WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 | 2 ||

«Министерство образования и науки РФ Московский физико-технический институт (государственный университет) На правах рукописи Челноков Федор Борисович Численное моделирование деформационных динамических ...»

-- [ Страница 3 ] --

Глава 7 Распространение упругих волн в перфорированных средах Жилищные и промышленные сооружения состоят из стен, балок и перекрытий и содержат регулярную структуру пустых полостей — внутренних помещений, следовательно, являются по своей структуре перфорированными средами. При конструировании зданий прибегают, как правило, только к статическим оценкам их стойкости. Однако большое количество причин, вызывающих разрушение сооружений, являются именно динамическими и носят волновой характер. Это обуславливает пристальные интерес, возникший в настоящее время, к решению динамических задач в неоднородных, пористых телах. Здания являются, чаще всего, прямоугольными параллелепипедами, также как и их внутренний полости. Поэтому такого рода объекты наилучшим образом подходят для применения к ним численных методов, основанных на регулярных кубических (квадратных) сетках. Ячейки сетки не требуют деформирования, и поэтому ее построение крайне просто. Неодносвязность сетки не является препятствием в данном случае. Недеформированная сетка позволяет проводить расчеты в каждом узле с максимальным шагом интегрирования, что заметно повышает точность результата. Особого упоминания заслуживают реализованные схемы для граничных узлов в сетке. При наличии даже нескольких полостей в теле упругие волны мно Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ гократно отражаются от границы каждой из полостей, а результирующая картина формируется интерференцией всех отражений. Поэтому в таких узлах была использована сеточно-характеристическая схема, позволяющая корректно учитывать граничные условия. Расчеты в данной главе были проведены не только в двумерной, но также и в трехмерной постановке. Их анализ выявил интересную особенность распространения волн в решетчатых конструкциях. Широко известно, что в однородной изотропной среде фронты волн от точечного источника имеют сферическую форму. В перфорированной конструкции с большим количеством полостей, форма фронтов возмущения существенно меняется.

7.1.

Двумерная постановка задачи Результаты двумерного моделирования процесса распространения ди намической нагрузки для перфорированной конструкции в сравнении с монолитной представлены на рис. 7.1. Для конструкции с внутренними полостями численный эксперимент предсказывает для волнового фронта форму близкую к конусу. Попробуем установить, что является тому причиной. Если размеры полостей увеличивать, то в пределе конструкция будет состоять из стержней бесконечно малой ширины, расположенных вертикально или горизонтально. В стержне волна может распространяться только в одном направлении, совпадающем с ориентацией стержня. Поэтому, чтобы из начала координат, являющегося к тому же точкой пересечения стержней, возмущение распространилось в точку (x, y), ему необходимо проделать путь |x| + |y|. Выражение |x| + |y| = ct (c — скорость звука в стержне) задает форму волнового фронта в момент времени t. Это уравнение определяет прямоугольный ромб. При источнике возмущения, расположенном на границе тела, видна только половина этого ромба — равнобедренный Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ Рис. 7.1. Поле скоростей в перфорированной и однородной средах. Сверху нагрузка приложена в горизонтальном направлении, снизу — в диагональном. Область приложения нагрузки одна и та же.

Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ прямоугольный треугольник. Также на рис. 7.1 заметно образование вихревых структур, причем как в монолитной, так и в перфорированной конструкциях.

7.2.

Трехмерная постановка задачи В этом разделе собраны результаты расчетов воздействия на трехмер ные конструкции, которые представляли собой сплошной или перфорированный куб с физическими размерами [0, 1] [0, 1] [0, 1] и следующими упругими параметрами: = µ = 1, = 1.

Внешнее воздействие моделировалось единичным начальным давлением в круговой области с центром в заданной точке r0 и радиусом 0.07. В расчетах, прежде всего, был интересен фронт распространения возмущения. Поэтому на рисунках 7.2 – 7.6 представлены изоповерхности модуля скорости в разные моменты времени. Изоповерхности раскрашены в цвета радуги от красного (максимальная величина скорости) до фиолетового. Для большей наглядности куб рассекался плоскостью, и на рисунках присутствует только одна его половина. В теле использовалась достаточно мелкая сетка (см. таблицу 7.1), однако, перед передачей в программу для визуализации из-за ее ограничений сетка огрублялась до 26 26 26, поэтому поверхности на рисунках имеют хорошо различимые ступеньки. На рис. 7.2 представлен сплошной куб, в котором возмущение было строго в центре. Как и следовало ожидать, сферически симметричные начальные условия приводят к образованию сферических волн. Начиная с момента времени t/tmax = 0.30 различимы уже две волны (два пика модуля скорости): вначале идет волна сжатия со скоростью частиц среды направленной от центра, затем — волна растяжения: частицы движутся обратно к центру. В момент времени t/tmax = 0.45 начинается отражение от сво Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ бодных границ куба, скорости у его поверхностей возрастают вдвое. При t/tmax = 0.60 хорошо различимы отраженные волны от всех пяти видимых граней куба, которые интерферируют с падающими волнами. На рис. 7.3 представлены результаты расчетов бокового удара по монолитному телу. Хотя фронты волн, распространяющихся внутрь тела, остаются сферическими, природа этих волн различна. В предшествующем расчете из-за наличия сферической симметрии в начальные моменты времени задача была, по сути, одномерной. Здесь мы имеем дело уже с осевой симметрией, при которой независимыми являются две пространственные переменные. При этом возможно формирование двух типов волн: продольных и поперечных. Из того, что первая волна на рис. 7.3 заметно опережает вторую, можно сделать вывод о том, что вначале идет продольная волна, а следом — поперечная. На рис. 7.4 и 7.5 показан один и тот же процесс распространения возмущения с центром ближе к одному из углов куба в теле с регулярной структурой внутренних полостей 888. Отличия между рисунками в выбранных на них разрезах и ракурсах обзора. Рисунки демонстрируют, как упругая волна огибает пустоты в теле. Максимальная величина выводимой изоповерхности модуля скорости зафиксирована в меньшем значении, чем для других рисунков, поэтому заднего фронта волны не видно. На рис. 7.6 снова поставлена задача бокового удара, как и на рис. 7.3, однако теперь тело является перфорированным. Представленные изображения наглядно демонстрируют, как постепенно, в результате многочисленных отражений от стенок полостей, форма фронта волны меняется от сферической к клинообразной. Объяснение формы волнового фронта такое же, как и в двумерном случае. Если полости пронизывают тело насквозь, и в предельном случае оно переходит в стержневую конструкцию, то форма фронта стремится к Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ поверхности |x| + |y| + |z| = ct, которая является кубом, развернутым своими диагоналями в направлении стержней. Если полости разделены стенками бесконечно тонкой ширины, то путь между произвольной парой точек состоит из двух отрезков, каждый из которых лежит в плоскости одной из стенок. Поверхность путей равной длины в этом случае проходит между сферой однородной среды и кубом решетчатой конструкции. Для каждого варианта расчета в таблице 7.1 сообщаются подробности постановки, включающие структуру полостей S;

тип использованной разностной схемы;

положение центра шара r0, в котором задано начальное давление;

ширины «стены» iw и одной полости ic, измеренные в количестве узлов;

общее количество узлов в задаче I, число выполненных шагов интегрирования N, и затраченное время t на типичном персональном компьютере с процессором AMD Athlon XP 2600+ и 512 Мб памяти. Расчеты велись в предположении малых деформаций, поэтому координаты узлов не хранились, а вычислялись из сеточных параметров: (ih, jh, kh). На всех внешних и внутренних поверхностях тел задавалось условие свободной границы: f = 0 (см. подраздел 1.8.1). Этих данных, с одной стороны, достаточно, чтобы воспроизвести расчеты, если возникнет такая потребность. С другой стороны, по ним можно судить о производительности и эффективности созданной программы.

Таблица 7.1. Детали выполненных расчетов S нет полостей 888 r0 (0.5, 0.5, 0.5) (0.5, 0.5, 1.0) (0.9, 0.8, 0.7) (0.5, 0.5, 1.0) Схема Лакса-Вендроффа iw ic – I 8,120, N t, мин Лакса-Вендроффа 4-го порядка с огранич.

