WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 |

«Э.И.Зверович ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие в шести частях Часть 1 Введение в анализ и дифференциальное исчисление Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Электронный ...»

-- [ Страница 3 ] --

4. Локальные свойства непрерывных функций Определение 116. Локальными (местными) свойствами функции f : X - Y называются такие свойства, которые зави § 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства сят только от значений функции f в сколь угодно малой окрест ности данной точки a X.

Глобальными свойствами функции f : X - Y называются такие ее свойства, которые зависят от значений этой функции во всей области ее определения X.

Например, свойство функции быть непрерывной в одной точке локальное, а свойство функции быть непрерывной во всех точках глобальное. Свойство функции быть ограниченной глобальное, а свойство функции быть финально ограниченной (т. е. ограниченной при x a) локальное.

Теорема 106. Если функция f : X - R непрерывна в точке a X, то:

(a) она финально ограничена при x a;

(b) если f(a) = 0, то существует окрестность U(a) точки a такая, что x U(a) X значения f(x) имеют тот же знак, что и f(a).

(a) Записывая условие Y непрерывности в виде lim f(x) = f(a), xa, xX O X используем теорему о фи нальной ограниченности функции, имеющей конеч Рис. 21. График функции ный предел.

y = exp 1 x (b) Взяв окрестность V (f(a)) в виде интервала, не содержащего точку 0, достаточно найти такую окрестность U(a), для которой выполняется включение f(U(a) X) V (f(a)).

Теорема 107. Если функции f и g непрерывны в точке a, то:

(a) f + g непрерывна в точке a;

(b) f · g непрерывна в точке a;

(c) f g непрерывна в точке a, если g(a) = 0.

Доказательство заключается в простом применении теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций.

178 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Теорема 108. Если функция f : X - Y непрерывна в точке a X, а функция g : Y - Z непрерывна в точке f(a) Y, то композиция g f : X - Z непрерывна в точке a.

Для доказательства достаточно применить теорему о пределе композиции функций.

§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций 1. Теоремы Больцано Коши и Вейерштрасса Напомним, что глобальными называются такие свойства функ ции, которые зависят от значений данной функции во всей ее области определения.

Определение 117. Функция называется непрерывной на мно жестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Теорема 109 (Больцано Коши). Если функция f непре рывна на отрезке [a, b], а на его концах принимает значения разных знаков, то существует точка c (a, b) такая, что f(c) = 0.

Замечания. 1. Если обозначить символом C[a, b], множество всех функций, непрерывных на отрезке [a, b], то теорему Больцано Коши можно сформулировать так:

f C[a, b] = c (a, b) : f(c) = 0. (5.15) f(a) · f(b) < 2. Очевиден геометрический смысл теоремы Больцано Коши (см. рис. 22). Если на графике непрерывной на [a, b] функции f суще ствуют точки, лежащие по разные стороны от оси абсцисс, то на нeм должна существовать и точка, лежащая также и на оси абсцисс. Эта геометрическая интерпретация теоремы Больцано Коши не может, од нако, служить ее строгим доказательством.

Разделим отрезок [a, b] пополам точкой (a + b) 2. Если f ((a + b) 2) = 0, то полагаем c := (a + b) 2, указывая тем самым точку, в которой f(c) = 0. Если же f ((a + b) 2) = 0, то на кон цах одного из двух образовавшихся отрезков (обозначим его [a1, b1]) § 3. Глобальные свойства непрерывных функций функция f принимает значения разных знаков, т. е. f(a1) · f(b1) < 0.

Разделим отрезок [a1, b1] пополам точкой (a1 + b1) 2 и повторим предыдущее рассуждение. В результате мы получим либо точку c, в которой f(c) = 0, либо новый отрезок [a2, b2] со свойством f(a2) · f(b2) < 0. Продолжая этот процесс, мы в результате либо найдем точку c, в которой f(c) = 0, либо получим бесконечную по следовательность вложенных отрезков [a, b] [a1, b1]... [an, bn]..., (5.16) такую, что n N будет f(an) · f(bn) < 0. Так как b - a bn - an = 0 при n, 2n то по лемме о вложенных отрезках существует единственная точка c, лежащая на всех отрезках (5.16), и такая, что lim an = lim bn = c.

n n Переходя к пределу при n в неравенстве f(an) · f(bn) < 0 и используя непрерывность функции f, получим [f(c)]2 0, откуда f(c) = 0.

Теорема 110 (о промежуточных значениях). Если функция f : [a, b] - R непрерывна на отрезке [a, b], и f(a) = f(b), то для любого C (f(a), f(b)) существует точка c (a, b) такая, что f(c) = C.

Предполагая для Y определенности, что f(a) < f(b), введем f(b)> a3 в рассмотрение функ a X цию (x) := f(x) - C, O a1 =a2 b2 =b3 b=b f(a)< непрерывную на от резке [a, b]. Так как f(a) < C < f(b), то Рис. 22. К теореме Больцано Коши (a) = f(a) - C < 0, (b) = f(b) - C > 0.

Применяя к функции теорему Больцано Коши, заключаем, что c (a, b) : (c) = 0, т. е. f(c) = C.

180 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Определение 118. Говорят, что функция f : X - R прини мает в точке x X наибольшее значение, если x X : f(x) f(x).

Говорят, что функция f : X - R принимает в точке x X наименьшее значение, если x X : f(x) f(x).

Теорема 111 (Вейерштрасс). Если функция f : [a, b] - R непрерывна на отрезке [a, b], то она ограничена, и на этом от резке существуют точки, в которых функция f принимает свои наибольшее и наименьшее значения.

Установим сначала ограниченность функции f. Так как f непрерывна в каждой точке c [a, b], то по локальному свойству (т. е. по теореме 106(a)) она финально ограничена при x c, т. е.

c [a, b] U(c) Mc R+ x U(c) [a, b] : |f(x)| Mc. (5.17) Условимся окрестности U(c) брать в виде открытых интервалов. Се мейство {U(c) | c [a, b]} всех интервалов из (5.17) является, очевид но, открытым покрытием отрезка [a, b]. По лемме Гейне Бореля это покрытие содержит конечное подпокрытие n {U(c1), U(c2),..., U(cn)}, U(ck) [a, b].

k= Полагая K := max{Mc,..., Mc }, имеем K R+ и 1 n x U(xk), x [a, b] k N :

|f(x)| Mc K, k т. е.

K R+ x [a, b] : |f(x)| K.

Таким образом, ограниченность функции f установлена.

Введем в рассмотрение точные границы m := inf f(x), M := sup f(x). (5.18) a x b a x b § 3. Глобальные свойства непрерывных функций Так как функция f ограничена, то m и M числа. Предполагая противное, а именно, что не существует точек x, в которых f(x) = M, заключаем, что функция (x) := непрерывна на [a, b] как M - f(x) частное непрерывных функций с необращающимся в нуль знамена телем. По доказанной части теоремы из непрерывности функции следует ее ограниченность, т. е. выполняется следующее условие:

C R+ x [a, b] : 0 < C. (5.19) M - f(x) Решая последнее неравенство относительно f(x), получим x [a, b] : f(x) M -.

C Взяв здесь супремум по всем x [a, b], получим M M -, откуда C видно, что M < M противоречие.

Аналогично можно показать, что существует точка x, в которой f(x) = m.

Замечание. Можно показать, что теорема Вейерштрасса остается справедливой и для функций, непрерывных на произвольных компактных множествах.

2. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора Определение 119. Функция f : X - R называется равномер но непрерывной на множестве X, если > 0 > 0 x, x X :

|x - x | = |f(x ) - f(x )|. (5.20) Отметим, что из равномерной непрерывности функции f следует ее непрерывность.

Зафиксируем в (5.20) точку x = c и положим x = x. Тогда получим > 0 > 0 x X : |x - c| = |f(x) - f(c)|, (5.21) 182 Глава 5. Пределы и непрерывность функций что равносильно непрерывности функции f в точке c, а поскольку точка c X взята произвольно, то и на множестве X.

Обратное утверждение, однако, неверно, т. е. из непрерывности функ ции на множестве не следует ее равномерная непрерывность на этом множестве.

Например, функция f(x) := x2 непрерывна на R, но не является равномерно непрерывной на R. Предполагая противное, получим > 0 > 0 x, c R : |x - c| = |x2 - c2|.

В частности, |x - c| = = |x2 - c2|. Из последнего неравенства имеем · |2c + |. Отсюда в пределе при c + получим + противоречие.

Теорема 112 (Кантор2). Если функция f непрерывна на от резке [a, b], то она и равномерно непрерывна на нем.

Зададим R+. В силу непрерывности функции f на отрез ке [a, b] имеем:

c [a, b] = (c) > 0 x [a, b] :

|x - c| (c) = |f(x) - f(c)|. (5.22) (c) (c) Обозначим U(c) := c - ;

c +. Множество всех интерва 2 лов {U(c) | c [a, b]} есть открытое покрытие отрезка [a, b]. По лемме Гейне Бореля это покрытие содержит конечное подпокры тие {U(c1),..., U(cn)} {U(c) | c [a, b]}, n (c1) (cn) т. е. [a, b] U(ck). Положим := min,..., 2 k= наименьшему из радиусов интервалов U(ck). Пусть x, x [a, b] любые две точки, для которых |x - x |. Существует j такое, что (cj) x U(cj), и значит, |x - cj|. Далее, (cj) (cj) (cj) |x - cj| |x - x | + |x - cj| + + = (cj).

2 2 Кантор Георг (1845 1918) немецкий математик, создатель теории мно жеств.

§ 3. Глобальные свойства непрерывных функций Отсюда, согласно (5.22), имеем |f(x ) - f(x )| |f(x ) - f(cj)| + |f(cj) - f(x )| + =.

2 Замечание. Теорема Кантора остается справедливой и для функций, непрерывных на произвольных компактных множествах.

3. Критерий непрерывности функции на множестве. Теорема о непрерывности обратной функции Определение 120. Пусть T топологическое пространство, и X T. Подмножество A X называется открытым относи тельно X, если его можно представить в виде: A = U X, где U открытое подмножество пространства T.

Понятия открытое множество и множество, открытое отно сительно X совпадают тогда и только тогда, когда X открытое подмножество пространства T.

Теорема 113. Равносильны следующие утверждения:

(a) функция f : X - R, X R непрерывна на множестве X;

(b) полный прообраз любого открытого множества открыт относительно X.

(a)(b) Пусть V R произвольное открытое множество, а f-1(V ) его полный прообраз, f-1(V ) X. Если f-1(V ) =, то справедливо и такое равенство f-1(V ) = X. Так как множество открытое, то множество X открыто относительно X.

Предположим теперь, что f-1(V ) =, и пусть x f-1(V ). То гда f(x) V, а так как V открыто, то V окрестность точки f(x).

Пользуясь непрерывностью функции f, заключаем, что существует открытая окрестность U(x) точки x X такая, что f(U(x)X) V, или, что равносильно, U(x) X f-1(V ). Взяв объединение этих 184 Глава 5. Пределы и непрерывность функций множеств по всем x f-1(V ), получим f-1(V ) = {x} (U(x) X) xf-1(V ) xf-1(V ) f-1(V ) = f-1(V ).

xf-1(V ) Отсюда находим f-1(V ) = U X, где через U обозначено множе ство U := U(x), которое открыто как объединение семейства xf-1(V ) открытых множеств U(x).

(b)(a) Пусть a X произвольная точка, b = f(a) ее об раз. Возьмем произвольную открытую окрестность V (b) точки b. По условию имеем f-1(V ) = U(a) X, где U(a) некоторое открытое множество, содержащее точку a. Значит, lim f(x) = b = f(a), т. е.

xa, xX f непрерывна в любой точке a X.

Теорема 114. Если функция f : [a, b] - Y, где Y = f([a, b]), строго монотонна и непрерывна на отрезке [a, b], то обратная функция f-1 : Y - [a, b] непрерывна на Y.

В теореме 2 (глава 1, § 3, п. 5) было показано, что в условиях теоремы существует единственная обратная функция f-1, которая притом строго монотонна в том же смысле, что и f. Остается только установить непрерывность этой обратной функции.

Предположим для определенности, что функция f возрастает, и пусть a < b. Обозначим c := f(a), d := f(b). Учитывая стро гое возрастание функции f и теорему о промежуточных значениях, заключаем, что f([a, b]) = [c, d]. На основании тех же соображе ний имеем: если a x1 < x2 b, то f((x1, x2)) = (y1, y2), где y1 := f(x1), y2 := f(x2). Отсюда легко найти полный прообраз любо го интервала (x1, x2) R при отображении f-1, т. е. образ любого интервала при отображении f. Имеем, если (x1, x2) [a, b] =, (y1, y2), если (x1, x2) [a, b], f((x1, x2)) = (y1, d], если x1 [a, b], x2 [a, b], / [c, y2), если x1 [a, b], x2 [a, b], / [c, d], если (x1, x2) [a, b].

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность Из этих равенств видно, что при отображении f-1 полный прооб раз любого интервала (x1, x2) открыт относительно отрезка [c, d].

А так как открытые множества это объединения интервалов, то при отображении f-1 полный прообраз любого открытого множества открыт относительно отрезка [c, d]. Отсюда на основании теоремы 113 заключаем, что функция f-1 непрерывна на отрезке [c, d].

Если функция f убывает, то функция g := -f возрастает. По до казанному обратная к ней функция g-1 непрерывна, а отсюда легко заключить, что и f-1 = -g-1 непрерывна.

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность 1. Понятие элементарной функции В анализе и его приложениях (особенно при рассмотрении раз личных примеров) часто рассматриваются функции, называемые эле ментарными. Чтобы их определить, сначала вводят так называемые основные элементарные функции. К ним относят функции следую щих семи типов.

1) Целые рациональные функции. Целой рациональной функцией называется всякая функция, представимая в виде много члена от независимой переменной x следующим образом:

y = a0xn + a1xn-1 +... + an-1x + an, где a0, a1,..., an R, n N параметры3. Областью определения любой целой рациональной функции является множество R.

Примеры целых рациональных функций: постоянная y = a0, линейная y = a0x + a1 и квадратичная y = a0x2 + a1x + a2, графи ки которых (при некоторых значениях параметров) представлены на рис. 23.

2) Дробные рациональные функции. Дробной рациональной Пар называется величина, которая считается постоянной в данной аметром конкретной задаче, но может изменяться при переходе к другим аналогичным задачам.

186 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Y Y O X O X Рис. 23. Графики линейной и квадратичной функций функцией называется любая функция от x, представимая в виде от ношения двух многочленов a0xn + a1xn-1 +... + an y =, (5.23) b0xm + b1xm-1 +... + bm где a0, a1,..., an, b0, b1,..., bn R параметры. Областью опре деления дробной рациональной функции, представленной в виде (5.23), считается множество всех x R, кроме тех значений пере менной x, в которых знаменатель в (5.23) обращается в нуль.

Примером дробной рациональной функции является дробно a0x + a линейная функция y =, графиком которой при b0 = b0x + b является гипербола с асимптотами, параллельными координатным осям (рис. 20).

3) Показательная функция это функция, задаваемая урав нением y = ax, где x аргумент, a параметр, a > 0, a = 1.

Областью ее определения является множество R, а областью зна чений множество R+. Графики показательных функций (при некоторых конкретных значениях параметра a) показаны на левом рис. 24. При a = e, где e основание натуральных логарифмов, показательная функция называется экспонентой и обозначается сим волом exp.

4) Логарифмическая функция это функция, обратная к по казательной. Обозначение: y = loga x, где a параметр, называемый основанием логарифмов (a > 0, a = 1). Логарифмы с основанием a = e называются натуральными, а соответствующая логарифми ческая функция обозначается символом ln. Логарифмы с основани ем a = 10 называются десятичными, а соответствующая логариф § 4. Элементарные функции и их непрерывность Y Y 0, 1x 8 10x x 3x x 2x X 4 6 - - X -2 -1 0 1 Рис. 24. Графики показательных и логарифмических функций мическая функция обозначается символом lg. Областью определе ния логарифмической функции является множество R+, а областью значений множество R. Графики логарифмических функций (при некоторых конкретных значениях параметра a) показаны на правом рис. 24.

5) Степенн функция задается уравнением y = xµ, где ая µ R параметр. Если число µ целое, то степенная функция является рациональной. Если µ = 1 m, где m N, то областью определения степенной функции является множество R при нечет ном m, и множество4 R+ при четном m. На рис. 25 представлены графики степенных функций при различных значениях показателя степени. Если µ Q, то область определения и область значений степенной функции могут зависеть от представления рационально го числа µ в виде отношения двух целых чисел µ = m n и от того, какое из двух следующих представлений xµ := (xm)1 n или xµ := (x1 n)m следует взять в качестве определения степенной функ ции. Читателю предлагается самостоятельно исследовать возникаю щие здесь различные случаи. В общем же случае (например, когда µ R Q) степенную функцию естественно определить в виде ком позиции xµ := exp{µ · ln x}, и тогда областью ее определения будет множество R+.

Напомним, что под R+ понимается множество всех положительных чисел, а R+ = [0 ;

+) замыкание множества R+.

x g l x g l x g l l g x, l g l / g x / x 188 Глава 5. Пределы и непрерывность функций y = xµ, µ > 0 y = xµ, µ < Y Y 10 0, -1/ - - O X O X Рис. 25. Графики степенных функций 6) Тригонометрические функции это известные из школь ного курса функции sin, cos, tg, ctg, определяемые для аргумента x, выраженного в радианах. Они реализуют следующие сюръектив ные отображения:

sin : R - [-1, +1] ;

cos : R - [-1, +1] ;

tg :

- + k, + k - R ;

2 kZ ctg : (k, + k) - R.

kZ Функция cos четная, функции sin, tg, ctg нечетные. Триго нометрические функции периодические. Основной период функций sin и cos равен 2, а основной период функций tg и ctg равен.

