WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 ||

«Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Философский факультет Кафедра логики На правах рукописи ШАНГИН ВАСИЛИЙ ОЛЕГОВИЧ АВТОМАТИЧЕСКИЙ ПОИСК НАТУРАЛЬНОГО ВЫВОДА В КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ ...»

-- [ Страница 2 ] --

алгоритма: ПВ содержит конечный контрпример. /Если в выводе нет формул вида A(), то ПВ содержит конечный контрпример (опровержение) для данной выводимости./ 13.2. 14. В противном случае переход к 14. Применение процедуры 4*. /Применение вц./ Квантор общности снимается по правилу и с каждой неисключенной формулы вида А из ПВ по некоторым определенным термам из ПВ. Со всех формул вида А снимается метка М1. Переход к 10. Конец описания. Приведем пример работы алгоритма. (Курсивом мы будем обозначать текущую цель.) Пусть необходимо обосновать в алгоритме вывод формулы xP(x) & xQ(x) из формулы x(P(x) & Q(x)). Согласно пункту 1 описания алгоритма, формула xP(x) & xQ(x) помещается в ПЦ в качестве главной цели, а последняя формула x(P(x) & Q(x)) помещается в ПВ в качестве начальной посылки. Алгоритм переходит к проверке достижимости текущей цели. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка ПЦ xP(x) & xQ(x) Т.к. текущая цель не достижима, алгоритм, согласно пункту 10.2, переходит к анализу текущей цели. Согласно пункту 3, текущей целью становится левый конъюнкт, на который ставится метка М3. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка xP(x) & xQ(x) ПЦ xP(x)M Т.к. текущая цель не достигнута, алгоритм, согласно пункту 10.2, переходит к анализу текущей цели. Согласно пункту 3, текущей целью становится формула P(x/y1), где y1 – это новая абсолютная переменная в ПВ и ПЦ. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка xP(x) & xQ(x) xP(x)M3 P(y1), y1 новая абсолютная переменная Т.к. текущая цель не достигнута, алгоритм, согласно пункту 10.2, переходит к анализу текущей цели. Поскольку текущая цель – это элементарная формула, то, ПЦ согласно пункту 3, формула ¬P(y1) помещается в ПВ в качестве последней посылки, а текущей целью становится. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка 2. ¬P(y1) – пос. xP(x) & xQ(x) xP(x)M3 P(y1), y1 новая абсолютная переменная ПЦ Т.к. текущая цель не достигнута, алгоритм, согласно пункту 10.2, переходит к анализу текущей цели. Поскольку текущая цель – это, то, согласно пункту 2, алгоритм ищет возможность применения правил исключения в ПВ. К формуле x(P(x) & Q(x)) применяется правило и по новой неабсолютной переменной из ПВ и ПЦ, т.е. по переменной x1. На формулу x(P(x) & Q(x)) ставится метка М1. На формулу P(x1) & Q(x1) ставится метка М0. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(x1) & Q(x1)M0 – и: 1 xP(x) & xQ(x) xP(x)M3 P(y1), y1 новая абсолютная переменная ПЦ Согласно пункту 2, алгоритм делает все возможные заключения по правилам исключения и применяет правило &и. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(x1) & Q(x1)M0 – и: 1 4. P(x1)M2– &и: 3 5. Q(x1)M2– &и: 3 Т.к. никакие правила исключения в ПВ неприменимы, алгоритм проверяет достижимости текущей цели. Поскольку она достигнута (в ПВ имеются формулы xP(x) & xQ(x) xP(x)M3 P(y1), y1 новая абсолютная переменная ПЦ ¬P(y1) и P(x1), для которых существует унификатор {x1/y1}), то, согласно пункту 10.1, применяется глобальная подстановка {x1/y1} в ПВ и ПЦ. Цель помечается как достигнутая и устраняется из ПЦ, а текущей целью становится P(y1). В ПВ применяется правило ¬в к формулам 2, 4 и из ПВ исключаются формулы 2-5. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2– &и: 3 5. Q(y1)M2– &и: 3 6. ¬¬P(y1) – ¬в: 2, 4 После применения ¬и к формуле 6 вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2– &и: 3 5. Q(y1)M2– &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2– ¬и: 6 Поскольку текущая цель достигнута, то, согласно пункту 10.1, цель P(y1) помечается как достигнутая и устраняется из ПЦ, а текущей целью становится xP(x). Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2– &и: 3 5. Q(y1)M2– &и: 3 xP(x) & xQ(x) ПЦ xP(x) & xQ(x) xP(x)M3 P(y1), y1 новая абсолютная переменная ПЦ xP(x) & xQ(x) xP(x)M3 P(y1), y1 новая абсолютная переменная ПЦ xP(x)M 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2– ¬и: 6 Поскольку текущая цель является подцелью достигнутой цели, то она также является достигнутой, согласно пункту 11.2. К формуле P(y1) из ПВ применяется правило в, в ПВ помещается формула xP(x), цель xP(x) помечается как достигнутая и устраняется из ПЦ, метка М3 снимается, а текущей целью становится xP(x) & xQ(x). Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2– &и: 3 5. Q(y1)M2– &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2– ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. Поскольку текущая цель является подцелью достигнутой цели, отмеченной меткой М3, то текущей целью становится xQ(x). Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. Т.к. в ПВ нет формулы, которая унифицируется с xQ(x), то, согласно пункту 3, текущей целью становится Q(y2), где y2 новая абсолютная переменная в выводе. xP(x) & xQ(x) ПЦ ПЦ xP(x) & xQ(x) xQ(x) Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. Т.к. текущая цель не достигнута, алгоритм, согласно пункту 10.2, переходит к анализу текущей цели. Поскольку текущая цель – это элементарная формула, то, согласно пункту 3, формула ¬Q(y2) помещается в ПВ в качестве последней посылки, а текущей целью становится. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. 9. ¬Q(y2) – пос. Т.к. текущая цель не достигнута, алгоритм, согласно пункту 10.2, переходит к анализу текущей цели. Поскольку текущая цель – это, то, согласно пункту 2, алгоритм ищет возможность применения правил исключения в ПВ. К формуле x(P(x) & Q(x)) не применяется правило и, т.к. эта формула отмечена меткой М1. Правило и применяется к формуле xP(x), в ПВ помещается формула А(x2), где x2 – новая неабсолютная переменная в ПВ, и на формулу xP(x) ставится метка М1. xP(x) & xQ(x) xQ(x) Q(y2), y2 – новая абсолютная переменная ПЦ xP(x) & xQ(x) xQ(x) Q(y2), y2 – новая абсолютная переменная ПЦ Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x))M1 – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x)М1 – в: 4;

