WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«ВЫСШЕЕ ЭКОНОМИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В.А. Малугин ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Курс лекций Допущено УМО по классическому университетскому образованию Математика для экономистов в качестве учебного пособия для ...»

-- [ Страница 2 ] --

•У Линии уровня Глава 6. Классические методы оптимизации Градиенты grad и grad перпендикулярны к линиям уровня функции z=z(x,y) в точках и Мх соответственно. Векторы grad и grad перпендикулярны к линии g(x, у) = 0 также в точках Л/о и Л/,. При движении справа налево вдоль кривой g(x, у) = 0 пересекаются линии уровня функции Z = z(x, у), причем каждое следующее пересечение происходит с линией более низкого уровня. Градиенты grad z и grad g в каждой точке направлены под разными углами, как это имеет место, например, в точке Л/,. Коллинеарность векторов grad z и grad g возникает в точке Мо. Следовательно, в этой точке выполнены необходимые условия локального экстремума функции Лагранжа. При дальнейшем движении вдоль кривой уравнения связи g(x,у)=0 пересекаются линии более высокого уровня. Можно заключить, что в точке Мо имеется минимум. Если бы кривая уравнения связи, выйдя из точки Л/о, продолжала пересекать линии все более низкого уровня, точка Мо оказалась бы седловой (или точкой минимакса). Окаймленный гессиан Для функции Лагранжа L(x, у) получены необходимые условия локального экстремума. Теорема о достаточных условиях локального экстремума функции L(x, у) подобна ранее сформулированной теореме о достаточных условиях локального экстремума для функции но между ними существуют отличия. ТЕОРЕМА (об исследовании на экстремум по окаймленному гессиану) Пусть всюду в окрестности точки 1) определена функция 2) обе частные производные первого порядка причем 3) все частные производные второго порядка непрерывны;

4) дифференциалы dx и dy связаны между собой соотношением, причем 175 непрерывны, Линейная алгебра. Курс лекций 5) второй дифференциал d2L в точке Мо является знакоопределенной квадратичной формой. Тогда функция L(x, у) имеет в точке Мо локальный экстремум, а функция — условный экстремум: а) при — локальный минимум;

б) при — локальный максимум.

Доказательство теоремы заключается в обосновании использования в данной теореме выводов ранее рассмотренной теоремы о достаточных условиях для функции при исследовании на локальный экстремум. Уравнение связи g(x, у) = О приводит к существованию зависимости между дифференциалам и dx и dy. Как известно, второй дифференциал не обладает инвариантностью формы. Поэтому выражение для требует уточнения. Найдем дифференциал от дифференциала в точке Мо, считая у зависимой переменной:

Здесь в силу непрерывности вторых производных, в стационарной точке Мо. Поэтому второй дифференциал функции Лагранжа в точке Мо будет совпадать со вторым дифференциалом функции Лагранжа двух независимых переменных:

Следовательно, можно воспользоваться выводами о знакоопределенности d2L и соответственно знаке AL по знакам угловых миноров матрицы Гессе: 1) если М} > О, М2 > О, функция Цх, у) имеет в точке Мо минимум;

2) если Мх < О, М, > 0, функция Цх, у) имеет в точке Мо максимум. Если сделать вывод о наличии экстремума при произвольных dx и dy невозможно, найдем dy из равенства и подставим в d2L: Глава 6. Классические методы оптимизации Вынесем за скобки множитель Эта формула может быть приведена к удобному для использования виду. Второй сомножитель в произведении вычисляется как определитель матрицы в точке Матрица Я называется окаймленной матрицей Гессе, а определитель \Н\ — окаймленным гессианом. Если гессиан то d2L < О, что указывает на безусловный максимум функции L(x, у) и условный максимум функции z- z(x, у). Если то d2L > 0. Это соответствует безусловному минимуму функции L(x, у) и условному максимуму функции z- z(x, у). Если метод не работает. Обоснование закончено. • Замечание 1. Метод Лагранжа не указывает условий, при которых условный экстремум отсутствует. Замечание 2. При составлении функции Лагранжа можно брать неопределенный множитель с любым знаком. Выбор определяется соображениями удобства. З а м е ч а н и е 3. Вычисляемый неопределенный множитель X может оказаться любым действительным числом, включая иррациональное число. В частном случае при X = 0 условный экстремум исследуемой функции совпадает с ее локальным экстремумом, если таковой существует. На рис. 6.12 представлено графическое решение задач и на условный экстремум функции z=1-x2 -у Линейная алгебра. Курс лекций с уравнением связи g(x,y) - у - х = 0. Линия пересечения выделена темным цветом. Стрелкой указан условный экстремум функции z=1-x2 -у1, совпадающий с ее локальным максимумом. Вычисленное значение множителя Последовательность действий при отыскании условных экстремумов функции двух переменных Задача. Найти условный экстремум функции z = z(x, у) при наличии уравнения связи g(x, у) - 0. Краткая формулировка:

