Из шести переменных значимыми оказались три (р < 0,05): количество страниц, средний тираж и процент распространения через газетные киоски. Три переменные обусловили фактически всю из объяснимой 2 1 дисперсии (R = 0,51;

скорректированный R = 0,48). Направление коэффициентов согласовалось с априорными ожиданиями: для количества страниц коэффициент был положительным, для тиража — отрицательным и для процента распространения через газетные киоски — положительным. Такой результат и можно было ожидать, исходя из особенностей данной сферы бизнеса, и он подтверждает предполагаемую зависимость.

Таблица 1. Регрессионный анализ с использованием цены одного экземпляра журнала как независимой переменной Ь SE F Зависимая переменная: цена одного экземпляра Независимые переменные: Объем журнала Тираж Процент распространения через газетные киоски Расходы на продвижение журнала Процент цветных страниц Доход от рекламы в расчете на один экземпляр журнала г Общий Я •р<0,05 " - количество десятичных знаков после запятой 0,0084 -0,4180 0,0067 0,13-04" 0,0227 0, 0,0017 0,1372 0,0016 0,0000 0,0092 0, 23,04* 9,29* 18,46* 0,59 0,01 0, df = 9, Общая F-статистика = 16,19* Установлено, что расходы на продвижение журнала, использование цвета и доходы от рекламы в расчете на один журнал не связаны с ценой одного экземпляра журнала. Это выявлено в результате регрессионного анализа после исключения эффектов от влияния других переменных: тиража, процента распространения через газетные киоски и количества страниц редактора. Поскольку эффект дохода от рекламы не был статистически значимым, то утверждение, что реклама снижает цену одного экземпляра журнала, не подтвердилось. Таким образом, 1 наличие рекламы в журнале никак не влияет на цену журнала [21].

ПОШАГОВАЯ РЕГРЕССИЯ Цель пошаговой регрессии (stepwise regression) состоит в отборе из большого количества предикторов небольшой подгруппы переменных, которые вносят наибольший вклад в вариацию зависимой переменной.

Пошаговая регрессия (stepwise regression) Регрессионная процедура, в которой предикторы по очереди вводят или выводят из уравнения регрессии.

Глава 17. Корреляция и регрессия Вычисленное значение У Рис. 17.8. График расположения остатков, показывающий что теоретическая модель соответствует данным наблюдения. В этой процедуре предикторы вводят или выводят из уравнения регрессии по очереди [22]. Существует несколько подходов к выполнению пошаговой регрессии, Прямое включение (прямая пошаговая регрессия). Вначале уравнение регрессии не содержит предикторов. Они вводятся по одному, если они удовлетворяют определенному Fкритерию. В основе порядка введения включаемых переменных лежит вклад переменной в объясняемую вариацию. 2. Обратная пошаговая регрессия — исключение переменной. Вначале все предикторы входят в уравнение регрессии. Затем по очереди выводятся из уравнения, исходя из их соответствия F- критерию. 3. Пошаговый подход. На каждой стадии прямое включение осуществляют одновременно с выводом предикторов, которые больше не удовлетворяют конкретному критерию. Метод пошаговой регрессии не позволяет выводить оптимальные уравнения регрессии с точки зрения получения наибольшего коэффициента детерминации R2 для данного числа предикторов [23]. Из-за корреляций между предикторами важная переменная может никогда не быть включена в уравнение, а второстепенные переменные будут введены в уравнение. Чтобы определить оптимальное уравнение регрессии, желательно просчитать варианты, в которых анализируются все возможные комбинации. Несмотря на это, пошаговая регрессия полезна в ситуации, когда размер выборки велик по сравнению с количеством предикторов, как это показано наследующем примере. ПРИМЕР. Покупать? Нет, посмотреть. Для определения профиля посетителей магазинов местного торгового центра, не имеющих определенной цели покупки (browsers), маркетологи использовали три набора независимых переменных: демографические, покупательское поведение;

психологические. Зависимая переменная представляет собой индекс посещения магазина без определенной цели, индекс браузинга (browsing index). Методом ступенчатой регрессии, включающей все три набора переменных, выявлено, что демографические факторы — наиболее сильные предикторы, определяющие поведение покупателей, не преследующих конкретных целей. Окончательное уравнение регрессии, содержащее 20 из 36 возможных переменных, включало все демографические переменные. В следующей таблице приведены коэффициенты регрессии, стандартные ошибки коэффициентов, а также их уровни значимости. 1.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных Регрессионный анализ (индекс браузинга - зависимая переменная) с использованием пошаговой регрессии Независимые переменные Пол (0 - мужчины, 1 -женщины) регрессии - 0, Коэффициент ошибка, SE 0, Стандартная Значимость 0, Занятость (0 - имеет работу) Уверенность (в своем положении) Образование 0, - 0,151 0, 0, 0,128 0, 0, 0,234 Отношение к торговой марке -0,063 Смотрит ли телевизор в дневное время? (О - да) 0, Напряженность Доход - 0,182 0, 0,028 0, 0,069 0, 0,024 0, 0,008 0, Частота посещения торгового центра Имеет меньше друзей, по сравнению с другими Хороший покупатель Важность мнения других Контроль над жизнью Размер семьи - 0, 0,162 - 0,122 -0,147 - 0,069 - 0, 0, 0,084 0,090 0,065 0,069 0, 0, 0,054 0,174 0,024 0,317 0, По характеру - энтузиаст Возраст Количество покупок Число покупок в одном магазине Покупки при стесненных средствах Оценка качества товаров - отличное Константа Общий R2 = 0, - 0, 0,036 - 0,068 0,209 - 0,055 -0,070 3, 0, 0,069 0,043 0,152 0,067 0, 0, 0,603 0,150 0,167 0,412 0, При интерпретации коэффициентов регрессии следует иметь в виду, что чем меньше индекс браузинга (зависимая переменная), тем сильнее покупатели склонны демонстрировать поведение, связанное с посещением магазина без определенной цели. Два предиктора с самыми большими коэффициентами — это пол и занятость. После учета этих переменных обнаружено, что чаще всего посетителями без определенной цели являются работающие женщины, как правило, молодого возраста, причем с низким уровнем образования и дохода и необязательно одиноки. Марктеологи определили, что большим размерам семьи соотвстствуют меньшие значения индекса браузинга, Посещение магазина людьми с низкими доходом указывает на то, что специализированные магазины в торговых центрах предлагают товары по умеренным ценам. Это может объяс- | ! нить низкий уровень банкротства среди таких магазинов торгового центра и стремление доро- j 1 гих специализированных магазинов размещаться только в престижных торговых центрах [24].

МУЛЬТИКОЛЛИНЕАРНОСТЬ Пошаговую и множественную регрессию осложняет мультиколлинеарность. Фактически всегда множественный регрессионный анализ в маркетинговых исследованиях имеет дело со связанными между собой предикторами. Однако мультиколлинеарность (multicollmearity) возникает тогда, когда связь между предикторами очень сильная [25].