y1 – абс. огр. 9. ¬Q(y2) – пос. 10. P(x2) – и: 8 Поскольку ни одно правило исключения не применимо, то Процедура 4* применяется следующим образом: С формулы x(P(x) & Q(x)) квантор общности снимается по всем абсолютным переменным из ПВ: y1 и y2, т.к. ни формула P(y1) & Q(y1), ни формула P(y2) & Q(y2) не находятся неисключенными в ПВ. На формулы P(y1) & Q(y1) и P(y2) & Q(y2) ставятся метки М0 и М7. С формулы x(P(x) & Q(x)) снимается метка М1. С формулы xP(x) квантор общности снимается только по абсолютной переменной y2, т.к. формула P(y1) находится неисключенной в ПВ. На формулу P(y2) ставятся метки М0 и М7. С формулы xP(x) снимается метка М1. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. xP(x) & xQ(x) xQ(x) Q(y2), y2 – новая абсолютная переменная ПЦ xP(x) & xQ(x) xQ(x) Q(y2), y2 – новая абсолютная переменная ПЦ 9. ¬Q(y2) – пос. 10. P(x2) – и: 8 11. P(y1) & Q(y1)M0, М7 – и: 1 12. P(y2) & Q(y2)M0, М7 – и: 1 13. P(y2)M0, М7 – и: 8 Согласно пункту 2, алгоритм делает все возможные заключения по правилам исключения и применяет правило &и к формулам 11 и 12. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. 9. ¬Q(y2) – пос. 10. P(x2) – и: 8 11. P(y1) & Q(y1)M0, М7 – и: 1 12. P(y2) & Q(y2)M0, М7 – и: 1 13. P(y2)M0, М7 – и: 8 14. P(y1)M2 – &и: 11 15. В(y1)M2 – &и: 11 16. P(y2)M2– &и: 12 17. В(y2)M2 – &и: 12 Алгоритм проверяет достижимость текущей цели. Поскольку она достигнута (в ПВ имеются формулы ¬Q(y2) и Q(у2)), то цель помечается как достигнутая и устраняется из ПЦ, а текущей целью становится Q(y2). В ПВ применяется правило ¬в к формулам 9, 17 и из ПВ исключаются формулы 9-17. Теперь вывод выглядит следующим образом: xP(x) & xQ(x) xQ(x) Q(y2), y2 – новая абсолютная переменная ПЦ ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. 9. ¬Q(y2) – пос. 10. P(x2) – и: 8 11. P(y1) & Q(y1)M0, М7 – и: 1 12. P(y2) & Q(y2)M0, М7 – и: 1 13. P(y2)M0, М7 – и: 8 14. P(y1)M2 – &и: 11 15. В(y1)M2 – &и: 11 16. P(y2)M2– &и: 12 17. В(y2)M2 – &и: 12 18. ¬¬В(y2) – ¬в: 9, 12 xP(x) & xQ(x) xQ(x) ПЦ Q(y2), y2 – новая абсолютная переменная После применения ¬и к формуле 18 вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. 9. ¬Q(y2) – пос. xP(x) & xQ(x) xQ(x) Q(y2), y2 – новая абсолютная переменная ПЦ 10. P(x2) – и: 8 11. P(y1) & Q(y1)M0, М7 – и: 1 12. P(y2) & Q(y2)M0, М7 – и: 1 13. P(y2)M0, М7 – и: 8 14. P(y1)M2 – &и: 11 15. В(y1)M2 – &и: 11 16. P(y2)M2– &и: 12 17. В(y2)M2 – &и: 12 18. ¬¬В(y2)M0 – ¬в: 9, 12 19. В(y2)M2 – ¬и: 18 Поскольку текущая цель достигнута, то, согласно пункту 10.1, цель Q(y2) помечается как достигнутая и устраняется из ПЦ, а текущей целью становится xQ(x). Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. 9. ¬Q(y2) – пос. 10. P(x2) – и: 8 11. P(y1) & Q(y1)M0, М7 – и: 1 12. P(y2) & Q(y2)M0, М7 – и: 1 13. P(y2)M0, М7 – и: 8 14. P(y1)M2 – &и: 11 15. В(y1)M2 – &и: 11 16. P(y2)M2– &и: 12 xP(x) & xQ(x) ПЦ xQ(x) 17. В(y2)M2 – &и: 12 18. ¬¬В(y2)M0 – ¬в: 9, 12 19. В(y2)M2 – ¬и: 18 Поскольку текущая цель является подцелью достигнутой цели, то она также является достигнутой, согласно пункту 11.2. К формуле Q(y2) из ПВ применяется правило в, в ПВ помещается формула xQ(x), цель xQ(x) помечается как достигнутая и устраняется из ПЦ, а текущей целью становится xP(x) & xQ(x). Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. 9. ¬Q(y2) – пос. 10. P(x2) – и: 8 11. P(y1) & Q(y1)M0, М7 – и: 1 12. P(y2) & Q(y2)M0, М7 – и: 1 13. P(y2)M0, М7 – и: 8 14. P(y1)M2 – &и: 11 15. В(y1)M2 – &и: 11 16. P(y2)M2– &и: 12 17. В(y2)M2 – &и: 12 18. ¬¬В(y2)M0 – ¬в: 9, 12 19. В(y2)M2 – ¬и: 18 20. xВ(x) – в: 19;

y2 – абс. огр. Поскольку текущая цель является подцелью достигнутой цели, то она также является достигнутой, согласно пункту 11.2. К формулам 8 и 20 применяется правило ПЦ xP(x) & xQ(x) &в, в ПВ помещается формула xP(x) & xQ(x), цель xP(x) & xQ(x) помечается как достигнутая и устраняется из ПЦ. Теперь вывод выглядит следующим образом: ПВ 1. x(P(x) & Q(x)) – посылка 2. ¬P(y1) – пос. 3. P(y1) & Q(y1)M0 – и: 1 4. P(y1)M2 – &и: 3 5. Q(y1)M2 – &и: 3 6. ¬¬P(y1)M0 – ¬в: 2, 4 7. P(y1)M2 – ¬и: 6 8. xP(x) – в: 4;

y1 – абс. огр. 9. ¬Q(y2) – пос. 10. P(x2) – и: 8 11. P(y1) & Q(y1)M0, М7 – и: 1 12. P(y2) & Q(y2)M0, М7 – и: 1 13. P(y2)M0, М7 – и: 8 14. P(y1)M2 – &и: 11 15. В(y1)M2 – &и: 11 16. P(y2)M2– &и: 12 17. В(y2)M2 – &и: 12 18. ¬¬В(y2)M0 – ¬в: 9, 12 19. В(y2)M2 – ¬и: 18 20. xВ(x) – в: 19;

y2 – абс. огр. 21. xP(x) & xQ(x) – &в: 8, 20 Т.к. достигнутая цель является главной, то вывод построен. ПЦ Глава 4. Анализ алгоритма поиска вывода в системе BMV § 4.1. Семантическая непротиворечивость алгоритма В предыдущей главе детально описан алгоритм поиска натурального вывода в системе BMV. Возникает вопрос о семантической непротиворечивости алгоритма, т.е. не возникнет ли ситуация, что алгоритм докажет формулу, которая не является общезначимой? Есть несколько способов доказательства теоремы о семантической непротиворечивости алгоритма. Например, Дж. Поллок использует исчисление предикатов второго порядка [Pollock]. Другой способ состоит в доказательстве, что все выводы, которые строит алгоритм, суть выводы в системе BMV. Учитывая, что система BMV семантически непротиворечива, получаем, что алгоритм также семантически непротиворечив. Для доказательства такого утверждения необходимо ввести ряд новых понятий, центральным из которых является понятие алгоритмического BMV-вывода. Алгоритмическим BMV-выводом называется пара, где (А) непустая последовательность формул вывода (ПВ), для которой верно: (i) Каждая формула в ПВ является или начальной посылкой, или посылкой, полученной по ц-правилам, или формулой, полученной из предыдущих по одному из BMV-правил, причем, правила введения применяются следующим образом: • Правило &в применяется к формулам D и В, если в ПВ есть D, формула В есть текущая достигнутая цель и предыдущей целью по отношению к D и В является формула D & В;

13 • Правило в применяется к формуле D или к формуле В, если D или В является текущей достигнутой целью и предыдущей целью по отношению к D или В является формула D В;

• Правило в применяется к формуле В, если В является текущей достигнутой целью, формула С является последней неисключенной посылкой и предыдущей целью по отношению к В является формула С В;

Понятие «достигнутая цель», «предыдущая цель», «главная цель» подробно рассматриваются в описании алгоритма.

• Правило ¬в применяется к формулам B, ¬B, если цель противоречие является текущей достигнутой целью, формула ¬С является последней неисключенной посылкой и предыдущей целью по отношению к цели противоречие является С;

• Правило в применяется к формуле D(), если D(), где – новая неабсолютная переменная, является текущей достигнутой целью и предыдущей целью по отношению к D() является формула D();

• Правило в применяется к формуле D(), где – новая абсолютно ограниченная переменная, если D() является текущей достигнутой целью и предыдущей целью по отношению к D() является формула D(). (ii) из ПВ;

(iii) (iv) Ни одна переменная не ограничивается более одного раза;

Ни одна переменная в результате унификации не ограничивает сама себя;

Если в ПВ применялись правила в и ¬в, то все формулы, начиная с последней посылки и вплоть до результата применения данного правила, исключаются и (B) непустая последовательность формул целей (ПЦ), в которой каждая цель получена или по вц-правилам или по одному из ц-правил из предыдущих целей. В дальнейшем мы будем называть алгоритмический BMV-вывод алговыводом. Алго-выводом формулы А из (возможно, пустого) множества посылок Г называется конечный алго-вывод, в котором • • Последовательность формул вывода есть BMV-вывод формулы А из Г;

Формула А является главной целью и А достигнута. Согласно вышеприведенному определению, последовательность формул вывода в алго-выводе А из Г есть BMV-вывод формулы А из Г. Возникает вопрос, является ли этот BMV-вывод завершенным или нет? Положительный ответ на этот вопрос дает следующая Лемма 4.1.1. В алго-выводе формулы А из (возможно, пустого) множества посылок Г последовательность формул вывода есть завершенный BMV-вывод А из Г. Доказательство. Напомним, что BMV-вывод является завершенным, если ни одна переменная, абсолютно ограниченная в этом выводе, не входит свободно ни в множество Г, ни в формулу А.

