WWW.DISSERS.RU

БЕСПЛАТНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА

   Добро пожаловать!

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |

«СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ На правах рукописи ТОЛПАЕВ ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВУМЕРНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В АНИЗОТРОПНЫХ, НЕОДНОРОДНЫХ И МНОГОСЛОЙНЫХ ...»

-- [ Страница 4 ] --

i i (1) где Ф1(х) и Ф2(х) – заданные непрерывные на [0, l] функции. На сторонах МВ и DE могут быть заданы различные условия – либо закон распределения потенциала (условия Дирихле), либо закон распределения нормальной составляющей vn. Чтобы одновременно рассмотреть каждый из этих случаев, запишем граничные условия на сторонах МВ и DE в виде:

* * * * а 1 1 + b1 = F1 ( у);

а 2 n + b 2 n = F2 ( у). х х =0 х х =l (2) * * Если в (2) положить b1 = b* = 0, а1 = а * = 1, то получим случай заданного с 2 помощью функций F1(y) и F2(y) на границах х = 0 и х = l закона * * распределения потенциала. Если же взять а1 = а * = 0 и b1 = 1, b* = n n, то 2 получим случай заданного на границах МВ и DE закона распределения нормальной составляющей vn. На границах контактов слоёв друг с другом должны выполняться условия непрерывности потенциала и нормальных составляющих vn, т.е. при х = хi-1 : i-1 = i и i 1 i 1 i 1 = i i, i = 2, n. х х (3) 6.3. Передаточные функции. Переход к модельной задаче Для дальнейшего понадобятся специальные частные решения (1) однородного уравнения (1.5) L[ i ( х, у ) i, f i ( х )] = в областях gi = {xi-1 < x < xi ;

0 < y < h}, которые на границах у = 0 и у = h удовлетворяют некоторым непрерывным условиям типа Дирихле, а в вершинах gi принимают заданные значения (i = 1, n ) i ( х i1,0) = iM ;

i ( х i1, h ) = iB ;

i ( х i,0) = iD ;

i ( х i, h ) = iE.

(2) Непосредственной проверкой можно убедиться, что такими решениями уравнения (1), удовлетворяющими заданным значениям в вершинах прямоугольной области gi, являются функции dx dx у fi (х) ~х у ~ h х i 1 f i ( х ) с а i ( х, у) = ~i + bi хii 1 + ~i + di хi dx dx h fi (х) fi (х) х i 1 х i х х (3) коэффициенты в которых равны:

~ =, ~ =, ~ =, ~ = +. аi bi сi di iM iD iM iB iM iE iM iB iD (4) Функции i(х,у) будем называть передаточными функциями. Из (3) вытекает, что i(х,у) на сторонах х = хi-1 и х = хi области gi изменяется по линейному закону, а на сторонах у = 0 и у = h изменяется непрерывно от iM до iD и от iВ до iЕ соответственно - см. рис.67. Если заданные значения i(х,у) в вершинах области gi определить с помощью условий (2.1) по формулам iM = Ф1(хi-1);

iB = Ф2(хi-1);

iD = Ф1(хi);

iЕ = Ф2(хi), (5) то функции i(х,у) на границах у = 0 и y = h в точках хi, i = 0, n, будут принимать значения, совпадающие соответственно со значениями граничных условий Ф1(х) и Ф2(х). Далее первоначально заданные граничные условия (2.1) будем заменять на новые приближённые к ним граничные условия i ( х,0) х = i ( х,0);

i ( х, h ) х = i ( х, h ) i i, (6) в которых коэффициенты функций i(х,у) вычисляются по формулам (4) и (5). Ели длины частичных отрезков i = [xi-1, xi] малы, то функции i(х,у) достаточно точно передадут (откуда и происходит их название) значения заданных граничных условий. Если же отрезки i будут велики, то их можно разбить на более мелкие составные части, добавив ряд новых точек деления. Постановка задачи и её решение от этого принципиально не меняется. К тому же из общей теории линейных уравнений эллиптического типа, к которым относится уравнение (1.4), известно, что краевые задачи Дирихле являются корректными. Поэтому решение уравнения (1.4) с условиями (2.1) будет мало отличаться от решения этого же уравнения, но с приближёнными граничными условиями (6). Количественную оценку в изменении решения при замене точных граничных условий на приближённые будем определять с помощью вычислительных экспериментов. Краевую задачу для уравнения (1.4) с новыми граничными условиями (6) будем называть модельной задачей.

6.4. Формулировка граничных условий в модельной задаче Решение уравнений (1.5) будем представлять в виде сумм i (x,y) = i (x,y) +wi (x,y), (1) в которых i(x,y) – передаточные функции (3.3). После подстановки (1) в (1.5) и учитывая, что i(x,y) удовлетворяют однородному уравнению (3.1), для функций wi(x,y) получим уравнения L[ w i ( х, у) i, f i ( х )] = i ( у);

i = 1, n.

(2) Так как в модельной задаче при у = 0 и у = h выполняются условия (3.6), то на сторонах MD и BE функции wi(x,y) должны будут удовлетворять однородным граничным условиям wi (x,0) = wi (x,h) = 0. (3) На границах контакта слоёв gi друг с другом должны выполняться условия (2.3). Подставляя в (2.3) выражения (1) и учитывая формулы (3.3) и (3.4), граничные условия сопряжения в модельной задаче после преобразований примут вид: при х = хi- w i 1 ( х i 1, у) = w i ( х i 1, у);

i = 2, n (4) и i 1 i 1 w i 1 w = i i + Li 1 ( у). х х (5) В формуле (5) через Li-1(y) обозначена функция ( i1) + у ( ( i1) ( i1) ) ( i ) + у ( ( i ) ( i ) ) 1 2 1 1 2 1 h h L i1 ( у ) = i i 1 хi х i 1 dx dx f (х) f (х) х i 1 i х i 2 i 1 ( в которой 1i 1) и (2i ) - приращения функций Ф1(х) и Ф2(х) на отрезках i- и i :

( 1i ) = 1 ( х i ) Ф1 ( х i 1 ) и (2i ) = Ф2 ( х i ) Ф2 ( х i 1 ) (6) На сторонах MВ и DE, т.е. при х = 0 и х = l, должны выполняться условия (2.2). Подставляя в (2.2) функции 1 = 1 + w и n = n + wn, после преобразований для соответствующих граничных условий в модельной задаче получим:

) w = F1 ( y), a 1 w1 + b1 1 x x =0 ) w n a 2 w n + b2 = F2 ( y), x x =l (7) (8) где через F1 (y ) и F2 (y ) обозначены выражения y ( ( 11) + ( (21) 11) ) ) y h F1 ( y) = F1 ( y) a 1 1 (0) + [ 2 (0) 1 (0)] b1 x1 h dx f1 ( x ) ) ) (9) и y ( ( 1n ) + ( (2n ) 1n ) ) ) y h F2 ( y ) = F2 ( y ) a 2 1 (l) + [ 2 (l) 1 (l)] b 2 xn h dx n f (x) x n 1 n (10) Итак, задача о расчёте поля в многослойной среде (MC-среде) свелась к решению системы уравнений (2) с граничными условиями (3)-(5),(7) и (8). 6.5. Представление решений wi(x, y) рядами Фурье Решения системы уравнений (4.2) в модельной задаче будем представлять в виде тригонометрических рядов Фурье w i ( x, y) = U ik ( x ) sin( k y), k = где k = k. h (1) Такая форма представления w i ( x, y) выбрана потому, что граничные условия (4.3) благодаря ей оказываются выполненными. Функции же Uik(x) в (1) подберём так, чтобы при подстановке wi(x,y) в уравнение (4.2) последнее обратилось (4.2) получим: в тождество. Предполагая правомочность двукратного дифференцирования рядов (1) по каждому аргументу, после подстановки (1) в dx f ( x ) k =1 i d dU ik ( x ) 2 k i f i ( x ) U ik ( x ) sin( k y) = i ( y). dx (2) Если теперь разложить i (у) в ряд Фурье по синусам sin(ky) и затем сравнить левые и правые части (2), то для функций Uik(x) получим следующие дифференциальные уравнения:

d dU ik ( x ) 2 k i f i ( x ) U ik ( x ) = A ik, f i ( x ) dx dx i = 1, n;

k = 1,2,3,..., (3) где Аik – коэффициенты Фурье для функций i (у), т.е.

A ik = 2 k y dy. i ( y) sin h0 h h (4) Решения уравнений (3) будем искать с помощью подстановки U ik ( x ) = Vik ( x ). fi (x ) (5) Выполнив преобразования, для вспомогательной функции Vik(x) получим уравнение:

d 2 Vik ( x ) A ik 2k i + H i ( x ) Vik ( x ) =, 2 dx fi (x) [ ] (6) в котором через Hi (x) обозначено выражение H i (x ) = 1 d2 2 f i ( x ) dx ( fi (x)..

) (7) Формулы (5), (6) и (7) показывают, что вид функций Uik(x) зависит от закона изменения неоднородности i-го слоя gi. Поэтому выделим прежде всего те частные случаи законов изменения fi(x), когда уравнение (6) имеет постоянные коэффициенты. Таких случаев три. 1). Однородно - анизотропная среда fi(x) = 1;

(i = 1).

(x x i1 ) + (x i x ) fi (x) = i. x i x i1 (8) 2). Анизотропная среда с квадратичным законом изменения неоднородности: (9) Подчеркнём, что если i = 1, то из (9) будет вытекать важный частный случай однородно - анизотропной среды (8). 3). Анизотропная среда с экспоненциальным законом.

x x i1 f i ( x ) = exp x x ln i. i 1 i (10) Здесь тоже при i = 1 получим 1-ый случай (8). Из всех перечисленных наиболее приемлемым с точки зрения универсальности получаемых вычислительных алгоритмов, предназначенных для вычисления полей в широком спектре многослойных и неоднородных сред, оказывается последний третий случай. Именно поэтому в дальнейшем под функцией fi (х) (если нет специальных оговорок) будет пониматься функция (10), или, если i = 1, то считается что fi (х) 1. Решая известными методами уравнение (6), в котором fi (х) задана по формуле (10), для функций Uik(x) получим выражения U ik ( x ) = C ik g ik ( x ) + D ik pik ( x ) A ik, i f i ( x ) 2 k (11) где gik(x) и pik(x) – линейно независимые частные решения однородного уравнения, соответствующего уравнению (3). Эти частные решения удобно подобрать так, чтобы они удовлетворяли следующим краевым условиям: gik(xi-1) = 1;

gik(xi) = 0;

pik(xi-1) = 0;

pik(xi) = 1. (12) Такие решения, как легко проверить, имеют вид:

g ik ( x ) = sh[ ik ( x i x )] ;

p ik ( x ) = f i ( x ) sh ( ik d i ) i sh[ ik ( x x i1 )] f i ( x ) sh ( ik d i ), (13) в котором обозначено d i = x i x i1 ;

ik = 2k i + a i2 ;

a i = ln i. 2d i (14) Подчеркнём, что если в формулах (11) и (13) положим fi (х) 1 и i = 1, то получим, как частный случай, решение относящееся к однородному закону (8). 6.6. Алгебраизация граничных условий в модельной задаче Рассмотрим теперь граничные условия (4.4), (4.5), (4.7) и (4.8). Подставляя в (4.4) выражения (5.1) и учитывая равенства (5.12), получим систему уравнений A i 1,k A ik D i 1,k 2 = С ik 2 k i. k i 1 i 1 (i = 2, n;

k = 1, ) (1) Аналогично, подставляя в (4.5) выражения (5.1) и выполняя необходимые преобразования, приходим к системе уравнений i1 i1,k C ik + i1 i1 ( ri1,k a i1 ) D i1,k + 2 i1 a i1 A i1,k = 2k i = i ( rik + a i ) C ik + i ik D ik + (i = 2, n;

2 i a i A ik + L i1,k ;

2k i (2) k = 1, ) В системе уравнений (2) через ik и rik обозначены выражения:

ik = ik i ;

rik = ik cth (ik d i ) sh (ik d i ) (3) а через Li-1,k – коэффициенты разложений в ряды Фурье функций Li-1(у). Последние имеют вид:

Li 1, k = 2 ( ( { 1) k +1 Ti ( (2i ) 1i ) ) Ti 1 ( (2i 1) 1i 1) ) + ( k ( ( + 1 ( 1) k (Ti 1i ) Ti 1 1i 1) )}, [ ] [ ] (4) где через Ti обозначены выражения i i ln( i ) ( 1) d, i Ti = i i, di если i (5) если i = Наконец, подставляя w1(x,y) и wn(x,y) из (5.1) в (4.7) и (4.8) соответственно, для граничных условий при х = 0 и х= l получим выражения:

) (a 2a1b1 ) A1k C1k a 1 b1 ( r1k + a 1 ) + D1k b1 1k = F1k + 1 2k [ ] (6) и ) (a 2a b ) A nk. b nk C nk 2 + a + b ( rnk a n ) D nk = F2 k + 2 2 n 2 2 2 n k n n [ ] (7) Через F1k и F2 k в (6) и (7) обозначены коэффициенты разложений в ряды Фурье функций F1 (y ) и F2 (y ), т.е.

) ) ) ) h h ) ) 2) 2) F1k = F1 ( y ) sin( k y ) dy;

F2 k = F2 ( y ) sin( k y ) dy h0 h Таким образом, для отыскания потенциалов поля необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений (1), (2), (6) и (7). 6.7. Вычисление коэффициентов в рядах Фурье методом прогонки Уравнение (6.1) показывает, что коэффициенты Di 1, k выражаются через Cik. В частности, D1k будет вычисляться через C2 k. Подставляя D1k, выраженный из (6.1) через C2 k, в уравнение (6.6), получаем связь между коэффициентами C1k и C2 k. Эта связь, после преобразований, даёт следующее уравнение:

C1k = m 2 k C2 k + S2 k, (1) где m 2k = b 1 a 1k a 1 b1 ( r1k + a 1 ) (2) и S2 k = ) A 1 (a 2a 1b1 ) A1k A F1k + 1 b1a 1k 2 1k 2 2 k 2 a 1 b1 ( r1k + a 1 ) k 1 k 11 k (3) Аналогично, вычисляя с помощью уравнений (6.1) Di 1, k через Cik и Dik через Ci +1, k и подставляя затем эти выражения в (6.2), относительно коэффициентов Ci 1, k, Ci, k и Ci +1, k получим трёхдиагональную систему линейных алгебраических уравнений. Такие системы, как известно, решаются методами прогонки. В соответствии с алгоритмом названного метода связь между коэффициентами Cik и Ci +1, k ищем в линейной форме Cik = m i +1, k Ci +1, k + Si +1, k, (4) в которой mi +1, k и Si +1, k - пока неизвестные прогоночные коэффициенты. Для определения прогоночных коэффициентов подставим Ci 1, k = m ik Cik + Sik (5) в трёхдиагональную систему линейных относительно C i1,k, C ik и Сi+1,k алгебраических уравнений. В результате подстановки и последующих преобразований получим рекуррентные формулы:

m i+1,k = i1 i1 (ri1,k i ik a i1 ) + i (rik + a i ) i1 i1,k m ik (6) и A S A S i +1,k = m i +1,k i 1 i 1,k ik + 2 ik 2 i +1,k i ik k i i k i +1 A A i 1 i 1 (ri 1,k a i 1 ) 2 i 1,k 2 ik + i ik k i 1 i 1 k i 2 a A 2a A L + 2 i ik i 1 i 1 2 i 1,k + i 1,k k ik i i ik k i 1 i ik (7) Отправляясь от известных значений m2k и S2k в (2) и (3), по рекуррентным формулам (6) и (7) вычислим m3k,…, mnk и S3k, …, Snk (т.к. i = 2,3,…,(n - 1)). Рассмотрим теперь уравнения (6.1), (6.2) и (6.7) при i = n. Из (6.1) D n 1, k выразим через Cnk и подставим в (6.2). Коэффициент Cn 1, k по формуле (5) выразим через Cnk и тоже подставим в (6.2). Тогда, преобразованное таким способом уравнение (6.2) и уравнение (6.7) дадут систему двух уравнений относительно неизвестных Cnk и D nk. Решая эту систему, для Cnk и D nk найдём следующие значения:

C nk [a + b (r a )] R + = [a + b (r a )] q b 2 nk n n n n nk R nk n n 2 nk n (8) и D nk = b a C 1 2 nk nk + R 2 n a 2 + b 2 ( rnk a n ) (9) Через q1, R1 и R2 в формулах (8) и (9) обозначены выражения:

q1 = n 1 n 1,k m nk + n 1 n 1 ( rn 1,k a n 1 ) + n ( rnk + a n ) ;

A A R 1 = n 1 n 1,k S nk n 1 n 1 (rn 1,k a n 1 ) 2 n 1,k 2 nk + k n 1 n 1 k n + 2 n a n A nk 2 n 1a n 1 A n 1,k + L n 1,k ;

2k n 2k n (10) ) (a * 2b* a ) A nk R 2 = F2 k + 2 2 2 n k n n (11) В заключение дадим краткое описание алгоритма по расчёту потенциала поля в прямоугольной многослойной области. Во-первых, вычисляются коэффициенты m2k и S2k по формулам (2) и (3). Во-вторых, вычисляются прогоночные коэффициенты mik и Sik для i = 3,4,…,n по рекуррентным формулам (6) и (7). В-третьих, вычисляем коэффициенты Сnk и Dnk по формулам (8) и (9). В-четвёртых, вычисляем коэффициенты Cn-1,k;

Cn-2,k;

Cn-3,k;

…;

C2k;

C1k по рекуррентным формулам (5). В-пятых, по формулам (6.1) через Сik последовательно вычисляем D1k;

D2k;

…;

Dn-1,k. После этого остаётся подставить вычисленные коэффициенты Сik и Dik в ряды (5.1) и с их помощью вычислить потенциалы поля по формулам (4.1) для каждого слоя gi в многослойной области. 6.8. Применения развитой теории Изложенная теория расчёта статического поля в прямоугольной многослойной области может быть применена к решению следующих конкретных задач: 1). Для анализа точности моделирования многослойных сред (MC-сред) из периодически повторяющихся изотропных слоёв с разными проницаемостями анизотропно-однородными моделями Оллендорфа. 2). Для приближённого расчёта статического поля в неоднородной вдоль оси х прямоугольной области с произвольным законом изменения Г1 (х). В этом случае ось х разбиваем на частичные отрезки (диаметр разбиения будет зависеть от поставленной точности расчётов). Затем заменяем на частичных отрезках Г1(х) на экспоненциальный закон изменения проницаемости. Подчеркнём, что на концах каждого частичного отрезка значения Г1(х) и найденные из аппроксимирующего закона будут совпадать. После осуществлённой аппроксимации для расчёта поля в неоднородной среде применяем изложенную методику расчёта поля в МС-среде. 3). Для расчёта при аналогичных краевых условиях поля в многослойной криволинейной области, ограниченной координатными линиями какой-либо изотермической системы координат. При этом границами слоёв должны быть координатные линии одно из семейств. Возможность применения развитой теории к расчёту полей в таких многослойных областях основана на том, что в изотермических координатах уравнение для потенциала и граничные условия принимают аналогичный для случая декартовых координат вид. Для иллюстрации применения развитой теории далее приводятся три конкретных примера, имеющих самостоятельное практическое значение. В первом примере анализ полученного решения, основанный на способе послойного расчёта поля, выявил эффекты присущие только МС-средам. Доказано, что широко применяемый на практике метод однородноанизотропного эквивалентирования МС-сред, основанный на идее Оллендорфа [252], не способен уловить эти особенности. Во втором и третьем примерах показано, как на основе развитой в этой главе теории и предложенной операции интегрального эквивалентирования можно найти распределение потенциала поля в изотропных неоднородных средах. Проанализированы возможные числовые погрешности. 6.8.1 Метод интегрального эквивалентирования кусочно-неоднородных сред. Однородно-анизотропное эквивалентирование. Рассмотрим случай, когда область G заполнена средой, главные проницаемости которой равны Г1 = f(x) и Г2 = f(x), где, - постоянные, f(x) – кусочно-непрерывная на отрезке MD (рис.66) функция и плотность источников (y) 0. Тогда уравнение (1.4) будет иметь два частных решения, зависящих только от одной из координат. Первое = 1(х), и второе = 2(y), где 1 ( x ) = a + ( b a ) f (x ) f (x ) a a b x dx dx ;