Графики тригонометрических функций показаны на рис. 26 и 27.

7) Обратные тригонометрические функции. Из свойства пе риодичности тригонометрических функций следует, что для них не существует (однозначных) обратных функций. В связи с этим обрат ные тригонометрические функции arcsin, arccos, arctg, arcctg опре деляются как функции, обратные соответственно к сужениям функ ций sin, cos, tg, ctg на определенные промежутки, где эти функции § 4. Элементарные функции и их непрерывность Y y = sin x y = cos x O 3 2 X - Рис. 26. Графики функций sin и cos непрерывны и строго монотонны. Именно:

arcsin функция, обратная к сужению sin [- 2, 2] ;

arccos функция, обратная к сужению cos [0, ] ;

arctg функция, обратная к сужению tg (- 2, 2) ;

arcctg функция, обратная к сужению ctg (0,).

Таким образом, имеем следующие биективные отображения:

arcsin : [-1, +1] - [- 2, + 2] ;

arccos : [-1, +1] - [0, ] ;

arctg : (- 2, 2) - R ;

arcctg : (0, ) - R.

Графики этих функций показаны на рис. 28 31.

Общее понятие элементарной функции дается с помощью следу ющего рекурсивного определения.

Определение 121. (a) Все основные элементарные функции считаются элементарными функциями.

(b) Если f и g элементарные функции, то f f + g, f - g, f · g,, f g g также считаются элементарными функциями.

(c) Не существует никаких других элементарных функций, кро ме тех, которые можно получить в результате применения конеч ное число раз (в любом порядке) пунктов (a) и (b) этого определения.

190 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Y O 3 2 X - Рис. 27. Графики функций tg и ctg Следует отметить, что в пункте (b) под операциями над функ циями понимаются соответствующие операции над сужениями этих функций на максимальные множества, где эти операции определены и дают в результате вещественные числа. Таким образом, каждую элементарную функцию можно задать явно уравнением y = F (x), где под F понимается формула, позволяющая по некоторым значе ниям переменной x R вычислять соответствующие им значения переменной y R. В связи с этим вводится понятие естественной области определения элементарной функции.

Определение 122. Естественной областью определения эле ментарной функции F называется множество X R, состоя щее из всех значений x R, для которых имеет смысл выражение F (x), причем должно быть F (x) R.

В этом определении выражение имеет смысл означаeт, что не только F (x), но и результаты всех промежуточных вычислений по формуле F в точке x должны быть вещественными числами.

Важными примерами элементарных функций являются так называе мые гиперболические функции5 sh, ch, th, cth и обратные к ним функции6 arsh, arch, arth, arcth. Гиперболические функции определя Приводимые здесь символы читаются так: синус гиперболический и т. д.

Приводимые здесь символы читаются так:

ареасинус гиперболический и т. д.

x g t = y y = ct g x § 4. Элементарные функции и их непрерывность - O - O Рис. 28. График функции arcsin Рис. 29. График функции arccos ются следующими равенствами:

ex + e-x ch x :=, x R ;

ex - e-x sh x :=, x R ;

sh x th x :=, x R ;

ch x ch x cth x :=, x R { 0}.

sh x Функция ch четная, а функции sh, th, cth нечетные. Свойства гиперболических функций во многом аналогичны известным свойствам круговых (т. е. тригонометрических) функций cos, sin, tg, ctg. Например, известное тождество cos2 x + sin2 x 1 показывает, что система уравнений u = cos x, v = sin x представляет собой параметрические уравнения окружности u2 + v2 = 1.

Аналогично, легко проверяемое тождество ch2 x - sh2 x 1 показывает, что система уравнений u = ch x, v = sh x представляет собой параметрические уравнения гиперболы u2 - v2 = 1.

Графики гиперболических функций показаны на рис. 32 и 33.

192 Глава 5. Пределы и непрерывность функций O O Рис. 30. График функции arctg Рис. 31. График функции arcctg Обратные гиперболические функции определяются следующим обра зом:

arch функция, обратная к сужению ch |[0,+) ;

arsh функция, обратная к функции sh ;

arth функция, обратная к функции th ;

arcth функция, обратная к функции cth.

Графики обратных гиперболических функций можно увидеть на тех же рис. 32 и 33, посмотрев на них с обратной стороны того листа, на кото ром они нарисованы, причем ось OX надо направить вверх.

Вообще говоря, функция, обратная к элементарной, может не быть элементарной. Известно, например, что функция, обратная к целой раци ональной функции: y = x5 + x + 1, не является элементарной. Однако oбратные гиперболические функции являются элементарными функция ми.

Для доказательства решим уравнения ch y = x, sh y = x, th y = x, cth y = x относительно y. Имеем ey + e-y ch y = x = x e2y - 2x · ey + 1 = 0.

Из последнего уравнения, учитывая неотрицательность функции arch, находим y = arch x = ln(x + x2 - 1), x 1, и, значит, функция arch элементарная. Далее, имеем ey - e-y sh y = x = x e2y - 2x · ey - 1 = 0.

§ 4. Элементарные функции и их непрерывность Y Y cth ch X X th sh - cth Рис. 32. Графики функций Рис. 33. Графики функций ch и sh th и cth Из последнего уравнения, учитывая неотрицательность экспоненты, нахо дим y = arsh x = ln(x + x2 + 1), x R, и, значит, функция arsh элементарная. Далее, имеем ey - e-y e2y - th y = x = x = x (1 - x)e2y = 1 + x.

ey + e-y e2y + Из последнего уравнения находим 1 1 + x y = arth x = ln, |x| < 1, 2 1 - x и, значит, функция arth элементарная. И наконец, имеем ey + e-y e2y + сth y = x = x = x (x - 1)e2y = x + 1.

ey - e-y e2y - Из последнего уравнения находим 1 x + y = arcth x = ln, |x| > 1, 2 x - и, значит, функция arcth элементарная.

194 Глава 5. Пределы и непрерывность функций 2. Непрерывность элементарных функций Теорема 115. Каждая элементарная функция непрерывна во всех точках своей естественной области определения.

Прежде всего следует отметить, что естественная область определения элементарной функции может содержать изолирован ные точки, а в изолированных точках все функции непрерывны (тео рема 105). Например, естественная область определения элементар ной функции y = - sin2 x представляет собой множество Z всех целых чисел, которое состоит только из изолированных точек. Зна чит, исследование на непрерывность достаточно провести только в предельных точках, лежащих в естественной области определения.

Установим сначала непрерывность основных элементарных функций. Постоянная функция y = c0 и функция y = x непрерыв ны, так как lim c0 = c0 и lim x = a. Целая и дробная рациональные xa xa функции непрерывны, так как они могут быть получены из посто янных функций и из функции y = x с помощью конечного числа арифметических операций. Экспонента непрерывна, так как ex+h - ex = ex · (eh - 1) ex · h 0 при h 0, т. е. бесконечно малому приращению аргумента соответствует беско нечно малое приращение экспоненты. Показательная функция y = ax представима в виде y = ex·ln a и, значит, непрерывна как композиция непрерывных функций t = x · ln a и y = et.

Логарифмическая функция y = loga x непрерывна согласно тео реме 114 (как обратная к показательной функции, которая строго монотонна и непрерывна).

Функция y = x1 m, где m = 2, 3,..., непрерывна как обратная к целой рациональной функции x = ym, которая строго монотонна на [0, +) при m четном и всюду на R при m нечетном. Функ n ция y = xn m = x1 m непрерывна как композиция непрерыв ных функций. При произвольном µ > 0 степенная функция y = xµ непрерывна на [0, +). Ее непрерывность в точке x = 0 следует из неравенств 0 xµ x[µ]+1 0 при x 0, а непрерывность при x > 0 из следующего представления ее в виде композиции непрерывных функций xµ = exp (µ · ln x).

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений Функции sin и cos непрерывны, так как h h 0 | sin(x + h) - sin x| = cos x + sin |h| 0 при h 0, 2 h h 0 | cos(x + h) - cos x| = sin x + sin |h| 0 при h 0.

2 Из непрерывности функций sin и cos следует непрерывность функций tg и ctg, так как sin x cos x tg x =, ctg x =.

cos x sin x И наконец, обратные тригонометрические функции непрерывны как обратные к строго монотонным и непрерывным сужениям соот ветствующих тригонометрических функций.

Итак, все основные элементарные функции непрерывны. По опре делению 121 любую элементарную функцию можно получить из ос новных элементарных функций по формуле, включающей в себя ко нечное число арифметических операций и операций образования ком позиции. Так как все эти операции, будучи проведенными над непре рывными функциями, могут привести только к непрерывным функ циям, то любая элементарная функция непрерывна в своей есте ственной области определения.

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений топологических пространств 1. Связные множества Важным для анализа свойством множеств является их св Об язность.

разно говоря, связность точечного множества это его свойство заполнять один сплошной кусок пространства. Перейдем теперь к точным определе ниям.

Определение 123. Топологическое пространство называется связ ным, если не существует представления его в виде объединения двух непустых непересекающихся открытых множеств.

196 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Исходя из этого определения, сформулируем условие, означающее, что топологическое пространство X не является связным: существуют откры тые множества U X и V X, обладающие следующими свойствами:

U =, V =, U V =, U V = X.

Отсюда следует, что U = X V, V = X U, а так как дополнение к открытому множеству является замкнутым, то оба множества U и V замкнутые, а значит, и открыто-замкнутые. Введем теперь понятие связ ности подмножества топологического пространства.

Определение 124. Множество E, лежащее в топологическом про странстве X, называется связным, если оно является связным как то пологическое пространство с индуцированной топологией.

Примеры связных множеств: пустое множество, а также множество {x}, состоящее из одной точки x X, так как объединение двух непустых непересекающихся множеств содержит не менее двух точек. Оказывает ся, что все связные подмножества числовой оси допускают весьма простое описание, содержащееся в следующей теореме.

Теорема 116. Числовое множество E R, содержащее более одной точки, является связным, если и только если оно является числовым промежутком7 E =,, где - < +.

Покажем сначала, что числовой промежуток E =, связен.

Предполагая противное, заключаем, что должны существовать открытые множества U и V такие, что U E =, V E =, U V E =, (U V ) E = E. (5.24) Построим функцию f : E - R следующим образом:

-1, если x U E, f(x) := (5.25) +1, если x V E.

Из этого определения видно, что полный прообраз f-1(W ) любого откры того множества W R может быть только одним из следующих четырех множеств:

, U E, V E, E (5.26) Условимся символом, обозначать здесь промежуток, начальная и концевая точки которого могут как принадлежать, так и не принадлежать ему.

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений в зависимости от того, какое из следующих соотношений выполняется:

W {-1, +1} = ;

W {-1, +1} = {-1} ;

W {-1, +1} = {+1} ;

W {-1, +1}.

Но все множества (5.26) открыты относительно E. Применяя критерий непрерывности (теорему 113), заключаем, что функция (5.25) непрерыв на на E. Из неравенств (5.24) следует, что a U E, b V E.

Предполагая для определенности, что a < b, из того, что E проме жуток, заключаем, что [a, b] E. Функция f|[a, b] непрерывна на от резке [a, b], а на его концах принимает значения разных знаков, а именно:

f(a) = -1, f(b) = +1. Отсюда в силу теоремы Больцано Коши вытекает существование точки c [a, b] E, в которой f(c) = 0, что противоречит определению (5.25) функции f.

Докажем теперь обратное, т. е. что любое непустое связное подмноже ство E числовой оси промежуток, т. е. что x, y E z R : x < z < y = z E.

Предположим противное x < z < y, x, y E z R :

z E.

/ Тогда для открытых множеств U := (-, z) и V := (z, +) будем иметь x U E, y V E, U V =, U V = R {z} E.

Из этих соотношений имеем U E = V E =, U V E =, (U V ) E = E, т. е. множество E не является связным, что противоречит условию.

2. Непрерывные отображения топологических пространств Пусть X и Y топологические пространства, а f : X - Y ото бражение, непрерывное на X. Для таких отображений также справедлив 198 Глава 5. Пределы и непрерывность функций критерий непрерывности: непрерывность отображения f : X - Y на X равносильна тому, что полный прообраз любого открытого в Y множе ства открыт в X. Принимая этот факт без доказательства, установим некоторые его следствия. Прежде всего, переходя к дополнениям, получа ем следующий критерий. Непрерывность отображения f : X - Y на X равносильна тому, что полный прообраз любого замкнутого в Y мно жества замкнут в X. Для таких отображений имеют место следующие утверждения, обобщающие теорему Вейерштрасса о максимуме и миниму ме и теорему о промежуточных значениях.

Теорема 117. Если отображение топологических пространств f : X - Y непрерывно на X, то при этом отображении:

(a) oбразы компактных множеств компактны;

(b) oбразы связных множеств связны.

(a) Пусть A X компактное множество, а f(A) Y его образ. Пусть {V | I} открытое покрытие множества f(A). Надо показать, что оно содержит конечное подпокрытие. Так как отображение f непрерывно, то все прообразы U := f-1(V) открыты. Поскольку f(A) V, I то A f-1 V = f-1(V) = U, I I I и, значит, семейство {U| I} открытое покрытие множества A. Так как множество A компактное, то это покрытие содержит конечное под n n покрытие {U,..., Un }, т. е. A Uk. Отсюда f(A) Vk, т. е.

k=1 k= {V,..., Vn } конечное подпокрытие исходного покрытия.

(b) Не ограничивая общности, будем считать, что само пространство X связно, а f(X) = Y. Предполагая противное, т. е. что множество Y не связное, заключаем, что существуют открытые множества V1 и V2 такие, что V1 =, V2 =, V1 V2 =, V1 V2 = Y. (5.27) Так как отображение f непрерывно, то множества U1 := f-1(V1) и U2 := f-1(V2) открыты. Переходя в соотношениях (5.27) к прообразам при отображении f, получим U1 =, U2 =, U1 U2 =, U1 U2 = X.

Эти соотношения означают, что пространство X не связное, что проти воречит условию.

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений Определение 125. Отображение топологических пространств f : X - Y называется гомеоморфным (или гомеоморфизмом), если оно непрерывно на X, биективно, а обратное к нему отображение f-1 : Y - X непрерывно на Y.

Здесь требование непрерывности обратного отображения существенно, так как имеются биективные и всюду непрерывные отображения, обратные к которым не являются всюду непрерывными. Например, комплекснознач ная функция z = cos + i sin непрерывна R как линейная комбинация непрерывных функций. Так как cos2 + sin2 1, то образом числовой оси при данном отображении является единичная окружность |z| = 1. Сужение данного отображения на полуинтервал [0 ;

2) биективное. Для отображения = (z), обратного к этому суже нию, имеем lim (z) = 0 ;

lim (z) = 2.

z1, z1, Im z>0 Im z< Поэтому отображение, обратное к сужению данного, разрывно в точке z = 1.

Теорема 118. Образами открытых, замкнутых, компактных и связных множеств при любых гомеоморфизмах являются открытые, замкнутые, компактные и связные множества соответственно.

Эта теорема является простым следствием теорем 113 и 117.

Отметим в заключение, что топологическими свойствами множеств называются такие их свойства, которые сохраняются при любых гомеомор физмах. Последняя теорема, таким образом, утверждает, что открытость, замкнутость, компактность и связность топологические свойства.

200 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Задачи к главе 5.1. Вычислить следующие пределы:

sin 3x sin(x + h) - sin(x - h) a) lim ;

b) lim ;

x0 h0 h x + 2 - tg x - sin x sin x c) lim ;

d) lim - tg2 x ;

x0 x 2 cos2 x x sin 7x 1 - cos mx e) lim ;

f) lim ;

x1 x sin 2x x cos 3x3 - 1 arcsin(1 - 2x) g) lim ;

h) lim ;

x0 x1 2 - sin6 2x 4x arcsin 2x i) lim ;

j) lim sin x2 + 1 - sin x2 - 1.

x0 x x 5.2. Вычислить следующие пределы:

x x (2x+1) x a) lim ;

b) lim ;

x x x + 1 x ln cos 5x c) lim ;

d) lim (cos x)-1 x ;

x0 x ln cos 4x 2 ln 4 + 5e6x e) lim (sin x)tg x;

f) lim.

x 2 x+ ln (1 + 2e3x) 5.3. Доказать, что если функция f : [a, b] - R инъективна и непре рывна, то она и строго монотонна.

5.4. Доказать, что множество всех точек разрыва любой монотонной функции f : R - R конечное или счeтное.

5.5. Исследовать на непрерывность функции f g и g f, если:

a) f(x) = signx, g(x) = 1 + x2 ;

b) f(x) = signx, g(x) = x(1 - x2);

c) f(x) = signx, g(x) = 1 + x - [x], где [x] целая часть числа x.

