WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     || 2 | 3 | 4 |
-- [ Страница 1 ] --

Э.И.Зверович ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие в шести частях Часть 1 Введение в анализ и дифференциальное исчисление Зверович Э.И. Вещественный и комплексный анализ [Электронный

ресурс]:

Учебное пособие в шести частях: Часть 1. Введение в анализ и дифференциальное исчисление.— Электрон. текст. дан. (2320 кб). — 2-е издание.

— Мн.: “Электронная книга БГУ”, 2004. — Режим доступа:

http://anubis.bsu.by/publications/elresources/MathematicsMechanics/zverovich1.pdf.

— PDF формат, версия 1.4. — Систем. требования: Adobe Acrobat 5.0 и выше.

МИНСК «Электронная книга БГУ» 2004 © Зверович Э.И., 2004 © Научно-методический центр «Электронная книга БГУ», 2004 www.elbook.bsu.by elbook@bsu.by Э. И. Зверович ВЕЩЕСТВЕННЫЙ И КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ Учебное пособие в шести частях Часть 1 Введение в анализ и дифференциальное исчисление Минск БГУ 2003 Книга представляет собой первую часть современного курса анализа, написанного на основе многолетнего (начиная с 1975 г.) опыта препода вания дисциплин аналитического цикла на механико-математическом фа культете Белорусского государственного университета. Особенностью это го курса является сближение содержания учебных дисциплин Матема тический анализ (изучаемого в 1 4 семестрах) и Теория функций ком плексного переменного (изучаемого в 5 6 семестрах). В соответствии с этим пособие выпускается в шести частях. В первой части наряду с тра диционным материалом излагаются комплексные числа, элементы общей топологии и числовые ряды. Во второй части предполагается изложить интегральное исчисление (на основе процедуры Римана) с приложения ми, а также несобственные интегралы и интегралы Стилтьеса. В третьей части будет изложено дифференциальное исчисление функций векторного аргумента, а также функциональные ряды и интегралы, зависящие от па раметра. В пятой части будут изложены элементы теории меры, кратные интегралы (с использованием процедуры Лебега) и интегральное исчис ление на многоообразиях, включая общую теорему Стокса. Шестая часть будет полностью посвящена современному изложению теории аналитиче ских функций компексного переменного.

ПРЕДИСЛОВИЕ Вниманию читателя предлагается первая часть учебного пособия по вещественному и компл ексному анализу, написанного на основе многолетнего опыта преподавания этих курсов студентам механико математического факультета БГУ и непрерывного эксперимента. Ос новные разделы1 этого пособия были многократно прочитаны студен там и, как показал опыт, хорошо ими усваивались. Пособие состоит из шести частей, каждая из которых содержит лекционный материал объемом около 70 часов. К каждой части предполагается выпустить соответствующий ей сборник задач, рассчитанный на такое же чис ло часов практических занятий. В целом учебное пособие и задачник охватят весь материал, предусмотренный действующими программа ми учебных дисциплин Математический анализ и Теория функ ций комплексного переменного. А пока к каждой главе добавлены подборки задач, дополняющие основной текст. Подборки составлены доцентом О. Б. Долгополовой.

Основная методическая проблема, над которой работал автор, может быть сформулирована как попытка модернизации методики преподавания курса анализа, необходимость которой диктуется по стоянно возрастающим объемом научной (а значит, и учебной) ин формации. В этих условиях количество часов, предусматриваемых учебными планами на преподавание традиционно изучаемых дис циплин, имеет устойчивую тенденцию к сокращению. В этой связи необходимо, чтобы учебные дисциплины, еще не потерявшие своей актуальности, преподавались на современном научном уровне, пол ноценно и кратко. Предлагаемое учебное пособие представляет собой одну из попыток решения этой проблемы. В нем постоянно исполь зуется теоретико-множественный подход и принимаются меры, на правленные на сближение дисциплин вещественного, комплексного и (в меньшей степени) функционального анализа. В связи с этим в начале курса анализа рассматривается теория не только веществен ных, но и комплексных чисел, а также элементы общей топологии.

Это дает возможность не повторять на лекциях все те факты, кото рые над полями вещественных и комплексных чисел формулируются (и доказываются) одинаково. Учитывая далее, что теория числовых Основные разделы набраны крупным шрифтом.

4 Предисловие рядов не сложнее теории числовых последовательностей, предлагает ся изучать ряды сразу же после последовательностей (а не в начале третьего семестра, как это традиционно делается). Предел функции f : X - Y вводится как предел по Коши при x a;

x X, где a точка прикосновения множества X, а теория непрерывнос ти дополняется общей теоремой о непрерывности всех элементарных функций. Понятия дифференциала и производной вводятся одновре менно. Заканчивается первая часть изложением наиболее популяр ных приложений дифференциального исчисления.

Остальные части этого пособия также будут иметь предисловия, поэтому на особенностях этих частей остановлюсь кратко. Теорию определенного интеграла планируется изложить по Риману, а тео рию кратных интегралов по Лебегу, предварительно включив в курс элементы теории меры. Факты типа формулы Грина планирует ся изложить на современном уровне строгости (в отличие от традици онных учебников, в которых этот материал излагается недостаточно строго). Закончить курс вещественного анализа планируется изло жением элементов анализа на многоообразиях, исчисления внешних дифференциальных форм и общей теоремы Стокса. Комплексный анализ планируется изложить в тесной связи с вещественным ана лизом. Все эти меры призваны обогатить лекционный курс анализа, сделать его более строгим (без потери доступности) и привести к эко номии учебного времени студентов.

Выражаю благодарность доценту И. И. Комяку (ныне покой ному) и профессору Ф. В. Чумакову, вместе с которыми я в 1975 г. начинал работу по модернизации курса анализа на механико математическом факультете БГУ, доценту Л. П. Примачуку за учас тие в обсуждении различных разделов курса, другим сотрудникам кафедры теории функций за участие в апробации моих лекций. Осо бую признательность я выражаю профессору В. Г. Кротову, инжене ру А. С. Автаеву, старшему преподавателю А. И. Кулибабе, а также лаборантке Е. К. Щетникович за помощь при подготовке рукописи A в издательской системе LTEX 2. Выражаю благодарность рецензен там: докторам физико-математических наук, профессорам Э. Г. Ки рьяцкому и В. И. Бернику, а также заведующему кафедрой матема тического анализа Гомельского государственного университета, про фессору Ю. В. Малинковскому и доценту этой кафедры А. П. Ста ровойтову.

Глава ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ § 1. Множества: отношения и операции Понятие множества является одним из основных понятий математики.

Оно не определяется, поэтому дадим его описание. Множество это со вокупность, собрание, коллекция, набор, семейство, класс каких-нибудь предметов, называемых его элементами. Например, можно говорить о множестве всех студентов данного вуза, факультета, курса и т. п., а также о множестве всех домов данного города, квартала, района и т. п. Условимся в этом параграфе обозначать множества заглавными латинскими буквами.

Множества могут состоять из элементов. Запись x A означает, что x принадлежит множеству A (т. е. является элементом множества A).

Запись x A или x A означает, что x не принадлежит множеству A (т. е. не является элементом множества A). Задать множество это значит указать правило или признак, позволяющие отличать элементы, которые ему принадлежат, от всех прочих элементов (т. е. от тех, которые ему не принадлежат).

Множества можно задавать разнообразными способами, из которых выделим три наиболее часто встречающихся. Первый способ перечисле ние всех элементов данного множества (если такое перечисление возмож но). Например, запись A := {a, b,..., p} означает, что A определяется как множество с элементами a, b,..., p (многоточие1 заменяет пропущенные элементы). Второй способ применя ется тогда, когда есть свойство, которым обладают все элементы данного множества, и только эти элементы. Например, запись B := {x | x обладает свойством P} означает, что B определяется как множество всех тех и только тех эле ментов x, которые обладают свойством P. Третий способ применяется тогда, когда элементы данного множества помечены элементами другого множества (индексами), например, занумерованы:

C := {ai | i I}. (1.1) Символ... читается: и так далее.

6 Глава 1. Предварительные сведения Эта запись означает, что элементами множества C являются те и только те элементы ai, для которых i I. Здесь I множество индексов. В (1.1) возможна такая ситуация, что ai = aj при i = j. Если множество задается в виде (1.1), то оно называется иногда семейством.

Два множества A и B считаются равными (A = B ), если каждый элемент одного из этих множеств принадлежит другому.

Между некоторыми парами множеств устанавливается отношение включения2. Говорят, что множество A включается в множество B (или содержится в B ), если каждый элемент множества A являет ся элементом множества B. Записывается это в виде A B (или, что равносильно, в виде B A). То же самое выражают словами: A есть подмножество множества B. Очевидно, что отношение включения об ладает следующим свойством транзитивности A B C = A C, т. е. если A содержится в B, а B содержится в C, то A содержится в C. Имеет место следующее утверждение A B, A = B (1.2) A B, т. е. равенство двух множеств равносильно тому, что каждое из них содержится в другом. В тех случаях, когда A B и A = B, приня то говорить, что A является собственным подмножеством множества B (обозначается это так: A B ).

Кроме множеств, содержащих элементы, вводится в рассмотрение так называемое пустое множество, т. е. множество, в котором вообще нет элементов. Оно обозначается символом. Естественно считать, что вклю чение A (1.3) выполняется для любого множества A. Из (1.2) и (1.3) вытекает един ственность пустого множества.

Предполагая существование двух пустых множеств 1 и 2, ис пользуя (1.2) и (1.3), имеем:

1 = 1 = 2.

1 Иначе говоря, любые два пустых множества совпадают.

Сразу же отметим, что здесь и всюду в дальнейшем принимается соглашение, по которому включение не исключает равенства.

§ 1. Множества: отношения и операции Понятие пустого множества удобно использовать в тех случаях, когда заранее ничего не известно о существовании хотя бы одного элемента дан ного множества, или в тех случаях, когда известно, что таких элементов нет вовсе.

Важнейшими операциями над множествами являются операции объ единения ( ), пересечения ( ) и разности ( ).

Объединением семейства множеств {U | I} называется мно жество U, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые I принадлежат хотя бы одному из множеств U.

В частности, объединение U V двух множеств U и V можно задать так:

U V := {x | либо x U, либо x V, либо (x U и x V )}.

Пересечением семейства множеств {U | I} называется мно жество U, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые I принадлежат всем множествам данного семейства.

В частности, пересечение двух множеств можно задать так:

U V := {x | x U и x V }.

Очевидно, что обе операции и коммутативны и ассоциативны, т. е. обладают переместительным и сочетательным свойствами. Если из вестно, что множества U и V не пересекаются, т. е. U V =, то их объединение обозначают иногда символом U V и называют дизъюнкт ным объединением.

Разностью U V множеств U и V называется множество, состо ящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат мно жеству U и не принадлежат множеству V, т. е.

U V := {x | x U и x V }.

/ Для наглядного изображения различных соотношений между мно жествами иногда используются так называемые диаграммы Эйлера Вен на3. Так называются рисунки, на которых различные множества изобра жаются в виде различных множеств точек плоскости (чаще всего в виде областей, например кругов), по-разному заштрихованных или раскрашен ных в различные цвета. На таких рисунках становятся наглядными различ ные соотношения между множествами. Например, на диаграмме Эйлера Эйлер Леонард (1707 1783) швейцарец по происхождению, знаменитый ма тематик, механик и физик, академик Петербургской академии наук. Венн Джон (1834 1923) английский логик.

8 Глава 1. Предварительные сведения Венна, изображенной на рис. 1, множество A заштриховано горизонталь ными линиями, множество B вертикальными. Заштрихованная часть плоскости изображает A B ;

часть плоскости, заштрихованная и горизон тальными, и вертикальными линиями множество A B, а часть плоско сти, заштрихованная только горизонтальными (только вертикальными) линиями, множество A B (B A ). Из рис. 1 очевидны, например, сле дующие включения:

A B A A B и A B B A B.

Из других операций над множест вами в анализе часто используется декартово произведение. Определим его в простейшем случае двух мно B A AB жеств. Декартовым (или прямым) произведением множества A на мно жество B называется множество Рис. 1. Пример диаграммы AB, состоящее из всех упорядочен Эйлера Венна ных пар (a, b), где a A, b B, т. е.

A B := {(a, b) | a A, b B}.

Если, например, в качестве множеств A и B взять две взаимно перпенди кулярные числовые оси с общим началом, то их декартовым произведением A B будет содержащая их координатная плоскость.

§ 2. Некоторые сведения из математической логики 1. Высказывания и операции над ними Всякая научная теория есть некоторая система понятий и утвержде ний. Истинность каждого утверждения нуждается, вообще говоря, в обо сновании. Часть утверждений обосновывается опытным путем, т. е. эмпи рически. Другая, обычно б часть утверждений обосновывается с ольшая, помощью логических средств. Эти логические средства изучаются в раз деле математики, называемом математической логикой. Исходным поня тием математической логики является понятие высказывания.

Определение 1. Высказыванием называется всякое утверждение, т. е. любое повествовательное предложение, которое определенно явля ется истинным или ложным.

§ 2. Некоторые сведения из математической логики Например, предложение 2+2 = 4 является истинным высказывани ем, а предложение 0 = 1 ложным высказыванием. Повествовательное предложение В огороде бузина, а в Киеве дядька не является высказыва нием, поскольку без дополнительной информации ничего определенного об истинности или ложности этого предложения утверждать нельзя. Воскли цательные, вопросительные, повелительные и назывные предложения так же не являются высказываниями. Условимся в этом пункте высказывания обозначать заглавными латинскими буквами, например: P, Q, R,....

Определение 2. Значением истинности высказывания P называ ется число (P ), которое находится по следующему правилу:

1, если P истинное, (P ) := 0, если P ложное.

Находя с помощью некоторого исчисления значения истинности раз личных сложных высказываний, можно узнавать, истинные эти высказы вания или ложные. Сложные высказывания образуются из более простых с помощью логических операций, важнейшими из которых являются: отри цание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция. Определим их.

Определение 3. Отрицанием высказывания P называется выска зывание, которое является ложным, если P истинное, и истинным, если P ложное.

Отрицание высказывания P обозначается символом | P или символом P.Читается это так: не P или неверно, что имеет место P. Используя определения 2 и 3, имеем: (P ) = 1 - (P ).

Определение 4. Конъюнкцией высказываний P и Q называется вы сказывание, которое считается истинным, если истинны оба высказыва ния P, Q, и ложным во всех остальных случаях.

Конъюнкция высказываний P и Q читается P и Q и обозначается одним из следующих символов:

P Q или P &Q.

Для нее справедливо равенство (P Q) = (P ) · (Q).

Определение 5. Дизъюнкцией высказываний P и Q называется вы сказывание, которое считается ложным, если ложны оба высказывания P, Q, и истинным во всех остальных случаях.

10 Глава 1. Предварительные сведения Дизъюнкция высказываний P, Q читается P или Q и обозначается символом: P Q. Для нее справедливо следующее равенство:

(P Q) = 1 - (P Q).

Определение 6. Импликацией высказываний P и Q называется вы сказывание, которое ложно лишь в том случае, если P истинное, а Q ложное.

Импликация высказываний P и Q обозначается символом P Q и читается так: если P, то Q или из P следует Q и т. п. В импликации P Q высказывание P называется условием, а Q ее заключением или следствием. Из определения 6 вытекает следующее равенство:

(P Q) = 1 - (P Q).

Определение 7. Эквивалентностью (или эквиваленцией) высказы ваний P и Q называется высказывание, которое ложно лишь в том слу чае, когда одно из высказываний P, Q истинное, а другое ложное.

Эквиваленция высказываний P и Q обозначается символом P Q и читается так: P равносильно Q, P эквивалентно Q, P если и только если Q и т. п. Для нее справедливо такое равенство:

(P Q) = (P Q) · (Q P ).

