WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

40 «Золотое сечение» Тема урока: «ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ» (8 – 9 класс, 2 часа) Содержание «Золотое сечение», «золотой треугольник», «золотой прямоугольник», «золотая спираль». Числовое значение золотого

отношения. Деление отрезка в золотом отношении.

Цель изучения 1. Расширить кругозор учащихся, способствовать развитию познавательно го интереса.

2. Показать школьникам общеинтеллектуальное значение математики.

Способствовать познанию законов красоты и гармонии окружающего мира.

Прогнозируемый результат 1. Знать понятия «золотое сечение», «золотой треугольник», «золотой пря моугольник».

2. Знать числовое значение золотого отношения.

3. Уметь делить отрезок в золотом отношении.

План урока 1. Вступительное слово учителя.

2. «Золотое сечение» в математике: постановка задачи, аналитическое и геометрическое решение пропорции а х =.

х а - х 3. «Золотое сечение» в природе, технике, искусстве (сообщения учащихся).

4. Подведение итога урока.

5. Домашнее задание.

Оборудование 1. Чертежные инструменты.

2. Плакат «Золотое сечение» в природе.

3. Гербарии.

4. «Раскладушка»: пентаграмма, лотарингский крест, закон углов, деление отрезка в золотом отношении, работы Фидия … Эпиграф урока «…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золо тым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Иоганн Кеплер Ход урока «Золотое сечение» Окружающий нас мир многообразен… Вы, наверное, обращали внимание, что мы неодинаково относимся к предметам и явлениям окружающей действительности. Беспорядочность, бес форменность, несоразмерность воспринимаются нами как безобразное и произ водят отталкивающее впечатление. А предметы и явления, которым свойствен на мера, целесообразность и гармония воспринимаются как красивое и вызы вают у нас чувство восхищения, радости, поднимают настроение.

Людей с давних времён волновал вопрос, подчиняются ли такие неуло вимые вещи как красота и гармония, каким-либо математическим расчётам.

Можно ли «проверить алгеброй гармонию?» – как сказал А.С. Пушкин.

Конечно, все законы красоты невозможно вместить в несколько формул, но, изучая математику, мы можем открыть некоторые слагаемые прекрасного.

Сегодня на уроке я познакомлю вас с одним из таких математических со отношений, там, где оно присутствует, ощущается гармония и красота.

Тема сегодняшнего урока «Золотое сечение и гармония форм природы и искусства». Откройте тетради, запишите число … и тему урока … Эпиграфом урока будут слова немецкого астронома и математика Иоган на Кеплера: «…Геометрия владеет двумя сокровищами – теоремой Пифагора и золотым сечением, и если первое из них можно сравнить с мерой золота, то второе – с драгоценным камнем…».

Теорему Пифагора знают многие люди, а вот что такое «золотое сечение» – далеко не все. Сегодня на уроке я познакомлю вас с этим понятием, научу де лить отрезок в золотом отношении, увидим, где оно встречается в природе, как используется в технике и произведениях искусства.

Что же такое золотое сечение?

Рассмотрим отрезок АВ.

• • • А С В Его можно разделить точкой С на две части бесконечным множеством способов, но говорят что точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропорция: длина меньшего отрезка так относится к длине боль шего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

СВ АС =. (1) АС АВ Термин золотое сечение ввёл в XVI веке великий художник, учёный и изо бретатель Леонардо да Винчи. В истории утвердились три варианта назва- 42 «Золотое сечение» ния: золотое сечение, золотая пропорция и третье – деление отрезка в среднем и крайнем отношениях. Кроме того, золотое сечение награждали эпитетами «бо жественное», «чудесное», «превосходнейшее», потому что-то, где оно присут ствует, вызывает у нас ощущение красоты и гармонии. Об этом поговорим чуть позже.

Чтобы и вы смогли увидеть золотое сечение в природе, в произведениях искусства, я научу вас сейчас делить отрезок в среднем и крайнем отношениях, т.е. делить отрезок в золотом отношении.

Деление отрезка в золотом отношении l Д а н о: П о с т р о е н и е. D отрезок АВ. (не мельчите!) П о с т р о и т ь: E золотое сечение отрезка АВ, т.е.

