WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

«ПРОГРАММА ОБНОВЛЕНИЕ ГУМАНИТАРНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В РОССИИ А. Н. БУРЕНИН ФЬЮЧЕРСНЫЕ ФОРВАРДНЫЕ И ОПЦИОННЫЕ РЫНКИ МОСКВА 1994 ...»

-- [ Страница 3 ] --

Цена американских опционов колл и пут возрастает по мере увеличения периода действия контрактов. Нельзя однозначно на стаивать на данном утверждении применительно к европейским опционам. Выплата дохода на актив в течение действия европей ского опциона может привести к тому, что опцион с более близкой датой истечения будет стоить дороже опциона с более отдаленной датой истечения.

Опцион на актив, цена которого имеет более высокое стандар тное отклонение, должен стоить дороже опциона с меньшей вели чиной стандартного отклонения.

Между ценами европейских опционов пут и кол на активы, выплачивающие и не выплачивающие доход, существуют паритет ные отношения. Если условия паритета не выдерживаются, то открываются возможности для арбитражных операций.

Глава XL МОДЕЛИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЦЕНЫ ОПЦИОНОВ Настоящая глава посвящена проблеме определения премии опционных контрактов. Вначале мы остановимся на общем теоре тическом подходе к расчету цены опциона, рассмотрим вопрос формирования портфеля без риска и оценки величины премии с помощью простой биноминальной модели. После этого перейдем к моделям, которые используются на практике, а именно, бино минальной модели и модели Блэка-Сколеса для акций, выплачи вающих и не выплачивающих дивиденды. В рамках модели Блэка-Сколеса остановимся на таких вопросах, как логнормаль ное распределение и стандартное отклонение цены актива.

§ 30. ОБЩИЙ ПОДХОД К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ЦЕНЫ ОПЦИОНА Одна из главных задач, которую решает инвестор — это опре деление цены опциона. В теории разработаны модели, позволяю щие справиться с данной проблемой. Прежде чем перейти к ним, рассмотрим общий подход к определению премии опциона.

Допустим, инвестор приобретает трехмесячный европейский опцион колл с ценой исполнения 100 долл. Он полагает, что веро ятность цены актива составить к моменту исполнения 120 долл.

равна 10%, 110 долл. — 20%, 105 долл. — 25%, 100 дол. — 20%, 90 долл. — 15%, 80 долл. — 10%. Премия опциона должна рав няться ожидаемому доходу инвестора отданной операции. Чтобы определить ожидаемый доход, необходимо каждый возможный вариант исхода умножить на его вероятность и сложить получен ные значения. Если к моменту истечения срока контракта цена актива будет равна или меньше цены исполнения, то стоимость опциона окажется равной нулю, если цена спот превысит цену исполнения, то цена опциона составит Р - X. Поэтому ожидаемый доход от такой операции для инвестора будет равен:

0,10 + 0,150 + 0,20 + 0,255 + 0,210 + 0,120 = 5,25 долл.

Вкладчик приобретает опцион на три месяца, поэтому получен ное значение необходимо дисконтировать с учетом данного интер вала времени. Предположим, что непрерывно начисляемая ставка без риска равна 8%. Тогда теоретическое значение премии опци она составит:

5,25 долл е0,080,25 = 5,15 долл.

§ 31. ФОРМИРОВАНИЕ ПОРТФЕЛЯ БЕЗ РИСКА.

ПРОСТАЯ БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ПРЕМИИ ОПЦИОНОВ В основе моделей оценки премии опционов лежит посылка о том, что инвестор имеет возможность сформировать из опционов и активов, лежащих в основе опционов, портфель, нейтральный к риску изменения цены актива или опциона. Поэтому необходимо сказать несколько слов о концепции формирования портфеля без риска.

а) Портфель без риска Купив акции, инвестор подвергает себя риску финансовых по терь, которые могут возникнуть в связи с падением курса ценных бумаг. Чтобы избежать такой ситуации, вкладчику следует сфор мировать соответствующий портфель из акций и опционов. Для такого портфеля падение курса акций должно компенсироваться ростом цены опционов и наоборот. При составлении портфеля необходимо помнить, что изменение цены акций и опциона колл имеет положительную корреляцию, а опциона пут — отрицатель ную. Таким образом, данный портфель будет нейтрален к риску изменения курсов ценных бумаг. Поскольку курсы бумаг на рынке постоянно меняются, портфель остается нейтральным к риску только в течение короткого промежутка времени. Чтобы сохранить это качество, его состав должен постоянно пересматриваться. На пример, в момент /7 портфель не несет риска при соотношении один опцион колл и 0,3 акции. В момент t2 один опцион колл — 0,5 акции. Это значит, что инвестору в первом случае следует купить 0,3 акции на каждый проданный опцион колл, а во втором, вследствие изменившихся обстоятельств — 0,5 акции. В результа те в течение всего периода действия опционного контракта можно поддерживать нейтральность портфеля. Чтобы воспользоваться предложенной техникой для оценки премии опциона, необходимо ответить на вопрос, какой уровень доходности должен такой пор тфель принести инвестору. Поскольку он является нейтральным к риску, то должен обеспечить вкладчику доходность, равную ставке без риска.

б) Простая биноминальная модель оценки премии опционов Используем рассмотренный принцип для оценки премии опци она применительно к простой биноминальной модели, то есть модели, когда значение опциона и курса акций рассматривается только в начале и конце некоторого периода времени Т. Предпо ложим, выписывается европейский опцион колл на 5 месяцев с ценой исполнения 36 долл. В момент заключения контракта цена акций равна 33 долл. Непрерывно начисляемая ставка без риска 10%. На основе своих расчетов инвестор определил, что курс акций к моменту истечения контракта может составить 34 долл. или долл. Необходимо оценить премию опциона.

Если ко времени окончания контракта курс акций составит долл., стоимость опциона будет равна нулю. Если цена возрастет до 38 долл., то премия составит 2 долл. Предположим, инвестор формирует портфель без риска, приобретая п акций и продавая один опцион. Данный портфель не будет нести риск, если в конце периода Т его стоимость окажется одинаковой, независимо от реальной динамики курса акций.

При Р= 34 долл. стоимость портфеля составит 34 п долл. При Р = 38 долл. она будет равняться 38 п долл. — 2 долл. Чтобы сформи ровать портфель без риска, инвестор должен купить такое число акций, которое бы удовлетворяло уравнению:

34 п долл. = 38 n долл. - 2 долл.

Решая уравнение, получаем п = 0,5 акций. В этом случае порт фель и при первом и при втором сценарии развития событий через 5 месяцев будет стоить 17 долл. Стоимость портфеля в момент заключения контракта составит:

33 долл. 0,5 - cе = 16,5 долл. - cе Портфель без риска должен приносить инвестору доход, равный ставке без риска. Поэтому стоимость портфеля в начале периода Т должна соответствовать его дисконтированной стоимости через месяцев, то есть:

16,5 долл.- се = 17 долл.е -0,1х0,4167=16,31 долл.

Тогда се =0,19 долл.

В рассмотренном примере премия опциона зависела в конечном итоге от тех значении, которые могла принять цена акций к мо менту истечения опциона. Поэтому для построения «рабочей мо дели», которую можно было бы использовать на практике, необходимо ввести в нее элемент вероятностной оценки. Данная задача решается с помощью построения биноминальной модели, которую впервые предложили Дж. Кокс, С. Росс и М. Рубинштейн.

Биноминальная модель используется для оценки премии амери канских опционов, однако для простоты изложения мы рассмот рим ее вначале применительно к европейскому опциону и после этого скорректируем относительно американского опциона.

§ 32. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ, НЕ ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ Весь период действия опционного контракта разбивается наряд интервалов времени, в течение каждого из которых курс акции S может пойти вверх с вероятностью p или вниз с вероятностью 1-р, как показано на рис. 56. В конце периода акция соответственно стоит Su или Sd, где и — процент прироста курсовой стоимости акций, поэтому и > 7, a d — процент падения курсовой стоимости, то есть d < 1.

Рассматривая динамику курса акций на каждом временном ин тервале, можно построить дерево распределения цены акции для всего периода действия опционного контракта. Данная картина представлена на рис. 57. Начальная цена акции равна S. За первый период t1 ее курс может составить Su или Sd. За второй период t2 — соответственно Su2, Sd2 или Sud и т.д. для следующих периодов. В целях упрощения модели, поскольку период действия опционного контракта делится на большое число интервалов, де лается допущение, что u=1/d, поэтому значения курса акций на дереве распределения можно представить следующим образом (см.

рис. 58).

Рис.5б. Динамика курса акции для одного периода биномальной модели Как известно, к моменту истечения срока действия контракта цена опциона может принимать два значения, а именно, 0 или P-X для опциона колл. и 0 или X-Р для опциона пут. Для того, чтобы рассчитать стоимость опциона в начале периода 7, необхо димо определить стоимость опциона для начала каждого периода t, то есть в каждой точке пересечения ветвей дерева. Данную задачу решают последовательным дисконтированием. Так, извест ную величину опциона в конце периода Т дисконтируют, чтобы получить ее значение в начале периода t4. Затем значение опци она в начале периода t4 дисконтируют и определяют его сто имость в начале периода t3 и т.д.

Биноминальная модель основывается на концепции формиро вания портфеля без риска. Поэтому для дисконтирования прини мается процент, равный ставке без риска для инвестиций, соответствующих времени действии опционного контракта. Для того, чтобы упростить модель, вместо указанной выше ставки ис пользуем эквивалентную ей ставку непрерывно начисляемого процента.

В условиях отсутствия риска ожидаемый доход на акцию за период At должен составить Se гt, где r — непрерывно начисля емая ставка без риска. В то же время, исходя из значения матема тического ожидания, он должен быть равен:

рSu + (1 –p) Sd Таким образом Se rt = pSu + ( 1 p )Sd (40) или e rt = pu + ( 1 p )d (41) Из формулы (41) найдем p.

e rt d p= (42) ud Процент прироста или падения курсовой стоимости акции за висит от времени, в течение которого наблюдается изменение курса бумаги, и ее стандартного отклонения. Поэтому можно за писать, что ;

d = e u = e t t Формула (42) позволяет определить вероятность повышения или понижения курса акций.

Пример. Курс акции в начале периода равен 40 долл., стандарт ное отклонение цены акции 35%, непрерывно начисляемая ставка без риска 10%. Определить вероятность повышения и понижения курса акций через месяц.

Получаем t = 0, u = e 0,35 = 1, 0, d = e 0,35 = 0, 0, e rt = e 0,10,0833 = 1, 1,0084 0, p= = 0, 1,1063 0, 1 – р = 1 – 0,5163 = 0, Таким образом, вероятность повышения курса акции через один месяц составляет 0,5163 и понижения 0,4837.

После того как мы рассчитали значения u и d, можно определить значение курса акции для любого периода времени. Предполо жим, что инвестора интересуют возможные значения курса акций последовательно через один, два и три месяца, то есть для каждой точки пересечения ветвей дерева, представленного на рис. 58. Для точки Sd он равен Sd= 40 долл. х 0,9039 = 36,16 долл.

Для точки Sd2 Sd2 = 40 долл. х (0,9039)2 = 32,68 долл.

Для точки Su Su = 40 долл. х 1,1063 = 44,25 долл.

и т.д.

Значения курса акций представлены на дереве распределения (см. рис. 59).

После того как мы получили значения вероятности повышения я понижения курса акции и значения цены акции в конце каждого месяца, можно перейти к определению величины премии опцио на.

Рис.59. Дерево распределения цены акции Пример. Инвестор приобретает опцион пут на три месяца, курс акции в момент заключения контракта равен 40 долл., цена испол нения 45 долл., непрерывно начисляемая ставка без риска — 10%, стандартное отклонение акции — 35%. Определить стоимость опциона.

Через три месяца в точке Su3 величина премии опциона будет равняться нулю. В точке Su = 45 долл - 44,25 долл., = 0,75 долл.

В точке Sd = 45 долл. - 36,16 долл. = 8,84 долл.

В точке Sd3 = 45 долл. -29,54 долл. = 14,46 долл.

Цена опциона в начале периода t3, то есть для точек Su2, S, Sd представляет собой дисконтированную стоимость его ожидаемой цены в конце этого периода и так далее для каждого предыдущего отрезка времени. Ожидаемое значение случайной величины опре деляется как ее математическое ожидание. Поэтому цену опциона в начале периода t можно определить по формуле цена опциона = (Мх) е-rT где Мх — сумма произведения ожидаемых значений цены оп циона в конце периода t на их вероятность.

Найдем цену опциона в точке Su2. Она равна:

(0,5163 0 + 0,4837 0,75) е-0,10,0833 = 0,36 долл.

Для точки S она составит:

(0,5163 0,75 + 0,4837 8,84) е-0,10,0833 = 4,62 долл. и т.д.

Цена опциона для каждой точки на дереве распределения пред ставлена второй строкой на рис. 59. В итоге получаем — премия опциона в начале периода Гравна 5 долл.

Выше мы определили премию для европейского опциона пут.

Рассмотрим теперь случай, когда инвестор покупает аналогичный по своим условиям американский опцион. Как известно, досроч ное исполнение контракта может явиться оптимальным решени ем. Поэтому для каждого момента времени (в нашей модели это конец каждого периода t) его цена должна быть не меньше, чем X - Р. Дерево распределения цены акции и премии американского опциона приведено на рис. 60. Рассмотрим цену опциона в точке Su2. Согласно расчету она составляет 0,36 долл. Однако в случае исполнения опциона в данный момент он будет стоить:

45 долл. — 48,96 долл. = -3,96 долл.

Естественно, что в этот момент времени исполнение опциона не является оптимальной стратегией и инвестору следует продать опцион или подождать еще некоторый период времени. Следова тельно, его цена в указанной точке равна полученной расчетной величине, то есть 0,36 долл.

Рис.60. Дерево распределения премии американского опциона пут Для точки S (начало периода t3) расчетная цена равна 4, долл., однако в случае его исполнения в этот момент инвестор получит прибыль, которая составит:

45 долл. - 40 долл. = 5 долл.

Следовательно, при таком развитии событий американский оп цион будет стоить не 4,62 долл, а 5 долл. и его оптимально испол нить. Для точки Sd2 премия опциона должна быть не меньше чем:

45 долл. - 32,68 долл. = 12,32 долл.

Для точки Sd при немедленном исполнении опцион стоит:

45 долл. -36,1бдолл.= 8,84долл.

Его расчетная цена составляет:

(0,5163 5,0 + 0,4837 12,32) е-0,10,0833 =8,47 долл.

Следовательно, он должен стоить не меньше 8,84 долл.

В точке Su при немедленном исполнении опцион стоит:

45 долл. - 44,25 долл. = 0,75 долл.

Однако расчеты показывают, что в этом случае исполнение не является оптимальной стратегией и цена опциона должна соста вить не 0,75 долл., а (0,5163 0,36 + 0,4837 5,0) е-0,10,0833 = 2,58 долл В итоге получаем — цена американского опциона пут в момент заключения контракта равна 5,56 долл.

Мы рассмотрели биноминальную модель оценки премии опци она для акций, не выплачивающих дивиденды. В нашем примере весь период опционного контракта, который насчитывал три ме сяца, был разбит на три периода. На практике для определения цены опциона период Т необходимо разбить на большее число периодов t. Обычно деление опционного контракта на 30- интервалов дает приемлемый результат.

§ 33. БИНОМИНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ АКЦИЙ, ВЫПЛАЧИВАЮЩИХ ДИВИДЕНДЫ В основе опциона могут лежать акции, на которые в течение действия контрактов выплачиваются дивиденды. Данный факт должен найти отражение в некоторой корректировке премии оп циона.

Информация о дивиденде может быть задана в двух видах, а именно, инвестор знает: а) величину ставки дивиденда;

б) абсо лютный размер предполагаемого дивиденда. Рассмотрим последо вательно оба случая.

Как известно, курс акций на дату учета падает на величину выплачиваемого дивиденда. Поэтому дере во распределения цены акции принимает вид, как это представлено на рис. 61. Данный рисунок сделан для случая, когда нам известна ставка дивиденда.