(7) Решение. 1) Составляем функцию Лагранжа 2) Находим производные функции L(х, у) и приравниваем их к нулю. Присоединяем уравнение связи, получая систему из трех уравнений для определения координат возможных точек экстремума и множителя Лагранжа 3) Строим окаймленную матрицу Гессе, вычисляем окаймленный гессиан в точке (х0, у0) и делаем вывод о наличии услов Глава 6. Классические методы оптимизации ного экстремума. Находим значение функции z = z(x, у) в точке условного экстремума. ПРИМЕР. Провести исследование на условный экстремум \z - х1 +12ху + у2 -> extr, {4х2+у2=25. Решение. Составим функцию Лагранжа: L(x,y) = x2 + \2xy + y2 -l(4x2 +у2 -25) и запишем систему уравнений из первых производных и уравнения связи: (8) Из первых двух уравнений получаем (9) Очевидно, что точка с координатами (0, 0) является решением системы (9), но не удовлетворяет последнему уравнению системы (8). Полагая теперь разделим первое уравнение системы (9) на второе и решим полученное уравнение. Корни уравнения Подставив в первое или во второе уравнения системы (8), Подстановка найдем связь между переменными х и у: выражения Соответственно в третье уравнение системы (8) дает Дляполучим Итак, получены четыре стационарные точки Линейная алгебра. Курс лекций Найдем все вторые производные функции Лагранжа:

Составим матрицу Гессе из вторых производных:

Подстановка любого значения множителя из приводит к равенству нулю минора М-,. Поэтому обратимся к окаймленной матрице Гессе Рассмотрим последовательно четыре стационарные точки. 1)4(2,-3,-2).

В точке 2).

достигается условный минимум Здесь условный минимум Глава 6. Классические методы оптимизации В точке достигается условный максимум Здесь условный максимум На рис. 6.13 и 6.14 представлено графическое решение задачи на условный экстрему. Пересечения поверхностей изображены с двух точек обзора, отличающихся приблизительно на 90°. Стрелками показан один из минимумов (рис. 6.13) и один из максимумов (рис. 6.14). Метод неопределенных множителей Лагранжа может быть перенесен на случай функции от любого числа аргументов. Пусть требуется определить условный экстремум функции п переменных при наличии т уравнений связи Линейная алгебра. Курс лекций Рис. 6. Рис. 6. Глава 6. Классические методы оптимизации где т < п. Составляем функцию Лагранжа, используя т множителей Лагранжа Приравняв к нулю все частные производные первого порядка, получим систему из п + т уравнений для определения множителей и координат возможных точек условного экстремума. Если матрица Гессе не показывает наличие экстремума, находим дифференциалы всех уравнений связи Решаем систему из т уравнений с п переменными dx}, dx2,..., dxn. Предполагая, что ранг r матрицы системы r= т, находим т переменных, которые выражены через свободные п — т переменных. Подставим их в квадратичную форму d2L и составим квадратную матрицу размера (п-т)*(п-т) квадратичной формы. Далее, применив критерий Сильвестра, сделаем вывод о наличии экстремума.

§ 6.3. Экстремум неявной функции Пусть функция z=z(x,y) определяется уравнением F(x,y,z)=0. Потребуем, чтобы функция z = z(x,y) была дважды непрерывно дифференцируема и Первый дифференциал в стационарной точке равен нулю:

что может иметь место в силу независимости дифференциалов dx и dy только при Линейная алгебра. Курс лекций Уравнения (10) выражают необходимые условия существования экстремума, определяя точку (х0, у0) возможного экстремума. Для нахождения достаточных условий найдем второй дифференциал в стационарной точке (лс0, у0):

(11) Найдем отдельно каждое из слагаемых в правой части равенства (11):

В стационарной точке F^ = 0, поэтому равенство значительно упростится:

Аналогично можно доказать, что Подставим полученные равенства в (11) и преобразуем квадратичную форму, используя (12) Матрица Гессе для квадратичной формы (12) примет вид Глава 6. Классические методы оптимизации Применяя критерий Сильвестра к найденной матрице, исследуем знакоопределенность квадратичной формы d2z и сделаем вывод о существовании экстремума неявной функции. ПРИМЕР. Найти локальный экстремум неявной функции в области считая z = z(x,y).

