WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Б.С.Лившиц, А.П.Пшеничников, А.Д.Харкевич ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА 2 Б.СЛившиц, А.П.Пшеничников, А.Д.Харкевич ТЕОРИЯ ТЕЛЕТРАФИКА ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ, ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ Допущено Министерством ...»

-- [ Страница 2 ] --

3. В момент t пучок находится в состоянии i (вероятность этого события pi (t)). За время пучок не изменяет своего состояния, он остается в состоянии i, т. е. на пучок не поступает вызова и в нем не освобождается ни одна из занятых линий [вероятность этого события (1– pв()–poc i())]. Вероятность перехода пучка из состояния i в состояние i составляет рii()=pi(t)(1–рв()–poc i()).

4. За время [t, t+) в пучке происходят два и более переходов в результате поступления двух и более вызовов, либо освобождения двух и более линий, либо поступления одного и более вызовов и одновременно освобождения одной и более линий. Вероятность таких событий составляет о().

Условия 1–4 взаимно исключают друг друга, поэтому искомые вероятности рi(t+), (i=0, 1, 2,..., определяются как сумма приведенных выше четырех вероятностей:

поток является ординарным, то вероятность поступления двух и более вызовов за бесконечно малый отрезок времени [t, t+] составляет 2(t, t+)=o2(). Отсюда pв()=p1(T, t+)–2(t, t+)=r+o1()–o2(). Учитывая, что o1() и о2()–бесконечно малые одного порядка, получим Вероятность pос r(). Вероятность освобождения за время 0 одной из r занятых линий не зависит от характера поступающего потока вызовов. Вероятность рoc r() зависит только от состояния r пучка в момент t и от закона распределения длительности обслуживания, который задан показательным. Вероятность освобождения хотя бы одной из r занятых линий за промежуток времени в соответствии с (2.45) равна Так как в рассматриваемой задаче за единицу времени принята средняя длительность занятия, то =1. Поток освобождений является ординарным. Отсюда вероятность освобождения точно одной из r занятых линий за отрезок времени [t, t+) при 0 равна Заметим, что вероятности рв(), определяемые (4.1), так же как и вероятности рoc r(), определяемые (4.6), пропорциональны. Следовательно, вероятности поступления за время любых двух и более событий (двух и более вызовов, или двух и более освобождений, или вызова и освобождения и т. д.) есть величины порядка о(). Из этого следует, что вероятности pri(t, t+) перехода системы за отрезок времени [t, t+) из состояния r в состояние i при |r–i| равны pri(t, t+)=о(), |r–i|2.

Подставим в систему ур-ний (4.3) полученные значения вероятностей рв() и pос(), перенесем из правой части уравнений в левую pi(t), просуммируем все бесконечно малые слагаемые о() и разделим обе части уравнений на. В результате получим Получаем для определения вероятностей pi(t), i=0, 1, 2,..., систему дифференциальных уравнений расходится, то вызовы поступают настолько чаще по сравнению с освобождениями занятых линий, что, начиная с некоторого момента времени, окажется невозможным обслуживание коммутационной системой поступающего потока вызовов. Для сходимости ряда необходимо, чтобы параметр потока вызовов i существенно не отличался от параметра потока освобождений. Это условие выполняется в рассматриваемой задаче обслуживания полнодоступным пучком линий симметричного потока вызовов. Доказано, что при любом t (доказательство не приводится), если ряд сходится, то В общем случае для процесса рождения и гибели со счетным множеством состояний с параметрами i, и i, i=0, 1, 2,..., стационарные вероятности состояний определяются следующими выражениями:

В рассматриваемой задаче обслуживания полнодоступным пучком емкостью линий симметричного потока вызовов параметр потока вызовов i и параметр потока освобождений i=i конечны;

число состояний также является величиной конечной, оно равно При этом, если система находится в состоянии (все линии заняты), то поступающие вызовы не могут производить новых занятий и, следовательно, для i параметр потока занятий i=0. В состоянии i=0 все линии свободны и параметр потока освобождений 0=0. С учетом этого вероятности р0 и рi(1i) определяются формулами Определение вероятностей потерь по времени и потерь по вызовам. Вероятность pi можно рассматривать как долю времени (на промежутке Т), в течение которого в пучке занято точно i линий. В частности, доля времени (на промежутке Т), в течение которого заняты все линий полнодоступного пучка, равна вероятности p. Применительно к полнодоступному пучку линий, включенных в выходы неблокирующей коммутационной системы, вероятность потерь по времени pt представляет собой долю времени (на промежутке Т), в течение которого заняты все линий пучка, и определяется соотношением Определим вероятность потерь по вызовам рв. Согласно определению рв есть отношение интенсивности потерянного µп к интенсивности поступающего µ потоков вызовов: pв=µп/µ.

Здесь Следовательно, (в целях идентичности с формулами pi и pt в (4.15) индекс суммирования i заменен на j).

4.2. Обслуживание вызовов простейшего потока Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка.

Полнодоступный пучок емкостью (1) линий, который включен в неблокирующую коммутационную систему с потерями, обслуживает вызовы, образующие простейший поток с параметром. Длительность обслуживания вызова коммутационной системой распределена по показательному закону (F(t)=1–е-t, =1). Требуется определить вероятности различных состояний полнодоступного пучка в процессе обслуживания поступающих вызовов и вероятности потерь по времени pt, по вызовам рв и по нагрузке рн.

Параметр простейшего потока является постоянной величиной, не зависящей от состояния коммутационной системы. Поэтому в (4.13) – (4.15) при любых значениях k вместо k используется величина, и эти формулы преобразуются к виду:

Сокращая числитель и знаменатель на, получим Формула (4.16) называется распределением Эрланга. Она показывает, что вероятность рi зависит только от числа занятых линий i, емкости пучка и величины параметра потока вызовов. По этим соображениям вероятность pi принято обозначать Ei,(), а вероятность p – через E, () или E().

Из (4.17) и (4.18) следует, что При выводе (4.13) – (4.15), а следовательно, и (4.16) – (4.18') средняя длительность занятия принята равной единице;

отсюда и параметр длительности занятий при показательном законе распределения =1. В общем случае при измерении длительности занятий в любых единицах времени (1) распределение Эрланга имеет следующий вид:

Установим зависимость вероятностей рi от интенсивности поступающей нагрузки у:

y=µt=µ/=/, где µ – интенсивность потока вызовов;

t–средняя длительность занятия. Для простейшего потока, который является ординарным и стационарным, µ=. Тогда распределение Эрланга имеет вид и, в частности, вероятность того, что в полнодоступном пучке заняты все линий (i=), равна В (4.23) pi есть вероятность того, что в произвольный момент t бесконечный пучок находится в состоянии i.

Распределение Эрланга определено в предположении показательного распределения длительности занятий. Б. А. Севастьянов показал, что полученная формула справедлива при произвольном (а не только показательном) распределении длительности занятий, если средняя длительность занятий является конечной величиной.

Логический анализ вероятностей Ei,(y). 1. Вероятность pi=Ei,(y) – вероятность того, что в произвольный момент времени t стационарного режима в полнодоступном пучке емкостью линий, который работает в режиме с потерями и обслуживает поступающую нагрузку интенсивностью у, создаваемую простейшим потоком вызовов, занято точно i линий.

2. Пусть имеется n(n) полнодоступных пучков одной и той же емкости, на каждый из которых поступает нагрузка интенсивностью у. Тогда вероятность Ei,(y) – доля пучков, в которых в произвольный момент t занято точно по i линий, т. е.

Ei,(y) = lim(ni(t) / n, n где ni(t) –число пучков, которые в момент t находятся в состоянии i.

3. Если фиксировать состояния определенного полнодоступного пучка в т(т) произвольных моментов времени t, то Ei,(у) есть доля моментов t, в которые пучок находится в состоянии i, т. е. Ei, (y) = lim(mi / m), где mi – число произвольных моментов t, в которые в m пучке занято точно i линий.

4. Вероятность Ei,(y) –доля времени (на промежутке T), в течение которого в полнодоступном пучке занято точно i линий (пучок емкостью v линий обслуживает поступающую нагрузку у). В частности, доля времени (на промежутке Т), в течение которого заняты все линий полнодоступного пучка, равна вероятности p, определяемой по (4.22).

Вероятность потерь по нагрузке. Математическое ожидание и дисперсия нагрузки.

Вероятность потерь по нагрузке рн найдем из соотношения где yп – интенсивность потерянной y – интенсивность поступающей нагрузок. Учитывая, что уп=у–уo, определим интенсивность обслуженной полнодосупным пучком нагрузки уo, которая равна математическому ожиданию нагрузки, обслуженной в единицу времени. По теореме о количественной оценке обслуженной нагрузки где i – число занятых линий в пучке;

рi – вероятность нахождения пучка в произвольный момент времени в состоянии i. Правая часть выражения (4.25) соответствует математическому ожиданию числа одновременно занятых линий, т. е. интенсивность обслуженной нагрузки равна математическому ожиданию числа одновременно занятых линий пучка.

Подставляя в (4.25) значение pi, определяемое (4.21), получим Таким образом, интенсивность обслуженной нагрузки равна произведению интенсивности поступающей нагрузки у на вероятность того, что в пучке имеется хотя бы одна свободная - линия (1- p ) = pi ) :

i= y0 = y(1- p) = y(1- E(y)). (4.26) Из (4.26) также следует, что если, то р0, т. е. интенсивность обслуженной нагрузки в системе без потерь равна интенсивности поступающей нагрузки. Действительно, используя (4.23), получаем Из соотношений (4.24) и (4.26) получаем значение интенсивности потерянной нагрузки:

Отсюда pн=p. Следовательно, при обслуживании с потерями вызовов простейшего потока линиями полнодоступного пучка, которые включены в выходы неблокирующей коммутационной системы, вероятности потерь по времени, вызовам и нагрузке равны между собой и равны вероятности того, что пучок находится в состоянии :

Формула потерь в полнодоступном пучке (4.28) называется первой формулой Эрланга.

Функция E(y) (или, что то же, функция E() при средней длительности занятия, равной единице) табулирована. Таблицы первой формулы Эрланга построены так, что по числу линий и интенсивности поступающей нагрузки у (или параметру потока ) отыскиваются потери E(y). Эти таблицы позволяют по двум любым заданным величинам из, у и E(y) находить третью.

Определим дисперсию обслуженной D(y0) и поступающей D(y) нагрузок;

Из (4.30) следует, что дисперсия поступающей нагрузки равна ее математическому ожиданию. Сопоставление (4.29) с (4.26) показывает, что дисперсия обслуженной нагрузки меньше ее математического ожидания. Таким образом, обслуженная нагрузка имеет меньший диапазон колебаний, т. е. имеет более выровненный характер по сравнению с поступающей нагрузкой. Отсюда дисперсия потерянной нагрузки больше ее математического ожидания (4.27), т. е. потерянная нагрузка имеет менее равномерный характер по сравнению с поступающей нагрузкой.

Рекуррентное соотношение функции Эрланга. Используя (4.21), получаем, что pi/pi–1=y/i, откуда Рекуррентное соотношение (4.31) показывает, что в области значений i<у отношение (y/i)>1 и вероятности pi>pi-1, а в области i>y отношение (y/i)<1 и pi

Затем по мере увеличения i происходит уменьшение значений рi.

Характер зависимости pi=f(i) при у=12 Эрл и =20 показан на рис. 4.2.

Огибающие кривые дискретных значений функции рi для y=6, 12, 18 Эрл и = приведены на рис. 4.За и для тех же значений у и соответственно =14, 22 и 30 – на рис. 4.3б. Огибающие pi=f(i) по своему характеру близки к огибающим кривым дискретных значений вероятности поступления точно k вызовов простейшего потока (распределение Пуассона – pk(t)=f(k)).

Нагрузка, обслуживаемая каждой линией полнодоступного пучка. Обслуживание потока Пальма. На полнодоступный пучок любой емкости поступает нагрузка интенсивностью у.

Искание свободных линий в пучке – упорядоченное с исходным положением: каждый поступающий вызов обслуживается свободной линией с наименьшим номером и теряется, если в момент поступления вызова заняты все линии пучка. Определим величину нагрузки, обслуживаемой каждой линией пучка.

Согласно (4.26) пучки емкостью i и i–1 линий обслуживают соответственно нагрузки y0(i) и y0(i–1):

Разность этих соотношений и определяет нагрузку oi, обслуживаемую i-й линией пучка любой емкости, если на этот пучок поступает нагрузка интенсивностью у:

Обратим внимание на высокое использование первой линии пучка при обслуживании им даже небольшой по величине нагрузки. По (4.32) o1=y(E0(y)–E1(y)). Согласно формуле Эрланга (4.22) E0(y)=1, E1(y)=y/(1+y). Отсюда o1=y/(1+y).

Значение Еo(у)=1 можно получить и не пользуясь формулой Эрланга. Действительно, при =0 ни один из поступающих вызовов не обслуживается, вся поступающая нагрузка теряется и потери равны единице.

При y=100, 50 и 10 Эрл первая линия пучка соответственно пропускает нагрузки o1=0,99;

0,98 и 0,91 Эрл. Средняя интенсивность нагрузки, обслуживаемой одной линией пучка, =yo/ тембольше, чем больше емкость пучка. В пучках большой емкости(>50) даже в области малых потерь (р0,01) достигается высокое использование линий пучка, только на 15–20% ниже o1. Естественно, что высокое качество обслуживания – малая величина потерь – приводит к небольшому использованию последних линий пучка. Приведенные утверждения иллюстрируются следующим численным примером.

Полнодоступными пучками емкостью 1=121, 2=66 и 3=19 обслуживаются соответственно поступающие нагрузки y1=100, y2=50 и y3=10 Эрл при заданных потерях E(y)=0,005. Значения, o1 и o в эрлангах указаны в табл. 4.1.

ТАБЛИЦА 4. y, Эрл o1 o 100 121 0,83 0,99 0, 50 66 0,76 0,98 0, 10 19 0,53 0,91 0, Упорядоченное искание свободных линий полнодоступного пучка приводит к тому, что первая линия пучка обладает наибольшей пропускной способностью. С увеличением номера линии уменьшается обслуживаемая ею нагрузка – o1>о2>... >o. Указанное является следствием не только того обстоятельства, что на каждую последующую линию пучка поступает нагрузка меньшей интенсивности. На снижение пропускной способности существенно влияет и тот факт, что на 2, 3,..., -ю линии пучка поступают нагрузки, создаваемые потоком Пальма (см. гл. 2). Этот поток по пропускной способности хуже простейшего потока. Объясняется это тем, что он характеризуется большей неравномерностью промежутков между вызовами, так как на i-ю (i=2, 3,...,) линию пучка поступает только часть вызовов общего потока и эта часть вызовов приходится только на те интервалы времени, на протяжении которых заняты все предшествующие i–1 линии пучка. В эти интервалы поток поступающих на i-ю линию вызовов имеет параметр, равный параметру простейшего потока, поступающего на первую линию пучка. Естественно, что чем больше значение i, тем большей неравномерностью промежутков времени между вызовами обладает поток Пальма, поступающий на эту линию пучка. Поэтому при упорядоченном искании в случае поступления на разные линии полнодоступного пучка потоков Пальма с одинаковой интенсивностью линия с большим номером обладает меньшей пропускной способностью по сравнению с линией, имеющей меньший номер. Изложенное иллюстрируется рис. 4.4 и 4.5.