2. Формулы алгебры высказываний и их применения С помощью логических операций, рассмотренных в предыдущем пунк те, можно, исходя из простейших высказываний, строить новые, более сложные высказывания, называемые формулами. Например, (P Q) R, (1.4) где P, Q, R простейшие высказывания. Отвлекаясь от конкретно го содержания высказываний P, Q, R, будем называть их высказыва тельными переменными. Вместо них можно подставлять в (1.4) любые истинные или ложные высказывания, и в результате выполнения опера ций, входящих в (1.4), будем получать новые высказывания, которые мо гут оказаться как истинными, так и ложными. Чтобы сформулировать об щее понятие формулы алгебры высказываний, зададим сначала некоторое множество высказывательных переменных X, Y, Z,.... В это множе ство включим две специфические высказывательные переменные И и Л.

§ 2. Некоторые сведения из математической логики Специфика их заключается в том, что вместо И разрешается подставлять любые истинные высказывания, и только их, а вместо Л разрешено под ставлять любые ложные высказывания, и только их. Общее понятие фор мулы алгебры высказываний дается следующим определением, в котором используется так называемая рекурсия4.

Определение 8. (a) Каждая отдельно взятая высказывательная переменная считается формулой;

(b) если F1 и F2 формулы, то выражения F1, F2, (F1 F2), (F1 F2), (F1 F2) (F1 F2) (1.5) также считаются формулами;

(c) не существует никаких других формул, кроме тех, которые мож но получить в результате применения конечного числа раз (в любом по рядке) п. (a) и п. (b) этого определения.

Принимается также соглашение, состоящее в том, что иногда призна ются формулами выражения вида (1.5), но без внешних скобок. По этому соглашению является формулой, например, выражение (1.4) (разумеется, при условии, что P, Q, R формулы).

Подставляя в данную формулу вместо всех входящих в нее перемен ных значения И или Л, будем в результате получать высказывания. Зна чения истинности таких высказываний можно свести в таблицу, которая называется таблицей истинности данной формулы. Например, таблицу истинности формулы P Q R можно задать в следующем виде (дока зательство оставляем читателю в качестве упражнения):

(P ) (Q) (R) ((P Q) R) 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Особую роль играют определяемые ниже формулы специального вида, называемые тавтологиями.

Рекурсия, рекурсивность, рекуррентность (от лат. recurrere возвращать ся) близкие между собой понятия, которые иногда используются в анализе.

12 Глава 1. Предварительные сведения Определение 9. Формула алгебры высказываний F (X1,..., Xn) на зывается тождественно истинной (или тавтологией), если ее значение истинности (F ) равно 1 при любых значениях истинности переменных X1,..., Xn.

Роль тавтологий заключается прежде всего в том, что они дают схемы построения истинных высказываний, не зависящие от содержания и истин ности составляющих их высказываний. Например, тавтологией является формула X X ( икс или не икс ). Действительно, какое бы конкретное высказывание вместо X в нее ни подставить, получим истинное выска зывание. Этим, однако, не исчерпывается роль тавтологий. Не меньшее значение имеет то, что тавтологии дают правильные способы умозаклю чений. Проиллюстрируем это на примере следующей тавтологии:

((X Y ) (X Y )) = X. (1.6) Схема логического умозаключения, выражаемая этой тавтологией, часто используется в математике как метод доказательства от противно го, суть которого заключается в следующем. Желая доказать истинность утверждения X, предполагают, что оно ложно (т. е. что истинным явля ется X ). Затем с помощью некоторых рассуждений устанавливают истин ность утверждений X Y и X Y. Таким образом, получается, что должно быть истинным утверждение Y Y, которое на самом деле яв ляется тождественно ложным. Из полученного противоречия делается за ключение об истинности утверждения X. Ниже перечисляются некоторые наиболее важные тавтологии.

1. Законы коммутативности конъюнкции и дизъюнкции:

(X Y ) (Y X) ;

(X Y ) (Y X).

2. Законы ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции:

(X (Y Z)) ((X Y ) Z) ;

(X (Y Z)) ((X Y ) Z).

3. Законы дистрибутивности:

(X (Y Z)) ((X Y ) (X Z)) ;

(X (Y Z)) ((X Y ) (X Z)).

4. Законы де М органа:

(X Y ) (X Y ) ;

(X Y ) (X Y ).

§ 2. Некоторые сведения из математической логики 5. Закон исключенного третьего: X X.

6. Закон контрапозиции:

(X Y ) (Y X).

7. Правило цепного заключения (закон силлогизма, или транзи тивность операции ):

(X Y Z) = (X Z). (1.7) 8. Правило модус п оненс :

(X (X Y )) = Y.

9. Схема (1.6) доказательства от противного.

Математические теоремы обычно имеют структуру, выражаемую фор мулой X = Y. (1.8) При этом высказывание X называется условием теоремы, а высказывание Y ee заключением. В теореме (1.8) истинность высказывания Y называ ют необходимым условием для истинности высказывания5 X, а истинность высказывания X достаточным условием для истинности высказывания Y. Не всякое необходимое условие является достаточным и не всякое до статочное условие является необходимым. В том частном случае, когда необходимое условие является и достаточным, теорема (1.8) приобретает такую форму:

X Y (1.9) и называется иногда критерием. С каждой теоремой вида (1.8) можно связать еще три теоремы Y = X, X = Y, Y = X, (1.10) называемые соответствено обратной, противоположной и обратной к про тивоположной. Из закона контрапозиции 6 вытекает равносильность теоремы (1.8) и последней из теорем (1.10).

Иногда критерии имеют следующую структуру, более сложную, чем (1.9): Равносильны следующие утверждения: A1,..., An где n > 2.

Доказательства таких критериев экономнее всего проводить по так назы ваемой круговой схеме, которая при n = 5 имеет вид, показанный на рис. 2.

Проверив истинность пяти импликаций, показанных на рис. 2, мы на осно вании свойства транзитивности (1.7) делаем заключение о равносильности всех утверждений A.

Иногда это выражают еще так: без Y нет X.

14 Глава 1. Предварительные сведения 3. Предикаты и кванторные операции над ними Начнем с определения понятия предиката.

Определение 10. Повествовательное предложение, в которое вхо дят переменные и которое при замене всех входящих в него переменных возможными их значениями становится высказыванием, называется вы сказывательной функцией, или предикатом.

Например, всякая формула алгебры вы сказываний является предикатом. Однако A понятие предиката более общее, так как входящие в предикат переменные не обяза A5 A2 тельно являются высказывательными пере менными (они могут быть, например, число выми). Более конкретными примерами пре дикатов являются уравнения, а также нера венства, содержащие переменные. Предикат A4 A3 называется одноместным, двyxместным и т. д., если в него входят соответственно одна, Рис. 2. Пример круговой две и т. д. переменные. При задании преди схемы ката должно указываться множество X всех тех значений, которые могут принимать вхо дящие в него переменные. Оно называется областью определения преди ката. Его подмножество X X, состоящее из всех тех и только тех зна чений переменных, при которых данный предикат становится истинным высказыванием, называется областью истинности предиката. Например, областью определения предиката ax2 + bx + c = 0 (1.11) является множество всех чисел, а область его истинности совпадает с мно жеством всех корней уравнения (1.11).

Над предикатами можно производить те же операции, что и над вы сказываниями: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, экви валенцию. Не останавливаясь на соответствующих определениях, ограни чимся лишь примерами. Отрицанием предиката (1.11) является предикат ax2 + bx + c = 0.

Пусть предикатами являются уравнения P (x, y) = 0 и Q(x, y) = 0 (1.12) § 2. Некоторые сведения из математической логики от двух переменных x, y. Их конъюнкцией является система уравнений:

P (x, y) = 0, (1.13) Q(x, y) = 0.

Область истинности предиката (1.13) есть пересечение областей истинно сти предикатов (1.12). Дизъюнкцией предикатов (1.12) является совокуп ность уравнений:

P (x, y) = 0, Q(x, y) = 0.

Область истинности этого предиката есть объединение областей истинности предикатов (1.12). На подобных примерах можно истолковать импликацию и эквиваленцию предикатов как импликацию и эквивалентность уравне ний.

Кроме перечисленных, над предикатами можно производить так назы ваемые кванторные операции, не имеющие аналогов среди операций над высказываниями. Каждая из таких операций, примененная к одноместно му предикату, превращает его в высказывание.

Определение 11. Операцией квантор общности называется пра вило, которое каждому одноместному предикату P (x), определенному на множестве X, сопоставляет высказывание: для всех x X истинным является P (x), которое считается истинным только в том случае, когда предикат P (x) является тождественно истинным.

Условимся обозначать высказывание, о котором идет речь в определе нии 11, так:

x X : P (x). (1.14) Здесь символ читается для всех или для любого и называется кван тором общности6.

Определение 12. Операцией квантор существования называется правило, которое каждому одноместному предикату P (x), определенно му на множестве X, сопоставляет высказывание: существует значе ние x X такое, что истинным является P (x), которое считается ложным только в том случае, когда предикат P (x) является тожде ственно ложным.

Условимся обозначать высказывание, о котором идет речь в определе нии 12, так:

x X : P (x). (1.15) Отметим, что слова нельзя склонять (т.е. изменять по падежам).

16 Глава 1. Предварительные сведения Здесь символ читается существует7 и называется квантором суще ствования. Из определений 11 и 12 вытекают следующие утверждения:

x X : P (x) (x X : P (x)) ;

x X : P (x) (x X : P (x)).

Эти эквивалентности означают следующее. Чтобы образовать отрицание высказывания типа (1.14) либо типа (1.15), надо в них заменить сим вол на символ, а на, а соответствующий предикат заменить его отрицанием. Отметим, что кванторные операции можно применять и к многоместным предикатам. Сформулированное правило образования отрицаний обобщается и на них (с соответствующими изменениями).

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях и числовых функциях 1. Отображение, его график, сужение и продолжение Кроме понятия множества, другим основным понятием математики является понятие отображения множеств. Определим его, задавая произ вольные непустые множества X и Y.

Определение 13. Отображением множества X в множество Y называется правило, по которому каждому элементу x X ставится в соответствие единственный элемент y Y.

Уточним, что правило, о котором идет речь в этом определении, раз личным элементам множества X может ставить в соответствие различ ные же элементы множества Y. Итак, задавая различные правила, будем получать различные отображения из X в Y. При этом множество X на зывается областью определения (или множеством задания), а множество Y областью значений данного отображения.

Обозначая через f правило, о котором идет речь в определении 13, условимся считать, что запись y = f(x) означает, что правило f сопостав ляет элементу x X элемент y Y. Таким образом, f(x) это значение отображения f на элементе x. Кроме записи y = f(x), для отображений Отметим, что символ нельзя спрягать как глагол.

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях применяются и многие другие обозначения. Приведем здесь так называе мые диаграммы f f : X - Y ;

X - Y ;

f : x - y. (1.16) Первые две диаграммы символизируют то, что f есть отображение из X в Y. Стрелку - условимся называть символом отображения. Третья диаграмма из (1.16) указывает на то, что при отображении f элементу x X сопоставляется элемент y Y. Стрелка - называется символом поэлементного отображения. Элемент y = f(x) называется образом эле мента x при отображении f, а элемент x прообразом элемента y = f(x) при этом отображении. Два отображения f1 : X1 - Y и f2 : X2 - Y считаются равными, если X1 = X2 и x : f1(x) = f2(x). Различные част ные виды отображений называются также функциями, функционалами, преобразованиями, операторами и т. п. В некоторых случаях отображения допускают наглядное геометрическое изображение. В связи с этим каждо му отображению сопоставляется его график.

Определение 14. Графиком отображения f : X - Y называется множество f X Y, состоящее из всех упорядоченных пар (x, y), где x X, y = f(x), т. е.

f := {(x, y) X Y | x X ;

y = f(x)}.

Иногда приходится рассматривать отображения, которые различают ся только своими множествами задания. В связи с этим полезно ввести понятия сужения и продолжения отображений.

Определение 15. Сужением отображения f : X - Y на мно жество A X называется отображение g : A - Y такое, что x A : f(x) = g(x).

Для сужения примем такое обозначение8: g = f|A. Если g суже ние отображения f, то f называется продолжением отображения g (с множества A на множество X ). Очевидно, что график сужения есть подмножество графика исходного отображения (т. е. g f ).

В литературе встречается также обозначение f|A.

18 Глава 1. Предварительные сведения 2. Образы и прообразы множеств при отображениях Пусть f : X - Y отображение, и A X.

Определение 16. Образом множества A при отображении f на зывается множество f(A), состоящее из образов всех элементов мно жества A, т. е.

f(A) := {f(x) | x A}.

Отметим некоторые свойства образов, предполагая, что f : X -Y отображение, A X, B X :

1. f() = ;

2. A B = f(A) f(B);

3. f(A B) = f(A) f(B);

4. f(A B) f(A) f(B).

Докажем, например, свойство 4.

Действительно, если A B =, то, используя 1, имеем f(A B) = f() = f(A) f(B).

Если же A B =, то x A B и, значит, f(x) f(A B). Но x A B = (x A и x B), откуда f(x) f(A) и f(x) f(B), т. е. f(x) f(A) f(B). Итак, f(A B) f(A) f(B).

Отметим, что включение в 4 может быть строгим, т. е. возможно, что f(A B) f(A) f(B).

Пусть, например, множество X содержит более одного элемента, а отображение f : X - Y постоянное, т. е. c Y x X : f(x) = c. (1.17) Так как X содержит более одного элемента, то существуют непустые под множества A X и B X такие, что A B =. Для них имеем f(A B) = f() = {c} = f(A) f(B).

Иногда вместо записи типа (1.17) будем использовать более короткую запись:

f(x) c (читается это так: f(x) тождественно равно c ).

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях Определение 17. Полным прообразом множества B Y при отоб ражении f : X - Y называется множество f-1(B), состоящее из всех прообразов всех элементов множества B, т. е.

f-1(B) := {x X | f(x) B}.

Перечислим некоторые свойства полных прообразов.

1. f-1() = ;

2. B1 B2 = f-1(B1) f-1(B2);

3. f-1(B1 B2) = f-1(B1) f-1(B2);

4. f-1(B1 B2) = f-1(B1) f-1(B2);

- 5. f-1(Y B) = X f (B).

Доказательства оставляем читателю.

3. Композиция отображений.

Обратное отображение Пусть заданы два отображения f : X - Y и g : Y - Z, (1.18) где область значений первого отображения совпадает с областью опреде ления второго. Для таких10 отображений определяется так называемая композиция отображений (называемая также суперпозицией отображе ний или сложным отображением).

Определение 18. Композицией отображений (1.18) называется отображение g f : X - Z такое, что x X : (g f)(x) := g(f(x)).

Аналогично можно определить композицию трех и б числа ольшего отображений, например (h g f)(x) := h(g(f(x))).

Операция образования композиции, вообще говоря, не коммутативна (т. е. g f = f g, даже если обе композиции имеют смысл). Очевидно, однако, что она ассоциативна, т. е.

h (g f) = (h g) f.

Используя понятие композиции, можно ввести понятие обратного отображения.

Композиция имеет смысл и не только для таких отображений, но эту более общую ситуацию рассматривать пока не будем.

20 Глава 1. Предварительные сведения Определение 19. Отображение g : Y - X называется обратным к отображению f : X - Y, если g f = IdX и f g = IdY, где через Id обозначено тождественное отображение (например, IdX(x) = x для всех x X ).

Для отображения g : Y - X, обратного к f : X - Y, принято такое обозначение: g = f-1. Очевидно, что (f-1)-1 = f.

Определение 20. Отображение f : X - Y называется:

(a) сюръективным, если f(X) = Y ;

(b) инъективным11, если x1 = x2 = f(x1) = f(x2) ;

(c) биективным12, если оно является сюръективным и инъективным.

Отметим, что для произвольного отображения f : X - Y выполняет ся лишь включение f(X) Y, и в связи с этим произвольные отображения называют отображениями в и обозначают иногда символом -в.