Начиная с даты учета, и для всех последующих точек пересечения ветвей дерева курс акций корректируется на величину 1 - q. Если в течение действия опционного контракта дивиденд выплачивается несколько раз, то данная корректировка производится соответст вующее число раз. В остальном техника определения цены опци она сводится к уже рассмотренной выше схеме для акций, не выплачивающих дивиденд.

Инвестор может располагать данными об абсолютном размере предполагаемого дивиденда. Соответственно на дату учета сто имость акций понизится на данную величину. Теперь сделаем допущение, что цена акции в каждый момент состоит из двух частей, а именно, чистой цены, то есть цены без дивиденда, и приведенной стоимости будущего дивиденда. После данной по сылки для определения премии опциона можно воспользоваться построением дерева как и для акций, не выплачивающих дивиден ды. В расчетах значение стандартного отклонения курса акции берется для ее чистой цены. Значение цены акции в каждой точке пересечения ветвей дерева, за исключением даты учета, представ ляет собой сумму ее чистой цены и приведенной стоимости диви денда для соответствующего момента времени.

Пример. Инвестор планирует купить американский опцион пут сроком на четыре месяца, цена акции — 48 долл., цена исполне ния — 45 долл., стандартное отклонение цены акции — 35%, ставка без риска — 10%. Дата учета наступает через три месяца, Рис.61. Дерево распределения цены акции, для которой известна ставка ди видента. Дивидент выплачивается один раз дивиденд равен 3 долл. Определить премию опциона.

В качестве первого шага рассчитаем приведенную стоимость дивиденда для момента заключения контракта.

3e-0,1х0,25= 2,93 долл.

Чистая цена акции в этот момент составит:

48 долл. -2,90 долл. = 45,07 долл.

Вероятность повышения и понижения курса акции составит как и в рассмотренном выше примере для акций, не выплачивающих дивиденды, соответственно 0,5163 и 0,4837, и = 1,1063, d = 0,9039.

Чистая цена акции в точке Su (конец интервала t1) равняется:

45,07 долл. 1,1063 = 49,86 долл.

Приведенная стоимость дивиденда: 3 е -0.1x0,1667= 2,95 долл.

Полная цена в этой точке: 49,86 долл. + 2,95 = 52,81 долл.

Чистая цена акции в точке Su (конец периода t2 ) составит:

45,07 долл. 1,10632 = 55,16 долл.

Приведенная стоимость дивиденда равна:

3е-0,1x0,0833= 2,98 долл.

Курс акции в этой точке равен:

55,16 дол. + 2,98 долл. = 58,14 долл.

В точке Su курс акции составит:

45,07 долл. 1,10633 = 61,02 долл.

К данной цене дивиденд не прибавляется, так как в этот день он выплачивается акционерам. Цена акции в точке Su4 составит 67, долл. Даже если предположить, что через несколько месяцев на акцию будет выплачен дивиденд, корректировка курса акций на приведенную стоимость дивиденда не производится, так как контракт заключен на четыре месяца, и, следовательно, выплата следующего дивиденда лежит уже за рамками данного опциона.

Аналогичным образом, как представлено выше, рассчитывается цена акций для каждой точки пересечения ветвей дерева (см.

рис. 62).

Необходимо обратить внимание читателя на точку Sd3. Соглас но расчетам, цена опциона должна составлять в этот момент 11, долл. Однако, поскольку это американский опцион, он может быть Рис.62. Дерево распределения цены акции и премии американского опцио на пут для акций, выплачивающих известный дивиденд. Верхние числа — курс акции, нижние — премия опциона исполнен в любой момент времени и, соответственно, цена его составит 11,71 долл. Равным образом сказанное выше относится и к точке Sd (конец интервала t3, в которой цена опциона должна составлять 4,28 долл. Используя технику расчета, о которой гово рилось в примере с акциями, не выплачивающими дивиденды, получаем значение цены опциона пут для момента заключения контракта 2,80 долл.

Как уже было отмечено в начале данной главы, биноминальная модель используется для оценки премии американских опционов.

Премии европейских опционов рассчитываются с помощью ана литических формул, которые мы рассмотрим в следующем пара графе.

§ 34. МОДЕЛЬ БЛЭКА-СКОЛЕСА а) Определение премии опционов на акции, не выплачивающие ди виденды. Логнормальное распределение. Стандартное отклонение В начале 70-х годов Ф. Блэк и М. Сколес разработали модель оценки премии европейских опционов колл и пут для акций, не выплачивающих дивиденды. Блэк и Сколес вывели формулы, ос новываясь на концепции формирования портфеля без риска. Они рассмотрели портфель из акций и опциона. При оценке премии опциона модель учитывает следующие параметры: цену акции, цену исполнения, ставку без риска, стандартное отклонение курса акций, время до истечения контракта. В то же время она не при нимает во внимание ожидаемый доход на акции. Данный подход вытекает из принципа формирования портфеля нейтрального к риску. В такой ситуации ожидаемый доход на все бумаги является одинаковым и равняется ставке без риска. Именно она использу ется для оценки дисконтированной стоимости будущих доходов.

Опционный контракт — это срочный контракт, поэтому вели чина премии должна уловить поведение курса акции. В качестве вероятностного распределения цены акции в модели принято лог нормальное распределение. Рассмотрим его более подробно.

ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ Изменение цены актива в будущем — это случайный процесс, который в принципе должен описываться нормальным распреде лением. В то же время для целей вероятностной оценки стоимости актива в теории пользуются не нормальным, а логнормальным распределением. Это обусловлено следующими причинами. Во первых, нормальное распределение (рис. 63) является симметрич ной кривой относительно ее центральной оси и может иметь как положительные, так и отрицательные значения. Однако, цена ак тива, лежащего в основе опционного контракта, не может быть отрицательной. Во-вторых, нормальное распределение говорит о равной вероятности для переменной пойти вверх или вниз. В то же время на практике, например, присутствует инфляция, которая оказывает давление на цены в сторону их повышения. В связи с этим в моделях определения цены опциона пользуются логнор мальным распределением. Кривая логнормального распределения всегда положительна и имеет правостороннюю скошенность, то есть она указывает на большую вероятность цены пойти вверх (рис. 64). Поэтому, если, допустим, цена актива составляет долл., то логнормальное распределение говорит, что опцион пут с ценой исполнения 45 долл. должен стоить меньше опциона колл с ценой исполнения 55 долл., в то время как в соответствии с нормальным распределением они должны были бы иметь одина ковую цену.

Теоретические модели определения цены опциона, как и любые модели, устанавливают определенные условия, в рамках которых они функционируют, например, неизменными принимаются ставка без риска, стандартное отклонение и т.п. В то же время на практике данные величины подвержены изменениям. Кроме того, оценивая одни и те же активы, инвесторы, исходя из своих ожида нии, оперируют цифрами, которые могут отличаться друг от друга.

Поэтому на практике распределение цены актива определяется не точной формой логнормального распределения, а чаще принимает несколько отличную от него конфигурацию, которая имеет более заостренную вершину и более утолщенные концы, как это пред ставлено на рис. 65. Однако данный факт не умаляет практической ценности моделей. Опытные трейдеры, зная отмеченные особен ности, соответствующим образом корректируют значение цены опциона. Так, например, премия опциона с большим проигрышем на практике будет оцениваться инвестором несколько дороже, чем это предлагает модель, построенная на логнормальном распреде лении.

СТАНДАРТНОЕ ОТКЛОНЕНИЕ Важным элементом, который присутствует в моделях оценки премии опционов, является стандартное отклонение. Поэтому ос тановимся на этом вопросе несколько подробнее.

Вкладчика, инвестирующего свои средства в опционные контр акты, интересует не только направление движения рынка, но и скорость этого движения, поскольку от нее зависит вероятность того, что стоимость актива перешагнет за цену исполнения опци она. Показателем такой скорости выступает стандартное отклоне ние цены актива или, как его еще именуют, волатильность.

Стандартное отклонение говорит о вероятности цены принять то или иное значение. Оно задает Меру рассеянности цены актива.

Большое значение стандартного отклонения свидетельствует о том, что цена актива может колебаться в широком диапазоне.

Стандартное отклонение характеризует риск, связанный с данным активом. Чем больше величины отклонения, тем больше риск, и наоборот. Стандартное отклонение задается как процент отклоне ния цены актива от ее средней величины в расчете на год. Напри мер, если цена актива составляет 100 долл., а стандартное отклонение равно 10%, то это означает, что через год цена его может лежать в пределах от 90 долл. до 11О долл. (100±10%) в б8,3% случаев, от 80 долл. до 120 долл. (100±2х10%) в 95,4% случаях и от 70 долл. до 130 долл. (100±3х10%) в 99,7 случаях. Поскольку цена актива через год представляет собой результат действия рыночных сил, то она может и выйти за указанные пределы, однако в соот ветствии с кривой нормального распределения 99,7% всех вероят ных исходов лежат в пределах трех стандартных отклонений от среднего значения показателя, 95,4% — в пределах двух стандар тных отклонений и 68,3% — одного стандартного отклонения (см.

рис. 66).

Чтобы получить стандартное отклонение за период меньше года, необходимо стандартное отклонение в расчете на год разде лить на квадратный корень из числа данных торговых периодов в году.

Пример. Стандартное отклонение бумаги равно 10% в год. Не обходимо определить стандартное отклонение в расчете на день.

В году насчитывается порядка 252 торговых дней. Поэтому стан дартное отклонение за один день равно:

10% : 252 = 0,63% Если цена составляет 100 долл., то одно стандартное отклонение цены за день составит:

1000,0063 = 0,63 долл.

На практике для расчета стандартного отклонения берут значе ния котировочной цены. Западные аналитические компании, пре доставляющие информацию о стандартном отклонении, рассчитывают его обычно на основе ежедневных значений коти ровочной цены.

Формируя свои стратегии, инвестор пытается предугадать буду щее значение стандартного отклонения. В этом вопросе он ориен тируется в первую очередь на фактические значения стандартного отклонения за истекший период времени, как минимум за послед ний год. Помимо общего стандартного отклонения за год его интересует стандартное отклонение и за более короткие периоды.

Если он планирует заключить опционный контракт на небольшой срок, то для него важна также информация о стандартном откло нении за последний короткий период. Например, стандартное отклонение актива за год составило в среднем 20%, а за последний месяц 10%. Если инвестор планирует купить (продать) опцион на длительный период, то в расчетах ему следует учесть стандартное отклонение, равное 20%, если же он заключает контракт на неда лекую перспективу, то значение отклонения в пределах от 20% до 10%, скажем, 15%, будет более верным, чем 20%.

Внутреннее стандартное отклонение (внутренняя волантильность) Прогнозы инвестора относительно будущего значения стандар тного отклонения называют будущим (прогнозируемым) стандар тным отклонением. Фактическое стандартное отклонение за предыдущий период времени именуют историческим стандартным отклонением. Опционные контракты обладают еще одним стан дартным отклонением — внутренним стандартным отклонением.

Оно определяется из аналитических формул, когда известны все остальные переменные, а именно, рыночная цена опциона, время до истечения контракта, цена исполнения, цена актива, ставка без риска. Поскольку конъюнктура рынка постоянно меняется, то значение внутреннего стандартного отклонения также будет по стоянно меняться. Аналитические компании предоставляют ин формацию о внутреннем стандартном отклонении по каждому опционному контракту или по всем опционным контрактам для данного вида актива. В последнем случае это значение представ ляет собой некоторую средневзвешенную величину в зависимости от объема опционной торговли, открытых позиции по тому или иному контракту и т.д.

В качестве синонима внутреннего стандартного отклонения брокеры используют также термин премия, хотя в прямом смысле этого слова термин «премия» относится к цене опциона. Так, если внутреннее стандартное отклонение имеет большее значение по сравнению с историческим стандартным отклонением, то говорят, что уровень премий высокий, и наоборот.

Для сельскохозяйственных товаров инвестор должен учитывать и такой фактор, как сезонное стандартное отклонение, поскольку оно сильно зависит от складывающихся погодных условий и вре мени года. Так, для зерновых культур его значение является наи меньшим в весенние месяцы, когда урожай в Южной Америке уже собран, а в Северной еще не приступили к посеву. Наибольшее отклонение приходится на летние месяцы.

Вычисление исторического стандартного отклонения Стандартное отклонение рассчитывается по формуле (xi m) = (43) n 1 n где т — среднее значение случайной величины;

п — число испытаний (периодов);

xi — значение случайной величины в каждом испытании (пери оде).

Среднее значение случайной величины определяется по форму ле xi m= (44) n i = i xi m= (45) i = 1 i = если одно и то же значение случайной величины встречается в испытаниях несколько раз. В этом случае рi — удельный вес ис пытаний с результатом хi в общем числе испытаний.

Наиболее часто для расчета стандартного отклонения цены ис пользуют два приема. Первый состоит в том, что в качестве пере менной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущему значению, то есть P Pi xi = i +1 (46) Pi где Pi — цена актива в конце i-го периода.

Второй метод заключается в том, что в качестве переменной принимают логарифм отношения последующей цены к предыду щей, а именно P xi = ln i +1 (47) P i Расчеты, получаемые с использованием первого или второго приема, не сильно отличаются друг от друга. Первый прием пред ставляет собой не что иное, как начисление процента через опре деленные равные промежутки времени. Второй прием заключает в себе непрерывное начисление процента. Приведем пример расче та стандартного отклонения с использованием натурального лога рифма. Схема расчета представлена в таблице 34. Значения цены рассматриваются за десять недель.

Таблица P +1 Отклонение Квадрат ln i Не-деля Цена(долл.) от средней отклонения Pi 0 50, 1 51,0 0,0198 0,01782 0. 2 52,0 0,0194 0,01742 0. Продолжение табл. P + Не- Цена Отклонение Квадрат ln i деля от средней отклонения (долл.) Pi 3 51,5 -0,0097 -0,01168 0, 4 50,5 -0,0196 -0,02158 0, 5 49,0 -0,0302 -0,03218 0, 6. 48,5 -0,0103 -0,01228 0, 7 49,0 0,0103 0,00832 0, 8 49,5 0,0102 0,00822 0, 9 50,5 0,0200 0,01802 0, 10 51,0 0,0099 0,00792 0, сумма сумма 0,0198 0, среднее значение = 0,0198 : 10 = 0, 0, = = 0, Данный результат показывает стандартное отклонение за неде лю. Чтобы получить значение отклонения за год, необходимо ум ножить его на корень квадратный из числа недель в году.

0,0180499 52 = 0,13016 или 13,016% Формулы Блэка-Сколеса Блэк и Сколес вывели следующие формулы оценки премии опционов ce = SN (d1 ) Xe rT N (d 2 ) (48) Поскольку се = са, то данная формула позволяет определить премию и американского опциона.

pe = Xe rT N ( d 2 ) SN ( d1 ) (49) ln (S X ) + (r + 2 2)T ln (S X ) + rT d1 = = + T (50) T T ln (S X ) + (r + 2 2 )T = d1 T d2 = (51) T с — стандартное отклонение цены акции.

В формулах Блэка-Сколеса величина а берется в годовом исчис лении. В аналитических материалах стандартное отклонение дает ся в процентах, в формулы она подставляется в десятичных значениях r — ставка без риска;

на практике в формулы подставляется существующая ставка без риска для инвестиций, которые осуще ствляются на время Т;

N (di) — функция распределения, показывающая вероятность того, что нормированная нормальная переменная будет меньше di.

Пример. S = 50 долл., =45 долл., r = 10%, T= 6 месяцев, = 0,525. Необходимо определить премию опциона колл.

ln (50 45) + 0,1 0, d1 = + 0,5 0,525 0,5 = 0, 0,525 0, d 2 = 0,6041 0,525 0,5 = 60, Из таблицы значений функции N (di)(cм. приложение 2) нахо дим:

N(d1) = 0,7271;

N(d2) = 0, Тогда се = 50 долл. 0,7271 – 45 долл. е-0,10,50,5921 = 11,01 долл.