Согласно описанию алгоритма (пункт 1), все свободные переменные из Г, А помечаются как абсолютно ограниченные. Поскольку ни одна переменная в алго-выводе А из Г не ограничивается абсолютно более одного раза, ни одна свободная переменная из Г, А не ограничиваются абсолютно в данном алго-выводе, а значит, ни одна переменная, абсолютно ограниченная в этом выводе, не входит свободно ни в Г, ни в А. Доказано. В главе 2 нашей работы показана семантическая непротиворечивость исчисления BMV. Значит, семантическая непротиворечивость алгоритма устанавливается следующей Теоремой 4.1.2. В алго-выводе формулы А из (возможно, пустого) множества Г формула А семантически следует из Г. Доказательство: из леммы 4.1.1 и теоремы 2.2.4. Доказано. В процессе построения алго-вывода зафиксируем каждое применение вцправил. Интуитивно представим процесс построения алго-вывода как ряд применений вц-правил. Такие последовательности формул и целей в алго-выводе, полученные в результате применения одного вц-правила вплоть до другого применения вц-правила, будем называть блоками. В общем случае блок может состоять только из последовательности формул вывода (последовательность целей пуста, если блок получен по вц-правилу вц). Т.к. понятие блока фундаментально для нашего исследования, дадим строгое его определение. Определение 4.1.3. Блоком i, i N, является непустая последовательность формул вывода {A1, A2,…, An} и (возможно, пустая) последовательность целей {1, 2,…, k}:14 (i) (ii) (iii) Если 1 есть главная цель алго-вывода, то в этом случае i = 1;

Если 1 получена по одному из вц-правил, то в этом случае i > 1;

Каждая цель блока, кроме 1, получена по ц-правилам;

Последней целью блока является либо противоречие, либо формула из ПЦ, которая унифицируется с некоторой формулой из ПВ.

(iv) Каждая формула из последовательности вывода в i либо является начальной посылкой, либо получена по ц-правилу из цели, содержащейся в i (в этом случае формула является посылкой), либо есть результат применения BMV-правила. Введенное понятие блока в совокупности с вц-правилами определяет в дальнейшем понятие дерева поиска вывода в нашем исчислении. Процесс поиска вывода представляется в виде дерева, вершинами которого являются блоки, а ребрами – вц-правила, по которым из одного блока получается другой блок. В качестве примера приведем алго-вывод ((p q) p) p (вертикальная черта обозначает границу между блоком №1 и блоком №2). 1. 2. 3. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. p – пос. – пос. – ¬в: 2, 3 – ¬и: 5 – в: 6 – и: 1, 7 – ¬в: 2, 8 – ¬и: 9 Комментарий. Помещаем исходную формулу в качестве главной цели в последовательность целей (ПЦ). При этом последовательность вывода (ПВ) пуста. Применяя к главной цели ц-правило ц, получаем подцель p и добавляем в ПВ формулу (p q) p в качестве последней посылки. Поскольку ни одно правило исключения в ПВ неприменимо, продолжаем работать с текущей целью p. Применяем к ней правило ¬ц, получаем новую подцель (противоречие) и добавляем в ПВ формулу ¬p в качестве последней посылки. Поскольку ни одно правило исключения в ПВ (p q) p ¬p – пос. – пос.

((p q) p) p P pq Q ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– [4. ¬q ¬¬q q pq p ¬¬p p ((p q) p) p – в: Напомним, что целью может быть цель противоречие, которая не является формулой.

неприменимо, алгоритм осуществляет поиск формул из ПВ, к которым можно применить вц-правила. Т.е. алгоритм ищет сложные формулы из ПВ, к которым не применялись правила исключения. В данном случае имеется одна такая формула (p q) p. Таким образом, мы применяем к ней вц-правило вц и начинаем строить новый блок №2. При этом формулы (p q) p и ¬p из ПВ, а также цели ((p q) p) p, p и из ПЦ образуют блок №1. Итак, по вц-правилу вц, примененному к формуле (p q) p, мы получаем первую цель блока №2 – формулу (p q). Применяя ц-правило ц к ней, получаем подцель q и добавляем в ПВ формулу p в качестве последней посылки. Т.к. текущая цель – формула q – недостижима, применяем к ней ц-правило ¬ц, получаем подцель и добавляем в ПВ формулу ¬q в качестве последней посылки. Далее действуем согласно правилам системы BMV и целям алгоритма. При этом формулы 3-11, а также цели p q, q и, находящиеся ниже вертикальной черты, образуют блок №2.

§ 4.2. Свойства алгоритма Конечность длины произвольного блока устанавливается Леммой 4.2.1. В произвольном алго-выводе каждый блок конечен. Доказательство: полная индукция по порядковому номеру блока в алговыводе формулы А. Базис: n = 1. Первой целью блока 1 является А – главная цель алго-вывода. Последовательность целей в 1 конечна (свойство ц-правил). Конечная последовательность целей в 1 порождает конечное множество посылок в последовательности вывода. Количество применений правила и в одном блоке конечно. Значит, количество применений правил исключения среди конечного множества посылок вывода конечно (свойство BMV-правил). При этом, если хотя бы одна из подцелей блока 1 достигнута, то обязательно достигается главная цель А. Тем самым данный блок конечен, завершаясь выводом А. Если же ни одна из целей не достигнута, то, в силу конечности последовательности вывода и последовательности целей в 1, конечен и сам 1, завершаясь целью. Индуктивное предположение: допустим, лемма верна для i < n.

Индуктивный шаг: покажем, что лемма верна для i = n. Пусть Хn-1 обозначает множество неисключённых формул в алго-выводе для формулы А, где n-1 – последний блок с последней целью противоречие. По индуктивному предположению, 1,…, n-1 суть конечные блоки, а значит, Хn-1 конечно. Рассмотрим 2 случая в зависимости от вц-правила, по которому был получен блок n: 1) блок n получен по вц-правилам вц, вц и ¬вц;

2) блок n получен по вцправилу вц. Случай 1. Пусть формула Y является первой целью в блоке n и формула Y получена по вц-правилам вц, вц и ¬вц. Последовательность целей в n конечна (свойство ц-правил). Конечная последовательность целей в n порождает конечное множество посылок вывода. Количество применений правила и в одном блоке конечно. Значит, конечно количество применений правил исключения среди конечного множества посылок вывода (по индуктивному предположению, Хn-1 конечно плюс свойство правил исключения). При этом, если хотя бы одна из подцелей блока n достигнута, то обязательно достигается первая цель Y. Тем самым n конечен, завершаясь выводом Y. Если же ни одна из целей не достигнута, то, в силу конечности последовательности вывода и последовательности целей в n, конечен и сам n, завершаясь целью. Случай 2. Пусть формула Y является первой формулой вывода в n и формула Y получена по вц-правилу вц. Последовательность целей в n пуста, т.к. по вц-правилу вц в последовательность целей не добавляются новые цели. Значит, в последовательность вывода не вводятся новые посылки. Количество применений правил исключения в блоке n конечно (по индуктивному предположению, Хn-1 конечно;

свойство правил исключения;

