WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 14 |

«ЭНЦИКЛОПЕДИЯ ФИНАНСОВОГО РИСК-МЕНЕДЖМЕНТА Под ред. А. А. Лобанова и А. В. Чугунова а л ь п и н а /ржа б л и ш е р Москва 2003 УДК 336.7(031) ББК ...»

-- [ Страница 3 ] --

Пример 2.15. Финансовый институт согласился получать 8% от условной сум­ мы 100 млн. долл. в обмен на 6-месячную ставку LIBOR при обмене плате­ жей каждые полгода. До окончания действия этого соглашения остается месяцев. Ставка LIBOR, установленная 3 месяцами раньше, равна 10,1%. Оп­ ределим стоимость процентного свопа для финансового института, если ставки дисконтирования на 3, 9 и 15 месяцев равны соответственно 9,8, 10,2 и 10,8%.

В данном случае Q = 100 млн. долл., гф = 0,08, хх = 0,098, г2 = 0,102, г3 = 0,108, (LIBOR)0 = 0,101, t,- t = 0,25, t 2 -t = 0,75, t 3 -t = 1,25.

Тогда 100 0,08 100 • 0, 100 • 0, 2 98,8046 млн. долл.;

В. (О = 0,102^ 0, 0,098?° 1+ 1+ 1+ ) в 2 ( 0 = Г 1 О О О ' 1 О 1 + 1ооЛ 1 = 102,5672 млн. долл.

0, 1+ И. Рынки производных финансовых инструментов Следовательно, стоимость процентного свопа для финансового институ­ та составит:

V(t)=B1(t)-B2(t) = 98,8046-102,5672 = -3,7626 млн. долл.

Стоимость процентного свопа, представленного на рис. 2.6, можно най­ ти, заменив его последовательностью форвардных контрактов на 6-месячную ставку LIBOR.

Действительно, в момент времени г,, когда производится первый обмен Qr* платежами, финансовый институт получает сумму а платит сумму Q(LIBOR). Приведенная стоимость такого обмена платежами равна 0гф Q(LIBOR)0 = |[г ф -(LIBOR),] 2 2 \2('i- i+ i 1+й ') В момент tk, k = 2, 3,.... п, когда происходитfe-йобмен платежами, финан­ совый институт получает сумму -^-, а платит — ^А, где (LJBOR)k— ставка LIBOR через tkl-1 лет. Приведенная стоимость такого обмена платежами должна совпадать со стоимостью короткой позиции по форвардному контракту на 6-месячную ставку LIBOR с датой передачи tki и, следовательно, равна г о 1'Ф *-и с _ Л2((,-о • 2у где Fkl — форвардная ставка LIBOR на tk_{-1 лет.

Стоимость процентного свопа для финансового института равна сумме приведенных стоимостей всех обменов платежами, т. е.

V(t) = f [гф - (LIBOR),] • L ^ + f (гф - J^) (2.32) 1+* 1+ ^ Пример 2.16. Определим стоимость процентного свопа из примера 2.15 по формуле (2.32).

Форвардные ставки LIBOR на 9 и 15 месяцев находятся следующим образом:

20,75,!- ( 0, 1+ ^ 1+— 2 ^2•0.25 - 1 = F,=2- - I = 0,1040, (.0. 0, г 1+ i 1+ 134 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Л2'1'25 0,108f's ( г 1 + -3- 1+ F2 = 2- =2 0,1170.

/ %20,75 f \1, ^ 0, 1+ ^ Тогда стоимость процентного свопа для финансового института равна 100 г „-, V(t) = ^ [ 0, 0 8 - 0,101] - *, 025, [ 0, 0 8 - а 1040]—- ч 2L V,1 +0,102^ ? 0,098?

1+ 100 1..„ + [0,08-0,1170]— -3,7610 млн. долл.

L V, 0,108 х21' 1+ 2.16. Валютные свопы Валютным свопом (currency swap) называют соглашение об обмене основной суммы и фиксированных процентных платежей по займу в одной валюте на основную сумму и фиксированные процентные платежи в другой валюте.

Предположим, что на рынках ссудного капитала компаниям А и В пред­ лагаются следующие фиксированные процентные ставки по займам в двух разных валютах:

компании A: qf.q^;

компании В: qf, qf.

Будем считать, что выполняются следующие условия:

1. qf < qf, q < qf, т. е. кредитный рейтинг компании А значительно выше кредитного рейтинга компании В, и компания А имеет абсо­ лютное преимущество на обоих рынках.

- wf - qf > qf ~ 9г > т- е- компания А имеет относительное преимуще­ ство на рынке ссудного капитала в первой валюте, а компания В имеет относительное преимущество на рынке ссудного капитала во второй валюте.

Если компании А необходим займ в размере Q2 во второй валюте, а ком­ пании В — займ в размере Qf в первой валюте и Qf = cQ%, где с — текущий обменный курс, то компании могут взять займы на тех рынках, где у них име­ ется относительное преимущество, и договориться об обмене процентных пла­ тежей, как показано на рис. 2.7.

II. Рынки производных финансовых инструментов Если 28 = qf - qA - (qf - q 2 ), то компании А и В получат процентный вы­ игрыш в размере 8.

При наличии посредника обмен процентными платежами можно органи­ зовать так, как показано на рис. 2.8.

При этом если соблюдается равенство:

2,5 + / x = ( q f - q A ) - ( q 2 B - q 2 A ), то обе компании А и В получат одинаковый процентный выигрыш, равный 8, а маржа посредника составит /л,.

Пример 2.17- Компании А предлагаются фиксированные процентные ставки 8 и 11,6% по займам в американских долларах и в английских фунтах соот­ ветственно. Компании В предлагаются фиксированные процентные ставки 10, и 12,0% по аналогичным займам. Выясним, можно ли организовать обмен про­ центными платежами так, чтобы обе компании имели одинаковый процент­ ный выигрыш, а маржа посредника составила бы 0,2%.

В данном случае qA = 8%, qA = 11,6%, qf = 10,0%, qf = 12%.

Так как qf < q?, q2A < q2B, a q? - qA - (q2B - q2A) = 1,6%, то обе компании могут обеспечить себе процентный выигрыш в размере 16-0, g= Соответствующий обмен платежами приведен на рис. 2.9.

Если некоторая компания X участвует в валютном свопе, то:

• в заранее установленные сроки она получает процентные платежи по ставке q, от суммы Q, в одной валюте и выплачивает проценты по ставке q2 от суммы Q2 в другой валюте;

Ч[ <й пА Я\ в А $- Рис. 2.7- Валютный своп с- tf <ё в А Банк <-8

Поток платежей по данному свопу совпадает с потоком платежей от порт­ феля, состоящего из длинной позиции по облигации номиналом Qz в первой валюте с фиксированной купонной ставкой q, и короткой позиции по облига­ ции номиналом Q2 во второй валюте с фиксированной купонной ставкой q2.

Следовательно, в данный момент времени t стоимость валютного свопа V(t) для компании X может быть найдена из следующего равенства:

(2.33) V(t) = Bfi) - c(t)B2(t) где Bfi) стоимость облигации в первой валюте;

стоимость облигации во второй валюте;

В2( текущий обменный курс.

c(t) Пример 2.18. Безрисковые процентные ставки в Японии и США одинаковы для всех сроков и равны соответственно 4 и 9% (при непрерывном начисле­ нии процентов). Финансовый институт согласился получать 5% от 1200 млн.

японских йен и платить 8% от 10 млн. долл. США. Обмен платежами должен происходить один раз в год. Определим стоимость данного валютного свопа для финансового института, когда до окончания действия контракта остается 3 года, а текущий обменный курс— ПО йен за 1 долл. США.

Стоимость 3-летней облигации номиналом 1200 млн. йен с купонной став­ кой 5% может быть найдена следующим образом:

В, (Г) = 60 • е-004 + 60 • е'0042 + 1260 • е"0043 = 1230,55 млн. йен.

Аналогично, стоимость 3-летней облигации номиналом 10 млн. долл. с купонной ставкой 8% будет равна:

В2 (г) = 0,8 • е-0'09 + 0,8 • е"009г + 10,8 • в'0-093 = 9,6438 млн. долл.

Тогда стоимость валютного свопа для финансового института:

V(t) =B ] (t)- с(г)В2(г) = 1230,55- 110-9,64386 = 169,725 млн. йен.

Любой валютный своп можно представить в виде последовательности форвардных контрактов на обмен валюты. В этом случае стоимость валютно­ го свопа для компании X можно найти по формуле:

ч(,) У (0 = I (<*А - РЯгОг) ** (t'-° + (G - F„Q2) • е с„-о (2.34) И. Рынки производных финансовых инструментов где V(t) — стоимость валютного свопа для компании X в момент времени t;

г,, t2,..., tn — даты обменов платежей;

fj(I) — безрисковая процентная ставка в стране с первой валютой на срок t - t лет, i = I, 2,.... п;

F,— форвардный обменный курс второй валюты на первую с датой поставки tv i = I, 2 п.

Пример 2.19. Оценим стоимость валютного свопа из примера 2.18 с помо­ щью формулы (2.34).

В данном случае q, = 0,05, Q, = 1200 млн. йен, q2 = 0,08, Q2 = 10 млн. долл., f = f2(1) = f3(1) = 0,04, f<2) = f<2) = f3(2) = 0,09.

W Тогда F: = 110 e(004-0W)I = 104,635237, F2 = 110e(OO4-009)2=99,532116, F3 = 110 • ^°*^ w > 3 = 94,677877.

По формуле (2.34):

V(r) = (0,05 • 1200 - 104,635237 • 0,08 • 10) • e"0041 + + (0,05 • 1200 - 99,532116 • 0,08 • 10) • е-0'04'2 + + (0,05 • 1200 - 94,677877 • 0,08 • 10) • е-0'04'3 + + (1200 - 94,677877 • 10) • e"0043 = 169,73 млн. йен.

2.17. Опционы и их основные характеристики Важнейшим видом так называемых производных ценных бумаг являются оп­ ционы (option). Существуют четыре основных типа опционов:

• европейские опционы «колл» (call) и «пут» (put);

• американские опционы «колл» и «пут».

Европейский (European-style) опцион «колл» («пут») представляет его дер­ жателю право купить (продать) определенное количество некоторых активов по заранее установленной цене исполнения (strike/expiration price) в момент окончания действия контракта.

Американский (American-style) опцион «колл» («пут») предоставляет его держателю право купить (продать) определенное количество некоторых ак­ тивов по заранее установленной цене исполнения в любое время до момента окончания действия контракта.

В опционном контракте всегда присутствуют две стороны: держатель оп­ циона, имеющий право выбора совершить или не совершить ту или иную :: — XS8 Энциклопедия финансового риск-менеджмента операцию (купли или продажи), и сторона, выпустившая или подписавшая опцион, которая обязана совершить указанную операцию, если того пожела­ ет держатель опциона. Так как стороны в опционном контракте не равно­ правны, то при заключении опционного контракта будущий держатель опци­ она обязан уплатить противоположной стороне определенную премию. Эта премия, по существу, является ценой опциона.

Говорят, что сторона, купившая опцион, занимает длинную позицию по опциону (long the option), а сторона, выпустившая или подписавшая опцион, — короткую позицию (short the option).

Обычно опционный контракт имеет установленную дату окончания свое­ го действия, называемую датой истечения опциона (maturity/expiration date).

Дату фактического выполнения соответствующей операции купли или прода­ жи активов называют датой исполнения опциона (exercise date). Для европей­ ских опционов момент исполнения всегда совпадает с моментом его истече­ ния. Для американских опционов момент исполнения может наступать до мо­ мента его истечения.

Опционные и форвардные контракты являются разновидностями форвард­ ных сделок. Отметим основные различия этих двух видов контрактов.

1. Форвардный контракт — это всегда взаимное обязательство купить (со­ ответственно, продать) определенное количество базисных активов.

Держатель же опционного контракта имеет право, а не обязатель­ ство купить или продать активы.

2. В момент заключения форвардного контракта обе стороны равно­ правны и подвергаются одинаковому риску. Поэтому в момент зак­ лючения форвардного контракта ни одна из сторон ничего не пла­ тит другой стороне. В момент же заключения опционного контрак­ та стороны не равноправны. Одна сторона имеет право выбора ку­ пить или продать активы, а другая — обязана выполнить соответ­ ствующую операцию по требованию первой стороны. Именно по­ этому при заключении опционного контракта первая сторона дол­ жна уплатить второй стороне, выпустившей или подписавшей оп­ цион, определенную премию. Эта премия представляет собой плату за риск, которому подвергается сторона с короткой позицией по опциону из-за возможного неблагоприятного изменения цены базис­ ных активов.

Рассмотрим европейский опцион «колл» с датой истечения Т при цене исполнения X. Если ST— цена базисных активов в момент Т, то возможны лишь следующие два случая:

1) ST > X, 2) ST < X.

В первом случае держатель опциона «колл» может купить по цене X ак­ тивы рыночной стоимостью ST, большей X. Поэтому держатель опциона ис­ полнит свой опцион, и его выигрыш составит ST - X.

Во втором случае держатель имеет право купить по цене X активы сто­ имостью ST, меньшей X. Следовательно, в этом случае держатель опциона «колл» свой опцион исполнять не будет, и его выигрыш равен нулю.

II. Рынки производных финансовых инструментов Таким образом, выигрыш держателя опциона «колл» на момент исполне­ ния опциона определяется в виде max {ST - X, 0}. Графическое изображение выигрыша держателя опциона «колл» представлено на рис. 2.10.

Аналогичные рассуждения показывают, что выигрыш держателя европей­ ского опциона «пут» с датой истечения Т при цене исполнения X можно за­ писать в виде max {Х- ST, 0}.

Графическое изображение выигрыша держателя европейского опциона «пут» представлено на рис. 2.11.

В каждый момент времени t важную роль играет то, как цена исполне­ ния X соотносится со спот-ценой базисных активов Sr Говорят, что опцион «колл» в данный момент времени t является опционом «с выигрышем» (in Выигрыш Рис. 2.10. Выигрыш держателя опциона «колл» Выигрыш Рис. 2.11. Выигрыш держателя опциона «пут» 11* 140 Энциклопедия финансового риск-менеджмента the-money), «без выигрыша» (at-the-money) или «с проигрышем» (out-of-the money), если соответственно:

ST >X,ST = X, ST < X.

Аналогично опцион «пут» является опционом «с выигрышем», «без выиг­ рыша» или «с проигрышем», если соответственно:

ST X.

2.18. Арбитражные соотношения для европейских опционов Рассматриваются два рынка: спот-рынок некоторых активов и рынок опцио­ нов на эти активы.

Будем считать, что выполняются следующие условия:

• рынки являются совершенными (см. разд. 2.1.);

• можно неограниченно брать ссуды или кредитовать под соответству­ ющую (по срокам) безрисковую процентную ставку;

• отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

1. Если с и р — стоимости европейских опционов «колл» и «пут» соот­ ветственно на одни и те же активы с ценой исполнения X при дате истечения Т, то имеет место паритет цен:

e~f (Т" ", c-p = S-D-X- (235) где t — текущий момент времени;

S — стоимость базисных активов в момент t;

D — приведенное значение доходов, поступающих от активов за время от t до Т, f — безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении по инвестициям на Т - t лет.

Зная цену европейского опциона «колл» («пут»), паритет цен европейс­ ких опционов позволяет оценить стоимость аналогичного по всем парамет­ рам европейского опциона «пут» («колл»). Кроме того, если паритет цен ев­ ропейских опционов не соблюдается, то должны существовать прибыльные арбитражные стратегии.

Пример 2.20. Цена 6-месячного опциона «колл» на акцию с ценой исполне­ ния 30 долл. равна 2 долл. Текущая цена акции— 29 долл., дивиденды по акции в размере 0,5 долл. ожидаются через 2 и 5 месяцев. Оценим стоимость аналогичного опциона «пут», если безрисковая процентная ставка (при не­ прерывном начислении) для всех сроков равна 10%.

II. Рынки производных финансовых инструментов В данном случае X = 30 ДОЛЛ., S = 29 ДОЛЛ., Г - t = —, f = 0,1;

2 D = 0,5 • е"°Д^ + о, 5 • е - 0 ' й = 0,97 долл.

В силу паритета цен европейских опционов (2.35) имеем равенство:

-0.1.А 2 - р = 29-0,97-30е.

Откуда р = 2,51 долл.

Если же рыночная цена европейского опциона «пут» окажется равной 2,10 долл., то прибыльную арбитражную стратегию можно построить следую­ щим образом.

Так как рыночная цена опциона «пут» оказалась заниженной (2,10 долл. < < 2,51 долл.), то этот опцион следует купить. Чтобы стратегия стала безриско­ вой, одновременно покупаются базисные активы и производится продажа оп­ циона «колл». Для финансирования этих операций необходимо взять ссуду в размере S + рР*" - с = 29 + 2,10 - 2,00 = 29,10 долл.

на срок в 6 месяцев под безрисковую процентную ставку 10%.

Данная стратегия, очевидно, является безрисковой и не требует началь­ ных затрат от инвестора, а в момент исполнения опционов инвестором будет получена прибыль:

. X + D • е 12 - (S + р"™ - с) • е = 30 + 0,97 • е ' 12 - 29,10 • е ' 12 = г— ( = (2,51-2,10)е' = 0,43 долл.

V Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доход­ ностью q паритет цен принимает следующий вид:

= S- е-«г-" - Хент"\ c-p (2.36) 2. В любой момент времени t до даты истечения европейских опционов на активы с известными доходами должны соблюдаться следующие ограничения:

max {S - D - Хе"f(T °, о} < с < S - D;

(2.37) max [Xe-f(T-l) + D - S, о) < p < Хе"^'*, (2.38) где S — цена базисных активов;

X — цена исполнения опционов;

Г — дата истечения опционов;

142 Энциклопедия финансового риск-менеджмента D — приведенное значение доходов, поступающих от базисных активов за время от t до Т;

f — безрисковая процентная ставка на срок Т - 1 лет.

Если не соблюдается одно из условий (2.37) или (2.38), то на рынке дол­ жны существовать прибыльные арбитражные стратегии.

Пример 2.21. Рассмотрим 10-месячный европейский опцион «колл» на акцию, по которой через 4 и 8 месяцев ожидаются дивиденды в размерах 2 и 3 долл.

соответственно. Определим нижнюю и верхнюю границы для стоимости оп­ циона с ценой исполнения 96,60 долл., если цена базисной акции составляет 100 долл., а безрисковые процентные ставки (при непрерывном начислении) на 4, 8 и 10 месяцев равны 6, 6,5 и 7% соответственно.

В данном случае X = 96,60 долл., S = 100 долл., Т - t = —, f = 0,07, 4 _ -0,06— -0,065 — 12 D=2•е + Зе = 4,83 долл.

Из неравенства (2.37) следует, что -0,071° 4,04 долл. = 100 - 4,83 - 96,60 • е п < с < 100 - 4,83 = 95,17 долл.

Таким образом, при отсутствии прибыльных арбитражных возможно­ стей цена европейского опциона «колл» должна находиться между 4, и 95,17 долл.

Если же рыночная цена данного опциона «колл» окажется равной 3,00 долл., то инвестор может: купить опцион «колл», произвести короткую продажу акции и полученные средства S-cph,"= 100-3 = 97 инвестировать на 10 месяцев под безрисковую процентную ставку 7%. В момент истечения опциона инвестор либо купит акцию на спот-рынке (если ST< X), либо купит ее по цене X, согласно опционному контракту, и, компенсировав недополу­ ченные дивиденды, вернет ее прежнему владельцу.

Прибыль инвестора на момент Т составит не менее чем 0,07-^ 0,07-^ 97-е 12 - 96,60 - 4,83е 12 = 1,11 долл.

Построенная стратегия, очевидно, является прибыльной арбитражной стра­ тегией.

Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доход­ ностью q неравенства (2.37) и (2.38) принимают вид:

m a x j S e - ^ - X • ег^\ о} < с < S • е^т''\ maxfXe-'™ - &Г* г -\ о} < р < Хе^Л II. Рынки производных финансовых инструментов 3. Если с,, с2 (Pj, р2) — стоимости европейских опционов «колл» (соот­ ветственно, опционов «пут») на одни и те же активы с ценами испол­ нения Xv Х2 (X, < Х2) при дате истечения Т, то с, > с2, с, + X1e-t(T-,)

Важно отметить, что чем больше цена исполнения, тем меньше цена ев­ ропейского опциона «колл» и тем больше цена европейского опциона «пут».

4. Если даны три европейских опциона «колл» («пут») на одни и те же активы с ценами исполнения Х,,Х2иХ3 соответственно, причем Х1 < Хг < Ху Х2 = ХХ1 + (I - А)Х3, А > О, то с2 < Ас, + (1 - А)сз, (р2 < Ар, + (I - А)р3).

Данное утверждение позволяет сравнивать цены европейских опционов с разными ценами исполнения, но одинаковыми остальными характеристиками.

2.19. Основные арбитражные утверждения об американских опционах Основное отличие американского опциона от соответствующего европейского опциона состоит в том, что американский опцион может быть исполнен в любое время, вплоть до даты его истечения. В силу этого цены американских опционов могут значительно отличаться от цен аналогичных европейских опционов.

Если спот-рынок базисных активов и рынок опционов на эти активы удов­ летворяют условиям, приведенным в разд. 2.17, то имеют место следующие утверждения:

1. Стоимость американского опциона не может быть ниже стоимости аналогичного европейского опциона, т. е. С з?с,Р $=р.

Действительно, у держателя американского опциона всегда больше возможностей получить прибыль, чем у держателя аналогичного евро­ пейского опциона. Поэтому держатель американского опциона должен платить за опцион не меньше, чем держатель аналогичного европейс­ кого опциона.

2. Американский опцион «колл» на активы, не приносящие доходов, ни­ когда не желательно исполнять досрочно, т. е. до даты его истечения.

Это, в частности, означает, что цена американского опциона «колл» на активы, не приносящие доходов, должна совпадать со стоимостью аналогичного европейского опциона.

Американский опцион «пут» даже на активы, не приносящие дохо­ дов, часто имеет смысл исполнить досрочно.

144 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 3. Если С и Р— стоимости американских опционов «колл» и «пут» со­ ответственно на одни и те же активы с ценой исполнения X, то при безрисковой процентной ставке, не зависящей от сроков инвестиции:

епт-'\ S-D-X

D — приведенное значение доходов, поступающих от базисных активов за время от t до Т;

f — безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении.

Пример 2.22. Стоимость 8-месячного американского опциона «пут» на акцию, по которой через 2 и 6 месяцев ожидаются дивиденды в размере I долл., рав­ на 2 долл. Цена исполнения опциона 50 долл. Определим границы для сто­ имости аналогичного американского опциона «колл», если текущая цена оп­ циона 52 долл., а безрисковая процентная ставка для всех сроков равна 8%.

В данном случае Т - t = —;

X = 50 ДОЛЛ.;

S = 52 ДОЛЛ.;

f = 0,08;

Р = 2 ДОЛЛ.;

-0,08— -0,08— п D = 1• е +1•е = 1,95 долл.

В силу неравенства (2.39) имеем 52 - 1,95 - 50 < С - 2 < 52 - 50 • е"0'08".

Следовательно, 2,05 долл. « С «6,60 долл.

Если же рыночная цена американского опциона «колл» окажется боль­ ше 6,60 долл. или меньше 2,05 долл., то должна существовать прибыльная арбитражная возможность.

2.20. Основные стратегии с использованием европейских опционов 2.20.1. Простейшие стратегии Простейшими стратегиями принято считать стратегии, в которых наряду с покупкой или продажей некоторых активов занимается та или иная позиция по европейскому опциону на эти активы.

Если инвестор покупает некоторые активы и одновременно покупает ев­ ропейский опцион «пут» на эти активы, то на момент истечения опциона Т прибыль инвестора составит:

II. Рынки производных финансовых инструментов ST + D- e f(Tt) + max {X - ST, 0} - S • ef(T~" - p • e' X.

Зависимость прибыли инвестора от спот-цены активов на момент исте­ чения опциона показана на рис. 2.12.

Таким образом, при данной стратегии убытки инвестора ограничены, а прибыль может быть сколь угодно большой.

При покупке базисных активов и короткой позиции по европейскому оп­ циону «колл» прибыль инвестора на момент истечения опциона оценивается следующим образом (рис. 2.13):

ST + D- eflJ-[) - max {ST - X, 0} - S • e ^ + с • e^"" = _ Js,. + (D - S + c) • ef{T-'\ если ST < X, ~{X + (D-S + c)- ef(T-'\ если ST > X.

В данном случае убытки незначительны, но и возможная прибыль огра­ ничена сверху.

Если инвестор произведет короткую продажу базисных активов, одновре­ менно заняв длинную позицию по европейскому опциону «колл» на эти акти­ вы, то его прибыль на момент истечения опциона составит (рис. 2.14):

S • епт~1) + max {ST - X, 0} - ST - D • ef(T-[) - с • e f(Tt) = ef{T-'\ если ST < X, _ J-S T + (S-D-c) ~ \-X + (S - D - c) • ег{Т-'\ если ST > X.

Прибыль Рис. 2.12. Прибыль по длинной позиции по базисному активу и опциону «пут» 146 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Прибыль Рис. 2.13. Прибыль по длинной позиции по базисному активу и короткой позиции по опциону «колл» Прибыль -*— Рис. 2.14- Прибыль по короткой позиции по базисному активу и длинной позиции по опциону «колл» Аналогично можно определить прибыль инвестора при короткой прода­ же базисных активов и короткой позиции по европейскому опциону «пут» на эти активы. Зависимость прибыли от спот-цены активов на момент истечения опциона изображена на рис. 2.15.

II. Рынки производных финансовых инструментов Прибыль Рис. 2.15. Прибыль по короткой позиции по базисному активу и короткой позиции по опциону «пут» 2.20.2. Спреды опционов Стратегии, в которых используются только европейские опционы одного и того же вида (и на одни и те же активы), называют спредами опционов (option spread).

Спред «быков» (bull spread) состоит из длинной позиции по европейскому опциону «колл» (или «пут») с ценой исполнения X, и из короткой позиции по европейскому опциону «колл» («пут») с ценой исполнения Х2, где Х2> Xv при одной и той же дате истечения этих опционов.

Если спред «быков» составлен из опционов «колл», то прибыль инвестора на момент истечения опционов можно найти следующим образом:

(с2 - q) • ef(T"° + max {ST - Xv 0} - max {ST - X2, 0} = (c2 - q) • enr-'\ если 0 < ST < X, f(T ST - Xl + (c2 - q) • e -'\ если X, < ST < X2, X2 - X, + (c2 - q) • ef(T-c\ если ST > X2.

Так как q, > q, a X2 - X, + (c2 - q) • er(T г) > О (см. разд. 2.17), то зависи­ мость прибыли инвестора на момент истечения опционов от спот-цены акти­ вов в этот момент времени имеет вид, изображенный на рис. 2.16.

Спред «быков» применяется при игре на повышение, когда инвестор счи­ тает, что цена базисных активов значительно вырастет к моменту истечения опционов.

Спред «медведей» (bear spread) состоит из короткой позиции по европей­ скому опциону «колл» (или «пут») с ценой исполнения XL и из длинной пози­ ции по европейскому опциону «колл» («пут») с ценой исполнения Х2, где Х2 > X при одной и той же дате истечения этих опционов.

148 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Зависимость прибыли от спот-цены активов при спреде «медведей» пока­ зана на рис. 2.17.

Спред «медведей» применяется при игре на понижение.

Спред «бабочка» (butterfly spread) состоит из длинных позиций по европей­ ским опционам «колл» (или «пут») с ценой исполнения X, и Ху где Х1 < Ху и двух коротких позиций по европейскому опциону «колл» («пут») с ценой ис­ X +X полнения Х2 = — ^ (все опционы имеют одну и ту же дату истечения).

Зависимость прибыли от спот-цены активов при спреде «бабочка» из­ ображена на рис. 2.18.

Спред «бабочка» применяется, когда инвестор считает, что в момент ис­ течения опционов спот-цена активов будет близкой к Х2.

Прибыль Рис. 2.16. Спред «быков» 1 Прибыль Рис. 2.17. Спред «медведей» II. Рынки производных финансовых инструментов 14?

Стратегии, в которых используются европейские опционы одного и того же вида при одной и той же цене исполнения, но с разными датами истече­ ния, называют календарными спредами (calendar spread).

Например, рассмотрим календарный спред, состоящий из короткой по­ зиции по европейскому опциону «колл» с датой истечения Т1 и длинной по­ зиции по европейскому опциону «колл» с датой истечения Т2, где Т2 > Г,.

Прибыль инвестора от данной стратегии на момент времени Т1 может быть найдена следующим образом:

(с, - с2) • ег(Г-" - m a x f o - X, 0} + cj (ST_), где с [STi) — стоимость европейского опциона «колл» с датой истечения Т2 в момент времени Т, при условии, что спот-цена активов в этот момент времени равна S^ (рис. 2.19).

Прибыль Рис. 2.18. Спред «бабочка» Прибыль Рис. 2.19. Календарный спред ISO Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.20.3- Комбинации опционов Стратегии, в которых используются европейские опционы разных видов на одни и те же активы при одной и той же дате истечения, называют комбинация­ ми опционов.

Стратегия «стрэдл» (straddle) состоит из длинных позиций по европейс­ ким опционам «колл» и «пут» с одной ценой исполнения X.

Зависимость прибыли инвестора на момент истечения опционов от спот цены активов в этот момент изображена на рис. 2.20.

Стратегия «стрэдл» применяется, когда инвестор ожидает, что спот-цена активов может значительно отклониться от цены исполнения опционов, но не знает, в какую сторону произойдет это отклонение.

Стратегия «стрип» (strip) состоит из длинных позиций по одному евро­ пейскому опциону «колл» и двум европейским опционам «пут» с одной и той же ценой исполнения X, в то время как стратегия «стрэп» (strap) состоит из длинных позиций по двум европейским опционам «колл» и одному европейс­ кому опциону «пут» (рис. 2.21 и 2.22).

Прибыль Рис. 2.20. Комбинация «стрэдл» Рис. 2.21. Комбинация «стрип» П. Рынки производных финансовых инструментов 1SZ Стратегия «стрип» («стрэп») применяетея, когда инвестор считает, что спот цена активов значительно отклонится от цены исполнения опционов, причем более вероятным является понижение (соответственно, повышение) этой цены:

Каков бы ни был прогноз инвестора о будущей спот-цене активов, зани­ мая те или иные позиции на спот-рынке активов и на рынке европейских оп­ ционов, он может построить стратегию под свой прогноз.

Прибыль от '' «стрэпа» н^ Рис. 2.22. Комбинация «стрэп» 2.21. Простейшая модель оценки производных финансовых инструментов «европейского типа» Финансовый инструмент называется инструментом «европейского типа» (European-sfyfe), производным от некоторых базисных активов, если существу­ ет функция F(z), такая, что в определенный будущий момент времени Т сто­ имость финансового инструмента равна FiSJ, где ST — стоимость базисных активов в момент времени Т.

В этом случае функция F(z) называется платежной функцией производ­ ного финансового инструмента. Например, для европейских опционов «колл» и «пут» платежные функции имеют вид:

Fc (z) = max{z - Х,0}, Fp (z) = max{X - z,0} соответственно, где X— цена исполнения опционов.

Предположим, что базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью q, а их стоимость определяется следующей одноэтапной бино­ миальной моделью:

St = S;

_ jSu с вероятностью л, [Sd с вероятностью 1-я, где и > о, 0 < d < 1.

15S Энциклопедия финансового риск-менеджмента Иными словами, в начальный момент времени стоимость базисных акти­ вов известна и равна S, а к моменту Т она может подняться до Su с вероят­ ностью тт или упасть до Sd с вероятностью 1 - тт.

Нетрудно заметить, что при отсутствии прибыльных арбитражных возмож­ ностей на спот-рынке базисных активов должно выполняться неравенство (2.40) d< 1+ Ч, где г — безрисковая процентная ставка на срок Т - t лет.

Рассмотрим финансовый инструмент «европейского типа», производный от рассматриваемых базисных активов, платежная функция которого F(z).

В начальный момент времени t сформируем инвестиционный портфель, состоящий из покупки базисных активов и короткой продажи х производных финансовых инструментов на эти активы. Начальные затраты на данный порт­ фель составят 5-хП, где П — начальная стоимость одного производного инструмента.

Доход инвестора на момент Т определяется следующим образом:

jSu(l + qf~' - xF(Su) с вероятностью к, \Sd(I + qf' - xF(Sd) с вероятностью 1-я.

Если число х подобрать так, чтобы Su (1 + qf'' - xF (Su) = Sd (1 + qf'' - xF (Sd), (2.41) то, что бы ни случилось на рынке, доход инвестора будет один и тот же, т.

е. стратегия окажется безрисковой. Так как по условию прибыльные арбит­ ражные возможности отсутствуют, то доходность инвестиционного портфеля должна совпадать с безрисковой процентной ставкой, т. е.

(S - хП) • (1 + г)7'1 = Su(I + qf^ - xF(Su) (2.42) при х, определяемом соотношением (2.41).

II. Рынки производных финансовых инструментов Выразив х из равенства (2.41) и подставив его в соотношение (2.42), получим:

n = ^ r r { W * F ( a i ) + (l-«-)F(Sd)}, (1 + г)' 1 + г" (2.43) 1+ l q, где тг u Из неравенства (2.40) следует, что о < п < I. Кроме того, выполняется равенство Su(l + qf-' • к + Stf (1 + q)T~' (l - к) = S(l + г) 7 "'.

Это означает, что ожидаемая доходность инвестиции в базисные риско­ ванные активы совпадает с безрисковой процентной ставкой, если в исход­ ной одноэтапной биноминальной модели вероятность подъема цены активов равна п. Следовательно, тт" можно интерпретировать, как вероятность подъема цены базисных активов в мире, нейтральном к риску* (risk-neutral world). В этом случае равенство (2.43) можно переписать в следующем виде:

П^-^Г-^, (2.44) (I + г)7"' где F(Sj) — ожидаемая конечная стоимость производного финансового инструмента «европейского типа» в мире, нейтральном к риску.