б) Определение премии опционов на акции, выплачивающие дивиденды Как уже отмечалось выше, информация о дивидендах может быть задана в двух формах: в виде 1) ставки дивиденда и 2) как абсолютное значение дивиденда. Рассмотрим вначале вопрос оп ределения премии опциона для первого варианта.

Для такого случая дивиденд рассматривается как непрерывно начисляемый дивиденд. Соответственно ставка дивиденда пред ставляет собой непрерывно начисляемый процент. Если ставка дивиденда меняется в рамках рассматриваемого периода, то для расчетных целей можно использовать ее среднюю величину в рас чете на год. Как известно, выплата дивиденда вызывает падение курса акции на величину дивиденда. Сравним динамику роста курсовой стоимости двух акций за некоторый период Т. В конце этого периода на первую акцию выплачивается дивиденд, а на вторую — не выплачивается. Тогда мы можем сказать, что темп прироста курсовой стоимости первой акции ниже на величину q или что темп прироста курсовой стоимости второй акции будет выше на величину q.

Если в начале периода T курс акции, выплачивающей дивиденд, равен S, то в конце этого периода она будет стоить столько же, сколько и акция, не выплачивающая дивиденда, которая в начале периода стоит S e-qT. Поэтому можно сделать вывод о том, что европейский опцион для первой и второй акции должен иметь одинаковую стоимость. Выше мы уже привели формулы Блэка Сколеса для оценки премии европейских опционов. Данные фор мулы применимы и для опционов на акции, выплачивающие дивиденд, с той только разницей, что место S займет величина S e-qT ce = Se qT N (d1 ) Xe rT N (d 2 ) (52) pe = Xe rT N ( d 2 ) Se qT N ( d1 ) (53) ln (S X ) + (r q + 2 2)T d1 = (54) T ln (S X ) + (r q 2 2)T d2 = = d1 - T (55) T d1 и d2 принимают указанный вид вследствие следующего пре образования:

Se qT S = ln qT ln X X Этот результат впервые получил Мертон.

Если инвестор имеет информацию об абсолютном размере ди виденда, то величина S уменьшается на приведенную стоимость дивиденда, а значение принимается как стандартное отклонение чистой цены акции. Полученные цифры подставляются в формулы Блэка-Сколеса.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ В моделях оценки премии опционов используется техника фор мирования портфеля без риска. Это позволяет для целей дискон тирования применять ставку без риска, так как портфель, не несущий риск, должен иметь доходность, равную ставке без риска.

Премию американских опционов рассчитывают с помощью би номинальной модели. Суть ее состоит в том, что время опционного контракта разбивают на малые интервалы и строят с учетом веро ятности дерево распределения курсовой стоимости акции. Опре делив премию опциона перед датой истечения контракта, последовательным дисконтированием под ставку без риска нахо дят значение цены опциона для каждой точки пересечения дерева распределения и таким образом рассчитывают величину премии в момент заключения контракта. Если в период действия опциона на акцию выплачиваются дивиденды, то при 1) наличии информа ции о ставке дивиденда курсовую стоимость акции в момент вы платы дохода уменьшают на величину ставки дивиденда;

2) когда имеются данные об абсолютной величине дивиденда, чистую сто имость акции для каждого узла дерева распределения корректиру ют на приведенную стоимость дивиденда.

Премия европейских опционов и американского опциона колл рассчитывается с помощью формул Блэка-Сколеса. В модели при нимается посылка, что цена актива имеет логнормальное распре деление.

В качестве показателя, характеризующего скорость движения рынка, используют стандартное отклонение цены актива. Оно го ворит о степени разброса значений цены актива относительно ее средней величины и о вероятности цены актива перешагнуть через цену исполнения в течение действия опционного контракта. Для расчетных целей используют историческое стандартное отклоне ние. Из аналитических формул можно вычислить внутреннее стан дартное отклонение опциона. При определении исторического стандартного отклонения используют два метода. Первый состоит в том, что в качестве переменной величины принимают отношение изменения цены к ее предыдущему значению. Второй метод — в качестве переменной использует логарифм отношения последую щей цены к предыдущей.

Глава XII. ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКСЫ, ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ, ОБЛИГАЦИИ, ВАЛЮТУ В настоящей главе мы охарактеризуем опционы на индексы, фьючерсные контракты, облигации и валюту, остановимся на воп росе оценки премии опционов для каждого вида актива. Рассмат ривая облигации, определим понятие встроенного опциона.

§ 35. ОПЦИОНЫ НА ИНДЕКСЫ. ОЦЕНКА ПРЕМИИ ОПЦИОНА В настоящее время на западном фондовом рынке заключаются опционные контракты на индексы, например, S & Р 100, PS & Р 500, индекс нефтяных компаний (включает 15 акций);

Велью Лайн (включает 1700 акций) и другие. Поскольку обычно индекс насчи тывает большое количество акций, то, как правило, исполнение опциона подразумевает осуществление взаиморасчетов деньгами, а не поставку бумаг. При исполнении опциона колл положитель ная разница между значением индекса и ценой исполнения, а для опциона пут — между ценой исполнения и значением индекса — умножаются на некоторое число, которое установлено для данного индекса контракта. Например, в США — это 100. Вычисленная таким образом сумма уплачивается покупателю опциона.

Пример. Цена исполнения опциона колл на индексный контр акт равна 3254. По истечении срока контракта значение индекса составило 3284. Покупатель исполняет опцион и получает выиг рыш (3284-3254) 100 = 3000 долл.

Опционы на индексы используются в качестве инструмента страхования широко диверсифицированного портфеля ценных бумаг от риска падения их курсовой стоимости.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА При оценке премии опциона на индекс предполагается, что его можно представить как акцию с известной ставкой дивиденда.

Поэтому премию опциона можно рассчитать по формулам Блэка Сколеса для акций, выплачивающих дивиденды. Поскольку ин декс включает в себя много акций, дивиденд на которые может выплачиваться в разное время, то для расчетных целей учитывают только дивиденды, выплачиваемые в период действия опциона.

Пример. Инвестор по купает европейский опцион колл на неко торый индекс А на три месяца с ценой исполнения 245. В момент заключения контракта индекс равен 250. Стандартное отклонение для индекса равно 20%. Ожидается, что дивиденды будут выпла чиваться для ряда акций в первом месяце, других — во втором и на оставшиеся акции — в третьем. Для первого месяца ставка дивиденда равна 1%, второго — 2%, третьего — 1,5%. Ставка без риска — 10%. Определить стоимость опциона.

Вначале найдем ставку среднего дивиденда. Она равна:

1% + 2% + 1,5% 12 = 18% После этого можно воспользоваться формулой Блэка-Сколеса.

ln (250 245) + (0,1 0,18 + (0,2)2 2 ) 0, d1 = = 0, 0,2 0, N(d1) = 0, d 2 = 0,5207 0,2 0,25 = 0, N(d2) = 0, ce = 250e 0,180, 25 0,5207 2450,10, 25 0,4809 = 15,3635 долл Один контракт стоит:

15,3635 100 =1536,35 долл.

Если инвестор располагает данными об абсолютном значении выплачиваемых дивидендов, то в этом случае начальные значения индекса, то есть величину S уменьшают на величину приведенной стоимости дивидендов.

§ 36. ОПЦИОНЫ НА ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ОПЦИОНА В настоящее время в качестве предмета опционного контракта используются фьючерсные контракты. Они предлагаются на боль шую часть существующих сейчас фьючерсных контрактов. Наибо лее популярны опционы на фьючерсные контракты на казначейские облигации США, зерно, сою-бобы, сырую нефть, живой скот, золото, евродоллары, некоторые валюты. Контракты преимущественно являются американскими.

При исполнении держатель опциона колл занимает длинную позицию по фьючерсному контракту, а также получает сумму де нег, равную превышению фьючерсной цены над ценой исполне ния. Продавец опциона занимает короткую позицию по этому контракту. При исполнении опциона пут владелец опциона зани мает по фьючерсному контракту короткую позицию, а также пол учает в деньгах разницу превышения цены исполнения над фьючерсной ценой. Продавец опциона занимает по контракту длинную позицию.

Пример. Инвестор купил американский опцион колл на фью черсный контракт на поставку 100 тонн товара по цене исполнения 100 долл. Через некоторое время фьючерсная цена товара подня лась до 120 долл., и инвестор исполнил опцион. В результате по опционному контракту он получил выигрыш в размере:

(120 долл. - 100 долл) 100 = 2000 долл.

и открыл длинную позицию по фьючерсному контракту.

Срок фьючерсных контрактов обычно истекает вскоре после окончания действия опционного контракта. В момент исполнения опциона, то есть заключения фьючерсного контракта, цена по следнего равна нулю, и при желании, инвестор может закрыть его с помощью оффсетной сделки без всяких потерь. В этом случае схема выплат по операции будет аналогична выплатам по опцион ному контракту на акции.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА Премии европейских опционов колл и пут рассчитываются с помощью формул, выведенных Блэком.

Для определения премии опциона фьючерсный контракт рас сматривают как акцию, выплачивающую дивиденд, ставка которо го равна ставке без риска л Как отмечалось выше, премия европейского опциона на акцию, выплачивающую дивиденд, курс которой в начале периода Т со ставляет величину 5, равна премии аналогичного опциона на ак цию, не выплачивающую дивидендов, цена которой в момент Т составляет Se-qТ.

Открытие позиции по фьючерсному контракту не требует ника ких затрат, то есть они равны нулю. Поэтому в условиях отсутствия риска ожидаемый доход от такого контракта также будет равен нулю:

Oe rT = При отсутствии риска ожидаемая доходность от прироста кур совой стоимости акции, выплачивающей дивиденд, равна r - q.

Поскольку ожидаемая доходность такой акции равна нулю, то это возможно только в случае, когда r = q. Таким образом, если рас сматривать фьючерсный контракт как акцию, выплачивающую дивиденд, ожидаемая доходность которой должна равняться нулю, это возможно только, если в начале периода его стоимость равна Fe-rT, где F — текущая фьючерсная цена. Поэтому для европей ских опционов на фьючерсные контракты формулы Блэка – Сколе са можно записать следующим образом:

ce = Fe rT N (d1 ) Xe rT N (d 2 ) = e rT [FN (d1 ) X (d 2 )] p e = e rT [XN ( d 2 ) FN ( d1 )] ln (F X ) + ( 2 2)T ln (F X ) + ( 2 2)T где d1 = ;

d2 = = d1 T T T Как было показано выше, к моменту исполнения фьючерсного контракта фьючерсная цена равняется цене спот. Поэтому премии двух, опционов — опциона на фьючерсный контракт и просто опционный контракт на актив, лежащий в основе фьючерсного контракта, — будут одинаковыми, если фьючерсный и опцион ный контракт имеют одну и ту же дату истечения.

§ 37. ОПЦИОНЫ НА ОБЛИГАЦИИ. ОЦЕНКА ПРЕМИИ ОПЦИОНА. ОБЛИГАЦИИ С ВСТРОЕННЫМИ ОПЦИОНАМИ В западной практике заключаются опционные контракты на облигации, например, на казначейские облигации США. В то же время опционы на облигации менее популярны, чем опционы на фьючерсные контракты на облигации.

Цена облигаций непосредственно зависит от уровня существу ющей на рынке процентной ставки. Поэтому опционные контрак ты заключаются в предположении уловить или застраховаться от изменения ставки процента.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА Премию европейских опционов колл и пут для купонных обли гации можно определить с помощью формул Блека-Сколеса ln (B X ) + (r + 2 2)T ce = BN (d1 ) Xe rT N (d 2 ) ;

d 2 = T pe = Xe rT N ( d 2 ) N ( d1 ) d 2 = d1 T где — текущая цена облигации.

Если в течение действия опционного контракта по облигации выплачиваются купоны, то цену облигации В необходимо умень шить на приведенную стоимость купонов. Стандартное отклоне ние цены облигации рассчитывается, исключая приведенную стоимость купонных платежей. Как известно, цена облигации мо жет значительно отличаться от ее номинала, когда до погашения бумаги остается много времени. По мере приближения времени выкупа облигации цена ее приближается к нарицательной стоимо сти. В связи с этим меняется стандартное отклонение ее цены.

Поэтому вышеприведенные формулы следует использовать в слу чаях, когда срок опционного контракта существенно меньше вре мени, остающегося до погашения облигации.

В качестве цены исполнения может быть принята а) полная цена облигации, то есть цена с учетом той части купонного платежа, которую покупатель должен уплатить продавцу, когда исполнение контракта приходится на какой-либо момент в течение купонного периода;

или б) котировочная цена, то есть чистая цена облигации.

Она не включает упомянутую часть купонного платежа. В этом случае к котировочной цене необходимо прибавить сумму купона, которая причитается продавцу, и полученный результат подста вить в формулу в качестве значения X.

Европейские опционы на облигации с нулевым купоном также определяются по вышеприведенным формулам. Американский опцион колл на облигацию с нулевым купоном не выгодно испол нять раньше срока истечения контракта, поэтому его премия будет равна премии европейского опциона.

ОБЛИГАЦИИ С ВСТРОЕННЫМИ ОПЦИОНАМИ Как известно, облигация является срочной ценной бумагой и гасится по истечении установленного срока. Условия выпуска об лигаций могут содержать право эмитента или держателя бумаги погасить ее досрочно по установленной цене, начиная с некоторо го момента времени. Например, облигация выпущена на 15 лет, через 10 лет эмитент имеет право погасить ее полностью или час тично по своему усмотрению.

Указанное право представляет собой встроенный в облигацию опцион. Если право досрочного погашения предоставлено эми тенту, то это значит, что держатель облигации продал эмитенту опцион колл. Если право досрочной сдачи облигации эмитенту принадлежит инвестору, это значит, что облигационер купил у эмитента опцион пут. Лицо, которое выписывает опцион, получа ет за это премию. В отношении встроенных опционов данная премия учитывается в доходности облигации. Поэтому в случае опциона колл облигация будет иметь более высокую доходность для инвестора по сравнению с аналогичными облигациями, но без условия досрочного отзыва. В случае опциона пут — менее доход ной.

§ 38. ОПЦИОНЫ НА ВАЛЮТУ В современной практике заключаются опционы на валюту. В качестве предмета контракта выступают такие валюты, как амери канский, канадский, австралийский доллар, британский фунт, французский и швейцарский франк, марка ФРГ, японская йена.

Что касается размера контракта, то он зависит от валюты. Напри мер, один контракт на британский фунт в США дает право купить /продать 31250 фунтов, для марки ФРГ — это 62500 марок.

ОЦЕНКА ПРЕМИИ ЕВРОПЕЙСКОГО ОПЦИОНА Иностранную валюту можно рассматривать как акцию, для ко торой известна ставка дивиденда. Иностранная валюта приносит владельцу доходность, то есть ставку дивиденда, равную ставке без риска в иностранной валюте. Поэтому для оценки премии опцио нов на валюту можно воспользоваться формулами Блэка-Сколеса для европейских опционов на акции с известной ставкой дивиден да, а именно:

ce = Se rT N (d1 ) Xe rT N (d 2 ) pe = Xe rT N ( d 2 ) Se rjT N ( d1 ) ln (S X ) + (r - r + 2 2 )T d1 = T ln (S X ) + (r - rj - 2 2)T d2 = = d1 T T S — цена (курс) единицы иностранной валюты в национальной валюте (например, для США курс канадского доллара, выражен ный в американских долларах);

rf — ставка без риска для иностранной валюты.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ Исполнение опционов на индексы предусматривает, как прави ло, взаиморасчеты между контрагентами в денежной форме.

Держатель опциона колл на фьючерсный контракт при испол нении опциона открывает длинную позицию, держатель опциона пут — короткую.

Оценка премии европейских опционов на индексы, фьючерс ные контракты, облигации и валюту, а также американских опци онов колл в случае, когда их досрочное исполнение не является оптимальной стратегией, осуществляется с помощью формул Блэ ка-Сколеса. Премии американских опционов рассчитываются на основе биноминальной модели.