2 ( y) = a + ( b a ) ya. ba Физический смысл этих решений в том, что они описывают однородные поля (в теории фильтрации – поступательные потоки), в первом линии тока направлены вдоль оси х, а во втором – вдоль у. Постоянные a и b – значения потенциала на прямых х = а, х = b (в первом) и у = а, у = b (во втором). Поток однородного поля в первом случае через нормальный к нему отрезок x = const, 0 < y < h равен Q1 = x dy = 0 h h( b a ), b dx f (x ) a (1) а во втором случае через нормальный к нему отрезок у = const, a < x < b равен ( b a ) Q 2 = y dy = f ( x )dx. ba a a b b (2) Определение: две физические среды с главными проницаемостями Г1 = f(x), Г2 = f(x) у первой и Г1 = f (x), Г2 = f (x) у второй, называются интегрально эквивалентными в прямоугольнике D = {a < x< b;

0 < y < h} если соответствующие потоки однородных полей в этих средах через прямые х = const и у = const при одинаковых граничных условиях a и b будут равными, т.е. если Q1 = Q1 и Q2 = Q2. Приравнивая указанные потоки, получаем следующие выражения для условия интегральной эквивалентности двух сред в прямоугольнике D:

b b b b a 1 dx dx ;

f ( x)dx = ' ' f ' ( x)dx = f ( x) ' a f ' ( x) a a (3) Приведём теперь важный для практики пример построения интегральноэквивалентной среды для заданной. Пусть заданная среда – многослойная, составленная из чередующихся изотропных однородных слоёв с проницаемостями 1 и 2 и с толщинами h1 и h2. Тогда = 1, = 1, 1, для a x a + h1. f (x) = 2, для a + h1 < x a + h1 + h Подберём для неё интегрально эквивалентную однородную анизотропную среду с характеристиками = 1, = 2/1 и f (x) = 1. Из решения системы уравнений (3) для 1 и 2 найдём, что '1 = ( h1 + h 2 ) 1 2 ;

1h 2 + 2 h1 '2 = 1h1 + 2 h 2. h1 + h (4) Формулы (4) выводились другим путём и применялись ранее при расчётах физических полей в слоистых средах многими авторами. Например в [120122], анализируя линии тока фильтрационного течения в физически малой окрестности и заменяя затем в ней истинную трубку тока течения на трубку тока некоторого эквивалентного суммарного движения Е.С. Ромм тоже приходит к формулам (4). Точно так же и Оллендорф [252] электротехнические расчёты потенциальных полей в мелкослойчатых средах выполняет с помощью (4) на однородно-анизотропных моделях МС-сред. На самом же деле погрешности расчётов, полученные методом однородноанизотропной аппроксимации слоистой среды могут быть существенными. Кроме того, однородно-анизотропная аппроксимация МС-среды не может выявить свойства, присущие самим мелкослойчатым средам. Для подтверждения этого приведём следующий пример 1. Рассмотрим случай, когда прямоугольная область MBED (рис.66) заполнена чередующимися однородными изотропными слоями одинаковой толщины h1 = h2 и с проницаемостями 1 и 2. Источники отсутствуют. Пусть на сторонах MD и BE заданы однородные граничные условия = 0, на стороне DE стороне МВ N ky MB = a k sin, k =1 h = 0, а на x (5) где ак = const. Потенциал ан (х,у) для однородно-анизотропной модели будет найден при тех же граничных условиях из уравнения (1.4), которое здесь имеет вид 2 2 + 2 21 2. Точное решение + 2 = 0;

= 2, 1 =, 2 = 1 2 x y 1, 1 + 2 этой «анизотропной» краевой задачи такое:

aн ( x, y ) = a k k = N ch[ k ( l x )] ky sin, ch ( k l ) h (6) где k = r k. С помощью (6) вычислим потоки QBE, QMD и QMB векторного h поля через границы BE, MD и МB. Имеем:

Q MB = x (0, y )dy = 1 a k th ( k l ) 1 ( 1) ;

Q MD = y ( x,0)dx = 1 a k th ( k l ) ;

k 0 k =1 0 k =1 h N [ ] l N Q BE = y ( x, h )dx = 1 ( 1) k a k th ( k l ) 0 k = l N Естественно, как и должно быть по уравнению неразрывности, QMB = QMD + QBE. В контрольных расчётах граничное условие (5) имело вид y 5 3y 1 5y 10 y MB ( y) = 0 sin 5 = 0 sin sin + sin, h 16 h 16 h h а для безразмерных параметров задавались значения 0 = 100, = h = 10, 1 = 10, 2 = 1. Распределение потенциала и потоки QMB, QMD и QBE для многослойной среды вычислялись по изложенной в этой главе теории. Результаты вычислений для МС-среды и её однородно-анизотропной модели представлены в таблице 6.1 и на графике (рис.68). Из представленных в таблице 6.1 и на графике на рис.68 видно следующее. 1). С увеличением числа слоёв на отрезке MD слоистая среда по своим свойствам приближается к однородно-анизотропной модели. Однако скорость достижения «анизотропного состояния» различна в отношении потоков и в отношении потенциала. Так погрешности в расчётах потоков в МС-среде по соответствующим потокам в анизотропной модели будут менее 1% начиная с 50 слоёв и выше (т.е. когда толщина отдельного слоя составляет 2% и менее от характерного размера расчётной области). В расчётах же потенциала (и его градиента) погрешность однородноанизотропной модели долгое время остаётся большой. В частности, погрешность в определении по анизотропной модели будет менее 1%, если число слоёв на MD будет 80 и более (т.е. когда толщина отдельного слоя будет менее 1,2% от характерного размера расчётной области). Таким образом, однородно-анизотропное эквивалентирование МС-сред будет оправдано, в основном, в задачах расчёта потоков в слоистых средах, когда максимальная толщина отдельных слоёв не превышает 2% от характерного размера области. К аналогичному выводу приводят исследования и в 3-ей главе диссертации. Таблица 6.1 Число слоёв 2 4 6 8 10 12* 14 16 18 20 50 70 80 100 N= анизотр. среда 118,578 QMD 331,312 208,995 144,955 120,550 112,495 110,548 110,745 111,590 112,550 113,427 117,730 118,156 118,250 118,350 Q (%) 179,4 76,3 22,2 1,7 -5,1 -6,8 -6,6 -5,9 -5,1 -4,3 -0,7 -0,4 -0,3 -0,2 относ. погреш. (%) 4,094 (5,5) 23,491 6,000 9,543 4,690 6,822 4,376 5,857 4,258 5,384 4,201 4,495 4,373 4,101 4,099 (%) 473,8 46,6 133,1 14,6 66,6 6,9 43,1 4,0 31,5 2,6 9,8 6,8 0,2 0,1 относ. погреш. (%) 2). В столбике со значениями потока QMD видно, что когда на стороне MD укладывается 12 слоёв, поток QMD минимален. Это объясняется тем, что в этом случае линии тока поля, преломляясь на границах раздела слоев, выстраиваются в линии наибольшей длины. Анизотропная модель не содержит информации о числе n слоёв и, поэтому в ней линии тока имеют одну и ту же геометрию для различного значения n. Именно, главным образом поэтому, анизотропная модель не может передать какие-то «глубинные» 6.8.2 Расчёт свойства полей в МС-среды, изотропных почему и требуется средах развитие методом самостоятельной теории расчёта полей в слоистых средах. неоднородных многослойного эквивалентирования. Ещё одним практическим приложением теории расчёта полей в МС-средах служит возможность её применения для исследования полей в сплошных неоднородных средах. Пусть, например, область G на рис.66 заполнена изотропной средой (Г1 = Г2 = Г) с проницаемостью Г(х) = f (x), Тогда уравнение (1.4) для потенциала = (х, у) примет вид 2 f ( x ) + f ( x ) 2 = ( y ) x x y (7) где = const, а f(x) - некоторая положительная дифференцируемая функция.

(8) Доведение решений краевых задач для уравнения (8) с произвольной функцией f(x) до числовых результатов приводит к серьёзным математическим трудностям. Для их преодоления будем моделировать среду с проницаемостью Г(х) некоторой эквивалентной многослойной изотропной средой. С этой целью границу MD области G разбиваем произвольным образом точками деления 0 = x0 < x1 < x2 < …< xn = на частичные отрезки i = [xi-1, xi], i = 1, n c единственным требованием: в пределах каждого i функция f (x) должна меняться монотонно. Затем на каждом из частичных отрезков i среду с заданной проницаемостью Г(х) заменяем на слой gi новой изотропной МС-среды, проницаемость которой выберем изменяющейся по экспоненциальному закону x x i1 ( x ) = i exp i x x ln i i 1 i (9) Параметры i и i, характеризующие проницаемость i-го слоя МС-модели находим из условия интегральной эквивалентности (3) на отрезке i первоначально заданной среды и слоя gi. После подстановки (9) в (3), получаем систему уравнений xi i (x i x i 1 ) (i 1) = f ( x )dx = A ln i x i 1 xi dx 1 (x i x i 1 ) (i 1) = 1 = B x i1 f ( x ) ln i i i (10) Решение системы (10) сводится к отысканию корня i трансцендентного уравнения 1 i 1 AB i ln = Qi, где Qi = (x x )2 i i i (11) и последующему вычислению i по формуле i = A i B (12) неравенства [213] В xi x i силу xi известного в математическом анализе f ( x )dx dx (x i x i 1 )2 вытекает, что в уравнении (11) Qi 1. Именно при x i 1 f ( x ) таких значениях Qi уравнение (11) имеет два положительных корня 1i и 2i, произведение которых равно единице 1i2i = 1. Большему корню отвечает случай монотонного возрастания i(x) на отрезке i, а меньшему – случай монотонного убывания. Поэтому из двух возможных корней уравнения (11) выбираем тот, который соответствует возрастанию или убыванию на отрезке i заданной функции f(x). В результате описанной процедуры локального эквивалентирования заданной среды на каждом частичном отрезке i новой средой с проницаемостью (9), получаем МС-среду из n слоёв и с характеристиками i, i, i = 1. Подчеркнём, что полученная МС-среда обладает не только локальными свойствами интегральной эквивалентности по отдельным слоям, но и глобальной интегральной эквивалентностью с заданной средой во всей области G. Последнее непосредственно проверяется с помощью (3) при а = х0 = 0 и b = xn =. Приведём теперь пример 2, на котором продемонстрируем предлагаемую методику расчёта поля в неоднородной изотропной среде. Пусть проницаемость (7) заданной среды определяется законом Г(х) = (х + а)2, (13) и источники в G отсутствуют, т.е. (у) = 0. Требуется рассчитать потенциал = (х,у) при граничных условиях y =0 = y = h = x =l = (14) и N ky x = 0 = k sin, h k = (15) где k = const. В этом контрольном примере точное решение уравнения (8) с условиями (14) и (15) имеет вид:

k ( l x ) sh a h sin ky. ( x, y ) = k x + a k=1 kl h sh h N (16) Значения в МС-модели среды (13) (все слои в которой выбирались одинаковыми по размерам) и найденные по теории для МС-сред, сравнивались с точным решением (16). Результаты расчетов (для = h = 10, a = 1, 1 = 10, N = 1) представлены в таблице 6.2. Вычислительный эксперимент показал, что в этом опыте, начиная с пяти слоёв (т.е. когда толщина отдельного слоя составляет 20% и менее от размера участка монотонности Г(х)) расчёт для МС-модели отличается от точного значения менее чем на 0,5%. В следующем примере 3 расчёт потенциала (х, у) в неоднородной среде (13) проводится на той же самой МС-модели, но при других граничных условиях:

y =0 y = h = 1, y =0 = 0, x =0 = sin, ( x ) x x =l 2h (17) Таблица 6.2. у\х 5 слоёв y= x= 1,043 1,041 1,040 1, 1. x= 0,196 0,195 0,195 0, 0. x= 0,069 0,069 0,069 0, 0. слоёв 20 слоёв 50 слоёв Точное решение 5 слоёв y= 1,774 1,770 1,770 1, 1. 0,333 0,332 0,332 0, 0. 0,118 0,118 0,118 0, 0. слоёв 20 слоёв 50 слоёв Точное решение 5 слоёв y= 1,435 1,432 1,432 1, 1. 0,270 0,269 0,269 0, 0. 0,096 0,095 0,095 0, 0. слоёв 20 слоёв 50 слоёв Точное решение Точное решение краевой задачи (17) для уравнения (8), когда (у) = 0, имеет вид ( x, y ) = y 2a + S, h ( x + a ) где k ( l x ) h kx sh ( 1) k +1 ch + h k ( l + a ) h ky sin S= kl 2 h k =1 ( 4k 1) k ch h (18) Точные, найденные из (18), и приближённые, найденные по развитой в этой главе теории расчётов полей в слоистых средах, значения потенциала представлены в таблице 6.3 (при = h = 10, а = 1). Вычислительный эксперимент показал, что и в этом опыте, начиная с 5 слоёв, расчёт для МС-модели практически совпадает с точным решением (относительная ошибка 0,8% и менее). Таким образом, метод МС-эквивалентирования изотропных неоднородных сред приводит к практически точному решению, если: 1). Толщина отдельных слоёв на участках монотонного изменения проницаемости составляет не более 20% от размера участка монотонности и, 2) краевые условия на торцевой части МС-модели (т.е. при у = 0 и у = h) – постоянные величины. В заключении к данному пункту отметим, что в ряде случаев расчёт потенциала поля в изотропных неоднородных средах получается с приемлемой для практики точностью даже тогда, когда интегральное эквивалентирование осуществляется глобально, ко всей расчётной области, а не локально по отдельным слоям, как было сделано в примерах 2 и 3. Числовые эксперименты, подтверждающие это, приведены в статьях автора [208-210].

Таблица 6.3. y\х 2 слоя 5 y=2 слоёв 10 слоёв Точ. реш. 2 слоя 5 y=5 слоёв 10 слоёв Точ. реш. 2 слоя 5 y=7 слоёв 10 слоёв Точ. реш. 0,225 0,221 0,221 0,2213 0,545 0,538 0,538 0,5388 0,738 0,733 0,733 0,7336 x=2 -1,7% 0,1% 0,1% Относ. пог.(%) -1,2% 0,1% 0,1% Относ. пог.(%) -0,7% 0,1% 0,1% Относ. пог.(%) 0,205 0,205 0,205 0,2055 0,508 0,508 0,508 0,5097 0,707 0,707 0,707 0,7080 x=5 0,2% 0,2% 0,2% Относ. пог.(%) 0,3% 0,3% 0,3% Относ. пог.(%) 0,1% 0,1% 0,1% Относ. пог.(%) 0,202 0,202 0,202 0,2036 0,504 0,504 0,504 0,5063 0,703 0,703 0,703 0,7052 x=7 0,8% 0,8% 0,8% Относ. пог.(%) 0,5% 0,5% 0,5% Относ. пог.(%) 0,3% 0,3% 0,3% Относ. пог.(%) 6.9. Граничные условия 2 – го типа (Неймана по одной паре противоположных сторон прямоугольника и смешанные по другой паре) В этом параграфе даётся дальнейшее развитие теории расчёта стационарных фильтрационных течений в многослойных средах. В отличие от §§1-7, сейчас границы BE и MD многослойной области на рис.66 рассматриваются как непроницаемые. Кроме того, считается, что в области MBED отсутствуют источники (стоки). В остальном исходные положения сохраняются прежними и поэтому решение рассматриваемой здесь задачи приведём в краткой форме. Общая постановка задачи. Имеется прямоугольная область плоскопараллельной фильтрации несжимаемой жидкости MBED (рис. 66), состоящая из n отдельных слоёв с размерами d1, d 2,K, d n по оси x и с одинаковыми высотами h. (Здесь и далее параметры характеризующие i-ю полоску, будут снабжаться верхним индексом i, по нижнему индексу будет осуществляться суммирование. При возведении в степень индексированного параметра этот параметр записывается в скобках). Стороны MD и BE непроницаемы. На сторонах BM и ED задаются некоторые стационарные граничные условия и (например, граничные известно условия. распределение потенциала). поле Требуется рассчитать потенциал и скорость фильтрации в данной области. Уравнения Плоскопараллельное r r r v i (x, y ) = v ix (x, y ) e x + v iy (x, y ) e y скорости фильтрации в i - ом слое, главные направления анизотропии (ГНА) которого совпадают с направлениями осей x и y, описывается законом Дарси v i x (x, y ) = ~xi i x ;

v i y (x, y ) = ~yi i y Pi ;

= µ i (1) (где Pi – приведённое давление в i-ом слое) и уравнением неразрывности:

i v ix v y div v = + = 0. x y i (2) В формулах (1) i (x, y ) —потенциал скорости фильтрации;

~xi и ~yi — главные проницаемости i - го слоя вдоль ГНА, которые зависят от координаты x рассматриваемых МС - сред следующим образом: ~xi = i f i (x ) ;

~yi = i i f i (x ) где i — коэффициент анизотропии;

i = ~yi, f i (x ) — безразмерная функция, x ~i принимающая значения f (x i1 ) = 1 и f (x i ) = i, i коэффициент неоднородности i-го слоя вдоль оси x. Подставляя (1) в (2), для потенциала i (x, y ) получим следующее уравнение:

i i i 2i i f (x ) + f (x ) 2 = 0 x x y (3) Рассмотрим теперь граничные условия, совместно с которыми необходимо интегрировать систему n уравнений (3). Во-первых, так как рассматривается случай, когда стороны MD и BE многослойного прямоугольника непроницаемы, то в каждой полосе на указанных сторонах v iy = 0 т.е.

i y = y = i y = y=h (i = 1,2, K, n ) (4) Во-вторых, на сторонах MB и ED могут быть заданы различные условия — либо закон распределения потенциала, либо закон распределения нормальной составляющей скорости фильтрации. Чтобы одновременно рассмотреть каждый из этих случаев, запишем граничные условия на сторонах MB и ED в виде:

~ 1 ~ 1 a1 + b1 x x = = F1 (y ) (5) ~ n ~ n a 2 + b2 x x =l = F2 (y ) (6) ~~ aa Если в (5) и (6) положить b1 = b2 = 0 а ~1 = ~2 = 1 то получаем случай заданного на границах x=0 и x=l закона распределения потенциала. Если же взять ~ = ~ = 0, ~ = 1, ~ = n n, то получаем случай заданного на границах МВ a1 a 2 b1 b и ED закона распределения нормальной составляющей скорости фильтрации. Однако в последнем случае нужно еще учитывать то, что функции F1(y) и F2(y) не могут быть произвольными. В самом деле, так как в силу уравнения неразрывности количество поступающей в область фильтрации жидкости за единицу времени должно быть равно количеству вытекающей из неё жидкости за то же время, то F1(y) и F2(y) должны удовлетворять требованию:

h h F1 (y )dy = F2 (y )dy.