Пример 2.23. Текущий обменный курс фунта стерлингов— 1,6 долл. США за один фунт. Инвестор считает, что через четыре месяца обменный курс мо­ жет подняться до 1,64 долл. или упасть до 1,56 долл. Оценим стоимость 4-ме­ сячных европейских опционов «колл» и «пут» на 1000 фунтов стерлингов при цене исполнения 1,6, считая, что безрисковые процентные ставки на 4 меся­ ца в США и в Англии равны 6 и 5% соответственно.

Иностранную валюту можно рассматривать как актив с постоянной диви­ дендной доходностью, равной безрисковой процентной ставке в стране, где действует эта валюта.

Следовательно, в нашем примере:

г = 0,06;

q = 0,05;

X = 1,6 ДОЛЛ.;

S = 1,6 долл.;

Г - t = — ;

и=^ = 1,025;

d = i f = 0,975.

1,6 1, * Когда инвесторы не требуют премии за риск при инвестициях в рискованные активы.

12 — 154 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Вероятность подъема обменного курса в мире, нейтральном к риску, на­ ходится следующим образом:

• f 1,06 V -~ -0, л" = Ui^SJ о 5633.

= 1,025-0, Платежная функция европейского опциона «колл» имеет вид:

Fc(z) = max{z-X, 0}.

Следовательно, Fc (Su) = Fc (1,64) = max {1,64 -1,6;

0} = 0,04;

Fc (Sd) = Fc (1,56) = max {1,56 -1,6;

0} = 0.

Тогда с= —г [0,5633 • 0,04 + (1 - 0,5633) • О] • 1000 = 22,10 долл.

(1,06) Платежная функция европейского опциона «пут» имеет вид:

Fp(z) = max{X-z,0}.

Тогда Fp (Su) = Fp (1,64) = max {1,60 - 1,64;

0} = 0;

Fp (Sd) = Fp (1,56) = max {1,60-1,56;

0} = 0, и p= ^ - [ 0, 5 6 3 3 • 0 + (1 - 0,5633) • 0,04] • 1000 = 17,13 долл.

(1,0б)й 2.22. Биномиальная модель для оценки стоимости производных финансовых инструментов Будем считать, что базисные активы обладают постоянной дивидендной до­ ходностью, равной q, а их стоимость на временном промежутке [t0, T] опре­ деляется геометрическим броуновским движением, заданным условиями:

dS, = (aSr)dr + (r, (2.45) St = S, (2.46) где а — коэффициент смещения;

a — волатильность;

шт = W(W,T) — винеровский случайный процесс (см. разд. 1.27.3).

II. Рынки производных финансовых инструментов Временной промежуток [t, T] разобьем на п равных частей точками t,t + h„ t + Щ, t + nh„ = Т, }\= — ^, и построим n-этапную биномиальную модель со следующими параметрами (см. разд. 1.27.2):

е^ - d е"^, dn = еа^, кп = ц, -

Рассмотрим теперь финансовый инструмент «европейского типа», произ­ водный от рассматриваемых базисных активов, стоимость которого в момент времени Т определяется платежной функцией F(z). Обозначим через Uk(i), k = 0, 1, 2 п, i = 0, 1, 2,..., k, стоимость производного финансового инст­ румента в момент времени t + khn при условии, что до этого момента време­ ни цена базисных активов поднималась i раз. Тогда П0(0) — это искомая сто­ имость производного инструмента в момент времени t, a Пп (i) = F ( S < d r ), i = 0,l,2,..„п.

,Л • *«."

....-rSu • Su.3,...--"" \su;

'd.

• • ^<" • Su. < isux*' ^Х&Л • \Л, А, •S", isuX" •••*•• •••• J^\SuA' Sd.

&г^ • • afj"'---...

"Is**...... isuA"" " \Sd," / t+nh=T /+ К t+3h.

t+.? „ t+kh.

А T Рис. 2.23. Биномиальная п-этапная модель 12* 15Ь Энциклопедия финансового риск-менеджмента Если до момента времени t + khn цена базисных активов поднималась i раз, то в этот момент времени она окажется равной Su'nd*~', а стоимость производного инструмента— ЦД). К моменту времени t + (k + l)hn цена ба­ зисных активов может подняться до Su'^d^' = (Su|,dJ|~') un с вероятностью ттп или опуститься до Su^d^1'' = (Su|,d*"')dn с вероятностью 1 - ttn, а стоимость производного инструмента сможет принять только два значения: Пк+10'+1) и Пк+1(0. Это означает, что мы находимся в условиях простейшей модели, рас­ смотренной в предыдущем разделе.

su?d:

5и>.

(ЦМ t+khm t+{k+l)h.

Из соотношения (2.43) следует, что п * (0 = т г Ч ч г К ' п>+1 (' + ! ) + 0 - <)п^ (0}. (2.47) L J (1 + г у где fe = О, 1, 2,..., n— l,i = О, 1, 2, fl + rf _ dА ТТ7, ) " — вероятность одного подъема цены базисных 1+ я* _ у ч "л-4, активов в мире, нейтральном к риску.

Так как значения Пп0) известны при всех i = О, 1, 2 п, то равенство (2.47) позволяет последовательно найти:

ГЦО) = П, П,(0, i = О, I, 2 п - 1 ;

П,(0, i = О, 1 П-2;

т. е. в конце концов найти искомую начальную стоимость производного фи­ нансового инструмента.

II. Рынки производных финансовых инструментов Кроме того, с помощью равенства (2.47) нетрудно показать, что F(ST) П= (2.48) (1 + rf где F(Sj) — ожидаемая конечная стоимость производного финансового инструмента в мире, нейтральном к риску.

Пример 2.24- Рассмотрим 3-месячный европейский опцион «пут» на акцию с постоянной дивидендной доходностью q = 8% при цене исполнения 51 долл., когда цена акции 52 долл., безрисковая процентная ставка (для всех сроков) 12%, а волатильность цены акции оценивается в 30%.

В данном случае X = 51 долл., S = 52 долл., Т - 1 = —, г = 0,12, q = 0,08, о- = 0,3.

1л Для оценки стоимости опциона построим 3-этапную биномиальную мо­ дель (рис. 2.24) с параметрами:

= е°^ = е 0 ' 3 ^ = 1,090, d, = е°^ г = е^ Ьг 917.

щ = Нетрудно определить значение стоимости европейского опциона «пут» че­ рез 3 месяца (соответствующие значения указаны на рис. 2.24):

П3(3) = тах{51-67,342;

0} = О, П3(2) = тах{51-56,68;

0} = 0;

П3 (1) = max {51 - 47,706;

0} = 3,294;

П3 (0) = max {51 - 40,154;

0} = 10,846.

47, (3,294) 47, (4,309) 43, 40, (7,026) (10,846) Рис. 2.24. Трехэтапная биномиальная модель 158 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Чтобы найти значение стоимости опциона через два месяца, вычислим вероятность одного подъема цены акции в мире, нейтральном к риску:

(l + Wf- 0, *;

= 11 + 0 ' 0 8 ) = 0, 1,090-0, и воспользуемся формулой (2.47). Получим, что П2 (2) = Ц - [0,497 • 0 + (1 - 0,497) • 0] = 0;

(1, 12) П2 (1) = — Ц - [0,497 • 0 + (1 - 0,497) • 3,294] = 1,641;

(1,12)й П2 (0) = — Ц - [0,497 • 3,294 + (1 - 0,497) • Ю, 846] = 7,026.

(1,12)й Аналогично найдем, что П, (1) = — г [0,497 • 0 + (1 - 0,497) • 1,641] = 0,818;

(1,12) П, (0) = — [0,497 • 1,641 + (1 - 0,497) • 7,026] = 4,309.

(U2)M И наконец, П = П0 (0) = Ц - [0,497 • 0,818 + (1 - 0,497) • 4, 309] = 2,55 долл.

(1,12) Стоимость данного опциона можно найти и с помощью формулы (2.48):

П = — L _.Г о • (0,497)3 + 0 • 3 • (0,497)2 (1-0,497) + (1,12) + 3,294 • 3 • (0,497) (1 - 0,497)2 + 10,846 • (1 - 0,497)3] = 2,55 долл.

Биномиальную модель, изображенную на рис. 2.23, можно использовать и для оценки стоимости американских опционов на активы, обладающие по­ стоянной дивидендной доходностью, цена которых определяется условиями (2.45) и (2.46).

В самом деле, обозначим через Ck(i), k = 0, 1, 2,..., n, i = 0, 1, 2,..., k, стоимость американского опциона «колл» в момент времени t + fehn при ус­ ловии, что он не исполнялся до этого момента времени, а цена базисных ак­ тивов поднималась i раз. Тогда Сп (i) = max {Suj,dnni - X;

о}, i = 0, 1, 2,..., п.

И. Рынки производных финансовых инструментов Предположим теперь, что до момента времени t + khn, k = 0, 1, 2,..., n - 1, цена базисных активов поднималась i раз, а американский опцион «колл» до этого момента не исполнялся. Если в этот момент времени опцион будет исполнен, то инвестор получит выигрыш (доход) в размере Su'„d*~' - X. Если же в момент времени t + khn опцион исполняться не будет, то его стоимость Ck{i) может быть оценена на основе простейшей модели, изображенной на рис. 2.25.

Тогда С (0 = ( i +1} + (1 _ *n*)Q+I ( i ) }' > (ГТ^^ ^1 + r f где кп "n-dn Очевидно, что инвестор будет или не будет исполнять опцион в зависи­ мости от того, что больше: Si^djj-1' - X или Q (i).

Следовательно, Q(i) = m a x j s u ^ 1 - X, n'nCk+1 (i + 1) + (i - < ) Q + I (i), (2.49) к k = 0, 1, 2 n - 1, i = 0, 1, 2,..., k.

Так как значение Cn(i) нам известно, то, последовательно применяя фор­ мулу (2.49), можно получить оценку стоимости американского опциона «колл» С = С0(0).

Точно так же можно найти оценку стоимости и американского опциона «пут».

sura:

0+1)) <е«<0) t+kh. t4k+i)K Рис. 2. 160 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Пример 2.25. В условиях примера 2.24 оценим стоимость опциона, считая его американским.

Биномиальная модель и все расчеты приведены на рис. 2.26.

Например, П2 (0) = max {51 - 43,767;

7,026} = 7, т. е. если за два месяца цена базисных активов опускалась два раза, то аме­ риканский опцион «пут» выгодно исполнить досрочно.

Таким образом, стоимость американского опциона «пут» оказалась рав­ ной 2,60, что больше стоимости аналогичного европейского опциона (см.

пример 2.24).

На основе биномиальной модели можно оценивать стоимости фьючерс­ ных опционов, т. е. опционов на фьючерсные контракты.

По условиям фьючерсного опциона «колл» («пут») его держатель в мо­ мент исполнения опциона получает длинную (короткую) позицию по базис­ ному фьючерсному контракту и денежную сумму в размере Ф Т -Х(Х-Ф Т ), где Фт — фьючерсная цена активов, лежащих в основе фьючерсного контракта, а X — цена исполнения опциона.

Так как стоимости той или иной позиции в момент заключения фьючерс­ ного контракта равны нулю, то выигрыш держателя фьючерсного опциона «колл» («пут») на момент его исполнения составляет max {Фт - X;

0} (max {X - Фт;

0}).

Во многих случаях можно считать, что фьючерсный опцион является обыч­ ным опционом на активы, которые удовлетворяют следующим условиям:

1) дивидендная доходность активов равна безрисковой процентной ставке;

2) волатильность цены активов совпадает с волатильностыо цены тех активов, которые положены в основу базисного фьючерсного кон­ тракта;

3) начальная цена активов равна фьючерсной цене в рассматриваемый момент времени t.

Рис. 2.26. Расчет стоимости американского опциона по биномиальной модели П. Рынки производных финансовых инструментов Это означает, что для оценки фьючерсных опционов можно использовать биномиальную модель, изображенную на рис. 2.23, когда S = Ф (Ф — фью­ черсная цена активов, лежащих в основе базисного фьючерсного контракта), ц^ = е ° ^, 4i = е'°^°, где «г— волатильность цены активов, лежащих в основе базисного фьючерсного контракта, а вероятность одного подъема цены в мире, нейтральном к риску, определяется равенством п=±^ п Ц.-4.

2.23. Формулы Блэка-Шоулза Рассмотрим европейские опционы на активы с постоянной дивидендной доход­ ностью, цена которых определяется геометрическим броуновским движением:

dST = (aST)dr + (aSx)dwT, S, = S.

Будем считать, что финансовые рынки удовлетворяют следующим усло­ виям:

• рынки являются совершенными;

• существует безрисковая процентная ставка, одинаковая для всех сро­ ков и не меняющаяся с течением времени;

• отсутствуют прибыльные арбитражные возможности.

Временной промежуток [г, Т) (Т — дата истечения опционов) разобьем на п равных частей точками t.t + M + 2^, t + nl\ = T, h„ = —, n и построим n-этапную биномиальную модель со следующими параметрами:

ж = е^ " fn.

un = e°^, dn = е°^, Ц.-4.

Тогда стоимость европейских опционов «колл» и «пут» можно оценить с помощью соотношения (2.44), которые в данном случае принимают вид:

Сп = — Ц т т ! max { S ^ d r - Х,0} • Qfc) (l-n'nf, (2 50) (l + Г] != Pn = 77-^rrrImax{X - ЗДЛ < } • С {<) (l - G.5D (1 + Г) i=o 161 Энциклопедия финансового риск-менеджмента При п — °° случайный процесс, определяемый биномиальной моделью, > стремится к геометрическому броуновскому движению. Переходя к пределу при п -» м в формулах (2.50) и (2.51), получим формулы Блэка-Шоулза:

с = &Г*Т-Г)ЛГ(4) - Xe-^°N(d 2 ), (2.52) р = Xe f(T -°N(-d 2 ) - S e ^ ^ ' N t - d, ), (2.53) где S — цена базисных активов в текущий момент времени t;

X — цена исполнения опционов;

Г — дата истечения опционов;

f — безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении;

q — дивидендная доходность базисных активов при непрерывном начислении;

г*\ 1п^ + ( Т - г ) г - q +, d2 = d, - osjT - t 4= (а— волатильность базисных активов);

.. I [ e 2 dx = 1 - Ф (z) (при z > 0, см. табл. 1.1).

N(Z):

Важнейшие частные случаи формул Блэка-Шоулза 1. Европейские опционы «колл» и «пут» на бездивидендную акцию SN(d1)-Xef{T-')N(d2);

c= р = Xe~f(T^N (-dJ-S-N (-4),,2 Л ln^ (T-t) Г+ + где ^= o-jT^t d2 = dj - стл/Т^Т.

Пример 2.26. Найдем стоимости 6-месячных европейских опционов «колл» и «пут» на бездивидендную акцию с ценой исполнения 40 долл., когда текущая цена акции 42 долл., волатильность цены акции составляет 20%, а безриско­ вая процентная ставка при непрерывном начислении равна 10%.

В данном случае S = 42 долл., X = 40 долл., г = 0,1, а = 0,2, Г - t = 0,5.

И. Рынки производных финансовых инструментов Тогда 2^ Ш 4 2 + 0, 40 d,= = 0,7693;

0,2,70, d2 = 0,7693 - 0,2J075 = 0,6279.

С помощью таблицы для нормального распределения найдем, что N ( d j = 1 - Ф (0,7693) = 1-0,2206 = 0,7794, N(d 2 ) = 1 - Ф (0,6279) = 1-0,2643 = 0,7357, N (-d,) = Ф (0,7693) = 0,2206, N (-d2) = Ф (0,6279) = 0,2643.

Следовательно, с = 42 • 0,7794 - 40е0Д os • 0,7357 = 4,74 долл.;

р = 40е-°'1'0,5 • 0,2643 - 42 • О,2206 = 0,79 долл.

2. Европейский опцион «колл» и «пут» на иностранную валюту c = S- ef''(T-t)N(d1) - X • e-f(T-')N(d2);

р = Xe'^Ni-dz) - Se^-'Wt-d,), ln^ ( T - t ) r-n + где d, = oW^t d2 = d - Oy/T - t;

безрисковая процентная ставка (при непрерывном начислении) в стране, где действует рассматриваемая валюта.

Пример 2.27- Найдем стоимости 9-месячных европейских опционов «колл» и «пут» на 1000 канадских долларов при цене исполнения 0,75 долл., когда те­ кущий обменный курс — 0,75 долл. за один канадский доллар, безрисковые процентные ставки в США и в Канаде равны 7 и 9% соответственно (при непрерывном начислении), а волатильность обменного курса составляет 4%.

164 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В данном случае X = 0,75 долл.;

S = 0,75 Долл.;

f = 0,07;

f, = 0,09;

а = 0,04;

T-t = —.

' Тогда 2\ 1п^5 + -9 0,07 - 0,09 + (0,04) 0,75 -0,42;

cL = -0,42 - 0,04,1— = -0,45;

^ V N(d,) = «&(0,42) = 0,3372;

N(d 2 ) = < (0,45) = 0,3264;

D N (-d,) = 1 - Ф (0,42) = 0,6628;

N (-d2) = 1 - Ф (0,45) = 0,6736.