Часть III. ХЕДЖИРОВАНИЕ Глава XIII. ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМИ КОНТРАКТАМИ В настоящей главе рассматривается вопрос страхования пози ций хеджера фьючерсными контрастами. Вначале мы сформули руем общее понятие хеджирования, проанализируем технику хеджирования продажей и покупкой фьючерсного контракта, оха рактеризуем базисный риск и определим коэффициент хеджиро вания. После этого представим примеры хеджирования фьючерсными контрактами на фондовый индекс, облигацию и валюту.

§ 39. ПОНЯТИЕ ХЕДЖИРОВАНИЯ В рыночной экономике постоянно наблюдаются изменения цен товаров, ценных бумаг, процентных ставок. Поэтому участники рыночных отношений подвергаются риску потерь вследствие не благоприятного развития конъюнктуры. Данный факт заставляет их, во-первых, прогнозировать будущую ситуацию, во-вторых, страховать свои действия.

Страхование или хеджирование состоит в нейтрализации не благоприятных колебаний конъюнктуры рынка для инвесто ра/производителя или потребителя того или иного актива. Цель хеджирования заключается в переносе риска изменения цены с одного лица на другое. Первое лицо именуют хеджером, второе — спекулянтом. Хеджирование способно оградить хеджера от потерь, но в то же время лишает его возможности воспользоваться благо приятным развитием конъюнктуры.

Как общее правило, потенциально более высокую прибыль можно получить, только взяв на себя и большую долю риска. К такой практике прибегают не многие инвесторы. Большая часть лиц стремится полностью или в определенной степени исключить риск. Кроме того, лица, связанные с производственным процес сом, прежде всего заинтересованы в планировании своих будущих расходов и доходов и поэтому готовы отказаться от потенциальной дополнительной прибыли ради определенности перспектив своего финансового положения.

Хеджирование осуществляется с помощью заключения срочных контрактов: форвардных, фьючерсных и опционных. Оно может быть полным или неполным (частичным). Полное хеджирование полностью исключает риск потерь, частичное хеджирование осу ществляет страховку только в определенных пределах. Наиболее простая схема хеджирования будет заключаться в открытии инве стором одной или нескольких позиций на весь период времени, в котором заинтересован вкладчик. В то же время ситуация на рынке постоянно меняется, что может потребовать от инвестора с опре деленной периодичностью пересматривать свои позиции в ходе периода хеджирования.

§ 40. ТЕХНИКА ХЕДЖИРОВАНИЯ ФЬЮЧЕРСНЫМ КОНТРАКТОМ Изначально форвардные/фьючерсные контракты возникли для целей страхования покупателей и продавцов от будущего небла гоприятного изменения цены. Например, если производитель пшеницы собирается через несколько месяцев поставить на рынок зерно, то он может хеджировать риск возможного будущего сни жения цен за счет заключения форвардного контракта, в котором оговаривается приемлемая для него цена поставки. Таким же об разом поступит покупатель пшеницы, если он планирует приобре сти ее через несколько месяцев. Пример хеджирования с помощью форвардного контракта был приведен в главе I § 1. Для хеджиро вания форвардные контракты имеют тот недостаток, что диапазон их применения сужен в силу самой характеристики данных контр актов. Поэтому в реальной практике для страхования используют преимущественно фьючерсные сделки.

а) Хеджирование продажей контракта Инвестор имеет возможность хеджировать свою позицию с по мощью продажи или покупки фьючерсного контракта. К страхо ванию продажей лицо прибегает в том случае, если в будущем планирует продать некоторый актив, которым оно владеет в насто ящее время или собирается получить.

Пример. Цена спот на зерно составляет 500 руб. за тонну. Фью черсная цена на зерно с поставкой через три месяца равна 520 руб.

Фермер соберет урожай и вывезет его на рынок только через три месяца. Если к этому моменту времени цена повысится, он полу чит более высокий доход от реализации урожая по сравнению с настоящей ценой. Если же она упадет, то его доход окажется более низким. Допустим, что фермер не желает рисковать и согласен продать зерно за 520 руб. Тогда в настоящий момент он продает соответствующее число фьючерсных контрактов с поставкой через три месяца и фьючерсной ценой 520 руб. Через три месяца фермер продаст зерно на спотовом рынке и купит фьючерсные контракты, чтобы закрыть фьючерсные позиции. В итоге он получит за со бранный урожай цену, равную 520 руб. за тонну. Почему фермер будет иметь именно такой результат? Допустим, через три месяца цена спот на зерно поднялась до 540 руб. Тогда на спотовом рынке фермер продаст урожай по цене 540 руб. за тонну. Однако, закры вая фьючерсные позиции, он потеряет 20 руб., поскольку к этому моменту фьючерсная цена и цена спот должны быть равны. В итоге его доход составит 520 руб. Допустим теперь, что через три месяца цена спот равна 500 руб. Тогда по кассовой сделке он реализует продукцию по 500 руб. за тонну, но по фьючерсному контракту выигрывает 20 руб. В итоге цена, полученная фермером, составила 520 руб. Как видно из примера, продажа фьючерсного контракта не позволила фермеру воспользоваться благоприятной конъюнк турой в первом случае, однако хеджировала его от риска пониже ния цены.

б) Хеджирование покупкой контракта Если инвестор собирается в будущем приобрести какой-либо актив, он использует хеджирование покупкой фьючерсного контр акта.

Пример. Производителю хлеба через три месяца понадобиться определенное количество зерна. Чтобы застраховаться от возмож ного повышения цены он покупает фьючерсный контракт с фью черсной ценой 520 руб. Через три месяца он покупает зерно по кассовой сделке и закрывает фьючерсный контракт. Если цена спот к этому моменту составила 500 руб., то он заплатил данную цену за тонну зерна, однако потерял 20 руб. на фьючерсном контр акте. В итоге его расходы составили 520 руб. Если цена возросла до 540 руб., то он купил зерно по этой цене, однако получил выигрыш по фьючерсному контракту в размере 20 руб. Таким образом, его расходы также составили только 520 руб.

В приведенных выше примерах представлена идеальная ситуа ция хеджирования, когда возможный риск потерь полностью уст раняется за счет заключения фьючерсного контракта. Однако в жизни ситуация большей частью будет складываться несколько иначе. Прежде всего следует сказать, что актив, продаваемый/по купаемый на спотовом рынке, может несколько отличаться от предмета фьючерсного контракта, так как на бирже не всегда торгуется контракт на актив требуемой спецификации, например, имеются качественные различия у реального актива и предмета фьючерсного контракта (пшеница разных сортов и т.п.). Далее, сроки фьючерсного контракта могут не полностью соответство вать купле/продаже актива на спотовом рынке. Поэтому на прак тике хеджирование не всегда сможет полностью исключить риск потерь. Допустим, если в первом примере с продажей зерна фью черсный контракт истек ранее реальной продажи товара, то фью черсная и спотовая цена могли несколько отличаться друг от друга.

Так, если фьючерсный контракт был закрыт по цене 510 руб., то по фьючерсной позиции фермер выиграл 10 руб. Допустим, что на спотовом рынке он реализовал зерно по 500 руб. Тогда его доход от операции составил только 510 руб. за тонну.

в) Базисный риск Отмеченные выигрыши-потери инвестора при хеджировании характеризуются таким понятием, как риск базиса или базисный риск, то есть риск, связанный с разницей между ценой спот и фьючерсной ценой в момент окончания хеджирования. Базисный риск наиболее существенен для товаров, приобретаемых для по требления. Цены на них прежде всего зависят от состояния спроса и предложения и накладных расходов. Базисный риск для активов, предназначенных для целей инвестирования, таких как золото, серебро, валюта, индексы представлен в меньшей степени вслед ствие возможностей, открываемых арбитражными операциями.

Для данных активов риск возникает главным образом вследствие колебания уровня ставки без риска.

В момент заключения фьючерсного контракта базис равен:

b1 = S1-F1 (56) где b — базис.

При закрытии фьючерсной позиции он составляет:

b2 = S2 - F2 (57) Если инвестор продавал контракт, то сумма, полученная им от всей операции в результате хеджирования равна цене спот плюс выигрыш/проигрыш по фьючерсной позиции, а именно:

S2 + (F1 -F2) = F1 + (S2 -F2) = F1 + b Если первоначально инвестор покупал фьючерсный контракт, то сумма, затраченная им на всю операцию, в результате хеджиро вания равна цене спот плюс вьшгрыш/проигрьпп по фьючерсной позиции:

S2 + (F1-F1)=F1 + b Таким образом, базисный риск связан с тем фактом, что вели чина Ь2 может принимать различные значения. Базисный риск будет тем больше, чем больше разница между моментами оконча ния хеджа и истечения фьючерсного контракта. Общее правило выбора фьючерсного контракта по времени его истечения для хеджирования заключается в следующем: инвестор должен стре миться свести к минимуму время между окончанием хеджа и по ставкой по фьючерсному контракту;

месяц поставки фьючерсного контракта должен располагаться позже окончания периода хеджи рования. Хеджирование с помощью ближайшего фьючерсного контракта называют спот хеджированием. Одно из требований к фьючерсному контракту — высокая ликвидность, поскольку, если он не будет ликвидирован до момента его хранения, то хеджеру придется принимать или поставлять соответствующий актив, что может вызвать существенные издержки. Ликвидность контракта тем выше, чем меньше времени остается до его истечения, так как спекулянты и хеджеры начинают активно закрывать свои откры тые позиции. Поэтому в ряде случаев инвестору целесообразно хеджировать сделку за счет последовательного заключения ряда краткосрочных фьючерсных контрактов.

Как правило, базисный риск будет больше, если хеджируется актив, для которого не существует полного аналога фьючерсного контракта, и для страхования выбирается контракт на родствен ный актив. Данная техника называется кросс-хеджированием.

Страхование фьючерсным контрактом с тем же активом именуют прямым хеджированием. Для первой ситуации базисный риск складывается из двух компонентов:

а) разницы между ценами спот двух активов в момент t2, a именно:

S2 S h F где S 2 — цена спот хеджируемого актива;

h S 2 — цена спот актива, лежащего в основе фьючерсного контр F акта;

б) базиса для фьючерсного актива S 2 F F Используя данные обозначения, можно записать, что в резуль тате хеджирования цена сделки составит:

( )( ) S 2 + (F1 F2 ) = F1 + S 2 F2 + S 2 S h F h F (58) Проиллюстрируем понятие базиса на примере с зерном. Допу стим, сейчас начало мая. Фермер планирует продать урожай через три месяца, то есть в июле. На бирже имеется соответствующий фьючерсный контракт с ближайшим месяцем поставки в сентябре.

Фермер продает контракт. S1 = 500 руб., F1 = 510 руб. Через три месяца S2 = 510 руб., S2 = 515 руб. Он продает зерно и закрывает фьючерсный контракт. Цена, которую получил фермер, равна.

P = S2+ (F1 -F2) = 510 руб. + 510 руб.-515 руб.= 505 руб.

Данную цену можно рассчитать по-другому:

P = F1+b b2= 510 руб. -515 руб. = -5 руб.

Р= 510 руб. + (-5 руб.) = 505 руб.

§ 41. КОЭФФИЦИЕНТ ХЕДЖИРОВАНИЯ Для хеджирования своей позиции инвестор должен определить необходимое число фьючерсных контрактов, которые требуется купить или продать. При полном хеджировании требуемое число фьючерсных контрактов определяется по формуле:

Пример. Экспортер ожидает в декабре поступления суммы в тыс. долл. Сейчас октябрь. Он принимает решение хеджировать поступление валюты продажей фьючерсных контрактов на МТБ на доллар США с поставкой в декабре. Фьючерсная цена равна 1600 руб. за 1 долл. Поскольку один фьючерсный контракт вклю чает в себя одну тысячу долларов, то хеджер продает = 200 котрактов Ситуация полного хеджирования, однако, встречается не часто, поэтому вышеприведенная формула должна быть дополнена ко эффициентом хеджирования (или как его иногда называют, опти мальным коэффициентом хеджирования). Чтобы подойти к определению коэффициента хеджирования, представим себе пор тфель, состоящий из хеджируемого актива и фьючерсных контр актов, используемых для страхования (инвестор покупает хеджируемый актив и продает фьючерсные контракты). Стоимость портфеля равна Vp=Vs-hVF где Vp — стоимость портфеля;

VS — стоимость хеджируемого актива;

VF — стоимость фьючерсного контракта;

Л — коэффициент хеджирования.

Чтобы исключить риск потерь при небольшом изменении цены, должно выполнятся следующее равенство:

V p = Vs hVF = где А — изменение стоимости соответствующей переменной.

Отсюда коэффициент хеджирования равен:

Vs h= V F Если коэффициент хеджирования равняется единице, то мы имеем случай полного хеджирования, как в приведенном выше примере. Коэффициент хеджирования должен учесть стандартное отклонение отклонения цены хеджируемого актива ( S) и фью черсной цены ( F) и корреляцию между этими величинами. Поэ тому в окончательном виде коэффициент хеджирования принимает следующий вид:

r h= (60) F где s — стандартное отклонение A S;

— стандартное отклонение A F;

F р — коэффициент корреляции между S и F Стандартное отклонение можно определить по формуле 1n (xi x ) = n 1 i = где xi — значение отклонения в i-ом испытании (S или F);

х* — среднее значение отклонения;

п — число наблюдений или по формуле n n x1 xi = i =1 i =1 (62) n(n 1) n Коэффициент корреляции можно рассчитать по формуле v x,y = (63) x y где Cov x,y — ковариация переменных х и у (соответственно S и F, n (xi x )(yi y ) i = Cov x, y = (64) n или по формуле n xi yi xi yi = [n ][ ] (65) ( xi ) n yi ( yi ) 2 x Графически коэффициент хеджирования представляет собой угол наклона линии регрессии S относительно F, как это пока зано на рис. 67. Коэффициент рассчитывается на основе статисти ческих данных отклонения цены спот и фьючерсной цены для рассматриваемого актива за предыдущие периоды. Длину времен ных периодов выбирают равной сроку хеджирования. Так, если актив хеджируется на два месяца, то берутся отклонения цен за ряд предыдущих двухмесячных периодов.

С учетом коэффициента хеджирования формула для определе ния числа фьючерсных контрактов принимает следующий вид:

Например,S =0,02127, F = 0,01933, р = 0,8574. Тогда коэффи циент хеджирования равен 0, = 0, 0, 0, Это означает, что фьючерсная позиция должна составлять 94,35% от стоимости хеджируемого актива. Допустим, что объем одного фьючерсного контракта 10 тонн пшеницы. Хеджер предпо лагает застраховать покупку 300 тонн пшеницы (сорт хеджируемой пшеницы отличен от пшеницы, поставляемой по фьючерсному контракту). Ему необходимо купить 300 0, = 27 котрактов Рис.67. Линия регрессии S на F § 42. ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМ КОНТРАКТОМ НА ИНДЕКС АКЦИЙ Рассмотрим пример хеджирования позиции инвестора с по мощью фьючерсного контракта на индекс акций FTSE 100. Пред положим, в августе инвестор располагает портфелем акций стоимостью 570 тыс.ф.ст., бета портфеля равна 1,2. Он планирует застраховать портфель на период до конца декабря. Цена декабрь ского контракта на индекс равна 2100.

Поскольку инвестор занимает длинную позицию по акциям, то ему необходимо продать фьючерсные контракты. Число фьючерс ных контрактов определяется по формуле:

где — величина бета.

Стоимость фьючерсного контракта равна произведению цены контракта на стоимость одного пункта индекса, а именно:

25 ф.ст. 2100 = 52500 ф.ст.