Теорема 1. Если отображение f : X - Y является биек тивным, то для него существует единственное обратное отображение f-1 : Y - X.

Зададим произвольно y Y. Так как отображение f сюръек тивное, то x X : f(x) = y. Так как отображение f инъективное, то элемент x определяется однозначно. Таким образом, мы получили един ственное отображение g : y - x, обратное к отображению f : x - y.

4. Числовые функции и способы их задания Основным понятием математического анализа является понятие функ ции. Функция это весьма частный случай отображения, поэтому все факты, справедливые для произвольных отображений, остаются справед ливыми и для функций. Здесь и далее через R будем обозначать множество всех вещественных (действительных) чисел.

Определение 21. Вещественной функцией одного вещественного пе ременного называется всякое отображение вида f : X - R, X R.

Для краткости такие отображения будем называть просто функциями.

Математический анализ в своей основной части это теория функций. Су ществует много различных способов задания функций. Среди них выделим четыре наиболее важных: аналитический, табличный, компьютерный и графический.

Инъективные отображения называют также инъекциями.

Биективные отoбражения называют также взаимно-однозначными или биек циями.

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях Аналитический способ задания функций это задание ее уравнением, например y = 2x, u = lg | sin z|, s = v · t, F = m · a, V = R3.

В этих примерах функции заданы явными13 аналитическими выражени ями. В тех случаях, когда некоторую функцию f : X - Y задают в виде уравнения y = f(x), символы x и y называют переменными. При этом x называют независимой переменной (или аргументом), а y зависимой переменной (или функцией).

Табличный способ задания функ Y ции состоит в задании некоторого множества конкретных значений ар f(x) гумента и соответствующих им значе ний функции.

Компьютерный способ задания x O X функции представляет собой соответ ствующую программу, записанную в компьютере или встроенную в него.

Рис. 3. Пример графика Задавая конкретные числовые значе функции ния аргумента и обращаясь к этой программе, можно с помощью компьютера получать соответствующие зна чения функции.

Графический способ задания функции f : X - R, X R, заключа ется в построении ее графика f = {(x, y) R2 | x X ;

y = f(x)} в виде некоторого множества точек координатной плоскости XOY. Имен но, изображая каждую пару чисел (x, y) f в виде точки M(x, y) на плоскости XOY, получим множество точек, которое и принимается за графическое изображение данной функции (рис. 3). Основным преиму ществом графического способа задания функции является его нагляд ность, и благодаря этому многие факты анализа становятся геометрически очевидными. Отметим, что каждая прямая, параллельная оси OY, пересе кает график не более чем в одной точке. Этот факт является следствием однозначности функции (т. е. того, что каждому x X соответствует только одно значение переменной y ).

Существуют также неявные, параметрические и другие разновидности ана литического способа задания функций.

22 Глава 1. Предварительные сведения 5. Монотонные функции. Обратные функции Определение 22. Функция f : X - R, X R, называется моно тонной на множестве X, если x1, x2 X выполняется одно из следу ющих условий:

(a) x1 < x2 = f(x1) < f(x2) (возрастание);

(б) x1 < x2 = f(x1) > f(x2) (убывание);

(в) x1 < x2 = f(x1) f(x2) (неубывание);

(г) x1 < x2 = f(x1) f(x2) (невозрастание).

Функции, возрастающие и убывающие, называются строго монотон ными, а остальные монотонными (в широком смысле). На рис. a г показаны графики монотонных функций, для которых выполнены со ответствующие условия из определения 22. Монотонные функции выделя ются среди других классов функций своими специфическими свойствами, одно из которых рассмотрим здесь.

Теорема 2. Если функция f : X - R, X R, строго моно тонная, то для функции f : X - Y, где Y = f(X), существует един ственная обратная функция f-1 : Y - X, которая является строго монотонной в том же смысле, что и f.

Из условий (a) и (б) строгой монотонности вытекает, что x1 = x2 = f(x1) = f(x2), т. е. что отображение f : X - Y инъективное. Так как Y = f(X), то это отображение сюръективное. Значит, оно биективное, и на основа нии теоремы 1 заключаем, что для него существует единственное обратное отображение f-1 : Y - X, которое тоже биективное. Таким образом, имеем x1 = x2 y1 = y2, (1.19) где y1 := f(x1), y2 := f(x2).

Установим строгую монотонность обратной функции x = f-1(y).

Предположим, что f возрастает, т. е. что x1 > x2 = y1 > y2, и пусть y1 > y2. Отсюда, учитывая (1.19), заключаем, что x1 = x2, т. е.

что x1 > x2, либо что x1 < x2. Последнее неравенство влечет y1 < y2, что противоречит сделанному предположению. Остается единственная воз можность x1 > x2, которая означает, что функция f-1 возрастает. Ана логично можно рассмотреть случай, когда f убывает, но его оставляем читателю в качестве упражнения.

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях Y Y O O X X а б Y Y O O X X в г Рис. 4. Графики монотонных функций Рассмотрим графики взаимно обратных функций f = {(x, y) | x X, y Y ;

y = f(x)}, f-1 = {(y, x) | x X, y Y ;

x = f-1(y)}.

Так как уравнения y = f(x) и x = f-1(y) равносильны, то графики функций f и f-1 можно получить один из другого с помощью следующего биективного отображения: (x, y) - (y, x). Если графики этих функций изобразить на одной и той же координатной плоскости в обозначениях y = f(x), y = f-1(x), то отображение (x, y) - (y, x) представится в виде преобразования симметрии относительно прямой y = x (см. рис. 5). От метим еще мнемоническое правило: чтобы увидеть график функции f-1, достаточно посмотреть на график функции f с обратной стороны того листа, на котором он нарисован, причем ось OX надо направить вверх.

6. Четные, нечетные и периодические функции Изучение функции f : X - R, вообще говоря, упрощается, если об наруживается, что ее график f обладает симметриями того или иного 24 Глава 1. Предварительные сведения типа. Известно, что всякая симметрия так или иначе связана с алгебра ическим понятием группы, которое является одним из основных понятий математики. Определим его.

Определение 23. Непустое множество G называется группой, ес ли в нем определена бинарная операция, т. е. задано отображение (a, b) - a b из G G в G, и a, b, c G выполнены следующие условия (аксиомы):

(a) a (b c) = (a b) c ;

(b) e G : a e = e a = a ;

(c) a-1 G : a a-1 = a-1 a = e.

Например, множество Z всех це Y лых чисел, в котором в качестве би нарной операции взято сложение, яв ляется группой. Нейтральным элемен том этой группы является число 0, а f- элементом, обратным к n, является f (-n). Существуют группы, состоящие из конечного числа элементов. Возь мем, например, две функции O Id : R - R и : R - R, X где Id : x - x (тождественное отоб Рис. 5. Графики взаимно ражение), а : x - -x (отобра обратных функций жение симметрии). Тогда множество {Id ;

} вместе с бинарной операцией (композиция отображений) является группой. Нейтральным элемен том этой группы служит Id, и каждый элемент сам себе обратен. С этой группой связаны понятия четной и нечетной функций.

Определение 24. Функция f : X - R, X R, называется чет ной, если множество X расположено симметрично относительно нача ла координат, и x X : f(-x) = f(x).

Примеры четных функций y c, y = x2, y = 2x4, y = |x|, y =, y = cos x.

1 + x Пусть f график четной функции f. Тогда свойство четности можно выразить так (x, y) f (-x, y) f, x = y § 3. Первоначальные сведения об отображениях Y Y O X O X Рис. 6. График четной функции Рис. 7. График нечетной функции т. е. (x, y) - (-x, y) есть биективное отображение f на себя. Таким образом, график любой четной функции расположен в плоскости XOY симметрично относительно оси OY (рис. 6).

Определение 25. Функция f : X - R, X R, называется нечет ной, если множество X расположено симметрично относительно нача ла координат, и x X : f(-x) = -f(x).

Примеры нечетных функций x y = x, y = x5, y = sin x, y =, y = sign x.

1 + x Пусть f график нечетной функции f. Тогда свойство нечетности можно выразить так (x, y) f (-x, -y) f, т. е. (x, y) - (-x, -y) есть биективное отображение f на себя. Таким образом, график любой нечетной функции расположен в плоскости XOY симметрично относительно начала координат (рис. 7).

Определение 26. Функция f : X - R, X R, называется перио дической с периодом T = 0, если x X выполняются условия (a) k Z : x X x + k · T X ;

(b) f(x + T ) = f(x).

Теорема 3. Множество всех периодов любой функции является группой относительно операции сложения.

Пусть f : X - R, X R произвольная функция, и пусть x X. Так как f(x + 0) = f(x), то число нуль можно считать перио дом любой функции (даже не обязательно периодической). Поэтому, если 26 Глава 1. Предварительные сведения Y O -2T -T T 2T X Рис. 8. График периодической функции функция f не является периодической, то множество всех ее периодов состоит только из нуля ({ 0} группа относительно операции сложения).

Предположим, что функция f периодическая, и пусть T, T1, T2 ее периоды. Тогда f(x + (T1 + T2)) = f((x + T1) + T2) = f(x + T1) = f(x), т. е. (T1 + T2) период. Далее, так как f(x + T ) = f(x), то, обозначая t = x + T, получим: f(t) = f(t - T ), т. е. (-T ) период.

Среди периодических функций наиболее интересными считаются та кие, группа периодов которых порождается одним числом T = 0, т. е.

имеет вид {k · T | k Z}, где Z группа всех целых чисел. Число T называется основным перио дом данной периодической функции. Обычно в качестве основного перио да берется наименьший положительный период. Для построения графи ка периодической функции достаточно построить график сужения данной функции на любой промежуток вида (a, a + T ), где T основной пери од, а затем сдвинуть построенный график влево и вправо на величины, целократные T (рис. 8).

Задачи к главе 1.1. Доказать справедливость следующих утверждений (заглавными буквами обозначены множества):

a) A B C = A C ;

§ 3. Первоначальные сведения об отображениях b) X (A B) = (X A) (X B), где A X, B X ;

c) A B A A B ;

d) A (B C) = (A B) (A C);

e) A (B C) = (A B) (A C);

f) A B X Y A X, B Y.

1.2. Составить таблицы истинности следующих формул (заглавными буквами обозначены высказывания):

a) (X Y ) (X Y );

b) (X Y ) = (Y X);

c) X (Y Z).

1.3. Доказать, что все утверждения 1 9 из § 2, п. 2 являются тав тологиями.

1.4. Используя операции квантор общности и квантор существова ния по отношению к переменной x, записать следующие выска зывания:

a) pавенство f(x) = 0 является тождеством;

b) pавенство f(x) = 0 не является тождеством.

1.5. Доказать утверждения 1 9 из § 3, п. 2.

1.6. Пусть f : X - Y отображение. Используя кванторные опера ции, записать следующие высказывания, а также их отрицания:

a) oтображение f инъективное;

b) oтображение f сюръективное;

c) oтображение f биективное.

1.7. Составить композиции f g и g f следующих функций:

f(x) = sin x, g(x) = x2.

1.8. Составить композиции,,,, где a) (x) = x2, (x) = 2x ;

b) (x) = sign x, (x) = 1 x;

0 при x 0, x при x 0, c) (x) = = x2 при x < 0 ;

0 при x < 0.

28 Глава 1. Предварительные сведения 1.9. Исследовать на четность и на нечетность следующие функции:

a) y = sin x - 3 sign x;

b) y = (x2 - 1) (x2 + 1) + 7 cos x - 2;

c) y = x + cos x ;

ln d) y = |x2 - 1| - ln |x2 + 1| ;

e) y = ln(x + 1 + x2);

f) y = 2 sin 3x - 2 cos x.

1.10. Доказать следующие утверждения:

a) Любую функцию с симметричной областью определения мож но однозначно представить в виде суммы четной и нечетной функций.

b) Если в выражении (x2 + x + 1)1000 + (x2 - x + 1) раскрыть скобки и привести подобные члены, то все слагае мые, содержащие нечетные степени переменного x, взаимно уничтожатся.

c) Если в выражении (x2 + x + 1)1000 - (x2 - x + 1) раскрыть скобки и привести подобные члены, то все слагаемые, содержащие четные степени переменного x, взаимно уничто жатся.

1.11. Исследовать на периодичность следующие функции и найти груп пы их периодов:

a) f1(x) = sin x + tg x;

lg sin 5x b) f2(x) = 3 ;

1 c) f3(x) = sin x + sin 2x + sin 3x;

2 d) f4(x) = cos x + cos x;

1, если число x рациональное, e) D(x) = 0, если число x иррациональное.

f) x R : f(x) = c;

g) sin |R+ (сужение синуса на положительный луч).

Глава ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ЧИСЛА.

ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ § 1. Натуральные, целые, рациональные числа 1. Отношение эквивалентности, классы эквивалентности Иногда бывает целесообразнo различные элементы данного множества рассматривать как одинаковые (или, как говорят, отождествлять). На пример, интересуясь длиной прямолинейного отрезка, можно не различать конгруэнтные1 между собой отрезки. Если речь идет о направлении в про странстве, то нет необходимости различать параллельные прямые. С точки зрения измерения величин естественно считать равными, например, такие обыкновенные дроби: 3 5 и 9 15.

Определение 27. Бинарным отношением на множестве M назы вается любое подмножество R декартова произведения M M. Если (a;

b) R, то говорят, что элементы a и b находятся между собой в отношении R (записывается это иногда так: aRb).

Задавая различные подмножества множества M M, будем получать, таким образом, различные бинарные отношения (или соответствия) на M. Примером бинарного отношения на M является график любого отоб ражения f : M - M. Здесь остановимся на так называемых отношениях эквивалентности.

Определение 28. Отношением эквивалентности на множестве M называется такое бинарное отношение на M (обозначим его здесь сим Конгруэнтные (от лат. congruens в смысле совпадающий ) это такие, которые можно совместить один с другим с помощью перемещения в простран стве.

30 Глава 2. Формирование понятия числа волом ), которое a, b, c M удовлетворяет следующим условиям:

(a) a a (рефлексивность);

(b) a b b a (симметричность);

a b (c) = a c (транзитивность).

b c Определение 29. Пусть отношение эквивалентности на мно жестве M. Класс эквивалентности Ka элемента a M определяется так:

Ka := {b M | b a}.

Теорема 4. Любые два класса эквивалентности либо не пересекают ся, либо совпадают.

Считается, что M и заданы. Пусть Ka и Kb классы эквива лентности. Если Ka Kb =, то c Ka Kb. По определению 29 имеем:

c a и c b, откуда по симметричности и транзитивности заключаем, что a b. Поэтому Ka = Kb.

Определение 30. Фактор-множеством множества M по отноше нию эквивалентности называется множество M, элементами ко торого являются всевозможные классы эквивалентности, т. е.

M := {Ka | a M}.

Построение фактор-множеств является одним из средств, с помощью которых можно формировать новые понятия, исходя из тех, которые уже сформированы. Этот метод будет использован ниже при формировании понятия числа.

2. Мощность множества.

Целые положительные числа Определение 31. Два непустых множества называются равно мощными, если существует биективное отображение одного из них на другое.

Например, множества всех точек любых двух прямолинейных отрезков равномощны. Чтобы в этом убедиться, возьмем два отрезка AB и CD, затем с помощью вспомогательных биекций (перемещений) добьемся того, чтобы данные отрезки заняли положение отрезков OM и ON, показанных на рис. 9. Требуемая биекция между отрезками OM и ON может быть § 1. Натуральные, целые, рациональные числа взята в виде2 P Q, где P и Q точки пересечения этих отрезков с прямыми, параллельными прямой NM.

Теорема 5. Равномощность есть отношение эквивалентности на любой непустой совокупности множеств.

