WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 || 3 | 4 |

«Э.И.Зверович ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие в шести частях Часть 1 Введение в анализ и дифференциальное исчисление Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Электронный ...»

-- [ Страница 2 ] --

Точка прикосновения x множества A называется изолированной, если су ществует такая еe окрестность U, что AU = {x}. В противном случае она называется предельной точкой множества A. Точки, не являющиеся точ ками прикосновения множества A, т. е. не принадлежащие его замыканию A, называются внешними (по отношению к множеству A).

Определение 75. Топологическое пространство называется отде лимым, если у любых двух различных его точек существуют непересека ющиеся21 окрестности.

O1 X В теореме 42 установле на отделимость любого мет- O2 X рического пространства. Пока жем на примере, что сущест Рис. 12. Пример неотделимого вуют неотделимые топологи пространства ческие пространства. Возьмем две числовые оси O1X1 и O2X2, пересечение которых пусто. Склеим их отрицательные лучи, отождествляя между собой точки, имеющие одинако вые (отрицательные) координаты. В результате возникает топологическое пространство, напоминающее вилку (рис. 12). Оно не является отдели мым, поскольку любые окрестности точек O1 и O2 имеют непустое пересе чение, состоящее из точек с достаточно малыми по модулю отрицательны ми координатами. Из неотделимости вытекает, что на этом топологическом пространстве невозможно ввести метрику, которая бы порождала его то пологию. Таким образом, понятие топологического пространства является существенно более общим, чем понятие метрического пространства.

или дизъюнктные, т. е. такие, пересечение которых пусто.

78 Глава 2. Формирование понятия числа Задачи к главе 2.1. Применяя метод полной индукции, доказать следующие тождест ва (n N) :

n · (n + 1) a) 1 + 2 +... + n = ;

b) 1 + 3 + 5 +... + (2n - 1) = n2 ;

n(n + 1)(2n + 1) c) 12 + 22 +... + n2 = ;

d) 13 + 23 +... + n3 = (1 + 2 +... + n)2 ;

e) (cos + i sin )n = cos n + i sin n.

2.2. Доказать следующие неравенства (n N):

n n + a) n! < при n > 1;

b) 2! · 4! ·... · (2n)! > [(n + 1)!]n при n > 1;

1 3 2n - 1 c) · ·... · < ;

2 4 2n 2n + d) nn+1 > (n + 1)n при n 3;

e) (2n)! < 22n · (n!)2 ;

n n sin xk f) sin xk, где 0 xk, k = 1, 2,..., n.

k=1 k= 2.3. Доказать, что n N следующие выражения делятся на k :

a) n · (2n2 - 3n + 1), k = 6;

b) 62n-2 + 3n+1 + 3n-1, k = 11;

c) 11n+1 + 122n-1, k = 133;

d) n2 - n, k = 5.

2.4. Построив соответствующие сечения, доказать следующие равенства:

a) 2 + 8 = 18 ;

b) 2 · 3 = 6.

2.5. Используя метод сечений Дедекинда, доказать существование сле дующих вещественных чисел:

a) корня степени n N из положительного числа ;

b) числа p, где > 0, p Q;

§ 4. Элементы общей топологии c) числа, где, R, причем > 0;

d) числа log, где, > 0, причем = 1.

2.6. Представить следующие комплексные числа в алгебраической форме:

1 1 - i ;

;

;

(1 + i 3)3 ;

(1 + i)5.

i 1 + i 1 - 3i 2.7. Найти модули и аргументы следующих комплексных чисел:

7;

-2;

3i;

1 + i;

-1 - i;

2 + 5i;

2 - 5i;

-2 + 5i;

1 + i -2 - 5i;

;

-3 + 4i.

1 - i 2.8. Что можно сказать о числах a и b, если известно, что a < b?

2.9. Доказать счeтность следующих множеств:

a) множества всех чeтных чисел;

b) множества всех нечeтных чисел;

c) множества Q.

2.10. Доказать несчeтность следующих множеств:

R;

множества R+ всех положительных чисел;

отрезка [0, 1].

2.11. Вычислить суммы:

a) 1 + 11 +... + 11... 1;

1 3 2n - b) + +... + ;

2 22 2n c) 1 + 2x + 3x2 +... + (n + 1)xn ;

d) xn + 2xn-1 +... + (n - 1)x2 + nx;

n e) ;

(3k - 2)(3k + 1) k= n f) ;

(2k - 1)(2k + 1)(2k + 3) k= n g) ;

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) k= n h) sin2 kx;

k= n i) sin(2k - 1)x;

k= n j) cos3 2x;

k= n k) cos(2k - 1)x.

k= 80 Глава 2. Формирование понятия числа 2.12. Пусть E R. Символом E обозначим совокупность всех пре дельных точек множества E, а через E замыкание множества E. Привести примеры множества E, для которого выполнялось бы одно из следующих соотношений:

E E, а) E = E ;

b) E E = ;

E E, E E =, c) d) E E = ;

E E = ;

e) E E = ;

f) sup E E;

g) sup E E;

h) sup E E E.

/ 2.13. Пусть E R. Oбозначим Fr E границу множества E. Доказать, что если A R, B R, то:

a) Fr (A B) (Fr A) (Fr B);

b) Fr (A B) (Fr A) (Fr B).

Глава ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И ИХ ПРЕДЕЛЫ § 1. Последовательности и их пределы 1. Определения и примеры Пусть X произвольное непустое множество, а N множество всех натуральных чисел.

Определение 76. Последовательностью элементов множест ва X называется отображение f : N - X.

Значение f(n) называется n-м членом последовательности. Обо значив xn = f(n), последовательность часто записывают в следую щих формах:

(x1, x2,..., xn,... ), (xn), (xn), xn, n= или так x1, x2,..., xn,..., где, как обычно, многоточия символизируют члены, которые явно не выписаны.

В отличие от записи (x1, x2,... xn,... ) запись {x1, x2,... xn,... } будет означать множество всех членов последовательности (xn). Например, (1, 1,..., 1,... ) постоянная последовательность, т. е. xn = 1 для всех n N, а {1, 1,..., 1,... } множество {1}, состоящее из одного элемента, равного 1.

Последовательности подразделяются в зависимости от природы элементов множества X. Так, если элементами множества X явля ются числа, функции и т. п., то соответствующие последовательно сти называются числовыми, функциональными и т. п. В этой главе будем изучать только числовые последовательности, т. е. будем счи тать, что X непустое числовое множество. Числовые последова тельности подразделяются на вещественные и комплексные в зави симости от того, какое из следующих включений X R или X C 82 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы имеет место. Предполагая, что X произвольное топологическое пространство, дадим общее определение понятия предела последо вательности.

Определение 77. Говорят, что последовательность (xn) n= элементов xn X имеет пределом точку a X (или сходится к точке a X ), если для любой окрестности V (a) точки a X существует номер nV N такой, что n nV : xn V (a).

Кратко это записывается в виде1: lim xn = a или в виде xn a n при n. Запишем определение 77 в другой, более обозримой форме def lim xn = a V (a) nV N n nV : xn V (a). (3.1) n Такая запись не только более обозрима, но и позволяет, например, просто сформулировать утверждение Последовательность (xn) не сходится к точке a :

lim xn = a V (a) nV N n nV : xn V (a).

/ n Конкретизируя в определении 77 топологическое пространство X, будем получать определения предела соответствующей последо вательности (например, числовой, функциональной и т. п.). Рассмат ривая числовые последовательности, удобно наряду с произвольными окрестностями точек рассматривать так называемые -окрестности (замкнутые либо открытые).

Определение 78. Пусть R+. Замкнутой -окрестностью точки a C называется замкнутый круг |z - a| с центром в точке a радиуса. Открытой -окрестностью точки a C назы вается открытый круг |z - a| <.

Определение 79. Пусть снова R+. Замкнутой -окрест ностью точки a R называется отрезок [a - ;

a + ], а откры той интервал (a - ;

a + ) с центром в точке a радиуса.

Теперь конкретизируем определение 77 применительно к число вым последовательностям, взяв в качестве окрестностей соответству ющие -окрестности.

В тех случаях, когда заранее не известно, выполняется ли для последователь ности (xn) условие, указанное в приведенном определении, запись lim xn n= n рассматривается как задача.

§ 1. Последовательности и их пределы Определение 80. Числовая последовательность называется сходящейся к числу c, если для любого > 0 существует номер n N, начиная с которого выполняется неравенство: |zn - a|.

Перепишем его в форме, аналогичной (3.1).

def lim zn = c > 0 n N n n : |zn - a|. (3.2) n Это определение годится как для вещественных, так и для комп лексных числовых последовательностей. Различие начинает прояв ляться лишь тогда, когда требуется конкретизировать окрестность |zn - a| (т. е. уточнить, что это круг или отрезок?).

Числовую последовательность, которая не сходится ни к какому числу, принято называть расходящейся. Этот термин будет означать, что предел lim zn либо не существует, либо он существует, но не n является числом.

Рассмотрим примеры на применение определения предела последо вательности.

1 1) Пусть xn =. Покажем, что lim = 0.

n n n Задавая число > 0, станем искать какое-нибудь n N, для которого - 0. Последнее неравенство равносильно неравенству n n 1. Учитывая, что n должно быть целым, полагаем n := [1 ]+1, где [· · · ] означает целую часть. Так как [1 ]+1 > 1, то n n будет:

n 1 или 1 n.

2) Покажем, что lim qn = 0, если |q| < 1.

n Задавая число (0 ;

1), будем искать какое-нибудь n N, для которого |qn - 0|. Последнее неравенство равносильно такому: |q|n ln, или n · ln |q| ln, или n. Поэтому, учитывая, что n N, ln |q| ln ln достаточно положить n = +1. Тогда при n n будет: n, ln |q| ln |q| что равносильно такому неравенству |q|n.

3) Последовательность 1, -1, 1, -1, 1, -1,... расходится.

Запишем общий член данной последовательности в виде xn = = (-1)n+1. Предполагая, что lim xn = a, имеем:

n (-1)n+1.

> 0 n N n n :

- a 84 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы Полагая здесь = 1 2, получим соответственно для четных и нечетных значений n следующую систему неравенств:

|1 + a|, |1 - a|.

Эта система несовместна, так как 1 2 = |1 + 1| = |(1 + a) + (1 - a)| |1 + a| + |1 - a| + = 1, 2 т. е. 2 1 противоречие.

2. Общие свойства пределов.

Предел и арифметические операции Определение 81. Последовательность вещественных чисел (x1, x2,..., xn,...) называется ограниченной (ограниченной свер ху, ограниченной снизу), если соответствующим свойством обла дает множество {x1, x2,..., xn,...} всех ее членов.

Отметим, что для последовательностей комплексных чисел имеет смысл только понятие ограниченности.

Теорема 47. (a) Любая окрестность предела сходящейся по следовательности содержит все члены последовательности, кроме конечного их числа.

(b) Последовательность не может иметь двух различных пре делов.

(c) Сходящаяся последовательность ограничена.

(d) Предел постоянной последовательности равен этой посто янной.

(a) Пусть lim zn = c. По определению 77 имеем n V (c) nV N n nV : xn V (c).

Отсюда видно, что не принадлежащие окрестности V (c) члены последовательности (zn) могут находиться только среди первых (nV - 1) членов z1, z2,..., zn -1, которых конечное число.

V (b) Предположим противное, а именно:

lim zn = c1, lim zn = c2, c1 = c2.

n n § 1. Последовательности и их пределы Применяя свойство отделимости (теорему 42), заключаем, что су ществуют окрестности V (c1) и V (c2) такие, что V (c1) V (c1) =.

Далее, по определению предела имеем n1 N n n1 : zn V (c1), n2 N n n2 : zn V (c2).

Отсюда при n max{n1, n2} будет zn V (c1) V (c2) =, т. е.

zn противоречие.

(c) Пусть lim zn = c. Взяв = 1 и применив определение 80, n имеем n1 N n n1 : |zn - c| 1, но так как |zn - c| |zn| - |c|, то |zn| 1 + |c| при n n. Таким образом, n N : |zn| M, где M := max{|z1|,..., |zn |, 1 + |c|}.

1- (d) Если zn = c для всех n, то R+ n N будет |zn - c| = |c - c| = 0 <.

Арифметические операции над числовыми последовательностями определяются естественным образом2. Пределы получающихся та ким образом последовательностей можно вычислять, пользуясь сле дующей теоремой.

Теорема 48. Пусть (zn) и (wn) сходящиеся числовые n=1 n= последовательности, и пусть lim zn = z и lim wn = w. Тогда:

n n (a) lim (zn + wn) = z + w ;

n (b) lim (c · zn) = c · z ;

lim (c + zn) = c + z для любого числа c;

n n (c) lim zn · wn = z · w ;

n 1 (d) lim =, если z = 0, zn = 0 для всех n N.

n zn z (a) Зададим число > 0. По числу 2 найдем номера n1, n2 N такие, что n n1 : |zn - z|, n n2 : |wn - w|.

Это означает, что сумма, разность, произведение и частное последователь ностей (xn) и (yn) определяются как последовательности с общими членами xn xn ± yn, xn · yn и соответственно.

yn 86 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы Полагая n := max{n1 ;

n2}, при n n получим |(zn + wn) - (z + w)| = |(zn - z) + (wn - w)| |zn - z| + |wn - w| + =.

2 (b) Если c = 0, то утверждение очевидно. Пусть c = 0. Зада вая R+, по числу c найдем номер n N так, чтобы было:

n n : |zn - z|. При тех же значениях n имеем |c| |c · zn - c · z| = |c · (zn - z)| = |c| · |zn - z| |c| · =.

|c| Второе из утверждений (b) доказывается совсем просто: если |zn - z|, то |(c + zn) - (c + z)| = |zn - z|.

(c) Воспользуемся тождеством zn · wn - z · w = (zn - z) · (wn - w) + z · (wn - w) + w · (zn - z). (3.3) Задавая R+, найдем n1, n2 N такие, что n n1 : |zn - z|, n n2 : |wn - w|.

Взяв n = max{n1 ;

n2}, при n n будем иметь |(zn - z)(wn - w)| = |zn - z| · |wn - w| · =.

Применяя теперь (a) и (b) к тождеству (3.3), найдем lim (zn · wn) = lim [z ·w+(zn -z)(wn -w)+z ·(wn -w)+w·(zn -z)] = n n = z ·w+ lim (zn -z)(wn -w)+z · lim (wn -w)+w · lim (zn -z) = z ·w.

n n n |z| (d) Выберем n0 N так, чтобы было n n0 : |z - zn|.

При тех же значениях n будет |z| |z| 1 |z - zn| |z| - |zn|, откуда |zn|, т. е..

2 2 |zn| |z| § 1. Последовательности и их пределы Задавая R+, найдем n N так, чтобы было n n0 и |z| n n : |zn - z| ·.

При тех же значениях n будем иметь 1 1 |zn - z| |z|2 1 - = · · · =.

zn z |zn| · |z| 2 |z| |z| Теорема 49. Сходимость последовательности (zn) комп n= лексных чисел zn = xn+iyn равносильна сходимости последователь ностей (xn) и (yn), причем lim zn = lim xn + i · lim yn.

n=1 n= n n n 3. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности Определение 82. Числовая последовательность n n= называется бесконечно малой (б. м.), если lim n = 0.

n Очевидно следующее утверждение:

lim zn = z C n б. м. последовательность, где n := zn-z, n широко используемое при вычислении пределов.

Определение 83. Числовая последовательность zn n=1 назы вается бесконечно большой (б. б.), если E R+ nE N n nE : |zn| E. (3.4) Обозначается это так: lim zn =. Например, последователь n ность с общим членом xn = (-1)n · n является бесконечно большой, поскольку, полагая nE := [E] + 1, при n nE имеем |xn| = n nE = [E] + 1 > E.

Обращаясь к определению 77, видим, что бесконечно большую по следовательность комплексных чисел zn n=1 можно рассматривать как сходящуюся к точке в некотором топологическoм простран стве, каковым в данном случае является расширенная комплексная 88 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы плоскость C = C {}. В частности, бесконечно большую последо вательность вещественных чисел xn n=1 можно рассматривать как сходящуюся к точке в неупорядоченном расширении R множе ства R всех вещественных чисел.

Частными случаями бесконечно больших последовательностей являются последовательности вещественных чисел, сходящиеся со ответственно к (+) и к (-). Такого рода бесконечно большие последовательности можно определить следующим образом:

def lim xn = - E R+ nE N n nE : xn -E;

n def lim xn = + E R+ nE N n nE : xn E.

n Их можно рассматривать как последовательности, сходящиеся в упо рядочeнном расширении R = {-} R {+} множества R всех вещественных чисел.

Теорема 50. Пусть zn n=1 последовательность чисел, от личных от нуля. Равносильны следующие утверждения:

(a) последовательность zn n=1 бесконечно большая;

(b) последовательность (1 zn) бесконечно малая.

n= (a)(b) Пусть выполнено (3.4). Задавая R+, положим E := 1. Очевидно, что из неравенства (3.4) следует неравенство |1 zn|.

(b)(a) Пусть lim 1 zn = 0, т. е.

n R+ n N n n : |1 zn|.

Полагая E := 1, из последнего неравенства получим неравенство (3.4).

Замечание. Используя теоремы о пределах, в некоторых случаях арифметические операции над числами можно распространить и на эле менты +, - и, рассматривая их как бесконечно большие числа3.

1 Так, последняя теорема дает основание считать, что := 0, :=.

Напомним, что на самом деле они не являются числами.