Показатель выступает для хеджирования индексом в качестве коэффициента хеджирования. Поэтому для страхования портфеля хеджер должен продать 1,2 = 13 контрактов § 43. ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМ КОНТРАКТОМ НА ОБЛИГАЦИЮ а) Хеджирование самой дешевой облигации Фьючерсные контракты на облигации можно использовать для страхования позиций по облигациям. Рассмотрим вначале пример хеджирования самой дешевой облигации. Как известно, для ис полнения фьючерсного контракта на облигацию для поставки ин вестор выберет самую дешевую облигацию. Соотношение между изменением фьючерсной цены и цены самой дешевой облигации можно записать следующим образом:

S F = (68) Kk где F — изменение фьючерсной цены;

S — изменение цены спот самой дешевой облигации;

Kk — коэффициент конверсии, Как следует из формулы (68), изменение фьючерсной цены равно изменению цены спот самой дешевой облигации, скоррек тированной на коэффициент конверсии. Формулу (68) можно пе реписать следующим образом:

S Kk = (69) F Как видно из вышеприведенной формулы, коэффициент кон версии является для хеджирования самой дешевой облигации не чем иным, как коэффициентом хеджирования. Если Кк > 1, это говорит о том, что для хеджирования спотовой позиции необходи мо открыть больше фьючерсных контрактов по сравнению со спо товой позицией, поскольку фьючерсная цена изменяется в меньшей степени, чем спотовая. Если Кк < 1, то следует открыть меньше фьючерсных контрактов по сравнению со спотовой пози цией, так как фьючерсная цена изменяется в большей степени, чем спотовая. Общее число фьючерсных контрактов, которые необхо димо открыть, определяется по формуле В формуле (70) отношение хеджируемой суммы к цене самой дешевой облигации представляет собой не что иное, как сумму номиналов самой дешевой облигации.

Пример. Инвестор планирует получить через три месяца тысяч долл. и предполагает приобрести на них облигацию, которая является самой дешевой для поставки но фьючерсному контракту на 8%-ную 15-летнюю облигацию номиналом 100 тысяч долл.

Цена самой дешевой облигации равна 112%, коэффициент кон версии 1,2. Инвестор опасается, что в течение следующих трех месяцев процентные ставки упадут, поэтому он решает хеджиро вать будущую покупку приобретением фьючерсных контрактов.

Необходимое число контрактов составит 1,2 = 7,9 контрактов 100000 1, Таким образом, хеджеру необходимо купить 8 фьючерсных контрактов.

б) Хеджирование с использованием показателя протяженности Рассмотрим случай хеджирования любой другой облигации с помощью фьючерсного контракта. Страховку позиции по облига ции осуществляют с помощью такого показателя, как протяжен ность (duration). Как известно, протяженность используется для определения изменения цены облигации при небольшом измене нии доходности до погашения. Формула, где присутствует показа тель протяженности, имеет следующий вид:

r S = D S (71) 1+ r где S — цена облигации;

D — протяженность;

r — доходность до погашения.

Коэффициент хеджирования на базе протяженности равен S KD = (72) S g где KD — коэффициент хеджирования на базе протяженности;

S — изменение цены хеджируемой облигации;

Sg — изменение цены самой дешевой облигации.

Формулу (72) можно записать следующим образом:

D S r / (1 + r ) KD = ( ) (73) D g S g rg / 1 + rg где g — относится к параметрам самой дешевой облигации. При определении коэффициента хеджирования на базе протяженности предполагается, что кривые доходности хеджируемой и самой де шевой облигации параллельно сдвигаются на одну и ту же величи ну при изменении процентной ставки таким образом, что ( ) r / (1 + r ) = rg / 1 + rg Поэтому формула (73) принимает следующий вид:

DS KD = (74) Dg S g Число контрактов для страхования фьючерсным контрактом определяется по формуле Пример. Инвестор планирует получить через три месяца деньги и купить облигацию, которая не является самой дешевой для по ставки по фьючерсному контракту. Дополним предыдущий при мер необходимыми условиями и определим число фьючерсных контрактов для хеджирования: S= 119, D= 14,2, Dg= 12,1.

Коэффициент хеджирования на базе протяженности равен 14,2 K= = 1, 12,1 Число фьючерсных контрактов, которые должен купить вклад чик, равно 1,2 1,25 = 9,9 или 10 котрактов 100000 1, в) Хеджирование портфеля облигаций С помощью показателя протяженности можно хеджировать портфель, состоящий из облигаций. Для этого рассчитывают ко эффициент хеджирования на базе протяженности, используя фор мулу (74). В этом случае D — это протяженность портфеля. Она определяется как средневзвешенная протяженность облигаций, входящих в портфель. Весами выступает стоимость облигаций. S — это средневзвешенная цена облигаций в портфеле. Весами выступает стоимость облигаций. Число фьючерсных контрактов рассчитывается по формуле (75).

Пример. Инвестор располагает портфелем из облигаций сто имостью 740 тысяч долл. Протяженность портфеля 13,8, средне взвешенная цена облигаций в портфеле 110. Характеристика самой дешевой облигации аналогична предыдущему примеру.

Тогда 13,8 KD = = 1, 12,3 1,2 1,12 = 8, число фьючерных= 100000 1, котрактов Таким образом, для хеджирования портфеля необходимо про дать 9 контрактов.

§ 44. ХЕДЖИРОВАНИЕ ФЬЮЧЕРСНЫМ КОНТРАКТОМ НА ВАЛЮТУ Рассмотрим страхование валютной позиции инвестора с по мощью контракта на 1000 долл. США, который торгуется на МТБ.

Допустим сейчас сентябрь, курс доллара на Московской Межбан ковской Валютной Бирже (ММВБ) установлен на уровне 1017 руб.

за 1 долл. Инвестор планирует получить в начале ноября млн.руб. для закупки товаров в США, конвертация рублей пройдет на ММВБ. Импортер опасается, что к ноябрю курс доллара возра стет, и поэтому решает хеджировать будущую покупку валюты с помощью приобретения ноябрьских контрактов на 1000 долл.

США. Фьючерсная цена равна 1338 руб. Число контрактов, кото рые необходимо купить, определяется по формуле Предположим, что опасения хеджера оправдались, и к моменту получения 250 млн. руб. курс доллара на ММВБ составил 1120 руб., а фьючерсная цена 1450 руб. Тогда 250 млн.руб. инвестор обменял на 250000000 : 1120 = 223214,29 долл.

Выигрыш от фьючерсных контрактов, которые он закрыл после получения 250 млн., составил:

246 контрактов (1450 -1338) - 1000 = 27552000 руб.

Данную сумму хеджер обменял на ММВБ на 27552000 : 1120 = 24600 долл.

Общая сумма валюты, полученная инвестором, составила:

223214,29 + 24600 = 247814,2 долл.

Фактический курс обмена для хеджера составил:

250000000 : 247814,29 = 1008,82 руб.

Таким образом, импортер купил валюту для закупки товаров по курсу 1008,82 руб. за один долл. Хеджер получил более низкий курс доллара, чем 1017 руб. за счет того, что к моменту закрытия фью черсной позиции базис увеличился (330 руб.) по сравнению с базисом в момент покупки контрактов (321 руб.). Если бы, напро тив, базис сократился, например, фьючерсная цена составила руб., то курс фактической покупки валюты оказался бы больше, чем 1017 руб., а именно, 1036,38 руб.

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ Страхование представляет собой нейтрализацию неблагоприят ных колебаний рыночной конъюнктуры для хеджера. Цель хеджи рования состоит в переносе риска изменения цены актива с хеджера на спекулянта. Недостаток хеджирования заключается в том, что оно не позволяет хеджеру воспользоваться благоприят ным развитием конъюнктуры.

Хеджирование может быть полным и частичным. Полное хед жирование полностью исключает для хеджера риск потерь.

Хеджирование продажей состоит в открытии короткой позиции по фьючерсному контракту. Инвестор использует данную технику, если в будущем собирается продать актив на спотовом рынке.

Хеджирование покупкой заключается в открытии длинной пози ции по фьючерсному контракту. Инвестор прибегает к такому шагу, если планирует в будущем купить актив на спотовом рынке.

В случае частичного хеджирования инвестор подвергается ба зисному риску, который связан с разницей между ценой спот и фьючерсной ценой в момент окончания хеджирования. Базисный риск в большей степени характерен для товаров, предназначенных для потребления. Как правило, базисный риск больше, если для страхования используется фьючерсный контракт на актив, кото рый не является полным аналогом хеджируемою актива.

Хеджер должен стремиться свести к минимуму время между окончанием хеджа и поставкой по фьючерсному контракту. Для страхования выбирается контракт, истекающий позже момента совершения спотовой сделки.

При условии неполного хеджирования используется коэффи циент хеджирования. Он улавливает корреляцию между стандарт ным отклонением отклонения цены хеджируемого актива и фьючерсной цены. Коэффициент рассчитывается на основе стати стических данных для рассматриваемого актива и фьючерсного контракта за предыдущие периоды времени. Временные периоды выбираются равными сроку хеджирования. В качестве коэффици ента хеджирования при страховании контрактом на фондовый индекс выступает величина бета, а при использовании фьючерс ного контракта на облигацию — коэффициент конверсии. При страховании позиции не самой дешевой облигации учитывается также коэффициент, рассчитанный на базе показателя протяжен ности. С помощью последнего показателя страхуется и портфель, состоящий из облигаций.

Глава XIV. ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОННЫМИ КОНТРАКТАМИ В настоящей главе рассматривается страхование позиций хед жера опционными контрактами. Вначале мы остановимся на об щих приемах страхования с помощью опционов колл и пут, после этого проанализируем несколько конкретных техник хеджирова ния, а именно, страхование от небольших колебаний цены актива при известной тенденции движения рынка, хедж Зевса, создание синтетической фьючерсной позиции, хеджирование опционом на индекс и фьючерсный контракт.

§ 45. ТЕХНИКА ХЕДЖИРОВАНИЯ ОПЦИОННЫМ КОНТРАКТОМ При хеджировании своей позиции с помощью опционных контрактов инвестор должен следовать следующему правилу. Если он желает хеджировать актив от падения цены, ему следует купить опцион пут или продать опцион колл. Если позиция страхуется от повышения цены, то продается опцион пут или покупается опцион колл.

Пример 1. Инвестор опасается, что курс акций, которыми он владеет, упадет. Поэтому он принимает решение хеджировать свою позицию покупкой опциона пут. Курс акций составляет долл., цена опциона 5 долл. В момент покупки опцион является без выигрыша. Графически хеджирование представлено на рис. 68.

Как следует из условий сделки, хеджируя свою позицию, инве стор несет затраты в размере 5 долл. с акции. Хеджер застраховал себя от падения цены акций ниже 100 долл., поскольку опцион дает ему право продать их за 100 долл. Одновременно такая стра тегия сохраняет инвестору выигрыш от возможного прироста кур совой стоимости бумаг. Как видно из рисунка, использованная стратегия представляет собой синтетический длинный колл.

Пример 2. Допустим теперь, что свою позицию инвестор стра хует продажей опциона колл без выигрыша. Премия опциона долл. Графически хеджирование представлено на рис. 69. Как сле дует из графика, такое хеджирование позволяет ему застраховаться от повышения курса акций только на величину полученной от продажи опциона колл премии (10 долл.). Данная стратегия пред ставляет собой не что иное, как синтетический короткий пут.

Пример 3. В целях хеджирования позиции от понижения курса акций инвестор может продать бумаги и купить опцион колл. Если в последующем курс акций упадет, он купит их по более дешевой цене. Если курс превысит цену исполнения, то он исполнит опци он колл и получит акции по контракту.

Пример 4. Инвестор планирует получить в будущем сумму денег, которую собирается поместить в акции компании А. Однако он опасается, что курс бумаги может возрасти. Вкладчик принимает решение хеджировать покупку продажей опциона пут. Если в по следующем курс акций понизится и опцион будет исполнен, он приобретет их, исполнив свои обязательства по контракту. Если же курс акции превысит цену исполнения, то опцион не будет испол нен. При данной стратегии позиция инвестора хеджируется на величину полученной им премии.

Пример 5. Инвестор планирует получить в будущем сумму денег, которую собирается разместить в акции компании А. Если он опасается, что курс их возрастет, то может хеджировать будущую покупку приобретением опциона колл. Цена хеджирования будет равна величине уплаченной премии.

Принимая решение о хеджировании позиции с помощью той или иной стратегии, в случае альтернативных вариантов (примеры 1, 2, 3) инвестор должен подсчитать затраты, связанные с каждой стратегией, и выбрать (при прочих сравнимых условиях) наиболее дешевую из них. При определении стоимости хеджирования сле дует учитывать комиссионные за покупку (продажу) опциона и актива, а также возможность разместить полученные средства (от продажи опциона или актива) под процент без риска на требуемый срок и неполученный процент без риска на сумму премии при покупке опциона и дивиденды при продаже акций (пример 3).

С помощью опционных контрактов инвестор может хеджиро вать свою позицию от колебаний цены актива в краткосрочном плане, когда общая тенденция рынка (к повышению или пониже нию) не вызывает сомнения. Такая страховка выполняется с по мощью обратного спрэда быка или медведя.

Пример. Инвестор владеет акцией, цена которой составляет долл. На рынке существует тенденция повышения курсовой сто имости бумаг, однако вкладчик желает застраховаться от колеба ний цены акции в ближайшей перспективе. Он продает опцион пут за 5 дол;

с ценой исполнения 95 долл. и покупает опцион колл за долл. с ценой исполнения 105 долл. (см. рис. 70). Таким образом, позиция инвестора хеджирована от колебаний курса акции в пре делах одного доллара.

Пример. Допустим теперь, что на рынке существует тенденция к понижению курса акций. Инвестор страхуется от небольших колебаний цены бумаги в краткосрочной перспективе, используя обратный спрэд медведя. Он покупает опцион пут и продает опци он колл. Если опцион пут стоит дороже опциона колл, то вкладчик может создать положительный баланс за счет продажи нескольких опционов колл (с одной или разными ценами исполнения) и ку пить меньшее число опционов пут.

Рис.70. Хеджирование с помощью обратного спрэда быка На рынке с тенденцией к повышению курсовой стоимости бумаг инвестор может хеджировать полученный прирост курсовой сто имости с помощью техники, которая получила название хедж Зев са. Графически она представлена на рис. 74. Суть ее заключается в том, что вкладчик часть прироста курсовой стоимости актива ис пользует для покупки опционов пут, чтобы застраховаться от воз можного падения цены бумаг. На рис. 71 показано, что хеджер купил опционы пут в моменты времени t1 и t2.

Страховать позицию инвестор может с помощью создания син тетической фьючерсной позиции.

Пример. Инвестор владеет акцией, цена которой 100 долл. Он страхует свою позицию покупкой опциона пут без выигрыша и продажей опциона колл без выигрыша, как представлено на рис. 72. Цена хеджирования зависит от соотношения премий оп ционов.

Для того, чтобы хеджировать свою позицию с помощью опци онных контрактов, вкладчик должен определить требуемое число опционных контрактов. Оно рассчитывается по следующей фор муле:

Например, инвестор хеджирует позицию из 400 акций с по мощью опциона, в который входит 100 акций. Следовательно, ему необходимо заключить 4 опционных контракта.

§ 46. ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОННЫМ КОНТРАКТОМ НА ИНДЕКС Инвестор, располагающий портфелем из акций, может хеджи ровать его с помощью набора опционных контрактов на каждый вид акций. Если портфель состоит из большого числа различных акций, то хеджеру удобнее застраховать свою позицию продажей опциона пут на фондовый индекс. В этом случае, однако, вкладчик должен помнить, что контракт на индекс позволяет хеджировать рыночный риск и оставляет без страховки нерыночный риск (стра хование опционным контрактом каждой конкретной акции хед жирует как рыночный, так и не рыночный риск). Число контрактов, которое необходимо продать в этом случае, определя ется по формуле § 47. ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОННЫМ КОНТРАКТОМ НА ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ Рассмотрим хеджирование процентной ставки на примере оп ционного контракта на фьючерсный контракт на трехмесячный стерлинговый депозит. Допустим, инвестор планирует взять через два месяца кредит в сумме 1 млн.ф.ст. В настоящий момент ставка процента составляет 8%. Хеджер опасается, что вскоре она возра стет, и принимает решение хеджировать будущее заимствование средств приобретением опционных контрактов на трехмесячный стерлинговый депозит (условия контракта изложены в главе ГУ § 13). Поскольку номинал одного фьючерсного контракта состав ляет 500 тыс.ф.ст., то он покупает два опциона пут на два месяца.