0 В-третьих, на границах контакта полос друг с другом должны выполняться условия непрерывности давления и нормальных составляющих скорости фильтрации, т.е.

при x = x i 1 i i1 i = x x :

i = ;

i i 1 i ;

(i = 2,3, K, n ).

(7) Решение системы (3) методом Фурье. Решение каждого из уравнений системы (3), удовлетворяющее граничным условиям (4) будем искать методом Фурье. Осуществляя стандартные для этого метода выкладки, получим i (x, y ) = X i0 (x ) + X ik (x ) cos( k y ) k = (8) где k = k, а X ik (x ) —решение уравнений h dX ik (x ) di 2ii i f (x ) dx ( k ) f (x )X k (x ) = 0 ;

dx (k = 0,1,2, K i = 1,2, K, n ).

(9) В дальнейшем для простоты удовлетворения граничным условиям (7), общее решения уравнений (9) удобно представить в виде суммы X ik (x ) = A ik g ik (x ) + Bik p ik (x ) (10) где A ik и Bik — пока произвольные постоянные, а g ik (x ) и p ik (x ) — частные решения (9), удовлетворяющие краевым условиям g ik (x i 1 ) = 1, g ik (x i ) = 0, p ik (x i1 ) = 0, p ik (x i ) = (11) При k=0 функции g i0 (x ) и p i0 (x ), удовлетворяющие условиям (11), из уравнения (9) находятся при помощи квадратур и имеют вид:

g (x ) = 1 p (x ) ;

i 0 i p i f (x ) (x ) = dx f (x ) i x i 1 xi i x i x dx (12) При k0 для интегрирования уравнения (9) оказалось удобным использовать подстановку X ik = ik (x ) f i (x ).

(13) Относительно новой вспомогательной функции ik (x ) уравнение (9) примет более простой вид:

d 2 ik (x ) 1 d2 2 ( k ) i + 2 dx 2 f i (x ) dx ( f (x )) (x ) = i i k (14) Характеристика изучаемой МС-среды. Уравнение (14) для некоторых специально выбранных функций f i (x ) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами. Будем рассматривать МС-среды, представленные набором анизотропных слоев (рис. 66), закон изменения проницаемости в которых определяется тремя типами. 1. Однородно-анизотропная среда.

f i (x ) ( i = 1) (15) 2. Анизотропная среда с квадратичным законом f i (x ) = i (x x i1 ) + (x i x ) xi x (16) Если i = 1 то из (16) будет вытекать важный частный случай однородноанизотропной среды. 3. Анизотропная среда с экспоненциальным законом x x i1 i f (x ) = exp i x x i1 ln i (17) При этом закон f i (x) для i - ой полосы не зависит от того, каким законам следуют соседние полосы. В частном случае, если для всех полос коэффициенты неоднородности i = 1, то получим МС-среду, являющуюся кусочно-однородной анизотропной средой. Функции g ik (x ), p ik (x ) и их производные. Для вычисления функций g i0 (x ) и p i0 (x ) следует подставить (15)-(17) в (12). Для вычисления g ik (x ) и p ik (x ) при k0 подставляем поочередно (15)-(17) в (14). При этом в каждом из трёх случаев получается дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Интегрируя это уравнение и учитывая формулы (10), (11), (13), получим функции g ik (x ) и p ik (x ). Перечислим эти функции для рассматриваемых законов изменения электропроводимости слоя. Для среды с квадратичным законом функции g i0 (x ) и p i0 (x ) имеют вид:

p i0 (x ) = i (x x i 1 ) d i f i (x ) i (x x i 1 ) d i f i (x ), p i0 (x ) = (18) где f i (x ) определяются по формуле (16). Для однородно-анизотропных сред функции g i0 (x ) и p i0 (x ) находятся из (18), но при i = 1 и f i (x ) = 1. Для среды с экспоненциальным законом функции g i0 (x ) и p i0 (x ) имеют вид:

g io (x ) = 1 i i i f (x ) 1 ;

p io (x ) = 1 i 1 i i f (x ) (19) где f i (x ) определяется по формуле (17). Функции g ik (x ) и p ik (x ) при k0 для каждого из трех случаев записываются одинаково и имеют вид g i k [ ] (x ) = sh ( d ) f (x ) sh ik (x i x ) i k i i ;

p (x ) = i k i sh ik (x x i1 ) [ ] sh ( ik d i ) f i (x ) (20) изменения где f i (x ) определяется в зависимости от закона электропроводности слоя по формулам (15), (16) или (17), а ik находится по формуле:

k i ik = ( )2 i + (a i )2 k в случае (15) и (16) i где a i = ln i в случае (17 ) 2d (21) В граничные условия (5)-(7) входят производные по x. Дифференцируя указанные в формулах (18)-(20) функции, найдем, что на границах i-го слоя их производные имеют следующие значения, перечисленные в таблице 6.4. Таблица 6.4. производная dg i0 dx dpi0 dx dg ik dx dp ik dx x=xi- i0 i0 (rki + i ) ik x=xi i0 i i0 i ik i rki i Вспомогательные постоянные, через которые выражаются производные в таблице 6.4, перечислены в таблице 6.5. Таблица 6.5. Константа i Закон изменения проницаемости i-го слоя По формуле (15) 1 di По формуле (16) i di По формуле (17) ( 2a i i i 1) i 0 ( i 1) di i i ai ai i Коэффициенты ik и rki через ik из (21) для всех трех случаев вычисляются по формулам:

= i k sh ( d i k i ik i ) ;

rki = ik cth ( ik d i ).

Уравнения для коэффициентов рядов Фурье (8). Рассмотрим граничные условия (5)-(7). Подставляя в (5) потенциал i(x,y) из (8) и учитывая значения функций g ik (x ), p ik (x ) и их производных на левой стороне i-го слоя (указанные в формулах (11) и таблице 6.4) получим (~ ~ )A ab 1 1 1 1 ~ + b11 B1 + 00 k = ( { [~ ~ (r ab 1 1 k ~ + 1 ) A1 + b11 B1 cos k y = F1 (y ) k kk ] } ) (22) Аналогично, подставляя потенциал n(x,y) из (8) в (6) и учитывая значения функций g ik (x ), p ik (x ) и значение их производных на правой стороне n-го слоя, получим:

~n ~n b2 0 n ~ b2 0 A0 + a2 + n n ~ n b2 n k ~ ~ n B0 + n k A n + a 2 + b2 (rk n ) B n cos( k y ) = F2 (y ) (23) k k =1 [ ] Раскладывая функции F1,2(y) в ряды Фурье на отрезке [0,h] по косинусам и сравнивая затем коэффициенты этих разложений с теми, которые присутствуют в левых частях формул (22) и (23), относительно A1k, B1k, Ank, Bnk получим следующую систему уравнений:

~ ~ (r 1 + 1 ) A1 + ~ 1 B1 = F a1 b1 k b1 k k k 1k (k = 1,2,3, K) 1 1 1 0 1 (~ ~ )A ab ~ + b11 B1 = F10 [ ] (24) n B0 = FS0 ~n b2 k k ~ ~ n n n n A n + a 2 + b2 (rk ) B k = FSk (k = 1,2,3, K) ~n ~n b2 0 n ~ b2 0 n A0 + a2 + n [ ] (25) где FS0 = 1 Fs (y )dy h h FSk = 1 Fs (y ) cos( k y )dy h h (s = 1, 2).

Подставляя далее потенциалы i-1 и i из (8) в условия (7) (с учетом значений функции g ik (x ), p ik (x ) и их производных на правой и левой границах (i - 1) - го и i-го слоев соответственно) и приравнивая коэффициенты при косинусах одинаковой кратности, получим систему уравнений, связывающих друг с другом коэффициенты (i - 1) - го и i-го слоев :

k = 1,2,3, K) i 1 i01A i01 + i1 i01 Bi01 = i i0 A i0 + i i0 Bi0 i 1 ik1A ik1 + i 1 i (rki1 i1 )Bik1 = i (rki 1 )A ik + i ik Bik Bi01 = A i0 ;

Bik1 = A ik ;

(i = 2,3, K, n (26) Таким образом, для отыскания коэффициентов Ai0, Bi0, и Aik, Bik рядов Фурье (8), определяющих потенциалы каждого слоя МС-среды, необходимо решить систему из линейных алгебраических уравнений (24)-(26). Решение системы линейных алгебраических уравнений (24)-(26) методом прогонки. Решение системы перечисленных уравнений осуществляется раздельно для коэффициентов Ai0, Bi0, Aik, и Bik (при k=1,2,3,…) но однотипным для обеих групп коэффициентов способом. Поэтому подробно опишем решение лишь для коэффициентов Ai0, Bi0. Перепишем первое уравнение системы (24) с учетом того, что B10=A20 (26):

(~ ~ )A ab 1 1 1 1 ~ 2 + b11 A 0 = F10 (27) Далее подставляя в соответствии с первым уравнением системы (26) в её третье уравнение вместо Bi01 коэффициент A i0 и вместо Bi0 коэффициент A i0+1 для i=2,3,…(n-1) получим:

i1 i01A i01 + ( i1 i01 + i i )A i0+1 = (28) n n При i=n в третьем уравнении системы (26) можно заменить B0 1 на A 0, в результате чего получим:

n n n n nn n 1 0 1A 0 1 + ( n 1 0 1 + n n )A 0 = n 0 B (29) Таким образом, относительно (n+1)-го неизвестного A10 и B10 получилась система n уравнений (27)-(29). Последнее, (n+1)-е уравнение, связывающее друг с другом A10 и B10, приводится в системе (25). Получившаяся система (n+1)-го уравнения относительно (n+1)-го неизвестного будет иметь трехдиагональный вид.

В результате аналогичных преобразований относительно коэффициентов Aik и Bik также получается трехдиагональная система линейных алгебраических уравнений. Решение таких систем линейных алгебраических уравнений осуществляется известным способом — методом прогонки. Выполняя в обоих случаях известные для метода прогонки операции, приходим к следующему алгоритму для вычисления коэффициентов ряда Фурье (8).

2 2 1. Вычисляем коэффициенты m 0 и c 0 (при k=0) и m 2 и c 2 (при k0): k k ~1 b m = ~ 1 ~0 1 1 b1 2 ( ) ) ~1 b k m = ~ ~1 1 1 b1 (rk + 1 ) 2 k ( ) F 2 c 0 = ~ 10 1 ~ 1 b1 ( F c 2 = ~ ~ 1k 1 k 1 b1 (rk + 1 ) ( ) 2. Вычисляем прогоночные коэффициенты mi0, ci0, и mik, cik по рекуррентным формулам:

m i +1 = [ i i 01 (m i0 + 1) + i i i i ] ;

c i +1 i1 i01c i0 m i0+1 = i i0 i 1 ik1c ik m ik+1 i ik m i0+1 = [ i ik1m ik + i1 i1 (rki1 i1 ) + i (rki + i ) i ik ] ;

c ik+1 = ;

(i = 2,3, K, n ) 3. Вычисляем коэффициенты Bn0 и Bnk ~ n n +1 ~ n n +1 b2 0 c 0 bc F20 + F2 k + 2 k k n n n ;

Bn =. B0 = k ~ n n +1 b2 0 (m 0 + 1) ~ n m n +1 ~+ ~ + b k k + r n n a2 a2 2 k n n 4. Вычисляем коэффициенты Ank:

n A k = m n +1 Bn + c n +1 k k k (k = 0,1,2,3, K) (k = 0,1,2,3, K) 5. Вычисляем коэффициенты A ik1 :

A ik1 = m ik A ik + c ik При каждом зафиксированном номере k индекс i пробегает значения n, n-1, n-2, …, 3, 2. 6. Вычисляем коэффициенты Bik по формулам:

B1 = A 2, B2 = A 3, K, Bik1 = A ik, K, B n 1 = A n k k k k k k (k = 0,1,2, K) Тестовые примеры расчётов поля в МС-средах по разработанной теории автором представлены в [162]. Основные результаты главы 6. 1). Разработан математический аппарат расчёта линейной фильтрации в кусочно-неоднородных многослойных средах в областях, топологически эквивалентных прямоугольнику. 2). С помощью развитой теории на конкретных примерах выполнены дополнительные исследования точности расчётов в МС-средах методом интегрального однородно-анизотропного эквивалентирования. 3). Предложен общий метод, названный методом многослойной аппроксимации неоднородной изотропной среды, решения краевых с задач для эллиптического положительным уравнения кусочно 2 f (x) + f (x) 2 = 0 x x y произвольным непрерывным коэффициентом f(x) в прямоугольной области и с широким набором граничных условий на её сторонах (перечислявшихся выше в этой главе). 4). На примере разработанной теории указаны общие подходы к расчётам полей в многослойных средах в других областях - полосе, полуполосе, круге и н. др., а также в топологических аналогах этих областей в изотермических системах координат.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ В диссертации на основании выполненных исследований разработаны теоретические положения, совокупность которых можно квалифицировать как новое крупное достижение в развитии теории двумерной фильтрации 1) в искривлённых слоях конечной переменной толщины и 2) в многослойных и анизотропных средах. Основные результаты работы, полученные лично автором 1. Разработаны алгоритмы для расчёта тензоров проницаемостей для тех анизотропных сред, у которых главные направления анизотропии известны априори (к таким относятся распространённые в естественных условиях трансверсально-изотропные и ортотропные среды, некоторые периодические, трещиноватые и слоистые среды) при линейном и нелинейном режимах фильтрации. 2. Предложена математическая модель двумерных фильтрационных течений несжимаемой жидкости в неоднородных анизотропных искривлённых пластах конечной переменной и постоянной толщины. 3. Проведены исследования точности фильтрационных расчётов в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования. 4. Разработаны математические модели учёта индивидуальных фильтрационных свойств призабойных зон скважин при исследовании течений к одиночным и групповым скважинам. 5. Предложена качественная и точная количественная математическая модель работы скважины с гравийным фильтром. 6. Предложены математические модели работы основных конструкций промышленных фильтров нефте- и вододобывающих скважин. 7. Предложены качественные математические модели работы скважин при вертикальном и горизонтальном гидроразрыве пласта. 8. Предложена теория расчётов двумерных фильтрационных течений в многослойных и неоднородных средах в области, ограниченной дугами координатных линий изотермических систем координат.

ЛИТЕРАТУРА 1. АМИРАСЛАНОВ И.А., С. 1142-1146. 2. АРАВИН В.И. К вопросу о фильтрации в анизотропно-водопроницаемых грунтах // Тр. Ленинградского индустриального ин-та. – 1937. – вып.2. – № 9. –С. 3-12. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. АРАВИН В.И. Расчет плоской фильтрации в грунтах с криволинейной анизотропией // Изв. ВНИИГ им. Б.Е. Веденеева. – 1974. Т.104. – С.3-9. АРАВИН В.И. Фильтрация в анизотропно-водопроницаемом грунте // Тр. Ленинградского индустриального ин-та. – 1940. – вып.1. – № 1. – С.3-14. АРАВИН В.И., НОСОВА О.И. Натурные исследования фильтрации. – Л.: Энергия, 1969. – 256 с. АРАВИН В.И., НУМЕРОВ С.Н. Теория движения жидкостей и газов в недеформируемой пористой среде. – М.: Гостехиздат, 1953. – 616 с. АРЬЕ А.Г. Физические основы фильтрации подземных вод. – М.: Недра, 1984. – 101 с. БАРЕНБЛАТТ Г.И. и др. Движение жидкостей и газов в природных пластах / Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик. – М.: Недра, 1984. – 208 с. БАРИНОВА М.Ф. К вопросу о построении фильтрационных течений в прерывно – однородных пластах // Уч. зап. МОПИ им. Н.К. Крупской. – 1971. – Т.299. – вып.1. – С.38-44. 10. БАСАРЫГИН Ю.М. и др. Заканчивание скважин / Ю.М. Басарыгин, А.И. Булатов, Ю.М. Проселков. – М.: Недра, 2000. – 670 с. 11. БАСНИЕВ К.С., БЕДРИКОВЕЦКИЙ П.Г., ДЕДИНЕЦ Е.Н. Определение эффективной проницаемости трещиновато-пористой среды // ИФЖ. – 1988. – Т.55. – № 6. – С.940-948. 12. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. К определению проницаемости и фильтрационного сопротивления для анизотропных пористых сред // Изв. вузов. Нефть и газ. – 1985. – №2. – С. 26, 43, 44.

ЧЕРЕПАНОВ Г.П.

Фильтрация жидкости в криволинейных слоях переменной толщины // ПММ. – 1981. – вып.6. – 13. БАСНИЕВ К.С., 59. 14. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М.

Обобщенный закон Дарси для анизотропных пористых сред // Изв. вузов. Нефть и газ. – 1986. – №5. – С.54ДМИТРИЕВ Н.М. Определяющие соотношения для анизотропных пористых сред, проявляющих ассиметрию фильтрационных свойств // Изв. вузов. Нефть и газ. – 1987. – №10. – С. 56-61. 15. БАСНИЕВ К.С., ДМИТРИЕВ Н.М. Соотношения между значениями направленной проницаемости для анизотропных коллекторов // Изв. вузов. Нефть и газ. – 1988. – №8. – С. 70-94. 16. БАСНИЕВ К.С., 2003. – 480 с. 17. БАХВАЛОВ Н.С., ПАНАСЕНКО Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. – М.: Наука, 1984. – 352 с. 18. БАХВАЛОВ Ю.А., ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. Качественное исследование электрического поля в межобмоточных промежутках высоковольтных трансформаторов // Изв. вузов СССР. Электромеханика. – 1987. – № 9. – С.16-26. 19. БОРИСЕНКО А.И., ТАРАПОВ И.Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. – М.: «Высшая школа», 1966. – 251 с. 20. БОЯРСКИЙ Б.В. Гомеоморфные решения систем Бельтрами // ДАН СССР. – 1955. – Т.102. – №4. С.661-664. 21. БРАГИНСКАЯ В.А. Некоторые задачи фильтрации в анизотропном грунте // ПММ. – 1942. – Т.6. – вып. 2-3. 22. БУЙКИС А.А. Моделирование процессов фильтрации в слоистых средах методом консервативного осреднения : Дисс. … д-ра физ.-мат. наук. – Рига, 1987. – 358 с. 23. БЫСТРОВ К.Н. Построение течений с точечными особенностями в искривленных слоях переменной толщины // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1968. – № 1. – С.169-175.

ДМИТРИЕВ Н.М., РОЗЕНБЕРГ Г.Д.