Решение. Найдем частные производные функции F(x,y,z) по всем переменным:

Чтобы определить стационарные точки, решим систему уравнений:

Выразим переменную у из первого уравнения и подставим во второе Получим критические точки Рх с координатами^ = 0, v, = 0 и Р2 с координатами х2 = — 1, у2 = — 1. Подстановка этих значений аргументов в уравнение F(x, у, z) = 0 с учетом даст значения. Итак, имеем Р{ = (0, 0,1) и Р2 (-1, - 1, >/5 -1). Найдем вторые частные производные: и составим матрицу Гессе квадратичной формы для неявной функции:

Линейная алгебра. Курс лекций Обращаем внимание на следующее: из матрицы можно вынести множитель 3, но нельзя вынести множитель, так как z+l нужна информация о знаке первого углового минора Мх. Рассмотрим вначале точку 1. Здесь ке достигается локальный максимум, равный В этой точ Глава 6. Классические методы оптимизации 2. З д е с ь П о э т о м у обратимся к о второму дифференциалу:

Очевидно, не является знакоопределенной квадратичной формой. Поэтому в данной точке экстремума нет. На рис. 6.15 приведен фрагмент поверхности заданной неявной функции. Стрелками указаны точки /J и. Р2.

§6.4. Глобальный экстремум Глобальным экстремумом называются наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой ограниченной области D. Пусть функция z = x(x, у) непрерывна в этой области. Тогда найдется точка в которой функция принимает наибольшее (наименьшее) значение. Если точка (хо,уо) лежит внутри области Д она является стационарной, и в ней может достигаться локальный максимум или минимум. Наибольшее или наименьшее значение функция может принимать также на границе области. Следовательно, задачу исследования функции на глобальный (global) экстремум в области можно сформулировать так:

Решение задачи разбивается на две части: 1) исследование функции z = х(х, у) на локальный (local) экстремум в области g(x, у) < 0:

2) исследование функции z = x(x, у) на условный (conditional) экстремум на границе области g(x, y) = 0:

Линейная алгебра. Курс лекций Наибольшее (наименьшее) из всех этих чисел и будет искомым наибольшим (наименьшим) значением функции z- x(x, у) в области D. ПРИМЕР. Исследовать на глобальный экстремум функцию в области Решение. Для решения задачи надо рассмотреть несколько случаев:

Находим стационарные точки: Единственная стационарная точка (0, 0) не входит в рассматриваемую область.

Подставим выражение в исследуемую функцию. Получаем Во всех точках окружности функция принимает одно и то же постоянное значение z=l.

В силу симметрии задачи из двух случаев достаточно рассмотреть один, например х=2. Подставим х-2 в функцию z: Это парабола с ветвями, направленными вниз. Критическая точка > = 0, в которой функция принимает > значение, равное z= —2. На концах отрезка [—2, 2] функция равна z=-6.

Глава 6. Кгассические методы оптимизации Система рассматривается аналогично случаю 3. Собираем все полученные значения функции t Выбираем наибольшее и наименьшее значения из всех этих чисел:

График функции приведен на рис. 6.16.

в области З а м е ч а н и е. При исследовании функции на глобальный экстремум можно ограничиться отысканием значения функции в критических точках. Достаточные условия обычно не используют.

- Линейная алгебра. Курс лекций В математическом анализе существует класс так называемых выпуклых функций, примерами которых могут служить функции, представленные на рис. 6.6—6.8 и 6.12. Они широко применяются в экономике и в дальнейшем будут нами изучаться. Выпуклая функция не имеет седловых точек. Поэтому равенство ее частных производных нулю является не только необходимым, но и достаточным условием локального экстремума. Локальный экстремум выпуклой функции является также и глобальным, т.е. наибольшим значением функции в случае, когда функция выпукла вверх, и наименьшим, когда она выпукла вниз.

§ 6.5. Экстремум в системах функций Изучение экстремумов математических объектов, задаваемых несколькими функциями, является значительно более сложной задачей. В общем случае задачу можно сформулировать так: найти экстремум функции z=z(x, у), заданной системой функций Поиск решения начнем с нахождения множества таких точек на координатной плоскости Оху, в которых значения функций системы равны Решение этого уравнения у = у (х) подставим в одну из функций и исследуем на экстремум функцию z = Z (х). Критическая точка х0 для функции задает стационарную точку (х0, у0) на плоскости Оху, в которой возможен экстремум zextr=f(x0,y0). Геометрически это означает, что в пространстве разыскивается совокупность линий пересечения поверхностей, описываемых заданными функциями. На линиях пересечения находим наибольшее или наименьшее значение ZQПолучим необходимые условия экстремума системы функций. Считая в системе (13) переменные х и у функциями переменной z, продифференцируем оба уравнения по z^ Глава 6. Классические методы оптимизации Вычтем из первого уравнения второе:

и, полагая, что на эти величины. Получим, разделим обе части равенства Очевидно, Поскольку найдем производную по х, которая в критической точке ZQ будет равна нулю:

Отсюда при условии получим Подставим в уравнение производную и после несложных преобразований, считая, получим ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функцию z = z(x, у), заданную системой уравнений Линейная алгебра. Курс лекций Решение. Область значений функции уравнения для чего возведем его в квадрат:

Найдем корни После сокращения уравнение примет вид ху = 0. Следовательно, х =0 или у - 0. При х = 0 получим. Очевидно, минимальное значение z равно при у=0 и х = 0. Другой случай (у-0) приводит к тому же результату. Отметим, что Zmin(0, 0) = 0 представляет собой глобальный минимум функции z. На рис. 6.17 изображены графики функций и пересекающиеся по плоскостям у = 0 и х= 0. Линии пересечения поверхностей указаны белым цветом. Некоторые из функций системы могут быть заданы в неявном или параметрическом виде. ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функцию z= z(x, у), заданную системой уравнений Глава 6. Классические методы оптимизации Решение. Подставим z = х + у в первое уравнение:

Представим уравнение как квадратное относительно у:

Его решение подставим во второе уравнение системы. Получим Исследуем функцию z(x) на экстремум с помощью производной Линейная алгебра. Курс лекций Уравнение При х < О решение показывает, что в точке в точке — минимум при имеет решение. Исследование знаков производной достигается максимум, Окончательно получаем Графики обеих функций представлены на рис. 6.18. Стрелками указаны минимум и максимум функции z = (х, у), причем минимум хорошо виден, а максимум скрыт под поверхностью сферы. Для улучшения обзора из сферы удалена часть поверхности.

§ 6.6. Экстремум в системах неравенств Математическими объектами, задаваемыми системами неравенств, в трехмерном случае являются объемные геометрические фигуры, границы которых описываются некоторыми функциями. Формулировка задачи выглядит следующим образом: найти экстремум функции z = z(x, у), заданной системой неравенств Задача отыскания подобного экстремума математического объекта сводится к решению нескольких систем 1. Исследование функции z = z(x, у), определяемой из уравнения F(x, у, z) = 0, на локальный экстремум при условии справедливости неравенства G(x, у, z) < 0, т. е.

Глава 6. Классические методы оптимизации 2. Исследование функции определяемой из уравнения G(x, у, z) - 0, на локальный экстремум при условии справедливости неравенства F(x, у, <) < 0, т. е.

3. Исследование функции z=z(x,y), определяемой из уравнения F(x, у, z)= G(x, у, z), описывающего линию пересечения поверхностей. ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функцию z= z(x, у), заданную системой неравенств Решение. Первая из систем позволяет найти максимальное значение х2 + у2 = О, что не противоречит условию л 2 + у2 < z2 при условии Линейная алгебра. Курс лекций Из второй системы можно сделать вывод о росте функции z с ростом чения на но, следуют из неравенства. Ограни. Следователь На границе, являющейся пересечением поверхностей, выполняется равенство откуда следует ция В точках на этой окружности функ. Следовательно, наибольшее значение функции наименьшее значение функции На рис. 6.19 приведена область, ограниченная данными неравенствами. Стрелками указаны точки, в которых функция z=x(x, у) принимает наибольшее и наименьшее значения. ПРИМЕР. Исследовать на экстремум функцию z=x(x, у), заданную системой неравенств Решение. 1. Исследуем функцию z = х2 - ху + у2 на локальный экстремум в области z, Zj, наибольшее и наименьшее значения, окончательно получим 0) = 0. На рис. 6.20 построены области Стрелками указаны полученные точки и § 6.7. Оптимизация потребительского поведения (функция спроса) Рассмотрим задачу зависимости объема личного потребления или спроса от доходов, цен и социально-демографических факторов. Пусть U(x) — целевая функция потребления, характеризующая предпочтения потребителя, — вектор объемов потребления благ х{, п — количество рассматриваемых благ. Покупая для личного потребления товары х{ по ценам Pj, покупатель ограничен размером своего дохода /. Ставится задача оптимизации потребительского поведения с бюджетным ограничением Решением задачи потребительского выбора является функция спроса — вектор каждая координата которого и дохода /. 198 зависит от..., вектора цен Глава 6. Классические методы оптимизации Рассмотрим задачу на условный экстремум для функции двух переменных \U(x) = -х^х,' 2 -» max, 1/>,х,+/>2х2 = /. Целевая функция является выпуклой. Поэтому, как указывалось ранее, при исследовании функции на экстремум достаточные условия можно не использовать. Составим функцию Лагранжа:

и запишем систему уравнении из первых производных и уравнения связи:

Разделив первое уравнение на второе, придем к системе решением которой являются В стационарной точке выпуклая функция симальна. Векторная функция спроса имеет вид мак Следовательно, количество приобретаемого товара прямо пропорционально доходу и обратно пропорционально цене товара.