Значит, 12 и с = 1000 0,75е ' 0,3372 - 0, 7 5 - е ' 0,3264 = 4,11 долл.;

9 -0,07— -0,09 — = 14,71 долл.

р = 1000 12 0,75 • е • 0,6736 - 0,75е • 0, 3. Европейские фьючерсные опционы «колл» и «пут» с = Ф • e-f{T-l)N (d,) - X • e-f(r-"N (d2);

p = X • e-f(T-°N(-d2) - Ф • е-?(Т-°ЛГ(-4), Ф 1гД + ( Г - г ).

где d, = X _ Гл/f^t d2 = d[ - ал/T^t;

Ф — текущая фьючерсная цена базисных активов.

Пример 2.28. Найдем стоимость 8-месячного фьючерсного опциона «колл» на акцию при цене исполнения 70 долл., когда текущая фьючерсная цена акции 66 долл., безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 7%, а волатильность цены базисной акции оценивается в 49,20%.

II. Рынки производных финансовых инструментов 16$ В данном случае Ф = 66 долл.;

X = 70 долл.;

f = 0,07;

а = 0,492;

T-t = —.

Тогда (0.492). 66 In — + — - — г^ _70—12 2 05. ^ os - 0,492 • — = -0,35;

d] = =0 = 0( "•WI N (d,) = 1 - Ф (0,05) = 1 - 0,4801 = 0,5199;

N (d2) = Ф (0,35) = 0,3632.

Следовательно, -0,07— -0.07 — с = 66 • е 12 • О,5199 - 70е 12 • 0,3632 = 8,48 долл.

4. Европейские опционы «колл» и «пут» на активы с известными доходами.

Стоимости европейских опционов на активы с известными доходами можно оценивать приближенно с помощью следующих формул:

c-S*N(d 1 )-Xe- f(T - t) N(d 2 );

Xef(T-')N(-d2)-S'N(-dl), p= o-2^ S*, J.

h ^ + /ч T - t ) r + — ( где dj = — o-Vf^T d2 = d, - aJY^t S'= S-D, D — приведенное значение доходов, поступающих от базисных активов за время от t до Т.

Пример 2.29. Найдем стоимость 8-месячного европейского опциона «колл» на акцию, по которой через 3 и 6 месяцев ожидаются дивиденды в размере 2 долл. (каждый раз), если цена исполнения опциона 100 долл., текущая цена акции 100 долл., волатильность цены акции оценивается в 30%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении для всех сроков равна 8%.

В данном случае о S = 100 долл.;

X = 100 долл.;

г = 0,08;

а = 0,3;

Т - Г = —;

„ -0,08— -0,08 —,2 D = 2e +2е = 3,88 долл.;

S = 100-3,88 = 96,12;

166 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2\ (о,з):

, 96,12 In—-— + — 0,08 100 4= = 0,18;

± = 0,18 - 0,3. -0,06;

0,3- Д VI N ( 4 ) = 1 - Ф (0,18) = 1 - 0,4286 = 0,5714 N(d 2 ) = Ф (0,06) = 0,4761.

Значит, с = 96,12 • 0,5714 - 100 • е°'т Тг • 0,4761 = 9,79 долл.

Свойства стоимостей европейских опционов в модели Бпэка-Шоулза 1. Стоимости европейских опционов, найденные по формулам Блэка Шоулза (2.52) и (2.53), удовлетворяют паритету цен:

= &-*т-° - Хе"(T-t) с-р Пример 2.30. В примере 2.26 было найдено, что с = 4,74 долл., р = 0,79 долл., т. е. с-р = 3,95 долл. С другой стороны, f(T Se -q(T-t) X • e" ~° = ло.•o~°i212 _ АС.•«p"' 1212 == 3,95 долл.

= 42 e - 40 e 2. В модели Блэка-Шоулза стоимости европейских опционов определяются следующими показателями: текущей ценой базисных активов S, ценой исполнения опциона X, дивидендной доходностью базисных активов q, волатильностью цены базисных активов а, безрисковой процентной став­ кой f и временем, остающимся до даты истечения опциона T-t, т. е.

с = c(S, X, q,a, f, T-t);

p = p(S,X,q,a,f, T-t).

В табл. 2.2 показано, как увеличение того или иного показателя (при неиз­ меняемости остальных показателей) влияет на стоимость европейского опциона.

Таблица 2. ВЛИЯНИЕ ФАКТОРОВ РИСКА НА СТОИМОСТЬ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ г а я Показатель X T-t S Стоимость + + +* европейского + опциона «колл» Стоимость европейского +* - + + + опциона «пут» * Условие может нарушаться в случае опционов «с выигрышем».

II. Рынки производных финансовых инструментов 3. При возрастании волатильности от 0 до +°° (и неизменяемых всех ос­ тальных показателях) стоимость европейского опциона «колл» возра­ стает от Se~^T~l) - Хе"?(Т~'' до Se~^T~'\ а стоимость европейского оп­ циона «пут» — от Xe"f(T"° - &"4СТ_1) до Xe'^-'l Из последнего утверждения следует, что, какова бы ни была рыночная стоимость европейского опциона на активы с постоянной дивидендной до­ ходностью, всегда существует и притом единственное значение а, при кото­ ром стоимость опциона, найденная по формуле Блэка-Шоулза, совпадает с его рыночной ценой. Это значение а называется предполагаемой волатиль ностью (implied volatility) базисных активов.

Если известна рыночная цена европейского опциона «колл» («пут»), то для отыскания предполагаемой волатильности базисных активов необходимо решить уравнение:

. e - « r - o N ц ) _ х. e-t{T-l)N (d 2 ), СРШ = s (2.54) (ррш = Х- e-f(T-t}N(-d2) - S • e"« 7 '-,) N(-d,)), ( 2 - 55 ) l n | + ( T - t ) r -q + где d, = /f-t cL=d,- ojT - 1.

Пример 2.31. Рыночная цена 3-месячного европейского опциона «колл» на без­ дивидендную акцию с ценой исполнения 20 долл. равна 1,88 долл. Найдем пред­ полагаемую волатильность базисной акции, если текущая цена акции 21 долл., а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 10%.

В данном случае СРШ = 1( 8 8 д о л л. 5 = 21 ДОЛЛ.;

X = 20 ДОЛЛ.;

f = 0,1;

q = 0;

Г - t = 0,25.

Следовательно, уравнение (2.54) принимает вид 1,88 = 21N (d,) - 20e^>W5N (d 2 ), (2.56) ( а2Л I n — + 0,25 0,1 + —, 20 где dx = r =^= CTVO- d2 = d, - oJ0,25.

Найти решение уравнения (2.56) можно, например, методом проб и ошибок.

168 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Положим о 01 = 0,20. Тогда 2Л (0,2) I n — + 0,25 0,1 + ( = 0,79;

d" =, 0,2^ 4 " = d,(1) - 0,2^025 = 0,69;

N (d,(1)) = 1 - Ф (0,79) = 1 - 0,2148 = 0,7852;

N ( 4 ] ) ) = 1 - Ф (0,69) = 1 - 0,2451 = 0,7549;

с(<т(1)) = 21 • 0,7852 - 20 • е' 0 1 0 2 5 • 0,7549 = 1,76 <,рын с Следовательно, значение а следует увеличить.

Положим <т<2) = 0,23. Тогда (0,23)2 \ In — + 0,25 0,1 + d<2> = = d<2) - 0,23 • VoT25 = 0,59;

0,70;

df 0,23 • л/ N(d<2)) = 1 - Ф (0,70) = 1 - 0,2420 = 0,7580;

N ( d f ) = 1 - Ф (0,59) = 1 - 0,2776 = 0,7224;

с (ст(2)) = 21 • 0,7580 - 20е од °'25 • 0,7224 = 1,83 < с"".

Прист<3)= 0, d<3) = 0,67;

d<3) = 0,55;

N (d| 3) ) = 0,7486;

N (d<3)) = 0,7088;

с(сг(3)) = 1,89 долл. > с" г,РЬИ Таким образом, предполагаемая волатильность базисной акции находится между 0,23 и 0,24. Можно считать, что предполагаемая волатильность равна 0,235, или 23,50%.

Волатильность тех или иных активов можно оценивать на основе истори­ ческих данных (см. п. 1.22). Однако не всегда можно таким образом полу­ чить хорошую оценку волатильности. Тогда в качестве оценки волатильности можно рассматривать предполагаемую волатильность активов, определяемую на основе рынка опционов на эти активы.

2.24. Дельта-хеджирование Если финансовый институт продает на внебиржевом рынке тот или иной оп­ цион, то он подвергается рыночному риску, так как за опцион он получает фиксированную сумму— премию за опцион, а его доход (убыток) зависит от II. Рынки производных финансовых инструментов спот-цены базисных активов на момент исполнения опциона. Например, в случае продажи европейского опциона «колл» прибыль финансового инсти­ тута на момент исполнения этого опциона оценивается следующим образом:

W-t) ecnnST < X, се r(T-t) -max{S T -X;

0} + ce f(Tt) {X-ST + ce, если ST > X.

Зависимость прибыли от спот-цены активов изображена на рис. 2.27.

Таким образом, продавая опцион, финансовый институт может понести очень большие убытки и поэтому заинтересован в снижении этого рыночно­ го риска.

Финансовый институт может полностью исключить какой бы то ни было рыночный риск, купив аналогичный биржевой опцион. Однако часто опцион создается специально, исходя из запросов конкретного клиента, и купить та­ кой опцион на бирже не удается. Именно в таком случае может использо­ ваться дельта-хеджирование рыночного риска.

Рассмотрим финансовый инструмент, производный от некоторых базисных активов. Стоимость этого инструмента в текущий момент времени t зависит от спот-цены активов в этот момент времени и от многих других факторов.

Коэффициентом дельта (delta) финансового инструмента, производного от данных базисных активов, называется частная производная стоимости это­ го инструмента по спот-цене базисных активов, т. е.

дП Л = dS Основное свойство коэффициента дельта Если спот-цена базисных активов мгновенно изменяется на величину SS, а все остальные факторы, влияющие на стоимость производного финансового ин­ струмента, останутся неизменными, то приращение стоимости этого инстру­ мента ЛП можно приближенно оценить следующим образом:

ЛП ~A(8S). (2.S7) Прибыль Рис. 2.27. Прибыль от продажи опциона «колл» 13 — Ж70 Энциклопедия финансового риск-менеджмента При этом, чем меньше 8S (по абсолютной величине), тем меньше погреш­ ность равенства (2.57).

Имеют место следующие утверждения:

1. Коэффициент дельта базисных активов всегда равен 1.

2. Коэффициент дельта фьючерсного контракта на активы с постоянной дивидендной доходностью можно найти по формуле:

AF = e(f-«(T-'>, где q — постоянная дивидендная доходность при непрерывном начислении;

f — безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении;

Т — дата поставки активов.

3. Коэффициенты дельта европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью q определяются равенствами:

Ac=e-^N(d1);

V^'NK), m | + (r-t)(f-a + f где dj = o-Vf^t Пример 2.32. Рассмотрим 5-месячный европейский опцион «пут» на бездиви­ дендную акцию с ценой исполнения 100 долл., когда текущая спот-цена ак­ ции равна 100 долл., волатильность акции оценивается в 40%, а безрисковая процентная ставка при непрерывном начислении равна 8%.

В данном случае S = 100 долл.;

X = 100 долл.;

f = 0,08;

q = 0;

Т - t = —;

а = 0,4;

, 100 5 '*« + & ' In +— d.= = 0,26;

100 "Ш N(-d,) =

Следовательно, Лр = -0,3974.

Из приближенного равенства (2.57) следует, что, если цена базисной ак­ ции мгновенно вырастет на 1 долл., то цена опциона «пут» на эту акцию умень II. Рынки производных финансовых инструментов 17* шится на 0,397 долл. (точное значение снижения стоимости опциона состав­ ляет 0,392 долл.).

4. Коэффициенты дельта американских опционов можно найти прибли­ женно на основе n-этапной биномиальной модели:

_ Q(i)-Q(o).

_ А S(e°^ Р:(1)"•Р.(о) Л Л Р S ( e ° ^ •-е°^)' где S — текущая цена базисных активов;

T-t а — волатильность базисных активов, fy, = ;

Cj(l) (Pj(I)) — стоимость американского опциона «колл» («пут») в момент времени t + hn при условии, что поднялась цена базисных активов;

СДО) (Pj(0)) — стоимость американского опциона «колл» («пут») в момент времени t + hn, если цена базисных активов упала.

5. Коэффициент дельта портфеля финансовых инструментов, производ­ ных от одних и тех же базисных активов, является линейной комби­ нацией коэффициентов дельта этих финансовых инструментов.

Пример 2.33. Рассмотрим портфель, состоящий из покупки 10 000 английс­ ких фунтов стерлингов: из короткой позиции по 9-месячному фьючерному кон­ тракту на 5000 фунтов стерлингов и из длинной позиции по 6-месячному ев­ ропейскому опциону «пут» на 2000 фунтов стерлингов с ценой исполнения 1.60 долл. Найдем коэффициент дельта портфеля, когда текущий обменный курс— 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15%, а безрисковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и Англии равны 10 и 13% соответственно.

Найдем коэффициент дельта фьючерсного контракта на один фунт стер­ лингов.

Так как f = 0,10, f, = 0,13, Т* - 1 = —, то ' (f MIT 1 t\ (0,10-0,13) — Л, = e(r-f)(r-° = е = 0,9778.

Вычислим коэффициент дельта опциона «пут» на один фунт стерлингов.

Так как S = 1,62 ДОЛЛ.;

X = 1,60 ДОЛЛ.;

ст = 0,15;

f = 0,10;

Т - t = —;

17* Энциклопедия финансового риск-менеджмента то 2Л, 1,62 I n - — + — 0,10-0,13 + ^f> I n f + (T-t)ff-f, ^ + = 0,03;

1,60 ^7тП 0,15 Д N (-d,) = Ф (0,03) = 0,4880.

Тогда Ap = -e^(Т~1)Ы (-d,) = -e" 0,13 ".0,4880 = -0,4573.

Следовательно, коэффициент дельта рассматриваемого портфеля можно найти следующим образом:

А = 10 000 • 1 - 5000 • 0,9778 + 2000 • (-0,4573) = 4196,4.

Из приближенного равенства (2.57), в частности, следует, что при паде­ нии обменного курса на 0,01 долл. стоимость всего портфеля снизится на 41,96 долл.

Портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же ба­ зисных активов, называют дельта-нейтральным (delta-neutral), если коэффи­ циент дельта этого портфеля равен 0.

Если инвестор занимает некоторую позицию по производному финансо­ вому инструменту, то, занимая соответствующую позицию по какому-то дру­ гому финансовому инструменту на те же базисные активы, он может образо­ вывать дельта-нейтральный портфель, т. е. дельта-нейтрализовать свою пер­ воначальную позицию.

Пример 2.34. Финансовый институт продал 6-месячный европейский опцион «пут» на 2000 фунтов стерлингов с ценой исполнения 1,60 долл., когда теку­ щий обменный курс— 1,62 долл. за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15%, а безрисковые процентные ставки при непрерывном на­ числении в США и в Англии равны 10 и 13% соответственно.

Выясним, сколько фунтов стерлингов следует купить (или продать), что­ бы дельта-нейтрализовать базисную позицию.

Коэффициент дельта европейского опциона «пут» равен -0,4573 (см. при­ мер 2.33). Обозначим через х количество фунтов стерлингов, покупаемых для дельта-нейтрализации. Тогда х - 2000 • (-0,4573) = 0.

Откуда найдем, что х = -914,6. Таким образом, для дельта-нейтрализации базисной позиции требуется произвести короткую продажу 914,6 фунтов стер­ лингов.

Предположим, что инвестор занимает определенную позицию по финан­ совому инструменту, производному от данных базисных активов. Дельта-хед II. Рынки производных финансовых инструментов жирование риска, связанного с изменением цены базисных активов на рын­ ке, сводится к следующему:

1) выбирается некоторый биржевой инструмент, производный от тех же базисных активов;

2) покупая или продавая выбранный инструмент, базисная позиция дельта нейтрализуется;

3) инвестиционный портфель периодически ребалансируется, т. е. при помощи операций с выбранным инструментом восставливается дель­ та-нейтральность этого портфеля, утрачиваемая из-за изменения цены базисных активов и течения времени.

По существу, при дельта-хеджировании искусственным образом воспро­ изводится позиция, противоположная базисной, т. е. строится синтетический финансовый инструмент.

Пример 2.35. Финансовый институт продал 5-недельный европейский опцион «колл» на 100 000 бездивидендных акций с ценой исполнения 50 долл., когда текущая цена акции равна 49 долл., волатильность акции составляет 20%, а безрисковая процентная ставка равна 5%.

Для хеджирования своей позиции финансовый институт решает исполь­ зовать операции с базисной акцией и ребалансировать свою позицию ежене­ дельно. Ниже в табл. 2.3 приведен сценарий изменения цены базисной акции и расчет издержек финансового института на дельта-хеджирование.

В момент исполнения опциона финансовый институт обязан продать 100 000 акций по цене исполнения опциона в 50 долл.

Следовательно, чистые затраты финансового института составят 5 127 183 - 5 000 000 = 127 183 долл., а приведенные чистые затраты равны -0.0S-— 127 183 • е п = 126 573.