Нефтегазовая гидромеханика. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 24. БЭР Я. и др. Физико-математические основы фильтрации воды / Я.Бэр, Д.Заславски, С.Ирмей. – М.: Мир, 1971. – 452 с. 25. ВАНЬКО В.И., 1999. – 487 с. 26. ВАСИЛЬЕВ В.А., ШУЛЬГИН Д.Ф. О работе фильтра буровой скважины // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. – 1961. – №1. 27. ВАСИЛЬЕВ Ю.Н., БАШКИРОВ А.И. Приближенное решение задачи о притоке к скважине с горизонтальной трещиной // Изв. АН СССР. ОТН. Механика и машиностроение. – 1961. – № 5. – С.183-185. 28. ВЕКУА И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Физматгиз. – 1959. –628 с. 29. ВЕРЕМЧУК И.А., установившейся ПРУСОВ И.А. фильтрации Комплексный потенциал в плоской пористой несжимаемой жидкости ЕРМОШИНА О.В., КУВЫРКИН Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление. – М.: изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, анизотропной среде // Вестник Белорусского госуниверситета. Сер.1. «Математика. Физика. Механика». – Минск, 1975. – №3. – С.78-79. 30. ГАВРИЛКО В.М., АЛЕКСЕЕВ В.С. Фильтры буровых скважин. – М.: Недра, 1985. – 334 с. 31. ГАСУМОВ Р.А., МАШКОВ В.А., СИНГУРОВ А.А., КОНДРЕНКО О.С., МИНЛИКАЕВ В.З., ДУБРОВСКИЙ Н.Д. Опытно-промышленные испытания технологии и технических средств по удалению глинистопесчаных пробок в условиях АНПД //«Проблемы эксплуатации и капитального ремонта скважин на месторождениях и ПХГ». Сб. науч. тр. ОАО «СевКавНИПИгаз». – Ставрополь, 2003. – вып.39. – С. 162-171. 32. ГЛАДЫШЕВ Ю.А. О методе перехода при решении задач фильтрации в пластах с переменными по простиранию мощностью и проницаемостью. // Гидромеханика. – М.: МОПИ им. Н.К.Крупской, 1974. – вып. 3. – С.217-221. 33. ГЛАДЫШЕВ Ю.А. Об одном обобщении теоремы об окружности и ее приложении в теории фильтрации // Избранные задачи гидродинамики. МОИП. – М.: Наука, 1977. – С.40-43.

34. ГЛАДЫШЕВ Ю.А. Построение потенциальных стационарных течений идеальной жидкости в искривлённом слое переменной толщины методом перехода // Тр. МОПИ им. Н.К. Крупской. – 1964. – Т. 142. – вып. 5. – С.39-48. 35. ГОЛУБЕВ Г.В. О некоторых точных решениях задачи об определении поля давлений в неоднородном нефтяном пласте // Изв. вузов. Нефть и газ. – 1966. – № 2. – С. 86-87. 36. ГОЛУБЕВ Г.В. С.180-182. 37. ГОЛУБЕВ Г.В. Определение поля давлений в кусочно – однородных пластах различной формы // Тр. ун-та / Казанский ун-т. – 1958. – Т.118. – Кн.2. – С.166-192. 38. ГОЛУБЕВ Г.В., ТУМАШЕВ Г.Г. Фильтрация несжимаемой жидкости в неоднородной пористой среде. – Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1972. – 195 с. 39. ГОЛУБЕВА О.В. Двумерные динамические процессы в анизотропных средах // ПММ. – 1980. – Т. 44. – вып.1. – С. 166-171. 40. ГОЛУБЕВА О.В. Задачи фильтрации в анизотропных средах. // Сб. науч. тр. «Исследования С.57-63. 41. ГОЛУБЕВА О.В. Курс механики сплошных сред. – М.: Высшая школа, 1972. – 364 с. 42. ГОЛУБЕВА О.В. Обобщение теоремы об окружности на фильтрационные течения // Изв.АН СССР. МЖГ. – 1966. – № 1. – С.113-116. 43. ГОЛУБЕВА О.В. Уравнения двумерных движений идеальной жидкости по криволинейной поверхности и их применение в теории фильтрации // ПММ. – 1950. – т. 14. – вып. 3. – С. 287-294. по теории функций комплексного переменного с приложениями к механике сплошных сред». – Киев: Наукова думка, 1986. – Об одном методе определения поля давлений в неоднородной пористой среде // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1967. – № 3. – 44. ГОЛУБЕВА О.В., САПИЯНОВ Т.Н. Математические модели фильтрации при учёте неоднородности среды. – АН Киргизской ССР. – Фрунзе: «Илим», 1990. – 236 с. 45. ГОЛУБЕВА О.В., ТОЛПАЕВ В.А., КУТУЗОВ В.Г., СОЛОМКО Ю.Л. О фильтрации в однородно – анизотропных средах // Гидромеханика. М.: МОПИ им. Н.К.Крупской. – 1975. – вып.4. – С.163-171. 46. ГОЛУБЕВА О.В., ШПИЛЕВОЙ А.Я. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1967. – № 2. – С.174-179. 47. ГОРБУНОВ А.Т. Некоторые задачи фильтрации в анизотропных средах // НТС ВНИИ. – 1962. – вып. 16. 48. ДАНИЛОВ В.Л. Дебит нефтяных скважин при произвольной форме контура питания // Изв. КФАН СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. – 1954. – вып. 5. – С.52-69. 49. ДМИТРИЕВ Н.М. Модели фильтрации в анизотропных средах. / Дисс. … д.т.н. ГАНГ им. И.М.Губкина. – М., 1997. – 316 с. 50. ДМИТРИЕВ Н.М. О нелинейных определяющих уравнениях для анизотропных пористых сред. // Вопросы подземной гидромеханики и оптимизации нефтедобычи / Тр. Казан. физ.-техн. ин-та. Казан. фил. АН СССР. – Казань, 1985. – С. 20-24. 51. ДМИТРИЕВ Н.М., МАКСИМОВ В.М. Нелинейные законы фильтрации для анизотропных пористых сред // ПММ. – 2001. – Т.65. – вып.6. – С.963-970. 52. ДОМАНСКИЙ А.В. Гидравлический разрыв в неоднородном пласте // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1988. – № 5. – С.109-114. 53. ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д. Развитие математической модели фильтрации в анизотропных средах // Тез. докл. XXIV научно-технической конференции. СтПИ. – Ставрополь, 1994. –Т.2. – С.86.

54. ЕНТОВ В.М., МУРЗЕНКО В.В. Стационарная фильтрация однородной жидкости в элементе разработки нефтяного пласта с трещиной гидроразрыва // Изв. РАН. МЖГ. – 1994. – № 1. – С.104-112. 55. ЖЕРНОВОЙ А.Д., ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А. Математическая модель вскрытия радиально-анизотропного пласта щелевым способом // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. – 1996. – № 1. – С.36-41. 56. ЖЕРНОВОЙ А.Д., ДОНЦОВ К.М., ТОЛПАЕВ В.А. Учет влияния течения жидкости по щелям // Тез. докл. XXV научно-технической конференции. Ставропольский государственный технический университет. – Ставрополь, 1995. – Т. III. – С.51. 57. ЗАЗОВСКИЙ А.Ф., ТОДУА Г.Т. О стационарном притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной гидроразрыва большой протяженности // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1990. – № 4. – С.107-116. 58. ЗАЙЦЕВ А.А., ФОМЧЕНКОВ В.В., ШПИЛЕВОЙ А.Я. Об определении течения поступательного потока через систему круговых или сферических слоёв различной проницаемости // Изв. РАН. МЖГ. – 2002. № 6. – С.162-165. 59. ЗАЙЦЕВ В.Ф., 2003. – 416 с. 60. ИЛЬИН В.А., КИМ Г.Д. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Изд-во МГУ, 2002. – 319 с. 61. ИЛЬИН В.А., ПОЗНЯК Э.Г. Основы математического анализа. – М.: НаукаФизматлит, 2000. – Ч.1,2. – 616+447 с. 62. ИОССЕЛЬ Ю.Я., КОЧАНОВ Э.С., СТРУНСКИЙ М.Г. Расчет электрической емкости. – Л.: Энергоиздат, 1981. – 288 с. 63. КАДЕТ В.В., СЕЛЯКОВ В.И. Фильтрация флюида в среде, содержащей эллиптическую трещину гидроразрыва // Изв. вузов. Нефть и газ. – 1988. – № 5. – С.54-60. ПОЛЯНИН С.Д. Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. – М.: Физматлит, 64. КАНЕВСКАЯ Р.Д. О притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной гидроразрыва в кусочно-однородном анизотропном пласте // Изв. РАН. МЖГ. – 1999. – № 2. – С.64-71. 65. КАНЕВСКАЯ Р.Д., КАЦ Р.М. Аналитические решения задач о притоке жидкости к скважине с вертикальной трещиной гидроразрыва и их использование в численных моделях фильтрации // Изв. РАН. МЖГ. – 1996. – № 6. – С.59-80. 66. КАЧАНОВ М.Л. Об анизотропии фильтрационных свойств трещиноватой среды // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1975. – № 4. – С.171-173. 67. КОЗЛОВ В.С. К вопросу о расчете движения воды под гидротехническими сооружениями в анизотропно-водопроницаемых грунтах // Изв. АН СССР, ОТН. – 1940. – №3. – С. 59-79. 68. КОЛЛИНЗ Р. Течение жидкостей через пористые материалы. – М.: Мир, 1964, – 350 с. 69. КОПАЕВ А.В., РАДЫГИН В.М. Фильтрационные теоремы о прямых // Изв. РАН. МЖГ. – 1992. – №5. – С.86-90. 70. КОПАЕВ А.В., РАДЫГИН В.М. Фильтрационные теоремы о сферах // Изв. РАН. МЖГ. – 1991. – № 2. – С.105-109. 71. КОПАЕВ А.В., РАДЫГИН В.М. Фильтрационные теоремы об окружностях // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1990. – № 1. – С.179-183. 72. КОРЕНЕВ Г.В. Тензорное исчисление. – М.: МФТИ, 2000. – 239 с. 73. КОСТЕРИН А.В. Об уравнениях нелинейной анизотропной фильтрации // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1980. – №5. – С.158-160. 74. КОСТИЦЫНА Л.И. Динамические процессы в средах с тремя и более параллельными границами раздела зон однородности // Гидромеханика. – М.: МОПИ им.Н.К.Крупской, 1976. – вып.5. – С.80-90. 75. КОСТИЦЫНА Л.И. К вопросу о движении фильтрационного потока в кусочно – однородной пористой среде // Тр. МОПИ им. Н.К.Крупской. – 1966. – Т.164. – вып.6. – С.67-82.

76. КОЧИН Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.: Наука, 1965. – 426 с. 77. КОЧИНА И.Н., МИХАЙЛОВ Н.Н. Фильтрация через глинистые корки // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1976. – №6. – С.70-75. 78. ЛАВРЕНТЬЕВ М.А., ШАБАТ Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973. – 736 с. 79. ЛЕЙБЕНЗОН Л.С. Движение природных жидкостей и газов в пористой среде. – М.-Л., 1947. – 244 с. 80. ЛЕЙБЕНЗОН Л.С. Нефтепромысловая механика. Ч.2. Подземная гидравлика воды, нефти и газа. – М.-Грозный-Л.-Новосиб.: Горногеолнефтеиздат, 1934. – 352 с. 81. ЛЕОНОВ Е.Г., ИСАЕВ В.И. Гидроаэромеханика в бурении. – М.: Недра, 1987. 82. ЛОВЕЦКИЙ Е.Е., С.81-86. 83. ЛУКОМСКАЯ М.А. Решение некоторых задач о притоке жидкости к скважинам // ПММ. – 1947. – Т. XI. – вып. 6. 84. МАКОВЕЙ Н. Гидравлика бурения. – М.: Недра, 1986. – 536 с. 85. МАСКЕТ М. Течение однородных жидкостей в пористых средах. – М.-Л.: ГНТИ, 1949. – 628 с. 86. МИЛН-ТОМСОН Л.Н. Теоретическая гидродинамика. – М.: Мир, 1964. – 655 с. 87. МИРЗАДЖАНЗАДЕ А.Х., АМЕТОВ И.М., БАСНИЕВ К.С. Подземная гидрогазодинамика. – М.: ГАНГ, 1992. – 88 с. 88. МИХАЙЛОВ Г.К. К задаче о фильтрации в анизотропных земляных плотинах трапецеидального профиля на горизонтальном водоупоре // ДАН СССР. – 1951. – Т. 80. – №4. – С. 553-556. СЕЛЯКОВ В.И. Перколяционные модели фильтрационных свойств среды // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1984. – № 3. – 89. МИХАЙЛОВ Г.К. Применение модели предельно анизотропных грунтов для оценки решений некоторых краевых задач о движении потока грунтовых вод по водоупору // Инж. сб. АН СССР. – 1953. – Т. ХV. – С. 159-168. 90. МИХАЙЛОВ Г.К. Упрощение способа расчета фильтрации в однородноанизотропном грунте // Инж. сб. АН СССР – 1954. – Т. XIX. – С. 159-160. 91. МИХАЙЛОВ Г.К., НИКОЛАЕВСКИЙ В.Н. Движение жидкостей и газов в пористых средах // Механика в СССР за 50 лет. – М.: Наука, 1970. – Т.2. – С. 585-648. 92. МИХАЙЛОВ Н.Н. Изменение физических свойств горных пород в околоскважинных зонах. – М.: Недра, 1987. – 152 с. 93. МОЛОКОВИЧ Ю.М. К вопросу нелинейной фильтрации в анизотропных (ортотропных) по проницаемости средах // Гидродинамика и разработка нефтяных месторождений. – Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. – С. 124128. 94. НАХУШЕВ А.М., СЕРБИНА Л.И., ТОЛПАЕВ В.А. Расчет расхода жидкости на фильтрацию под плотиной в средах с конгруэнтным типом анизотропии // Вестник Кабардино-Балкарского гос. ун-та. Серия: физикоматематические науки. – Нальчик, 1996. – вып. 1. – С.96-103. 95. НИКОЛАЕВСКИЙ В.Н. О точном и приближённом решениях одной плоской задачи фильтрации при смешанных граничных условиях // Изв. АН СССР. ОТН. – 1957. – №10. – С. 102-105. 96. НУМЕРОВ С.Н. К вопросу о нелинейной фильтрации газа в анизотропной среде // Изв. ВНИИГ им.Б.Е.Веденеева. – Л., 1974. – Т.104. – С.292-293. 97. ОСТРЕЙКО В.Н. Расчет электромагнитных полей в многослойных средах. – Л.: Изд-во Ленинградского ун-та. – 1981. – 152 с. 98. ПЕТРОВА В.А. К вопросу об оценке точности метода Хоу / Докл. ХХVI научной конференции «Вопросы прикладной математики и геометрического моделирования» ЛИСИ. – Л., 1968. – С. 16-21. 99. ПЕТРОВА В.А. Решение плоской электростатической задачи для двух контуров // Изв. вузов СССР. Математика. – 1969. – №8. – С.52-63.

100. ПИВЕНЬ В.Ф. К теории осесимметричных обобщенных аналитических функций в динамических процессах // Докл. АН СССР. – 1990. – Т.313. – №6. – С.1424-1426. 101. ПИВЕНЬ В.Ф. О теории двумерных процессов в слоях переменной проводимости, характеризуемых степенью гармонической функции // ДАН. – 1995. – Т.344. – №5. – С. 327-629. 102. ПИЛАТОВСКИЙ В.П. Основы гидромеханики тонкого пласта. – М.: Недра, 1966. – 317 с. 103. ПИРВЕРДЯН А.М. Нефтяная подземная гидравлика. – Баку: Азнефтеиздат, 1956. – 332 с. 104. ПОЛОЖИЙ Г.Н. Обобщение теории аналитических функций комплексного переменного. – Киев: Изд-во Киевск. ун-та, 1965. – 442 с. 105. ПОЛОЖИЙ Г.Н. Теория и применение р-аналитических и (р,q)аналитических функций. – Киев: Наукова думка, 1973. – 424 с. 106. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА П.Я. О фильтрации в анизотропном грунте // ПММ. – 1940. – Т.4. – вып.2. – С.101-104. 107. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА П.Я. Об источниках и стоках на поверхности // ПММ. –1950. – Т. 14. – вып. 1. 108. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА П.Я. Теория движения грунтовых вод. – М.: Недра, 1977. – 664 с. 109. ПОЛУБАРИНОВА-КОЧИНА П.Я., ПРЯЖИНСКАЯ В.Г., ЭМИХ В.Н. Математические методы в вопросах орошения. – М.: Наука, 1969. – 414 с. 110. ПРУСОВ И.А. Двумерные краевые задачи фильтрации. – Минск: Изд. университетское, 1987. – 182 с. 111. ПРУСОВ И.А., ВЕРЕМЧУК И.А. Вывод основных уравнений фильтрации жидкости в анизотропной среде // Изв. АН БССР. Серия физ.-мат. наук. – Минск, 1974. – №1. – С.109-112. 112. ПЫХАЧЕВ Г.Б., ИСАЕВ Р.Г. Подземная гидравлика. – М.: Недра, 1973. – 360 с.

113. РАБИНОВИЧ Н.Р. Инженерные задачи механики сплошной среды в бурении. – М.: Недра, 1989. – 270 с. 114. РАДЫГИН В.М. К вопросу о работе круговой батареи скважин в неодродном искривоенном пласте // Гидромеханика. М.: МОПИ им.Н.К.Крупской, 1973. – вып. 2. – С.62-67. 115. РАДЫГИН В.М. О фильтрации к цепочке совершенных скважин в неоднородном пласте // Гидромеханика. М.: МОПИ им.Н.К.Крупской, 1973. – вып. 2. – С.57-61. 116. РАДЫГИН В.М. Фильтрационная теорема о двух окружностях // Задачи гидродинамики при усложненных моделях среды. МОИП. – М.: Наука, 1985. – С.18-23. 117. РАДЫГИН В.М., ГОЛУБЕВА О.В. Применение функций комплексного переменного в задачах физики и техники. – М.: Высшая школа, 1983. – 160 с. 118. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР / Под ред. П.Я.Полубариновой-Кочиной и др. – М.: Наука, 1969. – 545 с. 119. РИЗЕНКАМПФ Б.К. Гидравлика грунтовых вод. Ч. 1. Уч. зап. Саратовск. ун-та, сер. физ. - матем. – 1938. – Т. 14. – вып. 1. – С. 89-113. 120. РОММ Е.С. Структурные модели порового пространства горных пород. – Л.: Недра, 1985. – 240 с. 121. РОММ Е.С. Фильтрационные свойства трещиноватых горных пород. – М.: Недра, 1966. – 238 с. 122. РОММ Е.С., ПОЗИНЕНКО Б.В. О проницаемости Теория функций анизотропных комплексной трещиноватых горных пород // Инженерный журнал. – 1963. – Т. 3. – №2. 123. СВЕШНИКОВ А.Г., ТИХОНОВ А.Н. переменной. – М.: Наука, 1970. – 304 с. 124. СЕДОВ Л.И. Механика сплошной среды. Т. 1. – М.: Наука, 1983. – 528 с. 125. СЕДОВ Л.И., ЛОХИН В.В. Описание с помощью тензоров точечных групп симметрии // ДАН СССР. – 1963. – Т. 149. – №2. – С. 796-797. 126. СЕРБИНА Л.И., ТОЛПАЕВ В.А. О построении комплексных потенциалов плоскопараллельных фильтрационных течений в средах с криволинейной анизотропией // Северо-Кавказский научный центр высшей школы. Ставропольский гос. технич. ун-т. – Ставрополь, 1995. – С.14-15. 127. СЕРБИНА Л.И., ТОЛПАЕВ В.А. О построении общих решений уравнений и систем уравнений эллиптического типа методом формул перехода // Тр. унта / Ставропольский гос. технич. ун-т. – Ставрополь, 1996. – С.120-132. 128. СИРОТИН Ю.И. Построение тензоров заданной симметрии // Кристаллография. – 1961. – Т.6. – вып.3. – С.331-340. 129. СИРОТИН Ю.И., ШАСКОЛЬСКАЯ М.П. Основы кристаллофизики. – М.: Наука, 1979. – 640 с. 130. СОЛОМКО Ю.Л. О моделировании работы скважины в анизотропном грунте // МОИП. Избранные задачи гидродинамики. – М.: Наука. – 1977. – С.92-96. 131. Справочник по специальным функциям. / Под ред. Абрамовица М. и Стигана И. – М.: Наука, 1979. – 830 с. 132. СТАРШИНОВА Л.В. Об определении функции давления в макронеоднородном пласте методом коллокации // Тр. по теории фильтрации и гидродинамике нефтяного пласта. Казан.гос.ун-т. – Казань, 1961. – Т.121. – С.103-110. 133. СТАРШИНОВА Л.В. Применение метода конечных разностей для определения давления в неоднородных пластах // Изв. КФАН СССР. Серия физ.-мат. и техн. наук. – 1959. – №13. – С.27-36. 134. ТИМАШЕВ Г.В., АТАКУЛОВ Т., КАЛНИН О.Ж., ГОРОШКО А.А. Скважинные фильтры (по патентным материалам зарубежных стран) // ВНИИЭГАЗПРОМ. НТО. Серия “Разработка и эксплуатация газовых и газоконденсатных месторождений”. – М., 1977. – вып. 13. – С.45. 135. ТИХОНОВ А.Н., САМАРСКИЙ А.А. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1972. – 735 с. 136. ТОЛПАЕВ В.А. Математическое моделирование нелинейной фильтрации в анизотропных средах обобщённым методом С.Н. Нумерова // Изв.

вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. – 2003. – № 12. – С.3-11. 137. ТОЛПАЕВ В.А. Влияние некоторых типов криволинейной анизотропии грунтов на расход жидкости под плоским флютбетом // МОИП. Избранные задачи гидродинамики. – М.: Наука, 1977. – С.101-105. 138. ТОЛПАЕВ В.А. Влияние неопределенности в критериях существования линейного режима фильтрации на погрешность в расчетах дебитов скважин // Тр. ун-та. – Серия «Нефть и газ». – Ставрополь, СевКавГТУ, 2000. – вып.3. – С.137-143. 139. ТОЛПАЕВ В.А. Влияние скачка проницаемости призабойной зоны на дебит скважины // Сб. научн. тр. 3-го и Всероссийского симпозиума – “Математическое моделирование компьютерные технологии”.

Кисловодск, 1999. – Т.3. – С.32-33. 140. ТОЛПАЕВ В.А. Двусторонние оценки дебитов скважин в анизотропнонеоднородных средах // Мат. XXIX научно-технической конференции СтГТУ. – Ставрополь, 1999. – Т. 1. – С.3-4. 141. ТОЛПАЕВ В.А. Исследование плоскопараллельного течения жидкости от источника в упруго – деформируемых анизотропных средах // Сб. научн. тр. МОИП «Новые вопросы гидродинамики». – М.: Наука, 1974. – С.78-82. 142. ТОЛПАЕВ В.А. К вопросу о построении плоскопараллельных течений жидкости в упруго-деформируемых анизотропных грунтах // Гидромеханика. М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1975. – вып. 4. – С.17-26. 143. ТОЛПАЕВ В.А. К теории двумерной стационарной фильтрации жидкости в анизотропных средах /

Автореферат дисс. … к.ф.-м.н. ИПМ АН СССР. – М., 1976. – 19 с. 144. ТОЛПАЕВ В.А. Квазиконформная ковариантность уравнений плоскопараллельной фильтрации в анизотропно-неоднородных средах // Гидромеханика. М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1976. – вып. 5. – С.30-32.

145. ТОЛПАЕВ В.А. Математическая модель горизонтального гидроразрыва пласта // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия “Естественнонаучная”. – Ставрополь, 2001. – вып.4. – С.83-88. 146. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели для фильтрационного расчета гидротехнических сооружений // Изв. ВННИГ им. Б.Е. Веденеева. – СанктПетербург, 2001. – Т.239. – С. 98-109. 147. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели нелинейной фильтрации в анизотропных средах // Сб. тр. III региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках» СевКавГТУ. – Ставрополь, 2003. – С. 19-23. 148. ТОЛПАЕВ В.А. Математические модели нелинейной фильтрации в грунтах с обобщенной анизотропией // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. – 2000. – № 2. – С.33-36. 149. ТОЛПАЕВ В.А. Метод аппроксимации эпюр скорости фильтрации в расчетах гидротехнических сооружений // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная». – Ставрополь, 2000. – вып.3. – С.54-64. 150. ТОЛПАЕВ В.А. О построении точных решений задач напорной фильтрации в некоторой серии анизотропных сред // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. – 1979. – №4. – С. 33-36. 151. ТОЛПАЕВ В.А. О расчетах потенциальных полей в многослойных средах с циклически изменяющимися характеристиками // Мат. 6 Международной конференции “Циклы природы и общества”. Часть 2. –Ставрополь, 1998. – С.11-19. 152. ТОЛПАЕВ В.А. О точности аппроксимации граничных условий передаточными функциями 1-го рода // Вестник Ставропольского ун-та. – Ставрополь, 1998. – вып. 3-4. – С.153-158. 153. ТОЛПАЕВ В.А. Обобщение уравнения Буссинеска для анизотропнонеоднородных сред // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия “Физикохимическая”. – Ставрополь, 1999. – вып.3. – С.135-138.

154. ТОЛПАЕВ В.А. Обобщение фильтрационных теорем об окружности и прямой для анизотропных сред // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. –1984. – №3. – С.32-35. 155. ТОЛПАЕВ В.А. Построение плоско-параллельных фильтрационных течений несжимаемой жидкости методом перехода // Гидромеханика. – М.: МОПИ им. Н.К.Крупской, 1974. – вып. 3. – С.27-37. 156. ТОЛПАЕВ В.А. конференции Применение Ставропольского вариационных методов для расчета – двусторонних оценок дебитов скважин // Мат. XLIV научно-методической государственного университета. Ставрополь, 1999. – С.45-52. 157. ТОЛПАЕВ В.А. Применение р-аналитических функций для описания плоско – параллельной фильтрации в анизотропно – неоднородных грунтах // Гидромеханика. – М.: МОПИ им. Н.К.Крупской, 1974. – вып.3. – С.18-26. 158. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет двусторонних оценок дебитов скважин при нелинейных режимах фильтрации // Мат. Первой Международной Конференции “Циклы”. Часть 2. – Ставрополь, 1999. – С.89-95. 159. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет дебита центральной скважины, работающей в круговом пласте с прямолинейной анизотропией // Теория гидродинамических моделей технических задач. Сб. научн. тр. – Свердловск, 1988. – С.41-46. 160. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет дебитов скважин при сосуществовании линейного и нелинейного режимов фильтрации // Сб. научн. тр. IV Всероссийского симпозиума “Математическое моделирование и компьютерные технологии” – Кисловодск, 2000. – Т.2. – Ч. 2. – С.62-64. 161. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет напорных фильтрационных течений методом виртуальных трубок тока // Сб. мат. Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование в научных исследованиях». СГУ. – Ставрополь, 27-30 сентября 2000. – Ч.1. – С.160-164. 162. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет статических полей в прямоугольной многослойной области // Изв. вузов СССР. Электромеханика. – 1990. – № 7. – С.5-14.

163. ТОЛПАЕВ В.А. Расчет температурного поля в однородной полуплоскости с прямолинейной анизотропией // Сб. тр. «Избранные задачи гидродинамики». МОИП. – М.: Наука, 1977. – С.58-59. 164. ТОЛПАЕВ В.А. коэффициентами Решение в внутренне-краевой задачи Дирихле для и неоднородного уравнения эллиптического типа с кусочно-непрерывными областях формы // прямоугольной, Мат. XXVII полосообразной полуполосообразной научно-технической конференции СтГТУ. – Ставрополь, 1997. – Т.1. – С.14. 165. ТОЛПАЕВ В.А. Решение задач фильтрации в кусочно-неоднородных средах методом моделирования границ раздела эквипотенциалями течения // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. – 1999. – № 4. –С.39-43. 166. ТОЛПАЕВ В.А. Решение краевых задач напорной фильтрации в некоторых сериях неоднородных сред // Современные методы теории функций и смежные проблемы. – Воронеж, 1999. – С.188-189. 167. ТОЛПАЕВ В.А. Решение краевых задач со смешанными краевыми условиями в прямоугольной многослойной области // Изв. вузов. СевероКавказский регион. Естеств. науки. – 1998. – № 4. – С.47-55. 168. ТОЛПАЕВ В.А. Связь плоскопараллельных течений в изотропных и анизотропных грунтах // Гидромеханика. – М.: МОПИ им. Н.К. Крупской, 1975. – вып. 4. – С.11-16. 169. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения гидродинамики для течений жидкости в крупноячеистых средах // «Современные методы в теории краевых задач». Воронежская весенняя математическая школа. – Воронеж, 1996. – С.176. 170. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения линейной напорной плоскопараллельной фильтрации в анизотропных средах // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. – 1984. – № 2. – С.45-49. 171. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения нелинейной фильтрации в анизотропных средах // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. Приложение. – 2003. – №7. – С. 7-18.

172. ТОЛПАЕВ В.А. Уравнения осесимметричных винтовых течений идеальной несжимаемой жидкости // Мат. V региональной научно-технической конференции. Серия «Естественные и точные науки». – Ставрополь: СевКавГТУ, 2001. – Ч.1. – С.7-9. 173. ТОЛПАЕВ В.А. Фильтрация жидкости в анизотропных и неоднородных грунтах: Учеб. пособие. – Ставрополь: СевКавГТУ, 2000. – 196 с. 174. ТОЛПАЕВ В.А. Численно-аналитические методы расчета дебитов одиночных и групповых скважин в неоднородных средах // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. – 2000. – №1. – С.53-57. 175. ТОЛПАЕВ В.А. Эффект минимизации потока потенциального векторного поля в многослойных средах // Сб. научн. тр. СтГТУ. Серия “Физикохимическая”. – Ставрополь, 1998. – вып.1. – С.71-76. 176. ТОЛПАЕВ В.А., ВАРЯГОВ С.А., ЕРЕМИНА Н.В., КУРСА В.В. Решения задач о продвижении газо-водяного контакта для лабораторной проверки модели нулевой вязкости газа // Вестник СевКавГТИ. – Ставрополь, 2001. – вып. 1. – С.87-93. 177. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д. Решение краевой задачи Дюпюи для среды с прямолинейной анизотропией // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. – 1988. – № 4. – С.80-87. 178. ТОЛПАЕВ В.А., ЖЕРНОВОЙ А.Д., ПЕТРЕНКО В.И. Численный расчет емкости цилиндрического конденсатора с анизотропным диэлектриком // Изв. вузов СССР. Электромеханика. – 1989. – №6. – С.5-12. 179. ТОЛПАЕВ В.А., ЗАХАРОВ В.В. Гидродинамические особенности течения жидкости в призабойной зоне скважины // Вестник СевКавГТУ. Серия «Физико-химическая». – Ставрополь, 2003. – №1(7). – С. 120-127. 180. ТОЛПАЕВ В.А., ЗАХАРОВ В.В. Уравнения нелинейной фильтрации в среде с прямолинейной анизотропией, имеющей особые свойства вдоль одного из её главных направлений // Сб. тр. III региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках» СевКавГТУ. – Ставрополь, 2003. – С. 40-45. 181. ТОЛПАЕВ В.А., ЗАХАРОВ В.В., ПЕТУХОВ А.А. Комплексные потенциалы фильтрационных течений в прямолинейно анизотропных средах с произвольной ориентацией осей тензора проницаемости // Мат. IV Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». ЮРГТУ (НПИ) – Новочеркасск, 23 января 2004 г. – Ч.2. – С.39-42. 182. ТОЛПАЕВ В.А., ИВАНОВА Е.Ф. Интегрирование систем дифференциальных уравнений модифицированным методом исключения // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. – 1998. – № 3. –С.107110. 183. ТОЛПАЕВ В.А., КИРИЛЛОВ В.С. Исследование эффективности вертикального гидроразрыва нефтяного пласта // Мат. II международной конференции «Циклы». – СевКавГТУ. – Ставрополь, 2000. – Ч.2. – С.49-53. 184. ТОЛПАЕВ В.А., КИРИЛЛОВ В.С., ХАРЧЕНКО Ю.В. Влияние скачка проницаемости в призабойной зоне скважин на суммарный дебит круговой батареи // Мат. III региональной научно-технической конференции СевКавГТУ. – Ставрополь, 1999. – С.35-36. 185. ТОЛПАЕВ В.А., КРЫМИН Л.Г. О приближенном расчете электротехнических характеристик плоскопараллельного поля плотности постоянного тока в неоднородном изотропном проводнике // Изв. вузов. Электромеханика. – 1987. – № 4. – С.11-17. 186. ТОЛПАЕВ В.А., КУРСА В.В. Теория Голубевой О.В. течений идеальной жидкости в искривленных слоях переменной толщины и ее приложения к задачам фильтрации // Циклы. СевКавГТУ. – Ставрополь, 2000. – вып.5. – С.14-50. 187. ТОЛПАЕВ В.А., КУТОВОЙ А.С. Закон Дарси для фильтрации в средах с обобщенной анизотропией // Деп. в ВИНИТИ. 23.09.87. № 6837 – В87. –19 с.

188. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И. Аналитические способы задания законов распределения главных направлений анизотропии в средах с циклическими структурами // Циклы. Мат. междисциплинарного научного семинара вузов Северо-Кавказского региона. СевКавГТУ. – Ставрополь, 2002. – Ч.2. – С.20-23. 189. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И. Применение теории триортогональных поверхностей для задания законов распределения главных направлений анизотропии // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Физико-химическая». – Ставрополь, 2002. – вып.6. – С.93-98. 190. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И. Расчёт коэффициентов проводимости для изотропных пластов вращения постоянной толщины // Мат. IV Международной научно-практической конференции «Методы и алгоритмы прикладной математики в технике, медицине и экономике». ЮРГТУ (НПИ) – Новочеркасск, 23 января 2004 г. – Ч.2. – С.43-46. 191. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И. Расчёты фильтрационных течений в пластах со сферическими подошвой и кровлей // Сб. тр. III региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках» СевКавГТУ. – Ставрополь, 2003. – С. 37-39. 192. ТОЛПАЕВ В.А., ЛЕДОВСКОЙ В.И. Уравнения двумерной ламинарной фильтрации несжимаемой жидкости в искривлённых слоях переменной толщины // 1). Мат. IX всероссийской научно-технической конференции «Информационные технологии в науке, проектировании и производстве». – Нижний Новгород, 2003. – С. 46-48. 2). Мат. XXXII научно-технической конференции СевКавГТУ. «Естественные и точные науки». – Ставрополь. – 2003. – Т.1. – С.3-5. 193. ТОЛПАЕВ В.А., МАТВЕЕВ Ю.Т. Построение решений некоторых уравнений гиперболического типа методом перехода // Сб. научнометодических статей по математике. – М.: Высшая школа, 1983. – вып.11. – С.98-107.

194. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Оптимизация расчета статических полей в многослойных средах с циклически изменяющимися характеристиками // СКНЦ ВШ, СтГТУ. – Сб. научн. статей «Методологические проблемы научного исследования». – Ставрополь. – 1994. – С.41-51. 195. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Расчет дебитов скважин с кусочнооднородной призабойной зоной // Сб. научн. тр. СтГТУ. Серия “Физикохимическая”. – Ставрополь, 1999. – вып.2. – С.116-119. 196. ТОЛПАЕВ В.А., СЕРБИНА Л.И. Расчет тензора проницаемости для сред с цилиндрическими – № 2. – С.41-42. 197. ТОЛПАЕВ В.А., СИЛАНТЬЕВ А.Н. Применение метода Howe к приближенному решению краевых задач теории фильтрации // Мат. III региональной научно-технической конференции СевКавГТУ. – Ставрополь, 1999. – С.11. 198. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В. Вывод приближённой формулы для дебита сферического точечного стока, работающего в плоскопараллельном пласте с круговым контуром питания // Мат. XXXII научно-технической конференции СевКавГТУ. – «Естественные и точные науки». – Ставрополь, 2003. – Т.1. – С. 6-8. 199. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В. Построение серий точных решений полуобратных граничных задач о дебите круговой скважины в постановке для двухсвязных областей. // Мат. V региональной научно-технической конференции СевКавГТУ. – Серия «Естественные и точные науки». – Ставрополь, 2001. – Ч.1. – С.5-7. 200. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В. Построение точных решений задач фильтрации жидкости к скважине методом характеристических функций // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Естественнонаучная». – Ставрополь, 2002. – вып.5.– С.98-101. законами распределения главных направлений анизотропии // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. – 1997.

201. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В. Потенциалы фильтрационных течений от источников и стоков в областях круговой формы, полуплоскости, квадранта // Вестник СевКавГТУ. Серия «Физико-химическая». – Ставрополь. – 2003. – №1(7). – С. 150-158. 202. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В. Расчёт дебита несовершенной скважины при линейном режиме фильтрации // Мат. IX всероссийской научнотехнической конференции «Информационные Учет технологии скачка в науке, проектировании и производстве». – Нижний Новгород. – 2003. – С. 19-20. 203. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В. проницаемости призабойной зоны скважины с помощью метода ЭГДА // Мат. III региональной научно-технической конференции СевКавГТУ. – Ставрополь. – 1999. – С.34-35. 204. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В., ЗАХАРОВ В.В. Влияние проницаемости гравийного фильтра на дебит буровой скважины при линейном законе Дарси // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. – 2003. – № 3 – С. 36-41. 205. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В., ЗАХАРОВ В.В. Уточнённое решение задачи о дебите с учётом движения флюида в стволе скважины // Сб. тр. III региональной научной конференции «Математическое моделирование и информационные технологии в технических, естественных и гуманитарных науках» СевКавГТУ. – Ставрополь, 2003. – С. 33-37. 206. ТОЛПАЕВ В.А., ХАРЧЕНКО Ю.В., КИРИЛЛОВ В.С. Вычислительные эксперименты по оптимизации размещения нефтедобывающих скважин в круговом пласте // Сб. научн. тр. СевКавГТУ. Серия «Нефть и газ». – Ставрополь, 2000. – вып. 3. – С.131-136. 207. ТОЛПАЕВ В.А., модель ХАРЧЕНКО Ю.В., КИРИЛЛОВ В.С. скважин с Математическая индивидуальными циклического взаимодействия фильтрационными свойствами призабойных зон // «Циклы». – Ставрополь, СевКавГТУ, 2000. – вып. 2. – С.57-62.

208. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л. О точности моделирования в статических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными // Изв. вузов СССР. Электромеханика. – 1988. – № 6. – С.13-18. 209. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б. Комплексные потенциалы плоскопараллельных электрических и магнитных полей в анизотропных средах // Изв. вузов. Электромеханика. – 1984. – №3. – С. 5-9. 210. ТОЛПАЕВ В.А., ШАХНАБАТОВА Л.Б., КРЫМИН Л.Г. Об аппроксимации в электротехнических расчетах мелкослойчатых сред анизотропными // Изв. вузов. Электромеханика. – 1985. – № 11. – С.23-32. 211. УМОВ Н.А. О стационарном движении электричества на проводящих поверхностях произвольного вида. – Математический сборник. – 1878. – Т.9. – С. 121-127. 212. ФИХМАНАС Р.Ф., ФРИДБЕРГ П.Ш. Метод Хоу расчёта ёмкости тел и его связь с вариационными принципами // ЖТФ. – 1970. – Т.40. – вып.6. – С.1327-1328. 213. ФИХТЕНГОЛЬЦ Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука. – 1970. – Т.2-3. – 800 с.+656 с. 214. ХМЕЛЬНИК М.И. Исследование некоторых течений в двусвязной области и их применение в теории фильтрации // Тр. ун-та / МОПИ им. Н.К.Крупской. – 1968. – Т.200. – вып.7. – С.100-113. 215. ХМЕЛЬНИК М.И. Математическая модель течения на многосвязных и многолистных поверхностях // Некоторые проблемы математики в задачах физики и механики. – М.: Изд-во МФТИ, 1988. – С. 95-100. 216. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. Линейная фильтрация жидкости в анизотропных средах // Задачи динамических процессов в сплошных средах. Свердлов. гос. пед. ин-т. – Свердловск, 1991. – С.15-19. 217. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. О гидродинамическом осреднении сильно неоднородных пористых сред при линейной фильтрации // Изв. РАН. МЖГ. – 1993. – № 5. – С.190-192.

218. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е.

О фильтрации в неоднородных средах с криволинейной анизотропией // Проблемы математики в задачах физики и техники. Моск. физико – технич. ин-т. – М., 1992. – С.153-155. 219. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. О фильтрации в пластах с кольцевыми неоднородными анизотропными зонами, трещинами и завесами // Докл. АН СССР. – 1991. – Т.317. – № 3. – С.606-608. 220. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. О фильтрации в слоистых средах с пересекающимися трещинами и завесами // Докл. РАН. – 1994. – Т. 338. – № 5. – С.622-624. 221. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. О фильтрационных течениях с экранированным шаровым включением // Изв. РАН. МЖГ. – 2002. – № 4. – С.98-104. 222. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. Об анизотропной модели слоисто – анизотропных трещиноватых С.14-17. 223. ХОЛОДОВСКИЙ С.Е. Тензор эффективной проницаемости сильно неоднородных грунтов // Инженерно – физический журнал БАН и РАН. – 1992. – Т.63. – № 1. – С.18-22. 224. ХОРЬКОВ В.А. Некоторые краевые задачи установившейся фильтрации жидкости в слоях переменной толщины // Задачи динамических процессов в сплошных средах: Межвуз. сб. / Свердл. гос. пед. ин-т. – Свердловск, 1991. – С.52-56. 225. ЧЕРНЯЕВ А.П. Фильтрация в искривленных неоднородных пластах с проводимостью некоторого класса // ПММ. – 1983. – Т.47. – вып. 6. – С.10471049. 226. ШЕЙДЕГГЕР А.Э. Физика течения жидкостей через пористые среды. – М.: Гостоптехиздат, 1960. – 250 с. 227. ШЕШУКОВ Е.Г. О нелинейной фильтрации в анизотропной среде // Гидродинамика и разработка нефтяных месторождений. – Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1977. – С. 183-194. сред при линейной фильтрации // Вычислительная математика и математическая физика. Моск. гос. пед. ин-т. – М., 1988. – 228. ЩЕЛКАЧЕВ В.Н.

Критический анализ исследований, посвященных определению верхней границы закона фильтрации Дарси // Упругий режим фильтрации и термодинамика пласта. – М.: Недра, 1972. – С. 3-12. 229. ЩЕЛКАЧЕВ В.Н., ЛАПУК Б.Б. Подземная гидравлика. – Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. – 736 с. 230. ЯНКЕ Е., ЭМДЕ Ф., ЛЁШ Ф. Специальные функции. – М.: Наука, 1977. – 342 с. 231. ЯРМИЦКИЙ А.Г. Фильтрационная теорема о двух окружностях // Изв. АН СССР. МЖГ. – 1986. – № 4. – С.76-82. 232. ALLEN A.J.C. On some problems in the conduction of electricity // Quarterly Journal of pure and applied mathematics, 1881, vol. 17, p. 65-86. 233. BELTRAMI E. Intorno ad un caso di moto a due coordinate // Rendiconti d. Reale Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, 1878, vol. 11, p. 199-210. 234. BERS L. Theory of pseudo-analytic functions. Lecture notes (mimeographed). New York University, 1953. 235. BERS L., GELBART A. On the class of functions defined by partial differential equations. Transactions of the American Mathematical Society, v. 56, № 1, 1944. 236. DACHLER R. Uber Stekerwasserstromungen in geschichtetem Material // Wasserwirtschaft, 1933, №2, p.15-20. 237. FERRANDON J. Les lois de lcoulement defiltration. Genie Civil, 125, no 24, 1948. 238. HILL M.J. The steady motion of electricity in spherical current sheets. – Quarterly Journal of pure and applied mathematics, 1879, vol. 16, p. 306-323. 239. IRMEY B. Darcys low for nonisotropicsoils. Proc. Ass. Gen. Bruxelless Ass. Int. Hydrol. (UGGI), 2, 179, 1951. 240. JONSON W.E., HUGHES R.V. Directional permeability measurements and their significance. Producers monthly, 1948, 13, p. 17-25. 241. LEVY T. Filtration in a porous fissured rock: influence of the fissures connexity // Eur. J. Mech. 1990. V.9. № 4. C.309-327.

242. LITWINISZIN J. Stationary flows in heterogeneously anisotropic mediums. Ann. Polon. Math. 1950. 22. 185p. 243. MAAS C. Groundwater flows to a well in a layered porous medium // Water resources research. 1987. V.23. № 8. C.1675-1681. 244. MARCUS H. The permeability of sample of an anisotropy medium // J. Geophys. Res. 1962. V. 67. №13, p. 5215-5225. 245. MARCYS H., EVENSON D.E. Directional permeability in anisotropy porous media // Univ. Calif. Bercely. Water Resources Center contrib. 1961, 31. oct, p. 105. 246. MEEGODA N.J., KING I.P., ARULANDAN K. An expression for the permeability of anisotropy granular media // Int. J. number. anal. methods in geomechanics. 1989. V. 13. p. 575-598. 247. MUSKAT M. Physical principles of oil production. New York. McGraw-Hill. 1949. 922 p. 248. MUSKAT M. The flow of homogenous fluids through porous media. Ann. Arbour. Mich. Edwards. 1946. 736 p. 249. NIKOLAEVSKIJ V.N. Mechanics of Porous and Fractured Media. Singapore: World Scientific. 1990. 472p. 250. NUMEROV S.N. Non-linear seepage in anisotropy media // Proceedings 15 congress IAHR. 1973. Vol.3. p.39. 251. ODA M. Permeability tensor for discontinuous rock masses // Geotecknique. 1985. V.35. № 4. C.483-495. 252. OLENDORFF F. Potentialfelder der Elektrotechnik. Berlin, 1932. 395 s. 253. PETERSEN J.S., ROCHWER C., ALBERTSON M.L. Effect of well screens on flow into wells // Proc. Amer. Soc. Civil Engrs. 1953, 79, № 365. 254. PIVEN’ V.F. The theory of two-dimensional processes in inhomogeneous layers with power law of their conductivity variation // J. Appl. Maths. Mechs. 1997, Vol. 61, №4, P. 577-586. 255. PRATS M. Effect of vertical fractures on reservoir behaviour in compressible fluid case // Soc. Petrol. Eng. Journal. 1961. V.1. № 2. C.105-118.

256. SCHAFFERNAK F. Erforschung der physikalischen Gesetze, nach welchem die Durchsikerung des Wassers eine durch Talsperre oder den Untergrund stattfindet. Wasserwirtschaft. 1933. №30. s. 10-20. 257. SCHEIDEGGER A. On directional permeability // Geophys. Pura Appl. 1956. V. 33. P. 111. 258. SCHEIDEGGER A.E. The phusics of flow through porous media. Univ. of Toronto Press. 1974, 3d edition. 353 p. 259. SNOW D.T. Anisotropy permeability of fractured media // Water Resour. Research. 1969. V.5. № 6. C.1273-1284. 260. ZIJL W., STAM J.M. Modelling permeability in imperfectly layered porous media // Math. Geol. 1992. V.24. № 8. C.865-883.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1. ЗАКОНЫ ОРТОГОНАЛЬНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ БАЗИСОВ, КООРДИНАТ ВЕКТОРОВ И ТЕНЗОРОВ В расчётах тензоров проницаемостей для линейной фильтрации и тензоров фильтрационных свойств для нелинейной фильтрации в анизотропных средах применяются законы ортогонального преобразования базисов, координат векторов и тензоров. Поэтому перечислим все относящиеся к названным законам необходимые сведения из линейной алгебры и тензорного исчисления [19, 60, 72, 76]. Кроме того в П1.4 этого приложения приведём векторно-матричную форму представления уравнений квадратичной и кубичной связи одного векторного поля F от другого векторного поля v. Такая форма записи уравнений связи физических полей более наглядна по сравнению с тензорной формой. Кроме того, она позволяет представить законы преобразования тензоров 3-го и 4-го рангов в новой наглядной матричной форме. П1.1 Закон преобразования базисов Пусть в области фильтрации выбраны две ортогональные криволинейные системы координат (,, ) и (,, ), которые с декартовыми координатами ( x, y, z ) связаны равенствами = ( x, y, z ) = ( x, y, z ) = ( x, y, z ) r r и = ( x, y, z ) = ( x, y, z ), = ( x, y, z ) (1) а друг с другом равенствами = (,, ) = (,, ) = (,, ) (2) Последние получаются из (1) путем исключения координат x, y, z. Для того, чтобы координаты (,, ) были ортогональными требуется, как известно, обращение в нуль скалярных произведений r r r r r r R R R R R R = 0, = = (3) где R = x i + y j + zk - радиус-вектор текущей точки M ( x, y, z ). Аналогично, чтобы координаты (,, ) были ортогональными, должны обращаться в нуль скалярные произведения rr rr r r R R R R R R = = =0 r r r r (4) Всюду ниже считаем, что равенства (1) удовлетворяют в каждой точке M ( x, y, z ) условиям (3) и (4). Вектора, образующие локальный декартовый ба зис в криволинейной системе координат (,, ) будут, как известно, определяться по формулам r r r r 1 R r 1 R r 1 R, e1 = ;

e2 = ;

e3 = H 1 H 2 H (5) где r r 2 2 2 2 2 2 x y z x y z R R = + + ;

H2 = = + + ;

H1 = r 2 2 2 x y z R = + + H3 = (6) параметры Ламе системы (,, ). Совершенно аналогично определяется локальный декартовый базис в системе координат,, :

r r r r 1 R r 1 R r 1 R, e1 = ;

e = ;

e3 = 2 H 1 H H 2 (7) где r r 2 2 2 2 2 2 x y z x y z R R = H1 = 2 + +, H = = + +. r 2 2 2 x y z R = H = 3 + + (8) Вектора локальных декартовых базисов в силу равенств (3) и (4) будут удовлетворять условиям (ei, e j ) = ij rr и rr (ei, e ) = ij, где ij - символ Кронекера j ( ij = 0, если i j и ij = 1, если i = j ). С целью установления связи между векторами «старого» e1, e 2, e3 и «нового» e1, e 2, e3 базисов выполним дифференцирование в формулах (7) с учё rrr rrr том равенств (2):

r r r r 1 R R R = + + e1 = H 1 r r r 1 = H1 e1 + H 2 e2 + H 3 e 3. H Аналогично получаются два других равенства для векторов e 2 и e3. В матr r ричной форме все три равенства для векторов e1, e 2 и e3 нового базиса можно записать в виде E = П E, r r (9) H 3 H 1 H 3. H 2 H 3 H где H 1 ;

r r H 1 e1 e1 r r H ;

E = e 2, E = e 2, П = 1 r r e e H 2 3 3 H 1 ;

H 3 H 2 ;

H 1 H 2 ;

H 2 H 2 ;

H (10) Элементы матрицы перехода П из старого базиса E в новый базис E можно найти не только по формуле (10), но и через скалярные произведения базисных векторов по формуле rr rr rr ( e1, e1 );

( e1, e 2 );

( e1, e 3 ) r r rr rr П = ( e, e1 );

( e, e 2 );

( e 2, e 3 ). 2 2 rr rr rr ( e, e );

( e, e );

( e, e ) 32 3 3 (11) Такой вид (11) матрицы ортогонального преобразования базисов устанавливается известными методами линейной алгебры [60]. Далее с целью сокращения объёма записей элементы матрицы П будем обозначать через ij т.е. {П}ij = ij. В силу равноправия базисов E и E матрица обратного перехода П-1 из E в E будет, в соответствии с (10), иметь вид:

E = П 1 E, (12) где H 1 ;

H 1 H ;

П 1 = 1 H 2 H 1 ;

H H 2 H1 H 2 H2 H 2 H ;

;

;

H 3 H 1 H 3. H 2 H 3 H 3 (13) Матрица в формуле (13) действительно обратная к П, так как непосредственное перемножение матриц (10) и (13), как легко проверить, дает единичную матрицу I. Через скалярные произведения базисных векторов матрица перехода из E в E будет, по аналогии с формулой (11), записываться в виде rr rr rr ( e1, e1 );

( e1, e 2 );

( e1, e 3 ) r r rr rr 1 П = ( e 2, e1 );

( e 2, e 2 );

( e 2, e 3 ). rr rr rr ( e, e );

( e, e );

( e, e ) 32 3 3 (14) Сопоставление формул (11) и (14) показывает, что матрицы П и П–1 получаются одна из другой с помощью транспонирования, т.е. П–1 = ПТ. Последнее означает, что матрица преобразования базисов ортогональная, что соответствует известному правилу преобразования ортогональных координат в евклидовых пространствах [60]. П1.2 Закон преобразования координат векторов Если в области фильтрации выбраны две криволинейных ортонормированных системы координат (,, ) и (,, ), то вектор v (вектор скорости фильтрации) может быть разложен как по базису первой системы, так и по базису второй системы координат:

r r r r r r r v = v1e1 + v 2 e 2 + v 3e3 = v 1e1 + v e + v e3. 22 r r (1) В формуле (1) через v 1, v 2, v 3 ( v 1, v 2, v 3 ) обозначены проекции вектора v на оси векторов e1, e2, e3 ( e1, e2, e3 ). Чтобы установить связь между координатами rrr rrr вектора v, запишем разложение (1) в матричном виде:

r v = V T E = ( V) T E, r (2) где V T = ( v 1, v 2, v 3 ) и ( V) T = ( v1, v 2, v 3 ), а E и E - ранее введенные в П1.1 одно столбцовые матрицы из базисных векторов r r e1 e1 r r E = e 2, E = e. 2 r r e e 3 (3) С учётом формулы (1.9), равенство (2) можно переписать в виде V T E = ( V ) T П E, откуда получаем: V T = ( V ) T П. После применения к обеим частям последнего равенства операции транспонирования, найдем, что V = П T V.

(4) r Формула (4) позволяет вычислить координаты V вектора v в старой системе через его координаты V в новой. Умножая слева обе части равенства (4) на матрицу П, получим V = П V.

(5) r Формула (5) позволяет вычислить координаты V вектора v в новой системе через его координаты V в старой системе координат. П1.3 Закон ортогонального преобразования координат тензора 2-го ранга Пусть в области фильтрации имеются два векторных поля v и B, которые в старой системе координат (,, ) связаны друг с другом линейными равенствами v 1 = k11 B1 + k12 B2 + k13 B3 v 2 = k 21 B1 + k 22 B2 + k 23 B3, v 3 = k 31 B1 + k 32 B2 + k 33 B r r (1) или в матричном виде V = KB, (2) где V и B - одностолбцовые матрицы V T = ( v1, v 2, v 3 );

BT = ( B1, B2, B3 ), а K матрица (3х3) вида k11 K = k 21 k k12 k 22 k k13 k 23. k (3) ) Совокупность 9 элементов матрицы K называют тензором 2-го ранга K, а сами элементы k ij - координатами (компонентами) тензора K в системе,,. В новой системе координат равенство (2) имеет аналогичный вид V = K B, ) (4) но, конечно, координаты K тензора в системе (,, ) будут другими. Для того, чтобы установить связь между старыми и новыми координатами K и K тензора 2-го ранга подставим в формулу (2) координаты B, выраженные с помощью (2.4) через новые координаты B.

Получим V = K ( П T B) = ( K П T ) B. Если теперь старые координаты V пересчитать в новые координаты V по формуле (2.5), то придем к равенству V = ПV = П ( KП T ) B = ( П K П T ) B. Сравнивая последнее равенство с форму) лой (4), для новых координат K тензора второго ранга K получим выраже ние K = П K П T.

(5) В покомпонентной форме записи закон (5) ортогонального преобразования тензора второго ранга принимает вид k = is jm k sm, ij (5) где по повторяющимся индексам s и m идёт суммирование от 1 до 3. Совершенно аналогично устанавливается закон обратного преобразования координат тензора K :

K = П T K П ), (6) (6) или в покомпонентной форме записи k ij = si mjk, sm где снова по повторяющимся индексам s и m идёт суммирование от 1 до 3. Отметим для дальнейшего некоторые хорошо известные в линейной и тензорной алгебре важные следствия, вытекающие из формул (5) и (6). Первое – из (5) следует, что ( K ) T = ( ПKП T ) T = ПK T П T = ПKП T = K, если K T = K. Таким образом, если тензор K симметричен в некоторой одной ортогональной системе координат, то он будет симметричен и в любой другой ортогональной системе. Второе – т.к. П ортогональная матрица, то ) det( П T ) det( П ) = det( П T П ) = det( I ) = 1 и, поэтому, det( K ) = det( П T K П ) = det( K ). Та) ким образом, определитель матрицы из координат тензора K является инва риантом преобразования координат. В тензорной алгебре этот инвариант принято обозначать [19] символом I 3 = det( K ) = inv. Третье – прямым вычислением с помощью формулы (5) можно убедиться, что сумма диагональных элементов тензора K тоже инвариант преобразования координат. В тензорной алгебре [19] этот инвариант обозначают символом I1 = sp( K ) = k11 + k 22 + k 33 = inv. Четвертое – ещё одним инвариантом преобразо) вания координат для тензора K служит величина, которую принято обозна ) чать [19] как I 2 = k 22 k k 23 k11 + k 33 k k 31 k11 + k 33 k k 21 k = inv.