Обозначим символом отношение равномощности. Покажем, что оно обладает всеми свойствами, указанными в определении 28. Пусть M, M1, M2, M3 множества из данной совокупности. Так как тождест венное отображение Id : M - M есть биекция, то M M, т. е. выпол нено условие рефлексивности. Пусть, далее, M1 M2. Тогда существует биекция f : M1 - M2. Однако для всякой биекции существует обратная биекция f-1 : M2 - M1 (в силу теоремы 1 из гл. 1). Таким образом, M2 M1, т. е. выполнено условие симметричности. Предположим теперь, что M1 M2 и M2 M3. Тогда существуют биекции f1 : M1 - M2 и f2 : M2 - M3. Их композиция f2 f1 : M1 - M3 также является биек цией, поэтому M1 M3, т. е. выполнено и условие транзитивности.

Используя теоремы 4 и 5, можно любую совокупность множеств раз бить на попарно непересекающиеся классы эквивалентности. Тем самым вводится понятие мощности множества.

Определение 32. Мощностью множества M будем называть класс множеств, равномощных с множеством M.

Для обозначения мощности используются различные символы, напри мер, такие: card, #. Условимся, однако, в этом пункте мощность множества M обозначать символом |M|. Чтобы ввести понятие натурального числа, станем подразделять множества на конечные и бесконечные. Основным свойством, отличающим бесконечные множества от конечных, является то, что всякое бесконечное множество равномощно некоторому его соб ственному подмножеству. Например, множество всех точек отрезка OM равномощно множеству всех точек отрезка OQ (рис. 9). Но очевидно, что OQ OM.

Определение 33. Непустое множество M называется конечным, если оно не равномощно никакому его собственному подмножеству. Мощ ности |M| непустых конечных множеств условимся называть нату ральными числами.

Символом N будем обозначать множество всех натуральных чисел.

Желая ввести для них обозначения, возьмем непустое конечное множество M. Так как M =, то a M. Если M {a} =, то полагаем 1 := |M|, вводя тем самым натуральное число 1. Если M {a} =, то b M {a}.

Если M {a, b} =, то полагаем 2 := |M|, вводя тем самым натуральное Условимся использовать стрелку в качестве символа биективного отоб ражения.

32 Глава 2. Формирование понятия числа N P C D O M Q A B Рис. 9. Биекция между отрезками прямых число 2. Если M {a, b} =, то c M {a, b}. Если M {a, b, c} =, то полагаем 3 := |M|, вводя тем самым натуральное число 3. Продолжая этот процесс до тех пор, пока не окажется, что M { a, b, c,..., p } =, вводим тем самым натуральное число n := |M| = |{ a, b, c,..., p }|.

Таким образом, вводя обозначения для мощностей всех попарно неравно мощных конечных множеств, можно представить множество N в следую щем виде:

N := {1, 2, 3,..., n,...}, где многоточия заменяют невыписанные натуральные числа. Множество N, очевидно, бесконечное. Введем арифметические операции над натураль ными числами.

Определение 34. Сумму двух натуральных чисел определим ра венством a + b := |A B|, где A и B непересекающиеся конечные множества, для которых a = |A|, b = |B|.

Очевидно, что сумма a+b не зависит от выбора конкретных множеств A и B, а из коммутативности и ассоциативности операции вытекают соответствующие свойства суммы чисел a + b = b + a, a + (b + c) = (a + b) + c.

Определение 35. Пусть A, B непустые конечные множества, причем A B, A = B. Пусть a = |A| и b = |B|. Разность d = a - b определяется так: a - b := |A B|.

Поскольку A B = A = (A B) B, причем (A B) B =, то a = d + b, т. е. d = a - b a = b + d.

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа Определение 36. Произведение a · b натуральных чисел a и b опре делим так: a · b := |A B|, где A и B конечные множества, для которых a = |A|, b = |B|.

Так как отображение (a ;

b) (b ;

a) есть биекция множества A B на множество B A, то произведение обладает свойством коммутативно сти, т. е. a·b = b·a. Далее нетрудно показать, что (AB)C A(BC), откуда вытекает ассоциативность умножения: (a · b) · c = a · (b · c).

Далее, если B C =, то (A B) (A C) =, так как у пар (x, y) A B и (u, v) A C вторые компоненты заведомо различны (т. е. y = v). Поэтому a · (b + c) = |A (B C)| = |(A B) (A C)| = a · b + a · c, т. е. имеет место распределительный закон. И наконец, a · 1 = a, так как A {x} A в силу биекции (a;

x) a множеств A {x} и A.

3. Отношение порядка на множестве N Пусть a, b, c N.

Определение 37. Будем говорить, что a < b, если d N : a + d = b.

Теорема 6 (свойство линейной упорядоченности). Для любых двух натуральных чисел выполняется только одно из следующих соотно шений:

a = b, a < b, b < a.

Пусть A, B такие множества, что |A| = a, |B| = b. Если A B, то a = b. Если же A = B, то множества A и B неравномощны. В этом случае либо существует инъекция A - B, и тогда a < b, либо существует инъекция B - A, и тогда b < a.

Справедливы также следующие свойства, на обосновании которых не останавливаемся:

a < b a + c < b + c, a, b, c N :

a < b a · c < b · c.

Теорема 7 (свойство транзитивности). Пусть a, b, c N. Если a < b < c, то a < c.

34 Глава 2. Формирование понятия числа Существуют числа d1, d2 N, такие, что a + d1 = b, b + d2 = c.

Отсюда a + (d1 + d2) = b + d2 = c, т. е. a < c.

Кроме того, справедливы неравенства 1 < 2 < 3 <... < n <....

Отсюда очевидно, в частности, что 1 есть наименьшее натуральное чис ло. Более того, справедливо следующее свойство полной упорядоченности множества N.

Теорема 8. В любом непустом подмножестве множества N содер жится наименьшее число.

Пусть M такое множество натуральных чисел, что M N.

Если 1 M, то 1 и будет наименьшим числом. Если 1 M, но 2 M, / то 2 будет наименьшим числом. Продолжая этот процесс, мы найдем в M наименьшее число. Действительно, в противном случае окажется, что M N =. С другой стороны, M N. Пересекая это с M, находим:

M = M M N M =. Значит, M = противоречие.

Теорема 9 (принцип полной индукции). Пусть A(n) высказы вательная функция (предикат), зависящaя от натурального аргумента n. Если высказывание A(1) истинное, и высказывание k N : A(k) A(k + 1) также истинное, то и высказывание n N : A(n) истинное.

Введем два множества:

U := {n N | высказывание A(n) истинное}, V := {n N | высказывание A(n) ложное}.

Очевидно, что U V =, U V = N. Если предположить, что V =, то по теореме 8 в нем есть наименьшее число p. Так как p V, то высказывание A(p) ложное. Так как p наименьшее число с та ким свойством, то p > 1, а высказывание A(p - 1) истинное. Однако по условию имеем: A(p - 1) A(p), т. е. высказывание A(p) истин ное. Получено противоречие. Из него заключаем, что V =, и, значит, U = N.

Приведем два примера на применение принципа полной индукции. В качестве первого примера докажем, что n N -1 имеет место так называемое неравенство Бернулли (1 + )n 1 + n ·. (2.1) Берн швейцарская семья, представителями которой являются улли известных математиков. Неравенство (2.1) принадлежит Якобу Бернулли (1659 1705).

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа При n = 1 это неравенство очевидно. Предполагая, далее, что неравенство (2.1) выполняется, имеем:

(1+)n+1 = (1+)n·(1+) (1+n·)(1+) = 1+n·++n·2 1+(n+1)·.

Таким образом, из неравенства (2.1) следует неравенство (1 + )n+1 1 + (n + 1) ·.

В качестве второго примера покажем, что n N справедлива форму ла бинома Ньютона n n (a + b)n = akbn-k, (2.2) k k= n n!

где := числа, называемые биномиальными коэффици k k! · (n - k)!

ентами5.

При n = 1 равенство (2.2) очевидно, а при n = 2 и n = 3 оно переходит в соответствующие формулы сокращенного умножения (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3, известные из школьного курса математики. Предполагая, далее, что ра венство (2.2) выполняется, имеем n n n n (a + b)n+1 = akbn-k · (a + b) = (akbn-k+1 + ak+1vn-k) = k k k=0 k= n n- n n = a0bn+1 + akbn-k+1 + ak+1bn-k + an+1b0 = k k k=1 k= n n n = bn+1 + + akbn-k + an+1 = k k + k= n n+ n + 1 n + = bn+1 + akbn+1-k + an+1 = akvn+1-k.

k k k=1 k= Ньютон Исаак (1643 1727) знаменитый английский математик и физик, один из создателей математического анализа.

Символ n! читается эн факториал и определяется при натуральных n > равенством n! := 1 · 2 ·... · n. Кроме того, по определению полагают: 1! := 1 и, более того, 0! := 1.

36 Глава 2. Формирование понятия числа В этих преобразованиях было использовано тождество n n n + + =, k k + 1 k + которое легко доказывается.

Имеем n n n! n!

+ = + = k k + 1 k!(n - k)! (k + 1)!(n - k - 1)!

n! 1 1 n! (n + 1) = + = · = k!(n - k - 1)! n - k k + 1 k!(n - k - 1)! (k + 1)(n - k) (n + 1)! n + = =.

(k + 1)!(n - k)! k + Теорема 10 (свойство Архимеда). Пусть a, b N, и a b.

Существует единственное p N такое, что b · p a < b · (p + 1).

Покажем сначала, что любое a N обладает свойством быть превзойденным некоторым целократным числа b N. С этой целью при меняем индукцию по числу a N. Так как 1 < b + 1 2b, то число a = таким свойством обладает. Далее, если a < b · n, то a + 1 < b · n + 1 b · n + b = b · (n + 1).

Этим вспомогательное утверждение доказано. По теореме 8 среди чисел n, для которых a < b · (n + 1), есть наименьшее. Обозначая его через p, имеем: b · p a < b · (p + 1).

4. Построение кольца всех целых чисел Построение проводится методом симметризации. Суть его заключа ется в том, что к множеству N добавляют новые элементы (нуль и отрица тельные целые числа), распространяют на них арифметические операции сложения, вычитания и умножения, а также отношение неравенства. Мо тивом расширения множества N служит проблема обеспечения неограни ченной возможности вычитания. На множестве N эта возможность огра ничена, так как по определению 35 вычитать можно только от б ольшего числа м еньшее.

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа Целое число 0 (нуль) вводим как мощность пустого множества, т. е. полагаем 0 := ||. Так как для любого непустого конечного множества M выполняются соотношения M, M = M = M, M =, M M =, то естественно считать, что n N выполнено неравенство 0 < n, а также равенства n ± 0 = n, n · 0 = 0, n - n = 0. (2.3) Введем теперь два биективных образа множества N. Первый из них назовем множеством всех положительных целых чисел +N := {+1, +2,..., +n,...}, а второй множеством всех отрицательных целых чисел -N := {-1, -2,..., -n,...}.

Объединяя эти множества и множество { 0 }, получим множество Z всех целых чисел:

Z := (-N) {0} (+N) = {..., -2, -1, 0, +1, +2,...}.

Подчиняя введенные числа неравенствам... < -2 < -1 < 0 < +1 < +2 <...

с сохранением свойства транзитивности, превращаем Z в линейно упо рядоченное множество (т. е. на Z справедлива теорема 6).

Чтобы ввести на Z арифметические операции, сначала отождествим целые положительные числа с соответствующими натуральными числами, т. е. положим:

n N : n := +n := -(-n).

При таком соглашении имеет место включение N Z. Тем самым и ариф метические операции над натуральными числами переносятся на целые числа (но не на все!).

Переходя к распространению арифметических операций на любые па ры целых чисел, прежде всего считаем равенства (2.3) выполненными для любого целого n. Кроме того, полагаем: 0 = +0 = -0.

Определение 38. Модуль (или абсолютную величину) целого числа a определим как целое неотрицательное число |a|, равное6 max{a, -a}, т. е. полагаем |a| := max{a, -a}.

Символами max M и min M обозначаются соответственно наибольший и наи меньший элементы числового множества M.

38 Глава 2. Формирование понятия числа Определение 39. Сумма двух целых чисел одинаковых знаков счи тается равной числу того же знака, что и слагаемые, а модуль их суммы равен сумме модулей слагаемых. Сумма двух чисел разных знаков счита ется числом того же знака, что и б по модулю слагаемое, а модуль ольшее ее считается равным разности модулей слагаемых.

Теорема 11. Для любых a, b, c Z имеем (a) a + b = b + a (коммутативность);

(b) a + (b + c) = (a + b) + c (ассоциативность);

(c) a + 0 = 0 + a = a (свойство нуля);

(d) a + (-a) = 0 (сумма противоположных чисел).

Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы (оно простое), от метим только, что множество Z всех целых чисел образует коммутатив ную или белеву7 группу8 относительно операции сложения. Определив сумму любых двух чисел, легко определить и их разность, сводя ее к сум ме a - b := a + (-b).

Теорема 12 (неравенства треугольника). Для любых a, b Z справедливы следующие неравенства:

|a| - |b| |a + b| |a| + |b|. (2.4) Докажем сначала правое неравенство (2.4). Если a = 0 либо b = 0, то это неравенство выполняется, так как обращается в равенство в силу первого из равенств (2.3). Если знаки чисел a и b одинаковые, то оно также обращается в равенство согласно определению 39. Если же знаки чисел a и b противоположные, то в силу того же определения выполняется строгое неравенство |a + b| < |a| + |b|.

Используя, далее, правое неревенство (2.4), имеем |a| = |(a + b) - b| |a + b| + | - b| = |a + b| + |b|.

Отсюда получаем |a + b| |a| - |b|.

Операция умножения целых чисел определяется с использованием опе рации умножения натуральных чисел и известного правила знаков следу ющим образом.

Определение 40. Произведение a · b целых чисел a, b Z определя ется следующим образом:

a · b, если a 0, b 0, a · b := |a| · |b|, если a 0, b 0, -|a| · |b| в остальных случаях.

Aбелевой группа названа в честь норвежского математика Н. Г. Абеля (1802 1829).

Понятие группы дано в гл. 1, § 3, п. 6.

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа Теорема 13. Для любых a, b, c Z имеем (a) a · b = b · a (коммутативность);

(b) a · (b · c) = (a · b) · c (ассоциативность);

(c) 1 · a = a · 1 = a (свойство единицы);

(d) a · (b + c) = a · b + a · c (дистрибутивность);

a = 0, (e) a · b = 0 (отсутствие делителей нуля).

b = Не останавливаясь на доказательстве этой теоремы, отметим, что мно жество Z всех целых чисел вместе с операциями сложения и умножения является кольцом (в алгебраическом смысле).

Кольцом называется всякое множество, в котором введены две опе рации (называемые обычно сложением и умножением). По отношению к операции сложения должны выполняться все утверждения теоремы 11.

По отношению к операции умножения должны выполняться условия ассо циативности и дистрибутивности. Если выполнена коммутативность умно жения, то кольцо называется коммутативным;

если в нем есть элемент 1, то оно называется кольцом с единицей. Если же выполнено и условие (e) из теоремы 13, то оно называется кольцом без делителей нуля.

5. Построение множества всех рациональных чисел Пусть a = 0 и b заданные целые числа, и пусть требуется раз делить b на a, т. е. найти такое число x, для которого выполнялось бы равенство a · x = b. Легко видеть, что это уравнение имеет целое решение не для любых a = 0 и b. Например, уравнение 3 · x = целых решений не имеет, а уравнение 7 · x = 14 имеет. В подобных случаях говорят: возможность деления в кольце Z ограничена.

Желая обеспечить неограниченную возможность деления, приходят к необходимости введения новых (рациональных) чисел. Предвари тельно вводятся так называемые обыкновенные дроби.

Определение 41. Обыкновенными дробями условимся назы вать элементы декартова произведения Z (Z {0}).

Пусть (m, n) Z (Z {0}). Условимся обыкновенную дробь m (m, n) записывать в виде m : n, или m n, или. Таким обра n зом, множество всех обыкновенных дробей можно записать в такой 40 Глава 2. Формирование понятия числа форме m Z (Z {0}) = m Z, n Z {0}. (2.5) n Введем на этом множестве отношение эквивалентности (т. е. отноше ние равенства дробей).