точку С так, чтобы СВ АС =.

АС АВ A C B Построим прямоугольный треугольник, 1) l AB, B l;

у которого один катет в два раза больше другого. 2) BD = AB, D l;

Для этого восстановим в точке В перпендикуляр 3) AD;

к прямой АВ и на нём отложим отрезок BD = AB. 4) DE = BD, E AD;

Далее, соединив точки А и D, отложим от- 5) AC = AE, C AB;

резок DЕ = ВD, и наконец, АС = АЕ. 6) Точка С – искомая.

Точка С является искомой, она производит золотое сечение отрезка АВ.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

ABD – прямоугольный по построению. По теореме Пифагора AD2 = AB2 + BD2, так как отрезок AD равен сумме отрезков AE и ED, то равенство перепишем в виде:

(AE + ED)2 = AB2 + BD2, 1 AC AB AB 2 1 (AC + AB)2 = AB2 + ( AB)2, 2 «Золотое сечение» 1 1 AC2 + 2· AC·AB + AB2 = AB2 + AB2, 2 4 AC2 + AC·AB = AB2, AC2 = AB2 – AC·AB, AC2 = (AB – AC) ·AB, СВ СВ АС AC2 = CB·AB, =.

АС АВ И с с л е д о в а н и е. Задача имеет единственное решение.

Ч. т. д.

Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача. Она присутствует в «Началах» Евклида, который решил её другим способом. С этим решением вы можете познакомиться после урока, прочитав материалы «раскла душки».

Золотое сечение записывается с помощью пропорции. Пропорция – это равенство двух отношений. Вам, я думаю, интересно узнать численное значе ние этих отношений. Сейчас мы его найдём.

Для удобства длину отрезка АВ обозначим за а, а длину отрезка АС – за х, то длина отрезка СВ будет а – х.

х а – х • • • А С В a a - x x Пропорция (1) примет вид =. (2) x a (Отношение длины меньшего отрезка а – х к длине большего отрезка х равно отношению большего отрезка х к длине всего отрезка а).

Так как отношения составляющие пропорцию равны, то найдём числен х ное значение, например, отношения.

а По свойству пропорции: произведение средних членов равно произведе нию крайних членов. Равенство (2) перепишется в виде х2 = а (а - х).

Раскроем скобки и все слагаемые перенесём в левую часть:

х2 = а2 - ах, х2 + ах - а2 = 0.

Решать получившееся квадратное уравнение относительно х к доске пой дёт … D = а2 - 4 1(-а2 ) = а2 + 4а2 = 5а2.

Так как, а – это длина отрезка, поэтому D > 0, уравнение имеет 2 корня.

- a ± a - a ± 5a2 - a ± a x1,2 = = = ;

2 2 44 «Золотое сечение» - a - a 5 - a + a x1 = ;

x2 =.

2 x Напоминаю, что мы находим значение.

a Получилось два значения х, но х – это длина отрезка, т.е. число положи тельное.

Проверим, удовлетворяет ли x1 этому условию? ( x1 не удовлетворяет условию, так как меньше нуля).

Удовлетворяет ли x2 этому условию?

a 5 - a ( 5 - 1) a x2 = = ;

2 5 - 5 > 1, > 0, а > 0.

Значит, x2 > 0.

Находим отношение x ( 5 - 1) a 5 - = =.

a 2a Чтобы вы лучше представили это число, вычислите значение этого выра жения с помощью микрокалькулятора с точностью до сотых.

5 - 0,62 =.

Следовательно, отношение длины меньшего отрезка к длине большего отрезка и отношение большего к длине всего отрезка равно 0,62. Такое отно шение и будет золотым. Полученное число обозначается буквой. Это первая буква в имени великого древнегреческого скульптора Фидия, жившего в V в до н.э., который часто использовал золотое отношение в своих произведениях.

О творениях Фидия будет рассказано чуть позже.

Итак, вы узнали, что такое золотое сечение и как разделить произвольный отрезок в золотом отношении.

Так когда же некоторая точка С производит золотое сечение отрезка AD?