Премия за опцион составляет 87 889 долл. Таким образом, чистые приве­ денные издержки финансового института (без учета комиссионных) равны 126 573 долл. - 87 889 долл. = 38 684 долл.

Отметим, что при отсутствии хеджирования чистые приведенные издерж­ ки составили бы -0.05 — п 312 500 долл. • е - 87 889 долл. = 218 168 долл.

2.25. Гамма-хеджирование Коэффициентом гамма (gamma) финансового инструмента, производного от данных базисных активов, называется частная производная второго порядка от стоимости этого инструмента по цене базисных активов, т. е.

Э2П 3S2 " 174 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Таблица 2. ДЕЛЬТА-ХЕДЖИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ АКЦИЙ Количество Цена Коэффициент Стоимость Накопленные Номер покупаемых издержки акции дельта покупаемых акций недели i (продаваемых) акций д. Д-^ Si Q = Q M ^°'° ! A,-S, Д = 100 000(Д ) - Д м ) + 49,000 2 028 0 0,4140 2 028 41 1 0,2769 -13 710 1 370 -659 48, 2 -12 740 768 47,375 0,1495 -603 50,250 0,5776 42 810 2 920 2 151 51,750 32 370 4 598 4 0,9013 1 675 1,0000 9 53,125 5 127 S 524 Коэффициент гамма производного финансового инструмента можно оп­ ределить как частную производную от коэффициента дельта этого инструмента по цене базисных активов, т. е.

Основное свойство коэффициента гамма Если спот-цена базисных активов мгновенно изменится на величину SS, а все остальные факторы, влияющие на стоимость производного финансового ин­ струмента, останутся без изменения, то приращение стоимости этого инст­ румента AU можно приближенно оценить следующим образом:

ДП = Д- (SS) + ^(8Sf, (2.58) причем при малых SS (по абсолютной величине) погрешности этого равен­ ства значительно меньше погрешности равенства (2.57), учитывающего толь­ ко коэффициент дельта.

Имеют место следующие утверждения:

1. Коэффициенты гамма базисных активов и фьючерсных контрактов на эти активы всегда равны 0.

II. Рынки производных финансовых инструментов 2. Коэффициенты гамма европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доходностью q определяются равенством:

L—е-* 7 " 0 • е" т (я ~ 3,И), Гс = Г = - i _ s,„. ^ Г. ~ о-2^ ln^ + (T-t) г - q + где d, = o-Vf^t Пример 2.36. Найдем коэффициент гамма европейского опциона «пут» из при­ мера 2.32.

Так как S = 100 ДОЛЛ.;

X = 100 ДОЛЛ.;

f = 0,08;

С = 0;

а = 0,4;

Т - Г = —;

^ = 0,26;

/ то,, _

Г Р=-1= ^2ЛГ 100 0,4-J— \ Из равенства (2.58) следует, что если цена базисной акции мгновенно вырастет на 1 долл., то Ар = -0,3974 • 1 + ° ' ° 1 4 9 • 1 = -0,390, т. е. стоимость опциона упадет на 0,390 долл.

3. Коэффициенты гамма американских опционов можно найти прибли­ женно на основе n-этапной биномиальной модели:

2 [С2(2)-С2(1)С2(1)-С2(0) 2 [Р 2 (2)-Р 2 (1) | Р 2 (1)-Р 2 (0) S2{u*-d2n){ d n 2 -l " ul-l где un = eaJK, dn = e~a^, \ = —.

Коэффициент гамма портфеля финансовых инструментов, производных от одних и тех же базисных активов, является линейной комбинацией коэффи­ циентов гамма этих инструментов.

17* Энциклопедия финансового риск-менеджмента Портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же ба­ зисных активов, называется гамма-нейтральным (gamma-neutral), если коэф­ фициенты дельта и гамма этого портфеля равны нулю.

Если инвестор занимает некоторую позицию по производному финансо­ вому инструменту, то, занимая соответствующие позиции по двум другим фи­ нансовым инструментам, производным от тех же самых базисных активов, он может образовать гамма-нейтральный портфель.

Пример 2.37. Инвестор приобрел финансовый инструмент, производный от некоторых базисных активов, коэффициенты дельта и гамма которого равны 0,50 и 0,02 соответственно.

Выясним, как гамма-нейтрализовать данную позицию, используя сами эти активы и биржевые опционы на них, если коэффициенты дельта и гамма бир­ жевого опциона 1,5 и 0,01.

Предположим, что для гамма-нейтрализации позиций инвестора необхо­ димо купить х единиц базисных активов и у биржевых опционов на эти акти­ вы. Тогда должны выполняться следующие равенства:

0,50 + х-1 + у 1,5 = 0, 0,02 + у 0, 0 1 = 0.

Следовательно, у = -2, х = 2,5. Таким образом, необходимо купить 2,5 единиц базисных активов и произвести короткую продажу двух биржевых опционов на эти активы.

Гамма-хеджирование, как и дельта-хеджирование, применяется для сни­ жения риска, связанного с изменением цены активов на рынке при наличии определенной позиции по финансовому инструменту, производному от этих активов. Гамма-хеджирование предполагает следующие действия:

1) выбираются два биржевых инструмента, производных от тех же акти­ вов, что и базисный инструмент;

2) покупая или продавая выбранные финансовые инструменты, базисная позиция гамма-нейтрализуется;

3) инвестиционный портфель периодически ребалансируется, т. е. на ос­ нове операций с выбранными инструментами восстанавливается его гамма-нейтральность.

При гамма-хеджировании искусственным образом воспроизводится пози­ ция, противоположная исходной, причем такое воспроизведение оказывается значительно точнее, чем при дельта-хеджировании.

2.26. Коэффициенты тета, ро и вега Коэффициентом тета (©) производного финансового инструмента называют частную производную стоимости этого инструмента по времени, т. е.

II. Рынки производных финансовых инструментов Коэффициент тета оценивает скорость изменения стоимости производ­ ного инструмента при условии, что все остальные факторы, влияющие на его стоимость, остаются неизменными.

Для финансовых инструментов, производных от активов с постоянной ди­ видендной доходностью, цена которых определяется геометрическим броунов­ ским движением, имеет место следующее равенство:

e + ( f - q ) S A + — • ST 2 = f • П. (2.59) В частности, если портфель финансовых инструментов, производных от одних и тех же активов, является гамма-нейтральным, то равенство (2.59) при­ нимает вид:

• 0 = f • П.

Пример 2.38. Рассмотрим 6-месячный европейский опцион «пут» на 2000 фун­ тов стерлингов с ценой 1,60 долл., когда текущий обменный курс— 1,62 долл.

за один фунт, волатильность обменного курса оценивается в 15%, а безрис­ ковые процентные ставки при непрерывном начислении в США и в Англии равны 10 и 13% соответственно.

Коэффициент дельта опциона равен 2000 • (-0,4573) = -914,6 (см. при­ мер 2.33), а его коэффициент гамма можно найти следующим образом:

г^2000 1 с_,(Т_0 4^ с л/2/г SoslT^l ( 2000 I 5-^ е-<ш 0.. е —г" 4349,35.

= •42к 1,62-0,15-л/О, Стоимость данного опциона можно найти по формуле (2.53), где q = ff :

р = 2000 {1,60 • е о ю 05 N (-d2) - 1,62 • е"013 a5 N (-d,)} = = 2000{l, 60e-°'I0OS • 0,5319 - 1,62 • e 0I3 °' s • 0,4880} = 147,17 долл.

Тогда из соотношения (2.59) получим, что 0 = 0,10 • 147,17 - (0,10 - 0,13) • 1,62 • (-914,6) _ (015)_ ^ 62 ^ 2 4 3 4 9 j 3 5 = _158> н Таким образом, за 10 дней стоимость опциона снизится на 158,14 • — = 4,33 долл. только за счет фактора времени.

— Коэффициентом ро (р) финансового инструмента называется частная про­ изводная стоимости этого инструмента по безрисковой процентной ставке, т. е.

ЭП 178 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В случае фьючерсного контракта на активы с постоянной дивидендной доходностью q коэффициент р находится по формуле:

p = S-(r-t)-eM(T-".

Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доход­ ностью рс = Х(Г - г) • <Г(Т-'> • N(d2), Pp = -Х(Т - г) • е-'(Т-() • N(-d2).

Коэффициент ро используется при хеджировании процентного риска, т. е. риска, связанного с изменениями безрисковой процентной ставки, точно так же, как коэффициент дельта используется для хеджирования рыночного риска. Кроме того, если на биржевом рынке имеется несколько различных финансовых инструментов, производных от одних и тех же активов, то с по­ мощью коэффициентов ро и дельта можно построить хеджирование одно­ временно и рыночного, и процентного рисков. Для этого достаточно сфор­ мировать портфель с нулевыми коэффициентами ро и дельта и периодичес­ ки его ребалансировать.

Пример 2.39. Предположим, что финансовый институт продал 6-месячный европейский опцион «пут» в условиях примера 2.38.

Выясним, как в начальный момент времени построить инвестиционный портфель для хеджирования рыночного и процентного (в США) рисков, ис­ пользуя операции с фунтами стерлингов и с 9-месячными фьючерсными кон­ трактами на фунт стерлингов.

Коэффициенты дельта опциона и фьючерсного контракта на один фунт стерлингов были уже найдены:

AF = 0,9778, Др = -0,4573 (см. пример 2.33).

Коэффициент ро для фьючерсного контракта находится следующим об­ разом:

( -° дз) - = 1,1880, pF = S • (Т - t) • е ™ ™ = 1,62 • ± е а для опциона:

рр = -X • (Г - t) • e-f(T"° • N (-d2) - -1,60 • 0,5 • е"010'5 • 0,5319 = -0,4048.

Так как инвестиционный портфель должен иметь нулевые коэффициенты дельта и ро, то мы имеем систему уравнений:

-2000 • (-0,4573) + х • 1 + у • 0,9778 = 0, -2000 • (-0,4048) + у • 1,1880 = 0, где х — количество покупаемых фунтов стерлингов, у — число покупаемых фьючерсов.

Решив систему уравнений, получим х = -248,25, у = -681,48.

II. Рынки производных финансовых инструментов Следовательно, в начальный момент времени необходимо произвести ко­ роткую продажу 248,25 фунтов стерлингов и занять короткую позицию по фьючерсу на 681 фунтов стерлингов.

Коэффициентом вега производного финансового инструмента называет­ ся частная производная стоимости этого инструмента по волатильности ба­ зисных активов, т. е.

Эст Для европейских опционов на активы с постоянной дивидендной доход­ ностью справедливо равенство:

• е-«т-".

Лс = Л = SjT^l • -jLe^ Коэффициент вега используется для хеджирования риска, обусловленно­ го возможными изменениями волатильности базисных активов.

Если на биржевом рынке имеется достаточно много различных финансо­ вых инструментов, производных от одних и тех же активов, то, используя ко­ эффициенты дельта, гамма, ро, вега и др., можно осуществить хеджирование разных рисков одновременно. Однако следует учитывать, что такое хеджиро­ вание потребует большого числа различных операций с биржевыми инстру­ ментами, что значительно увеличит транзакционные расходы, которые могут сделать такое хеджирование заведомо убыточным.

2.27. Специальные виды опционов В настоящее время наряду с основными видами опционов существует и мно­ го других их видов, при этом постоянно появляются и новые разновидности опционов.

Рассмотрим некоторые, наиболее часто встречающиеся специальные виды опционов (exotic options).

2.27.1. Опцион на обмен активами Держатель опциона на обмен активами (exchange option) имеет право в мо­ мент исполнения опциона получить некоторый актив А в обмен на другой актив В. Платежная функция такого опциона записывается в виде:

max {STA-Sl, О}, где Si, Si— спот-цены активов А и В соответственно в момент исполнения опциона.

ISO Энциклопедия финансового риск-менеджмента Стоимость опциона на обмен активами находится по формуле*:

S B e^ (r -°N(d 2 ), с = Sjfi-b^Nfa) ( ст ъ - ЧА + у \(т - О где dj = 2 crVf^t 0/2 = 6!! — o-JY^t;

а2 = а\ + а\ - 2раА • ав;

SA, SB — спот-цены активов в текущий момент времени t;

— дивидендные доходности обмениваемых активов;

QA'QB агА, <тв — волатильности базисных активов А и В;

р — мгновенная корреляция между их ценами.

2.27.2. Бинарные опционы Держатель бинарного опциона (binary option) получает в момент исполнения этого опциона заданную денежную сумму Q, если спот-цена базисных акти­ вов оказывается выше цены исполнения X. Платежная функция бинарного опциона записывается в виде:

QJ(ST-X) от где ST — спот-цена активов на момент исполнения опциона;

1, если z > О, v ' ' 0, если z < 0.

Стоимость бинарного опциона может быть найдена по формуле:

Qe-riT-')N(d2), c= - о-2^ S,„ J ln| (T-t) г - q + + где (12 = ^ - а^Т - г, dx = o-Vf^T Хеджировать бинарные опционы достаточно сложно, так как даже неболь­ шие изменения спот-цены активов на момент исполнения опциона могут вы­ зывать значительные изменения дохода держателя опциона.

* Эта модель, впервые опубликованная в 1978 г, называется моделью Маргрейба (Margrabe) по фамилии ее автора.

II. Рынки производных финансовых инструментов 2.273. Азиатские опционы Платежная функция азиатского опциона (Asian option) «колл» («пут») имеет вид:

т а х ^ - Х, 0 } ( т а х { Х - 5 ф, о}), где X — цена исполнения опциона;

Scp — среднее геометрическое значение цены базисных активов за время существования опциона.

Если базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью, а их цена определяется геометрическим броуновским движением, то азиатский опцион можно рассматривать как обычный европейский опцион на активы с дивидендной доходностью "г r + q + волатильность которых равна —j=.

Значит, стоимости азиатских опционов можно находить по формулам Блэка Шоулза. При этом азиатские опционы стоят дешевле, чем соответствующие европейские опционы, и их проще хеджировать.

2.27-4. Барьерные опционы Барьерные опционы (barrier option) бывают двух основных видов/ выходящие (knock-out) и входящие (knock-in).

Выходящий опцион «колл» или «пут» прекращает свое существование как соответствующий опцион, когда цена базисных активов достигает некоторой заданной величины Н. При этом если Н < S (S — начальная цена базисных активов), то опцион называют выходящим при понижении (down-and-out), а r если Н > S— выходящим при повышении (up-and-out).

Входящий опцион «колл» или «пут» начинает существовать как соответ­ ствующий европейский опцион, когда цена базисных активов достигает задан­ ной величины Н. Такой опцион называют входящим при понижении (down and-iri), если Н < S, и входящим при повышении (up-and-in), если Н > S.

Очевидно, что покупка входящего и дополняющего его выходящего оп­ ционов равносильна покупке соответствующего европейского опциона. Зна­ чит, сумма стоимостей таких опционов, входящего и выходящего, всегда со­ впадает со стоимостью соответствующего европейского опциона.

Если базисные активы обладают постоянной дивидендной доходностью, а их цена определяется геометрическим броуновским движением, то имеют место следующие формулы:

/ U \2Л Г и \2Я- г-"г-" Я s. e-*r-o H.N(y)-X-.N ( y - o V f ^ ) с= (входящий при понижении «колл»), / u \2A~2 / и \2Я г р = Х.е-'< -'> 1.Ni-y + oJT^A-S-e-^ Ш N(-y) \ь ) \ь ) (входящий при повышении «пут»), ХШХ Энциклопедия финансового риск-менеджмента (U2\ ln Н_ г- q+ SX + ACTVT - t.

У= где а >/т- Стоимость барьерного опциона всегда меньше стоимости соответствую­ щего европейского опциона, а хеджировать его в общем случае сложнее.

2.27.5. Бермудские опционы Держатель бермудского опциона (Bermudan option) «колл» («пут») имеет пра­ во купить (продать) базисные активы в один из будущих моментов времени:

Т,, Т2,...,ТП по заранее установленной цене, соответствующей этому момен­ ту времени.

В каждый момент времени t, t

Если цена базисных активов определяется геометрическим броуновским движением, то стоимость бермудского опциона можно приближенно найти с помощью биномиальной модели.

2.28. Финансовые инструменты, производные от процентных ставок 2.28.1. Кэпы, флоры и коллары Рассмотрим некоторую рыночную процентную ставку на срок в S лет (напри­ мер, 6-месячную ставку LIBOR). Ее значение в момент времени t будем обо­ значать г (г, 8).

Поток платежей от кэпа номиналом А на рассматриваемую процентную ставку, стартующего в момент времени Г0 при ставке исполнения х, опреде­ ляется следующим образом:

Дата г, = т0 + s Т„ = Т0 + п Г» = Т0 + М платежа Платеж AS -max{r(T„_,,<5)-x,o} Абтах{г(Г 0,5)-х,0} AS max{r(Tk_vS)-x,o} Таким образом, кэп (cap) представляет собой портфель из европейских опционов «колл» на данную процентную ставку.