§ 5. Некоторые свойства непрерывных отображений 5.6. Вычислить следующие пределы:

x101 - 101x + 100 x2 - a) lim ;

b) lim ;

x1 - 2x + 1 x x3 - 2x + x sin x - cos x c) lim ( x4 + 2x2 - 1- d) lim ;

x x cos 2x - x4 - 2x2 - 1);

(2x3 + 7x - 1)6 ax - x e) lim ;

f) lim ;

x - 13x2 + x)3 x xa - a (2x 1 + mx - g) lim x2 + 1 - x2 - 4x ;

h) lim ;

x- x x 1 + x - 1 - x x i) lim ;

j) lim ;

x0 x x 1 + x - 5x2 - 3x + 2 1 + x - k) lim ;

l) lim ;

x x 2x2 + 4x + 1 x 5x2 x - m) lim + 21 x ;

n) lim ;

x - x2 x x2 - 3x + 3 1 x o) lim + ;

p) lim ;

x1 - x2 x - x 1 + 3x - xn - 1 x - 2 - q) lim, m, n N;

r) lim ;

x1 - 1 x x6 - xm 1 - tg x - 1 + tg x tg x s) lim ;

t) lim ;

x x sin 2x sin 2x 5x2 - 3x + u) lim x2 + x2 + x2 - x2 ;

v) lim ;

x x 2x2 + 4x + x - w) lim x2 + 3x - x ;

x) lim ;

x+ x1 - x 1 2 sin 4x y) lim - ;

z) lim.

x1 - 2 x2 - x x x + 1 - 5.7. Обязательно ли будут разрывными в точке x0 сумма и произве дение функций f и g, если в этой точке:

а) функция f непрерывна, а функция g разрывна?

b) обе функции f и g разрывны?

Глава ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ Содержание предыдущих глав было лишь введением в анализ. Сам анализ начинается только с дифференциального исчисления, т. е. с этой главы. В основе дифференциального исчисления и его практических при ложений лежит идея приближeнного представления функции y = f(x + h) (от приращения h) линейной функцией y = k · h + b или, более общо, мно гочленом от h. Для широкого класса функций оказывается возможным разумно определить такие приближения и на этой основе получить ре зультаты, имеющие исключительно большое теоретическое и прикладное значение.

§ 1. Дифференцируемые функции.

Понятия производной и дифференциала 1. Основные понятия и простейшие факты Пусть f : X - R, X R функция, и x X. Всюду в этом параграфе мы будем считать, что x внутренняя точка множества X, т. е. x X0.

Определение 126. Функция f называется дифференцируемой в точке x, если существует такое k R, что приращение функции f в точке x можно представить в следующем виде:

f(x + h) - f(x) = k · h + o(h) при h 0, (6.1) или, что равносильно, в виде f(x + h) - f(x) = k · h + (h) · h, где (h) 0 при h 0. (6.2) В (6.1) и (6.2) величина x считается постоянной, поэтому зави симость правых частей этих равенств от x не показывается. При ращение аргумента, обозначенное в равенствах (6.1) и (6.2) через h, § 1. Дифференцируемые функции обозначают также через x или dx, т. е. x = dx := h. Для соответ ствующего приращения функции f также используются различные обозначения, например следующие:

y = f(x) = f(x + h) - f(x) = f(x + x) - f(x).

Таким образом, условие дифференцируемости (6.1) можно записать, например, в следующем виде:

y = k · x + o(x) при x 0.

Определение 127. Пусть y = f(x) функция, дифференциру емая в точке x. Дифференциалом функции f в точке x называется входящая в равенство (6.1) линейная однородная функция h - k ·h от переменного приращения h.

На рис. 40 показан график дифференциала. Запишем различ ные, используемые в учебной литературе обозначения для дифферен циала1:

dy = df = df(x) = df(x)(h) = Df(x)(h) := k · h.

Если k = 0, то в правой части равенства (6.1) слагаемое k · h является главной частью, а слагаемое o(h) бесконечно малое по сравнению с ним при h 0. На этом основании дифференциал функ ции f в точке x на приращении h определяют как главную часть приращения функции f в точке x, линейную относительно h. Это определение корректно и равносильно определению 127 при k = 0.

Определение 128. Производной от функции y = f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции f в точке x к соответствующему приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, т. е.

f(x + h) - f(x) f (x) := lim. (6.3) h0 h Приведем другие, встречающиеся в литературе обозначения про изводной df(x) df dy f (x) = y (x) = y = = =.

dx dx dx Обозначение Df(x)(h) является наиболее точным и читается так: дифферен циал функции f в точке x на приращении h.

204 Глава 6. Производные и дифференциалы Если предел (6.3) существует и является числом, то говорят, что функция f имеет в точке x конечную производную. Предел (6.3) может существовать и быть равным, +, - (в таких случаях принято говорить о бесконечных производных), может и не существо вать (в таких случаях считается, что в точке x функция f не имеет производной).

Теорема 119. Дифференцируемость функции f в точке x рав носильна существованию конечной производной f (x).

Предположим, что функция f дифференцируема в точке x, т. е.

f(x + h) - f(x) = k · h + (h) · h, где (h) 0 при h 0.

Разделив это равенство на h, получим f(x + h) - f(x) = k + (h).

h Переходя здесь к пределу при h 0, находим f(x + h) - f(x) f (x) = lim = k, h0 h т. е. производная существует и равна k.

Обратно, пусть f (x) = k R. Тогда имеем f(x + h) - f(x) = f (x) + o(1) = k + o(1) при h 0, h откуда f(x + h) - f(x) = k · h + h · o(1) = k · h + o(h) при h 0.

Значит, функция f дифференцируема в точке x.

Очевидно, что если f дифференцируема в точке x, то значение ее дифференциала в точке x на приращении h равно Df(x)(h) = f (x) · h, т. е. число f (x) равно угловому коэффициенту дифференциала функции f в точке x.

§ 1. Дифференцируемые функции Теорема 120. Если функция f дифференцируема в точке x, то она и непрерывна в этой точке.

Записывая условие дифференцируемости функции f точке x, имеем f(x + h) - f(x) = k · h + o(h) при h 0.

Переходя здесь к пределу при h 0, получим: lim f(x + h) = f(x), h т. е. функция f непрерывна в точке x.

Замечание. Доказанная теорема означает, что непрерывность функ ции в точке является необходимым условием ее дифференцируемости в этой точке. Однако непрерывность функции в точке не является доста точным условием для дифференцируемости ее в этой точке. Покажем это на примерах.

Примеры. 1) Функция f(x) := |x|, график которой показан на рис. 34, непрерывна всюду на R (как элементарная функция с областью определе ния R), однако она не дифференцируема в точке x = 0.

В самом деле, применяя критерий Коши существования предела функции, заключаем, что предел f(0 + h) - f(0) |h| lim = lim = lim sign h h0 h h0 h h не существует, так как колебание функции sign в любой окрестности нуля равно 2, и потому его невозможно сделать сколь угодно малым (см. рис. 35).

2) Функция f(x) := x · sin при x = 0, и f(0) := 0, график которой x показан на рис. 36, непрерывна на R, но не дифференцируема в точке x = 0.

В самом деле, предел f(0 + h) - f(0) lim = lim sin h0 h h0 h не существует, так как колебание функции sin в любой окрестности h точки h = 0 равно 2, и его невозможно сделать сколь угодно малым (см. рис. 36).

3) Определим функцию на R = [2k - 1, 2k + 1], полагая kZ k Z : (x) := |x - 2k| при 2k - 1 x 2k + 1.

206 Глава 6. Производные и дифференциалы - Рис. 34. График функции | · | Рис. 35. График функции sign График функции показан на рис. 37. Очевидно, что эта функция непре рывна на R. Однако ни в одной целой точке x = k Z она не является диф ференцируемой. Это проверяется так же, как и для функции f(x) = |x|.

4) Возникает вопрос: на сколько мощным может быть множество точек, в которых некоторая непрерывная функ ция не будет дифференциру емой? Оказывается, что су ществуют функции, непрерыв ные всюду на R, но не диффе ренцируемые ни в одной точ ке. Таким свойством обладает, например, известная функция Ван-дер-Вардена2 f0(x), опре Рис. 36. График функции деляемая равенством x - x · sin x (4kx) f0(x) :=, (6.4) 4k k= где функция из предыдущего примера. Доказательство этого послед него утверждения будет дано в части 4 этого учебного пособия.

Ван-дер-Варден Бартель Лендерт (р. 1903) голландский математик.

§ 1. Дифференцируемые функции 2. Дифференцируемость вектор-функций Пусть r : T - R3, T R, вектор-функция, и пусть t внутренняя точка множества T. Вектор функция3 r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k называется дифференцируемой в точке t, если существует вектор l R3 такой, что приращение функ ции r можно представить в виде r (t + h) - r (t) = l · h + (h), (6.5) где |(h)| = o(h) при h 0.

Производной от вектор-функции r в точке t называется предел r (t + h) - r (t) r (t) := lim. (6.6) h0 h Считается, что производная существует, если предел (6.6) существует и лежит в R3. Равенства (6.5), (6.6) и вообще равенства векторов понимают ся в том смысле, что должны быть равными соответствующие координаты векторов. Учитывая это, легко установить следующий факт.

Теорема 121. Существование производной вектор-функции r (t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k равносильно существованию конечных производных всех ее координатных функций x(t), y(t), z(t), причем справедливо следующее равенство:

r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k.

Из этой теоремы, в частности, следует, что для вектор-функций спра ведливы теоремы 119 и 120.

Символами i, j, k принято обозначать единичные векторы, направленные соответственно вдоль координатных осей OX, OY, OZ прямоугольной декарто вой системы координат в пространстве R3.

208 Глава 6. Производные и дифференциалы -3 -2 -1 1 2 Рис. 37. График функции 3. C-дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного Пусть f : A - C, A C, комплекснозначная функция комплекс ного переменного, а z внутренняя точка множества A, т. е. такая точка, которая содержится в A вместе с некоторым кругом.

Функция f называется C-дифференцируемой в точке z A, если существует число k C такое, что f(x + h) - f(x) = k · h + o(h) при h 0. (6.7) Производной от функции f в точке z A называется предел f(z + h) - f(z) f (z) := lim. (6.8) h0 h Здесь и в равенстве (6.7) приращение h комплексная переменная. Счита ется, что производная от функции комплексного переменного существует, если предел (6.8) существует и является числом.

Понятия C-дифференцируемости и производной для функций ком плексного переменного по форме не отличаются от соответствующих поня тий для функций вещественного переменного. Теоремы 119 и 120 остаются справедливыми и для функций комплексного переменного.

Для функций комплексного переменного с помощью понятия C-диф ференцируемости очень просто вводится новое понятие аналитичности.

Определение 129. Функция комплексного переменного f : A - C, A C, называется аналитической в точке z A, если она C-дифферен цируема во всех точках некоторой окрестности точки z.

§ 2. Геометрический и физический смысл производной § 2. Геометрический и физический смысл производной. Односторонние и бесконечные производные 1. Касательная к графику функции Пусть функция f : (a, b) - R непрерывна в точке x0 (a, b).

Обозначим y0 := f(x0), и пусть f := (x, y) R2 | x (a, b), y = f(x) (6.9) график4 функции f. Введем в рассмотрение пучок прямых5, про ходящих через точку M0(x0, y0) f. Поставим такую задачу: среди прямых пучка найти ту, которая финально при x x0 наиболее тесно прилегает к графику f. Эта прямая и будет называться ка сательной к графику f в точке M0. Дадим теперь более точное определение.

Определение 130. Прямая называется касательной к гра фику f в точке M0 f, если:

(a) точка M0 лежит на прямой ;

(b) расстояние от точки M(x, f(x)) до прямой является бесконечно малым по сравнению с расстоянием между точками M и M0 при x x0.

Теорема 122. Существование касательной к графику f функ ции y = f(x) в точке M0(x0, y0) f равносильно существованию производной f (x0), причем эта производная равна угловому коэф фициенту касательной.

Предположим сначала, что существует касательная к гра фику функции f в точке (x0, y0) f. Пусть (y - y0) cos - (x - x0) sin = 0 (6.10) уравнение касательной, где угол ее наклона к оси абсцисс, и можно считать, что - <. Из аналитической геометрии 2 известно, что число Опять возникла путаница в обозначениях: в формуле (6.9) под (x, y) пони мается упорядоченная пара, а под (a, b) интервал числовой оси.

Так иногда называют множество всех прямых, лежащих в плоскости и про ходящих через данную точку.

210 Глава 6. Производные и дифференциалы |(f(x) - f(x0)) · cos - (x - x0) · sin | (6.11) равно расстоянию от точки (x, f(x)) до прямой. Так как касатель ная по предположению существует, то, согласно определению 130, должно быть |(f(x) - f(x0)) · cos - (x - x0) · sin | lim = 0. (6.12) xx0, (x - x0)2 + (f(x) - f(x0)) x =x При = последнее равенство равносильно такому lim (6.13) xx0, 2 = 0.

x =x0 f(x) - f(x0) 1 + x - x Отсюда видно, что f(x) - f(x0) f (x0) = lim =.

xx0, x - x x =x Таким образом, в этом случае производная f (x0) существует и равна, т. е. угловому коэффициенту касательной x = x0 (см. рис. 38, а также рис. 42 45).

В случае || < равенство (6.12) равносильно тому, что lim (x) = 0, xx0, x =x y0 M где обозначено f(x) - f(x0) x - tg x - x (x) := 2.

f(x) - f(x0) Рис. 38. Вертикальная 1 + касательная x - x (6.14) Обозначая, далее, f(x) - f(x0) T (x) :=, x - x § 2. Геометрический и физический смысл производной переписываем равенство (6.14) в следующем равносильном виде:

|T (x) - tg | = (x) · 1 + (T (x))2.

Решая это уравнение относительно T (x), найдем tg ± tg2 - 1 - [(x)]2 tg2 - [(x)] T (x) =.

1 - [(x)] Переходя здесь к пределу при x x0, x = x0 и учитывая, что при этом (x) 0, получим lim T (x) = tg, т. е. f (x0) = tg.

xx0, x =x Таким образом, и в этом случае существует производная f (x0), ко торая притом равна угловому коэффициенту касательной (6.10).

Обратно, предположим, что существует предел f(x) - f(x0) f (x0) = lim.

xx0, x - x x =x Если f (x0) =, то выполняется равенство (6.13), которое равно сильно равенству (6.12) при =. Таким образом, в этом случае прямая x = x0 касательная. Если f (x0) число, то, полагая f (x0) = tg, заключаем, что (x) 0 при x x0, что равносильно равенству (6.12). Таким образом, касательная существует, а ее урав нение можно найти из (6.12) в виде y - f(x0) = f (x0) · (x - x0) (см. рис. 39).

Доказанная теорема выражает геометрический смысл производ ной f (x0) (конечной или бесконечной) как углового коэффициента касательной к графику функции f в точке (x0, f(x0)).

Предполагая, что f (x0) число, выясним геометрический смысл дифференциала. Используя классические обозначения dx := x - x0, dy := f (x0) · (x - x0), 212 Глава 6. Производные и дифференциалы dy M0 Y y dx M x0 X Рис. 39. Наклонная Рис. 40. Касательная касательная график дифференциала запишем уравнение касательной в таком виде:

dy = f (x0) · dx.

Отсюда очевидно, что касательная к графику f функции f в точке (x0, y0) f это график дифференциала функции f в системе координат, за начало которой выбрана точка M0(x0, y0), а коорди натные оси параллельны исходным координатным осям и одинаково с ними направлены (см. рис. 40).

2. Физический смысл производной Движение материальной точки M в трeхмерном пространстве R3 можно задать с помощью вектор-функции r = r(t), выражаю щей зависимость радиуса-вектора OM = r(t) движущейся точки M от времени t. В каждый момент времени t конец радиуса-вектора указывает место, где в этот момент находится материальная точка.

Задавая приращение t времени, рассмотрим соответствующее при ращение радиуса-вектора:

- - r = r(t + t) - r(t) = MM.

Это приращение приближенно можно считать вектором пути, кото рый прошла материальная точка за промежуток времени [t, t + t].

Чтобы вычислить среднюю скорость движения материальной точки на указанном промежутке времени, надо разделить r на t:

r r(t + t) - r(t) vсредняя([t, t + t]) = =.

t t x d · y = y d y = f ( x ) § 2. Геометрический и физический смысл производной Устремляя здесь t к нулю, получим в пределе (предполагая, что он существует) мгновенную скорость движения материальной точки в момент времени t:

r(t + t) - r(t) v(t) = lim = r (t).

t0 t Таким образом, мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени t равна производной в точке t радиуса вектора движущейся точки по времени t. Взяв производную по t от обеих частей равенства r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k, получим v(t) = r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k.

Таким образом, проекции вектора скорости на координатные оси равны производным соответствующих проекций радиуса-вектора движущейся точки.

3. Односторонние и бесконечные производные Односторонними прозводными от функции f : X - R, X R, называются следующие пределы:

f(x) - f(x0) f-(x0) := lim при x x0, x < x0 ;

x - x (6.15) f(x) - f(x0) f+(x0) := lim при x x0, x > x0.

x - x Они называются соответственно производными слева и справа и применяются в тех случаях, когда в точке x0 не существует про изводной, либо когда функция f определена только в левой, либо только в правой окрестности точки x0. В соответствии с понятиями левой и правой производных можно рассматривать левую и правую касательные к графику функции f в точке M0(x0, f(x0)). Так, ес ли обе производные (6.15) существуют и конечны, то левая и пра вая касательные представляют собой лучи, имеющие соответственно 214 Глава 6. Производные и дифференциалы уравнения:

y = y0 + f-(x0) · (x - x0), y = y0 + f+(x0) · (x - x0), приближeнно представляющие функцию f в левой и правой окрест ностях точки x0 соответственно (см. рис. 41).