§ 1. Последовательности и их пределы Кроме того, для любого числа a можно дать такие определения:

a + =, (3.5) a · = при a = 0, а также + + := + ;

- - := -. (3.6) Однако выражениям типа,, 0 ·, + - (и некоторым выражениям других типов) заранее невозможно приписать определенные значения. Это так называемые неопределенные выражения.

Их раскрытие (т. е. приписывание им конкретных значений) одна из основных задач теории пределов.

Числовые последовательности иногда можно сравнивать между собой в зависимости от их асимптотики (т. е. от их свойств при n ). Определим здесь соответствующие понятия.

Определение 84. Пусть (an) и (bn) числовые после n=1 n= довательности. Говорят, что:

(a) последовательность (an) имеет порядок не выше, чем (bn) при n, если выполняется условие M R+ n0 N n n0 : |an| M · |bn| ;

oбозначается это так4: an = O(bn) при n ;

(b) последовательности (an) и (bn) имеют одинаковый поря док при n, если выполняются оба условия an = O(bn) и bn = O(an);

oбозначается это так: an bn при n ;

(c) последовательности (an) и (bn) эквивалентны при n, an если lim = 1;

oбозначается это так: an bn при n.

n bn (d) последовательность (an) является бесконечно малой по сравнению с последовательностью (bn) при n, если выпол няется условие R+ n N n n : |an| · |bn| ;

oбозначается это так: an = o(bn) при n.

Символы O и o происходят от немецкого Ordnung порядок.

90 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы Замечания. 1. В этих обозначениях запись an = O(1) при n означает, что последовательность (an) ограничена, а запись an = o(1) при n означает, что последовательность (an) бесконечно мала (в смысле определения 82).

2. Символы O и o иногда называют символами Ландау5, а символы и – символами Харди6.

§ 2. Предел и неравенства.

Нижний и верхний пределы.

Критерий Коши. Полнота 1. Предел и неравенства Поскольку в этом параграфе речь будет идти о неравенствах, то будем рассматривать здесь только последовательности вещественных чисел.

Теорема 51. (a) Пусть xn n=1 и yn n=1 две последователь ности, имеющие пределы в R, причем lim xn = a, lim yn = b, a < b.

n n Тогда n0 N n n0 : xn < yn.

(b) Пусть последовательности xn n=1, yn n=1, zn n= таковы, что n N : xn yn zn и lim xn = lim zn = a.

n n Тогда lim yn = a.

n (а) Так как a < b, то по свойству отделимости в R существуют окрестности V (a) и V (b) такие, что V (a) V (b) =. Более того, Ландау Эдмунд Георг Герман (1877 1938) немецкий математик, написав ший курс анализа, построенный с безупречной логической строгостью.

Харди Готфри Харолд (1877 1947) английский математик.

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы так как a < b, то эти окрестности можно выбрать так, чтобы V (a) лежала на R левее окрестности V (b), т. е. так, чтобы было x V (a) y V (b) : x < y.

Далее имеем lim xn = a n1 N n n1 : xn V (a), n lim yn = b n2 N n n2 : yn V (b).

n Полoжим n0 := max{n1, n2}. Тогда n n0 будет xn V (a), yn V (b) и, значит, xn < yn.

(b) Зададим окрестность V (a) в виде промежутка. Найдем но мера n1, n2 N так, чтобы было n n1 : xn V (a), n n2 : zn V (a).

Затем полагаем nV := max{n1, n2}. Тогда n nV будет yn [xn, zn] V (a), т. е. n nV : yn V (a).

Таким образом, lim yn = a.

n Следствие. Если lim xn = a, lim yn = b, и n N : xn yn, n n то a b.

Предполагая противное: a > b и применяя теорему 51(a), приходим к противоречию: xn > yn, начиная с некоторого номера.

Замечание. Строгое неравенство между последовательностями может в пределе переходить в равенство. Например, 1 n > 0, но lim 1 n = 0.

n Теорема 52. У любой монотонной последовательности су ществует предел, лежащий в R. Если, кроме того, она ограничена, то этот предел число. Если же она не ограничена, то этот пре дел равен (+) в случае неубывания и (-) в случае невозраста ния.

92 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы Предположим, что последовательность xn n=1 не убывает, т. е. x1 x2... xn.... Положим a := sup{x1, x2,..., xn,...} и покажем, что lim xn = a. Возьмем окрестность V (a) точки a в n виде промежутка, открытого слева. Так как a V (a), то точка a не является левым концом промежутка V (a). Следовательно, x V (a) : x < a. Так как V (a) промежуток, то [x, a] V (a).

Поскольку x < a = sup{x1, x2,... xn,...}, то x не является верхней границей множества {x1, x2,... xn,...}.

Поэтому N : xn (x, a) V (a).

n Так как последовательность xn n=1 не убывает, то n > n : xn xn > x, т. е. xn V (a).

Значит, a = lim xn.

n И наконец, a R или a = + в зависимости от того, ограни чена сверху последовательность xn n=1 или не ограничена.

Случай, когда последовательность xn n=1 не возрастает, можно рассмотреть аналогично. Читателю предлагается сделать это само стоятельно.

Теорема 53 ( второй замечательный предел ). Последова n тельность с общим членом xn = 1 + сходится в R.

n Положим x := (1 + 1 n)n+1 = (1 + 1 n) · xn. Так как n lim (1 + 1 n) = 1, то lim x = lim xn, если хотя бы один из n n n n этих пределов существует. Поэтому достаточно доказать существо вание конечного предела lim x. С этой целью, используя теорему n n 52, достаточно установить, что последовательность x моно n n= тонно убывает и ограничена снизу. Последнее выполняется в силу очевидного неравенства x = (1 + 1 n)n+1 > 1. Чтобы доказать ее n § 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы неубывание, используем неравенство Бернулли (1 + )n 1 + n · при -1. Имеем n n+ x (1 + 1 (n - 1))n n n n- = = · = x (1 + 1 n)n+1 n - 1 n + n n n2n+1 n n = = · = (n - 1)n(n + 1)n+1 n + 1 n2 - n n 1 n n = · 1 + · 1 + > n + 1 n2 - 1 n + 1 n2 - n n n > · 1 + = 1 + = 1. (3.7) n + 1 n2 n + 1 n Итак, x xn > 1, откуда x > x.

n-1 n-1 n n Замечания. 1. Принято обозначение lim 1 + = e. Известно, n n что e число иррациональное7, и первые его десятичные знаки тако вы: e = 2. 718281828459045.... Это число имеет исключительно большое значение в анализе, так как его использование ведет к упрощению мно гих формул. Показательная функция y = ex называется экспонентой и в связи с этим обозначается иногда формулой y = exp(x). Логарифмы при основании e называются натуральными, а для соответствующей логариф мической функции принято обозначение y = ln x.

n 2. Непосредственная подстановка в выражение 1 + вместо n n символа приводит к выражению вида 1, которое, таким образом, яв ляется неопределенным. Для раскрытия неопределенностей такого типа можно, вообще говоря, использовать теорему 53 и ее аналоги.

Теорема 54 ( важные пределы ).

(a) Если p R+, то lim = 0.

n np n (b) Если p R+, то lim p = 1.

n n (c) lim n = 1.

n n (d) Если p R+, R, то lim = 0.

n (1 + p)n и даже трансцендентное, т. е. не удовлетворяющее никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами. Числа, не являющиеся трансцендентны ми, называются алгебраическими.

94 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы (a) Задавая R+, положим n := (1 )1 p + 1. Тогда при n n будем иметь 1 1 1 0 < = p p =.

np np (1 )1 p + 1 (1 )1 p n (b) При p > 1 полагаем xn := p - 1 > 0. Отсюда, используя неравенство Бернулли, находим: 1 + n · xn (1 + xn)n = p, и, значит, p - 0 < xn <. Переходя здесь к пределу и используя теорему 51(b), n получим lim xn = 0. Случай p = 1 тривиален8. В случае 0 < p < n требуемый результат можно получить, переходя к обратным величи нам.

n (с) Положим xn := n - 1 0. Отсюда, используя формулу бинома Ньютона, находим:

n(n - 1) n(n - 1) n = (1 + xn)n = 1 + n · xn + · x2 +... > 1 + · x2.

n n 2 Отсюда в силу транзитивности следует неравенство n(n - 1) n > 1 + · x2, n из которого следует, что 0 < xn < 2 n. Переходя здесь к пределу при n, получим lim xn = 0.

n (d) Выберем k N так, чтобы было k >. При n > 2k, исполь зуя формулу бинома Ньютона, получим n n n (1 + p)n = pk > pk = k k k= k pk n(n - 1) ·... · (n - k + 1) n = · pk > ·.

k! 2 k!

k pk n Отсюда находим (1 + p)n > ·. Используя это неравенство, 2 k!

получим n 2k · k! · n 2k · k! 0 < < = ·.

(1 + p)n nk · pk pk nk т. е. очевиден.

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы Так как k >, то по доказанной части этой теоремы (случай (а)) правая часть последнего неравенства при n стремится к ну лю.

2. Нижний и верхний пределы последовательности Не для всякой последовательности xn n=1 вещественных чисел xn существует предел lim xn. Определяемые здесь нижний и верх n ний пределы отличаются прежде всего тем, что они существуют для любой последовательности вещественных чисел.

Определение 85. Пусть xn n=1 последовательность вещественных чисел. Каждому n N сопоставим множество Xn := {xn, xn+1, xn+2,...}, и с его помощью образуем две последовательности un n=1 и vn n=1, полагая un := inf Xn ;

vn := sup Xn. (3.8) Нижний и верхний пределы последовательности xn n=1 определим соответственно равенствами:

lim xn := lim un ;

lim xn := lim vn. (3.9) n n n n Теорема 55. Для любой последовательности xn n=1 вещест венных чисел xn оба предела (3.8) существуют и связаны нера венствами:

- lim xn lim xn +. (3.10) n n Очевидно, что Xn = {xn, xn+1,...} = и Xn Xn+1. По этому справедливы такие неравенства:

- un un+1 vn+1 vn +. (3.11) Из этих неравенств видно, что последовательность un n=1 не убы вает, а последовательность vn n=1 не возрастает. Отсюда на основа нии теоремы 52 заключаем, что оба предела в правых частях равенств 96 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы (3.9) существуют. Переходя к пределу в неравенствах (3.11), получим неравенства (3.10).

Пример. Предел lim (-1)n не существует. Но так как для последо n вательности xn := (-1)n имеем: Xn = {-1, +1}, то un -1, vn +1.

Значит, lim (-1)n = lim un = -1, lim (-1)n = lim vn = +1.

n n n n Теорема 56. Существование предела lim xn последовательно n сти xn равносильно совпадению ее нижнего и верхнего пределов. В этом случае lim xn = lim xn = lim xn. (3.12) n n n Предположим, что lim xn = lim xn = a. В силу равенств n n (3.8) для любого n N имеем: un xn vn. Переходя здесь к пределу и используя теорему 51(b), получим равенство (3.12).

Обратно, предположим, что существует предел lim xn = a R.

n Если a число, то > 0 n N n n : a - xn a +.

Отсюда заключаем, что Xn = {xn, xn+1,...} [a - ;

a + ].

Взяв здесь inf и sup по всем n n, получим a - un vn a +.

Переходя здесь к пределу при n, найдем:

a - lim xn lim xn a +, n n т. е. 0 lim xn - lim xn 2. Отсюда в пределе при9 + n n получаем: lim xn = lim xn.

n n Символы ±0 означают, что 0, сохраняя соответствующий знак.

§ 2. Предел и неравенства. Нижний и верхний пределы Если a = +, то E R+ nE N n nE : xn E, или, что равносильно, Xn [E, +], и, значит, E un vn +.

Отсюда в пределе при n получим E lim xn lim xn +.

n n Переходя здесь к пределу при E +, имеем:

lim xn = lim xn = +.

n n Аналогично можно рассмотреть случай lim xn = -.

n 3. Критерий Коши. Полнота Определение 86. Последовательность xn n=1 называется фундаментальной10, если R+ n N m, n n : |xn - xm|. (3.13) Теорема 57 (критерий Коши11). Последовательность xn n=1 сходится в R, если и только если она фундаментальна.

Сначала предположим, что последовательность xn n=1 схо дится в R, т. е. lim xn = a R. По определению это означает, что n R+ n N n n : |xn - a|.

Заменяя здесь n на m, получим R+ n N m n : |xm - a|.

или сходящейся в себе, или последовательностью Коши.

Кош Огюстэн Луи (1789 1857) знаменитый французский математик, и один из создателей теории пределов.

98 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы Используя последние неравенства и неравенство треугольника, m, n n имеем |xn - xm| = |(xn - a) + (a - xn)| |xn - a| + |a - xn| + =, 2 т. е. выполнено условие (3.13).

Теперь предположим, что выполнено условие (3.13). Полагая в нем m = n, будем иметь |xn - xn |, что равносильно такому условию:

n n : xn - xn xn + или Xn := {xn, xn+1,...} [xn - ;

xn + ], и, значит, xn - inf Xn sup Xn xn +.

Переходя здесь к пределу при n, получим xn - lim xn lim xn xn +. (3.14) n n Из этих неравенств легко следует, что 0 lim xn - lim xn 2.

n n Переходя здесь к пределу при +0, видим, что lim xn = n lim xn. Поэтому на основании теоремы 56 заключаем, что предел n lim xn существует, а из неравенств (3.14) следует, что этот предел n число.

Замечание. Критерий Коши выражает так называемое свойство пол ноты множества R всех вещественных чисел (т. е. то же самое свойство, которое в другой форме выражает и теорема Дедекинда). Оно имеет смысл и для произвольных метрических пространств. Однако понятие полноты не имеет смысла для произвольных топологических пространств, посколь ку в таких пространствах нет метрики.

Определение 87. Последовательность xn n=1 элементов метрического пространства (X ;

d) называется фундаментальной (или последовательностью Коши), если выполнено условие:

R+ n N m, n n : d(xm ;

xn).

§ 3. Компактность числовых множеств Метрическое пространство (X ;

d) называется полным, если лю бая фундаментальная последовательность элементов из X сходит ся12 в X.

Теорема 58. Множество C всех комплексных чисел является полным метрическим пространством.

Пусть lim zn = c C. Задавая R+, имеем:

n |zn - c|, n N m, n n :

|z - c|.

n Отсюда |zn - zm| |zn - c| + |zm - c| + =.

2 Обратно, предположим, что последовательность zn n=1 комп лексных чисел zn C фундаментальна, т. е. что R+ n N m, n n : |zm - zn|.

Обозначая zn = xn + iyn, где xn, yn R, учитывая, что |xn| |zn| и |yn| |zn|, заключаем, что обе последовательности xn n=1 и yn n=1 фун даментальные в R. Отсюда в силу теоремы 57 следует, что lim xn = a R, lim yn = b R, n n и, значит, lim zn = a + bi C.

n § 3. Компактность числовых множеств Теорема 59 (лемма о вложенных отрезках). Пусть задана бесконечная, убывающая по включению последовательность отрез ков [a1, b1] [a2, b2]... [an, bn].... (3.15) т. е. имеет предел, лежащий в X.

100 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы X a1 am an bn bm b Рис. 13. Вложенные отрезки Если lim (bn - an) = 0, то существует единственная точка c R n такая, что {c} = [an, bn].

n= Если n > m, то по условию (3.15) имеем: [an, bn] [am, bm], т. е. am an < bn bm (см. рис. 13). Отсюда видно, что последова тельность (an) убывает и ограничена сверху числом bm, а по n= не следовательность bn n=1 не возрастает и ограничена снизу числом am. Применяя, далее, теорему 52, заключаем, что обе последователь ности an n=1 и bn n=1 сходятся, т. е.

lim an = c, n c, c R :

lim bn = c.

n Так как an < bn, то в пределе получим c c. Таким образом, n N имеем an c c bn, откуда 0 c - c bn - an.

Переходя здесь к пределу при n, получим c = c. Обозначая c := c = c, имеем ! c R n N : c [an, bn], или, что равносильно, {c} = [an, bn].

n= Определение 88. Пусть X непустое подмножество топо логического пространства. Семейство множеств | I} на {A зывается покрытием множества X, если X A. Покрытие I называется открытым, если все множества A открытые. Се мейство множеств {B | J} называется подпокрытием данного покрытия, если {B | J} {A | I} и B X.

J § 3. Компактность числовых множеств Теорема 60 (лемма Гейне Бореля13 о покрытиях). Любое покрытие замкнутого отрезка [a, b] R открытыми интервалами содержит конечное подпокрытие.

Предположим противное, а именно: пусть существует покры тие {U | I} отрезка [a, b] интервалами U, которое не содержит конечного подпокрытия. Разделим отрезок [a, b] пополам. Семей ство {U | I} является покрытием каждого из двух образовав шихся отрезков. По меньшей мере для одного из них (обозначим его [a1, b1]) данное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Раз делим теперь отрезок [a1, b1] пополам. По меньшей мере для одного из двух образовавшихся новых отрезков (обозначим его [a2, b2]) дан ное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Продолжая этот процесс неограниченно, приходим к бесконечной последовательности вложенных отрезков:

[a1, b1] [a2, b2]... [an, bn]..., (3.16) для каждого из которых данное покрытие не содержит конечного подпокрытия. Так как bn - an = (b - a) 2n 0 при n, то для последовательности (3.16) выполняются все условия теоремы 59.