Определение 42. Равенство обыкновенных дробей определяет ся следующим образом:

m1 m def = m1 · n2 = m2 · n1. (2.6) n1 n Таким образом, равенство обыкновенных дробей сводится к ра венству целых чисел. А так как равенство целых чисел обладает свой ствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, то этими же свойствами обладает и отношение равенства обыкновенных дробей. Используя затем теорему 4, можно разбить множество всех обыкновенных дробей на попарно непересекающиеся классы, каждый из которых состоит из всех равных между собой дробей. Эти классы и называют рациональными числами.

Определение 43. Рациональными числами условимся назы вать классы эквивалентности множества (2.5) всех обыкновенных дробей по отношению (2.6) равенства дробей.

Символом Q будем обозначать множество всех рациональных чи сел, т. е. следующее фактор-множество:

Q := (Z Z {0}) =.

Условимся также отождествлять целые числа k Z с класса ми эквивалентности обыкновенных дробей вида k 1. Учитывая это, имеем Z Q, и таким образом, множество Q есть расширение мно жества Z.

6. Арифметические операции над рациональными числами Сначала введем понятие поля (в алгебраическом смысле).

Определение 44. Множество P называется полем, если в нем введены две операции (сложение и умножение), которые a, b, c P § 1. Натуральные, целые, рациональные числа обладают следующими свойствами:

(a) a + b = b + a ;

(b) a + (b + c) = (a + b) + c ;

(c) 0 P : a + 0 = a ;

(d) !(-a) P : a + (-a) = 0 ;

(e) a · b = b · a ;

(f) a · (b · c) = (a · b) · c ;

(g) 1 P : a · 1 = a ;

(h) a · (b + c) = a · b + a · c ;

(i) a = 0 a-1 P : a · a-1 = 1.

Замечание. Отметим прежде всего, что символ ! из (d) здесь и всю ду в дальнейшем читается так: существует единственное. Если выпол нены все условия, кроме последнего (т. е. кроме условия (i)), то P есть кольцо, каковым является, например, множество Z всех целых чисел. Та ким образом, поле это кольцо с единицей, в котором выполнено условие (i), обеспечивающее неограниченную возможность деления. Вводя надле жащим образом арифметические операции над рациональными числами, покажем, что множество Q является полем.

Определение 45. Арифметические операции над обыкновенны ми дробями определяются следующими равенствами:

m1 m2 m1 · n2 ± m2 · n ± := ;

n1 n2 n1 · n m1 m2 m1 · m · := ;

(2.7) n1 n2 n1 · n m1 m2 m1 · n :=.

n1 n2 n1 · m Пусть r1, r2 рациональные числа, а m1 n1, m2 n2 представ ляющие их дроби. Рациональные числа r1 ± r2, r1 · r2, r1 r определяются как классы дробей, равных правым частям соответ ствующих равенств (2.7).

Это определение является корректным, так как при замене дро бей m1 n1 и m2 n2 равными им дробями числители и знамена тели правых частей равенств (2.7) всегда умножаются на одни и те 42 Глава 2. Формирование понятия числа же числа, т. е. правые части тоже заменяются эквивалентными им дробями.

Теорема 14. Множество Q всех рациональных чисел вместе с операциями, введенными в определении 45, являeтся полем.

Для доказательства надо проверить выполнение условий (a) (i), перечисленных в определении 44. Сначала эти условия прове ряются для операций (2.7) над обыкновенными дробями. Но свойства (a) (h) для дробей следуют из соответствующих свойств операций над целыми числами, а эти свойства мы считаем установленными.

И наконец, пусть r Q, r = 0, и пусть m n дробь, представ m ляющая число r, причем ясно, что m = 0, n = 0. Тогда дробь n m n n обладает таким свойством: · = 1, т. е. дробь представляет n m m некоторое рациональное число, которое естественно обозначить r-1, или 1 r, или 1 : r.

Замечание. В поле Q, как и во всяком поле, отсутствуют делители нуля, т. е.

r1 = 0, r1 · r2 = r2 = 0.

- Предположим, что r1 ·r2 = 0 и r1 = 0. Тогда r1 Q, и мы имеем -1 -1 - r2 = 1 · r2 = (r1 · r1) · r2 = r1 · (r1 · r2) = r1 · 0 = 0, т. е. r2 = 0.

7. Отношение порядка на множестве Q Распространим теперь отношение неравенства с множества Z на множество Q.

Определение 46. Пусть r Q, а m n дробь, представляю щая число r. Будем считать, что r > 0, если m и n целые чис ла, имеющие одинаковые знаки. Пусть r1, r2 любые рациональные числа. Будем считать, что r1 > r2, если и только если r1 - r2 > 0.

Это определение является корректным, так как при переходе от дроби m n к равной ей дроби свойство числителя и знаменателя § 1. Натуральные, целые, рациональные числа быть числами одного знака не нарушается. Далее считаем, что def r1 > r2 r2 < r1, def r1 > r2, r1 r r1 = r2 ;

def r1 < r2, r1 r r1 = r2.

Теорема 15 (свойство линейной упорядоченности). Для любых r1, r2 Q имеет место только одно из следующих соот ношений:

r1 < r2 ;

r1 = r2 ;

r1 > r2.

Возьмем обыкновенные дроби m1 n1 и m2 n2, представля ющие числа r1 и r2 соответственно, и составим разность m1 m2 m1 · n2 - m2 · n - :=.

n1 n2 n1 · n Для дроби в правой части последнего равенства реализуется только одна из следующих возможностей: либо m1 · n2 - m2 · n1 = 0, тогда r1 = r2, либо числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (тогда r1 > r2 ), либо они имеют разные знаки (тогда r1 < r2 ).

Определение 47. Модуль (абсолютная величина) числа r Q определяется равенством |r| := max{r, -r}.

Очевидно, что |r| 0, причем |r| = 0 r = 0.

Теорема 16 (неравенство треугольника). Для любых r1, r Q справедливы следующие неравенства:

|r1| - |r2| |r1 + r2| |r1 + r2|. (2.8) Желая установить правое неравенство (2.8), представим ра циональные числа r1 и r2 в виде обыкновенных дробей с общим положительным знаменателем n m1 m r1, r2, где n N.

n n 44 Глава 2. Формирование понятия числа Для таких дробей, используя теорему 12, получим:

m m2 |m1 + m2| |m1| + |m2| m1 m 1 + = = +, n n n n n n т. е. |r1 + r2| |r1| + |r2|. Левое неравенство (2.8) легко получить как следствие правого.

Следующая теорема не имеет аналога в Z.

Теорема 17 (свойство плотности). Для любых двух не рав ных между собой чисел r1, r2 Q существует число, заключенное между ними (существует даже бесконечное множество таких чи сел).

Пусть r1 < r2. Полагаем r := (r1 + r2) 2. Легко проверить, что r1 < r < r2. В самом деле, имеем r - r1 = (r1 + r2) 2 - r1 = (r2 - r1) 2 > 0, так как r2 > r1. Аналогично проверяется и второе неравенство.

Вставляя между r1 и r, между r2 и r новые числа и продолжая этот процесс, получим последнее утверждение теоремы.

Теорема 18 (свойство транзитивности). Имеем r1 < r = r1 < r3.

r2 < r Имеем r2 - r1 > 0 и r3 - r2 > 0. Складывая эти неравенства, получим r3 - r1 > 0.

8. Представление рациональных чисел в виде бесконечных десятичных дробей Сначала введем соответствующие понятия.

Определение 48. Десятичной мантиссой условимся называть всякое отображение вида N - { 0 ;

1 ;

2 ;

3 ;

4 ;

5 ;

6 ;

7 ;

8 ;

9 }. (2.9) Условимся записывать мантиссу в виде n1n2... nk..., где k - nk поэлементная запись отображения (2.9).

§ 1. Натуральные, целые, рациональные числа Определение 49. Бесконечной десятичной дробью условимся называть всякое выражение вида ±n0. n1n2... nk..., где n0 целое неотрицательное число, а после десятичной точки записана десятичная мантисса.

Условимся каждую конечную десятичную дробь рассматривать как бесконечную, мысленно дописывая к ней последовательность, со стоящую из одних нулей. Бесконечные десятичные дроби подразде ляются на периодические и непериодические в зависимости от свойств их мантисс.

Определение 50. Мантисса n1n2... nk... называется перио дической, если ее можно представить в виде n1n2... nk... =... (nk... nk+p), где символ (nk... nk+p) означает, что последовательность цифр nk... nk+p считается записанной вправо бесконечно много раз под ряд.

Теорема 19. Каждое рациональное число можно представить в виде бесконечной периодической дроби. Обратно, каждая та кая дробь представляет некоторое рациональное число. Это соот ветствие будет биективным, если исключить из рассмотрения все периодические дроби, периодом которых является цифра 9.

Проиллюстрируем эту теорему на примере. Получить из обык новенной дроби, представляющей данное рациональное число, беско нечную десятичную дробь можно, деля ее числитель на знаменатель столбиком. Например, 5.000000 | 50 | 0. © © © © © © Последовательные остатки от этого деления записаны в кружочках, их всего шесть, и все они различны. Последний из выписанных остат 46 Глава 2. Формирование понятия числа ков равен 5, поэтому при дальнейшем делении последовательность частных и остатков начнет повторяться. Отсюда легко заключить, что 5 7 = 0.(714285), т. е. обыкновенная дробь представлена в виде десятичной периодической.

Обратно, каждую периодическую дробь можно представить в ви де суммы конечной десятичной дроби и бесконечно убывающей гео метрической прогрессии. Суммируя прогрессию по известной форму ле9, получим обыкновенную дробь. Например, 37 37 37 1.(37) = 1 + 0.(37) = 1 + + +... = 1 + = 100 1002 1 - 1 37 = 1 + =.

99 Последнее утверждение теоремы связано с тем, что некоторые ра циональные числа (а именно те, которые представлены в виде конеч ных десятичных дробей) можно представить в виде двух различных бесконечных десятичных дробей. Например, 1 = 1.(0) = 0.(9).

9. Изображение рациональных чисел точками числовой оси Напомним, что числовой осью (рис. 10) называется прямая ли ния, на которой зафиксирована точка O (начало отсчета), по ложительное направление (например, слева направо) и масштаб (т. е. отрезок OA, длина которого принимается равной 1). Положи тельное направление на числовой оси указывается на рисунках стрел кой. Противоположное направление называется отрицательным.

Теорема 20. Существует инъективное и сохраняющее линей ный порядок отображение множества Q всех рациональных чисел в множество всех точек числовой оси.

Построим это отображение. Сначала сопоставим числу 0 (нуль) точку O (начало отсчета). Далее, откладывая от точки O в положительном направлении (т. е. вправо) 1, 2, 3,... раз отрезок OA (единицу масштаба), получим точки, соответствующие натуральным Имеется в виду равенство 1 + q + q2 +... =, где |q| < 1.

1 - q § 1. Натуральные, целые, рациональные числа числам. Откладывая затем отрезок OA от точки O влево 1, 2, 3,...

раз, получим изображения целых отрицательных чисел. Пусть теперь n > 1 натуральное число. Откладывая отрезок длины 1 n вправо и влево m раз, получим изображения рациональных чисел, представ ленных обыкновенными дробями. Поскольку число n произволь ное, то таким способом на оси можно изобразить все рациональные числа. Так как различные рациональные числа можно представить в виде различных обыкновенных дробей, имеющих один и тот же зна менатель, то различные рациональные числа изобразятся различны ми точками числовой оси.

Замечание. В заключение отметим, что указанное в теореме 20 отоб ражение не является биективным. Это означает, что на числовой оси оста лись точки, которые не являются образами рациональных чисел при ука занном выше отображении.

B Возьмем, например, (см. рис. 10) точку C такую, что отрезок OC конгруэнтен диагонали квадрата со сторо ной, равной 1. Тогда в силу тео ремы Пифагора должно быть O A C X Рис. 10. Числовая ось |OC|2 = |OB|2 = 1 + 1 = 2, т. е. квадрат длины отрезка OC должен быть равен 2. Предполагая, что |OC| = p q, где p q несократимая дробь, получим p2 = 2q2, откуда видно, что число p четное, т. е. p = 2p1. Но тогда q2 = 2p2, откуда следует, что и число q четное. Таким образом, дробь p q оказалась сократимой. Полученное противоречие показывает, что точке C не соот ветствует никакое рациональное число.

Желание добиться того, чтобы любая точка числовой оси была изображением некоторого числа, является одним из оснований для введения новых (вещественных) чисел. Это будет сделано в следую щем параграфе.

Здесь символом |OC| обозначена длина отрезка OC.

48 Глава 2. Формирование понятия числа § 2. Вещественные числа 1. Сечения Дедекинда Напомним, что символом Q мы условились обозначать множест во (поле) всех рациональных чисел. Желая его расширить, введем понятие сечения.

Определение 51. Множество Q называется сечением, если выполнены следующие условия:

(I) Q ;

p (II) = q ;

q < p (III) Множество не содержит наибольшего числа.

Условимся в этом пункте употреблять буквы p, q, r,... толь ко для обозначения рациональных чисел. Сечения условимся обозна чать, как правило, буквами,,,.... Исключения будут состав лять те случаи, когда сечение будет явным образом связано с неко торым рациональным числом.

Теорема 21. Если p, а q, то q > p.

/ Предположим противное: q p. Если q = p, то получим:

p и p противоречие. Если же q < p, то в силу свойства / (II) имеем: q опять противоречие.

Принимая во внимание эту теорему, будем называть элементы множества нижними числами сечения, а элементы, не принад лежащие, верхними числами сечения. В силу свойства (III) среди нижних чисел сечения нет наибольшего. Однако наимень шее верхнее число может как существовать, так и не существовать.

Покажем последнее на примерах.

Лемма. Пусть множество, включающее в себя все отри цательные числа, нуль и все положительные рациональные числа, квадрат которых меньше двух. Множество сечение, притом такое, что среди его верхних чисел нет наименьшего.

§ 2. Вещественные числа Выполнение условий (I) и (II) для введенного множества очевидно. Введем, далее, множества A := {r Q+ | r2 < 2}, (2.10) B := {r Q+ | r2 > 2}, где символом Q+ условимся обозначать множество всех положитель ных рациональных чисел.

Пусть p A. В силу свойства плотности существует h Q такое, что 2 - p 0 < h < min 1 ;

.

2p + Для него имеем 2 - p (p + h)2 = p2 + 2ph + h2 = p2 + (2p + h) · h < p2 + (2p + 1) · = 2, (2p + 1) откуда (p + h)2 < 2, т. е. p + h. Итак, множество не содержит наибольшего числа, т. е. выполнено (III), и, значит, сечение.

Покажем, что среди верхних чисел, составляющих множество B из (2.10), нет наименьшего. Пусть p B, тогда p > 0 и p2 > 2.

Положим q := p - (p2 - 2) 2p = p 2 + 1 p. Отсюда видно, что 0 < q < p. Далее, 2 p2 - 2 p2 - q2 = p - = p2-(p2-2)+ > 2, откуда q2 > 2, 2p 2p т. е. q B и q < p и, следовательно, число p B не наимень шее.

Однако для некоторых сечений наименьшее верхнее число су ществует. Это вытекает из следующей теоремы.

Теорема 22. Пусть r Q. Определим множество следую щим образом:

:= {p Q | p < r}. (2.11) Тогда сечение, а r наименьшее его верхнее число.

Очевидно, что для множества (2.11) выполняются условия (I), (II). Покажем, что выполняется и (III). Если p, то p < r, и по свойству плотности (теорема 17) имеем: p < (p + r) 2 < r, откуда 50 Глава 2. Формирование понятия числа (p + r) 2. Значит, число p не наибольшее, т. е. выполнено (III). Пусть теперь q верхнее число. Тогда q r, а так как r, / то r тоже верхнее число, притом наименьшее.