На рис. 4.4 показаны зависимости интенсивности- нагрузки o1, обслуживаемой i-й линией пучка, от интенсивности нагрузки у, поступающей на первую линию этого пучка, т. е.

oi=f(y), где oi определяется по (4.32). Кривые oi=f(yi), где yi – интенсивность поступающей на i-ю линию нагрузки, показаны на рис. 4.5. Последнее семейство кривых наглядно иллюстрирует и позволяет получить количественную оценку пропускной способности разных линий полнодоступного пучка при упорядоченном искании линий, на которые поступают потоки Пальма равной интенсивности. Так, например, если на i-ю линию пучка поступает нагрузка интенсивностью yi=2 Эрл, то при i=l получаем o1=0,67 Эрл, а при i=10, 20, 40, 80 нагрузка, обслуживаемая i-й линией, снижается с увеличением номера этой линии по сравнению с первой линией пучка соответственно на 24, 36, 46 и 55%.

Приведенный пример показывает, что неравномерность промежутков между вызовами потока Пальма приводит к существенному уменьшению пропускной способности разных линий пучка по сравнению с обслуживанием этими линиями простейшего потока равной интенсивности. Из рис. 4.5 также следует, что с повышением величины yi пропускная способность разных линий пучка снижается менее интенсивно.

Характер зависимостей между у, и E(y). Принимая во внимание, что pt=pв=pн=p, используем для вероятности потерь обозначение р, т. е. p=E(y)=p.

Зависимость y=f() при p=const (p1=0,005;

p2=0,02;

р3=0,05) приведена на рис. 4.6. Из рисунка видно:

1. При заданном качестве обслуживания поступающих вызовов (p=const) с увеличением емкости пучка повышается его пропускная способность. Так, при р=0,005 пучок = линий обслуживает поступающую нагрузку y=11,1 Эрл, а пучок =40 линий– у=27,4 Эрл, т.

е. при увеличении емкости полнодоступного пучка с =20 до =40 (в 2 раза) интенсивность поступающей нагрузки повышается в 2, раза.

2. При заданной величине интенсивности поступающей нагрузки (y=const) чем больше допустимые потери р, тем меньше тре- буется линий в пучке для обслуживания поступающей нагрузки, т. е. если p3>p2>p1, то при y=y1=const 3<2<1.

3. При заданной емкости пучка линий (=const) чем больше величина потерь р, тем большей пропускной способностью обладает пучок, т. е. если р3>р2>p1, то при =1=const y3'>y2'>y1'.

Нагляднее рассматриваемая зависимость иллюстрируется интенсивностью поступающей нагрузки, отнесенной к одной линии пучка – =y/. На рис. 4.7 приведено семейство кривых, характеризующих зависимость =f() при p=const (p1=0,005;

р2=0,02;

p3=0,05). По аналогии с рис. 4. рассматриваемая зависимость показывает, что при:

а) =const, если р1<р2<р3, то 1>2>3;

б) =const, если р1<р2<р3, то 1<2<3;

В) p=const, если 3>2>1, то 3>2>1.

В случае p=const увеличение емкости пучка линий сказывается на повышении его пропускной способности тем существеннее, чем меньше емкость пучка: при 3>2>1 имеет место неравенство Таким образом, при р=const с увеличением емкости пучка линий пропускная способность пучка всегда повышается, однако скорость увеличения пропускной способности снижается (это утверждение справедливо в области малых и средних потерь).

Характер рассматриваемых зависимостей дополним семейством кривых (сплошные линии) =f(p) и =f(p) (пунктирные линии) при =const (рис. 4.8). Из рисунка видно, что при =const с ростом потерь увеличивается пропускная способность пучка: при =const, если p3>p2>p1, то 3>2>1 и 3>2>1. В области малых и средних потерь справедливо следующее неравенство:

Повышение величины потерь приводит к увеличению пропускной способности полнодоступного пучка линий, однако скорость увеличения удельной поступающей нагрузки снижается с возрастанием потерь.

В области больших потерь, наоборот, с увеличением вероятности потерь скорость увеличения удельной поступающей нагрузки повышается:

Однако в области больших потерь допустимое значение интенсивности поступающей нагрузки у не дает наглядной характеристики качества обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов, так как основная часть поступающих вызовов не обслуживается, а теряется. Поэтому пропускную способность пучка линий обычно характеризуют не величиной, а величиной.

Для средней пропускной способности одной линии пучка во всей области потерь (0p1) справедливо соотношение 4.3. Обслуживание вызовов примитивного потока Определение вероятностей состояния полнодоступного пучка.

Полнодоступный пучок емкостью (1<) линий, включенных в выходы неблокирующей коммутационной системы с потерями, обслуживает вызовы, которые образуют примитивный поток с параметром i. Длительность обслуживания вызова коммутационной системой распределена по показательному закону F(t)=1–е-t, =1. Требуется определить вероятности различных состояний полнодоступного пучка в процессе обслуживания поступающих вызовов и вероятности потерь по времени pt, вызовам рв и нагрузке рн.

Примитивный поток является частным случаем симметричного потока с простым последействием. Его параметр i определяется соотношением где – параметр потока вызовов свободного источника;

п – число источников вызовов, каждый из которых создает поток с одним и тем же значением параметра. Из (4.37) следует, что параметр примитивного потока i пропорционален числу свободных источников, он зависит лишь от числа занятых линий пучка i.

Подставляя в (4.13) соотношение k=(N–k), получим Последняя формула называется формулой Энгсета. Она определяет вероятность рi того, что в полнодоступном пучке емкостью линий, который включен в неблокирующую коммутационную систему с потерями и обслуживает вызовы примитивного потока, в любой произвольный момент времени занято точно i линий, или, иными словами, вероятность того, что этот пучок находится в состоянии i.

В гл. 2 было показано, что простейший поток можно рассматривать как предельный частный случай примитивного потока. Естественно, что формула Энгсета (4.38) является более общей, чем формула Эрланга (4.16), и последняя может быть непосредственно получена из (4.38). Покажем это.

Число источников вызовов устремим к бесконечности (n), одновременно устремив к нулю параметр одного свободного источника (). При этом параметр потока вызовов всех свободных источников па сохраняем величиной конечной и постоянной – =n=const.

Тогда при любом конечном значении i (i=0, 1,...,...,) Таким образом, при п из формулы Энгсета получается формула Эрланга.

Соотношения между параметром потока а и нагрузкой, поступающей от одного источника. Рассмотрим систему без потерь, т. е. систему, в которой число линий равно числу источников (=п). В такой системе каждый источник может обслуживаться независимо от состояния других источников. Поэтому достаточно рассмотреть случай n==1. При этом по (4.38) получаем: p0=l/(l+);

p1=/(l+). Вероятность p1 в рассматриваемом случае есть доля времени, в течение которого источник занят в системе без потерь, что численно соответствует интенсивности нагрузки а, поступающей от одного источника – р1=а. Отсюда Установим соотношение между параметром потока вызовов, поступающих от одного источника в системе без потерь, и параметром потока а одного свободного источника.

1(t,t + ) Согласно определению параметр потока есть lim. Вероятность 1(t, t+) того, что за промежуток времени [t, t+), 0, от рассматриваемого источника поступит один и более вызовов, определяется произведением вероятности р0 того, что в момент t источник свободен, на сумму, состоящую из вероятности того, что за промежуток времени [t, t+t) от свободного источника поступит точно один вызов (эта вероятность равна +о()), и вероятности поступления за этот промежуток более одного вызова (вероятность равна о()). Поэтому 1(t, t+)=р0(+о()), и параметр потока вызовов одного источника равен Таким образом, параметр потока вызовов одного источника численно равен интенсивности поступающей нагрузки от одного источника.

Заменим в (4.38) параметр а соотношением (4.39) и получим формулу Энгсета, выраженную через величину интенсивности поступающей от одного источника нагрузки а:

т. е. вероятность того, что в произвольный момент времени из п источников занято точно i источников, определяется распределением Бернулли.

Определение вероятностей потерь по времени, вызовам и нагрузке. Потери по времени pt численно равны вероятности занятости всех линий пучка:

Формулу для вычисления потерь по вызовам получим из соотношения (4.15), подставив в него значения параметра примитивного потока вызовов:

Соотношения (4.38), (4.41) и (4.44) показывают, что вероятности pi состояний полнодоступного пучка линий в процессе обслуживания примитивного потока вызовов, а также потери pt, рв зависят от числа источников вызовов п, величины поступающей от одного источника нагрузки а (или параметра потока вызовов одного свободного источника ) и емкости пучка линий.

Из сопоставления (4.44) и (4.43) следует, что в полнодоступном пучке емкостью линий, на который поступает примитивный поток вызовов, потери по вызовам при наличии п источников равны потерям по времени при наличии п–1 источников, т. е. рв(n, а, )=pt(n–1, a, ). Отсюда следует, что рв(п, a, )

Согласно определению, вероятность потерь по нагрузке рн равна отношению интенсивности потерянной yп к интенсивности поступающей у нагрузок: рн=уп/y.

Интенсивность потерянной нагрузки уп есть разность интенсивностей поступающей у и обслуженной у0 нагрузок: yп=y–y0. Интенсивность обслуженной нагрузки у0 равна математическому ожиданию числа одновременно занятых линий пучка емкостью :

Аналогично интенсивность поступающей нагрузки у равна математическому ожиданию числа занятых линий в пучке емкостью n (в системе без потерь):

Таким образом, интенсивность поступающей нагрузки равна произведению числа источников п, создающих эту нагрузку, на интенсивность нагрузки а одного источника. Из соотношения (4.46) также следует, что математическое ожидание числа занятых линий M(i) в системе без потерь составляет M(i)=na.

Используя соотношение (4.45) и (4.46), находим Упростим числитель последней дроби;

развернем значения приведенных в числителе рядов и сгруппируем все коэффициенты, относящиеся к параметру, имеющему одну и ту же степень. В С учетом (4.43) получаем формулу, определяющую потери по нагрузке:

Из этой формулы следует, что потери по нагрузке рн меньше потерь по времени pt(рн<рt) и даже в предельном случае, когда =п, потери по нагрузке рн = 0, а потери по времени (4.43) pt=ап. Можно показать, что потери по нагрузке рн всегда меньше и потерь по вызовам рв.

Таким образом, при обслуживании примитивного потока вызовов полнодоступным пучком, включенным в неблокирующую коммутационную систему, потери по нагрузке меньше потерь по вызовам, а последние меньше потерь по времени, т. е. имеет место неравенство При обслуживании же таким пучком простейшего потока вызовов, как было показано (4.28), между этими потерями имеет место равенство Сравнение пропускной способности полнодоступного пучка, обслуживающего вызовы примитивного и простейшего потоков. Характер зависимости величины поступающей нагрузки па от емкости пучка линий, который обслуживает вызовы примитивного потока, поступающие от фиксированного числа источников п, такой же, как и при обслуживании вызовов простейшего потока. Однако на пропускную способность пучка влияет число источников вызовов п: в области малых потерь с уменьшением п увеличивается пропускная способность пучка. Это иллюстрируется семейством кривых na=f() при рв=0,005, приведенном на рис. 4.9. Эти кривые одновременно показывают, что при заданном качестве обслуживания поступающая на линий пучка нагрузка па, создаваемая вызовами примитивного потока от любого числа источников, имеет большую величину по сравнению с нагрузкой у, создаваемой вызовами простейшего потока. Так, при =30 нагрузки, поступающие от n1=50 и n2=100, могут достигать соответственно значений na1=21,65 Эрл и nа2 = 20 Эрл, а нагрузка, которая создается вызовами простейшего потока, y=18,7 Эрл, т. е.

нагрузка от n=50 на 8,2% больше нагрузки, поступающей от n=100, и на 16% больше нагрузки, создаваемой вызовами простейшего потока. Заметим, что с увеличением потерь рв:

а) существенно уменьшается влияние п на пропускную способность пучка;

б) сокращается различие между пропускной способностью пучков, обслуживающих вызовы примитивного и простейшего потоков. В то же время нагрузка паo, обслуживаемая полнодоступным пучком в области любых потерь, выше при обслуживании вызовов примитивного потока (паo=па(1– рн)), а рн всегда меньше E(na). Так, например, обслуженная нагрузка, создаваемая примитивным потоком от n=50, при рн=E(nа)=0,01 на 12% и при pн=E(na)=0,2 на 6% выше обслуженной нагрузки, создаваемой простейшим потоком вызовов. Таким образом, с точки зрения величины обслуживаемой нагрузки примитивный поток всегда «лучше» простейшего потока вызовов.

Обслуживание вызовов, поступающих от источников с различной интенсивностью. В модели примитивного потока принято, что параметр потока вызовов от любого свободного источника один и тот же –. Поэтому параметр потока вызовов i от группы из п источников в каждый момент времени зависит только от числа свободных в этой группе источников – i=(п–i), где i – число занятых источников. Вероятность потери вызова для каждого источника одна и та же. В реальных условиях свободные источники имеют различные параметры потоков – 12....n. В связи с этим параметр потока вызовов от группы источников в каждый момент времени зависит не только от числа свободных в группе источников, но и от того, какие именно источники в данный момент свободны. Каждое состояние такой системы с (п–i) свободными источниками характеризуется строго определенным набором i занятых источников. Вероятность потери вызова для каждого источника имеет различное значение.

Если качество обслуживания вызовов примитивного потока характеризуется одним параметром – вероятностью потерь по вызовам рв, определяемой для полнодоступного пучка формулой Энгсета (4.44), то качество обслуживания вызовов при неодинаковой интенсивности источников характеризуется двумя величинами – вероятностью o потери вызова потока, общего для всей группы источников, и вероятностями j(j=1, 2,..., п) потери вызова каждого из n источников. Исследованиями установлено следующее.

1. Полнодоступный пучок емкостью линий всегда обладает более высокой пропускной способностью при обслуживании вызовов, создаваемых группой в n источников с 12...n, по сравнению с обслуживанием этим пучком вызовов примитивного потока n также от группы в n источников. Иными словами, при условии y = = na при одной и a j j= той же емкости пучка вероятность o всегда меньше рв.

2. Значения вероятностей потери вызова j(j=1,...,n) находятся в широком диапазоне: у источников с большей интенсивностью значение j меньше, чем у источников с меньшей интенсивностью;

у ряда источников j может превышать вероятность o и даже вероятность рв.

Задача 4.1.

Полнодоступные пучки емкостью 1=20, 2=40 и 3=60 линий обслуживают простейшие потоки вызовов. На пучок 1 в утренний и вечерний ЧНН поступают нагрузки интенсивностью y1y=12,4 Эрл, y1в=11,1 Эрл, на пучок 2–y2y=30,0 Эрл, y2в=27,5 Эрл, на пучок 3– у3y=49,0 Эрл, y3в=45,0 Эрл.