Глава 17. Корреляция и регрессия Мул ьтиколл и неарность (multicollinearity) Состояние очень высокой степени корреляции между независимыми переменными, Мул ьтиколл и неарность может привести к нескольким проблемам, включая следующие. 1. Частные коэффициенты регрессии нельзя точно определить. Значения стандартных ошибок скорее всего очень высокие. 2. Величины и знаки частных коэффициентов регрессии могут изменяться от выборки к выборке. 3. Трудно оценить относительную важность независимых переменных при объяснении вариации зависимой переменной, 4. Предикторы могут быть некорректно введены или исключены из уравнения регрессии в ступенчатой регрессии. Не всегда ясно, за счет чего существует сильная мул ьти коллинеарность, хотя в литературе предлагается несколько эмпирических правил и процедур ее выявления. Чтобы справиться с проблемой мул ьти коллинеарности, предлагается изменить уровень сложности [26]. Простая процедура заключается в использовании только одной переменной из высоко коррелированного набора переменных. Альтернативно, с помощью такого метода, как анализ главных компонентов, можно преобразовать набор независимых переменных в новый набор предикторов, взаимно независимых (глава 19). Кроме того, можно использовать специальные методы, такие как гребневая регрессия и факторный анализ [27].

ОТНОСИТЕЛЬНАЯ ВАЖНОСТЬ ПРЕДИКТОРОВ При мул ьти колл и неарности особое внимание следует уделить оценке относительной важности независимых переменных. При проведении маркетингового исследования целесообразно определить относительную важность предикторов. Другими словами, насколько значимы независимые переменные с точки зрения их вклада в вариацию зависимой переменной [28]? К сожалению, из-за взаимосвязанности предикторов в регрессионном анализе не существует однозначного показателя относительной важности предикторов [29]. Однако есть несколько широко распространенных подходов, используемых для оценки относительной важности независимых переменных. 1. Статистическая значимость. Если частный коэффициент регрессии переменной не является значимым, что определяется приростным F-критерием, то эту переменную не считают важной. Исключение из этого правила— веские теоретические причины, полагающие, что эта переменная важная. 2. Квадрат линейного коэффициента корреляции. Этот показатель г2 представляет долю вариации зависимой переменной, которую можно объяснить независимой переменной в парной зависимости. 3. Квадрат частного коэффициента корреляции. Этот показатель Кгу,г.1& представляет собой коэффициент детерминации между зависимой и независимой переменными, при исключении эффектов от влияния других независимых переменных. 4. Квадрат частичного коэффициента корреляции. Этот коэффициент представляет увеличение R2, когда переменную вводят в уравнение регрессии, которое содержит другие независимые переменные. 5. Показатели, основанные на нормированных коэффициентах или взвешенных "бета"коэффициентах. Эти наиболее часто используемые показатели представляют собой абсолютные значения взвешенных "бета"-коэффициентов IJ3J или значения квадратов коэффициентов P2j. Поскольку это частные коэффициенты, то взвешенные "бета"коэффициенты учитывают эффект других независимых переменных. Чем выше корреля Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных ция между предсказанными переменными (с ростом мультиколлинеарности), тем ненадежнее эти показатели. 6. Пошаговая регрессия. Порядок ввода или вывода предикторов в уравнение регрессии используют для определения их относительной важности. Принимая во внимание, что предикторы взаимосвязаны, по крайней мере, в некоторой степени, фактически во всех регрессионных ситуациях, ни один из этих показателей не является достаточно надежным. Кроме того, возможно, что разные показатели могут указывать на различный порядок важности предикторов (могут располагать предикторы по степени важности в разном порядке) |30]. Однако если все показатели изучать совместно, то представление об относительной важности предикторов будет достаточно ясным.

ПЕРЕКРЕСТНАЯ ПРОВЕРКА Прежде чем оценить относительную важность предикторов или сделать какие-либо другие выводы, необходимо подвергнуть регрессионную модель перекрестной проверке. Дело в том, что для регрессии и других многомерных процедур характерно выявление случайных вариаций переменных. Это приводит к тому, что уравнение регрессии становится чрезмерно чувствительным к конкретным данным, используемым для построения модели. Одним из подходов для оценки модели из-за этой и других проблем, связанных с регрессией, — перекрестная проверка. Перекрестная проверка (cross-validation) позволяет проанализировать, действительно ли регрессионная модель распространяется на сопоставимые данные, которые не использовались для построения модели. Перекрестная проверка (cross-validation) Проверка достоверности модели, с помощью которой изучают, применима ли регрессионная модель для анализа сопоставимых данных, не использовавшихся при построении исходной модели. Типичная процедура перекрестной проверки, используемая в маркетинговых исследованиях, состоит из следующих стадий. 1. Маркетологи рассчитывают регрессионную модель, используя полный набор данных. 2. Имеющиеся данные делят на две части: расчетную выборку и контрольную выборку. Расчетная выборка обычно содержит от 50 до 90% данных общей выборки. 3. Регрессионную модель рассчитывают, используя только данные из расчетной выборки. Эту модель сравнивают с моделью, рассчитанную по данным полной выборки, чтобы определить их соответствие с точки зрения знаков и величин частных коэффициентов регрессии. 4. Рассчитанную модель применяют к данным из контрольной выборки чтобы определить значения зависимой переменной У, для наблюдений в контрольной выборке. 5. Наблюдаемые значения ^ и расчетные теоретические значения У, в контрольной выборке сопоставляют, чтобы определить линейный коэффициент детерминации г2. Его сравнивают с коэффициентом R2 для полной выборки и с R1 — для расчетной выборки, чтобы оценить степень сжатия. Специальную форму проверки называют двойной перекрестной проверкой. При двойной перекрестной проверке (double cross-validation) выборку делят на две равные половины. Двойная перекрестная проверка (double cross-validation) Специальная форма проверки, в которой выборку делят на две равные части. Одна половина служит расчетной выборкой, а вторая - контрольной. Затем роли выборок меняются, и перекрестную проверку повторяют.

Глава 17. Корреляция и регрессия При выполнении перекрестной проверки одна половина служит расчетной выборкой, вторая — контрольной. Затем места расчетной и контрольной выборок меняются и перекрестную проверку повторяют [31].

РЕГРЕССИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИКТИВНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ Перекрестная проверка представляет собой общую процедуру, которую можно применять для некоторых специальных приложений регрессии, таких как регрессия с использованием фиктивных переменных. В качестве предикторов можно использовать номинальные (категориальные) переменные, закодировав их как фиктивные. Понятие фиктивных переменных введено в главе 14. В той главе мы объяснили, как категориальную переменную с четырьмя уровнями (люди, которые много, средне, слабо потребляют товар и не используют) можно выразить тремя фиктивными переменными: D}, D2, D}, как показано ниже, Код фиктивной переменной Категория потребителя товара Не использующие Слабо Средне Много исходной переменной 2 код 0, Ог D О О 0 Ч 0 о о Предположим, что исследователя интересует регрессионный анализ зависимости отношения к торговой марке от степени потребления товара, Фиктивные переменные D,, D2 и D3 можно использовать как предикторы. Регрессия с фиктивными переменными описывается таким уравнением:

Y. = a + bjD, + Ь^2 + b3D} В этом случае категория "много потребляющие" выбрана в качестве контрольной и поэтому не включена непосредственно в уравнение регрессии. Обратите внимание, что для этой категории значения фиктивных переменных Db D2 и />3 определено равным нулю, и уравнение регрессии принимает вид Y, = а Для не пользователей Д = 1 и D2 = D3 = 0 и уравнение регрессии запишем Y, = а+Ь, Таким образом, коэффициент, представляет собой разницу в вычисленном значении для не пользователей по сравнению с пользователями, потребляющими много продукта. Коэффициенты Ь2 и Ь3 интерпретируют аналогично. Хотя в этом примере уровень ''много потребляющие пользователи" выбран как контрольный, в принципе для этой дели подходит любой из трех уровней [32].