Применяя ее, заключаем, что !c [a, b] : lim an = lim bn = c.

n n Так как c [a, b], то среди интервалов данного покрытия существует интервал U, содержащий точку c, т. е. c U. Далее, по опреде 0 лению предела имеем an U, n0 N n n0 :

bn U.

Так как U интервал, то [an, bn] U, т. е. при достаточно 0 большом n отрезок [an, bn] покрывается единственным интервалом данного семейства. Получено противоречие.

Определение 89. Подмножество топологического про странства называется компактным, если любое его открытое покрытие содержит конечное подпокрытие.

Гейне Генрих Эдуард (1821 1881) немецкий математик. Бор Эмиль ель (1871 1956) французский математик.

102 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы Простейшим примером компактного множества является любое конечное множество точек данного топологического пространства.

Конечное подпокрытие такого множества можно построить, взяв для каждой точки данного множества содержащее ее открытое множе ство из данного покрытия.

Примерами компактных подмножеств числовой оси являются замкнутые отрезки [a, b]R. Действительно, каждое открытое под множество числовой оси можно представить в виде дизъюнктного объединения открытых интервалов. Тем самым любое открытое по крытие представляется в виде покрытия интервалами. По лемме Гейне Бореля каждое такое покрытие содержит конечное подпо крытие. Следующая теорема содержит простое описание всех ком папктных подмножеств числовой оси.

Теорема 61 (критерий компактности в R). Равносильны следующие утверждения:

(a) множество X R компактное;

(b) множество X R ограниченное и замкнутое.

(b)(a). Пусть X ограниченное и замкнутое множество, {U | I} его открытое покрытие. Так как множество X огра ниченное, то существует отрезок [a, b] R, такой, что X [a, b].

Семейство открытых множеств {U | I} и открытое множество R X образуют вместе открытое покрытие множества R, а значит, и отрезка [a, b]. В силу леммы Гейне Бореля это покрытие содержит конечное подпокрытие: U1, U2,... Un, R X, т. е.

U1 U2... Un (R X) [a, b] X.

Далее, так как X (R X) =, то U1... Un X, т. е. множества U1,..., Un образуют конечное подпокрытие множества X. Значит, множество X компактное.

(a)(b). Доказательство этого утверждения проведем мето дом от противного. Предположим, что множество X не являет ся ограниченным. Тогда, например, бесконечное семейство интерва лов {(-n ;

n) | n N} является его покрытием, не содержащим ко нечного подпокрытия. Значит, в этом случае множество X не компактное. Предположим, что множество X не является замкну тым, т. е. не все его граничные точки ему принадлежат. Пусть x0 X одна из таких граничных точек. Любая ее окрестность со / держит точки множества X. Поэтому, например, семейство множеств § 3. Компактность числовых множеств {R [x0 - 1 n ;

x0 + 1 n] n N} является открытым покрытием множества X, не содержащим конечного подпокрытия. Значит, и в этом случае множество X не компактное.

Определение 90. Пусть X топологическое пространство, а M его бесконечное подмножество. Точка x0 называется пре дельной точкой множества M, если в любой окрестности точки x0 содержатся точки, отличные от x0 и принадлежащие множе ству M.

При этом сама предельная точка множества M может как при надлежать, так и не принадлежать ему. Например, предельными точ ками интервала (a, b) являются все точки отрезка [a, b] и только они.

Теорема 62. Если множество X R ограниченное и беско нечное, то в R существует предельная точка множества X.

Так как множество X ограниченное, то существует отрезок [a, b] R такой, что X [a, b]. Разделив его пополам, заключаем, что по меньшей мере в одном из новых отрезков содержится бес конечно много точек из X. Обозначив этот отрезок через [a1, b1], разделим его пополам. По меньшей мере в одном из новых отрез ков (обозначим его [a2, b2]) содержится бесконечно много точек из X. Продолжая этот процесс неограниченно, приходим к бесконечной последовательности вложенных отрезков:

[a, b] [a1, b1]...... [an, bn]..., для которых bn - an = (b - a) 2n 0 при n, а все множества X [an, bn] бесконечные. Применяя теорему 59, заключаем, что !c R : lim an = lim bn = c.

n n Последнее можно переписать в таком виде:

> 0 n N n n : [an, bn] (c -, c + ).

Таким образом, при всех достаточно больших значениях n имеем:

[an, bn] X (c -, c + ), а так как множество [an, bn] X бесконечное, то в нем имеются точки, отличные от c. Значит, точка c предельная для X.

104 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы Определение 91. Пусть f : N - X, xn = f(n) последова тельность элементов множества X, а g : N - N, nk = g(k) возрастающая последовательность натуральных чисел. Компози ция f g : N - X, xn := f(g(k)) k называется подпоследовательностью последовательности (xn).

n= Теорема 63. Если числовая последовательность (xn) огра n= ничена, то у нее существует подпоследовательность, сходящаяся к некоторому числу.

Ограниченность последовательности (xn) определялась n= как ограниченность множества {xn | n N} всех ее членов. Если это множество конечное, то при пересчeте x1, x2,..., xn,...

хотя бы одно из чисел должно встретиться бесконечно много раз.

Обозначим это число через a, и пусть 1 n1 <... < nk <... воз растающая последовательность номеров, таких, что xn = a для всех k номеров k N. По теореме о пределе постоянной имеем lim xn = a k при k, т. е. подпоследовательность (xn ) сходится к числу a.

k k= Если множество {xn | n N} бесконечное, то по теореме 63 су ществует его предельная точка a R. Поэтому для каждого k N существует номер nk N такой, что последовательность (nk) возрастает, и выполнены неравенства: 0 < |xn - a| 1 k.

k=1 k Переходя в них к пределу при k, получим: lim xn = a.

k k Замечание. Доказанная теорема называется теоремой Больцано Вейерштрасса (по именам ее авторов14). Она допускает обобщение на случаи, для которых данная последовательность не является ограничен ной. В таких случаях гарантировано существование подпоследовательно стей, имеющих пределы в соответствующей расширенной системе чисел R, R, C.

Теорема 64. У любой последовательности вещественных чисел существует подпоследовательность, имеющая предел в R, и су ществует подпоследовательность, имеющая предел в R.

Больцано Бернард (1781 1848) чешский математик. Вейерштрасс Карл (1815 1897) знаменитый немецкий математик.

§ 3. Компактность числовых множеств Если последовательность (xn) не ограничена, то для каж n= дого k N существует номер nk N такой, что последовательность (nk) возрастает, и |xn | k. Переходя в этом неравенстве к пре k=1 k делу при k, получим lim xn = R. Если последователь k k ность (xn) не ограничена сверху или снизу, то можно получить n= неравенства xn k или xn -k соответственно. Переходя в них k k к пределу при k, получим соответственно lim xn = + R k k или lim xn = - R.

k k Задачи к главе 3.1. Используя логическую символику, подробно сформулировать сле дующие утверждения:

a) lim xn = a ;

b) lim xn не существует.

n n 3.2. Доказать расходимость последовательностей (sin n) и (cos n).

n=1 n= 3.3. Вычислить следующие пределы:

1 2 3 (-1)nn a) lim - + -... + ;

n n n n n n b) lim n( n - 1) ;

n n n n a+ b c) lim, a, b > 0;

n d) lim sin2 (n2 + n) ;

n n2 sin n!

e) lim ;

n n + f) lim ( n + 1 - n);

n (-2)n + 3n g) lim ;

n (-2)n+1 + 3n+ 4 2n h) lim ( 2 2... 2);

n n i) lim n + 3 sin ;

n 106 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы j) lim 2 + 2 +... + 2.

n n радикалов 3.4. Вычислить пределы:

1 2 n - a) lim + +... + ;

n n2 n2 n 1 + a + a2 +... + an b) lim (|a| < 1, |b| < 1);

n 1 + b + b2 +... + bn 12 22 (n - 1) c) lim + +... + ;

n n2 n2 n 13 23 (n - 1) d) lim + +... +.

n n3 n3 n 3.5. Найти числовые значения следующих цепных дробей:

1 a) 1 + ;

b) 2 + ;

1 1 + 2 + 1 1 + 2 + 1 + · · · 2 + · · · c) 3 +.

3 + 3 + 3 + · · · 3.6. Доказать сходимость последовательности (xn), где:

n= 10 11 n + a) xn = · ·... · ;

1 3 2n - 1 1 b) xn = 1 - 1 -... 1 - ;

2 4 2n 1 1 c) xn = 1 + 1 +... 1 +.

2 4 2n 3.7. Сформулировать и доказать критерий компактности в C.

3.8. Доказать, что расширенные системы чисел R, R, C являются компактными топологическими пространствами.

§ 3. Компактность числовых множеств 3.9. Привести пример последовательности (xn), удовлетворяющей n= условию > 0 N N n N : xn, и такой, что:

a) она не имеет предела;

b) она имеет предел. Может ли этот предел быть положительным?

3.10. Предположим, что последовательность (yn) получена переста n= новкой членов последовательности (xn). Доказать, что:

n= a) lim xn = a lim yn = a ;

n n b) lim xn lim yn.

n n 3.11. Привести примеры последовательностей (xn) и (yn) n=1 n= таких, что lim xn = lim yn = 0, причем:

n n xn xn xn a) lim = 0 ;

b) lim = 1 ;

c) lim = ;

n n n yn yn yn xn d) lim.

n yn 3.12. Известно, что lim xn · yn = 0. Верно ли, что:

n a) lim xn = lim yn = 0 ;

n n b) хотя бы одна из последовательностей (xn) или (yn) n=1 n= стремится к нулю?

3.13. Привести примеры таких расходящихся последовательностей (xn) и (yn), что сходятся следующие последовательности:

n=1 n= xn a) (xn + yn) ;

b) (xn · yn) ;

c).

n=1 n= yn n= 3.14. Предположим, что последовательнсть (xn) не обращается в n= нуль и сходится к некоторому числу. При этих условиях:

xn+ a) исследовать существование предела lim ;

n xn b) предполагая, что этот предел число, оценить его сверху по модулю;

xn с) исследовать последовательность на ограниченность.

yn n= 3.15. Всякая ли неограниченная последовательность является бесконеч но большой? Привести примеры.

3.16. Предположим, что последовательнoсть (xn) бесконечно n= большая. Верно ли, что:

108 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы a) если последовательность (yn) ограниченная, то n= lim xnyn = ;

n b) если n N : yn xn, то lim yn = ;

n c) если lim yn =, то lim (xn + yn) = ?

n n 3.17. Привести примеры последовательностей (xn) и (yn) n=1 n= таких, что lim xn = lim yn = +, причем:

n n a) lim (xn - yn) = + ;

n b) lim (xn - yn) = 1 ;

n c) lim (xn - yn) = - ;

n d) последовательность (xn - yn) расходится;

n= xn e) lim = 0 ;

n yn xn f) lim = 1 ;

n yn xn g) lim = + ;

n yn xn h) последовательность расходится.

yn n= 3.18. Привести примеры последовательностей (xn) и (yn) n=1 n= таких, что lim xn = 0, lim yn = +, причем:

n n a) lim xnyn = 0 ;

n b) lim xnyn = 1 ;

n c) lim xnyn = ;

n d) последовательность (xnyn) расходится.

n= 3.19. Доказать, что x1 +... + xn lim xn = + = lim = +.

n n n 3.20. Пусть (pn) положительная последовательность, и n= n lim pn = p. Доказать, что lim p1 ·... · pn = p.

n n 3.21. Пусть 0 xm+n xm + xn. Доказать сходимость последователь xn ности.

n n= 3.22. Пусть lim an = +. Доказать, что существует min an.

n nN § 3. Компактность числовых множеств 3.23. Найти lim xn и lim xn, если:

n n (-1)n 1 + (-1)n a) xn = + ;

b) xn = (-1)n-1 2 + ;

n 2 n n n c) xn = 1 + cos ;

d) xn = 1 + 2(-1)n+1 + 3 · (-1)n(n-1) 2 ;

n - 1 n - 1 2n n e) xn = cos ;

f) xn = n(-1) ;

g) xn = (-1)nn;

n + 1 n 2n h) xn = 1 + n sin ;

i) xn = -n · (2 + (-1)n);

j) xn = cosn ;

n 1 n 2n k) xn = 1 + · (-1)n + sin ;

l) xn = cosn ;

n 4 n n m) xn = sin2 ;

n) xn = ((-1)n + 1) · 2n ;

n + 1 (-1)n n + o) xn = n · ln 1 + ;

p) xn = ;

n n + 1 + (-1) n n q) xn = 1 + sin 1 - cos.

4 3.24. Построить последовательность, содержащую подпоследователь ность, сходящуюся к любому наперeд заданному неотрицатель ному числу. Найти ее верхний и нижний пределы.

3.25. Исследовать на сходимость последовательность (an) и вычис n= лить ее предел, если:

a) an+1 = sin an, a1 = sin x;

b) an = xn+1 - xn, где 0 < x1 < x2 <... < xn <..., и xn = tg xn.

an + A c) an+1 =, a1 = 0;

d) an+1 = arctg an, a1 = 25;

1 M e) an+1 = 2an +, a1 = M R+.

3 a n 3.26. Вычислить следующие пределы:

[2 + (-1)n]n 3 a) lim ;

b) lim n + 2 - 2 n + 1 + n ;

n n 3n ln n 1 1 c) lim + +... + ;

n 4 · 7 7 · 10 (3n + 1)(3n + 4) 110 Глава 3. Числовые последовательности и их пределы n2 + 3n + 1 - n2 + 3n - 1 n d) lim ;

e) lim n arccos ;

n n ln(1 + n) - ln(2 + n) n2 + 1 1 f) lim + +... + ;

n 1 · 2 · 3 2 · 3 · 4 n(n + 1)(n + 2) 3 g) lim - ;

n n + 3 - n n + 2 - n + n h) lim n · ( a - 1) ;

n i) lim n ln 1 - cos( 4n2 + 10 ;

n n ctg n2+ j) lim arctg x, где x > 0.

n Глава ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ И ИХ СУММЫ § 1. Числовые ряды, их сходимость и расходимость. Некоторые операции над рядами 1. Определения и примеры Если говорить коротко, то ряд это обобщение понятия суммы на случай бесконечного (счeтного) множества слагаемых, располо женных в определенном порядке.

Определение 92. Пусть (cn) числовая последователь n= ность. Соединив все ее последовательные члены знаком плюс, полу чим выражение вида cn = c1 + c2 +... + cn +..., (4.1) n= которое называется числовым рядом с членами c1, c2,..., cn,....

Таким образом, понятие ряда впервые появляется в анализе как формальная сумма, т. е. как задача суммирования бесконечного мно жества слагаемых (членов).

Определение 93. Частичной суммой ряда (4.1) называется конечная сумма sn := c1 + c2 +... + cn. Отрезком ряда (4.1) n называется всякая конечная сумма вида ck. Остатком ряда k=m (4.1) называется всякий ряд вида ck = cn + cn+1 +....

k=n Очевидно, что отрезком ряда можно считать каждый его член, а также любую его частичную сумму. Желая приписать сумму дан 112 Глава 4. Числовые ряды и их суммы ному ряду, станем рассматривать последовательность его частичных сумм.

Определение 94. Будем говорить, что ряд (4.1) имеет сумму, если существует предел последовательности (sn) его частич n= ных сумм sn = c1 + c2 +... + cn. Этот предел s = lim sn назы n вается суммой ряда (4.1). Если сумма ряда является числом, то этот ряд называется сходящимся, а во всех остальных случаях расходящимся.

В случае, когда ряд (4.1) имеет сумму s, принято приписывать ему значение, равное этой сумме, т. е. писать s := cn = c1 + c2 +... + cn +....

n= Основным вопросом теории рядов является вопрос о сходимости:

дан ряд и требуется установить, сходится он или расходится. Ес ли установлена его сходимость, то возникает задача вычисления его суммы s. Так как s = lim sn, то для числа s всегда есть прибли n женное равенство s s1 + s2 +... + sn, которое тем точнее, чем больше число n.

Как видим, нахождение суммы данного ряда сводится к нахожде нию предела последовательности его частичных сумм. Обратно, каж дой числовой последовательности (sn) можно сопоставить ряд n= s1 + (s2 - s1) +... + (sn - sn-1) +..., последовательность частичных сумм которого совпадает, очевидно, с (sn). Таким образом, про n= блема суммирования рядов равносильна проблеме вычисления преде лов последовательностей.

Рассмотрим несколько примеров исследования рядов на сходимость.

1) Пусть дан так называемый геометрический ряд 1 + q + q2 +... + qn-1 +..., (4.2) т. е. формальная сумма всех членов бесконечной геометрической прогрес сии (qn). Желая исследовать ряд (4.2) на сходимость, преобразуем его n= n-ю частичную сумму:

1 - qn 1 qn sn = 1 + q + q2 +... + qn-1 = = -, 1 - q 1 - q 1 - q если q = 1. Предполагая, что |q| < 1, имеем: lim qn = 0, и, значит, n lim sn =. Таким образом, при |q| < 1 геометрический ряд (4.2) n - q § 1. Числовые ряды, их сходимость и расходимость сходится, причем = 1 + q + q2 +... + qn-1 +....

1 - q Пусть теперь |q| 1. Предполагая, что геометрический ряд (4.2) сходится к сумме s, имеем: lim sn = lim sn+1 = s, где s число. Отсюда находим:

n n lim (sn+1 - sn) = 0. С другой стороны, sn+1 - sn = qn, откуда n |sn+1 - sn| = |qn| = |q|n 1, и значит, lim |sn+1 -sn| 1. Получено противоречие, поэтому при |q| n ряд (4.2) расходится.