9 15 6,392,601 854, 200 62 Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 0. Рис. 7.2. Распространение упругих сферических волн в однородной среде от источника, расположенного в центре. Центральное сечение куба, параллельное его грани.

Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 0. Рис. 7.3. Распространение упругих волн в однородной среде от источника, расположенного в центре грани куба. Центральное сечение куба, параллельное его грани.

Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 1. Рис. 7.4. Распространение упругих волн в перфорированной конструкции 888 от источника, расположенного ближе к углу куба. Диагональное сечение куба.

Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 1. Рис. 7.5. Распространение упругих волн в перфорированной конструкции 888 от источника, расположенного ближе к углу куба. Центральное сечение куба, параллельное его грани.

Глава 7. РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН В ПЕРФОРИРОВАННЫХ СРЕДАХ t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 0. t/tmax = 0. Рис. 7.6. Распространение упругих волн в перфорированной конструкции 888 от источника, расположенного в центре грани куба. Центральное сечение куба, параллельное его грани.

Глава 8 Высокоскоростной удар по многослойной преграде Изучение процесса взаимодействии ударника с преградой уже долгое время является одной из центральных задач в численном моделировании из-за многообразия возникающих при этом явлений: формирование упругих и пластических волн, образование разрушений, сопровождающихся изменением механических свойств среды, частичной или полной фрагментации преграды. Заказчиком подобных исследований обычно выступает оборонная отрасль, которая заинтересована в совершенствовании средств поражения (пули, снаряды) или, наоборот, оптимизация конструкции защитных сооружений (броня машин и летательных аппаратов, каски и бронежилеты и т. д.) с целью минимизации зон разрушения. В данной главе рассматривается задача динамического деформирования многослойного стекла, происходящего вследствие высокоскоростного удара металлического тела вращения. Для описания поведения материала преграды использовались реологические модели линейно-упругой (закон Гука [2]) и упругопластической сред (модель Прандтля – Рейса с условиями пластичности Мизеса и Мизеса – Шлейхерта [3, 28, 65, 66]. Для учета разрушения использовалась известная модель Майнчена – Сака [67], однако в рамках предлагаемого подхода можно использовать и континуальные модели (см., например, [28, 68]).

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Численное решение рассматриваемых задач велось с использованием сеточно-характеристического метода [18], разработанный для исследования данного класса задач в [19], гибридная [20, 58] и гибридизированная [24] сеточно-характеристические разностные схемы, хорошо зарекомендовавшие себя при решении задач с ярко выраженным волновым характером. Они учитывают распространение разрывов вдоль характеристических поверхностей, позволяют корректно строить численные алгоритмы на границах области интегрирования и поверхностях раздела сред, что реализовано в представленной работе. Примеры численного решения различных задач с помощью этих методов можно найти в [21–23,25–27,30,69–72]. Так, в [25–27] рассматривались волновые процессы, инициированные интенсивными энергетическими нагрузками, в [30,71] исследовались волновые процессы в биосредах, в [21,23] проводилось численное решение задач об особенностях распространения волн в слоистых мишенях. В этих работах численно были получены в одномерном случае эффекты запирания и кумуляции волн в двухпериодических композитах, для двух- и четырехслойных преград в двумерном случае получены картины взаимодействия волн с контактными границами и границами области интегрирования при рассмотрении линейно-упругих задач. Однако хотелось бы кратко отметить и недавно возникшую тенденцию моделирования процессов соударения и других сложных физических явлений для киноиндустрии. В погоне за большим реализмом фильмов были исчерпаны стандартные средства постановки трюков и эффектов (взрывов, выстрелов, аварий): отдельные замыслы режиссера оказываются слишком дорогими в реализации, часть является опасными для участвующих каскадеров, а противоречащие физике эффекты невозможны в принципе. Поэтому сейчас все чаще прибегают к сценам, полностью или частично созданным на компьютере. Движение объектов в них задаются оператором, поэтому зачастую выглядит нереалистично и однообразно. По Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ этому возникает потребность в программных решениях, которые выполняли бы моделирование процессов соударения. Требования к точности счета здесь значительно ниже, однако результат не должен противоречить здравому смыслу зрителя. В работах [8,9] методом конечных элементов ведется моделирование разрушения трехмерных хрупких (стеклянных или керамических) конструкций недеформируемым ударником с развитием многочисленных трещин и образованием отдельных фрагментов. Среди работ аналогичной направленности стоит отметить [41], где с использованием совместного метода, включающего как частицы, так и равномерную сетку, моделируются процессы распространения горячих газов, образующихся в результате взрыва. В [73] на основе конечно-разностного подхода производится расчет воздействия взрывной волны на разрушаемые объекты.

8.1.

Постановка задачи Использовались следующие исходные посылки.

1. Скорость удара, форма ударника, геометрия преграды. Задача решалась в двух вариантах. Осесимметричный вариант расчета позволял эффективно рассчитать трехмерную задачу, однако для этого ударник мог двигаться строго по нормали к поверхности преграды. В этом варианте предполагалось, что ударник представляет собой сферическое тело радиуса R и массы M. Второй или плоский вариант позволял рассчитывать косые удары, однако, в нем все тела — это бесконечные цилиндры с направляющими вдоль третьей оси. Для сопоставления результатов с первым вариантом радиус ударника сохранялся. Задавалась начальная скорость подлета к преграде V0. Преграда полагалась круговой цилиндрической пластиной (или бесконечным бруском), состоящей из n слоев силикатного стекла, разделенных n 1 полимерными прослойками.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ 2. Реология материалов преграды. Каждый отдельный слой в преграде рассматривался как однородный и изотропный, в основе описания которого лежало линейное уравнение связи напряжений и деформаций в виде закона Гука для изотропных тел. Полимерные слои описывались реологическими соотношениями для вязко-упругого материала. Для передачи поведения неразрушенного стекла использовались только соотношения линейно-упругого тела Гука, разрушенного — реология упруго-идеальнопластической среды Прандтля – Рейса с условием пластического течения Мизеса – Шлейхерта. Внутри преграды отмечались зоны вероятного разрушения в соответствии с двумя критериями прочности, которые соответствовали ограничениям на энергию формоизменения (сдвиговый механизм разрушения) и ограничение на максимальное растягивающее напряжение. 3. Реология ударника. Относительно деформационных свойств ударника задача также решалась в двух вариантах. Допускалась, что либо ударник — абсолютно твердое тело, либо — такое же деформируемое тело как и преграда. Модель абсолютно твердого тела хорошо подходит для инденторов из таких материалов как сталь, формоизменением которых во время столкновения можно пренебречь. Инденторы из более мягких металлов, как свинец, должны быть рассчитаны как деформируемые идеальнопластические тела. Все характеристики материалов ударника и преграды сведены в таблицу 8.1.

Таблица 8.1. Параметры материалов многослойной преграды и ударника: k0, a — параметры модели Мизеса – Шлейхерта (8.4), определяющие момент наступления пластического течения для металлов или хрупкости в стекле, bp — временное сопротивление разрыву, 0 — время релаксации, кг/м стекло пластик свинец E · 10, Па 68,7 2,19 16, 0,22 0,39 0, cp, м/с 5600 1900 k0 · 107, Па 100 — 0, a 0,05 — bp · 107, Па 10 2 — 0, с — 0,01 — 2500 1200 Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ 4. Контактные границы между слоями преграды. На контактных границах предполагалось полное слипание, если только максимальное растягивающее напряжение не превышало предела прочности на растяжение 0 = 107 Па. При превышении предела прочности на растяжение в рассматриваемой точке предполагалось отслоение, которое соответствует нулевому нормальному и касательному напряжениям. Однако допускалось, что впоследствии разделившиеся слои опять могли склеиться, если они вновь сближались. Максимальное сдвиговое напряжение между слоями не превосходило доли k = 0.1 от нормального напряжения, где k — коэффициент трения. Для выполнения этого условия допускалось проскальзывание слоев. 5. Контакт ударник – преграда. Полагалось, что контакт между абсолютно твердым индентором и преградой удовлетворяет условию свободного скольжения. Нормальная по отношению к площадке соприкосновения скорость движения приравнивалась скорости движения ударника в проекции на то же направление. Вторым условием служило равенство нулю касательных к поверхности контакта напряжений. Для определения скорости движения недеформируемого ударника численным образом интегрировалось его уравнение движения под действием сил сопротивления, возникающих в деформированной преграде. Вычисление состояния точек деформируемого ударника велось теми же средствами, что и для преграды. 6. Начальные условия и условия на неконтактных границах. В начальные момент времени напряжения в преграде и ударнике отсутствуют, преграда покоится, все точки ударника имеют одинаковую скорость V0. На боковой поверхности преграды, радиус которой значительно больше ее толщины, принималось условие излучения (или сноса:

u r = 0), соответствующее преграде бесконечного радиуса. Тыльная Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ и лицевая стороны преграды считались свободными, на них отсутствовали нормальные и касательные напряжений всюду, кроме точек лицевой стороны, в которых осуществлялось взаимодействие ударника с преградой.