ДИСПЕРСИОННЫЙ И КОВАРИАЦИОННЫЙ АНАЛИЗ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РЕГРЕССИИ Регрессия с фиктивными переменными служит основой для понимания дисперсионного и ковариационного анализа. Покажем, что регрессия с фиктивными переменными равнозначна Часть III, Сбор, подготовка и анализ данных однофакторному дисперсионному анализу. В регрессии с фиктивными переменными теоретически определенное значение У для каждого уровня категориальной переменной представляет собой среднее значение Г для каждого уровня. Чтобы проиллюстрировать использование фиктивной переменной, обозначающей использование товара, приведем ниже вычисленные У и средние значения для каждого уровня. Уровни потребителей продукта Не пользователь Слабо потребляющие Средне потребляющие Много потребляющие Вычисленное значение Y а + b? а + Ьг а + Ьз а Среднее значение Y a + Ь, а + Ъ? а+Ьз а Принимая во внимание данные равенства, легко проследить дальнейшую связь между регрессией с фиктивными переменными и однофакторным дисперсионным анализом AN OVA [33]. Регрессия с фиктивными переменными Однофакторный дисперсионный анализ ж—ч / *. \~ — *J^, = SS.

Я Общий F-критерий = F-критерий Таким образом, мы видим, что регрессионный анализ, в котором единственная независимая переменная с с-уровнями (категориями) может быть записана с — 1 фиктивными переменными, эквивалентен однофакторному регрессионному анализу. Аналогично можно показать, как выполнить многофакторные дисперсионный и ковариационный анализ, используя регрессию с фиктивными переменными. Регрессионный анализ в разных формах широко используют на практике. Врезка 17.1 "Практика маркетинговых исследований" показывает его применение для международного маркетингового исследования, а врезка 17.2 "Практика маркетинговых исследований" показывает, как использовать регрессию при изучении этики в маркетинговых исследованиях. Врезка 17.1. Практика маркетинговых исследований Что необходимо аввиапассажиру Длительное время авиакомпании из Азии сталкивались с неопределенностью и жесткой конкуренцией со стороны авиаперевозчиков из США. Азиатские авиалинии, страдавшие от снижения числа пассажиров, осознали необходимость объединения усилий для зашиты своих интересов. Вторичные данные показали, что к важным факторам, влияющим на выбор пассажирами авиакомпании, относятся: иена авиабилета, соблюдение расписания полетов, пункт назначения, наличие билетов, обеспечение питанием, сервис во время полета и тому подобное. Азиатские авиакомпании, как и конкуренты, предлагали такого рода услуги. Исследование показало, что сервисное обслуживание (включая обеспечение питанием), вероятно, было даже лучше, чем у конкурентов. Так почему же эти компании испытывали давление со стороны конкурентов? Результаты фокус-групп продемонстрировали, что программа для часто летаюших пассажиров была решающим фактором для пассажиров в целом и особенно для бизнес-сегмента. Для анализа данных опроса пассажиров на меж Глава 17. Корреляция и регрессия дународных авиалиниях маркетологи применили множественный регрессионный анализ. Вероятность полета и показатели выбора пассажирами авиакомпании служили зависимой переменной, а набор сервисных факторов, включая программу для часто летающих пассажиров, были независимыми переменными. В результате маркетологи обнаружили, что, программа для часто летающих пассажиров влияла на выбор авиалинии. Исходя из этих исследований, авиакомпании Cathay Pacific, Singapore International Airlines, Thai Airways International и Malaysian Airline systems ввели совместную программу для часто летающих пассажиров под названием Asia Plus, доступную для всех пассажиров. Впервые в рамках этой программы азиатские авиакомпании предлагали бесплатный полет для пассажиров, регулярно пользующихся их услугами. Для продвижения программы Asia Plus компании начали крупномасштабную маркетинговую и рекламную кампанию, в которую были вложены миллионы долларов. Таким образом, у авиалиний Азии значительно увеличилось число клиентов [34).

Врезка 17.2. Практика маркетинговых исследований Этика и регрессионный анализ С маркетинговыми исследованиями связано ряд этических проблем. В частности, маркетологов, проводящих исследования, часто обвиняют в обмане, конфликте интересов, нарушении анонимности, вмешательстве в частную жизнь, фальсификации данных, распространении ложных результатов исследования, а также в использовании его для продажи товара. Было выдвинуто предположение, что когда исследователь решается на неэтичный поступок, на это влияют разного рода организационные факторы, непосредственно связанные с деятельностью его компании. Для их изучения было предпринято исследование с применением множественного регрессионного анализа. В качестве независимых выбраны шесть организационных переменных: наличие этических проблем внутри организации;

отношение к этим проблемам руководства компании;

этический кодекс, класс организации, категория отрасли и роль организации. Зависимой переменной служила оценка респондентами степени распространения неэтичной исследовательской практики. В результате регрессионного анализа данных выявлено, что четыре из шести переменных оказывали влияние на степень распространения неэтичной исследовательской практикой. Этими переменными оказались: распространение этических проблем внутри организации, отношение к этим проблемам руководства компании, роль организации и категория отрасли [35].

INTERNET И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМПЬЮТЕРА Существует несколько компьютерных программ для выполнения корреляционного анализа. В программе SPSS можно использовать CORRELATIONS для вычисления коэффициента корреляции Пирсона, PARTIAL CORR— для вычисления частных корреляций и NONPAR CORR — для вычислений коэффициентов ранговой корреляции Спирмена р и Кендалла т. В программе SAS можно использовать CORR для вычисления коэффициентов корреляций Пирсона, Спирмена, Кендалла и коэффициентов частных корреляций. В BMDP с помощью PSD вычисляют коэффициент корреляции Пирсона, с помощью P3S — коэффициенты корреляции Спирмена и Кендалла, с помощью P6R — частные корреляции. В Minitab можно вычислить корреляцию, используя функцию Stat>Basic>Corre]ation. С ее помощью вычисляют коэффициент корреляции Пирсона. В Excel для определения корреляции обращаются к функции Tools>Data analysis>Corre]ation. Используйте функцию Correlation Worksheet Function, чтобы определить коэффициент корреляции для двух рядов ячеек.

Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных Компьютерные программы для анализа корреляции и регрессии SPSS С помощью программы REGRESSION вычисляют уравнения парной и множественной регрессий, соответствующие статистики и графики. Она также позволяет легко проверить значения остаточных членов. Можно выполнить и ступенчатую регрессию, Регрессионные статистики также можно вычислить с помощью программы PLOT, которая строит диаграммы рассеяния и другие виды диаграмм.