2) Рассмотрим ряд n1 n2 nk n0 + + +... + +..., (4.3) 10 102 10k где n0 N {0}, а n1,..., nk,... последовательность целых неотрица тельных чисел таких, что 0 nk 9. Сопоставим ряду (4.3) бесконечную десятичную дробь n0. n1n2... nk..., представляющую вещественное чис ло s, и покажем, что ряд (4.3) сходится к сумме s. При каждом k N имеем |s - n0. n1n2... nk| = 0. 00... 0 nk+1....

10k k нулей Переходя здесь к пределу при k, получим требуемое.

3) Пусть дан ряд 1 1 1 = + +... + +....

k · (k = 1) 1 · 2 2 · 3 n · (n + 1) k= Желая исследовать этот ряд на сходимость, преобразуем его общий член так:

1 1 = -.

n · (n + 1) n n + Используя это равенство, находим 1 1 1 1 1 1 1 sn = + +... + = 1 - + - +... + - = 1 · 2 2 · 3 n · (n + 1) 2 2 3 n n + = 1 - 1 при n. (4.4) n + Таким образом, данный ряд сходится к сумме 1.

114 Глава 4. Числовые ряды и их суммы 4) Исследуем на сходимость ряд 1 1 1 = 1 + + +... + +....

n n 2 n= Имеем:

1 1 1 1 sn = 1 + + +... + > +... + = n, n n n 2 n слагаемых т. е. sn > n. Переходя здесь к пределу при n, получим lim sn = n = +, т. е. данный ряд имеет сумму, равную +, и, значит, расходится.

2. Некоторые операции над рядами Теорема 65. (a) Если ряд ak сходится к сумме s, а k= число, то ряд · ak сходится к сумме · s.

k= (b) Если ряды ak и bk сходятся к суммам s и соот k=1 k= ветственно, то ряд (ak + bk) сходится к сумме s +.

k= (a) Очевидно, что частичные суммы двух данных рядов свя n n заны равенством · ak = · ak. Переходя здесь к пределу при k=1 k= n, получим требуемое.

n n (b) Пусть sn = ak и n = bk частичные суммы данных k=1 k= n рядов. Тогда sn + n = (ak + bk). Переходя в этом равенстве к k= пределу при n, получим s + = (ak + bk).

k= Для дальнейшего нам необходимо вспомнить понятие подпосле довательности.

Определение 95. Пусть (zn) последовательность, и n= пусть 1 n1 < n2 <... < nk <... бесконечная возрастаю щая последовательность натуральных чисел. Последовательность § 1. Числовые ряды, их сходимость и расходимость (xk) с общим членом xk := zn называется подпоследователь k=1 k ностью последовательности (zn).

n= Лемма 1. Если последовательность имеет предел, то любая ее подпоследовательность имеет тот же предел.

Предположим, что lim zn = c, и пусть (zn ) подпосле k k= n довательность последовательности (zn). Имеем:

n= V (c) nV N n nV : zn V (c), (4.5) где V (c) окрестность точки c. Так как последовательность на туральных чисел (nk) строго возрастает, то lim nk = +, и, k= n значит, nV N kV N k > kV : nk > nV. (4.6) Из (4.5) и (4.6) следует, что V (c) kV N k kV : zn V (c), k т. е. lim zn = c.

k n Теорема 66. Если, не изменяя порядка следования членов схо дящегося ряда a1 + a2 +... + an +..., произвольным образом сгруп пировать его члены, образовав новый ряд b1 + b2 +... + bn +..., k в котором b1 = a1 +... + an, b2 = an +1 +... + an,..., 1 1 то новый ряд будет сходиться к той же сумме, что и исходный.

Пусть (sn) последовательность частичных сумм исход n= ного ряда, и пусть lim sn = s его сумма. Последовательность ча n стичных сумм сгруппированного ряда имеет вид (sn ). Применяя k k= к ней лемму 1, получим lim sn = s.

k n Замечание. Условие сходимости в теореме 66 существенно. Возьмем, например, расходящийся ряд 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 +.... Сгруппируем его члены следующим образом: (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) +.... В результате получаем сходящийся ряд 0 = 0 + 0 +... + 0 +.... Сгруппировав его члены иначe: 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) +..., снова получаем ряд, но сходящийся уже к другой сумме: 1 = 1 + 0 + 0 +... + 0 +.... Если же сгруппировать его члены по три (1 - 1 + 1) + (-1 + 1 - 1) +..., то получим расходящийся ряд 1 - 1 + 1 - 1 +....

116 Глава 4. Числовые ряды и их суммы 3. Критерий Коши и его следствия Теорема 67 (критерий Коши). Сходимость ряда ak рав k= носильна выполнению следующего условия:

n+p > 0 n N n n p N : ak. (4.7) k=n+ Пусть (sn) последовательность частичных сумм данного n= ряда. Согласно критерию Коши сходимости числовых последователь ностей, она сходится, если и только если выполнено условие:

> 0 n N m, n n : |sm - sn|. (4.8) Полагая здесь m = n + p, получим:

n+p n n+p |sn+p - sn| = ak - ak = ak, k=1 k=1 k=n+ и, значит, условие критерия Коши для последовательностей перехо дит в условие (4.7).

Следствие 1 (необходимый признак сходимости ряда).

Если ряд ak сходится, то lim an = 0.

n k= Предполагая данный ряд сходящимся и полагая в (4.7) p = 1, получим > 0 n N n n : |an+1|, т. е. lim an+1 = 0, или, что равносильно, lim an = 0.

n n Замечание. Необходимый признак сходимости ряда не является до статочным. Рассмотрим, например, так называемый гармонический ряд 1 1 1 = 1 + + +... + +.... (4.9) n 2 3 n n= Для него имеем lim = 0, но он расходится.

n n § 2. Признаки сходимости и расходимости Предполагая ряд (4.9) сходящимся, сгруппируем его члены следу ющим образом:

1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + +... + 2 3 4 5 6 7 1 + +... + +.... (4.10) 2k + 1 2k + 2k Общий член этого ряда содержит 2k слагаемых. Оценим его снизу 1 1 + +... + > 2k + 1 2k + 2 2k + 2k 1 1 1 2k > +... + = =. (4.11) 2k+1 2k+1 2k+1 2k+1 2k слагаемых По теореме 66 сгруппированный ряд (4.10) должен сходиться. Однако, со гласно неравенству (4.11), все его члены ограничены снизу числом 1 2.

Отсюда в силу необходимого признака заключаем, что ряд (4.10) расхо дится. Значит, расходится и ряд (4.9).

Следствие 2. Сходимость ряда равносильна сходимости любого его остатка.

В самом деле, для достаточно больших значений n N усло вие критерия Коши сходимости данного ряда и его остатка имеет один и тот же вид (4.7).

§ 2. Признаки сходимости и расходимости положительных рядов 1. Критерий сходимости и признаки сравнения Определение 96. Числовой ряд называется:

(a) положительным, если все его члены неотрицательны;

(b) строго положительным, если все его члены положительны.

Теорема 68. Любой положительный ряд имеет сумму. Схо димость положительного ряда равносильна ограниченности сверху последовательности его частичных сумм.

118 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Пусть ak положительный ряд, т. е. k N : ak 0.

k= Пусть (sn) последовательность его частичных сумм. Так как n= sn+1 = a1 +... + an + an+1 a1 +... + an = sn, то sn+1 sn, т. е. последовательность (sn) не убывает. Отсю n= да (по теореме о пределе монотонной последовательности) следует существование предела lim sn = s +, причем этот предел яв n ляется числом, если и только если последовательность (sn) огра n= ничена сверху.

Пример. Исследуем на сходимость ряд 1 1 1 1 = 1 + + + +... + +....

k! 1! 2! 3! n!

k= Имеем 1 1 1 1 1 1 1 + + + +... + < 1 + 1 + + +... + < 3.

1! 2! 3! n! 2 22 2n- Таким образом, согласно теореме 68, данный ряд сходится. Можно пока зать, что его сумма равна числу e.

Теорема 69 (признак сравнения). Пусть an и bn n=1 n= положительные ряды, и k N: 0 ak bk. Тогда:

(a) если ряд bk сходится, то и ряд ak сходится;

k=1 k= (b) если ряд ak расходится, то и ряд bk расходится.

k=1 k= n n Пусть sn = ak и n = bk частичные суммы, а s и k=1 k= суммы данных рядов. Так как 0 ak bk, то 0 sn n. (4.12) Предполагая, что ряд bn сходится к числу, из (4.12) заклю n= чаем, что последовательность (sn) ограничена сверху числом.

n= § 2. Признаки сходимости и расходимости Отсюда в силу теоремы 68 следует, что ряд an сходится. Пред n= полагая, что ряд an расходится, т. е. lim sn = + и переходя n n= к пределу в неравенстве sn n, заключаем, что = +, т. е. что ряд bn расходится.

n= Теорема 70 (признак сравнения, предельная форма).

Пусть an и bn положительные ряды, и пусть существу n=1 n= an ет предел lim = K [0, +]. Тогда:

n bn (a) если 0 K < +, и ряд bn сходится, то ряд an n=1 n= сходится;

(b) если 0 < K +, и ряд bn расходится, то ряд an n=1 n= расходится;

(c) если 0 < K < +, то данные ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся.

(a) Задавая число > 0, найдем номер n N так, чтобы an n n было K +, т. е. an (K + ) · bn. Применяя теорему bn 69(a), заключаем, что ряд an сходится.

n= (b) Задавая (0, K), найдем номер n N так, чтобы n n выполнялось неравенство:

an, т. е. an · bn.

bn Отсюда и из расходимости ряда bn следует расходимость ряда n= an.

n= (c) Задавая произвольно (0, K), найдем номер n N, начи ная с которого, выполняются следующие неравенства:

an K - K +, bn 120 Глава 4. Числовые ряды и их суммы равносильные неравенствам (K - ) · bn an (K + ) · bn. Из этих неравенств в силу теоремы 69 следует, что данные ряды либо оба сходятся, либо оба расходятся.

Теорема 71 (признак сравнения отношений). Пусть an n= и bn строго положительные ряды такие, что n N выпол n= an+1 bn+ нены неравенства. Тогда:

an bn (a) если ряд bn сходится, то и ряд an сходится;

n=1 n= (b) если ряд an расходится, то и ряд bn расходится.

n=1 n= Имеем:

a2 b2 a3 b3 an bn,,...,.

a1 b1 a2 b2 an-1 bn- Перемножая эти неравенства, получим:

a2a3... an b2b3... bn, a1a2... an-1 b1b2... bn- an bn a откуда. Таким образом, n N : an · bn. Отсюда в a1 b1 b силу теоремы 69 получаем требуемое.

2. Обобщенный гармонический ряд Обобщенным гармоническим рядом называется ряд вида 1 1 1 = 1 + + +... + +..., (4.13) n 2 3 n n= где параметр. Исследуем его на сходимость в зависимости от величины параметра R.

Теорема 72. Обобщенный гармонический ряд (4.13) сходится при > 1 и расходится при 1.

§ 2. Признаки сходимости и расходимости При 0 имеем = n|| 1. Отсюда видно, что n lim 1, т. е. не выполняется необходимый признак сходимости n n ряда (4.13). Следовательно, он расходится.

Расходимость ряда (4.13) в случае = 1 была установлена выше.

1 Если 0 < < 1, то n < n, и, значит, >. Отсюда в силу n n признака сравнения 69(b) следует, что при 0 < < 1 ряд (4.13) расходится.

Пусть теперь > 1 и 1 1 sn() = 1 + + +... + 2 3 n n-я частичная сумма ряда (4.13). Так как последовательность (sn()) возрастает, то n= 1 sn() < s2n+1() = 1 + + +... + 2 1 1 1 1 + + < 1 + 2 + +... + = (2n) (2n + 1) 2 4 (2n) 1 1 1 1 sn() = 1 + · 1 + + +... + = 1 +.

2-1 2 3 n 2- Отсюда находим sn() sn() < 1 +.

2- Решая это неравенство относительно sn(), имеем 2- sn() <, 2-1 - т. е. частичные суммы ряда (4.13) ограничены сверху. Отсюда на ос новании теоремы 68 заключаем, что при > 1 ряд (4.13) сходит ся1.

Замечание. Иногда можно исследовать на сходимость положитель ные ряды, сравнивая их с обобщенным гармоническим рядом (4.13), т. е. принимая его за эталонный ряд.

Сумму ряда (4.13) принято обозначать (). Функция - () называется дзета-функцией Римана и широко используется в теории чисел.

122 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Теорема 73 (степенной признак сравнения). Пусть an положительный ряд. Если существуют положительные n= числа и M такие, что M an при n, n то в случае > 1 данный ряд сходится, а в случае 1 расхо дится.

Утверждение теоремы следует, например, из теоремы 70(c), где в качестве ряда bn надо взять ряд (4.13).

n= n Пример. Из теоремы 73 следует, что ряд n n сходится при n= > 1 и расходится при 1.

3. Признаки Коши и Даламбера Теорема 74 (признак Коши). Пусть an положитель n= n ный ряд, и пусть = lim an. Тогда:

n (a) при 0 < 1 ряд an сходится;

n= (b) при > 1 ряд an расходится;

n= (c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых = 1.

(a) Пусть 0 < 1. Зададим R+ настолько малым, чтобы выполнялось неравенство + < 1. Так как n n+ = lim sup{ an, an+1,... }, то n n n+ n N n n : sup{ an, an+1,...} +.

Отсюда следует, что n n : an ( + )n, (4.14) § 2. Признаки сходимости и расходимости а так как + < 1, то ряд (+)n сходится. Отсюда и из (4.14) на n= основании признака сравнения заключаем, что ряд an сходится.

n= (b) Пусть теперь > 1. Зададим R настолько малым, чтобы выполнялось неравенство - > 1. Так как n n+ = lim sup{ an, an+1,... }, n то n n+ n N n n : sup{ an, an+1,... } -.

Последнее означает, что существуют сколь угодно большие номера n n N, такие, что an - > 1 или an > 1. Отсюда видно, что невозможно равенство lim an = 0, т. е. что не выполнен необходи n мый признак сходимости ряда an. Значит, он расходится.

n= 1 (c) Ряд сходится, а ряд расходится. Но в обоих n2 n n=1 n= случаях имеем n n lim 1 n = lim 1 n2 = 1.

n n Теорема 75 (признак Даламбера2). Строго положительный ряд an :

n= an+ (a) сходится, если lim < 1;

n an an+ (b) расходится, если n0 N n n0 : 1;

an (c) существуют как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых an+1 an+ lim 1 lim. (4.15) n an an n an+ (a) Пусть lim < 1. Зададим R+ так, чтобы выпол n an нялось неравенство + < 1. Тогда an+1 ( + )n+ n N n n : < + =.

an ( + )n Даламбер ( D Alembert) Жан Лерон (1717 1783) французский математик.

124 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Отсюда, учитывая сходимость ряда ( + )n, на основании при n= знака сравнения отношений заключаем, что ряд an сходится.

n= an+ (b) Если, начиная с некоторого номера, будет 1, то an an+1 an, и равенство lim an = 0 становится невозможным. По n этому ряд an расходится.

n= 1 (c) Ряд сходится, а ряд расходится. Однако для n2 n n=1 n= обоих этих рядов имеем an+ lim = 1.

n an Замечание. Признаки Коши и Даламбера оба основаны на сравнении с геометрическим рядом qn-1. Признак Коши более универсален, так n= как примен к произвольным положительным рядам, а признак Далам им бера только к строго положительным рядам. Однако и в этом послед нем случае они не равносильны. Заключить, какой из этих двух признаков сильнее, можно на основании следующей теоремы.

Теорема 76. Для любой последовательности (an) положи n= тельных чисел an справедливы неравенства:

an+1 an+ n n lim lim an lim an lim. (4.16) n n an n an n Среднее из этих неравенств очевидно, поскольку нижний пре дел не превосходит верхнего для любой последовательности. Левое и правое наравенства (4.16) можно доказать аналогично, поэтому до an+ кажем только правое неравенство. Если lim = +, то оно n an an+ очевидно. Поэтому считаем, что lim = < +.

n an Возьмем произвольное число p (, +). По нему найдем номер an+ N N, начиная с которого выполняются наравенства: < p.

an Отсюда при любом n > N имеем неравенства:

aN+1 aN+2 an < p, < p,..., < p.

aN aN+1 an- § 2. Признаки сходимости и расходимости Перемножив их, найдем an aN < pn-N, откуда an < · pn.

aN pN Извлекая корень степени n, получим aN n n an < · p.

pN Переходя в этом неравенстве к пределу при n, будем иметь aN n n lim an p, поскольку lim = 1.

n n pN Так как p > выбрано произвольно, то можно перейти к пределу n при p, и мы получим lim an.

n Замечание. Теорема 76 показывает, что признак Коши сильнее при знака Даламбера в следующем смысле. Правое неравенство (4.16) означа ет, что если признак Даламбера указывает на сходимость, то и признак Коши указывает на сходимость. Левое же неравенство (4.16) показывает, что если признак Коши не дает ответа на вопрос о сходимости (т. е. если n lim an = 1), то и признак Даламбера его не дает (так как в этом случае n выполняются неравенства (4.15)). И наконец, есть примеры, когда при знак Коши указывает на сходимость, а признак Даламбера не дает ответа на вопрос о сходимости. Рассмотрим, например, ряд 1 1 1 1 1 + + + +... + + +... (4.17) 2 3 22 32 2n 3n с общим членом n при k = 2n - 1, ak = n при k = 2n.