Определить: а) потери pi, рв и рн в пучках 1, 2 и 3;

б) соотношения между относительными величинами изменения потерь и поступающей нагрузки в каждом из этих пучков.

Решение, а) Согласно (4.28) pt=рв=pн=E(y). По таблицам первой формулы Эрланга находим:

E1(y1в)=E20(11,1)=0,0050;

E1(у1y)=E20(12,4)=0,0127;

E2(y2в)=E40(27,5)=0,0053;

E2(y2у)=E40(27,5)=0,0144;

E3(y3в) =E60(45,0)=0,0054;

Е3(y3у)=E60(49,0)=0,0172.

б) Относительные величины изменения потерь п и изменения нагрузки н определяются из соотношений Аналогично определяем: при 2=40 п2=172%, н2=9,1% и при 3=60 п3=219%, н3= 8,9%.

Соотношения между п и н для пучков 1, 2 и 3 соответственно составляют: п1/н1=13,2;

п2/н2=18,9;

п3/н3=24,6.

Следует подчеркнуть, что при рассмотренных в этой задаче значениях потерь, которые соответствуют реальным потерям на городских телефонных сетях, увеличение поступающей нагрузки примерно на 10% приводит к увеличению потерь в 2,5–3 раза, т. е. потери возрастают в 10–25 раз быстрее по сравнению с величиной интенсивности поступающей нагрузки.

Задача 4.2.

От трех групп источников поступают вызовы, образующие простейшие потоки и создающие нагрузки, интенсивности которых составляют y1=10, y2=20 и y3=40 Эрл. Эти вызовы обслуживаются полнодоступными пучками.

Определить: а) требуемые емкости пучков, если потери не должны превышать E(у)10,005 и E(y)20,02;

б) соотношения между относительными величинами приращения емкости пучков линий и увеличения интенсивности поступающей нагрузки при заданном качестве обслуживания.

Решение: а) По таблицам формулы Эрланга при заданных величинах интенсивности поступающей нагрузки у и заданных значениях потерь Е(у) определяются требуемые емкости пучков линий:

Емкость пучков линий, при интенсивности Допустимая поступающей, нагрузки, Эрл величина потерь y1=10 y2=20 y3= Е(у)10,005 1=19 2=31 3= E(y)20,02 1=17 2=28 3= б) Относительные величины приращения емкости пучков линий и увеличения интенсивности поступающей нагрузки н определяются из соотношений:

Решение этой задачи показывает, что: а) если на полнодоступный пучок поступают нагрузки интенсивностью y=1040 Эрл, то в области малых потерь увеличение потерь с E(y)10,005 до E(y)20,02 (в раза) позволяет уменьшить требуемые емкости пучков линий только примерно на 10%;

б) в области малых потерь (реальных потерь, имеющих место на ГТС) и относительно небольших значений интенсивности поступающей нагрузки (у=1040 Эрл) емкости требуемых пучков возрастают медленнее по сравнению с величиной поступающей нагрузки. При фиксированной величине потерь увеличение интенсивности поступающей нагрузки в 2 раза приводит к увеличению емкости пучка только на 65–80 %.

Задача 4.3.

Определить: требуемые емкости полнодоступного пучка при обслуживании поступающей нагрузки интенсивностью па=10 Эрл, создаваемой вызовами примитивного потока от п=100, 50 и 25 источников;

допустимые потери рв0,005. Сопоставить найденные емкости пучков с емкостью 0 полнодоступного пучка, обслуживающего ту же нагрузку, создаваемую вызовами простейшего потока.

Решение. Определяем значения нагрузки а, поступающей от одного источника, для групп источников емкостью п=100, 50 и 25 и по таблицам формулы Энгсета отыскиваем при рв0,005 соответственно требуемые емкости пучков 1, 2, 3: a1=0,1 Эрл;

а2=0,2 Эрл;

а3=0,4 Эрл;

1=18;

2=18;

3=16.

По таблицам формулы Эрланга отыскиваем емкость пучка 0 при y=10 Эрл и потерях E0(10)0,005–0=19.

Таким образом, по сравнению с обслуживанием простейшего потока вызовов обслуживание примитивного потока, создаваемого п=100 и 50 источниками вызовов, при высоком качестве обслуживания (р0,005) позволяет сократить емкость полнодоступного пучка только на одну линию (на 5%), а при n=25–на три линии (на 16%).

Задача 4.4.

Полнодоступный пучок емкостью = 8 линий обслуживает вызовы примитивного потока от n=30 источников с а=0,1;

0,3;

0,5 Эрл.

Определить: а) величины обслуженных нагрузок апo;

б) соотношения между потерями по вызовам и обслуженными нагрузками и сопоставить полученные результаты с аналогичными характеристиками полнодоступного пучка той же емкости при обслуживании им вызовов простейшего потока, создающими нагрузку у = па.

Решение. По таблицам Энгсета отыскиваем значения потерь по вызовам pв=р(п, а, ) и потерь по времени рt=р(n+1, a, ) для заданных значений рв=р(30;

0,1;

8)=0,0047;

рt=р(31;

0,1;

8)=0,0058;

pв=р(30;

0,3;

8)=0,3286;

рt=р(31;

0,3;

8)=0,3479;

pв=р(30;

0,5;

8)=0,6629;

рt=р(31;

0,5;

8)=0,6761.

Рассчитываем по (4.47) потери по нагрузке рн и величины обслуженных нагрузок паo=па(1–рн) при:

а=0,1 Эрл – рн=0,0043;

nаo=2,9871 Эрл;

а=0,3 Эрл – рн=0,2551;

паo=6,7041 Эрл;

а=0,5 Эрл–рн=0,4958;

nаo=7,5630 Эрл.

Затем определяем значения нагрузок у, создаваемых вызовами простейшего потока, и по таблицам первой формулы Эрланга отыскиваем значения потерь E(y) и обслуженных нагрузок уо=у(1–E(y)):

а=0,1 Эрл – у=3 Эрл;

E8(3)=0,0081;

yo=2,9757 Эрл;

а=0,3 Эрл – у=9 Эрл;

E8(9)=0,2892;

yo=6,3972 Эрл;

а=0,5 Эрл – y=15 Эрл;

E8(15)=0,5193;

yo=7,2105 Эрл.

Наконец, определяем требуемые соотношения при:

а=0,1 Эрл – pв/nao=0,0016;

Е8(3)/уo=0,0027;

а=0,3 Эрл – рв/naо=0,049;

Е8(9)/уo=0,045;

а=0,5 Эрл – рв/nаo = 0,088;

E8(15)/yо=0,072.

Эта задача иллюстрирует следующие закономерности: 1) при любых потерях по вызовам обслуживаемая полнодоступным пучком нагрузка выше, если на пучок поступают вызовы примитивного потока;

2) при малых потерях вызовы примитивного потока обслуживаются с более высоким качеством по сравнению с вызовами простейшего потока (pв/naoE(y)/yo).

Контрольные вопросы 1. Почему при рассмотрении процесса обслуживания полнодоступным пучком вызовов симметричного потока можно ограничиться исследованием макросостояний пучка?

2. По каким соображениям случайный процесс обслуживания полнодоступным пучком вызовов симметричного потока является марковским процессом и может быть описан процессом рождения и гибели?

3. Каково назначение формулы Колмогорова–Чепмена?

4. Поясните диаграмму состояний и вероятностей переходов в полнодоступном пучке, обслуживающем вызовы симметричного потока.

5. Каковы формулы для определения вероятности поступления точно одного вызова за время и вероятности освобождения точно одной из r занятых линий за время ?

6. Как определяется вероятность того, что в полнодоступном пучке, обслуживающем вызовы симметричного потока, в произвольный момент времени занято точно i линий?

7. Запишите формулу Эрланга для определения вероятности того, что в полнодоступном пучке, обслуживающем вызовы простейшего потока, занято точно i линий.

8. Проведите логический анализ функции Эрланга Ei,(y).

9. Приведите первую формулу Эрланга для определения вероятностей потерь по времени, вызовам, нагрузке.

10. Как определяется рекуррентное соотношение первой формулы Эрланга?

11. Запишите формулу, определяющую величину нагрузки, обслуживаемой каждой линией полнодоступного пучка, на который поступают вызовы простейшего потока.

12. Определите математические ожидания и дисперсии обслуженной, поступающей и потерянной нагрузок при обслуживании полнодоступным пучком линий вызовов простейшего потока.

13. Поясните характер зависимости величины поступающей нагрузки от емкости полнодоступного пучка линий при заданном качестве обслуживания. Проиллюстрируйте это численными примерами.

14. Поясните характер зависимости удельной поступающей нагрузки от потерь при постоянной емкости полнодоступного пучка линий. Приведите количественные оценки.

15. Каково влияние емкости полнодоступных пучков на пропускную способность этих пучков?

16. Каково влияние величины потерь на пропускную способность полнодоступных пучков линий?

17. Приведены формулы Энгсета для определения вероятностей pi, pt, рв, рн.

18. Покажите, как из формулы Энгсета можно получить формулы Эрланга и Бернулли.

19. Приведите для примитивного потока соотношения между параметром одного свободного источника и интенсивностью нагрузки, поступающей от одного источника.

20. Проведите логический анализ формул Энгсета.

21. Каковы соотношения между рн, pt, рв и р в полнодоступном пучке, обслуживающем вызовы примитивного потока?

22. Поясните характер зависимостей между величиной интенсивности поступающей нагрузки, емкостью пучка линий, числом источников и качеством обслуживания. Приведите количественные оценки.

23. Сопоставьте пропускную способность полнодоступного пучка, обслуживающего вызовы примитивного и простейшего потоков. Проиллюстрируйте численными примерами.

Г Л А В А П Я Т А Я Полнодоступный пучок. Система с ожиданием 5.1. Обслуживание вызовов простейшего потока при показательном законе распределения длительности занятия Постановка задачи. Полнодоступный пучок емкостью (1<) линий, включенный в неблокирующую коммутационную систему с ожиданием, обслуживает поступающий простейший поток вызовов с параметром. Каждый поступивший вызов для обслуживания занимает любую свободную линию пучка. Если все линий заняты в момент поступления вызова, то последний становится в очередь на ожидание до освобождения занятых другими вызовами линий пучка. Поступающие на ожидание вызовы могут образовать очередь различной конечной длины. Вызовы, находящиеся на ожидании, обслуживаются в порядке очереди.

Длительность занятия линии обслуживанием вызова полагаем случайной величиной, распределенной по показательному закону с параметром : F(t)=1–e–t.

Определим вероятности различных состояний полнодоступного пучка и длины очереди вызовов, находящихся на ожидании, функцию распределения времени ожидания вызовом начала обслуживания, математические ожидания времени ожидания и длины очереди.

Обозначим через i состояние системы в произвольный момент времени t. Это значит, что в системе на обслуживании и ожидании находится i=0, 1, 2,... вызовов. Если в момент t в системе находится i< вызовов, то все они находятся на обслуживании. При i=+r вызовов находятся на обслуживании (заняты все линий пучка), а остальные r=i– вызовов находятся на ожидании (r – длина очереди).

Рассматриваемая коммутационная система имеет счетное множество (i=0, 1, 2,...) состояний. Для исследования процесса обслуживания вызовов можно ограничиться рассмотрением макросостояний системы. Объясняется это тем, что, во-первых, нас интересуют число занятых линий пучка и длина очереди, а не какие именно линии пучка заняты и какие именно вызовы находятся на ожидании в очереди, и, во-вторых, коммутационной системой обслуживается простейший поток вызовов, параметр которого не зависит от состояния этой системы.

Определение вероятностей состояния системы. Процесс изменения состояний (i=0, 1, 2,...) рассматриваемой коммутационной системы можно рассматривать как марковский процесс рождения и гибели со счетным множеством состояний, так как за бесконечно малый промежуток времени [t, t+) с вероятностью более нуля в состояние i возможен только непосредственный переход системы из состояний i–1, i, i+1.

Для процесса рождения и гибели (занятий и освобождений) со счетным множеством состояний стационарные вероятности состояний определяются, выражениями (4.12).

Поскольку в рассматриваемой задаче на обслуживание поступают вызовы простейшего потока, то параметр потока занятий i=, i=0, 1, 2,.... Параметр потока освобождений Практический интерес представляет случай с конечной очередью, т. е. i. Отсюда < и y<. Учитывая это и используя выражения для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, преобразуем (5.2) к виду Стационарные вероятности состояний (5.1) с учетом (5.3) запишутся в следующем виде:

Заметим, что при ограничении числа состояний коммутационной системы 0i, т. е. при переходе к системе с потерями ф-ла (5.4) для определения вероятности pi приводится к первой формуле Эрланга (4.21) –Ei,(y).

Сопоставим значения вероятности состояний pi в системе с ожиданием и вероятности состояний Ei,(y) в системе с потерями. С этой целью разделим числитель и знаменатель соотношения т. е. для систем с ожиданием время нахождения в состояниях, когда поступающие вызовы немедленно обслуживаются, меньше, чем для систем с потерями.

Рекуррентное соотношение (4.31) pi=pi-1(y/i), полученное для систем с потерями, сохраняется и для систем с ожиданием при i. Несколько иной характер имеет рекуррентное соотношение для вероятности того, что на ожидании находится точно r+1 вызовов:

Из этого соотношения, имея в виду, что y<, следует 0>1> >2>..., т. е. вероятность того, что в пучке заняты все линии и на ожидании нет вызовов, больше, чем вероятность того, что на ожидании находится точно один вызов, а последняя вероятность больше, чем вероятность того, что на ожидании находятся точно два вызова, и т. д.

В системах с ожиданием потери по времени pt есть доля времени, в течение которой все линий пучка заняты и на ожидании находится r=0, 1, 2,... вызовов. Исходя из этого, потери по времени равны вероятности р(>0) того, что поступивший вызов не будет немедленно обслужен, а будет ожидать начала обслуживания в течение времени больше нуля. Эта вероятность равна Используя соотношение (5.5), получаем Выражение (5.8) называется второй формулой Эрланга. Формула табулирована. Таблицы позволяют по любым двум из трех параметров – у,, pt – определить третий.

Выражение (5.8) показывает, что потери по времени pt, численно равные условным потерям р(>0), могут быть определены и с помощью таблиц первой формулы Эрланга.

Используя эти таблицы, pt можем определить из следующего соотношения:

Из (5.8), знаменатель которой меньше 1, следует, что в системах с ожиданием потери по времени больше, чем в системах с потерями. Такой вывод находится в полном соответствии и с соотношением (5.6).

В системах с ожиданием, как и в системах с потерями, при обслуживании полнодоступным пучком вызовов простейшего потока вероятность потерь по времени и вероятности состояний системы, определяемые по (5.4), зависят только от интенсивности поступающей нагрузки у и емкости пучка линий.