8.2.

Изменение скорости и положения шарика со временем Напряжения, возникающие в преграде непосредственно под ударни ком, препятствуют продвижению шарика и изменяют его скорость согласно закону Ньютона. Возникает следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений: dV /dt = F /M, dR/dt = V, где R и V — координаты и скорость движения шарика, M — его масса, F — сила, действующая на поверхности соприкосновения индентора и преграды. Сила, действующая на единицу контактной поверхности между шариком и преградой, определяется по формуле, p = (sin )2 11 2 (sin cos ) 12 + (cos )2 sin cos где — угол, который составляет прямая, проходящая через данную точку и центр шарика, с осью симметрии. Полная сила F получается интегрированием p по поверхности соприкосновения. В осесимметричном случае отлична от нуля только вторая компонента силы, действующая вдоль оси. Считая, что p, соответствующая углу, действует на бесконечно тонком кольце, вырезанном из сферы, ширины Rd и радиуса R sin, имеющем площадь 2R2 sin d, получаем F = 2R 2 0 sin3 cos 11 2 sin2 cos2 12 + sin cos3 22 d, Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ где 0 — максимальный угол соприкосновения ударника и преграды. При численном интегрировании для удобства делается переход к декартовым координатам: F = 2 R r0 r r2 11 2r (R H z) 12 + (R H z)2 22 dr, где H — глубина погружения шарика в преграду относительно начального положения ее верхней границы. В двумерном случае имеем F = R + (sin )2 11 2 (sin cos ) 12 + (cos )2 sin cos d, где и + — углы, соответствующие наиболее левой и правой точкам соприкосновения ударника и преграды. Отметим, что в предыдущих формулах предполагалось, что шарик в любой момент времени контактирует с преградой только внутри односвязной области на поверхности преграды. Однако в программной реализации этого предположения нет, что соответствует приведенным выше формулам с заменой одного интеграла на сумму нескольких по различным контактным отрезкам.

8.3.

Подвижная расчетная сетка При решении задачи использовалась подвижная регулярная сетка, состоящая из выпуклых четырехугольников. Для расчета новых значений в каждом узле выполнялся переход в систему координат (1, 2 ), связанную с текущими сеточными направлениями в данной точке (см. раздел 1.2). Считалось, что узлы сетки между последовательными слоями по времени движутся с постоянными скоростями c(1, 2 ) относительно неподвижной мировой системы координат. В частном случае, сетка могла быть лагранжевой, тогда скорости движения ее узлов совпадали с рассчитанной скоростью тела в данном узле: c = v. Положение узлов сетки в каждый момент Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ времени определялось интегрированием:

t r (t, 1, 2 ) = r (0, 1, 2 ) + c(, 1, 2 )d.

В расчетах применялась перестройка расчетной сетки по методу, базирующемуся на подходе Иваненко – Чарахчьяна, предложенном в работе [35]. Замена исходной деформированной сетки, соответствующей времени t, на перестроенную проводилась одновременно с интегрированием системы дифференциальных уравнений до времени t +. Узлы сетки приобретают соответствующую скорость в направлении оптимального положения, чтобы за время занять его. Это позволяет снизить аппроксимационные ошибки, возникающие при переинтерполяции искомых функций на новую расчетную сетку и при численном интегрировании от t до t + при использовании лагранжевой сетки. Известно, что подход Иваненко – Чарахчьяна работает достаточно быстро в случае наличия хорошего начального приближения. В данной работе начальным приближением являлась лагранжева сетка с предыдущего шага по времени. Однако из анализа затрачиваемого на расчет времени выяснилось, что время, расходуемое на перестройку сетки, существенно доминирует над временем совершения нескольких шагов разностной схемы, происходящих между последовательными адаптациями сетки. Это может быть объяснено как минимум двумя причинами. Во-первых, использованный сеточно-характеристический метод требует немного вычислительных ресурсов. Кроме того, адаптация сетки проводилась достаточно часто, чтобы шаг по времени не уменьшался существенно (например, в 10 раз), а оптимизированное положение узла сетки попадало бы в одну из ячеек сетки до оптимизации, смежных с данным узлом. Последнее обстоятельство необходимо для устойчивости счета. Во-вторых, при проникновении ударника внутрь преграды происходило растягивание внешней поверхности тела и, чтобы обеспечить равномерность расчетных узлов в теле, происходило их перераспределение вдоль Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ поверхности. При этом возникшие искажения в приграничных ячейках должны были быть распространены на всю сетку вплоть до противоположной границы, что требует числа итераций, пропорционального числу ячеек между ограничивающими поверхностями. Ко второй причине стоит отнести и тот факт, что даже при отказе от поддержания равномерной плотности узлов на границе малая часть сетки непосредственно в окрестности взаимодействия бывает сильно искажена. А искажение при оптимизации снимается за счет движения всех ячеек, хотя большая часть из них, на первый взгляд, не требует корректировки. Отличие от стандартного подхода заключалось в том, что оптимизации подвергается сначала только некоторое небольшое подмножество узлов исходной сетки, составляющее значительно более грубое разбиение области интегрирования, или так называемый скелет сетки. Таким способом производится существенное снижение размерности задачи оптимизации. Узлы оптимизированной грубой сетки фиксируются при последующей перестройке основного множества узлов и одновременно дают хорошее начальное приближение для своих «соседей». В этом приближении, в отличие от первоначального данного, уже требуется лишь локальное уточнение геометрии ячеек, и основной процесс оптимизации на полной сетке проходит значительно быстрее и гарантированно не приходит в ложный локальный минимум. Описанный процесс не обязательно должен быть ограничен однократным выделением подмножества, а может быть превращен в иерархический метод с целым рядом последовательно вложенных в друг друга множеств узлов, что и было реализовано в данной работе. Забегая вперед, представим на рис. 8.1 фрагмент расчетной сетки в окрестности ударника при несимметричном нагружении с начальной скоростью шарика 1500 м/с без адаптации сетки к текущей границе тела. Как уже отмечалось, существенно деформировались лишь ячейки, непосредственно соприкасающиеся с верхней границей, в то время как уже на Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ небольшом расстоянии от нее сетка сохраняет равномерность. Шаг по времени уменьшается более чем в 1000 раз по сравнению с первоначальным шагом в момент касания ударника, счет далее практически невозможен. Рис. 8.2 содержит оптимизированную сетку для той же задачи, достигнутое время в несколько раз больше представленного на рис. 8.1, а едва заметные изломы в линиях сетки соответствуют узлам ее скелета. Вертикальное сгущение сетки на обоих рисунках происходит внутри прослойки.

Рис. 8.1. Отказ от перестройки сетки приводит к вырождению ее ячеек в месте касания тел.

Рис. 8.2. Оптимизация сетки позволяет продолжать моделирование процесса внедрения ударника.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ 8.3.1.

Перестройка сетки как задача оптимизации Введем следующие обозначения: N — множество всех узлов сетки, N N — множество тех узлов сетки, положение которых может быть изменено в процессе перестройки. К последним обычно не относят узлы, располагающиеся на внешних и внутренних границах тела. X = {(xn, xn )|n N } X = {(xn, xn )|n N } 1 2 1 2 — множества координат всех узлов сетки и координат движимых узлов, соответственно. Будем рассматривать глобальную перестройку сетки, которую можно сформулировать как задачу оптимизации функционала I h вида I h : X R, X = argmin I h. (8.1) В противовес локальным методам перестройки, они требуют привлечения всего множества координат узлов для перестройки сетки в любом отдельно взятом месте тела, что далеко не всегда удобно с точки зрения, например, распределенного вычисления отдельных участков тела на разных процессорах. Вторым неудобством глобальной перестройки стоит считать трудность подбора порогов, при достижении которых численный метод минимизации должен прекращать свою работу: в сетке с большим числом общих узлов и одной единственной вывернутой ячейкой значение функционала может быть сколь угодно близко к значению на идеальной сетке, однако вывернутая ячейка будет, по-прежнему, определять малый шаг интегрирования.