П1.4. Законы ортогонального преобразования координат тензоров третьего и четвёртого рангов Линейная связь между двумя векторными полями в некоторой материальной среде описывается с помощью тензора второго ранга. Нелинейные связи между двумя векторными полями описываются при помощи тензоров 3-го, 4-го и более высоких рангов. Так тензоры третьего ранга устанавливают квадратичную зависимость первого векторного поля F от второго векторного поля v, тензоры четвёртого ранга – кубичную зависимость F от v и т.д. Перейдём к рассмотрению такого рода зависимостей F от v. С целью наглядности представления уравнений линейной, квадратичной и кубичной связей полей F и v применим векторно-матричный способ записи. В выбранном ортонормированном базисе E = (e1, e 2, e3 )T линейная связь будет задаваться уравнением вида rr r F1 (v ) = (a 11 v 1 + a 12 v 2 + a 13 v 3 ) e1 + r + (a 21 v 1 + a 22 v 2 + a 23 v 3 ) e 2 + r + (a 31 v 1 + a 32 v 2 + a 33 v 3 ) e 3 r r r r r r r r rrr ;

(1) квадратичная связь – задаётся уравнением вида F 2 ( v ) = ( v T B1 v ) e1 + ( v T B2 v ) e 2 + ( v T B3 v ) e 3 ;

(2) и кубичная связь – в виде уравнения r F 3 (v ) = v 1 (v T C11 v ) + v 2 (v T C12 v ) + v 3 (v T C13 v ) e1 + + v 1 (v T C 21 v ) + v 2 (v T C 22 v ) + v 3 (v T C 23 v ) e 2 + T [ ] [ + [v (v C 31 v ) + v 2 (v T C 32 v ) + v 3 (v T C ] v )] e (3).

В формулах (1) - (3) через v1,v2,v3 обозначены координаты вектора v = v i e i.

i = Через fki обозначены координаты векторов Fk (v ) = f ki ei (где k = 1,2,3). Для i = rr r rr матриц-столбиков из координат векторов v и Fk используются обозначения VT = (v1, v2, v3) и FkT = (f1k, f2k, f3k). Через aij в формуле (1) обозначены 9 числовых коэффициентов, образующих тензор 2-го ранга, который принято записывать в виде квадратной матрицы A = (a ij )i3, j=1. Через Bk = (b ijk )i3, j=1 ;

k = 1,2,3, в формуле (2) обозначены три квадратных матрицы (33) с элементами bijk. Совокупность из 27 элементов матриц Bk образует тензор третьего ранга, который удобно записывать в виде трехмерной [72] матрицы B, представляющей собой столбец из матриц Bk, т.е.

BT = ( B1, B2, B3 ).

Через Сij в формуле (3) обозначены девять квадратных матриц (33) с элементами C ij = (c kmij )3,m=1. Совокупность 81 элементов ckmij образует тензор k четвертого ранга, который в развернутой форме записи удобно представлять в виде четырехмерной [72] матрицы C = (Cij )3, j=1. i Известные [19, 72, 76] покомпонентные законы преобразования тензоров 2, 3 и 4 рангов в практических расчётах удобно также представлять в матричной форме. Поэтому специально осуществим вывод матричной формы законов преобразования тензоров 3-го и 4-го рангов (для тензоров 2-го ранга такая форма хорошо известна и приведена в П1.3). Эти законы ортого нального преобразования тензоров 3 и 4 рангов можно получить из инвариантности формы уравнений связи (2) и (3). Для того, чтобы получить компоненты тензора 3-го ранга в новом базисе, вектор F2 в формуле (2) разложим по базису Е. В результате после алгебраических преобразований для разложения F2 в новом базисе получим:

3 r r F2 = (v T B v ) e i. i i = r r (4) В (4) компоненты B = (B1, B2, B3 )T тензора 3-го ранга в новом базисе будут вычисляться по формуле П B1 П T B1 B = П П B2 П T, 2 П B ПT 3 3 B (5) которая и представляет собой матричную форму записи закона преобразования тензора 3-го ранга при переходе из ортогонального базиса Е в новый ортогональный базис Е. В (5) точка «·» обозначает произведение числовых квадратных матриц 3-го порядка, а умножение, отмеченное знаком «звездочка» *, - это произведение числовой матрицы П на расположенную в (5) справа от * матрицу-столбик, три элемента которой - числовые квадратные матрицы 3-го порядка. Подчеркнём, что в покомпонентной форме записи формула (5) принимает вид b = ip js km b psm ijk (5) (где по повторяющимся индексам p, s, m идет суммирование от 1 до 3), совпадающий с известным [19] законом ортогонального преобразования координат тензоров 3-го ранга. Совершенно аналогично устанавливаем, что обратное преобразование тензора В третьего ранга в матричной форме записывается следующим образом П T B1 П B1 T T B2 = П П B П, 2 П T B П B 3 (6) а в покомпонентной форме записи в виде b ijk = pi sj mk b, psm (6) где снова по повторяющимся индексам p, s, m идет суммирование от 1 до 3. Для того чтобы получить компоненты тензора 4-го ранга С в новом базисе, перейдем в (3) к разложению вектора F3 по векторам ei. В результате после алгебраических преобразований для новых координат f 3m вектора F3 (v ) найдем следующее выражение f 3m = v 1 (v T C 1 v ) + v (v T C 2 v ) + v (v T C 3 v ), m 2 m 3 m rr r r (7) в котором Cm1, Cm 2 и Cm 3 определяются по формулам П C11 П T ;

П C12 П T ;

П C13 П T C11 ;

C12 ;

C13 T T T T C ;

C ;

C = П П C 21 П ;

П C 22 П ;

П C 23 П П. 21 22 23 T T T C ;

C ;

C 32 33 31 П C 31 П ;

П C 32 П ;

П C 33 П (8) Формула (8) и представляет развернутый вид записи матричной формы закона ортогонального преобразования тензора С четвертого ранга. Аналогично выводится формула обратного преобразования компонентов тензора С четвертого ранга при переходе из базиса Е в базис Е:

П T C11 П ;

П T C12 П ;

П T C13 П C11 ;

C12 ;

C13 T T T T C 21 ;

C 22 ;

C 23 = П П C П ;

П C П ;

П C П П. 21 22 23 П T C П ;

П T C П ;

П T C П C ;

C ;

C 32 33 31 32 33 (9) В покомпонентной форме записи формулы (8) и (9) принимают вид c = im jn kp lr c mnpr ijkl (8) и c ijkl = mi nj pk rl c mnpr, (9) (где по повторяющимся индексам m, n, p, r идет суммирование от 1 до 3), совпадающий с известным [19] классическим законом ортогонального преобразования компонентов тензора 4 ранга.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2. КАТАЛОГ ТЕНЗОРОВ ПРОНИЦАЕМОСТЕЙ ДЛЯ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ В СРЕДАХ С КОНКРЕТНЫМИ ЗАКОНАМИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГНА В этом приложении автор 1) кратко описывает разработанные им в [150, 168, 170, 171, 173, 177, 178, 188, 189, 196, 209] методы задания конкретных серий законов распределения ГНА и 2), приводит примеры расчётов тензоров проницаемостей для рассматриваемых законов распределения ГНА. В качестве основной расчётной формулы для определения компонент тензора проницаемости в линейном законе Дарси (1.3.9) выступает формула (1.3.6), обоснование которой с позиций линейной алгебры приведено в П1.3 и она представлена в виде (П1.3.6). П2.1 Тензор проницаемости для среды с прямолинейным законом распределения ГНА Прямолинейным задаваемый с законом распределения ГНА назовем закон, помощью семейства триортогональных плоскостей p = const, q = const и r = const, где rr rr rr p = (h1, R), q = (h2, R ), r = (h3, R).

(1) Здесь R = xi + yj + zk - радиус-вектор точки M ( x, y, z ) в декартовой системе координат x, y, z, а h1 = (a 1, b1, c1 ), h 2 = (a 2, b 2, c 2 ), h 3 = (a 3, b 3, c 3 ) - три заданных попарно ортогональных единичных rrr r r r r r r r вектора;

r r r h1 = h2 = h3 = 1;

rr rr rr (h1, h2 ) = (h1, h3 ) = (h2, h3 ) = 0.

Векторы h1, h2, h3 задают поле ГНА, которое естественно называть прямолинейным законом распределения ГНА. Приступим теперь к расчёту тензора проницаемости. Пусть расчетной системой координат является декартовая: x, y, z. Систему же координат,, совместим с полем ГНА, т.е. p, q, r. Тогда базисными векторами системы ГНА будут:

r p r r q r r r = h1 ;

e2 = = h2 ;

e3 = = h3. e1 = p q r (2) Базисные векторы расчетной системы x, y, z совпадают с ортами декартового базиса: e1 = i, e2 = j, e3 = k. Поэтому матрица П перехода базиса из E в базис E в соответствии с формулой (П1.1.11) будет иметь вид:

a1 П = a2 a 3 b1 b2 b3 c1 c2. c r rr rr r (3) Тензор проницаемости в декартовых координатах для прямолинейного закона распределения ГНА будет, в соответствии с (1.3.6) и (П1.3.6), вычисляться по формуле a1 K = b1 c1 a2 b2 c2 a3 1 b3 0 c3 0 0 0 a1 0 a 2 3 a3 b1 b2 b3 c1 c2, c (4) rr r где 1, 2 и 3 - главные проницаемости вдоль направлений h1, h2 и h3 соответственно. В частности, если h3 = k, а h1 = cos i + sin j и h2 = sin i + cos j, то матрица преобразования базисов примет вид поэтому, из (4) получим:

k12 = k 21 = (1 2 ) cos sin ;

k 23 = 0;

. k 22 = 1 sin 2 + 2 cos 2 ;

k 31 = k 32 = 0;

k 33 = 3 k11 = 1 cos 2 + 2 sin 2 ;

k13 = 0;

cos sin 0 П = sin cos 0, 0 0 r r r r r r r r и, (5) С помощью формул (5) ещё раз убеждаемся, что тензор проницаемости в ортогональных расчетных координатах симметричен, а его компоненты k ij удовлетворяют уравнениям (1.3.7), и (1.3.8) для инвариантов I1, I 2 и I 3. П2.2 Тензор проницаемости для среды с круговым цилиндрическим законом распределения ГНА Рассмотрим теперь закон распределения ГНА, задаваемый координатными поверхностями ортогональной цилиндрической системы координат: 1) круговыми цилиндрами с общей осью l ;

2) пучком плоскостей с осью l, и 3) семейством параллельных плоскостей, перпендикулярных к оси l. Ось симметрии l семейства круговых цилиндров зададим как линию пересечения двух ортогональных плоскостей 1 и 2 : ( 1 ): n 1 ( R R 0 ) = 0, ( 2 ): n2 ( R R0 ) = 0.

r r r r r r r r r r (1) (2) r В уравнениях (1) и (2) R0 = x0 i + y0 j + z 0 k - радиус-вектор некоторой зафиксированной точки M 0 ( x0, y0, z 0 ) оси l, а n1 = (a1, b1, c1 ) и n2 = (a2, b2, c2 ) единичные и ортогональные друг к другу вектора нормалей плоскостей 1 и 2:

r r rr n1 = n2 = 1;

n1 n2 = a1a 2 + b1b2 + c1c2 = 0. r (3) Единичный направляющий вектор n3 оси l, очевидно, равен векторному произведению n3 = n1 n2. Первое ГНА будет задаваться единичным вектором r rH h1 = r 1, где H1 r rrr r rrr r H 1 = n1 ( R R 0, n1 ) + n 2 ( R R 0, n 2 ).

r r r r (4) Второе ГНА будет задаваться вектором r r r r r rr r r rr H2 h2 = r, где H 2 = n2 ( R R0, n1 ) n1 ( R R0, n2 ). H (5) Третье ГНА всюду параллельно оси l и, следовательно, rr h3 = n3.

(6) Поле направлений h1, h2, h3, определяемых формулами (4), (5), (6) и будем называть круговым цилиндрическим законом распределения ГНА. Матрица П перехода из базиса ГНА h1, h2, h3 в базис i, j, k расчетной декартовой системы координат в соответствии с формулой (П1.1.11) будет иметь вид:

rrr rrr rrr rr rr rr ( h 1, i ) ( h1, j ) ( h1, k ) r r rr r r П = ( h 2, i ) ( h 2, j) ( h 2, k ). rr rr r r ( h 3, i ) ( h 3, j) ( h 3, k ) (7) После того как матрица (7) будет найдена, тензор проницаемости в декартовых координатах вычислим по формуле (П1.3.6), в которой K = diag [1, 2, 3 ] имеет диагональный вид.

П2.3 Тензор проницаемости для среды со сферическим законом распределения ГНА Теперь рассмотрим закон распределения ортогональной ГНА, задаваемый системы координатными поверхностями сферической координат, центр которой находится в точке M 0 ( x0, y 0, z 0 ). Как известно, координатными поверхностями в сферической системе служат: 1) сферы с центром в M 0 ;

2) круговые конусы с вершиной в M 0 и с общей осью l, проходящей через M 0 ;

3) пучок плоскостей с осью пучка l. Вектора нормалей к перечисленным поверхностям в каждой точке M ( x, y, z ) будут задавать ГНА. Первое из трех главных направлений анизотропии определим по векторам нормалей к сферам с центром в M 0. Ясно, что этими векторами служат радиус-векторы, выходящие из M 0. Поэтому единичный вектор h1 первого ГНА будет равен r rr r r r R R0 ( x x 0 )i + ( y y 0 ) j + ( z z 0 ) k h1 = r r =, R R0 ( x x0 ) 2 + ( y y 0 ) 2 + ( z z 0 ) 2 r r r r r r r r r (1) где R = xi + yj + zk и R0 = x0 i + y0 j + z 0 k - радиус-вектора точек M и M 0 в декартовой системе x, y, z. Для определения двух других ГНА предварительно зададим ось l семейства круговых конусов с вершинной в M 0. Ось l удобнее всего задать как линию пересечения ортогональных друг к другу плоскостей 1 и 2 : ( 1 ): a1 ( x x0 ) + b1 ( y y0 ) + c1 ( z z 0 ) = 0 ;

( 2 ): a2 ( x x0 ) + b2 ( y y0 ) + c2 ( z z 0 ) = 0. (2) (3) Векторы нормалей r n1 = (a1, b1, c1 ) и r n2 = (a 2, b2, c2 ) ортогональных плоскостей 1 и 2 считаем единичными, поэтому r r vr n1 = n2 = 1;

(n1, n2 ) = a1a 2 + b1b2 + c1c2 = 0.

(4) Направляющий вектор n3 оси l будет, очевидно, задаваться векторным произведением rrr n3 = n1 n2. r r (5) Второе ГНА h2 в точке M ( x, y, z ) указывает вектор нормали плоскости 3, проходящей через точку M и ось пучка l. Совершенно очевидно, что этот вектор будет перпендикулярен к векторам n3 и R R0, которые лежат в названной плоскости. Поэтому rr r r rr r rrrr r n3 ( R R0 ) n2 (n1, R R0 ) n1 (n2, R R0 ) h2 = r. rr rr= r n3 ( R R0 ) n3 ( R R0 ) r r r r (6) r r Третье ГНА h3 в точке M задается вектором, перпендикулярным к R R0 (т.к. это вектор на образующей кругового конуса) и к h2 (т.к. h3 будет располагаться в плоскости 3, у которой вектор нормали h2 ). Поэтому r rr r r h2 ( R R0 ) h3 = r r r. Подставляя в последнюю формулу выражение вектора h2 и h2 ( R R0 ) r r r осуществляя преобразования, окончательно для третьего ГНА h3 получим выражение r r r rrr rr r rr r rrr H3 h3 = r, где H 3 = n 2, R R 0 ( n1, R R 0 ) n1, R R 0 ( n 2, R R 0 ). H r [ ] [ ] (7) Таким образом, если известен центр M 0 ( x0, y 0, z 0 ) семейства сфер и ось l (задаваемая уравнениями (2) и (3)) круговых конусов с вершинами в точке rr r M 0, то вектора h1, h2 и h3, вычисляемые по формулам (1), (6) и (7), зададут в точке M ( x, y, z ) главные направления анизотропии. Закон распределения ГНА, задаваемый векторами h1, h2, h3, назовем сферическим законом.

rrr Для расчета тензора проницаемости среды со сферическим законом распределения ГНА вновь потребуется рассчитать матрицу П перехода от базиса h1, h2, h3 к базису i, j, k :

rr rr rr ( h1, i ) ( h1, j ) ( h1, k ) r r rr r r П = ( h 2, i ) ( h 2, j) ( h 2, k) rr rr r r ( h 3, i ) ( h 3, j) ( h 3, k) rrr rrr (8) и применить затем формулу (П1.3.6). П2.4 Тензор проницаемости для сред с цилиндрическими законами распределения ГНА В качестве следующего закона распределения ГНА рассмотрим тот случай, когда два семейства поверхностей p( x, y, z ) = const и q( x, y, z ) = const представляют собой цилиндрические поверхности, ортогональные друг к другу, а третье семейство поверхностей r ( x, y, z ) = const, ортогональное к первым двум – семейство параллельных между собой плоскостей, перпендикулярных к образующим цилиндрических поверхностей. Распределения ГНА, определяемые описанной системой триортогональных поверхностей, назовем цилиндрическими законами. В П2.3 рассматривался частный случай цилиндрического закона распределения ГНА – круговой цилиндрический закон. Сейчас рассмотрим общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА. П2.4.1 Общий случай задания цилиндрических законов распределения ГНА Пусть относительно некоторой зафиксированной декартовой системы координат ( x, y, z ) образующие цилиндрических поверхностей p( x, y, z ) = const и q( x, y, z ) = const параллельны заданному вектору r r s = {l, m, n};

s = (т.е.

l 2 + m 2 + n 2 = 1 ). Семейства направляющих кривых для цилиндрических поверхностей в плоскости xOy зададим как линии уровня функций p 0 = p 0 ( x, y) и q 0 = q 0 ( x, y) (рис.69). Если функции p0 ( x, y) и q 0 ( x, y) будут найдены, то, как известно1, уравнения самих цилиндрических поверхностей будут определяться как поверхности уровня функций lz mz p = p0 x, y n n. lz mz q = q0 x, y n n (1) Первые два ГНА, как следует из (1), будут задаваться векторами r r p r p r p l p m r p q и h2 =, где p = 0 i + 0 j 0 + 0 k ;

h1 = u v p q u n v n (2) (3) (4) q = q0 r q0 r q0 l q0 m r i+ j + k ;

u v u n v n u = x r r lz mz, v= y. n n Для того чтобы векторы h1 и h2 удовлетворяли условию ортогональности, потребуем выполнение равенства (p, q) = 0. В развернутой форме записи оно принимает вид p0 q0 p0 q0 p0 l p0 m q0 l q0 m + = 0, или, + + + v v u n v n u n v n u u p0 l 2 lm p0 q0 p0 lm m 2 p0 q0 + 2 + 1 + 2 = 0. Если что одно и то же, 1 + 2 + 2 n v v u n n v u u n последнее равенство переписать в виде пропорции p0 lm m 2 p0 p0 l 2 lm p0 1 + 2 + 2 + 1 + 2 n v u n 2 u n n v = H (u, v), и общее частное двух = q0 q0 u v дробей обозначить как некоторую безразмерную непрерывную не равную нулю функцию H (u, v), то относительно функций p0 (u, v) и q0 (u, v) получим следующую систему дифференциальных уравнений l 2 p0 lm p0 q 1 + 2 + 2 = H (u, v) 0 ;

n u n v v. 2 q0 lm p0 m p0 + 1 + 2 = H (u, v) u n 2 u n v (5) Сборник задач по математике для втузов. 1 том. /Под ред. Ефимова А..В. и Демидовича Б.П./- М., Наука, 1981.