Характер зависимостей между у, и pt. Зависимости y=f() при pt=const и y=f(pt) при =const (и соответственно =f() и =f(pt), где =y/) для систем с ожиданием имеют точно такой же характер, как и для систем с потерями (см. рис. 4.4–4.7). Однако количественные оценки этих зависимостей существенно различаются. При заданных потерях pt величина поступающей нагрузки в системах с ожиданием должна быть меньше, чем в системах с потерями. Так, например, при потерях pt = 0,02;

0,05;

0,1 в пучках емкостью =1030 линий удельная поступающая нагрузка в системах с ожиданием соответственно на 10, 15, 20% меньше, чем в системах с потерями.

Влияние величины допустимых потерь pt на снижение пропускной способности систем с ожиданием более наглядно показывает зависимость =f(pt) при =const, где – удельная обслуженная нагрузка. В системах с ожиданием =, а в системах с потерями =(1–pt)=(1– Е(у)). Несмотря на это, при одних и тех же значениях потерь обслуженная нагрузка в системах с потерями выше, чем в системах с ожиданием. Так, при потерях pt= 0,2 в пучках емкостью =4, 10 и 20 линий в системах с потерями на 10–12% больше, чем в системах с ожиданием.

На первый взгляд кажется парадоксальным тот факт, что системы с потерями обладают более высокой пропускной способностью. Ведь с точки зрения использования коммутационных устройств (пучка линий) система с ожиданием создает более благоприятные условия – вызовы в очереди ожидают начала обслуживания и после освобождения каждая линия пучка немедленно занимается для обслуживания очередного ожидающего вызова. В системах же с потерями освободившаяся линия может некоторое время оставаться свободной и занимается только после поступления нового вызова.

Однако эти рассуждения не в полной мере отражают процессы обслуживания поступающего потока вызовов системой с ожиданием и системой с потерями. Следует учитывать также следующие два обстоятельства:

1. Соотношение (5.6) показывает, что время, в течение которого коммутационная система находится в состояниях, когда вызовы немедленно обслуживаются, больше для систем с потерями, чем для систем с ожиданием. Отсюда нагрузка, обслуженная системой с потерями, больше нагрузки, которая обслуживается немедленно системой с ожиданием (т. е. без учета обслуженной нагрузки, создаваемой ожидающими вызовами).

2. Величина поступающей нагрузки в системах с ожиданием ограничена (y< или < Эрл), а в системах с потерями такого ограничения нет. Поэтому, особенно в области больших потерь, в системах с потерями удельная поступающая нагрузка к может принимать значения значительно больше 1(=/(1–р)), что обеспечивает и большую величину.

Таким образом, следует констатировать, что в области любых потерь при заданной величине потерь pt не только поступающая, но обслуженная нагрузка в системах с потерями больше, чем в системах с ожиданием.

Естественно возникает вопрос: какие особенности систем с ожиданием обусловливают их практическое применение и в какой области коммутационной техники такие системы целесообразно использовать? В связи с этим необходимо, прежде всего, отметить различный качественный характер явных и условных потерь. В системах с потерями часть вызовов теряется (не обслуживается), в системах с ожиданием обслуживаются все поступающие вызовы, при этом часть из них с некоторой задержкой. При малых величинах потерь, исчисляемых промилле и даже несколькими процентами, абонент не ощущает неудобств.

Поэтому в области малых потерь предпочтительнее система с потерями, обладающая более высокой пропускной способностью. При больших значениях потерь система с потерями не обеспечивает должного качества обслуживания абонентов и непригодна для применения.

В случае больших потерь нельзя однозначно дать оценку системам с ожиданием. Все зависит от времени задержки обслуживания вызовов, находящихся на ожидании.

Необходимо, чтобы время ожидания начала обслуживания для подавляющего большинства вызовов не вызывало неудобств у абонентов. Иными словами, системы с ожиданием следует применять в тех случаях, когда для повышения использования коммутационных устройств целесообразно допускать большие условные потери (исчисляемые десятками процентов), если возможно при этом обеспечить мало ощутимое для абонентов время задержки начала обслуживания. В технике телефонной связи с ожиданием вызовы обслуживаются управляющими устройствами. Область применения систем с ожиданием подробно рассмотрена во второй части этой главы.

Функция распределения времени ожидания. Потери по времени pt, или, что то же самое, вероятность р(>0) того, что поступивший вызов будет обслужен лишь после некоторого времени ожидания, не позволяют в достаточной мере характеризовать качество обслуживания коммутационной системой с ожиданием поступающего потока вызовов.

Полученная характеристика pt=p(>0)=D(y) определяет долю вызовов, обслуживание которых происходит после некоторого времени ожидания, однако не дает ответа на весьма важный с точки зрения обеспечения качества обслуживания вопрос – как распределяется время ожидания начала обслуживания для вызовов, которые попадают на ожидание. В связи с этим определим функцию распределения длительности ожидания начала обслуживания при исходных предположениях рассматриваемой задачи: показательное распределение длительности занятия, ожидающие вызовы обслуживаются в порядке очереди.

Обозначим через p(>t) вероятность того, что вызов, поступивший в произвольный момент времени, попадет на ожидание и время ожидания будет больше t;

через pi(>t) условную вероятность того же неравенства в предположении, что вызов поступит в момент времени, когда система находится в состоянии i, и через pi вероятность того, что система находится в этом состоянии, т. е. в системе имеется точно i обслуживаемых и ожидающих вызовов.

Имея в виду, что в рассматриваемой коммутационной системе поступивший вызов попадает на ожидание лишь в случае, когда в момент поступления вызова в системе заняты все линии пучка и на ожидании находится r=0, 1, 2,... вызовов, т. е. система находится в одном из состояний i=, +1, +2,..., по формуле полной вероятности получим Найдем вероятность pi(>t) Если система находится в состоянии i(i), то непосредственно перед моментом поступления вызова в системе на ожидании находится (i–) вызовов.

Поступивший вызов становится в очередь и является в очереди (i–+1)-м. Поскольку вызовы снимаются с очереди для обслуживания в порядке поступления («первым пришел – первым обслуживается»), то вероятность pi(>t) есть вероятность того, что за время t после момента поступления рассматриваемого вызова будет снято с ожидания и переведено на обслуживание не более (i–) вызовов. Исходя из этого, вероятность pi(>t) соответствует вероятности того, что за время t произойдет освобождение (закончится обслуживание) не более (i–) вызовов.

Длительность обслуживания одного вызова Т (без учета времени ожидания) распределена по показательному закону F(t) = p(T < t) = 1- e-t.

Функция распределения промежутков между моментами освобождения линий пучка при условии занятости в пучке всех линий есть Fос (t) = i (t) = 1- e-t. Эта функция распределена по показательному закону, что определяет поток освобождений как простейший поток, параметр которого =. В соответствии с этим вероятность pj того, что за время t произойдет освобождение точно j линий, согласно формуле Пуассона составляет j (t) p = e-t, а вероятность того, что за время t произойдет не более (i–) освобождений, j j!

если система находится в состоянии i, – Подставив соотношения (5.5) и (5.11) в (5.10) и произведя некоторые преобразования, получим где p(>0) определяется по ф-ле (5.8). Если за единицу измерения времени и t принять среднюю длительность занятия, то =1 и Последняя формула позволяет строить универсальные семейства кривых р(>t)=f(t) (и получить универсальные таблицы) для любых значений средней длительности занятия.

Характеристики качества обслуживания вызовов системами с ожиданием. Характер зависимости p(>t)=f(t) при =1 показан на рис. 5.1 для пучка =5. Кривые построены для значений удельной поступающей нагрузки =y/=0,5 и 0,7 Эрл (пунктирные кривые).

Семейства кривых иллюстрируют следующие закономерности:

1. С увеличением удельной поступающей нагрузки при фиксированной емкости пучка качество обслуживания ухудшается, т. е. увеличивается p(>t) –доля вызовов, ожидающих начала обслуживания свыше заданного времени t, или для заданной величины p(>t) увеличивается время ожидания начала обслуживания. Так, например, в пучке =5 увеличение с 0,5 до 0,7 Эрл при t=1 приводит к увеличению р(>1) с 0,01 до 0,085 (в 8,5 раза) или при p(>t)=0,01 – к увеличению t с 1 до 2,4 (в 2, раза).

2. С увеличением p(>t) уменьшается время ожидания свыше заданного t при любых значениях и. Так, в пучке =5 при =0,7 Эрл увеличение p(>t) с 0,01 до 0,1 приводит к уменьшению t с 2,4 до 0,85 (почти в 3 раза).

Заметим, что с увеличением при любых значениях и р(>t) уменьшается значение времени t или при любых значениях и t уменьшается вероятность p(>t). Например, при =0,5 Эрл и p(>t)=0,01 увеличение с 5 до 10 приводит, к уменьшению времени t с 1 до 0, (в 4 раза).

Качество обслуживания поступающего потока вызовов в системах с ожиданием также характеризуют вероятности pз(>t) того, что время ожидания начала обслуживания для вызова, попадающего на ожидание, будет больше t, т. е. для вызовов, попадающих на ожидание, На рис. 5.1 сплошными линиями приведены кривые зависимости pз(>t)=f(t). Вероятности pз(>t) существенно превышают вероятности p(>t). Так, например, при =5 и =0,5 Эрл вероятность рз(>1) в 8,5 раза превышает вероятность р(>1).

Ранее было установлено, что при любых значениях у и имеет место неравенство р(>0)>E(y), т. е. вероятность того, что в системе с ожиданием поступающий вызов поступает на ожидание, больше вероятности того, что в системе с потерями этот вызов будет потерян. Одной из качественных характеристик сравнения систем с ожиданием и систем с потерями является значение времени t, при котором вероятность p(>t) численно равна E(y).

Обозначим такое значение t через t*.

Формула (5.12) и рассмотренная зависимость р(>t)=f(t) показывают, что с увеличением t вероятность p(>t) уменьшается и p(>t)0 при t. Имея также в виду, что р(>t)>E(y), можно утверждать, что при некотором значении t* имеет место равенство p(>t*)=E(y), откуда p(>t)>E(y) при tt)t*. Используя (5.12), определяем значение t*:

Количественная оценка величины t* иллюстрируется семейством кривых, приведенных на рис. 5.2. Эти кривые показывают характер изменения величины t* в зависимости от удельной поступающей нагрузки t*=f() при =1, 2, 5, 10, 20, 30. Для этого семейства кривых за единицу времени принята средняя длительность одного занятия, т. е. =1. Рисунок 5. показывает также, что с уменьшением емкости пучка линий и с увеличением интенсивности удельной поступающей нагрузки повышается значение t*, при котором р(>t*)=E(y).

Рассмотрим численный пример, который позволят сделать весьма важный вывод. При t* = 1 интенсивности нагрузок у, поступающих на пучки емкостью =1, 2, 5, линий, соответственно составляют 0,53;

1,34;

3,95;

8,7 Эрл.

Для этих значений у по таблицам первой формулы Эрланга отыскиваем соответствующие значения E(y)=p(>l)=0,34;

0,275;

0,195;

0,154. Из этого примера следует, что с увеличением и при определенном значении t* качество обслуживания улучшается – уменьшаются значения р(>t*)= =Е(у). Однако основной вывод заключается в том, что все приведенные значения потерь в системах с потерями указывают на неудовлетворительное качество обслуживания, в то время как в системах с ожиданием при относительно малой величине среднего времени обслуживания вызова такие значения р(>1). по существу, обеспечивают высокое качество обслуживания даже в пучке емкостью =1 – абоненты не замечают малые по времени задержки в установлении соединений.

К характеристикам процесса обслуживания поступающего потока вызовов в системах с ожиданием, кроме р(>0) и р(>t), относятся: среднее время ожидания начала обслуживания, отнесенное ко всем поступающим вызовам;

среднее время ожидания начала обслуживания з отнесенное к вызовам, попадающим на ожидание (задержанным с обслуживанием);

средняя длина очереди r. Определим эти величины:

Используя (5.5) для вероятности p+r=r, r=0, 1, 2,..., получаем формулы, определяющие среднюю длину очереди:

Из (5.22) следует, что средняя длина очереди определяется как среднее время ожидания начала обслуживания вызова, отнесенное ко всем поступающим вызовам, умноженное на интенсивность поступающей нагрузки.

Анализ полученных соотношений показывает, что с увеличением и уменьшением повышаются значения, З и r. Так, например, при =0,6 Эрл в пучке емкостью = линий рассматриваемые характеристики принимают значения =0.02, з=0,25 и r=0,15, а в пучке =5 линий значения этих характеристик возрастают до =0,12, з=0,5 и r=0,35.

5.2. Обслуживание вызовов простейшего потока при постоянной длительности занятия Теория Кроммелина. Исходные данные задачи такие же, как и задачи, подробно рассмотренной в парагр. 5.1. На полнодоступный пучок емкостью (1) линий, работающий по системе с ожиданием, поступает простейший поток вызовов с параметром.

Сохраняются предположения предыдущей задачи: вызовы, находящиеся на ожидании, обслуживаются в порядке очереди;

поступающая на пучок из линий нагрузка у должна иметь значение, меньшее емкости пучка – y<. Отличие заключается только в законе распределения длительности обслуживания: вместо показательного распределения полагаем длительность обслуживания каждого вызова постоянной и равной h. Длительность занятия h примем за единицу времени – h=1. Требуется определить функцию распределения длительности ожидания начала обслуживания для любого поступающего вызова p(>t).

Определим вначале вероятность р(t)=1–p(, то за каждую единицу времени (рис. 5.3) коммутационная система обслуживает точно вызовов;

за время [t0, t0+1) будет обслужено v вызовов, за время [t0, t0+2)–2 вызовов,..., за время [t0, t0+t)–t вызовов (в данном случае t – целое число).

Нас интересует вероятность того, что вызов, поступивший в момент t0, попадет на обслуживание в течение времени, меньшего t. В момент t0 система находится в состоянии k, рассматриваемый вызов переводит систему в состояние (k+1). Значит для того, чтобы

Введем обозначения: pi(t0) –вероятность того, что в момент t0 система находится в состоянии i и ak(t0) –вероятность того, что в момент t0 система находится в состоянии, не превышающем k:

Аналогичными рассуждениями можно показать, что ф-ла (5.23) справедлива и в случае, если t – нецелое число.

Определим вероятность pk(t0) того, что в момент t0 система находится в состоянии k.

Искомую вероятность можно представить состоящей из двух слагаемых: из вероятности pk(t0)1 того, что в моменты t0 система находится в состоянии k, если в момент (t0–1) в системе нет очереди (k), и из вероятности pk(t0)2 того, что в момент t0 система находится в состоянии k, если в момент (t0–1) в системе на обслуживании находятся и и на ожидании r вызовов (k=+r). Рассматриваемые в момент t0 события взаимно независимы. Поэтому pk(t0)=pk(t0)1+pk(t0)2.

Определяем вероятность pk(t0)1. В момент (t0–1) в системе находится не более вызовов, вероятность этого события a(t0–1). Так как длительность обслуживания каждого вызова h=1, то к моменту t0 все эти вызовы будут обслужены и покинут систему. Ни один из вызовов, поступивших, в систему после момента (t0–1), к моменту t0 не завершится обслуживанием и останется в системе. Для того чтобы в момент t0 система находилась в состоянии k, необходимо поступление за время [t0–1, t0) точно k вызовов. Согласно формуле Пуассона k вероятность этого есть pk = e-.

k!