Линейная алгебра. Курс лекций § 6.8. Максимизация прибыли в проектном анализе В процессе принятия инвестиционных решений приходится решать задачу максимизации планируемой прибыли. Одна из функций, с помощью которой в проектном анализе принимается инвестиционное решение (критерий), называется чистым дисконтированным доходом NPV (Net Present Value). Экономический смысл этой функции состоит в максимизации разности между всеми проектными доходами и затратами, т.е. прибыли. Однако, следуя теории проектного анализа, в этом расчете необходимо учитывать время произведения затрат и время получения доходов, а также процентную ставку. Все это находит отражение в критерии ЛТКблагодаря применению теории изменения ценности денег во времени. Кладя деньги в банк, мы рассчитываем на денежный прирост. Он определяется по формуле сложных процентов где ДО) — первоначальный вклад, положенный в банк на t лет под r годовых процентов. Поставим теперь задачу следующим образом. Какую сумму надо положить в банк под r % в год, чтобы через t лет получить X(f) денежных единиц? Другими словами, найти стоимость суммы денег, полученной через t лет, но приведенной к настоящему времени. Очевидно, она равна Величину r можно назвать ставкой дисконта, отражающей изменение стоимости денег во времени. Предположим, рассчитывается проект, который принесет через год доход в размере b (1) денежных единиц, через два года — b (2) денежных единиц и т.д. Тогда, пересчитанный к настоящему времени, он составит в течение t лет величину, равную Глава 6. Юшссические методы оптимизации Реализация проекта потребует затрат в каждом году жиз ненного цикла проекта (1), е{2),..., e{t). Пересчитанные к на стоящему времени ежегодные затраты составят величину Рассчитаем чистый дисконтированный доход NPV (Net Present Value), составляющий, как уже указывалось, разность между приведенными к настоящему времени будущими потоками доходов и затрат с учетом инвестиции в начальный момент. Получим Чистый дисконтированный доход NPV, как уже говорилось, характеризует эффективность проекта и является одним из основных критериев при выборе проекта. Рассмотрим подробнее. Он представляет собой функцию двух переменных: ставки дисконта r и времени жизни проекта (или горизонта его планирования) t. Время жизни проекта оказывается конечной величиной, обычно равной 5—10 годам, после чего требуется радикальная реорганизация, новое инвестирование или ликвидация проекта. В противном случае проект начнет приносить убытки. Функция чистого дохода (прибыли) (доходы минус затраты) для каждого проекта индивидуальна. Однако некоторые свойства функции являются общими для реальных проектов: первоначальный рост, достижение максимума и последующий спад. Несколько конкретизируем немного проект. Пусть он рассчитан на 10 лет. Рассмотрим два различных случая, отличающихся различным поведением на заключительной стадии проекта. 1. В начале стадии убывания чистого дохода менеджеры поддерживают проект различными мерами, добиваясь превышения доходов над затратами. Пусть функция прибыли имеет вид (рис. 6.21) Линейная алгебра. Курс лекций р 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0. Рис. 6. В начале проекта прибыль растет медленно, в течение трех лет выходит на максимум. Затем в течение последующих 7 лет она падает по экспоненте до 10 % от своей максимальной величины.

Глава 6. Классические методы оптимизации Зависимость функции NPV от ставки дисконта r в пределах 5—50 % и времени развития проекта п по годам приведена на рис. 6.22. Плоскость на рисунке проведена на уровне NPV = 0 и отсекает участки с NPV> 0. Для каждого года проекта можно определить величину r (норму дисконта IRR), при которой затраты на проект окупятся. Для r= 44 % это произойдет только в конце проекта (NPV станет больше нуля). При r> 44 % проект станет убыточным. На рис. 6.22. красная линия отсекает ставку процента r= 44 %. Если ставка процента равна, например, 27 %, проект окупится к четвертому году (дисконтированный период окупаемости — критерий DPBP= 3). Светлой стрелкой на рис. 6.22 указана точка на поверхности, соответствующая IRR = 27% u DPBP=3.

2. Проект не поддерживается новыми идеями, инвестициями, живет за счет внутренних ресурсов. Вся прибыль извлекается из проекта. Или в проекте обнаружились проблемы, которые привели во второй половине жизненного цикла проекта к превышению расходов над доходами Пусть в этом случае функция прибыли имеет вид (рис. 6.23) В начале проекта прибыль растет медленно, в течение четырех лет она выходит на максимум. Затем в течение последующих двух лет прибыль падает до нуля. Расходы продолжают расти.