количество применений правила и в одном блоке конечно). Отметим, что последней целью в последовательности целей является последняя цель блока n-1, т.е. противоречие. Пусть формула Z является последней неисключенной посылкой в последовательности вывода при применении вц, т.е. при порождении блока n. Если цель противоречие достижима, то в последовательности вывода происходит применение BMV-правила ¬в, появляется формула ¬Z и все формулы, начиная с формулы Z и заканчивая формулой ¬Z, исключаются из последовательности вывода. Значит, из последовательности вывода исключается также формула Y, которая в последовательности вывода находится ниже, чем формула Z. Таким образом, данный блок конечен. Если же ни одна из целей не достигнута, то, в силу конечности множества вывода и пустоты множества целей в n, конечен и сам n, завершаясь целью. Доказано. Разбив алго-вывод на последовательность блоков, перейдем к анализу блоков. Определение 4.2.2. Если блок получен в результате применения ¬вц, вц и вц, то является достигнутым (д-блоком), если – последний блок алго-вывода и последняя цель в достигнута. Если блок получен в результате применения вц, то является достигнутым (д-блоком), если – последний блок алго-вывода и первая формула в исключена. В противном случае блок является недостигнутым. Определение 4.2.3. Блок n непосредственно следует за блоком k (k < n), если при порождении n последним недостигнутым блоком является k. Если блок n получен по ¬вц, вц, то n сильно непосредственно следует за k. Если блок n получен по вц, вц, то n слабо непосредственно следует за k. Различение слабого и сильного непосредственного следования связано с тем, что если n – д-блок и имеет место сильное непосредственное следование n за k, то k также является д-блоком. Дело в том, что в этом случае достижение первой цели n, полученной по ¬вц, означает, что в последовательности формул вывода имеются формулы А (первая цель n) и ¬A (посылка правила ¬вц), а это автоматически ведет к достижению последней цели в блоке k. (Правило ¬вц применяется только, если последней целью в k является.) При этом достижение последней цели в k влечет достижение первой цели в k. Значит, k – д-блок. Что касается вц, то, по определению д-блока, n достижим, если из последовательности вывода исключена первая формула А из n. Исключение формулы А возможно только при применении ¬в, в;

причем, формула С (последняя неисключенная посылка в последовательности вывода), исключаемая в результате применения правил ¬в, в, находится выше, чем формула А. Т.к. применение правил введения детерминируется целями, в выводе достигнута последняя цель блока k. Значит, k – д-блок. Если имеет место слабое непосредственное следование n за k и n станет дблоком, то k может не стать д-блоком. Зададим формальное понятие поискового дерева (П-дерева) для алго-вывода. Определение 4.2.4. Поисковым деревом является частично упорядоченное множество {1, 2,…} блоков, распределенных по непересекающимся «уровням» следующим образом: 1. 2. 3. Нулевой уровень состоит из единственного блока 1, называемого начальным блоком;

Каждый блок i+1-го уровня соединён отрезком в точности с одним блоком i-го уровня;

Каждый блок i-го уровня либо не соединён ни с одним блоком i+1-го уровня, либо соединён отрезками с несколькими блоками i+1-го уровня (эти блоки i+1го уровня называются непосредственно следующими за блоком );

4. Блок i-го уровня, не соединённый ни с какими блоками i+1-го уровня, называется заключительным блоком. Структура алго-вывода представляет собою поисковое дерево (П-дерево), вершинами которого являются блоки, а ребрами – правила взятия цели по формуле вывода (вц-правила), по которым один блок получается из другого. Между множеством алго-выводов и множеством П-деревьев имеет место следующее отношение: каждому алго-выводу соответствует единственное П-дерево;

каждому П-дереву – счетное множество алго-выводов. Таким образом, понятие «Пдерево» является обобщением понятия «алго-вывод». Приведем некоторые П-деревья и соответствующие им алго-выводы. Пример 1.

№ № В данном П-дереве блок №2 непосредственно следует из блока №1. Такому 1. 2. 3. 4.

П-дереву p qМ7 q ¬r p соответствует, – пос. – пос. – пос. – пос.

например, следующий qr r ¬pМ алго-вывод (вертикальная черта обозначает границу между блоком №1 и блоком №2):

––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Пример 2.

№ № В данном П-дереве: (а) блок №2 непосредственно следует из блока №1;

(б) блок №2 является д-блоком (обозначается жирным контуром) и, значит, (с) алгоритм посредством бэктрэкинга вернулся на блок №1, который не является д-блоком. Такому 1. 2. 3. 4. 5.

П-дереву соответствует, – пос. – пос. – пос. – в: 2. – и: 1, например, следующий qr r p qМ7 qМ алго-вывод (вертикальная черта обозначает границу между блоком №1 и блоком №2):

(p q) qМ0, М7 q ¬r p qМ0 qМ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Отметим, что формула p q отмечена меткой М0, сигнализирующей, что эта формула получена по в из формулы q. Значит, к этой формуле нельзя применять вцправило вц и помещать новую цель ¬p в последовательность целей. Пример 3.

№ № № В данном П-дереве после того, как алгоритм посредством бэктрэкинга вернулся на блок №1 (блок №2 обозначен жирным контуром), был порожден блок №3, который непосредственно следует из блока №1. Такому П-дереву соответствует следующий алго-вывод (вертикальная черта обозначает границу между блоком №1 и блоком №2 и между блоком №2 и блоком №3):

1. 2. 3. 4. 5. 6. (p q) qМ0, М7 q rp М – пос. – пос. – пос. – в: 2. – и: 1, 4 – пос.

q ¬(r p) ¬(r p) p qМ7 qМ4 rМ ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– p qМ0 qМ2 ¬r ––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––– Отметим, что, как и в предыдущем примере, формула p q отмечена меткой М0, сигнализирующей, что эта формула получена по в из формулы q. Значит, к этой формуле нельзя применять вц-правило вц и помещать новую цель ¬p в последовательность целей. Приведем некоторые примеры деревьев, которые не могут быть П-деревьями. Пример 4.

№ № Данное дерево содержит блок, из которого непосредственно следует две бесконечные (обозначается пунктирной линией) нити, состоящие из недостигнутых блоков. Пример 5.

№ № Данная схема означает дерево, содержащее нить, расположенную правее бесконечной нити. В классической и интуиционистской пропозициональных логиках [Шангин], [Шангин1], [Шангин3] по очереди работая со всеми ветками П-дерева, мы либо посредством бэктрэкинга вернемся на начальный блок П-дерева (и формула А тогда является доказанной), либо остановимся (и тогда формула А недоказуема). При этом множество неисключенных литералов (пропозициональные переменные и их отрицания в формуле А) образует контрпример. Таким образом, данные процедуры являются разрешающими. Ситуация в первопорядковой логике сложнее. В силу результата А. Черча о неразрешимости классической логики предикатов, в общем случае процесс поиска вывода не может быть остановлен: мы не можем за конечное число шагов определить, доказуема ли произвольная формула или нет [Church], [Church1].

С другой стороны, Ж. Эрбран показал, что любая общезначимая формула логики предикатов доказуема за конечное число шагов [Минц], [Li]. В такой ситуации встает проблема выбора стратегии, позволяющей за конечное число шагов вывести произвольную общезначимую формулу классической логики предикатов. Такие стратегии известны: метод резолюции, метод аналитических таблиц, секвенциальные исчисления, метод семантических таблиц и др. Анализируя данную ситуацию, Ч. Чень и Р. Ли пишут: «Тем не менее существуют алгоритмы поиска доказательства, которые могут подтвердить, что формула общезначима, если она на самом деле общезначима. Для необщезначимых формул эти алгоритмы, вообще говоря, не заканчивают свою работу. Принимая во внимание результат Черча и Тьюринга, это лучшее, что мы можем ожидать от алгоритма поиска доказательства» [Чень и Ли, с. 52]. Обратной стороной таких техник является «уход в бесконечность» в некоторых случаях, когда формула необщезначима. Вообще, с точки зрения прикладной логики, доказательство полноты прувера – дело «неблагодарное». Распространена точка зрения, что пруверы (в том числе для поиска натурального вывода) создаются под решение каких-то отдельных прикладных проблем.15 Поэтому проблема полноты для них не ставится. В Главе 2 мы уже касались этого вопроса. Здесь подчеркнем, что процедура поиска вывода должна задаваться таким образом, чтобы гарантировать построение контрпримера (множества Хинтикки) даже в случае «ухода в бесконечность» [Hintikka1], [Sieg]. Определение 4.2.5. Линейно упорядоченная последовательность блоков 1, 2,... называется нитью данного П-дерева, если: 1) 1 – начальный блок и 2) n (n > 1 и n непосредственно следует за n-1). Напомним, что интуитивно алго-вывод представляется как последовательность блоков, полученных по одному из вц-правил. В такой ситуации большую роль играют формулы вывода, к которым применимы вц-правила (вцформулы). Такими формулами являются формулы вида ¬А, А В, А В, не С помощью программы ANDP Д. Ли дал первое машинное доказательство проблемы остановки машины Тьюринга [Li]. Д. Пеллетье с помощью программы THINKER предложил доказательства теорем теории множеств [Pelletier]. Предложенная Д. Поллоком с целью продемонстрировать преимущества натурального вывода перед другими логическими системами программа OSCAR оказалась в 40 раз быстрее, чем программа OTTER, основанная на методе резолюции [Pollock].