Тогда k pk (t0)1 = a(t0 -1) e-.

k!

Аналогично определяем вероятность рk(t0)2. В момент (t0–1) в системе находится +r вызовов;

вероятность этого p+r(t0–1). К моменту t0 за единицу времени систему покинут обслуженных вызовов. Для того чтобы в момент t0 система оказалась в состоя- Используя (5.23), находим вероятность того, что любой поступивший вызов попадет на ожидание и будет ожидать начала обслуживания больше времени t:

Система (5.24) решается методом производящих функций. Формула (5.25) для практических расчетов трудоемка. Поэтому на практике используются построенные Кроммелином семейства кривых р(>t)=f(t) для ряда значений и (=y/=/). На рис. 5. приведено семейство кривых для =1. Эти кривые показывают, что характер зависимости p(y>t)=f(t) такой же, как и при показательном распределении длительности занятия: с увеличением времени ожидания свыше заданного t уменьшается вероятность p(>t). Однако количественные оценки рассматриваемой зависимости при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия существенно отличаются.

Однолинейная система;

произвольное распределение длительности занятия. Полячек и Хинчин, независимо друг от друга, исследовали однолинейную систему с ожиданием, на которую поступают вызовы простейшего потока с параметром, и произвольным распределением длительности занятия. Вызовы обслуживаются в порядке очереди. Формула Полячека – Хинчина для среднего времени ожидания начала обслуживания любого вызова имеет следующий вид:

где t – среднее значение длительности занятия;

t – среднеквадратическое отклонение длительности занятия;

у – интенсивность нагрузки, поступающей на однолинейную систему:

y=t<1. Принимая значение t за единицу времени (t=1), получаем где – среднеквадратическое отклонение длительности занятия в условных единицах. За единицу времени принята средняя длительность занятия t.

При показательном распределении времени занятия =1 ф-лы (5.27) и (5.28) соответственно совпадают с (5.18) и (5.20), так как для однолинейного пучка p(>0)=y. При постоянной длительности занятия = Таким образом, при постоянной длительности занятия среднее время ожидания в очереди любого вызова и задержанного вызова з вдвое меньше, чем при показательно распределенной длительности занятия.

Сравнение систем с ожиданием при постоянной и показательна распределенной длительностях занятия. При постоянной длительности занятия время ожидания начала обслуживания существенно меньше. Так, например, с вероятностью р(>t) =0,005 при =0,5 Эрл и =5 время t принимает значения 0, и 1,33, соответствующие постоянной и показательно распределенной длительностям занятия, т. е. время ожидания сокращается почти в 2 раза.

Среднее время ожидания начала обслуживания для любого поступающего вызова при постоянной длительности занятия также меньше, чем при показательном распределении длительности занятия. Формула Полячека – Хинчина показывает, что в однолинейной системе среднее время пребывания вызова в очереди при постоянной длительности занятия в 2 раза меньше. С увеличением емкости пучка это соотношение уменьшается, но оно всегда больше единицы. Так, при =1 и =0,9 Эрл отношение среднего времени пребывания в очереди при показательно распределенной и постоянной длительностях занятия составляет 1,74.

Пропускная способность систем с ожиданием при рассматриваемых распределениях длительности занятия иллюстрируется рис. 5.5, на котором показаны кривые =f() при р(>t) =0,005 для значений t=1;

2. Сплошными линиями показаны кривые, соответствующие постоянной, и пунктирными – показательно распределенной длительностям занятия. Из рисунка видно, что системы с ожиданием при постоянной длительности занятия обладают более высокой пропускной способностью – использование приборов значительно выше. Так, задаваясь вероятностью р(>t)=0,005 того, что время ожидания начала обслуживания превышает t=1, интенсивность удельной поступающей нагрузки при =3 повышается с 1=0,25 Эрл при показательно распределенной до 2=0,45 Эрл при постоянной длительности занятия, т. е. на 80%, и при t=2 – с 1=0,43 Эрл до 2=0,65 Эрл, т. е. на 50%.

Однолинейная система;

обслуживание ожидающих вызовов в случайном порядке. Выше были рассмотрены системы с ожиданием, в которых обслуживание ожидающих вызовов производится в порядке очереди. В автоматических системах коммутации находят более широкое применение системы с ожиданием, в которых обслуживание ожидающих вызовов производится при случайном выборе их из очереди.

Однолинейная система с постоянной длительностью занятия и случайным выбором из очереди ожидающих вызовов исследована Берком. Распределение времени ожидания p(>t)=f(t) в такой системе при =0,5;

0,7 и 0,9 Эрл приведено на рис. 5.6. Эти кривые показаны сплошными линиями. Для сравнения пунктирными линиями для тех же значений интенсивности поступающей нагрузки показано распределение времени ожидания в однолинейной системе с постоянной длительностью занятия и обслуживанием ожидающих вызовов в порядке очереди. Из рисунка видно, что для небольших значений t качественные характеристики обслуживания ожидающих вызовов выше при случайном выборе их из очереди– при заданном времени t вероятность р(>1) меньше или при заданной вероятности p(>t) значение t меньше. Так, например, при =0,9 Эрл и t=5 случайный выбор из очереди обеспечивает вероятность р(>5)=0,26, а обслуживание в порядке очереди увеличивает эту вероятность до р2(>5) =0,33.

Отмеченные закономерности справедливы для небольших значений t. Заметим, что именно эта область значений t имеет практический интерес для существующих систем коммутации, в которых используются релейные и электронные управляющие устройства (маркеры) с близкой к постоянной длительностью обслуживания и значениями этой длительности в пределах h=0,05l с.

При больших значениях t значения вероятностей р(>t) при случайном выборе из очереди существенно превышают соответствующие значения при обслуживании ожидающих вызовов в порядке очереди – с увеличением t по сравнению с обслуживанием в порядке очереди случайный выбор приводит к росту вероятности длительного ожидания. В перспективных системах коммутации (квазиэлектронных и электронных) длительности занятия управляющих устройств значительно уменьшаются (h<0,005 с), что позволяет без заметного ухудшения качества обслуживания вызовов допускать для некоторой доли вызовов ожидание до t=100 и более. В таких системах коммутации также сохраняется дисциплина выбора из очереди, близкая к случайной. В связи с этим важным является тот факт, что дисциплина выбора из очереди (в порядке поступления, в случайном порядке или любая другая дисциплина) не влияет на среднее время пребывания> вызова на ожидании.

Дисциплина выбора из очереди в случайном порядке в области небольших значений t, как и дисциплина обслуживания вызовов в порядке очереди, приводит к более высоким качественным показателям обслуживания вызовов в системах с ожиданием при постоянной длительности занятия. Сравнение распределения времени ожидания (p(>t)=f(t)) в однолинейной системе при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия и случайном выборе ожидающих вызовов из очереди (=0,5;

0,7 и 0,9 Эрл) приведено на рис. 5.7.

5.3. Область применения систем с ожиданием Системы распределения информации можно разделить на два класса: системы коммутации каналов и системы коммутации сообщений. Системы коммутации сообщений по дисциплине обслуживания вызовов являются системами с ожиданием. В автоматических системах коммутации каналов используются дисциплины обслуживания с потерями и с ожиданием.

Автоматические системы коммутации содержат две основные группы устройств:

устройства, образующие разговорный тракт (коммутационные приборы, шнуровые комплекты, комплекты соединительных линий), и управляющие устройства. Указанные группы устройств существенно различаются по закону распределения длительности занятия, среднему значению длительности занятия и емкости пучка приборов (линий). Для устройств разговорного тракта можно полагать, что длительность занятия распределена по показательному закону со средним значением t>7080 с, для этих устройств применяются большие емкости пучков (=10100 и более линий).

Как отмечалось выше, с ростом емкости пучка линий увеличивается соотношение между условными потерями (р(>0)) в системах с ожиданием и явными потерями (Е(у)) в системах с потерями. Для устройств разговорного тракта нормы допустимых потерь не превышают 2– 3%. При такой области потерь система с потерями обладает существенно большей пропускной способностью по сравнению с системой с ожиданием. Поэтому в устройствах разговорного тракта рациональнее использовать в качестве дисциплины обслуживания систему с потерями. На практике в подавляющем большинстве автоматических коммутационных систем устройства разговорного тракта строятся как системы с потерями.

Имеются и исключения. Так, например, в машинной системе АТС Эриксона (Швеция) устройства разговорного тракта работают по системе с ожиданием. Следует заметить, что недостатки системы с ожиданием в устройствах разговорного тракта особенно проявляются при увеличении поступающей нагрузки. В условиях перегрузки такая система приводит к большому количеству ожидающих вызовов с временем ожидания свыше 1–2 мин, в то время как в системе с потерями такие перегрузки лишь в несколько раз увеличивают заданные, очень малые потери, что для источников вызовов практически неощутимо.

Управляющие устройства характеризуются длительностью занятия, близкой к постоянной;

значения этой длительности на два-три порядка меньше по сравнению с устройствами разговорного тракта, при этом емкость пучков в большинстве случаев не превышает пяти линий.

Совершенно иные выводы следуют из рассмотрения целесообразности использования дисциплин обслуживания с ожиданием в управляющих устройствах. Постоянная длительность занятия и, главное, малое ее значение позволяют устанавливать большие значения условной вероятности потерь – вероятности р(>0). Это объясняется тем, что в данном случае вероятность р(>t) при относительно больших значениях t оказывается очень малой величиной и одновременно допустимое время ожидания вызовом начала обслуживания имеет небольшое значение, не ощутимое источником вызова. Так, в однолинейной системе (которая в управляющих устройствах имеет наибольшее применение) при h = 0,1 с можно допустить пропускную способность =0,9 Эрл. При этом условные потери р(>0)=0,9. Если полагать, что вызовы обслуживаются в порядке очереди, то согласно кривым Кроммелина р(>5)=0,33 и p(>20)=0,04, т. е. лишь 33% вызовов будут ждать начала обслуживания более 0,5 с и 4% вызовов – более 2 с. В то же время при использовании системы с потерями и задания достаточно больших потерь p=E(0,9)=0,05 требуется пучок линий =3 вместо =1 в системе с ожиданием. Следует учесть сложность и высокую стоимость управляющих устройств. Все эти соображения приводят к однозначному выводу – в управляющих устройствах целесообразно применять дисциплину обслуживания с ожиданием. Такая рекомендация не расходится с практикой – управляющие устройства всех автоматических систем коммутации обслуживают вызовы по системе с ожиданием.

В существующих координатных АТС к управляющим устройствам относятся регистры, маркеры, кодовые приемники. На станциях типа АТСКУ абонентские регистры подключаются к исходящим шнуровым комплектам (ИШК и ИШКТ) с помощью двухзвеньевой коммутационной системы. При этом время занятия регистров (на основе экспериментов) имеет распределение, близкое к нормальному, поток вызовов образуется конечным числом источников, а порядок обслуживания вызовов, находящихся в очереди, случайный. И хотя указанные условия обслуживания существенно отличаются от модели Кроммелина, для практических расчетов пользуются этой моделью.

Подобным же образом используют модель Кроммелина при определении качественных показателей обслуживания вызовов кодовыми приемниками. В координатных АТС по два кодовых приемника подключаются к группе регистров, образуя таким образом двухлинейную систему обслуживания. Условия работы кодовых приемников отличаются от условий модели Кроммелина как по характеру, так и по очередности обслуживания, однако при инженерных расчетах в области малых вероятностей ожидания (высокого качества обслуживания) и малой емкости полнодоступного пучка (только два прибора) считают допустимым использование этой модели.

Маркеры в отечественных координатных АТС являются однолинейными системами обслуживания со случайным выбором из очереди. Если считать поток вызовов простейшим, а длительность обслуживания постоянной, то модель Бёрка наиболее близко соответствует условиям работы маркера и может с успехом использоваться при расчетах.

Задача 5.1.

Определить: соотношение потерь в полнодоступных пучках емкостью =50 и 100 линий, работающих по системе с ожиданием при показательном распределении длительности занятия и по системе с потерями при заданном значении потерь Е(у) =0,02. Рассчитать время ожидания любого вызова, среднее время ожидания вызовов, находящихся в очереди, з и среднюю длину очереди r.

Решение. По таблицам первой формулы Эрланга при заданных величинах =50 и 100 и E(у)=0, отыскиваем значения поступающей нагрузки у: при 1=50 y1=40,2 Эрл;

при 2=100 y2=88Эрл.

Используя (5.8) и полученные значения у, рассчитываем условные потери p(>0):

Соотношения между потерями составляют:

Для определения у воспользуемся ф-лой (5.18), для з–(5.20) и для r – (5.22):

при =50 =[p(>0)]/(–y)=0,0096;

з=1/(–y)=0,102, r=у=0,4;

при =100 =0,012;

з=0,083;

r=1,06.

Приведенная задача показывает, что: 1) дисциплина обслуживания по системе с ожиданием приводит к условным потерям, которые в несколько раз превышают явные потери, имеющие место при дисциплине обслуживания по системе с потерями;

2) с увеличением емкости пучка линий при прочих равных условиях повышается отношение p(>0)/E(y) и ухудшаются показатели качества работы системы и r.

Задача 5.2.

Определить: пропускную способность пучков линий емкостью =1, 2 и 5, работающих по системе с ожиданием при постоянной длительности занятия и обслуживании ожидающ-их вызовов в порядке очереди, если длительность занятия h=0,3 с и вероятность ожидания обслуживания вызова свыше допустимого времени tд=0,6 с не должна быть более р(>0,6 с)=0,01.

Решение. Используем кривые Кроммелина. При t=tд/h=2 и вероятности. p(>2)=0,01 отыскиваем для =1, 2 и 5 значения пропускной способности : =0,31;

0,58 и 0,81 Эрл соответственно.

Эта задача иллюстрирует существенное влияние емкости пучка линий на его пропускную способность: при увеличении емкости пучка с =1 до =2 пропускная способность увеличивается на 87% и с =2 до =5 лишь на 42%.

Контрольные вопросы 1. Определите вероятности состояния полнодоступного пучка линий, работающего по системе с ожиданием при показательном распределении длительности занятия.

2. Напишите вторую формулу Эрланга. От каких параметров согласно этой формуле зависят условные потери рt?

3. Каков характер зависимостей между величиной интенсивности поступающей нагрузки у, емкостью полнодоступного пучка линий и условными потерями pt в системе с ожиданием? Сопоставьте характер и количественные оценки этих зависимостей в системе с ожиданием и в системе с потерями.

5. Каков характер зависимости p(>t)=f(t) для значений 1>2>3 при =const? Сопоставьте эти зависимости с зависимостями pз(>t)=f(t) Для техже значений и.

6. В чем сущность величины t*? Покажите характер зависимости t*=f() при =const. Приведите логический анализ и количественные оценки рассматриваемой зависимости.