С понятием бесконечной произ M y водной мы уже встречались. Одно сторонние бесконечные производ ные могут возникать в тех случаях, когда один или оба предела (6.15) равны бесконечности.

x На рис. 42 45 показаны фраг Рис. 41. Односторонние менты графиков функций в окрест касательные в точке M ности точки (x0, y0), когда обе производные (6.15) бесконечны:

(a) f (x0) = + ;

(b) f (x0) = - ;

f-(x0) = -, f-(x0) = +, (c) (d) f+(x0) = + ;

f+(x0) = -.

Читателю предлагается самостоятельно построить эскизы графиков функций в окрестности точки (x0, y0) в тех случаях, когда один из пределов (6.15) конечен, а другой бесконечен.

§ 3. Основные правила вычисления производных. Производные элементарных функций 1. Основные правила вычисления производных Теорема 123. (a) Если f(x) c, то f (x) 0.

(b) Если f(x) x, то f (x) 1.

(c) Если f(x) |x|, то f (x) sign x при x = 0.

§ 3. Основные правила вычисления производных f(x0) f(x0) x0 x 0 Рис. 42. f (x0) = + Рис. 43. f (x0) = (a) Если f(x) c, то f(x + h) - f(x) c - c f (x) = lim = lim = lim 0 = 0.

h0 h h0 h h (b) Если f(x) x, то f(x + h) - f(x) (x + h) - x f (x) = lim = lim = lim 1 = 1.

h0 h h0 h h (c) Если f(x) = |x|, то |x + h| - |x| f (x) = lim.

h0 h Отсюда при x > 0 имеем d (x + h) - x |x| = lim = lim 1 = 1.

dx h0 h h Аналогично при x < 0 получаем d -(x + h) - (-x) |x| = lim = lim (-1) = -1.

dx h0 h h d Таким образом, |x| = sign x при x = 0.

dx Теорема 124. Предполoжим, что функции u = u(x), v = v(x) дифференцируемы в точке x, а c постоянная. Тогда (a) сумма u + v дифференцируема в точке x, причем (u + v) (x) = u (x) + v (x) ;

216 Глава 6. Производные и дифференциалы f(x0) f(x0) x x f-(x0) = +, f-(x0) = -, Рис. 44. Рис. 45.

f+(x0) = - f+(x0) = + (b) произведение u · v дифференцируемо в точке x, причем (u · v) (x) = u (x) · v(x) + u(x) · v (x) ;

(c) (c · u) (x) = c · u (x), где c постоянная;

u (d) eсли v(x) = 0, то частное дифференцируемо в точке x, v причем u (x) · v(x) - v (x) · u(x) u (x) =.

v (v(x)) (a) Имеем (u(x + h) + v(x + h)) - (u(x) + v(x)) (u + v) (x) = lim = h0 h u(x + h) - u(x) v(x + h) - v(x) = lim + = h0 h h u(x + h) - u(x) v(x + h) - v(x) = lim + lim = u (x) + v (x).

h0 h h0 h (b) Имеем u(x + h) · v(x + h) - u(x) · v(x) (u · v) (x) = lim = h0 h [u(x + h) - u(x)]v(x + h) + u(x)[v(x + h) - v(x)] = lim = h0 h u(x + h) - u(x) v(x + h) - v(x) = lim v(x + h) + lim u(x) = h0 h h0 h = u (x)v(x) + v (x)u(x).

§ 3. Основные правила вычисления производных d (c) Полагая в (b) v(x) c и учитывая, что c 0, получим dx d d d (c · u(x)) = u(x) · c + c · u(x) = c · u (x).

dx dx dx (d) Имеем u (x) = v 1 u(x + h) u(x) u(x + h)v(x) - v(x + h)u(x) = lim - = lim = h0 h v(x + h) v(x) h0 h · v(x + h) · v(x) [u(x + h) - u(x)]v(x) - [v(x + h) - v(x)]u(x) = lim = h0 h · v(x + h) · v(x) 1 u(x + h) - u(x) v(x + h) - v(x) = lim v(x) - lim u(x) = (v(x))2 h0 h h0 h u (x) · v(x) - v (x) · u(x) =.

(v(x)) Замечание. Отметим, что теорема о производной произведения до пускает обобщение на случай трeх и б числа сомножителей. На ольшего пример:

(u · v · w) = u vw + uv w + uvw.

В случае n сомножителей формула для производной произведения приоб ретает следующий вид:

(u1u2... un) = u u2... un + u1u... un +... + u1u2... u.

1 2 n Читателю предлагается самостоятельно доказать эти формулы. Теоремы 123 и 124 позволяют вычислять производные от любых рациональных функций. Например:

d d x2 = x · x = 1 · x + x · 1 = 2x ;

dx dx d x - 1 1 · (x2 - x + 1) - (2x - 1)(x - 1) 2x - x = =.

dx x2 - x + 1 (x2 - x + 1)2 (x2 - x + 1) 218 Глава 6. Производные и дифференциалы Теорема 125. Если функция f : X - Y дифференцируема в точке x X, а функция g : Y - R дифференцируема в точке f(x) = y Y, то композиция g f : X - R дифференцируема в точке x, причем (g f) (x) = g (f(x)) · f (x). (6.16) В силу дифференцируемости функции g имеем при h 0:

g[f(x + h)] - g[f(x)] = g (f(x)) · [f(x + h) - f(x)] + o[f(x + h) - f(x)].

Деля это равенство на h = 0 и переходя к пределу при h 0, получим g[f(x + h)] - g[f(x)] (g f) (x) = lim = h0 h f(x + h) - f(x) o(f(x + h) - f(x)) = g (f(x)) lim + lim = h0 h h) h o(f(x + h) - f(x)) = g (f(x)) · f (x) + lim = h) h o(O(h)) = g (f(x)) · f (x) + lim = g (f(x)) · f (x).

h0 h В качестве простого примера на применение формулы (6.16) продиф x - ференцируем функцию y =, представляя ее в виде композиции x + функций x - y = t2, t =.

x + Имеем 2 d x - 1 x - 1 d x - 1 x - 1 x + 1 - x + 1 4(x - 1) y = = 2 · = 2 · =.

dx x + 1 x + 1 dx x + 1 x + 1 (x + 1)2 (x + 1) Формула, аналогичная (6.16), справедлива для производной компози ции трех и б числа функций. Например, ольшего (h g f) (x) = h (g(f(x))) · g (f(x)) · f (x). (6.17) Формулу для производной композиции функций называют иногда цеп ным правилом. Читателю рекомендуется самостоятельно сформулировать и доказать цепное правило для вычисления производной от композиции n функций.

§ 3. Основные правила вычисления производных Теорема 126 (об инвариантности формы дифференциа ла). Дифференциал композиции y = f(x(t)) можно записать в та кой форме: dy = f (x)·dx, т. е. так, как если бы переменная x была независимой.

Используя формулу (6.16), имеем dy = (f x) (t) · dt = f (x(t)) · x (t) · dt = f (x(t)) · dx(t) = f (x) · dx.

Теорема 127. Пусть функция f : [a, b] - R строго моно тонна, непрерывна и имеет производную в точке x [a, b]. Тогда обратная функция f-1 имеет производную в точке y = f(x), при чем (f-1) (y) =. (6.18) f (x) Пусть x приращение аргумента в точке x. Символом y := f(x + x) - f(x) обозначим соответствующее ему прираще ние функции f. Так как обе функции f и f-1 строго монотонны и непрерывны, то имеет место такая равносильность:

x 0, x = 0 y 0, y = 0.

Учитывая это, имеем f-1(y + y) - f-1(y) (x + x) - x (f-1) (y) = lim = lim = y0 y y0 y x 1 = lim = lim =.

y0 x0 y f (x) y x Замечание. В теореме 127 не исключаются такие возможности:

f (x) = 0 и f (x) =. В этих случаях формула (6.18) приобретает вид 1 = и 0 = соответственно.

220 Глава 6. Производные и дифференциалы 2. Вычисление табличных производных 1) Непосредственно применяя определение 128, вычислим произ водную функции y = ln x. Имеем ln(x + h) - ln x 1 x + h 1 h y = lim = lim ln = lim ln 1 + = h0 h h0 h x h0 h x x h 1 x h = ln lim 1 + = h0 x 1 x x h h 1 = ln lim 1 + = ln exp =.

h0 x x x d Таким образом, ln x =.

dx x Если y = loga x, то d d ln x 1 d y = loga x = = · ln x =.

dx dx ln a ln a dx x ln a Если же y = loga |x|, то на основании теоремы о производной композиции при x = 0 имеем 1 d 1 y = · |x| = · sign x =.

|x| ln a dx |x| ln a x ln a 2) Производную от функции y = ax найдем с помощью теоремы о производной обратной функции:

d 1 ax = = = y ln a = ax ln a.

d dx loga y dy y ln a Отсюда при a = e получаем формулу для производной от экспоненты d ex = ex, так как ln e = 1.

dx 3) Найдем производную от стeпенной функции y = x. При x > имеем d d d x = e·ln x = e·ln x · · ln x = · x-1.

dx dx dx § 3. Основные правила вычисления производных Если степенная функция определена и при x < 0, то для ее произ водной справедлива та же формула, что и при x > 0 (доказать).

4) Вычислим производные от тригонометрических функций. Име ем h h 2 cos x + sin d sin(x + h) - sin x 2 sin x = lim = lim = dx h0 h h0 h h sin h = lim cos x + · lim = cos x.

h h0 2 h d Таким образом, sin x = cos x. Далее, dx d d d cos x = sin - x = cos - x · - x = - sin x, dx dx 2 2 dx т. е.

d cos x = - sin x.

dx Далее, d d sin x cos x · cos x + sin x · sin x tg x = = =.

dx dx cos x cos2 x cos2 x И наконец, d d cos x - sin x · sin x - cos x · cos x ctg x = = = -.

dx dx sin x sin2 x sin2 x 5) Производные от обратных тригонометрических функций y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x можно вычислить на основании теоремы о производной обратной 222 Глава 6. Производные и дифференциалы функции. Имеем:

d 1 1 1 arcsin x = = = = ;

d dx cos y 1 - sin2 y - x sin y dy d 1 1 1 arccos x = = - = - = - ;

d dx sin y 1 - cos2 y 1 - x cos y dy d 1 1 1 arctg x = = = = ;

d dx 1 + tg2 y 1 + x tg y dy cos2 y d 1 1 1 arcctg x = = = - = -.

d dx 1 + ctg2 y 1 + x ctg y dy sin2 y Полученные результаты вычислений сведем в следующую таб лицу производных:

f(x) f (x) Ограничения c x x · x-1 x > |x| sign x x = ax ax · ln a a > ex ex loga |x| 1 (x ln a) a > 0, a = 1, x = ln |x| 1 x x = sin x cos x cos x - sin x tg x 1 cos2 x x = + k ·, k Z ctg x -1 sin2 x x = k ·, k Z arcsin x 1 1 - x2 |x| < arccos x -1 1 - x2 |x| < arctg x 1 (1 + x2) arcctg x -1 (1 + x2) § 3. Основные правила вычисления производных В дополнение к табличным производным вычислим производные гиперболических функций. Имеем:

d d ex + e-x ex - e-x ch x = = = sh x ;

dx dx 2 d d ex - e-x ex + e-x sh x = = = ch x ;

dx dx 2 d d ch x · sh x - sh x · ch x d d sh x ch2 x - sh2 x dx dx th x = = = = ;

dx dx ch x chx ch2 x ch2 x d d sh x · ch x - ch x · sh x d d ch x sh2 x - ch2 x dx dx cth x = = = = -.

dx dx sh x shx sh2 x sh2 x Итак, получены следующие формулы дифференцирования:

d d ch x = sh x, sh x = ch x, dx dx d 1 d th x =, cth x = -.

dx dx ch2 x sh2 x Используя их и теорему о производной обратной функции, можно вы числить производные обратных гиперболических функций (читателю реко мендуется сделать это самостоятельно). Здесь же воспользуемся явными формулами, полученными в § 4 гл. 4. Имеем x 1 + d d arch x = ln x + x2 - 1 = x - 1 =, |x| > 1 ;

dx dx x + x2 - 1 x2 - d d arsh x = ln(x + x2 + 1) = ;

dx dx x2 + d d 1 1 + x 1 1 1 arth x = ln = + =, |x| < 1 ;

dx dx 2 1 - x 2 1 + x 1 - x 1 - x d d 1 x + 1 1 1 1 arcth x = ln = - = -, |x| > 1.

dx dx 2 x - 1 2 x + 1 x - 1 x2 - 224 Глава 6. Производные и дифференциалы 3. Некоторые другие правила вычисления производных 1) Логарифмическое дифференцирование. Если функция f дифференцируема в точке x и f(x) = 0, то на основании теоремы о производной композиции имеем d 1 d ln |f(x)| = · f(x), dx f(x) dx откуда d d f(x) = f(x) · ln |f(x)|. (6.19) dx dx Эта последняя формула лежит в основе приeма вычисления произ водных, известного под названием логарифмического дифференциро вания. Эффект применения формулы (6.19) основан на том, что для d некоторых функций f производная ln |f(x)| вычисляется проще, dx чем f (x).

Например, для функции f(x) = xx, x > 0 имеем d ln(xx) = x · ln x = ln(xx) = 1 + ln x.

dx Применяя теперь формулу (6.19), находим d (xx) = xx · (1 + ln x).

dx 2) Вычисление производных от функций, заданных пара метрически. Пусть задана система уравнений x = (t), t [t0, T ], (6.20) y = (t), где и некоторые функции. Предполагая, что для функции существует обратная функция -1, исключим из равенств (6.20) переменную t. В результате получится следующая функция перемен ного x:

y = [-1(x)]. (6.21) Принято считать, что эта функция задана параметрически уравне ниями (6.20).

§ 3. Основные правила вычисления производных Теорема 128. Если функции и дифференцируемы в точке t [t0, T ] и (t) = 0, то функция (6.21), заданная параметрически уравнениями (6.20), дифференцируема в точке x = (t), причем (t) y (x) =. (6.22) (t) Дифференцируемость функции (6.21) вытекает из теорем о производных сложной и обратной функций. Используя их, имеем 1 (t) y (x) = (-1(x)) · (-1) (x) = (t) · =.

(t) (t) В качестве примера найдем производную y (x) от функции, заданной параметрически уравнениями x = a · (t - sin t), 0 < t < 2.

y = a · (1 - cos t), Имеем t t 2 sin cos y (t) a · sin t t 2 y (x) = = = = ctg.

t x (t) a · (1 - cos t) 2 sin 3) Вычисление производных от функций, заданных неяв но. Говорят, что функция y = y(x), x (a, b), задана неявно урав нением F (x, y) = 0, (6.23) если при всех x (a, b) выполняется равенство F [x, y(x)] = 0.

Дифференцирование заданных так функций основано на следующем утверждении.

Если существуют частные производные6 Fx, Fy, и Fy(x, y(x)) = 0, Частной производной функции нескольких переменных называется ее про изводная по одной переменной при фиксированных значениях остальных пере менных.

226 Глава 6. Производные и дифференциалы то функция y = y(x), заданная неявно уравнением (6.23), дифферен цируема в точке x, причем Fx(x, y) y (x) = -. (6.24) Fy(x, y) Это утверждение будет доказано в дальнейшем, а здесь используем его только для вычисления производных. Вычислим, например, производную от функции y = y(x), заданную неявно уравнением F (x, y) x3 + y3 - 3axy = 0.

Сначала вычисляем частные производные:

Fx(x, y) = 3x2 - 3ay ;

Fy(x, y) = 3y2 - 3ax.

Применяя формулу (6.24), получим x2 - ay y (x) = -.

y2 - ax § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 1. Производные высших порядков Предположим, что множество X R открытое, а функция f : X - R дифференцируема в каждой точке множества X. Сопо ставляя каждому значению x X значение производной f (x), полу чим7 производную функцию f : x - f (x). Постановка вопроса о дифференцируемости функции f приводит к понятию производной второго порядка от функции f.

Определение 131. Производная второго порядка f (x) от функции f в точке x определяется равенством f (x) := (f ) (x).

Обращаю внимание читателя на различие между понятиями: производная (т. е. число f (x) ) и производная функция (т. е. отображение f : x - f (x) ).

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков Производная n-го порядка f(n) определяется по индукции равенст вом f(n)(x) := (f(n-1)) (x), где f(n-1) : x - f(n-1)(x) производная функция порядка (n - 1).

С точки зрения этого определения исходную функцию иногда удобно рассматривать как производную нулевого порядка, т. е.

f(0)(x) := f(x).

В отличие от f(0) и f производные f, f,..., f(n),... называ ются производными высших порядков.

Если для функции f при любом x X существуют конечные производные до порядка n включительно, то эта функция называет ся n-кратно дифференцируемой на множестве X. Если для функции f при любом x X существуют производные любого порядка n, то эта функция называется бесконечно дифференцируемой на мно жестве X.

В главе 4 мы ввели множество C[X] всех функций, непрерывных на множестве X. Аналогично символом Cn[X] принято обозначать множество всех функций f : X - R, имеющих непрерывные на множестве X производные до порядка n включительно. Символом C[X] принято обозначать множество всех функций f : X - R, имеющих непрерывные на множестве X производные любого поряд ка n N.