SAS Программа REG является общей процедурой для выполнения регрессионного анализа, которая подходит для парных и множественных регрессионных моделей при использовании метода наименьших квадратов. Она позволяет вычислить все соответствующие статистики и построить график расположения остаточных членов. Могут быть реализованы ступенчатые методы. Метод ORTHOREG рекомендуют для регрессии в случае некорректных данных, Программа GLM использует метод наименьших квадратов для подгонки общих линейных моделей, ее также можно использовать для регрессионного анализа. С помощью программы NLIN вычисляют параметры нелинейных моделей, используя методы наименьших квадратов или взвешенных наименьших квадратов.

BMDP Программа P1R вычисляет парные и множественные линейные регрессии. Также можно вычислить соответствующие статистики и построить диаграммы остаточных членов. P2R — программа для вычисления ступенчатой регрессии с помощью разных подходов. Можно предопределить порядок ввода или вывода переменных, определить ввод или вывод переменных по частям, исходя из значения критерия. P9R выполняет все возможные подмножества регрессии. Эта программа идентифицирует "наилучшие" подмножества предикторов, ее можно использовать для множественной регрессии без выбора подмножеств. Программа P4R вычисляет регрессионный анализ по набору главных компонентов, полученных из независимых переменных. Mini tab Регрессионный анализ с помощью функции Stats>Regression может выполнять простой, полиномиальный и множественный анализ. Результат включает линейное уравнение регрессии, таблицу коэффициентов R2, скорректированный Л2, таблицу ANOVA, таблицу соответствий и остатков, которые дали необычные наблюдения. Другие доступные характеристики включают: ступенчатую регрессию, наилучшие подмножества, график подогнанной линии регрессии и диаграммы остатков. Excel Регрессию можно вычислить с помощью меню Tools>Data analysis. В зависимости от выбранных характеристик можно получить таблицу выходных данных, включая таблицу ANOVA, стандартной ошибки у, коэффициенты регрессии, стандартную ошибку коэффициентов, значения Л-' и количество наблюдений. Также с помощью данной функции вычисляют таблицу выходных данных остаточных членов, строят график остатков, аппроксимированную прямую линейной зависимости, график нормального распределения вероятности и таблицу выходных данных, состоящую из двух колонок значений вероятностей. Как описано во "Вставке 17.1", компьютерные программы содержат несколько программ для выполнения регрессионного анализа, вычисления соответствующих статистик, выполнения проверок значимости и построения графиков остаточных членов. В SPSS главная программа— REGRESSION. В SAS наиболее часто используемая программа— REG. Также доступны и другие специализированные программы, такие как RSREG, ORTHOREG, GLM Глава 17. Корреляция и регрессия и NLIN, но читателям, не знакомым со сложными аспектами регрессионного анализа, мы советуем обращаться к программе REG только при использовании SAS. В BMDP основная программа для выполнения двумерной и множественной регрессии — PI R, a P2R — для ступенчатой регрессии. Программы P9R и P4R более специализированные. В Minibab с помощью функции Stats>Regression можно выполнить дисперсионный анализ, как простой, так и полиномиальный и множественный. В Excel регрессионный анализ можно выполнить с помощью меню Tools>Data analysis [36]. В центре внимания Burke Мы часто сталкиваемся с ситуацией, когда одновременно необходимо анализировать фиктивные и интервальные переменные. Проиллюстрируем подобную ситуацию на примере маркетингового исследования, проведенного компанией Burke, но с упрощенным набором данных. Респондентам был задан вопрос, сколько они имели в своем распоряжении кредитных карточек на момент интервью и попросили проранжировать "ценность кредита" по отношению к их образу жизни (по шкале рангов, начинающейся с предметов, крайне необходимых для поддержания их образа жизни, и до предметов, необязательных для поддержания принятого ими образа жизни). Фиктивная переменная d, указывает место жительства респондентов: 1 — в сельской местности, 0 -— в городе. Число кредитных карточек У Рейтинг ценности кредита XI Место жительства респондента 2 4 6 4 ь ' 3 4 5 6 1 2 3 4 5 4 5 Построена регрессионная модель и в качестве критерия для включения переменной выбран 90%-ный доверительный уровень. Отдельные результаты множественного регрессионного анализа приведены ниже.

Модели Статистики изменения Модель R 0, Э Скоррек- Стандартная Измене- F-сгатисСтепени тирован- ошибка me ft2 тика изме- свободы ныйй* оценивания нения 0, Степени свободы изменения 0,000 0, Значимость F-статистики 0,737 0, 0,9131 07964, 0, 31, 4, I 0,915Ь 3 в с 0, 0, Предикторы: (константа), ЦЕННОСТЬ КРЕДИТА Предикторы: (константа), ЦЕННОСТЬ КРЕДИТА, МЕСТО ЖИТЕЛЬСТВА Зависимая переменная: КАРТОЧКИ (количество кредитных карточек) Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных Коэффициенты Недатированные коэффициенты Модель 1.(Констанга) ЦЕННОСТЬ 2.(КонСтанта) ЦЕННОСТЬ МЕСТО ЖИТЕЛЬСТВА В 1,533 0,871 -1,208 1,375 1,958 Стандартная ошибка 0,601 0,154 1,445 0,282 0,962 Нормированные коэффициенты ft t р гервал ?™*°т. для В Корреляции Частичпая 0,872 0,658 0, Значи Нижний Верхний Нулевого Частмость порядок ная 0,029 0,000 0,425 0,001 0,072 0,194 0,528 -4,477 0,738 -0,217 2,873 1,215 2,060 2,012 4,134 0,872 0,872 -0,635 0,872 0,852 0, 2,551 0,872 5,646 -0,836 1,377 4,883 0,574 2, а. Зависимая переменная: КАРТОЧКИ (количество кредитных карточек) Исключенные переменные" Модель 1 МЕСТО ЖИТЕЛЬСТВА Бега 0,574а t 2,036 Значимость 0,072 Частная корреляция 0,562 Коллинеарность Допустимое отклонение статистик 0, а Предикторы в модели: (Константа]. ЦЕННОСТЬ (кредита) b Зависимая переменная: КАРТОЧКИ (количество кредитных карточек) В предыдущей модели мы определили следующее уравнение регрессии: Y= - 1,2083 + 1,375 (X,) + 1,9583 (D,) Вспомните, что D;