Для хеджирования инвестор выбирает контракт с ценой исполне ния 91,25. Это означает, что в результате страхования хеджер обес печит себе ставку процента в размере 8,75%. Цена опциона котируется в базисных пунктах, она равна 30 базисным пунктам.

Фьючерсная цена составляет 91,50. Инвестор уплачивает за два опциона премию в 2 500000 0,0001 30 = 750 ф. ст Предположим, что к моменту истечения опционов котировоч ная цена фьючерсного контракта упала до 88,75. Инвестор испол няет опцион и занимает короткую позицию с фьючерсной ценой 91,25, закрывает фьючерсные контракты и берет кредит под 11,25% (100- 88,75). Дополнительная стоимость кредита составила 1000000(0,1125 0,0875) = 6250 ф.ст.

В то же время выигрыш по фьючерсному контракту равен:

91,25 88, 2 = 6250 ф.ст.

12, 0, (12,5 ф.ст. — цена одного базисного пункта).

Проигрыш по кассовой позиции полностью компенсировался выигрышем по фьючерсному контракту. Это свидетельствует о том, что ставка процента по кассовой позиции сохранилась на уровне 8,75%. Однако в качестве затрат инвестора следует учесть премию, уплаченную по опционам. Поэтому реальная ставка про цента, которую обеспечил себе заемщик благодаря хеджированию, составила 3 = 0,089 или 8,90 % 0,0875 + КРАТКИЕ ВЫВОДЫ При хеджировании позиции от понижения цены актива поку пается опцион пут или продается опцион колл, при страховании от повышения цены — продается опцион пут или покупается опцион колл.

Для хеджирования небольших колебаний цены актива в услови ях повышающейся тенденции движения рынка можно использо вать обратный спрэд быка, в условиях понижающейся — обратный спрэд медведя.

На рынке с тенденцией к повышению курсовой стоимости це лесообразно использовать хедж Зевса.

Широко диверсифицированный портфель, состоящий из ак ций, удобно страховать опционным контрактом на фондовый ин декс. В этом случае, однако, страхуется только рыночный риск. Не рыночный риск для каждой акции остается не хеджированным.

Глава XV. ХЕДЖИРОВАНИЕ СРОЧНЫХ КОНТРАКТОВ Настоящая глава посвящена вопросу хеджирования собственно открытых срочных позиций инвестора. Она начинается с примера страхования форвардного контракта. После этого мы переходим к хеджированию опционов, а именно, описываем технику последо вательного хеджирования, страхования вкладчика от риска изме нения цены актива с помощью таких показателей, как дельта, гамма, тета, вега и Rhо.

До настоящего времени мы рассматривали хеджирование, в ко тором с помощью срочных контрактов страховались спотовые по зиции. В то же время на практике также возникает необходимость страхования собственно срочных позиций. Наиболее просто стра хуется позиция по форвардному контракту. Она хеджируется с помощью кассовой сделки. Например, инвестор продал форвард ный контракт на поставку 5000 долл. США через три месяца. Для страхования такой операции ему необходимо одновременно с за ключением контракта приобрести доллары в размере дисконтиро ванной стоимости 5000 долл., чтобы, разместив данную сумму под процент без риска, получить 5000 долл. для выполнения форвард ного контракта к моменту его истечения. Допустим, непрерывно начисляемая ставка без риска для валютного вклада равна 6%.

Текущий курс долл. к рублю равен 1050 руб. за 1 долл. Тогда инвестору необходимо сегодня инвестировать:

5000 долл. e 0,060, 25 =4925,56 долл.

или 4925,561050 руб. = 5172 тыс. руб.

§ 48. ХЕДЖИРОВАНИЕ ОПЦИОННЫХ ПОЗИЦИЙ Наиболее простой способ хеджирования выписанного опциона колл заключается в одновременном приобретении актива, лежа щего в основе опциона, то есть выписывается покрытый опцион.

Таким образом, если опцион исполняется, то продавец контракта поставляет соответствующий актив. В то же время, если опцион не исполняется, он несет потери в связи с обесценением его актива.

Пример. Инвестор выписал европейский опцион колл на акций с ценой исполнения 40 долл. Премия составляет 2 долл. за акцию. Цена спот в момент заключения контракта равна 40 долл.

Чтобы хеджировать свою позицию, продавец опциона покупает 1000 акций по 40 долл. Если курс акций к моменту окончания контракта превысит 40 долл., инвестор поставит покупателю дан ные 1000 акций. Если курс будет ниже цены исполнения, к приме ру составит 35 долл., то инвестор понесет потери, поскольку совокупная цена 1000 акций, которые были приобретены для хед жирования, упала с 40000 долл. до 35000 долл.

а) Последовательное хеджирование Инвестор может использовать схему последовательного хеджи рования. Схематически данная техника представлена на рис. 73.

Рис.73. Последовательное хеджирование Суть ее заключается в следующем. Выписав европейский опци он колл, инвестор следит за изменением курсовой стоимости инс трумента, лежащего в основе опциона. Пока цена спот актива ниже цены исполнения (отрезок to - t1), вкладчик не предпринимает никаких действий. Как только она превысит цену исполнения (точка t1), вкладчик покупает данный инструмент, чтобы иметь покрытый опцион. При дальнейшем падении цены спот (точка t2) ниже цены исполнения он продает актив и т.д. для точек t3 и t4.

Данная стратегия может оказаться менее дорогой для инвестора, чем выписывание покрытого опциона. В то же время она не иск лючает и значительных расходов, если инвестор станет часто по купать и продавать актив в связи с частым колебанием спотовой цены. Кроме того, дополнительные потери будут вызваны еще тем, что указанная техника, как правило, сопряжена с продажей инст румента по цене спот, которая ниже цены исполнения (S < X), и покупкой его по цене выше цены исполнения (S >Х).

б) Дельта. Хеджирование дельтой На рынке наблюдаются постоянные изменения цены актива, лежащего в основе опционного контракта. В результате меняется и цена опциона. Если инвестор, заключивший опционный конт ракт, заинтересован в том, чтобы застраховать свое финансовое положение от небольших колебаний цены актива в течение следу ющего короткого промежутка времени, то он использует технику хеджирования дельтой.

Показатель дельта представляет собой отношение изменения цены опциона, вызванное изменением цены актива, к изменению цены актива.

C = S где — дельта опциона;

— изменение цены опциона за короткий промежуток вре мени;

S — изменение цены актива за короткий промежуток време ни.

Дельта показывает скорость изменения цены опциона относи тельно изменения цены актива, лежащего в основе контракта.

Графически дельта — это угол наклона касательной к кривой зависимости цены опциона от цены актива (см. рис. 74). На рис.

74 при цене актива S-дельта равна тангенсу утла а Рис.74. Дельта опциона колл Дельта показывает, в какой мере изменится цена опциона при изменении цены актива на один пункт. Например, дельта равна 0,4. Это означает, что при небольшом изменении цены актива цена опциона меняется на 40% от этого изменения. Дельта может скла дываться и вычитаться. Так, если инвестор купил 5 опционов по 100 акций каждый, то для нашего примера дельта позиции инве стора равна:

5000,4 = 200.

Теоретически цена опциона не может увеличиться или умень шиться в большей степени, чем стоимость актива, лежащего в основе контракта. Поэтому верхней границей дельты для опциона колл является единица (случай, когда опцион с большим выигры шем). Нижней границей дельты выступает ноль (опцион с боль шим проигрышем) (см. рис. 75).

Рис.75. Дельта опциона колл Если дельта равна единице, то премия опциона изменится на один пункт при изменении цены актива на один пункт. Если дельта равна нулю, то премия опциона не изменяется или изменится лишь в малой степени даже при существенном изменении цены актива. Опционы без выигрыша обычно имеют дельту, близкую к 0,5. Это означает, что их цена изменяется в два раза медленнее цены актива. Дельта опциона колл всегда положительна, посколь ку премия опциона и цена актива изменяются в одном направле нии. Как следует из рисунка 75, дельта опциона колл возрастает при росте цены актива и падает при ее понижении.

Дельта опциона пут имеет отрицательное значение, поскольку его стоимость изменяется в противоположном направлении отно сительно цены актива. Дельта лежит в пределах от нуля (опцион с большим проигрышем) до -1 (опцион с большим выигрышем).

Опцион без выигрыша имеет дельту порядка -0,5. Как следует из рис. 76, дельта опциона пут уменьшается при росте цены актива.

Рис.76. Дельта опциона пут КОЭФФИЦИЕНТ ХЕДЖИРОВАНИЯ Дельта может рассматриваться как коэффициент хеджирова ния. Значение дельты говорит о числе единиц актива, которые инвестор должен купить и продать на каждую позицию, открытую по опционному контракту. Зная величину дельты, инвестор может сформировать портфель из опциона и определенного числа еди ниц актива, лежащего в основе контракта, который будет нейтра лен к риску в течение следующего короткого периода времени, то есть изменение цены опциона будет компенсироваться изменени ем цены актива. На каждый выписанный опцион колл вкладчик должен приобрести А единиц актива. На каждый купленный опци он колл ему следует продать А единиц актива.

Пример. Дельта опциона колл равна 0,4. Инвестор выписал опционов на акции, каждый контракт насчитывает 100 акций.

Чтобы хеджировать опционную позицию, ему надо купить 0,4 500 акций = 200 акций.

Предположим, что через некоторое время цена акций упала на 1 долл. Тогда инвестор несет потери от акций в размере 200 долл.

Одновременно цена опциона для одной акции упала на:

0,4 1 дол. = 0,4 долл.

Таким образом, его проигрыш от акций компенсируется выиг рышем по опционам. Он равен:

0,4 долл. 500 = 200 долл.

Допустим теперь, что цена акций выросла на 1 долл. В этом случае вкладчик получает выигрыш в 200 долл. от прироста курсо вой стоимости акции. Цена опциона на одну акцию выросла на 0, долл. Поэтому его проигрыш по опционам составляет 200 долл.

В рассмотренном примере дельта инвестора по опционным по зициям является отрицательной величиной, поскольку он продал опционы. Она равна:

0,4 (-500) = -200.

Это означает, что инвестор потеряет по опционной позиции сумму в размере 200 S долл., если цена актива возрастет на S, и выиграет 200 S долл., если цена акций упадет на S. В случае покупки опциона инвестор имеет положительную дельту. Соответ ственно он выиграет по опционам при росте курса акций и проиг рает при падении их цены.

Зная дельту актива, лежащего в основе опционного контракта, коэффициент хеджирования можно определить еще следующим образом: необходимо дельту актива разделить на дельту опциона.

В нашем примере дельта акции равна единице, поскольку она определяется как S = S Поэтому коэффициент хеджирования равен:

1: 0,4 = 5/2.

Это означает, что на каждые 5 проданных опционов следует купить 2 акции. Если учесть, что в один опционный контракт входят 100 акций, на пять опционных контрактов необходимо купить 200 акций.

Для рассмотренного выше примера дельта всей позиции инве стора равна нулю, поскольку дельта акций полностью компенси рует дельту опционов. Позицию с дельтой, равной нулю, называют дельта нейтральной.

На практике величина дельты постоянно меняется. Поэтому позиция вкладчика может оставаться дельта нейтральной, то есть дельта хеджированной, только в течение довольно короткого пе риода времени. В связи с этим при страховании дельтой хеджиро ванные позиции должны периодически пересматриваться.

Пример. Продолжая условия предыдущего примера, допустим, что через некоторое время дельта возросла с 0,4 до 0,5. Это озна чает,что для сохранения хеджированной позиции необходимо приобрести еще 0,1 500 акций = 50 акций.

Мы рассмотрели опцион колл. Для опциона пут следует сделать следующее дополнение. Поскольку дельта опциона пут отрица тельна, то, покупая опцион, инвестор должен купить соответству ющее число единиц актива. Продавая опцион, инвестор должен продать соответствующее число единиц актива.

Дельта европейского опциона колл на акции, не выплачиваю щие дивиденды, равна:

= N (d1 ) (79) ln(S X ) + rT где d1 = + T T Хеджирование дельтой предполагает приобретение акций в ко личестве N(d1) при продаже опциона и продажу N(d1) акций при покупке опциона. Для европейского опциона пут на акции, не выплачивающие дивиденды, дельта равна:

= N (d1 ) 1 (80) Дельта европейского опциона колл на индекс акций, для кото рого известна ставка дивиденда, равна:

= e qT N (d1 ), (81) ln(S X ) + (r q + 2 2 )T где d1 = T Для европейского опциона пут она составляет:

= e qT [N (d1 ) 1] (82) Для европейского опциона колл на валюту:

= E rjT N (d1 ), (83) ln(S X ) + (r rj + 2 2 )T где d 1 = T Для европейского опциона пут = e rjT N (d1 ) 1 (84) Дельта европейского опциона колл на фьючерсный контракт = e rT N (d1 ), (85) ln(S X ) + ( 2 2 )T где d 1 = T Для европейского опциона пут на фьючерсный контракт = e rT [N (d1 ) 1] (86) На практике при хеджировании дельтой часто используют не актив, лежащий в основе опциона, а фьючерсный контракт на данный актив. Срок фьючерсного контракта не обязательно дол жен совпадать с длительностью опционного контракта. Так, опци он, выписанный на индекс, можно хеджировать с помощью фьючерсного контракта на индекс. Фьючерсная цена индекса, для которого известна ставка дивиденда, равна F = e (r q )T S где Т — время, остающееся до истечения фьючерсного контр акта.

При росте цены спот индекса на S выигрыш от фьючерсного контракта составит:e (r-q)TS. Таким образом, дельта фьючерсно го контракта равна е(r-q)T.

Если общую требуемую величину дельты по активу, лежащему в основе опционного контракта, обозначить через А, а требуемую фьючерсную позицию через АF, то число единиц актива фьючерс ного контракта для дельта хеджирования будет равно:

AF = e (rq )T A (87) Данная формула верна и для акций, выплачивающих дивиден ды, для которых известна ставка дивиденда. Для акций, не выпла чивающих дивиденды, число единиц фьючерсной позиции равно:

AF = e rT A (88) Для контрактов на валюту формула примет следующий вид:

AF = e (r re )T A (89) Пример. Инвестор выписал 20 опционов колл на акции, не вы плачивающие дивиденды. Каждый опцион насчитывает 100 ак ций. Дельта опциона равна 0,4. Вкладчик планирует хеджировать свою позицию с помощью фьючерсного контракта. До истечения фьючерсного контракта на данные акции остается три месяца, один контракт включает 250 акций. Непрерывно начисляемая ставка без риска равна 15%.

Дельта инвестора по опционной позиции составляет:

0,4 (-2000) = - 800.

Число единиц актива фьючерсного контракта равно:

800e-0,150,25 = 770,5.

Поскольку один контракт насчитывает 250 акций, это означает, что инвестору необходимо купить три фьючерсных контракта.

ДЕЛЬТА ПОРТФЕЛЯ При хеджировании портфеля, в который входят несколько оп ционов на один и тот же актив, дельта портфеля будет равна сумме дельт, входящих в него опционов, а именно:

N p = pi i (90) i = где р — дельта портфеля;

р i — число единиц опционов (в единицах актива) i-го опциона, i — дельта i-го опциона.

Пример. Инвестор открыл следующие позиции по опционным контрактам на акции компании А (каждый опцион насчитывает по 100 акций): а) купил 80 опционов колл на три месяца, дельта равна 0,45;

б) продал 60 опционов пут на два месяца, дельта равна -0,5.

Дельта портфеля в этом случае составит:

8000 0,45 - 6000 (-0,5) = 6600.

Это означает, что портфель можно сделать дельта нейтральным, продав 6600 акций компании А.