Рассмотрим важные примеры вычисления производных высших порядков от некоторых часто встречающихся элементарных функ ций.

1) Пусть P (x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +... + anxn многочлен степени n от x. Его последовательные производные равны P (x) = a1 + 2a2x + 3a3x2 +... + nanxn-1 ;

P (x) = 2!a2 + 3 · 2a3x +... + n · (n - 1)anxn-2 ;

P (x) = 3!a3 +... + n(n - 1)(n - 2)anxn-3 ;

...............................................

(n) P (x) = n!an.

Поскольку производная порядка n постоянная, то все производные 228 Глава 6. Производные и дифференциалы более высоких порядков тождественно равны нулю, т. е.

(n+1) (n+2) P (x) P (x)... 0.

2) Найдем последовательные производные показательной функ ции f(x) := ax. Имеем f (x) = ax ln a, f (x) = ax(ln a)2,..., f(n)(x) = ax(ln a)n,....

Полагая здесь a = e и учитывая, что ln e = 1, получим d d2 dn ex = ex = ex =... = ex =..., dx dx2 dxn т. е. производная любого порядка от экспоненты равна сам экспо ой ненте.

3) Для функции f(x) = sin x имеем dn sin x = sin x + n. (6.25) dxn Сначала находим d sin x = cos x = sin x + ;

dx d2 d sin x = sin x + = sin x + 2 · ;

dx2 dx 2 d3 d sin x = sin x + 2 = sin x + 3 ·.

dx3 dx 2 Для обоснования общей формулы (6.25) следует применить метод полной индукции.

4) Для функции f(x) = cos x имеем dn cos x = cos x + n ·.

dxn Это равенство доказывается аналогично равенству (6.25).

5) Для функции f(x) = ln(1 + x) имеем dn (n - 1)!

ln(1 + x) = (-1)(n-1). (6.26) dxn (1 + x)n § 4. Производные и дифференциалы высших порядков Последовательно дифференцируя данную функцию, находим d ln(1 + x) = ;

dx 1 + x d2 1!

ln(1 + x) = - ;

dx2 (1 + x) d3 2!

ln(1 + x) =.

dx3 (1 + x) Для обоснования общей формулы (6.26) следует применить метод индукции.

6) Для функции f(x) = (1 + x)µ имеем dn (1 + x)µ = µ(µ - 1)... (µ - n + 1)(1 + x)µ-n. (6.27) dxn Последовательно дифференцируя данную функцию, получим:

d (1 + x)µ = µ(1 + x)µ-1 ;

dx d (1 + x)µ = µ(µ - 1)(1 + x)µ-2 ;

dx d (1 + x)µ = µ(µ - 1)(µ - 2)(1 + x)µ-3.

dx Для обоснования общей формулы (6.27) следует применить метод полной индукции.

7) Для гиперболических функций ch и sh имеем dn ch x при n четном, ch x = dxn sh x при n нечетном;

dn sh x при n четном, sh x = dxn ch x при n нечетном.

Приведем один результат общего характера, касающийся вычис ления производных высших порядков от произведения двух функ ций.

230 Глава 6. Производные и дифференциалы Теорема 129 (формула Лeйбница). Если функции u = u(x) и v = v(x) имеют конечные производные до n-го порядка включи тельно, то n n (u·v)(n) = u·v(n) + u ·v(n-1) + u ·v(n-2) +...+u(n) ·v, (6.28) 1 n n!

где := биномиальные коэффициенты.

k k! · (n - k)!

Замечание. Учитывая, что u(x) = u(0)(x), можно записать формулу Лейбница (6.28) в следующем виде, аналогичном формуле бинома Ньюто на:

n n (u · v)(n) = u(k)v(n-k). (6.29) k k= При n = 1 по теореме о производной произведения имеем (u · v) = uv + u v.

Дифференцируя это равенство, при n = 2 получим (u · v) = uv + 2u v + u v.

Дифференцируя это равенство, при n = 3 получим (u · v) = uv + 3u v + 3u v + u v.

Таким образом, для значений n = 1, 2, 3 формула Лейбница (6.29) установлена. Желая применить метод полной индукции, предполо жим, что тождество (6.29) справедливо для некоторого n N и по кажем, что оно остается справедливым после замены n - (n + 1).

С этой целью продифференцируем тождество (6.29) по переменной § 4. Производные и дифференциалы высших порядков x и преобразуем полученный результат n n d n n d (u · v)(n+1) = u(k)v(n-k) = u(k)v(n-k) = dx k k dx k=0 k= n n = u(k)v(n-k+1) + u(k+1)v(n-k) = k k= n n- n n = u(0)v(n+1)+ u(k)v(n-k+1)+ u(k+1)v(n-k)+u(n+1)v(0) = k k k=1 k= n n n = u(0)v(n+1) + + u(k)v(n-k) + u(n+1)v(0) = k k + k= n n + = u(0)v(n+1) + u(k)v(n+1-k) + u(n+1)v(0) = k k= n+ n + = u(k)v(n+1-k).

k k= В этих преобразованиях было использовано тождество n n n + + =, k k + 1 k + доказанное в главе 2, § 1, п. 3.

В качестве примера вычислим dn P (x) · ex, dxn dk где P (x) многочлен степени m n. Так как P (x) 0 при k > m, dxk то формула Лейбница дает (n m):

m m dn m dk dn-k n (k) P (x)ex = P (x) · ex = ex n-k P (x).

dxn k dxk dxn-k k k=0 k= Возьмем более конкретный пример d3 d d2 d (x3ex) = x3 + 3 x3 + 3 x3 + x3 ex = (x3 + 9x2 + 18x + 6)ex.

dx3 dx dx2 dx 232 Глава 6. Производные и дифференциалы 2. Дифференциалы высших порядков Предположим, что у функции y = f(x) в точке x существует конечная производная n-го порядка, где n N.

Определение 132. Дифференциалом n-го порядка функции f в точке x называется однородная функция степени n от приращения h, определяемая следующим равенством:

Dnf(x)(h)n := f(n)(x) · hn. (6.30) Кроме того, удобно считать это равенство пригодным и для опре деления дифференциала порядка нуль, т. е. полагать D0f(x)(h)0 := f(x) = f(0)(x).

Обозначив левую часть равенства (6.30) символом dnf(x) и полагая в правой части h = dx, получим другую (классическую) форму записи дифференциала n-го порядка:

dnf(x) := f(n)(x) · dxn, которая часто встречается в литературе. Разделив последнее равен ство на dxn, получим другое (в виде дроби) выражение для произ водной n-го порядка в точке x:

dn dnf(x) f(n)(x) = f(x) =, dxn dxn которое было неоднократно использовано выше.

В заключение этого пункта отметим, что, вообще говоря, диффе ренциалы высших порядков не обладают свойством инвариантнос ти (в отличие от дифференциалов 1-го порядка).

В самом деле, если y = f(x(t)), то d2y = (f x) (t) · dt2, где d d (f x) (t) = (f x) (t) = [f (x(t)) · x (t)] = dt dt = f (x(t)) · (x (t))2 + f (x(t)) · x (t).

Используя этот результат, получим d2y = f (x(t))(x (t))2 + f (x(t))x (t) dt2 = f (x) · dx2 + f (x) · d2x.

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков Если же переменная x независимая, то d2y = f (x) · dx2.

Сравнивая правые части двух последних равенств, видим, что они от личаются слагаемым f (x) · d2x, которое в общем случае не равно ну лю. Таким образом, даже дифференциал второго порядка не инвари антен (не говоря уже о дифференциалах более высоких порядков).

Задачи к главе 6.1. Продифференцировать следующие функции:

ax + b x + x + x a) y = ;

b) y = ;

cx + d x + c) y = x + x + x;

d) y = (2 - x2) cos x + 2x sin x;

e) y = sin(cos2 x) + cos(sin2 x);

f) y = sin [sin(sin x)];

1 g) y = tg x - tg3 x + tg5 x;

h) y = (x2 - 2x + 2)ex;

3 3 i) y = 4 ctg2 x + ctg8 x;

j) y = ln(ln(ln x));

1 k) y = ln(1 + x2) - ;

l) y = arccos(sin x2 - cos x2);

2 2(1 + x) e2x m) y = arctg(tg2 x);

n) y = arctg ex - ln ;

1 + e2x o) y = |(x - 1)2(x + 1)3|;

p) y = exp(tg(xx)).

6.2. Используя логарифмическое дифференцирование, найти произ водные следующих функций:

1 - x a) y = x · ;

b) y = (x - a1)1... (x - an)n;

1 + x x2 3 - x c) y = (x + 1 + x2)n;

d) y = · ;

1 - x (3 + x) (2 - x2)(3 - x3) e) y = ;

f) y = (5 + 2x)10(3 - 4x)20;

(1 - x) arctg2 x (ln x)x arcsin(sin2 x) g) y = ;

h) y = ;

xln x arccos(cos2 x) i) y = (sin x)cos x;

j) y = (1 - x)(1 - x2)2(1 - x3)3.

234 Глава 6. Производные и дифференциалы dy 6.3. Найти производные функций y = y(x), заданных параметри dx чески следующими уравнениями (параметр t считается положи тельным):

a) x = 1 - t, y = 1 - t;

b) x = sin2 t, y = cos2 t;

c) x = a cos t, y = b sin t;

d) x = a ch t, y = b sh t;

e) x = e2t cost, y = e2t sin2 t;

t f) x = arcsin, y = arccos.

1 + t 1 + t dy 6.4. Найти производные функций y = y(x), заданных неявно dx следующими уравнениями:

a) x2 + 2xy - y2 = 2x;

b) y2 = 2px;

x2 y c) + = 1;

d) x + y = a;

a2 b y e) arctg = ln x2 + y2 ;

x y f) r = a ·, где r = x2 + y2, = arctg ;

x y g) r = a · em, где r = x2 + y2, = arctg.

x 6.5. Найти y, если:

x a) y = x 1 + x2;

b) y = ;

1 - x c) y = e-x ;

d) y = tg x;

e) y = x · [sin(ln x) + cos(ln x)];

f) y = x ln x;

g) y = xx. h) y = (1 + x2) arctg x;

arcsin x i) y = ;

j) y = ln f(x).

1 - x § 4. Производные и дифференциалы высших порядков 6.6. Найти производные n-го порядка от следующих функций:

a) y = sin ax cos bx;

b) y = ;

c) y = ex cos x;

x(1 - x) 1 x d) y = ;

e) y = ;

f) y = sin2 x;

1 - 2x 1 + x g) y = sin4 x + cos4 x;

h) y = sin3 x;

i) y = cos3 x;

ax + b j) y = sin ax sin bx;

k) y = cos ax cos bx;

l) y = ;

cx + d m) y = sin2 ax cos bx;

n) y = cos2 x;

o) y = x cos ax;

x2 + 2x + 2 ex p) y = ;

q) y = ;

r) y = x2 sin ax;

ex x 1 a + bx s) y = ;

t) y = ex sin x;

u) y = ln.

x2 - 3x + 2 c + dx Глава ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ § 1. Теоремы о средних значениях.

Правило Лопиталя 1. Теоремы о средних значениях Сначала напомним определение понятия локального экстремума.

Определение 133. Точка x0 X называется точкой локаль ного экстремума функции f : X - R, если существует такая окрестность U(x0) точки x0, что x U(x0) X, x = x0, выпол няется хотя бы одно из следующих неравенств:

(a) f(x) < f(x0) (строгий локальный максимум);

(b) f(x) f(x0) (локальный максимум);

(c) f(x) > f(x0) (строгий локальный минимум);

(d) f(x) f(x0) (локальный минимум).

Функция, график которой показан на рис. 46, имеет экстремумы в точках x1, x2, x3, x4, x5, причем в точках x1, x3, x5 минимумы, а в точках x1, x2, x3, x4 максимумы.

Теорема 130 (Ферма1). Если внутренняя точка x0 мно жества X является точкой локального экстремума функции f : X - R и если существует производная f (x0) R, то f (x0) = 0.

Предположим для определенности, что в точке x0 функция f имеет локальный максимум (случай локального минимума можно рассмотреть аналогично). Так как x0 внутренняя точка множества X, то существует интервал (x0 -, x0 + ) X такой, что x0 - < x < x0 + = f(x) f(x0).

Ферм Пьер (1601 1665) французский математик.

а § 1. Теоремы о средних значениях. Правило Лопиталя Y x x1 x2 O x3 x X Рис. 46. График функции, имеющей экстремумы f(x) - f(x0) Отсюда при x0 - < x < x0 имеем 0. Переходя x - x здесь к пределу при x x0, x < x0, получим f (x0) 0. Если f(x) - f(x0) же x0 < x < x0 +, то 0, откуда в пределе при x - x x x0, x > x0 получим f (x0) 0. Оба неравенства, полученные для f (x0), выполняются только при f (x0) = 0.

Отметим геометрический смысл теоремы Ферма. Если функция f : X - R дифференцируема во внутренней точке x0 X0, ко торая является точкой ее локального экстремума, то касательная к графику функции f в точке (x0, f(x0)) параллельна оси абсцисс (см. рис. 47).

Теорема 131 (Дарбу2). Если функция f : [a, b] - R диф ференцируема на отрезке [a, b], то в некоторых точках интервала (a, b) производная функция f : [a, b] - R принимает любое зна чение, заключенное между f (a) и f (b).

Предположим сначала, что Y f (a) и f (b) имеют разные знаки, например f (b) < 0 < f (a). По кажем, что в этом случае сущест вует точка (a, b), в которой производная равна нулю. Так как функция f непрерывна на отрез- O a c b X ке [a, b], то по теоремам Вейер штрасса она ограничена, и сущест Рис. 47. К теореме Ферма вует точка [a, b], в которой она достигает своего максимального значения. Так как функция f диф ференцируема и f (b) < 0 < f (a), то при всех достаточно малых Дарб Жан Гастон (1842 1917) французский математик.

у 238 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления h > 0 справедливы следующие неравенства:

f(a + h) = f(a) + f (a) · h + o(h) > f(a), f(b - h) = f(b) + f (b) · (-h) + o(h) > f(b).

Эти неравенства означают, что наибольшее значение функции f не может достигаться ни в точке a, ни в точке b. Значит, (a, b), но тогда по теореме Ферма должно быть f () = 0.

Исключим теперь сделанное выше предположение о знаках про изводных и предположим для определенности, что f (a) < f (b).

Возьмем произвольное C (f (a), f (b)) и введем вспомогательную функцию F (x) := f(x) - C · x. Она дифференцируема, причем F (x) f (x) - C, F (a) = f (a) - C < 0, F (b) = f (b) - C > 0.

На основании доказанного выше (a, b) : F () = 0, т. е. f () = = C. Предположим теперь, что f (a) = f (b) =: A. Введем вспомога тельную функцию F (x) := f(x)-A·x, для которой F (a) = F (b) = 0.

Если функция F постоянная, то f (x) A, и в качестве точки можно взять любую точку интервала (a, b). Если же F отлична от постоянной, то в качестве точки следует взять одну из точек ее экстремума, а именно ту, которая лежит на интервале (a, b).

Теорема 132 (Ролль3). Если функция f : [a, b] - R непре рывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b), то существует точка (a, b) такая, что f () = 0.

Предположим сначала, что функция f постоянная, т. е.

f(x) C. В этом случае f (x) 0, и поэтому в качестве точки можно взять любую точку интервала (a, b).

Предположим теперь, что функция f отлична от тождественной постоянной. Отсюда заключаем, что m < M, где m := inf f(x), M := sup f(x), a x b a x b а из теоремы Вейерштрасса об ограниченности вытекает, что m и M числа. Поскольку они различные, то по меньшей мере одно из них не совпадает с f(a) = f(b). Предположим для определенности, Ролль Мишель (1652 1719) французский математик.

§ 1. Теоремы о средних значениях. Правило Лопиталя что M = f(a) = f(b). По теореме Вейерштрасса о максимуме су ществует точка [a, b], в которой f() = M. В силу последнего неравенства точка не может совпадать с концами отрезка, значит, (a, b). Итак, внутренняя точка локального максимума функ ции f, и в силу теоремы Ферма должно быть f () = 0. Аналогично можно рассмотреть случай m = f(a) = f(b).

Замечания. 1. Отметим геометрический смысл теоремы Ролля. При выполнении условий теоремы Ролля существует точка (a, b) такая, что касательная к графику функции f в точке (, f()) параллельна оси абсцисс (см. рис. 48).

2. Отметим существенность всех Y трех условий теоремы Ролля: если хо M тя бы одно из условий теоремы Ро ляя не выполняется, то легко строятся A B примеры функций, на графиках кото рых нет точек, в которых касательная была бы параллельна оси абсцисс. Чи O a c b X тателю предлагается сделать это само стоятельно.

Рис. 48. К теореме Ролля Теорема 133 (Лагранж4). Если функция f : [a, b] - R непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то существует точка (a, b) такая, что f(b) - f(a) = f () · (b - a). (7.1) Введем вспомогательную функцию F (x) := f(x) - · x, где R параметр. Очевидно, что функция F непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Подберем значение параметра так, чтобы выполнялось равенство F (a) = F (b). Имеем f(b) - f(a) f(a) - · a = f(b) - · b, откуда =.

b - a f(b) - f(a) Таким образом, для функции F (x) := f(x) - · x вы b - a полнены все условия теоремы Ролля. Применяя ее, заключаем, что Лагр Жозеф Луи (1736 1813) французский математик.