Поток платежей от флора номиналом А на данную процентную ставку, стартующего в момент времени Т0 при ставке исполнения х, имеет вид:

II. Рынки производных финансовых инструментов Дата 7, = Т0 + S П = Г0 + кд Т„ = Т„ + пб платежа AS max{x-r(Tn_„5),o} Платеж A5max{x-r(T0,5),0} AS • maxjx - г(Т,.,,5),о} Иными словами, флор (floor) — это портфель из европейских опционов «пут» на процентную ставку.

Портфель, состоящий из покупки кэпа и продажи флора с одинаковыми характеристиками, называют колларом (collar) заемщика.

Поток платежей от коллара заемщика, стартующего в момент времени Т0:

Дата Т, = Т0 + S Т„ = Т0 + nS Тк = Т0 + kS платежа AS(r(Tn_b8)-x) А8(г(Т0,8)-х) Платеж AS(r(Jiv6)-x) Следовательно, стоимость коллара заемщика в момент времени t может быть оценена следующим образом:

(collar\ = ^ -X IT Ж> Г 8 M s (l + 5r 0 ) (l + Srk)' (I + 5r n ) где г., г.,..., г — ставки дисконтирования при начислении процентов — раз в год на сроки: Т0- t, Г,- t Tn-t соответственно.

Аналогичным образом можно оценивать и коллар кредитора, состоящий из покупки флора и продажи кэпа с одинаковыми характеристиками.

2.28.2. Опционы на купонные облигации Европейские, американские и бермудские опционы на купонные облигации определяются стандартным образом.

Например, европейский опцион «колл» на купонную облигацию с да­ той погашения 7", имеющий дату истечения Т, Т < Т, предоставляет дер­ жателю право купить базисную купонную облигацию в момент времени Т по цене X.

Применение формул Блэка-Шоулза для оценки стоимости европейских опционов на купонные облигации может давать неверные оценки, так как в модели Блэка-Шоулза не учитывается эффект «приближения к номиналу» и предполагается детерминированность процентной ставки.

184 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 2.28.3- Свопционы Держатель европейского свопциона (swaptiori) имеет право войти в заранее установленный своповый контракт в определенный будущий момент времени Т (когда должен происходить обмен платежами).

Если покупатель европейского процентного свопциона желает получать проценты по плавающей ставке, а платить проценты по фиксированной про­ центной ставке г то, исполнив свопцион, он должен в моменты времени *! = Г + 8, t2=T + 28,..., tn = 7 + nS выплачивать одну и ту же сумму 8 • А • гф1 а получать суммы 8Аг(Т,8), 8Аг(^,8) SAr^S) соответственно.

Держатель бермудского процентного опциона имеет право войти в про­ центный своп в любой из моментов времени:

Г, Т + 8 T + k8, где k < п.

Очевидно, что стоимость бермудского опциона в момент времени t, t < Т, не может быть ниже стоимости европейского свопциона с датой исполнения Т.

С другой стороны, стоимость бермудского опциона не может быть выше стоимости соответствующего кэпа со ставкой исполнения гф.

2.28.4. Облигации со встроенными опционами Говорят, что облигация содержит встроенный опцион (embedded option), если эмитент облигации или ее держатель по условиям эмиссии имеет право из­ менить денежный поток от облигации.

Отзывная облигация (callable bond) является облигацией со встроенным опционом, так как эмитент такой облигации имеет право ее выкупить и тем самым прекратить платежи по облигации. Отзывная облигация эквивалентна портфелю, состоящему из покупки соответствующей безопционной облигации и продажи опциона отзыва, являющегося бермудским опционом «колл» на эту безопционную облигацию. Это означает, что стоимость отзывной облигации должна равняться разности между стоимостью соответствующей безопцион­ ной облигации и стоимостью опциона отзыва.

Продаваемая облигация (putable bond) также является облигацией со встроенным опционом, так как ее держатель имеет право продать облига­ цию эмитенту до ее погашения. Продаваемая облигация совпадает с портфе­ лем, состоящим из покупки соответствующей безопционной облигации и по­ купки опциона на продажу этой облигации, который является бермудским опционом «пут».

Другими важными примерами облигаций со встроенными опционами яв­ ляются облигации с встроенными кэпами и флорами.

Облигация с полугодовой плавающей купонной ставкой называется обли­ гацией с кэпом (capped bond), если установлен уровень купонной ставки х, та II. Рынки производных финансовых инструментов кой, что купонный платеж за fe-й купонный период определяется следующим образом:

f — • А, если ffe_j < х, Их' — • А, если fk_, > х, где qfe — купонный платеж за k-й купонный период, к = 1, 2 п;

fM — значение купонной ставки в конце (к - 1)-го купонного периода;

А — номинал облигации.

Текущая цена облигации с кэпом должна равняться текущей цене анало­ гичной безопционной облигации за вычетом текущей цены кэпа на соответ­ ствующую процентную ставку.

Облигация с полугодовой плавающей купонной ставкой называется обли­ гацией с флором (bond with embedded floor), если установлен уровень купон­ ной ставки х такой, что купонный платеж за k-й купонный период определя­ ется следующим образом:

— • А, если fk i > х, q H*-2 • А,если f,,., < х.

Цена облигации с флором должна совпадать с суммой цены аналогичной безопционной облигации и цены флора на соответствующую процентную ставку.

Для оценки стоимости финансовых инструментов, производных от про­ центной ставки, часто используется так называемая биномиальная модель процентных ставок.

2.29. Биномиальная модель эволюции процентной ставки Обозначим через kZ, форвардную процентную ставку на один год через к го­ довых периодов от текущего момента времени, к = О, 1, 2, В биномиальной модели процентной ставки предполагается, что форвард­ ная ставка 0ZX известна с определенностью и равна 50, а остальные форвард­ ные процентные ставки kZv k = 1, 2, 3,..., являются случайными величинами и определяются следующим образом.

Форвардная ставка Д принимает значения <, и «^е2" с вероятностью —, где 8 — наименьшее значение форвардной ставки через один год, а а — го­ довая волатильность процентных ставок.

Форвардная ставка 2Z, принимает значения 82 и 62е2а с вероятностью —, если JZJ = 8V и значения 52е2а и 8ге4а с вероятностью — если iZ, = Ste ".

14 — 186 Энциклопедия финансового риск-менеджмента В общем случае форвардные ставки kZv k = 1, 2, 3, • ••, принимают зна­ чения 5ке2ю и 8ke2{,+i)a с вероятностью — при условии, что =8k^e2ia, i = 0,l,2,...,k, fc_,Z, где 8k—наименьшее значение форвардной ставки через k годовых периодов, а — годовая волатильность процентных ставок.

Биномиальную модель процентной ставки удобно изображать графичес­ ки с помощью биномиального дерева (рис. 2.28).

Пример 2.40. Трехэтапная биномиальная модель процентной ставки при сле­ дующих параметрах: а = 10%;

б0 = 6%;

81 = 6,5%;

52 = 7% и 53 = 7,5% приве­ дена на рис. 2.29.

В данной модели форвардная процентная ставка на один год через три года от текущего момента времени принимает значения: 7,5;

9,161;

11,189 и 13 3 13,666% с вероятностями, равными -, -, - и - соответственно.

ооо о Рассмотренная нами биномиальная модель дает возможность находить цены безопционных облигаций с годовыми купонами.

Обозначим через Q(k, i) цену n-летней облигации с годовыми купонами, которая окажется через k лет при условии, что Ske2ia, i = 0,1, feZ, = k, k = 0,1,2,..., п.

Очевидно, что цена этой облигации через п лет всегда будет равной ее номиналу, т. е.

Q(n, i) = А при i = 0, 1, 2,..., п.

Рис. 2.28. Биномиальная модель процентной ставки II, Рынки производных финансовых инструментов 13,666% 10,443%.

7,939% 11,189% 9,161% 7,5% Рис. 2.29. Трехэтапная биномиальная модель Цена облигации в другие будущие моменты времени должна совпадать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей от этой облигации.

Поток платежей от облигации через к пет можно изобразить в следующем виде:

i —, Q(k+1, i+l)+qt Ster" IGftOI " (q, — купонный платеж в конце k-го периода) ^ г>У° Q{k+l,i)+q, Следовательно, должно выполняться следующее равенство:

[Q(k + I,i + 1) + qk] • I + [Q(fe + 1,i) + qk] • \ Q(U) = 1 + 8 ke2 (2.60) k = 0,l,2 n - I;

i = 0,1,2,...X Так как цены облигации Q{n, i) при! = 0, I, 2,..., пнам известны, то рекур­ рентное равенство (2.60) позволяет последовательно найти цены Q(n - 1, i) при i = 0, I, 2 n - 1 ;

Q(n-2, i) при i = 0, 1, 2 п - 2 и т. д. до цены Q(0, 0), которая и является ценой облигации на текущий момент времени.

Пример 2.41. На рис. 2.30 приведен расчет цены 8%-ной облигации номина­ лом 100 долл. с годовыми купонами, до погашения которой остается 4 года, в условиях биномиальной модели процентной ставки из примера 2.40.

Например, «"'-Т^ПЙГ'"3* 14* 188 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 13,666% 10,443% 1100,465+8| Рис. 2.30. Расчет цены облигации по биномиальной модели (97,132 + 8) • \ + (98,936 + 8) • 0(2,1) = 2. = 97,682;

1 + 0, (96,307 + 8) • - + (100,628 + 8) • 0(0,0) 100,441.

1 + 0, Следовательно, текущая цена данной облигации равна 100,441 долл.

Для построения биномиальной модели процентной ставки необходимо пред­ варительно определить следующие параметры: волатильность процентной ставки ст и наименьшие значения форвардных процентных ставок— б0, 5,, 82,...

Возможный способ оценки волатильности процентной ставки был рассмот­ рен ранее. Выясним, как при заданной волатильности о- можно на основе рыночной информации подобрать параметры: 50, 5,, 52,...

Предположим, что в данный момент времени известны рыночные доход­ ности: г,, г2,..., rk,... (гк—рыночная доходность на срок в k лет). Заметим, что в этом случае можно найти цену безопционной облигации номиналом 100 долл. с нулевым купоном, погашаемой через k лет:

100 -,fe= 1,2,3,....

Рн = (1 + r J Очевидно, что S0 совпадает с рыночной доходностью г г Параметр St вы­ бирается так, чтобы цена 2-летней облигации с нулевым купоном и номина­ лом 100 долл., определяемая биномиальной моделью б/" 5в 5, II. Рынки производных финансовых инструментов совпала с ценой Р2 (для отыскания 5;

можно использовать метод проб и ошибок).

Если параметры б0 и 8: уже найдены, то 82 подбирается так, чтобы цена 3-летней облигации с нулевым купоном, определяемая биномиаль­ ной моделью совпала с ценой Р3 и т. д.

Пример 2.42. Построим биномиальную модель процентной ставки в случае, когда волатильность процентной ставки равна 10%, а рыночные доходности на один, два, три и четыре года равны соответственно 6,00;

6,606;

7,272 и 8,00%.

6,00%.

1. Полагаем 8п 2. Положим 81 = 6,00%.

Ниже приведен расчет цены 2-летней облигации с нулевым купоном на основе биномиальной модели:

7,328% 6,00% Так как 88,449 > Р2 87,991, то значение 8 следует уве­ (1 + 0,06606) личить.

Если 5, = 6,5%, то 7,939% 6,00% 190 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Так как 87,991 = Р2, то 8г = 6,50%.

3. Положим &,= 7,20%.

Тогда для 3-летней облигации с нулевым купоном имеем:

10,741% 7,939%^-^ " 190, 6, 0 0 % ^ - • ^ 184,4081 "*-4^,794% - \^6,50%^' 180,8291 |91,917| 186,9491 ^""^J.20% '- ЩР |93,284| Так как 80,829 < Р, = 81,010, то значение 8 следует (1 + 0,07272) уменьшить.

Если 82 = 7,00%, то 10,443% 7,939%, 6,00% Так как 81,011 ~ Р то 8г = 7,00%. Аналогичным образом найдем, что 53 = 7,50%.

Таким образом, мы построим биномиальную модель процентной ставки, которую уже рассматривали в примере 2.40.

Отметим важное свойство биномиальной модели процентной ставки.

На основе рыночных доходностей (при заданной волатильности) можно построить биномиальную модель процентной ставки, с помощью которой на­ ходится цена любой безопционной облигации с годовыми купонами. С другой стороны, цену безопционной облигации можно определить, зная рыночные доходности для различных сроков. Однако цены безопционной облигации, най­ денные этими двумя разными способами, всегда совпадают.

II. Рынки производных финансовых инструментов 19* Пример 2.43. В примере 2.41 было установлено, что цена 8%-ной облигации номиналом 100 долл. с годовыми купонами, до погашения которой остается 4 года, равна 100,441 долл.

С другой стороны, цена данной облигации может быть найдена на осно­ ве рыночных доходностей из примера 2.42:

8 8 8 100,450 долл.

Р= (1.07272) (1,08) 1,06 (1.06606) Небольшое расхождение цен объясняется погрешностями при расчетах.

Замечание. Мы рассмотрели биномиальную модель процентной ставки с го­ довыми этапами. Аналогичным образом можно определить биномиальную модель с этапами, составляющими только части года. В частности, биноми­ альная модель с полугодовыми этапами имеет следующий вид (рис. 2.31).

' ^ ^ Рис. 2.31. Биномиальная модель с полугодовыми этапами 2.30. Оценка стоимости облигаций со встроенными опционами Будем считать, что построена биномиальная модель процентной ставки с го­ довыми купонами следующего вида (рис. 2.32).

1. Рассмотрим n-летнюю облигацию с годовыми купонами, отзываемую через п0 лет. Предположим, что номинал облигации равен А, а цена отзыва в k-м году равна Fk, k = n0, л0+1 n - 1.

Обозначим через Q(k,i) цену отзывной облигации через к лет при условии, что форвардная ставка kZ1 на один год через к лет принима­ ет значение, равное 8ке2ю, k = 0,1,2 n, i = 0,1,2,..., k.

19* Энциклопедия финансового риск-менеджмента Цена отзывной облигации в каждый момент времени должна совпа­ дать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей от этой облигации. Следовательно, имеют место следующие соотношения:

Q(n,i) = A, i = 0,l,2,...,n;

[Q(fe + l,i + l) + ( b ].I [Q(fc + l I i) + q k ]. I + Q (fe, i) = min 1 + dhe2i° k = П01По + 1.....П-1;

i = 0,1,2,...,fe;

(2.61).. _[Q(fe + l,i + l) + q. ] - | + [Q(fe + U) + q f c ] - | k = 0,I,2,...,n0 - 1 ;

i = 0,1,2 k, где q. — купонный платеж за k-й год.

Пример 2.44- Дана 8%-ная облигация номиналом 100 долл. с годовыми купо­ нами, отзываемая через 2 года по номиналу, срок до погашения которой 4 года. Расчет цены облигации в условиях биномиальной модели процентной ставки из примера 2.40 приведен на рис. 2.33.

Ь**^** b —fc *-*^ " - * ^ &. • "*^ 5, ^^^ ^&-'-"~' г.

8, Д 5, М « ь, Л,2, г2, 2,,Z, Рис. 2. II. Рынки производных финансовых инструментов 13,666% »» |100+8| 1 0, 4 4 3 % ^ ^195,015+ 7, 9 3 9 % ^ * |94,233+8| 01,189% ^8,550%^.J |97,132+8| " |96,311+8| 6%<*^ „9^61% |100,30|^« *~ [97,682+8| 6^5%\ ^|98,936+8| 1100,32+ 7%*\ • 1100+8| ^ ^ 7, 5 % 1100+8| Рис. 2. Например, Q (3,0) = min IlOO,, 1 0 0 „ + J. } = 100;

1 + 0, (98,936 + 8) - + (100 + 8) Q(2,0) = min 100, 1 + 0, = min{100, 100,44} = 100.

Таким образом, текущая цена данной отзывной облигации равна 100,30 долл. Так как цена аналогичной безопционной облигации равна 100,44 долл. (см. пример 2.41), то текущая цена опциона отзыва, встроенно­ го в данную облигацию, определяется следующим образом:

100,44 долл. - 100,30 долл.= 0,14 долл.

2. Рассмотрим n-летнюю облигацию с годовыми купонами, продаваемую эмитенту через п0 лет. Предположим, что номинал облигации равен А, а цена «продажи» эмитенту в k-м году равна Ф„, k = n0, n0 +1,..., п - 1.

Обозначим через Р (к, i) — цену «продаваемой» облигации через к лет при условии, что форвардная процентная ставка kZi принимает значение Ske2ia, к = 0,1,2 n, i = 0,1,2 к.

194 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Имеет место следующее равенство:

P(n,i) = A,i = 0,1,2 n;

(ft + I, i + 1) + (jj 4 + [ P (ft + 1, i) + qk] • | [Р P (k, i) = max 4 V •. (2.62) 1 + <5fee2fa k = n0, n0 + 1,..., n - 1;

i = 0,1, 2 k;

[ p (k + I, i + 1) + qk] • I + [ P (k + !,/) + qfe] • \ P(k,i) I + 8 ke k = 0,1 n0 - I;

i = 0,l,2,...,k.

Пример 2.45. В условиях примера 2.44 предположим, что облигация является «продаваемой» после двух лет по номиналу. Расчет цены такой облигации при­ веден на рис. 2.34.