в) Гамма Хеджирование дельтой позволяет инвестору застраховаться только от небольших изменений цены актива. Для хеджирования более значительных изменений цены актива необходимо исполь зовать такой показатель, как гамма. Гамма — это коэффициент, который показывает скорость изменения дельты по отношению к изменению цены актива, лежащего в основе опционного контрак та. Она равна:

2C r= S где Г— гамма.

Графически гамма представляет собой кривизну дельты, то есть показывает, насколько быстро меняется кривизна графика дельты при изменении цены актива. Поэтому гамму именуют еще кривиз ной опциона. Если гамма имеет небольшую величину, то это означает, что его дельта меняется на малое значение при измене нии цены актива. Напротив, большое значение (по абсолютной величине) говорит о том, что дельта будет меняться в существенной степени. В первом случае для поддержания дельта нейтрального портфеля от инвестора не потребуется частого пересмотра своей позиции. Во втором случае вкладчик будет вынужден часто пере сматривать свой портфель, чтобы сохранить его дельта нейтраль ным. В противном случае он подвергает себя большому риску.

Начинающим инвесторам следует избегать опционов с большой гаммой. Большая гамма говорит о большом риске изменения цены опциона в связи с изменением условий рынка. Гамма измеряется в дельтах на один пункт изменения цены актива. Например, гамма равна 0,03. Это означает, что при повышении цены актива на один пункт дельта опциона возрастает на 0,03 единицы. Наоборот, при падении цены актива на один пункт дельта понизится на 0, единицы. Допустим, дельта составляет 0,4. При повышении цены актива на один пункт дельта возрастет до 0,43. Если цена актива возрастет еще на один пункт, то дельта увеличится до 0,46. Гамма, в отличие от дельты, является положительной величиной для длинных опционов колл и пут. Поэтому, когда цена актива повы шается, значение гаммы прибавляется к дельте, когда понижается, — отнимается от нее. Для коротких опционов колл и пут гамма отрицательна. Зная значение гаммы, инвестор может поддержи вать свою позицию дельта нейтральной, покупая или продавая соответствующее число единиц актива для новой дельты.

С изменением условий на рынке величина гаммы также будет меняться. Гамма достигает наибольшей величины для опционов без выигрыша и уменьшается по мере того, как опцион все больше становится с выигрышем или проигрышем (см. рис. 77). Значение гаммы меняется с течением времени и вследствие изменения стан дартного отклонения цены актива (см. стр. 78). Как следует из графиков, гамма опциона без выигрыша может резко возрасти при уменьшении времени до истечения контракта и уменьшении дис персии цены актива.

Гамма европейских опционов колл и пут на акции, не выплачи вающие дивиденды, определяется по формуле N ' (d 1 ) Г= (91) S T ln(S X ) + (r + + 2 2 )T где d 1 = T Для европейских опционов колл и пут на индекс с известной ставкой дивиденда N ' (d 1 )e qT ln(S X ) + (r q + 2 2 )T Г=, где где d 1 = (92) T S T Рис.78. Зависимость гаммы от времени до истечения и дисперсии цены актива Для европейских опционов колл и пут на валюту N ' (d 1 )e rjT Г= (93) S T Для европейских опционов колл и пут на фьючерсные контракты N ' (d 1 )e rjT Г= (94) F T Для того, чтобы застраховать свой портфель от изменения цены актива, лежащего в основе опциона, инвестор должен создать по зицию с нейтральной гаммой. Допустим, вкладчик имеет дельта нейтральный портфель, гамма которого равна Г. Он открывает позиции еще на n опционов, гамма каждого из которых равна Гn.

Тогда гамма нового портфеля будет равна.

Гv = Г + Гn n (95) где ГV — гамма нового портфеля.

Из формулы (95) видно, что для формирования гамма нейтраль ного портфеля инвестор должен открыть позиции по опционам в Г количестве n = Гn Инвестор сформировал дельта нейтральный портфель, Пример.

гамма которого равна 120. Гамма опциона (100 акций) равна 1,2.

Портфель будет гамма нейтральным, если инвестор откроет корот кую позицию по 120 : 1,2 = 100 опционам.

а) Тета Тета — это коэффициент, который показывает, с какой скоро стью падает цена опциона по мере приближения срока истечения контракта при сохранении прочих условий рынка измененными.

c Она равна = где - тета. Тета измеряется в пунктах за один T день. Например, тета равна 0,2. Если опцион стоит сегодня 1, долл., то завтра его цена должна составить 1,3 долл. Поскольку тета говорит об уменьшении цены опциона, то ее значение запи сывается как отрицательная величина. Так, для приведенного выше примера тета будет равна -0,2. Поэтому для длинной позиции по опционам тета является отрицательной величиной, а для корот кой — положительной. (Исключением из данного правила будет европейский опцион, если его теоретическая цена меньше внут ренней стоимости. Он имеет положительную тету. Стоимость оп циона будет постепенно приближаться по величине к внутренней стоимости по мере приближения срока истечения контракта.) Практически для всех опционов значения теты и гаммы будут иметь противоположные знаки. Взаимосвязь между этими показа телями также проявляется в величине их значения, а именно, высокой положительной тете будет соответствовать большая отри цательная гамма, и наоборот.

Большая тета говорит о том, что существует высокий риск обес ценения опциона по мере приближения срока истечения контрак та.

Как следует из рисунка 79, наибольшее значение теты (по абсо лютной величине) имеет опцион без выигрыша и ее значение сильно уменьшается по мере приближения срока истечения контракта.

Для европейского опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды, тета равна:

SN ' (d 1 ) rXe rT N (d 2 ), = (96) 2T ln(S X ) + (r + 2 2 )T ;

d 2 = d1 T ;

где d 1 = T 1 x2 N ' (X ) = e Для европейского опциона пут SN ' (d 1 ) + rXe rT N ( d 2 ), = (97) 2T рис. 79 Зависимость теты от времени истечения котракта Для европейского опциона кол на индекс SN ' (d 1 )e qT + qSN (d1 )e qT rXe rT N (d 2 ), = (98) 2T ln(S X ) + (r q + 2 2 )T ;

d 2 = d1 T где d 1 = T Для опциона пут SN ' (d 1 )e qT qSN ( d1 )e qT + rXe qT N ( d 2 ), = (99) 2T Для европейского опциона кол на валюту SN ' (d 1 )e rjT + rjSN ( d1 )e rjT rXe rT N (d 2 ), = (100) 2T Для европейского опциона пут SN ' (d 1 )e rjT rjSN ( d1 )e rjT + rXe rT N ( d 2 ), = (101) 2T Для европейского опциона кол на фьючерный контракт FN ' (d 1 )e rT + rSN (d1 )e rT rXe rT N (d 2 ), = (102) 2T Для европейского опциона пут FN ' (d1 )e rT rSN (d1 )e rT + rXe rT N ( d 2 ), = (103) 2T д)Вега Вега — это показатель, который говорит о том, на сколько пунктов изменится цена опциона при изменении стандартного отклонения лежащего в его основе актива на один процентный C пункт. Она равна B = где В — вега. Так как при росте стандар тного отклонения премия опциона возрастает, вега положительна для опционов колл и пут. Например, стоимость опциона равна 3,5, вега равна 0,2. Это означает, что при увеличении стандартного отклонения на 1 % опцион будет стоить 3,7, при понижении на 1 % — 3,3. При прочих равных условиях наибольшее значение веги имеет опцион без выигрыша. Величина веги уменьшается по мере приближения срока истечения контракта (см. рис.80).

Зависимость значения веги от цены актива представлена на рис. 81.

Если портфель инвестора имеет значение веги, равное Вр, то для того, чтобы сделать его вега нейтральным, вкладчик должен занять Bp позицию по опционам в количестве -, где В — вега приобрета B емого (продаваемого) опциона. Как правило, хеджер не сможет получить одновременно гамма и вега нейтральный портфель. Для достижения данной цели инвестору придется иметь дело по край ней мере с двумя разными опционами, в основе которых лежит один и тот же актив.

Для европейских опционов колл и пут на акции, не выплачива ющие дивиденды, вега равна B = S T N (d1 ) (104) ln(S X ) + (r 2 2 )T где d 1 = T Для европейских опционов колл и пут на акции и индекс, для которых известна ставка дивиденда, B = S T N (d1 )e qT ln(S X ) + (r q + 2 2 )T где d 1 = T Для европейских опционов колл и пут на валюту B = S T N (d1 )e rjT (106) Для европейских опционов колл и пут на фьючерсный контракт B = F T N (d1 )e rT (107) В литературе помимо термина вега иногда используют термины каппа, лямбда, сигма, омега, зета.

e)Rho Rho — это показатель, который говорит об изменении цены опциона при изменении процентной ставки.

Для европейского опциона колл на акции, не выплачивающие дивиденды, Rho равно Rho = XTe rT N (d 2 ) (108) ln(S X ) + (r 2 2 )T где d 2 = T Для европейского опциона пут Rho = XTe rT N ( d 2 ) (109) Для европейских опционов колл и пут на акции, выплачиваю щие дивиденды, и на индекс Rho определяется по приведенным выше формулам, при этом значениеd2 определяется по формуле ln(S X ) + (r q 2 2 )T где d 2 = T Рассмотренные в настоящей главе показатели помимо хеджиро вания важны еще с той точки зрения, что они позволяют инвестору заранее определить, как изменится его позиция при определенном изменении рыночной конъюнктуры. Поскольку данные показате ли могут свободно складываться и вычитаться, то инвестор с по мощью простых арифметических действий получит новое значение своего опциона. В западной практике аналитические компании предоставляют услуги по расчету опционных показате лей, например Рейтер (система Шварц — а — трон).

КРАТКИЕ ВЫВОДЫ Последовательное хеджирование короткого опциона колл со стоит в приобретении актива каждый раз, когда цена спот подни мается выше цены исполнения, и продаже его при падении цены актива ниже цены исполнения.

Дельта представляет собой отношение изменения цены опцио на к изменению цены актива. Она позволяет страховать позицию инвестора от небольших изменений цены актива. Дельта длинного опциона колл является положительной и изменяется от нуля до единицы. Дельта длинного опциона пут отрицательна и изменяет ся от нуля до минус единицы.

При росте цены актива дельта опциона пут уменьшается, а оп циона колл — растет, и наоборот. Дельта может рассматриваться как коэффициент хеджирования при формировании портфеля, состоящего из открытых позиций по опционам и активу, лежаще му в основе опциона. Позицию с дельтой, равной нулю, называют дельта хеджированной. При хеджировании дельтой часто исполь зуют не сам актив, а фьючерсный контракт на данный актив.

Дельта портфеля из опционов для одного актива равна сумме дельт.

Гамма — это отношение величины изменения дельты к изме нению цены актива. Она показывает скорость изменения дельты.

Гамма положительна для длинных опционов колл и пут.

Тета — это показатель, который говорите скорости изменения цены опциона по мере приближения времени истечения контрак та. Практически для всех длинных опционов колл и пут тета отри цательна.

Вега — это показатель, который говорит об изменении цены опциона при изменении стандартного отклонения цены актива.

Вега положительна для длинных опционов колл и пут.

Rho — это показатель, который говорит об изменении цены опциона при изменении процентной ставки.

Приложение ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА ДОЛЛАР США (10 долларов) 1. Положения настоящего раздела определяют специфические условия торг овли фьючерсным контрактом на доллар США в объеме 10 долларов США.

Обязательства участников фьючерсной торговли, предусматриваемые настоящим разделом, считаются принятыми ими после совершения на МТБ сделки куп ли/продажи фьючерсного контракта на доллар США.

2. Для исполнения одного фьючерсного контракта на доллар США продавец обязан поставить, а покупатель — принять и оплатить продавцу 10 долларов США в наличном виде через кассу банка, имеющего лицензию на проведение операций с иностранной валютой.

3. На МТБ торгуются фьючерсные контракты на доллар США с исполнением в каждом месяце.

4. Первым днем исполнения контракта (поставки и принятия долларов США) считается первый рабочий день после последнего дня торговли контрактом, последним днем — второй рабочий день после последнего для торговли контр актом.

5. Поставка долларов производится через кассу уполномоченного Биржей банка, имеющего лицензию на проведение операций с иностранной валютой, в порядке, определенном правилами банка. При исполнении контракта банк покупает у продавца наличную валюту и продает ее покупателю за наличный расчет в течение времени, определенного договором поставки.

Продавец обязан предоставить сумму продаваемой валюты в купюрах не менее 10 долларов США.

Покупатель обязан предоставить требуемую рублевую сумму в купюрах не менее 500 рублей.

Услуги уполномоченного банка оплачиваются сторонами дополнительно в порядке и размерах, согласованных между банком и Биржей.

6. Доллары США, поставляемые по фьючерсному контракту, оплачиваются покупателем по котировочной цене последнего дня торговли этим контрактом на МТБ.

7. Расчеты контрагентов при исполнении фьючерсного контракта производят ся не позднее 2-го рабочего Дня после последнего дня торговли контрактом.

Участник, исполняющий контракт, обязан представить в расчетное бюро квитан цию уполномоченного банка о произведенном по контракту платеже не позднее 3-го дня после последнего дня торгов. Неспособность участника представить такую квитанцию влечет за собой санкции, предусмотренные п.7.7. настоящих Временных правил.

8. Цена долларов США в контракте и официальных котировках указывается в рублях за 1 доллар.

9. Минимальное изменение цены доллара США в процессе торгов (шаг цены) — 1 рубль за 1 доллар или 10 рублей на контракт.

10. В ходе одной торговой сессии отклонение цены доллара США от котировочной цены предыдущей торговой сессии не должно превышать 30%.

11. Последним днем торговли контрактом на доллар США считается день последней торговой сессии перед 15 числом, месяца исполнения контракта.

Контракты по позициям, оставшимся открытыми в итоге последнего дня торговли контрактом, должны быть закрыты участниками, которые удерживают эти позиции, путем осуществления (принятия) поставки долларов.

12. Сведения о назначенных контрагентах выдаются расчетным бюро Биржи начиная с 10-00 рабочего дня, следующего за последним днем торговли контр актом.

13. Расчетные фирмы обязаны с 10-00 до 12-00 рабочего дня, следующего за последним днем торговли контрактом, оформить на МТБ в установленном порядке договоры купли/продажи иностранной валюты банком и назначенными контрагентами. Договор поставки является неотъемлемой частью фьючерсного контракта. Нарушение указанных сроков оформления договора поставки нака зывается штрафом в пределах начальной и дополнительной маржи, внесенной под соответствующие открытые позиции. Отказ расчетной фирмы от оформления договора поставки влечет ее отстранение от участия во фьючерсной торговле.

14. В договоре поставки должно быть с точностью до 30 минут указано время совершения операции обмена валюты. В случае неспособности одного из контр агентов в назначенное время произвести обменную операцию банк вправе приостановить исполнение своих обязательств по договору поставки, сообщив об этом в расчетное бюро МТБ.

15. При оформлении договора поставки каждый из контрагентов вправе настаивать на его соответствии требованиям, изложенным в пп. 2-7 настоящих Временных правил. При обоюдном согласии сторон условия договора поставки могут отличаться от установленных требований (включая вариант добровольного отказа обоих контрагентов от поставки).

16. При оформлении договора купли/продажи от имени клиента представитель расчетной фирмы должен представить доверенность клиента. При отсутствии доверенности клиента расчетная фирма оформляет договор купли/продажи на себя.

17. Закрытие позиции продавца и покупателя по исполняемому контракту на доллар США производится расчетным бюро Биржи на основании представлен ных контрагентами квитанций об оплате (п. 7).

ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА 1000 ДОЛЛАРОВ США 1. Положения настоящего раздела определяют специфические условия торг овли фьючерсным контрактом на доллар США в объеме 1000 долларов США.

Обязательства участников фьючерсной торговли, предусматриваемые настоящим разделом, считаются принятыми ими после совершения на МТБ сделки куп ли/продажи фьючерсного контракта на доллар США.

2. Для исполнения одного фьючерсного контракта на доллар США продавец обязан поставить, а покупатель — придать 1000 долларов США в безналичном виде.