анж 240 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления c (a, b) : F (c) = 0, а это равенство равносильно следующему:

f(b) - f(a) f (c) =, (7.2) b - a которое в свою очередь равносильно равенству (7.1).

Замечания. 1. Выясним геометрический смысл теоремы Лагранжа.

С этой целью построим график функции f и будем использовать обозна чения, указанные на рис. 49. Обозначим также A(a, f(a)), B(b, f(b)), M(c, f(c)).

Прямолинейный отрезок AB назовем хордой. Из ABC видно, что f(b) - f(a) = tg BAC, т. е. правая часть равенства (7.2) равна углово b - a му коэффициенту хорды [A, B]. Производная f (c) равна угловому ко эффициенту касательной к графику в точке M. Равенство (7.2) угло вых коэффициентов двух прямых означает, что эти прямые параллельны.

Итак, при выполнении условий теоремы Лагранжа на графике функции f : [a, b] - R существует точка M(c, f(c)), касательная в которой параллельна хорде [A, B].

Y 2. Теорему 133 часто называют B теоремой о конечных приращениях.

M Это название связано с тем, что ра венство (7.1) дает выражение для ко A C нечного приращения функции f, в от личие от равенства (6.1), дающего вы O a c b X ражение для бесконечно малого при ращения функции f.

Рис. 49. К теореме Лагранжа Теорема 134 (Коши). Если функции f и g непрерывны на от резке [a, b], дифференцируемы на интервале (a, b) и x [a, b] : g (x) = 0, то существует точка (a, b) такая, что f(b) - f(a) f () =. (7.3) g(b) - g(a) g () § 1. Теоремы о средних значениях. Правило Лопиталя Введем вспомогательную функцию F (x) := f(x) - · g(x), где R параметр. Очевидно, что функция F непрерывна на [a, b] и дифференцируема на (a, b). Подберем значение параметра так, чтобы выполнялось равенство: F (a) = F (b). Имеем f(a) - · g(a) = f(b) - · g(b), откуда f(b) - f(a) =.

g(b) - g(a) f(b) - f(a) Таким образом, для функции F (x) := f(x) - · x вы g(b) - g(a) полнены все условия теоремы Ролля. Применяя ее, заключаем, что (a, b) : F () = 0, а это равенство равносильно равенству f(b) - f(a) f () = · g (). (7.4) g(b) - g(a) Разделив последнее равенство на g (), получим (7.3).

Замечание. Геометричес Y C кий смысл теоремы Коши f() такой же, как и теоремы f(b) B Лагранжа. Чтобы это пока зать, рассмотрим систему урав- A f(a) нений O x = g(t), g(a) g() g(b) X t [a, b]. (7.5) y = f(t), Рис. 50. К теореме Коши При условиях, перечисленных в теореме Коши, уравнения (7.5) задают параметрически некоторую функцию5 y = y(x). В обозначениях, показанных на ее графике (см. рис. 50), имеем A(g(a), f(a)), B(g(b), f(b)), C(g(), f()).

Именно из условия g (x) = 0, как будет показано в главе 8, вытекает строгая монотонность функции g. Из строгой монотонности в силу теоремы 2 из главы 1 вытекает существование обратной функции g-1. Таким образом, y(x) = f(g-1(x)).

242 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления f(b) - f(a) Угловой коэффициент хорды [A, B] равен. Угловой коэффи g(b) - g(a) циент касательной в точке C(g(), f()) на основании теоремы 128 равен f () y () =. Таким образом, равенство (7.3) выражает параллельность g () касательной в точке C и хорды AB.

2. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей Теорема 135 (правило Лопиталя6). Предположим, что функции f, g : [a, b] - R, - a < b +, дифференцируемы на (a, b), g (x) = 0 для всех x (a, b), и пусть f (x) lim = A R. Если, кроме того, выполняется одно из следующих xa g (x) условий:

(a) lim f(x) = lim g(x) = 0;

xa xa (b) lim g(x) = +;

xa (c) lim g(x) = -, xa f(x) то предел lim существует и равен A.

xa g(x) Предположим сначала, что выполнено условие (а). В случае, когда a число, доопределим функции f и g в точку a по непрерывности, полагая f(a) = g(a) := 0. Тогда на отрезке [a, x] [a, b] выполнены все условия теоремы Коши. Применяя ее, заключаем, что существует точка (x) (a, x) такая, что f(x) f(x) - f(a) f ((x)) = =.

g(x) g(x) - g(a) g ((x)) f (x) Так как lim (x) = a и lim = A, то по теореме о пределе композиции xa xa g (x) функций имеем f(x) f ((x)) f () lim = lim = lim = A.

xa xa a g(x) g ((x)) g () Лопит (L’Hpinal) Гийом Франсуа Антуан дe (1661 1704) маркиз, аль французский математик, автор первого печатного учебника по дифференциаль ному исчислению (1696), написанного по лекциям И. Бернулли (1667 1748). Пра вило Лопиталя на самом деле принадлежит И. Бернулли.

§ 1. Теоремы о средних значениях. Правило Лопиталя 1 В случае, когда a = -, рассматриваем функции f - и g t t в правой окрестности точки t = 0. Тогда получим 1 1 f - f f(x) t t t2 f (x) lim = lim = lim = lim = A.

x- t+0 t+0 x g(x) 1 1 1 g (x) g - g t t t Предположим теперь, что выполнено условие (b). Применяя теорему Коши, заключаем, что существует точка такая, что f(x) - f(y) f () a < x < < y < b и =, откуда g(x) - g(y) g () f () f(x) = f(y) + [g(x) - g(y)] ·.

g () Разделив последнее равенство на g(x), получим f(x) f(y) f () g(y) f () = + - ·. (7.6) g(x) g(x) g () g(x) g () Предполагая, что A R, зададим R+ найдем такое и f () f () c (a, b), чтобы (a, c] было - A и M при g () 3 g () некотором M R+. Фиксируя, далее, y (a, c], найдем x0 (a, y) так, чтобы x (a, x0) выполнялись неравенства f(y) g(y) и.

g(x) 3 g(x) 3M При тех же значениях переменной x, используя тождество (7.6), получим 244 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления f(x) f(y) f () f () g(y) - A + - A + · + + M · =, g(x) g(x) g () g () g(x) 3 3 3M f(x) т. е. lim = A.

xa g(x) Предполагая, что A = +, зададим E R+. Найдем сначала f (t) c (a, b) так, чтобы t (a, c] было 3E. Фиксируя, далее, g (t) y (a, c), найдем x0 (a, y) так, чтобы x (a, x0) выполнялись нера венства f(y) E 1 g(y) и -.

g(x) 2 g(x) При тех же значениях переменного x имеем f(x) f () g(y) f(y) 1 E 1 - - 3E · - = E.

g(x) g () g(x) g(x) 2 f(x) Итак, lim = +.

xa g(x) Случай A = - можно рассмотреть аналогично.

Доказательство для случая, когда выполнено условие (c), можно про вести аналогично случаю (b), можно даже свести его к случаю (b). Соот ветствующие рассуждения опускаем.

Замечания. 1. Теорема 135 доказана для предела при x a, x > a.

Утверждение, аналогичное этой теореме, справедливо и для предела при x b, x < b.

2. Содержащееся в теореме 135 утверждение (правило Лопиталя) часто выражают, опуская ограничения, следующим образом: предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если этот последний предел существует.

3. В качестве примера на применение правила Лопиталя установим следующий факт. Если функция f определена в окрестности, а дифферен цируема в проколотой окрестности7 точки a, и если существует предел lim f (x) = A, то существует и производная f (a), причем f (a) = A.

xa, x =a Применяя определение производной и правило Лопиталя, имеем f(x) - f(a) f (a) = lim = lim f (x) = A.

xa, xa, x - a x =a x =a Проколотой окрестностью точки a называется любая ее окрестность, из которой удалена сама точка a.

§ 2. Формула Тейлора § 2. Формула Тейлора 1. Формула Тейлора для многочлена Лемма 1. Если в некоторой точке x0 значения многочлена и всех его производных равны нулю, то этот многочлен тождественно равен нулю.

Пусть Q(x) = c0xn + c1xn-1 +... + cn-1x + cn многочлен степени не выше n, и пусть Q(x0) = Q (x0) =... = Q(n-1)(x0) = Q(n)(x0) = 0.

Отсюда следует, что коэффициенты многочлена Q удовлетворяют следу ющей треугольной однородной системе линейных уравнений:

0 = c0xn + c1xn-1 +... + cn-1x0 + cn ;

0 = nc0cn-1 +... + 1!cn-1 ;

.......................................

0 = n!c0x0 + (n - 1)!c1 ;

0 = n!c0.

Решая эту систему, находим c0 = c1 =... = cn-1 = cn = 0, и, значит, Q(x) 0.

Теорема 136 (формула Тейлора для многочлена). Если f многочлен степени не выше n от x, а x0 R произвольная точка, то справедливо тождество:

f (x0) f (x0) f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 +... + 1! 2!

f(n)(x0) + (x - x0)n. (7.7) n!

Для многочлена Тейлора (т. е. правой части равенства (7.7)) f (x0) f (x0) f(n)(x0) Pn(x) := f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 +... + (x - x0)n 1! 2! n!

справедливы следующие очевидные равенства:

(n) Pn(x0) = f(x0), Pn(x0) = f (x0),..., Pn (x0) = f(n)(x0).

Таким образом, для многочлена Q(x) := f(x) - Pn(x) выполне ны все условия леммы 1, и, значит, Q(x) 0. Отсюда получаем f(x) = Pn(x), что равносильно равенству (7.7).

246 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления 2. Формула Тeйлора для произвольной функции Очевидно, что если у функции f существует конечная производная f(n)(x0), то сущеcтвует и функция rn такая, что в некоторой окрестности точки x0 имеет место тождество f (x0) f (x0) f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 +... + 1! 2!

f(n)(x0) + (x - x0)n + rn(x), (7.8) n!

называемое формулой Тeйлора степени n для функции f в окрестности точки x0. Сумма f (x0) f (x0) Pn(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 +... + 1! 2!

n f(n)(x0) f(k)(x0) + (x - x0)n = (x - x0)k (7.9) n! k!

k= называется многочленом Тeйлора функции f с центром в точке x0, а по следнее слагаемое rn(x) в (7.8) остаточным членом формулы Тeйлора.

Замечания. 1. Учитывая введенное в конце предыдущей главы поня тие дифференциала любого порядка, можем переписать формулу Тeйлора в следующем равносильном виде:

n Dkf(x0)(x - x0)k f(x) = + rn(x). (7.10) k!

k= 2. Очевидным свойством многочлена Тeйлора8 является то, что при x x0 каждый следующий его член бесконечно мал по сравнению со всеми предыдущими9, что удобно с точки зрения приближенных вычислений. В связи с этим представляют интерес различные оценки для остаточного члена rn(x) в окрестности точки x0.

Теорема 137 (локальная форма остаточного члена). Если су щеcтвует конечная производная f(n)(x0), то для остаточного члена фор мулы Тeйлора (7.8) справедлива следующая асимтотическая оценка:

rn(x) = o((x - x0)n) при x x0. (7.11) Тйлор (Тaylor) Брук (1685 1731) английский математик.

Точнее говоря, только с теми из них, которые отличны от тождественного нуля.

§ 2. Формула Тейлора rn(x) Достаточно показать, что lim = 0. С этой целью заме xx0 - x0)n (x тим, что f(n-1)(x) = f(n-1)(x0) + f(n)(x0) · (x - x0) + o(x - x0) при x x0, так как f(n-1) дифференцируема в точке x0 по условию, а (n-1) Pn (x) = f(n-1)(x0) + f(n)(x0) · (x - x0), что непосредственно следует из (7.9). Учитывая это и применяя (n - 1) раз правило Лопиталя, имеем rn(x) f(x) - Pn(x) f (x) - Pn(x) lim = lim = lim =... = xx0 - x0)n (x n · (x xx0 - x0)n xx0 - x0)n- (x (n-1) 1 f(n-1)(x) - Pn (x) 1 o(x - x0) = · lim = · lim = 0.

xx0 xx n! x - x0 n! x - x Замечания. 1. Соотношение (7.11) называется представлением оста точного члена в форме Пеано10. Отметим частные случаи формулы Тeй лора с остаточным членом в форме Пеано. При n = 0 формула Тейлора приобретает такой вид:

f(x) = f(x0) + o(1) при x x и равносильна непрерывности функции f в точке x0. При n = 1 она имеет следующий вид:

f(x) = f(x0) + f (x0) · (x - x0) + o(x - x0) при x x и равносильна дифференцируемости функции f в точке x0. При n > 1 еe можно переписать в следующем виде:

n Dkf(x0)(x - x0)k f(x) = + o ((x - x0)n) при x x0, (7.12) k!

k= что равносильно n-кратной дифференцируемости функции f в точке a.

2. Из предыдущего замечания и из оценки (7.11) следует, что в фор муле Тeйлора (7.12) остаточный член бесконечно мал по сравнению с мно гочленом Тeйлора11 при x x0. Отбрасывая остаточный член в (7.12), Пеано Джузеппе (1858 1932) итальянский математик.

Eсли, конечно, многочлен Тeйлора отличен от тождественного нуля.

248 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления получаем приближенную формулу f (x0) f(x) f(x0) + (x - x0)+ 1!

f (x0) f(n)(x0) + (x - x0)2 +... + (x - x0)n, (7.13) 2! n!

которая тем точнее, чем меньше число |x - x0|. Формула (7.13) широко применяется в приближенных вычислениях.

Теорема 138 (следствие). Если существует конечная производная f(n+1)(x0), то для остаточного члена формулы Тейлора (7.8) справедлива следующая асимптотическая оценка:

rn(x) = O (x - x0)n+1 при x x0. (7.14) Так как существует число f(n+1)(x0), то для функции f в окрест ности точки x0 имеет смысл формула Тейлора с многочленом степени (n + 1) f (x0) f (x0) f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2+ 1! 2!

f(n)(x0) f(n+1)(x0) +... + (x - x0)n + (x - x0)n+1 + rn+1(x). (7.15) n! (n + 1)!

Сравнивая эту формулу с формулой (7.8), находим зависимость между их остаточными членами f(n+1)(x0) rn(x) = (x - x0)n+1 + rn+1(x).

(n + 1)!

Разделив это равенство на (x - x0)n+1 и перейдя к пределу при x x0, получим с использованием теоремы rn(x) f(n+1)(x0) rn+1(x) f(n+1)(x0) lim = + lim =, xx0 - x0)n+1 (n + 1)! (x xx0 - x0)n+1 (n + 1)!

(x что равносильно соотношению (7.14).

Замечание. Очевидно, что из оценки (7.14) вытекает оценка (7.11), поэтому (7.14) несет больше информации, чем (7.11). Обе эти оценки дают локальные (т. е. при x x0 ) представления для остаточного члена. При некоторых дополнительных ограничениях на функцию f остаточный член может быть представлен в других (глобальных) формах, несущих больше информации, чем локальные.

§ 2. Формула Тейлора Теорема 139. Если конечная производная f(n+1)(x) существует для всех x из некоторого интервала (x0 -, x0 + ), то для любо го x (x0 -, x0 + ) и для любого p N существует точка (x0, x) такая, что f(n+1)() rn(x) = · (x - )n+1-p · (x - x0)p. (7.16) n! · p Фиксируя x (x0 -, x0 + ), станем искать остаточный член формулы Тейлора (7.8) в виде rn(x) = (x - x0)p · H, (7.17) где H некоторое число. Желая его вычислить, введем вспомогательную функцию n f(k)(t) (t) := (x - t)k + (x - t)p · H при t [x0, x]. (7.18) k!

k= Очевидно, что эта функция дифференцируема при t [x0, x]. Вычисляя ее значения в точках t = x0 и t = x, имеем n f(k)(x0) (x0) = (x - x0)k + rn(x) = f(x), k!

k= n f(k)(x) (x) = (x - x)k + (x - x)p · H = f(x).

k!

k= Таким образом, для функции (t) выполнены все условия теоремы Ролля.

Применяя ее, заключаем, что (x0, x) : () = 0.

Исходя из определения (7.18), вычислим (t):

n f(k+1)(t) f(k)(t) (t) = f (t) + (x - t)k - (x - t)k-1 k! (k - 1)!

k= f(n+1)(t) - p · (x - t)p-1H = (x - t)n - p · (x - t)p-1H.

n!

Полагая здесь t =, получим f(n+1)() 0 = () = · (x - )n - p · (x - )p-1 · H, n!

250 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления откуда находим f(n+1)() H = · (x - )n-p+1.

n! · p Подставляя это значение величины H в (7.17), получим (7.16).

Замечание. При конкретных значениях параметра p получаются частные случаи формулы (7.16), важные с точки зрения тех или иных приложений. Полагая p = n + 1, получаем остаточный член в форме Лагранжа:

f(n+1)() rn(x) = · (x - x0)n+1. (7.19) (n + 1)!

Полагая p = 1, получаем остаточный член в форме Коши:

f(n+1)() rn(x) = · (x - )n · (x - x0). (7.20) n!

Преобразуем его, полагая - x0 = · (x - x0), где 0 < < 1. В этих обозначениях имеем x - = (x - x0) - ( - x0) = (1 - )(x - x0). Тогда формула (7.20) приобретает следующий вид:

f(n+1)(x0 + · (x - x0)) rn(x) = · (1 - )n · (x - x0)n+1. (7.21) n!