В соответствии с формулами (4) промежуточные переменные u и v при z = 0 равны соответственно x и y. Поэтому система уравнений (5) определяет уравнения p0 = p0 ( x, y ) и q0 = q0 ( x, y ) семейств направляющих (в плоскости xOy ) кривых для рассматриваемых цилиндрических поверхностей:

l 2 p0 lm p0 q0 1 + 2 n x + n 2 y = H ( x, y ) y ;

. 2 q0 lm p0 m p0 + 1 + 2 = H ( x, y ) x n 2 x n y (5) С помощью любого частного решения p0 = p0 ( x, y ), q0 = q0 ( x, y ) системы уравнений (5), по формулам (1) будут задаваться ортогональные друг к другу семейства цилиндрических поверхностей p ( x, y, z ) = const и r q( x, y, z ) = const, образующие которых параллельны вектору s = {l, m, n}. Третье семейство поверхностей, ортогональное цилиндрическим поверхностям, как уже сказано, представляет собой семейство параллельных между собой плоскостей r ( x, y, z ) = const, где rr r ( x, y, z ) = ( R, s ) = lx + my + nz.

(6) Для того чтобы вычислить компоненты тензора проницаемости пористой среды с рассматриваемыми законами распределения ГНА требуется предварительно вычислить координаты векторов h1, h2, h3, задающих поле ГНА. Эти векторы направлены по градиентам функций p( x, y, z ), q( x, y, z ) и r ( x, y, z ) соответственно. С учетом формул (2), (3), (5’) и (6) получаем:

rrr r p r r r 1 h1 = = np0 x i + np0 y j (lp0 x + mp0 y )k p D1 r q h2 = = q [ ];

];

(7) (8) (9) r r r 1 nq0 x i + nq0 y j (lq0 x + mq0 y )k D r r r r r r h3 = = s = li + mj + nk, r [ где 2 2 D1 = (l 2 + n 2 ) p0 x + 2lmp0 x p0 y + (m 2 + n 2 ) p0 y,, 2 2 2 2 2 2 D2 = (l + n )q0 x + 2lmq0 x q0 y + (m + n )q0 y, (10) а через p0 x обозначено p0 x = q 0 ( x, y ) p0 и т.д. С учетом того, что функции p0 ( x, y ) и x связаны друг с другом системой уравнений (5’), между коэффициентами D1 и D2 есть взаимозависимость, выражаемая, как легко проверить, формулой D2 = D1. n H 2 ( x, y ) (11) Далее, для расчета тензора проницаемости в декартовых координатах, вычисляем матрицу перехода от базиса ГНА к базису (i, j, k ). Эта матрица П имеет вид (П1.1.11). С помощью формул (7), (8) и (9) найдем, что np 0 x ;

D1 nq П = 0x ;

D2 l;

lp 0 x + mp0 y D1 D1 lq 0 x + mq 0 y nq 0 y ;

. D2 D2 m;

n np 0 y ;

rrr (12) Наконец, по формуле (П1.3.6), в которой K имеет диагональный вид, а П подставляем из (12), получим:

D1 D2 1n 2 p0 x p0 y 2 n 2 q0 x q0 y k12 = k 21 = + + 3lm D1 D2 1np0 x (lp0 x + mp0 y ) 2 nq0 x (lq0 x + mq0 y ) k13 = k 31 = + 3l n D1 D2. 22 22 1n p0 y 2 n q0 y 2 k 22 = + + 3 m D1 D2 1np0 y (lp0 x + mp0 y ) 2 nq0 y (lq0 x + mq0 y ) k 23 = k 32 = + 3 mn D1 D2 2 2 1 (lp0 x + mp0 y ) 2 (lq0 x + mq0 y ) k 33 = + + 3 n 2 D1 D2 k11 = + + 3 l 2 1n 2 p0 x 2 2 n 2 q0 x (13) Формулы (13), с учетом системы уравнений (5’) и формулы (11), можно переписать в виде, содержащем лишь одну из функций p0 ( x, y ) (или q0 ( x, y ) ). В частности, исключив с помощью (5’) функцию q0 ( x, y ), для компонент тензора проницаемости в средах с цилиндрическими законами распределения ГНА получим выражения:

1 2 1n 2 p0 x + 2 a 2 + 3l 2 ;

D1 1 1n 2 p0 x p0 y 2 ab + 3lm;

k12 = k 21 = D1 1 1np0 x (lp0 x + mp0 y ) + 2 n(mp0 x lp0 y )a + 3l n;

k13 = k 31 = D1, 1 22 2 2 1n p0 y + 2 b + 3 m ;

k 22 = D1 1 1np0 y (lp0 x + mp0 y ) + 2 nb(lp0 y mp0 x ) + 3 mn;

k 23 = k 32 = D1 1 2 2 2 2 1 (lp0 x + mp0 y ) + 2 n (lp0 y mp0 x ) + 3 n. k 33 = D1 k11 = [ ] [ ] [ ] [ ] (14) [ ] [ ] где ради краткости записи обозначено:

a = lmp0 x + (n 2 + m 2 ) p0 y ;

b = (l 2 + n 2 ) p0 x + lmp0 y.

Из рассмотренных законов распределения ГНА выделим важный частный случай, когда образующие цилиндрических поверхностей p = const и q = const параллельны одной из координатных осей (к примеру, оси Oz ).

П2.4.2 Случай совпадения одного из ГНА цилиндрических законов с координатной осью (осью Oz ) Итак, пусть семейства двух взаимно ортогональных цилиндрических поверхностей имеют образующие, параллельные оси Oz. В этом случае цилиндрические поверхности, как хорошо известно, задаются уравнениями вида p( x, y ) = const и q( x, y ) = const. Направляющий же вектор s образующих этих поверхностей совпадет с ортом оси Oz и, поэтому, s = k = (0,0,1). Система уравнений (5') с указанным вектором s для функций p( x, y ) и q( x, y ) в декартовых координатах примет вид p q = H(x, y ) ;

x y p q = H(x, y ), y x r r r r (15) в которой H ( x, y ) - непрерывная положительная в области, занятой анизотропной средой, функция. В качестве расчетной системы выберем некоторую ортогональную криволинейную систему координат (,, z), связанную с декартовыми равенствами = ( x, y ), = ( x, y ), z = z. Так как и считаются ортогональными, то (, ) = 0. Переходя в (15) к новым переменным и, получим p H (, ) q = (, ),, p q H (, ) = (, ) (16) где x = x y. y (17) С целью упрощения записи системы уравнений (16) отметим, что скалярные r r R R и равны следующим выражениям: квадраты векторов r2 2 2 R x y 1 = E(, ) = + = 2 (, );

r2 2 2 R x y 1 = G(, ) = + = 2 (, ). rr ds 2 = ( dR, dR ) = Ed 2 + Gd 2.

(18) (19) Коэффициенты E(, ) и G(, ) являются, как известно, коэффициентами 1-ой квадратичной формы, поскольку Пользуясь произволом в выборе положительной непрерывной функции H (, ), обозначим её в виде H (, ) = H 0 (, ). Тогда система уравнений (16), с учетом EG формул (18) и (19), примет следующий окончательный вид 1 p H (, ) q = ;

E G H (, ) q 1 p =. G E (20) (Индекс «0» у H (, ) в силу произвола в её выборе опущен). Всевозможные частные решения системы (20) с любыми положительными непрерывными функциями H (, ) определяют ортогональную сеть направляющих p(, ) = const и q(, ) = const, с помощью которой задаются цилиндрические законы распределения ГНА в системе координат (,, z).

Вычислим компоненты тензора проницаемости для всех рассматриваемых законов распределения ГНА в ортогональной системе координат (,, z). С этой целью предварительно найдем разложения векторов e1, e 2, e3 и h1, h 2, h3. Имеем:

r r 1 R = e1 = E r r 1 R = e2 = G 1 x r y i+ E rrr rrr r j ;

(21) (22) (23) 1 x r y r i+ j ;

G r r R r e3 = = k;

z 1 p r 1 p r e1 + e2 E G 1 p 1 p + G E 2 h1 = p = p ;

(24) с учетом системы уравнений (20):

h2 = q = q 1 p r 1 p r e1 + e2 G E 1 p 1 p + G E rrr h3 = e3 = k.

2 ;

(25) (26) Теперь по формулам (П1.1.11) и (П1.3.6) для компонент тензора проницаемости в координатах (,, z) находим следующие значения:

2 2 p p G 1 + E 2 ;

k11 = 2 2 p p G + E p p EG (1 2 ) k12 = k 21 = ;

2 2 p p G + E 2 2 p p E 1 + G 2 k 22 = ;

2 2 p p G + E k13 = k 31 = k 23 = k32 = 0;

k33 = 3.

(27) z - образующая цилиндрических поверхностей s ={l, m, n} y - направляющие линии для цилиндрических поверхносетй x Рис. 69.

k k2 h k k q k k p h k k1 k Рис. 1. Пример пористой среды с периодической структурой (многослойная слоистая среда – МС-среда) C’ C r R p M r R r r R q B B’ A A’ Рис. 2. Элементарный объём усреднения. Длина дуги MA = l p ;

MB = l q ;

MC = l r. Прямые MA, MB, MC – оси локальной декартовой системы координат ~, p ~, q ~. r Рис. 3. Типовая схема разреза продуктивного пласта. 1 - непроницаемая кровля пласта (координатная поверхность 2=const);

2 – продуктивный пласт;

3 непроницаемая подошва пласта (координатная поверхность 1=const).

П4 (, + d ) B П1 A (, ) ( +d, +d ) C П2 ( +d, ) D П Рис. 4. Сечение АВСD элементарного криволинейного параллелепипеда поверхностью =const. Основания параллелепипеда расположены на непроницаемых подошве (=1) и кровле (=2) слоя. Вдоль AD =const;

вдоль ВС +d=const;

вдоль AВ =const;

вдоль СD +d=const.

r n O Рис. 5. Криволинейный слой постоянной толщины, M1 N 1 = M 2 N 2 =... = H = const толщина криволинейного слоя z A M B F 1 x Рис 6.

r направлением оси z, - угол между векторной проекцией R 0 на плоскость xOy AM = r ( );

BM = z ( );

– угол между R r и положительным и положительным направлением оси x.

z rr (, ) y кровля x подошва Рис. 7. Сечение цилиндрического слоя постоянной толщины.

21, 22 -собственные значения тензора проницаемости 2-ой среды w j ( j ), ( j = 1,2) комплексный потенциал течения в j–ой среде 1 11, 12 -собственные значения тензора проницаемости 1-ой среды S –граница раздела 2-х сред S Рис. 8. Две кусочно-однородных анизотропных среды. S – криволинейная граница раздела сред.

rc R Рис.9. Случай = Рис.10. Случай = Рис. 9 и 10 Частные случаи центральных законов распределения ГНА – радиальные законы распределения ГНА.

y 2 r r2 = (0 < 1) x min max Рис.11.

Центральная круговая скважина в среде с прямолинейной анизотропией. (Радиус скважины rC = r1, радиус контура питания RП = r2).

y Центр радиальной анизотропии r r x l = 1 Рис.12 Центральная круговая скважина в среде с радиальной анизотропией. (Радиус скважины rC = r1, радиус контура питания RП = r2).

Q / Q = 0,01 = 0, = 0, 1,2 1,4 1,6 1,8 2 6 11 21 R / rc Рис.13 Результаты численного расчёта дебита Q/Q0 центральной круговой скважины в среде с прямолинейной анизотропией Q / Q 3, = 0,01 = 0, 2, 1, = 0, 0, 0 0,1 0,5 0,9 1,025 2,11 3,11 4,11 12 l / rc Рис.14 Результаты численного расчёта дебита Q/Q0 центральной круговой скважины в среде с радиальной анизотропией для < 1 и r2 / r1 = 6.

Q / Q = = 0, = 0 0,5 0,9 1,025 2,11 3,11 4,11 l / rc Рис.15 Результаты численного расчёта дебита Q/Q0 центральной круговой скважины в среде с радиальной анизотропией для > 1 и r2 / r1 = 6.

1, 1, 11, 21, H 1 ( r ) y 2, 2, 12, 22, H 2 ( r ) 2 x w 2 ( Z2 ) r0 1 w 1 ( Z1 ) Центрально-симметричные законы распределения ГНА Рис.16 Две кусочно-однородные пористые среды с центрально-симметричными законами распределения ГНА и с круговой границей раздела друг от друга.

y 1, 1, 11, 21, H 1 ( y ) w 1 ( 1) 1 Конгруэнтные законы распределения ГНА x w 2 ( 2) 2, 2, 12, 22, H 2 ( y ) Рис.17 Две кусочно-однородные пористые среды с конгруэнтными законами распределения ГНА и с прямолинейной границей раздела друг от друга.

A k y n+1 n...

...

a k1 k2 2 k1 3 x R... n - четное B R a= n Рис.18 Круглое слоистое включение из чередующихся изотропных слоёв с проницаемостями k1 и k2, помещённое в изотропной среде с проницаемостью k0.

H T М k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 k2 k1 k A B 2l y D C E x Рис.19 Исследование точности расчёта фильтрационных течений в слоистых средах методом однородно-анизотропного эквивалентирования (на примере сравнения полных фильтрационных потоков в слоистой и анизотропной средах) D M A w CD Q прямоугольную C E B Рис.20 Область значений комплексного потенциала течения жидкости в среде с прямолинейной область на рис.19. анизотропией, моделирующей слоистую M -1/m (A) B -1 (0 < m < 1) Рис.21 К конформному отображению нижней полуплоскости комплексного переменного на прямоугольник MBED (рис.19).

E + (C) D +1/m t A -1/k B -1 (0 < k < 1) Рис.22 К конформному отображению нижней полуплоскости комплексного переменного на нижнюю полуплоскость комплексного переменного t. Затем нижняя полуплоскость t конформно отображается на внутренность прямоугольника CDAB (рис.20).

(E) C + D +1/k а 1 2 б в 5 г д е ж з 7 Рис. 23. Типы конструкций забоев скважин 1 – эксплуатационная колонна, 2 – цементное кольцо, 3 – перфорационные отверстия, 4 – перфорированный (на поверхности) фильтр, 5 – пакер, 6 – забойный фильтр, 7 – зона разрушения в слабоцементированном пласте, 8 – проницаемый тампоражный материал /Ю.М.Басарыгин и др. Заканчивание скважин/ а б в г д Рис.24. Виды конструкций забоев верхнемеловых скважин месторождения Мурадханлы (Азербайджан) /Ю.М.Басарыгин и др. Заканчивание скважин/ Рис.25 Расчёт дебита нефтедобывающей скважины по критериям Щелкачёва, Миллионщикова и Котяхова (Диграмма №1) 10,0 9, Безразмерный дебит Q/Q 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0, 20, Щелкачёв, Re = 1 Миллионщиков, Re = 0,022 Котяхов, Re = 0, 26, 38, 41, 50, 70, 100, Депрессия (т.атм) 7,0 6, Отн. погр. (%) Рис.26 Неустранимая относительная погрешность (%) в расчёте дебита нефтедобывающей скавжины (Диаграмма №2).

5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 20 26 38 41 50 60 70 80 90 100 150 Депрессия (т.атм) Рис. 27 Погрешности в расчёте дебита нефтедобывающей скважины в случае пренебрежения ПЗС и применения закона Дарси (Диаграмма №3) 30 25 Относит. ошибки (%) 20 15 10 5 0 35 40 50 60 70 80 90 100 110 Депрессия (т. атм.) 120 130 140 Щелкачёв, Re=1 Миллионщиков, Re = 0,022 Котяхов, Re = 0, Рис. 28 Радиус призабойной зоны нефтедобывающей скважины (Диаграмма №4) 4 3,5 Радиус r0/rскв Щелкачёв Миллионщиков Котяхов 2,5 2 1,5 1 0,5 0 20 26 38 Депрессия (т.атм.) Рис. 29 Расчёт дебита газодобывающей скважины по критериям Щелкачёва, Миллионщикова и Котяхова (Диаграмма №5) Безразмерный дебит 100 80 60 40 20 0 13 15 17 Депрессия (т.атм) Щелкачёв, Re = 1 Миллионщиков, Re = 0,022 Котяхов, Re = 0, 90 Рис. 30 Неустранимая относительная погрешность расчёта дебита 7 Относ. погр. (%) газодобывающей скважины (%) (Диграмма №6) Относ. погр.(%)-1 случай Относ. погр.(%)-2 случай 5 4 3 2 1 13 30 40 50 60 Депрессия (т.атм.) 16 Относ. погрешн. (%) Рис. 31 Погрешность в расчёте дебита газодобывающей скважины, возникающая при пренебрежении нелинейностью в ПЗС и применения закона Дарси ко всей области фильтрации. Исходные данные - для случая 1.(Диаграмма №7) 12 10 8 6 4 2 0 14 40 50 60 70 80 90 100 150 Депрессия (т.атм.) Щелкачёв Миллионщиков Котяхов Рис. 32 Радиус призабойной зоны газодобывающей скважины r0/rскв 60 Отношение r0/rскв Щелкачёв (Диаграмма №8) 40 30 20 10 Миллионщиков Котяхов Депрессия (т.атм.) z A B 1 k 2 k2 b B rc R A R r 1 – призабойная зона скважины (ПЗС) с проницаемостью k1.Режим фильтрации в ПЗС линейный. 2 – гравийный фильтр с коэффициентом проницаемости k2. Режим фильтрации в скважине с гравийным фильтром может быть как линейным, так и нелинейным. Радиус скважины rc. Через r и z обозначены цилиндрические координаты, ось z направлена вверх. R – радиус контура питания. u(z) – вертикальная составляющая скорости течения жидкости в фильтре (скважине). Рис. 33.

z u(z+dz) z+dz dq(z) z u(z) Схема взаимодействия притока жидкости к скважине с течением в её фильтре Рис. 34.

V(z) / V0 (Re1 / Re0) 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 z/b 2 1 3 6 4 7 Рис. 35. Распределение горизонтальной скорости фильтрации V(z) / V0 на поверхности скважины по ее длине z / b. R / rc = 5000, b / rc = 100, отношения проницаемостей k1 / k2 равны: 1 – 1,0;

2 – 0,1;

3 – 0,01;

4 – 0,001;

5 – 0,0001;

6 – 0,00001;

7 – 0,000001;

U(z) / V0 200 180 160 140 120 100 80 60 40 20 0 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 z/b 3 2 1 4 5 6, Рис. 36. Распределение вертикальной скорости фильтрации U(z) / V0 в фильтре скважины по длине ствола z / b. R / rc = 5000, b / rc = 100, отношения проницаемостей k1 / k2 равны: 1 – 1,0;

2 – 0,1;

3 – 0,01;

4 – 0,001;

5 – 0,0001;

6 – 0,00001;

7 – 0, P(z) / Pп 1 2 0,95 0,9 4 0,85 0,8 0,75 0 6 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 z/b 7 5 3 Рис.37. Распределение приведенного давления P(z) / Pп вдоль ствола вертикальной скважины. R / rc = 5000, b / rc = 100, P(z) / Pп = 0,75. Отношения проницаемостей k1 / k2 равны: 1 – 1,0;

2 – 0,1;

3 – 0,01;

4 – 0,001;

5 – 0,0001;

6 – 0,00001;

7 – 0,000001;

Pages:     | 1 |   ...   | 2 | 3 || 5 |



© 2011 www.dissers.ru - «Бесплатная электронная библиотека»

Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам.
Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам, мы в течении 1-2 рабочих дней удалим его.