— просто или нуль, или 1, причем если D[ = 0, то респонденты живут в городе. Если D, = 1, то респонденты живут в сельской местности. Можно описать модель как две модели. Для респондентов, живущих в городе, получим следующее уравнение регрессии, в котором Кне зависит от фиктивной переменной — кода местности. Городская модель Y = - 1,2083 + 1,375 (X,) Для каждого респондента, живущего в сельской местности, вклад переменной — место жительства в зависимую переменную Y(ненормированный коэффициент) равен 1,9583. Поэтому для таких респондентов это постоянное значение, и мы может добавить его к константе общей модели (например, — 1,2083 + 1,9583 = 0,75). Теперь мы имеем отдельную регрессионную модель для респондентов, живущих в сельской местности. Сельская модель Y = 0,7500 + 1,375 (Xj) Это единственный способ увидеть различие между этими двумя постоянными членами (различие состоит, конечно, в коэффициенте регрессии для DJ), который отражает среднее различие между городскими и сельскими респондентами при постоянном значении рейтинга ценности кредита. Как все это применить на практике? Создавая модели с фиктивной переменной, как было проиллюстрировано, мы допускали, что зависимость количества кредитных карточек от рейтинга ценности кредита является постоянной, т.е. не зависит от того, живут респонденты в городе или в сельской местности. Это можно проверить, установив связь между рейтингом ценности кредита и количеством кредитных карточек в зависимости от типа респондента. Затем можно проверить две модели с разными угловыми коэффициентами. Если угловые коэффициенты не отличаются, то можно использовать одну общую модель: Y - - 1,2083 + 1,375 (X,) + 1,9583 (D,) Если угловые коэффициенты разные, то следует построить различные модели для респондентов из города и сельской местности. Глава 17. Корреляция и регрессия РЕЗЮМЕ Парный коэффициент корреляции г является мерой линейной связи между двумя метрическими (измеренными интервальной или относительной шкалой) переменными. Его квадрат г2 измеряет долю вариации одной из переменных, обусловленную вариацией другой. Частный коэффициент корреляции — мера зависимости между двумя переменными после исключения эффекта от влияния одной или нескольких дополнительных переменных. Порядок частной корреляции указывает на количество переменных, на которые необходимо внести поправку или которые следует исключить. Коэффициенты частной корреляции могут оказаться полезными для выявления ложных связей. С помощью парной регрессии устанавливается математическая зависимость (в виде уравнения) между метрической зависимой (критериальной) переменной и метрической независимой переменной (предиктором). Уравнение описывает прямую линиию, и для его вывода используют метод наименьших квадратов. В случае построения регрессии с нормированными данными отрезок, отсекаемый на оси OY, принимает значение, равное 0, и коэффициенты регрессии называют взвешенными "бета"-коэффициентами. Силу тесноты связи измеряют коэффициентом детерминации г, который получают, вычисляя отношение SSpeefW к SSr Стандартную ошибку уравнения регрессии используют для оценки точности предсказания, и ее можно интерпретировать как род средней ошибки, сделанной при теоретическом предсказании Y, исходя из уравнения регрессии. Множественная регрессия включает одну зависимую и две (или больше) независимых переменных. Частный коэффициент регрессии Ь, представляет ожидаемое изменение Y, когда X, меняется на одну единицу, а переменные от Х2 до Xk остаются постоянными. Силу тесноты связи измеряют коэффициентом множественной детерминации R2. Значимость общего уравнения регрессии проверяется общим F-критерием. Отдельные частные коэффициенты регрессии можно проверить на значимость, используя F-критерий приращений. Диаграммы рассеяния остаточных членов, когда их значения представлены графически в зависимости от предсказанных теоретических значений К ;

, времени или предикторов, полезны для проверки соответствия основным допущениям и подобранной регрессионной модели. При пошаговой регрессии предикторы вводят или выводят из уравнения регрессии один за другим с целью выбора меньшего их числа, которые объясняют большую часть вариации критериальной переменной. Мул ьти колли неарность или очень высокая взаимная корреляция между предикторами может вызвать некоторые проблемы. Из-за того, что предикторы взаимосвязаны (коррелируют), регрессионный анализ не обеспечивает однозначного свидетельства об относительной важности предикторов. Перекрестная проверка может установить, верна ли регрессионная модель для сопоставимых данных, не использованных при ее вычислении. Она является полезным методом при оценке регрессионной модели. Можно использовать категориальные переменные как предикторы путем их кодирования как фиктивных переменных. Множественная регрессия с фиктивными переменными предоставляет общий метод для выполнения дисперсионного и ковариационного анализа.

ОСНОВНЫЕ ТЕРМИНЫ И ПОНЯТИЯ • • • • • F-критерий (F-test) ^-статистика (/-statistic) вычисленное, предсказанное, теоретическое значение (estimated, predicted value) двойная перекрестная проверка (double cross-validation) ковариация (covariance) • коэффициент детерминации (coefficient of determination) * коэффициент множественной детерминации (coefficient of multiple determination) коэффициент регрессии (regression coefficient) метод наименьших квадратов (leastsquares procedure) * * Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных множественная регрессия (multiple regression) модель множественной регрессии (multiple regression model) мудьтиколлинеарность(тиШсоШпеапЧу) неметрическая корреляция (nonmetric correlation) нормированный коэффициент регрессии (standardized regression coefficient) остаточный член, остаток (residual) парная регрессионная модель (bivariate regression model) парная регрессия (bivariate regression) парный коэффициент корреляции г (product moment correlation, r) перекрестная проверка (cross-validation) поле корреляции (scattergram) пошаговая регрессия (stepwise regression) регрессионный анализ (regression analysis) скорректированный /^(adjusted R ) стандартная ошибка (standard error) стандартная ошибка уравнения регрессии (standard error of estimate) сумма квадратов ошибок (sum of squared errors) частичный коэффициент корреляции (part correlation coefficient) частный F-критерий (partial f-test) частный коэффициент корреляции (partial correlation coefficient) частный коэффициент регрессии (partial regression coefficient) УПРАЖНЕНИЯ Вопросы 1. Что такое парный коэффициент корреляции? Указывает ли его значение, равное 0, что переменные не связаны между собой? 2. Что такое частный коэффициент корреляции? 3. В чем закглючается основное применение регрессионного анализа? 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Что такое метод наименьших квадратов? Объясните значение нормированных коэффициентов регрессии. Как измеряют тесноту связи при парной регрессии? А при множественной? Что означает точность предсказания?