Для него имеем n (2n-1) при k = 2n - 1, (ak)1 k = 1 1 при k = 2n.

126 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Отсюда видно, что lim (an)1 n = < 1, n и, значит, признак Коши указывает на сходимость. Однако признак Да ламбера нe дает ответа на вопрос о сходимости этого ряда, поскольку n ak+1 a2n lim = lim = lim = 0 ;

n n ak a2n-1 k n n-1 n ak+1 1 1 lim = lim = 3 lim = +, k n n ak 2 3 и значит, выполняются неравенства (4.15).

4. Другие признаки Рассмотрим сначала один весьма общий признак, открытый Кум мером3, затем в качестве его следствий получим другие признаки.

Теорема 77 (признак Куммера). Пусть (cn) заданная n= последовательность положительных чисел такая, что ряд cn n= расходится, и пусть an строго положительный ряд, который n= хотят исследовать на сходимость. Образуем последовательность (Kn) с общим членом n= an Kn := cn · - cn+ an+ и предположим, что существует предел lim Kn = K. Тогда в слу n чае K > 0 данный ряд сходится, а в случае K < 0 расходится.

Предположим сначала, что K > 0. Возьмем произвольное (0, K) и найдем n0 N так, чтобы n n0 выполнялось нера венство an Kn = cn · - cn+1, an+ которое равносильно следующему:

cn · an - cn+1 · an+1 · an+1 > 0. (4.18) К Эрнст Эдуард (1810 1893) немецкий математик.

уммер § 2. Признаки сходимости и расходимости Отсюда, в частности, следует, что последовательность (cn · an) n= убывает и, значит, сходится к неотрицательному числу. Ряд (ckak - ck+1ak+1) k=n сходится, так как его частичная сумма при n > n0 равна n (ckak - ck+1ak+1) = cn · an - cn+1 · an+1 (4.19) 0 k=n и, как установлено, имеет конечный предел. Но тогда из неравенства (4.18) в силу признака сравнения следует сходимость ряда · an+1, а значит, и ряда an.

n=n0 n= Если же K < 0, то an n0 N n n0 : cn · - cn+1 < 0, an+ т. е.

an cn+ <, an+1 cn или an+1 1 cn+ >.

an 1 cn Отсюда по признаку сравнения отношений и из расходимости ряда 1 cn следует расходимость ряда an.

n=1 n= Замечание. Последовательность (Kn), введенная в теореме 77, на n= зывается вариантой4 Куммера. Полагая, в частности, cn 1, получаем, что ряд 1 cn расходится, и варианта Куммера в данном случае прини n= an an мает вид Kn = - 1 = Dn - 1, где Dn = варианта Даламбера.

an+1 an+ Отсюда видно, что признак Даламбера (в том случае, когда существует предел D = lim Dn ) является частным случаем признака Куммера.

n Вари это малоупотребительный синоним термина последователь анта ность.

128 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Теорема 78 (признак Раабе5). Пусть an строго поло n= жительный ряд. Образуем последовательность (Rn) с общим n= членом an Rn = n · - 1, an+ называемую вариантой Раабе, и предположим, что существует предел lim Rn = R. Если R > 1, то данный ряд сходится, если n R < 1, то он расходится.

Учитывая расходимость гармонического ряда, поло n n= жим в признаке Куммера cn n. Тогда варианту Куммера можно преобразовать следующим образом:

an an Kn = n · - (n + 1) = n · - 1 - 1 = Rn - 1.

an+1 an+ Таким образом, варианты Раабе и Куммера связаны равенством Kn Rn - 1. Поэтому признак Раабе является следствием признака Куммера.

Теорема 79 (признак Бертрана6). Пусть an стро n= го положительный ряд. Образуем последовательность (Bn) n= с общим членом an Bn = ln n · n · - 1 - 1, an+ назывaемую вариантой Бертрана, и предположим, что существу ет предел B = lim Bn. Тогда при B > 1 данный ряд сходится, а n при B < 1 расходится.

Можно показать, что ряд n · ln n n= Раабе Йозеф Людвиг (1801 1859) швейцарский математик.

Бертран Жозеф Луи Франсуа (1822 1900) французский математик.

§ 2. Признаки сходимости и расходимости расходится7, поэтому в признаке Куммера имеем право положить cn := n · ln n. Найдем зависимость между вариантами Куммера и Бертрана:

an Kn = n · ln n · - (n + 1) · ln(n + 1) = an+ an n = n · ln n · - (n + 1) · ln n + (n + 1) · ln = an+1 n + n+ an = ln n · n · - 1 - 1 - ln 1 + = Bn - 1 + n, an+1 n где (n) бесконечно малая последовательность. Таким образом, n= в пределе получим K = B - 1, поэтому признак Бертрана является следствием признака Куммера.

Теорема 80 (признак Гаусса8). Пусть an строго n= положительный ряд. Предположим, что существуют постоянные an, µ R, R+ такие, что отношение может быть an+ представлено в виде an µ = + + O при n. (4.20) an+1 n n1+ Тогда при > 1 данный ряд сходится, а при < 1 расходится.

Если же = 1, то данный ряд сходится при µ > 1 и расходится при µ 1.

Переходя в (4.20) к пределу при n, получим an lim =, n an+ поэтому при = 1 признак Гаусса является следствием признака Это утверждение является примером на применение весьма эффектного интегрального признака сходимости рядов, который будет установлен в гла ве 11, и его можно сформулировать следующим образом: если функция f : [1, +) - R+ не возрастает, то интеграл f(x)dx и ряд f(n) либо 1 n= оба сходятся, либо оба расходятся.

Гаусс Карл Фридрих (1777 1855) выдающийся немецкий математик.

130 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Даламбера. В случае = 1 из равенства (4.20) можно выразить ва рианту Раабе an Rn = n · - 1 = µ + O при n. (4.21) an+1 n Переходя здесь к пределу при n, получим R = µ, поэтому при µ = 1 признак Гаусса является следствием признака Раабе. И наконец, в случае = µ = 1 из равенства (4.21) можно выразить варианту Бертрана an ln n Bn = ln n · n · - 1 - 1 = O при n.

an+1 n Переходя здесь к пределу при n, получим B = 0 < 1 и, значит, данный ряд расходится в силу признака Бертрана.

§ 3. Исследование на сходимость произвольных числовых рядов 1. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов Здесь будут рассмотрены произвольные ряды с вещественными или комплексными членами. Как мы увидим, существуют две ос новные причины, от которых зависит ответ на вопрос о сходимости числовых рядов. Первая причина скорость стремления к нулю последовательности членов данного ряда. Вторая причина частич ное взаимное уничтожение членов данного ряда, имеющих проти воположные знаки. В зависимости от этих причин различаются ти пы сходимости числовых рядов: абсолютная и условная. Некоторые свойства сходящихся рядов различны в зависимости от того, какой тип сходимости имеет место для этих рядов.

Определение 97. Числовой ряд cn называется абсолютно n= сходящимся, если сходится ряд |cn|, составленный из модулей n= членов исходного ряда.

§ 3. Исследование на сходимость Так как |cn| = cn cn 0, то для положительных рядов по нятие абсолютной сходимости совпадает с понятием сходимости. Для других типов рядов эти понятия, вообще говоря, различны. Справед лива, однако, следующая теорема.

Теорема 81. Если ряд cn сходится абсолютно, то он n= сходится.

Надо показать, что из сходимости ряда |cn| вытекает схо n= димость ряда cn. Применяя критерий Коши сходимости ряда n= |cn|, заключаем, что должно выполняться следующее условие:

n= n+p > 0 n N n n p N : |ck|.

k=n+ Отсюда, используя неравенство треугольника, заключаем, что при тех же значениях n и p выполняются следующие неравенства:

n+p n+p ck |ck|, k=n+ k=n+ т. е. условие критерия Коши выполнено и для ряда cn. Значит, n= и он сходится.

Замечание. Доказанная теорема означает, что абсолютная сходи мость числовых рядов есть частный случай сходимости. Для исследования ряда9 zn на абсолютную сходимость надо взять ряд |zn| и приме нить к нему какой-нибудь признак сходимости положительных рядов (на пример, один из тех, которые изложены в предыдущем параграфе). Если установлена абсолютная сходимость ряда zn, то тем самым установле на и его сходимость (по теореме 81). Если установлено, что ряд |zn| расходится, то для исследования на сходимость ряда zn требуется до полнительное исследование.

Здесь и до конца этого пункта для краткости при записи рядов опущены индексы суммирования.

132 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Теорема 82. Абсолютная сходимость вещественного ряда an равносильна сходимости двух положительных рядов |an| + an |an| - an и. (4.22) 2 Если оба ряда (4.22) сходятся, то по теореме 65(b) должен |an| + an |an| - an сходиться такой ряд: + = |an|, т. е. ряд 2 an должен сходиться абсолютно.

Обратно, если сходится ряд |an|, то по теореме 81 сходится и ряд an, а согласно теореме 65(b) сходятся ряды |an| + an |an| - an и.

2 Теорема 83. Абсолютная сходимость комплексного ряда cn равносильна абсолютной сходимости двух вещественных рядов Re cn и Im cn.

Обозначим cn = an + ibn, где an = Re cn, bn = Im cn. Пред положим, что ряд |cn| сходится. Из неравенств 0 |an| |cn| и 0 |bn| |cn|, согласно признаку сравнения, заключаем, что сходятся ряды |an| и |bn|.

Обратно, пусть ряды |an| и |bn| сходятся. Так как cn = an + ibn, то отсюда в силу неравенства треугольника находим:

|cn| |an| + |bn|. Опять применяя признак сравнения, заключаем, что и ряд |cn| сходится.

Определение 98. Ряд cn называется условно сходящимся, если он сходится, а ряд |cn| расходится.

Теорема 84. Если вещественный ряд an условно сходится, |an| + an |an| - an то ряды и оба расходятся.

2 Дано, что ряд an сходится, а ряд |an| расходится.

|an| + an |an| - an Если предположить, что ряды и сходят 2 ся, то их сумма, т. е. ряд |an|, тоже будет сходиться, что противо § 3. Исследование на сходимость - an |an| + an |an| речит условию. Если ряд сходится, а ряд 2 - an |an| + an |an| расходится, то ряд - an = должен 2 сходиться. Получено противоречие. Аналогично можно получить - an |an| противоречие, предполагая, что ряд сходится, а ряд |an| + an расходится. Таким образом, остается единственная воз можность, a именно та, которая указана в формулировке теоре мы.

2. Признак Лейбница Определение 99. Вещественный ряд называется знакопере менным, если не все его ненулевые члены имеют одинаковые зна ки. Знакопеременный ряд называется знакочередующимся, если его можно представить в виде (-1)n-1an = a1 - a2 + a3 - a4 +... + (-1)n-1an +..., (4.23) n= где все an имеют одинаковые знаки.

Теорема 85 (признак Лейбница). Если an n=1 невозрас тающая последовательность положительных чисел, для которой lim an = 0, то знакочередующийся ряд (-1)n-1an сходится, а n n= сумма любого его остатка удовлетворяет неравенству (-1)k-1ak an.

k=n n Пусть sn := ak n-я частичная сумма ряда (4.23). Пола k= гая n = 2k + 2, имеем s2k+2 = (a1 -a2)+(a3 -a4)+...+(a2k-1 -a2k)+(a2k+1 -a2k+2) s2k, 134 Глава 4. Числовые ряды и их суммы так как a - a2k+2 0 в силу невозрастания последовательно 2k+ сти an n=1. Таким образом, имеем (s2n), т. е. последовательность s2n n=1 не убывает. Записывая s2k+2 в другой форме, находим s2k+2 = a1 - (a2 - a3) -... - (a2k - a2k+1) - a2k+2 a1, так как все вычитаемые числа неотрицательны. Итак, последователь ность s2n n=1 не убывает и ограничена сверху, поэтому она сходит ся, т. е. lim s2n = s a1. Далее, имеем s2n+1 = s2n + a2n+1, а так n как lim a2n+1 = 0, то lim s2n+1 = lim s2n = s. Для любого n N n n n справедливы неравенства s2[n 2] sn s2[n 2]+1, (4.24) где [x] целая часть числа x. Переходя в (4.24) к пределу при n, получим lim sn = s, т. е. ряд (4.23) сходится к сумме s.

n Кроме того, установлено, что s a1. Применяя это неравенство к (n - 1)-му остатку данного ряда, т. е. к знакочередующемуся ряду (-1)k-1ak, заключаем, что и он сходится, причем k=n (-1)k-1ak an.

k=n Замечания 1. Сумму s сходящегося ряда можно вычислить прибли женно, полагая s sn-1. Чтобы оценить погрешность этого прибли женного равенства, запишем сначала точное равенство s = sn-1 + rn-1, где rn-1 сумма (n - 1)-го остатка. Для знакочередующихся рядов в силу признака Лейбница10 имеем |rn-1| an, что и дает искомую оценку погрешности.

2. Признак Лейбница позволяет, исходя из известных расходящихся по ложительных рядов, строить знакочередующиеся ряды, сходящиеся услов но. Рассмотрим, например, обобщенный гармонический ряд 1 1 1 = 1 + + + +.... (4.25) n 2 3 n= Лйбниц Готфрид Вильгельм (1646 1716) знаменитый немецкий матема тик, один из создателей математического анализа.

§ 3. Исследование на сходимость При > 0 последовательность (1 n), монотонно убывая, стремится n= к нулю. Поэтому для знакочередующегося ряда 1 1 1 (-1)n-1 = 1 - + - +... (4.26) n 2 3 n= при > 0 выполнены все условия признака Лейбница. Значит, этот ряд сходится. Учитывая, что ряд (4.25) при > 1 сходится, а при 0 < он расходится, заключаем, что ряд (4.26) при > 1 сходится абсолютно, а при 0 < 1 условно. В дальнейшем будет показано, что в частном 1 1 случае = 1 справедливо равенство ln 2 = 1 - + - +....

2 3 3. Преобразование Абеля. Неравенства Абеля Pассмотрим одно весьма полезное преобразование конечных сумм.

Теорема 86 (преобразование Абеля11). Для любых конечных последовательностей (ak)n и (bk)n имеем k=1 k= n n- akbk = anBn + (ak - ak-1)Bk, (4.27) k=1 k= где обозначено Bk := b1 + b2 +... + bk.

Полагая B0 := 0, имеем b1 = B1 - B0, b2 = B2 - B1,..., bn = Bn - Bn-1.

Учитывая эти равенства, преобразуем левую часть (4.27):

n n n n akbk = ak(Bk - Bk-1) = akBk - akBk-1 = k=1 k=1 k=1 k= n-1 n n-1 n- = anBn + akBk - akBk-1 = anBn + akBk - ak+1Bk = k=1 k=2 k=1 k= n- = anBn + (ak - ak+1)Bk.

k= Абель Нильс Хенрик (1802 1829) норвежский математик.

136 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Таким образом, получили правую часть (4.27).

Замечание. Отметим, что равенство (4.27) иногда называется фор мулой суммирования по частям.

Теорема 87 (неравенство Абеля). Предположим, что a1 a2... an > 0 и |Bk| = |b1 +... + bk| B R+ для всех k = 1,..., n. Тогда n ak · bk B · a1. (4.28) k= Используя равенство (4.27)), имеем n n- a ak · bk = · Bn + (ak - ak+1)Bk n k=1 k= n-1 n- |an · Bn| + |(ak - ak+1)Bk| = an|Bn| + (ak - ak+1)|Bk| k=1 k= n- anB + (ak - ak+1)B = k= = (an + a1 - a2 + a2 - a3 +... + an-1 - an)B = B · a1.

Отсюда непосредственно следует неравенство (4.28).

Замечание. Если предположить, что выполняются неравенства 0 < a1 a2... an, то с помощью аналогичных оценок можно получить еще одно неравенство Абеля, а именно:

n ak · bk B · (a1 + 2an).

k= 4. Признаки Дирихле и Абеля сходимости рядов Приведем здесь еще два признака, с помощью которых можно исследовать ряды не только на абсолютную, но и на условную сходи мость.

§ 3. Исследование на сходимость Теорема 88 (признак Дирихле12). Пусть (an) моно n= тонная и стремящаяся к нулю последовательность вещественных чисел. Предположим, что последовательность частичных сумм ря да bn ограничена. Тогда ряд anbn сходится.

n=1 n= По условию n B R+ n N : bk B.

k= Отсюда для любого отрезка ряда bk имеем k= n+p n n+p bk = bk - bk k=n+1 k=1 k= n+p n bk + bk B + B = 2B. (4.29) k=1 k= Предполагая для определенности, что последовательность (an) не возрастает, имеем > 0 n N n n : 0 < an.

2B При тех же значениях n, используя неравенства (4.28) и (4.29), находим n+p n+p akbk an+1 · sup bk an+1 · 2B · 2B =.

k=n+1 k=n+1 2B p Таким образом, для ряда akbk выполнено условие критерия k= Коши, значит, этот ряд сходится.

Пример. Рассмотрим ряд (-1)n-1an, где (an) 0. Полагая n= bn := (-1)n-1, имеем: |b1 +... + bn| = |1 - 1 +... + (-1)n-1| 1. Таким Дирихл Петер Густав Лежён (1805 1859) немецкий математик.

е 138 Глава 4. Числовые ряды и их суммы образом, для данного ряда выполнены все условия признака Дирихле, по этому он сходится. Иначе говоря, признак Лейбница является следствием признака Дирихле. А так как признак Лейбница может быть использован для исследования рядов на условную сходимость, то и признак Дирихле может быть использован для этой же цели.