3. Разложение некоторых элементарных функций по формуле Маклорена Полагая в формуле Тeйлора (7.8) x0 = 0, получим ее частный случай, называемый иногда формулой Маклорена. Здесь выпишем формулы Ма клорена12 для некоторых часто встречающихся элементарных функций.

Для функции f(x) = ex при любом n N имеем dn ex|x=0 = ex|x=0 = e0 = 1.

dxn Используя эти равенства и полагая в (7.8) f(x) = ex, получим x2 x3 xn ex = 1 + x + + +... + + rn(x). (7.22) 2! 3! n!

Макл Колин (1698 1746) шотландский математик.

орен § 2. Формула Тейлора Для функции f(x) = sin x при любом k N находим dk 0 при k = 2n, sin x|x=0 = sin x + k = sin k = x= dxk 2 (-1)n при k = 2n + 1.

Таким образом, имеем x3 x5 x2n+ sin x = x - + -... + (-1)n + r2n+1(x). (7.23) 3! 5! (2n + 1)!

Для функции f(x) = cos x при любом k N находим dk 0 при k = 2n + 1, cos x|x=0 = cos x + k = cos k = x= dxk 2 (-1)n при k = 2n.

Таким образом, имеем x2 x4 x2n cos x = 1 - + -... + (-1)n + r2n(x). (7.24) 2! 4! (2n)!

d Полагая, далее, f(x) = ln(1 + x), находим ln(1 + x) =, а при dx 1 + x n > 1 будем иметь:

dn dn-1 (n - 1)!

ln(1 + x) = (1 + x)-1 = (-1)n.

dxn dxn-1 (1 + x)n Итак, x2 x3 x4 xn ln(1 + x) = x - + - +... + (-1)n-1 + rn(x). (7.25) 2 3 4 n Полагая, наконец, f(x) = (1 + x)µ, при любом n N имеем dn (1 + x)µ = µ(µ - 1)... (µ - n + 1)(1 + x)µ-n|x=0 = dxn = µ(µ - 1)... (µ - n + 1).

Обозначив µ µ(µ - 1)... (µ - n + 1) :=, n n!

получим µ µ (1 + x)µ = 1 + µx + x2 +... + xn + rn(x). (7.26) 2 n Замечание. В случае µ = n N левая часть тождества (7.26) есть многочлен степени n. Отсюда и из оценки rn(x) = o(xn) при x 0 следу ет, что в правой части (7.26) должно быть rn(x) 0, и, значит, при n N тождество (7.26) переходит в формулу бинома Ньютона.

252 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления § 3. Степенные ряды. Ряды Тeйлора.

Формулы Эйлера 1. Степенные ряды Сначала познакомимся с общим понятием функционального ряда.

Определение 134. Функциональным рядом называется ряд n, n= все члены которого функции. Областью сходимости (расходимости) функционального ряда называется множество всех тех значений аргу мента x, для которых числовой ряд n(x) сходится (расходится).

n= Функциональные ряды будем подразделять на вещественные и ком плексные в зависимости от того, являются ли члены данного ряда веще ственнозначными функциями вещественной переменной или комплексно значными функциями комплексной переменной. Вещественные перемен ные условимся обозначать x, y,... (возможно, с индексами), а комплекс ные переменные z, w,... (возможно, с индексами). Весьма частными случаями функциональных рядов являются так называемые степенные ряды. Их рассмотрим здесь несколько подробнее.

Определение 135. Степенным рядом с центром в точке z0 назы вается функциональный ряд следующего вида:

cn · (z - z0)n = c0 + c1 · (z - z0) + c2 · (z - z0)2+ n= +... + cn · (z - z0)n +..., (7.27) где c0, c1,..., cn,... числа, называемые его коэффициентами.

Определение 136. Радиусом сходимости степенного ряда (7.27) на зывается величина R [0, +], вычисляемая по следующей формуле Коши Адамара13:

R :=, (7.28) n lim |cn| n 1 в которой приняты соглашения := 0, := +.

+ Теорема 140. Пусть R радиус сходимости степенного ряда (7.27).

Тогда этот ряд сходится абсолютно при |z - z0| < R и расходится при |z - z0| > R.

Адамр Жак Соломон (1865 1963) французский математик.

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера Желая исследовать ряд (7.27) на абсолютную сходимость, приме ним признак сходимости Коши n n K := lim |cn · (z - z0)n| = |z - z0| · lim |cn|.

n n n Если lim |cn| = 0, то K = 0 < 1, и ряд сходится абсолютно при n n всех z. Если lim |cn| = +, то при z = z0 будет K = + > 1, n и ряд расходится. Во всех остальных случаях имеем |z - z0| n K := lim |cn · (z - z0)n| = R+.

n R Таким образом, K < 1 при |z - z0| < R и K > 1 при |z - z0| > R.

Определение 137. (a) Интервалом сходимости вещественного сте пенного ряда an · (x - x0)n называется интервал n= (x0 - R, x0 + R), где R радиус сходимости этого ряда.

(b) Кругом сходимости комплексного степенного ряда cn · (z - z0)n называется круг |z - z0| < R, где R радиус n= сходимости этого ряда.

Замечание. Теорема 140, таким образом, утверждает, что степенной ряд сходится абсолютно во всех внутренних точках его круга (интервала) сходимости и расходится во всех точках, внешних по отношению к это му кругу (интервалу). Что касается граничных точек, то здесь возможны самые разные ситуации. Рассмотрим, например, три степенных ряда:

xn xn,, xn.

n2 n k=0 k=0 k= В силу равенства lim n1 n = 1 интервалом сходимости всех трех ря n дов является интервал (-1, +1). Однако первый из этих рядов сходится абсолютно в обеих точках x = ±1, второй сходится условно при x = -1, и расходится при x = 1, а третий расходится в обеих точках x = ±1.

2. Ряды Тейлора Важнейшими частными случаями степенных рядов являются опреде ляемые ниже ряды Тейлора бесконечно дифференцируемых функций.

254 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления Определение 138. Пусть функция f : X - R бесконечно диф ференцируема в точке x0 X. Рядом Тeйлора функции f c центром в точке x0 называется степенной ряд следующего вида:

f(n)(x0) f (x0) f (x0) · (x - x0)n = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2+ n! 1! 2!

n= f(n)(x0) +... + (x - x0)n +.... (7.29) n!

Очевидно, что частичными суммами ряда Тейлора (7.29) являются многочлены Тейлора функции f в окрестности точки x0, и возникает во прос об условиях его сходимости, а в случае сходимости о том, чему равна его сумма. Ответы на эти вопросы дает следующая теорема.

Теорема 141. Ряд Тeйлора (7.29) сходится к сумме f(x), если и только если выполняется следующее условие:

lim rn(x) = 0, (7.30) n где rn(x) остаточный член формулы Тeйлора функции f в окрестно сти точки x0.

Фиксируя x, запишем представление значения f(x) по формуле Тейлора n f(k)(x0) f(x) = (x - x0)k + rn(x). (7.31) k!

k= Предполагая, что условие (7.30) выполняется и переходя к пределу в ра венстве (7.31) при n, заключаем,что ряд Тeйлора сходится к сумме f(x), т. е.

f(k)(x0) f(x) = · (x - x0)k. (7.32) k!

k= Обратно, предположим, что ряд Тeйлора сходится к сумме f(x), т. е.

что выполняется равенство (7.32). Сравнивая (7.31) с (7.32), заключаем, что остаточный член равен сумме n-го остатка, т. е.

f(k)(x0) rn(x) = · (x - x0)k. (7.33) k!

k=n+ Из сходимости ряда (7.32) следует сходимость любого его остатка и стремление к нулю при n последовательности его остатков, т. е. выполнение условия (7.30).

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера Теорема 142. Справедливы следующие разложения:

xn ex =, x R ;

(7.34) n!

n= x2n cos x = (-1)n, x R ;

(7.35) (2n)!

n= x2n+ sin x = (-1)n, x R ;

(7.36) (2n + 1)!

n= xn ln(1 + x) = (-1)n-1, |x| < 1 ;

(7.37) n n= µ (1 + x)µ = xn, |x| < 1. (7.38) n n= В силу теоремы 141 достаточно показать, что при указанных значе ниях переменной x остаточные члены соответствующих формул Тeйлора стремятся к нулю при n.

Начнем с функции exp. Фиксируя произвольное значение x R, иссле дуем на абсолютную сходимость ряд (7.34). Применяя признак Даламбера, имеем xn+1 xn |x| lim : = lim = 0 < 1.

n n (n + 1)! n! (n + 1) Отсюда следует, что ряд (7.34) сходится, а из сходимости вытекает следу ющее равенство:

xn+ lim = 0. (7.39) n (n + 1)!

Представляя остаточный член rn(x) формулы Тeйлора функции exp в форме Лагранжа, получим xn+ rn(x) = · e, (n + 1)!

где 0 < || < |x|. Отсюда находим |x|n+ 0 < |rn(x)| < e|x| ·.

(n + 1)!

Переходя здесь к пределу при n и используя (7.39), получим lim rn(x) = 0. Тем самым равенство (7.34) установлено.

n 256 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления Из равенства (7.39) следует, что x2n+2 x2n+ lim = 0, lim = 0. (7.40) n n (2n + 2)! (2n + 1)!

Представляя остаточные члены формул Тeйлора функций cos и sin в фор ме Лагранжа, имеем cos + (2n + 1) |x|2n+ |r2n(x)| = x2n+1 ;

(2n + 1)! (2n + 1)!

sin + (2n + 2) |x|2n+ |r2n+1(x)| = x2n+2.

(2n + 2)! (2n + 2)!

Отсюда и из равенств (7.40) следует, что остаточные члены формул Тeйло ра функций cos и sin стремятся к нулю. Тем самым установлены равенства (7.35) и (7.36).

Применяя признак Даламбера, легко заключить, что ряды (7.37) и (7.38) сходятся абсолютно при |x| < 1. Значит, последовательности их об щих членов стремятся к нулю при n :

xn µ lim (-1)n-1 = 0 и lim xn = 0. (7.41) n n n n Чтобы установить равенство (7.37), представим остаточный член фор мулы Маклорена (7.25) в форме Коши (7.21) и преобразуем его 1 dn+ rn(x) = · ln(1 + t) t=x · (1 - )n · xn+1 = n! dtn+ n 1 (-1)nn! (-1)nx 1 - = · · (1 - )n · xn+1 = · · xn.

n! (1 + x)n+1 (1 + x) 1 + x Учитывая, что -1 < x < 1, 0 < < 1, имеем |1 + x| 1 - · |x| > 1 -, и, значит, n n 1 - 1 - < < 1.

1 + x 1 - |x| |x| Поэтому |rn(x)| · |x|n 0 при n. Отсюда на основании 1 - теоремы 141 заключаем, что равенство (7.37) справедливо.

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера Чтобы установить равенство (7.38), представим остаточный член фор мулы Маклорена для функции (1 + x)µ в форме Коши µ rn(x) = (1 + x)µ-n+1(1 - )nxn+1 = n n 1 - µ - = µx(1 + x)µ-1 · · xn, (7.42) 1 + x n где |x| < 1, 0 < < 1. Так как |1 + x| 1 - |x| 1 -, то 1 - n 1. Поэтому из (7.42) имеем 1 + x µ - 0 |rn(x)| |µx(1 + x)µ-1| · xn n при n в силу равенства (7.41). Тем самым разложение (7.38) обосно вано.

3. Формулы Эйлера Степенные ряды (7.34), (7.35) и (7.36) сходятся абсолютно x R, по этому радиус сходимости всех этих рядов равен +. Отсюда следует, что если в этих рядах заменить вещественную переменную x на комплексную переменную z, то они будут сходиться абсолютно z C, а потому их сум мы можно принять в качестве определений экспоненты, синуса и косинуса комплексного аргумента.

Определение 139. Для любого z C полагаем:

z2 z3 zn ez := 1 + z + + +... + +... ;

(7.43) 2! 3! n!

z2 z4 z2n cos z := 1 - + -... + (-1)n +... ;

(7.44) 2! 4! (2n)!

z3 z5 z2n+ sin z := z - + -... + (-1)n +.... (7.45) 3! 5! (2n + 1)!

Теорема 143 (формула Эйлера). Справедливо тождество cos + i · sin = ei, (7.46) где R, a i C мнимая единица.

258 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления Используя определение 139, имеем (i)2 (i)3 (i)4 (i)5 (i) ei = 1 + i + + + + + +... = 2! 3! 4! 5! 6!

2 3 4 5 = 1 + i - - i + + i - -... = 2! 3! 4! 5! 6!

2 4 3 = 1 - + -... + i · - + -... = 2! 4! 3! 5!

= cos + i sin.

Замечания. 1. Мы знаем две формы представления комплексных чи сел: алгебраическую z = x+iy и тригонометрическую z = r·(cos +i sin ).

Используя формулу Эйлера, получаем еще одну форму, показательную z = r · ei. Таким образом, z = x + i · y = r · (cos + i sin ) = r · ei, где x = Re z, y = Im z, r = |z|, = arg z.

2. С помощью формул Эйлера можно выразить функции cos и sin через экспоненту с чисто мнимым показателем. С этой целью, заменяя в (7.46) на (-), получим такое тождество:

cos - i sin = e-i.

Из этого равенства и из (7.46) находим ei + e-i ei - e-i cos =, sin =.

2 2i Эти тождества позволяют из свойств показательной функции получать свойства тригонометрических функций и наоборот.

3. Заменяя в равенстве (7.43) z на (-z), получим следующее равен ство:

z2 z3 zn e-z = 1 - z + - +... + (-1)n · +..., z C. (7.47) 2! 3! n!

Образуя полусумму и полуразность равенств (7.43) и (7.47), получим раз ложения гиперболических функций ch и sh комплексного переменного в степенные ряды z2 z4 z2n ch z = 1 + + +... + +..., z C ;

(7.48) 2! 4! (2n)!

z3 z5 z2n+ sh z = z + + +... + +..., z C. (7.49) 3! 5! (2n + 1)!

§ 3. Степенные ряды. Ряды Тейлора. Формулы Эйлера Из этих равенств и из равенств (7.44) и (7.45) вытекают следующие тож дества, связывающие тригонометрические функции с гиперболическими:

cos(iz) = ch z ;

ch(iz) = cos z ;

sin(iz) = i sh z ;

sh(iz) = i sin z.

Пользуясь этими тождествами, можно из свойств тригонометрических функций получить свойства гиперболических функций и наоборот.

Задачи к главе 7.1. Доказать, что между двумя вещественными корнями многочлена с вещественными коэффициентами имеется корень его производ ной.

7.2. Доказать, что если функция f дифференцируема n раз на от резке [a, b] и обращается на нем в нуль в (n + 1) точках, то (a, b) : f(n)() = 0.

7.3. Доказать, что корни производной многочлена P (x) = x(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) вещественные, простые и лежат, соответственно, на интервалах (0 ;

1), (1 ;

2), (2 ;

3), (3 ;

4).

7.4. Доказать, что 1 1 1 n N R+ : < -.

n (n - 1) n 7.5. Доказать, что если дифференцируемая на конечном интерва ле (a ;

b) функция f не ограничена, то производная функция f : (a ;

b) - R тоже не ограничена.

7.6. Доказать, что если функция f : [0, +) - R дифференцируема n раз, и f(0) = f (0) =... = f(n-1)(0) = 0, а f(n) > 0, то и f(x) > 0 при x > 0.

7.7. Вычислить следующие пределы:

ln cos ax ln(1 + x) - x ln x a) lim ;

b) lim ;

c) lim ;

x0 x0 x+ x2 tg2 x ln sin x ln(1 - cos x) 2 arctg x d) lim ;

e) lim sin x · ln ctg x;

f) lim x ln ;

x+0 x0 x+ ln tg x 260 Глава 7. Основные теоремы дифференциального исчисления ln x - x + 1 g) lim ;

h) lim x1 (x-1) ;

i) lim (cos x)1 x ;

x1 - xx x1 x x ln tg x j) lim ;

k) lim (3x2 + 3x)1 x ;

l) lim (tg x)cos x.

x+ x 4 ctg 2x x 2, x< 7.8. Пусть f C2[0 ;

1], f(0) = f(1) = 0 и f (x) M R+ x (0 ;

1) : M.

M Доказать, что x (0 ;

1) : |f (x)|.

7.9. Следующие функции разложить по формуле Маклорена с оста точным членом порядка o(xn) при x 0:

a) sin(2x + 3) ;

b) ln(ex + 2) ;

c)(2x + 1) 1 - x;

2x + d) (2x - 3) ln(5x + 6);

e) ln(2 + x - x2) ;

f) ;

x2 + 5x + g) ln(x + x2 + 1).

7.10. Следующие функции разложить по формуле Маклорена с оста точным членом порядка o(x5) при x 0:

a) (1 - 2x + 3x2 + 4x3)3 ;

b) ln(1 + x + x2 + x3);

c) ;

cos x - sin x d) ex 1+x2 ;

e) ln ;

f) 1 - ln2(1 - x) ;

g) (1 + x)sin x.

x 7.11. Вычислить следующие пределы:

1 + x cos x - 1 + 2x ex - 1 + 2x a) lim ;

b) lim ;

x0 x ln(1 - x2) ln cos x esin x - 1 + x2 - x cos x (1 + x)x - c) lim ;

d) lim ;

x0 x x ln3(1 - x) arcsin x + 3 cos x - 3 1 + x tg sin x - x cos x e) lim ;

f) lim.

x0 x 1 + ln(1 + x) - ex ex + ln(1 - x) - Глава НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ Приложения дифференциального исчисления необъятны, и здесь нет возможности останавливаться на них сколько-нибудь подробно. В этой гла ве будут рассмотрены в основном такие вопросы, которые помогают, ис пользуя методы дифференциального исчисления, строить графики неко торых функций, заданных своими уравнениями.