Выбор оптимизируемого функционала Особый интерес представляют задачи (8.1), получающиеся в результате дискретизации интеграла I= f dx = f ||d min, f =f x, = det x.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ где (1, 2 ) — система координат, связанная с сеткой, в которой целочисленным парам индексов соответствуют узлы расчетной сетки. Целью оптимизации сетки чаще всего является повышение возможного шага интегрирования на этой сетке. В разделе 1.5 приведены формулы, связывающие максимальный шаг в узле сетки с локальной конфигурацией сетки, выраженной через величины l1 = ||1 x, 2 l2 = ||1 x. Сложность дифференцирования выражений l1 + l2 и max{l1, l2 } представляет трудность для использования их в минимизируемом функционале.

2 2 Наиболее простой похожей функцией представляется f = l1 + l2, следова тельно, I= || x1 + x1 + x2 + x2 d1 d2.

Аналогичное выражение строго выводится в статье [35] при построении функционала, обеспечивающего на получающейся сетке наилучшую билинейную аппроксимацию произвольной функции с ограниченной второй производной.

Дискретизация функционала Для получения дискретной версии функционала I h — алгебраической функции координат узлов — необходимо выбрать • набор точек и квадратурную формулу для приближенной замены интеграла линейной комбинацией значений подынтегрального выражения, вычисленных в точках набора;

• разностные формулы для аппроксимации производных ординаты близлежащих узлов. Произвольный выбор может привести к тому, что значение дискретного функционала для некоторой вырожденной сетки может оказаться не xi j через ко Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ больше, чем для желаемой формы сетки, и процесс минимизации функционала будет лишь ухудшать начальное приближение сетки. Например, если аппроксимировать производные в узлах центральными разностями вдоль соответствующих направлений, то величина дискретного функционала будет одинаковой как для равномерной квадратной сетки, так и для сетки, в которой каждая четная линия i = 2m совпадает со следующей нечетной i = 2m + 1. В ином случае, когда подынтегральное выражение вычисляется лишь в центрах ячеек с приближенной заменой производных суммой значений четырех близлежащих узлов с коэффициентами ± 1, в 2 «оптимальной» сетке ячейки стремятся выродиться в треугольники. Поэтому способ дискретизации [35] представляется наилучшим. В каждой четырехугольной ячейке рассматриваются четыре (пересекающихся) треугольника с теми же вершинами (в плоскости (1, 2 ) треугольники будут прямоугольными). Функция x() внутри каждого треугольника считалась линейной, а ее производные xi j и, следовательно, все подынтеграль ное выражение являлись постоянными (формулы линейной интерполяции в треугольнике и вычисления производных приведены в главе 4). Интеграл от постоянной величины по треугольнику равен произведению площади треугольника на эту величину. Так как суммарная площадь четырех треугольников равна удвоенной площади ячейки, то и сумма интегралов, каждый из которых опирается на один из четырех типов треугольников из разных ячеек, будет аппроксимировать удвоенную величину минимизируемого функционала. Заслуживает внимания факт того, что величина ввиду линейности x() в треугольнике равна удвоенной площади этого треугольника. А наличие в знаменателе подынтегрального выражения гарантирует, что ни один из треугольников не может выродиться, приобретя нулевую площадь, поскольку это приведет к бесконечно большому значению минимизируемого функционала. Таким образом, приведенные выше примеры вырождения сетки здесь невозможны.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Замена всего интеграла суммой интегралов по отдельным треугольникам справедлива лишь, когда все ячейки являются выпуклыми четырехугольниками. При обнаружении невыпуклой ячейки значение функционала удваивалось, что делало такую сетку неподходящей.

8.4.

Учет разрушения материалов Реальные материалы неспособны выдерживать произвольно большие касательные напряжения, что приводит к их разрушению. В рассматриваемом численном подходе предусмотрена возможность изменения реологических свойств после реализации сдвигового разрушения. Полагается, что в этом случае поведение описывается соотношениями Прандтля – Рейса при условии пластичности Мизеса: s : s 2k 2. Здесь s = T+pI — девиатора тензора напряжений T, p = 1 T : I — давле3 ние, k(p) — предел текучести (прочности на сдвиг). При этом уменьшается модуль сдвига и среда неспособна сопротивляться растяжению. Остановимся подробнее на моделировании описанных явлений. Неупругое поведение среды в расчетной схеме можно учесть как путем аппроксимации нелинейных реологических соотношений, так и путем пробной проверки и подходящей корректировки напряжений на каждом шаге по времени после их расчета по линейной упругой модели [43]. В программной реализации данной работы был использован второй вариант учета пластичности в сочетании с возможностью изменения свойств материала ячейки в момент, когда впервые происходит модификация напряжений. Поверхность s : s = 2k 2 определяет в пространстве напряжений пределы текучести. Используемый способ корректировки напряжений (закон текучести, см. [66, 67]) перемещает точку, соответствующую напряженно Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ му состоянию, назад к поверхности вдоль нормали к ней: T= 2k 2 (T0 + p0 I) p0 I, 0 : s0 s где индекс ноль относится к величинам до корректировки напряжений. Зависимость параметра k от давления (обобщенное условие пластичности Мизеса – Шлейхерта) в данной работе имеет вид k = k0 + ap, a 0.

Изменение модуля сдвига происходило следующим образом. Если параметры Ляме, характеризующие упругие свойства материала, до разрушения обозначить как 0 и µ0, то после разрушения модуль сдвига новообразованного материала масштабировался в 0.1 раз: µ = µ0. Модуль всестороннего сжатия материала сохранялся после разрушения, что позволяет вычислить. В расчетах полагается, что раздробленный материал не может сопротивляться растяжению. Это приводит к следующему правилу коррекции тензора напряжения в нем: никакое главное напряжение в раздробленном материале не может быть растягивающим (положительным). Поясним применение этого правила на примере цилиндрической системы координат в задачах с осевой симметрией. Напряжение вдоль третьей оси может быть рассмотрено независимо от напряжений, действующих в плоскости первых двух осей. Таким образом, t33 = min{t0, 0}. В 33 плоскости (r, z) напряженное состояние будут определяться числом положительных собственных значений тензора T. Так, если их нет, то и модификацию проводить нет необходимости. Если существует одно положительное собственное значение, то напряжение вдоль направления, соответствующего этому собственному значению, должно быть обнулено, в то время как напряжение в ортогональном направлении сохранено. Если оба собственных значения положительны, то полагаем t11 = t12 = t22 = 0.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Откольные разрушения, т. е. разрушения, образующиеся, когда одно из трех главных напряжений в некотором элементе материала превышает сопротивление материала растяжению, учитывались в рамках модели Майнчена – Сака [67]. При этом образуется трещина, перпендикулярная направлению этого напряжения. Расчет динамического разрушения среды с помощью подвижных и лагранжевых расчетных сеток производится следующим образом.