отмеченные меткой М0, т.е. к ним не применялись правила исключения, и формулы вида А(). К этим и только этим формулам применяются вц-правила. В процессе поиска вывода вц-правила применяются только к вц-формулам. Поиск вывода осуществляется путем выведения в ПВ подформул имеющихся в ПВ формул. С одной стороны, выведение подформул осуществляется с помощью правил исключения. Однако не ко всем формулам вывода применимы правила исключения. В такой ситуации, с другой стороны, при поиске вывода необходимо применять вцправила, которые представляют собой переходы от формулы к ее подформулам.16 Поэтому нижеследующее определение выделяет роль таких формул в процессе поиска вывода. Определение 4.2.6. Пусть при построении П-дерева n является последним недостигнутым блоком и j – количество нитей, построенных ранее, следующих из блока n и содержащих только д-блоки. Тогда Ejn = {G1, G2,…, Gs, H1, H2,…, Ht}, s 0, t 0, назовем порождающим множеством формул блока n нити j+1, где G1, G2,…, Gs, H1, H2,…, Ht – все такие вц-формулы;

причем, G1, G2,…, Gs – формулы вида ¬А, А В, А В, к которым не применялись правила исключения, и H1, H2,…, Ht – формулы вида А(), к которым применимо правило вц. Множество Ejn конечно для любых конечных j, n, т.к. все блоки П-дерева конечны (лемма 4.2.1). В свою очередь, конечность множества Ejn позволяет эффективно определять формулу (формулы, если их несколько) наибольшей степени из Ejn. Тогда степень множества Ejn (обозначается «g(Ejn)») есть степень формулы наибольшей степени из Ejn. Используя понятие П-дерева, опишем процесс поиска алго-вывода для произвольной формулы А: 1. Строим 1. Если 1 не является д-блоком, то 2;

Если 1 является д-блоком, то алго-вывод для формулы А построен;

2. Рассматриваем множество E01 = {G1, G2,…, Gs, H1, H2,…, Ht}, Если s = 0, то:

Исключение: переход от A B к ¬А по вц, если B – элементарная формула. Тогда g(A B) = g(¬A).

если t = 0, то А недоказуема. Выход из алгоритма: последовательность формул вывода содержит конечный контрпример. если t 0, то переход к 4. Если s 0, то переход к 3. 3. 4. 5. По формуле G1 из множества E01 строится новый блок 2;

переход к 5. По формуле H1 из множества E01 строится новый блок 2;

переход к 5. Проверяется, является ли 2 д-блоком.

Если да, то возвращаемся к 1. Если нет, то рассматривается множество Е02 = {G’1, G’2,…, G’s, H’1, H’2,…, H’t}. Множество Е02 отличается от множества E01 = {G1, G2,…, Gs, H1, H2,…, Ht} тем, что, с одной стороны, некоторые формулы, которые входили в E01 и были вц-формулами, таковыми не являются, а, с другой стороны, в последовательности вывода могут появиться новые вц-формулы, которые и войдут в Е02. И т.д. Грубо говоря, мы начинаем работать с самой левой нити в П-дереве. Если блок становится д-блоком, то нить, содержащая д-блок, обрывается, в нити мы переходим на один «уровень» выше (такая процедура называется бэктрэкингом от английского «backtracking») и начинаем работать с блоком, из которого непосредственно следует д-блок. Если этот блок не становится д-блоком, мы рассматриваем порождающее множество этого блока. Если оно пусто, то построение нити (а вместе с ней и всего Пдерева) обрывается, т.к., по определению П-дерева, мы не можем далее строить блоки, непосредственно следующие за этим блоком. Если порождающее множество этого блока непусто, мы строим новый блок, непосредственно следующий за данным. Допускается бесконечное порождение блоков (например, по правилу вц), каждый из которых непосредственно следует за предыдущим, т.е. допускается наличие бесконечной нити в П-дереве, а значит, бесконечных П-деревьев. Все блоки в такой нити являются не достигнутыми (иначе с помощью бэктрэкинга нить обрывается). Значит, ветвление в этой нити невозможно, что, в свою очередь, влечет единственность бесконечной нити в П-дереве.

Ветвление в П-дереве образуется следующим образом. Пусть из блока №1 следует блок №2 и блок №2 является д-блоком, тогда, по определению П-дерева, мы возвращаемся (бэктрэкинг) к блоку №1. При этом порождающее множество блока №1 непусто и сам блок №1 не является д-блоком. Значит, мы строим блок №3, который также непосредственно следует за блоком №1. Таким образом, в данном П-дереве из блока №1 непосредственно следуют два блока – блок №2 и блок №3, т.е. имеет место ветвление. Далее мы покажем, что в П-дереве имеет место только конечное ветвление, т.е. в П-дереве не существует блока, из которого непосредственно следует бесконечное количество блоков. Таким образом, алгоритм по очереди (слева направо) просматривает все нити П-дерева. С помощью понятия порождающего множества (Определение 4.2.6) мы исследуем взаимоотношения между формулами, которые входят в блоки, (непосредственно) следующие друг за другом в одной нити П-дерева. Тот факт, что при увеличении числа блоков в нити степень новых порождающих множеств не увеличивается, устанавливется Леммой 4.2.7. Пусть n непосредственно следует за k, k < n, и En, Ek – соответственно, порождающие множества из n и k, тогда g(En) g(Ek). Доказательство: возвратная индукция по количеству n блоков, непосредственно следующих за k. Индуктивное предположение: допустим, лемма верна для i < n. Индуктивный шаг: покажем, что лемма верна для i = n. Рассмотрим Ek и En. En (возможно) отличается от Ek новыми формулами, которые добавляются в последовательность вывода либо 1) по некоторому правилу введения, либо 2) по некоторому правилу исключения. Рассмотрим случай 1. Пусть G Ek – формула, к которой применяется некоторое вц-правило при порождении n и М – первая цель (формула) в n. Значит, по свойству вц-правил, g(M) < g(G). По свойству ц-правил, g(M’) < g(M), где M’ – произвольная (не первая) подцель из n. Значит, g(M’) < g(G). Поскольку применение правил введения в n детерминируется целями этого блока, g(Y) g(M), где Y – произвольная формула, полученная по правилам введения в n. Из g(Y) g(M) и g(M) < g(G) следует g(Y) < g(G).

Рассмотрим случай 2. Если формула Y получена по некоторому правилу исключения, то g(Y) < g(X), где X – (большая) посылка этого правила и X Ek.17 Итак, добавленные к Ek новые формулы (образующие En) имеют степень меньшую, чем степень формул из Ek. С другой стороны, из Ek в En перешли все формулы вида А(). Отсюда, g(En) g(Ek). По индуктивному предположению, лемма верна для всех порождающих множеств из предыдущих блоков. Значит, g(En) g(Ek), для любых n, k. Доказано.

§ 4.3. Семантическая полнота алгоритма Доказательство теоремы о семантической полноте алгоритма состоит из следующих этапов. Показываем конечность ветвления в произвольном П-дереве, т.е. из Конечность ветвления в произвольном П-дереве позволяет применить к ПДанная бесконечная нить создается канонически: в этой нити возможно Рассматривая П-дерево отметим, прежде всего, что в общем случае для логики предикатов оно не будет конечным, как для логики высказываний [Шангин], [Шангин1]. Лемма 4.3.1. В произвольном П-дереве за каждым блоком непосредственно следует только конечное число блоков. Доказательство: полная индукция по степени g порождающего множества Ek из произвольного блока k. Мы допускаем, что за блоком k следует бесконечное число блоков. Базис: g = 0. Если g = 0, то порождающее множество в k пусто и построение новых блоков, непосредственно следующих за k, невозможно. Допущение неверно. Значит, за блоком k следует конечное число блоков. Индуктивное предположение: лемма верна для произвольного g < n.