(Точка С производит золотое сечение отрезка АВ, если выполняется пропор ция: длина меньшего отрезка так относится к длине большего, как больший отрезок относится к длине всего отрезка, т.е.

СВ АС =.

АС АВ На уроках геометрии мы изучили равнобедренный треугольник, равно сторонний треугольник, оказывается, существует ещё так называемый золотой треугольник.

«Золотое сечение» Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении:

В АС = АВ А С А сейчас проведём психологический опыт.

Начертите на альбомном листе любой прямоугольник, но какой вам больше нравиться(!).

Найдите отношение ширины прямоугольника к его длине. (Учитель про ходит между рядами.) Чему равно получившееся отношение?

Результаты показали, что у большинства из вас отношение сторон оказа лось близким к числу. И это не случайно, так как многим людям кажутся кра сивыми и гармоничными именно те фигуры, в которых есть элементы, связан ные друг с другом золотым отношением.

Прямоугольник, стороны которого находятся в золотом отношении, т.е.

отношение ширины к длине даёт число, называется золотым прямоуголь ником.

Давайте начертим такой прямоугольник в тетради. Для этого мы не будем новый отрезок делить в золотом отношении, а воспользуемся результатом зада чи на построение. Ширину прямоугольника возьмём равную отрезку СВ, а дли ну – АС. Прямые углы начертим с помощью чертёжного треугольника.

L M KL = KN K N Окружающие нас предметы дают примеры золотого прямоугольника: об ложки многих книг, журналов, тетрадей, открытки, картины, крышки столов, экраны телевизоров и т.д. близки по размерам к золотому прямоугольнику.

46 «Золотое сечение» Возьмём, например, наш учебник геометрии. Найдите отношение шири ны к длине. Чему равно получившееся отношение?

0,666… Какой можно сделать вывод? (Прямоугольник близок к золотому прямо угольнику.) А теперь продолжим работу с золотым прямоугольником.

В нём построим квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольни ка, у которого с прямоугольником общий прямой угол. Оказывается, снова по лучим золотой прямоугольник меньших размеров. В этом прямоугольнике сно ва построим квадрат, у которого с прямоугольником общий угол, и со стороной равной меньшей стороне прямоугольника. Снова получился золотой прямо угольник. Произведём несколько аналогичных построений.

Видим, что весь прямоугольник оказался составленным из вращающихся квадратов. Соединим противолежащие вершины квадратов плавной кривой.

Сделаем это с помощью циркуля следующим образом… Мы получили кривую, которая является золотой спиралью. Оказыва ется, в природе встречаются и золотое сечение и золотая спираль. Об этом нам расскажет … Сообщение Интерес человека к природе привёл к открытию её физических и матема тических закономерностей. Красота природных форм рождается во взаимодей ствии двух физических сил – тяготении и инерции. Золотая пропорция – это математический символ этого взаимодействия, поскольку выражает основные моменты живого роста: стремительный взлёт юных побегов сменяется замед ленным ростом «по инерции» до момента цветения.

Рассматривая расположение листьев на общем стебле многих растений, можно заметить, что между каждыми двумя парами листьев третья расположе на в месте золотого сечения. Точка С делит отрезок АВ в золотом отношении, точка Е делит отрезок DA в золотом отношении и так далее.

Золотую спираль также можно заметить в созданиях природы.

Рассмотрим расположение семечек в корзине подсолнуха. Они выстраи ваются вдоль спиралей, которые закручиваются как слева направо, так и справа налево. В одну сторону у среднего подсолнуха закручено 13 спиралей, в дру гую – 21. Отношение 13/21 равно. У более крупных соцветий подсолнуха «Золотое сечение» число соответствующих спиралей больше, но отношение числа спиралей, за кручивающихся в разных направлениях также равно числу.

Похожее спиральное расположение наблюдается у чешуек сосновых ши шек или ячеек ананаса. По золотой спирали свёрнуты раковины многих улиток и моллюсков, некоторые пауки, сплетая паутину, закручивают нити вокруг цен тра по золотым спиралям. Рога архаров закручиваются по золотым спиралям.