Определение 52. Сечение, построенное в теореме 22, будем называть рациональным сечением, а r его пограничным числом.

Желая подчеркнуть, что сечение рациональное, а r его пограничное число, условимся обозначать его так: = r. В теоре ме 22 установлена биекция между рациональными числами и рацио нальными сечениями.

Определение 53. Сечения и считаются равными ( = ), если они равны как множества. В случае = счита ем, что <, если.

Очевидным образом можно определить и следующие отношения между сечениями:, >,. Изучим теперь свойства отношения по рядка на множестве сечений.

Теорема 23 (линейная упорядоченность сечений). Для лю бых сечений и выполняется только одно из следующих трех соотношений:

=, >, <. (2.12) Из определения 53 очевидно, что если =, то ни одно из неравенств (2.12) не выполняется. Так как, =, то в случае = может выполняться не более чем одно из нера венств (2.12). Осталось только показать, что одно из них обязательно выполняется. Итак, пусть =. Тогда p Q такое, что выполнено по меньшей мере одно из следующих соотношений:

p либо p. (2.13) p, / Предположим, что выполняется первое из них, т. е. по p, этому q : q < p, и значит, q. Итак, имеем q = q, т. е. или, что равносильно, <.

Аналогично можно рассмотреть случай, когда выполнено второе из соотношений (2.13).

§ 2. Вещественные числа Теорема 24 (плотность множества сечений). Для любых двух не равных между собой сечений существует сечение, заключен ное между ними (существует даже бесконечное множество таких сечений).

Пусть <. Тогда и =. Поэтому существует ра циональное число r такое, что r и r. Для соответствующего / ему рационального сечения имеем: r, т. е. < r <.

Вставляя между и r, а также между r и новые сечения и продолжая процесс, можно получить сколь угодно много сечений, заключенных между и.

Теорема 25 (свойство транзитивности). Пусть,, сечения. Тогда < < = <.

По условию имеем:, причем все включения стро гие. По свойству транзитивности отношения (включения) имеем строгое включение, т. е. <.

Последние две теоремы показывают, что отношение меньше между сечениями обладает теми основными свойствами, которые обычно связывают с отношениями строгого неравенства. Перейдем теперь к введению арифметических операций над сечениями.

Теорема 26. Пусть, сечения, и пусть := {r Q | p q : r = p + q}. (2.14) Тогда сечение.

Покажем, что множество удовлетворяет всем условиям из определения 51.

(I) Так как = и =, то p и q. Значит, (p+q), т. е. =. Далее, так как = Q, то p, а так как = Q, / то q. Тогда p : p < p и q : q < q. Отсюда находим / p q : p + q < p + q, т. е. p + q, / поэтому = Q.

(II) Пусть r и s < r. Надо показать, что s. Выберем p, q так, чтобы было p + q = r. Уменьшая первое слагаемое, найдем p < p так, чтобы стало p + q = s. Значит, s.

52 Глава 2. Формирование понятия числа (III) Пусть r. Тогда r = p + q для некоторых p, q.

Поскольку существует p > p и p, то p + q > r и p + q.

Значит, число r не наибольшее в.

Определение 54. Сечение, задаваемое равенством (2.14), обо значается символом + и называется суммой сечений и.

Теорема 27. Пусть,, сечения. Тогда (a) + = + ;

(b) ( + ) + = + ( + ) ;

(c) + 0 = ;

(d) ! : + = 0 ;

(e), ! : + =.

Доказательство всех этих фактов не сложное и на нем не оста навливаемся. Сечение, для которого выполнено (d), называется сечением, противоположным к, и обозначается символом (-).

Сечение, для которого выполняется (d), называется разностью се чений и и обозначается -.

Теорема 28. Для любых сечений,, таких, что <, имеем + < +. В частности, полагая = 0, имеем: если > 0, > 0, то + > 0.

По определению 53 <. Далее, используя (2.14), получаем + = {r Q | p q : r = p + q} {r Q | p q : r = p + q} = +.

Отсюда видно, что + +. Посмотрим, когда здесь возможно равенство. Предполагая, что + = + и используя теорему 27(c), находим = 0 + = (- + ) + = - + ( + ) = - + + =, т. е. =. И наконец, если > 0, > 0, то + > > 0, и, значит, + > 0.

Еще более кратко, чем сложение и вычитание, рассмотрим умно жение и деление сечений. Обозначая через Q+ (Q-) множество Напоминаю, что символ ! означает существование и единственность, а сим вол 0 рациональное сечение с пограничным числом 0.

§ 2. Вещественные числа всех положительных (отрицательных) рациональных чисел, устано вим следующую теорему.

Теорема 29. Пусть, положительные сечения, и пусть := Q- {0} {r Q+ | p Q+ q Q+ : r = p · q}. (2.15) Тогда сечение.

Проверим для свойства (I) (III) из определения 51.

(I) Так как 0, то =. Пусть, далее, p, q, тогда / / p Q+ : p < p = p · q < p · q, q Q+ : q < q т. е. p · q, и, значит, = Q.

(II) Пусть r и s < r, где s Q. Надо показать, что s.

Это очевидно в случае s 0, поэтому считаем, что s > 0. Выберем положительные числа p, q так, чтобы было: r = p · q. Так как s < r, то существует p такое, что s = p · q. Значит, s.

(III) Чтобы показать, что не содержит наибольшего числа, возьмем r Q+. Тогда r = p · q для некоторых положитель ных p, q. Так как не содержит наибольшего числа, то p : p > p. Тогда p · q и p · q > p · q, т. е. число r = p · q не наибольшее в.

Определение 55. Сечение, задаваемое равенством (2.15), на зывается произведением неотрицательных сечений и и обо значается символом · (или, короче, ).

Чтобы распространить понятие произведения на любые сече ния (не обязательно неотрицательные), используем известное правило знаков.

Определение 56. Модулем (абсолютной величиной) сечения называется неотрицательное сечение | |, задаваемое следующим образом:

при 0, | | := - при 0.

Очевидно, что || 0, причем | | = 0 = 0.

54 Глава 2. Формирование понятия числа Теорема 30. Для любых сечений, имеем || - || | + | || + ||. (2.16) Установим правое неравенство (2.16). Пусть p |+|. Тогда p = max {p1 + q1;

-p1 - q1} при некоторых p1, q1. Исполь зуя неравенство треугольника для рациональных чисел, получим:

p1 + q1 |p1| + |q1|, и значит, p = max{p1 + q1;

-p1 - q1} max{|p1| + |q1|, -|p1| - |q1|}.

Но |p1| ||, |q1| || и потому max{|p1| + |q1|, -|p1| - |q1|} || + ||, т. е. p || + ||.

Таким образом, | + | || + || или | + | || + ||. Левое неравенство (2.16) является следствием правого.

Используя определение 56, мы дополним определение 55, сняв ограничение положительности сомножителей.

Определение 57. Для любых сечений и полагаем:

-|| · ||, если < 0, > 0, · := -|| · ||, если > 0, < 0, || · ||, если < 0, < 0.

Кроме того, произведение сечений считается равным нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю.

Теорема 31. Пусть,, сечения. Тогда:

(a) · = · ;

(b) ( · ) · = · ( · ) ;

(c) · ( + ) = · + · ;

(d) · 0 = 0 ;

= 0, (e) · = = 0;

(f) · 1 = ;

> (g) = · > · ;

> (h) = 0 ! : · =.

§ 2. Вещественные числа На доказательстве этой теоремы здесь не останавливаемся. Сече ние, для которого выполняется (h), обозначается одной из следу ющих формул:

:,,, и называется частным от деления на. В заключение этого пунк та приведем две теоремы о рациональных сечениях.

Теорема 32. Для любых p, q Q имеем:

(a) p + q = (p + q) ;

(b) p · q = (p · q) ;

(c) p < q p < q.

(а) Если r p + q, то r = s + t для некоторых рациональных s < p и t < q. Складывая эти неравенства, получим r = s + t < p + q, откуда r < p + q и, значит, r (p + q). Этим установлено, что p + q (p + q).

Установим противоположное включение. Пусть r = (p+q), тогда r < p + q. Положим h := p + q - r, s := p - h 2, t := q - h 2.

Так как h > 0, то s p, t q, откуда r = s + t p + q. Итак, (p + q) p + q.

(b) Предположим, что p > 0, q > 0. Если 0 < r p · q, то r = s · t для некоторых положительных рациональных s < p и t < q.

Перемножая эти неравенства, получим r = s · t < p · q. Отсюда нахо дим r = (p · q), и, значит, p · q (p · q).

Обратно, пусть r (p · q) и r > 0. Тогда r < p · q, и существует p < p такое, что r = p · q < p · q. Полагая s := (p + p )/2, t := r/s, имеем 2p · q s < p, t = < q, r = s · t, где s p, t q.

p + p Таким образом, r p · q и, значит, (p · q) p · q. Если условие p > 0, q > 0 не выполнено, то надо применить правило знаков, но мы на этом не останавливаемся.

(c) Если p < q, то p p и p q. Отсюда следует, что p q, / т. е. p < q.

Обратно, если p < q, то p q. Следовательно, существует ра циональное число r такое, что r q и r p. Для него выполняются / 56 Глава 2. Формирование понятия числа неравенства p r < q, откуда по свойству транзитивности находим:

p < q.

Теорема 33. Для любого сечения имеем:

p p <.

Имеем p и p p. Отсюда p = и p. Значит, / p <.

Пусть p <, тогда p. Поэтому существует рацио нальное q такое, что q, q p. Последнее равносильно тому, что / q и p q. Отсюда в силу (II) находим p.

2. Множество R всех вещественных чисел и его полнота В предыдущем пункте были рассмотрены некоторые множества рациональных чисел, названные сечениями. На множестве всех сече ний были введены отношения порядка и арифметические операции.

Было установлено, что так полученная арифметика сечений подчи няется тем же законам, что и арифметика рациональных чисел. Осо бое внимание было уделено множеству всех рациональных сечений и было показано, что упорядоченное поле Q всех рациональных чисел изоморфно упорядоченному полю всех рациональных сечений. Этот изоморфизм (т. е. биекция, сохраняющая арифметические операции и отношение порядка12) установлен в теореме 32. Это позволяет нам отождествить любое рациональное сечение r с порождающим его рациональным числом r. Разумеется, r не то же самое, что r, но их свойства, с которыми приходится иметь дело в анализе (ариф метика и порядок), одинаковы в обоих этих полях. В связи с этим вполне естественно дать следующее определение.

Определение 58. Вещественными (действительными) числа ми условимся называть сечения. Рациональные сечения будем на зывать рациональными числами, а все остальные сечения ирра циональными числами.

Это означает, что при такой биекции б числам соответствуют б ольшим ольшие сечения, сумма переходит в сумму и т. д.

§ 2. Вещественные числа Таким образом, все свойства сечений Дедекинда13, установлен ные в предыдущем пункте, это свойства вещественных чисел. На помним, что множество всех вещественных чисел принято обозна чать символом R. Прилагательные вещественные или действитель ные применяются для того, чтобы отличить эти числа от чисел дру гих типов (комплексных, гиперкомплексных, p-адических и прочих).

Важнейшим для анализа свойством множества R является свойство непрерывности, которое называют также свойством сплошности или полноты. Одной из эквивалентных формулировок, в которой уста навливается это свойство, является следующая теорема.

Теорема 34 (Дедекинд). Пусть A и B такие множества вещественных чисел, что (a) A =, B = ;

(b) A B =, A B = R;

(c) A B : <.

Тогда ! R A B :. (2.17) Докажем сначала единственность числа. Пусть = различные числа, для которых выполнены неравенства (2.17). Пред положим для определенности, что <. По свойству плотности (теорема 24) существует число такое, что < <. Но тогда должно быть A B : < <.

Так как A : <, то A. Аналогично, так как / B : <, то B. Таким образом, A B = R, а / / это противоречит тому, что R множество всех вещественных чи сел. Итак, единственность числа установлена.

Чтобы доказать существование этого числа, введем в рассмотре ние такое множество рациональных чисел:

:= {p Q | A : p < }. (2.18) Покажем, что это множество сечение.

Дедек Рихард (1831 1916) немецкий математик, построивший строгую инд теорию вещественных чисел.

58 Глава 2. Формирование понятия числа (I) Так как A =, то A. Рассматривая как сечение, заключаем, что p Q : p, т. е. p <. Таким образом, p, и, значит, =. Так как A = R, то A, значит, B.

Поскольку как сечение не совпадает с Q, то q Q : q =, т. е.

q. Отсюда и из условия (c) следует, что q. Действительно, A : < < p, т. е. A : p >. Итак, = Q.

(II) Пусть p и q < p, тогда A : q < p <, т. е. q <.

Значит, q.

(III) Если p, то A : p <. По свойству плотности q : p < q <. Поэтому q, и, значит, p не наибольшее в.

Итак, сечение. Рассматривая его как вещественное число, покажем, что для него выполняются неравенства (2.17).

Пусть A и p Q, p <. В силу (2.18) имеем p, т. е.

p = p.

Значит,, т. е..

Пусть теперь B. Согласно условию (c) имеем A : <.

Если p, то p для некоторого. Значит, для этого имеем p < <, откуда p и потому, т. е..

Замечания. 1. Иррациональные числа это те сечения, для каждого из которых не существует наименьшего верхнего числа. Поскольку было установлено, что такие сечения существуют (см. лемму в п. 1), то тем самым установлено существование иррациональных чисел.

2. Так как A B = R и A B =, то для числа, входящего в (2.17), выполняется только одно из соотношений: A либо B. В первом случае является наибольшим числом множества A, а во втором наи меньшим числом множества B.

3. Если попытаться расширить множество R подобно тому, как расши рялось множество Q, то придется строить сечения, элементами которых будут вещественные числа. Однако в силу теоремы Дедекинда для всяко го такого сечения будет существовать наименьшее верхнее число. Поэтому введение сечений не может привести к расширению множества R. В этом проявляется полнота множества R.

Tеперь pассмотрим вопрос о представлении вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей. Понятие бесконечной деся § 2. Вещественные числа тичной дроби было дано в определении 49. В дополнение к нему отме тим, что на множестве всех бесконечных десятичных дробей можно естественным образом ввести арифметические операции и порядок.

Не останавливаясь на соответствующих определениях, отметим, что таким способом множество всех десятичных дробей можно превра тить в линейно упорядоченное поле.

Теорема 35. Если исключить из рассмотрения все периодиче ские дроби, периодом которых является цифра 9, то оказывается, что упорядоченное поле всех остальных бесконечных десятичных дробей изоморфно упорядоченному полю R всех вещественных чи сел.

Ограничимся здесь только установлением биекции между чис лами и дробями. Пусть > 0 число. Пользуясь свойством Архи меда (теорема 10, которая остается справедливой при любом > 0), найдем целое число n0 0 такое, что n0 < n0 + 1. Затем найдем целое число n1 такoe, что n1 n1 + n0 + < n0 +.

10 Затем найдем такoe целое число n2, чтобы было n1 n2 n1 + 1 n2 + n0 + + < n0 + +.

10 102 10 Продолжая этот процесс неограниченно, можно сопоставить числу бесконечную десятичную дробь n0. n1n2... nk..., притом единст венную.

Обратно, пусть дана бесконечная десятичная дробь (положитель ная) n0. n1n2... nk.... Сопоставим ей множество := {p Q | k N : p n0. n1n2... nk}.

Можно показать, что множество сечение, а значит, R. Его и сопоставим данной дроби.

Замечания. 1. Согласно теореме 19, рациональные числа (и только они) изображаются бесконечными периодическими десятичными дробями.

Исключая их из рассмотрения, приходим к выводу, что иррациональные числа (и только они) изображаются бесконечными непериодическими де сятичными дробями.

60 Глава 2. Формирование понятия числа 2. Теорема 35 дает основание определять14 вещественные числа как бесконечные десятичные дроби, что и делают авторы многих учебников.