Методика моделирования разрушений Майнчена – Сака первоначально была разработана применительно к лагранжевым сеткам, и ее использование при расчете на подвижных сетках не является очевидным. В данной работе применялась схема расчета, которая позволяет вести чередование счета с лагранжевой и подвижной сетками. Причем последняя применяется главным образом для реализации равномерного распределения расчетных узлов, и, следовательно, число шагов по времени, рассчитываемых с помощью лагранжевой сетки, существенно доминирует. Естественным подходом согласования обнаруженных разрушений в узлах сетки с их нелагранжевым движением является перенос информации о разрушении на новую сетку, что реализовывалось при помощи алгоритма поиска ближайшего соседа, суть которого состоит в следующем. Положим, что в некоторый момент времени tn при расчете лагранжевым методом шаг по времени уменьшился настолько, что появилась необходимость перестройки расчетной сетки. Этот процесс на одном временном шаге [tn, tn + ] реализуется при помощи аппарата подвижных сеток, описанного ранее, т. е. сначала строится новая расчетная сетка, а затем рассчитываются искомые величины на следующем слое по времени tn +. Как уже отмечалось, в этом случае нет необходимости переинтерполировать расчетные величины на новую сетку, как это делается в случае использования только лагранжева подхода. Разрушенными считаются те точки среды (узлы сетки), которые находятся наиболее близко к разрушенным Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ точкам (узлам) лагранжевой расчетной сетки на предыдущем временном слое tn. Далее расчет продолжается, в соответствии с уравнениями механики сплошной среды, записанными в форме Лагранжа, т. е. при ck vk, до тех пор, пока шаг вновь не уменьшится значительно. Метод переноса позволяет использовать подвижные сетки для расчета разрушений деформируемых тел. Погрешности, возникающие при переносе разрушения из одного узла в другой, ближний узел, разумеется, имеют место, как имеют место и погрешности при переинтерполяции расчетных величин на новую сетку при использовании только лагранжева подхода. Приведенный алгоритм не включает процедуру переинтерполяции, кроме того, предлагаемый здесь подход совместного использования подвижных и лагранжевых сеток в рамках общих уравнений, записанных в подвижных координатах, представляется более универсальным и алгоритмически удобным при решении рассматриваемых задач. При использовании только подвижных сеток для расчета процессов динамического деформирования можно применять подход, основанный на маркировании тех точек среды, в которых произошло разрушение (т.е. рассчитывать траектории движения разрушенных точек среды и сравнивать их координаты с координатами узлов подвижной расчетной сетки, что также означает обращение к алгоритму поиска ближайшего соседа). Помимо переноса свойства разрушения к ближайшему узлу новой сетки в работе был реализован и другой подход. В модели Майнчена – Сака полагается, что разрушение может возникнуть только в дискретном множестве точек, которые совпадают с положениями расчетных узлов. Однако разумно предположить, что и между ближними расчетными узлами, в которых оказался выполненным критерий разрушения, также присутствует разрушенный материал. Поэтому при необходимости отобразить разрушения в среде на новую сетку имеет смысл рассматривать некоторую совокупность ближайших узлов и более точно воссоздавать картину разрушений Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ между ними. 8.4.1. Результаты расчетов В данном разделе представлены результаты работы программы, полученные для композитных пластин толщиной 50 мм при различных конфигурациях слоев. Радиус моделируемой области в преграде выбирался так, чтобы все существенные эффекты находились внутри нее, и колебался в зависимости от прочих параметров в диапазоне от 6 до 10 см. Для обеспечения максимально возможного шага по времени сетка была более разреженной в стеклянных слоях, где плотность узлов выбиралась примерно 4 штуки на квадратный миллиметр, и сгущалась в склеивающих слоях, поскольку скорость движения волн в последних ниже и можно подобрать плотности сеток так, чтобы в обоих материалах счет велся с равным числом Куранта. В вариантах расчета с отсутствием симметрии и максимальным числом слоев общее количество узлов превышало 80000. Общее время взаимодействия ударника с преградой: T 5 · 105 с, 1 а время распространения фронта возмущения сквозь преграду n h1 + (n c 2 1) h2 105 с. То есть за время взаимодействия фронт возмущения моc жет пройти ширину преграды несколько раз. В задачах подобного рода использование гибридной схемы расчета представляется оптимальным. С одной стороны схема первого порядка, входящая в нее, позволяют передать точно продвижения больших градиентов на фронтах волн и их первых отражений, с другой — схема более высокого порядка обеспечивает достаточную точность плавной эволюции распределения переменных на длительном протяжении времени. На последующих иллюстрациях наиболее крупно изображены мгновенные векторные поля и изолинии модуля скорости. Другие рисунки показывают в конечный момент времени области с разрушенным материалом Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ (дробление) и формирование трещин, а также содержат расчетную сетку вблизи ударника. Был использован следующий способ представления разрушений: изолинии указывают границы раздробленного материала, отдельные отрезки соответствуют направлениям микротрещин, находящихся в центре отрезка и пересекающих плоскость рисунка. Радиальные микротрещины не показаны. Важным результатом расчетов явилось обнаружение фрагментирования преграды в районе тыльной стороны с выстраиванием микротрещин в протяженные поверхности и формированием конических макротрещин. Этот результат повторяет экспериментальные данные об отколе конусообразного фрагмента с тыльной поверхности преграды. Рис. 8.3 демонстрирует нормальный удар недеформируемого стального ударника по 5-ти слойной преграде: 3 стеклянных слоя шириной 15 мм каждый и 2 склеивающих слоя по 2.5 мм. Вариант расчета с деформируемым свинцовым ударником представлен на рис. 8.4. Рис. 8.5 изображает результаты косого удара деформируемого ударника. Удар по монолитной стеклянной преграде 50 мм ширины со скоростью V0 = 2500 м/с изображен на рис. 8.6. Такой скорости вполне достаточно для ее сквозного пробивания, действительно, шарик проходит всю толщину пластины, и весь материал под ним помечен как разрушенный, однако использование метода расчета на базе регулярных сеток не допускает деление преграды на несколько частей. Интересной особенностью распространения возмущений, возникающих при соударениях твердых тел, является возникновение изгибных волн или так называемых «вихревых структур» [74]. Эти волны наличествуют и в упругопластических, и в упруговязких телах, но наиболее явно проявляются в идеальноупругих неразрушимых телах, рис. 8.7. Интенсивные тороидальные вихри, зарождаясь у угловых точек по периметру круговой области контакта в пластине, в дальнейшем распространяются вглубь и в стороны — к боковой поверхности круглой преграды. В ходе последующей Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ эволюции процесса порождаются вторичные изгибные волны, закрученные в противоположном направлении и распространяющиеся в том же направлении. Первичные волны есть отражение процесса внедрения ударника, вторичные — его выталкивания. Количество слоев в теле не ограничивается пятью. На фиг. 8.8 приведено начало процесса проникания шарика в преграду с 21 слоем силикатного стекла, каждый толщиной по 1 мм, и с 20 связующими слоями по 0.5 мм. Учитывалась осевая симметрия задачи, нелинейная реологическая модель и возникновение разрушений. Изображены изолинии модуля скорости в диапазоне от 0 до 50 м/с, t = 1.1 · 105 с, V = 261 м/с. Отчетливо виден конусообразный фронт возмущения, значительно обгоняющий распространение области концентрации энергии удара. 8.4.2. Увеличение рассчитываемого периода соударения за счет фрагментации Моделирование взаимодействия индентора, обладающего очень высокой скоростью, порядка 2000 м/с, с многослойной преградой в течение всего времени соударения было в значительной степени затруднено. Объяснением тому является применение во всех расчетах данной главы регулярных четырехугольных сеток. Хотя они и позволяют добиться высокой точностью моделирования волновых динамических процессов, но все же недостаточно приспособлены для учета таких эффектов, как существенное изменение формы взаимодействующих тел, а тем более изменение их связности. Если не предпринимать никаких действий, то счет фактически останавливался с образованием следующей характерной картины. Ударник, постепенно внедряясь в преграду, делает ближайший к нему слой все более и более тонким в каком-то месте. В физической реальности за этим должно последовать полное разрушение слоя в данном месте и формирование Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.3. Нормальный удар, недеформируемый ударник. M = 10 г, V0 = 2000 м/с. t · 105 = 0,45;

0,9;

1,3 с.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.4. Нормальный удар, деформируемый ударник. M = 10 г, V0 = 1500 м/с. t·105 = 1;

2;

3 с.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.5. Косой удар, = 30, деформируемый ударник. M = 10 г, V0 = 1500 м/с. t · 105 = 2,5;

5;

5,33 с.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.6. Расчетная сетка и разрушения материала при пробивающем нормальном ударе по монолитной преграде. Недеформируемый ударник. M = 10 г, V0 = 2500 м/с. t · 105 = 7,5 с.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.7. Хорошо различимые изгибные волны (вихревые структуры) в полях скоростей в абсолютно упругом теле без учета разрушений и с полным слипанием слоев. Недеформируемый ударник. M = 10 г, V0 = 500 м/с. t · 105 = 0,9;

1,5;

2,25 с.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.8. Изолинии модуля скорости в диапазоне 050 м/с на начальном этапе распространения возмущения в преграде с большим числом слоев. Нелинейная реологическая модель с учетом разрушений. t = 1.1 · 105 с, V = 261 м/с.