Природа повторяет свои находки, как в малом, так и в большом. По золо тым спиралям закручиваются многие галактики, в частности и галактика Сол нечной системы.

48 «Золотое сечение» Из всего сказанного можно сделать выводы:

во-первых, золотое сечение – это один из основных основополагающих принципов природы;

во-вторых, человеческое представление о красивом явно сформировалось под влиянием того, какой порядок и гармонию человек видит в природе.

Учитель. Человек – венец творения природы… Установлено, что золо тые отношения можно найти и в пропорциях человеческого тела. Кроме того, человек сам является творцом, создаёт замечательные произведения искусства, в которых просматривается золотая пропорция. Об этом нам расскажет… Сообщение Начну с пропорции головы человека.

Оказывается, что у большинства людей, верхняя точка уха, на рисунке это точка В, делит высоту головы вместе с шеей, т.е. отрезок АС, в золотом от ношении.

Нижняя точка уха, точка D, делит в золотом отношении расстояние ВС, т.е. расстояние от верхней части уха до основания шеи.

Подбородок делит расстояние от нижней точки уха до основания шеи в золотом отношении, т.е. точка Е делит в золотом отношении отрезок DC.

Перейду к пропорциям тела.

Измерения нескольких тысяч человеческих тел позволили обнаружить, что пупок делит высоту человека в золотом отношении.

«Золотое сечение» Основание шеи делит расстояние от макушки до пупка в золотом отно шении.

АПОЛЛОН БЕЛЬВЕДЕРСКИЙ Эти пропорции я показал(а) на изображении знаменитой скульптуры Аполлона Бельведерского. Аполлон считается образцом мужской красоты.

На досуге, вы можете найти пропорции своей головы, тела и узнать, близки ли вы к эталону красоты.

Но не только создатель Аполлона, но и скульптор Фидий, как уже гово рилось, часто использовал золотую пропорцию в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского, которая считалась од ним из семи чудес света, и статуя Афины Парфенос.

Фидий руководил строительством храма Парфенон в Афинах.

ПАРФЕНОН 50 «Золотое сечение» Парфенон – это одно из красивейших произведений древнегреческой ар хитектуры. Он и сейчас, несмотря на то, что со времени его постройки прошло более 2,5 тысячелетий, производит огромное впечатление. Некогда белоснеж ный мрамор стал от времени золотисто-розовым. Величественное здание, стоя- щее на холме из известняка, возвышается над Афинами и их окрестностями. Но поражает оно не своими размерами, а гармоническим совершенством пропор ций. Здание не вдавливается своей тяжестью в землю, а как бы парит над нею, кажется очень лёгким.

Многие искусствоведы стремились раскрыть секрет того могучего эмо ционального воздействия, которое это здание оказывает на зрителя. Разгадку они увидели в том, что в соотношениях многих частей храма присутствует зо лотая пропорция. Так, отношение высоты здания к его длине равно. Отноше ния целого ряда частей Парфенона дают число. Говорят «… у греческого храма нет размеров, у него есть пропорции …».

Надо сказать, что в эпоху Возрождения золотое сечение было очень по пулярно среди художников, скульпторов и архитекторов. Монах Лука Пачоли написал целую книгу «Божественная пропорция». Леонардо да Винчи, знаю щий о воздействии золотой пропорции на человека, выполнил к этой книге ил люстрации.

Скульпторы, архитекторы, художники использовали и используют золо тое сечение в своих произведениях, так как пропорции золотого сечения созда ют впечатление гармонии и красоты.

Учитель. Проведём ещё один психологический опыт.

Положите перед собой альбомный лист чистой стороной. Представьте, что вы собрались нарисовать пейзаж и это формат вашей картины. Проведите на будущей картине линию горизонта… Покажите мне… У большинства из вас получился результат, очень похожий на рисунок или 2 (перевернуть 1).

Почему вы и многие другие художники проводят линию горизонта имен но так? А потому, что линия горизонта разделила высоту картины в отношении близком к золотому сечению. Оказывается, для нашего восприятия такое соот- «Золотое сечение» ношение привычно, нам кажется такое изображение естественным и гармонич ным.