§ 1. Условия монотонности и внутреннего локального экстремума функции 1. Условия монотонности функции Теорема 144. Предположим, что для функции f : (a, b) - R существует производная функция f : (a, b) - R, не меняющая знака на (a, b). Тогда функция f монотонна (в широком смысле) на (a, b).

Более того, справедливы следующие утверждения1:

(a) f 0 f не убывает ;

(b) f 0 f не возрастает ;

(c) f (x) 0 f постоянная ;

(d) f > 0 = f возрастает ;

(e) f < 0 = f убывает.

Зададим произвольно точки x, x (a, b), x < x. Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, заключаем, что существует точка (x, x ) такая, что f(x ) - f(x ) = f () · (x - x ). (8.1) Неравенства типа f 0 понимаются в следующем смысле: f (x) 0 для всех x [a, b].

262 Глава 8. Некоторые приложения Так как x -x > 0, то разность f(x )-f(x ) либо равна нулю, либо имеет тот же знак, что и f (). Значит, f () 0 f(x ) f(x ), т. е. в этом случае функция f не убывает. Аналогично f () 0 f(x ) f(x ), т. е. в этом случае функция f не возрастает.

Далее, если f (x) 0, то из (8.1) видно, что x : f(x ) = f(x ), т. е.

функция f постоянная. С другой стороны, из определения производной следует, что производная постоянной функции равна нулю тождественно.

И наконец, из (8.1) очевидно, что если f строго положительна (строго отрицательна), то f строго возрастает (строго убывает).

Примеры. 1) Найти число вещественных корней уравнения x5 + 2ex - 7 = 0.

Функция y = x5 + 2ex - 7 = 0 дифференцируема на R. Так как y = 5x4 + 2ex > 0 для всех x R, то данная функция строго возрастает на R. Поэтому уравнение x5 + 2ex - 7 = 0 может иметь не более одного корня. Поскольку lim (x5 + 2ex - 7) = -, x lim (x5 + 2ex - 7) = +, x+ то в силу теоремы Больцано Коши x0 R : x5 + 2ex0 - 7 = 0. Таким образом, данное уравнение имеет единственный вещественный корень.

2) Найти интервалы монотонности функции y = x3 - 3x + 2.

Имеем: y = 3x2 - 3 = 3(x2 - 1) < 0 при x (-1, +1) и y > 0 при x (-, -1) (1, +). Применяя теорему 144, заключаем, что данная функция возрастает на (-, -1) и на (1, +) и убывает на (-1, +1).

2. Необходимое условие локального экстремума В главе 7 введено понятие локального экстремума функции f : X - R. Теорема Ферма дает необходимое условие того, что внутрен няя точка x0 X, в которой существует производная f (x0) R, явля ется точкой локального экстремума функции f. Для приложений полезно сформулировать необходимое условие в предположениях, несколько отлич ных от предположений теоремы Ферма.

§ 1. Условия монотонности X Рис. 51. График функции, имеющей локальные экстремумы Теорема 145 (необходимое условие экстремума). Если точ ка x0 (a, b) является точкой локального экстремума функции f : (a, b) - R, то производная f (x0) либо не существует, либо f (x0) = 0, либо f (x0) = R.

Доказательство этой теоремы простое, и мы его опускаем. На рис. показаны возможные особенности графика функции в окрестности точек, где она имеет локальные экстремумы.

Критическими точками функции f будем называть все те точки, в которых эта функция, возможно, имеет локальные экстремумы. Кроме то чек, о которых сказано в теореме 145, к критическим точкам функции f следует отнести все граничные точки ee области определения. Стационар ными точками функции f будем называть все те ее критические точки, которые лежат внутри ее области определения, и в которых производная равна нулю.

Если ставится задача исследовать данную функцию на экстремум, то сначала следует найти ее критические точки. Затем, обращаясь к опреде лению 133, следует проверить, является ли та или иная критическая точка точкой экстремума, и если да, то какой именно. В следующем пункте бу дут установлены теоремы, содержащие достаточные условия наличия или отсутствия локальных экстремумов данной функции в ее стационарных точках.

3. Достаточные условия локального экстремума Теорема 146 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция f дифференцируема на некотором интервале, содержащем ста ционарную точку x0, и пусть существует такое > 0, что ее произ 264 Глава 8. Некоторые приложения водная функция f имеет постоянный знак на каждом из интервалов (x0 -, x0) и (x0, x0 + ). Если знаки производной на этих интервалах противоположные, то функция f имеет в точке x0 строгий локальный экстремум, если же эти знаки одинаковые, то функция f не имеет экс тремума в точке x0.

В силу теоремы 144 функция f строго монотонна на каждом из интервалов (x0 -, x0) и (x0, x0 + ). Если знаки ее производной на этих интервалах одинаковые, то функция f строго монотонна на интервале (x0 -, x0 + ), и потому в точке x0 экстремума иметь не может. Если при возрастании переменной x знак производной меняется c плюса на ми нус, то слева от x0 функция f возрастает, а справа убывает. Значит, в точке x0 она имеет строгий локальный максимум. Если же знак произ водной меняется с минуса на плюс, то слева от x0 функция f убывает, а справа возрастает. Значит, в точке x0 она имеет строгий локальный минимум.

Теорема 147 (второе достаточное условие экстремума). Если f (x0) = 0, а f (x0) = 0, то функция f имеет в стационарной точке x строгий локальный экстремум (максимум при f (x0) < 0, минимум при f (x0) > 0).

Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x0 :

f (x0) f (x0) f(x) = f(x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + r2(x).

1! 2!

Так как f (x0) = 0, то имеем f (x0) f(x) - f(x0) = (x - x0)2 + r2(x). (8.2) Так как r2(x) = o (x - x0)2 при x x0, а f (x0) = 0, то |f (x0)| > 0 x (x0 -, x0 + ), x = x0 : |r2(x)| < · |x - x0|2.

Таким образом, при x (x0 -, x0 + ), x = x0, знак приращения f(x) - f(x0) совпадает со знаком числа f (x0). Значит, при f (x0) < < 0 будет: f(x) < f(x0), т. e. x0 является точкой максимума. Если же f (x0) > 0, то будет: f(x) > f(x0), т. e. x0 является точкой минимума.

Теорема 148 (третье достаточное условие экстремума). Пусть f (x0) = f (x0) =... = f(k-1)(x0) = 0, а f(k)(x0) = 0. (8.3) Если число k нечетное, то в точке x0 функция f не имеет экстрему ма. Если же число k четное, то функция f имеет в точке x0 строгий § 1. Условия монотонности локальный экстремум. Именно максимум при f(k)(x0) < 0 и минимум при f(k)(x0) > 0.

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству теоремы 147. Разложим функцию f по формуле Тейлора в окрестности точки x0 :

f (x0) f(k-1)(x0) f(x) = f(x0) + (x - x0) +... + (x - x0)k-1+ k! (k - 1)!

f(k)(x0) + (x - x0)k + rk(x).

k!

Согласно (8.3), имеем следующее тождество, аналогичное (8.2):

f(k)(x0) f(x) - f(x0) = (x - x0)k + rk(x). (8.4) k!

Так как rk(x) = o (x - x0)k при x x0 и f(k)(x0) = 0, то |f(k)(x0)| > 0 x (x0 -, x0 + ), x = x0 : |rk(x)| < · |x - x0|k.

k!

Таким образом, при x (x0 -, x0 + ), x = x0, знак приращения f(x) f(x0) совпадает со знаком первого слагаемого правой части (8.4). Если в (8.4) число k нечетное, то при переходе через точку x0 функция (x-x0)k меняет знак, значит, и приращение меняет знак. Поэтому при нечетном k в точке x0 экстремума нет. Если же число k четное, то функция (x-x0)k положительна при x = x0, и потому приращение f(x) - f(x0) сохраняет знак при x (x0 -, x0 + ), x = x0.

Это означает, что в точке x0 функция f имеет строгий локальный экстре мум, максимум при f(k)(x0) < 0 и минимум при f(k)(x0) > 0.

Примеры. 1) Исследовать на экстремум функцию y = 2x3 - 9x2 + 12x + 6.

Сначала вычисляем производную данной функции:

y = 6x2 - 18x + 12.

Приравнивая ее к нулю 6x2 - 18x + 12 = 0, находим корни (т. е. стацио нарные точки) x1 = 1, x2 = 2. Для дальнейшего исследования вычислим производную второго порядка: y = 12x - 18. Далее, при x = 1 имеем y = -6 < 0 максимум, ymax = 11;

при x = 2 имеем y = 6 > минимум, ymin = 10.

266 Глава 8. Некоторые приложения 2) В равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой, рав ной 2R единиц, вписан прямоугольник так, что одна из его сторон лежит на гипотенузе. Подобрать размеры прямоугольника так, чтобы его пло щадь стала максимальной.

Пусть 2x длина основания прямоугольника, а y его высота.

Тогда площадь S этого прямоугольника равна S = 2xy. Легко показать, что y = R - x. Таким образом, площадь прямоугольника вычисляется по формуле: S = 2x · (R - x), 0 x R. Исследуем эту функцию на экстремум:

R S = 2R - 4x = x =.

R И наконец, S = -4 < 0, значит, в точке x = функция S имеет макси R мум, равный Smax =.

3) Исследовать на экстремум функцию y = cos3 x + sin3 x.

Так как данная функция периодическая, с основным периодом 2, то достаточно найти ее экстремумы на любом промежутке длины 2.

Будем искать их на полуинтервале [0, 2).

Приравнивая к нулю производную данной функции y = 3 cos2 x · (- sin x) + 3 sin2 x · cos x = 3 sin x · cos x · (sin x - cos x), находим стационарные точки, лежащие на промежутке [0, 2):

sin x = 0 = x1 = 0, x2 = ;

cos x = 0 = x3 =, x4 = ;

2 cos x - sin x = 0 tg x = 1 = x5 =, x6 =.

4 Итак, стационарные точки следующие:

5 0,,,,,.

4 2 4 Исследуем эти точки на экстремум, следя за изменением знака первой производной при возрастании переменного x.

При переходе через точку x = 0 производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

При переходе через точку x = производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

При переходе через точку x = производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты 5 4 0 3 4 - Рис. 52. График функции y = sin3 x + cos3 x При переходе через точку x = производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

При переходе через точку x = производная функция меняет знак с плюса на минус, значит, в этой точке максимум.

При переходе через точку x = производная функция меняет знак с минуса на плюс, значит, в этой точке минимум.

График функции y = cos3 x + sin3 x показан на рис. 52.

§ 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты графика функции 1. Свойство выпуклости Важным свойством функции y = f(x) является свойство ее графи ка быть не извилистым (или, как принято говорить, выпуклым.) Желая описать это свойство в точных терминах, рассмотрим сначала выпуклые графики функций, изображенные на рис. 53 и 54. Возьмем на каждом из этих графиков по две точки:

A(x1, f(x1)), B(x2, f(x2)), x1 < x2, и соединим эти точки отрезком прямой (хордой). Мы видим, что над интер валом (x1, x2) график функции f лежит либо ниже (рис. 53), либо выше 268 Глава 8. Некоторые приложения A B A B C x1 x x1 x x Рис. 53. Выпуклая функция Рис. 54. Вогнутая функция (рис. 54) хорды AB. В приводимом ниже определении нам потребуется уравнение хорды AB :

x2 - x x1 - x y = l(x) f(x1) + f(x2), x1 x x2. (8.5) x2 - x1 x1 - x Определение 140. Функция f : X - R называется выпуклой вниз (вверх) на интервале (a, b) X, если для любых x1, x, x (a, b), для которых x1 < x < x2, выполняется неравенство f(x) l(x) (соответственно f(x) l(x)), где l(x) задается равенством (8.5).

Функция f называется строго выпуклой вниз (вверх), если в опреде лении 140 выполняется строгое неравенство: f(x) < l(x) (соответственно f(x) > l(x)). Функции, выпуклые вниз, часто называются просто выпук лыми, а выпуклые вверх в огнутыми. Ввиду того, что методы изучения выпуклых и вогнутых функций одинаковые, мы будем подробно изучать только выпуклые функции, а соответствующие утверждения для вогнутых функций можно будет формулировать по аналогии.

Перепишем неравенство f(x) l(x) из определения 140 в различных формах. Подставляя в него вместо l(x) правую часть равенства (8.5), по лучим x2 - x x - x f(x) f(x1) + f(x2), x1 < x < x2. (8.6) x2 - x1 x2 - x Умножая это неравенство на (x2 - x1), перепишем его в следующем рав носильном виде:

(x2 - x)f(x1) + (x - x1)f(x2) + (x1 - x2)f(x) 0. (8.7) Отсюда, учитывая, что (x2 - x1) = (x2 - x) + (x - x1), получаем такое неравенство:

(x2 - x)[f(x1) - f(x)] + (x - x1)[f(x2) - f(x)] 0, (8.8) § 2. Выпуклость, точки перегиба, асимптоты равносильное следующему:

f(x) - f(x1) f(x2) - f(x). (8.9) x - x1 x2 - x Геометрический смысл этого последнего неравенства легко усмотреть из рис. 53. Обозначая C(x, f(x)), x1 < x < x2, видим, что неравенство (8.9) выражает тот факт, что угловой коэффициент хорды AC не превосходит углового коэффициента хорды CB.

Теорема 149. Пусть функция f дифференцируема на интервале (a, b). Выпуклость функции f вниз (вверх) равносильна неубыванию (невозрастанию) еe производной функции f. Если f строго возраста ет (строго убывает), то функция f строго выпукла вниз (вверх).

Предположим для определенности, что функция f выпукла вниз.

Тогда для любых x1, x, x2 (a, b), x1 < x < x2, справедливо неравен ство (8.9). Переходя в нем к пределу при x x1, x > x1, получим f(x2) - f(x1) f (x1). (8.10) x2 - x Аналогично из (8.9) в пределе при x x2, x < x2 находим:

f(x2) - f(x1) f (x2). (8.11) x2 - x Из неравенств (8.10) и (8.11) следует, что f (x1) f (x2), т. е. производная функция f не убывает.

Обратно, предположим, что производная функция f не убывает. За давая произвольно точки x1, x, x2 (a, b), x1 < x < x2 и применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, заключаем, что существуют точки (x1, x) и (x, x2) такие, что f(x) - f(x1) f(x2) - f(x) = f (), = f (). (8.12) x - x1 x2 - x Так как <, то в силу неубывания производной будет f () f (), и потому из (8.12) вытекает (8.9). Таким образом, функция f выпукла. Если же f строго возрастает, то будет f () < f (), поэтому и неравенство (8.9) будет строгим.

Теорема 150. Предположим, что на интервале (a, b) существует вторая производная функция f от функции f. Выпуклость вниз (вверх) функции f на (a, b) равносильна тому, что x (a, b) выполнено нера венство f (x) 0 (соответственно f (x) 0). Если неравенство строгое, то и выпуклость строгая.

270 Глава 8. Некоторые приложения Согласно теореме 149, выпуклость функции f равносильна моно тонности ее производной f. В силу теоремы 144 монотонность производ ной функции f равносильна выполнению одного из неравенств: f или f 0. Если соответствующее неравенство для f строгое, то и монотонность функции f будет строгой, а значит, и выпуклость функции f будет строгой.

Примеры. 1. Исследовать на выпуклость показательную y = ax и логарифмическую y = loga x функции.

d Так как ax = ax(ln a)2 > 0, то показательная функция строго dx выпукла вниз.

d2 Так как вторая производная loga x = - отрицательна при dx2 x2 ln a a > 1 и положительна при 0 < a < 1, то логарифмическая функция строго выпукла вверх при a > 1 и строго выпукла вниз при 0 < a < 1.

2. Исследовать на выпуклость функцию y = sin x на интервале (0, 2).

d Так как вторая производная sin x = - sin x отрицательна при dx 0 < x < и положительна при < x < 2, то функция sin строго выпукла вверх на интервале (0, ) и строго выпукла вниз на интервале (, 2).

Теорема 151. Для любой дифференцируемой функции f : (a, b) - R равносильны следующие утверждения:

(a) функция f строго выпукла вниз (вверх);

(b) график функции f лежит выше (ниже) любой касательной к нему, исключая точку касания.

Предположим, что f строго выпукла вниз (рис. 55 a). Символами ykr и ykas обозначим соответственно ординату кривой y = f(x) и ординату касательной y = f(x0) + f (x0) · (x - x0) к этой кривой в точке (x0, f(x0)).

Применяя теорему Лагранжа о конечных приращениях, преобразуем раз ность между этими ординатами:

ykr - ykas = f(x) - f(x0) - f (x0) · (x - x0) = [f () - f (x0)](x - x0), причем лежит между x и x0. Если x > x0, то x > > x0, и f () - f (x0) > 0 в силу теоремы 149. Таким образом, ykr - ykas > 0, т. е.

ykr > ykas. Это же неравенство сохраняется и при x < x0.

Предположим теперь, что график функции f лежит выше любой каса тельной к нему, исключая точку касания. Возьмем на графике две точки:

Pages:     | 1 | 2 || 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.