Рис. 8.9. Сгущение узлов сетки, приводившее, в конечном счете, к остановке программы.

отдельных фрагментов из данного слоя, которые выталкиваются из-под ударника в стороны или движутся с ним совместно, отрываясь от слоя. Однако в численном эксперименте слой, представленный деформированной прямоугольной сеткой узлов, не мог со временем потерять связность. Уменьшение толщины слоя шло практически неограниченно (рис. 8.9), что, впрочем, иногда соответствует действительности. Однако шаг интегрирования по времени почти линейным образом связан с минимальным размером ячейки сетки. Таким образом, шаг интегрирования при утончении слоя быстро стремится к нулю.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Модификация численного метода Для расчета тел, подвергающихся фрагментации в течение моделируемого периода времени, в наибольшей степени подходят методы, основанные на неструктурированных сетках, один из которых был предложен в предшествующих главах диссертации. Однако по причине того, что уже была создана программа с реализацией численного метода на регулярных подвижных сетках, было решено не отказываться от нее полностью, а постараться внести необходимые модификации, чтобы ослабить проблему фрагментации. Фрагментация твердого тела является сложным процессом. Первое, необходимо моделирование начального образования микротрещины, второе, расчет ее роста до достижения противоположных границ тела или других макротрещин, и, третье, расчет полного разделения тела вдоль найденных таким способом линий. Однако численное моделирование первых двух этапов, т.е. образования и роста макротрещин, требует введения узлов сетки на противоположных границах трещин, т.е. образования ранее отсутствующих узлов в данном районе расчета. Это с неизбежностью приводит к утере регулярности сетки. Поэтому в текущей программной реализации было принято решение, опустив первые два шага, сразу переходить к третьему, а именно: организовывать из слоя две или три несвязные части. Образование двух частей происходит, если ударник просто разрывает слой, трех — если также вырывает из него некоторый кусок (рис. 8.10). Однако требование поддержания регулярности сетки налагает ряд ограничений на реализацию разрыва слоев. 1. Слой (сетка) может порваться лишь таким образом, что вновь образующиеся границы располагаются вдоль прежних вертикальных линий сетки, ее «колонок». Это приводит к существенному ограничению на ориентацию новых границ.

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.10. Устранение участков сетки «колонками» в местах ее чрезмерного утончения.

2. Регулярная сетка особенно чувствительна к поведению угловых узлов, являющихся для такой сетки особыми точками. Прежде угловые узлы были удалены от мест, где прикладывались основные воздействия. Чтобы компенсировать происходящее вырождение ячеек (из-за продолжающегося сжатия) оставшейся части слоя вблизи места его разрыва приходится дополнительно выбрасывать все новые и новые ряды точек с течением времени. 3. Последовательное выбрасывание нескольких «колонок» с узлами приводит к образованию ложных полостей между взаимодействующими телами, границы которых на некоторое время становятся свободными. Причем образование пустого пространства происходит именно в областях с наибольшими напряжениями, что не может не сказаться отрицательно на точности получаемого в итоге результата и возможной неустойчивости, которая вообще препятствует получению результата. Сильно сжатые тела начинают быстро расширяться, чтобы заполнить пустоты. Помимо критерия на минимальную ширину слоя в программе ставился другой критерий на растягивающие напряжения в радиальном направлении (параллельном поверхности преграды), который реализуется, если во всей «колонке» узлов критическое растягивающее напряжение было превышено (рис. 8.11).

Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.11. Последовательные этапы внедрения ударника с частичной фрагментацией преграды.

Расчеты сквозного пробивания при различной форме ударника В качестве теста реализации сформулированного выше метода фрагментации сетки была выбрана следующая задача. Стеклянная преграда из трех слоев по 3 мм каждый, разнесенных на расстояние 2.5 мм, подвергается воздействию от попадающего в нее металлического ударника массой 10 г и скоростью подлета 2000 м/с. Стекло принималось непрерывно разрушаемым дилатационным материалом. Рис. 8.12, 8.13 представляют «разрыхление» стекла в диапазоне значений от сильно разрушенного материала 0.97 (и менее - черный цвет) до неразрушенного 1.00 (серый цвет). На рисунках приведены состояния тел в процессе контакта в моменты времени: {0;

0.25;

0.5;

0.75;

1.0;

1.25;

1.5;

1.75;

2} · 105 c. Можно сделать вывод, что метод с приведенными изменениями действительно позволяет продлить время счета по сравнению с исходным своим вариантом, причем настолько, что можно сформулировать обоснованное утверждение относительно стойкости преграды к данной форме и скорости ударника. Из шести проведенных численных испытаний (рис. 8.12, 8.13) в четырех случаях ударник прошел преграду насквозь, и лишь в двух счет был преждевременно остановлен. Причем в этих двух случаях наблюдалась ранняя нецентральная фрагментация у некоторых слоев, приводящая к тому, что центральные куски слоев продолжают движение вместе с ударником и входят во взаимодействие с нижними слоями.

Цилиндрический ударник с круговой формой сечения и направляющими, ортогональными преграде. Отношение диаметра к высоте 3:1.

За рассматриваемое время полное пробивание еще не завершается, но все слои под ударником уже разрушены. Скорость ударника при t = 2.5 · 105 c равна 877 м/с.

Ударник эллиптической формы, ориентированный большими полуосями параллельно преграде. Отношение полуосей эллипса 3:1. За Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.12. Пробивание разнесенной преграды.

рассматриваемое время полное пробивание еще не завершается, но все слои под ударником уже разрушены. Скорость ударника при t = 2.5 · 105 c равна 765 м/с.

Ударник шарообразной формы. Счет прерывается при t = 0.9 · 105 c, когда скорость ударника составляет 1584 м/с.

Цилиндрический ударник с круговой формой сечения и направляющими, ортогональными преграде. Отношение диаметра к высоте 1:3.

Счет прерывается при t = 1.2 · 105 с, когда скорость ударника составляет 1843 м/с.

Ударник эллиптической формы, ориентированный меньшими полуосями параллельно преграде. Отношение полуосей эллипса 1:3. За рас Глава 8. ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ УДАР ПО МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЕГРАДЕ Рис. 8.13. Пробивание разнесенной преграды.

сматриваемое время происходит полное пробивание преграды. Скорость ударника при t = 2.5 · 105 c равна 1655 м/с.

Цилиндрический ударник, заостренный на стороне, обращенной к преграде (масса ударника несколько ниже 10 г). Отношение диаметра к высоте цилиндра 1:3. За рассматриваемое время происходит полное пробивание преграды. Скорость ударника при t = 2.5 · 105 c равна 1648 м/с.