некоторого блока в П-дереве непосредственно следует конечное число блоков. дереву лемму Кенига [Knig] для определения бесконечной нити в П-дереве. построение модельного множества [Hintikka1].

Если правило исключения двухпосылочно, то X – большая посылка.

Индуктивный шаг: лемма верна для g = n. В П-дереве имеем блок k, из которого непосредственно следует бесконечное количество блоков. Согласно свойствам П-дерева, из этого факта вытекает следующее: (1) (2) блок с такими свойствами единственен в данном П-дереве;

18 все следующие в П-дереве за k блоки суть д-блоки, но сам k не является дИз (1) и индуктивного предположения следует, что все нити в таком дереве конечны. Т.к. бесконечность длины нити в П-дереве – это результат потенциально неограниченного количества применений вц, то все непосредственно следующие за k блоки не были получены по правилу вц. Более того, т.к. k остается не достигнутым блоком и все непосредственно следующие за k блоки суть д-блоки, то между этими блоками и k имеет место только слабое непосредственное следование,20 т.е. для любого j, А() Ejk, ¬A Ejk, A B Ejk, A B Ejk. Таким образом, для любого j, Ejk состоит только из формул вида A B, A B. Пусть в E1k имеется, скажем, t формул вида A B, A B. Допустим, что ко всем этим формулам алгоритм применяет вц-правила, порождая, таким образом, в Пдереве t блоков, которые непосредственно следуют из блока k. Тогда в Et+1k не входят формулы из E1k. По лемме 3.3.7, g(Ek+1) g(Ek), если в Ek входят формулы вида А() или некоторые формулы максимальной степени из Ek перешли в Ek+1. Т.к. для любого j, А() Ejk, то А() Etk. С другой стороны, мы показали, что в Et+1k не входят формулы из E1k. Отсюда g(Et+1k) < g(E1k), т.е. добавленные в порожденное множество блока k формулы из блоков, следующих за k, имеет степень меньшую, чем формулы, входящие в E1k.

блоком. Если допустить наличие бесконечного ветвления в одном блоке П-дерева, то механизм перехода от блока к блоку с помощью бэктрэкинга запрещает возникновение второго блока с бесконечным ветвлением. 19 Автомат порождает блоки, следующие из данного блока, затем посредством бэктрэкинга опять возвращается к k и т.д., т.е. алгоритм «зацикливается» на блоке k. 20 В противном случае достижимость этих блоков привела бы к достижимости k.

Поскольку для любого j, Ejk конечно, алгоритм в конце концов исчерпает Ejk, скажем, на шаге h, t < h. Тогда g(Ehk) =, что противоречит условию о бесконечном ветвлении блока k. Доказано. Прежде чем перейти к доказательству теоремы о семантической полноте алгоритма, зададим некоторые определения [Непейвода]. Определение 4.3.2. П-дерево является достигнутым, если все блоки этого Пдерева суть д-блоки. Если все блоки П-дерева суть д-блоки, значит, П-дерево конечно. Таким образом, некоторому достигнутому П-дереву соответствует счетное множество конечных алго-выводов. Поскольку все конечные алго-выводы суть завершенные BMV-выводы (теорема 4.1.2), Теперь каждому нужно достигнутому на П-дереву соответствует каких бесконечное алго-выводов множество завершенных BMV-выводов. ответить вопрос, множество соответствует недостигнутому П-дереву. Определение 4.3.3. Назовем нить незапертой, если или бесконечна или заключительный блок k из не является д-блоком и порождающее множество формул блока k пусто. Незапертая нить, таким образом, бывает либо бесконечной (в этом случае она состоит только из недостигнутых блоков), либо конечной (в таком случае она оканчивается недостигнутым блоком и дальнейшее построение блоков в данной нити невозможно). Определение 4.3.4. П-дерево является недостигнутым, если оно содержит незапертую нить. После того, как мы установили конечность ветвления в произвольном Пдереве (лемма 4.3.1), можно применить лемму Кенига, согласно которой бесконечное П-дерево с конечным ветвлением содержит бесконечную нить [Knig], [Непейвода]. Напомним, что в П-дереве бесконечная нить, если она существует, единственна. Поэтому зададим построение этой нити так, чтобы она всегда содержала опровергающую модель. Т.е. множество формул, принадлежащих этой нити, должно образовывать множество Хинтикки [Hintikka], [Hintikka1].

Пусть – незапертая (конечная или бесконечная) нить в П-дереве, – множество неисключенных формул вывода, принадлежащих, и Т() – множество термов из формул в. Тогда справедлива Лемма 4.3.5. Для любых формул А и В из верно: 1. (а) A ¬A, (б) ¬A A, 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. ¬¬A A, A & B A и B, ¬(A & B) ¬A или ¬B, A B A или B, ¬(A B) ¬A и ¬B, A B ¬A или B, ¬(A B) A и ¬B, A() A(/t), для всех t из T(), ¬A() ¬A(/t), для некоторого t из T(), A() A(/t), для некоторого t из T(), ¬A() ¬A(/t), для всех t из T().

Доказательство. (1а) По условию, незаперта, значит, она содержит только недостигнутые блоки. Причем, последней целью в этих блоках является цель противоречие. Значит, эта цель не достигнута, т.е. в множестве вывода нет противоречащих формул. (1б) Аналогично (1а). (2) По BMV-правилу ¬и. (3) По BMV-правилу &и. (4) Если ¬(А & В), то по правилу ¬вц текущей целью становится формула А & В. Разбиваем эту цель на подцели А и В, начиная работать с первой. Если А недостижима, то в вводится ¬А в качестве посылки. Если А достижима, то в качестве посылки в вводится ¬В. (Один из этих случаев должен иметь место, т.к. А & В недостижима и незаперта.) (5) Если А В и ¬А, то формула В выводима по и. Если А В и ¬А, то возможно два подслучая. (а) Либо к формуле А В применяется вц-правило вц и текущей целью становится формула ¬А. Из нее по правилу ¬ц вводим формулу ¬¬А в качестве посылки в множество. Из ¬¬А по ¬и получаем А. (б) Либо формула А В получена по в из формулы А (В). (6) По BMV-правилу ¬и. (7) Если А В и А, то формула В выводима по и. Если А В и А, то к формуле А В применяется вц-правило вц и текущей целью становится формула А. Из нее по правилу ¬ц вводим формулу ¬А в качестве посылки в. (8) Аналогично (4). (9) Если A(), то квантор общности снимается по новой неабсолютной переменной x;

в алго-выводе появляется формула A(x) и на формулу A() ставится метка М1, запрещающая применение к этой формуле правила и. Данная метка в дальнейшем снимается, если: (а) все формулы вида A() из множества отмечены М1 и (б) все иные формулы из множества отмечены М0, т.е. к ним применены те или иные правила алгоритма. В такой ситуации к каждой формуле вида A() из множества применяется правило вц. Согласно формулировке этого правила, квантор общности снимается по некоторым определенным термам из множества, т.е. по всем термам из Л(), по которым квантор общности еще не снимался. (10) Если ¬A(), то по правилу ¬вц текущей целью становится формула A(). Применяем к этой цели правило ц и получаем формулу A(y), где y – новая абсолютная переменная. Т.к. A(y) недостижима, то применяем к ней правило ¬ц и в множество вводится ¬A(y) в качестве посылки. При этом на формулу ¬A() ставится метка М5, не позволяющая еще раз применить к ней правило ¬вц. (11) Если A(), то по правилу и получаем формулу A(y), где y – новая абсолютная переменная. При этом на формулу A() ставится метка М0, не позволяющая еще раз применить к ней правило и. Если на формуле A() уже стоит метка М0, таким образом, A() получена по в из формулы A(t), для некоторого терма t. (12) Аналогично (9): к формуле ¬A() применяется правило ¬и и выводится формула ¬A(). Доказано.