7. Выведите формулы, определяющие математические ожидания времени, ожидания начала обслуживания для любого вызова и вызова, поступающего на ожидание з. Приведите количественные оценки этих характеристик.

8. В чем заключается сущность теории Кроммелина?

9. Сопоставьте характер распределения времени ожидания и пропускную способность систем с ожиданием при обслуживании ожидающих вызовов в порядке поступления для двух распределений длительности занятия:

постоянного и показательно распределенного.

10. Приведите формулу Полячека – Хинчина для среднего времени ожидания начала обслуживания в однолинейной системе с произвольным распределением длительности занятия. Какой вид получает эта формула при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия?

11. Сопоставьте распределение времени ожидания начала обслуживания при постоянной и показательно распределенной длительностях занятия для двух дисциплин выбора ожидающих вызовов из очереди: в случайном порядке и порядке поступления.

12. Укажите рациональную область применения систем с ожиданием.

Г Л А В А ШЕ С Т А Я Полнодоступный пучок. Система с повторными выз овами 6.1. Постановка задачи В моделях систем с потерями вызов, поступивший в момент занятости всех линий пучка, теряется и в последующем никакого воздействия на коммутационную систему не оказывает.

Такая модель процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов существенно отличается от реальных условий. В реальных коммутационных системах с потерями вызов теряется, если он поступает в момент занятости всех линий пучка, способных обслужить этот вызов, но источник этого первичного вызова, как правило, не отказывается от обслуживания, а осуществляет повторные вызовы (попытки) с целью добиться требуемого обслуживания. По существу, сообщения между вызывающими и вызываемыми абонентами в большинстве случаев не теряются, происходит лишь задержка в обслуживании, т. е. по аналогии с системами с ожиданием в таких случаях возникают условные потери.

Повторные вызовы, поступающие на коммутационную систему, вызваны не только потерей первичных вызовов из-за отсутствия свободных соединительных путей в моменты поступления вызовов. Более существенными являются другие причины, из-за которых устанавливаемые для обслуживания поступающих вызовов соединения не завершаются передачей сообщения (разговорным состоянием). Этими причинами являются: занятость линии вызываемого абонента, неответ вызываемого абонента, ошибки вызывающего абонента в процессе набора номера, неустановление соединения по техническим причинам (из-за попадания на неисправный прибор). Если на городских телефонных сетях из-за отсутствия свободных соединительных путей теряется 0,02–0,03 всех поступающих вызовов, то по другим перечисленным причинам не завершаются разговором 0,35–0,5 и более всех поступающих вызовов.

Исследованию системы с повторными вызовами в последнее время уделяется значительное внимание, однако полученные результаты по причине различных исходных позиций не нашли еще общего признания. Вместе с тем система с повторными вызовами более, чем любая другая изученная модель процесса обслуживания коммутационными системами поступающих вызовов, близка к реальным условиям функционирования системы.

По этой причине в настоящей главе кратко излагается одно из решений рассматриваемой задачи.

В модели системы с повторными вызовами различаются два этапа обслуживания вызова.

Первый этап обслуживания характеризуется занятием коммутационной системы (линии пучка), процессом установления соединения и его разъединения независимо от того, чем завершается это соединение – разговором, занятостью линии вызываемого абонента, неответом вызываемого абонента и т. д. Второй этап обслуживания характеризуется разговорным состоянием соединения. Вызов считается обслуженным, если он завершился вторым этапом – разговором. Вызов считается необслуженным, если обслуживание его завершается первым этапом. Источник такого вызова с заданной вероятностью осуществляет повторный вызов.

На полнодоступный пучок емкостью линий поступают первичные вызовы, образующие простейший поток с параметром. Вызов, поступивший в момент отсутствия в пучке свободных линий, не обслуживается. Если в пучке имеется хотя бы одна свободная линия, то происходит первый этап обслуживания источника, осуществившего этот вызов. После окончания первого этапа обслуживания либо по этой линии происходит второй этап обслуживания (разговор), либо линия освобождается и вызов остается необслуженным.

Вероятность того, что вызов останется необслуженным, обозначим, а вероятность того, что вызов будет полностью обслужен, – =1–.

Длительность занятия линии первым и вторым этапами обслуживания вызова распределена по показательному закону с параметрами соответственно и, и, следовательно, средние значения времени обслуживания первым и вторым этапами равны t=1/ и t=1/.

Абоненты, вызовы которых не обслуживаются по причине отсутствия свободных линий в пучке или завершились только первым этапом обслуживания, являются источниками повторных вызовов. От каждого такого источника поступают повторные вызовы, образующие простейший поток с параметром. Если в течение заданного времени источник не производит повторного вызова, то рассматриваемый вызов теряется окончательно. Это время примем распределенным по показательному закону с параметром.

Таким образом, время, в течение которого источник принимает решение произвести повторный вызов или окончательно отказаться от обслуживания неудачно сделанного им вызова, распределено, по показательному закону с параметром + Отсюда среднее время существования источника повторных вызовов, равное среднему времени между двумя соседними попытками источника добиться обслуживания своего вызова, составляет z=1/(+). При этом с вероятностью H=/(+) источник производит повторный вызов и с вероятностью 1–H=/(+) отказывается окончательно от обслуживания. Вероятность H определяет меру настойчивости источника добиться полного обслуживания вызова.

Требуется определить вероятности состояний коммутационной системы.

6.2. Предельная величина интенсивности поступающей нагрузки В отличие от системы с потерями, в системе с повторными вызовами на коммутационную систему может поступать только такой поток вызовов, который с учетом повторных вызовов может быть обслужен. Иными словами, чтобы не создавалось неограниченного количества необслуженных первичных и повторных вызовов, необходимо, как и в системе с ожиданием, ввести следующее ограничение:

Величина определяется из соотношения где t – средняя суммарная длительность занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова с учетом того, что для его обслуживания источник может производить и повторные вызовы (величина t должна учитывать также вызовы, которые остаются не полностью обслуженными, т. е. не завершаются вторым этапом обслуживания – разговором), а с – интенсивность потока первичных вызовов в течение 1 ч.

Первичные и повторные вызовы, поступающие в моменты занятости всех линий пучка, не занимают линий пучка. Поэтому на величину t влияют только вызовы, попадающие, по крайней мере, на первый этап обслуживания. При первом этапе обслуживания одного вызова среднее время занятия линии пучка равно t, а при вторам этапе обслуживания с вероятностью –t. Среднее время занятия линии для обслуживания каждой такой попытки составляет t+t.

Если обозначить через L среднее число попыток на первом этапе обслуживания с целью полного обслуживания одного вызова, то величина t составит Определим величину L. Вызов первый раз поступает на первый этап обслуживания. С вероятностью данный вызов не попадает на второй этап обслуживания. При этом вероятность того, что источник указанного вызова осуществляет повторный вызов, равна H.

Следовательно, с вероятностью H поступает повторный вызов.

Снова с вероятностью этот повторный вызов не поступает на второй этап обслуживания и с вероятностью H источник производит новый повторный вызов, т. е. с вероятностью (H) источник производит новый повторный вызов и т. д. Таким образом, Заметим, что, если мера настойчивости источника H=1 (=0), то Из этого следует, что среднее число попыток на первом этапе обслуживания, которые производит источник до полного обслуживания вызова, зависит только от вероятности и не зависит от параметра потока повторных вызовов.

Используя (6.3) и (6.4) либо (6.5), ф-лу (6.2) можно привести к виду Принимая за единицу времени именно среднее суммарное время занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова t, находим, что интенсивность потока за такую единицу времени µ=ct. Для простейшего потока интенсивность µ равна его параметру, что позволяет величину определять отношением 6.3. Уравнения вероятностей состояний системы с повторными вызовами Процесс обслуживания коммутационной системой первичных и повторных вызовов является марковским процессом. Используя его частный случай – процесс рождения и гибели, исходим из того, что за время 0 с конечной вероятностью в системе не может произойти более одного из следующих событий: поступления одного первичного или одного повторного вызова;

окончания первого или второго этапа обслуживания одной линией пучка;

прекращения одним из источников попыток добиться второго этапа обслуживания.

Вероятность поступления за время т точно одного первичного вызова определена в гл. 4 и составляет +о(), 0;

аналогично этому вероятность поступления за время точно одного повторного вызова при наличии k источников повторных вызовов равна k+о(), 0. Вероятность окончания за время первого этапа обслуживания одной из i занятых таким обслуживанием линий есть i+о(), 0;

аналогично этому вероятность окончания второго этапа обслуживания одной из (j–i) занятых таким обслуживанием линий равна (j–i)+о(), 0. Вероятность прекращения одним из k источников повторных вызовов попыток добиться второго этапа.обслуживания составляет k+O(), 0.

Пусть коммутационная система в произвольный момент (t+) должна находиться в состоянии (i, j, k), в котором в пучке занято i линий первым и j линий первым и вторым этапами обслуживания и в системе находится k источников повторных вызовов. Диаграмма состояний и переходов процесса обслуживания приведена на рис. 6.1. Обозначим через pi,j,k(t+) и pi,j,k(t) вероятности того, что система соответственно в моменты (t+) и t находится в состоянии (i, j, k). Для значений i=0, 1,.... j;

j=0, 1,..., –1;

k = 0, 1, 2,... коммутационная система к моменту (t+) может перейти в состояние (i, j, k) за время (t, t+), 0, с конечным значением вероятности из следующих состояний системы в момент t:

1. Система в момент t находится в состоянии (i–1, j–1, k) и за время на систему поступает первичный вызов. Вероятность такого события pi,j,k(t+)1=pi-1,j-1,k(t)+o().

2. Система в момент t находится в состоянии (i–1, j–1, k+1) и за время от одного из (k+1) источника повторных вызовов поступает повторный вызов. Вероятность такого события pi, j, (t+)2=pi-1, j-1, k+1(t)(k+1)+о().

k 3. Система в момент t находится в состоянии (i, j, k+1) и за время один из (k+1) источника повторных вызовов покидает систему, не добившись второго этапа обслуживания вызова. Вероятность такого события pi, j, k(t+)3=pi, j, k+1(t)(k+1)+o().

4. Система в момент t находится в состоянии (i+1, j, k) и за время один из (i+1) вызовов перейдет с первого ко второму этапу обслуживания. Вероятность такого события pi, j, (t+)4=pi+1, j, k(t)(i+1)+о().

k 5. Система в момент t находится в состоянии (i+1, j+1, k–1) и за время после первого этапа обслуживания освобождается одна из (i+1) линий. Вероятность такого события pi,j,k(t+)5=pi+1, j+1,k-1(t)(i+1)+o().

6. Система в момент t находится в состоянии (i, j+1, k) и за время освободится одна из (j+1–i) линий, занятых вторым этапом обслуживания. Вероятность такого события pi,j,k(t+)6=pi,j+1,k(t)(j+1–i)+о().

7. Система в момент t находится в состоянии (i, j, k) и завремя не происходит изменения состояния системы, т. е. за время не поступает ни одного первичного и ни одного повторноговызова, не изменяется состояние ни одной из линий, занятых первым этапом обслуживания, и ни одной из (j–i) линий, занятыхвторым этапом обслуживания, а также ни один из k источниковповторных вызовов не покидает систему. Вероятность такого события pi, j, k(t+)7=pi, j, k(t)[1––k–i–(j–i)–k]+о().

Имея в виду, что перечисленные события, приводящие коммутационную систему к моменту (t+) в состояние (i,j,k), вза-имио независимы, можно записать Систему уравнений вероятностей состояний модели (6.9) необходимо дополнить уравнениями, в которых состояния коммутационной системы в момент (t+) характеризуются занятостью всех линий пучка первым и вторым этапами обслуживания вызовов, т. е.

состояниями (i,, k), в которых j= и соответственно вероятность которых есть pi,,k(t+).

Производя над общей системой уравнений pi,j,k(t+) и pi,,k(t+) точно такие же преобразования, которые произведены в гл. 4 над системой уравнений вероятностей состояний полнодоступного пучка, обслуживающего симметричный поток вызовов, получаем систему алгебраических уравнений для определения вероятностей состояний коммутационной системы pi, j, k и pi,,k.

6.4. Основные характеристики качества работы системы с повторными вызовами В качестве основных характеристик работы рассматриваемой системы примем:

вероятность потери первичного вызова р и среднее число повторных вызовов, приходящихся на один первичный вызов c0.

Вероятность потери первичного вызова р определяется отношением интенсивности µп потерянных первичных вызовов по причине отсутствия свободных линий в пучке в момент поступления первичного вызова к интенсивности µ поступивших первичных вызовов:

р=µп/µ=п/. Поскольку поток первичных вызовов яв- При определении с0 следует учитывать, что повторные вызовы источника вызваны как отсутствием свободных линий в пучке в момент поступления первичного и повторных вызовов, так и только первым этапом обслуживания части вызовов. Обозначим через c среднее число повторных вызовов, приходящихся на один первичный или повторный вызов, которые происходят по причине отсутствия свободных линий в пучке в момент поступления вызова, и через c2 – среднее число повторных вызовов на первом этапе обслуживания. Тогда общее среднее число повторных вызовов c0, осуществляемых абонентом для обслуживания одного вызова (независимо от того, закончилось ли обслуживание вызова вторым этапом либо источник отказался от дальнейших попыток добиться полного обслуживания), составляет c0=c2+(1+c2)c1=c1+c2+c1c2.

Величина c2 может быть определена из ф-лы (6.4), по которой рассчитывается среднее число попыток на первом этапе обслуживания L: c2=L–1. Тогда Для определения р и c1 могут быть использованы таблицы [24]. В этих таблицах приводятся значения р и c1 для модели обслуживания потока вызовов, в которой учитываются повторные вызовы, появляющиеся только по причине отсутствия свободных линий в пучке в моменты поступления первичных вызовов. Значения р и c1 даны в зависимости от емкости пучка при фиксированных значениях =/, T=1/ и u=/. Значения р и c справедливы для значений среднего времени z между двумя соседними повторными вызовами, осуществляемыми источником, и вероятности Н того, что источник производит повторный вызов, которые связаны с Т и и следующими зависимостями:

На характеристики р и c0 работы системы с повторными вызовами, как и других коммутационных систем, существенное влияние оказывают величина интенсивности поступающей нагрузки у и емкость пучка линий. Помимо того, р и c0 зависят от ряда других параметров: вероятности того, что постудивший вызов не будет полностью обслужен;

вероятности H, того, что источник производит повторный вызов;

среднего времени z между двумя соседними попытками источника добиться обслуживания своего вызова.

Рассматриваемые зависимости характеризуются семействами кривых c0=f() и р/р1=f() при определенных значениях,, Н и z, где – удельная поступающая нагрузка на одну линию пучка, p1 – потери в системе, обслуживающей простейший поток вызовов. Указанные семейства кривых приведены на рис. 6.2 и 6.3 для значений =20;

=0,5;

Н=1 и 0,75;

z=0,2;

0,5;

1,0. За единицу времени величины z принята средняя длительность одного занятия t.