Заключение Основные результаты и выводы диссертации Аналитическим образом произведено спектральное исследование матриц коэффициентов системы уравнений теории упругости, выписанной в произвольной прямолинейной системе координат. В компактной форме получены выражения для всех собственных значений этих матриц (1.22), их левых собственные векторов (1.23) и векторов взаимного к ним базиса 1 (1.24). В предшествующих работах такие выражения были известны только для декартовой системы координат [55,75], а в прочих случаях определялись численно [19, 22, 72]. В работе предлагается использовать явное представление сеточно-характеристических схем, основываясь на произведенном спектральном исследовании, поскольку в записи таких схем входят громоздкие выражения относительно,, 1. В полученной упрощенной записи не требуется решения системы линейных уравнений, обращения и даже перемножения матриц. Полученные выражения приведены к виду, инвариантному относительно размерности пространства (справедливы в 2D и 3D), тогда как запись,, 1 отлична для двумерного и трехмерного пространств [75]. В результате чего вместе с упрощением программы достижима более высокая скорость ее работы, а также исключаются численные ошибки, связанные с решением возможно обусловленных систем линейных уравнений. Для граничных узлов помимо явной записи было предложено использовать двухэтапный метод, причем первый этап не зависит от граничных Заключение условий, а второй — от порядка аппроксимации. Разделение на этапы чрезвычайно удобно в программной реализации, поскольку позволяет отдельно отлаживать компактные модули, отвечающие только за перенос значений вдоль характеристик с тем или иным порядком точности либо только за корректировку для конкретного граничного условия. Метод требует решения лишь системы из m-линейных уравнений, где m-число выходящих из области характеристик, тогда как классический подход [19, 22] требует решения полной системы из n-уравнений, где n-число переменных в задаче. Приведены явные выражения для учета всех основных типов граничных условий: заданная внешняя сила, заданная скорость движения границы и т. д. А также для двух видов контактных условий на границе раздела двух сред: полное слипание и свободное скольжение. Предложен алгоритм построения с заданной степенью мелкости нерегулярной треугольной сетки, являющейся подчиненной ограничениям триангуляцией Делоне (constrained Delaunay), в произвольной невыпуклой области с возможно многочисленными внутренними полостями. Гарантируется выполнение ограничений сверху и снизу на размеры всех ячеек, а также на высоты треугольников, что важно для поддержания шага интегрирования явных схем. При использовании данной сетки в качестве лагранжевой определен максимальный шаг, при котором сетка еще не вырождается. Для сеток приближающихся к вырождению повторный запуск алгоритма приводит к ее быстрой локальной перестройке. Для решения задач, в которых несколько тел то вступают во взаимодействие (удар), то прекращают контакт (отскок), предложена структура данных, которую легко модифицировать от шага к шагу и которая позволяет выяснить для всех граничных узлов всех тел их статус (наличие либо отсутствие контакта) за линейное время относительно общего количества граничных узлов. Допускаются контакты различных частей одного тела между собой.

Заключение Предложен метод построения непрерывной кусочно-полиномиальной функции произвольного порядка по заданным значениям в опорных точках, выбранных согласованно с заданной триангуляцией плоскости. Приведены конкретные формулы для интерполяции 1,2,3,4 порядков. Рассмотрен способ ограничения вариации восстановленного поля, который можно сочетать с любой степенью полинома. Предложен способ построения монотонной непрерывной кусочно-квадратичной функции со строгими экстремумами только в заданных опорных точках. В работе приводится сравнение аналитического решения модельной задачи о распространении волн в упругой среде с численными решениями, полученными конечно-разностными схемами при использовании регулярной решетки либо бесструктурной сетки. Численные подходы сопоставляются с точки зрения точности решения по различным критериям и скорости счета. Приводятся результаты решения ряда задач, представляющих практическую ценность, полученные на программе, реализующей описанные выше подходы.

Список использованных источников 1. Седов Л. И. Механика сплошной среды. — М. : Наука, 1970. 2. Новацкий В. К. Теория упругости. — М. : Мир, 1975. 3. Новацкий В. К. Волновые задачи теории пластичности. — М. : Мир, 1978. 4. Партон В. З., Перлин П. И. Методы математической теории упругости. — М. : Наука, 1981. 5. Кондауров В. И., Фортов В. Е. Основы термомеханики конденсированной среды. — М. : МФТИ, 2002. 6. LeVeque R. J., Calhoun D. Cartesian grid methods for uid ow in complex geometries // L. J. Fauci, S. Gueron, eds., Computational Modeling in Biological Fluid Dynamics. — Springer-Verlag, 2001. — Vol. 124 of IMA Volumes in Mathematics and its Applications. — Pp. 117–143. 7. Бураго Н. Т., Кукуджанов В. Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. пакет прикладных программ «Астра» // Препринт ИПМ АН СССР. — 1988. — № 280. 8. O’Brien J. F., Hodgins J. K. Graphical modeling and animation of brittle fracture // Proceedings of ACM SIGGRAPH. — 1999. — Pp. 137 – 146. 9. O’Brien J. F., Hodgins J. K. Animating fracture // Communications of the ACM. — 2000. — Vol. 43, no. 7. — Pp. 69 – 75.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 10. Рябенький В. С. Введение в вычислительную математику. — М. : Физматлит, 2000. 11. Wang Z. J. Spectral (nite) volume method for conservation laws on unstructured grids // Journal of Computational Physics. — 2002. — Vol. 178. — Pp. 210 – 251. 12. Penrose D., ed. Sourcebook of Parallel Computing. — Elsevier Science (USA), 2003. 13. Харлоу Ф. Х. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики // Вычисл. методы в гидродинамике. — М. : Мир, 1967. — С. 316 – 342. 14. Блажевич Ю. В., Иванов В. Д., Петров И. Б., Петвиашвили И. В. Моделирование высокоскоростного соударения методом гладких чистиц // Матем. моделирование. — 1999. — Т. 11, № 1. — С. 88 – 100. 15. Parshikov A. N., Medin S. A. Smoothed particle hydrodynamics using interparticle contact algorithms // Journal of Computational Physics. — 2002. — no. 180. — Pp. 358 – 382. 16. Блажевич Ю. В., Петров И. Б., Сабельник А. Е. Моделирование динамических процессов разрушения пористых конструкций в проблеме безопастности жилищных сооружений. — http://cs.mipt.ru/docs/whitepapers/petrov10052002.pdf.

2002.