Что такое стандартная ошибка уравнения регрессии? Какие допущения лежат в основе парной регрессии? Что такое множественная регрессия? Объясните, что такое частный коэффициент регрессии. Почему он так назван? Сформулируйте нулевую гипотезу при проверке значимости общего уравнения множественной регрессии. Как проверяют данную нулевую гипотезу? 13. Для чего нужен анализ остаточных членов? 14. Объясните, что такое метод пошаговой регрессии. Какова его цель? 15. Что такое мультиколлинеарность? Какие проблемы могут возникнуть из-за мультиколлинеарности? 16. Какие показатели используют для оценки относительной важности предикторов при множественной регрессии? 17. Опишите метод перекрестной проверки. Опишите метод двойной перекрестной проверки. 18. Продемонстрируйте эквивалентность регрессии с фиктивными переменными и однофакторного дисперсионного анализа (ANOVA). Глава 17. Корреляция и регрессия Задачи 1. Руководство сети универмагов хочет определить, как влияют расходы на продвижение товаров, на конкурентоспособность сети. Из 15 штатов получены данные о расходах на продвижение относительно главного конкурента (расходы конкурента приняли за 100) и об объеме продаж относительно этого же конкурента (объем продаж конкурента принят за 100). Перед вами поставлена задача — доложить руководству, существует ли какая-либо связь между относительными затратами на продвижение и относительным объемом продаж. a) Постройте график зависимости относительных объемов продаж (по оси Y) от относительных расходов на продвижение (ось X) и поясните полученный график. b) Какой показатель использовать для установления связи между двумя переменными? Почему? c) Выполните парный регрессионный анализ объемов продаж от относительных расходов на продвижение. d) Поясните коэффициенты регрессии. e) Значима ли регрессионная связь? f) Если наша сеть имеет одинаковые расходы на продвижение со своим конкурентом (если относительные расходы на продвижение составили 100), то какими должны быть у нее объемы продаж? 2 g) Интерпретируйте полученное значение г. Номер штата Относительные расходы на продвижение Относительные объемы продаж 1 2 3 4 5 6 7 8 3 10 И 95 92 103 115 77 79 105 94 85 101 98 94 110 125 82 84 112 99 93 107 13 14 118 75 129 79 2. Чтобы понять роль влияния качества и цены товаров на количество постоянных посетителей магазинов, маркетологи собрали оценки 14 ведущих магазинов с точки зрения: предпочтения магазина, качества товара и приемлемости иен. Магазины оценивали по 11балльной шкале, — чем больше балл, тем выше оценка. Номер магазина Предпочтение Качество Цена 2 Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных 5 7 4 5 7 11 12 13 1 8 5 5 2 9 a) Выполните множественный регрессионный анализ, объясняющий предпочтения в отношении магазинов с точки зрения качества товара и цены. b) Объясните частные коэффициенты регрессии. c) Определите значимость всей регрессии. d) Определите значимость частных коэффициентов регрессии. e) Как вы считаете, является ли мул ьтиколл и неарность проблемой в данном случае? Почему да или почему нет? 3. Вы прочли в журнале статью, в которой говорится, что между ежегодными затратами на готовые обеды (PD) и годовым доходом (1NC) существует следующая связь: PD = 23,4 + 0,003 xINC Коэффициент при переменной INC считается значимым. Правдоподобна ли эта связь? Может ли коэффициент регрессии, небольшой по величине, быть значимым? Можете ли вы, исходя из предоставленной информации, сказать, хорошо ли разработана модель? Чему равны ожидаемые затраты на готовые обеды для семьи, зарабатывающей 30 тысяч долларов в год? Если семья, зарабатывающая 40 тысяч долларов в год, тратит 130 долларов на готовые обеды, то чему равен остаточный член? В чем значение отрицательного остаточного члена?

a) b) c) d) e) УПРАЖНЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ INTERNET И КОМПЬЮТЕРА 1. Используйте соответствующие компьютерные программы (SPSS, SAS, BMDP, Minitab или Excel) для анализа данных из;

a) задачи 1 b) задачи 2.

КОММЕНТАРИИ 1. Jennifer Zajac, "Avon's Finally Glowing Thanks to Global Sales— and New Lip-Shtic", Money, September 1997, p. 60;

Cyndee Miller, "Computer Modelling Rings the Right Bell for Avon", Marketing News, May 9, 1988, p. 14.

Глава 17. Корреляция и регрессия 2. Lauren Freedman, "Brand Names Will Bring New Velocity to Qn-Line Sales", Discount Store News, August 18, 1997, p, 12;

Pradeep K. Korgaonkar, Allen E, Smith, "Shopping Orientation, Demo1 graphic and Media Preference Correlates of Electronic Shopping', in Kenneth D. Bahn (ed.), Development in Marketing Science, vol. 11 (Blacksburg, VA: Academy of Marketing Science, 1988), p. 52-5. 3. N.R. Draper, H. Smith, Applied Regression Analysis, 3rd ed. (New York, NY: John Wiley, 1988);

Michael E. Doherty, James A. Sullivan, "rho = p". Organisational Behavior & Human Decision Processes, February 1989, p. 136—144;

W.S. Martin, "Effects of Scaling on the Correlation Coefficient: Additional Considerations", Journal of Marketing Research, May 1978, p. 304—308;

K.A. Bo]len, K.H. Barb, "Pearson's R and Coarsely Categorized Measures", American Sociological Review 46 (1981), p. 232-239. 4. Jacques Tacq, Multivariate Analysis Techniques in Social Science Research (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1997);

John Neter, William Wasserman, Michael J. Kutner, Applied Linear Statistical Methods, 3rded. (Burr Ridge, IL: Richard D. Irwin, 1990), p. 501-503. 5. Хотя эта тема здесь и не обсуждается, частные коэффициенты корреляции могут оказаться полезными при размещении промежуточных переменных и разработке определенных типов каузальных статистических выводов. 6. "Bates Saatchi & Saatchi, Budapest: Accounting for Change", Accountancy, August 1995, p. 31;

Ken Kasriel, "Hungary's Million-Dollar Slap", Advertising Age, June 8, 1992. 7. Другим преимуществом т является то, что его можно обобщить до частного коэффициента корреляции. См. работы Marjorie A. Pett, Nonparametric Statistics for Health Care Research (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1997);

Sidney Siegel, N.J. Castellan, Nonparametric Statistics, 2nded. (New York: McGraw-Hill, 1988). 8. В строгом смысле регрессионная модель требует, чтобы ошибки измерения были связаны только с критериальной переменной и чтобы предикторы были измерены без ошибок. Что касается сериально коррелированных ошибок, см. статью Eugene Canjels, Mark W. Watson, "Estimating Deterministic Trends in the Presence of Serially Correlated Errors", Review of Economics and Statistics, May 1997, p. 184-200.

9. См. любую книгу по регрессии, например, N.R. Draper, H. Smith, Applied Regression Analysis, 3rd ed. (New York, NY: Jonh Wiley, 1998);

John Neter, William Wasserman, Michael H. Kutner, Applied Linear Regression Models, 3rd ed. (Burr Ridge, IL: Richard D, Irwin, 1990). 10. Формально числитель равен b-{3. Однако, поскольку выдвинута гипотеза, что fi =0,0, его можно не включать в формулу. П. Чем больше SEE, тем меньше подходит регрессия. 12. Допущение о фиксированных уровнях предикторов допускается в "классической" регрессионной модели. Это возможно в случае соблюдения определенных условий, когда предикторы являются случайными переменными. Однако нельзя, чтобы их распределение зависело от параметров регрессионного уравнения. См. монографию N.R. Draper, H. Smith, Applied Regression Analysis, 3rd. ed. (New York, NY: John Wiley, 1998). 13. Относительно метода обработки нарушений таких допущений см. работы Gary S. Dispensa, "Use Logistic Regression with Customer Satisfaction Data", Marketing News, January 6, 1997, p. 13;

S.K. Reddy, Susan L. Holak, Subodh Bhat, "To Extend of Not to Extend: Success Determinants of Line Extensions", Journal of Marketing Research, May 1994, p. 243-262. 14. Jon Rees, "Tight Ship Keeps Coke on Top of the World", Marketing Week, May 8, 1997, p. 28-29;

Nancy Giges, "Europeans Buy Outside Goods, but Like Local Ads", Advertising Age, April 27, 1992, p. 11-126. 15. Относительно других применений множественной регрессии см. работы Abbie Griffin, "The Effect of Project and Process Characteristics on Product Development Cycle Time", Journal of Marketing Research, February 1997, p. 24-35;

Hubert Gatignon, Jean-Mark Xuereb, "Strategic Ori Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных entationofthe Firm and New Product Performance, Journal of Marketing Research, February 1997, p. 77-90;