Теорема 89 (признак Абеля). Если последовательность (an) монотонна и ограничена, а ряд bn сходится, то и ряд n= n= anbn сходится.

n= Так как последовательность (an) монотонна и ограниче n= на, то она сходится: lim an = a R. Так как ряд bn сходится, n n= то последовательность его частичных сумм сходится, а значит, она ограничена. Отсюда на основании признака Дирихле заключаем, что ряд (an - a)bn сходится. Следовательно, должен сходиться и ряд n= (an - a)bn + a bn = anbn, n=1 n=1 n= что и требовалось.

- 2-n Пример. Ряд (-1)n сходится, так как последовательность n n= (-1)n с общим членом an = 1 - 2-n монотонна и ограничена, а ряд n n= 1 - 2-n сходится (по признаку Лейбница). Так как при n, а n n ряд расходится, то сходимость данного ряда условная.

n n= § 4. Перестановки членов ряда.

Умножение рядов 1. Понятие о перестановке членов ряда Переставляя некоторые члены данного числового ряда, будем по лучать, вообще говоря, новые ряды. Если перестановка касается толь § 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов ко конечного числа членов данного ряда, то с точки зрения свойств сходимости и суммы новый ряд не отличается от исходного. Это сле дует из свойства коммутативности операции сложения13, благодаря которому все члены последовательностей частичных сумм обоих ря дов, имеющие достаточно большие номера, равны между собой. Если же перестановка касается бесконечного числа членов данного ряда, то ситуация усложняется и потому требует более детального изуче ния. Начнем с определения понятия перестановки членов ряда.

Определение 100. Говорят, что ряд bk можно получить k= из ряда an перестановкой членов, если существует биектив n= ное отображение : N - N такое, что k N : bk = an, где n = (k).

Так как для биективного отображения существует обратное -1 = : N - N, то n N будет k = (n) и, значит, в обозначе ниях из определения 100 ряд an также можно получить из ряда n= bk перестановкой членов.

k= 2. Перестановки членов абсолютно сходящихся рядов Теорема 90. Если ряд an сходится абсолютно к сумме s, n= то ряд bk, полученный из исходного ряда перестановкой членов, k= сходится абсолютно к той же сумме s.

Предположим сначала, что an положительный ряд.

n= Тогда ряд bk тоже положительный, и пусть его сумма. Далее, k= Обращаю внимание читателя на то, что свойство коммутативности примени мо только к суммам конечного числа слагаемых.

140 Глава 4. Числовые ряды и их суммы для любого n N имеем n n N bk = a(k) aj s, (4.30) k=1 k=1 j= где N := max{(1), (2),..., (n)}. Таким образом, частичные сум мы ряда bk ограничены сверху числом s. Значит, этот ряд схо k= дится. Переходя в (4.30) к пределу при n, получим s.

Так как ряд an также можно получить из ряда bk пере n=1 k= становкой его членов, то, рассуждая аналогично, можно заключить, что s. Таким образом, = s.

Предположим теперь, что an и bk вещественные и зна n=1 k= копеременные ряды. Так как ряд an сходится абсолютно, то по n= |an| + an |an| - an теореме 82 положительные ряды и схо 2 n=1 n= дятся. Введем обозначения для их сумм:

|an| + an |an| - an s+ =, s- =.

2 n=1 n= В этих обозначениях s = s+ - s-. Если ряд bk получен из ряда k= |bk| ± bk an перестановкой его членов, то ряды получаются n=1 k= |an| ± an той же перестановкой из рядов соответственно. При n= |bk| ± bk меняя доказанную часть теоремы, заключаем, что ряды k= сходятся, причем |bk| + bk |bk| - bk s+ = s- =.

2 k=1 k= Отсюда следует, что ряд bk сходится абсолютно, а его сумма рав k= на s+ - s- = s.

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов Если абсолютно сходящийся ряд s = an комплексный, то n= оба вещественных ряда Re s = Re an и Im s = Im an тоже n=1 n= сходятся абсолютно. Если ряд bk получен из ряда an переста k=1 n= новкой его членов, то ряды Re bk и Im bk получены соответ k=1 k= ственно из рядов Re an и Im an с помощью той же переста n=1 n= новки членов. Применяя доказанную часть теоремы, заключаем, что оба новыx ряда сходятся абсолютно, причем Re s = Re bk, Im s = k= = Im bk. Отсюда следует, что ряд bk = Re bk + i Im bk k=1 k=1 k=1 k= сходится абсолютно к сумме Re s + i Im s = s.

Замечание. Доказанная теорема означает, что относительно переста новок членов абсолютно сходящиеся ряды ведут себя аналогично конечным суммам: от перестановки членов абсолютная сходимость ряда не нару шается, а его сумма не изменяется.

3. Перестановки членов условно сходящихся рядов Поведение условно сходящихся рядов при перестановках их чле нов резко отличается от поведения абсолютно сходящихся рядов при перестановках их членов и описывается следующей теоремой, восхо дящей к Б. Риману14.

Теорема 91 (теорема об условно сходящихся рядах).

Пусть an условно сходящийся ряд с вещественными членами, и пусть произвольно заданы, R такие, что. Сущест вует перестановка данного ряда такая, что для последовательно сти n n=1 частичных сумм ряда, полученного в результате этой перестановки, справедливы следующие равенства:

lim n =, lim n =. (4.31) n n Риман Бернгард (1826 1866) знаменитый немецкий математик.

142 Глава 4. Числовые ряды и их суммы Так как добавление или отбрасывание нулевых членов не вли яет ни на сходимость ряда, ни на его сумму, то будем считать, что все члены данного ряда an отличны от нуля. Так как ряд an сходится условно, то в силу теоремы 84 оба ряда:

|an| + an |an| - an и (4.32) 2 расходятся. Поскольку эти ряды положительные, то их расходимость означает, что суммы обоих этих рядов равны (+). Обозначим те перь через (p1, p2, p3,...) подпоследовательность последователь ности (a1, a2, a3,...), состоящую из всех положительных членов ряда an, а через (q1, q2, q,...) последовательность модулей отрицательных членов ряда an, взятых в том же порядке, что и в данном ряде. Так как данный ряд сходится, то в силу необходимого признака сходимости при n должно быть: an 0 и, значит, pn 0 и qn 0.

Ряды (4.32) отличаются соответственно от рядов pn и qn только наличием ну членов, левых поэтому и эти последние ряды рас ходятся, причем pn = + и qn = +.

Построим теперь такие возрастающие последовательности нату ральных чисел (mn) и (kn), что ряд n=1 n= p1 +... + pm - q1 -... - qk + pm +1 +... + 1 1 + pm - qk +1 -... - qk +..., (4.33) 2 1 полученный, очевидно, из ряда an перестановкой его членов, будет удовлетворять условию (4.31).

С этой целью, учитывая неравенство, возьмем две после довательности (n) и (n) вещественных чисел так, чтобы n=1 n= выполнялись следующие два условия:

lim n =, n n N : n n и lim n =.

n Пусть m1, k1 наименьшие натуральные числа такие, что p1 +... + pm > 1, p1 +... + pm - q1 -... - qk < 1. (4.34) 1 1 § 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов Пусть m2, k2 наименьшие натуральные числа такие, что p1 +... + pm - q1 -... - qk + pm +1 +... + pm > 2, 1 1 1 p1 +... + pm - q1 -... - qk + pm +1 +... + pm 1 1 1 - qk +1 -... - qk < 2 (4.35) 1 и д. Этот процесс допускает неограниченное продолжение, так как т.

pn = + и qn = +. Так строится ряд (4.33) и очевидно, что он получен из ряда an перестановкой его членов.

Пусть (n) последовательность частичных сумм ряда n= (4.33). Обозначим (xn) и (yn) ее подпоследовательности, вы n=1 n= деленные по следующему принципу: последним слагаемым суммы xn пусть является pm, а последним слагаемым суммы yn (-qk ). Из n n (4.34) и (4.35) видно, что |xn - n| pm и |yn - n| qk. (4.36) n n Переходя здесь к пределу при n и учитывая, что при этом pm 0, qn 0, заключаем, что n m lim xn =, lim yn =.

n n И наконец, lim n = lim sup{n, n+1,...} = lim sup {x, x+1,...} = n n n m n = lim x =, lim n = lim inf{n, n+1,...} = lim inf {yµ, yµ+1,...} = n n kµ n n = lim yµ =.

µ Таким образом, равенства (4.31) выполняются.

Замечания. 1. В частном случае = R приведенное выше дока зательство можно значительно упростить, полагая n =.

n 2. Из доказанной теоремы следует, в частности, что если наперед за дать = R, то существует перестановка любого условно сходящегося ряда такая, что ряд, полученный в результате этой перестановки, будет иметь сумму.

144 Глава 4. Числовые ряды и их суммы 4. Умножение рядов Прежде всего необходимо ответить на вопрос: что следует пони мать под произведением рядов an и bn ? Пытаясь перемножать ряды аналогично тому, как перемножаются конечные суммы, прихо дим к равенству am · bn = am · bn, (4.37) mN nN m,nN где в правой части находится сумма бесконечного множества слага емых вида am · bn. В связи с этим возникают такие вопросы: как упорядочивать слагаемые в правой части (4.37) и не следует ли их как-то сгруппировать, поскольку все это может влиять на сходимость суммы, а в случае сходимости на ee величину? Опуская рассмотрение этих вопросoв в общем виде, рассмотрим здесь один наиболее часто встречающийся способ упорядочивания и группировки, предложен ный О. Коши.

Определение 101. Произведением (по Коши) рядов15 ak k= и bk называется ряд ck с общим членом k=0 k= ck := a0bk + a1bk-1 +... + akb0.

В развернутом виде это определение можно записать так:

(a0 + a1 + a2 +...) · (b0 + b1 + b2 +...) = = a0b0 + (a0b1 + a1b0) + (a0b2 + a1b1 + a2b0) +.... (4.38) Для частичных сумм рядов из (4.38) введем следующие обозначения:

n n n sn := ak, n := bk, n := ck. (4.39) k=0 k=0 k= Обозначим через s,, суммы соответствующих рядов, если эти суммы сущеcтвуют. Поскольку равенство sn · n = n, вообще го воря, не выполняется, то не ясно, будет ли справедливым равенство s · =. Ответ на этот вопрос содержится в следующей теореме.

В этом контексте удобнее начинать нумерацию членов ряда с нуля, что в принципе не существенно.

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов Теорема 92 (Мертенс). Предположим, что ряды ak и bk k=0 k= сходятся к суммам s и соответственно, причем хотя бы один из этих рядов сходится абсолютно. Тогда произведение (по Коши) этих рядов, т. е. ряд ck из определения 101, сходится к сумме k= s ·.

Будем использовать обозначения (4.39), и тогда нам предстоит доказать равенство = s ·. Для определенности предположим, что ряд ak сходится абсолютно. Полагая n := n -, преобразуем k= частичную сумму ряда-произведения:

n n = ck = a0b0 + (a0b1 + a1b0) +... + (a0bn + a1bn +... + anb0) = k= = a0n + a1n-1 +... + an0 = = a0( + n) + a1( + n-1) +... + an( + 0) = = sn + (a0n + a1n-1 +... + an0) = sn + n, где обозначено n := a0n + a1n-1 +... + an0. Таким образом, имеем: n = sn · + n, и для доказательства достаточно убедиться в том, что lim n = 0.

n Обозначим = | ak|. Имеем R+, поскольку ряд s = ak k=0 k= сходится абсолютно. Так как lim n = lim (n - ) = 0, n n то > 0 N N n N : |n|.

При тех же значениях n имеем |n| = |(0an +... + N an-N ) + (N+1an-N-1 +... + na0)| |0an +... + N an-N | + |N+1an-N-1 +... + na0)| 146 Глава 4. Числовые ряды и их суммы |0an +... + N an-N | + ·.

Переходя здесь к пределу при n, получим 0 lim |n| ·, n откуда при +0 находим lim |n| = 0 и, значит, lim n = 0.

n n Замечание. Покажем на примере, что условие абсолютной сходимо сти в теореме 92 существенно. С этой целью условно сходящийся ряд (-1)n 1 1 = 1 - + - +...

n + 1 2 3 n= возведем в квадрат (-1)n 1 1 1 1 1 = 1 - + + + · + n + 1 2 2 3 2 2 n= 1 1 1 1 1 - + · + · + +....

4 3 2 2 3 Обозначая символом cn общий член этого ряда-произведения, имеем n cn = (-1)n.

(n - k + 1)(k + 1) k= Так как среднее геометрическое не превосходит среднего арифметического, то имеем неравенство n (n - k + 1)(k + 1) + 1, используя которое, находим n n n 1 1 |cn| = = 1 = n n + (n - k + 1)(k + 1) + k=0 k=0 k= 2(n + 1) = 2 при n.

n + Таким образом, для ряда cn не выполнен необходимый признак схо n= димости, значит, он расходится. Иначе говоря, не выполнено заключение теоремы 92.

§ 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов Задачи к главе 4.1. Вычислить суммы следующих рядов, предварительно исследовав их на сходимость:

1 1 1 (-1)n- a) 1 - + - +... + +... ;

2 4 8 2n- 1 1 1 1 1 b) + + + +... + + +...;

2 3 22 32 2n 3n 1 3 5 2n - c) + + +... + +...;

2 22 23 2n 1 4 d) + +... + +...;

4 7 (3n - 2)(3n + 1) e) q cos + q2 cos 2 +... + qn cos n +..., |q| < 1;

f) q sin + q2 sin 2 +... + qn sin n +..., |q| < 1;

g) ( n + 2 - 2 n + 1 + n).

n= 4.2. Исследовать на сходимость ряды sin nx и cos nx.

n=1 n= 4.3. Используя критерий Коши, исследовать на сходимость следующие ряды:

a1 an a) a0 + +... + +..., где |an| < 10;

10 10n sin x sin 2x sin nx b) + +... + +...;

2 22 2n - cos(n + 1)x cos nx c) ;

n n= cos x cos x2 cos xn d) + +... + +...;

12 22 n 1 1 e) 1 + + +... + +...;

2 3 n 1 1 1 1 f) 1 + - + + - +...;

2 3 4 5 1 1 g) + +... + +....

1 · 2 2 · 3 n · (n + 1) 148 Глава 4. Числовые ряды и их суммы 4.4. Исследовать на сходимость следующие положительные ряды:

n 4 + 3k (n!)2 n!

a) ;

b) ;

c) ;

2 + 4k (2n)! nn n=1 k=0 n=1 n= n -n - 1 3nn! (n!) n d) ;

e) ;

f) ;

n + 1 nn 2n n=1 n=1 n= (999 + n)! n2 g) ;

h) ;

i) tg ;

999!(2n - 1)!! (2 + )n n n=1 n=1 n= n nn-1 1 j) ;

k) ;

l) ;

n+ n n n=1 2 n=2 ln n n=2 ln n (2n2 + n + 1) nn+ n n5 2nn!

m) ;

n) ;

o) ;

2n + 3n nn (n + )n n=1 n=1 n= n n +n - 1 1000n n p) ;

q) sin ;

r) ;

n + 1 2n n!

n=2 n=1 n= n 1 1 n 2k+ s) (2 - 2 ) ;

t) ;

u) an, 2n + 3n n=1 k=1 n=1 n=, если n = m2, n где an =, если n = m2.

n 4.5. Исследовать на сходимость следующие ряды:

2 + (-1)n n3[ 2 + (-1)n]n a) ;

b) ;

2n 3n n=1 n= a cos2 n n!

c) ;

d) ;

2n n=1 n=1 (2 + 1)(2 + 2)... (2 + n) 2n-ln n 1 + cos n n!n-p e) ;

f), (q > 0) ;

2 + cos n q(q + 1)... (q + n) n= n= n!en a(a + d) a(a + d)(a + 2d) g) ;

h) + +... ;

nn+p b(b + d) b(b + d)(b + 2d) n= p - 1)!! p(p + 1)... (p + n - 1) (2n i) ;

j) ;

(2n)!! q(q + 1)... (q + n - 1) n=1 n= p - 1)!! 1 p(p + 1)... (p + n - 1) (2n k) ;

l).

(2n)!! nq nqn!

n=1 n= 4.6. Пусть an сходящийся строго положительный ряд. Доказать, n= что lim nan = 0.

n § 4. Перестановки членов ряда. Умножение рядов 4.7. Пусть an сходящийся строго положительный ряд, а sn := n= sn := a1 +... + an. Доказать, что ряд расходится.

n n= 4.8. Исследовать на сходимость ряд an, если n= a) an = + 1 - ;

n n n + 1 - n b) an = ;

n n c) an = ( n - 1)n ;

d) an = где z C.