Рис. 6. Линейная алгебра. Курс лекций Зависимость в этом случае функции NPV ОТ ставки дисконта r в пределах 5—50 % и времени развития проекта п по годам приведена на рис. 6.24. По-прежнему плоскость на рисунке проходит через ординату со значением NPV= 0. В первые годы проект развивается благополучно. При невысокой ставке процента прибыль появляется на четвертом году реализации и на 5—6-м году достигает максимальных значений. Однако последние три года могут развиться катастрофические события. Что на первый взгляд удивительно, катастрофа возникает при малых ставках дисконта, в то время как при больших ставках проект затухает медленно. Это видно из рис. 6.25. Причина этого явления состоит в том, что при низкой процентной ставке деньги с течением времени остаются «дорогими». Потери денежных средств на 7—10-м году проекта весьма чувствительны. При высокой ставке процента деньги на 7—10-м году проекта становятся «дешевыми». Их потеря не столь чувствительна. Действительно, доход, полученный от проекта на п-м году жизненного цикла, пересчитанный к началу проекта, равен Глава 6. Классические методы оптимизации Отношение прибылей, а в данном случае — убытков при низкой ставке гх и высокой ставке г2 составит величину Для rx - 5 % и г-, = 50 % на 7-м году жизни проекта будем иметь Это означает, что потери составят при низкой процентной ставке в 12 раз большую величину, чем при высокой. Отсюда вывод: при низкой ставке процента следует более зорко следить за прибылями—убытками. По достижении максимума прибыли и в начале спада следует принимать решительные меры, ибо Линейная алгебра. Курс лекций «промедление смерти подобно». Проект при низкой процентной ставке и неблагоприятном стечении обстоятельств может быть потерян для инвестора с большими убытками. § 6.9. Глобальный экстремум в задачах математического программирования для двух переменных записывается следующим образом:

В общем виде задача математического программирования 1) или 2) где f(х, у) — целевая функция, не имеющая локальных экстремумов, — функции, ограничивающие поиск решения. Ограничения указывают на поиск решения только в первой четверти координатной плоскости. Точка называется оптимальным решением системы уравнений и неравенств, если в этой точке целевая функция достигает максимального значения в первом случае и минимального — во втором. Максимум или минимум целевой функции являются глобальными экстремумами. В этом отличие задачи математического программирования от задач на условный или локальный и даже на глобальный экстремум, который может достигаться как на границе области, так и во внутренних точках. Задачи 1 и 2 называются сопряженными и образуют двойственную пару. К необходимости решать задачу математического программирования (ЗМП) приводят: 1. Проблема планирования производства, т. е. планирование производства определенных видов продукции так, чтобы было обеспечено наиболее рациональное использование материальных, финансовых и других ресурсов. Должен быть достигнут максимум или минимум (в экономике — оптимум) некоторой функции, описывающей прибыль, объем производства и т.д.

Глава 6. Классические методы оптимизации 2. Проблема оптимального смешения. Требуется выбрать количество каждого из исходных ингредиентов для составления смеси, если известна стоимость единицы ингредиента. Смесь надо получить с заданными свойствами, причем с наименьшими затратами. Такие задачи оптимального смешения возникают в металлургии, сельском хозяйстве, пищевой промышленности и т.д. 3. Транспортная задача перевозки произведенного продукта от различных производителей нескольким потребителям. Поставки должны осуществляться таким образом, чтобы издержки на транспортировку были минимальными. 4. Проблема оптимального планирования финансов и др. Если все функции, входящие в задачу математического программирования, линейны, имеем задачу линейного программирования (ЗЛП). В случае же нелинейности хотя бы одной из функций имеем дело с задачей нелинейного программирования (ЗНП). Приведем примеры нескольких задач математического программирования, обратив внимание на их геометрическую интерпретацию. На рис. 6.26—6.28 в трехмерной системе координат построены модели следующих видов. Модель ЗЛП (рис. 6.26):

Модель ЗНП (рис. 6.27):

Рис. 6. Рис. 6. Глава 6. Классические методы оптимизации Рис. 6. Модель ЗНП (рис. 6.28):