Nirmalya Kumar, Lisa K. Scheer, Jan-Benedict E.M. Steenkamp, "The Effects of Supplier Fairness on Vulnerable Resellers", Journal of Marketing Research, February 1995, p, 54—65. 16. Другой причиной применения скорректированного R служит то, что благодаря оптимизирующим свойствам метод наименьших квадратов максимален. Поэтому до некоторой степени R- всегда переоценивает величину связи. Относительно современного применения 2 скорректированного R см. работы "Ethics and Target Marketing: The Role of Product Harm and Consumer Vulnerability", Journal of Marketing, January 1997, p. 1-20;

Morris A. Cohen, Jehoshua Eliashberg, Teck H. Ho, "An Anatomy and Launching Line Extensions", Journal of Marketing Research, February 1997, p. 117-129. 17. Если ЙЧыборт равен 0, то обычный R~ отражает только ошибку выборки и F коэффициент будет стремиться к единице. 18. Другим подходом является иерархический метод, при котором переменные добавляют к уравнению регрессии в порядке, установленном исследователем. 19. А.С. Atkinson, S.J. Koopman, N. Shepard, "Detecting Shocks: Outliers and Breaks in Time Series", Journal of Econometrics, October 1997, p. 387—422;

George C.S. Wang, Charles K. Akaby, "Autocorrelation: Problems and Solutions in Regression Modelling", Journal of Business Forecasting Methods & Systems, Winter 1994/1995, p. 18—26;

David Balseley, Conditioning Diagnostics: Collinearity and Weak Data in Regression (New York, NY: John Wiley, 1980);

David Balseley, Edwin Kuh, Roy E. Walsh, Regression Diagnostics (New York, NY: John Wiley, 1980). 20. Критерий Дурбина—Уотсона обсуждается практически в каждом учебнике по регрессии. См., например, работы: Hiroyuki Hisamatsu, Koichi Maekawa, "The Distribution of the Durbin— Watson Statistic in Integrated and Near-Integrated Models", Journal of Econometrics, April 1994, p. 367—382;

N.R. Draper, H. Smith, Applied Regression Analysis, 3rd ed. (New York, NY: John Wiley, 1998). 21. Helen Berman, "Selling the Advertising Дгж1е Show Partnership", Folio: The Magazine for Magazine Management (Special Sourcebook Issue for 1997 Supplement), p. 214-215;

Lawrence Sotey, R. Krishnan, "Does Advertising Subsidize Consumer Magazine Prices?", Journal of Advertising, Spring 1987, p. 4-9. 22. John Fox, Applied Regression Analysis, Linear Models and Related Methods (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1997);

Shelby H, Mclntyre, David B. Montgomery, V. Srinivasan, Barton A. Weitz, "Evaluating the Statistical Significance of Models Developed by Stepwise Regression", Journal of Marketing Research, February 1983, p. 1-11, 23. Относительно современного применения ступенчатой регрессии см. работы Christopher D. Ittner, David F. Larcker, "Product Development Cycle Time and Organisational Performance", Journal of Marketing Research, February 1997, p. 13-23;

Michael Laroche, Robert Sadokierski, "Role of Confidence in a Multi-Brand Model of Intentions for a High-Involvement Service", Journal of Business Research, January 1994, p. 1-12. 24. Diane Crispell, "Hispanics at the Mall", American Demographics, October 1997, p, 35-36;

Glen R. Jarboe, Carl D. McDaniel, "A Profile of Browsers in Regional Shopping Malls", Journal of the Academy of Marketing Science, Spring 1987, p. 46—53. 25. Edward Greenberg, Robert Parks, "A Predictive Approach to Model Selection and Multicollinearity", Journal of Applied Econometrics, January-February 1997, p. 67—75;

Chezy Ofir, Andre Khuri, "Multicollinearity in Marketing Models: Diagnostics and Remedial Measures", International Journal of Research in Marketing, March 1986, p. 181-205. 26. Возможные процедуры приведены в работах George C.S. Wang, "How to Handle MuHicollinearity in Regression Modelling", Journal of Business Forecasting Methods & Systems, Spring 1996, p. 23—27;

Charlotte H. Mason, William D. Perreault, Jr., "Collinearity, Power, and Interpretation of Multiple Regression Analysis", Journal of Marketing Research, August 1991, p. 268-280;

R.R.

Глава 17, Корреляция и регрессия Hocking, ''Developments in Linear Regression Methodology: 1959-1982", Technometrics, August 1983, p. 219-230;

Ronald D. Snee, "Discussion", Technometrics, August 1983, p. 230-237. 27. R. James Holzworth, "Policy Capturing with Ridge Regression", Organizational Behavior and Human Decision Processes, November 1996, p. 171—179;

Albert R. Wildt, "Equity Estimation and Assessing Market Response", Journal of Marketing Research, February 1994, p. 437—451;

Subhash Sharma, William L. James, "Latent Root Regression: An Alternative Procedure for Estimating Parameters in the Presence of М\\\\\со\\теш\у'\ Journal of Marketing Research, May 1981, p. 154—161. 28. Можно определить только относительную важность, поскольку важность независимой переменной зависит от всех независимых переменных в регрессионной модели. 29. Robert Rugimbana, "Predicting Automated Teller Machine Usage: The Relative Importance of Perceptual and Demographic Factors", International Journal of Bank Marketing, April 1995, p. 26—32;

Paul E. Green, J. Douglas Carroll, Wayne S, DeSarbo, ''A New Measure of Predictor Variable Importance in Multiple Regression", Journal of Marketing Research, August 1978, p. 356—360;

Barbara Bund Jackson, "Comment on 'A New Measure of Predictor Variable Importance in Multiple Regression'", Journal of Marketing Research, February 1980, p. 116—118. 30. При маловероятном событии, когда все предикторы не связаны, простые линейные корреляции равны частным корреляциям, частичным корреляциям и коэффициенту "бета". Поэтому квадраты этих величин будут иметь тот же ранговый порядок относительной важности переменных. 31. Чтобы узнать больше о перекрестной проверке, см. работы Mark S. Litwin, How to Measure Survey Reliability and Validity (Thousand Oaks, CA: Sage Publications 1997);

X. Michael Song, Mark E. Perry, "The Determinants of Japanese New Product Success", Journal of Marketing Research, February 1997, p. 64—76;

Bruce Cooil, Russell S. Winner, David L. Rados, "Cross-Validation for Prediction", Journal of 'Marketing Research, August 1987, p. 271—279. 32. Относительно современного применения регрессии с фиктивными переменными см, работы U. Yavas, "Demand Forecasting in a Service Setting", Journal of International Marketing and Marketing Research, February 1996, p. 3—11;

Jacob Cohen, Patricia Cohen, Applied Multiple Regression Correlation Analysis for the Behavioural Sciences, 2nd ed. (Hikksdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates, 1983), p, 181-222. 33. John Fox, Applied Regression Analysis, Linear Models, and Related Methods (Thousand Oaks, CA: Sage Publication 1997). О применении регрессионного анализа для ковариационного анализа см. статью Peter A. Dancin, Daniel С. Smith, "The Effect of Brand Portfolio Characteristics on Consumer Evaluations of Brand Extensions", Journal of Marketing Research, May 1994, p. 229—241. 34. Jeoffrey I. Crouch, "Demand Elasticities in International Marketing: A Meta-Analytical Application to Tourism", Journal of Business Research, June 1996, p. 117—136;