1 + zn 4.9. Доказать, что из сходимости положительного ряда an следует n= an сходимость ряда.

n n= 4.10. Исследовать на сходимость произведение следующих двух сходя щихся рядов:

(-1)n-1 (-1)n- и.

n n n=1 n= 4.11. Следующие ряды исследовать на абсолютную и условную сходи мость:

p (-1)n (2n - 1)!!

a) ;

b) (-1)n-1 ;

(2n)!!

n + n=1 n= (-1)n c) ;

d) sin + n sin ;

n2 + sin2 n 4 n n=1 n= n(n-1) e) cos n2 + n ;

f) (-1) · ;

n n=1 n= (-1)n (-1)n+1 ln2(n + 1) g) ;

h) ;

n n 2n + 3n n=1 n= (-1)n-1 · n (-1)n(n-1) 2 i) ;

j) 1 - ;

5n 2 - n2 n n n n=1 n= (-1)n-1 k) ;

l) (-1)n+1 ln 1 + ;

(n + 1)a2n n n=1 n= n - 1 ln n m) (-1)n+1 arccos ;

n) (-1)n ;

n + 1 n ln ln n n=1 n= 150 Глава 4. Числовые ряды и их суммы (-1)n(n + 1)n-1 (-1)n(2n)!!

o) ;

p) ;

(2n + 3)n+1 (n + 1)n n=1 n= n 4 + 5 · (-1)n (-1)n q) ;

r) ;

n n=1 n=1 n (n + 1) cos 2n cos3 n s) ;

t) ;

n3 - ln n n n=1 n= ln3 n n sin n u) sin ;

v) ;

n 6 n n=1 n= n2 + 3n + 1 - n2 - 3n + w).

(-1)n n= Глава ПРЕДЕЛЫ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ § 1. Пределы функций 1. Определения и примеры Под функциями будем понимать отображения числовых мно жеств. Точнее, функцией вещественного переменного будем называть всякое отображение вида f : X - R, где X R. (5.1) Функцией комплексного переменного будем называть всякое отобра жение вида f : X - C, где X C. (5.2) Чтобы ввести понятие предела функции (5.1) или (5.2) при x a, необходимо предположить, что a точка прикосновения множества X. Напомним, что a называется точкой прикосновения множества X, если для любой окрестности U(a) точки a выполняется условие:

X U(a) =. Здесь a либо число, либо один из трех элемен тов:, +, -. Если a не является числом, то под окрестностью точки a понимается окрестность в топологии соответствующей рас ширенной системы чисел.

Определение 102. Пусть f : X - Y функция, a и A точки прикосновения множеств X и Y соответственно. Говорят, что предел функции f при x a, x X равен A, если для любой окрестности V (a) точки A существует окрестность U(a) точки a такая, что f(U(a) X) V (A).

Обозначается это так: lim f(x) = A. Если нет опасности путани xa, xX цы, то применяются более краткие обозначения lim f(x) = A либо xa lim f(x) = A. Используя эти обозначения, перепишем определение 152 Глава 5. Пределы и непрерывность функций 102 в сокращенном виде:

def lim f(x) = A V (A) U(a) : f(U(a) X) V (A). (5.3) xa, xX Определение 102 будем называть определением на языке окрест ностей. Оно является наиболее общим, так как имеет смысл для произвольных топологических пространств X и Y. В случае, когда a и A числа, в качестве окрестностей можно брать (открытые или замкнутые) круги (интервалы), например множества |y - A| и |x-a|, где и положительные числа. В таких случаях полу чаем следующeе определение, равносильное определению 102 и часто называемое определением на языке -.

Определение 103. Говорят, что предел функции f : X - Y при x a равен A, если для любого R+ существует такое R+, что x X из неравенства |x - a| вытекает неравен ство |f(x) - A|.

Перепишем это определение в сокращенном виде def lim f(x) = A xa, xX def > 0 > 0 x X : |x - a| |f(x) - A|, (5.4) где a, A, > 0, > 0 чис Y ла. Если f функция веще A - ственного переменного, то опре A A + деление (5.4) можно геометри чески истолковать следующим образом (см. рис. 14). Для лю бого > 0 существует > 0 та кое, что если x [a-, a+], то O a - a a + X расположенная над этим отрез ком часть графика функции f должна лежать в горизонталь Рис. 14. К определению ной полосе A - y A +.

Числовая последователь ность есть частный случай функции (X = N). Данное в главе понятие предела последовательности есть частный случай понятия предела функции (при x +, x N).

§ 1. Пределы функций Рассмотрим несколько примеров на применение определения понятия предела функции.

1) Доказать, что lim x · sin = 0.

x0, x x = Задавая > 0 и полагая =, при 0 < |x| имеем x 1 sin 0 · sin - 0 = |x| · |x| =, x x x т. е. · sin - 0.

x 2) Доказать, что lim f(x) = 0, где x x · sin 1 0,, x = f(x) = x 0, x = 0.

В отличие от предыдущего примера здесь переменной x разреше но принимать значение 0, и решение предыдущего примера проходит при |x|.

3) Пусть x · sin 1 0,, x = g(x) = x 1, x = 0.

Тогда lim g(x) не существует.

x Предположим, что lim g(x) = A R. Тогда по определению долж x но быть (0 ;

1) > 0 : |x| = |g(x) - A|. (5.5) Полагая в последнем неравенстве x = 0, получим: |1 - A|, откуда ввиду произвольной малости заключаем, что должно быть: A = 1. Но это невозможно, так как из неравенства (5.5) в пределе при x 0;

x = получаем: A < 1.

4) Покажем, что lim cos x = 1.

x Задавая произвольно (0, 2], решим неравенство | cos x - 1|, равносильное неравенству 2 x x sin 2 sin, откуда 2, 2 или -2 arcsin 2 x 2 arcsin 2.

Итак, достаточно положить := 2 arcsin 2.

154 Глава 5. Пределы и непрерывность функций x 5) Предел lim не существует.

x |x| x Предположим противное: lim = A R, т. е.

x |x| x (0, 1) > 0 x = 0 : |x| = - A.

|x| Из последнего неравенства соответственно при x > 0 и при x < 0 выте кают следующие неравенства: |1 - A| и |1 + A|. Используя их, находим 2 = 1 + 1 = (1 - A) + (1 + A) |1 - A| + |1 + A| + = 2.

Отсюда получаем: 1 противоречие.

2. Общие свойства пределов функций Теорема 93. (a) Если функция f : X - Y постоянная в некоторой окрестности точки a, то предел lim f(x) существует xa и равен этой постоянной.

(b) Если предел lim f(x) существует, то он единственный.

xa (c) Если предел lim f(x) = A число, то функция f ограничена xa в некоторой окрестности1 точки a.

(a) Пусть f(x) A для всех x U0 X, где U0 некото рая окрестность точки a. Взяв любую окрестность V (A) точки A и положив U(a) := U0, получим f(U0) = {A} V (A), т. е. выполнено условие определения 102.

(b) Предположим, что lim f(x) = A1 и lim f(x) = A2, причем xa xa A1 = A2. По свойству отделимости существуют окрестности V (A1) и V (A2) такие, что V (A1) V (A2) =. По определению 102 су ществует окрестность U(a) точки a такая, что x U(a) X будет f(x) V (A1) и f(x) V (A2). Отсюда получаем противоречие f(x) V (A1) V (A2) =.

(c) Функция f называется ограниченной (ограниченной сверху, ограниченной снизу) на множестве X, если соответствующим свойст вом ограниченности обладает множество ее значений f(X).

Или, как говорят, финально ограничена при x a.

§ 1. Пределы функций Задавая = 1, найдем окрестность U1(a) точки a такую, что x U1(a) X : |f(x) - A| 1.

Последнее равносильно неравенствам A - 1 f(x) A + 1. Таким образом, {f(x) | x U1(a) X} ограниченное множество.

3. Предел и неравенства В этом пункте будем предполагать, что f : X - R, X R, т. е. рассматривать только вещественные функции вещественного переменного.

Теорема 94. (a) Если lim f(x) = A и A > B (A < B), то xa существует окрестность U(a) точки a такая, что:

x U(a) X : f(x) > B (f(x) < B).

(b) Если lim f(x) = A, lim g(x) = B и f(x) g(x) в некоторой xa xa окрестности U0 точки a, то A B.

(c) Если в некоторой окрестности U0 точки a выполнены нера венства f(x) g(x) h(x) и если lim f(x) = lim h(x) = A, то xa xa lim g(x) = A.

xa (a) Пусть A > B. Выберем окрестность V (A) точки A в виде промежутка, не содержащего B. Тогда y V (A) : y > B. Так как lim f(x) = A, то xa U(a) x U(a) X : f(x) V (A) и, значит, f(x) > B. Аналогично можно рассмотреть случай A < B.

(b) Предположим противное: A > B. По свойству отделимости существуют непересекающиеся окрестности V (A) и V (B) точек A и B соответственно. Взяв эти окрестности в виде промежутков и учи тывая, что V (A) V (B) =, заключаем, что y1 V (A) y2 V (B) : y1 > y2.

156 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Найдем теперь окрестность U(a) U0 точки a такую, что f(x) V (A), x U(a) X :

g(x) V (B).

Отсюда следует неравенство f(x) > g(x), противоречащее условию.

(c) Зададим окрестность V (A) точки A в виде промежутка.

По определению предела имеем:

U1(a) x U1(a) X : f(x) V (A), U2(a) x U2(a) X : h(x) V (A).

Построим окрестность U(a) точки a, полагая U(a) := U0 U1(a) U2(a).

Тогда получим f(x) V (A), x U(a) X :

h(x) V (A).

Поскольку V (A) промежуток, то [f(x), h(x)] V (A), а так как g(x) [f(x), h(x)], то x U(a) X : g(x) V (A).

Таким образом, предел lim g(x) существует и равен A.

xa Теорема 95 ( первый замечательный предел ).

sin x Справeдливо следующее равенство: lim = 1.

x x Сначала предположим, что 0 < x <. На координатной плос кости (см. рис. 15) возьмем окружность с центром в точке O радиуса 1, и пусть x величина центрального угла AOB (в радианах).

Плоские фигуры на рис. 15 связаны очевидными соотношениями:

OAB сектор OAB OAC.

§ 1. Пределы функций Отсюда в силу свойства монотонности площади вытекают следующие неравенства для площадей этих фигур:

S OAB < Sсектора OAB < S OAC.

Вычислив и удвоив эти площади, получим следующие неравен ства:

sin x < x < tg x.

Из этих неравенств находим sin x cos x < < 1. (5.6) x Так как все три входящие в эти неравенства функции четные, то неравенства (5.6) справедливы и при 0 < |x| <. Учитывая, что lim cos x = 1 и lim 1 = 1, из (5.6) на основании теоремы 94(c) заклю x0 x чаем, что sin x lim = 1.

x x 4. Предел и арифметические операции Определение 104. Функция f : X - Y называется бесконеч но малой (б. м.) при x a, x X, если lim f(x) = 0.

xa, xX Например, функция f(x) x бесконечно малая при x 0. Так как 0 | sin x| |x|, то отсюда в силу теоремы 94(c) следует, что функция sin бесконечно малая при x 0.

Теорема 96. (a) Если функции f и g бесконечно малые при x a, то и функция f + g бесконечно малая при x a.

(b) Если функция f бесконечно малая при x a, а функ ция финально ограниченная при x a, то функция · f бесконечно малая при x a.

(c) Существование конечного предела lim f(x) = A равносиль xa но тому, что разность (x) := f(x) - A есть бесконечно малая функция при x a.

158 Глава 5. Пределы и непрерывность функций (a) Задавая R+, найдем окрестность U(a) точки a такую, что x X U(a) : |f(x)| и |g(x)|.

2 При тех же значениях переменной x имеем |f(x) + g(x)| |f(x) + |g(x)| + =.

2 Таким образом, lim [f(x) + g(x)] = 0.

xa (b) В силу финальной ограниченности функции имеем U0(a) M R+ x U0(a) X : |(x)| M.

Задавая R+, найдем такую окрестность U(a), что x U(a) X : |f(x)|.

M Положим, далее, U(a) := U0(a) X. Тогда x U(a) будем иметь |(x) · f(x)| = |(x)| · |f(x)| M · =.

M Таким образом, lim [(x) · f(x)] = 0.

xa (c) Запишем oпределение того, что lim f(x) = A:

xa R+ U(a) x U(a) X : |f(x) - A|.

Однако в такой же форме можно представить и определение того, что lim (x) = 0, где (x) = f(x) - A],.

xa Теорема 97. Пусть lim f(x) = A, lim g(x) = B, где A и B xa xa числа. Тогда:

(a) lim [f(x) + g(x)] = A + B ;

xa (b) lim [f(x) · g(x)] = A · B ;

xa f(x) A (c) lim =, если B = 0.

xa g(x) B § 1. Пределы функций (a) Так как lim f(x) = A, то (x) := f(x)- A б. м. при xa x a. Так как lim g(x) = B, то (x) := g(x)-B б. м. при x a.

xa Далее, функция f(x) + g(x) - A - B = [f(x) - A] + [g(x) - B] = (x) + (x) б. м. по теореме 96(a). Применяя теорему 96(c), заключаем, что lim [f(x) + g(x)] = A + B.

xa (b) Имеем f(x) = A + (x), g(x) = B + (x), где (x) и (x) б. м. при x a. Далее, имеем f(x)·g(x) = [A+(x)][B+(x)] = A·B+[A·(x)+B·(x)+(x)·(x)].

Функция в квадратных скобках б. м. как сумма трех б. м. при x a.

(c) Зададим R+. Найдем окрестность U(a) такую, что |B| |B| x U(a) X : |g(x) - B| min, ·.

2 При тех же значениях переменной x имеем |B| |B - g(x)| |B| - |g(x)|, |B| откуда |g(x)|. Используя полученные неравенства, находим 1 1 |B - g(x)| x U(a) X :

- = g(x) B |B · g(x)| |B|2 1 |B|2 · · · · =.

2 |B| · |g(x)| 2 |B| 1 Отсюда заключаем, что lim =. И наконец, используя дока xa g(x) B занную часть теоремы, имеем f(x) 1 1 A lim = lim f(x) · = A · =.

xa xa g(x) g(x) B B 160 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Определение 105. Функция f : X - Y называется бес конечно большой (б. б.) при x a ;

x X, если lim f(x) =, xa т. е. если E R+ U(a) x U(a) X : |f(x)| E. (5.7) Частными случаями бесконечно больших функций при x a являются такие, для которых lim f(x) = + и lim f(x) = -.

xa xa Сформулировать соответствующие определения в виде, анало гичном (5.7), предлагаем читателю.

Замечание. Отметим, что, вообще говоря, пределы одной и той же функции f при x a могут быть различными при различных значениях a. Одна и та же функция f в зависимости от выбора a может иметь конечный предел, быть бесконечно малой, бесконечно большой или вовсе не иметь предела. Поэтому, говоря о пределе функции, необходимо каждый раз указывать, к какой точке стремится ее аргумент. Дополним теорему 97(c) следующими фактами.

Теорема 98. Если функция f не обращается в нуль, то равно сильны следующие утверждения:

(a) функция f бесконечно большая при x a;

(b) функция бесконечно малая при x a.

f (a)(b) Зададим R+.

C По числу E := 1 найдем окрест B ность UE(a) такую, что x UE(a) X : |f(x)| E.

Отсюда находим x O A 1 1 = =, Рис. 15. К теореме f(x) |f(x)| E т. е. lim = 0.

xa f(x) (b)(a) Зададим E R+. По числу := 1 E найдем окрест ность U(a) такую, что x U(a) X :. При тех же f(x) § 1. Пределы функций значениях x |f(x)| = E, т. е. f – бесконечно большая функция при x a.

Замечание. Используя теорему 98, можно придать смысл, например, 1 следующим равенствам: := 0 и :=. В аналогичных ситуациях выражения,, 00, 0, 1, + - остаются неопределенными. Вычисление их конкретных числовых значе ний (так называемое раскрытие неопределенностей) одна из основных задач теории пределов.

5. Пределы монотонных функций Для монотонных функций имеют место факты, аналогичные тео реме существования предела монотонной последовательности.

Теорема 99. Пусть f : X - R, X R монотонная функ ция, и пусть a := inf X, b := sup X предельные точки множест ва X. Тогда существуют пределы lim f(x) и lim f(x).

xa, xb, x>a x

Если функция f ограничена сверху, то B число, в противном слу чае B = +. Покажем, что lim f(x) = B. С этой целью возьмем xb, x

Аналогично можно рассмотреть все остальные случаи.

162 Глава 5. Пределы и непрерывность функций 6. Предел композиции функций Теорема 100. Пусть заданы функции f : X - Y и g : Y - Z, для которых существуют пределы lim f(x) = A и lim g(y) = B.

xa, yA, xX yY Тогда lim g(f(x)) = B.

xa, xX Из условия теоремы следует, что a является точкой прикос новения множества X, а точка A точкой прикосновения множест ва Y. Зададим произвольную окрестность V (B) точки B. Так как lim g(y) = B при y A, y Y, то существует окрестность W (A) точ ки A такая, что g(W (A) Y ) V (B). Далее, так как lim f(x) = A при x a, x X, то существует окрестность U(a) точки a такая, что f(U(a) X) W (A). Учитывая, что f(U(a) X) f(X) Y, имеем f(U(a) X) W (A) Y. Действуя на последнее соотношение отбражением g, получим g(f(U(a) X)) g(W (A) Y ) V (B), т. е. lim g(f(x)) = B.

xa;

xX Следствие 1. Предположим, что:

(a) lim g(x) = A при x a, x X ;

(b) E X и a точка прикосновения множества E. Тогда lim g(y) = A при y a, y E.