17. Бабенко К. И., ред. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. — М. : Наука, 1979. 18. Магомедов К. М., Холодов А. С. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристический соотношений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1969. — Т. 9, № 2. — С. 373 – 386.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 19. Петров И. Б., Холодов А. С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточнохарактеристическим методом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 24, № 5. — С. 722 – 739. 20. Петров И. Б., Холодов А. С. О регуляризации разрывных численных решений уравнений гиперболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1984. — Т. 24, № 8. — С. 1172 – 1188. 21. Петров И. Б. Волновые и откольные явления в слоистых оболочках конечной толщины // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. — 1986. — № 4. — С. 118 – 124. 22. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические численные методы. — М. : Наука, 1988. 23. Петров И. Б., Тормасов А. Г., Холодов А. С. О численном изучении нестационарных процессов в деформируемых средах многослойной структуры // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. — 1989. — № 4. — С. 89 – 95. 24. Петров И. Б., Тормасов А. Г., Холодов А. С. Об использовании гибридизированных сеточно-характеристических схем для численного решения трехмерных задач динамики деформируемого твердого тела // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1990. — Т. 30, № 8. — С. 1237 – 1244. 25. Коротин П. Н., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное решение некоторых задач о воздействии тепловых нагрузок на металлы // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. — 1989. — № 5. — С. 63 – 69. 26. Коротин П. Н., Острик А. В., Петров И. Б. Численное исследование волновых процессов при объемном энергопоглощении в мишенях конечной толщины // Докл. АН СССР. — 1989. — Т. 308, № 5. — С. 1065 – 1070.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 27. Коротин П. Н., Петров И. Б., Холодов А. С. Численное моделирование поведения упругих и упругопластических тел под воздействием мощных энергетических потоков // Матем. моделирование. — 1989. — Т. 1, № 7. — С. 1 – 12. 28. Иванов В. Д., Кондауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. Расчет динамического деформирования и разрушения упругопластических тел сеточно-характеристическими методами // Матем. моделирование. — 1990. — Т. 2, № 11. — С. 10 – 29. 29. Петров И. Б., Тормасов А. Г. О численном исследовании трехмерных задач обтекания волнами сжатия препятствия или полости в упругопластическом пространстве // Докл. АН СССР. — 1990. — Т. 314, № 4. — С. 817 – 820. 30. Жуков Д. С., Петров И. Б., Тормасов А. Г. Численное и экспериментальное изучение разрушения твердых тел в жидкости // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. — 1991. — № 3. — С. 183 – 190. 31. Петров И. Б., Тормасов А. Г. Численное исследование косого соударения жесткого шарика с двухслойной упругопластической плитой // Матем. моделирование. — 1992. — Т. 4, № 3. — С. 20 – 27. 32. Иванов В. Д., Петров И. Б. Моделирование деформаций и разрушений в мишенях под действием лазерного излучения // Труды института общей физики. — 1992. — Т. 36. — С. 247 – 266. 33. Иванов В. Д., Петров И. Б., Тормасов А. Г., Холодов А. С., Пашутин Р. А. Сеточно-характеристический метод расчета динамического деформирования на нерегулярных сетках // Матем. моделирование. — 1999. — Т. 11, № 7. — С. 118 – 127. 34. Kholodov Y. A Monotone High-Order Accuracy Scheme for Hyperbolic CFD Problems // APS Meeting Abstracts. — 2000. — Pp. B4+.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 35. Иваненко С. А., Чарахчьян А. А. Криволинейные сетки из выпуклых четырехугольников // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1988. — Т. 28, № 4. — С. 503 – 514. 36. Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное исследование волновых процессов и процессов разрушения в многослойных преградах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 2003. — Т. 43, № 10. — С. 1562 – 1579. 37. Меньшиков Г. П., Одинцов В. А., Чудов Л. А. Внедрение цилиндрического ударника в конечную плиту // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. — 1976. — № 1. — С. 125 – 130. 38. Гулидов А. Н., Фомин В. М., Шабалин И. И. Алгоритмы перестройки разностной сетки при численном решении задач соударения с образованим трещин // Числ. методы решения задач теории упругости и пластичности. Материалы VII Всес. конф. — Новосибирск, 1982. — С. 182 – 192. 39. Нох В. Ф. СЭЛ - совместный эйлерово-лагранжев метод для расчета нестационарных двумерных задач // Вычисл. методы в гидродинамике. — М. : Мир, 1967. — С. 128 – 184. 40. Гриднева В. А., Корнеев А. И., Трушков В. Г. Численный метод расчета напряженного состояния и разрушения плиты конечной толщины при ударе бойками различной формы // Изв. АН СССР, Механ. твердого тела. — 1977. — № 1. — С. 146 – 157. 41. Feldman B. E., O’Brien J. F., Arikan O. Animating suspended particle explosions // Proceedings of ACM SIGGRAPH. — 2003. — Pp. 708 – 715. 42. de Berg M., van Kreveld M., Overmars M., Schwarzkopf O. Computation Geometry. Algorithms and Applications. Second, Revised Edition. — Germany : Springer, 2000.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 43. Кукуджанов В. Н. Метод расщепления упругопластических уравнений // Известия РАН. Механика твердого тела. — 2004. — № 1. — С. 98 – 108. 44. Lax P. D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computations // Comm. Pure and Appl. Math. — 1954. — Vol. 7, no. 1. — Pp. 159 – 193. 45. Lax P. D., Wendro B. System of conservation laws // Comm. Pure and Appl. Math. — 1960. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 217 – 237. 46. Courant R., Isaacson E., Rees M. On the solutions of nonlinear hyperbolic dierential equations by nite dierences // Comm. Pure and Appl. Math. — 1952. — Vol. 5, no. 5. — Pp. 243 – 254. 47. Агапов П. И., Челноков Ф. Б. Сравнительный анализ разностных схем для численного решения двумерных задач механики деформируемого твердого тела // Моделирование и обработка информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2003. — С. 19 – 27. 48. Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численная проверка прочности железобетонной наружной оболочки под действием динамической нагрузки // Моделирование и обработка информации: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2003. — С. 4 – 13. 49. Агапов П. И., Обухов А. С., Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное решение динамических задач биомеханики сеточнохарактеристическим методом // Компьютерные модели и прогресс медицины: Сб. ст. / РАН. — М. : Наука, 2001. — С. 275 – 300. 50. Попов И. В., Поляков С. В. Построение адаптивных нерегулярных треугольных сеток для двумерных многосвязных невыпуклых областей // Матем. моделирование. — 2002. — Т. 14, № 6. — С. 25 – 35.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 51. Shewchuk J. R. Adaptive Precision Floating-Point Arithmetic and Fast Robust Geometric Predicates // Discrete & Computational Geometry. — 1997. — Vol. 18, no. 3. — Pp. 305–363. 52. Кормен Т., Лейзерсон, Ривест Р. Алгоритмы. Построение и анализ. — М. : МЦНМО, 2000. 53. Shewchuk J. R. Delaunay renement algorithms for triangular mesh generation // Computational Geometry: Theory and Applications. — 2002. — Vol. 22(1-3), no. 5. — Pp. 21 – 74.

http://www.cs.berkeley.edu/jrs/papers/2dj.ps.

54. Агапов П. И., Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Численное исследование задач механики деформируемого твердого тела в неоднородных областях интегрирования // Обработка информации и моделирование: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2002. — С. 148 – 157. 55. Куликовский А. Г., Погорелов Н. В., Семенов А. Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений. — М. : Физматлит, 2001. 56. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа. Издание второе, переработанное. — М. : МФТИ, 1997. 57. Warming R. F., Beam R. M. Upwind second-order dierence schemes and applications in unsteady aerodynamic low // AIAA 2nd CFD Conf. — Hartford, Connecticut, 1974. — P. 17. 58. Федоренко Р. П. Введение в вычислительную физику. — М. : МФТИ, 1994. 59. Русанов В. В. Разностные схемы третьего порядка точности для сквозного счета разрывных решений // Докл. АН СССР. — 1968. — Т. 180, № 6. — С. 1303 – 1305.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 60. Файзуллин И. С., Куценко Н. В. О возможности применения рассеянных волн для изучения трещиноватости геосреды по данным численного моделирования // Геофизика. — 2004. — № 5. — С. 5 – 9. 61. Makinde W., Favretto-Cristini N., de Bazelaire E. Numerical modelling of interface scattering of seismic waveeld from a random rough interface in an acoustic medium: comparison between 2D and 3D cases // Geophysical Prospecting. — 2005. — Vol. 53. — Pp. 373 – 397. 62. Saenger E. H., Kruger O. S., Shapiro S. A. Eective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments // Geophysical Prospecting. — 2004. — Vol. 52. — Pp. 183 – 195. 63. Левянт В. Б., Антоненко М. Н., Антонова И. Ю. Исследование методами численного моделирования сейсмического поля, обусловленного рассеиванием на зонах диффузной кавернозности и трещиноватости // Геофизика. — 2004. — № 2. — С. 8 – 20. 64. Бочаров П. П., Печинкин А. В. Теория вероятностей. Математическая статистика. — М. : Гардарика, 1998. 65. Кондауров В. И., Кукуджанов В. Н. Об определяющих уравнениях и численном решении некоторых задач динамики упругопластических сред с конечными деформациями // Сб. по числ. методам в механ. твердого деформируемого тела. — М. : ВЦ АН СССР, 1978. — С. 84 – 122. 66. Уилкинс М. Л. Расчет упруго-пластических течений // Вычисл. методы в гидродинамике. — М. : Мир, 1967. — С. 212 – 263. 67. Майчен Дж., Сак С. Метод расчета «Тензор» // Вычисл. методы в гидродинамике. — М. : Мир, 1967. — С. 185 – 211. 68. Кондауров В. И. Континуальное разрушение нелинейно-упругих тел // Матем. моделирование. — 1988. — Т. 52, № 2. — С. 302 – 310.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 69. Белоцерковский О. М. Численное моделирование в механике сплошных сред. — М. : Физматлит, 1994. 70. Белоцерковский О. М. Вычислительная механика. Современные проблемы и результаты. — М. : Наука, 1991. 71. Агапов П. И., Обухов А. С., Петров И. Б., Челноков Ф. Б. Компьютерное моделирование биомеханических процессов сеточнохарактеристическим методом // Управление и обработка информации: модели процессов: Сб. ст. / Моск. физ.-тех. ин-т. — М., 2001. — С. 95 – 114. 72. Петров И. Б., Тормасов А. Г. О численном решении пространственных задач соударения // Матем. моделирование. — 1990. — Т. 2, № 2. — С. 58 – 72. 73. Yngve G. D., O’Brien J. F., Hodgins J. K. Animating explosions // Proceedings of ACM SIGGRAPH. — 2000. — Pp. 29 – 36. 74. Андрущенко В. А., Головешкин В. А., Холин Н. Н. Вихревые движения твердых сред в динамических задачах теории упругости // Инж.-физ. журнал. — 1999. — Т. 72, № 4. — С. 803 – 810. 75. Антоненко М. Н. Численное моделирование распространения упругих волн в неоднородной среде: Диссертация кандидата физ.-мат. наук. — М. : ИАП, 2004.

Pages:     | 1 | 2 ||



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.