Andrew Geddes, "Asian Airlines Try Loyalty Offers", Advertising Age, December 14,1992, p. 10. 35. Lynne M. Andersson, Thomas S. Bateman, "Cynicism in the Workplace: Some Causes and Effects", Journal of Organizational Behavior, September 1997, p. 449—469;

I. Akaah, E.A. Riordan, "The Incidence of Unethical Practices in Marketing Research: An Empirical Investigation", Journal of the Academy of Marketing Science IS (1990), p. 143—152. 36. Eric L. Einspruch, An Introductory Guide to SPSS for Windows (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1998);

Paul E. Specto, SAS Programming for Researchers and Social Scientists (Thousand Oaks, CA: Sage Publications, 1993);

Mohamed Afzal Norat, "Software Reviews", Economic Journal: The Journal of the Royal Economic Society, May 1997, p. 857-882;

Seiter Charles, "The Statistical Difference", Macworld, October 1993, p. 116-121.

€ Часть III. Сбор, подготовка и анализ данных Глава Дискриминантный анализ После изучения материала этой главы вы должны уметь...

1. Излагать концепцию дискриминантного анализа, его цели и применение в маркетинговых исследованиях. 2. Обрисовывать процедуру выполнения дискриминантного анализа, включая формулирование проблемы, определение коэффициентов дискриминантной функции и значимости, интерпретацию и проверку достоверности. 3. Обсуждать множественный дискриминантный анализ и различие между дискриминантным анализом для двух групп и множественным дискриминантным анализом. 4. Объяснять пошаговый дискриминантый анализ и описывать метод Махаланобиса.

КРАТКИЙ ОБЗОР Эта глава посвящена дискриминантному анализу. В начале главы мы установим его связь с регрессионным (глава 17) и дисперсионным (глава 18) анализом. Опишем модель и общую процедуру выполнения дискриминантного анализа, отметив такие стадии: формулировка проблемы, вычисление коэффициентов дискриминантной функции, определение значимости, интерпретация и проверка результатов. Данная процедура проиллюстрирована на примере дискриминантоного анализа для двух групп. Рассмотрен пример множественного дискриминантного анализа (для трех групп). Кроме того, мы изучим пошаговый дискриминантный анализ. Начнем с примеров, иллюстрирующих применение дискриминантного анализа для двух групп и множественного дискриминантного анализа. ПРИМЕР. Покупка товаров со скидкой Для того чтобы определить корреляцию характеристик покупателей с их предрасположенностью к покупке товаров со скидками, был проведен опрос 294 потребителей, которые благосклонно относятся к рекламе таких товаров. Предикторами являлись четыре фактора, связанные с отношением покупателей к процессу покупки товаров и их поведением, а также избранные демографические характеристики (пол, возраст и доход). Зависимой переменной выбрали степень предрасположенности респондентов к скидкам. При этом определены три ее уровня. Респонденты, заявившие, что в течение последних 12 месяцев ни разу не купили товар со скидками, были отнесены к категории "не потребители";

респонденты, заявившие, что они сделали за этот период одну-две таких покупки, были отнесены к редким покупателям;

респонденты, сделавшие больше двух покупок, были классифицированы как частые покупатели товаров со скидками. Для изучения данных маркетологи применили множественный дискриминантный анализ. Установлено два главных факта. Во-первых, восприятие потребителями соотношения "усилия, необходимые для получения скидки/ размер скидки", было наиболее эффективной переменной для выведения различия (дискриминации) между частыми, редкими покупателями и лицами, не являющимися потребителями предлагаемого товара со скидкой. Маркетологи выяснилим, что чувствительные к скидкам покупатели согласны на относительно меньший размер скидки по сравнению с другими покупателями. Во-вторых, потребители, которые были хорошо осведомлены о постоянных ценах на товары и поэтому легко узнавали товары со скидками, вероятно, чаще других, откликаются на предложение товаров по сниженным ценам [1].

Глава 18. Дискриминантный анализ ИНОЙ ПРИМЕР. ВЫБОР УНИВЕРМАГА Дискриминантный анализ для двух групп В маркетинговом исследовании "Выбор универмага", маркетологи использовали дискри- 1 минантный анализ для двух групп, чтобы выяснить, отличаются ли значения, которые при- I сваивают восьми факторам выбора универмага респонденты, которым известны универмаги I от тех значений, которые выставляют респонденты, которым универмаги не известны. Зависимой переменной были две группы респондентов — владеющие и не владеющие ин- ! формацией об универмагах, а независимыми переменными — важность (значение) восьми факторов критерия выбора. Общая дискриминантная функция была значимой, что указы- | вало на существенное различие между двумя группами. Результаты показали, что по срав- I нению с респондентами, ничего не знающими о данных универмагах, респонденты, хорошо ! осведомленные о них, придавали большее относительное значение качеству товаров, уело- I виям возврата товаров, услугам продавцов, а также условиям кредитования и расчета с покупателями.

— „тчннн-. „ „ - —. -,. „, -.. TT-T.IIIJ ".•••"•"U-J.

В указанном примере с универмагом задействованы две группы респондентов (знакомые и не знакомые с универмагом), в то время как в примере с предрасположенностью к покупкам товаров со скидками проверяли три группы (лица, не являющиеся покупателями товаров со скидкой;

редкие покупатели и частые). В данных исследованиях обнаружены существенные межгрупповые различия при использовании многих предикторов (независимых переменных), Исследование различий между группами — основа концепции дискриминантного анализа.

ОСНОВЫ ДИСКРИМИНАНТНОГО АНАЛИЗА Дискриминантный анализ (discriminant analysis) используется для анализа данных в том случае, когда зависимая переменная категориальная, а предикторы (независимые переменные) интервальные [2]. Дискриминантный анализ (discriminant analysis) Метод для анализа данных маркетинговых исследований в том случае, когда зависимая переменная категориальная, а предикторы (независимые переменные) интервальные. Например, зависимая переменная может быть выбором торговой марки персонального компьютера (торговые марки А, В или С), а независимыми переменными могут быть рейтинги свойств персональных компьютеров, измеренные по семибалльной шкале Лайкерта. Дискриминантный анализ преследует такие цели. 1. Определение дискриминантных функций (discriminant functions) или линейных комбинаций независимых переменных, которые наилучшим образом различают (дискриминируют) категории (группы) зависимой переменной. 2. Проверка существования между группами значимых различий с точки зрения независимых переменных. 3. Определение предикторов, вносящих наибольший вклад в межгрупповые различия. 4. Отнесение случаев к одной из групп (классификация), исходя из значений предикторов. 5. Оценка точности классификации данных на группы. Дискриминантная функция (discriminant functions) Выведенная посредством дискриминантного анализа линейная комбинация независимых переменных, с помощью которой можно наилучшим образом различить (дискриминировать) категории зависимой переменной.

Pages:     | 1 |   ...   | 14 | 15 || 17 | 18 |   ...   | 22 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.