Рассмотрим функцию f : E - X, определяемую равенством f(x) x для всех x E. Для нее имеем lim f(x) = lim x = a.

xa, xa xE Применяя теорему 100, получим lim g(y) = lim g(f(x)) = A.

ya, xa, yE xE § 1. Пределы функций Следствие 2. Пусть lim g(x) = A при x a, x X, и a предельная точка множества X. Если (xn) любая по n= следовательность точек xn X такая, что lim xn = a, то n lim g(xn) = A.

n Достаточно применить теорему 100 к композиции отображе ния f : N - X, где f : n - xn, и отображения g : X - R.

x Примеры. 1) Покажем, что lim 1 + = e.

n+ x Используя монотонность степенн и показательной функций, ой имеем [x] x [x]+ 1 1 1 + 1 + 1 +, (5.8) [x] + 1 x [x] где [x] целая часть числа x. Правая часть (5.8) есть композиция n+1 nфунк 1 ций g(n) := 1 + и f(x) := [x]. Так как lim 1 + = e n n n и lim [x] = +, то x+ [x]+ lim 1 + = lim g(f(x)) = e.

x+ x+ [x] Аналогично можно показать, что и левая часть неравенств (5.8) стремится к e. Переходя в неравенствах (5.8) к xпределу, получим требуемое.

2) Покажем, что lim 1 + = e.

x x Имеем x -t t 1 1 lim 1 + = lim 1 - = lim 1 + = x- t+ t+ - x t t y+ = lim 1 + = e.

y+ y x 3) Покажем, что lim 1 + = e.

x x Имеем |x| x -|x| 1 1 1 + 1 + 1 +.

|x| x -|x| x Так как крайние члены этих неравенств стремятся к e, то и 1 + x стремится к e.

164 Глава 5. Пределы и непрерывность функций 4) Покажем, что lim (1 + t)1 t = e.

t Используя пример 3), имеем:

x lim (1 + t)1 t = lim 1 + = e.

t0 x x sin ax 5) Покажем, что lim = a.

x x При a = 0 утверждение очевидно. Если же a = 0, то имеем sin ax sin t sin t lim = lim = a · lim = a.

x0 t0 t x t a t 7. Критерий Коши существования предела функции Теорема 101 (критерий Коши). Существование конечного предела функции f : X - Y при x a, x X равносильно вы полнению следующего условия:

R U(a) x, x U(a) X : |f(x ) - f(x )|. (5.9) Предположим, что предел lim f(x) = A число. Задавая xa, xE R+, найдем окрестность U(a) точки a такую, что x U(a) X : |f(x) - A|.

Отсюда, используя неравенство треугольника, x, x U(a) X имеем |f(x ) - f(x )| |f(x ) - A| + |A - f(x )| + =.

2 Таким образом, условие (5.9) выполнено.

Обратно, предположим, что условие (5.9) выполнено. Найдем убывающую последовательность окрестностей U1(a) U2(a)... Un(a)..., § 1. Пределы функций такую, что n N x, x Un(a) X : |f(x ) - f(x )|.

n Так как все множества Un(a) X не пустые, то xn Un(a) X.

Значит, имеем последовательность (xn). Поскольку n= n, p N : xn, xn+p Un(a) X, то |f(xn) - f(xn+p)|, n и значит, последовательность (f(xn)) фундаментальная. По n= критерию Коши для последовательностей существует конечный пре дел lim f(xn) = A. Чтобы показать, что lim f(x) = A при n x a, x X, зададим R+. Найдем n N так, чтобы n n было. При тех же значениях n и x Un (a) имеем n 1 |f(x) - A| |f(x) - f(xn)| + |f(xn) - A| + + =.

n n 2 Определение 106. Колебанием функции f : X - Y на мно жестве A X называется величина (f;

A) := sup |f(x ) - f(x )|.

x,x A Если в условии (5.9) взять супремум по всем x, x U(a) X, то это условие перепишется в виде R+ U(a) : (f;

U(a) X). (5.10) Из условия (5.10) в свою очередь следует условие (5.9). Таким обра зом, они равносильны, и потому допустима следующая равносильная формулировка теоремы.

Теорема 102 (критерий Коши). Существование конечного предела функции f : X - Y при x a, x X равносильно выполнению условия (5.10).

166 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Y X - Рис. 16. График функции y = sin x Замечание. Критерий Коши удобно применять, например, в тех слу чаях, когда надо доказать отсутствие конечного предела. В качестве кон кретного примера рассмотрим функцию f(x) := sin, график которой x показан на рис. 16. Чтобы доказать, что предел lim sin не существует, x x достаточно убедиться в том, что колебание функции sin в любой окрест x ности U0 нуля ограничено снизу положительным числом. Но это послед нее условие выполняется, поскольку очевидно, что sin ;

U0 = 2.

x 8. Сравнение асимптотического поведения функций и вычисление некоторых пределов Пусть f и g функции с одной и той же областью определения X, и a точка прикосновения множества X.

Определение 107. Говорят, что функция f имеет порядок (a) не выше порядка функции g на X, если M R+ x X : |f(x)| M · |g(x)| ;

(b) не выше порядка функции g при x a, x X, если U(a) M R+ x X U(a) : |f(x)| M · |g(x)|.

Обозначения: f(x) = O(g(x)) в случае (a) и f(x) = O (g(x)) при x a, x X в случае (b). Например, ограниченность функ ции синус можно выразить условием sin x = O(1). Верно и такое § 1. Пределы функций утверждение:

a R : sin x = O(1) при x a.

Определение 108. Функция f называется бесконечно малой по сравнению с функцией g при x a, x X, если R+ U(a) x U(a) X : |f(x)| · |g(x)|.

Обозначение f(x) = o(g(x)) при x a, x X. В частности, запись f(x) = o(1) при x a означает, что функция f беско нечно малая при x a в смысле определения 104. Очевидно также, что если f(x) = o(g(x)) при x a, то f(x) = O(g(x)) при x a.

В теории числовых последовательностей было установлено, что R+ a (1, +) : n = o(an) при n.

Покажем, что при тех же значениях a и выполняется следующее:

x = o(ax) при x +.

(В этом равенстве x R, в отличие от предыдущего, где n N.) Чтобы убедиться в этом, оценим сверху и снизу отношение x ax :

n x (n + 1), (5.11) an+1 ax an где n = [x] целая часть числа x. Очевидно, что n x +.

Переходя в неравенствах (5.11) к пределу при x +, получим x lim = 0, что равносильно доказываемому соотношению.

x+ ax Покажем, что при любых, R+ выполняется следующее равенство:

(ln x) = o(x) при x +, т. е. любая положительная степень логарифмической функции бес конечно мал по сравнению со степенн функцией x, > 0, при а ой x +.

Имеем (ln x) t t lim = lim = lim = 0, x+ t+ t+ x (et) at где a := e > 1, так как > 0.

168 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Определение 109. Говорят, что функции f и g имеют оди наковый порядок при x a, x X, если выполняются оба соотно шения f = O(g) и g = O(f) при x a, x X.

Обозначается это так: f(x) g(x) при x a, x X. Например, Mx + N если a = 0 и M = 0, то при x.

ax2 + bx + c x Определение 110. Функции f и g называются эквивалентны f(x) ми при x a, x X, если lim = 1.

xa, g(x) xX Обозначается это так: f(x) g(x) при x a, x X.

Приведем примеры эквивалентных функций:

sin x sin x x при x 0, x = 0, так как lim = 1 ;

x x x x 1 1 + e при x, так как lim 1 + = e ;

x x x (1 + t)1 t e при t 0, t = 0, так как lim(1 + t)1 t = e.

t M = 0, Mx + N M Если то · при x.

ax2 + bx + c a x a = 0, Теорема 103. Справедливы следующие соотношения:

(a) ln(1 + x) x при x 0 ;

(b) ex - 1 x при x 0 ;

(c) (1 + x) - 1 x при x 0, если = 0.

(a) Производя замену (1 + x)1 x = t, получим ln(1 + x) lim = lim ln (1 + x)1 x = lim ln t = 1.

x0 x0 te x Последнее равенство можно доказать следующим образом. Так как функция логарифм возрастающая, то существуют пределы:

lim ln t = 1 µ = lim ln t.

te, te, te § 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства Если предположить, что < µ, то логарифмическая функция ни где не будет принимать значений, принадлежащих интервалу (, µ).

Значит, обратная к ней функция (экспонента) не будет определена в точках этого интервала. Последнее противоречит тому факту, что экспонента определена всюду на R. Значит, = µ = 1.

(b) Производя замену ex - 1 = t x = ln(1 + t), получим ex - 1 t lim = lim = x0 t x ln(1 + t) согласно пункту (a).

(c) Производя очевидные замены, получим (1 + x) - 1 e·ln(1+x) - 1 · ln(1 + x) lim = lim · = x0 x0 · ln(1 + x) x x et - 1 · ln(1 + x) = lim · lim =, t0 x t x т. е.

(1 + x) - lim =, что равносильно доказываемому равенству.

x x § 2. Непрерывные и разрывные функции.

Локальные свойства непрерывных функций 1. Понятие непрерывной и разрывной функций в точке Понятие непрерывной функции можно получить из интуитивного представления об еe графике как о сплошной (непрерывной) линии.

Рассмотрим графики функций f1 и f2, изображенные на рис. 17. От метим различие между этими графиками: график функции f1 пред ставляет собой одну сплошную линию, а график функции f2 состоит из двух отдельно лежащих сплошных линий и точки с координата ми (a, f2(a)). Ввиду такого различия между графиками функцию f 170 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Y Y f f1 f2(a) a O X O X Рис. 17. Графики непрерывной и разрывной функций естественно считать всюду непрерывной, а функцию f2 разрывной в точке a. Чтобы перейти к точным определениям понятия непре рывности функции в точке, обратим внимание читателя на то, что колебание функции f1 в окрестности любой точки можно сделать сколь угодно малым за счeт выбора достаточно малой окрестности этой точки, а колебание функции f2 в любой окрестности точки a ограничено снизу положительным числом lim f2(x) - lim f2(x).

xa, xa, x>a x

Определение 111. Функция f : X - Y называется непре рывной в точке a X, если существует предел lim f(x) при x a, x X. Oна называется разрывной в точке a X, если этот предел не существует.

Теорема 104. Если функция f : X - Y непрерывна в точке a X, то lim f(x) = f(a), или, что равносильно, xa, xX lim f(x) = f lim x.

xa, xa, xX xX § 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства Предположим противное: lim f(x) = A = f(a). В силу свойст xa, xX ва отделимости существует окрестность V (A) точки A такая, что f(a) V (A). Далее, так как lim f(x) = A, то / xa, xX U(a) : f(U(a) X) V (A).

Так как a U(a) X, то f(a) f(U(a) X) V (A), откуда f(a) V (A) противоречие. И наконец, так как a = lim x, то xa, xX равенство lim f(x) = f(a) равносильно равенству xa, xX lim f(x) = f lim x.

xa, xa, xX xX Теорема 105. Если a X изолированная точка множества X, то любая функция f : X - Y непрерывна в точке a.

Так как a X изолированная точка, то существует окрест ность U(a) точки a такая, что U(a) X = {a}. Взяв любую окрест ность V (f(a)) точки f(a), имеем f(U(a) X) = f({a}) = {f(a)} V (f(a)), т. е. существует предел lim f(x) = f(a) при x a, x X.

Замечания. 1. На основании теоремы 105 можно утверждать, напри мер, что любая последовательность f : N - R непрерывна в каждой точке n N, поскольку все точки множества N изолированные.

2. Теорема 105 показывает, что случай, когда a X изолирован ная точка, не представляет интереса с точки зрения непрерывности, так как в достаточно малой окрестности изолированной точки непрерывные функции ничем не отличаются от произвольных функций.

Если же ограничиваться случаем, когда точка a предельная точка множества X, то определение непрерывности можно представить в следу ющем равносильном виде.

Определение 112. Функция f : X - Y называется непрерыв ной в предельной точке a X, если lim f(x) = f(a). (5.12) xa, x =a 172 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Простое обоснование равносильности определений 111 и 112 опус каем. Часто используется равносильное им определение непрерывно сти, использующее понятие приращения.

Определение 113. Приращением аргумента x в точке a на зывается разность x - a.

Приведем часто используемые обозначения для приращения ар гумента:

h = x := x - a.

Определение 114. Приращением функции f в точке a, соот ветствующим приращению аргумента, равному h, называют раз ность f(a + h) - f(a).

Обозначения:

hf(a) := f(a + h) - f(a) или f(a) = f(x) - f(a), где x = a + x. Очевидно, что равенство (5.12) равносильно такому:

lim [f(x) - f(a)] = 0, xa, x =a и в соответствии с этим определение 112 равносильно следующему определению.

Определение 115. Функция f : X - Y считается непрерыв ной в точке a X, если бесконечно малому приращению аргумента x в точке a соответствует бесконечно малое приращение функции.

2. Точки разрыва и их классификация Согласно определению 111, функция f : X - Y разрывна в точке a X, если не существует предел lim f(x) при x a, x X. Это, однако, не исключает возможности существования пре дела lim f(x) при x a, x E, для некоторых подмножеств E X.

Например, разрывная функция может быть непрерывной слева или непрерывной справa в зависимости от выполнения одного из следую щих равенств:

lim f(x) = f(a) или lim f(x) = f(a). (5.13) xa, xa, xa § 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства Возможность выделения таких подмножеств E X, для которых существует предел lim f(x) при x a, x E, может служить осно вой для классификации точек разрыва. Ниже приводится первона чальная, самая грубая классификация точек разрыва вещественных функций вещественного переменного.

1) Точкой устранимого разрыва функции f : X - R назы вается такая точка a X, что существует конечный предел lim f(x) = A, но A = f(a). Вводя новую функцию xa, x =a f(x), если x = a, f1(x) = A, если x = a, получим lim f1(x) = A = f1(a), т. е. новая функция f1 оказалась xa, x =a непрерывной в точке a. Таким образом, произведено устранение раз рыва путем надлежащего изменения значения функции f в точке a.

Например, точка x = 0 является точкой устранимого разрыва функ ции sin x, если x = 0, f(x) = x 0, если x = 0, sin x так как lim = 1 = 0. В этом примере для устранения разрыва доста x0, x x = точно положить (см. рис. 18) sin x, если x = 0, f1(x) = x 1, если x = 0.

2) Точкой разрыва 1-го рода функции f : X - R называется точка a X такая, что существуют конечные пределы f(a - 0) := lim f(x) (предел слева) xa, xa 174 Глава 5. Пределы и непрерывность функций Y X O sin x Рис. 18. Фрагмент графика функции y = x причем f(a - 0) = f(a + 0). Если, в частности, f(a - 0) = f(a), то функция f называется непрерывной слева;

если же f(a + 0) = f(a), то функция f называется непрерывной справа. На рис. 19 показаны графики функций, имеющих точки разрыва 1-го рода.

3) Точкой разрыва 2-го рода функции f : X - R называ ется любая ее точка разрыва a X, которая не является ни точкой устранимого разрыва, ни точкой разрыва 1-го рода. Для таких точек разрыва по меньшей мере один из двух пределов lim f(x), lim f(x) (5.14) xa, xa, xa не существует или равен бесконечности. Ниже приводится несколько примеров функций, имеющих точки разрыва 2-го рода.

В качестве первого примера рассмотрим функцию sin 1 0,, x = f(x) = x A, x = 1 с точкой разрыва x = 0. Для нее оба предела (5.14) lim sin и lim sin x-0 x+ x x не существуют (см. рис. 16).

Для функции, x = 0, x f(x) = 0, x = имеем lim f(x) = -, lim f(x) = + (см. рис. 20).

x-0 x+ Для функции e1 x, x = 0, f(x) = 0, x = § 2. Непрерывные и разрывные функции. Локальные свойства Y Y f (a) f (a) a a O X O X Рис. 19. Разрывные функции, непрерывные в точке a с одной стороны имеем lim e1 x = lim et = 0, lim e1 x = lim et = + x-0 t- x+0 t+ (см. рис. 21).

3. Функция Дирихле и функция Римана 1) Ф у н к ц и я Д и р и х л е D : R - R определяется равенством 1, если x рациональное число, D(x) := 0, если x иррациональное число.

В силу свойства плотности множеств Q и R в любой окрестности любого числа a R имеются как рациональные, так и иррациональ ные точки. Поэтому колебание функции Дирихле в любой окрестно сти U(a) любой точки a R равно 1, т. е.

(D;

U(a)) = 1.

Отсюда, применяя критерий Коши, заключаем, что предел lim D(x) xa не существует ни при каком a R. Таким образом, функция Дирихле разрывна во всех точках числовой оси.

2) Ф у н к ц и я Р и м а н а R : R+ - R определяется равенством 0, если x иррациональное число, R(x) := 1 p, если x = (несократимая дробь).

q q 176 Глава 5. Пределы и непрерывность функций p Применяя свойство плотности, заключаем, что (R;

U( )) 1 q q и, значит, в силу критерия Коши предел lim R(x) не существу xp q ет. Таким образом, функция Римана разрывна во всех рациональных точках.

Пусть теперь точка a ир- Y рациональная. Задавая (0, 1), найдем такое q N, что q.

Затем введем в рассмотрение мно жество X O n n n + R n Z = ;

.

q! q! q!

nZ Обозначим через U(a) тот из интервалов Рис. 20. График функции n n + y = 1 x ;

, q! q!

которому принадлежит точка a, и пусть x U(a). Покажем, что тогда R(x) <. Действительно, если число x иррациональное, то R(x) = 0 <. Если же число x рациональное, то, представляя p его в виде несократимой дроби x =, имеем q > q. Действительно, q предполагая противное q q, заключаем, что при некотором n N p n должно иметь место равенство x = =, из которого следует, что q q!

x U(a), и мы пришли к противоречию. И наконец, имеем / p 1 R(x) = R = <.

q q q Последнее означает, что функция Римана непрерывна во всех ирра циональных точках.

Pages:     | 1 || 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.