Например, (100+ 8 ) - + (100+ 8 ). А " = max {100, 95,02} = 100;

Р(3, 3) = т а х 100, 1 + 0, (100 + 8) - + (100,465 + 8) Р(2, 0) = max 100, = 101,15;

1 + 0, 13,666% 10,443% Рис. 2. И. Рынки производных финансовых инструментов (100 + 8 ) - + (100 + 8) Р(1, 1) = 2 2-= 100,06.

v ' 1 + 0, Таким образом, текущая цена данной «продаваемой» облигации равна 102,81 долл., а цена опциона продажи, встроенного в облигацию, может быть найдена следующим образом:

102,81 д о л л. - 100,44 долл. = 2,37 долл.

3. Пусть дана n-летняя облигация номиналом А с годовой плавающей купонной ставкой при наличии встроенного кэпа на уровне х%. Пред­ положим, что плавающая купонная ставка определяется биномиаль­ ной моделью, изображенной на рис. 2.28.

Обозначим через й(к, i) цену данной облигации на конец (к + 1)-го года, при условии, что форвардная процентная ставка fcZ, принимает значение 8ke2ia, к = 0,1 п - 1;

i = 0,1,2 к.

Так как цена облигации в каждый момент времени должна совпадать с приведенной стоимостью ожидаемого потока платежей, то A-min{x,c5 n l e 2 t o ) й v - 1,0 = А + (п 1^ L, i = о, 1,2,..., п - 1;

' гпп{х,5ке2Ь} fu(k + l,i + l)) 1 (u(k + l,i))i U(fe,i): —+ +А l + 8Me^° 2, 1 + 5 ^ 2 ШО ' (2-63) fe = 0,l,2,...,n-2;

i = 0,1,2 fe.

й (0,0) Цена облигации в текущий момент времени и = 1 + « Пример 2.46. Дана 4-летняя облигация с годовой плавающей ставкой, опре делямой биномиальной моделью из примера 2.40, при наличии встроенного кэпа на уровне 8%.

Расчет цены облигации приведен ниже на рис. 2.35.

Например, Ш8 Ю7 - 1 + 1 0 0 т 1 П ^ 7 Ь 106,47, 0 (v 2, 0 ) - -1+ ' ' 1 + 0,09161 2 1 + 0,075 2 I03 89 т fl(0,0)= - -1 ". 1 + 6 = 103,46.

+ v ;

1 + 0,07939 2 1 + 0,065 19Ь Энциклопедия финансового риск-менеджмента Так как и (0,0)— это цена облигации на конец первого года, то теку­ щая цена облигации. 0(0,0) 103, и = —- = = 97,61 долл.

1 + 0, 06 1, Цена безопционной облигации с плавающей купонной ставкой в момен­ ты времени, когда производятся купонные платежи, всегда равна ее номина­ лу. Следовательно, текущая цена «кэпового» опциона, встроенного в облига­ цию, равна 100,00 долл. — 97,61 долл. = 2,39 долл.

Аналогичным образом можно находить цены и других облигаций со встро­ енными опционами.

Замечание 1. Предположим, что ведется активная торговля некоторой обли­ гацией со встроенным опционом, и нам известна рыночная цена этой обли­ гации. С другой стороны, по заданному значению волатильности < можно по­ т строить биномиальную модель процентной ставки, на основе которой можно найти теоретическую цену данной облигации. Значение ст, при котором тео­ ретическая цена облигации совпадает с ее рыночной ценой, называют пред­ полагаемой волатильностью процентной ставки (implied interest rate volatility).

Найти предполагаемую волатильность можно, например, методом проб и ошибок. Предполагаемую волатильность процентной ставки можно использо­ вать для оценки других облигаций со встроенными опционами.

Замечание 2. На основе биномиальной модели можно оценивать стоимость и других финансовых инструментов, производных от процентных ставок.

13,666% Гй5г Рис. 2. II. Рынки производных финансовых инструментов 2.31. Меры риска для облигаций со встроенными опционами Рассмотрим некоторую облигацию со встроенным опционом, текущая рыноч­ ная стоимость которой равна V0.

Предположим, что построена биномиальная модель процентной ставки.

Тогда на основе этой биномиальной модели можно определить теоретичес­ кую стоимость данной облигации. Теоретическая стоимость облигации со встроенным опционом может отличаться от ее рыночной стоимости.

Величина Дг, которую необходимо добавить ко всем форвардным процент­ ным ставкам биномиальной модели, чтобы теоретическая стоимость облига­ ции со встроенным опционом совпала с ее рыночной стоимостью, называет­ ся «спредом с учетом опциона» (option-adjusted spread).

«Спред с учетом опциона» является мерой того, насколько облигация со встроенным опционом отличается от аналогичной безопционной облигации.

При заданной рыночной стоимости облигации с возрастанием волатиль ности процентной ставки «спред с учетом опциона» для отзывной облигации уменьшается, а для «продаваемой» облигации, наоборот, увеличивается.

Пример 2.47- Предположим, что текущая рыночная стоимость отзывной об­ лигации, рассмотренной в примере 2.44, равна 99,43 долл.

Расчеты, приведенные на рис. 2.36, показывают, что «спред с учетом оп­ циона» для данной облигации составляет 29,9 базисного пункта (б. п.).

Так как теоретическая цена отзывной облигации, равная 99,429 долл., практически совпадает с ее рыночной ценой, то «спред с учетом опциона» действительно составляет 29,9 б. п. (рис. 2.36).

Кроме «спреда с учетом опциона» в качестве меры риска облигации со встроенным опционом рассматривают эффективную дюрацию и эффективную выпуклость этой облигации.

13,965% 94,766+ 10,742%, 8,238%^"^ 93,748+8 11,488% 96,891+ 8,849%, 6,299%^ """ 95,585+8 ^ |99,429| "* 9,460% 97,170+ 98,666+ 6,799%"^^ 199,80+8| 7,299%^ 7,779% 100+ 1100+ Рис. 2. 198 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Эффективная дюрация и эффективная выпуклость облигации со встро­ енным опционом определяются следующим образом:

э_ V-V+ р _ У+ + У_ - 2У э = К(АУ)2 (2 65) ' ' где D — эффективная дюрация облигации;

Сэ — эффективная выпуклость облигации;

V0 — начальная рыночная стоимость облигации;

V+(VJ — стоимость облигации при параллельном сдвиге кривой рыночных доходностей на величину Лу (-Ау).

Для определения стоимости V+(V ) можно поступить следующим образом:

1) выбрать достаточно малую величину Лу > 0;

2) ко всем заданным рыночным доходностям прибавить (отнять) Лу и построить биномиальную модель процентной ставки при новых ры­ ночных ДОХОДНОСТЯХ;

3) ко всем форвардным процентным ставкам добавить «спред с учетом опциона»;

4) по полученной модели процентной ставки рассчитать стоимости V+(V).

Пример 2.48. Рассмотрим отзывную облигацию из примера 2.47. Исходная биномиальная модель процентной ставки была построена на основе рыноч­ ных доходностей: 6,00;

6,606;

7,272 и 8,00% (см. пример 2.42). Начальная ры­ ночная цена облигации V0 = 99,43 долл.

При сдвиге кривой рыночных доходностей на величину Лу = 10 б. п. ры­ ночные доходности окажутся равными 6,10;

6,706;

7,372 и 8,10%, а биноми­ альная модель процентной ставки примет вид, указанный на рис. 2.37.

13,813% 10,565% 8,050% 6,1% 6,591% 7,082% 7,581% Рис. 2. II. Рынки производных финансовых инструментов Добавив ко всем форвардным процентным ставкам спред с учетом опци­ она, равный 29,9 б. п. (см. пример 2.47), найдем стоимость V+. Расчеты при­ ведены на рис. 2.38.

Следовательно, V+ = 99,1088 долл.

Если все рыночные доходности уменьшатся на Ау = 10 б. п., то они ока­ жутся равными 5,9;

6,506;

7,172 и 7,9% соответственно. Соответствующая би­ номиальная модель процентной ставки представлена на рис. 2.39.

Расчет стоимости V приведен на рис. 2.40.

Таким образом, V = 99,7399 долл.

Эффективная дюрация и эффективная выпуклость облигации могут быть найдены по формулам (2.64) и (2.65):

99,7399-99,1088 = D3 = 2 • 99,43 • 0, С = 99,7399 + 99,1088 - 2 - 9 9, 4 6,399% |99,»088| 100+8| Рис. 2. 13,498% 10,323%, 7,829% 11,051% (а = 0,1) 5,90% 9,048% 6,410% 6,92% 7,408% Рис. 2. Z O Энциклопедия финансового риск-менеджмента O 13,797% 10,622% Рис. 2. 2.32. Модели временной структуры процентных ставок с непрерывным временем Для оценки стоимости финансовых инструментов, производных от процент­ ных ставок, используются модели временной структуры процентных ставок с непрерывным временем.

Временная структура процентных ставок определяется внутренними доход ностями облигаций с нулевыми купонами при различных сроках до погашения.

Таким образом, процентная ставка f (t, t + т) при непрерывном начислении в момент времени t по инвестициям на т лет удовлетворяет равенству f(t, t + r) = - l n — - — -, v ' т B(t, t + т) где B(t, t + т ) — стоимость (в момент г) облигации с нулевым купоном, погашаемой через тлет;

А — номинал облигации.

Краткосрочной процентной ставкой f(0 на момент времени t называют limf (t,t + т), v r->0 ' т. е. f(t) = limf (t,t + т).

Если известна траектория краткосрочной процентной ставки f(t) на про­ межутке времени [t0, Г], то при t, t + т е [t0, T]:

f(t, t + r ) = J f (u)du;

i B(t,t + r) = A e - r f ( M + l ).

II. Рынки производных финансовых инструментов 20I Следовательно, зная траекторию краткосрочной процентной ставки на некотором временном промежутке, можно определить и временную структу­ ру процентных ставок на этом промежутке.

Во многих моделях временной структуры процентных ставок эволюция краткосрочной процентной ставки задается с помощью стохастических диф­ ференциальных уравнений.

Модель Ренделъмана-Барттера В частности, в модели Рендельмана-Барттера краткосрочная процентная ставка удовлетворяет уравнению dfT = (а?Т) с(т + (стгг) diur, (2.66) т. е. определяется геометрическим броуновским движением.

Следует отметить, что в модели Рендельмана-Барттера не учитывается эффект «возвращения к среднему» (mean reuersion): если процентная ставка сильно отклонится от некоторого своего среднего значения, то в дальней­ шем проявляется тенденция возвращения этой процентной ставки к средне­ му значению.

Модель Васичека Эффект возвращения к среднему учитывается в модели Васичека:

dfr = a (b - fr) dx + odwT, (2.67) где а и Ъ — некоторые числа;

о- — годовая волатильность процентной ставки.

Одним из недостатков модели Васичека является то, что в ней допускается появление отрицательных процентных ставок с положительной вероятностью.

Модель Кокса-Ингерсолла-Росса Модель dfz = a (b - rr)dx + OyJTdwT (2.68) учитывает эффект «возвращения к среднему», и в ней отрицательные про­ центные ставки появляться с положительной вероятностью не могут.

Параметры моделей (2.66), (2.67) и (2.68) подбираются на основе пред­ положения об отсутствии прибыльных арбитражных возможностей. Поэтому эти модели называют арбитражными моделями временной структуры процент­ ных ставок. Арбитражные модели временной структуры процентных ставок часто оказываются не согласованными с текущей временной структурой про­ центных ставок.

Важнейшими примерами неарбитражных моделей являются:

модель Хо-Ли dft = G ( T ) d T + <7dwr;

(2-69) 15 — Z02 Энциклопедия финансового риск-менеджмента модель Халла-Уайта О-70) dfT = (0 (т) - щ) дх + adwT, в которых функция @(т) подбирается так, чтобы модель была согласована с текущей временной структурой процентных ставок. Кроме того, в модели Халла-Уайта учитывается еще и эффект «возвращения к среднему».

К числу неарбитражных моделей временной структуры процентных ста­ вок относится также модель Хиза-Джерроу-Мортона, обобщающая модель Халла-Уайта.

Литература 1. Буренин А. Н. Рынок ценных бумаг и производных финансовых ин­ струментов. — М.: 1-я Федеративная Книготорговая Компания, 1998.

2. Das S. Swap and derivatives financing. — N.Y.: McGraw-Hill, 1994.

3. Elton E. J., Gruber M. J. Modern portfolio theory and investment analysis.

5th ed.— N.Y.: John Wiley & Sons, Ltd., 1995.

4. Figlewsky S., Silber W. L., Subrahmanyan M. G. Financial options: From theory to practice.— N.Y.: McGraw-Hill, 1990.

5. Hull J. С Options, futures, and other derivaties. 4th ed. — L.: Prentice Hall, 2000.

6. Martellini L., Priaulet P. Fixed-income securities.— John Wiley & Sons, Ltd., 2001.

I I I. Управление рыночными рисками М. А. Рогов 3.1. Введение Настоящий раздел посвящен управлению рыночными рисками, но, заметим, по ходу изложения материала, в целом соответствующего программе экзамена на квалификацию Financial Risk Manager (FRM), не­ редко возникает потребность в более подробных пояснениях. Поэто­ му основной текст сопровождается самостоятельными примерами, по­ священными отдельным общим и частным вопросам риск-менеджмен­ та, новейшим разработкам, а также российской специфике предме­ та**. Общие для различных направлений риск-менеджмента вопросы могут освещаться в настоящем разделе несколько иначе, чем авто­ рами смежных разделов. Это не снижает правомерности выводов, но позволяет по-другому взглянуть на проблему, что представляется пло­ дотворным.

Следует упомянуть, что материал настоящей главы опирается на базовые понятия количественного анализа рынков капиталов, производных финансовых инструментов и др., которые предпола­ гаются усвоенными читателями ранее.

Помня, что со времен Мартина Лютера образование становится национальным при условии обучения на национальном языке, автор старался не злоупотреблять иностранной лексикой, но в связи с тем, что языком оригинала большинства ведущих работ в этой области (а также экзаменов по курсу) остается американский вариант анг­ лийского языка, специальные термины и ключевые понятия, вводи­ мые или используемые в настоящей главе, выделены жирным шриф­ том и по возможности (обычно — после первого упоминания в тек­ сте) снабжены в скобках их аналогами на английском языке для удоб­ ства при чтении литературы и подготовке к экзамену.

* В разделах 3.20-3.22 и в примерах 3.5, 3-10-3.15 автор с благодарностью ис­ пользует материалы проведенных под его научным руководством расчетов и исследований аспиранта Международного университета «Дубна» А. С. Громо­ ва. Автор выражает большую благодарность за редакцию и вклад в создание данного раздела А. А. Лобанову, а также проф., д-ру физ.-мат. наук, зав. ка­ федрой С. К. Завриеву за неоценимое плодотворное влияние на научное ми­ ровоззрение автора.

** Читатель может без ущерба для усвоения основного материала пропускать при­ меры, рекомендуемые, однако, для более глубокого погружения в материал.

ZQ4 Энциклопедия финансового риск-менеджмента 3.2. Рыночные риски: определения и классификация Рыночный риск (marketrisk)— это возможность несоответствия характерис­ тик экономического состояния объекта значениям, ожидаемым.лицами, при­ нимающими решения под действием рыночных факторов.

Однако часто используется (прежде всего, при объяснении методологии value at risk) понятие риска, связанное с возможностью лишь неблагоприят­ ных исходов, убытков и негативных последствий.

Например, инвестор ожидает, что доходность портфеля ценных бумаг бу­ дет находиться в пределах некоторого диапазона. Возможность отклонения рыночного уровня доходности за пределы этого интервала является рыноч­ ным риском. При этом часто под риском понимается возможность отклоне­ ния доходности только в отрицательном диапазоне.

Рыночные риски— одна из трех, часто выделяемых на практике основных групп экономических рисков, включающих также кредитные и операционные риски. Рыночные риски связаны с неопределенностью колебаний рыночной конъюнктуры — ценовыми и курсовыми (валютными) рисками, процентным рис­ ком, ликвидностью и т. п. — и чувствительностью к этим колебаниям несущих риски объектов (например, активов и т. п.). Рыночные риски иногда называют техническими (не путать с разновидностями операционных и иных рисков!) по ассоциации с техническим анализом, применяемым для исследования и про­ гнозирования цен, курсов, объемов и иных индикаторов, связанных с рынком.

Не только прямые ценовые факторы являются источниками рыночных рисков.

Например, корреляция между доходностью различных инструментов не явля­ ется прямым ценовым фактором, но косвенно влияет на ценовые характерис­ тики портфеля, содержащего эти инструменты.

Классификация рыночных рисков нужна, потому что она позволяет чет­ ко структурировать проблемы и влияет на анализ ситуаций и выбор эффек­ тивного управления. Классификация рисков должна соответствовать конкрет­ ным целям каждого исследования и проводиться с позиций системного под­ хода. Исходя из этих принципов, можно выделить наиболее широко употреб­ ляемую классификацию рыночных рисков по сегментам рынка, в том числе:

• процентный риск (interest rate risk), • валютный риск (exchange rate risk), • ценовой риск рынка акций, или фондовый риск (equity risk), • ценовой риск товарных рынков, или товарный риск (commodity risk), • риск рынка производных финансовых инструментов (deriuatiue risk).