Теорема 36. Существует биективное и сохраняющее порядок соответствие между множеством R всех вещественных чисел и множеством всех точек числовой оси.

Условимся на числовой оси сопоставлять началу отсчета число 0, а точкам, лежащим в положительном (отрицательном) направле нии, положительные (отрицательные) числа.

Требуемое в теореме 36 соответствие устанавливается с исполь зованием известного процесса измерения отрезков. Чтобы упростить рассуждения, будем считать, что соответствие между рациональны ми числами и точками числовой оси уже установлено (теоремa 20).

Пусть произвольная точка числовой оси, лежащая в поло жительном направлении от начала. Откладывая единицу масштаба в положительном направлении от начала необходимое число раз и пользуясь аксиомой Архимеда, найдем целое неотрицательное число n0 так, чтобы было: n0 < n0+1 (здесь знак неравенства означает лежать левее). Далее, откладывая 1 10 единицы масштаба вправо от точки n0, найдем n1 так, чтобы было n0 + n1 10 < n0 + (n1 + 1) 10.

Откладывая затем 1 100 единицы масштаба вправо от точки n0 + n1 10, найдем n2 так, чтобы было n1 n2 n1 n2 + n0 + + < n0 + +.

10 102 10 Продолжая этот процесс неограниченно, можно сопоставить точке единственную бесконечную десятичную дробь n0. n1n2... nk..., а значит, и вещественное число.

Обратно, пусть положительное (иррациональное) число.

Представляя его в виде бесконечной десятичной дроби = n0. n1n2... nk..., Определять, т. е. давать определение, или, что то же самое, отвечать на во прос: что это такое?

§ 2. Вещественные числа рассмотрим на числовой оси бесконечную последовательность отрез ков [n0 ;

n0 + 1] [n0. n1 ;

n0. n1 + 1 10 ] [n0. n1n2 ;

n0. n1n2 + 1 102]..., где каждый следующий отрезок вложен в предыдущие. Длина k -го отрезка равна 1 10k-1, и ее можно сделать меньше любо го числа за счет выбора достаточно большого k. Например, будет:

0 < 1 10k-1 < при k > 1 + lg(1 ). При этих условиях в курсах геометрии постулируется15 существование на числовой оси един ственной точки, лежащей на всех отрезках. Эту точку и сопостав ляем данному числу.

Замечание. Вещественное число x, которое, согласно теореме 36, со ответствует данной точке M, лежащей на числовой оси, называется ко ординатой точки M. Обозначается это иногда так: M(x). Теорема 36 по казывает, что вещественных чисел достаточно для того, чтобы каждой точке числовой оси приписать координату. В связи с этим часто вообще не различают вещественные числа и точки числовой оси, а множество R всех вещественных чисел отождествляют с множеством всех точек число вой оси.

3. Числовые множества и их границы Определение 59. Числовым множеством называется любое подмножество множества R всех вещественных чисел.

Примеры числовых множеств, {0}, N, Z, Q, R, а также любое непустое конечное множество чисел.

Примерами числовых множеств, наиболее часто встречающихся в классическом анализе, являются так называемые числовые проме жутки. Чтобы их определить, зададим два числа a, b R,и пусть Постулируется, т. е. принимается за аксиому. Эта аксиома является геомет рическим аналогом свойства полноты множества R.

62 Глава 2. Формирование понятия числа a < b. Множество (a, b) = (a ;

b) := {x R | a < x < b} называется открытым промежутком или интервалом.

Множество [a, b] = [a ;

b] := {x R | a x b} называется з амкнутым промежутком или отрезком.

Множества (a, b] = (a ;

b] := {x R | a < x b}, [a, b) = [a ;

b) := {x R | a x < b} называются полуоткрытыми промежутками или полуинтервала ми.

Множества (a, +) = (a ;

+) := {x R | x > a}, (-, b) = (- ;

b) := {x R | x < b} называются открытыми лучами или полубесконечными интер валами. Частными случаями такого рода множеств являются:

R+ := (0, +) (положительный луч) и R- := (-, 0) (отрицатель ный луч).

Множества [a, +) = [a;

+) := {x R | x a}, (-, b] = (-;

b] := {x R | x b} называются полубесконечными отрезками. Встретившиеся выше символы минус бесконечность (-) и плюс бесконечность (+) обозначают некоторые элементы, которые не являются числами. Од нако иногда их присоединяют к множеству R и постулируют, что x R :

- < x < +. Тогда множество R можно записать в виде интервала (открытого промежутка): R = (-, +). Присоединив Здесь возникает досадная накладка в обозначениях, поскольку символом (a, b) ранее обозначалась упорядоченная пара. Что следует понимать под симво лом (a, b), в каждом случае будет ясно из контекста.

§ 2. Вещественные числа элементы (-) и (+) к множеству R, получают так называемое упорядоченное расширение множества R R := {-} R {+}, которое можно записать в виде отрезка (замкнутого интервала) сле дующим образом: R = [-, +]. При такой интерпретации элемен ты (-) и (+) играют роль самого маленького числа и самого большого числа соответственно (хотя числами они, напомним, не яв ляются).

Другими примерами встречающихся в анализе числовых мно жеств являются счeтные множества. Так называется всякое бес конечное множество X такое, что существует биекция f : X N.

Нумеруя с помощью этой биекции элементы множества X, можно записать его в виде X = {x1, x2,..., xn,...}.

Замечание. Известно, например, что множества N, Z, Q являются счетными, а множество R таковым не является.

Определение 60. Числовое множество X называется ограни ченным сверху, если M R x X : x M. (2.19) Число M называется верхней границей множества X. Наимень шая из всех верхних границ называется точной верхней грани цей (или верхней гранью) множества X и обозначается символом sup X (читается: супр икс ).

емум Числовое множество X называется ограниченным снизу, если m R x X : x m. (2.20) Число m называется нижней границей множества X. Наибольшая из всех нижних границ называется точной нижней границей (или нижней гранью) множества X и обозначается символом inf X (чи тается:

инфимум икс ).

Числовое множество X называется ограниченным, если оно ограничено как сверху, так и снизу (т. е. если выполняются оба условия (2.19) и (2.20)).

64 Глава 2. Формирование понятия числа Фундаментальное значение в анализе имеет проблема существо вания у числовых множеств точных границ. Решение этой проблемы содержится в следующей теореме.

Теорема 37. Пусть X = числовое множество. Тогда:

(a) если X ограничено сверху, то существует единственное число sup X;

(b) если X ограничено снизу, то существует единственное число inf X.

(a) Предположим сначала, что среди элементов множества X есть наибольший, т. е. x0 X x X : x x0. Тогда очевидно, что x0 = sup X, поскольку в силу (2.19) x0 есть верхняя граница, притом наименьшая.

Предположим теперь, что среди элементов множества X нет наи большего. Введем в рассмотрение два множества: B совокупность всех верхних границ множества X, и множество A := R B. Тог да A =, поскольку A X = ;

B =, так как множество X ограничено сверху, и, значит, множеству B принадлежат все верхние границы. Далее, A B =, A B = R по построению. И наконец, имеем:

A B x X : < x. (2.21) так как верхняя граница, а не верхняя граница множества X. Из (2.21) находим:

A B : <.

Применяя теорему 34 (Дедекинда), заключаем, что ! R A B :.

Отсюда, учитывая, что X A, заключаем: = sup X.

Утверждение (b) можно доказать аналогично.

Иногда целесообразно рассматривать также точные границы неограниченных множеств. Тогда по определению полагают:

sup X := +, если множество X не пусто и не ограничено сверху, inf X := -, если множество X не пусто и не ограничено снизу.

§ 3. Комплексные числа Если эти определения принять, то для любого непустого числово го множества X существуют точные границы, причем x X будет:

- inf X x sup X +.

И наконец, для пустого множества естественно принять такое определение:

sup := - ;

inf := +.

Читателю рекомендуется подумать, почему должно быть именно так, а не иначе.

§ 3. Комплексные числа Основанием для введения новых чисел обычно является наличие таких задач, для решения которых недостаточно введенных ранее чисел. Класси ческой задачей, для полного решения которой недостаточно одних только вещественных чисел, является алгебраическое уравнение, т. е. уравнение вида xn + p · xn-1 +... + q = 0, где x неизвестное, n N, а все коэффициенты p,..., q вещественные числа. Например, при n = 2 имеем квадратное уравнение x2 + px + q = 0, корни которого содержатся в известной формуле:

p p x1,2 = - ± - q. (2.22) 2 Если p2 4 - q 0, то существует вещественное число p2 4 - q (его существование можно доказать, например, методом сечений Дедекин да). Если же p2 4 - q < 0, то вещественного числа, квадрат которого был бы равен p2 4 - q, не существует. Желая придать смысл правой части равенства (2.22), необходимо ввести такие новые числа, среди которых бы ли бы, в частности, корни квадратные из отрицательных вещественных чисел. Так появляются компл числа.

ексные Определение 61. Комплексными числами назовем упорядоченные пары (x ;

y) вещественных чисел x и y. Равенство комплексных чисел определим естественным образом:

def x1 = x2, (x1 ;

y1) = (x2 ;

y2) y1 = y2.

66 Глава 2. Формирование понятия числа Чтобы эти пары можно было назвать числами, необходимо на множе стве R R всех таких пар разумно ввести арифметические операции.

Определение 62. Арифметические операции над комплексными чис лами определим с помощью следующих равенств:

(x1 ;

y1) ± (x2 ;

y2) := (x1 ± x2 ;

y1 ± y2) ;

(x1 ;

y1) · (x2 ;

y2) := (x1x2 - y1y2 ;

x1y2 + x2y1) ;

(2.23) (x1 ;

y1) x1x2 + y1y2 x2y1 - x1y := ;

.

2 (x2 ;

y2) x2 + y2 x2 + y 2 Разумеется, последнее равенство имеет смысл, если и только если вы полнено следующее условие x2 + y2 = 0, которое равносильно такому:

(x2 ;

y2) = (0, 0).

Теорема 38. Множество всех комплексных чисел вместе с арифме тическими операциями, введенными в определении 62, является полем.

Нам необходимо проверить выполнение условий (a) (i), перечис ленных в определении 44. Коммутативность и ассоциативность операции сложения очевидна из (2.23) и из того, что эти свойства выполняются для сложения вещественных чисел. Роль нулевого элемента играет пара (0 ;

0).

Роль элемента, противоположного к (x ;

y), играет элемент (-x ;

-y), так как (x ;

y) + (-x;

-y) = (0 ;

0).

Далее, коммутативность операции умножения комплексных чисел очевид на из (2.23). Проверку ассоциативности оставляем читателю. Роль единич ного элемента играет пара (1 ;

0), так как (x ;

y) · (1 ;

0) = (x · 1 - y · 0 ;

x · 0 + y · 1) = (x ;

y).

Выполнение распределительного закона (дистрибутивности) очевидно.

И наконец, элементом, обратным к (x ;

y) = (0 ;

0), является элемент x -y ;

, x2 + y2 x2 + y поскольку x -y x2 + y2 -xy + yx (x;

y) · ;

= ;

= (1 ;

0).

x2 + y2 x2 + y2 x2 + y2 x2 + y Условимся символом C обозначать поле всех комплексных чисел.

Теорема 39. Множество R{0} всех комплексных чисел вида (x ;

0) является подполем17 поля C, которое изоморфно полю R всех веществен ных чисел.

Подполем называется подмножество поля, которое в свою очередь является полем.

§ 3. Комплексные числа Полагая в равенствах (2.23) y1 = y2 = 0, получим соответственно:

(x1 ;

0) ± (x2 ;

0) = (x1 ± x2 ;

0) ;

(x1 ;

0) · (x2 ;

0) = (x1x2 ;

0) ;

(2.24) (x1 ;

0) x = ;

0 при x2 = 0.

(x2 ;

0) x Эти равенства показывают, что арифметические операции (2.23) над чис лами из R {0} дают в результате снова числа из R {0}. Следовательно, R {0} есть подполе поля C. Зададим теперь биективное отображение R {0} на R, полагая (x, 0) x. Из равенств (2.24) очевидно, что при этом отображении сумма, произведение и частное пар переходят соот ветственно в сумму, произведение и частное первых компонент этих пар.

Поэтому отображение (x ;

0) x есть изоморфизм полей.

Замечания. 1. Используя теорему 39, условимся отождествлять каждое комплексное число вида (x ;

0) с вещественным числом x.

Иначе говоря, полагаем по определению x := (x ;

0). В частности, (1 ;

0) = 1, (0 ;

0) = 0. При таком соглашении имеем: R C.

2. Возводя в квадрат комплексное число (0 ;

1) и используя сделанное только что отождествление, получим (0 ;

1)2 = (0 ;

1) · (0 ;

1) = (0 · 0 - 1 · 1 ;

0 · 1 + 1 · 0) = (-1 ;

0) = -1.

Число i := (0 ;

1) принято называть мнимой единицей. Она обладает та ким свойством: i2 = -1. Напомним, что вещественного числа, квадрат которого был бы отрицательным, не существует.

3. На основании предыдущего замечания любое комплексное число можно преобразовать следующим образом:

(x ;

y) = (x ;

0) + (0 ;

y) = (x ;

0) + (0 ;

1) · (y ;

0) = x + iy.

Представление комплексного числа в виде x+iy называется алгебраической формой записи комплексного числа. Представляя комплексные числа в алгебраической форме, мы можем больше не употреблять представление комплексных чисел в виде упорядоченных пар.

4. Используя алгебраическую форму записи комплексных чисел, ра венства (2.23) можно переписать в следующем равносильном виде:

(x1 + iy1) ± (x2 + iy2) = (x1 ± x2) + i · (y1 ± iy2) ;

(x1 + iy1) · (x2 + iy2) = (x1x2 - y1y2) + i · (x1y2 + x2y1) ;

x1 + iy1 (x1 + iy1) · (x2 - iy2) x1 · x2 + y1 · y2 x2y1 - y2x = = + i ·.

2 x2 + iy2 (x2 + iy2) · (x2 - iy2) x2 + y2 x2 + y 2 68 Глава 2. Формирование понятия числа Отсюда вытекает следующее мнемоническое правило, облегчающее преобразование выражений, содержащих комплексные числа. При тожде ственных преобразованиях выражений, содержащих комплексные числа, представленные в алгебраической форме, с комплексными числами можно обращаться как с многочленами, учитывая только, что i2 = -1.

5. Комплексные числа вида x + i · 0 = x принято называть чисто вещественными, а комплексные числа вида 0+iy = iy чисто мнимыми.

Пусть z = x + iy комплексное число. Комплексное число z := := x - iy называется комплексно сопряжeнным к z. Вещественные чис z + z z - z ла Re z := x = и Im z := y = называются соответственно 2 2i вещественной (Re) и мнимой (Im) частями комплексного числа z.

6. Изображая пару (x ;

y) в ви Im де точки M координатной плоско M (z) y сти XOY, получим геометричес r кую интерпретацию комплексно го числа z = x + iy.

O x Re При этом комплексное число изоб ражается не только точкой M, но Рис. 11. Комплексная плоскость и радиусом-вектором18 OM этой точки (рис. 11). Чисто вещественные числа (и только они) изображаются точками оси абсцисс, а чисто мнимые (и только они) точками оси ор динат. В связи с этим ось абсцисс называется вещественной осью, а ось ординат мнимой осью. Координатная плоскость, на которой изобража ются комплексные числа, называется комплексной плоскостью.

Определение 63. Модуль |z| комплексного числа z = x + iy опреде ляется как неотрицательное число, равное |z| := x2 + y2. (2.25) Из рис. 11 на основании теоремы Пифагора заключаем, что |z| = |OM| (т. е. расстоянию от начала координат до точки M, изображающей данное число). Кроме того, очевидно, что |z|2 = z · z.

Определение 64. Аргументом arg z комплексного числа z = x + iy называется величина угла19, на который надо против часовой стрелки повернуть положительный вещественный луч до совмещения его с на правлением радиуса-вектора точки z.