Определение 4.3.6. Литералами для формулы А называется множество элементарных формул или их отрицаний в А. Теорема 4.3.7. Если формула А семантически следует из (возможно, пустого) множества посылок Г, то существует алго-вывод А из Г. Доказательство. из Г. Если не существует алго-вывода А из Г, то имеется недостигнутое П-дерево (связь алго-вывода и П-дерева). По определению 4.3.4, недостигнутое П-дерево содержит незапертую нить. Множество формул вывода из является множеством Хинтикки (лемма 4.3.5). Значит, множество литералов из представляет собой такую интерпретацию, при которой все формулы из Г истинны, а формула А ложна [Hintikka1]. Таким образом, если не существует алго-вывода А из Г, то А семантически не следует из Г. Доказано. Теорема 4.3.8. Система BMV семантически полна. Доказательство: из Теоремы 4.3.7 и того факта, что всякий алгоритмический вывод есть завершенный вывод в системе BMV. Доказано. Покажем, что справедлива контрапозиция данного утверждения, т.е. если не существует алго-вывода А из Г, то А семантически не следует Заключение Диссертационное исследование посвящено автоматическому поиску натурального вывода типа Куайна в классической логике предикатов. Специфика данной системы натуральной вывода – наличие прямого правила удаления квантора существования и наличие абсолютно и относительно ограниченных переменных. Отсюда следует, что в общем случае между посылками и заключением вывода не имеет место отношение логического следования, поскольку формулировка прямого правила удаления квантора существования позволяет от общезначимых посылок переходить к необщезначимым заключениям. Для обеспечения корректности системы наряду с понятием вывода (доказательства) в системе (Определение 2.1.3) вводится понятие завершенного вывода (завершенного доказательства), т.е. такого вывода (доказательства), в неисключенные посылки и заключение которого не входит ни одна абсолютно ограниченная переменная данного вывода (доказательства).21 Относительно завершенного вывода (завершенного доказательства) в системе натурального вывода предлагается доказательство утверждения о семантической непротиворечивости (Теорема 2.2.4), т.е. в произвольном завершенном выводе (доказательстве) между посылками и заключением имеет место отношение логического следования. Таким образом, всякая формула, доказуемая в системе, общезначима. Доказательство теоремы о семантической непротиворечивости системы опирается на предложенное У. Куайном доказательство теоремы о семантической непротиворечивости. Отметим, что в системе У.Куайна (а значит, в предложенном им доказательстве теоремы о семантической непротиворечивости) существенным образом используется алфавитный порядок, заданный на множестве используемых в языке переменных. Система BMV не предполагает наличие алфавитного порядка на множестве используемых в выводе переменных. Поэтому доказательство теоремы о семантической непротиворечивости системы натурального вывода, предложенное У. Куайном, не обобщается на систему BMV.

Определение 2.1.4.

В связи с этим вводится понятие пассивной переменной в BMV-выводе (доказательстве), т.е. такой абсолютно ограниченной переменной в BMV-выводе (доказательстве), которая не ограничивает относительно ни одну абсолютно ограниченную переменную данного BMV-вывода (доказательства).22 Показывается, что в произвольном алго-выводе всегда найдется пассивная переменная (Лемма 2.2.4). Далее предлагается алгоритм поиска вывода в данном исчислении, который является модификацией алгоритма поиска натурального вывода, разработанного В.А. Бочаровым, А.Е. Болотовым и А.Е. Горчаковым. С использованием теоремы о семантической непротиворечивости системы натурального вывода BMV показывается, что данный алгоритм обладает свойством семантической непротиворечивости, поскольку каждый вывод (доказательство), полученный алгоритмом, является выводом (доказательством) в системе BMV (Теорема 4.1.2). Понятие вывода (доказательства) в системе BMV предполагает, что в выводе (доказательстве) ни одна переменная не ограничивает сама себя. Переменная ограничивает другую переменную согласно формулировкам правил в, и. Экспликация отношения ограничения показывает, что данное отношение, заданное на множестве переменных вывода (доказательства), обладает свойствами иррефлексивности (ни одна переменная не ограничивает сама себя) и транзитивности (если переменная x ограничивает переменную y и переменная y ограничивает z, то переменная x ограничивает переменную z). Таким образом, отношение ограничения, заданное на множестве переменных вывода (доказательства), является отношением строгого (частичного) порядка. В силу того, что теория строгого порядка разрешима, процедура проверки, ограничивает ли произвольная переменная сама себя, конечна для произвольного завершенного вывода (доказательства). Встроенный в алгоритм поиска вывода стандартный алгоритм унификации адаптирован для работы с абсолютно и относительно ограниченными переменными и содержит вышеупомянутую процедуру поиска в выводе (доказательстве) переменной, которая ограничивает сама себя.

Определение 2.2.1.

Минимальной единицей алгоритмического вывода является блок – непустая, конечная последовательность формул. Последовательность блоков образует собой древовидную структуру – дерево поиска вывода, в котором переход от одного блока к другому осуществляется с помощью правил поиска вывода. Показывается конечность ветвления для произвольного блока в произвольном дереве поиска вывода (Лемма 4.3.1). Опираясь на представление алгоритмического натурального вывода в виде древовидной структуры, выделяется некоторая нить данного дерева, множество формул в которой образует множество Хинтикки (модельное множество). Таким образом, если для некоторой выводимости формулы из (возможно, пустого) множества посылок невозможно построить алгоритмический вывод, то данная формула логически не следует из данного множества посылок и алгоритмический вывод содержит (возможно, бесконечную) контрмодель, т.е. такую интерпретацию, при которой все формулы из данного множества посылок принимают значение «истина», а данная формула принимает значение «ложь». Отсюда следует по контрапозиции, что предложенный алгоритм поиска натурального вывода типа Куайна в классической логике предикатов первого порядка обладает свойством семантической полноты, т.е. для любой общезначимой формулы классической логики предикатов можно построить вывод в предложенном алгоритме (Теорема 4.3.7). Поскольку всякий алгоритмический вывод есть вывод в системе BMV, из утверждения о семантической полноте алгоритма следует утверждение о семантической полноте системы BMV (Теорема 4.3.8). В ходе диссертационного исследования обнаружены следующие проблемы, требующие дальнейшей разработки: a. теорема о семантической полноте системы BMV тривиально следует из теоремы о семантической полноте алгоритма поиска вывода в системе BMV. Однако остается невыясненной возможность прямого, а не косвенного доказательства теоремы о семантической полноте системы BMV (например, установлением факта, что все, что доказуемо в стандартном гильбертовском исчислении, имеет завершенное доказательство в системе BMV).

b. обобщение изложенного алгоритма и прямого метода доказательства теоремы о семантической полноте на неклассические логики предикатов (интуиционистскую, релевантную и др.). Учитывая, что пропозициональный вариант алгоритма для классической логики обобщается на интуиционистскую логику высказываний, выдвигается гипотеза, что указанные в работе методы применимы к неклассическим логикам предикатов. c. решение для предложенного алгоритма проблемы поиска минимальных контрмоделей: если некоторая формула имеет как конечную, так и бесконечную контрмодель, то в процессе поиска вывода алгоритм не всегда предлагает конечную контрмодель. При этом предполагается, что построение алгоритмом бесконечной контрмодели в случае, если имеется возможность построения конечной контрмодели, неэффективно с точки зрения вычислимости. d. создание дедукции. машинной реализации для данного алгоритма в виде компьютерной программы, которая позволит облегчить усвоение и запоминание основ Литература • • • [Andrews] [Basin et al] [Bocharov et al] Andrews, P. Transforming matings into natural deduction proofs Basin, D., Matthews, S. and L. Vigano. Natural deduction for Bocharov, V., Bolotov, A., Gorchakov, A. and V. Shangin. // 5th Conference on Automated Deduction, 1980. non-classical logics // Studia Logica, vol. 60, №1, 1998. Proof-searching algorithm in first order classical natural deduction calculus // 12th International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science. Oviedo (Spain), August 7-13, 2003. • • [Bochmann] [Bolotov & Fisher] Bochmann, G. Hardware specification with temporal logic: an Bolotov, A. and M. Fisher. A resolution method for example // IEEE Transactions on computers, vol. C-31, №3, 1982. computational tree branching time temporal logic // IV International workshop on temporal representation and reasoning (TIME’97). Florida, 1997. • • • • • • • • • [Byrnes] [Church] [Church1] [Copi] [Fitch] [Hintikka] [Hintikka1] [Jaskowski] [Kalish] Byrnes, J. Proof search and normal forms in natural deduction. Church, A. A note on the Entscheidungsproblem // The Journal Church, A. Correction to A note on the Entscheidungsproblem // Copi, I. Symbolic logic. 3rd ed. New-York, London, 1967. Fitch, F. Symbolic logic. New York, 1952. Hintikka, J. A new approach to sentential logic // Societas Hintikka, J. Notes on the quantification theory // Societas Jaskowski, S. On the rules of suppositions in formal logic // Kalish, D. Review of Copi: Symbolic logic. 3rd ed. New-York, PhD thesis, Pittsburgh, 1999. of Symbolic Logic, vol. 1, №1, 1936. The Journal of Symbolic Logic, vol. 1, №3, 1936.