Я хочу ещё дополнить выступления докладчиков о золотом сечении. Пока мы говорили только об его эстетическом значении, но существуют примеры его чисто практического применения.

В гидротехнике по золотой спирали изгибают трубу, подводящую поток воды к лопастям турбины. Благодаря этому напор воды используется с наи большей производительностью.

Итак, сегодня на уроке мы познакомились с несколькими новыми поня тиями.

— С какими?

— Когда говорят, что некоторая точка произвела золотое сечение отрезка?

— Дайте определение золотого треугольника.

— Какой прямоугольник называется золотым?

Я, думаю, что вы запомнили, где используется золотое сечение в искусст ве, и как результат, сможете увидеть золотую пропорцию в окружающих нас предметах.

Домашнее задание 1. Произвольный отрезок разделите в золотом отношении. Используя полу ченные отрезки, постройте золотой треугольник, боковой стороной кото рого является исходный отрезок.

2. На рисунке изображена пентаграмма. Используя данные обозначения и выполнив необходимые измерения, найдите: а) золотые сечения;

б) золо тые треугольники.

Золотым называется такой равнобедренный треугольник, основание и боковая сторона которого находятся в золотом отношении.

А В С D E F K L M N 52 «Золотое сечение» Приложение № ПЕНТАГРАММА Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой пента грамма – правильный невыпуклый пятиугольник, она же правильный звездча тый пятиугольник, или правильная пятиугольная звезда. Она известна, узна ваема и любима нами с детства. Форму пятиконечной звезды имеют многие цветы, морские звезды и ежи, вирусы и т. д. Человеческое тело также можно рассматривать как пятилучевую фигуру, где лучами служат голова, руки и но ги.

Первые упоминания о пентаграмме относятся к Древней Греции. В пере воде с Греческого пентаграмма означает дословно пять линий ( - пять, - черта, линия). В эллинском мире наука и искусство развивались в так называемых философских школах.

Одной из самых известных среди них была школа Пифагора (580-500 гг.

до н.э.), а отличительным знаком ее членов была пентаграмма. Пифагорейцы отличались исключительной верностью своему братству. Сохранилась легенда, согласно которой один из пифагорейцев, тяжело заболев на чужбине и остав шись без средств, попросил хозяина дома, приютившего его, нарисовать на во ротах пентаграмму. Проходивший мимо дома другой пифагореец ее увидел и щедро расплатился с хозяином.

Конечно, пифагорейцы не случайно выбрали пентаграмму. Они считали, что этот красивый многоугольник обладает многими мистическими свойства ми. Например, число лучей этой звезды представлялось пифагорейцами как число любви: 5 = 2 + 3;

2 – первое женское число, 3 – первое мужское число.

Именно поэтому пентаграмма являлась символом жизни и здоровья, ей при сваивалась способность защищать человека от злых духов.

Чем же интересен этот символ с точки зрения математики?

Пентаграмма представляет собой вместилище золотых пропорций!

Из подобия треугольников ACD и ABE можно вывести известную пропорцию AB AC =.

AC BC Интересно, что внутри пятиугольника можно продолжить строить пяти угольники, и золотые отношения будут сохраняться.

С А В D Е «Золотое сечение» Приложение № ЛОТАРИНГСКИЙ КРЕСТ На рисунке изображен лотарингский крест, служивший эмблемой «Сво бодной Франции» (организация, которую в годы второй мировой войны воз главлял генерал де Голль). Он составлен из тринадцати единичных квадратов.

Установлено, что прямая проходящая через точку А и делящая площадь лота рингского креста на две равные части, делит отрезок ВС в золотом отношении.

Покажем это. Пусть прямая DF делит крест на две равновеликие части, тогда SDEF = 2,5 кв. ед. Обозначим DC = х, GF = y. Учитывая, что сторона каждого квадрата рана 1, получим (х + 1)(y + 1) = 2,5.

х Рассмотрим DCA и AGF. Они подобны, т.е. =.

1 у Таким образом, получаем систему (х + 1)(у + 1) = 5, ху = 1, 3 - 5 5 - из которой находим х = и, значит, BD =, т.е. точка D делит от 2 резок ВС в золотом отношении.