Радиус-вектор точки M это вектор, начало которого совпадает с началом координат O, а конец с точкой M.

В классическом анализе по умолчанию принято углы измерять в радианах.

§ 3. Комплексные числа Обозначая r = |z|, = arg z и обращаясь к рис. 11, имеем x y cos =, sin =. (2.26) r r Используя эти равенства, можно преобразовать данное комплексное число следующим образом:

x + iy = r · cos + ir · sin = r · (cos + i sin ).

Правая часть этого равенства называется тригонометрической формой записи комплексного числа. Для преобразования комплексного числа из алгебраической формы в тригонометрическую надо найти его модуль по формуле (2.25), а аргумент из системы (2.26). Поскольку функции sin и cos периодические с основным периодом 2, то находится из системы (2.26) с точностью до слагаемого, целократного числу 2.

Теорема 40. Для любых комплексных чисел z = x + iy, w = u + iv имеем:

(a) |z| 0 ;

|z| = 0 z = 0 ;

(b) |z · w| = |z| · |w| ;

(c) |z| - |w| |z + w| |z| + |w| (неравенства треугольника).

Утверждение (a) вытекает прямо из определения 63.

(b) Имеем |z · w|2 = |(x + iy)(u + iv)|2 = |(xu - yv) + i(xv + yu)|2 = = (xu - yv)2 + (xv + yu)2 = x2u2 + y2v2 + x2v2 + y2u2 = = (x2 + y2)(u2 + v2) = |z|2 · |w|2.

Отсюда, извлекая корень, получим требуемое.

(c) При z + w = 0 доказательства не требуется. В случае z + w = |z + w| положим :=. Умножая это равенство на (z + w) и используя (b), z + w находим |z + w| = z + w = |(z + w)| = || · |z + w|.

Отсюда видно, что || = 1, а число z + w вещественное. Используя далее неравенство треугольника |x + y| |x| + |y| для вещественных чисел x и y, получим |z + w| = |z + w| = Re(z) + Re(w) | Re(z)| + | Re(w)| |z| + |w| = || · |z| + || · |w| = |z| + |w|.

Левое неравенство (c) является следствием правого неравенства треуголь ника.

70 Глава 2. Формирование понятия числа Теорема 41. Для любых комплексных чисел z1,..., zn и w1,..., wn имеем20:

n n n 2 zk · wk |zk|2 · |wk|2. (2.27) k=1 k=1 k= Введем следующие обозначения:

A := |zk|2, B := |wk|2, C := zkwk, опуская ради краткости пределы изменения индекса суммирования. Если B = 0, то w1 =... = wn = 0, и в этом случае неравенство (2.27) приобретает вид: 0 0 и, значит, справедливо. Пусть теперь B > 0. Тогда имеем:

0 |Bzk - Cwk|2 = (Bzk - Cwk)(Bzk - Cwk) = = B2 |zk|2 - CB wkzk - BC wkzk + |C|2B = = B2A - |C|2B + |C|2B + |C|2B = (AB - |C|2)B.

Так как B > 0, то имеем неравенство A · B - |C|2 0, равносильное неравенству (2.27).

В заключение этого параграфа запишем цепочку включений N Z Q R C, отражающую отдельные этапы расширения понятия числа.

И наконец, отметим, что поле C не является линейно упорядоченным, т. е. на комплексные числа невозможно распространить отношение нера венства с сохранением всех свойств неравенств, связывающих веществен ные числа. Поэтому всюду в дальнейшем всякое неравенство понимается как неравенство, связывающее вещественные числа.

В неравенстве (2.27), называемом неравенством Коши Буняковского n Шварца, использовано общепринятое обозначение ak := a1 + a2 +... + an.

k= Буняковский Виктор Яковлевич (1804 1889) русский математик. Шварц Карл Герман Амандус (1843 1921) немецкий математик.

§ 4. Элементы общей топологии § 4. Элементы общей топологии 1. Метрические пространства Понятие метрического пространства является далеко идущим обобще нием понятия числового множества.

Определение 65. Метрическим пространством называется произ вольное непустое множество X, на котором определена функция рас стояния (метрика), т. е. отображение d : X X - R такое, что x, y, z X выполнены следующие условия:

M1 d(x, y) 0 ;

d(x, y) = 0 x = y (неотрицательность);

M2 d(x, y) = d(y, x) (симметричность);

M3 d(x, y) d(x, z) + d(z, y) (неравенство треугольника).

Элементы метрического пространства обычно называют точками.

Условия M1 M3 принято называть аксиомами метрического пространст ва. Они в абстрактной форме выражают наиболее существенные свойства, которыми должно обладать обычное расстояние между точками. А имен но свойство M1 выражает неотрицательность расстояния, свойство M его симметричность, а M3 неравенство треугольника.

В качестве примера метрического пространства возьмем множество C всех комплексных чисел, на котором функция расстояния определена фор мулой: d(z, w) := |z - w|. С геометрической точки зрения это есть обыч ное евклидово расстояние между точками плоскости. Отсюда, а также из свойств модуля комплексного числа вытекает, что для этого расстояния выполняются условия M1 M3. Проверим, например, условие M3.

В силу теоремы 40(c) z, w, C имеем:

|z - w| = |(z - ) + ( - w)| |z - | + | - w|, т. е. d(z, w) d(z, ) + d(, w).

На одном и том же множестве X можно задавать различные функции расстояния, например такую:

0 при x = y, (x, y) = 1 при x = y.

Очевидным образом проверяется, что так определенная функция тоже удовлетворяет всем условиям M1 M3. Поэтому, чтобы уточнить, о какой функции расстояния идет речь, часто метрическое пространство задают в виде пары (X ;

d), где X основное множество, а d заданная на нем метрика.

72 Глава 2. Формирование понятия числа Определение 66. Подпространством метрического пространства (X, d) называется пара (Y, ), где = Y X, а = d|Y Y.

Проще говоря, подпространство метрического пространства X это его любое непустое подмножество Y с той же самой функцией расстоя ния, что и в X. Ясно, что условия M1 M3 выполняются в любом под пространстве данного метрического пространства. В частности, любое не пустое числовое множество (например, Q или R) вместе с евклидовым расстоянием является метрическим пространством.

Пусть опять (X ;

d) метрическое пространство, x0 X его точка, положительное число.

Определение 67. Открытым шаром радиуса с центром в точке x0 называется множество {x X | d(x, x0) < }.

З амкнутым шаром радиуса с центром в точке x0 называется мно жество {x X | d(x, x0) }.

Сферой радиуса с центром в точке x0 называется множество {x X | d(x, x0) = }.

Шары с центром в точке x0 радиуса часто называют шаровыми -окрестностями точки x0 (открытыми или замкнутыми соответствен но).

Не имея возможности здесь углубляться в теорию метрических про странств, установим только одно свойство, которое широко используется уже в начальных главах анализа.

Теорема 42. Всякое метрическое пространство отделимо, т. е.

у любых двух различных точек существуют непересекающиеся окрест ности.

Пусть (X, d) метрическое пространство, x0 X, y0 X, x0 = y0. Пусть d(x0, y0) = r. Так как x0 = y0, то r > 0. Открытые шары K1 := {x X | d(x, x0) < r 2} и K2 := {x X | d(x, y0) < r 2} не пересекаются. Действительно, в противном случае существовала бы точ ка z K1 K2. Для нее имеем: d(x0, z) < r 2 и d(y0, z) < r 2. С другой стороны, в силу неравенства треугольника имеем:

r r r = d(x0, y0) d(x0, z) + d(z, y0) < + = r.

2 Отсюда получаем: r < r противоречие.

§ 4. Элементы общей топологии 2. Топологические пространства В анализе иногда приходится иметь дело с пространствами, более об щими, чем метрические, а именно с топологическими пространствами, поэтому познакомимся и с ними.

Определение 68. Топологией, заданной на непустом множестве X, называется совокупность его подмножеств (называемых открыты ми множествами), обладающая следующими свойствами:

О1 множества и X открыты;

О2 объединение любого семейства открытых множеств открыто;

О3 пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто.

Утверждения О1 О3 называются аксиомами открытых множеств.

На любом множестве X можно задать топологию. Считая, например, от крытыми множествами только и X, легко проверить, что совокупность { ;

X} топология. Эту топологию условимся называть тривиальной.

Другим примером топологии на X является совокупность всех подмно жеств множества X (так называемый булеан). Свойства О1 О3 для бу леана также очевидны. Эту топологию условимся называть дискретной.

Если множество X содержит более одного элемента, то на нем тривиаль ная топология не совпадает с дискретной. Таким образом, на одном и том же множестве, вообще говоря, можно задавать различные топологии.

Определение 69. Топологическим пространством называется пара (X;

T ), где X непустое множество, а T заданная на нем топология.

Важнейшими примерами топологических пространств являются метрические пространства. Чтобы в этом убедиться, надо показать, что (в некотором смысле) метрика порождает топологию.

Определение 70. Пусть (X ;

T ) топологическое пространство.

Семейство C открытых множеств называется базой топологии T, если любое множество из T можно представить в виде объединения некото рого семейства множеств из C.

Теорема 43. Пусть (X ;

d) метрическое пространство. Всевоз можные открытые шары образуют базу некоторой топологии на X.

Назовем открытыми в X множествами всевозможные объединения открытых шаров. Покажем, что для определенных так открытых множеств выполняются условия О1 О3. Пустое множество открыто как объедине ние пустого семейства шаров. Множество X открыто как объединение всех шаров. Тем самым показано, что выполнено условие О1. Далее, объединяя объединения открытых шаров, снова получим некоторое объединение от крытых шаров. Значит, выполнено условие О2.

74 Глава 2. Формирование понятия числа Для проверки условия О3 зададим конечное семейство {V1,..., Vn} n открытых множеств, и пусть V := Vk. Надо показать, что множество k= V открыто. С этой целью будем обозначать через Ur(x) открытый шар радиуса r с центром в точке x. Если V =, то, задавая произвольно x V, найдем открытые шары Ur1(x),..., Urn(x) так, чтобы было:

Ur1(x) V1,..., Urn(x) Vn.

Обозначая rx = min{r1,..., rn}, имеем Urx(x) V1... Vn V.

Отсюда находим V = {x} Urx(x) V = V.

xV xV xV Так как левая и правая части последнего равенства совпадают с V, то все включения на самом деле являются равенствами, и мы имеем V = Urx(x), xV т. е. множество V открыто как объединение некоторого семейства откры тых шаров.

Другие примеры топологических пространств 1) На множестве R всех вещественных чисел с метрикой d(x, y) := := |x - y| открытыми шарами служат открытые интервалы (a, b).

Применив к этой ситуации теорему 43, заключаем, что множество {(a, b) | a, b R} есть база топологии на R. Эту топологию принято на зывать естественной.

2) На множестве C всех комплексных чисел с евклидовой метрикой d(z, w) := |z - w| открытыми шарами являются обычные евклидовы круги {z C |z - z0| < r}.

Семейство всех этих кругов есть база топологии на C. Эту топологию на C также называют естественной.

3) Рассмотрим упорядоченное расширение поля R:

R := {-} R {+} = [-, +].

§ 4. Элементы общей топологии Можно показать, что базой топологии на R является семейство интервалов {(a, b) | a, b R}, к которому надо присоединить еще два семейства:

{[-, a) | a R} и {(a, +] | a R}.

4) Добавляя к множеству R единственную бесконечно удаленную точ ку (т. е. какой-нибудь элемент со свойством R), получим неупоря / доченное расширение множества R. Обозначим его так: R := R {}. На нем базой топологии является семейство интервалов {(a, b) | a, b R}, к которому надо присоединить такое семейство: {R [a, b] | a, b R}.

5) Добавляя к множеству C единственную бесконечно удаленную точ ку (т. е. элемент C), получим так называемую расширенную ком / плексную плоскость: C := C {}. Базу топологии на C образуют от крытые круги и всевозможные дополнения замкнутых кругов.

Определение 71. Пусть X топологическое пространство, A его непустое подмножество. Точка x A называется внутренней точ кой множества A, если существует открытое множество U(x) такое, что x U(x) A. Совокупность всех внутренних точек множества A называется его внутренностью и обозначается символом A0.

Теорема 44. Внутренность A0 любого множества A X от крытое множество, притом наибольшее (по включению) открытое под множество множества A.

Пусть x A0. По определению 71 существует открытое множе ство U(x) со свойством { x} U(x) A. Так как все точки, лежащие в U(x), внутренние, то должно быть: {x} U(x) A0. Взяв объединение этих множеств по всем x A0, получим:

A0 = {x} U(x) A0 = A0.

xA0 xA0 xA Отсюда видно, что A0 = U(x) и, значит, открыто как объединение xA открытых множеств.

Пусть теперь U X любое другое непустое открытое множество.

Если x U, то имеем {x} U X, и, значит, точка x A внутренняя, т. е. x A0. Таким образом, U A0, т. е. множество A0 максималь ное.

Следствие. Равносильны следующие утверждения:

(a) множество A X открытое;

(b) все точки, принадлежащие A, его внутренние точки, т. е.

A0 = A.

Доказательство оставляем читателю в качестве упражнения.

76 Глава 2. Формирование понятия числа Определение 72. Подмножество V топологического пространства X называется з амкнутым, если его дополнение X V открыто.

Теорема 45. Справедливы следующие утверждения:

З1 множества и X замкнуты;

З2 пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто;

З3 oбъединение любого конечного семейства замкнутых множеств замкнуто.

Для доказательства этих утверждений надо воспользоваться опре делением 72, формулами де Моргана X U = (X U), X U = (X U) и основными свойствами О1 О3 открытых множеств.

Примерами замкнутых множеств на числовой оси являются:, R, отрезки [a ;

b], конечные множества точек, замкнутые лучи [a ;

+), (- ;

b], а также любые конечные объединения таких множеств.

В п. 1 было дано понятие шаровой окрестности точки метрического пространства. Ввиду важности этого понятия дадим общее определение окрестности и изучим некоторые их свойства.

Определение 73. Окрестностью точки x топологического про странства X называется произвольное множество, включающее в себя открытое множество, содержащее точку x.

Обращаем внимание читателя на то, что окрестность не обязана быть открытым множеством (как ее иногда трактуют). Напротив, окрестность может быть множеством открытым, замкнутым, открыто-замкнутым (т. е.

таким, которое является и открытым, и замкнутым), а также ни открытым, ни замкнутым.

Теорема 46. Пусть X топологическое пространство. Pавносиль ны следующие утверждения:

(a) множество A X открытое;

(b) множество A есть окрестность каждой точки x A.

(a) (b) Если A открыто, то из соотношения x A A заклю чаем, что A окрестность точки x (согласно определению 73).

(b) (a) Обратно, предположим, что A окрестность любой точки x A. Применяя определение 73, заключаем, что существует открытое множество U(x) такое, что x U(x) A или {x} U(x) A. Объединяя это по всем x A, получим A = {x} U(x) A = A, откуда A = U(x).

xA xA xA xA § 4. Элементы общей топологии Таким образом, множество A открыто как объединение открытых мно жеств.

Отметим также, что объединение любого семейства окрестностей точки x является окрестностью точки x, и что пересечение любого конечного семейства окрестностей точки x также является окрестно стью точки x.

Определение 74. Замыканием A подмножества A топологическо го пространства X называется наименьшее (по включению) замкнутое множество, содержащее A. Все точки, принадлежащие замыканию A, называются точками прикосновения множества A.

Замечание. Из очевидных включений A0 A A X вытекает, что точками прикосновения множества A являются все точки, принадле жащие этому множеству, и, в частности, все его внутренние точки. Кроме того, точками прикосновения множества A являются все точки его грани цы Fr A := A A0.Точку прикосновения x множества A можно охаракте ризовать еще тем, что A U =, где U любая окрестность точки x.

Pages:     || 2 | 3 | 4 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.