На рис. 6.26 представлена геометрическая интерпретация ЗЛП, в которой требуется найти максимальное значение линейной функции изображающей плоскость, ограниченную линейными неравенствами, также изображающими плоскости, расположенные вертикально. На рис. 6.27 дана геометрическая интерпретация ЗНП, в которой нелинейной частью является исследуемая на максимум функция, представляющая собой параболоид вращения Наконец, на рис. 6.28 нелинейность ЗНП представлена функцией ограничения Это цилиндроид с плоскостью внутри, на которой требуется обнаружить максимальное значение Часть цилиндроида вырезана для улучшения обзора. Визуально глобальный максимум на каждой из исследуемых поверхностей легко определяется. Максимальное значение отмечено темной точкой. Линейная алгебра. Курс лекций Разработаны различные методы решения ЗМП, например симплекс-метод. Их изучением занимается экономико-математическая дисциплина «Исследование операций», которая полностью опирается на пройденный материал. Вопросы для повторения 1. Сформулировать определение экстремума функции нескольких переменных. 2. Привести необходимые условия локального экстремума. 3. Сформулировать теорему об исследовании на локальный экстремум по угловым минорам. 4. Дать определение условного экстремума. 5. Дать геометрическую интерпретацию необходимых условий условного экстремума. 6. Описать метод Лагранжа по исследованию функции на условный экстремум. 7. Что такое окаймленный гессиан? 8. Записать достаточные условия при исследовании неявной функции на экстремум. 9. Описать схему исследования функции на глобальный экстремум.

Список литературы 1. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. и др. Высшая ма тематика. Т. 1. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 2. Красc М. С. Математика для экономических специальностей. М.: Дело, 2002. 3. Пискунов И. С. Дифференциальное и интегральное исчисление Т.1. M.: Наука, 1985. 4. Высшая математика для экономистов/Под ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи, изд. Объединение "ЮНИТИ", 1998. 5. Задачи и упражнения по математическому анализу/Под ред. Б. П. Демидовича. М.: Интеграл-пресс, 1997. 6. Ильин В. А., Ким Г. Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998. 7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1999.