3. На МТБ торгуются фьючерсные контракты на доллар США с исполнением в каждом месяце.

4. Первым днем исполнения контракта (поставки и принятия долларов США) считается следующий рабочий день за днем оформления договора поставки (п.

13 настоящих Временных правил), последним днем — 10-й рабочий день после дня оформления договора поставки.

5. Поставка долларов производится через уполномоченный Биржей банк (банки), имеющий лицензию на проведение операций с иностранной валютой.

6. Доллары США, поставляемые по фьючерсному контракту, оплачиваются покупателем по котировочной цене последнего дня торговли этим контрактом на МТБ.

7. Перечисление контрагентами валютных и рублевых средств при исполнении контракта производится в порядке, определенном правилами уполномоченного банка, но не позднее 3-го рабочего дня после дня оформления договора поставки.

Услуги уполномоченного банка оплачиваются продавцом и покупателем в поряд ке и размерах, согласованных между банком и Биржей. Подтверждением о произведенных контрагентами перечислениях являются копии платежных доку ментов с отметкой банка контрагента об оплате, которые расчетные фирмы обязаны представлять в Расчетное бюро биржи до 17-00 4-го рабочего дня после дня оформления договора поставки. За задержку перечисления валютных или рублевых средств виновная расчетная фирма уплачивает пострадавшей стороне неустойку за каждый день просрочки в размере 20% от суммы начальной и дополнительной маржи, внесенной под соответствующие открытые позиции, но не более суммы упомянутой маржи.

8. Цена долларов США в контракте и официальных котировках указывается в рублях за 1 доллар.

9. Минимальное изменение цены доллара США в процессе торгов (шаг цены) — 0,1 рубль за 1 доллар.

10. В ходе одной торговой сессии отклонение цены доллара США от котировочной цены предыдущей торговой сессии не должно превышать 30%.

11. Последним днем торговли контрактом на доллар США считается день последней торговой сессии перед 15 числом месяца исполнения контракта.

Контракты по позициям, оставшимся открытыми в итоге последнего дня торговли контрактом, должны быть закрыты участниками, которые удерживают эти позиции, путем осуществления (принятия) поставки долларов.

12. Сведения о назначенных контрагентах выдаются расчетным бюро Биржи начиная с 14-00 рабочего дня, следующего за последним днем торговли контр актом.

13. Расчетные фирмы обязаны с 14-00 до 16-00 рабочего дня следующего за последним днем торговли контрагентом, оформить на МТБ в установленном порядке договоры поставки (приложение 9) с контрагентами, назначенными расчетным бюро. Договор поставки является неотъемлемой частью фьючерсного контракта. Нарушение указанных сроков оформления договора поставки нака зывается штрафом в пользу Биржи в пределах начальной и дополнительной маржи, внесенной под соответствующие открытые позиции. Отказ расчетной фирмы от оформления договора поставки влечет ее отстранение от участия во фьючерсной торговле.

14. При оформлении договора поставки каждый из контрагентов вправе настаивать на его соответствии требованиям, изложенным в пп. 2 -7 настоящих Временных правил. При обоюдном согласии сторон условия договора поставки могут отличаться от установленных требовании (включая вариант добровольного отказа обоих контрагентов от поставки). В любом случае все отношения между контрагентами по поводу поставки долларов должны быть урегулированы с обязательным представлением соответствующего уведомления в Расчетное бюро Биржи до истечения месяца исполнения фьючерсного контракта.

15. Если расчетная фирма оформляет договор поставки от имени клиента, то она должна представить в расчетное бюро Биржи доверенность, выданную ей клиентом. При отсутствии доверенности клиента расчетная фирма оформляет договор поставки на себя.

16. Закрытие позиций продавца и покупателя в результате исполнения контракта на доллар США производится расчетным бюро Биржи по получении от банка, через который проводится поставка, подтверждения о зачислении валютных и рублевых средств на соответствующие счета этого банка.

ФЬЮЧЕРСНЫЙ КОНТРАКТ НА ИНДЕКС КУРСА ДОЛЛАРА США 1. Положения настоящего раздела определяют условия торговли фьючерсным контрактом на индекс курса США в безналичной валюте. Обязательства участ ников фьючерсной торговли, предусматриваемые настоящим разделом, считаются принятыми ими после совершения на МТБ сделки купли/продажи фьючерсного контракта на индекс курса доллара США.

2. Предметом торговли фьючерсным контрактом на индекс курса доллара США является индекс, рассчитываемый как отношение текущего курса ЦБ РФ доллара США в рублях к базовому курсу, равному одному рублю за один доллар США. Цена контракта в ходе торгов измеряется в пунктах индекса.

3. Стоимость фьючерсного контракта на индекс курса доллара США оцени вается в рублях и составляет 1000 рублей, умноженные на значение индекса.

4. На МТБ торгуются фьючерсные контракты на индекс курса доллара США со всеми месяцами исполнения в пределах одного календарного года на один год вперед.

5. Исполнение контракта на индекс курса доллара США производится путем перечисления вариационной маржи, рассчитанной по котировочной цене послед ней сессии торговли контрактом, через банк (банки) Расчетной палаты МТБ.

6. Днем исполнения контракта считается первый рабочий банковский день, следующий за днем проведения клиринга по последней сессии торговли контр актом.

7. Стоимость контракта в официальных котировках МТБ указывается в пунктах индекса.

8. Минимальное изменение цены контракта на индекс курса доллара США в процессе торгов составляет 1 пункт.

9. В ходе одной торговой сессии отклонение стоимости контракта от коти ровочной цены предыдущей торговой сессии не должно превышать 10%.

10. Последним днем торговли контрактом на индекс курса доллара США считается день последней торговой сессии перед 25 числом месяца исполнения контракта. Контракты по позициям, оставшимся открытыми в итоге последнего дня торговли контрактом, должны быть исполнены в соответствии с п.11.

Дополнительная маржа по открытым позициям в месяц поставки не вносится.

11. Расчетная фирма в целях исполнения контракта должна путем безналич ных расчетов перечислить (принять) сумму вариационной маржи, рассчитанной в ходе клиринга на основе котировочной цены последней торговой сессии в месяце исполнения контракта. В качестве котировочной цены последней торг овой сессии принимается индекс, рассчитанный на основе текущего курса доллара США, устанавливаемого ЦБ РФ в ближайший день, следующий за последним днем торговли контрактом. Клиринг для расчета вариационной маржи по цене последней сессии торговли контрактом проводится в ходе клиринга в день фиксирования курса. При отсутствии фьючерсных торгов в этот день расчет проводится в рамках дополнительного клиринга с 14-00 до 16-00 для фиксиро вания курса.

12. Закрытие позиции в результате исполнения контракта на индекс курса доллара США производится расчетным бюро Биржи после зачисления денежных средств расчетной фирмы, представляющей продавца (покупателя), на счет Расчетной палаты МТБ.

Приложение Таблица функции N(di) для di 0) di.00.01.02.03.04.05.06.07.08. 0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0. 0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0. 0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0. 0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0. 0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0. 0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0. О.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0. 0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0. 0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0. 0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0,8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0. 1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0. 1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0. 1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0. 1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0. 1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0. 1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0. 1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0. 1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0. 1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0. 1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0. 2.0 0.8772 0.8778 0.8783 0.8788 0.8793 0.8798 0.8803 0.8808 0.8812 0. 2.1 0.8821 0.8826 0.8830 0.8834 0.8838 0.8842 0.8846 0.8850 0.8854 0. 2.2 0.8861 0.8864 0.8868 0.8871 0.8875 0.8878 0.8881 0.8884 0.8887 0. 2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0. 2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0. 2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9950 0. 2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0. 2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0. 2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0. 2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0. di.00.01.02.03.04.05.06.07.08. 3.0 0.9986 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0. 0. 3.1 0,9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9922 ).9993 0. С 3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0. 3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0. 3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0. 3.5 0.9978 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0. 3.6 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9999 0.9999 0. 3.7 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0. 3.8 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0. 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1. 3. 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1. 4. Пример пользования таблицей:

N (0,8475) = N (0,84) + 0,75 [N (0,85) - N (0,84)] = = 0,7995 + 0,75 (0,8023 - 0,7995) = 0,8016.

Таблица функции N (di) для di О di.00.01.02.03.04.05.06.07.08. -0.0 0.5000 0.4960 0.4920 0.4880 0.4840 0.4801 0.4761 0.4721 0.4681 0. -0.1 0.4602 0.4562 0.4522 0.4483 0.4443 0.4404 0.4364 0.4325 0.4286 0. -0.2 0.4207 0.4168 0.4129 0.4090 0.4052 0.4013 0.3974 0.3936 0.3897 0. -0.3 0.3821 0.3783 0.3745 0.3707 0.3669 0.3632 0.3594 0.3557 0.3520 0. -0.4 0.3446 0.3409 0.3372 0.3336 0.3330 0.3264 0.3228 0.3192 0.3156 0. -0.5 0,3085 0.3050 0.3015 0.2981 0.2946 0.2912 0.2877 0.2843 0.2810 0. -0.6 0.2743 0.2709 0.2676 0.2643 0.2611 0.2578 0.2546 0.2514 0.2483 0. -0.7 0.2420 0.2389 0.2358 0.2327 0.2296 0.2266 0.2236 0.2206 0.2177 0. -0.8 0.2119 0.2090 0.2061 0.2033 0.2005 0.1977 0.1949 0.1922 0.1894 0. -0.9 0.1841 0.1814 0.1788 0.1762 0.1736 0.1711 0.1685 0.1660 0.1635 0. -1.0 0,1587 0.1562 0.1539 0.1515 0.1492 0.1469 0.1446 0.1423 0.1401 0. -1.1 0.1357 0.1335 0.1314 0.1292 0.1271 0.1251 0.1230 0.1210 0.1190 0. -1.2 0.1151 0.1131 0.1112 0.1093 0.1075 0.1056 0.1038 0.1020 0.1003 0. -1.3 0.0968 0.0951 0.0934 0.0918 0.0901 0.0885 0.0869 0.0853 0.0838 0. -1.4 0.0808 0.0793 0.0778 0.0764 0.0749 0.0735 0.7021 0.0708 0.0694 0. di.00.01.02.03.04.05.06.07.08. -1.5 0.0668 0.0655 0.0643 0.0630 0.0618 0.0606 0.0594 0.0582 0.0571 0. -1.6 0.0548 0.0537 0.0526 0.0516 0.0505 0.0495 0.0485 0.0475 0.0465 0. -1.7 0.0446 0.0436 0.0427 0.0418 0.0409 0.0401 0.0392 0.0384 0.0375 0. -1.8 0.0359 0.0351 0.0344 0.0336 0.0329 0.0322 0.0314 0.0307 0.0301 0. -1.9 0.0287 0,0281 0.0274 0.0268 0.0262 0.0256 0.0250 0.0244 0.0239 0. -2.0 0.0228 0.0222 0.0217 0.0212 0.0207 0.0202 0.0197 0.0192 0.0188 0. -2.1 0.0179 0.0174 0.0170 0.0166 0.0162 0.0158 0.0154 0.0150 0.0146 0. -2.2 0.0139 0.0136 0.0132 0.0129 0.0125 0.0122 0.0119 0.0116 0.0113 0. -2.3 0.0107 0.0104 0.0102 0.0099 0.0096 0.0094 0.0091 0.0089 0.0087 0. -2,4 0.0082 0.0080 0.0078 0.0075 0.0073 0.0071 0.0069 0.0068 0.0066 0. -2.5 0.0062 0.0060 0.0059 0.0057 0.0055 0.0054 0.0052 0.0051 0.0049 0. -2.6 0.0047 0.0045 0.0044 0.0043 0.0041 0.0040 0.0039 0.0038 0.0037 0. -2.7 0.0035 0.0034 0.0033 0.0032 0.0031 0.0030 0.0029 0.0028 0.0027 0. -2.8 0.0026 0.0025 0.0024 0.0023 0.0023 0.0022 0.0021 0.0021 0.0020 0. -2.9 0.0019 0.0018 0.0018 0.0017 0.0016 0.0016 0.0015 0.0015 0.0014 0. -3.0 0.0014 0.0013 0.0013 0.0012 0.0012 0.0011 0.0011 0.0011 0.0010 0. -3.1 0.0010 0.0009 0.0009 0.0009 0.0008 0.0008 0.0008 0.0008 0.0007 0. -3.2 0.0007 0.0007 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0006 0.0005 0.0005 0. -3.3 0.0005 0.0005 0.0005 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0.0004 0. -3.4 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0.0003 0. -3.5 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0.0002 0. -3.6 0.0002 0.0002 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0. -3.7 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0. -3.8 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0. -3.9 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0. -4.0 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0. Пример пользования таблицей:

N (-0,7238) = N (-0,72) - 0,38 [N (-0,72) - N (-0,73)] = = 0,2358 - 0,38 (0,2358 - 0,2327) = 0,2346.

Список литературы 1. Буренин А.Н. Введение в рынок ценных бумаг, 1992.

2. Буренин А.Н. Контракты с опционами на акции, 1992.

3. Гмурман B.C. Теория вероятностей и математическая стати стика, 1972.

4. Общая теория статистики (под ред. Гольдберга А.М., Козлова B.C.), 1985.

5. Родэ Э. Банки. Биржи. Валюты современного капитализма, 1986.

6. Студентский М.С. Биржа, секуляция и игра, 1892.

7. Федоров Б.Г. Современные валютно-кредитные рынки, 1989.

8. Филиппов Ю.Д. Биржа, ее история, современная организация и функции, 1912.

9. Blake D. Financial market analysis, 1990.

10. Berglung Т., Liljeblom E., Hendvall K., Market serial correlation and the valuation of index options, 1988.

11. Bookstaber R. Option pricing and strategies in investing, 1981.

12. Brown В., Geisst Ch. Financial futures markets, 1983.

13. Cox I., Rubinstein M. Options markets, 1985.

14. Cohen J., Zinbarg E., Zeikel A. Investment analysis and portfolio management, 1987.

15. Dale R., Leslie J., Wyatt G. Futures and options, winners and losers, 1988.

16. Duffie J. Futures markets, 1989.

17. Fabozzi F., Fabozzi T. Bond markets analisis and strategies, 1989.

18. Gastineau G. Options manual, 1989.

19. Geisst Ch. A guide to the financial markets, 1982.

20. Gitman I., Joehnk M. Fundamentals of investing, 1990.

21. Goss B. The theory of futures trading, 1972.

22. Henin C., Ryan P. Options: theory and practice, 1977.

23. Hull J. Options, futures and othes derivative securities, 1989.

24. Kolb R. Inverstments. 1986.

25. Kolb R. Understanding futures markets. 1985.

26. Jarrow R., Rudd A. Option pricing, 1983.

27. Lehman M. Guide to using the Wall Streef Journal, 1984.

28. Levi M. International finance: the markets and financial management of multinational business, 1990.

29. Natenberg S. Option volatility and pricing strategies: advanced trading techniques for professionals, 1988.

30. Sharp W., Alexander G. Investments, 1989.

31. Stigum M. Money market, 1983.

32. Walmsley J. The new financial instruments: an investors guide, 1988.

33. Wood J. Financial markets, 1988.

Отзывы, замечания и предложения читате лей будут с благодарностью приняты автором и издательством по адресу, указанному ниже.

Издательство принимает заявки на приобре тение повторного издания книги.

Буренин Алексей Николаевич ФЬЮЧЕРСНЫЕ, ФОРВАРДНЫЕ И ОПЦИОННЫЕ РЫНКИ Ответственный редактор: Скрябин В.В.

Редактор: Орлова Ю.Л.

Главный художник серии: Медведев В.В.

Компьютерный набор: Глазовая Т.Ф.

Компьютерная верстка: Полищученко В.И.

Технический редактор: Овчарова И.Г.

Подписано к печати 16 мая 1994 г.

Формат 62 X 84 1 /16. Бумага офсетная N 1. Гарнитура "Ньютон".

Печать офсетная. Усл. печ.л. 14,5. Тираж 5000 экз.

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.