Задаваясь средними длительностями первого и второго этапов обслуживания t=25 с и t= с, получаем при Н1=1 и Н2=0,75 соответственно t1=170 с и t2=136 с.

Из рисунков следует, что значения c0 и p/p1 увеличиваются с возрастанием, Н и уменьшением z. При этом c0 увеличивается более интенсивно в области больших значений. Так, при z=0,2 и H=0,75 увеличение с 0,6 до 0,9 Эрл приводит к увеличению c0 с 0,6 до 1,1, т. е. в 1,8 раза. Еще более ощутимо влияет на c0 вероятность H. При =0,9 Эрл и z=0, увеличение H с 0,75 до 1,0 приводит к увеличению c0 в 4,3 раза.

Влияние среднего времени z на величину c0 ощутимо только в области больших значений (>0,6 Эрл) и значений вероятности H, близких к единице. Так, при =0,8 Эрл и H=0, значениям z=1,0;

0,5;

0,2 соответствуют значения c0 = 0,75;

0,8;

0,9, а при H=1–c0=1,4;

1,55;

2,0.

На величину потерь р помимо величины удельной поступающей нагрузки х существенно влияет вероятность Н, в то время как величина z оказывает малое влияние, которое практически можно не учитывать. Так, если H=1, и z=0,5, то при =0,5 Эрл отношение р/р11,2, а при =0,9 Эрл – р/р1=3,5.

Задача.

Определить: качественные характеристики р и c0 полнодоступного пучка емкостью =30 линий при следующих исходных данных: t=20 с;

t=140 с;

=0,6 Эрл;

=0,4;

H=0,9;

z=0,09.

Решение. Определяем среднюю суммарную длительность занятия линий пучка полным обслуживанием одного вызова: t=(t+t)/(l–H)=162 с =0,045 ч. Значения р и c1 определяем по таблицам вероятностных характеристик полнодоступного пучка при повторных вызовах. Для этой цели вычисляем вспомогательные величины Т и и: T=z/H=0,1;

u=(1–Н)/Н 0,1.

При полученных значениях T и и, =0,6 Эрл и =30 выписываем из таблиц значения р и c1: p=0,004;

c1=0,006 45. При L=l/(l–H)=1,56 находим c0=L+c1L–1=0,57.

Контрольные вопросы 1. В чем заключаются основные отличия работы системы с повторными вызовами от работы систем, обслуживающих простейший и примитивный потоки вызовов?

2. Почему в системе с повторными вызовами необходимо ограничивать величину поступающей нагрузки?

3. Каковы основные параметры, влияющие на работу системы с повторными вызовами?

4. Каковы особенности составления системы уравнений вероятностей состояний системы с повторными вызовами?

5. Каковы характеристики качества работы системы с повторными вызовами, способы их определения?

6. Каковы закономерности изменения характеристик качества обслуживания р и c0 в зависимости от изменения, Н, z?

Г Л А В А С Е Д Ь М А Я Метод статистическог о моделирования в з адачах теории телетрафика 7.1. Общие сведения Большое число задач теории телетрафика, связанных с изучением процессов обслуживания коммутационными системами поступающих потоков вызовов, требуют исследования микросостояний коммутационных систем. К таким системам, в первую очередь, относятся неполнедоступные коммутационные системы, блокирующие звеньевые коммутационные системы, использующие ряд режимов искания и алгоритмов установления соединений.

Марковские процессы позволяют достаточно просто составить системы уравнений, описывающие исследуемые процессы. Однако решение указанных систем уравнений наталкивается на большие вычислительные трудности. В качестве примера достаточно указать на наиболее простые по структуре неполнодоступ-ные схемы. Последние имеют s= микросостояний, где – емкость пучка линий, включаемого в выходы такой системы.

Напомним, что в реальных коммутационных системах 50 и соответственно s250>1015.

Решение системы с таким числом уравнений невозможно осуществить не только на существующих ЭВМ, но и на ЭВМ ближайшего будущего. Наиболее эффективным средством решения указанных задач теории телетрафика является метод статистического моделирования.

Использование универсальных и специализированных электронных машин для решения задач теории телетрафика за последние два десятилетия нашло широкое распространение.

Если на первом этапе для этих целей преимущественно создавались специализированные машины, то в последнее десятилетие, характерное бурным развитием вычислительной техники, основное применение имеют универсальные ЭВМ.

Метод статистического моделирования сложных коммутационных систем на универсальных ЭВМ или специализированных машинах сводится к имитации процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов, в результате которой можно получить задаваемые статистические характеристи-ки исследуемого процесса. В машине (или в приставке к ней) вырабатывается требуемого типа случайный поток вызовов, в памяти машины отображается структура моделирования коммутационной системы, моделирование производится по разработанной программе управления процессом установления соединений и их разъединения. При статистическом моделировании возможно с любой степенью точности воспроизвести весь исследуемый процесс и получить интересующие статистические характеристики. Естественно, чем выше требуется точность результатов исследуемого процесса, тем в большем объеме необходимо провести статистические испытания и, следовательно, требуется больше машинного времени.

Для экономного расходования машинного времени с сохранением высокой точности результатов моделирования непосредственное статистическое моделирование истинного процесса обслуживания коммутационной системой поступающего потока вызовов заменяется моделированием искусственных вероятностных моделей. В качестве такой модели широко используется моделирование марковской цепью.

Необходимо отметить, что в курсе «Теория телетрафика» предусматривается лишь ознакомление с основными принципами статистического моделирования. Изучение вопросов программирования и статистического моделирования – задача специального курса.

7.2. Моделирование случайных величин Метод Монте-Карло. Моделирование случайных процессов, в том числе и систем массового обслуживания, осуществляется с помощью моделирования случайных величин, подчиняющихся различным распределениям: равномерному, показательному, нормальному и др. Для получения таких случайных величин используется случайная величина X, равномерно распределенная на отрезке [0,1], из которой различными преобразованиями получают случайную величину, подчиняющуюся требуемому закону распределения.

Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке [0,1], если ее плотность f() на этом отрезке постоянна и равна единице:

Функция распределения такой случайной величины X имеет значения Плотность f() и функция распределения F() случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [0,1], показаны на рис. 7.1.

Случайную величину X, равномерно распределенную на отрезке [0,1], можно получить из дискретной случайной величины, равновероятно принимающей значения 0 и 1. Действительно, двоичная дробь Х=0, a–1a–2..., где a–1a–2... есть последовательность независимыхслучайных величин, каждая из которых с вероятностью 1/2 принимает значение 0 и с вероятностью1/2 – единицу, представляет случайную величину, равновероятно распределенную на отрезке [0, 1].

Для того чтобы промежутки между соседними значениями равномерно распределенной случайной величины X стремились к нулю, необходимо иметь бесконечную последовательность независимых случайных величин {ai, i= –1, –2,...}, равновероятно принимающих значения 0 и 1. На практике непрерывно распределенная случайная величина моделируется приближенно. При этом может быть обеспечена сколь угодно высокая точность за счет выбора числа k двоичных разрядов в ЭВМ, определяющих двоичную дробь 0, a-1a-2...a-k. Таким образом, вместо непрерывной случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0,1], моделируется дискретная случайная величина, равновероятно принимающая значения 0, 1/2k, 2/2k,..., 2k–1/2k с промежутками между соседними значениями 1/2k.

Представим отрезок [0,1] линией, образующей окружность. Тогда случайная величина X, равномерно распределенная на отрезке [0,1], окажется равномерно распределенной по длине окружности. Получаем аналогию с игрой в рулетку. В связи с этим разнообразные модели равномерно распределенной случайной величины часто называют рулеткой, а метод статистических испытаний получил название метода Монте-Карло (по названию курорта в княжестве Монако на берегу Средиземного моря, в игорных домах которого распространена игра в рулетку).

Случайные величины X, равномерно распределенные на отрезке [0,1], можно получить тремя способами: 1) используя таблицы случайных чисел;

2) с помощью генераторов (датчиков) случайных чисел;

3) программным путем с помощью ЭВМ (псевдослучайные числа).

Псевдослучайные числа (точнее, псевдослучайная последовательность чисел) вырабатываются рекуррентным способом по специальным алгоритмам, в которых каждое последующее число получается из предыдущих в результате применения некоторых арифметических и логических операций. Эти числа называются псевдослучайными, а не случайными, так как последовательности чисел, получаемых с помощью рекуррентных соотношений, являются периодическими. Однако период может быть выбран столь большим, что практически этот недостаток можно не учитывать.

На универсальных ЭВМ используется много различных алгоритмов получения псевдослучайных последовательностей чисел, равномерно распределенных на интервале [0,1]. В них предусматривается сдвиг исходного числа на несколько разрядов влево, затем сдвиг исходного числа на несколько разрядов вправо, сложение двух новых чисел, взятие какой-либо части нового числа и другие арифметические и логические операции для получения следующего случайного числа, равномерно распределенного на отрезке [0,1].

Для увеличения периода в качестве исходных выбирается не одно, а несколько случайных чисел, используется не одно, а несколько различных рекуррентных соотношений.

Принцип моделирования непрерывной случайной величины, распределенной по любому закону. Возможность моделирования случайной величины X, равномерно распределенной на отрезке [0,1], позволяет моделировать и непрерывную случайную величину 3, распределенную по любому закону F()=p(<). Функция распределения случайной величины монотонно возрастает от 0 до 1. Можно показать, что значения случайной величины, распределенной по любому закону в интервале [а, b) с плотностью f(), определяется из уравнения Для каждой реализации величины X решается последнее уравнение относительно, т. е.

определяется реализация величины.

Процедура получения случайной величины по некоторой реализации величины X показана на рис. 7.2, на котором приведена функция распределения F() случайной величины. Для каждой конкретной реализации равномерно распределенной случайной величины X прямая f()= пересекает кривую функции распределения только в одной точке, абсцисса которой и определяет значение в этой реализации.

Покажем принцип моделирования случайной величины, равномерно распределенной в интервале [а, b), и случайной величины, распределенной по показательному закону.

Равномерно распределенная в интервале [а, b) случайная величина имеет в этом интервале постоянную плотность, равную Используя в процессе моделирования каждую реализацию случайной величины X и преобразование (7.5), получаем последовательность случайных величин, равномерно распределенных в интервале [а, b).

Случайная величина, распределенная в интервале [0, ) по показательному закону с параметром, имеет плотность распределения Таким образом, в процессе моделирования на основе многократной реализации случайной величины X и преобразования (7.6) получаем последовательность случайных величин распределенных по показательному закону с заданным параметром.

Умение моделировать непрерывные случайные величины дает возможность моделировать и любой поток вызовов, заданный последовательностью функций распределения промежутков между вызовами. Так, при моделировании простейшего потока вызовов последовательность случайных величин zi можно получить, используя преобразование (7.6).

7.3. Моделирование коммутационных систем на универсальных вычислительных машинах Моделирование на основе цепи Маркова процесса обслуживания потока вызовов коммутационной системой. При моделировании процесса обслуживания потока вызовов коммутационной системой, как и при моделировании любой системы массового обслуживания, нет необходимости полностью имитировать реальный процесс. Достаточно, чтобы различные состояния искусственного и реального процессов совпадали либо находились во взаимно однозначном соответствии, иными словами, достаточно, чтобы моделируемый искусственный процесс и получаемые при этом характеристики соответствовали в статистическом смысле реальному процессу и исследуемым вероятностным характеристикам.

Ранее было показано, что процесс функционирования любойкоммутационной системы при обслуживании потока с простымпоследействием (в том числе и простейшего потока вызовов) припоказательном распределении длительности занятия является марковским процессом.

Поэтому вместо моделирования реальногопроцесса обслуживания потока вызовов коммутационной системойможно моделировать марковский процесс, т. е. моделировать искусственный процесс с вероятностными свойствами реального процесса. При этом модель описывается системой уравнений различных состояний обслуживающей коммутационной системы. Заменамоделирования реального процесса моделированием марковскогопроцесса приводит к существенной экономии в оперативной и постоянной памяти вычислительной машины.

При имитации моделирования реального процесса обслуживающей коммутационной системы марковским процессом требуется учитывать случайные отрезки времени пребывания системы в различных состояниях. Существенное дальнейшее упрощение статистического моделирования обслуживающей коммутационной системы достигается заменой моделирования марковского процесса моделированием цепи Маркова. При этом переход модели из одного состояния в другое происходит в дискретные моменты времени, в каждый из которых реализация случайной величины имитирует либо поступление нового вызова, либо окончание находящегося на обслуживании какого-либо вызова. Между всеми состояниями коммутационной системы и моделируемой цепи Маркова устанавливается взаимно однозначное соответствие. Это означает, что под воздействием поступившего в дискретный момент времени вызова (или окончания соединения) переход моделируемой цепи Маркова из какого-либо определенного состояния в новое соответствует переходу реальной коммутационной системы в такое же новое состояние, если до этого коммутационная система находилась в однозначном состоянии с моделируемой цепью Маркова.

При моделировании цепи Маркова каждое изменение цепи происходит за один цикл работы машины, в течение которого реализуется случайная величина, имитирующая поступление нового вызова или окончание обслуживания какого-либо ранее поступившего вызова, а также происходит переход цепи в другое состояние. Не требуется в явном виде учитывать время пребывания системы в различных состояниях. В результате уменьшаются объемы информации, которые должны храниться в памяти машины, на каждое изменение состояния обслуживающей системы требуется меньшее число операций машины – сокращается время цикла работы машины. Поэтому имеется возможность осуществлять на ЭВМ статистическое моделирование обслуживающих коммутационных параметров, получать значительные по объему статистические характеристики исследуемых систем и одновременно сокращать время моделирования. Для реализации каждого из событий, поступающих в дискретные моменты времени (поступления нового вызова, освобождения какого-либо соединительного пути), необходимо знать вероятности их поступления. С этой целью определим указанные вероятности и способ их реализации при моделировании на ЭВМ цепи Маркова, имитирующей обслуживающую коммутационную систему при достаточно общих предположениях.

Коммутационная система произвольной структуры (рис. 7.3) содержит s групп входов и h групп (направлений) выходов. На каждую группу входов поступает поток с простым последействием.

Параметр потока вызовов – (i, j, k), где i – номер группы входов;

j – номер выбираемого направления;

k – номер состояния коммутационной системы в момент поступления вызова.

Параметр потока освобождений соединительного пути между i-й группой входов и j-м направлением при k-м состоянии системы – (i, j, k). Суммарный параметр потоков вызовов аk и суммарный параметр потоков освобождений bk в промежутки времени, в которые коммутационная система находится в состоянии k, составляют При k-м состоянии цепи Маркова моделируется случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0, ak+bk). Если в рассматриваемом цикле работы ЭВМ случайная величина реализуется на участке равномерно распределенного отрезка [0, аk+bk), соответствующем то полагаем, что эта случайная величина определяет поступление вызова на п-ю группу входов и соединение требуется установить в m-м направлении. Если реализуется на участке то величина определяет освобождение соединительного пути между n-й группой входов и т-й группой выходов. Заметим, что при этом может освободиться любой из установленных соединительных путей между указанными группами входов и выходов.