Тематический указатель Б Базис векторного пространства 92 Базисные решения системы уравнений в Введение определителя 17 Вектор в n-мерном пространстве 90 Векторы в трехмерном пространстве 87 Виды матриц 12 Возведение матрицы в целую положительную степень 16 Второй метод нахождения условного экстремума (метод Лагранжа) 175 Вычисление определителя 26 Вычитание матриц одинакового размера г Геометрическая интерпретация необходимых условий для условного экстремума 174 Глобальный экстремум 187 Глобальный экстремум в задачах математического программирования Д Дефект отображения 118 Дифференцирование векторной функции векторного аргумента 155 Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента 148 Дополнение до базиса 96 Достаточные условия локального экстремума Е Евклидовы пространства и Использование квадратичных форм к Координаты вектора 82 Критерий Сильвестра л Линейная зависимость и независимость векторов 8! Линейная оболочка 104 Линейные комбинации строк или столбцов 45 Линейные операторы и их свойства 121 Линейные операции над векторами 81 Линейные подпространства м Максимизация прибыли в проектном анализе 200 Матрица перехода к новому базису 99 Матрицы оператора в разных базисах 125 Метод Гаусса 59 Метод обратной матрицы 52 Метод с использованием расширенной матрицы 54 Метод с использованием формул Крамера 55 Модель Леонтьева многоотраслевой экономики н Независимость собственных векторов 129 Необходимые условия локального экстремума Образ отображения 118 Общее решение системы неоднородных линейных уравнений 73 Окаймленный гессиан 175 Определение локального экстремума 157 Определение ранга матрицы 41 Определитель оператора в разных базисах 126 Оптимализация потребительского поведения (функция спроса) 198 Ортогональное дополнение 112 Ортогональность собственных векторов 132 Ортонормированная система векторов 108 Определение векторной функции скалярного аргумента 146 Определение векторной функции векторного аргумента 150 Определение условного экстремума 168 Основные сведения о матрицах 11 Отображение базиса 119 Отображения о п Первый метод нахождения условного экстремума 170 Понятие квадратичной формы 133 Понятие линейного векторного пространства 86 Последовательность действий при отыскании условных экстремумов функции двух переменных 178 Потенциальное поле вектора 152 Правила дифференцирования векторной функции скалярного аргумента 149 Предел и непрерывность векторной функции скалярного аргумента 147 Приведение квадратичной формы к каноническому виду р Равносильность систем линейных уравнений при элементарных преобразованиях 58 Разложение вектора по базису 93 Размерность векторного пространства 91 Ранг матрицы при элементарных преобразованиях 43 Ранг отображения с Свойства длины вектора 107 Свойства канонических форм 139 Свойства линейной зависимости векторов 89 Свойства линейной оболочки 105 Свойства матрицы перехода к новому базису 100 Свойства обратных матриц 30 Свойства однородной системы линейных уравнений 67 Свойства определителей 22 Свойства ортогонального дополнения 113 Свойства производной векторной функции скалярного аргумента 149 Свойства скалярного произведения 84 Свойства суммы и пересечения подпространств 104 Свойства транспонирования матрицы 17 Связь между квадратичной формой и оператором 136 Связь ранга с числом независимых строк (столбцов) 47 Симметричный оператор 131 Скалярное произведение векторов 82 Сложение матриц одинакового размера 14 Собственные векторы и собственные значения 127 Способ построения обратной матрицы 39 Строка матрицы как линейная комбинация независимых строк матрицы 48 Структура линей ного оператора 122 Сумма и пересечение линейных подпространств 103 Схема решения системы уравнений т Теорема Кронекера — Капелл и 63 Теорема о существовании обратной матрицы 28 Типы матриц элементарных преобразований 33 Транспонирование матрицы у Умножение матрицы на матрицу 15 Умножение числа на матрицу 14 ф Фундаментальные решения э Экстремум в системах неравенств 194 Экстремум в системах функций 190 Экстремум неявной функции 183 Элементарные преобразования матрицы я Ядро отображения Малугин Виталий Александрович МАТЕМАТИКА Д Л Я Э К О Н О М И С Т О В : ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА Курс лекций Ответственный редактор И. Ескевич Редакторы Т. Косолапова, В. Зеленько Художественный редактор Е. Брынчик Технический редактор Н. Тростянская Компьютерная верстка А. Мусаев Корректор И. Боровая ООО «Издательство «Эксмо» 127299, Москва, ул. Клары Цеткин, д. 18/5. Тел.: 411-68-86, 956-39-21. Home page: www.eksmo.ru E-mail: info@eksmo.ru Подписано в печать 28.10.2005 Формат 60x90 '/те- Гарнитура «Таймc». Печать офсетная. Бумага тип. Усл. печ. л. 14,0. Тираж 4000 экз. Заказ 6238 Отпечатано во ФГУП ИПК «Ульяновский Дом печати» 432980,г. Ульяновск, ул. Гончарова, Оптовая торговля книгами «Эксмо» и товарами «Эксмо-канц»: 0 0 0 «ТД «Эксмо». 142700, Московская обл., Ленинский р-н, г. Видное, Белокаменное ш., д. 1. Тел./факс: (095)378-84-74, 378-82-61, 745-89-16, многоканальный тел. 411 -50-74. E-mail: reception@eksmo-sale.ru Мелкооптовая торговля книгами «Эксмо» и товарами «Эксмо-канц»: 117192, Москва, Мичуринский пр-т, д. 12/1. Тел./факс: (095)411-50-76. 127254, Москва, ул. Добролюбова, д. 2. Тел.: (095) 745-89-15, 780-58-34. www.eksmo-kanc.ru e-mail: kanc@eksmo-sale.ru Полный ассортимент продукции издательства «Эксмо» в Москве в сети магазинов «Новый книжный»: Центральный магазин — Москва, Сухаревская пл., 12 (м. «Сухаревская»,ТЦ «Садовая галерея»). Тел. 937-85-81. Москва, ул. Ярцевская, 25 (м. «Молодежная», ТЦ «Трамплин»). Тел. 710-72-32. Москва, ул. Декабристов, 12 (м. «Отрадное», ТЦ «Золотой Вавилон»). Тел. 745-85-94. Москва, ул. Профсоюзная, 61 (м. «Калужская», ТЦ «Калужский»). Тел. 727-43-16. Информация о других магазинах «Новый книжный» по тел. 780-58-81. В Санкт-Петербурге в сети магазинов «Буквоед»: «Книжный супермаркет» на Загородном, д. 35. Тел. (812) 312-67-34 и «Магазин на Невском», д. 13. Тел. (812)310-22-44. Полный ассортимент книг издательства «Эксмо»: В Санкт-Петербурге: ООО СЗКО, пр-т Обуховской Обороны, д. 84Е. Тел. отдела реализации (812) 265-44-80/81/82/83. В Нижнем Новгороде: ООО ТД «Эксмо НН», ул. Маршала Воронова, д. 3. Тел.(8312)72-36-70. В Казани: ООО «НКП Казань», ул. Фрезерная, д. 5. Тел. (8432) 70-40-45/46. В Киеве: ООО ДЦ «Эксмо-Украина», ул. Луговая, д. 9. Тел./факс (044) 537-35-52;

e-mail: sale@eksmo.com.ua Во Львове: Торговое Представительство ООО ДЦ «Эксмо-Украина», ул. Бузкова, д. 2 Тел./факс (032) 245-00-19, тел. (032)245-01-71;

e-mail: office@eksmo.lviv.ua

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.