В D С Е • • • • • • • А G • F 54 «Золотое сечение» Приложение № ЗАКОН УГЛОВ Одним из первых проявлений золотого сечения в природе подметил раз носторонний наблюдатель, автор многих смелых гипотез немецкий математик и астроном Иоганн Кеплер (1571 – 1630). С XVII в. наблюдения математиче ских закономерностей в ботанике и зоологии стали быстро накапливаться.

Приведём один из сравнительно недавно установленных фактов.

В 1850 г. немецкий учёный А. Цейзинг открыл так называемый закон углов, согласно которому средняя величина углового отклонения ветки растения рав на примерно 138°.

Представим себе, что две соседние ветви растения исходят из одной точ ки (на самом деле это не так: в реальности ветви располагаются выше или ниже друг друга). Обозначим одну из них через ОА, другую через ОВ. Угол между лучами – ветками, обозначим через, а угол, дополняющий его до 360°, - че рез. Составим золотую пропорцию деления полного угла, считая, что угол - большая часть этой величины:

=.

360 - 2 Отсюда получаем уравнение + 360 - 360 = 0 и находим положи тельный корень 2 = -180 + 180 + 360 = 180 (-1+ 5) 180 1,236 = 222,48.

Тогда = 360° - 222,48° = 137,52° 138°.

Таким образом, величина среднего углового отклонения ветки соответст вует меньшей из двух частей, на которые делится полный угол при золотом се чении.

«Золотое сечение» Приложение № ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ЗОЛОТОМ ОТНОШЕНИИ Деление отрезка в золотом отношении – это очень древняя задача, она присутствует в «Началах Евклида», который решил ее геометрически.

На отрезке АВ построен квадрат АВСD. Требуется найти точку Y, деля щую АВ в среднем отношении. Соединим точку Е – середину АС – с точкой В.

На продолжении стороны СА квадрата отложим отрезок ЕJ = ВЕ. На отрезке AJ построим квадрат AJHY. Продолжение стороны HJ до пересечения с CD в точке К делит квадрат ABCD на два прямоугольника AYKC и YBDK. Сущест вует чисто геометрическое доказательство, что прямоугольник YBDK равнове лик квадрату AJHY.

J H Y B A E C K D Приложение № РАБОТЫ ФИДИЯ Великий древнегреческий скульптор Фидий, живший в V в. до н.э., часто использовал «золотое сечение» в своих произведениях. Самыми знаменитыми из них были статуя Зевса Олимпийского, которая считалась одним из чудес света, и Афины Парфенос.

56 «Золотое сечение» АФИНА ПАРФЕНОС ЗЕВС ОЛИМПИЙСКИЙ ЛИТЕРАТУРА 1. Азевич А.И. Двадцать уроков гармонии: гуманитарно-математический курс. - М.: Школа-пресс, 1998.

2. Архитектурная бионика / Под ред. Ю. Лебедева. М., 1990.

3. Васюткинский Н.Н. Золотая пропорция. М., 1990.

4. Виппер Ю.Ф. Золотое деление как основной морфологический закон в природе и искусстве. М., 1976.

5. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 1992.

6. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М., 1994.

7. Журнал «Квант», 1973. № 8.

8. Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней шко ле. Сб. статей под ред. П. Стратилатова. – М.: Учпедгиз, 1955.

9. Кованцов Н.И. Математика и романтика. Киев, 1976.

10. Левитин К. Геометрическая рапсодия. М., 1987.

11. Лукач Д. Своеобразие эстетического. М., 1987.

12. Мурадова Р. Обобщающий урок по теме «Золотое сечение». // Математи ка (Приложение к газете «Первое сентября»).- 1999. № 1.

13. Пидоу Д. Геометрия и искусство. – М.: Мир, 1989.

14. Прохоров А.И. Золотая спираль // Квант. 1984. № 9.

15. Самохвалова В.И. Красота против энтропии. М., 1990.

16. Смирнова И.М. Уроки стереометрии в гуманитарных классах // Матема тика в школе. 1994. № 1– 6.

17. Хогарт В. Анализ красоты. М., 1958.

18. Энциклопедический словарь юного математика. М., 1989.




© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.