Scientarium Fennica Commentationes Physico-Mathematicae XVII, 2, 1957. Scientarium Fennica Commentationes Physico-Mathematicae XVII, 11, 1957. Studia Logica, №1, 1934. London, 1967 // The Journal of Symbolic Logic, vol. 39, №1, 1974.

• • [Knig] [Li] Knig, D. Theorie der endlichen und unendlichen graphen, Li, D. Unification algorithms for eliminating and introducing Akademische Verlagsgesellschaft M.B.H., Leipzig, 1936. quantifiers in natural deduction automated theorem proving // Journal of Automated Reasoning, vol. 18, №1, 1997. • • • • • [Pelletier] [Pelletier1] [Pelletier2] [Pelletier3] [Pollock] Pelletier, F.J. Automated natural deduction in THINKER // Pelletier, F.J. A brief history of natural deduction // History and Pelletier, F.J. Seventy-five graduated problems for testing Pelletier, F.J. Errata for 75 problems // Journal of Automated Pollock, J. Skolemization and unification in natural deduction, версия статьи доступна по адресу: http://oscarhome.socStudia Logica, vol. 60, №1, 1998, доступна по адресу: http://www.cs.ualberta.ca/~jeffp/. Philosophy of Logic, vol. 20, 1999, доступна по адресу: http://www.cs.ualberta.ca/~jeffp/. automatic theorem provers // Journal of Automated Reasoning, 1986. Reasoning, № 4, 1988. неопубликованная • • • • • • • [Portoraro] [Quine] [Robinson] [Sieg] [Sieg & Byrnes] [Анисов] [Болотов и др.] sci.arizona.edu/ftp/publications.html. Portoraro, F. Strategic constructions of Fitch-style proofs // Quine, W. On natural deduction // The Journal of Symbolic Robinson, J. A machine-oriented logic based on the resolution Sieg, W. Mechanism and search: aspects of proof theory. Sieg, W. and J. Byrnes. Normal natural deduction proofs (in Анисов А.М. Современная логика. М., ИФРАН, 2003. Болотов А.Е., Бочаров В.А., Горчаков А.Е. Алгоритм поиска Studia Logica, vol. 60, №1, 1998. Logic, vol. 15, №2, 1950. principle // Journal of the ACM, vol. 12, №1, 1965. Pittsburgh, 1992. classical logic) // Studia Logica, vol. 60, №1, 1998.

вывода в классической логике предикатов // Логические исследования. Вып. 5. М., Наука, 1998.

• [Болотов и др.1] Болотов А.Е., Бочаров В.А., Горчаков А.Е. Алгоритм поиска вывода в классической пропозициональной логике // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. М., ИФРАН, 1996. • 2004. • • [Болотов и др.2] (Серия Болотов А.Е., Бочаров В.А., Горчаков А.Е., Макаров В.В., – неограниченные В.А., Маркин возможности В.И. Основы и возможные логики. М., Шангин В.О. Пусть докажет компьютер // Логика и компьютер. Вып. 5. М., Наука, «Кибернетика ограничения».) [Бочаров и Маркин] Бочаров [Бочаров] Космополис, 1994. Бочаров В.А. Исчисление предикатов с универсалиями (II. Семантика) // Логические методы в компьютерных науках. (Труды научно-исслед. семинара по логике Ин-та философии АН СССР);

Сб. ст. / Редкол.: Смирнов В.А. (отв. ред.) и др. М., ИФАН, 1991. • [Братко] Братко И. Программирование на языке Пролог для интеллекта: Пер. А.И. Лупенко, А.М. Степанова / под ред. искусственного • • А.М. Степанова. М., Мир, 1990. [Войшвилло] [Войшвилло1] Войшвилло Е.К. Понятие. М., Изд-во МГУ, 1967. Войшвилло Е.К. Процедура поиска доказательства для формул системы Е // Войшвилло Е.К. Философско-методологические аспекты релевантной логики. М., МГУ, 1989. • [Генцен] Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода: Пер. с англ. А.В. Идельсона / Под ред. А.В. Идельсона и Г.Е. Минца. М., Наука, 1967. • • [Ивлев] [Макаров] Ивлев Ю.В. Логика: Учебник для высших учебных Макаров В.В. Алгоритм поиска натурального вывода для заведений. 2-е изд., перераб. и доп. М., Логос, 1997. интуиционистской логики высказываний //

Автореферат диссертации на соиск. учен. степ. канд. филос. наук. М., Соцветие красок, 2002. • • [Мендельсон] [Минц] Мендельсон Э. Введение в математическую логику: Пер. с Минц Г.Е. Теорема Эрбрана // Математическая теория англ. Ф.А. Кабакова / Под ред. С.И. Адяна. 2-е изд., испр. М., Наука, 1976. логического вывода: Под ред. А.В. Идельсона и Г.Е. Минца. М., Наука, 1967.

• • • [Непейвода] [Смирнов] [Смирнов и др.] Непейвода Н.Н. Прикладная логика: Учебное пособие. 2-е Смирнов В.А. Теория логического вывода. М., РОССПЭН, Смирнов В.А., Маркин В.И., Новодворский А.Е., Смирнов изд., испр. и доп. Новосибирск, Изд-во Новосиб. ун-та, 2000. 2000. А.В. Доказательство и его поиск (курс логики и компьютерный практикум) // Логика и компьютер. Вып. 3. М., Наука, 1996. (Серия «Кибернетика – неограниченные возможности и возможные ограничения».) • • [Смирнов-мл.] [Смирнов-мл.1] Смирнов А.В. Система интерактивного доказательства Смирнов А.В. Язык описания логических систем для теорем // Логические исследования. Вып. 2. М., Наука, 1993. автоматического поиска доказательства // Автореферат диссертации в виде научного доклада на соиск. учен. степ. канд. филос. наук. М., 1998. • • [Чень и Ли] [Шангин] Чень Ч., Ли Р. Математическая логика и автоматическое Шангин В.О. Теорема корректности для алгоритма поиска доказательство теорем. Пер. с англ. / Под ред. С.Ю. Маслова. М., Наука, 1983. вывода в классической пропозициональной логике // Материалы VI Международной научной конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». СПб., СПбГУ, 2000. • [Шангин1] Шангин В.О. Автоматический поиск натурального вывода в интуиционистской логике и проблема дубликации // Материалы VII Международной научной конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». СПб., СПбГУ, 2002. • [Шангин2] Шангин В.О. Метатеоретические свойства натурального вывода // Материалы IV Международной конференции «Смирновские чтения». М., ИФРАН, 2003. • [Шангин3] Шангин В.О. Автоматический поиск натурального вывода в интуиционистской логике и проблема дубликации // Аспекты, Том 2. М., Современные тетради, 2003. • [Шанин] Шанин Н.А., Давыдов Г.В., Маслов С.Ю., Минц Г.Е., Оревков В.П., Слисенко А.О. Алгорифм машинного поиска естественного логического вывода в исчислении высказываний. Л., Наука, 1964.

Pages:     | 1 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.