Статистические характеристики моделирования. Целью моделирования является получение статистических оценок вероятностных характеристик процессов обслуживания коммутационными системами поступающих потоков вызовов при заданных дисциплинах обслуживания. Эти оценки принято называть статистическими характеристиками. К таким характеристикам относятся: в системах с потерями – вероятность потерь, вероятности различных состояний коммутационной системы;

в системах с ожиданием – распределение времени ожидания начала обслуживания, среднее время ожидания, средняя длина очереди и другие характеристики.

Моделирование исследуемого процесса разбивается на группу п экспериментов (серий), в каждом из которых производится равное число m испытаний (например, число поступающих вызовов).

Число испытаний в каждом эксперименте выбирается таким, чтобы измеряемые статистические характеристики исследуемых вероятностных величин были бы достаточно представительны. Так, при определении вероятности потерь (ожидаемая величина которых составляет порядка 5%o) необходимо в каждом эксперименте предусмотреть десять и более тысяч испытаний, с тем чтобы число потерянных вызовов достигало нескольких десятков и даже сотен. В конце моделирования исследуемого процесса определяются средние значения, дисперсии и доверительные интервалы измеряемых статистических характеристик.

Перед моделированием первого эксперимента необходимо осуществить нулевую серию моделирования для приведения исследуемой системы в стационарный режим.

7.4. Точность и достоверность результатов моделирования При моделировании коммутационных систем, как отмечалось выше, общее время моделирования разбивается на п равных отрезков, т. е. разбивается на п экспериментов (серий). В каждом эксперименте производится равное число т испытаний (как правило, т поступающих вызовов). Для каждой серии определяется экспериментальное значение исследуемой статистической характеристики, например потерь, по формуле где ri – число появлений исследуемого события (число потерянных вызовов) в i-й серии;

xi – экспериментальное значение статистической характеристики (потерь) в той же серии.

После завершения процесса моделирования определяются статистические оценки среднего значения х, дисперсии 2 и среднеквадратического отклонения по формулам Оценка точности и достоверности результатов моделирования может быть произведена на основе применения центральной предельной теоремы для стационарных последовательностей, согласно которой исследуемые статистические характеристики сходятся к нормальному закону. При этом оценка точности и достоверности результатов моделирования производится по критерию Стьюдента:

где р(z*n-1) – доверительная вероятность или надежность статистической оценки, т. е.

вероятность того, что случайный доверительный интервал (х–, х+) содержит в себе теоретическую (достоверную) характеристику х;

Sn-1(z*n-1) – коэффициент, определяемый распределением Стьюдента при (п–1)-й степени свободы. Величина определяет точность статистической оценки, или доверительную границу статистической оценки.

* При числе степеней свободы (п–1)19 и zn-1 = ( n)/ 6 величина Sn_1(z*n_1) определяется по таблицам распределения Стьюдента.

Если число степеней свободы (n–1)>19 (т. е. число экспериментов n>20), то величину Sn_1(z*n_1) можно определять по приближенной формуле где Ф0(z) – интегральная форма функции, предназначенная для вычисления значений функции нормального распределения и определяемая по формуле * Функция Ф0(z) табулирована. В (7.11) = zn-1, и при заданной доверительной n вероятности p(z*n_1) с увеличением числа экспериментов п повышается точность статистической оценки, т. е. уменьшается доверительная граница статистической оценки е, а следовательно, сокращается доверительный интервал (х–, х+). Поэтому рекомендуется, чтобы количество серий п при моделировании исследуемой коммутационной системы было достаточно большим – желательно, чтобы n50. Расчетами установлено, что при таких значениях п достигается и достаточно устойчивое значение статистической оценки среднеквадратического отклонения.

Задача.

Исследуется коммутационная система с потерями, в которой необходимо определить вероятность потерь р при определенных параметрах системы и заданной величине интенсивности поступающей нагрузки.

Моделирование коммутационной системы проведено 3 раза с различным числом экспериментов (серий): n1=16, n2=25, n3=49. В результате каждого процесса моделирования получены одинаковые статистические оценки среднего значения потерь р и среднеквадратического отклонения, а именно: р=0,005 и =0,01.

Определить: доверительные интервалы вероятности потерь р для трех процессов моделирования при доверительной вероятности p(z*n-1) =0,95.

Решение. Значения коэффициента z*n-1 табулированы в зависимости от доверительной вероятности p(z*n-1) и числа степеней свободы n–1 [29]. Для p(z*n–1)=0,95 и n1–1=15 значение коэффициента z*n-1=2,13. Из * соотношения = zn-1, определяем 1=0,0053. Доверительный интервал составит (р–1

Для n2=25 и n3 = 49 коэффициент z можно определять в предположении, что величина р распределена по нормальному закону. В этом случае при p(z*n-1)=0,95 значение z=l,96. Тогда при n2=25 и n3=49 соответственно 2=0,004 и 3=0,0028 и доверительные интервалы (0,001<р<0,009) и (0,0012<р<0,0078).

Таким образом, рассмотренная задача показывает, что при определенной доверительной вероятности p(z*n-1) с увеличением числа экспериментов п сокращается доверительный интервал.

Контрольные вопросы 1. Как формируется непрерывная случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [0,1] с помощью моделирования дискретной случайной величины?

2. В чем заключается принцип моделирования непрерывной случайной величины, распределенной по любому закону?

3. В чем сущность и каковы достоинства моделирования цепью Маркова процесса обслуживания потока вызовов коммутационной системой?

4. Что представляют собой статистические характеристики моделирования?

5. Как определяются точность и достоверность результатов моделирования?

Г Л А В А В О С Ь М А Я Неполнодоступное включение. Системы с потерями 8.1. Общие сведения Неполнодоступная коммутационная схема (НС) – это схема с таким включением выходов, при котором каждому входу доступны не все, а лишь некоторая часть выходов, хотя в совокупности все входы могут использовать все выходы.

Совокупность входов НС, каждому из которых доступны одни и те же d выходов, называется нагрузочной группой. Число нагрузочных групп обозначается g. Число выходов d НС, каждый из которых доступен каждому входу одной нагрузочной группы, называется доступностью. Чаще всего применяются такие НС, у которых доступность для всех нагрузочных групп одинакова.

На рис. 8.1а приведена четырехгрупповая схема неполнодоступного включения. Схема характеризуется следующими параметрами: число нагрузочных групп g=4;

число выходов =4k1+2k2+k4=16;

доступность выходов d=k1+k2+k4=10;

число индивидуальных выходов в каждой группе k1=1;

число выходов, общих для двух групп, k2=3;

число выходов, общих для четырех групп, k4=6.

В схеме, приведенной на рис. 8.1а, число объединяемых точек коммутации монотонно возрастает с увеличением порядкового номера точки в ряду, относящемуся к одной группе.

Такие неполнодоступные схемы называют схемами ступенчатого включения.

В схемах ступенчатого включения могут объединяться точки коммутации несоседних групп (перехваченные включения) и точки коммутации с разными номерами (сдвинутые включения). На рис. 8.1б приведена схема ступенчатого включения с теми же параметрами, что и схема на рис. 8.1 а. Коммутационные точки с порядковыми номерами 3 и 4 здесь объединяются с применением перехваченного, а точки 5–10 – сдвинутого включения.

Другой разновидностью неполнодоступных схем являются равномерные схемы неполнодоступного включения. На рис. 8.1 в приведена четырехгрупповая схема с теми же параметрами, что и две предыдущие. В отличие от ступенчатой схемы, равномерная схема строится по принципу объединения точек коммутации у одинакового числа групп при образовании любого общего выхода. На рис. 8.1в видно, как объединяются по две или три точки коммутации, принадлежащие разным группам. Здесь применяются также сдвинутое и перехваченное включения.

Равномерная схема рис. 8.1в состоит из четырех элементарных подсхем, каждая с одинаковым сдвигом между соседними шагами искания. Такие элементарные подсхемы называются цилиндрами.

Для заданных значений параметров d и в случае двухгруппо-вого включения (g=2) существует лишь один вариант структуры неполнодоступного включения (один набор значений структурных параметров k1 и k2). Для многогруппового включения (g>2) каждому значению параметров d и может соответствовать несколько вариантов структуры, и при достаточно больших g, d и число вариантов может быть велико.

Неполнодоступная схема имеет существенные отличия от полнодоступной. В полнодоступной схеме (ПС) d, в неполнодоступной схеме d<. Кроме того, в полнодоступной схеме (см. гл.4) характер включения выходов в точки коммутации и порядок искания свободного выхода не влияют на вероятность потерь при заданной интенсивности поступающей нагрузки, учитываются только макросостояния. В неполнодоступной схеме характер включения выходов и порядок искания существенно влияют на пропускную способность НС, так как вероятность потери поступающего вызова в общем случае зависит не только от числа выходов, но и от того, какие выходы заняты, т. е. необходимо учитывать микросостояния.

В связи с этим метод исследования полнодоступной схемы с помощью системы уравнений для вероятностей состояний, как правило, непригоден для НС из-за большого числа уравнений в системе, которая не может быть решена в хоть сколько-нибудь приемлемое время даже с помощью быстродействующих ЭВМ. Решение системы уравнений для вероятностей состояний НС возможно лишь для неполнодоступных схем, рассчитанных на небольшое число линий или схем, обладающих свойствами симметрии, как это имеет, место в случае идеально симметричного неполнодоступного включения, для которого можно ограничиться рассмотрением только макросостояний, а следовательно, и число уравнений сравнительно мало. К сожалению, эти случаи не имеют существенного практического значения и представляют лишь теоретический интерес для получения оценок вероятности потерь.

В практике проектирования обычно пользуются приближенными инженерными методами, которые основаны на априорных предположениях не о поступающем потоке вызовов, а о промежуточных или конечных результатах его воздействия на НС, т. е. о характере распределения числа занятых выходов схемы или о средней нагрузке, обслуженной каждым выходом НС. К таким методам можно отнести известные методы О'Делла, Бабицкого, Лотце (модифицированная формула Пальма–Якобеуса) и другие.

В некоторых приближенных инженерных методах используются свойства определенных видов НС с тем, чтобы отдельные части такой НС представить в виде полнодоступной схемы и воспользоваться сравнением НС с некоторой эквивалентной ПС (метод эквивалентных замен).

Основные цели, преследуемые при теоретическом анализе НС, заключаются в том, чтобы при заданной доступности определить число выходов НС, требуемых для обслуживания заданной нагрузки при установленном качестве обслуживания (вероятности потерь для систем с потерями), и определить оптимальную структуру НС (способ включения выходов в точки коммутации схемы при заданном порядке искания свободного выхода).

8.2. Некоторые характеристики неполнодоступных схем Матрица связности. Одной из характеристик неполнодоступной схемы является число связей, т. е. число соединений между точками коммутации (контактами) отдельных нагрузочных групп НС. Так, на рис. 8.1а первая группа имеет девять связей со второй группой (на 2–10-м шагах искания), вторая группа – шесть связей с третьей, третья группа – девять связей с четвертой и т. д. Число связей между каждой парой групп можно представить в виде матрицы связности. Матрица связности является квадратной-симметричной относительно главной диагонали матрицей порядка g, где g – число нагрузочных групп неполнодоступной схемы.

На рис. 8.1 г, д, е, приведены матрицы связности для неполнодоступных схем, изображенных на рис. 8.1 а, б, в. Схемы имеют одинаковое число групп g = 4, одинаковую доступность d = 10, одно и то же число выходов =16, отличаются способом соединения точек коммутации. Элементы главной диагонали равны доступности d. Элементы, стоящие на пересечении строки и столбца, показывают число связей между группами, соответствующими номерам строки и столбца. Элементы столбца, расположенного справа от матрицы, указывают на суммарное число связей соответствующей группы с остальными. Как видно из рис. 8.1, и суммарное число связей у каждой группы с другими и равномерность их распределения по группам различны у разных схем.

Суммарное число связей у первых двух неполнодоступных схем больше, чем у третьей равномерной схемы. Наиболее равномерно распределены связи каждой группы с другими во второй НС.

Исследования показывают, что при прочих равных условиях схема, обладающая более равномерной матрицей связности, имеет в определенных случаях преимущество перед схемой с менее равномерной матрицей. Считают, что если разница между любыми двумя элементами матрицы связности и разница между любыми двумя элементами столбца, расположенного справа от матрицы, не превышают по абсолютной величине единицу, то неполнодоступная схема построена хорошо. Матрица, удовлетворяющая указанным условиям, обеспечивает одинаковую связность каждой из нагрузочных групп с любой другой и одинаковую суммарную связность каждой из групп со всеми остальными. При одинаковой нагрузке на каждую из нагрузочных групп НС, обладающая такой матрицей связности, характеризуется одинаковым влиянием всех нагрузочных групп друг на друга. Однако матрица связности не может служить полной характеристикой НС. Существенное значение имеет также распределение связей по шагам искания, учет порядка искания в НС и др.

Коэффициент уплотнения. Для характеристики схемы неполнодоступного включения используют коэффициент уплотнения Значения лежат в пределах l<1.

Для уточнения величины можно привлечь следующие соображения. При проведении предварительного запараллеливания надо получить такое число групп, чтобы телефонная нагрузка, создаваемая каждой группой, была меньше нагрузки, которую могут обслужить d линий полнодоступного пучка при заданных потерях.

Если при заданных потерях р интенсивность нагрузки, обслуживаемой всеми линиями неполнодоступного пучка, равна y0НС(p,, d), то ее можно представить в виде где НС(p,, d) – средняя нагрузка, пропускаемая каждой линией неполнодоступного пучка, состоящего из линий.

При равномерном распределении нагрузки между группами нагрузка каждой группы будет равна Интенсивность нагрузки у0ПС(p, =d), обслуживаемой полнодоступным пучком, состоящим из d линий, при заданных потерях p может быть выражена как y0ПС(p,, d)=dHC(p, =d). В соответствии с вышесказанным [HC(p,, d)]/g

>1,6.

Практика эксплуатации телефонных систем и теоретические исследования показывают, что величину коэффициента уплотнения следует выбирать в пределах =24.

При малых коэффициентах уплотнения уменьшается пропускная способность неполнодоступного пучка за счет того, что среди возможных при таком у схем неполнодоступного включения может не оказаться схемы с достаточно хорошей пропускной способностью. При больших увеличивается расход кабеля на АТС.

Из предыдущего соотношения вытекает, что предварительное запараллеливание нужно производить так, чтобы получить число групп g, удовлетворяющее условию 8.3. Выбор структуры ступенчатой неполнодоступной схемы При выборе структуры НС преследуют несколько целей. Среди них: получение максимальной пропускной способности при заданных параметрах схемы;

уменьшение чувствительности к асимметрии нагрузки по нагрузочным группам;

достижение гибкости при изменении параметров схемы;

сокращение времени, необходимого на выбор структуры и ее осуществления, и др. В некоторых случаях соответствующим выбором структуры требуется увеличить переходное затухание между соединительными устройствами, подключенными к выходам НС.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.