По мере рассмотрения проблемы, тех или иных измерителей риска, час­ то вводят в употребление виды рисков, связанные с конкретным аспектом проблемы или параметром, например риск, связанный с возможностью па­ раллельного сдвига кривой процентных ставок, риск, связанный с возможно­ стью поворота кривой процентных ставок, риск, связанный с изменением финансовых результатов из-за колебания валютных курсов, риск, связанный с изменением показателей при трансляции финансовых отчетов в разных валю­ тах для консолидированной финансовой отчетности из-за колебания валют­ ных курсов (так называемый трансляционный риск) и т. д.

III. Управление рыночными рисками 3.3. Портфельный подход и система управления рисками Риски, ассоциируемые с какими-либо конкретными активами или пассивами предприятия, не могут рассматриваться изолированно. Любое новое эконо­ мическое решение должно анализироваться с позиции его влияния на изме­ нения доходности и риска всей совокупности активов и пассивов (портфеля) предприятия, поскольку возможные сочетания этих решений могут значительно изменять характеристики всего портфеля в целом.

Портфельный подход (portfolio approach) предполагает восприятие акти­ вов и пассивов предприятия (а в общем случае и иных благ) как элементов единого целого— портфеля, сообщающих ему характеристики риска и до­ ходности, что позволяет эффективно проводить анализ возможностей и опти­ мизацию параметров экономических рисков.

Портфель — это набор активов (пассивов), являющихся титулами собствен­ ности или иных благ, который представляет собой композитный (составной) актив (пассив), имеющий параметры риска и доходности (стоимости), изме­ няющиеся под воздействием комбинации двух факторов:

• изменения состава портфеля (выбытие активов, обмен);

• изменения риска и доходности (стоимости) составляющих портфель активов (пассивов) в связи с изменениями как самих активов (пасси­ вов), так и прочей конъюнктуры.

Понятие портфеля наиболее широко используется для обозначения сово­ купности ценных бумаг, и присущие им рыночные риски формируют резуль­ тирующий портфельный риск.

В свете проблемы управления портфельным риском выделяют три эле­ мента системы экономических отношений:

• лицо, принимающее решения (субъект риска);

• объект принимаемых решений (портфель);

• среда субъекта риска и портфеля (рынок).

Субъект риска — это экономический агент, представленный одним лицом или группой лиц, характеризующийся индивидуальными предпочтениями и возможностями. Субъект риска решает некоторую многокритериальную зада­ чу оптимизации портфеля, одним из критериев которой выступают предпоч­ тения по риску.

Рынок — это среда, в которой находятся портфель и субъект риска. Здесь рынок понимается как совокупность возможных вариантов портфеля, к кото­ рым может перейти субъект риска в результате выполнения принимаемых решений (рынок задан также изменением конъюнктуры).

Основные блоки системы управления риском явно или неявно выполняют следующие функции:

• построение критерия управления на основе выявленных предпочте­ ний по риску субъекта риска с решением проблемы согласования ин­ тересов, если это необходимо;

• диагностика портфеля (анализ параметров риска) с учетом коле­ бания конъюнктуры и использованием соответствующих банков данных;

206 Энциклопедия финансового риск-менеджмента • оптимизация портфеля по критерию управления с применением фи­ нансовой инженерии для синтеза финансовых инструментов с нуж­ ными для управления рисковыми и другими параметрами.

3.4. Тактический и стратегический риск-менеджмент Риск-менеджмент оказывает влияние на стоимость и финансовых, и нефинан­ совых предприятий. Используя тактический риск-менеджмент, можно сокра­ тить стоимость финансирования. Это происходит в силу различных факторов.

Во-первых, иногда менеджеры прогнозируют отличное от рынка поведение процентных ставок. Например, такие производные финансовые инструменты, как свопы, оцениваются на основе прогнозируемых рынком процентных ста­ вок, отражаемых в кривой доходности. Если менеджеры прогнозируют иное движение ставок в будущем, чем это заложено в текущей рыночной стоимо­ сти свопа, они могут сыграть на этом.

Во-вторых, можно понизить стоимость путем арбитража на различных рын­ ках. Арбитраж на развитых западных рынках в основном является результа­ том асимметричности налогового и иного государственного регулирования различных сегментов рынка.

Различие налогового режима дает вполне понятный эффект, не требую­ щий особых пояснений. А вот пример влияния государственного регулирова­ ния: иногда арбитраж связан с барьером к доступу на конкретный рынок за­ имствований. Если такой барьер реально существует, предложение инстру­ ментов с фиксированным доходом на этом рынке ограничено, их цена выше цены, которая могла бы быть определена на свободном рынке. Соответствен­ но эти ценные бумаги приносят купонный доход на уровне ниже рыночного.

Те игроки, которые могут иметь доступ на эти сегменты рынка (например, государственные учреждения, Мировой банк, транснациональные корпорации), могут прибегнуть к арбитражу и, таким образом, сократить стоимость фи­ нансирования.

Финансирование можно удешевить путем снижения транзакционных издер­ жек. Например, свопы, не требующие отвлечения основной суммы кредита, позволяют экономить на разнице (спреде) между ценами спроса и предложе­ ния, на затратах на поиск информации, на ликвидности и т. д. Международ­ ные компании могут заимствовать капиталы на более дешевых для них рын­ ках и трансформировать их с помощью свопов в синтетический заемный ка­ питал на нужном им рынке (в нужной валюте), на котором у них нет пре­ имуществ.

Пример 3.1. Можно снизить стоимость капитала путем продажи опционов.

Например, предприятие, финансируемое за счет заимствований с плавающей ставкой, может купить процентный кэп для защиты от роста ставок. Можно поступить иначе— продать пакет процентных опционов флор*. Премии, по­ лучаемые за них, снижают стоимость финансирования. Например, фирма, * Процентный флор (interest ratefloor)— пакет процентных опционов, предусматри­ вающих выплату продавцом покупателю в обмен на премию разницы между III. Управление рыночными рисками J которая платит по трехлетним долгам ставку LIBOR* + 50 б. п.**, продает 4%-ный флор. Предположим, стоимость этого погашаемого за три года фло­ ра составляет 35 б. п.. Если ставка LIBOR равна или превышает 4%, фирма в итоге будет выплачивать LIBOR + 50-35 = LIBOR + 15 б. п., но если LIBOR упадет ниже 4%, фирма будет выплачивать ровно 4,15% (4% по ставке флора плюс спред в 15 б. п.). Если ставка LIBOR возрастет, процентные платежи, выплачиваемые фирмой, увеличатся, однако фирма получит выгоду от сни­ жения LIBOR только до уровня ставки флора. Фирма не получит выгоду от понижения ставок до уровня ниже ставки флора.

Корпорации могут пытаться снизить стоимость финансирования путем выпуска «гибридных» долговых обязательств (hybrid debts). Например, обли­ гации со встроенным опционом на покупку акций заемщика — варранты (warrant) — позволяют снизить стоимость обслуживания долга за счет опци­ онной премии, выплачиваемой покупателями таких облигаций. Другим приме­ ром является встроенный опцион в таком инструменте, как отзывная облига­ ция (callable bond). Фактически, это облигация с правом заемщика в опреде­ ленный момент погасить долг (процентный опцион «пут»).

Поскольку стоимость компании отражает прогнозируемые дисконтирован­ ные финансовые потоки, то стратегический риск-менеджмент связан с двумя основными моментами: во-первых, с оптимизацией чувствительности стоимос­ ти фирмы к изменчивости ставки дисконтирования (портфельный риск), во-вто­ рых, с оптимизацией объемов прогнозируемых денежных потоков. Хотя извест­ ная теорема Модильяни-Миллера (Modigliani-Miller theorem) гласит, что сто­ имость фирмы не зависит от структуры капитала, на реальном рынке допу­ щения, на которых она основана, не выполняются. Поэтому если риск-менед­ жмент ставит своей целью повлиять на стоимость фирмы, он должен влиять на такие факторы, как налоги, транзакционные издержки, инвестиционные ре­ шения и т. п. (рис. 3-1). Риск-менеджмент позволяет сузить разброс прибыли.

Управление риском может увеличить стоимость фирмы путем снижения налоговых выплат и сопутствующих потерь. Во-первых, это теоретически воз­ можно, в случае если функция объема налогов выпуклая. Такая зависимость может существовать в силу прогрессивной шкалы налогообложения, или, на­ пример, при наличии налоговых льгот, зависящих от объема налогооблагае­ мой базы или другого показателя (оборота и т. д.). Фактически выпуклая за­ висимость может появиться из-за возможности применить для некоторых объе­ мов базы обложения альтернативный.минимальный налог, например налог на вмененный доход (патент), налоговый кредит и т. д.

базисной ставкой (например, LIBOR) и ставкой флора, в случае если базисная ставка ниже ставки флора. Профиль риска флора аналогичен профилю риска опциона «пут». Процентный кэп (interest rate cap) — это пакет процентных опционов, предус­ матривающих выплату продавцом покупателю в обмен на премию разницы между базисной ставкой и ставкой флора, в случае если базисная ставка выше ставки кэпа. Профиль риска кэпа аналогичен профилю риска опциона «колл».

* LIBOR (London interbank offered rate) — ставка предложения на лондонском меж­ банковском рынке депозитов.

** б. п. — базисный пункт.

Z08 Энциклопедия финансового риск-менеджмента Пример 3.2. Предположим что фирма в отсутствие риск-менеджмента полу­ чала прибыль чрезвычайно неравномерно (рис. 3-2): в одном году— очень большую (900 млн. руб.), а в следующем году— маленькую (100 млн. руб.).

Пусть шкала ставок налога на прибыль будет прогрессивной, т. е. кривая функции налога является выпуклой (рис. 3.3). Например, налог с 100 тыс. руб.

составляет 20% (20 тыс. руб.), с 500 тыс. руб.— 22% (ПО тыс. руб.), а с 900 тыс. руб. — 30% (270 тыс. руб.).

Фирма за два года выплатила 290 тыс. руб. налогов, что составило 29% прибыли, полученной за два года, или в среднем 145 тыс. руб. в год.

После введения на фирме риск-менеджмента прибыль стала устойчивой — на уровне 500 тыс. руб. в год, а налог за два года составил 220 тыс. руб., т. е. 22%, или в среднем ПО тыс. руб. в год. Эффект риск-менеджмента по­ зволил снизить налоговые выплаты в среднем на 35 тыс. руб. в год.

Во-вторых, авансовые налоговые платежи делают очень эффективным ре­ шение проблемы неравномерности распределения прибыли во времени, связан­ ной с выгодой, упущенной из-за неравномерно больших авансовых налоговых выплат, несоответствующих средней прибыли за отчетный период. Например, в отсутствие риск-менеджмента фирма получила в первом квартале большую — — — До риск-менеджмента ——— —— После риск-менеджмента Прибыль Рис. 3.1. Влияние риск-менеджмента на распределение прибыли 1 L ю о ю о ю о й о ю о л о ё о ю О ю о ю о • ^ t - { N C 4 l C O C O T j - T j - m i n ( D ( O h - h - 0 0 0 0 0 > C 3 > г Прибыль Рис. 3.2. Распределение прибыли до и после риск-менеджмента III. Управление рыночными рисками ZQ часть годовой прибыли, заплатила авансом намного больше налоговых плате­ жей, чем потребовалось бы в целом за год, и, таким образом, упустила выго­ ду от вложения отвлеченных в налоговые выплаты средств.

Пример 33. Российский социальный налог (рис. 3-4) и риск-менеджмент.

В современной налоговой системе России не предусмотрены налоги с прогрес­ сивной шкалой. Более того, доходы таких групп, как, например, индивидуаль­ ные предприниматели и адвокаты, в России с 2001 г. подлежат обложению социальным налогом по регрессивной шкале.

Средняя величина выплат социального налога на доход у таких предпри­ нимателей будет снижаться, если их риск-менеджмент приведет не к умень­ шению величины разброса дохода, как было бы в случае прогрессивной шка­ лы налога, а к его росту (это тоже риск-менеджмент, только целью оптими­ зации является не снижение риска, а его рост). При прочих равных условиях российский предприниматель, как и адвокат, имеет мотивы зарабатывать дис­ кретно, неравномерно, предпочитая разовые большие притоки денег их ста­ бильному равномерному течению. Иначе говоря, адвокату гораздо выгоднее изредка находить себе особо крупные дела с большими гонорарами, чем мак " *- т- oj Рис. 3.3. Эффект от риск-менеджмента при прогрессивном налоге на прибыль я I СО I % «о ° 10 —~™• — ~~ ~ — — — ~ сэ о о О О < о m 1Л О с э 00 О) со со База налогообложения Рис. 3-4- Кривая социального налога МО Энциклопедия финансового риск-менеджмента симально диверсифицировать портфель мелких дел. Если предположить, что величина гонорара положительно коррелирует с тяжестью преступного дея­ ния или объемом споров, то можно сделать спекулятивный вывод, что в та­ ких условиях государством стимулируется ситуация, при которой будут выиг­ рывать судебные разбирательства в первую очередь как мафия, так и круп­ ный капитал и еще дольше ждать своей очереди малый бизнес и обыватели.

Однако, например, альтернативный налог на вмененный доход (патент), обеспечивающий выпуклость кривой налогообложения, российским налого­ вым кодексом предусмотрен. Поэтому для определения налогового эффек­ та всегда следует строить конкретную модель налогообложения предприя­ тия с учетом распределения по-разному облагаемых видов деятельности и налоговых льгот. В любом случае сохраняется эффект риск-менеджмента, если он снижает упущенную из-за неравномерных авансовых налоговых пла­ тежей выгоду.

Управление риском может увеличить стоимость фирмы путем снижения стоимости финансового краха (financial distress). Эффект риск-менеджмента зависит от двух факторов: насколько сильно хеджированы риски финансового краха фирмы и насколько велики их последствия в стоимостном выражении.

Вероятность финансового краха и отказа выплачивать долги определяется также двумя факторами — покрытием фиксированных требований кредито­ ров (fixed-claims coverage) (вероятность разорения растет с падением покры­ тия фиксированных требований) и волатильностью дохода (вероятность дефолта растет с ростом волатильности дохода).

Стоимость финансового краха складывается из прямых затрат, связан­ ных с разорением, процессами банкротства, реорганизации или ликвидации, и косвенных убытков, связанных с изменением поведения различных партне­ ров фирмы— кредиторов, клиентов, поставщиков, персонала и т. д. Суще­ ствует точка зрения, согласно которой наименее устойчиво доверие клиен­ тов к качеству производимого фирмой продукта в условиях кризиса для фирм, занимающихся производством продукции или оказанием услуг, которые не имеют образцов для демонстрации качества в каждый данный момент (credence goods): сравните, например, авиаперевозки — в их реальном качестве можно удостовериться только после оказания услуги, и руду, качество которой можно оценить по образцу. Исходя из этой точки зрения, риск-менеджмент особен­ но эффективен для таких фирм.

Пример 3.4- Диверсификация клиентского портфеля в условиях современного российского рынка.

В российской экономике 90-х годов крупный отечественный бизнес в основ­ ном представлен так называемыми кэптивами (captive) — различными финан­ сово-промышленными и банковскими группами, объединениями, холдингами, представляющими собой унаследованную от советского прошлого или разрос­ шуюся в период перехода к рынку систему предприятий различных отраслей в различных регионах, а также предприятий-инструментов, решающих опре­ деленные управленческие задачи, связанные с технологией, маркетингом, на­ логовой оптимизацией и т. д.

III. Управление рыночными рисками Входящие в эти объединения финансовые организации подчиняются писан­ ным или неписанным правилам, сводящимся в основном к необходимости удов­ летворения любых нужд головного офиса группы, приоритетного обслуживания участников группы (системных предприятий) в соответствии с установившимися деловыми обычаями внутри группы (холдинга) и более или менее самостоятель­ ной работе на открытом рынке (с внешними клиентами). При этом часто при удовлетворении своих потребностей предприятие отдает приоритет поставщи­ кам — участникам той же системы, в которое оно входит. Это объясняется, во первых, меркантилистской политикой головных офисов — минимизацией расхо­ дов, сопровождающихся денежными оттоками за пределы системы (группы, хол­ динга), а во-вторых, минимизацией кредитных рисков для данного предприятия — рисков невыполнения обязательств партнерами в полном объеме, часто весьма высокими, если партнер не является участником той же системы.

Концепция стратегии развития предприятий в таких группах или холдин­ гах может базироваться на следующих принципах:

1. Заданные факторы — текущие условия рынка и правила взаимодей­ ствия в группе (холдинге).

2. Управляемые факторы — выбор направлений деятельности в пределах, не затрагивающих компетенцию головного офиса группы (управляю­ щей компании холдинга).

3. В качестве меры деятельности предлагается система критериев для различных горизонтов планирования:

• долгосрочной стратегической целью является, например, наращива­ ние консолидированной стоимости компаний группы (холдинга);

• среднесрочной— обеспечение устойчивости и динамичности разви­ тия, т. е. оптимизация риска отклонений от тенденции развития;

• краткосрочной— обеспечение уровня рентабельности бизнеса не ниже некоторого приемлемого (например, текущего) уровня.

Pages:     | 1 | 2 || 4 | 5 |   ...   | 14 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.